ПРЕДИСЛОВИЕ

Бурное развитие наших представлений о магнитных полях в космосе вызвало появление ряда обзоров и монографий, посвященных этому предмету. С одной стороны, прогресс в понимании физики магнитных полей связан с достижениями наблюдательной астрономии и ракетных данных, с другой ——с теоретическими исследованиями в данной области.

Особая роль магнитных полей заключается в том, что в них содержится основная энергия электромагнитного поля. Поэтому практически все нестационарные явления связаны с динамикой магнитных полей. Так, объяснение солнечного цикла и вообще всей солнечной активности немыслимо без привлечения магнитных полей. Физика солнечного ветра и солнечно-земных связей тесно связана с нестационарными явлениями в магнитных полях. Магнитные поля наблюдаются в звездах, межзвездном газе Галактики.

Есть основания считать, что магнитные поля столь же присущи космическому веществу, как само движение. Действительно, кинетической энергии движущейся космической плазмы вполне достаточно для того, чтобы генерировать магнитные поля. Теория динамо как раз и призвана объяснить происхождение и динамику переменных магнитных полей, возникающих за счет движений плазмы.

Круг вопросов, связанных с магнитными полями, соответствует практически всей астрофизике п геофизике. Поэтому мы, естественно, не можем претендовать на отражение всех аспектов в одной книге. Монография посвящена глобальным явлениям, связанным с магнитными полями: их происхождению, динамике полей, влиянию полей на движущуюся плазму.

Распространенным типом движения космической плазмы является турбулентное, хаотическое. Поэтому основное внимание будет уделено турбулентности жидкости в магнитном поле, более конкретно ——турбулентности высокопроводящей плазмы, когда илтеет место вмороженность магнитного поля в вещество. Первая глава посвящена введению в теорию динамо. Задачи этой главы следующие. Прежде всего, дать представление о специфике космической плазмы и о магнитной гидродинамике как разделе физики плазмы. Главная цель первой главы ——сформулировать проблему динамо, показать трудности, «подводные камни» и результаты, лежащие на поверхности, а также результаты разработок простейших моделей динамо. Кратко можно изложить содержание книги так: построение магнитной гидродинамики турбулентной среды

высокой проводимости (т. е. движущейся плазмы при больших магнитных числах Рейнольдса).

Со времени написания предыдущей монографии [1] в теории турбулентности высокопроводящей среды произошли большие как количественные, так и качественные изменения, суть которых изложена кратко во Введении. Цель написания настоящей монографии как раз и состоит в отражении новых тенденций в этом предмете. Это не значит, что для понимания данной книги необходимо прочесть предыдущую. Книга построена независимым образом〉 в главе I изложены основы теории. Однако нельзя утверждать, что в данной монографии отражены все вопросы, связанные с динамо. С теорией геодинамо читатель может познакомиться по обзору Брагинского [2], с теорией динамо слабопроводящей среды —— по [3] и [4]. Обзор по магнитным полям планет написан Буссе [5].

Книга рассчитана на три категории читателей: читатель-астрофизик, читатель, интересующийся физикой дела, и, наконец, читатель ——«сугубый» теоретик, желающий разобраться во всех обоснованиях. Изложение построено так, чтобы удовлетворить всех читателей. Астрофизику автор может посоветовать читать последние подразделы всех (кроме первой) глав, а также исходя из названий подразделов. В последних подразделах сформулированы основные результаты и приложения. Читателям, интересующимся физическим смыслом результатов (к которым автор причисляет и себя), можно рекомендовать читать сначала последние и первые подразделы глав. Они построены таким образом, чтобы их можно было понять, не читая основного текста. В них излагаются основные физические соображения и физический смысл результатов. Желая углубить свое понимание или посчитав последние и первые подразделы недостаточно строгими, чптатель-физик может обратиться к другим подразделам, судя по их названиям. Читателю математического склада может не понравиться определенная непоследовательность изложения в главах II и III. Действительно, можно было бы обосновать сначала самый общий вид уравнения для четырехточечной функции распределения, а затем, в качестве частных случаев, получить из него все результаты этих двух глав. Из этого уравнения следует динамика супермелкомасштабных и просто мелкомасштабных полей. Если проинтегрировать его по двум точкам, получится уравнение для двухточечной функции распределения, а из него следуют все результаты второй главы по крупномасштабным полям. Мы же сначала обосновываем уравнение для двухточечной функции распределения, затем обобщаем его на четырехточечную. Это сделано по двум причинам. Во- первых, изложение от общего к частному, от которого мы отказались, привело бы к необходимости добрую треть книги посвятить теоремам и строгим выводам. А это показалось бы утомительным для основного контингента читателей, на которых мы рассчитываем. Во-вторых, принятое изложение делает независимой вторую главу, посвященную только крупномасштабным полям. Это

удобно для тех, кто захочет углубить понимание физики процессов, связанных с крупномасштабными полями.

Читг тель, не знающий лагранжев подход и решившийся там не менее ознакомиться с такими подразделами, как, например. «Лагранжевы статистические характеристики двух жидких частиц», будет вознагражден за свой упорный (подчеркиваем) труд овладением мощного средства познания ——лагранжевым подходом. Не случайно же этот подход дает возможность решить проблему, тесно связанную с проблемой турбулентности, без использования малых параметров или предположений типа гипотез замыкания. Нет сомнения в том, что владение лагранжевым подходом даст возможность разобраться в труднейших вопросах турбулентности и гидродинамики. Вместе с тем автор весьма сожалеет, что, несмотря на огромные усилия излагать материал с использованием в основном лишь физических соображений, обоснование все же потребовало введения громоздких математических выражений .Но в будущем, без сомнения, вся проблема турбулентного динамо будет излагаться более простым языком. В настоящее время приходится довольствоваться тем, что есть.

Автор считает приятным долгом выразить благодарность руководству СибИЗМИР СО АН СССР за предоставленные прекрасные возможности для работы над монографией, а также Л. Л. Кича- тпнову за помощь при работе над четвертой главой. На уровень написания монографии решающим образом повлияли переписка II личное общение с иностранными коллегами, а также материалы, присланные ими специально для монографии. Автору хотелось бы в первую очередь выразить благодарность Е. Н. Паркеру, приславшему свои работы и комментарии к ним по новому механизму, который и является одним из четырех главнейших достижений теории. Не менее полезными для работы над монографией оказались материалы, присланные Крейкнаном, Стиксом, Моффатом, Дарни, Робертсом, Винчем, Рюдигером, Хайдом, Буссе, Краузе, Рэдлером.

ВВЕДЕНИЕ

Явление магнетизма заинтересовало исследователей еще в глубокой древности, начиная с Пифагора (VI в. до н. э.). Компас был известен гораздо раньше: в Китае примерно три тысячи лет назад. Первое научное исследование о магните принадлежит английскому ученому Вильяму Гильберту ——современнику Шекспира. Магнит казался загадочным, ему приписывали лечебные свойства. В XVIII в. Антон Месмер создал целые школы по магнетизму. Он лечил своих пациентов с помощью магнитов.

Месмер считал, что Вселенная пронизана магнитным флюидом и люди с помощью него взаимодействуют друг с другом, с животными и неживой природой. Наука опровергла существование магнитного флюида, но если бы Месмер знал, что вся Вселенная пронизана магнитными полями! Последние настолько широко распространены в природе, что это кажется даже несколько странным.

Несомненно, что если бы в настоящее время был обнаружен в астрофизике объект, совершенно лишенный магнитных полей, то это вызвало бы сенсацию.

Магнитные поля, однако, совсем не пассивны, т. е. они не только генерируются движениями плазмы, они активно влияют на движение. Эта область относится к нелинейным задачам магнитной гидродинамики.

После написания предыдущей монографии [1] произошло бурное развитие теории динамо. Наши представления существенно изменились. Некоторые изменения носят количественный характер, и благодаря им мы существенно продвинулись в понимании ряда явлений. В других представлениях произошел качественный скачок.

Сформулируем важнейшие достижения, и дальнейшая цель всей книги и будет состоять в их изложении и обосновании:

развитие простейших моделей динамо;

новый механизм динамо-эжектора магнитных трубок Паркера;

получение точных решений в теории турбулентного динамо, а также решение проблемы мелкомасштабного динамо;

разработка последовательной и единой нелинейной теории турбулентного динамо или макроскопической магнитной гидродинамики (турбулентность при больших магнитных числах Рейнольдса).

Обсудим теперь все четыре пункта последовательно. Прежде всег0, развитие простейших моделей. Лет двадцать назад мно- гпм авторам казалось, что теория динамо ограничивается лишь теоремой Каулинга, запрещающей симметричное динамо. После того как появились многочисленные примеры, показывающие возможность генерации поля, укоренившееся мнение было поколеблено в слабой степени. Казалось, что динамо — существенно трехмерное, несимметричное явление. Между тем давно известное динамо винтовым движением осуществляется двумерный! полем скорости (см. гл. I, подразд. 6). В последние годы стало ясно, что знаменитые антидинамо-теоремы совершенно、напрасно пугали исследователей. Не так-то просто, как оказалось, удовлетворить всем требованиям антидинамо-теорем в природе! В гл. I будет показано, что генерация поля может осуществляться дифференциально вращающимся цилиндром (осевая симметрия и симметрия относительно плоскости). А в гл. III увидим, что в стохастической модели генерация осуществляется простейшим одномерным движением типа сдвига. Найти движение, способное генерировать наблюдаемое поле, не проблема. Вопрос в том, чтобы это движение согласовалось с динамическими уравнениями, с наблюдениями и с обратным действием магнитного поля на движение.

Приступим теперь к обсуждению второго пункта — нового механизма Паркера. Изложение его потребовало ввести понятие о полях промежуточных масштабов, что само по себе служит для развития теории динамо. До сих пор основой прикладных моделей солнечного цикла, генерации полей в звездах, Галактики являлась старая модель Паркера [6]. На наш взгляд, новая модель не только развивает теорию, но и будет иметь много приложений в астрофизике.

Обратимся к третьему пункту достижений. Их можно разделить на две подгруппы: точные задачи для динамо крупномасштабного поля и мелкомасштабное динамо. Обсудим сначала крупномасштабные поля. Нельзя сказать, что в этом вопросе произошло качественное изменение наших представлений, скорее количественное. Все эффекты для генерации крупномасштабных полей известны уже довольно давно. Но все же строгое и последовательное построение теории крупномасштабных полей стало возможным после формулировки и решения точных задач с помощью лагранжево- го подхода. Основоположником этого направления исследований был Крепкнан [7]. Строгий подход снимает целый ряд парадоксов и трудностей, возникающих при описании турбулентной высокопрово- дящей среды. Во второй главе установлена тесная связь между статистическими характеристиками магнитного поля и скалярной примесью. Пусть читателя поэтому не удивляет, что так много внимания уделено динамике скалярной примеси. Нам хотелось бы подчеркнуть нетривиальность точного подхода. Дело в том, что в эйлеровом описании мы сталкиваемся с обычной проблемой за-

мыкания, характерной для теории турбулентности. В задаче отсутствует малый параметр, и точное решение ее в эйлеровой постановке невозможно! В лагранжевом подходе оказывается возможным обойти эту трудность: получить усредненные уравнения в задаче без малого параметра п не пользуясь гипотезами замыкания. Последние параграфы второй главый посвящены крупномасштабным магнитным полям в космосе.

Что касается мелкомасштабного динамо, то здесь проблема ни в коей мере не могла быть решена с использованием приближенных и эвристических теорий. Мы говорили в [1] о мелкомасштабном динамо в сослагательном наклонении. После построения точной теории лагранжевого подхода стало возможным решить эту проблему. Необходимость хоть как-нибудь выяснить этот вопрос возникла давно. С этого началась теория динамо, и эту проблему и называли проблемой турбулентного динамо. Актуальность вопроса о том, есть или нет турбулентное динамо, для астрофизики очевидна. Это в первую очередь связано с тем, что большие мае- штабц далеко не всегда выделяются в системе. Так, поперечная толщина Галактики и размер мажзвездных облаков ——величины одного порядка. Крупные масштабы весьма нечетко выделяются и в солнечной конвективной зоне. Вообще выделение крупных масштабов (так называемое двухмасштабное динамо)——это идеализация, хорошего примера для которой в природе, пожалуй, нет. С другой стороны, энергия мелкомасштабных полей практически всегда превышает энергию крупномасштабных (если последние хоть как-то выделить). Ясно, что мелкомасштабные поля генерируются независимо от крупномасштабных. И еще одно немаловажное обстоятельство: скорость роста мелкомасштабных полей (если они действительно усиливаются) наибольшая из возможных (крупномасштабные поля усиливаются гораздо медленнее). Положительное решение этого вопроса (см. гл. III) означает, что фактически магнитные поля в космосе генерируются в первую очередь именно механизмом мелкомасштабного динамо.

Несколько замечаний исторического характера. Единственной работой в этом направлении была статья Крейкнана и Нагараяна [8]? где все трудности проблемы поняты и проанализированы авторами с полным пониманием вопроса. Выводы авторов пессимистические: на современном этапе, т. е. в 1967 г., решить проблему было невозможно. Интересно (и в то же время грустно) отметить, что в последующие годы наметился вполне четкий регресс в этой области. Была написана масса работ и рассуждений как в астрофизическом аспекте (в основном по отношению к магнитному полю Галактики), так и безотносительно к приложениям, в которых не учитывались те или иные трудности, указанные в [8]. Уровень понимания проблемы постепенно снижался. Появилось даже курьезное утверждение, что проблему не нужно решать, ибо турбулентная среда гиротропна п в ней возбуждаются крупномасштабные поля. Это утверждение ухитрилось проникнуть даже в нашу

предыдущую монографию [1]. Такая плачевная ситуация, по- видимому, была связана с полной бесперспективностью (в то время) решения этой проблемы регулярным методом. Все стало иначе после появления упомянутой работы [7], где разработан строгий подход (правда, для крупномасштабных полей). В гл. III излагается точная теория мелкомасштабных полей.

Мельком пролистав страницы гл. III и увидев там массу многоиндексных выражений, тензоров, любой читатель может заподозрить, что в этой главе мало физики и содержанием ее является обоснование. Он будет прав и не прав. С одной стороны, только строгий, обоснованный подход, как сказано выше, способен дать ключ к решению проблемы. Для этого1 приходится вдаваться в подробности и тонкости, касающиеся скалярной примеси. Изучение скалярной примеси помогает понять свойства магнитных полей, что само по себе является главным моментом всей монографии. В частности, это указывает на важность экспериментального, более подробного исследования корреляционных характеристик скалярной примеси (чем это делалось до сих пор). Если нас интересуют крупномасштабные магнитные поля, то они однозначно могут быть выведены из поведения двухточечной корреляции скалярной примеси, ее динамики во времени. Если нас интересуют мелкомасштабные магнитные поля (т. е. корреляционные характеристики), то для этого нужно изучать динамику четырехточечной корреляции скалярной примеси. Однако важнейший результат ——ответ на вопрос, есть или нет турбулентное динамо ——получается без привлечения экспериментальных данных. В конце главы мы все же изложили довольно пространные физические рассуждения, лежащие в основе генерационных свойств турбулентности. Все они кажутся нам убедительными и вескими, но... только после того, как было проведено строгое обоснование. Тем не менее мы их изложили. После обоснования можно считать, что эти соображения углубляют наше понимание физики процесса. В конце этой главы мы детально обсудили все то, что может дать теория турбулентного динамо для развития теории динамо вообще и ее астрофизические следствия.

Наконец, нелинейная теория. Здесь изменение наших представлений носит скорее количественный, чем качественный характер. Сейчас мы можем, например, определенно говорить об энергии магнитных пульсаций и считать, что она сравнима с энергией пульсационной скорости. В монографии [1] мы это предполагали

11 пользовались уже этим фактом как известным. Много нелинейных эффектов было уже известно, и этому посвящена глава в [1], Тем не менее все это являлось только фрагментами теории. Совершенно неясно было, какие нелинейные эффекты являются главными, что нужно учитывать в первую очередь. Результаты получались при большом числе предположений. В настоящее время разработан единый и последовательный подход, изложенный в гл. IV. Теперь можно «тверже держаться на ногах», в этой об-

ласти. В общем мы считаем, что макроскопическая магнитная гидродинамика в основных чертах уже разработана.

Резюмируя все о новейших достижениях, можно сказать следующее. При написании монографии [1] перед теорией стоял ряд серьезных проблем, которые тогда не были решены. Исследователи, занимающиеся расчетами конкретных моделей, скажем численного счета солнечного цикла, а также интерпретацией наблюдений, могли резонно заявить, что те или иные аспекты теории они могут не принимать во внимание, ибо основные проблемы теории не решены. Теперь, на наш взгляд, ситуация иная. Важнейшие вопросы решены (это, конечно, не значит, что здесь уже нет интересных задач и нечего делать теоретику. Читатель убедится в этом, прочтя книгу). В частности, в конце гл. IV сформулированы задачи для солнечной конвективной зоны. Если реньше нам были неизвестны даже основные уравнения, то сейчас уравнения известны. И новые трудности связаны с решением системы нелинейных уравнений для данных конкретных условий.

Глава первая

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ДИНАМО

Специфика космических полейпокоящейся среды

Космическое вещество представляет собой ионизованную среду, т. е. плазму, пронизанную электромагнитными полями. В первую очередь эти поля есть электромагнитное излучение, которое и является основным поставщиком информации о космической плазме. Плотность энергии этих полей, однако, оказывается зачастую гораздо ниже плотности энергии вещества. Выясняется, что второе место после вещества по энергетике занимают квазистационарные электромагнитные поля.

Описание этих полей можно осуществлять с помощью уравнений электродинамики сплошных сред:

rotH = —J + —(1-1)

div Н=0,(1.2)

div Е=4лр,(1.3)

к 1 ан

rot Е чт- .(1.4)

сot''

Здесь Н, Е ——напряженности магйитного и электрического полей. Для замыкания выписанной системы необходимо ввести связь между плотностью тока j и полями, которая в простейшем виде записывается как закон Ома в движущейся среде:

j = o(E + ；[vH])・(1.5)

Утверждение о квазистационарности полей означает, что током смещения 1/с dE/dt в (1.1) можно пренебречь. Ток смещения играет определяющую роль в процессах электромагнитного излучения, которые мы не рассматриваем. Конкретно критерий малости тока смещения будет выписан далее.

Подставим теперь (1.5) в (1.1) и возьмем операцию rot от (1.1), тогда получим с использованием (1.4)

dH/dt = rot [vH] — rot D rot H,。= c2/4 ла.(1.6)

Если а не зависит от координат, то (1.6) можно записать с учетом (1.2) в виде

дН/dt = rot [vH] + 0AH.(1.7)

Если движение вещества известно, т. е. поле скоростей v (х,力) задано, то (1.6) будет определять магнитное поле, если дополнительно известны начальные и граничные условия для поля Н.

Итак, задача свелась к нахождению одного поля Н, электрическое поле определяется из (1.3), (1.4). Здесь не случайно магнитное поле поставлено в привилегированное положение. Мы увидим далее, что напряженность электрического поля значительно меньше, чем Н. Рассмотрим прежде всего покоящуюся среду, т. е. V = 0. Тогде при D = const имеем

д01dt = 0AH. (1.8)

При наличии внешних источников поля имеется стационарное решение

rot Н = 0, div Н = 0, (1.9)

описываемое гармоническими полями. Примером таких полей является магнитное поле Земли на небольших расстояниях от поверхности (на расстояниях, превышающих десятки радиусов Земли, поле сильно возмущается солнечным ветром), магнитные поля планет.

Нас будет интересовать в основном другая постановка: неста- ционарность поля. Отсутствие внешних источников означает в неограниченной среде, что

Н f 0 при / f оо, Н = О (力-з), (1.10) а в ограниченной среде (небесное тело: звезда, Галактика и т. п.) Н непрерывным образом переходит в вакуумное поле (1.9), исчезающее на бесконечности.

При выполнении условий (1.10) произвольное начальное поле будет затухать, диссипируя в тепло из-за омических потерь. Это есть свойство уравнения (1.8) ~ фактически уравнения диффузии. Время жизни поля

力 о = /Л/。= ^^/с^ (1.11)

Здесь L ——характерный масштаб поля. Уже в этой оценке проявляется специфика космической электродинамики. Дело в том, что величина L весьма велика, что означает очень большое время дис- еипации поля. Это есть первое свойство космической плазмы. Типичное значение D для космической плазмы 107 см2/с.

Возьмем для примера «скромное» (с точки зрения астрофизики) по размеру поле солнечного пятна с £ = 3-109 см, D = 108 см2/с. Время диссипации поля 力о получится равным 3000 лет! Для металлического проводника в земннк условиях размером L = 102 см и Z> = 107 см2/с (плохой проводник) имеем 力о = 10-3 с.

Обоснование пренебрежпмой малости тока смещения здесь можно записать в виде

(1A铀 (1.12) где ①=1/io ——характерная частота процесса. Условие (1.12) вы-

полняется с огромным запасом не только для космической плазмы, н0 и для земных условий небольших проводников.

Огромное время диссипации поля соответствует высокой индуктивности космической плазмы (а не высокой проводимости, как иногда полагают: дело в том, что принятое значение D = = Ю7 см2/с соответствует плохому проводнику; проводимость меди, например, выше на несколько порядков). Отсюда начинаются главные проблемы космической электродинамики: как генерировать поле в среде с такой высокой индуктивностью? как проходят процессы с быстрой диссипацией п т. п.

Сравним напряженности электрического и магнитного полей. Согласно (1.4) имеем оценку

Е = sLHIc = cH&rgL.

Даже для не слишком больших L

^< Я.(1.13)

Неравенство (1.13) означает, в частности, что ,плотность энергии магнитного поля гораздо больше электрического:

Именно поэтому поле Н ставится в привилегированное положение.

Поля в движущейся среде.Дифференциальное вращение

Рассмотрим плазму, находящуюся в движении, v，0. Отношение первого члена правой части (1.7) ко второму есть по порядку величины

(ylL)l(DlL^ = vLID = Rm

——магнитное число Рейнольдса. Второе основное свойство космической плазмы состоит в том, что, как правило, Ещ 登 1. Заметим, что в технике и в экспериментальных установках % много меньше единицы. Иногда только достигаются значения Вт = 10, 15, и то с трудом.

Ввиду того что Em 娶 1, можно в некоторых задачах пренебречь вторым членом правой части (1.6) и (1.7), тогда получим выражение

dH/dt = rot [vH],(1.14)

которое описывает вмороженность магнитного поля в среду. Вмороженность означает, что силовые линии поля следуют за движущейся плазмой. Это уравнение дает гораздо более быстрое изменение магнитного поля, чем согласно (1.8), которое дает время жизни 力° по (1.11). Действительно, элементарная оценка

показывает, что время изменения поля

力 1 = Liv(1.15)

в Rm раз меньше, чем 力°.

Простейшим примером является поступательное движение, просто переносящее поле с веществом. Другой пример ——вращение звезды. В частности, переменность наблюдаемого поля звезды может объясняться просто вращением, когда наблюдатель видит разные полушария звезды с разными полями. Впрочем, следует уже здесь оговориться, что такое объяснение редко бывает удовлетворительным.

Несколько более сложный пример — вытягивание поля сдвиговым движением. Рассмотрим динамику поля для случая v = ={0, vy (%), 0} и начальное поле ——однородное: Н = {Яо, 0, 0}. Тогда согласно (1.14)

дНх!dt = — VydyHx = 0, Нх 三 0,

dHy/dt = — vydyHx + HQdxvy 三 Н。％%,(1.16)

dHJdt = - vydyHz = 0, Hz 三 0.

Картина силовых линий для течения и^ = 0 при | х |》2 и| %|《 《I, % 抄 0 изображена на рис. 1.1. В начальный момент силовые линии прямые (штриховые). Затем движение «вытягивает» силовые линии вдоль V, растет ^-компонента (что видно из второго уравнения системы (1.16)). Таким образом, поле генерируется движущейся плазмой. На рис. 1.1 изображен, собственно говоря, принцип магнитогидродинамического преобразователя энергии (МГД- генератор): механическая энергия переходит в магнитную.

Учтем теперь диссипацию, т. е. второй член в (1.7). Тогда в правую часть каждого из уравнений (1.16) следует добавить ОАЯ^, ОАНу，D\HZ. При этом, естественно, соотношения Нх 三 三 0, #z 三 0 остаются, а уравнение для Ну уже не дает неограниченного усиления поля и при 力〉力о Ну выходит на стационарный асимптотический режим, определяемой равенством

D\Hy = — Но%%, Ну q RmHo.(1.17)

Итак, установившееся значение поля во много раз превышает (для космических условий) начальное Яо. Здесь следует еще раз подчеркнуть, что движение задано. В реальной ситуации следует учитывать электромагнитные силы, ограничивающие течение и тем самым установившуюся величину Ну. Эта задача одномерная, а поэтому уже давно решалась в магнитной гидродинамике и, естественно, с учетом электромагнитной силы (решение Гартмана, см., например, [9]).

Приведенный пример не характерен для астрофизических условий, так как трудно найти условие течения в каналах для плазмы без стенок, как это имеет место в астрофизике. Но в то же время это течение отражает все черты так называемого дифференциального вращения. Состояние дифференциального вращения уже, можно сказать, типично для звездного вещества. Так, дифферен-

пиальное вращение Солнца непосредственно наблюдается (зависимость угловой скорости вращения й от широты), зависимость Q от расстояния до центра Солнца предсказывается теоретически. Дифференциальное вращение глубинных слоев звезд должно иметь место при наличии конвекции [10]. Последнее явление—конвекция— тоже распространенное. Упомянем, наконец, дифференциальное вращение межзвездного газа Галактики.

Выпишем уравнения для осесимметричного поля в дифференциально вращающемся шаре:

鼻 А产+ ；备"^5■备 sin®)/#，(L18)

—^y- %)= r sin 9% -^- + Hq sin 9 -^—|-

+ D~"аё" sine 1e~sin0)^ч>'(1.19)

Hr =「sin® -^g-sine/屮,"e =—分-'屮，rQ(r,e)sine=Uc・

При ◎ = const, т. е. при отсутствии дифференциального вращения, генерационный член в (1.19) отсутствует, остается одна диссипация поля. Как мы видели в подразд. 1, диссипация происходит

Рис. 1.1.

Деформация силовых линий сдвиговым движением

чрезвычайно медленно. .Если вообще пренебречь диссипацией, т. е. считать поле Лф (а значит, Hr, HQ、так называемое полоидаль- ное поле, стационарным, и Q ：/= const, то 石屮(тороидальное поле) растет. Процесс вполне аналогичен росту ^-составляющей в (1.16).

Аналогично (1.17) можно записать, что установившееся квазп- стационарное значение тороидального поля есть

^ф у RmA^IL. (1.20)

Полопдальное поле может поддерживаться внешними источниками (как однородное поле Н。в МГД-генераторе (1.16) должно создаваться внешними магнитами). Тогда усиление тороидального поля (1.20) будет весьма значительным. Так, магнитосфера Земли не полностью вовлечена во вращение Земли хотя бы потому, что отдельные части магнитосферы взаидюдействуют с солнечным ветром, который, естественно, во вращении Земли не участвует. Поэтому магнитные поля вытягиваются дифференциально вращающейся магнитосферой, причем «внешнее» поле здесь ——поле, созда- ваелюе токами в земном ядре. Это явление называется магнито-

сферньш динамо (или атмосферным динамо). То, что мы будем называть просто динамо, отличается от магнитосферного динамо, о чем будет указано в подразд. 4.

Мы уже можем заметить, что усиление поля дифференциальным вращением временное, т. е. после достижения значения (1.20) за время % (1.11) поле начнет диссипировать и за такое же примерно время исчезнет. Тем не менее этот процесс может играть существенную роль в астрофизике. Здесь тоже возможна ситуация, когда полоидальное поле поддерживается внешними источникамп. Так, полоидальное поле может генерироваться ЭДС типа термотока [И]. Тогда вместо (1.7) имеем

dH/dt = rot [vHl + РАН — с rot Е,

где Е — электрическое поле термо-ЭДС. Поскольку во вращающейся звезде Е = {0, 0, Е,}, то поддерживается именно полоидальное поле. Несмотря на малую величину установившегося поля 4屮, усиление, или, по терминологии [12], накачка (1.20), дает уже значительное поле Яф. Таким образом, дифференциальное вращение может вызвать большую накачку поля.

Для оценки тока смещения сравним его в (1.1) с rot Н. Прежде всего, согласно (1.4)

E = HL/ct1==vH/c. (1.21)

Таким образом, условие (1.13) опять выполняется. Далее подставим эту оценку в (1.1) ti получим, что ток смещения в c2/v2 раз меньше rot Н.

Движущаяся среда вызывает потенциальные электрические поля. Беря дивергенцию от (1.1) и учитывая (1.5), получим

dp/dt 十 4лар + EVo + + div [vHj = 0. (1.22)

Для о = const из (1.22) следует, что плотность заряда устанавливается за чрезвычайно короткое время (4ла)-1 (по порядку величины равное 10"14 с). У становившийся заряд и соответствующая потенциальная составляющая электрического поля определяются уравнением

div Е = 4пр = ； div [vH], (1.23) отсюда мы вновь (теперь уже для потенциальной составляющей Е) возвращаемся к оценке (1.21).

Магнитная гидродинамика (МГД)

В двух предыдущих подразделах движение считали заданным. В действительности же космическая плазма представляет собой сплошную среду со многими степенями свободы. Поле скоростей

в несжимаемой среде подчиняется уравнению

@v/况 + (W) v = _ —Vp + [rot H, H] +

+ %Av + F, div v = 0.(1・24)

Здесь F ——какие-либо внешние силы, % ——вязкость. Второй член правой части (1.24) является силой электромагнитной природы. Система (1.6), (1.24) однозначно определяет поля v и Н по началь- ньвг значениям этих величин и по граничным условиям. Давление р в (1.24) определяется из условия div v = 0. Эта система является основой магнитной гидродинамики.

Что же означало в предыдущем подразделе заданное движение? С точки зрения электродинамики это то, что v не зависит от магнитного поля. Тогда (1.6) есть линейное уравнение относительно Н, и все предыдущие рассуждения имеют силу. Из (1.24) видно, что это приближение является оправданным, если электромагнитная сила в (1.24) мала, т. е.

р*2》ZP/8n пли р 発 ¥/8п.(1.25)

Допущение о несжимаемости оправдано, div v = 0, если скорость V мала по сравнению со скоростью звука, число Маха v/s мало. Поэтому (1.25) заведомо выполняется при

рр2/2>Я2/8л.(1.26)

Дело в том, что р ^ ps?. Если же нелинейный член (vV) v мал (как в течении Гартмана (см. рис. 1.1), где он просто обращается в нуль), то поле не препятствует течению даже при нарушении (1.26). Поле усиливается до значения, определяющегося из равенства Я2/8л = р (см. [1, гл. 2, § 2.11]).

Обратим внимание на следующее обстоятельство. В оценки (1.25), (1.26) не входит коэффициент %. Кроме того, при описании динамики поля можно пользоваться (1.14), т. е. положить 0=0. Малость вязкости % и, как иногда говорят, магнитной вязкости D означает

凡2>1, R =迎,勿登 1.(1.27)

Эти неравенства мо;кно переписать, выражая все через частоту столкновений:

D = с2/4по, о = ne^hx^, % = и；尺“

где /2 — плотность плазмы, т — масса электрона, v — частота электрон-ионных столкновений, 力——тепловая скорость ионов, У» — частота ион-понных столкновений. Легко видеть, что неравенства (1.27) будут удовлетворяться при

" — О,已 + 0,(1.28)

т・ е. если частота столкновений мала.

Что же означает «частота мала»? По сравнению с чем? Фор- мальпо мы можем положить частоты столкновений строго равными

кулю и получить систему двух уравнений (1.14) и (1.24) с % = U. Эта система имеет определенный смысл, более того, она имеет название: система уравнений идеальной МГД. В классической электродинамике сплошных сред утверждение о малости v, vf просто эквивалентно условиям (1.27). Но, строго говоря, частота столкновений не может равняться нулю. Дело в том, что при v = О как закон Ома (1.5), так и уравнение гидродинамики (1.24) не могут быть выведены из точных кинетических уравнений. Для того чтобы получить закон Ома, необходимо, чтобы

з << % %(1.29)

(з ——частота процесса), а для вывода (1.24) должно выполняться

Л = Vihi < L.(1.30)

Здесь L —— масштаб неоднородности всех полей, Л——длина свободного пробега иона, v, vz малы в (1.6), (1.24), но не равны нулю!

Однако эти условия далеко не всегда выполняются в астрофизике. В сравнительно плотной плазме (глубинные слои звезд, солнечная фотосфера, хромосфера) этим условиям можно удовлетворить. В этом случае говорят, что плазма столкновительна. Но уже в короне Солнца, солнечном ветре, магнитосфере Земли, межзвездной среде частота столкновений весьма мала. В частности, в межзвездной среде частица может пройти без столкновений расстояние от Солнца до Земли. Такую плазму называют бесстолкновительной. Оказывается, что и бесстолкновительная плазма может описываться уравнениями МГД (1.14) и

P~5FV = 一 divp +W(rotH,H],

%j=尸广几 j+P 丄 3订・一 ％%•)， S=Hi/H,(1-31)

(см. [13]). Уравнения (1.31) описывают движение сплошной среды с анизотропным тензором давления р (р ц ——продольное давление, т. е. вдоль магнитного поля, р^ ——поперечное). Здесь предположение о несжимаемости уже не используется. Два последних уравнения (1.31)——аналогия уравнений состояния.

Область применимости бесстолкновительной МГД:

g)V о)е,①力=еН/тс,(ое = еН!Мс,仕 32)

Pi, Ре W 乙，Pi = %/3藉 Ре = Ud /Зе，*

M ——масса иона, со», о)е — ионная и электронная циклотронные частоты, р», ре — радиусы Лармора, ve ——тепловая скорость электронов. Уравнения (1.14) и (1.31) выводят из дрейфового приближения: частицы осциллируют вокруг силовой линии поля с циклотронной частотой и медленно движутся поперек магнитного поля и силы, действующей на них. В частности, (1.14) получится,

если устремить о (1.6) к бесконечности (т. е. v -> 0), считая / конечным. Тогда получим

E + ；[vH] = 0・(1.33)

Взяв rot от (1.33) п воспользовавшись (1.4), получим (1.14). Но выражение для v, получаемое из (1.33), соответствует электрическому дрейфу в электрическом поле Е. Более слабые (чем электрический) дрейфы включены в (1.31). Поскольку дрейфы, как сказано, происходят поперек магнитного поля, уравнения (1.31) неприменимы для составляющей скорости, параллельной полю Н, что является недостатком этой системы.

Магнитное поле «гидродинамизует» бесстолкновительную плазму благодаря тому, что частица не может свободно двигаться поперек поля. Вдоль поля гидродинамики нет, и поэтому простое образование заряда по (1.22) уже не будет иметь места. Можно принять, что Ен = ЕШЯ обращается в нуль. Это видно непосредственно из (1.33), т. е. электрический потенциал вдоль линии Н отсутствует. Такое явление называют эквипотенциальностью силовых линий.-

Отношение плотности магнитной энергии Я2/8л к кинетической р〃2/2 может быть произвольно большим. В стационарном состоянии отношение обращается в бесконечность. Оно может быть п очень малым. Именно последняя ситуация интересна для кинематического динамо. Но это отношение не может обращаться в нуль, что означало бы отсутствие магнитного поля, но при Н = 0 магнитная гидродинамика в бесстолкновительной плазме не может быть обоснована.

Очень существенным параметром плазмы является отношение плазменного давления к магнитному:

• р = 8np/#2.

Если на плазму наложено магнитное поле, возбуждаемое внешними источниками, то величина р может быть произвольной. Если же нас интересуют самосогласованные магнитные поля, т. е. поля, порождаемые токами в плазме, то относительно величины |3 можно высказаться более определенно. Действительно, рассмотрим изотермическую плааму (в которой температура электронов и ионов одинакова). Тогда токи определяются дрейфами из-за неоднородностей

rot Н = 4л пех^/с,

°d ——скорость дрейфа. В изотермической плазме скорости ионною и электронного дрейфов одинаковы (и противоположны по знаку). Оценивая

% = и Q J L

(厶—масштаб неоднородности), получим

匕弋吟 vA = НN 4апМ・

Конечно, это есть оценка максимального поля, величина Рд может €ыть меньше р£. Поскольку и» близка к скорости звука s и, кроме того, р ^ пМи；, получаем отсюда оценку

₽>1.

Итак, для самосогласованного поля величина р, характеризующая плазму в целом (т. е. усредненное значение В), больше единицы. В то же время в отдельных местах максимального поля Н она может стать меньше единицы.

В плазме имеется пример конфигурации поля, когда токи не являются дрейфовыми. Это есть так называемое бессиловое поле, характеризуемое условием

rot Н = 〃Н.

Такое название оно приобрело из-за того, что при выполнении этого условия электромагнитная сила [rot Н, И] в (1.31) обращается в нуль. Токи при этом текут параллельно магнитному полю и не являются поэтому дрейфовыми. Отсюда, казалось бы, имеется возможность существования конфигурации с 13 Vl. В действительности же бессиловая конфигурация не может быть таковой во всем пространстве. Так же как в частном случае бестокового поля (когда 〃 = 0 и rot Н = 0), бессиловое поле непременно должно создаваться внешними источниками. Если эти источники расположены в самой плазме, то мы возвращаемся к предыдущей оценке |3〉1.

Резюмируем все сказанное. Для сравнительно низкочастотных и крупномасштабных процессов в космической плазме МГД- приближение применимо. Основная энергия электромагнитного поля магнитная. Электрическое поле можно исключить из уравнений, отсюда и название: магнитная гидродинамика. Идеальная МГД — это система (1.14), (1.31) (или (1.24) с % = 0).

4・ Постановка задачи динамо

Быстрое изменение поля с частотой v/L можно обеспечить довольно просто (см. подразд. 2). В то же время простое движение, например дифференциальное вращение, не способно неограниченно (по времени) поддерживать или усиливать поле (как отмечалось в подразд. 2, усиление поля временное). Конечно, время жизни поля 力о (1.11) весьма велико, но все поле в конечном счете будет диссипировать. В астрофизических условиях поля возбуждаются в турбулентной среде. Речь об этом пойдет далее. Отметим только, что турбулентность приводит к перенормировке коэффициента D в (1.6), (1.7): D заменяется на турбулентный коэффициент Рт, причем 力т 身 О. Время жизни поля (1.11) с новым коэффициентом будет уже невелико. Поэтому вопрос о длительном поддержании поля встает особенно остро.

Другая сторона вопроса ——быстрая переменность поля, продолжающаяся весьма длительное время. Например, солнечный

цикл: поле находится в колебательном режиме. Проблема динамо заключается в неограниченно длительном поддержании ноля за счет энергии движения. Кинематическая теория динамо строится как линейная задача: поле скоростей задано, как в подразд. 1, обратная реакция магнитного поля на движение не учитывается. (Условия применимости этого подхода см. в подразд. 3; должны выполняться неравенства (1.25), (1.26).)

Проблема динамо возникла для объяснения происхождения магнитных полей в космосе. В настоящее время теория динамо привлекается для объяснения быстрой переменности полей. Так или иначе, но первое, что приходит в голову,—— это воспользоваться принципом, аналогичным принципу динамо-машины (отсюда и появился термин «динамо»). Нужно, казалось бы, взять за основу генераторы с самовозбуждением; генераторы без обратной связи ——с независимым возбуждением ——будут аналогичны «полудинамо» (см. подразд. 2).

Построить такую аналогию, однако, не удалось. Прежде всего это связано с тем, что для космической плазмы характерна большая однородность, чем в технических установках. В космосе нет изоляторов, обмоток и т. п. Поэтому генерацию космических полей называют иногда однородным динамо. Еще одна особенность космической плазмы ——большие масштабы, приводящие к высокой индуктивности. Иначе это выражается условием /?т ^>1 (1.27). Данная особенность сразу же не даст возможность осуществиться «тривиальному» механизму динамо. Так, хорошо известно, что в металлической рамке, вращающейся в магнитном поле или просто пересекающей силовые линии поля, возбуждается ЭДС. Это и есть принцип генератора. Если же сделать размеры всей установки (в том числе и толщину проволоки) очень большими, так, чтобы выполнялось условие Rm ^> 1, то генерация станет невозможной! Дело в том, что, как сказано, поле уже будет вморожено в проводящую рамку и пересечения силовых линий уже не будет, ЭДС поэтому перестанет возбуждаться.

Итак, теория динамо с динамо-машиной связана только названием (и самой общей идеей). Как же тогда строить теорию? Развитие теории началось с формального подхода ——решения уравнения (1.7) при заданном поле v. Можно рассматривать задачу динамо в неограниченной проводящей среде. Тогда, чтобы исключить нз рассмотрения внешние источники, следует пользоваться условием (1.10) на бесконечности. В ограниченном проводящем теле магнитное поле сшивается с вакуумным полем (1.9), обращающиеся в нуль на бесконечности. Поле Н непрерывным образом переходит через границу. Полезным оказывается также условие непрерывного перехода величины

{^ Нп/дхп} = 0, фигурные скобки означают разницу значений на одной и другой сторонах границы, п —— индекс нормальной составляющей. Итак, не только сама нормальная составляющая Нп непрерывно пере-

ходит через границу ({Н^} = 0), что получается при интегрировании по пограничному слою уравнения div Н = 0 (как это обычно делается в электродинамике). Непрерывно переходит через границу и производная нормальной компоненты в нормальном направлении.

Динамо может быть стационарным: dWdt = 0 и [vH]= =rot D rot H, т. е.

3 Н =乎 °1 ("Г WH]十 V© .

Фактически это закон Ома. При этом генерация компенсируется омическими потерями.

5. Проблема собственных значений.Уменьшение масштаба поля

Важный класс задач ——магнитное поле Н нестационарног а движение v не зависит от времени. Тогда естественно поставить задачу на собственные значения Н 〜exp (——Et):

EMm = rot [vHm] + D\Hm.(1.34)

Можно ожидать, что среди собственных значений Ет этого уравнения окажется такое, у которого Re Ет < 0, что означает существование экспоненциально растущего решения. Если имеется решение с Re£m = 0, Im Е^ 抄。,то, значит, существует решение, соответствующее колебательному режиму, тоже динамо-решениеу поскольку поле поддеря>ивается неограниченно долго. Наконецг если все Ет таковы, что Re £т〉0, то динамо отсутствует. Уже сама постановка задачи на собственные значения (1.34) означает, что члены в правой части (1.34) играют одинаковую роль. Дело в том, что если, например, первый член много больше второго, то уравнение фактически меняет свой порядок. Задача на собственные значения для (1.34) с О = 0 не имеет смысла. В обратном предельном случае (второй член много больше первого) динамо просто отсутствует: имеет место диффузия поля (см. подразд. 1) и все Ет = Re Ет〉0.

Итак,

I rot [vHm] I I PAHm I,

I (HmV) v 一 (W) H^ I П PAHm |.(1.35)

Для того чтобы согласовать оценки (1.35) с требованием (1.27), необходимо считать, что масштаб поля L и масштаб поля скорости I отличаются. Для скорости в космических условиях характерна очень большая величина

Rm = vl/D > 1.(1.36)

Следует ли отсюда, что масштаб поля Н, равный £, одного порядка с 2? Оценки (1.35) показывают, что нет. Очевидно, что L W 厶 Но тогда, казалось бы, | (HmV) v | У I (vV) Hm | и с иле-

ном (H^V) v можно не считаться. Это, однако, приведет к отсутствию динамо-решения. Действительно, член (vV) Н описывает лшпь перенос поля и тем самым сохранение его энергии, но усиление поля им не описывается (см. антидинамо-теоремы в подразд. 6, которые могут быть построены в тех случаях, когда остается лишь этот член). Итак, вид динамо-решения должен быть таким, чтобы величина | (vV) Н^ | была много меньше vHm/L. Этого можно достичь, если силовые линии поля Н^ будут вытянуты вдоль v (см. Ц4, рис. 10]). Итак,

1 (HmV)v I 弋 I (vV) H^ |.

Теперь остаются две возможности:

\(Д^)у -(^)^\^\^)^\,

I (ЩГ) V — (vV) Hm I a I (HmV) v |,

В первом случае имеем:

L = I (Emi\Ет\х。/厶2 — v/l.(1.37)

Во втором:

L = I (Em)-%。-% > Z (ЕЖ(1.38)

I Ет I ^ P/L2 ^ va/l《и/2.

Следует иметь в виду, что единственным безразмерным числом задачи (1.7) и (1.34) является Rm. Поэтому а = 1/(/?：)", 6〉0. Итак, в первом случае инкремент максимален, частота v/l наибольшая в задаче. Во втором случае нарастание более медленное: I Ет 丨 ~ v/l {Rm^- Если 6 = 1, то инкремент достигнет своего минимального значения: | Ет | ^ D/Р ——наиболее низкая частота в задаче. Первый случай назван в [15] быстрым динамо, второй—— медленным.

Отметим, грубо упрощая, что на уравнение (1.34) можно смотреть как на задачу собственных значений уравнения Шредингера. Ие будем обращать внимания на мнимую часть Ет. Тогда при отсутствии движения, V = 0, имеем Ет〉0, что соответствует положительной энергии для частицы и инфинитному движению. Случай V = 0 соответствует равенству нулю потенциала U в задаче Шредингера. Если v 片 0, то возможны динамо-решения, т. е. Re Ет V 0. Такие решения появляются при наличии ямы в потенциале, т. е. происходит захват частицы и финитное движение. Яма, конечно, должна быть достаточно глубокой, чтобы содержать хотя бы один уровень (см. [16, 17]). Что же эта аналогия нам дает? Непосредственно ею воспользоваться невозможно. Дело в том, что оператор правой части (1.34) не является самосопряженным. Поэтому невозможно использовать, например, вариационный принцип, выявляющий наличие уровня в яме. Тем не менее в некоторых задача^ динамо такая аналогия оказывается содержатель- п°й- В этом можно убедиться в гл. III, подразд. 6.

Итак, мы приходим к важнейшему для теории динамо выводу: магнитое число Рейнольдса, которое определяется масштабом скорости по (1.36), весьма велико для космической плазмы. Утверждение о том, что Rm^>l, относится лигиъ к начальному этапу эволюции поля. Конечно, начальное поле (или, как его называют, затравочное поле) по масштабу не меньше 2, поэтому и выписано первое неравенство (1.27). В процессе эволюции поля будет происходить уменьшение его масштаба до тех пор, пока Rm не станет порядка единицы. Вмороженность поля в плазму практически прекращается: это видно из оценок (1.35). Собственно говоря, так и должно быть: экспоненциально растущее решение, очевидно, подразумевает рост числа силовых линий поля через единичную площадку. Это было бы невозможным, если бы вмороженность имела место. Отметим, что временное усиление поля согласно подразд. 2 не приводит к уменьшению масштаба. Примером служит дифференциальное вращение, взаимодействующее с осесимметричным полем. Процесс же динамо обязательно связан с уменьшением масштаба поля.

Вообще уменьшение масштаба поля типично для космических магнитных полей. Это создает, по-видимому, главную трудность теории. С одной стороны, наглядные представления о вморожен- ности поля рушатся как раз тогда, когда генерация началась (т. е. масштаб поля дошел до минимального, после чего генерация включилась). С другой стороны, нельзя вернуться к техническому динамо, где вмороженности вообще нет. Иначе говоря, случай Rm 身 1 нагляден, но не дает динамо, случай RmW 1 характерен для техники и не интересен для космической плазмы. Для последней характерно Rm 登 1 в начальный момент и Rm ^ 1 при работе динамо.

Проследим эволюцию поля и процесс уменьшения масштаба на простейшем примере. Уменьшение масштаба будет иметь место при взаимодействии неосесимметричного поля с дифференциальным вращением. Проиллюстрируем это на еще более простом примере: движение изображено на рис. 1.1, но оставим теперь зависимость полей от у (что эквивалентно рассмотрению поля, зависящего от <р, в шаре). Тогда уравнение для ^Гх-компоненты и его решение при пренебрежении диффузией имеют вид:

dHx/dt = — vydyHx1 Нх = Я® (%, У —力％ ⑺)， (1.39) где Нх ——начальное поле. Если бы ру не зависела от 力,то решение (1.39) описывало бы смещение поля в целом по оси у. При учете зависимости % от 力 получим уменьшение масштаба. Действительно, характерная величина Нх согласно (1.39) не меняется, в то время как производная по / растет и оценивается как

备瓦=备":+备成备%仁今学*，

Итак, масштаб падает линейно со временем. Падение масштаба продолжается до тех пор, пока он не достигнет значения Л^, опре-

деляемого из (1.37) или (1.38). Здесь мы L обозначаем Lk, чтобы подчеркнуть, что масштаб поля отличается от начального. Конечный масштаб по (1.37) будет достигнут, очевидно, за время

£о ——начальный масштаб поля; в этой оценке полагаем LQ ж Z. Для быстрого динамо (& = 0, а = 1) значение t весьма велико по сравнению со «временем поворота ячейки» 〃и, т. е.力=(/?工)力〃少・ Для медленного динамо t меньше. Для предельно медленного динамо (b = 1, 〃 = (Т?^)-1) t = 〃и. Следовательно, быстрое динамо не такое уж «быстрое»: оно требует большого времени установления. И наоборот, медленное динамо быстро устанавливается. Отметим, что время установления и время усиления (обратный инкремент) сравниваются, если

6 = 3，力= j (成)九 I % I = 4-(成尸/з. (1.40)

Утверждение о большом времени установления динамо-процесса кажется на первый взгляд противоречащим проблеме собственных значений (1.34). Действительно, если имеется 总°, такое, что ——Re£0 ^ p/Z, то такая быстро растущая экспонента с показателем vll должна «задавить» все остальные собственные решения за время 〃и. В действительности же это не так.

Описание эволюции поля дается общим решением уравнения (1.7) через собственные функции

h(X")= 2点)⑺屮审《),

屮^⑶=t^ (-Emt). (1.41)

Для р = 0 имеем*собственные решения. Величина р = 0, 1, 2,... ..., N, N ——кратность вырожденного решения. Присоединенное решение 屮,"=tp exp (—Emt) появляется из-за отмеченной выше несамосопряженности оператора правой части (1.34). Коэффициенты 〃^), р * 0, экспоненциально велики, т. е. пропорциональны ехр (В^)ъ так, чтобы компенсировать экспоненту ехр(—EQt) до момента, когда динамо включится.

В заключение этого подраздела вернемся к аналогии собствен- ной задачи (1.34) с уравнением Шредингера. Очевидно, что опера- ТОР (1.34) обладает полоя^ительным спектром собственных значе- ний: Re 自т〉。・ Таких Ет бесконечное множество. Собственные Решения ——решения типа Нт 〜exp i (кх), /с2 ^> vHD. Для них Rm « 1 и rot [vHzn] не играет роли. Это затухающие решения (аналог инфинитного движения). Имеется ли уровень в яме, т. е. имеется ли £0, такое, что Re £0 V 0,— в этом состоит проблема Динамо.

6・ Простые модели динамо

Как отмечалось в подразд. 4, построение теории пошло первоначально по формальному пути: решение (1.7) при заданном v. При этом поле пытались задавать в достаточно простом (в математическом смысле) виде. Разумеется, v не зависит от времени. Первая попытка была совершена Каулингом [18], который рассмотрел случай стационарного динамо: dWdt = 0 (см. подразд. 4)， поле V имеет вид (в сферической системе) v = {и® 0, 0}. Каулинг показал, что такое динамо невозможно. Более сложный случай рассмотрел Эльзассер [19]. Он показал, что движение

у = rot erip(1.42)

&г — радиальный единичный вектор, -ф — произвольная функция) не способно генерировать поля, если D зависит только от I х |. Движение (1.42) включает в себя теорему Каулинга в частном случае (-ф не зависит от ср), при этом линии тока лежат на тороидах. Поэтому теорему Эльзассера стали называть «тороидальной» теоремой.

Модифицируем (1.42) следующим образом:

V = rot еф,(1.43)

е ——единичный вектор. Примем систему (декартовых) координату такую, чтобы е = {0, 0, 1}, тогда v будет лежать в плоскости ХУ. Невозможность динамо для движений (1.43), т. е. лежащих в плоскости, доказана Зельдовичем [20] (при этом D может зависеть только от z). Если теперь вектор е направить по ер в цилиндрической системе координат {р, ср, z}, то невозможность динамо можно доказать лишь для полей, не зависящих от 屮.

Проиллюстрируем способ вывода антидинамо-теорем иа примере плоского случая (1.43). Уравнение для Я2-составляющей поля имеет вид

a“t + «V)忆=0A 忆.(1.44)

Это аналог уравнения теплопроводности, и Н% f G при 力 f оо. В этом можно убедиться, если умножить (1.44) иа Нг и проинтегрировать по всему пространству. При этом следует иметь в виду граничные условия (1.10). Пусть Нг = 0. Тогда решение уравнения для вектор-потенциала A (rot А = Н)

dA./dt = [v rot А] + V-ф — D rot rot A(1.45)

(ip ——произвольная функция) можно искать в гиде (общий еид А при Hz = 0, дхНх + дуНу = 0)

А = V(p + {0, 0, Л；}.

Такое решение удовлетворяет (1.44) при

-% 4 + (vV) ^2=刀d^/dt =屮一Dd/z,

дающему, так же как и в случае (1.44), затухание Л* при 力 f оо. Поведение ?ке V(p не существенно для магнитного поля Н, следовательно, затухает в конце концов не только компонента поля 〃， но и Нх, Ну・

Обратим внимание на то, что р в (1.42) и в (1.43) Зависит от всех координат, так что движение не двумерное. В случае (1.42) оно тороидальное, т. е. поле скорости лежит на сферических поверхностях, в случае (1.43)——плоское (но зависимость от z сохраняется). Все антидинамо-теоремы основаны на том, что одна из компонент поля отделяется. Для случая (1.42) отделяется Нг, для (1.43)——а?. Строгое и последовательное изложение антидинамо-теорем было дано в работе [21], интересное обобщение на сжимаемую среду ——в [22]. В последней работе доказательство кардинальным образом отличается от изложенного выше, свойства динамо выводятся исключительно с помощью анализа полей, лежащих на поверхности тела.

До сих пор в этом подразделе были лишь негативные утверждения: антидипамо-теоремы. Мы с этого начали потому, что именно так начала развиваться теория динамо ——с отрицаний. Первоначально это произвело большое впечатление на астрофизиков и геофизиков: многим казалось, что теорема Каулинга закрывает возможность действия динамо вообще. Вскоре, однако, стало ясно, что антидинамо-теоремы могут быть доказаны лишь для специальных движений. Действительно, любое поле v, div v = О, можно записать в виде v = [VcpVip] (ср, -ф —произвольные функции), так что вектор v лежит на поверхности 屮=const (точнее, на пересечении двух поверхностей: ip = const, ср = const). Если поверхность ip = const (или ср = const) есть плоскость или сфера, то динамо невозможно. Уже в случае, когда ip = const есть цилиндрическая поверхность, антидинамо-теорема не доказывается. То же самое можно утверждать, если D зависит не только от z для движения (1.43) и не только от 厂 для движения (1.42).

Первая точная динамо-модель была построена Герценбергом: генерацию дают два твердотельно вращающихся проводящих тара, погруженных в проводящую среду [23]. Затем Лортц [24] показал, что поле генерируется винтовым движением (см. такой же случай в [25, 26]), а Тверской [27]——тороидальным вихрем. Интересно отметить, что винтовое движение ——двумерное, в примере [28] поле зависит лишь от 力,у, но есть и ^--составляющая. В конце концов моделей стало так много, что, по мнению Буссе 〔5], необходимо находить v согласованно из уравнения движения: кинематическое динамо не дает фактически ограничений на ско- Р℃ть. В частности, как сказано выше, невозможно доказать антиДинамо-теорему для осесимметричных v п Р. Осесимметричное магнитное поле не будет усиливаться, но неосесимметричное в принципе может. С другой стороны, если мы попытаемся опреде- :ить движение по известному (пусть осесимметричному) полю (обратная задача), то ясно, что это движение будет неосесиммет- Рпчным. Но этой информации о движении крайне мало.

Построение динамо-модели на простейшем примере движения —— дифференциально вращающемся цилиндре ——будет дано в следующем подразделе. Здесь мы только отметим, что, как это ни странно, гораздо более сложные движения ——турбулентного типа ——куда чаще привлекаются для объяснения космических магнитных полей, чем простое ламинарное.

В заключение остановимся на вопросе необходимых и достаточных критериев динамо. Нахождение их сыграло бы фундаментальную роль в теории. Но, увы, они совершенно неизвестные Построение приведенных выше моделей возбуждения не дало возможности сконструировать более общие достаточные критерии. Утверждение же, что «для динамо необходимо, чтобы v не удовлетворяло (1.42) и (1.43)», не конструктивно. Желательно выяснить хотя бы необходимые и достаточные условия быстрого динамо. Можно ли при этом пользоваться тем, что отделение одной из компонент (как в (1.44)) поля имеет место только при 0fo (см. [29])? Например, для цилиндрически симметричного движения отделяется ffp-компонента при 0 fo. Но пользоваться этим нельзя, разумеется. Дело в том, что, как сказано в подразд. 5, в процессе генерации дтасштаб поля мал и член с РАН сравним с остальными. Чем меньше О, тем меньше L (см. (1.37), (1.38)), и устремление D к нулю некорректно. Неудивительно поэтому г что анализ на основании 0fo привел авторов [30]. к нахождению неправильного критерия. Утверждается, что определяющей является величина av, rot а = v. В действительности же при

av =# 0 (1.46)*

о динамо-процессе ничего утверждать нельзя. Если (1.46) выполняется, то динамо может быть медленным или отсутствовать (пример (1.43) с гр, зависящей от z), а может быть и быстрым — для стохастической скорости (см. гл. III). Если же (1.46) не выполняется, т. е. av = 0, то опять же динамо может быть медленным или даже отсутствовать (скорость по (1.43) с/ф, не зависящей от z), а также быстрым (см. гл. III, подразд. И).

Дифференциально вращающийся цилиндр

Методы решения динамо-уравнения. Уравнение (1.7) для стационарного поля скорости оказывается сложным. К настоящему времени разработано несколько методов. Уравнение (1.7) есть линейное уравнение математической физики с неоднор одными коэффициентами (v зависит от координат). Перечислим возможные методы решения.

Поле V не зависит от координат (или описывается твердотельным вращением) и скачком (на некоторой поверхности) переходит в другое значение v = const (или с другой постоянной угловой скоростью). Тогда (1.7) есть уравнение с кусочно-непрерывными коэффициентами, и сшивка полей на скачке осуществляется, как обычно, интегрированием (1.7) по переходному слою.

Генерация осуществляется движениями, сосредоточенными в узкой области: несколько вращающихся цилиндров с угловыми скоростями со；,~- А；6 (г —厂力. Модель называют роторным динамо. Решение ищется в виде решения (1.7) с v = 0, но с источниками в точках г； (функция Грина).

Импульсная модель ——описание дадим далее.

Построение решений по теории возмущений. Малый параметр Rm- Разумеется, его недостаточно: еслп Е；У 1, то, казалось бы, динамо вообще невозможно. Оказывается, для крупномасштабного поля, такого, чтобы Rm ^> 1, генерация возможна [4]. Итак, здесь необходимо наличие двух малых параметров: Е；, У 1 и l/L <^ 1. В крупномасштабном поле Во (масштаб L} возникают флюктуации масштаба I из-за возмущения поля скоростью. Флюктуации вычисляются по теории возмущений (Ов (1.7) велико, так как Rm<^ 1). Далее вычисляется реакция флюктуаций поля на крупномасштабное Во.

С. И. Брагинский разработал теорию возмущений для Е优癸 》> 1 при слабом отклонении движения от осевой симметрии [31]. Малым параметром как раз и является отклонение от симметрии. Модель называют «почты симметричным динамо».

В этом подразделе мы проиллюстрируем генерацию поля на примере простейшего типа движения ——дифференциального вращения. Прикладное значение такого рассмотрения очевидно. Дело в том, что условие реализации динамо-модели в природе определяется тем, насколько простым является именно поле скоростиг поскольку магнитное поле само подстраивается под движение. В частности, для простого симметричного движения магнитное поле несимметрично (см. подразд. 6.)

Дифференциально вращающийся цилиндр описывается движением (в цилиндрической системе (р, ср, z))

V = {0, рф (р), 0},

которое является одновременно и «тороидальным» (1.42)(屮 не зависит от ср), и плоским (1.43)(屯не зависит от z и ср). Движение одномерно, скорость зависит лишь от р. Теоремы (1.42), (1.43) исключаются в данном случае тем, что D зависит от 力,у (напомним, что Для действия теоремы (1.42) необходимо, чтобы D зависело только от I х I, а для (1.43) — от z).

Описание импульсной модели. Если раскладывать решение (1・7) и поле V по собственным функциям задачи (1.8), то полупится бесконечная система алгебраических уравнений для коэффициентов — множителей при собственных функциях (метод Галер- кнна)・ Поскольку динамо можно надеяться получить при Rm ^ 1, то，по-видимому, достаточно оставить лишь несколько нижних гармоник ——собственных функций. Однако расчеты показывают, Что их все-таки должно быть много, ибо динамо по методу Галер- кина получалось даже тогда, когда оно запрещено антидинамо-

теоремой. Это, вероятно, связано с тем, что критическая величина Нт, при которой динамо уже имеет место, численно велика.

В квантовой механике можно ограничиться двухуровневым (или одноуровневым) приближением, т. е. в методе Галеркина оставлять две (одну) гармоники в случае, если имеется «энергетическая щель», т. е. эти -нижние уровни отделены от остальных. Специальным подбором граничных условий можно добиться того, что (1.8) будет содержать энергетическую щель. Но такие модели в настоящее время не разработаны.

Оказывается, что в теории динамо можно ограничиться одномодовым приближением, когда спектр собственных значений не имеет щели. Пусть декременты задачи (1.8) расположены в порядке возрастания:

Yi，?2, ?3,…，Yi《Y2&?3 • • •

При этом нельзя утверждать, что | 丫？ — Yi 丨 2 Yi，т- е・ уровни расположены близко, энергетической щели нет. Тем не менее в импульсной модели можно ограничиться одномодовым приближением. Это связано с тем, что, в отличие от квантовой механики, здесь возможно растущее решение.

Рассмотрим импульсную модель генерации поля, когда движение продолжается короткий промежуток времени 7\, во время которого оно весьма интенсивно (такое, что 7?^ ^>1). Затем движение выключается, и все гармоники магнитного поля затухают, кроме нижней. Далее опять включается интенсивное движение, II поле усиливается и т. д. (см., например, [27]).

Обоснование импульсной модели следующее. За период импульса 71, когда включено движение среды, поле усиливается линейно со временем (как Яф-компонента при дифференциальном вращении согласно (1.19)). За время Тг оно усилится от Яо —— начального значения ——до Нг = Т、Н屮II. На этом этапе диссипацией можно пренебречь, поскольку считается, что 兑,発 1. При этом важно следить за тем, чтобы масштаб поля не уменьшался (как опять-таки в модели (1.19)). В противном случае, как подчеркивалось в подразд. 5, масштаб поля дойдет до того, что Rm станет близко к единице, и поле начнет быстро затухать. Максимальное значение поля гораздо ниже, чем выписанное выше Н» В сущности генерация тогда станет невозможной.

Будем полагать, что начальное поле Но описывается нижней гармоникой (декремент 丫0 с амплитудой аг, В конце первого этапа амплитуда станет

а】е〃)г1】(1/1^п,

%о — размер проводящего тела в целом. Здесь множитель (〃/о)", п〉0, появился прп проецировании поля Нг на нижнюю гармонику. Показатель п зависит от размерности или от геометрии движения, Zo〉I. Одновременно генерируется несколько нитк- них гармоник, причем амплитуда их примерно одинакова.

На втором этапе, продолжающемся время Т^ в течение которого движение отсутствует, происходит диссипация поля. Потребуем, чтобы 72 удовлетворяло условию

тогда автоматически получится (у3 — у^ Т2^> 1, (?4 — ?2) ?2 2 丄 и т. д. Поэтому к концу второго этапа амплитуда второй гармоники будет в ехр (у2 — %) 72 Раз меньше первой, амплитуда третьей — в ехр (丫3 — %)勿2 Раз меньше и т. д.

Итак, к концу второго этапа поле возвращается к тому виду, который оно имело до начала первого этапа. Осталась только нижняя гармоника, остальные имеют амплитуды экспоненциальномалые по сравнению с амплитудой нижней гармоники. Следует, однако, учесть, что и первая гармоника тоже экспоненциально затухает в продолжение второго этапа. Обычно

?2 — 71 — Y1

(щель отсутствует), и потому т^Т? тоже велико по сравнению с единицей. Амплитуда нижней гармоники уменьшится в ехр 丫]7? раз. Потребуем тем не менее, чтобы в конце второго этапа амплитуда первой гармоники стала 〃iexp (Т* + Т?) Yi，т- е- возросла в ехр (7\ + ?2)Yi Раз по сравнению с тем, чем она была до начала первого этапа. Это приводит к условию

(u/Z)Ti(Z/Zo)%xp( — YZ )= ехр (Л + Т“ ％• (1.47}

Положим для конкретности 7\ = Т2, T^i = 10, тогда

(u/Z) ^ (%/10) (Z°/Z)%3。> %《/у (1.48)

Равенство в (1.48) —следствие (1.47). Неравенство (1.48) — зто приведенное выше условие Bm ^> 1 первого этапа. Действительно, в правой части (1.48) выписано

% (Z°/Z)2。(O/姆(Z°/Z)2 = Ok

— декремент омического затухания поля масштаба Z. Поле такого масштаба генерируется на первом этапе (при условии, что не происходит уменьшения масштаба!).

Итак, нижняя гармоника возросла за полный период 7\ + Tz в ехр % (у1】 十 Т?) раз, а остальные гармоники экспоненциально- мали. Следовательно, в конкретной модели необходимо следить, чтобы:

усиление поля не сопровождалось уменьшением масштаба;

усиленное поле давало ненулевой вклад в нижнюю гармо- нику, т. е. чтобы при проецировании усиленного поля на нижнюю гармонику не получался нуль.

Импульсная модель кажется несколько странной. В частности, согласно (1.48) скорость должна быть экспоненциально- большой. Между тем интуитивно, именно так были построены наглядные м°Хели. Так, в модели Дэвиса (см. [1] и [15]) начальное тороидаль-

ное поле перекручивается движениями среды. Тор превращается в два тора, меньших по размеру. Если теперь совместить оба тора так, чтобы их поля были параллельны друг другу, то общее поле удвоится. Здесь, однако, есть хитрость. Тор невозможно превратить перекручиванием силовых линий в два тора в случае полной вмороженности. Невозможно разорвать силовые линии поля! Поэтому следует включить в рассмотрение конечную диссипацию. Но при Rm^>i диссипация ни в коей мере не успеет превратить один тор в два: процесс диссипации очень медлен. Поэтому следует уменьшить масштаб поля до того, что Rm станет порядка единицы. Но при этом все описание эволюции поля рухнет: изложение существенно использовало условие вмороженности. Следовательно, строгое обоснование модели Дэвиса возможно лишь в импульсной модели. Здесь интуитивно (мысленно) вводился этап диссипации всего «лишнего» поля и оставалось только тороидальное —самое крупномасштабное.

Импульсная модель позволяет надеяться (при получении положительного результата) на то, что генерация будет иметь место для 7?工《1, но Rm = vlQ/D 导1 (т. е. 2。》2, в этом случае поле скорости слабо возмущает магнитное поле нижней гармоники). Движение при этом стационарное. Можно надеяться на то, что динамо будет иметь место в стационарном поле скорости при Rm ^ 1 или даже при Rm 発 1, если импульсная модель дала динамо-решение. Но, к сожалению, ничего большего, чем надежда, здесь нет. Импульсная модель ничего не доказывает для случая Rm〉1 при стационарном движении. Она лишь показывает принципиальную возможность динамо.

Часто для обоснования наглядных моделей привлекается турбулентная диффузия. Как уже отмечалось, 0T 登。以 время tQ ло (1.11) сокращается. Так, в известной модели солнечного цикла Паркера [6] тороидальное поле, которое генерируется, как в (1.18), (1.19), дифференциальным вращением, возмущается радиальной конвекцией. Образующиеся петли магнитного поля поворачиваются на 90° кориолисовой силой и образуют среднее поле, параллельное или антипараллельное нижней гармонике ——полю диполя. Здесь тоже необходима диссипация на двух этапах: во-первых, петли должны отщепиться от тороидального поля, во-вторых, они должны потом слиться в поле диполя. Для этого и используется турбулентная диффузия. Строгое обоснование этой картины для Rm 另 1 возможно для турбулентного движения (см. далее гл. II). -

Здесь мы тоже (механически) введем более сильную диссипацию. Модифицируем импульсную модель следующим образом. Первый этап оставим без изменения. Для второго считаем, что электропроводность существенно ниже той, что была на первом этапе. Тем самым мы включаем большую диффузию. Разумеется, эта модификация ускорит процесс генерации в импульсной модели. Действительно, спектр собственных значений (декрементов) те-

перь станет Лу^ йу2, ky3i к^1. Примем кугТ2 = 2. Тогда высшие гармоники в конце второго этапа будут в е? раз меньше основной. Кроме того, пусть Г2 = 〃и. Потребуем теперь, чтобы, в отличие от (1.47), поле в конце второго этапа было в е раз больше начального. Тогда вместо (1.47) имеем

(uTi/Z)"/%广 exp (一 饵#2)=仇

Отсюда

* = еЗ(%/у/и).(1.49)

Это и есть время усиления (время второго этапа существенно меньше). При l^l ~ 1 это время все же больше 〃и, т. е. динамо «не совсем» быстрое, но и не медленное: 7\ не пропорционально (凡丿，b>0. в (1.49) не входит электропроводность. С другой стороны, требование вмороженности на первом этапе

u〃>Yi 4〃)2

(ср. с (1.48)) приводит к тому, что это время значительно меньше диссипативного P/D.

Еще одна модификация импульсной модели ——требование стационарности динамо. Тогда вместо exp (7\ + ?2)Yi в правой части (1.47) следует поставить единицу и вместо «зо в (1.48) следует писать «1°. Здесь мы обратим внимание на следующее обстоятельство. В сущности для наличия экспоненциально растущего решения левую часть (1.47) можно приравнять любому числу, большему единицы. Конкретный вид (1.47) выбран из соображений удобства. Поэтому здесь фактически нет ограничений на амплитуду и. Другое дело ——стационарное динамо: справа (1.47) стоит именно единица и параметры модели должны быть специально подобраны. То же самое относится к знакопеременцому динамо без раскачки, т. е. Н 〜exp (——Et), ReE = 0. Здесь тоже следует в правой части (1.47) ставить единицу (поскольку в нем выписаны модули амплитуд) и требовать, чтобы 〃〔 имела знак, обратный тому, который получается при проецировании усиленного поля на начальное. Иначе говоря, усиливается поле, противоположное по знаку начальному. Здесь, как сказано, требуется подгонка параметров модели по (1.47) с заменой правой части на единицу, и вместо (1.48) имеем

Описание модели. Проводящая среда расположена в области °《力《〃，O《y《b. Поверхность у = 0 граничит с вакуумом, который продолжается в область у V 0・ По координате 力 он огра- ничен поверхностями 力=0 и % = а. Итак, вакуум расположен в области 0 気 х《〃,у V 0・ В остальной части пространства рас- цоложен сверхпроводник. Дифференциально вращающийся ци- ЛипДР находится, разумеется, в проводящей среде с осью, па- 2 С. и. Вайнштейн33

раллельной оси z (рис. 1.2). Напомним теперь, что аитидинамо- теорема для движений (1.42), (1.43) была доказана для случая, К0ГДа ° зависит от | х | и z. Здесь же D меняется на плоскости ХУ. Что, если попытаться доказать антидинамо-теорему? Уравнение для ffz-составляющей имеет вид (1.44). Однако на границе с вакуумом нормальная компонента тока должна обращаться в нуль:

dHJdx — dHx/dz = 0. (1.50}

На это выражение можно смотреть как на граничное условие для 工,связывающее эту компоненту с Нх. Таким образом, J7z-kom-

Рис. 1.2.

Импульсная модель дифференциально вращающегося цилиндра

I — проводник, 2 — вакуум (остальную область занимает сверхпроводник)

Условия однородны по оси Z, ок ружность — проекция цилиндрической поверхности на плоскость XY

понента не отделяется и антидинамо-теорема не может быть доказана.

Собственные функции. Выпишем граничные условия для уравнения (1.7). На всех границах непрерывными являются нормальная компонента магнитного поля и тангенциальная — электрического [33]:

{臥} = 0, {FJ = 0.

Рассмотрим прежде всего границу проводящая среда——сверхпроводник. Поле в сверхпроводнике отсутствует, поэтому

Пп = 0.

Воспользуемся теперь уравнением (1.1) с учетом (1.5). Нормальная к границе компонента скорости vn тоже должна обращаться в нуль, поэтому вектор [vH] на границе не обладает тангенциальной компонентой. Рассмотрим тангенциальную компоненту этих уравнений, поделив их предварительно на а. Током смещения по- прежнему пренебрегаем. Величина rot Н/а обращается в нуль в сверхпроводнике (от 8), поэтому из непрерывности Е» следует, что {rotf Н/а} = 0 и rot^ Н = 0 на границе проводника.

2 = 0,/=", 0^^ d ^^ b j0 < ^ < а, ^ = b,2 = 0,/=", 0^^ d ^^ b j0 < ^ < а, ^ = b,Выпишем эти условия конкретно для границ:

2 = 0,

/=", 0^^ d ^^ b j

0 < ^ < а, ^ = b,

2 = 0,

/=", 0^^ d ^^ b j

0 < ^ < а, ^ = b,

дНу/дх = dHz/dx = 0, Нх = 0;

дНх/ду = dHJdy V 0, Ну = 0.

На границе проводящая среда—вакуум (0《力《а, У = 0) доле непрерывно ({Н} = 0). Учитывая это обстоятельство, а также m что в вакууме rot Н = 0, получаем обращение в нуль нормальной составляющей тока в среде (условие (1.50)). Наконец, нз границе вакуум——сверхпроводник Нп = 0 (для магнитного поля условие непрерывности Е$ здесь оказывается бесполезным).

Указанным выше граничным условиям, а также условию соленоидальности div Н = 0 удовлетворяют два семейства гармоник, представляющих собой полную систему собственных функций. В среде

Нх = — % sin кхх cos & ® — b) exp ikzz,

Hv = -^- cos kxx sin ky (y — 6) exp ikzz,

Hz = ikz cos kxx cos ky (y — b) exp ikzz,

Hx =—泳Мп kxx cos 匕^® — b) exp ik2z, …o,

Hz = kx cos kxx cos A:； (y ——b) exp ikzz.

В вакууме

Hx = —kxcos kyb sin kxx exp (xy + 流】2),

Hy = 乂 cos kyb cos kxx exp (乂у + 浓必),

Hz = ikz cos kyb cos kxx exp (乂у + 泳zZ),

2) Z =2) Z =О, % = 0,区=О.О, % = 0,区=О.

2) Z =

2) Z =

О, % = 0,区=О.

О, % = 0,区=О.

Здесь 乂 = (Лх 4-及②‘厶〉О, кх есть решение уравнения sin кха = О, ку ——уравнения tg kyb =——ку!и и ку ——уравнения cos куЪ = О. Непосредственной проверкой убеждаемся в том, что выписанные два семейства гармоник представляют собой ортогональную систему во всем пространстве (включая вакуум).

Доказательство существования динамо-решения. Рассмотрим теперь возбуждение поля на первом этапе импульсной модели. Поместим дифференциально вращающийся цилиндр с осью симметрии, параллельной оси z, таким образом, чтобы эта ось проходила через точку с координатами / = %(), У = Уо, О V 力()V 〃, ° V Уо V Ь, причем радиус цилиндра I удовлетворяет условию '% а, Ь. Условие это вводится для упрощения выкладок, в общем ©но не обязательно. Интересно отметить в связи с этим, что, полагая I малым, мы тем самым используем элементы роторного динамо (см. начало данного подраздела). Действительно, как мы уви- "нм далее, устремляя I к нулю, для работы динамо необходимо одновременно полагать, что з (厂)f оо (со ——угловая скорость Дплиндра).

Введем цилиндрическую систему координат с центром в точке ° = £о, У = У。. Тогда уравнение (1.14) (напсмним, что на первом 'тапе импульсной модели мы пренебрегаем диссипацией) будет

иметь следующий вид:

дНг аядНг ая=0,=0,

дНг ая

дНг ая

=0,

=0,

(1.51)(1.51)°% ,°% 订 8g)

(1.51)

(1.51)

к +①歹二也k，

• а/ ан, с

k + 8一^ = °'r《".

Угловая скорость включается при ^ = 0, далее о)не зависит от 力 в промежутке О V 力 V 7\. Теперь, как отмечалось выше, необходимо выделить компоненту поля, которая усиливается в процессе движения, не уменьшаясь в масштабе. Покажем, что масштаб составляющей поля, зависящей от ср, уменьшается. В самом деле, представим поле в виде

Н=<Н>+ § Н(т)(г)ехр 'Щ=1

Здесь〈Н〉——осесимметричная, т. е. не зависящая от ср, составляющая. Тогда согласно (1.51) решение для Н^ имеет вид

Н^ (r,方)=н了(Г, 0) ехр (一加浓屮方)

и аналогичное решение для屋叫Модуль величин а" и 石竺 не зависит от времени, в то время как производная по 厂 растет пропорционально t дМдг (ср. с (1.39)). Иначе говоря, масштаб падает линейно со временем. Что касается величины 〃俨，то модуль ее растет пропорционально trH^^ ds/dr, но масштаб, конечно, падает так же, как у砂).йтак, модуль всего поля растет линейно со временем, а масштаб падает тоже линейно со временем. Проекция же такого поля на нижнюю гармонику не растет, а потому это поле не годится для импульсной модели.

Что касается осесимметричной части, то из (1.51) следует:

<яг ⑴〉=<НГ (0)>,〈忆⑴〉=<Яг (0)>,

»屮(力)〉=厂-^-1 <яг (0)> + 〈% (0)>.

Поле растет линейно со временем, не меняя своего масштаба при больших 力.Напомним, что аналогичным образом росло поле Ну (не зависящее от у) в модели (1.16), (1.17) и поле Н^ (не зависящее от ср) для дифференциального вращения (1.19).

Рассмотрим теперь, какой вклад дает растущее поле (1.51) в нижние гармоники. Прежде всего выпишем нижние гармоники каждого из двух типов:

质)=0,

Ну =疯 sin 碇(у — b) ехр ikzz,

Г? = ikz cos 喏)(у — b) exp ikzz, 磯)=—ikz sin -^- cos 71()鼠 匕)exp ikzz, 碍=0,

必2)_ 2L coscos 上 也訂 6)exp tk^、

где 喲——наименьший корень уравнения tg куЪ =——Л^/х. Поле в вакууме не выписано, поскольку поле усиливается только в проводящей среде, и усиленное поле будет проектироваться на нижнюю гармонику только в проводящей среде. Из (1.51) видно, что прежде всего важно найти величины <ЯГ (0)〉, <ЯФ (0)>, соответствующие выписанным гармоникам. Переход к цилиндрической системе и усреднение по ср для выделения осесимметричной части дает:

22 Я

<^Г> =馮~ ex；； z J sin 屮 sin I玲0 (厂 sin 屮 + 次—厶)]d(p,

“2 ex ik z 27t

〈必；)〉=忘%兀 z” \ cos cp.sin [砂)(厂 sin 屮 + % — 6)] d(p = 0,

и \(1.52)

〈碎)〉=—牝f cos 屮 si и * X

о

X COS旦空唠Л drp,

2Л

〈矶?〉=也弋丝 \ sinrpsin9"土也 X

о

Xcos^U堂也二"dqx

Напомним, что в течение первого этапа импульсной модели поле очень сильно возрастает: в примере (1.48) — в (L/l)n exp 30 раз (принимаем % = £). Поэтому в конце этого этапа поле согласно (1.51) будет иметь фактически всего одну компоненту <ЯФ> = =〈Нт (0)〉г7\@з/@г. Учитывая, что у нижней гармоники первого тнпа осесимметричная составляющая Н① компоненты обращается в нуль (см. (1.52)), заключаем, что усиленное поле не дает вклада в эту гармонику (и, как легко можно показать, не дает вклада вообще в любую гармонику с 及％ = 0). Амплитуда & нижней гармоники в конце первого этапа определяется проекцией усиленного поля на эту гармонику:

3 = 2叫(卜票曲2)〉〈初2)〉必)/(§ 頁(2)H(2&dy) • (1.53) 0

Звездочкой отмечено комплексное сопряжение. Интегрирование проводится по рассматриваемому объему 0《/《〃,У《Ь. Знаменатель в (1.53) соответствует условию нормировки. Для гармоники первого тппа выражение (1.53) обратилось бы в нуль, поскольку 〈Е^)> = 0. По этой же причине проекция усиленного поля, которое в начальный момент совпадало с〈Н(2)>, не дает вклада в амплитуду гармоники первого типа. Следовательно, можно считать, что в начальный момент H(D = 0; эта гармоника и не возникнет в процессе усиления поля.

Полагаем, что в начальный момент поле описывается лишь одной гармоникой Н(2). Генерация поля будет иметь место, если числитель выражения (1.53) не обращается в нуль. Вычисление этого выражения проведем с помощью разложения по малому Z (по сравнению с 〃, Ь). Достаточно ограничиться первым членолг разложения по г в интегралах (1.52):

(砂〉=—电2^賢cos醬cos当旦,

（项2）〉= 一/г竺穿）％in也Sin（项2）〉= 一/г竺穿）％in也Sinn仇一6）n仇一6）卜字〈舐)〉(砂)〉公= 07 2 O)o冗〃4 . n&冗％ . Л (& — yQ)=抬 f 厶 sin ―- cos —-sm —、о】 cos z 40ab a a2b卜字〈舐)〉(砂)〉公= 07 2 O)o冗〃4 . n&冗％ . Л (& — yQ)=抬 f 厶 sin ―- cos —-sm —、о】 cos z 40ab a a2bn仅-％））n仅-％））(1.54)(1.54)

（项2）〉= 一/г竺穿）％in也Sin

（项2）〉= 一/г竺穿）％in也Sin

n仇一6）

n仇一6）

卜字〈舐)〉(砂)〉公= 0

7 2 O)o冗〃4 . n&冗％ . Л (& — yQ)

=抬 f 厶 sin ―- cos —-sm —、о】 cos z 40ab a a2b

卜字〈舐)〉(砂)〉公= 0

7 2 O)o冗〃4 . n&冗％ . Л (& — yQ)

=抬 f 厶 sin ―- cos —-sm —、о】 cos z 40ab a a2b

n仅-％））

n仅-％））

(1.54)

(1.54)

Здесь мы для простоты ограничились следующей моделью дифференциального вращения: со (厂)=(оо (1 — r/Z),厂《2.

По поводу последнего выражения в (1.54) заметим следующее. Точку %о, у。нельзя располагать слишком близко к границе рассматриваемой области: в этом случае используемое разложение станет некорректным. Перейдем к выводам. Прежде всего, если 入 = a/2, то последнее выражение (1.54), а значит и числитель в (1.53), обратится в нуль, и динамо невозможно. Если х^〉〃/2, скажем xQ = 3/4«, у。= Уг^ и ①。〉0, числитель в (1.53) положителен. Это означает, что описанная выше схема работает правильно: поле генерируется экспоненциально. Если же ось цилиндра поместить в другую точку с /()V 〃/2, скажем в точку %。= 〃/4, Уо = Ь/2 и 3°〉0, то генерируется поле со знаком, противоположным начальному. При этом мы будем иметь знакопеременное динамо (наподобие солнечного цикла). Отметим, что в нашей модели, как это следует из выражений (1.53), (1.54),几=4.

Выводы. Прежде всего, модель дифференциально вращающегося цилиндра (простейшего движения типа (1.42), (1.43)) все-таки дает генерацию поля. Это обстоятельство фактически снимает ограничения, на к л адыв аемые на антидинамо-теорему, которые так впечатляли тридцать лет назад. Интересно вернуться все-таки к одной из таких теорем. В каком случае Я2-компонента будет по- прежиему отделяться? Согласно (1.50) при d/dt = 0, т. е. kz = 0,

Hz вновь не зависит от других компонент. И действительно, полагая в (1.54) kz = 0, мы приходим к нулевой проекции на начальное поле, т. е. к отсутствию динамо.

Насколько существен сам вид и геометрия проводящей области? Если изменить форму области, изображенной па рис. 1.2, н граничные условия, будет ли возбуждаться поле? Ответ па этот вопрос в общем виде дать трудно. По-видимому, ьсе дело в том, чтобы избежать ограничений, накладываемых динамо-теоремами. Впрочем, иногда этого недостаточно.

Пусть, в частности, дифференциально вращающийся цилиндр находится в другом проводящем цилиндра (вне большого пилинд- ра ——вакуум). Если оси цилиндров совпадают, то импульсная модель не даст генерации поля. Действительно, как мы видели (см., в частности, (1.54)), для импульсной модели важно усиление осесимметричной составляющей поля. Такое поле будет в данном случае симметрично в целом, т. е. будет обладать осевой симметрией и по отношению к граничным условиям. Генерация такого поля исключается (см. подразд. 6). Если же ось дифференциально вращающегося цилиндра сдвинута относительно оси большого цилиндра, то генерация в принципе возможна. И действительно, по расчетам А. Гайлитиса, начальное поле Но = а】ехр %(р после действия импульса и диссипации поворачивается на угол л/2, т. е. становится равным а】 exp (Х(р 十 Zn/2). После двойного импульса оно повернется на угол л, т. е. просто изменит знак. Итак, двойной импульс дает знакопеременное динамо, вообще говоря, с раскачкой. Специальным подбором условий, как сказано выше, можно добиться знакопеременного динамо без раскачки. Если же во время второго импульса изменить знак о), т. е. вращать цилиндр в обратную сторону по отношению к первому импульсу, то после двойного импульса поле опять будет пропорционально а3ехр %$, и, следовательно, имеет место простая генерация.

Все же при совпадении осей цилиндров импульсная модель не Дает динамо. А между тем антидинамо-теорему до сих пор никто не смог доказать! Если теперь поместить дифференциально вращающийся цилиндр в проводящий шар, то опять же можно ожидать появления динамо-решения или, как иногда говорят, динамо-неустойчивости. Для исключения тороидальной теоремы (1.42) 0Сь цилиндра не должна проходить через центр шара. При этом в зависимости от положения оси динамо-решение будет получатьСя либо экспоненциально растущим, либо знакопеременным. Генерация такого типа может иметь приложения для объяснения (знакопеременного) солнечного цикла.

Рассмотренный пример генерации дифференциально вращающимся цилиндром еще раз показывает, что генерацию может вызвать практически произвольное движение. В частности, для геоДинамо рассматривается полная система нелинейных уравнений МГД (см. [2]). Вопрос состоит в нахождении сил, вызывающих течение, т. е. в выяснении самой природы конвекции. Не ясно, имеется ли существенное дифференциальное вращение, гепери-

рующее тороидальное поле Нф (см. (1.20)). Интересно отметить, что, согласно Буссе [5], конвекция в земном ядре может принять вид валов, параллельных вектору угловой скорости. Каждый из них напоминает дифференциально вращающийся цилиндр, генерация поля поэтому согласно изложенному вполне возможна.

Краткое заключение

Подытожим сказанное в данной главе. Основная энергия космических электромагнитных полей сосредоточена в квазистацио- нарных полях (током смещения можно пренебречь). Характерная частота v/l много меньше либо частоты столкновений, либо ионной циклотронной. Напряженность магнитного поля много больше электрического. Последнее можно вообще исключить из уравнений и,все величины выразить через магнитное поле (уравнения МГД). Космические поля обладают огромной индуктивностью, поэтому поле вморожено в вещество.

Временное усиление поля можно достичь с помощью простых движений среды. Длительное поддержание или усиление поля при заданном поле скорости есть задача кинематического динамо. Генерация поля сопровождается уменьшением его масштаба, когда вмороженность перестает иметь место.

Генерацию поля можно осуществить довольно простым полем скорости. Линейная теория, т. е. кинематическое динамо, не дает возможности определить установившееся поле, она только объясняет само существование (и, возможно, переменность) магнитного поля.

Глава вторая

ТУРБУЛЕНТНОЕ ДИНАМОКРУПНОМАСШТАБНОГО ПОЛЯ.КИНЕМАТИ ВЕСКАЯ ПОСТАНОВКА

Турбулентность космической плазмы

В этой главе мы рассмотрим динамику поля, масштаб которого L велик, а именно

L>Z.(2.1)

В предыдущей главе уже отмечалось, что модели турбулентного динамо, когда движение носит весьма сложный характер, гораздо более распространены в приложениях, чем модели ламинарного динамо — с простым профилем скорости. Это кажется странным. В действительности здесь есть несколько причин. Сформулируем их в виде некоторых утверждений.

Распространенность турбулентности в природе.

Уравнения генерации крупномасштабного поля оказываются более простыми для турбулентной среды (!) по сравнению даже с уравнением для простейшего движения.

Крупномасштабное поле не меняет своего масштаба в процессе генерации, поэтому эволюцию его сравнительно легко наглядно представить.

Для турбулентной среды проще ставить и решать нелинейную задачу на установившееся поле.

В этой главе будет проанализирована динамика крупномасштабного поля, и мы убедимся в том, что второе и третье утверждения справедливы. К четвертому мы вернемся лишь в гл. IV. Здесь мы скажем только о том, что «лежит на поверхности». Ясно, что магнитное поле, сильно отличаясь по масштабу от движений, «чувствует» это движение по каким-то грубым, усредненным характеристикам. Каким бы сложным ни было движение, оно повлияет на крупномасштабное поле только через величины типа средней энергии, среднего масштаба и т. д. Ясно, что они войдут только в виде некоторых коэффициентов в уравнения для крупномасштабных составляющих полей. Третье утверждение вполне очевидно, но мы привели его только для того, чтобы показать, что в теории крупномасштабных полей мы избегаем трудностей ламинарного динамо (см. гл. I, подразд. 5). Можно также ожидать, "то и нелинейность как-то выразится в изменении полученных в линейной теории коэффициентов или появлении новых. Надо,

однако, признать, что зачастую резкое разделение масштабов (2.1) выполняется далеко не всегда в приложениях, если даже за L принимать размер самого небесного тела. Конечно, конвективные ячейки на Солнце много меньше радиуса Солнца, но размеры глубинных конвективных ячеек уже сравнимы с толщиной конвективной зоны. Именно ее толщину необходимо принять за L. Размеры межзвездных облаков сравнимы с толщиной галактического диска. Тем не менее представление о крупномасштабных полях полезно и зачастую применимо.

Что касается первого утверждения, то турбулентность связана с неустойчивостью движений с большими числами Рейнольдса. Возможно, есть и другие причины. Во всяком случае, распространенность турбулентности в природе не вызывает сомнений. Наблюдаемые движения на поверхности Солнца носят крайне нерегулярный характер. Магнитные неоднородности и движения в солнечном ветре тоже носят характер турбулентности, наложенной на сравнительно регулярное течение межпланетной плазмы (течение со скоростью ветра). Межзвездная среда находится в турбулентном движении межзвездных облаков. Конвекция в звездах носит турбулентный характер. Существование стохастического характера движений в земном ядре хотя и не доказано, тем не менее при описании движений используется концепция случайных волн.

Далее мы (практически всегда) будем иметь в виду низкочастотную турбулентность (характерная частота ниже всех плазменных частот, в частности ионной циклотронной, и ниже частоты столкновений). Приведенные примеры характеризуются такими частотами.

Сведения из теории турбулентности

Здесь мы изложим тот минимум, который необходим для понимания турбулентного динамо. Кроме того, часть материала, непосредственно относящаяся к нелинейной теории динамо, будет изложена в гл. IV, подразд. 3.

Гидродинамическая турбулентность. Турбулентность ——существенно нелинейное явление. В то же время имеются и линейные задачи в теории турбулентности, когда необходимо выяснить динамику поля Н при заданном поле v по уравнению (1.7) и когда определяются статистические характеристики скалярной примеси. Последняя подчиняется уравнению

dd/dt + 齿 и» = ^0А9. (2.2)

Ни поле 0, ни магнитное поле Н в этом приближении не действует на движение. Поэтому турбулентность носит чисто гидродинамический характер.

Будем говорить о турбулентности, когда поле v есть случайный процесс. Движение может содержать и регулярную составляющую

V = V + u, <v> = V, <и> = 0, (2.3)

u — случайная составляющая скорости. Угловые скобки означают усреднение (по пространству, времени либо по ансамблю). Регулярная составляющая, как правило, крупномасштабная, т. е. масштаб ее много больше Z・

Наиболее удобный для нас пример ——турбулентная конвекция. Если жидкость подогревать снизу, то наступает конвективная неустойчивость, жидкость приходит в движение, стремясь перемешаться. Так происходит, в частности, в солнечной конвективной зоне. Интенсивность возбужденного движения велика, Е 発 1 (см. (1.27)). Это приводит к новым неустойчивостям, в результате которых движение распадается на более мелкие пульсации. Если размер конвективных ячеек Z, то размеры пульсаций меньше Z. На турбулентную конвекцию может накладываться крупномасштабное движение, например вращение или дифференциальное вращение (Солнца).

В приведением примере налицо разделение масштабов. Дифференциальное вращение определяется толщиной конвективной зоны, а I ——размерами ячеек. Следует заметить, однако, что такое разделение масштабов и выделение крупномасштабной составляющей по (2.3) возможно не всегда. Так, например, турбулентность в канале за решеткой, турбулентность затопленной струи не характеризуется разделением масштабов.

Каким образом можно охарактеризовать случайную составляющую и в (2.3)? Утверждение того, что поле и есть случайный процесс, все же ограничивает реализацию и. Это не хаос. Случайный процесс характеризуется тем, что при усреднении выделяются моменты разных порядков, например второй момент (корреляционный тензор)

〈山(х) 〃j (х')> = Вtj (х, х'), (2.4) третий момент

5 (х) % (х‘)uf (х〃)〉= В^ (х, х', х〃) и т. д.

Большой прогресс в теории турбулентности произошел после работы Колмогорова в 1941 г. [34] (теперь за рубежом ее называют теорией К41). Как сказано выше, движение масштаба I (этот мас- пггаб называют внешним масштабом турбулентности) распадается на более мелкие вихри. Следовательно, устанавливается стационарный (в статистическом смысле) поток энергий пульсаций £ в область малых масштабов. Причем для стационарности необходимо, чтобы поток сохранялся, т. е. не зависел от размера пульсаций. В инерционной подобласти

(2冗〃)，瓦=2n/Zi (2.5) (2兀/论 характеризует масштаб пульсаций, к ——волновой вектор, А — минимальный масштаб, при котором начинается действие вязкости) спектр мощности пульсаций носит универсальный характер. Прежде всего пульсации однородны (区订(2.4) зависит

』ить от г = х — х) и изотропны (5订 конструируется лишь из Двух тензоров 6订 и 厂/力・ Взаимодействие носит локальный харак- тер： пульсация скорости vk (пульсация масштаба 2п/〃) взаимодействует в основном с соседними и% т. е. с пульсациями с волновыми векторами к》2n/Z. Время жизни т (及)пульсации vk из сообра- гкений размерности есть

t (加)==* [Uкк.

Следовательно, сохранение потока можно записать в виде

2 == 以"/t(及)--11 const

(£ не зависит от Л). Итак,

у? = £t (簡=£ (Vjffc)"1,(2.6)

以=炉/зm j/з,加=炉/3/l/3.

На языке спектральных функций это означает следующее. Корреляционный тензор выражается через спектральную функцию (для несжимаемой жидкости div v = 0) так:

场；(т) = %冗\ ехр(—力也)仃仃(k) E (〃) Л~2 dk,(2.7)

。订=% (3〃 一 ktkjk'2).

Здесь нормировка такова, что

\ Е (Л) dk =〈№〉・‘ о

Теперь уточним величину и±:

洗=『石(Н) d*, — d^/dk = E®

тогда из (2.6) следует

Е ⑷〜К%,(2.8)

Это так называемый спектр Колмогорова. Выпишем еще выражение для 及1, обрезающего спектр (2.8). Величина к± определяется из того, что т (GJ (время нелинейного взаимодействия) станет равным времени вязкой диссипации (х^)"1. Или же, что то же самое, 左1 находится, если приравнять число Рейнольдса единице (и% (淘г = 1), из

.自=(Е/"%» =尸Е%(2.9)

При 乃〉曲 спектр Е (4) быстро убывает.

Сохранение потока £ связано в сущности с сохранением энергии при нелинейном взаимодействии: из (1.24) с % = 0, Н = 0 следует, что р <у2>/2 = const. Поэтому для скалярной примеси

при Dq 0 должно также иметь место сохранение потока. Действительно, уравнение (2.2) дает сохранение величины

ои

(средний квадрат отклонения плотности примеси от средней плотности). Время жизни пульсации Qk, как это видно из (2.2), как и для 以，есть (以Л：)т. Поэтому для Eq (田 тоже получается колмогоровский спектр

Eq (*)〜(2.10)

Новейший развития в теории турбулентности

Двумерная турбулентность. Теоретически двумерная тур6у~ лентность исследовалась давно (см. [35]), но до сравнительно недавнего времени казалась экзотической. В последнее время выяснилось, что черты двумерной турбулентности обнаруживают в характере движений в океане и атмосфере. Дрейф плазмы поперек магнитного поля тоже двумерное явление. Турбулентность в проводящей жидкости становится двумерной, если наложить на нее сильное магнитное поле. В связи с этим двумерная турбулентность стала интенсивно изучаться. Здесь, как и в предыдущем лодразделе, мы изложим лишь те сведения, которые необходимы для дальнейшего изложения, отсылая интересующегося этим вопросом читателя к обзорам [36, 37].

Под двумерной турбулентностью понимают не только зависимость V от двух координат, но и плоский характер двия^ения, т. е. V определяется из (1.43), е = {0, 0, 1}, -ф не зависит от z. Уравнение для рх-, р^-составляющих (р2 = 0) можно вывести из уравнения (1.24) при Н = 0, из которого следует, что сохраняется iie только средняя энергия р <р2>/2, но и так называемая энстрофия 〈(rot v)2>. Поэтому каскадный перенос энергии к большим волновым числам (см. подразд. 2) здесь невожможен. В то же время перенос энстрофии не исключен. Тогда вместо (2.6), (2.8) следует писать

% =依d証(及尸 =const, T (")=館田尸， (2.11)

Е (回〜及一3.

Спектр (2.11) имеет место при 奴① А(,落=〈卢〉/(〈rot v)2〉. При 2n〃v及y2n/Zs справедлив обычный закон пяти третей (2.8). Поток энергии направлен от малых масштабов к большим.

Критерии вырождения трехмерной турбулентности в двумерную в сильном магнитном поле как для слабопроводящей (7?^《 戸 1), так и для сильнопроводящей (Е；登 1) среды выписаны в [1]. ^АесЕ мы дадим лишь краткое резюме (для высокопроводящей

среды). Критерии могут быть получены так же, как критерии меры сжимаемости жидкости. Если источник возмущений (частота з характерный масштаб I) удовлетворяет условию

з У s/l

(s — скорость звука), т. е. он далек от резонанса со звуком, то энергия звуковых возмущений мала по сравнению с непотенцпаль- ными (малый параметр — число Маха v/s). Если мощность источника £ (см. подразд. 2), то энергия непотенциальной составляющей есть

% р谓=р (е/)2/з.

Аналогично при

з W 以/Z, ua = В (4np)-V2 (2.12)

(В ——напряженность внешнего поля) турбулентность должна вырождаться в двумерную. Условие (2.12) может не выполняться, например, в солнечной короне, где источником являются волновые возмущения, идущие снизу из фотосферы. Для солнечных пятен молено принять со ж uf* если полагать, что движения возбуждаются под фотосферой (см. [1]). Тогда (2.12) выполняется. Вообще конвективная неустойчивость в не строго вертикальном (в частности, чисто горизонтальном) магнитном поле обычно подавлена. Но двумерные валы, оси которых параллельны В, «не чувствуют» поле, и такая турбулентность не будет подавлена.

Следует, однако, подчеркнуть, что критерий (2.12) недостаточен: система доля^на обладать такими степенями свободы, которые не возмущают магнитное поле. В случае однородного В такие степени свободы возбуждаются в виде двумерной турбулентности. В более сложном поле таких степеней свободы может не быть.

Турбулентность с малым числом возбужденных гармоник (странные аттракторы). Долгое время полагали, что турбулентное состояние характеризуется большим числом возбужденных степеней свободы. В подразд. 2 мы видели, что в результате каскадного процесса возбуждены все фурье-амплитуды с волновыми векторами, лежащими в инерционном интервале (2.5). Поэтому считалось, что если в системе постепенно увеличивать число Е, то сначала возбуждается одна мода, затем следующая н т. д. Этот процесс будет продолжаться до тех пор, пока не возбудятся все моды, и это уже будет турбулентность. Недавние расчеты [38] показали, что уже три взаимодействующие гармоники способны дать стохастическое поведение системы. Иначе говоря, даже небольшое число степеней свободы приводит к тому, что процесс становится случайным, если не в пространстве, то во времени. Подробности можно узнать из обзоров [39, 40].

Для нас важно, что этот процесс подходит под наше определение турбулентности. Далее в гл. III, подразд. И, мы рассмотрим такой процесс как возможный генератор магнитного поля.

Перемежаемое!ь. В последнее время выяснилось, что предполагаемая статистическая однородность на масштабах, мень- miix Z (см. подразд. 2), не очень хорошо подтверждается в эксперименте. Впрочем, впервые необходимость учета неоднородности бнла указана Л. Д. Ландау (см. [41, 42]). Выяснилось, что вместо «гладкой» картины, когда на крупные вихри равномерно накладываются более мелкие, эти последние занимают лишь часть пространства крупного вихря. Это приводит к тому, что профиль скорости более или менее однороден на определенном участке, а затем с крутым градиентом переходит на новое значение. Иначе говоря, производная по пространству имеет резкие максимумы на некоторых поверхностях, вместо того чтобы средний квадрат производных скорости был равномерно распределен в пространстве {и был везде велик, ибо, как это следует из (2.8), <(rot v)2>g > Q2〉А”).

Сильно упрощая, можно сказать, что поле скорости есть кусочно-непрерывная функция, меняющаяся скачками на определенных поверхностях. Ситуация напоминает образование разрывов в газовой динамике. Решение уравнения Бюргерса в однородной сжимаемой среде показывает, что акустическая волна превращается в ударную. Появляются поверхности разрыва (образование лилообразного профиля скорости). Ансамбль акустических волн приведет к появлению поверхностей, расположенных случайным образом, и а которых скорость меняется скачком. Аналогично и для вихревых движений. Вихрь не просто распадается на более мелкие вихри, а, эволюционируя, образует разрывы.

В теории сильной плазменной турбулентности имеется следующий подход. Сильно нелинейные решения типа солитонов известны для многих видов взаимодействий. В нулевом приближении ансамбль солитонов описывается невзаимодействующими солитонами. В следующем приближении выписывается кинетическое уравнение для слабовзаимодействующих солитонов. Этот подход дает возможность решать задачу о сильной турбулентности, ибо солитоны есть решения точных нелинейных уравнений без малого параметра.

Явление перемежаемости несколько напоминает эту картину. Роль солитонов играют решения для вихревых движений с разрывами. Спектральную функцию такого поля скорости определить нетрудно. Действительно, производную по скорости можно представить в виде суммы 6-функций, особенности 6-функций расположены на поверхностях. Следовательно, спектр поля rot v есть «белый шум» (兄①=const):

Е (к) = const/Л2 (2.13) (Е® = 1?е 也)).Реальная картина, однако, сложнее. Спектр оказывается промежуточным между (2.8) и (2.13). Можно сказать, .т。«вихревые солитоны» сильно взаимодействуют между собой.

Мы видим, что спектр (2.13) круче спадает к большим волновым Числам, чем (2.8). Это можно объяснить таким образом. Спектр

мощности определяется средними квадратами фурье-амплитуд поля скорости

比彳(к) = \ 比夕(х) exp (Zkx) dx.(2.14)

Пусть 〃》(x) меняется на масштабе 2冗/论,причем это изменение имеет место на большом протяжении (порядка длины Z), т. е. 〃i (х) пульсирует с характерной длиной 2п/к и пульсации занимают весь объем 々.Тогда величина〈〃 (к) и* (к)〉будет ненулевой, п она определит Е (论)по (2.8). Если теперь пульсации на длине 2冗/论 имеют прежнюю амплитуду, но занимают лишь часть пространства, то, естественно, вклад их в интеграл (2.14) уже меньше, и величина〈〃 (к) и* (к)〉станет меньше. Кроме того, чем меньше по масштабу пульсации, тем меньшую долю объема Z3 они занимают. Следовательно, и спектр пульсации получится круче.

Можно показать, пользуясь такими простыми соображениями, что спектр мощности должен иметь вид

Е ⑻ 〜/с-5/з M3-D/3(2.15)

(О ——так называемая размерность). Если бы вихри занимали все трехмерное пространство, то Р = 3, и получился бы колмогоровский спектр. Если сосредоточить вихри на поверхностях, то О = 2, и спектр (2.13) восстанавливается. Экспериментальные данные как будто дают значение О = 2,5 (так называемое 2,5-мерное пространство). Время взаимодействия по-прежнему имеет вид т (论)=(vkk)~l1 поэтому вместо (2.6) будем иметь

vk =箇％ Аг% (*/)(з-в)/з.

Заметим, что истинно двумерная турбулентность (спектр (2.11)) здесь не восстанавливается. Для двумерных движений соответствующее «укручение фронта» запрещено законами сохранения.

Гиротропность. Гиротропность (отсутствие отражательной инвариантности у функции распределения вероятности) тоже считалась экзотической вещью, хотя в [35] общий вид корреляционного тензора с гиротропной частью уже выписан. После работ Штеенбека, Краузе, Рэдлера [43] стало ясно, что гиротропность возникает во вращающейся среде при наличии градиента (или градиента среднеквадратичной скорости). Тогда необходимый физический псевдоскаляр можно составить так:

Qvp 3〉(2.16)

(Q — угловая скорость есть псевдовектор). Далее мы будем пользоваться следующими сокращениями. Отражательно непнвари- антную турбулентность будем называть ОН ИТ. Если же псевдоскаляр (2.16) отсутствует в задаче, т. е. мы имеем дело с «обычной» турбулентностью, будем называть ее ОИТ (отражательно инвариантная турбулентность). При наличии магнитного поля можно было бы ожидать появления других псевдоскаляров (а потому и гиротропности), поскольку и Н есть псевдовектор. Однако маг-

нитная гидроднимика «не чувствует» псевдовекторного характера магнитного поля: последнее входит в (1.24) и (1.31) квадратично.. Гиротропность плазмы проявляется лишь на частотах выше ионной циклотронной, где МГД уже неприменима.

Гиротропность поля скорости проявляется в том, что величина (тоже псевдоскаляр) <v rot v> не равна нулю и, естественно,, пропорциональна физическому псевдоскаляру (2.16). Для того чтобы убедиться в этом, следует (1.24) в точке х умножить ска- лярно на rot V (х‘), затем умножить v (х) скалярно на ротор- уравнения (1.24) в- точке х'. Полученные два уравнения сложить и усреднить. При этом следует: 1) учесть кориолисову силу во* вращающейся системе координат; 2) учесть неоднородность, р (или (р2>); 3) возникшие третьи моменты заменить на т-релак- сирующий член (приближение Орсага [44], о котором см. подробнее в гл. IV); 4) рассмотреть установившийся режим при 力 2 т. Тогда получим

<vfc rot v» 〜т <р2> (1/р) QVp(2.17)，

(мы положили (I?2) = const и воспользовались квазиизотропньш спектральным тензором в неоднородной по плотности среде. Тензор выписан в [43]). Физически т-релаксация означает нелинейный распад корреляции 〈v^ rot v^〉 (данного масштаба 2冗/论)за время т и генерацию этой величины кориолисовой силой.

Определим теперь спектр гиротропности Ё (к) (как в подразд. 2): % < Vk rot v» = f 片(川)dkf, к

—% 备〈％ ГО1 V» =凤〃)•

Для каждого волнового вектора к следует писать р^ и т в правой части (2.17). Тогда из (2.17) имеем:

^v^ rot Vk> 〜t (fc) % 〜乃-2/з,

Ё 依)〜"7/3.(2.18)

Итак, основной вклад в гиротропность <v rot v〉дает внешний масштаб турбулентности I, Поэтому для оценки〈v rot v〉следует подставить в (2.17) значения всех величин при к — 2n/Z:

<v rot v〉t〈№〉(1/р) J2Vp.

Корреляционный тензор поля скорости имеет вид

В订=А (厂)3订 + В (г) г^ + С (г) sijfrf.(2.19)

Здесь £订『 ——псевдотензор, поэтому С ——псевдоскаляр, пропор^ Циональный (2.17). Тензор В讨 принят в изотропном виде, т. е. 4，В, С зависят только от 厂 =| х —— х' |, все тензоры в (2.19) не содержат выделенного направления. Отсутствие зависимости от 况 соответствует однородности процесса. Для того чтобы не вой- Ти в противоречие с (2.17), необходимо полагать, что р-1\7р =

=const (экспоненциальная по высоте стратификация; например, распределение плотности при постоянной температуре). Все же остались два избранных направления, параллельных ур и Q, не учтенные в (2.19). Поэтому в общем случае тензор 吕订 усложняется.

Величина <v rot v〉является инвариантом уравнения (1.24) при Н = 0, так что в немагнитном случае имеется два инварианта: энергия и гиротропность. Ситуация напоминает двумерный случай, когда сохраняется энергия и энстрофия. Сохранение ги- ротроипости не накладывает, однако, столь сильных ограничений на перенос энергии в инерционном интервале: спектр мощности остается колмогоровсюш. Если бы имелся источник гиротроп- ности вне инерционной области при 论<2冗/厶 то сохранение гирот- ропности привело бы к следующему закону:

3 =〈％ rot %〉т 侬尸=const,

〈％ rot %.〉〜т (Л)〜к~2^, Ё (к)〜 尸/з.

Но такая ситуация (крупнодтасштабный источник) не известна в астрофизике. Поэтому в действительности в астрофизических условиях будет иметь место спектр (2.18).

Наглядно гиротропность можно представить себе в виде винтовых траекторий частиц. Причем правый винт преобладает над левым (т. е. движение чаще происходит по правовинтовой траектории, чем по левовинтовой), или наоборот. При отсутствии ги- ротропности движение частицы можно представить себе следующим образом. Траектория илтеет сравнительно «гладкий» вид на протяжении корреляционного времени т, когда частица «помнит» о своем прошлом. Затем (упрощенно говоря) траектория сбивается, н скорость принимает новое значение, «не помнящее? о своем старом значении. При наличии гиротропности картина та же, но только движение на «гладком» участке носит винтовой характер. Точнее, не успевает частица слегка отклониться в винт, как она уже начинает «забывать» о своем направлении движения. Мера закручивания частицы определяется согласно (2.17) двумя лараметрами: Z | у р | р"1 и IQv^ (второй есть обратное число Россби), которые в данной теории считаются малыми.

Другая интерпретация была дана в [43]: конвективные ячейки поднимаются в область понижения плотности. На расширяющееся вещество действует кориолисова сила, которая поворачивает ячейку в целом. Опускающаяся ячейка сжимается и закручивается поэтому в обратном направлении. При этом движение происходит либо только по правому, либо только по левому винту.

Моффат [3] связывает инвариант <v rot v〉с зацеплением вихрей (рис. 2.1). «Бублики» представляют собой вихревые линии. При движении число зацеплений сохраняется из-за вмороженно- сти вихря в движущуюся среду. Однако для реальной гиротроп- ной турбулентности эти зацепления и топологические свойства такого типа не характерны, поскольку время жизни всех обра- зованнй невелико. Более естественно представить себе линии тока

сложными, вообще говоря, незамкнутыми кривыми, которые на корреляционной длине представляют собой слабозакрученный винт. В случае максимальной гиротропности линии тока описы、 вают на этой длине один шаг винта. Замкнутые линии тока изображены на рис. 2.2. Здесь представлен случай, когда гиротроп^ ность максимально велика:

<v rot v〉и v2/Z.

При этом силовые линии замкнуты сами на себя при обходе то~ роида. Связка силовых линий на поверхности представляет собой лист Мебиуса: если двигаться вдоль силовой линии по поверхности, то можно прийти на ту сторону тороида, которая видна на

Рис. 2.1.

Топологическое зацепление вихрей

Рис. 2.2.

Реальная топология гиротропного вихря

Тороид образуется линиями тока, одна из которых изображена на поверхности

рисунке, и на обратную, вернувшись в конце концов к началу. В реальной ситуации гиротропность мала. Тогда силовые линии: слегка закручены, они не замыкаются сами на себя при обходе тороида: отношение числа оборотов линий тока вдоль одной из Двух окружностей, образующей тор, к числу оборотов вдоль другой есть, вообще говоря, иррациональное число.

Лаграня^ев подход

Так же как и в предыдущих подразделах, мы изложим лишь сведения, необходимые для понимания магнитной турбулентно- стп, отсылая читателя за подробностями к монографии [421.

Ограничимся случаем несжимаемой жидкости. За основу описания берется траектория «жидкой частицы», т. е. траектория,, которая определяется из решения уравнения

dx/dt — V (х, t). (2.20)'

Поле V ——скорость в данной точке в данный момент времени. Это «обычная» скорость, ее теперь удобно называть «эйлеровой». Допустим, что решение (2.20) нам известно:

х = х (力 а); (2.21)，

здесь а — начальное значение х (при 力=0). В принципе множество решений (2.21) при разных а однозначно определяет турбулентные пульсации (или вообще движение) и ничем «не хуже» задания турбулентности в виде известного поля скорости v (х,力). Для описания магнитного поля задание движения в виде (2.21) дает, как мы увидим, большие преимущества. Но большим недостатком описания (2.21) является отсутствие наглядности.

Траектория х (力 а) является координатой в лагранжевом описании. Для перехода от эйлеровых координат к лагранжевым удобно пользоваться матрицей М = d%Jd〃j, определитель которой (якобиан) есть

м а(勺，羯 л：з) 1.а% дх- дх^

m — 8(3,。3)- ~ %F

Обратная матрица М"1 = dajdxj может быть записана в виде

Следовательно, производную по 力j от / можно выразить через старые переменные 〃》следующим образом:

(2.24)(2.24)(2.25)(2.25)а/_ а/а% — iiа/@々％

(2.24)

(2.24)

(2.25)

(2.25)

dx一 da・дx . 一 М2£又声彳m" da@a@a .

23г т п

Вычислим, пользуясь (2.24), div v:

dv.a d^j11d?Aj d%2dxf

dx. —dx. dt —AZ2'〃声imnatda. даda —

33г m n

1(/ d2x- dxt dx, dx. Ht, 8x,

M 6 £”/SmTi (d/Ha. даda + da. dt да da +

1 dM

dt *

В скобке (2.25) выписаны три одинаковых выражения (с учетом симметрии символов 6jZy6fmn). Поэтому и появился множитель 1/3. Требование несжимаемости приведет к условию

* = 0, м = 〃(о)= 1, (2.26)

где М (0)——начальное значение М, равенство его единице видно из (2.22): при 力=0 dxjdaj = 3订.Выпишем также полезную формулу

6%]8а( да^

=%7 = ~ 5吗еп瓦■石^，

dg6% 8州

%历石7 = 修mn不石^

；(cp. с (2.23)). Отметим, что объемные интегралы преобразуются

до правилу

dx = Mda.

для несжимаемой жидкости dx = da.

При лагранжевом подходе оказывается удобным описывать движение жидких частиц с помощью скалярной примеси. При ЭТом следует в уравнении (2.2) пренебречь молекулярной диффузией, т. е. положить Dq = 0. Тогда плотность примеси будет только «следить» за движением жидкости, подчиняясь уравнению

dB/dt = дв/dt + 环 d我=0(2.28)

(div v = 0). В частности, одну жидкую частицу, находящуюся при 力= 0 в точке а, можно описать в впде решения (2.28) с начальным условием Н (力=0) =6(/ — 〃). В лагранжевых координатах решение уравнения (2.28) выглядит совсем просто:

0 (х, t) = 0О (а),(2.29)

9° ——начальное распределение плотности примеси (произвольная функция). Выпишем решение уравнения для магнитного поля (1.14) при div V = 0:

(2.30)(2.30)印(%, t) = Hj (а, 0)灰^ = Hj (а) ~^"

(2.30)

(2.30)

(при div v 关 0 Н в (2.30) заменяется на Нр"1). Здесь и далее под величинами Н (а) будем подразумевать их начальное значение (при 力=0). Проверим, во-первых, выполнение условия div Н = =0, если в начальный момент оно выполняется. Возьмем производную dldxi от (2.30):

дНг / d н 仿小丄 °% a/・(a) daf

г \ г J /J /2

Второй член обращается в нуль:

daf °% 火

a dHj (a)/@〃j = 0 (начальное поле соленоидальное). Первый член правой части преобразуется с использованием правила (2.24)

@ а%/] с@2力々 а勺 dxf _ дм

^х. да. ~£"/ -0加这 da .8а да да 一 dt — г jj p m n

{получается точно так же, как (2.25)). Итак, условию соленоидаль

ности решение (2.30) удовлетворяет.

Для того чтобы показать, что (2.30) есть решение (Г. 14), выпишем последнее в форме

dHi/dt = Hjdjvi.(2.31)

Полная производная берется вдоль траектории, т. е. а фиксиро-

вано. Можно записать

d д I

石一dt |a^const*

Слева стоит эйлерова полная производная d/dt = dldt + Vjd'^ Поэтому

备(奇死(a))=修⑻与器=Hj (a) -^~ = ди.ди. дх.ди.

= %(a)可 = 修(a)回方=国国，

что совпадает с правой частью (2.31). Здесь попутно выведена полезная формула

дм -- 八а дх.dxf

.” = зМ , СО = ,-Т：ч= -ГЧ•

d£， dt да. de, да.

Частная производная d/dt слева (2.32) берется при фиксированном а.

Решение (1.45) при 0=0 для вектор-потенциала магнитного поля А можно записать в виде

да-.

/纟(х,力)=~^—4)(а),(2.33)，

и такое же для градиента плотности скалярной примеси 6» = =@£：

仇(X，力)=器%包)■(2・3分

В справедливости выражения (2.34) убедиться очень просто: достаточно продифференцировать (2.29) по 0». Для того чтобы проверить (2.33), необходимо взять ротор от него

^гтп^т^п(X,力)=笈t(X,力)=

Второй член правой части при свертке по индексам п, т с символом 8^п дает нуль, а первый Преобразуем с помощью второго выражения (2.27). Тогда получим

daf да. дА - (а)дх. дА. (а)6%

£imn qx^ ^勺 да^ —*"Р 8ap да^ — да.

что совпадает с правой частью (2.30).

Заметим, что (2.33), (2.34) можно записать через матрицу М = dxjdaj, воспользовавшись (2.23). Но тогда формулы станут более громоздкими. Обратим внилтание на следующее обстоятельство. Поле 0f потенциальное, если, разумеется, в начальный момент поле Н» (а) потенциально. К сожалению, нельзя утверж-

дать, что At — чисто вихревое поле, т. е. div А = 0, если в начальный момент оно было вихревым. Решение (2.33) автоматически генерирует потенциальную составляющую. Это обстоятельство не дает возмо?кности строить аналогию между поведением вектор-потенциала магнитного поля и градиентом скалярной принеси. Так, в турбулентной среде <0^> растет со временем (см. ：[42])・ Величина〈/?〉согласно (2.33) тоже растет, но не за счет ли потенциальной составляющей? В гл. III, подразд. 13 мы увидим, что аналогия между At и V0 все же имеет под собой почву.

В заключение этого подраздела покажем в лагранжевых переменных вмороженность магнитного поля в вещество. Поток поля мерез поверхность

ф = , Н dS = ' A dx. sс

Вмороженность означает, что поток через жидкий контур сохраняется. Покажем это. Возьмем полную производную от Ф:

吟=，(*"x +a 崇)=，(粤+力%4 +从含)dg.

]\1ы учли, что

备 dx = со dx,

или в компонентах

%也=京丁力力

(ср. с (2.32)). При интегрировании по контуру в подынтегральное выражение можно добавлять градиент произвольной функции, поскольку，。绅&х = 0. Добавим в интеграл — ^AjUj, тогда

警(号[vH])dx = 0.

Обращение в нуль d^ldt следует из обращения в нуль подынтегрального выражения согласно (1.45) при D = 0. Если в начальный момент жидкий контур находится на поверхности проводящего тела (жидкого ядра Земли, например), то он там и останется 口ри любом движении внутри тела. Силовые линии поля, пересекающие часть поверхности внутри контура, не смогут уйти с поверхности тела. В работе Хайда [45] используется это свойство Идеально проводящей среды для предсказания поверхностных свойств магнитных полей планет.

Лагранжево описаниестатистических характеристик

Введем функцию распределения

Pi (х I а,力)

——плотность вероятности того, что жидкая частица находитсяг в точке х при условии, что при 力=0 она находилась в точке а. Очевидно, что

J Pl(X I а,力)血=1

(плотность вероятности того, что частица находится в точке х, есть единица).

Умножим (2.29) на р± (х | а,力)и проинтегрируем по а, тогда

0 (х, %)〉= J 8 (х I a, t)卩 1 (х I a, Z) da =(2.35}

=J Pi (x I a, 0 0 (a) da.

В левой части (2.35) появилось усреднение по ансамблю траекторий, приведших частицу из точки а в точку х. При усреднении считалось, что начальное 0О (а) для всего ансамбля одинаково. Проведем теперь вторичное усреднение по ансамблю полей 0 (а). Пусть этот ансамбль (при 力=0) статистически независим от лагранжевых (или эйлеровых) характеристик поля скорости при 力 > 0. Тогда вместо (2.35) имеем

6 (х,力)〉=J% (х I а, 0<6 ⑻〉曲.-(2.36)，

Это выражение при t V т (т ——время корреляции пульсаций} не представляет интереса. Дело в том, что при 力=0 предполагалась статистическая независимость полей 0 (а) и v. Это сильное предположение! Ведь поле v взаимодействует с 0, что следует непосредственно из (2.28). При t ^> т система уже забудет о своем начальном значении, поскольку т имеет смысл «времени памяти» системы. Статистические свойства выйдут при 力^> t на универсальный режим.

Итак, зная функцию распределения р± (х | а,力),можно определить значение <0 (х,力〉при известном <0 (а)〉. Возможно ли обратное: определить р± при известном <0 (х,力)〉как функционал от <0 (а)〉？ Оказывается, можно. Пусть

6 (х,力)〉=J G (х, а； ОО (а)> 曲.(2.37)

Тогда выражение для р± получится, если подставить вместо- <0 (а)〉6-функцию от а ——а' (а' фиксировано):

Pi (х ] а,力)=G (х, а,力).；(2.38)，

Учтем однородность турбулентности, и это приведет к тому, что 卩 1 (х I a, t) упрощается: она зависит только от х ——а и 力：

Pi — Pi (х ——a,力).

Тогда (2.36) запишется в фурье-представлении в простом виде:

<0 (к, 0> = Pi 我，力)« (к, 0)>,(2.39)

,i (к,力)——характеристическая функция. Примем теперь во внимание стационарность турбулентности. Это означает, что отсчет времени от 力= 0 можно сдвигать:

<0 (方+幻〉=e (方+幻« (0)> = 'i (幻<6⑴〉=

=Pi (幻 Pi (方)ё(0).

Здесь мы для простоты не выписали зависимость всех входящих сюда функций от к,厶2t• Итак, при 厶，力》t функция р± (k, t) должна удовлетворять условию

Pi (к,力J Pi (к, t) = pi (к, t + 力J.(2.40)

Единственная функция, удовлетворяющая (столь сильному) условию (2.40) при произвольных t1 厶,есть экспонента

卩1 的 t) = N 侬)exp К 侬)九(2.41)

Для дальнейшего важно, что уравнение для 夕】(|,力),自=х — а, имеет вид

dpjdt = J К (Е — у) pi (у) dy,(2.42)

причем ядро интегрального уравнения К не зависит от t (напомним, это справедливо при 力登 т!)・

Беря производную по t от (2.36), получим при учете (2.42)

= \《(х — у) «(y,t)> dy・(2.43)

Следует подчеркнуть, что (2.42) и (2.43) физически различны. Как сказано, (2.42), как и (2.41), несправедливо при 力 < t. Но в этих выражениях t отсчитывается от момента, когда точки х и а совпадали, т. е. момент 力=0 особый. Уравнение же (2.43) для скалярной примеси не содержит информации о начальном положении частиц. Оно, конечно, было выведено для асимптотического случая 力货t. Уравнение можно решить, задавая начальные данные <9 (х, %)〉при 力=力°, t0^>r. Решение при этом будет действительным при 力〉力о, t — % V t. Этого нельзя делать с (2.42) для 卩匸 при известном 夕】(力) уравнение (2.42) справедливо лишь при 力0,方一方0芸>

Решение (2.43) при заданном <0 (х,力)〉при t = tQ для 力〉％ имеет / в фурье-предетавл ении вид

•<6 (к,力)〉=<0 (к,幻〉exp К 3) « — 幻.(2.44)

При этом имеем в виду, что ядро К (х ——у) в (2.43) характеризует турбулентность и существенно меняется поэтому на внешнем масштабе I. В то же время усреднение 0 означает, что это крупномасштабная функция, т. е. меняется медленно на масштабе I. На язьгке фурье-представления это означает, что 及 W 2冗/% и К (乃)

меняется существенно при 力 у 2л//. Следовательно, К (及)можно раскладывать при малых к (более конкретно, к<^ 2n/Z):

К (〃)= -DTk2.(2.45)

В этом разложении мы ограничились квадратичным членом. Член нулевого порядка не возникает, поскольку при 及 f 0 величина <0 (0, %)〉(представляющая однородную составляющую скалярной примеси) не должна эволюционировать. Действительно, согласно основному уравнению (2.28) однородная величина 0, т. е. не зависящая от х, не зависит также и от времени. Член первого порядка по к не возникает в этом разложении: для изотропной турбулентности функция К (及)четна по Л.

Крупномасштабная примесь ведет себя согласно (2.44) с учетом

в х-представленип

@〈е〉/力=QtA«〉.( 2.46)

Это есть уравнение диффузии, уже давно известное в теории турбулентности [42]. Проблема состояла лишь в том, чтобы выразить коэффициент диффузии 0T через эйлеровы характеристики скорости (вопрос этот мы пока не затрагиваем). Положительная определенность коэффициента DT в (2.45) следует вот из каких соображений. При /-> оо (точнее,力》т) функция р± (|,力)должна стремиться к нулю: за большой промежуток времени частица уходит очень далеко от своего начального положения. Плотность вероятности поэтому «размазывается» по большему объему. Будучи нормированной на единицу, она при этом должна убывать по амплитуде. Ита$ р» (I,力)0 при 力 f оо, следовательно, р± (k, t) -> О при 力 f оо, и согласно (2.41) К (论)должно быть отрицательным^ как в (2.45) с 0丁〉0.

Для нас весьма существенным является независимость ядра К интегрального уравнения (2.43) от t (в универсальном режиме ^ ^> т). Для дальнейшего методически полезно показать это непосредственно из общего соотношения (2.37), которое является, собственно говоря, определением. Для стационарного в статистическом смысле процесса возможен сдвиг начала отсчета времени:

<9 (х, t + 厶)〉=^G (х, a, t + 厶)〈8 (a)> 血=

=j G (x, y, 0<9(У,幻〉dy =

=JG (x, y, t) G (y, a,幻〈6 (a)> dyda,(2.47)

j G (x, y, %) G (y, a,厶)dy = G (x, a,力十 〃)•

Соотношение (2.47) справедливо при любом t. Полагая t малымг разложим последнее выражение в (2.47) по малым t. Учитывая, что, по определению (2.37), G (х, а, 0) = 6 (х — а), имеем

$ К (х, у) G (у, а, %) dy =备 G (х, а"),及=警 |』•(2.48)

Продифференцируем (2.37) no % и подставим в полученное выраже-

йпе dG/dt по (2.48), тогда получим (2.43), где дополнительно учтена однородность турбулентности (зависимость К только от х ——у). Существенно, что К в (2.48) не зависит от времени.

Лагранжевы статистические характеристикидвух, жидких частиц

В предыдущем подразделе мы подробно рассматривали свойства одноточечной функции распределения pi (х | a, t). Это дает нам возможность без труда изложить обобщение на двухточечную функцию распределения р2 gx, 2х | 】а, 2а, t) = р2 (ах | Ba, t) {а, Р = 1, 2)——плотность вероятности того, что две частицы находятся в точках ах при условии, что в момент 力=0 они находились в 图).Точнее, при 力=0 夭=】а, 2х = 2а. Сопоставим свойства этой функции со свойствами скалярной примеси. Аналогично подразд. 5 (см. (2.36)) показываем, что при ^^>т

0 (ах) = <0 (】х, %) 0 (2х,力)〉=

=\ Р2 ”, 2х 11 a, 2aZ) <0 (]а) 0 (2а)> da(2.49)

(здесь считается, что〈8〉= 0). Так определяется корреляционная функция пульсаций 0 в момент t при известной начальной 0 —— через функцию р2. Если, обратно, нам известно решение 0 (ах), то, подобно (2.37), (2.38), функция р? совпадает с этим решением с заданным начальным значением 0 (аа) = 8 (】а — 】а') 6 (2а — —2а'). Уравнение для 0 (ах) имеет вид

^©Гх) = -^<0СхЗ)0(2х，О> =

=\ К (】х, 2х; 1у, 2у) <0 (Jy, t) 0 (2у,力〉#у d2y.(2.50)

Это уравнение выводится дифф ер енциров ани ем двумерного аналога (2.37) с использованием свойств стационарности турбулентности так, как в соотношениях (2.47), (2.48). Ядро К, так же как в (2.43), не зависит от времени. Уравнение (2.50) можно решать с начальными данными при t = t0^> х. Оно совпадает с уравнением для 。2 (ах I Ba, t) при 力导 t. При этом функцию 0 (ах,力°) можно задавать практически произвольной (лишь бы эта функция удовлетворяла требованиям, налагаемым на корреляционную функцию), в то время как р2 (°х | Ра,力°) не известна и не может быть произвольно задана. Для однородной турбулентности с однородной начальной 0 (т. е. зависящей лишь от разности пространственных аргументов) К зависит только от трех аргументов:丄工一'у, 2х — ~2у, 2у—iy. Делая замену переменных: 2у — 'у =—у\ 央—'у = 二一у", iy = —у〃 十 гх, 2у — у' — у〃 + К, получим вместо Q.50)'“

80 (r)/@% = ] R (г 一 г，，у) ©(J)dr\

^ = 2х — гх. т' = у〃 一 у'.

Все соотношения предыдущего подраздела мы обобщили на двухточечную функцию распределения. Разложение типа (2.45) и переход к диффузионному уравнению типа (2.46) здесь уже невозможны. Нельзя считать, что к У 2n/Z. Напротив, все функции, в том числе и @, быстро меняются на длине Z, т. е. не являются крупномасштабными. Поэтому, казалось ©ы, получить уравнение для 卩2 и © проще, чем (2.50), нет возможности. На самом деле на 夕2 накладываются столь жесткие условия, что вид уравнения можно упростить.

Прежде чем это делать, сформулируем задачу для усредненного магнитного поля, тесно связанную с двухточечной функцией распределения. Прежде всего ясно, что решение (2.30) можно переписать в виде

Н» (% t) = lim [(2g — ％)/(2g — ^Hj (xa), (2.51) где ix, 2x ——координаты жидких частиц, вышедших из точек ^а, 2а в момент 力= 0. Умножим (2.51) на р2 (ах | g,力)и проинтегрируем по ха и 2х:

以=〈％ (%,力)〉=\ ]；*[、％• — %)/(% — %)】х

X <Я； (]а)> 卩2 (仅,2х 11 а, 2а, t) d】a d2x. (2.52)

В отличие от (2.35) мы имеем сразу два усреднения: по траекториям частиц, пришедших в точку ^х, и по близким к ним новым: траекториям частиц, вышедших из точки 2а (близкой к %). Здесь также проведено усреднение по начальному распределению Н (а) (чтобы не писать два выражения типа (2.35) и (2.36), мы выписали окончательное). Выражение (2.52) справедливо при 力発 t.

Итак, статистические характеристики магнитного поля оказываются связанными с функцией р^ а через нее — со статистическими характеристиками скалярной примеси. Действительно, динамика р2 полностью определяется при t 8 т уравнением для скалярной примеси (2.50). Следовательно, имеется экспериментальная возможность выяснить средние характеристики для магнитного поля, т. е. для вычисления первого момента: определять динамику корреляционной функции скалярной примеси, а значит, экспериментально измерять второй момент для скалярной примеси.

Уравнение для крупномасштабногомагнитного поля

До сих пор мы излагали формальные вещи, необходимость которых не была ясна. И действительно, точнре решение (2.30) было известно уже довольно давно. Можно вводить также усреднение этого решения по каким-то формальным лагранжевым характеристикам. Но ввиду сложности лагранжевых переменных пользы от точного решения, как казалось, было мало. Действи-

тельно, лагранжевы координаты существенно не прямолинейные (ir даже не ортогональные). А в турбулентной среде оси координат —— запутанные кривые линии, к тому же меняющиеся со временем! Ситуация здесь напоминает проблему п тел: общее решение в виде пертубационного ряда можно всегда выписать, но пользы в нем мало, так как ряд слишком сложен.

Все стало иначе после появления работы Крейкнана [71, который показал, что усреднение лагранжевых характеристик может дать строго выведенное уравнение для среднего магнитного поля. Почему же необходимо развивать столь сложный аппарат для вывода этого уравнения? Если исходить непосредственно из (1.7), то его прямое усреднение дает связь между первым моментом 〈Н〉и вторым〈[vH]〉. Умножив (1.7) на и力 получим связь между вторым моментом и третьим Q»jH» и т. д. Иначе говоря, здесь возникает обычная для теории турбулентности проблема замыкания цепочки уравнений для моментов. Строгое решение возможно при наличии малого параметра и было получено в двух случаях: 1) Rm《1, 2) £ = (w/Z) W 1・ Решение ищется в виде Н = В 十 h, 〈Н〉— В. В первом случае h прорто мало по сравнению с В, и разложение по малому параметру Rm эквивалентно разложению- по степеням hB^1. Для нахождения корреляции〈[vH]〉= <[vh]> достаточно в этом случае воспользоваться линеаризованным (по параметру Rm или hB^1) уравнением (1.7) dh/dt = rot [vB]十 0Ah.

Решение h этого уравнения подставляется в〈[vh]〉и получав ется уравнение для В [43]. Во втором случае уравнение (1.7) переписывается в интегральном виде Н (х, t) = ^G rot [vH] d^dtr (G ——функция Грина уравнения (1.7) с v = 0) и раскладывается в ряд теории возмущений. Фактически эта процедура есть разложение по степеням 8. Интерес при этом представляет случай Rm ^> 8 1 (но &У 1). Пертубационный ряд, в котором Н выражается через начальное поле, усредняется почленно, и Я (^ -> 0) принимается нескоррелированным с полем скорости. При 力登 t система уже забудет эту нескоррелированность, и можно получить универсальное уравнение для В. Ряд можно просуммировать в точном виде при t f 0 [46]. Отаетим, что здесь уже hB~l не является малым параметром, что послужило предметом целого ряда дискуссий и «критики» высокопроводящего предела: Rm 登 1. В общем-то беспредметной дискуссии, ибо при 8《1 процесс v представляет с°бой белый шум, Н ——марковский процесс (уравнение (1.7)—— аналог уравнения Ланжевена). Но для марковского процесса проЦедура усреднения строго обоснована. По существу h не мало само по себе, но слабо возмущается за время т, причем поле v уже существенно изменилось и забыло свои начальные данные.

Все же для реальной турбулентности е не мало, как мы видели в подразд. 1: £ 弋 1. Как быть в этом случае? Была разработана процедура последовательных приближений по параметру е, котоРУю, по всей вероятности, можно «протянуть» до е = 1 (см. [47]).

Но именно «по всей вероятности». Строго ообосновать применимость процедуры при £ = 1 не удается. Это обстоятельство тоже породило скепсис у ряда авторов по отношению к высокопроводя- щему пределу Rm ^> 1 (который только и имеет место для космической плазмы!).

В упомянутой работе Крейкнана [7] фактически использовалось разложение решения по малому параметру IL ^1 (наподобие разложения (2.45)), который действительно мал при наличии крупномасштабного поля, изменяющегося на размере L. Мы изложим эти результаты, но в модифицированном виде. Модификация будет заключаться в том, что изложение будет вестись в виде, более общем, чем это необходимо для понимания динамики крупномасштабных полей. Благодаря этому мы сможем пользоваться в гл. III результатами этого подраздела.

Уточнение вида уравнения для функ ции распределения. Общий вид (2.50) для 夕2 при 力^> t содержит слишком много неизвестных функций. Воспользуемся прежде всего тем обстоятельством, что (2.28) (впрочем, как и (2.2)) — уравнение в частных производных. Производная по времени от 0 в точке х пропорциональна величине 6 в близких точках. Более точно, пропорциональна пространственной производной (первой или второй, как в (2.2)) в этой же точке х. Это же свойство локальности должно выполняться для усредненных характеристик 0, т. е. для корреляционной функции 0. Производная от 0 0х, 2х) по времени не может зависеть от значений 6 в далеких от 】х, 2х точках. Она должна зависеть от значений 0 в близких от ix, 2х точках, точнее, от пространственных производных в этих точках. Поскольку (2.50), как сказано выше, есть одновременно и уравнение для р2, то такое же утверждение о «близ- кодействии» относится к р2. Иначе говоря, ядро в правой части раскладывается по 6-функциям.

Разумеется уравнение для одноточечной функции распределения, которое получается интегрированием двухточечной:

Pi (х I а,力)=/ 夕2 (х, 2х I а, 2а,力)d2x,

тоже должно быть дифференциальным:

dp^dt = dibip1 + didjbijp1 + • • •(2.53)

Уравнение (2.53) выписано в дивергентной форме, т. е. так, чтобы сохранялся интеграл，pidx = 1 (в сущности, это аналог теоремы Лиувилля)： Для однородной изотропной турбулентности pt зависит лишь от | х — а |, в то время как коэффициенты Ь», b订 в (2.53) должны зависеть лишь от х. Дело в том, что в (2.43), совпадающем с уравнением для р】,нет никакой зависимости от а. Чтобы не войти в противоречие с условием однородности, необходимо считать, что Ь» = const, 6订=const. Но в рассматриваемом случае турбулентность не содержит избранного направления

и 仇=0, а Ъц = D^ij. Отсюда получаем

dpjdt = От А” + • • •(2.54》

(ср. с (2.46)).

Перейдем к уравнению для двухточечной функции распределения р2

勿2例=吼%出2 + a曲戸&"2 + • • •(2.55下

по повторяющимся индексам 厶 j = 1, 2, 3; a, p=l, 2 суммируется, а@» действует только на ax. Это уравнение тоже необходимо выпп^ сывать в дивергентной форме, иначе при интегрировании по 2х не получится (2.53). Коэффициенты Ъ здесь зависят только от 丄工， 2K (так же как в (2.53), коэффициенты зависят лишь от х). Более того,- поскольку (2.55) есть одновременно уравнение на 0, коэффициенты в однородной турбулентности должны зависеть лишь от г = 2х — гх. Функции в (2.55) могут быть расписаны как сумма по греческим индексам. Рассмотрим, в частности, член (а = 1, 0 = 1) 1diLdj11bijp2. Все другие обязательно содержат 2^f. Поэтому при интегрировании по 2х они исчезнут. Теперь выражение (2.54〉 получится только в том случае, если г1Ь^ не зависят от 厂,а есть константы 口6订 =0丁3订.В противном случае интегрирование по 2х даст справа интеграл \ ^bi^p^x 片 口6订 \ р2d也=^bijPi вместо- (2.54). Аналогично 22&^ = 0倉户

Теперь мы имеем дело с пространством, двумерным по греческим индексам и трехмерным по латинским. Единственный избран^ ный вектор в этом (все еще изотропном!) пространстве есть ах^ поэтому abi = /а%». Но при любом А величина «Ь» в таком виде- зависит не только от 2х ——^х, но и от ^х и 2х по отдельности. Следовательно, / = 0, и все коэффициенты «ь» равны нулю. Общий вид второго тензора в (2.55)

叫j = a弘⑺ S.. + сед ⑺？j + «PC ⑺ &订"(2.56}

nA (厂)=22/ ⑺=0т = const, I叨=22纟=0, U。= 22c = 0.

Воспользуемся эрмитовостыо оператора в правой части (2.55)， которую можно обосновать следующим образом. Уравнение для в (2.2) и уравнение для сопряженной функции

-—• 0 — djV^ = Dq^Q(2.57)

отличаются. Рассмотрим наряду с нашей турбулентностью другуюг которая определяется следующим образом:

vi (х) = — V (х),(2.58}

▼1 — поле скорости в новой турбулентности. Тогда в новом поле скорости уравнение для 0 совпадает с (2.2). Ясно, что все статистические характеристики при таком преобразовании не изменятся. Даже псевдоскаляр <v rot v〉останется неизменным. Следовательно, хотя уравнение (2.2) не является эрмитовым, уравнение для

〈8 (x) В】 (x')> (0! определено в новой турбулентности, но с теми же начальными данными, что и у функции 0) будет самосопряженным. Ввиду инвариантности турбулентности (в статистическом смысле) по отношению к преобразованию (2.58), уравнение для <0 (х) 0 (х')〉= =Э (а значит, и (2.55)) тоже будет эрмитовым. В частности, для марковской модели этот оператор эрмитов.

Требования эрмитовости выполняются, если потребовать, чтобы функции в (2.55) удовлетворяли условию

аа?考不订=切 2@ 严仇 j + ^^d^bu = 0.(2.59)

Из очевидной симметрии точек 5, 2х следует ^匕订=2%订.Воспользуемся, наконец, свойством скалярной примеси

<0 (叮)0 (2х)> |2Х=1Х = const,(2.60)

которое следует непосредственно из (2.28). Свойство (2.60) означает, что (2.55), выписанное для 0, должно справа обращаться в нуль при 以=2х. Заметим, что свойству (2.60) соответствует очевидное требование, накладываемое на р^ 夕2 卜х=】х = 0, если 2а，i&. Дело в том, что две жидкие частицы, вышедшие из разных точек, не могут (в несжимаемой среде) слиться в одну. Требование (2.60) приводит (с учетом (2.59)) к

吨订(0)汨曲歩2 =邙/订(0)冲/歩2 =邓做削爲*2 =(2.61)

=邱7支&切歩2 =0.

Свойство (2.60) (а значит, и (2.61)) проще всего принять во внимание, если выписать (2.55) для однородной и изотропной скалярной примеси 0 = 0 (г) (для последнего случая, в частности, применимо уравнение (2.55 )!). Тогда будем иметь равенство 2^f = ——1@订 Выпишем это уравнение:

d@/dt = 2/)тД0 - 27订(г)心％€,(2.62)

7订(厂)=126fj = 2巧订・ Производные % действуют либо на 2х, либо на be ——безразлично. Требование обращения в нуль правой части при г = 0 записывается в виде 7订(0) = D* Учитывая сказанное выше, выпишем уравнение для р2 в компактном виде:

dp2/dt = J, Т^^х — ₽х)ад^д}р2 + а, В

叼/订=历义订=0,(2.63)

пли

dp2/dt = Т (1弘 + 22Д)夕2 + Т订(1х — 2х) %2%Р2 +(2.64)

+ Л 一 1Х) 28扮歩2 + •… gj = 7订(0)■

Вывод уравнения для крупномасштабного магнитного поля. Из точного выражения (2.52) видно, что в сущности для определения Bi необходимо знать поведение р2 в очень близких точках (точка Lt близка к 2х). Следовательно, вектор г = 2х ——，х должен быть мал. Но что значит мал? Очевидно, по сравнению с любыми

масштабами в турбулентности, для которых еще существенно изменение скорости. Стало быть, можно раскладывать 7订 в (2.64) при малых г, поскольку именно этот тензор характеризует турбулентность.

Ограничимся самыми низшими членами по г:

7订⑴=gj + С (0) %仍(2.65)

(см. (2.56), естественно, 12С (0) = 21С (0) = С (0)). Разложение Г) эквивалентно разложению Крейкнана [7] по параметру Следовательно, вместо (2.64) можно записать

办2例=Т (ПА + 2%2%・ + 22Д) р2+С (0) £订*『"&歩2 —

—с (0)立川門汽歩2 + ...(2.66)

Теперь у нас есть все для вывода уравнения для В. С этой целью возьмем производную по t от (2.52) и подставим выражение dp2ldt согласно (2.66). Далее все выражения с входящим оператором 2@j интегрируем по 2х. При этом действие этого оператора переходит на 1/% стоящее перед р? в (2.52). Затем приводим это выражение к виду, в котором оператор 1@» действует на все выражение правой части (2.52).

В результате простых, но громоздких выкладок, где особое внимание необходимо уделить гиротропной части с С (0) £订"『 (здесь необходимо быть внимательным к знакам), получим

dB/dt = ОтАВ + a rot В + ・• .，(2.67)

а =——2С (0). Это ——известное уравнение, полученное разными авторами. Его называют уравнением генерации крупномасштабного поля.

Отметим, что формально у нас еще может оставаться опасение, что следующие члены разложения 7订,кроме выписанных в (2.65), могут дать какой-то вклад. Оказывается, они все сокращаются или обращаются в нуль. Для того чтобы убедиться в этом, следует пользоваться свойством

修[处:L%)Р—0,(2.68)

которое следует из того, что р2 ведет себя как р'6 (】х ——2х) при 飞―5, р' —функция без особенноетей. Заменяя 6-функцию на любую ее аппроксимацию с параметром 2а — ia, например

5 =[冗(2а — 1а)2]_3/2ехр [— (2х — гх)2 (2а — га)~2],

Убеждаемся в справедливости (2.68). При вычислении правой части (2.52) с 夕2, взятом из общего уравнения (2.64), возникнут дополНительные к описанным выше) члены типа 1di ^ ^кр^ Тц (хх, 2х)/ /(%m — %m), для вычисления которых необходимо пользоватьСя свойством близости точек ：х и 2х при 2а 'а, т. е. разложить /〃 по 2%『—1力尸 Тогда и следует учитывать свойство (2.68), кото-

3 С. И. Вайнштейн65

рое и приводит к сокращению или обращению в нуль всех «лишних» членов.

Итак, уравнение для В (2.67) получено. Осталось только понять, что подразумевается под многоточиями в этом уравнении, Для этого обратимся снова к (2.66). На это выражение можно смотреть как на разложение точного уравнения не только по диф- ференцпальньш операторам °@力 но и по малому расстоянию между точками. Поэтому следующие невыписанные члены разложения более высокого порядка по степени оператора adj тоже должны содержать либо константы, либо линейные (или в крайнем случае квадратичные) члены по г. Размерность констант при членах типа

такова, что в окончательное уравнение они должны войти только с таким же количеством операторов @», действующих теперь уже на В. Но поскольку поле В крупномасштабное, эти члены малы по сравнению с выписанными по параметру UL. Далее, члены типа

-д^д^д^А^пр, (2.69)

Q ij ——константы) могут войти в ответ лишь с таким же количеством производных. Действительно, при взятии производной по t от (2.52) действие операторов следует перенести на все выражение справа в (2.52). Иначе говоря, операторы 丄^月 и 2^； должны действовать на все выражение. Затем следует интегрировать по 2х, и члены правой части (2.52), на которые действует оператор 2^；, исчезают. Оставшиеся уже определяются через само выражение (2.52), после чего и получается уравнение для В. В результате переноса действия операторов ^f, 2dj на все выражение число их либо сохранится, либо уменьшится на единицу при взятии производной от С%» ——i%0(2〃j ——i〃j)-'・ Но члены такого типа не могут войти в ответ: размерность «&?&/丫@；即°/订厂*九 не есть размерность частоты, необходимой для уравнения (2.67). Остаются только те члены, которые сохраняют число операторов. Но тогда, не- смотрянато что Л ^ в (2.69) имеет размерность коэффициента диффузии п этот член, казалось бы, мог конкурировать с первым в правой, части (2.67) член (2.69) мал: в него входит г квадратично, и он исчезает при г 0.

Вывод следующий: уравнение (2.67) представляет собой разложение по малому параметру HL и обрывание его на второй производной законно. Напомним теперь, что марковский процесс тоже, конечно, приводит к уравнению (2.67) с коэффициентами, выраженными через эйлерово поле скорости. Но если попытаться раскладывать весь ряд теории возмущений по параметру е = =xllv, который для марковского процесса равен нулю, то, кроме выписанных членов, в (2.67) появятся члены такого же типа, например “АВ. При этом 〃 будет малым по сравнению с 2, только если параметр е мал. При 8^1 разложение (2.67) будет уже «плохим». Несмотря на это, многие авторы верили в то, что окончательное уравнение будет все равно типа (2.67)^ но только

свЯзь коэффициентов DT и С (0) с эйлеровыми характеристиками неизвестна (или известна только по порядку величины).

Лагранжево описание дало возможность строго получить уравнение для крупномасштабного поля В и коэффициенты точным образом связать с лагранжевыми характеристиками. Заметим, что с точки зрения кинематической задачи динамо совершенно безразлично, как задавать поле скорости: через эйлеровы корреляционные функции, через характеристический функционал (эйлерового поля) или с помощью лагранжевых характеристик. Запись уравнений в эйлеровой форме наглядна, проста, но при Rm ^> 1 и е ж 1 не допускает решения в конечном виде. Здесь встает проблема малого параметра, а его нет в реальной турбулентности. Выясняется, что если задавать лагранжевы характеристики, то динамика поля определяется в точном виде. Что касается определений этих характеристик в данной конкретной прикладной задаче, то, как сказано в подразд. 6, они определяются из динамики спектра скалярной примеси в турбулентном потоке, т. е. из динамики корреляционной функции пульсаций 0.

Обычно задачу о генерации магнитного поля сопоставляют •с задачей о скалярной примеси (или градиента скалярной примеси): и та, и другая ——задачи о пассивных величинах, не влияющих на турбулентность. В эйлеровой постановке ни одна из этих задач не решается в конечном виде, в лагранжевой ——решается для магнитного поля. Для скалярной примеси задача становится бессмысленной. Задание лагранжевых характеристик есть фактически задание поля скалярной примеси.

Точные немарковские модели

В предыдущем подразделе было получено строго выведенное уравнение для В. Можно ли не просто строго, но точно решить задачу, т. е. вообще не пользоваться малым параметром UL (хотя он и реален)? Иначе говоря, можно ли как-нибудь просто задать р2 в точном виде и получить уравнение для В?

Речь тем самым идет о модели, и, конечно, немарковской модели, ибо марковская модель не является адекватной реальной турбулентности. Одна такая модель фактически была изложена в подразд. 7, если считать, что р? задавалось как решение уравнения 《2.63), но в котором необходимо оставить лишь выписанные члены

др2/д1=》7万(°力一В%)а“В%〃2. (2.70) а, в

В гл. III, подразд. 2, будет показано, что модель (2.70) физически реализуема. Поэтому можно смотреть на (2.70) как на модель, при этом в уравнении (2.67) тоже можно оставить только выписанные члены, и оно будет точным.

Здесь мы изложим также другую модель, в которой р2 задается R аналитическом виде [48]. Заметим, что задание (2.70) не дает

возможности определить само р2? поскольку оно справедливо лишь при 方登 t, а начальные условия при некотором 力=力。另 т неизвестны.

Требования, налагаемые на функцию распределения.Вернемся опять к точному выражению (2.52). Его можно записать в виде

京(Г") = \ Gu (1х —】а") В$ (%) ^а.(2.71)

Здесь ми пользуемся однородностью турбулентности, поэтому тензор отклика G；, зависит лишь от 】х ——^а. Очевидно, что фурье- образ (2.71) записывается в виде

济(к,力=G〃：(k，力)当 仏 0).(2.72)

Возьмем производную от (2.72) по времени. Ясно, что тензор G“ должен удовлетворять уравнению dG^ldt = К〃 (加)G『)(及),Тде К не зависит от времени. Доказательство точно такое же, как при выводе (2.42): это следствие стационарности турбулентности. Тогда вместо (2.72) имеем дВ» (力)/0力=区订(及)Bj (». Общий вид тензора К для изотропной турбулентности есть К^ = А (к) 3〃 + + В (及)及/力十 iC (A) Sijfkf, Теперь учтем крупномасштабность поля В, т. е. то, что к мало по сравнению с 2n/Z. Можно воспользоваться разложением типа (2.45): К订=—D^^ij 十 + iC (0)加永卜 Член нулевого порядка по 乃 отсутствует по той же причине, что и в (2.45): согласно точному уравнению (1.7) реакция турбулентности на поле существенно неоднородна. Усреднение rot [vH] приводит к выражению rot〈[vH]〉, которое не может быть постоянным для ограниченного в пространстве поля (а именно такое поле имеет смысл рассматривать в теории динамо: чисто однородное поле создается внешними источниками). Член BkKj мы не выписали, поскольку при умножении его на 5； он даст нуль (力j8j (k) = 0). Если подставить это выражение для К в уравнение для В, то, возвращаясь назад к ^-представлению, получится, естественно, уравнение (2.67). Но теперь уже не так просто показать, что D^〉0, если сравнивать с (2.45).

Обозначим 2а —— ^а = 6а. Удобно перейти к распределению р2 (j, n I 6а) векторов | = гх — а и 11 = 2х — (а + 6а). Тогда, очевидно,

6订=lim\g —寂 + 6^) (6aj)-1 p2 (I, т||ба) exp (—店k) d| di].

z(2.73)

Выражение (2.73) содержит характеристическую функцию по параметру § (фурье-образ функции распределения координаты |). Поэтому удобно рассматривать характеристическую функцию двух координат:

Р2 (к, х I ба) = ^ р2 (I, Т)I ба) ехр (—— 比к — h]x) dg d".

Последнюю выберем в форме

夕2 = exp [~gt (к + х)2 十 bk用，(2.74)

g — константа, b — функция от | 6a I и t. Выражение (2.74) для характеристической функции и есть модель турбулентности. Напомним, что характеристическая функция есть фурье-образ функции распределения. Мы изложим требования, налагаемые на характеристическую функцию. 'Очевидно, что все они могут быть переформулированы для функции распределения.

Из изотропии турбулентности следует, что р2 есть функция только &, х, I 6а I, к6а, хба, кх и Z —— этому удовлетворяет (2.74).

При 6а -> 0 должно выполняться р2 (W, П | 6а)-> —〃2 (1) б (I —— 刀)(в этом случае точки %, 2х совпадают). Потребуем, чтобы при 6а -> 0 & вело себя как | 6а『,1, тогда это требование выполняется.

При интегрировании по г) р2 (|, n I ба) превращается в функцию 卩2 (三)，не зависящую от 6а (и аналогично для интегрирования по I). Интегрирование по т| (|) соответствует в (2.74) % = 0 (к = 0). Ввиду независимости g от 6а это требование удовлетворяется.

Интегрирование по |, т| функции распределения 卩2(自,nl ]6а) дает единицу (р2 (к, х | 6а) = 1 при i = х = 0).

При ^ -> оо и 6а -> оо жидкие частицы ведут себя независимо ,卩2 (自,П I За) -> Pi (I) Ri (п)・ Для этого потребуем, чтобы b f 2gt при 力一> оо и 6а -> оо. Именно по этой причине в (2.74) и введен коэффициент &.

При 力 f 0 должно выполняться 夕2 (自，П I За) -> 3 (自)3 ("). Для этого потребуем, чтобы 6fo при 力 f 0.

Замена Е f " должна быть эквивалентна замене ба -> —6а. С другой стороны, замене 三一> т) эквивалентна замена k f х в (2.74). Симметрия (2.74) к этой перестановке и четность р2 по отношению к 6а приводят к удовлетворению этого требования.

Функция распределения согласно (2.74) имеет вид

厶(自，"I зa) = (2л)-36"/2(4g力-ь)_3/2 *

X exp {—[gt (f + 哨—(2g$ — b)对尸(4g£ — 6尸}・(2.75)

Она положительна, определена и ограничена при b〉0, 4g力—— —b〉0, т. е. g〉0. Эти условия не противоречат перечисленным выше требованиям, налагаемым на g и &.

Тензор отклика для ОИТ. Переход к координатам 自,к)——| (вместо I и т|) эквивалентен переходу в (2.74) к переменным к + + х = К, х. В них р2 записывается в виде р2 = exp [—gtK2 + + b (К — х) х]. Теперь (2.73) можно записать так:

揖"=宀乃-仓备]泱(к，哈(2-76)

Из второго требования следует обращение в нуль второго члена

в фигурной скобке (2.76). В результате имеем

Gij (k, t) = 6订 exp (一g力奴)，

<В (к,力〉=<В (к, 0) ехр (一纟力奴)，(2.77)

д <В (%)〉/&力=ОтА <В 0х)〉，0T = g> 0.

Итак, в данной модели получается уравнение турбулентной диффузии магнитного поля с коэффициентом диффузии

2=4-备〈善・(2广8)

Полезно сопоставить поведение среднего магнитного поля по (2.77) с поведением усредненной скалярной примеси. Согласно выражениям (2.42), (2.43) последнее определяется одноточечной функцией распределения. Для ее определения достаточно положить в (2.74) 乂 = 0 (эта операция эквивалентна интегрированию функции распределения по второй точке 2х, чем достигается переход к одноточечной функции распределения). Тогда G — ехр (——g力〃2) или в х-представлении

Pi (力，力)=G (力，t) = (4ng力)-% exp (—%2/4g力).(2.79)

Сопоставляем (2.79) с разложением (2.45). Очевидно, что g = jDt, причем в нашей модели величина g обязательно должна быть положительной.

Отметим, что (2.79) справедливо не только при асимптотически больших 力,力》t, оно справедливо и при 力 V t・ Какой же смысл имеет (2.79)? Неужели существует статистическая немарковская модель, для которой можно получить уравнение диффузии скалярной примеси и его решение (2.79) 6 точном вид el Разумеется, нельзя обольщаться на этот счет. Дело в том, что задание попросту эквивалентно заданию статистических характеристик скалярной примеси (см. подразд. 5). Поэтому на (2.79) можно смотреть как на тождество и сказать: получилось то, что было задано с самого начала.

Можно ли утверждать, что и для магнитного поля решение было задано (в виде (2.73))? Нет. Здесь было задано не решение, а турбулентность (или поле скорости) в виде задания функции распределения в форме (2.74). Но согласно подразд. 6 это эквивалентно тому, что задана динамика корреляционной функции скалярной примеси. Поэтому следует иметь в виду, что магнитное поле ие ведет себя подобно скалярной примеси. Сходство уравнений (2.77) для ОИТ и (2.46)——уравнений диффузии, где даже коэффициенты диффузии DT совпадают,——еще ничего не доказывает. Дело в том, что само утверждение о положительности DT не следует уже из общих соображений, как в подразд. 5. Здесь это неравенство (g = °т > 0) необходимо для рассматриваемой модели: в противном случае модель не будет удовлетворять требованиям, налагаемым на р2. Более того, далее мы увидим, что для ОНИТ имеется генерация магнитного поля, в то время как генерация 〈9〉，естественно, невозможна.

Интересно отметить, что распределение (2.75) похо/ке на нормальное распределение. Но оно нормально лишь для 三 и т|. Сюда таКже входит Ъ ——функция от За，так что За не входит нормальным образом в распределение (2.75). Это обстоятельство оказывается ва>кным для другого случайного процесса, введенного Крейкна- ном [71 (в дальнейшем — процесс П): пусть турбулентность статистически независима, но обладает пдентичшяА! распределением вероятностей в последующие интервалы времени Д/, t = NNt, N —— целое число. Тогда полное распределение вероятности в момент t не является гауссовым даже по 三 и п, если на интервале А力 она совпадает с (2.75), именно потому, что За входит в (2.75) сложным образом. Тем не менее поведение магнитного поля в случае ОИТ для процесса П все равно подчиняется уравнению (2.77). Дело в том, что для этого случая

©(/) =鑑N®NT). . .G⑴， (2.80)

G订(к,力)=S^； exp (—g/〃')・ (2.81)

Здесь t = NNt、心$)——тензор отклика на интервале s, по опреде" лению совпадающий с (2.77), где вместо t надо подставить N\t- Представление (2.80) в виде произведения справедливо ввиду статистической независимости интервалов. Это выражение справедливо для распределения более общего, чем (2.75), и будет использовано в следующем разделе. Тензор же отклика в виде (2.81) имеет место только для ОИТ. Совпадение (2.81) и первого выражения (2.77) для двух разных процессов объяснется тем, что фактически здесь используется не двухточечное распределение вероятностей для I и т|, а одноточечное ——для |. Но для этой ксординаты распределение является чисто гауссовым ((2.74) с 乂 = 0), и поэтому процесс П, будучи произведением гауссовых процессов, тоже является гауссовым.

Тензор отклика для ОНИТ. Свойства отражательной неинва- риантности (гиротропностп) турбулентности естественным образом вводятся в функцию распределения. Запишем характеристическую функцию в виде

卩2 = exp {—g£ (k + x)2 + bkx + a [kx] Sa} (2.82) вместо (2.74). Естественно, а есть псевдоскаляр. Требования со второго по четвертое и седьмое, накладываемые на р^ выполняются автоматически. Требование первое модифицируется добавлением псевдоскаляра [kx] За. Для удовлетворения пятого п шестого требуем, чтобы a -^0 при 力 f 0, а ирн 力f оо а росло медленнее, тем £: при За f оо a 〜 13a |~2. Что касается ограниченности и положительной определенности функции распределения (восьмое требование), то это выполняется при b〉0, 4g力—— —b〉0, I a I < [Z? (4g力——b)/\ За I)1/2, что не противоречит, перечисленным требованиям.

Для вычисления тензора отклика отметим, что второй член R квадратной скобке (2.76) теперь уже не обращается в нуль. Для

получения результата перейдем к переменным 乃,乂. Вычисляя (2.76), получим

G“ (k, t) = (5订 4- а®〃自)exp (—g^2). (2.83) Решение (2.83) не есть динамо-решение. Действительно, при Z-> 8 а растет медленнее, чем Z (если вообще растет). Поэтому В (/) = GB (0) f 0 при 力 f оо. Для нахождения растущего решения обратимся к процессу П с распределением вероятности (2.82) на каждом временном интервале △力.

Теперь тензор отклика (2.83) справедлив только на интервале AZ, так что вместо t в него следует подставить А九 а под а будем подразумевать его значение в конце интервала, т. е. а = а (△£)• Тогда согласно (2.80) с одинаковыми G(s), определяемыми выражениями (2.83), имеем

G万(k,方) = oxp(-gNA从2)卜订2С^3・严+ L n=0

(2.84)(2.84)+ ^ijfkf £ C工 1 @向2n・

(2.84)

(2.84)

Здесь С^ — биноминальные коэффициенты, N' = N" = 7V72, если N — четное, и N' = (N — 1)/2, N" = (N + 1)/2, если N — нечетное. Заметив, что две суммы в квадратных скобках (2.84) совпадают с четной (первая сумма) и нечетной (вторая сумма, умноженная на ак) составляющими функции (1 + ak)N от аргумента а及，получим

У,唸(а向2" =}[(!+ a©N + (1 — ак)^]= 71=0

=—{exp W In (1 + а/с)] + exp [N In (1 — a")],

2 C^t (aG产-2 = (2aG)T [(1 + ak)N — (1 一 аЛ)^]=

=(2城尸{exp W In (1 + ak)] — exp [N In (1 — a©]}・

Заменяя N на 力/А%, получим окончательно

Gij 3,力)=4"w(一g/俏画伍+ + L) +配订饱E (e+ — 初

(2.85)

e+ = exp [击InU + 叫], e- = exp [先ln(£ —叫]•

Величина a及 W 1，поскольку a имеет размерность длины и, во всяком случае, не больше корреляционной длины Z, а 掠 WL Обратим внимание на следующее обстоятельство. Величина е+ + + е~ есть истинный скаляр, е+ —— е~ —— псевдоскаляр. Дело в том, что разложение величины е+ + е~ по ак содержит лишь четные

степени а, а разложение е+ — е~ — нечетное, а2П есть скалярт в то время как a2n+1 = а2Па ——псевдоскаляр. Поэтому выражение в квадратных скобках (2.85) представляет собой сумму двух истинных тензоров, как и должно быть по правилам размерностей. Для сравнения с результатами Крейкнана [7] разложим In (1 士 ± ак) до второго порядка по степеням к (в [7] с самого начала используется разложение по к не выше второго порядка). Тогда получим

% (儿 0 = ехр [— (g + a2/2\t) tk2] х

X(6万 ch ак -^~ + i^jfkflr1 sh ак -^-^ .(2.86)

Это решение, полученное в [46], соответствует уравнению генерации

@В/欠=一 ％ 击[кВ] — 0；〃2в, % = g + 爲，

результатам [7], и в ^-представлении это уравнение совпадает с (2.67). Для сравнения коэффициентов генерации и диффузии, найденных в [7], отметим, что для модели (2.82) имеем

〈自2〉=V睛"勺/8出〉=⑶舒爲例3〉，(2.87)

〈务@10/@出〉=-aj〃, a = - %S" G#ig/@aj〉= @洪3田网).

(2.88)

Следовательно,

击=e醬〉士,i=费｛<>醬〉+(但需)〉｝ в полном соответствии с [7]. Точное решение (2.85), так же как его приближенный вид (2.86), полученный Крейкнаном при учете квадратичных по к членов, имеет экспоненциально растущий характер при \ а \ к ^> gk?, т. е. является динамо-решением.

Интересно отметить, что коэффициент турбулентной диффузии DT зависит уже от гиротро иных характеристик турбулентности, т. е. от а, в то время как для марковской модели этой зависимости нет [46]. При отказе от строго марковской модели в следующем приближении по Кляцкину——Татарскому [49] D% тоже начинает зависеть от а. К сожалению, непосредственное сравнение коэффициентов (2.88) с полученными в [49] и, как можно надеяться, хорошо описывающими реальную турбулентность, получить весьма трудно. Дело в том, что коэффициенты (2.88) вычислены для лагранжевых характеристик турбулентности, а в [49] — для эйлеровых. Переход же от лагранжевых к эйлеровым характеристикам и наоборот осуществляется в виде громоздких бесконечных рядов [50].

Процесс П допускает предельный переход к марковскому при △ % f 0, т. е. N f оо. В этом случае должна исчезнуть зависимость коэффициента диффузии от а. Так действительно получается. Для

того чтобы убедиться в этом, напомним, что под а в (2.88) подразумевается значение коэффициента а в модели (2.82) в модгент ^ = = △力，т. е. а (А力).Поэтому коэффициент генерации а (АХ)/△力— ,优 при △力一> 0 优一производная функции а (А力 в нуле (само же значение а в нуле есть нуль, см. выше). Поэтому при малых △力 а = а'А% и «з X а1 出历а) = а'А力 и первый коэффициент в (2.88) есть а'. В то же время〈(三з^д/^а^ХА力厂1 = (а'^А%, и эта величина, дающая вклад в Z)； в (2.88), стремится к нулю при А力0. Что касается 丄厶©； ^1^3Ж3>(А力尸=1/2〈售〉(А力尸，

то эта величина, как известно, есть конечная величина в марковской Модели при Д^ -> 0 и представляет собой коэффициент диффузии.

Общее обсуждение двух немарковских моделей. Итак, модель турбулентности, для которой задается р2 по (2.74) для ОИТ и по (2.82) для ОНИТ, позволяет получить уравнение для крупномасштабного поля в точном виде. Существенно, что модель не является марковской, т. е. параметр £ = xllv не мал.

Несколько слов об ОИТ. Генерация здесь отсутствует. Коэффициент диффузии магнитного поля °т получается положительным. Отметим, что результат (2.78) — выражение для коэффициента турбулентной диффузии ——может быть получен и в более общей, чем (2.74), модели. Дело в том, что в конечный результат входит только g, зависимость от & отсутствует. Обращаясь к (2.76), видим, что точно такой же результат получится, если характеристическая функция 02 (к, х) и функция распределения — четные функции от 6а, т. е. все величины типа хба, кба входят по меньшей мере квадратично пэ 6а. Предположение об инвариантности функции распределения при замене 6а на ——6а кажется вполне правдопэдобным. Это свойство касалось двухточечной функции распределения. Что касается одноточечной, то она должна быть гауссовой, тогда пэлучится результат (2.78). Это предположение находится в хорошем согласии с экспериментальными данными [42]. Что касается модели турбулентности (2.70), то здесь тоже получается коэффициент диффузии DT положительным.

Генерация магнитного поля получается только для ОНИТ. В модели (2.70) — специальным заданием тензора Т”. Модель (2.82) все еще не дает генерацию поля, необходимо дополнительно рассмотреть случайный процесс П, для которого функция распределения (2.82) описывает поведение функции распределения лишь на конечном интервале времени А九 Тогда генерация поля имеет место.

Интересно отметить, что гирэтропная часть (а в (2.87)) влияет на коэффициент диффузии D\ (см. (2.88)). Но все же коэффициент диффузии опять получается положительным: первый член в фигурной скобке (2.88) есть старое выражение по (2.78) и он, конечно, существенно положителен, второй есть квадрат действительной величины. Сравним теперь модели (2.74) и (2.82) с другого типа моделью (2.70). В последнем случае, как будет показано в гл. LIT,

модель описывает реальный физический процесс. Но недостатком этой модели является то, что при этом оказывается заданным лишь уравнение на р2 при £〉t, а не само 夕2・ Что касается моделей (2.74) и (2.82), то они свободны от этого недостатка. Зато они обладают другим; невозможно строго доказать, что они физически реализуемы. Выше были перечислены требования, налагаемые на 〃2・ Но на каком основании мы можем утверждать, что это и есть все требования? Можно все же надеяться на то, что функции, фигурирующие в (2.74) и (2.82), остающиеся все еще произвольными (с довольно общими ограничениями асимптотического характера)у могут быть подобраны таким образом, чтобы удовлетворить всем (неизвестным нам требованиям).

Генерация крупномасштабныхмагнитных полей в космосе

В этом подразделе мы подытожим все сказанное в данной главе. Будем делать упор на астрофизический аспект теории. Изложение все же будет носить более общий характер, чем в подразд. 6—8. Дело в том, что к настоящему времени строгое обоснование уравнения для В в лагранжевом подходе осуществлено лишь для однородной и изотропной турбулентности. Реальная турбулентная космическая плазма существенно неоднородна. Тем не менее хорошее подтверждение предыдущих подходов к описанию крупномасштабных полей в однородной турбулентной среде с помощью лагранжево го описания позволяет надеяться на то, что предыдущие результаты для неоднородной турбулентности тоже удастся строго обосновать. Пока мы будем верить им п отошлем читателя за подробностями к монографии [1]. Итак, этот подраздел будет носить обзорный характер.

Явления в конвекгивнол зоне. Прежде всего, если имеется не только турбулентная составляющая скорости, но н присутствует также крупномасштабная скорость V (см. ((2.3)), то в общее уравнение (2.67) следует добавить член rot- [VB]. Кроме того, анизотропная турбулентность приводит к появлению анизотропии коэффициента диффузии: /)т в (2.67) заменяется тензором [1, 47]. Это обстоятельство до сих пор не учитывалось в расчетах динаморешений в астрофизике. При наличии неоднородности среднеквадратичной скорости, т. е.〈少2〉зависит от координат, возникает явление диамагнетизма: вытеснение магнитного поля из области интенсивной турбулентности (см. [15, 51]).

Результат действия диамагнетизма можно описать в виде эквивалентного крупномасштабного потока магнитного поля со скоростью VD:

V。= _% VDT, А = %儿 〃 =(〈№〉)％. (2.89) Иначе говоря, к крупномасштабной скорости V следует добавить также Nd. Поток крупномасштабного поля или появлением макроскопической (крупномасштабной) скорости как результат действия

турбулентности называют иногда накачкой поля. Такое название обязано следующему обстоятельству. Скорость (2.89) потенциальна, т. е. эквивалентна сжатию или расширению всего вещества. Ясно, что при сжатии будет увеличиваться В. Впрочем, в гл. I, подразд. 2, было показано, что и несжимаемое движение типа дифференциального вращения вызывает накачку поля.

Сам термин «накачка» был введен Дробышевским и Юферевым [12] для макроскопической скорости, появляющейся из-за тоно- логических свойств конвективных ячеек. Для работы этого механизма конвективная ячейка должна охватывать всю конвективную зону, в противном случае накачка осуществляется только на размере ячейки (см. [1]) и перестанет тем самым быть крупномасштабной. Следует также иметь в виду, что топологическая накачка может в принципе представлять интерес для более или менее однородной по плотности конвективной зоны. Дело в том, что если плотность существенно меняется с глубиной (как в солнечной конвективной зоне), то скорость в самой конвективной ячейке убывает с глубиной обратно пропорционально плотности. Иначе средняя плотность в данной точке в конвективной зоне не будет сохраняться. Но это означает, что в глубине конвективной зоны (Солнца), где плотность велика, скорость в конвективной ячейке весьма мала. А скорость топологической накачки никак не может превзойти скорость в ячейке. В стратифицированной по плотности среде по современным представлениям размер ячейки не должен сильно превышать так называемую высоту однородной атмосферы, равную (V In р)"1. Следовательно, ячейки тоже носят слоистый характер, если среда сильно неоднородна по плотности. Но в этом случае топологической накачки не будет.

Накачка магнитного поля может быть также обусловлена градиентом плотности. Иначе говоря, V。〜Vp. Это явление для двумерной турбулентности было обнаружено в [52]. Если поле скорости лежит в плоскости ХУ, т. е. v = {о%, vy, 0}, и магнитное поле перпендикулярно этой плоскости, В = {0, 0, В^^ то будет иметь место накачка в направлении Vp. В дальнейшем в работе [53] было показано, что поле, лежащее в этой же плоскости ХУ, смещается в обратном направлении ——Vp. Таким образом, двумерная турбулентность «сортирует» поля： часть потока поля направлена вниз в направлении Vp, часть ——вверх в направлении ——Vp. Что же произойдет, если турбулентность трехмерная и по-возможности (при наличии все же Vp 丰 0, т. е. некоторого избранного вектора Vp) изотропная? Ясно, что эти два противоположных эффекта будут конкурировать в общем случае между собой, и, как показано в [53], для квазиизотропной турбулентности эффект накачки вообще исчезает. Для его действия необходима дополнительная (не связанная с градиентом плотности) анизотропия. Двумерная турбулентность представляет собой сильную анизотропию (с избранным направлением {0, 0, 1}) и поэтому сохраняет оба эти эффекта.

Выпишем уравнение для крупно масштабно го магнитного поля,

пренебрегая анизотропией (что, по-видимому, оправдано для солнечной конвективной зоны) и топологической накачкой:

dB/dt = rot [VB] + rot [VqB] — rot DT rot В + rot aB. (2.90)

Отметим, что гиротропность тесно связана с анизотропией (см. подразд. 2), одно из выделенных направлений параллельно вектору угловой скорости. Учет анизотропии приведет к тому, что а превратится в тензор. Расчет анизотропного a-эффекта был предпринят Буссе [54]. В таком виде уравнение для В широко используется в расчетах. Поток Vd особенно велик на границе конвективной зоны, где〈沙?〉уже довольно быстро меняется, притом на величину, сравнимую с нею самой. Следовательно, вблизи границы VD велика (см. 2.89)). Это можно сформулировать как граничное условие, а внутри зоны в первом приближении пренебречь Vd. Тогда мы будем иметь уравнение генерации «в чистом виде», т. е. без накачки. Заметим уже здесь, что в гл. IV мы покажем, что нелинейные эффекты ослабляют диамагнетизм. Зато появляется весьма сильный эффект: поток из-за градиента плотности. Пока же мы в уравнении (2.90) вовсе пренебрежем накачкой. Дополнительно будем считать, что магнитное поле осесимметричное и движение V есть дифференциальное вращение. Тогда вместо системы (1.18) имеем:

А < Лф> = aвф + D^ (^- + ；鳥^^^-备5砌〈4〉' (2.91)

+ 3esin8器+ 僚+ ；备 s3 斎 sin。"吋(2.92)

Связь Be, Br с〈4屮〉 элементарно может быть получена усреднением последних выражений (1.19).

Мы видим теперь, что полоидальное поле 〈4屮〉уже не затухает, как в (1.18), а связано с тороидальным 5屮.Именно это обстоятельство делает возможной генерацию поля. Тороидальное же поле 5Ф генерируется теперь не только дифф ер енци а л ьным вращением, но и также в результате ос-эффекта, т. е. того члена в (2.92), в который входит гиротропность а. Как правило, дифференциальное вращение более эффективно генерирует поле %, чем ■ос-эффект, т. е.

г2 I VQ I > сс.(2.93)

В этом случае ос-эффектом в (2.92) можно пренебречь, и тороидальное поле по-прежнему генерируется дифференциальным вращением. Обратная связь ——генерация полоидального поля〈4$〉 из тороидального осуществляется только ос-эффектом. Эту генерацию называют (а ——Й)-динамо, и инкремент нарастания поля {в том случае, когда поле экспоненциально нарастает, а не осцил-

лирует) по порядку величины равен

у =(厂/£) ]/| VQ I а・ (2.94)

Тогда же, когда выполняется неравенство, противоположное (2.93), поле 5(р тоже генерируется ос-эффектом. Такое динамо называют ос2-динамо, и его инкремент порядка

Т = а/厶. (2.95)

Выпишем приближенное значение для а при больших числах Россби, Ro = v/ZQ (медленное вращение, например верхняя часть конвективной зоны Солнца):

а = KQpTVp, (2.96) при малых числах Россби (быстрое вращение, например нижняя часть солнечной конвективной зоны):

а =岳QVp (pQ)。 (2.97)

Отсюда видно, что а не может стать больше, чем % так как 2рт* X I Vp I《1. Это, впрочем, следует из общих соображений: из положительной определенности тензора (2.19) (как корреляционного тензора) следует <v rot v> & 讲广i, отсюда для а ж <v rot ¥>тпри т = l/v следует, что а《 и.

Теперь обратимся к тем преимуществам, которые дает теория динамо крупномасштабных полей. Как и было предсказано в подразд. 1 наст, главы, уравнения для В просты по структуре. В частности, система (2.91), (2.92) описывает динамику осесимметричных полей. Поле скорости тоже осесимметрично (дифференциальное вращение). Отклонение от симметрии, необходимое для работы динамо, заложено в случайных движениях. При усреднении все становится симметричным. Кроме того, коэффициенты системы (2.91), (2.92) слабо зависят от координат. Вообще же уравнение (2.67) дает генерацию поля при коэффициентах строго постоянных. Разумеется, анализировать и численно интегрировать такое уравнение куда проще, чем (1.7), даже при простейшем поле скорости!

Если коэффициенты уравнения для В строго постоянны, то, разумеется, изменение масштаба поля, о котором так много говорилось в гл. I, подразд. 5, не будет иметь места. Напомним, что уменьшение масштаба создавало главные трудности в проблеме генерации поля. Для постоянных коэффициентов сохранение масштаба следует из того, что решение для В можно искать в виде (невзаимодействующих) фурье-гармоник или соответствующих сферических гармоник. Но даже общая система уравнений для осесимметричного поля (2.91), (2.92) при a, 0T и Q, зависящих лишь от г и 0, не приводит к изменению масштаба. Это обстоятельство тоже большое преимущество рассмотрения крупномасштаб- зых полей.

При учете накачки в (2.90) со скоростью V。, определяемой (2.89), уменьшение масштаба уже имеет место. Действительно, как говорилось выше, сама накачка есть «сжатие» поля со скоростью V。. Поэтому представления о накачке применимы до тех пор, пока масштаб поля все еще больше, чем Z. Это относится к накачке, описываемой потенциальной скоростью, как в (2.91), эквивалентной сжатию. В гл. I, подразд. 2, описана накачка дифференциальным вращением без уменьшения масштаба. Но даже если V。〜V屮,учет этого случая не так уж и сложен. Так, диамагнитный эффект на границе конвективной зоны учитывается с помощью граничных условий. В самой же конвективной зоне вектор V。направлен радиально, это сильно упрощает как качественные рассмотрения, так и расчеты. Наконец, нелинейные эффекты тоже приведут к изменению коэффициентов в системе (2.91), (2.92). Следовательно, рассмотрение крупномасштабных полей дает большие преимущества. В последнее время эта теория стала использоваться для объяснения звездных магнитных полей [551 и продвинулась дальше первой работы [56]. Мы вернемся к этому вопросу в гл. IV.

Может ли коэффишент диффузии стать отри дательным? До сих пор мы отвечали отрицательно на этот вопрос. Во всех моделях 0T был существенно положительным. Крейкнаном была предложена модель [57], в которой все же получился отрицательный коэффициент диффузии. Рассмотрим магнитные поля с масштабами L± 身 I. Тогда при наличии ОНИТ будем иметь уравнение

dB/dt = rot аВ + Z)TAB. (2.98)

При выводе (2.98) предполагалось, что а и 0丁 есть усредненные величины по масштабу Z. Это означает, что они могут меняться на масштабе 上广 Пусть все же 0T = const, а а меняется на длине 上一 Рассмотрим теперь еще более крупномасштабные поля, которые меняются на длине L2 娶 £i и подчиняются усредненному (по пульсациям масштаба £0 уравнению (2.98): @〈В〉/欠=rot〈aR〉+ + 0T А〈В〉，В =〈В〉+ Ь, 〈а〉= 0. Для наиболее интересного случая I а I》> DT/L1 (аналог большого 瓦Q эту задачу можно решить, полагая дополнительно, что а флюктуирует со временем та:

Hv < та < LJa. (2.99)

Первое неравенство здесь выписано для того, чтобы изменение а было все же медленным по сравнению со временем пульсаций турбулентности т. В противном случае само уравнение (2.98) станет некорректным. Второе же неравенство соответствует «белому шуму» или марковскому процессу для〈В〉в этом суперансамбле. Тогда результат для усредненного (точнее, суперусредненного) лоля следующий:

д〈В〉例=①А <В> + 0TA <В>, (2.100)

①=§ <a (/) a (E + s)〉ds, a ——однородная и стационарная (в статистическом смысле) функция. Отрицательным коэффициент диффузии станет, если Ф V —0「

Оценим теперь Ф. Самое большее, что здесь можно получить,—— это, забыв, что та должно быть мало, оценить его как ra = LJa (ср. с. (2.99)). Тогда | ① | ^ сс2та = а，. Итак, | Ф | >2, если aLi > DT = 1/3 vl. Это условие соответствует нашему предположению о большой величине а (см. выше) и в принципе может выполняться за счет того, что £1 导 I (хотя ос и не может быть больше, чем и).

Итак, коэффициент турбулентной диффузии может стать отрицательным, что соответствует генерации супермелкомасштабного поля. Разумеется, эта генерация есть следствие того, что (2.98) тоже дает генерацию поля. Что касается турбулентности в космических условиях, то реализация такого суперансамбля кажется маловероятной. Можно, впрочем, представить себе, что на турбулентность с внешним масштабом I накладываются вихри масштаба £1, в каждом из которых генерируется свое значение а, определяемое в (2.96), (2.97). Но в этом случае возникает новая «супердиффузия», обусловленная крупными вихрями. Коэффициент диффузии по порядку величины есть Q£；, Q ——характерная угловая скорость вихря. Требование Ф = aLr > QLf, т. е. a > > QZ/i, уже не может быть выполнено. Действительно, при больших числах Ro определяем из (2.96) а, в результате получаем условие Z2 > Lr (Vp/p)^1. Это условие не может быть выполнено, так как I < Lr и I V р/р & 1. При малых Ro имеем (согласно (2.97)) Z2 > (Ro)-1//! (Vp/p)-1, это условие тоже невыполнимо.

Итак, отрицательный коэффициент диффузии может в принципе получиться, если специально задать флюктуирующую ги- ротропность. Конкретное приложение этого процесса указать трудно.

В развитой турбулентности присутствует целая область масштабов (см. подразд. 2). Это обстоятельство наводит на мысль, что отрицательный коэффициент диффузии может появиться за счет взаимодействия разных масштабов, как при получении (2.100) (£1 заменить на внешний масштаб, а I ——на какой-то меньший). Такое рассуждение, однако, неверно. Турбулентный коэффициент Dt для поля масштаба I (от пульсаций с 及2 > 1) будет по порядку величины равен V3 и厶 в то время как коэффициент Ф от меньших масштабов есть (самое большее) V3 vk 及一丄.Но для колмогоровской турбулентности (см. подразд. 2) и для турбулентности с перемежаемостью (см. подразд. 3) величина V3 vl всегда больше, чем 1/3 以及т. Поэтому все попытки использовать a-эффект для мелкомасштабных магнитных полей оказались безрезультатными.

Конвекция II дифференциальное вращение. Дифференциальное вращение в звездах вызывается действием конвекции. В не- вращающейся среде турбулентная конвекция приводит только к

турбулентной вязкости (см. гл. IV). Как правило, конвекция в звездах имеет место при больших числах Рейнольдса, а потому носит турбулентный характер. При наличии вращения на движение действует кориолисова сила 2[vQ]. Реакция турбулентности на движение определяется уравнением движения

dujdt — %A〃j + ^dpldxi + 2ef；yQ；Uy = dj QjU〉— %〃了〃订 (2.101)

Здесь мы воспользовались полным уравнением (1.24) с учетом кориолисовой силы и с Н = 0 и вычли из него усредненное:

dVildt + %•〈〃&〉+ pT*p〉/@g — ％△匕=0, (2.102)

V = [Qr]・ Задача состоит в вычислении тензора турбулентных напряжений〈〃》〃)〉в (2.102). Для этого (2.101) умножается на и》 и уравнение для 〃j ——на 〃》, два уравнения складываются и усредняются. Третьи моменты, возникающие в правой части (2.101), заменяются на —七一1〈〃»〃/〉(т ——релаксация). Это приближение мы более подробно обсудим в гл. IV. Здесь мы сообщим лишь результаты.

Без кориолисовой силы, как сказано, реакция турбулентности сводится лишь к турбулентной диффузии. Легко видеть, что кориолисова сила дает вклад в тензор〈〃》〃/〉следующего вида:

t(£〃ти〈〃/n〃j〉+ £)『ТИ〈〃7n〃i〉)Qj・ (2.103)

Ясно, что в изотропном случае〈〃加〃)〉=力谷加心?〉тензор (2.103) обращается в нуль, и никакого эффекта нет. Если же имеется избранное направление (для конвективных оболочек звезд естественным избранным направлением является радиальное), то (2.103) дает неисчезающий вклад. Считается, в частности, что 〈^4〉声〈〃^〉= <^ф> (впрочем, для согласования с наблюдениями требуется, чтобы имелось не одно избранное направление, см. [58]). Если тензор (2.103) не обращается в нуль, то он дает вклад в (2.102) аналогично ос-эффекту в уравнении (2.67), т. е. он генерирует дифф ер енциальное вращение. Аналогия, однако, неполная: из уравнения (2.67) следует экспоненциальное усиление поля В, в то время как экспоненциальное нарастание й невозможно. Дело в том, что полный момент звезды должен сохраняться. Но генерация дифференциального вращения действительно возможна.

Вопрос о дифф ер енци а л ьном вращении связан с динамо не только этой аналогией. При расчете динамо-уравнений важно знать, каково изменение Q с глубиной: возрастает Q или убывает. Необходимо знать, имеется ли меридиональная циркуляция или глобальная' конвекция. Относительно последней можно сказать следующее. В быстро вращающейся среде (число Россби мало) конвекция становится двумерной. Ячейки представляют из себя валы, вытянутые вдоль оси вращения.

К настоящему времени существуют два типа теорий конвективной зойы Солнца. Первая теория учитывает взаимодействие глобальной конвекции с вращением. Считается тем самым, что

глобальная конвекция существует. Турбулентная конвекция служит в этой теории для перенормировки молекулярной вязкости % в уравнениях движения (последняя считается турбулентной). Итак, рассматриваются сравнительно простые уравнения с турбулентной вязкостью и крупномасштабными течениями: вращением и глобальной конвекцией.

Вторая теория изложена выше: считается, что глобальная конвекция отсутствует на Солнце и рассматривается взаимодействие вращения с т ур б у л ентно стыо. К настоящему времени выполнено большое количество расчетов, написано много обзоров на эту тему. Согласно Дарни [59], нет ни наблюдательных, ни теоретических данных, подтверждающих наличие гигантской конвекции на Солнце. Дело в том, что в верхней части конвективной зоны число Россби велико и влияние вращения слабо. Здесь двумерные валы не могут образовываться. В глубине конвективной зоны число Россби мало, но не очень: оно порядка 0,3. Это все жене слишком малая величина, чтобы считать, что вращение радикальным образом модифицирует конвекцию. Кроме того, образованию очень уж глубоко сидящих ячеек препятствует весьма большой перепад плотности в солнечной конвективной зоне (пять-шесть порядков). Заметим, что если двумерные валы все же существуют на Солнце, то они способны генерировать магнитное поie (см. гл. I, подразд. 7). Добавим в этой связи, что аналогичная генерация может быть вызвана более «традиционными» конвективными ячейками типа тороидального вихря [27]. Последние тоже способны объяснить солнечный цикл [60].

Гигантская конвекция, по-видимому, все же отсутствует в глубине конвективной зоны. Проявлением конвекции является грануляция и супергрануляция на поверхности Солнца. В глубине конвективной зоны ячейки становятся гигантскими по размерам (вероятно, всего раза в три меньше всей конвективной зоны), но все же не двумерными. Согласно Дарни [59], необходимо учитывать не только действие кориолисовой силы на движение, но также и стабилизирующий эффект вращения и изменение формы конвективных элементов, происходящее в результате взаимодействия их с вращением.

Недостатком описанного подхода является специально заданная анизотропия конвективных ячеек. Естественно предполагать, что она есть, но все же она не следует из первопринципов. В работе [61] анизотропия вычисляется. Более конкретно, вычисляется параметр s, введенный Киппенханом [62]; s <u^> =〈比^〉=〈〃*〉. При s = i имеет место изотропия, и дифференциальное вращение не генерируется. От знака s ——1 зависит закон изменения Q с глубиной. Вместе с тем согласно (2.92) закон изменения Q очень важен для выяснения динамики магнитного поля. Анализ показал (см., например, обзор Стикса [63]), что теория динамо не согласуется с теорией дифференциального вращения. Для согласования динамо-уравнений (2.91), (2.92) с наблюдаемым поведением магнитных полей необходим один знак s ——1, а для теории диф-

ференциального вращения ——противоположный. Согласованность этих двух теорий возможна при учете результата работы [61]: величина s ——1 меняет знак с глубиной. На поверхности Солнца знак s — 1 согласуется с тем дифф ер енци а л ьным вращением, которое наблюдается. В глубине конвективной зоны знак s ——1 меняется, и это уже существенно для генерации магнитных полей. Последние генерируются именно в глубине ковективной зоны и затем всплывают на поверхность.

Механизм Паркера динамо-эжекторамагнитного потока

Поля промежуточных масштабов. В данной главе рассматривались поля, масштаб которых L много больше масштаба движения I. В следующей главе мы рассмотрим мелкомасштабные поля L & I. Интересную физику дают поля, масштаб которых мы будем называть промежуточным. Объясним, что понимается под. такими полями. Рассмотрим плоский слой проводящей жидкости? высотой 九(ось z перпендикулярна поверхности слоя, т. е. направлена вертикально) и неограниченный в плоскости XY. Магнитное поле будет меняться по вертикали на расстоянии 九,в то время как в плоскости XY оно меняется слабо, или оно даже однородно, т. е. не зависит от % и у. Будем считать, что движение жидкости представляет собой ячейки размером I 弋九 как в вертикальном, так и в горизонтальном направлении. Ясно, что а вертикальном направлении масштабы магнитного поля и движения сравнимы, в то время как в горизонтальном масштаб поля гораздо больше масштаба движения. Отсюда и название: промежуточные масштабы.

В принципе можно проводить усреднение по поверхности ХУ, т. е. усреднять по ячейкам, но оставлять везде зависимость от z. Тем самым и выделится крупномасштабная (в плоскости XY) составляющая магнитного поля, если даже в процессе генерации возникнут и мелкомасштабные магнитные поля. В этом отношении постановка задачи близка к изложенной в этой главе —— только необходимо учитывать сильную неоднородность скорости по z. С другой стороны, можно ставить задачу динамо в каждой ячейке с периодическими граничными условиями. Это возвращает нас к постановке, изложенной в гл. I, подразд. 4, 5: ведь периодичность граничных условий тоже исключает внешний источник —— необходимое условие для формулировки проблемы динамо. В гл. I, подразд. 5, говорилось о том, что масштаб поля динамо-решения гораздо меньше, чем I. Это так, но из этого не следует, что поле не содержит также и не слишком мелкие масштабы порядка I и что средний поток поля равен нулю! В рассматриваемой в этом подразделе постановке задачи ищутся именно такие поля, т. е. поля масштаба I. В этом отношении поля являются уже не крупномасштабными, поскольку в вертикальном направлении они меняются на длине I.

Строгий подход для высокопроводящей плазмы не разработан для полей промежуточного масштаба. Здесь пока можно пользоваться только качественным описанием динамики полей либо считать определенные модели. В частности, тут хорошо работает импульсная модель, изложенная в гл. I, подразд. 7, поскольку на этапе, когда движение выключено, легко выделяются поля промежуточных масштабов. Паркер широко использует импульсную модель в расчетах [64].

Другой способ описания динамики полей состоит в использовании теории возмущений для слабопроводящей плазмы. Напомним, что под высокопроводящей плазмой мы понимаем такую, у которой Е工発 1. В слабопроводящей плазме Rm «^ 1, и малый параметр теории возмущений есть число Rm. Однако, для того чтобы поле скорости существенно сказалось в данной задаче на магнитном, необходимо все-таки, чтобы Rm 及 1. Поэтому в принципе необходимо учитывать высокие порядки (выше второго) по стелены Rm, Обычно ограничиваются третьим порядком по Rmi п он является наименьшим возможным. Здесь мы приходим к выявлению тесной связи между полями промежуточных масштабов и полями промежуточных чисел 代你 学 1. Эта связь более очевидна, ■если изменить постановку задачи при Rm ? 1. Если это условие выполняется, то можно рассматривать истинно крупномасштабные поля, т. е. положить вертикальный размер проводящего слоя 九 2 Z. Тогда все результаты, полученные в высокопроводящей лределе (Rm》1), для полей промежуточных масштабов относятся к истинно крупномасштабным полям (L,九》Z), но с промежуточными числами Rm ^ 1. Работать с такими промежуточными числами в строгой постановке задачи можно только в рамках марковской модели, ибо применимость последней не зависит от величины лисла Е；广

Примером процесса промежуточного масштаба является топологическая накачка (см. подразд. 9). Мы отмечали, что топологическая накачка возможна только при наличии конвективных ячеек размером во всю толщину конвективной зоны. Рассматриваемый в этом подразделе проводящий слой и есть модель конвективной зоны. Отмечалось также, что если конвективные ячейки расположены слоями, то накачка будет только внутри слоя, глобальной (на всю толщину зоны) не будет. Но в подразд. 9 речь шла о высокопроводящей пределе Rm》1. Если Rm ? 1, то поля, сконцентрированные на дне одного слоя из-за накачки в нем, будут диффундировать вниз и там захватываться нижним слоем и снова подвергаться накачке. Конечная диффузия дает возможность глобальной накачке даже при 九身厶 т. е. если высота ячеек меньше толщины зоны. Строгое рассмотрение такого процесса затруднительно: разложение по Rm требует учета членов высокого порядка, ибо при Rm V 1 слишком сильна диссипация и накачка проявляется весьма слабо.

Нельзя сказать, что в солнечной конвективной зоне изучение динамики поля при промежуточных R；、学 1 не имеет смысла ввиду очень больших реальных чисел 7?]. Дело в том, что если рассматривать наиболее крупные ячейки, то можно говорить о турбулентном коэффициенте диффузии 力丁, возникающем из-за действия более мелких ячеек. По этим более мелким ячейкам можно провести усреднение и работать уже с крупными ячейками, причем эффективное число Rg подсчитанное по От, не будет большим.

Рис. 2.3.

Начальная конфигурация поля Сплошные линии — силовые линии поля, штриховые — границы слоя

Будет ли все-таки иметь место при этом топологическая накачка, сказать трудно ввиду упомянутой сложности расчетов при Вт 学 扌 1. Заметим в этой связи, что диамагнитная накачка (или, как 31Ы привыкли говорить, перенос поля), о которой говорилось в подразд. 9, и особенно сильная накачка поля из-за большого градиента плотности (в нелинейной постановке задачи см. гл. IV, лодразд. 7) имеют место в высокопроводядщей среде для истинно крупномасштабных полей.

Другим примером процесса промежуточного масштаба является отрицательная диффузия, т. е. коэффициент £>т V 0 (в трактовке Паркера [64]). Рассмотрим начальную конфигурацию поля в нашем проводящем слое с противоположно направленными полями (рис. 2.3). При подъеме конвективного элемента силовые линии искривляются (рис. 2.4). Допустим, что, кроме того, ячейка поворачивается на угол 土л (рис. 2.5). Сверху появляется поле со знаком противоположным нижнему. Рассмотрим эффект многих рядом стоящих конвективных ячеек, ведущих себя так же, как описанная. Очевидно, что поля с боковых сторон рядом расположенных ячеек имеют обратные знаки. Если теперь учесть эффект конечной диссипации, состоящий в отделении данной петли от начального поля и слиянии петель, то, очевидно, мы получим, что «боковые» магнитные поля каждой ячейки аннигилируют, внизу поле остается прежним, а сверху возрастет (поскольку начальное поле сверху имеет знак, противоположный нижнему). Опускающиеся и поворачивающиеся на угол 土л ячейки усилят нижнее поле. В результате все поле в проводящем слое усилится.

Мы говорим именно об отрицательной диффузии, а не о генерации, поскольку здесь усиливается существенно неоднородное поле. Если в начальный момент поле во всем слое одного знака, то описанное движение не приведет к усилению поля. Важно иметь в виду, что направление поворота поля не имеет значения, поэтому мы и пишем: поворот на угол ±л. Следовательно, этот

эффект не связан с гиротропностью: правый или левый винт характерен для движения ——это не имеет значения. Отметим, что в модели Дэвиса, упоминаемой в гл. I, подразд. 7, тоже несущественно, в какую сторону поворачивать начальный тор, когда он превращается в «восьмерку» (на угол л или —л).

Теперь необходимо понять, почему указанное явление относится к разряду процессов промежуточного масштаба. Дело в том,

Рис. 2.4.

Первый этап эволюции поля (изображено поле только одной ячейки)

Рис. 2.5.

Поле после поворота петли

что если ячейки малы по сравнению с высотой проводящего слоя А,г то на размере ячеек поле будет квазиоднородным и, как сказано выше, усиления не будет. Именно по этой причине в строгой постановке задачи, изложенной в данной главе, мы получаем положительный коэффициент диффузии 0T. Но, с другой стороны, мы пользовались пределом высокой проводимости: Rm ^> 1. На основании изложенных здесь рассуждений можно ожидать появления отрицательного DT при Rm》1. Иначе говоря, отрицательный коэффициент DT не появится, как ожидается в [65], в высоко- проводящем пределе в разложении скорости по степеням, поскольку в точной постановке задачи мы не получили 0T < 0. Но отрицательный коэффициент DT может возникнуть при Rnl》1 при учете членов ряда теории возмущений по степеням Rm выше второго порядка.

В этой связи отметим, что отрицательная вязкость при наличии двумерной турбулентности тоже появляется, когда масштаб течения близок к масштабу турбулентности, т. е. нет разделения масштабов (см. подразд. 1). И это явление ——промеж уточного- масштаба. Вернемся к картине ячеек в конвективной зоне, имеющих разный масштаб, когда более мелкие ячейки служат только для перенормировки коэффициента диффузии. Теперь для крупных ячеек эффективное число Rm не будет слишком большим. Возникнет ли в этом случае отрицательная диффузия в масштабе крупных ячеек, а значит, и генерация поля в этих масштабах? Ответ на этот вопрос в настоящее время может дать только техника ренормализационной группы, речь со которой пойдет в гл.IV, подразд. 3.5. Именно при таком подходе п проводится усреднение по всем масштабам, меньшим 乃一丄,когда нас интересуют коэффициенты генерации и диффузии в масштабе к"1. Как мьт・

увидим далее, ответ получается отрицательным: коэффициент 力т строго положителен, генерация поля происходит только за счет ос-эффекта, т. е. в больших масштабах. С другой стороны, в гл. III мы увидим, что генерация поля все-таки происходит в масштабах ячеек, но это явление уже не может быть классифицировано в терминах отрицательного коэффициента диффузии, ибо генерация вызывается ячейками тех же масштабов, что и генерируемое поле.

Учет выброса магнитных трубок. Перейдем к изложению нового механизма Паркера, названного автором динамо-эжектором магнитного потока. Для этого вернемся к рис. 2.3——2.5. Модифи- дируем изображенную на этих рисунках модель следующим образом. Во-первых, полагаем, что начальное поле одного знака в противоположность рис. 2.3, где изображены поля разных знаков. Во-вторых, считаем, что опускающаяся жидкость не подвергается вращению. Наконец, в-третьих, учтем«эжекцию» полей на верхней поверхности нашего проводящего слоя. Имеется в виду предложенная Паркером [66] модель всплывания и опорожнения магнитной силовой трубки. Считаем, что выше проводящего слоя расположен вакуум. Силовая трубка выходит на повехность, далее она начинает подниматься над поверхностью в виде арки, а проводящая плазма стекает обратно в проводящий слой. В конце концов поле выше слоя станет бестоковым (вакуумным), а верхняя граница слоя вернется в свое прежнее положение.

Рассмотрим, каким образом будет эволюционировать поле. Рис. 2.4, 2.5 по-прежнему описывают эволюцию нижней части силовой трубки. Учтем теперь выброс верхней части трубки. Поле там направлено обратно нижнему. После выхода трубки с обратным полем на поверхность и дальнейшего выброса ее внутри слоя останется поле одного знака. Рассмотрение рис. 2.5 показывает, что поле нижней части магнитной петли направлено в ту же сторону, что и начальное. Это говорит о том, что после отщепления и слияния петель поле в нижней части проводящего слоя усилится. (В предыдущем вопросе мы не обращали на это внимание, но это дополнительное усиление поля тоже давало свой вклад в отрицательный коэффициент диффузии). Итак, общий магнитный поток внутри слоя возрастает за счет выхода потока обратного знака. Опускающаяся жидкость, как сказано, не вращается, поэтому она просто переносит магнитный поток сверху вниз. Эволюция поля свелась к двум эффектам: усилению магнитного потока внутри слоя и накачке (переносу) поля в нижнюю часть слоя.

Мы можем несколько модифицировать модель, отказавшись от эжекции. Расположим плохопроводящий слой сверху высокопро- водящего, причем толщина плохопроводящего слоя тоже 九.Тогда верхняя часть магнитной петли, подходя к поверхности высо- копроводящего слоя, будет проникать в плохопроводящий слой и там быстро диссипировать. В результате поле знака, обратного основному потоку, быстро исчезает из системы, и поток внутри

высокопроводящего слоя возрастает. Указанный механизм динамо есть, очевидно, процесс промежуточного масштаба. Если описанные ячейки малы, I W' 皿 兄工 登 1, то накачка имеет место внутри каждого слоя ячеек, а генерация отсутствует. При Rm ? 1 можно ожидать как переноса поля на дно проводящего слоя, так и явления отрицательной диффузии (т. е. в конечном счете генерации), вызываемого поднимающимися ячейками. Не случайно Паркер считает, что такой механизм может осуществляться наиболее крупными конвективными ячейками конвективной зоны Солнца (размер 1010 см, сравнимый с толщиной зоны).

Паркером указана и другая возможность работы данного механизма. Пусть слой ячеек указанного выше свойства имеет малую толщину (Z《九)и расположен на самом верху проводящего слоя (конвективной зоны). Тогда этот слой ячеек будет создавать особые граничные условия для нижележащего поля, вызывающие генерацию поля. Проводимость нижележащего слоя не должна быть слишком высокой (в противном случае поле будет сконцен- рировано в тонком скин-слое у самой поверности (верхней) зоны). Таким образом, и эта модель соответствует не слишком большим числам Rmi или, что эквивалентно, полям промежуточного масштаба.

Более глубокое понимание механизма Паркера мы получим, если вернемся к методу усреднения всех величин, используемому в данной главе. Непосредственное усреднение основного уравнения приведет к необходимости вычисления среднего вектора 〈［vH］〉. Как его сконструировать? Очевидно, все, что можно написать, это〈［vH］〉= + ［v；/B］ — DT rot В, остальные векторы должны содержать более высокие производные по магнитному полю II в случае крупномасштабных полей В быть малыми. Первый член правой части соответствует a-эффекту и в рассматриваемом случае исключается (система не гиротропна). Второй член соответствует переносу поля, третий — диффузии. Откуда же можно получить генерацию по новому механизму Паркера? Из этого выражения ее получить невозможно. Вспомним теперь, что выписанное выражение годится лишь для крупномасштабных полей. Это говорит о том, что в указанном механизме имеет место генерация поля промежуточного масштаба.

С этим обстоятельством связано уникальное свойство динамоуравнений Паркера. Как мы видели из рис. 2.3——2.5, за время оборота ячейки усиливается одна компонента поля. Вертикальная зоставляющая остается неизменной, а поля {石久,0, 0}, {0, Ну, 0} не взаимодействуют друг с другом и усиливаются независимо. Во всех моделях динамо-усиление поля происходит в два этапа. Так, з старой (традиционной) модели Паркера (см. гл. I, подразд. 7) юлоидальное поле в совокупности с дифференциальным враще- шем возбуждает тороидальное поле, ортогональное полоидаль- юму. Далее ос-эффект генерирует опять полойдальное поле из юроидального. Те же два этапа усиления имеют место при отсутст-

вии дифф ер енци а л ьно г о вращения, т. е. при а2-динамо. В новом механизме само усиление происходит без генерации ортогонального поля, потому-то и усиливается каждая компонента поля (кроме HJ независимо. В постановке задачи на собственные значения (см. гл. I, подразд. 5) и усреднений только по горизонтальным поверхностям мы имели бы <rot [vH]〉〜 у <Н>, где каждая компонента поля выступает независимо. Отсюда мы опять возвращаемся (на новом уровне) к утверждению, что рассматриваемый процесс — промежуточного масштаба. В сущности такое усреднение фактически уже не разделяет масштабы, и можно снять угловые скобки в выписанном выражении, ибо поля, лежащие в ллоскости ХУ, можно считать зависящими только от z.

Итак, динамо-уравнения могут быть выписаны для каждой компоненты поля отдельно. Уравнение для ^-компоненты с учетом накачки поля на дно зоны

dHx/dt + dxVDHx = D®HJ8z2. (2.104)

Здесь VD есть ^-компонента скорости переноса V。= {0, 0, VD}, леренос осуществляется только в вертикальном направлении. Пусть на самом верху зоны имеется тонкий слой ячеек малого размера (Z《九)с описанными выше свойствами, т. е. они приводят к накачке поля к основанию этого тонкого слоя и генерации потока поля определенного знака. Поле противоположного знака выбрасывается в вакуум. Можно сказать, что этот тонкий слой запирает поле одного знака, толкая его вниз, в то время как поле лротивоположного знака вниз не проникает. Иначе говоря, этот слой можно рассматривать как фильтр, отражающий поле одного знака, проникающее в этот слой снизу и не пропускающее поля противоположного знака, которые возникают выше границы, разделяющей этот слой от остальной зоны. Граничные условия на этой поверхности сводятся таким образом просто к условию отражения dHjdz = 0. Снизу проводящей зоны граничные условия определяются отсутствием потока под зоной, т. е. снизу зоны среда сверхпроводящая. Это соответствует на нижней границе Vi Ну = DAzHx (условие получается, как обычно, интегрированием (2.104) по переходному слою). Выписанные граничные условия однородные, и уравнение (2.104), имея вид уравнения переноса тепла, казалось бы, ни в коем случае не должно иметь растущие решения. Фактически это есть основной способ доказательства антидинамо-теорем: если одна из компонент поля отделяется, то она обычно и имеет вид уравнения теплопроводности. Поскольку «генерация» температуры (без внешних источников тепла) противоречит термодинамике, рост магнитного поля невозможен (см. гл. I, подразд. 6). Однако, как показан Паркер, и в этом легко убедиться, уравнение (2.104) с постоянными Vd D и выписанными граничными условиями дает динамо. Можно и непосредственно показать, что интегрирование этого уравнения по всей толщине зоны и интегрирование этого же уравнения, умноженного на Нх, тоже по всей зоне не приводит к неравенствам

^、Hxdz <3 -^- \ 眠 dz < 0, которые в гл. I, подразд. 6, обосновывали антидинамо-теоремы. В чем же дело, почему уравнение теплопроводности с однородными граничными условиями дает динамо? Дело в том, что согласно (2.104) имеется приток «тепла» на верхней границе зоны, поскольку там величина VD не обращается в нуль.

Можно вообще исключить перенос поля в основной зоне, оставив сверху в тонком слое толщиной %У 九 ячейки с описанными выше свойствами. Тогда в основной зоне VD = 0 и (2.104) превратится в уравнение диффузии. В тонком слое сверху, где расположены ячейки, имеется и перенос и генерация поля. Все это учитывается в граничном условии для (2.104). Оно выводится из непрерывности тангенциальной составляющей электрического поля

^ЯдН I

Индекс (1) относится к полю основной зоны, а (2)——к полю верх- него слоя. Интегрируем уравнение rot Н = 4лас'"1 (Е 4-，一丄[V/)H])

(z)甸， интегри-(z)甸， интегри-по верхнему слою: Нх |(?)= Нх |⑴по верхнему слою: Нх |(?)= Нх |⑴ехр/)"1 ^ VD

(z)甸， интегри-

(z)甸， интегри-

по верхнему слою: Нх |(?)= Нх |⑴

по верхнему слою: Нх |(?)= Нх |⑴

рование проводится в показателе экспоненты по слою. Такая граничная задача тоже приводит, как показал Паркер [64], к динамо-решению.

Обсудим условия для действия нового динамо-механизма Паркера. Прежде всего, если ячейки поворачиваются на угол л/2, то имеет место a-эффект, а указанный механизм не работает. Если они поворачиваются на больший угол, т. е. л (или ——л), то a-эффект выключается и работает механизм Паркера. Это дало основание Паркеру предположить, что описанный им механизм более эффективен в быстро вращающихся звездах, где вращение ячеек, как можно ожидать, происходит более интенсивно по сравненшо с медленно вращающимися звездами. Как теперь обеспечить второе условие действия механизма Паркера: осуществление врэ- цения только поднимающимися ячейками? В принципе это воз- южно. Если, например, полагать, что поднимающаяся жидкость расположена в центре ячейки, то сверху она растекается на пе- эиферию и по периферии ячейки опускается. Очевидно, что под- шмающаяся и опускающаяся части жидкости находятся в разных условиях. Предположим, что жидкость в нижней части зоны име- т слабый начальный вращательный момент (вокруг вертикаль- ой оси). Поднимаясь по сравнительно узкой центральной части чейки п сохраняя этот момент, жидкость вынуждена вращаться же не с малой, вообще говоря, угловой скоростью. При опуска- ип же жидкости такого закручивания не происходит.

Неожиданные и удивительные следствия нового механизма аркера для астрофизики! Очевидно, что он может регенерировать

полоидальное поле без возбуждения тороидального. Но неожиданным оказывается то, что выходящие поля имеют знак, противо- по ложный глубинным. Если, например, в глубине конвективной зоны Солнца работает обычное (а ——со)-динамо и генерируется тороидальное поле, а сверху зоны работает механизм динамоэжектора, то полярность выходящих на поверхность полей обратная тороидальному полю. Не менее неожиданным является заключение о связи этого механизма с солнечными вспышками. Дело в том, что часть токов и лтагнитной энергии выброшенных магнитных трубок будет диссипировать в хромосфере и короне, вызывая вспышки. Выше говорилось о том, что трубка выбрасывается с плазмой и затем опорожняется: плазма стекает вдоль силовых линий. В конце концов конфигурация поля должна стать бестоковой. Но далеко не всегда начальная сложная конфигурация может непрерывным образом перейти в бестоковую. Она может обладать такой топологией, что переход ее в бестоковую непременно сопровождается «пересоединением» силовых линий, ято возможно только при включении значительной диссипации. Это и приведет к вспышке.

Магнитные поляв высокопроводящей плазме

Читателя, вероятно, удивит такое название подраздела: ведь до сих пор говорилось именно о высо ко про во дящей плазме. В этом подразделе разобраны все тонкости и трудности, которые возникают. Надо, впрочем, оговориться, что большинство дискуссий по этому предмету связано не с реальными трудностями, а скорее с недо р аз умениями. Мы поэтому охватим в основном те вопросы, которые вызывают наибольшую дискуссию. Часть из них уже обсуждена в книге [1], и если мы опять их здесь затронем, то только для связности изложения.

Марковская модель. Мы уже упоминали о ней в подразд. 7. Речь идет о случае Rm》1, но £ = %vll W 1- Приближенное решение (1.7) можно записать в виде

Н(0 = Н(0) + \ rot [V 的)Н (0)] dh + о

+ " rot [v 优i) rot (v &2)H(0)] dt^dt^ (2.105) о о

Выписанных членов достаточно. Теперь следует усреднить (2.105) почленно, полагая, что Н (0) не коррелирует с v (/),力 > 0. Подчеркнем, что Н (0) не следует считать чисто крупномасштабны v. Иначе говоря, Н == В (0) + h (0), только h (0) не коррелирует г V (/). Главные заблуждения начинаются именно из игнорирования этого момента. Поле Н (0) полагают крупно масштабы ы м, далее возникает мелкомасштабная составляющая h, которая в

конце концов становится пе меньше по амплитуде, чем Н (0). На атом основании полагают процедуру обрывания ряда (2.105) на втором члене (как он выписан) нестрогой.

В действительности рост величины h происходит не только как следствие выражения (2.105) с полем Н (0), содержащим крупномасштабную составляющую. Как мы увидим в гл. III, даже r случае <Н (0)〉= 0, т. е. крупномасштабная составляющая отсутствует, поле h тем не менее растет. Итак, подчеркнем еще раз, что выражение (2.105) не является разложением по hl В, это есть разложение no е = xvlL Действительно, оценивая второй член правой части, мы видим, что он порядка Н (О)тг;//, третий ——порядка Н (0) t?卢广 2. Следующий момент — это выход на универсальный режим. Он наступает при 力^> t. При усреднении получаем

В (£) = В (0) + ^ТДВ (0), (2.106)

Dr = % \ <v (力)v (t + s)〉ds (полагаем, что имеем дело с ОИТ). о

Беря производную от (2.106) по времени, получаем уравнение дпффузип. Выражение(2.106) дает верхнюю границу для 力：второй член правой части должен быть малым по сравнению с первым (иначе опять теория возмущений станет некорректной). Итак, должно выполняться

т < ^ < (加/厶)=(£2/%庐0 (2.107)

Эти неравенства непротиворечивы. Собственно, здесь мы обосновали строгость описания марковского процесса (который не нуждается в обосновании!).

Волновой процесс. Волновой процесс представляет особый случай в теории динамо. Действительно, если v = v〔 exp Zсоо^, то (1.7) в пределе высокой проводимости (少=0) дает точное решение в виде i ^oh1 exp io)o^ = dh/dt = rot [vB]; h】,В не зависят от времени. Формально это видно из (2.106): корреляционная функция по времени есть просто 〃； cos coos и интеграл расходится. Здесь также ясно, что «время'памяти» в этой системе отсутствует: корреляция, пропорциональная cos coos, бесконечнодолго помнит о своем начальном значении.

В слабопроводящей среде {Rm W 1) время памяти обусловлено только диссипацией, т. е. 12ID. Конечно, это — время памяти магнитного поля, а не движения. Но тем не менее в слабопроводящем пределе коэффициенты 少丁 и а вычисляются строго для волнового процесса. Такой подход широко используется в теории геодинамо. Так, Брагинский [2] предложил рассматривать волны с учетом магнитной, архимедовой и кориолисовой сил (МАК-волны). Генерация поля получается, если в задаче имеется псевдоскаляр. Кроме псевдовектора Й, необходимо иметь истинный вектор. В (2.17) истинным вектором является Vp. Для волнового процесса избранным направлением является волновой вектор к и〈v rot v〉〜

~kQ. В [67] показано, что волны возбуждают магнитное полв даже без избранного волнового вектора к. Фактически псевдо скаляр (см. [67]) образовывается как в (2.17) (он про по рцио н ал ен △pQ). Интересно отметить, что сама величина <v rot v> обращается в нуль (см. [67]), но ос-эффект остается. Это связано с тем, что а не просто пропорционально <v rot v〉. Для марковского процесса, например, а=——1/3，<v (t) rot v (^ + s)> ds. Величина не обязана о

обращаться в нуль, если <v rot v> = 0.

Итак, чисто волновой процесс в высо ко про во дящей среде не вызывает динамо. Это, впрочем, очевидно: движение носит колебательный характер, магнитное поле, вмороженное в среду, тоже просто осциллирует без всякой эволюции. Более интересен случай волн со сбоем фаз, т. е. волн, тоже имеющих время памяти, например, волны в солнечной атмосфере и короне генерируются в нижних слоях фотосферы и в конвективной зоне. Конечно, ohil приходят в атмосферу Солнца не чисто плоскими и когерентными. Другой пример ——взаимодействующие волны. Взаимодействующие акустические колебания как генератор магнитного поля рас- qaioтрены в работе [17]. Ограничимся далее для конкретности именно акустическими колебаниями. Здесь имеются два характерных периода времени. Первый, естественно, сам период колебания 7\ = Wq1. Второй —— время сбоя фаз. Обозначим его 丫丁， Тогда корреляционная функция не будет косинусоидой, 〈V (力 V (力 + s)〉=龙 exp (―%s) cos с%*. Теперь интеграл в (2.105) не расходится:

Pi \ ехр (— Yis) cos gs ds = и；"(臂 + з犷】• о

Для реальных волн 丫】V о)о (в противном случае это уже не волны). Взаимодействие волн характеризуется тем, что 丫】дож на быть квадратично по амплитуде: r 〜№, для акустики r = = о)оМ2, М — число Маха (М《 1). Время 丫丁 есть время жизни волн, поэтому его можно считать временем памяти, т = у?・ Ряд (2.105) здесь законным образом обрывается по малому параметру о/з。％, I —— характерная длина волны. Вся процедура усреднения оказалась законной, теперь только (2.107) заменяется на

Z N 叫一v^M1 一加4(0()拦.

Эти неравенства непротиворечивы. Отметим также, что для обоснования генерации флюктационных магнитных полей при отсутствующем крупномасштабном поле будем иметь неравенство t =(3°必2)-i V 力殳 у-* Y — инкремент нарастания спектральной функции флюктуаций. Согласно [17], у = Мл о)о, и эти неравенства тоже оказываются непротиворечивыми.

Рассмотрение взаимодействующих волн в высокопроводящей среде оказывается для теории динамо вполне корректно. Процесс является как бы марковским.

Насколько корректно полагать D = 0? При рассмотрении марковского процесса и взаимодействующих волн необязательно полагать D строго равным нулю. Величина D мала, но, строго говоря, в (2.105) ее следует учитывать с помощью функции Грина уравнения тепл о про во дно сти (см. подразд. 7). Но при малых D все равно с хорошей степенью точности ряд с учетом конечного D переходит в (2.105). Поэтому здесь всегда можно говорить о малом, но ненулевом D. Но тем не менее все результаты получатся, если положить D = 0. Более того, в лагранжевом подходе, где малость параметра £ =七从一丄 не используется, диссипацией действительно полностью пренебрегают (точное решение (2.30) имеет место только при D = 0).

Есть ли смысл говорить о диффузии поля, его диссипации (для ОИТ) или его генерации (для ОНИТ), если имеет место полная вмороженность? Последняя означает, что число силовых линий сохраняется. Нет ли здесь противоречия и непоследовательности?

Для того чтобы разобрать эти (кажущиеся) парадоксы, следует в первую очередь иметь в виду следующее. Когда речь идет о крупномасштабном поле, мы тем самым как бы проводим спектральную фильтрацию и отбрасываем все мелкомасштабные поля. Наш фильтр пропускает лишь низкочастотные крупномасштабные ноля. В идеальной среде с Z) = 0 число силовых линий, конечно, сохраняется. Но в ОИТ, когда происходит диссипация крупномасштабного поля, в действительности силовые линии за- лутываются и крупномасштабная составляющая переходит во флюктуационную с масштабом I, При наличии генерации в ОНИТ, наоборот, часть энергии мелкомасштабных пульсаций переходит в крупномасштабные. В области малых масштабов, как мы увидим далее, имеет место перекачка энергии в область совсем малых масштабов, где диссипация уже существенна. Но для крупномасштабных полей этот процесс малозаметен. Дело в том, что перекачка пульсационного поля, т. е. поля, которое генерируется мелкомасштабным динамо и существовало бы и без крупномасштабного поля (см. гл. III), гораздо более эффективна, чем перекачка крупномасштабной составляющей поля. Действительно, потэк равен

ем = <Я2>/т = /2»/ I (2.108) (ср. с 8 в подразд. 2). Поток, идущий из крупномасштабной составляющей, есть

炉各= $32^.. (2.109)

Здесь в качестве времени жизни мы взяли диффузионное время L^D^. В гл. IV будет показано, что <Д2> = 4лр<г；2>. Отношение потоков (2.109) и (2.108) есть % 编。"^厶-2,以=笈(4np尸厶.

Эта величина мала не только по параметру IL^, но и по v^-1： при °а > о (напомним, что vA есть альфвеновская скорость) пульсации скорости представляют собой волны, и тогда, как сказано в предыдущем вопросе, коэффициент DT следует писать иначе, и (2.109) несправедливо. Рассуждения, аналогичные рассуждениям предыдущего вопроса, приводят к коэффициенту турбулент- НОЙ диффузии (см. [15]) 0T = №打呜2, % = ^qMa, Ma =。次 (Ma —— альфвеновское число Маха). Следовательно, поток энер

〈胪〉^М\, что в LH~-〈胪〉^М\, что в LH~-гии, идущий пз крупномасштабного поля, равен B2DTL~2 = = B2v2yr X L~2(Dq = B42L~'2^M\ (ср. с (2.109)). В то же время поток в область больших волновых чисел из-за нелинейного взаимодей

〈胪〉^М\, что в LH~-

〈胪〉^М\, что в LH~-

Рис. 2.6.Полопдальное поле звездыРис. 2.6.Полопдальное поле звездыствия волн есть £m =〈论2〉t一1 =〈论2〉Yi = раз больше, чем поток энергии из крупных масштабов (мы учли дополнительно, что МА = Q仍В”

Рис. 2.6.

Полопдальное поле звезды

Рис. 2.6.

Полопдальное поле звезды

Итак, поток энергии, идущий из крупных масштабов в малые, 'очень мал (по сравнению с собственным потоком в малых масштабах). Следовательно, можно говорить о перекачке энергии крупномасштабного поля в первую очередь в пульсации масштаба 厶 при этом полная вмороженность сохраняется. Неучет этих факторов привел Моффата [68] к обсуждению еще одного парадокса. Рас-

смотрим магнитное поле звезды с полем, расположенным в начальный момент в меридиональных плоскостях (рис. 2.6). Оно состоит пз замкнутых внутри и вне звезды сило вых линий (последние пересекают на рис. 2.6 поверхность). Ясно, что в идеальной среде (бесконечная проводимость, a 少=0) сохраняется поток магнитного поля через жидкий контур. Положим теперь, что нормальная к поверхности сферы радиуса звезды скорость vn обращается в нуль. Тогда, какие бы движения не происходили в звезде, замкнутые внутри звезды силовые линии не смогут перейти в разомкнутые (но замыкающиеся вне звезды). И наобороту разомкнутые силовые линии не переходят в замкнутые. Такой процесс неизбежно привел бы к нарушению сохранения потока через жидкий контур на поверхности звезды. Поскольку число силовых линий, пересекающих поверхность звезды (т. е. разомкнутых внутри), определяет дипольный момент, то можно утверждать, что при = 0 в идеальной среде дипольный момент сохраняется. Такое утверждение является содержанием теоремы Бонди и Голда [69], в этой работе читатель найдет строгое обоснованно теоремы. Парадокс же заключается в том, что ос-эффект дает согласно системе (2.91), (2.92) генерацию 〈4屮〉т. е. дипольной составляющей. Результат этот может быть получен и для 0=0.

Выход из этого очень прост. Полагая vn = 0, мы тем самым запрещаем турбулентную диффузию поля в радиальном направле-

лии вблизи поверхности. Здесь поэтолху необходимо учитывать конечную электропроводность и помнить, что 力 Н= 0. То, что учет конечной электропроводности не приведет к фатальным следствиям (можно было бы опасаться, что это приведет к замедлению лроцесса динамо, все омические времена ведь очень велики (см. гл. I, подразд. 1)), было показано Крейкнаном [7]. Будем считать, что все движения происходят при 厂《 Е「R1<Z. R, R — радиус звезды. В узком слое толщиной △ = Е ——& плазма покоится. Конечно, если считать, что здесь плазма сверхпроводящая, то силовые линии, пересекающие поверхность, вморожены в неподвижное вещество, на них не действует движение нижележащих ■слоев. Для реальной задачи следует допускать в слое толщиной Д конечную проводимость. Если теперь уточнить, что Д —— толщина скин-слоя: Д = (D/y)1/% 丫 ——инкремент нарастания поля (или характерная частота изменения поля), то поля, генерирующиеся внутри звезды при 厂 V Rr, свободно выходят на поверхность, II дипольный момент меняется. Причем в области, где 〃 = 0, поля меняются на масштабе Д.

Интересно отметить, что в этой модели Крейкнана [7], пользуясь нашей терминологией, энергия крупномасштабного поля вблизи границы звезды перекачивается непосредственно в весьма малый масштаб Д. Величина Д даже меньше, чем " Если отказаться •от модели с областью неподвижной плазмы, то можно утверждать, что перекачка энергии поля В происходит в первую очередь в область масштабов порядка I》(少/丫)％, а затем энергия пульсаций лерекачивается по спектру вплоть до масштаба 厶=(Dlir1)"、 где сказывается омическая диффузия. Этот новый размер 厶 yase гораздо меньше, чем (少/丫)％.

Вернемся к теореме Бонди и Голда [69]. Казалось бы, можно отказаться от требования vn = 0, теорема все равно останется в силе. Можно допустить движения, нормальные к поверхности и искажающие эту поверхность. Следует только потребовать, чтобы ловерхность не возмущалась в среднем, т. е. в среднем оставалась сферической. Такие движения уже недопустимы на поверхности проводящего земного ядра, но вполне возможны на поверхности звезды. Однако Паркером были высказаны весьма остроумные •соображения, показывающие, что теорема о сохранении дипольного момента в этом случае не выполняется даже для идеально проводящей среды. Для объяснения этого явления Паркер привлек механизм выброса магнитной трубки, рассмотренный в подразд. 10. Представим себе, что замкнутые силовые линии подходят к поверхности звезды. Часть трубки поднимается далее над поверхностью, причем плазма стекает вдоль силовых линий обратно внутрь звезды. В результате часть магнитного потока оказывается над поверхностью, а внутри часть силовых линий уже замыкается через эту силовую трубку над поверхностью. Значит, они стали разомкнуты внутри звезды, а поверхность звезды сохранилась в виде сферы. Это и приводит к изменению дипольного момента.

Глава третья

ДИНАМИКА МЕЛКОМАСШТАБНЫХ ПОЛЕЙ

Общие замечания

Начнем с замечаний исторического характера. После появления антидинамо-теоремы Каулинга единственной работой, положительно решающей вопрос динамо, была работа Бэтчелора [70]. Речь в ней шла о генерации полей, масштаб которых сравним с масштабами турбулентных пульсаций. В настоящее время мы называем эти поля мелкомасштабными. Но после работы [70] под турбулентным динамо понимали только проблему генерации мелкомасштабных полей. Затем работа Бэтчелора подверглась критике (см. далее), и справедливо считалось, что проблема турбулентного динамо не решена. В дальнейшем положительные результаты получили для динамо магнитных полей небесных тел (см. гл. II). Теперь мы называем эти поля крупномасштабными. Но все еще бытовало мнение, что проблема турбулентного динамо не решена. Путаница эта прекратилась после появления обзора [15], в котором было уже четко сказано, что есть два вопроса: вопрос о генерации крупномасштабного поля и вопрос о генерации мелкомасштабного поля. Но, конечно, уточнение терминологии не продвинуло нас в область решения проблемы мелкомасштабного турбулентного динамо. Эта проблема так и оставалась нерешенной. Единственное строгое решение можно было получить только для акустической турбулентности [17].

Надо сказать, что наблюдаемые мелкомасштабные (или флюктуационные) магнитные поля сильно превышают 'средние поля. Энергия флюктуационных полей межзвездного газа Галактики примерно на порядок превышает энергию крупномасштабного поля. На поверхности Солнца энергия поля тонкоструктурных образований превышает в тысячи раз энергию среднего поля. Что касается солнечного ветра, то здесь энергия пульсаций и энергия среднего поля сравнимы по порядку величины. Если бы энергия пульсационных полей только перекачивалась в область больших волновых чисел, то само наличие крупномасштабных полей могло бы объяснить энергию пульсационных полей, в лучшем случае равную энергии крупномасштабных полей. Иначе говоря, имело бы место неравенство 〈九2>/8冗《52/8л, в то время как для космических условий обычно выполняется 〈无2〉/8冗 ^> ^>52/8冗・ Заметим, что иногда используется формула〈无2〉= RmB2, т. е.〈无2〉身笈2, и это для случая отсутствия мелкомасйхтаб-

4 С. И. Вайнштейн4 С. И. Вайнштейн9797

4 С. И. Вайнштейн

4 С. И. Вайнштейн

97

97

ной генерации. Но эта связь относится к весьма мелкомасштабным полям с волновыми векторами к± 2 2л//. Поля же с харак терными волновыми векторами 厶=2л// не могут превышать по амплитуде величину В (см. [1]). Все это служило косвенным ука занием на то, что в области малых масштабов имеется не только перекачка энергии в область больших волновых чисел, но также и генерация. Причем генерация более эффективна, чем перекачка (см. подробное обсуждение в [1]).

Чем же обусловлен тот факт, что вопрос о генерации крупномасштабных полей в общем не вызывал сомнений, а проблема мелкомасштабных полей так и.оставалась полностью нерешенной? Для ответа на этот вопрос вернемся к уравнению для крупномасштабного поля (2.67). В сущности его можно получить без труда. Правая часть (2.67) есть разложение произвольного оператора по дифференцальным операторам 心(причем оператор линейный, поскольку исходное уравнение (1.7) линейно по Н). Это разложение есть разложение по HL, что видно из соображений размерности: в любой коэффициент при операторе @» входят лишь характеристики турбулентности, которые ничего «не знают» о масштабе поля В. Положительный знак£>т следует из простых физических соображений. В простейшем случае ОИТ должна приводить в первую очередь к перемешиванию магнитного поля и сглаживанию магнитных неоднородностей, как это происходит со скалярной примесью. Таким образом, получается в ОИТ уравнение диффузии с положительным коэффициентом 少т・ Что же касается самих величин 刀丁 и а, то их можно определить (по порядку величины) из соображений размерности. Тогда вопрос о генерации решится однозначно: для полей масштаба L >少"。генерация всегда имеет место. Вопрос здесь состоит лишь в уточнении коэффициентов а и 刀厂 Считается, что по крайней мере с «астрофизической степенью» точности эти коэффициенты хорошо известны, и проблема генерации крупномасштабных магнитных полей решена. Требуется лишь уточнить коэффициенты а и D*

С мелкомасштабными полями все обстоит гораздо сложнее. Здесь имеется два конкурирующих процесса. Один из них уже был упомянут ранее ——перекачка.энергии поля данного масштаба в более мелкие масштабы. Этот процесс вполне аналогичен перекачке энергии скалярной примеси в область больших волновых чисел. Время жизни пульсаций масштаба 2 из-за распада ее на более мелкие есть Hv, Второй процесс ——возрастание магнитного поля из-за растяжения силовых трубок поля. В гл. I, подразд. 2, мы- продемонстрировали факт усиления поля при наличии простого движения ——дифференциального вращения. То же дифференциальное вращение даст (для неосесимметричной составляющей поля) уменьшение масштаба (гл. I, подразд. 5). Время усиления поля масштаба I тоже порядка 〃沙.Итак, два конкурирующих процесса имеют одинаковую по порядку величины скорость. Здесь невозможно отделаться оценками из соображений размерности, как для крупномасштабных полей. Необходимо 6 точном виде

определить скорости этих двух процессов и тогда их сравнивать. Если рост поля при данном волновом векторе к происходит быстрее, чем уменьшается за счет дробления масштабов, то имеет место мелкомасштабное динамо. Если же медленнее, то пульсации поля перекачиваются в область очень больших 左 и диссипируют из-за омических потерь (или же остаются слабые пульсации, генерирующиеся за счет энергии крупномасштабного поля).

Еще несколько слов о качественной картине поведения турбулентного поля. С одной стороны, магнитное поле стремится увеличиться благодаря растяжению силовых линий. Силовые трубки лоля вморожены в проводящую среду. При турбулентном движении две близкие точки в среднем расходятся. Это означает, что силовые трубки растягиваются. Так как количество вещества в трубках должно сохраняться, результатом их растяжения будет сжатие, уменьшение диаметра трубок. Следовательно, поле будет расти (обратно пропорционально квадрату диаметра трубок,так как поток Ф сохраняется). G другой стороны, этот же процесс приводит к сжатию «петель» поля, содержащих противоположно направленные поля. Это приведет к падению масштаба.

Первая попытка решить проблему мел ко масшт абно го динамо лредпринята в упомянутой выше работе Бэтчелора [70]. Автор использовал аналогию между уравнением (1.7) и уравнением для rot V, которое получится, если взять операцию rot от (1.24) (при И = 0 обратным действием поля на движение в кинематической постановке задачи можно пренебречь): д rot v/dt = rot [v rot v] + + %A rot v. При D = x эти уравнения совпадают. В стационарной турбулентности <(rot v)2> поддерживается на стационарном уровне. Отсюда Бэтчелор делает вывод, что при D = % генерация Н в точности компенсируется омическими потерями и <Н2> поддерживается на стационарном уровне. При D/% V 1 омическая диссипация менее существенна, чем генерация, следовательно, поле 〈W〉 генерируется. При DI* > 1, наоборот, происходит лишь диссипация поля.

Критику работы Бэтчелора можно свести кратко к двум замечаниям. Во-первых, поле (а значит, и rot v) поддерживается на стационарном урэвне внешними источниками, без которых турбулентность вырэдится (тоже за время Z/。!), в то время как поле Н не имеет внешних источников. Во-вторых, поле Н пассивное, в пределе (1.25), (1.26) оно не влияет на движение, в то время как поле rot V очевидным образом связано с v. Иначе говоря, нелинейная задача (динамики v и rot ") не сводится к чисто линейной —— динамике Н. Исторически работа Бэтчелора сыграла двоякую роль. Она стимулировала развитие теории турбулентного динамо, но долгое время связывала вопрос о турбулентном динамо с величиной О/%. В действительности же, так же как для немагнитной турбулентности в инерционной области, для магнитной в области, где Rm 身 1, вся динамика процесса и все скорости не должны зависеть от % (в гидродинамической турбулентности) и от JD (в магнитной). Параметр D^ здесь вообще не причем! Далее мы

еще дополнительно убедимся в том, что вопрос о мелкомасштабном динамо действительно не зависит от этого параметра.

Трудность проблемы заключается в том, что для решения вопроса о динамо пульсационного поля не годятся ни приближенные методы, ни эвристические теории. Отметим попутно, что моделирование этого процесса в лабораторных условиях пока невозможно: величина Rm для турбулентных движений при этом мала. Численное моделирование трехмерного случайного процесса без каких-либо упрощенных модельных уравнений в настоящее время тоже не представляется возможным. Единственная решаемая модель ——это марковский процесс с т; V 〃。(акустическая турбулентность тоже решаемая задача, но это уже не модель, а турбулентность специального вида). Но в лучшем случае на марковский процесс можно смотреть как на эвристическую теорию, если параметр tvH не мал (как в реальной турбулентности).

В этом месте нам все же хотелось бы «оправдать» марковский процесс вот с какой стороны. Дело в том, что в работе Краузе [7U утверждается, что марковский процесс вообще не адекватен для описания мелкомасштабного динамо. Мотивировка следующая. Краузе полагает, что величина т не просто мала, но меньше всех характерных времен в задаче. Тогда, в частности, можно написать т V (jD"2)t. Здесь (刀胪厂1, очевидно, время омического затухания поля с волновым вектором А. Но для произвольно больших А это неравенство выполняется только, если Z)f 0. Но, как было сказано в гл. I, подразд. 5, динамо поля при£> = 0 невозможно► Усиление поля всегда носит временный характер при таких условиях. В действительности же величина т не является наименьшим характерным временем задачи. Для обоснования марковской модели требуется только выполнение условий т《Hv и т《丫一丄, у ——инкремент. Для марковской модели у = t (о/2) 2. С другой стороны, величина у должна определять масштаб пульсаций (см. в гл. I, подразд. 5, связь между инкрементом у = | Ет | и масштабом (1.37), (1.38)). А именно: у = D欣,% — характерный волновой вектор магнитных пульсаций, при к 登 Лг энергия пульсаций пренебрежимо мала. Итак, у = t (v/Z)2 = Dk[. Естественно, kJ должно быть много больше единицы, следовательно г у = t (о/2)2 = D窟 ^> Dl^2, т 登刀0一2, видно, что т мало, но вс*, же не равно нулю. Все неравенства объединяются следующим образом: О。— у х у 〃t, 丫-1 = 丁1 ./о/ = (2)力；尸 気 PD~l. Они непротиворечивы при Rm 登 1, что, естественно, предполагается. Напомним теперь, что для марковского процесса ряд теории возмущений строится с помощью функции Грина уравнения теплопроводности. Иначе говоря, D не требуется полагать равным нулю. Но функция Грина (в фурье-представлении) будет иметь вид exp [—Ьк2 (力 ——f )1 (&определяется характерными волновыми векторами задачи, a t —— tf —— корреляций иным временем). Тогда даже для максимального к = % величина %；(力一У)=

==%；!；《1 (см. выписанные неравенства), т. е. даже для этих волновых векторов функция Грина в фурье-представлении заменяется единицей. Но эта процедура вычислений эквивалентна тому, что т просто равно нулю и〈少(办 а (，)〉〜3 (力——У). Итак, при вычислениях можно полагать т; равным нулю. Но по физической сути ясно, что т > 0. Марковская модель оказывается обоснованной (повторим опять, как в гл. II, подразд. 10, что она не нуждается в обосновании!). Вопрос только в приложимости данной модели к реальной турбулентности.

В заключение этого подраздела отметим, что точная постановка задачи для мелкомасштабных полей возможна только в лагранжевом подходе. Именно с этой целью в гл. II мы уделили много места лагранжевому подходу (для крупномасштабных полей этот подход дает лишь возможность строго обосновать результаты, известные уже из эйлерового подхода). Предварительно, однако, нам придется описать в лагранжевой постановке свойства скалярной примеси. Ограничимся для простоты случаем ОИТ. Дело в том, что гиротропность сказывается, как можно ожидать, только на динамике крупномасштабного поля и не проявляется в скоростях двух конкурирующих процессов, описанных выше.

Динамика пульсаций скалярной примеси

В этом подразделе полагаем <0> = 0 и рассматриваем динамику корреляционной функции пульсаций 0 (хх, М) = <0 (хх) 0 (2х)>. Обратимся прежде всего к модели (2.70). Согласно результатам гл. II, подразд. 6, для 0 имеет место точно такое же уравнение. Для дальнейшего нам потребуется еще большая, чем в гл. II, подразд. 7, конкретизация вида уравнения для р2. Для этого рассмотрим дополнительные свойства р2. Прежде всего, р2 как плотность распределения вероятностей не может стать отрицательной. Не противоречит ли этому уравнение (2.70)? Заметим, что, для того чтобы стать отрицательной, р2 должна пройти через нуль. Если при 力=%о функция р2 обращается в нуль в точке хх = ^(0\ 2х — =2х(о), то Qpjdt в этой точке не должна быть отрицательной (иначе в окрестности этой точки р2 станет меньше нуля). Разложение /?2 в окрестности нуля аппроксимируется положительно определенной формой 邱匕订 _伤—а*。))(限才—昵°))・ Требование dpjdt》0 в этой точке запишется в виде

(6泌何 + ^浦 丁向(6x(。)，％(。))> 0. (3.1) Условие (3.1) выполнится, если тензор Т удовлетворяет требованиям, накладываемым на корреляционный тензор.

В действительности тензор Т как раз должен быть корреляционным тензором некоторого (пусть даже неизвестного нам) случайного поля. Для того чтобы убедиться в этом, воспользуемся опять уравнением (2.70), но теперь уже будем смотреть на него как на уравнение для 0 (хх, 2х). Корреляционная функция долж-

на удовлетворять условию положительной определенности

® = ^ F ^х)Р^ (2х) © (lx, 2х) dlx d2x > 0,(3.2)

F (х) — произвольная функция. Модель (2.70) не должна противоречить (3.2). Корреляционная функция согласно уравнению (2.70) меняется непрерывно во времени, и если (3.2) выполняется в виде неравенства (для произвольного F), т. е.①i〉0, то в бесконечно близкий промежуток времени неравенство все еще будет выполняться. Нарушение условия (3.2) может наступить, если при 力=% (3.2) выполняется в виде равенства для некоторого 歹=":

Ф1 =，斤 1 (」х)歹：””(改,2x) d^x = 0,(3.3)

а при 力〉力о выражение в левой части станет отрицательным. Для проверки выполнения условия (3.2) умножим (2.70) на 歹i (ix) Ь： gx)； проинтегрируем по хх, 2х. Итак, в момент 力=% полагаем Фх = 0 и должно выполняться д①Jdt》0. Для вычисления правой части (в левой стоит д①jdt) удобнее пользоваться формой записи модели (2.70) в виде (2.64), только, конечно, без многоточий справа и с заменой р2 на 0. При интегрировании правой части (2.64), умноженной на F^*, по хх, ^ первый член правой части исчезнет. Это следует из того, что одновременно с (3.3) 'выполняется автоматически

，招(攻)❷(】x,2x)dix = 0, ^Ft^e^^d4 = 0.

Неотрицательность второго члена правой части будет иметь место, если

\ 図品(仪)]図产2 (2х)] Т订 Gx, 2х) d】xd2x > 0(3.4)

(напомним, что в этой главе рассматривается О ИТ и 7订 = T# и, кроме того, 7订(г) = 7订(—г)). Условие (3.4) есть, как известно, условие того, что 7订 ——корреляционный тензор. Кроме того, из (2.61) следует 冉7订=djTц = 0. Иными словами, Т есть корреляционный тензор некоторого соленоидального поля и' (однородного и изотропного):.

Тц = (3订А —山力)u (г) = Qj 0х)的(2х)>.

Вернемся теперь к главному вопросу. Может ли (2.70) служить моделью реального физического процесса? Положительный ответ на этот вопрос следует из того, что (2.70) является точной записью уравнения для р2 в случае б-корреляции по времени эйлерового поля скорости V (марковский' процесс для скалярной примеси), только в этом случае тензор 7订 определяется эйлеровым полем скорости.；

Для того чтобы убедиться в этом, выпишем ряд теории возмущений для 0:

tt厶

0W = 0 (0) + \ 内依)&e (0)也1 + V 以⑸)。吗(力 2)9；e (0)山 1欠 2 (3.5) оо 0

—разложение по параметру е = tu/Z, величина б мала для марковского процесса. Ряд оборван на члене второго порядка по е, дающим неисчезающий вклад наинизшего порядка. Умножим (3.5) в точке ^х на такое же выражение в точке 2х (но в тот же момент времени Н), усредним почленно и возьмем производную по 九 Тогда при 力另 t получаем уравнение (2.70), где Т^ (хх, 2х) = =\〈S 0х, %i)Uj(2x, %i+s)〉ds, т. е. тензор 7订 очень простым о

образом выражается через эйлерово поле скорости. Уравнение для 卩2 обязано при этом удовлетворять всем необходимым требованиям, а следовательно, и модель (2.70), где 7订 уже задан как корреляционный тензор некоторого лагранжевого поля и7. Выражение его через эйлеровы характеристики практически невозможно: оно содержит бесконечные (и, возможно, расходящиеся) ряды.

Заметим, что в уравнении не содержится информации о параметре 侬7. Напомним, что все модельные и реальные уравнения для функций распределения вероятностей нас интересуют только при t 登 т. Для марковского процесса т -> 0, и поэтому (2.70) будет справедливо при всех моментах t,力〉0. В реальной турбулентности модель (2.70) должна рассматриваться при 力登т. Но в этом случае сведения о параметре tp/Z отсутствуют в этой модели. Невозможно составить все входящие в этот параметр размерные величины хотя бы из соображений размерности. Так, размерность Т совпадает с размерностью коэффициента диффузии, из соображений размерности | Т \ х vl. Отсюда можно оценить время изменения 卩2 для пространственного масштаба этой функции порядка Z. Это время будет 〃и. Чему же равна величина т в этом процессе? Уравнение (2.70) не содержит такой информации. Вот если бы рассматривалась функция распределения жидких частиц 6 разные моменты 々,力2，вышедших при ^ = 0, ^2 = 0 из тех же точек, что и в /?2, то эта функция распределения содержала бы информацию о параметре б = tp/Z.

Обратимся теперь к уравнению для однородной (в статистическом смысле) скалярной примеси. В этом случае 0 есть функция только от г, уравнение для 0 (в модели (2.70)) уже выписано в гл. II (см. (2.62)). Это уравнение, как уже говорилось, сохраняет величину 〈02〉— 0 (0) и, как легко показать, дает рост〈(VB)?〉. Действительно, <(V0)2> = —Д0 |г==0 и

д <(ve)2>/5^ = г2 <(ve)2>.(3.6)

Здесь мы воспользовались разложением тензора Т при малых г:

Tij (г) = T6ij— 丁2 (典订 一 ％Yj)・(3.7)

Коэффициент V2 появился из требования 0»Т订=0, коэффициент 丁2 существенно положителен: это необходимо следует из того, что Т ——корреляционный тензор.

Итак, <02> сохраняется, a <(V0)2> возрастает. Следовательно,

масштаб пульсаций падает. Точнее, характерное волновое число, или «центр тяжести», спектральной функции растет по закону (3.6). В спектральной области, как мы видим, имеется перекачка энергии пульсаций скалярной примеси в область больших волновых чисел. Это соответствует существующим представлениям о скалярной примеси. Все сказанное можно было бы вывести из лагранжевых решений (2.29) и (2.34). Из первого из них с очевидностью следует сохранение \02>, из второго

<(W> =〈仇仇〉=〈欝詳〉〈％ (a) % (a)〉・(3.8)

Рост множителя перед начальным значением величины 〈(V®)?〉 можно видеть, если перевести тензор да，дх» в обратный по формуле (2.23). Рост же квадрата величины дх^да^ есть «растяжение жидких линий» в турбулентном потоке.

Известно, что спектральная функция скалярной примеси в инерционной области (2.5) имеет спектр колмогоровского типа Eq 〜Аг% Покажем, что этот закон является следствием уравнения (2.62). Для этого нужно рассмотреть изотропно распределенную скалярную примесь, т. е. 0 зависит от г. Выпишем предварительно полезные вспомогательные формулы:

丿 / dr rI r ‘

г2 1 dr г

Кроме того, нам потребуется выражение для Т в инерционном интервале. Выражение для следа этого тензора Т〃, т. е. корреляционной функции, можно получить из соображений размерности (так же как в гл. II, подразд. 2, колмогоровский спектр). Размерность этого тензора совпадает с размерностью коэффициента диф фузии. Поэтому Т^ 〜 以力т, % 〜 кг”，丁汉 〜 场-% Следователь - но, для спектральной функции и 侬),Тц (г) = § 〃 (吩产旧^, имеем

и⑻依〜片/з.(3.9)

Закону (3.9) соответствует в r-представлении следующий вид Та (г)：

Та =(0) — Т；/产，(3.10)

厶 V「V 2・ Область г, в которой справедливо (3.10), определена согласно (2.5). Теперь легко составить вид тензора Т в этой же области, использовав свойство соленоидальности тензора 0»7仃= =0. Выпишем его:

Т 订(г) = Т8и - Т4r/3申订 一 /г®,

Полезно также иметь в виду, что для колмогоровской турбулентности корреляционная функция В а (см. определение в (2.4)) бу-

дет иметь следующий вид в инерционной области:

Ви = Ви (0) 一 ”/з(3.12)

(ср. с (3.10)).

Итак, для скалярной примеси тоже должен получиться закон (3.12). Выпишем уравнение для 0 (г), воспользовавшись (2.62) и (3.11):

*偿祭产 + 2r 署).(3.13)

Стационарный спектр получится, если добавить справа (3.13) крупномасштабный источник ее = <02>p/Z и положить dldt = 0. Решение для 0 ищем в виде

@ = 4 + агВ + • • •(3.14)

Теперь удобно воспользоваться оценкой

Г* = VH = и%-%.(3.15)

Ясно, что в области, где г V I (а именно для таких г и ведется рас смотрение), выписанный член правой части (3.13) много больше источника £q. Позтому в первом приближении eg и 0 ——константы.

В следующем приближении по формуле (3.14) подставим аг^ в скобку (3.13) и приравняем все выражение постоянной величине —ее- Тогда получим

6 = %, 〃 = -% [2Tq (3/5р2 + 7/5б)『・(3.16)

Первое из равенств (3.16) дает показатель степени, совпадающий с (3.12) для колмогоровской корреляционной функции. Второе дает нужный знак коэффициента при 产工 как в (3.12). Далее, поскольку А =〈02〉и Т4/3 оценивается по (3.15), легко получить вместо (3.14) 0 =〈02〉(1 — г7з/-7з)# Это выражение показывает, что (3.14) действительно имеет вид разложения, т. е. | агВ |《А при г W 2. Тем самым процедура последовательных приближений, приведшая к (3.16), является самосогласованной.

Итак, уравнение для 0 — (2.64), а для однородной примеси —— уравнение (2.62) правильно описывают динамику скалярной примеси. В частности, они дают колмогоровский спектр. Заметим дополнительно, что (3.13) дает правильное время жизни пульсаций масштаба г (т. е. имеющих характерный размер изменения, равный г). Простая оценка (3.13) дает

t (冷=产/з/行 _ 尸/з产/3/1.(3.17)

Соответствующее время т (场)получается4 и для колмогоровской турбулентности (см. гл. II, подразд. 2):

t (Л)=(分加尸=尸厶厂必二/3以=v (24尸/3.

Это выражение для т (场)получится из (3.17) при замене г на Тс'1.

Все изложенное в этом подразделе служит обоснованием того, что модель (2.70), использованная в гл. II, подразд. 8, действи-

Тбльно может служить физически реализуемой моделью для выяснения динамики крупномасштабных магнитных полей. В заключение приведем спектральную запись уравнения (2.62) для изотропной примеси:

@6 (k)/dt = — 2Z?t"2®(© * 2 \ 〃 (月)9 (q)[q2 — (qp)a p-2j dq. (3.18) где p = k ——q, 0 (fc) — спектральная функция скалярной примеси.

Функция распределениядля двух близких точек жидкости

Лагранжева функция распределения р2 описывает поведение двух жидких частиц. При t 身 т каждая из частиц уходит далеко от своего начального положения. Точнее, | ах — аа | 登 Z. Но это не значит, что две частицы непременно должны за это же время далеко уйти друг от друга! Само существование тензора

dq _ ]jm % (а + 6а) —% (а)

говорит о том, что если частицы вышли из бесконечно близких точек а и а + 6а, то и при t 娶 t они близко расположены. В этом разделе считаем, что расстояние г между жидкими частицами остается в интересующий нас момент времени t меньше, чем все характерные масштабы турбулентности. Для турбулентности с малым числом степеней свободы (как у странных аттракторов, см. гл. II, подразд. 3) полагаем, что возбуждены лишь пульсации скорости масштаба I. Тогда расстояние между жидкими частицами должно оставаться меньше I. Для колмогоровской турбулентности это расстояние должно быть меньше Zx = 2冗/力1 (см. определение (2.9)).

Уравнением для р2 для бесконечно близких частиц мы уже пользовались и записывали его в виде (2.66). Здесь, однако, нам потребуется следующее приближение по параметру rll (или г/厶 для колмогоровской турбулентности), поскольку нас в этой главе интересует мелкомасштабная структура турбулентности. Кроме того, в (2.66) полагаем С = 0, поскольку рассматривается О ИТ. Тогда уточненный вид (2.66) можно записать так:

dp2ldt = T(UA + 2嶋2 厶 + 22А)网 一 2鎧(2g 一

一%3广公8歩2 + . . ., (3.19)

г = 2x ——ix. Новый член здесь (второй) выписан в таком виде, чтобы операторы 气汽广 могли быть вынесены перед скобкой (свойство эрмитовости, см. гл. II, подразд. 7). Естественно, (3.19) можно получить с помощью общего выражения (2.64) и разложения (3.7).

Выясним теперь, что следует понимать под многоточиями в (3.19). Ясно, что под ними понимаются следующие члены разложе-

ния уравнения для р2 по дифференциальным операторам. Члены какого типа там могут быть? Можно показать, что члены, содержащие нечетное число операторов О, не входят в разложение (3.19). Действительно, самосопряженности оператора (см. гл. II, подразд. 7) в правой части (3.19) можно добиться членами вида

ддТ (у)ддр2. (3.20)

Для упрощения записи индексы у операторов д и тензора Т не выписаны. В то же время выражение в правой части (3.19) должно иметь дивергентную форму (см. (2.55)), поэтому операторы в (3.20) должны передвигаться влево, т. е. член (3.20) должен записываться в виде ддддТр2. Но отсюда следует, что дТ = 。/订加(【)=0, и, следовательно, этот же член можно записать в виде Тддддр2. Здесь оператор д действует четыре раза на 必，т. е. это член четвертого порядка по д. Аналогичное утверждение относится и к членам более высокого порядка. Члены пятого,.. седьмого и т. д. порядков не содержатся в разложении (3.19).

Обратимся теперь к рассмотрению членов четного порядка по дифференциальному оператору. Начнем с членов четвертого пот рядка. Рассмотрение четных членов более высокого порядка по оператору д вполне аналогично. Их можно разбить на две категории.

1. Члены с неодинаковым числом операторов х^ и 25:

(1"办1然麻 + 2”％2%%)Т/&, (3.21) ^diWdf^ + 2讨"”％)呜 mP2・ (3.22) 2. Члены с одинаковым числом этих операторов:

(咻砲2a尚皿+ 2山2%%I%)&mP2・ (3・23)

Выражения (3.21) — (3.23) выписаны с учетом очевидной симметрии функции распределения р2 по точкам хх и 2х. Это же требование симметрии приводит к тому, что тензоры Г\ Гя, Т" должны быть симметричными по всем индексам.

Покажем, прежде всего, что члены вида (3.21) отсутствуют в разложении (3.19). Воспользуемся для этого тем, что (3.19) есть одновременно уравнение для 0 (】х, 2х). Составим форму (3.2). с условием (3.3). Положим сначала

% (х) = С6 (х - х°). (3.24)

Тогда (3.3) будет выполняться, если 0 (х0, 2х) = 0 (】х, х°) = 0- Положим далее, что

0 (Г, 2х) = & (ix)& ”)， (3.25)

где 0х ——цроизвольная функция. В таком виде @ удовлетворяет свойствам корреляционной функции (неоднородного процесса). Для выполнения (3.3) необходимо, чтобы €Г (хо) = 0. Потребуем далее (чтобы избежать вклада от выражений (3.22), (3.23)) обраще-

ния в нуль вторых и четвертых производных от & в точке х0. Умножим теперь (3.19) на F± (%)歹：(2х) и проинтегрируем по хх, 2х Тогда (3 21) даст вклад

2CC^Tijfm (0)[。田浊& (Xo)Wm& (Хо),(3.26)

Который не является знакоопределенным. Можно всегда подобрать выражение в квадратной скобке таким образом при определенной величине ^0' (х0), чтобы сделать этот вклад отрицательным. Обратим внимание на то, что величину (3.26) можно сделать больше по абсолютной величине, чем вклад соответствующего первого (выписанного) члена правой части (3.19). Дело в том, что размерность Тг (0) отличается от размерности Т в (3.19), и вклад (3.26) будет большим при достаточно больших значениях производных от 0х.

Составим опять форму (3.2) при

，1 (х) — СЬ (х —■ х0) +。2 (х — X]).(3.27)

Теперь в выражении для d^Jdt вклад от (3.21) вместо формы (3.26) будет иметь вид

(ОС： + С^Т^ (г)〔@0出&(X。))％& (Х1) +

+ @%・％&(xi))%&(xo)],(3.28)

г = X] —х(). Это выражение тоже не является знакоопределенным: при любом значении произведения Т на квадратную скобку отрицательности (3.28) можно достигнуть, подбирая соответствующим образом знаки у С и С\. Итак, член (3.21) приводит к нефизическому результату: отрицательность формы (3.2) — и не может содержаться в разложении (3.19).

Перейдем к рассмотрению выражений (3.22), (3.23). Начнем с (3.22). Прежде всего, тензор Т" не должен зависеть от г. Действительно, функция /?2, проинтегрированная по М, уже не должна зависеть от 2х (см. гл. II, подразд. 8). В то же время первый член в круглой скобке (3.22) дал бы такую зависимость через 汐.Покажем теперь, что Тгп = 0. Для этого воспользуемся еще одним свойством (3.19). Пусть плотность скалярной примеси 0(х,扣) в момент 力о достигает максимума в точке х = х0. Тогда во все последующее время 力〉力о

0 (х, t) < 0 (хо,幻.(3.29)

Иначе говоря, максимум 0 (х0,力о) останется и не будет превзойден. Для того чтобы убедиться в свойстве (3.29), вспомним, что согласно (2.29) скорость только переносит скалярную примесь и максимальное значение 0 в несжимаемой среде не меняется. С учетом молекулярной диффузии (см. (2.2)) максимальное значение будет только убывать: первые производные от 0 по х в точке х0 обращаются в нуль, а Д0 (х0) < 0.

Наличие члена (3.22) противоречит свойству (3.29). Рассмотрим @ в виде (3.25). Пусть реализация 0 (х,力о) достигает максимума в точке х0. Тогда функция 0 (хх, 2х, %) экстремальна в точке rx = М = X。и достигает в этой точке максимума (丄冉日 = 2^z@ = ==0, в то время как 'G JH扮=2^；0 образуют в этой точке отрицательно определенную форму). Следовательно, первый член правой части (3.19) дает в этой точке отрицательный вклад, и д@ (х0, X。)/。力 при t = t0 может стать только отрицательной, не нарушая свойства абсолютного максимума в точке 】х = ?х = х0 и тем самым свойство максимума (3.29). В то же время тензор didjdfdmQ не является знакоопределенным и может быть сделан произвольным не только по знаку, но и по абсолютной величине, т. е. член четвертого порядка типа (3.22) может конкурировать с первым членом правой части (3.19) в точке хх = ^ = х0 и давать положительный вклад. Тогда максимум в этой точке будет превзойден, и свойство (3.29) нарушится. Итак, Tffr = 0.

Единственное выражение, которое осталось проанализировать,— это (3.23) ((3.21) и (3.22), как мы выяснили, обращаются в нуль). Нас интересуют близкие точки, т. е. когда величина I 2а ——ха I мала. Ясно, что траектории 】х (^а, %) и М (2а, t) близки друг к другу:

片=2勺(2а, 0 — % (%, t)= 〃订(2〃j — %) = atjr^K

Скорость изменения г» есть

寸=寸唄， (3・3。)

поскольку коэффициенты 〃订 зависят только от времени. Далее, новые коэффициенты da^/dt тоже, конечно, зависят от времени и имеют сами размерность частоты. Они определяют изменение р2, т. е. dp^ldt. Поэтому соответствующие коэффициенты в (3.19) тоже должны иметь размерность частоты. Для того чтобы выделить их, будем рассматривать (3.19) как уравнение для 0 — корреляционной функции для однородной примеси. Ясно, что 0 (г, t) определяется для близких частиц локальной деформацией da^ldt, т. е. уравнение для 0 должно содержать лишь коэффициент с размерностью частоты. Тогда 丄。月=——2^z, первый член правой части (3.19) исчезает. У второго коэффициент Г2 имеет нужную pa3Aiep- ность частоты. Остается также член (3.23). Дает ли он вклад в разложение (3.19)? Для того чтобы выяснить это, раскладываем Т по г. Члены нулевого и второго порядков по г содержат коэффициенты неправильной размерности, т. е. не имеющие размерность частоты.

Тензор Tff четвертого порядка по г, симметричный по индексам и обладающий свойством д^Тц/т = 0, можно сконструировать (интересно отметить, что невозможно построить соответствующий

тензор второго порядка по г). Выпишем его общий вид.

Tijfm = 丁4 ⑵*4 (3 订3/m + 3订5加 + 6fm6j/) — Г2 (б^ГуГ^ +

+ 自“/团 + б^Г/ + Ь^1Гт + 8jmrirf + 少浦/j) + riVjrtr^

Покажем, что в действительности 7\ = 0, т. е. и (3 23) отсутствует в (3.19). Действительно, в противном случае уравнение для изотропной примеси 0 = 0 (г) неизбежно содержало бы член 丁4厂4@4@ (厂)/@厂4 Уравнение же для спектральной функции содержало бы члены 74 k^d^Q (к)/дк3, 714k4a&® (к)/дк^. Но члены такого вида недопустимы в уравнении для 0 (/с):

-^- ® = △ (〃о@ + 〃1尼-^- ® + 〃2A2 ~^f 可 + …(3.31)

Здесь 〃о, а】，〃2 一 безразмерные (неизвестные) константы. Если вместо многоточия в (3.31) подставить члены с третьей, четвертой и т. д. производными, то 0 (к) сможет стать отрицательной, что недопустимо для спектральной функции. В том, что 0 (场)может стать отрицательной, можно убедиться следующим о&разом. Пусть при t = tQ величина функции @ (场)обращается в нуль в точке к = к。. Тогда разложение 0 (к) в окрестности этой точки имеет вид

0他)=出侬-a)? + 阳з-砌3 + %侬一战尸+

+ a6 (fc - fc0) 6.(3.32)

Единственный здесь знакоопределенный коэффициент — это а2, «2〉° (для того, чтобы в окрестности точки к = ко было 0 (力)〉 〉0). Остальные коэффициенты (а3, а4, а6) могут быть какими угодно. Более того, они могут быть произвольными по величине: положительности 0 (к) можно всегда добиться сужением окрестности точки к = kq. Подставим (3.32) в правую часть (3.31). Ясно, что при к = к。должно выполняться 50 (Ат。)/&力》0 (иначе 0 (场。) станет отрицательной). Для этого, конечно, коэффициент а2 должен быть положительным (что следует из (3.32) при а3 ->0,а4-^- —>-0, а6 0). Если теперь в (3.31) присутствуют члены с третьей, четвертой и т. д. производными, то коэффициенты а3, а4, а6 из (3.32) дадут свой вклад ——с произвольным знаком и произвольной величины, и 0 (А:。) может стать отрицательной.

Итак, члвны четвертого порядка по степени г тензора 7" в (3.23) отсутствуют в разложении (3.19), а они могли бы дать вклад, сравнимый с выписанным. Члены более высокого порядка по г (если они не обращаются в нуль) дадут уже малый вклад по параметру r/厶. Например, коэффициент при члене шестого порядка по г имеет порядок величины Т^ (получено из соображений размерности) и мал по сравнению с выписанными в (3.19) при г《厶 (что и предполагается).

Анализ членов шестого порядка по д аналогичен приведенному. Члены первой категории типа (3.21) будут содержать один оператор, действующий на одну точку, и пять ——на другую, два ——на

одну точку и четыре ——на другую (отсутствие их доказывается точно так же, как отсутствие (3.21)). Члены первой категории типа (3.22) будут содержать шесть операторов, действующих на одну и ту же точку, и отсутствуют по той же причине, что и (3.22). Наконец, члены второй категории типа (3.23) содержат три оператора, действующих на одну точку, и три ——на другую, и тоже не дают вклада в разложение (3.19). Точно так же проводится анализ членов более высокого порядка.

В заключение данного подраздела отметим: уравнение (3.19) без дополнительных членов адекватно описывает функцию распределения двух близких частиц. Отметим, что на уравнение (3.19) можно смотреть несколько иначе. Пусть нас интересует поведение р2 в окрестности двух близких точек: г <^ 厶 厶,но расстояние между ха и 2а не мало. Операторы и функции в (3.19) не зависят от %, 2а (см. гл. II, подразд. 7), следовательно, разложение (3.19) будет сохранять свой вид. Но какой оно будет иметь смысл? В этом случае р2 меняется медленно: вероятность попадания в две близкие точки для частиц, вышедших из далеких, мала, и функция р2 «размазана» по большой площади. Это означает, что высшие производные в (3.19), если бы они там даже и присутствовали, дали бы малый вклад в (3.19). Иначе говоря, для г V 厶 4, но | 2a — ——ia I велико, анализ членов более высокого порядка в (3.19) не потребовался бы.

Свойства функции распределениядля неблизких жидких частиц

Вернемся к модели турбулентности, описываемой уравнением 2 70) В подразд. 2 показано, что она является физически реализуемой немарковской моделью. В дальнейшем нам потребуется функция распределения для четырех жидких частиц: р& = р& (^х, 2х, Зх, 4х I ха, 2а, За, %,力=网(ах । 电，方)，厶=J p&(Pxd&x — плотность вероятности того, что жидкие частицы находятся в точках ах в момент времени 匕 если при 力 = 0 они находились в точках аа. Очевидным обобщением модели (2.70) является

4

dp./dt = 2 Т订(ах,取严 д. в%% (3.33) а, В

Здесь греческие индексы пробегают значения 1, 2, 3, 4. Обоснование физической реализуемости процесса (3.33) проводится точно так же, как в подразд. 2 для двух жидких частиц. Прежде всего, уравнение (3.33) понимается как уравнение, справедливое только при 力 2 t. Кроме того, точно такое же уравнение можно записать для пульсаций скалярной примеси. Более конкретно для четвертого момента 04 = <0 (xx)0 (2х)0 (Зх)0 (4х)>. Четырехточечная функция 04 зависит еще от времени и может быть задана в качестве начальных данных для (3.33) при t = 用,用 登 т. Уравнение (3.33) для ©4 получается для марковской модели с использованием раз-

ложения (3.5), при этом 7仃 непосредственно выражается через эйлеровы характеристики. Это и есть обоснование физической реализуемости процесса (3.33).

Вернемся к функции распределения р2, которая, если расстояние г не мало, уже.не удовлетворяет уравнению (3.19). Теперь следует писать общее выражение (2.64). В предыдущем подразделе показано, что члены первой категории (3.21), (3.22) не'присутствуют в разложении. Что касается членов второй категории (3.23), то мы показали, что разложение Т" по степеням г начинается со* степеней выше четвертого порядка. Но тогда можно показать, что Т" = 0. Действительно, образуем форму (3.2) с условием (3.3). Зададим Ь] в виде (3.26), тогда член (3.23) даст следующий вклад в выражение для Фх: (СС* + С*СХ) {Т^т (厂泌心& (х())%%Х 〉：&(X，], которое не является знакоопределенным из-за наличия множителя С С* + С*СХ (ср. с (3.28)). Отметим еще раз, что отсутствие членов такого типа доказывается благодаря тому, что

(г) = 0 при г = 0. Если бы это было не так, то в выражении для Фх вместо СС* + С*СХ стояли бы два дополнительных слагаемых: СС* + С\。：. Вместе с имеющимися они образовали бы положительную форму СС* + С С* + С*СХ + СХС1, и вклад от (3.23) был бы неотрицательно определенной формой при наложении на Т" дополнительного (выполнимого) условия о его неотрицательной определенности.

Итак, (2.64) является точным представлением реального процесса с однородной корреляционной функцией 0 (г). Полностью уравнение для 0 (г) выписано в (2.62). Для колмогоровской турбулентности в инерционной подобласти тензор Т〃 записывается в виде (3.11). Читателя может привести в недоумение следующий факт. Представляется, что утверждение о том, что (2.62) точным образом описывает случайный процесс, вступает в противоречие с выводами подразд. 3. Действительно, пользуясь разложением спектральной функции в точке к = kq в виде (3.32), мы отбросили возможность того, что в уравнении для 0 (к) (3.31) содержатся производные выше второго порядка. Между тем, раскладывая 7订 в (2.62) по степеням г, мы дойдем и до четвертого порядка по г и вместо (3.19) будем иметь дополнительное выражение четвертого порядка по г. Но это означает наличие в фурье-представлении четвертой производной в уравнении (3.31). Нет ли здесь против。- речия? Оказывается, нет. Сама возможность разложения по г^ соответствует в фурье-представлении возможности разложения 0 (场)по д/дк. Пусть коэффициенты а» в (3.32) представляют собой коэффициенты ряда Тэйлора в точке к = к^ для «нормальной» 0 (场)・ Нормальной спектральной функцией мы назовем такую, У которой производные оцениваются естественным образом:

I 0@ (к)/дк I у max 0 Qi)IW、| д2&1дк2 | ^ max 0 (论)/(*)2 и т. д< (论'——характерный волновой вектор спектральной функции 0 (论)). Тогда коэффициенты а» в (3.32) оцениваются как а3 ^ «2/&\

网弋 ％/(论'У, a6 弋 电/(论')4 и т. д. Ясно из соображений размерности, что 丁4 в разложении

Та = 37 — 5/2Т2 戸 + 7V&(3.34),

оценивается как Т4 ^ T^l^- Пользуясь этими оценками, мы видим, что член четвертого порядка по г, например в (3.31), оценивается при к = к' как

74依 д&龄а t$ шах 0 他)qTWF 出I max 0 (向.

В то же время член второго порядка в (3.31) оценивается как TJ^d2&ldk2 七 丁2 max 0 侬).Сама возможность разложения тензора 7订 по г означает, что г У 乙 или к% 导 1. В этом случае член четвертого порядка дает пренебрежимо малый вклад в (3.31) по сравнению с членом второго порядка и не может повлиять ца знак dQldt в точке к = к°.

Пусть теперь 0 (к) в окрестности к = к^ не ведет себя «нормальным» образом. Например, @ описывается (3.32), кроме того, пусть (и в этом состоит «ненормальность») | a4 1y a2Zi у а2 (场1)一？・ Тогда, конечно, член четвертого порядка в (3.31) сравним с членами второго порядка. Но в этом случае для вычисления d®dt в точке- 论о следует учитывать члены более высокого порядка по г. Действительно, следующий член Гвг6 разложения (3.34) дает немалый вклад с учетом а6 =/： 0 и того, что Тб 弋 丁22『・ Но вклад членов более высокого порядка должен быть таков, чтобы 0 (左。)не стала отрицательной! Ведь модель (2.70) и следующее отсюда уравнение- (2.62) являются физически реализуемыми. Возвращаясь к рассуждениям подразд. 3, отметим, что там для нас существенно было наличие конечного числа производных по координатам в уравнении для /?2・ Если, например это разложение может быть представлено членами не выше четвертого порядка, то вклад четвертой производной по 乃 в (3.31), будучи произвольным, уже ничем не может быть скомпенсирован.

5・ Уравнение динамикисупермелкомасштабных полей

В этом подразделе рассмотрим поведение пульсаций магнитных полей весьма малых масштабов. Более конкретно, коррепя- ционный тензор магнитного поля X订=〈8» (%)方)(?х)〉считаем зависящим лишь от расстояния между точками (8订=Н^ (хх —2х)), причем характерный масштаб изменения 8订 много меньше всех характерных размеров в турбулентности, т. е. Z и ZP Будем рассматривать лишь пульсационные поля, т. е. <Н> = 0.

Уравнение для корреляиионной функции магнитного поля в модели (3.33). Прежде всего нас интересуют близкие точки, поэтому можно пользоваться разложением тензора Т в виде (3.7). Воспользуемся точным решением (2.30), составим квадратичную»

комбинацию:

区(】х) Hj (2x)= lim 二?二？ 7”？也㈣ Hm 闵.(3.35) :a-*：af f m m

Из этого выражения видно, что близкими являются не только точки 'х и 2х, но и что величины Зх — %, ‘х — 2х ——бесконечно малые. Следовательно, нам требуется рассматривать (3.33) при условии, что расстояния между всеми четырьмя точками малы.

Усредним выражение (3.35):

h订=(印%)= \ ?岬1(吻一‘勺)/(% - %)]X

4а-*2а

X [(% — 2“)/(%仅 一 2am)] p4Hfm (2a 一 la) da d2a d3x d4x.(3.36)

Здесь проведено усреднение по начальным точкам 】а, 2а, по близким траекториям (интегрирование по Зх, 4х) и по начальному рас- лределению магнитного поля. Выражение (3.36) можно записать в более компактном виде:

Hi^x — Г) = \ G}^ (】х, 2х I %, 2а") Hfm (2а 一 】а) d】ad2a. 、(3.37)

В записи (3.37) гораздо меньше переменных по сравнению с (3.36). Казалось бы, проще задавать турбулентность в виде задания тензора G в (3.37) или уравнения для этого тензора. Проще по сравнению с заданием р《,зависящей от восьми координат (четыре точки ах и четыре точки Ва). Однако определить вид тензора G для физически реализуемого (по меньшей мере) процесса весьма трудно. Здесь уместно напомнить, что соответствующее выражение для крупномасштабного поля, где тензор отклика G имеет всего два индекса (см. гл. II, подразд. 8), тоже мало полезно. Там даже не удается уточнить первый член разложения по kl тензора G =—奴厶淌订 (для ОИТ). В общем случае знак коэффициента /)т не может быть определен. Что уж говорить о задании тензора отклика & в (3.37), где требуется знать не разложение по AZ, а функциональный вид тензора! Запись (3.37) дает только возможность убедиться в том, что однородное в статистическом смысле начальное поле приводит лишь к однородному полю. Действительно, однородность самой т ур б ул ентно сти приводит к инвариантности & относительно сдвига: @@ (】х — а, 2х — 】а I 】а — а, 2а — а). Отсюда следует ин

вариантность правой части (3.37) как функции от，х, 2х относительно сдвига. Именно поэтому левая часть (3.37) зависит лишь от 2х ——хх, что соответствует однородному случайному полю в момент времени t.

Перейдем к выводу уравнения для Н^. Возьмем производную от (3.36) по времени. В правой части от t зависит только р4, заменим dpjdt согласно модели (3.33). Дальнейший переход к уравнению для Hij вполне аналогичен вычислениям в гл. II, под-

разд. 7. Необходимо, во-первых, перенести действие двух операторов 耿，В%, на все выражение под интегралом в (3.36) по схеме

(з勺—MP%” = 1% (3勺—％) Р& — р^дт С勺—%),

(3勺 一丄勺)387np& = —р^дт (3勺 一1g).

Во втором выражении отсутствует член с производной Здт, действующей на все выражение справа. Это связано с тем, что такие члены исчезнут при интегрировании по Зх. Аналогично обстоит дело с членами, содержащими 4am. Во-вторых, необходимо выразить правую часть через 8订(办，пользуясь (непродифференцированным по t) выражением (3.36). Тензор Т примем в форме (3.7). В результате получим

V.dHJdt = 丁2 (严A%i — ^Гт^д^Ни + гтдтни + 5ЯН),

(3.38) г = 2х —】х. Выпишем (3.38) в фурье-представлении для спектральной функции Н (论,力)；

芻=北俨絮+ 2尼需+ 4Я)・(3.39)

Поскольку Н (论)——спектральная функция, то Н > 0 при всех к. Пользуясь этим свойством, удобно анализировать интегральные характеристики Н (й), которые просто следуют из (3.39):

ОООООООО

糸、Hdk=4T2、Hdk, -L^Hkdk = 6T2 ^kHdk. (3.40} О00о

Конечно в (3.40) спектральная функция Н (友)должна убывать при й, меньшем некоторого К 友‘2》1,汇厶》1. В противном случае само уравнение хотя и останется справедливым (и соответствует медленно меняющейся на расстоянии г корреляциоиной функции На в (3.38), рассматриваемой при rW 厶 厶)，но применимо все же лишь при kl 身 1,论厶 ^> 1, и интегралы в (3.40) при малых 论 не будут определены.、

Из уравнений (3.40) следует, что энергия пульсаций (экспоненциально) возрастает. Кроме того, масштаб пульсаций падает, как и предсказывалось в подразд. 4. В факте уменьшения масштаба можно убедиться следующим образом. Введем эффективный волновой вектор 火=\ Hkdk (\ Hdj 1 . Нетрудно получить, поль- оо

зуясь (3.40), что

dkfldt = 2T2K(3.41)

откуда видно, что * ——эффективный волновой вектор (экспоненциально) растет, т. е. масштаб падает.

Сравним показатель экспоненты для к'(力),равный 2Т2» с показателем экспоненты для \ EdB, равным 4Г2. Последний пока- о

затель больше. Это означает, грубо говоря, что энергия растет быстрее, чем ^падение масштаба. Есть ли это ответ на вопрос, поставленный в подразд. 1 (где обсуждаются два конкурирующих процесса: рост энергии поля и падение масштаба)? Вопрос о том, что же преобладает: первый или второй процесс? Качественно^ да: рост поля превалирует над падением масштаба. Но это еще не строгое доказательство наличия динамо мелкомасштабного поля. Решение этого вопроса (главного в этой главе) мы приводим в подразд. 7.

Отметим в заключение подраздела, что для уравнения (3.39) невозможно поставить задачу на собственные функции. Это видно уже из (3.40) и (3.41): собственная функция не меняет своего масштаба. Формально в этом можно убедиться, если все же ее сформулировать: Н (4, t) = ехр (—Et)Hm (4). Общее решение (3.39) лри таком задании Н (场,t) есть

Нт = ак^ + 屏叱(3.42)

5,2 = % {-1 士 [1-4 (4 + EmITm，

Если потребовать, чтобы Нт была корреляционной функцией, т. е. не меняла знак, то показатели а丄,а2 в (3.42) должны быть действительными. Но в этом случае Нт (场)расходится либо при к —> f 0, либо при Тс -> оо, и тем самымНт не может быть собственной функцией.

Общие свойства уравнения

для корреляционной функции магнитных полей

Рост энергии поля. Главное утверждение подразд. 1 о росте энергии магнитных флюктуаций можно получить непосредственно из точного решения (2.30). Запишем

〈(如/0〃т) (0%。叫〉〈Нт (а) Яу (а)> =〈％ (х) Я； (х)>

вместо (3.35) и (3.36). Очевидно, что (Я/ (х) Hj (х)> =

=1/зЬ订 <Я2 (ф, <Ят (а)Е/ (а)> = 1l^mf <Я2 (0)>. Следовательно,

<Я2Ю> =〈詁豈•〉〈#(0)〉・(3・43)

Полезно сопоставить это выражение с (3.8), описывающим рост среднеквадратичного градиента скалярной примеси. Рост среднеквадратичной энергии поля виден из того, что средний квадрат dxildaj возрастает в турбулентном потоке. Две частицы, находившиеся первоначально на расстоянии 6а друг от друга, удаляются (в среднем) друг от друга. Расстояние 6х в момент t больше, чем 6а. Следовательноr ! dxjdaj | возрастает.

Как отмечалось в подразд. 1, рост среднеквадратичного поля сопровождается уменьшением масштаба. Допустим (временно), что это не так. Пусть, например, спектральная функция Н (к) убывает при возрастании волнового вектора и при к^> кг ("】 ——

некоторый волновой вектор) она вообще обращается в нуль. Тогда согласно (3.43) она будет неограниченно возрастать. В реальной ситуации это не так, масштаб флюктуаций падает до тех пор, пока .не вступит в действие омическое катухание. В этот момент решение (2.30) уже перестанет адекватно описывать динамику пульсаций, и поэтому выражение (3.43) станет несправедливым.

Задача на собственные функции. Эрмитовость оператора. В предыдущем подразделе отмечалось, что задача на собственные функции для супермелкомасштабных полей, т. е. для уравнений (3.38), (3.39), не может быть поставлена. Такое же заключение можно сделать в общем случае, когда выписано решение для среднеквадратичных флюктуаций в виде (3.43). Действительно, рост поля мог бы быть экспоненциальным. Это не противоречит выражению (3.43). Но это означало бы, что рост поля не сопровождается уменьшением масштаба.

В то же время задача на собственные функции полного уравнения для Нtj может быть поставлена. Это означает, что используется полное уравнение (1.7), т. е. учитывается диссипация, D 声 + 0. Уравнение для 五订 во всей области ^-пространства в общем случае не может быть получено. Но здесь полезно посмотреть марковскую модель, в которой такое уравнение можно получить. В этом случае в правую часть (3.38) добавится член В^Нц, а в правую часть (3.39) — член —2力"2五耳.Эти дополнительные члены и ответственны за диссипацию. Теперь выражения (3.40) и вывод о росте эффективного волнового вектора к' по (3.41) годятся только для не слишком^ больших волновых векторов:

"V "н =⑦力)％. (3.44)

В частности, к' тоже мало по сравнению с кн. Итак, динамика флюктуаций такова. Эффективный волновой вектор возрастает до тех пор, пока не достигнет значения Л/ ^ кн・ При этом одновременно растет энергия поля. После этого динамика поля определяется (нижней) собственной функцией.

Напомним, что уравнение для мелкомасштабных пульсаций (3.39) справедливо при kl 登 1, kl3 登 1. Эти неравенства в со во купности с (3.44) не всегда могут быть выполнены. Условия применимости (3.44) будут выписаны далее. Укажем, что если эти неравенства противоречивы, и тем самым уравнение (3.39) не имеет области применимости, все соображения о включении диссипации при к = кн (но уже новом кн, не совпадающим с (3.44)) сохраняются. В марковской модели, в которой диссипация учитывается регулярным образом, учет ее приводит к наличию члена D^Hij в общем уравнении для магнитных пульсаций. При этом получается уравнение для собственных функций типа уравнения Шредингера (второго порядка с неоднородными коэффициентами). Собственные функции (в виде корреляционных) существуют, только если 0*0, иначе происходит вырождение уравнения.

В общем случае немарковской турбулентности учет диссипации не может быть проведен. Запишем полное точное уравнение

для Н ("，力)：

дН (&, t)ldt = j Л (к, q) Н (g,办 dq. (3.45> При 4 W 论н это уравнение известно. Оно имеет вид (3.39). При “》> 统 можно, очевидно, записать

д 耳 Idt = —2DH№. (3.46>

Только при 4 ^ кн вид его неизвестен. Тем не менее об общем уравнении (3.45) можно сделать одно важное утверждение. Поставим задачу на собственные функции этого уравнения и сопряженного ему:

—ЕтНт = \ 4 (к, q) нт (q) dq, 北 Р (3.47)，

Система собственных функций Sm сопряженна (дуальна) системе- собственных функций Нт. Покажем, что оператор в правой части (3.47) может быть сведен к эрмитово му. Это означает, в частно стиг что Нт простым образом выражается через Sm и одно из уравнений (3.47) получается.из другого.

Воспользуемся для этого системой доказательств, изложенной в гл. II, подразд. 7, но модифицированной для магнитного поля (напомним, что в гл. II, подразд. 7, речь шла о самосопряженности оператора для корреляционной функции пульсаций скалярной примеси). Составим уравнение, сопряженное точному (1.7):： dRIdt = ——[v rot Hi ——D rot rot H. Оно совпадает с уравнением? для вектор-потенциала А (1.45) магнитного поля (с точностью^ до несущественного градиента произвольной функции), если воспользоваться преобразованием (2.58).

Это означает, что уравнение для спектральной функции поля И так связано с уравнением для спектральной функции поля Н) как спектральное уравнение для вектор-потенциала связано с соответствующим уравнением для Н. Иными словами, одно.из урав~ нений (3.47) должно следовать из другого при замене Зт (к)к2 f т- Нт (fc). Отсюда следует

/24* (k, q) д2 =幺(q, к). . (3.48)

Перейдем к новой собственной функции

Zm 侬)=4" Нт (回. (3.49)

Пользуясь свойством (3.48), видим, что для функции Zm оператор в правой части самосопряжен. Итак, уравнение для собственных функций обладает полной системой собственных функций, все собственные значения действительны. Если известны zm, то с помощью (3.49) можно получить Нт (6), а собственные значения Ет совпадают с собственными значениями, полученными из уравнения ДЛЯ Zm・

Для нахождения собственных значений можно воспользоваться вариационным принципом, справедливым для самосопряженных юператоррв:

Е = —Jz* (/с)ММ. (к, q) qz (g) dqdk/ jz* (论)z (论)dk, (3.50)

SE = 0, J z* (论)z (k) dk = const.

Здесь мы пришли к аналогии с квантовой механикой, о которой упоминалось в гл. I, подразд. 5. Там было указано, что для уравнения (1.7) постановка задачи на собственные значения не вполне эквивалентна поискам уровня в яме в задаче Шредингера (это уравнение не является самосопряженным). Для спектральных ^функций случайных полей, как оказывается, задача полностью аналогична поиску захваченных состояний в квантовой механике.

Ясно, что если найдется такая пробная функция z (Л), которая придаст функционалу (3.50) отрицательное значение, то нижняя ^собственная функция (с собственным значением Ео = min 刃仅) придаст функционалу (3.50) еще большее по модулю отрицательное значение. Отсюда следует, что Ео V 0, н экспоненциально растущее решение (динамо-решение) с инкрементом | / | существует. На языке уравнения Шредингера это означает, что «потенциал» уравнения (3.47) содержит яму, в которой умещается по меньшей мере один уровень. Отметим тдкже, что спектр собственных функций (3.47) содержит бесконечное множество положительных собственных значений (инфинитное движение в квантовой механике). Это видно из r-представления записи общего уравнения (3.45) при асимптотически больших 论，т. е. из фурье-представления (3.47):

дН” (г, t)!dt = ZDNHti (г, t).(3.51)

Собственные функции (3.51) должны быть супермелкомасштабными (иначе асимптотика (3.51) несправедлива), т. е.「У Z, Zn г — характерный масштаб изменения Е^, и, кроме того, vkr<^ W D. Это условие соответствует преобладанию диссипации над генерацией. Ясно, что собственные функции (3.51) имеют вид, пропорциональный ехр (——ikmr), а собственные значения Ет = =碌 D. Множество Ет ничем не ограничено сверху. Нетрудно убедиться в том, что частный случай общего уравнения (3.45)—— уравнения для супермелкомасштабных полей (3.39) — тоже обладает свойством (3.48).

Сформулируем вариационный принцип для корреляционного тензора Н^, Для этого запипхем уравнение для него в общем виде:

dH/dt = ЛЯ,(3.52)

Л — оператор, не зависящий от времени. Представим Л в виде Л = AZ. Тогда сопряженное уравнение можно выписать так:

dHJdt = L\H^(3.53)

方i ——решение сопряженного уравнения, тильда указывает на сопряженность. Как сказано выше, уравнение (3.53) должно совпадать с уравнением корреляционного тензора вектор-потенциала магнитного поля. Это означает, что от уравнения (3.53) можно перейти к (3.52), если выразить вектор-потенциал Нг через Н^ Поскольку для однородного и изотропного магнитного поля Н = =—А 倉1, то для перехода от (3.53) к (3.52) достаточно взять оператор Лапласа от (3:53). Переход осуществится, если £ = Z, т. е. оператор L самосопряжен, или (поскольку £ = Д~М) Д~1ЛД = =Я (аналог соотношения (3.48)). Здесь введен Д'1 — оператор* обратный оператору Лапласа, он не определен однозначно. Доопределим его так. Действие Д'1 на функцию / (х) эквивалентна умножению фурье-образа / (х), т. е. / (к), на величину ——к~2. Учитывая, что оператор Д (как и Д'1) отрицательно определенный и эрмитов (в базисе фурье-гармоник он диагоналей и все диагональные элементы отрицательны и равны ——论2), составим частное Рэлея. Иначе говоря, сформируем вариационный принцип:

Е = \ zA\zdxl\ z^dv. (3.54)

Рассмотрим более общий случай однородного, но не изотропного» магнитного поля. Введем для этой цели оператор rot2, который определяется следующим образом. Пусть rot2 действует на /， тогда в индексном виде {rot2 力}订=eiab£jcd^cPM- Представим Л из уравнения (3.52) в виде 4 = —rot2 Z. Оператор rot2 эрмитов^ и поэтому уравнение, сопряженное (3.52), может быть записана в форме dHjdt = —L rot2 Hr (ср. с (3.53)). Естественно, что связь между магнитным полем Н и векто p-по тенци а л о м 方〕будет иметь вид Н =——rot2 百 1 (знак минус появился в результате того, что- оператор rot2 действует на одну точку % илп 2х). И поэтому действие оператора rot2 на уравнение для Н* вернет нас к (3.52). Но оператор rot2 не является положительно (или отрицательно) определенным. У него есть нулевые собственные значения. Это видно из того, что существует решение rot2 / = 0,卩订=九内屮* в то время как при действии положительно (отрицательно) определенного оператора на произвольное 力 должно привести к существенно положительному (отрицательному) результату.

Мы приходим к следующему выводу. Вариационный принцип можно сформулировать для Н^ только тогда (и соответственно- уравнение для 五订 сводится к самосопряженному только тогда)% когда оператор rot2, переводящий корреляцийнный тензор вектор- потенциала в 五订，может быть заменен на любой знакоопределенный оператор. Для изотропного процесса таким оператором, как： мы видели выше, является ——А. Это знакоопределенный оператор、 В общем случае анизотропного процесса программа действий должна быть такова. Во-первых, необходимо выяснить общий вид тензора Н как решения уравнения (3.52) и тензора Н± ——решения

-сопряженного уравнения (3.53). Во-вторых, следует выяснить» можно ли найти знакоопределенный оператор, переводящий Н± в Н. Если да, то вариационный принцип записывается в виде 《3.53), где А заменяется на этот найденный оператор. Если нет, то вариационный принцип не может быть введен. В ряде случаев программу действий для вывода вариационного принципа можно упростить. Достаточно выписать уравнение, сопряженное с (3.52), т. е. (3.53), что делается без труда. Затем попытаемся получить *(3.52) из (3.53) с помощью знакоопределенного оператора, например действуя на (3.53) оператором Лапласа.

Динамо супермелкомасштабных полей

Область существования супермелкомасштабных полей. Уравнение динамики супермелкомасштабных полей (3.39) получено в модели (3.33). Выпишем область применимости (3.39) в 场-ирост- ранстве:

亨，备生y% = VE・ (3.55)

Обсудим, в каких случаях существует в турбулентности область (3.55). Здесь имеются две возможности.

Прежде всего, такая область существует заведомо для маломодовой турбулентности. Маломодовая турбулентность является •случайным процессом, в котором возбуждено небольшое количество фурье-амплитуд. Примером такой турбулентности служит странный аттрактор (см. гл. II, подразд. 3). Пусть в проводящей юреде возбуждены лишь фурье-амплитуды с волновыми векторами "о = 2n/2. Тогда второй масштаб 厶 отсутствует в турбулентности. Кроме того, поскольку Г2 имеет размерность частоты, то по порядку величины Т? = “〃. Тогда условие существования области (3.55), т. е. 2л//<^ {T2IDyi\ есть Е；登 1. Это, конечно, «естественное условие, без которого нечего и говорить о динамо мелкомасштабных полей. Отметим в связи с этим, что генерация крупномасштабного поля возможна и при Rm W 1- Дело в том, что омическая диссипация крупномасштабного поля происходит за время £2/0, в то время как генерация за счет a-эффекта (см. гл. II)——за время £/а. Для слабопроводящей среды а 弋 ^〈V rot v〉Z2/Z), и условие преобладания генерации над диссипацией L4D 発 £/а всегда может быть выполнено за счет большого масштаба поля L. Что касается мелкомасштабных полей, то здесь генерация возможна, только если Rm》1.

В колмогоровской турбулентности имеется малый масштаб 2i・ Он определяется тем, что для пульсаций скорости этого масштаба число Рейнольдса равно единице (см. гл. II, подразд. 2,区丄= = %2[/% = 1). G другой стороны, Г2 определяется наибольшей характерной частотой пульсаций. Частота растет с волновым вектором и максимальна для пульсаций масштаба 2「Здесь она дости-

гает значения %〃i・ Подставляя эти оценки в (3.55), имеем。工厶/刀^： 身 1. Иначе говоря, магнитное число Рейнольдса, подсчитанное- для наименьших пульсаций, должно быть велико. В сочетании с тем, что при этом R± = 1, получаем условие существования области (3.55) для колмогоровской турбулентности:

心 О， (3.56}

или, что эквивалентно, Rm》R. Здесь уже имеются в виду числа： Рейнольдса, подсчитанные для основного масштаба турбулентности I.

Вывод о генерации супермелкомасштабных полей. Обратимся к задаче на собственные функции общего уравнения (3.45) [72]. Для решения вопроса о том, имеются ли отрицательные собственные значения, воспользуемся вариационным принципом (3.50). Будем выбирать пробные функции в виде

Z =(р/[(2п + 2)!叫 exp (-klkj⑵kJ 2n向2,

причем к2 находится в интервале (3.55). Тогда при интегрировании по q вклад области с q^kn экспоненциально мал. Действительно, обратное утверждение о существенном вкладе интеграла при q^ кн означало бы, что согласно уравнению (3.45) (в которое вместо Н (д) подставляется z (g)g, что тоже экспоненциально ма； ло при q ^ 友н) динамика поля с масштабом L = 2п/论2 определяется омической диффузией. Это находится в противоречии с хорошо известным фактом, что для поля масштаба L = 2冗偽》2^!кн выполняется условие вмороженности, т. е. в основном уравнении (1.7) омическая диффузия не играет роли.

В то же время ясно, что при интегрировании по q вклад области g V 2л〃1 тоже весьма мал, поэтому для подсчета (3.50) можно пользоваться приближенным представлением уравнения (3.45) в области (3.55), т. е. уравнением (3.39). Тогда все вычисления становятся простыми, и нетрудно видеть, что пробные функции с п = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 придают функционалу (3.50) отрицательное значение. Следовательно, супермелкомасштабные поля генерируются. Иначе говоря, при условии, когда область (3.55) существует в турбулентности, вопрос о динамо решается положительно: турбулентность вызывает генерацию мелкомасштабного поля.

Вывод о генерации поля можно получить несколько проще. Будем интересоваться поведением собственной функции в области (3.55). Вид ее в этой области выписан в (3.42). Уместно подчеркнуть, что, как говорилось в конце подразд. 5, уравнение (3.39) невозможно решать на собственные функции. Здесь же рассматривается задача на собственные значения общего уравнения (3.45) и исследуется поведение собственного решения в области (3.55). Тогда можно пользоваться уравнением (3.39), имея в виду, что на него накладываются (неизвестные нам) граничные условия при малых и больших к. Но даже без граничных условий можно судить о собственной функции. Для этого воспользуемся свойст-

вом нижней собственной функции самосопряженных операторов, отсутствием у нее узлов, т. е. тем, что она не меняет знака.Из общего решения (3.42) следует, что узлы будут отсутствовать, если 仪1, а2 действительны. Из выражения для а1>2 видно, что это будет иметь место, если EQ < ——^^, Е° ——нижнее собственное значение. Итак, Е° V 0, и динамо-решение имеет место.

Динамика супермелкомасштабных полей в реальной турбулентности. До сих пор мы пользовались моделью (3.33). Можно ожидать, что в общем случае уравнение (3.39) останется справедливым. Дело здесь обстоит точно так же, как с однородными пульсациями скалярной примеси. Как показано в подразд. 3, учет членов более высокого порядка, чем выписанные в (2.64), не меняет вид уравнения для однородной примеси. Иными словами, для однородной скалярной примеси модель (2.70) оказывается адекватной реальной турбулентности.

Для обоснования того, что именно так и обстоит дело с магнитными полями, будем действовать по аналогии с подразд. 3. Прежде всего, уравнение для Е (友,t) должно быть (для суп ер мел ко ма с- штабных полей) типа (3.31)——уравнения для спектра пульсаций лримеси. Ясно, что для близких чатиц величины d (dxilda^ldt •связаны лишь с коэффициентами размерности частоты. Поэтому для магнитных флюктуаций и должно получаться уравнение (3.31), где коэффициент Г2 обладает такой размерностью (а коэффициенты а。, а】, а? — безразмерные числа). С помощью разложения (3.32) показываем, что уравнение для Н (/с, t) не должно содержать производных по 论 выше второго порядка.

Сами коэффициенты а。, а1? а2 (один из которых можно, конечно, положить равным единице, пусть а2 = 1) выяснить гораздо труднее. Единственное, что можно сразу сказать, что требование эрмитовости (3.48) записывается в виде 〃】=2а2 = 2 (как в (3.39)). Относительно коэффициента а。ничего сказать с помощью таких простых соображений нельзя.

Необходимо более подробно проанализировать уравнение для 卩4, из которого и получается (3.39). Рассмотрим общее уравнение для 卩4, т. е. будем считать, что в (3.33) выписаны только первые члены разложения по дифференциальным операторам. Прежде всего, любой член должен содержать производные, действующие на точки, от которых зависят тензоры при функции р4. Например, член четвертого порядка

Wfdf^dmTijfm (lx, 2х, 3x)04 (3.57) может содержаться в разложении. Действительно, пусть тензор Т зависит дополнительно от 4х (а дифференциального оператора, действующего на четвертую точку, нет в (3.57)). Проинтегрируем все выражение для dpjdt по 4а. Слева получится выражение, которое не должно зависеть от 4х, поскольку j р4d4a не зависит от 《х (см. гл. II, подразд. 8), в то время как член (3.57) зависит от 4х. Мы пришли к противоречию. Именно по этой причине члены второго порядка по а@» в (3.33) остаются такими в общем случае,

какими они и выписаны там. Ничего другого не появляется. Невозможно сделать тензор Т〃 зависящим от трех или четырех точек. Тензор 7〃 должен зависеть только от двух точек. Но тогда при интегрировании (3.33) по двум другим точкам мы должны вернуться к уравнению для двухточечной функции распределения (2.70). Отсюда следует, что 7订，выписанный для р4, совпадает с тензором 7订 в (2.70).

Обратимся к анализу членов выше второго порядка. Третья степень по а@» отсутствует из требования самосопряженности оператора (ср. с подразд. 3). Члены четвертого порядка с операторами, действующими на две точки типа 15152525, должны отсутствовать в нашем разложении. Действительно, проинтегрируем этот член по двум другим точкам Зх, 4х, и мы должны вернуться при этом к уравнению для р2. Последнее не содержит членов четвертого порядка (см. подразд. 3), в то время как наш член типа 】/8282a дает вклад в разложение для р2.

Рассмотрим члены четвертого порядка типа (3.57). Необходимо прежде всего выписать все комбинации, симметричные по перестановкам жидких частиц:

(1“2%3%1% + ld.2dj3df2dm + 啮牙％3%)Т〃・/т (%, 2х, 3Х)А.

(3.58} Аналогичные члены можно сконструировать с Т, зависящим от %, 2Х, 4Х； хх, Зх, 4Х и 2Х, Зх, 4Х.

Покажем, что члены типа (3.58) отсутствуют в разложении (3.33). Для этого напомним, что /?4 обращается в нуль, если какие-либо две точки совпадают. Выписанный в (3.58) член будет сохранять это свойство, только если Т (】х = 2х, Зх) = Т (хх,. 2х = Зх) = 0, т. е. тензор в (3.58) обращается в нуль при совпадении любых двух точек. Пусть Зх = 4х. Тогда все выражения типа (3.58), кроме самого (3.58), и с тензором, зависящим только от точек хх, 2х, 4х, обращаются в нуль. При этом выражение с точками хх, 2х, 4х содержит тензор 7, совпадающий с тем, что выписан в (3.58), где только Зх заменено на 4х ——это следует из симметрии относительно замены точек Зх -> 4х. Тогда первые два члена в. круглой скобке (3.58) сокращаются с соответствующими членами подобного выражения с точками хх, 2х, 4х, поскольку при приближении точки Зх к 4х 卩4 зависит лишь от 4х ——Зх, что эквивалентно замене ‘日月 на ——з@». Третий же член в круглой скобке не сокращается с соответствующим в выражении с точками хх, 2х, 4х (имеющим вид iJ/dj ^д^дт): при замене “& на — ?厶 он удваивается. Именно он не сохраняет свойство р《=0 при Зх = 4х, и поэтому все члены типа (3.58) обращаются в нуль.

Рассмотрим последний возможный член четвертого порядка：

'а『а『а『4am—нт(改，2х, Зх, 4х)р4. (з.59)

При совпадении любых двух точек тензор в (3.59) должен обращаться в нуль (так же как в (3.58)).

Теперь целесообразно образовать форму, аналогичную (3.2): ①2 =，F (】х)歹* (2х) F (Зх) F* (4х) & (】х, 2乂, Зх,4х) dxx d^x^x^x, (3.60)

которая не должна стать отрицательной. Используем функцию- F (х) в виде

少(х) = &3 (х — Xi) + 6*26(X — X2)+ C38(X — Хз) + С46(X — Х4),

(3.61)

а 04 можно представить как 04 = 6'(改)0\2х) 0х (Зх) 0х (4х). Для того чтобы Ф2 = 0, необходимо выполнение С© (х0 = 0, С20/ (х2) = 0,。3@'(Х3) = 0, С40х (х4) = 0. Далее, производная dR/近в момент 力=% не должна быть отрицательной, если Ф2 = =0 при 力= %. Составим выражение для йФ2/й^ для (3.33) и рассмотрим тот вклад, который даст (3.59) в это выражение. Не будем выписывать громоздкое выражение. Скажем только, что оно, наподобие (3.28), содержит множитель

2 &房G 爲. (3.62)

Индексы пробегают значения от 1 до 4, причем никакие из двух индексов не совпадают. Этот множитель не является знакоопределенным. Следовательно, выражение (3.59) тоже не может присутствовать в разложении (3.33).

Итак, в разложении (3.33) вообще отсутствуют члены четверо того порядка по дифф ер енци а л ьному оператору. Вернемся к обсуждению общего вида уравнения для спектральной функции Н (/с,力).При выводе этого уравнения в подразд. 5 мы брали производную по времени от (3.36) и заменяли dpjdt в правой части согласно (3.33). При переносе действия дифференциальных операторов на все выражение под интегралом в (3.36) появятся выражения с тем же количеством операторов а。％ что и в самом рассматриваемом члене в уравнении для р4, и с меньшим количеством. Меньшее количество соответствует тому, что оператор adi дей~ ствует также на все выражение в интеграле перед р4 в (3.36). Поскольку это выражение квадратично по координатам, снижение порядка будет не более чем на два. Иначе говоря, из членов второго порядка по ^di возникают члены без производных для корреляционной функции, наподобие последнего в круглой скобке (3.38), из членов четвертого порядка ——члены третьего и второго. Ног поскольку, как мы выяснили, членов четвертого порядка нет в разложении (3.33), члены второго порядка, кроме выписанных в (3.38), не появляются.

Что касается вклада членов шестого порядка по ад^ которые могут присутствовать в разложении (3.33), то, как было выяснено,, они добавили бы производные шестого, пятого и четвертого порядков в уравнение (3.38). Но такие дополнительные члены недопустимы в (3.38). Дело в том, что такого рода члены с коэффициентами размерности частоты имеют вид г^Т^дНц^ rbT^dHiit

NT^aHtt, что в фурье-пространстве приведет к появлению производных д/дк шестого, пятого и четвертого порядков ——дополнительных членов в (3.39). Однако, как мы выяснили, уравнение (3.39) должно быть второго порядка. То же самое можно сказать и про члены более высокого порядка (чем шестой) в (3.33) (они не дадут вклада в (3.39)).

Итак, заключение следующее. Уравнение (3.39) является универсальным для описания супермелкомасштабных магнитных лол ей. Модель (3.33) адекватна реальной ту рб ул ентности, если ею пользоваться для описания однородных супермелкомасштабных полей. Заключение о турбулентном динамо мелкомасштабных магнитных полей, сделанное в предыдущем разделе настоящего подраздела для модели (3.33), относится к реальной турбулентности.

Уравнение динамики мелкомасштабных полей

Здесь мы получим уравнение для магнитных полей, масштаб которых L ^ I. Уравнение для Н〃 в общем случае может быть записано в виде

dH/dt = ддТ2Н + ддддддТ^Н + ... (3.63) при учете следующих факторов.

Уравнение для Н может быть разложено по дифференциальным операторам, поскольку основное уравнение для Н (1.7) дифференциальное. Здесь дело обстоит точно так же, как со скалярной примесью (см. гл. II, подразд. 7).

Тензор Н является корреляционным тензором соленоидального поля, поэтому он может быть представлен в виде

Е力=〈rotiA (ix) rot/ (2x)>. (3.64)

Следовательно, все интегралы j Я^йхх = J Hjjd?x должны обращаться в нуль. Это свойство будет сохраняться уравнением (3.63), если дифференциальные операторы стоят слева всего выражения, как и выписано в (3.63). Для упрощения записи мы не пишем в этом выражении индексы у операторов а。».

В уравнении (3.63) выписан член второго порядка по 汨》 (порождающий члены, пропорциональные Н, дН, ддН) и шестого порядка. Члены третьего, четвертого и пятого порядков отсутствуют в (3.63), поскольку в разложении для dpjdt отсутствуют соответствующие члены соответствующих порядков, а только они могли бы породить члены такого типа (см. подразд. 7).

Тензоры 亍2，Tq зависят только от г ввиду однородности турбулентности.

Дальнейший анализ (3.63) можно было бы проводить подобно анализу для спектральной функции скалярной примеси в подразд. 3, 4. Здесь, однако, выражения будут слишком громоздкими, и нам пришлось бы иметь дело с многоиндексными выра-

жениями. Проще проанализировать члены высокого порядка в уравнении для р4, т. е. положить, что (3.33) есть лишь разложение, в котором выписаны члены наинизшего порядка по дифференциальному оператору. В предыдущем подразделе мы показали, что члены четвертого порядка по «8^ отсутствуют в разложении (3.33). Для анализа членов шестого порядка достаточно оставить только те члены, в которых содержатся операторы, действующие не менее чем на три точки (остальные обращаются в нуль, см. подразд. 7).

Рассмотрим сначала члены, содержащие операторы, действующие на все четыре точки. Тензоры при членах такого типа обращаются в нуль при совпадении любых двух точек: только таким образом свойство р4 = 0 при совпадении двух точек сохраняется. Это означает, что в выражении для d^Jdt при F, определяемой из (3.61), эти члены дадут вклад с сомножителем (3.62), что недопустимо. Остаются теперь лишь выражения, содержащие операторы, действующие на три точки. Доказательство того, что и они обращаются в нуль, в точности совпадает с со отв етствующим доказательством для членов (3.58). Аналогичный анализ может быть проведен для членов более высокого порядка.

Окончательно результат следующий. Уравнение (3.33) адекватно описывает реальную турбулентность. Оно не только физически реализуемо и описывает немарковский процесс. К нему уже невозможно добавить члены более высокого порядка по дифф ер енци альному оператору. Следовательно, оно достаточно для описания реальной турбулентности при 方登 т.

Утверждению о том, что (3.33) — точное уравнение, соответствует отсутствие члена шестого порядка в (3.63). Выпишем уравнение для Н с использованием (3.33). Для вывода его берем производную от (3.36) по времени, заменяем dpjdt согласно (3.33) и выражаем полученный результат опять через Н с помощью (3.36). Тогда получим уравнение для 瓦 которое выпишем в двух эквивалентных формах:

1I^Hijldt = дтдп (8тпТНи + ТinHmj + TmjHin — ТтпНи —

2 〜 〜

dH^/dt = 2 ^iab^jmnfada^dmTbn (ax,改)Яс/? (3.65). а, В

^iaLc = ^iak^kbc* .

Выражение (3.65) получено для однородного процесса, т. е.. Hij = Ни (г). Изотропия здесь не пр едпол аг ал ась. Что касается тензора 7订，то он определяется самой турбулентностью, поэтому он тоже зависит только от г. Уравнение (3.65) действительно имеет дивергентный вид, как и (3.63), что связано с соленоидальностью поля Н. Необходимо проверить важнейшее свойство корреляционного тензора соленоидального поля @»Е〃 = 0. Действие оператора di на правую часть (3.65) должно обратить ее в нуль. Не-

посредственной проверкой убеждаемся в том, что так оно и получается.

Рассмотрим поведение среднеквадратичного поля (или средней ллотности энергии поля). Для этого достаточно положить г = О в (3.65). Результат следующий:

% 4 /(°，%)= — ％/ (0,办。厶了)『о > 0. (3.66)

Правая часть положительна (энергия Нц положительна) и ——ATjj (г = 0)〉0, поскольку вторая производная от корреляционной функции при г = 0 всегда отрицательна. Уравнение (3.66) имеет экспоненциально растущее решение, эквивалентное выражению (3.43). Но, как неоднократно отмечалось, никакого заключения о поведении магнитного поля при 力一> 8 отсюда сделать невозможно. Дело в том, что характерный масштаб поля уменьшается, или ——в данном случае более конкретно ——корреляционная длина тензора 五订 падает. Этот процесс продолжается до тех пор, пока не вступит в действие омическое затухание и (3.66) перестанет быть справедливым.

Выражение (3.66) соответствует строгому равенству г = 0. Для бесконечно малого расстояния г, т. е. для малого, но не равного нулю г, можно воспользоваться разложением 7订 в форме (3.6). Подставляя это выражение в (3.65), возвращаемся к (3.38). Итак, уравнение для супермелкомасштабных полей получается из (3.65) при малых г. Переходя опять к пределу г -> 0, получим 1/2dHii (0, t)/dt = 5T2Hti (0,力)，в точности совпадающее с (3.66), лоскольку NT曾(г = 0) = ——15Г2. Здесь полезно обратить вни・ змание на следующее обстоятельство. При г -> 0 в уравнении (3.65) исчезает высшая (вторая) производная. Особенно ясно видно это из более простого уравнения (3.38). Математически это обстоятельство соответствует вырождению уравнения (3.65) при малых г. Физически это связано все с тем же уменьшением масштаба. Дело вот в чем. Сводя уравнение (3.38) к уравнению Шредингера, нетрудно убедиться в том, что собственная функция слишком медленно убывает вне потенциальной ямы, это связано с особенностью в потенциальной яме, в свою очередь связанной с вырождением уравнения при г -> 0. Следовательно, невозможно решать задачу на собственные функции уравнения (3.38). Если бы существовала «хорошая» собственная функция этого уравнения (т. е. удовлетворяющая свойствам корреляционной функции), то это означало бы существование решения уравнений (3.65) и (3.38) без уменьшения масштаба. Мы уже упоминали в конце подразд. 5 о невозможности постановки задачи на собственные функции спектрального представления (3.38), т. е. уравнения (3.39).

Имеется другой физический аспект, объясняющий вырождение уравнения (3.65). Коэффициент при второй производной имеет размерность коэффициента диффузии. В то же время динамика супермелкомасштабных полей (так же как супермелкомасштаб- пой скалярной примеси) должна определяться коэффициентами

с размерностью частоты (см. подразд. 5). Именно поэтому в (3.38) имеется лишь коэффициент Г2 с размерностью частоты. Здесь невозможно дописать член T'NB、поскольку Т' обладает размерностью коэффициента диффузии. Не случайно в (3.65) коэффициент Т (имеющий размерность коэффициента диффузии) сокращается и фактически не входит в это уравнение. Он выписан только для упрощения общей записи уравнения.

Учет омического затухания снимает вырождение. В марковской модели просто в правой части (3.65) добавляется член D\Htj, который при г -> 0, конечно, остается. В немарковской турбулентности можно записать, что при очень малых г уравнение (3.65) должно в пределе перейти в (3.51). Преимущество марковской модели в этом отношении состоит в том, что она описывает и промежуточную ситуацию, когда вмороженность еще имеет место, но и диссипация уже существенна. Иначе говоря, в марковской модели можно описать не только вмороженные поля с Rm 2 1, но и поля с Rm ^ 1 (ну и, конечно, поля с Rmy 1, которые корректно описываются с помощью ряда теории возмущений по параметру Ет)・ В немарковской турбулентности удается описывать поля только при Rm * 1 (это есть уравнение (3.65)) и при Rm У 1. Зато достоинством немарковского описания является, очевидно, то, что реальная турбулентность не является марковской. В любом случае постановка задачи на собственные значения с учетом омической диссипации корректна.

Отметим еще одно важное обстоятельство, касающееся поведения Hij при малых г. В подразд. 7 была указана область fc-npo- странства, в которой уравнение (3.39) справедливо. Наличие такой области в турбулентности будет обеспечено, если Е)》R или выполняется (3.56). Тогда и (3.39), и (3.38), и, наконец, (3.66) будут обоснованы (конечно, до тех пор, пока не вступит в действие омическая диффузия). Что же можно сказать о поведении энергии и вообще о поведении Н^ при малых г, если (3.56) не выполняется? Пока ничего. Эти выражения уже явно оказываются несправедливыми. Для того чтобы убедиться в этом, объясним физический смысл нарастания энергии согласно (3.66). В колмогоровской турбулентности рост энергии магнитного поля, обусловленный возмущениями скорости vk (см. определение в гл. II, подразд. 2), происходит за время (%宓)т. Это время минимально (т. е. скорость роста максимальна) для наименьшего масштаба Zx и равно к/分.

Пусть нас интересует поведение магнитных флюктуаций, энергия которых сосредоточена первоначально при малых 论, 力 W 2兀/厶・ За очень короткое время 厶/ui флюктуации магнитного поля возникнут при к у 2兀/厶.Дело в том, что неоднородное поле скорости возбуждает флюктуации масштаба, равного масштабу неоднородности скорости, даже если магнитное поле строго однородно. Этого, кстати, нельзя сказать про скалярную примесь: если 0 = const, то dQ/dt = 0, и флюктуации 0 не возбуждаются. Поведение магнитного поля в этом смысле аналогично градиенту

5 С. И. Вайнштейн 129

скалярной примеси. Именно это обстоятельство ——возбуждение пульсаций наименьшего масштаба — отражено в (3.66). Выражение ——A7\i (г = 0) = 15丁2 как раз и есть по порядку величины 力/厶・ Если жеЕ^п W Е，то флюктуации магнитного поля масштаба 21 не будут уже вморожены в жидкость, и утверждение о росте пульсаций такого масштаба окажется несправедливым. Несправедливым окажется также и (3.66), дающее слишком быстрое нарастание поля.

Резюмируем сказанное в этом подразделе. Уравнение (3.65) адекватно описывает поведение флюктуаций магнитного поля в реальной (однородной, изотропной) турбулентности несжимаемой жидкости. Оно справедливо в случае, если выполняются оба неравенства:

Лт>1,瓦д》1・(3.67)

Второе из этих условий необходимо для мелкомасштабного динамо (и, кстати, необязательно для крупномасштабного). Первое условие означает, что флюктуации поля вморожены в вещество. При выполнении только второго неравенства могут существовать пульсации поля столь мелкомасштабные, что для них Rm W 1 и (3.65) неприменимо. Более конкретно, для турбулентности с Rm 另 R второе неравенство выполняется автоматически, в то время как первое суть v^/^D у TQID =炉"^》1, L — масштаб пульсаций магнитного поля. При L у 厶 уравнение (3.65) переходит в (3.38) и выражение (3.66) справедливо. Для турбулентности С Rm & R второе неравенство (3.67) должно, конечно, по-прежнему выполняться. Первое же неравенство переписываем в виде vJkD 身 1, А = 2л/Л. Отсюда определяем новый граничный волновой вектор kD (с учетом того, что 14 〜Л~1/з, см. гл. II, подразд. 2)

kD =仞/勿/3” =心/4 А-(3.68)

ср. с (2.9)). Выражая кн через числа R и 瓦〃：кн =广1й'% (7?加)'/; получим общий критерий применимости уравнения (3.65):

&у尸min{*/4(Em)'/2, (Em”}・(3.69)

Динамо мелкомасштабных полей

В подразд. 7 получен вывод о генерации мелкомасштабных полей для турбулентности с предельно большими магнитными числами Рейнольдса (Rm 身 Е). Там показано, что такой же вывод может быть сделан для маломодовой турбулентности типа странного аттрактора. Анализ более общего уравнения (3.65), которое справедливо и тогда, когда Em V Е, позволяет сделать заключение о генерации поля в общем случае. В этом подразделе мы покажем, что такое заключение действительно можно сделать. От-

метим, что можно было бы рассматривать два случая (7?工 V R л Rm 8 Е) сразу, анализируя уравнения (3.65). Тогда ситуация 五^ 导 R получилась бы как частный случай. Однако, на наш взгляд, физика дела от такого изложения проиграла бы и все изложение стало бы менее понятным.

Запись уравнения (3.65) в упрощенном виде. Уравнение (3.65) тензорное. Его полезно выписать в фурье-представлении (для спектральных функций), где оно уже становится скалярным:

дН 的 t)/dt = — 2A2 TН + \ 伏2 + g2 — (kq)]僧—(kq)2/Q2] X

x ®(P)/p2]H(q)dq,

P = k — q,

Hu (r) = J 五订(k) exp (―氏)dk,

7订(r) = f 〃订(k) exp (—Zkr) dk,(3.70)

〃订(k) = u (© 6订(k), Hij (k) = H (论)6订(k), о订(k) = % (5订一kikjk^2),

T订(г = 0) = b“， T = % J u 3) dk.

Оператор в правой части (3.70) не является самосопряженным, но сводится к таковому при замене Н 的Ikfz (论),что соответствует изложенному в подразд. 6. В частности, свойство (3.48) непосредственно вытекает из (3.70). Область применимости уравнения (3.70) вписана в (3.69). Запись уравнения (3.65) в спектральном виде ——(3.70). Оно дает нам возможность убедиться в том, что (3.65) сохраняет корреляционные свойства тензора Н^. Для этого достаточно показать, что (3.70) сохраняет свойства спектральной функции Н (论，力 т. е. уравнение (3.70) не приводит к существованию отрицательных участков спектра. Покажем это. Для того чтобы стать отрицательной, функция Н (论,力) должна пройти через нуль. Пусть Н (к, %) в точке к = kQ при t = tQ обращается в нуль. Тогда первый член правой части (3.70) тоже обращается в нуль в этой точке, в то время как второй существенно положителен. Это означает, чтодН (论°, t^)/dt〉0 и в точке к = kQ 8(论，力) не может стать отрицательной. Впрочем, этот результат следовало ожидать из того, что уравнение (3.65) есть следствие физически реализуемого процесса (3.33).

8田(k)8田(k)++Прп 7?w ^> R уравнение (3.70) переходит в (3.39). Для того чтобы убедиться в этом, необходимо учесть, что для больших к вклад в интеграл правой части (3.70) дают малые р. Это означает, что Н (д) можно разложить по степеням р. В нулевом приближении (р = 0) k = q s Н @ = Н ®. В целом разложение имеет вид

8田(k)

8田(k)

+

+

H(q) = Е(№) —•当？ + 4- [-»

丄 &3)2 \ 1 泅(〃)]

十[夕 k丿—дк —J,

Достаточно ограничиться выписанными членами. Кроме того, удобно сделать замену переменных q -> р в (3.70). Тогда выражения в квадратных скобках в (3.70) следует переписать через р:

佇— (k叫收—粤『餾+ p2 — (kp)]黑苫限.

Интеграл в (3.70) разобьется на сумму моментов, там будут члены типа 1^Н (论)j и (р) dp = 37乃2〃 (论) (нулевой момент для функции и (/?)), которые сократятся с первым членом правой части (3.70), стоящим перед интегралом, и типа Н (к) j р2и (/?) х xdp 〜 Т2Н (论)(второй момент для функции и (/?)). Последние выражения, содержащие второй момент Г2, останутся п дадут (3.39).

Напомним, что и (р) р2 〜р-%(см. (3.9)). Следовательно, нулевой момент сходится при больших р, и величина Т есть по порядку величины vl (коэффициент турбулентной диффузии), т. е. величина этого момента определяется основным масштабом турбулентности Z. Что касается второго момента, то, поскольку и (р)卩4 〜рТ/з, интеграл расходится при больших р. Он поэтому обрезается вязкостью, т. е. волновым вектором р = 2冗/厶.Именно поэтому 丁2 определяется самыми мелкомасштабными пульсациями (丁2 ^ и"/]) (см. подразд. 7). Теперь по-новому становится ясно, почему для турбулентности с умеренными магнитными числами Рейнольдса (Rm V Е) нельзя пользоваться приближенным уравнением (3.39). Если мы повторим приведенные выше вычисления для перехода от (3.70) к (3.39), то столкнемся со вторым моментом 丁2 (нулевой момент по-прежнему сокращается и не входит в ответ), который обрезается при р 〜2冗/厶.Но для очень больших волновых векторов само уравнение (3.70) уже не справедливо. Между тем основной вклад в интеграл Г2 дают предельно большие волновые векторы 2n/人.

Рассмотрим поведение магнитных флюктуаций для турбулентности с Rm 気 7? в промежуточной области

论d Л <^ "1 = 2冗/厶， (3.71) в которой уравнение (3.65) неприменимо. Вместе с тем ясно, что динамика полей в этой области контролируется омическим затуханием. Этот случай является обратным предельному случаю Rm 身 1 ——случаю полной вмороженности. Здесь, наоборот, вмо- роженность несущественна и может рассматриваться как возмущение, наложенное на омическую диффузию. Такая задача была рассмотрена Г. Голицыным [73]. Пульсации магнитного поля в слабопроводящей среде возбуждаются (см. [73]) на фоне однородного поля. Мы имеем аналогичную ситуацию. Роль однородного поля играют магнитные поля с волновыми векторами 论 V 乃d・ Они являются квазиоднородными для пульсаций с 论登 论q. Уравнение (1.7) можно представить для области (3.71) приближенно в виде

0 = (IV) v + OAH. (3.72)

Временная производная мала по сравнению с 0AH. Действительно, для пульсаций с волновым вектором A dH^dt 〜H^It (Тс) (т (к) — время корреляции), a D\H^ ^ Dk2Hk. Пользуясь тем, что т (А) = Hv^k (см. гл. II, подразд. 2), получаем, что в области (3.71) 1/т (Тс) V 力依,что и обосновывает отбрасывание dH/dt в (3.72). Вектор Но играет роль крупномасштабного поля (Но = = 瓦 с "V 砧.В (3.72) отсутствует член (vV) Но, очевидно, малый по сравнению с (H0V) v. Кроме того, в (3.72) отсутствуют члены (HV) V — (vV) Н. Они малы по сравнению с Но, если НУ V Ео・ То, что это именно так, мы увидим по результату. Переходя к фурье-представлению (3.72) и составляя спектральный тензор, получим

Я (A, t) = % (Е (k)/D2k^) J Н (g) dq.(3.73)

Интеграл в (3.73) фактически обрезается при q = кр, это видно из самого выражения для Н (Тс) по (3.73): оно быстро убывает с ростом ", и при 9〉4q энергия пульсаций мала и дает пренебрежимо малый вклад в интеграл. Более точно: можно просто заменить этот интеграл согласно j Н (q) dq = <Яо>- Теперь видно, что (3.73), справедливое только при к ^> kD, есть не уравнение, а решение. Спектр Н (А,力)зависит лишь от 〈Н^〉・ Зависимость от времени здесь параметрическая ——тоже через 〈Н^〉・ Иначе говоря, зависимость от времени Н (Тс,力)при А 2 "d определяется динамикой магнитных пульсаций при к *^ kD. Согласно (3.73) и с использованием (2.9) получим для спектра мощности магнитных пульсаций

Ен 的 9 = 4лЯ 的 t)依〜“％(3.74)

Это есть спектр Голицына [731.

Уравнение (3.65) можно записать для скалярных функций в r-представлении. Эта запись будет особенно полезна в дальнейшем. Для этого выразим тензоры Н〃 (г) и 7订(г) через продольные корреляционные функции HLl и TLl соленоидальных полей (см. 142]):

% =(矶l + ；Г^①力5订一-tr^贝订"-2,

Теперь тензорное уравнение (3.65) выразится в терминах скалярных функций Hll и Tll- Выпишем это уравнение в инерционной области (2.5). Точнее, если Rm 登 Е, то уравнение будет справедливым во всей инерционной области 厶 W 厂 V 乙 Если же Е^ 蚤笈， то уравнение справедливо в более узкой области (где соблюдается вмороженность):

(2л/*в) < г < Z.(3.75)

Нам потребуется выражение для 7工工 в инерционной области. Оно

имеет вид

TLL = А - Та产，(3.76)

где а = 4/3 (ср. с (3.10)), 4 ——константа (размерность коэффициента турбулентной диффузии), Та ——тоже константа. Выражению (3.76) соответствует следующий вид 7订 в инерционной области: Тц (г) = 75订一Т；“二/з (25订—2/5^〃)， коэффициент 2/5 появляется из требования 仄7订 = 0. Следует иметь в виду, что (3.76) неприменимо при малых г, величина г должна быть больше 2nlkD (согласно (3.57)) либо 厶.При меньших г выражение Tll (так же как 7五 в (3.10)) ведет себя как TLL (0) — г2Г2 и имеет неограниченное число производных в нуле. Дело в том, что при к》2п/厶 (а именно эти к ответственны за поведение Tll (г) в нуле) спектр обрезается вязкостью и быстро убывает (см. гл. II, подразд. 2). Моменты высокого порядка \ рпи (р) dp сходятся, поэтому и Tll (г) имеет неограниченное число производных в нуле.

С учетом (3.76) уравнение для Hll имеет вид

/ дНтг]

+ (а + 4) г + (а2 + За) HLL .(3.77)

Вывод о генерации мелкомасштабных полей. Прежде всего отметим, что в марковской модели для учета диссипации в правую часть (3.77) следует добавить член

D (爲 ％ + 亲呵,(3・78)

который дал бы вклад для корреляционной функции, существенно меняющейся на расстоянии меньшем, чем 2п/友°. Этот дополнительный член снимает вырождение с (3.77). Перейдем к задаче на собственные функции полного уравнения для Hll・ Оно в области (3.75) переходит в (3.77). Нетрудно убедиться в том, что функцией, сопряженной Hll, будет г4Hll・ Для этого достаточно выписать уравнение, сопряженное (3.77), и показать, что если Hll — решение уравнения (3.77), то г4H工工 _ решение сопряженного уравнения. Причем дополнительный член (3.78) тоже обладает этим же свойством. Следовательно, вариационный принцип записывается в виде

£ = {— Ta^\ra+2Z2(r)(a2+3a)_(篇方a+"研(&2(力打丁 . оо

(3.79)

Здесь 6£ = 0, z ——пробная функция, 6Е ——вариация функционала. Подставим в (3.79) следующую пробную функцию:•

z =厂а/2 ехр (—г!г^.(3.80)

Значение г0 лежит в области (3.75). Она дает пренебрежимо малый вклад в функционал (3.79) при малых г, г W 2л/^р, а также при г》2. Именно поэтому функционал записан не в общей форме, а с использованием уравнения (3.77). Вид общего уравнения для данной пробной функции несуществен. Подсчет функционала в (3.79) довольно прост и дает 总之 0, т. е. функционал принимает отрицательное значение.

Итак, турбулентность с умеренными Е", Rm W 区 тоже возбуждает мелкомасштабные магнитные поля.

Характер усиления мелкомасштабных полей

Инкремент нарастания поля. Пробная функция (3.80) дает правильный порядок величины инкремента нарастания поля, а именно | Е | = ГаГо~2 = Т忘卜.Оценку величины Та проще всего сделать из соображений размерности (Та = W%. Тогда для инкремента нарастания поля получаем

\Е \ =爪一%先％.(3.81)

Это выражение полезно сравнить с 1/т (场)一обратным временем корреляции для колмогоровской турбулентности. Мы видим, что I Е I совпадает с 1/т (/с), если к ^ 1/г0. Именно с такой скоростью (с инкрементом 也© должно нарастать поле (если оно вообще нарастает) с волновым вектором к.

Максимальный инкремент достигается для полей наименьших возможных масштабов. Для турбулентности с Rm V R масштаб 2jt/A：q, с Rm 登 R масштаб совпадает с наименьшим масштабом турбулентности 厶.Общую для всех случаев оценку запишем с использованием (3.69) в виде

max I Е I =妳％厂;/з,(3.82)

犬=尸 min[E% (R^h, (R^].

Нижняя собственная функция с собственным значением Е°, Ео = minEm, имеет максимальный инкремент (поскольку Е^ V V 0). Корреляционная длина ее определяется минимальным г0 согласно (3.82). Это, конечно, вполне естественный результат. В подразд. 1 мы отмечали, что как рост поля, так и уменьшение его масштаба происходит за время 〃и. Если рассматривается многомодовая турбулентность колмогоровского типа, то следует говорить о возбуждении пульсациями скорости масштаба 2л/А. Тогда это время есть ①业尸.Пульсации наименьших масштабов наиболее эффективны, поскольку ①也尸 ~ Аг*.

Динамика мелкомасштабных полей с произвольными начальными данными определяется выражением

Я 3, %) = 2 ехр (-石渦 Hm 侬)〃卅(3.83)

Поскольку уравнение для Н (乱,力)сводится к эрмитовому виду, в общее решение (3.83) входят только собственные функции Нт (Л) (присоединенные функции, как в (1.41), не возникают), и все Ет действительны. Характер множества собственных значений {Ет} существенно зависит от того, есть турбулентное динамо или нет его. Действительно, именно множество {Ет} определяет характерные времена процесса (3.83). Наименьшая характерная частота vll ——обратное время изменения пульсаций магнитного поля масштаба Z, наибольшая частота выписана в (3.82). Если турбулентное динамо имеет место, то нижнее собственное значение (будучи отрицательным) совпадает с max | 笈 | но (3.82). Оно определяет быстрое изменение (рост) пульсации минимального масштаба. Более медленному изменению поля (масштаба %) отвечают Ет с т 2 1. Напомним, что при тп f оо все Ет положительны, следовательно, имеются промеж у точны е Е^, близкие к нулю. Более конкретно, такие, что | Ет \ ^ vll^ | £0 |. Если бы турбулентного динамо не было, то нижнее собственное значение (будучи положительным) должно было бы оцениваться как Е。弋 v!L Действительно, если бы наименьшая Ет (в данном случае наименьшая характерная частота процесса (3.83)) была много больше u/厶 то согласно (3.83) все поле затухло бы за время гораздо меньшее, чем 〃и. Между тем пульсации поля масштаба Z не могут так быстро исчезнуть. В частности, для динамического спектра скалярной примеси тоже имеет место разложение (3.83), где все Ет〉0. И нижнее собственное значение Ео。vll. Имении поэтому, получив вывод о турбулентном динамо мелкомасштабного поля, мы одновременно имеем результат: инкремент роста поля определяется максимальной характерной частотой задачи (3.82).

Полезно еще раз вернуться к уравнению (3.77) и по-новому убедиться в том, что оно дает динамо. Если бы (3.77) давало только экспоненциально затухающие решения, то, как сказано выше, нижнее собственное значение оценивалось бы как Е。и/%. Для соответствующей собственной функции левая часть (3.77) была бы (в инерционной области) малой по сравнению с правой, так что левую часть (3.77) можно было бы в первом приближении заменить нулем. Тогда общее решение правой части записывается в виде

HLL = ак^ + 屏也

阮2 = % {-(3 + а) 土 1(3 + а)2 - 4а (3 + а)]%}.

При а = 4/3 величины р1>2 комплексные. Это означает, что Hll осциллирует. Но нижняя собственная функция не может менять знак! Поэтому это решение не годится. Следует считать, что I Е° I 导就厶 и левая часть (3.77) уже не мала по сравнению с правой, и решение не записывается в виде степенных функций вида ак^ + Ь&仇.Но теперь нет необходимости решать это уравнение. Ибо, как сказано выше, имеется дилемма: либо | 石。| ^ vll

и поле затухает, либо | EQ | ^>u/Z, тогда (необходимо) Е 0 < 0 и динамо имеет место. Итак, простой анализ уравнения (3.77) с дополнительными физическими соображениями подтверждает строгое рассмотрение с помощью вариационного принципа.

Интересно отметить, что пробная функция z (г) в (3.79) не должна удовлетворять требованиям, предъявляемым к корреляционной функции. То же самое можно утверждать относительно вариационного принципа в фурье-пространстве (3.50): z (А) не должна быть непременно спектральной функцией, т. е. не менять знака. Действительно, допустим вариационный принцип (3.50) привел нас к заключению (с какой угодно пробной функцией z (А) ), что Ео V 0. Возможно ли, чтобы Е° V 0, но Яо (良j не было спектральной функцией? Отмет на этот вопрос отрицательный. Для того чтобы убедиться в этом, обратимся к динамическому решению (3.83). Если бы Hq (Тс) меняло знак м Е()V 0, то в разложении (3.83) вообще не должна бы содержаться эта гармоника, а。= 0. В противном случае при t -> оо нижняя гармоника, имея наибольший инкремент, «задавила» бы все остальные и функция Н ® 力) стала бы тоже менять знак, что недопустимо. Далее, согласно подразд. 6 оператор (3.45) общего уравнения для Н (А, %) сводится к эрмитовому. Система собственных функций уравнения, сопряженного к (3.45), или, что то же самое, система функций, взаимная (дуальная) системе {Нт (А)}, может быть выражена через собственные функции вектор-потенциала магнитного поля

Ят (*) = атНт (")"<・ (3.84)

Здесь множитель ат введен для нормировки J Ят (Тс) Нт (A) dk = = 1 (по т не суммируется!). Следовательно, коэффициенты ат в (3.83) определяются выражением

ат=ат^Н 佑，幻 Нт 佑)Y &k・ (3.85)

В частности, отсюда же определяется и а。(при пг = 0). Утверждение а。= 0 соответствует тому, что интеграл в (3.85) обращается в нуль при тп = 0. Это, конечно, невыполнимое требование. Напомним, что Н (А,力о)——произвольная положительно определенная функция. Она определяет (произвольные) начальные данные. Пусть, например, Ео (&) меняет знак, и при 力 V "i она положительна, в точке к = к、обращается в нуль, а далее, при 加 > 场工, отрицательна. Зададим, что Н (А,力о) обращается в нуль при к》к” а при к < %% положительна. Тогда (3.85) уже не будет обращаться в нуль и “о，0. Итак, вывод следующий: пробную функцию для вариационного принципа можно брать любой. Главное ——убедиться в том, что какая-нибудь пробная функция придаст функционалу отрицательное значение: это будет означать, что потенциальная яма достаточно глубока для того, чтобы содержать связанное состояние с 笈。V 0, и динамо имеет место.

Сравнение случаев 五丁 登 丘 и 丘丁 W 冗・ Мы показали, что пульсации с волновым вектором к взаимодействуют с флюктуациями магнитного поля с тем же волновым вектором к с харак-

терным временем (以%)т, совпадающим со временем корреляции т (场).Можно сказать, что взаимодействие магнитного поля с полем скоростей носит как бы локальный характер. Действительно, взаимодействие магнитного поля, характеризующегося волновым вектором к, с пульсациями скорости с волновым вектором A：oW 场 носит характер искажения мелкомасштабного поля в квазирегу- лярном поле скорости. Время искажения (у^ко)'1 гораздо больше, чем (%场厂工，и поэтому взаимодействие поля с крупномасштабными пульсациями гораздо менее эффективно по сравнению с взаимодействием пульсаций того же масштаба. Взаимодействие поля с очень мелкомасштабными флюктуациями поля, т. е. к%% (1/场2 ——характерный масштаб пульсаций), описывается турбулентной вязкостью. Характерное время диссипации поля за счет ^мелкомасштабной вязкости есть k2/vk2k2 (тоже большое по сравнению с (外乱尸)・ Итак, в то время как нарастание полной энергии поля определяется согласно подразд. 7 самыми мелкомасштабными пульсациями, динамика поля с данным фиксированным волновым вектором к определяется пульсациями скорости vk с теми же волновыми векторами.

В этом смысле взаимодействие локально.

Воспользуемся этим свойством для того, чтобы сопоставить генерацию поля в турбулентности с Rm 登 R с генерацией в турбулентности с 瓦и W Е. И в том и в другом случае имеется область в ^-пространстве, где поле вморожено в вещество, т. е. Rm^> 1, Rm》1. Рассмотрим турбулентность с Rm^> R. Пусть спектральная функция поля скорости Е (场)искусственно обрезана при к〉 > 场2・ Иначе говоря, заменим реальную турбулентность на такую же, но со спектральной функцией % (加),отличающуюся от Е (场) только прп к > к2: Е± (А) = Е 侬)0 (1 —场/俱)，场2 W 场d，° (%)=。 при % V 0, 6 (%) = 1 при %》0. Новая турбулентность ничем не отличается от обычной при к <%、только при 论〉力2 все пульсации скорости искусственно подавлены. Тогда, как сказано выше, магнитное поле при к W “2 взаимодействует с полем скорости обычным образом. Взаимодействие локально, и магнитное поле с волновым вектором к (к W 砌 не «чувствует» отсутствия пульсаций скорости с А:〉论2・ Но при 论登论2 уравнение для пульсаций магнитного поля известно: это есть супермелкомасштабные поля, п они описываются уравнением (3.39), в котором под Т? следует понимать ?2 = 1/15 J Р?乂 (р) 0 (1 —卩论/) dp. Здесь, однако, следует уточнить, что энергия магнитного поля сосредоточена при 左 М *2，а область А:〉А? представляет «хвост» спектральной функции. В этом случае, как сказано в подразд. 5, уравнение (3.38) описывает динамику поля, корреляционная функция которого медленно убывает на длине 2л/Л2, а (3.39)——поведение хвоста спектральной функции магнитного поля. Напомним, что в этом случае правая часть (3.38) есть просто разложение по малому параметру 1/乃2上 “ 一характерный масштаб магнитных пульсаций, lfk2L W 1) и для его вывода не требуется использовать полное

уравнение для р& (3.33)! Достаточно раскладывать решение по малому параметру 1色厶.

В подразд. 7 показано, что если уравнение (3.39) законно, т. е. если существует область волновых чисел, где оно применимо, то турбулентное динамо мелкомасштабных полей имеет место. В данном случае, правда, нельзя для доказательства данного утверждения пользоваться вариационным принципом в том виде, как он используется в подразд. 7. Дело в том, что энергия пробной функции сосредоточена как раз в области применимости уравнения (3.39), в то время как теперь энергия сосредоточена при А《 论2・ Для того чтобы показать, что турбулентное динамо имеет место в данном случае, здесь можно воспо;Гьзоваться вторым способом, изложенным в подразд. 7,——общим решением уравнения (3.39) с требованием знаковой постоянности Нт (乃)——собственной функции. Хвост спектральной функции тоже, конечно, не должен менять знак, что приводит к требованию Ео < <—15/4 丁2 < °・ Впрочем, этого еще недостаточно. Ведь уравнение (3.39) удовлетворяется для функции тождественно равной нулю. Но эта возможность означала бы, что спектральная функция магнитного поля не выходит, изменяясь во времени, из области к < 论2, и，следовательно, энергия поля неограниченно возрастала бы. Это следует из общего свойства (3.43), которое было бы справедливым неограниченно долго, если бы спектр пульсаций поля не выходил из области "V /с2. Итак, поле нарастает либо потому, что при 论〉加2 его спектр не обращается в нуль, либо согласно (3.43). Вторая возможность, как неоднократно отмечалось, не может реализоваться, поскольку масштаб поля должен падать.

Мы приходим к следующему выводу. Турбулентность вызовет генерацию поля при к <^ к2, если пульсации скорости при к〉％ будут подавлены. Из локальности взаимодействия, т. е. независимости взаимодействия магнитного поля с полем скорости при определённых 论 от того, что происходит при волновых векторах, значительно отличающихся от 论,следует, что в реальной турбулентности скорость генерации преобладает над скоростью перекачки энергии в область больших волновых чисел. Таким образом, искусственное обрезание спектра пульсаций скорости при 论2 < < к《ftp дает возможность сопоставить генерацию поля в турбулентности с А\и У 区 с турбулентностью с 7?'仅》五.

И. Динамика м ел кома сштабных пульсациймагнитного поля

при наличии маломодовой турбулентности

Маломодовая турбулентность. В гл. II, подразд. 3, указывалось на то, что турбулентность может развиваться, когда возбуждено небольшое число степеней свободы (или фурье-гармоник). Это явление стали называть странным аттрактором. В поразд. 7 мы показали, что если энергия всех гармоник сосредоточена

в спектральной области при 论 ^ 2л//, то турбулентное динамо имеет место. Следует оговориться: в подразд. 7 подразумевалась изотропия турбулентности. Это означает следующее. Фурье- амплитуды vk изотропно распределены в /с-пространстве. Иначе говоря, поле скорости представимо в виде v (х) = З^к exp (——Zkx), здесь Uk，0, если к = kQ = 2п/厶 и iik = 0, если к 六论о. Кроме того, все амплитуды удовлетворяют условию <UkU*> = const. Это и соответствует изотропии флюктуаций с разными волновыми векторами к. Здесь включены все моды, волновой вектор которых по модулю равен 论о, более точно, близок к величине 论о, так как мы полагаем, что волновые векторы представляют собой дискретное множество (именно поэтому мы пишем сумму по волновым векторам, а не интеграл).

Последовательная постановка задачи для маломодового генератора должна формулироваться следующим образом. Следует рассматривать поле скорости, первоначально состоящее из минимального количества мод (фурье-гармоник), затем включать все большее и большее число гармоник» Таким образом, можно выяснить, какое минимальное число гармоник поля скорости необходимо для генерации магнитного поля. Такое рассмотрение дало бы возможность выяснить наиболее простые способы возбуждения поля. В гл. I, подразд. 7, мы показали, что простейшее движение ——дифференциально вращающийся цилиндр ——способно генерировать поле. Но импульсная модель, используемая там, не дает возможности выяснить инкремент нарастания поля. Стохастическая модель, т. е. модель, в которой поле скорости есть случайная функция, дает возможность рассмотреть вопрос в более общем виде. Действительно, уравнение для корреляционного тензора магнитного поля должно получиться, как можно надеяться, с эрмитовым оператором. Поэтому для определения инкремента нарастания поля можно пользоваться вариационным принципом. Последний дает возможность определить не только сам факт нарастания поля, но и (приближенно) инкремент. Если не пользоваться стохастической моделью, то нужно решать общее уравнение (1.7), которое не является эрмитовым.

Сформулируем программу действий для решения задач маломодовой генерации. Будем последовательно задавать поле скорости во все более и более усложненном виде. Начнем с задания скорости в простейшем виде:

V = А】ехр (%х) + к. с.„

(3.86)

АМ = О, (А： [Ахко]) = 0.

Первое условие——ортогональность Ах и к0—соответствует несжимаемости, второе——ортогональность векторов А* и [Ахк0]——выделяет одну, поляризацию. Иначе говоря, комплексная амплитуда А】 не только ортогональна вектору к0, но и параллельна определенному (действительному) вектору: Ах = ах (ах + ш2),

Im (a,甸，仰)= 0・ Движение (3.86) не генерирует магнитного поля, так как оно соответствует антидинамо-теореме (1.43) (кроме того, в стохастической модели мы считаем, что D = const). Простейшее усложнение поля скорости ——это учет второй поляризации:

V = (Ai + А2) ехр (tkox) 4- к. с.,

АМ = 0, A2ko = 0, (А* [Ахк0]) = 0, A2Al = 0.

Но и такое движение тоже соответствует (1.43) и не генерирует поле. Следует отметить, что если дополнительно (А* [А^])亥 0, то такое движение является простейшим винтовым. Нетрудно убедиться в том, что для такого движения vrotv，0, т. е. поле скорости гиротропно. Динамо все же запрещено антидинамо-теоремами.

Дальнейшее усложнение модели ——учет двух мод. Выпишем поле скорости в этом случае:

V = (А】+ А2) ехр (гкох) + (В】+ В2) ехр (小闵，

I ко I = I ki I = А：о, В1,2 = 01,2 (，1,2 + 匕,2)，01，©2 =。，

k()ki = 0, 01ko =卩]Ло, Im (61,2, "1,2,。1,2)=== °・

Если один из векторов (В】 либо А2) равняется нулю или одновременно А】и В2 равны нулю, то движение лежит в одной плоскости и опять динамо невозможно. В общем случае поле скорости параллельно плоскости и генерация возможна, несмотря на то что движение двумерно: v не зависит от направления, параллельного вектору [kok】]. Пример генерации винтовым движением (двумерным, но не плоским) приведен в гл. I, подразд. 6. Винтовое движение генерирует крупномасштабное поле. Мелкомасштабное поле генерируется, как мы увидим далее, гораздо более эффективно. Вопрос о стохастической генерации мелкомасштабного движения в двухмодовой модели не рассматривался.

Наконец, в трехмодовой модели следует учесть дополнительно член

(Ci + С2) ехр ik2x,

I k2 I = "0,&,2 = ?1,2 (心,2 +，ё1,2)，Y1?2 =:。，

k2kl -- k2ko = 0, Im (%,2, 4窑，6,2)-=0，Y2ko — ¥2&0.

В стохастической модели амплитуды А1? А2, В1? В2, Сх, С2 ——случайные функции времени. В простейшем случае следует считать, что они не коррелируют друг с другом, кроме того,〈А]А；〉+ + <А2А*> = <ВХВ*> + <В2В?> = <СХС?> + <С2С^>. В трехмодовой модели удобно ввести систему координат, где ось х параллельна к0, у —— вектору k1? z —— вектору k2. Уравнение для корреляционного тензора магнитного поля 兄订 можно получить в этом случае без труда. В самом деле, общее уравнение (3.33) остается справедливым, а отсюда обычным способом выводится уравнение для Hij (г,办.Оно имеет вид (3.55). Остается лишь определить тензор

7订・ В принятой системе координат тензор 7订 диагоналей:

卩(Г2)+ 〃门)оо

"= о /(Г1) + /(Гз) ооо№)+ /п)

Функция / должна удовлетворять свойствам корреляционной функции. Выражение ее через эйлеровы характеристики затруднительно. Да это и не требуется. Соленоидальность тензора, а»Т订=0, проверяется без труда. Отметим, что гиротропность в системе отсутствует. Это связано с предполагаемой некоррелированностью мод. Следовательно, крупномасштабное поле генерироваться не будет: уравнение для среднего магнитного поля будет лишь диффузионного типа. Заметим дополнительно, что если вернуться к двухмодовой модели, то вместо выписанного тензора 7订 будем иметь тоже диагональный тензор, один из диагональных элементов которого обратится в нуль. А это эквивалентно тому, что вектор скорости лежит в определенной плоскости, и генерация поля, следовательно, невозможна. Подчеркнем еще раз, что, как отмечалось, двухмодовое движение хотя и допускает винтовой характер, но ввиду предполагае^юй некоррелированности амплитуд средняя гиротропность отсутствует. Потому-то и невозможна генерация поля. Трехмодовая генерация мелкомасштабного поля с выписанным диагональным тейзором 7\力 по-видимо- му, возможна.“

Описание магнитного поля при наличии простейших движений. Рассмотренная выше (но нерешенная) трехмодовая модель все же недостаточно хорошо характеризует простоту движения. Поле скорости трехмерно и в общем сложно. Для того чтобы приблизить нашу модель к модели странного аттрактора и, кроме того, исследовать движение, которое 6 данный момент времени является простейшим, перейдем к рассмотрению следующей модели. Считаем, что поле скорости переключается скачком с одной моды на другую. Но в данный момент реализуется только одна мода с одной поляризацией.

Опишем модель более подробно. Разобъем промежуток времени на равные интервалы длиной т. При т (п ——1) < 力 < т;?г (п — целое) возбуждена только одна мода. Иначе говоря, поле скорости на этом промежутке уже не зависит от времени и описывается (3.86), где А】=const. В следующий промежуток времени, пт <^ ^ <； (n + 1) т, включается новая мода. Эта мода характеризуется, вообще говоря, новыми волновым вектором к0 и амплитудой А】. Новый волновой вектор статистически не зависит от старого, то же касается амплитуды: она некоррелируема со старой. Важно иметь в виду, что 6 каждый момент времени движение одномерно (имеется лишь зависимость от направления, параллельного волновому вектору). Кроме того, в каждый данный момент vrotv = 0, av = 0, rot а = v, причем это выполняется не в усредненном смысле, а в каждой точке.

Разумеется, движение в целок, т. е. на всем промежутке времени, не является одномерным. Поэтому генерация поля в принципе возможна. В то же время такак модель дает возможность выяснить наличие генерации поля для движения, простейшего в данный момент времени.

Дополнительно считаем, что во всей реализации скорости как волновой вектор, так и вектор амплитуды изотропно распределены в пространстве. Но модули волнового вектора и амплитуды лостоянны. Генерация крупномасштабного поля в такой модели невозможна, так как в каждый момент t vrotv = 0, и поэтому, естественно, усреднение v rot v по ансамблю тоже дает нуль. Перейдем теперь к вопросу о динамике мелкомасштабных магнитный полей. Здесь возможно рассмотреть два случая. Для первого случая время т мало:

T < 1/自 了歹%(3.87)

Напомним, что в течение промежутка времени длиной т поле скорости постоянно и поэтому помнит о своем прошлом в течение этого промежутка. Переходя к новому промежутку времени, поле скорости скачком меняется на новое и забывает свое прошлое. Поэтому т ——время корреляции. Легко понять, что условие (3.87) соответствует белому шуму для поля скорости и марковскому процессу для магнитного поля. Решение задачи в таком случае получается из теории возмущений. Уравнение для Н^ совпадает с (3.65), где тензор 7仃 совпадает с эйлеровым корреляционным тензором поля скорости, умноженным на т. Генерация магнитного поля в такой модели была продемонстрирована в подразд. 9. Инкремент нарастания поля можно оценить следующим образом:

у xkl〈№〉т.(3.88)

Это следует из того, что единственная величина размерности частоты 丁2 из подразд. 7——9 оценивается в данном случае как Т?弋

麓《2〉Т.

Во втором случае т не мало:

т ^ 1/*о у守У・(3.89)

Перейдем к решению этой немарковской модели. Ввиду простоты поля скорости уравнение индукции (1.7) можно на каждом промежутке времени решить без труда. Но усреднение по ансамблю уже затруднительно. Воспользуемся поэтому лагранжевым подходом. Прежде всего поясним, что мы понимаем под усреднением. Очевидно, что процесс не полностью эргодичен. Например, усреднение по пространству в данной задаче лишено смысла. Дело в том, что поле скорости меняется регулярным образом (в виде синусоиды) в каждый момент времени. Возможно усреднение по промежуткам времени, большим, чем т, или по ансамблю. Мы будем пользоваться последним. Необходимо разъяснить, что понимается под ансамблем. Пусть нам задана не одна реализация скорости

v (x,力),описанная выше, а ансамбль реализаций. Но все реализации ансамбля характеризуются всеми свойствами описанной выше реализации, т. е. на промежутках времени длиной т поле скорости (данной реализации) не зависит от времени и описывается одной гармоникой с одной поляризацией (3.86). Только амплитуда и волновой вектор различны для разных реализаций в данном промежутке времени. Очевидно, что усреднение по ансамблю реализаций в данный момент времени эквивалентно усреднению по времени, т. е. в данном смысле процесс эргодпчен.

В конце концов все усреднения следует понимать как усреднения по времени. Ведь в данном конкретном случае осуществляется лишь одна реализация, являющаяся случайной функцией только времени (а не пространства). Случайный процесс в целом является однородным по времени. Поэтому для других реализаций ансамбля целесообразно сдвинуть начало отсчета времени каждого промежутка. Иными словами, для т-й реализации промежуток времени, в течение которого поле скорости постоянно, есть tm + + пт< 力 W ^т + (八 + 1)七・ Множество tm можно считать выбранным из отрезка 0< 力mV т. Если бы такого сдвига (на величину 力^) не было, то все реализации характеризовались бы избранными моментами времени ^ = пт и процесс не был бы строго однородным во времени.

Перейдем к описанию магнитных полей. Для этого воспользуемся четырехточечной функцией распределения /?4. Ясно, что уравнение для нее имеет вид (3.33), где 7订(г) = D&j — —?2 (5疗2 — х/2 厂/j), а поэтому уравнение для спектральной функции магнитных пульсаций Н (к, t) совпадает с (3.39). Вопрос заключается только в задании коэффициента Г2.

Обратимся для этого к уравнениям для траекторий жидких частиц d^/dt = v (%), (Pxldt = v (2x). Нам достаточно две траектории, поскольку тензор Т订 определяется усредненным движением двух жидких частиц. —

Воспользуемся для данной реализации и данного промежутка времени 力m + 七〃〈力《力m + 七(八 + 1) системой координат, такой, что поле V имеет следующие компоненты: v = {0, и (勺)，0}. Простейшее движение (3.86), конечно, допускает такое представление. Дальнейшие рассуждения напоминают изложенное в подразд. 3. Разница заключается в том, что уравнение для траектории в данном случае просто решается. Обозначим через tn начальный момент времени для тп-й реализации: tn = tm+ т. Тогда решение уравнения для одной траектории есть %】(办=%】("), /2 ⑴=/2 陶)+ u [/1 %)](方-勿)，/3 ⑴=/3 隔)• Смещение х (力)一х (%) линейно по времени, квадрат смещения [х ⑺一 —х (%)]2 квадратичен. Эту последнюю величину можно усреднять: <[х ⑺—х 陶)]2〉=(力一tn)2P. Здесь коэффициент 刀〉0 и имеет размерность квадрата скорости. Скорость изменения квадрата среднего смещения есть, как известно, коэффициент диффузии 力т = 0〈[х «) — х (%)；2〉/威=2 (力一tn)尸，причем смещение берется за весь промежуток времени т. Теперь мы имеем

окончательно DT = 2тР. Для выяснения коэффициента Г2 обратимся к вопросу об изменении расстояния между двумя близкими жидкими частицами. Для нашей реализации в рассматриваемый промежуток времени решение уравнений для траекторий приводит к следующему выражению для г = 2х ——^х:

q⑴=q%)，

△ ⑴=Т2 陶)+ -^" u (外)« 一大n) 人 (楠， (3.90)

J⑺=仆(％)•

Здесь мы приняли во внимание близость точек хх и 2х и поэтому разложили эйлерову скорость в точке хх = х. Заметим, что 力工 не меняется вдоль траектории, и поэтому dvldx± не зависит от времени. Следовательно, вся зависимость от времени входит в выражение для г (力 явным образом через множитель (t —— 勿).Скорость изменения г определяется из (3.90), т. е. drjdt = 0, dr3/dt = 0, dr2/dt = q (%) dv (х)1дх. Физический смысл коэффициента Г2 — средняя скорость относительного изменения расстояния между жидкими частицами. Более конкретно, Т2= a <[r (tn + t)—— —г (%)P>/t〈卜(九 + t)P〉，〃 — безразмерная константа порядка единицы. В числителе стоит средний квадрат изменения расстояния между частицами за время т. Деление на т означает, что мы вычисляем скорость изменения квадрата расстояния, а〈г?〉, тоже стоящее в знаменателе, соответствует тому, что определяется относительная скорость.

Целесообразно рассмотреть три случая. Первый случай —— малые т (t V 1/班о)・ Согласно (3.90) [г (% + 七)一『陶)1?〜т2, в то время как г (力"+ т) слабо отличается от г (^п). Следовательно, для малых т получаем Т? = тР2. Коэффициент Р2 имеет размерность квадрата частоты и по порядку величины Р2 ж <р2> Л^. Отсюда мы приходим к инкременту (3.88) (совпадающему по порядку величины с 丁2)・

Второй — умеренные т (т ^ 1/иАо). Здесь, естественно, [г (% + т) — г (加)]2 七[г (% + т)]2, поэтому ?2 = 〃/т 成о・ Это наиболее интересная ситуация. Генерация поля именно для такого 丁2 продемонстрирована в подразд. 7. Инкремент нарастания поля ?。班0.

Третий случай ——большие t (т 2 1/и"о). Тогда расстояние между частицами г перестает, вообще говоря, быть малым, если даже в начальный момент оно было малым (по сравнению с 2п/"о). Тем не менее (3.90) остается справедливым. Ясно, что и в stoni случае можно написать [г (加 + 七) 一 г (勿)产 а [г (% + т)]2, следовательно, ?2 - a/t V

Все три случая аюжно объединить в один с помощью интерполяционной формулы

?2 = T/с2〈标〉а! (1 + т%2 <р2» у.

Видно, что при больших т, т -> оо, 7 -> 0, и динамо отсутствует Это естественный результат: при т -> оо мы фактически возвращаемся к одномерному движению в течение всего времени. Но при этом динамо невозможно, и у стремится поэтому к нулю. Инкремент максимален при т н i/vkQ,

В заключение этого подраздела сформулируем задачу о генерации магнитных полей, если пользоваться непосредственно решением уравнения (1.7) на промежутке времени длиной т. Ввиду простоты движения решение определяется без труда. Здесь уже используется вполне конкретная реализация, например такая, что tm = 0, т. е. скачок скорости происходит в моменты времени /п = т. Распределение вероятностей скорости инвариантно относительно сдвига времени т, 2т, . . ., от, представляя собой стационарный в статистическом смысле процесс. Магнитное поле (и скалярная примесь) представляет случайный процесс со стационарными приращениями. В момент времени t — tn магнитное лоле ведет себя подобным образом по отношению к моменту ^n+i. Математически это означает, что можно формулировать задачу на собственные функции следующим образом:

/ ⑴ Ни (г, %) = Ни (г, *1). (3.91)

Существенно то, то функция / не зависит от координат. Тем самым выражение (3.91) представляет собой разделение переменных (г и 力),характеризующее постановку задачи на собственные •функции. Итак, если задано начальное значение корреляционного тензора Н〃 при t = £п, то в момент ^n+i оно определяется умножением на / (т). Собственное значение определяется следующим образом: —Ет — [/т (т) — 1] 丁1. Здесь fm соответствует одному из собственных решений, т. е. решению, удовлетворяющему (3.91). В пределе марковского процесса 〃订(％+i) слабо отличается от Htj (%), т. е. можно записать 8仃(力n+i)— 〃仃(G) + + tOH" (%)〃方九 И сама функция / (т) слабо отклоняется от единицы, т. е. / (т) = 1 + т df (0)/dr. Подставляя эти выражения б (3.91), имеем

—Е = df (0)/dq 0Н〃・(7)例=一笈H订(G),

что возвращает нас к обычной постановке задачи на собственные значения. В общем случае немарковского процесса / (т) сильно отличается от единицы.

Заметим, что начальный момент для Н^ должен быть именно tn. В этот момент поле скорости меняется скачком и ничего не ломнит о своем прошлом. Магнитное поле при 力=tn несет информацию лишь о предыдущих значениях скорости для t <^ tn. Поэтому магнитное поле в момент времени t = tn нескоррелиро- вано с будущим полем скорости. Именно такую начальную задачу можно решать. Конечный момент t = ^п+1 тоже должен быть выбран именно таким: на самом промежутке времени tn <^ t ^ tn+i

магнитное поле не обязано вести себя подобным образом, т. е. как собственная функция. Инвариантность всех функций распределений вероятностей имеется лишь относительно конечного сдвига по времени, равного т (или кратного этому промежутку времени).

Другие видынетрадиционной турбулентности

Двумерная турбулентность. В прыдущем подразделе мы обсудили один из видов турбулентности, которую можно назвать нетрадиционной. В гл. II, подразд. 3, был указан другой вид нетрадиционной турбулентности ——двумерной. Более точно надо было бы назвать ее «плоской» (хотя принята терминология «двумерная турбулентность»). Двумерное движение способно генерировать магнитное поле, плоское — нет. При этом подразумевается, что коэффициент омической диффузии D не зависит от координат (в противном случае генерация возможна, см. гл. I, подразд.7).

Введем систему координат, такую, что поле скорости лежит в плоскости XY: V = {рх (%, у), vy (%, у), 0}. Задача о поведении магнитного поля разбивается на две:

динамика поля {0, 0, *z}, обозначим его Ну;

динамика поля {Ях, Ну, 0}, обозначим Н丄.

Поля Нц и Н丄 не взаимодействуют между собой, если они не зависят от z, что мы и будем предполагать, и их можно рассматривать отдельно.

Двумерная турбулентность и крупномасштабные поля. Обсудим прежде всего динамику поляНц. Уравнение для Нц совпадает с уравнением для скалярной примеси. Поэтому все предыдущие результаты, касающиеся скалярной примеси, относятся и сюда. В частности, уравнение для р& имеет по-прежнему вид (3.33). Только индексы в тензоре 7订 пробегают значения 1, 2 (а не 1, 2, 3, как в трехмерном процессе). Поведение крупномасштабной составляющей определяется интегрированием уравнения (3.33) по координатам 2х, Зх, 4х, что приводит к уравнению турбулентной диффузии с коэффициентом диффузии Т (0).

Неоднородность турбулентности, выражающаяся в зависимости величины <р2> от координат, приведет к коэффициенту диффузии, зависящему от координат. На языке уравнений электродинамики это означает, что неоднородность турбулентности приведет к неоднородной электропроводности о (х). Диамагнитный эффект здесь не возникает. В сущности это связано с тем, что для скалярной примеси можно записать граничные условия в виде сохранения потока D^^f = 0M毋'，где?позначает производную в нормальном направлении по отношению к границе (Z>；, Dq — значения коэффициента (турбулентной) диффузии с обеих сторон границы, производная тоже берется с одной п с другой стороны границы). Поскольку 0 в данном случае просто］忆，то нетрудна видеть, что выписанное условие эквивалентно rot^ Н'/о'=

=rot^ H'7o", т. е. тангенциальная составляющая тока (или rot Н) испытывает скачок, определяемый отношением о'7о'. Сама же функция 0, а значит, и Нг непрерывны на границе. Следовательно, магнитная проницаемость не меняется при переходе через границу, и диамагнетизм не возникает.

Д алее мы дадим физическую интерпретацию диамагнетизма. Насколько нам известно, физический смысл турбулентного диамагнетизма до сих пор не выяснен, несмотря на то что это явление известно уже давно. Двумерная турбулентность достаточно наглядна, и диамагнитный эффект в ней проявляется в полной мере. Отметим, что другие явления динамики крупномасштабного поля (гиротропная генерация (a-эффект) и топологическая накачка (см. гл. II, подразд. 9)) не могут быть описаны в рамках двумерной турбулентности. Излагаемая ниже физическая интерпретация принадлежит Л. Л. Кичатинову. .

Плоскость ХУ, в которой происходит турбулентное движение, изображена на рис. 3.1. Напомним, что магнитное поле не зависит от координаты z. Поле Нц ортогонально плоскости рисунка, Н丄 лежит в этой плоскости. Вернемся прежде всего к описанию Н к. Однородная турбулентность приводит к сглаживанию градиентов поля; в результате действия диффузии поле станет однородным —без градиентов. Диамагнитный эффект проявляется в однородном поле. Именно в однородном поле он проявляется в чистом виде (турбулентная диффузия уже выключена). Рассмотрим поэтому начальное однородное поле. Пусть интенсивность турбулентности зависит от координат. Допустим для определенности, что величина〈〃2> не меняется на линиях %= const и падает в направлении оси х. Иначе говоря, V〈и?〉= = {0, 0〈〃2〉/。％}, dDIdx V 0. Силовые линии поля Нц проектируются на рис. 3.1 в виде точек, однородно распределенных в плоскости XY (и не изображенных на рисунке). Несжимаемое движение только перемешивает точки ——концы силовых линий. Поскольку они распределены однородно, перемешивание ни к чему не приведет: они так и останутся однородно распределенными. Единственно, что при малых / перемешивание будет более эффективным, чем при больших. Но главное ——однородное поле так и остатгется однородным.

Обратимся к полю Н丄, для которого диамагнетизм имеет место. На рис. 3.1 изображены силовые линии начального невозмущенного поля (две сплошные линии, параллельные оси у). Штрихом изображены силовые линии, возмущенные движениями проводящей плазмы. Левая силовая линия возмущена больше правой: интенсивность турбулентности слева больше, чем справа. Из рисунка видно, что силовые линии в целом сблизились — произошло усиление поля. Кроме того, что не менее важно, вся силовая трубка, образованная этими двумя силовыми линиями, сдвинулась вправо. Если раньше центр трубки лежал в точке (%。+ %i)/2, то теперь он сдвинулся ближе к точке %「 Заметим, что, несмотря на сближение силовых линий, скалярная примесь (а

значит, и поле Н ц) не возросла в месте сближения. Дело в том, что поле скорости несжимаемо и кроме движения в направлении оси с должно одновременно происходить растекание вдоль силовых линий (изображено стрелками на рис. 3.1).

Рассмотрим теперь обратное движение проводящей среды —— движение влево (рис. 3.2). В этом случае силовые линии удаляются друг от друга. Вся силовая трубка сдвигается влево. Причем центр силовой трубки сдвинулся на такое же расстояние влево, на сколько на рис. 3.1 он сдвинулся вправо. Только сдвиг влево

Рис. 3.1.

Возмущение поля при движении плазмы вправо

Рис. 3.2.

Возмущение поля при движении плазмы влево

(см. рис. 3.2) сопровождается уменьшением напряженности поля (силовая трубка расширяется). Заметим, что уменьшения плотности скалярной примеси по рис. 3.2 не произойдет, поскольку в несжимаемой жидкости должно произойти компенсирующее движение, изображенное стрелками.

В целом из рис. 3.1 и 3.2 следует, что сдвиг вправо имеет больший вес. Поскольку сдвиг вправо сопровождается усилением поля, а влево — ослаблением, можно сказать, что в результате двух процессов, изображенных на этих рисунках, среднее поле передвинется вправо. Иначе говоря, имеется поток поля (первоначально однородного!) вправо.

В математической форме это утверждение эквивалентно следующему виду уравнения для среднего магнитного поля В丄： Vq = —W)t, ОВ丄& = rot [VqB丄]+ 4AB丄(ср. (2.90)), как раз и означающему, что имеется поток среднего поля вправо (в направлении убывания 〈и?〉) поскольку DT = X业I. Естественно, это же уравнение можно записать в виде @В丄/&% = =——rot rot ОтВ丄,откуда и следует, что в двумерном случае неоднородность скоро сти приводит к неоднородной магнитной проницаемости, 卩=i/Rm (Rm зависит от координат через среднеквадратичную скорость). В то же время электропроводность в данном случае остается газокинетической и не перенормируется на турбулентную. Итак, для поля <Н ц > = В ц электропроводность турбулентная (сгт = о/Нт) и зависит от координат, а магнитная

проницаемость не перенормируется,卩 = 1. Для поля В丄,наоборот, о = const,卩=1//?优.Неудивительно поэтому, что в трехмерном случае эти две перенормировки присутствуют одновременно, причем каждая из величин перенормируется «наполовину»: ” =о7(Ет)%,卩—l/(Em)3.

Перейдем к обсуждению роли неоднородной плотности. Пусть для простоты интенсивность турбулентности не зависит от координат: 〈№〉= const, этот случай иллюстрирует роль неоднородной плотности в чистом виде. Полагаем, что плотность постоянна при х = const и убывает с ростом х (см. рис. 3.1, 3.2). Ясно, что флюктуация скорости, направленная вправо (см. рис. 3.1), сопровождается растеканием жидкости (изображено стрелками и происходило выше по другой причине). Движение влево (см. рис. 3.2) сопровождается стеканием жидкости (тоже изображено стрелками). Дело в том, что часть жидкости, находящаяся первоначально при % = %о, переходя вправо, обладает плотностью большей, чем в окружающей области, %〉％。・ Для сохранения средней плотности при данном / необходимо, чтобы в рассматриваемой части жидкости плотность уменьшилась, что и приводит к растеканию жидкости, т. е. div v〉0. При движении влево часть жидкости, наоборот, привносит более разреженную по сравнению с окружающей средой плотность. Для сохранения средней плотности при % < /0 в этой точке должно выполняться условие div v < 0~

К каким следствиям это приведет для крупномасштабных полей Вр и В丄? Обратимся сначала к полю Вр. Сказано, что это поле ведет себя как скалярная примесь. При растекании жидкости, т. е. div V〉0, плотность скалярной примеси, естественно, уменьшается, при div v< 0, наоборот, увеличивается. Следовательно, движение вправо (см. рис. 3.1) сопровождается уменьшением Н[], в то время как движение влево (см. рис. 3.2) сопровождается увеличением Hr. На этот раз движение влево обладает большим весом по сравнению с движением вправо. Следовательно, среднее поле смещается влево. Скорость смещения среднего поля есть Vd = ^т^р/р. Это и есть накачка поля из-за неоднородной плотности, о которой упоминалось в гл. II, подразд. 9.

Что касается поля В丄,то для него накачка происходит в противоположном направлении. Действительно, согласно рис. 3.1 растекание жидкости приводит к сжатию силовой трубки. Выше сжатие трубки происходило из-за того, что левая «стенка» трубки движется быстрее правой. На этот раз сжатие трубки связана с растеканием жидкости вдоль силовых линий, непременно приводящим к сжатию трубки, а значит, к усилению поля Н丄.Движение влево согласно рис. 3.2 приводит, наоборот, к утолщению трубки и ослаблению поля. В результате движение вправо обладает большим весом по сравнению с движением влево. Среднее поле В丄 смещается вправо со скоростью Vq =——От^р/р.

Поскольку поля Н丄 и Н у (не зависящие от z) не взаимодействуют, то двумерная турбулентность с неоднородной плотностью

будет приводить одновременно к накачке поля В丄 вправо, а поля Вц ——влево, если даже они присутствуют одновременно. В трехмерной турбулентности эти два эффекта конкурируют. Действительно, пусть нас интересует магнитное поле {О, О, В^}, Движения в плоскости ХУ, как сказано, стремятся перенести поле влево, т. е. параллельно Vp, в то время как движения в плоскости XZ стремятся перенести поле антипараллельно вектору Vp (поскольку само поле лежит в этой плоскости), т. е. ^вправо. В изотропной турбулентности по этой, причине перенос ноля из-за градиента плотности вообще отсутствует. Перенос появляется (в ту или другую сторону) при наличии анизотропии турбулентности.

В заключение этого раздела отметим, что до сих пор в книге шла речь о кинематическом подходе. Это означает, что обратная реакция магнитного поля на движение была пренебрежимо малой. Относительно поля Н() в двумерной турбулентности это требование не является обязательным. Более того, как говорилось в гл. II, подразд. 3, именно поле Н ц, если оно достаточно сильное, •само вызывает явление двумерной турбулентности. В данном разделе поле Иц зависит от координат %, у. Останется ли турбулентность двумерной, если такое неоднородное поле Н(| наложено на проводящую среду, причем напряженность поля велика? Оказывается, да. Дело в том, что электромагнитная сила, действующая на жидкость, сводится в этом случае к магнитному давлению [rot Н, Н]/4л = — ?Я2/8л, которое просто добавляется к газокинетическому. Можно сказать, что полное давление при этом есть 巨2/8冗 +/?,/? — газокинетическое давление. Все же свойства двумерного движения при этом сохраняются.

Двумерная турбулентность и мелкомасштабные поля. Плоское движение не вызывает генерации поля. Поэтому мелкомасштабные поля без внешнего источника в конце концов затухают. Поле Н(] ведет себя как скалярная примесь и, конечно, не генерируется, Н丄 ——как градиент скалярной примеси (напомним, что мы рассматриваем магнитные поля, не зависящие от z). Усиление 〈Н；＞ только временное. За время 〃и эта величина возрастет, масштаб поля уменьшится, вмороженность исчезнет и поле начнет диссипировать. Как убедиться в справедливости этих утверждений, которые следуют непосредственно из рассмотрения (1.7), пользуясь развитой выше теорией мелкомасштабных полей? На лервый взгляд кажется, что переход к двумерному случаю тривиален. Уравнение для корреляционного тензора 8订 записывается в виде (3.65), только тензор Т^ обладает лишь четырьмя ненулевыми компонентами: Т^ ^ 0, если % / =1,2, и Т»з = =Г3； = 0. В действительности же аккуратный и последовательный переход к двумерному случаю в сущности приводит к разрушению всей теории трехмерного динамо. Во всяком случае, выводы теории двумерной турбулентности оказываются прямо противоположными трехмерной.

Прежде всего обсудим возможность использования вариационного принципа. Как указано в подразд. 6, его использование справедливо в изотропном случае. Двумерная турбулентность не является изотропной в трехмерном пространстве. Обобщение на анизотропный случай можно в принципе осуществить, если действие оператора rot2, введенного в подразд. 6, на корреляционный тензор вектор-потенциала (в результате чего получается корреляционный тензор магнитного поля) может быть заменено действием какого-нибудь знакоопределенного оператора ——типа оператора Лапласа. В рассматриваемом случае оператор rot2 не может быть эквивалентен знакоопределенному оператору. Дело в том, что знакоопределенный оператор ——будем для определенности говорить о положительно определенном операторе ——приводит к умножению собственной функции этого оператора (в данном случае ——собственного тензора) на положительное число. Здесь так заведом не получится. В самом деле, действие оператора rot2 на <А и А л > приводит к〈五丄》Е丄；〉.И наоборот, действие rot2 на〈/丄》/丄j〉—— к <Н р Н р >. Умножение на положительное число при действии оператора rot2 означало бы, что каждый элемент тензора умножается на одно и то же число. В данном же случае некоторые компоненты тензора <Л / Л ；> исчезают (элементы 〈НцН||〉, например, при действии rot2 на <Ац Ау», а некоторые- появляются (в нашем примере〈Е丄》Е丄/>). Оператор rot2 сводится к умножению на данное число и повороту. Для перехода вектора из плоскости XY в вектор, параллельный оси z, требуется поворот. Оператор же поворота не является знакоопределенным. Например, поворот вектора может осуществляться с помощыо матрицы

I

cos ф sin q)ll sincp — cos ф —матричное представление оператора поворота двумерного вектора. Собственные значения Хт матрицы суть 九卜？ = 土1. Следовательно, матрица содержит отрицательное собственное значение ——1 и не может быть положительно-определенной. Она также не может быть отрицательно-определенной.

Итак, общее уравнение (3.65) не приводится к самосопряженному виду, и вариационный принцип не может быть использован. Если теперь рассмотреть магнитные поля, не зависящие от z, то, как сказано, поля Нц и Н丄 не взаимодействуют друг с другом. Тогда можно рассматривать отдельно уравнения для 〈ЕцЕц〉и тензора〈Н丄出工〉.Уравнение для корреляционной функции поля Е|1 совпадает с уравнением для корреляционной функции скалярной примеси и, конечно, эрмитово. Что касается корреляционного тензора продольного поля, то он может быть записан в виде 必丄t (】х) HA j (2x)> = (Ab订—dtdj) A Gx, 2x), », / = I, 2, / — корреляционная функция вектор-потенциала {О, О, Az}. Уравнение для Л тоже совпадает с уравнением для скалярной примеси и опять-таки является самосопряженным. Вариационный принцип

для этих двух случаев может быть записан. Ясно, что он сводится к положительно-определенному функционалу, откуда и следует, что все собственные значения Ет положительны. Нижнее собственное значение Eq по порядку величины есть vll ——это обратное время существования поля. Естественно, отрицательные собственные значения не могут возникать: скалярная примесь не генерируется. Временное усиление поля〈〃；〉не противоречит утверждению о том, что все собственные значения положительные. Дело здесь обстоит точно так же, как со среднеквадратичным градиентом скалярной примеси. Последний, как известно, тоже первоначально усиливается, а затем затухает.

Итак, флюктуации магнитного поля быстро затухают при наличии двумерной турбулентности. Если имеется внешний источник полей, то устанавливается стационарный спектр флюктуаций. Внешним источником может служить крупномасштабное магнитное поле. Мы рассмотрим два случая. Пусть в первом случае ВII，0, а В丄=0. Иначе говоря, имеется источник только продольного поля. В этом случае спектр установившихся флюктуаций совпадает со спектром скалярной примеси. Согласно [42], имеем 笈貝)(〃)〜/Ь% при 场厶 W 1 (см. определение Zw в гл. II, подразд. 3) и 國)(к)〜к— при fcZw 登 1. Энергия магнитных пульсаций продольного поля сосредоточена при малых к 弋 2п〃. Поэтому энергия пульсаций связана с энергией крупномасштабного поля следующим образом:

〈毋1〉=爲与硏分， (3.92)

Z ——масштаб поля В. Отсюда видно, что энергия пульсаций много меньше (в L2/-2 раз) энергии крупномасштабного поля. Связь между В^ и флюктуациями〈Н*〉(3.92) получена просто из баланса диссипации крупномастптабного поля за время I/ID^ и ухода энергии из области к у 2п/2 в область больших волновых чисел. Диссипация крупномасштабного поля есть источник магнитных лульсаций, и деформация со скоростью vll ——сток. Заметим, что строго однородное поле не генерирует пульсации: из (3.92) следует, что при £ f оо имеем〈Н不〉f 0. Это, впрочем, очевидно: строго однородное поле By ——это точное решение уравнения (1.7) (так же как в поле однородной примеси не генерируются флюктуации примеси).

Перейдем ко второму случаю: В丄，0, Вц =0, имеется источник флюктуаций поперечного поля. Спектр флюктуаций совпадает в данном случае со спектром градиента скалярной примеси (отличающимся множителем "2 от спектра самой примеси). Итак, 总甘)〜*/з при kh У< п Е甘)〜"при kls》к Энергию пульсаций лри к ^ 2п/2 можно получить непосредственно из (3.92), вспоминая, что величина〈〃*〉эквивалентна <02\ а〈Н；〉соответствует 〈(VO)?〉в области к 弋 2KII. Это связано с тем, что <02> сосредоточена именно при этих к. Итак, (3.92) следует разделить на Р и

перейти к

〈Н；〉|к=2п〃 = 5；・(3.93)!

Энергия пульсаций растет вместе с ростом К, поэтому та энергии которая сосредоточена при к 2п/，пренебрежимо мала по сравнению с полной энергией пульсаций. Полная энергия последних сосредоточена при очень больших волновых числах, обрезающих спектр магнитных пульсаций. Они определяются коэффициентом омической диффузии D.

Вернемся к уравнению для корреляционного тензора магнитного поля (3.65). В подразд. 7 мы упоминали о втором способе, чтобы убедиться в наличии динамо-решения (кроме вариационного принципа): с помощью анализа асимптотического поведения собственного решения уравнения для спектральной функции при больших волновых числах. Попробуем проанализировать таким же образом двумерный случай. Рассмотрим сначала спектральную функцию продольного поля Нц . Уравнение для корреляционной： функции совпадает с (2.62), только тензор 7订 уже другой. Нас интересуют близкие точки (что соответствует большим волновым числам), поэтому этот тензор можно выписать в виде 7订= =Т (0) 5订—丁2 (25订一2/3々 r;), f, / =1,2. Тензор составлен таким образом, чтобы。》7订=0. Уравнение для спектра поля Н имеет вид

0五(П)(死 t)/dt = ?2 侬202五e)/0炉 + з^Я(Н)/Ж),(3.94)

Е^}\к) = 2延E(U)侬).

Непосредственно убеждаемся в самосопряженности оператора правой части (3.94) в двумерном пространстве к (для чего необходимо умножить (3.94) на 2п〃发 и проинтегрировать по 论 от 0 до 8, уравнение для Я совпадает при этом с (3.94)). Очевидно, из (3.94) следует сохранение величины <Я^|〉. Для того чтобы убедиться в этом, достаточно умножить (3.94) на 2п〃 и проинтегрировать по Z; от 0 до оо. Слева получим d〈8*〉/d厶 справа ——нуль. Отсюда уже следует невозможность генерации поля Н ц. Мы все-так и исследуем поведение собственной функции уравнения (3.94) в рассматриваемой области больших волновых чисел. Заменяя в левой части dldt на —Е, получаем Н\^) (%) = а*。' + a24a а】* = —1 ± (1 — EITJk Нижняя собственная функция есть спектральная функция, и она должна быть не отрицательной. При этом А1。может быть положительным. Напомним, что в трехмерном случае для неотрицательности собственной функции величина А1。должна быть отрицательной (см. подразд. 7). Здесь нельзя сделать вывода о необходимости отрицательного Ео.

Перейдем к уравнению для спектральной функции поперечного поля Н丄.Оно может быть получено непосредственно из (3.65) с двумерным тензором 7订.Проще, однако, его получить прямо из (3.94), заменяяЕ( “)на 方(丄)Л'2； поскольку поле Нц описывается скалярной примесью, а Н丄——градиентом скалярной примеси.

Получим следующее уравнение для 71(丄)(加,力)：

д^ 的 t)/dt = 72 伯202^(丄)/%2 _ 左04(丄)/汲)，(3.95)

刃分)(“)—2jtAE(丄)(左).Для собственного решения уравнения (3.95) имеем Н^^ =旬左网 + 价炉，а1>2 = 1 士(1 — Е【ТJ+. Здесь опять вывод о необходимости отрицательного Eq не может быть сделан.

Отметим, что (3.95) уже не является самосопряженным уравнением в пространстве к. Отмечалось, что именно так и должно быть. Тем не менее представляет интерес непо ср едств енно повторить выводы подразд. 6 и посмотреть, в каком месте происходит отличие двумерного случая от трехмерного. Выше мы апеллировали к тому, что двумерная турбулентность не является изотропной в трехмерном пространстве, и поэтому самосопряженность не получалась. Как обстоит дело в двумернолх мире, где третьей координаты просто нет? Поле скорости уже может быть изотропным в двумерном пространстве, магнитное поле Н丄一тоже. Уравнение для магнитного поля имеет вид

dHi/dt = HfijVi — %8Н，(3.96)

а сопряженное уравнение (с заменой v на ——v)

dSildt = VjdBj — VjdjH"(3.97)

Если бы пространство было трехмерным, то перейти от (3.97) к (3.96) было бы очень просто: достаточно взять ротор от (3.97) и обозначить rot Н = Н. Именно на этом основании мы сводили уравнение для тензора 五订 к самосопряженному. В двумерном пространстве операции ротор не существует! Здесь можно перейти к уравнению (3.96), если обозначить Е】=^2А, Я2 = —〃4, и тогда уравнение для 4 следует писать в виде dAldt =——VjdjA (это было бы уравнением для z-компоненты вектор-потенциала поля Н丄,но координата z отсутствует в двумерном пространстве!). Это уравнение вовсе не совпадает с (3.97). Итак, в двумерном пространстве уравнение для магнитного поля не получается из сопряженного и вывод о самосопряженности уравнения для Hij (или о том, что оно сводится к самосопряженному виду) не может быть сделан.

Видоизменен несколько наш анализ поведения Н ® t) при больших к. Сопоставим собственные решения двумерной задачи (3.95) II трехмерной (3.39), меняющие знаки. Очевидно, речь при этом не идет о нижней собственной функции. Для того чтобы собственная функция Н^ (а также Н^ ^) меняла знак, необходимо, чтобы выражение ]Л 1 — Ет1 Г2 стало комплексным. Собственное значение Ет не может быть отрицательным (и действительным): в противном случае Н^ неотрицательно. Что касается собственного решения трехмерной задачи (3.39), то оно содержит отрицательные собственные значения, находящиеся в пределах —1б/4 72 V

< Em V 0 и приводящие к знакопеременному решению. Можно поэтому ожидать, что в потенциальной яме (трехмерного случая) содержится не один уровень. Нижний уровень не должен содержать узлов, т. е. менять знак, в то же время более высокие уровни меняют знак, но если они описывают захваченное состояние, то %V 0.

Проведем еще одно сопоставление двумерного и трехмернога случаев. Рассмотрим положительную часть знакопеременного собственного решения задач (3.39) и (3.95). Иначе говоря, рассмотрим функцию Ят = Нт (/с), если Нт 他)? 0, И Нт = 0, если Hg (А:)< 0. Такая функция похожа на нижнюю собственную функцию, поскольку она не меняет знак. Она удовлетворяет нашим уравнениям (в одном случае (3.39), в другом ——(3.95)) во всех точках, кроме тех, где Нт (к) обращается в нуль. Строго говоря, такая функция не является решением этих уравнений: в точках обращения Нт (к) в нуль будет иметь место фиктивная генерация и диссипация поля. Эти точки являются как бы источниками и стоками поля. Это видно из того, что такое решение не* приводит к уменьшению масштаба поля, причем энергия поля сосредоточена в области, где вмороженность существенна (между точками, где Нт (") = 0). В частности, соотношения (3.40), (3.41), показывающие рост эффективного волнового вектора А/, для данных функций не будут иметь места. Тем не менее эти функции «чувствуют» различие между двумерным и трехмерным пространствами. В трехмерном случае существует решение в виде* такой функции с Ет< 0 (но Ет > 15/4^2)? 「е・ растущее решение, в то время как в двумерном случае решение в виде такой функции экспоненциально убывает, Ет〉0.

В заключение этого раздела отметим, что до сих пор мы в сущности пользовались формальным доказательством различия двумерного и трехмерного пространств. Можно ли понять его с помощью более наглядных соображений? Почему в трехмерном случае в двух конкурирующих процессах, упомянутых в подразд. 1,——росте поля и дроблении масштабов ——выигрывает первый процесс, в то время как в двумерном пространстве второй процесс более эффективный? Оказывается, наглядную интерпретацию можно дать, и она будет изложена в следующем подразделе.

Перемежаемость в турбулентности. Это еще одно новое явление, кратко описанное в гл. II, подразд. 3. Мы рассмотрим здесь вопрос о генерации магнитных полей при наличии турбулентности с перемежаемостью. Генерация крупномасштабного поля в сущности ничем здесь не примечательна. Дело в том, что динамика крупномасштабного поля определяется коэффициентами турбулентной диффузии DT и генерации а, которые интегральным образом зависят от спектра турбулентности. Поэтому они определяются в основном энергосодержащей областью, т. е. пульсациями масштаба Z, а от тонкой структуры спектра они зависят слабо.

Более содержателен вопрос о роли перемежаемости для мелкомасштабных полей. Прежде всего сама явление генерации мелко-

масштабных полей можно сформулировать как рост перемежаемости флюктуаций в турбулентности, где перемежаемости не былоДействительно, в подразд. 7 показано, что в поле скорости масштаба I генерируется супермелкомасштабное поле в виде магнитных флюктуаций, масштаб его 1н W 2・ В подразд. 9 мы видели, что в колмогоровской турбулентности без перемежаемости тоже генерируются флюктуации поля с 1Н у I: инкремент нарастания поля с масштабом 1Н У I гораздо больше, чем инкремент нарастания поля с %н ^ %• В нелинейном режиме, когда флюктуации магнитного поля начнут влиять на движение, это приведет к интенсификации именно супермелкомасштабных движений, т. е. движений с масштабами много меньшими Z. В результате все поля, и магнитные и гидродинамические, будут значительно быстрее меняться в пространстве по сравнению с тем, как они менялись в начальный: момент. Это явление можно интерпретировать как рост перемежаемости.

Перейдем к вопросу о генерации мелкомасшта бных полей при наличии перемежаемости только в поле скорости. Уравнение для четырехточечной функции распределения р& сохраняет свой вид (3.33) в этом случае. Меняется только корреляционный тензор 7订.Здесь предоставляются две возможности. Первая ——это Очень большие магнитные числа Рейнольдса (Е；九 2 Е)・ При этом, несмотря на то что спектр турбулентности не колмогоровский, флюктуации скорости обрезаются при 6 = 6】и при 6》А^ имеется область, где вмороженность существенна, а флюктуаций скорости уже нет. Эта область определена неравенствами (3.55). Это возвращает нас к результатам подразд. 5——7, где показано, что если такая область существует, то мелкомасштабные поля генерируются.

Вторая возможность ——умеренные магнитные числа Рейнольдса (Em & Е). Обратимся к этому случаю, используя результаты подразд. 8, 9. Из (3.33) для р^ следует уравнение для корреляционного тензора 五订 в виде (3.65) или в фурье-представлении (3.70) с новой (неколмогоровской) функцией и (р). Согласно гл. II, подразд. 3 спектр турбулентности в инерционной области имеет степенной характер, поэтому поперечная корреляционная функция по-прежнему представляется в виде (3.76). Только теперь а =# 抬 4/3, как это было в колмогоровской турбулентности. Уравнение для поперечной корреляционной функции магнитного поля тоже сохраняет свой вид (3.77), поскольку а записано в нем не в численном, а в буквенном виде. Все остальные рассуждения (самосопряженность оператора (3.77), вариационный принцип (3.79)) формулируются тоже для произвольного а. И сама пробная функция (3.80) выписана без спецификации величины а. Числитель функционала (3.79) дает при данной пробной функции (3.80) результат

—3/2 &о/2)з (а2 + 2а — 4). (3.98) Знаменатель положителен, так что для отрицательности функцио^ пала (3.79) требуется отрицательность числителя. При а = 4/3

(колмогоровский спектр) числитель действительно получался отрицательным. Какова величина а для турбулентности с перемежаемостью? Согласно (2.15) при D = 2,5 (2,5-мерное пространство) спектр турбулентности более крутой по сравнению с колмогоровским. Тогда вместо (3.9) получим

2?ш 他)2 =方3)T 冏，e (向 ~ A-/-(3-0)/3,

Т (Zr)〜&-2/з- (3-D/3,依〃佑)〜A-7/1/з ；3-0).

Выражение (3.10) в инерционной области заменяется на

Гн = Т" (0)-兀г%*/з(з_0).

Итак, мы видим, что величина а стала больше, чем 4/3, при учете перемежаемости. При D = 2,5 имеем а = 5/3. Ясно, что лри таком а числитель функционала (3.98) отрицателен (и принимает большее отрицательное значение, чем при а = 4/3). Следовательно, пробная функция (3.80) придает функционалу (3.79) отрицательное значение п турбулентность с перемежаемостью генерирует мелкомасштабное магнитное поле.

Другой способ убедиться в том, что генерация имеет место, изложен в подразд. 9. Если бы нижнее собственное значение соответствовало затуханию поля (%)〉0), то по порядку величины Е° оценивалась бы как vll. При этом левая часть (3.77) пренебрежимо мала, и общее решение уравнения можно представить в виде Hll = 〃加仇 + b战Нижняя собственная функция не должна менять знак, следовательно, 伝 и 也 должны быть действительны. Но поскольку 卩i,2 = V2 {—(3 + а) 土 [(3 + а)2 — 4а (3 + а)]%}, действительность р1?2 будет обеспечена, если подкоренное выражение положительно (——3 (а2 + 2а ——3)〉0). Однако при а = =4/3 и тем более при а〉4/3 (при наличии перемежаемости) оно отрицательно. Следовательно, Ео не может быть положительной. Если же А1。V 0, то, как указано в подразд. 9, модуль Ео должен быть большим (| Е()| 2 涼厶 и левая часть (3.77) уже не мала). В этом случае собственное решение не имеет степенного вида.

Выводы. Перемежаемость только усиливает результат о генерации мелкомасштабного поля. Это связано с укручением спектра пульсаций поля скорости. Если бы спектр реальной турбулентности был настолько крут, что второй момент ^р2 и (р) dp сходился бы (т. е. вклад в этот интеграл давала бы в основном энергосодержащая область, а не область диссипации, как это есть на самом деле), то вся задача о генерации поля сводилась бы к вопросу о динамике супермелкомасштабных полей (см. подразд. 5——9) и уравнение для спектральной функции совпадало бы с (3.39), где Г2 как раз и выражается через этот второй момент. Вся трудность перехода от супермелкомасштабных полей просто к мелкомасштабным связана именно с расходимостью этого интеграла (т. е. с необходимостью обрезания подынтегрального выражения с помощью вязкого затухания). Чем круче спектр

турбулентности, тем меньшую роль играют большие волновые числа и тем ситуация ближе к простому виду (3.39). При наличии перемежаемости выписанный второй момент все еще расходится, но из-за более крутого спектра генерация поля осуществляется эффективнее.

Общие физические соображения,связанные с генерациеймелкомасштабных полей

Настоящий подраздел должен служить ключом к наглядной интерпретации и пониманию всего того, что было изложено в этой главе. Здесь мы соберем все соображения, приведшие к выводу о генерации мелкомасштабного поля. Поэтому ряд соображений будет отчасти повторять то, что уже изложено, только в компактном виден почти без формул. Вместе с тем ряд вопросов будет освещен по-новому, что, на наш взгляд, должно способствовать углублению понимания физического смысла. Часть же материала подраздела нисколько не перекрывается с изложенным выше.

Как получены основные уравнения. По существу все результаты данной главы получены с использованием уравнения для функции распределения р& (3.33). Да и генерация крупномасштабного поля, изложенная в гл. II, тоже следует из этого уравнения, (надо только проинтегрировать его по двум точкам и перейти к двухточечной функции распределения /?2). Дальнейший вывод, уравнения для корреляционного тензора магнитного поля и для среднего поля ——дело техники. Что лежит в основе вывода уравнения (3.33)?

Вспомним прежде всего, что уравнение для р& совпадает с уравнением для корреляционной функции (четвертого порядка), скалярной примеси. Последняя ведет себя локальным образом. Это означает, что зависимость плотности 0 примеси в данной точке х в данный момент времени t от плотности в бесконечно близкий более ранний момент времени t ——А (А〉0 и очень мало) выражается через само значение 0 (х) и через производные 50/^f,. d2Bldxidxj и т. д. Это в свою очередь означает, что dpjdt должно выражаться через р^ dpjdxi, d^pjdxidxj и т. д. Оператор не должен быть интегральным, он дифф ер енци а ль ный. Последнее обстоятельство связано в первую очередь с тем, что в самом уравнении для 0 (2.2) именно таким образом построено выражение для. 881at. Ясно, что если 0 по меньшей мере дважды дифференцируемая функция, то, зная 0 и ее первые две производные в точке х и в момент времени t — А, можно определить (с точностью О (Д2)) значение 0 в момент времени t. Таким же свойством должна обла~ дать функция 夕4・ Представим разрыв в плотности 0. Эволюция 0 сводится к переносу этого разрыва. Ясно, что, зная значение 0 и производные вблизи разрыва в момент t — Д, мы не сможем определить 0 в момент t. В этом случае следует иметь информацию о далеких точках, т. е. локальность нарушается. При этом уравне-

ние для усредненных характеристик было бы интегральным. Разрыв в плотности как раз и означает недифференцируемость поля 0.

Поскольку скалярная примесь следит за движением жидкости, можно сказать, что требование дифференцируемости 0 есть уело вие на поле скорости. Последнее должно быть дифференцируемым. Мы видим, что уравнение (3.33) содержит производные не выше второго порядка. Это, по-видимому, соответствует требованию, чтобы поле скорости было дифференцируемо не менее чем дважды. Надо сказать, что физически это весьма мягкое требование. Ясно, что вязкость сглаживает разрывы в поле скорости. Сама вязкость входит через оператор Лапласа, т. е. через вторые производные. Заметим, что в последнее время изучаются недифф ер енцир уемые поля скорости (см., например, [74]) в связи с проблемой перемежаемости. По этому поводу можно сказать, что в этих работах рассматривается идеализованная ситуация с нулевой вязкостью. Это помогает определить размерность пространства D (см. гл. II, подразд. 3) в турбулентной жидкости. Отсюда не следует, конечно, что поле скорости ——недифференцируемая функция.

Итак, выражение для dpjdt можно представить через конечное число пространственных производных от /?4. Все дальнейшие рассуждения сводятся к тому, что первый неисчезающий член разложения выражения для dpjdt представляем по дифференциальным операторам второго порядка. И, главное, к этому члену уже ничего нельзя добавить: члены высшего порядка по дифференциальному оператору непременно привели бы к нефизическому поведению функции распределения р4.

Можно исходить из других рассуждений. Будем говорить о поведении близких жидких частиц и, что связано с этим, о поведении супермелкомасштабных магнитных полей. Функция распределения расстояния между двумя жидкими частицами г в безразмерной форме записывается в виде р (r/Z1?力7\),厶 ——наименьший масштаб турбулентности, Г2 ——относительная скорость удаления частиц (размерность частоты) (см. подразд. 11). При малых расстояниях (r<^ Zx) функция распределения зависит в нулевом приближении по параметру r/厶 только от tT2. В следующих приближениях возникнут пространственные производные в точке г = 0. Ясно, что выражение для dpldt содержит лишь конечное число пространственных производных. Иначе говоря, уравнение на р есть дифференциальное с входящим в него коэффициентом Г2. Если, напротив, считать, что ряд, составленный из суммы дифференциальных операторов, в выражении для dpldt содержит бесконечное число членов, то фактически мы пришли бы к интегральному уравнению dpldt = j Т (г,产)р (产/厶，^Г2) dr', учитывающему не просто р и ее производные в точке г = 0, а значение р при г〉0. Для близких точек это невозможно, уравнение должно получиться дифференциальным. Но, как показано в данной главе, в этом уравнении члены выше второго порядка отсутствуют. Тогда вид уравнения однозначно определяется (для

〈8 (x) 0 (x，)〉一 уравнение (2.62), для〈Е» (х) Е» (х')> — (3.38)). Следовательно, выводы, полученные для супермелкомасштабных полей, не основываются на допущении о дифференцируемости поля скорости и соответственно на представлении уравнения для р& в дифференциальном виде. Именно так было изложено в статье [72].

Можно ли отсюда продвинуться дальше, от супермелкомасштабных полей к просто мелкомасштабным? Оказывается, можно. Для этого обратимся опять к уравнению для /?4 и будем полагать, что в правой части выражения для dpjdt стоит ряд по степеням дифференцируемых операторов. Низшие члены этого разложения выписаны в (3.33). Мы выяснили, что при малых г оно является уравнением только второго порядка. Это означает, что тензоры при высших производных (зависящие только от г) обращаются в нуль при г -> 0. Но тогда эти тензоры вообще должны обращаться в нуль при не малых г. Дело в том, что /?4 — неотрицательная функция (как плотность распределения вероятностей) и выражение для dpjdt должно быть неотрицательным. Это приводит к тому, что все тензоры при членах любого порядка по степеням дифференциального оператора представляют собой корреляционные тензоры (высокого порядка). Последние не могут обращаться в нуль при г = 0 (это одно из важнейших свойств корреляционного тензора). Итак, члены выше второго порядка не должны присутствовать в выражении для dpjdt. Этим исчерпывается обоснование вида уравнения для р& с помощью перехода от динамики супермелкомасштабных полей к мелкомасштабным.

Наглядная интерпретация роста магнитных флюкгуацик. В шестидесятых годах было много работ, в которых сопоставлялось поведение вектор-потенциала магнитного поля и поведение самого магнитного поля с различными случайными полями в турбулентности (со скалярной примесью, с градиентом скалярной примеси, с полем вихря rot v и т. д.). Выяснилось, что в двумер- HOAi случае вектор-потенциал (уже строго) сопоставляется с полем скалярной примеси, а магнитное поле ——с градиентом скалярной примеси. Но плоское динамо вообще невозможно,поэтому понятно, что такое сопоставление не обобщается простым образом на трехмерный случай, в котором динамо возможно.

Все эти попытки подытожены в работе Крейкнана и Нагараяна [81. Авторы показали, что никакие сопоставления и аналогии в этой проблеме недостаточны. Задача в настоящее время в строгом виде не может быть решена, утверждали авторы, и совершенно справедливо. Далее они использовали так называемое приближение прямого взаимодействия Крейкнана для получения уравнения спектральной функции магнитного поля. В это уравнение входит ряд безразмерных констант. При определенном соотношении между этими константами турбулентное динамо имеет место. Авторы указывают на то, что связь между этими константами не может быть получена из самого приближения прямого взаимодействия.

Разработка строгой теории стала возможной после появления

замечательной работы Крейкнана [7J, в которой сформулирован лагранжев подход при описании крупномасштабного поля. В этой работе Крейкнан все еще использует малый параметр HL (отношение масштаба турбулентности к масштабу поля), реальный при наличии крупномасштабного поля. Но главное — там не используется малость т по сравнению с Hv. После разработки точной модели, в которой получено уравнение для крупномасштабных полей, но не использовался даже малый параметр HL [48], стало ясно, что в принципе можно построить теорию мелкомасштабных полей, в которой малого параметра нет.

Такая теория построена в работах [72, 75, 76]. Описание динамики магнитных полей в строгом виде стало возможным, но только для области пространства волновых чисел, где имеет место вмороженность магнитного поля в плазму. Ибо решение получается с помощью точного решения в лагранжевых координатах, известного только в области, где диссипация несущественна, “ W "н・ Когда речь шла о крупномасштабных полях, такого описания оказалось вполне достаточно: нас в этом случае интересовала динамика крупномасштабной составляющей, и только. При описании мелкомасштабных полей этого оказывается недостаточно, ибо энергия флюктуаций перекачивается в область больших чисел (к 弋 Ан), где диссипация существенна. И вопрос о конечной судьбе магнитных флюктуаций, будут ли они нарастать по амплитуде или диссипировать, зависит от их динамики в области, где вмороженность явно разрушена и существенна диссипация, т. е. при 力^力н. Поэтому следовало сделать еще один шаг. Понадобилось выяснить поведение решения, довольствуясь областью “ W кн・ Было показано, что уравнение для спектра флюктуаций сводится к эрмитовой форме. Тогда можно пользоваться вариационным принципом для определения собственных значений задачи. Отрицательные собственные значения (соответствующие связанным состояниям в потенциальной яме уравнения Шредингера) отвечают экспоненциально растущим решениям. Тот факт, что нам не известно уравнение для спектральной функции магнитных флюктуаций при к кн, соответствует в квантовой механике тому, что нам известен потенциал не во всей области. Известна только» часть потенциальной ямы. Но если нам удастся найти пробную функцию, быстро убывающую вне известной нам части потенциала и придающую функционалу отрицательное значение, то тем самым само существование связанных состояний будет доказано: потенциал эффективно захватывает частицу уже в этой своей области. Другой способ убедиться в наличии связанного состояния (и растущего решения в теории динамо)——это исследовать само собственное решение в известной нам области. Спектральная функция не должна менять знак (и нижняя собственная функция самосопряженного оператора не содержит узлов). Только этого требования достаточно, чтобы определить знак собственного значения Е°. Именно такими двумя способами и было показано, что 笈о V 0, т. е. динамо мелкомасштабного поля имеет место.

Теперь, когда проблема мелкомасштабного динамо решена, можно посмотреть, чему же аналогично поведение вектор-потенциала поля и самого поля. Если бы поведение вектор-потенциала А было аналогично поведению скалярной примеси, т. е. если бы величина 〈42〉 сохранялась (как это в основном считалось в 60-х годах), то динамо было бы невозможным. А магнитное поле вело бы себя как градиент скалярной примеси: первоначально усиливалось, уменьшаясь в масштабе, а затем диссипировало. Такая концепция, собственно говоря, восходит к идеям Бэтчелора: ведь〈^2〉тоже сохраняется при нелинейном взаимодействии, в то время как〈(rot v2)> возрастает. Величина rot v сопоставлялась с Н, а V — с А.

Решение уравнения для вектор-потенциала в виде (2.33) наводит на мысль, что вектор-потенциал ведет себя не как скалярная примесь, а как eqadueum скалярной примеси V0. Это решение совпадает с решением для V0 (2.34). Конечно, это предположение не может быть последовательным до конца. Дело в том, что в этом случае поле A', rot А' = А (А — «вектор-потенциал вектора- потенциала»), ведет себя как скалярная примесь и мелкомасштабное динамо опять окажется невозможным. Смысл же этого высказывания будет в том, что скорости роста〈4?〉и уменьшения масштаба этого поля такие же, как у поля V0.

Дадим прежде всего наглядную интерпретацию этого высказывания. Напомним, что при наличии вмороженности сохраняется поток через жидкий контур Ф = ^ Hds = Adx = const (см. гл, II, подразд. 4). На рис. 3.3 изображен контур, стягивающий поверхность, ортогональную пучку силовых линий (контур изображен замкнутой линией). Жидкие линии растягиваются в турбулентном потоке. Растягивается также и силовая трубка. Из сохранения массы вещества в трубке следует, что по мере ее растяжения поперечное сечение трубки уменьшается. Поперечное сечение и есть масштаб поля L. Сохранение потока Ф означает, что Hs — =HL2 = const, а сохранение циркуляции вектора А ——AL = —const. Возведем эти равенства в квадрат и получим окончательно

<Л2> 〜£-2,〈乃〉〜£т. (3.99) Градиент скалярной примеси подчиняется закону, тоже совпадающему с законом для <А2>. В самом деле, из того, что <02> = const, непосредственно следует〈(V®)?〉= <02>L~2 〜上―，здесь L — масштаб примеси. Второе соотношение в (3.99) (для магнитного поля) объясняет, почему в турбулентной среде скорость роста магнитных флюктуаций превосходит скорость дробления масштабов, т. е. в конечном счете почему имеет место турбулентное динамо. Если бы рост магнитного поля происходил только за счет уменьшения масштаба (как у поля V0), то мы имели бы закон 〈ZP〉〜上~2 Правильный закон дает более быстрый рост магнитных флюктуаций.

Как же обстоит дело в двумерной турбулентности? В чем различие с трехмерной? Рассмотрим прежде всего динамику поперечных полей Н丄（лежащих в плоскости ХУ）. На рис. 3.4 изображен жидкий контур в виде прямоугольника, стягивающий пучок силовых линий. Для наглядности поверхность, которую стягивает контур, изображена «непрозрачной» для ряда силовых линий, входящих «сзади». Нормаль к поверхности перпендикулярна оси z.

Рис. 3.3.

Силовая трубка магнитного поля при трехмерных движениях

Рис. 3.4.

Пересечение поверхности силовыми линиями при наличии двумерных движений

Кривая контура проходит через две поверхности: z = z。и z = （нижняя и верхняя части контура, ось z направлена вертикально）. На этих поверхностях вид кривой контура произволен. Между этими поверхностями контур соединяется двумя （вертикальными, см. рис. 3.4） прямыми линиями: х = х^, у = yQ и % = 力1, у = Ui. Пересечение вертикальных линий контура с кривыми на поверхностях z = const имеет место в точках （д, %, z。），（&, %, z】）, （%i,力，z。）,（力i, %, Zi）. Преимущество жидкого контура, построенного таким образом, заключается в том, что вид его не меняется в процессе двумерного движения жидкости （в плоскости ХУ）. Действительно, ввиду отсутствия зависимости v от z вертикальные прямые контура так и остаются вертикальными прямыми в процессе движения жидкости. Передвигаются только точки 力о, Уо и 力1, у】 （для какого-либо z = const）, но сам контур описывается по-прежнему.

Сохранение потока магнитного поля запишем в виде H^s = =H^L Qi ——z。） — const. Здесь мы представили площадь поверхности в виде s = L（Zi ——％о）, выделяя расстояние z】 ——z0 между верхней и нижней частями контура. Очевидно, что величина Z]——Z。не меняется в процессе движения. Следовательно, Е丄 〜上一， и <Я^>L^. т. е. Н± ведет себя как градиент скалярной при

меси.

Что касается вектор-потенциала А, то сохранение ①Adx означает сохранение самого вектор-потенциала. Дело в том, что вектор-потенциал поля Н丄 имеет одну z-компоненту, т. е. А проектируется только на вертикальные прямые контура:力=к。, у = Уо и % =力1, у = Ui, длина которых не меняется （и равна Zj. — z°）. Иначе говоря, §Adx = [Az （力°, %） — Az （勺，％）] （zi — —z。）= const. Отсюда следует〈4?〉= const, т. е. А ведет себя

как скалярная примесь. Итак, медленный рост магнитного поля, 〈Н：〉〜Z/~2, не дает возможности генерации поля Н丄.

Перейдем к обсуждению поведения поля Н)в двумерной турбулентности. Выберем контур так, чтобы он лежал в плоскости z = const. Естественно, в процессе движения жидкости контур останется в этой же плоскости, он только будет деформироваться так, чтобы нормаль к поверхности, которую стягивает контур, была параллельна оси z. Силовые линии пересекают нормально эту поверхность, но силовая трубка не удлиняется, поскольку линии параллельны оси z, а движение вдоль осп z отсутствует. Итак, площадь s остается постояной, Яр = const, Н^ 〜const, 〈7/：1〉= const. Следовательно, Нц ведет себя как скалярная примесь и не генерируется. Законы изменения А и Н в трехмерном и двумерном случаях довольно просто проследить для ситуации, когда масштаб поля мал по сравнению с масштабом турбулентности. Во все наши наглядные рассуждения входил лишь масштаб магнитного поля L, Только масштаб поля скорости не должен быть мал по сравнению с £: в противном случае закон (3.99) станет уже неправильным. Допустим поэтому, что масштаб поля велик по сравнению с L. Тогда уравнение для спектра магнитных пульсаций выписано в (3.39). Следует иметь в виду, что спектральная функция лгагнитного поля есть Ен (А) = 4nA：2〃 (А). Следовательно, Н (论)——спектральная функция в ектор-потенци ал а, т. е. 〈/2〉=\ Н(к} dk. Поэтому первое равенство в (3.40) описывало о

эволюцию 〈А?〉. Мы выпишем его в виде й<Л^Idt =《T^VA?〉. Уравнение же (3.41) описывает эволюцию обратного масштаба поля А/, т. е. kr — HL. Перепишем уравнение в новых обозначениях в двух эквивалентных видах: dLldt = ——^T^L. dL21dt = =—4丁2上2・ Комбинируя уравнения для <Л2> и L2, имеем с?<Л^L^ldt = 0,〈笛〉〜£~2, что совпадает с (3.99). Что касается двумерного случая, то согласно (3.95)〈力；〉=\ Н丄(4) A"dA:, о

d〈4：〉/cft = 0, 〈4：〉= const. Для продольного поля согласно (3.94) имеем d^H\ y/dt = 0,〈Н*〉= const.

Общий вывод этого раздела сформулируем следующим образом. Мелкомасштабные поля генерируются в однородной и изотропной турбулентности. Для генерации достаточно, чтобы магнитное число Рейнольдса Rm было большим. Величина отношения Rm к R (или кинематической вязкости к коэффициенту омической диффузии D) несущественна для мелкомасштабного динамо, обратное предполагалось после работы Бэтчелора. Генерация обусловлена тем, что рост магнитных флюктуаций данного масштаба оказался более эффективным по сравнению с процессом дробления масштаба поля. Ни тот ни другой из этих двух конкурирующих процессов не зависит ни от вязкости, ни от коэффициента

диффузии. По этой причине отношение Rm/R несущественно для проблемы.

Скорость нарастания поля определяется наибольшей из частот пульсаций поля скорости, но таких пульсаций, для которых магнитное поле еще вморожено в проводящую жидкость. Поэтому наибольший инкремент нарастания поля зависит от отношения Rm/R- При Rm 2 Е для пульсаций наименьшего масштаба турбулентности 厶 7?m 登 1, т. е. магнитные поля вморожены в эти пульсации. Поэтому инкремент нарастания определяется временем жизни пульсаций скорости масштаба 厶.При Rm W Е магнитные поля уже не вморожены в пульсации масштаба h, инкремент определяется поэтому пульсациями больших масштабов. Последние определяются коэффициентом D и ничего не знают о вязкости. Поэтому инкремент уже не зависит от вязкости. Инкремент поля в общем случае вписан в (3.82). Энергия растущих магнитных флюктуаций сосредоточена при малых масштабах, заведомо меньших внешнего масштаба турбулентности I. При Rm 発 R энергия наиболее быстро растущих магнитных флюктуаций сосредоточена при к = кн, при Rm у R энергия сосредоточена вблизи волнового вектора kD. Оба предельных волновых вектора выписаны в (3.69).

Замечания о быстром и медленном динамо. В гл. I, подразд. 6, говорилось, что инкремент нарастания поля может в наилучшем случае достигать значения v/l ——наибольшей частоты в задаче. Это динамо (по определению, данному в работе [15]) мы называли быстрым. Интересно отметить, что до настоящего времени нет ни одной модели быстрого динамо в регулярном (не турбулентном) поле. Что касается стохастических моделей, то инкремент нарастания крупномасштабного поля, как мы видели в гл. II, есть либо а/£ (а2-динамо), либо Уa^/L (а ——со-динамо). Инкремент этот все не достигает своего максимального значения vll. Дело в том, что а не может быть больше, чем и, и в инкремент входит (большой) масштаб L в знаменатель.

Единственный известный в настоящее время механизм быстро го динамо есть генерация магнитного поля масштаба I (и меньше; в стохастической модели. Это то, что мы называли мелкомасштаб • ньш динамо. Именно здесь достигается максимальное значение инкремента и/2. Причем если турбулентность представлена пульсациями скорости с модами разных масштабов, то инкремент соответствует наибольшей частоте vll из всех масштабов (см. подразд. 9 и предыдущий вопрос данного подраздела).

Другая интересная особенность быстрого динамо (единственно известного!)——это то, что характер движений может быть предельно простым (даже одномерный в данный момент времени). Эта особенность была продемонстрирована на маломодовой модели (типа странного аттрактора) в подразд. И. Инкремент достигает максимума не в марковской модели, а для т = Uv. В этом

случае он и принимает значение vll. В каждый момент времени движение описывается простейшим сдвигом, нет никакой гиро- тропности. Более того, не только усредненная величина <v rot v> обращается в нуль, вообще v rot v = 0 и av = О, rot а = v. Тем не менее имеет место быстрая генерация поля. Таким образом, предположение о том, что неравенство (1.46) является каким-либо критерием динамо, не оправдывается.

Вообще надо сказать, что сначала антидинамо-теоремы произвели неоправданно большое впечатление на исследователей в этой области. В последнее время выяснилось, что ситуация скорее обратная: антидинамо-теоремы накладывают слишком суровые требования, чтобы представлять сколько-нибудь серьезное ограничение для генерации поля. Иногда авторы, упрощая, формулируют тезис антидинамо-теорем в виде «симметричное динамо невозможно». Это утверждение верно, если накладывать дополнительные, вообще говоря, очень сильные условия запрета, как-то: не только поле скоростей должно быть симметричным, но и магнитное поле, и граничные условия ——все должно быть симметричным. Но на самом деле магнитное поле совсем не обязано быть симметричным, мы его не можем задать специальным образом. Мы здесь сформулируем несколько антитезисов по отношению к антидинамотео ремам.

Осесимметричное динамо возможно (магнитное поле не осесимметрично).

Осесимметричное динамо возможно даже для осесимметричного магнитного поля. Тороидальная теорема (1.42) запрещает генерацию в случае осевой симметрии, если имеется только тороидальное поле скорости v^. Но генерация вообще возможна, если имеются и другие компоненты скорости vr и vq, пусть даже не зависящие от ср.

Двумерное динамо возможно (поле скорости в виде двумерного винта). Движение только не должно быть плоским.

Генерация магнитного поля при наличии поля скорости с высокой степенью симметрии возможна, если граничные условия несимметричны. Так, дифференциально вращающийся цилиндр представляет собой одномерное движение, плоское и осесимметричное. Тем не менее он генерирует поле (см. гл. I, подразд. 7). Более того, граничные условия могут быть сами по себе симметричными (если дифференциально вращающийся цилиндр поместить в другой, оси цилиндров параллельны, но не совпадают), но симметрия их относительно другой оси и генерация опять становятся возможными.

В стохастической модели поле скорости может быть предельно простым (плоским, симметричным) в каждый момент времени. При этом имеет место не просто динамо. Удается показать, что оно быстрое.

Дробление масштабов в стохастической модели н связь этого процесса с быстрым динамо. В гл. I, подразд. 5, указано, что масштаб поля уменьшается линейно со временем для стационарного

движения. Поэтому если даже модель быстрого динамо для стационарного движения будет построена, все равно время, которое необходимо для выхода на динамо-режим, велико. Формула (1.40) показывает, что время, необходимое для выхода на режим генерации, плюс время самой генерации не может быть меньше, чем (LIv^R^I^. Ввиду очень больших значений Rm в астрофизических условиях (106—109) (а для галактических магнитных полей еще больше) это время велико.

Турбулентность дает быстрое динамо. Имеется ли здесь время установления? Нет. Скорость дробления масштабов тоже v!L Иначе говоря, время уменьшения масштаба поля не (l/v){Rrn)b, а просто 〃и. Формально это можно увидеть, например, из (3.41), описывающего экспоненциальное возрастание эффективного волнового вектора А/. Интересный парадокс: именно дробление масштаба, стремящееся перевести энергию поля в область диссипации и являющееся серьезным конкурентом для другого процесса —— роста энергии флюктуаций, дает возможность осуществления быстрого динамо с малым временем установления. Впрочем, этот парадокс является центральным моментом, самой сутью теории динамо. В гл. I, подразд. 5, мы убедились в том, что динамо без уменьшения масштаба и без диссипации немыслимо.

Как же представить себе столь быстрое уменьшение масштаба? Почему при стационарном движении уменьшение масштаба происходит линейно со временем, а в стохастической модели ——экспоненциально? Вероятно, наиболее простая интерпретация этого явления может быть дана с помощью результатов подразд. 11. На каждом промежутке времени длиной т поле скорости там стационарно. Согласно гл. I, подразд. 5, уменьшение масштаба происходит линейно со временем. Но это есть асимптотический режим прп больших временах:力登 Hv. Если t 弋 〃и, то стационарное движение уменьшит масштаб поля в несколько раз в лучшем случае. Если т、〃и, то за время т масштаб уменьшится во столько же раз. На новом промежутке времени новое поле скорости нескорре- лировано со старым и взаимодействует с магнитным полем таким же образом, как на прошлом промежутке: опять уменьшает масштаб (уже поля, получившегося в конце первого промежутка) во столько же раз. Таким образом и получается экспоненциальное уменьшение масштаба. В реальной турбулентности дробление масштабов происходит непрерывным образом. Отметим, что для скалярной примеси факт быстрого дробления масштабов хорошо известен. В основе всех рассуждений о динамике скалярной примеси лежит утверждение, что время жизни флюктуации плотности масштаба I есть l/v.

Перейдем к обсуждению роли того факта, что уравнение для магнитных флюктуаций сводится к эрмитовому виду. На первый взгляд это только некая удобная вещь математического характера. В действительности же только одна эрмитовость почти достаточна

для доказательства (правда, не совсем строгого) того, что турбулентное динамо мелкомасштабного поля имеет место! Действительно, допустим обратное: генерации нет. Тогда низшее собственное значение EQ было бы положительным и Ео хи/1 (здесь уже используется свойство самосопряженного оператора, см. подразд. 10). На самом деле эволюция магнитного поля, энергия которого сосредоточена первоначально в масштабах порядка Z, происходит за гораздо более короткое время, определяемое временем поворота ячеек, с масштабами гораздо меньшими, чем Z (см. подразд. 10), В этих масштабах пульсации скорости искажают квазподнородные силовые линии. Это было бы возможным, если бы в разложение начального поля по собственным функциям давали основной вклад не низкие гармоники, а высокие, для которых собственные значения Ет были бы большими по сравнению с vH. Такая ситуация не характерна для решений самосопряженных уравнений: нижнее собственное значение определяет основное время эволюции решения. Далее мы проиллюстрируем это обстоятельство на модельном самосопряженном уравнении. Здесь уместно напомнить, что ситуация, описанная выше, выполняется для градиента скалярной примеси: нижнее собственное значение положительно и Ео и u/Z, в то время как флюктуации V0 меняются за время, значительно меньшее, q&i Hv (в малых масштабах). Но уравнение для пульсаций V0 не является самосопряженным и не сводится к таковому. Уравнение же для пульсаций 0 является самосопряженным, но здесь как раз и выполняется упомянутое выше свойство самосопряженных уравнений: нижнее собственное значение 笈о определяет время жизни пульсаций 0 и является основным временем.

В нашем случае спектральной функции магнитного поля Ен = 4лЛ2Я (〃) сопряжена спектральная функция вектор-потенциала (см. подразд. 6). Последняя_совпадает с функцией 4лЯ (6); другими словами, <Л2> = 4л^ H{k)dk. Нетрудно показать, о

пользуясь уравнением (3.70), что флюктуации вектор-потенциала в пренебрежении диссипацией возрастают:

& 3〉、С •— pq山J P—g—2pq& 3〉、С •— pq山J P—g—2pq[i 一署]T（〃）H（q）di"q・[i 一署]T（〃）H（q）di"q・

& 3〉、С •— pq

山J P—g—2pq

& 3〉、С •— pq

山J P—g—2pq

[i 一署]T（〃）H（q）di"q・

[i 一署]T（〃）H（q）di"q・

Интеграл в правой части положителен. Дело в том, что когда pq〉0 и числитель подынтегрального выражения отрицателен, знаменатель велик, а при pq < 0 он мал, т. е. область, где числитель отрицателен, дает меньший вклад в интеграл, чем область, где числитель положителен. Выражение в скобке неотрицательно. Итак,〈42〉возрастает, причем в том случае, когда спектр энергии магнитных пульсаций обрезается на масштабах £ W %，величина 〈/2〉будет нарастать с характерньш временем, гораздо меньшим, чем 〃о.

В сущности именно эрмитовый характер уравнения для магнитных флюктуаций дает нам возможность судить об асимптотическом поведении решения при больших временах, отбросив при этом диссипационный член. Что невозможно было для регулярного поля скорости ——пренебрегать диссипацией при анализе динамо-решений, как это говорилось в гл. I, подразд. 5,6, то оказалось возможным в стохастической модели, где уравнение эрмитово. Проиллюстрируем это высказывание на модельном примере. Пусть нас интересует решение уравнения

d^ldt = [—U (%) + ZM]屮， (3.100) сводящееся при переходе к задаче на собственные функции 屮= =屮771 (%) ехр (— Emt) к стационарному уравнению Шредингера. Оператор правой части (3.100) эрмитов. Пусть U (%) f 0 при %f 土 оо. Кроме того, минимальное значение U отрицательно: min U (х) — U (咏)< 0.

В задаче на собственные функции мы ищем потенциальную яму. Полагаем, что яма достаточно глубокая. Более конкретно, пусть отрезок оси /, на котором U (%) < 0, имеет длину I. Тогда условие того, что яма глубокая, формулируется в виде 7?工=〃 | U (/о) |/О 2 》1 (аналог большого числа Рейнольдса, Rm ^> 1). Кроме того, нас интересует эволюция решения 屮，начальный масштаб которого L достаточно велик: Ru = L2 \ U (人)\/D》1 (& — аналог другого числа Рейнольдса Нт). Собственные решения (3.100) представляют собой дискретный набор связных состояний, для которых EmV 0. Легко понять, что условие того, что яма глубокая, как раз и означает, что она содержит большое число уровней с Ет< 0 (порядка /?「). Следовательно, при % f оо решение уравнения (3.100) экспоненциально растет (аналог динамо-решения). Очевидно также, что в самом существовании связанных состояний мы могли бы убедиться, зная U (%) не во всем пространстве, а, скажем, в окрестности 人.Для этого мы воспользовались вариационным принципом, причем пробная функция должна быстро убывать вне известной нам окрестности /о (аналог того, что нам известно уравнение для спектральной функции не во всей области /, но в существовании растущих решений мы убеждаемся с помощью вариационного принципа). Нижнее собственное значение уравнения (3.100) есть приближенно Eq U (g)V 0, т. е. вэличина I U (/о) I — инкремент нарастания 屮 при 方 f оо.

Но представим себе, что информация об отрицательных собственных значениях уравнения (3.100) у нас отсутствует. Можно ли судить об асимптотическом (при t f оо) поведении 屮，если отбросить диссипацию в (3.100), т. е. D — 0? Оказывается, да. Реление уравнения (3.100) при 0=0

屮(％,力)—屮(％, 0) ехр ( — U (%) t) (3.101)

действительно возрастает в области %, где U (%) V 0. Возрастание 屮 похоже на экспоненту, только «инкремент» зависит от координат. Скорость роста поля, т. е. инкремент, порядка | U (%())| . Если начальное значение 屮 обладало большим масштабом, т. е. при 力=0 Ru 2 1, то лгасштаб поля падает с течением времени. Это видно непосредственно из (3.101): величина | 屮 |~г д^/дх растет. Очевидно, что это связано с тем, что при 力一> 8 решение выходит на нижнюю собственную функцию. Характерный масштаб последней Lr таков, что £； | U (®)) |/О ^ 1. Очевидно, что 上1 V £• Отметим, наконец, что упомянутое выше свойство уравнения с эрмитовым оператором ——характерное время изменения решения 屮 совпадает с обратным нижним собственным значением — в данном случае непосредственно видно из (3.101). Возрастание 吋? происходит с наибольшей частотой задачи | U (况о) |, так что в данном случае мы имеем быстрое динамо. Это утверждение можно сделать как из анализа собственных значений уравнения (3.101), так и пользуясь непосредственно решением (3.101).

Итак, все основные свойства асимптотического поведения решения уравнения (3.100) можно получить, если пренебречь диссипацией, что формально оправдано при Еj 另 1 и Е。另 1- Для несамосопряженного уравнения все не так. Рассмотрим, в частности, уравнения для скалярной примеси:

dQ/dt + djVjQ = ДеД0, (3.102)

vI/Dq 密 1, vLIDq ^>1,2 ——масштаб поля скорости, L ——начальный масштаб поля 0. Флюктуации плотности 0 в конце концов сглаживаются молекулярным коэффициентом диффузии Dq. Поэтому действительные части собственных значений ReE^ (0 = 0m (х) exp (— Emt)) положительны. Если Dq = 0, получаем совсем другой вывод. В этом случае ) 9dx = const, J 02йх = const, и, следовательно, решение незатухающее, Re/ = 0. Особенно очевидно это противоречие в одномерной задаче. Пусть v = ={0, V (%), 0}, решение ищем в виде 0 = 0^ (方,t) exp (ikxy), тогда вместо (3.102) имеем dQk/dt + ikyv (力母=Dq^Q^.. Если Dq = 0, то решение 9厶.=Qk (%, 0) exp [——ikyv (%) t] обладает свойством 0/^0* = const. Иначе говоря, мы могли бы прийти к выводу, что собственные значения чисто мнимые, Re Ет = 0. Строгое решение этой задачи (по методу ВКБ) в [77] показало, что (при определенном профиле скорости и (%) и однородных граничных условиях) собственные значения чисто действительны!

Таким образоАг, анализ асимптотического поведения (при t -> -> 8)решения несамосопряженного уравнения (3.102) и уравнения для магнитного поля (1.7) не может быть проведен в пренебрежении диссипацией. Успех теории мелколгасштабных полей связан как раз с тем, что уравнение для спектра флюктуаций сводится к самосопряженному впду. Вместе с теш нельзя сказать, что ис-

пользование стохастических моделей открывает широкие перспективы благодаря тому, что уравнения могут быть проанализированы в пренебрежении диссипацией, а сами уравнения могут быть полнены в точном виде без большого труда. Дело в том, что, как сказано в подразд. 6, они не всегда сводятся к эрмитовому впду. Например, можно ли пользоваться таким анализом в случае дифференциально вращающегося цилиндра с угловой скоростью, зависящей случайным образом от времени? Очевидно, нет, поскольку движение является плоским и, как показано в подразд. 12, уравнение для магнитного поля не сводится к самосопряженному виду.

Генерация мелкомасштабных полей в космических условиях. Если теория крупномасштабных полей в кинематической постановке имеет непосредственное приложение в астрофизике, то относительно мелкомасштабных полей так сказать нельзя. В кинематической постановке задачи результаты сводятся к тому, что магнитные флюктуации нарастают. Вопрос о том, к чему это приводит, относится к нелинейной теории, и сравнение с наблюдательными данными может быть проведено после построения нелинейной теории. Сразу ясно только одно: энергия магнитного поля не может неограниченно нарастать. Нелинейная теория будет изложена в следующей главе. Там же будут обсуждены астрофизические следствия мелкомасштабного динамо.

Здесь мы можем только сказать, что условия для генерации мелкомасштабных полей выполняются практически всегда. Опп сводятся, как показано выше, только к одному условию ——большому магнитному числу Рейнольдса (7?；九発 1). Как говорилось в гл. I, большие Rm являются типичными для астрофизики. Следовательно, генерация м ел к о ма сштаб ных магнитных полей должна иметь место в конвективной зоне Солнца, в солнечной фотосфере и хромосфере, в конвективных оболочках звезд ив межзвездном газе Галактики и т. д. Во всех перечисленных объектах плазма столкновительная. т. е. условия (1.29), (1.30) выполняются, п МГД-прпближение применимо. В глубипе конвективной зопы Солнца плазма высоко ионизована, поэтому здесь играют роль электрон-ионные столкновения (в законе Ома) и иоп-ионные (опр ед ел яющи е вязкость). На поверхности Солнца плазма слабо- ионизована и здесь существенны электрон-нейтрал и ион-пейтрая столкновения. Омическая диссипация определяется коэффициентом D у 107 см2/с. Что касается газа Галактики, то здесь он тоже слабо ионизован. Но коэффициент диффузии на десять——двенадцать порядков превышает стандартное значение 107 см2/с. Дело в том, что диссипация магнитного поля обусловлена столкновениями ионов с нейтралами [78], приводящими к существенной потери энергии. Тем не менее магнитное число Рейнольдса весьма велико: это связано с большими размерами межзвездных облаков (до 10 пс). Кинематическая вязкость в галактическом газе опреде-

ляется длиной свободного пробега, которая не может быть больше ларморовского радиуса. Размер радиуса Лармора мал по сравнению с размерами неоднородностей, поэтому МГД-приближение вполне применимо.

Для плазмы солнечного ветра МГД-приближение применимо, хотя плазма и бесстолкновительная (см. гл. I, подразд. 3). Уравнение для магнитного поля (1.14) в этом случае описывает, как известно, вмороженность магнитного поля в плазму. Здесь имеется, правда, методическое отличие от столкновительной МГД. В последнем случае можно рассматривать движение жидкости без магнитного поля, тогда магнитная гидродинамика возвращается к просто гидродинамике. В бесстолкновительной плазме движение описывается дрейфами частиц в скрещенных электрическом и магнитном полях, и без магнитного поля невозможно говорить о движении жидкости. Магнитные поля присутствуют в солнечном ветре. Но происхождение их не связано с затравочными механизмами типа термомеханизмов (которые играют роль внутри звезд и в галактическом газе). Поля эти вморожены в плазму, истекающую из солнечной короны, т. е. в солнечный ветер они попадают «готовыми». Однако, если бы не было турбулентного динамо, энергия магнитных неоднородностей за короткое время IIv (Z ——размер неоднородности, и ——флюктуационная скорость в системе координат, связанной с основным течением солнечного ветра, движущегося со скоростью V) перекачалась бы в мелкие масштабы. При этом они успевали бы пройти расстояние VUv. Даже крупные неоднородности размером I = 1011 см не успевали бы дойти до орбиты Земли.

В бесстолкновительной плазме солнечного ветра поля не могут иметь размера меньшего, чем ионный ларморовский радиус (см. (1.32)). Для флюктуаций поля (по масштабу близких к ларморовскому радиусу) имеет место сильная бесстолкновительная диссипация типа черенковского затухания. Интересно отметить,что при отсутствии турбулентного динамо в кинематическом приближении эта диссипация никак не могла бы включиться. Пусть, например, магнитное поле ведет себя как градиент скалярной примеси (и динамо поэтому невозможно). При этом рост поля происходит по закону Н 〜/Л1 (£ — его масштаб). Но тогда (см. определение (1.32)) ^iL = const и всегда больше тепловой скорости ионов, т. е. L всегда больше ларморовского радиуса. Но в динамической постановке задачи, т. е. при учете обратного действия магнитного поля на движение, рост поля Н не может продолжаться неограниченно (хотя это и не было бы собственно динамо-усилением, так как масштаб поля продолжал бы неограниченно убывать). Когда энергия поля Н масштаба L достигнет энергии пульсаций скорости, то рост Н прекратится. Тогда магнитное поле начнет вести себя как само поле скорости, т. е. энергия его и масштаб будут падать. В конце концов масштаб L дойдет до радиуса Лармора и поле диссипирует. При этом в солнечном ветре останутся только сверх-

тепловые флюктуации скорости (поскольку скорость ветра больше скорости звука, всякие препятствия могут порождать как ударные волны, так и сдвиговые движения со сверхтепловой скоростью). Последние еще могут быть интерпретированы в гидродинамическом смысле, все же дотепловые движения «размазываются» тепловым разбросом функции распределения частиц. Таким образом, диссипация типа черепковского затухания в бесстолкновительной плазме заменяет омическое затухание столкновительной плазмы. Выше было показано, что скорость роста магнитных флюктуаций превосходит скорость дробления масштабов. Это преобладание не зависит от диссипации, поэтому в области волновых чисел, где применимо уравнение (1.14), т. е. где черенковское затухание еще не сказывается, будет иметь место турбулентное динамо магнитных полей. У становившиеся спектры турбулентности будут получены в следующей главе.

Глава четвертая

МГД-ТУРБУЛЕНТНОСТЬПРИ БОЛЬШИХ МАГНИТНЫХ ЧИСЛАХРЕЙНОЛЬДСА

Основные задачи

Большое количество задач прикладной магнитной гидродинамики связано с расчетом течений жидкости при наличии магнитного поля. Здесь зачастую невозможно разделить крупномасштабную и мел к ома сштаб н ую составляющие скорости. Поэтому для турбулентных течений развивается теория, не похожая на то, с чем мы имели дело выше. Вместе с тем для турбулентных течений в прикладных задачах не характерны большие магнитные числа Рейнольдса. В этой связи магнитные поля и движения в космосе сильно отличаются от течений в каналах и т. п. Впрочем, недавно указывалось на то, что реакторы-размножители с натриевым охлаждением будут работать при значительных Rm в условиях турбулентного течения жидкого натрия, поскольку обычное число Рейнольдса должно быть порядка 107. Это явление впервые предсказано в работе [79] и затем интенсивно исследовалось в статье [80]. Последняя работа неоднократно цитируется ниже. Сейчас мы только процитируем окончательное заключение авторов: «Проектировщики ядерных реакторов обычно верят, что «большое ——это прекрасно». Конкурируя с Солнцем в производстве энергии, они также могут обнаружить неожиданные инженерные приложения физики звезд и планет». Под «большим» авторы подразумевают большие размеры реакторов, при кототрых число Rm становится тоже большим.

В своем изложении мы ориентируемся только на астрофизические аспекты данной проблемы. Разделяем поля, как и выше, на крупномасштабные и мелкомасштабные. Здесь имеются две основные задачи.

Выяснить установившиеся спектры флюктуаций (магнитных и поля скорости).

Выяснить динамику крупномасштабных полей ——средних полей В и V (магнитное поле и поле скорости)——с учетом обратного действия магнитного поля на движение. Иными словами, задача состоит в формулировке макроскопической магнитной гидродинамики.

Относительно первой задачи можно сказать, что до создания теории мел ко масштабного динамо об установившемся состоянии

можно было бы только гадать. «Последним словом» в этом отношении была уже упоминавшаяся работа Крейкнана и Нагараяна [8]. В ней авторы как раз и приходят к выводу о том, что ответ окончательно дать невозможно (если это можно назвать выводом). Авторы поступили наиболее последовательно. Они разобрали все возможности, рассмотрев при этом случаи: турбулентного динамо нет и какой спектр флюктуаций установится, если турбулентное динамо есть. В подразд. 2 наст, главы результаты сформулированы однозначно.

Что касается второй задачи, то здесь можно сказать следующее. Кинематическая постановка задачи о динамике крупномасштабных магнитных полей может быть названа макроскопической электродинамикой. Здесь, так же как в электродинамике сплошных сред, имеются микроскопические поля, в данном случае такие, ^масштабы которых сравнимы с масштабами турбулентности, и называемые нами мелкомасштабными полями, и средние макроскопические поля. Уравнения Максвелла в сплошной среде могут быть получены эвристическим путем с помощью введения неких коэффициентов ——электропроводности и магнитной проницаелго- сти. Строгий вывод уравнений может быть получен только с по- ающью кинетической теории и статистической физики. Вывод уравнений макроскопической электродинамики приведен в гл. II с помощью методов, аналогичных кинетической теории.

Попытки построения нелинейной теории предпринимались давно (впервые в [81]). Однако до сравнительно недавнего времени известны лишь разрозненные эффекты. Они перечислены в монографии [1]. Основная задача, которая стояла в начале развития нелинейной теории, состояла в поисках нелинейных эффетов, стабилизирующих рост поля. Ясно, что такие эффекты должны возникнуть, ибо неограниченное возрастание энергии поля, предсказываемое линейной теорией, очевидно, невозможно. Было обнаружено явление магнитной гиротропности ——гиротропности поля скорости, которая возникает в результате действия электромагнитных сил (и возникающая даже в невращающейся среде). Магнитная гиротропность обладает знаком, противоположным знаку обычной, если последняя присутствует в турбулентной среде, и поэтому стабилизирует рост поля в виду того, что именно гиротропность (обычная) является источником генерации. Затем был обнаружен P-эффект: генерация магнитного поля за счет гиротропности хаотического магнитного поля. Как выяснилось, Р-эф- фект действует обратно a-эффекту. Иначе говоря, если поле первоначально генерируется a-эффектом, то магнитные флюктуации становятся гиротропными. Причем знак гиротропности магнитного поля таков, что P-эффект генерирует поле со знаком, противоположным знаку того поля, которое генерирует a-эффект. Иными словами, P-эффект и есть стабил из ир ующий эффект. Выяснилось, что этот последний эффект стабилизации является наиболее действенным.

Однако все эти рассмотренные задачи являются лишь фрагмен-

тами теории. Оставалось много других задач, которые вообще не решались даже качественно. Перечислим их.

Как повлияют магнитные флюктуации на турбулентный коэффициент диффузии магнитного поля 少一 Не прекратится ли вообще диффузия из-за того, что энергия крупномасштабного поля ие сможет перекачиваться в область мелких масштабов, т. е. не помешают ли магнитные флюктуации этой перекачке, без которой диффузия невозможна?

Какова будет реакция турбулентности на крупномасштабное поле скорости V? К каким следствиям для диналшки V приведет наличие магнитных флюктуаций?

Какие нелинейные эффекты являются главными и какие второстепенными? Какие эффекты следует учитывать в первую очередь при практических расчетах?

Короче говоря, возникла необходимость в создании последовательной теории макроскопической магнитной гидродинамики^ или лтагнптной гидродинадгики средних полей. В последнее время появилась возможность построения такой теории, и она будет изложена в данной главе. Надо, однако, оговориться, что нелинейная теория не может быть в настоящее время построена с той же степенью строгости, как линейная (см. гл. II). Имеется последовательный подход, обладающий многими положительными свойствами (см. подразд. 3). Далее при изложении материала нам будет удобнее поменять порядок рассмотрения вопросов по сравнению с принятым выше при построении линейной теории. Там мы сначала изложили теорию крупномасштабных полей (см. гл. II), а за~ тем мелкомасштабных (см・ гл. III) по степени сложности материала. Здесь такой подход был бы непоследовательным. В первую очередь нам нужно знать динамику лгелкомасштабных полей, а потом уже, пользуясь результатами об энергетике этих полей, стро-^ ить теорию крупномасштабных.

У становившиеся спектры турбулентности

У становление стаиионарного состояния. В гл. III выяснено, что мелкомасштабные поля генерируются турбулентной средой. Это явление происходит как бы локальным образом, т. е. пульсации скорости каждого масштаба генерируют поле этого же масштаба. Наиболее быстрая генерация имеет место в супермалых масштабах. Иными словами, максимум энергии экспоненциально растущих флюктуаций расположен в области больших волновых век^ торов k, k^> 2п11. Энергия же пульсаций скорости, наоборот, убывает с ростом А и при к》2n/2 много меньше основной кинетической энергии турбулентности. Поэтому нелинейные эффекты вступают в игру в первую очередь в очень малых масштабах. Именно в этих масштабах в первую очередь плотность энергии магнитных флюктуаций сравнивается с плотностью энергии пульсаций скорости, и дальше энергия магнитных флюктуаций (в этих очень малых масштабах!) уже не растет. Таким образом, в супермалых

масштабах устанавливается равнораспределение магнитной и кинетической энергий.

Почему нужно говорить именно о равнораспределении? Может ли энергия лтагнитных пульсаций превосходить энергию пульсаций скорости? Допустим, что ответ на этот вопрос положительный. Тогда нелинейный член (v V)v несуществен в уравнении движения (1.24), и оно имеет вид

d^ldt = — V〃/p + (1/4лр) [rot Н, Н] (4.1) (вязкость % в интересующих нас масштабах несущественна, внешние силы F в этих масштабах тоже отсутствуют). Электромагнитная сила, отвечающая мелкомасштабным флюктуациям, не может обращаться в нуль. В частности, бессиловое (или даже бестоковое) поле rot Н = 〃Н не может соответствовать мелкомасштабным магнитным флюктуациям, ибо оно образуется только за счет внешних полей и не может существовать самосогласованным образом в виде статистически однородных полей. Электромагнитная сила не может быть строго потенциальна (и компенсироваться поэтому давлением в (4.1)). Действительно, в этом случае непотенциальная составляющая скорости «не чувствовала» бы электромагнитную силу, и последнюю можно было бы внести в давление. Но тогда усиление магнитного поля продолжалось бы неограниченно и обратная реакция на поле скорости отсутствовала бы. Это противоречит сохранению энергии 〈五2〉/8冗 + р〈и?〉/2 = const, которое непосредственно следует из усредненных уравнений магнитной гидродинамики (без внешних сил и диссипации).

Непотенциальная составляющая вызовет согласно (4.1) рост <р2>. Отметим, что для случайных магнитных полей, распределенных по Гауссу, нет даже вопроса о характере электромагнитной силы. Как показано в [15], она в этом случае непотенциальна и вызывает рост〈и?〉. Такой процесс назван в [15] процессом, «противоположным динамо», он и возвращает энергию магнитных флюктуаций к уровню равнораспределения, если они оттуда вышли. Заметим, что все изложенные выше рассуждения относились к инерционной области. При Rm ^> R усиление магнитного поля будет иметь место в области диссипации скорости L V I】(L — масштаб поля,厶 ——вязкий масштаб турбулентности). Для описания генерации скорости электромагнитной силой в уравнении (4.1) следует учесть вязкость. Из-за вязкого затухания пульсаций скорости энергия магнитных флюктуаций может превзойти кинетическую энергию. Генерация поля продолжается до тех пор, пока основная энергия пульсаций вихря будет все еще сосредоточена в масштабе

Этап установившегося равнораспределения в супермалых масштабах не дюжет быть окончательным. Дело в том, что в больших масштабах, где энергия магнитных флюктуаций все еще мала по сравнению с кинетической, генерация поля будет продолжаться (как неоднократно отмечалось, генерация носит квазилокальный характер). Иными словами, скорость роста энергии поля в этих

不以丿，勿丿不以丿，勿丿масштабах больше скорости дробления масштабов, и это преобладание относится к каждому масштабу. Более того, поток в область больших волновых векторов несколько уменьшается, поскольку в области, где наступило равнораспределение при к = kD, поток энергии уже стал меньше по сравнению с первоначальным. Установление равнораспределения при" = kDl а затем при к = к' V кр эквивалентно тому, что при к = к^ (или при к = к' V 场°) мы имеем граничное условие диссипации. Если установление равнораспределения происходит при к = к» то это эквивалентно учету

不以丿，勿丿

不以丿，勿丿

Рис. 4.1.

Спектры установившихся пульсаций магнитного поля Еи (А) (/) л поля скорости Е (4：) (//)

диссипационного члена для спектральной функции k2D Н, существенного при 友〉狂.Если же равнораспределение устанавливается при к = к'〉论о, то это эквивалентно учету диссипации в виде A:20T (场')Н, где От (论‘)=v)r/kr ——коэффициент диффузии, обусловленный пульсациями скорости с волновым вектором кг. В любом случае при к W к' генерация все еще продолжается до тех пор, пока равнораспределение не наступит во всех масштабах. Речь все еще идет о малых масштабах, т. е. сравнимых и меныпйх внепь него масштаба турбулентности Z. Весь процесс установления равнораспределения произойдет за время l/v.

Что касается энергии поля в масштабах, несколько превышаю-' щих %, то здесь ситуация сложнее. Режим турбулентности как гидродинамической ,так и магнитогидродинамической в этой области не может быть у нив ер сальным. Ясно, что магнитные поля здесь в кинетнелгатическом приближении тоже генерируются, поэтому энергия магнитных пульсаций близка к энергии пульсаций скорости. В этой области существен источник турбулентности, и поэтому пульсации скорости и магнитные пульсации оказываются неравноправными. При этом возможны две ситуации. В первой источник энергии турбулентности генерирует именно поле скорости. Тогда энергия последнего будет несколько преобладать в области масштабов порядка I над энергией магнитных флюктуаций. По-видимому, конвективная неустойчивость при неслабых маг-- нитиых полях будет генерировать в первую очередь именно пульсации скорости. Во второй ситуации имеется источник маг-* нитных неоднородностей. Это имеет место в турбулентности магнитных полей солнечного ветра, в котором энергия магнитных неоднородностей черпается в первую очередь из энергии полей солнечной короны. Так будет и в случае, если неустойчивость, приводящая к турбулентности, вызывает рост прежде всего именно маг.

нитного поля. При этом в масштабах, близких к Z, появится некоторое преобладание магнитной энергии над кинетической. На рис. 4.1 изображена первая ситуация: некоторое преобладание кинетической энергии над магнитной.

На данном этапе теория, к сожалению, не может предсказать разницу между магнитной и кинетической энергиями в области масштабов порядка I. Это тем более печально, поскольку данная область является энергосодержащей, т. е. в ней сосредоточена основная энергия- Введем величину 6, которая определяется из равенства

p〈02〉/2 —〈Н2〉/8冗=p 92)m/2. (4.2) При 3 = 0 имеет место полное равнораспределение во всех масштабах. Если сама турбулентность генерируется в виде флюктуаций скорости, то 5〉0, причем 6 меняется в пределах 0 V b V 1 • В действительности 6 не может приближаться к единице: в этом случае <Я2>/8л <^р<г2>/2, что противоречит заключению предыдущей главы о генерации мелкомасштабного поля. Отрицательное значение 6 соответствует преобладанию магнитных пульсаций над кинетическими. Предельный случай | 6 | 身 1 соответствовал бы (Я2>/8л 身 р〈〃2〉/2 м, как сказано, был бы нереализуем.

Спектры установившегося состояния. Спектры магнитных и кинетических пульсаций при kl》1 одинаковы ——это есть следствие равнораспределения. Впервые они были получены в работе Крайк- нана [83]. Энергия пульсаций падает с ростом волнового числа. Можно записать, что Н^ <^Я0, Нк—напряженность поля для флюктуаций с волновым вектором к, Н° ——напряженность энергосодержащих флюктуаций, т. е. ^ = <^2>. Кроме того, из свойства равнораспределения следует, что vk ]/"4лр — Нк. Такие флюктуации представляют собой волны с волновым вектором к на фоне квазиоднородного лгагнитного поля Н『

Напомним, что в приближении магнитной гидродинамики известны три типа волн. В] однородном поле Но имеется альфвенов- ская волна с частотой со = v&k, v& = Н0/]/г4лр, скорость 〃& называется альфвеновской скоростью. Эта волна распространяется вдоль магнитного поля. Две другие волны имеют следующее дисперсионное соотношение: (①ij^)? = % (廟 + s?) 土 士嶋[(^a + $2)2 — 4z4s2 cos2 6『/2, cos 0 = n^1 v^ — и называются ускоренной, или быстрой (со знаком плюс в дисперсионном соотношении), и замедленной, или медленной (со знаком минус), магнитозвуковой волной (см. [83]).

В столкновительной плазме условие несжимаемости означало v^s. Поскольку, кроме того, условие равнораспределения может быть записано в виде г = %, мы должны считать, что

VA << S. (4.3)

В бесстолкновительной плазме самосогласованные поля тоже характеризуются условием 勿 V s, это неравенство следует из того, что §〉彳(см. гл. I, подразд. 3). В данном случае поле % тоже

является самосогласованным, т. е. не возбуждается внешними источниками, 1103Toму р > 1, что эквивалентно неравенству (4.3). При выполнении (4.3) можно записать следующие дисперсионные соотношения: для быстрой магнптозвуковой волны (которая представляет почти звуковые возмущения) со^-1 = s 十 х/2Га s」sin2G и для медленной ю2 = v^k (последняя по частоте совпадает с альф- веновской). Быстрая волна не представляет для нас интереса, так как нас в данном случае интересуют несжимаемые (или почти несжимаемые) движения. Мы можем ее не учитывать, так же как мы выше не вводили в рассмотрение звуковые колебания при анализе турбулентности.

Все нелинейные процессы определяются взаимодействием альф- веновской и медленной магнитозвуковой волны (для плазмы с Р ^ 1 имеется также взаимодействие с быстрой волной). Альф- веновская волна является точным решением нелинейных уравнений, поэтому самовоздействие у нее отсутствует. Она, однако, может распадаться на пару, состоящую из альфвеновской и замедленной. Такая же неустойчивость (которая называется распадной) характерна для замедленной волны. Матричные элементы взаимодействия входят в кинематическое уравнение для числа волн (т. е. фактически для спектра мощности). Стационарное решение кинетического уравнения и даст установившийся спектр. Но матричные элементы в общем случае чрезвычайно громоздки. Тут сказывается анизотропия флюктуаций, вызванная в первую очередь самим однородным магнитным полем Но.

Нас, однако, здесь не интересуют детальные спектры внутри каждой неоднородности масштаба Z. Ведь в данном случае поле Ло обладает масштабом хотя и большим по сравнению с длиной волны 2п/а, но все же конечным и равным I. Если говорить о флюктуациях полей, усредненных по пространству или по неоднородностям масштаба 厶 то такие флюктуации уже однородные и изотропные. Теперь уже нет избранного направления, параллельного Но, ибо сам вектор Нопредставляет собой случайное поле.

Для получения спектра воспользуемся результатом гл. II, подразд. 10, где нелинейное взаимодействие волн было охарактеризовано обратным временем жизни (декрементом распада волны) в виде у】=соМ2. В данном случае число Маха М определяется как М = v^lvA = Н"На (альфвеновское число Маха). Сохранение потока энергии в область больших волновых чисел запишется в виде г^/т (加)=о計 1 = const. Оценивая частоту со как со = =vAk (напомним, что мы имеем сейчас дело с изотропным случаем), кроме того, учитывая, что 〃& соответствует квазиоднородному полю Но, т. е. vA не зависит от 鼠 получим

gУ或〜const,淙〜a一山，

Ен 体)=4np笈佑)〜A%. (4.4)

Спектр Крейкнана пропорционален А-3/2, он изображен на рис. 4.1. Почему же в данном случае не получился колмогоровский спектр

左一力？ Дело в том, что взаимодействие на этот раз не является локальным. Поле Hq, масштаб которого сильно отличается от рас- лгатриваемой длины волны 2冗/耳(и равен I) дает новую характерную частоту vAk. Именно поэтому можно в данном случае говорить о волнах и их взаимодействии. В обычной гидродинамической турбулентности поле скорости масштаба I очень слабо влияет на дина- мику супермелкомасштабных пульсаций: оно только переносит нх, почти не деформируя. Эти пульсации как бы вморожены в те- иение масштаба I. Магнитное поле гораздо более существенным образом влияет на мелкомасштабные пульсации.

Закон изменения времени жизни пульсаций с волновым вектором 〃 есть

t⑹=」——「= J——『 (4.5) VA 倒)/2 。(砌 /?

(вместо т (Тс)〜А」％ для обычной турбулентности). При приближении волнового вектора к значению 1/1 время жизни пульсации приближается к значению Hv. Таким образом, в основном масштабе турбулентности I сохранилось основное свойство, касающееся времени корреляции и времени жизни, характерное для колмогоровской турбулентности: время жизни пульсации с волновым вектором к есть (方”尸.При 奴》1 время l/kvk меньше, чем определенное в (4.5). Поток энергии в область больших волновых чисел равен

(_m*亍=Р亍

(считаем А = 1/7 в (4.5)) н совпадает (с точностью до безразмерного параметра порядка единицы) с потоком энергии в колмогоровской турбулентности. Уже отсюда видно, что опасение некоторых авторов о том, что усилившиеся в динамо-процессе магнитные поля подавят поток в область больших волновых чисел, не оправдывается. Отметим, также, что (4.6) есть фактически мощность нагрева плазмы турбулентностью. Нагрев этот может играть существенную роль в балансе тепловой энергии космической плазмы.

Перейдем к вопросу о возможности возникновения перемежаемости в развитой турбулентности с магнитными полями. Как говорилось в гл. II, подразд. 3, явление перемежаемости аналогично укручению фронта в акустической волне и образованию разрывов в газовой динамике. В данном случае укручение фронта тоже возможно. Действительно, распад волны на две подчиняется законам сохранения энергии и импульса: со = т^ + со2, к == к! + к2 (со, к ——частота и волновой вектор распадающейся волны,①^ ①？， к1? к2 — частоты и волновые векторы волн, на которые распадается данная волна). То, что выписанные равенства есть действительно законы сохранения, ясно видно при умножении их на постоянную Планка Й. Тогда 无①——энергия кванта, Йк ——его импульс. Закон дисперсии со (Л) для волн может быть таким, что условия распада не выполняются. Тогда волны являются нераспадными, и их взаи-

модействие определяется уже более высоким порядком теории возмущений, а именно четырехволновым взаимодействием. Эти условия могут удовлетвориться при распаде волны на одну определенную пару волн. В этом случае спектр называют распадным и кинетическое уравнение для волн может быть получено в приближении трехволнового взаимодействия. Дисперсионная связь для альф- веновских волн и медленного магнитного звука со (论)=v&k дает возможность распада волны на множество пар волн. Спектр «слишком распаден>>. Это обстоятельство и приводит к укручению фронта волн. Точно таким же образом обстоит дело со спектром акустических колебаний, s = sk, и этот спектр тоже слишком распаден. Именно поэтому и образуются разрывы: волна распадается на волны во все большими и большими волновыми векторами, что и приводит к возникновению пилообразного профиля волны. Заметим, что альфвеновская волна не распадается на волны такого же типа: матричные элементы альфвеновского взаимодействия обращаются в нуль. Но альфвеновская волна может распасться на пару: альфвеновская волна и замедленный звук. В общем случае, когда принятое нами условие 卩》1 не выполняется, а просто имеется неравенство 卩 > 1, закон со (论)=v&k для замедленных волн дополняется дисперсионными поправками. При этом распадные условия уже не так просто удовлетворить. Тем не менее укручение фронта волны, по-видимому, будет иметь место. Это связано в конечном счете с сжимаемостью МГД-колебаний. Только для альфвеновской волны строго выполняется div v = 0, для других волн div V 六 0. Укручение фронта волн приведет к тому, что показатель спектра мощности (4.4) станет больше 3/2. В предельном случае пилообразного профиля он примет вид Е (场)〜к~2. Спектр турбулентности обрезается в области диссипации. С учетом омической диссипации (коэффициент D) и вязкой (коэффициент вязкости х) получим предельный волновой вектор kq, при котором диссипация существенна. Для этого приравняем обратное время жизни у? вязкой частоте 丫？(及d)=论4 (。+ %), "d = =1儿-”2〈D + %)-屮3 = Z-1 [RmR (瓦孔 + 7?)-屮3. При к <^kd нелинейные процессы взаимодействия волн существенны, и при этих к и имеет место спектр Крейкнана (4.4). В область " ^> kd волны не могут проникать, поток энергии в эту область уже отсутствует, так как нелинейное взаимодействие там полностью подавляется диссипацией. Поэтому при 耳〉kd спектр пульсаций быстро затухает (как показано на рис. 4.1). Для бесстолкновительной плазмы (солнечного ветра) диссипацию дает черенковское затухание волн. Спектр при этом обрезается на масштабе ионного циклотронного радиуса, т. е. в этом случае kd = 1/р» (см. (1.32)).

Роль крупномастгабных полей. Рассмотрим влияние крупномасштабного поля на формирование спектра турбулентности. Введем для этого безразмерный параметр

卩' = 4пр 夢 (4.7)

—отношение плотности энергии турбулентности к плотности энергии крупномасштабного поля. Теория динамо приводит в основном к большой величине 0', 0' 登 1. Обсудим поэтому сначала именно этот случай. Поток энергии крупномасштабного поля в область масштабов турбулентности обусловлен турбулентной диффузией крунномасштабного^ноля. Поэтому его можно оценить как А £-2 炉店冗=% rZ"1 (l/L)2B2/8n, L — масштаб поля В、L 导 Z. Этот поток при В'身 1 значительно меньше (в В' (A/Z)2 раз) потока, обусловленного нелинейным взаимодействием (4.6). Поэтому можно сказать, что слабое крупномасштабное поле (слабое в смысле §'身 1) не влияет на мелкомасштабные поля.

Если бы турбулентность ие вызывала генерацию мелкомасштаб ных полей, то при отсутствии крупномасштабного поля мелкомасштабные магнитные флюктуации в стационарном состоянии тоже отсутствовали бы. При наличии крупномасштабных полей магнитные флюктуации тоже присутствуют. На рис. 4.1 штрихом изображен спектр магнитных флюктуаций в случае, если бы вектор- потенциал А вел себя как скалярная примесь. При этом в области волновых чисел, где р涼 登 ^/8л, спектр пульсаций скорости был бы колмогоровским. Следовательно, спектр пульсаций скалярной примеси Eq 〃"/з, а спектр магнитных пульсаций Ен ~ 川％. Энергия магнитных пульсаций, содержащаяся в масштабе %, была бы связана с энергией крупномасштабного поля следующим соотношением: <Я2> = В? при к = 2n/Z (ср. с (3.93)). На рис. 4.1 изображена энергия крупномасштабного поля в виде локального максимума при малых волновых числах.

Как говорилось в гл. III, подразд. 1, энергия флюктуационных магнитных полей в астрофизических условиях, как правило, превышает энергию крупномасштабного поля. Причем под энергией флюктуаций в этом случае подразумевается энергия флюктуаций наибольшего масштаба турбулентности I (поскольку флюктуации меньших масштабов обычно не позволяет наблюдать ограниченная разрешающая способность инструментов). Как видно из рис. 4.1, спектр энергий лтагнитных флюктуаций, изображенный штрихом, дает слишком низкую плотность энергии не только в области 归—2冗〃,но и малую полную плотность энергии магнитных флюктуаций по сравнению с р〈卢〉/2, а значит, малую и по сравнению с ^2/8л (учитывая, что мы полагаем (У 登 1). Следовательно, наблюдательные данные не подтверждают наличие спектра магнитных флюктуаций, изображенного на рис. 4.1 штрихом, и тем самым дают косвенное подтверждение наличия мелкомасштабного динамо.

Интересно отметить, что растущий спектр магнитного пол« А：1/з, изображенный на рис. 4.1 штрихом, привлекался некоторыми авторами для объяснения тонкой структуры магнитных полей в солнечной фотосфере. Как показывают наблюдения, энергия магнитных полей растет с уменьшением масштаба, причем полная энергия превосходит кинетическую энергию пульсаций скорости (и достигает величины тепловой энергии). В этой связи использует-

©я формула, дающая соотношение между крупномасштабным и лульсационным полем:

{H^=RmB\ (4.8)

которая, конечно, соответствует весьма большой энергии пульсаций. Кроме того, она соответствует предположению о том, что магнитное поле ведет себя как градиент скалярной примеси. Тогда Ен ~ 小'/з и соотношение (4.8) получается. Если даже игнорировать результаты гл. III о мелкомасштабной генерации магнитных полей, формула (4.8) все же не сможет объяснить тонкую структуру поля на Солнце. Дело в том, что, как это видно из рис. 4.1, спектр /с1/3 переходит к точке пересечения спектра поля скорости со спектром 论-5/з в другой ——в спадающий. Соотношение (4.8) представляет собой максимально большие флюктуации 〈Н?>, когда пересечение упомянутых спектров происходит в области диссипации. Но в этом случае, как легко показать, общая плотность энергии флюктуаций <Я2>/8л в (区‘小)％ раз меньше, чем р <г2>/2. (То, что энергия〈Н?〉всегда меньше, чем 4лр〈〃2〉，видно непосредственно из рис. 4.1.) Эта ничтожная плотность энергии соответствует §'=(凡九产，т. е. ничтожно слабому крупномасштабному полю: при больших полях растущий спектр /с"з заменяется на падающий при 厶 V 加о, т. е. не в области диссипации, и формула (4.8) неверна. В реальных условиях солнечной фотосферы §' у 10 100, что намного порядков меньше, чем (Е；九у/з.

До сих пор мы обсуждали случай слабых полей, 0'货彳.Рассмотрим ситуацию сильных полей, §'V 1. Далее мы увидим, что теория динамо не дает такого соотношения для установившегося спектра, т. е. сильные поля не могут генерироваться. Но это не означает, что ситуация (V《1 вообще нехарактерна для космических полей. Сильные поля встречаются в астрофизике, примером змогут служить солнечные пятна. Возникновение такого поля можно понять на примере солнечных пятен. Генерация его происходит во внутренних областях конвективной зоны Солнца, где выполняется §'》1 (благодаря огромной плотности вещества). Магнитные поля пятен выходят на поверхность, как считается, из-за плавучести (обнаруженной Паркером). На поверхности плотность меньше, и величина §' становится малой. Аналогично обстоит дело с магнитными полями хромосферы и короны Солнца: для них обычно выполняется неравенство В' V】,и это все из-за низкой плотности хромосферы и короны.

Флюктуации на фоне таких сильных магнитных полей представляют собой МГД-волны. Для них условие равнораспределения р〈少2〉/2 = ^H~yi8n выполняется автоматически (оно характерно для всех трех типов волн). Еще один возможный вариант реализации турбулентности ——в виде двумерной (см. гл. II, подразд. 3). Но для этого поле должно обладать чрезвычайно простой конфигурацией. Вопрос о взаимодействии крупномасштабных полей с волнадш мы обсудим в подразд. 6. Что касается случая |У ^ 1,

то он не поддается детальному анализу. Можно только сказать (довольно тривиальную вещь), что он является промежуточным между В'》1 п (У《1.

Диффузионное приближениев теории турбулентности

Мы изложим здесь приближение теории турбулентности, кото* рое обладает многими положительными свойствами. Это приближение широко используется в теории гидродинамической турбулентности. В магнитной гидродинамике оно разработано сравнительно недавно. Метод диффузионного приближения приведем только в той степени, в какой он нам потребуется, отсылая читателя за подробностями к обзорам [36, 37].

Вернемся прежде всего к проблеме замыкания теории турбулентности. При умножении уравнения движения на v и усреднении мы получаем уравнение для <г^；> ——второго момента, т. е. для корреляционного тензора, в которое входит третий момент 〈贝％%〉. При умножении уравнения движения на %勿 и усреднении получаем уравнение для третьего момента, но в которое входит четвертый момент. Так можно продолжать дальше, и мы всегда будем получать уравнение для n-го момента, в которое входит (п + 1)-й момент. Эта бесконечная цепочка уравнений не может быть, вообще говоря, разорвана по какому-либо малому параметру. В символической форме фурье-образ нашей цепочки выглядит так:

(d/dt + 2%生2)(,办=〈00力，

[d/dt + % (Л2 + 卩2 + g2)]〈0〃力=〈〃力〈?？\ +〈〃〃〃〃〉「 (4.9)

Здесь выписано только два уравнения системы. Индекс с обозначает семиинвариант поля скорости. Выпишем его конкретно для семиинварианта систелгы (4.9):

〈％%〃/т〉с =〈*〃#》％» —〈〃*j〉〈％Z'm〉一〈内2力〈％〃力一

Первой гипотезой, замыкающей систему (4.9), была гипотеза Мйл- лионщикова об обращении семиинварианта, выписанного в (4.9), в нуль. Гипотеза применима при небольших числах Рейнольдса R.

Как показал Орсаг [44], неприменимость гипотезы Миллионгци- кова при R》1 связана с тем, что при %-> 0 уравнения инвариантны относительно обращения времени Z —>——t. Время памяти (%&2)т оказывается слишком большим. Орсаг ввел релаксационный коэффициент трения во втором уравнении (4.9), который можно трактовать как дополнительную вязкость. Это дает необратимость системе при % —> 0 и уменьшение времени памяти. Вместо % (А:2 + + У7? + ,2) в левой части второго уравнения (4.9) следует писать

%出十'2+g2)+ "佗力+n(p, t) + i] (g,力=卩(鼠方) + +卩(P,力+卩S,办，卩(左，0 = 以产+ - (R, /),

что эквивалентно замене семиинварианта с помощью соотношения

<^у>с = — In ("，办丁 П (，％)十 П(0, 01 <^>-

Теперь второе уравнение системы (4.9) решается. Полагаем 卩 (а значит, п “) не зависящим от времени. Тогда решение второго уравнения (4.9) можно записать с помощью функции Грина однородного уравнения (куда входит лишь 〈〃〃〃〉)： G (к, р, q,力)= =ехр [—М", Р，g) Н,卩侬，Р, g)=卩侬)—R(P)+ 卩(g). Кроме того, при решении этого уравнения следует (в данном приближении) считать, что зависимость от времени входит только в функцию Грина, т. е. что〈〃沙〉〈0〃〉не зависит от времени. Тогда получим

〈^办=0 (* p, g")〈0办〈0办，

® (R p, g, %) = 11T (左,p, g) {1 — exp [—卩(A, p, q) £]}.(') Величина 卩一】и есть время памяти системы. Выражение для третьего момента〈〃。〃〉следует подставить в первое уравнение системы (4.9). Полученное уравнение для корреляционного тензора 〈〃〃〉 содержит нензвестную, вообще говоря, функцию 0, которая выражается через корреляционную функцию. Каким именно образом и какие получаются уравнения, ответы на эти вопросы будут даны в следующем подразделе.

Зависимость функции О от времени соответствует марковскому процессу. Если учитывать зависимость 〈〃??〉〈〃〃〉от времени во вторэм уравнении системы (4.9), то выражение для〈〃〃〃〉будет уже интегральным, п мы придем к приближению прямого взаимодействия Крейкнана. Система выходит на стационарное решение при t * 卩-i и 6 =卩-1. Стационарные уравнения эквивалентны приближению случайных фаз Эдвардса [84]. Если 0 (鼠 р, q)= =[卩(Р)+ 卩(夕)卜1，то получается приближение самосогласованного поля [85]. Интересно отметить, что изложенный метод использован в [86] для замыкания цепочки уравнений Боголюбова, в которой уравнения для TV-частичной функции распределения выражаются через (N + 1)-частичную функцию распределения.

Далее используем решение для Э в виде (4.10), это соответствует приближению Орсага [44]. Получаемые уравнения обладают многими положительными свойствами. Прежде всего они дают колмогоровский спектр Аг* п колмогоровскую константу в превосходном согласии с экспериментальными данными. В двумерном случае получается спектр Л~3 (см. (2.11)). Эти уравнения также с успехом использовались для описания выхода турбулентности на режим статистического равновесия (при / = 0 и замкнутого фазового объэма). Проводились также лшогочисленные тестовые проверки этих уравнений либо с поающыо модельных уравнений, решение которых можно легко получить аналитически, и это решение сравнивалось с приближением Орсага, либо с помощью численных решений [80]. Физическая реализуемость этого приближения (т. е. положительность всех спектров в процессе эволюции) обеспечена существованием точной стохастической модели, при-

водящей к такому виду уравнений для корреляционных функций (см. [87]).

Сформулируем приближение Орсага для турбулентности, в которой можио выделить среднюю крупномасштабную составляющую поля. Выпишем цепочку уравнений типа (4.9), только теперь необходимо начинать с уравнения для первого момента:

(0/8% + %胪)(力=〈〃力 +〈0〉〈力，(4.11)

{dldt + 2义胪)〈〃力=у (rr> +〈〃〃〃〉с,〈力=匕

В данном случае семиинвариант〈〃〃〃〉с не обращается в нуль, как это было для турбулентности без средних полей. Выпишем его выражение: 〈/%%〉e =〈0№/7〉- Vt〈0/7〉- Vj〈分必〉一 吃〈%0方〉• Введем релаксацию во второе уравнение системы (4.11), т. е. заменим х^2 на %胪 十 п (场)= 卩(％) или, что то же самое, полагаем 〈〃〃〃〉с =——Q](论)〈〃〃〉. Теперь система (4.11) оказывается замкнутой и может быть решена. Здесь, однако, постановка задачи не- сколько отличается от той, которая использовалась при выписывании системы (4.9). Дело в том, что в данном случае нас уже не интересует детальная структура турбулентностп, она может считаться заданной. Нас интересует динамика крупномасштабных полей (масштаб которых L много больше I — внешнего масштаба пульсации). Крупномасштабные поля возмущают основные пульсации. Это возмущение мало, если

У У毎(4.12》

что мы и предполагаем. Теперь корреляциэнттып тензор можно записать в виде〈〃〃〉=〈〃〃〉° +〈〃〃〉'，где〈〃〃〉° соответствует стационарной турбулентности без крупно масштабно го поля,〈〃〃〉' —— возмущение, наложенное крупномасштабным полем, причем выполняется 〈〃〃〉，у〈〃〃〉°. Тогда система (4.11) может быть переписана в виде

(0/欠 + %F) V =〈〃〃〉' + <r><r>,

(4•⑶ (dldt + 2%/r2)〈〃〃〉' = V <rr>° — rj (/c)〈〃〃〉'.

Крупномасштабное поле, как сказано, возмущает турбулентность,, т. е. появляется возмущенный тензор〈〃〃〉'. Обратная реакция возмущения на крупномасштабное поле V как раз и выписана в первом уравнении системы (4.13): в правой части стоит именно〈〃〃〉'， а не〈〃〃〉°. Невозмущенная турбулентность не влияет на поле V, Объясним вид второго уравнения системы (4.13). В левой части член {dldt + 2%〃2)〈〃〃〉。 компенсируется нелинейными членами п внешними силами, поддерживающими турбулентность на стационарном уровне, п поэтому не выписан. Остался только (dldt + Ч-2%%2)〈〃〃〉'. В правой части в первом члене вкладом возмущенной составляющей можно пренебречь. Второй член представляет собой релаксацию возмущенной составляющей поля скорости.

Запись уравнений в виде (4.13) дает возможность несколько новой интерпретации гипотезы Орсага в применении к крупномасштабным полям. Здесь рассматривается стационарная, турбулентность. Поэтому всякое возмущение, например возмущение корреляционного тензора〈〃〃〉, должно релаксировать за время т = т)~\ Крупномасштабное поле V является источником возмущения. Оно приводит к тому, что поле скорости, первоначально однородное II изотропное, становится слабонеоднородным (зависимость от координат входит через V (х)) и слабонеизотропным (поскольку появляется избранное направление, параллельное V). Таким образом, второе уравнение системы (4.13) как раз и описывает рост возмущения за счет источника (первый член правой части} и релаксацию возмущения из-за турбулентного перемешиваният забывания (второй член правой части). В результате баланса этих двух факторов появляется стационарное возмущение〈〃〃〉', которое и дает реакцию на крупномасштабное поле (в первом уравнении системы (4.13)). Таким образом, система (4.13) эквивалентна т- приближеншо в кинетике, где вместо столкновений, дающих забывание флюктуаций, имеем турбулентную релаксацию.

Другое отличие систелгы (4.13) от (4.9) заключается в том, что в (4.13) вязкость % несущественна. Когда речь шла о мелкомасштабных полях, то вязкость нужно было учитывать в области достаточно больших волновых чисел. Здесь же частота %"? при 左= — 2п/£, характерном для крупномасштабных полей, чрезвычайно мала, и можно положить в системе (4.13) % = 0. Всю процедуру вывода (4.13) сформулируем в виде, отличающемся от изложенного. Прежде всего в поле скорости выделяется крупномасштабная составляющая v = V 十 и,〈V〉= V. Затем уравнение движения усредняется почленно： первый момент <v) при этом выражается через〈ini〉и〈V〉〈V〉. Усредненное уравнение вычитается из уравнения движения. В результате получается уравнение для и. Тензор ^UiUj) представляется в форме 〈〃》〃)〉— (utu^ +〈〃％〃/〉'. Здесь, как п выше, (uiu^ представляет собой корреляционный тензор поля скорости стационарной турбулентности без крупномасштабного поля, 〈〃i〃j〉，—— возмущение, вносимое крупно мае, штабным полем. Умножим уравнение для 〃》на Uj и усредним- тогда получим уравнение для《〃》〃)〉' (поскольку {uiu^ ——стацио. нарная величина). В это уравнение войдет третий момент《и^им»- Приближение Орсага эквивалентно замене его на т-релаксирую щий член:

〈〃》〃)〃)〉f — (utu^lx (A).i

Ниже, в подразд. 5,7, mei будем неоднократно использовать эту схему. Поэтому полезно проиллюстрировать ее на простом примере модельного уравнения

dvjdt + djVtVj = 0, (4.14) похожего на уравнение Навье — Стокса. Усредненное уравнение есть dVildt + 0)〈〃坦/> + OjViVj = 0. Выпишем уравнение для и:

du^dt + dj 3力卩/ + UjVi) — dj〈〃》阳〉=—djUtUj. Умножим выписанное уравнение на 乂力 а уравнение для uf —— на м», сложим два получившихся уравнения и усредним. Возникающий третий момент по 〃х заменим на т-релаксирующий член. Вычислим в этом модельном примере реакцию однородной и изотропной турбулентности на крупномасштабную турбулентность. При этом можно пользоваться следующими соотношениями, упрощающими вычисления: (ufdjU^ = 0, (ufU^ = 1/3 6〃〈〃2〉°・ Считаем движение несжимаемым, div v = 0 (тогда, строго говоря, следует учитывать давление в (4.14), но мы не будем усложнять модельную задачу). Учитывая все сказанное выше, получим уравнение д (uiu/yUdt 十 + (ibfU^djVi 4- (uiU^djVj =—〈〃坦/>'1；-1. Обратим внимание на следующее обстоятельство. Время т представляет время релаксации корреляции величин 〃》и 〃/ 6 одной и той же точке. Если бы корреляция вычислялась в разных точках, то т зависело бы от расстояния между точками, а в фурье-представлении ——от 左 (как в (4.9), (4.10), т = р,"1). Здесь же такой зависимости нет. иначе говоря, т = const. Итак, в данном приближении в применении к крупномасштабным полям мы имеем в качестве свободного параметра не неизвестную функцию (как в (4.10) — функция 卩)， а неизвестную величину т = const. Порядок величины т очевиден: это есть Z/r для турбулентности. Время изменения крупномасштабных полей 用 гораздо больше, чем t 弋 〃么 поэтому целесообразно рассматривать уравнение для (11^^ прит<^ Z<^ Zo. За это время крупномасштабное поле практически не изменится, но 〈〃»〃/〉' выйдет на стационарный режим, т. е.〈〃》〃『〉'=——1厶 т (u2>° (dfVi + 十 OiVf). Отсюда непосредственно убеждаемся, что \\UiUfY^ ^〈〃2\0 Vv^lL^. Видно, ЧТО 卜Qi〃/〉'l W Q2〉°・ Для того чтобы убедиться в этом, следует воспользоваться неравенством (4.12) и тем, что L 身 2.

Подставляя выражение 〈〃»〃/〉' в уравнение для V, получим dVJdt + djViVj = %тА匕，％т = ^/^(i^y. Итак, реакция однородной и изотропной турбулентности в рамках модельного уравнения (4.14) свелась к появлению турбулентной вязкости %т. Отметим, что при наличии крупномасштабных магнитных полей условию (4.12) соответствует предположение о слабом крупномасштабном поле, т. е. (У, определенное в (4.7), велико.

Изложим в заключение этого подраздела метод вычисления коэффициента турбулентной диффузии с помощью техники ренор- мализационной группы. Этот метод является одним пз современных подходов в турбулентности. Он был подробно про анализирован в обзоре Крейкнана [88]. В подразд. 5 наст, главы мы сформулируем его для магнитной турбулентности.

Рассмотрим диффузию скалярной примеси. В этом методе вклад пульсации скорэсти с волновым вектором к、т. е. вклад 〃卜,в коэффициент диффузии вычисляется первоначально по теории возмущений. Необходимо, следовательно, вычислять коэффициент диффузии, исходя из (2.2) при больших коэффициентах Dq (когда и можно пользоваться теорией возмущений). Усредним уравнение

почленно. Вычисление〈v®〉проводится по теории возмущений. Представим v и 0 в виде ряда Фурье v = £ и (к) exp (，кх).

к

Тогда (0 = <0> + 0):

目(к) = — £ “例j (р)« (q)> exp [~DQk2 (t —厶)]% = q о

=—》ikjVj (p)<0 (q)〉/〃e兴， q

p = к — q. Мы воспользовались тем, что в данном случае величина О® считается большой, D^k^ много больше обратного времени корреляции г (")". Умножим это выражение на q 优'一")，усредним и воспользуемся однородностью турбулентности: 4л <^f(k) х X %")〉=把厶，0订(к)〈№(〃» 酸=],если а = b и 跋=0, если а =/= 6. Тогда получим 3” — к) 0 (к)> = —〈№(")〉(D^k2)^ X xik'y (4g-«е (X)〉O订(к). Мы дополнительно воспользовались тем, что Л/ V ” (поскольку к' входит в крупномасштабное поле <0 ("')〉)，и просуммировали выражение по всем к с одинаковым модулем, равным к. Коэффициенту турбулентной диффузии соответствует здесь величина 0工=2〈卢(〃)〉/3Z)e〃2 = 2 Д/)т(/с), где

кк

суммирование проводится по всем Л.

В описываемом методе вклад каждого " в коэффициент диффузии ренормализуется, т. е. для каждого к коэффициент Dq заменяется на Dq + От (田， Z)t(G)= 2 AOt(9). Иными словами, на каждую фурье-амплитуду 0 (") действует не только молекулярная диффузия, но и турбулентная, обязанная своим происхождением всем флюктуациям скорости с волновыми векторами g〉" (т. е. «мелкомасштабными по сравнению с пульсацией 0 (А)). Теперь можно записать Д2)т (")=〈叭"))〉/3胪[De + D (")]. Это уравнение (относительно D (%)) легко решается, если перевести его в дифференциальную форму по правилу (с граничным условием 0T(8)= 0} АОт (A) f — do»〈〃2(倉)〉f Edk. В результате имеем

& 3)=— 4+供+2/3 j /(信)dk^。

〜[2/з%「£(/fi)^.

к

Полный коэффициент диффузии получится, если в этом выражении 儿=0. Связывая изложенное выше с приближением Орсага, заметим, что 卩，необходилюе для выражения (4.10), можно считать равным От (耳)厶2 и для крупномасштабных полей — положить в (4.13) п = 0T(°)广％

Мелкомасштабные поляв диффузионном приближении

Схема Орсага (4.9), (4.10) обобщена на МГД-турбулентность в работах [80, 87]. Здесь не возникает каких-либо принципиальных затруднений. Но, конечно, магнитная гидродинамика имеет свою специфику, о которой мы скажем далее. Особенно подробно эта теория развита в работе [80]. Как отмечают авторы, стимулом для этой работы было указание на то, что в строящемся во Франции реакторе течение натриевого охладителя характеризуется магнитным числом Рейнольдса Rm 45 (в то время как R = 107).

Чего же можно ожидать от диффузионного приближения? Что оно добавит к написанному в подразд. 2, где изложено поведение мелкомасштабных полей? Прежде всего в подразд. 2 дана качественная картина. Схема Орсага дает возможность рассмотреть и процесс установления стационарного состояния, и само установившееся состояние на более высоком уровне строгости. Она учитывает также эффекты гиротропности, которые для упрощения не обсуждались в подразд. 2. Наконец, расчет по схеме Орсага дает возможность определить критическое магнитное число Рейнольдса, при котором начинается генерация магнитного поля.

В гидродинамической турбулентности (без магнитного поля) нелинейное взаимодействие сохраняет энергию р <г2>/2 и гиротро пность <v rot v> (см. гл. II, подразд. 3). В магнитной гидродинамике гиротропность не является инвариантом. В этом случае сохраняется полная энергия р <г2>/2 + <Я2>/8л = const, гиротропность магнитного поля〈АН〉= const, rot А — Н, и кроссгиротро пность <vH> = const. Уравнения, полученные в диффузионном приближении, обладают свойством сохранения этих трех величин. Кроме того, прп переходе к двумерной турбулентности они показывают отсутствие динамо-эффекта, как это н должно быть.

Существенным моментом в теории является задание функции р,, которая войдет в выражение (4.10). Как говорилось в подразд. 3, 卩т — время жизни пульсации. Более конкретно можно записать т (6) = 1/т)(А:),卩(厶)= %倉2 + i](倉),где функция т (倉)для колмогоровской турбулентности есть (vkk)~r (см. гл. II, подразд. 2). Этого все-таки недостаточно для определения 卩.Все, что известно о т (с помощью которого определяется 卩),——это оценка времени жизни пульсации с волновым вектором к по порядку величины. Функция 卩 определяет, как это видно из (4.10), функцию 0. Для МГД-турбулентностп будем иметь два взаимодействия: нелинейное, которое имело бы место без магнитного поля, и взаимодействие, обусловленное наличием магнитного поля. Для каждого из этих взаимодействий есть свое характерное время п своя функция 卩.В работе [8Э] время принято одинаковым (с точностью до вязких членов). Выпишем эти выражения (卩(左,〃,g) = 卩(")讨一 十卩伪)+卩⑷)：

厂出=为依 + 以{"2 [E (q) + EH (q)产 dq}4? + о к

* 3」/m，屜(g)阳f，(4.15)

о

卩V拉3)=卩0他)+0奴.

Здесь 卩v и 卩va" входят в качестве обратных времен релаксации в разные уравнения. Мы видим из (4.15), что в задачу входят два времени, на что указывалось выше. Выражение для 6V совпадает с (4.10) с заменой 卩 на рЛ, выражение для ❷vm — ТОже с заменой 卩 на 卩ум. При % -> 0 и 少 т 0 эти времена совпадают. Обсудим смысл выписанных членов в выражении для ц в (4.15). При отсутствии магнитного поля остается лишь второй член (первый член описывает вязкое взаимодействие, и мы его не рассматриваем). Для спектра турбулентности, быстро падающего при А:〉2n/Z： этот член оценивается как 〃〃• Это есть обратное время деформации мелкомасштабных (с 友》2п/2) неоднородностей пульсациями скорости масштаба Z. Если же спектр турбулентности медленно падает или растет в области 2л//.< g V ", то второй член оценивается как (勿%)」.Константа С8 выбрана так, чтобы давать константу Ко л аю го ров а (равную 1,4) в отсутствие магнитных флюктуаций, Cs = 0,26. Во втором члене правой части (4.15) содержится также Ен (')• Это соответствует ■ времени взаимодействия, получаемому из обратного предельного случая Е(7)= 0. При этом время взаимодействия следует из оценки (4.1). Ясно, что из этого выражения следует характерное время (4пру/2/АН&. Обратное время может быть выписано в виде [\ q2%⑷歯丁，как в (4.15).

о

Существенно новым является третий член правой части (4.15), который и придает специфику М ГД-т у рб у л ентно сти. Он соответствует новой характерной частоте задачи vAk, где vA определяется кваз ио дно родным полем Н^ пульсации масштаба 厶 а также соответствует времени памяти ——времени пребывания волнового пакета в области размером 2п/Аг, за которое флюктуации размером 2冗/右 уйдут из рассматриваемой области пространства (двигаясь с альфвеновской скоростью), и в этой области система забудет о них за время (以卜尸.

Выпишем уравнения, полученные в работе [80]:

(@/欠 _|_ 2*2)E==2BV + 4yЕ + 2r瓦(4.16)

9/欠 + 2%〃2)总=2V 一^^产方ve ^е,(4.17)

.(d/dt + 20A2)Ен = 2/У + Ам Ен + 2A：24乂应"，(4.18)

9/力 + 2%2)Ен =片乂 + $ 五мен + Ам^н.(4.19)

7 С. И. Вайнштейн(д§

Символ тильда обозначает псевдоскалярную величину. Здесь Е， Ен、как и прежде, спектры мощности пульсаций скорости и магнитного поля. В уравнениях фигурируют псевдоскалярные ве~ личины: спектр гиротропности поля скорости i/2〈vrotv〉= =\ Ё (к) dk и спектр гиротропности магнитного поля <АН)/8л:р== о

=\ Ен ® &к. Спектр скорости и магнитного поля нормиро- о,

ван (как и во всей книге) несколько иначе, чем в [80]：〈и?〉=

=\ Е {к) dk,〈7?2〉=\ Ен (к) dk. Поэтому коэффициенты системы оо

(4.16)—(4.19) (и в нижеследующих выражениях) несколько отличаются от коэффициентов в [80].

Выпишем выражения, входящие в правые части (4.16)—(4.19):

Bv=k^ {0V [^ЬЕ (р) Е (д) — с*硝夕)е (д)] +

+ 唄％ [%% (р) Ен (q) — q2EH (р) Ён @D(pq尸dpdq,

2方v =胪 \ {y[虛(p) e g)一 cE (p) E ⑵]+

+ ®VM扭рЕн (p) EH (q)}(pq)-idpdq,

Вм =胪 \ 0yM {с兴р-2 ]/抠(р) Ен ⑺ + д РкЕн (р) Е(Q). +

.+ 加-2宓(р) Ён(9)]}(困尸 dpdq.

2方м =胪 \ 0УМД [Ён (р) Е (q) + *硝р) Ен (д)](困尸 dpdq, 绯

24V =—左 \ [@vbp2E(q) + ^ср^Ен 伍)](明尸 dpdq,

4丫 =左 \ ^сЕ (q^pq)-1 dpdq,

24m=_左S日У"仇Р2е(q) +成2占h(q)](pq尸dpdq.

Ам = M1 \ 6VM [ep3q% (q) — hp2E 匂)](困尸 dpdq.

Разъясним используемые обозначения. Знак \ означает инте- грирование в плоскости векторов р, к, причем такое, что векторы к, р, q составляют треугольник. В сущности все эти нелинейные члены по структуре аналогичны правой части (3.70), где интегрирование проводится по всему трехмерному пространству q, но

в (3.70) входят также векторы к, р, связанные с q соотношением р = к — q (формирующим для векторов р, к, q треугольник). Интегрирование по Д^ соответствует замене переменных в (3.70). Скалярным произведениям уравнения (3.70) в выписанных выражениях соответствуют так называемые геометрические коэффициенты (введенные Крейкнаном) Ь, % е. /, h ——все функции от 总Р, q

Ъ = р“т 的 + z3), с = рк~Ч (1 —衿，

е = % (1 — z2), f = z — осу — 2zy2,无=1 —广

где /, у, z ——косинусы углов, лежащих против сторон k, р, q нашего треугольника, т. е. х = —pq7pg,屮=kq/Ag, z = hp/%p. Величины 0VM, 0V — функции от A, p, q.

Перейдем к анализу полученных уравнений и следующих из них результатов, полученных при численном интегрировании этих уравнений. Прежде всего при отсутствии магнитного поля (Ен — =0, Ен = 0) и гиротропности (宓=0) остается только одно уравнение (4.16), в котором Z = 0. В этом случае турбулентность становится чисто гидродинамической и (4.16) сводится к известному уравнению для спектральной функции поля скорости. Посмотрим, как решается проблема мелкомасштабного динамо в рассматриваемом приближении. Надо считать при этом 卢=0, Ён = 0 и Е 登 Er. Нас в этом случае интересует уравнение (4.18), причем во втором члене правой части в выражении для Ам следует пренебречь вкладом Ен, дающим квадратичный по Ен член в (4.18). В результате мы возвращаемся к уравнению (3.70) с заменой 4np2“(р) f е (p)QVM (Л, р, с). Кинетическая энергия поддерживается на стационарном уровне внешними источниками. Следовательно, задача становится линейной. Уравнение (4.18) в рассматриваемом приближении решалось численно, было получено растущее решение (динамо-решение) при Е； больше критического, равного 29. Итак, возбуждение магнитных полей в данной схеме имеет место при Rm〉29. При этом, как и следовало ожидать, обычное число Рейнольдса весьма слабо влияет на критическое магнитное число Рейнольдса, что соответствует изложенному в гл. III, подразд. 1: обычная вязкость не влияет на генерацию поля.

Относительно полученного результата о генерации поля отметим следующее. Как говорилось в гл. III, подразд. 1, проблема мелкомасштабного динамо должна решаться 6 точном виде. В этом состоит специфика данной задачи, никакое приближение не способно дать ответ на принципиальный вопрос, есть или нет турбулентное динамо (см. [8], а также гл. III, подразд. 13). Поэтому, если бы не было строгого подхода, изложенного в гл. III, результаты работы [80], касающиеся турбулентного динамо, можно было бы рассматривать как (еще один) довод в пользу того, что турбулентное динамо имеет место. Другие доводы были даны в [1]. Поэтому можно сказать так: полученный в [80] результат о тур-

булентном динамо дает еще один довод в пользу приближения Орсага и его применимости в магнитной гидродинамике.

С другой стороны, в гл. III мы рассматривали предельно большие числа Rm, но критическое значение Е^ нами не получено. В этом отношении изложенная приближенная схема обладает преимуществом: она дает критическое значение 7?^. В связи с этим надо сказать, что критическое Rm не играет большой роли в космических условиях ввиду того, что там величина Rm чудовищно велика и заведомо на много порядков превышает критическую. Вопрос о критическом Е/ остро стоит в теории геодинамо —— там это вопрос энергетики, поскольку большие Rm соответствуют большой интенсивности движений. Не менее существенно определение критического Rm в технических установках, где очень трудно достигнуть больших значений величины Rm.

Итак, при достаточно большом числе Rm магнитные флюктуации генерируются. Дальнейшая их эволюция согласно расчетам, качёственно соответствует тому, что сказано в подразд. 2. Если в систему инжектируется гиротропность поля скорости, то критическое Rm уменьшается. Дело в том, что генерация крупномасштаб- ного поля возможна даже при Rm < 1 при наличии гиротропно- сти. В конце концов устанавливается стационарное состояние со спектром Крейкнана 友“厶,описанное в под разд. 2. Если в астрофизических условиях турбулентное динамо и установление равнораспределения служат для объяснения существующих полей, то в натриевых охладителях возбудившиеся магнитные поля приведут к различным отрицательным следствиям. В частности, тепловые потоки уменьшатся, что связано со снижением теплопроводности из-за наличия магнитного поля. Поля здесь играют такую же (отрицательную) роль, как в лазерных каплях [89].

Крупномасштабные поляв однородной турбулентной среде

В данном подразделе и далее в подразд. 7 будет построена макроскопическая магнитная гидродинамика. Выясним прежде всего необходимость рассмотрения нелинейного случая при анализе крупномасштабного магнитного поля В.Во второй главе уравнение для В получено на основании точного решения (1.14). Это уравнение и в нелинейном случае остается таким же, и решение (2.51), безусловно, справедливо. Отсюда, казалось бы, можно сделать вывод, что нелинейность не сказывается на динамике поля В. Это, однако, не так. Поле скорости не может уже быть заданным в нелинейной задаче, и вся методика гл. II, подразд. 6, касающаяся вывода выражения для В, уже некорректна. Формально это видно из того, что в нелинейной задаче невозможно записать выражение (2.52), основанное на статистической .независимости

начального магнитного поля при 力= % от поля скорости при 力 N 力о. В нелинейной задаче использование статистической независимости окажется незаконным: поле скорости при 力 > Z° чувствует магнитное поле через уравнение движения с учетом электромагнитной силы. Конечно, можно было бы задать начальное магнитное поле чисто крупномасштабным, такую начальную задачу можно рассмотреть. Но полученное выражение при t 登 т выйдет на универсальный режим. Дело в том, что за время т на фоне поле В возникнут магнитные неоднородности масштаба Z (и меньше) и универсальный режим представит собой поле В плюс мелкомасштабные поля.

Задачи, которые стоят в макроскопической магнитной гидродинамике, сформулированы в подразд. 1. Если говорить только о динамике поля В, то здесь имеются два аспекта:

взаимодействие В с магнитными флюктуациями, напряженность которых не мала;

нелинейная стабилизация поля В (самовоздействие и взаимодействие с флюктуациями).

В этом подразделе мы осветим оба эти аспекта для случая однородной турбулентности. Пользуемся тем, что энергия магнитных флюктуаций близка к энергии кинетических. Кроме того, рассмотрим случай слабого поля,卩'身 1 (卩'определено в (4.7)), и малой крупномасштабной скорости (согласно (4.12)). При этом (см. подразд. 2) крупномасштабное поле практически не влияет на перенос энергии в инерционной области и турбулентность может быть задана. G другой стороны, как показано в конце поразд. 3, и поле крупномасштабной скорости V слабо влияет на турбулентность. И то и другое крупномасштабное поле слабо возмущает турбулентность, обратная реакция этого возмущения на крупномасштабное поле и дает искомые эффекты (турбулентную диффузию, генерацию и т. д.). Предполагаем несжимаемость поля скорости, div 〃 = 0. Это предположение обосновано, если число Маха М = v/s<^ 1. В качестве примера приведем конвективную зону Солнца, где среднеквадратичные скорости на два порядка меньше скорости звука.

Вывод основных уравнений магнитной гидродинамики средних полей. Действуем по схеме, изложенной в подразд. 3. Исходим из уравнений идеальной МГД ((1.24) при % = 0 и (4.14)). Непосредственное усреднение приводит их к следующему виду：

dVI/dt + djVtVj + dj(UiUj) = —(1/p) “•〈p〉+ (1/p) dj •

Jn订(B) +〈n订(h)〉],

dB/dt = rot [VB] + rot <[uh]>.

Здесь H = В + h, <H) = B v = V 4- u, <v> = V,

冗订(F) = (4n)T (%严b订一 F/孙

兀订(H) — максвелловский тензор напряжений, (utu^ ——турбулентный тензор напряжений. Нам потребуется определенная ин-

Формация о невозмущенной турбулентности (как мы видели в под- Раз д. 3, некоторые параметры именно невозмущенной турбулентности входят в окончательный ответ):

<UtU^ = ^зб^〈炉〉。，〈uQfUj》=1/б «rot М〉° &订j, 〈后也)。=%“〈胪〉。，〈期0也〉。 = % (h rot无〉。3力 〈〃也〉。=0, ^Ufdfhjy = (hjdfu^ = 0.

Эти соотношения есть следствие изотропии, однородности турбулентности. Последние два соотношения требуют дополнительного разъяснения. Обратимся к (u^h^ = 0. Выпишем общий вид псевдотензора〈〃也)〉° =幺3〃 丄 5b订(Л — скаляр, В — псевдоскаляр). Составим вектор〈［vh］〉°. Очевидно, что он равен нулю, поскольку основная турбулентность не содержит избранного вектора. Следовательно, / = 0. Составим теперь псевдоскаляр 〈uh〉。= 5. Псевдоскалярные величины типа (u rot и〉°,〈h rot h〉。 присутствуют в нашей задача. Может ли быть псевдоскаляр 〈uh〉° пропорционален им? Оказывается, нет. Дело в том, что уравнения МГД инвариантны относительно преобразования Н f —Н, и все физические величины должны обладать таким свойством. Псевдоскаляры 〈u rot и〉° и 〈h rot h〉° обладают им, a <uh>° — нет. Поэтому 5=0. откуда следует〈〃》九/>。= 0. Заметим дополнительно, что〈uh〉° есть, как отмечалось в подразд. 4, один из инвариантов уравненийМГД. Поэтому если искусственно ввести эту корреляцию в турбулентность, то она не будет уничтожаться нелинейными взаимодействиями. Но конечная диссипация в системе в конце концов приведет к исчезновению этой корреляции.

Псевдотензор〈〃》。/无,〉° может быть представлен единственным образом］〈и©,%〉。= A's订力 причем скаляр <u rot h>° не может присутствовать в задаче, будучи неинвариантным относительно преобразования Н —Н. Итак, А' = 0 и 〈м»%%〉° = 0.

Наша задача состоит в вычислении поправок @，步>,〈无^j〉', 〈〃》%/〉', которые неизотропны и зависят от координат через крупномасштабные поля. Последняя из них уже не исчезает и, собственно говоря, не представляет собой поправку, поскольку〈〃》无力° = =0. Вычисления, изложенные в подразд. 3, не представляют прин- хщпиальных затруднений. Единственная трудность заключается в вычислении вклада давления. Поскольку рассматривается несжимаемая жидкость, давление должно компенсировать потенциальную составляющую нелинейных членов уравнения движения. Для того чтобы не иметь дело с оператором, обратным оператору Лапласа, удобно пользоваться фурье-представлением уравнения движения

1/2dvi (k)/^ + шо (k) ка \ va (р)刀(q) dq 十 1似0订・(к) kanaj (к) = 0, р = к — q (тензор о订 определен в (3.70)),冗^ (к) — фурье-образ тензора ло； (Н). Здесь давление уже исключено и условие несжимаемости выполняется автоматически. Кроме того, необходимо

выделить средние составляющие v (к) = V (к) + и (к), Н (к)= =В (к) + h (к),〈V〉— V, <Н> =В. Задача теперь состоит в вычислении фурье-образа поправок к корреляционным тензорам. Мы проиллюстрируем вычисления на примере поправки:

< 〃z 叫〉'=\ < 必(х — к)江/ (k)〉，exp (ZxZc) dkdx,

『1 Qj (x — k) щ (k)>z =—诋^20订(k) \ [7Z {p)(Uj (乂 一 k) um (q)>° +

+ Pm (q)Qj 3 — k)闷(p)〉°] dq — X (乂一 k)m 2。万(x — k) x

X \ [力(Y — k — q)<u; (k) um (q))° +

+ Pm(q)〈％ (乂 一 k — q) s (k)>°] dq,

〈修(k) % (k‘)〉。= b (k + k‘)辽侬)2o订(k).

Выпишем результат:

〈例〃汙=-2/15T〈〃2)0@乙 + 公匕)，

〈加期У = %T程〉。("匕+心匕)，(4.20)

.〈〃也〉，=715t 备〈胪〉0@当 + djB.) 一

-%t〈"2〉° A/j + % @ + 01) Sj/3力

a = — %t <u rot u>°, Pi = %t jp <h rot h>°.

Интересно отметить, что давление влияет на коэффициенты в си- стедте (4.20). В модельном примере (см. подразд. 3) коэффициент при тензоре 心匕 + 仇匕 был — т (и2>°/3, в то время как в соответствующем месте системы (4.20) стоит —2/15т <и2>°.

Выпишем усредненные уравнения, полученные в работе [90]： dVi/dt + %•匕兀• + (%%))斗叫 j (В) + (1/р) Vp = %тА 匕，(4.21)

ОВ/О力一rot [VB] = 2AB + rot (a + 卩i) B,

2 = 373T <u2>°, %t = %t『/5〈〃2〉0 _|_ (l/gp)〈历2〉。].

В правой части системы (4.21) стоят члены, возникающие из-за обратного действия турбулентности на крупномасштабные поля. Давление фигурирует в уравнении движения (оно компенсирует потенциальную составляющую нелинейных крупномасштабных сил)..

Вся линейная теория динамо входит в (4.21) в виде а-эффекта (член rot аВ) и в коэффициент диффузии 少丁 второго уравнения системы (4.21). Перейдем к анализу нелинейности в этой системе, возникшей из-за действия турбулентности. Мы видим, что турбулентность приводит к турбулентной вязкости /т, в которую дают вклад также и пульсационные магнитные поля. Турбулентные коэффициенты DT и /т много больше (в Rm и R раз соответственно) молекулярных коэффициентов Z) и %, что и обосновывает отбрасывание последних и работу с уравнениями идеальной МГД.

Наиболее интересным с точки зрения теории динамо нелинейным эффектом является ^-эффект (член ^rot В во втором уравне-

нии системы (4.21)). Упомянутый p-эффект был обнаружен авторами работы [87]. Из второго уравнения системы следует, что P-эффект может сам по себе вызвать генерацию магнитного поля, если даже а = 0. В реальных условиях, однако, гиротропность магнитного поля не возбуждается внешними источниками в отличие от обычной гиротропности, которая генерируется кориолисовой силой (см. гл. II, подразд. 3). Поэтому для приложений представляет интерес рассмотреть ситуацию, когда гиротропность магнитного поля возникает (если она действительно возникает) самосогласованным образом. Иначе говоря, система (4.21) не является замкнутой: величина Pi неизвестна. В подразд. 6 мы выведем уравнение для 0「которое и замкнет систему.

Полученная система уравнений (4.21) описывает главные нелинейные эффекты для крупномасштабных полей. Обычно в расчетах магнитных полей используют второе уравнение системы, но P-эффект не был, насколько нам известно, до сих пор включен в прикладные расчеты. Между тем, как мы увидим (см. подразд. 6), этот эффект сравним с a-эффектом и должен приниматься во внимание. Что касается первого уравнения системы, то оно неоднократно привлекалось для расчета течений в конвективных зонах Солнца и звезд. Для того чтобы получить из него дифференциальное вращение, необходимо учесть добавочно кориолисову силу в уравнении (1.24). Тогда в первом уравнении системы (4.21) наряду с турбулентной (вообще говоря, анизотропной) вязкостью возникает сила, пропорциональная d^j (Q — угловая скорость, она-то и генерирует дифференциальное вращение (см. гл. П, подразд. 9)). Роль магнитных флюктуаций в этих расчетах не учитывалась.

Вернемся к обсуждению диффузионного приближения, положенного в основу вывода системы (4.21). Как отмечалось в подразд. 3, получаемые уравнения имеют свободные параметры. При расчете крупномасштабных полей свободным параметром является не функция 0, а величина т = const. В приближении слабых крупномасштабных полей т в выражениях (4.20) следует считать равной t = Z (〈и?〉)」％. Конечно, такое выражение для т не может претендовать на точность. Можно только утверждать, что для той степени точности, с которой мы имеем дело в астрофизике, такая оценка для т достаточна.

Между тем имеется возможность получить уравнение для т, II тем самым т уже не будет свободным параметром теории. Для этого можно поступить следующим образом. Цепочку уравнений для моментов (4.11) следует замкнуть с помощью гипотезы Орсага не на втором шаге, как в (4.13), а на третьем, т. е. выписать уравнение для третьего момента и семиинвариант в нем заменить на т-релаксирующий член. В результате мы опять придем к выражениям (4.20), но вместо t будет стоять некоторая интегральная характеристика спектра, функционально связанная с т, введенным на третьем шаге. Приравнивая это выражение величине т, мы получим уравнение на т. Такой расчет не проводился для крупномасштабных магнитных полей. Схема расчета была пред-

ложена и осуществлена в работе [91]. В последней речь идет о расчете усредненной (по магнитным флюктуациям) функции распределения заряженных частиц, удовлетворяющей кинетическому уравнению

% + Vjdjf + 专(Е + ； [vR])黑=0.

Эта задача связана с расчетом изотропизации и ускорения частиц высокой энергии (космических лучей) межпланетньши магнитными неоднородностями (солнечного ветра и межзвездной среды Галактики). .При этом удается получить не только усредненное уравнение со свободным параметром т (временем рассеяния), но и замкнуть систему с помощью уравнения для т.

Ренормализационная группа и крупномасштабное динамо.

Обобщение техники ренормализационной группы (см. подразд. 3) на МГД-турбулентностью здесь не будет проводиться. Мы рассмотрим лишь вопрос о крупномасштабных магнитных полях в рамках этого метода. Это даст нам возможность связать лангранжевы коэффициенты точной теории (см. гл. II) с эйлеровыми характеристиками, полученными при помощи этой техники.

Будем действовать так же, как в подразд. 3. Нам нужно вычислить по теории возмущений вектор 〈[u (к' — к) h (к)]〉. Пользуясь (1.7), получаем

<[и (к/ — k)h (к)]> = — "ЕВ (к)]〈〃2 ®〉/30 依—

—iB ((и* (k)[ku (к)]>'/ЗДА2.(4.22)

Псевдоскалярная величина〈(и* (к)[ки (к)])〉усреднена по направлениям (т. е. просуммирована по волновым векторам, модуль которых к) и поэтому зависит лишь от модуля волнового вектора к. Дальнейшая ренормализация в подразд. 3, т. е. замена D^ на Dq + DT 侬)，связана по своему физическому смыслу с усреднением по пульсации всех масштабов, меньших А：'1. В подразд. 3 это привело только к появлению турбулентного коэффициента диффузии, ответственного за пульсации масштабов. Теперь пульсации масштабов, меньшие Л'1, вызывают не только турбулентную диффузию, но и генерацию. Для усреднения по этим масштабам необходимо решить уравнение

dH/dt — а (б) rot Н — (Z\.十 D) AH = rot [vH],

a (A) = 2 Aa®, DT (k) = 2 ДДТ (g), с помощью теории возмущений. Фурье-образ тензора Грина левой части уравнения есть

Gij (k, t —力 1) = exp [— (" + D) A2 (力一力】)]乂

X [3订 ch Aa (方一方 1) + "厂总订j面 sh Aa (t -方i)].

Интегрируя Gtj no 力】в пределах от 0 до t, получаем

，Gijdh = [(2 + D)办23订 4- ^ifM[(DT + 0)2 依—加2a2尸. о

Это выражение заменяет (РА2)-1 в (4.22) (и переходит в него при а = 0). Здесь мы не выделяли зависимость Z)T и а от Л. Выпишем ренормализованное выражение (4.22)

〈[U (к — к) h (к)]> = — % {〈〃2 (©〉[(% (〃) + 0)2 〃2 一 а2 3)尸} х

X {力[кЪ (к'ЖОт (〃) + 0) + в (к) а 3)} —

-%力{<u* (k)[ku (k)]〉[(A (© + 。)2依一a2侬)尸} X

X {i [къ (к7)] а (向加2 + в (к)(0т (向 + 0)}・• (4.23)

Очевидно, что первый член правой части (4.23) ответствен за турбулентную диффузию, второй ——за генерацию. Поэтому можно написать

А 八 出 _ 1 (% ⑻ + 刀)“2 (蚣 + i〈u* (k)[ku (k)]> a 的 L

T⑹ ="3(оT⑻十0)2依一心(〃)，

A“ 公—1 (°т 3)+ 刀)》<и*(k)[ku (к)]> + Q2 (к)> « 伯)

(4 伯)十0)2/一a2 3),

Эти уравнения примут дифференциальную форму, если воспользоваться правилами замены Д£>т f — dDT, Да ->■—— da, <u2 (乃)〉-> f Edk, % i<u* (k) [ku (k)]> f Edk. Выпишем эти уравнения:

~2/诚=—% [(2 +D)E 3) + 2当aM2] *

X [(Ат + Dy к2 - a2]-1,(4.24)

daldk = % [2 (DT + D) Ё + E 侬)a][(DT + D)^ - a]-1.

Согласно (2.18) E 〜乃二厶,следовательно, можно ожидать, что a 〜кЕх (良)〜6一2. в то же время DT 〜『Е Поэтому при больших к имеем (Z>T (乃)+ Z>)42 ^> а2 и

2(〃)=-0 + 02 + 2/3『刃(砲优2或J/% к

a (© = — 2/3 \ Ё (瓦)[2 的)+ D^ 伍2 *(4.25)

做

X exp {— 7з \ 笈(р) [От (р) + О]" P“dp} d&・ к

Откуда и видно, что действительно, DT 〜Zr'A», a 〜А-2. Выражение (4.25) справедливо при всех 尤 если гиротропность мала (а<^От©・ В следующем приближении по параметру a/DTk выражение' для DT уменьшится по сравнению с (4.25). Уменьшение коэффициент^ диффузии связано с дополнительной генерацией поля a-эффектом. Но, конечно, согласно второму уравнению (4.24) коэффицинт DT не может стать отрицателъным даже при максимально большой гиротропности. Действительно, из неравенств I a| V 及(DT + 0)，2| 疗I V ЕЕ следует, что и числитель и знаменатель1 первого выражения (4.24) положительны и dDT/ dk V 0. Ввиду того что при A: f оо величина A f 0, получаем j9T > 0 при Л -> 0. Отметим, что выражения для а и Z)T получают-

©я в функциональном подходе [47, 92] похожим на (4.24). Наконец, важное замечание. В подразд. 3 величина 0T (〃)依 могла рассматриваться как обратное время корреляции 卩 для поля скалярной примеси, в то время как для магнитного поля Рт (左)^2 описывает только один из двух конкурирующих процессов, а именно дробление масштабов. Можно ли формулировать проблему мелкомасштабного динамо в рамках техники ренормализационной группы, неизвестно.

Главный нелинейный эффекттурбулентного динамо

В предыдущем подразделе выписана система уравнений (4.21), в которую входит неизвестная величина Р1? ответственная за р-эф @ект. В данном подразделе мы и займемся этой величиной. Каким же образом создается гиротропность магнитного поля? Внешних источников гиротропности б】в природе нет. В отличие от обычной гиротропности, которая генерируется кориолисовой силой, гиротропность б】 генерируется в самосоглосованной задаче за счет энергии крупномасштабных полей [14]. Это связано с сохранением величины .

У AHdx = const (4.26) в процессе нелинейных взаимодействий. Если бы крупномасштабные поля не присутствовали в задаче, то сохранение (4.26) •означало бы сохранение мелкомасштабной гиротропности магнитного поля. Поэтому генерация мелкомасштабных полей при наличии гиротропной турбулентности не привела бы к росту магнитной гиротропности. Если в начальный момент все-таки задать не равную нулю гиротропность магнитного поля, то, несмотря на •сохранение ее согласно (4.26), она в конце концов диссипирует за счет омических потерь.

При наличии крупномасштабного магнитного поля ситуация меняется. Равенство (4.26) следует писать в виде J〈А〉В dx + + \ ah dx + J〈A〉h dx + f aBdx = const, A = a +〈А〉. Усредняя это выражение почленно и снимая знак интегралов (последняя операция не совсел! законна, но используется нами для качественного анализа), получим〈А〉В +〈ah〉= const. Отсюда следует, что если в начальный момент〈ah〉= 0 и в процессе генерации крупномасштабного поля величина〈А〉В становится отличной от нуля, то〈ah〉тоже становится отличной от нуля. Наконец, рост〈ah〉означает рост 又 ~〈h rot h〉・ Во всяком случае, для однородных пульсаций

〈％ rot h/ =乃2〈％•%.〉・ (4.27) Поэтому знак величины〈ah〉совпадает со знаком〈h rot h〉・ Усредним теперь (4.26) непосредственно и возьмем производную от получившегося выражения по времени:

j {dldt <ah> + d/d《A〉B) dx = 0・ (4.28)

Величина〈ah〉зависит от координат только через крупномасштабные поля и меняется поэтому на характерной длине, равной масштабу полей В и V. Если считать, что интеграл в (4.28) взят по- области, меньшей, чем масштаб полей В и V, но большей, чем Z, то (4.28) будет эквивалентно выражению

д <ah>/^ + GjVj <ah> + д <A> B/d% = 0(4.29)-

(мы опустили малый член djVj〈А〉В, содержащий крупномасштабные поля в третьей степени).

Уравнение для гиротропности (4.29) получается при более строгом рассмотрении. Для этого составим уравнения для а п h, причем мы не будем предполагать, что div А = 0. Уравнения имеют вид

Oaldt = [uB] + [VB] + [uh] —〈[uh]〉，(4.30}

dh/dt = rot [uB] + rot [VB] + rot [uh] — rot <[uh]>.

У множим скалярно первое уравнение (4.30) на h, второе — на а, сложим и усредним, тогда будем иметь

d〈ah〉/近=2<(h[uB])> + div N,(4.31)

N = <([uB]a) + ([uh]a)>.

Итак, мы получили обычное для теории турбулентности уравнение для вторых моментов, содержащее третьи (в выражении для N). Здесь можно воспользоваться приближением Орсага： выразить третьи моменты через четвертые и замкнуть систему» В данном случае этого можно не делать и угадать общий вид выражения для N. Проанализируем возможный его вид. Прежде всего N исчезает в однородном случае и обязано своим происхождением крупномасштабным полям, создающим неоднородность. Следовательно, этот вектор должен комбинироваться из крупномасштабных векторов. В точную систему уравнений (4.30) не входит вектор〈А〉，поэтому нам нужно рассмотреть комбинации из V и В. Мы не будем рассматривать комбинации, состоящие более чем из двух векторов: в (4.30) они входят лишь в нулевой, первой и второй степенях. В выражение для N вектор Вне может входить один раз: в этом случае Nне будет инвариантен относительно преобразования Н f — Н. Скомбинировать(псевдо) вектор из двух одинаковых векторов невозможно: единственный вектор есть [LM] и он обращается в нуль при L = М. Псевдовектор N составляется единственно возможным образом с помощью вектора V ： N =——〈ah〉V, означающим простой перенос величины 〈ah> крупномасштабным полем скорости L

В первый член правой части (4.31) подставим полученную в подразд. 5 корреляцию〈乂也〉(см. 4.20)). Тогда имеем уравнение

d〈ah〉/就 + dj〈ah〉％ = 2[DT (rot В, B,) — (a + 团)В2], (4.32)

1 Автор благодарен Н. И. Клпорпну, указавшему на эту возможность.

которое, как легко понять, совпадает с (4.29). Если теперь выражение 〈ah〉умножить на Z~2, то получим оценку минимального значения величины〈h rot h〉. В самом деле, действуя таким об- тазом, мы полагаем, что энергия〈ah〉сосредоточена в основном б масштабе 2. Считая, что энергия 〈ah> содержится в меньших масштабах, следовало бы для получения величины〈h rot h〉умножить 〈ah〉на (Г)-?, где Г V 2, и получить поэтому большую величину〈h rot h>.

Мы исходим из минимального значения〈h rot h〉. Согласно (4.20) для получения 61 нам еще нужно умножить это выражение на т/[3 (4лр)]・ В результате перейдем от уравнения для〈ah> к уравнению для 01：

评 1攸 + 心叱伝=击[(rot В, В) — (а + 伝)炉。J, (4.33) Которое является искомым уравнением, замыкающим систему ,(4.21). Из этого выражения видно, что гиротропность §丄 появляется по двум причинам. Во-первых, если обычная гиротропность отсутствует (а = 0), то 瓦 растет из-за гиротропности крупномасштабного поля, обусловленной движением V. Так, например, дифференциальное вращение генерирует тороидальное поле, такое, что В rot В станет отличным от нуля, если в начальный момент В rot В = 0 (см. гл. I, подр. 2). Тогда согласно (4.33) будет возбуждаться гиротропность 卩厂 Во-вторых, источником в (4.33) служит второй член правой части (4.33), не исчезающий лри а ^= 0. Заметим, что a-эффект тоже приводит к генераций гиротропного крупномасшгабного поля, т. е. такого, что В rot В * 0 (см. [15]).

Анализ мелкомасштабной структуры гиротропности магнитного поля. Поскольку величина <АН> сохраняется, можно ожидать переноса мелкомасштабной составляющей этой величины в область больших волновых чисел и дальнейшей диссипации ее из-за омических потерь. Именно так и предполагалось в работе [87]. Если бы это было именно так, величина〈ah〉исчезала бы за время т и в уравнения (4.32), (4.33) следовало бы добавить т-ре- лаксационный член, что свело бы величину〈ah> практически к нулю. Это, однако, не так. Имеются две причины, препятствующие переносу гиротропности магнитного поля в область больших 府.

Изложим первую причину. Как говорилось в подразд.2, флюктуации масштабов, меньших Z, представляют собой МГД-волны. Каждая из этих волн линейно поляризована. Например, альфвеновская волна в системе координат, где Но = {0, 0, Н。}, к = {0, ку, А%}, имеет амплитуду h, вектор которой параллелен оси %, вектор rot h параллелен оси z. Для нее, следовательно, выполняется 〈h rot h> = 0 (усреднение по фазе). То же самое можно сказать относительно других волн. Гиротропными волнами в плазме являются геликоны, рассмотрение которых находится за пределами применимости МГД, и мы не будем на этом останавливаться. Сумма волн двух типов может дать вектор h, такой, что

h rot h 声 0. Но ввиду того, что частоты этих двух волн разные, средняя величина〈h rot h〉обратится в нуль, усреднение по фазе снимет любую корреляцию. В подразд. 2 обсуждался случай предельно большого плазменного давления р —> 8, приводящий: к тому, что частоты альфвеновской волны и медленного звука совпадают. В реальной ситуации, однако, частоты несколько раз ли- чаются (на величину порядка 1/р) и средняя гиротропность исчезает. К тому же в практически интересных случаях р не великог несколько превышая единицу. Таким образом, при 点Z 2 1 магнитная гиротропность отсутствует и, следовательно, не может переноситься в область больших 加 нелинейными взаимодействиями. Заметим, что добавление кориолисовой силы в уравнение движения приведет к тому, что возмущения (даже в виде волн) станут гиротропньши. Это обстоятельство, однако, не имеет отношения к спектральному переносу энергии нелинейными взаимодействиями (кориолисова сила входит в уравнение движения линейным образом).

В пределе (р оо) мы имели бы спектральный перенос. Но этому препятствует еще одно обстоятельство. Допустим, что имеется постоянный поток в область больших волновых чисел. По аналогии с гл. II подразд. 2 пишем (a^h^/r (乃)=const. Так как х ~ Ат% (см. (4.5)), получаем <а^Ь^> 〜力口厶，a〈h左 rot h力 〜办恥. Следовательно, (h^rot h^〉растет быстрее с ростом А, чем /с < h^ 11卜〉~ 〃'/2 (поскольку спектр Крейкнана дает Ен ~1 加一3厶，〈h^hk〉~ 〜/г%).

Между тем должно выполняться соотношение

IK rothk\^k\hkhk\(4.34》

для всех к. Это соотношение следует из требования положительной определенности спектрального тензора магнитного поля. Если источник гиротропности (крупномасштабное поле) слаб, то величина 佃力尼〉мала и (4.34) может в принципе выполняться для всех к. Определим условие малой эффективности источника. Пусть спектр турбулентности обрезается конечной электропроводностью согласно подразд. 2, 〃S = (74)吟 Условие (4.34) означает, что оно выполняется вплоть до А: = kd, т. е. I* = (Emf/'《 ^ (H0H0>/Z I Но rot Но|. Теперь (4.32) уже не полностью описывает процесс, следует учесть отток энергии〈ah〉в область больших к. Для учета этого обстоятельства добавим член ——(а0Н0>* •t-i в правую часть уравнения.Тогда для случая, когда первый член правой части (4.32) мал по сравнению со вторым, имеем

〈а。!!。〉= 2 (а + 阮)访2, 田。rot Ho> = 2 (а 十阮)炉伙公〉％ 瓦=2 (а + pj 庐/4№ Q2〉= 2 (а + 阮)g - 2a/g W а, {R^ <〈炉>岬，/2 з + в'弋〈〃2>岬，/2 I a I.•

Ввиду того что число Rmчрезвычайно велико, последнее неравенство в астрофизических условиях, как правило, не выполняется^

Во всяком случае, если даже в начальный момент поле В очень слабое, т. е. 6’発 1, и это неравенство выполняется, что в процессе генерации поля В величина §' уменьшится (хотя и будет оставаться больше единицы) и неравенство не сможет выполняться.

Таким образом, в реальных условиях поток величины <afchfc> в область больших волновых чисел запрещен и уравнения (4.32) и (4.33) полностью описывают процесс генерации величины 卩广

Обратимся к выводам, следующим из (4.33). Рассмотрим случай, когда второй член правой части велик по сравнению с первым.. Это соответствует условию а > DIL (L — масштаб поля В), которое является условием генерации а2-динамо (т. е. без дифференциального вращения). Тогда уравнение (4.33) решается элементарно. Решение его с начальными условиями при Е = 0, 61 =。 суть

% = — а {1 — exp [ — \ 52d^/(3 • 4лр/)т)]} \^ 一> — а. (4.35) о

Мы приходим к главному выводу данного подраздела. Ввиду того что Bi + а т 0 в процессе генерации поля, рост поля в конце концов стабилизируется нелинейными эффектами. Дело в том, что именно коэффициент а + 阮 во втором уравнении системы (4.21) ответствен за генерацию поля.

Выясним уровень энергии установившегося поля. Он получается из условия I Bi I = I а I, т. е. (см. (2.17)):

<Н0 rot Н0>/4пр = I Q2〉％QVp/p,

〈А〉В = I <а0Н0> I = 4欣з Q2〉％ 0昨，

52/4кр = (〃/£)〈辽2〉】/2 Q (Vp/p).

Составляя безразмерную величину 卩‘ (по (4.7))

(Р尸=у ],(4.36)

видим, что установившееся значение §'登 1. Выражение (4.36) выписано со всеми малыми параметрами в явном виде (мы воспользовались выражением для а, когда обратное число Россби мало, но а всегда меньше〈冰〉％). Итак, нелинейность стабилизирует рост поля на слабонелинейном уровне. Время установления стабилизованного поля 1в можно определить с помощью (4.35) и (4.36):

tB = £/а・(4.37)

Оно не зависит от начального поля (хотя стабилизация — существенно нелинейный процесс) и совпадает со временем усиления поля в линейном режиме. При очень слабом начальном поле В происходит экспоненциальное усиление поля (в процессе а2- динамо, рассмотрением которого мы ограничились) с показателем экспоненты а/£・ Достигнув уровня, близкого к (4.36), рост поля за время £/а стабилизируется.

Обсудим другую ситуацию. Пусть первый член правой части (4.33) не мал по сравнению со вторым. Если a-эффект вообще отсутствует, но в системе имеется дифференциальное вращение, то возникающее тороидальное поле так связано с полоидальным, что rot В, В ^： 0. Поэтому согласно (4.33) гиротропность 仇 начнет генерироваться. Это приведет к ^-эффекту, т. е. к генерации поля за счет члена §'rot 6 во втором уравнении системы (4.21). Появится возможность обратной связи между тороидальным и полоидальным полями и без а-эффекта. Тем самым P-эффект будет возбуждать полоидальное поле из тороидального. Здесь возможны два режима: экспоненциальное усиление поля В и осцилляторное решение (наподобие солнечнсгго цикла). Рассмотрим первый из них. Согласно (4.33) при а = 0 стабилизация наступает, когда два члена правой части сравняются, т. е. 阮=(〃2>/2 〃厶 g2/4np =(饋乂2/上2,庠=厶242 ^ i Мы вИДИm, что. и эта стабилизация происходит на слабонелинейном уровне.

Анализ второго случая (а 声 0, дифференциальное вращение арисутствует) более сложен. Еще более сложным является анализ нелинейного эффекта для осцилляторного решения типа солнечного цикла. Здесь мы ограничимся общим соображением о несомненно большой роли ^-эффекта в общем случае. Особенно большие лерспективы возникают благодаря возможности построения теории солнечного цикла без a-эффекта с помощью одного только P-эффекта и с привлечением дифференциального вращения*

Турбулентное динамо в присутствии сильных магнитных полей. Мы видели выше, что теория не предсказывает появления сил ных магнитных полей, т. е. таких, что 6’ V 1・ Тем не менее такие поля могут генерироваться в конвективной зоне, например где 6'〉1, а затем проникать на поверхность. В результате величина 庠 станет меньше единицы и турбулентность преобразуется в волны. Если при этом останется двумерная турбулентность (см. гл. II, подразд. 3), то ни о какой дальнейшей генерации не может быть и речи (двумерное движение не генерирует поле).

Обсудим возможность генерации поля волновыми движениями. Ввиду того что теория волнового процесса и взаимодействия с волной может быть построена с помощью малого параметра (в данном случае магнитного числа Маха Ма = 4лри/3), процесс генерации и диффузия поля могут быть рассмотрены регулярным способом (без привлечения диффузионного приближения, например). Однако, как мы увидим далее, расчеты должны проводиться до членов четвертого порядка по степеням магнитного числа Маха. Это создает огромные трудности при вычислениях. Насколько нам известно, единственная работа, в которой был получен коэффициент турбулентной диффузии в этой задаче, это работа Иванова [93]. Напомним, что речь идет о высокопроводягцей плазме (исследование МАК-волн Брагинского относится к слабо- проводящему случаю).

В этом пункте обсудим реакцию волновой турбулентности на крупномасштабное магнитное поле (причем V = 0). Роль волн

сводится, как можно ожидать, к двум эффектам ——турбулентной диффузии и генерации. Вопрос о турбулентной диффузии рассмотрен в работе [93]. Качественно ясно, что скалярная примесь будет диффундировать при наличии МГД-волн таким же образом, как это описано в гл. II, подразд. 10. Описание там относилось к диффузии магнитного поля, но поскольку речь шла о кинематическом подходе, то диффузия скалярной примеси и магнитного поля были неотличимы. Сильное крупномасштабное магнитное поле может вызвать течение, которое в свою очередь повлияет на процесс диффузии. Если отвлечься от этого процесса, например полагая поле В параллельным оси z и зависящим от % и у, когда электромагнитная сила компенсируется давлением, то процесс диффузии поля будет вполне аналогичен диффузии примеси с турбулентным коэффициентом Дт = vIMa = 5ZAf%/4冗р (ср. с гл. II, подразд. 10). Отсюда видно, что для получения коэффициента Дт регулярными методами необходимо проводить вычисления до членов четвертого порядка по малой величине Ма, о чем говорилось выше.

Перейдем к обсуждению эффектов генерации для волновой турбулентности. Прежде всего, как отмечалось выше в этом подразделе, МГД-волны линейно поляризованы и поэтому не дают средней гиротропности (выше говорилось о том, что для волн величина 〈h rot h〉= 0, также можно показать, что для МГД- волн 〈V rot V〉= 0). Генерация крупномасштабного поля может осуществляться в виде модуляционной неустойчивости. На фоне волн с длиной волны I и меньше возбуждается волна с длиной волны L》Z. Иначе говоря, происходит модуляция МГД-волн. Для этого процесса не требуется наличие гиротропности. Подробнее о модуляционных явлениях читатель может посмотреть в [1].

Гиротропность МГД-волн будет иметь место, если учесть кориолисову силу. Линеаризованные уравнения идеальной магнитной гидродинамики имеют вид (поле В однородное, £2 ——угловая скорость, р = Ро + р')：

Zldt 4- 2 [€2v] = — V夕/р + [rot h, В]/4лр,

dh/dt = rot [v, В], dp'Idt + div p0 v = 0.

Рассмотрим сначала среду с однородной плотностью р0 = const. Тогда для плоской волны система переписывается так:

—而V 4- 2 [Qv] = — zkAo-1 (kv) + i [kh] B]/4np0,

(43) —(oh = [k [vB]].

Как〈v rot v〉，так и〈hroth〉могут быть пропорциональны лишь псевдоскаляру Ск. Другой возможный псевдоскаляр кВ здесь не может появиться, поскольку он не инвариантен относительно преобразования Н -> — Н. Итак,

<v rot v〉= a〈〃2〉kQ(o「(4.39)

〈h rot h〉/4np = b〈无2〉кСз-1/4冗p,

a, fe — безразмерные константы. Отсюда видно, что гиротропность может возникнуть только при наличии анизотропии, т. е. если энергия волн с волновым вектором к больше энергии волн, идущих в обратном направлении, т. е. с волновым вектором ——к. Заметим, что из второго выражения (4.39) особенно очевидна невозможность переноса гиротропностп магнитного поля нелинейными взаимодействиями, о котором говорилось в предыдущем разделе. Действительно, при kl》1 турбулентность изотропна (при усреднении по масштабам большим, чем Z), п согласно (4.39) гиротропность магнитного поля отсутствует при kl ^> 1.

Полагаем, что угловая скорость мала (Q <С Вк (4лр)"1/2)- Тогда амплитуды v и h можно представить в виде v = v0 + v7, h =h ° + h‘，где v0, h0 — амплитуды волны при отсутствии кориолисовой силы. Как сказано выше, <v0 rot v。〉 = О, <h0 rot h0> = 0 и

<v rot v> = <v0 rot v'〉+〈▼ rot v0>,

〈h rot h〉=〈ho rot h'〉+〈h‘ rot h。〉.

В плазме высокого давления § = 8aрIB2 f oo, и для альфвенов- ской волны и медленного звука имеем v0 = 110/4лр. Из второго уравнения (4.38) получаем при kv = 0 (несжимаемость)

h = —V (кВ) со"1, со = соо + со7 = —кВ (《пр)-% + со\

h7(4лр)1/2 = V’ 一 voco7co к； v\

Здесь мы воспользовались тем, что поправка к частоте о/ есть истинный скаляр и не может быть пропорциональной Q в первой степени, поправка есть величина порядка Q2 и поэтому мала. Отсюда следует, что для альфвеновской волны и медленного звука коэффициенты а и 6 в (4.39) равны друг другу. Для определения коэффициентов а и 伝 воспользуемся тем, что, как говорилось в гл. II, подразд. 10, диффузионные процессы при наличии волнового процесса ведут себя как марковские процессы. Тогда

— <v rot v> 卢4np a 1 . <hrot h> р24лр

(везде входит четвертая степень возмущения, как для коэффициента диффузии). Учитывая, что в выражении (4.39) a = 方，имеем для альфвеновских волн и замедленного звука a + } = 0・ Следовательно, согласно (4.21) эти волны не способны генерировать магнитное поле.

Что касается быстрого магнитного звука, то здесь v0 || к и hQ (《пр)」/?《vQ. Но, как легко видеть, в этом случае <v0 rot v'〉+ + <vz rot v0> = 0.

Рассмотрим общий случай произвольного р. Пусть В = = {0, 0, 5}, к = {0, "у,乃z}・ Обратимся сначала к быстрому п медленному магнитным звукам. Для них h0 и v0 лежат в плоскости YZ. Поскольку в гиротропность дает вклад лишь несжимаемая часть скорости, спроецируем нулевое приближение (Q = 0) первого уравнения (4.38) на вектор, перпендикулярный вектору

к: ——cov'?/kB = Ь0/4лр, v^}——несжимаемая часть скорости, т. е. v0 = с к + V?), kv，= 0. В то же время ясно, что только проекция векторов v' и h‘ на ось % дает вклад в гиротропность. Спроектируем поэтому второе уравнение (4.38) на ось %: —PxkBco^1 = hx. Составляя выражения для гиротропности (т. е. умножаем выражение для v£)векторно на Z к и получившийся вектор ——скалярно на v‘, но поскольку [kv£‘] есть вектор, параллельный оси %, то скалярное произведение сводится к умножению только на их, пользуясь выписанным выражением для и；), получаем

〈Vo rot v'〉= < vz rot v0> =〈Vo rot v'〉= < vz rot v0> =4(7丽"3 ho〉=〈h。rot K〉.4(7丽"3 ho〉=〈h。rot K〉.

〈Vo rot v'〉= < vz rot v0> =

〈Vo rot v'〉= < vz rot v0> =

4(

7丽"3 ho〉=〈h。rot K〉.

4(

7丽"3 ho〉=〈h。rot K〉.

Следовательно, мы опять получаем в (4.39) а = b, и генерация поля невозможна. Для альфвеновской волны векторы v0 и Ьо параллельны и направлены по оси %. Тогда из второго уравнения (4.38) следует ——VqRBco^1 = h0, а из первого уравнения (4.38) в первом приближении

—心[kv'l/kB — 2z；okQ/kB = i [kh'J^npo.

Перемножая полученные уравнения, имеем

Vo rot v‘ + 2vovo ^> = ^- h0 rot hz・

На этот раз обычная гиротропность несколько отличается от гиротропности магнитного поля (различие небольшое, поскольку, как пр едпол аг ается, со 袋 С). Теперь генерация поля возможна, ц инкремент нарастания есть у р (а + 6°/厶：

Y = ~^L = co 也 P •

Заметим, однако, что рост поля происходит довольно медленно. В инкремент входит напряженность самого поля в четвертой степени. Если считать, что энергия волн сохраняется в процессе усиления поля, т. е. и? = const, или что поток энергии волн сохраняется, т. е. ру25/4лр = const и и? убывает, то скорость роста будет быстро падать, и рост скоро прекратится.

Для волн в среде с неоднородной плотностью псевдоскаляры могут конструироваться в виде, отличном от (4.39), поскольку теперь имеется новый псевдоскаляр VpQ. Но качественно все выводы не изменятся.

Вернемся в заключение к вопросу о переносе гиротропности магнитного поля нелинейными взаимодействиями. В неоднородной среде гиротропность может возникнуть (в отличие от (4.39)) для изотропно р аспр ед ел енных колебаний и〈v rot v〉〜〈h rot h〉〜 〜 Vpf2. Эта гиротропность, однако, связана с линейными свойствами среды. В предыдущем пункте мы имели дело с гиротроп- ностыо, которая генерируется крупномасштабными полями и не

является присущей магнитным и кинетическим флюктуациям как таковым, поэтому спектральный перенос ее в область больших волновых чисел не связан, вообще говоря, с «линейной» гиротроп- ностыо, пропорциональной Vpf2. Иначе говоря, колебания уже невозможно «нагрузить» дополнительной гиротропностью, которую они переносили бы нелинейными взаимодействиями, и поэтому гиротропность в масштабе I (и добавленная к существенно неволновым флюктуациям масштаба Z, как это рассматривалось в предыдущем пункте) сохраняется и не переходит в область больших волновых чисел. ,

Динамика крупномасштабных полейв неоднородной турбулентной среде

В этом подразделе мы обобщим результаты подразд. 5 на неоднородную среду. Будем пользоваться тем же методом, что и в подразд. 5, т. е. диффузионным приближением, при выводе уравнений для крупномасштабных полей. Какие явления, связанные с неоднородностью, можно ожидать? Очевидно, что нелинейность должна каким-то образом модифицировать диамагнитный эффект, возникающий в турбулентности с неоднородной интенсивностью (см. гл. II, подразд. 9, и гл. III, подразд. 12). Мьг увидим, что турбулентность вызывает дополнительно парамагнетизм, который снижает диамагнитный эффект. Не менее интересными являются эффекты, связанные с неоднородностью плотности. В гл. III, подразд. 12, говорилось о том, что в кинематической постановке задачи изотропная турбулентность не приводит к переносу поля, если плотность плазмы зависит от координат. Переносы в двух направлениях — параллельном Vp и антипар аллельном ему — компенсируют друг друга в изотропном случае, в результате суммарный перенос отсутствует. В нелинейной задаче оказывается, что один из видов переноса преобладает над другим. Это приводит к весьма эффективному переносу, гораздо более интенсивному по сравнению с диамагнитным, о котором говорилось в гл. II, подразд. 9. Что касается вклада турбулентности в уравнение движения, то специфически неоднородным эффектом является турбулентное давление. Последнее дюжет иметь большое значение в динамике солнечного ветра.

В целом получение уравнений для крупномасштабных полей и приведет нас к формулировке макроскопической магнитной гидродинамики. Далее полагаем, что напряженность крупномасштабных полей мала по сравнению с флюктуациями, т. е. величина 6', определенная в (4.7), велика, и, кроме того, выполняется условие (4.12). Следовательно, пульсации не носят волнового характера.

Неоднородная интенсивность турбулентности. Считаем, что жидкость несжимаема, div v = 0, и слабо неоднородна. Последнее означает, что Z | ^ | = Z | V〈层〉| /〈〃?〉W 1- Связь между кинетической и магнитной энергиями пульсаций дается общим；

соотношением (4.2). Тогда условие слабой неоднородности означает дополнительно, что I | кт)| = ZV〈无2〉/〈无2〉W 1- Нам потребуются следующие тензоры невозмущенной (крупномасштабными полями) турбулентности:〈辽》0『〃/〉。и (hidjh^, которые для неоднородной интенсивности турбулентности не обращаются в нуль. В простейшем квазиизотропном случае, когда анизотропия пульсаций вынуждена возникать из-за неоднородности, используя условие несжимаемости и ограничиваясь членами первого порядка малости по параметрам 九Z,九⑺)Z, имеем (см. [1])

〈"i0卅j〉° = l/6〈辽2>。 &3订+ % (九/3订-九俗〃)]+

十 ％ <u rot u〉°£订j,

〈居0也У = W^仇第)3订•+ %(九尸3"一九能万)]+生半丄町户

При вычислении по схеме подразд. 5 нам требуется определить поправки к корреляционным тензорам, возникающим из-за действия крупномасштабных полей. Выпишем их:

3胆广=一 %T Q2)0//5 (%叱 + %匕)+ 6.. (V切，

〈①%y = %t〈九2〉0[为% + %%一3订(VMm))],

,(4.40)

Qi%〉‘=三两 号。@% + %/%) — %t ®2〉。%/力 +

+ 工Bf (-^" **也i〉° + 30%〉。) .

В однородном случае выражения (4.40) переходят, очевидно, в (4.20). Выпишем усредненные уравнения, являющиеся обобщением системы (4.21) на неоднородный случай, полученные в [90]:

-^- Vi + djVi^j + -~ ^i〈夕〉+ -у- %冗订(В) =^- &〃т +

+。加 @叱 + %%) + 仇％・к%，(4.41)

-^rot [VB] = — rot A rot В — rot rot 5B + rot (々 + 仇)В,

где использованы следующие обозначения:

(等《W+击程4

。:=春(统〉。+等)，以 = *(”〉一号)，

В системе (4.41) вклад турбулентности выписан в правой части. Член, содержащий〈夕〉，компенсирует потенциальную составляющую крупномасштабных сил.

Парамагнетизм и пульсационное давление. Эффекты, связанные с переносом поля, появляются только из-за члена второго уравнения системы (4.41), содержащего 0т・ Действительно, если

Dr зависит от координат (что и предполагается), то только этот член дает перенос —rot rot 7)；В = rot [VDB], ND = — VZ)，. Первый член правой части не дает вклад в скорость Vn. Из вида этого коэффициента D^ (точнее, функции) следует, что магнитные пульсации дают вклад со знаком, обратным знаку, получаемому при кинетическом подходе. В кинематической постановке задачи 〈论2〉о = 0 и мы имеем дело с диамагнитным эффектом. Магнитные пульсации дают обратный парамагнитный эффект.

Вывод электродинамических уравнений будем проводить, пользуясь (4.2) и полагая, что 6 не зависит от коордйнат. Уравнения электродинамики следуют из второго уравнения системы (4.41). Поэтому выписанные ниже уравнения, а также первое уравнение системы (4.41) представляют полную систему уравнений макроскопической магнитной гидродинамики. Выпишем уравнения электродинамики:

rot Щ = ^" От (〈Е〉十；[VB]), В = [iTHi,

divB = 0, rot <E> =-A_^L, (4.42)

От =。(1 + Em)(*6T), Nt = (1 4- Em)」/$ Em = •

Отсюда видно, что при 3=0 (полное равнораспределение) получаем 卩т = 1, диамагнитный эффект исчезает. Это, впрочем, ясно из самого вида коэффициента DT, ответственного за диамагнетизм. При полном равнораспределении он обращается в нуль. В конвективной зоне (Солнца) можно полагать 3〉0 (см. подразд. 2), поэтому там имеет место ослабленный (в несколько раз) диамагнитный эффект. Далее мы покашэм, что неоднородность плотности в конвективной зоне приводит к гораздо более сильному переносу поля. Интересно отметить, что при 3 V 0, когда источником турбулентности являются неустойчивость, генерирующие магнитные поля (солнечного ветра), будет иметь место парамагнитный эффект. Турбулентная проводимость всегда меньше обычной, это видно из выражения (4.42) с учетом того, что 3Vl• Возвращение к кинематическому подходу имеем при условии 3 = 1, тогда 〈无2〉=0 и 卩т = (1 + Е；)-1%, ” = о (1 + Е】尸/?, что совпадает с результатами [51].

Сформулируем граничные условия на поверхности, отделяющей область, занятую турбулентностью, от нетурбулентной плазмы. Такая ситуация реализуется на дне конвективной зоны Солнца. Нормальная составляющая поля непрерывна (что следует из уравнения div В = 0, выполняющегося во всем пространстве): Вд} = Bf). Индексы (1) и (2) относятся к нетурбулентной и турбулентной областям соответственно. Тангенциальная составляющая меняется скачком: В?)= ([+ А；)。/? Вр* Выписанные граничные условия получаются обычным для электродинамики сплошных сред способом — интегрированием уравнений (4.42) по

пограничному слою. Диамагнитный эффект приводит к сильному вытеснению поля из турбулентной области (| В「| 身 | В?)| ).

Объясним физический смысл парамагнитного эффекта, возникающего в нелинейной задаче. Для этого вернемся к рис. 3.1, 3.2 (см. гл. III, подразд. 12). Средний квадрат скорости убывает с ростом %, поэтому слева силовая трубка возмущается больше, чем справа, как это изображено на рисунках. Теперь, в нелинейном случае, нас интересуют те электромагнитные силы, которые возникают при таком возмущении однородного магнитного поля. Очевидно, что электромагнитная сила вынуждает распрямляться силовые линии, как в натянутой струне. Из рис. 3.1 видно, что сила заставляет жидкость двигаться налево, т. е. сила действует против направления скорости, вызвавшей возмущение (это естественно). Из рис. 3.2 следует, что здесь возникает сила, заставляющая двигаться жидкость направо, т. е. тоже против направления скорости. Однако сила, действующая в первом случае (см. рис. 3.1), больше той, которая соответствует силе на рис. 3.2. Действительно, масштаб возмущений на обоих рисунках одинаков (и равен Z), но возмущенное поле на рис. 3.1 больше, чем на рис. 3.2. Электромагнитная сила оценивается как Л2//4лр, откуда и следует, что на рис. 3.2 она больше. Итак, результирующий нелинейный эффект заключается в действии силы на жидкость в направлении, параллельном вектору V〈炉〉.Это приводит к возникновению потока жидкости и вмороженного в жидкость поля в этом же направлении. Напомним, что согласно этим же рисункам в кинематической постановке мы имели поток изображенного на рисунках поля в противоположном направлении, параллельном вектору — V〈〃2〉・ Поэтому нелинейность даст эффект, противоположный диамагнетизму, т. е. парамагнетизм. Речь пока шла о поле, лежащем в плоскости ХУ, т. е. в плоскости движения жидкости. Напомним, что наглядная картина (см. рис. 3.1, 3.2) относится к двумерному движению. Поле, параллельное оси z, не испытывает ни диамагнитного эффекта, ни парамагнитного, поскольку оно переносится как скалярная примесь. Зато для него существенна турбулентная электропроводность. В общем трехмерном случае все эффекты «распределяются» между турбулентной электропроводностью и турбулентной магнитной проницаемостью, как в системе (4.42).

Еще одно следствие неоднородности связано с пульсационным давлением: в уравнении движения (4.41) появилась сила 3歩т・ Пульсационное давление может оказаться существенным в том случае, когда давление плазмы ниже давления пульсаций. Такая ситуация имеет место для солнечного ветра на расстояниях, меньших тридцати радиусов Солнца (до так называемой альфвеновской точки). Сила, вызываемая пульсационным давлением, вносит существенный вклад в динамику и процесс самого истечения солнечного ветра. Отметим, что неоднородность не влияет кардинальным образом на гидротропную часть, т. е. на генерацию поля. Из (4.41)

только следует, что величина а 十 包 должна быть поставлена под знак rot, если эта величина зависит от координат.

Неоднородная плотность среды. Считаем, что движения дозвуковые. Это, конечно, ограничит область применимости результатов. Так, в солнечном ветре возмущения скорости порядка скорости звука. Тем не менее можно ожидать, что по крайней мере на качественном уровне этими результатами можно пользоваться для описания солнечного ветра. Выводы непосредственно применимы к конвективной зоне Солнца, где число Маха действительно очень мало. Предположение о дозвуковых возмущениях эквивалентно требованию

div pv = 0,(4.43)

которое в неоднородной среде уже не сводится к условию несжимаемости. Условие (4.43) соответствует тому, что плотность среды не возмущается, звук не возбуждается и р = р (х).

Б уд ем по-прежнему полагать, что крупномасштабные поля слабые. Для дальнейшего удобно перейти к уравнению для плотности импульса Р = pv (этот переход и вычисления заимствуем из работы Кичатинова ［901):

OPjOt + djPtPj!^ + д^р 十 Q产订(H) = 0,

P = W +w, W=<P>.

Вектор Р соленоидален, div Р = 0. Пользуясь этим, можно исключить давление, для чего уравнение для Р записывается в фурье- представлении

4*^? + 必仃(k) \ ［s(Р)修⑷一亲％ (Р) Hj(q)Lq = 0,(4.44)

р = к — q. Теперь (4.44) необходимо усреднить почленно и вычесть из точного уравнения (4.44) усредненное. Тогда получится уравнение для w, в которэе войцуг поля V, В и третьи моменты по флюктуациям. Далее необходимо составить средне。 (wi (к)叫(р — к)> и уравнение для него. Возникшие третьи мо менты заменяются т-релаксационпыми (как выше).

Выпишем уравнение для возмущенного тензора:

1/2L ® (k) wf (р — к)〉'=—沐户迎(к)卜匕(к — q)〈z〃/ (р — к) <

X Wj (q)>° + 叱• (к — q)〈w/ (p — к) wt (q)、。］ dq —

—% (p — k)j o〃 (p — к) \ ［匕(p — к — q)〈〃4 (к) Wj (qV° +

+ 叱(P — к — q)О (к加"(q)>°］ dq・

Переход в ^-представление дает искомый второй момент〈〃》〃)〉'— =р2 (wiiv^. Возмущенные момэнты〈小%〉' н〈〃也j〉‘ вычисляются аналогично:

〈%〃)〉'=1r £у一、［_|_(6出 + 内匕十 Sjj div V) + 3订、认］,

〈色%> = ±^1 @•叱+斗匕一 25爲div V - *N九(叫，

(4.45)

〈也夕=备=$2 @自+心0) - T* P%Bj十+

+ '5/ 4лр〈%。也〉° +〈"泌"j〉。)，

Векторы 九,^?п)определены в предыдущем разделе, они соответствуют неоднородности интенсивности турбулентности. Отсюда видно, что при выводе (4.45) учитывалась не только неоднородность плотности, но и неоднородность (tz2>0 и 〈无2〉。・ Сравнивая (4.40) и (4.45), видим, что эти выражения отличаются слабо. В (4.45) появились лишь члены с div V и, кроме того, производная 0»р в выражении для〈〃》无/>'. Тензор (hid^h^ не отличается от выписанного в предыдущем разделе, а в《и@и»。появляются дополнительные члены:

〈辽i%〃j〉° =伞 ®2〉° ^ij^f + "у"(入j§订一^i^jf) ] +

+ ； S11 Г。、^y^ifj + ~^ ®2〉°(M/%P — %泌p) -y- •

Дополнительными являются как раз последние члены, содержащие 6»р. Подставим выражения (4.45) в усредненные уравнения, получим систему, аналогичную (4.41), которую удобно записать в несколько другом виде:

鼻 Р匕 + %pU少 j + 0j <P> +。产订(B)=

=一"Pt + %% 订 + 九%T0 T^j,

@(4.46)

-^- В — roI [VB] = — rot A rot В — rot rot ,OTB +

十 rot [VPB] 4- rot (a + Pi) B.

Выпишем введенный тензор турбулентных напряжений %订 и другие новые обозначения:

左尸 Лт (“•％ + %匕一2/зЗ订 div V) + 3订& div V,

% = %pt (2/5 ®2〉。+ _^_ W〉o) ,(4.47)

& = %р"2/з ®2〉。+ % _1_ W〉。)，

vP = Ve^<^>0^.

Отсюда видно, что турбулентность приводит к появлению пульсационного давления рт (по порядку величины оно совпадает с плотностью энергии пульсаций) и тензору вязких напряжений, определяемому турбулентными аналогами первой и второй вязкостей.

Система (4.46) является общей, из нее в частном случае следует система (4.41) при р = const, система (4.21) при р = const и

<u2>° = const,〈/产〉。=const. Она описывает реакцию квазитроп- ной турбулентности на крупномасштабные поля. Квазиизотроп- ная ——это означает, что турбулентность не является по существу анизотропной, т. е. в ней нет выделенных направлений. Тем не менее градиенты плотности п среднеквадратичных флюктуаций являются векторами, наличие этих векторов приводит к вынужденной слабой анизотропии. Но эта анизотропия минимальная: невозможно создать чисто изотропное соленоидальное поле, такое, что V〈2声〉声 0. Невозможно также создать строго изотропное и однородное поле v, такое, что div pv = 0, р зависит от координат. Поэтому мы говорим «квазпизотропное^ поле, анизотропия является, естественно, присущей данному полю.

Перенос поля в неоднородной среде. Система (4.46) описывает перенос поля из-за диамагнитного и парамагнитного эффектов, если DT в (4.46) зависит от координат. Рассмотрим эффект переноса, связанный только с градиентом плотности среды. Для этого считаем, что пульсационные поля удовлетворяют условию полного равнораспределения, в (4.2) полагаем 3 = 0 и тогда D% = 0. Теперь мы можем увидеть эффекты переноса, связанные с градиентом плотности, в чисто Ai виде. Согласно (4.47) здесь появляется поток крупномасштабного поля со скоростью

/ =+工.2〉0 阪+. (4.48)

Уравнения электродинамики могут быть выписаны при 〈〃？〉= = const и будут иметь вид, аналогичный (4.42), где

От = о/(1 + 瓦??)卩Т, Nt = (р/ро)%・ (4.49)

Здесь оказалось удобным ввести произвольную константу ро с раз мерностью плотности. Целесообразно считать р0 совпадающей с минимальной плотностью во всей системе.

Главный здесь результат — вывод скорости переноса поля (4.48). Напомним, что в кинематическом приближении неоднородность плотности не вызывала результирующего потока в изотропной турбулентности. Для понимания процесса переноса поля в нелинейном случае обратимся опять к гл. III, подразд. 12 (см. рис. 3.1 и 3.2). Напомним, что на этих рисунках плотность убывает с ростом х. В кинематической постановке магнитное поле, лежащее в плоскости ХУ, переносится в направлении —Vp/p, а поле, параллельное оси z,— в обратном направлении (Vp/p). Анализ электромагнитной силы (теперь уже в нелинейной задаче) здесь проводится точно так же, как в предыдущем пункте. Результат следующий: электромагнитная сила вызывает перенос поля, лежащего в плоскости ХУ, в направлении Vp/p, т. е. влево. На магнитное поле, параллельное оси z, электромагнитная сила не сказывается (см. предыдущий пункт). Поясним это подробнее. Электромагнитная сила сводится к добавочному давлению (см. гл. II, подразд. 3)——магнитному. В данном случае магнитное поле В слабое, это означает, что энергия его мала по сравнению с кинетиче-

ской энергией пульсации, а последняя мала по сравнению с тепловой. Поэтому вклад магнитного давления в обычное пренебрежимо мало. Итак, электромагнитная сила не вызывает потока поля, параллельного оси z.

В целом мы имеем такую картину. Поток поля, лежащего в плоскости ХУ, который возникает в кинематическом приближении (в направлении — Vp/p), компенсируется потоком в обратном направлении из-за действия электромагнитной силы. Что касается поля, параллельного оси z, то оно переносится так же, как в кинематическом подходе (электромагнитная сила не сказывается). В результате остается только один (последний) поток——в направлении Vp/p. Очевидно, что и в общем трехмерном случае поток в направлении Vp/p будет преобладать над противоположным, в результате чего и будет иметь место общий поток в этом направлении, как это и отражено в выражении (4.48).

Здесь уместно подытожить все нелинейные эффекты, связанные с неоднородностью. Результаты можно сформулировать следующим образом. 1. Электромагнитная сила, т. е. нелинейность, действует обратно кинематическому подходу: она старается подавить те эффекты, которые возникают в линейном подходе. Следовательно, она создает потоки, обратные линейным. Это естественно. 2. Электромагнитная сила действует только через искривление силовых линий. Движение, не искривляющее силовые линии, не подвергается обратному действию из-за нелинейных эффектов, а потому остается в конце концов тот поток, который был предсказан кинематическим подходом.

В подтверждение первого тезиса напомним, что турбулентность при V〈о?〉片 о создает диамагнитный эффект для поля, лежащего в плоскости ХУ, а нелинейность —— обратный, т. е. парамагнитный эффект. При Vp 声 0 турбулентность в линейном приближении вызывает поток этого поля в направлении —— Vp/p, в нелинейном—в обратном. В ^результате при наличии равнораспределения кинетических и магнитных пульсаций результирующий поток этого поля обращается в нуль. Подтверждением второго тезиса является поведение поля, параллельного оси z. Движение не искривляет силовых линий поля. В кинематической постановке при V〈о?〉声 о диамагнитный эффект отсутствует, при Vp #= О имеется поток в направлении Vp/p. Нелинейность не сказывается на этих результатах, и суммарный поток остается в этом же направлении.

Обсуждение астрофизических приложений. Поток поля (4.48) направлен на дно конвективной зоны Солнца, где плотность на пять-шесть порядков больше поверхностной. Ввиду такого большого перепада плотностей поток (4.48) является чрезвычайно интенсивным. Известно, что высота однородной атмосферы, т. е. (Vp/p)-* для солнечной конвективной зоны почти совпадает с размером конвективной ячейки (ZVp/p ^ 1). Учитывая, что т = =I (〈乂2〉尸厶，имеем в этом случае 匕)^〈卫2〉力.Это есть максимально возможный поток, ибо в данном случае ср еднекв а др атич-

ная скорость является наибольшей в задаче. Напомним, что в кинематической постановке задачи поток из-за градиента плотности появляется только при наличии избранного направления анизотропии, дающей в выражение (4.48) малый параметр, характеризующий меру анизотропии.

Длй описания солнечного ветра тоже представит интерес учет потока (4.48), ввиду того что плотность в нем меняется довольно существенно. Более важным является учет пульсационного давления. Приведем некоторые оценки. Параметры DT,小/p, gT/p являются величинами одного порядка. Принимая для солнечного ветра и = 107 см/с, / = 1011 см, найдем, что jDt 弋 10'8 см2/с. Для конвективной зоны Солнца 〃 101 см/с, / — 3-109 см и 力丁 w 弋 3 • 1013 ем2/e.

Приведем главные (линейные и нелинейные) эффекты, которые следует учитывать при расчете магнитных полей в солнечной конвективной зоне. Общее уравнение выписано в (4.46) — второе уравнение. Поле V соответствует дифференциальному вращению. Это самый сильный эффект. Дальше по степени интенсивности идет поток поля из-за градиента плотности (4.48), далее—а- и p-эффекты, без которых невозможна регенерация поля. Напомним, что согласно подразд. 6 генерация может происходить даже без a-эффекта, только за счет [З-эффекта, и р~эффект является сравнимым по интенсивности в общедг случае с a-эффектом. Наконец, турбулентная диффузия ——это самый слабый эффект.

Наметим программу расчета конвективной зоны Солнца с учетом магнитных полей. Прежде всего необходимо провести расчет основной МГД-турбулентности (т. е. не возмущенной крупномасштабными полями) по схеме, изложенной в подразд. 4. В уравнениях необходимо учитывать источник турбулентности — конвективную неустойчивость, которая войдет в уравнение в виде внешних сил. Наиболее существенным моментом здесь является учет неоднородности плотности, который приведет к появлению естественного размера конвективных ячеек. Расчет должен проводиться в согласии с моделью конвективной зоны, полный расчет есть самосогласованный расчет модели конвективной зоны с учетом диффузионного приближения (см. подразд. 3, 4). Вторым этапом является расчет крупномасштабных полей, как это излагалось в подразд. 5, 6 и в данном. Учет кориолисовой силы дает возможность получить дифференциальное вращение Солнца. Действием крупномасштабного магнитного поля на дифференциальное вращение можно пренебречь в первом приближении. Тогда все параметры, входящие в уравнение для В, станут известными: коэффициенты диффузии и переноса получаются из основной турбулентности, дифференциальное вращение уже задано, а-эффект определяется тоже в диффузионном приближении при известном градиенте плотности и угловой скорости, зависящей от координат. Наконец, для [3i имеется уравнение, выписанное в подразд. 6. На этом этапе можно проводить расчет крупномасштабных магнитных полей, а значит, и солнечного цикла.

Интересное приложение эффекта турбулентной вязкости %т находят при описании дисковой аккреции газа на черную дыру. Единственно известньш способом обнаружения черной дыры является детектирование излучения падающей на черную дыру плазмы. Гравитационная энергия падающей плазмы превращается в тепловую п излучается. Однако падающий газ имеет изначальный угловой момент, препятствующий падению. Для выноса момента в периферийную область необходимо ввести турбулентную вязкость, так как обычной газокинетической недостаточно. В статье [94] рассматривается турбулентная вязкость, связанная с магнитными неоднородностями. При этом не учитываются флюктуации скорости, т. е. рассматривается вязкость, возникшая из-за максвелловского тензора напряжений. Как говорилось в подразд. 2, магнитные неоднородности должны возбуждать пульсации скорости, и в конце концов будет иметь место равнораспределение энергий магнитных и кинематических пульсаций. Напомним, что конечное время памяти т (входящее в %т) связано с нелинейными взаимодействиями пульсаций. В принципе энергия магнитного поля может превышать энергию движений (см. подразд. 2). Более того, можно представить себе магнитные неоднородности, у кото- тор ых электромагнитная сила чисто потенциальная и компенсируется давлением. При этом пульсации скорости не возникают. В упомянутой работе конечное время памяти, т. е. конечное время жизни неоднородностей, связано с пересоединением силовых линий в Х-тоиках. Но существование ансамбля магнитных неоднородностей с чисто потенциальной электромагнитной силой нам представляется искусственным.

Надо сказать, что в астрофизике и геофизике используются и другие подходы в решении задач нелинейной теории динамо. Их можно разбить на два класса: строгие и эвристические. Строгий подход основан на изучении нелинейного взаимодействия волн во вращающейся среде при наличии магнитного поля (см. [95]). Этот подход ближе к теории динамо в слабопроводящей среде и имеет непосредственное отношение к геодинамо [2]. Генерация магнитного поля Солнца гигантскими конвективными ячейками в принципе возможна (см. гл. I, подразд. 7). Таков процесс с учетом электромагнитных сил, действующих на движение, рассмотрен в работе [96]. При этом проводимость считалась низкой (Rm 1), она определялась турбулентными движениями конвективных ячеек меньших размеров, чем рассматриваемые гигантские. Полный анализ уравнений МГД и численное решение с помощью разложения на галеркинские моды проведены в [97]. В этой работе рассматривается конвекция во вращающейся среде при наличии магнитного поля. Указаны условия генерации и обратной реакции поля на движение. Эвристический подход привлекается в астрофизике. Основные идеи такого подхода сводятся к следующему. Можно ожидать, что электромагнитные силы ос- лабят(х-эффект. В работе [98] считается, что a-эффект выключается, когда кориолисова сила (вызывающая гиротропность?

а значит a-эффект) компенсируется электромагнитной силой. Нам хотелось бы отметить, что согласно результатам подразд. 6 действительно нелинейность компенсирует a-эффект. В последовательной постановке задачи получается, что p-эффект компенсирует a-эффект. Другой способ учета электромагнитной силы заключается в определении течений, вызванных крупномасштабной составляющей электромагнитной силы, и реакции этого течения на магнитное поле [99]. Это эквивалентно учету силы dj^ij (В) в уравнении движения (4.21).

Новый подход в нелинейной теории генерации магнитных полей звезд предложен в работе [55]. Известно, что тороидальное поле, генерируемое в конвективной зоне, обладает плавучестыо (обнаруженной Паркером, см., например, [66]). Магнитная трубка всплывает и выходит тем самым из области генерации (в уравнении движения (4.21) архимедова сила есть комбинация электромагнитной и крупномасштабной силы Vp/p). Ясно, что выход поля из динамо-области означает выключение генерации. Авторы [55] предложили приравнять время, необходимое для выхода поля, времени нарастания (обратному инкременту) для определения установившегося поля. Амплитуда установившегося поля при этом действительно определяется, поскольку время выхода поля зависит от амплитуды, и плавучесть является существенно нелинейным процессом. В результате получается связь между угловой скоростью звезды и ее магнитным полем (отметим, что в подразд. 6 получена такая связь при учете p-эффекта, см., например, (4.36)). Новейшие наблюдательные данные [100] подтверждают эту связь. Интересный вывод из наблюдений заключается в существовании двух типов звезд, отражающих два типа связи между угловой скоростью и магнитным полем. Авторы [55] связывают эти два типа с двумя режимами генерации магнитных полей. В одном режиме генерируется несколько магнитных мод, В другом — только одна мода. На наш взгляд, два режима могут быть связаны с двумя возможностями динамо: генерацией поля a-эффектом и генерацией поля [3-эффектом (см. подразд. 6). По мнению Паркера, два режима — a-эффект и механизм динамоэжектора магнитного потока (см. гл. II, подразд. 10).

О природе крупномасштабных полейна Солнце

Магнитные поля на поверхности Солнца обладают целым спектром масштабов. Удобно проводить классификацию этих полей, начиная от самых крупных масштабов и постепенно переходить ко все более и более мелким. Надо сказать, что поля разных масштабов сравнительно легко выделяются на поверхности. Что касается их глубинной стратификации, то, во-первых, об этом известно гораздо меньше, во-вторых, выделение масштабов здесь уже далеко не столь четкое. Можно сразу сказать, что все характерные размеры полей на поверхности Солнца (за исключением

размеров совсем уж мелкомасштабных полей, находящихся на пределе \разрешения современных инструментов) сравнимы с толщиной крнвективной зоны, а некоторые превышают ее.

Проведем классификацию полей по масштабам, начиная от самых крупных и кончая мелкими.

Глобальные поля, меняющиеся сравнительно медленно и описываемые наиболее низкими модами сферических гармоник (размер 1011 см).

Гигантские поля (3-1010 — 1011 см).

Поля супергранул (3-109 см).

Поля гранул (3* 107 см).

Сверхтонкая структура (меньше 107 см).

Глобальные поля. Размер конвективных ячеек в глубине конвективной зоны Солнца сравним с толщиной самой зоны, а поэтому и с масштабом глобальных полей. С другой стороны, горизонтальные размеры магнитных полей гораздо больше размеров ячеек. Поэтому глобальные поля на Солнце представляют собой типичный пример полей промежуточного масштаба (см. гл. II, подразд. 10). Но эти поля чаще всего трактуются как крупномасштабные. Это связано с тем, что динамика последних описывается сравнительно простыми уравнениями (см. гл. II, поздразд. 1, 9).

Существуют два подхода для описания глобальных полей: подход, в котором масштаб глобального поля четко выделяется и все движения на Солнце рассматриваются как «турбулентность», и подход, в котором глобальные поля взаимодействуют с гигантскими ячейками. О втором подходе мы упоминали в гл. I, подразд. 6, 7, и в подразд. 7 настоящей главы. Речь идет при этом о генерации магнитного поля простым полем скорости типа дифференциально вращающегося цилиндра или конвективной ячейки при промежуточных числах Е^》1. При этом мелкомасштабные движения служат для перенормировки коэффициента диффузии, поэтому эффективные числа 丘^ и получаются не слишком большими. Этот подход, однако, разработан меньше первого. Кроме того, магнитные поля необходимо рассматривать в общей картине, учитывающей динамику движений. В частности, необходимо в этой же картине получить дифференциальное вращение Солнца. Как говорилось в гл. II, подразд. 9, существуют два подхода для описания дифференциального вращения, в точности эквивалентных двум подходам, описывающим глобальные поля. Но там же отмечалось, что наблюдательные данные и теоретические соображения скорее свидетельствуют в пользу первого подхода, описывающего дифференциальное вращение, возникающее на фоне «турбулентности» — всех движений на Солнце.

Обратимся поэтому к первому подходу. Объяснение природы глобальных полей следует искать во взаимодействии этих полей с конвективными движениями. Ввиду большого числа Рейнольдса конвекция на Солнце носит турбулентный характер. Это выражается в том, что время жизни ячеек (которые на поверхности

проявляются как гранулы и супергранулы) оказывается порядка времени поворота ячеек. Время, за которое изменяется глобальное поле, много больше времени поворота ячеек, и поэтому допустимы усреднение по ячейкам и концепция крупномасштабности полей (см. гл. II). Ввиду действия мелкомасштабного динамо (см. гл. III) в конвективной зоне генерируются пульсационные магнитные поля, масштабы которых сравнимы с масштабами ячеек. Их энергия сравнима с энергией кинетических движений (см. подразд. 2), отсюда следует учитывать их обратное действие на поле скоростей и на саму генерацию поля.

Общие нелинейные уравнения динамики поля выписаны в подразд. 7 (см. (4.46)). Там же изложены главные нелинейные эффекты, которые должны приниматься во внимание в первую очередь: перенос поля из-за градиента плотности (который весьма значителен в солнечной конвективной зоне) и [З-эффект. Глобальные поля ответственны за солнечный цикл.

Дальнейшее описание глобального поля удобно проводить в сферической или цилиндрической системе, для которой ось z проходит вдоль оси вращения Солнца. Все коэффициенты в (4.46) не зависят от долготы, следовательно, если начальное поле осесимметричное, то оно и будет оставаться осесимметричным в процессе эволюции. Первоначально модель солнечного цикла строилась именно как осесимметричная [6]. В дальнейшем, однако, стало ясно, что эта модель не адекватна наблюдательным данным. Прежде всего имеется в виду секторная структура межпланетного магнитного поля и явно не симметричное положение корональных дыр. В связи с этим Стикс [63] разрабатывал неосесимметричную модель цикла. Представим поле в виде

В = В0(г, 0, t) + 2 Bw (r?0, t) expzmq?.

Если бы все коэффициенты Bm равнялись нулю, то мы имели бы дело с осевой симметрией. Как известно, поле Во представляет сумму полоидального поля (наинизшей гармоникой которого является диполь) и тороидального. Последнее генерируется в глубине конвективной зоны и выходит на поверхность в виде солнечных пятен. Однако, как сказано выше, осесимметричная картина не является полной. В упомянутой работе [63] рассматривалась мода с I ап I〉1, т. е. выписаны и решены численно уравнения для коэффициентов Вт.

Ввиду осевой симметрии коэффициентов в (4.46) аюды с различными т в линейном приближении не взаимодействуют. Иначе говоря, если положить рт = 0 (чем и достигается линейность уравнения для В), то решения уравнений для коэффициентов Вт независимы для каждого т. Независимость этих коэффициентов означает, что осесимметричная и неосеспмметрлчная составляющие не связаны между собой. Экспериментальные данные, однако, не подтверждают эту картину. Анализ данных межпланетного мапшт-

ного поля и солнечных пятен [101, 102] показал, что вект* дипольной составляющей глобального поля поворачивается в тех ние цикла. В определенные периоды поле, симметричное относ тельно оси вращения, исчезает и остается диполь, вектор которо лежит на экваторе. На языке сферических гармоник это означа( что амплитуда осесимметричной моды (т = 0) меняется синхро но с изменением мод с т = 士1, +2,...

Сказанное выше приводит к заключению: динамика глобал ного магнитного поля, т. е. солнечный цикл, должна рассматр ваться, во-первых, как задача не осесимметричная, и, во-вторы как нелинейная. Простейшая постановка задачи: учесть лш осесимметричную моду с п = 土 1 (простейший вариант вычисл ний по методу Галеркина). Выпишем уравнения для Вш:

与 Bn = rot аВ從 + rot [VBJ + ОтАВт + £ rot PPBZ, p-|-/=m

~^~脇=—divVPm+等 g [V夕 rotVg)—

a+/=?n

一 аД^У^УТ] -4 £ “V^VTM,

，L/+A-=m

где V：? = Bm (4лр)-'/2. Система (4.50) должна решаться числен при учете по меньшей мере только нижних гармоник (т/г = + 1 и нижних сферических гармоник по координате 0). На де ном этапе анализ системы (4.50) дает лишь следующие качестве ные выводы.

Гармоники с ап = 0 и ап = 土 1 действительно взаимод( ствуют, взаимодействие нелинейное.

Неосесимметричная часть не должна обращаться в ну (в противном случае решения уже не смогут выйти из симметрр ного режима). Иначе говоря, ось диполя не должна стать стрс параллельной оси вращения (именно такая ситуация и набл дается на Солнце [101, 102]).

Можно ожидать, что нелинейные поправки не изменят кг динальным образом симметричную составляющую поля или ци должен проходить, в основных чертах, известным образом:工 польная составляющая полоидалыюго поля перекачивается в 二 роидальное, и наоборот. На стадии активности, когда остает только тороидальное поле, на поверхности Солнца поля буд описываться только несимметричной составляющей, т. е. вект диполя лежит на экваторе. Это соответствует наблюдениям.

На этой же стадии, когда остается одна тороидальная сост; ляющая, роль нелинейных эффектов резко усилена. Дело в тс что напряженность тороидального поля в 103 раз превышает 上 пряженность полопдального. Неудивительно поэтому, что имен и а этой стадии интенсивность несимметричной моды (связаны с осесимметричной только нелинейностью) максимальна.

Возможен переход от одного режима.генерации (а-эффекта) другому (P-эффекту). Выше обсуждалась такая возможность для азных звезд. Здесь же такой переход может осуществляться в од- :ом и том же небесном теле — Солнце, и приводить к долгоперио- дческим вариациям. Об этом мы будем говорить в следующем [ункте.

С глобальными полями тесно связаны корональные дыры — бласти пониженной плотности короны. Считается, что последние юзнпкают в областях открытых конфигураций магнитных полей, де истечение плазмы особенно интенсивно, что и приводит к сни- кению плотности в этих областях. Наиболее естественные места IX возникновения ——области магнитных полюсов. Связывая юрональные дыры с глобальными полями, мы тем самым объяс- гяем удивительный факт их долгого существования. Это действи- 'ельно удивительно, ибо дифференциальное вращение должно )ыло бы довольно быстро их «растащить». Это обстоятельство ис- юльзовалось даже для того, чтобы выдвинуть аргумент против таличия дифференциального по глубине вращения на Солнце* Мы даем другую интерпретацию долгого времени жизни корональ- ных дыр. Время жизни дыры связано со временем существования открытой конфигурации и в конечном счете со временем сугцество- зания самого глобального поля. Время определяется периодом цикла и велико. Это есть максимально возможное время жизни з;ыры. Поле открытой конфигурации, строго говоря, уже не вморожено в движущуюся плазму ввиду действия турбулентной диффузии 。丁，и поэтому оно не подвержено дифференциальному вращению. С другой стороны, время жизни дыры может оказаться меньше периода цикла, что связано с появлением активных областей, приводящих к изменению магнитного поля в короне и превращению открытой конфигурации в закрытую.

Цикличность и сбой фазы цикла. Солнечная цикличность была обнаружена в прошлом веке по наблюдениям пятен. В начале нашего столетия стали наблюдать магнитные поля. Выяснилось, что полный период солнечного цикла равен двадцати двум годам. Две половины цикла слабо различимы, если не учитывать полярность магнитных полей. Поэтому-то до тех пор, пока не стали наблюдать магнитные поля, цикл считался одиннадцатилетним. Кроме двадцатидвухлетнего цикла, имеются и долгопериодические вариации (80 лет).

В последние годы уделяется большое внимание долгопериодическим вариациям в связи с проблемой так называемого минимума Маунд ер а, длившегося с 1645 по 1715 г. [103]. В это время почти не наблюдалось солнечных пятен, резкое снижение активности в то время подтверждается другими косвенными данными. Для объяснения этого удивительного явления Догелем и Сыроватским [104] была выдвинута идея о стохастическом сбое фаз, связанном со свойствами странного аттрактора (см. гл. IT, подразд. 3). (Подробное изложение идеи Догеля и Сыроватского см. в [1051).

В этой связи отметим следующее. Удивительные свойства

странного аттрактора связаны с появлением стохастичности в маломодовом режиме. Сплошная среда не является маломодовой, В частности, в системе уравнений (4.50) мы не вправе оставлять малое число гармоник галеркинского приближения. Поэтомуг строго говоря, стохастическое поведение солнечных колебаний не связано со странным аттрактором. Тем не менее интуитивно ясно, что крупномасштабные поля не должны обладать большим числом степеней свободы. Поэтому стохастическое поведение глобальных полей (если оно действительно имеется) все-таки представляется удивительным.

Существенный сдвиг в понимании этой проблемы был осуществлен Куклиным [106], который проанализировал индекс солнечной активности— числа Вольфа (взвешенное число пятен). Обозначим числа Вольфа буквой W. Величина W показывает одиннадцатилетнюю цикличность. Воспользуемся преобразованием Гильберта

-0о

Теперь получена новая переменная величина W (力.Для выяснения ее физического смысла напомним, что еслп

W (Z) = -^- \ А ((о) ехр 而打со, о

то

W (%) = -^-，А (小)exp i f- ехр 而打(о. о

Иначе говоря, преобразование Гильберта поворачивает комплексную фурье-амплитуд у процесса на угол л/2, оставляя модуль неизменным, или сдвигает фазу на 冗/2 на всех частотах. Теперь процесс W (%) можно представить в виде

W (t) R (/) cos ф (Z), W (/) = R (/) sin (p (Z),

tg ^^ = W (Z)/Wt(Z), R?⑺=К?⑶ + 序 2 «)・

Таким образом, преобразование Гильберта дает возможность выявить мгновенную фазу ср (/) процесса. Если бы колебания происходили строго периодически, то фаза ср (/) росла бы монотонно на интервале от ——л до л в течение одного периода солнечного цикла. Медленный ход фазы, вероятно, не представит особого интереса с точки зрения стохастичности (и интересен для выявления долгопериодических вариаций). Куклиным [106] был обнаружен сбой фаз (или «фазовая катастрофа», как называет ее автор) во время минимума Маундера. Не меньший интерес представляет обнаруженный сбой фаз с 1790 по 1830 г. (см. рис. 4.2).

На наш взгляд, удивительное поведение фазы цикла, так по-

хожее на странный аттрактор, может быть связано с переходом с. обычного режима генерации поля на другой (с режима а-эффекта на режим p-эффекта). Проверить это утверждение можно с помощью численного решения системы (4.50) с учетом минимального количества мод. Другой возможный режим странного аттрактора (в применении к интерпретации изменения знака магнитного поля Земли) был рассмотрен в [107]. Магнитное поле в этой работе влияет на дифференциальное вращение.

Гигантские поля и поля с упер гранул. Возбуждение и существование этих полей обязано генерации поля движениями соот-

Мгновенная фаза ряда чисел Вольфа

ветствуюгцих масштабов, т. е. тем, что мы называем мелкомасштабным динамо. Иначе говоря, поле гигантского масштаба 2g возбуждается движением такого же масштаба. Время возбуждения равно Zg/og, vg ——среднеквадратичная скорость. Наблюдения до сих пор не дали оценку для величины vgt Последняя определяется обычно из времени жизни гигантского поля tg:

Vg Zg"g ~~ 3• 1。3 см/с,

(мы учли, что tg = 107 с). Магнитное поле, соответствующее равнораспределению магнитной и кинетической энергий, можно оценить как Нg = 3 [с (р = 10-7 г/см3 для фотосферы).

Но убедительных доказательств существования гигантских ячеек в настоящее время нет. Тем более что устойчивое положение корональных дыр, которое приписывают наличию ячеек, мы объяснили выше другим способом. Если их нет, то наличие гигантских полей естественно объяснить как результат диффузионного расплывания активной области. Поля солнечных пятен достигают значений порядка килогаусса при размере 3-109 см (сравнимом с размером супергранулы 厶名). Простой распад и диффузионное расплывание дадут поле, в [lgHs^ раз меньшее, чем поле пятна (расплывание происходит по поверхности, поэтому величина lgHSg берется в квадрате). При этом получаем поля на размере lg порядка 1—3 Гс. К такому же результату мы придем, если будем рассматривать поля гигантского масштаба как крупномасштабную флюктуацию полей активной области. Действительно, случайное

преобладание поля одного пятна при усреднении по площади, примерно равной g, даст среднее поле, в (Zg/Zsg)? раз меньше, чем поле самого пятна. Возможность возбуждения глобальных полей гигантскими ячейками (если они существуют) мы обсуждали в начале подраздела.

Поля супергранул несомненно возбуждаются механизмом мелкомасштабного динамо, поскольку супергранулы существуют не как магнитные образования (как гигантские ячейки), а скорее как выделенное движение масштаба 厶父=3-109 см. Характерной скорости Osg = 3・10‘ см/с соответствует равнораспределенное поле 〃sg|= 10 Гс. Время жизни супергранулы tsg = 6-105 с хорошо соответствует времени поворота ячейки 厶？/厶^・ Описанная картина очень грубая. В действительности вертикальные размеры супергранулы в 4 раза меньше горизонтальных. Магнитное поле на полях супергранулы сконцентрировано до напряженностей, на порядок превышающих среднюю. Но мы не будем вдаваться в детальное описание супергранул.

Поля гранул и сверхтонкая структура. Генерация полей гранул осуществляется мелкомасштабным динамо. Характерные скорости v^r = 2-105 см/с, время жизни tgr = 5-102 с. Магнитное поле равнораспределения Hgr = 100 Гс. Примерно такие среднеквадратичные поля наблюдаются в гранулах, если учитывать межгранульные более концентрированные поля. Энергия такого поля на четыре порядка превышает энергию глобального (напряженность последнего порядка одного гаусса). Это соотношение энергий является экспериментальным подтверждением теории мелкомасштабного динамо. Действительно, как неоднократно говорилось выше (см., например, гл. IIГ, подразд. 1), при отсутствии мелкомасштабного динамо энергия пульсаций не превосходила бы энергию среднего крупномасштабного поля.

Наконец, сверхтонкая структура (размеры меньше 107 см) нас будет интересовать с точки зрения работы динамо-механизмов. Сверхтонкая структура находится за пределами разрешающей способности современных инструментов и обнаружена по косвенным данным.

Плотность энергии магнитного поля в сверхтонких образова нпях превышает плотность энергии каких-либо движений в фотосфере и, по-видимому, равна тепловой энергии. Этот удивительный факт вызвал большую дискуссию. Движения плазмы могут генерировать магнитные поля с почти потенциальной электромагнитной силой [108]. При этом последняя компенсируется давлением и поэтому не вызывает обратной реакции на движение. Таким образом, может происходить генерация поля выше уровня равнораспределения. Другая возможная причина возникновения столь сильных полей — выход их из глубины конвективной зоны, где плотность кинетической энергии гораздо выше фотосферной. В любом случае конфигурация сверхтонкой структуры магнитного поля должна представлять весьма мелкомасштабные образования,

не дающие вклада в среднее крупномасштабное поле. Именно такого типа поля должны возбуждаться механизмом, указанным в [108]. В работе [109] высказано предположение, что тонкоструктурные конфигурации представляют собой переме?к аемости в турбулентной среде (см. о перемежаемости гл. II, подразд. 3). На наш взгляд, сверхтонкая структура, если она существует, не связана с перемежаемостыо. Дело в том, что перемежаемость означает наличие сильных градиентов полей, а не концентрацию полей в малых областях, как это имеет место со сверхтонкой структурой. Вопрос о перемежаемости при наличии магнитных полей обсуждался в подразд. 2. Там мы тоже видели, что п ер ем еж а емост ь может привести лишь к более крутому спектру пульсаций (что эквивалентно возрастанию градиентов полей), а не к существованию супермелкомасштабных образований.

Принимая факт существенно малого масштаба сверхтонкой структуры и то, что она не дает вклад в общий магнитный поток, мы приходим к выводу, что сверхтонкая структура слабо сказывается на динамике крупномасштабных полей.

i.2.3.4.5.6.7.8.9.40.И.12.13.14.15.16.i.2.3.4.5.6.7.8.9.40.И.12.13.14.15.16.Вайнштен С.必.,Зельдович Я. Б. О происхождении магнитных полейВайнштен С.必.,Зельдович Я. Б. О происхождении магнитных полей106, с. 431—457..Квантовая механика. М.:106, с. 431—457..Квантовая механика. М.:Физматгпз,Физматгпз,

i.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

40.

И.

12.

13.

14.

15.

16.

i.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

40.

И.

12.

13.

14.

15.

16.

Вайнштен С.必.,Зельдович Я. Б. О происхождении магнитных полей

Вайнштен С.必.,Зельдович Я. Б. О происхождении магнитных полей

106, с. 431—457.

.Квантовая механика. М.:

106, с. 431—457.

.Квантовая механика. М.:

Физматгпз,

Физматгпз,

ЛИТЕРАТУРА

Вайиштейк С. 〃., Зельдович Я. 6., Рузмайкил А. А. Турбулентное динамо в астрофизике. М.: Наука, 1980. 352 с.

Брагинский С. И. Теоретические исследования геомагнитного динамо.—— В кн.: Итоги науки н техники. Геомагнетизм п высокие слои атмосферы. М.: ВИНИТИ, 1980, т. 5, с. 5—95.

Moffatt Н. К. Magnetic field generation in electrically conducting fluids: Cambridge univ. press., 1978. 343 p.

Соуорд A. M.^ Робертс П. X. Современное состояние МГД-динамо.— Магнитная гидродинамика. 1976, № 1, с. 3—51.

Busse F. Н. Theory of planetary dynamos.— In: Solar system plasma physics/Eds. Ch. Kennel, L. Lanzerotti, E. Parker.: North-Holland, 1979, p. 293—317.

Parker E. N. Hydromagnetic-dynamo models.— Astrophys. J., 1955, 122, p. 293—303.

Kraichnan R. H. Consistency of the Alpha-effect turbulent dynamo.—— Phys. Rev. Lett., 1979, 42, p. 1677—1680.

Kraichnan R. H., Nagarajan S. Growth of turbulent magnetic fields.— Phys. Fluids, 1967, 10, p. 859—870.

Новиков И. И. Прикладная магнитная гидродинамика. М.: Атомиздат, 1969. 360 с.

Dитеу В. Е. The solar differential rotation...— In: Workshop on solar rotation/Eds. G. Belvedere, L. Paterno. Catania, 1978, p. 301—324.

Дробышевский Э. M. Результирующее значение инерционной ЭДС при термической конвекции во вращающейся плазме.— ЖЭТФ, 1972, 42, р. 1577—1585.

Drobyshevski Е. М., Yиferev V. S. Topological pumping of magnetic flux by three-dimensional convection.— J. Fluid Meeh., 1974, 65, p. 33—44.

Волков T. Ф. Гидродинамическое описание сильно разреженной плазмы.— В кн.: Вопросы теории плазмы. М.: Атомиздат, 1964, вып. 4, с. 3—80.

ВайнштеИн С. И. Перестройка магнитного поля плазменными механизмами.— УФН, 19 7 6, 120, с. 613—645.

в астрофизике,— УФН, 1972, Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М 1963. 702 с.

Вайнштейн С, И. Задача о генерации магнитного поля при наличии акустической турбулентности. — ДАН СССР, 1970, 195, с. 793—796.

Cowling Т. D. The magnetic field of sunspot.— Month. Not. RAS, 1934, 94, p. 39—42.

Elsasser W. M. Induction effects in terrestrial magnetism.— Phys. Rev., 1946, 69, p. 106-116.

Зельдович Я. Б. Магнитное полев проводящей турбулентной жидкости. ЖЭТФ, 1956, 31, с. 154—155.

James R. W., Roberts Р, Я., Winch D. Е. The Cowling anti-dynamo theorem.— Geophys. Astrophys. Fluid Dyn., 1980, 15, p. 149—160.

Hide R. Dynamo theorems.— Ibid., 1979, 14, p. 183—186.

Herzenberg A. Geomagnetic dynamos. — Philos. Trans. Roy. Soc. A, 1958, 250, p. 543-585.

Lortz D. Exact solution of hydromagnetic dynamo problem.— Plasma Phys., 1968, 10, p. 967—972.

Пономаренко Ю. E. К теории гидромагнитиого динамо.— ПМТФ, 1973, № 6, с. 47—51.

Гайлитис А . КФрейберг Я. Ж. Расчет динамо-неустойчивости винтового потока: Препринт ЛАФИ-004. Рига: 19 7 7. 48 с.

Тверской Б. Л . К теории гидродинамического самовозбуждения регулярных магнитных полей.——Геомагнетизм и аэрономия, 1966. 6, с. 11 —— 18.

Roberts G. О. Dynamo action of fluid motions with two dimensional pe riodicity.— Philos. Trans. Roy. Soc. London, 1972, A271, p. 411—413.

Зельдович Я. 6., Рузмайкин A . A . Магнитное псле в прОЕОдяще!^ я ид- кости, движущейся в двух измерениях.— ЖЭТФ, 19£0, 78, с.浜С —926.

Ruzmaikin А. А Sokoloff D. D. Helicity, linkage end dynamo acticn.— Geophys. Astrophys., Fluid Djn., 1980, 16, p. 73 — 82.

Брагинский С. И. О самовозб^ждении магнитною поля при де] ^сееп хорошо проводящей жидкости.— 7КЗТ①，19 6 4, 4 7, с. 1084—1С2 8.

Davies L. Electromagnetic phenomena in cosmicrl phy^ics/Ed. B. Lehnert.: Cambridge Univ, press, 1958, p. 27—32.

Ландау JI. Д., Лифшиц E. M. Электродинамика сплошных сред. M.: Гостехиздат, 1957. 532 с.

Колмогоров А . Н. Локальняя структура турбулентности в несжимаемо it жидкости при очень больших числах Рейнольдса.— ДАН СССР, 1941, 30, с. 299-303.

Бэтчелор Дж、Я. Теория однородной турбулентности. М.: Изд-во иностр, лит., 1955. 150 с.

Kraichnan R. Н., Montgomery D. Two-dimensional turbulence.— Rep. Progr. Phys., 1980, 43, p. 547-619.

Мирабель A. 〃., Монил A. С. Двумерная турбулентность. — Успехи механики, 1979, 2, с. 47—95.

Ruelle О., Take ns F. On the nature of turbulence.— Communs Math. Phys., 1971, 20, p. 167—192.

Монин A . С. О природе турбулентности.— УФН, 19 78, 125, с. 9 7 — 122.

Рабинович М. И. Стохастические автоколебания и турбулентность.— УФН, 1978, 125, с. 123—167.

Ландау Л. %., Лифшиц Е. М. Механика сплошных сред. М.: Гостехпз- дат, 1953. 788 с.

Монин А . С., Яглом А . М. Статистическая гидромеханика. М.: Наука, 1967. Ч. 2. 720 с.*

Steenbeck М., Krause F., Radler К.-Н. A calculation of the mean EMF in an electrically conducting fluid in turbulent motion. — Ztschr. Nalur- forsch., 1966, A21, S. 369—376.

Orszag S. A. Analitical theories of turbulence.— J. Fluid Meeh., 1970, 41, p. 363-386.

Hide R. The magnetic flux linkage of a moving medium: a theorem and geophysical applications: Prepr. meteorol. office. Bracknell. UK, 1981. 24 p.

Вайнштейн С. 〃. О генерации крупномасштабного магнитного ноля турбулентной жидкостью.— ЖЭТФ, 1970, 58, с. 153 —159.

Вайнштейн С. И. К теории турбулентного динамо.— Изв. вузов. Радиофизика, 1978, 21, с. 1803—1811.

Вайнштейн С. И. Точная пемарковская модель турбулентного динамо. Изв. вузов. Радиофизика, 1981, 24, с. 172—178.

Кляцкин В. 〃., Татарский В. И. Статистическая теория распространения света в турбулентной среде.——Изв. вузов. Радиофизика, 1972, 15, с. 1433-1442.

Монин А . С., Я г лом А . М. Статистическая гидромеханика. М.: Наука, 1965. Ч. 1. 639 с.

Вайнштейн С. И. Задача о магнитном поле в неоднородном турбулентном потоке.— ПМТФ, 1971, № 1, с. 12—18.

Drobyshevski E. M. Magnetic field transfer by two-dimensional convection and solar «semi-dynamo».— Astrophys. and Space Sei., 1977, 4b. p. 41-49.

Вайнштейн С. И. MГД-эффекты в турбулентной среде с неоднородной плотностью.— Магнитная гидродинамика, 1978, № 1, с. 45—50.

Busse F. //., Minn S. W. Spherical dynamos with anisotropic a-effect.— Gcophys. Astrophys. Fluid Dyn., 1979, 14, p. 167—181.

Robinson R. D., Dyrney B. R. On the generation of magnetic fields in late- type stars: Prepr. Sacramento Peak Observatory7. Sunspot, USA, 1981.

13 p.*

Bisnovaty-Kogan G. S., Vainshtein S. I. Generation of magnetic fields of rotating stars and quasars.— Astrophys. Lett., 1971, 8, p. 151 — 152.

Kraichnan /?. H. Diffusion of weak magnetic fields by isotropic turbulence.— J. Fluid Meeh., 1976, 75, p. 657 — 676.

Rudiger G. Reynolds stress and differential rotation.— Geophys. Astrophys. Fluid Dyn., 1980, 16, p. 239—261.

. Durney B. R. On theories of rotating convection zones: Prepr. Sacramento Peak Observatory. Sunspot, USA, 1980, 40 p.

Ретлине A . 5., Тверский Б. A. Теория солнечной активности.— Изв. АН СССР. Сер. физ., 1980, 44, с. 25 61—25 68.

Ruzmaikin A. A., Vainshtein S. I. The nature of mechanism of differential rotation of the Sun.— Astrophys. and Space Sei., 1978, 59, p. 215 — 225.

Kippenhahn R. Differential rotation in stars with convective envelopes.— Astrophys. J., 1963, 137, p. 664—670.

Stix M. Dynamo theory and the solar cycle.— In: Basic mechanism of solar activity/Ed. Bumba a. Klezek. Dordrecht (Holland): D. Reidel Publ. Co, 1976, p. 367—388.

Parker E. N. The flux ejection dynamo effect: The flux ejection dynamo with small diffusivity: I Basic properties; II illustrative examples: Prepr. Univ. Chicago, USA, 1981. 32 p. 21. p. 42 p.

Knobloch E. Turbulent diffusion of magnetic fields.— Astrophys. J., 1978, 225, p. 1050-1057.

Parker E. N. Cosmic al magnetic fields. Oxford: Clarendon press, 1979. 200 p.

Walder M., Deinzer W., Stix M. Dynamo action associated with random waves in a rotating statified fluid.— J. Fluid. Meeh., 1980, 96, p. 207 — 222.

Moffatt H. K. A self-consistent treatment of simple dynamo systems.— Geophys. Astrophys. Fluid Dyn., 1979, 14, p. 147 — 166.

Bondi 〃.，Gold T. On the generation of magnetism by fluid motion.—

一 Moth. Not. RAS, 1950, 110, p. 607—611.

Batchelor G. H. On the spontaneous magnetic field in a conducting liquid in turbulent motion.— Proc. Roy. Soc., 1950, A201, p. 405—420.

Krause F. Dynamo exitation by steady homogeneous isotropic miror- symmetric turbulence.— In: Dynamo-theory: Rep. of Intern. Workshop, KAPG, Alsovice: Czechosl. Akad. Sci., 1979, p. 20—22.

Вайнштейн С. И. Динамо мелкомасштабных полей.— ЖЭТФ, 1980, _79, с. 2175-2187.

Голицын Г. С. Флуктуация магнитного поля и плотности тока в турбу • лентных потоках слабопроводящей жидкости.— ДАН СССР, 1960, 132, с. 315—318.

Mandelbrot В. В. Intermittent turbulence in self-similar cascades.— 广 J. Fluid Meeh., 1974, 62, p. 331-340.

Вайнштейн С. И. Динамо магнитного поля в космосе.— УФН, 1981, 「134, с. 744-745.

Вайнштейн С. И. Генерация мелкомасштабного магнитного поля при умеренных магнитных числах Рейнольдса.— Магнитная гидродинамика, 1982, № 2, с. 3-14.

77.78.79.80.81.82.83.84.85.86.87.88.89.90.91.92.93.94.95.96.97.98.99.100.101.102.77.78.79.80.81.82.83.84.85.86.87.88.89.90.91.92.93.94.95.96.97.98.99.100.101.102.Вайнштейн С. И. «Анти динам о» — возможны" механизм явлений, происходящих в нейтральных слоях магнитного поля.——ЖЭТФ, 1973 65, с. 550—561. '

77.

78.

79.

80.

81.

82.

83.

84.

85.

86.

87.

88.

89.

90.

91.

92.

93.

94.

95.

96.

97.

98.

99.

100.

101.

102.

77.

78.

79.

80.

81.

82.

83.

84.

85.

86.

87.

88.

89.

90.

91.

92.

93.

94.

95.

96.

97.

98.

99.

100.

101.

102.

Пикелънер С. Б. Основы космической электродпнамики. М.: Наукау 1966. 407 с.

Bevir М. К. Possibility of electromagnetic self-excitation...— J. Brit. Nucl. Energy Soc., 1973, 12, p. 455-458.

Leorat /., Pouquet A., Frisch U. Fully developed MHD turbulence near critical magnetic Reynolds number: Prepr. Observatoire de Nice. Nice, France, 1980. 57 p.

Вайнштейн С. И. О нелинейной задаче турбулентного динамо.——ЖЭТФГ 1971, 61, с. 612-620.

Kraichnan R. Internal-rage spectrum of hydromagnetic turbulence.— Phys. Fluids, 1965, 8, p. 1385 — 1387.

Шафранов В. 〃. Электромагнитные волны в плазус.— В кн.: Вопросы теории плазмы/Под ред. М. А. Леонтовича. М.: Атомиздат, 1963, вып. Зу с. 7 — 140.

Edwards S. F. The statistical dynamics of homogeneous turbulence.— J. Fluid. Meeh., 1964, 18, p. 239—273.

Herring J. R. Self-consistent field approach to turbulent theory.— Phys. Fluids, 1965, 8, p. 2219 — 2225.

Frisch U., Lezieur M., Brissand A. A Markovian random coupling model for turbulence.— J. Fluid Meeh., 1974, 65, p. 145 — 152.

Pouquet A ., Frisch U., Leorat J. Strong MHD turbulence and the nonlinear dynamo effect.— Ibid., 1976, 77, p. 321—354.

Kraichnan R. H. Hydrodynamic turbulence and the renormalization group: Repr. Dublin, New Hampshire, USA, 1981. 22 p.

Афанасьев IO. В., Гам алий E. Г., Лебо И. Г., Розанов В. Б. Гидродинамическая неустойчивость и спонтанные магнитные поля в сферической лазерной капле.— ЖЭТФ, 1978, 74, с. 516—520.

Кичатинов Л. Л. О магнитной гидродинамике средних полей в неоднородной турбулентно!! среде.— Магнитная гидродинамика, 1982т №3.

Вайнштейн С. Я., Кичатинов JI. Л. Сильное шссеяние частиц в случайно неоднородном магнитном поле.— ЖЭТФ, 1981, 81, G. 1723— 1730.

Вайнштейн С. И. Функциональный подход в теории турбулентного динамо,— ЖЭТФ, 1972, 62, с. 1376 — 1385.

Иванов С. Л. Взаимодействие квазиоднородного магнитного поля с ансамблем МГД-колебанпп.— ПМТФ, 1976, № 2, с. 16 — 22.

Coronity F. V. On the magnetic viscosity in keplerian disks.— Astrophys. J., 1981, 244, p. 58 7-599.

Braginski S. /., Roberts P. II. Magnetic field generation by baroclinic waves.— Proc. Roy. Soc. London, 19 75, A34 7, p. 125 — 140.

Gilman 夕./ ., Miller J. Dynamically consistent nonlinear dynamos.— Astrophys. J. Suppl., 1981, 46, p. 211—238.

Cuong P. G., Busse F. 〃. Generation of magnetic fields by convection in a rotating sphere.— Phys. Earth and Planet. Inter., 1981, 24, p. 272— 283.

Stix M. How does the small-scale velocity field affect the dynamo problem? —In: Small-scale motions on the Sun: Prepr. N 179. Freiburg: Kiepenheuer-Inst., 1979, p. 87—94.

Malkus W. V. R., Proctor M. R. E. The macrodynamics of а-effect.— J. Fluid Meeh., 1975, 67, p. 417—443.

Vaughan A. 〃.，Ballinas S. L., Middelkoop F. et al. Stellar rotation in lower main-sequence stars…一Astrophys. J., 1981, 250, p. 276—283.

Antonucci E. Solar rotating magnetic dipole?: Prepr. N 570. Stanford: Inst. Plasma Res. Stanford Unif., USA 1974. 26 p.

Kopotcoe H. II. Структурные особенности гелиомагнитосферы. — В кн.: Прогнозирование состояния магнитосферы. М.: Наука, 1980, с. 10—11.

Эдди Дж. История об исчезнувших солнечных пятнах.— УФН, 1977, 125, с. 315—329.

1U4. Догель В. А., Сыроватский С. И. Двухуровневая модель солнечного динамо.— В кн.: XI ленинградский семинар по космофизике. Л.: Наука, 1979, с. 15—27.

Ruzmaikin А. А. The solar cycle as a strange attractor.— Comments Astrophys., 1981, 9, p. 85—90.

Куклин T. В. Периоды низкой солнечной активности как возможное состояние динамической системы «Солнечный цикл»: Препринт СибИЗМИР № 1—82. Иркутск, 1982. 20 с.

Krause F., Roberts Р. Н. Strange attractor of large-scale non-linear dynamos.—Adv. Space Sci., 1981, 1, p. 231—240.

Вайнштейн С. И. Возможное объяснение тонкой структуры магнитных полей на Солнце.— Астрой, журн., 1979, 56, с. 1297—1302.

Pouquet А. Small scales high Reynolds number turbulence.— In: Smallscale motions on the Sun: Prepr. N 179. Freiburg: Kiepenheuer-Inst., 1979, p. 63—68.

ОГЛАВЛЕНИЕ

ПРЕДИСЛОВИЕ 3

ВВЕДЕНИЕ 6

Глава первая

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ДИНАМО

Специфика космических полей покоящейся среды ....11

Поля в движущейся среде. Дифференциальное вращение .13

Магнитная гидродинамика (МГД) 16

Постановка задачи дпнамо 20

Проблема собственных значений. Уменьшение масштаба поля22

Простые модели динамо 2G

Дифференциально вращающийся цилиндр 28

Краткое заключение 40

Глава вторая

ТУРБУЛЕНТНОЕ ДИНАМО КРУПНОМАСШТАБНОГО ПОЛЯ.КИНЕМАТИЧЕСКАЯ ПОСТАНОВКА

Турбулентность космической плазмы 41

Сведения из теории турбулентности 42

Новейшие развития в теории турбулентности 43

Лагранжев подход 51

Лагранжево описание статистических характеристик...56

Лагранжевы статистические характеристики двух жидких частиц 59

Уравнение для крупномасштабного магнитного поля...60

Точные немарковские модели 67

Генерация крупномасштабных магнитных полей в космосе75

Механизм Паркера динамо-эжектора магнитного потока..83

Магнитные поля в высокопроводящей плазме 91

Глава третья

ДИНАМИКА МЕЛКОМАСШТАБНЫХ ПОЛЕЙ

Общие замечания 97

Динамика пульсаций скалярной примеси 101

Функция распределения для двух близких точек жидкости 106

Свойства функции распределения для неблизких жидких частиц 11L

Уравнение динамики супермелкомасштабных полей . . . ,113

Общие свойства уравнения для корреляционной функции магнитных полей 116

Динамо супермелкомасштабных noneii 121

Уравнение динамики мелкомасштабных нолей 126

Динамо мелкомасштабных полей 130

Характер усиления мелкомасштабных полей 135

Динамика мелкомасштабных пульсаций магнитного поля при наличии маломодовой турбулентности 139

Другие виды нетрадиционной турбулентности 147

Общие физические соображения, связанные с reHepauneii мелкомасштабных полей 159

Глава четвертая

МГД-ТУРБУЛЕНТНОСТЬ ПРИ БОЛЬШИХ МАГНИТНЫХЧИСЛАХ РЕЙНОЛЬДСА

Основные задачи 175

Установивплтеся спектры турбулентности 177

Диффузионное приближение в теории турбулентности...186

Мелкомасштабные поля в диффузионном приближении..192

Крупномасштабные поля в однородно!! турбулентнойсреде196

Главный нелинейный эффект турбулентного динамо...203

Динамика крупномасштабных полей в неоднородной турбулентной среде 212

О природе крупномасштабных полей наСолнце 222

ЛИТЕРАТУРА 231

Самуил Иосифович Вайни1тейн

МАГНИТНЫЕ ПОЛЯ В КОСМОСЕ

Утверждено к печати

Сибирским институтом земного магнетизма,ионосферы и распространения радиоволнСО АН СССР

Редактор В. В. Фомин-АгеевХудожник Л. А. ГригорянХудожественный редактор А. П. ПоленоваТехнический редактор В. В. Тарасова

Корректоры Н. Б. Габасова, В. Г. Петрова

ИБ № 27071

Сдано в набор 28.12.82.

Подписано к печати 25.03.83Т-02766. Формат 60x96/-Бумага типографская № 1Гарнитура обыкновеннаяПечать высокая

Уел. печ. л. 15. Усл. кр. отт. 15,25

Уч.-изД. л. 16,2. Тираж 1250 экз. Тип. зак. 2386Цена 2 р. 50 к.

Издательство «Наука»

117864, ГСП-7, Москва, В-485, Профсоюзная ул., 902-я типография и >дательства «Наука»

121099, Москва, Г-99, Шубинский пер., Ю

АКАДЕМИЯ НАУК СССР

СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕСибирский институт земного магнетизма,ионосферы и распространения радиоволн

С. И. Вайнштейн

МАГНИТНЫЕПОЛЯ

В КОСМОСЕ

ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»МОСКВА 1983

УДК 523.038

Вайнштейн С. И. Магнитные поля в космосе.— М.: Наука, 1983.

Монография посвящена исследованию космических магнитных полей, пх природе и динамике. Изложен лагранжев подход в теории динамо, приводящий к классу точных задач турбулентного динамо и возможности решения проблемы мелкомасштабного динамо. В книге изложен единый подход в теории-турбулентности высокопроводящей плазмы и тем самым сформулирована «макроскопическая» магнитная гидродинамика. Обсуждаются приложения теории для объяснения солнечных магнитных полей, неоднородностей солнечного ветра, полей межзвездного газа Галактики.

Ил. 14. Бпблиогр. 109 назв.

Ответственный редакторчлен-корреспондент АН СССРВ. Е. СТЕПАНОВ

п 1705040000—208В ~042(02)—83~ 156—83—11п 1705040000—208В ~042(02)—83~ 156—83—11© Издательство《Наука», 1983© Издательство《Наука», 1983

п 1705040000—208

В ~042(02)—83~ 156—83—11

п 1705040000—208

В ~042(02)—83~ 156—83—11

© Издательство《Наука», 1983

© Издательство《Наука», 1983