Книга
← К списку книгЗагрузка разделов…
активнаАктивные записи участвуют в каталоге и синках. Неактивная книга скрыта, но не удалена из базы.
Книга
ПРЕДИСЛОВИЕ
Использование концентрированных потоков энергии (КПЭ) (струи плазмы, лазерные, электронные, ионные лучи и т. п.) существенно расширяет технологические возможности процессов обработки материалов. Поиск эффективных режимов обработки и способов управления стимулирует исследования физических явлений при воздействии КПЭ на материалы, дальнейшее развитие классических теплофизических представлений.
Наиболее плодотворным в классическом подходе является введение понятия эффективного теплового источника для самых разнообразных процессов обработки, что позволяет выделить общие закономерности и конкретную специфику. Как параметры в эффективный тепловой источник входят теплофизические характеристики обрабатываемого материала, характеристики технологического процесса и, естественно, характеристики КПЭ. В этом случае температурное поле является единственной независимой физической величиной, через которую определяются все остальные: движение фазовых границ, скорость протекания химических реакций, диффузия легирующих примесей и т. д. Такой подход справедлив при достаточно малых плотностях КПЭ. В этом случае все быстропротекающие процессы успевают подстраиваться под более инерционные тепловые.
При повышении плотности КПЭ ситуация изменяется. Процесс воздействия КПЭ на материал уже нельзя описать, используя только тепловые степени свободы. Из-за нагрева материала до высоких температур с большими скоростями в математическом описании процесса необходимо учитывать совместно с тепловыми степенями свободы и газодинамические, гидродинамические, плазменные, химические и т. д.
Наиболее ярко эффекты взаимодействия различных степеней свободы проявляются при наличии обратных связей, как положительных, так и отрицательных, между ними и КПЭ. В этом случае в системе возможно возникновение автоколебаний взаимосвязанных степеней свободы.
В целом динамические процессы в системе КПЭ——материал можно разбить на две большие группы. К первой группе относятся такие процессы, пространственно-временная структура которых после окончания переходных процессов в системе определяется пространственно-временной структурой источника энергии, сформировавшего КПЭ. В этом случае исследуемая система выступает как единое целое, внутренние взаимосвязи между подсистемами с качественной точки зрения отступают на второй план, на первом плане ——пространственно-временная структура источника энергии. Ко второй группе относятся процессы, пространственно-временная структура которых после окончания переходных процессов определяется внутренними динамическими взаимосвязями между подсистемами. К динамическим процессам второй группы относятся автоколебания.
К настоящему времени при воздействии КПЭ на материалы обнаружено достаточно большое количество явлений, в которых пространственно-временная структура измеряемых параметров исследуемого процесса не соответствует непосредственно структуре КПЭ. Анализ таких явлений требует
применения к ним соответствующих подходов, основанных на общих принципах теории устойчивости, теории нелинейных колебаний, теории распространения фронтов, чему и посвящена данная книга.
Книга состоит из трех глав. В первой главе рассматриваются основные понятия и методы теории автоколебаний. Автоколебания ——принципиально нелинейный процесс, поэтому методы их исследований существенно отличаются от методов исследования линейных задач. Наличие данной главы в книге помогает сформировать у читателя, применяющего в своих исследованиях в основном метод эффективных тепловых источников, так называемое «нелинейное мышление» [1], которое оперирует такими понятиями, как неустойчивость и устойчивость, периодические и стохастические автоколебания, параметрическое воздействие и т. д. Рассматривается описание динамических систем первого порядка, автономных динамических систем второго порядка, воздействие на них внешних, переменных во времени сил. Обсуждается специфика описания стохастических процессов, случайные воздействия на динамические системы первого порядка, динамические системы второго порядка, механизмы возникновения хаоса в простых детерминированных динамических системах. Приведены также некоторые модели сплошных сред. На их основе обсуждается конкурирующее влияние инерционной нелинейности и дисперсии (солитон), инерционной нелинейности н диссипации (ударная волна), выделения тепла при экзотермической реакции и диссипации. В заключении главы приводятся сведения из анализа дисперсионных уравнений и распространения автоволн.
Во второй главе дан обзор экспериментальных результатов, в которых проявляются автоколебательные процессы при воздействии электронного, лазерного лучей, электрических разрядов на материалы. Вначале главы приводится обоснование традиционного метода эффективных тепловых источников для расчета температурного поля материала, на ряде примеров показана устойчивость процесса нагрева в этой модели воздействия КПЭ, рассмотрено воздействие на материал периодических во времени КПЭ. Обсуждаются некоторые простые способы обобщения модели эффективного теплового источника для описания периодическнх и стохастических автоколебаний. Приведены экспериментальные результаты по взаимодействию электронного луча с газовой средой, лазерного излучения с газовой и жидкими средами. В конце главы рассматриваются некоторые механизмы развития неустойчивостей при транспортировке КПЭ к поверхности материала. Проведен анализ экспериментов на основе известных теоретических представлений. Представлена пространственно-временная иерархия автоколебательных процессов.
В отдельную главу выделены результаты исследований неустойчивостей, обусловленных массообменом между материалом и приповерхностной газовой (плазменной) средой. Такого рода неустойчивости наиболее часто встречаются в процессах обработки материалов КПЭ. Следует отметить, что в эту главу не вошли результаты исследований лазерно-индуцированных неустойчивостей рельефа поверхностей материалов с характерным размером порядка длины волны лазерного излучения L
См. Ахманов С. А., Емельянов В. И., Коротеев Н. И., Семиногов В. Н. Воздействие мощного лазерного излучения на поверхность полупроводников и металлов: нелинейно-оптические эффекты и нелинейно-оптическая диагностика // Успехи физ. наук. 1985. Том 147, вып. 4. С. 675—745.
Глава 1
МОДЕЛИ ДИНАМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ
Целью многих исследований является описание и предсказание поведения во времени (эволюции) макроскопической системы (среды) под действием определенных сил (источников энергии). Если к системе нет подвода энергии, то через некоторое время, называемое временем релаксации системы или временем переходного процесса т5, в ней установится термодинамическое равновесие за счет диссипативных процессов в самой системе и ее взаимодействия с окружающей средой (термостатом). Для того чтобы среду вывести из термодинамического равновесия, необходимо использовать внешний источник энергии.
Рассмотрим в качестве примера слой жидкости при постоянной температуре То, находящейся в поле силы тяжести. Начнем в некоторый момент нагревать этот слой снизу равномерно по всей поверхности жидкости, причем используем такой нагреватель, что температура верхней поверхности будет поддерживаться равной Го； через некоторое время т5 установится стационарное, линейное по высоте жидкости распределение температуры с максимумом Г[ на нижней границе (рис. 1.1). Поток энергии от внешнего источника постоянен во времени, гидродинамических движений в жидкости (конвекции) нет. Теперь несколько увеличим поток энергии. Установится новое стационарное распределение температур с несколько большей температурой на нижней поверхности Т? и несколько большим градиентом, однако линейная зависимость температуры от координаты сохранится. Пусть нагреватель создает периодический или стохастический во времени поток энергии, характерное время изменения которого больше т$, тогда линейное распределение температуры будет синхронно с запаздыванием на т5 меняться с изменением внешнего потока энергии. Если нагреватель будет создавать поток энергии, характерное время изменения которого много меньше ts, то он практически не будет оказывать влияния на распределение температуры по толщине слоя жидкости. Лишь только в очень тонком слое ее, прилегающем к нижней поверхности, будут существовать температурные пульсации малой амплитуды.
Представленная выше картина останется справедливой для умеренных градиентов температур. Если, однако, интенсивность потока энергии от нагревателя станет столь большой, что градиет температур превысит некоторое критическое значение, то вид стационарного состояния резко изменится, а именно, в жидкости начнется гидродинамическое течение, которое приведет к разбивке слоя жидкости на цилиндрические (рис. 1.2) или гексагональные ячейки, внутри которых жидкость будет находиться в постоянном движении. Данное явление называют неустойчивостью Бенара (ячейки Бенара, конвекция Рэлея ——Бенара) [1——3]. Если еще больше увеличить градиент температуры, то начнется волновое движение вдоль осей цилиндров. При дальнейшем увеличении градиента могут возникать новые структуры, которые в конечном итоге перейдут в хаотическое движение жидкости (конвективная турбулентность). Сама конвективная турбулентность представляет собой
Рис. 1.1. Нагрев слоя жидкости в поле силытяжести
Рис. 1.2. Неустойчивость Рэлея——Беиара
Рис. 1.3. Схема исследования эволюциидиссипативной системы
не полностью случайный процесс в традиционном смысле, ее внешне хаотический вид содержит регулярные структуры.
Пример с нагревом слоя жидкости, находящегося в поле силы тяжести, представляет собой один из наиболее известных и наиболее изученных примеров постановки исследований по изучению эволюции диссипативной системы, общая схема которой изображена на рис. 1.3, где S^ —— источник энергии; 5丁——исследуемая система; qT——набор измеряемых параметров исследуемой системы； qE——набор измеряемых параметров источника энергии. С точки зрения исследования динамических процессов в диссипативных системах наибольший интерес представляет постановка следующей задачи. Пусть известна зависимость qE от времени /. Какова будет зависимость от времени для величины ^г(/)? Вообще говоря, в зависимости от конкретных типов S^ и Ss характер влияния qE на qT может быть достаточно сложным, поэтому в настоящее время на этот вопрос нельзя дать исчерпывающий ответ. Однако можно выделить некоторые типичные случаи и, более того, каждому такому случаю сопоставить характер взаимосвязей в исследуемой системе ST. Рассмотрим некоторые из них [1, 2, 4].
Пусть в момент /=0 включается источник энергии, причем q^t')=E()= —const, а величина ‘乂/) изменяется во времени так, как это показано на рис. 1.4. Такой динамический процесс характерен тем, что в течение времени т5 в системе происходят переходные процессы, а после их окончания устанавливается стационарное состояние ТЕ. Значение величины ТЕ, вообще говоря, может сложным образом зависеть от величины Е0- Подчеркнем, что существенной чертой этого динамического процесса является установление соответствия: постоянному во времени значению qE соответствует также постоянное во времени значение qT. С качественной точки зрения такое динамическое поведение системы ST дает возможность использовать для ее описания только одну переменную во времени величину. Из всего многообразия величин, полностью описывающих поведение системы S『，можно выбрать одну такую, которая будет доминировать над всеми остальными.
Рис. 1.6Рис. 1.6Рис. 1.4. Переходный процесс и выход на стационарное состояниеРис. 1.4. Переходный процесс и выход на стационарное состояние
Рис. 1.6
Рис. 1.6
Рис. 1.4. Переходный процесс и выход на стационарное состояние
Рис. 1.4. Переходный процесс и выход на стационарное состояние
Рис. 1.5. Вынужденные колебания
Рис. 1.6. Автоколебания
Система ST представляет собой единое целое, в ней нет динамических взаимосвязей. Рассмотрим случай, представленный на рис. 1.5. Величина qе ——периодическая функция времени. После переходного процесса длительностью т5 в системе ST также устанавливаются колебания с периодом, равным периоду колебаний величины qE. Основной чертой этого динамического процесса является равенство периода установившихся колебаний ^г периоду колебаний qE, хотя форма и амплитуда колебаний в безразмерных единицах могут значительно отличаться. Существование такого преобразования q£ в qT дает основание представлять систему Sy в качественном описании ее эволюции как единое целое. Данный случай близок к предыдущему.
Пусть снова qE = Е = const, однако после переходного процесса устанавливается не стационарное состояние, а устанавливаются колебания (рис. 1.6). Так как колебания в системе ST существуют при постоянном во времени источнике энергии, они являются внутренним свойством самой системы S「Их называют автоколебаниями в отличие от《просто» колебаний, вызываемых колебаниями в источнике энергии. Естественно, что для описания внутренних свойств системы в ней необходимо выделить подсистемы, взаимодействие между которыми будет порождать автоколебания. Таких подсистем должно быть по крайней мере две (рис. 1.7). Им соответствуют
Рис. 1.7. Автоколебательная системаРис. 1.8. Стохастические автоколебанияРис. 1.7. Автоколебательная системаРис. 1.8. Стохастические автоколебания
Рис. 1.7. Автоколебательная система
Рис. 1.8. Стохастические автоколебания
Рис. 1.7. Автоколебательная система
Рис. 1.8. Стохастические автоколебания
две переменных во времени величины. Еще раз отметим, что существование при определенных условиях в системе ST автоколебаний показывает важность внутренних взаимосвязей, внутренней структуры.
Развитием идеи периодических автоколебаний являются стохастические автоколебания. В этом случае при qE=E=const в системе ST устанавливаются не периодические автоколебания, а стохастические (рис. 1.8). Для описания ее внутренних свойств теперь необходимо выделить по крайней мере три подсистемы (рис. 1.9). Им соответствуют три переменных во времени величины. Таким образом, наличие стохастических автоколебаний указывает на наличие у системы ST внутренней структуры более развитой» чем у системы с периодическими автоколебаниями.
Выделим следующее обстоятельство. Возможность нахождения системы St при постоянном во времени источнике энергии после окончания переходных процессов в том или ином состоянии определяется, помимо внутренних свойств конкретно рассматриваемой системы, еще и величиной внешнего параметра £ Пусть ситуация такова, что при EvEd в системе ST устанавливается стационарное состояние, при Ес। <Е < fC2 в ST — периодические автоколебания, при Е >Ес2 в ST — стохастические автоколебания. В этом случае можно сопоставить каждому диапазону изменения внешнего параметра Е свою внутреннюю структуру системы S「В общем случае величина qE представляет собой целый набор параметров, тогда все пространство этих параметров разбивается на области, которым соответствует та или иная внутренняя структура системы ST.
До сих пор мы рассматривали только временные характеристики системы S「 В реальных системах их динамика описывается пространственновременными распределениями. Рассмотрим схему, представленную на рис. 1.10. Она является обобщением схемы, представленной на рис. 1.3. Величина 九 соответствует длине волны пространственного изменения величины ‘в 厶一 характерный геометрический размер системы ST. Если 九》丄， то говорят, что ST ——система с сосредоточенными параметрами. Если 九 /厶，то говорят, что ST ——система с распределенными параметрами. Как правило, поведения систем с распределенными параметрами значительно сложней поведения систем с сосредоточенными параметрами.
В общем виде постановку задачи об эволюции диссипативной системы
Рис. 1.9. Система со стохастическими автоколебаниямиРис. 1.9. Система со стохастическими автоколебаниямиРис. 1.10. Схема системы с распределен-ными параметрами
Рис. 1.9. Система со стохастическими автоколебаниями
Рис. 1.9. Система со стохастическими автоколебаниями
с распределенными параметрами можно представить в следующем виде. Пусть известна зависимость от времени и координат (г—радиус-вектор) для q《t、г). Какова будет зависимость от времени и координат для величины q*t, г) ? Конечно, эта задача необычайно сложна, и дать на нее ответ во всех интересующих исследователей случаях в настоящее время не представляется возможным. Рассмотрим некоторые из типичных случаев. Обозначим через R — пространственный масштаб источника энергии SE. Возможны два случая: L》R и 厶之 R. Пусть выполняется второе условие 厶之 R, причем ‘£(/, х) = Ео = const,况 —— координата. Отметим три характерных функциональных зависимости. На рис. 1.11, а изображено стационарное по времени и однородное по пространству состояние системы ST. Тип функциональной зависимости q*t、 х) после окончания переходных процессов соответствует типу функциональной зависимости источника энергии q& х). На рис. 1.11, 6 изображена стационарная диссипативная структура. Функция ^£(х) не зависит от времени, а зависит только от координаты. Такие периодические диссипативные структуры при некоторых дополнительных условиях в химической кинетике называют структурами Тьюринга [5]. На рис. 1.11, в изображен автоволновой процесс. Данный процесс является аналогом автоколебаний, а сам термин «автоволны» используют в том случае, когда хотят подчеркнуть, что длина волны колебаний много меньше характерного размера системы. Автоволновой процесс и структуры Тьюринга являются внутренними свойствами самой системы. Их наличие позволяет делать определенные выводы о характере взаимосвязей между подсистемами исследуемой системы ST. В распределенных системах при q£t, %) = const наблюдается также стохастическое поведение величины ‘乂九 х). В гидродинамике такой динамический процесс называют турбулентностью (гидродинамическая турбулентность). В химической кинетике в последнее время часто используют термин химическая турбулентность [6].
Пусть теперь справедливо условие 厶》R, т. е. источник энергии локализован в пространстве. Тогда за счет диссипативных процессов в системе на достаточно большом удалении от источника энергии его влияние не будет сказываться на характеристиках системы. Рассмотрим некоторые типичные случаи, показанные на рис. 1.12, при условии, что источник энергии находится в начале координат. На рис. 1.12, а изображено стационарное во времени и неоднородное в пространстве стационарное состояние, которое устанавливается в системе ST после окрнчания переходных процессов. Характер уменьшения величины qT при 尤f оо определяется диссипативными
свойствами системы S「На рис. 1.12, б изображено стационарное во времени и неоднородное в пространстве состояние системы ST——аналог структуры Тьюринга. Амплитуда пространственных колебаний уменьшается при %f оо. Если в системе развиваются автоколебания, то их амплитуда также уменьшается при %foo. Аналогично предыдущему случаю при q《t, х) = const возможно существование и стохастического динамического процесса с убывающей при 尤f оо амплитудой стохастических пульсаций. Существенной особенностью рассматриваемых структур является их локализация в пространстве вблизи области действия источника энергии.
Возможность системы с распределенными параметрами ST находиться в том или ином состоянии определяется, также как и для систем с сосредоточенными параметрами, внутренними свойствами конкретно рассматриваемой системы и величиной внешнего параметра Е. При плавном изменении внешнего параметра одни структуры могут сменяться другими.
В целом приведенные выше динамические процессы можно разбить на две большие группы. К первой группе относятся такие процессы, пространственно-временная структура которых после окончания переходных процессов в системе определяется пространственно-временной структурой источника энергии. В этом случае исследуемая система выступает как единое целое, внутренние взаимосвязи между подсистемами отступают на второй план, К。 второй группе относятся процессы, пространственно-временная структура которых после окончания переходных процессов определяется пространственно-временной структурой, связанной с внутренними динамическими взаимосвязями между подсистемами. Здесь доминируют именно эти взаимосвязи, а пространственно-временная структура источника энергии отступает на второй план.
Рис. 1.12. Локализованный в пространстве источник энергии а ——стационарное во времени, но неоднородное в пространстве состояние;
б — локализованные структуры Тьюринга
Далее в иерархии пространственно-временных структур диссипативных систем при воздействии на них источника энергии можно выделить структуры, механизм существования которых заключается во взаимодействии структур первой и второй групп. В результате такого взаимодействия возможны синхронизация и стохастизация структур. Даже в сравнительно слабых внешних полях возможны резонансные (накапливающиеся) эффекты и, как следствие, гибель старых или рождение новых структур.
Кзк уже отмечалось выше, основная задача динамики системы состоит в определении функции g『(f, г) по функции q^t, г). Вообще говоря, для исследования данной задачи не было бы необходимости в дополнительных идеях и представлениях, если бы она была решена в целом. Однако этого нет. Поэтому используют следующий подход. Эволюцию системы рассматривают как эволюцию структур. Процесс перехода одной структуры в другую разбивают на несколько этапов. На первом этапе изучают устойчивость старой структуры к возмущениям. При переходе через границу, разделяющую старую и новую структуры, старая становится неустойчивой (разрушается) ( а новая начинает развиваться. На втором этапе изучают развитие ндвой структуры и установление того или иного типа равновесия. На последнем этапе доказывают устойчивость новой структуры к возмущениям и т. д., получая иерархию структур в зависимости от их рождения н гибели. 、
1.1 ОСЦИЛЛЯТОР ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
Рассмотрим динамические процессы в системе с сосредоточенными параметрами. Пусть частица массой m находится под действием силы 尸必 В соответствие с законом Ньютона
at
где у ——скорость частицы. Выделим в 尸о силу трения ——уи, у ——константа пропорциональности, которая по предположению пропорциональна скорости частицы V. Уравнение движения примет вид
⑺(】」)
Пусть масса частицы очень мала, а постоянная у очень велика. Тогда в левой части уравнения (1.1) можно пренебречь первым членом по сравнению со вторым. Введем обозначение
х 三 dx/dt = у.
При сделанных предположениях уравнение (1.1) примет вид
х =尸(/, х).(1.2)
Пусть эволюция системы описывается следующим частным видом уравнения (1.2):
х = —ах.(1.3)
Отметим, что по определению динамической системой первого порядка (системой с 1 /2 степенью свободы в теории колебаний) называют систему, эволюция во времени которой описывается, вообще говоря, нелинейным дифференциальным уравнением первого порядка типа (1.2) [4]. Если в правую часть (1.2) время явным образом не входит, т. е. Л(/, х)三 F(x), то такую систему называют автономной. Так, система (1.3) —автономная система, причем уравнение (1.3) — линейное уравнение.
Сущность уравнения (1.3) заключается в том, что изменение величины х во времени пропорционально самой величине. Состояние равновесия (х = 0) в системе одно： хе = 0. Решение уравнения (1.3) имеет вид х = С ехр(—а/). При а > 0 и произвольном С система стремится (возвращается) к положению равновесия — стационарному состоянию. Наоборот, при tz < 0 и С ^ О система удаляется от состояния равновесия. Говорят, что в первом случае (а > 0) стационарное состояние устойчиво, а во втором (а V 0)——неустойчиво.
Пусть уравнение (1.2) имеет вид
=尸(％),(1.4)
где 尸一произвольная дифференцируемая по х функция, причем F(xe) = 0. Положим х = м + Е, тогда из (1.4) следует
Е =尸(芻)+支(X択+》尸?式先)『+...
ИЛИ
e =a也+做y+…，(1.5)
где а〕，。2 и т. д.—— коэффициенты в разложении функции F в ряд Тейлора вблизи положения равновесия. Устойчивость или неустойчивость точки равновесия хг определяется из анализа решения уравнения
Е=a自(L6)
которое называется линеаризованным уравнением по отношению к нелинейному уравнению (1.4) и получается из (1.5) отбрасыванием в нем нелинейных членов. Итак, при 6 V 0 стационарное состояние устойчиво, при s > 0 — неустойчиво.
Рассмотрим эволюцию динамической системы первого порядка в зависимости от значений внешнего параметра Е:
上=F(x, Е), причем
尸5, e) = 0.(⑦
Рис. 1.13. Бифуркационная диаграмма
Уравнение (1.7) определяет на плоскости &, Е некоторую кривую. Стационарное состояние JQ устойчиво, если Fl(xe,七)V О, н неустойчиво, если 尸，(％, Е)>0. Таким образом, в зависимости от значений параметра может меняться устойчивость стационарного состояния и их число.
В качестве примера возьмем следующее уравнение:
£ = Ех — %3,(1.8)
При Е V 0 в (1.8) есть одно положение равновесия хе — 0, которое устойчиво. При Е > 0 положений равновесия три: xei = 0, х^ =，Е, Хез =—— 唐・ Из них 工町 ——неустойчивое, a xt.2, х?з — устойчивые. На рис. 1.13 представлена зависимость числа положений равновесия от внешнего параметра Е для уравнения (1.8). При 七 V 0 есть одно устойчивое равновесие, ему соответствует прямая (луч) хе = 0. При прохождении точки (Е = 0, х? = 0) слева направо происходит рождение двух новых положений равновесия, происходит раздваивание луча (кривые, соответствующие устойчивым положениям равновесия, выделены на рис. 1.13 толстой линией). Из-за того, что форма такой диаграммы напоминает форму вилки (fork), такой переход называют «бифуркацией» [2].
Интересный тип поведения системы наблюдается при отсутствии линейного члена в разложении (1.5). Пусть (1.4) имеет вид
% =a2炉，(1.9)
т. е. скорость величины % пропорциональна квадрату самой величины. Из (1.9) следует
x = C/(\—a2Ct).(1.10)
Уравнение (1.9) имеет стационарное состояние м = 0, ему отвечает С = 0 в р.10). Положим для определенности 。2 > 0, тогда, если С > 0, то в системе произойдет «взрыв» через время (。2。)~* если же С V 0, то система будет возвращаться к стационарному состоянию хе = 0. Поведение системы не симметрично по отношению к знаку приращения координаты вблизи положения равновесия. При С > 0 говорят, что в системе развивается взрывная неустойчивость, т. е. нарастание возмущений в системе происходит гораздо быстрей, чем это могла бы позволить экспоненциальная зависимость [7].
В реальных динамических системах всегда есть факторы, которые ограничивают рост возмущений даже при взрывной неустойчивости, им соответствуют члены более высокого порядка, чем квадратичные, в разложении (1.5). Предположим, что эти ограничивающие факторы можно описать следующим уравнением [7]:
^ = ±/1 — %2/Е •(1.11)
Уравнение (1.11) имеет три положения равновесия при £ > 0 и одно положение равновесия при Е V 0. В случае Е V 0 взрывной характер
неустойчивости будет еще более ярко выражен, поэтому будем считать, что в (1.11) 4^ = Е>0. Для 〃 = @2工 из (1.11) следует
£ = 士〃2 / 1 — 乂2〃2,(1.12)
где х = (а2Ат)^\ причем в (1.12) величина 〃 изменяется в пределах [ — 1 /х, 1/乂]. Решение (1.12) представим в виде
〃=(必 + (f| — Ер)-叱 Zi = / J 2(0) — 乂У 〃(0) = а2х(0).
При £<九 в уравнениях (1.11), (1.12) берут знак плюс, а при / > 九 —— знак минус. Система достигает граничных стационарных значений 士 Ат за конечное время 九.
В качестве примера воздействия внешней периодической силы на динамическую систему первого порядка рассмотрим следующее уравнение:
х = — х/т$ + 卩 cos о)Л
Решением этого уравнения является функция
% = Cel"15 + 世％% = Cel"15 + 世％cos з/ — е~”'s + т$з sin з/cos з/ — е~”'s + т$з sin з/
% = Cel"15 + 世％
% = Cel"15 + 世％
cos з/ — е~”'s + т$з sin з/
cos з/ — е~”'s + т$з sin з/
где xs ——время релаксации системы； р,——амплитуда;①一частота внешней силы.
Установившиеся колебания при оо：
尤3 =卩叮尤3 =卩叮cos ю/ + tsw sin sfcos ю/ + tsw sin sfip如ip如
尤3 =卩叮
尤3 =卩叮
cos ю/ + tsw sin sf
cos ю/ + tsw sin sf
ip如
ip如
Если xso)<^ 1, т. е. изменение внешней силы происходит медленно по сравнению с характерным временем релаксации системы т5, то 尤①= =卩工$ cos(о/ и, следовательно, величина х отслеживает изменение во времени внешней силы. Если xsw》1, т. е. изменение во времени внешней силы происходит очень быстро по сравнению с т$, то % = 卩①一। sin of, амплитуда колебаний уменьшается с ростом частоты внешней силы и практически система не реагирует на внешнюю силу.
В рассмотренных примерах автономных динамических систем состояния равновесия были единственными стационарными движениями. По физическому смыслу функции 尸(％), как внешней силы,尸——однозначная функция %, т. е. каждому значению % соответствует только одно значение Л. Следовательно, в таких системах невозможны периодические движения, так как при периодическом движении система проходила бы через одно и то же значение х дважды, но с разными скоростями, что в силу однозначности 尸 невозможно [4]. Периодические или стохастические движения возможны только при наличии внешней периодической или стохастической силы.
Линейный осциллятор. Вернемся к уравнению (1.1). Динамические системы первого порядка отвечали случаю, когда в уравнении движения превалировали силы трения над инерционными силами. Рассмотрим теперь противоположный случай, а именно, пренебрежем силой трения. Положим в (1.1) у = 0, причем 尸=—ах\ а>0. Тогда приходим к уравнению гармонического осциллятора
% +(о 笈=0, (1.13)
где coo — (a/w)1/2 ——собственная частота колебаний осциллятораРешение уравнения (1.1" как известно, имеет вид
х = A cos s" + 8 sin wot(1.14)
Интересно сравнить решение уравнения (1.3) с решением уравнения (1.13). В том и другом случае внешние силы одинаковы, т. е. характеристики источника энергии идентичны, однако решения принципиально различны. Умножим (1.13) на х и проинтегрируем, тогда
；2 + со泞=2£\(1.15)
от куда
Н = ±，2Е — со笈4(1.16)
Равенство (1.15) является законом сохранения энергии для осциллятора, т. е. диссипации энергии не происходит, осциллятор — консервативная система. Консервативность приводит к неодназначной зависимости скорости системы от координаты в (1.16) н, как следствие, разрешает периодические движения. С другой стороны, умножим (1.3) на % н проинтегрируем. Имеем
ах1 = 2Е ехр (— 2а/).(1」7)
Слева в равенстве (1.17) стоит потенциальная энергия осциллятора, она с течением времени экспоненциально убывает.
Пусть х = у, тогда (1.15) примет вид
у? + о)о%2 = 2£(1.18)
Каждому значению времени f соответствуют свои значения х, у. Плоскость х, у называют плоскостью состояний системы или фазовой плоскостью [4]. На фазовой плоскости колебаниям гармонического осциллятора соответствуют замкнутые траектории: вложенные друг в друга эллипсы. Каждому эллипсу отвечает свое значение полной энергии осциллятора (рис. 1.14).
Рассмотрим линейный осциллятор с трением
х + 2yi + о)ох = 0.(1.19)
Уравнение (1.19) эквивалентно системе уравнений
戈=払 /(1-20)
/ = — 2уу —①紛.(1.21)
Система уравнений (Ц20), (1.21) имеет одно состояние равновесия： х = 0, у = 0. Исследуем его иа устойчивость. Положим % = Д)ехр (о/), у — А2 ехр (о/). Тогда из (1.20), (1.21) следует
а!】—4 = 0,(1.22)
3^4 + (о + 2у)4 = 0.(1.23)
Система уравнений (1.22), (1.23) имеет ненулевые решения, если ее дискриминант обращается в нуль, следовательно:
а2 + 2уа + а)о = 0.(1.24)
Уравнение (1.24) называют характеристическим уравнением, его корни равны
5 ,2 = - y 土)/千一■爲.
Рис. 1.14. Изображение гармони^ ческих колебаний на плоскостиРис. 1.14. Изображение гармони^ ческих колебаний на плоскостиРис. 1.15. Бифуркационная диаг-рамма линейного осцилляторас трением
Рис. 1.14. Изображение гармони^ ческих колебаний на плоскости
Рис. 1.14. Изображение гармони^ ческих колебаний на плоскости
Если у > 0, о)3 > 0, то действительная часть обоих корней отрицательна и, как следствие этого, состояние равновесия устойчиво. Во всех остальных случаях ——неустойчиво. Получим этот результат из энергетических соображений. Умножим (1,19) на 内 и проинтегрируем, имеем
玄^炉+ } "我2)=_2?(毋.
При 爲 > 0 в левой части этого равенства стоит скорость изменения энергии осциллятора, поэтому при у > 0 энергия осциллятора убывает (стремится к положению равновесия), при 丫 V 0, наоборот, осциллятор набирает энергию (неустойчивость). Хотя энергетические соображения наглядны и физичны для определения порога неустойчивости, они не раскрывают механизм качественной перестройки траекторий (перестройку топологии) вблизи положения равновесия при бифуркациях. Следуя [1], представим плоскость параметров 2у, о)& в следующем виде (рис. 1, 15). Как правило, динамическая система при включении внешнего источника энергии находится в достаточно устойчивом положении равновесия. Пусть для определенности она находится в точке А. Плавно изменяя внешние параметры, переведем ее из точки Л в точку В. С качественной точки зрения есть две возможности: гпуть, обозначенный на рис. L15 цифрой /, н путь, обозначенный 〃. На первом пути устойчивый узел (область, обозначенная на рисунке цифрой 1) превращается в устойчивый фокус, далее устойчивый фокус переходит в неустойчивый фокус (переход из области 2 в область 3), и наконец, неустойчивый фокус переходит в неустойчивый узел. На втором пути устойчивый узел попадает в область седел (5, 6) и уже из области седел в область неустойчивого узла. Если для анализа неустойчивости в линейном приближении, вообще говоря, выбор пути не существен, то для анализа развития неустойчивости в нелинейной динамической системе, линеаризованная модель которой имеет вид типа (1.19), путь (последовательность бифуркаций) может оказаться решающим.
При анализе (1.19) использование характеристического уравнения позволяет найти точное решение. Однако данный метод не применим к нелинейным уравнениям, которые необходимо анализировать принципиально в нелинейном виде (нельзя линеаризовать) для определения состояния системы после буфуркации. Казалось бы, для приближенного решения таких задач наиболее просто использовать метод возмущений. К сожаленшо,
непосредственно метод возмущений в задачах с колебаниями использовать нельзя. Сущность затруднений проявляется уже даже при попытке найти методом возмущений приближенное решение для линейного осциллятора с затуханием. Следуя [8], попытаемся найти такое решение.
Введем безразмерное время L= s", тогда уравнение (1.19) приобре
тает вид
х + 2ех + х = 0,(1.25)
где е = y/(o(). Положим
X(f； 6)= Хо«) + £X[(f) + £%2«) +(1.26)
Подставив (1.26) в (1.25) и приравняв члены при соответствующих степенях е, получим систему уравнений
Хо + хо = 0,(1.27)
Xi + %〕^1 — 2%о,(1.28)
爲 + х = — 2万，(1.29)
из которых можно последовательно определить х0, %i, %2 и т. д.
Решение (1.27) запишем в виде
хо = A cos (/ + ср),(1.30)
где Л и ср постоянные, определяемые из начальных условий. Тогда, подставив (1.30) в (1.28), имеем
Xi + Xi = 24 sin (f + ср).(1.31)
Уравнение (1.31) определяет следующую зависимость Xi(/):
X] = — At cos (^ + ср).(1.32)
Из (1.32) и (1.29) следует
爲 + Х2 = 2Л cos (/ + ср) — 2At sin (/ + 屮)，(1.33)
частное решение которого
%2~2~ 4产 cos (f + ср) -|—v A / sin (/ + ср).(1.34)
Итак, подставив полученные выражения в 《1.26), окончательно находим
х = A cos (f + ср) — 6у4/ cos (/ + ср) + —^-^А [/2 cos (f + 屮)+
+ / sin (f + ср) ] +(1.35)
Решение (1.35) непригодно для анализа поведения системы на достаточно большом временной промежутке (/ > е-1) из-за наличия в нем слагаемых типа / cos « + 屮)，т. н. секулярных членов. Учет дополнительных слагаемых в разложении (1.26) не улучшает ситуацию, а наоборот, ухудшает В разложении, соответствующему «-приближению, будут содержаться се кулярные члены с множителем Г.
Найдем точное решение (1.25), соответствующее колебаниям при е<1 (см. рис. 1.15). Так как (1.25) —линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами, то оно имеет решение вида х= С ехр (а/), которое в интересующем/нас случае примет следующую форму:
х = Ае~^[ cos (/ ]/1 — е2 + ср). (1.36)
Разложив выражение (1.36) в ряд по степеням g и оставив первых три члена, придем к формуле (1.35).
Из выражения (1.36) следует, что его нельзя раскладывать по степеням е для достаточно больших f, так как нельзя раскладывать ехр (—е/) и cos (/ /1 — е2 + ф) по степеням е для достаточно больших t
Используем для нахождения приближенного решения (1.25) метод усреднения [8, 9].
При е = 0 уравнение (1.25) переходит в уравнение гармонического осциллятора, решение которого можно записать в виде
х — A cos (/ + <р),(1.37)
где Д и ф— произвольные постоянные. Производная по времени от (1.37) равна
i = — <4 sin (£ + ср).(1.38)
Для общности запишем уравнение (1.25) в виде системы уравнений х = у,(1.39)
/ = — 2еу —尤.(1.40)
В соответствие с (1.37), (1.38) в системе (1.39), (1.40) сделаем следующую замену переменных:
尤=4(f) cos (f +(p(/)),(1.41)
У = — 4«) sin (f + 屮(f)),(1 ・42)
где величины <4(f), (p(f) теперь являются функциями времени. Формально замена (1.41), (1.42) означает переход от пары старых переменных (х, у)
к паре новых переменных (Л,屮).Подставив (1.41), (1.42) в (1.39), (1.40) и выразив из нее в явном виде 力，ср, получим
Л = — еЛ + е^ cos ⑵ + 2屮)，(1.43)
而=—е sin (2f + 2屮).(1.44)
Усредняя систему (1.43), (1.44) по промежутку [0, л], приходим к следующей системе приближенных уравнений:
4 = —“，(1.45)
屮=0.(1.46)
Решение данной системы имеет следующий вид А = Aq ехр (——е/) и ф = ф0. Окончательно, из (1.41) получаем
尤=A^et cos (/ + фо),(1.47)
причем это является хорошим приближением для формулы (1.36).
Линейный осциллятор относится к динамическим системам второго порядка (системы с одной степенью свободы в теории колебаний), т. е. к таким системам, динамика которых описывается двумя дифференциальными уравнениями первого порядка. Основное их отличие от динамических систем первого порядка заключается в возможности существования в них периодических движений. Для приближенного описания периодических процессов методы возмущений в стандартной форме не пригодны, они нуждаются в модификации.
1.2 ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ ВТОРОГО ПОРЯДКА
Положим х у, V — у, тогда уравнение движения (1.1) будет эквива
лентно системе
i = у,(1.48)
0 =(Y/他)尸-(Y/他)从(149)
В более общем виде
i = N(x, у,/),(1.50)
/ = М(х, у,/).(1.51)
Система, движение которой описывается системой из двух дифференциальных уравнений первого порядка называется динамической системой второго порядка (в теории колебаний системой с одной степенью свободы) [4]. Каждому состоянию системы соответствует точка на плоскости (%, у), которая называется фазовой плоскостью.
Автономные динамические системы второго порядка. Рассмотрим частный вид системы уравнений (1.50), (1.51), когда в их правые части время в явном виде не входит. Другими словами, сила 尸 не зависит от времени явным образом, а зависит только от координаты и скорости
х — М%，У)，(1.52)
» = М(& 办(L53)
Система (1.52), (1.53) описывает эволюцию автономной динамической системы второго порядка.
Пусть система (1.52), (1.53) в точке 爲，уе имеет состояние равновесия, т. е. "(%е, уе) = 0, Л4(Хе, Уе) = 0. Исследуем его на устойчивость по отношению к малым возмущениям. Положим х = Хе + Е, у = у? + п н линеаризуем (1.52), (1.53) вблизи точки равновесия м, %. Имеем
Е = а〕Е + 力 in，(1.54)
П =，Е + d^f(1.55)
где
。1 Р，(％е^ %)；力 I ::= Р；(Хе, Уе)\
С] == Qx(%e,勿)；d] = Q，(Xe, Уе) •
Ищем решение (1.54), (1.55) в следующем виде:
Е = 4 ехр (В),(1.56)
П = $2 exp (<jf),(1.57)
где Л1,力2, g 一 константы, вообще говоря, комплексные числа. Подставив (1.56), (1.57) в (1.54), (1.55), получим
0 = (а】—о)4 + 匕14 2,(1.58)
0 = С\А j + (di — о)Л 2.(1.59)
Условие разрешимости системы (1.58), (1.59):
=0
с 1 d\ — о-
Рис. 1.16. Предельный цикл, или
(6 — o)(di — g) — c/i = 0. (1.60)
Введем обозначения 2丫 = — (а〕+ 山), о)о — ^i^i — С\Ь\. Условия устойчивости следуют из диаграммы, представленной на рис. 1.15 (см. (1.24)).
Пусть система (1,52), (1.53) имеет устойчивые и неустойчивые состояния равновесия. Тогда эволюция системы будет заключаться в том, что изображающая точка на фазовой
плоскости, соответствующая состоянию системы, будет отталкиваться неустойчивыми состояниями равновесия и притягиваться устойчивыми. В районе устойчивого состояния равновесия система может находиться неограниченно долго. Как отмечалось ранее, такое поведение является типичным для динамических систем первого порядка. В автономных динамических системах второго порядка возможен принципиально иной вид движений, а именно периодические движения. Для периодического движения x(t + Г) — x(f), y(t + Т) = y(f) при произвольном /, где Г —— период движения, причем на фазовой плоскости в этом случае существует замкнутая кривая, которую называют предельным циклом [4].
В качестве примера рассмотрим следующую систему уравнений:
Х = У + x[l -(X2 + У2)] , у = - Х^у[\ - (х2 + у2)].
Ее решение имеет вид
—COS (f — to)
{1 + C exp [-2(/-/о)1}1/2
{1 + C exp [— 2(力 一 Zo)] J1^2
где Ео, С постоянные интегрирования. Траектория х? + у? = 1 является предельным циклом. Его параметрическое представление х = cos (f — %), у = sin(f — /о) • Если начальные условия системы таковы, что С > 0, то фазовые траектории приближаются (накручиваются) к предельному циклу изнутри. В противоположном случае 0 > С >—1 фазовые траектории накручиваются снаружи (рис. 1.16). Существенной особенностью решения (1.61), (1.62) является то, что вне зависимости от конкретных значений величин /о, С, характеризующих начальные условия, с течением времени (ff оо) изображающая точка системы будет двигаться вблизи траектории предельного цикла. Таким образом, предельный цикл притягивает к себе все траектории динамической системы.
(1.63)(1.64)(1.63)(1.64)Пусть эволюция динамической системы описывается следующими уравнениями:
(1.63)
(1.64)
(1.63)
(1.64)
/ = — 2е(1 — х2> —工
Система (1.63), (1.64) эквивалентна классическому уравнению теории
(1.66)(1-67)(1.68)(1.69)(L70)(1-71)(1.66)(1-67)(1.68)(1.69)(L70)(1-71)автоколебаний ——уравнению Ван-дер-Поля. Оно имеет одно состояние равновесия %=R у = 0・ При е>0 состояние равновесия устойчиво, а прн е<0——неустойчиво. Сделаем замену переменных (1.41), (1.42). Тогда из (1.63), (1.64) получим
(1.66)
(1-67)
(1.68)
(1.69)
(L70)
(1-71)
(1.66)
(1-67)
(1.68)
(1.69)
(L70)
(1-71)
' = T"(1—A cos 2(/ + ср) + cos4(/ + 屮)},(1.65)
而=- & {(I — О® 2a + 屮)—}sin4a + 屮)}
Усреднив (1.65), (1.66), имеем
A = -saQ -¥)，
Ф = 0.
Умножим обе части (1.67) на 24 тогда
不=—2е(1 —学)К., Следовательно:
4=4e-" [1 +；4雜一加一1)] r：
<р = (ро.
Таким образом
х =堡COS(f + (ро),
{1 +/“(「[)产2I T 屮丿，
L不+爲；募一必 sin").
Как видно из выражений (1.70), (1.71), если е>0, в системе существует предельный цикл, который соответствует стационарному (установившемуся) динамическому процессу % = 2 cos (/ +(ро), у =——2 sin (f + сро) •
Исследуем теперь устойчивость предельного цикла, используя уравнение (1.67). Оно имеет три состояния равновесия 4]=0, <2, з = 2. Положим А=0 +以 Линеаризовав (1.67), получим
Е =— 唸(172)
Аналогично Д = 2 + ^,
Е = 2喝(1.73)
Из выражений (1.72), (1.73) видно, что при &>0 состояние равновесия Л1 устойчиво, а состояния 力2,3——неустойчивы. Для системы (1.63), (1.64) это означает существование устойчивого состояния равновесия и существование неустойчивого предельного цикла 工=2 cos (/ + сро), у = — 2 sin (/ + +(ро)- При есО состояние равновесия А\ неустойчиво, а 力2,3 ——устойчивы. Это соответствует неустойчивости положения равновесия в начале координат и устойчивости предельного цикла.
Решение (1.70), (1.71) справедливо при достаточно малых 8, |е|《1. Рассмотрим поведение системы (1.63), (1,64) при е《一1, следуя [10].
Рис. 1.17. Фазовый портрет при релаксационных колебаниях
Рис. 1.18. Релаксационные колебания
Сделаем замену переменных
Z=t“2— l)dx—击协九=-击 0
тогда (1.63), (1.64) примут вид
цх = z ^- %з + %,(1.74)
z = - %,(1.75)
где 卩>0——малый параметр. Уравнение (1.74) определяет х ——составляющую скорости изображающей точки на фазовой плоскости (х, z). Так как 卩《I, то при z<F(x), F^ — ^/зх3 + х изображающая точка с большой скоростью будет на фазовой плоскости двигаться справа налево, а при 2>F(jc) слева направо (рис. 1.17). В этом случае форма колебаний сильно отличается от формы гармонических колебаний. Такие автоколебания принято называть релаксационными колебаниями, причем говорят, что переменная х — соответствует быстрым движениям, а переменная z — медленным. Рассмотрим механизм релаксационных колебаний несколько подробнее. Пусть в исходном состоянии изображающая точка находится в точке / (рис. 1.17). Так как в этой точке z > F, |£|》|£|, то изображающая точка динамической системы будет с большой скоростью двигаться вдоль оси х слева направо и практически мгновенно окажется вблизи кривой z = F(x), на рис. 1.17 она обозначена буквой f. В окрестности кривой F |工|《|£〕，при %v0, как это видно из (1.75), 2 ——составляющая скорости положительна. Следовательно, теперь изображающая точка будет двигаться вверх. Такое движение будет происходить до тех пор, пока она не окажется в окрестности точки Ь. При %V0, 2>0 изображающая точка не может одновременно быть вблизи кривой F и находиться правей точки Ь. Действительно, в правой окрестности точки b кривая F загибается вниз, а изображающая точка должна в силу (1.75) двигаться вверх. Следовательно, изображающая точка выходит из окрестности точки Ь, а условие |%|《|£| сменяется условием %》2, и в силу того что г > F(b),卩《1, она мгновенно (скачком) попадает в окрестность точки с. Из окрестности точки с движение происходит вблизи кривой F до окрест-
ности точки d, из которой она попадает в окрестность точки а и снова движется вблиз* кривой F по направлению к точке /? и т. д. При релаксационных колебаниях плавные изменения переменных чередуются с резкими, скачкообразными (рис. 1.18). Амплитуда колебаний приближенно определяется координатами точек a, b (с, d), а период временем движения по отрезкам [a, b], [с, d] — кривой F. В силу симметрии период колебаний т^ равен
TR = 2，当=3 — 2 In 2.
Итак, уравнение Ван-дер-Поля представляет пример описания динамической системы, в которой характер динамического процесса зависит от величины параметра е, характеризующего внешние условия. При е>0 после окончания переходных процессов в системе устанавливается равновесие, параметры системы стремятся к постоянным во времени значениям. При е V 0 в отсутствие внешней периодической силы в системе устанавливаются колебания, причем при |е|《1 они близки к гармоническим колебаниям, а при е《一1 — к разрывным.
Воздействие внешних переменных во времени сил. Рассмотрим взаимодействие внешней периодической силы на линейный осциллятор. Система (1.20), (1.21) примет вид
"у,(1-76)
，=—2уу — о)ох + £о cos со/,(1.77)
где £()— амплитуда внешней силы, со ——ее частота. В отсутствии диссипации (у = 0) из (1.76), (1.77) при ffoo следует
(1.78)(1.78)х(/) = —-^- (cos 3t — cos (i)o/)- too — (1)2
(1.78)
(1.78)
Как видно из (1.78), при ⑴。，⑴ переменная х следует за изменением внешней силы. В другом крайнем случае (у+ 8) сильная диссипация сводит на нет влияние внешней периодической силы.
Пусть в、so, тогда о)3 — 2а)о(о)о —(о) и
小 Fo sin [(coo — со)//2].
х(/) = Jf(1.79)
Выражение (1.79) отражает явление резонанса, т. е. резкое нарастание амплитуды колебаний при приближении частоты внешней силы к собственной частоте колебаний осциллятора. В момент резонанса
х(/) = (Ео/2о)о)/ sin(оо/.(1.80)
Выражения типа (1.80) (секулярные члены) уже появлялись при попытке нахождения приближенного решения для линейного гармонического осциллятора с трением (см. (1.32)). Следовательно, появление секулярных членов связано с явлением резонанса. Однако если в (1.32) секулярный член появился только из-за несовершенства метода решения, то секулярный член в (1.80) соответствует физическому явлению резонанса. Существенной особенностью выражения (1.80) является тот факт, что при периодическом воздействии внешней силы амплитуда колебаний линейно растет
во времени и, следовательно, переменная 工 является непериодической функцией времени, т. е. переменная 工 не следует за внешней силой. Наличие трения в системе (у > 0) стабилизирует секулярный рост амплитуды и в конечном итоге приводит с качественной точки зрения к выражению типа (1.78). Подчеркнем, что рассмотренный случай почти полностью эквивалентен случаю воздействия внешней периодической силы на динамическую систему первого порядка.
Рассмотрим другой тип по сравнению с (1.77) внешнего воздействия на осциллятор. Пусть частота колебаний зависит от времени
^ = У，(L81)
/ = — a)2(f)x.(1.82)
Система (1.81), (1.82) эквивалентна уравнению Хилла. Воздействия такого типа называют параметрическими. Обозначим через tw характерное время изменения функции з(£). Возможны три предельных случая: т^》2л/з, tw ~ 2л/з, к© <С 2л/з. В первом случае быстрые колебания гармонического осциллятора будут промодулированы медленными колебаниями, второй случай относится к типу резонансных параметрических систем, третий —— к классу систем с быстроменяющимися параметрами.
Следуя [1], проанализируем поведение системы, описывающейся частным видом (1.81), (1.82), в параметрическом резонансе. Пусть
х ~ у,(1.83)
у = цсооб cos [ (2а)о + Ц^)И ~ wox,(1.84)
где ц ——параметр малости; цд — малая растройка; цб ——амплитуда внешнего воздействия.
Ищем решение системы (1.83), (1.84) в виде
工⑺=4(f)cos [((оо+н^/2)/] +^(0 sin[((oo+d/2)/] + 乩制(1,85)
Подставив (1.85) в (1.83), (1.84), получим для 工】уравнение
Xi +(Оо%1 = зо[2/ + gB —(m63()/2)8] sin [(働 + ц6/2)/] +
+ зо[— 2Й + цбЛ + (ц^о)о/2)Л) cos [ (зо + цб/2)/].(1.86)
Для того чтобы добавка 汇力 не имела секулярных членов, нужно потребовать выполнения следующих условий:
/ = 一(“/2)(6 — зо&/2)8,(1.87)
月=一(“/2)(6 + зоЬ/2)4.(1.88)
Система (1.87), (1.88) имеет стационарное состояние Л = 0; 8 = 0. Исследуем его устойчивость: пусть 4, В 〜ехр(а0, тогда корни характеристического уравнения равны
М = — (и2/4)(62 — з 紛/4).(1.89)
Как видно нз (1.89), при малых расстройках, а именно 131V з()Ь/2, амплитуды А, В нарастают——в рассматриваемой системе реализуется параметрическая неустойчивость. С учетом диссипации (〜卩у) условие параметрической неустойчивости примет вид |6| < (о)о^2/4 ——《у?)"、Отсюда видно, что даже при 6 = 0 необходима конечная глубина модуляции.
Пусть теперь 工川《2л/о)о ——движение происходит в быстро осциллирур- 24
(1-90)(1-90)(1-91)(L92)(1.93)(1-91)(L92)(1.93)
(1-90)
(1-90)
(1-91)
(L92)
(1.93)
(1-91)
(L92)
(1.93)
Рис. 1.19. Маятник с вибрирующим подвесом /
щем поле. В качестве примера возьмем маятник с вибрирующей точкой подвеса [9] . Пусть точка подвеса маятника колеблется в вертикальном направлении с малой амплитудой % и высокой частотой з, причем
3 > 3("/%，/г//1,
где / ——длина маятника; з()=)/g /『;g ——ускорение силы тяжести (рис. 1.19). Считая затухание достаточно малым у? < о?, имеем
0 + 2^0 + —sin 8 = 0
Введем обозначения
，к = ~г , Ct = ~k, £~j~ -
(1) h2 to()/
Тогда (1.90) примет внд
0 + 2ea9 + (^е2 — е sin /) sin 0 = 0.
Сделаем замену переменных
0 = ср — £ sin / sin ср,
0 = 2Q — е cos / sin ср.
Подставив (1.92), (1.93) в (1.91) и проведя усреднение, получим в первом приближении
ср = eQ,(1.94)
(1.95)(1.95)Q = — £ {} sin 屮 cos ф + ^2 sin (p + 2aQ }•
(1.95)
(1.95)
При £ = 0 уравнение (1.91) имеет два положения равновесия 01 = 0, 01 = 0 и О2 = 0, 0г = л. Нижнее положение равновесия ——устойчиво, а верхнее —— неустойчиво. В переменных (1.92), (1.93) этим стационарным состояниям соответствуют состояния 屮 1 = о, ◎〔 = о и 屮2 =冗，《呢—0. Такие же стационарные состояния имеет усредненная система (1.94), (1.95). Исследуем на устойчивость стационарное состояние(р2 =冗，°2 = 0- Линеаризуя систему (1.94), (1.95) и полагая 屮，С 〜exp (а/), получим характеристическое
уравнение для определения о:
(1.96)(1.96)а2 + 2еаа — е(е^2 — е/2) = 0.
(1.96)
(1.96)
Из (1.96) следует, что при достаточно большой частоте вибраций 巾？ v */2, т. е. з > /^o)o///z, верхнее положение маятника становится устойчивым. Действительно, подставив (1.94) в (1.95) имеем
Ф + 2еа(р + б”？ + % cos ср) sin 平=0. (1.97)
Сравнивая (1.97) и (1.90) при /г = 0, видим, что действие вибрации
сводится к появлению эффективной возвращающей силы, которая в верхнем положении равновесия действует против силы тяжести. В том случае, когда эта сила превалирует над силой тяжести, верхнее положение равновесия становится устойчивым. Положим 己=屮——л и ■ линеаризуем уравнение (1.97), тогда
Е + 2еа^ + У(% -兴后=0.(L98)
Из (1.98) непосредственно видно, что при ва > 0 условие устойчивости верхнего положения равновесия имеет вид 兴 v '/2-
Рассмотрим воздействие периодической внешней силы на автоколебательную систему, описываемую уравнением Ван-дер-Поля, следуя [ 1]:
& — а(1 — В〃2)〃 + 芯〃 ~ X cos QL(1.99)
Приведем (1.99) к безразмерному виду 力=Qf; х = р1/2«; — 2е = a/Q;
—2會=2(зо - Q)/Q； - 4eE = x/Q2.
Тогда (1.99) эквивалентна следующей системе (ср. с (1.63), (1.64)):
£ = У,(1.Ю0)
/ = — 2е [(1 — х2)у — 5 + 2Е cos /] — х.(1.101)
В данном случае удобно сделать следующую замену переменных:
х = '/2^(/) sin f + /В") cos /,
у = l/2&f) cos f — '/2^(0 sin t.
Усредненные уравнения (1.100)» (1.101) в новых переменных примут вид
А=А{\ - (Л2 + 52)] 一庚+ Е(1.102)
启=8[1 —({2 + 炉汁 + 靈(1.103)
Стационарные состояния определяются из уравнений
4[1 -(屋+g]一瓦e=一e
瓦 П - (4i + в?)] - лд = о.
Из этих уравнений для величины q = Д? + 5? следует уравнение, которое называют уравнением резонансной кривой:
q(1 — е)2 + Е% = Е4
Следовательно,
自=± [[炉一0(1 -04/寸/2.
откуда видно, что величина амплитуды внешнего сигнала должна удовлетворять условию Е2 > 卩(q)三 q(1 — q)M причем условие q > 0 накладывает дополнительные ограничения на £?, деля диапазон изменения амплитуды внешнего сигнала на области слабых и сильных внешних сигналов. При Е2 V 4/27 (область слабых внешних сигналов) резонансные кривые состоят из двух отдельных кривых. В области сильных сигналов, где £2 > 8/27, есть только одна резонансная кривая. Найдем устойчивые ветви резонансных кривых. Характеристическое уравнение линеаризованной системы (1.102), (1.103) имеет вид
a2 + (4q — 2)。+(1 - 3q)(1 一 q) + 干=0.
Таким образом, условия устойчивости
0> 1/2, (1 -3q)(1 -0) + g2>0.(1.104)
Существенной особенностью воздействия внешней периодической силы на автоколебательную систему являются существование областей синхронизации автоколебаний внешним периодическим сигналом н отсутствие таких областей в зависимости от характеристик внешнего сигнала. Линейная динамическая система второго порядка с диссипацией, как было показано ранее, всегда синхронизировалась внешним периодическим сигналом.
Рассмотрим выход из режима синхронизации на примере уравнения Ван-дер-Поля. Пусть условие (1.104) не выполняется. Тогда в режиме сильных сигналов при выходе из области синхронизации в системе возникают биения, т. е. колебания с двумя близкими частотами. В режиме слабых сигналов также возникают биения, однако характер их возникновения иной по сравнению с выходом из синхронизации на сильном сигнале. При достижении границы синхронизации амплитуда биений возрастает скачком (жесткое возбуждение) в режиме слабых сигналов и плавно возрастает от нуля (мягкое возбуждение) в режиме сильных сигналов.
Проведенный анализ в основном справедлив при достаточно малых значениях |е|《1. В противоположном случае |е|》1 возникают релаксационные колебания. В этом случае воздействие внешней периодической силы имеет свои особенности — могут возникать стохастические колебания [11]. Если нелинейность автоколебательной системы не мала, то воздействие внешней периодической силы также может приводить к возбуждению стохастических колебаний. Так, в системе вида 工 + 2е(1 —— 工?)工=Е cos Q/ наблюдались колебания со сплошным спектром в интервале з f [0; 4,5] при 8 = — 0,1, С = 4,0 и £ = 17,0 [ 1 ],
Стохастические колебания могут возникать и при воздействии внешней периодической силы на колебательные, необязательно автоколебательные, системы с сильной нелинейностью. В системе
х ~ у, у = — 2河—4右£ cos f + % — x3, эквивалентной уравнению Дюффинга, стохастические колебания возникают при
1 V3 存 _ £ j 2ch(n/2) 1
т. e. при сильном внешнем воздействии, сильной нелинейности и слабой диссипации [6].
Подчеркнем существенные особенности динамических систем второго порядка:
возможность периодических движений в отсутствии внешних периодических воздействий;
существование параметрических неустойчивостей;
возбуждение стохастических колебаний при воздействии внешней нестохастической (периодической) силы.
РЕГУЛЯРНЫЕ И СТОХАСТИЧЕСКИЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ
В большинстве рассмотренных выше случаев эволюции динамических систем определялись однозначной непрерывной функцией типа 工=工«), т. е. динамический процесс был строго детерминированным (регулярным). В данном параграфе обсуждаются взаимосвязи между регулярными и стохастическими (случайными) процессами.
Описание стохастических, процессов [ 12]. Пусть динамический процесс 工(£) является случайным. Вероятность того, что величина х в момент времени Е примет значения из интервала [х, х + dx] равна 侬(工，t)dx, где w — функция распределения вероятности (плотность вероятности):
\ 侬(& t)dx = 1.
Среднее значение величины 工 в момент времени f равно
<%(£)>=，工侬(%,/)dx.(1.105)
Среднее значение какой-либо функции Е(х):
<£(£)>= \ E(x)w(x, t)dx.(1.106)
Дисперсия величины х:
"⑺=\ (工 — V 工 >)23(工,，)d"(1.106)
Пусть случайный процесс 工 стационарен, т. е. распределение вероятностей не зависит от времени ^(х, /) = w(x). Представим флуктуационную компоненту 己⑺=工⑴ 一 V 工 > в виде интеграла Фурье
&⑺=，LZ'ds.(1.107)
По определению
V F >= § G(co)d(o,(1.108)
где G(w) — спектральная плотность случайного процесса. Если |g2| имеет смысл энергетической величины, то G((o)——энергетический спектр.
Приведем спектры некоторых случайных процессов:
гармонический сигнал х(/) = A cos (з()£ + ф) с постоянной (и неслучайной) амплитудой и случайно распределенной фазой(р:^((р) = '/2冗，имеет спектр 6((о) = 6о6(со — зо), где 6((о — а)о) — дельта-функция;
«белый» шум G(w) = Go, з 6 (— °°, оо), а2 = оо；
прямоугольный низкочастотный спектр
f Go,而I &儿 G(3)={o. |М|>Й, ° =2G。％；
гауссовский^ спектр
G((o) = G()e з /" , а2 = GqA /2 л .
Рассмотрим двухмерный стохастический процесс, т. е. имеются две случайные величины х, у. Для его описания необходимо задать двухмерное распределение 侬(工，у,八，/2), причем величина 侬(工，у;九，tQdxdy определяет вероятность того, что в момент 九 一 工 £ [х,工 + dx), а в момент h — У е {у. У + dy]:
S,侬(居 y)dxdy = 1.
Двухмерными распределениями вероятности описывается также взаимосвязь между значениями одного и того же процесса в разные моменты времени. Так,⑬(н,也；Л, /2) представляет вероятность того, что в момент /1 величина х ^ [修，制 + dx], а в момент /2 та же самая величина х £ [工2,工2 + dx]. Аналогичными способами можно ввести и многомерные распределения вероятности.
Пусть имеется функциональная связь
У = F(x)，工 ~ 屮(у)，
причем ^i(x) — известно, тогда
з®)= 31(х = <р®))|-^Ц(1-109)
По определению корреляционной функцией случайного процесса является величина '
В(/, т) = < х(/)х(/ + т) > — < х(/) > V %(/ + т) >.
Для стационарного случайного процесса 8«, т) = В(т), причем тах8(т) = —8(0) = а2. Характерный промежуток времени, за который происходит заметное уменьшение функции корреляции, называется временем корреляции тс.\
Для стационарного случайного процесса справедлива теорема Винера—— Хинчина:
В(т)=，С(з)е">2з,(1.110)
(3(3) =去 \ 8(6一".(1.111)
Из (1.110), (1.111) следует, что ширина спектра случайного процесса Аз 〜1 /тс.
Случайные воздействия на динамические системы первого порядка. Вернемся к уравнению (1.1). Будем считать, что у,尸 ——случайные величины с известными распределениями вероятности. Требуется найти распределения вероятности для величины х(/).
Рассмотрим аналог уравнения (1.13)
^ +а(少= £(£),(1.112)
следуя [2, 12]. Точное решение (1.112) имеет вид
//(1.113)
х(/) = хое-"«)+，exp [―方⑴ + 堆)]E(g&; 6(/)=，碓)喝 Оо
После завершения переходных процессов
%(/)= ^ exp [- b(t)+b(l)\E^.(1.1 ⑶)
О
Пусть случайной величиной является только внешняя сила £«), причем известна 侬(Е) и, следовательно:
< ДЮ > =旺⑸侬(E(9)dE
Тогда из (1」13‘)по определению имеем
<%>=，exp [-妳)+ 6(g)] <£(g) > dt(1.114)
О
Таким образом, в этом случае для определения V %е > достаточно знать V Е(т)>• Следует отметить, что из (1.114)
V ^ > + 叫工=V E(f) >,(1.115)
т. е.-структура (1.115) совпадает со структурой уравнения (1.112.)
Пусть теперь случайным является коэффициент а(/), а сила £(/) детерминирована. Для нахождения среднего значения 工 необходимо вычислить среднее
< ехр [/?(/) — Z?(g)] > = < exp，破)我>,(1-116；
что уже само по себе является сложной задачей. Интеграл (1.116) легкс вычисляется, если &(/)——гауссовский случайный процесс, тогда
< ехр [&(/) — 6(g)] > = exp [ < b⑴—哨 > + } ( V (&(/)-
—堆))2> —Vb⑴一堆)>2)].(1.117)
Как видно из (1.117), в рассматриваемом случае нарушается структурна? эквивалентность дифференциальных уравнений для средних, которая су шествовала в предыдущем случае.
Приведенный пример, соответствующий одному из самых простых типо! динамических процессов, показывает, что, даже имея точное аналитическо* выражение для описания динамического процесса, может оказаться сложныл вычислить его средние значения. Поэтому для вычисления средних исполь зуют методы, которые не требуют знания точного решения.
Рассмотрим воздействие случайного процесса g(f) на следующую данами ческую систему первого порядка
х = tz(x) + 6(x)g(Z),(J.118
где а(х) и 6(х) произвольные функции %, v 自 > =0 и корреляционна: функция V ЕЕт > представляет собой d-коррелированный шум v Е& > 二 =2Q8(t). Тогда для определения вида ^(х, /) можно использовать уровне 30
ние Фоккера—Планка [12].
dw~дГdw~дГ~-^-Kiwдх~-^-Kiwдх卜万"产丘明卜万"产丘明(1.119)(1.119)
dw~дГ
dw~дГ
~-^-Kiwдх
~-^-Kiwдх
卜万"产丘明
卜万"产丘明
(1.119)
(1.119)
где величины Ki, K2 выражаются через функции, входящие в уравнение (1.118):
К(尤)=a(*)+Ь(尤)犷(尤)d，
К2(X) = 206乜).
Для нахождения решения (1.119) необходимо задать начальные и граничные условия.
Найдем стационарное решение (1.119). Из
дх2
следует, что
—K\w Н= 4. 2 дх
Так как 10 fo при |х| —> со, то постоянная интегрирования Л i = 0. Следовательно:
矶")= ~^уехр (2 \ *父 〃],(1.120)
代")尸I J K2CO 」
а постоянная С определяется условием нормировки
§ w{x)dx = 1.
Используя конкретные выражения для Ki, К2 из (1.118) получаем
Мх)= ^ехр [$ j 黯dx].
Из уравнения Фоккера——Планка можно непосредственно получить уравнения для средних. Действительно, умножим левую и правую части (1.119) на произвольную функцию 屮(尤)и проинтегрируем по х. Имеем
《中穿• dx =* I Wwdx = v 中>， ОООООЮОО
\ (К@у屮厶= \ (屮К|3)'〃一 \ K23dx = WKi3 I —
一 V 长中’> =一 V km'>•
В последнем равенстве учтено, что ш ^- 0 при |х| -► оо. Аналогично
(k23)"屮厶=V/(2屮">
Итак:
< W >=V KM'>+%V K2屮〃>•(1.121)
Полагая 屮=尤 н Ф = х2, получим
<；> = /(,.(1.122)
VJ?> = 2 V “> + vK2A(1.123)
В качестве примера рассмотрим уравнение
^+ [v + O^ = m(1-124)
V ЕЕт > = 203").
В этом случае Ki = £(/) — 2ух + Dx; К2 = 2Dx2 и, следовательно:
V £ > = £(/) 一(у — D)x,(1.)25)
V炉 > =2E V*> — 2(丫 一 2。)<x>2.(1.126)
Пусть E(f) = 0, тогда из (1.125) видно, что стационарное значение V % > = 0 теряет устойчивость при D > у.
Используя систему уравнений (1.122), (1.123) для более сложных случаев, чем рассмотренный выше, можно показать, что поведение динамических систем первого порядка под действием случайных процессов во многом сходно с их поведением под действием внешних детерминированных воздействий.
Случайные воздействия на динамические системы второго порядка. Рассмотрим воздействие случайной силы на гармонический осциллятор с трением (см. (1.76), (1.77))
х + 2ух + 必尤=g(/). (1.127；
Положим
(1.128'(1.128'х(/) = § *u£‘3'dG).
(1.128'
(1.128'
Подставив (1.128), (1.107) в (1.127), получим
33一02 + 2而y33一02 + 2而y
33一02 + 2而y
33一02 + 2而y
Следовательно, спектральная плотность случайного процесса равна
Gx®)Gx®)(⑴3-g)?/ + 2(1)2?2(⑴3-g)?/ + 2(1)2?2(1.129(1.129
Gx®)
Gx®)
(⑴3-g)?/ + 2(1)2?2
(⑴3-g)?/ + 2(1)2?2
(1.129
(1.129
где G^(co) определяется выражением (1.108). При 仃鼠⑴)=Go максимальна амплитуда стахастических колебаний происходит на частот со = /就一2y2.
Пусть теперь на систему, описываемую уравнением (1.127), дополнитесь ное влияние оказывает параметрическое воздействие (шумовая накачка； Тогда (1.127) примет вид
х + 2ух + юо{1 + b cos («р/ + фр)"=芯Е(/)・(1.13(
Так как уравнение (1.130) линейно, то для удобства расчетов вводите
комплексные величины. Положим
£■(/) = е'з：尤=4((1>, /)е"”'， Л(со, /) — Ло(со, /) + >4 i(co, /)е""‘，
b(f) cos (a)pt + фр(/)) = 8(/)е“з + к.с., где к. с.— комплексно-сопряженное слагаемое; комплексно-сопряженную величину будем обозначать звездочкой; например, если Е = е"“‘，то Е* —
Рассмотрим высокочастотную накачку. Как было показано при анализе параметрической неустойчивости гармонического осциллятора, накачка наиболее эффективна при условии а)р = 2<о0- Положим
8«) =等产川),Ь = const,
<₽₽(/) = § 自⑼de, < йт > = 2Do6(t).
Тогда из (1.130) можно получить
V4> +—①)V 小 > =■ '16 v + ^о — z(w()— ш) /2e
(1.131)
Отсюда видно, что действие высокочастотной накачки эквивалентно уменьшению потерь. При з = со。стационарное состояние теряет устойчивость, если
b >儿=生 /1 + (Do гу
Низко частотная шумовая накачка. В отличие от высокочастотной накачки предположим теперь, что юр ^? 0. Представим (1.130) в следующем виде:
х + 2ух + g)o [ 1 + 己(£)]汇 3=2 血E(f),
откуда с учетом Е =次叫⑴ ~ ⑴/, % = ^^^((о, /), Л《⑴必
<<> + (Y + 半一,・(3。— 3))<4> =吟.(1.132)
Таким образом, действие низкочастотной накачкн по сравнению с высокочастотной оказывается противоположным. Она создает положительную добавку к у т. е. эквивалентна увеличению потерь.
Наконец, рассмотрим действие широкополосной накачки, полагая V Е > = 0, V ЕЕ? > = 2/)3{т), н 尤 + 2ух + coo [1 + 己(/)] % — g)oE(/). После усреднения\
V*> + 2yV*> + g)3vx> = соо^СО-
Следовательно, накачка типа белого шума вообще не оказывает влияния ——на устойчивость системы. В случае широкополосной накачки дополнительные потери, обусловленные низкочастотной накачкой, компенсируются влиянием высокочастотной накачки (1.131) и (1.132).
Итак, параметрическое воздействие на линейный гармонический осциллятор может оказаться в зависимости от характеристик спектра накачки как стабилизирующее, так и дестабилизирующее влияние.
Рассмотрим воздействие случайной силы на автоколебательную систему. В реальном автогенераторе автоколебания, близкие к гармоническим, представляют собой случайный процесс вида
cos + ф(о).
Если амплитуда случайной составляющей не очень велика V Q >2》V Q — V Q》乙 то спектр автоколебаний имеет вид
G = V Q >： exp {-匹？吟,
где о；—дисперсия частоты, причем о：〜， 6(ю)б/ю. Ширина спектральной ЛИНИИ Л О) =，з・о
Пусть автоколебательная система описывается уравнением Рэлея
х + о)ох = 2 [(ct — у)^- ^⑴丁气]х + со^а(/),(1-133)
где у ——величина, характеризующая диссипацию в системе; а ——отрицательные потери; р ——параметр нелинейности системы. Заменой переменных х = у уравнение (1.133) сводится к уравнению Ван-дер-Поля [1 ].
Положим
尤«)=力才⑴酬"+ КС,+ к.с.
Тогда после усреднения (1.133) примет вид
Л + ((7-а) + рИ|2]Д =(ооП(а(1-134)
Обозначим >4 = qc? "(f) = а + ib. Разделив в (1.134) вещественную и мнимую части, получим
Q + [Т — а + Bq2]q =①必，(1.135)
而=的/呜，(1-136)
где
% = a cos (р + 力 sin (р, % = b cos 屮——а sin 屮.(1.137)
В отсутствие внешней случайной силы (己=0) автоколебания возбуждаются при а > у. Амплитуда колебаний-
бЕ= [(a-Y)/P]，/2-(1-138)
Пусть случайная сила такова, что
V W > = 0, V 据 > =2nG曲т).
В силу (1.137) уравнения (1.135), (1.136) взаимосвязаны, что затрудняет анализ. Введем следующие допущения. Характерное время корреляции источников шума значительно меньше характерных времен изменения амплитуды и фазы. Для амплитуды это условие будет выполнено при слабой надкритичности автогенератора по сравнению с временем корреляции внешнего шума (а — у)%《1.
При сделанных допущениях система (1.135), (1.136) примет вид
6 + (у —a + pd)Q = ^Q + 2),(1139)
而=穀^(/).(1.140)
Уравнение (1.139) теперь не зависит от (1.140), причем оно принадлежит к уравнениям типа (1.118). Таким образом, для функции распределения плотности вероятности @(q, Q справедливо уравнение Фоккера—Планка
与网矶 зЗ +4-4т l^w^ 0]，(1141)
где в соответствии с (1.118)
к, = р [е — 尚 е + В N； № = 2PM
N = (n/4)欣g计7; e - (a - Y)/也
Стационарное решение (1.141) имеет вид
*(Q)= &Q exp I4M * j ■
Использовав условие нормировки , @e(Q)dQ = 1 для определения по-
0
стоянной Се, окончательно получим
*9)=斎(+ ①(為)]'exp { - ^^ }, a .142) где (|)(х) = (2/ /jT) § exp (— x2)dx.
о
При больших отрицательных значениях е№*1/2 (значительно ниже порога возбуждения автоколебаний) распределение (1.142) 6/нзко к рэлеевскому распределению
叫(Q)扌 ехр { — ^}，(1.143)
где o^=jV/|e|. При больших положительных значениях е"一”？ (значительно выше порога возбуждения автоколебаний) распределение (1.142) приближается к гауссовскому
3(QZ*exp{—^}.
Из (1.143) следует, что при наличии шума среднее значение амплитуды колебаний ниже порога возбуждения автоколебаний
V Q > = (л/2)!/2оо-
Дисперсия амплитуды колебаний
9°° f (2 — л/2)а? (ниже порога),
О； = V q2> _ VQ>2 2/、
《/2d， (выше порога).
Следовательно, относительная дисперсия амплитуды
(0,35(0,35Из (1.142) следует,Из (1.142) следует,(ниже порога),(выше порога).
(0,35
(0,35
Из (1.142) следует,
Из (1.142) следует,
43)=43)=就/44川俨+ 3?就/44川俨+ 3?GaGaчто спектр амплитудных флуктуаций имеет вид
43)=
43)=
就/4
4川俨+ 3?
就/4
4川俨+ 3?
Ga
Ga
его ширина Асо = 2丫 [ (ct/y) — 1 ].
Рассмотрим процесс установления стационарных автоколебаний, используя (1.139). Пусть в начальный момент времени р0 =()(/ = 0),
з@ / = 0)=叫)(qo) = Т ехрз@ / = 0)=叫)(qo) = Т ехр（一款），（一款），(1.144)(1.144)
з@ / = 0)=叫)(qo) = Т ехр
з@ / = 0)=叫)(qo) = Т ехр
（一款），
（一款），
(1.144)
(1.144)
где ао — интенсивность начального шума.
Сначала будем считать, что внешняя случайная сила отсутствует. Тогда эволюция функции 侬(& /) определяется начальным распределением (1.144). В этом случае выражение (1.139) имеет вид
Q + [— еР + 6q2] Q = 0.
Следовательно, при е > 0:
Q«) = Q? [ 1Q«) = Q? [ 1+信i)T '"=f9。1+信i)T '"=f9。1
Q«) = Q? [ 1
Q«) = Q? [ 1
+信i)T '"=f9。1
+信i)T '"=f9。1
eo = Qe [ 1 +(^一 1)" —/2=尸一⑹= <p(Q),(1.145)
где т = ep//2.
Используя (1.109) и (1.144), найдем
侬(Q, f)=侬(Q, f)=2g)Q 詣{у2 + (区—@"Н}22g)Q 詣{у2 + (区—@"Н}2ехр $ техр $ т26 + (忌-Q2H26 + (忌-Q2H(1.146)(1.146)
侬(Q, f)=
侬(Q, f)=
2g)Q 詣
{у2 + (区—@"Н}2
2g)Q 詣
{у2 + (区—@"Н}2
ехр $ т
ехр $ т
2
6 + (忌-Q2H
2
6 + (忌-Q2H
(1.146)
(1.146)
где 俏。=q?/2qo.
При ff 0 функция распределения (1.146) совпадает с (1.144), а при / —> оо:
侬(Q」)^ 2俏爬一 т / 2°“ 2、2 ехр{-优LQ }.
Видно, что при 俏()£一 т f 0 функция распределения становится все уже и в пределе превращается в 6-функцию с максимумом в точке q = q?.
Таким образом, действие внешней случайной силы, в частности, сводится к тому, что в стационарном режиме функция распределения амплитуды автоколебаний не является d-функцией, а имеет вид гауссовского распределения.
Отметим следующие особенности воздействия случайных сил на динамические системы второго порядка:
используя шумовую параметрическую накачку можно стабилизировать или дестабилизировать стационарные состояния;
в автоколебательных системах среднее значение амплитуды колебаний ниже порога^генерации не равно нулю;
относительные флуктуации амплитуды в автоколебательных системах ниже порога возбуждения колебаний и выше порога возбуждения разли
чаются достаточно сильно.
Возникновение хаоса в простых детерминированных динамических систе
мах. Рассмотрим динамический процесс х(/), предполагая, что V х(/) > = 0. Взаимосвязь между значениями одного и того же процесса в разные моменты времени определяется корреляционной функцией 8(т) = V %(/)%(/ + т) >.
7'$г § х(/)х(/ + T)df,7'$г § х(/)х(/ + T)df,< х(0Х^ + т) > =< х(0Х^ + т) > =(1147)(1147)Предположим, что
7'
$г § х(/)х(/ + T)df,
7'
$г § х(/)х(/ + T)df,
< х(0Х^ + т) > =
< х(0Х^ + т) > =
(1147)
(1147)
т. е. считаем, что среднее по ансамблю равно среднему по времени, причем в правой части (1.147) сначала проводится интегрирование, а потом усреднение.
Пусть 尤=q sin со。/, тогда из (1.147) следует В(т) = */2 cos g)qT. Таким образом, для периодической функции амплитуда корреляционной функции не затухает во времени (т), тогда как для хаотического движения 8(т) -^ 0 при т > тс, где тс характерное время корреляции случайного процесса. При т © т 0 имеем сплошной спектр, что соответствует хаотическому движению. Как видно из (1.147), корреляционная функция будет положительна, если распределение величины х в момент / будет близко к распределению этой же величины в момент f + т. Данное условие выполняется, если из близости начальных условий следует близость траекторий. Если, однако, траектории разбегаются, то такое движение слабо коррелировано. В этом случае также говорят, что траектории неустойчивы.
Пусть траектории движения динамической системы неустойчивы и, кроме того, в фазовом пространстве системы есть ограниченная область, из которой фазовые траектории не выходят. Тогда в динамической системе возможно возникновение перемешивания (перепутывание) траекторий. Так как рассматриваются детерминированные динамические системы, то траектории пересекаться не могут. Действительно, в противном случае точке пересечения траекторий предоставлялся бы выбор: двигаться по той или иной траектории, что противоречит детерминированности. Таким образом, перемешивание не может быть свойством автономных динамических систем второго порядка. Если на фазовой плоскости есть область, из которой фазовые траектории не выходят, то вследствие невозможности их пересечения они замкнуты или стремятся к простому аттрактору (предельному циклу или стационарному состоянию) и, следовательно, внутри рассматриваемой области есть устойчивый траектории, что противоречит предположению. Итак, фазовое пространство, которое соответствует перемешиванию, должно быть по крайней мере трехмерно. В этом случае траектории могут себя вести следующим образом: по одной плоскости фазовые траектории убегают от начала координат, а по другой — возвращаются.
Стохастическое множество, на котором все принадлежащие ему траектории неустойчивы, называют странным аттрактором.
В качестве примера рассмотрим систему уравнений Лоренца
х = — рх + ру, у = у гх — xz, (1-148) z = — bz + ху.
где р,几匕 ——постоянные величины. При г < 1 система (1.148) имеет единственное состояние равновесия в начале координат, которое устойчиво. При г > 1 начало координат становится седлом, из него рождается два устойчивых состояния равновесия (士 ^b(r — 1), + 必(г — 1), г— 1). При г > 24,74 в системе скачком возникают стохастические автоколебания, жесткое возбуждение. Стохастичность может возникать также путем постепенного (при плавном изменении внешнего параметра) исчезновения периодических колебаний за счет прерывания их случайными всплесками. Такой переход к стохастическим колебаниям называют переходом через перемежаемость.
Во многих диссипативных системах переход к стохастичности осуществляется через бесконечную цепочку бифуркаций удвоения периодического движения. Данный механизм удобно анализировать, используя метод точечных отображений или метод отображений Пуанкаре.
В фазовом пространстве Q выберем поверхность £, которую пересекают большинство траекторий. Так как система детерминирована, то существует функция такая, что
Pk+i= f(Pk).(1.149)
Функция f определяет связь координаты 尸々十 i (々 + 1)-го пересечения с координатой Pk ^-го пересечения.
Если в фазовом пространстве Q существует устойчивая замкнутая траектория, которая пересекает S в точке Ре, то с течением времени траектории системы будут пересекать поверхность во все меньшей окрестности точки Ре. Если же точка Ре соответствует неустойчивой траектории, то точки пересечения будут от нее разбегаться. Хаотическое движение будет характеризоваться бессистемностью в поведении точек пересечения при полной детерминированности всей траектории в целом.
Проведем на плоскости S прямую и спроектируем на эту прямую точки пересечения Р〔，Р2,尸3Будем считать данное отображение взаимно однозначным. Тогда отображение (1.149) хорошо аппроксимируется одномерным отображением.
Итак, рассмотрим одномерное отображение
м + 1 = f(xfc).(1.150)
Пусть хе = /(%。)——стационарная точка. Она устойчив^г^сли |/"(хе)| V 1, и неустойчива при |/'(口)| > 1. Данное условие не совсем совпадает с условием устойчивости стационарного состояния (1.7), в рассматриваемом случае F(x) = /(*)一%.
Положим
f(x) = 4Ех(1 — %),(1.151)
где параметр Е > 0 характеризует внешний источник энергии. Функция (1.151) положительна при 1 > х > 0, обращается в нуль при х ~ 0, х — 1, • достигает максимального значения при х = 1/2.
Рассмотрим несколько подробней отображение (1.150) при условии (1.151) и 1 戸尤戸。［13］：
/ + I = 4£х*( 1 —尤用).(1.152》
Отображению (1.152) соответствует последовательность х0, 4Ехо(1 ——
—尤0)=尤[,4Ex](l — xi) = X2,- - Встает вопрос о пределе этой последовательности при 々 f 8. При Е = 1/2 пределом является стационарная точка %е = 1 /2. Найдем стационарные точки отображения (1.152)
х = 4Ех( 1 — %), S1 = 0, $2 = 1 = 1 /4Е, причем /"(х) = 4Е(1 — 2х),
『(Si) = 4E, (1.153)
『0) = 2 — 4Е (1.154)
При 0 < £ < */4 на отрезке [0,1] есть только одна стационарная точка, которая, как видно из (1.153), устойчива, т. е. |f'(Si)| V 1. При 亠人 > Е > '/4 на отрезке [0, 1] есть две стационарные точки: Si — неустойчива н S2 — устойчива. Неподвижным точкам отображения (1.152) соответствует замкнутая траектория. Период этого движения примем за единицу.
При £>3/4 устойчивые (притягивающие) точки отсутствуют. Отметим, что при % > £ > '/2 характер движения вблизи стационарной точки S2 отличается от характера движения вблизи этой же точки при ^/2》Е > '/4. Оказывается что теперь процесс итерации определяется стационарными точками отображения } где х* + 2 = f乂/),
Xk + 1 2=3 f(xQ, Xfc + 2 -— f(/ + !)• (1 • 155)
Стационарные точки отображения f являются стационарными точками，2・ При Е V % у『2 нет других стационарных точек. Если параметр £ > %, то у отображения /2 появляются две новые точки S21, S22, причем они являются устойчивыми. Так как S21, S22 не являются стационарными точками f, то отображение f преобразует их одну через другую
S2I = f($22), S22 ~ /($21).
Эти две точки образуют так называемый двойной цикл, квадрат, на который накручиваются итерационные траектории. При достаточно больших k последовательность итераций подойдет к последовательности S21, S22, $21, $22・ Период этой последовательности равен 2 по сравнению с 1 у последовательности S], Si, Si,... Говорят, что произошла бифуркация удвоения периода. При дальнейшем увеличении параметра Е цикл с периодом 2 превращается в цикл с периодом 4 и т. д.
Рассмотрим спектр системы при бифуркациях удвоения периода. Двухкратный цикл устойчив при 3/4 V Е V 3,45/4一 В спектре системы появляются дополнительные частоты. Фактически сплошной спектр появляется при 瓦 £3,57/4.
Интересной особенностью рассмотренного отображения является его универсализм. Интервал 以 изменения параметра Е, при котором существует цикл периода 2t с ростом k уменьшается по закону геометрической про- грес|:ии: /
(辱一&—)/(& 十 1 一 &) = 6,
где 6 = 4,66920…——универсальная постоянная Фейгенбаума. Следовательно, определив экспериментально границы нескольких начальных удвоений можно определить границу возникновения сплошного спектра по формуле
(& - Е» 〜L. (1.156)
ОДНОМЕРНЫЕ СИСТЕМЫ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИПАРАМЕТРАМИ
Пусть система (среда) состоит из множества частиц, каждая из которых описывается уравнением типа (1.1), Обозначим через / — характерное расстояние между частицами; Со — скорость распространения возмущений в среде; з — характерную частоту исследуемого процесса;入一 длину волны возмущения.
Некоторые модели сплошных сред. Вначале рассмотрим систему без трения у = 0. В качестве примера возьмем цепочку одинаковых маятников, связь между которыми осуществляется пружинами с жесткостью х [1]. Уравнение движения для «-го маятника имеет вид
3 + 加品=(х/m)(gn + 1_ I — 2己 J(1-157)
где 己"——смещение /г-го маятника от положения равновесия.
Решение ищем в виде
% = 4 ехр (/со/ — inkl],晶—|=>4 exp [id)t — «〃 — 1)^/],
gn + I = Л exp [而f — i(n + 1)^/).(1.158)
Поставив (1.158) в (1.157), получим
co2 = coo + ^*(1 — cos kl) = 就 + -^- sin2 岑，(1.159)
если постоянная k——действительная величина:
со2 = юо + -^-(1 — chp,/) = юо^"Sh? ~-,(1.160)
если 々一мнимая величина:々=—汕
Пусть частота внешнего воздействия со известна. Тогда нз уравнений (1.159), (1.160), которые называют дисперсионными, можно найти k. Если Im^ = 0, то, как это следует из (1.158), вдоль цепочки слева направо будет распространяться волна, причем амплитуда волны будет оставаться постоянной. Если же Re力=0, то волна распространяться не будет, амплитуда колебаний затухает с ростом номера л. Из уравнения (1.159) следует, что при (coo + 4х/т)1/2 > со > соо волны с волновыми qHc/a^j^d// V 々 V л// распространяются в цепочке без затухания (область произрачности). Из (1.159) следует, что неравенство со < юо выполняется при sin2(/e//2) V 0, т. е. мнимых k или действительных ц. Аналогичное решение при со > /cog + 4x/m.
Предположим, что А》/. Тогда от дискретного описания цепочки маятников можно перейти к ее описанию как системы с распределенными параметрами, используя следующее соответствие:
%(/) f ср(х, /), % + i(f) f 屮{(% + /), /}—屮(尤,0 Ч—謂-Z + ~ -小？ /2 + …,
6一⑺ f 咽(X - /), /}=中(x,,) 一 碧 / + ；若 /2 +…
Итак, из (1.157) следует
сЗ^^ + зй>(х,，) = (),(1.161)
где eg = x/2/m. Данное уравнение называется линеаризованным уравнением Клейна—Гордона [1 ].
Положим 屮 〜exp (to)Z ——i/гх) и определим вид дисперсионного уравнения для (1.161)
(l)?=忌 + С決 2.(1.1 62)
Дисперсионное уравнение (1.162) получается из (1.159) при sin2(^//2) ^ (々/)2/4, т. е. при 祝《1,々=2л/九.
Устремляя в уравнении (1.161) ш0 f 0, приходим к волновому уравнению, дисперсионное уравнение которого
з = ±(1.163)
Групповая скорость распространения волн Vs = d<a/dk. Как видно из (1.163), в случае линейной зависимости между з и 々 групповая скорость не зависит от 々一 среда без дисперсии.
Итак, в системе частиц без трения волны могут распространяться только при определенных условиях. Фактором, определяющим пространственное затухание волн, в этом случае является дисперсия. Дисперсия волн проявляется наиболее ярко в тех случаях, когда параметры внешних волн близки к внутренним пространственно-временным масштабам системы. Действительно, в уравнении (1.161) дисперсия исчезала при з()f 0, исчез собственный временной масштаб (2л/шо)- I характеризующий среду. Как видно из (1.159), в этом случае дисперсия существует и при ш0. Она важна для волн 々〜/-[ т. е. существенное влияние на распространение волн оказывает собственный пространственный масштаб L. В промежуточных случаях дисперсия может определяться и совместным действием внутренних пространственных и временных масштабов.
Пусть теперь трение в системе велико 俏》凉，т. е. частицы не колеблются вблизи положения равновесия. Считаем, что частицы находятся в режиме апериодических колебаний и трутся между собой, не покидая, однако, своих мест. Тогда из (1.1) вместо (1.157)//следует
(1.164)(1.164)уЕ = (х/т)(^„ + 1 + 以—I — 2Е)
(1.164)
(1.164)
Перейдя от дискретного описания к непрерывному, получим уравнение теплопроводности
(1.165)(1.165)@屮—с @2(р
(1.165)
(1.165)
где ат =圆/у.
Полагая 屮〜exp (i(ot — i^x), находим его дисперсионное уравнение
io) =)—aTk^,(1.166)
Из него видно, что действительным значениям з соответствуют только мнимые значения 内，т. е. в системе отсутствуют области пропускания волн. Для волн любой частоты их амплитуда уменьшается, затухает с ростом п. Механизм данного затухания обусловлен наличием в системе трения, диссипации.
Уравнения (1.157) и (1.164) соответствуют моделям, в которых частицы все время находятся вблизи своих положений равновесия, масштаб движений меньше характерного расстояния между частицами /. Такими части-
цами могут быть, в частности, атомы в твердых телах (/ ——постоянная решетки), атомы в газах и жидкостях (/ — длина свободного пробега). Для получения таких моделей использовались только уравнения движения типа (1.1). Изменения свойства ср в пространстве и времени определяются передачей возмущений частицами по цепочке от одного к другому.
Рассмотрим теперь такие движения среды, при которых частица может перемещаться на расстояния, превышающие /, т. е. в системе возможны течения, конвективные движения. Типичными представителями таких сред являются газ, жидкость.
Пусть в начальный момент t = 0 координаты частиц среды х(0) = а. Тогда в момент f > 0, х = о 十 W(q, f), где 己(о, t) — смещение частицы, которое может зависеть как от начального положения частицы, так и от текущего времени. При описании крупномасштабного по сравнению с / движения величины a, W, а следовательно, и х представляют собой непрерывные макроскопические величины. Представим уравнение движения в следующем виде:
dv _ д2х _ I дР
R = d 尸= q"-^'
где q — плотность частиц среды, Р ——давление. Выразим входящие в (1.167) величины через смещение Е(о, /). Для сокращения записи будем использовать следующие обозначения частных производных: д^/да 三 Еа,能/8/ 三 &. Итак
S = X" = Е", др/дх — Рх = Ра/Ха, %а = 1 + &.
Из закона сохранения массы
(1.168)(1.169)(1.170)(1.168)(1.169)(1.170)Qoda = Qdx
(1.168)
(1.169)
(1.170)
(1.168)
(1.169)
(1.170)
следует
Q( 1 + Ja) = QQ, Qo&f + Ра — 0.
Используя адиабатическое уравнение состояния для газа или жидкости, можно получить Ра = CoQa(Q/Qo)z~ \ следовательно, (1,170) примет вид
(1-171)
где х — постоянная адиабаты. Исключив с помощью (1.169) q, q0 из (1.171), окончательно получим
Ь/ =——(1.172)
При &《 1 уравнение (1.172) переходит в обычное волновое уравнение. Способ описания движения, который был использован для получения уравнения (1.172), называют способом Лагранжа [14]. Данный способ позволяет проследить за траекторией конкретной частицы.
Существует принципиально иной способ описания движения сплошной среды — способ Эйлера. В этом способе возможно проследить за изменением во времени какого-либо свойства сплошной среды в фиксированной точке пространства или в фиксированный момент времени, определить изменения изучаемой величины в пространстве.
Способ описания Эйлера базируется на локальных уравнениях баланса. Пусть произвольная величина £ является экстенсивной величиной (масса, энергия и т. д.), характеризующей изучаемую среду. Рассмотрим, следуя [15], полное изменение величины Е, содержащейся в объеме V в зависимости от времени:
这=与，2^ 匕(1.173)
V
где е ——соответствующая Е удельная величина, относящаяся к единице массы.
Так как объем V фиксирован, то
4t^edv = ^^-
Изменение Ё может быть вызвано двумя причинами：
потоком величины Е внутрь объема V или наружу через поверхность Q, ограничивающую этот объем;
действием во внутренних точках V источников или стоков для Е. Итак
，等加Q+M， VQU，等加Q+M， VQU(1-174)(1-174)
，等加Q+M， VQU
，等加Q+M， VQU
(1-174)
(1-174)
где 人=qev — плотность потока величины Е； “ 一 плотность источников или стоков для Е. В силу произвольности выбранного объема V окончательно получаем
d^e/dt + VA = о?.(1.175)
Уравнение (1,175) представляет собой локальную форму дифференциального уравнения баланса для Е.
Используя (1,175), запишем уравнения гидродинамики в отсутствие внешних сил в следующем виде [16]:
dq/dt + div(Q0)= 0,(1.176)
@嘗=—▽「+ г)Аи+ *“▽ div и,(1.177)
= А АТ + _2_ _ A div V,(1.178)
@2@2g2
где V — символ градиента; А=——г -| -|г = V2； q — плотность
dx?dxgdx&
среды; v ——скорость； Р ——давление; т]——вязкость; е — внутренняя энергия на единицу^массы; X — теплопроводность среды; Q —— диссипативная функция,
п
sa = 2rlst + (“2 — 2/зг]) div a; s.* = 2rls倉；(1,179)
m"=4（器+需）；
(1.180)(1.180)口2 — вторая вязкость, причем d^/dt = d^/dt + (a, V)(p
(1.180)
(1.180)
для произвольной функции (p.
Уравнение (1.176) представляет собой закон сохранения массы, (1.177)— уравнение движения, (1.178) — уравнение энергии. Изменение энергии единицы массы de/dt определяется кондуктивным тепловым потоком (Х/р)АГ, количеством тепла, выделенного работой вязких сил Q/r, и работой сил, связанных с давлением (— Р div v)/q.
Операция, определяемая равенством (1.180), есть операция взятия полной производной по времени. Она входит во все уравнения системы (1.176) —— (1.178). Выясним, каким движениям сплошной среды соответствует данная операция.
Рассмотрим вначале более простой случай
(1.181)
(1.182)(1.182)Решение (1.181) имеет вид 卫(元,/) = f(x - *f),
(1.182)
(1.182)
где 辽(尤，0) = f(尤).Возмущение /(尤)перемещается в пространстве, не меняя своей формы, с постоянной скоростью Со.
Если возмущение распространяется вправо и влево, не меняя своей формы, с постоянной скоростью со, то такое движение описывается волновым уравнением
(1.183)
причем ы =力(尤—сМ) +『2“ + Cof).
Следуя [17], рассмотрим поведение решений уравнения, описывающего нелинейное распространение возмущений:
(1.184)
Здесь и-^- аналогично (vV)v в уравнениях движений(1.177). Пусть
(1.185)(1.185)при f = 0 或х, 0) = f(x). Функция W(x, f) = f[x — (co + 辽川
(1.185)
(1.185)
задает решение уравнения (1.184) в неявной форме. Действительно:
Ef = 一 (^0 + a + /心)f'，我х 3=1 (1 - tUx)f ,
откуда ut = ~ (& + 辽)厂/(1 + "')，以=/7(1 + В) Подстановка данных выражений в (1.184) обращает это уравнение в тождество.
Из (1.185) видно, что возмущения, имеющие большую амплитуду, двигаются с большей скоростью, что через некоторое время приведет к опрокидыванию переднего фронта возмущения с 〃 > 0.
(1.186)(1.186)Введем новую переменную 己=х ——с". В этой системе координат (1.185) примет вид•
(1.186)
(1.186)
〃(Е, 0 = f(E —辽力
Тогда при некотором значении /mjn появляется горизонтальный участок dg/du = 0, образуется перехлест — неоднозначность для функции и(^ /). Говорят, что образуется разрыв (ударный фронт).
Рассмотренные выше модельные уравнения можно объединить в одно
(1.187)(1.187)ди ,, d%, 0〃
(1.187)
(1.187)
Р eоa ——:-к 0=——аu.
dt дх Ох? ОЗdx
При c()> 0, о = b = d = 0 (1.187) является волновым уравнением для волн, распространяющихся вправо； при с()> 0,力 > 0, а = d = 0 (1.187) - волновое уравнение с дисперсией； при с^ — b — d = 0 волны распространяться не могут, сильная диссипация, (1.187) — уравнение теплопроводности. При с。> 0, d > 0, а = b = Q—волновое уравнение без дисперсии； за счет существования кинематической нелинейности (член в правой части равенства (1.187)) возможно образование перехлестов; при с。> 0,匕 > 0, d > 0, о = 0 — волновое уравнение с дисперсией, с одной стороны, за счет существования кинематической нелинейности возможно образование разрывов, с другой — за счет дисперсии возможно рассасывание разрывов; уравнение (1.187) в этом случае называют уравнением Кортевега де Вриза. Уравнение (1.187) называют уравнением Бюргерса при Со > 0, о > О, b = О, d > 0. В этом случае образование разрывов компенсируется диссипацией.
Конкуренция инерционной нелинейности и дисперсии. Солитон. Пусть уравнение (1.187) имеет вид
6〃6〃+ Со+ Содхдхдх3дх3дхдх(1.188)(1.188)
6〃
6〃
+ Со
+ Со
дх
дх
дх3
дх3
дх
дх
(1.188)
(1.188)
Проанализируем его решения [17]. В движущейся с постоянной скоростью & системе координат уравнение (1.188) имеет вид
(1.189)(1.189)ди —, д3и ди
(1.189)
(1.189)
где g = х — СоЛ d = 1.
Пусть при / = 0 есть начальное возмущение с амплитудой Л и характерным размером R. Тогда в начальный момент ЬдАи/д^ 〜bA/R3, и -^-〜A2/R, при этом отношение нелинейного члена к дисперсионному 乂〜 AR?/Ь. Пусть также в начальный момент х》1, что соответствует плавному длинному возмущению. Тогда вначале, как это следует из (1.189), доминирует нелинейность, происходит образование фронта, т. е. уменьшение характерного размера R, которое вызывает уменьшение 乂，что соответствует увеличению влияния дисперсии. Итак, при х 〜1 размытие профиля возмущения дисперсией может компенсироваться ростом фронта возмущения за счет кинематической нелинейности, т. е. может возникнуть стационарная нелинейная волна, распространяющаяся с постоянной скоростью без изменения своего профиля,— солитон.
Ищем солитонное решение (1.189) в виде 〃 = и(/), где ц = "^ — ct, ас —— некоторая неизвестная постоянная, которую вместе с функцией у(г)) необходимо определить из решения уравнения (1.189). Указанная подстановка приводит к следующему обыкновенному дифференциальному
уравнению:
i黑+，*+曙П总一。+嘿+経/2)= 0，
или
b-^-cv + у2/2 = 0.(1.190)
Постоянная интегрирования в (1.190) равна нулю для выполнения условий и(г)) f 0, [г][ f 8. Действительно, представим решение (1.190) в виде и =力 + %, с = с〕+ %, где “，се — произвольные постоянные. Тогда (1.190) примет вид
b 士^——cm + V1/2 = Ve(ce + 〃/2).(1.191)
Отсюда видно, что специальным выбором % = 0 правая часть (1.191) обращается в нуль.
Уравнение (1.190) аналогично уравнению движения тела массой 6 в потенциальном поле и = — си?/2 + и3/6:
(1.192)(1.192)d2y —ди
(1.192)
(1.192)
dq2@n
Из (1.192) следует
急，g+ и) =。，
ИЛИ
bp2/2 + U = E,(1.193)
где p = dvfd^ E ——постоянная, определяемая из начальных условии
bp\t = 0)/2 + U(t = 0) = E(1.194)
и выполняющая роль энергии для уравнения движения (1.192).
Ограниченное решение существует при Е V 0. При Е ^впотенциальная энергия обращается в ноль в точках t)) 2 = 0, “з = Зс. Соответствующая фазовая траектория в этом случае совпадает с сепаратрисой. Для таких начальных условий (1.194) решение уравнения (1.193) имеет вид
0(")=力/ch2Kli + "о/А/А], А = /5F/c .(1.195)
Решение (1.195) называют уединенной волной, или солитоном, причем скорость его перемещения определяется амплитудой с = 4/3. При Е V 0 периодические решения называют кноидальными волнами.
Подчеркнем существенные особенности существования солитонов:
диссипация пренебрежимо мала;
имеется конкуренции между образованием разрывов за счет кинематической нелинейности и размытием фронта за счет дисперсии;
полная энергия возмущения сохраняется во времени.
Конкуренция инерционной нелинейности и диссипации. Ударные волны.
Пусть теперь уравнение (1.187) примет следующий вид:
, ди Со —а —— аи . dtдх @*2дх
Перейдя в движущуюся систему координат, получим
(1.196)
где Е = х — c()f, d = I.
Аналогично предыдущему представим, что при / = 0 есть начальное возмущение с амплитудой Л и характерным размером R. В начальный момент q 8 "〜Q/1/R2,辽-^-~厶2//?, при этом отношение нелинейного члена к
диссипативному к 〜 AR/a. Примем х》1, что соответствует плавному длинному возмущению с достаточно большой амплитудой. Как и при образовании солитона вначале доминирует нелинейность, происходит рост фронта, уменьшение характерного размера R, которое вызывает уменьшение х, а следовательно, увеличение диссипации. Однако если дисперсия не уменьшает полную энергию начального возмущения, то диссипация ее уменьшает.
Ищем решение в виде 辽=и(“)， где ^ = ^ — ct. Из (1.196) следует
"7?+С石〒"(1197)
(1.198)(1.198)В отличии от уравнения (1.190), которое описывает движение частицы в потенциальном поле без диссипации энергии, уравнение (1.197) описывает движение частицы с трением. Проинтегрировав (1.197) один раз, получим
(1.198)
(1.198)
(1.199)(1.199)Из граничных условий 0 f 0, |』| -> оо следует с = 0, а также равенство нулю постоянной интегрирования в (1.198). Уравнение (1.198) совпадает с видом уравнения (1.9), которое описывает взрывную неустойчивость. Решением (1.198) является функция
(1.199)
(1.199)
辽(х - Cof) = 1 _([/2а)с(х — с。/)，
где С — константа. При С R 0 выражение (1.199) описывает перемещение с постоянной скоростью * начального возмущения ио(х) = С/(1 ——Сх/2о), которое в точке х = 2а/С обращается в бесконечность. Таким образом, вследствие диссипации энергия в разрыве уравнение (1.196) не содержит солитонного решения.
Однако если о/гказаться от граничных условий 0 f 0, |т)| f оо, то можно построить решение для бегущего ударного фронта при граничных условиях 辽=〃1, Wf--8；辽=辽2, mf8：
(1.200)(1.200)唯一中)=w+ - 0- th [金(占 一 0+/)] •
(1.200)
(1.200)
Функция (1.200) является решением (1.196) и представляет собой скачок
с амплитудой и_ и шириной 3, где
〃2 +"=——2； U-〃2 +"=——2； U-〃2 ——и I са〃2 ——и I са(1.201)(1.201)
〃2 +
"=——2； U-
〃2 +
"=——2； U-
〃2 ——и I са
〃2 ——и I са
(1.201)
(1.201)
w+ — скорость перемещения скачка [14, 18].
Динамика распространения возмущений для уравнения (1.196) определяется также законом сохранения количества гидродинамических частиц
§ 唄，/)dg = § 〃心)dg = const
и выражением для скорости диссипации энергии
糸｝I/⑶若i(釣
Как видно из (1.200), стационарная бегущая волна существует только при поддержании внешними условиями постоянного перепада 〃— = («2 — ——儿i)/2. При 辽―f oo ширина фронта В f 0.
Представим отношение нелинейного члена к диссипативному в следующем виде:
"=芈=卫，(1.202)
где xs = А/R называется временем опрокидывания, а т^ = К1/а ——временем диссипации. Тогда эволюцию начального возмущения при х》1 можно разбить на три стадии [14, 18]:
Начальная стадия, f v т5( диссипация пренебрежимо мала, проявляется в основном нелинейное взаимодействие гармоник начального возмущения, выполняется закон сохранения энергии.
Стадия разрывов, тг$ < f V 工办 о структуре разрыва можно судить по выражению (1.200)..
Стадия линейной диссипации, / > rd.
Отметим особенности существования разрывов:
дисперсия пренебрежимо мала；
наличие конкуренции между образованием разрывов за счет инерционной нелинейности и размытием фронта за счет диссипации;
полная энергия возмущения уменьшается во времени.
Конкуренция химической реакции и диссипации. Выше в качестве нелинейности, ответственной за формирование структур, была инерционная нелинейность, связанная с кинематикой движения исходных частиц среды. В данном пункте, следуя [19], рассмотрим конкуренцию между нелинейностью при выделении энергии химической реакцией и диссипацией.
Пусть в движущейся системе координат динамический процесс описывается уравнением
а曲十f(y, Е) = 0,(1.203)
где г] = х — с/; с — скорость распространения фронта; функция f(c, £)
имеет ^-oбpaзный характер и зависит от внешнего параметра Е. Пусть зависимость f(u, Е) такова, что при Е < Ei уравнение f(u, Е) — 0 имеет один корень 〃и, а при Е > Е【——три: и。，ui,沙2・ Уравнение (1.203) аналогично уравнению движения для частицы с массой о при наличии силы трения cdu/d” в потенциальном поле
ии，fdv.，fdv.
и
и
，fdv.
，fdv.
Ограниченным решением v(rj) соответствуют ограниченные траектории в потенциальной яме U. Потенциальная яма возникает при E>Ei, причем в этом случае могут образовываться волны конечной амплитуды.
Рассмотрим возможные типы таких волн.
Распространяющийся фронт — доменная стенка. Этому решению соответствует такая траектория частицы, когда она выходит из одного максимума потенциала U(rj) с нулевой начальной скоростью и попадает в другой максимум и(“) также с нулевой скоростью. Скорость движения и направление распространения фронта определяются из баланса: разность энергий между вершинами потенциала ——U(u()) + U(〃2)компенсируется работой сил трения
(1.204)(1.204)§ с ( ^^ dn = — U [и(8)] + U [у(< оо)],
(1.204)
(1.204)
где и(— оо) = 02, и(8)= Vo-
Как видно из (1.204), стенка будет двигаться вправо, с > 0 при Е > Es и соответственно ——влево при Е V £s. Величина £\ определяется из решения уравнений
f(E$, U2) — 0, £/(Е$, б) = 0.
Для малых с при \Е ——EJ《Es:
Е — Е,Е — Е,У2
Е — Е,
Е — Е,
?= ^^(^Х ^ £ J- 〃壮尊厂1〜盘
Un
где j — отношение характерного размера / к характерному времени т = /'/о:
伙。2)«(£-j)备(一伙E，。2))忆
В зависимости от параметра Е доменная стенка является волной переключения из ио в 沙2 (Е > Es) или, наоборот, из иг в v0 (EiVfv£).
При Е = Е$ происходит смена устойчивости стационарных однородных состояний и°, i)2 по отношению к возмущениям с конечной амплитудой. Действительно, если в системе возникнет возмущение с амплитудой v &U2, то его границы будут расширяться при Е > Е§ или сужаться (схлопываться) при Е V Es. Аналогично возмущение с амплитудой и ^vo будет расширяться за счет пространственных областей состояния v2 при Е\ v Е <z Es или будет уменьшаться при Е > Е$.
Домен ——диссипативный солитон. Данному решению соответствуют две доменные стенки, находящиеся на расстоянии 2R друг от друга. В этом
случае частица массой о движется в потенциале U(u) следующим образом. Она выходит из точки Vo с нулевой начальной скоростью и доходит до точки Um, затем возвращается обратно в точку Vo, в которой ее скорость также обращается в нуль. Так как данное движение происходит при Е > &, то говорят, что оно соответствует домену сильного поля. При & V Е < Е§ говорят, что существует домен слабого поля, ему соответствует движение из точки и? до ио и обратно с нулевыми начальными и конечными скоростями.
При Е > Е$ размеры домена 2D 〜Л. При Е Es D — L \п [(Е — Е$)/ EJ , т. е. при £ f 旦，взаимодействие между доменными стенками ослабевает.
Периодическая структура. Данному решению соответствует последовательность доменов сильного поля. В этом случае частица массой о совершает колебания в потенциальной яме U(u).
Подчеркнем следующие особенности рассмотренных динамических процессов:
наличие конкуренции между нелинейностью, выделением энергии за счет химической реакции и диссипацией энергии;
стационарному состоянию соответствует баланс между выделением энергии и ее диссипацией;
не все из рассмотренных решений являются устойчивыми, а только решение, соответствующее доменной стенке.
АБСОЛЮТНАЯ И КОНВЕКТИВНАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТИ,АВТОВОЛНЫ
Выше было показано, что в зависимости от определенных условий система может находиться в одном из нескольких динамических состояний. Реализация конкретного состояния определяется его устойчивостью.
Анализ дисперсионных уравнений [20]. Пусть динамическая система имеет некоторое стационарное состояние. Рассмотрим эволюцию малых возмущений этого состояния.
Выделяют два вида неустойчивостей： абсолютные и конвективные. Стационарное состояние называется устойчивым, если в каждой фиксированной точке пространства начальное возмущение затухает со временем. Стационарное состояние называется конвективно-неустойчивым, если начальное возмущение увеличивается во времени и при этом перемещается в пространстве таким образом, что в каждой фиксированной точке пространства возмущение сначала нарастает, а потом уменьшается, т. е. по мере нарастания оно сносится. Стационарное состояние называется абсолютно-неустойчивым, если начальное возмущение нарастает со временем для каждой точки пространства системы.
Пусть линеаризованная система для описания эволюции малого возмущения стационарного состояния имеет следующий вид:
(1.205)
£=1,2,...,〃，
где 力(х, f)——набор функций, соответствующий физическим полям; о”，Ь^ — постоянные матрицы, соответствующие операции линеаризации.
Ищем решение (1.205) в виде Д = /(((о, /г) exp (z(o/ — ikx). Тогда из
(1.205) получим
(1.206)(1.206)£ [，(0)3订一kUij) + bij] fj^k, co) = 0,，= 1, 2,n.
(1.206)
(1.206)
Однородная линейная система алгебраических уравнений будет иметь отличные от нуля решения только в том случае, если ее определитель равен нулю:
(1.207)(1.207)D(co, /г) = 0.
(1.207)
(1.207)
Это уравнение называют дисперсионным; оно в неявном виде задает связь между со и /г.
Предположим, что система неограничена по координате %. В этом случае, если найдутся такие решения со(力) дисперсионного уравнения D(co,力)=0, что Imco(^) V 0 для некоторых вещественных 瓦 то говорят, что исходное стационарное состояние неустойчиво. Если же для всех k выполняется условие Ims(力)> 0, то стационарное состояние считается устойчивым. Величина 丫^ = 一 Imco(^) называется временным инкрементом неустойчивости.
Пусть индекс S обозначает номер корня дисперсионного уравнения (1.207). Экспонента exp zcos/ = exp (/Re mst — Im cos/) при f f oo представляет собой произведение быстроизменяющейся функции exp (/Re(os/)(co5=H=0) на сравнительно плавную функцию ехр (— Im cos/). Если осцилляции exp(/Re cos/) будут настолько быстры, что в фиксированной точке пространства х при t f g возмущение из-за осцилляций будет стремиться к нулю, то неустойчивость будет конвективной. В противоположном случае будет развиваться абсолютная неустойчивость.
Для определения неустойчивости как конвективной, так и абсолютной, анализа корней одного дисперсионного уравнения недостаточно. Необходим дополнительный анализ точек ветвления функции 々(со), которая задается дисперсионным уравнением, а точки ветвления определяются системой уравнений:
О(з, /г) = 0,(1.208)
M(s, 3 Q @D®,也)片 о dk'@(i)'
Дисперсионное уравнение D(w,力)определяет п регулярных ветвей ^s(co) многозначной алгебраической функции 々(со). Пусть разложение ^s((o) в ряд Лорана в окрестности бесконечно удаленной точки имеет вид 医(3)=^十a5十叁十一(1-210)
Тогда критерий существования абсолютной неустойчивости можно сформулировать следующим образом: две функции ^s(co) имеет точку ветвления в нижней полуплоскости комплексной переменной со, и предельные фазовые скорости lim [^5(w)/co]-| = vs для этих функций имеют противоположные знаки.
В качестве примера рассмотрим следующее дисперсионное уравнение： 力)=(力一■々о)? — а(со — со。)= 0,(1.211)
где 々о, а, со о ——комплексные параметры.
Из (1.211) следует
Im со = Im «о Н^ {—(力一Re 初? Im a — 2 Re a Im ko(k — Re A) +
(1.212)(1.212)+ Im q(Im 々J}.
(1.212)
(1.212)
Как видно из (1.212), для больших A： Im(» — /?2 Im а/\а\2. Если 1гпа>0, то— Im 3foо. Для ограничения инкремента неустойчивости примем дополнительное условие на q： Im V 0. В этом случае выражение (1.212) имеет минимум
(Ie w)min = Im coo + "禽"：)
при
. 厶 Re a Im 就
/г = Re 々о： Im a
будет неустойчивым, еслибудет неустойчивым, еслиТаким образом, стационарное состояние (Im 3)加"V О,
будет неустойчивым, если
будет неустойчивым, если
или
Im a)o V (Im /го)2/(— Im a), Im a V 0.
Дисперсионное уравнение (1.211) имеет два решения:
论1 =々о + /Й(со — coo),
々2 =々о — /а(со — о)о),
которые определяют две регулярные ветви ^i(co) и й2(со), имеющие точку ветвления при со = «о- При Im со0 < 0 точка ветвления находится в нижней полуплоскости. Следовательно, согласно приведенному выше критерию стационарное состояние при Ima)o V 0 является абсолютно-неустойчивым.
Предположим теперь, что исследуемая система имеет конечные по 尤 размеры. В этом случае граничные условия накладывают дополнительные ограничения на 々.Важную роль такого рода ограничений рассмотрим на следующем частном примере (неустойчивость Пирса).
Пусть система линеаризованных уравнений имеет вид
dv . ди — е ^ф
т дх
(1.213)
где ve, 〃е, u, m ——константы； граничные условия задаются выражениями
(1.214) (匸213)(1.214) (匸213)п(0, /) = 0,噸，/) = О, 仪0，0 — 0,①(厶，0 —。；
(1.214) (匸213)
(1.214) (匸213)
L — длина системы.
(1.216)(1.216)(1.217)(1.218)(1.217)(1.218)Дисперсионное уравнение системы (1.213) имеет вид (Со —々％)2 一 Соp = 0,
(1.216)
(1.216)
(1.217)
(1.218)
(1.217)
(1.218)
где ^=\-ле1пе/т. Из него находим 々+ = ((о + СОр)/%, 力——(CO СОр)/?е.
Отсюда следует, что в отсутствие границ действительным k соответствуют действительные со. Следовательно, система в отсутствие границ устойчива, причем
т. е. ветви 々+(з), 々_(со) соответствуют распространению возмущений в одном направлении.
Учтем теперь существование границ. Общее решение системы (1.213) имеет вид
4/3/ _，&+хBe沁т + Cz” + Qg沁;
(1.219)(1.219)? = ^(｛力 e沁ff+х-Bh_e"f -叫
(1.219)
(1.219)
тырты
п =———(k\AeM^ik^ + ЕВе'"‘ Л).
Подставив (1.219) в граничные условия (1.214), (1.215), получим
—4ле/г(0)—论]力 + k-B = О,
(1.220)(1.220)_^ 啲)=h+A - h—B — i 器 С = О,
(1.220)
(1.220)
(p(0) = Л + 8 + £) = 0,
ср(厶)=4е'"' 一 *+丄 + Ве~ м * ik-L + CL + D.
Для того чтобы однородная система алгебраических уравнений имела
отличное от нуля решение, необходимо равенство нулю ее детерминанта
雑 々+雑 々+00一 k-一 k-0О0О
雑 々+
雑 々+
0
0
一 k-
一 k-
0
О
0
О
U — ik - L
Откуда
Lk+k^k+ + 力一)+ z^[*i 一厄一(*e- "L _ 力％-*+用=0. (1.221)
Уравнение (1.221) с учетом (1.217), (1.218) позволяет найти со как функцию параметров задачи. Введя новые переменные 己=—L(o//ue,
а = £s卩/〃，преобразуем (1.221)
廿(1 + a2) + 2a2^( 1 一 cos а?Т)—(廿一a2)a sin ae- = 0.(1.222)'
Для произвольных a решать уравнение (1.222) следует численными методами. Однако можно найти его приближенное решение вблизи границы устойчивости Imco = 0(Re^ — 0). Из условия 2 = 0 получаем следующее решение (1.222):
a = а〃 = л(2п +1),几=0, ± 1,
Разложив дисперсионное уравнение (1.222) вблизи этого решения в ряд Тейлора согласно формуле
限 a)= D(0, a) + 崇|『"黑I— (a —脑)+ ... = 0, a=anа = а°
окончательно находим в первом приближении
g = ^(a-a„)
ИЛИ
3 =-叶(2a+ 1) [3。一等(2a+ 1)] .(1.223)
Как видно из (1.223), неустойчивость развивается при ①卩 >^^ (2孔+ + 1). Так как Res = 0, то имеем апериодическую неустойчивость. Итак, существование границ приводит к возможности появления неустойчивости в системе (1.213).
Вообще говоря, существование границ в зависимости от конкретных условий может являться как стабилизирующим фактором, так и дестабилизирующим.
Автоволны. Рассмотрим некоторые модели автоколебательных динамических процессов в распределенных системах (автоволны). Для систем с конечным числом степеней свободы простейшей моделью автоколебаний является автономная динамическая система второго порядка
黑=А(〃,。)，(1224)
黑=&(〃,о),(1.225)
где функции F],尸2 таковы, что при определенных условиях система (1.224), (1.225) имеет устойчивый предельный цикл. Добавляя в правые части (1.224), (1.225) выражения, ответственные за описание диффузии, получим так называемую систему нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных типа реакция ——диффузия, которая при некоторых условиях может описывать автоволновой процесс
黑=△"+尸1(a, 0),(1.226)
雾=厶。+ 尸2(а, о),(1.227)
где в двухмерном пространстве
В силу нелинейности функции Ft,尸2 система (1.226), (1.227) достаточно сложна для анализа. Можно попытаться, используя конкретный вид F),尸2, найти такое преобразование, которое приводило бы исходную систему с распределенными параметрами к системе с конечным числом степеней свободы. Для функций вида
Fg и) = f(r)〃 — g(r)u,
&(〃，v) = g(r)u + Дг)у,
где г?=以2 + и?, такие преобразования представлены в [21]. На практике, однако, найти такого рода преобразования с учетом конкретных граничных условий удается редко.
В большинстве исследований исходное стационарное состояние проверяют на устойчивость, а затем с помощью того или иного варианта метода малого параметра строят так называемые укороченные системы нелинейных дифференциальных уравнений с конечным числом степеней свободы, приближенно описывающих поведение системы вблизи точки бифуркации.
В качестве примера реализации такого подхода рассмотрим, следуя [22], систему уравнений
=(力—1)〃 + а2у + u2v + (力/а%? + 2auv + "且匕，(1.228)
dtдх2
= — bu — а2и —以% ——(b/a)u2 ——2а〃и + £>2 -^-(1.229)
с граничными условиями
以(0, /) = 〃(£,/); 啲，f)=u(£, /)；
黑(0，/) =黑(0，/)； 黑(0，D =芻(。，卄(1-230)
где 丄 ——длина системы.
Исследуем устойчивость стационарного состояния 以=0, и = 0. Как обычно, ищем решение (1.228), (1.229) в виде
〃(芻 /) = Ci ехр (о/ + рх); и(х, /) = & ехр (о/ + рх),
где 0 = /<й, р = — /й. Из (1.228), (1.229) получим следующее выражение для дисперсионного уравнения:
(ст + 1 —力一£>ip2)(o + М — Z)2₽2) = — a2b.(1.231)
Анализ (1.231) показывает, что при b > ^ -\- а2 стационарное состояние 〃 =0, и = 0 абсолютно неустойчиво.
Общее решение системы, линеаризованной вблизи стационарного состояния, имеет вид
44
а(х, ?)= 2о(х, ?)= 2 匕”+眦，(1.232)
1 = 1( = 1
где р,——корни дисперсионного уравнения (1.231), причем р? = ^ и pl = pi-
Из граничных условий (1.230) получаем уравнение для определения 冃： П (1 - ехр (Р，Л)) = 0.
/ = 1
Следовательно: В1.2 = ± (2л/г/丄)，или Взу = ± (2冗孔/丄)，，/г = 0, 1, 2,...
Полагая р = ik, получим уравнение для определения о：
а2 + (1 - & + а2 + (01 + О»庐)о + а2(1 + D&) + 5^(1 - b + + £>/2) = 0.
Из критерия Рауса—Гурвица следует, что о будет отрицательным или будет иметь отрицательную действительную часть при
1 -Ь +а2 + (О, +D2)fe2>o,(1.233)
а2(1 + О/?) +。成* — b + D吟 > 0.(1.234)
Если условие (1.233) нарушится, то в системе возникнет колебательная неустойчивость (одно из значений а будет иметь положительную действительную часть и отличную от нуля мнимую часть). Если нарушится условие (1.234), то развиваться начнет апериодическая неустойчивость, которая приведет к стационарным во времени и периодическим в пространстве структурам (структуры Тьюринга).
Пусть внешние условия таковы, что система находится вблизи порога возбуждения колебательной неустойчивости. Введем малый параметр £ = I/力一1 — а2/а. Полагая и = eU, и = eU, получим с точностью до второго порядка малости из (1.228), (1.229) следующую систему уравнений：
—-a2t/ - a2V = ъ(—иг + 2аU+ e2(U2V + a2U) + 0) dt'a/дх2
(1.235)
* + (1 + a2)U + 公1/ = 一 е (g 炉 + 2aUl/) — e2(U2V + a?U) +
При колебательной неустойчивости
0 & /г2 V ^ =(匕一1 一 ^)/(f>I+ 力2)
и условие (1.234) выполняется. Ищем решение (1.235) в форме
U(f, х) — 4(/) cos (а/ + 力尤 +(p(/)),
V(t,尤)=—Л(/) ‘I j cos {at + 力尤 + 屮(/) —go),(1.236)
(po = arctg (1 /a),六=2nn/L, n & N = entier (女加厶/2jt).
Подставляя (1.236) в (1.235) и используя усреднение в рамках метода Крылова—Боголюбова, получим во втором приближении укороченнук) систему уравнений для X(Z) и (р(/)：
〜兄(八一公)-(止+屮］4(-7)
普=£ [ а у 〜(瑞+勺》1(1.238)
Из уравнения (1.237) находим амплитуду, а из (1.238)——частоту автоволны
Ае = 2а^--^±^-к^/^^^}\ '/2,
*予2一（金+中兴）
Автоволны, определяемые (1.236), существуют с k < km, причем максимальную амплитуду имеет автоволна, соответствующая п = 0.
Рассмотрим устойчивость полученных автоволн. Добавим к установившейся автоволне малое возмущение
U = 4© cos (q£ + /гх +(ро) + 4 cos (削 + knx + 屮)，
где k < km, kn < km. Тогда из линеаризованного уравнения (1.237)
а + £>2 储—а + £>2 储—а2 + 22 а2а2 + 22 а2屋）屋）
а + £>2 储—
а + £>2 储—
а2 + 22 а2
а2 + 22 а2
屋）
屋）
Как видно, автоволна будет устойчива, если
—MJ ”v°.—MJ ”v°.(1.239)(1.239)
—MJ ”v°.
—MJ ”v°.
(1.239)
(1.239)
Если условие (1.239) справедливо для /г = 0, то оно будет справедливо и для любых п. Поэтому, положив в (1.239) гг = 0, получим
Подставляя в это неравенство выражение для Ае, окончательно имеем
为2 /— Bin
「2(爲 + Zb) = 丁
Таким образом, устойчивы только те автоволны, для которых 々 V km /Т.
Глава 2
ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННАЯ ИЕРАРХИЯАВТОКОЛЕБАТЕЛЬНЫХ ПРОЦЕССОВПРИ ВОЗДЕЙСТВИИ КПЭ НА МАТЕРИАЛЫ
ТЕМПЕРАТУРНОЕ ПОЛЕ КАК ПАРАМЕТР ПОРЯДКА
При воздействии КПЭ на материалы наблюдается широкий круг явлений: нагрев материала, плавление, испарение материала, образование плазмы, конденсация пара, химические превращения, диффузия, перемешивание примеси в расплаве и т. д. Их совокупность описывается набором соответствующих физических величин (Ti, Т2,…，丁尼)・ Изменения во времени и пространстве определяются системой эволюционных уравнений гидродинамического типа, которые формально представим в следующем виде:
(2.1)(2.1)^-=乙(Т1, 丁2,…，丁叫 g), / — 1, 2, ..., n,
(2.1)
(2.1)
где / — время； q — плотность КПЭ; L — операторы, определяющие, в частности, внутренние связи между величинами П, 丁2,…，Тп.
Временная иерархия переменных. В общем виде система уравнений (2.1) очень сложна. Упорядочим ее в соответствии с характерными для Г( пространственно-временными масштабами.
Пусть R, — характерный пространственный масштаб изменения Г(； и,—— характерная скорость; V Т, > — среднее по пространству. Вообще говоря, пространства изменения различных величин не должны обязательно совпадать. Так, температурное поле материала мишени определено в объеме материала, а поле плотности окружающей мишень газовой атмосферы — вне ее.
Усреднив каждое уравнение системы (2.1) по соответствующему пространству, получим уравнения для изменения средних величин во времени:
d V T, > dt 一 一/ = 1, 2, ..., n.d V T, > dt 一 一/ = 1, 2, ..., n.V 北 > 一 п0V 北 > 一 п0■h G,( V Ti > , V Т2 >, ... g),■h G,( V Ti > , V Т2 >, ... g),(2・2)(2・2)
d V T, > dt 一 一
/ = 1, 2, ..., n.
d V T, > dt 一 一
/ = 1, 2, ..., n.
V 北 > 一 п0
V 北 > 一 п0
■h G,( V Ti > , V Т2 >, ... g),
■h G,( V Ti > , V Т2 >, ... g),
(2・2)
(2・2)
Здесь т；〜Ri/vi ——время релаксации (время затухания возмущения) соответствующей величины； 丁2 ——константа, характеризующая внешние, условия； функции Gi 一 характеризуют взаимосвязь различных величин.
.Пусть V Пе> — стационарное решение системы (2.2)
V Tie > — TiOV Tie > — TiOTjTj-|- Gj( V Пе >, V『2e >,•••, 9)= 0,-|- Gj( V Пе >, V『2e >,•••, 9)= 0,
V Tie > — TiO
V Tie > — TiO
Tj
Tj
-|- Gj( V Пе >, V『2e >,•••, 9)= 0,
-|- Gj( V Пе >, V『2e >,•••, 9)= 0,
Введем безразмерные величины a; = ( V Tj > ——V Tz> >)/V Tte >, тогда система (2.2) примет вид
(2.3)(2.3)=—+ 以尤1，无2,…，g丿,
(2.3)
(2.3)
g,(0, 0, g) = 0, 2=1,2,..., n.
Пусть для определенности ti > T2 > ... > т^ > 0. Проведем, следуя [2],
анализ системы (2.3) в «адиабатическом приближении». Рассмотрим вначале одно уравнение типа (2.3).
(2-4)(2-4)Решение (2.4) имеет вид
(2-4)
(2-4)
dtТ2 Tt
где %[(/) предположим является известной функцией времени, г
冷(/)=，еТ'Т)/"^^ 珞(2.5)
О
Как следует из (2.5), значение 尤2 в момент / определяется предысторией изменения %【от / иа временном промежутке [0, /]. Положим
X] = а ехр (— f/ti).
Тогда
死(‘)=不譚%('一 公一e一&).(2.6)
Пусть Т|》Т2, т. е. характерное время изменения %i значительно больше характерного времени релаксации 尤2・ При этом условии
%2(/) = а(т2/т1) ехр (— //ti) = (T2/ti)Xi(/).(2.7)
Таким образом, в этом случае значение %2 в момент / определяется значением %[ в тот же момент f, т. е.尤2 следует за %【，мгновенно реагируя на ее
изменения.
Рассмотрим теперь на конкретном примере систему из двух уравнений dx\/dt — — w/ti — £打尤2,(2.8)
dx21dt ——无2八2 + 卩涼(2.9)
Пусть соблюдается условие справедливости адиабатического приближения п》Т2・ Тогда dx^/dt а 0 и, следовательно:
х2 = т2цх?.(2.10)
Подставим (2.10) в (2.8) и получим
dx\/dt = 一 ％i/ti — ет2цх?.(2.11)
Итак, систему из обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка (2.8), (2.9) свели к одному дифференциальному уравнению первого порядка (2.11). Аналогичную процедуру можно проделать и с системой из п уравнений типа (2.3), последовательно исключая переменные с малыми временами релаксации.
При воздействии КПЭ на материалы, как правило, наиболее инерционными являются тепловые процессы (самое большое время релаксации). Пусть Т\ описывает температурное поле материала, а Т] его время релаксации. Тогда в системе (2.3) температурное поле материала является параметром порядка в смысле определения этого понятия в [2]. Под температурное поле материала все остальные физические величины подстраиваются, оно управляет, руководит ими, наводит среди них порядок.
Пусть условие адиабатичности выполнено ti > Е2 > ... > Trt. Тогда, нс- ключая из системы (2.3) переменные 工小 хп —丨,...,尤2, приходим к уравнению
первого порядка для безразмерной средней температуры dxi/dt = — m/ti + gi(w, g) = 0,(2』2)
gi(0, 9)= о.
Как показывают результаты работы [23], процедуру адиабатического исключения переменных можно использовать и в тех случаях, когда xi, 尤2, •••, хп являются стохастическими переменными.
Переходя в (2.12) к размерным величинам, имеем
—dt—=^+Gi(< 如 >，办—dt—=^+Gi(< 如 >，办(2.13)(2.13)
—dt—=^+Gi(< 如 >，办
—dt—=^+Gi(< 如 >，办
(2.13)
(2.13)
где Gi(v 71 >, g) ——эффективный тепловой источник, который, вообще говоря, сам зависит от средней температуры. Возвращаясь от описания нагрева материала через его среднюю температуру (2.13) к описанию нагрева посредством распределений температуры в пространстве и времени, приходим к уравнению теплопроводности в частных производных, или, другими словами, к системе с распределенными параметрами. В линейной постановке такие задачи рассмотрены в классическом труде [24].
Устойчивость процесса нагрева. Рассмотрим качественно характер изменения температурного поля материала при учете лишь тепловых степеней свободы. В данном пункте q не зависит от времени и является параметром, в зависимости от которого характер решений может меняться. Пусть температурное поле материала описывается уравнением (2.13). Оно является самой простейшей моделью процесса нагрева и соответствует динамической системе первого порядка.
Проанализируем несколько характерных случаев.
Пусть Gi(V 71 >, д)三'о, где до — максимальная скорость нагрева, которую может обеспечить источник энергии при полном поглощении КПЭ материалом мишени. В этом случае температура от времени зависит монотонно, причем через время 〜tj практически достигается стационарная температура Тт = Гю + Tigo (рис. 2.1, кривая 1). Графически значение Тт соответствует пересечению функций скорости нагрева до и скорости охлаждения (V Ti > — Г]0)/т1 (рис. 2.2). Состояние системы в момент / характеризуется положением точки Р на оси абсцисс (рис. 2.2). Процессу нагрева соответствует движение этой точки по оси абсцисс от начальной точки, Гю к стационарной Тт.
Рассмотрим устойчивость стационарного состояния Тт. Положим V 八 > 一 Тт = х\Тт, Ml《1. Тогда из (2.13) имеем
dxi/dt = — -Х1/т|. (2.14)
Решение (2.14) имеет вид х\ = А ехр (——//ti). Так как Т] > 0, то стационарное состояние Тт устойчиво. Любое возмущение температуры Л, возникшее в момент £ = 0, затухает при f f оо.
Пусть Gi(v7i>, q) = hqo, ^ < 1, где k — коэффициент поглощения КПЭ материалом, причем в данном случае считаем его постоянным. Характер зависимости температуры от времени монотонный, через время 〜ti практически достигается стационарная температура Г^ = Гю + Т|^ф), 7\ V Тт (кривая 2 рис. 2.1). Точка Р движется от Гю к Т^ (рис.^.2); стационарное состояние Tk, так же как и Тт, устойчиво.
Положим Gi(vTi>, 9)= 9。九(V Ti >), причем 九(丁io)=l,
Рис. 2.2. Диаграмма процесса нагреваРис. 2.2. Диаграмма процесса нагрева
Рис. 2.2. Диаграмма процесса нагрева
Рис. 2.2. Диаграмма процесса нагрева
dxidtdxidtfi(< Т{ >) — монотонно убывает с возрастанием <Т】>.В этом случае стационарному состоянию соответствует точка Т, (рис. 2.2), а зависимости температуры от времени — кривая 3 (рис. 2.1). Исследуем устойчивость стационарного состояния Т(. Из (2.13) имеем
dxidt
dxidt
；TG =-饮刀方7 Т'、
T| TG uF ，d V T| >
Так как {df\/d < Г1 >) C 0, то стационарное состояние 7} устойчиво.
Пусть теперь зависимость Gi(V Т| >, q) определяется кривой, представленной на рис. 2.3. Тогда имеется три состояния равновесия Р^ 巳，Рз, из которых 。2 — неустойчивое, a Pi и Рз ——устойчивые. Если процесс нагрева начинается с температуры Тю, то изображающая процесс нагрева точка Р будет асимптотически приближаться к стационарному состоянию Р\. За счет какого-либо внешнего возмущения, амплитуда которого больше разности 巳 一 Pi, изображающая точка Р может попасть в область притяжения стационарного состояния Рз, и в процессе нагрева система будет стремиться к стационарному состоянию Рз.
、Во всех рассмотренных случаях функция G〔(V П >, д) была однозначной аналитической функцией температуры V С > . При таких ограничениях (4) процесс нагрева не может вызвать периодического изменения температуры V 71 > во времени ни при каких видах зависимости G)(< П >, д). Система всегда будет стремиться к какому-нибудь стационарному состоянию, выбор которого будет определяться начальным значением температуры Гю.
Таким образом, для процесса нагрева, описываемого динамической системой с тепловой 1 /2-степенью свободы типа (2.13), характерны монотонные зависимости температуры от времени, причем с течением времени температура поверхности нагреваемого материала стремится к стационарному состоянию. Данное утверждение можно перенести, не рассматривая -^строгие математические доказательства, и на процесс нагрева материала КПЭ, описываемый диссипацией тепла в системе с распределенными параметрами, т. е. уравнением теплопроводности в частных производных.
В качестве примера рассмотрим следующую тепловую задачу, близкую
по постановке к (2.13) и учитывающую распределенность системы
(2」5)
^4г Ь = о = QofG)，兀⑴三 7(/，0), Т(/, 一厶)=Го,(2.16)
где L ——длина материала; g ——коэффициент температуропроводности; Xs — теплопроводность материала; Qo — плотность КПЗ, которую создает источник энергии; /(Т§) — коэффициент поглощения КПЭ поверхностью материала; Ts — температура поверхности.
Найдем стационарное решение уравнения (2.15) при граничных условиях (2.16). Положим
Te(Z)= Z^A(z+ 厶)+ Г。，
где Tse 一 стационарная температура поверхности материала, которая в соответствии с (2.16) определяется из уравнения
(2.17)(2.17)尢 т* [ % = <м%).
(2.17)
(2.17)
Пусть функция ，(7$е) определяется кривой, представленной на рис. 2.4 (ср. с рис. 2.3). Исследуем на устойчивость стационарное состояние, соответствующее точке А. Положим
①，z) = (2 - 7о)(1 + 2/L) + Го + P2〃(f, 2). (2.18)
Подставив (2.18) в (2.15) и в линеаризованное вблизи стационарного решения 2 граничное условие (2.16), получим
(2.19)
(2.20)(2.20)(2.21)(2.22)(2.23)(2.24)(2.21)(2.22)(2.23)(2.24)ди I〃.,_]_ дТе д \п f I
(2.20)
(2.20)
(2.21)
(2.22)
(2.23)
(2.24)
(2.21)
(2.22)
(2.23)
(2.24)
■^7 I z = 0 = 7，= FI z = 0" =
Ищем решение (2.19), (2.20) в виде 〃 = e°‘8(z). Тогда ^z) = Aleikz + A2e~ik\ 庐=一(у/g,
Л^- tkL A2elkL = Qy
ikA I — ihA? = (4 + 小)/厶
Введем обозначения 丸 =々厂 + 2々八 где kr —— действительная, а Л( — мнимая части комплексного числа k. Примем, что 厶》废/一1 Равенство (2.23) в этом случае будет приближенно выполняться при условии 丸i V0, <2 = 0 или 々j > 0, Л! = 0. Пусть справедливо первое условие. Тогда из (2.24) следует 々=—〃厶 Таким образом, из (2.22) окончательно получаем
。=—g(-〃/)2 = g/»>0. (2.25)
Такой же результат получается и при выполнении второго условия. Как видно из (2.25), u(Z, z) -> 0 при />0, 2 f —厶 и, следовательно^ стационарное решение, соответствующее точке Р2, является неустойчивым по от-
Рис. 2.3. Диаграмма процесса нагрева с несколькими стационарными состояниямиРис. 2.4. Диаграмма процесса нагрева системы с распределенными параметрамиРис. 2.3. Диаграмма процесса нагрева с несколькими стационарными состояниямиРис. 2.4. Диаграмма процесса нагрева системы с распределенными параметрами
Рис. 2.3. Диаграмма процесса нагрева с несколькими стационарными состояниями
Рис. 2.4. Диаграмма процесса нагрева системы с распределенными параметрами
Рис. 2.3. Диаграмма процесса нагрева с несколькими стационарными состояниями
Рис. 2.4. Диаграмма процесса нагрева системы с распределенными параметрами
ношению к малым возмущениям. Итак, если для термически тонкого материала Л -^ \kj\ ~1 стационарное состояние, отвечающее точке 尸2, было неустойчиво, то и для термически толстого материала А》肉L оно оказалось неустойчивым. Следовательно, учет распределенности (бесконечное число тепловых степеней свободы) не повышает устойчивость системы, описываемой уравнением (2.13). Физически этот результат отражает то, что тепловые степени свободы связаны с процессами диссипации энергии и в отсутствие степеней свободы иной природы, чем тепловые, увеличения их числа не приводит к качественным изменениям.
Воздействие периодическим во времени КПЭ. Рассмотрим качественно характер зависимости температурного поля материала при воздействии на него периодического во времени КПЗ. Начнем с самой простой модели процесса нагрева (2.13).
Пусть Gi(v 丁1 >, g) = go + x^o cos mt, где x характеризует амплитуду внешней «силы», а(о ее частота. Тогда из (2.13) имеем
近一—= 一 —-~--—1—+ go + xgo cos(2.2b)
Решение (2.26) имеет вид
< Ti > = Гю ехр (— 〃Ti) + 1/(1 — exp (— //ti)) +
I T|X(?o cos(о/ —— тix(?o exp (——Z/ti) + т^зхдо sin
Установившиеся колебания при ff оо:
V Т| > = Tm + Um C°S 3/ + 矶3 sin 3’ .(2£?
1 + T1(O2，
Если ti(o《1, т. e. изменение внешней силы происходит медленно по сравнению с характерным временем релаксации системы п (адиабатиче-
с кое приближение), то
Т)^^ Тm + xT'm cos (о/,
и, следовательно, температура материала отслеживает изменения во времени кпэ.
Если Т[(о》1, т. е. изменение внешней силы происходит очень быстро по сравнению с то из (2.27) следует
V 7| > ^ Ли + к〃 sin(o//ti(o.
Как видно, амплитуда колебаний уменьшается с ростом частоты, как(о-1, и при достаточно большой частоте изменения КПЭ температура поверхности материала не чувствует колебаний.
Учтем влияние распределенности системы. В качестве примера рассмотрим нагрев полубесконечного тела в следующих условиях.
dtdtg*'Zd (— 8'°)'g*'Zd (— 8'°)'
dt
dt
g*'Zd (— 8'°)'
g*'Zd (— 8'°)'
Ti(0, z) = Гю, Г1(/, 一 оо) = Тю, 九s *? I z = о = Qo + xQo cos(o/,
Положим T\ = Tie + w, где Г1е является решением задачи (2.28), (2.29):
包互=g 再，8,0],(2.28)
Пе(0, 2)= По, Т)(/,-
—8)=「10,
怎 *，[ = 0 = Qo,
(2.29)
а и — решением задачи
(2.30), (2.31):
=巨，2 W (- dt * 小炉
-8,0],
(2.30)
w(0, z) = 0, е(/,—— 8
) = о,
九S ~^~ L = 0 = kQo C0S з/.
(2.31)
(2.32)(2.33)(2.32)(2.33)Найдем решение (2.30), (2.31), соответствующее установившимся колебаниям. Так как задача (2.30), (2.31) линейна, то ее удобно представить в комплексном виде, а именно
(2.32)
(2.33)
(2.32)
(2.33)
九s -^- L = о = 乂Qo?叫辽«, — oo) = 0.
Ищем решение в виде и ~ A exp /(<о/ + kz), тогда из (2.32), (2.33) следует
Таким образом, окончательно получаем после выделения из этого выражения действительной части, решение задачи (2.30), (2.31):
(2.34)(2.34)a=袒。7^ eхp (/壶 z)cos (3/+ /^2 一 ^)
(2.34)
(2.34)
Время установления колебаний типа (2.34) не менее 2冗(0一1 Из (2.34) видно, что температура поверхности материала отстает по фазе на л/4 от КПЭ, т. е. максимум температуры поверхности от максимума КПЭ. При увеличении частоты изменения КПЭ во времени толщина приповерхностного слоя материала, которая чувствует изменения КПЭ, уменьшается, характерная толщина К 〜/2 g /(о . Например, при g = 10_| см2/с (характерное значение для металлов) для(о/2冗=10 Гц 4)=1()т см, а для (о/2л = 103 Гц /3 — 10-'2 см. Из (2.34) также следует, что амплитуда колебаний температуры поверхности уменьшается с ростом частоты, как
Периодические w стохастические автоколебания. Рассмотрим теперь возможный характер изменения температурного поля материала с учетом нетепловых степеней свободы, в качестве которых могут быть химическая, гидродинамическая, газодинамическая, плазменная или иной природы степени свободы.
Пусть процесс нагрева описывается динамической системой второго по
рядка
(2.35)(2.35)dVTi>V7i> — ТI() q , т、
(2.35)
(2.35)
—不一=—:h S(VQ>, <Q>, q).
二^=^—+ S(v " >，V。>，办二^=^—+ S(v " >，V。>，办(2.36)(2.36)
二^=^—+ S(v " >，V。>，办
二^=^—+ S(v " >，V。>，办
(2.36)
(2.36)
где Vq> — соответствует нетепловой 1 /2-степени свободы. При постоянном во времени КПЭ (q — не зависит от времени и является параметром) система уравнений (2.35), (2.36) может иметь в качестве решений монотонные зависимости <Т|> и Vq> от времени. Однако при определенных условиях, налагаемых на функции Gi и G2, система (2.35), (2.36) может иметь периодические во времени решения, которым на плоскости V * >, V Q > соответствуют замкнутые траектории — предельные циклы. Такие периодические колебания называют автоколебаниями.
Рассмотрим более подробно основные черты автоколебательного процесса.
«Автоколебательной системой обычно называют систему, преобразующую энергию постоянного источника в энергию колебаний. Необходимыми элементами всякой автоколебательной системы являются: 1) собственно коле- —Нательная система; 2) источник постоянной энергии; 3) элемент, управляющий поступлением энергии в колебательную систему, который мы условно назовем клапаном; 4) цепь обратной связи между колебательной системой
и клапаном» [25) (рис. 2.5). Предположим, что в случае нагрева материала КПЭ общая схема автоколебательной системы имеет вид, представленный на рис. 2.6.
Пусть в момент / = 0 включается постоянный во времени КПЭ. С течением времени (/ +оо) состояние системы стремится к своему стационарному значению. Возможны два случая.
Первый q V qc. Стационарное состояние устойчиво. В этом случае обратная связь между тепловой 1 /2-степенью свободы и нетепловой является отрицательной, т. е. она уменьшает амплитуду возмущений, возникающих в системе, и притягивает систему к стационарному состоянию.
Рис. 2.5. Общая схемаавтоколебательной системы [25]
Второй: 7 > qc. Стационарное состояние неустойчиво. В этом случае обратная связь между тепловой степенью свободы и нетепловой для малых амплитуд возмущений является положительной, т. е. она увеличивает амплитуду возмущений, возникающих в системе. Происходит раскачка колебаний. Однако амплитуда колебаний нарастает не до бесконечности. Когда она становится больше некоторого значения, обратная связь «меняет знак», т. е. для достаточно больших амплитуд обратная связь отрицательна. Конкуренция положительной и отрицательной обратных связей приводит к установлению между ними равновесия —— стационарных автоколебаний.
Характер поведения системы может измениться при учете дополнительных степеней свободы. Рассмотрим систему с 1,5-степенью свободы:
+ d(V П >, V Q >, V и >, д),(2.37)
Vq>dtVq>dtV Q > — QoV Q > — QoТ2Т2+ d(v П >, V Q >, V и >,办+ d(v П >, V Q >, V и >,办(2.38)(2.38)~~dt~~~dt~V " ； 一 "° + G3(V T1 >，v Q >，v U >, g),V " ； 一 "° + G3(V T1 >，v Q >，v U >, g),(2.39)(2.39)
Vq>dt
Vq>dt
V Q > — Qo
V Q > — Qo
Т2
Т2
+ d(v П >, V Q >, V и >,办
+ d(v П >, V Q >, V и >,办
(2.38)
(2.38)
~~dt~
~~dt~
V " ； 一 "° + G3(V T1 >，v Q >，v U >, g),
V " ； 一 "° + G3(V T1 >，v Q >，v U >, g),
(2.39)
(2.39)
где V и > — дополнительная переменная. Как было показано выше, при определенных условиях, накладываемых на Gi, G2, G3, в динамической системе (2.37) — (2.39) -могут возникать стохастические автоколебания.
Таким образом, эволюцию автоколебательной системы при воздействии КПЭ на материал в общих чертах можно представить следующим образом. При q V % стационарное распределение температурного поля материала устойчиво, нетепловые степени свободы не играют существенной роли в процессе нагрева, они заморожены. При q > q^ в системе возбуждаются периодические автоколебания, температура поверхности материала периодически изменяется во времени, хотя форма автоколебаний может, вообще
кпэ
Рис. 2.6. Общая схема автоколебательной системы при нагреве материала КПЭ говоря, довольно сильно отличаться от формы гармонических колебаний. В системе дополнительно к тепловым степеням свободы возбуждается нетепловая степень свободы. При g > 柒2 в системе возбуждаются стохастические автоколебания, температура поверхности материала изменяется во времени случайным образом, причем характеристики этого случайного процесса являются выражением внутренних свойств (связей) системы, а не внешнего шума. Конкретные значения qc\, q& должны зависеть от энергетических и геометрических характеристик КПЗ, теплофизических характеристик материала и т. п.
Представленное выше описание, конечно, не исчерпывает всего множества автоколебательных режимов, которые могут возникать при воздействии КПЭ на материал. Однако оно отражает общие свойства автоколебательных систем: спонтанное возникновение как периодических, так и стохастических колебаний температурного поля материала, характеристики которых, еще раз подчеркнем, определяются внутренними связями системы, а не характеристиками внешней возбуждающей силы или шумов.
\
ПРОЯВЛЕНИЕ АВТОКОЛЕБАНИЙ В ЭКСПЕРИМЕНТАХ
Рассмотрим общую схему воздействия КПЭ на материал. Основными параметрами, характеризующими процесс, являются: до ——плотность КПЭ; ◎g —плотность газовой среды, через которую проходит к поверхности материала КПЭ; Q『一 плотность газовой среды вблизи поверхности материала; R — радиус КПЭ; L — длина КПЭ. Как правило,厶》R.
、Вообще говоря, КПЭ может состоять из нескольких сортов частиц (фотоны, электроны, ионы различных атомов и различной кратности). Пусть 九匕——длина свободного пробега наиболее энергетичных частиц. Условие 九匕》厶 соответствует воздействию пучка частиц на материал, т. е. частицы пучка в пространстве между источником частиц и обрабатываемым материалом могут двигаться и без ускоряющих внешних сил. В противном случае 1kbM R для ускорения частиц необходимо внешнее поле (например, электрическое поле для поддержания электрической дуги).
Электронный луч. Рассмотрим воздействие электронного луча, сформированного электронной пушкой, на металл. Естественно, что физические характеристики воздействия зависят от параметров электронного луча, которые, в свою очередь, определяются параметрами электронной пушки и процессом распространения электронного луча от электронной пушки к обрабатываемому материалу. В процессе распространения характеристики электронного луча могут изменяться за счет воздействия на луч внешних
электрических и магнитных полей, собственного электрического и магнитного полей, взаимодействия луча с газовой, ионизованной средой, находящейся между электронной пушкой и обрабатываемым металлом. /
Взаимодействие электронного луча с собственными электрическим и магнитным полями зависит в основном от плотности электрического тока пучка, а взаимодействие с газовой средой ——от плотности газовой среды, степени ее ионизации, геометрических размеров областей газовой среды по отношению к геометрическим размерам пучка. В данном пункте считаем, что внешние поля постоянны во времени, модуляция пучка в пространстве и времени за счет внешних условий отсутствует.
Как уже отмечалось в п. 2.1, теплопроводность в металлическом материале при обработке его КПЭ является самым медленным процессом. Поэтому в среднем каждому распределению температуры в материале соответствует свое пространственное распределение плотности газовой, ионизованной среды. Чем температура металла выше, тем интенсивней с его поверхности идет испарение и плотность газовой среды возрастает. Если интенсивность испарения столь высока, что давление насыщенных паров металла существенно выше первоначального давления газовой среды, т. е. давления в момент включения электронного луча, то вблизи поверхности металла образуется паровое облако (факел). Плотность в факеле существенно больше плотности газовой среды в остальном пространстве между электронной пушкой и обрабатываемым металлом.
Весь процесс нагрева материала КПЭ можно разбить на два этапа.
На первом этапе происходит разогрев материала, на втором — поддержание в зоне воздействия КПЭ заданного температурного режима. На первом этапе распределение плотности газовой среды меняется на несколько порядков, особенно вблизи поверхности материала. В течение этого этапа механизмы взаимодействия электронного луча с газовой средой существенно изменяются, т. е. в течение разных промежутков времени, которым соответствуют свои сравйительно постоянные пространственные распределения плотности газа, доминирующие механизмы различны.
Рассмотрим неустойчивости, которые могут развиваться в процессе воздействия электронного луча на металлы в зависимости от плотности и степени ионизации газовой среды [26].
Пусть электронный пучок распространяется в пространстве, ограниченном металлическими стенками. Собственный электрический пространственный заряд пучка создает электрическое поле, которое вызывает размытие пучка. При достаточно большой величине электрического тока он запирается собственным пространственным зарядом (неустойчивость Бурсиана). Величина предельного тока, порога неустойчивости Бурсиана 1В определяется выражением
/ — 2 (2е、"2 Vo/2
в — У 丿 2 1rl (Q/2R) ' (2《о, где Ио ——потенциал электронов на выходе из электронной пушки; е — заряд электрона; m — масса электрона; D — диаметр камеры. Формула (2.40) справедлива при О》R. Для экспериментов, представленных в [27], типичны следующие значения： % = 20 кВ, О = 1 м, А = 10- 3 м. Тогда 1В 4 5,2 А, что значительно превышает максимальный ток (250 мА), использовавшийся в экспериментах.
Если пространственный заряд электронного пучка скомпенсирован положительными ионами, которые образуются, например, при ионизации электронным пучком атомов остаточного газа, то все же нельзя получить электронный луч с произвольно большой величиной электрического тока. Предельный ток, который можно достичь, скомпенсировав пространственный заряд пучка, называется предельным током Пирса /Р, причем 1Р = 3 /3" 1В. Механизм неустойчивости Пирса связан с условием поддержания эквипотенциальности окружающих пучок металлических поверхностей и сеток.
Время развития неустойчивости Пирса имеет порядок пролетного времени Eo/厶，где «о = (2eVo/m)1/2 — скорость электронов пучка на входе в систему. Пусть Ио = 20 кВ,厶=1 м, тогда 弘)=8,3 • 107 м/с, а 卫о/厶^ 10-8 с.
Оценим время нейтрализации электронного луча:
Tj (ZZ()O"j〃),
где к。一 плотность атомов нейтрального газа; w — скорость частиц пучка; (\ — эффективное сечение ионизации газа электронами пучка. Положим по ^ 4 • 1010 см~3, что соответствует давлению остаточного газа 〜10~6 мм рт. ст., о,〜10-16 см2, «о 〜Ю9 см/с, тогда т( V 10-4 с.
Эксперименты показывают, что в ряде случаев срыв тока квазинейтраль- ного пучка происходит и при /V /Р. Такое поведение пучка обусловлено развитием электрон-ионной неустойчивости. Под квазинейтральным пучком понимается такое состояние, в котором «пучок состоит практически из двух компонент: быстрых (первичных) электронов и нейтрализующих ионов, третья компонента — медленные (вторичные) электроны — практически отсутствует» [26). Это условие выполняется, .если
т iт + — 2 L / и+,
где 。+ — средняя скорость ионов. Положим 厶=1 м, и+ = 2,5 • 106 см/с, w = 109 匸м/с, о,〜10-16 см2. Тогда условие (2.41) выполняется при давлении остаточного газа меньше чем 2,5 • 10-6 мм рт. ст. Характерная частота, которой отвечают рассматриваемые колебания, близка к ионной ленгмюровской частоте.
(01(0+ = (4л〃 + ?2/М)"2,
где М — масса атома остаточного газа. Эта частота в рассматриваемых условиях больше 102 кГц. Время развития неустойчивости 〜10-5 с.
В условиях, сходных с условиями развития электрон-ионной неустойчивости, может развиваться электрон-электронная неустойчивость, типичные значения частоты колебаний 102—104 МГц. Данные колебания наблюдаются и при процессах электронно-лучевой обработки материалов [28].
Ионный луч. Физические явления, происходящие при воздействии ионного луча на материал во многом сходны с явлениями, наблюдающимися при воздействии электронного луча [26, 29]. В этом случае также в прост- растве между ионной пушкой и обрабатываемым материалом находится ионизованный газ (плазма), при использовании достаточно мощного ионного потока в материале образуется расплав. Точно также, как электронный пучок при достаточно большой силе тока запирается своим собственным пространственным зарядом, ионный пучок тоже запирается своим зарядом.
При воздействии на металл ионного потока с мощностью 5 • 104 Вт/см2 в плазменном столбе между источником КПЭ и обрабатываемым материалом развивается ионно-звуковая неустойчивость с частотой ~ 103 кГц [29).
Плазменный пучок, инициируемый электронным лучом [26). Выше обсуждались неустойчивости в ситуации, когда плотность электронов пучка близка к плотности нейтрализующих ионов, причем т( > т+，где т,——время, в течение которого электронный луч создает в единице объема число ионов, равное плотности луча, а т+ ——время жизни иона при его свободном движении. Если, наоборот, т+ > т/, то в пучке возникнет избыток ионов, которые будут удерживать вблизи пучка- медленные (вторичные) электроны, т. е. квази нейтральный пучок будет распространяться через плазму. Такую трехкомпонентную систему называют плазменным пучком.
Неустойчивости, развивающиеся в плазменном пучке, делят на две группы. Первая группа содержит неустойчивости, которые приводят к радикальной перестройке плазменного пучка, такое явление еще называют разрушением плазменного пучка. Вторая группа неустойчивости заключается в раскачке ВЧ-электронных колебаний в условиях, когда не происходит развитие неустойчивостей первой группы и, естественно, разрушение плазменного пучка также не происходит.
Далее основное внимание в этом пункте уделено неустойчивостям первой группы.
Параметром, характеризующим соотношение между плотностью электронов пучка и плотностью электронов плазмы, является относительная плотность плазмы К = Пе/П], где пв — плотность электронов плазмы; rt\ ——плотность электронов пучка.
При распространении электронного пучка в плазме выделяют два различных режима. В первом ^ > К©, где Ко — некоторое критическое значение. В этом случае пучок в плазме называют макроскопически устойчивым. Электроны пучка свободно проходят через плазму и достигают поверхности материала, амплитуда колебаний тока пренебрежимо мала. Во втором режн- ме К « К- Пучок сильно неустойчив, что является причиной интенсивных колебаний тока. Амплитуда этих колебаний велика и сравнима с величиной самого тока пучка, причем колебания в пучке состоят из релаксационных колебаний с частотой 103——104 Гц и высокочастотных ——с частотой 〜102 МГц ВЧ-колебания происходят только в течение времени f i, где 九一часть периода релаксационных колебаний tr. Электроны пучка свободно проходят через плазму только в течение 勿=厶 ——/ь а в течение t\ пучок практически заперт.
Эксперименты показали, что критическая относительная плотность плазмы равна
Кс = 4а/〃，(2.41)
а условие неустойчивости
/1 > "
ИЛИ
ri\U > neve/^,(2.42)
где /| = n\U — плотность электронного тока в пучке; /е = neve/4 — плотность электрического тока электронов плазмы; ve — скорость электронов плазмы.
Пучково-плазменный разряд [26, 30]. Помимо ионизации атомов нейтрального газа электронами пучка, происходит ионизация газа и вторичными электронами. При определенных условиях влияние вторичных электронов может стать доминирующим. В этом случае говорят, что возникает пучковоплазменный разряд. Пучок будет передавать свою энергию ленгмюровским колебаниям плазмы, которые будут нагревать электроны плазмы, а те, 70
в свою очередь, будут ионизировать газ. Отношение скоростей ионизации газа вторичными электронами и электронами пучка имеет вид
n，lG\Un，lG\Uпе < о“ >пе < о“ >
n，lG\U
n，lG\U
пе < о“ >
пе < о“ >
где ломаные скобки обозначают усреднение по энергетическому спектру плазменных частиц;仃加 ——максимальное сечение ионизации газа; ls ——энергия ионизации газа.
При возникновении пучково-плазменного разряда плотность плазмы лавинообразно нарастает. Она нарастает до тех пор, пока это не вызовет уменьшение Т@, после чего плотность плазмы достигает насыщения.
Условия зажигания разряда заключаются в следующем:
длина свободного пробега электронов пучка должна быть больше характерного размера плазмы:
инкремент неустойчивости, т. е. величина, обратная времени развития неустойчивости, должна быть больше частоты столкновений электронов плазмы с тяжелыми частицами.
Еще раз подчеркнем, что для существования пучково-плазменного разряда доминирующее значение имеет раскачка пучком ленгмюровских колебаний плазмы, частота которых лежит в области ВЧ-колебаний 102——104 МГц.
Взаимодействие электронного луча с материалом. Рассмотрим результаты экспериментального исследования электронно-лучевой обработки металлов при величине ускоряющего напряжения U = 20 кВ, токе луча / = 5——250 мА в режиме одиночного импульса длительностью 100 мс [27]. Исследуемый металлический образец диаметром 30 мм и высотой 30 мм устанавливают в рабочей камере на изолятор и через сопротивление R2 соединяют с землей. В цепь источника включают сопротивление R\ а с помощью осциллографа одновременно регистрируют в процессе импульса величину тока /т, проходящего через мишень, и /п в источнике. Осциллограммы импульсов токов lm ~^ 1п при увеличении тока пучка от 5 до 250 мА зарегистрированы для W, Mo, Ti, Zr, Ni, Си, Al и нержавеющей стали.
Первоначально увеличение тока луча не приводит к каким-либо принципиальным изменениям формы импульса. Однако по достижении током некоторой критической величины, зависящей от вида металла, форма импульса тока через мишень существенно изменяется при неизменной форме импульса тока источника: в течение некоторого времени через мишень идет постоянный ток, а потом происходит возбуждение колебаний тока. Одновременная независимая регистрация тока через мишень и давления пара в зоне воздействия электронного луча на поверхность металлического образца дала одинаковый результат измерения частоты колебаний. Выделим основные черты этих колебаний: отсутствует внешний источник возбуждения колебаний, т. е. нет вынуждающей силы, а есть постоянный во времени КПЭ; существует порог возбуждения колебаний; частота колебаний 102—104 Гц.
Перечисленные признаки позволяют сделать вывод о существовании при электронно-лучевой обработке материалов автоколебаний в килогерцовом диапазоне.
Рассмотрим зависимость среднего значения тока, проходящего через мишень, от времени при длительности включения луча 1 с. Ток /ш в течение времени А/〕 не изменяется, а затем начинает уменьшаться, колеблясь с возрастающей частотой. Спустя некоторое время ток Im начинает возрастать 71
и достигает примерно постоянной величины 1酬 у (0,8—0,95) 1п. Высокочастотные колебания при этом сменяются низкочастотными.
Анализ этой зависимости показывает, что в изменении формы импульса проходящего через мишень тока наблюдаются четыре стадии: 1) постоянный ток в течение времени Afi； 2) пульсирующий ток с возрастающей частотой, уменьшающейся по амплитуде в течение AG; 3) пульсирующий ток с возрастающей частотой и возрастающей средней амплитудой в течение А/з； 4) пульсирующий низкочастотный ток с постоянной средней амплитудой в течение остального времени импульса Л/4.
Указанные автоколебания наблюдались в целом ряде работ, обзор которых содержится в [31 ].
В [32] исследовались пульсации ионного тока из зоны воздействия электронного луча на металл (мощность луча до 15 кВт при ускоряющем напряжении до 30 кВ). Для измерений использовался колектор закрытого типа, электрод которого находился под потенциалом —200 В относительно металлической мишени, причем, следует подчеркнуть, он находился вне прямой видимости из зоны воздействия. Измерения показали, что существуют колебания ионного тока в диапазоне 0,45——2,55 кГц, частота сильно зависит от фокусировки луча. Анализ спектра колебаний ионного тока «показывает почти гармонические колебаний при сравнительно малых мощностях электронного пучка. При увеличении мощности пучка частотный спектр уширяется, появляются другие гармоники, а при глубине проплавления свыше 30 мм частотный спектр становится практически шумовым».
В работе [33] экспериментально установлено, что процесс внедрения электронного луча в жидкий металл является прерывистым. С помощью киносъемки было показано, что образующийся канал заполняется паром, а сверху закрывается пленкой жидкого металла, которая периодически с частотой 15 Гц прорывается.
В [34] проведены экспериментальные исследования процесса образования канала с помощью киносъемки в рентгеновских лучах. Установлено, что в жидком металле вокруг электронного луча существует полость. Эта полость все время находится в движении： глубина ее периодически колеблется от нулевой до максимальной с частотой 10—60 Гц. Кроме того, полость периодически смыкается, в основном в верхней части, а иногда и в других сечениях канала.
Рассмотрим подробней результаты экспериментов [35]. Измерялся ионный ток из зоны воздействия электронного луча мощностью 15—60 кВт. Осциллограммы показывают, что ионный ток характеризуется изменениями с частотой 0,5—1,5 Гц с отдельными кратковременными выбросами. «Медленно меняющаяся переменная составляющая тока ионов достигает 30% его амплитуды и в рассматриваемых случаях имеет сравнительно регулярный характер. В ряде случаев при мощности электронного луча 30 кВт и более возникают еще более интенсивные колебания ионного тока...» [35]. Изменения интенсивности потоков плазмы в 2—4 раза происходят за время 3—-7 с, хотя постоянная составляющая тока ионов примерно постоянна. «Установлено, что интенсивные колебания тока ионов плазмы практически всегда наблюдаются в начале процесса сварки, при переходе к другим скоростям сварки, токам пучка или положениям его фокальной плоскости. Указанные колебания периодически возникают при малых скоростях сварки (менее 6 м/ч) стальных пластин толщиной более 10() мм. Во всех случаях
в швах образуются дефекты в виде несплошностей различной формы». [35].
В работах [36, 37] было показано, что процесс испарения металлов электронным лучом является пульсирующим. Характерная частота колебаний 103 Гц. «При визуальном наблюдении за зоной стержня, непосредственно бомбардируемой электронным лучом, было отмечено пульсирующее фонтанирование жидкого металла с образованием неглубокого кратера и факела, а также круговое перемещение этой зоны. При испарении нержавеющей стали, титана, циркония, меди и особенно ванадия создалось впечатление, что испарение осуществляется вращающимся лучом со смещением от центра на 1 — 1,5 мм》[37].
Статистические характеристики эмиссии заряженных частиц и теплового излучения из зоны сварки изучались в [38]. Было показано, что спектры мощности сигналов соответствуют сигналам типа узкополосного случайного шума с максимумом в полосе частот 100—400 Гц.
В [39, 40] исследовалось образование и поведение парогазового канала при нагреве металла электронным лучом. Были зарегистрированы пульсации в потоке заряженных частиц из зоны нагрева [39] и пульсации размеров парогазового канала [40]. Для непосредственного наблюдения за динамикой формы парогазового канала и перераспределением в нем источников тепловыделения [40] проплавление металла электронным лучом осуществлялось по границе металл—кварцевое стекло со специально подобранным смещением луча. В этом случае боковой стенкой парогазового канала являлось кварцевое стерло, сквозь которое скоростной кинокамерой регистрировалась динамика процесса. Было установлено, что область максимального выделения энергии находится на границе расплавленного металла с паром. При движении заглубленного в металл электронного луча вдоль границы металл——кварцевое стекло эта область находится на передней стенке парогазового канала, причем она периодически перемещается по глубине канала с частотой 35——60 Гц. В работе [41] пульсации глубины реза наблюдались в отсутствие жидкой фазы.
Авторы работвг- [42] изучали вторичную электронную эмиссию из зоны воздействия электронного луча на металл. Показано, что пульсации существуют в диапазонах 5—20 Гц, 400—600 Гц и 8—10 кГц.
Динамика давления отдачи исследовалась в [43]. Электронный луч имел следующие параметры: ускоряющее напряжение 150——270 кВ, удельная мощность (0,3——2,5) • 107 Вт/см2, длительность импульса от 10 до 100 мкс. Пьезоэлектрическим датчиком регистрировалось давление в металлических мишенях из алюминиевого сплава Д16Т, стали Ст. 3, титанового сплава ВТ6, электролитической меди. Было обнаружено, что порог автоколебаний —— 3 • 106 Вт/см2. С увеличением удельной мощности амплитуда автоколебаний увеличивается. Частота автоколебаний 105 Гц и в измеренном диапазоне слабо зависит от удельной мощности и материала мишени.
В схеме непосредственного электронного нагрева материалов катод расположен достаточно близко к поверхности мишени (от нескольких миллиметров до нескольких сантиметров) [44]. В этом случае ухудшение вакуума до 5 • 10-2 Па вызывает в системе появление газовых разрядов с резкими бросками токов. В [45] отмечалось появление колебаний эмиссионного тока при давлениях выше 10-2 Па. Данные низкочастотные колебания связывают с зависимостью газовыделения от температуры нагреваемого материала.
Электрические разряды. Пусть выполнено условие 爲 MR (Аь & R)・ Как отмечалось выше, в этом случае для поддержания движения заряженных частиц необходимо внешнее электрическое поле.
Вообще говоря, в разрядах существует довольно большое количество разного рода неустойчивостей, которые могут приводить к автоколебаниям [46]. Ниже остановимся на тех из них, которые наблюдаются в использо- зуемых для обработки материалов разрядах и механизм которых в большей степени определяется процессами на границе раздела обрабатываемый материал ——плазма, чем процессами в объеме плазмы.
По современным представлениям [47] выделяют две области существования дуг. Первая область относится к поведению дуги между электродами из тугоплавких металлов. В этой области температура катода (порядка температуры плавления металла электрода) достаточно велика, чтобы объяснить наблюдаемую плотность электронного тока на катоде термоэлектронной эмиссией. Такой режим называют дугой с горячим катодом. Вторая область относится к режимам, в которых термоэлектронной эмиссии недостаточно для объяснения наблюдаемых плотностей тока. Такой режим называют дугой с холодным катодом. Наиболее распространенным объяснением эмиссии с холодного катода является механизм, основанный на теории холодной эмиссии в электрическом поле или автоэлектронной эмиссии. Для функционирования обоих этих механизмов вблизи катода необходим достаточно большой ионный пространственный заряд. Ионы для этого заряда могут поставляться как за счет термической ионизации в столбе разряда, так и за счет испарения материала катода.
В работе [48] при горении на постоянном токе наблюдались колебания напряжения между электродами с частотой 103——2 • 103 Гц, амплитуда которых достигала 10 В при полном падении напряжения 20 В. Механизм колебаний связывают с существованием испарения материала катода.
В [49] изучалось давление дуги большой мощности на сварочную ванну. Установка для измерения давления представляла собой весы, коромысло которых опиралось на закаленную призму. На одном конце коромысла укреплялась стальная пластина размером 100 X 70 X 15 мм, на которой в дальнейшем горела дуга. Перемещение противоположного коромысла фиксировал специально подобранный датчик. Результаты экспериментов показали, что в отсутствие флюса дуга горит стабильно, давление на стальную пластину пропорционально квадрату электрического тока. Давление дуги практически не зависит от скорости перемещения электрода в диапазоне от 0 до 60 м/ч. При сварке под флюсом возникают колебания давления. Механизм этих колебаний связан с интенсивным выделением газов через слой расплавленного флюса.
Большие тепловые потоки из плазмы столба дуги на электроды вызывает их испарение. Однако испарение происходит не равномерно, а прерывисто в виде отдельных микроструй, время жизни которых 10-6 с. Электродные струи истекают как с дозвуковыми, так и со сверхзвуковыми скоростями в диапазоне 102—104 м/с. Они могут проникать в разряд на достаточно большую глубину [50].
В работе [51] приведены результаты исследований развития факела разряда при импульсном разряде в режимах, характерных для электроискровой обработке материалов. Эксперименты проводились для разрядов в воздухе и в жидкости. В обоих случаях обнаружен струйный характер
истечения паров с материала электрода. Скорость истечения струй составляла для газов 105——106 см/с, для жидкости (керосин)——5 • Ю4 см/с. Показано, что вблизи поверхности существует скачок уплотнения, который периодически приближается и удаляется от поверхности электрода в соответствии с величиной разрядного тока.
Образование волн разрежения и сжатия, ударных волн в плазменных струях было отмечено в [52, 53].
В [54] также проводилась скоростная фоторегистрация структур в плазменных струях, причем параметры электрической цепи подбирались таким образом, чтобы разрядный импульс был близок к прямоугольному. Было показано, что истечение плазменной струи сопровождается изменением во времени ее параметров. Эти изменения можно разделить на быстрые и медленные по отношению к длительности разряда. Медленные крупномасштабные изменения определяются в основном изменениями разрядного тока и проявляются в перемещении скачка уплотнения относительно среза сопла плазменного ускорителя. Так, скачок уплотнения удаляется от среза в начале импульса тока и приближается к нему в конце. Быстрые изменения проявляются в существовании чередующихся наклонных полос разной яркости на временных развертках. Характерное время этих быстрых изменений существенно меньше длительности импульса. Результаты работы показывают, что наиболее вероятной причиной изменения яркости является изменение плотности плазмы, т. е. быстрым изменениям соответствуют сильные акустические возмущения. Форма отдельных светящихся областей соответствует тонким изогнутым дискам, диаметр которых близок к диаметру плазменной струи. Авторы работы указывают, что периодические уплотнения распространяются от среза сопла, причем механизм их образования кроется в существовании в области основания разряда подушки паров материала электрода. «Образующаяся уплотненная подушка паров и является источником звукового возмущения, распространяющегося в плазме» [54].
В рассмотренных выше примерах электрический разряд происходил в воздухе (газе) при атмосферном давлении или в жидкости. Рассмотрим теперь некоторые., особенности формирования металлической плазмы на основе вакуумной дуги [55]. Одной из главных особенностей такого разряда является струйное истечение паров материала катода, которые образуют среду для существования разряда. Испарение происходит из катодных микропятен. Число струй пропорционально току разряда. Дополнительно из области катодных микропятен могут истекать высокоскоростные струи, скорость которых может достигать 104 м/с. В [56] показано, что катодное пятно состоит из ряда микропятен с характерным временем жизни 〜10-5 с. При достаточно большом токе дуги среднее время жизни ансамбля микропятен достаточно велико и вакуумная дуга может гореть квазистационарно. Интересной особенностью вакуумной дуги является существование двух форм разряда на аноде. При
(2.43)(2.43)(//Sa) V -^ 厶厶
(2.43)
(2.43)
где / ——ток разряда, пе ——концентрация электронов у анода, ve ——тепловая ^скорость электронов, Sa ——площадь анода, реализуется диффузионный режим горения разряда. В противоположном случае происходит сильное увеличение анодного падения напряжения, сильный рост плотности тока в
анодном пятне. Вакуумная дуга переходит к форме горения с контрагирован- ным анодным пятном, которое является интенсивным источником пара.
Условие (2.43) совпадает с условием (2.42) для границы устойчивости электронного луча. При выполнении (2.43) поток электронов, направляющихся к аноду, сильно неустойчив. Прианодная плазма экранирует металл анода от воздействия потока электронов. В противоположном случае прианодная плазма практически прозрачна для электронов, вылетающих с катода, которые сильно разогревают анод. «Формированию анодного пятна способствует уменьшение площади анода, увеличение межэлектродного расстояния и использование в качестве материала анода металлов с хорошей испарительной способностью» [55]. Эти перечисленные условия фактически направлены на то, чтобы по способности нагревать металл приблизить поток электронов на анод к электронному лучу.
Существенную роль в динамике катодных микропятен могут играть автоэмиссионные и взрывоэмиссионные процессы [57|. Процесс существования эмиссионного центра (ЭЦ) для электронного потока на катоде схематично представляется в следующем виде. «Первоначальный взрыв происходит за счет автоэмиссии с высокой (109 А/см2) плотностью тока, затем вблизи него реализуются условия для возникновения нового ЭЦ под плазмой, т. е. процесс эрозии состоит из серии последовательных микровзрывов в области первоначального ЗЦ» [57]. Хаотическое движение катодных микропятен в настоящее время объясняют пробоем неметаллических включений на поверхности катода, а не взрывом мнкроострнй. Ряд экспериментов показал, что после очистки от ^тримеси поверхности катода подвижность катодных пятен резко падает, хотя на той же поверхности в результате очистки образовывалось большое количество микроострий, В [58] рассчитано время жизни ЭЦ, причем отмечено, что вследствие охлаждения за счет электронной эмиссии поверхность катода имеет более низкую температуру, чем внутренняя область.
В ряде случаев для обработки материалов применяют подводные искровые разряды (ПИР) [59]. В этом случае после ПИР образуется газовая каверна, температура плазмы в которой порядка нескольких десятков тысяч градусов, причем парогазовая полость пульсирует во времени.
Лазерный луч. Схема воздействия лазерного излучения на материал во многом сходна со схемой воздействия электронного луча. Основными параметрами являются до — плотность КПЭ, @旦 —— плотность среды, через которую лазерный луч проходит к поверхности материала, q『——плотность среды непосредственно вблизи поверхности материала, R ——радиус лазерного луча.
Процесс нагрева материала лазерным лучом можно разбить на два этапа. На первом этапе осуществляется разогрев материала, на втором ——происходит поддержание заданного температурного режима. На первом этапе распределение плотности среды, окружающей материал, может меняться на несколько порядков, особенно вблизи поверхности материала. В течение этого этапа доминирующие механизмы взаимодействия лазерного излучения с материалом и средой могут существенно изменяться.
Рассмотрим распространение лазерного излучения в газовой среде. Поглощение лазерного излучения газом приводит к его нагреву. Разогрев газа, в свою очередь, приводит к изменению его оптических характеристик. Таким образом, наряду с влиянием лазерного излучения на газ проявляется и обратное влияние газа на распространение лазерного луча [60]. Пока-
затель преломления газовой среды может изменяться как за счет непосредственного изменения температуры газа, так и за счет протекания химических реакций. Продукты химической реакции дают дополнительную возможность для образования обратной связи между средой и лазерным излучением [60]. Как правило, такого рода автоколебательные процессы реализуются при достаточно малых мощностях лазерного излучения. Так, в [60] излучение СОг-лазера мощности до 20 Вт использовалось для пиролиза NH3 и CF3I в смеси с буферным газом SFe, давление газовой смеси составляло 10—100 Topp. Лазерный луч, проходя через кювету, испытывал несколько раз самофокусировку, причем наблюдалось стохастическое изменение мощности прошедшего излучения, деление луча на несколько компонентов.
При распространении лазерных пучков большой мощности через покоящуюся газовую среду в зависимости от длительности лазерного импульса может происходить как тепловая дефокусировка пучка, так и его самофокусировка [61]. Если длительность импульса т》т$, где т$ = R/c, с — скорость звука в газе, то давление газа успевает выравняться за время действия импульса и показатель преломления газа будет однозначной функцией температуры газа. В этом случае нагрев среды за счет поглощения лазерного излучения будет приводить к дефокусировке пучка. Если же т Ст§, то за счет нестационарных акустических процессов в канале распространения пучка может происходить фокусировка лазерного излучения. Действительно, в первые моменты после включения поглощение лазерного излучения приведет к повышению температуры и давления газа в канале распространения пучка, в то время как плотность газа еще не успеет измениться на существенную величину. От краев зоны нагрева к центру пучка начнет распространяться волна разрежения. Следовательно, в течение времени т плотность газа на оси пучка будет больше, чем на периферии. Такое распределение плотности газа вследствие рефракции оптических лучей приведет к самофокусировке лазерного пучка [62].
Если плотность потока энергии .превысит некоторую критическую величину gs，то в фокусе линзы произойдет оптический пробой газа [63]. Критическое значение qs зависит от рода газа, длины волны лазерного излучения, геометрических характеристик лазерного пучка и некоторых других параметров. Образовавшаяся в фокусе линзы плазма оптического пробоя поглощает энергию лазерного излучения значительно сильней, чем нейтральный газ. После оптического пробоя газа интенсивность лазерного излучения, ^необходимая для поддержания разряда, может быть существенно меньше qs. Обозначим через qc минимальную плотность КПЭ, необходимую для поддержания разряда после оптического пробоя. Внутри интервала [qC1 qs] выделяют области световой детонации [^(/, д/ и светового горения [g% д", qd》q卜 Для излучения неодимового лазера (длина волны 1,06 мкм) порог пробоя воздуха при атмосферном давлении qs = 105 МВт/см2, порог поддержания световой детонации ,d = 102 МВт/см2. В режиме световой детонации фронт лазерной плазмы распространяется со сверхзвуковой скоростью, а при медленном лазерном горении с дозвуковой. В [64] было показано, что порог поддержания оптического разряда в луче неодимового лазера можно снизить до 仇=0,1 МВт/см2. В этом случае использовалась длиннофокусная линза (фокусное расстояние—— 1 м), интенсивность лазерного излучения 105——106 Вт/см2, длительность импульса 5 мс, радиус разряда гс == 0,4—1,4 см.
Поглощение лазерного излучения жидкостью через изменение оптических характеристик раствора посредством изменения температурного и концентрационного полей может, так же как и в газах, приводить к возникновению автоколебаний. Так, в [65] наблюдали концентрационные колебания в водных растворах MgCl? при воздействии на них светового и ионизирующего излучений.
При воздействии мощного лазерного излучения на жидкость в ней может происходить генерация акустических импульсов, испарение взрывного характера, оптический пробой [66].
В [67] исследовали воздействие непрерывного СОз-лазера на свободную поверхность жидкости (ацетон, этанол) с интенсивностью излучения 6•103 Вт/см2. В условиях этого эксперимента величина обратного коэффициента поглощения лазерного излучения жидкостью была существенно больше, чем отношение коэффициента температуропроводности жидкости к скорости движения границы жидкость——пар. Если длительность излучения была больше 2,5 мс (ацетон), то в жидкости возникали пульсации давления частотой 〜2・ 1()3 рц Существование данного режима авторы связывают с наличием развитого испарения и экранировки жидкости от лазерного излучения продуктами испарения.
При нагреве материала лазерным излучением малой интенсивности (1 ——10 мВт) одним из главных факторов является зависимость коэффициента поглощения излучения материалом от интенсивности излучения. Эта зависимость может быть достаточно" сложной. Так, при воздействии лазерного излучения на различного рода полупроводники наблюдается явление оптической бистабильности： гистерезис у зависимости отраженной мощности лазерного излучения от вводимой в материал мощности [68, 69].
Если при воздействии лазерного излучения на материал иа его поверхности протекают химические реакции, то на поглощательную способность материала будет оказывать влияние изменение во времени и пространстве концентрации химически реагирующих компонентов [60], В этом случае могут возникать автоколебания температуры материала и концентрации какого-либо химического соединения в нем [60]. В работе [70] показано, что при лазерном окислении металлов возникают автоколебания температуры метал* ла и толщины окисла. В экспериментах использовалось непрерывное излучение СОг-лазера мощностью до 30 Вт. Металлическая мишень находилась на воздухе в нормальных условиях, ее толщина составляла 1——2 мм. Зависимость температуры от времени измеряли хромель——алюмелевой термопарой, которая размещалась с тыльной стороны мишени. В процессе эксперимента также непосредственно измерялась производная температуры по времени. Характерная частота колебаний ——0,5 Гц.
При воздействии лазерного излучения с интенсивностью порядка 106 Вт/ см2 на материалы вблизи их поверхности может образовываться плазма. В настоящее время выделяют три различных состояния приповерхностной плазмы: эрозионный факел или просто факел из продуктов испарения материала, оптический разряд в смеси продуктов испарения материала с окружающим его газом и оптический разряд в окружающем газе [71]. Разогрев факела лазерным излучением может привести к вспышке поглощения. Также при определенных условиях может произойти пробой газа вблизи поверхности материала, который, в свою очередь, может привести к распространению оптического разряда по лучу лазера. В последнем случае
поверхность материала необходима только для инициирования разряда, для поддержания разряда она не нужна.
Рассмотрим, следуя [72], более подробно плазмообразование при воздействии лазерного излучения на материалы в окружающем их воздухе при нормальных условиях. В экспериментах использовались импульсы излучения микросекундой длительности от неодимового лазера в режиме модулированной добротности. Плотность мощности лазерного излучения менялась от 10 до 700 МВт/см2. В процессе воздействия лазерного импульса проводились спектроскопические измерения, высокоскоростное теневое фотографирование, определялось давление на мишень. Анализ результатов экспериментов показал, что вначале лазерного импульса происходит испарение материала мишени и образование эрозионной плазмы. Если, однако, плотность потока мощности не слишком высока, то плазменный фронт не переходит в воздух. В этом случае лазерное излучение взаимодействует только с факелом в парах материала мишени. Если же повысить плотность мощности, то оптический разряд в воздухе загорится.
В работе [73] исследовали динамику лазерных эрозионных плазменных факелов при воздействии квазистационарных миллисекундных импульсов неодимового лазера на поглощающие материалы. Плотность мощности изменялась от 1 до 9 МВт/см2. Контроль однородности распределения потока энергии в пятне фокусировки проводили фотографированием поверхности матовой пластинки, которая устанавливалась в фокальной плоскости линзы. Из анализа фоторазверток следует, что спустя некоторое время после начала лазерного импульса появляется слабосветящееся облако паров материала мишени. При д= 1,5— 3,5 МВт/см2 вспышка светимости плазмы происходит через 900——1100 мкс после начала воздействия. При д》4 МВт/см2 на расстоянии 0,5+ 1,5 мм от поверхности мишени образуется ярко светящееся плазменное облако на границе пары материала—воздух.
При плотности мощности 4 МВт/см2 наблюдаются пульсации интенсивности свечения факела. Как отмечают авторы данной работы, «...практически одновременно с появлением пульсаций интенсивности свечения факела на расстоянии / от поверхности мишени формируется прямой ква- зистационарный скачок уплотнения», причем с периодом 3——5 мкс происходит выброс плазменных струй, скорость которых порядка 2 км/с. Результаты экспериментов показывают, что характер динамики плазмы вблизи яоверхности тесно коррелирует с динамикой свечения поверхности материала мишени. Одновременно с пульсациями на поверхности мишени наблюдя ются области с повышенной яркостью свечения и характерным временем жизни 3——5 мкс. На фоторазвертках свечения факела наблюдаются также пульсации с периодом 30——50 мкс, их амплитуда максимальна при q = 4—6 МВт/см2.
При воздействии на алюминий на поверхности материала наблюдается меньшее количество микровспышек, чем на дюралюминии. Ранее прерывистость лазерных эрозионных факелов отмечалась в работах [74, 75].
В [76] исследовали воздействие излучения СО2-лазера с постоянной во времени плотностью мощности 104 Вт/см2 на непрозрачные в области 10,6 мкм диэлектрики: кварцевое стекло, оптические стекла ТФ-5, К-8, ЛК-5 и т. п. Как было зафиксировано киносъемкой, в процессе испарения происходил выброс светящихся струй паров. При глубине лунки меньше
1 см испарение носило «...ярко выраженный пульсирующим характер с частотой нерегулярных колебаний 5—10 「н》. Увеличение или уменьшение глубины лунки, как было отмечено, во всех случаях четко коррелирует с соответствующим изменением длины факела. С увеличением глубины лунки до 1 см амплитуда колебаний падала до 0,1 Гц. «Описанный качественный характер процесса наблюдался во всех экспериментах как с кварцем, так и с другими оптическими материалами. Различие выражалось в основном в глубине пульсаций и времени выхода на постоянный режим» [76| .
Динамику приповерхностной плазмы при испарении висмута в атмосферу гелия с давлением 2,5—5 атм изучали в [77]. В экспериментах использовали миллисекундные импул ьсы неодимового лазера интенсивностью 〜107 Вт /см2. Было показано, что вблизи поверхности, а не в фокусе, образуется плазменный сгусток, который сначала увеличивается в размерах, а затем отрывается от поверхности мишени. Плазма достаточно сильно поглощает лазерное излучение (средний коэффициент поглощения 0,4—— 0,6 см-1). После удаления на некоторое расстояние от мишени первого плазменного сгустка вблизи ее поверхности образуется следующий сгусток и т. д. Данный процесс повторяется с периодом 〜0,1 мс. Схожие результаты получены в [78一81]. .
В обзоре [82] представлены результаты по экспериментальному исследованию режимов горения оптических разрядов вблизи поверхности металлов. В частности, отмечается, что при воздействии непрерывного излучения СОг-лазера мощностью 1 кВт и радиусом фокусировки 0,3—0,4 мм на вольфрам процесс плазмообразования в воздухе сопровождался вытягиванием оптического пульсирующего во времени разряда, причем следует подчеркнуть, что вывод мишени из зоны воздействия луча приводил к исчезновению факела паров и оптического разряда. В [82] приведены данные по изменению электрических полей и токов, протекающих по мишени, при эволюции лазерной плазмы. Динамика электрического тока мишени различается для распространения оптического разряда в режиме световой детонации и для безотрывного от мишени существования лазерной плазмы. При световой детонации в начале лазерного импульса эмиссионный ток электронов вытекает из зоны воздействия излучения и втекает в мишень вне ее. В случае безотрывного существования приповерхностной плазмы «токовый сигнал приобретает принципиально иной (пульсирующий) характер..,》， причем релаксация этих пульсаций происходит в гораздо большем временном масштабе по сравнению с длительностью лазерного импульса [82]. В [82] также отмечается, что лазерная плазма является источником электромагнитных колебаний в радиочастотном диапазоне 1 — 100 МГц.
В работе [83] изучали возбуждение оптического разряда при атмосферном давлении в воздухе, содержащем аэрозольные частицы. В экспериментах использовали лазер с длительностью импульса 1 мс. При малой интенсивности лазерного излучения происходило высвечивание аэрозольных частиц, которое определяло область распространения лазерного луча. Возникновение оптического разряда сопровождалось расширением этой области. Измерения давления в камере пьезодатчиком показали, что в области пробоя происходит генерация акустических колебаний с амплитудой 4 кПа, частотой 10 кГц при плотности мощности 0,15 МВт/см2. Авторы отмечают, что_в плазменном свечении существует темное пространство, причем зондовые измерения в этом пространстве регистрируют наличие в нем плазмы и существо
вование пульсаций частотой 10 кГц, которая коррелирует с частотой акустических пульсаций в камере.
В экспериментах [84] использовалось лазерное излучение (установка с энергией в импульсе 1—5 Дж, длительностью импульса 4 мс, длиной волны излучения 1,06 мкм), которое фокусировалось на поверхность металлов в пятно диаметром 1—3 мм. Интенсивность варьировалась от 103 до 105 Вт/см2. В качестве мишеней использовались пластины размером 30 X 30 X 3 мм из W, Mq, Nb, Ti. В ряде случаев они обдувались инертным газом. Для измерений температуры использовался микропирометр с быстродействием 10-5 с, диаметром площадки визирования 0,3 мм. Рабочий температурный интервал пирометра 6 00—6000° С. Для отсечения диффузно рассеянного лазерного излучения применялся интерференционный светофильтр. Сигнал пирометра синхронизировался с началом лазерного импульса и записывался одновременно с формой импульса излучения на запоминающем осциллографе.
При q — 3,2 • 105 Вт/см2 температура поверхности достигает стационарного состояния (ярко выраженная полка). Величина полки растет при увеличении плотности мощности энергии. В районе температур плавления и кристаллизации наблюдаются локальные минимумы для скоростей нагрева и охлаждения, что подтверждает достоверность используемой методики. Экстремумы в скорости нагрева и охлаждения наиболее резко выражены для Ti, скорость охлаждения которого на порядок ниже, чем W, Мо.
Выход температурной кривой на полку обусловлен экранирующим действием плазменного сгустка, так как момент появления ярко выраженного факела предшествует появлению полки, тем самым ограничивая дальнейший рост температуры поверхности.
При плотности мощности излучения больше 105 Вт/см2 возбуждались колебания температуры поверхности. При увеличении интенсивности до 5 • 105 Вт/см2 частота колебаний увеличивается от 10 кГц до 15 кГц. Амплитуда колебаний составляет 600—1000° С. На других металлах, за исключением Ti, наблюдается аналогичная картина.
Температуря факела также испытывает осцилляции. Частота осцилляций 3 кГц и в исследуемом диапазоне слабо зависит от интенсивности лазерного излучения.
При обдуве металл。? инертными газами колебания наблюдаются более отчетливо, и их амплитуда растет. Максимум достигается в аргоне.
、 В [85] изучалась зондовым методом плазма при сварке металла непрерывным СО2-лазером мощностью 5 кВт. Пульсации зарегистрированы в диапазонах 15—40 Гц, 100一300 Гц. Существование пульсаций при сварке металлов непрерывным СО2-лазером отмечается и в [86].
Динамика формирования сварного шва исследовалась методом скоростной киносъемки при воздействии непрерывного СО2-лазера на кварцевое стекло в работе [87]. Из кинограмм следует, что паровой поток из зоны воздействия лазерного излучения колеблется с частотой 300—500 Гц, причем в этом случае над плоскостью образца отчетливо наблюдается темная полоса, отделяющая область яркого свечения приповерхностной плазмы от поверхности кварца. В экспериментах наблюдается также существование пульсаций частотой 2 Гц, которые соответствуют пульсациям геометрии канала.
Рассмотрим динамику приповерхностной лазерной плазмы в газах повы-
шенного давления [88, 89]. В экспериментах использовалась медная мишень толщиной 0,5 мм, в которой соосно с лучом лазера пробивалось диагностическое отверстие диаметром 100 мкм. Лазерное излучение фокусировалось на поверхности мишени линзой таким образом, чтобы диагностическое отверстие находилось в пределах пятна фокусировки, диаметр которого составлял 0,6—0,8 мм. Для облучения мишени использовали импульсный неодимовый лазер с энергией в импульсе до 30 Дж, длительностью импульса 0,7—1,0 мс. Калибровка диагностического отверстия проводилась при низких плотностях мощности потока энергии, не вызывающих пробоя и недостаточных для нагрева материала мишени до температуры плавления. Кроме того, после каждого цикла измерения коэффициента пропускания плазмы проводилась контрольная калибровка для выяснения возможного изменения параметров диагностического отверстия в ходе эксперимента. Полная ошибка измерения не превышала 15%.
После оптического пробоя наблюдается резкое падение коэффициента пропускания плазмы для всех давлений. Последующая эволюция существенно зависит от величины внешнего давления газа. Если давление газа не слишком велико, то происходит просветление плазмы. Если же давление газа значительное, то с течением времени просветления плазмы не наступает. В промежуточном случае могут существовать автоколебания.
АВТОКОЛЕБАНИЯ ПРИ ТРАНСПОРТИРОВКЕ КПЭК ПОВЕРХНОСТИ МАТЕРИАЛА
Как видно из приведенных экспериментальных данных, при воздействии концентрированных потоков энергии на материалы существует достаточно широкий круг автоколебательных процессов с частотой автоколебаний от десятых долей герца до десятков мегагерц. Однако высокочастотные температурные волны очень сильно затухают в объеме материала. Поэтому для формирования температурного поля материала наибольший интерес представляют автоколебания звукового или близких к нему диапазонов.
Электронный луч. Как известно [26], существует два различных режима для распространения потока электронов (электронного луча, электронного пучка):
厂力》R(2.44)
и
5之凡(2.45)
где R — радиус пучка, а
mul 'б( muo、i/2Wo
7 I (I =——，(2.46) 4лП|в2、4л/|е 丿si
причем rD!——дебаевский радиус пучка; ио,几i, /1 —соответственно нево^- мущенная скорость электронного пучка, концентрация электронов и плотность электронного тока в пучке; ш, е —— масса и заряд электрона; ® — ленгмюровская частота пучка. В первом случае при выполнении условия (2.44) концентрация электронов в пучке мала, и его относят к области электронной оптики. Такие пучки, как правило, используют в технологии обработки материалов. Во втором случае при выполнении (2.45) плотность
электронов в пучке велика, они могут интенсивно взаимодействовать с разреженной плазмой. Такие пучки, как правило, используют для нагрева плазмы или генерации СВЧ-колебаний.
Обозначим
《з = 5/R.(2.47)
Как видно из (2.46) и (2.47), при фиксированном радиусе пучка значение параметра K^i пропорционально скорости электронов пучка и обратно пропорционально корню квадратному из плотности электрического тока пучка, причем эти две величины посредством соответствующих изменений в концентрации электронов пучка могут, вообще говоря, варьировать независимо друг от друга.
Представим схему воздействия электронного луча на металл следующим образом. Исходный пучок, который характеризуется плотностью /ц, скоростью электронов 〃i, порождает вторичный пучок, который характеризуется своей плотностью 几2 и скоростью электронов и2. Вторичный пучок, естественно, гораздо сильнее размыт по скоростям электронов, их энергия в среднем существенно меньше энергии первичных электронов. Эти два пучка в противоположных направлениях распространяются через приповерхностную плазму, которая характеризуется, в свою очередь, плотностью пе и тепловой скоростью электронов ve. Приповерхностная плазма образуется в основном за счет испарения металла или за счет процессов ионизации атомов остаточного газа и десорбированных с поверхности материала атомов, если испарение материала сравнительно невелико. Существование приповерхностной плазмы характеризует ее дебаевский радиус
rDe = [Л/(4лп^2)]1/2,(2.48)
где Те — температура плазменных электронов. Таким образом, дополнительно к параметру KD[ определим следующие величины:
к£)2 =Г£)2/R(2.49)
= г dJ R・(2.50)
По отношению к потоку вторичных электронов поверхность металлической мишени в зоне воздействия на нее пучка первичных электронов является катодом. Рассмотрим условия существования вторичного плазменного пучка вблизи поверхности металла мишени, основываясь на результатах [26] по формированию плазменных пучков разрядом с накаленным катодом.
При достаточно высокой температуре металла в зоне воздействия на него пучка первичных электронов электрическое поле вблизи поверхности металла (катода) обращается в нуль, и ток вторичных электронов будет определяться законом трех вторых Чайльда——Ленгмюра:
где VP — разность потенциалов между плазмой и металлом; d — толщина ^катодного слоя. Из (2.51) видно, что при слабых изменениях Ур основным параметром, определяющим величину /2, является толщина катодного слоя. Ток ионов на поверхность металла мишени из приповерхностной плазмы
задается выражением, аналогичным (2.51):
где М — масса иона. Следовательно:
/ + 〃2(т/М)"?.
Если плотность тока вторичного пучка /2 меньше величины, определяемой выражением (2.51), то
/+//2 > (т/М)'/2.(2.53)
Условие (2.53) определяет, согласно теореме Бома, возможность существования стационарного прикатодного слоя. Таким образом, для существования прикатодного слоя плазма должна обеспечивать следующий поток ионов к поверхности:
/+ = е几+。+ 戸 /2(т/^)1/2-(2-54)
Пусть колебательные неустойчивости в рассматриваемой системе порождают в приповерхностной плазме продольные электростатические волны (электромагнитные неустойчивости не рассматриваются вследствие их высокой частоты колебаний и пренебрежимо малого влияния на температурное поле):
£ = £о exp [i(kz — з£)],(2.55)
где Ео —— амплитуда электрического поля, k —— волновой вектор, о)—— частота, причем /г и (о могут быть комплексными величинами
со = о)г + гео；三 Re(о + 力孔)，(2.56)
где параметр yw называют временным инкрементом колебаний для случая
Возможность развития в рассматриваемой системе колебательной неустойчивости в значительной мере связана с плотностью плазмообразующего газа вблизи поверхности. Если плотность газа настолько велика, что частота столкновений электронов плазмы (между собой, с атомами и ионами газа) больше инкремента наиболее сильной неустойчивости, то состояние системы будет стабильно. Причем в таких условиях давление газа больше 0,1 атм, коллективные взаимодействия плазмы с электронным пучком отсутствуют. В этом случае прохождение пучка через такую достаточно плотную газовую среду за счет элементарных актов в столкновениях будет сопровождаться его рассеянием и ионизационными потерями [26]. В плотной газовой среде даже сильноточные электронные пучки проявляют себя с макроскопической точки зрения только как концентрированные в пространстве потоки энергии. Для качественной динамики нагрева электронным лучом плотного газа физическая природа частиц луча становится менее важней, чем общие теплофизические закономерности процесса [90, 91].
Ситуация существенно меняется, если электронный пучок распространяется через достаточно разреженный газ (плазму). В этом случае определяющую роль могут играть коллективные процессы в плазме, которые» вообще говоря, обладают большим разнообразием [26, 92]. Остановимся на них, следуя в основном [26].
Пусть в разреженной плазме с диэлектрической проницаемостью е = ег + + Ze,, 8r = Re е, е； = Im е вдоль направления 之 распространяется волна, электрическое поле которой изменяется по закону (2.55). Тогда сумма плотности электрической энергии поля и плотности кинетической энергии колебаний частиц плазмы определяется выражением
*三£三^7(2)，(2・57)
где угловые скобки обозначают усреднение по периоду колебаний. Если среда находится в термодинамическом равновесии, то 呼 > 0. Если же среда неравновесна, то знак W может быть любым, что в значительной мере будет определяться характером дисперсии. При d(8ro)r)/do)r V 0 говорят, что волна переносит отрицательную энергию, имея в виду то, что энергия среды с возбужденной в ней волной типа (2.55) будет меньше, чем без волны.
В качестве примера реализации волны с отрицательной энергией рассмотрим поток электронов с одинаковой для всех постоянной скоростью ио вдоль оси 之 относительно подвижных ионов. В этом случае
8 = 1 — ю?/[((о — ^Ио)2],(2.58)
а дисперсионное уравнение имеет вид (£ = 0)：
1 —(i)i/[(o)— ^ио)2] = 0.(2.59)
Следовательно, для ——kuo\ сщ:
Г 4.(2.60)
4n (co — /гноУ
Выражая из (2.59) <о —左〃о = 土 gji, окончательно получаем
•亠.(2.61)
— 4П ®
Как видно из (2.60), (2.61), быстрая волна несет положительную энергию (取 >0 при 〃о V со/左)，а медленная волна — отрицательную (取 V 0 при и > тЩ, которая соответствует волне пространственного заряда пучка в отсутствие внешней модуляции и распространении ее через разреженную плазму. /
В рассмотренном примере предполагалось, что все электроны пучка имеют одинаковую скорость. На самом деле реальный пучок характеризуется разбросом по скоростям составляющих его частиц. В зависимости от величины разброса выделяют гидродинамический и кинетический режимы распространения пучка. В гидродинамическом режиме пучок имеет достаточно малый разброс по скоростям, в частности, при а° > s/k возможно возбуждение колебаний. В кинетическом режиме разброс электронов пучка по скоростям не мал.
Пусть через плазму распространяется электронный пучок в гидродинамическом режиме, причем взаимодействие пучка с плазмой вызывает появление колебательной неустойчивости с инкрементом yw. Максимально допустимый разброс частиц пучка по скоростям, больше которого неустойчивость в гидродинамическом режиме развиваться не будет, тесно связан
с инкрементом неустойчивости
А4/u0 大??3必〃{)，(2.62)
где Дус — граничное значение для разброса пучка по скоростям. Физический смысл условия (2.62) заключается в том, что тепловое смещение частиц пучка за характерное время 1/丫幻 развития колебаний при критическом значении разброса Ли = Auf становится близким к половине длины волны колебаний n/k. Поэтому тепловое перемешивание частиц пучк” успевает скомпенсировать на временном промежутке l/孔 развитие колебательной неустойчивости.
Если условие (2.62) перестает выполняться, то возможность развития неустойчивости совсем не исчезает. Она может развиваться по другому (кинетическому) механизму. Различие гидродинамического и кинетического механизмов раскачки колебательных пучковых неустойчивостей заключается на микроскопическом уровне описания в том, что первый из них обусловлен действием аномального эффекта Допплера, а второй ——действием эффекта Вавилова—Черенкова.
Рассмотрим вначале проявление пучковых неустойчивостей в гидродинамическом режиме в зависимости от плотности приповерхностной плазмы.
Пусть распространяется квазинейтральный пучок, т. е. рассматриваемая система состоит из электронов пучка и равного количества нейтрализующих ионов. В такой системе при определенных условиях может развиваться электрон-ионная (бунемановская) неустойчивость, причем учитывается масса ионов и их колебания под действием электрического поля, обусловленного раскачкой колебаний. Физический механизм бунемановской неустойчивости заключается в том, что собственные колебания плотности заряда пучка(di вследствие аномального эффекта Допплера попадают в резонанс с значительно более низкочастотными собственными колебаниями плотности ионного заряда ⑴十=(т/Л!)"'®《coi. Условие резонанса
在〃 о — С0| —
максимальный инкремент
Те ^ (m/M)'f^h(2.63)
частота колебаний
(о Q(oi(m/My/3 = соуЗд^з,(2.64)
пороговый ток неустойчивости
/с =1 + (m/M)"3「3(2.65)
Учтем наличие электронов плазмы вблизи поверхности. Положим 几+ =几1 + пе. В этом случае может развиваться колебательная неустойчивость, приводящая к раскачке ионного звука и ионных ленгмюровских колебаний. При k2《 <o；/(Te/m), где сое — электронная ленгмюровская частота плазмы и длина, волны 2л//г колебаний много больше электронного дебаевского радиуса плазмы раскачиваются ионно-звуковые волны с частотой
(2.66)(2.66)0)2 = &Т/М
(2.66)
(2.66)
или со =館；Ci = {Te/M^f2. При 左2》冠/(乙/优)длина волны колебаний много меньше электронного дебаевского радиуса плазмы, раскачиваются ионные ленгмюровские колебания с частотой
(2-67)(2-67)со а о)+.
(2-67)
(2-67)
ной плазмеП^ (\2 — 2 'ной плазмеП^ (\2 — 2 '《1,《1,(2.68)(2.68)Если скорость электронов пучка много больше скорости электронов плазмы, то неустойчивость может развиваться только в очень разрежен
ной плазме
П^ (\2 — 2 '
ной плазме
П^ (\2 — 2 '
《1,
《1,
(2.68)
(2.68)
где W\ 一 энергия электронов пучка.
В достаточно плотной приповерхностной плазме пе 》П\ неустойчивость может развиваться только при распространении очень медленного пучка
S V 等兀*《"I Те.(2.69)
В экспериментальных условиях воздействия электронного луча на металл наиболее ч^сто встречается ситуация, когда электронный пучок сравнительно малой плотности распространяется через сравнительно плотную приповерхностную плазму. В этом случае может развиваться электрон-электрон- ная неустойчивость с максимальным инкрементом
丫3(几|/几е>/%е,(2.70)
частотой колебаний
со =(Ое,(2.71)
пороговым током неустойчивости
/，=曙廿叩 +(養)"Г(2.72)
Остановимся теперь на проявлении пучковых неустойчивостей в кинетическом режиме. Условие (2.62) с помощью соответствующих инкрементов можно записать в следующем виде: для электронного пучка в бесстолкновительной плазме
A〃"辽=(八]/%)"3；
для одномерного электронного пучка, распространяющегося на фоне подвижных ионов:
А〃с/〃 = (m/M)"3；
в остальных случаях раскачки СВЧ-колебаний
А〃с/〃 ^ о)1/々〃 л; а)1/со.
Рассмотрим, следуя [92], неустойчивость пучка с большим разбросом по скоростям. Необходимым условием развития неустойчивости в кинетическом режиме является наличие глубокого минимума между двумя максимумами на кривой распределения, учитывающей электроны плазмы и
электроны пучка по скоростям. При достаточно большом разбросе
(2.73)(2.73)yх 备)
(2.73)
(2.73)
Инкремент в гидродинамическом режиме больше инкремента в кинетическом режиме.
Условия раскачки той или иной колебательной неустойчивости в значительной мере зависят от отношения 乙/7\ где Г； — ионная температур плазмы, и отношения u/ve. При 乙 q 7\ в плазме может развиваться колебательная неустойчивость только в гидродинамическом режиме. Ионнозвуковые и ионные ленгмюровские колебания могут возбуждаться при 〃 > S н 〃/% V 1, где s — тепловая скорость ионов. При (〃/%)》1 основными неустойчивостями являются бунемановская и пучково-дрейфовая. Хотя ионные колебания могут возбуждаться в условиях, близких к бунемановской неустойчивости, однако последняя имеет значительно меньший порог.
Бунемановской неустойчивости соответствует существование в системе аксиально-симметричных колебаний: азимутальный компонент электрического поля и волнового вектора равны нулю. В отличие от нее при/пучково- дрейфовой неустойчивости азимутальные компоненты векторов возмущений отличны от нуля, вследствие этого анализ ее существенно усложняется. На практике различить проявление этих двух неустойчивостей можно в экспериментах с использованием внешнего магнитного поля [26].
Развитие пучково-дрейфовой неустойчивости в плазменном пучке может привести к его разрушению и образованию пульсирующего виртуального катода. Данный факт уже отмечался ранее. Для развития пучково-дрейфовой неустойчивости необходимо развитие предварительных неустойчивостей, в качестве которых могут выступать центробежная и ионно-звуковая неустойчивости. Если условия для распространения пучка выбраны такими, что эти две неустойчивости развиваться не могут, то и пучково-дрейфовая неустойчивость развиваться не будет. Критерий разрушения пучка дается условиями (2.41), (2.42), при этом наблюдаются колебания с довольно низкой по сравнению с остальными плазменными колебаниями частотой 103——104 Гц. Данные релаксационные колебания объясняют колебаниями плотности электронов плазмы в пространстве между виртуальным и основным катодами. После запирания пучка виртуальным катодом плотность первичных электронов за счет отражения от виртуального катода резко возрастает. При зтом возрастает ионизация газа за счет ионизации первичными электронами и нагрева газа плазменными электронами. В результате плотность плазмы возрастает настолько, что условия неустойчивости и образования виртуального катода (2.41), (2.42) перестают выполняться; плазма становится устойчивой в макромасштабе с наличием в ней неустойчивостей в микромасштабе： ВЧ-колебания и т. п.《В устойчивом пучке плазменные электроны охлаждаются, лишние электроны уходят из системы, и через некоторое время плотность плазмы снова падает ниже порога устойчивости, при этом опять устанавливается возвратно-поступательное движение первичных электронов в разрядной камере и т. д.» [26].
К рассмотренной выше неустойчивости, приводящей к релаксационным колебаниям с частотой 103—104 Гц, по частоте колебаний приближается другая макроскопическая колебательная неустойчивость, связанная с устойчивостью горения разряда вблизи катода и обусловленная нарушением 88
условий (2.53), (2.54). Однако механизм ее существенно отличается от механизма, связанного с пульсирующим виртуальным катодом, и заключается в следующем. Плотность газа вблизи поверхности катода определяется конкуренцией между подачей и расходом газа. При зажигании разряда отток массы газа на периферию камеры увеличивается, поскольку ионы, движущиеся из разрядной области, имеют большую скорость, чем нейтральные молекулы. При достаточно интенсивном разряде это приведет к падению плотности газа вблизи поверхности катода. Если плотность уменьшится на значительную величину» то разряд погаснет. «Через некоторое время давление газа, повышаясь, снова достигает порога зажигания, разряд снова загорается и т, д. В итоге режим разряда оказывается релаксационным» [26].
Итак, при воздействии электронного луча на металл могут возникать колебательные неустойчивости, обусловленные взаимодействием исходного электронного пучка (плотность электронов ni, скорость электронов 辽卜 разброс по сиростям А〃], плотность электрического тока /|, энергия электронов Wi) с приповерхностной плазмой (плотность электронов пе, тепловая скорость электронов 沙幻 температура электронов Ге, температура ионов Z). Для оценок примем, что приповерхностная плазма находится в основном в объеме, представляющем собой цилиндр радиусом основания R и высотой S, где S 〜 10R. Колебательные неустойчивости могут также возникать при взаимодействии с приповерхностной плазмой вторичного электронного пучка (плотность электронов п2, скорость электронов 〃2, разброс по скоростям А辽2, плотность электрического тока /2, энергия электронов 呼2)• Влияние вторичных электронов в зависимости от их энергии и распределения по скоростям может проявляться двояко. Те их них, которые имеют температуру, близкую к температуре электронов плазмы, и косинусоидальный закон распределения по скоростям, будут давать вклад в генерацию электронов приповерхностной плазмы, а другие, которые можно представить как поток электронов с выделенной скоростью м2, будут составлять вторичный пучок электронов. Совершенно четкой границы между этими двумя группами электронов, конечно, не существует.
Обозначим через Л(0 一 температуру поверхности материала, а через Qe(Z)——среднюю плотность атомов плазмообразующего газа в области существования приповерхностной плазмы (/ — текущее время). Пусть плотность КПЭ на металл достаточна высока, так что через некоторое время после включения электронного луча температура поверхности становится порядка температуры кипения.
В качестве медленно меняющегося параметра, непосредственно связанного с температурой поверхности, возьмем плотность плазмообразующего газа. Вначале проанализируем возможность развития колебательных неустойчивостей в системе первичный пучок—приповерхностная плазма.
Пусть параметры электронного луча соответствуют условиям экспериментов [43]: ускоряющее напряжение 150——270 кВ, плотность мощности КПЭ (0,3—2,5) • 107 Вт/см2, длительность импульса от 10 до 100 мкс, давление остаточного газа в камере не выше 10~4 Торр, При q\ =2,5 • 107 Вт/ см2, 1Л = 250 кВ, /I = qi/匕=Ю2 А/см2; 〃〔 = (2eV\/m^/2, п{ = (ji/е辽〔)= jtO'ji/ |/羽，где [/i] — А/см2» [W\\ 一 эВ. Используя /1 = 102 А/см2, W\ = 2,5 • 105 эВ, получаем 几। = 2 • 106 см-3. Для оценки величины дебаевского
радиуса воспользуемся следующим выражением [93]:
5 = 525,6 vx/几- (2.74) где [U/J = эВ, [nJ = см-* [/J = см. Таким образом, при щ — 2 • 106 см~\ W] = 2,5 • 105 эВ rD! = 2 • 102 см, что существенно превышет радиус электронного луча. Порог развития колебательной неустойчивости в случае воздействия электронного луча на медь равен qc = 107 Вт/см2, U^ = 215 кэВ, частота колебаний (о)/2н) = 100 кГц.
Оценим время нейтрализации электронного луча. При давлении остаточного газа 10-4 Торр концентрация атомов нейтрального газа qo ^ 1012 см-3. Положим о, = 10-16 см2, и\ = 109 см/с, тогда т( = (qo^ui)-1 = 10-6 с. Полагая, что средняя скорость ионов 沙+ = 104 см/с, а длина пучка 厶匕》10 см, получим 工+》10-3 с. Следовательно, время жизни иона т+ гораздо больше времени нейтрализации электронного пучка. Поэтому в рассматриваемом пучке существует избыток ионов, которые будут удерживать вблизи пучка медленные вторичные электроны, т. е. реализуется случай распространения электронного плазменного пучка.
Найдем, следуя [26], выражение для оценки концентрации электронов плазмы. Для этого используем уравнение энергетического баланса плазменного пучка
Q = G%, (2.75)
где Q — поток мощности, подводимый электронным пучком к плазме; G — поток частиц из плазмы через ее внешнюю границу; We ——средняя энергия частиц, которые покидают плазму. Для оценки сверху примем, что на нагрев плазмы расходуется около одной четверти всего концентрированного потока энергии электронного луча, т. е. Q =；几〕岁〃〕. Полный поток частиц из плазмы равен потоку ионов и электронов. Плотность потока электронов равна 1 /4Пеие ехр (— ед)/Л>), где 屮一равновесный положительный потенциал плазмы по отношению к окружающим ее стенкам. Согласно условию Бома (2.54), скорость ионов ”=(乙/乂户2, причем
等 eхp (一君)=2…+， или
В последнемВ последнемравенстве учтено, что veравенстве учтено, что ve(;勻(;勻.Таким образом,.Таким образом,
В последнем
В последнем
равенстве учтено, что ve
равенстве учтено, что ve
(;勻
(;勻
.Таким образом,
.Таким образом,
уравнение (2.75) примет вид
1 ти\ ..^
n[ —m1 = 4几+0+呼2.
Средняя энергия покидающих плазму частиц — е(р. Тогда
m储m储貝粤广出（爲）貝粤广出（爲）
m储
m储
貝粤广出（爲）
貝粤广出（爲）
Сравнение амплитуд 1а и 厶
Материал мишени
</й>, мА
</с>, мА
4, мА
4а, мА
А. мс
т, мс
Мо
50
49
7
0
0,33
2,64
Мо
— 148,5
102
17
43,5
1,8
14,4
Мо
— 174
117
19
36
0,14
1,12
W
— 141
145
20
129
1*
13,6
W
— 1000
187,5
12,5
150
1,4
П.2
откуда
7⑵76)
Положим (M/m)^; 5 ■ 104. Выражение (2.76) примет вид
乙 W6,5(U//乙У?©
Считая, что 取1 = IO' зв,兀=10 эВ, получим & W 6,5 • 10%[. При © = 2 ♦ 1Q6 см-3 пе ^ 10“ см~± Таким образом, из ⑵74) получаем 「De 之 5 • 10~4 см. Положим, 々 = (2л/10) см-1. Следовательно, krDe ^ 1. Поэтому для частоты колебаний используем выражение (2.66) з/2л = 10—〈Те/М)"2= 1 —0,1 МГц, что удовлетворительно согласуется с экспериментальными данными [43]. Однако для раскачки ионно-звуковых колебаний необходимо дополнительно выполнение условия (2,68). Как видно из (2.76) в рассматриваемом случае (%е/几i)》1, что противоречит условию (2.68). Поэтому для объяснения механизма колебательной неустойчивости в экспериментах [43] предположим, следуя [26], чтр ионно-звуковые колебания раскачиваются пучком вторичных электронов, эмитируемым поверхностью металла.
Пусть 取2 = 1 —10 эВ, Те = 1 эВ. Полагая, что пе ^ 109 см~з получаем, что частота колебаний совпадает с частотой ионного звука:
®/2л)=(乙/M)"2/S.(2.77)
Примем, что S = 1 см. Тогда для меди частота колебаний 260 кГц. Отношение частот колебаний для алюминия и меди равно (29/13) ^ 1,49. Отношение этих частот, измеренное в эксперименте, (1,7/1,1) а 1,45. Как видно, имеется хорошее совпадение теории с экспериментом.
Рассмотрим теперь результаты экспериментов, представленных в работе [37]. Максимальное ускоряющее напряжение 40 кВ, диаметр электронного луча 2,5—3,0 мм, при испарении молибдена и ниобия q = (1——5) 104 Вт/см2. В экспериментах в качестве мишени использовали металлические стержни диаметром 14 мм. Электронный луч направлялся на торец стержня снизу, а поток пара двигался сверху вниз на подложку. Вблизи стержня устанавливали экран. Проводили измерение токов срежня /а, экрана /*, подложки /d, электронного луча 1С. Бь/ло показано, что наблюдаются пульсации 1С и 1а с периодом 〜3,33 мс, причем амплитуда колебаний Л при определенных условиях становится больше амплитуды колебаний 1С (см. таблицу). ^Ломаные скобки в таблице обозначают среднее значение соответствующей величины, Ае и Аа амплитуды колебаний тока луча и тока стержня, А ——запаздывание по времени колебаний 1а по сравнению с колебаниями /с.
Используя (2.34), найдем
соЛ = л/4; з = 2л/т; т = 8A.(2.78)
Рассчитанные по (2,78) значения т приведены в последнем столбце таблицы. Из (2.34) также следует
(4аЛ4с)〜/Г.(2.79)
Поэтому если принять, что колебания /& определяются колебаниями 1С (внешней силы), то должны выполняться следующие равенства:—
(儿4),/(4/4九=/评,(2.80)
где /, k — номера соответствующих строк в таблице. Для Мо (Л^/Л^/ (4/4)з Q (2,56/1,89)1,4,而7可^ /14,4/1,123,6; для W{Aa/Ac^/
(Аа/Ас)5 = 0,54,丿工4/以=/13,6/1 L2 л; 1,2. Как видно, для Мо имеется качественное согласие расчета с экспериментом, для W предположение о справедливости (2.34) выполняется значительно хуже.
В [37] было показано, что при определенном значении Гс, которое было различно для разных материалов мишени, происходило резкое (скачкообразное) увеличение /а, причем при этом менялась полярность /0 по сравнению с полярностью /а при /с V /J. Как правило, моменту резкого увеличения тока /а соответствует резкое увеличение скорости испарения, причем вблизи поверхности в этом случае образуется слабоионизоваш!ая плазма, которая регистрируется по характерному для каждого металлаТхвету свечения. При скоростной фоторегистрации наблюдаются пульсации плазменного факела. Оценим возможность загорания вблизи поверхности металла разряда, инициируемого вторичным электронным пучком. В [37] отмечается, что скорость испарения молибдена составляла 0,5 г/мин. В пересчете на единицу площади пятна электронного луча на поверхности молибдена эта величина дает 3 • 10~2 г/см? с, что соответствует давлению насыщенных паров 10 мм рт. ст. или концентрации атомов молибдена в паре Q?= 3 ■ 1016 см-3. Из приповерхностного парового облака часть ионов возвращается обратно на поверхность металла. Этот поток равен
/+=/e+ect+Qe*.(2.81)
а+ — степень ионизации пара согласно термической ионизации, k+ — коэффициент, учитывающий уменьшение доли возвращающихся атомов пара по сравнению с равновесными условиями на границе металл—пар. Положим а+= IO—, 々+=1()-1, тогда получим /+ = 2 • 10-2 А/см2, j^R2 = 6мА. Из (2.54) получаем оценку
厶=几 V 6(М/т>/2.
При (М/tn) = 5 • 104, /2 V 1300 мА. Как видно из таблицы, условие Бома для молибдена выполняется.
Минимальный ионный ток, необходимый для поддержания разряда, в значительной степени зависит от плотности парового облака. В свою очередь, плотность пара достаточно сильно чувствительна к изменению температуры поверхности. Поэтому резкое увеличение плотности вторичных электронов при увеличении тока луча можно объяснить резким увеличением испарения материала, которое вследствие столкновений атомов пара между собой формирует такой ионный ток на поверхность металла, что реализуются условия для зажигания разряда. Вследствие образования 92
двойного слоя вблизи поверхности металла толщина слоя объемного заряда d резко уменьшается, и в соответствии с формулой (2.51) электрический ток /2 увеличивается. Обратный поток ионов на поверхность металла обусловлен столкновением атомов в паре. Оценим длину свободного пробега атомов в паре при давлении 10 мм рт. ст.:九冃=1 /Qc^^, где и& ——сечение рассеяния пробной частицы на частице пара. Полагая q? = 3 • 1016 см-3, ст? = 1015 см'2, получим 九& 〜10一2 см, что меньше радиуса луча электронов. Таким образом, фактически в формуле (2.81) /?+ 〜q? и, следовательно, /+ ~
Проанализируем колебательное неустойчивости наблюдавшиеся в [27]. Ускоряющее напряжение 20 кВ, ток луча 5——250 мА, длительность воздействия от 100 мс до I с. На первом этапе воздействия А^ ток мишени постоянен во времени и положителен. На втором этапе среднее значение тока начинает уменьшаться с течением времени, переходит через нуль (меняет полярность) и достигает минимума. При этом у тока мишени появляется колебательная составляющая, причем с течением времени ее амплитуда уменьшается, а частота увеличивается. На третьем этапе А£з ток мишени начинает увеличиваться, снова становится положительным и достигает заметной величины по сравнению с током источника питания. Здесь также наблюдается существование пульсаций, причем с возрастающими во времени частотой 〜103 Гц и амплитудой. На четвертом этапе А〃 высокочастотные колебания исчезают, наблюдаются только низкочастотные колебания в диапазоне 6—50 Гц. Время существования первого этапа 厶厶 с увеличением тока электронного луча уменьшается. В течение второго этапа колебания в основном происходят с частотой 50 Гц, на третьем этапе к ним добавляются интенсивные колебания с частотой 103 Гц. Регистрация давления в камере вблизи зоны воздействия дает согласующиеся результаты с измерениями тока мишени, причем ток мишени и давление колеблются в противофазе. \
Анализ зон проплавления показывает, что в течение первого этапа происходит нагрев металла и, как правило, (исключение составили молибден и вольфрам) начинается плавление. Граница между вторым и третьим этапами соответствует началу интенсивного испарения металла. К концу третьего периода в расплавленном металле образуется канал.
Рассмотрим возможность инициирования в приповерхностной плазме колебательной неустойчивости с частотой 〜103 Гц первичным электронным пучком. Для объяснения механизма данных автоколебаний в этом случае наиболее подходящим из известных механизмов является пучководрейфовая неустойчивость плазменного пучка, так как ей при определенных условиях сопутствуют, как отмечалось выше, релаксационные колебания с частотой 103—104 Гц.
Введем величину % = }\/je- Как следует из критерия (2.42), колебания возбуждаются при /Q〉1 и не возбуждаются при К『V L Плотность электрического тока луча /| = 1"乳可、а
/с = ；«+&(Т)(2 乙/ГН)"?.
При /〃 = 5 • 10-2 A, R = 5 • 10 2 см /| = 6,4 А/см2; при 豆十=10^3, 0^ = 3. 10i6 см-3, Те = 1 эВ J； = 102 А/см2. Следовательно, на границе второго и третьего этапов К,〜6 • 10-2. Пусть теперь температура металла
Т V Tm, где Тгп ——температура его плавления. Тогда, вообще говоря, могут реализоваться условия, для которых К, > 1. Таким образом, релаксационные колебания в плазменном пучке могут развиваться в условиях, когда плазма достаточно разрежена. Более того, в режимах, близких к разрушению электронного луча, величина электрического тока сравнима с предельным током луча, т. е. электронный пучок является сильноточным. В экспериментах [27], как уже отмечалось, использовали слаботочные пучки. Для них справедливо условие (2.44). /
Рассмотрим теперь возможность инициирования колебательной неустойчивости с частотой 〜103 Гц вторичным электронным пучком.
Раскачка колебаний вторичным пучком должна быть наиболее эффективна на границе второго и третьего этапов, где ток вторичных электронов максимален. Из расчетов, аналогичных тем, которые были сделаны при обсуждении результатов [37], следует, что на границе второго и третьего этапов горит разряд, инициируемый вторичным электронным пучком. Как отмечалось выше, в [26] наблюдалась колебательная неустойчивость (〜104 Гц), связанная с неустойчивостью горения разряда, причем она проявлялась наиболее ярко при уменьшении разрядного напряжения до 10—15 В, что находится в согласии со значениями потенциалов плазмы в опытах типа [27, 37]. Существование данной неустойчивости в [23] объяснили тем, что плотность плазмообразующего газа вблизи поверхности металла определяется конкуренцией между подачей и расходом газа, а зажигание разряда увеличивает отток газа, поскольку ионы^^движущиеся из разрядной области, имеют большую скорость по сравнению с нейтральными атомами. В [37] в условиях, близких к условиям [27], при использовании методов скоростной фоторегистрации наблюдали пульсации плазменного факела, поэтому можно сделать предположение, что в [27] пульсации тока мишени и давления газа обусловлены пульсациями плотности приповерхностной плазмы. Более того, можно предположить, что механизм этих пульсаций обусловлен неустойчивостью горения разряда за счет упоминавшегося выше эффекта ионной откачки. Однако непосредственное использование механизма ионной откачки для объяснения колебательной неустойчивости в [27] наталкивается на ряд трудностей. Действительно, опыты в [26] проводились в достаточно сильном продольном магнитном поле (〜1 кЭ) и в достаточно разреженной атмосфере (10^6一I0-4 мм рт. ст.). Сильное продольное магнитное поле и разреженная атмосфера позволяют ионам набирать энергию, что приводит к отрыву ионной температуры от температуры нейтралов, т. е. температура ионов приближается к температуре плазменных электронов, которая больше температуры нейтралов Тп : T*Ti>Tn・ Поэтому скорость иоиов больше скорости нейтралов, причем в режиме ионной откачки поток ионов может на порядок превосходить поток подводимого в камеру плазмообразующего газа. Колебательная же неустойчивость в [27] развивается несколько в других условиях. Во-первых, в [27] отсутствует вблизи поверхности металла сильное продольное магнитное поле, поэтому ионы, как и нейтральные частицы, могут совершенно беспрепятственно уходить на стенки вакуумной камеры. Во-вторых, если ионная компонента в потоке пара на первом и в начале второго этапа может быть сравнима с полным потоком газа с поверхности металлической мишени, то, начиная с момента развития интенсивного испарения (граница второго и третьего этапов), она составляет малую долю в общем потоке
пара, хотя этой малой доли вполне достаточно для поддержания квази- нейтральиости в разряде (см. оценку по формуле (2.81)). Кроме того, при развитом испарении плотность пара вблизи поверхности достаточно велика, чтобы для процессов с характерным временем 〜10^3 с успевало устанавливаться равновесие между ионной и нейтральной составляющими приповерхностной плазмы. Действительно, оценим характерное время, в течение которого ион может передать избыток своей энергии нейтральной частице в зависимости от давления газа:
Т(л l/(QeUfn〃)，
где о,” —— сечение упругого рассеяния иона на нейтрале. При q? = 1012 см^з (〜IO— мм рт. ст.), 5力= 10-15 см-2, и = 104 см/с получаем м = 10-2 с, а при Qe=10‘6 см~,! Tin = 10~5 с, поэтому в плотной приповерхностной плазме скорость ионов близка к скорости нейтральных частиц.
Таким образом, примем, что колебательная неустойчивость в экспериментах [27] в диапазоне 1 кГц обусловлена пульсациями плотности плазменного факела вблизи поверхности металла, однако ее механизм ие связан с эффектом ионной откачки.
В механизме колебательной неустойчивости горения разряда увеличение потока ионов, с одной стороны, приводило к увеличению потока электронов с поверхности металла за счет уменьшения толщины слоя пространственного заряда, а с другой стороны, вследствие увеличения ионной откачки уменьшало концентрацию ионов вблизи поверхности металла, что, в свою очередь, приводило к уменьшению потока электронов с поверхности металла за счет увеличения толщины слоя пространственного заряда. Если при зажигании разряда скорость ионной откачки доминировала над скоростью подвода плазмообразующего газа, то вследствие этого двойственного влияния потока ионов на поток электронов с поверхности металла появлялась возможность для развития колебательной неустойчивости.
В условиях [27] увеличение потока пара с поверхности металла увеличивает плотность пара вблизи зоны воздействия электронного луча, а увеличение скорости испарения металла определяется увеличением температуры поверхности металла. Таким образом, увеличение температуры металла увеличивает плотность парового облака. Изменение плотности парового облака определяется конкуренцией двух процессов: скоростью накопления параf в облаке за счет испарения металла и столкновений атомов в паре и скоростью рассасывания облака за счет оттока пара на периферию. Предположим, что скорость оттока пара на периферию зависит от плотности пара. Тогда увеличение температуры поверхности металла, с одной стороны, будет приводить к увеличению плотности парового облака, а с другой стороны, вследствие увеличения скорости оттока пара будет уменьшать его плотность. Если предположить, что температура поверхности зависит от плотности пара при экранировке металла паровым облаком и в начале интенсивного-- испарения скорость оттока пара на периферию будет доминировать над скоростью накопления пара в облаке, то появится возможность для развития колебательной неустойчивости (автоколебаний) [94, 95].
При небольшом превышении порога неустойчивости данные автоколебания имеют форму, близкую к гармоническим колебаниям, а при дальнейшем увеличении мощности они переходят в стохастические автоколебания, при этом на фоне стохастических автоколебаний появляются низкочастотные
гармонические колебания в диапазоне 1 — 102 Гц. Автоколебания в диапазоне I —102 Гц большинство исследователей связывают с появлением профиля на границе расплав—нар, расплав—твердое тело. Данное явление можно объяснить следующим образом [96]. При сравнительно малых мощностях электронного луча скорость движения границы расплав—пар невелика, вклад структурных особенностей профиля границы в структуру экранирующего парового облака мал. Распределение плотности парового облака в пространстве практически не чувствует изменения профиля границы раздела. В этом случае для качественного описания автоколебаний достаточно использовать модель типа [94, 95]
口二广=Q(V Т>, <Q >, g),(2.82)
既厂=尸2(V т >, V e »,(2.83)
где Z — текущее время; VT〉一температура металла; V q(/)〉一плотность паров; q — постоянная во времени мощность электронного луча. Функция 尸[(vT〉， V Q >,夕)определяет изменение температуры металла в зависимости от диссипации энергии мишенью (переменная < Т〉)，экранировки на паровом облаке (переменная V@>), нагрева металла (параметр q). Функция 尸2(V Т〉，V Q >) определяет изменение плотности пара в зависимости от релаксационных механизмов в облаке пара, оттока пара из облака (переменная Vq〉)，притока пара за счет испарения вещества мишени с поверхности (переменная V 丁〉)• Как было отмечено выше, система (2.82), (2.83) содержит минимальное число переменньосдл я описания автоколебаний, причем она может описывать только периодические автоколебания, хотя и необязательно гармонические.
При больших мощностях электронного луча, когда происходит его значительное углубление в металл, скорость движения границы расплав—нар, особенно при больших заглублениях луча и малых углах встречи передней стенки сварочной ванны с лучом, имеет важное значение. Следовательно, к системе уравнений (2.82), (2.83) необходимо добавить, по крайней мере, еще одно уравнение для переменной V 力〉，которая отражала бы релаксационные процессы профиля границы раздела и его изменения под действием перераспределения плотности потока энергии на границе раздела. Система (2.82), (2.83) примет вид:
勺戶=自(V т >, V @ >, q\(2.84)
%；乙=尸?(V T >, V @ >),(2.85)
色甞二=尸з(< T>\ <h »,(2.86)
где функция 尸[(V 了 >, V Q >，夕)дополнительно (по сравнению с системой (2.82), (2.83)) определяет изменение температуры металла в зависимости от изменения профиля; функция 尸з(<7>, </г>) определяет изменение профиля за счет изменения температурного поля (переменная <Т>) и релаксационных механизмов профиля границы раздела (переменная V/i〉)・
Система уравнений типа (2.84) — (2.86) уже может описывать стохастические автоколебания-. Таким образом, стохастические автоколебания
можно объяснить динамическими взаимосвязями между температурным полем металла, плотностью экранирующего облака и профилем границы раздела, а низкочастотную составляющую взаимосвязями между температурным полем металла и профилем границы раздела.
Электрические разряды. Динамические процессы в электрических разрядах в слабоионизованном газе с точки зрения их гидродинамического описания можно разделить на два больших класса: быстрые и медленные [46]. К быстрым процессам относят те, для которых существенны инерционные свойства заряженной компоненты плазмы. Они являются настолько быстрыми, что за их характерные времена состояние нейтральной компоненты плазмы не успевает измениться на сколько-нибудь существенную величину. Таким образом, для быстрых процессов состояние нейтральной компоненты можно считать не зависящим от времени. Будем считать, что газ достаточно плотный для того, чтобы температура ионов равнялась температуре нейтралов. В этом случае механические инерционные свойства заряженной компоненты определяются массой ионов, энергетические инерционные свойства ——скоростью обмена энергией электронов с ионами и нейтралами, а зарядовые — скоростями ионизации и рекомбинации.
Медленные процессы определяются инерционными свойствами нейтральной компоненты плазмы. Они являются настолько медленными, что за их характерные времена состояние заряженной компоненты всегда успеет принять соответствующее нейтральной компоненте квазистационарное состояние. В этом случае величины, характеризующие заряженную компоненту, зависят от времени неявным образом, посредством зависимости от изменений величин, характеризующих нейтральную компоненту.
Выше было показано, что существование неустойчивостей при использовании электрических разрядов в качестве КПЭ для воздействия на материалы выражается, как правило, в существовании неустойчивостей в газодинамическом течении плазмы в разрядном промежутке. По прнведеи- иой выше классификации данные динамические процессы следует отнести к медленным процессам. Поэтому основное внимание направим на анализ неустойчивостей в масштабе медленных процессов. С неустойчивостями быстрых процессов можно ознакомиться, например, по работам [46, 63, 22, 97].
Рассмотрим вначале перегревные неустойчивости, обусловленные тепловым Действием электрического тока в плазме. Считаем электрический разряд равновесным, что практически всегда выполняется в электрических дугах при атмосферном давлении [63]. Уравнение энергетического баланса плазмы с током имеет вид
◎рСр = div (Кр grad Г) + 产/仇 (2.87)
I = о£, £ = — ▽ср, div / = О,
где Qp ——плотность плазмы; ср — теплоемкость при постоянном давлении； Кр ——коэффициент теплопроводности; /——плотность электрического тока; и ——электропроводность; Е ——электрическое поле; ф — потенциал электрического поля, причем считаем, что плазма покоится.
Выделяют два типа разрядов, существенно отличающихся по своим свойствам: разряд, стабилизированный стенками, и разряд, стабилизиро-
ванный электродами [46]. В первом из них теплоотвод осуществляется в направлении, перпендикулярном направлению протекающего между электродами электрического тока. Во-втором ——теплоотвод осуществляется электродами, т. е. в направлении вдоль электрического тока.
Остановимся на свойствах разряда, стабилизированного электродами, так как он представляет наибольший интерес для целей обработки материалов кпэ.
Рассмотрим, следуя [46], стационарное решение (2.87), считая, что электродами являются две параллельные плоскости, расположенныё^на расстоянии 2九 друг от друга по оси z:
dTe/dj + /〃Кр” = 0,(2.88)
乙(2 = ± 九)=Ts,
где Ts ——температура электродов; /е — const.
Разность потенциалов между электродами равна
£ dz о/ С dz dTe
—hTm
Считаем, что распределение температур вдоль оси z симметрично относительно начала координат, причем Те = Тт при 2 = 0. Интегрируя (2.88), получаем
dTe dzdTe dz-2靑 АР-2靑 АР
dTe dz
dTe dz
-2靑 АР
-2靑 АР
Следовательно:
тт
А(р=〔8 $ [Кр/Е7)Мт}/2(2.89)
ts
Как следует из (2.88), Тт является функцией /е. Поэтому выражение (2_89) определяет в0льт・амлер|Ную характеристику (ВАХ) разряда. Как видно из (2.89),厶屮(牙用》——ьеегдя моиотонн© воз!ра.стаао)1и.：ая 寧ункц呼я, причем, если при достаточно больших Г электропроводисхсть @(Т, растет быстрее, чем линейная функция Т，то напряжение на электродах всегда имеет конечную величину:
АФ < А<рт = [8 I 务打厂
Рассмотрим некоторые частные случаи зависимости электропроводности от температуры.
Пусть о = Аа ехр (Т/В^, где Лп и 纥一 известные константы. Тогда (2.88) примет вид
$6/財 + 2Ме—е = 0,(2.90)
где & = г/h; 0=(^-厶)/凡；х2 =匕h〃2KPBQ(Js).
Интегрируя (2.90), получим
Те = Tm + 2凡 In (COS 乂^― K/2).
Граничные условия (8=0 при g = ± 1) задают в неявном виде 0т： ехр (— 0m/2) = cos (х exp (― 9^/2)). (2.91) Падение напряжения на электродах
А<р = we」е"2 tg “e-е"?,⑪=(8KpBa/o(Ts))'^.
Отсюда с учетом (2.91) получаем ВАХ разряда в следующем виде:
1е — Л；х; х1е — Л；х; хarccos [1 — (Д(р/да)2]1/2口 二。屮/好]"2—arccos [1 — (Д(р/да)2]1/2口 二。屮/好]"2—(2.92)(2.92)
1е — Л；х; х
1е — Л；х; х
arccos [1 — (Д(р/да)2]1/2
口 二。屮/好]"2—
arccos [1 — (Д(р/да)2]1/2
口 二。屮/好]"2—
(2.92)
(2.92)
где 4 = (2Кр凡0(戏)/九2)"2. Как видно, выражение (2.92) определяет монотонно возрастающую и ограниченную функция Acp(/J
Если о = AaBJ(Ba — Г), то из (2.88) следует 乙=凡一(纥 一 丁$) X X ch 乂自/ch x, где х2 — Hh^/АаВаКР. ВАХ разряда определяется следующими выражениями:
А屮=/ th &/4), Л； = /ЛаВпКр/Л2 ,
/ = 2(1 — Ts/纥) /К,纥/4 .
Пусть, наконец, д = ЛП(Г/Вп)а, а > 0. Тогда можно показать, что при а > 1 зависимость Аср(/е) выражается монотонной, ограниченной сверху функцией, а при а V 1 Аср(/е) неограниченно растет при увеличении 1е.
В реальных условиях параметры КПЭ выбирают таким образом, чтобы обеспечить достаточный теплоотвод для существования стационарного режима нагрева материала. Поэтому считаем, что стационарное решение (2.87) существует. Исследуем его устойчивость.
Вообще говоря, устойчивость стационарного решения (2.87) необходимо рассматривать совместно с устойчивостью параметров внешней электрической цепи в каждом конкретном случае. Такой анализ требует достаточно подробных сведений о каждой конкретной установке, что, как правило, отсутствует в публикациях. Поэтому ограничимся рассмотрением одной, сравнительно общей, ситуации, описанной в (25].
Пусть источник питания (генератор) описывается следующим уравнением: /
JW + R6" + ^\@—MS*dt, (2.93)
где /р — ток в колебательном контуре; L — индуктивность； С—емкость; М ——коэффициент взаимоиндукции; S — крутизна ВАХ усилителя в схеме источника питания; R ——сопротивление плазмы. Усредняя (2.87) по объему плазмы, получим уравнение для изменения во времени средней температуры плазмы в следующем виде:
(2.94)(2.94)"р%+ KT = R『,
(2.94)
(2.94)
где тр — масса плазмы; К — коэффициент, учитывающий теплоотдачу из плазмы в электроды. Примем для удобства расчетов, что сопротивление плазмы линейно зависит от температуры
(2.95)(2.95)R(T) = Ro + LbT.
(2.95)
(2.95)
Перепишем (2.93), (2.94) в следующем виде:
7P + шо/р = (ц — bT)iр — b tip,(2.96)
t=~ (Г/т) + a(T)ll(2.97)
где ц = wo MS — Ro/Ц т一 = K/(m“p)； а(Г) = а()+ LbT/{трСр)\ а。= R)/(mpcj
Решение (2.96), (2.97) при тз。》1,卩《項/厶 в первом приближении метода Крылова——Боголюбова найдем из следующей системы укороченных дифференциальных уравнений:
л = У(Ц - Й9)Л, ф==0,(2.98)
0 — — В/т -|—— ctо^4 ,
где / — Л(/) cos (o)()Z + 屮)；丁 = 0.
Система (2.98) имеет два стационарных состояния：
Л = 0, ф = фо； 0 — 0;(2.99)
Ае — 2^/(ао^т); (ре —(ро；瓦=卩/氏(2.100)
Как видно из (2.98), устойчивость стационарных состояний в значительной мере зависит от знака константы 力，характеризующей зависимость сопротивления плазмы от температуры. Из (2.89) следует, что для разряда, стабилизированного электродами, полное сопротивление плазмы увели\и- вается с ростом температуры вне зависимости от вида конкретной фу^пщци и(Т). Положительность коэффициента b отражает тот факт, что у ВАХ разряда, стабилизированного электродами, не может быть падающих участков.
Итак, при 卩 > 0 стационарное состояние (2.99) становится неустойчивым, и система может перейти в новое стационарное состояние (2.100). Исследуем его устойчивость.
Пусть сначала время релаксации температуры плазмы т существенно меньше инкремента нарастания неустойчивости в самом источнике питания т卩《1. Тогда температура плазмы является быстрой переменной, и ее можно исключить из системы (2.98), полагая 0 = 1 /2та()Д2. Уравнение для А в (2.98) примет вид
/1 = %а—警屋)4(2.101)
Таким образом, из (2.101) следует, что стационарное решение (2.101) устойчиво при 卩 > 0. Следовательно, при тц《1 непосредственно влияние плазму на характер устойчивости не сказывается, оно проявляется только в самой возможности существования стационарного состояния типа (2.100).
Пусть теперь т 〜l/卩. Тогда, линеаризуя систему (2.98), получим
Е =——^ Ь/еП，% = CtMeW — "/t,
? = Л — Ае, Т] = В —仇,
или
Т]十々-刀十亍T] = U.
Полагая q 〜uxp(p*f), находим корни характеристического уравнения
Р；2Р；2—1 ± /1 — 4цт—1 ± /1 — 4цт
Р；2
Р；2
—1 ± /1 — 4цт
—1 ± /1 — 4цт
Отсюда видно, что при 卩〉0 стационарное решение (2.100) устойчиво. Непосредственно на устойчивость зависимость сопротивления от температуры не влияет, ее влияние выражается только в самом факте существования стационарного состояния (2.100)
Несколько обобщая этот результат, можно сделать вывод о слабом влиянии зависимости сопротивления плазмы от температуры в разряде, стабилизированном электродами, на устойчивость системы в целом. Он базируется на том, что ВАХ разряда, стабилизированного электродами, не может иметь падающих участков.
Предположим теперь, что время релаксации температурного поля плазмы т значительно больше характерных времен внешней электрической цепи. Тогда для исследования устойчивости системы в целом можно ограничиться одним уравнением энергетического баланса плазмы (2.87). Рассмотрим вначале уравнение (2.97) для средней температуры плазмы. Условие существования у него стационарного решения выражается неравенством т V трСр/Lbl2. Поэтому из факта существования стационарного решения для (2.97) автоматически следует его устойчивость.
Устойчивость стационарного решения (2.97) указывает на устойчивость стационарного решения (2.87) к крупномасштабным возмущениям. Для исследования устойчивости к мелкомасштабным возмущениям необходимо рассматривать исходное уравнение (2.87) с распределенными параметрами.
Рассмотрим устойчивость стационарного решения (2.87) к двумерным возмущениям, следуя [46]. Пусть ось z направлена поперек электродов (по току), а ось х 一 вдоль электродов. Линеаризуя закон Ома и уравнение непрерывности для плотности электрического тока, исключая、из них х-кол4поненту электрического тока с помощью условия потенциальности электрического поля, получим уравнение, связывающее возмущение z-компоненты плотности электрического тока и возмущения температуры плазмы 0:
d 1П Ged 1П GedTedTe綻8綻8(2.102)(2.102)
d 1П Ge
d 1П Ge
dTe
dTe
綻8
綻8
(2.102)
(2.102)
Линеаризация уравнения энергетического баланса дает второе уравнение
KpOjdTe dTe〉KpOjdTe dTe〉2厶KpGe2厶KpGe(2.103)(2.103)
KpOjdTe dTe〉
KpOjdTe dTe〉
2厶KpGe
2厶KpGe
(2.103)
(2.103)
В качестве граничных условий примем равенство нулю возмущений температуры на электродах и независимость возмущений компоненты плотности электрического тока на электродах от %. Последнее условие вследствие
уравнений непрерывности для плотности электрического тока приводит к условию djz/dz = 0 при z —
Пусть для определенности (5 = Ас ехр (Т/Ь^). Ищем решение (2.102), (2.103) в следующем виде:
В =(р(Е) ехр (— pgpt/h2 + ikx/h\
/г = - °。expJ?/B°) ^屮但)ехр (—嘗 + 修)
где g — z/h\ gp——температуропроводность плазмы;刀=用uxp [(「s — 丁团)/ 2Вст]<л/2. Испол ьзуя промежуточные результаты при выводе (2.92), получим
^- + (р —々-} ф =ГТ*(2.104)
\cos啮丿 cos唯
(cos2r]g—L——J一公)屮=2公中(2.105)
' dE cos2r)^ dE /
с граничными условиями■
ср = d屮/若=0 при J = ± 1.(2.106)
Равенство p = 0 определяет условия возникновения неустойчивости.
Положив р = 0 и исключив из системы ср, получим
(cos2T)g —!——公 + 2"2 ) 〃 = 0,42J^7)
< t/自 cos2r)| d^cos?瓏丿
辽=0, W = ± 1,
где и = (d2/峻—々2)Т\ Ищем решение (2.107) в виде и = и cos 刀己.Тогда для о получается следующее дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами:
■^ + (限-户)0=0.
Его решение имеет вид
о = 4 cos (Е /г)?—庐)+ А2 sin (己 /г]? — k2).(2.108)
Из граничных условий следует, что
刀2 —(冗孔 Тg~) + 々2, М == 0, 1,2,
ИЛИ
刀2 =冗2疗 + 丛，/л = 1, 2, 3,• (2.109)
Из (2.91) следует, что 刀 V 冗/2, поэтому условия (2.109) не могут быть выполнены. Таким образом, р никогда не обращается в нуль. При достаточно малых токах /е разряд устойчив (р > 0). Учитывая, что р не обращается в нуль, окончательно получаем, что разряд, стабилизированный электродами, всегда устойчив к двумерным возмущениям.
В электрическом разряде, стабилизированном электродами, основной
тепловой поток отводится по направлению вдоль электрического тока (поперек электродов, ось 之).Именно это условие приводит к отсутствию падающих участков на ВАХ разряда и в итоге к устойчивости разряда по отношению к достаточно широкому классу возмущений. Ситуация существенно изменяется в разряде, стабилизированном стенками. В нем значительное количество тепла отводится в направлении поперек электрического тока (вдоль электродов, ось %). В этом случае ВАХ электрического разряда уже может иметь падающие участки, что может приводить к неустойчивости горения разряда, его контракции.
Так как для целей обработки материалов КПЭ наиболее подходящими являются разряды, стабилизированные электродами, то механизмы контракции электрических разрядов в дальнейшем в данной работе не рассматриваются. С ними можно познакомиться в [46, 63, 98].
В системе (2.87) для описания газодинамических свойств плазмы использовалась только ее температура. Данное приближение справедливо, если плазма неподвижна, а частота возможной колебательной неустойчивости меньше отношения Ls/cs, где Ls — характерный размер системы (радиус или длина КПЭ); cs 一 скорость звука. Учтем теперь возможность возникновения акустических колебаний.
Следуя [46], рассмотрим некоторые механизмы раскачки акустических колебаний. Пусть q, р, а = (“，v2), 0, s 一 возмущения плотности, давления, температуры,энтропии плазмы. Тогда линеаризованная система уравнений, описывающая эволюцию этих возмущений во времени, примет вид
dQ/dt + QpVv = 0, (2.110)
Qpdv/dt= — Vp, (2.111)
q。7。空=2®■一兰黑仇(2.112)
dtGe Ge dT
一 中F— 1)一力
/ =厶禺У^В — aeV(p,(2.114)
V,/ = о, е(2.115)
где 孙，Тр, Vp = (0, 0), о。，1е = (0, /е)——невозмущенные значения плотности плазмы, температуры, скорости, электропроводности, плотности электрического тока через плазму; cs ——скорость звука; ср ——теплоемкость плазмы при постоянном давлении; 丫 一 показатель адиабаты. Считаем, что в стационарном состоянии плазма покоится и занимает все пространство.
Полагая возмущения пропорциональными ехр (/со/ — ikr), получим дисперсионное уравнение системы (2.1 10) 一 (2.115)
k -$做=(0丁/心公)(/^ -必)(序—Y0)2/w)，(2.216)
где о「=/^(d /几 Oe/dTJ/QpCpOe — инкремент перегревной неустойчивости, 公=尼+居.
При о『=0 получаем дисперсионное уравнение акустических колебаний 公=o)2/W・
Пусть 心I 〜々е，тогда из (2.116) имеем
0)士 /^s -(Y — IRr(解一居)/2々2(2.117)
при kcs》07 н
3 = ± kcs/y —決2储/丫2)(丫 — 1)/2уо?(2.118)
при kcs《Oq
Выражение (2.117) определяет условия возбуждения звуковых колебаний с адиабатической скоростью их распространения, а (2.118) —с изотермической. В (2.118) положено kz = 0. Как видно из (2.117), акустические колебания могут возбуждаться при k'i > 居.Таким образом, продольные моды являются устойчивыми, они стабилизируют поперечные моды, а поперечные моды являются неустойчивыми для произвольного kz (2.118).
При |о)|《kc получаем следующее решение (2.116):
3 =-沁乂公一咫)//Л(2.119)
Выражение (2.119) описывает апериодическую перегревную неустойчивость, причем опять продольные моды устойчивы, а поперечные ——нет.
Таким образом, для акустических возмущений в неподвижной плазме с током наиболее неустойчивыми являются поперечные электрическому току моды. Данный результат коррелирует с выводом о стабилизирующем действии продольного теплоотвода (через электроды) на раскачку чисто температурных возмущений.
Движение плазмы с небольшими скоростями вдоль поверхности электродов приводит к некоторому увеличению инкремента для акустических возмущений, распространяющихся против потока, и уменьшению 一 в противоположном направлении [46].
Приведенные выше результаты показывают» что перегревные неустойчивости характеризуются наиболее интенсивной раскачкой поперечных электрическому току мод. Такие неустойчивости характерны для электрических разрядов, стабилизированных стенками, и менее характерны для разрядов, стабилизированных электродами. Как было показано выше, при использовании электрических разрядов в качестве КПЭ при обработке материалов наблюдается раскачка продольных, а не поперечных мод. Эта раскачка часто выражается в прерывистом испарении материала катода, причем при развитом испарении вблизи поверхности катода может существовать скачок уплотнения. Из существования скачка уплотнения следует, что между ним и поверхностью металла электрода существует сверхзвуковое течение плазмы. Существование скачка уплотнения вблизи поверхности электрода вносит определенную специфику в распространение акустических возмущений. Рассмотрим ее, следуя |16].
Пусть на расстоянии h от поверхности металла находится скачок уплотнения. Тогда примем, что при 0 V а & 力 течение сверхзвуковое, а при 之〉左 —— дозвуковое. Параметры газа, относящиеся к области 0 V 之 & А будем отмечать индексом 2, а параметры, относящиеся к области 之〉力,一 индексом 1. Для описания акустических возмущений используем следующую систему:
4г+^>+Й47=°'(222。)
黑+^=-(各A 苗釣⑵221)
ds I i/ ds-dT+ '后ds I i/ ds-dT+ '后о,о,(2.222)(2.222)
ds I i/ ds
-dT+ '后
ds I i/ ds
-dT+ '后
о,
о,
(2.222)
(2.222)
где л ——невозмущенное давление; cv ——теплоемкость.
Вид уравнений системы (2.220)——(2.222) одинаков для обеих областей. Рассмотрим характер решений ее дисперсионного уравнения для сверхзвукового и дозвукового потоков. Пусть, как обычно, q, и, s пропорциональны ехр (/со/ — ikz). Тогда из (2.220) — (2.222) имеем
(з — V7?)q 在=Q^o,(2.223)
(3 — Vk)vk =萼飯 + _^y ksk,(2.224)
(2.225)(2.225)(co ——Vk)sk = 0.
(2.225)
(2.225)
Отсюда видно, что есть два решения s店=0 или ^ — Vk = Q. Первое из них соответствует сохранению энтропии в каждой точке пространства
(2.226)(2.226)々=~；i~Г7~ , ^左=± ―j=j— , Sk = 0-
(2.226)
(2.226)
± cs + VQ
Данное решение отражает распространение обычных адиабатических звуковых возмущений с фазовой скоростью
(2.227)(2.227)% = ± с$ + IA
(2.227)
(2.227)
Из (2.227) следует, что в дозвуковом потоке 公〉IH возмущения бегут в обе стороны от источника возмущений, а в сверхзвуковом ——в одну.
(2.228)(2.228)Второе решение (2.223) — (2.225) имеет вид
(2.228)
(2.228)
為 =1 -р" ； О在==0， 5在C『Q乩
Как видно, данный тип воли соответствует переносу со скоростью движения среды V возмущений плотности и энтропии, а возмущения скорости в каждой точке пространства равны нулю, притом эта волна не вызывает возмущений давления в среде. Действительно, возмущения давления
р = cIq^ -|-_^L Sk при выполнении (2.228) равны нулю. Волны данного cv
типа называют энтропийными волнами.
Рассмотрим теперь трансформацию акустических и энтропийных волн при их прохождении через скачок уплотнения. Пусть из второй области, которую будем называть невозмущеиной, на скачок уплотнения падает акустическая волна. Согласно (2.226) для этой волны
"一亠 c2S^2k"一亠 c2S^2k，§2K — 0.，§2K — 0.(2.229)(2.229)
"一亠 c2S^2k
"一亠 c2S^2k
，§2K — 0.
，§2K — 0.
(2.229)
(2.229)
Для упрощения выкладок совместим начало координат со скачком уплотнения, т. е. будем считать, что область 2 занимает полупространство 之 V 0, а область 1 — полупространство z〉0.
(2.230)(2.231)(2.232)(2.230)(2.231)(2.232)Запишем условия на скачке в следующем виде: ，2《?2 = V|Q I,
(2.230)
(2.231)
(2.232)
(2.230)
(2.231)
(2.232)
Q2V2 + 冗2 = c】v7 + 冗1,
H? + 吗/2 = /Л + 吟/2,
где Н 一 энтальпия газа.
Условия (2.230) — (2.232) записаны для стационарных значений. С учетом малых возмущений они примут вид
V|Q1 + (уI — ft)Q] ~，2Q2 +(02 —龙)^2,(2.233)
v\q, + 2(5 - h)V^{ + C?SQ! +」i-S| =
(2.234)(2.234)(2.235)(2.235)—V2Q2 + 2(^2 — h)v^2 + C^sQ2 H— S2, CV2
(2.234)
(2.234)
(2.235)
(2.235)
gs q 1 -|—~r~ §i + Pi(s —力)=
=整-Q2 +号-S2 +%⑶一力)，
где А — возмущения скорости скачка уплотнения (учтено соотношение q/7 = c|q///+ W$〃g)； fg一 газовая постоянная. В среде позади скачка изменение плотности представим в виде суммы Qi = Qi + q；*, причем q； соответствует трансформации изоэнтропийной звуковой волны в также изоэнт- ропийную звуковую волну, для которой
*. Cl с **с
у и = ± ~^ Qu, S1 丸=0；
a q「соответствует трансформации звуковой волны в энтропийную волну, для которой
и I k 0, s I 々 с IV '■j—QI 左
Л1y — 1 Qi
Используя эти соотношения, сведем (2.233), (2.234) к следующим равенствам:
(2.236)(2.236)Q；(，l ± Cis)' +3Q2(，2 ± С2sУ，
(2.236)
(2.236)
{需 + 击± C + ±)} +
=e2 [■£■+ "0?± "(击 + 击)J=e2 [■£■+ "0?± "(击 + 击)J(2.237)(2.237)
=e2 [■£■+ "0?± "(击 + 击)J
=e2 [■£■+ "0?± "(击 + 击)J
(2.237)
(2.237)
Исключая теперь из (2.236), (2.237) q；*, получим отношение 製=(*)2 {(私 士 1)2[M?(Q"Q2)—(Y— 1)-']-
一 M?[M^ 4- (Qi/Sb) 士 g(l 4- (Qi/Q2))]}/{(M, 土 l)2[M?(Q!/^2)-
一(丫一 I)-1] - M?[Mf(Q"Q2)十 1 士 M(1 + (d/Qz))]},(2.238)
где M = V/cs — соответствующее число Маха.
Из системы уравнений (2.230, — (2.232) можно получить следующие соотношения:
1)/2)](2.239)(2.240).(2.241)1)/2)](2.239)(2.240).(2.241)Mi = [(1 Н~- M,/(y施—(Y —
1)/2)](2.239)
(2.240)
.(2.241)
1)/2)](2.239)
(2.240)
.(2.241)
必—(Y + "2)Л^
Q2 1 +(У — 1/2)M^ '
，衣—冗2 Qi (У + lX^i/^2)—(Y — 1)
e"n1 出(Y + 1) -(Y - 1xg1/Q2)
При малых скачках М2 f 1, Q； f Q2, Q『f 0 h, следовательно, энтропийная волна не играет существенной роли. При больших скачках ее значение возрастает. Так, для медленной волны, скорость распространения которой У】—5s，искомые отношения плотностей стремятся к следующим предельным значениям:
(2.242)(2.243)(2.242)(2.243)®1
(2.242)
(2.243)
(2.242)
(2.243)
1 +2[(Y — 1)/才万'
门_1(y-i)+[(y-1)/2Y]"2
@2 у 1 + 2[(у — 1)/2у]
С изменением плотности связано изменение температуры. Найдем его, используя тождество
(0jt/0Q)tq + (0冗/")@8 — (0jt/0Q)sq + (Ojt/OS)s.
Учитывая, что для энтропийной волны
(дл/дО. )sqi* + (0jt/0S)qSi = 0,
получим
(2.244)(2.245)(2.244)(2.245)0； = Q(Y— 1)Q；/Qi,
(2.244)
(2.245)
(2.244)
(2.245)
М* = —Г@*/С1,
где 0；, Hi ——амплитуды колебаний температуры, вызванные соответственно звуковой и энтропийной волной； Т\—стационарная температура газа за скачком.
С учетом (2.242), (2.243) ■
(2.246)(2.247)(2.246)(2.247)Т Y— 1!
(2.246)
(2.247)
(2.246)
(2.247)
V 1 +2[(У — 1)/2仃'
:X 1 + [(Y — 1)/2у»2 @2
'У 1 +2[(у — 1)/2疔/2 石;
Выше было показано, что истечение плазменных струй сопровождается колебательной неустойчивостью двух масштабов: быстрой и медленной. Медленные проявляются в перемещении скачка уплотнения, а быстрые —— в чередовании наклонных полос разной яркости. Предположим, что быстрые колебания связаны с распространением быстрых акустических колебаний (фазовая скорость 兀=Q + У), а медленные — с распространением медленных акустических колебаний (фазовая скорость I/巾=——с§ + У). Характерный размер плазменного факела 〜10~2 см. Полагая Vq = 105 — 106 см/с, a Pm = 105 —— 104 см/с, получаем оценки для частот колебаний, удовлетворительно согласующихся с экспериментальными результатами.
При развитии рассматриваемых колебательных неустойчивостей основные процессы происходят вблизи поверхности катода. Как уже отмечалось ранее, на величину электрического тока катода значительное влияние оказывает ионный пространственный заряд. Поэтому можно предположить, что между температурой поверхности металла и плотностью пара вблизи поверхности металла имеется обратная связь.
Данная обратная связь может возбудить автоколебания по следующему механизму [96]. Изменение плотности паров металла катода в прикатодном пространстве определяется конкуренцией двух процессов: скоростью накопления пара в облаке за счет испарения вещества с поверхности и взаимодействия атомов в газовой среде, с одной стороны, и скоростью рассасывания паров за счет оттока пара на периферию ——с другой. Пусть флуктуация такова, что за время существования положительного увеличения температуры поверхности плотность паров металла станет настолько меньше стационарного значения Q, что увеличение интенсивности нагрева материала катода за счет уменьшения экранировки электронной компоненты тока разряда будет преобладать над скоростью диссипации тепла. Произойдет рост приращения температуры катода» т. е. стационарное состояние станет неустойчивым.
В работе [99] исследовали формирование расширяющейся плазмой электрического поля вблизи эмиссионного центра при электрическом разряде в режиме вакуумной дуги. Течение плазмы паров металла электрода состоит из двух частей: пограничного слоя вблизи поверхности катода и основного течения. В рассматриваемой модели пренебрегается эффектами, связанными с геометрией кратера. Они заменяются специальными граничными условиями на поверхности эмиссионного центра, радиус которого го. В пограничном слое поток пара взаимодействует с поверхностью катода, что приводит к значительному уменьшению в нем степени ионизации по сравнению с основным течением. Поэтому предполагается, что основное течение (слабоиони- зованиая плазма) отделено от поверхности катода слоем нейтрального газа (пограничный слой), который изолирует плазму основного течения от поверхности катода, т. е. считается, что проводимость пограничного слоя равна нулю.
Распределение электрического поля вблизи эмиссионного центра описывается следующей системой уравнений:
▽ / = 0, (2.248)
/ = оЕ, Е = 一 ▽▽ + У X 凤 (2.249)
V X В =卩0人 (2.250)
где (2.248) — уравнение непрерывности для плотности электрического тока; (2.249) —— обобщенный закон Ома для движущейся плазмы; (2.250) определяет ту часть магнитной индукции В, которая индуцирована токами, протекающими в плазме; цо ——магнитная постоянная; V ——скорость плазмы. Подставляя (2.249) в (2.248) и учитывая (2.250), получим
(▽ 一 щ”У)\7(р = 0. (2.251)
При выводе (2.251) учли потенциальность течения ▽ 义 У = 0, тождество V ♦ (У X 5) = 0 н пренебрегли градиентом проводимости V а = 0. Граничные условия для (2.251) имеют вид
(p(z = 0) = 0, ср(之=用)=Лф, (2.252)
謂=”В)", (2.253)
где (2.252) соответствует постоянной разности потенциалов между электродами, а условие (2.253) соответствует непротеканию электрического тока через границу плазмы с пограничным слоем. Для численного расчета угол разлета плазмы был взят равным 90°, расстояние между электродами 九=2Ого, магнитная индукция на границе плазм с изолирующим слоем Bs = go/d/2, где h — полный ток разряда. Задавались также магнитное число Рейнольдса Rm = ИоГо^Но и параметр х = го^оВ/Лср, выражающий характерный размер для индуцированного электрического поля. Для определения поля скоростей плазмы в области основного течения использовалась модель адиабатического расширения газа из сферического источника, причем на поверхности задавались скорость & и число Маха М^. Уменьшение Rm и увеличение М()приводят к усилению электрического тока вблизи поверхности катода.
По поводу уменьшения Rm для увеличения электрического поля необходимо сделать следующее замечание. Обобщенный закон Ома для движущейся плазмы в виде (2.249) справедлив при достаточно больших магнитных числах Рейнольдса Rmh = Vho» [100], где Rm/i》l, в отличие от Rm = =Уо^ооцо ~ 1, относится ко всему течению. Так как h = 20r(), то представленные выше результаты справедливы при Rm > 1/20. В случае малых чисел Rmh конвективный перенос силовых линий магнитной индукции мал, поэтому магнитная индукция, создаваемая токами в плазме, незначительна.
Лазерный луч. Как уже отмечалось ранее, при транспортировке лазерного излучения к материалу через газовую среду может произойти ее оптический пробой (образование лазерной плазмы). Специальным подбором условий можно получить достаточно протяженную лазерную плазму. Так, в работе [101] ее длина достигала 60 м. Уже в первых экспериментах было показано, что протяженная лазерная плазма состоит из отдельных очагов (страт), располагающихся по направлению распространения лазерного излучения [102]. Как показано в [103—106] такая структура может быть следствием развития модуляционной неустойчивости, имеющей ионизацион- но-перегревный характер. Остановимся на устойчивости таких плазменных структур, основываясь на результатах [106].
Пусть лазерная плазма поддерживается сравнительно невысокой интенсивностью лазерного излучения так, что температуры электронов и иоиов плазмы приблизительно равны и реализуется изобарический режим нагрева
плазмы. Тогда распределение температуры в плазме описывается следующим уравнением теплопроводности:
(2.254)(2.254)Q网可="^ +户(7; z,，),
(2.254)
(2.254)
где Т — температура плазмы； ср и Kg ее теплоемкость и теплопроводность； Р — эффективный объемный тепловой источник, причем
т
(2.255)(2.255)Р(7; z, /)= “粤 Т \ S； о
(2.255)
(2.255)
д(£)——мощность лазерного излучения；卩 ——коэффициент поглощения лазерного излучения плазмой; r(z)——радиус лазерного луча; а ——безразмерный коэффициент (для лазерного луча с цилиндрической симметрией а = 2,9). Рассмотрим устойчивость лазерной плазмы с использованием периодических граничных условий, считая, что точки максимума (之=О, Т= Г】) и минимума (а =厶，Г = 丁2)температурного поля фиксированы:
%(0)=北(厶)三 0.(2.256)
Линеаризуя (2.254), (2.255), приходим к следующей краевой задаче для возмущений температурного поля вида 0 exp (Zo)/):
—+ [^- МКВ] = 0(2.257)
с граничными условиями
8；(0)=吃厶)=0,(2.258)
где £ =加CpQp/Kg； У⑶=—片/Kg.
Будем считать, что лазерный луч имеет слабую расходимость, т. е. радиус луча мало меняется на расстояниях 〜L. Дифференцируя стационарное ре имение (2^54) по z, для функции 屮=Т； получим уравнение
%z + [& - V⑵w + P；/Kg = о(2.259)
и соответствующие граничные условия
屮(0) =屮(L) = 0,(2.260)
причем для наглядности окончательных формул введем обозначение £о = 0. Так как из стационарного решения (2.254) следует тождество 长且夕一丨屮^=— 1, то (2.259) можно преобразовать к виду
屮ZZ + [® 一，⑶]屮-江也=0.(2.261)
Если Р = Pq(T； /) f(z), то уравнение (2.261) становится линейным относительно 屮Используя подстановку
屮=屮 exp (1/2，h(之‘次之)(2.262)
преобразуем (2.261) к стандартной формуле уравнения Шредингера
Sz + [Ео —，(喇屮=0,(2.263)
где потенциал дается выражением
(2.264)(2.264)y⑶-}⑶ + ; 〃?^" "?，
(2.264)
(2.264)
При дальнейшем анализе два последних слагаемых в правой части (2.264) будем рассматривать как малое возмущение. Итак, рассмотрим устойчивость широкого домена, определяемого стационарным решением (2.254). В этом случае Т। и 「2 являются корнями S-образной функции эффективного теплового источника 戶⑺)=戶⑺)=0 и выполняется соответствующее правило площадей. Поэтому из (2.254) находим
屮式0)=屮«) = 0, (2.265)
т. е. при 3 = 0 было бы Е = % = 0. Из (2.265) с учетом (2.262) получаем
(2.266)(2.266)屮式。）=屮z（厶）=0-
(2.266)
(2.266)
Таким образом, для доменных решений (2.254) задача (2.263) отличается от исходной задачи (2.257) только наличием малого возмущения в потенциале
(2.267)(2.267)取⑵=} 〃？^~ 〃z・
(2.267)
(2.267)
Используя теорию возмущений, получаем
丄гL
АЕ = isCpQp/仆=§ 公叭之)4f 2 ехр (— § u^z^dz^/ § dz^V2 exp X иО
x(— \ uiz^dz^.(2.268)
о
При \u\《1 доминирующее влияние на ДЕ в (2.268) оказывает второе слагаемое <в правой уасти (2.267).
Пусть радиус лаз州ноте луча меняется по закону г2 =啜& — g'z?}. Тогда из {2:268) получаем ЛЕ ^ —— е2, т. е. при L f оо система будет устойчивой.. При конечных значениях L получаем ограничение на минимальный размер оптического домена (страты) в виде
厶〃0 之 In (е2го).(2.269)
Так, при Го 〜0,1 см и е 〜10^2 см— из (2.269) получаем L 〜1 — 1,5 см.
Как видно из приведенного выше анализа, образованием доменов в лазерной плазме за счет ионизационно-перегрев ной неустойчивости нельзя объяснить неустойчивости температурного поля материала в таких режимах воздействия на него лазерного излучения, которые характерны для обработки материала. Более того, все те рассуждения, которые были проведены выше для электронного луча, практически без существенных изменений можно перенести и на технологические режимы воздействия лазерного излучения на материалы.
Глава 3
НЕУСТОЙЧИВОСТИ ТЕМПЕРАТУРНОГО ПОЛЯБЫСТРОИСПАРЯЮЩЕГОСЯ МАТЕРИАЛА
В гл. 2 было показано, что неустойчивости при воздействии КПЭ на материалы часто проявляются в виде неустойчивости процесса испарения материала: прерывистое, пульсирующее, взрывное и т. п. Обсуждению механизмов такого рода неустойчивостей и посвящена данная глава.
ОТРИЦАТЕЛЬНЫЙ ТЕМПЕРАТУРНЫЙ ГРАДИЕНТ,ОБУСЛОВЛЕННЫЙ ИНТЕНСИВНЫМ ИСПАРЕНИЕМ МАТЕРИАЛА
Ниже рассматриваются механизмы неустойчивости поверхности жидкости, находящейся в контакте с достаточно разреженной атмосферой, причем считаем, что КПЭ отсутствует. Такая ситуация реализуется в том случае, если сильно нагретая жидкость мгновенно попадает в разреженную атмосферу, причем масса жидкости достаточно велика, чтобы температура в толще жидкости ие успевала бы существенно измениться за время развития неустойчивости.
Пусть в невозмущенном состоянии поверхность жидкости плоская и характеризуется скоростью движения !/§(£), которая, вообще говоря, может зависеть от времени. Тогда выделим два крайних случая. В первом из них ускорение поверхности жидкости мало VS(Z)〜0, механизм неустойчивости отражает существование положительной обратной связи между возмущениями поверхности и скоростью испарения жидкости. Во втором — ускорение поверхности жидкости велико (неустойчивость Рэлея—Тейлора), существует положительная обратная связь между возмущениями поверхности и скоростью ее движения посредством массовых сил.
Рассмотрим неустойчивости скорости испарения жидкости, базируясь на результатах работ [107, 108]. Необходимым условием развития неустойчивостей данного типа, за исключением механизма вязкой диссипации, является увеличение температуры с глубиной жидкости вблизи ее поверхности (отрицательный температурный градиент). Этот градиент обусловлен значительным теплоотводом с поверхности жидкости за счет ее интенсивного испарения. Механизм вязкой диссипации не зависит от знака градиента температуры жидкости. Ои обусловлен влиянием тепловыделения за счет работы вязких сил на перераспределение температурного поля поверхности жидкости.
Пусть жидкость и ее пар описываются следующей системой гидродинамических уравнений:
▽ и = 0,(3.1)
—+(3.2)
=(3.3)
Здесь U,冗，Q, Г ——скорость, давление, плотность, температура; G —— ускорение силы тяжести; g — коэффициент температуропроводности; 刀 ——вязкость среды.
На границе жидкость——пар законы сохранения принимают следующий вид.
/ = Q(S — Us)n = Qu(Uu — Us)n;(3.4)
/(〃 — Ul)n + [(т/ — Tv)n]n + g — m = Z ▽ %;(3.5)
/[% + 彳{(，- u5)%『—^ {(IЛ - %)*] +
+ (&▽「/ — Kt» V 兀)/t 一 {g^/ — ^(/и)л = 0,(3.6)
где / ——плотность потока массы за счет испарения жидкости; л ——вектор единичной нормали, направленной в пар; Z ——коэффициент поверхностного натяжения жидкости; Us ——скорость границы раздела; Hs ——теплота испарения жидкости; К — коэффициент теплопроводности; qd — поток тепла за счет вязкой диссипации; т ——тензор вязких напряжений; нижний индекс / указывает величины, относящиеся к жидкости, a v — величины, относящиеся к пару.
К условиям (3.4) — (3.6) необходимо добавить условие сохранения тангенциальной составляющей импульса
In X (a — Ue) + % X (% — Tu)% = П X vz.(3.7)
Система уравнений (3.1)——(3.3) описывает достаточно широкий круг явлений с разными пространственно-временными масштабами. Поэтому остановимся иа некоторых ее частных видах. Рассмотрим сначала неустойчивости, развивающиеся на сравнительно малых масштабах [107].
Поместим начало координат на поверхность невозмущенной жидкости. Считаем, что в невозмущениом состоянии эта поверхность плоская, а скорость движения жидкости постоянна. В стационарном состоянии выражение (3.4) примет вид
/ = QM= Qu 几.(37)
Так как невозмущенная поверхность жидкости является плоской, то в стационарном состоянии для скачка давления из (3.5) имеем следующее выражение:
Л/ — % = /г(^Г1 — QF *)•(3.8)
Наконец, для уравнения сохранения потока энергии через невозмущенную поверхность
IHS + ± /3(Й72 - йг2) + ^/ -^ = °-(3.9)
Линеаризуем теперь исходную систему вблизи стационарного решения (37)—(3.9). Уравнение (3.4) примет вид\
/•=矶打一号"矶0。一给，(3.10)
/8 Зак. 974113
где j, v,九 соответственно возмущение плотности потока массы, скорости, смещения поверхности.
Вследствие несжимаемости сред (уравнение непрерывности в форме (3.1)) появляется дополнительное кинематическое условие, учитывающее непрерывность тангенциальной компоненты скорости:
/[击-±]由=需一察，(3•⑴
где ▽] = д2/дх2 + д2/ду2.
Возмущения в законе сохранения нормальной компоненты импульса подчиняются условию
- 〃)+ 2〃 [±- £1 + 2 [” 嚟-电圖-%▽" = О，
(3.12)
где р ——возмущения давления.
Условие (3.7) представим в виде
▽]с =巾[▽jo, ——电,(3.13)
где С——возмущения поверхностного натяжения. Возмущения температуры жидкости 6 удовлетворяют следующим граничным условиям:
(3-14)(3-14)用S + kW+ m [击—忍—
(3-14)
(3-14)
Lo7~dT .石^7J•
Условия (3.10)——(3.14) выполняются на возмущенной поверхности жидкости при z = /i н поэтому, вообще говоря, нелинейны. Однако их можно окончательно линеаризовать, считая возмущения поверхности достаточно малыми и используя разложения в ряд Тейлора соответствующих выражений по степеням Л вблизи невозмущенной поверхности z = 0. Оставляя в этих разложениях слагаемые со степенями по 九 не выше первого, получим искомые линеаризованные граничные условия.
После указанной операции условия (3.10), (3.11) останутся без изменений. В уравнении (3.12) нужно учесть, что
[р/ — ри]г = л = [р/ 一 pjz = о — G/i(Q/ — QJ,(3.15)
где G——ускорение силы тяжести. Условия (3.13), (3.14) необходимо использовать с учетом равенств
[0/]г = Л = [0/]г = 0 + Р；/1,(3.16)
▽ lz =(az/ar)wi&]?=Лл(3.17)
где Р/ — {дТ/dz)^ = о определяет невозмущенный температурный градиент вблизи поверхности жидкости, причем В； V 0; dZ/dT — температурный коэффициент изменения поверхностного натяжения жидкости.
Рассмотрим несколько подробней физический смысл слагаемых, входящих с учетом (3.15) в (3.12):
h - Р‘] + 2〃 [£- £] + 2 [⑺嚓-电圖 + G(Q - %)九一
-Zv2l/i = 0. (3.18)
Здесь положительность слагаемого означает, что оно дает вклад в силу, направленную вниз, а отрицательность ——вклад в силу, направленную вверх. Пусть на поверхности имеется небольшое углубление:力 V 0 и ▽ ；/!>()• Тогда, с одной стороны, последние два слагаемых в (3.18) являются отрицательными, они создают силу, направленную вверх, которая будет стремиться уменьшить размеры углубления в жидкости. С этой точки зрения последние два слагаемые в (3.18) являются факторами, стабилизирующими возмущения поверхности. С другой стороны, первые три слагаемых в (3.18) являются положительными. Их положительность обусловлена увеличением температуры жидкости с глубиной и локальным искривлением линий тока жидкости. Так, первое слагаемое определяет механизм неустойчивости, обусловленный локальными изменениями давления жидкости за счет ее инерционных свойств. Второе слагаемое представляет механизм неустойчивости, обусловленный увеличением давления отдачи при смещении поверхности жидкости в глубину. Наконец, третье слагаемое представляет механизм неустойчивости, обусловленный дестабилизирующим влиянием вязких сил.
Как видно из (3.18), дестабилизирующее действие первых двух слагаемых основано на отрицательности градиента температуры жидкости вблизи ее поверхности. При смене знака 以 они из дестабилизирующих могут стать стабилизирующими. Что касается дестабилизирующего действия третьего слагаемого, то его механизм несколько сложнее и требует более подробного обсуждения, которое будет проведено далее.
К граничным условиям на поверхности жидкости необходимо добавить
условия на бесконечности
Vi = dvi/dz = 0/ = 0 при zf—оо,(3.19)
vy = dvv/dz = 0 при z оо.(3.20)
Представим возмущения в виде
и = ^h^x, У)%(2)； р = ^h^X, У)Ра(2)；
0 = е叫1а(%, у)8a(Z)；九=^atha(x, у),(3.21)
где функция Ла(х, у) удовлетворяет уравнению
▽ ；/ia + a2/ia = 0,(3.22)
Будем искать решения, отвечающие границе устойчивости и = 0. Переходя к безразмерным величинам и опуская индексы а у частей возмущений, зависящих от координаты z, линеаризованную систему (3.1) —(3.3) запишем в виде
/ - a2v„ - Nr©M1M — 加=0,(3.23)
0夕一a2^/ — ^Red — р/ =。，(3.24)
728*口 5
vt"— “Re"n“"一 ZaF? + a2“Re“n" + a%。= 0,
(3.25)
0「一 NRe*" — 2公0, + dWReS + a%/ = 0,
(3.26)
p#a^Pu —^ 0,
(3.27)
p 夕—a2p/ = 0,
(3.28)
°— у/ при — 1 < г[ < 0,
(3.29а)
力 一 NReNpr% - a20/ = ^ n),
Re R「/1 0 при — 8 & Zi V — 1,
(3.296)
где штрих обозначает дифференцирование по безразмерной координате 2[=2/厶丁； £丁 ——толщина температурного пограничного слоя жидкости. Как видно из (3.29), стационарное распределение температуры в жидкости аппроксимируется линейной функцией координаты в пограничном слое (—1 & 21 V 0) и считается постоянным при zi & — 1. Искомое решение, таким образом, должно удовлетворять условию непрерывности 8厶 0/ при 21 = — 1.
Граничные условия примут вид
[jVRejVPrjVCr(l「jVq')]уу — ^я[0/ — Л] = 0;(3.30)
2步/ 一*九=0;(3.31)
明。，一 S + Nr№£Nq 一 1)аК = 0;(3.32)
"cr(P/ — P°) + 2N cr(u： — vt) — 2N w(jV л/N Pr)(0, — /1)—
-(a2 + NbM = 0;(3.33)
a'^Ma® —九)+ 〃' ~' &' + a'(0/ — и。)= 0;(3.34)
仆例 + 兄 1 + NRTNUNl - 1)]/^е + 2&гЗ — MU) = 0;(3.35)
厶=% = 0 при 之| f оо;(3.36)
Vi = v( = Q( = 0 при zi —> oo(3.37)
Масштабами для безразмерных величин 引，vv, s, ри, pi,仇，九 являются соответственно 厶丁， gi^i/^vLT, gi/LT, x\ig(/L^y 刀修/厶条一&厶丁，丄丁， где
N〃 =-(笫弋箝(it -击)- ЧИСЛ° Окмана, "ма =
/ HZ、0；ZJ ("丿 g/口/ HZ、0；ZJ ("丿 g/口—число Марангонн,—число Марангонн,Ncr = x\igi/ZLT — завихренность,Ncr = x\igi/ZLT — завихренность,
/ HZ、0；ZJ ("丿 g/口
/ HZ、0；ZJ ("丿 g/口
—число Марангонн,
—число Марангонн,
Ncr = x\igi/ZLT — завихренность,
Ncr = x\igi/ZLT — завихренность,
Nr = т]//п。——отношение вязкостей, Nq = Q//Qu ——отношение плотностей, jVRe = ILT/x\i ——число Рейнольдса, Np「= v^/g/ — число Прандтля, jVBo = =ZjG(Q/—QJ/Z — число Бонда, №& = 1*/§；&得—число Бринкмана, V/ ——кинематическая вязкость.
Для замыкания представленной выше системы уравнений необходимо задать зависимость плотности потока массы / от параметров границы раздела. Положим
(3.38)(3.38)/ =勺（备）/ （林一静）,
(3.38)
(3.38)
где rg ——газовая постоянная; М — молекулярный вес жидкости； ^/ ——коэф-
фициент испарения;兀$ — давление насыщенных паров жидкости при температуре TIS; nuS ——давление пара; TvS ——температура пара при 之[=0.
Уравнение (3.38) можно переписать в виде
/ = К/(磊Г (师 S)—(発)'&s)，(339)
где ^(TIS) — плотность насыщенного пара при температуре「％ a QuS — плотность пара при zi — 0. Введем обозначения
и+ = к，ЙМ：」К/(爲广
Тогда (3.39) примет вид
/ = /+ — /—= U+MAs) - U—%s，(3.40)
где /十一плотность потока массы из жидкости в пар, а /_ — из пара в жидкость. Если /+ = /_, то / = 0.'*
'Возмущение плотности потока массы через границу раздела запишем, используя выражение (3.39) и условие Ts = TIS = TvS:
j = k/ (端)[(*("_Q。5)+ 需)您 一 @](3.41)
Так как по предположению испарение считается достаточно интенсивным, то последним слагаемым в квадратных скобках выражения (3.41) пренебрегаем. Следовательно, / = /(7$)н / == (dI/dT)Qs.
Отметим, что в числа Хикмана, Бринкмана и Марангони непосредственно входит температурный градиент р*. Число Хикмана отражает соотношение между дестабилизирующим фактором за счет существования давления отдачи и стабилизирующим фактором за счет сил поверхностного натяжения и теплопроводности. Число Марангони отражает соотношение между дестабилизирующим действием сил поверхностного натяжения и стабилизирующим действием вязкости и теплопроводности.
Решение системы (3.23) — (3.29) имеет вид
vv = An ехр (— azi) + Л12 ехр (―闷zi);
V/ = Л21 ехр (az。+ 422 ехр (住必)；
& =力31 ехр (“I)+ 42cxp [(Л^е^Рг — g)Ni] + Л21 exp (az!)/(a^^Pr) +
+ Д22 exp(H/2t)/[n//VRe(/VPr — 1)] при а】》一1;
0/ = %33 exp ("1) при Zi < — 1, где
阿=4■[一明山+ (喇関+ 4aУ%
住/ =万[“Re + (A^e + 4a2)l/2],
^ — "^~ [^Re"Pr + ("Me心r + 4吟勺.
Учитывая граничные условия, приходим к следующему дисперсионному уравнению:
Nh = IN幻％Ncr® - 1)/^]-旦屮用逅](3.42)
L Nq№A2°Re/Vp「 」
где
入 1 =(同一2/明川42)(a2 + 2в。)/(а%емрг"e/?) +
+ 2R/« - N3i)欣(眼-a)/3 + a) - Ma — 2/(a + 住J]，
入2 =入3[〃Re(闷 + Nq2 + 2a(a ~ 卩。)(1 — N^/N j\ +
+ ["a — 2 + (同 + a^)/(a —同)+ 2住《1 — ^^/^rJ X
X 欣"Re储(1 - ^I)(^4 -入5)+ (^Re/^Q)(H/ - m)(2公*,外Г(^ — 1) + + q N " N 3\ + 入 口5 - a/M? - a^Re^Br(^Q - 1)/"£，
入3 =(九4 — ^5)[(^л/^fi)(d2 + ^Bo)/(aj^Re^Pr^CR)一 ^*(1 — ^Q')/(a + /м)] — jVq'(н₽ — a)Ka + 住и尸 + (a + н0~l][2a2jVRe^Вг(Л^й — 1)+夕施/ /N£，
九4 = "3‘(9 — a)[l — exp (^Re^pr — a — g)] + 2a2^Re^Br(^Q — %)/ 网储，
九5 = {a^Pr(q —住e)/[同Na(“Pr —】)]}{1 — exp (jVRe^pr —同一9)} +
+ 2аИ/^Лв№ — N^NsN,.
Таким образом, если при некотором а уравнение (3.42) разрешимо, то соответствующие безразмерные комплексы определяют границу устойчивости поверхности быстроиспаряющейся жидкости.
Механизмы неустойчивостей в отсутствие градиентов поверхностного натяжения жидкости. В отсутствие градиентов поверхностного натяжения жидкости число Марангони jVMa = 0. В этом случае пороговые условия возникновения неустойчивости удобно определять через критическое число Хикмана N^. Выделяют четыре характерные области волновых чисел для возмущений поверхности жидкости, в которых существуют разные механизмы неустойчивости. При умеренных волновых числах (а 〜1) неустойчивость вызывается двумя равноправными механизмами: воздействием давления отдачи на поверхность жидкости и инерционными свойствами жидкости. Дестабилизирующее действие вязкой диссипации особенно сильно проявляется в диапазоне малых волновых чисел (а -> оо). Для длинноволновых возмущений (а 〜10^3) доминирующим механизмом является движение границы жидкость——пар. Напомним, что масштабом длины является толщина температурного пограничного слоя жидкости LT.
На рис. 3.1 представлена качественная зависимость критического числа Хикмана от волнового числа возмущений поверхности. Область I соответствует неустойчивости, связанной с движением границы раздела. Область II ——механизм инерции жидкости, III — механизм вязкой диссипации. Пунктирной линией показаны границы областей в отсутствие механизма вязкой диссипации, (число Бринкмана равно нулю).
Как видно из рис. 3.1. существуют решения, которые соответствуют отрицательным ^. При 0； V 0 такие решения не имеют физического смысла.
Рис. 3.1. Качественная зависимость критического числа Хикмана от волнового числа возмущений поверхности [107]Рис. 3.1. Качественная зависимость критического числа Хикмана от волнового числа возмущений поверхности [107]Рис. 3.2. Зависимость критического числа Хикмана от числа
Рис. 3.1. Качественная зависимость критического числа Хикмана от волнового числа возмущений поверхности [107]
Рис. 3.1. Качественная зависимость критического числа Хикмана от волнового числа возмущений поверхности [107]
Рейнольдса [107]
Рис. 3.3. Влияние изгибных возмущений на критическое число Хикмана [107]
Рассмотрим неустойчивость, обусловленную воздействием на поверхность жидкости давления отдачи (область II). На рис. 3.2 представлена зависимость N*h от 隆① Данные ^^ соответствуют минимальному N% на рис. 3.1. Как видно, порог неустойчивости существенно зависит от отношения плотностей жидкости и пара, причем при определенных условиях на графиках существуют области слабой зависимости N% от ^Re. В области полок основной вклад в механизм неустойчивости вносит увеличение скорости испарения жидкости при смещении поверхности жидкости вниз. Это увеличение обусловлено отрицательным градиентом в распределении стационарной температуры жидкости. Однако при достижении критического числа Рейнольдса ^Re основной вклад в этот тип неустойчивости будут давать инерционные силы.
Влияние изгибных возмущений поверхности жидкости на N： показано на рис. 3.3. Видно, что при увеличении ^CR основной вклад в механизм неустойчивости начинают давать изгибиые возмущения поверхности жидкости. Влияние числа Прандтля jVPr на N] аналогично влиянию NCR. Поэтому уменьшение 心「будет повышать устойчивость системы.
Рассмотрим теперь дестабилизирующее действие инерционных свойств жидкости. В этом случае удобным способом выделения пороговых условий является использование так называемого инерционного числа
M = A^2pMr(Ml 1)=字(击-知・
Тогда (3.42) примет вид
(3.43)(3.43)(固一мХа + %во/а)
(3.43)
(3.43)
N/(a —卩。)/3 + Ци)—師(同—а)/(ц/ + а)'
где 入I = 0. Для больших скоростей испарения пороговое условие можно записать в виде
N驚—QG L ZG」(3.44)
Остановимся на механизме неустойчивости в коротковолновом пределе (а > 103). Изгибание поверхности в коротковолновом пределе за счет вязкости будет сопровождаться диссипацией энергии, которая может стать столь значительной, что вызовет дополнительный нагрев жидкости, например в углублении жидкости. Это вызовет увеличение глубины углубления, что в итоге может привести к развитию неустойчивости. Из рис. 3.3 следует, что при больших а критическое значение N； стремится к постоянной величине. Переходя в (3.42) к пределу а -> оо, получим
屮几 - 8 = mpг(1 + 小)/[4瓶内。+ IX% + 2»，(3.45)
или
必=—L+ ,(3.46)
4(1 + %网)(1 一 ^„2)
где
NH = N-HNM[NnNP!(Na -=•(3.47)
При N~｝《_1, (%/"◎)《1, 2石2《1 критерий (3.47) приближенно выполняется при Н*и > 1 /4, не зависит от толщины температурного пограничного слоя и знака температурного градиента вблизи поверхности жидкости. Поэтому по сравнению с другими механизмами он обладает значительно большей универсальностью.
Наконец, рассмотрим механизм неустойчивости в длинноволновом пределе (a f 0). Переходя в (3.42) к пределу ct f 0, получим
^吗]afO= [ 1 + 2N鼠Np,NcrNq _ 14-/VBr<(^Q-i) )-1
%23/cr(“Q- 1)'“Bo“Re“Pr '(3.48)
Второе слагаемое в правой части (3.48) является дестабилизирующим фактором, а третье — стабилизирующим. Во многих реальных ситуациях числом Бринкмана можно пренебречь. Тогда (3.48) примет вид
傷)毕=｛ 1 + &G盛 f)-簪｝(349)
Следует отметить, что, как правило, данный вид неустойчивости реже проявляется, чем упомянутые выше.
Влияние градиентов поверхностного натяжения. Расчеты критического числа Марангони N[ при Nн — 0 показывают, что оно слабо чувствительно к TVpr， Ncr, Мво， "т "о и Мв「 Основное влияние %Re заключается в том, что увеличение ^Re вызывает увеличение критического волнового числа а' при сравнительно постоянном значении М]：
^Re
a*
0
4,010
0
10一5
4,107
0,006
io-4
4,253
0,02
io-3
4,747
0,06
6,604
0,20
Как отмечалось при обсуждении (3.18), поверхностное натяжение может стабилизировать возмущения при развитии неустойчивости, обусловленной давлением отдачи. Поэтому, чтобы выделить дестабилизирующие возможности градиентов поверхностного натяжения, удобно построить зависимость М/а от N"N/,
Дисперсионное уравнение (3.42) было получено с использованием допущения <у = 0. Приведенный выше анализ соответствует исследованию устойчивости системы по отношению к апериодическим возмущениям (Im о = 0). Снимем это ограничение и рассмотрим устойчивость системы к возмущениям более общего вида в диапазоне умеренных волновых чисел [108].
Пусть система жидкость—пар описывается системой уравнений (3.1)—— (3.3), причем в (3,2) пренебрежем членами с вязкой диссипацией. Граничные условия (3.4), (3.5) оставим без изменения. В (3.6) пренебрежем слагаемыми в квадратных скобках, считая малым изменение кинетической энергии частиц среды при переходе их через границу раздела по сравнению с теплотой испарения Hs:
// + (&▽「/ - *▽%)/! = 0.(3.50)
Поскольку эффекты, связанные с наличием вязкости, считаем несущественными, то
/iX(Uu— S) = 0.(3.51)
Условие (3.51) соответствует непрерывности тангенциального компонента скорости и преломления линий тока на поверхности раздела, генерации завихренности. Так как теперь учитываем распределение температурного поля в паре, то необходимо дополнительное граничное условие для температур жидкости и пара на границе раздела. Будем считать, что температура непрерывна
Ti = Tv = Т $•(3.52)
Выражение (3.52) можно обобщить, учитывая существующий на границе раздела скачок температур [109]. Ниже ограничимся условием (3.52).
Остановимся на стационарном решении системы. Как и ранее, поместим начало координат на границу невозмущенной жидкости, считая ее поверхность плоской. Ось 之 направлена из жидкости в пар. Из (3.4) и (3.50) следует
/ = CM = a° 兀，(3.53)
IHS = ^/P/.(3.54)
Решение для стационарного распределения температуры в жидкости, удовлетворяющее граничным условиям Т = Т$ к dT/dz=—— 仇 имеет вид 九=?s + (g/仇/匕)口 — exp (匕z/g/)].(3.55)
Итак, в невозмущенном состоянии поверхность раздела считается плоской, скорости в жидкости и в газе постоянны, причем отличны от нуля только их z-компоненты. Как видно из (3.55):
Лю —「s = ^s/cpi ПРИ 之 f 8,(3.56)
где Cpi ——удельная теплоемкость при постоянном давлении. Скачок давлений Q/Gz, л у ——Q^Gz,
%/ =冗3? + 户(1/"，-1/Q)
Пусть возмущение поверхности имеет вид /г = a^t)h^x, у) где ha удовлетворяет (3.22).
Линеаризованная система (3.1)—(3.3) примет вид
▽” = 0,(3.57)
黑+ь祭=-善▽〃(丄58)
^-+ V^+WT = gV2G,(3.59)
а граничные условия
/ =(侬/ — ~^) = Qd (侬。一~^~)(3.60)
pi = pv -\- 2(几一V/)/ + [(Q/ — CJG + Za2]/i,(3.61)
%/ + ( (粤+九紛-(嚟=0,(3.62)
孔 X (% — S)= °,(3.63)
В/ = В? = Bs，(3.64)
/=誥％.'(3.65)
Считаем, что условие (3.64) выполняется при z = h, а остальные граничные условия при 之=0, причем в (3.60) w — обозначает z-компоненту возмущенной скорости. В отсутствии вязкости (3.61) совпадает с (3.18). Примем, что зависящие от времени части возмущенных величин пропорциональны exp (о/) (3.21). Подставляя эти возмущенные величины в представленную выше линеаризованную систему уравнений, получим краевую задачу для зависящих от пространственных переменных частей возмущений. Оставляя для них те же обозначения, что и для исходных возмущений, ищем решение.
Рассмотрим сначала вид возмущений скорости, “онв ротор от обеих частей уравнения (3.58), получим
(為 +，^) s =。'(3.66)
где to = ▽ X 〃• Отсюда следует, что вектор вихря зависит от линейной комбинации переменных / — z/IZ. В этом случае его можно представить в виде
з = ▽ X 氏 + ▽ X(8v)],(3.67)
где Л, В скалярные параметры； v — единичный вектор вдоль оси z. Поскольку (о = ▽ X ", то из (3.67) следует
и =』v + ▽ X (Bv) + ▽g(3.68)
Подставляя (3.68) в уравнение непрерывности (3.57), получим
V2q)= — dA/dz.(3.69)
С другой стороны, подставляя (3.68) в (3.58), находим связь возмущений давления с возмущениями потенциала скорости
"M患+卄碧卜。，(3.70)
При выводе соотношения (3.70) учтено, что А и В зависят от времени и координат посредством комбинации t — z/V. Представим общее решение (3.70) в виде
Ф = (P^ha(x, У) - 4 $ е~ aiAd^e" + (QW)3(x, У)-у $ e^Ad^e-'12- 0о (3.71)
Подставив (3.71) в (3.70), получим
Р = Q{[(aUQ。- Оо)%“ - у 必(х, у, 0, f)]e- "z 一
-[(А)+ aVP^x,力一扌 У&х, у, 0, /)]е«”(3.72)
В соответствии с предположением о форме возмущений положим
4 = aih^x, у) exp [п(/ — z/匕)](3.73)
Если в системе развивается неустойчивость, то Re о > 0 и, следовательно, модуль Л/ неограниченно возрастает при Zf — оо. Отсюда следует, что возмущения данного типа не могут существовать в жидкости. По аналогичным соображениям 8/ = 0. Таким образом, в жидкости могут развиваться только потенциальные возмущения скорости, причем
S= V ф/,，/= y^azha(x, у),
Р/ = XI%, X/ = — Q/(O + dVa)Xl,
где 匕，Xi — константы.
Найдем теперь поле скорости для возмущений в газе. Положим
Av = avha(x, у) exp [п(/ —之/几)]
Из условия 屮/ f 0 при z т оо следует
P^{t)h^x, у) = $ § е- ^Avdz, о
尸ои =万[&&/(& + <у/ 匕)]е‘".
Непрерывность тангенциальных составляющих скоростей приводит к требованиям При 2 = 0：
①/ 一 5 =(兀 一 Vi^h, 8/ = Bv.
Так как 8/= 0, то и Bv = 0. Таким образом: vv = Avv + ▽5, причем wv = [a2Vu/(a2Vl — a2)]ay exp (— oz/V^ha + ct{[兀/(о — a几)]% — —Уи}е~ “z/ja,
wv = av exp (— oz/几)▽ X (丫院)，
pv — X^a2ha, Xv = Qu[(a几一о)% + -^- avVJ\.
Подставив полученные равенства в граничные условия, найдем
у (e/ - Q^Xo2 + 2d几0 + 心力几)一(Q/ + Q?)就
12aQ/(o + a，。)“
(3.75)(3.76)(3.77)(3.75)(3.76)(3.77)у (g2夕一(脸92 + 3&) - d2ViVv^2i - (2/(3£2/ - QJ
(3.75)
(3.76)
(3.77)
(3.75)
(3.76)
(3.77)
"4aQ/Qu((j + a 几)
_(6 - А)' (ст2 + 公力几)+ (Q/ + C。)％&
где
<oo ^ [(Q/ — Qy)/(Q/ + Qy)](7a + [Z/(Q/ -J- ^2у)]а3.
Выражение (3.77) соответствует дисперсионному уравнению гравитационно-капиллярных волн.
Как видно из (3.76), знак амплитуды вихря противоположен амплитуде смещения поверхности 必.Используя (3.74) — (3.76), найдем следующие величины
.(Q/ + Q州m + a)o) + a/[2(J - a(九 - V/)]
/ =2(。+。%)%
X/ — [o + ctV,/)/2a((J + a匕)]X
X [(Q/ - Q“)(M + 2a几о +(?1/忆)-(С/ + QJO&儿
Xu — [2a((j + aУу)]— 1 {(Q/ 一 QJcP 一 a^/(Q/ 一 Qy)(j2 +
+ [(Q/Qy)(Do — a2/( Vv 一 匕)]о + (Q/ + Qy)a V/tDo + + a3/(几一%)(2匕一匕)}Q/i,
(。/ 一 CuXo? ■— a?%几)+ (Q/ + ^p)wo о —2Qp(o + a%)
Будем теперь искать решения для возмущений температурных полей. Рассмотрим уравнение теплопроводности (3.59). Пусть возмущения температуры имеют вид
0 = Bo(z)/Za(x, g) exp (aO-
Тогда для температурных возмущений в паре
g。許一九醬一 3山2 + 6也=°-g。許一九醬一 3山2 + 6也=°-(3.78)(3.78)
g。許一九醬一 3山2 + 6也=°-
g。許一九醬一 3山2 + 6也=°-
(3.78)
(3.78)
Уравнение (3.78) имеет ограниченное при z f оо решение 也=% exp (- %也)， где
= [(£)2 +—差.
Для температурных возмущений в жидкости
g, r-—匕右一(ga + о)6/ = aX/ exp (az)—.
Его решение
о
& = (% + ^^，^F^dz +
+ 占，e一；汜(渺—a.誓L"" + О
+ ——e*z f e-汜⑹臂，
X/ — X/ J
где Fi = aXigr{dTi/dz^\
У [(*)2+。2+月"+费，
T-[Ur+d+刃
Вычислим градиенты температуры ^▽8/ = x/0s + r^iah — (a^i/Vi^MiXi, ^▽孔=一汽85,
где
о
М =普 Sjxp Ka -喲z] /；寫二厶
Рис. 3.4. Зависимость инкрементаот волнового числа [108]
Используя условие (3.62), получаем
0s = 2(。+ а匕)(晟 + К°&) S 1(о)а， где
Si(u) = [Q《l +М) + 5(1 —М/)]М +
+ 2а[/ + О(几 一 Н)М]о +
+ (1 — M/)[(Q/ + Qy)(oo — а2/( Vv — V/)]—
一 2(0 + а几)/(m + 春 L =)
Наконец, учитывая (3.65), получаем дисперсионное уравнение в виде
Si(u) — ^2(а) = 0,(3,79)
где
S?(e)=_{(Q +0。)(。2 + 喻 + 矶20- a(I/„ -匕)]}.
В [108] уравнение (3.79) решалось численными методами, причем в качестве жидкости была выбрана вода при 100° С. На рис, 3.4 показана зависимость инкремента неустойчивости от волнового числа. Видно, что неустойчивость развивается в области умеренных волновых чисел, в области больших волновых чисел она пропадает.
НЕУСТОЙЧИВОСТЬ РЭЛЕЯ—ТЕЙЛОРА
Пусть теперь ускорение поверхности жидкости Р5(/) отлично от нуля. Тогда система координат, в которой поверхность жидкости покоится, даже в отсутствии силы тяжести не будет инерциальной. Запишем в этой системе координат уравнения движения жидкости и пара в следующем виде:
▽ U = 0,(3.80)
号 + и • ▽"= — ■^▽n + G - ％.(3.81)
Будем считать ускорение границы раздела постоянной величиной, причем использовать % как известный параметр.
Представим уравнение для возмущений скорости, давления и границы
раздела в соответствии с [110]:
▽ ” = 0,(3.82)
黑=—善▽「，(3.83)
侬/ = 5и =黑，.(3.84)
Pi = Ри + [(Q/ — QJ(G — Vs) + Z^h.(3.85)
Как видно из (3.60), (3,61), в (3.84), (3.85) пренебрегаем возмущениями
скорости испарения. Решение ищем в виде
и =以a(z) exp (zax + a/); w = wa(z) exp (iax + of);
p = pa⑶ exp (tax + a/); ” =(卫，w),(3.86)
что приводит к дисперсионному уравнению для гравитационно-капиллярных волн с перенормированным ускорением силы тяжести (3.77)
о = ± {[(乙 一 G)(Q/ — CJa - Za^/^t + Q/S(3.87)
Таким образом, граница раздела будет неустойчива, если
0 < a < [(Vs - G)(Q/ - Q„)/Z]1/2.(3.88)
В условиях, когда сила тяжести существенного значения не имеет:
G(Q, — Qy)《Za2t(3.89)
критерий (3.88) примет вид
0<a< [VS(Q/ - CJ/Z『/2(3.90)
В диапазоне волновых чисел, определяемых равенством (3.90), граница раздела неустойчива при движении с ускорением в сторону легкой фазы (Vs > 0, ◎/>◎?) или при торможении в сторону тяжелой фазы (広$ > 0, Q/ > С)
Для металлов Z = 10-2 Н/см [111], Q/ — 10-2 кг/см3. Тогда условие (3.89) будет выполняться для возмущений с длинами волн (2л/а) V 10 см. Характерный размер зоны воздействия КПЭ на материал R& 〜10~1 см. Поэтому из (3.90) получаем оценку для критической величины Vs > 104 G.
При воздействии КПЭ на материалы с целью их обработки температура в зоне воздействия порядка температуры кипения материала или меньше. Следовательно, давление насыщенных паров материала порядка одной атмосферы. Используя (3.38), (3.53), из этих данных можно оценить Vs. Для металлов типичное значение Vs 〜1 см/с. Так как ось z направлена из жидкости в пар, то 1Л<0. Следовательно, в рассматриваемом случае неустойчивость Рэлея——Тейлора на границе жидкость——пар может развиваться только при торможении границы раздела. Полагая, что характерное время торможения границы 〜10-4 с, получаем оценку Vs 〜104 см2/с 〜 〜10 G. Таким образом, неустойчивость Рзлея—Тейлора на границе жидкость —пар при умеренных плотностях КПЭ, характерных для обработки металлов, не является доминирующим механизмом в развитии автоколебаний. Она характерна для высоких плотностей КПЭ, используемых в экспериментах по исследованию термоядерного синтеза [112—114].
ОТРИЦАТЕЛЬНЫЙ ТЕМПЕРАТУРНЫЙ ГРАДИЕНТ,ОБУСЛОВЛЕННЫЙ ПОГЛОЩЕНИЕМ КПЭ В ОБЪЕМЕ МАТЕРИАЛА
Выше было показано, что увеличение стационарной температуры в глубь объема материала (отрицательный температурный градиент, р/ с 0) может приводить к неустойчивости испарения даже в отсутствие КПЭ. Используя КПЭ как объемный тепловой источник, можно подобрать такие условия, при которых также будет выполняться условие р/ с 0 [115]. Поэтому, вообще говоря, приведенные в п. 3.1 результаты можно распространить и на соответствующие случаи испарения материалов КПЭ. Однако при испарении материалов концентрированным объемным тепловым источником существуют свои специфические неустойчивости.
Рассмотрим для определенности испарение материала (диэлектрика) под действием постоянного потока лазерного излучения [116]. Причем будем считать, что материал достаточно прозрачен для данного излучения, интенсивность которого не превышает порога оптического пробоя материала. В системе координат, движущейся вместе с границей испаряющегося материала, уравнение теплопроводности представим в виде
Cs&s (祟一％▽?) = div [(Ко + ()▽〃 + q,(3.91)
где 丁 一температура материала; Qs — его плотность; Cs — его теплоемкость; Ко и Ке — фононная и электронная составляющие теплопроводности материала, Us — скорость движения плоского фронта испарения;
9 =号邮，
q — объемный тепловой источник: Е — амплитуда электрического поля в световой волне; по ——высокочастотная проводимость среды.
При испарении материала будем пренебрегать изменением кинетической энергии атомов (молекул) материала по сравнению с их энергией связи, а также наличием жидкой фазы и движением пара материала. С учетом этих допущений граничные условия для уравнения (3.91) возьмем в виде
[(Ко + Ке)^ Т^п = Н§0 §и$ 住,(3.92)
Usn = с。exp ( —В/Т),
где Hs — теплота испарения материала; с。，В — константы, характеризующие испарительную способность конкретного материала. Будем считать, что ось 之 направлена из материала в пар, а уравнение z = Z (х, у, /) определяет границу испаряющегося материала.
Коэффициенты в уравнениях (3.91), (3.92) являются функциями температуры материала. Среди них выделим температурную зависимость электронной теплопроводности и высокочастотной проводимости, полагая, что
Ке(Т) = Кео ехр (— Eg/2T),(3.93)
ехр(-£./2Г),(3.94)
где Eg — ширина запрещенной зоны материала.
Рассмотрим вначале устойчивость плоской границы испаряющегося материала, пренебрегая температурной зависимостью 兄(丁)・
Пусть q = goN(T), где коэффициент поглощения 卩(丁)= ц0 ехр (——Eg/RT). Если граница материала возмущается и становится неплоской, то в зависимости от кривизны поверхности меняется теплота испарения /(В) в формуле (3.92): Hs = Hso + dH/Qsr, где г — локальный радиус кривизны границы; а〃 一 поверхностная плотность энергии. Аналогичную формулу имеет зависимость 8(г).
Система (3.91), (3.92) имеет стационарное решение в виде плоской границы испарения 丁(乙 х, f) = 丁$(己)；^ = z -\- Zs\ Zs = Ust. Положим h(y, 0 = =Z(x, f) — Zs = ho exp (心f + Z^x), T(f, x, f) —「s(E) = 0(Ю exp (isf + ikx). Линеаризуя уравнение теплопроводности с учетом температурной зависимости ц(Г), имеем
"'+ 曹 °'+° ［"(» 一 公一普］=°'(3.95)
где
雁)=際［备］-乖)，
a gi= Ko/QQs — коэффициент температуропроводности материала, причем (3.92) преобразуется к виду
&(0) + Ь8(0) = 0,(3.96)
где
匕=Us % + 沁目 + A(«g/)2
gt U^ - ^gi(i^ + 丛g/)'
A - ^и5/^5§еН0; 6 = Ts(°)/&
团=Cs/rg\ rg — газовая постоянная на единицу массы материала. Полагая 8(E)=①(Е) ехр (— UsE/2g", преобразуем (3.95) к виду
屮〃 + (£ + Q屮=0.(3.97)
Уравнение (3.97) имеет стандартную форму уравнения Шредингера, где e =庐+也一ук,
S' 4
а роль потенциала V(g) выполняет производная коэффициента поглощения по температуре. При этом граничное условие (3.96) преобразуется к виду
Фх(0) + b 呼(0) = 0,仇=b — U$/2g/.(3.98)
Так как из-за сильной зависимости коэффициента поглощения от температуры функция Р(Е) отлична от нуля только в малой окрестности gm, соответствующей максимуму невозмущенной температуры Тг^т), то краевая задача (3.97), (3.98) сводится к стандартной квантово-механической задаче о нахождении уровня энергии системы в поле короткодействующего потенциала. Его анализ приводит к следующей системе алгебраических уравнений:
沁=^/(s2 —必)—U証4g/, Res > U"2g/,(3.99)
2s(s -仇)=a1s -也 + (s + 也)exp (- 2三m8)］(3.100)
где &=+ 3 M(Ts)dE. При исследовании системы (3.99) необходимо о
учитывать ограничения, накладываемые невозмущенным решением:
5《1, А《1, mg心《EmU$, WtnUs V g/・
Как видно из (3.99), решения Re з > 0 могут привести к развитию в системе неустойчивости, т. е. к Ru 必 > 0, Поэтому начнем анализ системы (3.99), (3.100) с предельного случая Re (“з)》1, когда в (3.100) слагаемое, пропорциональное ехр (—2gms), можно считать малой поправкой. Тогда при 自团&》1 для одной из ветвей решений получаем
s=?(l + R), /?1 ® (1 +^|^)ехр(- gma),
而=日(手一公)一洛.(3.H1)
Выражение (3.111) определяет порог развития апериодической неустойчивости, причем наибольший инкремент имеют возмущения с 归=0. Учитывая резкую температурную зависимость ц(Г), получаем
*爲〜舄I(3.112)
где Тт ——вторая производная температуры в точке максимума; q* 〜q^ml —— поглощаемая лазерная мощность； / — толщина поглощающего слоя материала. Поскольку q = ^s^^s + ^s^s) и Tm, то из (3.112) следует, что при достаточно большом / а》Us/gi, вследствие чего，со(0) > 0. С ростом 左 происходит стабилизация возмущений, обусловленная возрастанием роли теплопроводности материала.
Анализ других ветвей решений системы (3.9), (3.10) показывает, что в типичных случаях наибольшим инкрементом обладают возмущения плоского фронта с ^ = 0. Нелинейная эволюция такого рода возмущений в [116] проанализирована с использованием численных методов. Анализ показывает, что эволюция этих возмущений может носить колебательный характер, приводя асимптотически при больших временах к установлению сложных автоколебательных режимов испарения. Кроме того, чтобы заставить облучаемый прозрачный материал интенсивно испаряться, необходимо создать на его поверхности поглощающую затравочную область. После этого нагретый материал начинает хорошо поглощать лазерное излучение и в нем формируется плоская стационарная волна испарения. Эта волна фактически состоит из комбинации двух волн: поглощения и фазового перехода. Оказывается, что существует неустойчивость, которая развивается благодаря потере синхронизации при определенных условиях в движениях этих волн.
ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЙ ТЕМПЕРАТУРНЫЙ ГРАДИЕНТИ ЭКРАНИРОВКА кпэ ПРИПОВЕРХНОСТНОЙ ГАЗОВОЙ АТМОСФЕРОЙ
При интенсивном испарении, как известно [27, 109], необходимо учитывать экранировку материала его парами от воздействия КПЭ. Еще в работе [76] было сделано предположение, что экранировка лазерного излучения и конкуренция между процессами накопления и рассасывания паров материала в приповерхностной области могут приводить к пульсирующему во времени изменению длины факела. Однако считалось, что немонотонность изменения параметров — специфическое свойство начального участка нагрева, а со временем устанавливается стационарное состояние (само- согласование [117, 118]). Рассмотрим этот вопрос подробнее.
Механизм колебаний тесно связан с трансзвуковым истечением пара, его вязкостью и характерным при воздействии КПЭ на материал спаданием стационарной температуры из зоны воздействия на периферию. Полученные результаты находятся в качественном согласии с феноменологической моделью автоколебаний [94, 95, 119]. Существенная роль вязкости в рассматриваемом явлении отмечалась в [120].
Поместим начало координат, как и ранее, на невозмущенную поверхность материала, а ось z направим из материала в пар. Граничные условия (3.4) — (3.6) на поверхности расплавленного материала запишем в виде
/ = Q《tA —么)〃 =Qu(Uu —么)〃， (3.113)
I(Uu — U()л + л。— л( + [(т( — Ty)/i]/i = — Z^ п, (3.114)
IHS + [Ki^T^n 一仇=0, (3.115)
где qs — плотность КПЭ, поглощаемой поверхностью материала.
Считаем, что на материал воздействует КПЭ с умеренной интенсивностью 104—107 Вт/см2, причем нагрев описывается для конкретного вида КПЭ моделью теплового поверхностного источника. Такие режимы наиболее типичны для режимов обработки материалов КПЭ (см. гл. 2).
В рассматриваемых условиях Uv 〜104—105 см/с, a Us ^ \ см/с, поэтому в (3.113) пренебрегаем Us по сравнению с Uv. Считаем, что Pr《1 н слой расплава, как следует из оценок, достаточно тонкий 0,1 —100 мкм. Тогда гидродинамический пограничный слой находится внутри температурного пограничного слоя, поэтому в (3.113) — (3.115) пренебрегаем движением расплава, т. е. U, = 0.
Со слагаемыми в фигурных скобках равенства (3.6) связана возможность развития неустойчивости, обусловленная разогревом поверхности материала при ее изгибных возмущениях, причем порог определяется формулой (3.47).
” 3丁丿 ^ZKi 5 丿 ZK储s A 4，
где Bs ——постоянный коэффициент, пропорциональный теплоте испарения материала. Для большинства металлов при температуре кипения (8$/Т『$)夕 ^10. Полагая Z — 10-2 Н/см, т)у = 4 • 10-4 г/см с, Ki = 0,5 Вт/см • град, ^5=5- 103 К, U“ = 105 см/с, получаем %》=10~4. Неустойчивость не развивается из-за малой вязкости паров металла и его большого поверхностного натяжения. Поэтому в (3.6) слагаемыми в фигурных скобках пренебрегаем.
Пусть q ——возмущение плотности; v ——нормальная компонента скорости; s — энтропии пара； / — возмущение плотности потока пара через границу раздела. Тогда линеаризованную систему (3.113) — (3.115) представим в внпе 『
j = g + e^-= — Q,尊，(3.116)
j击+/°-号小^+匾+含5-2А"=0,(3.117)
/s + 4т= Wr)(- Г $ Wz),(3.118)
0
公=%/K,限「)=肌「)+ /"s/K.
Здесь h ——возмущение границы разделаматериал—пар;
А丄А丄_ 1 д @2 .一丁万十訴'，_ 1 д @2 .一丁万十訴'，cv — скорость звука в паре； Cv — теплоемкость параcv — скорость звука в паре； Cv — теплоемкость пара
А丄
А丄
_ 1 д @2 .一丁万十訴'，
_ 1 д @2 .一丁万十訴'，
cv — скорость звука в паре； Cv — теплоемкость пара
cv — скорость звука в паре； Cv — теплоемкость пара
при постоянном объеме; Г — коэффициент, учитывающий экранировку КПЭ потоком пара; Hs — теплота испарения материала; 0( — возмущение температурного поля материала.
Пусть М(「)~ ехр (— %产)，где коэффициент 乂 характеризует стационарное температурное поле на поверхности материала. Тогда при戸& 1/z:
△丄限「)4>ф《г).(3.119)
Положим
0/ = exp (z(o/)[B| exp (―川z)十 B2 exp (巾叫弘广)，(3.120)
(3.121)(3.122)(3.123)(3.121)(3.122)(3.123)где 0( подчиняется уравнению теплопроводности
(3.121)
(3.122)
(3.123)
(3.121)
(3.122)
(3.123)
df \ dz丿
0( = 0, 2 f — 8.
Тогда из (3.121) получаем 而=—g，(心+ 4乂).
Из граничного условия (3.122) следует, что В =0 или 82 = 0. Будем считать, что & = 0.
(3.124)(3.124)Из (3.116) для возмущений поверхности материала имеем h = — j/Q"(o. Полагая, что / 〜0/(「)，получаем
(3.124)
(3.124)
Уравнения для газодинамических возмущений представим в следующем приближенном виде:
6Q дГ
一,戏+丫 需+/ 碧=0,(3.125)
dv
1(3.126)
dzdz 1 ^Vcv dz)^ 3 Qy dz2
ds • I [/ 诉—Ш5 + V
票=0,
(3.127)
q = u = s = 0 при zfoo,
(3.128)
где (//Qy) = V — нормальная компонента стационарной скорости пара; например а 〜cv /х~ учитывает возмущения потока массы, импульса, энтро
пии пара в радиальном направлении. Из (3.125) — (3.127) имеем
(3| - Ак)(с紡-(31 - kV)(3| -kv -i^ 亭-项=0,
(3.129)
где ап = о)— а;论 ——волновое число. Используя приближение (-(4■签公)+ 公版)/ ^2e/,
(3.130)
получаем
^1 = о)|/(У + cj
(3.131)
府=i 3/4— &) 士 [3/4- с。" 一 3/2 * 3i ,
(3.132)
月 з =(1)/У.
Таким образом, получаем решение (3.125) — (3.127)
(3.133)
q = exp (z(o/) [ДI exp (— /") + Д2 exp (— ik^z) + Л3 exp (— i论32)], (3」34)
。=exp (而/)[(儡一^) 4 exp (一技⑵ +
+ (iSr - 19 4 exp (T?z)],
S = exp.(itoZ)[弊 c%3 exp (—注з2)].
(3.135)
(3.136)
Отбор соответствующей ветви решений в (3.131)——(3.133) осуществляется с помощью граничного условия (3.128). Укажем, что важное влияние медленной составляющей 々2(s) акустических возмущений на их взаимодействие с внешними возмущениями отмечалось в работе [121]. Как видно из (3.132), влияние вязкой диссипации на динамику медленных акустических возмущений становится существенным в трансзвуковой области V 〜cv.
Для замыкания представленной выше системы уравнений к ней необходимо добавить граничные условия при z = 0, которые описывали бы модель фазового перехода. Данные уравнения, как известно [ 109], должны быть результатом анализа кнудсеновского слоя при г = 0 на микроскопическом уровне.
Упрощенная модель фазового перехода. Положим
/ = /｝仇 ^
2=0.
(3.137)
Физический смысл модели (3.137) заключается в том, что возмущение плотности потока массы через границу раздела прямо пропорционально возмущению температуры поверхности материала. Кроме того, будем считать, что газодинамические возмущения состоят из энтропийной моды ^з(ш) и одной из акустических мод ^а(о)), где а = 1 или 2. Такой выбор определяется тем, что при “。= 0 в (3.136) и дозвуковом истечении паров материала развитие неустойчивости в системе будет приводить к неограниченному росту при z f оо медленной акустической волны, а это противоречит условию (3.128). Приближенный анализ можно провести полагая, например, что “。= 0 в (3.136), и считая, что при числе Маха М V 1 существует только быстрая мода 论i(oj), а при М > 1 существует только медленная мода ^2(о)), которая в этом случае наиболее сильно взаимодействует с внешними возмущениями.
Итак, с учетом указанных допущений приходим к дисперсионному уравнению
"借is)(粤-V)(扌现限击+号)+
+叁)-m譏修豈-£=。・(3」38)
С учетом (3.133)
(晋一械)《詈-^得%冏击+叁)=
"自备(譽一匕)(T11Al 击+ 号)(3.139)
Как видно, возмущения границы раздела и акустические возмущения не оказывают влияния на устойчивость системы, причем возмущения температурного поля материала связаны посредством экранировки только с энтропийными возмущениями в паре. Поэтому (3.139) преобразуется к следующему окончательному виду:
(М + 4“ + ^_) (" + ,&/° = /-».(3.140)
Первый сомножитель в левой части уравнения (3.140) соответствует энтропийной моде пара, а второй ——температурной моде материала.
Пусть правая часть уравнения (3.140) является малым возмущением, т. е. случай слабой экранировки КПЭ паром испаряющегося материала. Тогда в первом приближении получаем следующее выражение для возмущенной температурной моды：
W = — ihsl一也生改s/守—飼 +些^,(3.141)
gl/gi /
d?=[—(力 S〃)2 + 4乂]2 + (o/g/产
Оценим входящие в (3.141) величины. Пусть 4乂弋 R丁？ ^ 102 см~2, где Rb ——радиус КПЭ, температура поверхности материала порядка температуры кипения металлов и pz = 105 — 107 град/см. Параметр Г = 6 X X 103 см2/г, что при высоте экранирующего слоя в 1 см и давлении насыщенных паров 0,1 — 1 атм соответствует уменьшению исходного КПЭ примерно на порядок (конкретное значение Г соответствует экранировке паром потока электронов с энергией 20 кэВ ［27］). Тогда (Г仇/}/g。〜 〜10”)一 1О'з см-3. Для большинства металлов при температуре кипения 力§/}〜10—15 см- Кроме того, (u/g)〜(2以，彳/g/)〜106 см^2. Так как
(o/g/)》［(自/户 一 4h］,
то из (3.123) следует, что Re (йо) V 0, причем, как правило, Im 卩 V 0, что не согласуется с условием (3.122). Таким образом, в данной модели экранировка увеличивает устойчивость температурной моды.
Рассмотрим теперь возмущение энтропийной моды. Из (3.140) имеем
(3.142)(3.142)以2 + 4算=1 -空工
(3.142)
(3.142)
g/ 卩。+ 1*/ 7 gt
где цЗ = — — — 4х. Так как (3.122) накладывает ограничение Imp.o>O,
то из (3.142) сразу следует Re (必)V 0.
Приведенные выше оценки показывают, что экранировка может быть и большим параметром. В этом случае (3.140) представим в виде
(3.143)(3.143)从3 一 / *, = -（4k + 强）（Н + 访“分一（九s及Y・
(3.143)
(3.143)
Рассматривая правую часть (3.143) как возмущение и пренебрегая в окончательном результате несущественными слагаемыми пропорциональными 力$ х, имеем
加=二必+ }寸^,Ь=力"沪，(3.144)
［一争聶］中+存昼］'(3」45)
■［争"亲］+，［兵-唔訪］(3.146)
Выражение (3.144) соответствует устойчивой моде (Imp,］ v0). Решение (3.146) также соответствует устойчивой моде (ReicoV。). Однако решение (3.145) при (o/g夜？)〜1 является неустойчивой модой
is = g，中+唔^打 一
-g［-粤6+4■墨Т+
+ 2电 (一等Ь+分血)(5Ь+ "4 爲)(3」47)
с инкрементом 〜1 МГц и частотой колебаний 〜1 МГц. Естественно, что температурные колебания материала с такой высокой частотой резко затухают в глубь материала. Как следует из (3.145), глубина затухания 〜It)-' см.
Подход, развитый в этом пункте, фактически ие учитывает, даже при наличии экранировки, взаимодействия возмущений температурного поля материала с акустическими возмущениями в паре. С целью учета этого взаимодействия рассмотрим следующую модель испарения.
Модель взаимодействия акустических мод пара с температурными модами материала. Как было показано выше, в рассматриваемых условиях при воздействии лазерного излучения на металлы вблизи их поверхности в паре существуют скачки уплотнения. Поэтому вблизи поверхности материала М 〜1 при его интенсивном испарении. Представим модель фазового перехода (3.137) с учетом этого условия на основе результатов (122].
Как показано в [122] при М f 1:
QW ^ f(T/s)M, z = 0, (3.148) где /(Т(5)——функция температуры поверхности материала. Тогда из (3.148)
q = ~^ 8/$, z = 0,(3.149)
где Гт — заданная функция температуры поверхности материала. Физический смысл условия (3.149) заключается в том, что при М f 1 изменения температуры поверхности материала 0/s не ускоряют и не тормозят непосредственно поток пара, а изменяют только его плотность.
Дополнительно к условию (3.149) необходимо добавить и условие скачка температур на границе z = 0:
几=T$F(M, 7\),(3.150)
где 尸——также известная функция. Анализ линеаризованного условия (3.150) показывает, что хорошим приближением является условие
s = 0 при二 D— 1,(3.151)
где у — показатель адиабаты пара. Таким образом, пренебрегаем энтропийными возмущениями в паре по сравнению с его акустическими возмущениями.
С учетом сделанных допущений дисперсионное уравнение примет вид ("4“ + 9 "(I -誡7G>"]=用九，(3」52) 九 片一俏—4/3(T]t；/Qj[沁一沁一jV(/；2 + Z?j)](3 ] 53)
— 2cw + 4/з(小/QJIV/W + 施)腺2&'
Если в (3.152), (3.153) положить 小=0, Z = 0, то получаем практически те же результаты, что и в предыдущем пункте.
Возьмем в качестве нулевого приближения моду, связанную с поверхностным натяжением материала
М +=(3.154)
Тогда в первом приближении получаем
加 =-g,D2 + ——登炉一 Г工包生-g上I'Ths -"田s］儿(3.155)
/4 乂 一炉lеТ0」
丄(1 一— W
2 '7 r 3 Й„ с?
(3.156)(3.156)V > Си；V > Си；
(3.156)
(3.156)
V > Си；
V > Си；
(3.157)(3.157)dSdS(3.161)(3.161)гдегдеq = qo ехрq = qo ехр「Qudz)「Qudz)(3.162)(3.162)
(3.157)
(3.157)
dS
dS
(3.161)
(3.161)
где
где
q = qo ехр
q = qo ехр
「Qudz)
「Qudz)
(3.162)
(3.162)
Так как для многих металлов Z = 10-2—10-1 Н/см, Q/^ 10-2 кг/см3, (Z/CjQ/g/) 0,3—3, то 4х》/А
Как видно из (3.155), (3.156), порог развития неустойчивости практически совпадает с условием
а частота колебаний
(3.159)
4冗 /4х — D2 L ст о '、I '、」L 3 Q。或」' 丿
или в случае использования указанных выше параметров
v = (0」-l)g/~^ /* ? •(3.160)
Влияние нагрева газа. Пусть нагрев газа в приповерхностной области
описывается уравнением
Линеаризуя (3.161) и (3.162), получаем
条+金+。需=(中)'g
一(-^)9 , [「浴乱+ г(几)e]dz.(3.163)
Пренебрегая возмущениями КПЭ за счет возмущений оптической плотности по сравнению с возмущениями коэффициента поглощения и возмущениями скорости газа, получаем
иГ(兀)/Р7\ = (Г/Т* 仇.(3.164)
Как видно из (3.164), в выражении (3.163) пренебрегаем также конвективным переносом возмущений энтропии по сравнению с возмущениями скорости газа за счет его иагрева. Так как
仇=(Y — 1) Q +
TO
九 gQ — О* + 5gs = 0,(3.165)
где
从=%尸(W)Q。产呑'М = (4г)'£(3.166)
Тогда уравнение (3.129) примет вид
с*2 -(矶-kV)(5 -论卜 一 j g * 必)=—mc/2 + 年论(5 — kVY
“'(3.167)
где
(3.168)(3.168)一取分'•
(3.168)
(3.168)
Таким образом, из (3.167) имеем
(矶—GW + [— i g * 炉 + 4Т(® — GP) —(1 + m)c 浄 2 = 0.
口 丫(3.169)
Следовательно,
® + 土哼也L-31 + 于签公)x
X ® _ 耿十.(g/Y唯 _ 31 + ^ i * 居)=0,(3.170)
где
—〔4(1 + m)c^ + [j — -^-々2 ^"'] ] •(3.171)
Как и в (3.130), в выражении (3.171) пренебрегаем вязкостью. Тогда, как видно непосредственно из (3.170), влияние нагрева газа сводится к перенормировке в (3.153) скорости потока V и скорости звука cv, т. е. формула (3.160) применима и для этого случая.
Влияние неизотермичности приповерхностной разреженной плазмы. Выше было показано, что интенсивное испарение металла подавляет развитие пучково-дрейфовых неустойчивостей. Такая ситуация имеет место при сравнительно высоких давлениях насыщенных паров материала,冗。> > 10-2 Topp. Именно в этих условиях развивается рассмотренная выше колебательная неустойчивость температурного поля материала. Однако эти результаты можно распространить и на те ситуации, при которых вблизи поверхности металла существует неизотермическая приповерхностная разреженная плазма (лу V 10-2 Торр).
Рассмотрим распространение вблизи поверхности ионно-звуковых колебаний в сильно неизотермичной плазме Т/》元[123]:
М (罂+/) —— * (3」72)
(3.173)(3.174)(3.173)(3.174)dni j дгцУ — с
(3.173)
(3.174)
(3.173)
(3.174)
Н 十'
/го ехр (еср/Л),
где М; V; п( — соответственно масса, скорость, плотность ионов; е — заряд электрона; ср ——электрический потенциал. Тогда для крупномасштабных движений (характерный масштаб превышает дебаевский радиус) приповерхностную плазму можно считать квазинейтральной /г, = /го ехр (еср/Т). Следовательно, исключив из системы (3.172) — (3.174) электрический потенциал, получим
М(М+号)一2 碧， (3」75)
票+泉— (3.176)
Как видно, эта система уравнений совпадает по форме с уравнениями газовой динамики для изотермических движений (у = 1).
Таким образом, учитывая в исходных уравнениях (3.172)——(3.173) вязкость и двумерный разлет плазмы получаем, что и в этом случае может быть колебательная неустойчивость температурного поля материала при его экранировке от КПЭ приповерхностной плазмой.
Подстановка конкретных значений в (3.160) показывает, что доминирующее влияние на w оказывает произведение Гр(. Если это произведение велико (в начале воздействия КПЭ на материал), то частота колебаний 103—— 104 Гц. Если же Гр( мало (КПЭ углубился в материал и произошла его расфокусировка), то ” = 0,1 —10 Гц. Такое поведение частоты типично для электронно-лучевой и лазерной сварки металлов.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Так как затухание температурных волн в объеме материала возрастает с частотой, то наибольшее влияние на теплофизические процессы в приповерхностном слое материала будут оказывать наиболее низкочастотные колебания. Из результатов гл. 2, 3 следует, что колебания температурного поля материала с частотой 101 —104 Гц при воздействии на него КПЭ с умеренной интенсивностью 104—107 Вт/см2 могут быть следствием развития колебательной неустойчивости и установления автоколебаний. Для разных видов КПЭ существует универсальный механизм таких автоколебаний, который обусловлен экранировкой КПЭ приповерхностной газовой атмосферой.
Действительно, существует несколько механизмов (каналов) ввода энергии луча в мишень, в том числе непосредственное поглощение веществом КПЭ (лазерный, электронный лучи и т. д.), поглощение КПЭ окисной пленкой, растущей на поверхности металла (лазер на СО2), воздействие на мишень приповерхностной плазмой, которая образуется из паров испаряющегося вещества и окружающей мишень газовой атмосферы (лазерный, электронный лучи).
Для любого канала при достаточно высокой температуре вещества 〜5 • 103 К на эффективность ввода энергии существенное влияние оказывает экранировка мишени приповерхностной газовой атмосферы (факелом, приповерхностной плазмой).
Размеры, плотность, степень ионизации и другие физические свойства приповерхностной газовой атмосферы определяют эффективность прохождения через него КПЭ. Характер течения ионизованного газа вблизи поверхности материала определяет динамику плотности газа, а следовательно, и дииамйку экранировки.. При определ^нних. условиях пульсации' плотности, приповерхноетного газа и температуры поверхности материала раскачиваются, так как величина КПЭ, доходящего до м-ишени, зависит от плотности приповерхностного газа, а она зависит от температуры поверхности. На эффективность такого взаимодействия существенное влияние оказывает вязкость пара, так как при М 〜1 скорость распространения медленной акустической волны мала и в этом случае изменения температуры поверхности преобразуются главным образом в возмущения плотности газа, а не в возмущения скорости. Для рассматриваемого взаимодействия также важна синхронизация между этими возмущениями, которая осуществляется с помощью крупномасштабных (〜R匕)возмущений поверхности через баланс напряжений на границе сред, причем решающую роль на эту синхронизацию оказывает условие выпуклости вверх стационарного распределения температурного поля материала.
Существенной особенностью рассматриваемых автоволн является их локализация вблизи зоны нагрева металла лучом КПЭ, т. е. амплитуда автоволн температурного поля материала и плотности приповерхностного газа уменьшается от зоны нагрева к периферии. Так как поток пара, 140
эмиссия электронов, интенсивность светового излучения из зоны нагрева и т. п. зависят от температуры поверхности материала, то колебания температурного поля материала вызывают и их колебания.
Температурное поле определяет теплофизические процессы, происходящие в материале： плавление, испарение, гидродинамические явления в расплаве и т. п., поэтому существование автоколебаний температурного поля позволяет взглянуть на физику этих процессов с точки зрения процессов самоорганизации. В частности, это приводит к выводу о существовании резонансных режимов «сверления» вещества, которые экспериментально наблюдались для электронного [27] и лазерного [124] лучей. В качестве дополнительного подтверждения достоверности и реальности такого режима приведем следующий пример, во многом аналогичный данному. В [125] показано, что пульсации концентрации адсорбируемого вещества в газовой фазе у поверхности адсорбента приводят к изменению величины адсорбции в зерне, в частности величина адсорбции возрастает, если изотерма адсорбции является вогнутой. Качественное поведение температурных и концентрационных полей во многом сходно. Поэтому из этого примера следует, что нет принципиальных теоретических ограничений на существование эффекта, при котором пульсации температуры приводят к увеличению средней температуры (увеличению испарения). Эти рассуждения также подтверждают результаты работы [86]: «Проведенное рассмотрение позволяет сформулировать основные требования, предъявляемые к технологическим СОг-лазерам, используемым для сварки: плавное изменение длительности импульса в интервале 0,3—3 мс; регулирование частоты следования импульсов в интервале 100——1000 Гц; регулирование скважности импульсов в интервале 2—10... Процесс лазерной сварки даже в непрерывном режиме генерации излучения является периодическим по своей физической природе».
Программа разработки или оптимизации конкретной технологии с использованием КПЭ заключается в основном в следующем. Рассчитывают, сделав ряд допущений, температурное поле в зоне воздействия КПЭ на материал» проводят необходимые эксперименты и на основе полученных результатов определяют сштнмальнн访 технологнческнй режим.. В итоге создают систему контроля и управления.
На практике для анализа тех или иных технических решений наиболее часто используют модель эффективного теплового источника. Описание нагрева материала КПЭ в автоколебательном режиме в этом случае сводится к добавлению к исходному КПЭ дополнительного слагаемого, характеристики которого соответствуют автоколебаниям температуры материала. Их неизвестные параметры определяют, например, из эксперимента. Характеристики этого слагаемого в отличие от внешней модуляции определяются внутренними процессами в зоне воздействия КПЭ на материал, являясь внутренней модуляцией или автомодуляцией.
Такое упрощенное описание было бы вполне достаточным для практических целей с той лишь разницей, что теперь источник КПЭ формально содержит два слагаемых. Однако, так как автоколебания ——существенно нелинейный процесс, то принцип суперпозиции в данном случае не применим. Невыполнимость принципа суперпозиции может качественно изменить основные закономерности управления температурным полем в модели эффективного теплового источника.
Например, можно подобрать такую внешнюю модуляцию, чтобы она была в противофазе с автомодуляцией. Однако, так как фаза автомодуляции определяется внутренними динамическими процессами в зоне воздействия КПЭ на материал, возможна подстройка ее под фазу внешней модуляции, что приведет не к подавлению, а к усилению температурных пульсаций. Следовательно, для эффективной реализации данного способа подавления автоколебаний нужно в системе управления создавать дополнительное устройство, которое следило бы за фазой автоколебаний и подстраивало бы к ней в противофазу внешнюю модуляцию. Если фаза автомодуляции будет меняться с большой скоростью, то это устройство должно быть достаточно быстродействующим.
Другой путь состоит в раскрытии механизма автоколебаний и создании таких условий, в которых они не будут возникать. Эти условия помогут найти большой арсенал средств, хорошо апробированных в нелинейных колебательных и волновых процессах.
ЛИТЕРАТУРА
Рабинович М. И., Трубец- ков Д. И. Введение в теорию колебаний и волн. М.： Наука, 1984. 432 с.
Хакен Г. Синергетика. М.： Мир, 1980. 404 с.
Буссе Ф. Г. Переход к турбулентности в конвекции Рэлея——Бенара // Гидродинамические неустойчивости и переход к турбулентности. М.: Мир, 1984. С. 124—168.
Андронов А. А., Витт А. А., Хай- кин С. Э. Теория колебаний. М.: Физматгиз, 1959. 915 с.
Кринский В. И., Жаботин- ский А. М. Автоволновые структуры и перспективы их исследования // Автоволновые процессы в системах с диффузией. Горький: ИПФ АН СССР, 1981. С. 6—32.
Лихтенберг А., Либерман М. Регулярная и стохастическая динамика. М.: Мир, 1984. 528 с.
WUhelmsson И. Evolution of Repetitive Explosive Instabilities in Space and Time // Physica Scripta. 1984. Vol. 29. P. 469—474.
Найфэ А. Введение в методы возмущений. М.: Мир, 1984. 535 с.
Митропольский Ю. А. Метод усреднения в нелинейной механике. Киев： Наук, думка, 1971. 440 с.
Мищенко £ Ф., Розов И. X. Дифференциальные уравнения с малым параметром и релаксационные колебания. М. Наука, 1975. 248 с.
Гуккенхеймер Дж. Неустойчивости и хаос в негидродинамических системах // Гидродинамические неустойчивости и переход к турбулентности. М: Мир, 1984. С. 317—335.
Ахманов С. А., Дьяков Ю. £., Чиркин А. С. Введение в статистическую радиофизику и оптику. М.: Наука, 1981. 640 с.
Фейгенбаум М.Универсальность в поведении нелинейных систем // Успехи физ. наук. 1983. Т. 141. № 2. С. 343—374.
Руденко О. В., Солу ян С. Я. Теоретические основы нелинейной акустики. М.: Наука, 1975. 287 с.
Дьярмати И. Неравновесная термодинамика // Теория поля и вариационные принципы. М.: 1974. 304 с.
Блохинцев Д. И. Акустика неоднородной движущейся среды. М.: Наука, 1981. 206 с.
Бреховских Л. М., Гончаров В. В. Введение в механику сплошных сред. М.: Наука, 1982. 335 с.
Гурбатов С. 〃.，Саичев А. И., Якушин И. Г. Нелинейные волны и одномерная турбулентность в средах без дисперсии // Успехи физ. наук. 1983. Т. 141, № 2. С. 221—256.
Гуревич А. Вл., Минц Р. Г. Локализованные волны в неоднородных средах // Там же. 1984. Т. 142, № 1. С. 61—98.
Федорченко А. М., KoqapeH- &。И.牙 Абсолютная и конвективная неустойчивость в плазме и твердых телах. М.: Наука, 1981. 176 с.
Strampp 呼.，Steeb 呼.И., Erig W. Solutions to Non-Linear reaction-diffusion equation in two space dimensions // Progress of theoretical Physics, 1982. Vol. 68, N 3. p. 731 — 743.
Ланда /7. С. Автоколебания в распределенных системах. М.: Наука, 1983. 320 с.
Gardiner С.呼.Adiabatic elimati- on in stohastic systems. I. Formulation of methods and application to few-variable systems // Phys. Rev. A, 1982. Vol. 29, N 5. P. 2814—2822.
Рыкалин И. H. Расчеты тепловых процессов при сварке. М.: Машгиз, 1951. 296 с.
Ланда /7. С. Автоколебания в системах с конечным числом степеней свободы. М.: Наука, 1980. 360 с.
Незлин М. В. Динамика пучков в плазме. М.: Энергоиздат, 1982. 264 с.
Рыкалин И. И., Зуев И. В.,
Углов А. А. Основы электронно-лучевой обработки материалов. М.: Машиностроение, 1978. 239 с.
Бурыкин Ю. И., Левитский С. М., Назаренко О. К・ Экспериментальное исследование высокочастотных колебаний, возникающих при электронно-лучевой сварке // Физика и химия обраб. материалов. 1980. № 2. С. 142—146.
Патон £ Е, Габович М. Д.г Гуревич С. М. и др. Сварка с легированием и ультразвуковой обработкой ионным пучком // Докл. АН СССР. 1983. Т. 273. № 1. С. 104—106.
Иванов А.А. Неравновесная плазма для химии // Итоги науки и техники. 1982. Т. 3. С. 176—238.
Синев В. /7. Электронно-лучевая сварка // Там же. 1983. Т. 15. С. 117— 182.
Акопъянц К. С., Емченко-Рыб- ко А. В. Контроль глубины проплавления фокусировки электронного пучка по частоте пульсаций ионного тока при сварке // Автомат, сварка. 1981. № 9. С. 28— 32.
Schwarz Н. Mechanism of high — power density electron beam penetration in metal // J. Appl. Phys., 1964. Vol. 35. N 7. P. 2020—2029.
Tong H., Giedt W. H. Radiographs of the Electron Beam Welding Cavity 〃 Review of Science Instruments, 1969. Vol. 40, N 10. P. 1283—1285.
Лесков Г. И., Нестеренков В. М., Живага Л. И. Потоки плазмы при электронно-лучевой сварке стальных толстолистовых конструкций // Автомат, сварка. 1980. № 4. С. 20—23.
Попов В. К. Некоторые вопросы теории электронной технологии // Электрон. техника. 1970. Сер. 1, № 4. С. 109—129.
Гришин £. 〃.，Синев В. /7. Исследование процесса электронно-лучевого испарения // Физика и химия обраб. материалов. 1974. № 6. С. 12—16.
Ланкин Ю. Н. Экспериментальное исследование эмиссии заряженных частиц и теплового излучения как параметров автоматического регулирования процесса электронно-лучевой сварки. Киев: Ин-т электросварки, 1982. 30 с.
Башенко В. 6., Мауер К. О. Импульсный характер потоков заряженных частиц из канала при электронно-лучевой
сварке // Автомат, сварка. 1976. № 8. С. 21—26.
Башенко В. В., Миткевич £. Л., Лопота В. А. Динамика поведения расплава в сварочной ванне при нагреве металла высококонцентрированным источником энергии // Материалы. VIII Всесоюз. конф, по электронио-лучевой сварке. М.： МЭИ, 1983. С. 86—94.
Misrochi S., Robin У., Gull R. On attempt to understand in the bottom of EB welded area // II Int. conf. EBW and Melting. Avignon, 1978. P. 29.
Беленький В. 牙， Язов- скийх В. М., Степанов В. В. Вторичноэмиссионный контроль при электронио- лучевой сварке // Материалы. VHI Всесоюз. конф, по электронно-лучевой сварке. М.: МЭИ, 1983. С. 123— 125.
Артемов В. 4, Власов М. 4, Невзоров /7. И. Исследование нестационарного процесса испарения металла под действием электронного пучка // Физика и химия обраб. материалов. 1981. № 4. С. 34—38.
Пелецкий В. Э. Исследование теплофизических свойств веществ в условиях электронного нагрева. М.: Наука. 1980. 92 с.
Rocco W. Л., Sears G. W. Electron bombardment furnace temperature controller // Rev. Sci. Instrum., 1956. Vol. 27, N 1. P. 1—3.
Недоспасов А. В., Хаит В. Д. Колебания и неустойчивости низкотемпературной плазмы // М.: Наука, 1979. 168 с.
Ховатсон А. М. Введение в теорию газового разряда. М.: Атомиздат, 1980. 182 с.
Лесков Г. И. Электрическая сварочная дуга. М.: Машиностроение, 1970. 335 с.
Петруничев В. А. Тепловое и механическое воздействие дуги большой мощности на сварочную ваниу // Процессы плавления основного металла при сварке. М.: Изд-во АН СССР, 1960. С. 117—166.
Ясько О. И. Электрическая дуга в плазмотроне. Минск: Наука и техника, 1977. 156 с.
Золотых 6. 〃.，Г иоев К. X. Роль факелов импульсного разряда в передаче энергии и эрозии электродов // Физиче-
ские основы электроискровой обработки материалов. М.: Наука, 1966. С. 16—31.
Гречихин 〃. W., Минько Л. Я. О структуре плазменной струи импульсного разряда // Журн. техн, физики. 1962. Т. 32, № 4. С. 1072—1074.
Гречихин Л. 〃.，Минько Л. Я. Изучение структуры сверхзвуковой плазменной струи и механизма ее образования // Журн. прикл. механики и техн, физики. 1965. № 6. С. 47—51.
Киселевский Л. И., Морозов В. А., Снопко В. Н. Свойства и применение импульсных высокоэнтальпийных сверхзвуковых плазменных струй // Физика и применение плазменных ускорителей. Минск: Наука и техника, 1974. С. 366—391.
Дородное А. М. Некоторые применения плазменных ускорителей в технологии //Там же. С. 366—391.
Кесаев И. Г. Катодные процессы электрической дуги. М.: Наука, 1968. 306 с.
Литвинов Е. 4, Месяц Г. А., Проскуровский Д. И. Автоэмиссионные и взрывоэмиссионные процессы // Успехи физ. наук, 1983. Т. 139, № 2. С. 267—302.
Литвинов £. 4, Месяц Г.人, Парфенов А. Г. О природе цикличности взрывной электронной эмиссии // Докл. АН СССР. 1984. Т. 279, № 4. С. 864—866.
Иванов В. В., Швец И. С., Иванов А. В. Подводные искровые разряды. Киев: Наук, думка, 1982. 192 с.
Бункин Ф. В., Кириченко Н. А., Лукьянчук Б. С. Термохимическое действие лазерного излучения // Успехи физ. наук, 1982. Т. 138, № 1. С. 45—94.
Устинов Н. 〃.，Авров А. 〃.，Глотов £. /7. и др. Эффект тепловой самофокусировки лазерных пучков // Докл. АН СССР. 1985. Т. 281, № 1. С. 60—63.
Райзер Ю. /7. Самофокусировка и расфокусировка, неустойчивость и стабилизация световых пучков в слабопог- лощающих средах // Журн. эксперим. и теорет. физики. 1967. Т. 52, № 2. С. 470—482.
Райзер Ю. П. Основы современной физики газоразрядных процессов. М.: Наука, 1980. 415 с.
Буфетов И. А., Прохоров А. М., Федоров В. Б. и др. О пороговых условиях зажигания и распространения оптического разряда в луче неодимового лазе
ра // Журн. техн, физики. 1985. Т. 55, № 1. С. 96—102.
Григорьев А. £., Макаров И. £., Пикаев А. К Концентрационные колебания в водных растворах MgCg инициированные действием ионизирующего и светового излучения // Докл. АН СССР, 1984. Т. 276, № 3. С. 625—627.
Божков А. И., Бункин Ф. В., Коломенский Ал. А. и др. Лазерное возбуждение мощного звука в жидкости // Тр. ФИАН. 1984. Т. 156. С. 123—176.
Карлов И. В., Крынецкий Б. 8., Мишин В. А. и др. Метастабильность жидкой фазы в условиях развитого испарения конденсированных сред // Письма в ЖЭТФ. 1974. Т. 19. С. 111 — 114.
Sarid D., Jameson R S., Hicker- nell Q ^. Optical bistability on reflection with an InSb etalon controlled byaguided wave // Optics letters, 1984. Vol. 9, N 5. P. 159—161.
Miller D. A.,Gossard A. G., Wieg- mann W. Optical bistability due to increasing absorption // Optics letters, 1984. Vol. 9, N 5. P. 162—164.
Бобырев В. 4, Бункин Ф. В., Кириченко И. А. и др. Кинетика окисления и изменение состояния поверхности металлов при лазерном нагреве // Поверхность. Физика. Химия. Механика. 1984. № 4. С. 134—143.
Даньщиков Е В., Лебедев Ф. В., Рязанов А. В, Состояние плазмы вблизи поверхности металла облучаемого СО2- лазером // Физика плазмы. 1984. Т. 10, № 2. С. 385—391.
Минько Л.牙，Чивень Ю. А., Чумаков А. И. О первоначальном плаз- мообразовании при воздействии лазерного излучения на поглощающие материалы в условиях плоской геометрии разлета образующейся плазмы // Журн. прикл. спектроскопии. 1985. № 1. С. 55—61.
Минько Л.牙，Лопарев А. Н., Насонов В. И. и др. Исследование особенностей воздействия излучения квазиста- ционарных миллисекундных импульсов неодимового лазера на металлы // Квантовая электрон. 1985. № 6. С. 1211 — 1219.
Гончаров В. К・，Минько Л.牙， Тюнина Е. С. Моделирование сверхзвукового истечения плазмы в режиме недо- расширения с помощью лазерного воздействия на поглощающие материалы //
Журн. прикл. спектроскопии. 1970. № 3. С. 707—712.
Минько Л. Я., Лазерные плазменные ускорители и плазмотроны // Физика и применение плазменных ускорителей. Минск: Наука и техника, 1974. С. 142—180.
Кузнецов А. Е., Орлов А. А., Уля- кое /7. И. Пульсирующий режим испарения оптических материалов под действием излучения лазера на двуокиси углерода // Квантовая электрон. 1972. № 7. С. 57—60.
Батанов В. А., Бункин Ф. 8., Прохоров А. М. и др. Самофокусировка света в плазме и сверхзвуковая волна ионизации в луче лазера // Письма в ЖЭТФ. 1972. Т. 16, № 7. С. 378—382.
Stegman R. L, Schriempt /. Т. and Hettche L. R. Experimental studies of laser-supported absorption waves with 5-ms pulses of 10.6 me radiation // J. Appl. Phys. 1973. Vol. 44. P. 3675—3681.
Жиряков 6. M., Попов И. И., Самохин А. А. Влияние плазмы на взаимодействие лазерного излучения с металлом // Журн. эксперим. и теорет. физики. 1978. № 2 (8). С. 494—503.
Кутиков А. 4, Медведев Ю. 4, Сорокин В. М. и др. Электромагнитные поля, возникающие при испарении металла в фокусе лазера // Журн. прикл. механики и техн, физики. 1979. № 1. С. 25—29.
Букатый В. И., Погодаев В. А., Чапоров Д. П. Динамика твердой микрочастицы в поле импульсного лазерного излучения // Там же. С. 30—33.
Агеев В. /7., Бурдин С. Г., Г он- чаров И. Н. w др. Взаимодействие мощного импульсного лазерного излучения с твердыми телами в газах // Итоги науки и техники. 1983. Т. 31. С. 1—218.
Букатый В. И., Кобокое А. 4, Тельнихин А. А. Возбуждение разряда в воздухе лазерным излучением // Журн. техн, физики. 1985. Т. 55. № 2. С. 312— 318.
Рыкалин Н. Н., Углов А. А., Се- лищев С. В. др. Измерение автоколебаний температуры при воздействии концентрированных потоков энергии на металлы 〃 Докл. АН СССР. 1985. Т. 283, № 6. С. 1376—1378.
Сас А. В., Иванов В. В., Тулу- бенский М. Г. и др. Зондовые исследова- 146
ния частотных свойств плазменного факела при лазерной сварке // Изв. вузов. Машиностроение. 1983. № 1. С. 129—131.
Басов И. Г., Башенко В. В., Глотов £. /7. и др. Непрерывный и импульсно-периодический режимы сварки электрононизационным СОг-лазером // Изв. АН СССР. Сер. Физ. 1984. Т. 48, № 12. С. 2310—2320.
Миткевич Е А., Лопота В. А., Горный С. Г. Динамика формирования шва при сварке СОг-лазером // Автомат. сварка. 1982. № 2. С. 22—25.
Рыкалин И. И., Углов А. А., Галиев А. Л. Поглощение излучения в плазме, образованной вблизи поверхности твердой мишени, при высоких давлениях окружающего газа // Физика плазмы. 1978. № 2. С. 332—337.
Углов А. 4, Игнатьев М Б. Оптические характеристики лазерной плазмы вблизи поверхности твердой мишени в газах повышенного давления // Там же. 1982. № 6. С. 1285—1291.
Бабенко С М., Плешанов А. С. Некоторые схемы ввода электронного пучка в плотный газ // Тр. ФИАН, 1984. Т. 145. С. 160—171.
Скляров Ю. М., Сыцько Ю. И., Шелепин Л. А. Распределение нестационарного пучка электронов в плотном газе // Там же. С. 172—188.
Михайловский А. 6. Теория плазменных неустойчивостей. М.: Атомиздат, 1975. Т. 1. 272 с.
Смирнов Б. М. Физика слабоио- низованного газа. М.: Наука, 1978. 416 с.
Рыкалин И. 〃.，Углов А. А., Зуев И. В. и др. Автоколебательные процессы при тепловом воздействии концентрированного потока энергии на металлы // Журн. эксперим. и теорет. физики. 1983, Т. 85, № 12. С. 1953—1961.
Селищев С. В. Пограничные автоволны при тепловом воздействии концентрированного потока энергии на металл и его экранировке приповерхностной газовой атмосферой // Воздействие концентрированных потоков энергии на материалы. М.: Наука, 1985. С. 170 —181.
Углов А. А., Селищев С. В. Пограничный массообмен при воздействии потоков заряженных частиц на металлы и приповерхностную плазму — как источник автоколебаний // Физика и химия обраб. материалов. 1986. №1. С. 18—24.
Дмитриев А. 〃.， Рожан- ский В. А., Цендин Л. Д. Диффузионные скачки в неоднородной столкновительной плазме // Успехи физ. наук. 1985. Т. 146, № 2. С. 237—265.
Недоспасов А. В., Петров В. Г. Тепловая контракция при теплообмене горячей плазмы с металлической поверхностью // Докл. АН СССР. 1983. Т. 269, № 3. С. 603—606.
Daybeige U. Theory of the self- induced electric field at a cathodic arc spot // Phys. Fluids, 1985. Vol. 28, N 1. P. 312—320.
Митчнер M., Кругер У. Частично ионизованные газы. М.: Мир, 1976. 496 с.
Парфенов В. 4, Пахомов Л. Н., Петрунькин В. Ю. и др. Исследование возможности получения весьма протяженного оптического пробоя атмосферного воздуха // Письма в ЖЭТФ. 1976. Т. 2, № 16. С. 731—733.
Басов И. Г., Бойко В. А., К"。- хин О. И. и др. Образование длинной искры в воздухе под воздействием слабо сфокусированного излучения лазера // Докл. АН СССР. 1967. Т. 173, № 3. С. 538—542.
Бреев В, S,, Книжникова Л. 4, Настоящий А. Ф. Стационарная теория оптических страт // Квантовая электрон. 1982. Т. 9, № 9. С. 274—284.
Бреев В. 8., Книжникова Л. А., Настоящий А. Ф. Исследование динамики фор_мирования оптических страт // Физика плазмы. 1982. Т. 8, № 6. С. 1249— 1257.
Бреев В. В.г Книжникова Л. Л., Настоящий А. Ф. Двумерные оптические страты // Там же. 1983. Т. 9, № 6. С. 1309—1316.
Настоящий А. Ф. Устойчивость плазменных структур в поле нестационарного импульса лазера с конечной расходимостью лазерного пучка // Там же. 1985. Т. 11, № 7. С. 865—869.
Palmer Н.丄 The hydrodynamic stability of rapidly evaporating liquids at reduced pressure // J. Fluid. Meeh., 1976. Vol. 75, N 3. P. 487—511.
Prosperetti A., Plesset M. S. The stability of an evaporating liquid surface // Phys. Fluids, 198. Vol. 27, N 7. P. 1590—1602.
Анисимов С. И., Имас 兄.A., Романов Г. С. и др. Действие излучения
большой мощности иа металлы. М.: Наука, 1970. 272 с.
Кутателадзе С. С, Накоря- &。8 В. Е Тепломассообмен и волны.в газожидкостных системах. Новосибирск: Наука, 1984. 301 с.
Семенченко В. К Поверхностные явления в металлах и сплавах. М.: Гос- техиздат, 1957. 483 с.
Прохоров А. М.г Анисимов С. И Пашинин /7. Я. Лазерный термоядерный синтез // Успехи физ. наук. 1976. Т. 119, № 3. С. 401—424.
Иногамов 〃. Л. Неустойчивость фронта абляции при ускорении слоя абляционным давлением // Письма в ЖТФ. 1983 . Т. 9, № 18. С. 1136—1139.
Emery М. //., John G. //., Boris /. Р. Vortex shedding due to laser ablation // Phys. Fluids, 1984, N 5. P. 1338—1340.
Анисимов С ИТрибельский M. И., Эпельбаум Я. Г. Неустойчивость плоского фронта испарения при взаимодействии лазерного излучения с веществом // Журн. эксперим. и тео- рет. физики. 1980. Т. 78. С. 1597—1608.
Анисимов С. И., Гольберг С. М., Трибельский М. И. и др. Лазерное испарение нелинейно поглощающих сред // Воздействие концентрированных потоков энергии на материалы. М.: Наука, 1985. С. 154—164.
Афанасове Ю. В., Крохин О. И. Газодинамическая теория воздействия излучения лазера на конденсированные вещества // Тр. ФИАН. 1970. Т. 52. С. 118—170.
Афанасьев Ю. В., Крохин О. И. Высокотемпературные и плазменные явления, возникающие при взаимодействии мощного лазерного излучения с веществом // Физика высоких плотностей энергии. М-： Мир, 1974. С. 311—352.
19. Углов А. А., Селищев С. 8. Пограничные крупномасштабные структуры при воздействии концентрированного потока энергии на металлы // Журн. техн, физики. 1985. Т. 55, № 4. С. 649—653.
20. Зуев И. В., Селищев С. В., Ско- белкин В. И. Автоколебания при воздействии концентрированных источников энергии на вещество // Докл. АН СССР. 1980. Т. 255, № 6. С. 1372—1375.
Карабутов А. А., Руденко О.В. Модифицированный метод Хохлова для
исследования нестационарных трансзвуковых течений сжимаемого газа // Там же. 1979. Т. 248, № 5. С. 1082—1085.
Найт У. Дж. Теоретическое моделирование быстрого поверхностного испарения при наличии противодавления // Ракетная техника и космонавтика. 1979. Т. 17, № 5. 81—86.
Сагдеев Р. 3. Коллективные процессы и ударные волны в разреженной
плазме // Вопросы теории плазмы. М.: Атомиздат, 1976. Т. 4. С. 20—80.
Рыкалин И. И., Углов А. А., Кокора А. И. Лазерная обработка материалов. М.: Машиностроение, 1975. 296 с.
Протодьяконов И. О., Сипа- ров С. В. Механика процесса адсорбции в системах газ — твердое тело. «Л.: Наука, 1985. 298 с.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 3
Глава 1. Модели динамических процессов 5
Осциллятор. Динамические системы первого порядка 11
Динамические системы второго порядка 19
Регулярные и стохастические динамические процессы 28
Одномерные системы с распределенными параметрами 40
Абсолютная и конвективная неустойчивости, автоволны 50
Г л а в а 2. Пространственно-временная иерархия автоколебательных процессов при воздействии КПЭ на материалы 58
Температурное поле как параметр порядка 58
Проявление автоколебаний в экспериментах 67
Автоколебания при транспортировке КПЭ к поверхности материала .82
Глава 3. Неустойчивости температурного поля быстроиспаряющегося материала 112
Отрицательный температурный градиент, обусловленный интенсивным испарением материала112
Неустойчивость Рэлея-Тейлора126
Отрицательный температурный градиент, обусловленный поглощением КПЭ вобъемематериала128
Положительный температурный градиент и экранировка КПЭ при- чиоверхностнойгазовойатмосферой131
Заключение140
Литература143
Александр Алексеевич УгловСергей Васильевич Селищев
АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНЫЕПРОЦЕССЫПРИ ВОЗДЕЙСТВИИКОНЦЕНТРИРОВАННЫХПОТОКОВ ЭНЕРГИИ
Утверждено к печати
Институтом металлургии им. А.А. БайковаСССР
Редактор М.С. РайковаХудожникД.Л. Шпаков
Художественный редактор Н.Н. ВласикТехнический редактор Л.Н. Богданова
Корректор О.А. Пахомова
Фотонабор вьшолненво 2-й типографии изд-ва "Наука"
ИБ№ 31469
Подписано к печати 11.11.86. Т — 21256Формат 60 X 90 1/16. Бумага офсетная № 1Гарнитура Литературная. Печать офсетная
Усл.печ.л. 9,5. Усл.кр.-отт. 9,6. Уч.-изд.л. 10,1Тираж 1000 экз. Тип. зак. 974. Цена 1р^0к.
Ордена Трудового Красного Знаменииздательство "Наука” 117864 ГСП-7,Москва В-485, Профсоюзная ул., д. 90Ордена Трудового Красного Знамени1-я типография издательства ''Наука'5199034, Ленинград В-34, 9-я линия, 12
АКАДЕМИЯ НАУК СССР
ИНСТИТУТ МЕТАЛЛУРГИИ им. А. А. БАЙКОВАСерия 《Наука и технический прогресс»
А.А.УП0В С.В.СЕЛИЩЕВ
Автоколебательныепроцессыпри воздействииконцентрированныхпотоков энергии
Ответственные редакторыакадемик Н. Н. РЫКАЛ ИНдоктор физико-математических наукС. И. АНИСИМОВ
МОСКВА《НАУКА»1987
УДК 535:621.373.8:539
Углов А. А., С е л и щ е в С. В. Автоколебательные процессы прн воздействии концентрированных потоков энергии. М.: Наука, 1987.
Рассмотрены автоколебательные процессы при воздействии концентрированных потоков энергии (струи плазмы, лазерные, электронные, ионные лучи и т. д.) иа материалы. Представлены основные понятия и методы теории автоколебаний. Дан обзор экспериментальных результатов, приведен их анализ на основе известных теоретических представлений. Обсуждается пространственно-временная иерархия автоколебательных процессов, механизмы неустойчивостей при интенсивном испарении материалов.
Книга предназначена для специалистов в области теплофизики обработки материалов.
Рецензенты: М И. Киселев, В. В. Кудинов
2605000000-548' 042(02)-872605000000-548' 042(02)-87260-87-1260-87-1© Издательство «Наука», 1987© Издательство «Наука», 1987
2605000000-548
' 042(02)-87
2605000000-548
' 042(02)-87
260-87-1
260-87-1
© Издательство «Наука», 1987
© Издательство «Наука», 1987