ГЛАВА XI

ВОЗДУШНЫЕ КОЛЕБАНИЯ

Так как атмосфера является почти универсальным проводником звука, исследование колебаний газообразной среды всегда рассматривалось как основная проблема физической акустики; однако, за исключением нескольких особенно простых вопросов, относящихся, главным образом, к распространению звука в одном измерении, математические трудности здесь таковы, что развитие теории было очень медленным. Даже когда теоретический результат уже получен, его часто нельзя подвергнуть экспериментальной проверке из-за отсутствия точных методов измерения интенсивности колебаний. В ряде вопросов все, что мы можем сделать, сводится к решению задач, математически достаточно простых, чтобы допустить решение. На эти решения и на общие принципы мы должны положиться, чтобы не остаться в полном неведении относительно других интересующих нас вопросов.

В настоящей главе мы будем рассматривать жидкости как идеальные, т. е. будем принимать, что взаимодействие любых двух частиц, разделенных некоторой воображаемой поверхностью, происходит нормально к этой поверхности. В дальнейшем мы сделаем некоторые замечания относительно трения в жидкостях, но вообще акустические явления не нарушаются существенным образом отклонениями от свойств идеальной жидкости, имеющими место в воздухе и других газах.

Равенство давления во всех направлениях вокруг данной точки является необходимым следствием идеальности жидкости, независимо от того, имеет ли место покой или движение. Это можно доказать, рассматривая равновесие малого тетраэдра под действием давлений самой жидкости, внешних сил и сил инерции. В пределе, когда тетраэдр взят бесконечно малым, давления, оказываемые жидкостью на его грани, становятся преобладающими, и для равновесия необходимо, чтобы величины давлений были пропорциональны площадям граней, на которые они действуют. Давление в точке х, у, х будет обозначаться через р.

Если через р,¥^1А рУ dV и pZdV обозначить внешние силы, действующие на элемент массы pdV, то уравнение равновесия имеет вид: dp = ?<Xdx-V Yd^Zdz),

где dp обозначает изменение давления в некоторой точке х, у, z, соответствующее изменениям dx, dy, dz координат этой точки. Это уравнение легко вывести, рассматривая равновесие малого цилиндра с плоскими основаниями, проекции оси которого на оси координат равны соответственно dx, dy, dz. Чтобы получить уравнения движения, мы должны только, в согласии с принципом Даламбера, „DuDu ,

заменить X, .. . на А— ^ , . .., где ^-, ... обозначают компоненты ускорения рассматриваемой частицы жидкости. Таким образом,'

^=р(х

ох 1 \

(1)(1)dp {V

(1)

(1)

ду 1 \

дР (7

А- = р Z dz г \

В гидродинамических исследованиях принято выражать скорости жидкости и, v, чу в функции х, у, z и t, причем и, у, чу обозначают тогда компоненты скорости частицы какой бы то ни было природы, находящейся в момент времени t в точке х, у, z. Спустя некоторый малый промежуток времени dt точки х, у, z достигает новая ди,

частица; ^ dt выражает избыток ее скорости над скоростью пер- „Du

вой частицы, между тем как ^ut, напротив того, выражает изменение скорости первоначальной частицы за то же время или изменение скорости в точке, которая не закреплена неподвижно в пространстве, но движется вместе с жидкостью. Мы будем придерживаться этих обозначений. При изменении, которое выражается символом ^, положение в пространстве (определенное хD

значениями х, у, z) сохраняется неизменным, тогда как символ направляет внимание на некоторую определенную частицу жидкости. Связь между этими двумя видами дифференцирования по времени выражается следующим образом:

Dд . д , д . д

Dtdt а dx V dy W dz *

Эту связь необходимо отчетливо уяснить себе, хотя в целом ряде весьма важных проблем, которыми мы будем заниматься в дальнейшем, данное различие практически исчезает. Если скорости движения очень малы, члены • • • становятся все более и более Х dD d

незначительными сравнительно с ^, и в конечном счете у^ — ^-

Мы должны теперь выразить математически то условие, что внутри жидкости не происходит ни возникновения, ни уничтожения вещества. Если а, р, у — ребра малого прямоугольного параллелепипеда, параллельные осям координат, то избыток количества жидкости, вытекающего из параллелепипеда за время dt, над количеством жидкости, втекающим в параллелепипед, выражается в виде

l^+^+^u dt.

| dx 1 dy 1 dz f r 1

эта величина должна быть равна действительной убыли жидкости, или

Отсюда

до , d(pzz). d(pv) .д(р«)дх ' dy "г" dz ~

Это — так называемое уравнение непрерывности. Если р постоянно (как в пространстве, так и во времени), то уравнение принимает простую форму

++ dz —

В задачах, связанных со звуком, скорости и изменение плотности могут обычно рассматриваться как малые величины. Полагая р = р0(1—[—s), где s, так называемое сжатие» мало и пренебрегая ds

произведениями и , ..., мы находим

ds , du - dv । dw nQ

В частных случаях эти уравнения принимают даже более простую форму. В случае несжимаемой жидкости, движение которой полностью параллельно плоскости ху,

(4)(4)du । dvdx’dy

(4)

(4)

— уравнение, из которого мы заключаем, что выражение и dy— vdx является полным дифференциалом. Обозначая его через d^, мы имеем, в качестве эквивалента (4),

дуду-и =-и =дф dx’дф dx’(5)(5)

ду

ду

-и =

-и =

дф dx’

дф dx’

(5)

(5)

где ф— функция координат, пока еще совершенно произвольная. Функция ф называется функцией тока, так как движение жидкости происходит всюду в направлении кривых ф = const. Когда движение установившееся, т. е. когда оно остается все время одинаковым в одной и той же точке пространства, кривые ф = const

намечают систему трубок или каналов; можно представить себе, что течение жидкости происходит именно по ним. Аналитически замена двух функций и и v одной функцией ^ часто является чрезвычайно важной.

Другой важный случай — это, когда имеется симметрия относительно некоторой оси, например относительно оси х-ов. Все величины можно выразить тогда через х и г, где r = |/y-|-z‘2; движение происходит здесь в плоскостях, проходящих через ось симметрии. Если компоненты скорости, соответственно параллельные и перпендикулярные оси симметрии, суть и и q, то уравнение непрерывности имеет вид:

д (ги) । d (rq) дх dr

что, как и прежде, эквивалентно равенствам

dtpdtp„

где tp — функция тока.

Почти во всех случаях, с которыми мы будем иметь дело, уравнения гидродинамики допускают замечательное упрощение в силу следующего предложения, впервые высказанного Лагранжем. Если для некоторой части жидкой массы выражение и dx -|- v dy -|- -J-wСбудет в какой-либо момент времени полным дифференциалом, то оно останется таковым в течение всего последующего времени. В частности, если жидкость первоначально находилась в покое, а затем была приведена в движение консервативными силами и давлениями, переданными извне, то величины

диdwdwdu диди

dzdy ’дхdz’ dydx

(которые мы будем обозначать через ?, tj, С) никогда не могут стать отличными от нуля.

для(1)вид:для(1)вид:dw дхdw дх(2)(2)Co-Co-Мы принимаем, что р есть функция р, и будем писать краткости

для

(1)

вид:

для

(1)

вид:

dw дх

dw дх

(2)

(2)

Co-

Co-

исключаем со и внешние силы, получая уравнения, которым может быть придана такая форма:

D^ ди . до /ди । до\ r,»ч

Dtdz'^dz4^\dx * dy) *' '

„,Dt Dx\

и еще два других той же формы, определяющие ^ и

ниениеВ случае несжимаемой жидкости мы можем заменить выраже- ди , доdw»

ние

ние

57 + ^ ег0 эквивалентом —"57 и’ таким образом, получаем

(4)(4)/X ди и , до। dw у

(4)

(4)

Dtdz ' dz* dz

Это — те уравнения, которые Гельмгольц положил в основу своего вывода теорем о вихрях.

Если движение имеет непрерывный характер, то коэффициенты прй $, т), С в полученных выше уравнениях все конечны. Обозначим через L их наибольшее численное значение и через й— сумму численных значений $, iq, ’С Согласно предположению, й вначале равно нулю; спрашивается, может ли Й с течением времени сделаться конечным? Предыдущие уравнения показывают, что этого произойти не может; действительно, скорость увеличения й для некоторой данной частицы всегда меньше ЗАЙ. Но если бы даже эта скорость достигала значения 3£й, все же й никогда не сделалось бы конечным, как это видно из решения уравнения

^ = 3Z.Q.(6)

A fortiori, в действительном случае й не может отличаться от нуля, и то же самое должно иметь место в отношении ?, т|, ^.

Следует отметить, что это заключение не было бы нарушено и в том случае, если бы налицо имелись силы трения, действующие на каждую частицу и пропорциональные ее скорости; это можно видеть, если подставить в уравнение (2)1) вместо X, Y, Z величины X—хи, Y— х-и, Z— xw. Иначе, однако, обстоит дело с теми силами трения, которые действительно существуют в жидкостях и которые зависят от относительных скоростей их частиц.

Первое удовлетворительное доказательство рассматриваемого сейчас важного предложения было дано Коши, а то, которое приведено выше, принадлежит Стоксу а). Недостаточно, однако, показать только, что всякий раз, когда;, iq, С обращаются в нуль, то обращаются

Dt Df\ d;,

в нуль и их производные — , -^, —, хотя это обстоятельство часто

!) Вводя такие силы и пренебрегая членами, зависящими от инерции, мы получили бы уравнения, приложимые к движению электричества через однородные проводники.

и упускают ИЗ виду. Когда тело, находившееся в покое, падает под £

действием силы тяжести, то s~s2; отсюда, однако, не следует, что s никогда не сделается конечным. Чтобы оправдать это заключение, необходимо было бы показать, что s обращается в нуль в пределе не только для первого порядка, но и для всех более высоких порядков малой величины t, чего, без сомнения, нельзя сделать в случае падающего тела. Если, однако, уравнение имеет вид s~s, то все производные от s по t обращаются в нуль вместе с t, если само s обладает таким свойством,' и тогда законно заключение, что s никогда не может отличаться от нуля.

Согласно теореме, принадлежащей Стоксу, моменты количества движения относительно осей координат некоторого бесконечно малого сферического участка жидкости равны соответственно величинам Н, т), С, умноженным на момент инерции данной массы жидкости; таким образом, эти величины (;, т|, С) можно рассматривать как компоненты угловой скорости жидкости в той точке, к которой они относятся.

Если ;, т|, С равны нулю во всем пространстве, занятом движущейся жидкостью, то любой внезапно отвердевший малый сферический участок жидкости сохранил бы единственно поступательное движение. Доказательство этого предложения в общей форме будет дано немного позднее. Теорема Лагранжа заключается, таким образом, в утверждении, что частицы жидкости, лишенные в какой-либо момент времени вращения, никогда не могут его приобрести.

Несколько иной прием исследования был избран Томсоном, который дал в высшей степени поучительный обзор всего предмета2).

В силу основных уравнений

dw — X dx 4- Y dy 4- Z dzdxdydz.

1 JotDt. Dt

Ho Xdx 4- Y dy -{- Z dz = dR, если силы консервативны, и

Du ,, Dv , . Dw ,

Dt dx "Dt d^ Dt dZ"

D , ,, л i л \ D dx D dy

D dz-45) —a , .Dt *D dz-45) —a , .Dt *гдегдеD dxDtD dxDt, Dx , = d-5r=d«., Dx , = d-5r=d«.^-^Audx-^vdy -pw dz) — a -^у

D dz-

45) —a , .

Dt *

D dz-

45) —a , .

Dt *

где

где

D dx

Dt

D dx

Dt

, Dx , = d-5r=d«.

, Dx , = d-5r=d«.

Таким образом, если ID = и* 4- у-2 4~ ту2, to

d^ = dR— -^-^u dx 4-v dy 4-*w dz)-A-^ dU^ (1)

i) Thomson, «Vortex Motion», Edinburgh Transactions, 1869.

ИССЛЕДОВАНИЕ ТОМСОНА. ЦИРКУЛЯЦИЯ ' 17

или п • / 1 ~

(и dx -|- v dy -]- та dz) = d ^ -j- у LP — <o). (2) Интегрируя это уравнение вдоль некоторой конечной дуги кривой PJ\, движущейся вместе с жидкостью, мы имеем

Dt JDt J(и dx + v dy -[- та dz) =

Dt J

Dt J

= (к+у№ — 4-(R+^U3—“)>’ (3) где индексы (внизу) служат для указания того, что значения функции, заключенной в скобки, берутся в точках Р,2 и Pv соответственно. Если кривая является замкнутым контуром, то

‘ (udx-\-vdy 4-та dz) = 0, (4) или, выражая это словами,

Криволинейный интеграл от тангенциальной компоненты скорости вдоль любого замкнутого контура, принадлежащего движущейся жидкости, остается постоянной величиной в течение всего времени движения.

Данный криволинейный интеграл называется циркуляцией скорости*, предыдущее предложение может быть формулировано так: циркуляция скорости по любому замкнутому контуру, движущемуся вместе с жидкостью, остается постоянной.

В состоянии пэкоя циркуляция скорости, конечно, равна нулю, так что если жидкость приведена в движение давлениями, переданными извне, или консервативными силами, то циркуляция по любому замкнутому контуру должна всегда оставаться равной нулю, а для этого необходимо, чтобы выражение и dx Ц-у dy Ц-та dz было полным дифференциалом. Но отсюда еще не следует, что, обратно, в безвихревом движении никогда не может быть циркуляции, если только не известно наперед, что у — однозначная функция; в противном случае действительно не требовалось бы, чтобы J dtp обращался в нуль для замкнутого контура. Все, что можно было бы сказать в таком случае, это, что циркуляция по любому замкнутому контуру, который можно свести в одну точку, не выходя из про- странств^, занятого жидкостью, совершающей безвихревое движение, равна нулю, или, более обще, что циркуляция одинакова для всех сводимых друг к другу замкнутых контуров. Два контура называют сводимыми друг к другу, если один из них можно получить из другого непрерывной деформацией, не выходя из пространства, занятого жидкостью, совершающей безвихревое движение.

В овальном пространстве, подобном тому, которое заключено внутри эллипсоида, все контуры сводимы- друг к другу; поэтому, если некоторая масса жидкости этой формы совершает безвихревое

движение, циркуляция по любому замкнутому контуру, проведенному внутри нее, не может отличаться от нуля. Такие пространства называются односвязными. Напротив, в кольцеобразном пространстве, подобном тому, которое ограничено поверхностью якорного кольца, замкнутый контур, идущий вокруг кольца, нельзя свести непрерывным образом к точке, и поэтому вдоль него может существовать циркуляция, хотя бы движение во всем объеме и было безвихревым. Однако циркуляция равна нулю для всякого замкнутого контура, который не обходит вокруг кольца; для всех же контуров, охватывающих кольцо, она имеет одно и то же постоянное значение.

[В предыдущих теоремах «циркуляция» определяется независимо от массы. Если плотность жидкости всюду одинакова, то количество движения вдоль замкнутого контура пропорционально циркуляции, в случае же сжимаемой жидкости должна быть учтена непропорциональность этих величин. Существование потенциала скоростей не позволяет в этом случае заключить, что интеграл количества движения вдоль замкнутого контура обращается в нуль.]

Если и dx -j- -и dy -j- w dz является точным дифференциалом d^, то скорость в любом направлении выражается соответствующей скоростью изменения функции <р, которая называется потенциалом скорости, и выражение

ди ।до,dw

" дх 'дуdz

может быть заменено следующим:

даср ।д^.д2?

дхаду^dz2'

Если 5 обозначает некоторую замкнутуюповерхность, то скорость,

с какою жидкость вытекает наружу через элемент dS, выражается д^ ле д»

через • dS, где -^- есть скорость изменения ср в направлении наружной нормали. В случае постоянной плотности полная убыль жидкости за время dt равна, таким образом,

J / "^dSdt*

Где интегрирование распространяется по всей поверхности S. Если пространство 5 заполнено целиком как в начале, так и в конце промежутка времени dt, то эта убыль должна обращаться в нуль; таким образом,р р

Применение этого уравнения к элементу dx dy dz дает в качестве уравнения непрерывности несжимаемой жидкости

д^ , д2? । d2? л

дх^ "г" ду1» dz^ ~v ’

242]потенциал скорости .19

или, как обычно пишется,

♦72<р = 0.(3)

Если желательно работать с полярными координатами, то преобразованное уравнение легче получить непосредственным применением (1) к соответствующему элементу объема, нежели путем преобразования (2) по правилам замены независимых переменных. Таким образом, если мы возьмем полярные координаты в плоскости ху, так что

х = г cos 6, _y = rsin9,мы найдем_ а2? . 1 i 1 i' /их

v ? — dr3 • г дг -г г2 аоз + az2w

или, если взять полярные координаты в пространстве,

х = г sin 6 cos со, у = г sin 6 sin со, г = г cos 6,

т аг2 ' г дг 1 г2 sin 6 д9 \ дб / ’ г2 sin2 0 дш2 *•

В специальных случаях, например, когда имеется симметрия относительно оси z в (5), уравнение принимает более простую форму. Если жидкость сжимаема и движение таково, что квадратами малых величин можно пренебречь, уравнение непрерывности в силу (3), § 238, имеет вид:

_“+УЧ = 0;(6)

V2<p в этом уравнении можно взять в той форме, которая окажется наиболее удобной для рассматриваемой задачи.

Безвихревое движение несжимаемой жидкости внутри некоторого односвязного замкнутого пространства 5 полностью определяется нормальными скоростями на поверхности S. Если S есть некоторая материальная оболочка, то очевидно, что ее поверхности можно сообщить произвольную нормальную скорость; эта нормальная скорость должна быть воспринята непосредственно соприкасающейся с оболочкой жидкостью, при условии, что весь заключенный в оболочке объем остается неизменным. Если жидкость ранее находилась .в покое, то ее частицы не могут приобрести под действием давлений вращательного движения, а это показывает, что возможно так определить функцию <?, чтобы всюду в пространстве, охватываемом S, было 72ф = 0, между тем как на поверхности имело бы предписанные значения, ограниченные единственным условием

Аналитическое доказательство этого важного предложения дается в Natural Philosophy Томсона и Тэта, § 317.

Нетрудно показать, что возможно только одно решение задачи. По теореме Грина, если Va<p = O, то

причем интегрирование в левой части производится по всему объему, а в правой части — по поверхности S. Если теперь ср и ср-J-Дср— две функции, удовлетворяющие уравнению Лапласа и дающие пред- писанные поверхностные значения то их разность Дер есть функция, также удовлетворяющая уравнению Лапласа и удовлетворяющая на поверхности S условию

^ = 0.

on

При этих условиях двойной интеграл в (2) обращается в нуль, и „ од Аф д Аф д Аф

мы заключаем, что во всякой точке о величины -ч— -, дх ’’ az

должны быть равны нулю. Другими словами, Дер должна быть постоянной величиной, и оба движения тождественны. Как частный случай, в объеме S не может существовать движения безвихревого характера, независимо от движения поверхности. Ограничение односвязными пространствами оказывается необходимым в силу ограниченной применимости теоремы Грина, которая, как впервые было указано Гельмгольцем, только и может иметь место в этом случае.

Когда пространство S многосвязно, то безвихревое движение является определенным, если кроме нормальной скорости в каждой

точке S заданы значения постоянных циркуляций вдоль каждого из возможных несводимых контуров. За полным рассмотрением этого вопроса читатель отсылается к оригинальному мемуару Томсона, здесь же мы удовлетворимся случаем двухсвязного пространства, которого будет достаточно для иллюстрации.

потенциал скорости, щие, как это и должно быть, компоненты скорости, необходимопотенциал скорости, щие, как это и должно быть, компоненты скорости, необходимоПусть ABCD — бесконечная замкнутая на себя труба, внутри которой происходит безвихревое движение жидкости. Для этого движения должен существовать частные производные от которого, выражаю-

потенциал скорости, щие, как это и должно быть, компоненты скорости, необходимо

потенциал скорости, щие, как это и должно быть, компоненты скорости, необходимо

однозначны, но который может сам по себе и не быть однозначным. Проще всего преодолеть трудность, обусловленную неопределенностью ср, вообразив, что поперек кольца помещен барьер АВ так, чтобы проход был закрыт. Пространство ABCDBAEF будет тогда односвязным, и теорема Грина прилагается к нему без всяких изме-

нений, если только учесть возможную конечную разность значений © по обе стороны барьера. Эта разность, если она существует, необходимо одна и та же во всех точках АВ и в гидродинамических приложениях выражает циркуляцию скорости вокруг кольца.

Применяя уравнение

мы должны вычислить двойной интеграл, как по поверхности обеих сторон барьера, так и по первоначальной поверхности д-р,

кольца; но поскольку имеет одинаковое значение по обе стороны,

^ f ® 5л ^ (п0 °$еим поверхностям АВ) — f f |^ у dS=x [ J ^ ^8, где х— постоянная разность ф. Таким образом, если х обращается в нуль, или циркуляция вокруг кольца отсутствует, мы заключаем, совершенно так же, как и для односвязного пространства, что © полностью определяется значениями ^ на поверхности. Если имеется циркуляция, то <р еще определяется, если дана величина циркуляции. Действительно, если © и ©-ф-Д©— две функции, удовлетворяющие уравнению Лапласа и дающие одинаковую величину циркуляции и одинаковые нормальные скорости на S, то их разность Аф также удовлетворяет уравнению Лапласа и условию, что и циркуляция и нормальные скорости должны быть равны нулю. Но, как мы только что видели, при этих условиях Дер во всякой точке равно нулю.

Несмотря на то, что в двусвязном пространстве безвихревое движение возможно независимо от нормальных скоростей на поверхности, такое движение нельзя получить ни с помощью консервативных сил, ни с помощью движения, сообщенного извне (в какое-либо предшествующее время) поверхности, ограничивающей жидкость; действительно, мы доказали, что если жидкость находилась вначале в покое, то в ней никогда не может быть циркуляции вдоль какой-либо замкнутой кривой. Отсюда — это справедливо как для многосвязных, так и для односвязных пространств,— если жидкость приводится в движение произвольной деформацией границы, то вся масса приходит в состояние покоя, как только движение границы прекращается

Если в жидкости, движущейся без циркуляции, вся жидкость, находящаяся вне замкнутой трубчатой поверхности постоянного сечения, мгновенно отвердеет, то в этот же самый момент времени придет в состояние покоя и вся жидкость, заключенная внутри трубки. Это механическое толкование, как бы оно ни было искусственно, поможет читателю яснее понять, что разумеется под

жидкостью, не имеющей циркуляции, и приведет к расширению теоремы Стокса по отношению к молекулярному вращению. Действительно, если вся жидкость (движущаяся с потенциалом скорости) вне сферической полости некоторого радиуса внезапно отвердеет, то жидкость внутри полости не может сохранить движения; или, как мы можем это еще формулировать, всякая сферическая часть (несжимаемой) жидкости, совершающей безвихревое движение, внезапно отвердев, обладала бы одним поступательным движением, без вращения *).

Аналогичное предложение будет справедливо для цилиндрического диска, или цилиндра с плоскими основаниями, в случае жидкости, обладающей безвихревым движением только в двух измерениях.

Движение несжимаемой жидкости, которая в некоторый момент находилась в покое, отличается замечательным свойством (§ 79), общим всем тем системам, которые приводятся в движение с предписанными скоростями, именно, их энергия является наименьшей возможной. Если предположить, что уравнению непрерывности и граничным условиям удовлетворяет некоторое другое движение, то его энергия будет необходимо больше энергии движения, полученного из состояния покоя ).

Тот факт, что безвихревое движение несжимаемой жидкости определяется потенциалом скорости, удовлетворяющим уравнению Лапласа, является основой далеко идущей аналогии между движением такой жидкости и движением электричества или теплоты в однородном проводнике; эту аналогию часто полезно иметь в виду. То же самое можно 'сказать о связи между всеми областями физики, которые связаны в математическом отношении с понятием потенциала, так как часто бывает, что аналогичные теоремы далеко не одинаково очевидны. Так, например, теорема, согласно которой

J J дп

для замкнутой поверхности, если V<p = 0, всего нагляднее при интерпретации ее для жидкости, но, будучи однажды получена, она может быть применена и к электрическим или магнитным силам. /

Наоборот, в теории теплопроводности или теории электричества очевидно, что внутри поверхности 5 не может быть установившегося движения, которое не сопровождалось бы переходом через некоторую часть граничной поверхности: если перенести этот результат на несжимаемые жидкости, то мы получаем важный, но сам по себе не очевидный закон.

О Thomson, Vortex Motion, loc. cit.

Если потенциал скорости существует, уравнение для определения давления можно написать в более простой форме. Мы имеем из (1), § 240,

d«. = dR — D-dv + IdU»,(1)

откуда в результате интегрирования получим

_ f dp n D^ . 1

Ho

^ = ^ + zz'2 + 'y2 + w’a' так что

что представляет собой обычно даваемое выражение.

Если р постоянно, то ^ *~ заменяется, конечно, через у.

Соотношение между р и <р в случае движения, возникшего под действием импульса из состояния покоя, можно получить из (2) путем интегрирования. Мы видим, что в конечном счете

— pdt = -—©.

К этому же самому заключению можно притти непосредственным применением принципов механики к случаю импульсивного движения.

Если р = хр, то уравнение (2) принимает форму

,'ogp = /? — ^- — 1и<(3)

Если движение таково, что компоненты скорости в одной и той же точке пространства всегда остаются одними и теми же, то оно называется установившимся, и © оказывается независимым от времени. Уравнение давления тогда имеет вид:

= R —lua,(4)

или в случае, если внешние силы отсутствуют,

| ^. = С — у 1А(5)

В большинстве акустических приложений уравнения (2) скорости и сжатие малы; мы можем поэтому пренебречь членом U2 и заме-

( dp

нить J —- через у-, если ор обозначает малую переменную

часть р; таким образом,

(6)(6)(7)(7)^Р _ п <??

(6)

(6)

(7)

(7)

Роdt ’

что вместе с

^.-j-V3? = 0

dt 1

представляет собой систему уравнений, посредством которых должны исследоваться малые колебания упругой жидкости.

Если 0? = ^-, так что ojo = a2pos, то (6) принимает вид

a»s = R-^,(8)

(9)(9)и мы получаем, исключая s, ^L =4- а^ф

(9)

(9)

дгг dt г“ v - •

Простейший вид волнового движения — тот, в котором отклонения каждой частицы параллельны некоторой неподвижной линии и одинаковы во всех плоскостях, перпендикулярных к этой линии. Предположим поэтому (принимая /? = 0), что © есть функция только х (и t\ Наше уравнение (9) § 244 принимает тогда форму

(1)(1)^1 = вэ^.дР дх» 1

(1)

(1)

одинаковую с уравнением, рассмотренным уже в главе о струнах. Мы нашли там, что общее решение уравнения (1) есть

<a=f(x — «0+ F(x-\-at);(2)

оно описывает распространение независимых волн в положительном и в отрицательном направлениях с одинаковой скоростью а.

В тех пределах, в каких допустимо пользоваться приближенным уравнением (1), скорость звука совершенно не зависит от формы волны; она, например, одна и та же для простых волн:

© = Д cos -у- (^ — <it\

какова бы ни была длина волны. Условие, которое удовлетворяется положительной волной, а следовательно, и начальным возмущением, если возбуждена одна положительная волна, есть

аА+4 = 0.

dx 1 dt

или, в силу (8) § 244, и — as = 0.(3)

(4)(4)Аналогично для отрицательной волны u-\-as = 0.

(4)

(4)

Каково бы ни было начальное возмущение (и и s произвольны), его всегда можно разделить на две части, удовлетворяющие соответственно (3) и (4) и распространяющиеся без всякого изменения. В каждой составляющей волне направление распространения совпадает с направлением движения сжатых частей жидкости.

Скорость, с которой переносится энергия через единицу площади плоскости, параллельной фронту бегущей волны, может рассматриваться как механическая мера интенсивности излучения. В случае простой волны, для которой

<о = A cos — (х — at),(5)

;I д» \

скорость ; частицы в точке х 1равная -^1 дается выражением

£ = — ^- A sin -^ (х — at),(6)

а смещение ;— выражением

> = — 4 ^^-(х— at).(7)

Давление р = р04~ ор, где, согласно (6) § 244,

йр =— — ^оаА sin 4" (х — at).(8)

Отсюда, если W обозначает работу, переданную через единицу пло- , dW ,\ > xV 1/2лV ,

щади плоскости х за время t,^Р) * = ту Роа (~)

периодические члены.

Если интегрирование по времени распространяется на некоторое число полных периодов или, практически, если область интегрирования достаточно велика, то периодические члены можно опустить и взять

или, в силу (3) и (6), если под I подразумевать максимальное значение скорости, а под s — максимальное значение сжатия,

=4 ^at=т poa<w(1 °)

Таким образом, работа, затраченная на образование волн гармонического типа, та же самая, какая потребовалась бы для того, чтобы сообщить максимальную скорость Е всей массе воздуха, через которую распространяются волны х).

9 Самая ранняя, по моим сведениям, формулировка принципа, содержащегося в уравнении (10), находится в статье В. Томсона «О возможной плотности передающей свет среды и о механическом эквиваленте кубической мили солнечного света», Phil. Mag., том IX, стр. 36, 1885.

Если выразить этот результат через максимальное отклонение В» то, в силу (7) и (9),

W=2^o^t = 2^wt'-a, (11)') где т ^ = ^ — период. В данной среде механическая мера интенсивности прямо пропорциональна квадрату амплитуды и обратно пропорциональна квадрату периода. Читатель должен, однако, остерегаться сделать предположение, что механическая мера интенсивности колебаний различных длин волн является правильной мерой громкости соответствующих звуков, как они воспринимаются ухом.

Во всякой плоской бегущей волне, будет ли она гармонического типа или нет, полная энергия распределяется поровну между потенциальной и кинетической. Наиболее просто получить этот результат можно, вероятно, рассматривая, "как образуются положительная и отрицательная волны из начального возмущения, энергия которого полностью потенциальная). Полная энергия для каждой из двух образовавшихся бегущих волн, очевидно, одна и та же, и вместе энергия этих волн дает энергию первоначального возмущения. Кроме того, в каждой бегущей волне сжатие (или разрежение) составляет лполовину того, которое существовало в соответствующей точке вначале; таким образом, потенциальная энергия каждой бегущей волны составляет одну четверть энергии первоначального возмущения. А так как, — мы это только что видели,— полная энергия каждой волны равна половине того же количества, то мы заключаем, что в бегущей волне любого типа половину энергии составляет потенциальная энергия и половину — кинетическая.

Это же заключение можно вывести также из общих выражений для потенциальной и кинетической энергии и из соотношений между скоростью и сжатием, выраженных уравнениями (3) и (4). Потенциальная энергия элемента объема dV есть та работа, которая была бы получена при расширении соответствующего количества газа от его действительного до его нормального объема; расширение происходит при этом всюду против нормального давления р0. В какой-либо фазе расширения, кбгда сжатие равно s', действующее давление йр, согласно § 244, есть a2p0s'; это давление должно быть умножено на соответствующее увеличение объема dV ds'. Полная работа, приобретенная при расширении от dV до dV(l-|-s), равна поэтому a2p0^V ( s'ds' или -^ a^p^dV • s2. Следовательно,

6

Ч Bosanquet, Phil. Mag., том XLV, стр. 173, 1873.

общие выражения для" потенциальной и кинетической энергии таковы:

потенциальная энергия =-^-а9р0 |* [ |* sMV,(12)

кинетическая энергия =-^-р0 [ f f u^dV*,(13)

в случае плоской бегущей волны, для которой

и = zt as, эти величины равны.

Если плоские бегущие волны — гармонического типа, то й и s во всякий момент времени являются круговыми функциями одной из пространственных координат (х\ и поэтому среднее значение квадратов их равно половине максимального значения. Отсюда полная энергия волн равна кинетической энергии всей данной массы воздуха, движущейся с максимальной скоростью, какую можно найти у волн, или потенциальной энергии той же самой массы воздуха, сжатой до максимальной плотности, встречающейся у волн.

[Следует отметить, что если удержать члены второго порядка, то чисто периодическое значение и уже не соответствует чисто периодическому движению. Количество жидкости, которое проходит через единицу площади в. точке х за время dt, есть ри dt или P0(14-s)m^. Таким образом, в положительной бегущей волне

J su dt = a J s2 dt, и в направлении распространения волны происходит перенос жидкости.]

Первое теоретическое исследование скорости звука было выполнено Ньютоном, предположившим, что между давлением и плотностью существует соотношение, которое формулировано в законе Бойля. Если мы принимаем p = vp, мы видим, что скорость звукавы- ражается через р^х или j/'y , где размерность р(=сила/площадь) есть ML-1T-9, а размерность р (=масса/объем) есть ML-3. Ньютон выразил результат через «высоту однородной атмосферы», определяемую уравнением

g^ = P*(!)

где р и р обозначают давление и плотность на земной поверхности. Скорость звука равна, таким образом, Vgh, или скорости, которую приобрело бы тело, свободно падающее под действием силы тяжести с высоты, равной половине высоты однородной атмосферы.

Чтобы получить численный результат, нам нужно знать два одновременных значения р и р.

[Экспериментальным путем найдено), что при 0° С и давлении, создаваемом (в Париже) 760 лич Hg при 0°С, плотность сухого воздуха равна 0,0012933 г • см-'. Если мы примем плотность ртути при 0° равной 13,5953 ) и g — 980,939, то мы имеем в абсолютных единицах:

^ = 760 • 13,5953 • 980,939; р = 0,0012933, откуда

а = V — = 27994,5;

v Р

таким образом, скорость звука при 0°С должна была бы составлять 279,945 Л1« сек-х, что приблизительно на одну шестую меньше результатов непосредственных наблюдений.]

Исследование Ньютона установило, что скорость звука должна быть независимой от амплитуды колебания, а также от высоты; однако расхождение между вычисленным им значением (опубликованным в 1687 г.) и экспериментальным значением оставалось не- объясненным, пока Лаплас не указал на то, что применение закона Бойля предполагает, что при сжатиях и разрежениях, сопровождающих звук, температура остается постоянной, в противоречии с известным фактом, что при внезапном сжатии воздуха его температура повышается. Законы Бойля и Шарля дают только одно соотношение между тремя величинами—давлением, объемом и температурой газа, именно,

py = Rh,(2)

где температура 0 измеряется от нуля газового термометра; без какого-либо вспомогательного предположения поэтому невозможно определить связь между р и у (или р). Лаплас считал, что сжатия и разрежения, связанные с распространением звука, происходят с такой скоростью, что возникающие нагревание и охлаждение не успевают проникать вглубь окружающей воздушной массы и что поэтому соотношение между объемом и давлением в основном таково, как если бы воздух был заключен в сосуд, абсолютно не проводящий теплоту. При этих условиях изменение давления, соответствующее данному сжатию или расширению, больше, чем при гипотезе постоянной температуры, и скорость звука, таким образом, возрастает.

Пусть в уравнении (2) у обозначает объем, а р—давление единицы массы, и пусть 0 выражается в градусах Цельсия, отсчитываемых от абсолютного нуля). Состояние газа (если он одно

родный) определяется какими-либо двумя из трех величин р, v, 6, третья же может быть выражена через них. Соотношение между одновременными изменениями этих трех величин следующее:

(3)(3)d^ dp , dv

(3)

(3)

9p * v ‘

Чтобы осуществить изменение, определяемое dp и dv, необходимо вообще сообщать газу тепло. Обозначая соответствующее количество тепла через dQ, мы можем написать

dQ = Vs.)<to+W)dp- (4)

Предположим (а) теперь, что dp = 0. Уравнения (3) и (4) дают

/dQ\ v

\дО /(у;—const)\ди / 9 ’

где (-зк)выражает удельную теплоемкость газа при по-

\ рр = const)г

стоянном давлении. Обозначая ее через т.р, мы имеем

(5)(5), (dQ\ у

(5)

(5)

V'P~\dv) 9"*

Предположим (Ь) далее, что dv = 0. Мы находим аналогичным путем, что если х0 обозначает удельную теплоемкость газа при постоянном объеме, то

хх\др ) 9 *\др ) 9 *(6)(6)

х

х

\др ) 9 *

\др ) 9 *

(6)

(6)

Чтобы получить соотношение между dp и dv, когда нет притока или отдачи тепла, мы должны только положить dQ = 0. Таким

образом,

(dQ\ , , (dQ\ , n — l^-\dp = 0, \dv 1 \dp 1

или, заменяя производные от Q их выражениями через xv и хр.

dv । dp n

(7)

Так как -р=—, Р

dv dp vp ’

так что

dpрт.p

а^ = -т- == —Y,(8)

dpp xvp 1v '

если, как обычно, через ч* Значение

обозначить отношение удельных теплоемкостей скорости звука, полученное Лапласом, поэтому

больше значения Ньютона в отношении ^: 1.

Интегрированием уравнения (8) мы получаем для соотношения между р и р, в предположении отсутствия притока и отдачи тепла,

(9)(9)£ = ZpV

(9)

(9)

Ро \Ро /

где р0 и р0 — два одновременных значения. При этих же условиях соотношение между давлением и температурой в силу (3) есть

£ = Ро VQ)

Значение у нельзя определить точно путем прямого эксперимента, однако приближенное значение можно получить методом, в основе которого лежит следующее. Воздух сжимается в резервуаре, который может сообщаться с внешним пространством через посредство крана с широким отверстием. Температура сжатого воздуха вначале повышается, но затем, спустя некоторое время, излишняя теплота уходит прочь, и вся масса воздуха принимает температуру атмосферы 0. Пусть давление (измеренное с помощью манометра) есть р. Кран теперь открывается на такое короткое время, которого достаточно, чтобы позволить полностью установиться равновесию, т. е. чтобы внутреннее давление сделалось равным давлению атмосферы Р. Если эксперимент поставлен соответствующим образом, то эта операция совершается настолько быстро, что воздух в сосуде не успевает получить тепло от стенок и поэтому расширяется приблизительно по закону, выраженному соотношением (9). Его температура 9 в момент, когда операция завершена, определяется поэтому соотношением

т

(И)(И)Р Z^_\y-1

(И)

(И)

Р \ 9 /

Воздух в сосуде затем поглощает тепло, пока снова не приобретает температуру атмосферы 0; после этого его давление р' измеряется. Во время этого последнего изменения объем постоянен, и поэтому соотношение между давлением и температурой дает

— = Арг в ’

так что в результате исключения 6/0

РРРР

Р

Р

Р

Р

откудаоткуда

откуда

откуда

(13)(13)log р — log Рlog р —log/'

(13)

(13)

9 Здесь предполагается, что 7 постоянно. Это уравнение было дано впервые, повидимому, Пуассоном.

Путем экспериментов такого рода Клеман и Дезорм нашли Т = 1,3492; но данный метод, очевидно, не обладает сколько-нибудь большой точностью. Значение 7, необходимое для того, чтобы согласовать вычисленную и наблюденную скорости звука, есть 1,408; в правильности его вряд ли может быть какое-либо сомнение.

В нашем знании величины 7 мы, однако, не являемся зависимыми от звуковых явлений. Значение хр — удельная теплоемкость при постоянном давлении — было определено экспериментальным путем Реньо; и хотя экспериментальный метод1), вследствие присущих ему трудностей, может и не дать удовлетворительных результатов для xv, интересующие нас сведения можно получить косвенным путем — исследованием соотношения между двумя удельными теплоемкостями, которое было открыто термодинамикой.

Если из уравнений

(14)(14)6pl

(14)

(14)

d^ duJdp

0и'p

мы исключим dp, тоэтодастврезультате

^ = (хр —Xt,)^r + M9-(15)

Предположим, что dQ=X), или что притока и отдачи тепла нет. Известно, что тепло, развивающееся при сжатии приблизительно идеального газа, такого, как воздух, является почти в точности термическим эквивалентом работы, затраченной на его сжатие. Этот важный принцип был принят Майером в его знаменитом мемуаре, посвященном динамической теории тепла, правда по основаниям, которые едва ли можно рассматривать как достаточные. Но как бы то ни было, сам принцип, как это было доказано с тех пор экспериментами Джоуля и Томсона, строго справедлив.

(16)(17) есть(16)(17) естьЕсли мы измеряем теплоту в динамических единицах, то принцип Майера, при условии, что приток и отдача тепла отсутствуют, в нашем случае может быть выражен соотношением —v.^d^ = pdv. Сравнивая это с (15), мы видим, что и поэтому

(16)

(17) есть

(16)

(17) есть

XJ9 "^ Ху х^ R

Значение ри в гравитационной мере (грамм, сантиметр) 1033:0,001293 при 0° С, так что

_1033

0,001293X 272,85 *

^ [См., однако, Joly, Phil. Trans., том CLXXXII А, 1891.]

По экспериментам Реньо удельная теплоемкость воздуха составляет 0,2379 удельной теплоемкости воды; чтобы повысить температуру 1 грамма воды на один градус Цельсия, необходимо затратить 42 350 грамм-сантиметров работы. Отсюда, в тех же единицах, что и для R, .

хр = 0,2379 • 42 350.

Производя на основании этих данных вычисления, мы находим 7=1,410, что почти точно согласуется со значением, полученным из скорости звука. Это исследование принадлежит Рэнкину, который воспользовался им в 1850 году для вычисления удельной теплоемкости воздуха, взяв в качестве исходных данных джоулевский эквивалент и наблюденную скорость звука. Этим путем он предвосхитил результаты экспериментов Реньо, которые не были опубликованы до 1853 года.

Теория Лапласа часто являлась предметом ошибочного толкования среди исследователей и камнем преткновения для тех своеобразных людей, которых Де-Морган назвал «парадоксерами» («paradoxers»). Но нет никаких оснований сомневаться в том, что, независимо от всяких вычислений, гипотезе об отсутствии теплообмена безусловно следует отдать предпочтение по сравнению с не менее специальной гипотезой постоянной температуры. Возникло бы реальное затруднение, если бы скорость звука не превосходила решительным образом значения, данного Ньютоном, и скорее удивительно то, что причина этого расхождения так долго оставалась необнаруженной.

Единственный вопрос, который, быть может, следует считать открытым, это — вопрос о том, не может ли небольшая дрля нагревания и охлаждения за счет теплопроводности или излучения потеряться раньше, чем она произведет свой полный эффект. Все должно зависеть от быстроты тепловых изменений. С одной стороны, ниже известного предела медленности как избыток, так и недостаток тепла успевали бы компенсироваться, и температура в основном оставалась бы постоянной. В этом случае соотношение между давлением и плотностью было бы тем, которое приводит к значению скорости звука Ньютона. С другой стороны, выше известного предела быстроты изменений газ вел бы себя так, как будто он заключен в теплоизолирующий сосуд, как предполагалось в теории Лапласа. Но хотя действительные условия задачи лучше представляются вторым предположением, здесь еще может иметь место отклонение от закона давления и плотности, входящего в теорию Лапласа, отклонение, которое приводит к несколько меньшей скорости распространения звука. Этот вопрос был тщательно рассмотрен Стоксом в работе, опубликованной в 1851 году1), содержание которой в основных чертах мы здесь и воспроизводим.

Э Stokes, Phil. Mag. (4), том I, стр. 305.

Уравнения механики для малого движения воздуха следующие:

(1)(1)др ди

(1)

(1)

dx' dt ' * * **

а уравнение непрерывности имеет вид:

£ + ^ + ^+«*0.(2)

dt 1 дх 1 ду 1 dz4 '

Температура воздуха предполагается всюду одинаковой, не считая тех возмущений, которые вызываются самими колебаниями, так что если 6 обозначает избыток температуры, то

Р = хр(1 +s4-a6).(3)

Эффект малого внезапного сжатия s заключается в том, что оно вызывает повышение температуры, которое можно обозначить через ^5. Пусть dQ есть количество тепла, входящее в элемент объема за время dt и измеряемое тем повышением температуры, которое оно произвело бы, если бы не было сжатия. Тогда (пре

-D д\

небрегая различием между и I, мы имеем

dt “1 dt ‘ dt ’w

где ^- есть функция 0 и производных от 0 по координатам, зависящая от специального характера рассеяния (диссипации). Можно упомянуть два крайних случая: первый, когда тенденция к выравниванию температуры обязана теплопроводности, второй, когда действующей причиной является излучение и когда прозрачность среды такова, что излучаемое тепло не поглощается заметно на расстоянии нескольких длин волн. В первом случае ^-^V^J, во втором же, том самом, который был избран Стоксом для аналитического исследования,— (—0), если принять за достаточное

приближение к истине закон излучения Ньютона. Мы имеем тогда

В случае плоских волн, которыми мы и ограничим наше внимание, v и ф обращаются в нуль, между тем как и, р, s, 9 будут функциями только х(и Г). Исключая из уравнений (1), (2) и (3) р и и, мы находим уравнение

d^s fd^s . d26\dt'2 7\дл2 • a dx2) ’

из которого и из уравнения (5) мы получаем, обозначив через f

3 Зак. 1779. Рэлей, II

(в том же смысле, как и прежде) 1 —|—ос^,

(6)(6)d , \ d2s / д , \ д^зdt q)l№ ~ 7у1Й q)O*

(6)

(6)

Если колебания — гармонические, то мы можем предположить, что s изменяется пропорционально ^п# и уравнение принимает вид:

(7)(8)(9)(7)(8)(9)d^s . и2 Ч "V in sqdx^ x q 4- цп "

(7)

(8)

(9)

(7)

(8)

(9)

Напишем коэффициент при s в (7) в форме ^е-^, где„4^211^2+^2

*72$2^„2

И"

п., чп , п 1 (ч — 1) па

2Ф = arc tg -arc tg — = arc tg o / o-.

T ° qq ° 77г2 -j- q^

Уравнение (7) удовлетворяется тогда выражениями вида

± гр. (cos ф — г sin <р)ж

но (при положительном р и 6, меньшем у-), если нам нужно выражение для волны, распространяющейся в положительном направлении, мы должны взять нижний знак. Отбрасывая мнимую часть, мы находим соответствующее решение в виде

(Ю)(Ю)s = Ae ^вт^'"с • cos (nt— р cos ^ - х\

(Ю)

(Ю)

Первое обстоятельство, которое следует отметить, это то, что звук не может распространиться на значительное расстояние, если только sin 6 не является крайне малой величиной.

Скорость распространения звука V равна

V = пр-1 sec ^,V = пр-1 sec ^,что сводится, когда sin 6 мал, кчто сводится, когда sin 6 мал, кV = пр-1.V = пр-1.(Н)(12)(Н)(12)

V = пр-1 sec ^,

V = пр-1 sec ^,

что сводится, когда sin 6 мал, к

что сводится, когда sin 6 мал, к

V = пр-1.

V = пр-1.

(Н)

(12)

(Н)

(12)

Но из (9) мы видим, что <р не может быть малой величиной, если только ^ не будет очень велико или очень мало. При первом предположении из (11), или прямо из (7), мы имеем приближенно У= [Лх (Ньютон), при втором же V = VЧ (Лаплас), что, очевидно, и должно иметь место, если принять во внимание смысл q в уравнении (5). Мы видим теперь, что если бы q и п были сравнимы, то результатом этого явилось бы не только отклонение V от того и другого из предельных значений, но и быстрое затухание звука, что, как мы знаем, в природе не имеет места.

В справедливости этого теоретического результата мы можем убедиться, как поясняет Стокс, и не прибегая к анализу. Вообра-

зим массу воздуха, заключенную внутри замкнутого цилиндра, в котором работает, двигаясь туда и обратно, поршень. Если период движения очень велик, то температура воздуха остается почти постоянной, так как теплота, развивающаяся при сжатии, успевает уйти посредством проводимости или излучения. При этих условиях давление является функцией объема, и всякая работа, затраченная на выполнение заданного сжатия, возвращается обратно, когда поршень проходит через то же самое положение в обратном направлении; в конечном счете здесь не расходуется никакая работа. Предположим, далее, что движение поршня настолько быстрое, что нагревание и охлаждение, развивающиеся в результате сжатий и разрежений, не успевают исчезать. Давление все еще является функцией объема и работа при этом не рассеивается. Единственное различие состоит в том, что теперь изменения давления сравнительно с изменениями объема более значительны, чем прежде. Мы видим, каким образом волны в обоих случаях — согласно гипотезе Ньютона и согласно гипотезе Лапласа — распространяются без диссипации, хотя и с различными скоростями.

Оцнако в промежуточных случаях, когда движение поршня не является ни настолько медленным, чтобы температура воздуха в цилиндре оставалась постоянной, ни настолько быстрым, чтобы теплота не успевала выравниваться сама собой, результат будет другим. Работа, затраченная на некоторое малое сжатие, больше уже не возвращается полностью в течение соответствующего разрежения из-за уменьшившейся температуры, вследствие того, что часть тепла, развившаяся в результате сжатия, тем временем ушла прочь. В самом деле, переход тепла путем теплопроводности или путем излучения от более теплого к более холодному (в конце концов) телу всегда связан с рассеянием энергии; это — принцип, играющий основную роль в термодинамике. Поэтому, чтобы поддерживать движение поршня, необходимо доставлять энергию извне, а если ею можно располагать лишь в ограниченном количестве, то движение должно в конце концов прекратиться.

Другое обстоятельство, которое следует отметить, заключается в следующем: если бы q и п были сравнимы, то V зависело бы от п, т. е. от высоты звука — положение вещей, подозревать которое, как показывает эксперимент, у нас нет никакого основания. Наоборот, наблюдаемые факты показывают, что такой связи не существует.

Из (10) мы видим, что падение интенсивности, рассчитанное на длину волны, является максимальным при максимуме tg6 или 6; согласно же (9), 6 имеет максимум, когда q: и = )/\. В этом случае

р, = пу.-'^-’Л, 26 = arc tg 7V2— а^с tg 7-V», (13)

откуда, если мы положим 7= 1,36, получим 26 = 8°47Л.

Пользуясь для вычисления этими данными, мы находим, что при продвижении на каждую длину волны амплитуда колебания уменьшалась бы в отношении 0,6172.

В качестве численного примера положим

т = ^ секунды, X = длина волны —44 дюйма [112 ел/].

На расстоянии 20 ярдов (1828 см) интенсивность уменьшилась бы в отношении около 7 миллионов к одному.

Соответственно этому

<7 = 2198.(14)

Если бы значение q было действительно таким, как написано здесь, то звуки данной высоты затухали бы очень быстро. Мы заключаем поэтому, что q в действительности значительно больше или значительно меньше. Но даже и такое большое значение, как 2000, абсолютно неприемлемо, в чем мы можем убедиться, вдумываясь в смысл уравнения (5).

Предположим, что при помощи твердой оболочки, прозрачной для теплового излучения, объем малой массы газа сохраняется постоянным; тогда уравнение, которым определяется в любой момент времени ее тепловое состояние, есть

откуда

0 = Ле-^,(15)

где Л обозначает первоначальный избыток температуры; уравнение (15) показывает, что спустя время -^ избыток температуры уменьшится более, чем на половину своего первоначального значения. Если бы мы предположили, что это может случиться за одну двухтысячную долю секунды, то это находилось бы в противоречии с самым поверхностным наблюдением.

Мы вправе поэтому принять, что q очень мало сравнительно с п; наши уравнения можно тогда написать приближенно следующим образом:

- 1

ц = —г—г , 2'^ = —, V — /гр.-1 = х 2 у2 ’

S = Ae-a-i-bq^v cos £L(yt — x).(16)

Эффект малого излучения тепла проявляется сильнее в затухании колебания, чем в изменении скорости распространения звука.

Стокс находит, что если *(=1,414, У=1100, то отношение (Af: 1), в котором уменьшается интенсивность на расстоянии х, дается выражением log10 N = 0,0001156 qx в системе фут-секунда. Хотя мы и не в состоянии проделать точные измерения интенсив-

ности звука, но тот факт, что слышимые нами колебания могут распространяться на многие мили, исключает всякое значение q, которое могло бы заметно влиять на скорость распространения.

Равным образом невозможно приписать воздуху такую теплопроводность, которая могла бы существенно помешать применению теории Лапласа. Чтобы проследить за эффектом теплопроводности, мы должны только заменить q в уравнении (5) через—q .

Принимая в качестве частного решения -

мы находиммы находим5 — Дег (nt + тсс)т^йгх^ = in? -|- q'n^m? — xq'mi,

мы находим

мы находим

откуда, если q' относительно мало,

Таким образом, в действительных величинах решение имеет вид: ./у—1 q'n2x\/ , пх \

у = Д-ехр — —-)• cos [nt(18)

. \ Т 2(ч)'/а/\ Уч)

т. е. скорость распространения до этого порядка приближения все еще остается равной ]/ ху.

Из (18) видно, что теплопроводность, как и излучение, влияет в первую очередь на амплитуду, а не на скорость распространения. В самом деле, теплопроводность газов так мала, и, во всяком случае, для слышимых звуков время, в течение которого проводимость может иметь место, так коротко, что возмущения, вызванного этой причиной, ожидать не следует.

В предыдущих рассуждениях предполагалось, что волны распространяются в открытом пространстве. Если воздух заключен внутри трубы, диаметр которой мал в сравнении с длиной волны, то условия задачи изменяются, по крайней мере для случая теплопроводности. Этот вопрос будет, однако, удобнее рассмотреть в другом месте.

Из выражения "j/-у мы видим, что в одном и том же газе

скорость звука не зависит от плотности, так как, если температура постоянна, то р изменяется пропорционально р (/?=/?р6). С другой стороны, скорость звука пропорциональна корню квадратному из абсолютной температуры, так что, если ай есть значение при

где температура отсчитывается обычным путем, от точки замерзания воды.

Наиболее заметным следствием зависимости скорости звука от температуры является изменчивость высоты звука органных труб.

В следующих главах мы увидим, что период открытой органной трубы есть время, которое необходимо некоторому импульсу, чтобы пробежать расстояние, равное определенному кратному длины трубы, и поэтому изменяется обратно пропорционально скорости распространения. Неудобство, возникающее вследствие этого изменения высоты, усугубляется еще тем фактом, что на язычковых трубах указанное явление сказывается неодинаково; таким образом, изменение температуры расстраивает орган.

Проф. Мейер) предложил сделать связь между температурой и длиной волны основой пирометрического метода, однако я не знаю, был ли когда-либо осуществлен этот эксперимент.

Правильность (1) для воздуха при температурах 0° и 100° была подтверждена экспериментально Кундтом. См. § 260.

В различных газах при заданных температуре и давлении а обратно пропорционально корням квадратным из плотностей, по крайней мере, если у постоянно ). [Для постоянных несжижаемых газов 7 не может заметно отклоняться от значения для воздуха. Так, в случае водорода скорость больше, чем для воздуха, в отношении

]/172933 : V0,08993 или

3,792: 1.]

Скорость звука не вполне независима от степени сухости воздуха, так как при данном давлении влажный воздух несколько легче, чем воздух сухой. Вычисление дает, что при 50°F[10°C| воздух, насыщенный водяными парами, передавал бы звук на 2—3 фута в секунду быстрее, чем когда он был бы идеально сухим |1 фут = 30,5 см\.

Формулу = можно приложить для вычисления скорост звука в жидкостях или, если эта последняя известна, заключить обратно о коэффициенте сжимаемости последних. В случае воды экспериментально найдено, что сжатие на одну атмосферу составляет 0,0000457. Таким образом, если dp — 1033 • 981 в абсолютных CGS единицах, то

dp = 0,0000457, так как р=1. Отсюда

а = 1489 щ/сек,

что не очень отличается от наблюденного значения (1435).

В предыдущих разделах теория плоских волн была выведена из общих уравнений движения. Мы перейдем теперь к независимому исследованию, в котором движение описывается через действительное положение слоев воздуха, а не при помощи потенциала скорости, введение которого не является более необходимым, так как в одном измерении не может быть вопроса о молекулярном вращении ).

Если у, y-\-~^dx определяют в момент времени t действительное положение двух соседних слоев воздуха, положения равновесия которых определяются координатами х и x-\-dx, то плотность р воздуха, заключенного между этими слоями, дается выражением

Р:?о=1:^.(1)

откуда, в силу (9) § 246, при этом предполагается, что расширения и сжатия происходят по адиабатическому закону. Масса единицы площади слоя естьр0^х, а соответствующая движущая сила др 1 dx, ох что дает для уравнения движения д2у , др п

Ро= °-(3)

dt3 ' дхх 7

Из (2) и (3) следует исключить р. Таким образом, /^Ут1 д^-ур^ д^у..

\ дх / dt2ро дх3 ’х 7

Уравнение (4) есть точное уравнение, определяющее действительную абсциссу у через абсциссу равновесия х и время. Если / dv \T+1 предположить, что движение мало, то величину I уу ], стоящую

д2у в качестве коэффициента при малой величине можно заменить ее приближенным значением — единицей; тогда (4) принимает вид:

4У = М^(5)

дг3 ро дх“v 7

— это обычное приближенное уравнение. Если расширение изотермическое, как в теории Ньютона, то уравнения, соответствующие (4) и (5), получаются просто, если положить = 1.

Каково бы ни было соотношение между р и р, что зависит от природы среды, уравнение движения, в силу (1) и (3), есть /^у_\а _д2у dp_ ^у_.

\ дх / di2 dp дх2 *'

из него следует исключить с помощью соотношения (1) между р дуdp

и —- величину р, входящую в

В проведенном выше исследовании воздушных волн мы предполагали, что воздух находится в покое, если не считать возмущений, вызываемых звуковыми колебаниями; но мы можем, конечно, приписать всей массе рассматриваемого воздуха какое угодно общее движение. Если мы предположим, что воздух движется в направлении, обратном направлению распространения волн, и с той же самой действительной скоростью, то форма волны (при условии, что она неизменна) будет неподвижна в пространстве, и движение будет установившимся. В настоящем разделе мы рассмотрим проблему именно в таком аспекте, так как весьма важно достигнуть максимальной ясности в наших взглядах на механику распространения волны.

Если и0, р0, р0 обозначают, соответственно, скорость, давление и плотность жидкости в ее невозмущенном состоянии и если и, р, р — те же величины в какой-либо точке волны, то уравнение непрерывности имеет вид

Р« = Ро“о

и, в силу (5) § 244, для уравнения энергии

р

Ро

Исключая и, мы получаем

— уравнение, определяющее закон давления, при котором единственно и возможно, чтобы в жидкости, движущейся со скоростью и0, могла существовать неподвижная волна. Из (3)

илиили(4)(5)(4)(5)^ = и2Дdp “о р2

или

или

(4)

(5)

(4)

(5)

Так как соотношение между давлением и плотностью для действительных газов отличается от (5), мы заключаем, что существующая сама по себе стационарная воздушная волна есть нечто невозмож-

ное, какова бы ни словами, что волна мущенных частейное, какова бы ни словами, что волна мущенных частейбыла скорость и0 общего потока, или, другими не может распространяться относительно невоз- газа, не изменяя своего типа. Тем не менее,

ное, какова бы ни словами, что волна мущенных частей

ное, какова бы ни словами, что волна мущенных частей

выражениемвыражениемкогда изменения плотности малы, уравнению (5) можно удовлетворить приближенно; и мы видим из (4), что скорость потока, необходимая для того, чтобы сохранить волну неподвижной, дается

выражением

выражением

(6)(6)_ / dpu°" V "d^'

(6)

(6)

которое совпадает с выражением для скорости волны, оцениваемой относительно жидкости.

Этот метод рассмотрения вопроса показывает, может быть, яснее, чем всякий другой, истинную природу соотношения § 245 (3), (4) между скоростью и сжатием. В стационарной волновой форме увеличение плотности связано, согласно принципу энергии, с убылью скорости, и поэтому жидкость, образующая сжатые части волны, движется вперед медленнее, чем жидкость в невозмущенных частях. Поэтому относительно жидкости движение сжатых частей происходит в том же направлении, в каком распространяются самые волны.

Если соотношение между давлением и плотностью отличается от (5), то стационарная волна может поддерживаться только при помощи внешней силы. Согласно (1) и (2) § 237 мы имеем, предполагая, что движение — установившееся,

(7)(7)du , \ dpdx ' р dx ’

(7)

(7)

между тем как соотношение между мир имеет вид (1). Если мы предположим, что /? = «2р, то (7) примет вид:

(8)(8)X = (и2 ——:—

(8)

(8)

7 dx

Это уравнение показывает, что внешняя сила необходима всюду, где и переменно и не равно а.

Причину изменения характера движения, возникающего, когда волна предоставлена самой себе, понять нетрудно. Из обычной теории мы знаем, что бесконечно малое возмущение распространяется с некоторой скоростью а, которая представляет собой скорость относительно частей среды, не возмущенных волной. Рассмотрим теперь случай волны настолько длинной, что изменения скорости и плотности на значительном расстоянии вдоль нее незаметны, и вообразим, что в том месте, где скорость и конечна, на нее наложена малая вторичная волна. Скорость, с которой распространяется через среду вторичная волна, есть а, но за счет скорости местного движения самой среды полная поступательная скорость есть аЦ-и; она зависит от того, в каком участке длинной волны наложена малая волна. То, что было сказано о вторичной волне, прилагается также и к частям самбй.длинной волны.

Мы видим, таким образом, что по истечении времени / место, где была найдена некоторая определенная скорость и, перемещается из своего первоначального положения на расстояние, равное не at, по (a-\-u)t, или, как это еще можно выразить, а распространяется со скоростью а-\-и. В символическом обозначении и = f\x— (я -|- и) И, где / есть произвольная функция, — уравнение, впервые полученное Пуассоном1).

Из только что приведенного рассуждения на первый взгляд могло показаться, что изменение типа было необходимо связано с перемещением волны, независимо от всяких частных предположений о виде соотношения между давлением и плотностью; однако в § 250 было доказано, что в случае одного частного закона давления изменение типа не имело бы места. Но в настоящем разделе мы молчаливо предполагали, что а постоянна, и тем самым ограничили себя законом Бойля. При всяком другом законе давле-

_ Г dpО

пия у есть функция р, а потому, как мы увидим, и и. В случае закона, выраженного уравнением (5) § 250, соотношение между и и р для бегущей волны таково, что д/~-J?" А-11 постоянно, т. е. в поступательном движении задержка, обусловленная замедлением распространения при возрастании плотности, компенсируется наложением скорости и.

Поскольку дело касается природы самой среды, ничто не мешает нам приписывать произвольные значения как и, так и р, но в бегущей волне между этими двумя величинами должно существовать некоторое соотношение. Мы уже знаем (§ 245), что это имеет место, когда возмущение мало; следующее рассуждение не только покажет, что такого соотношения следует ожидать и в случаях, где должен сохраняться квадрат скорости, но даже и определит форму соотношения.

Каков бы ни был закон давления, скорость распространения малых возмущений, согласно § 245, равна j/ -^-, и в положительной бегущей волне соотношение между скоростью и сжатием ес гь

— । / dp

5 г da *k j

Если это соотношение в какой-либо точке нарушается, то возникает волна, распространяющаяся в отрицательном направлении. Представим себе теперь случай положительной бегущей волны, в которой изменения скорости и плотности происходят очень постепенно, но становятся значительными в результате накопления, и выясним, каким условиям следует удовлетворить, чтобы преду-

!) Poisson, «Memoire sur la Theorle du Son-», Journal de Г Ecole polytechnique, том Vil, стр. 319, 1808.

предить образование отрицательной волны. Ясно, что ответ на вопрос, возникнет или нет в какой-либо точке отрицательная волна, зависит от состояния в непосредственном соседстве с этой точкой, а не от состояния в областях, удаленных от нее, и будет поэтому определяться критерием, приложимым к малым возмущениям. Применяя этот критерий, мы должны рассматривать скорости и сжатия не как абсолютные, а как относительные — относительно тех, которые господствуют в соседних частях среды; таким образом, выражение (1) нужно для настоящей цели взять в форме

du^^/"(2)

откуда( г р

это и есть зависимость между «ио, имеющая место в положительной бегущей волне. Уравнение (2) было получено аналитически Ирншоу).

В случае закона Бойля 1/ ~~ постоянно, и соотношение между -V do-

скоростью и плотностью, впервые выведенное, повидимому, Гельмгольцем ), имеет вид:

и = а 1л ~,(4)

Ро

если оо— плотность, соответствующая и = 0.

В этом случае интеграл Пуассона позволяет нам составить себе определенное представление об изменении типа, сопровождающем ранние стадии перемещения волны, и приводит нас, в конце концов, к затруднению, которое до сих пор еще не преодолено). Если мы построим кривую, представляющую распределение скорости, отложив х по оси абсцисс и « по оси ординат, то соответствующую кривую по истечении времени t мы можем найти с помощью следующего построения. Через всякую точку первоначальной кривой проводим параллельно оси лг-ов в положительном направлении отрезок прямой линии длиною (a-V-u)t или, поскольку нас интересует только форма кривой, длиною ut. Геометрическое место концов этих линий есть кривая скорости по истечении времени t.

Но этот закон построения кривой не может быть справедливым неопределенно долго. Гребни кривой скорости непрерывно нагоняют впадины ее и должны, в конце концов, их догнать. После этого кривая давала бы два значения и для одного значения х, и картина,

изображаемая ею, перестала бы соответствовать действительности. В самом деле, мы не вправе применять интеграл дальше той точки, в которой скорость претерпевает разрыв, или кривая скорости имеет вертикальную касательную. Чтобы найти, когда это случится, возьмем две соседние точки какой-нибудь части кривой, опускающейся вниз в положительном направлении, и выясним, по истечении какого времени эта часть кривой станет вертикальной. Если разность абсцисс равна dx, то задняя точка догонит переднюю за время dx : (— du). Таким образом, скорость, определяемая уравнением Пуассона, становится разрывной по истечении времени, равного обратной величине наибольшего отрицательного значе- ди

иия -з—, взятой с положительным знаком. ох ’

Предположим, например, что

u = U cos — \х — ^а-\- и) /},

где U — наибольшая начальная скорость. Когда / = О, наибольшее ди2 л U

отрицательное значение ^ есть— , так что разрыв имеет место в момент t = 77-77.

2 л и

Если имеет место разрыв, то обычные дифференциальные уравнения неприменимы; дальнейшее изменение скорости поэтому до сих пор не исследовано. Вероятно, как это было предположено Стоксом, при этом происходит нечто вроде отражения. Мы должны, однако, соблюдать здесь осторожность и отличать чисто математические вопросы от физических. На практике мы имеем дело со сферическими волнами, расходимость которых сама по себе может быть достаточной для того, чтобы устранить тенденцию к разрыву. Кроме того, в реальных газах, прежде чем мог бы появиться разрыв, закон давления, несомненно, начнет изменять свою форму, и пренебрегать влиянием вязкости уже будет нельзя. Эти рассуждения, однако, не имеют ничего общего с математической задачей определения того, что произошло бы с волнами конечной амплитуды в среде, свободной от вязкости, где давление при всех условиях строго пропорционально плотности; эта задача еще не решена.

Заслуживает замечания следующее обстоятельство: хотя мы и можем представить себе волну конечного возмущения существующей в любой момент времени, все же имеется предел продолжительности ее предыдущего независимого существования. Проводя линии вместо положительного в отрицательном направлении, мы можем проследить историю кривой скорости; мы видим, что по мере того, как мы продвигаемся в нашем исследовании все дальше и дальше в прошлое, наклон кривой вперед становится меньше, а наклон ее назад — больше. Для времени, равного наибольшему

положительному значению ^ и предшествующего тому моменту, в который впервые рассматривается кривая, мы получим разрыв скорости.

Полное интегрирование точных уравнений (4) и (6) § 249 в случае бегущей волны было впервые выполнено Ирншоут). Отыскивая основания для мнения, по которому в звуковой волне всегда должно удовлетворяться уравнение

^F^Л)

dt г \дх)’

он заметил, что результат дифференцирования выражения (1) по t, т. е. выражение

дП — V \dxh дх^’v ’

можно, воспользовавшись произвольной функцией F, заставить совпасть с любым динамическим уравнением, в котором отношение д^у д^уду ,,с

~ и ^ выражается через ^. Форма функции г, таким образом, определена, и решение может быть завершено путем обычного процесса, применимого к таким случаям).

Обозначив для краткости ^ через а, мы можем написать dy = ^ dx -|- ~ dt = a. dx -|- F (a) dt;

интеграл найдется исключением а из уравнений

у = ах4-F(а)/ + <?(«), |

О = х + /^(а)/-}- ^(а), J'

где а равно у, а о — произвольная функция.

Если р = а?^, то точное уравнение (6) § 249 имеет вид: (dyV-^y ,<Ру_.4

\6х) до “ дх»*1 ’

сравнивая его с (2), мы видим, что

■^(«) = ^>(5)

или, после интегрирования, /^(а) = С ± я log а,(6)

как это можно было заключить и из (4) § 251. Постоянная С обращается в нуль, если F^a), т. е. и, обращается в нуль, когда a = 1

9 Earnshaw, Proceedings of the Royal Society, янв. 6,1859; PHU. Trans., стр. 133, 1860.

или р — р0; другими словами, эта постоянная представляет собой скорость среды как целого, не имея ничего общего с самой волной. Для положительной бегущей волны следует брать нижние знаки. Так, вместо (3), мы имеем

(7)(7)у = ах — a In at -|- у (а), О = ах — at -J- у-'У (а)

(7)

(7)

ии

и

и

и = — slna = olog —.(8)

со

Если мы вычтем второе из уравнений (7) из первого, то получиму — at-\- at In а = ср (а) — а/У (а),

откуда, согласно (8), мы видим, что у—(a-y-u)t есть произвольная функция а или и. Поэтому, обратно, и есть произвольная функция у — (a-\~u)t> и мы можем написать

и=Лу —(a^uW(9)

Уравнение (9) представляет собой не что иное, как интеграл Пуассона, рассмотренный в предыдущем разделе, где символ х имеет тот же смысл, какой здесь имеет у.

Проблема плоских волн конечной амплитуды привлекла также внимание Римана, мемуар которого был сообщен Королевскому Обществу в Геттингене 28 ноября 1859 года). Исследование Римана основывается на общих уравнениях гидродинамики, изученных в §§ 237, 238, и не ограничивается каким-либо частным законом давления. Однако, чтобы не расширять незаслуженно рассмотрение этой части нашего предмета, изложенной уже, может быть, более подробно, чем это можно оправдать ее значением для акустики, мы ограничимся здесь случаем закона давления Бойля.

Прилагая уравнения (1), (2) § 237 и (1) § 238 к условиям рассматриваемой задачи, мы получим ди । ди од Si+U

д In р , d In о диdt > U дх dx*

Если умножить (2) на Дзо, а затем сложить с (1), то получится: dP , । хдР dQ , х dQ„

dt х ' dx ’ dt х ' dx 'х ’

гдегдеP = olnp-[-w, Q = alno— и.P = olnp-[-w, Q = alno— и.(4)(4)

где

где

P = olnp-[-w, Q = alno— и.

P = olnp-[-w, Q = alno— и.

(4)

(4)

Таким образом,

dP = -^ {dx — ^u^a^dt},(5)

dQ = ^ ^dx — (и — a)dt^(6)

Эти уравнения являются более общими, чем уравнения Пуассона и Ирншоу, так как они не ограничиваются случаем только одной единственной положительной или отрицательной бегущей волны. Из (5) мы видим, что каково бы ни было значение Р, соответствующее точке х и времени /, это же самое значение соответствует точке х -]- (и 4- a) dt в момент времени t-\-dt; таким же путем мы усматриваем из (6), что Q остается неизменным, когда х и t увеличиваются соответственно на (и— a)dt и dt. Если Р и Q заданы в некоторый момент времени как функции х и если построены изображающие их кривые, то мы можем вывести соответствующее значение и с помощью (4) и таким же образом, как в § 251, построить кривые, представляющие значения Р и Q через малый промежуток времени dt, из которых становятся, в свою очередь, известными новые значения и и р, и процесс может быть повторен. Элемент жидкости, которому принадлежат в какой-либо момент времени значения Р и Q, движется сам со скоростью и, так что скорости Р и Q относительно элемента численно одинаковы и равны а, причем скорость Р в положительном направлении, Q—• в отрицательном.

Мы в состоянии теперь проследить все последствия некоторого начального возмущения, ограниченного конечным участком среды, например, заключенного между х=а и х=р, вне которого среда находится в покое и имеет нормальную плотность, так что значения Р и Q равны а In р0. Каждое значение Р передается поочередно элементам жидкости, лежащим впереди него, а каждое значение Q— элементам, лежащим позади него. Самая задняя граница области, в которой Р переменно, именно, место, где Р впервые достигает постоянного значения a In р0, приходит сперва в соприкосновение с переменными значениями Q и движется таким образом с переменной1) скоростью. В определенный момент времени, требующий для своего нахождения решения дифференциальных уравнений, задняя (левая) граница области, в которой Р меняется, встречается с задней (правой) границей области, в которой меняется Q, после чего обе области разделяются; между ними оказывается заключенной часть жидкости в условиях, отвечающих равновесию, как это следует из того факта, что значения Р и Q оба равны a In р0. В положительной волне Q имеет постоянное значение a In р0, так что и = а\п-^-, как в (4) § 251; в отрицательной волне Р имеет

т) В этом пункте в работу Римана вкралась, повидимому, ошибка, которая исправлена в реферате, помещенном в Fortschrltte der Physik.

то же самое постоянное значение, что дает соотношение между и и р в виде и —— oln^-. Так как в каждой бегущей волне, взятой изолированно, господствует закон, связывающий величины и и р, то мы видим, что в положительной волне du обращается в нуль одновременно с dP, а в отрицательной—одновременно с dQ. Таким образом, из (5) мы узнаем, что в положительной бегущей волне du обращается в нуль, если приращения х и t таковы, что они удовлетворяют уравнению dx— (u-\-a)dt = 0, из которого сразу получается интеграл Пуассона.

Полное аналитическое развитие метода Римана завело бы нас слишком далеко, поэтому мы отсылаем читателя за таковым к оригинальному мемуару; было бы, однако, недопустимо обойти молчанием одну ошибку, касающуюся вопроса о разрывном движении, в которую впали Риман и другие авторы. Считалось, что возможно такое состояние движения, при котором жидкость разделяется на две части поверхностью разрыва, распространяющейся с постоянной скоростью, причем вся жидкость по одну сторону от поверхности разрыва имеет одну плотность и скорость (одинаковую по всей этой части), а по другую сторону — другую плотность и скорость (одинаковую в данной части). Но если бы это движение было возможно, то было бы возможно и движение, в котором поверхность разрыва находится в покое; достаточно предположить, что всей массе жидкости сообщена скорость, равная и противоположная той, с которой движется сначала поверхность разрыва. Чтобы найти соотношения, которые должны существовать между плотностью и скоростью на одной стороне ^uv pt) и между плотностью и скоростью на другой стороне («а, ра), мы замечаем, прежде всего, что согласно принципу сохранения вещества ра«а=р1«1. Если теперь рассмотреть количество движения слоя, ограниченного параллельными плоскостями и включающего поверхность разрыва, то мы увидим, что количество движения, теряемое единицей площади слоя в единицу времени, равно (ра«а = р1м1)«а, между тем как количество движения, входящее в нее, есть р^. Разность количеств движения должна быть уравновешена давлениями, действующими на границы пластины, так что

Р1«1 («2 — «1) == Л “ Ра = «а (pl — Ра), откуда__

и. = а V" — ,и^а .(7)

Г pl2Г рз’

Определенное таким образом движение, однако, невозможно; оно удовлетворяет, правда, условиям для массы и количества движения, но нарушает условие для энергии (§ 244), выраженное уравнением

у «2—у«1=аа1пр1—«а In ра.(8)

Это рассуждение уже приводилось в другой форме в § 250, и уже в том виде могло бы служить нам оправданием для того, чтобы отбросить предположенное движение, так как ясно, что никакое установившееся движение невозможно иначе, как при определенном там законе плотности. Из уравнения (8) этого раздела мы можем найти, какие внешние силы были бы необходимы для того, чтобы поддерживать движение, определенное уравнением (7). Можно видеть, что сила X, хотя и ограниченная местом разрыва, складывается из двух частей противоположного знака, так как согласно (7) и проходит через значение а. Полная движущая сила, именно J Xpdx, обращается в нуль, и это объясняет нам, каким образом (7) может удовлетворять условию для количества движения, несмотря на то, что мы совершенно пренебрегаем силой X.

253а. Среди явлений второго порядка, которые допускают легкое объяснение, одно из важных мест должно быть отдано отталкиванию резонаторов, открытому независимо друг от друга Дворжаком1) и Мейером-2). Эти наблюдатели нашли, что воздушный резонатор любого рода (гл. XVI), если его подвергнуть воздействию мощного источника звука, испытывает силу, направленную внутрь от устья, несколько подобно тому как это имеет место у ракеты. Соединив четыре легких резонатора и установив их наподобие анемометра на стальном острие, можно заставить всю систему непрерывно вращаться.

Если внешние силы отсутствуют, то уравнение (2) § 244 дает

Различая значения величин в двух разных точках пространства при помощи индексов, мы можем написать

(2)

Это уравнение справедливо для каждого момента времени. Интегрируя его по большому интервалу времени, мы получаем

^rdt — Jw0^ = l ^U2dt — 1 ^Uxdt, (3) что применимо ко всякому случаю движения жидкости, в котором только поток между двумя точками не возрастает непрерывным образом. Первую точку (с индексом 0) следует теперь выбрать на таком расстоянии, чтобы изменения давления и скорости были

Э Dvorak, Pogg. Ann., том CLVII, стр. 42, 1876; Wied. Ann., том HI, стр. 328, 1878.

a) Mayer, Phil. Mag., том VI, стр. 225, 1878.

4 Зак. 1779. Рэлей, П

там практически незаметными. Таким образом,

^xdt = —^(Adt.*(4)

Это уравнение справедливо независимо от того, где была взята вторая точка. Если последняя находится внутри резонатора или в углу, где встречаются три неподвижных стенки, то ^ = 0 и поэтому

j* («4 —шо)^=О,(5)

т. е. среднее значение со внутри то же самое, что и на некотором расстоянии снаружи от резонатора.

В силу (9) § 246, если расширения и сжатия адиабатические, -1—1

р^ркиш^рт. Таким образом,

Если положить разность между рх и р0 в (6) сравнительно малой, то содержащуюся там функцию можно развернуть в ряд по теореме бинома. Приближенный результат можно выразить следующим образом:

UPl=Ps)?df,(7)

он показывает, что среднее значение (рх—р^) положительно или, другими словами, что среднее давление в резонаторе превышает атмосферное давление). Резонатор стремится поэтому двигаться так, как если бы его побуждала к этому сила, действующая нормально на площадь его отверстия и направленная внутрь.

Эксперименты можно проделать (по Дворжаку) с резонатором Гельмгольца, соединив устье с горизонтальной, не слишком узкой, стеклянной трубкой, в которой движется легкий поршень (из эфира). Если сильно возбудить камертон подходящей частоты, например 256 или 512, и поднести к устью резонатора, то движение поршня (эфира) укажет на увеличение давления, между тем как подобное же расположение неколеблющегося камертона не даст никакого эффекта.

Если с точностью до малых величин первого порядка ^21^2 = р cos nt>(8)

Ро

то среднее значение с точностью до малых второго порядка равно рг1 л

—, где для воздуха и для главных газов 7=1,4.

Если предположить, что расширения и сжатия происходят изотермически, то к соответствующему результату мы придем, положив в (7) т=1.

2536. Объясненный в § 253а эффект тесно связан со сжимаемостью жидкости, которая занимает пространство внутри резонатора. В том классе явлений, которые сейчас будут рассмотрены, сжимаемость жидкости имеет второстепенное значение, и истолкование их в основных чертах может быть дано и в предположении, что плотность жидкости всюду постоянна.

Если р постоянно, то уравнение (4) § 253л может быть написано так: а а

J (Л— P^dt = — -р | U\dt. (1)

Это показывает, что среднее давление в том месте, где имеется движение, меньше, чем в невозмущенных частях жидкости—теорема, принадлежащая Кельвину) и приложенная им к объяснению притяжений, наблюдавшихся Гатри (Guthrie) и другими экспериментаторами. Так, колеблющийся камертон, поднесенный к свободно подвешенному прямоугольному куску бумаги, оказывается, в состоянии вызвать притяжение, так как среднее зпа- чение IIй здесь больше на стороне, обра-//

щенной к камертону, нежели на обратной.р/

В предыдущем эксперименте действие//'

зависит от степени близости источника воз-Zf

мущения. Когда течение жидкости, устано--— /ф "

вившееся или же непостоянное, равномерно /£ в большой области, то ее действие на вве-

,Фиг. о4а.

денное туда препятствие зависит от формы

последнего. В случае сферы никакой тенденции к вращению, очевидно, нет, а поскольку течение выше и ниже препятствия симметрично, то средние давления, даваемые (1), уравновешивают одно другое. Следовательно, на сферу не действует ни сила, ни пара. Дело обстоит иначе, когда форма тела удлиненная или сплющенная. О том, что плоское препятствие стремится повернуться своей плоской стороной перпендикулярно к потоку), можно заключить из общего характера линий тока вокруг него. Давления в различных точках поверхности ВС (фиг. 54а) зависят от скоростей, которые имеет в них жидкость. Полное давление, обязанное общему торможению потока, мы найдем в двух точках, где поток разделяется. Ясно, что со стороны, обращенной к потоку, это место лежит в точке Р на АВ, а с обратной стороны в соответствующей точке Q на АС. Результирующая давлений стремится, следовательно, повернуть препятствие АВ так, чтобы оно оказалось обращенным лицевой стороной к потоку.

Если препятствие имеет форму эллипсоида, то можно вычислить и силы; здесь достаточно будет указать на частный случай тонкого круглого диска, нормаль которого образует некоторый угол 6 с направлением невозмущенного потока. Можно "показать), что момент М пары, стремящейся уменьшить 0, имеет значение, выражающееся через

4

М = yPaWsin 20, (2)

где а — радиус диска, a Wz—скорость потока. Если же поток будет не стационарным, а переменным, то, как видно из (1), нам нужно лишь воспользоваться средним значением W2.

Тот факт, что свободно подвешенный диск сам собой устанавливается поперек направления переменных потоков воздуха, был наблюден при попытке объяснить некоторые аномалии в поведении зеркала магнетометра2). Для иллюстрации: «маленький диск из бумаги, размером около шестипенсовой монеты, был подвешен на тонкой шелковинке через устье резонатора с числом колебаний 128. Если вблизи возбуждается звук этой частоты, то внутрь резонатора врывается, а также вырывается из него, мощная струя воздуха: диск при этом сам собой быстро устанавливается поперек прохода. Камертон частоты 128 можно держать вблизи резонатора, но лучше пользоваться вторым резонатором на небольшом расстоянии, чтобы избежать возможного возмущения, обязанного близости колеблющихся ножек. Эксперимент, хотя и значительно менее поразительный, удавался также с камертонами и резонаторами частоты 256».

На этом принципе можно построить инструмент для измерения интенсивности воздушных колебаний избранной частоты). Труба, длиною в три четверти длины волны, открыта с одного конца, с другого же герметически закрыта стеклянной пластинкой. На расстоянии одной четверти длины волны от закрытого конца подвешено на шелковинке соединенное с магнитом легкое зеркало, какое применяется для зеркальных гальванометров. В своем невозмущенном положении плоскость зеркала образует угол в 45° с осью трубы. В стенке имеется стеклянное окошечко, через которое свет, входящий в трубу вдоль оси и отраженный зеркалом, может выйти из трубы и дать соответствующее изображение на шкале с делениями. Труба в целом действует как резонатор, а переменные потоки воздуха в пучности (§ 255) отклоняют зеркало на угол, который отсчитывается обычным путем.

В инструменте, построенном Бойсом), чувствительность доведена до необыкновенно высокой степени. Это достигнуто частью за

счет применения очень легкого зеркала с подвесом из кварцевой нити, а частью за счет двойного резонанса. Большой резонатор представляет собой тяжелую латунную трубу около 10 см диаметром, закрытую с одного конца и такой длины, чтобы она отвечала на ег. Зеркало подвешивается в короткой боковой трубке, образующей соединение между большим резонатором и небольшим стеклянным баллоном соответствующей емкости. Можно считать, что внешние колебания усиливаются сначала большим резонатором, а затем снова малым, так что на зеркало действуют мощные переменные потоки воздуха. Избирательность в отношении высоты настолько определенна, что едва ли имеет место какой-либо ответ

на звуки, которые на полтона выше или ниже.

Наиболее поразительным из всех эффектов переменных воздушных потоков является, вероятно, ребристая структура, принимаемая пробковыми опилками в эксперименте Кундта (§ 260). Внимательное наблюдение показывает, что когда происходят колебания, опилки располагаются тонкими слоями поперек трубки, простираясь вверх на некоторое расстояние от основания. Эффект является максимальным в пучностях и исчезает вблизи узлов.

Когда колебания прекращаются, слои, конечно, опускаются на дно и при этом ЛЛ значительно теряют в резкости, но оста- W ются видимыми, как поперечные полоски./~х

Объяснение этого своеобразного их\/ \/

поведения было дано В. Кёнигом *).

Мы видели, что одно сферическое пре- ( )

пятствие не испытывает воздействия со J।

стороны переменного потока. Но это

положение вещей нарушается присутст-Фиг. 54 b, с.

вием другого препятствия по соседству.

Рассмотрим для простоты случай двух сфер, расположенных на сравнительно небольшом расстоянии друг от друга и так, что линия центров или параллельна потоку (фиг. 54b), или перпендикулярна к нему (фиг. 54с). Легко понять, что скорость между шарами будет меньше в первом случае и больше во втором, нежели скорости у удаленных друг от друга полушарий. Так как давление возрастает,

когда скорость уменьшается, то отсюда следует, что в первом положении шары будут отталкивать друг друга, во втором же — притягивать. Результатом действия этих сил между соседними препятствиями является, очевидно, тенденция соединяться в слои. Этому случаю можно противопоставить случай железных опилок в магнитном поле, направление которого паралельно направлению воздушного потока.Здесь в первом положении имеет место притяжение, во втором отталкивание, и результатом этого является тенденция опилок соединяться в нити.

1) W. KOnIg, Wied. Ann., том XLII, стр. 353, 549, 1891.

На основании исследования Кирхгоффа Кёниг вычислил силы, дей

ствующие в случае двух сфер, расположенных не слишком близко друг к другу. Если at, а2— радиусы сфер, г — их расстояние друг от друга, 9—угол между линией центров и направлением потока,

которое принято за ось 2-ов (фиг. 54d), W— скорость потока, то компоненты силы, действующей на сферу В, в направлении z и в направлении х, проведенном перпендикулярно к 2 в плоскости, содержащей z и линию центров, даются выражениями:

Z =—cos 0 (3 — 5 cos9 6), (3)

X =-~— sin 6 (1 — 5 cos9 6), (4)

третья компонента У обращается в нуль в силу симметрии. В случае рис. 54b 0 = 0, и имеет место отталкивание, равное

б^рд^Н^2

r4I

в случае рис. 54с = и получается притяжение с силой

Згоа^аУ

г4 *

В промежуточных положениях направление силы не совпадает с линией центров.

Если сферы жестко связаны, то силы, действующие на систему, приводятся к паре (стремящейся увеличить 0) с моментом, выражающимся в виде„ з 3.у.2

— Z sin 0 -|- X cos 0 =—sin 26.(5)

Если поток переменный, то в (3), (4), (5) необходимо взять среднее значение У/9.

Точное экспериментальное определение скорости звука является предметом большей трудности, чем этого можно было бы ожидать. Наблюдения на открытом воздухе подвержены ошибкам, обусловленным действием ветра и неопределенностью в установлении точного состояния атмосферы, ее температуры и влажности. С другой стороны, когда звук распространяется через воздух, содержащийся в трубах, возникает возмущение вследствие трения и переноса тепла; и хотя в случае труб значительного диаметра, таких, как некоторые из применявшихся Реньо, можно не опасаться больших ошибок за счет этих источников, все же трудно чувствовать уверенность в том, что идеальные плоские волны теории реализуются достаточно хорошо.

Следующая таблица г) содержит перечень главных экспериментальных определений, сделанных до сих пор.

Имена наблюдателей

Скорость звука при 0°С в метрах

Имена наблюдателей

Скорость звука при 0° С в метрах

Академия наук [Франц.] [1738]

Бенценберг (1811) . . .

Голдингхэм (1821) . . .

Бюро Долгот (1822) . . .

Молль и ван Беек . . .

332 /333,7 1332,3

331,1

330,6 332,2

Штампфер и Мирбак . Бравэ и Мартэн (1844) . Вертгейм Стон (1871) Ле-Ру Реньо

332,4

332,4

331,6

332,4

330,7

330,7

В опытах Стона >2) участок, на протяжении которого замерялся звук, начинался на расстоянии 640 футов от источника, так что ошибки, обязанные избыточным возмущениям, были в значительной степени избегнуты.

Босша ) предложил для определения скорости звука метод, не требующий применения больших расстояний. Этот метод зависит от точности, с какою ухо в состоянии определить, одновременны ли два частые тиканья или нет. В форме, приданной опыту Кёнигом ), два маленьких электромагнитных счетчика управляются камертонным прерывателем (§ 64) с периодом в одну десятую долю секунды и дают синхронные тиканья того же самого периода. Когда счетчики находятся рядом, слышимые тиканья совпадают, но когда один счетчик постепенно удаляют от уха, то обе серии тиканий обособляются. Когда разность расстояний составляет около 34 метров, совпадение снова имеет место; это доказывает, что 34 метра составляют приблизительно то расстояние, которое проходит звук за одну десятую долю секунды.

[На основании опытов, сделанных в трубах, Виолль и Вотье б) дают для свободного воздуха 331,10. Результат включает поправку, достигающую 0,68; последняя имеет более или менее теоретический характер, так как представляет собой предполагаемое влияние трубы (0,7 м диаметром).]

1) Bosanquet, Phil. Mag., апрель 1877.

ГЛАВА ХП

КОЛЕБАНИЯ В ТРУБАХ

Мы уже рассмотрели (§ 245) решение нашего основного уравнения, когда потенциал скорости в неограниченной массе жидкости является функцией только одной пространственной координаты. В отсутствии трения введение любого числа неподвижных цилиндрических поверхностей с образующими, параллельными данной координате, не вызвало бы никакого изменения; действительно, даже при отсутствии этих поверхностей жидкость не имеет тенденции двигаться через них. Если одна из цилиндрических поверхностей замкнутая (по отношению к ее поперечному сечению), то мы имеем важную проблему аксиального движения воздуха внутри цилиндрической трубы; это движение, если механические условия на концах трубы заданы, не зависит от того, что происходит вне трубы.

(1)(2)(3)(1)(2)(3)Рассмотрим простое гармоническое колебание; мы знаем (§ 245), что если <р изменяется пропорционально eiHt, то

(1)

(2)

(3)

(1)

(2)

(3)

где , 2л п k = — = — . к а

Решение может быть написано в двух формах:

<р = (Л cos кх -ф- В sin кх) einf,

<р = (Aeikac -}- Be-ik$) eint,

причем в окончательной форме этих уравнений мы удержим только действительные их части. Первая форма наиболее удобна, когда колебание стоячее или близкое к нему, а вторая — когда движение сводится к положительной или отрицательной бегущей волне. Постоянные А и В в символическом уравнении могут быть комплексными, и, таким образом, окончательное выражение в действительных величинах будет заключать четыре произвольные постоянные. Если мы желаем пользоваться действительными величинами на всем протяжении решения, мы должны положить

<р = (A cos кх -ф- В sin кх) cos nt 4- (С cos кх 4~ О sin кх) sin nt, (4)

но при этом выкладки будут, вообще говоря, длиннее. В тех случаях, когда не может возникнуть никаких неясностей, мы будем иногда для краткости опускать или вновь вводить множитель, содержащий время, не упоминая об этом особо. Уравнения, подобные^!), конечно, одинаково справедливы, будет ли подразумеваться этот множитель или нет.

Взяв первое из выражений (3), мы можем написать

о = Д cos kx + В sin kx, |

D(5)

=— kA sin kx-\- kBcos kx. j

Если имеется некоторая точка, в которой ф или дф[дх все время равны нулю, то отношение А : В должно быть действительным, и тогда волна является стоячей, т. е. одинакова по фазе во всех точках одновременно.

Предположим, что в начале координат имеется узел. Тогда при х = 0 д^(дх обращается в нуль—условие, из которого следует В = 0. Таким образом,

ср = A cos kx e'Ht\ — —kA sin kx eint,(6)

TOX»X /

откуда, если заменить А через Pei4 и отбросить мнимую часть, ф = Р cos kx COS (м^-р 0), j

4^- =— kP sin kx cos (nZ —|— 0). | ^) ox 1 7 J

Из этих уравнений мы видим, что д^/дх обращается в нуль всюду, где sin&x = 0, т. е. что кроме начала координат узлы имеются в точках х = -^тк, где т — всякое положительное или отрицательное целое число. В любом из этих мест можно было бы поместить поперек трубы нормально к х бесконечно-тонкие твердые плоские перегородки, нисколько не нарушая движения. Посредине между каждой парой последовательных узлов имеется пучность, т. е. место, где нет изменения давления, так как йр =— р<р, (6) § 244. В любой из этих пучностей можно было бы установить сообщение с внешней атмосферой, не вызывая этим никакого возмущения движения воздухом, проходящим внутрь или наружу. Пучности — места максимальной скорости, а узлы — места максимального изменения давления. Через промежутки длиною X вся картина в точности повторяется.

Если в точке х = I имеется, как и в начале координат, узел, то sin kl = 0, или X — ^lfm, где т— положительное целое число. Самым низким тоном, с каким может звучать воздух, содержащийся в закрытой с обеих сторон трубе длины Z, является, поэтому, тон, который имеет длину волны, равную 2/. Этот вывод хорошо оправдывается независимо от того, каким газом наполнена труба,

но частота, т. е. место тона в музыкальной шкале, зависит также и от природы газа. Период колебания дается выражением

Другие тоны, возможные для трубы, закрытой с обоих концов, имеют периоды, в целое число раз меньшие периода наиболее низкого тона, а вся система образует гармоническую шкалу.

Предположим теперь, — не останавливаясь в настоящий момент на том, как обеспечить такое положение вещей, — что в точке х = I вместо узла имеется пучность. Уравнение (6) дает cos kl— 0, откуда X = 4Z/(2/n-[-1), где т— нуль или целое положительное число. В этом случае самый низкий тон имеет длину волны, равную учетверенной длине трубы, считаемой от узла до пучности, другие же тоны образуют с ним гармоническую шкалу, в которой, однако, отсутствуют все члены четного порядка.

С помощью твердой перегородки нетрудно получить узел в любой желаемой точке трубы, но условие для пучности, требующее, чтобы давление ни при каких обстоятельствах не менялось, можно реализовать только приближенно. В большинстве случаев изменение давления в любой точке трубы можно сделать малым, установив свободное сообщение с внешним воздухом. Таким именно образом Эйлер и Лагранж принимали постоянство давления в качестве условия, которое удовлетворяется на конце открытой трубы. Впоследствии мы возвратимся к проблеме открытой трубы и исследуем с помощью строгих приемов условия, удовлетворяющиеся на открытом конце. Для нашей непосредственной цели достаточно знать — это, впрочем, довольно очевидно, — что открытый конец трубы может рассматриваться как пучность, если диаметром трубы можно пренебречь в сравнении с длиной волны, при условии, что само внешнее давление вблизи открытого конца не меняется по какой- либо причине, не зависящей от движения внутри трубы. Когда имеется некоторый независимый источник звука, то давление у конца трубы такое же, какое было бы в этом самом месте, если бы труба была удалена. Препятствием, не позволяющим удовлетворить условию для пучности в любой желаемой точке, является инерция механизма, требующегося для поддержания давления. Для теоретических целей мы можем не обращать внимания на эту трудность и представить себе лишенный массы поршень, прижимаемый сжатой пружиной, также не имеющей массы. Предположение о наличии пучности у открытого конца трубы равносильно пренебрежению инерцией воздуха, находящегося снаружи.

Мы видели, что если в какой-либо точке трубы существует узел, то должен быть целый ряд таких узлов, расположенных через одинаковые интервалы уХ; далее, что посредине между каждыми двумя последовательными узлами должна быть пучность и

что волна в трубе должна быть стоячей. Такое же заключение справедливо и в случае, когда в какой-либо точке имеется пучность, однако вполне возможно, что в трубе вообще не будет ни узлов, ни пучностей; так, например, обстоит дело в случае, когда движение сводится к положительной или отрицательной бегущей волне. В стоячей волне перенос энергии вдоль трубы не имеет места ни в каком направлении, так как энергия не может проходить через узел или пучность.

Соотношения между длинами открытой или закрытой трубы и длинами волн заключенных в них столбов воздуха можно исследовать также, проследив за движением импульса, под которым понимается волна, заключенная в узких пределах и состоящая из равномерно сжатой или разреженной жидкости. Рассматривая вопрос с этой точки зрения, необходимо тщательно учесть обстоятельства, при которых имеют место различные отражения. Предположим сначала, что импульс перемещается в положительном направлении, к перегородке, закрепленной поперек трубы. Так как энергия, заключенная в волне, не может уйти из трубы, то должна существовать отраженная волна, а то, что эта отраженная волна также является волной сжатия, следует из факта отсутствия потери жидкости. К этому же заключению можно прийти другим путем. Эффект перегородки можно имитировать, введя на одинаковом расстоянии аналогичную волну сжатия, движущуюся в отрицательном направлении. Так как обе эти волны — волны сжатия и распространяются они в противоположных направлениях, то скорости жидкости в обеих волнах равны и противоположны и поэтому нейтрализуют друг друга, когда волны налагаются.

Если распространение отрицательной отраженной волны прерывается второй перегородкой, то происходит такое же отражение, и волна, все еще остающаяся волной сжатия, снова приобретает свое положительное направление. Когда пройденное расстояние равно удвоенной длине трубы, то первоначальное положение вещей полностью восстанавливается, и этот цикл повторяется сам собой неопределенно долго. Мы находим, таким образом, что период в закрытой с обоих концов трубе есть не что иное, как время, необходимое импульсу, чтобы пройти дважды длину трубы.

Случай трубы с одним открытым концом несколько отличается от этого. Дополнительная отрицательная волна, необходимая для имитации эффекта открытого конца, должна, очевидно, быть волной разрежения, способной нейтрализовать положительное давление первичной волны сжатия, и таким образом, в акте отражения волна изменяет свой характер волны сжатия на волну разрежения или волны разрежения на волну сжатия. Иначе можно рассмотреть этот вопрос, заметив, что в положительном импульсе сжатия количество движения направлено вперед и, в отсутствии необходимых сил, не может быть изменено путем отражения. Но

60 КОЛЕБАНИЯ В ТРУБАХ [ГЛ. XII движение количества движения вперед в отраженной отрицательной волне неразрывно связано с состоянием разрежения.

Когда оба конца трубы открыты, перемещающийся по ней взад и вперед импульс полностью восстанавливает свое первоначальное состояние после того, как пройдет дважды длину трубы, испытав в течение этого процесса два отражения; таким образом, соотношение между длиною и периодом здесь такое же, как и в случае трубы, оба конца которой закрыты; когда же один из концов трубы открыт, а другой закрыт, двойного прохождения недостаточно, чтобы замкнуть цикл изменений. Первоначальный характер волны сжатия или волны разрежения может восстановиться лишь после двух отражений от открытого конца, и соответственно этому в данном случае период есть время, требующееся импульсу для того, чтобы пройти четыре раза длину трубы.

После того как соответствующие проблемы были подробно рассмотрены в главе о струнах, уже нет надобности говорить особенно много о сложных колебаниях столбов воздуха. В качестве простого примера мы можем взять случай открытой с одного конца трубы, которая внезапно приводится в состояние покоя в момент времени / = 0, после того как в течение некоторого времени она находилась в движении с постоянной скоростью, параллельной ее длине. Тогда начальным состоянием заключенного в ней воздуха является состояние движения с постоянной скоростью и0, параллельной х, при отсутствии сжатия и разрежения. Если мы примем начало координат на закрытом конце, то общее решение, в силу (7) § 255, будет иметь вид:

ср = (Л1 cos nxt -{- Вх sin nxf) cos кхх 4-

4- (А.а cos n.^t 4- В^ sin n^f) cos kax 4- .. ., (1) где kr = Q-— ^^l* nr — a^r' a Av Bv Aa, B.a, ... —произвольные постоянные.

Так как ср в начальный момент равно нулю для всех значений х, то коэффициенты В должны быть также равны нулю; коэффициенты А определяются из условия, что для всех значений х между 0 и Z

2 krAr sin krx =— «0, (2) где суммирование распространяется на все целые значения г от 1 до оо. Определение коэффициентов А из (2) производится обычным путем. Умножая на sin krxdx и интегрируя от 0 до /, мы получаем

1 ^гду = __ Ио/^г

Полное решение есть поэтому

2ы0 V cos ^г^2ы0 V cos ^г^cos nvt.cos nvt.(4)(4)

2ы0 V cos ^г^

2ы0 V cos ^г^

cos nvt.

cos nvt.

(4)

(4)

Пусть в случае трубы, закрытой у начала координат и открытой с конца х = I, ср = cos nZ будет величиной потенциала у открытого конца, обусловленного внешним источником звука. Определяя Р и 6 в уравнении (7) § 255, мы находим:

cos kx cos klcos kx cos klcos nt.cos nt.(1)(1)

cos kx cos kl

cos kx cos kl

cos nt.

cos nt.

(1)

(1)

Очевидно, что колебание внутри трубы минимальное, когда

cos£Z=rtl, т. е. когда / есть кратное а тогда при х = 1 имеется узел. Когда I—нечетное кратное 4- X, cos kl обращается

в нуль, и тогда, согласно (1), скорость сделалась бы бесконечно большой. В этом случае предположение о том, что давление у открытого конца не зависит от того, что происходит внутри трубы, отпадает, и мы можем только заключить, что колебание, в результате изохронизма, очень велико. Так как при х = 0 имеется 1 .

узел, то там, где х— нечетное кратное ^А, должна получиться

пучность, и мы заключаем, что в случае изохронизма изменение давления у открытого конца трубы, обязанное внешней причине, в точности нейтрализуется изменением давления, обязанным движению внутри самой трубы. Если бы, действительно, у открытого конца имело место изменение давления в целом, то движение, в отсутствии диссипативных сил, должно было бы беспредельно возрастать.

Если мы предположим, что начало является не узлом, а пучностью, то соответствующее решение

??Siti kx sin klSiti kx sin klCOS nt.COS nt.(2)(2)

?

?

Siti kx sin kl

Siti kx sin kl

COS nt.

COS nt.

(2)

(2)

где cp = cos nt — заданное значение ср у открытого конца х — 1. Это выражение становится бесконечным, когда kl—mv, или 1=-^-тХ.

Рассмотрим теперь случай трубы, оба конца которой открыты и подвергаются действию возмущений одинакового периода, для которых ср равно соответственно Heult, Ketnt. Если только возмущения у концов не находятся в одной и той же фазе, то, по крайней мере, один из коэффициентов Н, К должен быть комплексным.

Беря (3) § 255 в первой форме, мы имеем в качестве общего решения для ср:.

' ср = eint (Л cos кх -ф- В sin kx).

Если мы возьмем начало координат в середине трубы и примем, что значения Heiut, Keint отвечают соответственно х = Z, х = — /,

то мы получим для определения А и В выражения Н = A cos hl 4~ В sin hl, К = A cos hl — В sin hl, откуда

(3)(4)(3)(4)л_ н+к „ н-к

(3)

(4)

(3)

(4)

2 cos kl ’2 sin kl ’

что дает

ш HsinkVA-^A-K sin k(l — x)sin 2kl

Этот результат можно вывести также из (2), если учесть, что требуемое движение возникает в результате наложения движения, обязанного возмущению Heint, которое вычислено в предположении, что у другого конца, х = — /, находится пучность, на движение, обязанное возмущению Ке"г1 и выведенное в предположений, что пучность находится на конце х = I.

Колебание, выраженное (4), не может быть стоячим, если только отношение Н*. /Сне является действительным числом, т. е. если возмущения на концах одинаковы или противоположны по фазе. Отсюда, если исключить оговоренные случаи, мы получим, что пучности нигде нет, а поэтому нет места, в котором можно было бы присоединить ответвление трубы, вдоль которого звук не будет распространяться ’).

В середине трубы, для которой х — О,

Это показывает, что изменение давления (пропорциональное <р) обращается в нуль, если Н-\- /С=0,т. е. если возмущения на концах равны и противоположны по фазе. Если же это условие не удовлетворено, то выражение становится бесконечным, когда 2/ = = |(2/и+1)Х.

В точке, отстоящей на — л от середины трубы, выражение для ф имеет вид: н—к

Ф = ~ — .. eint; (6) ~ 2 sin kl х '

оно обращается в нуль, когда Н—К, т. е. когда возмущения на концах равны и находятся в одинаковой фазе. Вообще, ф становится бесконечно большим, когда sin hl = 0 или 21 = т\.

1) Устройство этого рода было предложено проф. Мейером (Phil. Mag., том XLV, стр. 90, 1873) для сравнения интенсивностей источников звука одной и той же высоты. Каждый из концов трубы подвергается воздействию одного из сравниваемых источников звука, и расстояния при этом подбираются до тех пор, пока амплитуды колебаний, обозначенные через Н и К, не будут равны. Труба, служащая ответвлением, проводится к манометрической коробке (§ 262); в этом методе предполагается, что переменой точки присоединения можно устранить возмущение пламени. Из обсуждения вопроса в тексте видно, что это допущение теоретически не является правильным.

Если на одном конце неограниченной трубы происходит изменение давления, обязанное внешнему источнику, то внутрь трубы от этого конца будет распространяться цуг бегущих волн. Таким образом, если длина вдоль трубы, измеряемая от открытого конца, есть у, потенциал скорости выражается через ф=соз(^—nyldy, это соответствует <р = cos nt для-у = 0, так что, если причиной возмущения внутри трубы будет прохождение цуга бегущих волн через ее открытый конец, то интенсивность внутри трубы будет та же, что и во внешнем пространстве. Не следует забывать, что диаметр трубы предполагается бесконечно малым в сравнении с длиной волны.

Предположим теперь, что источник движения находится внутри самой трубы, например, что он обязан принудительному движению поршня в начале координат г). Постоянные в (5) § 255 должны быть определены из условий, скажем, д<о(дх = cos nt для х = О и <р = 0 для х = I. Таким образом, kA =— tg^Z, £5=1, и выражение для <р имеет вид:

sinACy-Z)

у к cos ktv4

Движение имеет минимум, когда cos&/ = dzl, т. е. когда длина трубы кратна -к А.

21

При /, равном некоторому нечетному кратному -^ А, место, занимаемое поршнем, было бы узлом, если бы открытый конец был действительно пучностью, но в этом случае решение теряет смысл. Выход энергии из трубы не позволяет энергии скапливаться за определенной точкой; однако это можно не учитывать до тех пор, пока открытый конец рассматривается строго как пучность. Мы возвратимся к вопросу о резонансе после того, как рассмотрим подробнее теорию открытого конца, когда мы будем в состоянии трактовать ее более удовлетворительным образом.

Равным образом, если точка х = 1 является узлом, а не пучностью, выражение для ф имеет вид:

cos A

‘ к sin kl ’v

и, таким образом, движение имеет минимум, когда I—нечетное кратное -^л, а тогда начало является пучностью. При I четном кратном -^-А, начало должно было бы быть узлом, что запрещено условиями задачи. В этом случае, согласно (8), скорость становится бесконечной, а это означает, что лишь наличие диссипативных сил препятствует беспредельному возрастанию колебания.

Экспериментальное исследование воздушных воли в трубах было выполнено со значительным успехом Кундтом 1). Получать волны довольно легко; не так легко, однако, изобрести метод, с помощью которого можно было бы их соответствующим образом исследовать. Кундт открыл, что узлы стоячих волн можно сделать видимыми при помощи пыли. Небольшое количество мелкого песка или семян ликоподия, насыпанное внутри стеклянной трубы, заключающей колеблющийся столб воздуха, располагается в виде периодически повторяющихся сгущений, по которым легко определить положения узлов и измерить интервалы между ними. В экспериментах Кундта звук возникал в результате продольных колебаний стеклянной трубы, носившей название звучащей трубы, а пыльные фигуры образовывались во второй, более широкой, трубе, носившей название волновой трубы; последняя была снабжена подвижной пробкой, позволявшей изменять ее длину. Другой конец волновой трубы был закрыт пробкой, через которую проходила на половину своей длины звучащая труба. Посредством трения звучащую трубу заставляли колебаться с частотой самого низкого ее тона, так что центральная ее точка была узловой, а ее внутренний конец (закрытый пробкой) возбуждал воздушные колебания в волновой трубе. С помощью пробки длину столба воздуха можно было подобрать так, чтобы сделать колебания возможно более сильными, что происходит тогда, когда расстояние между пробкой и концом звучащей трубы кратно половине длины волны звука.

С этим аппаратом Кундту удалось произвести сравнение длин волн одного и того же звука в различных газах, откуда сразу же получаются относительные скорости распространения; результаты, однако, не были полностью удовлетворительными. Было найдено, что интервалы повторяемости пыльных фигур не равны строго друг другу и, что еще хуже, что высота звука не была постоянной от одного опыта к другому. Удалось обнаружить, что эти недостатки обязаны передаче движения волновой трубе через пробку, вносившую возмущения в пыльные фигуры, высота же была непостоянной из-за неизбежных вариаций в установке аппарата. Чтобы устранить их, Кундт заменил пробку, которая давала слишком жесткое соединение между трубами, слоями листовой резины, обмотанными шелком; он получил этим путем гибкое и совершенно воздухонепроницаемое соединение, а чтобы избежать риска неточного сравнения длин волн благодаря возможному изменению высоты, он перестроил аппарат так, чтобы в нем можно было возбуждать две системы пыльных фигур одновременно при помощи одного и того же звука. Другое преимущество нового метода состояло в исключении температурных поправок.

Ч Kundt, Pogg. Ann., том CXXXV, стр. 337, 1868.

В усовершенствованном «двойном аппарате» звучащую трубу заставляли, возбуждая ее трением вблизи середины, колебаться в ее втором тоне*, узлы образовывались, таким образом, в точках, отстоящих от концов трубы на одну четверть ее длины. В каждой из этих точек было осуществлено соединение с независимой волновой трубой, снабженной перемещающимся поршнем и ответвляющимися трубами с кранами для впуска различных газов. Очевидно, пылевые фигуры, образующиеся в обеих трубах, строго соответствуют одной и той же частоте и поэтому сравнение промежутков повторяемости фигур приводит в условиях опыта к точному определению скоростей распространения звука для двух газов, которыми наполнены трубы. Результаты, к которым пришел Кундт, были следующие:

Скорость звука в трубе уменьшается с ее диаметром. Выше некоторого определенного диаметра изменение, однако, неощутимо.

Уменьшение скорости возрастает с длиной волны применяемого тона.

Порошок, рассыпанный в трубе, уменьшает скорость звука в узких трубах, в широких же никакого влияния не оказывает.

В узких трубах эффект порошка возрастает, когда он очень тонко измельчен и поэтому сильно возбуждается.

Шероховатость внутренней поверхности узкой трубы или увеличение ее поверхности уменьшают скорость.

(/) В широких трубах эти изменения скорости несущественны и не препятствуют применению метода для точных определений.

Влияние интенсивности звука на скорость не может быть доказано.

А) Длины волн всех тонов трубы, за исключением первого, измеряемые по пылевым фигурам, не зависят от формы возбуждения.

(/) В широких трубах скорость не зависит от давления, в узких же с давлением возрастает.

(у) Все наблюденные изменения скорости обязаны трению и особенно теплообмену между воздухом и стенками трубы.

6) Скорость звука при 100° точно совпадает с результатами теории !).

Мы еще возвратимся к вопросу о распространении звука в узких трубах, на которое влияют причины, упомянутые выше (у), и исследуем затем формулы, данные Гельмгольцем и Кирхгоффом.

[Происхождение своеобразной поперечной ребристости, которая является основной чертой пылевых фигур, уже было рассмотрено в § 2536. Согласно наблюдениям Дворжака ) мощные колебания,

Судя по некоторым выражениям в уже цитированном мемуаре, из которого, в основном, взяго изложенное в тексте, Кундт как будто намеревался продолжить свои исследования; я, однако, не мог найти каких- либо более поздних его статей по этому вопросу.

которые происходят в трубе Кундта, сопровождаются некоторыми средними движениями газа. Так, вблизи стенок имеется поток от пучностей к узлам, а во внутреннем пространстве — обратный поток, от узлов к пучностям. Это является следствием вязкости, действующей с особенной силой на части жидкости, смежные со стенками 1). Нам, может быть, еще удастся возвратиться к этому вопросу в одной из дальнейших глав.]

В опытах, описанных в предыдущем разделе, колебания воздуха являются вынужденными, так как высота определяется внешним источником, а не (в сколько-нибудь значительной степени) длиной столба воздуха. Правда, строго говоря, все незатухающие колебания являются вынужденными, так как свободные колебания не могут продолжаться без затухания, если только трение не отсутствует полностью, т. е. если случай не идеальный. Тем не менее практически важно отличать колебания столба воздуха, возбуждаемые продольно колеблющимся стержнем или камертоном, от таких колебаний, как колебания органной трубы или поющего пламени. В последних случаях высота звука зависит, главным образом, от длины столба воздуха, функции же воздушного потока или пламениа) заключаются только в восстановлении энергии, потерянной вследствие трения и сообщения с внешним воздухом. Воздух в органной трубе следует рассматривать как столб, колеблющийся почти свободно, причем нижний конец, через который проходит струя воздуха, трактуется грубо как открытый, а верхний конец — как открытый или закрытый, смотря по тому, что имеет место. Так, длина волны основного тона закрытой трубы в четыре раза больше длины трубы, и по всей длине трубы, за исключением концов, здесь нет ни узла, ни пучности. Обертоны трубы—нечетные гармоники: дуодецима, большая терция и т. д,, соответствующие различным подразделениям столба воздуха. Например, в случае дуодецимы имеется узел в точке трисекции, ближайшей к открытому концу, и узел в другой точке трисекции, посредине между первой и закрытым концом трубы.

В случае открытой органной трубы оба ее конца являются пучностями, и поэтому должен иметься, по меньшей мере, один внутренний узел. Длина волны основного тона равна удвоенной длине трубь1| которая разделяется на две одинаковые части узлом в середине. В этом заключается объяснение обычного правила, согласно которому высота звука открытой трубы та же самая,

«О циркуляции воздуха, наблюдаемой в трубах Кундта, и о некоторых родственных акустических задачах», Phil. Trans., том CLXXV, стр. 1, 1884,

Вопрос о чувствительных пламенах с трубами и без труб рассматривается довольно подробно проф. Тиндалем в его труде о звуке; однако механизм этого рода явлений исследован еще очень несовершенно. Мы возвратимся к нему в следующей главе.

что и у закрытой трубы вдвое меньшей длины. По причинам, которые будут полнее объяснены в одной из следующих глав и которые связаны с приведенной выше несовершенной трактовкой трубы с открытым концом, правило это справедливо лишь приближенно. Открытая труба, отличаясь в этом отношении от закрытой, способна издавать полную серию тонов, образующих гармоническую шкалу, основанную на ее главном тоне. В случае октавы имеется пучность в центре трубы и узлы в точках, расположенных посредине между центром и краями.

Так как частота колебания в трубе пропорциональна скорости распространения звука в газе, которым заполнена труба, то сравнение высот нот, полученных от одной и той же трубы при наполнении различными газами, является очевидным методом определения скорости распространения звука в тех случаях, когда невозможность получения достаточно длинного столба газа препятствует применению прямого метода. Путь в этом направлении проложил, со свойственной ему проницательностью, Хладни. Этим же вопросом позднее занимались Дюлонгг) и Вертгейма), получившие вполне удовлетворительные результаты.

Состояние воздуха внутри органной трубы было исследовано экспериментально Саваром ); он помещал в трубу небольшую натянутую мембрану, на которой было насыпано немного песка. Вблизи узла песок оставался практически невозмущенным, но в остальных участках он приходил в колебания, тем более энергичные, чем ближе эти участки были расположены к пучности. Гораздо более поразителен, однако, эксперимент, придуманный Кенигом. В этом опыте указателем колебания служит небольшое газовое пламя, питаемое через трубку, которая сообщается с полостью, носящей название манометрической коробки. Эта полость ограничена с одной стороны мембраной, на которую действует колеблющийся воздух. Когда мембрана колеблется, вследствие чего емкость коробки делается переменной, приток газа делается непостоянным, а пламя становится прерывистым. Период колебания, конечно, слишком мал, чтобы эта прерывистость обнаружилась, когда пламя наблюдается непосредственно. Покачивая головой или при помощи подвижного зеркала, можно разложить его на более или менее отдельные изображения; но даже и без разложения непостоянный характер пламени ясен из его общего вида. В опытах с органными трубами одна или несколько коробок монтируются на трубе таким образом, чтобы мембраны находились в соприкосновении с колеблющимся столбом воздуха; различие в пламени очень заметно, в зависимости от того, расположена ли соответствующая коробка в узле или в пучности.

До сих пор мы предполагали трубу прямой, но легко представить себе, что это обстоятельство, когда поперечное сечение мало и площадь его не меняется, не имеет большого значения. Представим себе кривую ось х, идущую посредине трубы, и пусть постоянное сечение, перпендикулярное к этой оси, есть S. Когда наибольший диаметр сечения Sочень мал сравнительно с длиной волны звука, потенциал скорости ср становится почти неизменным в пределах сечения; прилагая теорему Грина к пространству, ограниченному внутренней поверхностью трубы и двумя поперечными сечениями,

мы получаеммы получаем//J v2?^^ * А//J v2?^^ * А

мы получаем

мы получаем

//J v2?^^ * А

//J v2?^^ * А

Но, в силу общего уравнения движения,

<р (/У=— — <odx, т a2 dt^ J 1

и в пределе, когда расстояние между сечениями стремится к нулю,

^dx, А^dx, А™ dx, дх^™ dx, дх^

^dx, А

^dx, А

™ dx, дх^

™ dx, дх^

(1)(1)так что

(1)

(1)

dZ2 дх^'

а это показывает, что зависимость ср от х такая же, как и для прямой трубы. С помощью уравнения (1) легко исследовать колебания воздуха в кривых трубах постоянного сечения; результаты являются строгими следствиями наших основных уравнений, которые не учитывают трения, когда сечение предполагается бесконечно малым. В случае тонких труб, какие употреблялись бы в экспериментах, описанные результаты, во всяком случае, достаточны, чтобы дать очень хорошее представление о том, что происходит в действительности.

Мы перейдем теперь к рассмотрению некоторых случаев связанных труб. На фиг. 55 AD представляет тонкую трубу, которая

разделяется в D на две ветви DB и DC. В Е ветви соединяются снова и образуют одну трубу ЕЕ. Сечения труб AD и ЕЕ и их ветвей предполагаются постоянными, а также очень малыми.

Предположим сначала, что в А вступает положительная волна произвольного типа. По приходе к разветвлению D она дает две положительные волны: в В и в С и, если только не удовлетворено некоторое определенное условие, отраженную отрицательную волну в А. Обозначим потенциалы положительных волн через /а, /в, /с» f в каждом случае некоторая функция х— at; потенциал отраженной волны пусть будет F (х -]- aty Тогда условия, которые должны быть удовлетворены в D, сводятся к тому, что, во-первых, давления для всех трех труб должны быть одинаковы и, во-вторых, полная скорость жидкости в А должна быть равна сумме полных скоростей жидкости в В и в С. Таким образом, пользуясь буквами А, В, С для обозначения площадей сечений, мы имеем, § 244,

AВ= f1Z.S

Л(/^ + П = ^ + С/^, J1 j

откуда

р' — В-V С — А /~ В-У С-у A

Гв=Гс = вТ^Га^(З)1)

Очевидно, что /5 и /с всегда одинаковы. Отражения нет, если

ВЦ-С = А,(4)

т. е. если соединенные сечения ветвей равны сечению главной трубы; а когда это условие удовлетворено,

/в=/с = /а-(5)

Волна перемещается тогда в В и С точно так же, как это она делала бы в А, не будь здесь перерыва. Если длины ветвей между D и Е равны и сечение F равно сечению А, то волны по приходе в Е соединяются в одну волну, распространяющуюся вдоль F, и здесь опять не происходит отражения. Таким образом, разделение трубы не дало абсолютно никакого эффекта, а так как то же самое было бы верно и для отрицательной волны, идущей от F к Л, то мы можем вообще заключить, что трубу можно разделить на две или более ветвей одинаковой длины, и это нисколько не повлияет на законы воздушного колебания, если только общее сечение останется постоянным. Если длины ветвей от D до Е неравны, то результат будет иной. Кроме положительной волны в F будут иметься вообще и отраженные отрицательные волны в В и С. Наиболее интересный случай — это, когда волна гармонического типа и

9 Эти формулы, в применении к определению отраженной и преломленной волн в месте соединения двух труб с сечениями В -у С и А соответственно, даны Пуассоном, Mem. de rinstitut, том II, стр. 305, 1819. Читатель не должен забывать, что оба диаметра должны быть малы по сравнению с длиной волны.

одна из ветвей длиннее, чем другая, на величину, кратную к.

Если разность есть четное кратное X, то результат будет такой же, как если бы ветви были одинаковой длины, и никакого отражения не произойдет. Предположим, однако, что хотя сечения В и С одинаковы, одна из ветвей длиннее другой на величину, равную нечетному кратному -^-Х. Так как волны приходят в Е в противоположных фазах, то из соображений симметрии следует, что положительная волна в F должна исчезнуть и что давление в Е, которое необходимо одинаково для всех труб, должно быть постоянным. Волны в В и С отражаются, следовательно, как от открытого конца. Обнаружить, что условия вопроса таким путем удовлетворены, можно еще, предположив, что вблизи Е, поперек трубы F, помещена перегородка так, чтобы трубы В и С сообщались без изменения сечения. Волна в каждой трубе будет тогда без помехи проходить в другую, а изменение давления в Е, будучи результирующей равных и противоположных компонент, обратится в нуль. Но тогда перегородку можно удалить, не нарушая условий, и вдоль F не будет распространяться никакой волны, каково бы ни было сечение этой трубы. Рассматриваемое нами сейчас устройство было придумано Гершелем и использовано Квинке и другими для экспериментальных целей — применение, которое впоследствии мы будем иметь случай описать. Само это явление часто приводится в качестве примера интерференции, против чего, конечно, нечего возразить, но этого нельзя уже сказать, когда читателя побуждают предположить, что положительные волны в F нейтрализуют друг друга, и что этим все кончается. Не следует забывать, что при интерференции нет потери энергии, а только происходит ее перераспределение; если энергия и уходит из одного места, то она появляется взамен в другом. В настоящем случае положительная волна в А несет с собой энергию. Если волны вдоль F нет, то имеются две возможности: энергия накапливается в ветвях, или же она идет назад, вдоль А, в форме отрицательной волны. Для того чтобы видеть, что происходит в действительности, проследим за распространением волн, отраженных в Е назад.

Эти волны одинаковы по амплитуде и исходят от Е в противоположных фазах; при переходе от Е до D одна из них должна поойти расстояние, большее на некоторое нечетное кратное -^-Х, чем другая, и поэтому по приходе в D они должны оказаться полностью совпадающими. При этих условиях они соединяются в одну волну, которая распространяется в отрицательном направлении вдоль А, и здесь нет никакого отражения. Когда отрицательная волна достигает конца трубы А или подвергается какому-либо иному возмущению на

своем пути, то вся она, или часть ее, может отразиться, и тогда процесс повторяется. Но как бы часто это ни происходило, вдоль F волны

не будет, если только в результате накопления, вследствие совпадения периодов, колебание в ветвях не станет настолько большим, что малой его долей далее пренебрегать будет нельзя.

Мы можем рассуждать еще и следующим образом. Предположим,

что труба F разделена перегородкой, как прежде. Движение в кольце, будучи обязано силам, действующим в D, необходимо симметрично относительно D и D' — точки, которая делит DBCD на равные части. Поэтому в D' находится узел, и колебание — стоячее. Если это так, то

в точке Е, отстоящей в ту или иную сторону на 4 А от D , должна находиться пучность; и если даже перегородку удалить, то в F все равно не будет тенденции к возникновению колебания. Если периметр кольца кратен А, то в нем может существовать колебание данного периода независимо от всяких боковых отверстий.

Аналогичным образом можно рассматривать и всякую другую комбинацию связанных труб. Общий принцип заключается в том, что в каждом месте соединения можно взять объем достаточно большой, чтобы он заключал в себе область, где отсутствие однород

ности влияет на закон волн, и все же

настолько малый, чтобы наибольшим из его размеров можно было еще пренебречь сравнительно с А. При этих условиях жидкость внутри данного объема можно рассматривать так, как если бы длина волны была бесконечно большой или сама жидкость несжимаемой; в по

следнем случае ее потенциал удовлетворял бы уравнению Va<p = 0, следуя законам, аналогичным законам электрических явлений.

Когда сечение трубы переменно, проблема колебаний воздуха

внутри нее в общем случае не может фиг- 57.быть решена. Случай конических

труб будет рассмотрен в одной из последующих глав. Здесь же мы исследуем приближенное выражение для высоты звука в почти цилиндрической трубе, взяв сначала случай, когда оба конца закрытые. Метод, который будет здесь применен, аналогичен методу, при

менявшемуся для струны, плотность которой не вполне постоянна (§§ 91, 140). Этот метод основывается на принципе, согласно которому период собственного колебания должен удовлетворять условию

стационарности и поэтому может быть вычислен из потенциальной и кинетической энергий некоторого гипотетического движения, не слишком сильно отличающегося от действительного типа. В согласии с этим планом, мы будем принимать, что скорость, нормальная к некоторому сечению S, постоянна в пределах сечения, что должно быть очень близко к истине, когда изменение S происходит медленно. Пусть X представляет собой полный перенос (поток) жидкости за время t через сечение при х, отсчитываемом от состояния равновесия; тогда X представляет полную скорость потока, a X]S — действительную скорость частиц жидкости, так что кинетическая энергия движения внутри трубы выражается в виде:

(1)(1)Т=2? I "SdX"

(1)

(1)

Потенциальная энергия § 245 (12) выражается вообще в виде

^dV,

или, так как dV = S dx, через

Но, в силу условияНо, в силу условияи, таким образом,и, таким образом,V = у а3р ^ Ss3 dx.непрерывности, _ — 1 ^ S S дхV = у а3р ^ Ss3 dx.непрерывности, _ — 1 ^ S S дх(2)(2)(3)(3)Если мы примемЕсли мы примем(4)(4)получаем при постоянном S, именно v . кх , X = sin — cos nt,то получим из значений Т и V (1) и (4)получаем при постоянном S, именно v . кх , X = sin — cos nt,то получим из значений Т и V (1) и (4)теперь для X выражение того же вида, какоетеперь для X выражение того же вида, какое(5)(5)„ кх dx , J C0SJ т т а2л2 оП — 12 I-„ кх dx , J C0SJ т т а2л2 оП — 12 I-(6)(6)Г , о кх dxsin2 — —оили, если напишем S=S0-]-AS и пренебрежем квадратом Д5,Г , о кх dxsin2 — —оили, если напишем S=S0-]-AS и пренебрежем квадратом Д5,№№<Z2TC2<Z2TC2оо2кг AS dxCOS Л S^ Л2кг AS dxCOS Л S^ Л(7)(7)

Но, в силу условия

Но, в силу условия

и, таким образом,

и, таким образом,

V = у а3р ^ Ss3 dx.

непрерывности, _ — 1 ^ S S дх

V = у а3р ^ Ss3 dx.

непрерывности, _ — 1 ^ S S дх

(2)

(2)

(3)

(3)

Если мы примем

Если мы примем

(4)

(4)

получаем при постоянном S, именно v . кх , X = sin — cos nt,

то получим из значений Т и V (1) и (4)

получаем при постоянном S, именно v . кх , X = sin — cos nt,

то получим из значений Т и V (1) и (4)

теперь для X выражение того же вида, какое

теперь для X выражение того же вида, какое

(5)

(5)

„ кх dx , J C0SJ т т а2л2 о

П — 12 I-

„ кх dx , J C0SJ т т а2л2 о

П — 12 I-

(6)

(6)

Г , о кх dxsin2 — —

о

или, если напишем S=S0-]-AS и пренебрежем квадратом Д5,

Г , о кх dxsin2 — —

о

или, если напишем S=S0-]-AS и пренебрежем квадратом Д5,

№

№

<Z2TC2

<Z2TC2

о

о

2кг AS dx

COS Л S^ Л

2кг AS dx

COS Л S^ Л

(7)

(7)

Этот результат удобно выразить через А/, поправку, которую нужно внести в /, чтобы высоту звука можно было вычислять по обычной формуле, как если бы S было постоянно. Значение А/ определяется формулой

i

А/ = f cos dx.(8)

О

Эффект изменения сечения наибольший вблизи узла или вблизи пучности. Расширение сечения в первом случае понижает высоту, во втором случае — повышает ее. В точках, расположенных посередине между узлами и пучностями, незначительное изменение сечения не дает никакого эффекта. Высота, таким образом, решительно изменяется при расширении или сжатии вблизи середины трубы, однако влияние незначительной коничности было бы гораздо меньшим.

Выражение (8) для А/ в этом виде приложимо только к самому низкому тону; мы можем, однако, прилагать его к m-му тону гармонической шкалы, видоизменив его путем замены cos (2кх//) через cos (2m~x/7).

В случае трубы, открытой с обоих концов, (5) заменяется выражением

X = cos ^ cos nt,(9)

что приводит к формуле

А/ = — cos-r-^-dx(10)

о

вместо (8). Высота звука на этот раз повышается расширением на концах или сжатием в середине трубы, и, как прежде, на нее не влияет небольшая общая коничность (§ 281).

Случай бегущих волн, движущихся в трубе переменного сечения, также интересен. В общей форме эта задача была бы очень трудной, но если изменение сечения достаточно постепенно, так что значительного изменения не происходит на протяжении многих длин волн, то принцип энергии приведет нас к приближенному решению. Нетрудно видеть, что в предположенном случае заметного отражения волны на каком-либо участке ее пути не будет и что поэтому энергия движения должна оставаться неизменной т). Но мы знаем, § 245, что для данной площади фронта волны энергия цуга простых волн пропорциональна квадрату амплитуды, откуда следует, что по мере распространения волн амплитуда колебания изменяется обратно пропорционально корню квадратному из сечения трубы. Во всех остальных отношениях характер колебания остается абсолютно

Э Phil. Mag. (5), том I, стр. 261, 1876.

неизменным. Из этих результатов мы можем получить общее представление о действии слуховой трубки. Очевидно, что согласно обычным приближенным уравнениям не существует предела для концентрации звука, происходящей в трубе с постепенно уменьшающимся сечением.

Этот же самый метод применим, когда плотность среды медленно изменяется от точки к точке. Так, например, амплитуда звуковой волны, перемещающейся вверх в атмосфере, может быть определена из условия, что энергия остается неизменной. Из § 245 видно, что амплитуда изменяется обратно пропорционально квадратному корню из плотности 2).

9 Здесь возникает деликатный вопрос об окончательной судьбе звуковых волн, распространяющихся вверх. Следует заметить, что в разреженном воздухе гасящее действие вязкости сильно возрастает.

ГЛАВА XIII

ЧАСТНЫЕ ЗАДАЧИ. ОТРАЖЕНИЕ И ПРЕЛОМЛЕНИЕПЛОСКИХ ВОЛН

Прежде чем приступить к исследованию общих уравнений воздушных колебаний, сосредоточим наше внимание на некоторых частных задачах, относящихся, главным образом, к движению в двух измерениях и допускающих строгое и тем не менее сравнительно простое решение. Таким образом, читатель, впервые знакомящийся с предметом, сможет несколько освоиться с применяемыми здесь идеями и методами, перед тем как приступить к преодолению более грозных трудностей.

В предыдущей главе (§ 255) мы исследовали колебания в одном измерении, которые могут происходить параллельно оси трубы, оба конца которой закрыты. Исследуем теперь, какие колебания возможны внутри замкнутого прямоугольного ящика, отказавшись от того ограничения, что движение должно быть только в одном измерении. Для каждого простого колебания, возможного в данной системе, <р изменяется как круговая функция времени, скажем, cos kat, где &— некоторая постоянная; отсюда у ■=—k^a2^, и поэтому, в силу общего дифференциального уравнения (9) § 244,

Va<p + №у = 0. (1)

Уравнение (1) должно быть удовлетворено всюду в заключенном внутри ящика объеме. Условие на поверхности, которое должно быть удовлетворено на шести гранях ящика, есть просто

Й = °- <2)

где dn представляет собой элемент нормали к поверхности. Удовлетворить (1) и (2) одновременно возможно только при особых значениях k.

Примем три ребра, встречающиеся в одной вершине, за оси прямоугольных координат и положим, что длины ребер равны,

соответственно, а, р, ^. Мы знаем (§ 255), что

( Т-У\ о = cos \q ~ ,V s /( Т-У\ о = cos \q ~ ,V s // ^zx

( Т-У\ о = cos \q ~ ,

V s /

( Т-У\ о = cos \q ~ ,

V s /

У = cos г — ,' X 7 /

где р, q, г — целые числа, являются частными решениями задачи. Уравнение (2) удовлетворяется любой из этих форм, а при условии, что /г равно рт^а, q-]^ или гт^, как это может иметь место, удовлетворяется также и уравнение (1). Равным образом очевидно, что условие на границе (2) удовлетворяется на всей поверхности формой

(3)(3)/ "ХХ / ДУХ ( T.ZФ = COS \р — COS 7 cos г —' \ а / X р / X 7

(3)

(3)

которая удовлетворяет также (1), если fe взято таким, что

(4)(4)

(4)

(4)

где р, q, г, как и прежде, — целые числа :).

Общее решение, полученное сложением всех частных решений, охватываемых (3), есть

ф = 222 И cos feat -4

4- 5 sin feat') • cos (p — J • cos (7 ) • cos \r — V (5) 17 X a / X £ / X 7 /

где А и В — произвольные постоянные, и суммирование распространяется на все целые значения р, q, г.

Это решение достаточно общее, чтобы охватить случай любого такого начального состояния внутри ящика, при котором отсутствует молекулярное вращение. Начальное распределение скоростей зависит от начального значения ср, или J (uodx-\-*uody-\--w^dz), и по теореме Фурье может быть представлено в виде (5), если приписать соответствующие значения коэффициентам А. Подобным же образом можно представить произвольное начальное распределение сжатия (или разрежения), зависящее от начального значения ср, если приписать соответствующие значения коэффициентам В.

Настоящее исследование можно изложить несколько иначе, если предположить, в согласии с теоремой Фурье, что общее значение ср в момент t может быть выражено в форме

<Р = 222с cos (р—) • cos (q^\ • cos (г —),

где коэффициенты С могут зависеть от t, но не от х, у, z. Тогда можно было бы образовать выражения для Т и V и показать, что они заключают только квадраты коэффициентов С, а из этих выраже-

i) Duhamel, Liouville Journ. Math., том XIV, стр. 84, 1849.

ний вытекли бы нормальные уравнения движения, связывающие каждую нормальную координату С с временем.

Колебание наинизшей частоты — то, в котором все движение параллельно наибольшему измерению ящика и нет внутреннего узла.

Таким образом, если а наибольшее из трех ребер а, ^, у, то мы должны взять р=\, q = 0, г = 0.

В случае кубического ящика а = ^ = у, и тогда вместо (4) мы имеем:

*=5(ps+?a+r3)’<>

или, если X — длина волны для плоских волн того же самого периода,

х.(7)

"УРл 4" Ч^ 4"г2

Для самого медленного колебания (низкого тона) р=1, 7 = 0, г = 0 или р = 0, 7=1, г=0 и т. д. и Х = 2а. Следующий из наиболее низких тонов, когда р=1, 7 = 1, г=0 и т. д., и тогда г-

л=у2а. Когда р = 1, 7=1, г = 1, Х = ^=- Для четвертого тона снизу р = 2, 7 = 0, г = 0 и т. д., а тогда л = 4а.

Как и в случае мембраны (§ 197), когда два или больше основных типов колебания имеют один и тот же период, другие колебания данного периода могут быть получены путем наложения. Тройной бесконечный ряд возможных простых составляющих колебаний не обязательно полностью представлен в частных случаях сложных колебаний. Если, например, мы предположим, что содержимое ящика в начальном состоянии нигде не сжато и не разрежено и имеет одинаковую скорость, компоненты которой, параллельные осям координат, равны соответственно и0, vQ, wQ, то мы не получим ни одного простого колебания, для которого свыше, чем одно из трех чисел р, q, г конечно. Действительно, каждая компонента начальной скорости может рассматриваться отдельно, и задача аналогична той, которая решена в § 258.

В дальнейших главах мы встретимся с другими примерами воздушных колебаний в совершенно замкнутых сосудах.

Некоторые из собственных нот воздуха, содержащегося в комнате, можно, вообще говоря, обнаружить, если пропеть гамму. Вероятно, до некоторой степени таким путем слепые способны оценивать размеры комнат1).

В длинных и узких проходах колебания, параллельные их длине, слишком медленны, чтобы действовать на ухо, но ноты, обязанные поперечным колебаниям, часто можно слышать. Относительные пропорции различных обертонов зависят от места, в котором создается возмущение1).

В некоторых случаях этого рода на высоту колебаний, направле

ние которых, в основном, поперечное, влияет наличие продольного движения. Предположим, например, в (3) и (4), что q=V г = 0 и что а значительно больше, чем р. Для основного поперечного

колебания р = 0 иколебания р = 0 иk =k =Но кроме этого имеются колебанияНо кроме этого имеются колебаниядругого типа, в которых движение, в основном, поперечное; мы получаем их, приписывая р малые целые значения. Так, когда р= 1,другого типа, в которых движение, в основном, поперечное; мы получаем их, приписывая р малые целые значения. Так, когда р= 1,

колебания р = 0 и

колебания р = 0 и

k =

k =

Но кроме этого имеются колебания

Но кроме этого имеются колебания

другого типа, в которых движение, в основном, поперечное; мы получаем их, приписывая р малые целые значения. Так, когда р= 1,

другого типа, в которых движение, в основном, поперечное; мы получаем их, приписывая р малые целые значения. Так, когда р= 1,

— выражение, показывающее, что высота почти такова же, как и прежде2).

Если мы предположим у бесконечно большим, то ящик предыдущего раздела превращается в бесконечную прямоугольную трубу со сторонами аир. Каково бы ни было движение воздуха внутри этой трубы, его потенциал скорости можно выразить по теореме Фурье в виде ряда

? = ApqC0SP^(I)

где коэффициенты А не зависят от х и у. Пользуясь этой формой, мы обеспечиваем выполнение граничного условия, требующего отсутствия движения через стенки трубы; природа А, как функции z и /, зависит от других условий задачи.

Рассмотрим случай, в котором движение в каждой точке гармоническое и обязано нормальному движению, сообщаемому перегородке, помещенной поперек трубы при г = 0. Принимая, что ф пропорционально во всех точках eikat, мы получаем обычное дифференциальное уравнение

дхг 1 оу2 1 02л 1 х '

которое в силу свойства сопряженности функций *) должно удовлетво-

Oppel, «Die harmonischen Obertdne des dutch parallele Wande erreg- ten Reflexionstones», Fortschritte der Physik, XX, стр. 130.

a) В моем доме есть подземный коридор, в котором можно, пропев надлежащую ноту, возбудить свободные колебания, продолжающиеся много секунд, и часто случается, что звучащая нота сопровождается отчетливыми биениями. Ширина коридора около 4 футов, высота около 6^ футов.

ряться в отдельности каждым членом (1). Таким образом, для определения Apq в функции х мы получаем

d^A^n Г/ п2/73\1

л 0.(3)

dz- 1 [\а2Р3 / J

Решение этого уравнения отличается по форме в зависимости от знака коэффициента Apq. Когда р и q равны нулю, коэффициент необходимо положителен, но когда р и q возрастают, коэффициент меняет знак. Если коэффициент положителен и если его обозначить через р-2, то общее выражение Apq может быть записано так:

Apq = Вр/ ^^) + Ср^ ^t-W3\(4)

где Bpq и Cpq,— так как множитель eikat выражен явно, — абсолютные постоянные. Однако первый член в (4) выражает движение, распространяющееся в отрицательном направлении, что исключается условиями задачи, и мы, таким образом, должны взять в качестве члена, соответствующего р, q, просто

^ = cpq cosp— . соз^^ = cpq cosp— . соз^gi (Аа#-р.г)gi (Аа#-р.г)

^ = cpq cosp— . соз^

^ = cpq cosp— . соз^

gi (Аа#-р.г)

gi (Аа#-р.г)

В этом выражении Cpq может быть комплексным; переходя к действительным величинам и беря две новые действительные произвольные постоянные, мы получаем:

Ф = \Ppq cos (feat — у-х) -j- Epq sin (feat — pz)] cos p ^ • cos q у . (5) Мы должны теперь рассмотреть форму решения в тех случаях, когда коэффициент при Apq в (3) отрицателен. Если мы обозначим его через —v2, то решением, соответствующим (4), будет

Ард = e^t (Bpqe^ 4- Cpqe-^(6)

первый член его должен быть отброшен, как обращающийся в бесконечность вместе с х. Мы получаем, таким образом, соответственно(5), <р = е-43 [Dpq cos feat -ф- Epq sin feat\ cos p ^ cos q у.(7)

Решение, полученное соединением всех частных решений, даваемых (5) и (7), является общим решением задачи и допускает по всему да

сечению х = 0 для значение, произвольное в каждой точке и по амплитуде и по фазе.

На большом расстоянии от источника члены вида (7) становятся незначительными, и движение представляется одними лишь членами вида (5). Влияние членов, соответствующих большим значениям р и q, проявляется, таким образом, лишь в непосредственном соседстве с источником, и уже на не очень больших расстояниях всякие внезапные изменения или разрывы в движении при х = 0 постепенно сглаживаются и исчезают.

Если мы сосредоточим наше внимание на каком-нибудь частном виде колебания (для которого р и q не равны нулю одновременно) и представим себе, что частота колебания возрастает, начиная от нуля, то увидим, что эффект, имевший место вначале лишь по соседству с источником, постепенно распространяется все дальше и дальше и, после того как пройдено определенное значение, распространяется сам собой на бесконечно большое расстояние, причем критическая частота есть частота двумерных свободных колебаний соответствующего типа. Ниже критической точки, чтобы поддерживать движение, не требуется никакой работы; выше ее — нужно затрачивать в 2 = 0 столько работы, сколько уносится ее за это же время в бесконечность.

268а. Если мы предположим, что в общих формулах § 267 г = 0, то мы возвратимся к случаю чисто двумерного движения. Третье измерение камеры (у) тогда не имеет никакого значения, и наша задача может рассматриваться, как задача о колебаниях прямоугольного слоя воздуха, ограниченного, например, двумя параллельными стеклянными пластинами и боковой прямоугольной границей. В этой форме она была изучена как экспериментально, так и теоретически Кундтомг). Потенциал скорости есть просто

<р = cos (р —) cos (q<р = cos (р —) cos (qкуХ 77куХ 77О)О)

<р = cos (р —) cos (q

<р = cos (р —) cos (q

куХ 77

куХ 77

О)

О)

где р и q— целые числа, а частота определяется выражением

Если слой открыт на границе, то приближенное решение можно получить, предположив, что ср здесь исчезает. В этом случае выражение для ср выводится из (1), если вместо косинусов написать синусы, между тем как уравнение частот сохраняет ту же самую форму (2). Это уже было обсуждено в связи с вопросом о мембранах в § 197. Если а =3» так что прямоугольник становится квадратом, то различные нормальные виды колебаний одной и той же высоты могут комбинироваться, как объяснено в § 197.

В опытах Кундта колебания возбуждались через отверстие в одной из стеклянных пластин, к которой был приложен конец соответствующим образом настроенного стержня, колеблющегося продольно; разделение на сегменты указывалось поведением пробковых опилок. Что касается высоты, то хорошее согласие с вычислениями было в случае слоев, закрытых по боковой границе. Когда прямоугольная граница была открыта, наблюденные частоты были слишком малы—расхождение, которое следует приписать исключительно приближенному характеру допущения о неизменности давления в слое (см. § 307).

i) Kundt, Pogg. Ann., том XL, стр. 177, 337 (1873).

Теория круглого слоя воздуха связана с бесселевыми функциями и рассматривается в § 339.

Мы исследуем теперь результат сложения двух цугов плоских волн гармонического типа с одинаковыми амплитудами и длинами волн, направления распространения которых составляют друг с другом угол 2а. Это — двумерная задача, поскольку во всех плоскостях, перпендикулярных к линиям пересечения двух групп волновых фронтов, картина явления будет совершенно одинаковой.

Положения плоскостей максимального сжатия для каждого цуга волн в любой момент времени можно представить параллельными линиями, проведенными через одинаковые интервалы X в плоскости бумаги; нужно предположить при этом, что эти линии движутся со скоростью а в направлении, перпендикулярном к их длине. Если обе серии линий начерчены, то бумага разделяется на систему равных параллелограммов, которые перемещаются в направлении одной группы диагоналей. В каждом углу параллелограмма сжатие удваивается в результате наложения двух цугов волн, а в центре каждого параллелограмма по той же самой причине максимальным является разрежение. На каждой диагонали располагается поэтому серия максимумов и минимумов сжатия, перемещающихся без изменения их относительного расположения со скоростью a/cos а. Между каждыми двумя соседними линиями максимумов и минимумов находится параллельная им линия нулевого сжатия, на которой два цуга волн нейтрализуют друг друга. Особенно замечательно то, что если бы этот волновой узор был видим (подобно соответствующему волновому узору на воде, к которому приложимо все предыдущее рассуждение), то он представился бы перемещающимся вперед без изменения своего вида в направлении, отличном от направления каждого из составляющих цугов волн и со скоростью, отличной от той, с которой движутся оба составляющие цуга.

Чтобы выразить результат аналитически, предположим, что оба направления распространения одинаково наклонены под углом а к оси х-ов. Сами сжатия можно представить соответственно в виде: 2г.

cos — (at — х cos а —у sin а)

и2г

cos — (at — х cos а -ф- у sin а),

и, таким образом, выражение для результирующей будет иметь вид: s = cos ^ (at — х cos а—у sin а) -ф- cos ^ (at — х cos а -|-^ sin а) =

= 2 cos ^-(а/ — х cos а) cos у-(.У sin а).(1)

Из (1) следует, что распределение величины s на плоскости ху перемещается параллельно оси х-ов, не изменяя своего вида и с

одинаковой всюду скоростью ^-^. Если рассматривать s как функцию у, то s имеет максимум, когда j/sin а равно О, X, 2Х, ЗХ и т. д.,

13

между тем как для промежуточных значений, именно ^-Х, уХ, ..., s обращается в нуль.

Если а = у it, так что два цуга волн идут друг другу навстречу, то скорость распространения параллельно х становится бесконечной, а (1) принимает форму

s = 2 cos an cos I у уч,(2)

которая представляет стоячие волны.

Задача, которую мы только что рассматривали, в действительности совпадает с задачей об отражении цуга плоских волн от бесконечной плоской стены. Так как выражение в правой части уравнения (1) является четной функцией у, то s симметрично относительно оси х-ов, и, следовательно, движение поперек этой оси отсутствует. При этих условиях очевидно, что на движение нисколько бы не повлияло, если бы мы расположили вдоль оси х-ов абсолютно неподвижную стену. Если а есть угол между поверхностью и направлением распространения падающих волн, то скорость, с которой движутся места максимального сжатия вдоль стены (соответствующие местам наибольшего возвышения для волн на воде), равна a/cos ос. Следует заметить, что воздушные давления не имеют тенденции перемещать стену как целое, за исключением случая абсолютно перпендикулярного падения, так как в любой момент времени их столько же положительных, сколько и отрицательных.

269a. Когда звуковые волны, распространяющиеся от удаленного источника, отражаются твердой стеной перпендикулярно, то наложение прямой и отраженной волн приводит к возникновению системы узлов и пучностей, совершенно так же, как в случае трубы, рассмотренном в § 255. Узловые плоскости, т. е. поверхности исчезающего движения, располагаются на расстояниях, являющихся четными кратными четверти длины волны, пучности же делят пополам расстояния между узлами. При экспериментальном исследовании обычно лучше всего искать места минимального эффекта, но, будут ли это узлы или пучности, зависит от применяемого аппарата — соображение, пренебрежение которым приводило к путанице). Так, резонатор перестает отвечать, если его устье совпадает с пучностью, и следовательно, этот метод исследования дает пучности, когда резонатор связан с ухом или

с «манометрической коробкой» (§ 282). Это же самое заключение верно и при пользовании невооруженным ухом, если только голова экспериментатора не представляет собой препятствие достаточно большое, чтобы заметно нарушить первоначальное распределение узлов и пучностей). Если, с другой стороны, индикатором служит маленькая натянутая мембрана, подвергающаяся воздействию с обеих сторон, чувствительная струя дыма или пламя, то местами исчезающего возмущения будут ^злы‘А\

Полное установление стоячих колебаний с узлами и пучностями занимает некоторое время, в течение которого звук должен поддерживаться. Когда в комнате, лишенной ковров и занавесей, непрерывно звучит органная труба, легко, прислушиваясь с помощью резонатора, найти места, где основной тон почти полностью замирает. Но в первый момент после нажатия клавиша или непосредственно после того как он отпущен, интересующий нас тон слышен и часто с поразительной силой.

Образованием стационарных узлов и пучностей перед отражающей стеной можно с успехом воспользоваться, когда желательно определить длины волн воздушных колебаний. Метод является особенно ценным в случае очень пронзительных звуков и колебаний такой частоты, что они уже не слышны. С помощью чувствительного пламени высокого давления можно проследить за колебаниями, полученными при помощи маленьких птичьих манков (свистков для подманивания птиц), с длиною волны до 6 мм, что соответствует частоте около 55 000 колебаний в секунду.

До тех пор, пока среда, передающая звук, сохраняет непрерывность и однородность, плоские волны могут распространяться в любом направлении с постоянной скоростью и не меняя своего типа; однако, когда волны достигают какой-либо части среды, где ее механические свойства претерпевают изменение, возникает некоторое возмущение. Общая проблема колебаний переменной по своим свойствам среды, вероятно, совершенно недоступна нашей современной математике, однако многие интересные для физики вопросы возникают в случае плоских волн. Предположим, что среда однородна выше и ниже некоторой определенной плоскости (х=0), но что при пересечении этой плоскости имеет место внезапное изменение механических свойств, от которых зависит распространение звука — именно, сжимаемости и плотности. На верхней стороне плоскости (которую для отчетливости понимания мы можем предполагать горизонтальной) цуг плоских волн перемещается так, что встречает ее более или менее наклонно; задача состоит в том, чтобы определить (преломленную) волну, которая распространяется вперед во второй среде, а также и ту волну, которая отбрасывается

назад в первую среду, т. е. отраженную. Мы должны в первую очередь образовать уравнения движения и выразить граничные условия. В верхней среде, если р есть естественная плотность, a s—сжатие, ПЛОТНОСТЬ = 0 (1 4-5), давление = Р (1 4~ /1s), где А— коэффициент, зависящий от сжимаемости, а Р— давление в невозмущенном состоянии. Равным образом в нижней среде плотность == рг (1 —|— st), давление = Р (1 4- Asi)>

причем невозмущенное давление одинаково по обе стороны от х = 0. Взяв ось z параллельной линии пересечения волновой плоскости с поверхностью раздела х = 0, мы имеем для верхней среды (§244):

V4— 4-^(1)

и ^+№ = 0,(2)

где V2 = —.(3)

р,

Аналогично для нижней среды дР " Лдх^ дуМw

и

-^+ V-^ = 0,(5)

Эти уравнения должны быть удовлетворены во всех точках жидкости. Граничные условия требуют, кроме того: (I) чтобы во всех точках поверхности раздела были одинаковы для обеих жидкостей скорости, перпендикулярные к поверхности, или

при х = 0;(7)

ох ох г4 7

(И) чтобы были одинаковы давления, откуда /l1s1 = /Is, или, в силу (2), (3), (5) и (6),

РЭГ = Р' W при х = 0-<8)

Чтобы представить цуг волн гармонического типа, мы можем принять <р и »! пропорциональными ei(-ua5VbuA"ct\ где уравнение ах -[- бу = const определяет направление волновой плоскости. Если мы примем для падающей волны

(р = <р/^1 («я:+di/+c<)(g^

то отраженная и преломленная волны могут быть представлены соответственно выражениями

ф = ч>"е -cuc-v by vct^^( J Q)

у = roe^a.x^by^ct)qp

Коэффициент при t необходим один и тот же во всех трех волнах за счет периодичности, а коэффициент при у должен быть одинаковым вследствие того, что следы всех волн на плоскости раздела должны двигаться вместе. Что же касается коэффициента при х, то после подстановки в дифференциальные уравнения видно, что его знак при переходе от падающей к отраженной волне изменяется на обратный; действительно,

с2 = V^W-±iaf-Yb^\= УП°! + ^Ь(12)

b

Но -■ ■ есть синус угла, заключенного между осью х и нор

у а2 + 62

малью к волновой плоскости — на языке оптики, синус угла падения, а ——^= аналогично — синус угла преломления. Если эти углы обо- V 4 + Ь*

значить через 6 и 0^ то (12) утверждает, что отношение sinO/sinOj равно постоянному отношению V/Vt — хорошо известный закон синусов. Законы преломления и отражения вытекают просто из того факта, что скорость распространения в направлении, нормальном к волновым фронтам, постоянна в каждой среде, т. е. не зависит от направления волнового фронта, рассматриваемого в связи с равенством скоростей следов всех волн на плоскости раздела (V/sinO = = ^/sin 91). Остается удовлетворить граничным условиям (7) и (8).

Они дают

a (o' —1

Р(ф'4-<?") = ?!?!, J откуда

2ф' =—(14)

*\ р 1 а / *1*\ р а /х '

Этим завершается символическое решение. Если av (и 9^ действительны, то мы видим, что, если падающая волна есть

ср = cos (ах Ц- by 4~ ct),

или, через У, X и 9,

ф = cos ^ (х cos 9 4-у sin 6 4- Vf),(15)

то отраженная волна есть

Pi etg Qi

___Рetg 0 со$ 2п ^ — x cos о 4, j, 8[п q i ^а (16) Pi । ct£6i Х р "i" etg О

а преломленная волна

?1= т;—Ttprcos V ^х cos 9i +> sin 9i + VA<17>

T + Ttir

Формула для амплитуды отраженной волны, именно Pt ctg 6]

(18)(18)<S" р ctg О

(18)

(18)

о ' Ctg 6

получается здесь в предположении, что волны — гармонического типа; но так как в нее не входит А и так как здесь не происходит изменения фазы, то она может быть распространена, в силу теоремы Фурье, на волны любого типа.

Если отраженной волны нет, то ctg 9t/ctg 9 = р^р, откуда и из

1 + ctg2 6t yal+ctg2e2= V^

мы выводим:

/ Pl V2\ A ^

(^-^9 = Vf-L(19)

Если предположить, что показатель преломления ^- заключен между единицей и у-, то это соотношение показывает, что всегда существует угол падения, при котором волна проходит полностью; при других условиях такого угла не существует.

Так как (18) не изменяется (исключая знак) при перестановке

6р р, pt ит. д., мы заключаем, что волна, падающая во второй среде под углом 9р отражается в той же самой пропорции, что и волна, падающая в первой среде под углом 9.

В качестве численного примера предположим, что верхняя среда есть воздух при атмосферном давлении, а нижняя среда — вода. Подставляя вместо ctg 9{ его выражение через 9 и показатель преломления, получаем

=1 — (-Й-—l)t^6,(20)

ctg в v\\ 172/ ь

или, так как приближенно — = 4,3,

= 0,23/1 — 17,5 tg2 9 ;

ctg 0b >

отсюда видно, что отношение котангенсов уменьшается до нуля, когда 9 возрастает от нуля примерно до 13°, а дальше оно становится мнимым, что указывает на полное внутреннее отражение,

как это мы сейчас увидим. Следует помнить, что если применять оптические термины в акустике, то именно вода должна рассматриваться как «разреженная среда». Отношение плотностей составляет примерно 770/1, так что

= 1 — 0,0006 /1 — 17,5 tga 6 ,= 1 — 0,0006 /1 — 17,5 tga 6 ,1 —0,0003 /1 — 17,5 tg20

= 1 — 0,0006 /1 — 17,5 tga 6 ,

= 1 — 0,0006 /1 — 17,5 tga 6 ,

1 + 0,0003 /1 — 17,5 tga 6

с очень большим приближением. Даже при перпендикулярном падении отражение почти идеальное. Если обе среды — газообразные, то при постоянной температуре Аг=А, и если даже учесть развитие теплоты при сжатии, то в случае простых газов заметной разницы между А и At не будет. Но если At=A, то -^ = ^j ®, и формула для интенсивности отраженной волны принимает вид:

Ч" _ sin 20 — sin 20t _ tg (0 — ОД ^ sin 20-j-sin 20^ tg(0 4-0i)*'

совпадая с формулой, выведенной Френелем для света, поляризованного перпендикулярно к плоскости падения. В согласии с законом Брюстера отражение исчезает при угле падения, тангенс которого V равен —.

Но если, с другой стороны, pt = p и причиной возмущения является изменение сжимаемости, то мы имеем

И = (§ °i —{ё° _sin (01 — 6)/99х

tgo1 + tg6" sinto^o)-'

что согласуется с формулой Френеля для света, поляризованного в плоскости падения. В этом случае отраженная волна не исчезает ни при каком значении угла падения.

(23)(23)Вообще, когда 6 = 0,

(23)

(23)

?z fi । Л ’P

Pl У D

yf р ’(24)yf р ’(24)так что отражения нет, если = у. В случае газов

yf р ’

(24)

yf р ’

(24)

и тогда

. .Ур?-^^ у—Vt

VK+Vp

Предположим, например, что отражение происходит при перпендикулярном падении на поверхности, разделяющей воздух и водород. Мы имеем

р = 0,001276, Pi = 0,00008837,

откуда V р/J/ pt = 3,800, что дает

<= — 0,5833?'.

Отношение интенсивностей, которые пропорциональны квадратам амплитуд, составляет 0,3402: 1, так что около одной трети отражается.

Если различие между обеими средами очень мало, то мы пишем Vt = V4- 6V, и (24) принимает вид:

Ч"1 оИ

—2 V 1

Если первая среда — воздух при 0°С, а вторая среда — воздух при f С, V 4- о У = V V1 4-0,00366/, так что

— 0,00091 t.

Отношение интенсивностей отраженного и падающего звуков есть поэтому 0,83-10-8 • /а : 1.

В качестве другого примера того же рода мы можем взять случай, когда первой средой является сухой воздух, а второй — воздух при той же температуре, насыщенный водяным паром. При 10° С воздух, насыщенный водяным паром, легче, чем сухой воздух, примерно на 1/220, так что ^^^j ^- Отсюда мы заключаем, в связи с (25), что отраженный звук составляет всего лишь около 1/774 000 части падающего звука.

Мы видим из этих вычислений, что отражение от теплого или влажного воздуха вообще должно быть очень шало, хотя несомненно, что эффект может накопиться в результате повторения. Следует также помнить, что на практике переход от одного положения вещей к другому может быть постепенным, а не внезапным, как это предполагается настоящей теорией. Если пространство, занятое переходной зоной, достигает значительной доли длины волны, то отражение значительно уменьшается. В связи с этим мы можем ожидать, что низкие звуки будут распространяться через неоднородную среду менее свободно, чем высокие.

Отражение звука от поверхностей, разделяющих части газа с различными плотностями, привлекло внимание Тиндаля, который придумал несколько поразительных опытов для иллюстрации явления1)- Например, звук язычковой трубы, издающей высокий тон, проводился через тонкую трубку к чувствительному пламени, которое служило индикатором. Помещая между трубкой и чувствительным пламенем газовое пламя, выходящее из обычной горелки, можно было уничтожить большую часть эффекта. Более того, держа пламя под соответствующим углом, можно было отразить

9 Tyndall, Sound, 3-е издание, стр. 282, 1875.

звук через другую трубку в количестве, достаточном для возбуждения второго чувствительного пламени, которое при отсутствии отражающего пламени оставалось бы спокойным.

[Преломление звука было продемонстрировано экспериментально Зондхаусом т) с помощью баллона из коллодия, наполненного углекислым газом.]

Предыдущие выражения (16), (17), (18) справедливы во всех случаях отражения от «более плотной» среды; однако если скорость звука больше в нижней среде и угол падения превосходит критический угол, то at становится мнимым, и формулы нуждаются в видоизменении. В последнем случае невозможно, чтобы существовала преломленная волна, так как если бы даже угол преломления был равен 90°, то ее след на плоскости раздела необходимо должен был бы перегнать след падающей волны.

Если вместо а1 написать — iaf, то символические уравнения таковы: падающая волна,

ф ^ eH,ax-vby*ct>

отраженная волна

а.

ф — _Z ег (-aas+ by 4-с#).

р а преломленная волна

2'

У.У.ег (- га ж + by+с#), fl . а1 — — t Р а

У.

У.

(26)(26)(27)(27)Отбрасывая всюду мнимые части, получаем: падающая волна

(26)

(26)

(27)

(27)

<р = cos (ах -ф- by + с0» отраженная волна

ср = cos (— ах 4- by 4- ct 4- 2з); преломленная волна

Ф =Ф =222L । 01 р2 + д22L । 01 р2 + д2eat х cos (by -|- ct 4- 2)>eat х cos (by -|- ct 4- 2)>(28)(28)

Ф =

Ф =

2

2

2L । 01 р2 + д2

2L । 01 р2 + д2

eat х cos (by -|- ct 4- 2)>

eat х cos (by -|- ct 4- 2)>

(28)

(28)

^р"«4^р"«4где

^р"«4

^р"«4

(29)

Эти формулы указывают на полное отражение. Возмущение во

i) Sondhauss, Pogg. Ann., том LXXXV, стр. 378, 1852; Phil. Mag., том V, стр. 73, 1853.

второй среде вообще не является волной в обычном смысле слова и на коротком расстоянии от поверхности раздела (х— отрицательное) становится незаметным. Вычисляя а^ из (12) и выражая эту величину через 9 и А, находим

(30)(30)

(30)

(30)

это выражение показывает, что возмущение проникает во вторую среду не далее, чем на несколько длин волн.

Разность фаз между отраженной и падающей волнами есть 2г, где

tge =tge =^- sec2 9.^- sec2 9.(31)(31)V?V?Вели среды имеют одинаковую сжимаемость, то — = —Вели среды имеют одинаковую сжимаемость, то — = —ии

tge =

tge =

^- sec2 9.

^- sec2 9.

(31)

(31)

V?

V?

Вели среды имеют одинаковую сжимаемость, то — = —

Вели среды имеют одинаковую сжимаемость, то — = —

и

и

(32)(32)tg е = ^- у ^ tg2 0 — sec2 0.

(32)

(32)

Так как при отражении и преломлении нет потерь энергии, то работа, перенесенная за некоторое время через некоторую площадь фронта падающей волны, должна быть равна работе, перенесенной за то же время через соответствующие площади отраженной и преломленной волн. Эти соответствующие друг другу площади находятся, очевидно, в отношении

cos 9 : cos 9 : cos 9t;

и, таким образом, в силу § 245 (т одинаково для всех волн)

cos 9 -рг (с?/2 — ср"2) = cos 9t -— epp

а так как VlVt = sin 9/sin 9V

p etg 9 (<p'2 — <p"2) = P1 etg 9tcp2,(33)

что и представляет собой условие энергии и совпадает с результатом перемножения двух граничных уравнений (13),

Если скорость распространения больше в нижней среде, чем в верхней, и угол падения превосходит критический угол, то энергия во вторую среду не переносится; иными словами, отражение тогда полное.

Метод настоящего исследования в основном тот же, каким пользовался Грин в статье «Об отражении и преломлении звука»). Случай перпендикулярного падения был впервые исследован Пуассо-

ном 3), получившим формулы, соответствующие (23) и (24), которые, однако, уже были даны Юнгом для отражения света. В следующем мемуаре2) Пуассон рассмотрел общий случай наклонного падения, ограничившись, однако, газообразными средами, для которых справедлив закон Бойля, и путем очень сложного анализа пришел к результату, эквивалентному (21). Он подтвердил также, что энергии отраженной и преломленной волн в сумме дают энергию падающей волны ).

Если вторая среда неограниченно простирается вниз и совершенно однородна по своим механическим свойствам, то проходящая волна непрерывно распространяется вниз. Но если при х =— /имеется дальнейшее изменение сжимаемости или плотности или и того и другого, то часть волны будет отброшена назад и по приходе к первой поверхности (х = 0) разделится на две части: одну, проникшую в первую среду, и другую, отраженную назад, чтобы снова разделиться при х = — I, и т. д. Проследив за дальнейшим распространением этих волн, можно получить решение задачи; при этом результирующие отраженная и проходящая волны будут складываться из бесконечного сходящегося ряда компонент, параллельных и гармонических. Это — метод, обычно применяемый для соответствующей задачи в оптике; он вполне строг, хотя, может быть, не всегда достаточно разъясняется; он не имеет, однако, никаких преимуществ перед более прямым анализом. В последующем исследовании мы ограничимся случаем, когда третья среда одинакова по своим свойствам с первой.

В первой среде

ф = ^ег (ax+by + ct) _|_ ^»ei (-скв+Ьу+с#)ф

Во второй среде

ф — ^'g^ ka-xoovby ■irct'j _[_ ^»ei (-axX+by+ct)'

В третьей среде ? = ^ег (a^+^+c^

при условиях с- = V" (а + б2) = V2 (at + б2).(1)

На обеих поверхностях раздела мы должны обеспечить равенство нормальных составляющих скоростей и давлений: для х —О а(?'_?") = а1(^_^), | p(?' + ?") = pi СК Ч-^); J

для X =:/

(3)(3)ах ф'£-1<,,г — ^"^^^ = a'5ve"^al, ) Pi (У^~^a^ Ч- ^s10*^) = рср^б-^4 J откуда необходимо исключить У и ^. Получаем:

(3)

(3)

(ф' — ф") cos atl — I ~ ^' 4" ср") sin axl = ^xe~ial, j

(ф' -[- ф") cos a J — i (фх — ф") sin аЛ =

а из этих уравнений, если обозначить для краткости ор1/о1р через а, ^ =а-а-1

ф'а + а~1 — 2Z Ctg ах1 ’' '

11 =.(6)

<р'2 cos axl + i sin ах1 (а -}- а~9v 7

Чтобы перейти к действительным величинам, нужно привести эти выражения к виду Re^. Если ах действительно, то мы находим соответственно для падающей волны

Ф = cos Rix -j- by 4- с/), для отраженной волны

(7)(8)(9)(7)(8)(9) (а-1 — а) Sin ( — ах -|- by + ct — е)

(7)

(8)

(9)

(7)

(8)

(9)

и для проходящей волны

2 cos Rix 4 by -Ret + al — е)

У 4 cos2 axl -f- sin2 ах1 (а -[- а -1 )3 ’ где

tgs = j(a4-a"I)tg(t1z-

Если а — рх ctg 6/р ctg 6t = 1, то отраженной волны нет, а проходящая волна представляется выражением

ср = cos Rix 4~ by 4~ ct-\-al— а^Г), показывающим, что, исключая изменение фазы, вся среда в целом могла бы быть и однородной.

Если / мало, то мы имеем приближенно для отраженной волны

ср = ах1(а-х — a) sin (— ах 4~ by 4" ct)

— формула, приложимая к случаю, когда толщина слоя мала сравнительно с длиной волны. Так как ах = — cos 9р то очевидно,

что для данного угла падения амплитуда изменяется обратно пропорционально X, или X.

Отражение исчезает всегда, когда ct^aj = оо, т. е. если

2/ cos 0t = m\v

где tn—целое число. Волна проходит тогда*целиком.

При перпендикулярном падении интенсивность отражения дается выражением

V? V\Pi

Предположим теперь, что вторая среда несжимаема, так что V\ = оо; наше выражение принимает вид:

(Н)(Н)

(Н)

(Н)

а это показывает, что величина отражения зависит от относительных масс таких количеств среды, объемы которых находятся в отношении //X. Очевидно, что вторая среда ведет себя подобно твердому телу и действует только посредством своей инерции. Если этого достаточно, то отражение может сделаться практически полным.

Мы должны теперь рассмотреть случай, когда ах— мнимое. В символических выражениях (5) и (6) cos avl и I sin ах1 действительны, между тем как а, а—|—а-"*, а — а-1 — чисто мнимые. Таким образом, если мы предположим, что ах = ia'v а = Ь/, и введем в обозначения гиперболические синус и косинус (§ 170), то получим

^— i (а' -]- а' -1) sh avl

^2 ch д'/—/(о/— а,-1) sh ti^/ ’

?! ^е^1 ,

^'2 ch а'/ — i(a'— a'-^shtij/

Отсюда, если падающая волна дается выражением

<р = cos (ах + 6у 4* с0»

то отраженная волна выражается так:

(а' -|- а' -1) sh axl cos (— ax 4- by -|- ct 4- e)

4 =-—========,(12)

V 4 c№axl -T (a' — a'-1)2 sh2 aj

где

ctg = = l(o/-i —ОПкг'/,(13)

а проходящая волна дается выражением

= 2 sin <ах -у by-у ct-у-at-у г) j 4 V4 ch2#'/ -|~ (“' — а'-1)2 sh2#jZ

Легко видеть, что энергия отраженной и проходящей волн в сумме дает всю энергию падающей волны. Так как в данном случае соответствующие площади волнового фронта равны для всех трех волн, то нужно только сложить квадраты амплитуд, выраженных уравнениями (7), (8) или уравнениями (12), (14).

Эти вычисления отражения и преломления в различных условиях можно было бы продолжить и дальше, однако они более интересны для оптики, нежели для акустики. Важно иметь в виду, что ни при каком числе отражений и преломлений, будут ли они частичными или полными, энергия не может уничтожаться, и то количество ее, которое теряется в одном направлении, всегда вновь появляется в другом.

На границе между воздухом и каким-либо твердым телом или жидкостью отражение обычно бывает, вследствие большого различия в плотности, почти полным Звуки, произведенные в воздухе, не легко сообщаются воде и, наоборот, звуки, источник которых находится под водой, с трудом слышимы в воздухе. Деревянный стержень или металлическая проволока действуют подобно разговорной трубе, передавая звуки с очень малыми потерями на значительные расстояния.

272а. В предыдущих параграфах поверхность раздела, на которой происходит отражение, предполагалась абсолютно плоской. Как с акустической, так и с оптической точек зрения интересно исследовать эффект, даваемый шероховатостью или волнистостью отражающей поверхности; поставленную таким образом задачу можно разрешить до известной степени без труда методом § 268, особенно, если мы ограничимся случаем перпендикулярного падения. Предположим, что уравнение отражающей поверхности есть z = C, где С— периодическая функция от х, среднее значение которой равно нулю. В качестве частного случая мы можем взять уравнение

( = ccosp.K, (1)

но вообще мы должны были бы дополнить первый член ряда, выражаемый (1), косинусами и синусами величин, кратных рх. Потенциал скорости падающей волны (амплитуды единица) можно написать в форме

_ eik(at+s)' (2)

Для правильно отраженной волны мы имеем, опуская для краткости множитель, зависящий от времени, ts = Аое-1кг, но к этому следует прибавить члены, содержащие cosрх, cos2рх и т. д.

Таким образом, полная величина ср в верхней среде есть

ф = егкз 4~ А^-^-^А^-^3 cos рх -\- A^e-W cos 2рх -]-..., (3) где

р,^ = /?2 ^2, ^2 —. £9 4^9,(4)

Выражение (3), в котором для простоты синусы кратных рх были опущены с самого начала, было бы достаточно общим, даже если бы член с cos рх в (1) сопровождался косинусами кратных рх.

Как объяснено в § 268, многое зависит от того, действительны или мнимы величины р^, ^з> . . . В последнем случае соответствующие члены имеют заметное значение только вблизи г = 0. Если все значения у, мнимы, как это имеет место при р > к, то вся отраженная волна скоро сводится к своему первому члену.

Для какого-нибудь действительного значения и, скажем иг, соответствующая часть потенциала скорости есть

ф = ^ Д ^-HP-^-грж) j е-г kw^Vrpx^ , что представляет плоские волны, наклоненные к z под углами, синусы которых равны —-^- Они известны в оптике под названием спектров r-го порядка. Когда длина волны волнистой поверхности меньше, чем длина волны колебания, боковые спектры отсутствуют.

В нижней среде мы имеем:

срт = BQekx3 В^2 cos рх -]- В^»2 cos 2рх -|- ... ,(5)

где

у^^к^ — р1, ^^к'^ — ^р^, ...(6)

В каждом члене с показательной функцией коэффициент при z должен быть взят положительным: если он мнимый, это значит, что волна распространяется в отрицательном направлении; если он действительный, это значит, что возмущение уменьшается, вместо того чтобы возрастать при проникновении во вторую среду.

Условия, которым нужно удовлетворить на границе, заключаются в том (§ 270), что

рср = р1?1(7)

и ^^ = ^ , где dn перпендикулярно к поверхности z = С. Отсюда

д Of — ?t) ^ (? — фД ^1 _ п/ох

dzдх дх ~

До сих пор ни на амплитуду, ни на длину волны (2и//?) волнистой поверхности не накладывалось никакого ограничения. Мы предположим теперь, что длина волны очень велика, так что

величиной р^ можно всюду пренебречь. При этих условиях уравнение (8) приводится к следующему:

—6=^ = 0.(9)

При дифференцировании (3) и (5) по z различные члены умножаются на коэффициенты р^, р.2, . . ., у.^, у/,, . . .; но когда пренебрегают р\ эти величины можно отождествить соответственно с к, kv Таким образом, на границе

-Л = ik (eik' — Ло<?-^’ — Л^-’*’ cos рх — . . .)

в силу (7). Следовательно,

k^eik' -[- А^е-^ -|- А^-^' cos рх 4~ . . .) =

= к^х (e^- — Aiae-ikT' — Ave-ik' cos px — . ..), или

е'^Ц- До + Av cos px -L A.) cos 2px 4- ... = 0. (10)

Этим уравнением определяются Ao, At, ..., когда известно С.

(Н)(Н)Если мы положим С = 0, то возвратимся к нашему прежнему результату (23) § 270 для действительно плоской поверхности. Таким образом, Аг, Ай, . . . обращаются в нуль, между тем как

(Н)

(Н)

0 ^Pt + ^iP

и выражает амплитуду правильно отраженной волны.

Мы приложим теперь (10) к случаю простой волнистой поверхности, выражаемой уравнением (1), и для краткости обозначим правую часть уравнения (11) через R. Для определения До, Av . . . требуется представить е^к’ в виде ряда Фурье. Мы имеем (сравните § 343)

е-икс cospa- _. j^ (2kc) — 2J,2 (2kc) cos 2px 4- 2JV (2kc) cos 4px 4~ • • •

. . . 4“i{2A (^kc) cos px — 2J.3(2kc) cos ^px 4-

4-2L (2kc) cos 5px—. . .), (12)

где 70, Jv ...—бесселевы функции различных порядков.

Таким образом,

^- = J0(2fec),

2^ =2Uvt2hcY '

^ = _2л2(2кс),

^. = — 2UA2kc\

’(13)

^ = 2J,(2kc),

-^- = 2iJb(2kc),

272а]непроницаемость второй среды97

где коэффициенты четного порядка—действительные, а коэффициенты нечетного порядка — мнимые величины. Полное решение задачи отражения при ограничении случаем малых р получается тогда подстановкой в (3); можно отметить, что этот результат совпадает с тем, который можно получить при помощи обычных оптических методов, учитывающих только запаздывания фаз. Так, что касается волны, отраженной параллельно z, то запаздывание в какой-либо точке поверхности, обязанное волнистости, составляет 2С или 2с cos рх. Влияние волнистости заключается поэтому в изменении амплитуды отраженной волны в отношении

I cos (2^с cos рх) dx

—р или J0(2£c).

Аналогично амплитуда каждого из боковых спектров первого порядка есть ^(2^0 и т. д. Сумма интенсивностей всех отраженных волн есть

яа(./?+24+2^+...) = /г2,(i4)

согласно известной теореме; так что в предположенном случае (бесконечно малого р) доля всей энергии, отброшенная назад, такова же, как в случае гладкой поверхности.

Следует заметить, что в этой теории значение 2кс не подвергается никакому ограничению. Если 2кс мало, то заметные значения имеют только первые члены ряда, так как функция Бесселя Jn(2kc) имеет порядок величины (2&с)п. Напротив, когда 2кс велико, первые члены малы, между тем как ряд сходится медленнее. Таблица значений Jo и 1г приведена в § 200. Для некоторых значений 2кс отдельные отраженные волны исчезают. В случае правильно отраженной волны, или спектра нулевого порядка, это имеет место впервые, когда 2кс = 2,404, § 206, или с = 0,2Х.

Полное решение задачи настоящего раздела потребовало бы определения отражения, когда к задано для всех значений с и для всех значений р. Мы рассмотрели случай бесконечно малого р, а сейчас изучим случай, где р> к. Для промежуточных значений р задача труднее, и, рассматривая их, мы ограничимся более простыми граничными условиями, которые получаем, когда энергия вовсе не проникает во вторую среду. Простейший случай из всех — это тот, когда рг = 0, так что граничное уравнение (7) сводится к

<р = 0(15)

— условию для «открытого конца», § 256. Мы можем также указать на случай твердой стенки, или «закрытого конца», где условие на поверхности

В силу (3) и (15) условие, которое должно быть удовлетворено на поверхности, есть

^ZA-s^^Q^^giC/c-pJacos рх 4" Aaelk~-^ z COS ^px 4™ . . . = 0. (16) В нашей задаче z задано выражением (1), как функция х; уравнения, выражающие условие, найдутся, если мы приравняем нулю коэффициенты различных членов, содержащих cos рх, cos^px, и т. д., когда левая часть (16) разложена в ряд Фурье. Разложение различных показательных функций выполняется так же, как в (12); в результате получаются следующие уравнения:

4(2&)4" Ло + iA\J\ Ф — Pi) — ^2^2 (^ — Р-з) — • • • = 0, (17) 2Ц (2^)4~А У^к— р,()— J^k— p-J) 4

4" ^2 {гЛ (^ — Р4 — г4 (^ — p4} 4* • • • = о» (1^) — 2 J2 (2/?) 4~ Аг {Ut (к — p-J — <V3 (к — P-J) 4~

-р^Ро^Р^-РЛС^Р^)} 4~ • • 1 ^ 0 (19) и т. д., где с ради краткости положено равным единице. Пока (/г — р,) можно считать действительной величиной, — что имеет место для большого числа членов, когда р мало сравнительно с к, — различные функции Бесселя все действительны, и, таким образом, коэффициенты А четного порядка действительны, а коэффициенты А нечетного порядка—мнимы. Таким образом, фаза перпендикулярно отраженной волны такова, как если бы с = 0; следует, однако, помнить, что этот вывод в действительности только приближенный, потому что, как бы ни было мало р, величины р, в конце концов становятся мнимыми.

Из предыдущих уравнений легко получить значение До с точностью до члена, зависящего от р4. Из (19)

А.^^к);

из (18)

1Аг = 24 (2А) 4- {к — р.а) Ja (26);

и, наконец, из (17)

— А, = A (2ft) + (ft - Рч) 4 (2ft) 4-

44*~А)(*-|*а) —^-^Р^26^'" (2°)

Из (4)

Р-1— 2к 8/г3‘

так что, вводя вновь с и располагая результат по степеням р, получаем —А, = 4 (2ftc) + £ . 1 ftc . 4 (2ftc) +

+ 5 { 4е • A W — ^ ^ • A W}1 (21) A

Отсюда получим амплитуду перпендикулярно отраженной волны, опуская р^ и более высокие степени р.

Случай отражения от неподвижной стенки немного сложнее. Согласно (8), граничное условие есть

-Vpc sin рх •= О,

02 1г ОХ

что дает уравнение

е^ — А^ — ^А^»-»-^ cospx-^A./^^coslpx—...

_p’-csinpx i^tf-Me sin рХ -^AA^W-^stalpx +■..} = 0,(22) которое должно быть удовлетворено, когда z = с cos рх. Первое приближение для Аг имеет вид:

Av = 2iJt ^кс\^

откуда во втором приближении

^о = ^о (2^0 -ф-1 — ^" (^ — ^i) ”Ь ^ } ^1 =

(24)

Первое приближение для различных коэффициентов можно найти, полагая R = -•- 1 в (13).

Если р > к, диффракционных спектров нет, и вся энергия волны, падающей на непроницаемую среду, должна быть представлена в волне, отраженной прямо. Модуль Ао равен поэтому единице. Если р < к, энергия распределяется между различными спектрами, включая и спектр нулевого порядка. Между квадратами модулей До, Ар А.2, . . . имеется, таким образом, некоторое соотношение, причем ряд продолжается, пока р. действительно.

Исследование более аналитического характера может основываться на теореме Гельмгольца (§ 293), согласно которой

—7 dS = 0,| V он л on )

где 5 — некоторая замкнутая поверхность, а б и 7 удовлетворяют уравнениюV2 + ^2 = 0.

Чтобы воспользоваться этой теоремой, примем в качестве 6 и 7 соответственно действительную и мнимую части ср, определяемые по (3). Таким образом, представляя каждый комплексный коэффициент Ап в форме Сп-ф~^п, МЬ| получаем

ф = cos kz -1- Cq cos kz -ф- D^ sin kz -ф-•

-ф- (C1 cos p^z -4- Dt sin p^z) cos px + ...,(25)

7 = sin kz — Co sin kz -ф- Do cos kz -ф-

+ (— Cv sin p.^ -|- Dv cos ^tz) cos рх -ф- • • •(26)

В рядах (25), (26), если их достаточно продолжить, члены меняют свою форму, потому что р. в конце концов становится мнимым; для нашей цели эти члены, однако, не потребуются, так как они исчезают, когда z очень велико. Поверхность интегрирования S слагается из отражающей поверхности и параллельной ей плоскости, расположенной на большом расстоянии. Хотя эта поверхность не является строго замкнутой, ее можно рассматривать как таковую, так как часть, еще остающаяся открытой с боков в бесконечности, не влияет заметно на результат. Но часть интеграла, соответствующая отражающей поверхности, обращается в нуль, так как либо

Ф = у = 0, либо

^ _ ^Х _ дп дп *

И мы заключаем, что, когда z велико,

J{^-7.g}^ = 0.<27>

Применение (27) к выражениям ^ и у в (25), (26) дает

^ + О^ + ^(С; + ОЫ-§(У + О^+... = 1,(28)

причем ряд (28) продолжается настолько, чтобы в нем заключалось каждое действительное значение р,.

В (28) -^-(C„-|-7)^) представляет интенсивность каждого спектра n-го порядка.

Коэффициент ^Jk равен cos 6И, где 6П — угол наклона диффра- гированных лучей. Значение этого фактора станет очевидным, если заметить, что каждой единице площади волн, падающей и отраженной прямо, соответствует площадь cos 6П волн, которые составляют спектр n-го порядка.

Если все значения р.— мнимые, что имеет место при р>к, то (28) сводится к

С? + о^=1,(29)

т. е., словами, интенсивность прямо отраженной волны есть единица. Весьма важно полностью уяснить себе значение этого результата. Как бы ни была глубока волнистость поверхности, если только периодичность ее такова, что периоды ее меньше, чем длина волны колебания, то правильное отражение будет полным. Исключительно шероховатая стенка будет, таким образом, отражать звуковые волны средней высоты так же хорошо, как если бы она была теоретически гладкой.

Приведенное исследование ограничивается случаем, когда вторая среда непроницаема, так что вся энергия падающей волны отбрасы-

вается назад в правильно отраженной волне и в диффракционных спектрах. Интересен вопрос, можно ли заключение о том, что волнистость периода, меньшего X, не дает никакого эффекта, расширить настолько, чтобы приложить его к случаю, когда имеется правильно проходящая волна. Очевидно, что для решения этого вопроса принципа энергии недостаточно, однако, ответ, вероятно, должен быть отрицательным. Если мы будем предполагать, что волнистость заданного периода становится все глубже и сложнее, то, казалось бы, положение вещей в конце концов должно приблизиться к случаю очень постепенного перехода между средами, когда (§ I486) отражение стремится вовсе исчезнуть.

Рамки нашего исследования не позволяют нам трактовать в полном объеме проблему наклонного падения на волнистую поверхность; однако одно или два замечания могут быть сделаны.

Если р можно пренебречь, то решение, соответствующее (13), имеет вид:

До = RJ0 (2kc cos 6), (30)

где 6 — угол падения и отражения, a R— значение До, § 270, соответствующее с=0. Множитель, выражающий эффект волнистости, является, таким образом, функцией с cos 6; так что глубокая волнистость, при большом 0, может иметь тот же самый эффект, что и мелкая, при 0 малом.

Каков бы ни был угол падения, если длина волны волнистости меньше, чем половина длины волны колебаний, то отраженных спектров, исключая спектр нулевого порядка, нет. Отсюда, если вторая среда непроницаема, правильное отражение при указанном выше условии будет полным.

Читателя, желающего продолжить изучение теории решеток, мы должны отослать к трактатам по оптике и к статьям автора1) и проф. Роулэнда9).

ГЛАВА XIV

ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ

Одной из первых задач, естественно возникающих в связи с общей проблемой воздушных колебаний в трех измерениях, является определение движения в неограниченной атмосфере в результате произвольных начальных возмущений. Будем предполагать, что возмущение малб, так что приложимы обычные приближенные уравнения, и далее, что начальные скорости могут быть получены из потенциала скорости, т. е. (§ 240), что отсутствует циркуляция. Если последнее условие нарушено, то мы будем иметь дело с задачей о вихревом движении, которым мы не занимаемся. Мы предположим, в первую очередь, также, что на жидкость не действуют никакие внешние силы, так что исследуемое движение обязано исключительно возмущению, действительно существующему в момент времени (/ = 0), с которого начинается период, подлежащий нашему исследованию. Метод, которым мы будем пользоваться, не очень сильно отличается от метода Пуассона), которым впервые была успешно одолена эта задача.

Если и0, v0, w0— начальные скорости в точке х, у, z, a s0 — начальное сжатие, то мы имеем (§ 244) уравнения

Фо = («о dx 4- v0 dy 4- w0 dz),(1)

(2)(2)Фо = — a%,

(2)

(2)

(3)(3)которыми определяются начальные значения потенциала скорости ф и его производной по времени ф. Стоящая перед нами задача заключается в определении ф для времени t из приведенных выше начальных данных, а общее уравнение, приложимое ко всякому моменту времени и ко всякому месту пространства, имеет вид:

(3)

(3)

Если у известно, производные этой величины дают компоненты скорости в любой точке.

Символическое решение (3) может быть записано в такой форме: ф = sin (la W) • 9 -J- cos (la ^t) • y,(4)

где 0 и у — две произвольные функции х, _у, х и i = V"—1. Чтобы связать 0 и у с начальными значениями у и у, которые мы обозначим соответственно через / и F, необходимо лишь заметить, что для t = 0 (4) дает

у0 = у, у0 = ia^ • 9, так что наш результат может быть представлен следующим образом:

у = cos Ца Wf-V • F;(5)

в этом уравнении вопрос об интерпретации нечетных степеней V не возникает, так как обе символические функции целиком четные.

Мы видели (§ 245), что в случае, когда потенциал у был функцией одного х, его значение для некоторой точки х в момент времени t зависело от начальных значений у и <р в точках с координатами х — at и x-\-at и совершенно не зависело от начальных условий во всех других точках. В настоящем случае, нам кажется, проще всего предположить, что значение у в точке О зависит от начальных значений у и у в точках, расположенных на поверхности сферы, центр которой есть О и радиус at; и, наконец, нет никаких оснований отдать предпочтение одному направлению перед другим; мы приходим, таким образом, к мысли исследовать выражение среднего значения функции на сферической поверхности через последовательные производные функции в центре.

Согласно теореме Маклорена, взятой в символической форме, значение F(x, у, х) в некоторой точке Р поверхности сферы радиуса г может быть написано так:

д , д , д S3 л^У л— _,х да^ дип Эз^

F(x, у, х) = е• F(x0, у0, х^

центр сферы является началом координат. При интегрировании по поверхности сферы д/дх^ д)ду^, д[дх0 ведут себя как некоторые постоянные; мы можем обозначить их на время через /, т, п, так что ^ = ^-ут^-Уп^.

Таким образом, пусть г — радиус сферы, a dS— элемент ее поверхности. Вследствие симметрии сферы, мы можем заменить любую функцию аргумента

tx-Y-ту у иг

V1“ + ^2 4" ^

такою же самой функцией 2, не изменяя результата интегрирования, т. е.

lac-у ту-У па gixA-my-ynsdS =(ev)y^^^ dS==

+r

= f f MS = 2кг ( е7М2=2^(е7г-е-7Ч:Нт/J JJVх7l^r

Среднее значение F по поверхности сферы радиуса г выражается, таким образом, как результат операции над F символа sin (/ ^r^i ^r или, если J J da обозначает интегрирование в пределах телесного Ш F(r)d, = 5^.F.(6)

Сравнивая этот результат с (5), мы видим теперь, что коль скоро <р зависит от начальных значений ср, оно выражается в виде v=rJ J^^^<7>

или, выражая это словами: ср в любой точке в момент времени t равно среднему значению ср на поверхности сферы, описанной вокруг данной точки радиусом at, умноженному на t.

Применив правило Стокса (§ 95), или просто взглянув на (5), мы видим, что часть ср, зависящая от начальных значений ср, может быть выведена из только что написанной путем дифференцирования по t и замены произвольной функции. Полное значение ср в момент времени t есть поэтому

v - Гк / J W d. +1 ^ J f Hat) da (8) — результат, полученный Пуассоном).

Ввиду важности настоящей проблемы, целесообразно проверить это решение a posteriori. Мы должны сперва доказать, что оно удовлетворяет общему дифференциальному уравнению (3). Взяв на момент только первый член и имея в виду общее символическое уравнение<^' d_ £

dP1 t dt1 dt'

мы находим из (8):

ft»WdSi

dt^ 4rd dt J J dt x 7 4na^ dt J J d {at) где dS — элемент поверхности сферы радиуса r = at.

Но по теореме Грина

Ho ffHo ffи, таким образом,

Ho ff

Ho ff

^F di идентично Va J J F di, и, таким образом, уравнение

(3) действительно удовлетворено.

Так как вторая часть ср получается из первой путем дифференцирования, то она также должна удовлетворять основному уравнению.

Что касается начальных условий, то мы видим, что когда t в (8) положено равным нулю,

^^J J/(^W=o)=/(O);

^^j J^^^+^S' J J /(«0^=0)

— выражение, первый член которого в пределе становится равным Л(0). При t = 0

f(at)di = 2^ Г Г f(af)d^t=Q} = 2а f f f'(at)di^=o) = 0,

так как элементы, расположенные друг против друга, в пределе, при безграничном уменьшении радиуса сферы, взаимно уничтожаются. Выражение в (8) удовлетворяет поэтому как предписанным начальным условиям, так и общему дифференциальному уравнению.

Если начальное возмущение ограничено пространством Т, то интегралы в (8) § 273 равны нулю, если только некоторая часть поверхности сферы г = at не заключена внутри Т. Пусть О — некоторая точка, внешняя к Т, а гг и га— радиусы наименьшей и наибольшей из сфер, описанных вокруг О, которые пересекают Т. Тогда, покуда at < гр с? остается равным нулю. Когда at лежит между rv и га, ср может быть конечным, но для значений, больших, чем га, ср снова равно нулю. Возмущение, таким образом, во всякий момент времени ограничено теми частями пространства, Для которых at заключается между гг и га. Границей волны является огибающая сфер радиуса at, центры которых расположены на поверхности Т. «Когда t мало, эта система сфер будет иметь внешнюю огибающую из двух листов, причем наружный из этих листов будет внешней, а внутренний — внутренней поверхностью слоя, образованного совокупностью сфер. Внешний лист образует

внешнюю границу той части среды, где расширение отлично от нуля. По мере того как t возрастает, внутренний лист сжимается, наконец, его противоположные стороны пересекают друг друга и он изменяет свой характер, превращаясь из внешнего по отношению к сферам во внутренний. Далее он расширяется и образует внутреннюю границу слоя, в котором заключена волна сжатия» 1). Последовательные положения границ волны представляют собой, таким образом, серию параллельных поверхностей, и каждая граница распространяется по нормали со скоростью, равной а.

Если в момент ^=0 движения не было, так что начальное возмущение являлось только изменением плотности, то последующее положение вещей выражается первым членом (8) § 273. Предположим, что начальное возмущение, все еще ограниченное конечной областью Т, состоит только из одного сжатия, без разрежения. Можно было бы думать, что эта же самая особенность будет присуща в течение всего дальнейшего времени и возникшей волне; однако подобное заключение, как заметил проф. Стокс, было бы ошибочным. Для значений времени, меньших, чем гх[а, потенциал в О равен нулю; он становится затем отрицательным (s0 положительно) и продолжает оставаться таким, пока при t=r^a снова не обращается в нуль, после чего уже все время остается равным нулю. Когда ср уменьшается, среда в О находится в состоянии сжатия, когда же ср снова возрастает до нуля, состояние среды в О является состоянием разрежения. Волна, распространяющаяся наружу, состоит поэтому, по меньшей мере, из двух частей, из которых одна есть волна сжатия, а другая — волна разрежения. Каков бы ни был характер первоначального возмущения в пределах Т, конечное значение ср в любой внешней точке О будет тем же самым, что и начальное значение; поэтому среднее сжатие при прохождении волны, зависящее от интеграла ^ sdt (так как a2s =—ср), есть нуль. Мы еще будем иметь случай возвратиться к этому предмету в связи с вопросом о сферических волнах (§ 279).

Общее решение, заключающееся в (8) § 273, должно, конечно, охватывать и частный случай плоских волн; однако несколько слов по поводу этого приложения могут оказаться не лишними. Действительно, на первый взгляд могло бы показаться, что в заданной точке эффект возмущения, ограниченного первоначально слоем среды, заключенным между двумя параллельными плоскостями, не будет проходить за конечное время, что, как мы знаем, должно иметь место. Предположим для простоты, что <р0 всюду равно нулю и что внутри рассматриваемого слоя начальное значе-

9 Stokes, «Dynamical Theory of Diffraction», Camb. Trans., том IX, стр. 15, 1849,

ние ср0 постоянно. Из теории плоских волн мы знаем, что во всякой произвольной точке возмущение в конце концов, — по истечении некоторого времени t, такого, что at равно расстоянию d рассматриваемой точки от более отдаленной границы первоначально возмущенной области, — прекратится; с другой стороны, из общих формул, казалось бы, вытекает, что возмущение продолжает существовать, поскольку сфера радиуса at продолжает пересекать область. Однако хотя и верно, что ср остается конечным, это отнюдь не несовместимо с покоем. Действительно, при исследовании обнаруживается, что среднее значение <р0, умноженное на радиус сферы, одно и то же, каковы бы ни были положение и размеры сферы, при одном только условии, что она проходит целиком в области первоначального возмущения. Если at > d, то <р, таким образом, постоянно как в пространстве, так и во времени, и в соответствии с этим среда находится в покое.

[Эти же принципы можно применить и к истолкованию явления грома. Мы могли бы предположить, что образование теплоты вдоль пути молнии является равномерным и эквивалентным равномерному начальному распределению сжатия. Повидимому, значение <р в О— точке наблюдения — может быстро изменяться только тогда, когда сфера r = at встречает путь разряда в самых его концах, или же очень косо.]

Можно было бы предположить, что в двух измерениях, когда о не зависит от z, соответствующие формулы получатся путем простой замены сферы радиуса at кругом равного радиуса. Это, однако, не так. Можно показать, что среднее значение функции F^x, у) вдоль окружности радиуса г есть J0(ir^)F0, где z ~^ ’V2 = — I —

^о’

a Jo — функция Бесселя нулевого порядка, так что

2^ J ^^х’ У)^8 = у\ । "22- + 22.42 + -

— выражение, отличающееся от того, которое требуется, чтобы удовлетворить основному уравнению.

Правильный результат, приложимый к двум измерениям, можно получить из общей формулы. Элемент сферической поверхности dS можно заменить через г dr d^cos ty, где г, 0 — плоские полярные координаты, а ^— угол между касательной плоскостью и плоскостью, в которой происходит движение. Таким образом,

У а№ — fi

COS Ф =1,

*at

F(at) заменяется через F(r, 0), и, следовательно,

Г(1)

J J 4па УаЧ1 — г4

причем интегрирование производится по площади круга радиуса г = at Другой член можно получить по правилу Стокса. Это решение приложимо к движению слоя газа между двумя параллельными плоскостями или к движению безграничной натянутой мембраны, которое подчиняется тому же основному уравнению.

Из решения, выраженного через начальные условия, мы можем, как обычно, вывести эффект непрерывно возобновляемого возмущения. Предположим, что всюду в пространстве Т (которое мы в конце концов сделаем исчезающе малым) сообщается в момент времени V равномерное возмущение <р, равное Ф^dtr. Соответствующее значение ср в момент времени t есть

4ла2 (/ — V) v '

где S обозначает часть поверхности сферы r = a^t— ^), заключенную внутри Т, величину, которая исчезает, если только a(t— f) не заключено между узкими пределами гх и л2. Но t — f можно заменить через г]а и Ф(О через Ф^—г/а); результат интегрирования по dt' найдется, если написать Г (объем) вместо ^aSdt'. Отсюда:

? = (О ‘ 4ла2г \ а ) *

это показывает, что возникающее в какой-либо точке возмущение распространяется симметрично по всем направлениям со скоростью а и с амплитудой, изменяющейся обратно пропорционально расстоянию. Так как можно осуществить суперпозицию любого числа частных решений, то общее решение уравнения

ср = а97ау-4~Ф (2)

можно написать в такой форме:

где г обозначает расстояние элемента dV, расположенного в точке х, у, z, от О (где оценивается ср), а Ф(£— rja) есть значение Ф для точки х, у, z в момент времени t—r/а. Дополнительные члены, удовлетворяющие во всем пространстве уравнению <p=a2V2<p, могут, конечно, войти в это решение независимым образом. В нашем прежнем обозначении (§ 244)

Ф = ^. Xdx-\-Ydy-\-Zdz,

и предполагается, что Xdx-\- Ydy-\-Zdz есть полный дифференциал. Силы, при наличии которых среда не могла бы сама прийти в равновесие (например, сила, одинаковая по величине и направле-

нию в пределах пространства Т и исчезающая вне этого пространства), исключены. Природу возмущения, обозначенного через Ф, лучше всего, вероятно, понять, рассматривая крайний случай, когда Ф исчезает всюду за исключением малого объема, который предполагается беспредельно уменьшающимся, между тем как величина Ф возрастает таким образом, что эффект в целом остается конечным. Если мы тогда проинтегрируем уравнение (2) по малому пространству, заключающему точку, в которой окончательно концентрируется Ф, то найдем в пределе:

.— выражение, показывающее, что эффект Ф можно изобразить пропорциональным введением или удалением жидкости в рассматриваемом месте. Простейший источник звука аналогичен, таким образом, фокусу в теории теплопроводности или электроду в теории электричества.

Предыдущие выражения являются общими в смысле зависимости от времени входящих в них функций, но почти во всех приложениях, с которыми мы должны будем иметь дело, удобнее будет анализировать движение с помощью теоремы Фурье и трактовать простые гармонические движения различного периода по отдельности, комбинируя впоследствии, если это потребуется, результаты. Значения <р и Ф, если они являются простыми гармониками в каждой точке пространства, могут быть выражены в форме R cos (nt -}- г), где R и г не зависят от времени, но меняются от точки к точке. Но поскольку в таких случаях прибавление члена iR sin (nt-^ г), дающее в целом ReHnt^ или Re'4 • eint, часто упрощает дело, мы будем просто предполагать, что все функции, входящие в задачу, пропорциональны etnt, коэффициенты же вообще комплексны. После того как наши операции будут закончены, действительные и мнимые части выражений могут быть разделены; каждая из них в отдельности составляет решение вопроса.

Так как <р пропорционально eint, ср = — п^ф, и дифференциальное уравнение принимает вид:

V2cp-]-^2? + й-2Ф = 0,(1)

где, для краткости, вместо п]а написано к. Если Л обозначает длину волны колебания рассматриваемого периода.

Чтобы приспособить выражение (3) предыдущего раздела к настоящему случаю, необходимо только заметить, что замена t на t — г]а осуществляется введением множителя e~inr!a или e-ikr;

таким образом,

Ф^ —^ = е-«'гФ (О,

и решение (1) имеет вид:

— выражение, к которому можно прибавить любое решение уравнения V2<p №<а = 0.

Если все возмущающие силы находятся в одинаковой фазе и область, в которой они действуют, очень мала в сравнении с длиной волны, то e-iAr может быть вынесено из-под знака интеграла, и на достаточном расстоянии мы можем взять

или в действительных величинах, восстанавливая временной множитель и заменяя J J J Ф^^ через Фр

*1 А-а^г'

Для подтверждения того, что решение (3) удовлетворяет дифференциальному уравнению (1), мы можем поступить как в теории обычного потенциала. Рассматривая один элемент интеграла в некоторый момент времени, мы должны прежде всего показать, что

¥ =(5)

удовлетворяет V^-f- k^ = 0 в точках, для которых г конечно. Простейший путь — это выразить V2 в полярных координатах, отнесенных к самому элементу, взятому в качестве полюса; тогда e‘tkr _7 д2। 2 d1 d3 e”ikr_ е"4кт

г\dr3 г dr)г г дг^Г гг *

Мы заключаем, что (3) удовлетворяет VAp -}- к^ = 0 во всех точках, где Ф обращается в нуль. Для точки, в которой Ф не исчезает, мы можем исключить из рассмотрения все элементы, расположенные на конечном расстоянии (так как они дают лишь члены, удовлетворяющие уравнению V3cp-|-^’3? = 0), а для элемента на бесконечно малом расстоянии заменить e~iJir единицей. Таким образом, в сумме

(V2 + fc2)? = —L V2 | [ рф^ = 4ф,

в точности так же, как в теореме Пуассона для обычного потенциала 2).

t) См. Thomson and Tait, Natural Philosophy, § 491.

Эффект силы Фр распределенной по поверхности S, можно получить в предельном случае из (3) § 277. Ф^У заменяется через ^bdS, где b обозначает толщину слоя; в пределе мы можем написать Ф# = Ф1. Таким образом,

1 Г Г z>-iRr

=dS.(1)

т 4ла2 J J 1 г

Значение ? одинаково по обе стороны от S, но производные о претерпевают на S разрыв. Если dn проведено по нормали наружу от S, то (4) § 276 дает

(2)

Если поверхность S — плоская, то интеграл в (1), очевидно, симметричен относительно нее, и поэтому

/ ^ \ ( \\ дп д \ дп /а*

Отсюда, если д'о]дп есть заданная нормальная скорость жилкости в соприкосновении с плоскостью, то значение ^ определяется выражением

которое представляет собой весьма важный результат. Чтобы выразить его через действительные величины, мы можем положить ^L — peiUit*^

дп’v 7

где Р и г — действительные функции положения dS. Символическое решение принимает тогда вид:

9 =(5)

из которого, если отбросить мнимую часть, мы получаем

ф = - Д f fPS2lA2kzir+2Las,(6)

т 2л J Jг4 7

соответственно

-^ = Pcos (/^4-г).(7)

Этот же самый метод приложим к общему случаю, когда движение не обязательно сводится к простой гармонике. Мы имеем:

? = —f,(8)

2л J J\ а) г *v 7

9 Helmholtz, Crelle, том 57, стр. 21, 1860.

где через Vyt—^ обозначена нормальная скорость в плоскости для элемента dS в момент времени t—г/а, т. е. на время г/й, предшествующее моменту, для которого оценивается ф.

Чтобы завершить решение проблемы для неограниченной массы жидкости, лежащей по одну сторону бесконечной плоскости, мы должны прибавить наиболее общее выражение для ср, совместимое с V = 0. Эта часть вопроса тождественна с общей задачей отражения от бесконечной твердой плоскости г).

Очевидно, эффект связи будет представлен, если ввести по другую сторону плоскости фиктивные начальные смещения и силы, образующие в соединении с действительно существующими на первой стороне систему, строго симметричную относительно плоскости. Каковы бы ни были начальные значения ср и ср, принадлежащие любой точке на первой стороне, то же самое должно быть приписано ее изображению, и равным образом, какая бы функция времени Ф ни существовала в первой точке, такую же точно функцию времени следует представить себе в другой. При этих условиях ясно, что ф для всего последующего времени будет симметрично относительно плоскости, и поэтому нормальная скорость равна нулю. Но тогда очевидно, что в движении на первой стороне ничего не изменится, если плоскость будет удалена и жидкость будет простираться неограниченно во всех направлениях,— если, конечно, положить, что условия на второй стороне являются точным отображением условий на первой стороне. Если иметь это в виду, то общее решение задачи для жидкости, ограниченной бесконечной плоскостью, содержится в формулах (8) § 273, (3) § 277 и (8) настоящего раздела. Они дают результат для произвольных начальных условий <р0 и <р0, произвольных приложенных сил Ф и произвольного движения плоскости со скоростью V.

Если измерять по результирующему потенциалу, то источник заданной интенсивности, т. е. источник, в котором происходят заданные поступление и отток жидкости, вдвое эффективнее, когда он находится вплотную по соседству с твердой плоскостью, чем в случае, когда он расположен в открытом пространстве; результат в конечном счете одинаков, сконцентрирован ли источник в одной точке в близком соседстве с плоскостью или же он обусловлен соответствующим нормальным движением поверхности самой плоскости.

Действие плоскости состоит в том, что она удваивает эффективные давления, которые противостоят расширению и сжатию у источника, и поэтому удваивает полную испускаемую энергию, а так как эта энергия рассеивается только в пределах полупространства, то интенсивность звука учетверяется, что соответствует удвоенной амплитуде, или удвоенному потенциалу (§ 245).

i) Poisson, Journal de ГЁсо1е polytechnique, том VII, 1808.

Мы предположим теперь, что условием, предписанным для бесконечной плоскости, вместо д^[дп = 0, является ср = 0. В этом случае фиктивное распределение ср0, ср0, Ф на другой стороне плоскости должно быть противоположным распределению на первой стороне, так что сумма значений в двух соответствующих точках всегда равна нулю. Этим обеспечивается равенство ср нулю всюду на самой плоскости симметрии.

Предположим далее, что имеются две параллельные поверхности Sj и Sa, разделенные бесконечно малым интервалом dn, и что значение Фг на второй поверхности равно и противоположно значению Ф1 па первой поверхности. При переходе через 5Р согласно (2), имеет место конечное изменение значения д^]дп на величину Ф^а2, при переходе же через Sg то же самое конечное изменение происходит в обратном направлении. Когда dn стремится к нулю и Ф^/г заменяется через Фп, да/дп оказывается одинаковым по обе стороны двойного слоя, но значение ср претерпевает разрыв величиною Фп/а2. В то же самое время (1) принимает вид:

1 С Г д fe~ikr\

ср^-рЦ. )Фц^.(9)

1 4тш3 J J дп \ г /v '

Если поверхность 5 плоская, то значения ср по обе стороны ее

численно равны, и поэтому вплотную к самой поверхности

±^-^tl-

Отсюда (9) можно написать следующим образом:

(Ю)(Ю)

(Ю)

(Ю)

где ср под знаком интеграла представляет собой поверхностный потенциал, положительный на одной стороне и отрицательный на другой, обязанный действию сил в 5. Направление dn следует считать в ту сторону, с которой подсчитывается ср.

Проблема сферических волн, расходящихся из точки, по существу уже вошла в круг нашего внимания и до некоторой степени была рассмотрена, по ввиду ее важности требует более детальной трактовки. Если центр симметрии взять в качестве полюса, то потенциал скорости есть функция одного только г, и (§ 241) V3 д2 . 2 д 1 д / 9 д \ .,,

сводится к + илиУравнение свободного дви

жения (3) § 273 приобретает, таким образом, вид:

(1)(1)д3 (г?)

(1)

(1)

откуда, как в § 245,

r4=f<at — r^F (at-Vr).(2)

Значения скорости и сжатия найдутся путем дифференцирования в согласии с формулами

иидг *дг *8 =—8 =—д3^*д3^*(8)(8)

и

и

дг *

дг *

8 =—

8 =—

д3^*

д3^*

(8)

(8)

Как и в случае одного измерения, первый член представляет волну, распространяющуюся в направлении возрастающих г, т. е. расходящуюся волну, второй же член — волну, сходящуюся к полюсу. Последняя сама по себе не представляет большого интереса. Если мы ограничим наше внимание расходящейся волной, то имеем:

f^at — r^fH — ^.f'(at — r)

Когда г очень велико, членом, содержащим в делителе г9, можно пренебречь, и тогда приближенно

и = as(5)

— то же соотношение, что и в случае плоской волны, как этого и следовало ожидать.

Если тип колебаний — гармонический, то

r^ = Aetk^at-T^\(6)

или, если удерживается только действительная часть,

гср = Д cos у {at 4- 6 — г).(7)

Если расходящееся возмущение ограничено сферическим слоем, внутри и вне которого сжатие и скорость равны нулю, то характер волны определяется замечательным соотношением, впервые указанным Стоксом т). Из уравнений (4) мы имеем:

(as — я) г9 = f(at — г)

— выражение, показывающее, что значение f(at—г) внутри и снаружи слоя, которым ограничена волна, одно и то же, а именно, равно нулю. Отсюда, в силу (4), если аир радиусы, больший и меньший, чем крайние радиусы слоя,

J srdr — 0,(8)

что и выражает упомянутое соотношение. Как в § 274, мы видим, что волна сжатия или волна разрежения не может существовать отдельно. Когда радиус становится большим в сравнении с толщиной, изменением г в интеграле можно пренебречь, и уравнение (8) выражает тогда, что среднее сжатие равно нулю.

1) Stokes, Phil. Mag., XXXIV, стр'. 52, 1849.

[Пользуясь методом Фуко, позволяющим делать видимыми малейшие оптические неоднородности, Теплерут) удалось наблюдать сферические звуковые волны, возникающие в малых электрических искрах, и их отражение от плоской стены. Впоследствии фотографии подобных явлений были получены Махом а).]

Применяя общее решение (2), чтобы получить движение, возникающее при произвольных начальных условиях, мы должны помнить, что в его настоящей форме оно слишком обще для этой цели, так как охватывает случай, когда полюс является источником или местом, где жидкость вводится или выводится, в нарушение уравнения непрерывности. Полный поток через поверхность сферы радиуса г есть 4лг«, или, в силу (2) и (3),

— 4л {/ (at — г) -ф- F (at -ф- г)} -ф- 4кг { Ff (at -ф- г) — /' (at — г)}, так что, если в полюсе нет источника, то f(at— г) Ц-F (atг) или гср должно обращаться в нуль вместе с г. Таким образом,

f(at)-VF(at) = O(9)

— уравнение, которое должно быть справедливо для всех положительных значений аргумента ).

В силу известных начальных условий значения и и s определены для времени / = 0 и для всех (положительных) значений г. Если эти начальные значения представлены и0 и s0, то мы получаем из (2) и (3) уравнения

(Ю)(Ю)/( —r) + ^(r) = r J uodr.

(Ю)

(Ю)

f( — r) — F(^ = a^ sor dr,

которыми функция / определяется для всех отрицательных значений аргумента, а функция F— для всех положительных значений. Вид / для положительных значений аргумента вытекает из (9), а тогда все последующее движение определяется уравнением (2). Вид F для отрицательных значений аргумента знать не обязательно.

Начальное возмущение разделяется само на две части, перемещающиеся в противоположных направлениях, в каждом из которых г^ распространяется с постоянной скоростью а, причем волна, идущая внутрь, непрерывно отражается в полюсе. Так как условие, которому нужно здесь удовлетворить, есть г^ = 0, то этот случай, до известной степени, аналогичен случаю цилиндрической трубы, оканчивающейся открытым концом, и таким путем мы, может

быть, будем в состоянии лучше понять, почему за волной сжатия, возникающей в результате освобождения массы сжатого воздуха вокруг полюса, немедленно следует волна разрежения.

[Сложный характер волны, возникающей в результате начального сжатия, можно призвать для объяснения одного часто вызывавшего удивление явления. Часто наблюдают, что стекла, разбитые сильным взрывом по соседству, выпадают наружу, как будто бы они подверглись действию волны разрежения. Этот эффект можно приписать второй части сложной волны, но при этом естественно спросить, почему же вторая часть должна преобладать над первой? Если бы стекло было подвешено свободно, то количества движения, приобретенные им от волны сжатия и волны разрежения, были бы равны. Но в действительных условиях легко может случиться, что сила волны сжатия затрачивается на преодоление сопротивления опор (supports), и тогда волне разрежения оставляется свобода произвести ее полный эффект.]

Возвращаясь теперь к случаю цуга гармонических волн, распространяющихся наружу из полюса, как из источника, исследуем связь между потенциалом скорости и количеством жидкости, которое надо предполагать попеременно вводимым и удаляемым в полюсе. Если потенциал скорости есть

л

Ф = —^COS^(tiZ—г), (1)

то мы имеем, как в предыдущем разделе, для полного потока, пересекающего сферу радиуса г,

4лг2 ^ = Л [cos h^at—г)— hr sin h(at— г)} = A cos hat,

где г достаточно мало. Если обозначить максимальную скорость введения жидкости через А, то соответствующий потенциал дается выражением (1).

Следует заметить, что если источник, измеряемый величиной А, конечен, то потенциал и изменение давления (пропорциональное <р) в полюсе бесконечны. Это, однако, не влечет за собой, как можно было бы сначала предположить, бесконечного испускания энергии. Если давление разделено на две части, одна из которых совпадает по фазе со скоростью, а другая — с ускорением, то первая часть, от которой зависит работа, конечна. Бесконечная часть давления в целом не совершает работы, но лишь поддерживает колебание воздуха непосредственно вокруг источника, эффективная инерция которого бесконечно велика.

Исследуем теперь энергию, испускаемую простым источником заданной интенсивности, предполагая для большей общности, что источник расположен в вершине твердого конуса с телесным углом О). Если скорость, с которой вводится жидкость в источник,

есть A cos kat, то мы имеем окончательно

юг2 = A cos kat,dr

соответственно

Ф =— — cos к (at— г),(2)

откуда

?==^7 sin &(^ —г)(3)

и

cur2 ^ = А {cos к (at — г) — кг sin к (at — г)}.(4)

Таким образом, как в § 245, если dW—работа, перенесенная за время di, мы получаем, поскольку Зр =— рф,

— =5йТ~ sin & ^at — r^ cos — г) “Г Р —~— sin9 к (at — г).

Первый член правой части целиком периодический, а во втором среднее значение sin2^(a^—г) равно у. Таким образом, за длительное время

(5)1)

Следует отметить, что при заданном источнике амплитуда изменяется обратно пропорционально <о, и поэтому интенсивность обратно пропорциональна <о2. Для острого конуса интенсивность больше не только за счет уменьшения телесного угла, внутри которого распределяется звук, но также и потому, что сама полная энергия, испускаемая источником, возрастает.

Когда источник находится в открытом пространстве, мы должны только положить ю = 4л, когда же он расположен вплотную к твердой плоскости, со = 2л.

Результаты этого раздела находят интересное применение в теории рупора или (в силу закона обратимости §§ 109, 294) слуховой трубки. Если диаметр широкого открытого конца мал сравнительно с длиной волны, то волны по приходе испытывают сильное отражение, и окончательный результат, который должен зависеть, в основном, от точных относительных длин трубы и волны, требуется определить иным путем. Это отражение можно уменьшить достаточным удлинением конуса; оно имеет тенденцию исчезнуть, когда диаметр открытого конца заключает в себе большое число длин волн. Если отвлечься от грения, то, уменьшая со, от данного источника можно получить любое желаемое количество энергии, и

!) Cambridge Mathematical Tripos Examination, 1876.

в то же самое время удлинением конуса обеспечить беспрепятственный переход этой энергии от трубы к окружающему воздуху.

Из теории диффракции следует, что звук не будет сколько- нибудь сильно ослабляться в боковом направлении, если диаметр широкого конца не превосходит половины длины волны. Общеизвестное объяснение эффекта обычного рупора, связанное с пред юлагае- мой концентрацией лучей в аксиальном направлении, таким образом, несостоятельно.

С помощью уравнения Эйлера

(1)(1)д'1 <г^ _ „ d2 (г?)df» ” dri

(1)

(1)

мы легко можем развить теорию для конических труб с открытыми концами, аналогичную теории Бернулли для параллельных труб и подчиненную тем же ограничениям относительно малости диаметра труб сравнительно с длиной волны звука1). Полагая колебание стоячим, так чтобы г^ было всюду пропорционально cos kat, мы получаем из (1) уравнение

?^ + ^.Г!(, = 0, (2)

общим решением которого является

rtp = Л cos кг + В sin кг.(3)

Условие, которое должно быть удовлетворено на открытом конце, заключается в том, что здесь не должно быть ни сжатия, ни разрежения, и дает г^ = 0, так что, если крайние радиусы трубы суть гх и г2, мы имеем:

Л cos krt -ф- В sin krx = 0 и Л cos кг4 -ф- В sin kr.^ = О, откуда, после исключения А(В, имеем sin к(г^ — П) = 0, или г2—г^—^-тХ, где т — целое число. Действительно, поскольку форма общего решения (3) и условия для открытого конца те же самые, что и для параллельной трубы, то и результат, согласно которому длина трубы кратна половине длины волны, необходимо должен быть также одинаков с предыдущим.

Конус, полный до самой вершины, можно трактовать так, как если бы последняя была открытым концом, потому что условие гср = О, как мы видели в § 279, там удовлетворено.

Сходство с параллельными трубами не распространяется, однако, на положение узлов. В случае самого низкого колебания паралле льной трубы, открытой на обоих концах, узел занимает центральное положение, и обе половины колеблются синхронно, как трубы, открытые с одного конца и закрытые с другого. Но если бы коническая

9 D. Bernoulli, Мёт. d. Г Acad. d. ScL, 1762; Duhamel, Liouville Jou* n. Math., том XIV, стр. 98, 1849.

труба была разделена перегородкой в ее центре, то обе ее части имели бы, очевидно, различные периоды; действительно, одна часть отличается от трубы с параллельными стенками тем, что она сжата у своего открытого конца, причем эффектом сжатия является понижение высоты, между тем как другая часть сжата у своего закрытого конца, где эффектом этого является возрастание высоты. Чтобы оба периода могли быть одинаковыми, перегородку нужно приблизить к более узкому концу трубы. Действительное положение перегородки можно определить аналитически из (3), приравнивая нулю выражение dyfdr.

Когда оба конца конической трубы закрыты, то соответствующие ноты определяются путем исключения А/В из уравнений

A (cos кгх -ф- krx sin кг^ -ф- В (sin krx — krx cos krx) = 0,

Д (cos kr^ -ф- kr,2 sin kr^) -ф- В (sin kr,2 — kr.2 cos kr^) = 0.

Результат можно представить в форме

кг2 — arc tg кг2 = кгх — arc tg krv(4)

Если rt = 0, мы имеем просто

tgkr.2 = kr2;(5))

если гх и г3 очень велики, TOHarctg£rt и arctgfer.3 являются не- четными кратными -^ к, так что г2— гх есть кратное -^к, как того требует теория труб с параллельными стенками.

[Если га— rx = l и г2-|-г1 = г, то (4) можно написать так: tg«=—|-^.(6)

1 +(гЗ —/2)

Когда г велико в сравнении с I, приближенное решение (6) дает

где nt— целое число. Влияние коничности на высоту звука, таким образом, второго порядка.

Эксперименты с коническими трубами производились Буте й) и Блэйкли).)

Если имеются два различных источника звука одинаковой высоты, расположенных в Ох и 0.3, то потенциал скорости ъ в точке Р, расстояния которой от Ох и 0.2 равны, соотве1ственно, гА

и га, можно выразить следующим образом:

. cos к (at—. D cos к (at— r^ — a)

Ф = AT- D ,( 1)

где А и В — коэффициенты, представляющие силы источников (им можно, не теряя в общности, приписать одинаковые знаки), a a представляет запаздывание (рассматриваемое в виде расстояния) второго источника относительно первого. Два цуга сферических волн находятся в согласии (в фазе) в некоторой точке Р, если r3-|- a — rt = dizmX, где т—целое число, т. е. если Р лежит на одном из системы гиперболоидов вращения, имеющих фокусы в О, и Оа. В точках, лежащих на промежуточных гиперболоидах, представляемых уравнением ГуД-а — гг = ±-^-(2/n-|-1)А, обе серии волн противоположны по фазе и нейтрализуют друг друга, насколько это позволяют их действительные амплитуды. Нейтрализация полная, если r^fg = А]В, и тогда плотность в Р продолжает все время оставаться постоянной. Пересечения этой сферы с системой гиперболоидов будут, таким образом, выражаться в большинстве случаев несколькими кругами абсолютного молчания. Если расстояние О1О3 между источниками велико сравнительно с длиной волны и если сами источники не слишком близки по силе, то от сферы г1/га = A/В возможно отойти на расстояние нескольких длин волн, не нарушая заметно равенства интенсивностей, и, таким образом, получить на конечных поверхностях несколько смен звука и почти полного молчания.

В действительности удовлетворительное осуществление интерференции двух независимых звуков представляет некоторые трудности. Если унисон не исключительно идеальный, то молчания только мгновенные, и вследствие этого их трудно оценивать. Лучше поэтому пользоваться источниками, механически связанными друг с другом так, чтобы относительные фазы испускаемых ими звуков не могли меняться. Простейшая схема—это повторять первый звук путем отражения его от плоской стены (§§ 269, 278), но тогда эксперимент несколько теряет в своей непосредственности вследствие фиктивного характера второго источника. Может быть наиболее удовлетворительной формой эксперимента является та, которая описана мною в Philosophical Magazine за июнь 1877 года. «Прерывистый электрический ток, получавшийся от камертонного прерывателя, дающего 128 колебаний в секунду, возбуждал с помощью электромагнитов два других камертона, частота которых была равна 256 (§§ 63, 64). Эти два камертона были помещены на расстоянии примерно десяти ярдов друг от друга и снабжены соответствующим образом настроенными резонаторами, усиливавшими их звуки. Частота камертонов была необходимо одинаковой, так как колебания возбуждались электромагнитными силами абсолютно одинакового периода. Было найдено, что с одним закрытым ухом возможно определить места

молчания со значительной точностью: перемещения на один дюйм уже было достаточно, чтобы произвести заметное усиление звука. В точке молчания, из которой линия, соединяющая камертоны, была видна под углом около 60°, остановка одного из камертонов воспринималась, как внезапный взрыв звучания второго камертона, и производила весьма своеобразный эффект».

Другой метод заключается в раздвоении звука, идущего вдоль трубы, с помощью ответвлений, открытые концы которых действуют как источники. Но осуществление опыта в этой форме — дело не очень легкое.

Чтобы указать на существование мест молчания, часто достаточно соображений симметрии. Так, например, очевидно, что ни на продолжении плоскости колеблющейся пластинки, ни в экваториальной плоскости симметричного тела вращения, колеблющегося в направлении своей оси, не может быть никакого изменения плотности. Более обще, любая плоскость, по отношению к которой источники располагаются симметрично, так что в любой паре изображающих друг друга в плоскости точек расположены источники равных интенсивностей и противоположных фаз или, как часто удобнее выражаться, источники с одинаковой фазой и противоположными амплитудами, есть плоскость молчания.

Если некоторое число источников с одинаковой фазой, половина которых имеет положительную, а половина — отрицательную амплитуду, размещено на окружности круга, то они не вызовут возмущений давления в точках прямой линии, которая проходит через центр круга и перпендикулярна к его плоскости. Это — случай симметричного колокола (§ 232), который не испускает звука в направлении своей оси ).

Тщателыюе экспериментальное исследование воздушных колебаний связано со значительными трудностями, которые до настоящего времени преодолены лишь частично. Чтобы избежать нежелательных отражений, необходимо, вообще, работать на открытом воздухе, где трудно управлять такими деликатными приборами, как чувствительное пламя. Другое затруднение возникает вледствие присутствия самого экспериментатора, тело которого достаточно велико, чтобы сильно изменить положение вещей, которое он желает исследовать. Среди индикаторов звука можно упомянуть мембраны, натянутые на чашки, где возбуждение делается видимым благодаря песку или маленьким маятникам, свободно подвешенным вблизи мембран. Если мембрана просто натянута на обод, то на обе ее стороны действуют приблизительно одинаковые силы, и движение вследствие этого сильно уменьшается, если только мембрана не настолько велика, чтобы дать заметную тень, которая может защитить ее заднюю сторону. Вероятно, наилучший метод изучения интенсивности звука в какой-либо

точке воздуха заключается в том, чтобы отвести часть его с помощью трубки, оканчивающейся в маленьком конусе или резонаторе; отведенный звук направляется к уху или к манометрической коробке. Этим путем места молчания нетрудно определить со значительной точностью.

С помощью аппарата этого рода возможно исследовать даже фазу колебания в какой-либо точке в воздухе и проследить поверхности, на которых фазане меняется :). Если внутренность резонатора соединена гибкой трубкой с манометрической коробкой, которая действует на небольшое газовое пламя, то движение пламени неизменным образом (зависящим от самого аппарата) связано с изменением давления в резонаторе; в частности, интервал между самым низким положением пламени и самым низким давлением в резонаторе не зависит от абсолютного времени, когда этот эффект имеет место. В экспериментах Мейера применялись два пламени, расположенных вблизи друг друга на одной вертикальной линии; они исследовались с помощью вращающегося зеркала. Пока присоединенные резонаторы оставались невозмущенными, зубцы обоих пламен занимали неизменное относительное положение; это относительное положение сохранялось и тогда, когда один из резонаторов перемещали, чтобы проследить за поверхностью неизменной фазы. За дальнейшими деталями мы должны отослать читателя к оригинальной статье.

Когда звуковые волны встречают какое-либо препятствие, часть движения отбрасывается назад в качестве эхо, и под защитой препятствия здесь образуется род звуковой тени. Однако, чтобы образовать тень, сколько-нибудь похожую на совершенные оптические тени, тело, служащее препятствием, должно иметь значительные размеры. Образцом для сравнения, соответствующим предмету, является длина волны колебания; чтобы получить звуковые лучи., требуются почти столь же крайние условия, как в оптике для того, чтобы избегнуть образования их. Тем не менее звуковые тени, отбрасываемые холмами или зданиями, бывают часто довольно полными и должны быть знакомы всякому.

Для более близкого изучения возьмем сначала случай плоских волн, встречающих неподвижный плоский экран бесконечно малой толщины, в котором имеется отверстие какой-либо формы; плоскость экрана (х = 0) пусть параллельна фронтам волн. Потенциал скорости невозмущенного цуга волн можно взять в форме

<?=cos(nt— кху (1)

Если значение д^{дх по всей площади отверстия известно, то формулы (6) и (7) § 278 позволяют нам вычислить значение <р в любой точке на другой стороне. В обычной теории диффракции, как она излагается в трудах по оптике, предполагается, что возмущение

!} Mayer, Phil. Mag. (4), том XLIV, сгр. 321, 1872,

в плоскости отверстия такое же, как при отсутствии экрана. Эта гипотеза, хотя она никогда не может быть строго правильной, достаточна, если отверстие очень велико сравнительно с длиной волны, как это обычно имеет место в оптике.

Для невозмущенной волны мы имеем

а поэтому на другой стороне получаем

Д(3)

причем интегрирование распространяется по всей площади отверстия. Так как к = 2-п/Х, то, сравнивая с (1), мы видим, что, если предположить, имея в виду применение принципа Гюйгенса, первичную волну разбитой на элементарные волны, то dS следует разделить на кг, а фаза должна быть увеличена на четверть периода.

Если г велико сравнительно с размерами отверстия, состав интеграла лучше всего изучать с помощью зон Френеля1). Взяв в качестве центра точку О, для которой нужно вычислить ср, описываем ряд сфер радиусами, возрастающими от одного к другому на постоянную разность -^-Х, причем радиус первой сферы таков (с), чтобы она касалась плоскости экрана. На этой плоскости образуется, следовательно, система окружностей, радиусы р которых даются выражением ра 4-с= сЦ-упХ) или, очень близко к этому, ^ = пск, так что кольца, на которые разделяется плоскость, имея приблизительно одинаковую площадь, дают доли ср, приблизительно одинаковые по своей численной величине и попеременно противоположные по знаку. Если О лежит определенно в пределах проекции площади, то первый член ряда, представляющего интеграл, конечен; следующие члены попеременно противоположны по знаку и сначала почти постоянны по величине, но впоследствии постепенно стремятся к нулю, так как части колец, умещающихся в пределах отверстия, становятся все меньше и меньше. Случай отверстия, граница которого отстоит всюду на одно и то же расстояние от О, исключается.

В ряде подобного вида всякий член после первого почти точно нейтрализуется [поскольку это касается разностей первого порядка] полусуммой предшествующего ему и следующего за ним, так что сумма всего ряда приближенно представляется половиной первого

члена, которая остается некомпенсированной. Мы видим, что, при достаточном числе зон, укладывающихся в пределах отверстия, значение ср в точке О не зависит от природы отверстия и поэтому таково, как если бы экрана не было вовсе. Мы можем еще вычислить прямым путем эффект круга, которым начинается система зон — прием, который будет иметь то преимущество, что он сделает более ясным значение изменения фазы, которое, как мы нашли, необходимо ввести, когда первичная волна была разложена на элементарные волны. Представим себе, что этот круг разделен на бесконечно узкие кольца равной площади. Доли ср, обязанные каждому из этих колец, равны по амплитуде и имеют фазы, изменяющиеся равномерно на протяжении половины полного периода. Фаза результирующей находится поэтому посредине между фазами крайних элементов, т. е. отстает на четверть периода от фазы элемента в центре круга. Амплитуда результирующей будет меньше, чем в том случае, если бы все ее компоненты имели одну и ту же

фазу, в отношении sin х dx : it или 2: it, а потому (площадь круга

о

есть л А с) половина эффекта первой зоны выражается формулой

2 slnf^ — kc — 1г.\

<р = — о • — • —т клс = cos (nt — kcY

'2 кКСх '

т. е. таким же образом, как если бы первичная волна прошла невозмущенной.

Если точка О находится достаточно далеко от проекции отверстия, результат будет совершенно иным. Ряд, представляющий интеграл, сходится тогда на обоих концах, и в силу того же рассуждения, что и прежде, его сумма приближенно равна нулю. Мы заключаем, что, если проекция О на плоскость х = 0 попадает в пределы отверстия и находится ближе к О, чем ближайшая точка границы отверстия, на большое число длин волн, возмущение в О почти такое же, как и при полном отсутствии препятствия; но если проекция О оказывается за пределами отверстия и находится ближе к О, чем ближайшая точка границы, на большое число длин волн, то возмущение в О практически исчезающе мало. Эго — теория звуковых лучей в ее простейшей форме.

Рассуждение мало изменится, если экран расположен наклонно к плоскости волн. Как и прежде, движение на другой стороне экрана можно рассматривать как результат нормального движения частиц в плоскости отверстия, по это нормальное движение теперь изменяется по фазе от точки к точке. Если первичные волны исходят от источника в Q, то зоны Френеля для точки Р образуют серию эллипсов, представляемых уравнением rt -р гд = PQ ~{- -^ п'к.

где гх и г2—расстояния от какой-либо точки на экране до Q и Р, соответственно, а п— целое число. За счет предположенной малости X сравнительно с гх и rQ, зоны вначале имеют одинаковую площадь и приносят равные и противоположные по знаку доли в значение ср; таким образом, с помощью того же самого рассуждения, что и прежде, мы можем заключить, что в какой-либо точке, расположенной определенно вне геометрической проекции отверстия, возмущение исчезает, между тем как в точке, расположенной определенно в пределах геометрической проекции, возмущение таково, как если бы первичная волна прошла через экран совершенно беспрепятственно. Можно заметить, что увеличение площади зон Френеля за счет наклонного положения экрана компенсируется в вычислении интеграла соответствующим образом уменьшенным значением нормальной скорости жидкости. Ослабление первичной волны между экраном и точкой Р, обязанное расхождению, представляется уменьшением площади зон Френеля ниже площади тех, которые соответствуют плоско падающим волнам, в отношении (гх -]- r.^!rv

Между прохождением звука через отверстие в экране и его отражением от плоского рефлектора той же формы, что и отверстие, имеется простое соотношение, которым иногда можно воспользоваться при эксперименте. Представим себе, что в Q', изображении Q в плоскости экрана, помещен источник, одинаковый с Q и в той же фазе, и предположим, что экран удален и заменен пластинкой, форма и положение которой в точности таковы же, как у отверстия; мы знаем, что на эффект в Р от двух источников не влияет присутствие пластинки, так что колебание от Qf, отраженное пластинкой, и колебание от Q, обошедшее кругом пластинки, дают в соединении такое же самое колебание, какое было бы получено от Q, если бы препятствия не было совсем. Но согласно допущению, которое мы сделали в начале этого раздела, колебание, беспрепятственно идущее от Q, можно рассматривать как состоящее из колебания, находящего себе путь вокруг пластинки, и колебания, которое прошло бы через отверстие той же самой формы в бесконечном экране; таким образом, колебание от Q, прошедшее через отверстие, одинаково с колебанием от Q', отраженным от пластинки.

Чтобы получить почти полное отражение, достаточно, чтобы отражающая пластинка заключала лишь небольшое число зон Френеля. В случае прямого отражения радиус р первой зоны определяется уравнением . .

р2-24-1) = Х, (4)

где сх и с2, соответственно, — расстояния от источника до рефлектора и точки наблюдения. Когда эти расстояния велики, зоны получаются настолько большими, что обычные стены недостаточны

для полного отражения, но при средних расстояниях эхо часто бывают почти идеальными. Площадь, необходимая для полного отражения, зависит также от длины волны; таким образом, может случиться, что доска или пластинка, совершенно неподходящие для того, чтобы отразить низкую музыкальную ноту, могут очень хорошо отражать шипение или звук высокого свистка. В экспериментах над отражением с экранами среднего размера главная трудность заключается в достаточно полном освобождении от прямого звука. Простейший прием состоит в том, чтобы отражать звук электрического звонка или какого-нибудь другого достаточно постоянного источника, расположенного за углом большого здания *).

В предыдущем разделе мы применили принцип Гюйгенса к случаю, в котором первичная волна разбивается на элементарные волны на поверхности некоторой воображаемой плоскости. Если мы действительно знаем, каково нормальное движение в плоскости, то мы можем вычислить с помощью строгих приемов возмущение в любой точке на другой стороне. Для поверхностей, отличных от плоскости, задача не может быть решена в общем виде; тем не менее, нетрудно видеть, что если радиусы кривизны поверхности очень велики сравнительно с длиной волны, эффект нормального движения некоторого элемента поверхности должен быть почти таким же, как если бы поверхность была плоской. При этом условии мы можем воспользоваться для вычисления общего результата тем же самым интегралом, что и прежде. Из соображений удобства обычно лучше всего предположить, что волна разбивается на элементарные волны на том, что называется в оптике волновой поверхностью, т. е. на поверхности, в каждой точке которой фаза возмущения одна и та же.

Рассмотрим применение принципа Гюйгенса к вычислению распространения заданной расходящейся волны. Опишем из точки Р, в которой требуется найти возмущение, как из центра, ряд сфер радиусами, возрастающими от предыдущего к последующему каждый раз на постоянную величину ^ X; радиус первой из сфер (с) таков, что она касается заданной волновой поверхности в С. Если R— радиус кривизны поверхности в плоскости, проходящей через Р и С, то соответствующий радиус внешней границы n-й зоны р дается уравнением

/?+с=]/к»=72+/" ^+1лх)2—р’,из которой мы получаем приближенно

1) Phil. Mag. (5), том III, стр. 458, 1877.

Если данная поверхность является поверхностью вращения с осью PC, то площадь первых п зон есть кр2, а так как р2 пропорционально п, то отсюда следует, что зоны имеют одинаковые площади. Если поверхность не является поверхностью вращения, то площадь первых ^ зон представляется выражением -^-J p2dO, где 9 — азимут плоскости, в которой измеряется р, но положение, что зоны имеют равные площади, все еще остается верным. Поскольку, согласно гипотезе, нормальное движение не очень быстро меняется вдоль волновой поверхности, то возмущения в Р, обязанные различным зонам, почти равны по величине и попеременно противоположны по знаку; мы заключаем поэтому, что общий эффект, как и в случае плоских волн, составляет половину эффекта первой зоны. Фаза в Р отстает от той, которая господствует на заданной волновой поверхности, на величину, соответствующую расстоянию с.

Интенсивность возмущения в Р зависит от площади первой зоны Френеля и от расстояния с. В случае симметрии мы имеем яр2t;\R с /? + с

—соотношение, показывающее, что возмущение меньше, чем если бы R было бесконечно велико, в отношении (R-^c) : R. Это уменьшение— эффект расхождения; оно одинаково с тем, которое было бы получено при предположении, что движение ограничено конической трубой, вершина которой находится в центре кривизны (§ 266). Когда поверхность не является поверхностью вращения, значение 2 л

J ^d^/c можно выразить через главные радиусы кривизны Rj о

и R^, с которыми R связано соотношением

1 cos2 0 । sin2 6

~R “ ~RT + ~RT *

Мы получаем, выполняя интегрирование,

лх Vp^r^лх Vp^r^(2)(2)

лх Vp^r^

лх Vp^r^

(2)

(2)

так что амплитуда уменьшается за счет расхождения в отношении VlRA^-^ : VrS— результат, который можно было предвидеть, предполагая, что движение ограничено трубой, образованной нормалями, проведенными через малый контур, намеченный на волновой поверхности.

Хотя до сих пор мы говорили только о расходящихся волнах, предыдущие выражения можно применить также и к волнам, сходящимся в одной или в обеих главных плоскостях, если приписать

соответствующие знаки Rtn R^. В этом случае площадь первой зоны Френеля больше, чем в случае плоской волны, и интенсивность колебания соответственно увеличена. Если точка Р совпадает с одним из главных центров кривизны, то выражение (2) становится бесконечно большим. Исследования, на котором было основано (2), тогда недостаточно; мы вправе утверждать лишь, что возмущение значительно больше в Р, чем в других точках той же самой нормали, что диспропорция возрастает с частотой и что она сделалась бы бесконечно большой для нот бесконечно большой высоты, длиной волны которых можно пренебречь сравнительно с встречающимися здесь расстояниями.

Принцип Гюйгенса можно также применить для исследования отражения звука от кривых поверхностей. Если бы поверхность рефлектора полностью подавалась под действием давлений воздуха так, что нормальная составляющая движения в каждой точке была бы той же самой, что и в отсутствии рефлектора, то звуковые волны проходили бы невозмущенными. Отражение, которое действительно происходит, когда поверхность неподатлива, можно поэтому рассматривать как результат нормального движения каждого элемента рефлектора, равного и противоположного движению первичных волн в этой точке, и исследовать с помощью формулы для плоских поверхностей способом предыдущего раздела, с аналогичным ограничением относительно длины волны и относящихся сюда расстояний.

Наиболее интересный случай отражения имеет место, когда форма поверхности такова, что дает концентрацию лучей в определенной точке (Р). Если звук первоначально исходит из простого источника в Q и если поверхность является эллипсоидом вращения с фокусами в Р и Q, то концентрация полная, и колебание, отраженное от каждого элемента поверхности, по приходе в Р находится в одинаковой фазе. Если Q находится на бесконечно большом расстоянии, так что падающие волны плоские, то поверхность оказывается параболоидом, имеющим фокус в Р и ось, параллельную падающим лучам. Не нужно, однако, думать, что симметричная волна, расходящаяся из Q, превращается в результате отражения от поверхности эллипсоида в сферическую волну, симметрично сходящуюся к Р; действительно, легко видеть, что интенсивность сходящейся волны должна быть различной в различных направлениях. Тем не менее, когда длина волны очень мала в сравнении с радиусом, различные части сходящейся волны становятся приблизительно независимыми друг от друга, и на их распространение не влияет существенным образом отсутствие идеальной симметрии.

Увеличение громкости за счет кривизны зависит от величины площади отражающей поверхности, от которой приходят возмущения одинаковой фазы, сравнительно с площадью первой зоны Френеля для плоского рефлектора в том же самом положении. Если расстояния от рефлектора до источника и до точки наблю-

дения значительны и если длина волны не очень мала, то уже первая зона Френеля достаточно широка; поэтому если рефлектор средних размеров, то, придавая ему вогнутость, можно достигнуть лишь очень немногого. С другой стороны, в лабораторных экспериментах, когда расстояния не очень велики и применяются звуки большой высоты, например тиканье часов или треск электрических искр, вогнутые рефлекторы очень эффективны и дают отчетливую концентрацию звука в определенных местах.

Мы видели, что если луч, идущий от Q, проходит после отражения от плоскости или кривой поверхности через Р, то точка R, в которбй он встречает поверхность, определяется из условия, что QR -f" RP есть минимум (или в некоторых случаях максимум). Точка R является тогда центром системы зон Френеля; амплитуда колебания в Р зависит от площади первой зоны, а его фаза — от расстояния QR-\-RP. Если на поверхности рефлектора нет точки, для которой QR-\-RP было бы максимумом или минимумом, то система зон Френеля не имеет центра, и нет ни одного луча, идущего от Q, который после отражения от поверхности пришел бы в Р. Равным образом, если звук отражается более одного раза, то путь луча определяется условием, что его полная длина между любыми двумя точками есть максимум или минимум.

Этот же принцип можно применить к исследованию преломления звука в среде, механические свойства которой меняются постепенно от точки к точке. Изменение предполагается настолько медленным, что заметного отражения не происходит, и это не является несовместимым с определенным преломлением лучей при прохождении расстояний, заключающих очень большое число длин волн. Очевидно, что нам сейчас приходится иметь дело не только с длиной луча, но и со скоростью, с которой волна распространяется вдоль него, поскольку эта скорость теперь уже не постоянна. Условие, которое должно быть удовлетворено, следующее: время, требующееся волне, чтобы пройти вдоль луча между любыми двумя точками, должно быть максимумом или минимумом; таким образом, если V—скорость распространения в некоторой точке, a ds— элемент пути луча, то это условие может быть выражено так: 8 J И-1 ds = Q. Это — принцип кратчайшего времени Ферма.

Дальнейшее развитие этой части предмета завело бы нас слишком далеко в область геометрической оптики. Так как основное предположение о малости длины волны, на котором построена доктрина лучей, имеет более широкое применение к явлениям света, чем к явлениям звука, то задачу развития его следствий можно, собственно, предоставить представителям этой родственной науки. В следующих раз/телах методы оптики применены к одному или двум изолированным вопросам, достаточно интересным для акустики, чтобы рассмотрение их в настоящем труде было оправдано.

Одно из наиболее поразительных явлений, связанных с распространением звука внутри закрытых помещений, — это «шепчущие галлереи», хороший и доступный всем пример которых представляет собой круговая галлерея, расположенная в цоколе купола собора св. Павла. Что касается точной природы явления, то полного согласия здесь между авторитетами акустики нет. По мнению королевского астронома :), этот эффект следует приписать отражению от поверхности купола вверху; он должен наблюдаться в точке галлереи, диаметрально противоположной источнику звука. Каждый луч, исходящий от излучающей точки и отраженный от поверхности сферического рефлектора, пересечет после отражения тот диаметр сферы, который заключает излучающую точку. Этот диаметр есть по существу вырожденная форма одной из двух каустических поверхностей, которых вообще касаются системы лучей, и представляет собой геометрическое место центров главной кривизны поверхности, к которой лучи являются нормалями. Осуществляющаяся таким путем концентрация лучей на одном из диаметров не требует близости излучающей точки к отражающей поверхности.

Основываясь на некоторых наблюдениях, сделанных мной в шепчущей галлерее св. Павла, я склонен думать, что основное явление следует объяснять несколько иначе. Ненормальная громкость, с какой слышен шопот, наблюдается не только в точке, диаметрально противоположной тому месту, которое занимает шепчущий, и потому, казалось бы, не зависит существенно от симметрии купола. Шопот представляется ползущим горизонтально кругом по галлерее, не обязательно вдоль более короткой дуги, а скорее вдоль той дуги, к которой шепчущий обращен лицом. Это — следствие очень неодинаковой слышимости шопота впереди говорящего и позади него — явление, которое легко можно наблюдать на открытом воздухе ).

Рассмотрим ход лучей, расходящихся от излучающей точки Р, расположенной вблизи поверхности отражающей сферы, и обозначим центр сферы через О, а диаметр, проходящий через Р, через АА', так что А есть точка на поверхности, ближайшая к Р. Если мы остановим внимание на луче, который исходит из Р под углом ±5 с касательной плоскостью в А, то увидим, что после некоторого числа отражений он продолжает касаться концентрической сферы радиуса OP cos 0, так что весь конический пучок лучей, которые вначале составляли с касательной плоскостью в А углы, численно меньшие 0, впоследствии всегда заключается между отражающей поверхностью и поверхностью концентрической сферы радиуса OP cos 0. Обычное расхождение в трех измерениях, которое предполагает уменьшающуюся пропорционально г-9 интенсивность, за-

Э Airy, On Sound, 2-е издание, стр. 145, 1871.

меняется расхождением в двух измерениях, аналогичным расхождению для волн, исходящих от источника, расположенного между двумя параллельными отражающими плоскостями с интенсивностью, изменяющейся пропорционально г-1. Менее быстрое, чем обычно, ослабление звука с расстоянием является основным свойством шепчущих галлерей.

Толщина слоя, заключенного между двумя сферами, становится все меньше и меньше, по мере того как А приближается к Р, и в предельном случае излучающей точки, расположенной на поверхности рефлектора, выражается через ОА (1 — cos 6) или, если О мало, приближенно через у ОД • 0а. Телесный угол пучка, который определяет полное количество излучения в слое, есть 4к0, так что когда 6 беспредельно уменьшается, интенсивность становится бесконечно большой сравнительно с интенсивностью на конечном расстоянии от подобного же источника в открытом пространстве.

Очевидно, что это, если можно так выразиться, «цепляние» звука за поверхность вогнутой стены не должно зависеть от точности сферической формы. Однако в случае точной сферы или скорее какой-либо поверхности, симметричной относительно АА', имеется еще концентрация другого рода, о которой говорилось в начале настоящего раздела и которая свойственна точке А', диаметрально противоположной источнику звука. Вероятно, в случае почти сферического купола, подобного куполу св. Павла, часть наблюдаемого эффекта обязана симметрии, хотя большую часть нужно, вероятно, отнести просто за счет общей вогнутости стен ).

На распространение сейсмических возмущений, вероятно, влияет кривизна поверхности земного шара, действующая подобно шепчущей галлерее, а может быть и звуковые колебания, возбуждаемые на поверхности земли или воды, не избегают целиком влияния этого же рода.

В акустике общественных зданий есть много вопросов,-которые еще остаются темными. Важно иметь в виду, что потеря, испытываемая звуком при одном отражении на гладкой стене, будет ли последняя плоской или кривой, очень мала. Чтобы предупредить реверберацию, часто может оказаться необходимым вводить для поглощения звука ковры или драпировки. Найдено, что иногда для достижения желаемого эффекта достаточно присутствия аудитории. В отсутствии всяких заглушающих материалов продление звука может быть очень значительным; пожалуй, наиболее поразительным примером этого является Баптистерия в Пизе, где пропетые последовательно ноты простой гаммы можно слышать

звучащими вместе в течение многих секунд г). По Генри), важно предупредить повторное отражение звука взад и вперед по длине зала, предназначенного для публичных выступлений, что можно сделать с помощью соответственно помещенных наклонных поверхностей. Этим путем число отражений в данное время увеличивается, и чрезмерная продолжительность звука устраняется.

Почти единственный пример акустического преломления, который имеет практический интерес, это — отклонение звуковых лучей от прямолинейного хода, обязанное неоднородности атмосферы. Изменение давления на различных уровнях само по себе не приводило бы к возникновению преломления, так как скорость звука не зависит от плотности, но, как было указано впервые проф. Осборном Рейнольдсом в), дело обстоит иначе с изменениями температуры, которые обычно встречаются в атмосфере. Температура атмосферы определяется, главным образом, сжатием или разрежением, которое должна испытывать масса воздуха при ее переходе с одного уровня на другой,и нормальное состояние атмосферы есть скорее состояние «подвижного равновесия» ), чем однородности. Согласно этой точке зрения, соотношение между давлением и плотностью выражается уравнением (9) § 246, а скорость звука дается выражением йр р , ou-i

= = — . (1)

d? 1 po \Po /

Чтобы связать плотность и давление с высотой (г), мы располагаем уравнением гидростатики:

dp = — g^dz,(2)

из которого и из уравнения (1) мы находим

И =— (1-l)g-z,(3)

где Vo — скорость на поверхности. Соответствующее соотношение между температурой и высотой, полученное с помощью уравнения (10) § 246, есть „.

где 0о— температура на поверхности.

Согласно (4), падение температуры составляет около 1°С на 330 футов (100 .и), что не очень значительно отличается от результатов шаропилотных наблюдений Глешера. Когда небо ясное, паде-

ние температуры днем более быстрое, чем при облачном небе, но к заходу солнца температура становится приблизительно постоянной т). Вероятно, в ясные ночи наверху часто теплее, чем внизу.

Объяснение акустической рефракции, как результата- изменения температуры с высотой, почти совпадает с объяснением оптического явления — миража. Кривизну луча (р-1), ход которого приблизительно горизонтален, легко оценить методом, данным проф. Джемсом Томсоном ). Нормальные плоскости, проведенные через две последовательные точки вдоль луча, встречаются в центре кривизны и касаются волновой поверхности в двух ее последовательных положениях. Участки лучей на высотах г и z-\-^z соответственно, заключающиеся между нормальными плоскостями, находятся в отношении р/(р— 8г) друг к другу, а также, поскольку они описываются в одно и то же время, в отношении V/(V-{-oV). Отсюда в пределе} rflny

7 =(5)

При нормальном состоянии атмосферы луч, который выходит горизонтально, постепенно заворачивает вверх и, на достаточном расстоянии, проходит над головой наблюдателя, находящегося на одном уровне с источником. Если источник приподнят, то звук слышен на поверхности земли благодаря лучу, который выходит с наклоном вниз; но если и наблюдатель, и источник находятся на поверхности, то прямой луч отсутствует, и звук слышен, если это вообще имеет место, благодаря диффракции. Тогда можно сказать, что наблюдатель расположен в звуковой тени, хотя по прямой линии между ним и источником может не быть никакого препятствия. Согласно (3),

2У^= —(т—1)^,

так что* _ 2^2 4 уз

т. е. радиус кривизны горизонтального луча примерно в десять раз больше высоты, с которой тело должно упасть под действием силы тяжести, чтобы приобрести скорость, равную скорости звука. Если высоты источника и наблюдателя суть, соответственно, zx и г3, то наибольшее расстояние, на котором можно слышать звук иначе, чем за счет диффракции, есть

/Зг^+У^р.(7)

Не следует полагать, что состояние атмосферы всегда таково, что соотношение между скоростью и высотой дается выражением (3). При солнце изменение температуры по вертикали более быстрое;

Nature, Sept. 20, 1877.

напротив, как заметил проф. Рейнольдс, когда идет дождь, следует ожидать значительно более медленного изменения температуры по вертикали. В арктических областях, где ночи продолжительные и тихие, излучение может иметь более сильное влияние в определении температурного равновесия, чем конвекция, а если так, то распространению звука в горизонтальном направлении благоприятствовало бы приблизительно изотермическое состояние атмосферы.

[V dxJ ус2 — у2 ’[V dxJ ус2 — у2 ’(8)(8)Общее дифференциальное уравнение для пути луча, когда поверхности равной скорости представляют собой параллельные плоскости, легко получается из закона синусов. Если 6 — угол падения, то V/sin 9 не изменяется преломляющей поверхностью и поэтому остается в предположенном случае постоянным вдоль всего хода луча. Если х— горизонтальная координата и если постоянное значение V/sin 0 обозначить через с, то мы получаем dx}dz = = VjVс'Л — V"2 или

[V dx

J ус2 — у2 ’

[V dx

J ус2 — у2 ’

(8)

(8)

X =

Если закон для скорости — тот, который выражен (3), то

и, таким образом,2 f V-dV

("Г —1)^ J V"c3—уз» или, выполняя интегрирование,

(7 — 1) gx = const -ф- V Vd1 — Va — ca arc sin —,(9)

где V можно выразить через z с помощью (3).

Более простой результат можно получить, если взять приближенную формулу (3), которая достаточно точна, чтобы представить случаи, имеющие практический интерес. Пренебрегая квадратом и высшими степенями z, мы можем положить

V^V^-^-1^.

2У^v 7

Написав для краткости р вместо-^^"^ , мы имеем $dz = dV-1.

2У0

Подставив в (8), получим

С d(—\

67 Г уз

начало х берется так, чтобы оно отвечало значению V = с, т. е. в том месте, где луч горизонтален. Выражая V через х, мы находим

= 6С?Ж

откудаоткуда(12)(12)

откуда

откуда

(12)

(12)

Путь каждого луча является поэтому цепной линией с вершиной, 2 V0

обращенной книзу; линейный параметр есть ^^ГТу^ и меняется от луча к лучу.

Другой случай атмосферной рефракции можно найти в действии ветра. Уже давно известно, что вообще звуки слышны лучше с подветренной, чем с наветренной стороны от источника; явление оставалось, однако, необъясненным, пока Стокс г) не указал на то, что возрастающая скорость ветра вверху должна мешать прямолинейному распространению звуковых лучей. Из закона кратчайшего времени Ферма следует, что ход луча в движущейся, но с других точек зрения однородной среде такой же, каким он был бы в среде, все части которой находятся в покое, если бы скорость распространения была увеличена в каждой точке на компоненту скорости ветра в направлении луча. Если ветер — горизонтальный и не меняется в горизонтальной плоскости, то ход луча, направление которого всюду составляет лишь незначительный угол с направлением ветра, можно вычислить на основании тех же принципов, какие были применены в предыдущем разделе к случаю переменной температуры; локальная скорость ветра в каждой точке увеличивает или уменьшает нормальную скорость распространения звука в зависимости от того, распространяется ли звук по ветру или против ветра. Таким образом, когда скорость ветра вверх возрастает, что можно рассматривать как нормальное положение вещей, горизонтальный луч, идущий против ветра, постепенно загибается вверх и на некотором расстоянии проходит над головой наблюдателя; напротив, лучи, идущие в направлении ветра, загибаются вниз, так что наблюдатель, расположенный с подветренной стороны от источника, слышит звук благодаря прямому лучу, который выходит с незначительным уклонением вверх и имеет то преимущество, что он изолирован от помех на большей части своего пути.

(1)(1)Легко исследовать закон преломления на горизонтальной плоскости, при переходе через которую скорость ветра изменяется скачком. Достаточно рассмотреть случай, когда направление ветра и луч находятся в одной и той же вертикальной плоскости. Если О—угол падения, который является также углом между волновой плоскостью и поверхностью раздела, U — скорость воздуха в том направлении, которое составляет меньший угол с лучом, и V — общая скорость распространения, то скорость следа волновой плоскости на поверхности раздела есть

(1)

(1)

——k Usin 0

— величина, которая не меняется при преломлении. Если поэтому U' — скорость ветра на другой стороне, а 6'— угол преломления, то

sin 0 1 sin и' 14 7

что отличается от обычного закона оптики. Если скорость ветра

из условия, допустимое (3)из условия, допустимое (3)изменяется непрерывно, то ход луча можно вычислить

из условия, допустимое (3)

из условия, допустимое (3)

что выражение (1) остается постоянным.

значение U' естьзначение U' естьU' = V (cosec 0 — 1).U' = V (cosec 0 — 1).Если мы предположим, что (7 = 0, то наибольшее

значение U' есть

значение U' есть

U' = V (cosec 0 — 1).

U' = V (cosec 0 — 1).

В слое, где U' имеет это значение, направление луча, вышедшего под углом 0, становится параллельным преломляющей поверхности, и в слой, где Ur имеет большее значение, луч совсем не сможет проникнуть. Таким образом, луч, идущий в спокойном воздухе вверх с наклоном 1 у и—и) к горизонту, отражается наверху ветром со скоростью, превосходящей даваемую уравнением (3), и это — независимо от скоростей промежуточных слоев. В качестве численного примера укажем, что все лучи, идущие вверх с наклоном менее 11°, полностью отражаются ветром того же азимута со скоростью 15 миль в час. Влияние такого ветра на распространение звука нельзя не признать очень важным. Над поверхностью спокойной воды звук, распространяющийся в направлении ветра, будучи ограничен параллельными отражающими плоскостями, расходится только в двух измерениях; его можно поэтому слышать на расстояниях, много больших, чем это возможно в иных условиях. Другое возможное действие рефлектора, расположенного вверху, заключается в том, что он делает слышимыми звуки, которым в спокойном воздухе преградили бы путь холмы или другие препятствия. Для возникновения этих явлений не необходимо, чтобы ветер отсутствовал около источника звука, но, как это сразу же видно из формы уравнения (2), нужно лишь, чтобы достигла достаточного значения разность скоростей U'—U. Дифференциальное уравнение пути луча, когда скорость ветра U изменяется непрерывно, есть

откудаоткудаV dzV{с ^ Up — V2V dzV{с ^ Up — V2(4)(5)(4)(5)

откуда

откуда

V dz

V{с ^ Up — V2

V dz

V{с ^ Up — V2

(4)

(5)

(4)

(5)

Сравнивая (5) с уравнением (8) предыдущего раздела, которое является соответствующим уравнением для обычного преломления, мы должны вспомнить, что V теперь постоянно. Если для получения определенного результата мы предположим, что закон изменения ветра на различных уровнях выражается уравнением

U = а 4- ^z, (6)

то мы имеем

^х = V^х = VdU/(с -± U^ — И2dU/(с -± U^ — И2(7)(7)

^х = V

^х = V

dU

/(с -± U^ — И2

dU

/(с -± U^ — И2

(7)

(7)

— уравнение, имеющее ту же самую форму, что и уравнение (И) предыдущего раздела. Следовательно, ход луча в настоящем случае также изображается цепной линией, однако между этими двумя задачами имеется существенное различие. Когда преломление обычного рода и зависит от непостоянства скорости распространения, направление луча может быть обращено. В случае атмосферной рефракции, обязанной уменьшению температуры с высотой, путь луча, в каком бы направлении последний ни распространялся, изображается цепной линией с вершиной, обращенной книзу. Когда рефракция обязана ветру, скорость которого возрастает с высотой по закону, выраженному уравнением (6) с положительным t3, путь луча, идущего против ветра, также является цепной линией с вершиной, обращенной книзу, но луч, распространяющийся по ветру, идет не по этому пути. В последнем случае вершина цепной линии, вдоль которой распространяется луч, обращена кверху ).

В статье Рейнольдса, которая уже цитировалась нами, дается описание нескольких интересных опытов, предназначенных специально для проверки теории рефракции звука ветром. Было найдено, что «в направлении ветра, когда он был силен, звук (электрического звонка) можно было слышать одинаково хорошо как вблизи земли, так и с поднятой головой и даже в лощине, когда звонок был скрыт от глаз склоном холма; поднимаясь на возвышение или поднимая звонок, мы не приобретаем никакого преимущества. Таким образом, при ветре над травой звук можно было слышать на расстоянии 140 ярдов, а над снегом — на расстоянии 360 ярдов, будь то с поднятой головой или держа ухо на уровне земли, между тем как под прямым углом к ветру во всех случаях область слышимости расширялась при более высоком положении наблюдателя или звонка».

«Было найдено, что подъем влияет заметнее на область слышимости звука в направлении против ветра, чем под прямым углом к нему.

«Если голова помещалась на уровне земли, то над травой звук полностью исчезал на расстоянии 20 ярдов, если же голова находилась на высоте 3 футов, то звук ослабевал на расстоянии 30 ярдов и полностью исчезал на расстоянии 30 ярдов, если стоять во весь рост. В 70 ярдах, если стоять прямо, звук исчезал на продолжительные интервалы, да и тогда слышался лишь слабо; однако он становился снова непрерывным, если ухо было

138ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ[ГЛ. XIV

/

расположено на высоте 9 футов от земли, и достигал полной силы на высоте 12 футов».

Проф. Рейнольдс следующим образом резюмирует результаты своих экспериментов:

«Когда ветра нет, звук, идущий над шероховатой поверхностью, вверху сильнее, чем внизу».

«Если скорость ветра вверху больше, чем внизу, звук поднимается против ветра и не уничтожается».

«При тех же самых условиях он идет вниз в направлении ветра, и поэтому область его слышимости на поверхности земли расширяется».

Атмосферная рефракция имеет важное отношение к слышимости сигналов в тумане — предмет, который за последние несколько лет занимал внимание двух выдающихся физиков, проф. Генри в Америке и проф. Тиндаля в Англии. Генри т) приписывает почти все капризы далеких звуков рефракции и показывает, как с помощью различных предположений относительно движения воздуха вверху возможно объяснить некоторые ненормальные явления, которые были замечены им самим и другими наблюдателями. Тиндаль), исследования которого были в равной степени обширны, считает, что очень ограниченные расстояния, на которых иногда слышны звуки, являются результатом действительной задержки звука при неоднородном (flocculent) состоянии атмосферы, возникающем вследствие неравномерного нагревания или влажности. В том, что последняя причина способна действовать до некоторой степени рассматриваемым образом, сомневаться нельзя. Тиндаль доказал лабораторными экспериментами, что звук электрического звонка можно заметно ослабить расположенными попеременно слоями газов различной плотности; и хотя нужно признать, что изменения плотности были здесь более значительны и более резки, чем это можно предположить для открытого воздуха, за исключением, может быть, слоев, расположенных в непосредственной близости к почве, некоторые из наблюдений над сигналами в тумане, казалось бы, прямо указывают на это объяснение.

Так, было найдено, что за звуком сирены, помещенной на вершине утеса, господствующего над морем, следовало эхо постепенно уменьшающейся интенсивности, продолжительность которого достигала иногда 15 секунд. Это явление наблюдалось, «когда море было зеркально гладким»; очевидно, его нельзя было приписать иной причине, помимо указанной Тиндалем. Вероятно, поэтому, что и рефракция, и акустическая мутность имеют отношение к капризному поведению сигналов в тумане. A priori мы, конечно, были бы склонны придавать большее значение рефракции, и Рейнольдс показал, что некоторые из собственных наблюдений Тиндаля допускают объясне-

9 Henry, Report of the Lighthouse Board, of the United States for ‘‘he year 1874.

ние на основе этого принципа. Отсутствие обратимости можно объяснить в согласии с теорией лишь действием ветра (§ 111).

По гипотезе акустических облаков можно ожидать различия в поведении звуков большой и короткой продолжительности; оно заслуживает быть указанным здесь, поскольку, кажется, не отмечалось никем из прежних авторов. Так как при отражении и преломлении энергия не теряется, то интенсивность излучения непрерывно действующего источника звука (или света) на данном расстоянии не изменится, если окружить его облаком сферической формы, однородным по плотности: потеря за счет промежуточных частей облака будет компенсирована отражением от тех, которые лежат за источником. Но если звук — небольшой продолжительности, облако может очень сильно уменьшить интенсивность его на расстоянии, за счет различия положений его отражающих частей и обусловленного этим различием удлинения продолжительности звука, хотя полная интенсивность, измеряемая интегралом во времени, может быть такой же, как если бы облака не было совсем. В этом, вероятно, заключается объяснение наблюдения Тиндаля, что различные виды сигналов не всегда" сохраняют одинаковую эффективность. При определенной погоде «выстрел гаубицы с трехфунтовым зарядом был слышен в большей области, чем свисток, труба или сирена», между тем как в другие дни «превосходство сирены над пушкой обнаруживалось самым отчетливым образом». Следует, однако, заметить, что в той же самой серии экспериментов было найдено, что свойство звука выстрела орудия «гаситься или отражаться ветром противоположного направления, так что он оказывается практически бесполезным уже на очень коротком расстоянии с наветренной стороны, резко выражено». Собственно рефракция должна быть одинаковой для звуков всякого рода, но по причине, объясненной выше, диф- фракция около края препятствия может быть менее эффективной для звука выстрела орудия, чем для неослабевающей ноты сирены.

Другим вопросом, исследованным Тиндалем, было влияние тумана на распространение звука. Вопреки отдельным противоположным утверждениямт) наиболее распространено было мнение Дергема, что влияние тумана — вредное. Наблюдения Тиндаля хорошо показывают, что это мнение ошибочно и что однородное состояние атмосферы, которым обычно сопровождается туманная погода, благоприятствует прохождению звука. Когда воздух насыщен водяными парами, падение температуры с высотой, по закону конвективного равновесия, происходит менее быстро, чем в случае сухого воздуха, за счет конденсации пара, которой тогда сопровождается расширение. Из вычислений Томсона9) вытекает, что в теплом тумане эффект испарения и конденсации должен компенсировать падение

О См., например, Desor, Fortschritte der Physik, том XI, стр. 217, 1855.

2) Thomson, Manchester Memoirs, 1861—62.

температуры наполовину. Это должно было бы уменьшить акустическую рефракцию, обусловленную температурой; в других же отношениях состояние воздуха было бы несомненно благоприятным для распространения звука, если предположить, что сами взвешенные частицы не создают никакого препятствия. В следующей главе мы исследуем возмущение плоских звуковых волн малым препятствием и найдем, что эффект зависит от отношения диаметра препятствия к длине волны звука.

Читатель, желающий продолжить изучение этого вопроса, может обратиться к статье Рейнольдса «О рефракции (преломлении) звука атмосферой»1), равно как и к другим уже упомянутым авторитетам. Упомянем, что Рейнольдс согласен с Генри в том, что рефракцию следует считать действительно важной причиной возмущения, однако требуется еще много дальнейших наблюдений. См. также § 294.

291. Допуская, что возмущение у отверстия в экране такое же, какое было бы в этом же месте при отсутствии экрана, мы можем решать различные проблемы диффракции теми же методами, какие применяются для соответствующих проблем в физической оптике. Так, например, возмущение на некотором расстоянии по другую сторону бесконечной плоской стены с проделанным в ней круглым отверстием, на которую прямо падают плоские звуковые волны, можно вычислить как в аналогичной задаче картины оптической диффракции, образующейся в фокусе круглого объектива. Так, в случае симметричного рупора звук является максимальным вдоль оси инструмента, где все элементарные возмущения, исходящие из различных точек плоскости устья, находятся в одной фазе. В других направлениях интенсивность меньше; однако она не должна сильно падать по сравнению с максимальным значением, если только наклон не таков, что разность расстояний самой близкой и самой удаленной точек устья достигает примерно половины длины волны. При несколько большем наклоне устье можно разделить на две части, из которых более близкая дает соединенный эффект, равный по величине, но противоположный по фазе сравнительно с более далекой, так что в этом направлении интенсивность равна нулю. В направлениях, еще более наклонных, звук возрождается, интенсивность увеличивается до 0,017 интенсивности вдоль оси2), снова уменьшается до нуля и т. д., причем эти изменения соответствуют светлым и темным кольцам, которые окружают центральное светлое пятно в изображении звезды. Когда /? обозначает радиус устья, угол, под которым встречается первая зона молчания, есть arc sin (0,610 k/R). Когда диаметр устья не превосходит -^-Х, элементарные возмущения соединяются без значительного антаго-

х) Reynolds, Phil. Trons., том 166, стр. 315, 1876.

а) Verdet, Lemons cToptique physique, том I, стр. 306.

низма в фазе и интенсивность приблизительно одинакова по всем направлениям. Очевидно, что концентрация звука вдоль оси требует, чтобы отношение Rjk было большим — условие, которое обычно не удовлетворяется в применяемых рупорах, действие которых заключается, главным образом, в увеличении первоначального объема звука (§ 280). Но когда колебания с очень короткой длиной волны, рупор среднего размера пригоден для осуществления значительной концентрации звука вдоль оси, как я сам это проверил на примере свиста.

Вычисления, о которых мы говорили в предыдущем разделе, полезны тем, что дают нам общее представление об явлениях диффракции. Не следует, однако, забывать, что вспомогательное допущение, на котором они основываются, ни в какой степени не является строгим и вообще верным. Так, в случае волны, падающей прямо на экран, нормальная скорость в плоскости отверстия не постоянна, как было предположено, но возрастает от центра к краям, становясь бесконечно большой на самом краю. Чтобы исследовать условия, которыми определяется нормальная скорость, предположим на момент, что отверстие закрыто. Падающая волна ^ = cos (nt— кх) тогда полностью отражается, и потенциал скорости на отрицательной стороне экрана (х = 0) есть

<р = cos (/г^—kx) -4- cos (nt -f- kx), (1)

что дает, когда x=0, <p = 2 cos nt. Это соответствует обращению в нуль нормальной скорости по всей площади отверстия; для полного решения задачи нам нужно определить переменную нормальную скорость в отверстии так, чтобы потенциал, обязанный ей (§ 278), при переходе с отрицательной стороны на положительную возрастал на постоянную величину 2 cos nt; или, так как переход этот влечет за собой просто перемену знака, определить значение нормальной скорости на площади отверстия, которая даст на положительной стороне, на этой же площади, c? = cosn£. Результат наложения двух определенных таким путем движений удовлетворяет всем условиям задачи и дает одинаковые скорость и давление по обе стороны от отверстия и нулевую нормальную скорость на остальной части экрана.

Если Р cos (nt -]- г) есть значение д^]дх в различных точках площади (5) отверстия, то условие для определения Риг, в силу (6) § 278, есть

_ 1 f Г Р ^(nt -krA-u) dS =

2л J J г * k 7

где г обозначает расстояние между элементом dS и какой-нибудь фиксированной точкой в отверстии. Когда Риз известны, полное значение <р для какой-либо точки на положительной стороне экрана

дается выражениемдается выражением? =о~•2л? =о~•2лCOS (Л/ — Аг + е) ^COS (Л/ — Аг + е) ^(3)(3)и для точки на отрицательной стороне — выражением

дается выражением

дается выражением

? =о~

•2л

? =о~

•2л

COS (Л/ — Аг + е) ^

COS (Л/ — Аг + е) ^

(3)

(3)

(4)(4)Отыскание выражений Р и в круглой формы, выходит, вероятно, стных методов; но в случае, когдаОтыскание выражений Р и в круглой формы, выходит, вероятно, стных методов; но в случае, когдадля конечного отверстия, за пределы возможностейдля конечного отверстия, за пределы возможностейдаже изве-даже изве-размеры очень малы в сравненииразмеры очень малы в сравнениис длиной волны, проблему можно решить для круга и для эллипса. Если т — расстояние между двумя точками, расположенными по площади отверстия, то кг можно пренебречь, и мы получаем тогда из (2):с длиной волны, проблему можно решить для круга и для эллипса. Если т — расстояние между двумя точками, расположенными по площади отверстия, то кг можно пренебречь, и мы получаем тогда из (2):? = + J- f f Р—^r + е\ ^s _[_ 2 cos nt cos kx.

(4)

(4)

Отыскание выражений Р и в круглой формы, выходит, вероятно, стных методов; но в случае, когда

Отыскание выражений Р и в круглой формы, выходит, вероятно, стных методов; но в случае, когда

для конечного отверстия, за пределы возможностей

для конечного отверстия, за пределы возможностей

даже изве-

даже изве-

размеры очень малы в сравнении

размеры очень малы в сравнении

с длиной волны, проблему можно решить для круга и для эллипса. Если т — расстояние между двумя точками, расположенными по площади отверстия, то кг можно пренебречь, и мы получаем тогда из (2):

с длиной волны, проблему можно решить для круга и для эллипса. Если т — расстояние между двумя точками, расположенными по площади отверстия, то кг можно пренебречь, и мы получаем тогда из (2):

(5)(5)==°- 1,-Л

(5)

(5)

— соотношение, показывающее, что —Р^ есть плотность вещества, которое нужно распределить по S, чтобы получить там постоянный потенциал, равный единице. На некотором расстоянии от отверстия, на положительной стороне, мы можем считать г постоянным

и положитьи положить., CQS (nt — Аг) ф — М —., CQS (nt — Аг) ф — М —(6)(6)

и положить

и положить

., CQS (nt — Аг) ф — М —

., CQS (nt — Аг) ф — М —

(6)

(6)

гдегдеМ =М =эксцентриситетом еэксцентриситетом еЛ4 = -гт-х. A (s)’Л4 = -гт-х. A (s)’(7)(7)

где

где

М =

М =

эксцентриситетом е

эксцентриситетом е

Л4 = -гт-х. A (s)’

Л4 = -гт-х. A (s)’

(7)

(7)

Р dS обозначает полное количество вещества, ко

торое мы должны предположить распределенным на 5. В дальнейшем (§ 306) будет показано, что для эллипса с большой полуосью а и

где F—символ полной эллиптической функции первого рода. В слу-

(8)(8)чае круга F (е) = ^ и и2а

(8)

(8)

Этот результат совершенно отличен от того, который мы получили бы, предположив, что нормальная скорость в отверстии имеет значение, свойственное первичной волне. В этом случае, в силу

(3) §

283,

ла3 sin (п'— Аг)

(9)

Если

Друг

имеется несколько небольших отверстий, расстояния которых от друга значительно больше, чем их размеры, то этот же ме-

тод дает

^ cos(nf —Агт) ■ ^ cos(n< — Аг2)

*1 г,-з г2

(Ю)

Диффракция звука представляет собой предмет, который привлекал очень мало внимания как со стороны математиков, так и со сто-

роны экспериментаторов. Общий характер явлений понят хорошо, и поэтому здесь нельзя ждать никаких поразительных открытий; тем не менее точное решение нескольких более простых задач, которые встают перед изучающим этот предмет, было бы интересным; даже с настоящими несовершенными методами, вероятно, можно было бы кое-что сделать на пути экспериментального исследования.

292а. С помощью птичьего манка, дающего волны длиною около 1 см, и чувствительного пламени высокого давления можно воспроизвести много интересных оптических опытов. При помощи этого аппарата тень от препятствия, не превышающего по размеру руку, можно сделать заметной на расстоянии нескольких футов.

Очень хорош эксперимент, показывающий антагонизм между частями волны, соответствующими первой и второй зоне Френеля

,стекло

цинк

горелка огорелка оисточникс

горелка о

горелка о

Фиг. 57а.

(§ 283). В большом стеклянном экране (фиг. 57а) просверлено круглое отверстие 20 см в диаметре; экран помещен между источником звука и горелкой так, чтобы отверстие соответствовало первым двум зонам Френеля. С помощью цинковой пластинки, плотно прижатой к стеклу, диаметр отверстия можно довести до 14 см, и тогда пропускается только первая зона. Если установка произведена хорошо, то пламя (на которое не действовали волны, проникавшие через большее отверстие), после того как отверстие ограничивается цинковой пластинкой, начинает гореть очень сильно и неровно. Или, наоборот, пластинку с отверстием можно заменить диском диаметра 14 см, который позволяет действовать второй зоне, между тем как первая заслоняется.

Если а, b обозначают расстояния экрана от источника и от точки наблюдения, то внешний радиус р л-й зоны дается выражением1 У^^ ц_у^^ ь = ^- пХ,

или приближенно.

^ = пХ-^.(1)

Когда а = Ь,а-\-Ь

р3 = у пХа.(2)

При отверстиях, указанных выше, р"3 = 49 для п — 1; р3= 100 для п = 2; так что

Ха = 100;

измерения в сантиметрах. Это дает нужные расстояния, когда X известно. В описанном эксперименте X — 1,2, а = 83.

Процесс усиления общего эффекта попеременным блокированием зон можно продолжить значительно дальше. Так, если между источником звука и пламенем расположена соответствующая круговая зонная решетка, вырезанная из листа цинка, то эффект во много раз больше, чем в случае, когда экран совершенно удален т). Решетка, как и в соответствующих оптических экспериментах Соре, играет роль собирательной линзы. Фокусное расстояние линзы определяется выражением (1), которое можно написать в форме:

/ а b — Р2 ’W

так что

о

<4>

В действительной решетке, построенной согласно этому плану, восемь зон — первая, третья, пятая и т. д. —заняты металлом. Радиус первой зоны, или центрального круга, равен 7,6 см, так что р3/п = 58. Таким образом, если Х= 1,2 см, f—^см. Если а и b равны, то каждая из этих величин должна быть равна 96 см.

Положение вещей в центре тени круглого диска исследовать еще легче. Если мы построим мысленно систему зой, начинающихся с края диска, то увидим, как в § 283, что общий эффект в точке на оси, представляемый половиной эффекта первой зоны, таков же, как если бы не было никакого препятствия. Этот аналогичный знаменитому оптическому эксперименту опыт легко осуществить 9). В одном эксперименте был взят стеклянный диск диаметром 38 см, а его расстояния от источника и от пламени были сделаны соответственно равными.70 см и 25 см. Для этого опыта подходит птичий манок, дающий чистый тон (X = 1,5 см), но его можно заменить игрушечной язычковой трубой или каким-нибудь другим источником звука, дающим короткие, хотя и необязательно простые волны. В нелабораторной обстановке вместо чувствительного пламени можно пользоваться ухом, вооруженным каучуковой трубкой.

Э «Diffraction of Sound», Proc. Roy. Inst., январь 20, 1888.

Область отсутствия заметной тени, хотя она и не ограничена математической точкой на оси, имеет небольшие размеры, и достаточно очень умеренного перемещения диска в его собственной плоскости, чтобы успокоить пламя. Непосредственно вблизи центрального пятна имеется кольцо почти полного молчания, а за ним имеется снова некоторое усиление эффекта. Вычисление интенсивности звука в точках, лежащих в стороне от оси симметрии, слишком сложно, чтобы им можно было здесь заняться. Результаты, полученные Лом- мелем г), можно легко приспособить к акустической проблеме. Для данных, указанных выше, диаметр кольца молчания, непосредственно окружающего центральную активную область, составляет примерно 1,7 см.

Значение функции ф, которая удовлетворяет всюду в замкнутом односвязном пространстве 5 уравнению V? = 0, можно выразить как потенциал вещества, распределенного по поверхности 5. В некотором смысле это верно также и для класса функций, которыми мы теперь занимаемся и которые удовлетворяют уравнению V2<p-]-&2<p = 0. Последующее доказательство принадлежит Гельмгольцу). В силу теоремы Грина, если ф и ф обозначают какие- нибудь две функции х, у, г, то

I.(? $dS~ J J .1 / .1 ■ 5idS~ J J Jt^“V. Прибавим к каждой стороне — J J J ^dF; тогда, если

°'2 / J* ^dS+ J J /^7 = ЙД J. ^ ds-v f J JЕсли Ф и Ф равны нулю внутри 5, мы имеем просто°'2 / J* ^dS+ J J /^7 = ЙД J. ^ ds-v f J JЕсли Ф и Ф равны нулю внутри 5, мы имеем простоа3(73<р + /г2ф) + Ф = 0 и a2(V26 + ^) Д-ф = 0, то

°'2 / J* ^dS+ J J /^7 = ЙД J. ^ ds-v f J J

Если Ф и Ф равны нулю внутри 5, мы имеем просто

°'2 / J* ^dS+ J J /^7 = ЙД J. ^ ds-v f J J

Если Ф и Ф равны нулю внутри 5, мы имеем просто

6Ф dV.

(1)

(3)(3)Предположим, однако, что е^^ г

(3)

(3)

Ш^—2J JШ^—2J JdV=4~a^,dV=4~a^,где г представляет собой расстояние от произвольной точки до неподвижного начала О внутри 5. Во всех точках, за исключением О, Ф обращается в нуль; последний член в (1) принимает вид:

Ш^—2J J

Ш^—2J J

dV=4~a^,

dV=4~a^,

-W2

где 6 относится к точке О. Таким образом, получается выражение ‘•ч! йчМ (’ УЧЧЧ J

которое при Ф, обращающемся в нуль, дает нам значение 0 в любой внутренней точке О через значения ^ и д^/дп на поверхности. В случае обычного потенциала, к которому мы возвращаемся, полагая ^ = 0, б было бы определено одними значениями д^дп на поверхности. Но с конечным к этот закон перестает быть универсально верным. Для данного пространства S имеется, как в случае, исследованном в § 267, ряд определенных значений к, соответствующих периодам возможных простых гармонических колебаний, которые могут иметь место внутри замкнутой "твердой оболочки, имеющей форму 5. Очевидно, при любом из этих значений к, ^ не определяется своим изменением по нормали на 5, и ясно, что оно удовлетворяет всюду внутри S уравнению V'26 -f- к'2^ = 0. Но если предположенное значение к не совпадает ни с одним значением из этого ряда, то задача определена; действительно, разность каких-нибудь двух возможных решений, если она конечна, удовлетворяла бы условию отсутствия нормальной скорости на 5— условию, которое, согласно предположению, не может быть удовлетворено при принятом значении к.

Если размеры пространства 5 очень малы в сравнении с л (= 2тт/^), то е-1Аг можно заменить единицей, и мы заключаем, что й очень мало разнится от функции, которая всюду внутри S удовлетворяет уравнению V2o = 0.

Расширяя теорему Грина (1), Гельмгольц нашел доказательство следующей важной теоремы. Если в заполненном воздухом пространстве, частично ограниченном простирающимися на конечное расстояние неподвижными телами, частично же не ограниченном, в какой-либо точке А возбуждаются звуковые волны, то обусловленный ими в какой-либо другой точке В потенциал скорости и по величине и по фазе совпадает с тем, который имел бы место в А, если бы в В находился источник звука.

Если уравнение

J J 0)

где <? и ^ — произвольные функции и

Ф = —a2(V2<? + fc2?) и if = —я2(72'И ^)> прилагается к пространству, целиком охваченному твердой границей и содержащему некоторое число неподвижных твердых тел, и если <р и ^ — потенциалы скорости, обусловленные источниками внутри 5, то мы получаем

J J J № —^f)dV = 0.(2)

J J J ф ^vпРеJ J J ф ^vпРеТаким образом, если <? обусловлено источником, сосредоточенным в точке А, Ф — 0 всюду за исключением этой точки, и

J J J ф ^vпРе

J J J ф ^vпРе

гдегдедставляет собой интенсивность источника. Анало

где

где

гично, ecin ^ обусловлено источником, расположенным в В, то

Следовательно, если источники конечны и равны, так что

J JJ" J®

то ^А = ^.(4)

что и является символическим выражением теоремы Гельмгольца.

Если пространство 5 не ограничено, то интеграл по поверхности все еще равен нулю, и результат будет тот же самый; здесь, однако, нет необходимости входить в детали вопроса, так как эта теорема заключается в гораздо более широком принципе обратимости, установленном в главе V. Исследование, проведенное там, показывает, что этот принцип остается верным и при наличии диссипативных сил, при условии, что они возникают как результат сопротивлений, пропорциональных первой степени скорости, и далее, что жидкость не должна быть обязательно однородной, а соседние тела — твердыми и неподвижными. В приложении к бесконечному пространству все неясности исчезают, если предположить, что колебания медленно затухают, после того как они прошли расстояние между А и В (рассматриваемыми источниками).

Читатель должен тщательно помнить, что в этой теореме одинаковыми источниками звука являются те, которые получаются в результате периодических введений или изъятий равных количеств жидкости или каких-либо других воздействий, приводящих к такому же эффекту, и что одинаковые источники в одинаковое время не обязательно испускают одинаковые ко .ичества энергии. Так, например, источник, расположенный вблизи поверхности большого препятствия, испускает вдвое больше энергии, нежели источник, расположенный в открытом пространстве.

В качестве примера применения этой теоремы мы можем взять случай слуховой, или разговорной, трубы, представляющей собой коническую трубу. Действие ее, таким образом, одинаково, независимо от того, наблюдается ли в вершине конуса звук, произведенный в некоторой точке снаружи трубы, или же источник равной силы, расположенный в вершине конуса, наблюдается во внешней точке.

Важно также иметь в виду, что теорема взаимности в форме Гельмгольца приложима только к простым источникам звука, кото-

148 рые в отсутствии препятствий давали бы симметричные волны. Как мы увидим более отчетливо в следующей главе, возможно осуществить источники звука, которые не удовлетворяют этому условию, хотя и сконцентрированы в бесконечно малой области. Здесь достаточно рассмотреть случай двойных источников, для которых видоизмененная теорема взаимности имеет самостоятельный интерес.

Предположим, что А есть простой источник, дающий в точке В потенциал — ф, а А’— равный и противоположный источник, расположенный в некоторой соседней точке, потенциал которого в В есть 6 -{- Дф. Если оба источника действуют одновременно, то потенциал в В равен Дб. Предположим теперь, что в В имеется простой источник, интенсивность и фаза которого одинаковы с интенсивностью и фазой источников в'А и А'\ соответствующий потенциал в А будет 6 и в Д' 6 -]- Дб. Если расстояние АА' обозначить через h и предположить, что оно беспредельно уменьшается, то скорость жидкости в А в направлении АА' будет равна пределу ^/h. Отсюда, если мы определяем единичный двойной источник, как предел двух равных и противоположных простых источников, расстояние между которыми уменьшается и интенсивность которых возрастает беспредельно таким образом, что произведение интенсивности на расстояние совпадает с таким же произведением для двух единичных простых источников, помещенных друг от друга на расстоянии, равном единице, то мы можем сказать, что скорость жидкости в А в направлении АА', обусловленная единичным простым источником в В, численно равна потенциалу в В от единичного двойного источника в А, ось которого лежит в направлении АА'. Следует заметить, что эта теорема верна независимо от всяких препятствий или рефлекторов, какие могут существовать вблизи источников.

Но если АА' и ВВ' представляют собой два единичных двойных источника с одинаковой фазой, то скорость в В в направлении ВВ', обусловленная источником АА', та же, что и скорость в А в направлении АА', обусловленная источником ВВ'. Эти и другие результаты подобного характера можно также получить непосредственным применением общего принципа § 108. Этих примеров достаточно, чтобы показать, что, прилагая принцип взаимности, необходимо учитывать характер источников. Двойной источник, расположенный в открытом пространстве, не слышен из точки, расположенной в его экваториальной плоскости, но из этого не следует, что простой источник в экваториальной плоскости не слышен из положения двойного источника. Этот принцип, я думаю, позволяет объяснить любопытный опыт Тиндаля), в котором имеет место

кажущееся отсутствие взаимности). Источником звука была язычковая труба очень большой высоты, помещенная в трубе, вдоль оси которой интенсивность была значительно больше, чем в наклонных направлениях.

Кинетическая энергия Т движения внутри замкнутой поверхности 5 выражается в виде

так чтотак что7 ~ 2 p0J J J W7 ~ 2 p0J J J WdV,dV,(1)(1)

так что

так что

7 ~ 2 p0J J J W

7 ~ 2 p0J J J W

dV,

dV,

(1)

(1)

= р f Г fV^idV = pof —[ UvW, (2) dt 1 u J J dx dx v i ,) dn 0 J J J *

в силу теоремы Грина. Для потенциальной энергии Vt мы имеем, согласно (12) § 245,

(3)

откуда dVv dtоткуда dVv dt^ ^dv=^4 HV4+^Ytdv- (4)^ ^dv=^4 HV4+^Ytdv- (4)

откуда dVv dt

откуда dVv dt

^ ^dv=^4 HV4+^Ytdv- (4)

^ ^dv=^4 HV4+^Ytdv- (4)

согласно общему уравнению движения (9) § 244. Таким образом, если Е означает полную энергию в пределах пространства 5, то

^ = Ро| + I(5)

dt ru J J ' дп 1 a^ J J J dt 1x '

где первый член представляет собой работу, переданную через границу 5, а второй — работу, произведенную внутренними источниками звука.

Если граница S представляет собой неподвижную твердую оболочку и если не имеется внутренних источников, то Е сохраняет в продолжение всего движения первоначальное значение. Этот принцип был приложен Кирхгоффом9) к доказательству определенности движения, возникающего из заданных произвольных начальных условий. Так как каждый элемент Е положителен, то внутри S не может быть движения, если Е равно нулю. Но если бы были возможны два движения, соответствующие одним и тем же начальным условиям, то их разность была бы движением, для которого начальное значение Е равно нулю; но тем самым доказана невозможность таких двух движений.

ГЛАВА XV

ДАЛЬНЕЙШИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОБЩИХ УРАВНЕНИЙ

Когда ничем не стесненный цуг плоских волн попадает в объем, занятый веществом, механические свойства которого отличаются от механических свойств окружающей среды, возникают вторичные волны, которые можно рассматривать как возмущение, обязанное изменению природы среды, — точка зрения, подходящая особенно тогда, когда область возмущения, равно как и изменение механических свойств, малы. Если среда и препятствие — жидкости, то механических свойств, о которых идет речь, два — сжимаемость и плотность; трение или вязкость здесь не учитываются. В главе, посвященной сферическому гармоническому анализу, мы рассмотрим предложенную здесь проблему в предположении, что препятствие сферическое, без какого-либо ограничения относительно малости изменения механических свойств; в настоящем исследовании форма препятствия произвольна, по мы принимаем, что квадраты и высшие степени изменений механических свойств можно опустить.

Пусть ^, тр С обозначают параллельные осям координат смещения частицы, положение равновесия которой определяется через х, у, г, и пусть о — нормальная плотность, а т— постоянная сжимаемости, так что op = ms; тогда уравнения движения имеют вид:

(1)(1)^5 , d(ms^ _ „

(1)

(1)

di dx

(2)(2)(3)(3)и два аналогичных уравнения для т] и С Полагая, что все движение пропорционально е1*^, где, как обычно, к = 2к/А и (§ 244) а^ = т; о, (1) можно переписать так:

(2)

(2)

(3)

(3)

как в (2),как в (2),= О,дх о 'о »= О,дх о 'о »(4)(4)

как в (2),

как в (2),

= О,

дх о 'о »

= О,

дх о 'о »

(4)

(4)

но $0 и s0 не удовлетворяют (2) в области возмущения, благодаря имеющему там место изменению т и з. Предположим, что полные значения суть $0-4$> ^, ^ и Sq-4-s1), и подставим в (2). Тогда, принимая во внимание (4), мы получаем

или, иначе,

^ (ms) — ^« 4- ^ (Am • s0) — Дз • ^2й;0 = 0,(5)

и з — з0. Урав-и з — з0. Урав-(6)(6)где Ат и Дз обозначают, соответственно, m— m0 нения для « и ( имеют аналогичным образом вид:

и з — з0. Урав-

и з — з0. Урав-

(6)

(6)

^ (ms) — о^2й2т] 4™ (Дт • s0) = О,

^ (ms) — W, + -^ (Дт • s0) = 0.

Следует заметить, что Дт и Дз обращаются в нуль всюду за исключением того малого пространства, которое рассматривается как область возмущения; Е, тр С, s, являющиеся результатом возмущения, следует трактовать как малые величины порядка Дт и Дз, так что в нашем приближенном анализе изменениями m и з в первых двух членах (5) и (6) следует пренебречь, так как они умножаются па малые величины. Мы получаем, таким образом, из (5) и (6) путем дифференцирования и сложения, пользуясь (3) в качестве дифференциального уравнения для s, следующее соотношение:

2 (ms) 4- к-ms = №а^ ^ (Дз . ;0) — V2 (Дт • s0).(7)

(8)(8)Как и в § 277, решение (7) имеет вид:

(8)

(8)

V2 (Дт • s0) — к-cP

где интегрирование распространяется по объему, целиком заключающему в себе область возмущения. Интеграл в (8) может быть преобразован с помощью теоремы Грина. Обозначая две его части соответственно через Р и Q, мы имеем:

Г Г р—гкгГ Г Г/р-гкг\

Р = J N ^-V^Am.So^H — J | j Дт • s0V2^^-pI/4- .

, f f ( e-tkv AA fp-ikr'x 1

-4 И4- (Am • s0) — Am • s0 ч- ()} dS,

' j J \ r on xu on \ r /)

где 5 обозначает поверхность объема, по которому распространяется, тройное интегрирование. Но на S как Aw, так и ^ ^т • s0) равны нулю, так что оба интеграла по поверхности исчезают. Кроме того,

1 Л2р-гкг

L—) _°п.г =е

г ] г ог^г ’.

и, таким образом,

(9)(9)р = _ f I* J ^L Lm • s0 dV.

(9)

(9)

Если область возмущения мала сравнительно с X, то мы можем написать

р = _&2s0^-rJ ( ^mdV.(10)

Аналогичным образом для второго интеграла в (8) находим

= ^J j jj J jAjdKdl)

где p. обозначает косинус угла между х и г. Линейными размерами области возмущения пренебрегаем в сравнении с X, а X пренебрегаем в сравнении с г.

Если Т—объем пространства, где ^т и Аз имеют заметные значения, то мы можем написать

J J J ^dV= 7 • Аз,J J J ^dV= 7 • Аз,Г Г Г &т dV = Т • Aw,

J J J ^dV= 7 • Аз,

J J J ^dV= 7 • Аз,

если в правых частях Aw и Да относятся к средним значениям рассматриваемых изменений. Таким образом, из (8)

ЪЛТр — »'kr

5 =4^^ ^ * S° ~ ^ Л° * ^(12)

Выразим теперь £0 через s0; из (3) мы имеем Ео =— J sodx; таким образом, если сжатие для первичных волн равно s0 = eik ^t ^, ik;0 = — s0, и (12) можно представить в форме

sт.Те-гк** (^m । Да ),

— ——.<(13)

s0A2r [ w 1 а rJ ’

где s0 обозначает сжатие для первичных волн в месте возмущения в момент времени t, a s обозначает сжатие для вторичных волн в тот же самый момент времени на расстоянии г от возмущения. Так как разность фаз, представляемая множителем е-^г, соответствует просто расстоянию г, то мы можем считать,-что в месте возмущения щмеет место простое обращение фазы. Амплитуда вторичных воли

обратно пропорциональна расстоянию г и квадрату длины волны X. Из двух членов, содержащихся в (13), первый симметричен во всех направлениях вокруг места возмущения, между тем как второй изменяется пропорционально косинусу угла между первичным и вторичным лучами. Таким образом, место, где т изменяется, ведет себя как простой источник, а место, в котором изменяется а, — как источник двойной (§ 294).

Тот факт, что вторичное возмущение должно меняться по закону л-2, можно доказать непосредственно методом размерностей. Если km и До заданы, то амплитуда необходимо пропорциональна Т и, в согласии с принципом энергии, должна также изменяться обратно пропорционально г. Но величинами (зависящими от пространства, времени и массы), функцией которых может быть отношение амплитуд, являются только Т, г, К, а (скорость звука) и □, из которых последняя не может встречаться в выражении простого отношения, поскольку она — единственная из них, которая зависит от массы. Из остающихся четырех величин Т, г, к и а последняя — единственная, которая зависит от времени, и поэтому она также исключается. Нам остаются Г, г и л, единственной комбинацией которых, меняющейся по закону Тг-1 и не зависящей от единицы длины, является Tr-U-21).

Интересное приложение результатов этого раздела можно произвести для объяснения явления, названного гармоническим эхо^у Если первичный звук является сложной музыкальной нотой, то различные составляющие ее тоны рассеиваются в неодинаковой пропорции. Октава, например, в шестнадцать раз сильнее в сравнении с основным тоном во вторичном звуке, чем это было в первичном. Нетрудно, таким образом, понять, каким образом эхо, отраженное от такого препятствия, как группа деревьев, может оказаться повышенным на октаву. Это явление имеет также и дополнительную сторону. Если на пути звуковых волн лежит значительное число небольших тел, то колебания, испускаемые ими во всех направлениях, происходят за счет энергии главного потока, и там, где звук сложный, возбуждение более высоких гармоник в рассеянных волнах предполагает пропорциональное отсутствие их в прямой волне после прохождения препятствий. Это является, может быть, объяснением некоторых эхо, о которых сказано, что они возвращают звук ниже первоначального; действительно известно, что высота чистого тона часто оценивается слишком низко. Однако факты противоречивы, и весь этот вопрос требует дальнейшего тщательного экспериментального исследования, которое можно рекомендовать вниманию располагающих необходимыми условиями. В то время как изменение характера звука легко понятно и, действительно, в ограниченной степени должно вообще происходить, изменение высоты простого

«On the Light from the Sky», Phil. Mag., февраль 1871 и «On the Scattering of Light by small Particles», Phil. Mag., июнь 1871.

Nature, том VIII, стр. 319, 1873.

тона было бы нарушением закона вынужденных колебаний и едва ли могло бы быть примирено с теоретическими представлениями.

При выводе уравнения (13) мы пренебрегли влиянием переменной природы среды на возмущение. Если возмущение при этом предположении вполне известно, мы можем выполнить приближение снова тем же самым путем. Полученные при этом дополнительные члены были бы необходимо второго порядка относительно Дт и Да, так что наши выражения, с точностью до первых степеней этих величин, правильны во всех случаях.

Этот метод применим даже в том случае, когда область возмущения не является малой в сравнении с А, при условии, что квадратами Д/п и Да действительно можно пренебречь. Полный эффект какого-либо препятствия можно тогда вычислить интегрированием эффектов его частей. Этим путем мы можем проследить переход от малой области возмущения, поверхность которой не входит в рассмотрение, к тонкой пластинке площадью в несколько или же в большое число квадратных длин волн, которая может в конечном счете отражать по нормальному оптическому закону. Но если препятствие вообще удлинено в направлении первичных лучей, то этот метод вычисления скоро перестает быть практически пригодным, потому что нельзя оставлять без учета взаимодействие различных частей препятствия, если даже изменение механических свойств было очень мало. Эта предосторожность особенно важна, когда мы имеем дело со светом, где длина волны столь исключительно мала в сравнении с размерами обычных препятствий.

Эффектом, аналогичным до некоторой степени эффекту, который вызывается изменением механических свойств малой области жидкости, является тот, который имеет место, когда квадрат скорости возрастает в каком-либо месте настолько, что им уже больше нельзя пренебрегать. V2<p -j- к-» приобретает тогда конечное значение, зависящее от квадрата скорости. Такие места действуют поэтому подобно источникам звука; периоды источников включают целочисленные части [дроби с числителем 1] первоначального периода. Таким образом, какая-либо часть пространства, где интенсивность накапливается в достаточной степени, сама становится вторичным источником, излучающим гармонические тоны первичного звука. Если имеются два первичных звука достаточной интенсивности, то вторичные колебания имеют частоты, являющиеся суммами и разностями частот первичных звуков (§ 68)!).

Высота звука подвержена изменению, когда источник и приемник находятся в относительном движении. Ясно, например, что наблюдатель, приближающийся к неподвижному источнику, будет встречать волны с частотой, превосходящей собственную частоту звука на число длин волн, пройденных наблюдателем за секунду

Э Гельмгольц о комбинационных тонах, Pogg. Ann., том XCIX, с гр. 497, 1856.

времени. Таким образом, если и— скорость наблюдателя, а — скорость звука, то частота изменяется в отношении (а±-и):а, в зависимости от того, будет ли движение направлено к источнику или от него. Так как изменение частоты постоянно, то музыкальное исполнение слышалось бы еще нерасстроенным, хотя во втором случае, если, кроме того, а и -и близки друг к другу, понижение звука было бы настолько велико, что нарушило бы весь музыкальный характер вещи. Если бы мы могли предположить,что -и больше а, то звук, произведенный после того, как движение началось, никогда бы не достиг наблюдателя, звуки же, возбужденные ранее, постепенно нагонялись бы и слышались в порядке, обратном естественному. При -и = 2а наблюдатель услышал бы музыкальную вещь правильно и за правильное время, но в обратном порядке.

Аналогичный результат получается, когда в движении находится источник, а наблюдатель в покое; изменение зависит только от относительного движения в направлении слушания. Если наблюдатель и источник движутся с одинаковой скоростью, то изменения частоты не происходит, независимо от того, находится среда в движении или нет. При относительном движении со скоростью 40 миль 164 километра] в час изменение высоты очень заметно и достигает приблизительно полутона. Свисток паровоза слышен несколько более высоким, когда паровоз приближается к наблюдателю на станции, и более низким, когда он удаляется, изменяясь довольно резко в момент прохождения мимо наблюдателя.

Принцип изменения высоты вследствие относительного движения был впервые высказан Допплером т) и часто называется принципом Допплера. Довольно странно, что его законность оспаривалась Петцвалем); возражения Петцваля были результатом того, что он смешал два совершенно различных случая: случай, в котором имеется относительное движение источника и приемника, и случай, где находится в движении среда, между тем как источник и приемник находятся в покое. В последнем случае условия в механическом отношении такие же, как если бы среда находилась в покое, а источник и приемник имели общее движение, и поэтому, согласно принципу Допплера, никакого изменения высоты ожидать не следует.

Принцип Допплера был проверен экспериментально Бейс Балло ) и Скотт Расселем, изучавшими изменения высоты звука музыкальных инструментов, перемещавшихся на паровозах. Лабораторный инструмент для доказательства изменения частоты вследствие движения был изобретен Махом ). Он состоит из трубы в шесть

футов (183 см) длиной, которая может вращаться вокруг оси в ее центре. На одном конце трубы помещен небольшой свисток (или язычковая труба), через который продувается воздух, направляемый вдоль оси трубы. Наблюдатель, расположенный в плоскости вращения, слышит ноту колеблющейся высоты, но если он располагается на продолжении оси вращения, то звук приобретает постоянный характер. Вероятно, наиболее простым экспериментом является тот, который описан Кёнигом 9- Два с"-камертона, монтированные на резонансных ящиках, подготовлены так, чтобы давать друг с другом четыре биения в секунду. Если приближать к уху более низкий из камертонов, оставляя другой в покое, то на каждые два фута (61 см) приближения теряется одно биение; если, наоборот, приближать более высокий из камертонов, то на этом же расстоянии нарастает одно биение. Можно отметить также видоизменение этого эксперимента, принадлежащее Мейеру-2). В этом случае один камертон возбуждает колебания другого в унисон с самим собой; возбуждение можно сделать заметным с помощью маленького маятника, касающегося конца одной из ножек. Когда возбуждающий камертон находится в покое, эффект заметен на расстоянии до 60 футов (1830 см), но он прекращается, когда возбуждающий камертон быстро перемещают в ту или другую сторону, в направлении линии, соединяющей камертоны.

В математической трактовке задачи движущегося источника имеется некоторая трудность, связанная с тем, что всякий действительный источник действует также и как препятствие. Так, в случае колокольчика, перемещаемого в воздухе, мы должны были бы потребовать решения задачи, достаточно трудной, если бы даже не было колебаний. Но решение подобной задачи, если бы даже его и можно было получить, не пролило бы особого света на закон Допплера, и мы можем поэтому упростить вопрос, идеализируя колокольчик в форме простого источника звука.

В § 147 мы рассматривали задачу о движущемся источнике возмущения в случае натянутой струны. Теория воздушных волн в одном измерении совершенно аналогична, но для общего случая трех измерений, чтобы учесть возможность движения поперек направления звуковых лучей, необходимо некоторое ее расширение. Из §§ 273, 276 следует, что эффект, который дается источником звука в некоторой точке О, один и тот же, будет ли источник находиться в покое или как-либо двигаться по поверхности сферы, описанной из О, как из центра. Если источник движется так, чго его расстояние г от точки О изменяется, то даваемый им эффект изменяется в двух отношениях. Изменение расстояния влияет не только на сразу возмущения по приходе в О, но и на ампли-

J) Konig, Catalogue des Apparells d'Acoustique, Париж, 1865.

Mayer, PML Mag. (4), том XLIII, стр. 278, 1872.

туду. Последнее усложнение можно, однако, оставить без учета, если мы ограничиваемся случаем, когда источник достаточно удален. При этом условии мы можем утверждать, что эффект в О от возмущения, произведенного в момент / на расстоянии г от О, одинаков с эффектом подобного же возмущения, произведенного в момент 1-\-Ы на расстоянии г — aU от О. В случае периодического возмущения приближение со скоростью -и эквивалентно возоастанию частоты в отношении а^а-^ту

Мы исследуем теперь вынужденные колебания воздуха, заключенного внутри прямоугольной камеры, колебания, обязанные своим происхождением внутренним источникам звука. В силу § 267 ясно, что результат начального сжатия, ограниченного областью в соседстве с точкой Е, т], С, в момент t, есть

гдекаВ„пу = -х- cosР1Г аругдекаВ„пу = -х- cosР1Г ару*=S2SkaBpqr cos kat cos

где

каВ„пу = -х- cos

Р1Г ару

где

каВ„пу = -х- cos

Р1Г ару

(ly) ^(^J"') cos(r^) J f / ^dxdNdz’ (2)

каккакмо-мо-откуда можно вывести эффект какой-либо внешней силы, в § 276. Если возмущение J J J <р(, dx dy dz, сообщенное в

как

как

мо-

мо-

мент f, представить в форме J J J $(£')dt'dxdydz, или Ф^'^Г, то возмущение в момент / будет

<P=—- V V VcOS\p— COS COS Г- X

T a^Y W V a / V P /\ Y /

t

X COS ^P”^ COS ^ "y) COS (r ~) J $1 (OC0S ^a V О dt'• (3)

Симметрия этого выражения по отношению к х, у, z и Е, iq, С есть пример принципа обратимости (§ 107).

В случае гармонической силы, для которой Фг(О = A cos mat', мы должны рассмотреть значение интеграла

t

J cos mat' cos ka (t— t^dt'.(4)

Строго говоря, этот интеграл не имеет определенного значения; но если нас интересует выражение только вынужденных колебаний, то мы должны опустить интегрируемую функцию на нижнем пределе; это можно видеть, если предположить, что введены очень малые диссипативные силы. Мы получаем, таким образом, t

Ф. U'A cos ка (t — t') dt' = A.(5)

J 1 vv(m3 — A2) a^x z

— 09

Как можно было предвидеть, эти выражения становятся бесконечно большими в случае совпадения периода источника с одним из собственных периодов сосуда. Никакое отдельное нормальное колебание не возбудится, если источник расположен в одной из его пучностей.

Об эффекте нескольких источников легко заключить, суммируя или интегрируя имеющиеся выражения.

Когда звук возбуждается внутри цилиндрической трубы, то простейший способ возбуждения, какой только мы можем предположить,— это возбуждение с помощью вынужденных колебаний поршня. В этом случае волны являются плоскими с самого начала. Но важно также исследовать, что происходит, когда источник, вместо того чтобы быть равномерно распределенным по сечению, сконцентрирован в одной его точке. Если мы примем (что, однако, не является верным безоговорочно), что на достаточном расстоянии от источника волны становятся плоскими, то закона обратимости достаточно, чтобы получить желаемые сведения.

Пусть А— простой источник в неограниченной трубе, В и В' — две точки одного и того же нормального сечения в области плоских волн. Ex hypothesi, потенциалы в В и В', обязанные источнику А, одинаковы и, согласно закону взаимности, такие же источники в В и В' дали бы тот же самый потенциал в А. Отсюда следует, что эффект какого-либо источника на расстоянии такой же, как если бы источник был равномерно распределен по сечению, которое проходит через него. Так, например, если бы В и В' были одинаковыми источниками в противоположных фазах, возмущение в А было бы равно нулю.

Энергию, испускаемую простым источником, расположенным внутри трубы, теперь нетрудно вычислить. Если сечение трубы есть с и источник таков, что в открытом пространстве потенциал, обязанный ему, был бы равен

Acos к (at— г)...

ф = — -. - •' ,(1)

то потенциал скорости на некотором расстоянии внутри трубы будет таким, как если бы причиной возмущения было движение поршня в начале, дающее то же общее смещение; испускаемая энергия также будет той же самой. Но из (1) имеем в конечном счете 2itr3 ^- = ^-А cos kat, or 2

и поэтому, если ^— потенциал скорости плоских волн в трубе (предполагаемой параллельной г), мы можем положить

а-^- = ^-Д cos^(^—г),(2)

соответственно чему

ф = — cos к (at — г).(3)

Отсюда, как в § 245, энергия W, испускаемая в каждую сторону

dW (: д-\dW (: д-\2 = 02 = 0= -^— cos1- kat,4с= -^— cos1- kat,4сот источника, дается выражением:

dW (: д-\

dW (: д-\

2 = 0

2 = 0

= -^— cos1- kat,4с

= -^— cos1- kat,4с

так что для значительного промежутка времени

(4)

Если труба закрыта неподвижным поршнем, помещенным вблизи источника, то вся энергия излучается в одном направлении; но это еще не все. В результате удвоенного давления развивается энергии в два раза больше, чем раньше, и, таким образом, в этом случае

(5)(5)аА2 ,W = р -л— t.г 2с

(5)

(5)

Чем уже труба, тем больше энергия, испускаемая данным источником. Интересно сравнить эффективность источника у закрытого конца цилиндрической трубы с эффективностью равного источника, расположенного в вершине конуса. Из § 280 мы имеем в послед-

так чтотак что(6)(6)(7)(7)нем случае

так что

так что

(6)

(6)

(7)

(7)

W _ ю W — К^ •

Энергия, испускаемая в обоих случаях, одинакова, когла со = k'h, т. е. когда сечение цилиндра равно площади, вырезываемой конусом на сфере радиуса к-1.

Мы должны теперь исследовать, насколько справедливо утверждение, что колебания внутри цилиндрической трубы на достаточном расстоянии от их источника становятся приблизительно плоскими. Взяв ось z параллельной образующим цилиндра, исследуем движение, потенциал которого меняется по закону eikat, на положительной стороне от источника, расположенного в z = 0. Если <з — потенциал и если вместо d^jdx2 -^- д‘А[ду2 подставить V3, то уравнением движения будет

(£+v'3+№)<P=o. (1)

Если ср не зависит от z, то это уравнение представляет колебания, целиком поперечные к оси цилиндра. Если тогда потенциал пропорционален eiJ)at, то он должен удовлетворять уравнению

(V3 + p13)? = 0, (2) равно как и условию, что на границе сечения

= 0. (3) on v '

Чтобы эти уравнения могли быть совместными, р ограничивается некоторыми определенными значениями, соответствующими периодам

собственных колебаний. Пулевое значение р дает © — const— решение, которое мы должны будем сейчас рассмотреть, хотя оно и не имеет значения для задачи в двух измерениях. Для каждого допустимого значения р имеется определенная нормальная функция и от х и у (§ 92), так что решение имеет вид:

© = Aueipat.(4)

Две функции и и и', соответствующие различным значениям р, являются сопряженными, а именно, для них

J* J ии' dx dy = 0,(5)

и всякая функция от х и у может быть разложена внутри контура в ряд-

© = Д^Д-Д^ Д-Д2«аД-. .(6) где z/0, соответствующее р = 0, постоянно.

В действительной задаче © все еще можно разложить в тот же ряд, при условии, что До, Av . . . рассматриваются как функции г. В результате подстановки в (1) мы получаем, принимая во внимание (2),

“о |rf/ ++ “l+ (£- ~ Р?) Д +

++(7)

где в силу свойства сопряженности нормальных функций каждый коэффициент при и должен обращаться в нуль по отдельности. Таким образом,.

фф + &мо = о, ^ + (^-^)Л = 0.(8)

Решение первого из этих уравнений есть

До = а05^г Д- poe~ito, что лает

©о = a.Quoeik^Qt^A^QuQeik^at-%\(9)

Решение общего уравнения для А принимает различную форму в зависимости от того, будет ли к2— р‘2 положительным или отрицательным. Если вынужденное колебание является более низким, чем наинизшее из чисто поперечных собственных колебаний, то каждое конечное значение р2 больше, чем к’2, или к2— р2 всегда отрицательно. Полагая

—(Ю)

мы имеем•

А = ае^ + ^е-^, откуда

© = («е^ Д- ^-1^) ueikat.(11)

Но при предположенных условиях очевидно, что движение не ста-

новится бесконечно большим вместе с 2, так что все коэффициенты а равны нулю. По несколько иному основанию то же самое справедливо для а0, так как не может существовать волны в отрицательном направлении. Мы можем поэтому положить

ср = ^Qeikiat-^ _j_ ^xuxe-WKat 4- ^U.^-'^e№at + . . . (12) — выражение, которое сводится к своему первому члену, когда z достаточно велико. Мы приходим к заключению, что во всех случаях волны в конце концов становятся плоскими, если вынужденное колебание является более низким, чем наинизшее из собственных поперечных колебаний.

В случае кругового цилиндра радиуса г длина волны наиниз- шего поперечного колебания равна 2тгг : 1,841 = 3,413г (§ 339). Если при этом длина волны вынужденного колебания превосходит 3,413г, то волны в конечном счете становятся плоскими. Может случиться, что волны в конце концов становятся плоскими, хотя длина волны и падает ниже указанного предела. Так, если источник колебаний симметричен относительно оси трубы, — например, простой источник, расположенный на оси трубы,—то наинизшее поперечное колебание, с которым нам пришлось бы иметь дело, было бы более чем на октаву выше, чем в общем случае, и длина волны вынужденного колебания могла бы иметь значение, меньшее половины указанного.

Из (12), когда 2 = 0, следует

-^- = — ik^oeikat — y.t^tuvetkat — . . ., откуда „ „

J I dz" do~ — i^oaeikat, (13) поскольку I* j* utd3, J J и.^з и т. д. все обращаются в нуль.

В связи с этим ясно, что плоские волны на некотором расстоянии от источника такие же, как если бы они были получены с помощью твердого поршня в начале, что дает ту же среднюю нормальную скорость, какая существует в действительности. Всякое нормальное движение, положительная и отрицательная части которого равны, не дает в окончательном результате никакого эффекта.

Когда нет никаких ограничений относительно характера источника и когда некоторые из собственных поперечных колебаний являются более низкими, чем данное, то несколько значений ^— р‘А положительны, и тогда появляются члены вида:

ф — ^ие^к^е— ^ ^ к^ ^2 ^, или, в действительных величинах

= ^и cos (kat—V №— p^zy (14)

11 Зак. 1779. Рэлей, II

это указывает, что особенности источника распространяются на бесконечно большое расстояние.

Задачу, рассмотренную здесь, можно считать обобщением задачи § 268. Для случая кругового цилиндра ее можно решить полностью с помощью функций Бесселя, но это мы предоставляем читателю.

В § 278 мы полностью определили движение воздуха, являющееся результатом периодического движения в направлении нормали граничной плоской пластины бесконечной протяженности. Если dyldn— заданная скорость в направлении нормали для элемента dS, то„ „

,=_1(1)

*J J on гv '

дает потенциал скорости в точке Р на расстоянии г от dS. Остальная часть настоящей главы посвящается исследованию частного случая этой задачи, имеющего место, когда скорость в направлении нормали имеет заданное постоянное значение на площади круга радиуса Р, а на остальной части плоскости равна нулю. В частности, мы исследуем, какие силы, являющиеся результатом реакции воздуха, действуют на твердую круглую пластинку, колеблющуюся по простому гармоническому закону в равном ей по площади круглом отверстии, вырезанном в твердой плоской пластине, простирающейся в бесконечность.

Для полного изменения давления, действующего на пластинку, мы имеем (§ 244)

Ьр dS = — з Г Г ср dS = — ika-з Г f ср dS,

где - — нормальная (natural) плотность, а ср меняется пропорционально eikat. Таким образом, согласно (1),

| ] йр as = -й^ -^-22 dS dS’- (2>

В двойной суммеikr

2^^-dSdS',(3)

которую мы должны теперь вычислить, каждая пара элементов должна быть взята только по одному разу, и эти произведения нужно суммировать после их умножения на множитель r-1e""ikr, зависящий от взаимного расстояния элементов. Лучшим методом является тот, который предложен проф. Максвеллом для обычного потенциала г). Величина (3) рассматривается как работа, которая была бы затрачена для полной диссоциации вещества, составляющего диск, т. е. для удаления каждого элемента из области влияния всякого другого, в предположении, что потенциал двух

9 Maxwell, «Theory of Resonance», Phil. Trans., 1870.

элементов пропорционален г-1е~1к’, Величину требуемой работы, которая зависит только от начального и конечного состояний, можно вычислить, предполагая, что операция выполняется любым путем, какой окажется более удобным. С этой целью мы предположим, что диск разделен на элементарные кольца и что каждое кольцо уводится прочь в бесконечность прежде, чем будут нарушены какие-либо из внутренних колец.

Первым шагом является вычисление потенциала V на краю диска радиуса с. Взяв полярные координаты р, 0 с какой-либо точкой окружности в качестве полюса, мы имеем

+ 2 2с cos 92

V = j j ^\dpd^ j ^e~ikMpdh = ^ j (l _^-г^ссовО)^, о6

Эту величину нужно умножить на ^-cdc, а затем проинтегрировать по с между пределами 0 и /?. Удобнее, однако, произвести сначала преобразование. Мы имеем

2"2

| е-2гкс cos 9 ^fj — ^ j р-2гкс sin в^ —, оо

= ^ | cos (Skc sin 0) db — ^ ( sin (2&c sin 0) d^ = J^ (z) — lK^z\ (4) 6o’

где вместо 2Ac написано z. J^z) есть функция Бесселя нулевого порядка (§ 200), а К^— функция, определенная уравнением

2*

К(г) = у | sin (z sin 9) d^ =о

= 7 P Г^32 + 12.32.5212.32.52.72+(5)

Отвлекаясь в настоящий момент от дальнейшего рассмотрения функции К, мы можем написать

v=^\K^)-i\\—w\\(6)

и, таким образом,

2kR

22^7"-dSdS' = S.I z<fo|K(z)-Z{l — -Wil.

6

IP

Но, согласно (6) § 200 и (8) § 204,

J Jo (г) zdz = zJx <^\(7)

о

таким образом, если определить Кх равенством:

Kv (^ = J К (г) г dz,(8)

о то мы можем написать

"^^dSdS' =^K1t3k^-i^VX(9)

Полное давление выводится отсюда, если ввести множитель ikao д^ л дп ’ так что

J J aS =• £ (‘ - т) +П

Реакцию воздуха надиск можно, таким образом, разделить на две части, из которых первая пропорциональна скорости диска, а вторая — ускорению. Если $ обозначает смещение диска, так что $=^,то мы имеем $ = ika\ = ika —; и поэтому в уравнении движения диска реакция воздуха представляется силой трения

т :/.У1(2^)\

замедляющей движение, и приростом инерции, равным ^^(2/?/^).

Если kR мало, то мы имеем из ряда (5) § 200 для Jv расположенного по возрастающим степеням,

M2kR)__W № ।№^/?8।

1 kk —1-21-22.3"^1-2а.3'2-41 • ^ - 3'2 • 42-5'

так что член, соответствующий трению, равен приблизительно

(12)(12)^ a^R^R4.

(12)

(12)

В силу самой природы задачи коэффициент при ; должен быть положительным, иначе реакция воздуха, вместо того чтобы уменьшить, стремилась бы увеличить скорость. То, что Jv^ 1 действительно всегда меньше, чем ~^z, можно проверить следующим образом. Если 0 лежи г между 0 и л, a z положительно, то

sin (2 sin 6) — z sin 6 отрицательно, и поэтому

— | (sin (г sin 0) — z sin 6} sin 6 d^ 0

также отрицательно. Но этот интеграл равен Уг(г)—^ 2?, а следовательно, и эта разность отрицательна для всех положительных значений z.

Когда kR велико, Jx(2kR) стремится к нулю, и тогда член, выражающий трение, становится равным просто a^R4. Этого результата можно было бы ожидать; действительно, если kR очень велико, волновое движение в соседстве с диском становится приблизительно плоским. Мы имеем тогда, согласно (6) и (8) § 245, dp = ар0$, где р0 плотность (а), так что задерживающая сила есть t:R^ bp = a^TtR2 • t

Мы должны теперь рассмотреть член, представляющий изменение инерции, и наряду с прочим доказать, что это изменение является увеличением, т. е. что Кх^ положительно. В результате непосредственного интегрирования ряда (5) для К (который всегда сходится), имеем

л j 12.312.32.5~Г 12.32.52.7• • • Р

Поэтому, когда kR мало, мы можем написать в качестве выражения для прироста инерции

(14)

Эту часть реакции воздуха можно поэтому представить, предположив, что колеблющаяся пластинка несет с собой массу воздуха, равную заключенной в цилиндре, основанием которого служит пластинка, а высота равна %RI^, так что, если пластинка достаточно мала, присоединяемая масса не зависит от периода колебания.

Рассматривая ряд (5) для K(z), можно доказать непосредственно, что или

+ 1Ы) = -.(16)

\dz^ ' z dz '~z

Из первой формы (15) следует, что

^(2)= \ K^zdz = ^z — zd-^.(17)

о

С помощью этого выражения для Kv(z) легко доказать, что функция всегда положительна. Действительно,

dKk2^ — f sin (z sin 0) db = — f cos (z sin 6) sin 0 dO, (18) dz dz к j 47 nJ x 7«\ /

оо

так что

Kt (г) = — 11 — J cos (z sin 6) sin 6 dh | =0

= ^- |‘ sin2 (1 z sin б) sin 0 d^(19)

6

— интеграл, каждый элемент которого положителен. Когда z очень велико, cos (z sin 0) колеблется с очень большой частотой, и, таким образом, K^z) стремится к форме:

Kt(z) = l-z.(20)

Если z велико, ряд, расположенный по возрастающим степеням, для К и Kv хотя всегда в конце концов и сходящийся, становится бесполезным для практического вычисления, и тогда необходимо обратиться к другим приемам. Заметим, что дифференциальное уравнение (16), удовлетворяемое К, то же самое, какое принадлежит функции Бесселя Jo, за исключением члена в правой части, именно ^[^z. Функция К входит поэтому в форму, которая получается, если к общему решению уравнения Бесселя, содержащему две произвольные постоянные, прибавить какое-либо частное решение (16). Таким частным решением является

lit • K{z) — z~x — z-3+ I2 - 32.г-5—Га.32.52.г-7_4

4-12.32.52.72-г-9— ....(21)

как это легко проверить подстановкой. Ряд в правой части (21), несмотря на то, что он в конечном счете расходится, может быть с успехом использован для вычисления, когда z велико. Действи- о°

тельно, он является аналитическим эквивалентом J е"^ ^z1 Д- р2) 2 d^, о

и мы можем положить

Г

ОД^7 |дополнительная функция,

определяя две произвольные постоянные путем исследования форм, принимаемых, когда г очень ветико. Но, может быть, проще следовать методу, каким пользовался в случае бесселевых функций Липшиц1),

Согласно (4), мы имеем

Mz^-LK^Mz^-LK^(22)(22)

Mz^-LK^

Mz^-LK^

(22)

(22)

Рассмотрим интеграл —=•, где ту— комплексное переменное а у 1 + W2

вида zz—|—ш. Рассматривая, как обычно, одновременные пары значений и и у, как координаты точки, мы видим, что интеграл равен нулю, если интегрирование по ту распространено по контуру прямоугольника, вершинами которого являются соответственно 0, h, h-^i, I, где h— некоторая действительная положительная величина. Таким образом,

hiоо

1 e~2U du Г। Г е-2^^^ duГ d (z'y) _

J У1 + «2 J У1 + (А + toy 1 J У1 + (У + iy + J У1 — у2 ~

откуда, если мы предположим, что h — со,

Г e-i2Vdu .te^du . . f e-^lUi4u

J У1-у2Jyi+„2^ Jyi+(u+Z)2

Заменяя uz через ^, мы можем написать (23) в форме

f e-i2V du = _ . Г е'Дз . еДДД^. f fjVfJ^ (24

J У1 — у-2 J Г^2 у2г „ Г ^

0° Z 1/ 1 +'0 1/ 1 +

г г3Г 1 2г

Первый член в правой части (24) — целиком мнимый; согласно (22), поэтому у ” • Jq{z') является действительной частью второго члена. Развертывая бином под знаком интеграла и затем интегрируя по формуле

’) Lipschitz, Crelle, том LVI, 1859; Lommel, Studien Uber die Bessel- schen Funktionen, стр. 59.

мы получаем разложение /у (г) по отрицательным степеням х в виде

Г 2 IГ 2 I1213‘2 I \ f 1 \ ,1213‘2 I \ f 1 \ ,+1+1ГТT.ZГТT.Z121 • 8г121 • 8г12.32.521 - 2 - 3 • (8г)312.32.521 - 2 - 3 • (8г)3sinsin(25)(25)

Г 2 I

Г 2 I

1213‘2 I \ f 1 \ ,

1213‘2 I \ f 1 \ ,

+1

+1

ГТ

T.Z

ГТ

T.Z

12

1 • 8г

12

1 • 8г

12.32.52

1 - 2 - 3 • (8г)3

12.32.52

1 - 2 - 3 • (8г)3

sin

sin

(25)

(25)

Обрывая разложение на любом желаемом числе членов и образуя выражение для остатка, можно доказать, что ошибка, какую совершают, когда пренебрегают остаточным членом, не может превосходить последнего из удерживаемых членов (§ 200).

Аналогичным образом, мнимая часть правой части (24) эквивалентна —так что

= 'xz'x — х-3+ Г • 32 • г-5— I2.32 • 52 •...} +

12.32.1-2. (8г)212.32.1-2. (8г)212.32.52.721.2 • 3 • 4 • (8г)412.32.52.721.2 • 3 • 4 • (8г)4cos Гг тс\. . . (26)\4 7’cos Гг тс\. . . (26)\4 7’121 -8г121 -8г12.32 • 521-2.3. (8г)312.32 • 521-2.3. (8г)3

12.32.

1-2. (8г)2

12.32.

1-2. (8г)2

12.32.52.72

1.2 • 3 • 4 • (8г)4

12.32.52.72

1.2 • 3 • 4 • (8г)4

cos Гг тс\. . . (26)

\4 7’

cos Гг тс\. . . (26)

\4 7’

12

1 -8г

12

1 -8г

12.32 • 521-2.3. (8г)3

12.32 • 521-2.3. (8г)3

Значение Kv (z) можно теперь определить с помощью (17). Мы находим

= — - [r2-3.2-4-MM2.5.r44.5a.7 • х-^А- ... 14-

(tZТС 11III

/1 ’COS I X—^ It/1 ’COS I X—^ It3-5-11 • 2 • (8г)23-5-11 • 2 • (8г)2

/1 ’

COS I X—^ It

/1 ’

COS I X—^ It

3-5-1

1 • 2 • (8г)2

3-5-1

1 • 2 • (8г)2

3-5.7-9-1-3.5

1.2 - 3 • 4 • (8г)4

3 ,1-2-3. (8г)3 +

(27)(27)3.5.7.9-11•1.3.5.7

(27)

(27)

1-2.3.4.5-(8г)3 "

Окончательное выражение для Кх (z) можно представить в форме^(2) = ^ ^4-z-1 — 3 • г~3 + 12.32-5.^-б — 12.32.52.7,2-. +.. Л 2г /1(12 —4) (32 —4) ,

+Ь2Т(8^- +

. (12 — 4) (32 — 4) (52 — 4) (72 — 4))

1.2.3.4. (8г)4-

2г~ . /1 \ ( 12 — 4

• sin ZГ л) { 1 о "

тс \4 / ( 1 • 8г

(28)(28)(12 — 4) (32 — 4) (52 — 4)1-2.3. (8 г)3

(28)

(28)

Тогда очевидно, что Kv не обращается в нуль, когда z велико, но приближается к 2г/к. Но хотя прирост инерции, который пропорционален Kv становится бесконечно большим вместе с R, он в конце концов исчезает, в сравнении с площадью диска и с другим членом, который представляет диссипацию. Это согласуется с тем, что можно было бы предвидеть из теории п юских волн.

Если, независимо от реакции воздуха, масса пластинки равна М и восстанавливающая сила р£, то уравнение движения пластинки, на которую действует внешняя сила F, пропорциональная eikat, имеет вид:

\м + ^—Jj^)i + A=F, (29)

или, согласно (13), если, как это бывает обычно в практических приложениях, kR мало:

гзо)

Следует отметить два частных случая этой задачи Пусть, во-первых, Мир, равны нулю, так что на пластинку, саму по себе лишенную массы, не действуют никакие другие силы кроме F и тех, которые возникают вследствие воздушных давлений. Так как $ = ika;, то член, представляющий трение, относительно незначителен, и мы получаем, если kR очень мало,

= —(31)

Пусть, далее, Мир. таковы, что собственный период пластинки, когда на нее действует только реакция воздуха, одинаков с периодом, приложенным к ней извне. При этих условиях и поэтому

(32)

Сравнивая с (31), мы видим, что амплитуда колебания в том случае, когда инерция воздуха уравновешивается, больше в отношении 16 : S-nkR; это указывает на значительное увеличение, если kR мало. В первом случае фаза движения такова, что сила F совершает сравнительно очень небольшую работу, между тем как во втором случае инерция воздуха компенсируется упругостью, и тогда F, будучи в одинаковой фазе со скоростью, дает максимальное количество работы.

ГЛАВА XVI

ТЕОРИЯ РЕЗОНАТОРОВ

В случае трубы, закрытой с отного конца и открытой с другого, мы имели пример массы воздуха, способной колебаться с некоторыми определенными свойственными ей периодами при более или менее полной независимости от внешней атмосферы. Если бы воздух за открытым концом был совершенно лишен массы, то движение внутри трубы не имело бы тенденции уходить наружу и заключенный в ней столб воздуха вел бы себя подобно всякой другой сложной системе, не подверженной диссипации. В действительном эксперименте инерцию внешнего воздуха устранить, конечно, нельзя, но когда диаметр трубы мал, возникающий эффект на протяжении нескольких периодов может быть незначительным, и тогда колебания, однажды возбужденные в трубе, обладают в известной степени постоянством. Чем уже канал, соединяющий внутренность сосуда с внешней средой, тем совершеннее осуществляется независимость. Такие полости образуют резонаторы; в присутствии какого- либо внешнего источника звука заключенный в полости воздух колеблется в унисон с ним, с амплитудой, зависящей от соотношения между величинами периодов собственного и вынужденного колебаний и достигающей большого значения в случае приблизительного изохронизма. Когда первоначальная причина звука перестает действовать, резонатор отдает назад накопленные ..внутри него колебания, становясь, таким образом, на короткое время вторичным источником. Теория резонаторов составляет важную отрасль нашего предмета.

В качестве введения в эту теорию мы можем взять простой случай закрытого с одного конца цилиндра, в котором движется без трения поршень. Предположим, что воздух с другой стороны поршня лишен инерции, так что давление абсолютно постоянно. Если теперь привести поршень в колебания с очень большим периодом, то ясно, что содержащийся в цилиндре воздух во всякий момент времени будет находиться с очень большим приближением в состоянии равновесия (одинаковая всюду плотность), соответствующем мгновенному положению поршня. Если масса поршня очень значительна сравнительно с массой заключенного в цилиндре воздуха, то собственные колебания, возникающие в результате смещения, будут

происходить почти так, как если бы воздух не имел инерции; при определении периода из кинетической и потенциальной энергий первую можно вычислять без учета инерции воздуха, вторую же так, как если бы разрежение и сжатие были равномерны. В рассматриваемых условиях воздух действует только как пружина в силу своего сопротивления сжатию или расширению; форма сосуда, в котором заключен воздух, поэтому несущественна, и период колебания остается одним и тем же, если не изменяется емкость.

Когда газ сжат или расширен, работа полученного смещения находится умножением каждого бесконечно малого увеличения объема на соответствующее давление и интегрированием по всей требуемой области. В настоящем случае действительно деятельной является, конечно, лишь разность давлений по обе стороны поршня, и для малого изменения она пропорциональна изменению объема. Полная работа этого малого изменения такова, как если бы расширению все время противодействовало среднее давление, т. е. половина конечного; таким образом, соответственно изменению объема от 5 до 5-]-35, поскольку р = а‘2р,

851а(85)а

V = p 2S °S== 2"рй 5 '0) )

Если А обозначает площадь поршня, М — его массу, а х— его линейное перемещение, то 35 = Ах, и уравнение движения есть

Мх-^-^-х = 0,(2)

что указывает на колебания с периодом,

Представим себе теперь содержащий воздух сосуд, внутренность которого сообщается с внешней атмосферой через узкое отверстие или горлышко. Нетрудно видеть, что эта система способна совершать колебания, аналогичные только что рассмотренным; при этом воздух в соседстве с отверстием занимает место поршня. При достаточном увеличении 5 период колебания можно сделать сколь угодно большим, и мы получаем в конечном счете такое положение вещей, когда кинетической энергией можно пренебречь всюду за исключением пространства в соседстве с отверстием, а потенциальную энергию можно вычислять так, как если бы плотность внутри сосуда была всюду одинаковой. Протекая через отверстие под действием разности давлений с двух сторон или в силу своей собственной инерции, после того как такое давление перестало действовать, воздух движется приблизительно так, как это делала бы в аналогичных условиях несжимаемая жидкость, при условии, что размеры пространства,

0 Ср. (12) § 245.

где кинетическая энергия имеет заметное значение, очень малы сравнительно с длиной волны. Предположения, на основе которых мы намерены действовать, не являются, конечно, строго правильными в приложении к действительным резонаторам, какими пользуются в экспериментах, но они достаточны, чтобы дать наглядное представление о предмете и во многих случаях служить основанием для достаточно точного вычисления высоты. Они становятся строгими только в пределе, когда длина волны бесконечно велика в сравнении с размерами сосуда.

(4)(4)(5)(5)[Изложенные выше принципы позволяют сразу же вычислить высоту тона резонатора с объемом S, полость которого сообщается с внешним воздухом посредством длинного цилиндрического горлышка длины L и площади А. Масса воздушного поршня есть pAL, так что (3) дает для периода колебания

(4)

(4)

(5)

(5)

* а г А ’

или, если X—длина плоских волн той же самой высоты,

к = az ———г А

Если поперечное сечение горлышка есть круг радиуса R, то А = -R-, и мы получаем формулу (8) § 307.]

Кинетическую энергию движения несжимаемой жидкости через данный канал можно выразить через плотность о и скорость переноса, или потока, X, потому что при рассматриваемых условиях характер движения всегда один и тот же. Так как 7 необходимо меняется пропорционально р и X2, мы можем положить

(1)(1)т 1 Х2

(1)

(1)

Г= 2?—'

где постоянная с, которая зависит только от природы канала, есть линейная величина, как это можно заключить из того факта, что размерность X относительно пространства есть 3 и относительно времени — 1. В самом деле, если ср потенциал скорости, то в силу теоремы Грина

7=-bJ JП(Ж~н^2+^^Ь^5’ причем интегрирование должно быть распространено по поверхности, включающей всю область, в которой скорость имеет заметную величину. На достаточном расстоянии по обе стороны от отверстия ср становится постоянным; если обозначить эти постоянные значения через <рт и ср2 и ограничить теперь интегрирование той половиной S, в направлении к которой течет жидкость, то мы имеем

Но, так как ср внутри 5 определяется линейно своими значениями f С д-р

на поверхности, интеграл j | dS, или Л", пропорционален (ф1—сра).

Если мы положим Х=с(Фг — сра), то получим, как выше,

Природу постоянной с легче всего понять, рассматривая электри

ческую задачу, условия которой математически тождественны

с условиями рассматриваемой. Предположим, что жидкость заменена одинаково повсюду проводящим веществом, граница же канала или отверстия — непроводниками. Мы знаем, чго, если с помощью батарей или каким-нибудь другим путем на обеих сторонах поддерживается разность электрических потенциалов, то через отверстие будет протекать постоянный электрический ток пропорциональной величины. Отношение полного тока к электродвижущей силе называется проводимостью канала; таким образом, мы видим,

что наша постоянная с представляет просто

эту проводимость, если принять, чтоФиг 58.

удельная проводимость гипотетического

вещества равна единице. То же самое можно выразить иначе, сказав, что с есть сторона куба, сопротивление которого между

противоположными гранями одинаково с сопротивлением канала.

В дальнейшем мы часто будем пользоваться электрической аналогией. Если с известно, собственный тон резонатора легко найти, Так как

(2)(2)v1

(2)

(2)

-г1 х2 I

то уравнение движения есть

^+^.¥=0,(3)

что указывает на простые колебания с периодом

(4)

Если N— частота, или число полных колебаний, совершаемых

в единицу времени, то

N =

а

2л

(5)

Длина волны X, которая является величиной, наиболее тесно связанной с размерами полости, дается уравнением

Х = ^=2-1/'- (6)

N V с 4 ' и изменяется обратно пропорционально линейному размеру. Следует заметить, что длина волны является функцией только размера и формы резонатора, между тем как частота зависит также и от природы газа; важно отметить, что высота зависит от природы газа, находящегося внутри канала и вблизи него, но не от природы газа, занимающего внутренность сосуда, так как его инерция не играет роли, а сжимаемость всех газов приблизительно одинакова. Таким образом, в случае трубы замена водорода воздухом в соседстве с узлом вызвала бы лишь малое изменение, но ее эффект в соседстве с пучностью был бы значительным.

До сих пор мы говорили об одном соединительном канале, но если имеется несколько каналов, то существенного изменения задача не претерпевает. Та же формула для частоты еще приложима, если мы, как прежде, понимаем под с полную проводимость между внутренностью сосуда и внешним пространством. Если каналы расположены достаточно далеко друг от друга, чтобы действовать независимо, результирующая проводимость есть простая сумма проводимостей, принадлежащих отдельным каналам; в иных условиях результирующая меньше, чем вычисляемая путем простого сложения.

Если имеются два совершенно одинаковых канала, которые не взаимодействуют друг с другом и проводимость каждого из которых в отдельности есть с, то мы имеем ’

^=/2.^^ | (7)

— уравнение, показывающее, что нота выше, чем в случае только одного канала, в отношении V2 : 1, т. е. на интервал, значительно меньший квинты, — закон, наблюденный Зондхаусом и доказанный теоретически Гельмгольцем для случая, когда соединительные каналы представляют собой простые отверстия в бесконечно тонких стенках резервуара.

Исследование проводимости для каналов различного рода является важной частью теории резонаторов; однако точное решение задачи во всех случаях — исключение составляют лишь очень немногие — недоступно современной математике. Можно, впрочем, изложить некоторые общие принципы, проливающие свет на вопрос; во многих же интересных случаях можно получить приближенное решение, достаточное для практических целей.

Мы знаем (§§ 79, 242), что энергия жидкости, протекающей через канал, не может быть больше энергии любого воображаемого движения, дающего тот же самый общий поток. Отсюда если поток каким-нибудь путем сузить или ввести какое-нибудь препятствие, то

проводимость в результате этого уменьшится, так как введенное изменение эквивалентно дополнительной связи. Перед изменением жидкость могла свободно принять то распределение течения, которое имеет место в конечном счете. В тех случаях, когда точного решения получить нельзя, мы можем воспользоваться свойством минимума, чтобы оцепить нижний предел проводимости; энергия, вычисленная из гипотетического закона течения, никогда не может быть меньше истинной и должна превосходить ее, если только гипотетическое и истинное движения не совпадают.

Другой общий принцип, который часто бывает полезен, удобнее высказать на языке теории электричества. Величина, с которой мы имеем дело, есть проводимость некоторого проводника, состоящего из вещества с единичной удельной проводимостью. Принцип состоит в том, что если проводимость какой-либо части проводника возрастает, то возрастает и проводимость всего целого, если же проводимость какой-либо части уменьшается, то уменьшается и проводимость целого; исключение могут составлять лишь несколько весьма специальных случаев, где изменение не имеет места. При прохождении через проводник электричество само распределяется таким образом, что диссипация энергии для данного полного тока является наименьшей из возможных (§ 82). Если бы теперь удельное сопротивление какой-либо части было уменьшено, то полная диссипация была бы меньше, чем прежде, даже если бы распределение токов осталось неизменным. A fortiori это будет иметь место, когда токи перераспределяются так, чтобы сделать диссипацию минимальной. Если бесконечно тонкая пластина вещества, натянутая поперек канала, сделана идеально проводящей, то сопротивление целого уменьшится, если только она не совпадает с одной из невозмущенных эквипотенциальных поверхностей. В последнем исключительном случае это не даст никакого эффекта.

Среди каналов различного вида важное место должно быть отведено таким, которые состоят из простых отверстий в неограниченных плоских стенках бесконечно малой толщины. В практических приложениях достаточно, чтобы стенка была очень тонкой сравнительно с размерами отверстия и приблизительно плоской на расстояниях от отверстия, больших сравнительно с теми же размерами.

За счет симметрии по обе стороны от стенки движение жидкости в плоскости отверстия должно быть нормальным и поэтому потенциал скорости постоянным; на остальной части плоскости движение должно быть исключительно тангенциальным, так что для определения ср на одной стороне плоскости мы имеем условия (I) cp = const на площади отверстия, (П) д^дп = 0 на всей остальной части плоскости стенки, (III) ср = const в бесконечности.

Так как для нас интересны только изменения ср, то мы можем предположить, что ср в бесконечности исчезает. Мы увидим, что

условия (II) и (III) удовлетворяются, если предположить, что <р есть потенциал притягивающего вещества, распределенного по площади отверстия; остальная часть задачи заключается в нахождении такого распределения вещества, чтобы его потенциал мог быть постоянным на той же самой площади. С математической стороны эта задача одинакова с задачей нахождения распределения электричества на заряженной проводящей пластине, расположенной в открытом пространстве и имеющей форму рассматриваемого отверстия; проводимость отверстия можно выразить через емкость пластины в статической задаче. Если <pt обозначает постоянный потенциал в отверстии, то электрическое сопротивление (для одной стороны) будет

?i?i

?i

?i

где интегрирование распространено по площади отверстия.

Но J = 2тг X (полное количество распределенного вещества), и, таким образом, если Л4 — емкость, или заряд, соответствующий единичному потенциалу, то полное сопротивление есть (itM)-1. Соответственно этому для проводимости, которая является величиной, обратной сопротивлению,

с = лЛ1.(1)

Насколько мне известно, эллипс — единственная форма отверстия, для которой с или Л4 можно определить теоретически); в этом случае результат содержится в известном решении проблемы нахождения распределения заряда на проводящем эллипсоиде. Из того факта, что оболочка, ограниченная двумя концентрическими, подобными и подобно расположенными эллипсоидами, не производит никакого воздействия на частицу, расположенную внутри нес, легко видеть, что поверхностная плотность в любой точке эллипсоида, необходимая для того, чтобы давать постоянный потенциал, пропорциональна длине перпендикуляра р, опущенного из центра на касательную плоскость в рассматриваемой точке. Таким образом, если р — плотность, то р = хр; общее количество вещества Q дается выражением

р dS = х J J р dS — 4т^мЬс а),(2)

так что

В обычном обозначении

Z2 . X2 У1 с2а2 Ь- ’Z2 . X2 У1 с2а2 Ь- ’J'2 c‘ix4 С2у2"62" ++ "^ГJ'2 c‘ix4 С2у2"62" ++ "^ГР =Р =2^62^6№№(4)(4)

Z2 . X2 У1 с2а2 Ь- ’

Z2 . X2 У1 с2а2 Ь- ’

J'2 c‘ix4 С2у2

"62" ++ "^Г

J'2 c‘ix4 С2у2

"62" ++ "^Г

Р =

Р =

2^6

2^6

№

№

(4)

(4)

или, так как

Если мы теперь предположим, что с бесконечно мало, мы получим частный случай эллиптической пластинки, а если мы больше не различаем две поверхности, то получаем:

Мы должны теперь найти значение постоянного потенциала Р.

Рассматривая значение Р в центре пластинки, мы видим, что

Интегрируя сначала по г, имеем:

р dr =

2

4я У1 — г3 cos3 в

где е — эксцентриситет; таким образом,

Г d^

J V 1 — cos3 0 a и '

F^,

где F—символ полной эллиптической функции первого рода. Полагая Р = 1, находим

са

— = М = тггг.иг (е)

(5)

Это — окончательное выражение для емкости эллипса, главная полуось которого а и эксцентриситет е. В частном случае круга е = 0, Р(У) = ^-к и, таким образом, для круга радиуса R

c = 2R. (6)

Если емкость резонатора есть 5, то из (6) § 304 мы находим

2S

R *

(7)

12 Зак. 1779. Рэлей, II

Площадь а эллипса дается выражением

о = ага2 "[Л 1 — е‘2,

(8)(8)отсюда, выражая с через о,

(8)

(8)

_L = 1 т/Т. З^^Х! — ^)7<

С 2 г ал

Если е мало, мы получаем, разлагая по степеням е перед интегрированием:

r W 2 V 1 2222 • 42 5 • 22 • 42 • 62 " • * * * J ’

откуда

2F (г) (1 — e2)7«_,

к6464 ' * ‘ *

Пренебрегая 5s и более высокими степенями, имеем поэтому с=21/ -.(1(Ю)

г к \1 64 1 64 1х '

Этот результат показывает нам, что проводимость эллиптического отверстия почти одинакова с проводимостью круглого отверстия равной площади. Среди отверстий различной формы данной площади должно иметься одно с минимальной проводимостью, и хотя формальное доказательство и представляет затруднения, легко понять, что таким отверстием может быть только круг. Нижний предел для значения с дается, таким образом, проводимостью круга равной площади, т. е. 2|/ о/к, и когда действительная форма очень близка к кругу, то этот предел можно взять в качестве хорошего приближения к действительному значению.

Значение X дается тогда выражением

(И)(И)X = 2'/аЛ-1/451/а.

(И)

(И)

Чтобы показать, как незначительно влияет умеренный эксцентриситет на значение с, я вычислил с помощью таблиц Лежандра для F(e) следующую короткую таблицу.

ф

в = sin ф

bja = cos ’^

X2f ^)(1-^)ь*

0°

0,00000

1,00000

1,0000

20°

0,34204

0,93969

1,0002

30°

0,50000

0,86603

1,0013

40°

0,64279

0,76604

1,0044

50°

0,76604

0,64279

1,0122

60°

0,86603

0,50000

1,0301

70°

0,93969

0,34202

1,0724

80°

0,98481

0,17365

1,1954

90°

1,00000

0,00000

со

Полагая е = sin ф, мы получим отношение осей, равное cos 6, и проводимостьг—л

с— .

" л 2 J^cos Ф • F (gin ф)

Значения последнего множителя, данные в четвертом столбце, представляют собой отношения проводимости эллипса к проводимости круга равной площади. Можно видеть, что даже при эксцентриситете эллипса, соответствующем отношению осей 2:1, увеличение проводимости составляет всего около 3%, что соответствовало бы изменению высоты резонатора немного более, чем на комму (§ 18). Повидимому, нет никаких оснований предполагать, что эта приблизительная независимость от формы есть специфическое свойство эллипса, и мы в праве с некоторой степенью уверенности заключить, что в случае умеренно удлиненного овального отверстия проводимость со значительной степенью точности можно вычислить по одной лишь площади.

Если площадь задана, то верхнего предела с не существует. Действительно, предположим, что площадь а разделена на п равных кругов, достаточно удаленных друг от друга, чтобы действовать независимо. Площадь каждого круга есть ojn, а его проводимость 2(/iit)-,'V'8. Общая проводимость в п раз больше и поэтому возрастает беспредельно вместе с п. Как общее правило, чем больше удлинено или распространено отверстие, тем больше будет проводимость для данной площади.

Чтобы найти верхний предел проводимости данного отверстия, мы можем воспользоваться тем положением, что всякое увеличение отверстия должно сопровождаться увеличением значения с. Так, в случае квадрата мы можем быть уверены, что с меньше, чем для описанного круга, а мы уже видели, что оно больше, чем для круга равной площади. Если b— сторона квадрата, то

2L < г < уй.

Тоны резонатора с квадратным отверстием, вычисленные из этих двух пределов, отличались бы друг от друга приблизительно на целый тон; более низкий из них был бы несомненно много ближе к истинному. Этот пример показывает, что даже тогда, когда анализ не может дать решения в строго математическом смысле этого слова, мы все же не остаемся в полном неведении относительно порядка величин, с которыми имеем дело.

В случае подобных отверстий, или систем отверстий, с изменяется прямо пропорционально линейным размерам.

Большинство резонаторов, применяемых на практике, имеет большей или меньшей длины горло, но даже когда нет ничего, что можно было бы назвать горлом, нельзя каждый раз пренебрегать толщиной стенки резервуара. Мы исследуем поэтому проводимость канала, просверленного в преграждающей пластине, ограниченной

параллельными плоскостями, и хотя мы не можем решить задачу строго, мы получим сведения, достаточные для практических целей. Толщину пластины мы обозначим через L, радиус цилиндрического канала через R.

Каково бы ни было сопротивление канала, оно уменьшится, если ввести в А и В бесконечно тонкие диски идеальной проводимости (фиг. 59). Эффект этих дисков тот, что они образуют постоянный потенциал на своих площадях, и задача видоизменяется так, что становится доступной строгому решению. Вне А и В движение одинаково с исследованным ранее, когда преграждающая пластина бесконечно тонкая; между А и В поток равномерный. Поэтому в целом сопротивление равно

1 . L

А- В2R ‘ uR^ ’

откуда -Ri

L-V^R*<^

Если через а обозначить поправку, которую нужно прибавить к L, чтобы учесть открытый конец, то

Фиг. 59.а = -^- itR.(2)

Эта поправка, вообще говоря, незначительна, но если L очень мало в сравнении с R, предполагаемое движение все ближе и ближе совпадает с действительным, и, таким образом, значение а в уравнении (2) стремится сделаться правильным.

Верхний предел для сопротивления можно вычислить из гипотетического движения жидкости. Для этой цели мы предположим, что в Л и В введены бесконечно тонкие поршни; результатом этого явится то, что нормальная скорость будет в этих местах постоянной. Внутри трубы поток будет, как и прежде, равномерным, но для внешнего пространства мы должны будем рассматривать новую задачу: определить движение жидкости, ограниченной бесконечной плоскостью, когда нормальная скорость на некоторой круговой площади плоскости имеет постоянное значение, а на остальной части плоскости равна нулю.

Потенциал все еще может рассматриваться как обусловленный веществом, распределенным по диску, но он больше уже не постоянен на площади; плотность же вещества, будучи пропорциональной д^дн^ постоянна.

Кинетическая энергия движения равна

4 J J^d’=4#-I J

где интегрирование распространено по площади круга.

Полный поток через плоскость равен

Г =

J J дпдп

Отсюда

2 кинетическая энергия J 3(ПОТОК)2” r.3/?4^i '

" дп

Если принять плотность вещества за единицу, то д^]дп = 2л и требуемое отношение выразится через Pji^R4, где Р обозначает потенциал на самого себя кругового слоя радиуса R вещества с единичной плотностью.

Простейший метод вычисления Р связан с тем соображением, что Р представляет собой работу, необходимую для разложения диска на бесконечно малые элементы, и удаление их на расстояния, исключающие взаимное влияние х). Если мы возьмем полярные координаты р, 6 с полюсом на краю диска, радиус которого есть а, то получим для потенциала в полюсе V = j* ^ dti dp, причем пределы для р суть 0 и 2а cos 0, пределы для 0 суть —у л и -{-ул.

Таким образом,■

V = 4а.(3)

Вырежем теперь полоску ширины da по краю диска. Работа, необходимая для того, что удалить ее на бесконечно большое расстояние, равна 2^ada • 4а. Если мы постепенно урежем диск до конца и удалим все части в бесконечность а), то найдем полную работу, интегрируя по а от 0 до R, в виде

р 8кЯ33 *

Пределом сопротивления (для одной стороны) является, таким образом, 8/Зла/?; мы заключаем, что сопротивление всего канала меньше, чем

п^з 3-2/? *w

Сопоставляя наши результаты, мы видим, что

4R<*<lR<5>

или

а > 0,785/?, |

а < 0,849/?. )(6)

0 Часть § 302 повторяется здесь в интересах тех, кто пожелал бы избегнуть трудностей более полного исследования.

Этот метод вычисления Р был подсказан автору профессором К. Максвеллом.

Следует заметить, что ос здесь обозначает поправку на один конец. Полное сопротивление соответствует длине L Ц- 2а трубы, имеющей сечение те/?3.

Если L очень велико сравнительно с R, мы можем положить просто

В этом случае мы имеем из (6) § 304

Х = 2^/^. (8)

Поправка на открытый конец а есть функция L, совпадающая с нижним пределом, именно -|-те/?, когда L обращается в нуль. Когда L возрастает, а возрастает вместе с Lt но никогда не достигает (даже, когда L бесконечно велико) верхнего предела 8/?/Зте. Действительно, рассмотрим движение, происходящее на каком-либо среднем участке трубы. Кинетическая энергия больше, чем это соответствует только длине участка. Если поэтому удалить данный участок и соединить свободные концы так, чтобы движение в остальном продолжалось, как прежде, то кинетическая энергия уменьшится больше, чем это соответствует длине удаленного куска. A fortiori это будет справедливо для реального движения, которое существовало бы в укороченной трубе. То, что для L = со а не становится равным 8/?/Зте, очевидно потому, что нормальная скорость, далекая от постоянства, как было предположено при вычислении этого результата, должна возрастать от центра наружу и становиться бесконечно большой на краю.

Дальнейшее приближение к значению а можно получить, предположив переменную скорость в плоскости устья. Вычисление можно найти в Добавлении А. Очевидно, что в случае бесконечно длинной трубы а не может достигнуть значения 0,82422/?. Действительное значение а, вероятно, недалеко от 0,82/?.

Кроме цилиндра имеется очень немного форм канала, проводимость которых можно определить математически. Впрочем, когда форма приближенно цилиндрическая, мы можем вычислить граничные величины, полезные для нас, так как они позволяют оценить влияние таких отклонений от математической точности, которых следует ожидать на практике.

Нижний предел для сопротивления какого-либо удлиненного и приблизительно прямого проводника можно получить непосредственно, вводя мысленно бесконечно большое число плоских идеально проводящих слоев, перпендикулярных к оси. Если через а обозначить площадь сечения в какой-нибудь точке х, то сопротивление участка между двумя слоями, отстоящими друг от друга на dx, равно a-1 dx

и поэтому все действительное сопротивление, конечно, больше, чем

Js-1^,(1)

если только проводник на самом деле не является цилиндрическим.

Чтобы найти верхний предел, мы можем вычислить кинетическую энергию потока на основе гипотезы, что скорость, параллельная оси, одинакова в пределах каждого сечения. Гипотетическое движение — то, которое возникло бы в результате введения бесконечно большого числа свободно движущихся твердых поршней; вычисленный результат необходимо превзойдет истинный, если только сечение не является постоянным. Мы предположим для простоты, что канал симметричен относительно оси, а в этом случае и движение жидкости, несомненно, также симметрично.

Если U обозначает полный поток, то мы имеем ex hypothesi для скорости на оси в какой-либо точке х

u — ^U,(2)

откуда с помощью уравнения непрерывности [(6) § 238]

д (уи) , д^го) _ пдх ~*" дг

можно определить радиальную скорость -и.

Таким образом,

,1 .. „ да-1

ГО = const — 7г иг^ —5— ,2 дх ’

или, так как на оси нет никакого источника жидкости,

1да-1

У = Ur .(3)

2дхх 7

Кинетическую энергию теперь можно вычислить простым интегрированием:

J u^ dx = U^ J a-1 dx,

J J ^rdrdx = ^ J >‘(^)а dx,где ^— радиус канала в точке х, так что а = тгуа.

Таким образом,

2 кинетическая энергия f 1 1 . , 1

(поток)2J itj/2 (। 2 \dx) J ‘7

Это — величина, определяющая верхний предел для сопротивления. Первый член, соответствующий компоненте скорости и, одинаков с тем, какой был получен ранее для нижнего предела, как это и можно было предвидеть. Разность двух пределов, дающая максимальную ошибку, которая может вкрасться, если принять один из них за истинное значение, есть

dx.(5)

2л J \dx)х '

В приблизительно цилиндрическом канале dyfdx есть малая величина, так что найденный этим путем результат является очень хорошим приближением. Не обязательно, чтобы сечение было почти постоянным, нужно лишь, чтобы оно изменялось медленно. Успех приближения в этом и аналогичных случаях связан с тем фактом, что значение оцениваемой величины есть минимум. Всякое разумное приближение к действительному движению даст результат, очень близкий к истине, согласно принципам дифференциального исчисления.

На основании свойств потенциала и функции тока (§ 238) настоящая задача допускает действительное приближенное решение. Если ср и ^ обозначают значения этих функций в какой-либо точке х, г, а и, ч) обозначают аксиальную и трансверсальную скорости, то

д-р1 ^Фд^1 дф,пХ

дхг дгдгг дх’4

откуда после исключения

дг2 ' г дг ' дх2'

дг2 г дг дх2 "

Если F обозначает значение ср, как функции х, когда г = 0, то общие значения ср и ^ можно выразить через F посредством (7) и (8) в форме рядов:

— Р r^F" I

?'22 * 22.4222 • 42 • 62* * ■

V(9)

, _Г2Р'Г^Р"' Г^Р4 r8pVU .

— 222 • 4 г 22.42.622.42 • 62 • 8“ ’

где штрихи обозначают дифференцирование по х. На границе канала, где г=у, $— постоянно (скажем, ^). Тогда

(10)(10)( уЧр/ytfW f y6pN

(10)

(10)

Vi = ~222 7 4 * 22.42.6

— уравнение, связывающее у и F. В нашей задаче у задано, и мы должны выразить F через него. Последовательным приближением мы получаем из (10)

У2 8 [ дх2 KJ'2 /8 дх2 ^ дх2 \у2 ) /У2 8 [ дх2 KJ'2 /8 дх2 ^ дх2 \у2 ) /Полный поток дается интеграломПолный поток дается интегралом_у4 д^ /2фг\127 42 дх5 Ху5")*_у4 д^ /2фг\127 42 дх5 Ху5")*(П)(П)

У2 8 [ дх2 KJ'2 /8 дх2 ^ дх2 \у2 ) /

У2 8 [ дх2 KJ'2 /8 дх2 ^ дх2 \у2 ) /

Полный поток дается интегралом

Полный поток дается интегралом

_у4 д^ /2фг\127 42 дх5 Ху5")*

_у4 д^ /2фг\127 42 дх5 Ху5")*

(П)

(П)

?/

| ^-^-rtr dr = f 2тгг dr = 27^, J дхJ г дг

*2о

и поэтому сопротивление между любыми двумя эквипотенциальными

поверхностями представляется выражением

п-г- F dx.

Выражение для сопротивления допускает значительное упрощение путем интегрирования по частям в случае, когда канал в пределах интегрирования строго цилиндрический. Этим путем мы находим окончательный результат в виде

Г dx [ 1 , 1 /?(3_у/2—уу")а 1

сопротивление = J 1 -г^ У —~—48 ” ) ’ ^ ^^

У и У' обозначают здесь производные .у по х.

Таким образом, видно, что верхний предел в предыдущем исследовании является на самом деле правильным результатом до второго порядка приближения. Если мы рассматриваем _у как функцию сох, где со — малая величина, то (12) правильно с точностью до членов, содержащих со4.

Знанием законов, которыми определяется высота топа резонаторов, мы обязаны трудам нескольких экспериментаторов и математиков.

Наблюдением, что при данном устье (мундштуке) высота резонатора зависит, главным образом, от объема, мы обязаны Лисковиусу, который нашел, что высота тона колбы, частично наполненной водой, не изменялась, когда ее наклоняли. Этот результат был подтвержден Зондхаусом ). Последний наблюдатель нашел далее, что в случае резонаторов без горла влияние отверстия зависело, главным образом, от его площади, хотя некоторое повышение тона и имело место, когда форма была очень удлиненной. Зондхаус дал формулу

N = 52400^-,(1)

в которой единицей длины является миллиметр.

Теорией резонаторов этого типа мы обязаны Гельмгольцу), формула которогоч.

приложима к круглым отверстиям.

Для колб с длинным горлом Зондхаусс 4) нашел

46 705,(3)

£ 2 SV2

что соответствует теоретической формуле

(4)(4)а а'л

(4)

(4)

2к 7>$^ '

На практике не часто встречается, чтобы горло резонатора было настолько длинно, чтобы можно было пренебречь поправкой на открытые концы, как предполагает (4), или, напротив, настолько коротко, чтобы можно было пренебречь им самим, как было предположено в (2). Вертгейм !) был первым, кто показал, что влияние открытого конца можно представить прибавкой а к длине, независимой, или приблизительно независимой, от L и Л.

Приближенным теоретическим определением а мы обязаны Гельмгольцу, который дал величину -^- тс/? в качестве поправки для открытого конца с бесконечным фланцем. Его метод заключался в отыскании форм трубы, для которых задача была бы разрешима, и в выборе такой формы, которая была бы всего ближе к цилиндру. Поправка -^- тс/? строго применима к трубе, радиус которой у открытого конца и на большом расстоянии от него есть R, но которая в соседстве с открытым концом незначительно расширяется.

Из того факта, что действительный цилиндр можно получить введением специального препятствия (obstruction), мы можем заключить, что результат, полученный таким путем, слишком мал.

Интересно, что прием, которому мы следуем в этом труде и который впервые был дан в мемуаре о резонансе, ведет в точности к такому же результату, хотя трудно представить себе два метода, более непохожих друг на друга.

Поправка на длину зависит до некоторой степени от того, задерживается поток воздуха от открытого конца или нет. Когда горло выдается в открытое пространство, торможение будет меньше, чем тогда, когда поток назад предотвращается фланцем, как было предположено в наших приближенных вычислениях. Впрочем неточность, вводимая этим путем, не очень значительна, и мы можем вообще принять с хорошим приближением a=^r.R. На практике, когда горла короткие, гипотеза фланца довольно хорошо согласуется с фактами, а когда горла длинные, поправка сама по себе имеет подчиненное значение.

Общая формула имеет тогда вид:

1) Wertheim, «Memoire sur les vibrations sonores de Гак», Ann. d. Chim. (3), том XXXI, стр. 385, 1851.

где а — площадь поперечного сечения горла, или численно

N =N =(6)(6)а

N =

N =

(6)

(6)

6,2832 si/2 yL+ oi8863 /7

Формула, лишь слегка отличающаяся от этой, была дана, как выражение результатов своих измерений, Зондхаусом), который тогда же высказал убеждение, что она не является простой эмпирической интерполяционной формулой, но выражает закон природы. Теория резонаторов с горлом была дана примерно в то же время) в мемуаре «О резонансе», опубликованном в Philosophical Transactions за 1871, откуда взята большая часть материала нескольких последних страниц.

Простой метод вычисления высоты резонаторов, которым мы занимались, приложим только к наиболее низкому колебанию, характер которого совершенно особый. Обертоны резонаторов

с узкими горлами относительно очень высоки, и соответствующие колебания ни в какой степени не являются независимыми от инерции воздуха внутри резервуара. Характер этих колебаний будет более очевиден, если мы рассмотрим колебания воздуха внутри

совершенно замкнутого сосуда, такого, как сфера; однако, редко

случается, чтобы высоту можно было вычислить теоретически. Имеются, впрочем, случаи многократного резонанса, к которым приложима наша теория. Они имеют место тогда, когда два или больше сосудов сое

диняются каналами друг

с другом и с внешним воздухом; их легко трактовать методом Лагранжа, конечно, при условии, что длина волны колебания доста

точно велика сравнительно с размерами сосуда.

Предположим, что имеются два резервуара 5 и S', сообщающихся друг с другом и с внешним воздухом с помощью узких каналов или шеек. Если бы мы стали рассматривать S5' как один резервуар и приложили к нему нашу предыдущую формулу, мы пришли бы к ошибочному результату, так как эта формула основывается на допущении, что инерцию воздуха внутри резервуара можно не учитывать; между тем очевидно, что энергия движения через соединительный канал может быть так же велика, как и энергия движения через два других канала. Однако исследование по тому же самому общему плану, как и прежде, полностью разъясняет этот случай. Обозначая, соответственно, через Xv Ху X., полный перенос

жидкости через каждый из трех каналов, мы, имеем, подобно (2) § 304, для кинетической энергии выражение

1 / ^ । ^ । ^ |1 / ^ । ^ । ^ |(1)(1)

1 / ^ । ^ । ^ |

1 / ^ । ^ । ^ |

(1)

(1)

а для потенциальной энергии — выражение

(2)(2)1 гл2 JI^!^ _L №п2^’

(2)

(2)

2 р 1 SS'

Применение метода Лагранжа дает дифференциальные уравнения движения в виде

о

А + о2{*^+*^1=01(3)

А_1_а2^3-^1=0.

После сложения и интегрирования

=(4)

Отсюда после исключения Х2

Л + 4 1(^1 + ^Х, + ^хД = О,

х, + у, {(^ + ^Х3 + ^ X.) = 0.

Полагая Х^ — АеР* и Х3 — ВеР*, мы получаем, после подстановки и определения отношения А : В,

р‘+pv+ -^ {с А + Ч (q + «Л=о (6)

— уравнение для определения собственных тонов. Если N—частота колебания, № =—p^l^^ и оба значения рй будут, конечно, действительными и отрицательными. Формула значительно упрощается, если c3 = ct и S' = S; однако было бы поучительнее рассмотреть этот случай с самого начала. Пусть ct = с3 = тс^ = тс.

Дифференциальные уравнения принимают вид:

(7)(7)Л + -^ ((1 + ^х, 4- X,) = о,Х3 + -^-((1 +т)Х3 + Х1) = 0,

(7)

(7)

между тем как из (4) Х^ =

-^1 + Хз

т

Отсюда

(8)(8)(Л, + Х^ + ^- (т + 2) (^ + ^з) = О,(X, - X.) + ^- т (X, - ^ = 0.

(8)

(8)

Все движение можно разделить на две части. Для первой из них ^+Х, = 0.(9)

для чего необходимо Х2 = 0. Движение поэтому такое же, какое могло бы иметь место, если бы сообщение между S и S' было прервано, и имеет частоту, даваемую выражением

(10)(10)№==Д!£1==^£

(10)

(10)

4r2S 4rAS*

Плотность воздуха одинакова в обоих резервуарах.

Для другой компоненты Хх— ^ = 0, так что

X 2Xt ./2«2(^ + 2) с

^ N =4^•(11)

Колебания, таким образом, противоположны по фазе. Отношение частот дается выражением М^]№=^т -ф- 2)/т; это показывает, что второе колебание имеет более короткий период. В этом колебании соединительный канал действует до некоторой степени как второе отверстие для обоих сосудов и таким образом повышает частоту. Если канал узкий, то интервал высоты между двумя нотами мал.

Частный случай общей формулы, заслуживающий быть отмеченным, мы получаем, полагая с3 = 0. Это достигается устранением одного из сообщений с внешним воздухом. Мы получаем, таким образом,

^ + ^(-^1±^ + ^) + ^г = 0,(12)

или, если S = S', сг = тс^ = тс,

р* +^^ + "^ = 0,(13)

откуда

/V2=^{w4-2±]/"^+4(.(14)

Если мы, далее, предположим, что т=\, или са = с1, то №=8Й<3±^5)'

и, таким образом,

Л/^

2,618

-/5

Мы видим, что интервал от Nt до N' одинаков с интервалом от N' до N^ и равен V2,618= 1,618, т. е. несколько больше квинты. Можно видеть, что, каково бы ни было значение т, интервал между двумя тонами не может быть меньше 2,414, что равно примерно одной октаве и малой терции. Соответствующее значение т равно 2.

Аналогичный метод приложим к любой сколь угодно сложной комбинации резервуаров и соединительных каналов при единственном ограничении относительно размеров резервуаров и длин волн; только что приведенный пример достаточен, чтобы иллюстрировать теорию многократного резонанса. В уже упоминавшемся моем мемуаре о резонансе подробно разбирается несколько примеров измерения высоты тона двойных резонаторов.

Уравнения, которыми мы пользовались до сих пор, не учитывают ухода энергии из резонатора в пространство. Если бы перехода энергии между резонатором и внешней атмосферой действительно не было, то движение было бы изолированным и имело бы небольшой практический интерес; тем не менее характеристику резонатора составляют его колебания, являющиеся в значительной степени независимыми. Колебания, возбуж- Gденные однажды, будут про

должаться в течение значи- \ тельного числа периодов без

i^ большой потери энергии, и /их частота почти совсем не

будет зависеть от скорости диссипации. Скорость диссипации является, однако, важ-

Фиг. 61.ной чертой в характере резо

натора, от которой существенно зависит при некоторых условиях его поведение. Следует иметь в виду, что рассеяние, или диссипация, о которой мы говорим, означает только уход энергии из сосуда и из пространства вблизи него и ее рассеяние в окружающей среде, но не преобразование механической энергии в теплоту. Такого преобразования наши уравнения не учитывают, если только не будут введены специальные члены с целью представить эффект вязкости, теплопроводности и теплового излучения^ [Влияние теплопроводности было рассмотрено Колачеком ’).] В предыдущей главе (§ 278) мы видели, как выражается движение по правую сторону безграничного фланца (фиг. 61) через нормальную скорость жидкости на диске А. Мы нашли, § 278 (3), 1 f Г д? е"<кг ,

где <р пропорционально eiwt.

1) Kolacek, Wied. Ann., том XII, стр. 353, 1881,

Если г — расстояние между двумя точками диска, то кг — малая, величина и е~<кУ^1—ikr.

Таким образом.

Первый член зависит от распределения потока. Если мы предположим, что д<о/дп постоянно, мы получим в конечном счете член, представляющий увеличение инерции, или поправку на длину, равную 8/?/Зтс. Мы его уже рассматривали, когда предполагали, что в А находится поршень. Второй член, от которого зависит диссипация, не зависит от распределения потока, являясь функцией только полного потока X. Ограничивая наше рассмотрение этим членом,, мы можем написать

Предполагая теперь, что ср пропорционально eint, мы имеем для той части изменения давления в А, от которой зависит диссипация, соотношение

» • . pnkX ^п^Х

Соответствующая работа, совершенная при переносе количества жидкости 8А\ есть ^~ ^Х; а так как выражения для потенциальной и кинетической энергии имеют, как в § 304, вид:

то уравнением движения вместо (3) § 304 будет следующее:

^ + S^ + ^-V=°1)- <5>

При оценке с необходимо учесть инерцию жидкости с правой стороны от А, соответственно члену, опущенному в выражении ^р.

Уравнение (5) имеет обычную для свободных колебаний систем с диссипацией и одной степенью свободы (§ 45) форму. Амплитуда изменяется пропорционально e-wlctf4T-a, уменьшаясь в отношении в : 1 по истечении времени, равного ^-ка^с. Если высота (определяемая /г) задана, то колебания обладают наибольшим постоянством в том случае, когда с наименьшее, т. е. когда горло максимально, узко.

]) Уравнение (5) только приближенное, поскольку диссипативная сила вычисляется в предположении, что колебание незатухающее; это, однако, не может повести к существенной ошибке, если диссипация мала.

Если 5 задано, то после подстановки выражения с через 5 и п мы получим

4ла4ад3

— соотношение, показывающее, что при этих условиях продолжительность движения с уменьшением п быстро возрастает.

В случае подобных резонаторов с ~ п~\ и тогда

^.а1

пЧ п ’

это показывает, что в данном случае по прошествии одного и того же числа периодов всегда имеет место одна и та же пропорциональная потеря амплитуды. Этот результат можно получить методом размерностей, как следствие принципа динамического подобия.

В качестве примера (5) я могу указать на случай шара с горлом, предназначенного для сжигания фосфора в кислороде, емкостью 0,251 куб. фута [7100 слг3]. Из опыта было найдено, что нота максимального резонанса давала 120 колебаний в секунду, так что /г = 120 • 2 тс. Полагая скорость звука а равной 1120 фут. [34 200 сл«] в секунду, мы находим из этих данных:

Судя по звуку, который возникает, если ударить по шару, я думаю, что эта оценка должна быть слишком низкой; впрочем, следует заметить, что отсутствие бесконечного фланца, принимавшегося в теории, должно очень существенно влиять на скорость диссипации.

вынуж-(7)связано(8)(9)вынуж-(7)связано(8)(9)Мы исследуем теперь вынужденные колебания, обязанные источнику звука, внешнему по отношению к резонатору. Если давление Ър у устья резонатора, создаваемое источником, т. е. вычисленное в предположении, что устье закрыто, есть Fei1tat, то уравнение движения, соответствующее (5), но приложимое только к денным колебаниям, имеет вид:

вынуж-

(7)

связано

(8)

(9)

вынуж-

(7)

связано

(8)

(9)

7^ + ^ X+P-^X= Fe^.

Если X — Хое1^а^е\ причем Хо — действительное, то Л/ JЛ2\2 /^зу

pVX2\S7/ ' \2я/ *

Максимальное изменение G давления внутри резонатора с Хо уравнением:

когда сообщение с внешним воздухом осуществляется через простое отверстие (§ 306). Настоящая задача почти целиком является частным случаем той задачи, которая рассматривалась в § 46; различие связано с тем фактом, что коэффициент диссипации в (7) является функцией периода, а не абсолютно постоянной величиной. Если период, определяемый к, и S заданы, то (9) показывает, что внутреннее изменение давления G имеет максимум, когда с = k^S, т. е. когда собственная нота резонатора (вычисленная без учета диссипации) одинакова с нотой возбуждающего звука. Максимальное колебание, когда совпадение периодов идеально, изменяется обратно пропорционально S; но если 5 мало, то незначительного неравенства периодов достаточно, чтобы вызвать заметное падение интенсивности резонанса (§ 49). При пользовании резонаторами невыгодно слишком сильно понижать 5 и с; это связано, вероятно, с тем, что приспособления, необходимые для установления связи внутренности резонатора с ухом или с другим чувствительным аппаратом, влекут за собой отклонение от тех предположений, на которых основаны вычисления, отклонение, все более и более значительное по мере того, как уменьшаются размеры. Когда чувствительный аппарат не связан с внутренностью резонатора, как в опыте с усилением звука камертона посредством резонатора, в рассмотрение входят другие элементы и необходимо иное исследование (§ 319).

В силу принципа взаимности предыдущее рассуждение можно приложить и к вычислению действия источника звука, расположенного внутри резонатора.

Мы переходим теперь к дальнейшему обсуждению задачи об открытой трубе. Предположим, что открытый конец трубы снабжен бесконечным фланцем и что ее диаметр мал в сравнении с длиной волны рассматриваемого колебания.

В качестве введения в вопрос мы предположим далее, что устье трубы имеет легко подвижный поршень, лишенный толщины и массы. Предыдущие задачи, от которых настоящая отличается по существу очень мало, уже дали нам основание полагать, что наличие поршня не вызовет значительного изменения. Мы принимаем (§ 255), что внутри трубы потенциал скорости равен

ср = (Д cos кх 4~ В sin кх) eint,(1)

причем, как обычно, к — 2л 9,= п}а. В устье, где х = 0,

<р0 = Aeint; ^-^ = kBeint.(2)

Справа от поршня соотношение между <р0 и ^) , согласно § 302, имеет вид:

Л 4*1»jt (2№) 1,2kR. m

~Ж\~ к I1 kR I(о)

\дх/о

13 Зак 1779. Рэлей, П

(R— радиус трубы). Отсюда можно получить решение задачи без какого-либо ограничения относительно малости kR; но так как присутствие поршня не меняет существенно дела только тогда, когда kR мало, мы можем также воспользоваться преимуществом упрощения, полагая сразу, как в (1) § 311,

J.f V0dak<kR4/df\ 2 \dx)QJ.f V0dak<kR4/df\ 2 \dx)Q8^83 *8^83 *(4)(4)Но так как поршень не занимает места, значения (дср/дх)0 должны быть одинаковы по обе его стороны; а так как у него нет и массы,Но так как поршень не занимает места, значения (дср/дх)0 должны быть одинаковы по обе его стороны; а так как у него нет и массы,то аналогичное должно быть справедливо и для значенийто аналогичное должно быть справедливо и для значенийТаким образом,Таким образом,ИЛИИЛИ

J.f V0dak<kR4

/df\ 2 \dx)Q

J.f V0dak<kR4

/df\ 2 \dx)Q

8^8

3 *

8^8

3 *

(4)

(4)

Но так как поршень не занимает места, значения (дср/дх)0 должны быть одинаковы по обе его стороны; а так как у него нет и массы,

Но так как поршень не занимает места, значения (дср/дх)0 должны быть одинаковы по обе его стороны; а так как у него нет и массы,

то аналогичное должно быть справедливо и для значений

то аналогичное должно быть справедливо и для значений

Таким образом,

Таким образом,

ИЛИ

ИЛИ

(б)(б)(bkR I .№\

(б)

(б)

( Зп * * 2 /*

Подставляя в (1), мы находим, отбросив мнимую часть и положив для краткости В — 1,

<р = | sin кх — ^^- cos кх } cos nt— у k^R? cos кх sin nt. (6)

В этом выражении член, содержащий sin nt, зависит от диссипации и таков же, как если, бы поршня не было вовсе, между тем как член, содержащий 8&/?/3it, представляет эффект инерции внешнего воздуха в соседстве с устьем. Чтобы сравнить с полученными ранее результатами, возьмем а таким, чтобы

sin кхgy cos кх = sin к — а);

тогда, пренебрегая квадратами малых величин, имеем

и

ср = sin к (х — a) cos nt — у k^R^ cos кх sin nt. (8)

Эти формулы показывают, что если оставить без учета диссипацию, то потенциал скорости оказывается таким, как будто труба удлинена на 8/Зтг радиуса, и открытый конец ведет себя тогда как пучность. Величина этой поправки согласуется с тем предположительным результатом, какого, согласно предыдущему исследованию, мы могли бы ожидать от введения поршня. Мы видели, в чем причина того, что истинное значение а лежит между tRA и 8R/3k и что присутствие поршня не влияет на член,

представляющий диссипацию. Iio прежде чем обсуждать наши результаты, было бы целесообразно исследовать их заново несколько иным методом, который, будучи, кроме того, и несколько более общим, поможет пролить свет на механику всего этого вопроса.

ввмаломмаломДля этой цели удобно переместить начало координат в отрицательном направлении на такое расстояние от устья, чтобы волны оказались там приблизительно плоскими,—смещение, которое согласно нашим предположениям не должно превосходить малой доли длины волны. Трудность вопроса состоит в нахождении связи между волнами в трубе, которые на достаточном расстоянии от устья являются плоскими, и расходящимися волнами вне ее, которые на достаточном расстоянии можно трактовать как сферические. Если переход имеет место

в

в

малом

малом

с длиной волны, как это, очевидно, и должно быть, если диаметр достаточно мал, то задача допускает решение, какова бы ни была форма трубы в соседстве с устьем.

В точке Р, расстояние которой от А не очень велико, потенциал скорости есть (§ 279)

аг

откуда

_ =(j tkry(2)

Рассмотрим поведение массы воздуха, заключенной между плоским сечением в О и полусферической поверхностью, центр которой есть А и радиус г, причем г велико сравнительно с диаметром трубы, но мало сравнительно с длиной волны. В этом пространстве воздух должен двигаться приблизительно как несжимаемая жидкость. Но поток через полусферическую поверхность равен

2тгГ2 ^ = — 2тгЛЧ1 + &г) e^nt-kr') = _ ^А'е^,(3)

если пренебречь квадратом кг.

Если, как прежде, мы положим для потенциала скорости внутри трубы

ф = (Д cos кх 4- В sin кх) eint,(4)

то поток через сечение в О будет равен

(5)(5)а ^ikBe™,

(5)

(5)

и, таким образом,

^кВ = — 2тиА\

(6)

Это первое условие; второе должно быть найдено из того соображения, что полный поток (два значения которого были только что приравнены друг другу) пропорционален разности потенциалов на концах. Таким образом, обозначив через с проводимость канала между двумя конечными поверхностями, имеем

=с^г—^о)»

(7)(7)или

(7)

(7)

с г"

Подставляя вместо А' его значение из (6), мы имеем:

— А = zkB ^ 4— А = zkB ^ 4р-гкг\( 1 , 12лг /1с 2кгр-гкг\( 1 , 12лг /1с 2кгik)2тс ) ’ik)2тс ) ’

— А = zkB ^ 4

— А = zkB ^ 4

р-гкг\( 1 , 1

2лг /1с 2кг

р-гкг\( 1 , 1

2лг /1с 2кг

ik)

2тс ) ’

ik)

2тс ) ’

В этом выражении вторым членом можно пренебречь по сравнению с первым, так как с есть по большей части величина того же порядка, что и радиус трубы, а если устье сильно сжато, то еще меньше. Таким образом, мы можем взять

(8)(8)л\ , 1к\

(8)

(8)

А — зкВ (1— I.

\ с 1 2л/

Подставляя это в (4), мы получим комплексное выражение потенциала скорости внутри трубы — если положить В равным единице— в виде

ф = sin кх 4- -к (- 4- cos кх I eblt,

1 I 1\с 1 2п/)

или, если оставить только действительную часть,

ф = I sin кх — — cos кх I cos nt — cos кх sin nt. (9)

* Icj2лv z

Следуя Гельмгольцу, мы можем упростить наши результаты, вводя величину а, определяемую уравнением:

(10)

Таким образом,

ф =—;- cos nt — cos кх sin nt,(11)

*cos ка2лv 7

и соответствующий потенциал скорости вне устья

^ = —^cos(^—Аг).(12)

Если R— радиус трубы, то мы можем заменить а через лА?2.

Если труба представляет собой простой цилиндр и начало координат лежит на расстоянии ДА от ее устья, то мы знаем, что -с-1 — = ^L-^p-R. где о — число, несколько большее -^ к. В таком случае (начало взято достаточно близко к устью) ка есть малая величина, и поэтому по (10)

. а = 1=^V.R. (13)

В то же время cos ка можно принять за единицу. Главный член в <?, содержащий cos nt, можно тогда вычислять так, как если бы труба была удлинена, и в точке, расположенной на расстоянии y.R дальше действительного положения устья, имеется пучность, — в согласии с найденными нами ранее результатами. Эти результаты, приближенные для обычных труб, становятся точными, когда диаметр беспредельно уменьшается, — если трением возможно пренебречь.

Если в А нет фланца, то значение с изменяется очень мало при удалении препятствия, но главный эффект сказывается на члене, представляющем диссипацию. Если мы примем, в порядке приближения, что волны, расходящиеся от А, сферические, то мы должны взять для потока 4кг' д^дг вместо 2кг'2 д^дг. Конечным эффектом изменения будет уменьшение наполовину значения потенциала скорости вне устья, равно как и соответствующего второго члена в ср (содержащего sin nty Можно видеть, таким образом, что величина диссипации существенно зависит от степени, с какою волны могут расходиться, и наши аналитические выражения должны рассматриваться лишь как грубые оценки.

Точная теория открытой органной трубы, включающая уравнения (11) и (12), была развита Гельмгольцем *), метод которого, однако, значительно отличается от принятого здесь. Старые решения задачи, данные Лагранжем, Д. Бернулли и Эйлером, были основаны на допущении, что у открытого конца давление не может отклоняться от давления окружающей атмосферы—принцип, который, пожалуй, и в настоящее время допустимо применять к идеально открытому концу. Тот факт, что во всех обычных случаях энергия уходит в пространство, является доказательством того, что в трубе нигде пет абсолютной пучности, и можно было бы ожидать, что эффектом инерции воздуха непосредственно вне устья будет увеличение длины. Положения узлов в звучащей трубе были изучены экспериментально Саваром2) и Гопкинсом), с тем результатом, что интервал между устьем и ближайшим узлом всегда меньше половины интервала, разделяющего последовательные узлы.

!) Helmholtz, Crelle, том 57, стр. 1, 1860.

[Поправка, необходимая для открытого конца, является источником отклонения от простого закона октав, который согласно элементарной теории связывал бы ноты закрытой и открытой труб одной и той же длины. Пусть, например, в приложении к органной трубе «.R обозначает поправку для верхнего конца, когда он открыт, и /—длину трубы, включающую поправку на устье у нижнего конца. Полная эффективная длина открытой трубы есть тогда ЕЦ-aR, между тем как эффективная длина трубы, когда она закрыта на верхнем конце, равна просто/. Открытая труба практически длиннее, и интервал между нотами меньше, чем октава простой теории).

Быть может, целесообразно указать, что поправка, предполагавшаяся независимой от длины волны, не должна нарушать гармонических соотношений между парциальными тонами, независимо от того, будет ли труба открытой или закрытой.]

Экспериментальные определения поправки для открытого конца производились, вообще говоря, без фланца, и поэтому важно дать хотя бы грубую оценку его эффекта. Никакого теоретического решения задачи об открытом конце без фланца до сих пор дано не было, но легко видеть (§§ 79, 307), что удаление фланца понизит поправку гораздо ниже значения 0,82/? (Добавление А). Ввиду отсутствия теории я попытался определить эффект фланца экспериментальным путем). Органными мехами продувались две органные трубы, находившиеся приблизительно в унисоне друг с другом, чтобы давать биения, которые можно было бы подсчитать; эффект фланца выводился из разности в частотах биений, полученных для случаев, когда одна из труб была снабжена фланцем или когда фланца не было ни у одной из труб. Поправка на фланец составляла около 0,2/?. Повторение (вероятно, больше заслуживающее доверия) этого эксперимента Бозанкё дало 0,25/?. Если мы вычтем 0,22/? из 0,82/?, то получим 0,6/?, что можно рассматривать как вероятное приблизительное значение поправки для конца без фланца, в предположении, что длина волны велика в сравнении с диаметром трубы.

Попытки определить поправку целиком из эксперимента до сих пор не привели к очень точным результатам. Измерения Вертгейма) над трубами, открытыми с обоих концов, дали в качестве среднего (для каждого конца) 0,663/?, между тем как для труб, открытых только с одного конца, средний результат был 0,746/?. В двух тщательных экспериментах Бозанке) с трубами, открытыми с обоих концов, поправка для одного конца была 0,635/? при А = 12/?

и 0,5437? при X = 307?. Бозанке принимает в качестве общего правила, что поправка (выраженная в долях 7?) возрастает с увеличением отношения диаметра к длине волны: часть этого возрастания может быть, однако, обязана взаимной реакции концов, что заставляет плоскость симметрии вести себя подобно твердой стенке. Когда труба не слишком длинна в сравнении с ее диаметром, то положение вещей близко скорее к случаю присутствия, чем к случаю отсутствия фланца. Сравнение теории и наблюдения в этом отношении несколько трудно, потому что, когда поправка мала, на ее значение, вычисленное из наблюдений, влияют неточности в абсолютной высоте и скорости звука; для случая же, когда она относительно велика (здесь с экспериментом удобнее иметь дело) не существует теории. Вероятно, более точное значение поправки можно было бы получить с резонатором типа, рассмотренного в § 306, где сообщение с внешним воздухом осуществляется с помощью простого отверстия; «длина» в этом случае равна нулю и «поправка»— это все. Некоторые измерения этого рода, в которых, однако, не делалось попыток достигнуть большой точности, можно найти в моем мемуаре о резонансе1).

[Тщательные экспериментальные определения поправки на открытый конец без фланца были проделаны Блэйк ти'Д, который применял вертикальную трубу из тонкой латуни в 2,08 дюйма (5,3 см) диаметром. Нижняя часть трубы была погружена в воду, поверхность которой определяла «закрытый конец»; эксперимент заключался в изменении степени погружения, пока не достигался максимальный резонанс с камертоном известной высоты. Если два наиболее коротких расстояния поверхности воды от открытого конца, найденные таким путем, были lt и /а, то (/а— 7J представляет половину длины волны и «поправка на открытый конец» есть у(/,2— 1г)—lv Следующие цифры представляют собой результаты, полученные Баэйкти и выраженные в долях радиуса. Они относятся к одной и той же трубе, отвечавшей на камертоны различной высоты.

с* . .

253,68

0,5 .5

е* . .

317,46

0,5 )5

380 81

0,5)4

ъу . .

444,72

0,587

с" . .

507,45

0,568

Средняя поправка составляет, таким образом, 0,576/?.]

Для определения высоты резонато юв экспериментальным путем применяли различные методы. Пожалуй, наиболее часто резонатооы заставляли звучать по способу органных труб, продувая струю воз-

0 Phil. Trans., 1871. См. также Зондхаус, Pogg. Ann., т >м 140, стр. 53, 219 (1870) и некоторые мои замечания по этому поводу {Phil. Mag., сентябрь 1870).

Blaikley, Phil. Mag., том VII, стр. 339, 1879,

духа наискось поперек их устья. Хотя этим путем и были получены хорошие результаты, наше незнание механизма действия потока воздуха делает метод неудовлетворительным. В экспериментах Бозанке в трубах не возбуждалось вынужденное звучание, но поперек открытого конца продували короткие прерывистые струи воздуха, причем высота оценивалась из свободных колебаний, когда звук замирал.

Метод, которым я иногда с удобством пользовался, в принципе аналогичен и состоит в возбуждении свободных колебаний посредством удара. Чтобы получить возможно более точно определенную ноту, важно подобрать жесткость вещества, с которым приходит в соприкосновение резонатор, сообразно с высотой: наибольшая высота требует мягкого удара. Так, высота тона пробирки может быть определена в момент, когда ею ударяют о согнутое колено. Пользуясь этим методом, мы не должны забывать, что собственную высоту колеблющегося тела изменяет член, зависящий от квадрата диссипации. В обозначениях § 45 частота уменьшается от п до /г(1^-^2ц-у) или, если х— число колебаний, совершаемых за

время, в течение которого амплитуда падает в отношении е:1, от п до

V 8^2

Поправка, однако, редко заслуживает того, чтобы принимать ее во внимание.

Измерения, приведенные в моем мемуаре о резонансе, были основаны на ином принципе, именно, на оценке ноты максимального резонанса. Ухо помещалось вблизи некоторой полости, и проигрывалась хроматическая гамма. Этим путем оказалось возможно при небольшой практике оценивать высоту хорошего резонатора с точностью до четверти полутона. В случае небольших колб с длинными горлами, к которым предыдущий метод был бы неприложим, оказалось достаточным просто держать колбы вблизи колеблющихся струн рояля. Резонансная нота сама давала знать о себе дрожанием колбы, легко ощущавшимся пальцами. При пользовании этим методом важно выработать способность без предубеждения подразделять интервал между двумя последовательными полутонами. Если теоретический результат уже известен, то почти невозможно прийти к независимому суждению путем эксперимента.

Мы изучим теперь, следуя Гельмгольцу, более близко природу представляемого формулой (11) § 313 движения внутри трубы.

Мы имеем

ср = L cos {nt—0),(1)

где

2_sin2^U-g) ■ ^2а/,

L ~ cos2£a 4к2.cos ha cos kx

*8"=- тат^(3)

В выражении для I? второй член очень мал, и поэтому мы очень близки к максимальным значениям ср, когда

k (х — а) = ^— т 4* ^ тс, или •

1-1.

— х =тк— а — а,(4)

24х '

где т— положительное целое число.

Расстояние между последовательными максимумами, таким образом, равно 77 X, и значение максимума есть sec2^a. Минимальные значения I? встречаются приблизительно там, где k(x— а) =— тле или

— х = "2 тк — а,(5)

а их величина дается выражением

Z.3 — cosa^x = cosa^a.(6)

Аналогично

^ = Jcos(^ —х),(7)

где

, . №з cos Aa sin kx,qx

g 2л cos к (x — a) '

Максимальные значения J2 имеют место, когда

х = ^ тК— а,(10)

а минимальные значения — когда

х — ^-тХг X—а.(11)

24

Приблизительная величина максимума есть ^aseca^a, минимума &6а2 cos2 &а/4к2. Очевидно, что максимумы скорости находятся в тех же местах трубы, где находятся минимумы сжатия (и разрежения), а минимумы скорости — в тех местах, где максимумы сжатия. Серии пучностей и узлов располагаются так, как если бы первая пучность находилась на расстоянии а за устьем.

Что касается фаз, то мы видим, что и 0 и у вообще малы; поэтому за исключением мест, где А2 и У2 близки к минимуму, все движение синхронно, как при отсутствии диссипации.

До сих пор мы рассматривали задачу о прохождении плоских волн вдоль трубы и их постепенной диффузии от устья независимо от вопроса о происхождении самих плоских волн. Мы принимали только, что источник движения расположен где-либо внутри трубы.

Будем теперь предполагать, что движение обязано известному колебанию поршня, расположенного в х =— /, причем начало координат находится в устье. Таким образом, при х =— I

= G cos nt;(12)

и это выражение необходимо связать с выражением для плоских волн, обобщенным путем введения произвольных амплитуды и фазы.

Мы можем положить

^ = S7cos(^- = -x),(13)

где V и х имеют значения, данные в (8), (9), между тем как Виз произвольны. Сравнивая (12) и (13), мы заключаем, что

(14)

к^а cos ка sin kl g 3 Sir cos A (Z + °) ’G9 = B9^9 fI cos3 kaк^а cos ка sin kl g 3 Sir cos A (Z + °) ’G9 = B9^9 fI cos3 ka— уравнения, которыми определяются Виз.В согласии с (12) § 313, соответствующая расходящаяся волна представляется выражениемt = — —, cos (nt — 3 — kr\(16)Если G задано, то В cos A: (Z —|— а) == 0, т. е. когда узле. В этом случаеВ =— уравнения, которыми определяются Виз.В согласии с (12) § 313, соответствующая расходящаяся волна представляется выражениемt = — —, cos (nt — 3 — kr\(16)Если G задано, то В cos A: (Z —|— а) == 0, т. е. когда узле. В этом случаеВ =имеетимеетзначение,значение,когдакогдапоршень расположен приближенно впоршень расположен приближенно в(17)(17)^sin^z)(15)

к^а cos ка sin kl g 3 Sir cos A (Z + °) ’

G9 = B9^9 f

I cos3 ka

к^а cos ка sin kl g 3 Sir cos A (Z + °) ’

G9 = B9^9 f

I cos3 ka

— уравнения, которыми определяются Виз.

В согласии с (12) § 313, соответствующая расходящаяся волна представляется выражением

t = — —, cos (nt — 3 — kr\(16)

Если G задано, то В cos A: (Z —|— а) == 0, т. е. когда узле. В этом случае

В =

— уравнения, которыми определяются Виз.

В согласии с (12) § 313, соответствующая расходящаяся волна представляется выражением

t = — —, cos (nt — 3 — kr\(16)

Если G задано, то В cos A: (Z —|— а) == 0, т. е. когда узле. В этом случае

В =

имеет

имеет

значение,

значение,

когда

когда

поршень расположен приближенно в

поршень расположен приближенно в

(17)

(17)

— выражение, показывающее, что величина результирующего колебания очень велика, хотя и не бесконечна, так как cos ко. не может обращаться в нуль. Когда устье очень узкое, cos ко. может сделаться малым, но в этом случае необходимо, чтобы согласие между периодами было очень точным, для того чтобы первым членом (15) можно было пренебречь по сравнению со вторым. В обычных трубах cos ко. приблизительно равен единице.

Минимум колебания имеет место при I таком, чтобы cos£(Z4~a)= — 1, т. е. когда поршень расположен в пучности. В этом случае

D G cos ДаQ

В =-к.(18)

Тогда в зависимости от значения а колебание вне трубы равно или меньше колебания, которое имело бы место в отсутствие трубы, если бы колеблющаяся пластина была частью плоскости уz,

Наши уравнения можно приложить также к исследованию движения, возбужденного в трубе внешними источниками звука. Предположим сначала, что устье трубы закрыто неподвижной пластиной, образующей часть плоскости ух, и что потенциал, обусловленный внешними источниками (приблизительно постоянный на пластине), при этих условиях есть

6 = Heos nt,(1)

где ^ складывается из потенциалов всех источников и их зеркальных изображений в плоскости ух, как объяснено в § 278. Внутри трубы потенциал пусть равен

<а = Н cos кх cos nt,(2)

так что ф и его производная непрерывны на барьере. Физический смысл всего этого прост. Представим себе внутри трубы движение, определяемое условием, что скорость в устье равна нулю и что сжатие в устье такое же, какое создают источники звука, когда устье закрыто. Очевидно, что при этих условиях пластину, закрывающую устье, можно удалить, нисколько не изменяя движения. Однако в точке х = — I, вообще говоря, скорость конечна, и поэтому мы не можем предположить, что труба там закрыта. Но когда при х =—I находится узел, т. е. когда I таково, что [sin ^Z] = 0, то все условия удовлетворены и действительное движение внутри трубы выражается уравнением (2)т). Это движение, очевидно, такое же, какое имело бы место, если бы труба была закрыта с обоих концов; во внешнем же пространстве потенциал такой же, как если бы устье трубы было закрыто твердой пластиной.

В общем случае, чтобы привести воздух в точке х = — I в состояние покоя, мы должны наложить на движение, представленное уравнением (2), другое — типа, исследованного в § 313, определенное так, чтобы оно давало при х — — I скорость, равную и противоположную скорости первого. Таким образом, если второе движение определено выражением

•— = BJ соз (н/ — г — у),

то мы имеем е-|—у = 0 и

В^ ( cos3к (/ +«)W s{ngkl\=№ s}nakL(3)

( cos3 Ла1 4кЗjx 7

Если sin£Z=O, мы имеем, как было объяснено выше, В = 0. Максимум В имеет место тогда, когда cos к (Z-[- °0 = 0 и тогда (4)=)

!) [Ошибка, на которую указал д-р Бертон, здесь исправлена.] а) Helmholtz, Crelle, том 57, 1860.

Очевидно,—как этого и следовало ожидать, — резонанс наибольший, когда приведенная длина представляет собой нечетное кратное —X.

4

Положение, согласно которому инерция воздуха в соседстве с узлом не должна играть большой роли, позволяет нам видеть, что в таких местах форма трубы не имеет большого значения, а нужно учитывать только емкость. Это соображение позволяет нам вычислить высоту трубы, цилиндрической на большей части своей длины /, но вблизи закрытого конца расширяющейся в шар небольшой емкости 5.

Приведенная длина тогда, очевидно, равна

Z-|-a4-Sa-i,(1)

где а — поправка на открытый конец, а о — площадь поперечного сечения цилиндрической части. Эта формула часто оказывается полезной, и ее можно применять и тогда, когда отклонение от цилиндрической формы не имеет характера расширения.

Когда расширение, представляемое 5, слишком велико, чтобы сделать возможной предыдущую трактовку, мы можем поступать следующим образом. Если пренебречь диссипацией, то потенциал скорости в трубе можно считать равным:

ср = sin к (х — a) cos nt,

причем начало координат находится в устье, между тем как приближенноВ точке х — — I мы имеем

4

ср = п sin к (I -]- а) sin nt

и

^- = к cos к (/-]- а) cos nt.

Но сжатие дается выражением s = — п-^, и условие, которое должно быть удовлетворено у х =— I, следующее:

S^ = -a^-,(2)

dtдх ’4 '

если предположить, что сжатие внутри S в основном одинаково. Таким образом,

S/z9a-2 sin к (I-ф- а) = ok cos к (/-ф- а),

или, так как п = ак,

tg6(Z+a) = ^-(3)

— уравнение, определяющее высоту. Численные примеры приложе-

пия уравнения (3) даны в моем мемуаре о резонансе {Phil. Trans., 1871, стр. 117).

Аналогичное рассуждение доказывает, что в любом таком случае стоячих колебаний, когда длина волны в несколько раз больше диаметра широкой части, конец трубы, примыкающий к расширению, ведет себя приблизительно как открытый конец, если kS значительно больше о, и как закрытый конец, если kS значительно меньше о.

Вопрос о действии резонатора под влиянием источника, звучащего в унисон с резонатором,—вопрос значительной тонкости и важности, по поводу которого среди авторов работ по акустике, не исключая и автора данной книги, возникало много неясностей.

В некоторых случаях резонатор поглощает звук, как бы притягивая к себе колебания и, таким образом, отвлекая их из областей, где они иначе должны были бы чувствоваться. Предположим, например, что имеется простой источник звука В, помещенный в узкой трубе на расстоянии -^-Х (или каком-либо нечетном кратном этой величины) от закрытого конца и не слишком близко от устья; тогда во всякой удаленной внешней точке А его эффект равен нулю. Это—непосредственное следствие принципа взаимности, потому что, если бы А было источником, то в В изменения потенциала не происходило бы. Ограничение, предупреждающее излишне большую близость к устью, можно отбросить, если мы предположим, что источник В, вместо того чтобы быть сконцентрированным в одной точке, равномерно распределен по поперечному сечению. Тогда, каковы бы ни были размеры и форма отверстия, по другую сторону не будет абсолютно никакого возмущения. Это ясно из теории колебаний в одном измерении: обратное предположение, именно, что какие бы источники возмущения ни существовали за сечением, J J ^da = 0, что можно доказать с помощью формулы Гельмгольца (2) § 293, если взять в качестве ср потенциал скорости чисто аксиального колебания того же периода.

Едва ли нужно говорить о том, что всякий раз, когда излучение энергии отсутствует, источник не совершает работы; для этого не требуется, чтобы у источника не было изменения давления, так как в случае простого источника это невозможно, но нужно, чтобы переменная часть давления обладала в точности фазой ускорения и не имела бы компоненты с фазой скорости.

Другие примеры поглощения звука резонаторами даются некоторыми видоизменениями интерференционной трубы Гершеля 1), применявшейся Квинке а), чтобы помешать тонам определенной высоты достигнуть уха.

Э Hershel, Phil. Mag., том III, стр. 405, 1833.

Quincke, Pogg. Ann, гом CXXVIII, crp. 177, 1866.

В комбинациях труб, представленных на фиг. 63, звук свободно входит в Л; в В он оказывается у устья резонатора, высота которого совпадает с его собственной. При этих условиях он поглощается, и вдоль BD не распространяется никакого колебания. Цилиндрическую трубу ВС можно, очевидно, заменить любым другим резонатором той же высоты (у), не нарушая действия аппарата. Обычное объяснение при помощи (так называемой) интерференции прямой и отраженных волн тогда менее применимо.

Случаи, когда источник находится в устье резонатора, не нужно смешивать с случаями, когда источник находится внутри. Если В — источник на дне закрытой трубы, приведенная длина которой равна ^ А, то интенсивность в наружной точке А может быть значительно

больше, чем в отсутствие трубы. Действительно, потенциал в А, обязанный источнику в В, такой же, какой имел бы место в В при наличии источника в А.

Для более близкого исследования механизма резонанса мы придадим задаче форму, свободную от трудностей, не являющихся неизбежными, предположив, что резонатор состоит из небольшой круглой пластинки на пружине, вставленной в бесконечную твердую плоскость. В предыдущей главе было доказано, (30) § 302, что если М — масса пластинки, $ — ее смещение, р£ — восстанавливающаяся сила, R— радиус пластинки и о — плотность воздуха, то уравнение колебания имеет вид:•

+2(1)

где F и $ пропорциональны eikat.

Если собственный период колебания (включая реакцию внешнего воздуха) совпадает с наложенным периодом, то уравнение приводится к следующему:

(2)(2)у aoitk^R4^ = F.

(2)

(2)

Предположим теперь, что F обусловлено внешним источником звука, дающим, когда пластинка находится в покое, потенциал ^о» приблизительно постоянный на площади пластинки. Таким образом,

F= — 8/? • T.R? = Ikas • nR^ • ^0,(3)

так что

= Х= 2Zit^-^0 = i\^,(4)

и потенциал <р, обязанный движению пластинки, на расстоянии г раВ6Н — _2L£^L„ _^12^_ 1

^ 2л гк г = ^° tkr ’

т. е., как легко видеть, независим от площади пластинки. Оставляя пока в стороне случай идеального изохронизма, предположим, ЧТО/8а/?3\9

—к^а? -|- р, == 0,(6)

так что 2it/^' есть длина волны собственной ноты резонатора. Если вместо 7И4--|-о^8 написать NV, то уравнение, соответ

ствующее (5), принимает форму:

(7)(7),в"№г

(7)

(7)

*‘°/Ь/2Ь2\’

tkr 1 — 41NV - )V rak^R4)

из которой мы можем заключить, как и прежде, что если k' — k, то эффективность резонатора как источника не зависит от R. Если совпадение не является идеальным, закон спадания зависит от M'R~4. Таким образом, если М' велико, a R мало, то, чтобы приблизиться к максимуму (§ 49), требуется большая точность настройки, хотя максимальная эффективность резонатора здесь и не меньше. В случае резонаторов с простыми отверстиями Л4' = уз/?3, так что M'R~4 изменяется пропорционально /?-1. Следовательно, для резонаторов с малыми отверстиями требуется большая точность настройки, но разница незначительна. Из сравнения настоящего исследования с рассуждением §311 следует, что условия действия различны в зависимости от того, рассматривается ли внутренний или внешний эффект.

Мы возвратимся теперь к случаю изохронизма и предположим далее, что внешним источником звука, на который отвечает резонатор А, является движение подобной ему пластинки В, расстояние которой с от А есть величина, большая сравнительно

можно по-(8)можно по-(8)с размерами пластинки. Интенсивность источника В дожить такой, чтобы его потенциал был равен:

можно по-

(8)

можно по-

(8)

Следовательно, % = c~1e~ikc, и-поэтому, в силу (5), e-ikrе~^с e~ikr

ikrike г

— уравнение, показывающее, что при одинаковых расстояниях от их источников

.ф ike '

Чтобы представить себе, каково соотношение между фазами, предположим, что индуцированное колебание <р распространяется от В по пути Л и подвержено дополнительному запаздыванию на -^- X, так что общее запаздывание между В и А равно с -]-- -^ X. Что касается амплитуды, то <? больше ф в отношении 1 : кс.

Таким образом, когда кс мало, индуцированное колебание значительно больше и полный звук значительно громче, чем если бы действие Л не имело места. В этом случае фаза запаздывает на четверть периода.

Важно получить ясное представление о причине этого усиления звука. В предыдущей главе (§ 280) мы видели, что если Л фиксировано, В излучает значительно меньше, чем этого можно было бы ожидать на основании развитого давления. Объяснение этого заключалось в том, что фаза давления была неблагоприятной; большая часть его концентрируется только на преодолении инерции окружающего воздуха и неэффективна в смысле совершения работы. Но давление, которое приводит А в движение, есть полное давление, а не только та несущественная его часть, которая сама совершала бы работу. Движение А определяется условием, что та компонента полного давления на А, которая имеет фазу скорости, должна быть равна нулю. Но большая часть давления, которое обусловлено движением А, имеет фазу ускорения, и поэтому предписанное условие требует равенства малой компоненты давления, обусловленного движением А, некоторой величине, сравнимой с большой компонентой давления, обусловленного движением В. Результатом является то, что А становится значительно более мощным источником, чем В. Поршень А, конечно, не совершает никакой работы; его эффект состоит в увеличении работы, совершаемой в В, путем изменения соотношения между фазами давления и скорости, которое иначе было бы неблагоприятным.

Бесконечная плоскость в предыдущем рассуждении требуется только для того, чтобы мы могли найти за ней место для нашего

механизма пружин. Если мы удовольствуемся еще более идеализированными источниками и резонаторами, то мы можем от нее отказаться. Каждый поршень следует дополнить дубликатом, колеблющимся аналогичным образом, но в противоположном направлении; эффектом этого будет обращение в нуль на плоскости АВ нормальной скорости жидкости. При этих условиях плоскость не будет оказывать никакого влияния и ее можно удалить. Если размеры пластинок беспредельно уменьшать, то они становятся в конце концов эквивалентными простым источникам жидкости: мы заключаем отсюда, что простой источник В становится более эффективным, чем раньше, в отношении 1 : кс, если на небольшом расстоянии с от него действует простой резонатор (как его можно назвать) той же высоты, т. е. источник, в котором инерция непосредственно окружающей жидкости компенсируется при помощи соответствующих приспособлений и который приводится в движение только внешними причинами.

При настоящем состоянии наших сведений в области механики колеблющихся жидкостей, когда дедуктивные трудности по большей части еще предстоит преодолеть, всякое упрощение условий, которое позволяет продвинуться вперед, не нарушая целиком практического характера вопроса, может оказаться шагом большой важности. Таким было, например, введение Гельмгольцем представления об источнике, сконцентрированном в одной точке, который аналитически представляется нарушением в этой точке уравнения непрерывности. Возможно, что аналогичным образом и представление о простом резонаторе также окажется полезным, хотя построить его было бы, так сказать, еще более невозможно, чем простой источник.

Мы видели, что помещение вблизи простого источника резонатора, настроенного соответствующим образом, вызывает значительное усиление звука. То же самое имеет место в еще большей степени, когда источник звука сложный. Потенциал, обусловленный двойным источником (§§ 294, 324), есть

^ = ^-^(1(1)

Если резонатор находится на небольшом расстоянии с, то

=’

и поэтому потенциал от резонатора, расположенного на расстоянии г', есть

е-<Лс е~^т' e-ikc е~^г'

? = ~ih^ 177” = ^° Т^Г 7 •(2)

Если р.о обращается в нуль, то резонатор не дает никакого эффекта, но если р0 = ±1, т. е. если резонатор расположен на

оси двойного источника, мы имеем е-^с e-tkr'

? = -4- Д2С2 * ' Р * (3)

На некотором расстоянии от двойного источника вызываемый им потенциал равен

Таким образом, мы можем считать, что потенциал, вызываемый резонатором, если пренебречь угловым изменением, больше потенциала двойного источника в отношении &ус2 :1.

Колеблющаяся твердая сфера сообщает окружающему воздуху движение того же рода, что и двойной источник, расположенный в ее центре; но замена, подсказываемая этим фактом, допустима только тогда, когда радиус сферы мал сравнительно с с; другими словами, присутствие сферы изменяет действие резонатора. Тем не менее, предыдущее исследование показывает, насколько мощно действие резонатора, когда он помещен в соответствующем положении вблизи сложного источника звука, характер которого таков, что он сам по себе давал бы на некотором расстоянии лишь очень малый эффект.

Одним из лучших примеров этого применения резонатора является колеблющийся стеклянный или металлический стержень, закрепленный своими узловыми точками. Стеклянная полоска около фута [30 см^ длиной, шириною в 1 дюйм [2,5 см\ и средней толщины (скажем, -j-дюйма [0,32 м]), поддерживаемая на расстоянии около 3 дюймов [7,6 сщ] от концов обвитой вокруг нее струной, хорошо отвечает назначению. Если ударить по ней молотком, то она дает очень мало звука, если не считать обертонов; но даже от них можно почти совсем освободиться, выбирая молоток подходящей мягкости. Эта недостаточность звука является следствием малых размеров стержня сравнительно с длиной волны, что позволяет воздуху легко переходить с одной стороны на другую. Если поместить теперь над одним из свободных концов стержня устье резонатора соответствующей высоты1), то при правильном ударе можно получить звук значительной силы и чистоты. Этим путем можно построить усовершенствованную фисгармонию с тонами много ниже тех, которые были бы осуществимы без резонаторов. В обычном инструменте длины волн достаточно коротки для того, чтобы позволить стержню сообщать колебания непосредственно воздуху.

9 Для достижения наилучшего эффекта устье резонатора следует поместить довольно близко к стержню; тогда высота определенно ниже, чем это было бы в открытом пространстве. Окончательную настройку можно осуществить, меняя величину закрытия устья. Это применение резонаторов известно с глубокой древности.

Усиление звука звонка в хорошо известном опыте, принадлежащем Савару), является примером действия этого же рода: но, пожалуй, наиболее поразительным примером является устройство, принятое Гельмгольцем в его опытах, требовавших чистых тонов, которые и получались от камертонов, расположенных над устьем резонаторов.

Если два простых резонатора At и А2, настроенные каждый в отдельности в унисон с источником, помещают рядом друг с другом, эффект меньше, чем в случае, когда имеется только один резонатор. Если потенциалы от At и А^ соответственно равны срх и <р2, то мы можем положить

Пусть R представляет расстояние AtAa, а ^ и ^о — потенциалы, которые существовали бы в А1 и А2, если бы не было резонаторов; тогда условия для определения At и Д2, в силу (5) §319, следующие:

Ф1 + ^ = + ^лы

л

^2 + ^ = +

Согласно гипотезе, ^ и ^2 приблизительно равны, и поэтому

Л1 = Л2 = _ ! + ikR 4'-(2)

Так как IkR мало, то эффект много меньше, чем только с одним резонатором. Следует, впрочем, заметить, что уменьшенная эффективность связана с тем, что резонаторы расстраивают друг друга, и если компенсировать эту тенденцию изменением их упругости, то любое число резонаторов, помещенных рядом, даст в точности тот же эффект, что и один резонатор. Этот момент иллюстрируется § 302, где можно видеть (32), что хотя резонанс и не зависит от размеров пластины, от них зависит инерция воздуха, которая должна быть компенсирована упругостью.

Здесь было бы уместно сказать несколько слов о возражении, выставленном Бозанке а) и, казалось бы, обесценивающем обычные вычисления высоты резонатора и поправки к длине органных труб. Когда жидкость протекает постоянным потоком через отверстие в тонкой пластине, то характер движения со стороны, где давление низкое, совершенно иной, чем это было найдено в § 306. Жидкость, вместо т.ого чтобы, пройдя через отверстие, растекаться по поверхности пластины, образует приблизительно цилиндрическую струю, форму которой для двухмерного случая можно вычислить ) по фор-

муле, данной Кирхгоффом. Со стороны высокого давления движение не отклоняется так значительно от определяемого электрическим законом. Равным образом жидкость, выходящая наружу из трубы, продолжает двигаться цилиндрическим потоком. Если внешнее давление больше, то характер движения иной. В этом случае линии тока сходятся со всех сторон к устью трубы, собираясь затем в параллельный пучок, сечение которого значительно меньше сечения трубы. Ясно, что если бы образование струй имело место в значительной степени и при прохождении воздуха через устья резонаторов, то наши вычисления высоты нужно было бы значительно видоизменить.

Исследование точных условий, при которых образуются струи, является предметом большой трудности. Можно было бы даже сомневаться в том, происходит ли вообще образование струй в жидкости без трения, движущейся с настолько малыми скоростями, что соответствующие давления, которые пропорциональны квадратам скоростей, незначительны. Но для воздуха, движущегося под действием давлений, имеющихся в резонаторах, с которым нам и приходится иметь дело, нужно принять, что струи иногда могут встречаться. Около двух лет назад, производя опыты с одним из латунных резонаторов Кенига высоты с', я заметил, что, когда соответствующий камертон, сильно возбужденный, располагался около устья, из сопла на противоположной стороне выходила струя воздуха значительной силы. Эта струя способна усилиться до такой степени, что может задуть свечу, на пламя которой она направлена. Эффект этот не связан с каким-нибудь особым движением воздуха около ножек камертона; это можно показать, установив камертон на резонансный ящик и обратив открытый конец ящика к устью резонатора; получаемый эффект лишь немного меньше по интенсивности. Аналогичный результат был получен с камертоном и резонатором, настроенными октавой ниже (с). Более близкое исследование обнаружило тот факт, что на краях сопла поток, текущий наружу, заменяется потоком в противоположном направлении, так что язык пламени расположенной подходящим образом свечи представлялся входящим в сопло, между тем как другая свеча, расположенная непосредственно впереди, задувалась. Эти два эффекта в действительности чередуются и только кажутся одновременными вследствие неспособности глаза уследить за столь быстрыми изменениями. Образование струй должно вызывать серьезную потерю энергии движения. Чтобы получить сильный звук от резонатора этой формы, необходимо поэтому каждый раз, когда к нему подносится соответствующий камертон, закрывать сопло.

В то же время не представляется вероятным, чтобы образование струй в сколько-нибудь заметной степени имело место у устьев обычно употребляемых резонаторов. Почти достаточным доказательством этого является близкое согласие между наблюденной и вычисленной высотой. Другой аргумент, приводящий к тому же

322а] заключению, можно извлечь из факта стойкости собственных колебаний резонаторов (§ 311), продолжительность которых, казалось бы, исключает всякую значительную причину диссипации, сверх передачи движения окружающему воздуху.

В случае органных труб, в которых колебания очень мощны, все эти доводы не так неоспоримы, но я не вижу оснований полагать, что движение у верхнего открытого конца сильно отличается от того, которое принимает в своих вычислениях Гельмгольц. Никакого противоположного заключения, я думаю, вывести из явлений стационарного движения с уверенностью нельзя. В противоположном крайнем случае — случае импульсивного движения — струи, конечно, не могут образовываться, как это следует из принципа наименьшей энергии Томсона (§ 79), и неясно, с каким из этих крайних случаев наиболее справедливо было бы сравнить периодическое движение. Наблюдения по методу перемежающегося освещения (§ 42) могут впрочем пролить дальнейший свет на этот вопрос.

322а. Как уже было упомянуто, свободные колебания массы воздуха, заключенной в резонаторе, могут быть возбуждены соответствующим ударом по последнему. Газ вначале не принимает участия в движении, сообщенном стенкам, и" полученное таким образом относительное движение является источником свободных колебаний типа, рассмотренного в предыдущих разделах. Когда вынимают пробки из частично наполненных бутылок или когда резко снимают крышки круглых картонных пеналов, свободные колебания резонирующих столбов воздуха возбуждаются именно этим путем.

Если колебания необходимо поддерживать для того, чтобы обеспечить непрерывное испускание звука, то колеблющееся тело должно быть соединено с источником энергии (§ 68а); при этом взаимодействие между источником и телом должно быть таким, чтобы имело место правильное соотношение фаз. Вопрос о том, что именно является источником звука — источник энергии или резонатор,—не имеет особенного значения, и на него можно ответить по-разному, в зависимости от точки зрения в данный момент. В органе источником звука является скорее труба, нежели сжатый воздух внутри мехов или даже струя воздуха, но когда звучание подобной трубы поддерживается пламенем, то преимущественная роль в их соединенном эффекте обычно отдается последнему.

До настоящего момента истолкование незатухающих (поддерживаемых) колебаний довольно просто, но для полной теории в каком-либо частном случае требуется такое исследование взаимодействия, которое определит соотношение между фазами. От этого зависит вопрос о том, будет ли взаимодействие благоприятным или неблагоприятным для продолжения колебаний; определить же это часто очень трудно.

Прежде чем перейти к обсуждению действия дутья, целесообразно остановиться несколько подробнее на свойствах органной трубы, рассматриваемой просто как резонатор. Мы видели (§ 314), как следует учитывать верхний открытый конец, но согласно правилу Кавайе-Колля полная поправка, которую нужно прибавить к измеренной длине открытой трубы, чтобы получить приблизительное согласие с простой формулой (8) § 255, достигает величины У1дК, что значительно больше поправки 1,2/?, необходимой для простой трубы кругового сечения, открытой с обоих концов. Это расхождение иногда приписывается дутью. Следует, однако, вспомнить, что нижний конец открыт значительно меньше, чем верхний, и что если бы для последнего требовалась заметная поправка за счет того, чю он недостаточно открыт, то, вероятно, значительно ббльшая поправка была бы нужна для первого. Наблюдения автора1) показали, что это действительно так. Труба с выдвижным коленом настраивалась в максимальный резонанс с данным (256) камертоном, как в эксперименте Блэйкли (§ 314). Через нее затем продували воздух хорошо отрегулированными мехами с измеренным давлением; высота полученных этим путем звуков сопоставлялась по методу биений (§ 30) с высотой камертона. Резулыаты показали, что высота трубы, приведенной в звучание потоком воздуха при практически доступных давлениях, была выше, чем ее собственная нота максимального резонанса, так что значительную поправку к длине, найденную Кавайе-Кол- лем, нельзя приписать дутью, а следует отнести за счет того, что нижний конец — узкий — в элементарной теории трактуется как открытый. Чтобы оценить собственную ноту, потребовалась бы еще большая «поправка к длине».

Увеличение высоты за счет дутья возрастает вместе с давлением. Так, в рассмотренном выше случае труба при давлении в 1,06 дюйма (2,7 см) водяного столба давала ноту приблизительно на 2 колебания в секунду выше ноты камертона, но когда давление дутья возрастало до 4,2 дюйма (10,7 см), избыток был около 11 колебаний в секунду. Когда давление увеличивалось еще больше, труба перегружалась (over blown) и давала октаву своего собственного тона, что, несомненно, соответствует другому виду колебания воздушного столба.

Остается рассмотреть поддерживающее колебания действие дутья. Колебания столба воздуха можно усилить, либо вводя в том месте, где изменяется плотность, в момент сжатия (или же удаляя в момент разрежения) жидкость, либо сообщая соответствующее ускорение частям столба воздуха, расположенным около пучности. Так как дутье органа действует у открытого конца трубы, то ясно,что здесь мы имеем дело со второй возможностью. Струя воздуха, направлен-

Ч Phil. Mag,, том III, стр 462, 1877; том XIII, стр. 340, 1882.

ная поперек края трубы, легко отклоняется. Когда во время колебания внешний воздух стремится войти в трубу, он увлекает с собой струю более или менее полностью. На полпериода позднее, когда собственный поток направлен наружу, струя отклоняется в соответствующем направлении. В каждом из случаев струя усиливает преобладающее движение и делает, таким образом, возможным поддержание колебаний.

Для хорошего звучания необходимо, чтобы струя воздуха была отрегулирована очень точно. Однако Шнеебели) показал, что если колебание уже однажды возникло, свободы оказывается больше. В одной экспериментальной установке струя была отрегулирована так, что она проходила целиком вне трубы. При этих условиях звучание было несовершенным, пока с помощью не очень сильного дутья, направленного на нее снаружи, струя не прогибалась внутрь трубы до нужного положения. Труба тогда начинала звучать и продолжала действовать, пока давлением в обратном направлении струя не отклонялась назад. Движение струи можно было сделать видимым с помощью дыма или кусочка папиросной бумаги, удерживавшегося так, чтобы он колебался вместе с ней. Как Шнеебели, так и Смит) настаивают на аналогии струи с язычком язычковой органной трубы, однако, механизм действия в этих двух случаях, повидимому, существенно различен.

Изложенная нами точка зрения, принятая Гельмгольцем в четвертом издании его большого труда, повидимому, позволяет дать удовлетворительное общее объяснение поддержания непрерывных колебаний; однако объяснение это нельзя считать полным. В вопросах этого рода практика обычно опережает теорию и многие поколения практиков довели органную трубу до высокой степени совершенства.

Другая точка зрения, которая была благоприятно встречена многими авторитетами, сводится к тому, что трубе приписывается роль приспособления, усиливающего своим собственным резонансом звук, первоначально возникший благодаря трению струи об ее край; повидимому, возникновение звука таким путем также не допускает сомнений3). Возможно, что между этими двумя точками зрения в конечном счете меньше различия, чем это могло бы показаться вначале, и вторая может оказаться особенно удобной, если речь идет скорее о возникновении звука, нежели собственно о его поддержании. Детальное обсуждение вопроса можно найти в работе ван Шайка ). Чтобы получить более полное объяснение, мы должны, вероятно, подождать, когда лучше будет известна механика струи.

3226. Характер звука, издаваемого трубой, зависит от того, имеются ли в нем различные обертоны — вопрос, требующий дачь- нейшего рассмотрения. Когда система колеблется свободно, обертоны могут быть гармоническими или негармоническими, в зависимости от ее природы, и состав звука зависит от начальных условий. Но в случае незатухающего (поддерживаемого) колебания, которое мы сейчас изучаем, движение строго периодическое и обертоны, если они вообще имеются, должны быть гармоническими. Частота всего колебания будет приблизительно соответствовать собственной наиболее низкой частоте трубы), но совпадение между высотой слышимого обертона и обертона какого-либо свободного колебания может быть значительно менее близким. Интенсивность всякого обертона зависит, таким образом, от двух вещей: во-первых, от того, в какой степени поддерживающие силы обладают компонентой правильного типа, и, во-вторых, от степени близости между обертоном и каким-либо собственным тоном колеблющегося тела. В органных трубах резкий верхний край и сравнительно небольшая толщина струи воздуха благоприятствуют образованию обертонов; благодаря этому Гельмгольцу удалось в узких открытых трубах отчетливо слышать первые шесть парциальных тонов. Напротив, в широких открытых трубах совпадение между обертонами и собственными тонами менее близкое. Благодаря этому трубы этого класса, особенно деревянные, дают звук более мягкого характера, в котором кроме основного тона можно обнаружить только октаву и дуодециму3).

Когда около склянки или сферического резонатора продувают воздух, как в случае органной трубы, то благодаря отсутствию соседних с гармониками собственных тонов возникающий звук почти свободен от обертонов.

322с. Когда две органные трубы одинаковой высоты стоят рядом, то возникают осложнения, которые на практике нередко причиняют затруднение. В исключительных случаях трубы могут почти что заставить замолчать друг друга. Но даже когда их взаимодействие более умеренное, оно все же может привести к тому, что заставит трубы звучать в унисон, вопреки неизбежным малым различиям. Простейший случай, какой представляется нашему вниманию,— это случай трубы, вдоль средней плоскости которой предположена введенной тонкая жесткая (resisting) стенка. Если эта стенка занимает всю плоскость, то первоначальная труба разделяется на две, независимые друг от друга и идеально одинаковые трубы. Высота этих отрезков одинакова с высотой первоначальной трубы, если пренебрегать трением, так как во время колебаний трубы движение в средней плоскости симметрии отсутствует. Но дело меняется, если стенка образует лишь часть плоскости, заключенной

внутри трубы, так как тогда два колеблющихся столба могут взаимодействовать. Система в целом имеет две степени свободы — сейчас мы не рассматриваем обертонов, — и свободные колебания совершаются с двумя различными периодами. Первый из них характеризуется синхронизмом фазы колебаний составляющих столбов воздуха, и высота, следовательно, та же, что и перед разделением трубы на две части. Но для второго типа фазы колебания составляющих столбов противоположны, так что воздух, выходящий из одного конца, поглощается смежным открытым концом другой части. Вследствие этого «поправка на открытые концы» значительно уменьшается и высота этого колебания соответственно повышается. Пока движение свободное, временно могут существовать колебания и того и другого рода, что может повести к возникновению биений; отсюда, однако, не следует, что оба колебания могут поддерживаться дутьем. Это и в самом деле уже заранее кажется невероятным, и эксперимент показывает, что спустя мгновение колебания приводятся только ко второму типу. Смежные открытые концы действуют как противоположные источники, и испускается очень мало звука, хотя внутри труб и снаружи, в непосредственном соседстве с их устьями, сила колебаний не уменьшается. Подобные же явления возникают, когда две отдельные, но одинаковые трубы устанавливаются рядом друг с другом, и под влиянием дутья эта система может совершать колебания только одного рода, вопреки малым различиям в высоте нот, испускаемых трубами, когда они звучат по отдельности1).

322tZ. Прямое наблюдение положения вещей внутри колеблющегося столба воздуха является, несомненно, очень трудным, однако интересные результаты были получены Тендером и Больцманом2): они призвали на помощь метод оптической интерференции, чтобы преодолеть трудность, обусловленную невидимостью воздуха, и стробоскопический метод, чтобы преодолеть трудность, обусловленную быстротой изменений. Верхний конец органной трубы, закрытой тонкой металлической пластинкой, был снабжен стенками из стекла, выдававшимися за металлическую пластинку; с помощью специальной оптической установки осуществлялась интерференция света, проникшего выше и ниже пластинки. Вследствие того, что пространство выше занято воздухом нормальной плотности, ниже — воздухом в состоянии увеличенной или уменьшенной плотности, соответственно мгновенной фазе момента, интерференционные полосы испытывают смещения, синхронные с воздушными колебаниями. Если наблюдать непосредственно, то эти смещения ускользают от глаза; но с помощью электрически возбуждаемого камертона, снабженного соответствующими щелями (§ 42), освещение можно сделать перемежающимся с периодом, почти совпадающим с периодом колебания; тогда

х) Proceedings of the Musical Association, декабрь 1878.

a) Tdpler u. Boltzmann, Pogg. Ann., том GXLI, crp. 321, 1870,

последовательность изменений становится видимой. Из наблюдаемого движения полос возможно заключить не только о полном изменении плотности от максимума к минимуму, но и о законе изменения плотности в функции времени.

Когда труба большого сечения продувалась лишь умеренно сильно, изменение плотности в узле достигало 0,009 атмосферы и закон был почти точно простым гармоническим. При большом давлении дутья простой гармонический закон сильно нарушался, причем полосы сдвигались почти внезапно из одного крайнего положения в другое. В этом случае амплитуда первого обертона составляла около четверти амплитуды основного тона. Полное изменение плотности было равно 0,019 атмосферы.

322е. В некоторых экспериментальных исследованиях применялись трубы более симметричной относительно оси формы Ц. Кромку трубы составлял цельный круговой край трубы, определяемый плоскостью, перпендикулярной к оси, а над ним продувался поток воздуха. Аналогичное устройство принято в обычном паровом свистке.

Другой путь применения струи воздуха для возбуждения звучания малых труб был испробован Зондхаусом); он еще менее понятен. Труба, целиком открытая с одного конца, частично закрыта с другого конца деревянной или металлической пластинкой в 2 или 3 мм толщины, имеющей цилиндрическое отверстие с острыми краями (фиг. 63а). Чтобы привести трубу в действие, необходимо только поместить ее открытый конец в ре- г—— . ^П зервуар, откуда идет поток воз-

□ духа. Для грубых целей, когда не 0 требуется ни регистрировать давление, ни сохранять постоянную температуру, достаточно дуть фиг 0за.ртом, и звук можно возбудить как

нагнетанием, так и всасыванием. Цилиндрическое отверстие можно заменить отверстием конической формы, но в этом случае воздух должен течь от более узкого конца к более широкому. Звуки, отмеченные Зондхаусом, изменялись от а' до /6, соответствуя во всех случаях собственным тонам трубы.

Свистящие звуки, издаваемые ртом, очевидно, принадлежат к этому классу; изменение высоты (примерно от с" до с5) осуществляется, главным образом, за счет изменения внутренней емкости (§ 304). Относительно образования звука при свисте иногда говорят, что оно связано с вибрацией губ, но нам представляется, что это ошибочное мнение. Я нашел, что можно свистеть через под-

0 Gripon, Ann. d. Chemie, том III, стр. 384, 1874.

ходящее коническое отверстие в куске самшита (box-wood), прочно зажатом между губами.

Существование колебания может рассматриваться как свидетельство того, что постоянное течение воздуха через рассматриваемые каналы неустойчиво. Противоположно тому, что имеет место в органной трубе и в чувствительных пламенах, деформации струи, казалось, должны бы быть симметричными.

Возможно, что здесь имеется тенденция к попеременному следованию и отступлению от хода, намеченного стенками.

322/. Вопрос о поддержании колебаний посредством тепла составляет важную часть интересующего нас предмета, и мы постараемся дать по крайней мере общее представление о том, каким образом этот эффект имеет место. Почти во всех случаях, где телу сообщают тепло, происходит расширение, и его можно заставить совершать механическую работу. Если фаза сил, действующих таким путем, благоприятна, можно получить и поддерживать колебание.

Наглядным примером является прибор (rocker) Тревельяна, состоящий из некоторой массы железа или меди, которой придана такая форма, чтобы во время колебания вес ее попеременно переносился на одно или другое из двух смежных и параллельных ребер. Когда инструмент нагревают и помещают на плиту холодного свинца, колебания продолжаются до тех пор, пока еще остается достаточно тепла. «Сэр Джон Лесли первый высказал предположение, что причину этих колебаний следует искать в расширении холодного куска свинца за счет теплоты, которая течет внутрь него от нагретого металла в точках контакта. Фарадей), Зеебек) и Тиндаль) приняли это объяснение; они показали, что большая часть фактов, которые они сами и другие получили относительно этих колебаний, легко объясняется с этой точки зрения, если только предположить, что расширение свинца достаточно велико, чтобы произвести заметный эффект. Напротив, Форбс) после обширной серии опытов пришел к отрицанию объяснения сэра Джона Лесли; одним из принципиальных оснований для этого была представлявшаяся ему невозможность допустить, что расширение,- вызванное таким медленным процессом, как теплопроводность, может дать сколько-нибудь заметный механический эффект».

Дэвис, из статьи которого6) взята приведенная цитата, исследовал вопрос математически и показал, что объяснение Лесли является достаточным. Очевидно важно, чтобы нижнее тело обладало большою скоростью расширения с температурой. В этом

отношении свинец стоит высоко среди металлов, а каменная соль, которую Тиндаль нашел хорошо отвечающей требованиям эксперимента, обладает еще большей скоростью расширения.

На возражение Форбса можно ответить, что процесс теплопроводности отнюдь не является медленным, если расстояния и массы малы; а особое отталкивание, выдвинутое им в качестве основы иного объяснения, было бы неподходящим по фазе: необходимо, чтобы фаза силы отставала о г фазы отрицательного смещения.

В опыте, принадлежащем Пэйджу1), колебания сделаны независимыми от начальной разности температур, местное же нагревание в точках контакта осуществляется с помощью электрического тока, который пропускают от одного тела к другому. В этой установке из расширения нижнего тела нельзя вывести никакого сжатия верхнего. На аналогичном принципе Гор2) осуществил непрерывное движение медного шара, который движется по круговым рельсам, соединенным с мощной батареей.

322^. Но наиболее интересными примерами колебаний, поддерживаемых с помощью тепла, являются те, которые происходят, когда резонирующее тело газообразно. «Если теплота периодически сообщается массе воздуха, колеблющейся, например в цилиндре с поршнем, и отнимается от нее, то получаемый эффект зависит от фазы колебания, при какой происходит передача тепла. Если теплота сообщается воздуху в момент наибольшего сжатия или отнимается от него в момент наибольшего разрежения, то это усиливает колебание. Напротив, если теплота сообщается в момент наибольшего разрежения, то колебание этим ослабляется. Последнее происходит само собой вследствие излучения (§ 247), когда скорость изменения не очень велика и не очень мала; действительно, когда воздух сжимается, он становится теплее и сообщает тепло окружающим телам. Два крайних случая являются исключительными, хотя и по разным причинам. В первом случае, который соответствует гипотезам теории распространения звука Лапласа, времени для того, чтобы мог осуществляться заметный перенос тепла, недостаточно. Во втором случае температура остается почти постоянной, и потеря тепла происходит во время процесса сжатия, а не тогда, когда сжатие уже произошло. Этот случай соответствует теории распространения звука Ньютона. Если перенос тепла имеет место в момент наибольшего сжатия или наибольшего разрежения, высота остается неизменной.

Если воздух в момент переноса тепла имеет нормальную плотность, то колебание не усиливается и не ослабляется, но высота его изменяется. Так, высота увеличивается, если тепло сообщается воздуху за четверть периода до фазы наибольшего сжатия, и по-

Э Page, Silliman’s Journal, том IX, стр. 105, 1850.

3) Gore, Phil. Mag., том XV, стр. 519, 1858; том XVIII, стр. 94, 1859.

нажается, если тепло сообщается на четверть периода позже фазы наибольшего сжатия.

Вообще, эффект того и другого типа достигается посредством периодического переноса тепла. Высота изменяется, а колебания или усиливаются или ослабляются. Однако эффект второго типа не имеет места, если рассматриваемая масса воздуха находится в пучности, т. е. в месте, где плотность не меняется, а также если тепло сообщается в одинаковой мере как на любой стадии разрежения, так и на соответствующей стадии сжатия»).

Таким образом, во всякой задаче о поддержании колебаний посредством тепла, какая может встретиться на практике, главный вопрос, который должен рассматриваться, — это вопрос о соотношении между фазой передачи тепла и фазой колебания.

322Л. Звуки, испускаемые струей водорода, горящего в трубке, открытой с обоих концов, были замечены вскоре после открытия этого газа и были предметом нескольких тщательных исследований. Хладни указал, что ноты здесь в основном те же, какие могут быть получены другими путями, например с помощью дутья. Фарадей) показал, что и другие газы в состоянии занять место водорода, хотя и не без ущерба. Однако только Зондхаусу) мы обязаны наиболее детальным исследованием условий, при которых образуется звук. Его опыты указывают на важность роли, которую играет столб газа в трубке, дающей струю. Звук, например, нельзя получить с подводящей газ трубкой, которая заткнута ватой вблизи струи, хотя на глаз нельзя обнаружить никакой разницы между пламенем, полученным этим путем, и другими, которые в состоянии возбуждать звук. Когда подводящая газ трубка не содержит препятствий, звуки, получаемые переменой резонатора, ограничены по высоте и часто разделяются на отдельные группы. В интервалах между группами никаким способом невозможно вызвать постоянный звук; можно еще добавить, что по крайней мере для части интервала влияние пламени неблагоприятно, так что колебание, возбужденное дутьем, затухает быстрее, чем в случае, когда пламя не было зажжено.

Можно применять резонаторы и иной формы, чем открытая труба; иногда это дает преимущество. Очень низкие ноты можно получить от сферических резонаторов, таких, как большие шары, применяемые для демонстрации сгорания фосфора в кислороде. Такой шар давал в своем естественном состоянии глубокий и чистый тон в 64 колебания в секунду. Когда к нему было приспособлено длинное и узкое горло, сделанное из картонной трубки, вычисленная частота падала до 25 и колебания, достаточно

сильные, чтобы погасить пламя, были едва слышны. Когда желательно возбудить очень низкие звуки, подводящую трубку нужно взять значительной длины, а отверстие не должно быть очень узким.

Электрически возбуждаемые камертоны могут быть иногда заменены при получении чистых тонов поющим пламенем, если нет настоятельной необходимости соблюдать абсолютное постоянство высоты. Чтобы избежать прогрессивного ухудшения воздуха, рекомендуется пользоваться резонатором, открытым одинаково как сверху, так и снизу. Цилиндрические стекла с расширением, какие часто применяются для парафиновых ламп, удовлетворяют этому требованию и в то же время дают чистый тон. Можно также поместить посредине цилиндрической трубы слабо пригнанный пыж Ц.

Как показал Уитстон, прерывистость поющего пламени легко демонстрировать с помощью колеблющегося или вращающегося зеркала. Более точное исследование лучше всего осуществляется стробоскопическим методом (§ 42). Зарисовки наблюденных этим путем преобразований были даны Теллером); из них видно, что при определенной фазе пламя может целиком втягиваться внутрь подводящей трубки.

Колебания, способные поддерживаться, не всегда возникают сами собой. Начальный импульс можно сообщать ударом по резонатору или легким продуванием, направленным поперек устья. В поразительных экспериментах Шаффгоча и Тиндаля8) пламя, молчавшее до того, отвечает на звук, который находится в унисоне с ним. В некоторых случаях интенсивность возбужденных таким путем колебаний возрастает до такой степени, что пламя гаснет.

Эксперименты Зондхауса показывают, что между длинами подводящих трубок и звучащих столбов воздуха существует пропорциональность. Для различных газов можно сохранять одну и ту же подводящую трубку; средние длины звучащих столбов при этом приблизительно пропорциональны корням квадратным из плотности газа. Таким образом, устанавливается связь между собственной нотой подводящей трубки и нотами, которые можно получить с ее помощью.

Частью вследствие своеобразного и плохо понятого поведения пламен, частью же по другим причинам полное объяснение рассматриваемых сейчас явлений представляет некоторые трудности; но не может быть сомнения в том, что эти явления принадлежат к области колебаний, поддерживаемых нагреванием, причем теплота периодически сообщается массе воздуха, заключенной в звучащей трубке, в том месте, где в ходе колебания давление изменяется.

Некоторые авторы склонялись к тому, чтобы обращать особое внимание на действие потока воздуха через трубу, но звуки, как мы видели, легко получить не только при отсутствии прямого потока, но даже когда пламя расположено так, что вблизи него вообще нет заметного периодического движения воздуха.

Вследствие переменного давления внутри резонатора выход газа, а поэтому и выделение теплоты, изменяется во время колебания. Возникает вопрос о том, при каких условиях это изменение обладает характером, необходимым для поддержания колебания. Если предположить, — как мы могли бы быть склонны поступить в первоначальный момент, — что выход газа наибольший, когда давление в резонаторе имеет наименьшую величину, и что фаза наибольшего нагрева совпадает с фазой наибольшего выхода газа, то мы имели бы положение вещей, наиболее неблагоприятное из всех возможных для существования колебания. Нетрудно, однако, видеть, что оба эти предположения неправильны. В подводящей трубке (в предположении, что она ничем не заткнута и имеет не слишком малое отверстие) возбуждаются стоячие или приблизительно стоячие колебания, фаза которых одинакова с фазой или противоположна фазе колебания в резонаторе. Если длина подводящей трубки от горелки до открытого конца сосуда, где добывается газ, меньше четверти длины волны действительного колебания в водороде, то наибольший выход газа опережает на четверть периода фазу наибольшего сжатия, так что, если развитие теплоты несколько запаздывает сравнительно с выходом газа, положение вещей благоприятно для поддержания звука. Известное запоздание такого рода неизбежно, потому что струя воспламеняющегося газа может гореть только снаружи; однако во многих случаях можно обнаружить еще более сильную причину в том, что во время ухода газа в подводящую трубку могут входить из резонатора небольшие количества воздуха, которые должны изгоняться прежде, чем снова сможет начаться выход газа.

Если длина подводящей трубки в точности равна одной четверти длины волны, то стоячее кочебание в ней будет такого характера, что узел образуется у горелки; при этом переменная часть давления сразу же внутри горелки будет той же, что и внутри резонатора. При этих условиях нет никаких причин к тому, чтобы течение газа, или выделение теплоты, было переменным, и поэтому колебание не может поддерживаться. Этот частный случай свободен от некоторых трудностей, которые присущи общей задаче, и сделанное заключение находится в согласии с наблюдениями Зондхауса.

Когда длина подводящей трубки несколько больше четверти длины волны, движение газа существенно отличается от описанного вначале. Вместо того чтобы опережать фазу наибольшего сжатия, наибольший выход газа наружу здесь отстает от нее на четверть

периода, и поэтому выделение теплоты несколько запаздывает, и весь эффект является неблагоприятным. Это положение вещей продолжает господствовать по мере удлинения подводящей трубки, пока она не достигает длины, равной полуволне, после чего движение снова меняет знак, и возможность поддержания колебания восстанавливается. Хотя размеры пламени и его положение в трубке (или горле резонатора) также оказывают влияние, все же этот очерк теории достаточен для объяснения факта, отмеченного Зондхаусом, — именно, что основою в этом вопросе является длина подводящей трубки.

322/. Другое явление рассматриваемого сейчас класса часто отмечается стеклодувами. Когда на конце довольно узкой трубки 12 или 14 см длиной выдувается шар около 2 см диаметром, иногда слышен звук, исходящий от нагретого стекла. Для экспериментальных целей хорошо применять твердое стекло, которое впоследствии можно нагреть по желанию снова, причем оно не теряет своей формы. Как было показано Де-ля-Ривом, образование звука облегчается присутствием паров, особенно паров спирта и эфира.

Зондхаус доказал), что колебание самого стекла не играет существенной роли в этом явлении; этому же неутомимому наблюдателю удалось открыть связь (§§ 303, 309) между высотой ноты и размерами аппарата. Однако никакого удовлетворительного объяснения образованию звука дано не было.

Ради простоты можно рассматривать простую трубку, нагретую у закрытого конца, с плавно падающей к холодному открытому концу температурой. Четвертью периода ранее фазы наибольшего сжатия (которое происходит почти одновременно во всех частях столба) воздух движется внутрь, т. е. к закрытому концу, и поэтому переходит от более холодных к более нагретым частям трубки; но теплота, полученная в этот момент (нормальной плотности), не оказывает никакого влияния ни в смысле усиления, ни в смысле ослабления колебания. То же самое было бы справедливо относительно всего теплового действия, если бы выравнивание температуры было мгновенным, так, чтобы между температурой воздуха и прилегающих частей трубки никогда не было заметной разницы. Но в действительности выравнивание температуры требует времени, и, таким образом, температура воздуха отличается от температуры прилегающих частей трубы, приближаясь к температуре той части трубки, откуда только что пришел воздух. Отсюда следует, что в момент наибольшего сжатия теплота приобретается воздухом, в момент же наибольшего разрежения — отдается, и, таким образом, возникает возможность поддерживать

колебания. Не следует, однако, забывать, что, если совсем отвлечься оз передачи тепла, сжатый воздух теплее разреженного воздуха; поэтому, для того чтобы все тепловое действие имело эффектом усиление, необходимо, чтобы перед сжатием воздух проходил не просто к более теплым частям трубки, но к тем ее частям, которые более теплы, чем воздух, когда он туда прибывает. Ввиду этого для поддержания колебания необходим большой градиент температур, и даже при большом градиенте влияние переноса тепла будет необходимо неблагоприятным у закрытого конца, где движение очень мало. Это, вероятно, и является объяснением преимущества, даваемого расширением, имеющимся у лампового стекла. Очевидно, что если нагревать открытый конец трубки, то эффект передачи тепла будет еще более неблагоприятным, чем в случае одинаковой повсюду температуры.

322/. Последний пример образования звука в результате нагревания, который мы здесь рассмотрим, представляет собой поразительное явление, открытое Рийке1). Когда кусок частой металлической сетки, натянутый на нижнюю часть трубы, открытой с обоих концов и расположенной вертикально, нагревается газовым пламенем, помещенным ниже ее, то почти непосредственно вслед за удалением пламени слышен звук значительной силы, длящийся несколько секунд. Рийке нашел, что образование звука, отличаясь в этом отношении от случая звучащих пламен (§ 322), тесно связано с возникновением сквозной тяги, встречающей нагретую сетку. При такой форме опыта теплота скоро исчерпывается, и звук прекращается; но, сохраняя сетку нагретой (током от сильной гальванической батареи), Рийке удавалось продлить звук на сколь угодно долгое время.

Эти звуки могут быть очень сильными, и тогда получение их представляет собой очень интересный лекционный эксперимент. Для этой цели можно воспользоваться чугунной трубой в 5 футов (152 см) длиной и 4/4 дюйма (12 см) диаметром. Сетка (железная проволока) имеет около 32 ячеек на дюйм длины (2,54 см); ее удобно взять двух диаметров (тэлщин). Сетке можно придать с помощью молотка на цилиндрическом деревянном бруске такую форму, чтобы ее диаметр был немного меньше диаметра трубы, и тогда она будет сохранять свое положение в трубе просто благодаря трению. Когда нужно получить звук, сетчатые колпачки вдвигаются в трубу на высоту около фута (30,5 см); ниже их располагается пламя большой горелки на таком уровне, чтобы сетка нагревалась до яркокрасного каления. Для этого, если необходимо, следует удлинить вертикальную трубу лампы на дополнительную длину медной трубкой.

Когда достигнуто хорошее красное каление, пламя быстро удаляют, убирая горелку или прекращая приток газа. Примерно через секунду возникает звук; вскоре его интенсивность возрастает настолько, что он сотрясает комнату, после чего постепенно замирает. Общая продолжительность звука может доходить до 10 секунд).

Обсуждая вопрос о поддержании колебаний в соответствии с уже изложенными взглядами, мы должны исследовать характер переменной отдачи теплоты от сетки воздуху. Пока на отдачу действуют непосредственно изменения давления или плотности, это влияние неблагоприятно, поскольку воздух получает от сетки меньше теплоты, когда его собственная температура в результате сжатия повышается. Поддержание звука связано с переменной передачей тепла, являющейся результатом переменного движения воздуха через сетку, причем это движение складывается из равномерного движения вверх с движением попеременно вверх и вниз, обязанным колебанию. В нижней половине трубы эти движения действуют согласно за четверть периода до фазы наибольшего сжатия и противодействуют одно другому четвертью периода позднее этой фазы. Скорость переноса теплоты будет зависеть, главным образом, от температуры воздуха, соприкасающегося с сеткой, и является наибольшей, когда эта температура наинизшая. Пожалуй, всего легче проследить за механизмом действия на простом колебании без постоянного потока. При этих условиях весь воздух, который приходит в соприкосновение с металлом в течение полного периода, нагревается; после этого устанавливается состояние, при котором дальнейшая передача теплоты сравнительно мала. Легко теперь понять эффект наложения малого постоянного потока вверх. В конце движения, направленного внутрь, т. е. в фазе наибольшего сжатия, небольшое количество воздуха, с которым этого до сих пор не происходило и который является поэтому холодным, приходит в соприкосновение с металлом, и геплота, сообщенная металлом этому количеству воздуха, действуют наиболее благоприятным образом в смысле поддержания колебания.

Совершенно иной результат получается, если поместить сетку в верхней половине трубы. В этом случае свежий воздух поступает в момент наибольшего разрежения, когда приток тепла оказывает вместо благоприятного — неблагоприятный эффект. Основную ноту трубы возбудить поэтому нельзя.

Дополнительное явление, открытое Босша) и Риссом), может быть объяснено на основании тех же самых принципов. Если поток горячего воздуха встречает холодную сетку, то возникает

227227йаычковыв Инструменте!йаычковыв Инструменте!322^1

227

227

йаычковыв Инструменте!

йаычковыв Инструменте!

звук; но чтобы получить основную ноту трубы, сетку следует расположить в верхней, а не в нижней, как раньше, половине трубы. В опыте, принадлежащем Риссу, звук поддерживается в течение неограниченного времени. Верхняя часть медной трубы сохраняется холодной с помощью воды, содержащейся в окружающем ее сосуде, через дно которого труба проходит. При этом сетка остается сравнительно холодной, хотя на нее и действует тепло газового пламени, расположенного дюймом или двумя ниже. Опыт иногда удается лучше, когда тяга регулируется деревянной пластинкой, помещенной вблизи на небольшом расстоянии над трубой.

Как в опытах Рийке, так и в опытах Рисса переменная передача тепла зависит от колебательного движения, между тем как эффект передачи зависит от изменения давления. Сетку поэтому следует помещать там, где оба эффекта заметны, т. е. не вблизи узла и не вблизи пучности. Наиболее благоприятное положение, — это на расстоянии четверти длины трубы от верхнего или от нижнего конца1).

322&. Остается коротко рассмотреть другой класс поддерживаемых воздушных колебаний, где поддержание осуществляется путем механического введения жидкости, которое производится в узле вблизи фазы максимального сжатия. Хорошо известные примеры этого явления дают такие язычковые инструменты, как кларнет, и различные духовые инструменты, действующие прямо от губ. Получаемые ноты определяются в основном воздушными столбами, до некоторой степени, вероятно, изменяемыми механическими приспособлениями. Язычковые трубы фисгармонии и органа представляют собой иное устройство. Высота здесь определяется почти целиком язычками, колеблющимися в силу их собственной упругости, причем резонирующие столбы воздуха или отсутствуют совсем, или же играют лишь подчиненную роль.

В рассматриваемых сейчас инструментах столб воздуха и трубка, в которую вдувается воздух, сообщаются через узкое отверстие, которое периодически открывает и закрывает колеблющийся язычок. Язычки разделяются Гельмгольцем на открывающиеся внутрь и открывающиеся наружу. В первом случае проход открывается, когда язычок движется внутрь, т. е. против струи воздуха, как это происходит в кларнете. Губные инструменты, такие, как тромбон, принадлежат ко второму классу, где проход открыт в момент, когда губы движутся наружу, т. е. вместе с потоком воздуха.

Рассмотрим случай цилиндрической трубы, открытой с дальнего конца, в которой воздух колеблется с такой частотой, что четверть длины волны равна длине трубы. Конец столба, где расположен

9 Proc. Roy. Inst., том VIII, стр. 536, 1879; Nature, том XVIII, стр. 319, 1878.

язычок, приблизительно совпадает, таким образом, с узлом, и воздушное колебание может поддерживаться только при условии, что проход открыт в момент наибольшего сжатия, так что воздух вводится в трубу с силой. Язычок поддерживается в движении переменным давлением внутри трубы, и фаза его движения будет зависеть от того, открывается ли он внутрь или наружу. В последнем случае фаза его почти противоположна фазе действующих на него сил; язычок открыт, когда давление, стремящееся его закрыть, наибольшее. Таково положение вещей в губных инструментах, где губы мало подвижны сравнительно с быстрыми действительно совершающимися колебаниями (§ 46). Если язычок легкий и жесткий, он должен быть сделан открывающимся внутрь, как в кларнете; тогда его фаза приблизительно совпадает с фазой сил. Незначительное отклонение в движении от точной противоположности или точного совпадения фаз, могущее иметь место, позволит сообщать энергию, достаточную для поддержания движения вопреки диссипации. Более полная аналитическая формулировка вопроса была дана Гельмгольцем ), которому принадлежит вся теория.

" Характер звуков различных духовых инструментов, применяемых в музыке, очень различен. Сильно разнящимися качествами обладают тромбон и баритон; звук первого блестящий и резкий, звук второго мягкий. Блэйкли) проанализировал звуки большого числа инструментов и указал на различные обстоятельства, такие, как размер выходного устья и форма мундштука, примыкающего к губам, от которых, вероятно, зависят эти различия. Давления, применяемые на практике и достигающие 40 дюймов (102 см) водяного столба в случае баритона, были измерены Стоном ).

ГЛАВА XVII

ПРИЛОЖЕНИЯ ФУНКЦИЙ ЛАПЛАСА

323. Общее уравнение потенциала скоростей, отнесенное к полярным координатам, имеет вид (§ 241):

а ()3Ф I|1 d ( . лдФ\ ,1 д2Ф ,

^2 2г -4-^-д-^-( sin-4--—д= 0. (1)

dr- 1 дг 1 sin 0 du \ ди ) 1 sin3 6 дм3 1 т х 7

Если k равно нулю, то мы имеем уравнение обычного потенциала, которому, как мы знаем, удовлетворяет функция Ф = гп8н, где Sn обозначает сферическую двухмерную гармоническую функцию п-го порядка г). Подставляя, убеждаемся, что уравнение, которому удовлетворяет Sn, есть

Но какой бы вид ни имела функция ф, она может быть разложена в ряд по сферическим функциям:

Ф = Фо + Ф1 Ч~ Фа + • • • + ^п ~Ь • • •»(2)

где Фи удовлетворяют уравнению вида (2).•

Сравнивая (1) и (2), мы видим, что для определения ^п как функции от г имеем

^ ^+^ -я («+1) '^+=°-

что можно также написать в виде

дЦгг^ (Ar)3

Чтобы найти решение этого уравнения, заметим, что если v- очень велико, то средним членом, имеющим малое относительное значение, можно пренебречь, так что тогда решение будет иметь вид:

r^n = Aetkr + Be~ikr.(5)

Ч Новейшие английские руководства по теории этих функций следующие: Todhunter, The Functions of Laplace, Lame and Bessel; Ferrer, Spherical Harmonics; Gray a. Mathews, Bessel’s Functions, Macmillan, 189ф

Можно считать, что такого же вида решение будет удовлетворять и полному уравнению (4), если рассматривать А и В не как постоянные, а как функции от г, природу которых следует еще определить. Подставляя в (4), находим для В

д-В, 9 дВ■ п(л + 1)

д (ikr)* * z d (ZAr) (Ikr)*W

Положим

В = Во + В. (ikr)-' + В3 (1кг)-» +.. . + В8 (1кг)- 4-...(7)

и подставим это в (6). Приравнивая нулю коэффициент при (ikr)-8-», получим

А —А ”(”+ О"»(» + !) _ о (Л —»)(« + »+ 1)

^8+1 — ^2(^+1)— 82(^+1)* W

Таким образом,

^i = у я (n 4~ 1) Во,

А — а (” — !)(” +2) „(п — 1)п(п 4-1) (л 4-2) R

°а— °12^2—2^4D° И Т* д’’

так что

й_рЬ ( л(л4-1) , (л —1) ... (п4-2) ,

2.4':(ZAr)3Г

, (л —2)... (л4-3) ,,1-2.3...2л1

2.4-6.(Z^)3 г2-4-6 ... 2n-(lkr)n f •

Обозначая, вместе с проф. Стоксом *) ряд внутри скобок через fn(ikr), получим

B=B0Jn(ikr).(10)

Подобным же образом, меняя знаки при /, получаем

(П)(П)A = Aofn( — ikr).

(П)

(П)

Хотя символы Ао и Во и не зависят от г, тем не менее они являются функциями угловых координат: в самом общем случае они представляют две какие-нибудь сферические поверхностные функции порядка п. Поэтому уравнение (5) можно написать в виде

^„ = S„e-«7.(^r) + s'ne^fn( — «try (12)

Дифференцируя (12), имеем

^ -Fnakr) - ^ e^Ft-ikry (13) где

Bn (ikr) = (14- ikr) fn (ikr) — ikr/n (ikr).(14)

0 Stokes, «On the Communication of Vibrations from a Vibrating Body to a surrounding Gas», Phil. Trans., 1868,

Вид функций F до седьмого порядка представлен в следующей таблице:

foW = j+l,

f2()0=HH9r49r2.

F^—У 4- 7 + ^У"х + 60у-2 + 60^-3,

Р4(у)=у-^\\ 4. ббу1-|-240у-24 525у-3Ч-525у-\

Fb (у) =у 4- 16+135у-4 + 735^-24-2625^-3+5670^-4+5670^-6, Fe(у) = у -]- 22 4- 252у-1 4- 1890у"2 + 9765_у-34- 34 020у-4 44-72 765.у-б4 72 765у-б, ^ (.у) = 3,4-29 4-434^-14-4284^-2 4-29 925^-8 4- 148 995у4 -]4- 509 З55.у-б 4- 1 081 080^"6 4-1 081 080^"7.

Для того чтобы определить главные члены функции FnQkr\ когда 1кг мало, обратим ряд (9); получаем

fn(lkr) = 1 .3.5.. .^n—X^lkrY^X

Хр + ^ + ^Ет^+'Ч’ <15>

откуда при помощи (14) находим

FnW = 1 • 3 • 5(2п — 1) (п 4-\Х1кгУп X xH^+t^W^r+'-i (16) 324. Важным частным случаем полученных общих формул является тот, когда ^ представляет возмущение, распространяющееся полностью наружу. На большом расстоянии от источника /п (1кг) = —fn(—ikr)=\, и следовательно, если мы восстановим временной множитель (eikat\ то получим

гф =5Sf eik^at*r\m

второй член этого выражения представляет возмущение, распространяющееся внутрь. При рассматриваемых обстоятельствах нам следует поэтому положить 5^ = 0; таким образом, получим

г^=5п/та(^г)^^"4(2)

что представляет в самом общем виде я-ую гармоническую составляющую возмущения с заданным периодом, распространяющегося наружу в бесконечное пространство.

Источником возмущения может быть заданное нормальное движение поверхности сферы радиуса с. Положим, что в некоторой точке сферы скорость, направленная наружу, представляется функцией иегка1, где в общем случае U—функция положения рассматриваемой точки,

Разложив U в ряд по сферическим функциям

U= 1704~ U. -ф- 144-. . . 4- Un-^- .. .,(3)

мы должны иметь, в силу (13) § 323,

U„=-%e'<t«FnQlK:).(4)

Таким образом, полное значение ф есть

Y гFn<ikcVnVV )

где суммирование следует распространить на все (целые) значения п. Действительная часть этого соотношения даст потенциал скоростей, образованный нормальной скоростью £7 cos &йР) на поверхности сферы г = с.

Проф. Стокс применил это решение к объяснению замечательного опыта Лесли, в котором звук колокольчика, колеблющегося в частично эвакуированном пространстве, ослаблялся при введении водорода. Это парадоксальное явление происходит благодаря увеличению длины волны вследствие добавления водорода, в результате чего колокольчик, так сказать, теряет свою власть над окружающим газом. Общее объяснение этого нельзя выразить лучше, чем словами проф. Стокса:

«Предположим, что человек движет рукой вперед и назад в небольшом промежутке. Движение, которое создается в воздухе, почти в точности одинаково с тем, которое возникло бы, если бы воздух представлял собой несжимаемую жидкость. Здесь имеется просто местное возвратное движение, при котором воздух непосредственно впереди руки толкается вперед, а непосредственно сзади—устремляется за движущимся телом, между тем как вообще в пространстве впереди воздух отступает в стороны в результате движения тела, а в пространстве сзади вообще притекает со всех сторон для заполнения пустоты, которая стремится здесь образоваться; таким образом, с боков течение жидкости направлено назад и так, что часть избытка жидкости впереди стремится заполнить недостачу сзади. Теперь допустим, что период этого движения непрерывно уменьшается. Постепенно изменение направления движения становится слишком быстрым для того, чтобы могло вполне установиться чисто местное возвратное течение; воздух заметно сжимается и разрежается, и заметная звуковая волна (или волна такой же природы, если период ее находится вне пределов человеческого слуха) распространяется на известное расстояние. То же самое происходит и в любом газе;

9 Предположение, что U имеет действительное значение, эквивалентно требованию, чтобы нормальная скорость имела одну и ту же фазу по всей сфере г = с. Для того чтобы учесть наиболее общее движение воздуха, р^обходимо рассматривать U как комплексную величину.

и чем быстрее распространяются сгущения и разрежения в газе, тем более черты явления будут приближаться, в отношении тех движений, которые мы рассматриваем, к условиям, существующим в несжимаемой жидкости; тем ближе будут условия смещения газа на поверхности твердого тела удовлетворяться простым местным возвратным течением».

Обсуждая решение (5), проф. Стокс продолжает:

«На большом расстоянии от сферы функция fn^ikrV^ в пределе становится равной 1, и мы имеем

фlat-r+c) \ —Цп—

гFH (ike)

Оказывается (из значения д^дг), что компонента скорости вдоль радиуса-вектора имеет порядок г-1, а в любом направлении, перпендикулярном к радиусу-вектору, — порядок г-2, так что боковым движением можно перенебречь всюду, за исключением непосредственного соседства со сферой.

Для того чтобы исследовать влияние бокового движения вблизи сферы, сравним действительное возмущение на большом расстоянии с тем, которое имело бы место, если бы всякое боковое движение было предотвращено, например, путем разделения всей жидкости на элементарные каналы бесконечно тонкими коническими трубками, каждая из которых представляет коническую поверхность с вершиною в центре.

При этом предположении, очевидно, движение в каждом канале будет таким же, каким оно было бы во всех направлениях, если бы колебания сферы сводились к одинаковому в любой точке расширению и сжатию ее поверхности, причем нормальная скорость поверхности совпадала бы со скоростью в точке, где рассматриваемый канал выходит на поверхность. Если бы U было постоянным, то в разложении U был бы только первый член Uo, и, принимая во внимание, что /0(i£r) = 1, мы имели бы из (5)

лpile {at—r + c}^0

— r еFo (ike) •

Это выражение применимо к любому отдельному каналу, если считать, что Uo обозначает нормальную скорость на поверхности сферы для данного канала; поэтому, для того чтобы получить выражение, применимое непосредственно ко всем каналам, достаточно просто писать U вместо Uo. Для облегчения сравнения с (5) и (6) я, однако, буду писать 2 ^п вмест0 U. Тогда

ф —— »гк (at-r+c) ^п_/чх

7 гF^ikc)*

Я здесь несколько изменил обозначения проф/ Стоксу,

Следует помнить, что это — выражение, применимое непосредственно ко всем каналам, в каждом из которых движение происходит целиком вдоль радиуса-вектора, и, следовательно, это выражение нельзя дифференцировать по 6 или со с целью найти поперечные скорости.

Сравнивая (7) с выражением функции ф для действительного движения на большом расстоянии от сферы (6), мы видим, что оба они тождественны, если не считать того, что делителями Un служат в них две различные постоянные, именно Р0(1кс") в первом случае и Fn(ikc)—во втором. То же самое справедливо и для главных членов (членов порядка г-1) в выражениях для сгущения и для скорости. Следовательно, если тип колебания сферы таков, что нормальная скорость ее поверхности выражается функцией Лапласа какого-либо порядка, то возмущение на большом расстоянии от сферы будет изменяться в зависимости от направления по такому же закону, как если бы боковые движения были задержаны, причем амплитуда смещения на данном расстоянии от центра изменяется в обоих случаях как амплитуда смещения в нормальном направлении самой поверхности сферы. Единственным различием здесь является то, которое выражается символическим отношением F^lkc): F0(ikc). Если предположить, что Fn(ikc) приводится к виду p-w(cos a-nA-i sin аи), то амплитуда действительного колебания будет относиться к амплитуде в гипотетическом случае, как р-0: |л„, а фазы в обоих случаях будут отличаться на а0—ап.

Если нормальная скорость поверхности сферы не может быть выражена при помощи одной функции Лапласа, а только при помощи ряда, конечного или бесконечного, таких функций, то возмущение на данном большом расстоянии от центра уже не будет изменяться в зависимости от направления по тому же закону, что и нормальная скорость поверхности сферы, так как модуль р,и, а равно и амплитуда а„ мнимой величины Fn(ikc) изменяются с изменением порядка функции.

Предположим, что возмущение выражается функцией Лапласа какого-нибудь порядка, и будем искать численное значение изменения интенсивности на некотором расстоянии, вызванного боковым движением, которое существует в действительности.

Интенсивность будет измеряться живой силой, развитой за данное время, и следовательно, будет изменяться пропорционально плотности, помноженной на скорость распространения и на квадрат амплитуды колебания. Из них первые два множителя такие же, как если бы никакого бокового движения не было. Амплитуда изменяется в отношении р.о : ри так, что если р-^/ро = Iw то 1п—величина, на которую нужно разделить интенсивность, которая имела бы место, если бы боковое движение жидкости было задержано.

Если А — длина звуковой волны, соответствующая данному периоду колебания, то ^=2it/A, так что кс— отношение длины большого круга сферы к длине волны. Если считать, что рас-

сматриваемый газ есть воздух и что X равна двум футам, что соответствует примерно 550 колебаниям в секунду, а большой круг сферы 2тгс имеет длину 1 фут (эти размеры и высота тона соответствуют примерно обычному домашнему колокольчику), то мы будем иметь he = ^. Приводимая ниже таблица дает значения квадратов модуля и отношения 1п для функций Fn(lkc) первых пяти порядков и для значений he, равных 4, 2, 1, у и 1. Таблица продолжена более далеко в направлении значений, боль

ших у, чем в противоположном направлении, причина чего выяснится ниже. Сохранены по меньшей мере пять значащих цифр.

кс

п = 0

п — 1

п = 2

п = 3

п = 4

4

17

16

14,879

13,848

20,177

2

5

5

9,3125

80

1495,8

S

1

2

5

89

3965

300137

31

0,5

1,25

16,25

1330,2

236291

72086371

У

0,25

1,0625

64,062

20878

14837899

18160X106

51 со

4

1

0,95588

0,87523

0,81459

1,1869

2

1

1

1,8625

16

299,16

S

1

1

2,5

44,5

1982,5

150068

Id fl)

0,5

1

13

1064,2

188953

57 669 097

У

0,25

1

60,294

19650

13965 XI О3

17092ХЮ6

31 со

При he = сю мы получаем из аналитических выражений /я=1. Из таблицы мы видим, что когда he сравнительно велико, /я, пови- димому, должно быть немного меньше, чем 1, и следовательно, звук должен быть немного интенсивнее, чем если бы боковое движение было уничтожено. Это легко объясняется, если учесть, что волны сгущения, исходящие из тех частей сферы, которые в данный момент колебания движутся в положительном направлении, т. е. наружу, по истечении полупериода могут распространиться на соседние части, которые теперь в свою очередь движутся в положительную сторону, так что эти последние части при движении наружу производят работу против сил несколько большего давления, чем если бы они встречали только то колебание газа, которое вызвано ими самими; то же самое объяснение применимо mutatis mutandis к волнам разрежения. Однако усиление звука, получающееся благодаря существованию бокового движения, во всяком случае малб, между тем как если he относительно мало, 7Я увеличивается чрезвычайно сильно, и звук становится ничтожным по сравнению с тем, каким он должен бы быть, если бы боковое движение было предотвращено,

Чем выше порядок функции, тем на большее число частей, колеблющихся попеременно в положительном и отрицательном направлении, будет разделена сфера в каждый данный момент. Из таблицы мы видим, что для данного периода, а также для данного радиуса значение 1п становится большим при п достаточно большом. Однако практически колебания этого рода возникают в случае, когда упругая сфера совершает колебания не с основной частотой, а с одной из вторичных частот, причем соответствующая частота повышается с порядком колебания, так что к увеличивается в соответствии с этим порядком. Именно вследствие этого таблица продолжена в направлении высоких частот от ко = 0,5 дальше, чем в направлении низких: она продолжена на три октавы выше ко = 0,5 и только на одну октаву ниже.

Если сфера колеблется симметрично относительно центра, т. е. так, что каждые две противоположные точки поверхности в каждый данный момент движутся с равными скоростями в противоположных направлениях, или, более обще, когда тип колебаний таков, что положение центра тяжести всего объема не изменяется, то член порядка 1 отсутствует. Для сферы, колеблющейся по типу колокольчика, основным колебанием является колебание, выражающееся членом порядка 2, к более подробному разбору которого я и перехожу.

Полагая для краткости к^с^ = q, имеем

Н6 = ^ + 1 > ^=№ + 9 VV02 + (4~9^-i)^-2 4- 9^-1 + 81 qA

л8-292 + 9^ + 8192(9 + D *

Минимальное значение /2 определяется уравнением

q^ — 6#2 — 84^ — 54 = 0, откуда приближенно

^= 12,859, &с = 3,586, р.2= 13,859, ^= 12,049,

/а = 0,86941,

так что максимальное усиление звука, получающееся от бокового движения, достигает около 15%.

Перехожу теперь специально к экспериментам Лесли. Ничего не указано относительно формы, величины и тона его колокольчика; но даже если бы все это было точно описано, оставалось бы еще достаточно труда для определения размеров эквивалентной сферы, которою можно было бы заменить колокольчик. Следовательно, все, что мы можем сделать — это выбрать такие значения к и с, которые сравнимы с вероятными условиями опыта.

У меня имеется колокольчик, принадлежащий к типу старинных приборов (bell-in-air), который, вероятно, несколько напоминает колокольчик, употреблявшийся Лесли. Он приблизительно полусфе-

рической формы, диаметр его 1,96 дюйма, а тон его на октаву выше среднего с рояля. Принимая число колебаний 1056 в секунду и скорость звука в воздухе 1100 футов в секунду, имеем А = 12,5 дюйма. Представлять колокольчик сферой такого же радиуса означало бы сильно недооценить влияние местной циркуляции, так как вблизи отверстия газ не имеет больших возможностей для движения снаружи во внутрь и обратно. Представление колокольчика сферой половинного радиуса означало бы, повидимому, все еще недооценку этого эффекта. Тем не менее, для того чтобы скорее недооценить, чем преувеличить влияние рассмотренной здесь причины, я сделаю последовательно оба эти предположения, принимая, соответственно, значения с = 0,98 и с = 0,49, he = 0,4926 и kc — 0,2463 для воздуха.

Если бы не было бокового движения, то интенсивность изменялась бы от газа к газу пропорционально отношению плотности к скорости распространения, и, следовательно, отношению давления к квадратному корню из плотности газа при обычном давлении, если учесть, что множитель, зависящий от распространения теплоты (коэффициент теплопроводности) по существу одинаков для газов и газовых смесей, с которыми мы будем иметь дело. В приводимой таблице в первом столбце дается название газа, во втором — давление р в атмосферах, в третьем — плотность D при давлении р, отнесенная к плотности воздуха при атмосферном давлении, принятой за единицу, в четвертом Qy — величина, которая представляла бы интенсивность, если бы движение было полностью радиальным,—отнесенная к интенсивности в воздухе при атмосферном давлении, принятой за единицу, или, другими словами, величина, изменяющаяся пропорционально давлению р X (плотность при давлении единица)1^. Затем идут значения q, 1^ и Q, причем последняя величина представляет действительную интенсивность, отнесенную, как и выше, к воздуху.

Газ

р

D

Qr

с=0,98

с=0,49

q

к

Q

q

к

Q

Воздух . . . .

1

1

1

0,2427

1136

1

0,06067

20890

1

Водород . . . Разреженный воздух . . .

То же при наполнении во-

1

0,0690

0,2627

0,01674

284700

0,001048

0,004186

4604000

0,001191

0,01

0,01

0,01

0,2427

1136

0,01

0,06067

20890

0,01

дородом . . Воздух той же

1

0,0783

0,2798

0,01900

220600

0,001440

0,004751

3572000

0,001637

плотности . . Воздух, разре-

0,0783

0,0783

0,0783

0,2427

1136

0,0783

0,06067

20890

0,0783

женный вдвое То же при наполнении во-

0,5

0,5

0,5

0,2427

1136

0,5

0,06067

20890

0,5

дородом . .

1

0,5345

0,7311

0,1297

4322

0,1921

0,0324

74890

0,2039

Как показывает рассмотрение чисел, содержащихся в столбце Q, приведенная здесь причина вполне достаточна для объяснения фактов, упомянутых Лесли».

Важность этого предмета и мастерскую трактовку, которая была дана проф. Стоксом, можно, пожалуй, считать достаточным оправданием столь длинной цитаты.

Простота истинного объяснения представляет замечательный контраст с различными предложенными ранее гипотезами. Так, например, сэр Дж. Гершель думал, что смесь двух газов, в которых звук распространяется с различными скоростями, могла вызвать турбулентность, приводящую в результате к быстрому затуханию звука.

[Рассматриваемый здесь вопрос можно иллюстрировать еще проще задачами §§ 268, 301. Например, случай, рассматриваемый в § 268, можно считать крайним случаем настоящего, когда сферическая поверхность обращается в колеблющуюся плоскость, разделенную на прямоугольные части. Если допустить, что размеры этих частей, определяемые сторонами р и q, заданы, и проследить, какой эффект производит постепенное увеличение частоты, то мы увидим, что только когда частота достигает известного значения, заметные колебания распространяются до бесконечности, причем закон ослабления колебаний с расстоянием имеет экспоненциальный вид. С другой стороны, колебания, частота которых превышает критическое значение, распространяются без потерь, не подвергаясь ослаблению, которое сферические волны необходимо должны испытывать.]

Член нулевого порядка

= (1)

где So—комплексная постоянная, соответствует потенциалу простого источника произвольной интенсивности и фазы, расположенного в центре сферы (§ 279). Если, как это часто бывает на практике, источником звука является твердое тело, колеблющееся без существенного изменения объема, то этот член относительно невелик. В случае жесткой сферы, колеблющейся около положения равновесия, этот член вовсе выпадает1), поскольку все движение в целом тогда изображается членом первого порядка; и во всех случаях, когда тело очень мало по сравнению с длиной волны, член нулевого порядка должен быть незначительным. В самом деле, если мы проинтегрируем уравнение движения V2^ -J- k^ = 0 по малому объему, заключенному между телом и сферой, описанной вплотную вокруг него, то мы убедимся, что все количество жидкости, которое входит внутрь этого пространства и выходит из него, мало и что поэтому имеется лишь небольшой полный поток сквозь поверхность сферы.

х) Центр сферы принят за начало координат.

Положив п = 1, получим для члена первого порядка

(2)(2), с ^ (at—г) (. I 1 )г% = 516Р+^|-

(2)

(2)

причем 5t пропорционально косинусу угла между рассматриваемым направлением и некоторой неподвижной осью. Это выражение имеет такой же вид, что и потенциал двойного источника (§ 294), расположенного в центре и состоящего из двух равных и противоположных простых источников, лежащих на рассматриваемой оси, расстояние между которыми бесконечно мало, интенсивности же таковы, что произведение интенсивностей на расстояние конечно. В самом деле, обозначим ось через х, а косинус угла между х и г — через р; тогда очевидно, что потенциал двойного источника пропорционален

дх\ г ) ‘^ дг\ г /г I ' ikrV

Отсюда следует, что возмущение, создаваемое колебанием сферы как твердого тела, — такое же, как возмущение, соответствующее двойному источнику в центре, ось которого совпадает с направлением колебаний сферы.

Реакцию воздуха на малую сферу, колеблющуюся как твердое тело по гармоническому закону, можно легко вычислить из предыдущих формул. Пусть Е обозначает скорость сферы в момент t, U^gikat — ^(3)

и следовательно, для значения ^ на поверхности сферы из (5) § 324 имеем

^=-ik*F^-(4)

Сила Е, возникающая вследствие сгущений воздуха, ускоряющих

движение, определяется выражением

Е = — J J pSp dS = p У У р.ф dS =

= — ^арсЧ^^Д J 2пра dp = — Ша -у- р^^^.

Если положить

тотопосколькупоскольку(5)(5)(6)(6)Л (Z^c),

то

то

поскольку

поскольку

(5)

(5)

(6)

(6)

Е = — р ♦ у прс8$ — qka • -^- itpc8$,

Ё = Ша£.

Роль воздуха, таким образом, состоит в увеличении эффективной инерции сферы, именно на усиленную в р раз инерцию смещенного воздуха, и в замедлении движения силой, пропорциональной

скорости и равной утсрс- qkaX\ оба эти эффекта вообще являются функциями частоты колебания. Вводя значения Д и Fv находим

Д (/Ас) _ 2 4- АЗсз — /А3с3

так чтотак чтоFt (ike) '4 + А4с4

так что

так что

(8)(8)— A8cs.— A8cs.— 1±А2£2— _^L_

(8)

(8)

— A8cs.

— A8cs.

Р 4А4с4 И ^4-f-A4c4*

Когда кс мало, мы имеемКогда кс мало, мы имеем,1

Когда кс мало, мы имеем

Когда кс мало, мы имеем

приближенно Р = ^ и ^ =

Следовательно, эффективная инерция малой сферы увеличивается

на половину инерции смещенного воздуха — величину, не зависящую от частоты, и такую же, как если бы жидкость была несжимаемой. Член, выражающий рассеяние и соответствующий испускаемой энергии, есть член высшего порядка по кс; поэтому (если пренебречь влиянием вязкости) колебания малой сферы затухают медленно.

Движение эллипсоида в несжимаемой жидкости было исследовано Грином Д и результаты его можно применить к вычислению увеличения эффективной инерции благодаря сжимаемости жидкости, если размеры тела малы по сравнению с длиной волны колебания. Для малого круглого диска, колеблющегося перпендикулярно к своей плоскости, увеличение эффективной инерции относится к массе жидкой сферы, радиус которой равен радиусу диска, как 2 : тс. Результат для случая сферы, описанной выше, был получен Пуассоном 2) несколько раньше появления в печати статьи Грина.

Максвелл 3) показал, что различные члены разложения по гармоническим функциям обычного потенциала можно рассматривать как

члены, представляющие кратные точки соответствующей кратности „/1\

на комплексной плоскости. Так, Уг пропорционально у?- д .- ,

Ог1у\ ^* /

дзdhtdh^дзdhtdh^е—гкге—гкггде г"1 I раз дифференцируется по осям hv h^ и т. д., причем некоторое число этих осей может в частном случае совпадать. Пожалуй, можно было бы ожидать, что подобный же закон сохраняет силу и для потенциала скоростей, если подставить r-Te-ikr вместо г-1. Однако это не имеет места; можно показать, что потенциал

дзdhtdh^

дзdhtdh^

е—гкг

е—гкг

, соответствует»-4kr_Sy ~/2 (/^),, соответствует»-4kr_Sy ~/2 (/^),квадруполя, представляемый в виде

, соответствует

»-4kr_

Sy ~/2 (/^),

, соответствует

»-4kr_

Sy ~/2 (/^),

вообще не просто члену второго порядка, т. е.

а комбинации этого члена с членом нулевого порядка. Поэтому аналогия сохраняет силу только для случая двойной точки или источ-

Green, Edinburgh Transactions, декабрь, 16, 1833. Также Green, Mathematical Papers, edited by Ferrers, Macmillan & Co, 1871.

Poisson, Memoires de Г Academic des Sciences, том XI, стр. 521.

ника, хотя, разумеется, функция г-хе-^г после любого числа дифференцирований продолжает удовлетворять основному уравнению

(V2-j-^)^ = 0.

Целесообразно, пожалуй, отметить, что возмущение вне любой воображаемой сферы, полностью охватывающей источник звука, можно представить как результат нормального движения поверхности некоторой меньшей концентрической сферы, или, в частном случае, когда радиус сферы бесконечно мал, как исходящее из источника, сконцентрированного в точке, именно, в центре сферы. Этот источник вообще будет состоять из комбинации кратных источников всех порядков.

Когда источником возмущения является колебание твердого тела параллельно его оси вращения, то различные сферические функции Su сводятся к простым кратным зональной функции Ри(р.), которую можно определить как коэффициент при еи в разложении (1—^е^.-V е^-1!2 по восходящим степеням е. (Вид этих функций приведен в § 334.) Когда же твердое тело симметрично не только относительно оси, но также симметрично и относительно экваториальной плоскости (пересечение которой с осью принято за начало координат), то разложение получающегося возмущения по сферическим функциям будет содержать только члены нечетного порядка. Так, например, если колеблющимся телом является круглый диск, совершающий колебания перпендикулярно к его плоскости, то разложение будет содержать члены, пропорциональные ^(р-), ^(р-), ^(р-) и т. д. В случае сферы, как мы видели, ряд сводится полностью к первому члену, и этот член вообще будет преобладающим.

С другой стороны, может существовать и колебательная система, симметричная относительно оси и относительно экваториальной плоскости, но совершающая колебания таким образом, что движения частей системы по обе стороны от этой плоскости противоположны. Под эту рубрику подходит идеальный камертон, составленный из одинаковых сфер или параллельных круговых дисков, расстояние между которыми периодически изменяется. Из соображений симметрии ясно, что потенциал скорости, будучи одинаковым в любой паре точек, представляющих собой зеркальные изображения друг друга в плоскости симметрии, должен быть четной функцией от р. и, следовательно, должен выражаться рядом, содержащим только четные функции ^(р-), Р9(р-) и т. д. Вторая функция ^(р.) обычно превалирует, хотя в частных случаях, как, например, в случае тела, состоящего из двух дисков, расстояние между которыми мало по сравнению с их диаметром, симметричный член нулевого порядка может получить большое значение. Сравнение с известным решением для сферы, поверхность которой совершает колебания по некоторому закону, в большинстве случаев дает достаточный материал для оценки относительного значения различных членов.

Таблица зональных сферических функций

6

Л

Л

^3

Л

А

р.

Pi

0

1,0000

1,0000

1,0000

1,0000

1,0000

1,0000

1,0000

2

0,9994

0,9982

0,9963

0,9939

0,9909

0,9872

0,9829

4

0,9976

0,9927

0,9854

0,9758

0,9638

0,9495

0,9329

6

0,9945

0,9836

0,9674

0,9459

0,9194

0 8881

0,8522

8

0,9903

0,9709

0,9423

0,9048

0,8589

0,8053

0,7448

10

0,9848

0,9548

0,9106

0,8532

0,7840

0,7045

0,6164

12

0,9781

0,9352

0,8724

0,7920

0,6966

0,5892

0,4732

14

0,9703

0,9122

0,8283

0,7224

0,5990

0,4635

0,3219

16

0,9613

0,8860

0,7787

0,6454

0,4937

0,3322

0,1699

18

0,9511

0,8568

0,7240

0,5624

0,3836

0,2002

0,0289

20

0,9397

0,8245

0,6649

0,4750

0,2715

0,0719

—0,1072

22

0,9272

0,7895

0,6019

0,3845

0,1602

—0,0481

—0,2201

24

0,9135

0,7518

0,5357

0,2926

0,0525

—0,1559

—0,3095

26

0,8988

0,7117

0,4670

0,2007

—0,0489

—0,2478

—0,3717

28

0,8829

0,6694

0,3964

0,1105

—0,1415

—0,3211

—0,4052

30

0,8660

0,6250

0,3248

0,0234

—0,2233

—0,3740

—0,4101

32

0,8480

0,5788

0,2527

—0,0591

—0,2923

—0,4052

—0,3876

34

0,8290

0,5310

0,1809

—0,1357

—0,3473

—0,4148

—0,3409

36

0,8090

0,4818

0,1102

—0,2052

—0,3871

—0,4031

—0,2738

38

0,7880

0,4314

0,0413

—0,2666

—0,4112

—0,3719

—0,1918

40

0,7660

0,3802

—0,0252

—0,3190

—0,4197

—0,3234

—0,1003

42

0,7431

0,3284

—0,0887

—0,3616

—0,4128

—0,2611

—0,0065

44

0,7193

0,2762

—0,1485

—0,3940

—0,3914

—0,1878

0,0846

46

0,6947

0,2238

—0,2040

—0,4158

—0.3568

—0,1079

0,1666

48

0,6691

0,1716

—0,2547

—0,4270

—0,3105

—0,0251

0,2349

50

0,6428

0,1198

—0,3002

—0,4275

—0.2545

+0,0563

0,2854

52

0,6157

0,0686

—0,3401

—0,4178

—0,1910

+0,1326

0,3153

54

0,5878

0,0182

—0,3740

—0,3984

—0,1223

+0,2002

0,3234

56

0,5592

—0,0310

—0,4016

—0,3698

—0,0510

+0,2559

0,3095

58

0,5299

—0,0788

—0,4229

—0,3331

0,0206

+0,2976

0,2752

60

0,5000

—0,1250

—0,4375

—0,2891

0,0898

+0,3232

0,2231

62

0,4695

—0.1694

—0,4455

—0,2390

0,1545

+0,3321

0,1571

64

0,4384

—0,2117

—0,4470

—0,1841

0,2123

+0,3240

0,0818

66

0,4067

—0,2518

—0,4419

—0,1256

0,2615

+0,2996

0,0021

68

0,3746

—0,2896

—0,4305

—0,0350

0,3005

+0.2605

—0,0763

70

0,3420

—0,3245

—0,4130

—0,0038

0,3281

+0,2089

—0,1485

72

0,3090

—0,3568

—0,3898

0,0568

0,3434

+0,1472

—0,2099

74

0,2756

—0,3860

—0,3611

0,1153

0,3461

+0,0795

—0,2559

76

0,2419

—0,4132

—0,3275

0,1705

0,3362

+0,0076

—0,2848

78

0,2079

—0,4352

—0,2894

0,2211

0,3143

—0,0644

—0,2943

80

0,1736

—0,4548

—0,2474

0,2659

0,2810

—0,1321

—0,2835

82

0,1392

—0,4709

—0,2020

0,3040

0,2378

—0,1926

—0,2536

84

0,1045

—0,4836

—0,1539

0,3345

0,1861

—0,2431

—0,2067

86

0,0698

—0,4927

—0,1038

0,3569

0,1278

—0,2811

—0,1460

88

0,0349

—0,4982

—0 0522

0,3704

0,0351

—0,3045

—0,0735

90

0,0000

—0,5000

—0,0009

0,3750

0,0000

—0,3125

0,0000

[Приведенная на стр. 242 таблица, изображающая Рп в функции от 6 или arc cos р-, представляет выборку из таблицы Перри г)4

Полное излучение энергии колеблющейся сферой определяется путем умножения переменной части давления (пропорциональной ^) на нормальную скорость и интегрирования по всей поверхности (§ 245). Благодаря сопряженности различные сферические функции, являющиеся членами разложения, можно брать порознь, без всякого ущерба для общности. Имеем (§ 323)

фп = ikaфп = ikaггfn WFfn WF^Пdr^Пdrо „ik (at—r)Г2о „ik (at—r)Г2Fn W»Fn W»(1)(1)

фп = ika

фп = ika

г

г

fn WF

fn WF

^Пdr

^Пdr

о „ik (at—r)

Г2

о „ik (at—r)

Г2

Fn W»

Fn W»

(1)

(1)

или, отбрасывая мнимую часть,

^п = —[ pz cos к (at — г) -ф- a’ sin к (at — г) ],

'(2)

-^ = —-[ a cos (at — г) — р sin к (at — г) ],

где

F = oi-\-$ и / = а' -]- 1^.(3)

Таким образом,

J J k^pds = J J ’к^1 r"d3 = ^ ^S2nda\a^cos^k(at—r^ — azp sin2 к (at — г) 4~ («а' — ?Ю sin к (at — г) cos к (at — г) ].

Если проинтегрировать это выражение за большой промежуток времени, то периодические члены можно опустить и, таким образом,

J // k^7dS.dt=^.W-a'^ J J S„do. (4)

Но так как в пространстве, заключенном между концентрическими сферическими поверхностями, накопление энергии не может иметь места, то скорости передачи энергии сквозь эти поверхности должны быть одинаковыми, т. е. г-х (о/р— apz) должно быть независимо от г. Для того чтобы определить это постоянное значение, мы можем взять частный случай бесконечно большого г, когда

Fn(ikr^) = lkr,а = 0, р = кг,

fn(ikr)=l, а'=1, pz = 0.

Таким образом, тождественно

azp — pza = кг.(5)

Можно заметить, что левая часть равенства (5), помноженная наг, представляет собой мнимую часть произведения (a-|-iP)(a'—гР') или

9 Perry, Phil. Mag., том XXXII, стр. 516, 1891.

мнимую часть Fn (ikr) fn (— ikr), так что наш результат можно выразить таким образом: мнимая часть Fn(ikr)fn(—ikr) равна ikr, или

Fn (ikr) /п (— ikr) — Fn (— ikr) /и (ikr) = 2ikr.(6)

В этой форме мы и воспользуемся полученным выражением.

К тому же самому заключению можно прийти и более прямым путем, применив теорему Гельмгольца (§ 294); именно: если две функции и и D удовлетворяют в замкнутом пространстве 5 уравнению (Va -f" к^ и = 0, то

П(“э;-^И=о- т

Если за S принять пространство между двумя концентрическими сферами, что дает

= Sne-‘tefnVi=r') ^ _ Sne+arfn{-ikr) Г ’г’

то мы найдем, что г-1 VFn (ikr) fn (— ikr) — Fn (— ikr) fn (ikr)] должно быть независимым от г.

Поэтому имеем

J J J U^dS-dt-^^J / Snd°.

так что выражение для энергии, излученной за время t, будет иметь вид:

Wz= ^ к2 ^at J* J Sn da(8)

(так как 8р =— р^\

Более поучительно представить W как функцию нормального колебания у поверхности сферы радиуса с. Из (2) имеем

~ = — ^ [cos kat(a cos /гс-|~Р sin &c)-|-sin kat(a sin kc—p cos /гс)], так что, если амплитуда d^Jdr равна Uw то мы имеем следующее соотношение между SH и UH\

(9) Таким образом,

(10)

Эту формулу можно проверить для частных случаев п = 0 и л=1, рассмотренных, соответственно, в §§ 280 и 325.

Если источником возмущения является нормальное колебание малой части поверхности сферы (г = с) в непосредственном соседстве с точкой р.=1, то в общем решении, применимом для

расходящихся волн, а именно

(1)

мы должны принять

+1

U„ = l(2«+ 1)Р.«- J УР.(р)</|* =

= 1(2л+1)Р„(и)У иа»=^^Р„№( J UdS, (2) так как, когда U имеет заметную величину, PM(|i)=l. Таким образом,

» =J J UdS. ^п^РМ^у (3)

В этой формуле J J U dS является мерой интенсивности источника. Если ike весьма мало, то

/о(^) f о (ike)/о(^) f о (ike)1 — ike —|--1 — ike —|--LSI = 1 tkcFv (ike) 2LSI = 1 tkcFv (ike) 2и т. д..и т. д..

/о(^) f о (ike)

/о(^) f о (ike)

1 — ike —|--

1 — ike —|--

LSI = 1 tkc

Fv (ike) 2

LSI = 1 tkc

Fv (ike) 2

и т. д..

и т. д..

так что в конечном счете

(at-r) /• с

Ф = -^^ J J UdS,(4)

и волны расходятся как от простого источника той же величины.

Мы рассмотрим теперь задачу для случая, когда кс не очень мало, взяв для простоты случай, когда ф определяется только на большом расстоянии, так что fn(ikr)=\. Множитель, от которого зависят относительные интенсивности в различных направлениях, выражается в виде

Vi 2/14-1 Рте (р-)/к\

W 2 Fn (ike) *

а полное решение задачи должно включать и исследование этого ряда как функции от у. и кс.

Таким образом, если

тото2/г+1 Рп(у.)2 Fn (ike)2/г+1 Рп(у.)2 Fn (ike)(6)(6)гдегде<Р = — A J J и dS . (Р^ + O^yi«. eik ^t-r*GHi\<Р = — A J J и dS . (Р^ + O^yi«. eik ^t-r*GHi\(7)(7)

то

то

2/г+1 Рп(у.)

2 Fn (ike)

2/г+1 Рп(у.)

2 Fn (ike)

(6)

(6)

где

где

<Р = — A J J и dS . (Р^ + O^yi«. eik ^t-r*GHi\

<Р = — A J J и dS . (Р^ + O^yi«. eik ^t-r*GHi\

(7)

(7)

(8)(8)tg 6 = -5-.

(8)

(8)

&р

Интенсивность колебаний в различных направлениях, таким образом, определяется суммой Л2-]-^- Если, как прежде, /?п=а-|-гр, то

Ы 2 а2 + рй •

~ V 2++L Е+М(9)

М 2 аЗ + ^2 •

Приводимая ниже таблица позволяет вычислить F и О для любого значения р. при кс = ^ > 1 или 2. В последнем случае необходимо брать члены ряда до п = 7 для того, чтобы получить результат с достаточной точностью, для больших же значений кс вычисление вскоре становится чрезвычайно громоздким. Во всех задачах подобного рода гармонический анализ, повидимому, теряет свою силу, если волны весьма малы по сравнению с размерами тела.

кс = ~

п

2a

2р

(п +4)“

(+)»

«3-4-рз-

аЗЦ-рз

0

+2

+ 1

+ 0,4

+ 0,2

1

+4

—7

+ 0,1846153

— 0,3230768

2

—64

—35

— 0,0601391

— 0,0328885

3

—466

853

— 0,0034527

+ 0,0063201

4

+ 14 902

+ 8141

+ 0,0004653

+ 0,0002542

5

4- 175 592

— 321419

+ 0,0000144

— 0,0000264

кс — 1

п

а

₽

(/= + "+

«24-^2

а3 4-£3

0

+

1

+

1

+ 0,25

+ 0,25

1

+

2

—

1

+ 0,6

— 0,3

2

5

—-

8

— 0,140449

— 0,224719

3

53

+

34

— 0,046784

+ 0,030013

4

+

296

+

461

4- 0,004438

+ 0,006912

5

+

4 951

3179

4- 0,000787

— 0,000505

6

40 613

—.

63251

— 0.000047

— 0,000073

7

—

936 340

4-601217

— 0,000006

+ 0,000004

кс = 2

п

а

Р

( 1 ъ (”+2)"

("++

аЗ-ррЗ

а2+^2

0

+ 1

+2

+ 0,1

+ 0,2

1

—2

+ 1

+ 0,6

+ 0,3

2

—1,75

—2,5

+ 0,46980

— 0,67114

3

—8

—4

— 0,35

— 0,175

4

— 16,1875

+ 35,125

— 0,04870

+ 0,10567

5

+ 186,625

+ 85,4375

+ 0,02436

+ 0,01115

6

+ 538,80

— 1177,3

+ 0,00209

— 0,00456

7

— 8621,7

— 3945,8

— 0,00072

— 0,00033

Наиболее интересным обстоятельством, которое вскрывает этот анализ, является влияние, которое оказывает твердая сфера, расположенная вблизи источника, на интенсивность звука в различных направлениях. Вследствие принципа взаимности (§ 294), источник и место наблюдения могут обменяться местами. Поэтому, если мы знаем относительные интенсивности в двух отстоящих друг от друга точках В и В', являющиеся результатом наличия источника А на поверхности сферы, то мы имеем также относительные интенсивности (измеряемые потенциалом) в точке А вследствие наличия источников в точках В и В'. С этой точки зрения задача имеет двойной интерес.

В качестве численного примера я определил значения РЦ-iG и Р^-\-Ой для приведенных выше значений кс при р, = 1, ;г = — 1, р. = О, т. е. если смотреть из центра сферы в направлении источника, в противоположном направлении и вбок.

Если кс = 0, значение f^-j-G2 равно 0,25, что, следовательно, представляет при той же шкале, которая принята в таблице,

кс

Р-

F+ZG

f^+G3

хк

1

—1

0

0,521503 + 0,149417 1

0,159149 — 0,484149 1

0,430244 — 0,216539 1

0,294291

0,259729

0,231999

1

1

—1

0

0,667938 + 0,238369 1

— 0,440055 — 0,302609 1

+ 0,321903 — 0,364974 /

0,502961

— 0,285220

0,236828

2

1

—1

0

0,79683 + 0,23421 1

0,24954 + 0,50586 1

— 0,15381 —0,57662 /

0,6898

0,3182

0,3562

интенсивность, получающуюся от источника равной величины при отсутствии препятствий. Мы можем истолковать кс как отношение длины большого круга сферы к длине волны звука.

Рассматривая цифры, приведенные в таблице, мы прежде всего обращаем внимание на сравнительно малые отклонения от равномерного распределения интенсивности звука между различными направлениями. Даже в случае, когда длина большого круга сферы вдвое превышает длину волны, едва ли можно наблюдать что-либо, могущее быть названным звуковой тенью. Но что, пожалуй, является еще более неожиданным, это то, что в первых двух случаях интенсивность позади сферы превосходит интенсивность в поперечном направлении (по бокам от сферы). Этот результат зависит, главным образом, от преобладающего значения члена первого порядка, обращающегося в нуль вместе с у.. Порядок членов, имеющих большее значение, увеличивается вместе с кс; когда кс равно 2, то главным членом является член второго порядка.

До известного предела увеличение сферы будет приводить к увеличению полного количества излучаемой энергии, так как простой источник излучает вдвое больше энергии, когда он расположен вплотную к твердой плоскости, чем когда он совершенно открыт. В пределах величин, приведенных в таблице, этот эффект скрадывает препятствие, создаваемое увеличением сферы, так что при у. = — 1 интенсивность больше, когда большая окружность сферы равна двойной длине волны, чем когда она равна половине длины волны, если при этом источник остается постоянным.

Если источник — не простой гармонический во времени, то относительная величина каждой из составляющих будет в некоторой степени изменяться как с размерами сферы, так и с изменением направления точки наблюдения, обнаруживая таким образом фундаментальный характер разложения на простые гармоники.

Если кс значительно меньше половины, вычисление можно провести с достаточным приближением алгебраически. В результате получим

1 1 / 7 4 \ ^ + aa=7 + ^w(^9 —5) +

+ ^W(l+f,+50pa + ^_^P8+l6,P1) +

члены, содержащие к^. (10)

Мы видим, что вплоть до члена с к^с^ интенсивность является четной функцией от у., т. е. одинаковой в любых двух диаметрально противоположных точках. Для главных направлений у. = ± 1 или 0 численные определения коэффициента при &4с4 легко произвести, вследствие того, что функции Р принимают тогда простые значения.

Так,

(у=1)/^_[_G3 = l + Aw+0,77755fe4c4+ . . . ,

(у. = — 1) F^ 4- G2 = 1-|- ^ W + 0,02755 к4с4 4,

(р = 0)F24_o2==^_^,W4_0>19534W+ .. .

Если можно пренебречь к4с4, то интенсивность меньше в боковом направлении, чем непосредственно впереди или позади сферы. Вследствие свойства взаимности источник, помещенный на некотором расстоянии, будет давать на поверхности малой сферы большую интенсивность в точке, наиболее отдаленной от источника, чем в боковой точке. Применяя эти формулы к случаю ,1

кс = у, получаем:

(у.= I)Ла 4-G3 = 0,3073,

(И = —1)р 4- Ga = 0,2604,

(у.=0)Р^ 4- G9 = 0,2344,

что достаточно близко совпадает с результатами более полного вычисления.

Для других значений у. коэффициент при к4с4 в (10) можно вычислить с помощью таблиц лежандровых функций или из следующего алгебраического выражения, содержащего у-1)'-

4“ 2 + 8Г 2 + 8Г 220+ 175—

= 0,78138 4- 1,5р. 4- 0,85938у,9 — 0,03056уА

Разность интенсивностей в направлениях у. = 4~1 и Н =—1 можно выразить очень просто. Так,

(^+П=1 - ^+°V-1=т

при kc = ^-4 ^V =0,0148;

при кс = ^^к4с4 = 0,0029;

при кс = 4" к4с4 = 0,0002. г 84

В то же время полное значение /?24~^9 приближается к 0,25, когда кс мало. Эти числа весьма интересным образом связаны с ролью, которая принадлежит двум ушам в определении квадранта, из которого приходит звук.

Следует заметить, что изменение интенсивности в различных направлениях, о котором мы говорили, обязано присутствию сферы

!) Вид функции Р приведен в § 334.

как препятствия, но не тому факту, что источник расположен на периферии сферы, а не в ее центре. На большом расстоянии малое смещение источника звука влияет на фазу, но не на интенсивность в каком бы то ни было направлении.

Для того чтобы найти изменение фазы, имеем для малой сферы ^т+^-т+т!*-^)' о=^(~4+т +

tg 9 = у = kc (— 1 + у р-), или 6 ^ кс (— 1 + у р.).

Так, в (7)

gib (а#-г4-с) 4-49 — ^ ^^ Г+2*М?Х

отсюда мы можем заключить, что фаза на расстоянии такая же, 3

как если бы источник был расположен в точке р.= 1, г — -^с

(вместо г = с) и препятствия не существовало.

Функциональные символы / и F можно выразить через Р.

Известно, что г)

рД "+ 1—^ I п(п~1) (/2+1) (/24-2) (1—^)2

— 11 ' 21-2 ‘1-2 2а

или, заменяя р через 1 —р.,

„п п^Л + . rz(/2—1) (/г + 1)(п+2) ^2

и пустьи пусть^пИ1' 12 '1-2 '1-2*22

и пусть

и пусть

Рассмотрим теперь символический оператор Рп 1 — ^ он действует на уг.

Так как

. 1 = (— 1)(— 2) ... (- s)^”8-1, Му) У х\

р ft dY 1 I п<п + 1),.-2 . <п-1).-.(п4-2) „ .

F”V W+1-2 Т 2-4 У

Сравнение с (9) § 323 показывает, что

М^-урДу^Уу.(2)

откуда, пользуясь известной формулой, выводим

'уо^^рД! -^=<-W^Y'-y-<3>

Подобным же образом р + У/ Н'

“у-^П ( У) = ^п \Ду

Если теперь мы отождествим у с ikr, то увидим, что общее решение (12) § 323 можно написать в виде

^ = (—1 Т^пр»^ц^ * -^ + й8пРп (^^) * “^г; (4) второй член этого выражения следует опустить, если ни одна часть возмущения не распространяется внутрь.

Из (14) § 323 мы видим также, что

.уз Vу *

откуда

И

Рп^У^® ^ / п»о ( d\ d е у<Кх

уз — I О n\dy)dy 'у 'v }

Аналогично

РтД-уУу _(±\£/21т

у^n\dy)dy у ''

Подставив эти выражения в уравнение (13) § 323, получаем

(— 1— • ^—-

dr '' n n\d(ikr)) d(ikr) ikr

h^ Qf D (^^fR\

~R\dw) dW) * IkF*w

Мы уже рассматривали в некоторых деталях форму, принимаемую нашими общими выражениями в случае отсутствия источника в бесконечности. Столь же важный класс случаев соответствует условию отсутствия источника в начале. В настоящем разделе мы исследуем, какое ограничение налагается благодаря этому на наши общие выражения.

Обращая ряд для /п, имеем

* = ---^гУ*1""” 1 ^"“'d + ^+ • • •) +

+ (— 1 )raS^e+<ftr (1 — ikr:

это показывает, что при безграничном уменьшении г значение г^п приближается к

«ь _ 1 '3*5 ... (2л1) г ,.ум 1

Таким образом, для того чтобы фп было конечным в начале, необходимо соблюдение условия

S„+(-l)"S^ = 0;(1)

что это условие также достаточно, мы увидим позже.

В соответствии с этим (12) § 323 принимает вид:

r^n = $п ^e-tkrfn (thr) — (— 1)”^/„ (- ^г)}.(2)

Если, разделив действительную и мнимую части /п, мы напишем (как выше)

/„ = «'+<?'.(3)

то выражению (2) можно придать вид:

г6п = — 2in+1Sn la' sin -j- nA — {3' cos (кг -|- -i-(4)

Другой вид можно получить из (4) § 329. Мы имеем

(

Я \ р+гкгр—гкг = d (Ikr)/2tkr

=(5)

Поскольку функция Ри или целиком нечетная, или целиком четная, выражение для ^п либо действительное, либо чисто мнимое.

Для того чтобы доказать, что значение ^п в (5) остается конечным при г->0, начнем с замечания, что

+ 1

sin кг f

—^—=e-tkr* d^*,(6)

так что

+ 14-1

2Р- (^) Т = I РпЦ^ ^ ^ = J рп to ^ ^ Р)-1-1

Это станет очевидным, если учесть, что результатом дифференцирования е1кг^ любое число раз по 1кг будет умножение его на соответствующую степень у.. Остается разложить выражение, стоящее в правой части, по восходящим степеням г. Мы имеем

4-1

J Рп (Р1) dW =

-1

= [ ^n(P) { 1 +^Г • у. 4- ^£ • у.9 + . . . + 1 ^^ ‘ у."+ • •

Но всякая целая положительная степень у., например уА может быть разложена в конечный ряд функций Р, причем функцией высшего порядка будет Рр. Отсюда, в силу известных свойств

таких функций, следует, что при р <^п

+i

/ Р^ Рп (Р*) Ф = °--1

Таким образом, низшая степень 1кг в интеграле j* Рп^ etltrw dy. есть (ikr)n. Удерживая только главный член, мы можем написать 4-1+1

*( Рп (р-) ^^ dV- = "Т^^ J ^Пр>п (Р-)^Р-

-1-1

Из выражения для Рп^ через р., а именно

1-2.3... лГ 2(2л —1)^

^^-1)^-2) (п-3)_1

2-4-(2л— 1)(2л — 3)W

„1 -2-3...л п / х I

мы видим, что ип= г т с—То” (р.)-4-члены, содержащие р. в степени ниже р.п, а потому + 14-1

J ^пРп (р-) dV- = Пз^б2’3^- 1) J ^Рп (^№ ~ — 1—1

—!' 2 • 3.. ,л 2

5...(2л — 1) 2л + Гw

В соответствии с этим, вследствие (5) и (7),

^ = ~ 2^ (VpSn уТзТбТГГ^+Ту + • • •.(Ю)

откуда видно, что ^п обращается в нуль вместе с г, за исключением случая, когда л = 0.

именноименноПолный ряд для ^п, в случае, когда в полюсе нет источника, удобнее получать при помощи функций Бесселя. Дифференциальное уравнение (4) § 200, которому удовлетворяют эти функции,

именно

именно

(И)(И)। 1^_1_ Л и = dz^-^- z dz' \z^)^

(И)

(И)

можно также написать в виде

<Р (.jyz1^dz^

(12)

Известно (§ 200), что решение уравнения (11) при условии, что оно конечно при г = 0, есть у — AJ^zY где

m w " 2"T(m + 1)m w " 2"T(m + 1)11Z2Z2z4z42(2m +2) ” 2 • 4 • (2m + 2)(2m+4)2(2m +2) ” 2 • 4 • (2m + 2)(2m+4)

m w " 2"T(m + 1)

m w " 2"T(m + 1)

1

1

Z2

Z2

z4

z4

2(2m +2) ” 2 • 4 • (2m + 2)(2m+4)

2(2m +2) ” 2 • 4 • (2m + 2)(2m+4)

есть функция Бесселя m-го порядка.

Если т — целое, Г(т + 1)=1-2-3...т; но здесь мы имеем дело с т дробным, вида л-У^- > гДе п— целое. В этом случае

।1 • 3 • 5.. ,(2« 4~ 1)

Г(т + 1) =^ -т 2 . у л. .(14)

4m2— 14г2 "4m2— 14г2 "Обращаясь теперь к (12), мы видим, что решение уравнения

4m2— 1

4г2 "

4m2— 1

4г2 "

(15)

при том же условии конечности при z = 0 будет иметь вид:

(16)(16)^ = Az^Jm^z\

(16)

(16)

Функция ^п, с которой мы теперь имеем дело, удовлетворяет уравнению (4) § 323, а именно

(£г)а2(2л + 3)(£г)а2(2л + 3)+++12 л_ J1 — ^1” +1)1 гф — о (17) которое имеет тот же вид, как (15) в случае, если т = п-\-^\ следовательно, решением будет

(£г)а

2(2л + 3)

(£г)а

2(2л + 3)

ф„ = Л (Ar)-’* Jwh (hr) = A —J^Y* J1

1 • 3.. .(2п + 1) у я I

!W2-4-(2л + 3)(2л + 5)!W2-4-(2л + 3)(2л + 5)...}. (18)...}. (18)

!W2-4-(2л + 3)(2л + 5)

!W2-4-(2л + 3)(2л + 5)

...}. (18)

...}. (18)

Определив постоянную путем сравнения с (10), находим полное выражение для ^п по восходящим степеням г;

Фя = -2(- iy>i«'hSn (^)'* J№„ (hr) =

— 2z^ ( l)n S (£^12/13r2 - _L

1! .з.5...(2л + 1) у 2(2л + 3)^

2-4.(2л + 3)(2и + 5)2• 4«6• (2л + 3)(2л + 5) (2л + ?)^-/

Сравнивая различные выражения для <^п, именно (5) и (19), получаем:

tt \d (ikr))

sin кг "кг

(кг).

(20)

Если Л=а-]-ф, то соответствующие выражения для d^dr будут;

"^ = —7ГW - ( - П"^№Рп ( - №г)) =

2zn+1Snf. Л,1\0Л।1'

={a sin (кг -4- tv пт. ]— 9 cos к кг -V- пт.

г2(\12/г\12.

—9/Ь2 /1уг е р(dXdsfakr ,

_ 2и (— Vfk^ <ikr^"x (. 1-3-5,.. (2и+ 1) V Полезно выписать для справок трех порядков:_ 2и (— Vfk^ <ikr^"x (. 1-3-5,.. (2и+ 1) V Полезно выписать для справок трех порядков:2/z(2n + 3)1 Jвид функций ф и d^/dr первых2/z(2n + 3)1 Jвид функций ф и d^/dr первых

_ 2и (— Vfk^ <ikr^"x (. 1-3-5,.. (2и+ 1) V Полезно выписать для справок трех порядков:

_ 2и (— Vfk^ <ikr^"x (. 1-3-5,.. (2и+ 1) V Полезно выписать для справок трех порядков:

2/z(2n + 3)1 J

вид функций ф и d^/dr первых

2/z(2n + 3)1 J

вид функций ф и d^/dr первых

п = Оп = Оп = 1п = 1п = 2п = 2

п = О

п = О

п = 1

п = 1

п = 2

п = 2

d'K 2ikS0 (sin кг , ]dr г \ кг)

. 2Si (, sin

ф. =—-{cos яг-т—У,

г (кг ) ’

I2 cos кг + 1кгsin кХ.

drг2 ]1 \ кг /]

.2ZS2 (А3 X . , ,]

Ф« = { 175-5- sin кг -4- окг cos кА,

Т 2г \£2^2 у1j ’

</ф2 2iSa И. 9 X . ./.9 X . ]

—4тт-^ sin яг — 1кгг- cos кА.

dr г2 (\ №А /\ кг) j

331. Одним из наиболее интересных является применение этих результатов к исследованию движения газа внутри жесткой сферической оболочки. Для определения периодов свободных колебаний достаточно предположить, что д^/дг равно нулю, когда г равно радиусу оболочки. Так, в случае симметричных колебаний имеем для определения к

(1)(1)tg кг = кг,

(1)

(1)

т. е. уравнение, которое мы уже рассматривали в главе о мембранах, § 207. Первый конечный корень (кг = 1,4303к) соответствует симметричному колебанию низшей частоты. В случае корня более высокого порядка рассматриваемое колебание имеет сферические узлы, радиусы которых соответствуют корням низшего порядка.

Любой конус с вершиной в начале можно превратить в жесткий, нисколько не влияя на условия нашей задачи.

Пучности, или места, где отсутствует изменение давления, определяются уравнением (кг)-1 sin кг = 0, или кг = пи:, где иг — любое целое число, кроме нуля.

Случай, когда n = 1 и когда колебания можно назвать диаметральными, пожалуй, наиболее интересен. St, будучи гармоникой

первого порядка, пропорционально cos 6, где 0 — угол между г и некоторым фиксированным направлением отсчета. Так как ^/^6 исчезает только в полюсах, то конические узлы1) с вершиной в центре отсутствуют. Но всякая меридиональная плоскость — узловая, и ее можно считать жесткой. Вдоль каждого отдельного радиуса-вектора фг и д^/д9 исчезают и меняют знак вместе с cos кг — ^кгУг sin кг, т. е. когда tgkr = kr.

Для определения сферических узлов имеем

tg ^Г 2£2Г2*(2)

Первый корень есть кг = 0. Вычисляя с помощью тригонометрических таблиц методом последовательных приближений, я нашел для ближайшего корня, соответствующего важнейшему колебанию в сфере, кг = 119,26 • ir/l$0, так что г/Х = 0,3313.

Воздух движется от одной стенки к другой, в значительной степени подобно тому, как в трубе, закрытой с двух сторон. Без всякого анализа мы можем предсказать, что тон будет выше для сферы, чем для закрытой трубы такой же длины, так как сферу можно получить из цилиндра с закрытыми концами, частично наполняя последний препятствием из некоторого материала, влияние которого должно усилить пружинящее действие, между тем как перемещаемая масса остается почти без изменения. И действительно, для замкнутой трубы длины 2г

— = 0,25.к

Таким образом, тон сферы выше тона цилиндра приблизительно на одну кварту.

Рассматриваемое здесь колебание есть колебание самой низкой частоты, возможной для сферы; оно более чем на октаву ниже, чем низшее (основное) радиальное колебание. Следующим колебанием такого типа будет колебание, для которого кг = 340,35 • ir/180,

и которое, следовательно, выше наинизшего (основного) радиального колебания.

Если кг велико, то корни уравнения (2) удобно вычислять при помощи рядов. Если кг = ат—у (где а — целое число), то

,2 (ал— .у)

откуда находим ,216,

кг—ато -5 -4- . . .(3)

9 Узел является поверхностью, которую можно предположить жесткой, т. е. сквозь него не проходит никакое движение.

Если п = 2, то общее выражение для Sn будет

<$а = Ло (cos2 9 — у) -j- (Лт cos <о 4* Bt sin co) sin 6 cos 0 4~

4~ (Л,3 cos 2co-I-S.2 sin 2co) sin2 6,(4)

откуда мы выберем для специального рассмотрения следующие замечательные случаи.

а) Зональная гармоника

S2 = Ло (cos2 0 — ^.(4а)

Здесь дф9/д6 пропорционально sin 26, а потому исчезает при 6 = у ". Это показывает, что экваториальная плоскость есть узловая поверхность, так что движение — такое же, какое могло бы иметь место внутри замкнутой полусферы. Кроме того, поскольку S9 не содержит со, любую меридиональную плоскость можно считать жесткой.

Р) Секториальная гармоника

S2 = Л9 cos 2со sin2 6.(5)

Здесь опять dty9/d6 изменяется пропорционально sin 26, и экваториальная плоскость — узловая. Но д^9/дш изменяется пропорционально sin 2(о, а потому не исчезает независимо от 6, за исключением случая, когда sin2(o = O. В соответствии с этим оказывается, что две и только две меридиональные плоскости — узловье и что они расположены под прямым углом друг к другу.

Тессеральная гармоника

S9 = Аг cos (о sin 6 cos 6.(6)

В этом случае дф9/д6 исчезает независимо от оо вместе с cos 26, т. е. когда 6 = -^ it или 4- и, что приводит к узловому конусу вращения с прямым углом при вершине. дф9/д(о изменяется пропорционально sin го, и следовательно, имеется одна и только одна меридиональная узловая плоскость г).

Сферические узлы определяются уравнением

, А8г3— 9Аг,-

первое конечное решение которого есть кг = 3,3422

и дает тон ниже любого тона радиальных колебаний.

) [Я обязан проф. Лэмбу замечанием, что различие между случаями р и y заключается только в отношении к осям координат.]

17 Зак 1779 Рэлей, II

В случае общей гармоники уравнение, определяющее возможные тоны в сфере радиуса г, можно написать в виде (21) § 330

(8) или

р ( d \, ^HL^LО/о\

n\d(lkr))d(kr) кг ’w

или же

2^г4+1/, (кг) = JuVk <krY(Ю)

[Для корней уравнения

(11)

эквивалентного уравнению (10), проф. Мак-Магон дает1)

,8)/»+?4 (7m2 + 154т-|-95)

=Р 8^3(8И3

32 (83m8 + 3535m2 + 3561m Ц- 6133)

15 (8р')6

где tn = 4\2, и

₽' = |(2^ + 4s + l).(13)

Если п = 1, так что ч = у, то

т = 9, Р' = s 4- 1,и (12) дает результат, согласный с (3).]

Таблица А дает значения А для сферы единичного радиуса, соответствующие наиболее важным типам колебаний. В таблице В даны частоты различных колебаний относительно основной частоты всей системы. Таблица содержит достаточно много значений, охватывая две октавы.

Таблица А,дающая значения X для сферы единичного радиуса

Порядок гармоники

0

1

2

3

4

5

6

Число внутренних сферических узлов

0

1 2

3

4

5

1,3983 0,81334 0,57622 0,44670 0,36485 0,30833

3,0186 1,0577

0,68251 0,50653 0,40330 0,33523

1,8800 0,86195 0,59208 0,45380

1,392 0,7320 0,5248

1,113 0,6385

0,9300

0,8002

9 McMahon, Annals of Mathematics, том IX, № 1.

Таблица В

Высота каждого тона по отношению к основной частоте

Порядок гармоники

Число внутренних сферических узлов

Высота каждого тона по отношению к основной частоте

Порядок гармоники

Число внутренних сферических узлов

1,0000

1

0

2,8540

1

1

1,6056

2

0

3,2458

5

0

2,1588

0

0

3,5021

2

1

2,169

3

0

3,7114

0

1

2,712

4

0

3,772

6

0

332. Если отбросить ненужные постоянные, то частное решение для колебаний газа внутри сферической оболочки единичного радиуса можно представить в виде

^п = 8п ^гУч^п^1» (М cos <М — °)>(О

где к— корень уравнения

2б4и,(й) = Л,+.А(6).(2)

Обобщая это, мы должны вспомнить, что Sn может быть составлена из нескольких членов, причем каждому члену может соответствовать колебание произвольной амплитуды и фазы. Далее, каждый член, входящий в Sn, может быть связан с каким-нибудь или со всеми значениями 7г, определяемыми уравнением (2). Так, например, под рубрикой п = 2 мы могли бы иметь % = ^ (cos2 0 — |) (M~’'24^/JMC0S(^4A)^

+ В cos 2<0 sin2 0 ^ry1^ JnV(s (k2r) cos tk^at -}- %), где kt и кй— различные корни уравнения

2^ Jy2 (Л) = Js^ (й).

Любые две составляющие ф сопряжены, т. е. обращаются в нуль, если их перемножить и проинтегрировать по всему объему сферы. Это следует из свойства сферических функций для случаев, когда оба рассматриваемых члена соответствуют различным значениям п или двум различным составляющим 8п т). Единственный случай, который еще остается рассмотреть, требует от нас доказательства того, что

1

r^ dr- (kyy'hj^ , (ktr) • (k./y'bj^ , (к./) = 0,(3)

о

И Thomson a. Tait, Natural Philosophy, стр. 151.

где ^ и к,— различные корни уравнения

W^A^-WA^Y(4)

но это — непосредственное следствие основного свойства таких функций (§ 203). Поэтому приспособление общего решения к предписанным начальным условиям не представляет никаких трудностей.

Для иллюстрации возьмем случай, когда газ вначале находится в положении внутреннего равновесия, но движется с постоянной скоростью параллельно оси х. Такое условие приближенно реализуется в случае, когда сферическая оболочка с газом, сначала находившаяся в равномерном движении, внезапно останавливается.

Поскольку вначале нет ни сгущения, ни разрежения, все величины 0и обращаются в нуль. Если д^)дх вначале равна единице, то мы имеем ^ = х = гр.; это показывает, что решение содержит только члены первого порядка относительно сферических функций. Поэтому решение имеет вид:

ф = Лх (^1г)~1/гу3/а (к./) р. cos kvat

+ ^2 (М"'^/, (М н C0S ^ + • • •.(5)

где kv к^ и т. д.—корни уравнения

2^/а^) = Л/а(^).(6)

Для определения коэффициентов мы имеем сначала, для значений г от 0 до 1,

г = Ах (к^У'М^ (к^) + Л2 (^2r)-VV3/a(к./) + ...(7)

Умножив на r^J^Akf) и интегрируя по г от 0 до 1, находим

г

J rWVa (^r) dr = Ак-^ у l^ (kr)^ г dr,(8)

оо

остальные члены в правой части исчезают в силу сопряженности. Но в силу (16) § 203 и уравнения (6),

1

J l^/MP'-'i^I^WP + fl —^)lA,tola = о

/9 \

(9)

1

Вычисление интеграла У r^^iAkr^dr можно произвести, поль- fl

зуясь общей теоремой, относящейся к этим функциям. Из основного дифференциального уравнения имеем

Г

[ гп + 1 П d / dJ^hrYx Л 2 _ П^\ J (^r)l dr = 0

J г dr \ dr / 1 \гД )\

откуда, интегрируя по частям, получаем

№ J r^Jlt (кг) dr = nrnJn (кг) — гп^х ^^(10)

о

или, полагая г = 1,

»8/ ^4,,^)^ = ^,^) — kj'n(k).(11)

о

Так, в случае, с которым мы имеем здесь дело, в силу (6),

№ Jrsujlk (кг) dr = у J^ (к) — кЬи (к) = 3^(к). о

Уравнение (8) поэтому принимает вид: о&'/г -Л = (дГ1Г2Ц^)’(12)

и окончательным решением будет

2г J3, (кг)

^“^да^^Г™8^'<13>

где суммирование должно быть распространено на все допустимые значения к.

При ^=0 и г=1 мы должны иметь ф = р. и соответственно

Напомним, что высшие значения к приближенно равны [(3) §331] 9>

к = а-к-.(15)

ал

Первое значение к равно 2,0815, а второе 5,9402, откуда 22

= 0,85742,= 0,06009;

^ - 2^ _ 2

это показывает, что первый член ряда для 6 значительно превышает остальные.

Здесь полезно вспомнить, что z \/ 2 /sinz\

J3,(z)=v —cos г .(16)

'аг EZ \ Z/V

Уравнение (14) можно проверить следующим образом: величины к суть корни уравнения

^ ^"'^-V^)} =0,

или, если © = г’"1^^ (2’), корни уравнения cp'= 0, где о удовле

творяет уравнению

9/9 \

++=(17)

Но поскольку главный член в разложении о' по восходящим сте

пеням х не зависит от х, мы можем написать

ф' = const • (1 — —)У . . .,

откуда, логарифмируя и дифференцируя, имеем

</' 2z , 2г .

V “'— z^ —‘ ’

Если теперь мы положим z2=2, то, в силу (17), получим

У = — ^г = 1 С?2 = 2).

Подобным же образом мы можем исследовать задачу о колебаниях воздуха, заключенного между жесткими концентрическими сферическими поверхностями с радиусами гх и г.2. Действительно, в силу (13) § 323, если d^Jdr исчезает для этих значений г, то

рйгкТх ^И ( ^г1) —. -,2гйг3 ^2lL_£^4LF^V^ F^Vi^V

(1)(2)(1)(2)откуда

(1)

(2)

(1)

(2)

tg & Vx — г3) =tg & Vx — г3) =

tg & Vx — г3) =

tg & Vx — г3) =

где, как прежде, •

Fn (4“ ^г) = а 4" ^’

Если разность между rv и г^ весьма мала сравнительно с самими величинами, то задача тождественна с задачей о колебаниях сферического слоя воздуха, и ее лучше всего решать независимо. В уравнении (1) § 323, в случае если ^ не зависит от г, как это очевидно должно быть приближенно при наших предположениях, мы имеем

-JL A 0о. 1 (3)

sin 0 дО \ дО / 1 sin2 0 дю2 it\ /

Решением этого уравнения является просто

(4)(4)(5)(5)^П ^П’

(4)

(4)

(5)

(5)

а допустимые значения &2 определяются соотношением

А2Г2 = п^п-^-1).

Интервал между низшим тоном («= 1) и ближайшим к нему таков, что два таких интервала вместе дали бы дуодециму (октава плюс квинта). Задача о сферическом слое газа будет рассмотрена дальше, в следующей главе. [По вопросу об отклонении соотношения (5) от фундаментального определителя, эквивалентного (1), отсылаем читателя к небольшой статье Кри 1).]

В качестве другого применения сферических функций мы проведем исследование возмущения, которое получается, когда плоские волны звука встречают преграждающую сферу. Принимая центр сферы за начало полярных координат и направление прихода волн за ось р., обозначим через <р потенциал невозмущенных плоских волн. Тогда, отбрасывая ненужный комплексный коэффициент, имеем

(р — gik (,at+cc) — gikat . gikry.,(1)

и решение задачи требует разложения е№г^ по сферическим функциям. Вследствие симметрии сферические функции приводятся к функциям Лежандра Рп (р.), так что мы можем положить

+(2)

где До, Av .. . —функции от г, но не от р.. Из доказанного уже выше мы можем предвидеть, что Ап, рассматриваемая как функция от г, должна изменяться пропорционально

f \ 81П кг4 1х

Ри ^~(^rjj кг" ’ или пропорционально г~ (кг);

этот же результат можно легко получить и непосредственно. Помножив (2) на Рп (р.) и интегрируя по р- от р. = — 1 до р. = -J- 1, находим

4-14-1

J Рп to ^ ^ = Л„ J W dy =,(3)

-1-1

и, так же, как в § 330,

4-1

Jp„(ll)eW^ = 2P„(^).^, —1

так что, в конечном итоге,

+ 1 — U (ikr)) кг ~ У

В рассматриваемой задаче все движение вне сферы можно разделить на две части; первую, изображаемую функцией ср и соответствующую невозмущенным плоским волнам, и вторую, представ тяю- щую возмущение, создаваемое присутствием сферы и расходящееся

0 Chree, Messenger of Mathematics, том XV, стр, 20, 1886.

наружу от сферы. Если потенциал второй части обозначить через ^, то, заменяя функции Sn через апРп (ц), получим [(2) § 324}

г^п = %Рп (н) * e~iltrfn W» ]гя ^ = _ апРн^ 1 e-ikr Fn (ikr). J

Потенциал скоростей движения в целом найдем путем сложения ф и б, причем постоянные ап определяются граничными условиями, форма которых зависит от характера препятствия, представляемого сферой. Простейший случай — это случай жесткой неподвижной сферы; тогда условие, которому нужно удовлетворить при г = с, есть

^ + ^ = 0(6)

дг 1 dr'

— соотношение, которое должно, конечно, выполняться для каждого гармонического элемента в отдельности. Для элемента порядка п получаем

। 1 \ kcVkc ~ / d X d s\nkcап^^2п^^Ъп(гкс) PAdW)Jdlkc)' кс •()

Соответствующее плоским волнам <р = eik ^т»') возмущение, создаваемое наличием сферы, выражается в виде

Л = fy^ eik(at-r+c) V ^LzEL р f• s— — р (u,Yf(ikr)

гFw(ikc)'n\d(ikc))d(kc) кс nW Jn\ F

п-о

На достаточном расстоянии от источника возмущения мы можем положить fn(ikr) = 1. Для того чтобы перейти к решению действительной задачи, мы можем разделить действительную и мнимую части и отбросить последнюю. В этом предположении плоские волны представляются функцией

[ср] = cos к (at -|- х).(9)

Ограничиваясь ради простоты областями пространства, находящимися на большом расстоянии от сферы, где fn(ikr)=l, выделим опять действительную часть выражения (8). Поскольку функции Р— целиком четные или целиком нечетные, выражение

р / d \ d sin кс*

(tkc)) d(kc) * кс '

целиком действительно или целиком мнимо, так что этот множитель не доставляет затруднений. Однако {^(t^)}-1 комплексна, и так как Fw (ike) = a -j- /р, то

{Fn (ike)} “I == -£^..,

n n а3 + ₽2у a2 р2

где tg7==— p/а. [Если во всех случаях брать положительное зна-

чение /а24р2, то 7 нужно выбрать так, чтобы cos у имел тот же знак, что и а.]

Таким образом,

ф = ^ (2/г 4- 1) ^ е*х

* + т-Рп Цй-^V^' Р" (10)

Поэтому, когда п четно, то

№ =(2п+ 1) ^ cos {£ (at — r4c)4T} X

X(.*+№.рпц^^-^-р.to. (11)

Когда же п нечетно, то

1^] = (2^4 1)^/sin ^(at — r-f-с)4-7} X

X («з+^)-/.р„ Ц^^ -^Р, to. (12)

В качестве примера выпишем члены [^], включающие гармоники порядка 0, 1,2. Следующая табличка функций Рп (у) будет при этом полезной:

^0=1.Л = н

п 3 / а1 \п 5 /о3 \

^22 V3/’^з — 25^/’

о35< 46 21 3\о 63/ь10 л. 5 \

^ = -8^ -7^+35)’^=8^9 ^ +^)*

Имеем:

п = 0, а2 4 ?2 = 1 4 ^2с2’ ^То" — ^с,ВД^*1 +к^'"а^^-cos 1*(й<—Л+С)+То): (13)

п = 1, а2 4 Р2 = &2с2 4, tg—~,

> I ГI Д2С2 ’ Ь 112to ’

,. ,3^С3 (I 4 \ —Ve d2 sin to . ,, , ,, . ..

И=т^+^)(14)

O 9 I9 О I 9 I 81,to(^2C29)

ti = z, a24 32 = ^2f2 — 2 4-ТЗ-5 4-КП, tgY9 =,

11 toe2 1 k4c^ ’& 124&3c3 — 9

^9=л— ^2c2 — 2 4«^+тш X

X -тпгтаА"i —£ (h3 — t)cos \k(at — r4c)4-T9}- (15)

z l d (kc)4 1 3 d (kc) \ kc \r 3 /1 x 1 / 1 121\ /

Полученное здесь решение задачи, хотя аналитически и вполне общее, едва ли может принести практическую пользу, за исключением случая, когда кс — малая величина. В этот случае мы можем

с успехом разложить результаты по восходящим степеням кс;

/331QX

[%] = -(1 - 4 № + f W + ...) X

Xcos {^(^—г-ф-с)4-70}, (16)

Хр-• Sin (Л(^~r-4-c)-HJ, (17)

Ь4/>5 /941,3X

W * - 0 - ® № + 5Т7•) X

Х(н3— |)cos{A(a/ — r + ^ + tJ. (18)

Оказывается, что в то время как [^0[ и [^] имеют одинаковый порядок относительно малой величины кс, [^J двумя порядками выше. Мы увидим сейчас, что более высокие гармонические составляющие [^] зависят от еще более высоких степеней кс. Если так, то в первом приближении мы можем ограничиться элементами порядка 0 и 1.

Хотя [%[ содержит косинус, a [^1 синус, они тем не менее лишь незначительно отличаются по фазе. Сравнивая два значения д^и)дг в (21) § 330, мы видим, что тождественно

a sin ^кс -[- ^ п^ — Р cos ^кс -]- 4 лп

= — (—!)«= — (—!)«п {kc)n^1 -3-5 ... (2zz + 1)п {kc)n^1 -3-5 ... (2zz + 1){- высшие{- высшиестепени кс.степени кс.Разделив на a cos (кс -4- 4 лкРазделив на a cos (кс -4- 4 лкполучаем окончательнополучаем окончательноtg ^кс + -^ лтгtg ^кс + -^ лтгаа(— 1)пп ^ксу^/, . 1 Г * Г7зT5T77(2zГAT)• а cos I кс -|- 2" лп 1v(— 1)пп ^ксу^/, . 1 Г * Г7зT5T77(2zГAT)• а cos I кс -|- 2" лп 1vЕсли п— четное, то это уравнение, после подстановки вместо а главного члена из (16) § 323, принимает вид:Если п— четное, то это уравнение, после подстановки вместо а главного члена из (16) § 323, принимает вид:tg кс-° аtg кс-° апп(&cR+i(&cR+i(п 4- 1) (2л + 1) [1 • 3 • 5 ... (2л — 1)]2 '(п 4- 1) (2л + 1) [1 • 3 • 5 ... (2л — 1)]2 '(19)(19)

= — (—!)«

= — (—!)«

п {kc)n^

1 -3-5 ... (2zz + 1)

п {kc)n^

1 -3-5 ... (2zz + 1)

{- высшие

{- высшие

степени кс.

степени кс.

Разделив на a cos (кс -4- 4 лк

Разделив на a cos (кс -4- 4 лк

получаем окончательно

получаем окончательно

tg ^кс + -^ лтг

tg ^кс + -^ лтг

а

а

(— 1)пп ^ксу^

/, . 1 Г * Г7зT5T77(2zГAT)• а cos I кс -|- 2" лп 1v

(— 1)пп ^ксу^

/, . 1 Г * Г7зT5T77(2zГAT)• а cos I кс -|- 2" лп 1v

Если п— четное, то это уравнение, после подстановки вместо а главного члена из (16) § 323, принимает вид:

Если п— четное, то это уравнение, после подстановки вместо а главного члена из (16) § 323, принимает вид:

tg кс-° а

tg кс-° а

п

п

(&cR+i

(&cR+i

(п 4- 1) (2л + 1) [1 • 3 • 5 ... (2л — 1)]2 '

(п 4- 1) (2л + 1) [1 • 3 • 5 ... (2л — 1)]2 '

(19)

(19)

Так, например, если п = 2, то

tg ксtg кс222 ^33-52 ^33-5

tg кс

tg кс

2

2

2 ^33-5

2 ^33-5

Если п вообще велико, то выражения для tgkc и p/а становятся почти тождественными для небольших значений кс.

Если п — нечетное, то примерно аналогичным методом получаем

ctg Лс + 4ctg Лс + 44- ... (20)4- ... (20)п ^ксУи-^

ctg Лс + 4

ctg Лс + 4

4- ... (20)

4- ... (20)

(л 4- 1) (2л 4-1) [ 1 • 3 • 5 ... (2zz - 1)J2

[Из (19) мы видим, что когда п четно, то tg у или — p/а приближенно равны — tgAi, и из (20) мы видим, что когда п нечетно, то ctg •( = tgkc. В первом случае в силу (16) § 323 а имеет знак 1-и или (— 1у/2и, а во втором случае а имеет знак <-”+1 или (— iy/«(»-i). В обоих случаях приближенное решение можно выразить в виде

Т = — kc + -^ п-к i)(20').]

Поэтому потенциал скоростей возмущения, создаваемого небольшой жесткой и неподвижной сферой, приближенно равен'

^-(1 +|^)cosfc(at-r) =

= —^-]1 +-|p.)cosA(aZ —г),(21)

если обозначить через Т объем препятствия; соответствующая прямая волна есть

[ср] = cos к (at 4- х\(22)

Для данного препятствия и данного расстояния отношение амплитуд рассеянной и прямой волн вообще обратно пропорционально квадрату длины волны, а отношение интенсивностей обратно пропорционально четвертой степени длины волны (§ 296).

Для того чтобы сравнить интенсивности первичного и рассеянного звука, мы можем предположить, что первый исходит из простого источника, если он расположен на достаточном расстоянии (Л) от Т. Так, если

(23) то

м=_ ^ 0+у у)cos fe <^—^<24)

так что на равных расстояниях от своих источников вторичная и первичная волны находятся в отношении

-^('+<4(25)

Следовательно, отношение их интенсивностей есть

что для случая р = -р 1 дает приближенно

61,72 72^2X4 *

t) Как эта поправка, так и другие, вытекающие из нее, даны д-ром Бэртоном (Burton).

Следует хорошо усвоить себе, что для возможности применения этого результата необходимо, чтобы А была велика сравнительно с линейными размерами Т, a R было велико сравнительно с л.

sin hehesin heheДля определения главного члена в выражении для ^№ когда кс мало, мы имеем прежде всего

sin hehe

sin hehe

(2л 4- 1) Р (———— . v ; n\d(ikc)) d(kc)

_л/"^)”"1 J („ + 2)^21

,— 1.3.5...(2л—1) Г 2л • (2л 7 3) ' " ' ' /" k 7

Далее,

+ P = F„ (ifec) • Fn (— Ike) =

= 11.3.5.. .(2л-1)(»+1)(М'”Г [1 + (-^^j + -' I- (29) так что

v1-3. ..^n —!)(« + !) I 2-(л + 1)(2л — 1) ';

Следовательно, из (10)

J. c (hc^ni»Pn (n) г [ft (at-r+C)+ f i

г[Ь3.5...(2л-1)р(л+1)

X {1 — ^2c3X {1 — ^2c3n — 1(2л + 2) (2л — 1)n — 1(2л + 2) (2л — 1)2л (2л"+3) ]' ' '!' (31)2л (2л"+3) ]' ' '!' (31)

X {1 — ^2c3

X {1 — ^2c3

n — 1(2л + 2) (2л — 1)

n — 1(2л + 2) (2л — 1)

2л (2л"+3) ]' ' '!' (31)

2л (2л"+3) ]' ' '!' (31)

Когда n— четное, то

м .с (кс^ппргрп,1)

l?nl= r[l-3-5...(2л—1)Р(л+1) cosp(^ r) + 2 X

X {1 — W [(2л_|_2) (2л —1)" 2л (гл’+ З)] + " 11(32)

^так как приближенно у = — кс 4* у ^ j • Когда же л — нечетное, то мы можем просто заменить zw через 1п+г (и cos через sin), причем результат все еще будет действителен.

При помощи выражения (31) мы можем проверить первые два члена в выражениях для [^Д и [62[ в (17) и (18). К случаю л = 0 (31) неприменимо.

Далее, в силу (31),

^l^l^}1 — 54б^с9} {^“4 И sin ^(^ —г + с) + ь). <33)

WJ = 3^7 {р-4 — 7 Р-2 + ^} cos Us (at — г + с) + уJ.(34)

Складывая (17), (18), (33) и (34), мы получаем значение [^] полное, вплоть до членов, имеющих порядок к^, сравнительно с двумя главными членами, определяемыми выражением (21). При сложении частных выражений, необходимо точно учитывать как

фазы компонент, так и их амплитуды; но в случаях, когда требуется только один гармонический элемент, фаза часто имеет второстепенное значение. В таких случаях можно положить

7 = — kc -f- 2" п"-

Из (31) или (32) следует, что главный член в ^п возрастает на два порядка по kc при возрастании гармоники на один порядок и что сама ^ выражается рядом, содержащим только четные или только нечетные степени kc. Но помимо того что главный член имеет по kc более высокий порядок, он быстро уменьшается с возрастанием п за счет других множителей, которые он содержит. Это очевидно, поскольку для всех значений п и р. Ри(р,)<1; то же самое верно и для n!(n-\-Yy, что же касается <га, то он влияет только на фазу.

В частных случаях какой-нибудь из гармонических элементов [д] может обратиться в нуль. В таком случае, поскольку (а2-ф- p2)-V2 не может обратиться в нуль, из (11) и (12) имеем

р / d \ d sin kc ~d\kc) ~~kc~ =

т. e. такое же уравнение, как уравнение, определяющее периоды колебаний /г-го порядка в замкнутой сфере радиуса с. Небольшое рассуждение покажет, что такого результата и следовало ожидать. Таблица, приведенная в § 331, применима также и здесь и показывает, между прочим, что когда kc мало, ни один из гармонических элементов [ф] не может обратиться в нуль.

Вследствие сгущений воздуха на сферу действует сила, параллельная оси р., которая стремится привести сферу в колебание. Величина этой силы есть

+1

2кс2а ^ (<р -ф- ф) р. dp.,-1

если через а обозначить плотность жидкости; в этом выражении благодаря свойству сопряженности функций Лежандра только член первого порядка влияет на результат интегрирования. Если г=с, то о d sin kc

d (ike) kc ”

Ф - 3kce<^ —— . a‘ i —Ft (ike) d (ike) d (kc) kc

где

12

/1(Zfc) = l+A., /;(/М = ^ + 2 + -^.

Для того чтобы было бы, чтобы d d • kcДля того чтобы было бы, чтобы d d • kcэта сила могла обращаться в нудь, необходимо

Для того чтобы было бы, чтобы d d • kc

Для того чтобы было бы, чтобы d d • kc

sin kc . , /t (ike) d sin kc ~

kc ' C Ft (ike) d • (kc)2 kc *

этому условию не может удовлетворить никакое действительное значение кс. Мы заключаем, что если сфера имеет свободу движения, то она всегда может быть приведена в колебание.

Если первичные волны не абсолютно плоски, а исходят из некоторого единичного источника, расположенного на большом, хотя и конечном, расстоянии R, от центра сферы, то мы имеем

^ = -W‘k ‘“'-^ 2 (2й + Ч^ W • Р„ (^ ^, (35)

Ф = - 4^e<W-»-r«> £ (2» + 1) -^^--X р / d \ d sinkc

На самой сфере г = с, так что значение полного потенциала в какой-нибудь точке поверхности есть

’ +2 <2" + Ч рп W х

( ^ \ 8^п^с ik fn t/kc) p / ^ \ d sin fee 1n yd Цкср kc * C Fn(ikc) n\d^fec))d(<kc') kc J*

Это выражение можно упростить. Мы имеем:

рп (?№j)W + ^»«/„(--М), 57бс)" Р" G(Zfcc)) "ST= У№» II ^ne"№,5FnVh^—eT№«F^ ike)

и, таким образом, выражение в квадратных скобках можно написать в виде

е^_ FnWfyA^

likeFn (ike)’

что, в силу (6) § 327, тождественно с eikc\Fn(ikc)Vx- Таким образом

„Ис (at—Д + с)р /.,\

Это выражение — такое же, как если бы источник был расположен на сфере, а точка, в которой отыскивается потенциал, находилась бы на большом расстоянии (§ 328); оно представляет пример применения общего принципа взаимности. Принимая этот принцип и пользуясь результатом (3) § 328, мы видим, что если источник первичных волн находится на конечном расстоянии R, то значение полного потенциала в любой точке сферы есть

? + t = ~ 4^" S(2и + Ч р.№т^у (38)

Если А и В — две точки, внешние по отношению к сфере, то единичный источник в точке А даст такой же полный потенциал в точке В, какой дал бы в точке А единичный источник, расположенный в точке В. В обоих случаях полный потенциал состоит из двух частей, первая из которых такая же, как если бы не было никакого препятствия для свободного распространения волн, а вторая— представляет возмущение, создаваемое препятствием. Из этих двух частей—первая очевидно остается неизменной, какую бы из двух точек ни рассматривать в качестве источника, а следовательно, вторые части должны быть также равны, т. е. значение ф в точке В, когда А является источником, равно значению й в точке А, когда В является таким же источником. Если источник А находится на большом расстоянии R, то значение ^ в точке В, угловое расстояние которой от А равно arc cos р, а линейное расстояние от центра равно г, есть (36)

= —V (2п 4- 1) п^М X

‘ 4лг^v 1 Fn (ike)

p / ^ \ ^ sin kc №\ d (ike)} d (kc) kc ’

и соответственно таково же значение б на большом расстоянии R, когда источник расположен в точке В. Но поскольку ф представляет возмущение, расходящееся наружу от сферы, его значение на любом конечном расстоянии R можно получить из значения на бесконечном расстоянии, вводя в каждый гармонический член множитель fn(ikR). Таким образом, мы получаем следующее симметричное выражение:

* = ~(2, + 1) -^ х

XMikRvfn^Pn(^^^ (39) определяющее эту часть потенциала в одной из точек, когда другая точка служит единичным источником.

Следует заметить, что общая часть рассуждения не зависит от того, будет ли препятствие сферическим или жестким.

Из разложения eikr* по сферическим функциям мы можем вывести разложение потенциала волн, исходящих из простого единичного источника А, расположенного на конечном расстоянии (г) от начала координат. Потенциал в точке В на бесконечном расстоянии R от начала в направлении, составляющем угол arc cos р с г, есть

g-ik(2?-p.r)

причем временной множитель опущен.

Следовательно, из разложения е*&,> имеем

е-^д, й X%\xvkr п

W M^n"^^Pn\d(ifery) кг * Р^’

откуда мы переходим к случаю конечного R простым введением множителя fn(ikR\

Таким образом, потенциал расположенного в точке А единичного источника на конечном расстоянии, в точке В, равен

„гк (ctt—R) r-«/ d \ sin кг

ЧS (2« + о■ Р. to- (40)

Рассмотрев в некоторых подробностях случай твердого сферического препятствия, мы набросаем теперь вкратце схему исследования для случаев, когда препятствие газообразное. Хотя для всех природных газов сжимаемость почти одинакова, предположим ради общности, что вещество, содержащееся внутри сферы, отлично по сжимаемости, а также по плотности от среды, в которой распространяются плоские волны.

Вне сферы <р в точности такое же, а ф имеет тот же вид, что и прежде. Для движения внутри сферы, если длина волны внутри равна к' = 2тг/Х' [(2) § 330],

а Р

tn =Vn(^V) - (- 1 ^eHk'r^(_ ih’r^,

. /и+1 | а Sin (k'r nA— P cos|,

dr r^ I \1 2/ r \1 2/ J ’

что удовлетворяет условию непрерывности в центре.

Если о и а' — естественные плотности, а т и т' — сжимаемости, то

к2 а /и' ’'

и условия, которым должен удовлетворять каждый отдельный гармонический элемент, суть

$■ + -57 (снаружи) = -^ (внутри),(2)

° { ? + Ф (снаружи)) = о'4> (внутри);(3)

эти условия выражают соответственно равенство нормальных движений и давлений по обе стороны от граничной поверхности. Из этих уравнений можно получить полное решение; здесь, однако, мы ограничимся нахождением значения главных членов в случае, когда кс и к’с весьма малы.

(4)(5)(6)(4)(5)(6)что даетчто даетдгдг(внутри) =| a'fe'2cp.,(внутри) = — у a'^'V^ = ikcy-, '= iky.,dr 1(внутри) =| a'fe'2cp.,(внутри) = — у a'^'V^ = ikcy-, '= iky.,dr 1^ (снаружи) = -^ • p,^ (снаружи) = — ^..|л,^ (снаружи) = -^ • p,^ (снаружи) = — ^..|л,^2сз (0 — a') al— a + 2a'^2сз (0 — a') al— a + 2a'(8)(9)(10)(11)(8)(9)(10)(11)

(4)

(5)

(6)

(4)

(5)

(6)

что дает

что дает

дг

дг

(внутри) =| a'fe'2cp.,

(внутри) = — у a'^'V

^ = ikcy-, '

= iky.,dr 1

(внутри) =| a'fe'2cp.,

(внутри) = — у a'^'V

^ = ikcy-, '

= iky.,dr 1

^ (снаружи) = -^ • p,^ (снаружи) = — ^..|л,

^ (снаружи) = -^ • p,^ (снаружи) = — ^..|л,

^2сз (0 — a') al— a + 2a'

^2сз (0 — a') al— a + 2a'

(8)

(9)

(10)

(11)

(8)

(9)

(10)

(11)

В этом случае, при г = с,% (внутри) = — 2/^ а0,^(внутри) =^ |-Ik** coq.?о=1»

дг “3 С'

% (снаружи) = ^-,^ (снаружи)

Подставив эти выражения в (2) и (3), исключив а' и сохранив только главный член, получим

&2С3 тг — ^

°3 пи' '

Подобным же образом для члена первого порядка

а' — аа ~р 2а'а' — аа ~р 2а'(12)(12)На некотором расстоянии от сферы возмущение, создаваемое сферой, выражается в виде

а' — а

а ~р 2а'

а' — а

а ~р 2а'

(12)

(12)

ЗгI т* "

Если ввести обозначения —4 ч, 2л

Т=^.к = х

и отбросить мнимую часть, то получится выражение:

t=1271—^7—+ 3^+2^ p.| cos k(at — r),(13)

18 Зак 1779. Рэлей, II

которое представляет важнейшую часть возмущения и соответствует (21) § 334 для неподвижной жесткой сферы. Оказывается, как и можно было ожидать, что член нулевого порядка получается в результате изменения сжимаемости, а член первого порядка — в результате изменения плотности.

От (13) мы можем опять вернуться к случаю жесткой неподвижной сферы, полагая как а', так и nV бесконечными. Положить бесконечным только </ недостаточно, повидимому, потому, что если nV в то же самое время остается конечным, то к'с не будет мало, как это предположено при нашем исследовании.

Когда nV— т и □' — о малы, то (13) становится эквивалентным выражению

. * пТ 1т' — т . б' — а ). . ,.

♦—— Hcos к

соответствующему cp = coskat в центре сферы. Это находится в согласии с результатом (13) § 296, где препятствие могло быть любой формы.

В реальных газах nV = т, и член нулевого порядка исчезает. Если газ, занимающий сферическое пространство, несравненно легче другого газа, то о' = 0 и

тс.7*

ф= 3— cos&(а£ —г),(14)

так что в члене первого порядка эффект будет вдвое больше, чем в случае твердого тела, и будет иметь обратный знак.

Большая часть настоящей главы заимствована из двух статей автора: «О колебаниях газа, заключенного внутри жесткой сферической оболочки» и «Исследование возмущения звуковых волн, создаваемого сферическим препятствием») и из статьи проф. Стокса, уже цитированной выше.

335а. Любопытная функция, которую исследовал проф. Лэмб9), связана с максимальным возмущением, которое может быть создано бесконечно малым резонатором, поставленным на пути плоских волн.

Значение ср для распространяющихся первичных волн дается выражениями (1), (2), (4) § 334. В силу (5) § 334 и (3) § 329, значение ф для вторичных волн можно представить в виде

= ikan (— 1 ^Р^ (у) • Рп (j^^) ^~1кг") ’ где

р / d \1 р ( d \• Л!1Л1\

n\d(ikr))\ ikr / i n\d^ikrv\ кг 1 кг )*

Если мы опустим общий множитель Рп(рь), то получим

? + ф = (2« + 1 - (- 1W Р„ (^ ^ +

+(-D"^(^)c-T- w

Единственное условие, накладываемое на приспособления, помещаемые на расстоянии г, состоит в том, что они не должны производить работу. Это требует, чтобы <р4~й были в той же фазе, что и d^fdr -|- д^/дг, а именно, чтобы отношение (1) к его производной по г было действительным. Поскольку Рп является либо целиком четной, либо целиком нечетной функцией, отсюда вытекает, что

2п + 1 — (— 1)«Ига№(- \ркандолжно быть действительным.

Если представить ап, которое может быть и комплексным, в виде Aeta, то получим

М = — (—1)п(2п4~ 1) sin а.(2)

Следовательно, А имеет максимум, когда

sin а = — (—!)«,(3)

причем максимальное значение его есть

(4)

В силу (3) и (4), 1)"<2-^,(5)

так что в (1)

2п 4- 1 — (— 1)«ihaH = 0;(6)

однако, сумма ^4“’^ сама не исчезает.

Если рассматривать падающие плоские волны, как исходящие из источника, расположенного на большом расстоянии R, то для того чтобы обеспечить, как это предположено, значение 1 у резонатора, мы должны иметь

Re-tkR

<р— R ;с этим выражением мы можем сравнитьa e~ikr

4 =ЛЛн).(8)

Работа, отдаваемая первичным источником, выражается в виде

+i

я2 J ф,

а работа, отдаваемая или скорее отражаемая резонатором, будет

+i

mod9an Г Р«(р)ф.

Но

+1+1

Г ?2 f

J (и) dy. = 2^4-7 и I ^ = 2:

-1Д

кроме того,

(9)(Ю)(9)(Ю)(2п + 1)2

(9)

(Ю)

(9)

(Ю)

так что отношение работ равно

2п+1

•№ •

Это находится в согласии с результатом § 319 для симметричного резонатора (п = 0).

Проф. Лэмб выражает свой результат через энергию, передаваемую первичными волнами сквозь единицу площади. Приняв последнюю за единицу, мы получим, что работа, отдаваемая резонатором, равна площади сферы радиуса R, т. е. 4л/^а, умноженной на (10). В соответствии с этим получаем

(П)

где вместо к подставлено 2тс/А. Эта формула, полученная проф. Лэмбом, выражает полную энергию, отдаваемую резонатором, через энергию первичных волн на единицу площади.

Стоит отметить, что мы нигде не предполагали, что г на поверхности резонатора мало. Поэтому результаты применимы к резонаторам конечных размеров, если только они симметричны, как это предполагается в гармоническом анализе. Максимальная же отдаваемая энергия одинакова, каковы бы ни были размеры резонатора.

Случай п=\ в некоторых отношениях является простейшим, поскольку тогда резонатор может состоять из жесткой сферы, удерживаемой в фиксированной точке упругими связями. В качестве частного случая выражения (1) имеем

। 1 х । j \ d sin , d cos кг , -

«(?i + W = I* (3 + Ito.) . (12)

Это выражение можно рассматривать как представляющее силу, действующую на сферу и обусловленную давлениями. Производная этого выражения по г будет подобным же образом представлять ускорение сферы, и при подходящем выборе массы и упругости можно удовлетворить всем условиям, если только отношение этих

величин действительно. Максимум av как и в выражении (5), равен:

(13)

и так же, как в (11), энергия, отдаваемая резонатором, в принятом там масштабе, равна ЗХ3/-п:.

Может показаться удивительным, что отдаваемая энергия в настоящем случае втрое больше энергии, отдаваемой симметричным резонатором; но от множителя 3 можно избавиться при ином изложении материала. До сих пор мы предполагали, что сфера может колебаться вдоль линии симметрии, определяемой направлением распространения первичных волн. Если сфера, рассматриваемая как бесконечно малая, может колебаться только вдоль одной линии, то ее эффективность, как резонатора, пропорциональна квадрату косинуса угла между этим направлением и направлением первичных волн. Такое колебание, ограниченное единственным направлением, в действительности и представляет собой нормальный случай, рассмотренный же прежде случай предполагает три степени свободы. Если теперь мы станем исследовать, какова средняя эффективность резонатора для первичных волн, встречающих его в одном направлении, то убедимся, что полученные выше, особенно благоприятные, эффективности должны быть снижены в отношении

11

J* р.2 dy. : J d^.,оо

т. е. в отношении 3:1. Средняя эффективность резонатора при п = 1 тогда будет такой же, как и при п = 0; тот же самый результат применим и к любому п. Увеличенную эффективность, выражаемую множителями 2п 4- 1, следует рассматривать как результат совместного действия 2м -[" 1 степеней свободы.

ГЛАВА XVIII

СФЕРИЧЕСКИЕ СЛОИ ВОЗДУХА. ДВИЖЕНИЕВ ДВУХ ИЗМЕРЕНИЯХ

336. В одной из предыдущих глав (§ 135) мы видели, что можно получить доказательство теоремы Фурье, рассматривая механику колеблющейся струны. Аналогичное рассмотрение задачи о сферическом слое воздуха приведет нас к доказательству разложения Лапласа для функции произвольной в каждой точке сферической поверхности.

Как и в § 333, обозначая через ф потенциал скоростей, получим уравнение непрерывности, отнесенное к обычным полярным координатам 6 и со в виде

с дР"с дР"1 д sin 9 д91 д sin 9 д9/ . А^Ф\ I(яп9мН/ . А^Ф\ I(яп9мН1 с^цsin2 9 дш2 ) *1 с^цsin2 9 дш2 ) *

с дР"

с дР"

1 д sin 9 д9

1 д sin 9 д9

/ . А^Ф\ I(яп9мН

/ . А^Ф\ I(яп9мН

1 с^ц

sin2 9 дш2 ) *

1 с^ц

sin2 9 дш2 ) *

Каков бы ни был характер свободного движения, его можно разложить на ряд простых гармонических колебаний, характер которых определяется соответствующими функциями ф, рассматриваемыми как зависящие от положения в пространстве. Так, если ф.—.eikat, то уравнение, определяющее ф в функции от 0 и ш, имеет вид:

1 д sin 6 дб1 д sin 6 дб(ап9агН(ап9агН1sin2 61sin2 652ф5<О252ф5<О2]-W^^q.]-W^^q.(1)(1)

1 д sin 6 дб

1 д sin 6 дб

(ап9агН

(ап9агН

1

sin2 6

1

sin2 6

52ф

5<О2

52ф

5<О2

]-W^^q.

]-W^^q.

(1)

(1)

Далее, какова бы ни была функция ф, ее можно разложить, по теореме Фурье1), в ряд синусов и косинусов углов, кратных со. Таким образом,

ф = фо 4~ ^1 C0S ш 4~ 'pl Sltl Ш 4~ ^2 C0S ^ + ^2 sin 2со -ф- . ..

• • • ^s cos ^ + ^з sin sco -ф- ...,(2)

где коэффициенты ф0, ф1# ..., фь фа, • • • являются функциями только О и вследствие свойства сопряженности круговых функций каждый член ряда должен удовлетворять уравнению независимо от других.

Ч Здесь мы вводим условие, что ф повторяется после одного обхода вокруг сферы,

В соответствии с этим

1 дsin 6 591 дsin 6 59( sin 6v 56;( sin 6v 56;S2^sin2 6S2^sin2 6k^c^g = Оk^c^g = О(3)(3)

1 д

sin 6 59

1 д

sin 6 59

( sin 6

v 56;

( sin 6

v 56;

S2^sin2 6

S2^sin2 6

k^c^g = О

k^c^g = О

(3)

(3)

представляет уравнение, из которого можно определить характер функций ф8 или ф'. Это уравнение можно написать различными способами.

Выраженное через р. (= cos 0), оно имеет вид:

5 (/, 5<LS ] । 0.5i-i [х " ' 5р. J 1 TS или, если v = sin 6, то ,5 (/, 5<LS ] । 0.5i-i [х " ' 5р. J 1 TS или, если v = sin 6, то ,s21 — Рs21 — Р2 Ф.= °.2 Ф.= °.(4)(4)

5 (/, 5<LS ] । 0.

5i-i [х " ' 5р. J 1 TS или, если v = sin 6, то ,

5 (/, 5<LS ] । 0.

5i-i [х " ' 5р. J 1 TS или, если v = sin 6, то ,

s2

1 — Р

s2

1 — Р

2 Ф.= °.

2 Ф.= °.

(4)

(4)

'а (1 - 'а) ^ + ' (1 — 2V3) ^s + Wia - ^8 = 0,(5)

где вместо к^с^ подставлено ИХ

Когда начальная функция ^ симметрична относительно полюса, т. е. зависит только от широты, то s исчезает, и уравнения упрощаются. Этот случай нам удобнее будет рассмотреть первым. Уравнение, выраженное через у., имеет вид:

О-^-^ + По-О.(6)

Решение этого уравнения содержит две произвольные постоянные, умноженные на две определенные функции от у., и может быть получено обычным путем, если взять ряд по возрастающим степеням и определить показатели и коэффициенты посредством подстановки. В результате

^о — А^о — А11№3 I1-2^ '№3 I1-2^ '^(^-2.3)..,1.2-3-4^(^-2.3)..,1.2-3-4

^о — А

^о — А

1

1

№3 I

1-2^ '

№3 I

1-2^ '

^(^-2.3)..,1.2-3-4

^(^-2.3)..,1.2-3-4

/г2 (/г2 —2-3) (/г2 —4-5)1-2-3-4-5-6/г2 (/г2 —2-3) (/г2 —4-5)1-2-3-4-5-6У-6 + - - - j- +У-6 + - - - j- +

/г2 (/г2 —2-3) (/г2 —4-5)1-2-3-4-5-6

/г2 (/г2 —2-3) (/г2 —4-5)1-2-3-4-5-6

У-6 + - - - j- +

У-6 + - - - j- +

№ — 1 • 21-2-3№ — 1 • 21-2-3^Ч^Ч(Zt2— 1 -2) (А2 —3-4) ,R1.2-3-4-5 и(Zt2— 1 -2) (А2 —3-4) ,R1.2-3-4-5 и(7)(7)

№ — 1 • 21-2-3

№ — 1 • 21-2-3

^Ч

^Ч

(Zt2— 1 -2) (А2 —3-4) ,R

1.2-3-4-5 и

(Zt2— 1 -2) (А2 —3-4) ,R

1.2-3-4-5 и

(7)

(7)

где А и В — произвольные постоянные.

Предположим теперь, что ф симметрична не только относительно полюса, но и относительно экватора (который, следовательно, является узловой линией) или, другими словами, что ф является четной функцией синуса широты (у,). При этих условиях ясно, что В должно исчезнуть, и значение ф будет выражено просто первым рядом, умноженным на произвольную постоянную А. Это значение потенциала скоростей получается как логическое следствие первоначального дифференциального уравнения и наложенных двух ограничений, касающихся симметрии. Значение А3 может показаться произвольным, но по тому, что нам известно из механики рассматриваемой задачи заранее очевидно^ что к? в действитель-

мости ограничено последовательностью частных значений. Остается еще условие, которое нужно ввести и которое определяет h, а именно, что первоначальное уравнение удовлетворяется в самом полюсе или, другими словами, что полюс не является источником; и это заставляет нас рассмотреть значение ряда при р= 1. Так как ряд представляет четную функцию от р, то если полюс р = -|~ 1 не является источником, то никак не может им быть и полюс р =—1. Непосредственно очевидно, что если Л2 имеет вид «(«-[-1), где п— четное число, то ряд обрывается, а потому остается конечным при р=1; но теперь нам нужно доказать, что если ряд остается конечным при р=1, то А3 необходимо имеет вышеуказанный вид. На основании обычного правила непосредственно ясно, что каково бы ни было значение h\ отношение последовательных членов стремится к пределу р3, а потому ряд сходится для всех значений р, меньших единицы. Но для экстремального значения р = 1 необходим более точный метод определения.

Известно), что бесконечный гипергеометрический ряд

I ab I ^(^ + I)ft(&4-D , а^+п^ + ^^ь+тх^ + г)

Cd с (с 4- 1)d (d 4- 1) с(с 4- 1)(с 4- 2) d (d 4- l)(d + 2)- w

сходится, если c-\-d— а — b больше единицы, и расходится, если c-r-d— а — b равно или меньше единицы. В последнем случае значение c-v-d— а — b дает критерий степени расходимости. Из двух расходящихся рядов вышеуказанного вида, для которых значения c-^-d— а — b различны, тот относительно бесконечен, для которого значение c-^d— а — b меньше.

Наш ряд (7) можно привести к стандартному виду, полагая А3 = п (п 4- 1), где не предполагается, что п целое число. Таким образом, ряд

п(пА 1) п I П(л4- 1)(п —2) (л 4-3) .11 "1 П2Т3Т4п(пА 1) п I П(л4- 1)(п —2) (л 4-3) .11 "1 П2Т3Т4с = -^, d= 1,с = -^, d= 1,1.2^i 1.2-3-4 ^ • • • —

п(пА 1) п I П(л4- 1)(п —2) (л 4-3) .

11 "1 П2Т3Т4

п(пА 1) п I П(л4- 1)(п —2) (л 4-3) .

11 "1 П2Т3Т4

с = -^, d= 1,

с = -^, d= 1,

имеет стандартный вид, если

1 А 1!1

я— -—-^п, о — ^^т^»

Следовательно, поскольку с -|- d — а — b = 1, этот ряд расходится при р-= 1, если он не обрывается: а он обрывается только, когда п—четное целое число. Таким образом, мы пришли к заключению, что когда полюс не является источником, а % — четная функция от р., то А3 должен иметь вид п(п-У 1), где п— четное целое число.

Подобным же способом мы можем доказать, что если <р0— нечетная функция от р. и полюсы не являются источниками, то Д=0, и h^ должно иметь вид л(/г-|-1), где п-— нечетное целое число.

Если п— дробное, то оба ряда расходятся при р. = z±z 1, и хотя можно найти такую комбинацию обоих рядов, которая останется конечной на одном или на другом полюсе, нет такой комбинации которая оставалась бы конечной на обоих полюсах. Следовательно, если мы поставим условием, чтобы никакая точка на поверхности сферы не являлась источником, то у нас не будет иного выхода, как только положить п целым, и даже тогда мы не обеспечим конечности на полюсах, если не предположим еще, что А = О, когда п нечетно, и В = 0, когда п четно. Отсюда мы заключаем, что для полного сферического слоя единственно допустимые значения ^, которые являются функциями только широты и пропорциональны гармоническим функциям времени, заключены в выражении

где Рп(у)— функция Лежандра, а п— любое нечетное или четное целое число. Возможность разложения произвольной функции широты в ряд по функциям Лежандра является необходимым следствием из того, что только что было доказано. Любое возможное движение такого слоя газа выражается рядом:

^До+^1 (Р-) ^tcos 2—-h Bt sin J— ) + ...

i x ( лУ n(n + 1) • at . „ . Уn(n 4-1) • at\ ,

. .cos r k ’J- Bn sinД... (10)

При t=0

t = Ao + AJ\ (p.) 4- . . . + AnPn (p.) + .. .,(H)

и значение ф при / = 0 представляет произвольную функцию широты.

Метод, который мы здесь применили, имеет еще то преимущество, что доказывает свойство сопряженности

+1

f p«fr)e».W^ = o.(12)

когда п и т— различные целые числа. В самом деле, функции Р(у-) являются нормальными функциями (§ 94) рассматриваемой колебательной системы, и следовательно, выражение для кинетической

энергии может содержать только квадраты обобщенных скоростей. Если соотношение (12) не удовлетворяется, то должны входить также и произведения скоростей.

Значение Ф, относящееся к плоскому слою колеблющегося газа, можно, конечно, вывести как частный случай общего решения, применимого к сферическому слою. Ограничиваясь случаем, когда в полюсе (р = 1) нет источника, мы должны будем исследовать предельный вид функции ^=СРп (р), где п (п -j- 1) = №с\ когда с2 и п^ бесконечны. В то же время р— 1 и \ бесконечно малы и cn переходит в радиус-вектор г на плоскости, так что nN = kr. Для этой цели наиболее удобным видом функции Рп(у) будет вид, указанный Мерфих):

Рп (cos 6) = 1 —sin 9 у 4-

I (”~ 1)^(^ + П (П 4-2)4 £ _ И QX

Г]2.222‘ ' ‘

Предел очевиден:

,I. ^2Г2£4Г4£бг61

22 ~Н 22.42 22‘42*62~^~£*А)(&Г)(14)

и показывает, что функция Бесселя нулевого порядка представляет собой экстремальный случай функции Лежандра.

Когда мы имеем неполную сферу, то задача требует иного подхода. Так, если газ ограничен стенками, расположенными вдоль двух кругов широты, то, вообще говоря, необходим полный интеграл, содержащий две произвольные постоянные. Отношение постоянных и допустимые значения А2 следует определять при помощи двух граничных условий, выражающих то обстоятельство, что на обеих параллелях движение целиком направлено по долготе. Поскольку значение р всюду численно меньше единицы, ряд всегда сходится.

Если часть поверхности, занимаемая газом, заключена между двумя кругами широты, расположенными на одинаковых расстояниях от экватора, то задача упрощается, так как одна или другая из постоянных А и В в выражении (7) исчезает для каждой нормальной функции.

Если рассматриваемая часть сферической поверхности содержит полюс, то, так же как в случае полной сферы, необходимо ввести условие, что полюс не является источником. Для этой цели более удобно взять решение, выраженное через v, т. е. sin 6.

Если мы ограничимся здесь симметричным случаем, то, положив в (5) § 336 s = О, будем иметь

-О-'8)^ + (1-2^) ^ + ^ = 0.(1)

Одно решение этого уравнения сразу получается обычным путем, если взять ряд по возрастающим степеням и подставить в дифференциальное уравнение для определения показателей и коэффициентов. Мы получаем2)

%=л {1 4%=л {1 40 • 1 — №220 • 1 — №22^9^9, (0.1 —/12) (2.3—/12)‘22.42, (0.1 —/12) (2.3—/12)‘22.42^4-^4-

%=л {1 4

%=л {1 4

0 • 1 — №

22

0 • 1 — №

22

^9

^9

, (0.1 —/12) (2.3—/12)

‘22.42

, (0.1 —/12) (2.3—/12)

‘22.42

^4-

^4-

^+---}- (2)^+---}- (2)(0 -1 — АЗ) (2.3— АЗ) (4-5 —А2)

^+---}- (2)

^+---}- (2)

22.42 • 63

Это значение % является наиболее общим решением уравнения (1) при условии конечности решения при v — 0. Полное решение, содержащее две произвольные постоянные, предполагает источник произвольной интенсивности в полюсе, и в этом случае % имеет при v = 0 бесконечное значение. Поэтому всякое решение, которое остается конечным при v = 0 и содержит одну произвольную постоянную, является наиболее общим возможным решением при наложенном ограничении, что полюс не является источником. Следовательно, для нашей цели нет необходимости дополнять решение. Характер второй функции (содержащей логарифм 4 будет показан на частном случае плоского слоя, который мы теперь и должны рассмотреть.

Подставив п(«4'1) вместо №, получим для ряда, заключенного в скобки,

1л(л+1) 2 । (п — 2) п(п + l)(z? + 3) „

122 23742 v — ...,

или, после приведения к стандартному гипергеометрическому виду,или, после приведения к стандартному гипергеометрическому виду,

или, после приведения к стандартному гипергеометрическому виду,

или, после приведения к стандартному гипергеометрическому виду,

Так как c-\-d— а — Ь = -^> то ряд сходится для всех значений и от 0 до 1 включительно. Для значений 0 (= arc sin ^ больших, чем у it, это решение неприменимо.

Если п — целое число, то ряд становится тождественным с функцией Лежандра Pn(v-\ Если целое число — четное, то ряд обрывается, в противном случае он бесконечен. Так, при д=1 ряд тождественен с разложением у., т. е. ]/1—м^, по степеням \.

Выражение для ^ через n удобно применить к исследованию свободных симметричных колебаний сферического слоя воздуха, ограниченного малым кругом, кривой радиус которого меньше квадранта. Условие, которому нужно удовлетворить, есть просто ^/^ = 0, т. е. уравнение, связывающее возможные значения Ла, или &аса, с заданным граничным значением

Некоторые частные случаи этой задачи можно исследовать при помощи функций Лежандра. Предположим, например, что п = 6, так что Аа = ^3са=42. Соответствующее решение есть ^=АР6(у?). Максимальное значение у., для которого d'^dy.=O, есть у.=0,8302, оно соответствует 6 = 33°53'= 0,59137 рад.

Если положим сО = г, так что г будет радиусом малого круга, измеренным вдоль сферической поверхности, то получим &г= |/42 - 0,59137 = 3,8325.

Это уравнение связывает значение &(=2т/Х) с кривым радиусом г для случая малого круга, угловой радиус которого равен 33°53'. Если бы слой был плоским (§ 339), то значение кг было бы 3,8317, таким образом, разница в высоте основного тона в случае, когда радиус (г) данной длины прямолинеен или когда он изогнут по дуге в 33°, неощутима. Однако результат сравнения был бы существенно отличен, если бы мы считали длину окружности одинаковой в обоих случаях, т. е. если бы заменили сб = г через с» — г.

Для того чтобы получить симметричное решение для плоского слоя, необходимо только положить с бесконечным, причем так, чтобы cn осталось конечным. Вследствие бесконечности Ла решение принимает простой вид:

V A |122" ' 22 • 4222 • 42 • 62* * " J ’

или, положив cv = r, где г — радиус-вектор в полярных координатах на плоскости,

Ф = Д1 -^-+AL_- ,.Д = АШг). (5)

как в (14) § 336.

Дифференциальное уравнение для ф, выраженного через \, при с бесконечном и cn = t, имеет вид:

++=(6)

dr2 1 г or 1х 7

В следующем разделе мы проведем независимое исследование для плоской задачи и дадим решение.

Если s отлично от нуля, то дифференциальное уравнение, которому удовлетворяют коэффициенты при sinsw и cos sod, есть

v2О - ^) ^ + '< (! — 2>2) ф + ^з — ^з = 0,(1)

и легко найти решение, удовлетворяющее условию конечности при v = 0 1),

,Л с | »(<?+№ 9 I

^3 —р + 2 (2s 4-2) V +

। s(s4-l)-^2 Js + 2Hs+^--^,)

2 (2s + 2) *4 (2s + 4)>" * ' " j ’

или, полагая № = n (n Д-1),

ts~2 -(2s 4- 2)

I Gs^i21H£Z2ZL±2H£j^i I m\

"T*2 • 4-(2s 4~ 2) (2s 4~ 4)

Это — полное решение задачи о колебаниях сферического слоя газа, ограниченного малой окружностью, с кривым радиусом, меньшим четверти окружности. Для каждого значения s имеется совокупность возможных значений п, определяемых условием дф8/^ = 0. При каждом из этих значений п функция, стоящая в правой части выражения (2), умноженная на cos s<o или sin s<o, представляет нормальную функцию системы. Совокупность всех нормальных функций, соответствующих всем допустимым значениям s и п, с произвольным коэффициентом для каждого значения дает выражение, которое может быть отождествлено с начальным значением ф, т. е. с функцией, произвольно заданной по всей площади небольшого круга.

Когда радиус с бесконечно велик, то и № бесконечно велико. При cv = г, /А = ^2га и (2) принимает вид:

, _ л/s/l^ I^I /Q\

2 • (2s + 2) ' 2 • 4 • (2s + 2) (2s + 4)W

т. e. функции от г, пропорциональной Js(kr).

Выраженное через у дифференциальное уравнение, которому удовлетворяют коэффициенты при cos seo или sin seo, есть

1 — уа)Фз = 0.(4)

оу у r 7 оу I 1 Ts 1 — у2 Ts4 7

Полагая ф8 = (1—Р-^У^^^з» находим уравнение для <р8:

П-^^-^+Ч^ЧН^-^ + Ы^О, (5)

с которым гораздо легче оперировать.

Для решения его положим

Фа = Р-а + «2Н“+2 + ^“+4 + • • • + <Va+'2w + . ..

и подставим это в уравнение (5). Коэффициент при наименьшей степени р. есть а (а—1), так что а = 0 или а—1. Соотношение между а2т+а и а2от найдем, приравнивая нулю коэффициент при Р«+2и4.

(а 4-2/7? 4-s — ri) (а 4- 2т 4- 5 4- п 4” 1)

°2т+9 — «Ш (а 4- 2/7? 4- 1) (а 4- 2/7? 4- 2)’

где п(п4-1) = л2-

Следовательно, полное значение <рь. есть

<р8 = Л (1 + <ЛГ25Щ±МЩ ^4.

I (S — n) (S — П -ь 2) (s 4- п 4- 1) (S 4- п 4- 3) 4 ,

11-2.3-4^ '

(s^^H»—”+2)(s —«j^HH^+HCH-^^

1.2.3.4.5.6 (^ — /? 4-1) (5—7? 4-2) -/л

(7)(7)(S — tl) (s 4- П 4- 1) | (S-V-U-Hs — 7? 4-2) (s + ^+O (r+«+3)1-21-23-4(S — tl) (s 4- П 4- 1) | (S-V-U-Hs — 7? 4-2) (s + ^+O (r+«+3)1-21-23-4Ь 2Ь 2-^s*—2"л4-Ч ("2 ^"зГ ”"^"2^/ \^5 + ^п ‘ "2 *-^s*—2"л4-Ч ("2 ^"зГ ”"^"2^/ \^5 + ^п ‘ "2 *1-2.1-2.1 12 * 21 12 * 22-3r —

(7)

(7)

(S — tl) (s 4- П 4- 1) | (S-V-U-Hs — 7? 4-2) (s + ^+O (r+«+3)

1-21-23-4

(S — tl) (s 4- П 4- 1) | (S-V-U-Hs — 7? 4-2) (s + ^+O (r+«+3)

1-21-23-4

Ь 2

Ь 2

-^s*—2"л4-Ч ("2 ^"зГ ”"^"2^/ \^5 + ^п ‘ "2 *

-^s*—2"л4-Ч ("2 ^"зГ ”"^"2^/ \^5 + ^п ‘ "2 *

1-2.

1-2.

1 1

2 * 2

1 1

2 * 2

что представляет стандартный вид (8) § 336:

. .яд . а- ка + 1) b (6 4-1) .+ с (с 4- l)d(d+l)

при

а = -^ s^ rt> b = -^ s 4~ "2" ^ Ч- "2" 1 с = 1,^ = ^ *

Степень расходимости определяется значением а^-Ь— с — d, которое здесь равно s — 1.

С другой стороны, теорема о разложении бинома дает для разложения (1 — р-2)- №

это выражение имеет стандартный вид, если а = у s, с = 1 и b — d, что дает а-\-Ь— с — d = -^s—1.

Так как s—1 > yS— 1, то оказывается, что ряды, входящие в выражение функции ср8, представляют собой бесконечности высшего порядка по сравнению с (1—р.2)-1^8, а потому остаются бесконечными после умножения их на (1—р.2)1/»8. Следовательно, ^ не может быть конечным на обоих полюсах, если ни один из рядов не обрывается, что возможно только тогда, когда п— s есть нуль или целое положительное число. Если это целое число— четное, то нам следует еще положить В = 0; если же оно нечетное, то нужно положить Д = 0 для того, чтобы обеспечить конечное значение ^ь, на полюсах.

В обоих случаях выражению <р8 для полной сферы можно придать вид:

<8)

где опущен постоянный множитель. Полное выражение для той части <^, которая содержит в качестве множителя cos sw или sin seo,

имеет поэтому вид:

(9)(9)песоcos s<oд8 _

(9)

(9)

где Ап постоянно по отношению к р. и (о, но как функция времени изменяется пропорционально

cos -—-—!—-re.1е 1 Jcos -—-—!—-re.1е 1 J(Ю)(Ю)

cos -—-—!—-re.

1е 1 J

cos -—-—!—-re.

1е 1 J

(Ю)

(Ю)

Для большинства задач, однако, удобнее группировать вместе члены с одинаковыми п, а не члены с одинаковыми s. Так, для

любого значения п

^=^8^^(А8^^(11)

8 = 0‘

где каждый коэффициент As и В8 можно рассматривать как содержащий временной множитель вида (10).

В начале 4* является произвольной функцией |i и to, а потому любая такая функция может быть представлена в виде

4 = ^ 2 v8 ^%^ ^ cos s<0 S” sin sa)^ 12)

И —0 8 = 0

что является разложением Лапласа по сферическим функциям двух переменных.

Из дифференциального уравнения (5), или из его общего решения (6), легко вывести, что <р8 имеет тот же вид, что и d^8_Jdp., так что мы можем написать

(13)

(где не предполагается никакой связи между произвольными постоянными) или, выражая через 4 при помощи (7),

^ = (1-№(^)“%-(14)

Уравнение (13) представляет обобщение свойства функций Лапласа, использованного в выражении (8).

Соответствующие соотношения для плоской задачи можно вывести как прежде, приписывая бесконечное значение п, которое имеет произвольное значение в (13) и (14), и полагая ri'» —кг. Так как р.2 _|_ у$ = 1, то

где 40 рассматривается как функция от v. В пределе у. (хотя и подлежащую дифференцированию) можно считать равной единице и, таким образом, положить

(15)

Если полюс не есть источник, то 4S пропорциональна Js{kr). Постоянный коэффициент, оставшийся в выражении (15) неопределенным, можно легко найти путем сравнения главных членов. Таким образом, мы найдем

= ( — ^(^^ J^kr),(16)

т. е. хорошо известное свойство функции Бесселя т).

9 Todhunter, Laplace’s Functions, § 390.

Несомненно, гораздо легче иметь дело с колебаниями плоского слоя газа, чем с колебаниями слоя конечной кривизны, но я предпочел привести косвенный и прямой методы исследования ради самой сферической задачи и соответствующего разложения по функциям Лапласа), а также потому, что связь между функциями Бесселя и Лапласа, повидимому, не всегда понимается достаточно четко. Теперь же мы можем продолжать независимое исследование плоской задачи.

Если в общем уравнении простых колебаний воздуха

7ф -j- ^ = о мы положим, что ф не зависит от х, и введем полярные координаты на плоскости, то получим (§ 241)

дг^ г дг

или, разлагая ф в РЯД Фурье,

Ф = Фо + Ф1 + • • • + Фп + • • •>(2)

где фи имеет вид Ап cos «6 -ф- Вп sin nA,

_1_ A ^Ф» I fл. л 94/о\

дг^' г дггз jФп — °W

Этоуравнениеимеет такой же вид,каки уравнение,скоторым

мы имелиделоприисследовании круглыхмембран (§200); главное

математическое различие между этими двумя задачами заключается в том, что в то время как в случае мембран условие, которому нужно удовлетворить на границе, есть ф = 0, в данном случае нас скорее интересует граничное условие дф/дг = О, соответствующее ограничению газа жесткой цилиндрической оболочкой).

Так как в полюсе нет источника, то решение уравнения (3) есть

^п = АМкг\(4)

и уравнение, определяющее возможные периоды колебаний внутри цилиндра радиуса г, имеет вид:

j'(£r) = 0.(5)

Наименьшие значения кг, удовлетворяющие (5), даны в приведенной на стр. 290 таблице), которая вычислена по таблицам Гансена для

функций J при помощи соотношений, позволяющих выразить Jn через JQ и Jv

Число внутренних узловых окружностей

п = 0

П = 1

/2 = 2

/2=3

0

3,832

1,841

3,054

4,201

1

7,015

5,332

6,705

8,015

2

10,174

8,536

9,965

11,344

3

13,324

11,706

4

16,471

14,864

5

19,616

18,016

[Для корней уравнения Jn (z) = 0 профессор Мак-Магонг) находит (s)q' m + 34 (7m2 + 82m — 9)

— Р 8^3(8pz)3

32 (83m3 + 2075m2 — 3039m + 3527),~ x

15 (8^)6> (ba)

где m = 4na и = -^-it (2/z-{-4s-ф- О- Можно убедиться, что при п = 0 (6а) дает такой же результат, как (4) § 206 при п=1, в соответствии с тождеством J0(z) =— ^(z).]

Частное решение можно написать в виде

фи = И с°8 «9 -ф- В sin nO) Jn (^r) cos kat -ф-

-ф- (С cos пб -ф- D sin nO) Jn (кг) sin kat, (6) где А, В, С и D произвольны для всякого допустимого значения п и к. Так же, как и в соответствующих задачах для сферы и круглой мембраны, сумма всех частных решений должна быть достаточно общей, чтобы представлять произвольные значения фиф при t = 0.

В качестве примера сложных колебаний мы можем предположить, так же как в § 332, что начальное условие для газа определяется соотношением

ф = 0, ф = Х = ГСО80.

При этих обстоятельствах выражение (6) приводится к виду:

ф = At cos (Ht (ktr) cos kta t -ф- Ла cos 9Jt (k/) cos k.^at -j- ..., (7) и если мы предположим, что радиус цилиндра равен единице, то допустимые значения к будут корнями уравнения

Х(*) = 0.(8)

Ч McMahon, Annals of Mathematics, том IX, № 1.

Условием для определения коэффициентов А будет то, что для всех значений г, от г = 0 до г = 1,

г = AtJt (М + А^ (к/) + . ..,(9)

откуда, так же, как в § 332,

2

Поэтому полное решение будет иметь вид:

. VI 2 cos0 (kr) , ,

~(£2—1)/^) C0S’^^( 1 1)

где суммирование распространяется на все значения к, определяемые уравнением (8).

Если мы положим Z = 0 и r= 1, то из (9) и (10) получим

2^='<12>

— уравнение, которое может быть проверено численно или аналитическим методом, подобным тому, который мы применили в случае уравнения (14) § 332. Мы можем доказать, что

1П (2) = COnst-|-]£ 1П (1 — 5)» откуда после дифференцирования ■

Jfy (z)* к^ — г *

Отсюда мы можем получить (12), полагая 2=1 и приняв во внимание основное дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет функция J^ это показывает, что

^fd) _ 1

А (1)*

[Более обще, при /п(к) = 0, у 2л =1 1

У — №1

До сих пор мы предполагали цилиндр полным, так что <[> повторяется после каждого оборота, что требует, чтобы п было целым числом; если же вместо полного цилиндра мы возьмем сектор, заключенный между 9 = 0 и 9 = р, то вообще будут иметь место дробные значения п. Так как 06/09 исчезает на обоих границах 9, то ^ должно иметь вид:

^ = А cos (kata) cos п(Нп (кг),(13)

где п = w[^ и v — целое число. Если р в целое число раз меньше тс (или равно тс), то полное решение содержит только целые значения п, как и можно было предвидеть заранее; но вообще необходимо ввести функции дробного порядка.

Интересный пример представляет случай р = 2тс, соответствующий цилиндру, пересеченному ' жесткой стенкой, распространяющейся от центра до периферии (ср. § 207). Действие стенки заключается в том, что она создает возможность существования разности давлений по обе стороны от нее; если же такой разности нет, то стенку можно убрать, и получающиеся колебания не отличаются от колебаний, рассмотренных в теории полного цилиндра. Такое положение вещей получается при » четном. Если же v — нечетное, то п имеет вид (целое число + уь и давление по обе стороны стенки различно. В последнем случае можно выразить /п в конечном виде. Основной тон получается, если положить v=l, 1 или цяу, когда

= Л cos (kat 4- г) • cos ~ 9 • ^^»0 ^)

и допустимые значения к являются корнями уравнения tg к = ^к. Первый корень (после нуля) есть £= 1,1655, что соответствует тону, значительно более низкому, чем любой тон, который возможен для полного цилиндра.

Предыдущий анализ имеет интересное приложение -к математически аналогичной задаче о колебаниях воды в цилиндрическом сосуде одинаковой повсюду глубины. Читатель может обратиться к статье о волнах, помещенной автором в Philosophical Magazine в апреле 1876 г. и к статьям профессора Гэтри (Guthrie), на которые там делается ссылка. Наблюдение периодов очень просто, и таким путем можно получить экспериментальное решение задач, теоретическое исследование которых выходит далеко за пределы мощности известных методов.

Возвращаясь к полному цилиндру, предположим, что он ограничен жесткими поперечными стенками на высотах z = 0 и 2 = 1, и отбросим ограничение, состоящее в том, что движение должно быть одинаковым во всех поперечных сечениях. Общее дифференциальное уравнение (§ 241) есть

or» г г 8г "ГГ2

Разложим ф по теореме Фурье в ряд:

t = H0 + tf1cos^ + H,tos^+...+H,,cos(p^) + ..., (2) где коэффициенты Нр могут быть функциями гиб. Такой вид обеспечивает выполнение граничных условий при 2 = 0, 2 = 1 и

каждый член должен независимо удовлетворять дифференциальному уравнению. Таким образом,

дгз ' г дг ' г^ <Э62 т Р пр u

■—уравнение, которое имеет такой же вид, как и в случае, когда движение независимо от 2, причем &а заменено через к^— р-тА!-'2. Поэтому частное решение можно написать в виде

ф = (Лп cos nh 4- Вп sin л9) • cos PqpJn (V"&2 — р^Ч- 2 • г) cos kat-^ 4-(Сп cos л9 -ф-Dn sin л 9) cos p^ • Jn(Vk2 — /?2tc2Z— 2• r) sin kat, (4) что следует обобщить в виде тройной суммы по всем целым значениям р и п, а также по всем значениям к, определяемым уравнением

Jnг^ = 0.(5)

Если г = 1 и если обозначить через К значения к, приведенные в таблице в § 339 и соответствующие чисто поперечным колебаниям, то будем иметь

к2 = к2-\-р^*(6)

Чисто аксиальные (продольные) колебания соответствуют нулевому значению К, не включенному в таблицу.

Полный интеграл уравнения

^п . ।1 <^п । / м^\а —q

V)

если нет никаких ограничений относительно отсутствия источника в полюсе, содержит вторую функцию от г, которую можно обозначить через J_n(kr\ Таким образом, опуская несущественные постоянные множители, мы можем положить (§ 200)

^ — Аг )1 — 2-2 +2л + 2 • 4• 2 + 2л • 4 + 2л —* J ’

V 2-2 —2л ' 2-4.2 —2л-4 —2л ]’

но второй ряд требует изменения, если п — целое число. При л = 0 оба ряда становятся тождественными, а потому непосредственный результат подстановки л = 0 в (2) лишен необходимой общности. Необходимое решение можно, однако, получить по обычным правилам, применимым к таким случаям. Обозначая коэффициенты при А и В в уравнении (2) через /(л) и /(—л), имеем по теореме Маклорена

6 = Л/(л)4-В/( — п) =

= и 4- В) { (0) + (А — В) г (0) п + (Д + В) г (0) ^ + ...

Следовательно, приняв новые произвольные постоянные, мы можем предельную форму выражения (2) написать в виде

% = Л/(0) + 5/(0).

В этом уравнении /(0) есть JQ(kr). Для определения /'(0) имеем

/ (/1) — г 1пг|12.24-2л~^2 • 4 • 2 4-2л • 44-2л +

' V 2-2 + 2n “^2-4.24-2л-44-2л "Т

Если обозначить через и общий член (содержащий гш) ряда, заключенного в скобки, без учета его знака, то

1 ди д In и 222

и дп дп’ 2 4- 2л4 4- 2л* " * 2лг 4~ 2л ’

так что (ди\ „

\ОП)п-о где

^=т+4+|+... +^.(3)

Таким образом,

/ М in г у 23 ’ 22 - 4222- 42 ’ 62 ’ * ' j '

I 1^2к4 г4। кМ о )

“Г ["2222742^223• 42.62• • • р

и полный интеграл при л = 0 имеет вид:

% С^ Ч~ £ 1л И р 22 4“ 23 • 42’ * J ~^~

t О$к2г2 к^г^ Q . кМ с

'22-42 ^2^Г 22.42.62*^3

Для любых целых значений п соответствующее выражение можно получить при помощи (15) § 338

(5)

Формулу (5) можно получить и непосредственно из дифференциального уравнения (1). Заменив кг через г и положив

Фп = ^п»(6)

найдем вместо (1)

Далее, уравнение (7) можно представить в виде

г2^> + ("+1)Й? + Р„ = О, (8)

откуда непосредственно следует, что д

Чп(9)

так что

^ = ^^П^’0 °)

или, в силу (6),

^п = гП (5^2) ^о»(11)

что эквивалентно выражению (5), поскольку постоянные в выражении для ф0 произвольны в обоих уравнениях.

Последовательные выражения для ^п, получаемые таким образом, сходятся для всех значений аргумента, но практически они бесполезны, если аргумент велик. В таких случаях мы должны были бы обратиться к полусходящемуся ряду, соответствующему (10) § 200.

Уравнение (1) можно представить в виде (1W । Ч

д2/г!/2(Ь \22 7,

^-У^--^-W+* = O. (12)

откуда, в силу выражений (4) и (12) § 323, находим общее решение уравнения (1) в виде:

,1I2—4д2 . (12 — 4/z3)(32— 4«2)

t» = С W--8-* (1 - Т^ + 1 -1727(^7)2 ' -

Ц2—4Л2)(32_ 4Л2)(52 —4П2) (| |

1.2-3.(8Z^)3+

I D/! I !2-43 , (12-4n2)(32-4n2)

, (12 —4„2)(32 —4^2)(52—4„2) ( J l-2.3-(8Z^)3(1б)

При n целом эти ряды бесконечны и в конечном счете расходятся, но (см. §§ 200, 302) это обстоятельство не мешает им быть практически полезными.

Наиболее важным применением полного интеграла уравнения (1) является представление при его помощи возмущения, распространяющегося из полюса; эта задача была рассмотрена Стоксом в его статье о сообщении колебания газу. Условие того, что возмущение, представленное выражением (13), будет исключительно расходящимся, есть просто D = 0, как это непосредственно видно при введении фактора времени eikat, если предположить г очень большим; главным затруднением в этом вопросе является отыскание соотношения между коэффициентами возрастающего ряда, соответствующего этому условию; для этой цели Стокс применяет решение уравнения (1) в форме определенного интеграла. Мы достигнем той же цели, пожалуй, проще, применяя результаты § 302.

В силу (22) и (24) § 302,

/ к Y/21 I2 ।12 *32।1 '

(14)(14)'2Zz/ V 1 - 8/21 • 2 • (8/2)2 i | —

(14)

(14)

2>" J ^2_|_z2

и, таким образом, задача сводится к определению вида правой части уравнения (14) при малом z. В силу (5) § 302 и (5) § 200, имеем у л { K^-V U0 (2)} = 2-[- ^-iit -{- члены высшей степени 2, (15)

так что остается только найти вид определенного интеграла в выражении (14) при малом 2. Положив У^Р"2 4~ 2а = у— р, имеем

Г , g ^^ i g 2у ^ f g^2y g^'M^

J VR2_l_ Z2JУ JУ *

0гг

При 2 малом г^Чу также мало во всей области интегрирования, и, таким образом, мы можем написать

f е~^ d^ f I. . 22 . 1 24 ■1 е^у ,

J УУЦГ^ J I1 ' 2у * 2 4у3 ' * ‘ | у

Первый интеграл правой части есть

= —Т —In (-1 2)4-! 24- . . . 4, (16)

где 7 — постоянная Эйлера (0,5772...); и, как мы можем легко убедиться, интегрируя по частям, другие интегралы ничего не прибавляют к главным членам. Таким образом, если 2 весьма мало, то

/"Y^ -<»h13 112,3212-32.5211

\2Zz) 8 V 1.8/2 ~Г 1 • 2 . (8/2)21.2.3- (8/2)3 ~r --4 —

=7+1п(4,г)+4/л+’• ’ (17)

Заменяя z через kz и сравнивая с видом выражения (4) при г малом, мы видим, что для того, чтобы сделать ряды тождественными, мы должны положить

Д = ^4-In у4“ ln fc + yi^» В=1,

так что последовательность волн, расходящихся из полюса, кото-

рая выражается убывающим рядом

'° \2thr) V l-8ZAr^ 1-2-(8/^)2' J’ '

можно представить также в виде возрастающего ряда

. / । 1 I 1 А2г2 । А4г4I ।

^о ^7 Ч- ^п "2”Д22 ' 22 • 42 *' J '

. А2г2^ - , АМ

2222.4222.42. §3

При применении формулы (11) к убывающему ряду части, содержащие e-ikr и e+ikr в качестве множителей, очевидно, будут оставаться заметными, и полный интеграл для общего значения п при условии, что часть, содержащая е^гкг, не должна появляться, получится путем дифференцирования из полного интеграла для п = 0, подчиненного тому же самому условию. Таким образом, поскольку в силу (5) ^ = д^дг, мы имеем

/ л/ у/2„ I— 1-3— 1 • 1 • 3 • 5

™ \W ) I1 • 8ZAr ■ b2.(8ZAr)2

_zzUL_32.5_.7_ . I (20) 1.2 • 3. (8ZAr)3• • • J >

или, выражая в виде возрастающего ряда, , И.k-r^ . к4 г4 1

^ " кг 1122 ' 22 7 42 ~ * * *)

^ | u ^r \ 1 kr AM , к^г5] ,

(7 +1П ~2~Д "2 22 - 4 ' 22 • 42 • 6 ’ ‘ J ‘

। Аг р №f^ р ।р^q ,

Т 222 -4 °2 ‘ 22.42.6 °8

Эти выражения применены проф. Стоксом для того, чтобы показать насколько слабо передаются окружающему газу колебания струны (соответствующие члену первого порядка). Для этой цели он сравнивает действительно получающийся звук и звук, который распространялся бы в том же самом направлении, если бы боковое движение газа вблизи струны было задержано. Для струны рояля, соответствующей среднему С, радиус проволоки может иметь размер около 0,02 дюйма, а л равна приблизительно 25 дюймам; оказывается, что звук приблизительно в 40 000 раз слабее, чем он был бы, если бы движение частиц воздуха происходило в плоскостях, проходящих через ось струны. «Это показывает жизненную важность деки в струнных инструментах. Хотя амплитуда колебаний частиц деки крайне мала сравнительно с амплитудой колебания частиц струны, но поскольку дека представляет собой широкую поверхность, соприкасающуюся с воздухом, она способна возбуждать громкие и звучные колебания, в то время как струна, натянутая абсолютно жестко, возбуж-

дала бы непосредственно в окружающем воздухе колебания настолько малые, что они были бы почти или даже совсем не слышны.

Усиление звука, создаваемое путем задержки бокового движения, легко показать при помощи очень простого эксперимента. Возь

мем камертон и, держа его в руках, после того как его привели в ко

лебание, поместим листок бумагилебание, поместим листок бумагиФиг. 64.Фиг. 64.или лезвие широкого ножа так, чтобы его край был параллелен оси камертона и настолько близко к камертону, насколько это возможно без прикосновения к нему. Если плоскость препятствия совпадает с одной из плоскостей симметрии камертона, как это представлено на чертеже линиями, помеченными буквами А или В, то мы не по

лебание, поместим листок бумаги

лебание, поместим листок бумаги

Фиг. 64.

Фиг. 64.

лучим никакого эффекта; если же мы поместим препятствие в промежуточном положении, например в положении С, то звук станет значительно сильнее )».

Действительное выражение для потенциала скорости сим

метричных волн, распространяющихся в двух измерениях, получается из выражения (18) § 341, после введения фактора времени etkat путем отбрасывания мнимой части; оно имеет вид:

/ те V/2/1 X /12.1

= — (2^7) cos А (^ —г —-^ ХД1 — J ,2.(8Аг)2+ ’ • •} +

, / ”<1 ) J 1212-32.52.1...

+ \2£г) .sin/?^ r 8^U-8Ar1 2.3-(8Аг)з+ "’Р ^^

где, как обычно, содержатся две произвольные постоянные — одна в виде множителя всего выражения, а другая — в качестве добавления ко времени.

Задачу о линейном источнике равномерной интенсивности можно также исследовать общим методом, применимым к трем измерениям. Так, в силу выражения (3) § 277 мы можем положить

ср = 2 оср = 2 оГ e^dxГ e^dxРРF e-^dpJ _ Г2 ’ГF e-^dpJ _ Г2 ’Г(2)(2)

ср = 2 о

ср = 2 о

Г e^dx

Г e^dx

Р

Р

F e-^dp

J _ Г2 ’

Г

F e-^dp

J _ Г2 ’

Г

(2)

(2)

где р—‘расстояние от некоторого элемента dx до точки О, в которой надлежит определить потенциал, и г — наименьшее значение р, так что р2 — г2Ц-х2; это выражение должно иметь такой же вид, как (1). Положив _у = р— г, мы можем вместо (2) написать

(3)(3)— о Г e"t1tTe-iky dy

(3)

(3)

? - J К J K27+J ’

откуда вытекают различные выражения, как и в (14) § 341. Если кг велико, то можно получить приближенное значение интеграла, пренебрегая вариацией J/^r-J-y, так как« учитывая быстрые изменения знака, вызываемые множителем е_*лУ, мы должны брать только малые значения у. Но

cos х dxcos х dxsin х dxsin х dx(4^(4^

cos х dx

cos х dx

sin х dx

sin х dx

(4^

(4^

так что

(5)(5)

(5)

(5)

Вводя множитель etkQt и отбрасывая мнимую часть, в конечном итоге получаем выражение

cos к (at — г(6) ‘ г Аг \8 /х 7

для потенциала скорости на большом расстоянии. Аналогичное рассуждение применимо и для того, чтобы показать, что выражение (1) представляет также выражение потенциала скорости по одну сторону от бесконечной плоскости (§ 278), получающегося при равномерном нормальном движении бесконечно малой полосы, ограниченной параллельными линиями.

Подобным же образом мы можем рассматривать и член первого порядка выражения (20) § 341, как выражение потенциала скорости, создаваемого двойными источниками, равномерно распределенными вдоль бесконечной прямой линии.

С точки зрения настоящего раздела становится понятным значение запаздывания на -g X, которое обнаруживается в выражении (1) и в результатах следующего параграфа (выражения (16) и (17)). При обычном интегрировании для поверхностного распределения по зонам Френеля (§ 283) полный эффект равен половине эффекта первой зоны, а фаза эффекта первой зоны находится посредине между фазами крайних частей, т. е. на -^- X позади фазы центральной точки. В настоящем случае запаздывание результирующей относительно центрального элемента меньше, вследствие преобладания центральных частей.

[Из формул настоящего параграфа для потенциала скорости линейного источника мы можем путем интегрирования получить соответствующее выражение для источника, равномерно распределенного по плоскости. Волны, исходящие из такого источника, необходимо являются плоскими волнами, потенциал скоростей для

которых можно выписать непосредственно, и сравнение результатов приводит к оценке некоторых определенных интегралов, связанных с бесселевыми и родственными им функциями

В виде иллюстрации к формулам §341 мы можем взять задачу о возмущении плоских звуковых волн цилиндрическим препятствием, радиус которого мал сравнительно с длиной волн и ось которого параллельна плоскости волн (см. § 335).

Пусть плоские волны представлены функцией

_^ — gik (at+x) — gtkat . gikr cos 9.Q )

Легко провести обычное разложение функции <р в ряд Фурье, причем коэффициентами при различных членах, как легко предвидеть, будут просто функции Бесселя соответствующих порядков.

[Таким образом, так же как в (12) § 272о,

gikr oos 9 = уо ^ _|_ 2Ц ^ cos 6 4- . . . 4- №Jn (&r) COS 6.]

Но, поскольку мы ограничиваемся здесь случаем, когда радиус цилиндра с мал, мы сразу разложим по степеням г.

Так, при г = с, если опусгигь elkat, мы будем иметь

ср = 1^ к^с2 4~ ike • cos О4-...,(2)

|^ = — 4 &ас 4- ik . cos 6 4- ...(3)

Величина и даже самый закон возмущения зависят от характера препятствия. Начнем с предположения, что материалом цилиндра служит газ с плотностью а' и сжимаемостью т'; решение задачи для жесткого препятствия можно в конечном итоге получить путем соответствующих предположений относительно о' и т'. Если к' — внутреннее значение к, то внутри цилиндра из условия, что ось не является источником (§ 339), будем иметь

V ^0j22 ■ 22 • 42* * J ‘

. .(.k'^r2, .k'4r4I

2T4 4“ 2-42.6 --.jCOsQ;

так что при r = с

<р (внутри) = До^ 1 — 4 k'V"^ 4- Aic (1 — -^ к'1^ • cos 0, (4) ^ (внутри) = — у Л0^'2с 4” лг (1 — Т^2) cos 61(5)

Вне цилиндра при г = с, в силу (19) и (21) § 341, имеем , D , ike \ । Вх cos 6

4 = В0^ + т^-) + -5г-.(6)

дф Во Bt cos 6

dr с кс2 *7

Следовательно, условия, которым нужно удовлетворить на поверхности раздела, суть:

— Л0&'2с2 = — ТО 4- 2В0,(8)

~л(1 -4^э)=1 -4v + B»G + ,n-^)-<9>

=

. Л к'^с2 X

— Ае I= г^с4-—J-(11)

а 1 \8 /' ксх '

откуда, исключая Ло, Av приближенно получаем

В1=?ТО^^-.(13)

Таким образом, на некотором расстоянии от цилиндра, в силу (18) и (20) § 341, имеем

/\ /2/\ it

Ф= —5-^ . оe-tkr.cos^ =

*и \ 2tkr /11 \ ^кг )

= —1— cos 9} =

\ 2tkr / ( 2m'1 а' 4- а |

=тг-тг e-u:k Vk ^—COS 9}.(14)

г1гк1гI 2m'1 а' 4- а )

Следовательно, первичной волне соответствует

<р = cos ^(at-VxY(15)

а отраженная расходящаяся волна приближенно выражается в виде ,2л-пс2|щ' — m। а' — а,Л2г. /1 Л

4 = —■ - ,. --.— { о . r-z-i—cos 9} cos(at—г — -о-л). (16) тrU-^k( 2m'1 а' 4- с JX \8 / v 7

To, что ^ изменяется обратно пропорционально X3/a, можно было предвидеть, применив метод размерностей, как в соответствующей задаче для сферы (§ 296). Как и в том случае, симметричная часть расходящейся волны зависит от изменения сжимаемости и исчезает при применении к действительному газу; член же первого порядка зависит от изменения плотности.

Предполагая, что о' и т.' обращаются в бесконечность таким образом, что отношение их остается конечным, получаем решение, соответствующее жесткому и неподвижному препятствию

2л-яс2/! .2л/1 . \

Ф =тг~т-~ -9+ cos6 cos — [at— г — -тг X).(17)

г ад /\ 2 1/ А \о /х z

Исключительная малость препятствия, оказываемого тонкими проволоками или нитями прохождению звука, ярко иллюстрируются некоторыми экспериментами Тиндаля. Кусок катаного войлока толщиной в полдюйма пропускает больше звука, чем смоченный носовой платок, который вследствие того, что его поры закрыты, ведет себя скорее как тонкая пластинка. По тем же соображениям туманы, и даже дождь и снег, оказывают лишь небольшое влияние на свободное распространение звуков средней длины волны. Для свистка, или очень пронзительного звука, эффект, пожалуй, был бы заметным.

[Можно воспользоваться частными отражениями от полотнищ муслина для иллюстрации одного важного принципа. Если чистый тон высокой (неслышимой) частоты отражается от одного полотнища, и затем встречает чувствительное пламя, то его интенсивность, вероятно, будет недостаточна для создания видимого эффекта. Однако, если расположить небольшое число подобных полотнищ параллельно одно другому и на таких (равных) расстояниях друг от друга, чтобы частичные отражения совпадали по фазе, то отражения окажут сильное воздействие на пламя. Параллельность и одинаковость расстояний между полотнищами можно поддерживать механически при помощи соответствующих приспособлений (равномерных зажимов), которые, однако, допускают изменение общего расстояния. Тогда легко проследить зависимость действия волн от подгонки расстояния между полотнищами к длине волны звука. Так, если бы волна падала перпендикулярно, то пламя получило бы наиболее сильное воздействие при интервале между двумя соседними полотнищами, равном половине волны; и хотя условия эксперимента требуют наклона под острым углом, это обстоятельство легко может быть учтено1).]

9 «Iridescent Crystals», Proc. Роу. Inst., апрель 1889. См. также Phil. Mag., том XXIV, стр. 145, 1887; том XXVI, стр.256, 1888.

ГЛАВА XIX

ТРЕНИЕ И ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ

Выведенные в главе XI уравнения и следствия из них были основаны на допущении (§ 236), что взаимодействие между двумя частями жидкости, разделенными воображаемой поверхностью, нормально к этой поверхности. Реальные жидкости, однако, не удовлетворяют этому идеальному условию; во многих явлениях существенную и даже преобладающую роль играет недостаточная текучесть, обычно называемая вязкостью или трением в жидкости. Поэтому целесообразно будет исследовать, заметно ли влияет вязкость на колебания воздуха, и если влияние вязкости заметно, то каким образом оно происходит.

Для того чтобы ясно понять природу вязкости, представим себе, что жидкость разделена на параллельные слои так, что, хотя каждый слой движется в своей плоскости с постоянной скоростью, однако, при переходе от одного слоя к другому наблюдается изменение скорости. Простейшее предположение, которое мы можем сделать, это — то, что скорости всех этих слоев имеют одинаковое направление, но равномерно возрастают по величине по мере передвижения вдоль перпендикуляра к граничным плоскостям слоев. При таких условиях между соприкасающимися слоями возникает тангенциальная сила в направлении относительного движения, пропорциональная по величине быстроте изменения скорости и коэффициенту вязкости, обычно обозначаемому через р. Так, если слои параллельны плоскости xv, а направление их движения параллельно у, то тангенциальная сила, отнесенная (подобно давлению) к единице площади, равна

Размерность р есть [ML-1?-1].

Изучение происхождения этой тангенциальной силы относится к молекулярной физике. Максвелл объяснял ее, в соответствии с кинетической теорией газов, как результат обмена молекулами между слоями, вызывающего рассеяние количества движения. Как теоретически, так и экспериментально, было установлено замечательное положение, что эта сила в широких пределах не зависит

от плотности газа. Для воздуха при 0° стоградусной шкалы Максвелл нашел х)

Р = 0,0001878(1 +0,003666),(2)

где за единицы приняты сантиметр, грамм и секунда.

Исследование уравнений движения жидкости с учетом сил вязкости едва ли можно считать относящимся к предмету настоящего труда, но для некоторых читателей может оказаться полезным подчеркнуть здесь его тесную связь с более широко известной теорией упругости твердого тела.

Потенциальная энергия единицы объема равномерно растянутого изотропного вещества может быть выражена в виде 9)

V = -1 т^ + ^ п (еа + Р + ga — ^fg — 2/е — 2^е +_|_аэ + ^_^сэ) =

= |х8а + |га(2еа+ 2/а + 2^ —|-^ + а9 + 6а + с2у (1) где 8(=б+/+^) — растяжение, i,/, g, а, b, с—шесть компонент деформации, связанных с действительными смещениями а, р, 7 уравнениями:

дх ’ ду ’8 dz ’'

й_^+^.,» = А + ^.,(3)

dz 1 ду ’dx dzdy ' dx ’7

а т, п, х— упругие постоянные, связанные уравнением

1

х = т—-^п,(4)

где п— мера жесткости, или сопротивления сдвигу, а х— мера сопротивления изменению объема. Компоненты напряжения Р, Q, R, S, Т, U, соответствующие е, f, g, а, b, с, определяются из V простым дифференцированием по этим величинам. Так,

P = v^-\-2n^e — -^-8^ и т. д.,(5)

5 = па и т. д.(6)

Если X, Y, Z — компоненты приложенной силы, отнесенной к единице объема, то уравнения равновесия имеют вид:

■|-Л'=0 и т. д.,■|-Л'=0 и т. д.,(7)(7)дР . dU . дТ дх • ду • dz

■|-Л'=0 и т. д.,

■|-Л'=0 и т. д.,

(7)

(7)

откуда можно непосредственно получить уравнения движения, пользуясь принципом Даламбера. Выраженные через смещения а, р, у,

эти уравнения принимают вид:

(8)(9)(8)(9)X —;—^- П к- ZlV^QC —I— X = 0 И т. д.,

(8)

(9)

(8)

(9)

дх 1 3 дх 11

где

& да . д£ . д-(дх 4F । дг '

Обычная теория жидкого трения не содержит никаких восстанавливающих сил; но, с другой стороны, нам следует рассмотреть силы вязкости, отношение которых к скоростям элементов жидкости (и, v, w) имеет точно такой же характер, как отношение восстанавливающих сил к смещениям (а, р, у) изотропного твердого тела. Так, если 8' — скорость растяжения, так что

ди , диО = -^— —Iч—дх 1 дуди , диО = -^— —Iч—дх 1 дуdw дг 'dw дг '(Ю)(Ю)

ди , ди

О = -^— —Iч—

дх 1 ду

ди , ди

О = -^— —Iч—

дх 1 ду

dw дг '

dw дг '

(Ю)

(Ю)

то сила, как и вто сила, как и внаправленная параллельно х и создаваемая вязкостью, есть (8)

то сила, как и в

то сила, как и в

х-^+4(П)

дх 1 3дх 14 7

До сих пор х и п были произвольными постоянными, но, как с большой убедительностью аргументировал проф. Стокс, нет никаких причин для того, чтобы равномерное во всех направлениях растяжение приводило к силе вязкости или создавало давление, отличающееся от статического давления, соответствующего действительной плотности. На основании этого аргумента нам нужно положить х = 0; и, как вытекает из (6), п совпадает с величиной, обозначенной прежде через р*. Поэтому члены, зависящие от трения, суть

, 1 д / ди I до , dw \1

4V“+3d7bT + v+^-)} и т- д"

и (§ 237) уравнения движения принимают вид:

(Du v\ , др1 д (ди . до , dw\ п

или, если приложенные силы отсутствуют и если пренебречь квадратом скорости,

ди, др1 д ди.ди,dw\ n

—г—Ч о ( "3Г~3—х— ) = 0.(13)

dt• дх13г дх \ дх1ду1дг /

Мы можем заметить, что рассмотренные здесь диссипативные силы соответствуют диссипативной функции, имеющей такой же вид относительно и, v, w, какой имеет функция V относительно а, р, у в теории изотропных твердых тел. Таким образом,

полагая х = 0, из (1) имеем

в согласии с вычислением проф. Стоксат). Теория трения для случая сжимаемых жидкостей была впервые дана Пуассоном).

Применим теперь дифференциальные уравнения к исследованию плоских звуковых волн. Предполагая, что у и w равны нулю и что и, р и т. д. являются функциями только от х, получаем из (13) § 345

ди । др 4р. dzz _

Уравнение непрерывности (3) § 238 в этом случае имеет вид:

4 + 4=0,(2)

dt ' dx'

а соотношение между переменной частью давления йр и сгущением s, как обычно (§ 244), есть

Ьр = a2p0s.(3)

Таким образом, исключая из (I), (2) и (3) йр и s, получаем

дз« ^4р. d^u .(4

“ дх^3Ро dx» dt ” ’v 7

это и есть уравнение, данное Стоксом 3).

Исследуем теперь, каким образом затухает с возрастанием х последовательность гармонических волн с длиной волны X, возникающих в начале (х = 0). Предполагая, что и изменяется пропорционально etot, найдем, как и в § 148, и = Де~“ж cos (nt— рх),(5)

где 4р. п3

р—«2 =—4тт-М =—41-2-(6)

9Po+ 9P2

При применении к воздуху при обычных давлениях р. можно рассматривать, как весьма малую величину и пренебречь ее квадратом. Таким образом,

!) Stokes, Cambridge Transactions, том IX, § 49, 1851.

Оказывается, что при таком порядке приближения трение в жидкости не влияет на скорость звука. Заменив п через 2тшл-1, мы придадим выражению для коэффициента затухания вид:

8тг2р.а —

показывающий, что вязкость оказывает наибольшее влияние на короткие волны. Амплитуда уменьшается в отношении е : 1 при х = а-1. В единицах CGS можно положить ро = 0,0013, р, = 0,00019, а = 33200, откуда

х = 8800Л2.(9)

Следовательно, амплитуда волн длиной в 1 см уменьшается в отношении е : 1 после прохождения расстояния в 88 м. Длина волны в 10 см соответствует примерно g четвертой октавы; для этого случая х равняется 8800 м. Таким образом, оказывается, что при атмосферном давлении влияние трения не должно быть заметным при обычных наблюдениях, за исключением только звуков, расположенных вблизи верхнего предела музыкальной гаммы. Смягчение звуков на расстоянии, как это замечается в гористых странах, пожалуй, следует приписать трению, благодаря которому более высокие и более резкие компоненты постепенно выключаются. Часто, должно быть, замечалось, что звук «с» едва-едва передается, а то и вовсе не передается эхом, и я обнаружилх), что на расстоянии 200 м сильный свист утрачивает свой характер даже при отсутствии отражения. Возможно, что и этот эффект также обязан вязкости.

В сильно разреженном воздухе значение а, определяемое выражением (8), сильно возрастает, так как р, остается постоянным. Тогда даже низкие тоны могут изменяться на небольших расстояниях.

Из наблюдений Колладона на Женевском озере следует, что в воде низкие звуки затухают быстрее, чем высокие. Он обнаружил, что на небольшом расстоянии от колокола, возбуждаемого ударом под водой, звук становится коротким и резким, теряя музыкальный характер.

Эффект вязкости, заключающийся в изменении движения воздуха, соприкасающегося с колеблющимися твердыми телами, можно лучше всего понять из решения задачи, данного Стоксом для весьма простого случая. Предположим, что бесконечная плоскость yz совершает гармонические колебания в направлении у, параллельном самой плоскости. Так как движение происходит вдоль параллельных слоев, то и и w равны нулю, и переменные величины являются функциями только от х. Первое из уравнений (13) § 345 показывает, что давление постоянно; соответствующее

!) «Acoustical Observations», Phil. Mag., том III, стр. 456, 1877.

уравнение для у получает вид:

др|^ д^о.

подобный виду уравнения линейной теплопроводности. Если теперь предположить, что -у пропорционально eint, то получающееся уравнение для -и будет

а его общее решение —

у = Ае-тж-^ Ве + та;,(3)

где

т=У ^(1+0-(4)

Если газ находится по положительную сторону плоскости, совершающей колебания, то движение должно прекратиться при х = —j—оо. Следовательно, В = 0, и, отбрасывая мнимую часть,

получим значение -и;

-и = Ае ' 2’х cos | nt — лГ|,(5)

( F 2р. Рv

соответствующее скорости

V = A cos nt(6)

при х = 0. Скорость жидкости, соприкасающейся с плоскостью, обычно принимается одинаковой со скоростью самой плоскости, исходя как будто бы из достаточного основания, а именно, что в противном случае предполагалась бы бесконечно ббльшая гладкость жидкости по отношению к твердому телу, чем по отношению к самой этой жидкости. При этом предположении уравнение (5) выражает движение жидкости на положительной стороне плоскости, создаваемое движением плоскости, определяемым уравнением (6). Тангенциальная сила на единицу площади, действующая на

плоскость, равна

/ ду\

\дх/ж=о’

или, если А = 1,

р-]/"^-c°s^+sin^) = — V" "5"^(V+tF^)' (7) Первый член выражает диссипативную силу, стремящуюся остановить движение; второй член выражает силу, эквивалентную увеличению инерции колеблющегося тела. Величина обеих сил зависит от частоты колебания.

Полученным результатом мы воспользуемся для приближенного вычисления скорости звука в трубах, столь узких, что вязкость воздуха оказывает заметное влияние. Так же, как в § 265, допустим, что X обозначает полный поток жидкости сквозь сечение трубы в точке х. Сила гидростатического давления, действующая на

участке между х и х-|-8х, как обычно, равна

(8)

Сила вязкости может быть определена из исследования, проведенного для плоскости, совершающей колебания, если только толщина слоя воздуха, прилегающего к стенкам трубы, мала сравнительно с диаметром. Так, если Р— периметр трубы, а V — скорость течения на некотором расстоянии от стенок трубы, то тангенциальная сила, действующая на взятом участке, внутри которого заключен объем S^x, в силу уравнения (7), равна

— Р^Х д/~у яррь (^Ч— Р^Х д/~у яррь (^Ч1 дУ\ п dt )’1 дУ\ п dt )’

— Р^Х д/~у яррь (^Ч

— Р^Х д/~у яррь (^Ч

1 дУ\ п dt )’

1 дУ\ п dt )’

или, заменяя V через -^jS,

(9)(9)Рох

(9)

(9)

S

Поэтому уравнение движения для этого периода есть

. д^ХР д/2 или. д^ХР д/2 или1Р8.2 ^Т1Р8.2 ^Т9 8 д^Х9 8 д^Х

. д^Х

Р д/2 или

. д^Х

Р д/2 или

1Р8.

2 ^Т

1Р8.

2 ^Т

9 8 д^Х

9 8 д^Х

(Ю)(Ю)д^Х ( - । Р Г р \ ( РлГпу. дХ _ . №ХdPV ' S г ^п^)' S V р dt dx^*

(Ю)

(Ю)

Скорость звука приближенно равна

аа1—1/2 S г 2пр1—1/2 S г 2пр(И)(И)

а

а

1—1/

2 S г 2пр

1—1/

2 S г 2пр

(И)

(И)

или, для случая круглой трубы радиуса г.

аа(12)

а

а

Результат, выраженный в формуле (12), впервые получен Гельмгольцем.

348г). В исследовании Кирхгоффа2), к которому мы теперь переходим, учтен не только эффект вязкости, но и одинаково важные эффекты, возникающие в результате выделения теплоты и ее передачи путем теплопроводности от газа к твердым стенкам узкой трубы и обратно.

х) Этот и следующие параграфы впервые печатаются во втором издании. В первом издании, заканчивавшемся § 348, последний был посвящен вопросу динамического подобия.

а) Kirchhoff, Pogg. Ann., том CXXXIV, стр. 177, 1868.

Пренебрегая квадратом перемещения, получим «уравнение непрерывности» (3) § 237 в виде

dt ' ду dz

так что динамические уравнения (13) § 345 можно записать в виде

а^ . 1= р р

dt ' ро дх р0 ’ Зр0 dxdt*'

Относящиеся сюда термические вопросы уже были рассмотрены в § 247. В силу уравнения (4), имеем

» =(3)

где v — постоянная, выражающая коэффициент температуропроводности.

В силу (3) § 247,

^ = »2(1+$+«6),(4)

где b— ньютоновское значение скорости звука, а именно д/~ — . Если обозначить лапласовское значение этой скорости через а, то

> = 1=1 + »^(5)

так что

^ №а *(6)

Мы упростим уравнение, введя вместо 9 новый символ 9', связанный с 9 соотношением 9'=9/^. Тогда уравнение (3) принимает вид:

^-5=^9'<7)

и типичное уравнение (2) можно записать в виде ди । .„ds , . 9„ d^s ’

=(8)

где р' = р/р0; р" выражает вторую постоянную, значение которой, согласно теории Стокса, есть ур'. Это соотношение находится в согласии с кинетической теорией Максвелла, которая, при введении более специальных предположений, дает, далее,

v = -|p'.(9)

Во всяком случае р', р" и v можно рассматривать как величины одинакового порядка.

Теперь, следуя Кирхгоффу, введем предположение, что переменные и, у, w, s, 0' являются функциями времени, определяемыми только множителем еы, где h— постоянная, которую далее мы будем считать мнимой. Дифференцирования по t теперь выражаются введением множителя А, и уравнения принимают вид:

дм 1 dv . dwdx dy дадм 1 dv . dwdx dy даhs = О,hs = О,Пи — ^и = — ~, гдхАу — и/^-и =,гdyкчю—p/V2w = —, гdz ’Пи — ^и = — ~, гдхАу — и/^-и =,гdyкчю—p/V2w = —, гdz ’(Ю)(Н)(Ю)(Н)

дм 1 dv . dw

dx dy да

дм 1 dv . dw

dx dy да

hs = О,

hs = О,

Пи — ^и = — ~, гдх

Ау — и/^-и =,

гdy

кчю—p/V2w = —, гdz ’

Пи — ^и = — ~, гдх

Ау — и/^-и =,

гdy

кчю—p/V2w = —, гdz ’

(Ю)

(Н)

(Ю)

(Н)

р^фа^Н^АЛ^ — Ь^,(12)

s = ^ — ^W.(13)

Если исключить s, то, в силу (13), выражения (12) и (10) получат вид:

Р = ^ + Ар,") 0' — ^ (А9 + Ар.") W,(14)

A0' — ^V20' = 0.A0' — ^V20' = 0.(15)(15)ди . dv , dw dx ' dy ' dz

A0' — ^V20' = 0.

A0' — ^V20' = 0.

(15)

(15)

Дифференцируя уравнения (11) по x, у, z, складывая их и применяя затем выражения (14) и (15), находим для 0' уравнение

h^ —\а^4- А (р/ + р," + Д] W 4--^ [А2 + А (р-'+р-")] V40' = 0.(16)

Решение уравнения (16) можно получить в виде

О^ЛД + Л^,(17)

где Qt и Q2 суть функции, удовлетворяющие соответственно выражениям :

и VQ2 = X,Q%,(18)

где Хг и Ха — корни уравнения

Л-2 —[^ + /z(p/4-p.',4-41X4-^[^2 + A(p.' + p./,)B2 = 0,(19)

а Д1 и Да — произвольные постоянные.

В соответствии с этим значением 0' частные решения уравнений (И) получаются путем приравнивания и, v, ту производным от

^1^1 ^-iQy

взятым по х, у, z. Отношение постоянных Вх и Ва к постоянным Ах и А^ получается непосредственно из (15), что дает

V3 <вд 4- В^ 4- (Л - vV3) (-4,9, 4- A3<W = о,

так что, в силу (18),

Bv = A^-T^ и В» = А^-Т^Bv = A^-T^ и В» = А^-Т^(20)(20)

Bv = A^-T^ и В» = А^-Т^

Bv = A^-T^ и В» = А^-Т^

(20)

(20)

У,У,Более общие решения можно получить путем прибавления к и, чу соответственно и', v', ту', которые удовлетворяют соотно

У,

У,

шениям:

(21)(21)v-^'=-4- ur, ^^=-4- v, ^w=—ту'.v-'wv-'

(21)

(21)

Таким образом,Таким образом,и =и =и' + ^'^Г + ^Зи' + ^'^Г + ^З^2дх^2дхч) — V -^ Вхч) — V -^ ВхdQxдуdQxду^■ЭГ'^■ЭГ'(22)(22)

Таким образом,

Таким образом,

и =

и =

и' + ^'^Г + ^З

и' + ^'^Г + ^З

^2дх

^2дх

ч) — V -^ Вх

ч) — V -^ Вх

dQxду

dQxду

^■ЭГ'

^■ЭГ'

(22)

(22)

1 ^Оз2 dz *1 ^Оз2 dz *г I о dQ\w = ту 4- В.

1 ^Оз

2 dz *

1 ^Оз

2 dz *

11 dz

где Вх и В^ имеют значения, данные выше.

Подставляя значения и, -и, чу, определяемые выражениями (22), в уравнение (15), мы получим

(23)(23)ди' । ди' , dw' „ дх ‘ ду • dz

(23)

(23)

Эти результаты Кирхгофф прежде всего применил к случаю плоских волн, предполагая, что они распространяются в бесконечном пространстве в направлении 4“х- Тогда V и чу7 исчезают, а и?, Qx и Q2 независимы от у и z. Из (23) § 348 следует, что и' также исчезает. Уравнения для Qt и Qa суть

и(1)

такчтоможноположить

Q1 = e~a!Tx1и(2)

гдезнакиприквадратныхкорнях следует выбрать так, чтобы

действительные части были положительными. В соответствии с этим

и = Л,Х,‘/. ^ — v) <-» ^ + А^‘1-(^ — ^ в- *^,(3)

О' = Ахе-® + А^е-®(4)

где постоянные Ах и Л3 можно рассматривать как определяемые значениями й и 0' при х = 0.

Решение, выражаемое соотношениями (3) и (4), — слишком общее для нашей теперешней цели, так как предполагает произвольную теплопередачу при х = 0. Из квадратного уравнения для X (19) § 348 мы видим, что, если считать у/, у/', v малыми величинами, то одно из значений X, скажем kv приближенно равно №1а^, а другое значение, Х2, весьма велико. Решение, которое нам нужно, это — решение, соответствующее просто Хг Вторым приближением для Хр в силу (19) § 348, будет

№ f ^ьЧ2 h2 j h ^ + у." + v) । n№№ ^ = дЯ^^ЧЙ^+Э = V ^ J + Дб ’

так что

— 1/ X.q1 u -+- u -T- v I 1—) I.(5)

Если теперь вместо h, написать in, то мы увидим, что типичное решение имеет вид:

— е-т’же ^(^ о ),(6)

где

—^/г(7)

В выражение (6) можно ввести, как обычно, произвольный множитель и произвольное слагаемое, добавляемое к t; можно также, при желании, получить еще решение, опустив мнимую часть.

Эти результаты находятся в согласии с результатами, уже полученными для частных случаев. Так, при х> = 0 выражение (7) дает

т ^^Ср- + р- )

в согласии с выражением (7) § 346, где

^" = Т^" = Т12.3 Р*12.3 Р*

^" = Т

^" = Т

12.

3 Р*

12.

3 Р*

С другой стороны, если не учитывать вязкости, так что у/ = = р/= 0, то мы снова придем к выражению (18) § 247. Нам не приходится ничего добавлять к уже проведенному рассуждению.

(8)(8)В случае сферических волн, распространяющихся в направлении -{- г, Кирхгофф находит подобным же образом выражение для радиальной скорости

(8)

(8)

дг г

где tn’ имеет такое же значение (7), как и выше.

Теперь перейдем к более важной задаче и предположим, что воздух заключен внутри цилиндрической трубы круглого

сечения и что движение симметрично относительно оси х. Если ^9 _|_ г2 — г2 и

У2

D = q — , -w = q—,

4 г ’4 г

у — ^ V ’у — ^ V ’^ =q —.^ =q —.

у — ^ V ’

у — ^ V ’

^ =q —.

^ =q —.

И'И'ди'„ дгт»ди'„ дгт»(6)(6)то и, и', q, q’, Qv Q^ следует рассматривать как функции от х и г. Предположим далее, что эти величины, как функции от х, пропорциональны етж, где т — комплексная постоянная, которую нужно определить. Уравнения (18) § 348 для Qt и Q3 принимают вид:

И'

И'

ди'

„ дгт»

ди'

„ дгт»

(6)

(6)

дг» 1

г

^1 _ дг

Ак-

(1)

daQa ■ дг» 1

2 г

dQ. . дг

(Х2-

m^Q».

(2)

Для uf, q' уравнения (21)

и

(23) дают:

д»и'

1 ди'

(

(3)

дг»

г дг

ХР-'

^ . 1 дг» ' г

dq' дг

q'. г2

/ h X Р-'

— т^ q'.

(4)

muf -^.

dq' дг

1 q' ■

1 г

= 0.

(5)

Этим трем уравнениям можно удовлетворять, если иг определять из первого уравнения, a q' выбрать так, что

(7)(7)Последнее соотношение получается путем вычитания из уравнения (4) результата дифференцирования уравнения (5) по г. Решение уравнения (3) можно записать в виде и'= AQ, где А— постоянная, a Q — функция от г, удовлетворяющая уравнению

(7)

(7)

дг» ’г дг \р/

Таким образом, в силу (20) и (22) § 348, и = AQ — Ала— Алп(Д- — iA(8)

б^Д^ + Д^.(10)б^Д^ + Д^.(10)

б^Д^ + Д^.(10)

б^Д^ + Д^.(10)

На стенках трубы и, q, 0' должны удовлетворять известным условиям. Мы будем предполагать здесь, что на стенках как движение газа, так и изменения температуры отсутствуют; таким

образом, когда г принимает значение, равное радиусу трубы, и, q, О' равны нулю. Следовательно, искомое условие выражается в виде исчезновения определителя уравнений (8), (9) и (10), а именно,

m^h / 11 \ д In Q । / h \ d In

/г „ \Xi Х3/ dr ' \Xi / dr

— — rri? k1

— ^^^-2 = 0. (11)

\ x2 ) dr' ’

Три функции Q, Q1( Qa, которые должны оставаться конечными при г = 0, являются функциями Бесселя нулевого порядка (§ 200), так что мы можем написать в обычном обозначении

~( _Г „ h )

Q — Л (у т^ — р/ I ’

Qi = JoVVtr^ — 4\.Qi = JoVVtr^ — 4\.(12)(12)

Qi = JoVVtr^ — 4\.

Qi = JoVVtr^ — 4\.

(12)

(12)

Q2 = Jq {Г У Ш^Xg).

В уравнении (11) значения Xt и Ха не зависят от г, так как определяются выражением (19) § 348. В применении к воздуху при нормальных условиях р/, р/', v можно рассматривать как малые; тогда приближенно будем иметь

х1=ж- х==^- <13>

Второе приближение к значению X* уже было дано в выражении (5) § 349. Здесь предполагается, что скорость распространения эффектов вязкости для рассматриваемой высоты звука, а именно У 2р/я, § 347, мала сравнительно со скоростью звука, так что iny/а8, или hy/a8, — малая величина.

При истолковании этого решения нужно отметить два крайних случая, заслуживающих особого внимания. Первый из них, случай, рассмотренный Кирхгоффом, возникает, когда р/, р/, считаются весьма малыми, настолько малыми, что слой газа, на который непосредственно действуют стенки трубы, представляет лишь незначительную долю всего заключенного в трубе газа. Если р/ и т. д. равны нулю, то мы имеем

. №9 №

так что гУ т8—Xt является здесь малой величиной. С другой стороны, г"^~ т8— ^ и гУ т8— Ха велики.

Значение J0(z) при малом z дается возрастающим рядом (5) § 200; из этого ряда непосредственно следует, что

d In Jo (z) _1

2 Z*

Есл

ПОЛ(

и z очень велико, и притом таково, что мнимая его часть )жительна, то (10) § 200 дает

д In Jo (z), /1 \.

,-— = — tg z — "Г It I = L

дг6 \4 /

Сле то

довательно, если сохранить только члены высшего порядка, Зудем иметь

dlnQ _1

drV у/ ’

.(14)

д lnQ2 /" he#I

dri n№ *)

noz и к

[.ставив эти выражения в (И) и взяв приближенные значения Xt а из (13), находим

(15) г / /г У

где

(16)

при час

чем знак при Vh следует взять таким, чтобы действительная гь была положительной.

Напишем, далее,

h — ni,(17)

так

что частота равна п/2к. Таким образом,

УЪ — ^ I^O+O(18)

и

m = zt (m' -|- im"),(19)

где

в силу (15),

„, = J^£_,+(20)

у2агау ‘lar

Ес; мы

ш мы восстановим множители, зависящие от х и t, которые до сих пор опускали, то будем иметь

и = BReht+w®, q = BR'e^*^, 0 = BR"eht*w®,

где В — произвольная постоянная, a R, R', Rrr — определенные функции от г, исчезающие при г, равном радиусу трубы, и принимающие значения

Я=1, ^ = 0, R" = — ^

для точек, лежащих на конечном расстоянии от стенок. Получаемое решение для и, применимое к точкам, расположенным на конечном

расстоянии от стенок, можно написать в виде

и = С1еш'аз sinsin (м/ — т"х-^-^, (21)

где Cv С2, 8Р оа обозначают четыре действительные призвольные постоянные. В соответствии с этим тг определяет ослабление, которое испытывают волны при распространении, а т" определяет скорость распространения. Эта скорость равна

т" 1 V^n-r в согласии с выражением (12) § 347.

Уменьшение скорости звука в узких трубах, обнаруживаемое по длине волны стоячих колебаний, было замечено Кундтом (§ 260) и специально изучено Шнеебели) и Зеебекома). Из их опытов следует, что уменьшение скорости пропорционально г-1 в согласии с (22), но что при изменении п уменьшение пропорционально скорее п~*1з, чем п-^2. Так как р. не зависит от плотности (р), то в разреженном воздухе эффект был бы усилен.

Теперь обратимся к рассмотрению другого крайнего случая уравнения (11). Он возникает, когда труба такова, что слой, на который непосредственно влияет трение, образует не тонкую, прилегающую к стенкам, прослойку, а распространяется на все сечение, как это должно неизбежно случиться при достаточном уменьшении диаметра. При этих условиях hr^]^ — величина малая, а не большая, как это было в случае, рассмотренном Кирхгоффом, и аргументы всех трех функций в выражении (12) следует рассматривать как малые.

Один из результатов исследования можно заранее предвидеть. По мере уменьшения диаметра трубы передача теплоты внутри столба воздуха от центра к периферии становится все свободнее и свободнее. В пределе температура твердых стенок определяет температуру заключенного внутри газа, и сгущения и разрежения происходят изотермически. При таких условиях уже нет рассеяния, создаваемого теплопроводностью, и все происходит так, как если бы теплота не образовывалась вовсе. Следовательно, коэффициент теплопроводности не входит в результат, который, помимо того, содержит ньютоновское значение b скорости звука, а не лапласовское а.

При малом z 2 .

так что приближенно

dIn Jo(z) —1 /1 , 1 а\

Э Schneebeli, Pogg. Ann., том CXXXVI, стр. 296, 1869.

Если ввести результаты приложения (23) к величинам Q, Qv Q,2 в выражение (И), то уравнение можно разделить на ^-г, и тогда левая часть его будет состоять из двух частей, первая из которых не зависит от г, а вторая пропорциональна г2. Первая часть приводится без дальнейших приближений к v(a2— aJ. Для второй части следует удержать только главные члены. Таким образом, пользуясь выражениями (13), получаем

v (Аа — АД-г- ч—п—- = О,

откуда

а 8р.^h-V^-b^

Отношение второго члена к первому имеет порядок hr^b» т. е. по предположению есть малая величина, так что мы можем просто написать решение, применимое в предположенных условиях, в виде

/п2/п2S^h. Bi^nЬМ 62ГаS^h. Bi^nЬМ 62Га(24)(24)

/п2

/п2

S^h. Bi^n

ЬМ 62Га

S^h. Bi^n

ЬМ 62Га

(24)

(24)

Прежде, чем покончить с этим вопросом, целесообразно будет вкратце рассмотреть аналогичную задачу для двух измерений, хотя она имеет меньшее значение, чем задача о трубе кругового сечения, рассмотренная Кирхгоффом. Анализ здесь несколько проще; но поскольку он практически идет тем же путем, нам достаточно будет ограничиться просто указанием необходимых изменений. Предполагается, что движение не зависит от z и происходит между параллельными стенками при .у = zt^.

Уравнения (1)—(11) предыдущего исследования можно считать все еще применимыми к настоящей задаче, если подставить у вместо q и у вместо г, опустив члены, в которых г входит в знаменатель. Общее решение уравнений, соответствующих (1), (2) и (7), содержит две функции, состоящие из синусов и косинусов аргументов, кратных у. Но из (8), (9) и (10) очевидно, что условия задачи при у = 0 требуют, чтобы функция синус отсутствовала, так что в выражении (12) мы можем просто заменить функцию Jo косинусом.

В случае, когда р/ и т. д. рассматриваются как бесконечно малые, мы имеем, как и в (14), при У=У1

д In Q dv г и/ ‘

(25)d In Q3 Г ha^ду V n№ ’

но вместо второго из уравнений (14) получим

(26)(26)

(26)

(26)

При подстановке этих значений в (11) уравнение останется без изменения, за исключением того, что произойдет замена г через Такую же подстановку следует сделать в (15), (20) и (22). Последнее уравнение дает для скорости звука

i 2yt V 2п

Стоит отметить, что выражение (27) имеет вид, который приняло бы выражение (И) § 347 для этого случая, если в нем заменить У у через Y; можно еще, пожалуй, отметить, что этой же замены достаточно для того, чтобы сделать это уравнение применимым к сечению любой формы для случая, когда термическими эффектами нельзя пренебречь.

Во втором крайнем случае, когда расстояние между стенками 2^ настолько мало, что величиной hy2^ приходится пренебречь, мы имеем вместо (23) следующее выражение:

±12221?. = z (1 4- ± (28) да \ 3 / х '

Таким образом, последующие уравнения могут быть приспособлены для нашей теперешней цели путем замены в них ± г2 через ± .у2. Следовательно, аналогом выражения (24) будет

ьйЛ ^ *

Результаты § 350 имеют важное значение для объяснения поведения пористых тел по отношению к звуку. Тиндаль показал, что во многих случаях звук проникает в подобные тела более свободно, чем можно было бы ожидать, хотя он отражается от тонких слоев непрерывного твердого вещества. С другой стороны, стог соломы, повидимому, представляет весьма совершенное препятствие. Возможно, что пористые стены дают ослабленное отражение, так что внутри здания, ограниченного такими стенами, резонанс менее продолжителен, чем он был бы в случае, если бы стены состояли из непрерывного вещества.

Если рассматривать вопрос с механической точки зрения, то очевидно, что звук не уничтожается просто самими препятствиями. При отсутствии диссипативных сил та часть звука, которая не прошла сквозь препятствие, должна быть отражена. Уничтожение звука может быть обусловлено вязкостью или теплопроводностью, но влияние этих факторов в огромной степени увеличивается при соприкосновении с твердым веществом, обладающим обширной поверхностью. У такой поверхности как тангенциальное, так и нормальное движения задерживаются, и происходит передача тепла

к стенке и от стенки, поскольку соседний воздух нагревается и охлаждается при его сгущениях и разрежениях. При той быстроте изменения, с какой мы имеем дело в случае слышимых звуков, эти эффекты распространяются лишь на очень тонкий слой воздуха и твердого тела, и потому влияние их в значительной степени усиливается, если вещество разбито на тонкие поры.

Предположим, что стена, представляющая гладкую поверхность, разбита, будучи в других отношениях непрерывной, на большое число подобных узких каналов, равномерно распределенных и ограниченных поверхностями, всюду перпендикулярными к поверхности стены. Если число каналов достаточно велико, то переход, при соприкосновении звука со стеной, от простых плоских волн вне стены к колебаниям воздуха, соответствующим внутренности канала неограниченной длины, занимает пространство, небольшое сравнительно с длиной волны колебания, и тогда связь между положением вещей внутри и вне стены допускает простое выражение.

Рассматривая сначала внутренность одного из каналов и располагая ось х параллельно оси канала, предположим, что компоненты скорости и, v, w и сгущение s, если рассматривать их как функции от х, пропорциональны е^, а если рассматривать их как функции от t — пропорциональны etnt, где п— действительное число. Соотношение между кип зависит от природы газа и от размеров и формы канала и было определено для некоторых важных случаев в § 350, где 1к обозначено через т. Предполагая это соотношение известным, мы теперь покажем, как подойти к задаче об отражении.

Для этой цели рассмотрим уравнение непрерывности, проинтегрированное по поперечному сечению а канала. Поскольку стенки канала непроницаемы,

J J“d’=°.

так что

(1)(1)п J s da-\-k J j* и йз = 0.

(1)

(1)

Это уравнение применимо к точкам, отстоящим от отверстия на расстояние, превышающее более чем в несколько раз, диаметры каналов.

Расположив теперь начало оси х на поверхности стены, составим соответствующие выражения для волн вне стены; здесь мы можем пренебречь влиянием вязкости и теплопроводности. Если а — скорость

падающих ипадающих извука в отверстии канала и к0 = п(а, то для волн, отражающихся перпендикулярно, мы можем написать:

падающих и

падающих и

(2)(3)(2)(3)^ 5<ntf^ 5<ntf$ = (gtfeo« _|_ Ве-1каЖ^ eint,

(2)

(3)

(2)

(3)

^ 5<ntf

^ 5<ntf

и = а (— е^ж —|— Be так что падающая волна есть

8 — ^^ (^^-Ь^о^)

или, отбрасывая мнимую часть,

s = cos (nZ-j-^x). (5)

Эти выражения применимы, когда х превосходит в несколько раз расстояние между каналами. Непосредственно вблизи поверхности движение будет более сложным: однако нам нет необходимости исследовать его подробнее. Отношение и к s вблизи стены получим с достаточной точностью, положив в (2) и (3) х = О,

(6)(6)и _5—1as В + 1

(6)

(6)

Предположим теперь, что слой, заключенный между параллельными плоскостями, расположенными по одной с обеих сторон от х — 0, можно взять настолько тонким сравнительно с длиной волны, что средние давления существенно одинаковы на обеих границах и что поток внутрь этого промежуточного слоя у одной границы практически равен потоку из внутреннего пространства наружу на другой границе, причем в то же время этот слой достаточно широк по сравнению с поперечными размерами каналов, так что допустимо применение соотношения (6) на одной граничной плоскости и соотношения (1) на другой граничной плоскости. Равенство потока не предполагает равенства средних скоростей, так как рассматриваемые площади различны. Средние скорости будут обратно пропорциональны соответствующим площадям, т. е. будут находиться в отношении з : (з-|-з'), если через □' обозначить площадь непроби- той каналами части стены, соответствующей каждому каналу. В силу (1) и (6), связь между движением внутрь и наружу выражается

в видев видеп— ~к3п— ~к3а (В — 1) “ 5+1а (В — 1) “ 5+1(°+^).(°+^).

в виде

в виде

п

— ~к3

п

— ~к3

а (В — 1) “ 5+1

а (В — 1) “ 5+1

(°+^).

(°+^).

Обозначим отношение непробитой каналами части стены к пробитой ее части через g, так что g=a'l<3. Таким образом,

(7)(7)1—5 _ к0

(7)

(7)

1 + 5 "“^(1+^) 1

Если ^=0, то к = к0, т. е. если бы стена исчезла или если бы она была сведена к бесконечно тонким перегородкам между каналами и в то же время мы пренебрегли бы диссипативными эффектами, то отражение не имело бы места. Если совсем нет отверстий (g = oo), то 5=1, что означает полное отражение. В общем случае вместо

(8)(8)(7) мы можем написать о^0 + ^)— ^0

(8)

(8)

*a+£)+v

что и является решением предложенной задачи. Предполагается, что волны, однажды вошедшие внутрь стены, не возвращаются назад.

В случае, когда действуют диссипативные силы, этому условию всегда можно удовлетворить, полагая каналы достаточно длинными. Необходимая длина канала или толщина стены будет зависеть от свойств газа и от размеров и формы каналов. Отражение, даже при отсутствии диссипативных сил, должно происходить, за исключением крайнего случая g=0. Полагая в (8) & = &0, имеем

<9>

Если ^=1, т. е. если вырезана половина стены, то В=^,а В’а = ^, так что отражение мало. Если каналы — круглого сечения и расположены в виде квадратной сетки насколько возможно близко один к другому, то g=(4— чг)/тг, откуда В = 0,121, а В2 =0,015, и почти все движение проходит насквозь.

Если каналы имеют круговое сечение и настолько малы, что величиной пг^ч можно пренебречь, то мы имеем из (24) § 350

—=(10)

так что (21) волна, распространяющаяся внутрь канала, пропорциональна

ет'(» gin ^nt-^-m,,x-\-^1),(11)

где

т = т =1 -,(12)

brar ’v 7

а 7— отношение удельных теплот (§ 246).

В качестве числового примера предположим, что высота звука равна 256, так что п = 2тг • 256. Значение р/ для воздуха равно 0,16 единиц CGS, а значение n равно 0,256. Если положить г = 0,001 см, то найдем, что пг^]^ равно примерно 0,001. Если бы г было в 10 раз больше, то приближение, принятое в (10), было бы, пожалуй, еще достаточным.

Из (12), в случае, если п = 2тс-256,

так что при г = 0,001 см, т = 1,15. В этом случае амплитуда уменьшается в отношении е : 1 после прохождения расстояния Ут/, т. е. около 1 см. Расстояние, на которое проникает звук, пропорционально радиусу канала.

Амплитуда отраженной волны, в силу (8), равна:

о =+^)(1~ 0 — ^0

^(1 +^(1— О+^о’

или, как мы можем написать,

(14)(15)(14)(15)m—i — zm

(14)

(15)

(14)

(15)

гдегдеM + 1—ZM’

где

где

(16)(16)Если обозначить интенсивность отраженного звука через /, а интенсивность падающего звука принять за единицу, то

(16)

(16)

ношением

11 2М2 + 2М + 1*(17)

В силу (12) и (15),

м^о+ууру г У п

2Л12 —27И + 1

2М2 4- 2Л4 4- Г

Интенсивность звука, вошедшего внутрь стены, определится соот-

Если предположить, что г = 0,001 см и g=l, то мы должны иметь стену достаточно плотной структуры. В этом случае, в силу (18), М=АЛД и 1—/ = 0,0412. Потеря 4°/0 может показаться незначительной; однако нужно вспомнить, что при продолжительном резонансе мы имеем дело с накоплением эффекта от большого числа отражений, так что сравнительно малая потеря при одном отражении может оказаться существенной. Толщина пористого слоя, необходимая для того, чтобы вызвать такой эффект, меньше 1 см.

Допустим опять, что г = 0,01 см, g—1. Находим /И = 4,74, 1 —7 = 0,342, и необходимая толщина должна быть меньше 10 см.

Если г значительно больше 0,01 см, то теплообмен между воздухом и стенками канала уже недостаточно свободен, чтобы можно было пользоваться выражением (24) § 350.

Если диаметр настолько велик, что тепловые и вязкостные эффекты проявляются в пределах лишь небольшой его части, то мы имеем случай, рассмотренный Кирхгоффом [(15) § 350].

Здесь

(20)(20)Это значение следует подставить в (8). Если ради простоты мы положим g = 0, то найдем

(20)

(20)

2г У2п *

^/2

7 4г2п ‘

Однако условие £=0 несовместимо с круговым сечением; поэтому предпочтительнее пользоваться решением, соответствующим выражению (27) § 350, и применимым в случае, когда каналы имеют вид узких щелей). Нам следует просто заменить г в (19), (20) и (21) через 2^, где 2_у1 — ширина щели. Падающий звук поглощается все более и более полно по мере возрастания ширины канала; но в то же самое время становится необходимой большая длина канала или большая толщина стены для того, чтобы предотвратить возврат звука от задней стороны. Если g = 0, то теоретически нет предела поглощению; и, как мы видели, не очень большое значение g само по себе может обусловить лишь сравнительно малое отражение. Слабо сбитый стог соломы, повидимому, является настолько же хорошим поглощателем звука, как и любой другой подобный предмет.

В обширных помещениях, ограниченных непористыми стенами, потолком и полом и имеющих мало окон, продолжительный резонанс, повидимому, неизбежен. Заглушающее влияние толстых ковров в подобных случаях хорошо известно. Применение подобного материала для стен и потолка, повидимому, представляет наилучший путь к дальнейшему усовершенствованию.

Одним из наиболее любопытных следствий вязкости является образование в некоторых случаях правильных вихрей. Один из таких примеров, открытый Дворжаком, уже был упомянут в § 260. В идеальной невязкой жидкости подобное явление не могло бы возникнуть (§ 240), и даже если жидкость обладает вязкостью, это — явление второго порядка, т. е. определяется квадратом смещений. Три задачи подобного рода были рассмотрены автором) в другом месте, но здесь мы должны ограничиться явлением Дворжака и упростить вопрос, ограничиваясь двумерным случаем и пренебрегая членами, зависящими от образования тепла и от теплопроводности.

Если предположить, что р = айо и вместо In — писать s, то Ро основные уравнения (12) § 345 будут иметь вид:

«^ да да да ., „ д да . ди\

дх dt дх ду 1 г г дх \дх 1 ду)’

с соответствующим уравнением для у и уравнением непрерывности § 238

^ + ^ + ^ + “^ + ^ = 0'<2>

Каковы бы ни были действительные значения и и у, мы можем написать.

и = -з2- 4-, v =,(3)

dx 1 dyоу ох ’- '

где

W ==(4)

* dx 1 dy ‘ ду 1 дх' '

Из (1) и (2)

/ о I п d \ ds ди । /г7о

\1 r dt / дхdt х г

ди ди „ d / ds , ds\ ZZ -3tHIX y- ZZ у,(5) dx dy r dx \ dx ' dy / *

/ n । n d \ ds dv ।

a2 4- u4- V2y —

\1 “ dt / dy dt ' “

(6)(6)

(6)

(6)

Далее, из (5) и (6)

/ о - r d .„ d \ d-s

(° +I1 y + p ЖГ 8~№ =

dt \ dx 'dy Ji/\ dx~dy /

k^k^d /du,du\d /dv,du\

k^

k^

3— I U "5г" У ]3— ( ZZ V -3— I.

dx \dx1dy)dy\dxxdy)

В первом приближении члены второго порядка по и, -и, s следует опустить. Если предположить, что все периодические функции, как функции от t, пропорциональны eint и писать q вместо а2 -ф- in^f -ф -ф 1^", то уравнение (7) принимает вид:

(8)(8)(9)(9)q^s-Y-n?. =0.

(8)

(8)

(9)

(9)

Но, в силу (2) и (4), V24> = —ins = I -^- V2s, так что

т п ’

и

ц==а^+41, o==a«£_^.(ю)

п dx 1 dyп dy dx;

Подставляя в (5) и (6) и опуская члены второго порядка, получаем, учитывая (8),

^» — lri)^=0, (^V — <»)^ = 0.

9 Здесь нет необходимости добавлять дополнительную функцию р', удовлетворяющую уравнению V2^ = 0, так как соответствующее движение можно рассматривать как выражающееся целиком функцией ф.

откуда

(p/V2 — in)^ = Q.(П)

Если исключить s непосредственно из уравнений (1), то получим

(_Л д / ди . ди\ д / ди , dv\

\ dtду \ дх 1 ду / дх\ дх 1 ду /

д ।(ди .. dV2<p . д?3Ф

= $7<«V^) = ^ + ^-) Р^ф + „. (12)

Если теперь мы предположим, что, как функции от х, величины s, ^ и т. д. пропорциональны е^®, то уравнения (8) и (11) можно написать в виде

— ^£ = 0,(13)

\ду2 )4 '

где &"2 = &2 — л2/^, и

(^-И^0’(14)

где к’^ = № + inf^'.

Если начало отсчета jz-ов поместить посредине между двумя параллельными граничными плоскостями, то s должна быть четной функцией от у, а ф должна быть нечетной функцией. Таким образом, можно написать

s = Д ch к"у • etwt • eikx, <р = В sh к'у • etnt • eikx,(15)

и = (— — • Д ch к"уЦ-к'В ch к'у\ eint • eikx, I

Г\<16)

-и = \——. Д sh к"у — ikB sh k'y) eint • eikx.|

\ nJ

Если неподвижные стенки расположены у у = ±j/1, то ы и v должны обращаться в нуль при этих значениях у. Исключая из (16) отношение Д к В, получаем для определения к уравнение

А-2-th kfyt = к'к" th k"yv(17)

где к' и к" — функции от к, определенные выше. Уравнение (17) можно рассматривать как видоизмененную и упрощенную форму уравнения (11) § 350, видоизмененную ввиду перехода от осевой симметрии к двум измерениям, а упрощенную—вследствие отбрасывания членов, обусловленных теплопроводностью и представленных через v. Сравнение легко произвести. Так как Х2 = оо, то третий член в (11), содержащий Q2, совсем исчезает, и тогда Xf1 выделяется. В уравнениях (11) и (12) г следует заменить через у, a Jo — через косинус, как уже было объяснено. Далее,

^2 =^2, д ;— /п<

Введем теперь дальнейшие приближения, зависящие от допущения, что непосредственное влияние вязкости распространяется

на слой, толщина которого представляет только небольшую часть yv В этом случае k^^n^la^, так что к"уг есть малая величина, a к'ух — величина большая, и мы можем положить

th к'у^ = zt 1, th к"ух = ± k"yr.

Соотношение (17) тогда принимает вид:

(18) то(18) то№ = к'к"\,

(18) то

(18) то

или, если подставить значения к' и к" из (13) и (14),

(

«2 \ /, 7л

^2_М^2 I _ЕЧ .

Таким образом, приближенно

(19)(19)

(19)

(19)

в согласии с уже указанным в § 350 результатом.

Беря приближенную форму уравнений (16), мы должны указать, какую половину симметричного движения мы рассматриваем. Если мы выберем ту половину, для которой у отрицательно, то мы заменим ch к'у и sh &'_у через -^-е~к'^. Вместо ch к"у мы можем писать единицу, а вместо sh к"у — просто к"у. Если мы изменим произвольный множитель так, что максимальным значением и будет и0, а для настоящего случая положим и0 равным единице, то будем иметь

= [ 1 _[_ е-к’ (t/+2/i)j eikxeint^= [ 1 _[_ е-к’ (t/+2/i)j eikxeint^(20)(20)

= [ 1 _[_ е-к’ (t/+2/i)j eikxeint^

= [ 1 _[_ е-к’ (t/+2/i)j eikxeint^

(20)

(20)

где, конечно, и и -и равны нулю при у = —yv

Если в выражениях (20) заменить к на —к и затем взять среднее, то получим

и = [— 1 -j-e-^'^+yO] cos кх etot,

-и —гг 4- е-к' (у+уо1 sin кх eint. k'

Хотя к и не является действительной величиной, мы можем с достаточным для нашей цели приближением считать ее таковой. Мы можем, таким образом, положить в (14)

k'-V" # = ₽('+0-(22)

где р =где р =п2?п2?Применив это приближение в выражениях (21),Применив это приближение в выражениях (21),

где р =

где р =

п2?

п2?

Применив это приближение в выражениях (21),

Применив это приближение в выражениях (21),

получим в действительных величинах:

и = cos кх [— cos nt-\-e-^y*^ cos \nt— P(^4_3,i4]> к sin kx Г у / ,1 \ ।

(23)(23)d —— cos \ntтс I +

(23)

(23)

4~ e-^4^ cos ^nt— -^- it — p (.У+.У1)•

Выражения, с которыми нам придется иметь дело, будут короче, если вместо того, чтобы отсчитывать у от плоскости симметрии, как до сих пор, отсчитывать их от стены (с отрицательной стороны), для чего нам нужно писать .у вместо у -J-^j. Таким образом.

иг = cos кх [— cos nt-\-e-^ cos (nt — Ру)], '

D.D.к sin kx?/2к sin kx?/2-У1—_y- Jt-У1—_y- Jtcoscos' , 1' , 1(24)(24)— e— e

D.

D.

к sin kx?/2

к sin kx?/2

-У1—_y

- Jt

-У1—_y

- Jt

cos

cos

' , 1

' , 1

(24)

(24)

— e

— e

где индексы указывают порядок членов.

Таковы значения скоростей, если пренебречь квадратами смещений. Переходя ко второму приближению, необходимо образовать выражения для правых частей уравнений (7) и (12), которыми при определении первого приближения мы совершенно пренебрегли. Дополнительные члены, зависящие от квадратов смещения, частично не зависят от времени, а частично имеют двойную частоту и содержат 2nt. Последние не представляют большого интереса, так что мы ограничимся непериодической частью. Допустимы и дальнейшие упрощения ввиду малой толщины заторможенного слоя по сравнению с шириной канала 2^ и тем более по сравнению с длиной волны А. Таким образом, к^ представляет малую величину, и обычно ею можно пренебречь.

Из (24) имеем

V3^ = Р V2 cos кхе-^ sin ^nt — -|- тс — (Зу^,(25)

sin &-r cos nt,(26)

ox 1'

4 ^^ 4- ^1 ^Г = у ^ sin 2kxe*^ (— cos Py-J-e"^) +

4- члены, содержащие 2nt, (27)

(Й+ ^)va^ = — 4 ^sin ^кхе~^ (sin Яу 4-cos M 4-

4~ члены, содержащие 2nt. (28)

Следовательно, для непериодической части ф второго порядка имеем из (12)

V4^a =— sin 2kxe~^y (sin Р_у4~3 cos p.y— 2e-^y(29)

Отождествим в этом выражении V4 с у^ , так что

(30)(30). ksinSkxe-^।। 1 -3w

(30)

(30)

^=- ' 1W—j sinp^ + 3cos^ + -2 е '“);

к этому выражению можно добавить произвольную функцию, удовлетворяющую условию V4^a = 0, вида:

% = WFVAsh^^t-y^ + B^-^ehlfe^-y-)!,(31)

или, как приближенно можно положить, если yt мало по сравнению с а,

Ъ =* 1 wx м' ^ - ^+в' ^ -у)8»-<32>

Уравнения (30) и (32) дают непериодическую часть ф второго порядка.

Значение s во втором приближении надлежало бы исследовать при помощи уравнения (7). Оно будет состоять из двух частей — первой, не зависящей от t, и второй, — являющейся гармонической функцией аргумента ^nt. При вычислении части ^, независимой от t, из

ds ds dsт dt dx dy ’

член dsfdt не дает нам ничего. В остальных членах правой части достаточно будет использовать значения и. у, s из первого приближения. Из

ds dudu

dtdxdy

в комбинации с (26) мы получаем

у = — — sin kx sin nt,a

откуда д2ф3 ки^

W)"3 “ W C0S2 кХв'^ Sin ^*

Отсюда легко видеть, что часть и^ обусловленная д^/дх в (3), имеет порядок &2/Р2 по сравнению с частью (33), обусловленной фа, и может быть опущена. Следовательно, в силу (30) введя значение р и (для восстановления однородности) и^, получим

//^ Я1П ^ItXP- ^

и^ =^(4sin р^ -|- 2 cos ру 4- ^“ W(33)

cos2^xe-^ <i >

^з ={ sin ^ з cos ^ _|_ _ e-py J ?(34)

а из (32)

^2 —

и? sin 2кх , ^—KA'^B'k^-m.

(35)

2ki& cos 2kx

^ =^—^'^-yWB'^-y^V(36)

Полные значения членов второго порядка по « и у получатся путем сложения (33) с (35) и (34) с (36). Постоянные А' и В' определяются из условия, что эти значения обращаются в нуль при у = 0. Таким образом, мы получаем в качестве полного выражения членов второго порядка

a! sin 2кх (

аа =^— ) е“^ (4 sin ^ 4" 2 cos (Зу 4” е"^ +

। 39 (^-у)2)

+ 22 v2 I

2ки^ cos 2кх

<38)

22 л \

Вне тонкой пленки воздуха, подверженной непосредственному влиянию трения, мы можем положить е-^ = 0, и тогда

За^ sin 2кх f i 3 ^t—у)2“a = [ба ( Л3uq • 2# cos 2kx J v «,За^ sin 2кх f i 3 ^t—у)2“a = [ба ( Л3uq • 2# cos 2kx J v «,у2 =у2 =16а16а№—J^)3Л№—J^)3Л(39)(39)(40)(40)

За^ sin 2кх f i 3 ^t—у)2

“a = [ба ( Л

3uq • 2# cos 2kx J v «,

За^ sin 2кх f i 3 ^t—у)2

“a = [ба ( Л

3uq • 2# cos 2kx J v «,

у2 =

у2 =

16а

16а

№—J^)3

Л

№—J^)3

Л

(39)

(39)

(40)

(40)

Из (39) мы видим, что аа изменяет знак при переходе от границы у/=0 к плоскости симметрии _у =_yt, причем критическое значение у равно ^^1 — |Х"у), или 0,423 у1.

Значение аг из (24), соответствующее (39), есть

uv =— и0 cos kx cos nt,(41)

так что пучности соответствуют значениям кх = 0, тс, 2тс и 13

а узлы — значениям kx = -^*R, у тс, ...

Стационарное движение, выражаемое формулами (39) и (40), имеет очень простой характер. Оно состоит из ряда вихрей, периодичных по х с периодом -^ X. Из соотношения (40) видно, что -и положительно в узлах и отрицательно в пучностях, обращаясь, конечно, в нуль в обоих случаях у стенки у = 0 и у плоскости симметрии y=yv На фиг. 65 АВ изображает стенку, CD— пло-

скость симметрии, а направление движения в вихрях показано стрелками. Следует особо отметить, что скорость вихревого движения не зависит от у/, так что этот эффект нельзя устранить, принимая вязкость бесконечно малой. Таким путем можно, конечно, уменьшить тенденцию к вихреобразованию, но при этом в одинаковом отношении облегчается сохранение вихрей, так что по достижении конечной стадии движения вихри столь же существенны при малой вязкости, как и при большой. Тот факт, что, когда пренебрегают вязкостью с самого начала, такие вихри совершенно

не входят в решение, показывает, какая исключительная осторожность необходима £ -п

при рассмотрении->.*--*

задач, относящихся♦f♦+♦

к поведению слабо•*^"*""*" л

вязких жидкостей,qy2jrл3/2 Л2л "

соприкасающихся сфиг б5

твердыми телами.

Вычисляя среднее движение до второго порядка, следует рассмотреть еще один пункт, которого мы пока не касались. Значения uv и их в выражениях (24), правда, строго периодичны, но это свойство не относится к определяемым ими движениям частиц жидкости. В нашем обозначении и является не скоростью какой- либо индивидуальной частицы жидкости, а скоростью той частицы— независимо от ее индивидуальности, — которая в рассматриваемый момент занимает положение х, у (§ 237). Если действительное положение в момент t частицы, среднее положение которой на протяжении нескольких колебаний было (х, у), есть х -|- $, У + т), то действительные скорости этой частицы в момент t будут не uv dv а

И I а“1 ?д_^1v^vtxdvx

и, следовательно, средняя скорость в направлении, параллельном х, не равна обязательно нулю, а равна среднему значению величины

(42)

где опять

6 = J их dt, т) = j* ^ dt.(43)

В нашем случае среднее значение величины (42) есть

(44)(44)— sin Skxe-^y (е~№ — cos ^у),

(44)

(44)

которое следует рассматривать как дополнение к (37). Однако на небольшом расстоянии от стенки можно пренебречь величиной (44), так что (39) остается справедливым.

Мы видели, что ширина прямого потока вдоль стенки _у = О равна 0,423^, а ширина возвратного потока, измеренная до плоскости симметрии, равна 0,577^. Отношение этих величин не изменится от введения второй половины канала, расположенной за плоскостью симметрии; таким образом, прямой поток заметно уже, чем возвратный. Эта диспропорция увеличивается в случае трубы круглого сечения. Рассматриваемый вопрос зависит фактически только от дополнительной функции, аналогичной (32), и настолько прост, что, пожалуй, стоит указать вкратце ход вычислений.

Уравнение для ^а таково г):

— - / — = 0;<45)

\ОГ^ Г дг ук /

но если мы предположим, что радиус трубы мал по сравнению с А, то можно опустить №. Общее решение имеет вид:

% = (Л 4- 5г 4- B'r^ In г -|- Cr4) sin 2&х,(46)

так что

ма = 1 ^ = [25 + В' (2 in г + 1) + 4Cr2] sin ^кх, (47) откуда В' = 0 — из условия в точке г=0. Далее,

^2 = — у^^ — 2& (Лг-1 -j- Br-\- Cr3) cos Skx, (48)

откуда Л = 0.

Поэтому мы можем положить

йа = (2 В 4- 4Cr^) sin 2кх, 1

^2 = — 2к (Br-\-Cr3) cos Skx. J^^

Если, как в выражении (40), уй = 0 при г = R, то В -{-С/?2 = 0, и йа = 2С (2г2 — R^ sin ^кх.(50)

Таким образом, ма равно нулю при

r = -^ = 0,707/< R — r = 0,293R.

Следовательно, прямой поток ограничен кольцом толщиною 0,293 R, а возвратный поток занимает всю внутреннюю часть и потому имеет диаметр 2-0,707/?, или 1,414/?.

ГЛАВА XX

КАПИЛЛЯРНОСТЬ

Темой настоящей главы является поведение невязкой несжимаемой жидкости, совершающей колебания под действием тяжести и капиллярной силы, в частности, последней. В силу первого условия, мы можем допустить наличие потенциала скоростей <р, который, в силу второго условия, должен всюду внутри жидкости удовлетворять (§ 241) уравнению

V2<p = 0.(1)

Выраженное через ср уравнение для давления имеет вид (§ 244):

Р " dt ’

если допустить, что движение столь мало, что квадратом его можно пренебречь. Единственной приложенной силой, действующей внутри жидкости, которую нам приходится рассмотреть, является сила тяжести; таким образом, если z измеряется по вертикали вниз, то R = gz и (2) принимает вид:

^Рд^/ох

7(3)

Рассмотрим теперь распространение волн по горизонтальной поверхности (z = 0) воды, или другой жидкости, постоянной глубины /, ограничивая рассмотрение двумерным случаем, когда движение ограничено плоскостью zx. Общее решение уравнения (1) при этом условии и при условии, что смещение пропорционально е^30, есть

<р __ егкс ^Ае^3 -]- Ве-к8),

или, учитывая условие, что вертикальная скорость должна исчезать у дна, где z = l,

cp = Cch^(z — t)-ete.(4)

Если бы смещение было пропорционально также е^*, то, отбрасывая мнимую часть в (4), мы получили бы для волн, распространяющихся в отрицательном направлении, выражёние:

^ — Cdxk^z— Г) cos (nt-\-kx\(5)

в котором остается еще найти соотношение между п и к.

Если обозначить через h, поднятие поверхности воды в точке х, а через Т—капиллярную постоянную, то давление на поверхности, создаваемое капиллярностью, будет равно —^'^’ и (3) принимает вид:

Т d^h , , dv

Р дх^^ + dt ’

или, дифференцируя по t и вспоминая, что ^ = —~,

^?(РЛ

р дх^ dz ° dz д^''

Применяя это уравнение к (5), где z = 0, получаем для скорости распространения выражение

где, как обычно,

й = Т-<8)

Во многих случаях глубина жидкости достаточна, чтобы можно было положить kl = 1; тогда

+(9)

2тг рХ 7v 7

определяет соотношение между У и X. Если X велико, то волны движутся, главным образом, под действием силы тяжести со скоростью, приблизительно равной \^gX^it. С другой стороны, при малом X влияние капиллярности становится преобладающим, и выражение для скорости принимает вид:

(Ю)

Так как X = Ут, то соотношение между длиной волны и периодом, соответствующее (10), имеет вид:

Если не обращать внимания на численный множитель, соотношения (10) и (11) можно вывести из соображений размерности, пользуясь тем, что размерность Т есть сила, деленная на длину.

Если мы станем исследовать, какое значение X соответствует данному значению К, то из квадратного уравнения (9) получим

X = — ± - 1/ V4

g — g 'Р ’

откуда видно, что меньше Vo, еслиоткуда видно, что меньше Vo, если(13)(13)ни для какой длины волны V не может быть

откуда видно, что меньше Vo, если

откуда видно, что меньше Vo, если

(13)

(13)

Значения Хит, соответствующие минимальной скорости, определяются соотношениями:

(14)(14)

(14)

(14)

Если положить в единицах CGS ^ = 981 и принять для воды р=1, Т=76, то будем иметь V0 = 23,l, Хо= 1,71, 1/т=13,6.

Приводимая таблица содержит несколько соответствующих друг другу значений длины волны, скорости и частоты вблизи критической точки:

Длина волны 0,51,01,72,53,05,0

Скорость 31,524,723,123,924,929,5

Частота 63,024,713,69,68,35,9

Сравнение формулы Кельвина (9) с наблюдениями произвел Ма- тиссен1); рябь на поверхности создавалась путем прикосновения к поверхности различных жидкостей нырков, прикрепленных к колеблющимся камертонам известной частоты. Среди испытывавшихся жидкостей были вода, ртуть, спирт, эфир, сероуглерод; было обнаружено удовлетворительное согласие. Наблюдения охватывали частоты до 1832 и длины волн до 0,04 см.

В некоторой степени аналогичные опыты были выполнены автором а) с целью определения Т при помощи метода, независимого от какого бы то ни было предположения относительно углов соприкосновения между жидкостью и твердым телом и применимого к поверхностям, очищенным от жира до возможных пределов. Для того, чтобы волны были хорошо видимы, свет был сделан прерывистым с периодом, равным периоду волн (§ 42), а для того чтобы сделать видимыми малые отклонения от правильности плоских или сферических отражающих поверхностей, применялся метод Фуко. Из измеренных значений т и X можно определить Т посредством (И), внеся в случае необходимости поправку на некоторое небольшое влияние силы тяжести. Таким способом были получены следующие значения: для чистой воды 74,0 CGS, для поверхности, загрязненной жиром до

0 Matthiessen, Wied. Ann., том XXXVIII, стр. 118, 1889.

2) «Оп the Tension of Water Surfaces, clean and contaminated», Phil. Mag., том XXX, стр. 386, 1890.

такой степени, что движения камфоры почти прекращаются, 53,0, для поверхности, насыщенной оливковым маслом, 41,0, для поверхности, насыщенной олеатом натрия, 25,0. Следует иметь в виду, что натяжение загрязненных поверхностей подвержено изменениям, зависящим от растяжения, которое уже произошло или происходит; но для целей, преследуемых в настоящем труде, нет необходимости входить дальше в рассмотрение вопроса о «поверхностной вязкости».

Другой метод создания капиллярных волн, или ряби (cris- pations), как назвал эти волны Фарадей, основывается на принципе, рассмотренном в § 68^. Если покрыть тонким слоем воды или другой подвижной жидкости стеклянную пластинку, которая удерживается в горизонтальном положении и приводится в колебание, как для получения хладниевых фигур, то легко наблюдать описываемые явления т). Над теми частями пластинки, которые совершают заметные колебания, поверхность собирается в мелкие складки, причем степень малости складок увеличивается с частотой колебаний. Такая же рябь наблюдается на поверхности жидкости в широком бокале или в стеклянной чаше, которые приводятся в колебание обычным способом путем движения мокрого пальца вдоль окружности верхнего края сосуда (§ 234). Для создания ряби существенно только, чтобы жидкость со свободной поверхностью была вынуждена совершать вертикальные колебания. При этом безразлично, возникает ли движение со дна, как в первом случае, или, как во втором случае, оно вызывается попеременным продвижением и отступлением боковой границы так, что ближайшая поверхность жидкости должна подниматься и опускаться для того, чтобы приспособиться к этим попеременным движениям.

Более шестидесяти лет назад природу этих колебаний с большим искусством и успехом исследовал Фарадей а). Простейшие условия получаются, когда колеблющаяся горизонтальная пластинка, на которой разлита жидкость, просто движется вверх и вниз без вращения. Для того чтобы достичь этого, Фарадей прикреплял пластинку к середине стеклянной полоски или елового бруска, подпертого в узлах, который он заставлял колебаться при помощи трения. Еще более удобен большой железный стержень, колебания которого поддерживаются электрически; к такому стержню пластинку можно прикрепить при помощи замазки.

Колеблющаяся жидкость на пластинке обнаруживает явления, которые на первый взгляд довольно трудно объяснить и которые значительно изменяются в зависимости от природы жидкости в отношении прозрачности и мутности и от угла падения света. Колебания

9 «On the Crispations of Fluid resting upon a vibrating support», Phil. Mag., том XVI, стр. 50, 1883.

2) Faraday, PHU. Trans., стр. 299, 1831.

Фиг. 66.Фиг. 66.

Фиг. 66.

Фиг. 66.

слишком быстры, чтобы можно было проследить за ними глазами; таким образом, наблюдаемый эффект представляет среднее, получающееся в результате наложения бесконечного числа элементарных впечатлений, соответствующих различным фазам.

Если пластинка — прямоугольная, то движение жидкости состоит из двух налагающихся рядов стоячих волн, причем гребни и впадины обоих рядов перпендикулярны друг к другу и обычно параллельны краям пластинки. Сосредоточив внимание в некоторый момент на одном ряде стоячих волн, посмотрим, каких явлений можно от него ожидать. На мгновение гребни образуют ряд параллельных и равноотстоящих линий с интервалом X между ними. Посредине между ними расположены линии, представляющие в данный момент положение впадин. По истечении четверти периода поверхность гладкая; еще через V4 периода гребни и впадины снова достигают максимального развития, но они взаимно обменялись местами. Поскольку наблюдается только средний эффект, ясно, что нельзя заметить никакого различия между гребнями и впадинами и что наблюдаемый эффект должен быть периодическим в пространстве, повторяясь через отрезки, равные

-j-X. Если жидкость на пластинке несколько замутить путем добавления анилиновой голубой краски и рассматривать ее в проходящем рассеянном свете, то линии гребней и впадин будут казаться более светлыми по сравнению с промежуточными узловыми линиями, где нормальная глубина сохраняется в течение всего времени колебаний. Выигрыш в свете в момент, когда толщина мала, будет, в соответствии с законом поглощения, перевешивать потерю света, происходящую через полпериода, когда впадина заменяется гребнем.

В действительности явление более сложно вследствие наличия двух рядов гребней и впадин в перпендикулярных направлениях (х, у У На приведенной фиг. 66 толстые линии изображают гребни, а тонкие — впадины обеих систем в момент наибольшего смещения. Через четверть периода поверхность оказывается гладкой,

а через полпериода гребни и впадины обмениваются местами. Местами наибольших поднятий и опусканий являются пересечения толстых линий друг с другом и пересечения тонких линий друг с другом: эти места неразличимы простым глазом. Они представляются как бы ямками в слое краски. Узловые линии, где нормальная глубина цвета сохраняется в продолжение всего времени колебаний, изображены пунктиром; они проходят через пересечения тонких линий с толстыми и наклонены к ним под углом в 45°. Картина периодически повторяется в направлении осей jc и у, причем в каждом случае с интервалом, равным действительной длине волны X. Таким образом, расстояние между светлыми пятнами, измеренное параллельно х или у, равно л; но кратчайшее расстояние между этими пятнами будет измеряться в направлениях, расположенных под углом в 45°, и равно Х/|/^.

Как и во всех подобных случаях, эти стоячие волны можно соответствующим движением глаза разложить на их движущиеся компоненты. Рассмотрим, например, простую последовательность волн, представляемую уравнением

2 cos кх cos nt = cos (nt -[- kx) -j- cos (nt — kx).

Такое уравнение получается относительно начала, неподвижного в пространстве. Но отнесем явление к началу координат, движущемуся вперед со скоростью п[к волн так, чтобы получить впечатление, которое было бы создано в глазе или в фотографическом аппарате, продвигаемом вперед таким же образом. Подставляя kx'-^-nt вместо кх, мы получаем

cos (kxr -j- ^nt) -j- cos kx'.

Средний эффект первого члена не зависит от хг, так что то, что мы видим, есть просто последовательность бегущих волн, которая движется вместе с глазом.

Для того чтобы видеть бегущие волны, нет необходимости двигать всей головой, но нужно только поворачивать глаза как в том случае, когда мы следим за движением реального объекта. Сделать это (просто глазом) с первого раза не очень легко, в особенности, если площадь пластинки сравнительно мала. Но двигая какой-нибудь указатель с переменной быстротой, пока не будет найдена правильная скорость, и заставляя глаз следить за движением, можно приучить его двигаться так, как необходимо; а после нескольких успешных попыток повторение становится легким.

Утверждение Фарадея, что период волны вдвое больше, чем период подставки, встретило возражения, но его можно проверить различными путями. Наблюдение при помощи стробоскопических методов, пожалуй, наиболее удовлетворительно. Сила колебаний и малая глубина жидкости препятствуют точному вычислению частоты на

основе наблюденной длины волны. Теория колебаний в частоте субоктавы уже была рассмотрена (§ 68).

Типичные стоячие волны образуются при наложении одинаковых бегущих положительных и отрицательных волн равной частоты. Если одна последовательность волн образуется из другой путем отражения, то равенство частот достигается автоматически; но если обе последовательности волн происходят от различных источников, получение унисона требует специального приспособления, и возникает вопрос о влиянии незначительной ошибки. В качестве выражения, определяющего обе последовательности бегущих волн одинаковой амплитуды и приближенно равной частоты, можно принять

cos (&х — nt) -]“ cos (kfx -[- n't),

или, что то же самое,

2 cos|-|- (^4~^,)x-i_y(n,~'n)^}cos| -^ ^к' — к) х 4- -^ (п' 4- п) z| .(1)

Если п' = п, k' = к, то волны абсолютно неподвижны; но теперь нам нужно истолковать выражение (1) для случая, когда (д'— п), (к'— к) просто малы.

Положение гребней и впадин почти стоячих волн, описываемых уравнением (1), в некоторый момент времени t определяется выражением.

i (к 4- к') х 4~ -^ (п'— п)1 = т-к,(2)

где т.— целое число. Следовательно, скорость перемещения U равна

k + kf ’

или приближенно

<3>

откуда видно, что во всех случаях смещение происходит в направлении распространения волн более высокой частоты или по направлению к источнику более низкой частоты. Если V—скорость (njk) бегущих волн, то (3) можно переписать в виде

Медленное перемещение мест максимального смещения при таких обстоятельствах представляет общее явление, не зависящее от особенностей того или иного частного вида волн; но наиболее поразительным

Phil. Mag., том XVI, стр. 57, 1883.

является пример капиллярных волн, описанный Лиссажу 1). В его эксперименте два настроенных почти в унисон камертона касаются поверхности воды так, что создают приближенно стоячие волны в области между точками соприкосновения. Так как гребни и впадины неразличимы, то видимая картина состоит из волн, имеющих кажущуюся длину волны, вдвое меньшую действительной, и вся картина медленно смещается по направлению к более низкому камертону. Частота около 50 будет подходящей для удобного наблюдения.

Если волны — воздушные, то скорости не различаются; однако уравнение (4) все же хорошо удовлетворяется и определяет быстроту, с которой должно перемещаться ухо, чтобы все время оставаться в пучности или в узле.

356. Одна из лучших возможностей для исследования капиллярных волн представляется в том случае, когда эти волны приводятся к покою путем встречного движения воды. Волны этого рода иногда описываются как стоячие волны, и обычно их можно наблюдать, когда равномерное движение потока возмущается препятствиями. Так, если касаться поверхности небольшим стержнем или леской, или смещать жидкость на поверхности прикосновением слабой воздушной струи, вытекающей из небольшого отверстия, то часто развертывается красивая картина, неподвижная относительно препятствия. Она была описана и изображена Скотт Рёсселем а), который отметил, что для интенсивности явления и размеров захватываемой области имеет большое значение чистота воды. Вверх по потоку от препятствия длина волны мала и, как впервые было ясно показано Кельвином, сила, управляющая колебаниями, есть главным образом сила сцепления. Вниз по потоку волны длиннее и управляются главным образом силой тяжести. Обе последовательности волн движутся относительно воды с одной и той же скоростью (§ 353), именно с той, которая необходима для того, чтобы они могли оставаться неподвижными относительно препятствия. То же условие определяет скорость, а тем самым и длину волны, в той части картины, где волновые фронты наклонны к направлению движения. Если обозначить угол между этим направлением и нормалью к волновому фронту через 6, то скорость распространения должна быть равна -у0 cos 6, где yQ обозначает скорость воды.

Если у0 меньше 23 см в секунду, то невозможна никакая волновая картина, так как никакие волны при этом не могут двигаться вдоль поверхности настолько медленно, чтобы сохранять неподвижное положение относительно препятствия. Когда -у0 превосходит 23 см в секунду, то образуется волновая картина; но угол 0 имеет предел, определяемый соотношением у0 cos 9 — 23, и искривленный волновой фронт имеет соответствующую асимптоту.

Ч Lissajous, Compt. Rend., том LXVII, стр. 1187, 1868.

Scott Russel, Brit. Ass. Rep., стр. 375, в таблице 57, 1884. См. также Poncelet, Ann. d. Chitn., том XLVL, стр. 5, 1831.

Дальнейшее рассмотрение вопроса здесь завело бы нас слишком далеко; однако можно упомянуть, что эта задача для двух измерений допускает аналитический подходт) и что решение удовлетворительно объясняет одну из специфических черт явления, а именно, ограничение меньших (капиллярных) волн частью поверхности, расположенной вверх по потоку по отношению к препятствию, а больших волн (гравитационных) — частью, расположенной вниз по потоку от препятствия.

357. Широкий класс явлений, не только интересных самих по себе, но и проливающих свет на другие, еще более темные явления, получает объяснение в связи с изменениями, которые претерпевает цилиндрическое жидкое тело, медленно смещенное из положения равновесия и затем отпущенное. Такой цилиндр образуется при истечении жидкости под давлением сквозь круглое отверстие по крайней мере в случае, когда можно пренебречь силой тяжести; при этом поведение струи, изученное экспериментально Саваром, Магнусом, Плато и другими, практически независимо от общего движения вперед всех частей ее.

Во избежание повторений и для того, чтобы вести изложение в соответствии с общим характером настоящего труда, мы начнем исследование с теории бесконечного жидкого цилиндра, рассматриваемого как система, находящаяся в равновесии под действием силы капиллярности. Большинство экспериментальных результатов легко будет связать с решением этой механической задачи.

В цилиндрических координатах z, г, ср уравнение слегка возмущенной поверхности можно написать в виде

r = aQ-Vf^t z\ (1)

где /(<р, z)—всегда малая величина. По теореме Фурье произвольная функция / может быть разложена в ряд, состоящий из членов вида ап cos п^ cos kz-, и, как мы увидим из дальнейшего исследования, каждый из этих членов можно рассматривать независимо от других. Каждый косинус можно заменить синусом; суммирование распространяется на все положительные значения к и на все целые положительные значения п, включая нуль.

Величина а0 не остается абсолютно постоянной во время движения; ее значение должно определяться условием неизменности заключенного в цилиндре объема. Для поверхности '

находимнаходим(2)(2)г = а0 -ф- ап cos п^ cos kzг = а0 -ф- ап cos п^ cos kzобъем =объем =

находим

находим

(2)

(2)

г = а0 -ф- ап cos п^ cos kz

г = а0 -ф- ап cos п^ cos kz

объем =

объем =

1) «On the Form of Standing Waves on the Surface of Running Water», Proc. Land. Math. Soc., том XV, стр. 69, 1883.

таким образом, если обозначить через а радиус сечения невозмущенного цилиндра, то

22,1г

а — йо Н- ^ ап> откуда приближенно

й»=й(1-^)-

Это соотношение хорошо удовлетворяется при п = 1, 2, 3, . . . При п = 0 формула (2) дает вместо (3)

Й« = °(1~4-ЯО)

Потенциальная энергия системы в любой конфигурации, создаваемая силой капиллярности, просто пропорциональна поверхности. В выражении (2)

И

г , , /drV , /1 дг\з I1» . ,

= Ц2тш0 ^ ^ itkVna 4-тт ^ ,

так что в силу (3), обозначая через а поверхность, соответствующую в среднем единице длины,

1а2

а = 2ъа -ф- ^- и(^3й3-ф- гР—1)-^.(5)

Следовательно, потенциальная энергия, связанная с силой капиллярности, определенная на единицу длины из равновесной конфигурации, есть

1а2

P =(6)

где Т, как обычно, обозначает поверхностное натяжение.

В выражении (6) предполагается, что ни к, ни п не равны нулю. Если к = 0, то нужно удвоить (6), чтобы получить потенциальную энергию, соответствующую

r = o04-aracosfi<p,(7)

а если п = 0, то нужно положить

ос2

P = ^T(W—(8) в соответствии с

г = а0 4~ «о cos ^z-(9)

Из соотношения (6) следует, что когда п равно единице, или какому-нибудь большему целому числу, то Р имеет положительное значение, что показывает, что при всех смещениях такого рода

начальное положение равновесия является устойчивым. Для случая смещений, симметричных относительно оси (п = 0), из (8) мы видим, что равновесие устойчиво или неустойчиво в зависимости от того, будет ли ка больше или меньше единицы, т. е. в зависимости от того, будет ли длина волны (2г/&) симметричной деформации меньше или больше окружности цилиндра,—положение, впервые установленное Плато.

Если выражение (2) для г содержит несколько членов с различными значениями п и к и с произвольной заменой косинусов на синусы, то соответствующее выражение для Р находится путем простого сложения выражений, соответствующих отдельным компонентам, и содержит только квадраты величин а (но не произведения их).

Нам нужно теперь рассмотреть кинетическую энергию движения. Поскольку жидкость предполагается невязкой, существует потенциал скоростей й, который удовлетворяет уравнению Лапласа в силу несжимаемости жидкости. Так, [(4) § 241],

д?Ф I 1 5ф । 1 <^ । сГФ - дг^ ' г дг ' г^ д^ ' dz3 ’

или, если для получения соответствия с (2) мы предположим, что переменная часть пропорциональна cos п'о cos kz, то

¥t+ —+= 0.(10)

or^ 1 г or1' '

Решение уравнения (10) при условии, что нет притока и оттока жидкости вдоль оси симметрии, имеет вид (§ 200):

= ^ИУИ (tkr^ cos о? cos kz.(11)

Постоянную Рп следует определить из условия, что радиальная скорость при г = а совпадает со скоростью, предполагаемой в выражении (2). Таким образом,

(12)

Если плотность есть р, то кинетическая энергия движения, в силу теоремы Грина (2) § 242, равна

^ f J [ ^ $1 а ^ ^ = Т ^ ' ^а * ^п ^а^ ^ ^^ * ^’

так что, если обозначить через К кинетическую энергию на единицу длины, то, в силу (12),

К = - про9 -.(13)

4 Ika • Ju Цка) X dt /

При ц = 0 вместо (13) следует принять

К=—№-?.(14)

ika • JQ (ika) \ dt /

Наиболее общее значение К получается из частных значений, определяемых выражениями (13) и (14), простым сложением. Поскольку выражения для Р и К содержат только квадраты, а не произведения величин a, dajdt и соответствующие величины, в которых косинусы заменены синусами, то отсюда следует, что движения, выражаемые соотношением (2), происходят совершенно независимо друг от друга, пока смещение в целом мало.

Для свободного движения получаем методом Лагранжа из (6) и (13)

dV . Т ika-j'^lka}

к^ + ^а«3 — 1) «„ = О, (15)

что без всяких изменений применимо и к случаю п = 0. Таким образом, если ап изменяется пропорционально cos(p£— е), то

Т ika.j'uka^

Р^ = —ч V (”3 + ^ — 1) П(16)

определяет частоту колебаний в случаях устойчивости.

Если п = 0, а ка<\, то решение меняет свой вид. Если предположить, что а0 изменяется пропорционально e^t, то

т Ika • Д (ika\

——^—1(1 _ к^у(17)

4 ра» Jo ^ка?)4'v '

Когда п больше единицы, то условия обычно таковы, что движение приближенно происходит только в двух измерениях. Тогда мы можем с успехом предположить в (16), что ка мало. Таким путем получим [(5) § 200]

^^"^-ч-^^Ф+^И)]-‘(18)

или, если совершенно пренебречь ка, то получим двумерную формулу:

Р = («3 —«)^.(19)

При п=\ нет восстанавливающей силы при чисто двумерном смещении. Если обозначить через А длину волны, измеренную по окружности, то К = с2'ка1п. Таким образом, в (19) при бесконечных п и а

^=7(^У<20)

в согласии с теорией капиллярных волн на плоской поверхности. Сравните с (7) § 353.

Аналогичное заключение можно вывести, рассматривая волны, длина которых измеряется по оси. Так, если к = 2и!к и а = оо,

/г = 0, то (16) приводится к (20) в силу/г = 0, то (16) приводится к (20) в силусоотношения (§§ 302, 350)

/г = 0, то (16) приводится к (20) в силу

/г = 0, то (16) приводится к (20) в силу

1.

2=oo J0W

Много лет назад Бидон (Bidone) экспериментально исследовал поведение водяных струй, вытекающих под большим давлением горизонтально из отверстий в тонких пластинках. Если отверстие — круглое, то сечение струи, хотя и уменьшается по площади, но сохраняет круговую форму. Но если отверстие не круглое, то происходят любопытные трансформации. Особенности отверстия усиливаются в струе, но в обращенном виде. Так, в случае эллиптического отверстия с горизонтальной большой осью сечения струи с увеличением расстояния от отверстия постепенно теряют эллиптическую форму, пока, наконец, на известном расстоянии не принимают круговую форму. Еще дальше от отверстия сечения снова принимают форму эллипса, но уже с вертикально расположенной большой осью, эллиптичность (в условиях, при которых производились эксперименты Бидона) усиливается, пока в конце концов струя не превращается в плоский слой, расположенный в вертикальной плоскости — очень широкий и тонкий. Этот слой сохраняет непрерывность на значительном расстоянии (например, шесть футов) от отверстия и, наконец, в него проникает воздух. Если отверстие имеет форму равностороннего треугольника, то струя расслаивается на три слоя, симметрично расположенных вокруг оси, причем так, что плоскости слоев перпендикулярны к сторонам отверстия; подобным же образом, если отверстие представляет собой правильный многоугольник с любым числом сторон, то образуется соответствующее число слоев, перпендикулярных к сторонам многоугольника.

Бидон объясняет образование этих слоев, пользуясь более простыми случаями встречи потоков. Так, одинаковые струи, движущиеся вдоль одной и той же прямой с равными и противоположно направленными скоростями, сплющиваются в диск, расположенный в перпендикулярной плоскости. Если оси струй пересекаются под углом, то образуется симметричный слой в плоскости, перпендикулярной плоскости встречи струй. Поведение тех частей сгруи, которые истекают из внешних частей одного и того же несимметричного отверстия, рассматривается им как в некотором отношении аналогичное поведению независимых пересекающихся струй.

Во многих случаях, в особенности при малых отверстиях и низких давлениях, расширение слоев достигает предела. Сечения струи на еще больших расстояниях от отверстия обнаруживают постепенное слияние слоев, пока струя снова не принимает компактной формы, похожей на форму струи в месте первого сжатия. За этой точкой, если сгруя сохраняет когерентность, слои посте-

пенно вновь выступают, но в направлениях, делящих пополам углы между направлениями прежних слоев. Эти слои в свою очередь могут достигнуть предела развития, снова сжаться и т. д. Магнус тщательно изучил и изобразил те формы, которые принимает струя в случаях отверстий различной формы, включая прямоугольник, равносторонний треугольник и квадрат. Явления этого рода встречаются на каждом шагу; их можно обычно наблюдать, когда жидкость выливается через край сосуда, расположенного на небольшой высоте.

Как предположили впервые Магнус ’) и Буфф 3), причину сжатия слоев после их первоначального развития следует искать в капиллярной силе, благодаря которой жидкость ведет себя так, как будто бы она заключена в оболочку с постоянным натяжением; а повторяющаяся форма струи создается колебаниями столба жидкости около круговой равновесной конфигурации, налагающимися на общее движение текущей жидкости. Так как фаза колебания, начавшегося при прохождении жидкости сквозь отверстие, зависит от протекшего времени, она будет всегда одной и той же в данной точке пространства: таким образом, движение стационарно в гидродинамическом смысле, и граница струи представляет собой неизменяющуюся поверхность. По отношению к жидкости рассмотренные здесь волны движутся и представляют собой такие же волны, как волны, получающиеся при сложении двух систем стоячих волн; они движутся вверх по течению со скоростью, равной скорости движения воды, так что сохраняют неподвижное положение относительно внешних предметов (§ 356).

Если отклонение от круговой формы мало, то колебания таковы же, как и рассмотренные в § 357, частота которых определяется уравнениями (16), (18), (19). Расстояние между последовательными соответственными точками повторяющейся фигуры, или, как можно его назвать, длина волны конфигурации, равно пути, пройденному потоком за время одного колебания. Отсюда следует соотношение между длиной волны и периодом. Если окружность струи мала по сравнению с длиной волны, так что уравнение (19) § 357 применимо, то период не зависит от длины волны; тогда длина волны прямо пропорциональна скорости струи или квадратному корню из давления. Бидон и Магнус заметили увеличение длины волны с возрастанием давления, но они не пришли ни к какому определенному закону.

В опытах автора в) с эллиптическим, треугольным и квадратным отверстиями струю заставляли истекать горизонтально, чтобы избежать усложнений, создаваемых тяжестью; и если давление не

Magnus, «Hydraulische Untersuchungen», Pogg. Ann., том XCV, стр. 1, 1855.

Buff, Pogg. Ann., том С, стр. 168, 1857.

Proc. Roy. Soc., том XXIX, стр. 71, 1879,

было слишком велико, установленный выше закон, как оказалось, подтверждается. При более высоких давлениях наблюдаемые длины волн имеют заметную тенденцию возрастать быстрее скорости струи. Этот результат указывает на отклонение от закона изохронности колебаний. Строгого изохронизма следует ожидать только, если колебания бесконечно малы, т. е. если сечение струи никогда не отклоняется более, чем на бесконечно малую величину от круговой формы. При указанных высоких давлениях отклонения от круговой формы были весьма значительны, и нет никаких оснований ожидать, что такие колебания будут происходить точно в такое же время, как и колебания с бесконечно малой амплитудой.

Увеличение амплитуды при высоком давлении легко объяснить, поскольку боковые скорости, вследствие которых главным образом возникают колебания, изменяются прямо пропорционально продольной скорости струи. Следовательно, амплитуда изменяется приблизительно пропорционально квадратному корню из давления или пропорционально длине волны. В общем период колебания является четной функцией амплитуды (§ 67); таким образом, если обозначить через h высоту напора жидкости, то можно ожидать, что длина волны будет функцией от h вида (М -]- Nh) V к, где /И и N—постоянные для данного отверстия. Опыт показывает, что N здесь положительно, чего, пожалуй, следовало ожидать.

Для сравнения с теорией необходимо держаться в рамках закона изохронизма; удобно пользоваться при вычислениях площадью сечения струи вместо среднего радиуса. Так, если А = на2, то (19) § 357 можно написать в виде

р = ^/«удф-УзД-зА]/" ^з — п,(1)

где А должно быть определено экспериментально по полному расходу. Для воды (§ 353) мы можем принять в единицах CGS Т=74, р=1; таким образом, для частоты наиболее низкого колебания (п = 2) получаем из (1)

£- = 7,91 А~3к(2)

Для площади сечения в 1 см2 получаем, таким образом, около 8 колебаний в секунду. Частота в 256 колебаний соответствовала бы диаметру приблизительно в 1 миллиметр.

Вообще для значения п имеем:

^ = 3,234 ~3А V п^ — п.(3)

Если h— высота напора воды, в результате которого струя получает свою скорость, а X — длина волны, то

Л =(4)

3,23 У лг3 — п

В одном опыте с эллиптическим отверстием (п = 2) наблюденное значение X было 3,95, а вычисленное по формуле (4) значение равно 3,93. В случае треугольного отверстия (п = 3) наблюденное значение л было 2,3, а вычисленное равнялось 2,1. Далее, наблюденное значение для квадратного отверстия (п = 4) было 1,85, а вычисленное 1,78. Превышение наблюденных значений над вычисленными в последних двух случаях объясняется, вероятно, слишком сильным отклонением от круговой формы.

Общая теория, не ограничивающаяся малыми амплитудами, была бы, несомненно, чрезвычайно сложной; однако некоторые черты этой теории можно легко получить, пользуясь методом размерностей. Если форма отверстия дана, то X можно рассматривать как функцию от Т, р, А и Н — давления, под которым струя вытекает. Из этих величин Т есть сила, деленная на длину, так что ее размерность равна 1 по массе, 0 по длине, — 2 по времени; р имеет размерность 1 по массе, —3 по длине, 0 по времени; А имеет размерность 0 по массе, 2 по длине, 0 по времени; и, наконец, Н имеет размерность 1 по массе, — 1 по длине, — 2 по времени. Если положить

X — Т^иАгН^ то

х -ф- 3/-ф- а = 0, —Зз-{-2г — и — 1, —2х — 2ц = О, откуда

а — — х, j/ = 0, д = у(1—х), так что

х~атчта-^н-^ж.

Показатель х здесь неопределенный; а так как одновременно может встретиться любое число членов с различными значениями х, то самое большее, что мы можем заключить, —это то, что л имеет вид:

Х = А^ -KTA-^H-^, или, если мы предпочтем иную форму,

X = T-W ^ . F(.НА^Т-^,(5)

где / и F—символы произвольных функций. Таким образом, для данной жидкости и данной формы отверстия имеет место полное динамическое подобие, если взять давление обратно пропорциональным линейным размерам. Простой случай, рассмотренный выше, когда отклонение от круговой формы мало и колебания происходят приближенно в двух измерениях, соответствует F = const. Метод определения Т путем наблюдений над X едва ли достаточно точен, чтобы соперничать с другими методами, которые можно применить для той же цели при постоянном натяжении. Однако возможность такого экспериментирования над поверхностями, образовавшимися лишь за какие-нибудь доли секунды до

этого, представляет значительный интерес. Таким путем можно очень легко доказать, что натяжение мыльного раствора непосредственно после образования свободной поверхности сравнительно мало отличается от натяжения поверхности чистой воды, между тем как по прошествии всего нескольких секунд различие становится очень большим х).

До сих пор ради простоты предполагалось, что струя после истечения из отверстия освобождается от действия тяжести. Если направить струю вертикально вниз, как часто бывает удобно, то скорость потока (у) непрерывно увеличивается, между тем как площадь сечения одновременно уменьшается, причем между ними существует соотношение -и А = const. Однако, что касается X, то возмущение, которое таким образом получается, меньше, чем можно было ожидать, так как изменения v и А в значительной степени компенсируют друг друга. В силу (1)

~~ h1(s

Р

где через h обозначена полная разность уровней между поверхностью жидкости в сосуде и местом, где измеряется Л.

359. В § 358 движение жидкости рассматривалось как стационарное: предполагалось, что каждая порция жидкости при прохождении через отверстие подвергается одинаковому воздействию. При этих обстоятельствах в математических выражениях не может появиться член, соответствующий ц = 0; не следует, однако, забывать, что для некоторых возмущений такого типа цилиндрическая форма неустойчива, и потому струя не может долго сохраняться целой. Малые возмущения, достаточные для того, чтобы неустойчивость проявилась, таковы, что они действуют различно в различные моменты; они возникают в результате вихревого движения жидкости, создаваемого трением, и особенно в результате сообщаемого отверстию колебания такого характера, что оно заставляет скорость истечения периодически слегка изменяться. Если v — скорость струи, а т — период колебания, то цилиндрический столб жидкости, вытекающей из кругового отверстия, подвергается возмущению с длиной волны л, равной ш. Если эта длина волны превосходит длину окружности отверстия 2тш, то возмущение нарастает экспоненциально, пока, наконец, столб жидкости не разбивается на отдельные массы, разделенные одинаковыми промежутками X и проходящие через фиксированную точку со скоростью *и и частотой 1/т. Хотя никакое правильное колебание не имеет доступа к отверстию, все же неустойчивость не может исчезнуть, и случайные возмущения сложного характера будут приводить к разбиению струи. Удобно исследовать в первую

г) «Он the Tension of Recently Formed Liquid Surfaces», Proc. Poy. Soc., том XLVII, стр. 281, 1890.

очередь несколько детальнее теорию для случая, когда п = 0 в выражениях (16) и (17) § 357, а затем рассмотреть ее применение к удивительным явлениям, описанным Саваром и в значительной степени объясненнымчПлато.

Если ka = z и если ввести обозначения, принятые в § 221а, то выражение (17) § 357 примет вид:

=(1)

Р^ f^z) v

В этом выражении /х (г) и /0 (2) оба положительны, так что с уменьшением х (или с увеличением Л) q впервые становится действительным при х = 1. В этой точке начинается неустойчивость, причем сначала степень неустойчивости бесконечно мала. Таким образом, когда z очень мало или А очень велико, то в конце концов

Т 2^q ра3 2 ’

так что q опять мало. Для некоторого значения х, заключенного между 0 и 1, q имеет максимум, и исследование этого значения очень важно, потому что, как уже было показано в § 87, неустойчивое равновесие устраняется преимущественно таким путем.

Функция, максимум которой нужно найти, есть

2(1 — 22) Ц (г)

или, разлагая в ряд по степеням z,

I / 99 4 ।7 R 25 я .91,\

2 \8‘ 2<. 3210‘ 211 • 3 • 5 г • • ) •

Для определения максимума находим путем дифференцирования .9 „ . 7 ,100 „ , 91 ч . п

4 2 Ч~ 24 22го 2211. з 2 'Н • • О’

Если пренебречь последними членами, то из биквадратного уравнения имеем 2-2 = 0,4914. Если подставить это значение в малые члены, то уравнение примет вид:

0,98928 — 4 22 4-^ х4 = 0,

41 16

откуда

29 = 0,486,2 = 0,697 1).

Значения выражения (2) или его квадратного корня, которому q пропорционально, можно вычислить из таблиц для /0 и Iv (см. § 221а).

Имеем:

z

[(2)]'»

z

[(2)]’2

z

[(2)p/s

z

[(2)]VS

0,0 0,1 0,2

0,0000

0,0703 0,1382

0,3

0,4

0,5

0,2012

0,2567

0,3015

0,6

0,7

0,8

0,3321

0,3433

0,3269

0,9

1,0

0,2647 0,0000

Из этих значений находим по интерполяционной формуле Лагранжа максимум 2 = 0,696, соответствующий

Х = ^ = 4,51-2а.(3)

Следовательно, максимальная неустойчивость наступает, когда возмущение имеет длину волны, равную примерно половине его длины волны в момент первого появления неустойчивости.

Принимая для воды в единицах CGS Т=73, р=1, получаем в случае максимальной неустойчивости

д~г =.= 0,120 (2а)3/».(4)

73/2-2/2.0,343

В этот момент возмущение возрастает в отношения е: 1. Так, -в случае, если отверстие имеет диаметр 1 см, возмущение возрастает в 2,7 раза приблизительно за ]/8 секунды. Если возмущение увеличивается в 1000 раз за время t, то qt=3 In 10 = 6,9, так что /= 0,828 (2а^. Например, если бы диаметр отверстия был равен одному миллиметру, то возмущение увеличилось бы в 1000 раз приблизительно за 1/40 секунды. В свете этих оценок быстрое разбиение струи воды уже не представляется неожиданным.

Развитую выше теорию неустойчивости цилиндрической поверх- нос1И, отделяющей жидкость от газа, можно распространить на случай, когда жидкость находится снаружи цилиндрической поверхности, а газ, инерцией которого мы пренебрегаем, внутри неё. Этот случай представляет струя газа, выпускаемая под поверхностью жидкости; и оказывается, что уровень максимума неустойчивости даже выше, чем прежде, и что он наступает при л = = 6,48-2а1). Едва ли, однако, надо для нашей цели проводить дальнейшее исследование этой стороны вопроса.

Применение наших математических результатов к реальным струям не представляет больших трудностей. Возмущения, благодаря которым равновесие нарушается, действуют на жидкость как только она оставляет отверстие, и длина непрерывной части струи представляет собой расстояние, проходимое струей

за время, необходимое для того, чтобы произвести разбиение. Следовательно, длина непрерывной части необходимо зависит от характера возмущений в отношении амплитуды и длины волны. Эта длина может быть значительно увеличена, как показал Савар), путем соответствующей изоляции сосуда от сотрясений, создаваемых как внешними источниками, так и прикосновением самой струи к сосуду, помещенному для приема жидкости. Однако это удлинение, повидимому, нельзя продолжить очень далеко. Имеют ли остаточные возмущения внешнее происхождение, создаются ли они трением, или какими-нибудь другими особенностями движения жидкости внутри верхнего сосуда — не выяснено достаточно удовлетворительно. Объяснения Плато в этом пункте не очень ясны, и он иногда выражается так, как будто время, потребное для разбиения, зависит только от капиллярного натяжения, совершенно безотносительно к тому, каковы были начальные возмущения.

Савар сформулировал два закона относительно длины непрерывной части струи, которые были в известной мере объяснены Плато). Для данной жидкости и данного отверстия эта длина приближенно пропорциональна квадратному корню из высоты напора. Это следует из теории непосредственно, если можно допустить, что возмущения сохраняют свой характер все время, так что время разбиения постоянно. Савар нашел, что если напор задан, то длина пропорциональна диаметру отверстия. Из выражения (4) § 359 видно, что время, в течение которого малое возмущение увеличивается в данном отношении, изменяется не пропорционально а, а пропорционально а/К Далее, если переменить жидкость, то время это изменяется пропорционально ^^Т~ К Однако можно с большим основанием усомниться в том, что длина непрерывной части струи подчиняется каким бы то ни было простым законам, даже когда внешние возмущения по возможности устранены.

Если струя падает вертикально вниз, то обстоятельства, от которых зависит ее устойчивость или неустойчивость, непрерывно изменяются, в особенности, если начальная скорость очень мала. Тип возмущения, к которому струя наиболее чувствительна по выходе из отверстия, это — возмущение, которое накладывает на струю волнообразные колебания, имеющие длину, приблизительно в 4^2 раза превышающую начальный диаметр. Но по мере падения скорость струи увели швается, вследствие чего увеличивается длина волн колебаний, а диаметр струи уменьшается, так что степень неустойчивости скоро сильно снижается. С другой стороны, тот тип возмущения, который будет эффективным в дальнейшей стадии,

360] совершенно не эффективен в начальной стадии. Таким образом, изменение условий во время падения имеет защитное влияние, и непрерывная часть стремится стать длиннее, чем в случае, если бы при тех же начальных возмущениях скорость была постоянной.

Если обстоятельства таковы, что на сосуд (с водой) действуют толчки, вызываемые ударяющейся струей, то разбиение струи часто приобретает полную регулярность и сопровождается музыкальным тоном (Савар). Прикосновение правильной последовательности капель, которые ударяются в приемник жидкости, определяет разбиение на подобные же капли части струи, проходящей в этот момент сквозь отверстие. Высота тона, хотя она и не определена, не может сильно отличаться от высоты тона, соответствующей разбиению столба жидкости на части, равные длине волны максимальной неустойчивости. И действительно, Савар нашел, что частота прямо пропорциональна квадратному корню из высоты напора, обратно пропорциональна диаметру отверстия и не зависит от природы жидкости, т. е. законы, непосредственно вытекающие из теории Плато.

Из наблюденной высоты тона, вызываемого струей данного диаметра, вытекающей при данной высоте напора, можно непосредственно получить длину волны начинающегося дробления струи. Исходя из некоторых наблюдений Савара, Плато нашел таким путем значение 4,38, как отношение длины каждой части струи к ее диаметру. Но так как длину части можно определить a priori, то предпочтительнее обратить вычисления Плато и выразить частоту колебания через другие данные задачи. Так,

ЧаСТ0Та = ^ПТ2Г’(*>

и во многих случаях, когда струя не слишком тонка, можно с достаточной точностью заменить -и через V2gh.

Однако наиболее надежный метод для получения полной правильности разбиения струи это — воздействовать на сосуд внешним вибратором, частота которого приблизительно одинакова с частотой, свойственной струе. Магнус *) применил молоточек Нефа, прикрепленный к раме, поддерживающей сосуд. Еще лучше, пожалуй, электрически возбуждаемый камертон. Магнус показал, что наиболее существенная часть эффекта вызвана вынужденными колебаниями той стороны сосуда, в которой находится отверстие, и что только незначительная часть колебаний распространяется через воздух. Что касается пределов высоты тона, то Савар нашел, что тон может быть на квинту выше и более чем на октаву ниже, чем собственный тон струи. Теоретически нет точно определенного нижнего предела; а с другой стороны, внешние колебания не могут быть эффективными, если они стремятся создать деление на части, длина которых меньше окружности отверстия. Это дает для интервала,

1) Magnus, Pogg. Ann., том CVI, стр. 1, 1859.

определяющего верхний предел, тг/4,51, или приблизительно квинту. Для чисел, данных Плато (тс/4,38), расхождение получается несколько большим.

Вопрос о влиянии колебаний низкой частоты трудно исследовать экспериментально вследствие осложнений, которые возникают в связи с почти неизбежным присутствием гармонических обертонов. Очевидно, что, например, октава основного тона, хотя и проявляющаяся весьма, слабо, тем не менее может оказаться более важным определяющим поведение струи фактором, чем основной тон, если случайно ее частота лежит вблизи частоты максимума неустойчивости. В моих собственных опытахх) в качестве источников колебаний применялись камертоны, и в каждом случае поведение струи на горизонтальном участке исследовалось не только непосредственным наблюдением, но также и методом прерывистого освещения (§ 42), причем устройство было таково, что за каждый полный период можно было видеть наблюдаемое явление один раз. За исключением тех случаев, когда было важно ослабить октаву настолько, насколько это только возможно, колебание передавалось сосуду через стол, на котором стоял сосуд. Камертоны либо были привинчены к столу и приводились в колебание смычком, либо возбуждались электрически; первый способ был вполне подходящим, когда требовался только один камертон. Условия истечения струи были таковы, что частота максимальной чувствительности, определяемая вычислением, была равна 259, а частота на границе перехода от устойчивости к неустойчивости — 372.

При частотах, изменявшихся вниз от 370 до примерно 180, наблюдавшиеся явления были в совершенном согласии с однозначными предсказаниями теории. Начиная с частоты (определенно ниже 370), при которой впервые наблюдался правильный эффект, всегда наблюдался одинарный поток и на каждое полное колебание камертона приходилась одна капля, причем каждая капля отрывалась при тех же в точности условиях, что и предшествующая. После понижения частоты ниже 180 возникает вопрос, не может ли эффект вызываться также действием октавы тона камертона, наравне с действием основного тона. Если этот эффект достаточен, то число капель удваивается, а когда основной тон очень слаб, то наблюдается двойной поток, причем последовательные капли отрываются при различных условиях и (под влиянием силы тяжести) описывают заметно неодинаковые траектории. При этих экспериментах обычно влияния основного тона было достаточно для определения числа капель даже вблизи частоты 128. Иногда, однако, октава делалась преобладающей и удваивала число капель. Если октава недостаточно сильна, чтобы действительно удвоить число капель, она часто создает эффект, который очень хорошо заметен наблюдателю,

1) Proc. Roy. Soc., том XXXIV, стр. 133, 1882.

исследующему изменения сквозь вращающиеся отверстия. В одном случае сильное возбуждение камертона смычком, благоприятствующее октаве, дало сначала двойную струю, которая, однако, через несколько секунд перешла в единую струю. Около точки разбиения струи те последовательные капли, которые в конце концов по мере затухания камертона срастаются, соединены перешейком. Если октава достаточно сильна, этот перешеек в дальнейшем обрывается, и капли отделяются друг от друга: в ином случае перешеек стягивает вместе наполовину оформившиеся капли, и струя становится единой. Переход от одного состояния к другому можно было легко наблюдать.

Для того чтобы полностью избавиться от влияния октавы, пришлось прибегнуть к иной установке. Было найдено, что желаемого результата можно достигнуть, если камертон с частотой 128 держать в руке над резонатором той же частоты, стоящим на столе. Изменения в этом случае были по виду вполне похожи на изменения, создаваемые камертоном с частотой 256, и единственное различие состояло в том, что капли были больше и занимали вдвое большее пространство, а шарик, получающийся в результате стягивания перешейка, был намного больше. Мы можем заключить, что причиной удвоения струи субоктавою собственной частоты струи следует считать наличие второй компоненты, от которой едва ли свободен любой музыкальный тон.

Заставляя одновременно звучать два камертона с частотами 128 и 256, можно было получать по желанию единую или двойную струю путем изменения относительной интенсивности. Всякое несовершенство настройки становилось вполне очевидным из поведения струи, которая претерпевала изменения, синхронные со слышимыми биениями. Это наблюдение, не требующее помощи стробоскопического диска, наводит на мысль, что описываемый эффект зависит в некоторой степени от соотношения фаз обоих тонов, как можно было ожидать a priori. В некоторых случаях влияние субоктавы обнаруживалось сильнее в том, что последовательные капли делались различными по величине, чем в том, что капли описывали весьма различные траектории.

Возвращаемся теперь к случаю одного камертона, привинченного к столу. Было найдено, что по мере понижения частоты ниже 128 двойная струя устанавливалась регулярно. Действие нижней дуодецимы основного тона (85г/3) требует особого рассмотрения. При этой частоте мы могли бы ожидать, что первые три компоненты сложного тона будут влиять на результат. Если бы третья компонента была достаточно интенсивной, то она определяла бы число капель, и результатом была бы тройная струя. В случае камертона, привинченного к столу, третья компонента тона, если она и не пропадает совершенно, должна быть исключительно слабой, но вторая компонента (октава) достаточно интенсивна и действительно

23* Х

определяет число капель (1902/3). В то же время влияние основного тона (SS1^) достаточно для того, чтобы заставить последовательные капли описывать различные траектории, так что наблюдается двойная струя.

Путем добавления камертона с частотой 256 нетрудно было получить тройную струю; однако интереснее было исследовать, нельзя ли свести двойную струю к одной струе с 857з каплями в секунду. Для того чтобы получить основной тон, возможно более интенсивный и возможно более чистый, и заставить его действовать на струю наиболее желательным образом, воздушное пространство над водой внутри сосуда (aspirator bottle) было настроено на тон камертона путем скольжения вдоль отверстия горлышка сосуда стеклянной пластинки так, что она частично закрывала горлышко (§ 305). Когда камертон удерживался над образованным таким способом резонатором, то давление, заставляющее вытекать струю, делалось переменным с частотой SSVs, и обертоны, насколько это возможно, исключались. Однако невооруженному глазу струя все еще казалась двойной, хотя при более тщательном исследовании один ряд капель был на взгляд определенно меньше, чем другой. Пользуясь вращающимся диском, дающим около 85 просветов в секунду, можно было уяснить себе действительное положение вещей в этом случае. Меньшие капли представляли собой шарики, и струя была единой в том же смысле, что и струи, создаваемые чистыми тонами с частотами 128 и 256. Увеличение размеров шарика следует, несомненно, приписать большей длине перешейка, основные же капли в данном случае в три раза больше по объему, чем в случае, когда струя находилась под действием камертона с частотой 256.

При еще более низких камертонах, привинченных к столу, число капель продолжает соответствовать второй компоненте основного тона. Вторая октава основного тона (64) дала 128 капель в секунду, а влияние первого тона было настолько слабо, что двойственность струи была лишь едва заметна. Ниже частоты 64 наблюдения не производились, и даже при этой частоте попытки добиться единого потока капель были безуспешны.

Эксперименты Савара в этой области были далее развиты Бэллом, который показал, что струю можно заставить выполнять роль части телефонного приемника2). Внешние колебания могут сообщаться отверстию по веревочному телефону (§ 156а). Резиновая мембрана, натянутая на верхний конец металлической трубки, принимает струю и передает колебания, вызываемые меняющимся прикосновением, полости за мембраной, с которой можно соединить ухо. Диаметр и скорость струи должны быть приспособлены к общему характеру, то есть к частоте звуков, с которыми придется иметь дело. «Если мембрана удерживается под самым отвер-

* Э Bell, Phil. Trans., том 177, стр. 383, 1886.

стием, из которого струя вытекает, то в наушнике не будет слышно никакого звука; но по мере постепенного удаления приемной трубки вниз вдоль траектории струи станет слышен звук, соответствующий по высоте и качеству возмущающему звуку — если, разумеется, струя находится под таким давлением, что она в состоянии отвечать на все высокие тоны, которым обязан своим тембром возмущающий звук. Интенсивность этого звука возрастает по мере увеличения расстояния между отверстием и мембраной. Наконец, когда струя над мембраной еще непрерывна, достигается точка максимума интенсивности и чистоты тона; и если удерживать мембрану ниже этой точки, то слышимый звук сначала становится более громким, приобретая в то же время жесткий оттенок, а при еще более низких положениях — вырождается в немузыкальный шум. В последнем случае видно, что струя разбивается выше мембраны».

Из того факта, что небольшие струи, движущиеся с высокими скоростями, одинаково хорошо отвечают на звуки, высота которых изменяется в широких пределах, Бэлл заключает, что теория Плато недостаточна; он считает, что действительной причиной явлений, наблюдаемых в этих струях, скорее служит вихревое движение, зависящее от неодинаковости скоростей в центре и на периферии столба.

В качестве примера самовозбуждающейся струи можно указать на прерыватель § 235л В этом случае механизм, благодаря которому эффект возвращается обратно отверстию, — электрический. Но и обычные механические приспособления отвечают этой цели также хорошо. Введение резонатора, подобного камертону § 235г, или телефонной мембраны, которую можно заставить выполнять такую же роль, если привести телефон в соприкосновение с отверстием, придает большую правильность процессу и обычно также допускает больший диапазон частот. Не следует забывать, что во всех этих случаях самовозбуждения необходимо удовлетворить определенному условию в отношении фазы. Так, например, если в прерывателе § 235г (предполагая, что он хорошо работает) сместить платиновые точки на половину интервала между последовательными каплями, то очевидно, что действие его прекратится до тех пор, пока не будет достигнуто новое соответствие.

Если небольшая струя выбрасывается вверх почти вертикально, картина осложняется из-за столкновений капель друг с другом. Такие столкновения неизбежны вследствие различия скоростей, приобретенных каплями, отрывающимися от непрерывной части столба жидкости нерегулярно. Даже если регулировать разбиение струи при помощи внешних колебаний подходящей частоты, капли все-таки должны столкнуться, прежде чем они достигнут вершины своей параболической траектории. В случае непрерывной струи, как показывает «уравнение непрерывности», по мере потери

скорости на подъеме струя должна увеличиваться в сечении. Если поток состоит из капель, движущихся по одной и той же траектории вереницей одна за другой, то такое увеличение сечения невозможно, в этом случае постоянство полного потока требует постепенного сближения капель, которое при почти вертикальном направлении движения не может остановиться прежде действительного соприкосновения. Однако правильные колебания вызывают задержку столкновений и последующего рассеяния капель, а в случае, если направление струи менее близко к вертикальному, могут и совершенно предотвратить их.

Замечательным образом влияет на поведение почти вертикального фонтана соседство наэлектризованного тела. Можно производить эти опыты со струей, истекающей из отверстия с диаметром в 1 мм и поднимающейся приблизительно на 50 см. В нормальном состоянии струя сама распадается на капли, которые даже еще до достижения вершины, а еще больше после прохождения ее, рассеиваются на значительное пространство. Если поднести к струе слабо наэлектризованное тело, то струя подвергается замечательному изменению и становится на взгляд цельной; однако под более сильным электрическим воздействием рассеяние становится даже большим, чем вначале. Второй эффект легко приписать взаимному отталкиванию наэлектризованных капель, действие же слабого электричества, создающего видимую цельность, основано на другом принципе.

Бетц) показал, что цельность эта — только кажущаяся и что то место, где струя разбивается на капли, не смещается заметно электрическим воздействием. Экранируя различные части металлическими пластинками, соединенными с землей, Бетц доказал далее, что, вопреки мнению прежних наблюдателей, чувствительность сосредоточена не в основании струи, там, где она покидает отверстие, а там, где она распадается на капли. Так же, как в аппарате с падающими каплями лорда Кельвина,—для исследования атмосферного электричества (Капельный коллектор. Прим, пер?), капли уносят с собой электрический заряд, который можно собрать, принимая капли в изолированный сосуд.

Можно доказать путем мгновенного освещения, что обычное рассеяние капель вызывается отскакиванием их друг от друга при столкновениях. При умеренном электрическом влиянии нет существенных изменений ни в распадении на капли, ни в последующем движении капель вплоть до момента столкновения. Различие начинается здесь. Вместо отскакивания после столкновения, обычного для ненаэлектризованных капель чистой воды, наэлектризованные капли сливаются, и таким образом, струя более не рассеивается ).

Подробное обсуждение этого вопроса здесь было бы неуместно. Достаточно сказать, что этот эффект зависит от разности потенциалов между каплями в момент столкновения и что когда эта разность слишком мала, чтобы вызвать слияние, то налицо полная электрическая изоляция между смежными массами.

Если струя выбрасывается вверх под небольшим углом к нормали, то рассеяние ограничивается вертикальной плоскостью. При этих обстоятельствах столкновения или вовсе отсутствуют или же их немного, поскольку капли имеют достаточное пространство для того, чтобы не касаться друг друга, и небольшое электрическое влияние не дает эффекта. При большем угле наклона капли начинают рассеиваться и вне вертикатьной плоскости, что служит признаком наличия столкновений. Небольшое электрическое влияние приведет рассеяние к вертикальной плоскости, вызывая слияние капель, которые приходят в соприкосновение.

Если, как в прекрасных опытах Савара, разбиение на капли регулируется внешними колебаниями подходящей частоты, то основные капли следуют одной и той же траектории, и если только направление выбрасывания не близко к вертикальному, то столкновения между ними отсутствуют. Однако иногда случается, что шарики жидкости выбрасываются вбок отдельным потоком, образующим значительный угол с главным потоктм. Эго — результат столкновений между шариками и основными каплями. Может даже случиться, что первые отражаются вперед и назад по несколько раз, пока, наконец, не исчезают в боковом направлении. Во всех случаях поведение капель под слабым электрическим влиянием является критерием наличия столкновений.

В опыте, поставленном Магнусом 1), шарики отклонялись от главного потока без столкновений путем электрического притяжения. Этот опыт дает то преимущество, что позволяет получать правильную последовательность капель, более мелких, чем этого возможно добиться каким-нибудь иным путем.

Разрозненные массы жидкости, на которые разбивается струя не сразу принимают и удерживают сферическую форму, но испытывают ряд колебаний, попеременно сжимаясь и удлиняясь в направлении оси симметрии. Если разбиение струи осуществляется с точной периодичностью, то каждая капля, проходя через данную точку пространства, находится в одной и той же определенной фазе колебания; и отсюда возникает замечательное явление попеременных разбуханий и сжатий струи, описанное Саваром. Расстояние между двумя последовательными разбуханиями равно пути, пройденному каплей в течение одного полного колебания около фигуры равновесия, а потому, как показал Плато, ceteris paribus, оно пропорционально корню квадратному из высоты напора.

Период колебания, разумеется, является в свою очередь функцией природы жидкости (7, р) и величины капли, к вычислению которой мы теперь и переходим. Заметим, что достаточно соображений размерности, чтобы показать, что период (т) бесконечно малого колебания любого типа пропорционален |/"pV/7, где V— объем капли.

В математическом исследовании малых колебаний жидкой массы около ее сферической фигуры равновесия мы ограничимся типами колебаний, симметричных относительно оси, чего достаточно для нашей задачи. Эти типы колебаний требуют для своего выражения только функций Лежандра Рп; более общую задачу, содержащую функции Лапласа, можно рассматривать таким же путем; она приводит к тем же результатам.

Радиус г поверхности, ограничивающей жидкость, можно в любой момент t разложить в ряд (§ 336)

r^a^^pjp.)-!- ... Д-аЛ^Д- ..(1)

где av аа, ... — малые величины по сравнению с а^, а р., как обычно, выражает косинус полярного расстояния (0).

Для объема V, заключенного внутри поверхности (1), мы имеем;

+iQ

V = | Д rSd^^+S^ + l)-1^-],(2)

-1 L

где суммирование начинается при п = 1. Так, если а радиус сферы равновесия, то2

а-ао[1 + У(2п+1)-1У.(3)

La0J

Потенциальная энергия капиллярности равна произведению натяжения Т на поверхность S. Для вычисления S имеем:

5 = 2л Jr sin 0 | ^"H^J} ^0 = 2л J|г2Д- у ^J| sin 0 d^.

Для первой части

+i

J г2^ = 2ао+22(2^+1Г1 »п.

-1

Для второй части

Т J (йУsin 6 d" = Т j (‘ -1*2) [5 °" ^Г*

Значение выражения, стоящего в правой части, можно найти, пользуясь формулой

+i+1

fdPw дРпГ

J О “ KVd7~J PmPndV-.

-1-1

в которой т — целое число, равное а или отличное от него. Таким образом,

4-14-1

f . а лА 1 fV 9 (dPnY А

-1-1

4-1

'"Ц^^-НК J ^А^ 2^^+ ^^^^О-1^

Следовательно, в силу (3),

5 = 4к«о + 2тг2(2«+ О"1 (п2 + п-У^аХ =

= 4л«2 -[- 2л 2 (rt — 1) (п -р 2) (2/г 4~ 1 )-1йп-(4)

Таким образом, если обозначить через Т поверхностное натяжение, то соответствующая ему потенциальная энергия (Р-) может быть написана в виде

Р = ^Т-^(п— l)(/i + 2)(2/z+ l)-1^.(5)

Теперь нам следует подсчитать кинетическую энергию движения. Потенциал скорости ^ можно разложить в ряд

Ф = Ро + Pl^l (Р') + • • • + ^РП (р-) + • • •»(^)

таким образом, для кинетической энергии получаем

АГ=—р J J ^^ • ad^d^ = 2лра9 • ^^(2^-j- 1)-1/гя9и-1^.

Но из сравнения значения д^/дг из (6) и формулы (1) находим и, следовательно,

К = 2кр^ . 2 (2«» + о)-1 (^у.(7)

Так как в выражения для Р и К не входят произведения величин ап и dajdt, то движения, выражаемые отдельными членами, происходят независимо друг от друга. Пользуясь методом Лагранжа (§ 87), находим уравнение для ап;

+—1)(«_|-2)^а„ = 0.(8)

так что, если ап—cos (р/Ц- е), то

^ = л („-!)(,, +2) 2L1).(9)

Период равен 2it//X так что, выражая его через V имеем

/ ЗкрУ

Vn (п — 1) (п + 2)’

4.=4.=(Ю)(Ю)или, в частном случае, при п = 2

4.

=

4.

=

(Ю)

(Ю)

Для того чтобы найти радиус водяной сферы, которая колеблется в течение секунд, полагаем в (9) p = 2it, Т=74, р=1, п = 2. Таким образом, получаем а = 2,47 сл/, или несколько меньше дюйма.

Попытка сопоставить (11) с явлениями, наблюдаемыми в струе, не привела к хорошему согласию. Поток в 19,7 см? в секунду разрывался под действием камертона, дававшего 128 колебаний в секунду. Пренебрегая массой малых шариков, мы можем принять объем каждой основной капли равным 19,7/128 или 0,154 см5. Отсюда, в силу (И), полагая р= 1, Т= 74, имеем -и = 0,0494 сек. Таково вычисленное значение. При наблюдении колеблющейся струи расстояние между первым и вторым набуханиями, соответствующими максимальной сплющенности капель, равнялось 16,5 см. Уровень сжатия посредине между этими двумя набуханиями был на 36,8 см ниже уровня поверхности жидкости в сосуде, что соответствует скорости в 269 см,сек. Эти данные дают для периода колебаний

г = 0,0612 сек.

Расхождение между обоими значениями т, возможно, следует приписать слишком большой амплитуде, обусловливающей отклонение от закона изохронизма. Наблюдения над колебаниями отдельных капель, выбрасываемых по одиночке пипеткой, производились Ленардом ]).

Тенденция капиллярной силы всегда направлена в сторону восстановления сферической фигуры равновесия. Электризуя каплю, мы можем ввести силу, действующую в противоположном направлении. Можно показать ), что если Q есть электрический заряд, измеренный в электростатических единицах, то формула, соответствующая (9), будет иметь вид:

+(12)

Если Т> Q2/16n:a3, то сферическая форма устойчива для всех перемещений. Если Q велико, то сферическая форма становится не-

9 Lenard, Wied. Ann., том XXX, стр, 209, 1887.

устойчивой для всех значений п ниже некоторого предела, причем максимальная неустойчивость соответствует большому, но все еще конечному, значению п. При этих условиях жидкость разбивается на тонкие струи, тонкость которых, однако, имеет предел.

Наблюдения над разбуханиями и сжатиями регулярно разрывающейся струи можно производить стробоскопически, так чтобы один просвет соответствовал каждому полному периоду вибратора; или же можно делать фотографические снимки при помощи мгновенного освещения, даваемого мощной электрической искрой ).

В математических исследованиях настоящей главы вязкость совершенно не принималась во внимание. Плато придерживался того мнения, что различие между длиной волны спонтанного разделения струи (4,5 X 2а) и критической длиной волны (it 2а) являлось следствием вязкости; но мы видели, что оно достаточно учитывается инерцией. Введение вязкости значительно усложняет математическую задачу ), и здесь такой попытки не будет сделано. В результате можно показать, что в случае, когда вязкость преобладает, длинные нити не обнаруживают стремления разбиться на капли при взаимных расстояниях, сравнимых с диаметром нити, а скорее уничтожаются путем утоньшения в отдельных, далеко отстоящих, местах. Это, повидимому, находится в согласии с наблюдавшимся поведением очень вязких нитей из стекла или патоки, поддерживаемых только на концах. Разделение на многочисленные капли или узловатость, указывающую на такое разделение, можно, таким образом, считать свидетельством того, что текучесть жидкости достаточна, чтобы ввести в действие инерцию.

Еще более общее исследование, в котором рассматривается и влияние электричества, было проведено Бассетом 3).

ГЛАВА XXI

ВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ И ЧУВСТВИТЕЛЬНЫЕ ПЛАМЕНА

Большая и важная группа акустических явлений имеет своим источником неустойчивость определенных движений жидкости,— движений того типа, который в гидродинамике классифицируется как стационарный. Движение, одинаковое в каждый момент времени, удовлетворяет динамическим условиям, и, следовательно, оно принципиально возможно; однако малейшее отклонение от определенной таким образом идеальности имеет тенденцию самопроизвольно увеличиваться и обычно с большой быстротой — по закону сложных процентов. Примерами такой неустойчивости служат чувствительные струи и пламена, звуки эоловой арфы и трубы органа. Эти явления до сих пор еще совершенно недостаточно понимаются; однако они столь важны, что требуют максимального внимания, которое мы можем им уделить.

До тех пор, пока мы рассматриваем жидкость как абсолютно невязкую, ничто не мешает возможности конечного скольжения на поверхности, по которой соприкасаются две массы. На такой поверхности завихренность (§ 239) бесконечна, и поверхность можно назвать вихревым слоем. Наличие вихревого слоя совместимо с динамическими условиями для стационарного движения; однако, как уже давно заметил Гельмгольц), стационарное движение неустойчиво. Простейший случай имеет место, когда плоский вихревой слой разделяет две массы жидкости, движущиеся с различными скоростями, но без внутреннего относительного движения — задача, рассмотренная лордом Кельвином в его исследовании влияния ветра на волны а). В приведенном ниже рассуждении метод лорда Кельвина применен для определения закона отклонения от стационарного движения в некоторых простейших случаях плоской поверхности раздела.

Допустим, что ниже плоскости z = 0 находится жидкость постоянной плотности р, которая движется параллельно оси х со скоростью V, а выше этой плоскости плотность жидкости равна р', и скорость Vf.

Так же, как в § 353,убудем отсчитывать 2 вниз, и положим, что имеются жесткие стенки, ограничивающие нижнюю жидкость при 2 = 1, а верхнюю жидкость — при z =— V. Предполагается, что возмущение содержит величины х и t только в виде множителей егкжет1^ Потенциал скорости УхЦ-у для нижней жидкости удовлетворяет уравнению Лапласа, и, следовательно, ср, по условию при 2 = 1, принимает вид:

cp = C’ch&(z — /)• ei(nt^kx\(1)

подобное же выражение

ср' = С ch k (z 4- /') • е1 <nf+fcy)(2)

применимо к верхней жидкости, если полный потенциал скоростей в ней есть Vfx 4~ ср'. Соотношение между ср и поднятием к у общей поверхности имеет вид:

/<4 \dh . у dh

* дх’ так что если

к = He^nt+koc\(3)

то

kCs\\kl = i^n-VkV^H.(4)

Подобным же образом

— kCf sh kV = i(n-\- kV') H.(5)

Теперь нам следует выразить условие, касающееся давлений при 2 = 0. Общее уравнение (2) § 244 дает для нижней жидкости

если пренебречь квадратами малых величин. Подобным же образом для верхней жидкости при 2 = 0

= — gk — ^<р — ikV ^.

Если нет капиллярного натяжения, то йр и йр' равны. Если капиллярное натяжение равно Т, то разность

Яр-Ир'T^ = №Th.

так что

g (р — р') к 4- k^Th = ip' (п 4- &V') ср' — ip (п 4" ^У) ?•(6)

Если подставить значения ср и ср' при z = 0 из (1), (2), (4), (5), то это условие принимает вид:

^(р —р')4 ^T=kp^V 4- j)2cth kl4- к^ ^-^^cthkr. (7)

Это — уравнение, определяющее значение n/k. Если корни этого квадратного уравнения действительны, то волны распространяются с соответствующими действительными скоростями; с другой стороны, если корни мнимые, то в решение входят экспоненциальные функции от времени, показывающие, что стационарное движение неустойчиво. Следовательно, критерий устойчивости имеет вид:

(р cth £/4~р' cth А/') {^(р — р')+ ТкЯ\ —

— App'cth^Zcth^CIZ— У72>0.(8)

Если и g и Т исчезают одновременно, то движение неустойчиво для всех возмущений, т. е. независимо от того, какое значение имеет к. Если исчезает 7', то действие тяжести может обеспечить устойчивость для определенных значений к, но оно не может превратить стационарное движение в движение, полностью устойчивое. В самом деле, если к бесконечно велико, т. е. если рябь бесконечно мелка, то cth kl = cth kV = 1, и член, содержащий g, исчезает из критерия. Несмотря на то, что приложенные силы стремя кя придать устойчивость движению, оно необходимо неустойчиво для волн бесконечно малой длины; и этот вывод можно распространить на вихревые слои любого вида и на приложенные силы любого типа.

Если Т—конечно, то, наоборот, необходимо имеется устойчивость для волн бесконечно малой длины, хотя возможна неустойчивое^ для волн конечной длины.

Для дальнейшего исследования мы можем принять более простые условия, получающиеся при бесконечных I и V. Тогда критерий устойчивости принимает вид:

(Р + Р') |8-(Р - Р') + Тк^ - Арр' (V - F? > 0,(9)

и критический случай определится путем приравнивания левой части нулю. Это дает квадратное уравнение для к. Если корни этого квадратного уравнения мнимы, то критерий (9) удовлетворяется для всех промежуточных значений к, так же как и для бесконечно малых и бесконечно больших значений, которые удовлетворяют ему во всех случаях, если только р > р\ Таким образом, условие полной устойчивости есть

Wp-p')r>^7^.•(10)

Пусть W обозначает минимальную скорость (§ 353) волн при V = 0 и V7 = 0. Тогда, в силу (7),

(р + р'^Г^^р —р')Г,(11)

и условие (10) можно записать в виде

Если (V—V') не превосходит определенного таким образом значения, то стационарное движение устойчиво для всех возмущений; в противном случае будут существовать некоторые конечные длины волн, для которых возмущения возрастают экспоненциально.

Если мы теперь опустим в уравнении (7) члены, зависящие от тяжести и от капиллярности, то это уравнение примет вид:

р (п + ^10'2 cth kl + р' (/г 4- kV'^ cth kV = 0.(13)

При l = V или, когда обе эти величины бесконечны, мы имеем просто

pOt + ^^ + p^rt + ^IZ^^O,(14)

или

кр + р'’v '

Из уравнения (15) мы видим, что, как и следовало ожидать, движение, общее для обеих частей жидкости, не имеет динамического значения. Прибавление одной и той же величины к V и V равносильно вычитанию той же величины из п]к. При р = р' уравнение (15) принимает вид:

^= — l(V+V')±li(V-V').(16)

Существенные черты этого случая обнаруживаются уже в простом случае, когда V' = — V, так что стационарные движения обеих масс жидкости равны и противоположны. Тогда мы имеем

(17)

а для поднятия

к = Не ± ^ cos (кх 4- г),(18)

соответствующее начальному

h — Н cos (пх 4~ е).(19)

Если при /—О dhjdt=Q, то

h = /7 ch к Vt cos (пх 4~ 4,(20)

что показывает, что волны на поверхности раздела стационарны, и амплитуды их увеличиваются со временем по закону гиперболического косинуса. Быстрота возрастания члена с положительным показателем исключительно велика. Так как к = 2^1 к, то амплитуда умножается на еК, или приблизительно на 23, за время, требующееся для того, чтобы тот или другой поток прошел расстояние X.

Если V' = V, то корни уравнения (16) равны, однако, общее решение можно получить обычным методом. Таким образом, если мы положим

v = 1/(14-4,

368 вихрввоЕ движение и чувствительные пламена [гл. xxf где а в пределе обращается в нуль, то

и

Н = g^^-V't'i^g^iikVta _|_ gg-^a^kVta^

где А и В — произвольные постоянные. Переходя теперь к пределу при а = 0 и беря новые произвольные постоянные, мы получаем

л = 5гй(ж-^)(с+ао,

или, в действительных величинах,

А = (С 4~ Dt) cos А (х — Vt 4- з).

Если первоначально А = cos kx, dh/dt — 0, то

A=cosA(W— х)-]- kVt sin k(Vt— x).(21)

Особенность этого случая состоит в том, что до смещения совершенно нет действительной поверхности раздела.

Общее решение, содержащее / и V, можно приспособить для представления определенных случаев возмущения двумерной струи ширины 2/, вливающейся в покоящуюся жидкость. В самом деле, если возмущение симметрично — так, что средняя плоскость является плоскостью симметрии, то условия — такие же, как если бы была введена неподвижная стенка. Если окружающая жидкость безгранична, то /' = оо и cth А/' = 1, и уравнение, определяющее /, при У' = 0 и р' = р принимает вид:

(n-^kV^cthkl-y-n^O;(22)

решение этого уравнения есть п —1± i l/"th к1

W =Г+Жй—•<2d)

Следовательно,

А = Не^ ^^ cos k ^х — T-jJ”th А/}*^^

где

Это выражение представляет распространение симметричных возмущений в струе шириною 2/, выливающейся в покоящуюся окружающую жидкость той же плотности.

Если Ы весьма мало, так что длина волны велика по сравнению с толщиной струи, то

А = Не ± Vкг-kVt cos ^ ^ — у^у(26)

Исследование асимметричного возмущения струи требует решения задачи с одним вихревым слоем, в которой при z=l должно быть удовлетворено условие <р = О вместо требовавшегося до сих пор условия dyjdz = 0. Значение ср есть

ср = — t Qi 4- к У) Нetntei]t®,(27)

п СП Rt

откуда, если, как прежде, d^'jdz = 0 при z = — /',

р (и 4* к V)3 th kl 4- [/ (п 4" k Юа cth klf = 0.(28)

Если /' = оо, р' = р, V' — 0, то

(n4-^l/)ath^/4-zia=0.(29)

Это уравнение можно применить к струе шириною 2/, движущейся со скоростью V в спокойной жидкости и смещающейся таким образом, что изгибы обеих ее поверхностей параллельны.

Если kl мало, то мы имеем приближенно

h = Не ± VM-wt cos ^ (x — £/. у^у(зо)

Комбинируя решения, представленные выражениями (26), (30), мы можем определить последствия любых смещений в двух измерениях обеих поверхностей тонкой струи, движущейся со скоростью V в спокойной жидкости той же плотности.

Можно считать, что исследование § 365 дает удовлетворительное общее объяснение чувствительности струй. В идеальном случае внезапных изменений скорости, образующих вихревые слои в жидкости, не обладающей трением, движение всегда неустойчиво и степень неустойчивости возрастает по мере уменьшения длины волны возмущения.

Непосредственное применение этого результата к реальным струям привело бы нас к выводу, что их чувствительность бесконечно возрастает с частотой. Действительно, в случае некоторых пламен частота наиболее сильно действующих звуков весьма велика и приближается к верхнему пределу человеческого слуха; однако имеются другие типы чувствительных струй, на которые эти высокие звуки не оказывают действия и которые требуют для своего возбуждения средних или даже низких тонов.

Возможное объяснение этого расхождения напрашивается само собой. Наши вычисления основывались на предположении, что изменения скорости происходят с разрывом — предположение, которое, пожалуй, нельзя примирить с действительностью. Вследствие трения в жидкости поверхность разрыва, если бы даже она и могла образоваться, мгновенно исчезла бы, и переход от одной скорости к другой становился бы все более и более постепенным до тех пор, пока переходный слой не достиг бы заметной ширины. Когда эта ширина сравнима с длиной волны синусоидального возмущения, то

решение, полученное для внезапного перехода, перестает быть применимым, и мы не имеем оснований предполагать, что неустойчивость будет возрастать для значительно более коротких длин волн.

Общее представление о влиянии вязкости в смысле расширения струи можно получить из решения Фурье для этой задачи при условии, когда начальная ширина предполагается бесконечно малой. Так, если в общих уравнениях ч) и чу исчезают, а а является функцией только от .у, то уравнение, которому удовлетворяет я, имеет вид (так же как в § 347):

да н д2ал

д^У^у2'

Решение этого уравнения для случая, когда и в начале имеет

заметную величину только при _у = 0, имеет вид:

и = Uxи = Ux(2)(2)у1е ^

и = Ux

и = Ux

(2)

(2)

2 У" ^t ’

где v = p/p, a Ut есть начальное значение j ady. Если j/a = 4v/, то значение и меньше значения, которое будет найдено для того же самого момента времени при у = 0, в отношении е : 1. Для воздуха v = 0,16CGS и, следовательно, через промежуток времени t толщина 2^ струи будет сравнима по величине с 1,6 ]/7 ; например, через одну секунду толщину струи можно считать равной приблизительно Р/а см.

Таким образом, имеется полное основание полагать, что на явления чувствительности струи может сильно влиять трение жидкости, которое может существенно отклонить результаты от вычисленных, основанных на предположении разрывных изменений скорости. При этих обстоятельствах важно исследовать характер равновесия слоистого движения в случаях, более близко подходящих к тому, который встречается на практике. Полное исследование, которое учитывало бы все эффекты вязкости, наталкивалось бы на множество больших трудностей. Для цели, которую мы преследуем здесь, мы будем считать жидкость лишенной трения и удовлетворимся получением решений для законов расслоения, свободных от разрыва. Для невозмущенного движения компоненты скорости ч), чу равны нулю, а и является функцией только у, которую мы будем обозначать через U. Кривая, ординатой которой служит U, а абсциссой у, представляет закон расслоения; ради краткости ее можно назвать кривой скорости. Завихренность Z (§ 239) стационарного движения равна ^-dUjdy.

Если в возмущенном движении, которое предполагается двумерным, обозначить скорости через U -\- и и -и, а завихренность через

Z4-C, то общее уравнение (4) § 239 принимает вид: где

Таким образом, если пренебречь квадратами возмущений, то уравнение можно записать в виде

ОСОСа:а:dZdZ(3)(3)

ОС

ОС

а:

а:

dZ

dZ

(3)

(3)

уравнение же непрерывности для несжимаемой жидкости дает

ди । dv „дх ' ду ’

Если подставить в уравнение (3) значения 2 и (, выраженные через скорости, то получим

ауз и'ауз и'(5)(5)д тт д\(ди ди\ , dt дх \ду дх) 1

ауз и'

ауз и'

(5)

(5)

Введем теперь предположение, что и и V, как функции от х и t, пропорциональны емегкс. Из уравнения (4) имеем

(6)(6)Ika 4-4^ — 0;

(6)

(6)

1 ду

если это значение и подставить в уравнение (5), то получим

В уравнении (7) можно рассматривать к как действительную величину, а во всякой частной задаче, которую только можно себе представить, главной целью является определение соответствующего значения п, и, в частности, определение того, будет ли оно действительным или мнимым. Одно важное общее предложение относится к случаю, когда d^Uld^ не меняет знака, так что кривая скорости целиком выпукла или целиком вогнута на всем пространстве между двумя неподвижными стенками, у которых удовлетворяется условие у = 0. Пусть n[h = p-\-iq, -у == а —|—Z^, где р, q, а, действительны. Подставляя в уравнение (7), получаем

^ | ,^_[№ I ” рА-u-iq Ъ, , йх 0

t) Proc. Math. Soc., том XI, стр. 68, 1880.

или, приравнивая нулюпорозньдействительную и мнимую части,

а_ ^(Р+и^-Уд^zRx

ду2 №^2^^.и^-удз ’w

^1 =-д^-КР-уи^znx

(Эу2 № * I dj/2 ^р _|_ и^ + ^2•

Умножив (8) на ^, (9) на а и вычтя одно из другого, получим д^_д(чда ЛУ._^ g^-У^

“ ду^ ду2 д_у V Фу ду / д^ (р -}- Uy -У qa *'

На границах значение -и, а следовательно, и а и р, по предположению, равны нулю. Поэтому, интегрируя уравнение (10) между границами, мы находим, что q должно равняться нулю, если d4J]dy^ имеет один и тот же знак во всей области интегрирования. Следовательно, п действительно, и движение, если не абсолютно устойчиво, то во всяком случае не является экспоненциально неустойчивым.

Из уравнения (7) можно вывести и другое общее заключение, заслуживающее внимания. Записывая это уравнение в виде

д2у ду2 ~д2у ду2 ~(ГО

д2у ду2 ~

д2у ду2 ~

V,V,*4—ДДи+А

V,

V,

мы видим, что при п действительном, -и не может перейти от одного нулевого значения к другому нулевому значению, если d^Uld^ и n-^kU не имеют где-нибудь противоположных знаков. Так, если мы предположим, что U всюду положительно, a d^Ujdy^ всюду отрицательно, и что V есть наибольшее значение U, то мы найдем, что n-\-kV должно быть положительно.

Предполагая завихренность Z постоянной во всех слоях конечной толщины и изменяющей значение только при переходе ограниченного числа плоскостей, для каждой из которых у постоянно, мы получим класс задач, допускающих весьма простое решение. В этих случаях кривая скорости состоит из отрезков прямых, пересекающих друг друга под конечными углами. Предполагается, что такое положение вещей нарушается изгибанием поверхностей перехода.

На протяжении всего слоя постоянной завихренности d^Ujdy* = 0, а потому, в силу (7) § 366, всюду, где n-^-kU не равно нулю, мы имеем

^ = 0;(1)

решением этого уравнения является

•и = Ае^-^Ве-^.(2)

Если имеется несколько слоев, в каждом из которых Z постоянно, то следует скомбинировать вместе различные решения вида (2),

выбрав произвольные постоянные так, чтобы удовлетворить определенным граничным условиям. Первым из этих условий, очевидно, является непрерывность -и или, как это можно выразить иначе,

(3)(3)Ду = 0.

(3)

(3)

Другое необходимое условие можно получить путем интегрирования уравнения (7) § 366 по поверхности перехода. Таким образом

получим ,п х /ду\ /ди\ п \^/\^/ Уду /

Таковы условия, необходимые, чтобы скорость была непрерывной в местах, где dU^dy меняет свое значение.

В задачах, которые мы будем рассматривать, жидкость либо ограничена неподвижной плоскостью, на которой у постоянно, либо же

U, U,U, U,имеет бесконечное протяжение. Для первого случая условие просто имеет вид у = 0. Если имеется слой, простирающийся в бесконечность в положительном направлении, то в выражении (2), применимом к этому слою, А должно быть равно нулю; если же слой имеет бесконечное протяжение в отрицательном направлении, то должно исчезать соответствующее В.

U, U,

U, U,

В качестве примера первого случая мы рассмотрим задачу, имеющую довольно общий характер.

когда ламинарное стационарное движение происходит между неподвижными стенками у = 0 и Фиг. 67. У = bv-\-br -Vb^.

Завихренность постоянна на протяжении каждого из трех слоев, ограниченных у = 0, y = bx; y = bv y = b1-\-br; y — b^-^-b', у = b^-^-b' -]- Ьй (фиг. 67). Мы имеем, таким образом, две внутренние поверхности, на которых завихренность изменяется. Значения U на этих поверхностях можно обозначить через Uv U^.

В соответствии с условием (3) и при условии, что у=0 при у = 0, мы можем положить в первом слое

у = yt = sh by;(5)

во втором слое

у = уа = ух -|-Л11 sh к (у — bt);(6)

в третьем слое

V = y3 = ya+Alash k(y — bv — b'\(7)

Условие, что у = 0 при у = bv -ф- b' ~ф- Ь^ теперь дает

0 = Ma sh кЬй + Mt sh к (5а + b') + sh к (b* + b' + Ь^.(8)

Нам остается еще выразить два других условия (4) на поверхностях перехода. На первой поверхности

у = sh kbvу = sh kbvД = кМг; ду 11Д = кМг; ду 11

у = sh kbv

у = sh kbv

Д = кМг; ду 11

Д = кМг; ду 11

374 ВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ И ЧУВСТВИТЕЛЬНЫЕ ПЛАМЕНА [ГЛ. XXI на второй поверхности

-y = 441sh^4-sh^(614-y), A^r = кмт

Обозначив значения A (dU/dy) на обеих поверхностях соответственно через Др Да, мы придадим нашим условиям вид:

(n-V-hU^M^^shhb^O, (9)

(п+к U^ Ма — Да [ Mt sh kb'4-sh к (bt 4- b^ ] = 0.(10)

В силу (8), (9), (10) значения Mp Ala, n определены.

Уравнения для п найдем, приравняв нулю определитель этих трех уравнений. Это уравнение можно записать в виде

An?-V-Bn-VC = Q,(И)

где A^sYvk^-Vb'-ybO,(12)

В = к (^4-^) sh k^-^b'-Vb^-V

-{-Aash kb^sh к (614-^34-Ai sh ^t sh к (b^-\-bf), (13) C = k4J^ sh к (^4-^+^) +

4~&£/1A2sh kb^ sh к 44-634-^44 sh kbt sh 6(6a4-634“

4~A1Aash kbt sh kb.^sXv kb'. (14)

Для того чтобы определить характер корней, нам нужно образовать выражение № — 4АС. Сделав приведение, получим

Ва—4ДС= [^(^ — ^sh А; (^4-^4-^)4-

4~АХ sh kbt sh ^(6а4~63— Да sh &6а sh ^(614-63194-

4-4A1Aasha^1sha^a. (15)

Следовательно, если Av Aa имеют одинаковый знак, т. е. если кривая скорости (§ 366) направлена выпуклостью всюду в одну и ту же сторону, то В^ — 4 АС положительно, и оба значения п действительны. При этих обстоятельствах возмущенное движение устойчиво.

Предположим теперь, что поверхности, на которых происходит изменение завихренности, расположены симметрично, так что bv = Ь^ = Ь. В этом случае находим

Д = sh к (264-63,(16)

В = к (^4- U^ sh к (26-|-6')-|-(At-|-Ay) sh kb sh к (64-63,(17)

С = №VU^ sh к (264-634-к (^7lAa4-^/aA1) sh kb sh к (6-{-634-

-рд^уЗ^^бзЬ^бЗ (18) B^ — 4AC = 4AtAa sh4 kb-V j^b^ — u^ sh к (264-634-(Дх — Да) sh kb sh к (6-|-63]2. (19)

Здесь имеются два подслучая, которые можно отметить особо. Первый — это тот, в котором значения U одинаковы по обе стороны от средней плоскости, так что средний слой представляет область постоянной скорости без завихренности; кривая скорости для этого случая изображена на фиг. 68. Мы можем предположить, что в среднем слое U = У, а на стенках (/ = 0, не жертвуя общностью, поскольку любая постоянная скорость Uo, наложенная на эту систему, просто изменяет п на соответствующую величину— kU0, как это очевидно из уравнения (7) § 366. Таким образом, ut = u4=v,^=^ = а = —£

И

В^ — 4АС=^ sh4M; следовательно,

„ I h V — _К sh kb sh ^ (^ + Ю ± Sha fob n~TRV b shk(2b + b')-

Как и следовало ожидать, поскольку кривизна кривой скорости всюду одного знака, значения п в выражении (20) действительны.

Легко видеть на основании симметрии, что оба нормальных возмущения таковы, что значения у на поверхностях раздела либо равны, либо противоположны для данного значения х. В первом случае поверхности изогнуты в одну и ту же сторону и (как это легко получить из уравнений или вывести из частного случая, который будет сейчас упомянут) соответствующее значение п в выражении (20) имеет верхний знак. Во втором случае движение симметрично относительно средней плоскости, которая ведет себя подобно неподвижной стенке.

Если средний слой отсутствует (Ь' = 0), то одно из значений п— то, которое соответствует симметричному движению, — исчезает. Остающееся значение дается соотношением

n-\-kV =n-\-kV =2 sh2 kbsh 2kb2 sh2 kbsh 2kbУ th kbbУ th kbb(21)(21)

n-\-kV =

n-\-kV =

2 sh2 kbsh 2kb

2 sh2 kbsh 2kb

У th kbb

У th kbb

(21)

(21)

Другой случай, который мы рассмотрим,—это случай, когда скорости U по обе стороны от средней плоскости противоположны друг другу, так что

Ut = -U,= V, ^ = -^ = -^.(22)

Здесь S = 0 и

С = — A?2V2 sh к (^b-V-b^ —

— 2&p.Vash Z?6sh k(b-\-br) — [i2V2sh2 A^> sh kb'.

Ради краткости обозначим kb ~ р, kb' = Р', так что уравнение для п принимает вид:

из £2sh(2₽4-p/)4-2AMh₽sh(₽ + p/) + [x2sh2psh2^

W2 “^2 sh (2р 4- ^)"

(23)(23)[р-sh р sh ^4-^sh (^4-^)р —^2 Sh2$ "£2 Sh ^ sh (2^ 4- рЭ

(23)

(23)

Здесь оба значения п равны и противоположны; и поскольку At и Да имеют противоположные знаки, постольку вопрос о том, является

QQФиг. 69.Фиг. 69.ли п действительным или мнимым, остается от-

Q

Q

Фиг. 69.

Фиг. 69.

крытым.

Непосредственно очевидно, что п действительно, если у. положительно, т. е. если At и V имеют одинаковые знаки, как на фиг. 69.

Даже если р отрицательно, п^ необходимо положительно для больших значений к, т. е. для малых длин волн. В самом деле, в конечном счете мы имеем из (23)

п = ± к¥.

Теперь мы можем исследовать, для каких значений

п? может быть отрицательным, если к очень мало, т. е. если

длина волны очень велика. Приравнивая числитель выражения (23)

нулю и разлагая в ряд гиперболические синусы, мы получаем

в качестве квадратного уравнения для р выражение:

^Ь^- 2чЬ (Ь 4- b')+2Ь+Ь' = 0, откуда

р = т или р = —-——.(24)

Когда р лежит между этими пределами (и только тогда) п^ отрицательно, и возмущение (с большой длиной волны) возрастает со временем экспоненциально.

Мы можем выразить эти результаты через скорость Уо у стенки, где у = 0. Имеем

» + у У Л + 1 у

Следовательно, предельные значения Ио суть bV]^bf и 0. Кривая скорости, соответствующая первому пределу, изображена на фиг. 70 линией QPOP'Q'; точку Q найдем, проведя прямую AQ параллельно ОР до встречи со стенкой в Q. Если Ь' — 2b, то QP параллельна О А, или скорость постоянна в каждом из крайних слоев.

Для второго предела Vo = 0; кривая скорости изображена на фиг. 71.

Существенно заметить, что движения, изображаемые кривыми

скорости, промежуточными между этими предельными случаями, обладают неустойчивостью такого характера, который был бы

Фиг. 70.Фиг. 70.Фиг. 71.Фиг. 71.невозможен для движения, кривая скорости которых имеет всюду кривизну одного знака, как на фиг. 68.

Фиг. 70.

Фиг. 70.

Фиг. 71.

Фиг. 71.

В первом приближении движение, изображенное на фиг. 71, находится на границе между устойчивостью и неустойчивостью для возмущений с большой длиной волны; однако если мы продолжим наши вычисления, то найдем, что в

действительности оно неустойчиво. Если мы положим в (23)

2

У ’

(25)(25)то получим, после приведения,

(25)

(25)

W'^ "3 ' ’

что указывает на неустойчивость.

Из соотношения (23) в его второй форме мы видим, что, каково бы ни было значение к, можно у, определить так, чтобы возмущение было неустойчивым. Условием этого будет просто, чтобы у. было заключено между пределами

, sh к (Ь + У) ± sh kbsh kb sh кУ ’

или

— к | cth ^^>—]—cth ^- kb' | , —к { cth ^^>—]—th j kb'}; (26)

первое из этих условий соответствует верхнему пределу численного значения у,.

Если к очень велико, то пределы очень велики и близки друг к другу. Если к мало, то они принимают вид:

121

bУ и b ’

что уже было доказано. По мере того, как к возрастает от 0 до оо, численное значение верхнего предела непрерывно растет от 1/6—|— 2/6' до оо* и подобным же образом численное значение нижнего предела растет от 1/6 до оо. Поэтому движение не может быть устойчивым для всех значений к, если у. (будучи отрицательным) превосходит по численному значению 1/6. Окончательным условием полной устой-

378 ВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ И ЧУВСТВИТЕЛЬНЫЕ ПЛАМЕНА [ГЛ. XXI чивости будет, следовательно, алгебраическое неравенство

Н>—р(27)

В переходном случае

этот случай изображен на фиг. 70. Если PQ наклонена вниз больше, чем показано на этом рисунке, как, например, на фиг. 71, то стационарное движение заведомо неустойчиво.

Возвращаясь к общим уравнениям (11), (12), (13), (14), (15), предположим, что Аа = 0, что приводит к исчезновению соответствующей поверхности разрыва. Получаем

В = к (Ut -ф- ^72) sb Z? (b^ + 6' + ^i) + ^i sh kbt sh к (b^ 4* b'\

B* — $AC = [Ze (17г — Z7a)shZ5(^4-y4-^)4-

At sh kbA sh к (b^ 4- b'^, так что

n =— kU^,°(29)

или

n=_feU(30)

sh к (bi + b' + b2)v 7

Последнее выражение представляет собой общее решение для двух слоев постоянной завихренности шириною Ьх и У4~да. Эквивалентный результат можно получить, полагая в уравнении (И) и т. д. Ь' = 0 или ^ = 0.

Наличие соотношения (29) заставляет сделать вывод, что в качестве значения п допустимо любое значение —kU; смысл этого очевиден из основного уравнения (7) § 366. В самом деле, в том месте, где n-^-kU =0, уравнение (1) не должно удовлетворяться, т. е. произвольные постоянные в выражении (2) могут изменять свои значения. Очевидно, что при заданных значениях пик можно найти решение, удовлетворяющее требуемым условиям у стенок и у поверхностей, где dU/dy изменяет значение, так же как и уравнению (3) у плоскости, где n-^kU — 0. В этом движении предполагается, что жидкости в рассматриваемой плоскости сообщается добавочная завихренность, которая движется вместе с жидкостью при скорости U.

Мы можем спросить, что же происходит во втором месте в жидкости там, где случайно скорость одинакова со скоростью в первом месте, месте добавочной завихренности. Второе место может находиться либо в слое с первоначально однородной завихренностью, либо на поверхности перехода. В первом случае не происходит ничего особенного. Если во втором месте нет новой завихренности, то значение у определено, как обычно, с точностью

до некоторого произвольного множителя. Однако возможно наличие новой завихренности, совместной с заданным значением п, во втором месте, так же как и в первом, и тогда полное значение у для данного п можно рассматривать, как состоящее из двух частей, каждая из которых пропорциональна одной из новых завихренностей и каждая из которых имеет произвольный множитель.

Если второе место расположено на поверхности перехода, то из уравнения (4) следует, что ^ = 0, поскольку Д(д£//ду) конечно. Из этого факта мы могли бы попытаться сделать вывод, что рассматриваемая поверхность ведет себя подобно неподвижной стенке, однако, более подробное исследование показывает, что этот вывод не оправдывается. Для того чтобы понять это, полезно будет исследовать соотношение между у и смещением поверхности, которое предполагается пропорциональным eint • е411®. Таким образом, если уравнение поверхности есть

F — y—h.eintJrt11® = 0,(31)

то условие, которому нужно удовлетворить, имеет вид):

дР . дРdt дхдР . дРdt дхI дР л 4-у —- = 0, 1 dyI дР л 4-у —- = 0, 1 dy(32)(32)

дР . дРdt дх

дР . дРdt дх

I дР л 4-у —- = 0, 1 dy

I дР л 4-у —- = 0, 1 dy

(32)

(32)

так что искомое соотношение есть

— Щ^п^кЩ-У-у^й.(33)

Следовательно, конечное h совместимо с исчезающим ч).

В задачах, рассмотренных в § 367, жидкость была ограничена неподвижными стенками; в задачах, к которым мы сейчас пере

Фиг. 72.Фиг. 72.ходим, мы будем предполагать жидкость неограниченной. В качестве первого примера предположим, что на верхней стороне слоя толщины b невозмущенная скорость U равна + V, а на нижней стороне она равна — V, внутри же слоя она равномерно изменяется (фиг. 72). Завихренность внутри

Фиг. 72.

Фиг. 72.

слоя равна Vjb, а вне слоя она равна нулю.

Наиболее непосредственно ведущим к цели методом разрешения этой задачи является, пожалуй, метод, изложенный в § 367. От у = — оо до у = 0 нам нужно взять выражение вида ■и1 = eN, удовлетворяющее необходимому условию при у= — оо. Тогда от у = 0 до у = b

v2 = ^ -]- Mt sh ку, .

а от у=Ь до у = -]- оо

У3= ^ + ^2Sh ^(j™ Ь>

Но, в силу условий, при -|—оо и3 должна иметь вид е-ку, так что1+^+^6-^ = 0.

Два других условия можно тогда сформулировать, как в § 367, и, исключив две постоянные Мг и Му получить, наконец, уравнение для п. Однако будет удобнее и поучительнее пойти по другому пути, открываемому теорией вихрей.

Если мы напишем основное уравнение

(п , тт\(д2и \ d4J п

I + U ч-ч —ч-чУ^О(1)

\ А 1/ уду3 / ду24 7

в виде

то увидим, что если У = 0 от у = — оо до у = -ф- оо, то v = 0. Следовательно, любое значение, возможное для у, можно рассматривать, как зависящее от Y и, далее — вследствие линейности, — как составленное путем простого сложения из значений, соответствующих частным значениям Y. В приложениях, которые мы имеем в виду, Y исчезает всюду, за исключением отдельных определенных мест —- поверхностей разрыва, — где только d^Ujdy^ отлично от нуля. Полное значение у можно, таким образом, найти путем сложения частных значений, каждое из которых соответствует единственной поверхности разрыва.

Для того чтобы найти частное значение, соответствующее поверхности разрыва, расположенной при y=yv нам нужно предположить в уравнении (2), что Y исчезает во всех других местах, а у исчезает при±оо. Таким образом, при _у>_уР у должно быть пропорционально е~к^~У1\ anpHj/<^v—пропорционально е+к^-У1\ Кроме того, поскольку само -и должно быть непрерывным при _у = _yv коэффициенты в показателях должны быть равны, так что искомое значение можно записать в виде

у = Се±к^-У^,(3)

где С — некоторая постоянная.

В частной задаче, предположенной выше, имеют место две поверхности разрыва — при _у = 0 и при у = Ь; соответственно полное значение у можно записать в виде

^ = Ае^кУ-^-Ве^к^"ь\(4)

Теперь нам нужно удовлетворить условию непрерывности (4) § 367 на каждой поверхности. При у/ = 0 из выражения (4) мы имеем

«0 = Д+В«-» д(^о = _2Ы, причем

u=-v. д^) = + т-

а при у = b

-оъ = Ае-^Д-В,= —26В,

причем

u=-yv, а \ д_У 7 Ь

Условия, которым должны удовлетворять В/A и п, следовательно, таковы: /,/ p-kb\

А(п —+V^-) = 0,(5)

A^V~\ — В fn+^K— y) = 0,(6)

откуда, исключая B]A,

”2 = ^ № — О2 — *-2ЛЬ].(7)

Если kb мало, т. е. если длина волны велика по сравнению с Ь, то этот случай приближается к случаю внезапного перехода от скорости — V к скорости -j- V. Тогда, из соотношения (7),

п^ = — W, (8)

в согласии с уже найденным значением [(17) § 365]. В этом случае стационарное движение неустойчиво. С другой стороны, если kt? велико, то из (7) находим

п9 = к^, (9)

и так как оба значения п действительны, то движение устойчиво. Таким образом, оказывается, что при таком отдалении от неустойчивости, безгранично возрастающей с уменьшением до нуля длины волны, как это бывает при внезапном переходе от—V к-|-У, уменьшение длины волны ниже

определенного значения сопро- вождается неустойчивостью, которая постепенно уменьшается и, наконец, заменяется действительной устойчивостью. Приводимая таблица более детально показывает ход b^jV^ взятый в функции kb.

kb

kb

№п^

0,2 0,4

0,6 0,8

—0,03032

—0,08933

—0,14120

—0,16190

1,0

1,2

1,3

2,0

—0,13534

—0,05072

+0,01573

+0,98168

Мы видим, что неустойчивость— наибольшая при kb^

^0,8, т. е. при Л = 8В, и что переход от неустойчивости к устойчивости происходит при kb ^ 1,3 или при X = 56.

В соответствии с обоими значениями п имеются два отношения В]А, определяемые уравнениями (5) или (6), причем каждое из них дает нормальный тип возущения, а посредством этих нормальных

возмущений можно представить произвольные начальные условия. Мы увидим, что для устойчивых возмущений отношение В/A действительно; это показывает, что изгибы обеих поверхностей в ^каждый момент находятся в одной и той же

/фазе.

В качестве примера мы можем теперь взять струю Фиг. 73. толщиною 2Ь, движущуюся в спокойной жидкости, предполагая, что скорость в середине струи равна V и что по обе стороны скорость равномерно падает до нуля (фиг. 73). Помещая начало оси j/-ob на средней линии, мы можем написать

[7=1/(1^£У

(Ю)(Ю)\ о /

(Ю)

(Ю)

(И)(И)где знак минус относится к верхней, а знак плюс к нижней половине струи (фиг. 73). Теперь имеются три поверхности ,у =—b, у = О,^=-^-Ь, на которых вид ч) испытывает разрыв. Так же как в (4), мы можем положить

(И)

(И)

у= — Ь, и = 0,

А|

(аил кду>

V b ’

ч)=А-^-Ве-^Ц-Се-^ь,

А

/ди\

1 = — 2кА;

при

у = 0, U = V,

△1

(dU\

_2V ь ,

<у = Ае~кЪ-^- В—р Се~кЬ,

А

(ди\

\ = — 2кВ

и при

y = b, и = о,

а(

vdy /

V b ’

у = Ае-йкь-\-Ве-кЬ-\-С,

А

/др\ \<4/

, = — 2кС.

-и = д6± fc(y+&) 4- Ве^ ^ 4 Се^ к№~ъ\ так что при

Подстановка этих значений в уравнения условия (4) § 367 дает тД-4-7В4-4С = 0,(12)

T^+d-l”—4в+тс=°-<13>

^4 + tB + mC = 0.(14)

Эти уравнения определяют А : В : С и п.

Из симметрии, характеризующей этот случай, или же из исследования уравнений (12), (13) и (14) мы видим, что одно из нормальных возмущений определяется соотношениями

(15)(15)5 = 0 и Л+С = 0,

(15)

(15)

и что соответствующее значение т равно ^2. Таким образом, для симметричного возмущения

(16)(16)

(16)

(16)

что указывает на устойчивость в случаях, когда речь идет об этой частоте.

Общий определитель системы трех уравнений можно представить в форме

(/и — I2) [/n24- С(24- 2/М — 3) т + 72(1 + 2^)] = 0, (17)

где первый множитель соответствует уже рассмотренному симметричному возмущению. Остальные два значения п будут действительны, если

(12 + 2^ —З)2 —4Т2(1 Д-2^)> О, (18) но не иначе. Если kb бесконечно велико, то ^ = 0, и неравенство (18) удовлетворяется; таким образом, движение устойчиво, когда длина волны возмущения мала по сравнению с толщиной 2Ь струи. С другой стороны, как легко доказать, разлагая в ряд f или е-кЪ в выражении (18), движение неустойчиво, если длина волны велика по сравнению с толщиной струи.

Значения левой части неравенства (18) можно оценить легко, если представить эту часть в виде

(5--|-2^ — е-^_ 16(1 4-2^). (19)

Некоторые соответствующие значения (19) и ^kb даны в таблице.

Мнимая часть п, если она

существует, пропорциональна квадратному корню из (19). Длина волны максимальной неустойчивости определяется, таким образом, приближенно значением 2кЬ = 2,5 или л — 2,5 • 2£. Критическая длина волны дается значением 2А?^3,5

2 £6

(19)

2fcb

(19)

0,5 1,0 1,5 2,0

—0,054

—0,279

—0,599

-0,876

2,5 3,0

3,5 4,0

—0,975

—0,794

—0,263 +0,671

приблизительно, или Х=1,8 • 2&;

более короткие длины волн, чем эта, приводят к устойчивости, а более длинные — к неустойчивости. В этом отношении здесь имеется очень близкая аналогия с цилиндрическими стол-

биками жидкости, находящейся под действием /\

капиллярных сил (§ 357), хотя природа самого ''

равновесия и характер отклонения от него фиг 74 совершенно различны.

Можно сделать дальнейший шаг к обобщению, предполагая, что максимальная скорость V распространяется на слой конечной толщины Ьг в середине струи (фиг. 74). В соответствии с этим в этом

слое нет завихренности, между тем как в прилежащих слоях, толщиною Ь, завихренность и скорость остаются прежними.

Взяв, как в выражении (11), четыре постоянные А, В, С, D, для того чтобы представить разрывы на четырех поверхностях, рассматривая их по очереди, и положив ^ = е-кЪ и ^' = е~кь', имеем на первой поверхности

У ду /1 Ь 1

у = A -J- ^B-f-^^^C-J-^^'D, Д^—j =— 2кА\ на второй поверхности

U=V, = —

\ ду /b ’

v = ^Л -[- В 4~ YC 4" "n'D, Д ^^^ = — 2кВ; на третьей поверхности

u=v. д№ = —К

\ду) b ’

v^^YA-^YB-V-C-y-^D, ^^ = —2kC и на четвертой поверхности

U=0, А Ь- = +

\ду /1 b ’

v =4- ^'В 4“ yC-J-B), Д^\ =— 2kD.

Воспользовавшись этими значениями в (4) § 367, получим

(20)(21)(22)(23)(20)(21)(22)(23)Др 4-^-j + ^B + n'C-j-f^'D^O,чД4-в[1 — 2г>^4-~^4-7/С4-Т7/В) = о,

(20)

(21)

(22)

(23)

(20)

(21)

(22)

(23)

*tYA + YB + с [ 1 — 2Ь ^к 4- ^] 4- ^D = о,Т2Т^4_и/в4-тС4-В)Г1 4-^1 = 0.

Исключение отношений А : В : С : D дало бы биквадратное уравнение по п, которое, однако, можно разбить на два квадратных уравнения— одно, относящееся к симметричным возмущениям, для которых Д4-В)==0, В4-С=0, и другое, относящееся к возмущениям, для которых А — D = 0, В — С=0. Результирующее уравнение по а можно написать в виде:

/2bnV I , ■/ г о I «ч 26/2 ,

\V) +(—1ТТ7а + 2*»)-1Г±

±7'—14-2to + 12(l4:1,4z2to-(,) = 0. (24)

В уравнении (24) верхние знаки относятся к симметричным возмущениям. Корни действительны и соответствующие возмущения устойчивы, если

(±f fl2 + 2/^—4 [±1'—1 +2^ 4-^(1=?/^ 2^/)] (25) положительно.

В дальнейшем мы ограничимся симметричными возмущениями, т. е. верхними знаками в (25) и членами порядка не выше первого по bf. Выражение (25) можно тогда привести к виду

(1 _т2-2^)2-{-2^/(1 -]-т2)(1 — f —2^).(26)

Если kb очень мало, то это выражение обращается в

^W — %kbf«W.(27)

Если Ь' равно нулю, то выражение (27) положительно, и возмущение устойчиво, как мы нашли выше; если же b и bf — одного порядка величины и оба малы по сравнению с X, то из (27) следует, что возмущение неустойчиво, хотя оно и симметрично.

Если положить в выражении (24) Ь' = 0, то мы снова возвратимся к предыдущей задаче. Для симметричных возмущений, полагая в (24) */= 1, получим

+ (1 - ?+ 2№)+ 26» (1 —г=) = О,

что показывает, что значения ‘IbnjV равны у2—1 и —2^. Первое значение совпадает с (16), а второе дает п-\- kV = 0. Мы уже видели, что любое значение — kU представляет возможное решение для п.

С другой стороны, если мы предположим, что b = 0, то мы вернемся к случаю струи с одинаковой повсюду скоростью V и с толщиною Ь', движущейся в спокойной жидкости. Уравнение для п после деления на № принимает вид:

м2 + (1±/)£У. ,г + у(1 ±/)/s2V2 = 0, или

(«Ч-б^^у + ^^О-(28)

В уравнении (28) ] ^L == cth ^ kb', 1 - Д = th ^ W, так что результат находится в согласии с (22) и (29) § 365, где вели- чине -^Ь соответствует

Другой частный случай уравнения (24), сравнимый с предыдущими результатами, получится, если предположить, что Ь' бесконечно велико.

Если d^U/dy^ конечно, то мы должны вернуться к общему уравнению § 366

In I\л

которое позволяет теоретически построить кривую, изображающую-и как функцию от .у, если известно п (которое действительно). Действительно, мы можем рассматривать уравнение (I) как определяющее кривизну, которую мы будем иметь в какой-либо точке при следовании по кривой. В месте, где п-Д-kU исчезает, т. е. где скорость потока равна волновой скорости, кривизна становится бесконечной, если v не исчезает. Характер бесконечности в таком месте (предполагая, что у = 0) можно было бы более удовлетворительно исследовать посредством полного решения для какого-нибудь частного случая. Однако достаточно исследовать вид решения в соседстве с у = 0, и для этой цели дифференциальное уравнение можно упростить. Так, если у мало, то можно рассматривать n-\-kU как пропорциональное .у, adHJjdy62,— как приближенно постоянную. По сравнению с большим членом fe2y можно пренебречь, и достаточно рассмотреть уравнение

dy® 1

где ради краткости опущен известный постоянный множитель при у. Это уравнение относится к типу уравнения Риккати

^+^ = 0,(3)

решением которого вообще является (/и дробное)1)

» = /jM/„© + SV_m(E)J,(4)

где

w = (7^2’ ^ = 2туЧ»т.(5)

Если, как в данном случае, т целое, то J_m(^) следует заменить (§ 341) функцией второго рода ¥т($у Следовательно, общее решение уравнения (2) есть

® = К>И/1(2/5) + ВУ1(2О-(6)

При переходе через нуль у изменяет знак, а вместе с тем и характер функций. Если мы будем рассматривать решение (6) как применимое на положительной стороне, то на отрицательной стороне

t) Lommel, Studlen liber die Besselschen Functionen, § 31, Leipzig, 1868; Gray and Matthews, Bessel Functions, стр. 233, 1895.

мы можем написать

^ = />1^(204-0^(20,(7)

причем аргументы функций в решении (7) — чисто мнимые.

Из известного вида функций (§ 341) мы можем вывести следующее решение, применимое при малом j/:

с = /1(>—1>г) +

+ В [1(1 -у + 1 ^) - In (2 о • (у -1>2)+> - |уа], (8) так что в конечном счете

’=ТВ- | = Л-ТВ1П^ ^-^Ч^ (9) причем v остается конечным во всех случаях.

Покажем теперь, что любое значение — kU является допустимым значением п в уравнении (1). Место, где п-[-&[/= О, примем за начало .у-ов; сначала мы предположим, что n-V-kU не исчезает нигде в другом месте. В непосредственном соседстве с у = 0 решениями, применимыми на обеих сторонах, будут (6) и (7), причем они подчиняются условию, что -и должно быть непрерывным. Следовательно, в силу (9), В = D, а три постоянные остаются произвольными. Определив таким образом характер функций в начале, при у = 0, подчиняем дальнейший их ход первоначальному уравнению (1), которое полностью определяет их, если известны эти три произвольные постоянные. В данном случае заданы два соотношения условиями, которые должны выполняться на неподвижных стенках или других границах жидкости, и таким образом весь вид v определен с точностью до постоянного множителя. Если В и D конечны, то в начале имеется бесконечная завихренность.

Любые другие места, в которых n-^-kU = 0 можно рассматривать аналогичным образом, и самое общее решение будет содержать столько произвольных постоянных, сколько имеется мест с бесконечной завихренностью. Однако завихренность не должна обязательно быть бесконечной только потому, что n-\-kU = 0; и действительно, можно получить частное решение с одной лишь бесконечной завихренностью. В любом другом критическом месте, например в таком, каким мы можем считать начало, В и D могут исчезать, так что v = О, d^dy1* = Л или С.

На основании этих рассуждений казалось бы, что бесконечности, которые появляются при п-\- kU = О, не оказывают серьезного влияния на применение общей теории, коль скоро мы пренебрегаем квадратом отклонения от стационарности движения.

Значительная часть предыдущих параграфов заимствована из некоторых статей автора). Читатель может обратиться также к работам лорда Кельвина), в которых рассматриваются эффекты вязкости.

Остается описать явление чувствительного пламени и показать, насколько это возможно, применение теоретических принципов. В принципе комбинация пламени и резонатора, описанная в § 322А, может быть названа чувствительной; однако в этом случае название это следует скорее отнести к резонатору, а роль пламени состоит только в поддержании путем периодического снабжения теплотой однажды начавшегося колебания резонатора. Следуя Тиндалю, мы можем с успехом ограничить применение этого термина изолированными пламенами и струями, в которых происхождение чувствительности следует, несомненно, искать в неустойчивости, сопровождающей вихревое движение.

Самым ранним наблюдением по этому вопросу было наблюдение профессора Леконта), который заметил прыжки пламени обыкновенной двойной горелки, дающей пламя в форме рыбьего хвоста (fishtailburner) в ответ на определенные ноты виолончели. Условием чувствительности было, чтобы при отсутствии звука пламя было на границе вспышки. Когда давление газа уменьшалось, то чувствительность пропадала.

Произведенное независимо наблюдение такого же рода привлекло внимание проф. Барретта к чувствительным пламенам; при этом он исследовал тип горелки, наилучшим образом подходящей для работы при обычных давлениях газа в газовой сети). «Она состоит из стеклянной трубки приблизительно в 3/8 дюйма (1 см) диаметром, сжатой в отверстии до 1/16 дюйма (0,16 см) в диаметре. Весьма существенно, чтобы это отверстие было слегка V-образно... Нет ничего легче, чем сделать подобную горелку; необходимо только вытянуть на газовом пламени кусок стеклянной трубки и ножницами придать сжатию указанную форму».

Однако значительно более поразительным является пламя высокого давления, примененное Тиндалем. Газ подавался из специального резервуара под давлением примерно в 25 см водяного столба к очень малому отверстию (pinhole) стеатитовой горелки, причем пламя увеличивалось по высоте, достигая примерно 40 см. Под влиянием звука подходящей (очень высокой) частоты пламя гудит и спадает,

пожалуй, до половины первоначальной высоты). Тиндаль показал, что чувствительным местом является основание пламени. Звук, подводимый по трубке, не эффективен, если он подается к пламени несколько выше, а также, если он подходит к горелке ниже места, откуда выходит пламя.

Тиндалю мы обязаны также доказательством того, что эти необычайные явления следует приписать не самому пламени как таковому. Такие же по существу явления получаются в случае, когда струя незажженного газа—углекислоты, водорода или даже воздуха— вытекает из отверстия под соответствующим давлением. Их можно сделать видимыми двумя способами. Путем прибавления дыма можно сделать видимым весь путь струи; при этом обнаружилось, что подходящие струи дыма могут даже превзойти пламена в чувствительности. «Тоны, которые здесь эффективны, имеют значительно более низкую частоту, чем те, которые наиболее эффективны в случае пламени». Другой способ сделать видимой глазу чувствительность воздушной струи — это заставить ее касаться такого пламени, как, например, пламя свечи, которое просто играет роль индикатора.

В чувствительном пламени проф. Гови) и Барри) газ не горит у горелки, но загорается на внешней стороне проволочной сетки, удерживаемой на соответствующем расстоянии. На таком же принципе основано устройство, примененное автором). Струя светильного газа, выходящая из горелки с малым отверстием, устремляется вертикально во внутренность полости, из которой воздух удален. Затем она проходит в латунную трубку длиною в несколько дюймов и по достижении верхушки зажигается в отверстии. Передняя стенка полости образована гибкой мембраной из шелковой бумаги (tissue-paper), сквозь которую внешние звуки могут достигать горелки. В этих случаях чувствительным агентом является незажженная часть струи. При этом способе горелка требует значительно меньшего давления газа, чем это необходимо в случае, когда пламени позволяют подойти к горелке, а звуки, которые оказывают наибольшее влияние, ниже.

Пораженные аналогией между этими явлениями и явлениями, происходящими в водяных струях, исследованных Саваром и Плато, первые наблюдатели, повидимому, приходили к поспешному заключению, что и характер разбиения также одинаков — симметричен относительно оси; а проф. Леконт зашел даже так далеко, что делал заключение о существовании силы сцепления в газах. Однако поверхностное натяжение требует весьма резкого перехода от одних свойств вещества к другим по обе стороны — такого, который может существовать только мгновенно, если имеется стремление к смешиванию, так

что кажется совершенно неправдоподобным, чтобы капиллярность играла здесь какую-нибудь заметную роль.

Вопрос о характере разбиения — есть ли это постепенное увеличение узловатости или постепенное увеличение извилистости — имеет величайшее значение, и ответ в некоторых случаях все еще, пожалуй, сомнителен. Но то, что последнее вообще преобладает, следует из различных оснований. Необходимость несимметричного отверстия, как это отметил Барретт, решительно свидетельствует в пользу такого предположения. Такое же заключение вывел Риду) на основании результатов некоторых остроумных опытов. Этот наблюдатель нашел, далее, что двойные пламена типа «рыбьего хвоста», образованные путем слияния направленных под малым углом друг к другу струй, выходящих из двух совершенно одинаковых стеклянных трубок, обнаруживают чувствительность, зависящую от направления звука. Если это направление лежит в плоскости симметрии, содержащей пламя (т. е. в плоскости, перпендикулярной к плоскости отверстий трубок), то пламя не реагирует.

Даже в случае длинного пламени высокого давления, выходящего из горелки с малым отверстием, когда, по всей видимости, как отверстие, так и пламя (когда оно не возмущено) вполне симметричны, есть основание считать, что характер разбиения извилистый, или несимметричный. Пожалуй, наиболее легким путем, приводящим к такому заключению, является исследование поведения пламени, предоставленного действию стоячих звуковых волн — таких, какие можно получить путем наложения на прямые волны, исходящие из источника, дающего чистый тон, волн, отраженных перпендикулярно от плоского препятствия, например от плоской стеклянной пластинки. На основании аналогии с капиллярными струями, — аналогии, которая распространялась многими писавшими по этому вопросу дальше, чем это допускалось обстоятельствами, — пламя должно было бы возбуждаться, когда отверстие находится в узле, где давление изменяется сильнее всего, и оставаться индифферентным в пучности, где давление совершенно не изменяется. Нетрудно было экспериментально а) показать, что фактически происходит как раз обратное. Источником звука служил птичий манок (§ 371), а наблюдения производились путем передвигания горелки вперед и назад перед отражателем до тех пор, пока не находилось положение, в котором пламя было наименее возмущено. Такие положения были очень хорошо определены, и измерения показали, что расстояния от отражателя пропорциональны натуральному ряду чисел: 1, 2, 3 и т. д., а следовательно, соответствуют узлам. Если бы эти положения совпадали с пучностями, то расстояния должны были бы образовать ряд, пропорциональный нечетным числам—1, 3, 5 и т. д. Длина волны звука, определяе-

мая двойным интервалом между последовательными минимумами, равнялась 31,3 мм, что соответствует высоте /#VI.

Несколько наблюдений было произведено в то же время над положениями молчания, оценивавшимися ухом, слушавшим звук сквозь трубу. Как и следовало ожидать, они совпадали с пучностями, деля пополам интервалы, образованные пламенем. Когда пламя находилось в положении минимального эффекта и свободный конец трубы удерживался вблизи горелки на одном и том же расстоянии от отражателя, то слышимый звук имел максимум, и он уменьшался, когда конец трубы несколько смещался в том или другом направлении. Таким образом, было установлено, что пламя подвергается воздействию там, где звук не оказывал бы действия на ухо, и наоборот.

Пламена, выходящие из горелок с малыми отверстиями, которые хорошо ведут себя в других отношениях, повидимому, всегда обнаруживают заметное различие в зависимости от направления, в котором приходит звук. Если во время действия птичьего манка горелку непрерывно поворачивать вокруг ее оси, то можно найти два положения, отличающихся на 180°, в которых ответ очень слабый или его совсем нет. Эта особенность может иногда приниматься во внимание в экспериментах *). Так, после того, как сделано приспособление, благодаря которому прямой звук не оказывает действия, сильная вспышка может все же происходить в результате прихода звука от того же самого источника после отражения от небольшой стеклянной пластинки, которая удерживается в таком положении, что направление прихода звука образует угол в 90° с направлением прямого звука, —и это несмотря на то, что расстояние, проходимое отраженным звуком, больше.

Тиндаль) выставляет в качестве существенного условия полного успеха наиболее тонких экспериментов с такими пламенами, «чтобы был открыт свободный путь для передачи колебаний от пламени назад через газопровод, который питает его. Отверстия кранов близ пламени должны быть по возможности шире». Этот совет, пожалуй, более оправдан, чем обоснование, данное ему. Проф. Барретт) приписывает вредное действие частично открытого крана неправильному потоку и возникающему вследствие этого отталкиванию течения газа в трубке от стенки к стенке. В некоторых моих собственных экспериментах) введение в подающую трубку стеклянной насадки, делающей течение газа в высшей степени неправильным, не оказывало влияния, как не оказывали влияния и другие препятствия, если только они не сопровождались шипящими звуками. Вредное действие частично открытого крана естественно было, таким обра-

1) Proc. Ro_y. Inst., том XII, стр. 192, 1888; Nature, том XXXVIII, стр. 208, 1888.

зом, приписать возникновению внутренних звуков такого типа, к которым пламя чувствительно, и этот взгляд подтверждался некоторыми наблюдениями над давлением газа в соседстве с горелкой. «На пути газа были поставлены два крана, один — совсем недалеко за ответвлением к манометру, а другой — отделенный от него резиновой трубкой значительной длины. Когда первый кран был полностью открыт, а пламя подводилось близко к точке вспышки путем соответствующего регулирования дальнего крана, то чувствительность к внешним звукам была велика, и манометр указывал давление в 10 дюймов (25,4 см) водяного столба. Но когда дальний кран оставался полностью открытым, а регулирование производилось другим краном, нельзя было получить высокой чувствительности; объяснение было очевидно и состояло в том, что пламя вспыхивало без внешнего возбуждения, в то время как давление все еще было на 1 дюйм (2,54 см) меньше того, которое было при горении без вспыхивания в первом приспособлении. Открывая снова ближний кран полностью и регулируя дальний до тех пор, пока давление в манометре не достигло 9 дюймов (22,9 см), можно было обнаружить, что пламя сравнительно нечувствительно.

Наиболее непосредственное и удовлетворительное доказательство характера разбиения есть несомненно непосредственное наблюдение. Пользуясь струей фосфорного дыма, выходящего из стеклянного отверстия, и стробоскопическим диском, я сумел (1879) увидеть изгибы струи, когда она возмущается камертоном с частотою 256, колеблющимся в соседстве со струей). Кроме того, помещая отверстие точно в плоскость симметрии между ножками камертона, можно было убедиться, что необходимым возмущением является движение, поперечное к струе. В таком положении наблюдался лишь незначительный эффект, но малейшее смещение приводило к быстрому разрушению струи.

Для того чтобы возбудить чувствительность струй к тонам умеренной частоты, как я обнаружил, выгодно пользоваться резонаторами. Последние могут иметь форму гельмгольцовых резонаторов; но и соответственно подобранные широкогорлые склянки отвечают этому назначению. Существенно, чтобы струя вытекала из отверстия в область быстрого обратного движения в устье резонатора и притом в поперечном направлении.

Хорошие результаты были получены при частоте 256. Если заставлять одновременно звучать два камертона приблизительно такой частоты, несколько расстроенных друг относительно друга, то эволюции струи дыма, соответствующие слышимым биениям, хорошо заметны. Постепенно повышая давление, под которым подавался дым, по способу, обычному для таких экспериментов, можно было добиться высокой степени чувствительности, как с вытяну-

тым стеклянным отверстием, так и со стеатитовой горелкой с малым отверстием, которой пользовался Тиндаль. В некоторых случаях (даже при частоте 256) комбинации струи и резонатора оказывались почти так же чувствительными к звуку, как само ухо.

Поведение чувствительной струи не зависит от частиц дыма, роль которых состоит только в том, чтобы сделать эффекты более легко видимыми. Я производил повторно эти наблюдения без дыма, просто заставляя струи воздуха, вытекающие из этих же отверстий, ударять в пламя свечи, помещенной на соответствующем расстоянии. В таких случаях, как было указано Тиндалем, пламя просто действует как индикатор состояния струи, иначе невидимой. Даже и без резонатора чувствительность таких струй к свистящим звукам может быть использована с успехом для постановки изящных опытов.

Комбинация струи, резонатора и пламени обнаруживает иногда тенденцию звучать сама по себе; однако мне не удавалось получать хорошо поддерживаемый звук. Как бы то ни было, этот эффект в таком виде, пожалуй, соответствует эффекту, замеченному Са- варом и Плато при наблюдении водяных струй, разрушающихся под действием поверхностного натяжения и при распадении на капли ударяющихся в твердое препятствие, как, например, дно сосуда, механически связанное с отверстием, откуда вытекает начальная струя. Вследствие этой связи всякий правильный цикл в распадении струй способен, как это и было, воспроизводить себя.

Надеясь улучшить условия наблюдения над изменениями неустойчивых струй, я стал далее прибегать к окрашенной воде, текущей под водой. В этой форме экспериментом легче управлять, чем в случае струй дыма, которые трудно освещать и которые легко разрушаются при малейшем дуновении. В качестве окрашивающего вещества предпочтительно употреблялся марганцевокислый калий, причем окраску можно было ослаблять, примешивая к общей массе жидкости немного сернокислой закиси железа. Струи обычно сбрасывались вниз в широкий сосуд или в стеклянную ванну и освещались сзади сквозь кусок стекла.

Оказалось, что тоны максимальной чувствительности для этих струй жидкости были значительно ниже, чем тоны, необходимые для дымовых струй или пламен. Камертоны, дающие от 20 до 50 колебаний в секунду, повидимому, вызывали максимальный эффект, для наблюдения которого необходимо только привести подставку камертона в соприкосновение со столом, на котором находится прибор. Общее поведение струи можно было наблюдать без стробоскопических приспособлений,—заставляя жидкость в сосуде вибрировать от стенки к стенке под действием тяжести. При этом было видно, что окрашенная линия, выходящая из отверстия, становится постепенно все более и более извилистой, а несколько ниже представляется в виде шнурка, самопроизвольно изгибающегося вперед и назад. Я проследил процесс разбиения при постепенно

увеличивающихся частотах колебательного возмущения — от 1—2 в секунду примерно до 24 в секунду, — пользуясь электромагнитными прерывателями, посылающими прерывистые токи с помощью электромагнита, который действовал на арматуру из мягкого железа, прикрепленную к отверстию. На каждой стадии давление, под которым подается струя, должно быть отрегулировано так, чтобы давать правильную степень чувствительности. Если давление слишком велико, то струя дрожит независимо от наложенного колебания, и изменения становятся неправильными; в противном случае, явления хотя и наблюдаются обычно, но не так хорошо заметны, как в случае, когда произведено соответствующее регулирование. После некоторой практики можно достаточно хорошо истолковать то, что видно непосредственно; но для того чтобы иметь перед глазами картину того, что происходит в действительности, мы должны прибегнуть к прерывистому наблюдению. Наилучшие результаты получаются с двумя несколько выведенными из унисона камертонами, один из которых служит для того, чтобы создать разбиение струи, а другой (при помощи перфорированных пластинок, прикрепленных к его ножкам) — для того, чтобы осуществить прерывистое наблюдение. Разность частот должна быть равна примерно 1 колебанию в секунду. Если имеется возможность получить равномерное вращение, то вместо второго камертона можно взять стробоскопический диск1).

Выполнение этих наблюдений, в особенности при желании их нарисовать, трудно, если мы не в состоянии управлять плоскостью изгибов. Для того чтобы хорошо видеть фазы, необходимо, чтобы плоскость изгибов была перпендикулярна линии зрения; однако при симметричном отверстии это может произойти только случайно. Эту трудность можно преодолеть, делая легкие зарубки на конце вытянутого стеклянного отверстия в двух противоположных сторонах (Барретт). Таким способом плоскость изгиба делается обычно определенной, именно как плоскость, содержащая зарубки, так что, поворачивая отверстие вокруг оси, можно достаточно хорошо показать глазу изгибы струи.

Иногда обнаруживается, что струя делится на две части, несовершенно связанные как бы посредством пленки. Повидимому, это соответствует раздвоению пламен и дымовых струй под сильным Звуковым воздействием и вызывается звуковыми импульсами, которые мы можем рассматривать как разорванные волны, принимающие попеременно различные направления.

Как уже было отмечено, тоны, свойственные водяным струям, значительно ниже, чем тоны, свойственные струям воздуха, вытекающим из тех же самых отверстий. Кроме того, соответствующие

Э В оригинальной статье {Phil. Mag., том XVII, стр. 188, 1884) приведены рисунки госпожи Сиджвик. См. также Proc. Roy. Inst., том XIII, стр. 261, 1891, где воспроизведены моментальные фотографии.

скорости в первом случае значительно меньше, чем во втором. Причиной этой разницы является не большая плотность, как это можно было, пожалуй, предположить сначала, но меньшая вязкость воды, разумеется, кинематическая. Нетрудно видеть, что плотность, которая предполагается одинаковой для струи и для окружающей жидкости, несущественна, если не считать, конечно, того, что более плотная жидкость требует большего давления для того, чтобы приобрести заданную скорость. Влияние вязкости жидкости на эти явления выяснено в указанной выше статье об устойчивости и неустойчивости определенных движений жидкости), а законы динамического подобия в применении к жидкостному трению, изложенные Стоксом), позволяют сравнивать поведение жидкостей друг с другом. Размерность кинематического коэффициента вязкости есть площадь, деленная на время. Если пользоваться одинаковым отверстием в обоих случаях, то следует сохранять ту же самую единицу длины. Таким образом, следует брать время обратно пропорциональным, а скорость— прямо пропорциональной коэффициенту вязкости. При переходе от воздуха к воде следует уменьшать частоту и скорость приблизительно в 10 раз. Однако, несмотря на меньшую скорость, водяная струя потребует большего давления, поскольку плотности различаются в отношении, превышающем 100 : 1».

Побуждаемый этими соображениями, я производил опыты для проверки того, будут ли струи вести себя иначе в теплой (менее вязкой) воде, а также для того, чтобы обнаружить эффект замены воды смесью равных частей спирта и воды, которая, как известно, более вязка, чем каждая из ее составляющих. Обнаружилось, что эффект изменения вязкости различен. Струя, которая возбуждалась при давлении более чем т/4 дюйма (0,63 см) водяного столба, если жидкостью служила вода при температуре ниже точки кипения, требовала приблизительно 25 дюймов (63 см) давления для своего возбуждения, если вместо воды взять спиртовую смесь. Этими явлениями была ясно установлена важная роль вязкости.

Характер действия вязкости, вероятно, следующий. У основания струи, в том месте, где она только что покидает отверстие, имеется хорошее приближение к разрывному течению и высокая степень неустойчивости. Если подходит возмущение достаточной интенсивности и соответствующего периода, то правильное движение нарушается и не может быть далее восстановлено. Однако неустойчивость имеет чрезвычайно короткий срок для того, чтобы произвести свое действие. Под влиянием вязкости изменения скорости становятся более постепенными, и неустойчивость быстро уменьшается, если не исчезает вовсе. Таким образом, если возмущение недостаточно для

того, чтобы вызвать разбиение за короткий период неустойчивости, то струя в значительной степени может вести себя так, как будто бы она вовсе не была возмущена, и может достичь полного развития, наблюдаемого в длинных пламенах и дымовых струях. Этот временный характер неустойчивости представляет вторую черту, строго отличающую эти струи от струй Савара, в которых капиллярность имела неограниченное время действия.

Когда пламя зажигается у горелки, то имеются дальнейшие осложнения, которым трудно дать удовлетворительное объяснение. Высокая температура приводит, конечно, к увеличению вязкости, и это позволяет объяснить допустимость в этом случае более высокого давления и эффективность более низких тонов. Однако возможно, что изменение, обязанное зажиганию, имеет еще более фундаментальную природу.

Для того чтобы получить ценные сведения относительно разбиения струй, можно применить остроумный метод наблюдения, которым мы обязаны Бэллу1); однако результаты, полученные автором, не согласуются со взглядами Бэлла, придерживающегося теории симметричности. В этом методе прямо перед отверстием, из которого вытекает воздух, помещается второе подобное же отверстие, которое соединяется с ухом наблюдателя посредством резиновой трубки. Предусмотрены особые приспособления для того, чтобы отверстие, через которое звук воспринимается, было отрегулировано достаточно точно как в продольном, так и в поперечном направлении. Если расстояние подобрано правильно, то небольшие возмущения, действующие на струю, воспринимаются в увеличенных размерах. Так, слабо звучащий камертон, поднесенный к струе, слышен громко; то, что этот эффект обязан особым свойствам струи, доказывается непосредственно путем прекращения подачи воздуха: тогда звук становится слабым, если не совершенно неслышным. Бэлл доказал, что для эффективности этого приспособления требуется малая площадь отверстия для слушания; если последнее достаточно велико, чтобы пропускать полностью поток воздуха, сопровождающий струю, то слышимость сравнительно мала.

В нижеследующих экспериментах струя воздуха из хорошо отрегулированных мехов вытекала через стеклянную насадку и ударялась в подобную же слуховую трубку. Струя возбуждалась камертонами (с' или с"^, удерживаемыми вблизи.

Если положение камертона было таково, что плоскость его ножек была перпендикулярна струе, а продолжение оси подставки пересекалось со свободным концом насадки, то слышимый звук был значительно слабее, чем когда камертон смещался вбок в его плоскости так, что отверстие приближалось к одной из ножек. Это, повидимому, доказывает, что и здесь также эффект создается

Э Bell, Ph.il. Trans., том CLXXVII, стр. 383, 1886.

не изменением давления, а поперечным движением, заставляющим изгибаться струю. Очевидное подтверждение этого можно получить из наблюдений над влиянием малых движений слуховой насадки. Если расположить эту насадку аксиально, то основной тон камертона, поднесенного сбоку к отверстию струи, слышен лишь слабо, но октава этого тона слышна и часто очень сильно. Однако если сместить вбок слуховую насадку, то основной тон камертона появляется и слышен громко.

Очень удобным источником звуков высокой частоты является птичий манок, в котором поток воздуха, выходящий из круглого отверстия в тонкой пластинке, ударяется центрально в подобное же отверстие в параллельной пластинке, прикрепленной на небольшом расстоянии. Условия, от которых зависит частота, исследовались Зондхаусом), но остается еще много темного в вопросе о способе возбуждения колебаний.

Согласно Зондхаусу, частота относительно независима от размеров и формы пластинок, изменяясь прямо пропорционально скорости (у) струи и обратно пропорционально расстоянию (d) между пластинками. Если допустить независимость других элементов и считать, что частота п является функцией только от и, d и 6 — диаметра струи, то из динамического подобия следует, что

n = d^Vd>(1)

где/—произвольная функция. Таким образом, если b(d постоянно, то закон Зондхауса должен выполняться. Вследствие очень малых размеров применяемых свистков можно с достаточным основанием заключить, что действие их должно быть приблизительно независимым от скорости звука, а следовательно (при данной у), — от плотности газа; возникает, однако, вопрос, не является ли существенным элементом вязкость. Если предположить, что соблюдается геометрическое подобие (6 пропорционально d), то теоретическая формула, если сохранить вязкость, есть

п = — • F\(2)

d \vd )х '

где v — кинематический коэффициент вязкости, имеющий размерность 2 по длине и — 1 по времени. Но если обратиться к численному примеру, то кажется невероятным, чтобы степень вязкости играла большую роль в определении частоты. В единицах CGS v = 0,16 для воздуха; и если давление, которое гонит струю, равняется 1 см ртутного столба, то -у = 4000 см(сек. Следовательно, если мы возьмем d = 0,1 см, то будем иметь ^f-ud = 0,0004, так что F(ylvd) едва ли может сильно отличаться от F(0).

Птичий манок очень легко сделать. Первая пластинка диаметром в 1 или 2 см прикрепляется или припаивается к концу короткой

подающей трубки. Вторую пластинку манка удобно сделать треугольной, причем отогнутые вниз углы припаиваются к первой пластинке. Для свистков со средней высотой тона отверстие можно сделать в жестяной пл&стинке, но если желательно получить очень высокий тон, то более подходящим материалом будет тонкая листовая латунь или листовое серебро. Отверстия в последнем случае можно уменьшить до V2 мм в диаметре, а расстояния между ними до 1 мм. Во всяком случае края отверстий должны быть острыми и чистыми1).

Для испытания манок должен быть соединен с хорошо регулируемой подачей воздушной струи и с манометром, позволяющим точно измерять действующее давление. Когда будет найдено, что свисток звучит хорошо, следует записать давление и соответствующую длину волны. Если тоны высоки или неслышны, то требуется чувствительное пламя с высоким давлением, а длина волны должна рассчитываться из интервала между положениями, в которых необходимо удерживать отражатель для того, чтобы пламя обнаруживало наименьшее возмущение (§ 370). Без всяких затруднений можно получить длины волн (полные) всего в 1 см, а с некоторыми предосторожностями можно достичь и длин волн в 0,6 см, соответствующих приблизительно 50 000 колебаниям в секунду. В опытах над минимальными длинами волн расстояние между свистком и пламенем не должно превышать 50 см, а пламя должно быть отрегулировано до уровня вспышки.

Во многих случаях птичий манок, который не звучит, можно заставить звучать при помощи отражающей пластинки, помещаемой на небольшом расстоянии перед ним. На практике отражатель можно с успехом заменить полоской металла, например в 1 см шириной; и в тех случаях, когда такое добавочное приспособление необходимо, правильное расстояние равно (четному или нечетному) кратному половины длины волны. В некоторых случаях необходимое положение полоски определяется весьма точно.

По вопросу о том, является ли возмущение струи, сопровождающее генерацию звука, узловатым или извилистым, можно получить некоторое свидетельство из наблюдений над характером излучения звука. Если принять последнюю точку зрения, то мы могли бы ожидать, что звук будет ослабевать или даже совершенно исчезать в аксиальном направлении, как это происходит, например, в случае звука, излучаемого колоколом (§ 282). Однако, насколько я мог наблюдать, звук, испускаемый птичьим манком, звучащим без помощи отражающей полоски, однороден в пределах широкого угла; этот факт можно рассматривать как свидетельствующий строго в пользу того взгляда, что возмущение здесь симметрично

!) Проф. А. М. Мейер сконструировал изящно отделанные манки, в которых расстояние между пластинками регулируется движением винта.

по характеру или узловато. Другое свидетельство в пользу такого же заключения дает поведение резонирующих трубок, которые заставляют звучать при помощи птичьих манков. Пара перфорированных пластинок располагается симметрично на одном конце трубки длиною в 40 или 50 см. Другой конец трубки акустически открыт; сквозь свисток заставляют проходить слабый поток воздуха, проще всего при помощи очень узкой трубки, вставленной в открытый конец, в которую вдувается воздух ртом. Тщательно регулируя силу дутья, можно заставить трубку звучать в тоне различных гармоник, и самый факт, что она вообще звучит, повидимому, показывает, что поток воздуха, проходящий сквозь манок, переменный.

Характер действия примерно следующий. Когда симметричное расширение достигает второй пластинки, то оно не в состоянии пройти свободно сквозь отверстие, и возмущение, вероятно, отбрасывается, со скоростью звука,—назад к первой пластинке, — где оно дает начало новому возмущению, которое в свою очередь растет при продвижении струи. Однако освещение этого и многих родственных явлений остается еще несовершенным.

Эоловы тоны, подобные звукам эоловой арфы, возникают при действии ветра на натянутую проволоку, могущую колебаться с различной быстротой; таким образом, возникновение этих тонов несомненно связано с неустойчивостью вихревых слоев. Однако несущественно, чтобы проволока принимала участие в колебании, и Струхаль1) изучал это явление в общем виде под названием «тонов, создаваемых трением (ReibungstOne)».

В экспериментах Струхаля заставляли вращаться с равномерной скоростью вокруг параллельной оси вертикальную проволоку, прикрепленную к соответствующей раме. Обнаружилось, что высота эолова тона, генерируемого относительным движением проволоки и воздуха, не зависит от длины и от натяжения проволоки, но изменяется с изменением диаметра d и скорости -и относительного движения. В определенных пределах можно выразить соотношение между частотой п и этими данными в виде

« = 0,185-?-, (1) а '

где за единицы приняты сантиметр и секунда.

Если скорость такова, что эолов тон совпадет с одним из собственных тонов проволоки, которая закреплена так, что может совершать независимо свободные колебания, то звук значительно усиливается, и благодаря этому преимуществу Струхаль нашел возможность расширить диапазон наблюдений. При самых крайних условиях, которые можно было в то время осуществить, наблюдаемая частота заметно отклонялась от значения, определяемого форму-

0 Strouchal, Wied. Ann., том V, стр. 216, 1878. См. также W. Kohl- rausch, Wied. Ann., том ХШ, стр. 545, 1881.

лой (1). Далее он показал, что при данном диаметре и данной скорости повышение температуры сопровождалось падением частоты.

Наблюдения над струной), совершающей колебания подобно эоловой арфе, под действием потока воздуха в дымовой трубе показали, что вопреки обычно высказывавшемуся мнению колебания возникают в плоскости, перпендикулярной направлению ветра. По формуле (1) расстояние, проходимое воздухом за одно полное колебание, приблизительно в шесть раз больше диаметра проволоки.

Если, как это представляется вероятным, можно не учитывать сжимаемости жидкости, то можно рассматривать п как функцию от -и, d и м — кинематического коэффициента вязкости. В этом случае выражение для п необходимо должно иметь вид:

n = ~./ti,(2)

d J \vd)v ’

где / представляет произвольную функцию; при этом, если м^уй?, то имеется динамическое подобие. При наблюдениях над воздухом при одной и той же температуре \ постоянно; и если d изменяется обратно пропорционально у, то nd^D должно быть постоянным — результат, находящийся в полном согласии с наблюдениями Струхаля. Далее, если температура растет, то v увеличивается, и для того, чтобы оставаться в согласии с наблюдением, мы должны предположить, что функция / уменьшается с увеличением аргумента. Изучение действительных значений в экспериментах Струхаля показало, что ^^d всегда мало; таким образом, мы приходим к выводу о возможности представления / несколькими членами ряда Маклорена. Если положить f(x) = a -j- bx -ф- сх^, то получим

п = а — -4- b -ЧП -4- с .(3)

Если можно пренебречь третьим членом в (3), то соотношение между п и v будет линейным. Этот закон был сформулирован Струхалем, и его графики показали, что коэффициент b отрицателен, как это и нужно для того, чтобы выразить наблюдавшийся эффект от повышения температуры. Далее,

так что ^'^ очень близко к постоянной — результат, также данный Струхалем на основании его измерений.

В целом, повидимому, эти явления удовлетворительно отображаются формулами (2) и (3), однако динамическую теорию еще предстоит разработать. Было бы также интересно произвести подобные опыты с жидкостями.

ГЛАВА XXII

КОЛЕБАНИЯ ТВЕРДЫХ ТЕЛ

В настоящем труде невозможно пытаться хотя бы приблизиться к полному рассмотрению задач, связанных с колебаниями твердых тел; и все же простейшие части теории, повидимому, невозможно обойти. Мы ограничимся здесь случаем изотропного вещества.

Общие уравнения равновесия уже были приведены в § 345 Если р — плотность и

, 4

х+ 3" лп

РР1

то мы имеем

(a2 — 62)^-]-62V2a+X' = 0 и т. д.,(2)

где X', ¥', Z'— приложенные силы, отнесенные к единице массы.

Если выделить в этих уравнениях реакции, действующие против ускорения, то по принципу Даламбера получим

д^ = <а-2-№)^ + Ь^а + Х'(3)

и еще два аналогичных уравнения. В уравнении (3) 8 есть растяжение, отнесенное к а, ^,] по формуле

8 = ».+^+Д.(4)

дх 1 ду 1 oz4 '

Если », р, 7 и т. д. пропорциональны е^ и |^ =— Р9а, то уравнение (3) принимает вид:

(а^ — Ь^ || 4- 69V2a 4- р^а 4- X' = 0.(5)

Дифференцируя уравнение (3) и аналогичные ему уравнения по х, у, z и складывая, получим в силу (4)

бе “ V1 т „ 1 j, т jz ■w

26 Зак 1779 Рэлеи, II

Аналогичные уравнения можно получить для вращений (ср. § 239), определяемых соотношениями

»1_й = 2б', *i-^. = 2a", 4-^ = 2ffi'".(7)

оу dzdz dxдх dyх '

Таким образом, если мы продифференцируем третье из уравнений (3) по _у, а второе — по г и вычтем одно из другого, то получим №।1 ^1dY'

о/2।2 оу2dzv7

и двааналогичных уравнениядляа" и aw. Следует заметить,что

G/,a",а"'связаны соотношением

(9)(9)дУ , дтм . дУ"dx dy ' dz

(9)

(9)

Теперь рассмотрим вкратце некоторые случаи распространения плоских волн при отсутствии приложенных сил. В уравнении (6), если К’, Y', Zf равны нулю, а В является функцией только от х, то

(Ю)(Ю)^1— 9^.d/а ~а dx^’

(Ю)

(Ю)

решением этого уравнения, так же как в § 245, будет

В — f^x— «0 + F(x + ^)-(И)

Для этой волны 8 = да(дх, а р и у равны нулю; таким образом, этот случай подобен случаю распространения волн в сжимаемой жидкости. Следует, однако, заметить, что в силу (1) скорость зависит от коэффициента жесткости (п), так же как и от сжимаемости (х). В волне растяжения (11) вращения а7, &", &’" исчезают, как непосредственно следует из их выражений в формулах (7). Теперь нам нужно рассмотреть волну поперечного колебания, для которого В исчезает. Если, например, мы предположим, что а и ^ равны нулю и что у есть функция только от х (и от /), то будем иметь

6 = 0, а' = а'" = о, 2а^ = — дх

Уравнение для &" имеет вид:

=(12)

т. е. такой же вид, как уравнение (10); такое же уравнение получается для 7. Таким образом, поперечное колебание распространяется в виде плоских волн со скоростью b — меньшей, чем скорость а волн растяжения.

На образовании стоячих волн при наложении бегущих положительных и отрицательных волн одинаковой длины останавливаться не приходится. Если & = ^, где X — длина волны,

то наложение положительной волны 7 = Feos/? (6^— х) на отрицательную волну 7 = Г cos к (Jbt-Y х^ дает

Y = 2Г cos kbt • cos кх.(13)

Второй бегущей волной может быть отражение первой от граничной поверхности, непроницаемой для энергии волн. Такой поверхностью может быть либо свободная поверхность, либо такая, у которой изменение у прекращается.

Задача о распространении в трех измерениях возмущения, первоначально ограниченного конечной областью твердого тела, была впервые успешно рассмотрена Пуассоном, а исчерпывающее исследование всего вопроса было проведено Стоксом г). В силу (6) и (8) § 373 растяжение и вращения удовлетворяют уравнениям

=(1)

решения которых, применимые к нашей цели, уже были полностью рассмотрены в §§ 273, 274. Оказывается, что в направлении наружу распространяются с различными скоростями отдельные волны растяжения и сдвига, так что на достаточном расстоянии от источника эти волны разделяются. Если мы посмотрим, что происходит в отдаленной точке, то увидим, что в начальный момент там нет ни растяжения, ни сдвига. Когда приходит волна растяжения, то эффект начинается, но сдвига еще нет. По прошествии некоторого времени волна растяжения проходит, и в течение некоторого промежутка времени нет ни растяжения, ни сдвига. Затем приходит волна сдвига и в течение некоторого времени производит определенный эффект, после которого опять нет ни растяжения, ни сдвига.

Полное рассмотрение требует выражения смещений через В, б/, «/', 5"', для вывода которых у нас нет места. На основании этих выражений можно доказать, что до прихода волны растяжения и после прохождения волны сдвига среда остается в покое. Между обеими волнами среда не является абсолютно невозмущенной, хотя здесь нет ни растяжения, ни сдвига.

Если начальные возмущения таковы, что нет волны сдвига, то все возмущение полностью ограничивается волной растяжения.

Темой § 374 было свободное распространение волн, возникающих в результате произведенного в начале возмущения. По меньшей мере не менее важной является задача о расходящихся волнах, поддерживаемых гармоническими силами, действующими по соседству с данным центром.

Сначала мы можем взять случай гармонической силы такого рода, что она создает волны растяжения. В силу уравнения (6)

Stokes, «Dynamical Theory of Diffraction», Camb. Phil. Trans., том IX, стр. 1, 1849.

§ 373 мы можем предположить, что во всех точках, за исключением начала координат,

(1)

или, если В, рассматриваемая как функция х, у, г, зависит только от г или Ух^-^^Ч-^» а рассматриваемая как функция времени она пропорциональна ^#(§ 241), то

4^ + --г- + ^ = 0,(2)

ОгЗ 1 г or 1V 7

где h = pja. Решение уравнения (2), так же как в § 277, есть

Выражая это в действительных величинах, получим

В = л cos kpt-hr-Y^^

где Лив произвольны.

Преобразуя выражение (4) § 373, можно показать, что соотношение между В и радиальным смещением ту имеет вид:

8 =(5)

или, на большом расстоянии от начала, просто

8 = ^.(6)

orv '

Таким образом, если г велико, то в соответствии с выражением (4)

д

чу= — ~ sin (pt —hr 4-г).(7)

В этих волнах чистого растяжения движение радиально, т. е. параллельно направлению распространения, а распределение симметрично относительно начала.

Еще более интересна теория вынужденных волн растяжения, распространяющихся наружу из некоторого центра. Простейшим случаем является тот, когда волны, создаваемые периодической силой, скажем Z', действуют в пространстве Г вблизи начала. Если мы предположим, что в уравнении (8) § 373 X', ¥' исчезают и что все величины пропорциональны е^1, то найдем

W -4- W 4-=0,(8)

11 2оуv 7

W’-WG>" —=(9)

2oxv 7

Wm -V=(10)

,,р

где через « обозначено ^.

Эти уравнения решаются так же, как в § 277. Получаемto =0 и <о'—dxdydz, где через г обозна-8тгр2 j j jгчено расстояние между элементом с координатами х, у, z вблизи начала (О) и рассматриваемой точкой Р. Если проинтегрировать это выражение по у, то найдем,1 Г Г С , д / e~ikr\®\dxdydz;(И)8тг№ J J J дух г )?v 'Эти уравнения решаются так же, как в § 277. Получаемto =0 и <о'—dxdydz, где через г обозна-8тгр2 j j jгчено расстояние между элементом с координатами х, у, z вблизи начала (О) и рассматриваемой точкой Р. Если проинтегрировать это выражение по у, то найдем,1 Г Г С , д / e~ikr\®\dxdydz;(И)8тг№ J J J дух г )?v 'проинтегрированный член исчезает вследствие условия, что Z’проинтегрированный член исчезает вследствие условия, что Z’конечно только внутри пространства Т. Кроме того, посколькуконечно только внутри пространства Т. Кроме того, посколькупредполагается, что размеры Т очень малы по сравнению с длинойпредполагается, что размеры Т очень малы по сравнению с длинойволны,волны,дудуможно вынести из-под знака интеграла. Удобноможно вынести из-под знака интеграла. Удобнобудет также изменить значения х, у, z так, что теперь они будут представлять координаты точки Р относительно О. Таким образом, если считать теперь Z’ средним значением Z' внутри пространства Т, тобудет также изменить значения х, у, z так, что теперь они будут представлять координаты точки Р относительно О. Таким образом, если считать теперь Z’ средним значением Z' внутри пространства Т, то, TZ' д (е-гкг\ У Ш '8тс&2 дг \ г / гПодобным же образом TZ’ д /е-1к,\ х_ Ш8к^з dr \ г / г, TZ' д (е-гкг\ У Ш '8тс&2 дг \ г / гПодобным же образом TZ’ д /е-1к,\ х_ Ш8к^з dr \ г / г(12)(13)(12)(13)ииа/" = 0.а/" = 0.(И)(И)Вследствие симметрии относитешно оси z достаточно рассмотреть точки, лежащие в плоскости ZX. Тогда о/ исчезает, так что вращение происходит вокруг оси, перпендикулярной как к направлению распространения (г), так и к направлению силы (г). Если обозначить через 6 угол между этими направлениями, то результирующее вращение, совпадающее с й^, естьВследствие симметрии относитешно оси z достаточно рассмотреть точки, лежащие в плоскости ZX. Тогда о/ исчезает, так что вращение происходит вокруг оси, перпендикулярной как к направлению распространения (г), так и к направлению силы (г). Если обозначить через 6 угол между этими направлениями, то результирующее вращение, совпадающее с й^, есть- —^Ыпб dШ8к&2 dr- —^Ыпб dШ8к&2 dr(15)(15)Если ограничиться точками, находящимися на большом расстоянии,Если ограничиться точками, находящимися на большом расстоянии,то это выражение принимает простой вид:то это выражение принимает простой вид:о)о)ikTZr sin 6 g-гкг8rt№r *ikTZr sin 6 g-гкг8rt№r *(16)(16)Смещение, соответствующее (16), перпендикулярно к г и находится в плоскости zr. Его значение определяется формулойСмещение, соответствующее (16), перпендикулярно к г и находится в плоскости zr. Его значение определяется формулой— 2— 2&dr =&dr =TZ' sin 9 g-ikr^т-Ь1 rTZ' sin 9 g-ikr^т-Ь1 r

Эти уравнения решаются так же, как в § 277. Получаем

to =0 и <о'—dxdydz, где через г обозна-

8тгр2 j j jг

чено расстояние между элементом с координатами х, у, z вблизи начала (О) и рассматриваемой точкой Р. Если проинтегрировать это выражение по у, то найдем

,1 Г Г С , д / e~ikr\

®\dxdydz;(И)

8тг№ J J J дух г )?v '

Эти уравнения решаются так же, как в § 277. Получаем

to =0 и <о'—dxdydz, где через г обозна-

8тгр2 j j jг

чено расстояние между элементом с координатами х, у, z вблизи начала (О) и рассматриваемой точкой Р. Если проинтегрировать это выражение по у, то найдем

,1 Г Г С , д / e~ikr\

®\dxdydz;(И)

8тг№ J J J дух г )?v '

проинтегрированный член исчезает вследствие условия, что Z’

проинтегрированный член исчезает вследствие условия, что Z’

конечно только внутри пространства Т. Кроме того, поскольку

конечно только внутри пространства Т. Кроме того, поскольку

предполагается, что размеры Т очень малы по сравнению с длиной

предполагается, что размеры Т очень малы по сравнению с длиной

волны,

волны,

ду

ду

можно вынести из-под знака интеграла. Удобно

можно вынести из-под знака интеграла. Удобно

будет также изменить значения х, у, z так, что теперь они будут представлять координаты точки Р относительно О. Таким образом, если считать теперь Z’ средним значением Z' внутри пространства Т, то

будет также изменить значения х, у, z так, что теперь они будут представлять координаты точки Р относительно О. Таким образом, если считать теперь Z’ средним значением Z' внутри пространства Т, то

, TZ' д (е-гкг\ У Ш '8тс&2 дг \ г / г

Подобным же образом

TZ’ д /е-1к,\ х_ Ш8к^з dr \ г / г

, TZ' д (е-гкг\ У Ш '8тс&2 дг \ г / г

Подобным же образом

TZ’ д /е-1к,\ х_ Ш8к^з dr \ г / г

(12)

(13)

(12)

(13)

и

и

а/" = 0.

а/" = 0.

(И)

(И)

Вследствие симметрии относитешно оси z достаточно рассмотреть точки, лежащие в плоскости ZX. Тогда о/ исчезает, так что вращение происходит вокруг оси, перпендикулярной как к направлению распространения (г), так и к направлению силы (г). Если обозначить через 6 угол между этими направлениями, то результирующее вращение, совпадающее с й^, есть

Вследствие симметрии относитешно оси z достаточно рассмотреть точки, лежащие в плоскости ZX. Тогда о/ исчезает, так что вращение происходит вокруг оси, перпендикулярной как к направлению распространения (г), так и к направлению силы (г). Если обозначить через 6 угол между этими направлениями, то результирующее вращение, совпадающее с й^, есть

- —^Ыпб d

Ш8к&2 dr

- —^Ыпб d

Ш8к&2 dr

(15)

(15)

Если ограничиться точками, находящимися на большом расстоянии,

Если ограничиться точками, находящимися на большом расстоянии,

то это выражение принимает простой вид:

то это выражение принимает простой вид:

о)

о)

ikTZr sin 6 g-гкг

8rt№r *

ikTZr sin 6 g-гкг

8rt№r *

(16)

(16)

Смещение, соответствующее (16), перпендикулярно к г и находится в плоскости zr. Его значение определяется формулой

Смещение, соответствующее (16), перпендикулярно к г и находится в плоскости zr. Его значение определяется формулой

— 2

— 2

&dr =

&dr =

TZ' sin 9 g-ikr

^т-Ь1 r

TZ' sin 9 g-ikr

^т-Ь1 r

или, если мы восстановим множитель eikbt и отбросим мнимую

часть решения,часть решения,

часть решения,

часть решения,

(17)(17)_ , TZ^mQ cos к (bt—А

(17)

(17)

<о dr — ———

4к&2г

Если обозначить через Zv cos kbt полную силу, приложенную в начале, тоZ^TZ'.p,(18)

так что решение (17) можно записать в виде

— 2 I &dr —— 2 I &dr —Zt sin 6 cos к (bt — г)

— 2 I &dr —

— 2 I &dr —

Таким образом, амплитуда колебания, распространяющегося наружу, обратно пропорциональна расстоянию и прямо пропорциональна синусу угла между лучом и направлением, в котором действует сила. В последнем направлении не распространяется никакое поперечное колебание.

Эти выражения можно применить для нахождения вторичного колебания, рассеивающегося в различных направлениях, когда плоские волны ударяются в небольшое препятствие, имеющее плотность, отличную от плотности остальной части тела. Мы можем предположить, что плоские волны выражаются формулой

y = rcos£(W — х)(20)

и что они ударяются вначале о препятствие объема Т и плотности р'. Дополнительная инерция твердого тела в этом месте могла бы компенсироваться силой (р'—р) 7 или —(р' — р) &262Г cos kbt, действующей во всем пространстве Т; и если бы такая сила была действительно приложена, то первичные волны распространялись бы без перерыва. Таким образом, можно рассматривать вторичные волны как создаваемые силой, равной и противоположной указанной и действующей в точке О в направлении, параллельном Z. Полная величина силы определяется выражением

Z1cos£W = (p'—р) k^b^ 7Т cos kbt,(21)

так что в силу (19) вторичное смещение в удаленной точке (г, 9) равно (/— р) №ТГ sin 6 cos к (bt— г)

4лр"г ''22)

Следовательно, интенсивность рассеянного колебания обратно пропорциональна четвертой степени длины волны (Г задано) и прямо пропорциональна квадрату синуса угла между лучом и направлением колебания первичных волн. Таким образом, если первичный луч направлен вдоль х, а вторичный — вдоль z, то вторичных колебаний совершенно не будет в случае, если (как предположено выше) первичные колебания параллельны z; но, если первичные колебания параллельны .у, то имеются вторичные колебания с полной амплитудой (sin 9 = 1), и эти колебания совершаются в направлении, параллельном у1).

9 «On the Light from the Sky, its Polarization and Colour», Phil. Mag., том XLI, стр. 107, 274, 1871; см. также Phil. Mag., том XLI, стр. 447, 1871, где помещено исследование случая, когда препятствие отличается по упругости и по плотности от остальной среды.

В § 375 мы исследовали действие периодической силы Zt cos kbt, локализованной в начале отсчета. Теперь мы перейдем к рассмотрению случая силы, равномерно распределенной вдоль бесконечной прямой.

Имеются два принципиально различных случая такой силы: первый—когда сила, оставаясь сама все время параллельной оси х, распределена вдоль оси х, второй — когда сила распределена вдоль оси у. В первом случае, с которого мы и начнем, все движение происходит в двух измерениях симметрично относительно OZ, причем оно таково, что а и р равны нулю, а -(— функция только (У2-У У2)- Если, — что вполне достаточно, — мы ограничимся точками, расположенными вдоль ОХ, то о/ и ®w исчезают, и нам остается только найти

Простейшим путем, ведущим к цели, является интегрирование результата, представленного в выражении (16) § 375. pTZ' заменится Zltdx, величиной силы, распределенной на элементе dx\ г обозначает расстояние от точки Р на ОХ до элемента dx на OZ; 6 — угол между г и х. Вращение а/' вокруг оси, параллельной у, вызываемое этим элементом силы, есть, таким образом, ikZ^dz хе^1"'11"

8п62р г2 '' '

При интегрировании х остается постоянным, и г62-= х^-V х^*, так что, если положить г — х = h, то нужно рассмотреть выражение Г ie-гкг Дгf ie-ikx . g-ikh dh

,. . или -.(2) J /-Уг2—a2 J (x 4- /z) У2а 4- h Vк

Из этого интеграла можно получить строгое решение, но мы удовлетворимся, так же как в § 342, предельной формой, получающейся при очень большом кх. Таким образом, в качестве эквивалента выражений (2) получим

_2£2^У f ie-tWx dh 2 У та? v 7

х V 2а1 J У hх У2кх *

и, следовательно, в качестве интеграла выражения (1) будем иметь

(4) 4к62р У 2кх

Отсюда можно непосредственно получить -(. Имеем

I =I =2п62р У 2кх2п62р У 2кх(5)(5)

I =

I =

2п62р У 2кх

2п62р У 2кх

(5)

(5)

(6)(6)или, если мы восстановим временной множитель и опустим мнимую часть решения,

(6)

(6)

Это соответствует силе Zn cos kbt на единицу длины оси z. Вследствие симметрии мы можем применить выражение (6) к точкам, не расположенным на оси х, заменив х через Ух^-уУ2- То, что значение ч обратно пропорционально квадратному корню из расстояния от оси z, можно было предвидеть на основании принципа энергии.

Можно было бы исследовать решение и непосредственно, выразив его через у, без введения вращений 6>.

Остается рассмотреть случай, когда приложенная сита, все еще параллельная оси z, распределена вдоль OY, а не вдоль OZ. Точку Р, в которой рассматривается эффект, можно считать расположенной в плоскости ZX на большом расстоянии R от О в таком направлении, что угол ZOP равен 6.

Вследствие двумерности силы р = 0, а а и у не зависят от _у. Следовательно, &' и Sw равны нулю. Однако, хотя эти компоненты вращения равны нулю в результирующем эффекте, действие отдельного элемента силы Zn dy, расположенного на оси .у, будет более сложным. Но мы можем не входить в его рассмотрение, ибо, как и прежде, эффект зависит в действительности только от элементов, расположенных в соседстве с точкой О. Таким образом, вместо выражения (1) мы можем взять

ikZ^ dy • sin 9 e'ikr,~.

где r—расстояние между dy и P, так что dy dr dr

г уV r'2 — A'3

Полагая r— R = h, получим, так же как в выражениях (2), (3) и (4),

4л№? У ^kR’

а для смещения, перпендикулярного R,

_2fs"dR = ^112121(9)

J2л№р у 2kRJ

Следовательно, силе Zu cos kbt на единицу длины оси у соответствует смещение, перпендикулярное R в точке (R, 0),

Zusin6 У л , /,,„1 Л

—7= cos к \ ЫЛ).(10)

2л&2р y^kR \8 /' 7

Так же как в § 375, мы можем воспользоваться результатами § 376 для составления выражений вторичных волн, рассеиваемых малым, совпадающим с OZ и имеющим плотность р' цилин-

дрическим препятствием, о которое ударяются первичные параллельные воины. Если выражение первичных волн дается (20) § 375, то мы имеем

Zn = (р' — р) k^ • яс2 • Г, (1)

где яс2— площадь поперечного сечения препятствия. Таким образом, если обозначить У^Ц-у2 через г, будем иметь из (6) § 376 в качестве выражения для вторичных волн

cos кcos к(2)(2)(/ — р) № • кс2 - Г /л

cos к

cos к

(2)

(2)

2лрV 2кг

2л ,1 Лcos — \bt — г — К), л \8 )2л ,1 Лcos — \bt — г — К), л \8 )л (р' — р). тсс2 • ГрЛ3 if1!»

2л ,1 Л

cos — \bt — г — К), л \8 )

2л ,1 Л

cos — \bt — г — К), л \8 )

где величина к заменена эквивалентной величиной 2л/Х. В этом случае вторичные волны симметричны, а их интенсивность изменяется обратно пропорционально расстоянию и кубу длины волны.

Решение, представленное выражением (10) § 376, показывает, что если первичные волны

Р = В cos к (bt — х)(3)

ударяются о то же самое малое цилиндрическое препятствие, то смещение, перпендикулярное к вторичному лучу, т. е. г, будет

л(р7— р) • яс2 • В • cos 62л/,,1 \

—1/аcos — Ut — г —,(4)

рХ'аг'2л \8 /

где через 0 обозначен угол между направлением первичного луча (к) и вторичного (г). В этом случае вторичное возмущение пропадает в одном направлении, а именно, вдоль луча, параллельного первичным колебаниям.

Возвращаясь к первому случаю, когда аир исчезают всюду, а -( есть функция только от х и у, предположим, что вещество цилиндрического препятствия отличается от окружающего вещества по жесткости п', а также по плотности р'. Условия, которые должны быть удовлетворены у цилиндрического препятствия, суть 7 (внутри) = 7 (снаружи),

^ (внутри) = п ^ (снаружи).

Во внешнем пространстве у удовлетворяет уравнению (§ 373)

бх2 ду2 Ч

где к = pfb, а в пространстве внутри цилиндра у удовлетворяет уравнению

где к' = pfb', а Ь' обозначает скорость поперечных колебаний в веществе цилиндра. Исследование вторичных волн, отбрасываемых

препятствием, когда первичные плоские волны ударяются в него, при этом аналогично проведенному в § 343; и мы приходим к заключению, что первичным волнам

у = Г cos ~ (bt — х)у = Г cos ~ (bt — х)(5)(5)

у = Г cos ~ (bt — х)

у = Г cos ~ (bt — х)

(5)

(5)

соответствуют вторичные волны, отбрасываемые малым цилиндром под углом 6 с осью х, определяемые выражением

ТТ2к • «с2 - Г ( / — р2к • «с2 - Г ( / — рп'— п п'+пп'— п п'+пcos 6cos 62те /,,1 АCOS W— Г, А \о /2те /,,1 АCOS W— Г, А \о /(6)(6)

Т

Т

2к • «с2 - Г ( / — р

2к • «с2 - Г ( / — р

п'— п п'+п

п'— п п'+п

cos 6

cos 6

2те /,,1 А

COS W— Г, А \о /

2те /,,1 А

COS W— Г, А \о /

(6)

(6)

которое содержит выражение (2) как частный случай.

Теперь мы возвращаемся к основной задаче, уже частично рассмотренной в § 375,—задаче о колебаниях в безграничном твердом теле, вызываемых периодической силой, приложенной в начале координат. Уравнения (12), (13) и (14) § 375 дают решение, позволяющее оценить значения компонент вращения. Если, как мы в конце и предположим, твердое тело несжимаемо, то мы имеем в добавление к этому 8 = 0. На этом основании решение можно дополнить, однако будет более поучительным провести независимое исследование.

Так как в обозначениях § 373 Л7 = У' = 0, то в силу (5) имеем

(а2 — д2)^ + №а+р2а = 0,(1)

(а9 - №)+ р=? = О,(2)

(й2_=_z'.(3)

Положим

а = -, 6 = у4" ту(4)

дх dz г ду dz 1 dz2 1х '

и соответственно

8=»!^+^(5)

dz 1 dz

Подстановка этих значений в уравнение (1) дает

-5^ [ «2v2z + РЧ + (°2 — ^2) ту[ = 0,

так что (1) и (2) будут удовлетворены, если

a2V2y 4,^ Ц- (а2 — №) ту = 0. '(6)

Та же подстановка в уравнение (3) дает

-^ [a2V2y + рЧ. + (°2 — $2) ^ 4" 62У2ту -[-p2w 4- Z' = 0,

или, в силу (6),

Ь^^чу -]-р^чу -|- Z' = 0.(7)

Это уравнение определяет чу и отсюда, в силу (6), х»

В обозначениях § 375 k=plb, h=pja. Так как Z'= О во всех точках, кроме начала, то уравнение (7) принимает вид:

(V2 4- к^ чу = 0,(8)

откуда, в силу (6),

(V9 + A9)(V94-/i9)x = 0(9)

должно удовлетворяться всюду за исключением начала. Решение уравнения (9) есть

x=^—r—(10)

где А и В — постоянные. Соответствующие значения ф и 8, в силу (6) и (5), суть p-ikrЛ / p-ihr \

-w = k^A-—- и 8 = —— ).(11)

Г02 \ Г )’

Для того чтобы связать А и В с Z', имеем из уравнения (7), так же, как в § 375,

Г f 8-ikr д д д Zv е-^г

™ = "w J J J 2 ”dxdydz = -^—' так что

Далее, в силу (6) § 373, 11 dz

так что, так же как в § 375,

»1 Г f Г ^Zz e~ihr . , , Z< d / e~ihr\

4ira2 J J J dz r J 4лд2р dz \ r / Таким образом, сравнивая с (11), получаем

и

ZA e-ikr_e-ihr

Z —14)

Из определенных таким образом полностью значений х и w можно найти простым дифференцированием а, р, f, как указано в (4). Имеем

Так как полные выражения довольно длинны, то мы ограничимся случаем несжимаемости (Л = 0). Таким образом, если восстановить временной множитель е^Р и отбросить мнимую часть решения, получится

АУхг Г /1 I 3 \, ,, ,3. z.

а = —Ц — I + cos (pt — kr) — sin (pt — кг) —

-^о^Ф <17>

‘ г [\ г 1 ^2^4 к^)

। / 1 Зг2\ . z ,, ./ Зг2 1 \ Л

+ тI SIH (ptкЛ— tttjCOSPh »(1°)

\кг hrH7\№г4№г^ )v 7

значение р отличается от значения а простой заменой х на у. Значение А определяется выражением (12), a Zx cos pt — полная сила, действующая в начале в момент времени t.

водятся к видуводятся к видуНа большом расстоянии от начала выражения (17) и (18) при

водятся к виду

водятся к виду

(19)(20)(19)(20)Zv xz cos (pt — кг)4тс62р г2 г ’Zv Лг2\ cos (pt — кг)

(19)

(20)

(19)

(20)

^•кЬ^р \/*2 / г

в согласии с (19) § 375.

В. Кёниг1) отметил расхождение полного решения (17) и (18), впервые данного в другой форме Стоксом 9), с результатами аналогичного в некоторой степени исследования Герца8), в которых отсутствуют члены, содержащие cos pt и sin pt, причем он склонен был рассматривать результаты Стокса как ошибочные. Суть, однако, заключается в том, что рассмотренные обоими исследователями задачи существенно различны, ибо задача, рассмотренная Герцом, не имеет никакого отношения к упругим твердым телам. Источник расхождения находится в первых членах (1) и т. д., которые были опущены Герцом в его теории эфира. Но в теории упругих твердых тел эти члены, конечно, нужно сохранить. Если даже вещество предполагается несжимаемым, так что 3 равна нулю, они все же должны быть сохранены, ибо, как это было полностью объяснено Стоксом в цитированной работе, множитель (а9— Ь"2) оказывается в то же самое время бесконечным.

Если предположить в (17) и (18), что р и к очень малы, и проследить предельный вид решения, то получится решение статической задачи о деформации несжимаемого твердого тела силой, локализованной во внутренней точке тела.

В § 373 мы видели, что в однородной среде плоские волны поперечного колебания

а — 0, р = 0, у=Гсо8(р/— кх)(1)

ПС!nipПС!nipмогут распространяться безгранично. Теперь мы предположим, что на положительной стороне плоскости х — 0 среда изменяется так, что плотность вместо р равна рр а жесткость вместо п равна nv В проходящей волне р остается тем же самым, но к переходит в kv причем2

ПС!

nip

ПС!

nip

(2)

Предполагая, как это будет сейчас доказано, что изменение фазы отсутствует, мы можем написать выражения для проходящих и

отраженных волн в виде

yt = I\ cos (pt — ktx\ у = Г' cos (pt-^kx),(3)

так что полное значение у в первой среде есть

•y = rcos(p£ — кх^Д-Т' cos(ptA-kxy(4)

а во второй

ух = I\ cos (pt — ktx\(5)

Условия, которые должны быть удовлетворены на промежуточной плоскости х = 0, не подверженной действию внешних сил, суть так что

Г + Г' = ГР пк(Г — Г,) = пЛГР(7)

Если, что вполне возможно, Г' и у определяются в соответствии с (7), то все условия выполнены. Имеем

Л = пк ~ л1&1 — V ЛР ” У^1Р1(8х

Г пк-упхкх УТ^+Ул^’' '

Г Г У^+У^’

эти уравнения определяют отраженные и проходящие волны. Частные случаи, когда pt = р или пх = п, можно отметить особо.

Когда падение волн на плоскость, разделяющую оба тела, происходит наклонно, то задача становится более сложной и распадается на две части в зависимости от того, совершаются ли колебания (всегда перпендикулярные к падающему лучу) в плоскости падения или же в перпендикулярной плоскости. Мы не будем входить в рассмотрение этих вопросов, которые часто дискутировались с оптической точки зрения. Метод исследования, созданный в основном Грином, подобен методу, примененному в § 270.

Полное изложение его с необходимыми ссылками дано в книге Basset, Treatise on Physical Optics, гл. XII.

Колебания твердых тел, ограниченных свободными поверхностями, имеющими плоскую, цилиндрическую или сферическую форму, можно исследовать без больших затруднений; однако этот вопрос относится скорее к теории упругости. Искомые функции координат для бесконечной пластинки постоянной толщины являются просто круговыми и экспоненциальными функциямиг). Решение задачи для бесконечного цилиндра а) связано с функциями Бесселя и представляет интерес, так как дает более полный обзор продольных и изгибных колебаний тонкого стержня.

Случай сферы важен потому, что сфера представляет собой тело, ограниченное во всех направлениях. Симметричные радиальные колебания, чисто дилатационные по характеру, были впервые исследованы Пуассоном и Клебшем ). Полная теория была дана Перишем 4) и особенно Лэмбом ). Изложение этой теории можно найти в уже цитированном труде Лява.

Вычисления частоты осложняются наличием двух упругих постоянных х и п § 373 или q и у, § 214. Из принципа, изложенного в § 88, можно вывести, как заметил Лэмб, что частота увеличивается при любом возрастании как х, так и п, ибо, как оказывается из (1) § 345, и то и другое изменение увеличивает потенциальную энергию данной деформации.

381 6). В настоящем труде мы часто имели случай отмечать важность заключений, получаемых методом размерностей. Теперь, когда мы в состоянии извлекать иллюстрации из большого числа разнообразных акустических явлений, относящихся к колебаниям как твердых тел, так и жидкостей, удобно будет резюмировать и несколько подробнее развить принципы, на которых основывается этот метод.

В случае таких систем, как колокола или камертоны, состоящих из однородного изотропного материала и совершающих колебания вследствие упругости, акустическими элементами являются форма, линейные размеры с, упругие постоянные q и у. (§ 149) и плотность р. Следовательно, на основании метода размерностей период при прочих равных условиях пропорционален линейному размеру, по крайней мере, если амплитуда колебаний находится в той же пропорции; если же допустить закон изохронизма, то последнее ограничение можно отбросить. Действительно, поскольку

9 Proc. Lond. Math. Soc., том XVII, стр. 4, 1885; том XX, стр. 225, 1889.

9 Pochhammer, Crelle, том LXXXI, 1876; Chree, Quart. Journ., 1886.

размерности q и р равны соответственно [ТИЛ-1 Г-2] и [ТИЛ-3], а у. — отвлеченное число, то единственная комбинация размерностей, которая может дать в результате размерность времени, есть q-Ч». р’А . с.

Основание, на котором строится эта математическая стенография, — следующего рода. Рассмотрим два геометрически подобных тела, механическое строение которых в соответствующих точках одинаково, и пусть они совершают подобные движения таким образом, что соответствующие изменения требуют времени1), пропорционального линейным размерам, —скажем, в отношении \(п. Тогда, если одно движение возможно как следствие упругих сил, то и другое будет возможным. В самом деле, массы, которые должны двигаться, находятся в отношении 1/п3, ускорения — в отношении 1/л-1, а потому необходимые силы находятся в отношении 1/п2; а так как деформации одинаковы, то это отношение в действительности есть отношение упругих сил, создаваемых ими и отнесенных к соответствующим площадям. Если упругие силы в состоянии вызвать предположенное движение в первом случае, то они также в состоянии произвести предположенное движение во втором случае.

Динамическое подобие нарушается действием силы, подобной силе тяжести, пропорциональной кубам, а не квадратам, соответствующих линейных размеров; однако в случаях, когда тяжесть является единственной движущей силой, динамическое подобие можно сохранить, введя другое соотношение между соответствующими пространственными и временными величинами. Так, если отношение соответствующих пространственных величин равно \[п, а отношение соответствующих времен равно 1//г1/2, то ускорения в обоих случаях одинаковы и могут являться действием сил, находящихся в отношении 1/п3 и действующих на массы, которые находятся в том же самом отношении. В качестве примеров, подходящих под эту рубрику, можно упомянуть простой маятник, морские волны, скорость которых изменяется прямо пропорционально корню квадратному из длины волны, и всю теорию подобия кораблей и их моделей, на основании которой Фроуд предсказывал поведение кораблей, исходя из экспериментов, проделанных над моделями небольших размеров.

То же самое сравнение, которое мы применяли выше к упругим телам, применимо также к воздушным колебаниям. В сравниваемых случаях давления одинаковы, а потому при действии на площади, находящиеся в отношении 1//г2, они дают силы, находящиеся в том

9 Понятие изменения масштаба в пространстве стало обычным вследствие широкого употребления карг и моделей; но соответствующее понятие для времени часто менее отчетливо. Воображению читателя может помочь ссылка на музыкальное произведение, исполняемое в различных темпах.

же самом отношении. Эти силы действуют на массы, находящиеся в отношении 1/п3, а потому вызывают ускорения, находящиеся в отношении 1/п'1, которое представляет отношение действительных ускорений, когда пространственные и временные величины относятся, как 1/п. В соответствии с этим периоды подобных друг другу резонирующих полостей, наполненных одним и тем же газом, прямо пропорциональны линейным размерам — чрезвычайно важный закон, впервые сформулированный Саваром.

Так как один и тот же метод сравнения применим как к упругим твердым телам, так и к упругим жидкостям, то можно распространить его на системы, в которых участвуют оба вида колебаний. Так, например, можно предположить, что при изменении масштаба системы, состоящей из камертона и воздушного резонатора, в движении произойдут только такие изменения, которые связаны с изменением времен колебания пропорционально изменению линейных размеров.

До сих пор изменение масштаба предполагалось одинаковым во всех направлениях, но бывают случаи, не подходящие под эту рубрику, когда можно очень плодотворно применить принцип динамического подобия. Рассмотрим, например, колебания изгиба системы, состоящей из тонкой упругой полоски, плоской или изогнутой. На основании §§ 214, 215 мы видим, что толщина полоски Ъ и механические постоянные q и р будут входить только в комбинациях q№ и 5р и, следовательно, можно делать сравнения, хотя изменения толщины находятся в ином отношении, чем изменения других размеров. Если при пренебрежении толщиной линейная размерность есть с, то при прочих равных условиях времена должны изменяться пропорционально q-1^ • р1/». с2 • b-1. Для данного вещества, данной толщины и формы времена поэтому пропорциональны квадратам линейной размерности. Не следует, однако, забывать, что подобные результаты, выражающие закон, только приближенно справедливый, находятся на ином уровне, нежечи более непосредственные следствия принципа подобия.

ГЛАВА XXIII

ФАКТЫ И ТЕОРИИ СЛУХА

Тема настоящей главы имеет непосредственное отношение к уху как органу слуха, однако, она может быть рассмотрена здесь только с физической стороны. Обсуждение анатомических или физиологических вопросов выходило бы за рамки данной книги и не соответствовало бы квалификации автора. Мы не можем при этом избежать постоянных ссылок на большой труд Гельмгольца). Хотя, как мы увидим, некоторые положения, выставленные автором, были отвергнуты (пожалуй, слишком поспешно) последующими исследователями, важность наблюдений и рассуждений, содержащихся в этом труде, а равно и изящество, с которым они изложены, надолго обеспечивают этому труду роль исходной точки всех рассуждений, касающихся звуковых ощущений.

Диапазон частот, в пределах которых ухо способно воспринимать звуки, очень широк. Естественно, что предел не может быть точно определен. Гельмгольц на основании своих опытов заключил, что ощущение музыкального тона начинается примерно с 30 колебаний в секунду, но что различение высоты начинается не ниже примерно 40 колебаний в секунду. Прейер) уверен, что он слышал чистые тоны даже при 15 колебаниях в секунду, но нам представляется сомнительным, чтобы октава была абсолютно исключена. При обзоре последних данных и в свете некоторых новых экспериментов ван-Шайк s) не видит оснований для больших отклонений от оценки Гельмгольца и определяет предел примерно в 24 колебания в секунду.

Относительно верхней границы расхождения еще больше. Несомненно, многое зависит от интенсивности колебаний. В экспериментах с птичьими манками (§ 371) выше 10 000 колебаний ничего не было слышно, хотя чувствительные пламена отвечают на звук до 50 000. Однако аккуратно возбужденные смычком камертоны

или металлические стержни при ударе по ним молотком, пови- димому, порождают слышимые звуки еще более высокой частоты. Прейер дает цифру 20 000 как приблизительный верхний предел для нормального уха.

В случае очень высоких звуков оценка частоты почти, или совершенно, исключается, так что для музыкальных целей не приходится рассматривать частоты выше 4000 сек."".

Следующим вопросом является вопрос о том, насколько точно можно оценить высоту тона невооруженным ухом. Здесь предполагается, что звуки прослушиваются последовательно, так как (§ 59) при двух одновременно звучащих нотах точность сравнения, достигаемая методом биений, беспредельна. На основании ряда тщательно разработанных опытов Прейерг) заключает, что нигде на протяжении всей гаммы нельзя различить с определенностью звуки, отличающиеся на 0,20 колебаний в секунду. Чувствительность изменяется с частотой. Вблизи 120 колебаний разность в 0,4 колебания в секунду едва различима, при 500 колебаниях можно различить около 0,3 колебания; при 1000 колебаний — 0,5 колебаний в секунду. В некоторых случаях, ощущая разницу в высоте, наблюдатель не мог решить, какой из двух звуков ниже.

При определениях пределов частоты или заметных отличий в частоте следует подбирать звуки подходящей интенсивности. Остается, однако, другой вопрос — о степени интенсивности звука данной высоты, необходимой для его слышимости. Самая ранняя оценка амплитуды едва слышимых звуков принадлежит, повиди- мому, Теплеру и Больцману). Она связана с остроумным применением теории открытых органных труб (§ 313) Гельмгольца к экспериментальным данным этих авторов (§ 322d), относящимся к максимальному сгущению внутри трубы. Они приходят к заключению, что плоские волны с частотой 181, в которых максимум сгущения $ равен 6,5 • 10-8, едва слышны.

Очевидно, нижний предел амплитуды волн, дающей слышимый звук, можно вывести, зная энергию, которая должна быть затрачена в заданное время для их генерации, и размеры поверхности, на которую генерируемые волны распространяются в момент слушания. Оценка, полученная из этих данных, будет необходимо слишком низка, во-первых, потому что звуковые волны должны испытывать некоторые потери при их распространении, а во-вторых, потому что часть, а в некоторых случаях большая часть, израсходованной энергии не переходит вообще в форму звуковых волн.

При первом применении этого метода) источником звука служил свисток, укрепленный на склянке Вульфа, с которым был

связан сифонный манометр для измерения давления воздушной струи. В этот прибор вдували воздух при помощи легких, и при небольшой практике можно было без затруднений поддерживать достаточно постоянное дутье требуемой продолжительности. Наиболее подходящее давление было определено предварительными попытками и измерялось столбом воды в 91 /2 см высоты.

Первым пунктом, подлежащим определению, было расстояние от источника, на котором звук оставался хорошо слышимым. Эксперименты производились в тихий зимний день, и было установлено, что свисток можно без напряжения услышать (в обоих направлениях) на расстоянии 820 м.

Оставалась еще одна величина, которую надо было вычислить: это — количество воздуха, которое проходит сквозь свисток за данное время. Оно было определено лабораторным экспериментом, из которого обнаружилось, что это количество равно 196 см^ в секунду.

При вычислении результатов удобнее всего пользоваться последовательно системой CGS. В этой системе мер применявшееся давление было равно 9^2 • 981 дин!см^, а потому работа, затрачиваемая в секунду на генерацию волн, равнялась 196Х91/зХ981 эргов1).

Но (§ 245) механический эквивалент последовательности бегущих волн равен кинетической энергии всей массы рассматриваемого воздуха, движущейся с максимальной скоростью у колебаний; так что, если обозначить площадь рассматриваемого волнового фронта через 5, скорость звука — через а и плотность воздуха — через р, то механический эквивалент волн, проходящих в единицу времени, выразится в виде Sap ^- -у9, где численное значение а равно приблизительно 34 100, а численное значение р— около 0,0013. В нашем случае S есть площадь поверхности полушария с радиусом в 82 000 см; таким образом, если бы вся энергия уходящего воздуха превращалась в звук и по пути не было рассеяния, то значение у на расстоянии 82 000 см определялось бы равенством:

2- 196-9 ^--981т>9

~ 2^(82 000)2.34100-0,0013 ’ откуда

у = 0,0014 см[сек, s = ^ = 4,1 • 10-8.

Этот результат не требует знания высоты звука. Если период равен г, то соотношение между максимальным смещением х и максимальной скоростью у есть x = y,z/2'ir. В рассматриваемом экспери-

менте применялась нота /IV с частотой около 2730. Следовательно,

0,00U Q .

х ~ 2л-2730 ~ 8’ ' 0 см'

т. е. амплитуда частиц воздуха была менее одной десятимиллионной сантиметра. Было вычислено, что при благоприятных условиях амплитуда в 10-8 см была бы еще слышна.

В качестве возражения против вышеописанного метода можно указать, что при таких больших рассматриваемых расстояниях трудно быть уверенным, что в достаточной мере исключено возмущающее влияние атмосферной рефракции. В связи с этим были сделаны попытки экспериментов с трубами более низких тонов, которые должны были бы быть слышны на меньшем расстоянии, но эти опыты не были успешны, и в конце концов пришлось снова возвратиться к камертонам.

«Камертон определенных размеров, совершающий колебания с определенной амплитудой, можно рассматривать как запас энергии, количество которой легко вычислить. Эта энергия постепенно затрачивается на внутреннее трение и генерацию звука. Когда употребляется резонатор, то последняя часть более существенна, и в некоторых случаях мы можем считать, что испускание звука в достаточной мере объясняет падение амплитуды. Придерживаясь здесь этого взгляда, мы можем вывести скорость испускания звуковой энергии из наблюдаемой амплитуды камертона в рассматриваемый момент и из быстроты падения амплитуды. Так, если закон падения амплитуды для камертона есть е-1'^ или е-м для энергии и если полная энергия в момент t равна Е, то скорость, с которой энергия испускается в данный момент, равна —dEfdt, или kE. Значение к можно вывести из наблюдений над скоростью затухания, например над временем, в продолжении которого амплитуда уменьшается наполовину. С такими приспособлениями можно без труда превращать энергию в звук в малых количествах и таким образом уменьшить расстояние слышимости до величины 30 м. При этих обстоятельствах значительно легче управлять наблюдениями, чем в том случае, когда оба наблюдателя удалены друг от друга на полмили, и здесь нет оснований бояться возмущения вследствие атмосферной рефракции.

Камертон укреплен на штативе, к которому также жестко прикреплен микроскоп для наблюдения. Удобные световые точки получаются от зерен крахмала, а световая линия, в которую растягивается каждая точка под действием колебаний, определяется при помощи окулярного микрометра. Каждое деление шкалы микрометра соответствует 0,001 см. Если пользуются резонатором, то он располагается в положении максимального эффекта — с отверстием под свободными концами вибрирующих ножек камертона.

Ход эксперимента был таков. В первую очередь наблюдались скорости затухания с резонатором и без него, причем штатив располагался на земле в середине некоторой площадки. Камертон приводился в колебание смычком, и определялось время, потребное для того, чтобы двойная амплитуда упала до половины своего первоначального значения. Так, в случае камертона с частотой 256, время, в течение которого амплитуда уменьшалась от 20 делений микрометра до 10 делений, составляло 16 секунд без резонатора и 9 секунд при наличии резонатора. Промежутки времени, за которые звук ослаблялся вдвое, насколько можно было наблюдать, не зависели от начальной амплитуды. Для того чтобы определить слышимый минимум, один наблюдатель (я) занимал позицию в 30 ярдах (27,4 ж) от камертона, другой (мистер Гордон) приводил в сильное колебание камертон. В момент, когда двойная амплитуда составляла 20 делений микрометра, второй наблюдатель давал сигнал и немедленно после этого удалялся на некоторое расстояние. Задачей первого наблюдателя было определить, в течение скольких секунд после сигнала звук оставался все еще слышным. В описываемом случае этот промежуток времени составлял 12 секунд. Когда расстояние уменьшалось до 15 ярдов (13,7 м), звук с начальной двойной амплитудой в 10 делений микрометра оставался слышным почти в точности столько же времени.

Эти оценки слышимости производились не без затруднений. Обычно бывали две или три секунды, в течение которых наблюдатель сомневался, слышит ли он или только воображает, что слышит, и различные индивидуумы решали вопрос различно. Конечно, здесь также имело место и действительное различие слуха, но это само по себе не оказывало большого влияния. Данный наблюдатель в данный день часто давал удивительно постоянные оценки, но точность, получаемая таким образом, мне кажется, является иллюзорной. Многое зависит от отсутствия мешающих шумов. Шелест деревьев под влиянием ветра или чирикание птиц мешали наблюдателю и более или менее отражались на точности результатов.

Проверялось также, одинаково ли испускается звук в различных горизонтальных направлениях, но никакой разницы между направлениями не удалось обнаружить. Звук исходит почти целиком из резонатора, и можно полагать, что этот последний действует как простой источник.

Если считать время, в течение которого звук слышен, известным, то легко вывести амплитуду колебания камертона в момент, когда звук перестает воздействовать на наблюдателя. Отсюда вычисляется скорость испускания звуковой энергии и амплитуда колебаний воздуха в момент, когда они достигают наблюдателя.

Первым этапом вычисления является выражение полной энергии камертона в функции амплитуды колебания, измеренной у конца одной из ножек. Эта задача рассмотрена в § 164. Если длина

стержня, закрепленного на одном конце и свободного на другом, равна I, плотность р, а площадь сечения равна ю, то кинетическая энергия Т связана со смещением т) на свободном конце уравнением (10):„1 ,

В момент прохождения через положение равновесия т] = 0 и drjdt имеет максимальное значение, так как в этот момент вся энергия — кинетическая. Максимальное значение d^dt связано с максимальным значением т) уравнением

)г ‘max’