Книга
← К списку книгЗагрузка разделов…
активнаАктивные записи участвуют в каталоге и синках. Неактивная книга скрыта, но не удалена из базы.
Книга
ПРЕДИСЛОВИЕ
В последнее время усилия многих специалистов по теории /дифференциальных уравнений были направлены на изучение гпк называемых нелокальных проблем этой теории. Среди гпких проблем видное место занимают вопросы существования периодических решений и их устойчивости в большом. Именно ”сму кругу вопросов и посвящается предлагаемая книга. II пей рассматриваются два широких класса систем: системы, прйпые части которых зависят периодическим образом от времени, и автономные системы.
Книга состоит из трех глав.
В цервой главе изучаются в основном многомерные перио- лпчгскис системы.
§ I носит вводный характер. В этом параграфе рассмат- niihriMtrcH самые общие автономные и периодические системы. Дниш и оспонпыс определения. Доказываются важные для M*4hiirHiiirio общие теоремы о поведении решений периоди- ЦЩЬНХ Н ЙНТОНОМНЫХ систем.
Н I У нпунвются общие сноПстна диссипативных систем. Дни HHRtHnwHMH iiatiMHANm я I пгтгмы, у которых любое решение @ твчвиннм 制卩串мрнн пппплпе г н фпкеиропанпую область. В термине* t уШ#1ТПОНйННЙ некоторых функций, являющихся обоб- itiFiiHHMH клисспчсских функций JlHiiynona, даются условия, н^||Пц(1Лнм|||е н достйточиые для диссипативности. Доказы- Нй^н и сущрстнойАпис orpaiiii'ieiiiioro множества S, состоящего не ц#лмх i^nioniiA, такого, что все решения диссипативной системы стремится к S при неограниченном возрастании Времени.
П следующих трех параграфах (§ 3—5) даются условия, ДОСГйТОНИЫо для диссипативности некоторых конкретных си- 莓Т@м ЛИффгрсчщиальных уравнений. Для доказательства дис- |нпати#иости используются общие теоремы, доказанные в § 2・
§ 6 посвящается изучению многомерных периодических систем, нс являющихся диссипативными. Здесь при различных предположениях доказывается существование периодических решений с тем же периодом, что и у правых частей.
В последних двух параграфах I гл. (§ 7, 8) изучаются системы с конвергенцией. Под этим понимаются системы С одним устойчивым в целом периодическим решением. При изучении систем с конвергенцией периодическое решение обычно бывает неизвестно, поэтому естественно рассмотреть вопрос о сближении всех вообще решений. В связи с этим в § 7 вводятся функции, зависящие от двух точек пространства и обращающиеся в нуль при совпадении этих точек. В терминах существования такого рода функций даются условия, необходимые и достаточные для наличия конвергенции. В дальнейшем эти условия используются для установления наличия конвергенции у некоторых конкретных многомерных и двумерных систем.
Во II гл. изучаются периодические системы первого и второго порядков. Здесь в основном приводятся теоремы, доказательство которых, по существу, использует тот факт, что мы имеем дело именно с такими системами. Большинство этих теорем пе может быть обобщено на системы более высокого порядка.
В § 9 рассматриваются уравнения первого порядка. Формулируются некоторые общие теоремы о расположении интегральных кривых таких уравнений. Большая часть параграфа посвящена изучению уравнения с полиномиальной правой частью. Для такого уравнения весьма подробно изучается вопрос о возможном числе периодических решений. Дается ряд условий, достаточных для того, чтобы число периодических решений не превышало степени полинома, стоящего в правой части.
В § 10 и 11 рассматриваются уравнения первого порядка, правые части которых периодичны по обоим аргументам. Такие уравнения естественно рассматривать на торе. В § 10 излагаются общие сведения о поведении траекторий на торе. В § 11 изучаются вопросы зависимости поведения решений от параметров, входящих в правую часть уравнения. Здесь исследуется зависимость числа вращения от параметров» формулируются условия* необходимые н достаточные для грубости.
Остальные параграфы (§ 12—17) II гл. посвящены периодическим системам второго порядка.
В § 12 устанавливаются общие теоремы о поведении интегральных кривых периодической системы двух дифференциальных уравнений. В частности, здесь устанавливается фундаментальная теорема Массера о существовании периодических решений систем второго порядка. Подробно изу- НЮТСЯ поведение диссипативной системы второго порядка. Исследуется возможная структура множества S такой системы.
В следующих двух параграфах (§ 13, 14) рассматривается ШЖрм о существопании торообразных инвариантных поверхностей. Предполагается, что некоторая система имеех торо- оПрминую интегральную поверхность с определенными свой- ^1нйми« и ДОКйзмпаетсН) что и псе „близкие** к ней системы l#HHie hmvut тмкую интегральную поверхность. В § 13 и 14 Д^лйЮТеи |1йМИНИЫе 1фелнолпжснн» относительно поведения 艮弘 I 他 НН& на Н1Ий|Н1ЙИТ11ПЙ UOBVpxnoCTII исходной системы. В ¥皆羁貝卓"НМ Н методы ДОКВЯйк- пд'тпп существования ин- ttf ||#1йныИ жт^рмностей п •тмк ti.ipai рифах различны. В § 13 IhiiHiif^H H|i(WT|HHCTN()вммккутых h|“nmix, строится некоторое #Ня^йпно^ @ системой П|н*(>б|)ал(н1；п[ие этого пространства в 上审昌看 Н ДОМй^Ыййетси < \ 1цгст1иш；1пие неподвижной точки Пито 11р0об|ша(>1шипи. Н § 14 рассуждение ведется на ос- Ним Нйй#стиого пгрпого м<шла Ляпунова.
Н I IS JM' н п нрпмгр диссипативной системы второго Норилкй С М@「，м/ * HuKiHdi < груктурой множества S. В частности. докйй1>)<м< н ч. чт()п ресечение этого множества с пло- ©KuCTbkh ・ к<ч*1|н||| npiyMvin системы сохраняет постоянное ЙПй<(ги11@. ггр> »' 1.Н1ЛЯГТ собой область, граница которой не ИП4И^тси жордлнопой кривой.
I IU и 17 поснитены изучению конкретных систем второго порядка. Прн определенных предположениях здесь уста- ИйН/111Нйстся су|цествование периодических решений с перио* АнМ, pnnuiiiM целому кратному периода правой части.
В последней III гл. изучаются автономные системы.
О I 1Н формулируются некоторые общие теоремы о перио- дннескнх решениях автономных систем. Здесь устанавливается HeevcTnititi принцип тора. Даются условия, достаточные для eyimH'riioiiiiiiHH и единственности периодического решения ■ н«киторой области фазового пространства.
В § 19 рассматривается некоторая конкретная система, для которой с помощью принципа тора доказывается сущест- вонанис периодического решения.
Последние три параграфа книги посвящаются изучению ураппсния третьего порядка с одной нелинейностью, удов- лстиориющей так называемым обобщенным условиям Гурвица.
В § 20 устанавливаются некоторые теоремы о расположении траекторий этого уравнения.
В § 21 формулируются условия, достаточные для ограниченности всех решений рассматриваемого уравнения. При этих условиях уточняется качественная картина расположения траекторий. В частности, доказывается, что если уравнение не имеет периодических решений, то все его решения стремятся к состоянию равновесия.
Наконец, в последнем § 22 даются условия, достаточные для существования периодических решений.
Книга отнюдь не претендует на полноту изложения всех методов нелокальной теории колебаний. В ней излагается лишь часть наиболее важных фактов этой теории. Специалист обратит, конечно, внимание на то, что неосвещенными остались не только отдельные весьма важные и интересные результаты, бесспорно относящиеся к тематике книги, но даже и целые направления. Например, совершенно не рассматриваются двумерные автономные системы (теория таких систем преносходпо изложена в книге [90]).
Что касается приводимого списка литературы, то он тоже не претендует на полноту. В этом списке приводятся лишь те работы, на которые приходится ссылаться в процессе изложения. Нужные библиографические справки читатель найдет во многих появившихся в последнее время обзорах (см., например, работы [91, 92])*
Академик В. И. Смирнов просмотрел рукопись и сделал ряд важных замечаний, принятых во внимание при окончательном редактировании. Я приношу ему глубокую благо
дарность.
4 Плисс
ГЛАВА
МНОГОМЕРНЫЕ ПЕРИОДИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
，I, Общие сведения о периодических иавтономных системах
Ццнужд#ниы# иол^бйнии механических систем с конечным W^hm уг#нпигй ©нсСнкм часто оннсмтнится векторными ДНфф^|^Н1Н1ЙЛЫ1ЫМН УрИНИУНИИМИ НИДй
":i(K，)，d-D
Мравне >ни IИ ИУГОрык Ниниент периодически от времени /・ Ofhyni hMibho системы (1.1) мы будем делать в дальнейшем ел^луншцш предположения. Х = {%]%门}—«-мер
ный пек打屮,игктор*функ11(ия 尸={/1， .... /„} определена И н»11р@рын11й нрн всех вещественных X и Л удовлетворяет у$А仆貝ИЮ vAiiiicmriinocTU решений системы (1.1) при всех X, t И нмт период ш по f, т. е.尸(X, ^4~ з)三尸(X, f).
П(!ЛИ |)@4h идет и свободных колебаниях, то правая часть у|тш№пни (1.1) не будет явно зависеть от времени, и мы Лулем иметь систему вида
嗡=尸“)，(L2)
@ которой также будем предполагать, что л-мерная вектор- функцни 尸 задана и непрерывна при всех вещественных йпвчснипх «-мерного вектора X и удовлетворяет условию глннстпснности решений системы (1.2) при любых X.
Так как в системе (1.1) правая часть периодична по вре- м^нн, то эту систему целесообразно изучать в тороидальном Прострапстие! отождествив между собой все точки вида
(尤，+饱叫 где А = 0, ± 1, ±2,・・• Присоединим к системе (1.1) уравнение 黑=1, тогда получим систему
醬=尸(乂 6).
加一1
Правые части полученной системы не зависят явно от времени, т. е. эта система имеет вид (1.2). Фазовым пространством системы (1.3) служит описанное тороидальное пространство -¥, 6 с отождествленными между собой точками вида (-¥, 6 + Аш).
Если все решения системы (1.2) продолжимы на все моменты времени от —оо до +8 (а этого, как хорошо известно, легко добиться простой заменой переменной f [1]), то решения (1.2) образуют динамическую систему в соответствующем фазовом пространстве. В наших случаях это будет или евклидово пространство векторов X, если речь идет о системе (1.2), или описанное выше тороидальное пространство» если дело касается системы (1.3).
Поведение динамических систем хорошо изучено (см. книги [1, 2]). Здесь мы приведем лишь некоторые, особенно важные для дальнейшего результаты.
Пусть X = 6(р, t) — решение системы (1.2) с начальными данными f = 0, X = р. т. е. ①(р, 0) = р. Так как решение X =①(р, £) при любом р по условию единственно, то имеет место теорема об интегральной непрерывности [3]: по любым Г > 0 и е > 0 можно указать такое 8 > 0, что если р(р, д) < 8, то
р [①(р,)① “，01 <®(1.4)
яри |f|《7\ где р(а, 0) — расстояние между точками а и ^, Так как правые части системы (1.2) не зависят явно от времени, то выполняется соотношение (групповое свойство динамической системы)
①(р, A + f) = O>®(p,幻，£)・(1.5)
Пусть 7\<t < Г2 — наибольший промежуток, на котором определено решение ①(р, £), т. е. при £ = 7^ (/= 1, 2) решение Х = 6(卩 t) не определено (может, конечно, слу・
Читься, что одно из чисел Tv Г2 или оба они несобственные). Будем называть множество точек ①(р, f) Тх < f < Г2 траекторией системы (1.2) и обозначать Ф(р, /0). Множество точек ①(р, £) 0《£&厶 будем называть положительной нолутраекторией. Аналогично определяется отрицательная полутраектория.
Если точка р такова, что 尸(р) = 0, то ясно, что Х = ^(р, t) = р при всех ££(—8, -|-оо). Такие точки пизываются состояниями равновесия.
Пусть точка р такова, что существует х > 0, такое, что 3(р, т) = р и Ь(р, f) 5tp при О V f •< т. Тогда имеем, п силу свойства (1.5),
①(p，/+0 =叭①5，t)，f) = 6(p，0* (1-6)
Таким образом, вектор-функция ①(р, f) оказывается периодической с периодом % а траектория ①(р, 0(—°°<^<+00) представляет собой замкнутую кривую.
Пусть М — множество точек фазового пространства, через Ф(М, /) будем обозначать множество точек &(р, £), у которых р^М. Множество М называется инвариантным, если
Ф(Ж, t) = M (1.7)
При мех А Из определения инвариантного множества еле- дуст, что инпариантное множество состоит из целых траекторий и, обратно, множество, состоящее из целых траек- 唸喃.инйарипнтно.
Ив теоремы об интегральной пенрерывиости вытекает, НТО saMHKeiiiw HiiimpiiiiHnioro мпожестпп инвариантно.
Н tan卩нн ДНППМ1РНЧКПХ систем письма важную роль играет 员自Н肘На il|^nv/ihiHill точки. Рассмотрим положительную полу- ¥|ш@ип1|Н1ю Ф(р, /) Q<f< f-oo. Если существует такая IHMJ 倬耳 им&те〃ьнис‘п»
0</1</а</3< ... ->4-оо, (1.8) "ТО
llm ①(р, Q = q,ь А->оо
То точна g называется предельной точкой положительной Нолутрвгктории Ф(р, 0 (Г^Т^^р^гТГаьпредельной точкой три#мтории Ф (р, ?). Аналогично определяется предельная Т唄к圓 итр|щателыюй полутраектории Ф(р, f) 0》2>—оо・
Предельная точка отрицательной полутраектории ①(р, f) 0>，>—оо называется a-предельной точкой траектории Ф(р, /).
Теорема 7.7. Множество предельных точек всякой Полутраектории инвариантно и замкнуто.
Докажем теорему для положительной полутраектории ф(р, 0 о《у +8. Пусть q — предельная точка этой полутраектории. Тогда существует последовательность ‘1 V '2 V •・・ f + 8, такая, что
Пш ①(р, £Q = g.(1.9)
k今8
Рассмотрим некоторую точку ①(д, х) траектории, проходящей через точку q. По теореме об интегральной непрерывности по любому е > 0 и Т = 111 найдется такое 8 > О, что если р(ф(р, t》0)V，то р(Ф(р,勿+ ©,①(g, т))<е. Из (1.9) следует, что первое из этих двух неравенств выполняется при достаточно больших А; следовательно, при таких k выполняется и второе, а это, в свою очередь, означает, что
иm ①(p,厶 十 t)=6 (外 х), ft->00
е. точка ①(д, с) является предельной для полутраектории 6(р, О 0《f 之 +8. Отсюда следует, что предельное множество этой полутраектории инвариантно.
Покажем, что оно замкнуто. Пусть точки qv ^2, ^3,... являются предельными для нашей полутраектории и
lim qk — q.(1.10)
fe->oo
Докажем, что точка q является предельной для полутраектории ①(р, f) 0《f<+8・ Возьмем произвольное е > 0. По этому е, в силу (1.10), найдется такое 夕在，что Р(”，0)<$• Так как qk — предельная для ①(р, £), то найдется сколь угодно большое /, такое, что р (①(р, f),夕々)V *・ Отсюда следует, что р (①(р, f), q) < е; это и доказывает» что точка q — предельная для нашей полутраектории.
Теорема доказана.
В дальнейшем нас, естественно» будут больше всего интересовать ограниченные решения. Траектории, соответствующие таким решениям, имеют специальное название.
Определение 1 Л. Ограниченная полутраектория назы- ппстся устойчивой по Лагранжу. Движение называется поло・ жнтелЗю Хо^рмНател而о) устойчивым по Лагранжу, если устойчива по Лагранжу его положительная (отрицательная) полутраектория. Движение, одновременно положительно и отрицательно устойчивое по Лагранжу, называется устой- чнпым по Лагранжу.
Из принципа выбора Больцано ——Вейерштрасса следует, что множество предельных точек устойчивой по Лагранжу полутраектории не пусто.
Теорема 12 Если полутраектория устойчива по Лагранжу, то множество ее предельных точек связно» Доказательство. Пусть положительная полутраектории Ф(р, t) 0《f<+8 устойчива по Лагранжу. Предположим, вопреки утверждению теоремы, что множество Q ве предельных точек uc cihkhio. Тогда множество Q разби- ппстся на дна непустых замкнутых подмножества: Q = £》i+Q2 и U] • 、2 = 0. Так как рассматриваемая полутраектория огра- "Н耻II露 то ограничено и множество Q; следовательно, по теореме отделимости имеем р(ЙР Й2) = ^ > 0.
Те к кпк % и Q и 22 с Й, то найдутся сколь угодно большие иничения % для которых
р(ф(р- Q %)<年，а」】)
и CIWAB угодно большие значения 〃 для которых
Р(①(Р，4)，Й2)<4-(112)
11|Н^матсльпости ^ и ^ можно подобрать так, чтобы ^мн(1лннлис1> неравенства
о<^<^；<^<^< …V/V4V ...
ТйИ К員к р(Ф (р» О> Qi) есть непрерывная функция f и выпол- ниЮКи неравенства
Р«® Q %)<*
，e伊G g)》p& 同一p(①J *q2)》^溝
тс найдется значение %(4<% V") такое, что
Р (①(Р，%)，Qi)= 4~，
Тик как полутраектория ①(р, £) ограничена, то из последовательности точек Ф(р, тА) можно выбрать подпоследовательность, сходящуюся к точке q. Точка g тогда будет предельной для полутраектории ①(р, f) 0<£ <十8, а с другой стороны, p(g, Q»= ^; следовательно, q не принадлежит ни 2Р ни 22.
Мы получили противоречие, которое и доказывает теорему.
В дальнейшем нам понадобится понятие минимального множества.
Определение 1.2. Множество £ точек фазового пространства называется минимальным, если оно не пусто, замкнуто, инвариантно и не имеет истинного подмножества, обладающего этими свойствами.
Состояние равновесия и траектория периодического движения являются, очевидно, минимальными множествами.
Наибольший интерес представляют ограниченные минимальные множества. Относительно существования таких множеств можно высказать следующую теорему.
Теорема /・3・ Ограниченное замкнутое инвариантное множество содержит минимальное множество.
Доказательство. Пусть М — инвариантное замкнутое и ограниченное множество точек фазового пространства. Если оно не имеет правильной части, обладающей теми же свойствами, то М — минимальное множество, и теорема доказана. Предположим, что существует множество /и附， Мг^ М и М} замкнуто и инвариантно. Если Мх не содержит в качестве правильной части замкнутого инвариантного множества, то оно минимально. Пусть существует замкнутое инвариантное множество М2 с Мх и М2=^= Мх и т. д. Продолжим этот процесс; если на конечном шаге не появится минимального множества, то существует последовательность замкнутых инвариантных множеств
附 n All n Л12 n • • •(1.13)
Пересечение этих множеств Л1co замкнуто, ограничено и не пусто. Покажем, что оно инвариантно. Действительно, пусть
р ^ Мш; следовательно, при любом k р£М^ Все Мк инвариантны, поэтому при любом f н & ①(р, £)£附在・ Отсюда следует, что при любом t Ф(р, 0 ^ М^ что и доказывает инвариантность
Если Ж^ не является минимальным, то выберем замкнутое инвариантное множество Мш+Х с: Мт(М^+1 =^ М^) и т. д. Если 0 является предельным числом и построены Ма при всех а V 0, то положим附卩=П ^а' *СНО, что Л4р будет замкнутым и инвариантным.
Мы получаем, таким образом, трансфинитную последовательность вложенных друг в друга множеств
Л4 п АГ】п ... п %п ... п 附必 п ・•・ п Л10 n ...
По теореме Бэра (см., например, [4]) существует такое трансфинитное число 0 второго класса, что 加^二府^十” т. е. множество Л4р не имеет замкнутого и инвариантного истин* него подмножества. Следовательно, 修一минимальное множество.
Теорема доказана.
Следствие 1.1. Если полутраектория устойчива в смысле Лагранжа, то множество ее предельных точек содержит минимальное множество.
Введем следующие обозначения. Будем через ①(р,",八) обозначать множество точек Ф(р, /) при "々^《厶.Пусть М — множество точек фазового пространства; через U (М. е) будем обозначать е-окрестность этого множества, т. е. множество тех точек р, для которых р(М р) < е.
Определение 1.3. Решение 帝(р, /) называется поло- •интельно устойчивым в смысле Пуассона (устойчивым Р+\ >ч ли по любому ьЦГ% Т > 0 можно указать ^ > Г, такое, гго р(Ф(р, f), р) < е. Аналогично, если существует такое / < — Г, что р (①(р, £), р) < е, то решение ①(р, f) отри- ЦйТельно устойчиво по Пуассону (устойчиво Р~).
Решение положительно и отрицательно устойчивое по Пуйссопу называется устойчивым по Пуассону.
Определение 1.4. Решение ①(р, £) называется ре- (Урргнтным, если по любому е > 0 можно указать такое Т(е), 10 лм1бпм дуга траектории этого движения временной ММНН Т (<) апроксимирует всю траекторию с точностью до е,
т. е. для заданного е > 0 существует Т такое, что при любом " выполняется соотношение
①(р, /°)ии®(р, /о, /°+「)，е).(1.14)
Нетрудно видеть, что всякое рекуррентное движение устойчиво по Пуассону. Действительно, по всяким е > 0 и /0 > 0 можно указать такие точки 厶 и 片 厶€【力о，"十丁】， «gl—4—Т，—/оь что Р(Р，①3 勿))<£(左=i，2). Это и доказывает устойчивость движения ①(р, £) в смысле Пуассона.
Оказывается, что минимальные множества целиком построены из рекуррентных траекторий. Имеет место
Теорема，4 Всякая траектория ограниченного минимального множества рекуррентна.
Доказательство. Пусть р—точка ограниченного минимального множества Е. Допустим, вопреки утверждению теоремы, что движение ①3 f) не является рекуррентным. Это означает, что существуют число а и последовательность неограниченно возрастающих промежутков времени ［九一& 匕+八］'7\->+ оо，таких, что каждая из дуг ①(р,力一Т、、 厶+詳)находится на расстоянии не меньшем а от точки 0v =(D(p, Q. В силу ограниченности множества £ последовательности q、и Pv = 6(p, £J можно считать сходящимися (в противном случае мы перешли бы к сходящимся подпоследовательностям). Положим
limgv = g,limp尸р'・(1.15)
Так как Е замкнуто, то g £ Е и р‘ £ £. Возьмем произвольное число Г > 0 и рассмотрим дугу траектории ①(р; —Г, Г). По теореме об интегральной непрерывности существует такое В, что если р(р* г) < В, то р(①(pl f),①(八 £))< 专 при |f|《T・ Из (1.15) следует, что при достаточно большом V выполняются неравенства
7,> 7, р(р', р,)<6, p(g,, g)vg* (116)
Тогда для любого f из промежутка— Т ^t ^Т будем иметь неравенство
р(ф(/. f)，Ф(Л. С)<|.р(ф(/. f)，Ф(Л. С)<|.(1.17)(1.17)
р(ф(/. f)，Ф(Л. С)<|.
р(ф(/. f)，Ф(Л. С)<|.
(1.17)
(1.17)
По самому выбору точки 义，так как |^| < Г < & можем написать
р(ф (р,. f)，gj = p (①(，4 + f)，g、)〉a.(1.18)
Из неравенств (1.16)—(1.18) следует, что при всех |£|《Т выполняется неравенство
Р(Ф(/. 0> 0)〉^・(1.19)
Так как число 7 было выбрано совершенно произвольно, то последнее неравенство выполняется для всех значений t от —оо до +8, т. е. Р®(” /о)，g)>g
Как уже отмечалось, р'££・ Из инвариантности £ следует включение
①"，QuE.(1.20)
Пусть, как обычно, ①(р‘，/0) обозначает замыкание множества ①(р‘，/())・ Ясно, что р(①(р‘，/о), д)》专，т. е. q не лежит на ①(р‘, /0). Поэтому множество ①(р〈 /0) есть пра- пильпая часть множества Е. Но замыкание инвариантного множества инвариантно и замкнуто. Таким образом, множе- стнс Е содержит в качестве истинного подмножества инвариантное замкнутое множество Ф (р‘，/0) и потому не является минимальным.
Мы получили противоречие, доказывающее теорему.
Следствие i.2. Если полутраектория устойчива по Лпгранжу, то ее предельное множество содержит рекуррентную траекторию.
9To утверждение следует из следствия 1.1 и теоремы 1.4.
Теорема 1.4 допускает следующее обращение.
Теорема 7.5. Если движение Ф(р, /) ре/суррентно, то замыкание его траектории ①(р, /0) представляет ^обой ограниченное минимальное множество.
Доказательство. Докажем сначала, что траектория Ф(/Ъ /0) ограничена. Возьмем е= 1, по этому £, в силу определения рекуррентного движения, можно указать такое Г, НТО при пссх t
2(р, f)“ (① S； — Г, 7^11
У R А, Пли«/
Но дуга траектории Ф(р; —Т, Т) представляет собой, очевидно, ограниченное множество. Отсюда и следует ограниченность множества ①(р, /0).
Осталось доказать, что множество ①(р, /0)= Е мини- мплык). Допустим, напротив, что это не так, тогда существует замкнутое инвариантное множество Mt представляющее собой правильную часть S. Тогда р не входит в М, ибо в противном случае оказалось бы, что Л4 = ©(р, /0) = 2, Так как М ограничено и замкнуто, то р(Л4, р) = 2>0・ Положим е = -^ и выберем число Т (е), входящее в определение рекуррентной траектории. Возьмем какую-нибудь точку q^M. По взятым числам е и Г, в силу теоремы об интегральной непрерывности» найдется 8 > 0 такое, что если Р(0，夕)<&，то при всех |f|《T
р(①(g, f), Ф(г, О)<8-
Точка 夕£ 附и①(./) поэтому существует такое 厶，чтор®(р，A)，g)G.
Отсюда в силу выбора 3 следует, что при всех |£|《Т вы« полняется неравенство
р(①句，)①(р, A + f))<€・(1.21)
Так как множество М инвариантно» то ①(夕，f)^M при всех f, отсюда и из неравенства (1.21) следует, что при |£&Т имеет место соотношение
р(Л1,①(р, /+£))<&.
Следовательно, при |“《Т имеем
р(р,①(р, А+ £))>& — m = •^~>亂
Это неравенство показывает, что точка р не лежит в е-окре- стности дуги траектории ①(р, f) временной длины 2T с серединой в точке ①(р,厶),что противоречит выбору Т.
Теорема доказана.
Рекуррентное движение, как видно из самого его определения, представляет собой некий колебательный процесс в системе нелинейных колебаний* Доказательство существо- вання такого процесса достаточно просто, надо лишь уста-
повить наличие ограниченного движения. Среди всех рекуррентных движений наибольший интерес представляют „чистые** колебания—периодические решения. К изучению таких решений мы сейчас и переходим.
Установим сначала следующий признак существования периодических решений у динамической системы (1.2).
Теорема 7・6・ Пусть положительно устойчивое в смысле Пуассона движение Ф(р, t) системы (1.2) обла* бает следующим свойством: существует непрерывная и положительная при £》0 функция a(f), a(f)f 0 при ff+8, такая, что по любому х > 0 можно указать такое е > 0, что если р(д, р)《％ 鲫。существует такое 厶(g) (I 似д)| О)，卽。
Р(Ф(Л / +九⑷)，①你 /))<а©
при /〉0; тогда движение Ф (р, £) — периодическое.
Доказательство. Утверждение теоремы очевидно, если р — состояние равновесия. Поэтому в дальнейшем будем считать, что р не является состоянием равновесия системы (1.2). Проведем через точку р гиперплоскость 厶 (п — 1)-го измерения, нормальную к вектору поля направлений в точке р. Пусть U — столь малая окрестность точки р, что замыкание S ее пересечения с гиперплоскостью L не имеет контакта с полем направлений системы (L2).
Нетрудно видеть, что существует такое Н〉0, что если точка г лежит в S, то траектория Ф(г, £) при —4H《£《 ，二 4H не пересекает S.
По этому Н в силу условий теоремы можно указать тпкое е > 0, что если р(р, ')《％ то существует |%(g)| < Н, мкое, что р(①(р, / +也(0))，①(0, f))<a(f) при f》0・ Зпфиксируем такое е, меньшее радиуса указанной выше окрестности U точки р.
Возьмем произвольную точку r^S такую, что р(г, р)《 <&・ Так как (п—1)-мерный шар S не имеет контакта С полем направлений, то можно утверждать, что существует В > 0. не зависящее от выбора г и обладающее следующими Сйойстпами. Пусть, как обычно, Ф(г; —Н, Н) — часть траек” Тории Ф (г, G соответствующая моментам времени —"《 < / < W, а V — 8-окрестность этой части траектории. Тогда
если точка I лежит в 匕 то траектория Ф(/, /) при—2"、 《f《2〃 пересечет S и притом только один раз; точкг этого пересечения Ф (/, с) лежит на расстоянии меньшем е/1 от г и зависит от / непрерывно.
Так как по условию a，f)f 0 при ^ —>оо, то существуем такое Г, что при £》Т а(»《6. По условию теоремы движение Ф(р, f) положительно устойчиво по Пуассону; следи вательно, существует такое 厶 > 7十2", что точка Ф(р,匕 лежит в S и р (①(р,厶)，р) < ^-. Возьмем произвольнук. точку ggS так, что р(д, р)《亂 По условию теоремы npi. / > 0 будем иметь неравенство р(Ф (р, £十似夕))，①(9，С Х& < а (£); следовательно, р (Ф (р.々 十似夕))，①(码 厶))< 8- Так как |也(夕)| < Н в силу выбора е, то по выбору 8 существует такое 弋0£1—2",厶十2司，что точка ①(g, t) лежит в 5, р (①(д, с), Ф(р, ^)) < у и точка Ф(^, с) зависит не-j прерывно от точки Ф(^,厶)，а в силу теоремы об интегральной непрерывности и от точки q.
Из неравенства треугольника следует, что р(Ф (^, т), р)<е. Обозначим через S@ пересечение S с U (р, е). Поставим в соответствие точке ggS^ точку ①(q, с). Так как р(р,①(д, х)) < е» то, таким образом, мы получим преобразование Р замкнутого (п—1)-мерпого шара 5е в себя. Как уже отмечалось, точка Ф (д, с) непрерывно зависит от q, поэтому преобразование Р непрерывно. Отсюда в силу теоремы Брауэра следует, что преобразование Р имеет неподвижную точку %£5専・ Это означает, что ①(％ 弋)=处 т. е. траектория Ф (^0> 6 замкнутая.
Докажем, что траектории Ф(^о, /0) и Ф(р, /0) совпадают. Допустим, напротив, что это не так, т. е. предположим, что Р(Р，①(％，/0)) = J > 0. Так как %£S&, то по условию теоремы существует такое 论(^0), что р (Ф (р, £ 十 也(夕。))， ①(办 0) < а (О при £》0. По условию теоремы а(/)->0 при ff 十8, поэтому существует То такое, что при f》n 仪(')<4"・ Следовательно, при t>Tq р(①(Р，£ + %(9q))， 《)(％' £))<等・ Отсюда в силу неравенства треугольника получаем р(р, Ф(р, f十似％)))>等 при всех /》Т「По-
следнее неравенство противоречит тому, что движение Ф(р, /) положительно устойчиво в смысле Пуассона. Противоречие доказывает, что траектории ①(р, /0) и ①仇，/0) совпадают. Траектория Ф(^о> /0) замкнутая, следовательно, и Ф(р, /0) лпмкнута.
Теорема доказана.
Рассмотрим систему (1.1) при сделанных выше предположениях. Можно было бы предполагать, что любое периодическое решение этой системы имеет период, соизмеримый С периодом ш правых частей системы Однако было замечено |б, 6], что это не всегда так. Рассмотрим в качестве примера [7] систему
学=y + (*2 + y2-1州еh，% = - k. (1.22)
‘ Правые части этой системы имеют период -у- по А однако система допускает периодическое решение х~ — cos Л у = sin/ с периодом 2冗, вообще говоря, несоизмеримым С 争. Система (1.22) такова, что в тех точках плоскости X, у, через которые проходит периодическое решение, т. е. В точках окружности х2 -|- у2 = 1, правые части не зависят от времени. Оказывается, что это справедливо не только для системы (1.22), но и для всякой системы, имеющей периодическое решение, период которого несоизмерим с периодом правых частей. Справедливо следующее утверждение [8].
Теорема /.7. Пусть X(/) — периодическое решение системы (1.1), период которого 2 несоизмерим с ш； тогда для любого ^0 вектор-функция 尸(X(f°), f) по* С"2Анна.
Перед тем как доказывать это утверждение, установим Спрппелливость следующей арифметической леммы.
Лемма /./. Пусть а и 卩—несоизмеримые числа^ Шогда по любому i w е > 0 можно указать два таких Цг 1ых числа М и N, что
I力+力4?—Nq| < e.
Доказательство. Выберем столь большое натураль- йае число р, чтобы — < е. Разделим сегмент [0, 1] на части
3^'珏Обозначим через [因 целую, а через 偉) дробную часть числа 0. Введем в рассмотрение р+1 число (儿：),ft= 1, 2, р+ I- Так как сегментов, на которые мы разделили отрезок [0, 1], всего р, то найдутся два разных числа 瓦 и А2 таких, что (財 ^) и (左？^) попадут в один и тот же частичный сегмент. Пусть
ии宁《瓦9寻宁《瓦9寻(1.23)(1.23)Л — 1—р~Л — 1—р~(1.24)(1.24)
и
и
宁《瓦9寻
宁《瓦9寻
(1.23)
(1.23)
Л — 1
—р~
Л — 1
—р~
(1.24)
(1.24)
что电V匈.что电V匈.При этом для определенности будем считать,
что电V匈.
что电V匈.
Вычтем из неравенств (1.23) неравенства (1.24), тогда получим
«喈)用《t
или по определению (也-^^
—}m(同一同吟一也2^] 一[々用}{^.(1.25)
Положим 也2 —々1 =阳，[々2 ^] — I 也I ^] = п, так как 々2 > ^1*
то ясно,то ясно,что /п > 0, м >0. Умножая (1.25) на а, получаем
то ясно,
то ясно,
-е <； ?П卩 -ма《 е.
Так как одно изТак как одно излиболибочисло 殳 иррационально по условию, двух: либо叫л — na = Y > О,число 殳 иррационально по условию, двух: либо叫л — na = Y > О,то возможното возможно(1*26)(1*26)т^ — ziQ = — 7 < 0.т^ — ziQ = — 7 < 0.(1.27)(1.27)
Так как одно из
Так как одно из
либо
либо
число 殳 иррационально по условию, двух: либо
叫л — na = Y > О,
число 殳 иррационально по условию, двух: либо
叫л — na = Y > О,
то возможно
то возможно
(1*26)
(1*26)
т^ — ziQ = — 7 < 0.
т^ — ziQ = — 7 < 0.
(1.27)
(1.27)
В обоихВ обоихслучаях 0 < 7 <；е. Предположим сначала, чта имеет
В обоих
В обоих
место неравенство (1.27). Умножим (1.27) на [导]и прибавим к обеим частям Ь* тогда получим
(1.28)(1.28)"+ 加用 а—rt[yj 仪=ь — [у] т-
(1.28)
(1.28)
Но по определению [纟]имеем
отсюда
ОО —т["＜：Т《е.
И0ЛагаЯ ЗДесЬ 唔卜附 н 唱" получим утверждение леммы.
Пусть теперь реализуется (1.26). Найдем такое число /〉1, что
(I 1) q《b V Zq.
Умножим (1.26) на получимУмножим (1.26) на получим0一/a十終f竺尹]计—а["^2]0一/a十終f竺尹]计—а["^2]a = b -卜 + 了[^^] • (1.29)a = b -卜 + 了[^^] • (1.29)[“ 丁纟]и вычтем из него la — b, тогда
Умножим (1.26) на получим
Умножим (1.26) на получим
0一/a十終f竺尹]计—а["^2]
0一/a十終f竺尹]计—а["^2]
a = b -卜 + 了[^^] • (1.29)
a = b -卜 + 了[^^] • (1.29)
Кроме того, по определению [—-—j имеем
「/仅—b I / /仅-b /「Z仅-b 1 [ IL一Т 一 J 《 一7 一 V [ 一7一J 十 I
или
Полагая /п[= М, rt[~T~]^~^=^* получим утвер*
ждение леммы.
Лемма доказана.
Переходим теперь к доказательству теоремы 1・7・ Возьмем фиксированное число /0. Пусть 附 и ^ — произвольные целые числа (положительные, отрицательные или нули). Имеем
P{X(t^ ^0 + Л1ш + №) = F(X (^0), 4 + NR), (1.30)
так как функция 尸 имеет по условию период ш по £• По предположению X (^04*№) = А' (^0), следовательно, можем напислть
尸(片(汕 4 + NQ) = F(X的+NQ), %+NQ), (1.31)
НО
嘗 I =F(^(^ + №), ^0+№),(1.32)
и по периодичности X (/) имеем
醬I =醬1 =尸"派), f。).
戏 lf = /0+№S Jfo
Отсюда, из (1.30), (1.31) и (1,32) получаем
尸(X (力)，力 + ЛЬ + №)=尸(X (Q,幻. (1.33)
По условию теоремы число — иррационально, поэтому в силу леммы 1.1 множество чисел Ma)+ NQ всюду, плотно на числовой оси Л а так как по предположению функция 尸(X, t) непрерывна, то '：з (1.33) следует, что при всяких t выпо/1г;е1ся равенство
F(X(t^ t)^F{X(t^ f)(1.34)
Это равенство и доказывает теорему.
Предположим, что система (1.1) имеет периодическое решение. X (^), период 2 которого несоизмерим с ш. Из теоремы 1.7 следует, что тогда вектор-функция X(f-j-也)，где й = const, является также решением системы (1,1). Действительно,
与Х0一九)=尸(xg +力，f +协
так как X(f) — решение системы (1.1). По теореме 1.7 尸(Х(£ 十论)，f + 九)= F(X« + %), 6； отсюда следует, что
^TX(t + h) = F(X(t + h), О；
это и доказывает наше утверждение.
Таким образом» если решение X (£) системы (1.1) имеет период Q, несоизмеримый с периодом ш правых частей, то оно ведет себя как решение динамической системы (1.2): вдоль него правые части не зависят от времени» и оно входит в состав семейства Х«+也).
Еругин [7] указал способы отыскания такого рода периодических решений и в работе [9] доказал, что линейная система второго порядка, коэффициенты которой не выро-
ждаются в постоянные, не может иметь периодических решений, период которых несоизмерим с периодом коэффициентов.
Как показывают рассуждения предыдущего пункта, периодические решения системы (1.1) с периодом, несоизмеримым с периодом правых частей, представляют собой явление в известном смысле исключительное.
Наибольший интерес, естественно, представляют решения с периодом, соизмеримым с о). В дальнейшем мы будем изучать именно такие решения.
Введем следующие определения [10],
Определение 1.5. Решение системы (1.1), имеющее период ш, называется гармоническим колебанием или просто гармоникой.
Определение L6. Решение системы (1.1) с наименьшим периодом Аш (也》2 ——натуральное) носит название субгармонического колебания й-го • порядка или субгармоники 也-ro порядка. »
Пусть X “)一субгармоника А-го порядка. Ясно тогда, что X = X (t-^l^) при любом целом / есть также субгармоника 也-ro порядка. При этом среди функций Х« + Ло) имеется ровно А различных субгармоник (имеется в виду евклидово пространство X, f; в тороидальном пространстве губгармоники отождествятся). Все эти функции будем вазы- нить системой субгармоник. 一
Для изучения гармонических и субгармонических коле- блний системы (1.1) удобно ввести следующее преобразование. Пусть Х = Н“，Х°, /0) есть решение системы (1.1) с начальными данными £ =仙 X =文① Предположим, что точка X。 гиперплоскости / = 0 такова, что решение X (Л X。, 0) продолжимо на все моменты времени 0 ^ ^ ^ ш. Поставим в соответствие точке X。точку X (ш, Х。，0). Таким образом, изучаем преодразованде Т то伪 части гиперплоскости f = 0, через которую проходят решения, продол- жнмне на период, в гиперплоскость £=0.
Из теорем единственности и интегральной непрерывности следует, что множество тех точек гиперплоскости f = 0, н которых определено преобразование Т, открыто и на этом множестве преобразование Г взаимно однозначно и взаимно 1№нрсрывпо.
Из ш-периодичности функции 尸(X, t) следует, что если 7Кд・& то решение X (f, Xq, 0)ш-периодично, и обратно,
если X(f +(o, Xq, 0) = Х(£, X» 0), то TXQ — XQ, Такик образом, чтобы решение X (九 X。，0) было гармонические колебанием, необходимо и достаточно, чтобы точка X。был^ неподвижной относительно преобразования Т.
Далее ясно, что если решение X (Л 芻，0) имеет период ^ш, то T^X^ — Xq, Из ш-периодичности правы: частей системы (1.1) следует и обратное утверждение: есль ТЙХО = Х^ то решение Х(九 %, 0) имеет период 々з.
Рассмотрим систему (1.1) в предположении, что правые части ее непрерывно дифференцируемы по всем своиъ аргументам. Справедлива следующая
0力丄d%丄% a0力丄d%丄% a(1.35(1.35Теорема 7・& Если правые части системы (1.1) н「・ ^прерывно дифференцируемы по всем своим аргументам “
0力丄d%丄% a
0力丄d%丄% a
(1.35
(1.35
при всех X, t и если все решения Х(九 Х°, 0) существуюгг при O^fW0*， wo любое ограниченное инвариантно^ относительно преобразования Г множество гиперпло скости / = 0 имеет нулевую лебегову меру.
Доказательство. Преобразование Т ставит в соответствие точке % с координатами {х10, ..., хл0} точк< X(со, Ло, 0) с координатами хг = Xj(ш, х10,・・・,*汕,0),..
(1.36(1.36хя = хп(со, *w,・.♦, хл0, 0). Вычислим якобиан этлп преобразования：
(1.36
(1.36
Подставим решение X— X(t, X。，0) системы (1.1) в эг систему и продифференцируем полученные тождества m каждой из переменных х10хя0, тогда получим л систем тождеств:
d дхх — d/j дхх .■ ^/i дхп
dt d“ — дх{ ди 十 * * * * дхп ди '
(1.37
d °*抬一3fti °*i I] 0筛 0*抬
"5F 一 2修 d" 十…十 @#也 @"，
где вместо и надо последовательно подставить х10, ..., хя0, а под знаком функций /р ..., /я вместо X следует под^ ставить X (Л Ло，0). Систему равенств (1.37) можно рассматривать как систему линейных дифференциальных уравнений для -^^ (/ = 1, 2, .... п). По определению имеем Х(0, %, 0) = ^0» поэтому при / = 0^^~ = %, где 加尼— символ Кронекера. Отсюда следует, что система функций
(1.38)(1.38)дxx0/
(1.38)
(1.38)
0尤门0今
представляет собой фундаментальную матрицу решений системы линейных уравнений
或1 —0力Г II 0力了
万一丽十…十丽
(1.39)
万一而J十…十所"
нормированную при f = 0 к единичной матрице. По теореме Лиувилля определитель этой системы вычисляется по фор
мулемулеdxю…'dхmdxю…'dхm/2 =£/2 =£(1.40)(1.40)
муле
муле
dxю
…'dхm
dxю
…'dхm
/2 =£
/2 =£
(1.40)
(1.40)
' Предположим теперь, вопреки утверждению теоремы, что преобразование Г оставляет инвариантным ограниченное множество М ненулевой меры. Нетрудно видеть, что замыкание М множества М также ограничено и инвариантно относительно преобразования 7\
Множество М имеет, очевидно, положительную лебегову меру р. Рассмотрим в пространстве X, £ множество S, состоящее из интегральных кривых системы (1.1), проходящих через множество ЛЕ Множество это ограничено при
О < f V (о, поэтому существует такой шар К гиперплоскости £ = 0, что множество S лежит в цилиндре
厶{Х^К，/£[0，ш]) при 0《£《叽
Из условия (1.35) и непрерывности входящих в него производных следует, что существует такое а > 0, что при х^к, 0《f《 ① выполняется неравенство
0*1 '0*1 'dfn °也dfn °也V — а.V — а.(1.41)(1.41)
0*1 '
0*1 '
dfn °也
dfn °也
V — а.
V — а.
(1.41)
(1.41)
Разобъем теперь гиперплоскость £ = 0 па кубики с гра- нямм, параллельными координатным плоскостям, и рассмотрим множество G, состоящее из тех кубиков, которые имеют хотя бы одну общую точку с М. Разбиение это можно считать столь мелким, что: 1) любое решение» проходящее через множество G при ^ = 0, при 0 ^ ^ ^ со лежит в цилиндре 厶；2) объем q множества О удовлетворяет неравенствам Р < а < 卩《аз.
Рассмотрим множество ТО: так как MczGt то имеем TMczTQ, и из инвариантности 附 вытекает MczTG. Оценим объем 旬 множества ТО. Имеем
Q】=/ Jdxx ... "а%・ (1.42)
Из определения J (равенство (1.36)), равенства (1.40) и неравенства (1.41) следует неравенство
)<6-吗(1.43)
А отсюда и из (1.42) вытекает неравенство
% < е-«з ^ dx} ... dxn = е-сза. (1.44)
По самому выбору множества О а < “。叱 отсюда и из (1*44) получаем неравенство
@1< 卩.(1.45)
С другой стороны, MczTG; следовательно, по определению лебеговой меры 卩《@「 Это неравенство противоречит (1.45).
Полученное противоречие и доказывает теорему.
Общие теоремы о диссипативных системах
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений, описывающую вынужденные колебания:
学=尸(%/),(2.1)
где X = {хР .・・,хД—n-мерный вектор, а вектор-функция 尸={/i/п) определена, непрерывна и удовлетворяет
условию единственности решений системы (2.1) при всех X, £; кроме того, она имеет период з по Г:尸(X, £-(-3)三尸(乂 £).
Обозначим через X (/, Х°, fj решение системы (2.1) с начальными данными Лг=Хопри £=/(), т. е. X (/0, Х^ /0)=^0.
В практике весьма часто встречаются системы, у которых из-за естественной диссипации каждое решение по истечении достаточно большого промежутка времени попадает в некоторую фиксированную область и в ней остается при дальнейшем возрастании времени. Такие системы часто называют [10, 11] диссипативными. Определим точно это понятие.：尸…f
Определение 2.1. Будем называть систему (2.1 ^диссипативной или D-системой, если существует такое r\6 ■что
而 11*(/, *0,幻|| VR(2.2)
f-> + 8
при любых Х> /0. Мы считаем, как обычно, что |因] = 了优+…+/.
Из самого определения следует, что все решения X (А Л\), 4)D-системы продолжимы на все моменты времени f》h
В этом и двух следующих параграфах мы будем изучать системы, принадлежащие к классу D-систем.
Укажем сначала одно характеристическое свойство D-системы.
Теорема 2J, Для того чтобы система (2.1) была диссипативной, необходимо й достаточно существовав ние такого г〉0, чтобы по любым X。. % можно было указать t(Xq, /о) > /0 团仪*。％ что
||X(t，Xq, f())|| V г.
(2・3)
Доказательство. Необходимость условий теоремы очевидна. Докажем достаточность.
Предположим, вопреки утверждению теоремы, что из условия (2.3) не следует соотношение (2.2), т. е. предположим, что существуют такие последовательности窮. Х^\ ....訥,戒L ・・・ к &, /?2, ... -> + оо, что
而|1x(f,天俨，*(2.4) f-> + 8
При этом мы можем и будем считать, что Rk > г. Но по условию (2.3) существуют такие тй > f华),что выполняются неравенства
11*(%,灭俨，峭к г.(2.5)
Из (2.4) вытекает существование последовательности /А > тА> обладающей свойством
口*伍，*叱 寻)[!>%•
Но тогда по непрерывности решений мы сможем указать такие %£[%, ^]* что
||х(&,刘)，唄||=，(2.6)
И при % < /《％
IIX (f,工也优))11 > г.(2.7)
Из соотношений (2.6) и (2.7) и из(o-периодичности вектор- функции 尸(X* £) следует, что существуют последовательности % X俨，勿>% такие, что 0<6 索 <о),||х8)|| = г и
gх&, X伊，^^>Rk(2.8)
и при 6在 <f《f在 выполняются неравенства
IIX仏X孔。訓1〉人(2.9)
Так как последовательности % и X俨 ограничены, то мы можем считать их сходящимися (в противном случае мы выбрали бы нужные подпоследовательности). .Пусть
lim 以=%, lim Х『)= Х.(2.10)
也一> 8Й ->QQ
Рассмотрим решение Х(А 乂, 0о) системы (2.1). Из условия (2.3) следует существование с。> 90, удовлетворяющее неравенству
||X(q, М, бо)(I < г.(2.11)
Пусть Л1 > г таково, что на промежутке 瓦总/总％ выполняется неравенство
||Х& X；, 0о)[|<Л1.(2.12)
Из соотношений (2.10) и из равенства 11m Rk = oa тогда
左-> 8
следует, что при А > 饱°, где натуральное число 力° достаточно велико, 0ft < т0> И X (то，X俨，％)||<г』Х(£, X俨，0ft)|j< < М при 0ft ^ / С т0, Rk > М. Это противоречит нера- пспствам (2.8) и (2.9). Полученное противоречие и доказы- ипет( что из условия (2.3) следует соотношение (2.2).
Теорема доказана.
Рассмотрим преобразование Г, введенное в конце предыдущего параграфа. В случае диссипативной системы это 广八? 11|1#(»бра:н)пание обладает тем свойством, что любой ш部-~^乡 © ц#нтром о начале и достаточно большим радиусом не阖广步岂乡 H(JA】rr и себя при применении к нему достаточно высокой Степени преобразования Г. Докажем это утверждение.
Теорема 2・2・ Пусть система (2.1) диссипативна. 77"Q“ существует такой тар Н {||^|| < й}, что, каков бы ни был шар Л {||Х|| < а), найдется такое нашу* ратна・ %(а% что при А>Л(а)
T^Aclf.(2.13)
Д0Ивиат@ЛЬСТНо； Покнжгм. что существует такое й, ЧТО НЛИ ||，Y||《 lit гл<? /《—нсличина, фигурирующая в опре- д«лринн 3.1 лиссинатиниости системы, то
||Г*^|| <й(2.14)
при всех целых неотрицательных А. Допустим, напротив, что вто не так. Тогда мы должны предположить существо- м@мнс последовательностей X仆 Az и 饱工 таких, что
||X』《R,也>尺，lim也=8, / -> ОО
|1尸间>也(2.15)
^TkX^ > /? при 0 < ft < Лр (2.16)
Так как последовательность X* ограничена, то мы можем считать ее сходящейся (в противном случае мы перешли бы к соответствующей последовательности).
Пусть；
lim М = Х().
i -> со
Из соотношения (2.2) по смыслу преобразования Т следует,' что существует натуральное число / и положительная величина М такие, что
IIГ%II <Л4 при О <й</.
Тс г да найдется такое ", что при 2》厶 hl > Mt
I7MII VR(2.17)
ЦТ^Ц < 2И < й^ при 0<А</.(2.18)
Это противоречит соотношениям (2.15) и (2.16), что и доказывает существование числа й со свойством (2.14).
Покажем, что число Л — требуемое теоремой. Возьмем произвольную точку Х'£4, Из (2.2) следует, что существует такое натуральное 力,что ||Т"Х[| < R. Но тогда и для всех X, для которых ||Х — Х[| достаточно мало, имеем |ТХ|| V R.
По лемме Бореля о покрытиях тогда существует такое 々(а), что для любого Х£4 можно указать /п《力(а), обладающее свойством 附吗灯<旦 Но тогда из неравенства (2.14) следует, что при всех 力》/п выполняется соотношение \\TkX^<Z h. Так как 々(Q)》m, то окажется, что из Х£4 и 力〉力(Q)вытекает \\TkX\\<Z Л. Это и доказывает соотношение (2.13).
「 Следствие 2.1. Если система (2.1) диссипативна, то ^она допускает хотя бы одно периодическое решение.
、 Действительно, возьмем в качестве шара 4, фигурирующего в теореме 22 шар И. Из соотношения (2.13) следует, что Tk ^}Н^Н. где под Н понимается замыкание шара Н, Отсюда по известной теореме Брауэра следует, что в шаре 〃 имеется неподвижная точка X。преобразования 7^(九).Но тогда ясно, что решение X(Л 元。》0) имеет, период, равный з也(厶).
^3>) Выясним некоторые дальнейшие свойства D-систем. Рассмотрим произвольный шар Л {||Х|| < а), содержащий в себе замкнутый шар " (см. теорему 2.2). По теореме 2.2 будем иметь
Т*(а)Ми&и4 (2.19)
Подвергнем множества, составляющие соотношение (2.19), преобразованию Т旗⑺,где I — произвольное целое неотрицательное число; тогда получим
Т«+1)л⑷彳и丿左⑷力(2.20)
при любом целом неотрицательном 2・
Введем в рассмотрение непустое множество / = JJ Tlk ^А.
Нетрудно видеть, что множество это замкнуто и ограничено. Покажем, что оно инвариантно относительно преобразования Т. Из соотношения (2.20) следует
R2 + DS他)")左⑷4 u ?4伏⑷1 ° *⑷I *⑷k{a} Ad ит2(a)+ 】)々⑷+伍(a)-D论⑷4u. uт’3⑷+D*⑷4(2.21)
Отсюда и из определения множества / вытекает равенство
/ =g丁候⑷”索⑷4(2.22)
Но согласно теореме 2.2 имеем
广他)十1万U/ и* значит,
'/К 1) 3 ⑷ +1) ^и Т1 (索⑷ ”乂
при любом целом неотрицательном L Отсюда получаем
Т("】)伊⑷+1)舟⑷AuT^HaHD索⑷+伏⑷")仅⑷十1)Аи ...
...ит’зенх ⑷4 (2.23) Соотношения (2.22) и (2.23) дают
Н # 3)+1) А = g ?№ (4)+1)晔)4 = /.(2.24)
I I)А, Плмм
Легко убедиться в справедливости равенства
7索⑷П尸々⑷4=JJ Г*а
а это означает, что
7用吗=/.
Аналогично из соотношения (2.24) получаем 7左⑺+】/ = /; следовательно,
р (а)+ 1/ =「Л (а/
Подвергая множества, стоящие в этом равенстве, преоб* разованию Т"⑺,получаем
Т/ = /.(2.25)
Таким образом, множество / инвариантно относительно преобразования Г.
Покажем теперь, что множество / не зависит от выбора шара А. Пусть ^(Л) таково, что при 力》力(五)оказывается Т^НиН. Докажем, что тогда
/=立产("".(2.26)
m =0
Так как Яс?1, то при любом натуральном / будем иметь Т"⑷ &и TJk ⑷ * (Л)Л.
Отсюда и из определения / следует, что
(2.27)(2.27)п Е е)"и/. т = 0
(2.27)
(2.27)
С другой стороны, из определения числа 饱(а) вытекает, что Т也(а)4и〃， и потому при любом натуральном 丿 окажется
рМ (а) * 仅” * (а)厶 и т必 ⑷索(*н
Это соотношение влечет за собой следующее:
(2.28)(2.28)/и 近 W®4
(2.28)
(2.28)
Соотношения (2.27) и (2.28) доказывают (2.26), Таким образом, каков бы ни был шар А, всегда окажется справед-
ливым соотношение (2.26). Это и значит, что множество / не зависит от выбора шара А.
Совершенно аналогично можно доказать, что, какова бы ни была ограниченная область В, содержащая шар ", справедливо соотношение
П^В = /,(2.29)
где Л — некоторое натуральное число.
Пусть М и N — два точечных множества. Будем через р(Л4, ^) обозначать расстояние между ними.
Покажем, что, какова бы ни была точка X。гиперплоскости f = 0, всегда окажется
TXqfl при /я —8.(2.30)
Рассмотрим шар А {||Х|| < а}, такой, что а > й и Хо Д. Тогда по определению /
^TlkWA=I.
Возьмем теперь произвольное е > 0. Так как преобразование Т непрерывно, то по этому е найдется такое 8 > 0, что если р(Х, /) < В, то при любых целых 饱 £[0,力(а)] окажется ^(TkXt /) < е. Пусть М—точечное множество, обозначим через U (2И, 8) 8-окрестность множества Mt т. е, множество тех точек, для которых имеет место неравенство р(М X) < В. По определению / найдется /0 такое, что при / > /0 Т 国⑺力 и£/(/, 6). Но тогда при 2》"будет, оче- пидпо, и 丁饅⑺M)£U(/, 3). По выбору 3 тогда окажется, что при 庆(。)《/《“+1)力(Q)丁味汕(I, е). Так как по любому У > ljt(a) можно указать такое 2〉"，что /力(а)《 </《(/+1)々(@)， то, следовательно, при вс^х />%々(@) будет выполняться неравенство
Р(Т‘Хо, /) < е,
которое и доказывает соотношение (2.30).
Пусть теперь Х^Е/. Рассмотрим решение X(f, Хо, 0) системы (2.1), проходящее при / = 0 через точку X = X^L ТйК кпк множество / инвариантно относительно преобразо- йяним Т, то ясно, что решение это продолжимо на все моменты времени от — 8 Д。十8・
Введем множество всех решений X (/, Хо, 0) при Хо £ /. Обозначим через S множество точек пространства X, Л заполняемое этими решениями.
Ясно, что множество S ограничено и замкнуто. Это множество обладает еще рядом замечательных свойств. Для того чтобы сформулировать эти свойства, введем следующие определения.
Определение 2.2. Будем говорить, что непустое множество М (п-{- 1)-мерного пространства X、f 2-периодично, если из соотношения (X, t)^M следует соотношение (X, t-}-lQ)^M при любом целом /.
Определение 2.3. Будем говорить, что непустое множество М (/г-f- 1)-мерного пространства X*t инвариантно, если оно состоит из целых интегральных кривых систе
мы (2.1), т. е. из соотношения (Х°, £())£% следует (X(f, X。，/()), £)€加 при всех тех t、при которых решение X (Л X。，")существует.
Обозначим через Mt пересечение множества М с соответствующей гиперплоскостью пространства X, f.
Определение 2.4. Инвариантное множество М называется устойчивым, если по любому е > 0 можно указать 8 > 0 такое, что если р(Хо, Mt^) < 8, то р(Х(Л Х°, /0), 44z)<s при всех £ > %.
Определение 2.5. Инвариантное множество М называется асимптотически устойчивым, если оно устойчиво и если существует такое &, что из соотношения р(Х°, Mt^ < 8 следует соотношение
limp(X(f, Хо, Q,的) = 0.(2.31)
f->8
Определение 2.6. Инвариантное множество М называется устойчивым в целом, если оно устойчиво и для всякого решения системы (2.1) выполняется соотношение (2.31).
Отметим, что определение устойчивости инвариантных множеств динамических систем было дано Барбашиным [12].
Нетрудно видеть, что множество S ш-периодично и инвариантно. Докажем, что оно устойчиво в целом.
Теорема 2・3・ Множество S устойчиво в целом.
Доказательство. Докажем сначала, что множество S устойчиво- Возьмем произвольное е > 0. По нему отыщется К > 0, такое, что если р (X。, S「J < 8Р то р(Х (/,汽,"),S$) < s
при f()《f《％ 十力 3)⑴，где Л (Л) — число, фигурирующее в теореме 2.2. Такое 匕 существует в силу теоремы об интегральной непрерывности, ю-периодичности функции 尸(X, f) и множества S. По найденному 6】в ‘силу определения множества S мы сможем указать такое /р что при 2 > 乙 Tlk 仅)"и и U (S°, 6》где по определению So = /・ Обозначим через Г границу области Tlxk^H. Так как /и", то ясно, что множества Г и / не пересекаются. Пусть d — расстояние между ними. По этому d можно указать такое 8> что если р(Х(), S%) < 6, то р(Х (Л XQt f()),Sf) V d при 4《у 4+ 叽 Это 6 и будет искомым. Действительно, рассмотрим произвольную точку X。，％, но такую, что р(&, S/J < В. Тогда по выбору 3 решение X (Л Х。，/0) пересекает ближайшую к £ = 4 гиперплоскость вида t = т (т — целое, такое, что m — l《fo《/n) в точке области Т1 声⑺Н. Поэтому при t = щ-^~ jk(h)(j = l,2t ...)окажетсяX(Л X。，%)£ Т1欣⑺Ни uU(Sf, 60. А тогда по самому выбору ^ будем иметь p(X(f, X。，％), SjVs при всех £》％• Этим доказана устойчивость множества £ Соотношение же (2.31) легко выводится из (2.30) с помощью теоремы об интегральной непрерывности.
Деорема доказана.
^^бтметнм еще одно важное для дальнейшего свойство А?-системы. Будем по-прежнему предполагать, что система (2.1) диссипативна. Выберем произвольное число g>五 (число Л фигурирует в формулировке теоремы 2.2) и рассмотрим цилиндр С {||X||Vg，°《f «з}・ Будем изучать НВ решения X (Л Х°, /0), проходящие через д. На промежутке £()《/《о) эти решения равномерно ограничены. Если П|к*днолом<ить обратное, т. е. если считать, что существуют 1пн лсдовательности Х«),器)，九，такие, что ||x£)||《g・ О、N《3, /伊《力О，
||х(力,XR), t^^giy g, gt->8, 2 ->8
To оКАЖется, что через точку Х°, t> предельную для после- допатолыюсти Х『)，帆 проходит решение, не продолжимое При 石 < f 二(о. Это невозможно по определению D-системы. Таким образом, доказано существование такого c>g, что
||X(f, *0，G)U<c при 备《£《3, если только ||X0||<g, а 0《％《з.
Возьмем теперь произвольное число а > с и обозначим через Q") множество точек {Х(£, Х°, f0), /) при ||^0||< а, t ^^" ^о» 0 -^^ /q ■^^ з.
Определим при t^^ функцию %(/) следующим образом. Пусть %(£) такова, что
Q(f)^U(Stt aj/))* Q«)RU(Sf, %«) —е)
при любом е > 0. Так как /и" по определению /, то из выбора числа с следует, что S^ лежит целиком в цилиндре ||Х|| V с. Поэтому ясно, что множество 2(f) содержит точки, не принадлежащие множеству S,・ А это доказывает, что % «)〉0 при f > з.
Покажем, что
lim%(f) = 0.(2.32)
f->8
Возьмем произвольное е > 0. По этому е в силу теоремы об интегральной непрерывности найдется 8 > 0 такое, что если р(Х°, S/q) < В» то р(Х«,/0), Sz)<e при %《У
《"+力(q)(o, где 力(q) — число из теоремы 2.2. По определению / найдется такое /Р что при 2>人 7^⑷NuU(/, 8), где под А понимается шар ||Х||之 q. Это значит, что при t = lk (а) ю, где 2〉厶，Q(/uU(&, 8). Отсюда и из выбора 8 следует, что при всех f〉/彼(Q)6(JuU(Sf, 8). Это и доказывает соотношение (2.32).
Из определения функции %(/) и множества 2 (/) следует, что если ||ХоКа и 0 С /0<；(о, то
p(X(f, Х°,幻,邑)<%«)(2.33)
при £》з.
Заметим, что из рассуждений, проведенных при доказательстве существования числа с, следует, что множество Q(£) ограничено. Введем функцию a(f) следующим образом: а(£) задана и непрерывно дифференцируема при / > 0, а! (/) < 0 при / > 0, I必(f)|V^ при достаточно больших t、 а (/)〉％«) при £>з, а (f) -> 0 при ff 8, а(/)т>8 при / т 0, при 0《厶 <з и /0 < Z
P(X(f, X。，％), J) <а()(2.34)
если ||Xg||《Q.一•
Из (2.33) следует, что тогда (2.34) выполняется при всех ^o<z < + °°> если 0 < ^0< ш и ||Х0|К а.
Рассмотрим теперь область вида,^ <I|-V；i < а, 0 < / < ю. Обозначим эту область через Л.к^Покажем, что существует функция 0(£) со следующими свойствами: 0(f) задана и непрерывно дифференцируема при f》0, ，(f) < 0 при ‘>° н р(Х(/, Хо, fo),S,)〉p(/) при /》4(2.35)
если (Х> 幻 С 匚
Как било показано выше, S, лежит внутри шара l|X|| < с при всяком Л Поэтому замкнутая область L и множество S не пересекаются
Пусть Ф(/) есть множество точек вида X (Л Хо, ") при (Х(), 幻€厶 н f》％ Так как множество S инвариантно и не пересекается с Z, то ясно, что S, не пересекается с ①(£)・ Но множества S, и Ф(£) замкнуты, поэтому р (①(f), Sj〉0・ 11етрудно указать функцию 0(f), определенную, непрерывно дифференцирусмук» при / • 0 и подчиняющуюся неравенствам '(£)<()и ()•飞(/) •；卩2(f), S,). Тогда ясно, что функция 0(/) и будит искомой.
Таким образом, мы доказали существование гладких функций а (^) и 8(f) таких, что выполняются неравенства (2.34) и СЦ5).
\{кД'формулируем теперь предложение, позволяющее в ряде случисв определить, является ли данная система диссипативной.
Теорема 2.4 Для того чтобы система (2.1) была ducetmantйеной, необходимо а достаточно выполнение снующих услопий\
/йг !^ш^ния X(f, -¥0. %) системы (2.1) продолжимы п/т f 「/п.
(Существует непрерывная функция е(Х) со следующими свойствами:
е(Х) определена и непрерывна при ||Х||》а, где а — некоторое положительное числом
и(Х)>0 при ||Х|| > а;
v(X)->oo при ||X||f 8；
если X таково, что ||Х|| > а. ^ТХ || > а, то и(7'Х)О(Х),
Доказательство. Достаточность. Обозначим, как и раньше, через А шар ^Х^ < а, а через А его
40 МНОГОМЕРНЫЕ ПЕРИОДИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ (ГЛ. I замыкание. Рассмотрим множество ТЛ-j- А — 4 Множество это замкнуто. Пусть / = max @(Х). Так как @(X)f оо
X£?N +五一4
при ||Х I] f 8 по условию, то существует такое Ь> а, что при ||Х||》力 ©(??)》2厶 Возьмем теперь произвольную точку X。и покажем, что существует такое fe0, что при й >а0 цт%||<г>.
Пусть сначала X。 таково, что либо 口*。. < а, либо ^(Хо) < /. Тогда возможно одно из двух: либо ||7X0|| < а, либо ТХ()£74 и, следовательно, ©(ТХ。)《厶 Рассматривая теперь TXQ опять как произвольную точку, мы убедимся в том, что при всех 比>0 окажется одно из двух: либо || jTAX0|| < а, либо pTXq)《1. В обоих этих случаях будет выполняться неравенство ЦГ^ХоЦ < Ь.
Пусть теперь X。таково, что ^(^0) = ^0 > /. Пусть <?1 — множество тех точек гиперплоскости f = 6, в которых выполняется неравенство v{X) <； vQ. Положим G = Ох -|- ^. Покажем, что существует fe0 такое, что при 比》尼。 ||Т*Хо|| <氏 Допустим, напротив, что это не так. Рассмотрим последовательность точек TkXQ. Из предыдущих рассуждений следует, что “7^Xo||〉仪 и v(TkX^ > /, ибо в противном случае, согласно предыдущему абзацу, оказалось бы ||TftX0|| < b при всех достаточно больших 尼.По условию теоремы последовательность ^(Т^Хо) убывающая. Поэтому существует @= lim vfT^X^). Кроме того, из соот-
. Й->ОО
ношения @(X)f 8 при ||Х|| —> эо следует, что множество О ограничено, a T^Xq^G при всех 比》0. Следовательно, TkX0 имеет непустое предельное множество Р. Ясно, что если Х^Р， то и(Х) = и. Но тогда @》22, ибо в противном случае оказалось бы, что множество Р лежит в шаре ||Х||〈仇 что повлекло бы за собой соотношение ЦТ^АГоЦ < b при достаточно больших k. Возьмем какую-нибудь точку Х^Р. По условию теоремы имеем 矶ТХ) < и(Х) =@. А тогда ясно, что существует такое 尼，что 0rx°) < % что невозможно по определению @. Полученное противоречие и доказывает, что при достаточно больших & ||「*Xq|| < 瓦
Отсюда и из теоремы 2.1 следует достаточность условий теоремы.
Докажем необходимость. Пусть система (2.1) диссипативна. Тогда, как уже отмечалось, любое ее решение X (Л Х°, ^0) прололжимо при
Рассмотрим шар Н, фигурирующий в теореме 2.2, и множество /=ПРассмотрим функцию а(£), опре-
/=о
деленную в начале предыдущего пункта. Из неравенства (2.34) следует неравенство
p(7ftX, /)<а(^)(2.36)
нри Х^Н и /г > 0.•
Обратим функцию а = а(^), получим функцию t — t (а); / (а) определена и непрерывно дифференцируема при О < а < + 8； при таких a tf (а) < 0 и ^ (а) —> 0 при а —> 8, /(а) —>оо при а—>0.
Образуем функцию
V (X) = * (2.37)
金产(p (产X,/))、丿
при Х^/・ Покажем, что ряд, стоящий справа в (2.37), равномерно сходится в любом шаре А вида ЦХЦ < а. Пусть 饱(о) — натуральное число, такое, что при всех k^k (а) Г/1и"; такое число существует по теореме 2.2. Из нера- нспства (2.36) следует тогда, что
р(7*Х, /)<а(Е—Е(а))
при всех k > ^(а).
В силу монотонности функции £(а) будем иметь f(p(7^X, Z))>f(a(E —Е(а)) =左一做а)
I следовательно, < (2.38) 产(p (片X,/))、m一々⑷]2丿
при X ^ Я и k> k (a).
Это показывает, что ряд, определяющий функцию и(Х), СХОДИТси равномерно в А, Отсюда следует непрерывность функции и(Х) при ||Х|| > й. Ясно далее, что при ||Х|| > Л w(*)>a
Так как р(Х, /)f 8 при ||Х||—> ю, то f(p(X, /))f О при ||Х||-> ?о и, следовательно, и(Х)->оо при \\Х || ->сх>.
1/2 (Р (也X, /))1/2 (Р (也X, /))Для того чтобы убедиться в справедливости теоремы, нам осталось лишь доказать неравенство и(ТХ)<@(Х). Имеем
1
/2 (Р (也X, /))
1
/2 (Р (也X, /))
V (7Х) = У 仅 2(Р("Х,/))
так кактак как11положительноположительнопри X 銀，то этим и дока-при X 銀，то этим и дока-严（Р（Х, /））严（Р（Х, /））= "（х）—产（р（1V,/））；
так как
так как
1
1
положительно
положительно
при X 銀，то этим и дока-
при X 銀，то этим и дока-
严（Р（Х, /））
严（Р（Х, /））
зано неравенство v(TX) < v(X).
Теорема доказана.
Часто оказывается возможным построить гладкую
функцию @, зависящую не только от X, но и от Z, и убывающую вдоль всех решений, расположенных в окрестности бесконечности. В таких случаях оказывается удобным вое- пользоваться следующей теоремой.
Теорема 2.5. Предположим, что правые части системы (2.1) таковы, что существует функция @(Х, f), непрерывно дифференцируемая при ||Х|| > а (а ——неко* торое число)汽。всем своим аргументам и обладающая следующими свойствами:
@(Х, t-^^ — v^X, £);
и(Х, f)〉0 при \\Х II > а;
и(Х, 6foe при ||X|j ->оо равномерно iw t£ [0, ш];
4)警+£訪力<。"" l|X||>@.
Тогда система (2.1) диссипативна.
Доказательство. Рассмотрим решение X(f, Х°, %) с достаточно большим ||X0||. В силу условия 4) теоремы это решение при всех t>t® лежит в множестве и式©(Х。), а по условию 3) множество это ограничено. Следовательно, все решения системы (2.1) продолжимы при t^t^ Так как по условию 4) функция © убывает вдоль всех решений системы (2.1), то нетрудно видеть, что функция *n(X, 0) удовлетворяет условию II предыдущей теоремы, ссылка на которую и завершает доказательство.
Можно указать и некоторые другие условия диссипа- тивности, основанные на рассмотрении функций, аналогичных функции и(Х, f) из теоремы 2.5 (см., например, работу [13]), но мы на этом не будем останавливаткя, так как для дальнейшего достаточно условий теорем 2.4 и 2.5.
Если воспользоваться рассуждениями Курцвейля [14], то теорему 2.5 можно обратить. Здесь мы проведем это обращение при дополнительном предположении о гладкости правых частей изучаемой системы. Предлагаемые рассуждения во многом аналогичны рассуждениям, проведенным Массера при обращении теоремы Ляпунова об асимптотической устой^ чивости (см. Малкин [15], Массера [16]).X
Теорема 2・6・ Если правые части системы (2.1) непрерывно дифференцируемы по всем своим аргументам. то условия теоремы 2.5 необходимы для диссипатив- ности.
Доказательство. Введем в рассмотрение функцию 物(X, t) со следующими свойствами: 1)砌(X, t) — w(X, £十u>) при всех X, f; 2) если (X, /)^5, то 砌(X, f) = 0; 3) если (Л, f)^S, то имеют место неравенства
^<7(Х7Г< 2'
п любой точке (X, /)^5 функция 砌(X, t) непрерывно дифференцируема.
Сутествондние тнкпН функции нетрудно установить с помощью теоремы Витни 117|.
Расс мотрим опить величины а, с и множество L, введенные 3 н пункте 4 настоящего параграфа, и обозначим ^(t) — ^n (/), В (/) ■= -J- р (/). Тогда из неравенств (2.34) и (2.35) по определению f) получим
3(f)<w(X(f, Хо,幻，f)<f(f)(2.39)
при (X),幻£厶 к
Пусть Х = Х(% Е, f), где Е={Е「..・，Е/, есть решение системы 孚=f(X, с) с начальными данными Х = В
при т = £. Рассмотрим функцию
@(Е, f) = / O(w(X(* S, f), t))dt, (2.40)
где G(刁)一непрерывно дифференцируемая при 刀>0 функция, принимающая при 刁 >6 лишь положительные значения и обращающаяся в нуль вместе со своей производной при 刁=6. В дальнейшем мы определим функцию G так, чтобы интеграл, стоящий справа в (2.40), имел смысл и определял непрерывную и непрерывно дифференцируемую по всем своим аргументам функцию, удовлетворяющую всем условиям теоремы 2.5.
Покажем, что функция и периодична по / с периодом, равным (о. Имеем
@0, f +(o)= J*G(w(X(弋，3, f),弋))dt;
сделаем в интеграле, стоящем справа, замену t = 8+(o, получим
v(m, /+«>)=Jаз(х(е+з, s. /+з), е+ a>))do.
Из периодичности правой части системы (2.1) следует
Х(0 +(о, S, f + «)) = X(仇 S, /),
поэтому можем написать
8
и(Е, f + о)) = /(7(吻(Х(氏跳 f), 0 +s))d乳
отсюда по периодичности 吻 получаем '
и(Е, f +(o) = / G (吻(Х(乳 Е, f), 8))d8 =砂(民 f).
Эуо и доказывает периодичность функции s
Определим сначала функцию G при больших 刁.Из рассуждений, проведенных при введении функции а(/) (см. пункт 4)
и из периодичности правых частей системы (2.1), следует, что существует такое bv что если ||Е|| < а, то при t》f ||Х(弋，Е, /)|| < bv 吻(X(t, Е, f),弋)V %• Выберем величину 方 > 2仇 так, чтобы при ||X|| > ^ выполнялись неравенства ^■“Х|| <w(X, /) < у ||Х||. Определим функцию (7(刁)при 可>R
Рассмотрим функцию ^^ (ср) = n maxI力(X, f)|.
||X||r> / = I, 2, ,.,t n
Введем функцию ^(ф) co следующими свойствами: 1) ^(ф) определена и непрерывно дифференцируема при 屮》方, 2) ^Л (<р) > 0 при 屮》6； 3) ^ (ср) > ^I (<р). Рассмотрим дифференциальное уравнение
崇" = 一 ^(ф) при <?>氏(2.41)
Не нарушая общности, можем считать, что все его решения не продолжимы при f-> — 8 (в противном случае достаточно было бы добавить ——屮2 K правой части уравнения). Отметим, что если 屮(弋)一решение уравнения (2.41), то и ср《+с), где С — произвольная постоянная, также его решение.
В дальнейшем через 屮(弋)будем обозначать такое решение уравнения (2.41), что 屮(％) =庆 cp(t) определена при О < т^т0 и ср(х)->со при tf-|-0. Функция <р(т) допускает обращение т = т (ср); с (中)есть убывающая функция, заданная при b《@ <оо,弋(屮 j-> 0 при cp->oo, t(cp)->r0 при屮一> 氏
Положим
°5) = Т^у при 北》瓦(2.42)
Покажем, что тогда
/ J G (w (X (т, S, f),弋))厶一> оо при 庐||f 8 (2.43)
равномерно относительно f. Возьмем произвольное О > 0・ Положим £=©-” + "? Пусть Е подчиняется условию ||S|| > Зср (7). Покажем, что тогда
||Х(* Е, ОН > Зф《+7—/)(2.44)
Действительно, имеем п
糸 ||Х (% 旦力I = Е 講九(X (% Е, 0. т). (2.45)
Из условия II因|>3屮(£) следует, что неравенство (2.44) выполняется при 弋,достаточно близких к £. Предположим, что неравенство (2.44) выполняется не при всех х^ [Л 弋° + f—f]・ Это значит, что существует т*£[£, 出 + f —灯 такое, что
(2.46)(2.46)Н(х*. Е, f)ll=3?(T* + f-0
(2.46)
(2.46)
и неравенство (2.44) выполняется при £《弋<弋*・ Но тогда из (2.45) и из определения ^(ф) получим
^||Х(Т, Е, Oil >-n max |力(Х(Т, S, /), Т)|〉
>-з^(?(t*4-7—о)= з^?(т*+?—о.
А это невозможно, поскольку неравенство (2.44) выполняется при / <； т < т*. Полученное противоречие и доказывает справедливость неравенства (2.44) при t ^х^ т0-|- ^ > £
Так как функция G (刁)неотрицательна при 刁》0, то имеем
оо%+f —7
J G (吻(X (叫 S, f),弋))dt > J* G (吻(X (x, E, £), t)) dt.
(2.47)
Из неравенства (2.43) в силу выбора величины b получаем 吻(X(q Е, f),t)>中(弋+，一f)(2.48)
при £《弋<% + /-7・
Так как функция <7(刁)при 刁》力 монотонно возрастает, то неравенства (2.47) и (2.48) дают
ОО% * f - 7
/ G (吻(Х(% E, f),弋))dt> / G(cp(c + f—f))dt =
— J T®«+f—f))'
а отсюда по определению функции т(中)и величины f получаем
соТ0+/— /.
，G (吻(X (к & £), т)) d;〉Г —S— = In ~0—in f = £>.
丿，/： +1 — t
Это и до называет соотношение (2.43).
Определим функцию (7(界)при 0 之界《仇• Найдем производные от © по / н Е§, выполняя дифференцирование под знаком интеграла:
£ = / G'3(X《,S, /% t))£ 誤欝丸(249) t尼=1
霄=—G (&(£：, /))亠
+ /G，(吻(X(t, S, f), °)工券吟公(2.50)
Пусть точка (H, f) принадлежит замкнутому множеству £
(Д — это множество 0《£《о), с《庐 || W 仪)・
Из неравенства (2.39) и из непрерывности производных dw dxk dxk
•也」不*, следует, что если (а, £)Н，то можно указать такую функцию Л4(с), определенную при 弋》0, что
*猊符VM⑹(siл)- 幺吃等k附《)(251)
При т • /. При этом мы можем и будем считать функцию М (т) пснрерывпой и возрастающей.
Так как функция 了 (/) убывающая, то она имеет обратную / -= t (7). Ясно, что функция £([) положительна, имеет отри- цптельпую производную, f(»f 8 при [->0, Ю~>О лри 7 -> оо.
Положим^_,(力
.°向)=/爲硒固0.52)
при 0《？《%・ Таким образом, функция 0(笃)определена при О《刁 &方1 и при 刁》Ь・ Определим эту функцию при 仇 &刁& 厶 так, чтобы функция 0(笃)была положительной и непрерывно дифференцируемой при Ь、《р<Ь. Покажем, что при таком выборе О интегралы, стоящие справа в (2.49) и (2.50), сходятся равномерно при (Е, /)&• Имеем
L (з)
M(t(w)) М «)公
Так как М (т) — возрастающая функция, а /⑺一убывающая, то в силу неравенства (2.39) получаем
и, следовательно.и, следовательно.f(w(X(q Е, /), т)) > т, 附(f (吻(X(t, E, 0, x))) > Л! (t).
и, следовательно.
и, следовательно.
< / e~xdx^ I" e^xdx= 1. (2.53)
Этим доказывается равномерная сходимость интеграла, стоящего справа в (2.49); аналогично докажется, что интеграл из равенства (2.50) сходится равномерно при (2, t)^L. Так как функция V (Е, £) периодична, то ясно, что интегралы, стоящие справа в (2.49) и (2.50), сходятся равномерно при e《1回|《а и всех f.
Возьмем теперь произвольную точку (Е, /), предполагая» что ||Е]]>а. Покажем, что интегралы, стоящие справа в равенствах (2.49) и (2.50), сходятся равномерно в некоторой окрестности точки (Е, /).
Так как функция и(Е, /) периодична, то, не нарушая общности, можно считать, что 0 <^ f <； ш. Рассмотрим решение X (t, Е, t). Так как любое решение диссипативной системы стремится к множеству S при /->Ц-со и 5 при всех f лежит в цилиндре ||Х||《с, то ясно, что существует такое 7>f, что с < !1Х(^, 3, f州 < а.
Из теоремы об интегральной непрерывности следует, что это же соотношение справедливо и для решений системы
начинающихся в достаточной близости к точке (3, /)• Положим
X (/, Е, f) = X = {%iхд},
тогда будем иметь
X(t, S, /) = Х《，¥,许(2.54)
Используя это соотношение, можно написать
J '丿 у 0/ 0%
=/0(吩2(2.55)
Из непрерывности производных от решений по начальным данным следует, что существует постоянная Р такая, что
I欝 |<р 电 s=l, 2га) (2.56)
для всех решений, достаточно близких к X (t, Е, /)•
Так как с < ||Х(/,日，f)|| < а, то из (2.39) следует, что
3(т — £)<^(Х(т, Н, t), т) < f (т — f) (2.57)
при t> 三 Отсюда из (2.51) вытекает, что
£色跑 V附芬(1=1,2n).(2.58)
G °/ dxi
Используя соотношения (2.55), (2.56) и (2.58), получаем
70(砌S券舞dt < Га770(砌S券舞dt < Га7f Ог (w) * пР • М(х — £)dt =f Ог (w) * пР • М(х — £)dt =
70(砌S券舞dt < Га7
70(砌S券舞dt < Га7
f Ог (w) * пР • М(х — £)dt =
f Ог (w) * пР • М(х — £)dt =
‘历"砌"PM 《 一力"*
4 В. А. Пл映
Отсюда и из (2.57) так же, как и выше, находим
/喚)]7论М1/喚)]7论М1dt < пРdt < пРГ 2Г 2-(t-0-(t-0h附(t——f)dt, M(—f)' 丿h附(t——f)dt, M(—f)' 丿
/喚)]
7论М1
/喚)]
7论М1
dt < пР
dt < пР
Г 2
Г 2
-(t-0
-(t-0
h附(t——f)dt, M(—f)' 丿
h附(t——f)dt, M(—f)' 丿
откуда и вытекает равномерная сходимость интеграла, стоящего справа в (2.49). Аналогично и для интеграла из (2.50).
Покажем теперь, что интеграл, стоящий справа в равенстве (2.40), сходится равномерно в области || Е||^ а, 0式/《3・ По определению G имеем
ООООW
Так как ®(Х (т,巳，f), т) < 丫(с) при т > Л то можем-написать ооооу (-：)
1t о
Заменяя во внутреннем интеграле переменную интегрирования т] переменной /(〃)， будем иметь
it оо
Но по выбору а(£) при достаточно больших f *(f)| V 1； отсюда и следует равномерная сходимость исследуемого интеграла.
Так как 力 периодична, то ясно, что интеграл этот сходится равномерно при всех f и при ||E||《q.
Пусть теперь точка (S, f) такова, что ||Е||》а. Как уже отмечалось, существует такое / > 九 что ||X(f, Е, /)|| < а, и соотношение это выполняется для всех решений, начинающихся достаточно близко к точке (3, £). Положим X (f, £, f) = X, тогда
оо7
J G@(X0 S, £))* = /о®(Х(т, S, /),弋))赤 +
(；со
+ / O(w {X (т, X, £)?d%
Но мы только что доказали.Но мы только что доказали.что J G(w (-¥ (т, X,風 t))d《что J G(w (-¥ (т, X,風 t))d《
Но мы только что доказали.
Но мы только что доказали.
что J G(w (-¥ (т, X,風 t))d《
что J G(w (-¥ (т, X,風 t))d《
сходится равномерно при ||Х||《а.
Таким образом, интеграл, стоящий справа в равенстве (2.40), сходится равномерно в окрестности каждой точки (Е, /).
Из доказанного следует, что функция *(Е, f) непрерывна и непрерывно дифференцируема по всем своим аргументам при ||S|| > с. Кроме того, она удовлетворяет условиям 1), 2) и 3) теоремы 2.5. Покажем, что она удовлетворяет также и условию 4) этой теоремы. Имеем
券+2罂力=方蚱（）分
где под 日(/) понимается решение системы (2.1) с начальными данными при £ = % S = Ео. Но нетрудно видеть, что
Х(% E(t % 幻，£) = Х(с,日°, %), и поэтому
方 *(E(f), t) = ~ J" О (W (X (т, 30,加,t)).dt =
= — GO(X(f, % fj, /)) < 0.
Это и доказывает выполнение условия 4).
Теорема доказана.
Достаточные условия диссипативностидля многомерных систем
В этом параграфе мы будем изучать некоторые нелинейные системы с точки зрения их принадлежности к классу D-Систем.
Рассмотрим систему
^- = AX + G(X, f) + A(X, 0.(3.1)
где Л — постоянная квадратная матрица с элементами 勺丁 (/.丿=1,2. ..., n), X, О и 尸 ——n-мерные векторы с компонентами де；, gP ft соответственно. Функции О и F будем
считать непрерывными, обеспечивающими единственность решений системы (3.1) и периодическими no / с периодом, равным со. Кроме того, будем предполагать, что при всех X и f выполняются неравенства
I力(X, 0| V 备‘底(X, £)| V 飞||XН (»= 1,2я).(3.2)
Системы вида (3.1), подчиняющиеся условиям (3.2), называют обычно почти линейными [1]. Такие системы с точки зрения из диссипативности изучали В. В. Немыцкий [18] и П. В. Атрашенок [19]. В дальнейшем изложении мы будем пользоваться рассуждениями П. В. Атрашенка.
Пусть дана квадратичная форма переменных »]，・・•， у^:
л
У =,不]如УМ’如=瓦》・
Введем обозначения
力и%
А*= 3= 1, 2,・・・,zi)・
bщ‘ …'^kk
Хорошо известно, что, для того чтобы квадратичная форма Y была определенно-положительна» необходимо и достаточно выполнение неравенств А, > 0 (/= 1. 2п) (критерий Сильвестра).
Рассмотрим квадратичную форму
ф = 2入2у；+ £ 2*т%(—%_i + K)(3.3)
а・2
где 入一любое вещественное число, отличное от нуля, и по- ,кажем, что она определенно-положительна. Составим определители Сильвестра А在：
2居 一№
А1==2 入2, Д2=_入 3,2 入4 =3 入6,
2招一入%00
%=—入£ 2M -”0 J
Раскрывая этот определитель по элементам последнего столбца» получаем рекуррентное соотношение
4 =（3.4）
Покажем, что 叁=（为+1）入（11）/.（3.5）
При 々=1 равенство （3.5）, очевидно, имеет место. Предположим, что оно справедливо для k——1 и 左一2, т. е. предположим, что выполняются равенства
A在_2 =（々-1）入（儿7）（"叫、7 =尼炉S-D.
Подставим эти равенства в соотношение （3.4）, тогда получим”
А/ = 2入2".也入比依-1）一人领-2（左— 1）入（论f1）（论-2）=（内+ l）X（ft + D*.
Отсюда в силу принципа математической индукции и следует справедливость равенства （3.5） при А= L 2,.…，л. Из （3.5） вытекает, что 厶比 > 0 при 尼=1, 2п. Поэтому квадратичная форма （3.3） определенно-положительна; при достаточно малых 步 квадратичная форма
ф ==ф—|х5 у?.（3.6）
очевидно, также определенно-положительна.
Замечание 3.1. Если а> 0 достаточно мало, то в промежутке 0《卩《а определители
2入2 —|х,—^№,0, ...» О
А£р）=―戸，2М —卜，一入5О（3.7）
О, 0,02 入2「卜
достигают своего наибольшего значения при 步=0・
Действительно, пусть % — сумма всех главных миноров Z-ro порядка определителя А论.Все ог > 0, так как они представляют собой суммы произведений определителей вида 厶片 и четных степеней 入.Имеем
А*3） = А& —Р%т + М%-2— • • • +（—1加匕（3.8）
Отсюда и следует, что при достаточно малых положитель- нмх I* A* Q） < А*.
Найдем верхнюю границу тех значений 步，при которых квадратичная форма (3.6) определенно-положительна. Составим определители А】(步)Дл (|i) и найдем нижнюю границу lk вещественных корней уравнения
% (①=0 (尼=1, 2n),(3.9)
из формулы (3.8) Следует, что lk > 0.
Положим
m^^min {/р ...,厶},(3.10)
тогда при [1 < /ил выполняются неравенства А丸(卩)> 0, и, следовательно, квадратичная форма (3.6) будет определенноположительна.
Замечание 32 Число тп можно определить так же, как наименьшее значение формы (3.3) на поверхности сферы У1 + У2+ •••4-у» = 1
В самом деле, если тп — наименьшее значение квадратичной формы (3.3) на поверхности у：+у；+ .・• + у^= 1, то
ф>«„ 2 у]；
следовательно,
®i =①一吃 £у；>0,
и ясно, что при 步 V 勿外 форма ①i окажется определенно*по- ложительной.
Обозначим через % вещественные, а через Pj+ lq) комплексные собственные числа матрицы Л, через 自 и % обозначим кратности отвечающих им элементарных делителей матрицы А. Если г и гх — число элементарных делителей, отвечающих вещественным и комплексным корням» то
Е电+工硏=乙
Систему (3.1) можно привести к следующему каноническому виду:
= 31, , + ；1>Z+ 九
dzk , z
—=p产 l / ~ g 严 I, /+%+i, /+%+i,户 dv},
-近一= Pj%, , + 0产1, j+ 号产，/ +*
一糸一=P严3一幻%/j 一气厂1,/+ " +办/ + % +母r dvk , у
=Pj%, )+g 产勺,j一%尸,，+%+刁,7+%+勺,广 j
(3.11)
Функции £庆，е суть линейные комбинации с постоянными коэффициентами функций /Р а 刁％,^ ——линейные комбинации с такими же коэффициентами от функций g「 Очевидно, £% 0 и 〃％ § удовлетворяют условиям такого же вида, что и функции 力 и gi соответственно. Поэтому при всех г:, и, v и t будем иметь
1л，мукУ^^^йЯУ (3.12)
Кроме того, в дальнейшем будем предполагать, что ве『 щественные части всех собственных чисел матрицы А отрицательны.
Следуя Болю [20], образуем функции
Zi=^-i<it "=露p狞](碓j+喷0(3.13)
И положим
(3・M)'(3・M)'S = W Z,十 £ %
(3・M)'
(3・M)'
Функция S представляет собой квадратичную форму с коэффициентами, являющимися нечетными степенями вещественных частей собственных чисел матрицы А. Составим полную производную от S по Л в силу дифференциальных уравнений системы (3.11),
翁=£ £2总1^号丄+ t = 1 а = 1
+ £±2р狞4储宇+ 5，/号4 =
+ 2"а NJ —Nafi + За,卄^,/+ %£)+ а = 2
+ E { 2P产 1, / (p产“—幻5,丿 + % +1, j + %+i, /) +
十 22/-"% j (一 "Р7"+ p产~
-g/丿十匕+?, )十%产,/)}+
+ Е { 2戸产 1, j (Pj% j+g产 1, / + Epj+1, j+%+1,力 +
+22p,-%，j(门% + 用厂件-1，升%严,/+%+?, /)=
、=22人储"+e2人:一分,i(—/т" + 3а, £)+
+ Е 2P衿,/+>2р?-"%/( —«р_1>у+ Pja^j) +
ГkJ■
+ S 2居％+，2p泞％十
7 = 1 L3-1“
+2 22 出■£,,&,，•+
i н 1 a =x 1
+ X 2 2р?-’(气居+£，/ + %/%+%/) +
+S e2产一2,,%,,+
+ E ' 2P 尸(呼,)%+%) + % /%.+R,)
В каждой из квадратных скобок написанного выражения стоят квадратичные формы того же вида, что и (3.3). Пусть т^. — числа, удовлетворяющие условиям (3.10); положим
价=min {m4卜(3.15)
Рассмотрим линейную форму
l = £ 2^-4,(+2丿+厶)(з」6)
Обозначим ее наибольшее значение на поверхности
£吟七洋埠十喲=i
через Mq и положим 入д = 2Мо・ В силу неревенства Коши имеем
Г г
加/ £ 2 人户2+2二 еp}1.(3.17)
， / = 1 а = 1/ = 1 р = 1
Принимая во внимание соотношения (3.12), получим еле- dS
Дующую оценку для
吟》价(2臭,+22(%+%))-
У Z = 1 а = 1У = 1 р == 1у
Г Г ki外刁
-%d1/ 2 2吗,+2 2(%,+喝,)-
// n 1 a -1/ = 1 3asi
/ r%Г1奇」\
\»7 a= 1j=l p = 1у
или, обозначая
Г к1% А/
。2=斗r喝+斗斗(% + %),(3.18)
» = I a = lJ = 1 卩=1
получаем
》So —入N)о? — 入 о(3.19)
^^ Установленное неравенство позволяет доказать следующее утверждение.
Теорема 3.7. Если вещественные части собственных чисел матрицы А отрицательны а 乂 <^~, 20е 恤 определяется равенством (3.15), a % = 2独一равенством (3.17), то система (3.1) диссипативна. 、
Доказательство. Рассмотрим функцию V = — S. Из вида этой функции и неравенства (3.19) следует, что функция эта удовлетворяет всем условиям теоремы 2.5* ссылка на которую и доказыват наше утверждение.
Теорема 3.2^ При выполнении условий предыдущей теоремы система (3.1) имеет хотя бы одно периода
ческое решение с периодом, равным <о (гармоническое колебание}.
Доказательство. Пусть по-прежнему V = — S・ Тогда из неравенства (3.19) и из доказательства теорем 2.4 и 2.5 легко вывести, что при достаточно большом h множество V<h переходит в себя при преобразовании Г. Но функция V есть определенно-положительная квадратичная форма; следовательно, множество V ^ Л гомеоморфно замкнутому шару. Отсюда в силу теоремы Брауэра следует, что преобразование Г имеет в множестве V ^ А неподвижную точку; следовательно, система (3.1) имеет гармонику.
Теорема доказана.
Рассмотрим снова систему (2.1). Докажем следующую теорему о диссипативности этой системы.
Теорема 3・3. Пусть функции /z непрерывно дифференцируемы и -^-^—/п < 0 (г = 1, 2,.・., л), пусть, кроме того, функции //(%]力力一卜 0,修+卜 %抬,f) огра- начены, тогда система (2.1) диссипативна.
Доказательство. Имеем
力(%1，…,%山')=/ 0/:"修+力(*1，…，修7,。,吃+1，…，%/!, *), 0
(3.20)
По условию теоремы существует такое Л4 > 0, что
|Л(хР %”1，0.吃+1хя. /)|<Л1・ (3.21)
Отсюда и из условия теоремы следует, что существует такое а > 0, что при I хJ ^ а выполняется неравенство
'/Л<-~Х?.(3.22)
Кроме того, из (3.20) и (3.21) вытекает, что при | %J《〃
Л(Хр ...» хд, 0 х( < Na,(3.23)
где N〉0 — некоторое число.
Рассмотрим функцию
u = 4十…十片.(3.24)
Производная от этой функции по времени, вычисленная в силу дифференциальных уравнений системы (2.1)» очевидно» равна
工 2%/(%i‘ ・•♦, %л，/)♦(3.25)
Выберем число А столь большим, чтобы выполнялось неравенство
тД2 > 2nNa.(3.26)
л
Рассмотрим область ||蜀|〉汽4 Так как 2|%%|》||Х||, А = 1
то ясно, что в этой области будет выполняться неравенство шах |%/》4 Из неравенств (3.22) и (3.23) нетрудно Z» 1, ..., п1
вывести оценку
黑 < —mX2+2ftNa.
Из этого неравенства в силу (3.26) заключаем, что при
器 < 0.(3.27)
Отсюда и из теоремы 2.5 следует доказываемое утверждение.
Из неравенства (3.27) и теоремы Брауэра вытекает утверждение следующей теоремы.
Теорема 3.4. Если система (2.1) удовлетворяет условиям предыдущей теоремы, то она имеет хотя бы одну гармонику.
Результаты теорем 3.3 и 3.4 и близкие к ним были получены Кордуняну в работах [21—24]. Манфреди [25], Граффи [26], Кастро (27J и другие получили ряд интересных результатов, относящихся к диссипативности систем дифференциальных уравнений второго порядка. Мы не будем останавливаться на этих результатах, отсылая читателя к оригинальным работам.
В следующих двух параграфах мы будем исследовать диссипативность некоторых конкретных систем второго и третьего порядков, встречающихся в приложениях.
§ 4. О диссипативности некоторых двумерных систем, встречающихся в приложениях
龄+ /(%)穿+ g(x) = P«)・龄+ /(%)穿+ g(x) = P«)・(4.1)(4.1)Рассмотрим дифференциальное уравнение второго порядка
龄+ /(%)穿+ g(x) = P«)・
龄+ /(%)穿+ g(x) = P«)・
(4.1)
(4.1)
Такое уравнение и различные его обобщения изучались с точки зрения их диссипативности весьма многими авторами. В этом параграфе мы установим лишь несколько достаточных условий диссипативности для уравнения (4.1) и некоторых его обобщений [28].
Введем следующие обозначения: g(f) = J p(f)df, .о
尸(％) = J f(x)dx и ^ =等+尸(％) — q(f). Тогда получим о
систему
等=У —尸(％) + g (f), %= — g (%)・
Вместо этой системы рассмотрим более общую:
餐=丫_ 尸(x)+Q(招 у, f),醬= — №).(4.2)
Теорема 4J. Пусть функции 尸(％), g(x) 〃 Q(x, у, f) непрерывны а удовлетворяют условию единственности решений системы (4.2) при любых начальных данных,
+ 8
Пусть, далее, xg (х) > 0 при |%|》1 〃 J g(x)d% = о
=J g(%)dx = + oo・ Пусть, кроме того, существуют о
такие постоянные L > //> 0, что |Q(x, у, f)|<〃 при всех xt у, t и 尸(％) sign % > 厶 при |%j》l. Пусть, наконец, Q(x, у, ^4~ l) = Q(x, у, f) при всех %, у, t. Тогда система (4.2) диссипативна.
Доказательство. Положим
尸max |F(x)|.|х|<1
Так как интегралы / g{x)dx и / g(x) dx расходятся по оо
условию, то существует такое Е> 1, что.
Е+1
(厶一")/g(x)d*> 4(尸m + 〃)J \g{x)\dx1-1
и
-В+1
(厶一H) J g(x)dx>4(Fm^H) f \g(x)\dx.-1-1
Введем следующие обозначения:
a= max |g(x)|, b= max |尸(％)| + 〃，
,4ft + /W + 24(l+G)a
Рассмотрим решение % = y(f), у = ф(/) системы (4.2) с начальными данными ср(^0) = х0,屮(％) = у(). Будем считать» ЧТО |х0|< 1, Уо〉％.
Из первого уравнения системы (4.2) следует, что х возрастает вдоль любого решения в области |%|《Е, У>瓦 В этой области зависимость у от х вдоль нашего решения описывается уравнением
dydyg(%)g(%)у—尸(％)+©(% у, »•у—尸(％)+©(% у, »•(4.3)(4.3)
dy
dy
g(%)
g(%)
у—尸(％)+©(% у, »•
у—尸(％)+©(% у, »•
(4.3)
(4.3)
Из уравнения (4.3) имеет место оценкаИз уравнения (4.3) имеет место оценка(4・4)(4・4)
Из уравнения (4.3) имеет место оценка
Из уравнения (4.3) имеет место оценка
(4・4)
(4・4)
следует, что в области | х |《Е， У > b
dx / у —
Пусть К (х) — решение уравнения
(4.5)
с начальными, данными х = х0, У = %. Йз неравенства (4.4) вытекает, что при тех % С (%» 日，для которых К (х) > Ь, будет выполняться неравенство у〉У (х).
Найдем функцию У(х); интегрируя (4.5), получаем
у Г2 —ЙГ —у^+^0+а(х —хо) = О
и, следовательно,
Y = b+ М(Уо —б)? —2а(х — %
Так как | х01 ^ 1 и %《3 то можем написать
У》6 + и(Уо —6)2 — 2а(1 +9 при х0 < х < ?. (4.6) Так как % есть корень уравнения
мy。*—2。(1+9 =扌 yо，
то из (4.6) выводим неравенство
у —力при %оС%《Е・(4.7)
Рассмотрим теперь наше решение при изменении х от х0 до +1. Из уравнения (4.3) получаем
Это неравенство показывает, что при 々《％《1 вдоль нашего решения выполняется неравенство у (х) < yj(x). где У1(%) — решение уравнения
с начальными данными при х = х0,力=儿・ Но из (4.9) путем интегрирования находим
^ У； — 6% —； Уо + 6儿 ^а{х 一 х0) = 0;
следовательно,
У1 = 6 + Myo —州 + 2а (х — Хо).
Так как | х01 <； 1 и %《1, то при х0 <； х <； 1 выполняется неравенство
У < 6十 М(УоТ)2 + 4а < %十2 /а.
Так как при 1<；/《Е У вдоль нашего решения убывает с ростом времени, То при х0 ^ х ^ $ будет выполняться неравенство
У V Уо + 2 ]/а・.
Из условия Уо> 刀1 легко вывести неравенство ¥0+2]/"〃 + + 6〉2% следовательно,
2у0 при х0 < X < $*(4.10)
Введем функцию
и(х, у) = ^у2 + /g(x)dx.(4.11)
6
Производная от этой функции, вычисленная в силу дифференциальных уравнений системы (4.2), как нетрудно проверить, равна
v = — g(x')[F(x)~Q(x, у, 01-(4.12)
Пусть % — первый после % момент времени, в который на рассматриваемом решении х = Е, т. е. 屮(厶)=£ и *о《屮 «)<Е при %《£<；£「Покажем, что
U(<P(A)，屮(А)) < 七(々’Уо)・(4.13)
Разделим равенство (4.12) на первое уравнение (4.2), тогда получим
乌 _ g (%)[尸(％) — Q (%，у，/4 14、 dx — у —Л(х)4-С(х, у, ОI •'
Интегрируя это уравнение, получаем
川屮(a),屮(а)) = V(%，儿)一.尸空北｛工盤；;?dx-
, f g(%)[尸⑴一Q3 у,
Оценим интегралы, стоящие в правой части этого равенства. В силу (4.7) получаем
Ив неравенства (4.10) легко выводится следующая оценка:
/ga)/a)—Qa，y，f)id*、纟一〃 f.fxWx
J у —尸(%) + Q3 У, f) ° > 2у。/ g・
Отсюда и из (4.15) получаем неравенство
屮(屮(匕)，屮(匕))<▽(№，Уо)+ 2"У /|g(x)|dx —
一-kJ g⑴ dx.
Иа последнего неравенства п силу выбора Е и вытекает Н9рип#нство (4.13).
Лнйлогичко нредылутгму докажем, что при убывании t ОТ G* ЙДОЛЙ решения Хи屮(/% y = W(f) убывает до тех Н0[3 н()к且 при t・％ не окажется 尤=——Е・ При этом через ，■厶 обозначается первый такой момент, т. е.屮«2)=——Е и — EVp(f)«Xo при 片 </《£()・ Ясно, кроме того, что на промежутке времени %《f《4 будут выполнены неравенства (4.7) и (4.10). Тогда, используя те же рассуждения, докажем, что
▽(<?(%)，ф(^))>и(х0, Уо).(4.16)
Пусть теперь %n%(f), y = 5(f)— решение с начальными данными ? = ^0)х = х0, у = у0 и |%о|《1, Уо V——％・ Тогда так же, как и выше, докажем, что существуют моменты времени 加 V % V h такие, что <pi(f；) = — Е,屮i(%) = £ —Е<<Р«)<Е при 后</<儿 на промежутке времени &《у厶 выполняются неравенства
у+力 <^%, у —力 > 2%.(4.17)
Эти соотношения так же, как и раньше» позволяют доказать справедливость неравенств
и®(£),屮i(f；))0(%o, Уо)<и(91®),屮1(由)・(4.18)
6 В. А. Плисс
Оценим длину промежутка [/0,厶]・ Из первого уравнения (4.2) следует неравенство
不产у при х0<х<^, а отсюда и из (4.7) получаем
dx yQ'
Интегрируя это неравенство от х = х0 до % = Е, получаем
22
厶-仇 < # - %。)<^ (Е + 1 )•(4.19)
Положим
т] = тах{%, 4(；+ 1)),(4.20)
тогда при у。〉刀 будем нметв неравенство 厶 ——^0 < —.
Аналогично докажутся и неравенства f° ——f? V 歹，6 — ^o < -^ и /о — ^2 < у.
Положим
刁=》.吁+ / |g(x)|dx・(4.21)
+ 8—ОО
Так как по условию интегралы / g(x)dx и / g{x)dx
оо
расходятся, то найдется такое Л > 0, что при д^ + у?》/!? 0 (%,У) >矶
Рассмотрим решение % =中(£), у =屮(£) системы (4.2) с начальными данными ^ = 0, х = х0, у = у0 M 片+%》4?・ Докажем неравенство
о«(1)，屮⑴)0(/，％)•(4.22)
Будем доказывать неравенство (4.22) от противного. Предположим, что это неравенство не выполняется. Будем считать сначала, что \xQ\^ 1, тогда из равенства (4.12) и условий теоремы следует, что ^ (х0, у0) < 0. Следовательно, о 3(f),屮(£)) убывает в окрестности точки / = 0. Так как по предположению неравенство (4.22) не выполняется, то
ясно, что существует такое %£(0, 1]. что 皆(中(％),屮(％)) = = 0(*0, у。)и при 0 < f V % выполняется.неравенство 外(屮(£)* °(0) < ®(хо* Уо)・ Из раи^пства (4.12) следует, что при %|》1 ®(х, у) < 0; поэтому ясно, что |(р(т0)| < 1. Если Хо I < 1, то положим просто % = ().
Покажем, пти %<；. Так как xJ-4- у^> Д2, то 0(月中 \%)>叫 н иоопределению %
"(9 (%)，屮(％)) ^^ и (%о，Уо) > 叫(4.23)
но I ф (t0) I < 1» поэтому в силу равенства (4.21) получаем
I 屮(％)|>%(4.24)
Отсюда и из предыдущих рассуждений следует, что существует т* (это т* соответствует моменту % при 屮(т0) > 笃 н моменту 匈 при ф (т0) <—刀)，такое, что т* < т0 и
V(中(т・)，屮(「•))>"(屮(％).屮(％)).(4.25)
При этом, как было показано выше. т0 —弋*<^・ Это и доказывает, что % <呑，ибо если бы было 飞》专，то ока- аалось бы, что 0 < и* < т0, что в соединении с (4.25) противоречит определению % как первого после f = 0 момента нарушения неравенства o(?(f),屮(£)) V и(%(), %)•
Как было показано выше, существует такое % > т0 (это % соответствует моменту 厶，если ф (т0) > ?| и моменту 介，если 屮(％)<—■*!)，что 屮(q) = &, ?(t0X?(C<^ при % < f < q (при 屮&) >北)или <?(■：!)= — ?, — c<<f>(O<<p(t0) при ^<t < q (при 屮(％) <—7])и
и (中(q)，屮(q)) о(? &),屮 &))= и(/, у0). (4.26) Кроме того, было показано, что % — % V ^ н, следовательно, % < 1-
По предположению неравенство (4.22) не выполняется, поэтому существует такое t£(q, 1], что
V(屮 G)，屮(6) = и(х<)' Уо)
и при Т! < ^ < т u(f(O.屮(0) < и(х()，Уо)； ясно, ЧТО |<р(т)| < I.
б*
Тогда по доказанному ранее найдется такое * < т, что ?(・) =—М £《？(/)<屮(。при Tz < Z < т (если_^(т) > т|) нлнуС) = 3 ?(t) <(р(0 < Епри^ < t <т(еслиф(т) < —^)м
и9(吟，屮。))〉и(屮(т),屮&)) = и(Хо, Уо). (4.27)
Из определения момента т】следует, что выполняются неравенства Tj < rz < ^ <^ 1. Это противоречит тому, что при q《f V т о(?(£)，屮(£))<и(%з у。). Полученное противоречие и доказывает неравенство (4.22).
Проведенные рассуждения показывают, кроме того, что при %<；/《1 о(屮О 屮«))<и(%о，%). Отсюда и из определения 外 следует, что при 0《£&1 решение % =屮(£), у = ф (0 ограничено, а значит, и продолжимо на все моменты времени от f = 0 до f=l.
Таким образом, мы находимся в условиях теоремы 2.4, ссылка на эту теорему и завершает доказательство.
Замечание 4.1. Из проведенных рассуждений следует, что система (4・2) при выполнении условий предыдущей теоремы имеет хотя бы одно периодическое решение с единичным периодом. Действительно, при достаточно больших с множество v{xt у) ^ с представляет собой, как легко видеть, замкнутый топологический круг. Так как при преобразовании Г этот круг переходит в себя, то из теоремы Брауэра и следует наше утверждение.
Рассмотрим уравнение более сложное, чем уравнение (4.1)：
^^f^^ + S<<x^^, i, 0-(4.28)
Положим у = %+尸(％), где, как и раньше, 尸(％) = =/ f(x)dx\ тогда получим систему
替=丫-尸(x),^=-g(x)+R(*, у, £).(4.29)
Теорема 4・2・ Пусть функции f(x), g(%) 〃 R(%, у, £) непрерывны 〃 удовлетворяют условию единственности решений системы (4.29) при 儿мбых начальных данных, R(x, у, £+l) = R(x, у, f) при всех х> у, /. Предполо-
жим, кроме того, что существуют такие постоянные £ > /У > 0 и К>0, что
/) |R(x, у, /)| <Н при всех х, у. f;
g(x)signx>L при |х|> 1;
/(6>К при |х|> I.
Тогда система (4.29) диссипативна.
Д о к а з п т с л ь с г н о. Введем в рассмотрение функцию
X
"(*，у) = у2 —у尸(х)+^严(*)+2 /g(X) dx. (4.30) 6
Производная от этой функции, взятая в силу дифференциальных уравнений системы (4.29), как нетрудно проверить, раина
V - - [у - F WVfW^g (х) F (Л)+ [2y-F (х)] R(X, у, £)・
(4.31)
Покажем, что сутсстпует такое Aj > 0, что при | х | ^ Лх 点(х, у, f) < 0.(4.32)
Будем для определенности считать х > 0 (при х < 0 доказательство аналогично). При х》1 и у》^ 尸(х) имеем в силу условий теоремы•
热 V — [у —尸(х)】2 К — LF (*) + [2у —尸(х)] Н.
Покажем, что при достаточно больших х уравнение
1y 一尸(*)产K+厶尸(*) 一[2У —尸(*)]" = 0
не имеет вещественных решений. Вычислим дискриминант D этого уравнения:
|d = К2 尸 2 + 2KHF + "2 — K2 严—KLF — KHF = = KHF + H2 — KLF = — K(L — H)F(x) + FP.
Так как по условию /(х)》К при |х|》1, то ясно, что Не 尸(х) = 8 при х—>оо, поэтому из-за Z > " при достаточно больших х будем иметь D < 0. Это и доказывает» что при достаточно больших х н у》歹尸(х) V< 0.
При 1 и у ^-2-F(x)будем иметь v < — [у—尸(*)产长一 —LF (x) — [2y —— 尸(x)]". Так же, как и выше, покажем» что уравнение
[у -尸(х)]2 К + £尸(х) + [2у -尸(х)1 ” = 0
не имеет вещественных решений при достаточно больших х. Из сказанного следует существование такого hx > 0, что при |х|>%1 выполняется неравенство (4.32).
Из самого вида функции v вытекает существование такого 九2，чт0 ПРИ I^KAj н I у О й2
刃(х, у, 0 < 0.
Следовательно, существует а > 0 такое, что при х? + у2>о 石V 0.
Таким образом» мы находимся в условиях теоремы 2.5, что и доказывает наше утверждение.
Замечание 4.2. Нетрудно показать, что при выполнении условий предыдущей теоремы система (4.29) имеет хотя бы одно гармоническое колебание,
Исследование одного нелинейного уравнениятретьего порядка
Рассмотрим дифференциальное уравнение [29, 30]
d3x . d^x j , dx .4/ dx,\ z-
你一 +a胃 + 6杆+ /(x) = Pi(x，X■(5・D
Положим у = ax + x, z = bx-\- ax-\- xt тогда уравнение (5.1) заменится системой
^ = У —ax, % = z — bx、穿=_/(%)+Р(Х, у, z, f).
'(5.2)
Установим для системы (5.2) следующие условия диссипатив- ности.
Теорема 5./. Пусть функции /(х) и р(х, у, z, f) непрерывны и удовлетворяют условию единственности
решений системы (5.2) при всех х, у, z, f・ Пусть выполняются следующие условия:
а〉0, ft > 0;
0 < ^^ < ab при I х I》1;
lim |/(х) j = оо;
Hm I / (х) — abx ] === 8；
1*1 ->8
р(х, у, z, / + а)) = р(х, у, z, /) при всех х, у, z, f;
существует такая постоянная Л > 0, что при п，2Х х, у, z, £ выполняется неравенство | р (х, у, z, f) | < Л. Тогда система (5.2) диссипативна. ■
Для доказательства рассмотрим функцию
и = ^(а?* —ay + z)2 + ^(z —6*)2十 ^у2 +
+。/lf{x)—abx}dx, (5.3)
Производная от этой функции по времени, взятая в силу дифференциальных уравнений системы (5.2), как нетрудно нропернть, равна
Ve — a ("х 一 оу + z)2 + [abx—/(х)]Х
X |2(аах — ау+ z) — 6*1 + [(а2 — i) x — ” +
+ 2z]p(x, у, e, £)・(5.4)
Ииумнм поведение 百 при достаточно больших х, у, z. Положим м ■ — а ("* — ay + z)2 +
+ [abx — /(x)] [2(a2x — ay + z) — Ьх]. (5.5)
Докажем следующее вспомогательное утверждение.
Лемма 5./. При выполнении условий теоремы 5.1 выполняется следующее соотношение:
lim|^J = + oo при I х|->оо(5.6)
равномерно при всех >, z・
Доказательство. Положим и = а2х ——ay + z・ Найдем максимум функции w при фиксированном х:
^- = — 2au+4\abx — f (*)].
Следовательно, максимум w при фиксированном х реализуется при и — ^~ [abx ——/(x)J. Обозначим этот максимум через “(X). Имеем
叫(*) = - qlabx-/(%)卩+ а【a^х - / (%)产一
—bx [abx — /(X)] = — — f{x)[abx — /(*)]・ Отсюда получаем
1I I 乎 I =僞[如 T(以(5・7) Возьмем произвольное £ > 0, по этому L в силу условий 3) и 4) теоремы найдется такое х0 > 1, что при | х | ^ х0 |/(х)| > 丁 и I abx — / (х)| > -у . Рассмотрим произвольное х > №・ Возможно одно из двух: либо
0< ^<4 о6>(5В)
либо
ab V - ^ < ub.(5.9)
Предположим сначала, что выполняется (5.9), тогда из (5.7) следует неравенство,
『《/, z)|》^如-/(х)|>，(5.10)
В случае же выполнения (5.8) получаем
尸х,*у, z)|》^/(x)>〃(5.11)
Неравенства (5.10) и (5.11) и доказывают, что соотношение (5.6) выполняется равномерно при всех у, z・
Пусть а — произвольное достаточно малое положительное число. Обозначим через D (а) множество точек, определяемое
неравенствами { — a2z < х < a2z, L^a z V У V 工寺上 z при z > 0 и a2z < х < — a2z, ^^^ z < у < i^^ z при z V 0 }・
Лемма 5・2・ Существует такое число г (а), что за пределами множества D(a) и шара /?(а), определяемого неравенством {%2 + у2+ ^2 < г?(а)}, функция о (х, у, z, f) отрицательна.
Доказательство этого утверждения будем проводить в области %》О, У>。，^^0; для остальных координатных углов доказательство аналогично.
Рассмотрим сначала область 畐{%》0, У》0，z》0, X》"/, *> ?^i У 卜 Из вида функции 百 и соотношения (66) вытекает, что существует такое ги что в области Е за пределами шаря {х?— У? +z* V г；} оказывается v < 0.
Оботшчим черев £? область, определяемую неравенствами {#产6 У А 0・ В>0, у Х^ - z, х《^т^у}・ Имеем
V■ d abx — f(x) — bx [абх — f (х)] ■
(爲期 二 砂 4я可 — 一 @ 十/ 班 一 " + z 一 @氏 一^ay + z)2 十
(癘2 —6)* —— ay + 2z(癘2 —6)* —— ay + 2z(a2x — ay + z)2(a2x — ay + z)2p(x, у, z, t). (5.12)p(x, у, z, t). (5.12)
(癘2 —6)* —— ay + 2z
(癘2 —6)* —— ay + 2z
(a2x — ay + z)2
(a2x — ay + z)2
p(x, у, z, t). (5.12)
p(x, у, z, t). (5.12)
Нетрудно убедиться в существовании такого числа Лр что и области Е2 при достаточно малых а будут выполнены Неравенства:
I史-偉|<&а, I绢也老専I W. (5.13)
Из определения области E? следует, что в этой области при достаточно больших 炉+屮十/ величина
■ (@2 — Ь) * — ay + 2z(炉x二 ay + z)2
сколь угодно мала. Отсюда, из выражения (5.12), неравенства (5.13) и условия 6) теоремы следует, что существует такое 々, ЧТО при %2 + 步 + 22》吗 в области Е2 V < 0.
Аналогично доказывается существование %, такого, что в области &{*>0, У》0, z》0, ”《述？，у ^l^?z| при ^2+у2+^2^г| 石 <0.
Таким образом, доказано, что за пределами множества S(a) = /?(a)4-D(a)百(％, у, z, /) < 0.§
Докажем теперь следующую лемму.；
Лемма 5*3・ Существуют величина % > 0 〃 функция | ^ (а) со следующими свойствами. Пусть точка (х0, у。，z0) 彳 лежит в области D(a), где 0<а《(Х] 〃 ％》01(а) > 0. * Пусть х = х(£), y = y(f), z = z(f) — решение системы ? (5.2) с начальными данными при t = t^ х = х0, у = у。, z = г0. Тогда существует такое 幻〉友，что
x(01) = 2a2z(9I) и при "《/〈瓦]х (£) ] < 2仪2纟(f);
при А)《f《力 I n — % I < а2^0;
при %《£。1 0《У —Уо<а%;
4)、一'。 VT.
Доказательство. Выберем aj < i , тогда рассматриваемое решение пересечет сначала плоскость х = 2a2z, а лишь затем плоскость % =万2. Поэтому на промежутке времени "《f《& у вдоль нашего решения возрастает. Покажем, что при достаточно малом % и достаточно большом qx (а) выполняются утверждения 2) и 3) леммы. При Z > /0 и достаточно малом £ — /0 оба неравенства
|z(/) —Zol <a2zo, О《У —yoVaZo (5.14)
выполняются по непрерывности. Предположим» что одно из них нарушается при f = f*C(°，LL при этом мы предполагаем, что 产一первый момент нарушения одного из неравенств (5.14). Предположим сначала, что первым нарушается второе из неравенств (5.14), т. е. предположим, что
У «*) — % = %(5.15)
и оба неравенства (5.14) выполняются при /()《/<£*• Деля второе уравнение системы (5.2) на первое, получаем
dx у —QX
Отсюда следует, что при достаточно малом % и достаточно большом о】 (а) выполняется неравенство
黑々а(5.17)
при foWf《f*・ Интегрируя неравенство (5.17) вдоль решения x = x(f), у = у(6，z = z(f), получаем
У — %<2а(х—%0).
Так как %〉一 а2^, х < 3a2z0 при достаточно малом а, то из последнего неравенства вытекает соотношение
y (六)一% < %,
противоречащее равенству (5.15). Это противоречие доказывает, что второе из неравенств (5.14) может нарушиться лишь после первого. Предположим теперь, что
|z(/*)_Zo|=a2z。(5.18)
и оба неравенства выполняются при h《t <t*、
Разделим третье уравнение системы (5.2) на первое, тогда получим
必=—/(*) +「(％, у,爲 £)(5 19)
dx 一 у - ах.
Из нерапенства (5.14) и условий теоремы вытекает, что при достаточно малом а, и достаточно большом 处(а) на рйссматрипаемом решении при f()《f《f* будет выполняться псрянапство
丨：；：I < а.(5.20)
Интегрируй 学то неравенство, получаем
|z —%| <а|х —х0|.
Гйк как па промежутке %《t《怦 |х(0К 2а2 z(/), то из последнего неравенства выводим
К—%| < a2z0,
что противоречит равенству (5.18). Полученные противоречия и доказывают, что неравенства (5.14) выполняются при всех £()《/《％・
Докажем теперь выполнение последнего утверждения леммы. Из первого уравнения системы (5.2) находим
Из неравенств (5.14) при достаточно малом а получим неравенство
2a
справедливое при "《/《力.Интегрируя это неравенство, находим
4 —，о <(% — &) < а-
Если 多，то мы и получаем % — А)<，・
Лемма доказана.
Аналогично доказываются следующие три леммы.
Лемма 5・4・ Существуют величина оц〉0 я функция 91(a) со следующими свойствами. Пусть точка (%о，%, %) лежит в области О (а), где 6 V а" % 〃 % > % (а) > 0・ Пусть х — х () у = у (£), z = z (£) — решение системы (5.2) с начальными данными при £ =" х = %о，у = %, 2 = %. Тогда существует ^Vd такое, что
х (02) = — 2a2z (92) и при 阮 < £《d %«) > — ^z (05
при 02 < ^ < /0 |z —z0| <a2z0;
при %《У a 0《％—yOz;
4)力一02 <亏，
Лемма 5.5・ Существуют величина 04〉0 〃 функция 01 (а) со следующими свойствами. Пусть точка (х0, %, z0) лежит 6 области D (а), где 0 < а《04 〃 z。《—^ (а) < 0. Пусть х = *(/), y = y(f), z = z(£) — решение с начальными данными f = f> х = *о， у = у0, z = z^ Тогда существует 03 > /0 такое, что
х(03) — 2a2z(63) и при d《f < % x(f)〉2а2?(/)；
при %<：/《％ \z(t) — z0\ < —а2^0;
при %а《％ ОКУо —У < —az。；
03 — £()<，.
Лемма 5・6・ Существуют величина оц〉0 〃 функция 01(a) со следующими свойствами. Пусть точка (х0, у。，z0)
лежит 8 области О(а), где 0 < а ^ aj и %《一^ (а). Пусть x = x(f), y = y(f), z = z(f) — решение с начальными данными t — t0, х= х0, у = у0, z = z0. Тогда существует такое 04 < /0, что
х(%) = — 2a2z (04) 〃 при % < f《d х(£) < — 2a2z(f);
при 04 ^ ^ ^ f0 |z(f)—飞] <—也％;
при LWf^fo 0《У —% <—仪分；'
4)力一04 V学
Установим теперь следующие четыре леммы о поведении функции 切(х, у, z) вдоль решений системы (5.2).
Лемма 5.7. Пусть а > 0 достаточно мало, а ^2 (а) > 0 достаточно велико. Пусть x=x(f), у = у (/), z — z(t) — решение системы (5.2) с начальными данными • £ =分 ％ = /, у = уо，z = z0, точка (х0, %, 司)лежит 6 области D(a), а 飞》％©)* Tozda
v(№，Уо, Zo)>@(x(%), у (%), z(0J),(5.22)
где Oj — момент времени, определяемый леммой 5.3.
Доказательство. Деля равенство (5.4) на первое уравнение системы (5.2), получаем
人__a(a2*一 "+2)2
+ ^^-【2(°2* - ” + z) — 6x) +
+ 工史吟与F"p(*' У' z, f).(5.23)
Будем длн определенности считать, что х0 < — 1. Из леммы 6,3 следует тогда, что существуют моменты времени /],%.% тнкпе, что £()< А<%<% < °i н х(А) = —1, X «2)®= 1, X «3)^^ a? Z «3)，"о ^^ X «) '^ "~ 1 Ирм f° -^ / <^ •二九—1 < х (^)< 1 при h《t《2, 1 < Л；(0 < ^z (^) при /2《方《％，а22Г(О< -^(О< ^Z(О ПРИ £з《'《°「 Имеем
"(%(%)‘ У(4)，/(б】))—о(*0, Уо‘ /()) =
-1+1x(ts)'#(%)
=/券“*+ ./ 黑“*+/ ■£“%+ / 黑"兑
小T1*(厶)
Оценим интегралы, стоящие в правой части равенства (5.24). Из доказательства леммы 5.1 следует, что
砌(％，У，-гг)< — — /(х)[abx — /(х)1 = ^!(х).
Отсюда и из (5.23) вытекает неравенство
/ ^dx<f三Г坟尸(X, у, z, t)dx.
Хо*0
Из леммы 5.3 следует, что при фиксированном а величина 二°『" ограничена равномерно по z0 на решении x = x(f), У = У«)，z = z(f) при fo《f&&i・ Отсюда по условию теоремы получаем
I 5-?二;:У* Р (х，У，Z, /)卜 ВР (6.25) где В】 ——достаточно большая постоянная. Следовательно, имеем
/ ^ </х < — Bj (1 + х0) < B^zQ. (5.26)
Из равенства (5.23) получаем
4-1+1
/ 黑/ 七二字 [2(0改一" + z) -6%] dx + -1-1
t /' ^~b)x — ay + 4z
/ — n ax.
Но функция /(尤)непрерывна и потому ограничена при
—1 式 х《1, поэтому
|-^у=^^-[2(й2х —ау+^)—6л:]| <В2
на рассматриваемом решении при t、《t & t?・ Постоянную В2 мы можем и будем считать не зависящей от выбора началь-
ных данных %и，у。，^0. Таким образом, получаем +1
，穿 d*«2%(5.27)
Из неравенстпа (б.26) йытскяст оценка
牙阳
/ ~dje<B1(x(^)-l)<25,a%.(5.28)
Складывая неравенства (5.26), (5.27) и (5.28), получаем
#(4)/ ^dx^B^z0+4B2.#(4)/ ^dx^B^z0+4B2.(5.29)(5.29)
#(4)
/ ^dx^B^z0+4B2.
#(4)
/ ^dx^B^z0+4B2.
(5.29)
(5.29)
Оценим теперь последнее слагаемое правой части равен-
4他)4他)стиа (5.24):
4他)
4他)
ж (fill f r/V . /— dx
*（瓦）*（瓦）++信(a2 一匕)% — " + 2z信(a2 一匕)% — " + 2zу — аху — ахpdx. (5.30)pdx. (5.30)Из лемм решенияИз лемм решенияX (/»)5.1 и 5.3 следует, что вдоль рассматриваемогоX (/»)5.1 и 5.3 следует, что вдоль рассматриваемого号岩1f-8 ПРИ ZL+8,号岩1f-8 ПРИ ZL+8,(5.31)(5.31)
*（瓦）
*（瓦）
+
+
信(a2 一匕)% — " + 2z
信(a2 一匕)% — " + 2z
у — ах
у — ах
pdx. (5.30)
pdx. (5.30)
Из лемм решения
Из лемм решения
X (/»)
5.1 и 5.3 следует, что вдоль рассматриваемого
X (/»)
5.1 и 5.3 следует, что вдоль рассматриваемого
号岩1f-8 ПРИ ZL+8,
号岩1f-8 ПРИ ZL+8,
(5.31)
(5.31)
и стремление это осуществляется равномерно относительно ，£ 1匕，41 11 выбора начальных данных х0, у0> Zq・ Поэтому 乌(与 ％ z) < — 5,'(5.32)
где В может быть сделано сколь угодно большим выбором достаточно большого ^0. Из (5.25), (5.30), (5.32) и леммы 5.3 следует, что
/ 先dx<-^a2zo8 + 25产2%.
Складывая это неравенство с неравенством (5.29), получаем
0(*(%)，У (4)，%(*)) —矶№，%，2о)<
V —^ ^ZqB + 5B^2q + 2В2*
Отсюда по смыслу 5 находим
V(*®)，У(%)' z(%)) —v(*o, Уо, г0) < 0.(5.33)
Это соотношение и доказывает лемму.
Аналогично доказываются следующие три леммы.
Лемма 5・8・ Пусть а>0 достаточно мало, а ^2(а)>О достаточно велико. Пусть х — х (/), у = у«), z = n")— решение системы (5.2) с начальными данными t = t^ % = %0, у = у0, z = n(), точка (х0, %, zj лежат 6 области О(а), а %》先(а). Тогда
V(*(%)，У®)' z(%)) > 吟0, Уо 0),(5.34)
где 62 ——момент времени, определяемый леммой 5.4.
Лемма 5.Р. Пусть а > 0 достаточно мало» ^2 (а) > О достаточно велико. Пусть х = х (/), у = у (f), z — z^ (/)— решение системы (5.2) с начальными данными f = ", х = %0, у = у> z = No，точка (&, у0, ^0) лежит 8 области О(а), а %《一％ (")• Тогда
и(х(%), у (%), z(%)) <0(*0, Уо, Zo), (5.35)
20е % — момент, определяемый леммой 5.5.
Лемма 5J0. Пусть а > 0 достаточно мало. ^2(а)>^ достаточно велико. Пусть х = *(/), y = y(f), n = z«)— решение системы (5.2) с начальными данными / = £(), х— х0, у = у(р z = Zq, точка (х0, у0, &)) лежит 8 области £)(а), а %《一^2 (а). Тогда
t»(x(O4), у(04), 2(04))〉0(*0, Уо, Zo), (5.36)
где 94 — момент, определяемый леммой 5.6.
Изучим поведение функции 皆(％, у, z) при достаточно больших Х2 + У2+Л
Лемма 5JL Имеет место соотношение
矶％, у, Z)f 8прн / + у2十 N2foо.(5.37)
Доказательство. Из условий теоремы следует, что существует такое х0 > 0, что при х0
X
〃(x)d*>0.(5.38)
О
Соотношение (В.37) выполпнется при |х|《х()・ Будем рас- смятрияоть функцию и при |х|>*т Положим
У(Х, y, Z)=(Q% - "+2; +(2-方工产 + 方屮_a^bx2.
(5.39)
Пpи [尤I》尤0 имеем
0(怎 у, z) = ^U(x, у, z) + 〃 //(%)d#>^U(x, у, z)・
о
(5.40)
Докажем, что форма V определенно-положительна.
(Сделаем замену переменных
左1 = @2% _ ay + 务 j] = N - bxt Z] = y.
тогда
f 一占一力+研.
форма V принимает вид
V = 4 + W +岷— ^^^ai-yi + azy. (5.41)
Рассмотрим форму
乙=若 + У；+〃比一也(％ — УI + az J2.(5.42)
Необходимыми и достаточными условиями определенной положительности этой формы будут, очевидно, неравенства 1—Л>0, 1 —2Л>0и
1 —htЛ,—aft
Л, 1 — hta也〉О.
-a 九aЛ, b --Л2Л
6 В. & Цлисс
Последнее неравенство может быть записано в следующем виде:
Ь — (2b +吟也>0 и^и 〃 v 府^^ ■
но Пегкопроверить, "t。讣庐<万 и 爺
Отсюда и следует, что форма V определенно-положительна.
Из (5.40) тогда вытекает утверждение леммы.
Переходим теперь непосредственно к доказательству теоремы 5.1. Покажем, что существует такое ^ > 0, что если х^ + % +珞》~, то
и(*о，Уи Zo)〉u(x((o), у(ю), z(w)),(5.43)
где х = х (0> У = У(£)，z = z(f)—решение системы (5.2) с начальными данными / = 0, х = х0, у = Уз z~z^. Выберем q так. чтобы при 岩+%十 ％》炉 н некотором фиксированном достаточно малом а выполнялись утверждения леммы 5.1—5.10. Пусть
и= max и (%, у, z). (5.44) 炉+山+炉《彳2
В силу леммы 5.11 найдется такое q> q, что при *?十 + у2+%2〉д2 и》2и. Покажем, что это g и есть искомое.
Будем доказывать неравенство (5.43) от противного. Предположим, что оно не выполняется. Будем считать сначала, что точка х<), у0, z° не лежит в области D (а), тогда в силу леммы 5.2 имеем *у(х0, %, ^0) •< 0. Следовательно, и (%«)，У«)，z(f)) убывает в окрестности точки / = 0. Так как по предположению неравенство (5.43) не выполняется, то ясно, что существует т0 ^ (0, ю] такое, что ,
▽(*(”)，У (%)，2(%)) = 0(*0, Уо，2о) (5.45) и при 0 < / < т0 выполняется неравенство
u(%a)，Уa)，2«))<仅*0，%，备). (5.46)
Из леммы 5.2 следует, что точка % (%), у (%), 2(%) лежит в области 0(a). Если точка (%q, у。，г0) лежит в 0(a), ТО положим просто % = 0,
Покажем, что %<§• В силу выбора q имеем 0(x(%), у (%), z(x^)) — v(xQt у0, z())>2中；следовательно, по опре- дслсчгиго о получаем х2 (г0) 4- у2 (r0) -|" ^2 (т0) > ^, и потому существует т* 之 т0 (это t* соответствует моменту 02 из леммы 5.4, если (т0) > 0, и моменту 04 из леммы 5.6, если z(%)<0), такое, “то
О(*(М)，У(6)，№))>0(工&), у&), z(%))=0(*Q,%, N(?・
(5.47)
При этом, как следует из лемм 5.4 и 5.6, т0 — т* < —. Это и доказывает, что %<授・ ибо если бы было 飞》$ то оказалось бы, что 0 < т* < т0, что противоречит тому факту, что неравенство (5.46) выполняется при 0 < / < т0.
Из лемм 5.7 и 6,9 следует, что существует такое Tj > т0 (это % соответствует моменту % из леммы 5.3, если 2&)>6 и моменту % из леммы 5.5, если 2(%)<0), что
v(x(q), у®), z(q)) < и(х&), у(“)，Z&)) (5.48)
и С] — 70 < -^ ; значит, q < ю.
По предположению неравенство (5.43) не выполняется; следовательно, существует т ^ (тр (о] такое, что
▽(*(6 У (可，zG) ) = v(g, у0, z°)
и при %《f <t выполняется неравенство (5.46). Нетрудно видеть, что тогда точка (х(т), у(т), z©) лежит в Z)(a) и х2 (т) 4- У2 (т) + г2 (т) > q. Отсюда и из лемм 5.8 и 5.10 следует, что существует такое т\ что
и(х。)，у (С，ze))〉u(*@ у А), 2&)) = и(*о, Уо, Zo).
Из лемм 5.4—5.10 следует при этом, что Tj < тл < т <^ ш. Это противоречит тому, что неравенство (5.46) выполняется при q《f<c・ Полученное противоречие доказывает неравенство (5.43).
Из проведенных рассуждений следует, кроме того, что любое решение системы (5.2) продолжимо при возрастании
(i*
времени. А тогда мы находимся в условиях теоремы 2.4, ссылка на которую и завершает доказательство.
Теорема 5・2. При выполнении условий теоремы 5.1 система (5.2) имеет хотя бы одно апериодическое решение.*
Доказательство. Рассмотрим область и(х, у, z)<c и покажем, что при достаточно больших с область эта звездная. Положим % = а，у = 0/, 2 = 丁/ (а2-|-₽2+ Т2= 1) и докажем, что эта прямая имеет с поверхностью и (%, у, z)=c, где с достаточно велико, ровно одно пересечение при Z > 0. Рассмотрим уравнение
^(а/,弘 т/) = е・(5.49)
Нетрудно видеть, что если с достаточно велико, то корни уравнения (5.49) сколь угодно велики. Покажем, что при достаточно больших / -^-^(а^> 飯，"[0 > 0. Имеем 方 и(а/,餌 т/) = /(а2а —ар+т)2 + /(7 —力炉+从俨 +
+ ла [/ (а/) — abal] = IV (а, % т) + аа/(а2).
При доказательстве леммы 5.11 было установлено, что форма V (а, 0, 7)определенно-положительна. Отсюда, из условий теоремы 5.1 и последнего равенства тогда следует, что 备 0 (а/,队 了/)> 0
при достаточно больших 2. Это и доказывает, что область и(х, у, n) V с при достаточно большом с звездная. Отсюда нетрудно вывести, что замкнутая область и(х, у, z)《c гомеоморфна шару. Из неравенства (5.43) следует, что при преобразовании Т топологический шар v(x, у, z)《c переходит в себя. По теореме Брауэра преобразование Г имеет неподвижную точку. Это и доказывает теорему.
Существование гармонических колебаний
у систем высших порядков, не являющихся 2)-системами
Мы уже отмечали, что любая неподвижная точка преобразования Г представляет собой начальное данное («-периодического решения системы
嗡=尸(а f).(6.1)
Почтому для доказательства теорем существования тар- моничггких колебаний могут примениться различные признаки сут<*< пюваиия неподвижных точек топологических преобразо- нйнпй евклидова пространства в себя.
Часто весьма удобным для применения оказывается следующий признпк сутестноийния нсполппжиой точки у преобразования 7 [31],
Теорема 6・/・ Пусть на некоторой (п—Химерной сфере ^ пространства хР .... хл вращение вектора F (X, 0) отлично от нуля. Пусть, кроме того, все решения, проходящие при f = 0 через замкнуты* тар К, ограничиваемый сферой S, продолжили при 0《f《(o, 〃 для XQ 0 < ^ ^ io выполняется неравенство
X(f, X。，О)#Хо・(6.2)
Тогда в шаре К существует хотя бы одна неподвижная точка преобразования Т.
Доказательство. Введем в рассмотрение вектор
丿(A"。，f) = X(f, Л"。，0) —Хо.(6.3)
При достаточно малых / > 0 будем иметь
V (Х°, t) — F (XQt O)f + m(Xo，£)•/,(6.4)
где в(XQ, f)f 0 при f->0 равномерно относительно Xq@S. Поэтому при достаточно малых f > 0 вектор V ни в одной точке сферы S не обращается ни в нуль, ни в вектор, направленный противоположно вектору 户(Х°, 0). Следовательно, при достаточно малых f〉0 вращения векторов V (Хо, £) и 尸(Х°, 0) совпадают. По условию вращение вектора 尸(X。, 0) на сфере S отлично от нуля; следовательно, отлично от нуля и вращение вектора V (&, /) при достаточно малых / > 0. Но вектор V (Х°, t) не имеет особых точек на сфере S ни при одном fg(O, со] в силу условия (6.2); кроме того, V(X(), /) зависит от / непрерывно, следовательно, вращение V (Л'о，0 постоянно на полуинтервале 0 <£《(《. Отсюда следует, что вращение вектора V (Хо, (о) отлично от нуля. Вектор V (X。,(о) есть вектор сдвига отображения Г в точке X。. Таким образом, степень отображения Г отлична от нуля. Это и доказывает теорему.
Доказанная теорема позволяет установить следующий признак существования у системы (6.1) гармонического колебания (см. работы [22, 23, 24]).
Теорема 62 Пусть функция F(X, /)= {/, (хг ...
илаила...,хл, 0fn(xiхл, £)} непрерывна, ta-n&puo- дична по t и имеет непрерывные частные производные ^~» L / =1, 2也,удовлетворяющие условиям
ила
ила
пусть, кроме того, функции 力(修勺一口 0, х/+1, .•・ хл, £) ограничены. Тогда система (6.1) имеет, гармоническое колебание.
Доказательство, Из условий теоремы следует, что существует такое г, что
■^■>/п〉0при 方=1, 2,…，г(6.5)
и
-^^" "^ ™~ HI V 0 При ±=/*+1, ..., 71.(6.6)
При этом можно считать, что г отлично от нуля и п, ибо в противном случае дело свелось бы к теореме 3.4. Имеем
力==/ J^d"f + /；(Хр ... * 尤л，6 X/_|_p >.. * хл( £). (6.7) 6
По условию теоремы существует такое Ж > 0, что
\ft(^г • • •» 勺―1，0,尤i+i，х〃，f)| V 加・(6.8) Отсюда и из условий (6.5) и (6.6) следует, что существует такое а > 0, что при |xj ^ а выполняются неравенства 九&хя, £)巧>专巧 при I— 1, 2,…，г, (6.9) 力(％]х〃，f)修 V —爸 ％； при / =厂十 1,…，儿(6.10)
Наряду с системой (6.1), рассмотрим систему
雀L = S(*iхл, 0«=1п),(6.11)
определяются посредствомопределяются посредствомгде функции д(*1хя, О равенств：
определяются посредством
определяются посредством
中,(X],, ^п* *)==
1 * J 式 а,
а < 1 xz К 2а, |х/>2а
=•
fi（X[> •…，x弘，f）
c力（修巧1，分々
при
при
при
(2a -丨修1)修+ ( 1招1 — i0力
для Z 二
工1, 2, • • • > г.
似修，
при
1 х, 1《0.
=a
（2a - 1修1）々一（丨修丨一《）力‘
при
"丨吃1《20，
-xi
при
1> 2а
для ± =「+1, я.
Нетрудно видеть, что функции « непрерывны, удовлетворяют условию Липшица по переменным xk в окрестности каждой точки X, f, w-периодичны и sign ^t = sign xt при I %/1 > a, £ = 1, 2г и sign 恥=—sign xz при | xz| > a, j = r + 1, ..., n.
Выберем положительное число А столь большим, чтобы оказалось
Д2 > nMat А > 2a.(6.12)
Пусть S — сфера с центром в начале координат, определяемая равенством ||Х|| = nA, Рассмотрим векторное поле Z(X) с компонентами
(6.13)(6.13)Zj(X) = *f при ±=1, 2, .... г, Z,(X) = — xz при £=厂 + 1,・・・,п.
(6.13)
(6.13)
Пусть Ф — вектор с компонентами 巧(х^ ..., хл, 0),... Хд, 0). Рассмотрим скалярное произведение
п
Z ・①=工 Зд/ и покажем, что на сфере S это скалярное произведение положительно. Имеем
，z•①=£ 縛j— £ «х“(6.14)
(=1t = r+l
Ясно, что на сфере S окажется max | х/》4 Кроме Z = l, ...» л
того, из условий (6.5) и (6.6), равенства (6.7) и условия (6.8) вытекают неравенства
力(％1 …一,хл, /) xz > —Maf/ = 1, 2,・・・, г,(6.15)
//(хр ...» хл> f) xz < Ма,方=「+1,.…n. (6.16)
Из этих неравенств получаем оценку'
Z • Ф > Д2 — nMat飞
а отсюда, в силу выбора числа А, следует нераве1ьство Z •①〉0, справедливое на сфере S. Это означает, что на сфере S векторы Z и Ф не оказываются противоположно направленными; следовательно, их вращения совпадают. Но хорошо известно [32], что вращение вектора Z отлично от нуля; следовательно, отлично от нуля и вращение вектора Ф.
Пусть вектор 屮(九 Х$ ") с компонентами %, ..., фл представляет собой решение системы (6.11) с начальными данными f=b Х= Хд Покажем, что если Ло£5. то при О V f《о)выполняется неравенство
里 9 %, f。)#/.(6.17)
Пусть 占={*£), …，碎)} £S. Предположим сначала, что при некотором 吼 1《良《厂， выполняется неравенство |%S)[》Q・ 口° тогда из того, что при | xft [^ a ^kxk > О, следует, что при всех f〉0 вдоль нашего решения будет выполняться неравенство ) хА [ > | х^ |, что и доказывает соотношение (6.17). Пусть теперь | %?)] & а при 方=1, 2,…，г; тогда при некотором 瓦 г4" ^ ^^^^ окажется |х£)|》а. Так как ^kxk < 0 при \xk\^ а, то легко убедиться в том, что при всех / > 0 будет выполнено неравенство | 4 [ V | 噌 | • Это и доказывает (6.17).
Из самого выбора функций % следует, что все решения системы (6.11) продолжимы на все моменты времени t ОТ t = — ОО ДО / = + 8.
Таким образом, для системы (6.11) выполняются все условия теоремы 6.1; следовательно, система (6,11) имеет m-периодическое решение. Пусть это решение есть 修=心«) (/ = 1, 2,・・・, л). Покажем, что при всех t выполняются неравенства | ф； (f) | < а (/ = 1, ..,, п). Предположим, напротив, что это не так, т. е. предположим, что |Ь«о)|》а. Пусть сначала 々О； тогда ясно, что при f>f0 |屮目(f)| возрастает, и, следовательно, не может выполняться равенство 屮尼 «о + з)=屮尼 «о)，Пусть теперь ft > г, тогда при у% | 屮々(f) | возрастает с убыванием времени и не может реализоваться равенство 屮々("——з)=屮尼(f。). В обоих случаях функция 屮力(/) оказывается непериодической. Полученное противоречие доказывает» что |ф((/)| < а (/=1,..., п). Но при \х^^ а система (6.11) ссвпадает с (6.1); следовательно, xz = ^(/) представляет собой io-периодическое решение системы (6.1).
..工еорема доказана.
Докажем еще одну теорему о существовании гармонических колебаний. Рассмотрим систему дифференциальных уравнений
第= 4Х +尸(X, 0.(6.18)
где X и F {X, f) — вещественные n-мерные векторы с компонентами хр ..., хл и /1/л соответственно; < = {〃“}— вещественная постоянная квадратная матрица п-го порядка.
Относительно функции 尸(尤 f) будем предполагать, что она непрерывна, имеет период 2冗 по аргументу f и удовлетворяет условию единственности решений при всех X, /・
Теорема 6・3. Если матрица А #е имеет собственных чисел вида 总Z (k ——натуральное число или нуль, £ ——мнимая единица) и если функция 尸(X* £) при достаточно больших ||Х|| удовлетворяет условию
|,(Х, 0||<£ИП.(6.19)
где положительная постоянная L достаточно мала, то система (6.18) имеет хотя бы одно 2^периоди~ ческое решение.
Доказательство. Пусть, как обычно, Х(九 X» Q — решение системы (6.18). Из оценок (6.19) следует [1], что
все решения системы (6.18) продолжимы на все моменты времени от —оо до +оо. Пусть V {Х) = ТХ—X — вектор сдвига преобразования 7, а &卜・・・,&〃 — компоненты вектора V.
Рассмотрим линейную систему ，
券"К .(6.20)
Не нарушая общности, можем считать, что матрица Л имеет каноническую структуру. Определим для системы (6.20) преобразование То пространства X в себя, аналогичное преобразованию Т для системы (6.18). Обозначим через 步={吻】,...,吻也} вектор сдвига преобразования То, т. е. вектор W = Т^Х — X. Пусть матрица А имеет следующие характеристические числа:入i±fp4， ・・・,入$士£卩$， *P ・・・,乂也—第， среди которых могут быть и равные. Ясно, что
0(叫，…，. 万山二…今)一
呼叫 cos 2代步]-1,—0叫 sE 2叩Г0, ..., 0
—e1^ sin 2к|1р©2叫 cos2x*—1,0, ..., 0
0,О,е21razi-2S—1
и по теореме Лапласа имеем
}3,…，今)一
s〃一2s
=п а—2 J'% cos 2冗产加+e4%)JJ(e2fl— i). m»lm-1
то % # 总то % # 总(6.21)(6.21)В силу условия теоремы % 耍 ° и если 入加=0, (尼一натуральное число). Отсюда получаем
то % # 总
то % # 总
(6.21)
(6.21)
Это доказывает, что индекс точки хх — х2—.....
как особой точки векторного поля W (-Y) равен 土 1.
Кроме того, из неравенства (6.21) вытекает» что суще- ствуёт такая постоянная К > 0, что
№(х 川》К|[Х||.(6.22)
Оценим теперь норму разности 丿(X。)一 W (Xo) при достаточно большом ||X0||. Ясно, что
U(Xo)—取(Х°) = Х(2冗，Ха 0)_屮(2冗，Ха 0), (6.23)
где через 屮(А Х°,加 обозначено решение системы (6.20) с начальными данными t — t^ X = X0. Пусть F (0 —решенне матричного уравнения
幫=4匕(6.24)
такое, что У(0) = /.
Известно (см., например, [3J), что тогда решение Л" (/, XQ, 0) системы (6.18) удовлетворяет интегральному уравнению
Хо, 0) = W(f, X。, 0) + J У« —т)尸(X, t)dt. (6.25)
Пусть у», — элементы матрицы У, тогда положим л
1Н=工 1у〃| и q= max IIф(Л X。, 0)||./J-l0«f《2兀
Тяк как 屮——решение линейной системы (6.20), то существует такая положительная постоянная М, что сг<： Af||X0||. Пусть, кроме тогом с2 = max ||F(^)||.
0</<2тс
Из равенства (6.25) получаем
||Х (f, Хо, 0)||<С1+е2 J 11^(^ (т, Хо, 0), т)||(/тпри0<^<2тс. о
(>1итая, что II-¥0|| достаточно велико, в силу условия (6.19) имеем
||Х|| < Г!4-c2L /||Х(Т, X。，0)11* при 0《f《2n. (6.26)
Отсюда по известной ле咿е (см. [1J) находим
H(t Хз 0)11 <0濟必e《f《2初 (6.27)
С другой стороны, из равенства (6.25) вытекает оценка
||X(f, Хо, 0)—可(九 Хо, 0)11 <с2 J||F(X,T)||dt (0《у 2п), О
а отсюда при достаточно больших ||X0||, принимая во внимание (6Л9) и (6.27), получаем
||Х(/, Хо, 0)—Ф(/, X。，0)11 < C2LC1 J ec^dx = Cl^Lt—\). о
Из этого неравенства и из (6.23) в силу ^ ^M^XQ\[ выводим.
^V{X^)-W(X^ < Л1(^-1)И0||(6.28)
при достаточно большом ||Х0||.
Будем считать постоянную L настолько малой, чтобы выполнялось неравенство
K^M^^L — Xy(6.29)
Пусть S — сфера достаточно большого радиуса с центром • в начале координат. Из оценок (6.22) и (6.28) вытекает, что ни в одной точке сферы S векторы V м 呼 не оказываются противоположно направленными и V ни в одной точке сферы не обращается в нуль. Отсюда следует, что вращения векторов 0 и 呼 на сфере S совпадают. Но было доказано, что индекс точки -Y —0 как особой точки поля W равен ± 1. Сфера S, в силу неравенства (6.22), не охватывает особых точек поля Wt отличных от начала координат, и потому вращение вектора W на сфере S равно ± 1. Следовательно, вращение V на сфере S также равно ± 1, а это значит, что сфера S охватывает хотя бы одну особую точку вектора V. Эта точка является» очевидно, неподвижной точкой преобразования Т.
Теорема доказана.
Эта теорема впервые была доказана, по-видимому, Бар- балатом [33J. Здесь мы привели доказательство, опубликованное в [34J.
Отметим, что» как следует из самого доказательства теоремы 6.3, константа 厶 в неравенстве (6.19) может быть эффективно оценена через матрицу Л.
В заключение отметим, что результаты, близкие по своему идейному содержанию к приведенным выше, были не так давно опубликованы М. А. Красносельским [32].
§ 7. Системы с конвергенцнеИ
В этом и следующем параграфах мы будем изучать системы, обладающие единственным устойчивым в целом гармоническим колебанием.
Пусть, как обычно, правые части системы
券=尸(尤f)(7.1)
непрерывны, w-периодичны по f и удовлетворяют условиям единственности при всех (X, t),
Определение 7.1. Будем говорить, что система (7.1) обладает свойством конвергенции, если
все решения *(厶尤,7°) продолжимы на все моменты времени ^0;
система (7.1) имеет единственное ю-периодическое решение Х = ©«);
это решение устойчиво в смысле Ляпунова;
для любого решения X(f, Хо, tj выполняется соот- нлиение
lim ||Х«, Х°,绵一①«)Н=0.(7.2)
f-> + ОО
Таким образом, система с конвергенцией — это такая диссипативная система, у которой множество / (см. п. 3 § 2) вырождается в точку. Установим следующее характеристическое свойство систем с конвергенцией.
Теорема 7./. Для того чтобы система (7.1) обладала свойством конвергенции, необходимо и достаточно, чтобы существовало ограниченное при t^t^ решение и чтобы любое решение X (f, Xo,灰)системы (7.1) было равномерно при f〉% асимптотически устойчиво, т, с. чтобы по любому е > 0 можно было указать такое 8(Х0, ^0), что если ||А* — X (产，X。，^0)|| < 8, то при £》产》/о
ЕХ«, Хо, 4)-Х(我 X*, он <£.(7.3)
и чтобы существовало такое А(Х°,灰)，что если и*-х(л Хо, ^)11 <Д.•
lim ||X(f, К。，幻一Х(九 X*,广州=0.(7.4)
Доказательство. Необходимость [35]. Пусть система (7.1) обладает свойством конвергенции» тогда она имеет w-периодическое решение X = G(f). По определению это решение асимптотически устойчиво. Но хорошо известно (см., например, [15]), что асимптотически устойчивое о)-пе- риодическое решение системы (7.1) будет и равномерно асимптотически устойчиво. Таким образом, решение Х = ©(£) равномерно асимптотически устойчиво. Покажем, что и любое решение X (九 X。，/0) будет равномерно при f》f()асимптотически устойчивым. Возьмем произвольное е > 0. Так как решение X = G(f) равномерно асимптотически устойчиво, то по этому е найдется 8 такое, что если || Хо ——Ф(^))||< 8, то ||Х(九 X。，公—Ф(ОН < £ при t^*s Из соотношения (7.2) вытекает существование такого 工》力，что
II Х(/, X。，幻一①⑴II <^
при /》с. По теореме об интегральной непрерывности существует такое 6】€(0, -；), что если ||Х* — Х(£*, X。，^0)!| < 8г и %<7*《％ то при всех ^0< ^ < х ||X(f, X*,广)一 —X(我 X。，4川 < у. Отсюда и вытекает соотношение (7.3).
Необходимость условий теоремы доказана.
Достаточность [36]. Пусть система (7.1) имеет ограниченное при £》％ решение X = B(f); покажем, что при любых £() м X выполняется соотношение
lim ||Х(九 Хо,幻一屮(»|=0・(7.5)
f-> + 8
Допустим, напротив, что это не так, т. е. предположим, что существует такое £ и такое X；, что для решения X (九 Хо， t) соотношение (7.5) не выполняется. Из условий теоремы следует, что любое решение Х(九 &, ^0) системы (7.1) продолжимо при /》Ь поэтому, не нарушая общности
рассуждений, можно считать, что t* > t& Пусть О—множество таких точек гиперплоскости ?=尸，через которые проходят решения, обладающие свойством (7.5). Множество О не пусто» так как ясно, что Т(^*)^О. С другой стороны, по предположению множество О не совпадает со всей гиперплоскостью £ = /*• Пусть X* — граничная точка для множества О. Для решения X (f, X*, /*) соотношение (7.5) не выполняется, ибо если оно выполнялось бы, то из-за того, что решение 4r (f) равномерно асимптотически устойчиво, соотношение (7.5) выполнялось бы и для всех решений, близких к X (f, X*,产)，и точка X* не была бы граничной для О.
Так как для решения X (Л X*, ^*) соотношение (7.5) не иыполняется, а в любой окрестности точки X* лежат точки области О, то ясно, что решение X (Л X*, £*) не может быть устойчивым. Это противоречит условию теоремы. Противоречие доказывает соотношение (7.5). Из этого соотношения вытекает, что система (7.1) диссипативна; следовательно, она имеет решение с периодом к@ и решение с периодом (々 + 1)з, где А — достаточно большое натуральное число. В силу соотношения (7.5) разность между этими решениями должна стремиться к нулю при 看一>十8； отсюда следует, что эти решения просто совпадают. Но если решение имеет периоды Аю и (左;1)з, то оно имеет и период ю.
Таким образом, система (7.1) имеет w-периодическое ре- 势 тспие, к которому стремятся все остальные решения. Отсюда и вытекает достаточность условий теоремы.
Пусть, как и раньше, Т — топологическое преобразование гиперплоскости ^ = 0 в себя, ставящее в соответствие точке X точку X (з, Хо, 0). Докажем следующую теорему 137].
Теорема 72 Если система (7.1) диссипативна и существует непрерывная функция @(Х, Y) точек X “ Y гиперплоскости £ = 0 со свойствами:
@(Л\ У)》0 〃 и(Х, У) = 0 тогда и только тогда. 卅。gda X — Y,
и(ТХ, ")《и(Х, У) “ при @(ТХ, ТГ) = г/(Х. У)
MQ система (7.1) обладает свойством конвергенции.
Доказательство. Для диссипативной системы (7.1) ЫЦ)сделено множество /. Покажем, что в условиях теоремы
множество представляет собой точку. Предположим, напро тив, что это не,так, тогда
а== sup @(Х, F) > 0.(7.6
Как было показано в § 2, множество / замкнуто, поэтом1 существуют точки X 0 и У£/ такие, что г(X, У)=и Из равенства 77 = / следует, что 丁一‘丫毛/ и T^V^/.
Из условия теоремы тогда вытекает неравенство
@(厂次，T~1F)>v(X, Р) = а.
Это противоречит определенно а. Полученное противоречие доказывает, что множество / представляет собой точку Г гиперплоскости £ = 0. Отсюда и из теоремы 2.3 вытекае；1 что решение X (我 Z, 0) есть устойчивое в целом (о-перио1 дическое решение системы (7.1).I
Теорема доказана.■
Условия этой теоремы оказываются и необходимыми для конвергенции.
Теорема 7・3・ Если система (7.1) обладает свой ствол конвергенции, мо существует функция @(Х, Y, удовлетворяющая условиям теоремы 7.2.
Доказательство. Пусть в системе (7.1) имеет месте конвергенция и пусть X = @(f) — гармоническое колебание Множество точек этого решения представляет собой множе ство S для диссипативной системы (7.1) (множество S был введено на стр. 36, п. 3 § 2). Пусть а > 0 таково, чт ||Ф(0)|| <«•
Рассмотрим функцию а(^), введенную в п. 4 § 2. к неравенства (2・34) следует, что
' H(t К。，4)-Ф «州 <а«)(7「
при e《f V + 8,质€[0, 3), ||-V0|K а.
Отсюда вытекает, что если 0Х|《а, |卜||《〃，то 1rx -7%| e2a出)(7上
при ft > 0. Обратим функцию р = 2а (/), получим функци f = f(0)； 〃0) определена и непрерывно дифференцируех при 0 々° 之十8, при таких Q，(0)<О и "0)-> 0 пг Р~>оо и f(Q)-> оо при ,f 0・
Образуем функцию
@(К У)= 2尸"Х-Е) прнХ#匕(79)
Опри X = У・
Покажем, что ряд, определяющий функцию v при Х#У, сходится равномерно при ||Х||《瓦 IIУII《尻 где b ——любое положительное число. Так как система (7.1) диссипативна, то» как было показано в § 2, существует такое 々(力)，что при k^ k(b) и при ||X||W力 выполняется ПГ*Х||《.а. Отсюда и из неравенства (7.8) вытекает, что
II 7*Х — 7&У II V 2a (也一Е (〃))
нри h> h(fi)・ Из этого неравенства в силу монотонности функции £偉)получаем
t(^TkX ~1*¥^> t^{k — k{b))) = k — k(b),
н, следовательно,
—1_-<1 (7.10) 织(II Xx—KrQ[k — k(j)]a
при ||Х|К瓦，||У||《尻 Следовательно, рассматриваемый ряд сходится равномерно при ||Х||《儿 ||У||《氏 Отсюда, из ТСГ6 что ?(Р)-> оо при Qf 0, и ив непрерывности преоб- раэопания 7, вытекает непрерывность функции & при всех m匕
Для того чтобы убедиться в справедливости теоремы, остались показать, что v(TX, ТК) < v(X, У) при X # У.
"”)=£产(1|片+%一片+ 1川)=
h ———~u(X，и——.
^f2(|| Т^Х—Т^Уй) '尸(и х — Wl)
Тик И1К при X ^Y R7“J~гттг > °，ТО этим и доказано нише iwpaeoHCTBo.
Теорема доказана.
? И. Л, Плисс
В приложениях часто удобно пользоваться следующей теоремой, являющейся простым следствием предыдущей [38, 39|.
Теорема 7.4. Пусть система (7.1) диссипативна w существует функция @(Х, У, /) со следующими свой-
и(х, У, £) = и(х, У, f + 叫
@(Х, У, £)》0 “ @(Х, К, £) = 0 тогда и только тогда, когда Х=У,
лл
3)石=象+£瑞九(X, f)+£庭九(У, f)co « 女=1*=1
© = () 6 том 〃 только в том случае, когда X = Y {под “片 Ум /л понимаются, как обычно, компоненты бск・ торов X, Y и F соответственно), Тогда система (7.1) обладает свойством конвергенции.
Доказательство. Рассмотрим два решения X(九 X。，0) и X(f, Fo, 0) системы (7.1), считая, что X。# Ко. Из третьего свойства функции © следует неравенство
齐 @(X(f, X。，0), X(f, %, 0), 0<0.
Отсюда вытекает соотношение ©(Х。，Fo, 0)>v(T-Y0, 7%, з)= = &(ТХо，7y°, 0). Теперь ясно, что функция и(Х,匕 0) удовлетворяет условиям 'теоремы 7.2, что и доказывает наше утверждение.
Используя рассужления, проведенные при доказательстве теоремы 2.6, нетрудно показать, что теорема 7.4 допускает обращение, однако мы на этом не останавливаемся.
Укажем теперь несколько достаточных условий конвергенции для конкретных систем. Рассмотрим систему [40] '偌=AY + G(X, /),(7.П)
где А — постоянная квадратная матрица с элементами, а^(/, /=1， ...» n), X, О ——n-мсрпые векторы с компонентами xz и gt соответственно. Относительно функции С(Х, t) будем предполагать, что она непрерывна, обеспечивает единственность решений системы (7.11) и периодична no £ с периодом о). Кроме того, будем предполагать, что
§7]§7]СИСТЕМЫ С КОНВЕРГЕНЦИЕЙСИСТЕМЫ С КОНВЕРГЕНЦИЕЙ
§7]
§7]
СИСТЕМЫ С КОНВЕРГЕНЦИЕЙ
СИСТЕМЫ С КОНВЕРГЕНЦИЕЙ
при всех X, У н f выполняются неравенства
|gj("l，Xл» /) - gi(W，•一，%，f)l《囂工 月一%I，
尼=1
I = L …n. (7.12)
Теорема 7.5. Если все характеристические числа матрицы Л имеют отрицательные действительные части, 〃 постоянная 义 достаточно мала, то система
(7.11) обладает свойством конвергенции.
Доказательство. Рассмотрим систему „первого при-
(7・13)(7・13)ближенияа
(7・13)
(7・13)
dt -a人.
Хорошо известно [41], что для этой системы существует функция Ляпунова в виде квадратичной формы, т. е. существует определенно-положительная форма ■
取(*1，乙)=? bijX/j,(7.14)
производная от которой по времени, взятая в силу дифференциальных уравнений системы (7,13),
历(7.15)
определенно-отрицательна.*
Положим*
V(X, Y) = W(xl — ylх“一у“) =
=X %(*/ — ”)(弓一у» (7」6)
Пычислим производную от функции 秒(X, У) по времени й силу дифференциальных уравнений системы (7.11):
0」*/丿(*, - %)(*) 一力)+
+¥」"/，(%14,f)-д(у1%，f)](*/ -
十，”修一％)[gj(勺x—g/(Ji，・・・，％'(抖7)
Но форма (7.15) определенно-отрицательна. Отсюда и из неравенств (7.12) следует, что при достаточно малом х выполняется неравенство 秒(X, F)^0 и 秒(X, У) = 0 тогда и только тогда, когда Х = У. Форма (7.14) определенно-положительна, поэтому 秒(X, У)》0 и 秒(X, У) = 0 тогда и только тогда, когда X = F.
Таким образом, функция 秒(X, У) удовлетворяет условиям теоремы 7M. Кроме того, как было показано ранее (см. теорему 3.1), система (7.11) диссипативна. Следовательно» система (7.11) обладает свойством конвергенции.
Теорема доказана.
Отметим, что, как следует из самого доказательства теоремы 7.5, константа * в неравенстве (7.12) может быть эффективно оценена через матрицу А.
Рассмотрим теперь следующую систему [42]:
-^ = F(^) + G(0， (7.18)
где X,尸 н О — n-мерные векторы с компонентами %广 /, и gt соответственно. Вектор-функцию G будем считать непрерывной и а)-периодичной. Относительно функций 力(勺，…，хя) будем предполагать, что они непрерывно дифференцируемы по всем своим аргументам. Образуем матрицу Якоби вектор'функции 尸(X»:
/ "i dfid/i \
J(X) == I (7.19)
Положим
r(X) = l(J+J*),(7.20)
где」一транспонированная матрица J. Докажем следующее утверждение.
Теорема 7s. Если при всех X все характеристические числа матрицы W меньше некоторой отрицательной постоянной, то система (7.18) обладает свой* ством конвергенции.
Доказательство. Пусть 底(X)—характеристические числа матрицы W {X). По условию существует такое 8 > 0,
венствовенствочто при всех X выполняются неравенства 入々(Х)<—8. Обозначим через X ・ Y скалярное произведение векторов X н У. Покажем, что при любых X н У имеет место нера
венство
венство
也(У)Х・Х)<—3||Х||2.(7.21)
Рассматривая функцию W (Y)X * X как квадратичную
форму компонентов вектора X, приведем ее посредством ортогонального преобразования X = PZ к каноническому виду: •
п
叭 y)X・X =』L(y)z；,(7.22)
*=1
ГДС ГА — компоненты вектора Z・ Из равенства (7.22) и не- рАйенств Xft(F) <—8 следует неравенство
犷(У)Х・Х V — b||Z||2・
Но преобрааовапие X = PZ ортогонально, поэтому ||Z|| = 一||*||・ Отсюд» и пытскает неравенство (7.21).
Положим &(Х)п||Х||4 Продифференцируем эту функцию но / и силу системы (7.18):
石=2尸(X)・X + 2G (f)・X пли
百 П 2 [尸(X)—尸(0)1 • X + 2 [G (/) + 尸(0)1 • X. (7.23)
Далее,
1
F{X) — F^ = ^J{uX)Xdu. (7.24) о
(Йтрудно убедиться в следующем соотношении:
1
du-X = ^W (〃Х) Xda・X. (7.25)
Оо
И# равенств (7.23) — (7.25) получаем
6.2/ W («X) X • X d« + 2 [О (0 4- F (0)] • X. (7.26)
Отсюда И из (7.21) вытекает неравенство
力 < 一 23||Х『十2 [G(f)+F (0)J - X. (7.27)
Функция О (/) непрерывна и периодична, следовательно, ограничена; поэтому при достаточно больших ||X|| ^ < 0. Из теоремы 2.5 тогда следует, что система (7.18) диссипативна.
Рассмотрим теперь функцию q(X, У)= ||火一旷泸 Образуем производную от этой функции по / в силу системы (7.18):
石i = 2[X—У]"尸(X)—尸(У)].
Используя так же, как и выше, (7.24) и тождество (7.25), получаем
石 1=2 / W(Y-\-u{X—Y)){X — Y)du-(X — Y). о
Отсюда в силу неравенства (7.21), справедливого при любых значениях аргумента матрицы W, получаем
方]V —2矶|Х—У||2.(7.28)
Из этого неравенства следует, что функция vx удовлетворяет условиям теоремы 7.4, ссылка на которую и завершает доказательство.
В этом пункте мы рассмотрим систему прямого автоматического регулирования с одной нелинейностью и периодическими вынуждающими силами [37]:
пл
号f- = £ьт + h J 9卄 р式外 6 = £%х№ = \га),
V-I£=1
(7.29) где 分八，力矗，aft — вещественные постоянные, функции р论(£) непрерывны и w-периодичны, /(о) непрерывно дифференцируема при всех а.
Предположим, что все характеристические числа матрицы, составленной из коэффициентов ^ъ, простые и имеют отрицательные действительные части.
Приведем, следуя А. И. Лурье [43], систему (7.29) к каноническому виду. Будем предполагать, что при этом получится система
/=%* + /("十 0р(')， а =』Н办(р=1,…，初
(7.30)
Будем считать для определенности, что первые s чисел 入矗 вещественны, а остальные представляют собойпар
комплексных сопряженных чисел. Тогда, очевидно, окажется, что / zs суть вещественные переменные, a zs+ll ,... zn
представляют собой " ? $ пар комплексных сопряженных величин.
Вудем искать для системы
%R = Vp + /(。)，。=£*(用 (p=l71)(7.31)
及=1
функцию Ляпунова в виде квадратичной формы переменных М (см. [43], гл. И, § 4).'
Положим л
^-^^vn;.(7.32)
Кшрм^ицнйИ форма 尸(2], ・・.,zQ принимает лишь веще- CTNVHHUc значения. Эго следует из того, что слагаемые этой формы или nemecTBciiiibi или для всякого комплексного сла- I й^мого пяйдится соответствующее ему сопряженное слагаемое.
Докажем, что форма F — отрицательная знакоопределен- най. Заметим, что имеет место тождество
告丁-/уе卩 о
И01Т0МУ
оо п8 /〃\ 2
*■-/ £
0 «,?«10 \а = 1/
Нб Сумма 2d ^«^ представляет собой вещественную вели- а * 1
мину (комплексные слагаемые входят попарно с сопряжен- нмми)1 киелраг которой положителен; при различных Ха ука- ЙЦ1НН1И сумма может обратиться в нуль для любого т, если ИйЖДЦЯ из переменных 筛 будет нулем и только в этом
случае. Поэтому F является определенно-отрицательной формой.
Составим полную производную от F по времени в силу дифференциальных уравнений
2а = А/а（а=1, ・・・， л）.（7.33）
Имеем
a・lanl p • 1
ИЛИ д д ■л
户=2£ 2； -j^^- v₽ = Л Vp +
0.1 a * 1an 1 p* Ian 1 B = 1
Таким образом.
Квадратичная форма
❿（％1，・…z/J） = "^（4z；+ ... +4必）+
+ （C/s+Rs+2 + Сз/$+3%$+4 +十 C/j—s—/п-1%/1）（7.35）
при положительных Лр ..Лг С「 ..Ся-5-Р очезидно, является определенно-положительной. Ее производная по времени, взятая в силу системы （7.33）, имеет вид
ф = 4 入1N； + 42 人2君 + .一 + 4 AjN； +
十&（入$+1 +<+2）%+М1+2+ • •・ + &т7«Т + 入r）Zr-Rr '（7.36）
и, значит, представляет собой определенно-отрицательную квадратичную форму.
Будем разыскивать функцию Ляпунова для системы （7.31） в виде
е（2】Zr） = @（NiN/ —尸（@/1，・・・，Qr2/・（7.37）
Производная от этой функции по времени, взятая в силу дифференциальных уравнений системы (7.31), как следует из соотношений (7.34) и (7.36), равна
/ л \ 2
+ &(入$+1 +入 s+2)/ + Ms+2+ • • •
• • - +'/17-1(底一1 + "212厘+/(°)х
Хgzjd -2。，2命］十n—sлт
+ £zs+p Ср —2*2 儿+Z+P '；(7.38)
рТan I_
причем в последней сумме для упрощения записи введены постоянные С2, С4, ..., С〃一§, равные соответственно Cv
С31 • ' • < C/i—sT，
Сделаем теперь следующее предположение. Предположим» что функция /(а) такова, что
/ (а) а > 0 при <j#0・/ (а) а > 0 при <j#0・(7.39)(7.39)
/ (а) а > 0 при <j#0・
/ (а) а > 0 при <j#0・
(7.39)
(7.39)
Добавим к правой части равенства (7.38) величину р.а/ (а) п
И отнимем равное ей произведение.(1/(а) 2 Тр^р* Тогда если
ПОДЧИНИТЬ выбор ПОСТОЯННЫХ @1， •・・,Qr, Ах Л5,
Ср ..и а условиям
4 — 20fl 工"Г" f 广十 Nip = ° (p = 1» t • • > s)‘ (7.40) a ■ 1
—2*£ %$L+p + 1rTs+P = ° (p=l，2, ..., n~s),
”(7.41)
то выражение v примет вид
$ =-記/(。)一(£哼2)+4入得+ ... +A/W+十C1(%+1 + 入$+2)25寸125-2+
■ • • + &-sT + ^^n-l2^ (7・42) и при 卩>0 функция и будет определенно-отрицательной,- Используя функцию и, нетрудно доказать следующую теорему.'
Теорема 7・7・ Если выполняется соотношение (7.39) и если можно указать такие постоянные Ах > 0,..., 4〉0, Cj = С2 > 0, ...» Cn^s_x = Cn_s > 0 〃卩〉0, что система квадратных уравнений (7.40), (7.41) имеет вещественные корни ар as и ―— пар комплекс- них сопряженных корней а5+1, .... ая, то система (7.29) диссипативна.
Доказательство. Продифференцируем функцию 秒 по / в силу дифференциальных уравнений системы (7.30); будем иметь
j = В (о)。一(2 а») + A^z\ +…
…+4%:+自色+1+仁2)/+1z门2+…
• • • + C/i-s-i(入网一1 + 人抬)2门一1z；1 + 乙(，, /1, , • • , ^n^ (7.43)
где А(Л zp ...,之抬) есть линейная форма переменных 2]zn с периодическими по £ коэффициентами. Ясно, что при достаточно больших значениях суммы |n/+ … ... + I ^я I функция (7.43) окажется определенно-отрицательной. Отсюда и из теоремы 2.5 и следует наше утверждение.
Теорема 7・8・ Если выполнены условия предыдущей теоремы и если, кроме того, f (а) > 0 при всех а, то система (7.29) обладает свойством конвергенции.
Доказательство. Для доказательства образуем функцию
К” …噌，Nf)齊))=
=0 (*】)-建)^— z切.(7.44)
11айдем полную производную от V по / в силу дифференциальных уравнений системы (7.30). Составим для этого сначала производные от разностей
"砂=\,31)一2,))+/(。(1))-/(。(2)) (p = 1«).
Отсюда по теореме о среднем получаем
碎)_ г(2) = % 竹)一2伊)+ 广 G) (0о) 一。(2))(7.45)
(p ,.。 。,也),
где а лежит между。⑴ и。⑵.
Из равенств (7.31), (7,42) и (7.45) следует, что
г л12
廿=—"广而)9⑴ _0(2))2—鼻 *(齊—Z；)) +
+ 4% (空一 z§”+ ... + &*zg)— zg)y +
+ G 色+1 + *2)(Z弟 一 Z爲)0M - Z算 2)+
"…+%7.小一+"閒3-2!^)鬪)一噌).
Ясно, что при выполнении условий теоремы V ^ 0 и V = 0 юг да и только тогда» когда 2,)=/『)_ (р = 1, .., п).
Таким образом, мы находимся в условиях теоремы 7・4. Теорема доказана.
Вопросы конвергенции、
для уравнения второго порядка
В этом параграфе мы рассмотрим уравнение
%4-/(x)x + g(x) = p(0(8.1)
И уравнение с параметром
妥 + 尼/ (%)工十 g (х) = kp (f).(8 ⑵
Будем изучать уравнение (8.1) в предположении, что функция g (尤)линейная, т. е. рассмотрим уравнение
% + /(%) х 十〃％ = Р«)・(8.3)
Функции /(х) и р(£) будем считать непрерывными, а р(£) еще и а)-периодической.
Теорема 8.1. Пусть а > 0, пусть, кроме того, существует такое К 5> 0, что при всех х выполняется неравенство /(%)» К. Тогда для уравнения (8.3) выполняется свойство конвергенции,.
Доказательство. Из теоремы 4.2 следует, что уравнение (8.3) принадлежит к классу D-систем. Положим y = + F(x), где, как обычно, F(x) = / f(x)dx; тогда о получим систему
券=丫一尸(*)，穿•=—а* + Р(/)・(8.4)
Введем функцию
@(*1，У1，*2, У2)=а(*1 —々)2 + (У1 —У2)2・(8・5)
Вычислим полную производную от этой функции по времени, считая хр у】и х2> 儿 решениями системы (8.4). Для этого составим производные от разностей:
% — £ = У1 — У2 +尸(*2)—尸(修)，工一必=а (*2 — %1)・ Отсюда по теореме о среднем получаем
М(/)，У1 (0 и х2(О»，2«)обращается в нуль лишь в изоли- рбнинпых точках. Так как при %】# х? и < 0, то ясно что функция 驴(々О y】(f),修6 Уз(0) убывает с ростом времени, Следовательно, имеем
0（占（0），У1（0），占（°），山（0））>
>D（修（3）, у］（3）, /（⑴，%®））-（8.8）
Отсюдй и из теоремы 7.2 и вытекает наше утверждение.
Вупсм рассматривать уравнение (8.2) при следующих
предположениях:
Функции /, g н р непрерывны, g удовлетворяет услпнню Липшица в окрестности каждой точки х, а р(£)
а, а, 0, что g (Х)《—0а, а, 0, что g (Х)《—0всех /・всех /・имеет период ш.
а, а, 0, что g (Х)《—0
а, а, 0, что g (Х)《—0
всех /・
всех /・
Существуют такие положительные числа
/(аг) а при |х|》а, g(x)》0 при х> а, при х < — а.
Функция 尸(/) = / p(/)df ограничена при о
Из этих условий следует, что а можно считать настолько большим, что будет выполняться также и следующее условие:
Существует такое положительное『что
F(*) — Е》т при х》а, F(x) + ^< —7 при 尤《一а;
G(х) > 0 при |х|》а,
О таково,О таково,尸(х) = / /(x)d%, G(x) = J* g(x) dx, a E> о0
О таково,
О таково,
что I 尸(/)|<Е при всех t.
Из теоремы 4.1 следует, что уравнение (8.2) при перечисленных условиях представляет собой D-систему. Для установления конвергенции нам понадобится оценить более точно ту область, в которую попадают решения уравнения (8.2). Такого рода оценки были проведены Картрайт и Литтлвудом [44]. Мы установим здесь эти оценки, следуя книге Лефшеца [45].
Заменим, как в § 4, уравнение (8.2) эквивалентной системой 等=y 一做尸(х)一0а)),
Во всем дальнейшем будем считать 々》L
Пусть Хо таково, что | F | -|- f ^ Хо при ] х \ ^ а, а 入】一 положительная постоянная, которую мы определим позже. Рассмотрим прямоугольник R:
1*|М。，|у|《论％+ %•(8.10)
Покажем, что любое решение системы (8.9) с возрастанием времени попадает в прямоугольник R.
Лемма S./. Пусть |%()|《а, а |Уо1〉^% + %，тогда решение、проходящее при / =力 через точку %> у。，либо войдет при возрастании £ 6 прямоугольник А, либо покинет полосу |х|《а.
Доказательство. Разделим второе уравнение системы (8.9) па первое, тогда получим dy —— g(%)
dx - y 一也(f(%)一尸(/))
Внутри полосы I х К； а имеем | 尸(无)一£|《％; значит, внутри этой полосы за пределами R имеем [у —々(尸(х)— —尸«))1》入】.Кроме того, |g(x)|K3・ Следовательно,
Отсюда и следует, что с возрастанием времени рассматриваемое решение покинет полосу |х|《а, если оно остается вне R. При этом ясно, что выше прямоугольника R все решения проходят полосу |%|《а при возрастании %, а ниже этого прямоугольника при убывании х.
Замечание. Время прохождения решениями полосы |x|W。 вне прямоугольника R имеет положительную верхнюю границу тР
Действительно, пусть, например, решение проходит полосу !%|《а выше R, тогда из первого уравнения системы
получим
d% = [у —力(尸(х) — P(t))] dt > 入】办・
Следовательно.
где пол А и /2 'понимаются моменты пересечения рассматри- пиемого решения с прямыми х — ± а.
Лемма 82 Всякое решение, начинающееся вне по~ Мсы |*|：£а, достигает ее за конечное время.
Доказательство. Введем в рассмотрение функцию
ь(х, у) = ^у2 + о(х).(8.13)
Дифференцируя равенство (8.13) по £ в силу дифференциальных уравнений системы (8.9), получаем
i^ — kg (x)[F (х) — Р ⑺]•(8.14)
Возьмем произвольную точку *屮、％ нпе полосы I % У а. Пусть ДЛЯ определенности 心＞ а. Рассмотрим решение х(/), у(/) С НЙЧПЛЬНЫМИ ДПППЫМИ Х~' Х^ » = % При / = /0. ДО т₽х нор пока 9【с решение остается вне полосы I х | ^ а, *доль него ньшолияются неравенства g(x)》。 и F (х)—— —〃(f)〉T' Поэтому па этом решении выполняется нера- МНСТВО
穿＜一耽(8.15)
До тех пор пока рассматриваемое решение находится анс полосы |х[《а, на нем выполняется неравенство и〉0. Повтому решение должно покинуть полуплоскость %》。 В момент времени / = т н т — £о＜~^Р(%，％).
Лемма доказана.
Лемма 8・3・ Если 入】достаточно велико, то любое решение системы (8.9) с возрастанием времени попа- Оист в прямоугольник R.
Доказательство. Рассмотрим решение %(/), у (/) Viit |смы (8.9) и предположим, вопреки утверждению леммы, чк)оно при всех ，остается за пределами прямоугольника R. Из лемм 8.1 и 8.2 следует, что тогда это решение бесчисленное множество раз пересекает каждую из прямых х = ± а. Пусть fi и /2 — ава последовательных момента пересечения нашего решения с прямой % =——а. Покажем, что
существует такое. ^, что у2 (^)—炉(f；hq* Для определенности будем считать, что у(%)>0・ При возрастании / от 厶 рассматриваемое решение попадает в полосу jx|《а и затем при / = 6] пересечет прямую х = а и попадет в полуплоскость х》а.
Из леммы 8.2 вытекает, что при дальнейшем возрастании £ наше решение пересечет прямую х=а при / = 02 > Ор При этом ясно, что у (62) < 0, ибо при х = а и у>%& + % х > 0. Далее, при / = 93 наше решение пересечет прямую х—一 а, а затем при / = %>% опять пересечет эту же
прямую.亠
Найдем приращение Дги функции и вдоль нашего решения при изменении t от /】до 0Р Из равенства (8.14) получаем
世例=色 /g(x)[F(x) — P(f)]df =
=论 / [F(x)-P(t)^dx《
a
W 总/ (I 尸 1 +E) I IW 2a现恤=^^^
Такая же оценка справедлива, очевидно, и для приращения /и функции и на промежутке (^《'《坛“ Следовательно, полное приращение и на этих двух промежутках удовлетворяет неравенству
厶卫+ %◊《一兄一・(8.16)
С другой стороны, на промежутке времени от 6】до 62 функция и убывает и в то же время убывает и у. Пусть 厶2守 ——приращение е вдоль нашего решения при 61^；^^ ®2- Имеем
%у (%)
^=—k f g(x)[F(x)—P(t)\dt = k J [尸(x) —P(/)]dy.
Но при 4《£《殳尤》必 и поэтому F(х) — Е》]Кроме того, ясно, что ^(0|) > Хр а у (%)之一%, так как прямо-
?
Голы1ИК R имеет вертикальную сторону длиннее, чем 2ХР !л(* долательно, из (8.17) вытекает оценка А?^ V — 2总入i『
Дли приращения Д4с/ функции и на промежутке %《/《勾 спринсдлива, конечно, такая же оценка, и поэтому
4守+А49< -4也入门.(8.18)
Пусть Аи — приращение и вдоль рассматриваемого решении нА промежутке /】《/《J Складывая (8.16) и (8.18), Получаем
и (А)—и «2)》鉄(入】т —ху" °*) •
Выберем % > 弋%。~ и положим g = 8 (入】т—咅 加)> 0.
T©5i будем иметь
屮(/】)-у2&) = 2 9(A)-矶/))> hq，(8.19)
Но тогда ясно, что после достаточно большого числа пере- Сбчсппй с прямой х = — а рассматриваемое решение попадет 6 прнмоугольпик R. Это противоречит предположению о том, ЧТО паше решение при всех / находится вне R. Противоречие доказывает лемму.
Установим теперь следующие теоремы, важные для дальнейшего.
Теорема 82 Пусть выполнены условия 1) — 3)咒。・ Стоящего пункта, пусть А > 1, тогда существует такое М ：. • 0, что всякое решение системы (8.9) попадает © возрастанием времени 8 область | х| < Л!, |у|< 《川(1+々)〃 при дальнейшем возрастании времени остается 8 ней.
Доказательство. Если решение остается в прямоугольнике R, то теорема доказана. По лемме 8.3 всякое решение достигает этого прямоугольника. Предположим, что 01к) покидает его, например, при % = а в момент / = %, Koi ли значение ~ равно х0. Траектория точки совершит
попорот в момент /, когда 胃=0. Интегрируя уравнение (8.2), находим
-"+ 似尸(х)— 尸(a))+“f—Q《做Р(£)—Р%))《2色&
6 В. А.
так как g>0 при х^ а и |Р (/)[<；£. Следовательно,
内(尸(％)—尸(а))《2kE + %.(8.20)
Из первого уравнения системы (8.9) следует, что при х — а наибольшее возможное значение х0 имеет вид 圮十 -^-D ^k(C~\~D) (где С и D—положительные постоянные, не зависящие от А). Следовательно, (8.20) дает для x》q
尸(％)《尸⑷+2E + C+Q = K〉0・
Так так функция 尸(％) монотонно возрастает при %》。, то наше неравенство дает нам х《е, где е》а. Отсюда
уже нетрудно вывести утверждение теоремы.
Теорема 8.3. Пусть выполнены условия предыдущей теоремы, и если /(х) ^ Д > 0 при всех %, то для любого
венство |^^| < N,венство |^^| < N,где N — достаточно большая погде N — достаточно большая постоянная, не зависящая от 为.стоянная, не зависящая от 为.решения при достаточно большом t выполняется нера
венство |^^| < N,
венство |^^| < N,
где N — достаточно большая по
где N — достаточно большая по
стоянная, не зависящая от 为.
стоянная, не зависящая от 为.
Доказательство. Для любого заданного е > 0 не может оказаться х (0 > £ при всех достаточно больших /, так как |х«)| ограничен. Следовательно, либо х(/)—> 0 при /-> оо, и тогда теорема доказана, либо %(£) бесконечно колеблется с ростом /•
Если /】一одна из точек максимума %(£), то % (/[) = 0. Поэтому из уравнения (8.2) получаем
^(А)=^(А)=除（力）一g（% （幻）—打3（厶））~除（力）一g（% （幻）—打3（厶））~
^(А)=
^(А)=
除（力）一g（% （幻）
—打3（厶））~
除（力）一g（% （幻）
—打3（厶））~
' Так как по предыдущей теореме \х\ ограничен величиной, не зависящей от 总，то и |g(x)|< L. где L не зависит от k. Отсюда, поскольку А > 1, получаем
⑷ < 々max '£) +厶《々(max夕?+厶)=«
где К не зависит от" Таким образом, х (/) имеет фиксированную и не зависящую от 内 верхнюю границу во всех максимумах, и, следовательно, при всех достаточно больших f. Аналогичное справедливо и для минимумов.
Теорема доказана.
Обратим внимание на следующие обстоятельства. Пусть точка х0, % лежит в прямоугольнике 欠；тогда, как следует непосредственно из доказательства теоремы 82 при всех f > 4 выполняются неравенства
|х(/)|〈附，|у«)|〈附(1+©,(8.21)
где *(/), у«) — решение с начальными данными %,%.
Из доказательства теоремы 8.3 вытекает, что существует такое %》0, что на нашем решении при всех f》"，” будут выполняться неравенства
|х(/)|<М, 箒(8.22)
при §том величина % не зависит ни от параметра 吼 ни от Точки (*» %, /0). Действительно, неравенство |х|< М просто следует из (8.21). Докажем, что и неравенство | ^ | < N ИЫполнясгся при ，：*，о + %・ Если это неравенство выпол- ни^ки при //П| то, как следует на рассуждений, прове- Лунных при докпайтельстпе теоремы 8.3, оно выполняется и при пссх /：•厶)・ Пусть же при t = t0 ^"》N. Так как
I 用 < Л! при пссх f》f(), тб ясно, что неравенство
МПЖ@Т НЫПОЛНЯТЬСИ ЛИШЬ при / —/0 < —д^- =Тр При /》/()+ 弋1 будут ныполиспы оба не равенства (8.22).
как слидуит ип леммы 8.3, система (8.9) диссипативна (что 常尊,uitpoMeM, пытскнет и из теоремы 4.1). Образуем 嵐月貝 ttoH системы миожгетна / и S (определение множеств / и S ем, ни стр. 33 и 36 соответственно).
И а иссго сказанного следует, что для любой точки мно- ж^стиа S иынолняются неравенства
|х|《М，I 等 | = |У-Е (尸(Х)-尸《))1<м(8.23)
Криме того, в силу теоремы 2.3 множество S устойчиво. Повтому можно указать столь малую окрестность U мно- ж豊ств@ /, что на любом решении, проходящем при £ = 0 мере# U, будут выполняться неравенства (8.23).
Будем рассматривать теперь уравнение (8.2) при более жестких ограничениях. Будем предполагать, что выполняются следующие условия:
Функции /, g н р непрерывны, g удовлетворяет условию Липшица в окрестности каждой точки х, а /?(/) имеет период ш.
Существует такая положительная постоянная а, что /(%)》а при всех х.
Функция g(x) дважды непрерывно дифференцируема в промежутке |х|< М, где М ——число, определяемое теоремой 8.2. При |х|《Л4 g'(x)〉0. Существует такое р > О, что при |х|> М g(x)signx>p.
Существует положительное Е такое, что
^(^I^F, |Р(/)|= Jp(/)df《Е при всех f・о
При этих условиях мы докажем следующую теорему о конвергенции в уравнении (8.2) [46].
Теорема 8.4. Пусть выполнены условия 1) — 4) настоящего пункта. Тогда при 总 > 々》где
^Ы^-Ш^'(&24)
а постоянные М и N определяются теоремами 8.2 и 8.3, имеет место конвергенция.
Доказательство. Зафиксируем А > й0. Установим, что при сделанных предположениях множество / диссипативной системы (8.9) вырождается в точку. Этим самым теорема будет доказана.
Допустим, напротив, что это не так, т. е. предположим, что множество / содержит две различные точки. Пусть расстояние между этими точками равно d 〉 0. Возьмем две какие-нибудь точки (л:】。，у】。)и (“20，у20), лежащие в множестве /, и соединим их гладкой дугой 7 без самопересечений, целиком лежащей в U (t/—это окрестность множества /, определенная в конце предыдущего пункта). Пусть % = %(〃)， у =屮(〃)，0《〃《1 — параметрическое уравнение дуги 7, так что 中(0) = "10‘ 屮(。)=У1о‘ <р(1) = х2о> 屮(1) = У2о・ Нетрудно видеть, что кривые 7 могут быть выбраны так, что будет существовать постоянная Г, не зависящая от выбора
точек на / и от выбора кривой 7, такая, что будет выполняться неравенство [旷(〃)卩+[屮，(〃)卩<F прн любом выборе точек на / и при любом и [0, 1].
Проведем через все точки дуги 7 решения системы (8.9) х(Л и), у«, 〃)，так что 无(0, 〃)=屮(〃)，у (0, и) — ^(и). Дуга т лежит в U. По определению U будем иметь при всех
|х«, и)\ < 附，|х(Л 〃)| = |у(£, 〃)一々(尸(х) — Р(/))| < N・ (8.25)
Обозначим через C(t) (/^-0) кривую, заданную параметрическими уравнениями
%=%(/, и), у = у(/, и) (0《〃《1)・(8.26)
Поскольку расстояние между точками х(Л 0), у (Л 0) и х(/, 1), у (Л 1) меньше или равно длине кривой С(/), мы имеем неравенство
(|х(/, 0)-x(f, 1)卩 +[у(/, О)-У(/, 1)]2}У< 《/{НА"[智門 №(&27) о Положим
%(/，〃) = ^^， "М ")=^^~・(8.28)
Нетрудно проверить, что функции и】(/, 〃)и 5(/, 〃) удо- нлетворяют следующей системе линейных дифференциальных уравнений:
'% =办一，(х(/，а))%，嗚=—g'(x(/‘ "))％ (8.29)
Введем в рассмотрение следующую функцию:
取('，〃)= g'(无 «，〃))и； + и； —2刀％% (/》0, 0< н< 1).
(8.30) 犷 представляет собой квадратичную форму переменных и】 и 旳 с коэффициентами, зависящими от / и и. Выберем по・ ложнтелькую постоянную % таким образом, чтобы эта форма была определенно-положительной равномерно относительно
\х\^ М. Для этого, очевидно, достаточно, чтобы число i удовлетворяло неравенству
d < min g'(x).(8.31
Найдем полную производную от функции W по времени 1 в силу дифференциальных уравнений системы (8.9) и (8.29) 嘗=(g" (%)竟—2総'(x) /(x) + 2т;Е (х)) и；—
-2%% + 2尼T/ (х) q%. (8.32；
Дуга т лежит в U, а 也 зафиксировано так, что 内 > 饲 поэтому при всех £》0 |х|< Л4, |%|《М следовательно, при /》0 выполняется неравенство
g" (х) х — 4kg' (x) / (х)< —(1.< 0,(8.33)
где 卩一некоторая достаточно малая постоянная. Пусть х > О таково, что gf (х) < х и /(%)<х при |х|^ М. Тогда из (8.32) и (8.33) следует неравенство
嘗■< (- " + 2g * + 2刖/(X)%% - 2%%(8.34)
При достаточно малом 斗 форма, стоящая в правой части последнего неравенства, определенно-отрицательна. Зафиксируем 斗 таким образом, чтобы правая часть неравенства (8.34) была определенно-отрицательна и чтобы выполнялось неравенство (8.31). Тогда функция W будет представлять собой форму, равномерно положительно-определенную при |х|&Й4. Значит, существует такое 入〉0, что при всех £》0 выполняется неравенство
専毎〃一入步(Г,a).(8.35)
Таким образом, при />0 имеем
取(/, u}^W(0> 〃)《-м.
Из вида функции W и неравенства [</(〃)卩+ [屮，(〃)卩= =齊(0, “)+吗(0, и) < Г следует, что существует такое число W, не зависящее от выбора точек на / и кривой『 что
取(£,〃)《?©“•^(8.36)
Так как функция 呼(£, zz) представляет собой равномерно определенно-положительную при f》0 форму переменных 守]и 守2’ т0 из неравенства (8.36) следует существо- IIшие такого т, что при f》t и при любом выборе двух точек из / будем иметь неравенство
.二 d
何(/,〃) + %(/, a)}2 V(8.37)
Возьмем теперь столь большое натуральное л, чтобы ОХ1залось л(о > т.
Из неравенства (8.27) следует
丄 d
U# (几(О, 0) —x(n(o, l)l2+[y(Zl(o, 0) — у (neo, I)]2} 2 V 攵.
(8.38)
Так как точки (х10, у】。)и (х^,乎况)—любые две точки множества /, а само множество / инвариантно относительно преобразования 7", то и точки (х(п(о, 0), у (п(о, 0)) и (х(шо, 1), у(“2, 1)) — произвольные точки множества /. Из неравенства (8.38) следует, что расстояние между различными точками множества / меньше, чем ^. Но по определению в множестве / существуют две точки, расстояние между которыми равно ". Полученное таким образом противоречие и доказывает теорему.
ГЛАВА И
ПЕРИОДИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫПЕРВОГО И ВТОРОГО ПОРЯДКОВ
§ 9. Уравнение первого порядка
Будем рассматривать случай, когда в уравнении (1.1) л = 1, т. е. % представляет собой скалярную величину
窑=尸(/ /).(9.1)
Как обычно, будем предполагать, что 尸(х, /) определена, непрерывна и удовлетворяет условию единственности пр и..всех / н 尸(*, f +(o)三尸(*, f).
(T\ Предположим, что уравнение (9.1) имеет решение * = ?«), ограниченное при f》/。. В силу периодичности функции 尸(％, /) можем считать, не нарушая обгцности, что решение * = ?(£) задано при / = 0. Рассмотрим последовательность xk — ^(й(о) (々 = 0, 1, ...). Если(р(0) = ср((о)( то решение * = ?(/)——(o-периодическое, и при любых целых k и / будем иметь 中(内3)= ¥(/3). Пусть же ?(0)#ср(з). Покажем. что в этом случае последовательность xk монотонна. Будем считать для определенности, что 中(0)<中(⑴)，Покажем, что тогда
с?((о)<(р(2(о).(9.2)
Предположим, напротив, что это пе так, т. е. что выполняется неравенство
屮(з)> 屮(2з).(9.3)
Рассмотрим решение х = Ф (/) уравнения (9.1) с начальным данным 屮(со) = ▼(()). Из периодичности 尸(*, £) следует,
что 屮(f) = p(f — со). Поэтому 屮(2<о) = у 3). Имеем ф((о) = м 屮(0)V?⑹.С другой стороны, из (9.3) следует нера-
иенство 屮(2(о)》？(2(о). Из этих неравенств вытекает, что на Промежутке(о < f』2(о существует такое /*, что 屮(产)=屮(/*). А это невозможно в силу единственности решений уравнения (9.1). Противоречие и доказывает неравенство (9.2).
Аналогично доказывается, что при любом натуральном k выполняется неравенство
中仅⑴)< 中(仅+1)味(9.4)
Мы предположим, что решение x = ^(t) ограничено при /》0・ Поэтому последовательность(р(й(о) ограничена и существует предел
lim(p (few)a= а.(9.5)
&->со
Рассмотрим решение * = % (/) с начальным данным % (0)= а. Покажем, что опо периодическое. Положим <рА (/) = ср (/-f-Л«>). Так как правая часть уравнения (9.1) (o-периодична по /, то каждая из функций 屮少(f) представляет собой решение. Кроме того, из определения 中々(f) и соотношения (9.5) вытекает, что cpft(O)-> а при 左一> оо. Следовательно, по теореме об интегральной непрерывности 屮也(со)->х((о)прн^ f 8. Но 屮少((0)=中((々+l)s)f Q при 々f оо. Отсюда вытекает, что х((о) = а = х(0)・ Таким образом, решение % = %(/) имеет период(»•
Докажем, что решение х = ср (О асимптотически приближается к решению х = х(/)» т. е. что
lim (屮(/) —х(/)) = 0.(9.6)
/♦8
Возьмем в > 0, по этому е для любого решения х == х (/) найдется такое 8 > 0, что
1Х(О—Х(01<£ при 0《f《叫 (9.7)
если |х(0) — а\< 8. Пусть 内】столь велико, что при 左 > 内】 k(/e(o) — a| V 6; тогда ясно, что при f》々з |中(/) — %(/)| V £• Это доказывает соотношение (9.6).
Таким образом, установлена
Теорема 9.7. Если решение * =中(£) ограничено при f>f()(汽р〃 /《/q)， m。 либо оно само ^-периодическое.
либо приближается к некоторому ^-периодическому решению асимптотически при if 十8 (при /f — оо).
Изолированные периодические решения уравнения (9.1) обл; д ：ют некоторыми замечательными свойствами.
Определение 9.1. Периодическое решение х = ^(/) называется нзолмрованнн也 если существует такое А > О, что в области
%(/)-% <х《Х(/) +力(9.8)
нет периодических решений, отличных от * = %«).
Теорема 9.2* Если изолированное периодическое решение x = xQ) уравнена先(9.1) устойчиво по Ляпунову, то оно асамптотачески устойчиво.
Доказательство. По 力，взятому из определения изолированного периодического решения, найдем такое В > О, что все решения с начальными данными |х(0) — /(0)|< В удовлетворяют неравенствам (9.8) при / ^- 0. Пусть x — ^(t)— решение уравнения (9.1), такое, что |屮(0)——/(0)| < 8. Это решение не может быть периодическим, так как * = %(/) изолировано. Следовательно,中(f) должно асимптотически приближаться к периодическому решению, лежащему в полосе (9.8). Но таким периодическим решением может быть только х(£)・ Таким образом, все решения уравнения (9.1) с начальными данными при / = 0, мало отличающимися от х(°)，стремятся к %(£) при ff+ оо.
Это и доказывает теорему.
Пусть опять * = х(/) — изолированное периодическое решение. Покажем» что любое решение, которое при / = 0 оказывается достаточно близким к * = х(0), асимптотически приближается к х = ^ (/) либо при Zf + oo, либо при / —> ——оо. По числу h из соотношения (9.8) найдем 6 > 0, такое, что если |х(0) — х(0)| < 8, то решение *(/) лежит в полосе (9.8) при —(о&/& +(о. Пусть jc = ср(/)—решение (9.1), такое, что |屮(0)—Х(0)1 之 6; для определенности будем считать 勺(0)<%(0)・ Так как х = / (/)——изолированное периодическое решение, то ясно, что ?(0)#ср((о). Пусть сначала ср(О) < ^((о). В этом случае последовательность 屮(力з) определена и возрастает вместе с й. Положим а = lim▼(力(о). Нетрудно видеть, что 〃总％(。)・ Но решение
А -> оо
с начальнЕями данными / = 0, х~ а периодическое, и так как в полосе (9.8) имеется лишь одно периодическое реше-
ние, то это решение совпадает с % = %(£); следовательно, Q = x(0)・ А отсюда вытекает соотношение
limgG) —х«)] = 0.'(9.9)
f->8
Пусть теперь (р(0) > <р((о). В этом случае, как следует из предыдущих рассуждений,屮(——(о) > ф(0). Но тогда последовательность 屮(一力⑴)определена и возрастает. Пусть Q = Hm?(——^(о). Так же, как и в случае ср(О) < <р(ш), до- кажется, что а = %(0) м
lim [屮(/) —х(削=0.
/-> —ОО
Укажем теперь на одно интересное свойство решений уравнения(9.1).
Теорема 9.3. Любое решение 中(£) уравнения (9.1) ограничено при возрастании £ либо сверху, либо снизу.
Доказательство. Мыслимы две возможности: либо решение * = ▼(/) продолжимо па все моменты времени либо нет. Предположим сначала, что существует такое т > %» 吋。при /—>т решение * =屮(/) уходит в бесконечность. По известной теореме о продолжимости решений выполняется соотношение lim|<p(f)| = oo. Но тогда ясно, что имеет место одно из двух равенств:
lim(р(/)=十8, lim(p(/) =——оо.
А отсюда и следует, что ?(/) при t^t^ ограничена либо с耻 рху, либо снизу.
Предположим теперь, что решение * = ?(/) продолжимо Нй нею полуось /》%• Если 屮 «о)=中(％十(о), то решение *а『р")периодично и, значит, ограничено. Пусть 中(％)卢 *屮(厶+(0); для определенности будем считать, что 平(/())< V 屮(G十 ％• Положим т = min(р(/) при %《/式 力 + ⑴. Докажем, что ^{t)^m при /》％•
Допустим, напротив, что существует f*〉％ такое, что
ф(/*) <т.(9.10)
Пусть /е》1 таково, что 内(《)+% < 尸《仅 + l)(» + fo・ Pac- СМптрнм решение * = ?](/), ^ (/0) = <p (/0-j- ^(o). Так как VUg)<¥«uT 3)，T0 月ено, что
?(切 < %(4)= у (&3 + %).(9.11)
Из периодичности правой части уравнения и неравенства
(9.10) следует, что
ф](产—4 -力3) < m ^^ ср (/* - /q -也⑴).
Последнее неравенство вместе с неравенством (9.11) противоречит теореме единственности.
Теорема доказана.
Рассмотрим случай аналитической зависимости 尸 от х. Предположим, что при любом х0£ [а, Ь] функция F(x, /) представима в виде
F(x, t)= ^Ln(t) (х-Хо)п(9.12)
и ряд, стоящий справа, сходится абсолютно и равномерно при всех /£(—ОО, + оо) и |х — х0|< а, где а — положительное число.
Введем в рассмотрение функцию последования р(с). Пусть, как обычно, х(/, с, 0)—решение (9.1) с начальными данными при / = 0, х = с. Предположим, что х(/, % 0) определено и непрерывно при 0 式/< ⑴；тогда функция р задана в точке с и р(с)=*((о, с, 0). Хорошо известно, что функция р(с) аналитична в точке с, если х(Л с, 0) ^ [а, 6] при / 00, ад].
Теорема 9・4・ Если в окрестности любой точки х0^ [а, Ь] функция 尸(尤 t) представима s виде (9.12), то либо все решения, целиком лежащие в полосе 〃久 х《6, периодические, либо в этой полосе располагается не более чем конечное число периодических решений.
Доказательство. Предположим, что имеется последовательность различных периодических решений 无々=屮少«) (左=1, 2, ...), целиком лежащих в этой полосе. Последовательность точек фА(0) лежит на промежутке [а, &]; следовательно, ее можно считать сходящейся (в противном случае мы бы перешли к нужной подпоследовательности), положим lim屮視(0) =叮 и х(/)=*(九 ％ 0). Решение % =工(£) А->оо(
при 0 ^ ^^(о лежит в полосе 〃《*《％, ибо в противном случае решения 屮矗(£) при достаточно больших k не могли бы удовлетворять неравенствам 〃《屮走(£)《力 при всех 0《£《о), что противоречит определению 屮少(/).
Таким образом, в точке с =叮 задана аналитическая функция р(с)・ Составим разность q{c) = р (с) — с. Эта разность
обращается в нуль при с = фй(0) по самому определению функции р(с). Отсюда следует, что точка 叮 является точкой сгущения пулей аналитической функции q (с), но тогда (/(с) = 0. Следовательно, все решения, целиком лежащие и полосе а М х《Ь, периодические.
Теорема доказана.
В дальнейшем мы будем интересоваться поведением ргшс11 риГ^Уравнения (У.1) в случае, когда функция 尸(х, t) представляет собой полином от искомой функции* Рассмотрим уравнение
备= Q+Pi«)x"t+ ... ^-p^x + p^t). (9.13)
Функции рк (/) мы будем считать непрерывными, о)-периоди- ческими.
Пусть м》2. Нетрудно видеть, что существует такое 口[>0, что при |*|》〃i выполняется неравенство \хп\-\р^^\- ... -|^(01>у(я^Г1у|хп|. (9.14)
Положим а = шах八(沪｝.Рассмотрим уравнение сравнения dx 1 NT= 2S —[)
Нетрудно видеть, что функция 1
х =L(9.16)
(2歩f —£尸
представляет собой решение уравнения (9.15) с начальными Лйппыми / = 0, % = 〃. Решение это, как легко убедиться, определено лишь до ^ = 2ах~п ^(о. Если 北。》〃,то из (9.14) следует, что
х(Л х0> 0)>— при f》0・(9.17)
Ra—— f尸
Отсюда вытекает, что решение х(/, &, 0) не продолжимо па промежуток времени 0<；/<；ш.
Из сказавнзго следует также, что если №>а, то решение х(£, х0( /0) не продолжимо на весь промежуток времени "《fW^u + s н *“，х0, /0) > а при / > /0. Кроме того, при четном п и 北。《——а окажется *(£, х。，/0) < ——а при / < /0, “ решение х(Л х。，/°) не продолжимо при /0 —(о ^ 《t《tq. При нечетном л и х0^ — а *(/,无。，/0) <—а при t > /0, и решение %(/, х0, /0) не продолжимо при /о М / ▲办 + а
Теорема 9,5・ Уравнение (9.13) может иметь лишь конечное кисло периодических решений.
Доказательство. Пусть а имеет прежнее значение. Тогда при |%|》а вдоль всех решений х изменяется монотонно. Следовательно, если | х0| ^ а, то решение *(/, %, 幻 при f》力 или при £《4 остается за пределами полосы |х| < а и уходит в бесконечность. Поэтому любое периодическое решение целиком лежит в полосе |*|《а. По теореме 9.4 либо уравнений (9.13) имеет конечное число периодических решений, либо все решения, целиком лежащие в полосе при О《/《①，периодические. Но если все решения, лежащие в полосе |х|&@, периодические, то существует периодическое решение, имеющее точки на прямой х = а. Это невозможно, так как такое решение уходит в бесконечность. Таким of разом, уравнение (9.13) может иметь лишь конечное число периодических решений.
Расположение интегральных кривых уравнения (9.13) существенно зависит от четности числа п. Пусть сначала п > 2 — число нечетное. Пусть по-прежнему 〃】一чис-чо, определяемое неравенством (9.14). Ясно тогда, что при \х\^а1 вдоль всех решений | х | возрастает при возрастании / и убывает при убывании /. Из предыдущего следует, что любое решение х (/, х0, /0), у которого | х0| ^- аР при возрастании времени остается в множестве \х\^ а} и уходит в бесконечность при конечном значении аргумента 九 При убывании же f любое решение попадает в полосу | х | < а} и в ней остается. Отсюда, в частности, следует, что уравнение (9.13) при нечетном л имеет хотя бы одно периодическое решение. Может, конечно, оказаться, что периодическое решение не одно; тогда среди них имеется „наибольшее* * = ?(/) и „наименьшее** %=乂£). Пусть * = %«, х(), /0)—решение уравнения (9.13). Тогда если *HQ < •%《中")то это решение при всех £ остается в полосе 屮⑺《*《中«) и либо
§ 9] УРАВНЕНИЕ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 127 само является периодическим, либо стремится к некоторым периодическим как при / —> Ц-оо, так и при t ->—оо. Если же х0 > ср(/0) (или 々V 屮(％)), то х(Л х0> %) при /—> — оо асимптотически приближается к решению x — ^(t) (или х = Ф (/)). а при возрастании / уходит в бесконечность при конечном значении аргумента.
Пусть теперь 打》2 ——число четное. Если х0^ av то решение х(Л х0, /0) с возрастанием / уходит в бесконечность при конечном значении аргумента /. Если же /《一а】， то решение х(Л х0, /0) с убыванием / уходит в бесконечность. При четном п уравнение (9.1) может не иметь периодических решений. Например, у уравнения
令= х" + р“(/) (9.18) при /?„(/) > 0 все решения представляют собой возрастающие функции. У таких уравнений все решения уходят в бесконечность как при возрастании, так и при убывании времени.
Предположим теперь, что уравнение (9.13) с четным д имеет периодические решения и пусть * =中(£) — „наиболь- iuee“，а * =屮«) — „наименьшее^ из них. Тогда любое решение, начинающееся в полосе 屮 «)《х《平«), при всех / остается в этой полосе и либо само является периодическим, либо стремится к некоторым периодическим как при £—»十8, так и при /f ——оо. Если х0 > ?(%), то решение x(t х0, /0) нри /—> — оо асимптотически приближается к х = ^(/), а при возрастании времени уходит в бесконечность. Если же 尤о 之屮"и)，то решение x = x(f, х0( /0) при £f+ ©о стремится к * =屮«), а при убывании времени уходит в бесконечность.
Таким образом, качественная картина поведения интегральных кривых уравнения (9.13) целиком зависит от периодических решений.
В дальнейшем мы будем интересоваться вопросом о максимально возможном количестве периодических решений у уравнения (9.13) при фиксированном п.
Если 汽=1, то уравнение (9.13) линейное:
х = x + pj (/),
J f / (9・19) х = ? %q+ J рх(t)e^dt ・
Ясно, что уравнение (9.19) имеет одно и только одно периодическое решение:
Х = / ^^『PW) е" dt + f р《)е" dt • (9.20)
Пусть 汽=2, т. е. уравнение (9.13) представляет собой уравнение Риккати：
,х = х2 + j?j (/) х + р2 (0*(9.21)
Нетрудно указать уравнения вида (9.21), имеющие точно два периодических решения. Например, уравнение
х = х2—1■(9.22)
имеет ровно два периодических решения лг = 1, х = —1. Все остальные решения — монотонно меняющиеся функции.
Теорема 9・6・ Уравнение (9.21) не может имет^ более двух периодических решений.
Доказательство. Предположим, вопреки нашему утверждению, что уравнение (9.21) имеет три различных периодических решения хр х2, *з・ В силу теоремы единственности можем считать, что при всех t выполняются неравенства Xj (О < х2 (О < хз(0- Подставляя решения хР х2, х3 в уравнение (9.21), получаем тождества:
京2 = * + %(/) *2 +p2()
К =君 + Pl ⑴/ +p2 (б
Вычитая первое и второе тождества из третьего, получаем兀一万=(*з — *1)(*3 + *1)+ Pl (/)(北3 — *1)，
*3 一岳=О3 -无2)(*3 + *2)+ p1 ⑴(*3 - *2).
По предположению х3 > х2 и х3 > хг поэтому из двух предыдущих равенств получаем
Проинтегрируем полученное тождество по / на промежутке 0《f《5 тогда получим
In (*з — *2)I； — In (%з — *1)I； = / (*2 — *1)必・ 0
Но функции хР %2 и %з ^-периодичны, поэтому левая часть последнего равенства равна нулю. С другой стороны, / — %i > О п0 предположению; следовательно, правая часть последнего равенства положительна. Полученное противоречие свидетельствует о том, что уравнение (9.21) не может иметь более двух различных периодических решений.
Рассмотрим, наконец, случай п = 3, т. е. тот случай, когда уравнение (9.13) есть уравнение Абеля:
変=*3 十 Р]⑴炉 + 〃 «)*+Рз(/).(9.23)
Легко указать примеры уравнений вида (9.23), имеющих ровно три различных периодических решения. Таково уравнение
х = *з — х；(9,24)
оно имеет три периодических решения х = 1, х = 0, х = —1. Все остальные его решения суть монотонные функции.
Теорема Р.7. Уравнение (9.23) не может иметь более трех периодических решений.
Доказательство. Допустим, напротив, что это не так, т. е. предположим, что уравнение (9.23) имеет четыре различных периодических решения: *卜 х2, х3, х4. В силу теоремы единственности при всех £ выполняются неравенства X//*用(при /壬 &)• Подставляя решения **(/) в уравнение (9.23), получаем следующие тождества:
五=%； + %«)咛+ Р2(/)*： + Рз«) (/=1,2, 3,4).' Вычитая второе и третье тождества из первого и производя деление на отличные от нуля разности 修一х2 и хг — х3, получаем
哉三詩=若 + *产2 + 用 + Pl «) (% -f- *2)+ P2 (О
费三^ = # + %产3 +对十% (/) (/十*3)+02 (仪
9 В. А. Плисс.
Вычитая последнее равенство из предыдущего» получаем
-手三訂=*1(*2 - %) + 药一端 + Pl «)(*2 * *3)
и аналогично, заменяя лишь %】на х4,
豈=*4 (%2 — %)十澱一君 + А ⑴ ® — %)•
*4 *2 I *4 -/3%4 — %2*4 — Лз*4 *2 I *4 -/3%4 — %2*4 — ЛзВычтем это равенство из предыдущего, тогда получим
*4 *2 I *4 -/3
%4 — %2*4 — Лз
*4 *2 I *4 -/3
%4 — %2*4 — Лз
(占一％4)(%2 —*3)・
Проинтегрируем это тождество на промежутке [0,矶 тогда получим .
In，*| 一 *2?，*4 —*3? I _ / (Х[ —*4)(*2 — xjdt.(%_*3)(*4 — *2)Io 3/
Так как х? — периодические функции, то левая часть этого равенства равна нулю. Под интегралом же, стоящим справа, находится непрерывная, не обращающаяся в нуль функция. Следовательно, правая часть равенства отлична от нуля. Полученное противоречие и доказывает, что уравнение Абеля не может иметь более трех различных периодических решений.
Нетрудно построить пример уравнения (9.13), имеющего ровно п периодических решений. Для этого в качестве правой части достаточно взять полином с постоянными коэффициентами, имеющий п различных вещественных корней. Эти- то корни и будут представлять собой периодические решения уравнения. Как мы только что показали, уравнение (9.13) при п ^ 3 не может иметь более п различных периодических решений (эти остроумные доказательства мне сообщил Н. В. Адамов). Естественно было бы предположить, что это же справедливо и для уравнений (9.13) с любым п. Однако это предположение оказывается неверным. В дальнейшем мы дадим пример уравнения вида (9.13) с п = 4, которое имеет шесть различных периодических решений. Будут также указаны условия, достаточные для того, чтобы уравнение(9.13) имело не более чем п периодических решений. Кроме того, мы постараемся теоретически обосновать
гот факт, что, начиная с п = 4, появляются уравнения, число различных периодических решений которых превышает п [47].
Рассмотрим опять введенные ранее функции р(с) = = %(о), с, 0) и д(с) = р(с) — с. Функции эти заданы и аналитичны в тех точках с, в которых решения %(/, с, 0) иродолжимы на промежуток 0 ^ / ^ ш. Как следует из теоремы 9.1, любое периодическое решение уравнения (9.13) имеет период з, поэтому нули функции д(с) (и только они) представляют собой начальные данные периодических решений (9.13). Таким образом, вопрос о числе и расположении периодических решений приводится к вопросу о числе и расположении нулей аналитической функции д(с). В связи с этим естественно рассматривать не только вещественные, но и комплексные значения с и допустить в качестве решений комплекспо-значные функции вещественного аргумента /. Положим x^u-Ylv — re^. Тогда из (9.13) получаем уравнение
；с%+ 厅犷冲=г«ег^ + р] (£) г"-】©""-】)▼+ ...
…+ Р"-2 ⑺得2® -\-Рп-1^ге^ + р„ (/).
Деля на е‘？ и отделяя вещественную и мнимую части, получаем уравнения для аргумента и модуля х:
г— rn cos (п——1)ср+ . . . + Pn-2(O^2cos? +
+ P”i «" +「〃«) cos % (9.25)
r《 = r"sinS—1)? + ・.• + Р"-2«)产sin屮—Р〃⑴si”・(9.26)
Функцию g(c) по-прежнему будем определять равенством g(e) = х(и), с, 0)——с и считать ее заданной лишь в тех точках комплексной плоскости переменного с, через которые при / = 0 проходят решения, продолжимые на сегмент ()-"/ -^(о. Нули д(с) определяют ш-периодические решения урлнисния (9.13) и при комплексном с. Обратно, любое ш-исриодичсское решение при f = 0 проходит через нуль функции д(с).
При комплексных значениях % уравнение (9.13) может иметь игриодичсские решения с периодами, отличными от ш. Например, уравнение
х = х2-|- 1, о)=1(9,27)
имеет общее решение
% = tg« + B)・-
Ни одно из решений уравнения (9.27) не имеет периода, равного единице. В то же время любое решение с Im В =Л О непрерывно и имеет период к. Решения же (9.27) при Im В = О уходят в бесконечность как при возрастании, так и при убывании /.
Нас в дальнейшем будут особенно интересовать ш-перио- дические решения, поэтому только такие решения мы будем называть периодическими.
Если изменять коэффициенты уравнения (9.13), то функция д(с) и ее нули будут меняться. Эти нули при непрерывном изменении коэффициентов могут “исчезать", уходя в особые точки. Особые точки д(с) — это те точки плоскости комплексного переменного % через которые при £ = 0 проходят решения, не продолжимые на сегмент 0 ^ / ^ ш. Изучим поведение таких решений.
Выясним качественную картину поведения решений уравнения (9.13) в окрестности бесконечно удаленной точки. Во всем дальнейшем мы будем предполагать, что коэффициенты уравнения (9.13) удовлетворяют условию Липшица
也(厶)一Pi«2)l《厶丨厶一友1 (6=1,2n).(9.28)
Функции pt (t) — периодические и потому ограниченные; пусть 的一такие числа, что при всех £ выполняются неравенства
丨Е«)|《М (/= 1. 2,・・・，п).(9.29)
Положим а = тах{6, 6 的}. Выберем число р > 0 настолько большим, чтобы выполнялись соотношения:
4(^Т)>7-(9・3。)
sin <1^1)£>| <±^11£ при Г>р,(9.31)
^Mkrn-k<lrn-^ при Г>р,(9.32)
fe«=2
尸〉4 2 при г >р,(9.33)
Введем в рассмотрение области Gkt определяемые нера НПСТЙЙМИ
卜 > Р'不刍―予 V 中 V ；Г^1 +/}(论=0, 12〃一3),
и области Н^ дополняющие систему областей Gk до всей инешности цилиндра，・р. Области 〃* определяем соотношениями I г > р, ;г^т + Т V 平 V(^1^ —"I • Из соот- НОШС1Н1М (9.30) следует, что замыкания областей Gk не пере- сгкдютсн друг с другом. Покажем, что границы областей Gk lie нмеют контакта с полем линейных элементов, определяемым системой (9.25) — (9.26). Рассмотрим часть цилиндра 尸 — P，；Г=Л —彳总中«；Г=И + Т 卜 Вупем называть ее нижней стенкой области G^ Из неравенства (9.30) следует, мто па этой стенке выполняются неравенства
力〉爲+pi ⑴"-as(—2)<р+
…+*(/)，+ %(£) cosip при четном k и
力；< —-^=- + Pl (О r«-1 cos (n — 2) ф -Ь
…+p„_! (t)r + pn (f) COS ср
при k нечетном. Из этих неравенств и из соотношения (9.33) следует, что в замыкании области Gk при четном k выпол
няется неравенство
央〉央〉2-/22/Т"2-/22/Т"(9.34)(9.34)
央〉
央〉
2-/2
2/Т"
2-/2
2/Т"
(9.34)
(9.34)
а при нечетном k — неравенство
d 尸 /2 — M 2 л 石 q—-гггd 尸 /2 — M 2 л 石 q—-ггг(9.35)(9.35)
d 尸 /2 — M 2 л 石 q—-ггг
d 尸 /2 — M 2 л 石 q—-ггг
(9.35)
(9.35)
左代 0n — 1 一 丁左代 0n — 1 一 丁?}и|г>р, ?=?}и|г>р, ?=Назовем поверхности {尸 > р.
左代 0
n — 1 一 丁
左代 0
n — 1 一 丁
?}и|г>р, ?=
?}и|г>р, ?=
E^^l+/} первой и второй боковыми стенками обла-
СТН 。店 соответственно. Из уравнения (9.26) н соотношения
и (9.32) следует, что на первой боковой стенке обла| сти Qk с нечетным номером ^ и на второй боковой стенк《 области Gk с четным номером выполняется неравенство ；
r?> yar"-1.(9.36J
На второй боковой стенке области Gk при нечетном и на первой боковой стенке области Gft при четном k имеем
гер < — j агп~\(9.37)
Из соотношений (9.34) — (9.37) следует, что боковые и нижние стенки областей Gk суть поверхности без контакта. При этом через нижнюю стенку области Gk с четным номером все решения входят в Gk, а через боковые стенки выходят из Gk при возрастании времени. При нечетном k аналогичная картина имеет место при убывании времени, т. е. если k нечетное, то через нижнюю стенку Gk решения выходят из нее, а через боковые входят в область Gk при возрастании времени.
Изучим подробнее поведение решений в областях G® Из неравенства (9.33) и из уравнения (9.25) следует, что в области Gk вдоль всех решений г изменяется монотонно, поэтому можем выбрать г в качестве независимой переменной.
Положим
R = COS(7l— 1)^4--^ P!COS(n — 2)中+ ...'
Pn-i + ^г Pn cos ср, (9.38)
Ф =х sin (乩一1)中 T—в pi sin (/I — 2)中 T-
…+ 尸工 PfSin? — ~ pftsin(p. (9.39)
(9.40)(9.41)(9.40)(9.41)Тогда из (9.25), (9.26) получим систему dt —1
(9.40)
(9.41)
(9.40)
(9.41)
方一戸A (尸，中，f)"，d? _ ①(r, R f)赤—7A (г, ?, /) *
Рассмотрим два решения этой системы: ^ (г),中】(r) и ^2 (г). фу(г) с начальными данными при г = р t = t^ 中=%о и / ^н t^,中=中20 соответственно. При этом мы будем считать, ЧТО 午&>%0 И 1^20 —Ло1 <?20 —?ю- Из уравнения (9.40) получаем
也_必=r(乙中"幻一A5中2, ％) 石一毋一下R(尸,q；D AS ?2,幻*
Из пида функции R(r,屮，f) и из условия (9.28) следует, цто при достаточно большом р в пределах области Gk выполняется неравенство
* —第•] V 7^Г(1，2 — М + |?2 一 ?11)> (9.42)
Гд# /“ — мекиторин положительная постоянная.
УрАинспнс (0.41) дает
где положено 6,п(Р(а 牝，Q. R尸R«,屮仆 ％) (Z= 1, 2),
или
(9.43)(9.43)西2 — dq _ 丄 r1力2 一 Ra力1 "Йг dr — r RR
(9.43)
(9.43)
Имеем
№% — &% = &①2 —&①S ?P ^+R^(rt %, %)—
• R J% + RWi—R (r,中2, A)①1 + R (几屮2, A)①i—R?①r (9.44)
Согласно теореме о среднем можем написать
Ф(г,屮2, ％)——①(г，?г £2) =
=cos Км — 1)(屮1 十刀(屮2 —外))1 (物—?1)Ч-О(7)(?2 — %)•
В области G^ выполняется неравенство |^ —胃二]|《％ поэтому из последнего соотношения вытекает следующая оценка:
ф (Г. ?2-勾)-①(乙 %，%)=
=(cos йл) (<p2 — ?1) 4- о (1) (<р2 — ?1). (9.45)
Используя теорему о среднем и условие (9.28), установим следующие оценки:■
①(，，％，%)-①(г，屮1：厶)=。(1)(^2 - А)， (9.46):
R (，，中2,幻一R(r,屮1，a)=。(?2 - %)，(9.47):
R (，，<?2> 6) — R (，，屮2,厶)=О(7)«2 —幻・(9.48)
Кроме того, непосредственно из вида функции R следует, что в пределах области Gk имеет место равенство
R(r, . f) = cos^+O(；)・(9.49)
Из равенств (9.43) и (9.44) и из найденных оценок следует, что в областях Gk выполняется оценка
樂一罢=^(中2 — %) + О (｝卜匣一《М + I % — f J).
(9.50)
Покажем, что до тех пор, пока оба решения % 必 и 出?з находятся в области Qk с достаточно большим р, выполняется неравенство
?2 — %> 1*2 —川・(9.51)
Допустим, напротив, что существует такое г*, что при р《г《г* решения 々(г), %(г) и 质“)，屮2(「)находятся в Gk и ^2(г*)一 ф](г*)= |%(尸)一&"*)1，а при г > г*, но достаточно близких к г*, неравенство (9.51) нарушается. Из соотношений (9.42) и (9.50) следует, что при г = г* имеет место неравенство
d(?2 — %)、I d (方一A) Idr 〉I dr I*
если только p достаточно велико. Последнее неравенство и доказывает выполнение неравенства (9.51) в области G左， если р достаточно велико, что мы в дальнейшем будем считать выполненным.
Из соотношений (9.50) и (9.51) вытекает, что в области。盍 выполняется неравенство
一27—>方(▼2 -%)•
ИиМГрнрун последнее неравенство, получаем■
［口(中2 — %)— Е (?2о — %о) > у('n г — In р)
ИЛИ
^^>■/7 прн，>Р・(9・52)
Отсюда следует, что при возрастании г хотя бы одно из рас- Сматринаемых нами решений покинет область Gk.
Рассмотрим область G с четным номером k. На нижней стенке области Gk выберем дугу окружности h&)：
by}-by}-
by}-
by}-
Нетрудно видеть, что решения, начинающиеся на кривой Т用(£()) достаточно близко к 平=巾竺］—при возрастании £, покидают область Gq пересекая первую боковую стенку. Решении же, начинающиеся на ^k(t^ достаточно 6л1 зке к точке 中I 力巨〔——I у, покидают при возрастании f область Gk, п@ресекая нторую боковую стенку. Пусть 屮=九 ⑸)一точная И#рхняя граница тех точек дуги "(й(/0), через которые проКОДит решения, при возрастании £ пересекающие первую 6о・ К◎目ую стейку. Из соображений непрерывности следует, что petitcunu' с Ийчальпыми данными £«=£» г = р, ^ — fk (^о) Л#жнт и области 0# при пссх тех f > /(), при которых оно onpW/l#tiu< Пикйж#м> мтп па дуге 力(厶)существует только ОДН& томн露 оПлмлиишим thnhm спойстпом. Допустим, напро- ТИЙ)НТО сущрпнуин'屮Н)и 屮2n па 7^(/0), такие, что решения #*"/|(r), 中一也(г) и £ =立(r)，中=屮2(г) системы (9.40), (ВЛ1) С |1#ЧИЛЫН4МП ДП11П1.1МИ г = р, / = /0,屮=中10 и Г = р, # и* /|Р ▼■屮％)соответстпеппо при всех г > р лежат в области 仇，Как было только что показано, это невозможно.
■ Таким образом, на дуге 工式％) имеется одна и только одна ТОМКй 中■/由(4) такая, что решение системы (9.25), (9.26) л@жит й области Gk при всех f〉£°, при которых оно опре・ Д#лени.
Функции 屮=/左(f) удовлетворяет условию Липшица:
I/式幻一九g)1 <1a一%1.(9.53)
Действительно» как было показано выше, два решения системы (9.40), (9.41) с начальными данными г = р, £ = £卄 (р = Д(/!) и г = р【， £ = %，中=/用(%) не могут при возрастании t целиком лежать в области G尼，если не выполнено неравенство (9.53). Из периодичности коэффициентов 刁(/) следует, что функции Д(/) ш-периодичны.
Пусть r — r^t), ср =(р(6 — решение системы (9.25), (9.26) с начальными данными / = ", г = р,屮=/尼 «())• Тогда ясно, что при возрастании времени £ на этом решении выполняется неравенство (9.34). Интегрируя это неравенство, получаем
л-1л-1(2 -~— У2) (〃 一 1)(2 -~— У2) (〃 一 1)(/ 一")，(/ 一")，
л-1
л-1
(2 -~— У2) (〃 一 1)
(2 -~— У2) (〃 一 1)
(/ 一")，
(/ 一")，
Отсюда следует, что r(£)f 8 при ^ -> ^ > ^0.
Пусть теперь Gk имеет нечетный номер k. Аналогично доказывается, что на нижней стенке этой области существует кривая ср = /*(О со следующими свойствами. Функция /々(f) ш-периодична и удовлетворяет условию Липшица. Интегральная кривая с начальными данными £ = 0 г = р, ср — Д (/0) уходит в бесконечность при /->& где 々 < %, и при /} < ^ < f0 эта интегральная кривая лежит в области Gk.
Рассмотрим поверхность, состоящую из интегральных кривых, которые проходят через кривую г = р, ? =/初(£). Пусть 1\ — та часть этой интегральной поверхности, которая располагается в Gk (при четном k Гй отвечает возрастающим значениям t、а при нечетном k ——убывающим). Из предыдущих рассуждений следует, что любое решение, начинающееся в Gk за пределами поверхности Г左，покидает Gk как при возрастании, так и при убывании времени /.
Изучим теперь поведение решений в областях
"w＞历总4"w＞历总47<?<7<?<（々十1内（々十1内и — 1и — 1аа
"w＞历总4
"w＞历总4
7<?<
7<?<
（々十1内
（々十1内
и — 1
и — 1
а
а
дополняющих Gk до всей внешности цилиндра г = р. Из уравнения (9.26) и условий (9.31) и (9.32) следует, что при четном 々屮〉0, а при нечетном ср < 0. Покажем, что любое решение пэкидает область Hk как при возрастании, так и при
убывании f. В области Нк при 不二у
нылолняется неравенство
"<-ОГ 8s 5—1"
% & sin (л — 1) 9 '
Интегрируя это неравенство, получаем
In 二 < 2 in 包
г+4)г+4)rQ n 1 sin (п — 1) % •
г+4)
г+4)
n一 1n一 1Таким образом, при возрастании 中 от ср0 до 片-j
n一 1
n一 1
г остается конечной величиной. При
《•- 1 f к — — имеем
2г.
力力Ий vruro 1М|)0昵нства следует, что?](А ф ；) ЛО границ облпсти 〃〃 псличина г такжеИй vruro 1М|)0昵нства следует, что?](А ф ；) ЛО границ облпсти 〃〃 псличина г такжепри возрастании 平 отпри возрастании 平 отОЁТй#^еи 标£"岬喟阳机 AimJKinmno n(u<n:ibiiiiieTcsi, что величина гОЁТй#^еи 标£"岬喟阳机 AimJKinmno n(u<n:ibiiiiieTcsi, что величина гоешт^и копечноН и при убыиппнп 屮 п пределах области Ий HppMhriiVTii (9.31) “ (9.32) следует, что в областиоешт^и копечноН и при убыиппнп 屮 п пределах области Ий HppMhriiVTii (9.31) “ (9.32) следует, что в областинынолпи^тси iiepnucncTBO l~нынолпи^тси iiepnucncTBO l~> ^. Это и доказывает, что> ^. Это и доказывает, что力増0口@ решснио покидает область Нк как при возрастании, тмк и при убывании нрсмени.力増0口@ решснио покидает область Нк как при возрастании, тмк и при убывании нрсмени.Оцепим г па pcuieiiHH. остающемсяОцепим г па pcuieiiHH. остающемсян叫占 + Г <*<7|-Г卜 + ；)н叫占 + Г <*<7|-Г卜 + ；)в пределах области Hk.в пределах области Hk.выполняются неравенствовыполняются неравенство
力
力
Ий vruro 1М|)0昵нства следует, что
?](А ф ；) ЛО границ облпсти 〃〃 псличина г также
Ий vruro 1М|)0昵нства следует, что
?](А ф ；) ЛО границ облпсти 〃〃 псличина г также
при возрастании 平 от
при возрастании 平 от
ОЁТй#^еи 标£"岬喟阳机 AimJKinmno n(u<n:ibiiiiieTcsi, что величина г
ОЁТй#^еи 标£"岬喟阳机 AimJKinmno n(u<n:ibiiiiieTcsi, что величина г
оешт^и копечноН и при убыиппнп 屮 п пределах области Ий HppMhriiVTii (9.31) “ (9.32) следует, что в области
оешт^и копечноН и при убыиппнп 屮 п пределах области Ий HppMhriiVTii (9.31) “ (9.32) следует, что в области
нынолпи^тси iiepnucncTBO l~
нынолпи^тси iiepnucncTBO l~
> ^. Это и доказывает, что
> ^. Это и доказывает, что
力増0口@ решснио покидает область Нк как при возрастании, тмк и при убывании нрсмени.
力増0口@ решснио покидает область Нк как при возрастании, тмк и при убывании нрсмени.
Оцепим г па pcuieiiHH. остающемся
Оцепим г па pcuieiiHH. остающемся
н叫占 + Г <*<7|-Г卜 + ；)
н叫占 + Г <*<7|-Г卜 + ；)
в пределах области Hk.
в пределах области Hk.
выполняются неравенство
выполняются неравенство
% > - 2г，
и потому п области //# при таких 屮 имеет место неравенство
r > 小"2"』)> r0"2n.r > 小"2"』)> r0"2n.(9.54)(9.54)"ри 斤二丁G+穹《中《霜""ри 斤二丁G+穹《中《霜"— имеем— имеем
r > 小"2"』)> r0"2n.
r > 小"2"』)> r0"2n.
(9.54)
(9.54)
"ри 斤二丁G+穹《中《霜"
"ри 斤二丁G+穹《中《霜"
— имеем
— имеем
"、匕 cos 5—1) ?
d? sin (л—1) ср '
Отсюда получаем
Г) п—1 sin (л—1) 9i •
Но ср《肾一~, и потому в силу (9.31) можем написать |sin(?i—1)<?| >"|£三迎. А %>方三у伙+舞 поэтому |sin(n—])屮/ W，=”. Используя эти неравенства.
получаемполучаем2> I 6/2г ]'2> I 6/2г ]'
получаем
получаем
2
> I 6/2г ]'
2
> I 6/2г ]'
Отсюда и из (9.54) получаем, что при возрастании 屮 в пределах области Нк выполняется неравенство
Г > 无• Gf+I，(9.55)
где Л — некоторая постоянная, не зависящая от г0. Легко видеть, что это же неравенство оказывается справедливым и при убывании ? Таким образом, на любом решении в пределах области 3 выполняется неравенство (9.55).
Из уравнения (9.26) и условия (9.32) следует, что в области Hk при четном 论 имеет место неравенство
—< —,(9.56)
d屮rn~x sin (л— 1)屮
а при нечетном k — неравенство
J //1 — 1-/1\•L・5 丿
r sin (〃 一 1) p
Пусть k — число четное. Рассмотрим решение нашей системы с начальными данными t = t^ <р =(р0, г —г^ из области Hk, Во все время пребывания в области Hk на этом решении
выполняется неравенство (9.55). Положим「皿=%"】，тогда из (9.56) будет следовать
df 2
d中/•氣'sin(〃 —— l)屮
Интегрируя это неравенство, получаем
гтгт(9.58)(9.58)tg m—1)斗In—
гт
гт
(9.58)
(9.58)
tgS-1)号
Но в области "靠 К》％竺［+ 言"Поэтому tg(n—1)粤》 >*「)《• В этой области Считая, что р достаточно велико, можем написать tg (总一1)务《£(Jj •
Из (9.58) следует тогда, что
a (几一1)a (几一1)(9.59)(9.59)2
a (几一1)
a (几一1)
(9.59)
(9.59)
'т
Из этого неравенства следует, что если г0—>оо, то время прсбынппия решения в области Hk стремится к нулю. Из HepaMviiCTiiii (9,57) аналогично выводится такое же утверждение дли 〃* с нечетным номером k.
Реиюмнру^м скилнппос относительно поведения решений fMVi^Miti(U ?h), (U.2H) и окрестности бесконечности. На нижней @Т§нк® км断 м，Н облисги (厶 сутгстнуст кривая г = р,中=/#(£) (/l удоилрцтригг ус/н用“io Jluiiiiiiiiui и ш-периодична). Через 冒ту нрниую проходит иптсгрилышн поиерхпость 1\, целиком 轟軍機&UUIH М (/А. Нсикнс решение, лежащее на 1\, уходит в бес- ИОИмчносгь при конечном значении времени 力 если 论一чет- mwt то при иоирастаиии Л а если k — нечетное, то при убывании /. Если решение имеет в области г>р точку, не Лежащую ни на одной из интегральных поверхностей ГА, то оно п(жндает область г>р как при возрастании» так и при убыиании /. Любое решение, уходящее в бесконечность при Конечном значении £, проходит через одну из кривых ^ = fk ") И, следовательно, располагается на одной из поверхностей Гй. Если точка ", ср0, г0 лежит в "靠，то время нахождения ре- ш#ния с начальными данными /0, (р0, г0 в области Hk стремится К нулю при 7*0 f ОО.
В дальнейшем мы будем сравнивать различные уравнения вида (9.13) при комплексном х с точки зрения коли- мествп периодических (с периодом з) решений. В связи с этим целесообразно ввести пространства таких уравнений. Рассмотрим пространство Rn вектор-функций Q(f)= {「】(/),..., 〃©(，)}・ '「очки этого пространства часто будем называть уравнениями, так как вектор Р(£) определяет уравнение (9.13). Пространство Rn будем характеризовать числами: <о — период всех точек Р этого пространства, А — константа Липшица из условия (9.28) и числа Mv ...» Mnt фигурирующие
в оценках (9.29). Таким .образом, под R〃(⑴，L, МхЛ1/ понимается пространство всех <о-периодических вектор-функ- ций Р(£), удовлетворяющих условиям (9.28) и (9.29). Назовем расстоянием между двумя точками Р{ — (р^(0p^V)^
и 尸2={卩屮«)，•••，Р?(£)} величину
忆一Р/=”「ах J；噌(/)-叫)(/)}.(9.60)
Станем передвигаться в пространстве Rn от точки к точке. При этом периодические решения и их начальные данные будут, вообще говоря, меняться. Эти периодические решения могут даже исчезать, если - соответствующие им пули функции д(с) будут приближаться к особым точкам этой функции, т. е. к таким точкам, через которые проходят решения, не продолжимые на весь период. В таких случаях периодические решения будут стремиться к некоторым системам решений, уходящих в бесконечность как при возрастании, так и при убывании t. Системы решений, к которым могут приближаться, исчезая, периодические решения, мы будем называть особыми периодическими решениями. Дадим точное определение этого понятия.
Определение 9.1. Пусть существует $+l(s》l) чисел % < 八 V … V 勺，таких, что ts—% = з, на каждом из промежутков (左一「 %) определено решение х = xz (Z), уходящее в бесконечность как при /-> t^v так и при 力； при этом если %,(£) уходит в бесконечность при £—>% оставаясь при /, достаточно близких к /р в области Qk (т. е. лежит на Р在)，то хН1 (/) уходит в бесконечность при /—>力，оставаясь при /, достаточно близких к 力，в одной из областей G”、или О色+ 】(лежит либо на Г^_р либо на「左讨】)； в случае, если / = s, роль х5+1(/) играет %屮).Из периодичности коэффициентов Pj(/j уравнения (9.13) следует, что система решений %上(£) (Z = 1s) повторяет себя при &)+/з《/《/()+ (/+1)з， где / — целое число. Описанную систему решений назовем особым периодическим решением уравнения (9.13).
Покажем, что если периодическое решение уравнения (9.13) при изменении коэффициентов pj (/) исчезает, то оно приближается к особому периодическому решению.
，Теорема 9.8. Пусть &^/?拉；если по любым € 〃 N можно указать Р^ Rn, удовлетворяющее неравенству IIР — Ро|| < е // имеющее периодическое решение х — х (/), такое, что max | х(/)| > ^, то /% имеет особое периодическое решение, 1
Д о к я а п г с л I. с т и о» Выберем последоиателыюсть уравнений /)*, таких. чт(»
Um \\Р,~Р^\\ =6 (9.61) 月->8
и каждое из уравнений Рк имеет периодическое решение 々(f); при этом
lim max | xk (/)| = oo・ (9.62)
Из предыдущих рассуждений следует, что каждое из этих периодических решений имеет точки в цилиндре |х|《р. Но тогда в силу принципа выбора Больцано — Вейерштрасса можно считать, что существует последовательность tk —> /0 нрн А-АОО, О《%<3, такая, что lim xk(tk) = x^ |%о|《р.
及->8
Из непрерывности решений по начальным данным и по коэффициентам уравнения (9.13) и из предыдущих рассуждений тогда следует, что через точку 归，х0 проходит особое периодическое решение уравнения Ро.
Из предыдущих рассуждений также вытекает и следующее утверждение. '
Теорема 9・9・ Ес力〃 /、毛/乙，P、一>Pq при v->oo а если у каждого Р、есть особое периодическое решение, то а у Ро имеется особое периодическое ре以е发九е.
Теорема 9・70・ Если уравнение Р имеет бесконечно много периодических решений, то оно имеет а особое периодическое решение.
Доказательство. Нетрудно видеть, что если Р имеет бесконечно много периодических решений, то модули всех периодических решений этого уравнения не могут быть ограничены одним и тем же числом. Следовательно, выполняется условие теоремы 9.8, из которой и вытекает наше утверждение.
Обозначим через AaRn множество уравнений, не имеющих особых периодических решений, а через В—его дополнение до Rn. Из теоремы 9.9 следует, что множество В замкнуто, а А открыто в R公
Определение 92 Назовем кратностью периодического решения уравнения (9.13) кратность его значения при / = 0 как нуля функции д(с).
Теоремы 9.8——9.10 позволяют доказать следующее утверждение относительно числа периодических решений близких уравнений.
Теорема 9JL Пусть 「。^ Д, тогда существует такое е > 0. что если ||Р—Ро|| < е, то уравнения Р п Р° имеют одинаковое число периодических решений, если каждое из них считать столько раз, какова его крат* ноешь.
Доказательство. Из теоремы 9.5 следует, что существуют такие числа е > 0 и N > 0, что для всех периодических решений %(£) всех уравнений из множества ||Р0—Р|| <е выполняется оценка
|%(£)|<М(9.63)
Пусть 4р(с) — функция q для уравнения Р. Из оценки (9.63) следует, что любой нуль каждой из функций qP{c) располагается в области \с \ ^.N. Кроме того, из этой оценки следует, что существует такое 8 > 0> что все нули каждой функции 4р(с) лежат на расстоянии, превышающем 8, от границ области определенности функции Ср(с)・ Отсюда и из теоремы Руше следует, что все функции qp(c) при ||Р—%||0 имеют одинаковое количество нулей, если каждый из них считать столько раз, какова его кратность. Этим теорема 9.11 доказана.
С ле дств ие. Любая компонента множества 4 состоит из уравнений с одним и тем же числом периодических решений, если каждое из них считать столько раз, какова его кратность.
В тех случаях, когда множество 4 совпадает со всем пространством R小 т. е. ни одно из уравнений пространства Rn не имеет особых периодических решений, все уравнения пространства имеют одно и то же число периодических решений. Но в пространство Rn обязательно входит уравнение 等= %"•(9.64)
имеющее одно периодическое решение % = 0 n-й кратности. Поэтому в этом случае все уравнения Rn имеют п периодических решений, если каждое из них считать столько раз,
какова его кратность. Это соображение позволяет доказать следующие две теоремы.
Теорема 9.72・ Пусть пространство Rn таково, что к% одно 胃з его уравнений &е имеет решений, уходящих 0 бесконечность &〃％ при возрастании, так и при убывании бремени до истечения периода, т, е, &с суще- ству^т реш^ниЛ х (/) шаких, что x(Z)->oo при £->厶， *(f) *(«> при / ► /а // 0 < /2 — /, <з. Тогда все уравне- 〃"* прогтранстаи Rn имеют ровно п периодических решений, если каждое 〃s нах считать столько раз, какова его кратность.
Для доказательства этого предложения надо лишь заметить, что в рассматриваемом случае ни одно из уравнений пространства Rn не имеет особых периодических решений, т» е. Rn = Л.
Используя теорему 9.12, нетрудно доказать (мы на этом не останавливаемся) следующее утверждение. Пусть в уравнении (9.13} \Pi(t)\^M (/ = 1, .... п),
з V2/2 _
(n一1)(1 + 便)『一-
где Р — единственный положительный корень уравнения
₽п = ж/7『+ в"?+ ? +1),
тогда уравнение (9.13) имеет ровно л периодических решений. если каждое из них считать столько раз, какова его кратность.
Теорема 9.13. Уравнение Абеля (п = 3) с вещественными коэффициентами имеет ровно три периодических решения, если каждое из нах считать столько раз, какова его кратность,
Доказательство. Покажем, что в данном случае выполняются условия предыдущей теоремы. Предположим, что решение х (/) уходит в бесконечность при возрастании времени. Как было показано ранее, %(/) имеет тогда точки либо на Го, либо на Г2. Но и Го и Г2, как нетрудно видеть, представляют собой части плоскости вещественных х. Следовательно, решение x(f) вещественно, и потому оно не может из-за нечетности k уходить в бесконечность при убывании f. Теорема доказана.
10 В. А, Плисс
Дадим теперь пример уравнения с п = 4, имеющего не менее пяти различных периодических решений. Рассмотрим уравнение
= х4 + [(2 + 卩])cos / + cos 2f + 卩2]炉 +
+ (sin£ + ?3)%2 十眼乂 (9.65)
где 卩],р-2，卩3，卩4 — параметры; у этого уравнения з = 2死. Уравнение (9.65) имеет решение х = 0, и потому его решения могут быть представлены в виде
ОО
X — ±%«,卩° 卩2，卩3，卩4)*(9.66)
v = l
где срДЛ 卩],р-2，卩з，卩4)суть аналитические функции 卩],р-2, ?з， ?4 и непрерывные функции f, такие, что ^ (0, |лр (л2, 因，卩4)=1 и 汽(0,卩],卩2，Из* 卩4)= 0 при v〉2. Ряды, стоящие справа в (9.66), сходятся равномерно при 0《£《 2г и достаточно малых ]卩/ и | с |,
Из (9.66) следует, что функция д(с) для уравнения (9.65) представляется в виде
д(е，出，卩2，е3,h4)=工么(卩1，卩2，氏，户4)，，(9・67)
где
五1(21,卩2，卩3，卩4)=中1(2穴,a1，卩2，卩3，卩4)一 1，
么(因，卩2, %，卩4)= %(2用因，*2，卩3,因)(v>2).
Подставляя ряд (9.66) в уравнение (9.65), найдем:
% (我 0, 0, 0, 0) = 1,
屮2(儿 0, 0, 0, 0)= 1—cos/,
Фз(/, 0, 0, 0, 0) = (1—cos/)2+2sin^-|- ^ sin2/,
屮4(九 0, 0, 0, 0) = (1—cos /^ — sin 2/-J-™ sin3/-|- 3sinf, ' %(/, 0, 0, 0, 0) = 2sinf[(l—cos/)3 — sin2/+ ^ sin3/+ + 3sinf] + 2sin£(l —cosf)[(l —cos/)2+ 2 sin/+ + у sin 2f] + 3 (2 cos / + cos 2/)(1 — cos /)2 + 十 3(2 cos / +cos 2£)[(l — cos£)2-|-2sin/+ j sin 2/] +
十 4(1 — cos /).
Отсюда следует, что 仇(0, 0, 0, 0) = &(0, О, О, 0)— =无з(0, 0, 0, 0)=无4(0, 0, 0, 0) = 0,无5 (0, 0, 0, 0) — у.
Таким образом, уравнение (9.65) имеет периодическое решение х = 0 пятой кратности. Покажем, что параметрами |хр 卩2，卩з，卩4 можно распорядиться таким образом, что уравнение (9.65) будет иметь по крайней мере пять различных пещественных периодических решений. Непосредственными вычислениями легко убедиться, что 么(卩「 0, 0, 0) — :”&伯,。'0, 0)=%3(卩1，0, 0, 0) = 0 и 方m卩I，0, 0, 0)=
■—卩严.Поэтому функция д(с, 卩】，0, 0, 0) имеет нуль 'ц тнертой кратности в точке с = 0 и простой нуль в точке г二 Гр q = 2也 + О (?；)•
Зпфиксируем какое-нибудь достаточно малое 卩］.Легко убедиться в ТОМ, 4ТО 力}①］,?2，0，°)=力2(卩卜卩2，0，0) = 0 и 儿/卩［,［也，0. 0)l七卩2・ Если выбрать достаточно малое (л2, 观I окнжстсн, что функции д(с,卩卜 同，0, 0) имеет при с = О нуль третьей кратности, и окрестности точки с{ опа имеет Нрп€ТоЙ нуль и #1Ц0 один пр<)ст()й куль в окрестности точки i：： . Фиксируя теперь дос гпточпо малое 卩？ и выбирая ана- логицно |л3 и 卩个 мы получим такое уравнение вида (9.65), которое будет иметь четыре различных ненулевых периодических решения. Так как х = 0есть решение уравнения (9.65) при любых |хр 卩2，卩3，卩4， т0 отсюда и следует, что при надлежащем выборе параметров уравнение (9.65) имеет не мспес пяти различных вещественных периодических решений.
§ 10. Уравнения первого порядка,периодичные по обоим аргументам
В этом параграфе мы рассмотрим уравнение первого порядка ,
黑=f® °)，(10.1)
нривия часть которого периодична по обоим аргументам.
Нс нарушая общности, можно считать, что функция /(. 0) 2к-периодична по ср и по 0. Кроме того, будем предполагать, что функция / удовлетворяет условию един* стис и пости решений уравнения (10.1),
Правая часть уравнения (10.1) периодична по обоим аргументам; следовательно, ограничена, и потому все решения продолжимы на все значения аргумента от —оо до 十8. Таким образом, всякая интегральная кривая определена при 屮=0, и естественно рассматривать решения, у которых начальное данное по аргументу равно нулю. Пусть 0 = =尸(中，%)——решение уравнения (10J) с начальными данными <р = 0, 9 = 90.
Рассмотрим переменные <р и 9 как декартовы координаты плоскости. Поле направлений, определяемое уравнением (10.1), 2к-периодично по обоим аргументам, и если в квадрате 0 之 总屮之 2п, 0 ^ 9 < 2к поле задано, то во всей остальной плоскости оно I ззестно из-за периодичности. Поэтому естественно переменные <р и 9 интерпретировать ка* углы и тогда следует отождествить между собой точки вида (屮十 2儿冗，， 6 -(- 2пк) с целыми Лип. Геометрически такое отождествление можно осуществить путем склеивания противоположных , сторон основного квадрата 0《中《2兀，0&8《2п. В ре* зультате такого склеивания мы получим поверхность тора, т. е. поверхность вращения окружности вокруг оси, ее не 彳 пересекающей. Через эту ось вращения проведем пучок плоскостей, одну из которых выберем в качестве начальной. Кажаое сечение тора полуплоскостью будем характеризовать углом 中(долгота точки тора). На каждом сечении тора выбираем точку, наиболее удаленную от оси вращения. Эту точку будем считать начальной при отсчете углов 9 на данном сечении (угол 6 — широта точки тора). Каждой паре чисел (中，9) соответствует одна и только одна точка тора. С другой стороны, каждой точке тора отвечает совокупность пар чисел вида (?+2儿冗，0-|- 2пк) с целыми и п.
Будем рассматривать переменные ср и 6 как координаты точки тора. Ясно тогда, что через каждую точку тора проходит одна и только одна интегральная кривая.
Проведем через нулевой меридиан какую-нибудь интегральную кривую 0 =尸(屮，60). Возможно, что существуют такие целые числа р н q, что
尸(2дк, 60)= 8° + 2рп,(10.2)
е. после q оборотов по долготе интегральная кривая совершит ровно р оборотов по широте и замкнется. В этом случае мы имеем дело с 27：：-периодическим решением. Мо-
§ 10] УРАВНЕНИЯ, ПЕРИОДИЧНЫЕ ПО ОБОИМ АРГУМЕНТАМ 149 жет, конечно» оказаться, что таких целых чисел р и g не существует. В этом случае интегральная кривая 8 =尸(屮，90) незамкнутая.
Пример. Пусть /(ср, 9) = а, т. е. имеем уравнение
На декартовой плоскости переменных ср и 0 интегральные кривые уравнения (10.3) образуют систему параллельных прямых с угловым коэффициентом а.
Возможны два случая:
а = ^ — рациональное число.
Уравнение интегральной кривой имеет вид
9 = acp+b(10.4)
Пусть ср = 2рт, тогда из (10.4) получаем
9 = %+2尸呜(10.5)
е. мы имеем равенство (10.2), и, следовательно, все интегральные кривые уравнения (10.3) замкнутые.
а — число иррациональное.
Рассмотрим кривую 0 = аср, т. е. интегральную кривую уравнения (10.3), проходящую через точку ср = 0 = О. Покажем, что эта кривая всюду плотна на торе, т. е. что она проходит через любую окрестность любой точки тора.
Докажем сначала, что множество точек пересечения кривой 0 = а(р с нулевым меридианом всюду плотно на нем. Возьмем произвольную точку нулевого меридиана 屮=0, 0 = Р (О《0<2н). Этой точке на торе соответствуют точки ни плоскости с координатами (2рт, 2尸笈 + 0). Зададимся произвольным е > 0. Рассмотрим широты пересечения траектории 6 =呻 с нулевым меридианом, это будут числа О, 2ка, 4ка» ... Кроме того, рассмотрим еще систему чисел, обозначающих широту точки (0, Р):储 Р + 2н, 0 + 4тт,… Имеем, таким образом, две прогрессии, отношение разностей которых есть иррациональное число а. По лемме 1,1 найдутся такие числа М м N, что
|0 + 2Aht — 2^кa | < е.(10.6)
Это и означает, что после ^ оборотов по долготе интегральная крииая О = а(р попадет в е-окрестность точки (0, 0).
Точка (О, В) была взята на нулевом меридиане. Возьмем теперь произвольную точку (『 §). Рассмотрим то решение нашего уравнения, которое проходит через эту точку: 0 = = а?+0 ——уа. Было доказано, что траектория 0=ау проходит через любую окрестность любой точки нулевого меридиана, в частности опа проходит через е-окрестность точки (О, р ——уа). Но тогда ясно, что интегральная кривая 0 = аср проходит через е-окрестность точки (а, 0).
Таким образом, доказано, что кривая 0 = а<р всюду плотна на торс.
Перейдем к изучению общего уравнения (10.1). Будем называть точки плоскости (中，0), координаты которых суть целые кратные 2不 угловыми. Угловую точку (2^г, 2ра) будем характеризовать парой чисел (д, р).
Рассмотрим интегральную кривую уравнения (10.1), выходящую из начала координат, т. е. кривую 0 =尸(屮，0). Будем изучать положение угловых точек плоскости относительно кривой 0 =尸(中，0). Если эта кривая проходит хотя бы через одну угловую точку» кроме начала координат, то эта кривая замкнута на торе, ибо выполняется равенство
尸(2gm 0) = 2Pm (10.7)
Если выполняется равенство (10.7), то интегральная кривая 。=尸(勺，0) проходит через любую угловую точку с координатами (2п^к, 2прк) в силу периодичности поля направлений.
Предположим, что точка P*(q, р) лежит выше кривой 0 =尸(？ 0). Покажем, что тогда и точка 尸2(2仏 2р) лежит выше этой кривой. Проведем через точку 尸】интегральную кривую 0 = 0 (ср) уравнения (10.1). Эта кривая в силу единственности решений лежит выше кривой 。=尸(？ 0), т. е. имеет место неравенство °(%)>尸(？ 0) и, в частности,
6(40口)>尸(40f 0). (10.8)
Но кривая 6 = 0 (ср) проходит через угловую точку, и в силу периодичности поля направлений по обоим аргументам она конгруэнтна кривой 0 =尸(中， 0). Следовательно, точка 尸2(2g, 2р) лежит выше кривой 0 = 0(р), т. е. имеет место неравенство
(10.9)(10.9)4网 > 0 (4#);
(10.9)
(10.9)
отсюда и из (10.8) следует
4рк > F(4^k, 0). (10.10)
Неравенство (10.10) и означает, что точка Р2 лежит выше к^изой 0 =户(§, 0). Повторяя это рассуждение, докажем, что точка Рп {nq, пр) лежит выше кривой 0 =尸(. 0) при любом натуральном п.
Заменяя в только что проведенных рассуждениях знак неравенства на обратный, а слово „выше(( словом “ниже", докажем, что если точка Р](д, р) лежит ниже кривой 0 = =尸(屮，0), то и точка Рп (nq, пр) при любом натуральном п лежит ниже этой кривой.
Пусть теперь числа дир представимы в виде q = kqv ” = 0Р], где 内 ——натуральное число. Предположим, что точка P(q, р) лежит выше кривой 0 =户(？ 0), тогда и точка P](g「 Р]) лежит выше этой кривой. Действительно, допустим, напротив, что это не так; тогда возможно одно из двух:
Р] лежит ниже кривой 0 = F(中,0), по тогда по доказанному 尸(力％, 々Р]) также лежит ниже этой кривой, что противоречит исходному предположению.
Р] лежит на кривой H = F(?, 0), но тогда по периодичности и Р также лежит на 0=尸(中，0), что также противоречит предположению.
Таким образом, если P(q、р) лежит выше кривой 0 = «=//(. 0), то и 尸1(9「а) лежит выше этой кривой.
Аналогично докажется, что если Р(д, р) лежит ниже кривой 0 =尸(屮，0) или на ней самой, то также расположена И точка "(%， Pj).
Тлким образом, вопрос о том, лежит ли точка 尸(д, р) выше, ниже или на самой кривой 。=尸(中，0), зависит лишь от отношения —.
Разобьем все рациональные числа на два класса:
Рациональное число ~ отнесем в первый класс, если точки Р(д. р) лсйсит выше кривой 0 =尸(屮，0) или на ней САМОЙ.
Рациональное число ~ отнесем во второй класс, если ТО“ка 〃(外 〃)лежит ниже кривой 0 = F (ср, 0).
Оба эти класса не пусты. Каждое рациональное число попадает в один и только в один из них. Покажем, что каждое число первого класса больше каждого числа второго класса. Для этого достаточно показать, что если — <与 н
2ртс》尸(2g 0), то 2m > 尸(2亦，0). По доказанному угловая точка (^/, pqf) лежит выше кривой 0 =尸(？ 0) или на ней самой, но точка (效厶 尸勺)имеет ту же абсциссу и большую ординату и, следовательно, лежит выше кривой О = F (ср, 0). Поэтому 2р%> F (2丁工，。)・
Таким образом, мы имеем дедекиндово сечение в области рациональных чисел. Пусть оно производится числом 卩.Это число называется., числом вращения уравнения (10.1).
Теорема 10 J. При любом 60 имеет место следующее предельное соотношение'.
ф-> +8 丫ф-> +8 丫(10.11)
ф-> +8 丫
ф-> +8 丫
Доказательство. Установим сначала следующий частный случай соотношения (10.11):
иm ^；①=p.(10.12)
Возьмем е > 0, выберем натуральное число ^ так, чтобы 2
было r V £• Возьмем такое целое число т, чтобы выполнялись неравенства
加一1))加+1加一1))加+1(10.13)(10.13)
加一1))加+1
加一1))加+1
(10.13)
(10.13)
(10.13).(10.14)(10.13).(10.14)
(10.13).
(10.14)
(10.13).
(10.14)
Угловая точка Р】(М /п—1) лежит по определению 卩 ниже кривой 0 =尸(屮，0), a R(M 加+D — выше этой кривой. Таким образом, выполняются неравенства
2(/п—1)к< 尸(2Nn, 0) V 2(/n+l)n.
Разделим эти неравенства на 2Mt и вычтем из тогда получим
2 /г尸(2Мч0) / 2
Отсюда по определению ^ получаем
Так как ^ — произвольное, достаточно большое натуральное число, то последнее неравенство и доказывает справедливость соотношения (10.12).
Покажем теперь, что
lim 尸(弘 °)=р.(10.16)
+оо ?
Возьмем произвольное число ср; его можно представить в виде 屮=2冗汽 + 屮一 где 屮'€[0, 2тс). Интегрируя уравнение (10.1), получаем
中
0 = F@ 0) = F (2птс, 0)+ J* /(仏 6)d(p・ (10.17)
Так как /(ср, 6) периодична по обоим аргументам, то существует такое целое число 附，что |/(<р, б)| < Л4. Положим
"=J/@ 6)碑；
тогда ясно, что | 9х | < 附屮'< Л42тс;
尸(2九大「0) I y
■尸(%0)= 尸(2九f °) + 9' = 一 2九元十 2九冗""0 18】
十痂T
Устремим здесь (р->-|-оо, тогда п также устремится к +оо, a <pz и 0х останутся ограниченными. Отсюда и из (10.12) следует (10.16).
Рассмотрим теперь три интегральные кривые: 6 =尸(中，0), 9 =尸(屮，90) и 。二尸^屮％ 2&П), где А — натуральное число, такое, что 6《6°《2^к.
В силу периодичности поля направлений имеем 尸(？ 2为门)=尸(еР, 0)+2^h.
Так как интегральные кривые уравнения (10.1) не пересекаются, то выполняются неравенства
尸(% 0)《尸(%，°)《尸(中，2配)=尸(ер, 0) + 2麻.
Деля эту строку на ср и устремляя 屮一>十8, в силу соотношения (10.16) получаем (10.11).
Теорема доказана.
Поведение решений уравнений (10.1) во многом зависит от числа вращения. При этом весьма важную роль играет арифметическая природа этого числа. Докажем, что если уравнение (10.1) имеет замкнутую интегральную кривую tia торе, то число вращения рационально.
Теорема 102 Если уравнение (10,1) имеет на торе*
замкнутую интегральную кривую, которая до замыка-：
ния делает q оборотов по долготе и р оборотов по ； широте, т. е. еслиi
尸(2g叫 00) = 00+ 2网，(10.19)/
то число вращения и =—.金
Доказательство. Из периодичности поля направле- ， ний и из предположения (10.19) следует, что|
F (2дптс, 0О) = 0о4-2р/гтс(10.20) |
при любом целом п. Деля равенство (10.20) на 2^пк и пере- j ходя к пределу при п->-|- сх>, получаем"
limЛ -> 30limЛ -> 30F Qqnit,。0)= К ^Лгё — УF Qqnit,。0)= К ^Лгё — У(10.21)(10.21)
lim
Л -> 30
lim
Л -> 30
F Qqnit,。0)= К ^Лгё — У
F Qqnit,。0)= К ^Лгё — У
(10.21)
(10.21)
Отсюда и из (10.11) и следует равенство 卩=^・
Теорема доказана.
Из этой теоремы вытекает
Следствие 10.1. Пусть уравнение (10.1) имеет два периодических решения, т. е. пусть
尸(2g产，4)= 2仍我+ %,尸(202富，62)= 202我+%，
тогда ~ = —=pt. .
Теорема 10.2 показывает, что если уравнение (10.1) имеет замкнутую интегральную кривую, то его число вращения рационально. Оказывается, верно и обратное.
Теорема 103 Если число вращения р рационально, т. с. если 卩=分 где р и q взаимно просты, то существует хотя бы одна замкнутая nq торе интеграль^
§ 10] УРАВНЕНИЯ, ПЕРИОДИЧНЫЕ ПО ОБОИМ АРГУМЕНТАМ 155 ная кривая, делающая до замыкания q оборотов по долготе и р по широте.
Доказательство. Введем в рассмотрение функцию 守(瓦)=尸(2严，60) 一 2网一60.
Из определения функции и следует, что нули этой функции определяют замкнутее интегральные кривые. По теореме о непрерывной зависимости решений от начальных данных функция 守(0()) непрерывна. Из периодичности / следует, что эта функция 2т:-периодична.
Допустим, вопреки утверждению теоремы, что уравнение (10.1) не имеет замкнутых на торе интегральных кривых, делающих до замыкания q оборотов по долготе и р по Широте. т・ е. предположим, что при любых 90
"(%)ё"(2仆.册) —2网一篇#0.(10.22)
В силу iienpcpiiiiihocTii и (%)卄з (10.22) следует, что и (%) сохраняет знак» Предположим для определенности, что ©(%)>()н положим а г- ■ hif t*(0n). Так как и(0°) — непре- рьншан периодическая функция, то а > 0. По определению а имеем
■и(Оо)>а>0.(10.23)
По определению 外(％) неравенство (10.23) дает
尸(2gm 睨 > 2рт：+0(j +х.(10.24)
Положим 尸(2g 0o) = 0p Тогда можем написать
尸(2g %)〉2pn+%+a,(10.25)
так как в неравенстве (10.24) 0о — любое число. Из периодичности правой части уравнения (10.1) следует равенство
尸(2户，01) =尸(4gm 脱.(10.26)
Подставляя в неравенство (10.25) вместо 0т и 尸(2”，％) их. значения, получаем
尸(4g 0°)〉2网+尸(2%, 60)4-a.
(-опоставляя это с (10.24), находим
尸(4州，80) > 4网+2工十0T(10.27)
11окажем, что и при всяком п выполняется неравенство 尸(2陷忆 ％) > 2“〃н十加十 ％.(10.28).
Предположим, что это неравенство выполнено при некотором п. Положим 尸(2九'к, Зо) = 0礼，из (10.24) получаем
尸(2g 6Я)> 2ртгН-0п4-а.
Но имеем 尸(2gm 6rt) = F(2^(n+ 1)тс, 0о). Следовательно, g 尸(2(/i+l)gm 0о)> 2ртс4-^(2^^* %) + ^.J
Отсюда и из (10.28) получаемg
尸(2m+1)/，脱〉2m+1)内+(几+1"+际?
Последнее неравенство в силу принципа математической ин- '； дукции и доказывает неравенство (10.28).口
Разделим неравенство (10.28) на 2п^к:■；/
尸(2九О。) . £ I I b；
2nqn ，万十父仆十2q” ,
Переходя в этом неравенстве к пределу при п -> -|- оо получаем
a/万+方^"—
Это неравенство противоречит предположению о том, что р, =у. Противоречие и доказывает теорему,
Таким образом, для того чтобы уравнение (10.1) имело на торе замкнутые интегральные кривые, необходимо и достаточно, чтобы его число вращения было рациональным.
Предположим, что уравнение (10.1) имеет рациональное число вращения 卩=* тогда оно имеет замкнутую интегральную кривую 。=户(中，0О), на которой выполняется равенство F (2q需,90) = 2рк-|- 60. Рассмотрим на нулевом меридиане тора 屮=0 множество К тех точек, через которые проходят замкнутые интегральные кривые. Множество это, как уже отмечалось, представляет собой множество нулей непрерывной функции v (60) == F (2^к, 90) — 2рк — 0о и поэтому является замкнутым. Пусть 附—открытое множество, дополняющее К до всего нулевого меридиана. Хорошо известно, что множество М представляет собой сумму конечного или счетного множества непересекающихся интервалов, которые называются смежными интервалами для множества К. Любое непериодическое решение пересекает ХОТЯ бы один из этих интервал。％
Теорема 10.4. Предположим, что уравнение (10.1) имеет рациональное число вращения 卩=^. Тогда любое непериодическое решение стремится м некоторому периодическому при ?-> + 8 w к некоторому (возможно,我 другому) периодическому решению при <р—> — 8.
Доказательство. Рассмотрим непериодическое решение б = F (ср, О') нашего уравнения, тогда 俨 £44. Пусть О'€(8н 62), где (0Р 62)——интервал, смежный для множества К, т. е. ни одна точка этого интервала не принадлежит ^, я концы его, точки 历 и %，принадлежат К. Введем, как и выше, следующую функцию точки нулевого меридиана:
v(%) = F(2gn，90) —2р« —60.
Предположим для определенности, чтог»(90)>Опри 0О^(6Р 02). Покажем, что в этом случае
l!m |"(R 0卩一尸(.0')]=0(10.29)
<р-> — *Л» и
иm [F@ %)一尸(中，У)]=0；(10.30)
<?-> +оо
этим и будет доказана теорема.
Возьмем произвольную точку 6 ^(6Р 02) и покажем, что Г(2дк, 0) лежит на интервале (6Р О?). Действительно, из неравенств
6i<6<92, и силу единственности решений, следуют неравенства
尸 @ 2V 尸@ 奪 <尸@ %)(10.31)
и, в частности,
尸(2gn, 6i) < 尸(2g 9) < 尸(2gn, %).
Но по условию % и 02 лежат в К, значит,
尸(2g %) = 2m + %(N=l, 2).
Отсюда следуют неравенства、
(10.32)(10.32)% + 2ре < 尸(2州，② v %+ 2pn,
(10.32)
(10.32)
которые и показывают, что точка F (2рт, 0) лежит на интервале (0р %).
Покажем, что имеет место соотношение
尸(2дм, О') — 2р«г -《一> °2・(10.33)
Решения 尸(？，%) и F(中，%) периодические, поэтому при любом целом я имеем 尸(2д/ш, %) = 2川霸 + % (i=l, 2)/ Отсюда и из (10.31) следует
% < F(2qn-, 0) — 2рп~ < 02.(10.34)
По определению функции и имеем
в(尸(2gzz汽，俨))=尸(2g(〃 + 1)н, O')—尸(2дшг,『)一2р* = =[尸(2g (私 + 1)玄，8‘) — 2p (д -j~ 1) it] ■—
—[F (2ртк, ") — ^pnit] > 0. (10.35)
Отсюда и из (10.34) следует, что существует предел
iim [F (2^пт：,俨)一2pzz*] = 9* £ [9Р %].(10.36)
〃f 8
Покажем, что 6* = 02. Допустим, напротив, что 9* < 02, тогда ясно, что [О', G*] с (0р 02). Но функция и непрерывна, следовательно, и》а〉0 на сегменте [О', 0*]. Пусть ^ >——-——.Из соотношений (10.35) и (10.36) следует, что при всех целых лг》О выполняются неравенства
『W尸(20标，俨)—2“気<；們(10.37)
следовательно,
尸(20(孔+1)00‘)一尸(2仙通了)一2网》a〉0.
Просуммируем это неравенство по всем я от 0 до N, тогда получим
尸(2g(N+l)m")一2月(7+1)我一俨》Nx, что в силу определения N противоречит неравенству (10.37). Полученное противоречие доказывает, что 0* = %，и, таким образом, соотношение (10.33) установлено.
Возьмем произвольное а > 0. По этому е, в силу периодичности правой части уравнения (10.1) и теоремы о непре-
рывной зависимости решений от начальных данных, найдется ипсое 6〉0, что если I 0。）— б（2） I <8, то I 尸（<Р，*））— 一尸®。⑵）1/ при 屮 С [0, 2^к]. По найденному 3 в силу равенства （10.33） мы сможем указать такое 力① что при h> 凤 окажется
02 -尸（20论笈，0（））+2Р内式 <6.（10.38）
Отсюда и из определения В следует, что
|"@ 0‘）-尸（屮，02）I < £ при屮е[20内代，20（内+1）代].
Но в （10.38）论——произвольное целое число, большее й0,
поэтому последнее неравенство и означает, что выполняется соотношение （10.30）. Аналогично доказывается и （10,29）.
Теорема докпзппа.
Отмстим дни следетния доказанной теоремы.
Сле^стнне 1（），2. Если изолированное периодическое р#Ш0Шш уриннгиин （10.1） усгоПчипо в смысле Ляпунова, то они исимптотическп устойчини.
Следстпие 103 ИзолиропПЕшое периодическое реше
ние являстси предельным дли нсбх решений, начинающихся и достаточно малой его окрестности, либо при ?f+ со, 力ибо при Ср -> — ОО.
При определении числа вращения мы говорили о расположении целых （mod 2代）точек относительно начальной гриектории 8 =尸（ср, 0）. По этому расположению можно
сулить о соотношении между величиной •— и числом вращении |л. Оказывается, что об этом соотношении можно судитьсулить о соотношении между величиной •— и числом вращении |л. Оказывается, что об этом соотношении можно судитьи по расположению точек вида （2夕代，2/?^+%） относительно нитс1|）алыюй кривой 6 =尸（屮，0°）. Имеет место следующая Лемма /0・/・ Пусть р. — число вращения уравне
сулить о соотношении между величиной •— и числом вращении |л. Оказывается, что об этом соотношении можно судить
сулить о соотношении между величиной •— и числом вращении |л. Оказывается, что об этом соотношении можно судить
ния （10.1）. Если точка （2夕代,2рк+8о） лежит ниже 卫狂. нтратноа кривой 6 =户（中，0О） или на ней самой,
川с £《2，〃川с £《2，〃обратно, если точка （20冗，2p代 + %）） лежит
川с £《2，〃
川с £《2，〃
制6Л〃© кривой 6 =尸（.60） или на ней самой, то ^》2・
и видеи виде（10.39）（10.39）Доказательство. Сделаем в уравнении （10.1） замену переменной & = 6——90, тогда уравнение （10.1） запишется
и виде
и виде
（10.39）
（10.39）
Функция 8 =尸（？ 00） — 90 есть решение уравнения （10.39）. Отсюда и из теоремы 10.1 следует, что числа вращения уравнений （10.1） и （10.39） совпадают. Но кривая 8 = =尸（¥， 90） — 90 есть начальная интегральная кривая уравнения （10.39）, так как 尸（0, 90） = 0о. Тогда по определению числа вращения р. имеем: если 2P霏《 尸（2gn, 8°） — 60, то ■^《2，а если 2网 > 尸（2дтс, 90）—筛 то ^》у.
Дамма доказана.
Перейдем к изучению того случая, когда уравнение （10.1） даеет иррациональное число вращения. Как следует из теоремы 10.2, все интегральные кривые на торе незамкнуты.
В дальнейшем будем пользоваться следующей терминологией. Проведем через точку 0о нулевого меридиана решение 8 =尸（屮，90）. После каждого оборота эта интегральная кривая будет пересекать нулевой меридиан в точках F（2nK, 0о）. f Пусть 6Л — приведенная координата точки 尸（2孔霏，90）, т. е." такая координата точки 尸（2лтс, 90）, которая лежит в полусегменте [0» 2霏）.Будем называть точки б】,92. •・• последующими точками для 0О. Так как в силу предположения об иррациональности числа вращения у интегральная кривая 8 =户（？ ％） незамкнута, то все точки 8力 различны.
Возьмем на нулевом меридиане точку 90 и две последующие для нее 8重 и 9^ （0 < д】 < 敢）・ Будем говорить» что 8取 следует за 071» и писать 9о Y。方 Y 力?，если при движении по нулевому меридиану в положительном направлении от точки % мы сначала встречаем точку %】，а лишь затем точку 9^. В противном случае будем говорить, что 必. следует за 0^, и писать 90 Y 6^ Y 5外・
Оказывается, что взаимное расположение точек 9о，8?| и Од? зависит только от числа вращения и величин д】и д2. Справедлива следующая
Теорема 70.5. Если （出勿）< （阁?），то % y 8gl y % J ① обратно、если （出效）< （Mi）加。％ yB^ Y ©仙（（a） — дробная часть числа а）.
Эту теорему иначе формулируют так: круговой порядок точек Оо, 0@ и 8效 совпадает с порядком чисел 0,（出勿），（出敢），
Доказательство, Не нарушая общности, можем считать, что 90= 0. Общность этим предположением не нарушается, так как если 0о 孚 0, то достаточно сделать замен' переменной 8 = 8—60. Как показывалось при доказателг
стое леммы 10.1, число вращения при такой замене не ме^ ннстся. Кроме того, так как при такой замене изменяетей лишь начало отсчета, то ясно, что и круговой порядок точек не меняется, но при этом 9 = 90 переходит в 8 = 0.
Таким образом, требуется доказать, что если （出^卩 < （出夕2）， то и 0 < 0^ < %*, и наоборот, если （q产）〉⑴％）， то 0V Og2 V 力1.，，，
Возьмем на нулевом меридиане точку 9о. Пусть 8；,峻 ...—ее последующие. Обозначим через р такое число, что 尸（2дн, 6о）= 鋁・2川+%. Так как число 广 иррационально, то возможно лишь одно из двух: либо 0о < ^ либо 0〔〉8；. Предположим сначала, что 苗 <% тогда по определению р имеем "（2q小 0【）> 2内+喩 А отсюда, в силу леммы 10.1, полу* ЧА#М. ЧТО
（:другой стороны（ по определению О； V 2代 и по определен нию р ммеем
Trk как р. иррационально, то из этих двух неравенств подучаем соотношение
р<м<р+1 или
p = Wg]・（10.40）
Предположим теперь, что реализуется вторая возможность: Оо > % Тогда по определению р имеем р〉闸 н р—1 <广0・ Следовательно, в этом случае
р—1 = [р.^].（10.41）
Пусть теперь р】и р2 — такие целые числа, что 尸（2夕产，0）= ■ % +2р产 и F （2^2тс» 0） = %；, +2P2H. Проведем через точку （0, 0矶）интегральную кривую 8 =尸（勺，6^）. По периодичности поля она повторит отрезок кривой 8 =尸@ 0） При иамспснии ср от 2g严 до 292H. Отсюда следует равенство
尸（2（先一处）小 9?I） = °?a + 2（P2 —Pi）TC' （10・42）
Il В. А. Плисс
Предположим теперь, что 9?2 > 9^. Тогда, в силу равенства (10.40), будем иметь
Р2 —仍=巾(敢一％)】•(10.43)
Кроме того, так как 0^ > 0 и 0^ > 0, то из (10.40) следуют равенства
p］=［出处］,应1^^g2］，(10»44)
Оценим (闸2)・ Имеем
(陷 2)=闷 2 -［闸 2］=p92 一02 =
=卩(％ — 01)—(凸一Pi)+ Mi — Pi-
Отсюда и из равенств (10.43) и (10.44) получаем
(闸2)=a (敢一处)一仙(敢一处)】+(出处)；
так как р. иррационально, то
Mg—?i)—№(%—?i)i > а
а это приводит к неравенству
(附2)>(户%)，(10.45)
Пусть 6外> Bq*、Тогда из соотношения (10.41) получим
?2 - ?1— 1 = m@ 一处)1，(10.46)
Но тогда так же, как и выше, имеем
(2%) = 202 —【202】~ 陷2 — р2 = М02 — 01)— (р2 — Pl) +
+ 闸1 - Pi = 2 @ - %) - (p2 - Pl) +(2%)，
Отсюда и из (10.46) вытекает неравенство
(М2) V(M)(10.47)
Таким образом, из неравенства 9^〉8内 следует (10.45), а из неравенства 8效 V 8硏—(10.47). Но тогда ясно, что и, наоборот, из неравенства (10.45) следует, что 阻〉％^ а из (10.47) — неравенство 9^ < 0?1.
Теорема доказана.
6. Введем следующее преобразование нулевого меридиана на себя. Каждой точке нулевого меридиана поставим в соот- .ветствие точку 尸(2霏，0О). Это преобразование обозначим 'через Т・ \Как следует из теорем единственности и инте-
грялыюй непрерывности, преобразование Т взаимно одно- иппчно и взаимно непрерывно. Кроме того, из теоремы единственности вытекает, что это преобразование сохраняет ориентацию.
Лемма 70・2・ Предположим, что на нулевом меридиане имеется Оу2a sc （9г -^ 9 -^ 92）, обладающая тем свойством, что Т^аиа, где q — натуральное число. Тогда через некоторую точку а проходит замкнутая интегральная кривая.
Доказательство. Так как TQcua, то преобразо- ипние 7'° имеет неподвижную точку 90 £ а. По определению Т это означает, что существует такое целое число р, что 尸（2g。0）= 2川+8> Следовательно, интегральная кривей 0о） зпмкнута.
Пр#ДИОЛйГйИ п（ы1|）ежпему, что число вращения 出 урав- НРННИ （10.1） иррйЦН1）ПАЛ1<но, будем изучать поведение траектории 0 ■产（▼，（））. Пусть 0*—точки, последующие для 0・（）,^ р ^ |Ц）#дрльпо@ М1н）ж（ч т1к）последопателыюсти 8々.
Т@疝，4，瓦乳 Множество 〃 co^fHaetiHO.
Д t> к н и и г V л h С Т и о. Мпожестпо />, как всякое прв・ делыю@ мпожгстио, зимкнуго. Покажем, что оно плотно н себе. Пусть /"—производное от Р множество, т, е. множество нсех предельных точек множества Р. Докажем, что 〃и/匕 Пусть &о€Р Возьмем произвольное е > 0. Относительно этого е будем предполагать, что
Т剧к как % есть предельная точка последовательности 9ft, ТО существуют числа 加<论<烧1<论1 такие, что 19т—^01 < е» |0| - Оо I < е, I б® 一 9-0|<е, | 8拓—3。| < е. Так как число иритепия * иррационально, то все точки 8尼 различны, поэтому из четырех точек %，近，兀，8財 по крайней мере три не совпадают с 8> Пусть это будут точки %,勿，9mi. Из •тих трех точек хотя бы две лежат в одном из интервалов （拆―％ 瓦）и （%, 8g + 5）. Пусть для определенности 9ft и 0т лгжпт н интервале （%, % + s）. Рассмотрим числа （加出）и （々广，・ «Цнм определенности будем считать, что （烧出）< （力尸）.Тогда По теореме 10.5 0 -< 9т -< 0й, а в силу наших обозначений ■то означает, что &о 之 8m 之％ < 诏斗亂 Возьмем теперь произвольное число bt удовлетворяющее неравенствам （加① <
< ft < (々а)，и положительное число 8 такое, что (/па) < Ь — —8 < b-\-b < (Л(л). Рассмотрим две прогрессии： ｛方，力+1, 力+2, •• J и ｛因 2m 8向•••｝• Йо лемме 1.1 существует бесконечная последовательность пар чисел 的，N, (Z=l, 2,...) таких, что
Тогда ясно, что ](№小)一ft| < 8, а тогда при любом I будут справедливы неравенства (烧出)< (N#) < (砲.По теореме 10.5 при любом Z имеет место неравенство &0 < 9т < < 0“ < 9ft, Таким образом, на промежутке 8m《。& % существует хотя бы одна точка, предельная для последовательности 6ft. Пусть это будет точка g По определению 蚩€尸. Но точка %] лежит в s-окрестности точки &0. Так как s есть произвольное достаточно малое число, то отсюда следует, что точка 8°—предельная для Р, 8。一произвольная точка Р; следовательно, любая точка Р есть предельная точка этого множества, т. е. РиР. Таким образом, мн,о- жество Р плотно в себе; так как оно замкнуто, то оно совершенно.
Хорошо известно, что совершенное множество, лежащее на окружности, может быть лишь одного из следующих трех видов: а) это множество совпадает со всей окружностью, Ь) множество нигде не плотно на окружности, с) это множество не заполняет всю окружность, но содержит в себе хотя бы один сегмент.
Теорема 7О・7. Множество Р && может содержать в себе целый сегмент, &с заполняя при этом всей окружности.
Доказательство. Допустим, напротив, что существует сегмент а и Р Относительно а будем предполагать, что это наибольший сегмент, т. е. в любой окрестности его граничных точек имеются точки, не принадлежащие Р. Так как а и Р, то на а лежат хотя бы две точки последовательности 0л: 9ft и 9т; пусть /п < ^. Будем по-прежнему через Т обозначать преобразование, ставящее в соответствие точке 90 точку 尸(2н, 0О). Тогда ясно, что T^k~m^m— 9fr. Но Om^sc, 9Й ^ а; следовательно, 声一叫血€九 Рассмотрим пересечение 犷力一⑺仪.* он。не пусто, так как 9ft£a,公^丁。-^%. Образуем сумму Т便-^'a+a, эта сумма представляет собой сег*
мент. Если этот сегмент совпадает с а, то Т伊-% и а. Отсюда, в силу леммы 10.2, следует, что на торе имеется замкнутая интегральная кривая. Но это невозможно, так как число крашения у иррационально. Предположим теперь, что сегмент 7«*-m)a + a содержит в себе а как правильную часть. Нетрудно видеть, что множество Р инвариантно относительно преобразования Г; следовательно, Т伊一叫 иР и, значит, 7'* 却)а ^-а с: Р. Это невозможно, так как по предположению а — наибольший сегмент. Полученное противоречие и Аикмзминет, что Р не может содержать в себе целую дугу нуле кого меридиана, не заполняя его целиком.
Дннжуа [48] доказал, что если от функции 尸(2н, 90) тр#б(ш#Т1* только непрерывности, то Р может быть любым C<W|iiiiuhiihm нигде не плотным множеством. Однако если Н(пргПппит|| от *(2代,0п) достаточной гладкости, то Р за- палннг несь нул^иой мсридицп. Именно, справедлива сле- 4ующ&н тгоргмл. докштшшн Ди»жуи.
T^opfiM^，仇臥 Исли функция /(.0) непрерывно диф~ е，р«&4М〃У^«" "с 0 〃 если произлодная ^ - F (2к, 90) пр^сгпавлябт собоИ функцию ограниченной вариации, то множество Р заполняет весь нулевой меридиан.
Перил тем как переходить непосредственно к доказа- те剧,стну теоремы 10.8, докажем следующее утверждение.
Лемма 70.3・ Пусть 出一иррациональное число, тогда по любому /г。можно указать такие целые числа п > п0 « /, что будет выполняться неравенство
1办1——"V|如——国 I . (10.48)
〃p〃 ц^лом b、удовлетворяющем неравенствам 0 < ft < n. “ любом целом а.
Доказательство леммы 10.3. Рассмотрим множе- стне чисел вида | 力у ——а|, где а и b ——целые и 0 < й <； д0. Нетрудно видеть, что существует лишь 2/г0 пар целых чисел (а. Л), если О <^С 办о，для которых справедливо неравенство [* — а ] < 1. Поэтому существует е == min | Ь^—а\ при 0 < ^ • п0. Так как 出一число иррациональное, то ясно, что ■ > 0. В силу леммы 1.1 по этому е найдется пара целых чисел M,N такая, что
Из определения е следует, что М〉п0. Пусть теперь 8 = min I ftjj. — а| при целых а и ft и при 0 < й <； 2И. Так как 卩——число иррациональное, то ясно, что существует лишь одна пара чисел п, / такая, что 8 = | пр-—11. Эти пи/ и будут, очевидно, искомыми.
Доказательство теоремы 10.8. Предположим, вопреки утверждению теоремы, что Р не заполняет весь нулевой меридиан, т. е. представляет собой совершенное нигде не плотное множество. Пусть а0—какой-нибудь смежный для множества Р интервал, а % — точка на этом интервале. Как уже отмечалось, множество Р инвариантно относительно преобразования Г. Следовательно, любой интервал вида 丁乜 является смежным для Р. Отсюда вытекает, что интервалы вида Т% и Т^ при / # 论 не пересекаются. Действительно, если интервалы Т*а0 и Т& пересекаются, то пересекаются и интервалы а0 и Т"&・ Но тогда интервал а0+ Tk~laQ совпадает с а0, ибо в противном случае а0 не мог бы быть интервалом, смежным для множества Р. Отсюда следует, что 尸一&匚％, и в силу леммы 10.2 уравнение (10.1) имеет на торе замкнутую интегральную кривую, что противоречит иррациональности числа вращения.
Возьмем какое-нибудь натуральное число 以，для которого выполняется неравенство (10.48), и рассмотрим точки % =L% 8-卄1 =L"+%，…，%，8i =
=Т&о，・• ♦, &2я = Т2"®。 и соответствующие им смежные для множества Р интервалы
а-Л — / %，а_л+1 = / %，• ■ •» %, а1 —
5yAeм для определенности предполагать, что п^ — Z > 0. Покажем, что на промежутке между 8。и 储(при движении от 8。к 8鼻 в положительном направлении) не лежит ни одна точка вида 8也 при ——л < й < 2п,内 # 0,片于& Пусть сначала 0 < й < п» и предположим, вопреки нашему утверждению, что &о Y %& Y $1r Тогда в силу теоремы 10.5 выполняется неравенство
(m)<(产)，
* 1川 УРАВНЁНйЙ. ПЕ^ЙОДЙЧНЫЕ ПО ОБОИМ АРГУМЕНТАМ 16? которое означает, что существует такое целое число т, что
0 V 2内--?w V广汽—-4
а это противоречит выбору числа п, так как ^ < п.
Пусть теперь k — ti~{~q, где 0 < ^ < zz. Предполагая опять, что 8° Y 储 Y 8%, получаем в силу теоремы 10.5
（2打+闸）<（m）.
Отсюда следует, что существует целое число т такое, итб
0 < р.п + |лд — т — / < [л/z —丄 или,
—pen 4- / < p.g — m < 0;
ITO HtpRNtiiCTSO также противоречит выбору n.
Пусти, наконец, — Л < А < 0. Из предположения 8° Y Y % Y % получаем % Y 力 Y * и, принимая точку 办 не ийнильнуЮ） в силу теоремы 10.8 находим
（|4Л— 1^X（— |ХА）.
т・ 6. существует такое число т, что
0 < pin —（лЛ — / — m < （—陋） или
-（t/i --/ V -11内-m V （-2内）—2打 T- %.
Если — M — m < 0, то из последнего неравенства получаем
—у/г + 2 V — *饱一m < 0,
что протипоречит выбору п, так как —n < jfe < 0. Если же ~|кА—m > 0, то имеем ,
0 < -广内一т < （- 2论）一y/z + /,
и так как по предположению ^п — Z > 0, то
0 < - а论-加V （-戶论）。
Последнее неравенство, очевидно, не может реализоваться. Такнм образом, предполагая, что %-<&*-< Э-л» мы получили протииорсчие, которое и доказывает наше утверждение.
Рассмотрим два интервала а_л+р и а^, где р — целое число, подчиняющееся неравенствам О《р《/г—1. и покажем, что между ними （если двигаться от интервала а_л+р к интервалу а「в положительном направлении） не распола-
гается ни один интервал а 為(—ti《卜《п — 1,々次 一л + p, 论 # р). Для этого достаточно показать, что между точками 8-以+卩 近 &р нет точек &й (—п ^.k^n—1* 々#—办 + p, 々 # p). Допустим, напротив, что &_〃+「Y 8在 Y 8〃. Применяя к этой строке преобразование 丁"一°, получаем 8° y В^+^—р YR犷 Это противоречит только что доказанному утверждению, так как при сделанном выборе 论 и р выполняются неравенства --儿v论 + 万一Р < n,论 + 打一p # 0,力 + ?z - p Ф n.
Возьмем систему интервалов а-л, а一也+「 ..., а0, .. ., а^»】; выберем из них интервал 仪一门+广(0《р《/г—1), тогда ближайшим к нему (в сторону возрастания полярного угла) интервалом из выбранной системы будет интервал %.
Обозначим через и©、90) функцию 卫=~^-尸R, 90). Хорошо известно, что в наших предположениях функция и удовлетворяет уравнению
黑=加(中，尸9, %))«•
Так как "(0, 90) = -g^- F(0, 0о) = 1, то, интегрируя последнее уравнение, получаем
f % (% 尸(％ %))的
и. в частности,
21t
f % 8,尸通9o))的
A(2k, 90) =.
По условию Д непрерывна, поэтому из последнего равенства получаем, что существуют такие числа % и Н2» что
0 < ^1 < «(2к, 90)《”2・
Рассмотрим функцию
也(°о)= 1п〃(2н, 90).(10.50)
Функция эта ограничена и в силу монотонности логарифмической функции имеет ограниченную вариацию. По опре-
делению полная вариация функции Л (90) равна л-1
г = 8иР2|л(оГ1))-л(Я1
(10.51)(10.51)々=0
(10.51)
(10.51)
^ < ^ <<0俨=* + 2Н).
Рассмотрим на нулевом меридиане интервал 0 длиною s, И пусть длина интервала 丁卩=，равна s'. Ясно тогда, что
s' = /〃(2m, 0о) rf90 = seh ^\(10.52)
Г да < — некоторая точка, лежащая на интервале р. Иначе ГОЮря. для точки т имеем
(10.53)(10.53)Л (т) = In —-.
(10.53)
(10.53)
Пусть ниг^рнил а, нмегг длину s«. Возьмем на интервале и« ТОЧКУ 工«, пннло! ичнун)точке т нн р; тогда будем иметь
3川一 v'3)‘/|(%)н1『響.(10.54)
Рассмотрим колебание функции Л(90) между точками ，•/1*卩 и <〃・ это колебание будет равно 厶(弋「) — h(x_n+p). Так кпк по доказанному выше между интервалами а_л+р и ар нет интервалов системы %(д =——п.——п +1, ...» 0п—1), ТО ясно, что сумма абсолютных величин таких колебаний будет нс больше полной вариации функции 九；следовательно, Можем написать
"1я-1я-1
工力(，)一工九(t-n+")《工 |A(tp) —А(т_„+р)|<К.
"■"p* 0p=0
Отсюда и из (10.54) получаем
I SoS — nI
ИЛН
匕(10.58)
Было доказано, что интервалы вида 丁色仪。и T’a。 не пере・ секаются, поэтому длина sk интервала Т& стремится к нулю
при 為-> 土 8. Следовательно, первое из неравенств (10.55) не может быть выполнено при достаточно большом п. Так как в наших рассуждениях, согласно лемме 10.3, л может быть выбрано сколь угодно большим, то мы получаем противоречие, доказывающее теорему.
Отметим, что функция ^-F(2k, 6о) имеет ограниченную вариацию, если вариация функции ^- ограничена равномерно относительно ср. Действительно,
Me")f阀))= j%® 6产))一6® 峭]叫.
о
Поэтому если полная вариация функции 嘉 по переменной 9 меньше W для любого ср, то
e1力(硏+1))_ m門)[<2П犷，.
т. е. вариация функции Л(0О), а следовательно» и функции 謂■尸(2тт, 60) конечна.
Таким образом, если правая часть уравнения (10.1) достаточно гладка, то множество Р совпадает со всем нулевым меридианом. В связи с этим представляет интерес следующее утверждение [1].
Теорема 10,9. Пусть число вращения 卩 иррационально, а множество Р совпадает со всем нулевым меридианом, тогда существует гомеоморфное преобразование S тора на себя, такое, что интегральные кривые уравнения .(10.1) переходят 8 интегральные кривые уравнения
居=p.(10.56)
Доказательство. Пусть по-прежнему 0А -г-точки, последующие для 6 ==0, а Р — предельное множество последовательности 0既 По условию множество 6ft всюду плотно. Определим на последовательности 0后 функцию Ф по формуле
叫)=婚)2矶00.")
Функция Ф на множестве своего определения монотонна, так Кйк по теореме 10.5 если
8拓 < % то Q电)< (昧2)・(10.58)
Тпк как множество 8尼 всюду плотно на нулевом Меридиане； то, взяв любую точку 7 на нем, мы сможем указать две по* следовательности 8年 и 0〃 такие, что
lim 8尼=瓦 lim 必=&(10.59)
j->8 '/ 今8 '
eA/ <^<9Ау.(ю.60)
Тйи как функция Ф монотонна на множестве своего опреде /шннн. ТО ИМММ
鴻 Ф (Ч)—力 ®— 0),(10.61)
11m11mф（оъ）-ф（（Г4-о）.ф（оъ）-ф（（Г4-о）.(10.62)(10.62)
11m
11m
ф（оъ）-ф（（Г4-о）.
ф（оъ）-ф（（Г4-о）.
(10.62)
(10.62)
и при втом числе Ф(Я —0) и Ф (б 4-0) не зависят от выбора Последопйтелыюстей 0勺 и 0〃.
Покажем, что при любом 0
ф(5" —0) = Ф(9 + 0).(10.63)
Допустим, напротив, что
ф« —О) V ①®+ 0).
Там как множество (昧)всюду плотно на отрезке [0, 1], то найдутся два числа /и * I таких, что
Ф(^ — 0) < (/пр.) 2冗 V ①(8 + 0),ф(^_0)<(/р.) 2к< Ф(9 + 0).
Рассмотрим точки 0т и 8卜 Пусть для определенности 8m < 6Р тогда по теореме 10.5 окажется 呪&8；„<仇《8〃・ Это невозможно в силу (10.59). Противоречие доказывает равенство (10.63).
Доопределим функцию Ф до всего меридиана естественным образом: если 万# 8我，то Ф(0) = Ф(0-|-0). Из соотно* шения (10.63) следует, что Ф непрерывна»
Так как функция Ф монотонна, то она имеет непрерывную и монотонную обратную функцию Ф"1. Пусть / — точка тора, а 屮 и 6 — ее приведенные координаты. Проведем через эту точку интегральную кривую 0=尸(屮，90), поставим точке / в соответствие точку В с координатами (0=吃 + + ①(8°), <р = ср). Это отображение и будет требуемым. Нетрудно видеть, что это отображение взаимно однозначно при 0《屮 <2冗 и взаимно непрерывно. Покажем, что оно взаимно однозначно и при 0 Mtp《2兀，т. е, покажем, что точки с координатами (屮=2穴， 0= 2рт+ Ф(90)) и (屮=0, 8 =①(尸(2冗，00))) совпадают. По непрерывности это достаточно доказать лишь для случая, когда 6° = 8盍，так как точки 8我 всюду плотны на нулевом меридиане.尸(2兀，6ft) имеет приведенную координату 6ft+1; следовательно, 卩2冗 +①(0少)с точностью до целого кратного 2к совпадает с Ф(6А+1). Имеем
0(%)=(如)2不①②十])=(他+ 1)似2冗.
Отсюда и вытекает утверждение теоремы.
Теорема доказана.
В начале предыдущего пункта мы ввели преобразование Т нулевого меридиана тора на себя, порождаемое общим решением 6 =尸(屮，0о) уравнения (10.1)
Предположим теперь, что нам задано гомеоморфное и сохраняющее ориентацию преобразование Т окружности С на себя. Покажем, что это преобразование подчиняется тем же законам, что и преобразование, порождаемое уравнением (10.1). Для этого введем семейство кривых, аналогичное семейству интегральных кривых уравнения (10.1).
Введем на окружности С угловую координату 0о, отсчитываемую от точки 加叫 так что координаты точки Л4(°) представляют собой целые кратные 2к. Пусть Тм!^ = М^ и пусть 0iO) есть приведенная координата точки 加£)(0《8，)<2冗)・ Образуем функцию 9j (90) по следующему правилу. Пусть 60 есть координата точки M^Cf тогда бДбд) представляет собой координату точки ТМ. При этом 4(0)=©f). Так как преобразование 7 непрерывно, то мы можем и будем считать функцию О】 непрерывной. Нетрудно видеть, что тогда функ-
Цин Oj (90) — 0о будет 2к-периодической. Образуем функцию /'(% 00)=凸怨if十％ при 0<(р<2л, —8<%<+оо.
(10.64)
Кривые 8 =尸(屮，90) на плоскости <р, 0 представляют собой семейство отрезков прямых, соединяющих вертикали 8 = 0 и 0 == 2к. Отрезки эти не пересекаются между собой, так как по предположению преобразование Г сохраняет ориентацию. Образуем в полосах вида 2/гн《ср《2(孔 + 1)н аналогичные семейства отрезков и в точках вертикальных прямых 0 2пк „склеим** соответствующие отрезки, получим СГМ^Йстно ломаных. Точнее говоря, доопределим функцию 尸⑷ ％) JE псей плоскости следующим образом. Предположим, ЧТО фупкпнн /■' (ф, 0J определена при всех 0《屮 & 2/пг(/1》1)・ Доопределим г следующим образом в полосе 2儿冗《屮之
< У(м 1)к. Положим
r 伸，%)」1(" 3 W二个"% 0" (ер _ 2m)+ 尸(2阮 90).
(10.65)
Т&кнм образом, функция /'(ср, 0О) окажется определенной при всех 屮>0，При 屮《0 F(cp, ^) определяется аналогично. Ila ПЛОСКОСТИ . О семейство 0 =卢(屮，60) представляет собой семейство ломаных, нигде не пересекающихся друг с другом И непрерншю зависящих от параметра 90. Через каждую точку плоскости проходит одна и только одна ломаная.
Нетрудно видеть, что для семейства 8 =尸(屮，90) спра- йедлипы те же заключения, что и для семейства интегральных крипых уравнения (10.1).
Определение 10.1. Назовем числом вращения р пре- обраиовиния 7 число вращения семейства 0 =尸(屮，90), определенного выше.
Если число вращения р. преобразования 7 иррационально, ТО семейство кривых 0 =户(.0о) не имеет на торе замкнутых кривых, а это в свою очередь означает, что преоб- ринопинис К на окружности С не имеет неподвижных точек НН при каком q. С другой стороны, если преобразование Tq имеет неподвижную точку М, TqM = М и ТГМ =/= М при 丨工 г V 9，то преобразование 7 имеет рациональное число нрнщення ^, где р н g взаимно просты.
число вращениячисло вращения£ q£ qнесократиманесократимато преобто преоб■ Обратно, если преобразование Т имеет рациональное
число вращения
число вращения
£ q
£ q
несократима
несократима
то преоб
то преоб
разование Т° имеет неподвижную точку. При этом если для
некоторой точки М^С выполняется соотношение TrM — М (г — натуральное число), то Обязательно r=&g, где k ——на
туральное число.
Эти утверждения вытекают непосредственно из теорем 10.2 — 10.4, справедливых, как отмечалось, в рассматриваемом случае.
§ 11. О грубости дифференциальных уравнений,заданных на торе
В этом параграфе мы вновь рассмотрим уравнение первого порядка, правая часть которого периодична по обоим аргументам: 、
^ = f^>。)・ (1L1)
Относительно функции /(. 9) будем, как и выше, предполагать, что она 2к-периодична по обоим аргументам, непрерывна и обеспечивает единственность решений при любых ср, 0.
Будем интересоваться зависимостью числа вращения от параметров, которые могут входить в правую часть уравнения.
Рассмотрим уравнение
^ =/(<₽, 6, а), (П.2)
где функция /(. О, а) непрерывна в точке (ср, 6, а0) и в окрестности этой точки обладает теми же свойствами, что и правая часть уравнения (11.1). Ясно, что число вращения р, = р, (а) уравнения (11.2) зависит от а.
Теорема 77./・ Функция р(а) непрерывна в точке а0.
Доказательство. Обозначим через 0 =尸(屮，90, а) то решение уравнения (11.2), для которого 0o = F(O, 0о, а). Возьмем произвольное е > 0 и столь большое натуральное
д, что — < е. По этому q найдется, очевидно, такое целое число р, что
2h(p 一 1)V尸(2陷，0, %) V 2h(p+1).(11.3)
В силу непрерывной зависимости решения уравнения (11.2) от параметра а в точке а0 найдется такое S > 0, что при |а — а0| < 8 окажется
2M(р — 1)<尸(2唱，0, а) < 2тс(р+ 1).(11.4)
Из неравенств (11.3) и (11.4) и из определения числа вра- щенин вытекают неравенства
V〈М%)〈牛(11.5)
Vp(a)V^^ При |а —а0| <8.(11.6)
НЫМИТВЯ нераяенстно (11.5) нз неравенства (11.6), получим
22
一彳v»(°)一世(脸<7，
А отсюда и из выбора числа q следует
||1(а)_и(а0)| <с при |а —а0[<8.
Последнее перанснстно и доказывает теорему.
Теорема 11.1 псшпимпигт, что число вращения зависит от параметра нспргрынпо. гели припая часть уравнения есть с пепрсрывнйя функции нирпметра. В связи с этим возникает I йопрос, не будет ли функция р(а) обладать какой-нибудь |гладкостьк)| если правая часть есть достаточно гладкая функция своих аргументов. На следующем примере видно' что функция р(а) может не удовлетворять условию Липшица, несмотря на то, что правая часть есть целая функция.
Пример, 或I 9 д I
码=sin2 9 а.
При а (^ | —1, 0] это уравнение допускает в качестве своих pciiiviiiih некоторые постоянные, н, следовательно, его число вращений равно нулю, т・ е. 卜(а) = 0 при а^ [—1, 0].
Проинтегрируем наше уравнение при а > 0 и при начальных данных ср = 6 = 0:
J а + sin2 0
о
Отсюда следует, что1Отсюда следует, что1По теореме 10.1По теореме 10.1Усс? + аУсс? + аArctgArctgн亠й tg 6н亠й tg 6р(а)= lim{р-> +сор(а)= lim{р-> +со尸(％ 0, а)尸(％ 0, а)откудаМа) =откудаМа) =lim6-> 4 oolim6-> 4 ooArctgArctg吟+，.tgO吟+，.tgO
Отсюда следует, что
1
Отсюда следует, что
1
По теореме 10.1
По теореме 10.1
Усс? + а
Усс? + а
Arctg
Arctg
н亠й tg 6
н亠й tg 6
р(а)= lim
{р-> +со
р(а)= lim
{р-> +со
尸(％ 0, а)
尸(％ 0, а)
откуда
Ма) =
откуда
Ма) =
lim6-> 4 oo
lim6-> 4 oo
Arctg
Arctg
吟+，.tgO
吟+，.tgO
Таким образом, для рассматриваемого уравнения *(а) не удовлетворяет условию Липшица в окрестности точки а — 0.
Как будет видно из дальнейшего, число вращения 卩 уравнения (11.1) в некоторых случаях не меняется, несмотря на произвольные, но достаточно малые возмущения правой части. Выясняем вопрос о том, когда имеет место такое явление. Наряду с уравнением (11.1) рассмотрим уравнение
患= /3, 0) + /1(?. 6)，(Н-7)
где функция Д (ср, 0) непрерывна, 2тс-периодична по обоим аргументам и обеспечивает единственность решения уравнения (11.7).
Определение 11.1. Будем говорить, что уравнение (11.1) имеет угтой^иво^чи£да вращения, если существует такое s > 0> что при любой функции /】(屮，0) такой, что 1/1(%。)| W* уравнение (11.7) имеет такое же число вращения, как и уравнение (11.1).
В противном случае будем говорить, что уравнение (11.1) имеет неустойчивое число вращения.
Лемма 7/./. Если число вращения р. уравнения (11.1) иррационально, то оно неустойчиво.
Доказательство. В рассматриваемом случае на торе нет замкнутых интегральных кривых и существует устойчи-
имя в смысле Пуассона траектория. Будем для определенности считать, что траектория 厶(。=尸(ср, 0)) устойчива по Пуассону (в противном случае мы сделали бы замену переменных вида 0 = 0 — 0о). Зададимся теперь произвольным положительным е. По этому е в силу непрерывности и периодичности функции /(. 6) найдется такое 6£(0,子)， ЧТО 1/(%,。1)-/(屮2, е2)| < у при I% —屮2〕<3,包―02yB. В силу предположения о том, что траектория L устойчива й смысле Пуассона на торе, найдется такое целое число р и такие натуральное число q, что 12PH —尸(2дн, 0)|<8・ Дли определенности мы предположим, что 2PHs 尸(如н, 0) (рйй^истяо 2P代 а F (2q索,0) невозможно, так как 卩 ирра- Циипйльно НО усложню). Тогда из определения числа 卜 н из его Н|)|ици0иаль1ншти следует, что
孑>"(11.8)
ПолпЖНМ Т@Н@рь /)(ф, 0)^1, тогда ураппсние (11.7) примет иил
芻=/@ Of(1L9)
Обопинчпм <(ерез 0 = Fx (ср, 0о) решение уравнения (11.9), й череп 卜]его число вращения. Из определения В следует, что крипня М (0е=Г(ф，0) + ?} не имеет контакта с полем линейных элементов урлпненпя (11.9). Кроме того, из вида урпинспия (11.9) и из определения 8 следует, что до тех (ню, покя кринан Oe/北(屮，0) находится в замкнутой области 。俨伸，0) . О “(牛，(j)+ j, выполняется неравенство
尸;《, 0)—尸％, 0) >》(11.10)
Интегрируя это неравенство» убеждаемся, что кривая Ое/'((р，0) покидает область G при 0 < 屮 < 27r. Так как ирнидя /И не имеет контакта с полем линейных элементов урмт)гннм (11.9), то ясно, что при ср^2к выполняется нрриисиство 尸Nr 0) > F((p, 0) + 3. Отсюда и из определения чисел 〃 н g следует, что Fx (2^-, 0) > 2Pm По определению числа пратсния тогда имеем
12 В. А. Плисе
отсюда и из (11.8) следует неравенство 卩】> а， которое и доказывает лемму.
Предположим теперь, что число вращения уравнения (11.1) рационально ji =丄.Образуем функцию
g(%)=尸(2дм, 0о) — 2рк — 60«(И.11)
Функцию эту мы будем называть функцией последования. Из теоремы 10.2 следует, что функция последования имеет нули при 60^ [0, 2к). Нулям этой функции соответствуют периодические решения уравнения 11.1 (замкнутые циклы па торе).
Лемма 1L2. Если число вращения уравнения (11,1) рационально (步="^")我 есм ФУн^ая последования g(60) не меняет знака, то число вращения уравнения (11.1) неустойчиво.
Доказательство. Пусть для определенности g (6о)^О при всех 0о. Наряду с (11.1) рассмотрим уравнение (11.9), в котором е — произвольное положительное число. Тогда ясно, что 尸[(2дн, 90) > F(2^k, .0о) при всех 90. Но отсюда следует, что
尸 1(2少，90) — 2рк — %> 尸(2g 00) — 2ртс — 60 = ^ (60) > 0.
Это неравенство показывает, что уравнение (11,9) не имеет замкнутых циклов, делающих до замыкания q оборотов по долготе и р оборотов по широте. А отсюда вытекает, чго число вращения у уравнения (11.9) отлично от -—. Этим доказана лемма.
Лемма 1L3. Если число вращения р уравнения (11.1) рационально (步=^) 〃 есла функция последования g(60) принимает значения разных знаков, то число вращения уравнения (11.1) устойчиво.
Доказательство. Пусть 0 = F2(屮，60)——решение уравнения (11.7). По условию леммы имеем, что функция g(60) меняет знак. Отсюда и из теоремы о иепрерывной зависимости решений дифференциальных уравнений от правых частей следует, что существует такое е > 0, что функция g2 (瓦)=尸2 (2g我，60) - 2/ж — 60 также мецяет знак, если
только 1/1(屮，6)1 < е при всех 生，0. Но тогда в силу непре- ?14П11Ости функции g2 (0О) существует такое 脸 4TOg2(Oo) = 0・ ：лсдовательно, через точку ср = О, 0 = 90 проходит замкну*
ТЫП цикл уравненияТЫП цикл уравненияврптсния уравненияврптсния уравнения⑴・7)⑴・7)равно —.равно —.Это и доказываетЭто и доказывает(11.7). Отсюда вытекает, что число
ТЫП цикл уравнения
ТЫП цикл уравнения
врптсния уравнения
врптсния уравнения
⑴・7)
⑴・7)
равно —.
равно —.
Это и доказывает
Это и доказывает
лемму.
Доказанные леммы позволяют сформулировать следующее утпсрждение.
Теорема 〃・2・ Для того чтобы уравнение (11.1) "川夕/о устойчивое число вращения, необходимо и доста- михнб чтобы число 俨 было рациональным 〃 функция П0('Л9()опанич *(0и)меняла 3&。尤・
Т«(ц>смг 11.2 и случае, когда правая часть уравнения (11.1) енплн vhhiiii п()0, можно придать другую формулировку.
7，ир«*“ //.*?. Если л окрестности каждой точки 0£|(), Vn| функции /(屮，D) разлагается 6 степенной ряд ПО 0, о"м““，4гн рипном^рно при <рС1(), 2к]. то, для тою чтобы число праи^нип 卩 уравнения (11.1) было усто(1чипым, необходимо 〃 достаточно, чтобы уравнение (11.1) имело хотя бы одно асимптотически устой- чкао# до Ляпунову периодическое решение.
Доказательство. Достаточность следует из того, что и условиях теоремы число вращения рационально, а функции последоиапия меняет знак, и из теоремы 11,2,
Теперь докажем необходимость. Предположим, что условии теоремы 11.3 не выполнены. Если уравнение (11.1) вообще ни имеет периодических решений, то число вращения его иррационально и в силу леммы 11.1 неустойчиво. Пусть теперь урлниепие (11.1) имеет периодические решения, тогда его число вращения рационально. Образуем функцию после- доиппии «(В。)； из аналитичности правой части уравнения (11.1) следует, что функция g*(G0) аналитическая. Отсюда вытекает, что либо уравнение g (0л) = 0 имеет конечное число корней ни промежутке 0《0°& 2冗,либо g(0o) = O. Во втором случае НН лгммм [〔.2 следует» что число вращения уравнения (11.1) цру(т<»йчнво. В первом же случае, ввиду отсутствия устойчи- Л14Х периодических решений, функция g(0o) не принимает винчений одного какого-нибудь знака и в силу леммы 11.2 уриппспис (11.1) имеет неустойчивое число вращения.
Теорема доказана.
В этом пункте мы будем изучать вопрос о грубости уравнения (11.1), Дадим определение грубости для уравнения (11.1), заданного на торе. Определение это во многом аналогично определению грубости плоской динамической системы [51, 52]. Предположим, что функция /(. 9) имеет непрерывную частную производную по 0. Обозначим через р(М, N) евклидово расстояние между точками М и N тораК、
Определение 11.2. Уравнение (11.1) назовем^грубым, если для любого е > 0 существует 8(e) > 0, такое, чКптрг! любой непрерывной fx (ср, 9), имеющей непрерывную 2к-периодичной по обоим своим аргументам и удовлетворяющей неравенствам
М%е)1。，|^|<8,(Н.12)
существует топологическое преобразование S тора R на себя со следующими свойствами:
Р(М, &il} < е;
5 преобразует интегральные кривые уравнения (11.1) в интегральные кривые уравнения (11.7).
Лемма //.4. Если уравнение (11.1) грубое, то оно имеет рациональное число вращения ^ = ~, 〃 функция последования g(©o) меняет знак.
Доказательство. Доказательство леммы мы будем проводить от противного. Предположим сначала, что число вращения 卩 уравнения (11.1) иррационально. Возьмем произвольное е > 0. Сделаем относительно решения 0 =尸(屮，0) уравнения (11.1) такие же предположения, как и при доказательстве леммы 11.1. Как было показано* тогда число вращения *] уравнения (11.9) больше числа вращения р. уравнения (11.1). В силу теоремы 11.1 число вращения ^ (е) уравнения (11.9) зависит от е непрерывно, и потому существует такое е0 < е, что число вращения *】(％) рационально. Но ясно, что тогда не существует топологического преобразования тора R на себя, переводящего интегральные кривые уравнения (11.1) в интегральные кривые уравнения (11.9), в котором е = е0, ибо в противном случае при таком преобразовании незамкнутая кривая переходила бы в замкнутый цикл, что невозможно. Но тогда из определения 11.2 следует, что уравнение (Н. 1) не является грубым. Мы получили
I II) О ГРУБОСТИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 181 противоречие с условием леммы, которое и доказывает, что чисдо вращения уравнения (11.1) не может быть иррациональным.
11редположим теперь, что * = ^ и что функция после- ДО1Н1НИЯ не меняет знака. Пусть для определенности g(0())》O. Toi да, как показано при доказательстве леммы 11.2, число иршцсния 卩］уравнения (11.9) отлично от числа вращения 卩 урпнпсния (11.1) при любом е > 0. Следовательно, суще- СТнун сколь угодно малое е0, такое, что число вращения уриннсния (11.9) при е = е0 иррационально. Но тогда ясно, чго у|Н11шсцие (11.1) не является грубым. Полученное противоречие и доказывает лемму.
Л^мма 7/.5・ Если уравнение (11.1) грубое, то оно 〃"©〃〃 .iuiub конечное число замкнутых циклов.
Д о к изп тс л ь с т н о. Возьмем произвольное 8 > 0. По 19THMу й можно ука;нт* 2кч1сриодичсскую по обоим аргументом и н^ирерыннук» но 屮 функцию /(%0)・ обладающую мл»дующимн cucHi ин(ми: 1) они риилагас^ся в степенной рИД пи 0, vx«Hhiiiuin< и |1й1111омг1Н1О при 屮efb，2代］и |0| < Л, 『肥 4 — /1И|Пом положительное число; 2) имеют место сле- ЛуИ)Щ|№ НГриПСНСТШ!：
|/(<р. 0)-7(<р. 6)1 < 8. |#--|г|<8-(11.13) 卩иссмотрнм уравнение
瑞■ = /&，6)- (И.М)
II силу (11.13) уравнение это является допустимым возмущением для (11.1). По условию леммы тогда существует топологическое преобразование S тора R на себя, переводящее HHTrrpiuibiiHe кривые уравнения (11.1) в интегральные кри- иыс уравнения (11.14). Предположим теперь, вопреки утверждению леммы, что уравнение (11.1) имеет бесконечно много йймкпутых циклов. Тогда и уравнение (11.14) имеет беско- ПРЧ1Ш много замкнутых циклов. Так как уравнение (11.14) НМггт периодические решения, то его число вращения рацио- НАЛЬпо и для него определена функция последования g(©o). А силу предположения об аналитичности /(ср, 0) функций g(%) будет также аналитической. Но периодические
решения уравнения (11.14) соответствуют нулям функции g(60). Следовательно, функция g(90) имеет бесконечно много нулей, и, значит, g(9o) = O, так как g(0o) — аналитическая функция. Отсюда вытекает, что все решения уравнения (11.14) периодические* Но тогда и все решения уравнения (11.1) тоже периодические. Отсюда следует, что функция последования g(90) уравнения (11.1) — тождественный нуль. А это противоречит тому, что уравнение (11.1) грубое, и лемме 11.4. Полученное противоречие доказывает лемму.
^исло вращения р. = —.^исло вращения р. = —.Предположим, что уравнение (11.1) имеет рациональное
^исло вращения р. = —.
^исло вращения р. = —.
Пусть В】一широта точки на нуле
вом меридиане тора R через которую проходит периодическое решение уравнения (11.1). С периодическим решением
0 =尸(中，%) свяжем характеристический показатель
2疗
2)=费/詛…，产⑴」5)
Нетрудно видеть, что в наших правой части уравнения (11.1)Нетрудно видеть, что в наших правой части уравнения (11.1)предположениях относительно имеет место равенствопредположениях относительно имеет место равенство
Нетрудно видеть, что в наших правой части уравнения (11.1)
Нетрудно видеть, что в наших правой части уравнения (11.1)
предположениях относительно имеет место равенство
предположениях относительно имеет место равенство
爲尸(2"' 0о)|во=в,爲尸(2"' 0о)|во=в,g2qn 九(瓦).g2qn 九(瓦).(11.16)(11.16)
爲尸(2"' 0о)|во=в,
爲尸(2"' 0о)|во=в,
g2qn 九(瓦).
g2qn 九(瓦).
(11.16)
(11.16)
=e22(配一[.=e22(配一[.Пусть g(©o)— функция последования для уравнения (11.1), тогда из (11.16) и вида функции g(0o) следует равенство
=e22(配一[.
=e22(配一[.
(1LI7)
Сформулируем теперь еще одну лемму относительно грубости уравнения (11.1).
Лемма 〃・6. Если уравнение (11.1) грубое» то любое его периодическое решение 8 =尸(屮，%) имеет отличный от нуля характерастическай показатель.
Доказательство. Предположим, вопреки утверждению леммы, что через точку 8】нулевого меридиана проходит периодическое решение 0 = F (ср, %) и Л (0^ = 0. В силу леммы 11.5 уравнение (11.1) имеет лишь конечное число периодических решений. Поэтому на нулевом меридиане существует такая точка % (% > %)，что решение 0 =尸 @ 02)
периодическое, и через интервал (0「02) не проходит больше периодических решений уравнения (11.1). Отметим, что 匕一точка, геометрически отличная от точки Gp так как в противном случае функция g(0°) имела бы лишь один нуль па промежутке 0 <； 0о < 2к и, будучи периодической, не меняла бы знака, а это противоречит лемме 11.4. По определению точки ©2 Функция g(6()) при 0О^(6Р О?) сохраняет впак, пусть для определенности g*(0o) > 0 при G0^(6r G2). Возьмем теперь столь малое 6 〉 0, что 6-окрестность [/'(:р, %) — 6n0总尸(6 %)+ 6} р6шения 0 =尸@ 厶)не пересекается ни с одним из периодических решений уравнения (11.1), отличных от 0 =尸(屮，％). Зададимся произвольным числом е > 0. Введем в рассмотрение функцию /\(р 0) со Следующими свойствами: а) Д (ср, G) принадлежит классу С2 И 2к-периодична по обоим аргументам; б) |衣(？，©)| 久丁 |'У[《明 в) /1(?* 0) = 0 на кривой G = F(ср, 90 и вне 8-окрестпости этой крииой; 竊'：~ — е при 。=尸(. 力).
РйССмотрим ypiiitiH'iiHe (11.7), и котором функция /((ср, 0) ОЙлддот пгрсчнслсшнлми спойстпами. Ясно, что все периодические решения удлинения (11.1) будут также и периодическими решениями уравнения (11.7). Найдем характеристический показатель 力“О】) решения 8 =尸(中，%) уравнения (1U). По определению имеем
Парный из интегралов правой части этого равенства Ю1ПШет с характеристическим показателем 力(0】) решения I м /^(S)0|) уравнения (11.1) и по предположению равен нулю. Отсюда и из свойства функции /1(. 0) имеем
4(%) = -е. 01J9)
Пусть gx (0о) — функция последования для уравнения (11.7).
По формуле (11.17) получаем
g；&) = e~2qm—l <0. (11.20)
По определению числа 8 кривая 8 =尸(屮，02) и замкнутая область {尸(？，％)—:В ^ G ^ F (ср, 4) + 3} не пересекаются. Значит, существует такое В2 > 0, что не пересекаются замкнутые области {尸(屮，％)——《尸(屮，©2)+%} и {尸(■%)-3《0《尸(.01)+3} .
По теореме об интегральной непрерывности найдется такое Z > 0, что все решения 6=尸](屮，0О) уравнения (11.7), у которых |坛——601VA будут лежать в области |0―尸(.02)I < 82 на промежутке 0《屮《2州.Но по свойству функции /1(<р, 0) эти решения будут просто совпадать с соответствующими решениями уравнения (11.1). А тогда в силу сделанного предположения будем иметь
^(00)= ^(00)>0 (И.21)
при 92 — /《瓦总坛。 Как отмечалось выше, функция 0 = F (ср, О】) есть периодическое решение уравнения (11.7), и потому g](6])=0・ Но тогда из соотношений (11.20) и (11.21) вытекает существование такого %£(%, 02)» что gi (%) = 0. Эта значит, что решение Ь — Fy (ср, %) уравнения (11.7) периодическое. Таким образом, оказывается, что у уравнения (11.7) больше периодических решений, чем у уравнения (11.1). Но тогда не может существовать преобразования тора R на себя, требуемого определением грубости. Это противоречит условию. Полученное противоречие и доказывает лемму.
Теорема 11.4. Для того чтобы уравнение (11.1) было грубым, необходимо и достаточно, чтобы оно имело рациональное число вращения 〃 любое его периодичен ское решение имело ненулевой характеристический показатель.
Доказательство. Необходимость утверждения теоремы следует из лемм 11.4 и 11.6. Докажем достаточность. Отметим сначала, что уравнение (11.1) имеет лишь конечное число периодических решений. Действительно, если бы их было бесконечно много, то среди них имелось бы неизолированное, а его характеристический показатель был бы равен нулю. Зададимся произвольным положительным числом е.
Пудем сравнивать уравнение (11.1) с уравнением (11.7), у которого 丨//〈б,]%]*；；/. Пусть % и % — пве точки на пулспом меридиане, через которые проходят периодические решения уравнения (11.1). При этом предполагается, что решении эти соседние, т. е. через интервал (%, 92) не проходит зпмкнутые циклы уравнения (11.1). Обозначим через Л об- /1йст!>| расположенную между замкнутыми кривыми 0 = F (ср, %) и 0 4/Г(中，02). Так как решения 0 =尸(中,0])и 0 =尸(中，%) HMcio r ненулевые характеристические показатели, то их можно ийк/ночить о сколь угодно узкие полосы U] и U» ограниченные замкнутыми гладкими кривыми без контакта. Пусть "и ^| — границы U], a 厶2 H N? — границы U?* Мы будем HpaAHQAAiHTit. что ши|)и1П1 полос и】и и? меньше g и что ・ТМ пи/1<»сы НВ пгресскиютсн друг с другом и с периодическим ре"漳нн・м у|нп11кч1ии (11.1), отличным от 8 =尸(屮，%) и О■*(*%)・ На ф°|)мулы (11.17) следует» что 8 можно вн・ брить Ста/IL МйЛЫм, ЧП» урлпкскис (11.7) будет иметь столько же n^pHOAHMvcKHX jH'iiieiiiiil. сколько и уравнение (11.1). Величину 8 мижко ныбрнть степь малой, чтобы кривые Lv Np 厶？ и Ng нс имели контакта с полем уравнения (11.7) и чтобы ypNiiiiciiHc (11.7) имело в каждой из полос Ux и U? точно («дно периодическое решение (0 = Ft (ср, 6；) и 0 =尸1(屮，0, cooTiicTCuiriiiio), а и области А — Ux — U2 не имело бы периодических решений. Кроме того, 8 будем считать столь малым, что решения ураинииий (11.1) и (11.7), начинающиеся в одной и той же точке облпсти Л — (/( — U* отличаются друг от дру: й лоститочно мило ло тех пор, пока оба они нахо- АКТ" и U0JMCTH U] —U?.
Пусп. крииия Л)лежит в области А. Сопоставим каждой точке эгой кривой ее самое. Каждой точке р траектории К урпннения (Г 1.1). проходящей через точку q кривой £v со- пистппим точку, имеющую ту же долготу, что и р, и ле- Жйшук) п» той траектории уравнения (11.7), которая прохо ЛИТ через д. Ясно, что при этом получится гомеоморфное Н|)г(»П|)||；|()1шние S] области А в тор R. Сопоставим теперь ММ7 собой ТОЧКИ кривых © =尸(. «) и © =尸[(屮，外), D i /? (屮.0a) и 8 =尸 1 (中,％), имеющие одинаковую долготу. Il;i того, что характеристические показатели всех этих
186 СИСТЕМЫ ПЕРВОГО И ВТОРОГО ПОРЯДКОВ [ГЛ. Н кривых отличны от нуля и имеют попарно одинаковые знаки, следует, что таким образом мы получаем гомеоморфное преобразование замкнутой области Л в тор R.
Если эти же рассуждения распрострагить на все области, лежащие между соседними периодическими решениями, то станет ясно, что найдется такое 8 > 0, что при |//<3, |^Н<" существует гомеоморфное преобразование тора R на себя, удовлетворяющее требованиям, сформулированным в определении грубости.
Теорема доказана.
Общие теоремы о поведении решенийсистем второго порядка
В этом параграфе мы начнем изучение системы уравнений второго порядка
符=尸(% 0. (12.1)
где Х = {%], х2], F — {/Р /2}—двумерные векторы. Относительно вектор-функции 户 будем, как обычно, предполагать, что она определена, непрерывна и удовлетворяет условию единственности решений системы (12.1) при всех X, /. Кроме того, будем, как и раньше, предполагать, что 尸 имеет период з по f, т. е.尸(X. £+ з) =尸(X, /).
У системы (12.1) гиперплоскость £ = 0 есть просто евклидова плоскость Е. Поэтому в тех случаях, когда все решения Х(£, Хо, 0) системы (12.1) продолжимы на все моменты времени из промежутка 0 ^/ -^ о), преобразование Г, определенное в § 1, представляет собой преобразование евклидовой плоскости в себя. Это обстоятельство позволяет для системы (12.1) сформулировать следующее весьма важное утверждение [53].
Теорема 12.1. Если все решения X(f, XQ, 0) сас- теми (12.1) продолжимы на все моменты времени 0《/《(о и если существует решение, ограниченное при £》0, то существует и апериодическое решение.
Прежде чем доказывать теорему 12.1, установим следующие важные предложения, касающиеся теории топологических преобразований плоскости. (Доказываемые ниже утверждения принадлежат Брауэру [54], читатель найдет их до*
казательства также и в работе А. А. Андронова и А. Г. Майера [55].)
Пусть Т — гомеоморфное и сохраняющее ориентацию пре- (»6разование евклидовой плоскости Е в себя. Введем следующие понятия. Пусть X — точка плоскости Е и ХГ = ТХ. Пусть т ——простая дуга с концами в точках X и Xv такая, что дуга Т] = 7\ имеет с 丁 одну общую точку Х「Дуга ・丁 называется дугой переноса, а множество точек
Г=玄吟 (12.2)
носит название, луча переноса:
Теорема 12,2. Предположим, что преобразование Г ке имеет неподвижных точек, тогда луч переноса не может иметь двойных точек (т, е. точек, принадлежащих 7П = Twy и Ъп = 丁饵『％ #?п, и отличных от ах общего конца., если | т — л | = 1).
Доказательство. Рассмотрим луч переноса Г, начи- наютнйсн и точке X дугой у, и предположим, вопреки ут- псрждснию теоремы, что он имеет двойную точку. Присо- ганммм к простой дуге 丁 простую дугу 7] = 7丁. По определению дуги переноса опять получим простую дугу 丁十丁「К этой простой дуге присоединим дугу у2 = Т2у; полученная таким обрниом кривая 丁 + 丫1十丫2 может оказаться простой дугой, в *том случае присоединим к ней дугу 73 = 737 и т. д. Согласно сделанному нами предположению процесс этот должен оборнаться (ибо в противном случае луч переноса Г не бу- 」щт иметь двойных точек). Пусть впервые при присоединении душ Т\(月〉1) к простой дуге 丁 + 丁14-・•• -рТ庵一л не по- лучпется простая дуга. Обозначим через д】первую от 月&н“ TkX точку пересечения 丁也 с 丫 + 丁]十十丁在_у так чтб простая дуга 丁十丁广十...*丁々一1 не имеет с дугой Х& ¥ич#к пересечения, отличных от д「Покажем, что 分€『 Предположим, напротив, что 4长1人《г《卜—1). Тогда цена, что T~rqx Т~г^г = Т-гГгу = у, но 处£丁々；следова- Телыкъ *Lq&T-* = h，а это значит, что Т пересе- К&НСМ с 1*т в точке T~rqv что противоречит определению 瓦 <)ПойНй(П1М через С простую замкнутую кривую, составленную ИВ Простых дуг д]Х[ (часть 丫)，「，у2,卜_] и А\% (Ч・СТ1* т» Тонки ,2 = 7%，д = ?т幻 принадлежат △(§?€],
7 € Тй-1)* Простая дуга q^k^v состоящая из частей 丁也 и Н+1，может пересекать лишь дугу %占(часть 丁)，так как в противном случае уже 丁论_】пересекалась бы с одной из дугу, fr 丁2，• • •，Т论一2 вопреки предположению. Поэтому простую дугу 92*201， состоящую из частей дуг Ti н 丁也 н простых дуг 丁2， • • • > 丁也一i， можно дополнить до простой замкнутой кривой как при помощи простой дуги q^X^q?——тогда получится С,—так и при помощи простой дуги д^Х论十 102 — тогда получится простая замкнутая кривая С】=ТС. Обратим внимание на то, что область, ограниченная простыми дугами q/m и С】*论十 102， не может содержать внутри себя простую дугу qXkqv ибо в противном случае преобразование Т меняло бы ориентацию контура С.
Пусть 守(X) — вектор сдвига преобразования Т, т. е. вектор, проведенный из точки X в точку ТХ. Так как область, ограниченная дугами 处占敢 и q、X卜十*» не содержит qXkqv то угол, на который поворачивается вектор преобразования 1V при перемещении его начальной точки по простой дуге qX& (и, следовательно, конечной точки по дуге ^1^+1^2), будет такой же, как угол поворота вектора, нигде не исчезающего, начало которого движется по простой дуге qX凤,а конец —— по какому-либо непрерывному закону по простой дуге дС®
Отсюда следует, что угол поворота вектора преобразования 1V при обходе начальной точкой кривой С будет такой же, как и угол поворота вектора, нигде не исчезающего, конец которого при обходе начальной точкой кривой С также обходит кривую С, и потому этот угол равен 十2冗. Таким образом, индекс замкнутой кривой С в поле 1V равен +1; следовательно, в области, ограниченной кривой С, вектор V обращается в нуль хотя бы в одной точке Х^ Но тогда Xq = TXq, т. е. точка Хо — неподвижная точка преобразования Г. Это противоречит условию. Теорема доказана.
Обозначим через 片 образ плоскости Е при преобразовании Т.
Теорема 123 Если преобразование Т не имеет неподвижных /поме^, то через каждую точку области Ех можно провеста луч переноса.
Доказательство. Возьмем произвольную точку X С £\ и покажем, что ее можно соединить с Хх = ТХ дугой переноса, этим и будет доказана теорема.
Соединим X с X、какой-нибудь простой дугой 丫， лежащей в fr и положим Т] = Т『 Если 丫 н 丁】не пересекаются, •Го теорема доказана. Будем предполагать, что кривые 7 м 力 Пересекаются.
Обозначим через 办 точку пересечения 丁 н 丁】со следующим свойством: если q = T^iqv q2=Tqv то:
либо Ng】 не имеет других точек пересечения с Х@
либо 占分 не имеет других точек пересечения с Xq. Покажем, что точка 弘 с таким свойством существует.
Пусть точка s движется по 7 от X к Х\; тогда ^ = Ts днижется по 7】от Хх к X?. Мыслимы две возможности:
либо точка s, двигаясь по 7, пересечет в qx часть дуги 7р уже пройденную S】до того, как “ пересечет часть『 уже пройденную s; точка д】будет искомой; ，
либо точка S], двигаясь по у, пересечет в точке д】 часть дуги 7, уже пройденную s до того, как s пересечет часть дуги 7Г уже пройденную s^ точка q* будет искомой.
Вудем рпссмятривпть лишь случай а); случай б) обращается и случай а) при замене Т на Г"1.
Возьмем достагочно малое положительное е. Обозначим черс：1 ＜，1 е-окрсстность дуги Х^ (части 丁】).Число е будем считать настолько малым, что U^czEy и положим U = T^U^ Ьупем предполагать, что U не пересекается с е-окрестностью дуги Х]02 (части т】). На дуге Xq、в s-окрестности 0】возьмем точку г】и соединим ее с X】дугой 0】，лежащей в Ux и не пересекающей Х&? (кроме как в точке X】)и Xq、 (кроме как в точке г)
Дуга В = Т"£, соединяющая точку г = T^r^ с X, тогда не будет пересекаться ни с Хг】(так как % не пересекается с 占分)，ни с 占小 где г?=Тг\ (очевидно, что 「2€丫]夕2)・ Такнм образом, простая дуга rXrv состоящая из частей р и 7, есть дуга переноса. Так как по теореме 11.2 луч переноса, проведенный через дугу rXrv не имеет двойных точек, то дуга Хг^Х】 этого луча есть также дуга переноса.
Теорема доказана.
Теорема 12.4. Пусть 7 не имеет неподвижных точек п последовательность Q】,Q2, Qk, ... ££】 имеет точку Х££\ своей предельной точкой. Тогда через точку X можно npo^cntu 0yzy переноса.
содержащею 以о крайней мере две точки последовательности Q龙.
Доказательство. Пусть Хх = ТХ и 丁一дуга переноса, соединяющая эти точки. Такая дуга существует по теореме 12.3. Пусть U — столь малая окрестность точки X, что: 1) она не содержит ни внутри, ни на границе точек дуги Ti = 7\, 2) замыкания множеств U, Ui = TU и U? = TUi не пересекаются между собой, 3) U? не имеет общих точек с дугой у.
Пусть Y — последняя на дуге『считая от X, общая точка т и границы U, т. е. дуга УХг (часть 7) целиком лежит вне U, ^ Y лежит на границе U.
Пусть Z — первая на дуге 丁， считая от У, общая точка 7 и границы и】，т. е. дуга YZ (часть 7) целиком лежит вне У+и】，a Z лежит на границе Uv Соединим точки X н У произвольной простой дугой X, целиком, кроме конца У, лежащей в U. Пусть 入[=7入.Ясно, что % целиком, кроме точки 匕=”，лежит в U「Соединим точку Z с точкой Хг простой дугой 俨，целиком, кроме конца Z, лежащей в U】и непересекающейся с 入卜 кроме как в точке Xv Обозначим через R дугу XX】，состоящую из дуги 入，дуги YZ (часть 7) и дуги №• Покажем, что R есть дуга переноса. Пусть 也二丁“ Ясно, что 俨]целиком, кроме точки 21 = 72, лежит в U?・ Дуга [л】 не может пересечь ни 入，ни 衿，так как по выбору U и? не пересекается ни с I/, ни с Uv кроме того, Hi не пересекает дугу YZ (часть 7), так как D? не пересекается с『 Дуга Y^ не пересекается с 入，так как U не имеет общих точек с у; дуги Z】％ (часть ») и YZ (часть 7) не пересекаются, так как 7 есть дуга переноса» и, следовательно, 7 и 7j не имеют общих точек; дуга YR не пересекается с [х, так как 俨 лежит внутри Uv а У^1 лежит вне и】 (как образ дуги YZ, лежащей вне 必_ Наконец, дуга 入]не пересекается с X, так как 入uU,、uU. дуга % не пересекается с YZ (часть 丁)， так как последняя лежит вне и】； дуги же ^! и [х пересекаются лишь в одной точке X】 по самому построению 艮 Таким образом, дуга 0 имеет со своим образом лишь одну общую точку Ху т. е. является； дугой переноса.
В силу произвольности 入 ее всегда можно провести через две точки последовательности Q*. Это и доказывает теорему.
Теорема 12.5. Пусть 7—гомеоморфное а сохраняю- 附" ориентацию преобразование евклидовой плоскости Е • rf，Ki пусть существует такая точка У плоскости, цжп последовательность К, % = ”，％ =厂匕 … имеет ©為об身“，у”匕兄 подпоследовательность, тогда преобразо- 鮪制#• Т имеет неподвижную точку.
Доказательство. Предположим, что последователь- И01Т1> У* имеет точку X своей предельной точкой. Из не- H|if|imihioctii преобразования Т следует, что и точка ТХ иилипси предельной для этой последовательности, и потому можнп считать» что X ^ЕР
Предположим теперь, вопреки утверждению теоремы, WO Т нс имеет неподвижных точек. Тогда через точку X ■ силу теоремы 12.4 можно провести дугу переноса у, со- Д^ржитую пие точки последовательности У丸.Пусть это будут
8 точки У師 и，・ n > т. Образуем луч переноса Г= 2 7‘Т・
Таи ИВК ^ ^т^^л* ТО лугп т пересекается с дугой у” 叫力 * 明 луп переноса Г имеет двойную точку. Это иротнпоречнт теореме 12.2.
Теорсмп доказана.
Из этой теоремы вытекает утверждение теоремы 12.1. Лгйствителыю, пусть 7 — преобразование плоскости Е, ставящее в соответствие точке Хо точку X （（о, Хо, 0）, т. е. преобразование, введенное в § 1. Это преобразование сохраняет ориентацию. В самом деле, возьмем произвольный замкнутый контур С и каким-нибудь образом его ориентируем. Пропс дем через С при / = 0 всевозможные интегральные кривые до пересечения их с плоскостью t — m. Эти интегральные Крниые образуют поверхность L. Пересечение поверхности L С плоскостью t = m представляет собой контур ТС. Ориентация контура ТС может не совпасть с ориентацией контура С только в том случае, если на поверхности L прои- пошло пересечение интегральных кривых, чего не может быть й силу единственности.
По условию теоремы 12.1 существует решение, ограниченное при £>0・ Пусть Y — точка этого решения при £ = 0・ Из определения преобразования Т следует, что последовательность Т*У ограничена. Таким образом, мы находимся
в условиях теоремы 12.5, ссылка на которую н доказывает луф^уу 12.1.
(Z/ В § 9 мы показали (теорема 9.1), что если уравнение первого порядка имеет ограниченное решение, то оно имеет и(о-периодическое, т. е. в случае уравнения первого порядка условие теоремы 12.1 о продолжимости всех решений на периоде является излишним. Массера [53] показал, что для системы второго порядка это условие существенно. Приведем пример Массера.
Пример. Рассмотрим систему
-^- = /(а, V)cos2 к^ — g(u, и) sin 冗/cos 冗/ — ку.
(12・3)
乐=g" v) cos2f (иt u)sinnf cos 案f + 冗尤,
где «г и & представляются формулами
и = х cos 冗/ + у sin 冗我 и = у cos 代/ ——x sin кЛ (12.4)
Относительно функций / и g предполагается, что они удовлетворяют следующим условиям:
/ и g* непрерывно дифференцируемы по своим аргументам;
/(—п, — ^) = /(п, и), g(—% — u) = g (弘硕
/(1, 0) = g(l, 0) = 0, /(0, u) = 0, g(0, u)>0 при всех и;
+oo•
/ du 2
Из условия 2) следует, что правые части рассматриваемой системы имеют период, равный единице.
В переменных 弘 守 система (12.3) принимает вид
^^ — f {и, V)cos кЛ 署=且(弘 u)cos冗九 (12.5)
Из условий 2) и 3) следует, что а = 土 1, и = 0 суть два решения системы (12.5); следовательно, х = ± cos к^, у = ± sin к/ суть два периодических решения системы (12.3) с периодом 2. Из первого уравнения системы (12.5) следует, что если на каком-нибудь решении оказывается п = 0 при f = fs то на этом решении при всех f а = 0・ Отсюда вы-
I ifl| ' Поведение рёшений систем второго порядка 193 тек&ет, что на решениях нашей системы функция 〃 не меняет ЬНйка. Предположим теперь, что система (12.3) имеет решение С единичным периодом, и пусть при / = % на этом решении 〃力 0, тогда из первого равенства (12.4) следует, что нм зтом решении и меняет знак, что невозможно. Слсдова- TPHhUO, если система (12.3) имеет решение с периодом, равным единице, то на этом решении а 三 0.. Для этого решении из второго уравнения (12.5) получаем
= / cos W df = ^ (sin 案 f — sin k/0).= / cos W df = ^ (sin 案 f — sin k/0).dvg (0, и)
= / cos W df = ^ (sin 案 f — sin k/0).
= / cos W df = ^ (sin 案 f — sin k/0).
°11
Пусть / изменяется в пределах от ——у до + у, тогда из последнего равенства получаем
。（+紛
НТО противоречит условию 4), наложенному на функцию 『(Q, и).
Таким образом, система (12.3), имея два решения с периодом, равным 2, не имеет решений с единичным периодом. Pro происходит из-за того, что ни одно решение, у которого 〃 =0, не продолжимо на периоде, в чем нетрудно убедиться путем непосредственного интегрирования второго у|Щнения системы (12.5) при п = 0.
(^ Предположим теперь, jp система (丝 J)Д’сснпатнвна. Т^ГХЙ по определению пюбоА飞е решений X (£, Х] 0) ограничено при всех £>0; следовательно, по теореме 12.1 дис- спинтивная система двух дифференциальных уравнений имеет шрмоническое колебание. Справедливо и более точное утвер- жцение: можно указать замкнутую, ограниченную замкнутой жордановой кривой область, переходящую при преобразовании 7 в себя.
Прежде чем переходить к доказательству этого утвержде- liiiHi установим справедливость следующих геометрических лемм.
Лемма 12J. Пусть 厶 а & — Ове замкнутые жордановы кривые, а % и D? — их внутренние {ограниченные)
В. А Плисе
области. Пусть U — неограниченная компонента дополнения множества)1十厶 °。&匕©近 плоскости^ а Г — ее граница. Если пересечение D、・ D? &е пусто, то Г представляет собой замкнутую жорданову кривую, содержащуюся в множестве 厶+ 厶・ Область А, внутренняя для Г, содержит в себе и Dx и D2.
Доказательство. Возможно одно из трех: или
D、uD* (12.6)
или
Зи。】， (12.7)
или не выполняется ни (12.6), ни (12.7). В случае (12.6) Г = У2. А = £>2； в случае (12.7)「=人，Д = ОР Осталось рассмотреть случай, когда ни (12.6), ни (12.7) не реализуются. В этом случае D2 имеет точки как внутри, так и за пределами DP Следовательно, и 厶 имеет точки и внутри Dv и за ее пределами. Действительно, если бы 厶 |ie имела точек вне Dp то точки области Dv лежащие вне Ор можно было бы соединить с бесконечно удаленной точкой, не встречаясь с кривой 丿2， что невозможно, и если бы кривая 厶 не имела точек внутри Dv то D】лежала бы в D2, что также невозможно по предположению. Очевидно, далее, что Г содержится в Ji + 厶，и если Г представляет собой замкнутую жорданову кривую, то область А содержит в себе Dj + Dg. Осталось доказать, таким образом, что Г — замкнутая жорданова кривая.
Определим преобразование S множества Г на J】н покажем, что это преобразование гомеоморфное. Пусть X ^ Г и Х£ 厶 тогда положим SX = X.
Пусть теперь X^Г, но XR】； следовательно, Х£厶. Тогда существует единственная дуга Лх кривой 厶，содержащая X как внутреннюю точку и такая, что внутренние точки этой дуги лежат на Г, но не на 丿厂 Конечные точки а и b дуги Ах лежат на 厶. Тогда множество 从х+厶 состоит из трех дуг» пересекающихся друг с другом лишь конечными точками (множество это имеет вид буквы 6). Множество "х +厶 делит плоскость на три части, две из которых ограничены и не пересекаются с U. Одна из этих ограниченных частей есть, очевидно, область DP Обозначим другую через Rx, Область Rx ограничена дугой <х и Дугой Вх； лежащей на кривой 4 и имеющей те же концы а и 仇 что и дуга 4*
Определим S на Ах как гомеоморфное преобразование дуги Ах на дугу Вх, оставляющее неподвижными концы @ И b этих дуг. Тем самым определение преобразования S за- ягршсно.
Покажем, что каждой точке X £ 厶 соответствует точка »х на Г. Если Х£ 厶 и X ^ Г, то это очевидно. Если * W 人 но X Г, то мы можем построить дугу Сх, соеди- ниютую точку X с бесконечно удаленной точкой и пере- 1'#К1пощуюся с 厶 только в точке X. Пусть У — первая точка Пересечения этой дуги с множеством Г. Тогда область Ryt miprделенная выше, содержит часть дуги Сх от X но У и, елгдовательно, X является образом одной из точек дуги Ау При преобразовании S.
Покажем, что преобразование S взаимно однозначно. Допустим, напротив, что это не так, т. е. предположим, что существуют две точки ^! £ Г и Х2 ^ Г, такие, что SX\=SX?. Ясно, что если X^Г и X не лежит па 厶，то SX не лежит НН Г; следовательно, если SXx Г, то Л\ лежит на Г и нн Jp и потому Хх — Х2 = SXx = SX2. Предположим теперь, НТО SX】 не лежит на Г, тогда дуги /妈 и Л%2 могут пересиниться разве лишь своими концами. Точка SX】оказывается тогда граничной как для Rx*, так и для Rx? и не является Конечной ни для дуги Л^, ни для дуги 4&・ Таким образом, области Rx、и Rx» имеют общие точки. Это невозможно, так как если точка X принадлежит Rx^ и Rx%、то ее можно соединить с бесконечно удаленной точкой дугой, пересекающей лишь Лх2 и не пересекающей ни /&，нн В&.
Непрерывность преобразования S следует просто из того факта, что областей Rx может быть не более чем счетное количество и лишь конечное число из них может по диаметру превышать данное положительное число е.
JIeMMa доказана.
Лемма 12.2. Пусть Т — гомеоморфное преобразовав нис плоскости в себя, a D — область, ограниченная тв икнутой жордановой кривой J. Обозначим через U^ неограниченную компоненту дополнения множества J』| 77+ ••・-|-TNJ до всей плоскости, а через En—ее криницу. Если пересечение D * TD не пусто, то En лР^" ©Enii/Mem собой замкнутую жорданову кривую, содер-
жащуюся в 」+"+ • • • + TNJ. Область А”, внутренняя для Гуу, содержит 8себе сумму D~\-TD-\~ …斗TND.
Доказательство. Если N=l, то, полагая Dx — D, D? = TD、мы получим наше утверждение из предыдущей леммы. Предположим» что утверждение доказываемой леммы выполняется для N——1. Покажем, что оно верно и для ^. Положим р = △%_[, D2 = TNDt тогда Ji = TN_i и 厶=小厶 суть замкнутые жордановы кривые, и так как А#_] содержит D-\-TD-{- • • • 4~ TND, то неограниченная компонента дополнения 1\у-1Ч-Т"丿 будет совпадать с неограниченной компонентой UN дополнения 丿十77十...十 Т"，Так как D・TD не пусто, то и Т^^1^ • TND также не пусто, но TN~1Da^N_v поэтому не пусто и пересечение А^т • TND. Таким образом, выполняются условия предыдущей леммы, ссылка на которую и завершает доказательство.
Эти две леммы позволяют доказать наше утверждение.
Теорема /2・6・ Предположим, что система (12.1) диссипативна, тогда существует область А, ограниченная замкнутой жордановой кривой Г, такая, что|
ГДсД,(12.8)|
где, как обычно, ТХ^ = X (ш, X。，0).
Доказательство. Рассмотрим круг 7/ {ЦХЦ < А}, определенный теоремой 2.2, и выберем какой-нибудь круг DnH. По теореме 2.2 существует такое М что при 论》2
PDuH.(12.9)
Кроме того» из соотношения (2.28) следует, что множество /, соответствующее диссипативной системе (12.1), лежит в Н. Так как множество / инвариантно относительно преобразования 7\ то ясно, что /иЁ> • TDt и, следовательно, пересечение D • TD не пусто. Обозначим через J окружность, огра； ничивающую круг D. Пусть, как и в лемме 12.2, UN обозначает неограниченную компоненту дополнения множества J4~ TJ-\- ... +丁"丿 до всего пространства, P# — ее гра- •ницу, а & — внутренность 1\. Покажем, что
%и§(12.10)
Для этого достаточно, очевидно» доказать, что
(12.11)(12.11)ТТ^иАм
(12.11)
(12.11)
По лемме 12.2 「川 содержится в множестве J+ ^Ч- • • •
*.. + TNJt Из самого определения 厶川 следует, что
J+TJ+ ”心口№(12.12)
Пусть X — произвольная точка %, тогда существует такое целое 瓦 0《ВММ что X TkJ. Если ^ < ^, то ТХ £ €戸"J и, следовательно, в силу (12.12) ТХ £A^. Пусть же X ^ 7^J, тогда T-n х《J、и в силу (12.9)
TX = TN^T~NX^H.
По по самому выбору D HuD, а по определению 厶内 UuA%, и потому ТХ &&№ Отсюда и вытекает включение (12.11). которое и доказывает теорему.
Теорема эта впервые была опубликована в работе [44]. На русском языке ее доказательство приведено в книге [45].
Введем в рассмотрение вектор сдвига преобразования Г:
Р = Х, ТХ. Из теоремы 12.6 вытекает следующее утверждение:
Следствие 12.1. Индекс любой замкнутой жордано- пой кривой, расположенной за пределами круга достаточно большого радиуса с центром в начале координат, в поле вектора сдвига преобразования 7 равен
Действительно, индекс кривой VN в поле V равен +L как следует непосредственно из теоремы 12.6. Возьмем произвольную замкнутую жорданову кривую у, охватывающую область А#. Ясно, что в кольце, ограниченном кривыми 7 и 工№ нет особых точек вектора V, и потому индексы кривых 7 и TN в поле V совпадают.
4. Будем опять предполагать, что система (12.1) диссипативна. Рассмотрим множество /, отвечающее этой системе. Если / вырождается в точку, то мы имеем дело со случаем конвергенции. Предположим, что / в точку не вырождается. По определению 7 представляет собой пересечение вложенных друг в друга областей и потому является континуумом *), не разбивающим плоскости.
11усть G—дополнение / до всей плоскости, а Г — его граница. По предположению Г состоит не из одной точки,
*) Континуумом, как обычно, называем связное> замкнутое
множество.
198 СИСТЕМЫ ПЕРВОГО И ВТОРОГО ПОРЯДКОВ [ГЛ. II поэтому область G можно конформно преобразовать на внешность единичной окружности С.
Итак, пусть G лежит в плоскости комплексного переменного z (z =修十/%2)・ Единичная окружность С лежит в плоскости комплексного переменного 砌 и D — неограниченная компонента дополнения С до всей плоскости 侬.По теореме Римана существует конформное преобразование S области О на область D, такое, что бесконечно удаленная точка переходит в бесконечно удаленную. При этом преобразовании граница Г переходит в окружность С таким ： образом, что каждой точке окружности С соответствует граничный элемент (простой конец по терминологии Карате。-， дори [57]; подробнее о граничных свойствах конформного отображения см. также [58]), и соответствие это взаимно однозначное.
Рассмотрим преобразование STS""* переводящее внешность £) окружности С в себя. Преобразование это в области £) является гомеоморфным. Из свойств преобразования S границы Г на окружность С следует, что преобразование это оказывается гомеоморфным также и в замкнутой области D. Нетрудно видеть, что преобразование STS-1 замкнутой области £) на себя сохраняет ориентацию. Таким образом, SrS^ преобразует окружность С на себя взаимно однозначно, непрерывно и с сохранением ориентации. Пусть 衿—число вращения этого преобразования (о числе вращения преобразования окружности на себя см. конец § 10). Предположим, что 2 =金 где q — натуральное» а р — целое; тогда на С существуют точки, неподвижные относительно преобразования (STS"|)° = ST^S-i. Следовательно, в этом случае существуют граничные элементы Г, неподвижные относительно преобразования 7^. Если такой неподвижный граничный элемент есть элемент первого рода, т. е. состоит из одной точки 2°, то эта точка есть неподвижная точка преобразования Т‘ и через нее проходит решение с периодом дю.
Предположим теперь, что неподвижный относительно К граничный элемент представляет собой континуум ^p не вырождающийся в точку. Обозначим через К континуум, представляющий собой сумму ^1 и всех ограниченных ком-
понснт дополнения ^1 до всей плоскости （в случае, когда К】 не разбивает плоскость, К совпадает с ^1）. Континуум К не разбивает плоскость. Так как 7^К1= К? то ясно, что 7«С = К, т. е. преобразование Р оставляет инвариантным Континуум К・ Ниже будет показано, что преобразование Т‘ имеет в К неподвижную точку. Таким образом, каждому неподвижному относительно 7° граничному элементу соот- иетствует（7ш-периодическое решение системы （12.1）.
Докажем теперь, что преобразование 7° имеет в К неподвижную точку. Приводимая теорема была доказана Карт- риИт и Литтлвудом [59]. Мы даем более позднее и простое се доказательство, найденное Райфенбергером [60].
Теорема 72・7・ Пусть Т — гомеоморфное а сохраняю- 阳ее ориентацию преобразование плоскости 8 себя. Если Т 'оставляет инвариантным ограниченный континуум /, не разбивающий плоскость、то на / имеется неподвижная точка преобразования Г.
Доказательство. Предположим, вопреки утверждению теоремы, что Т не имеет неподвижных точек на /.
Рассмотрим вектор сдвига V = А", ТХ преобразования Т. По предположению этот вектор не имеет на / особых точек, поэтому в силу замкнутости и ограниченности / существует такое ^ > 0, что длина вектора V на / больше, чем 2Ь. По непрерывности V существует такое £ > 0, что в е-окрест- пости / длина вектора сдвига больше, чем Ь.
Построим полигон 冗，обладающий следующими свойствами: сам полигон 冗 и его внутренность 〜лежат в е-окрестности континуума /, 勺 содержит /, любая точка 冗 может быть соединена с некоторой точкой / дугой, принадлежащей 冗加 „b
диаметр которой меньше 彳.
Пусть U（/, g）, как обычно, ^ -окрестность континуума /,а U （/,子）一ее замыкание. Рассмотрим дополнение множества U（/,寺）до всего пространства. Нетрудно видеть, что может существовать лишь конечное число ограниченных компонент этого дополнения, содержащих точки» лежащие
вне ~ -окрестности множества U 仏-^ j. Пусть это будут области Av Л2, ..., Лл. Соединим эти области с бесконечностью кривыми /р %2‘ ••・，2%， не пересекающимися с множеством /. Пусть % — расстояние от континуума / до 厶+ + 勾+ •・・ +/я. Ясно, что если реально существует хотя бы одна область Лр то £]<$, в противном случае положим с】=g ・ Разделим плоскость на равные квадраты со сторонами, параллельными осям координат; длину стороны каждого квадрата примем равной min {^,号}. Рассмотрим множество В всех тех квадратов, которые имеют хотя бы одну общую точку с континуумом / (имеются в виду, конечно, замкнутые квадраты). Любая ограниченная компонента дополнения множества В лежит в U (/, е). Действительно, нетрудно видеть, что BuU(/, 多)；следовательно, если бы какая-нибудь ограниченная компонента Л дополнения В имела бы точки вне е-окрестности /, то мы имели бы ЛоЛг при некотором I, Тогда кривая ， соединяла бы Л с бесконечностью, не пересекаясь с 8 что невозможно по определению А. Полигон 冗，являющийся частью границы множества В (или совпадающий с этой границей, если она связна) и содержащий в своей внутренности % множество В, и будет, очевидно, искомым.
Выберем на полигоне 冗 конечное число точек рР р2» • • • ...> рп с таким расчетом, чтобы точки эти располагались на нем в порядке положительного вращения и чтобы диаметр дуги р论 р友+i(/s= 1, 2, ...» л, P%+i = Pi) был меньше . В качестве таких точек можно взять, например, все угловые точки полигона к, пронумеровав их в порядке положительного вращения.
Каждой точке р为 по самому выбору полигона it соответствует достижимая точка г友 континуума / и дуга, соединяющая Рк с ;■论，лежащая целиком, кроме концов, в области 化i — /. Диаметр дуги pkrk меньше, чем ^, Обозначим через L/ дугу ^kPkPk+\rk+v Диаметр Lk меньше 6，следовательно,
Lk . T厶=0. (12.13)
Пусть Dk — область, ограничиваемая дугой 厶々 и континуумом /. Из (12.13) следует, что области Dk и TDk либо не пересекаются, либо одна из них содержит другую.
Так как Т'1^ лежит на положительном расстоянии от /, то можно указать дугу Aft, соединяющую rk с rk+v лежащую в 0々 н не пересекающую Т~х^. Ясно, что ТА« лежит ннутри Кр
Будем рассматривать угловое изменение вектора сдвига V преобразования Г при движении точки р в положительном направлении вдоль полигона 冗.Обозначим полное угловое изменение вектора V после одного целого обхода полигона к через △. Пусть а^ — угловое изменение вектора V при движении по дуге pkpk+v тогда
Д= 2«й-(12.14)
Й = 1
Пусть М — угловое изменение непрерывного вектора, начало которого движется вдоль дуги p^p^+i полигона к, а конец - от точки 7>, к точке Trk+X вдоль дуги TLk. Покажем, что имеет место равенство
лл
工 9“ = 2(12.15)
Это соотношение очевидно, если в определении 0左 выбрать вектор, который сначала проходит дугу Тг^рк с начальной точкой, зафиксированной в точке р^, затем превращается в вектор сдвига на дуге р^р^+1 и, наконец, проходит лугу Tph+1T「к+1 с началом, фиксированным в точке рА + 1.
Пусть теперь 办一угловое изменение вектора, конечная точка которого движется по дуге ТА«, а начальная——по дуге п
РкРш полигона тс. Сумма 2 Та представляет собой полцре угловое изменение вектора, начало которого обходит 冗 в положительном направлении» а конец все время находится в кр Поэтому имеем п
Nh= + 2m(12.16)
Станем сравнивать 0左 и 丫论.Так как ТА^ не пересекается С ^ и TLr не пересекается с 厶依 то сумма 才厶‘十丁与
представляет собой замкнутую жорданову кривую, не пересекающую дугу PhPht* полигона к.
Мыслимы следующих три случая:
Dk-TDk=Q.
Область, ограниченная кривой ГА麦十丁厶自，лежит в TDkt которая не содержит в себе точек “，и, следовательно, PhPha лежит вне ТАа4- TLk. так что
b-h = °・(12.17)
TDkUDa
В этом случае область, ограниченная кривой TXk-\- TLkt лежит в TD^uDh и, значит, опять р论p^+i лежит вне кривой Ткк + Т/ т. е. опять выполняется равенство (12.17).
Ш. D^uTD»
Дуга pm*、полигона 冗 не пересекается с Г厶论十/， но она содержится в области Dk с: TDk н, следовательно, содержится в области, ограниченной дугой TLk и континуумом /. С другой стороны, так как ТЛ/г cz к-, то дуга р^р论十】лежит за пределами области, ограниченной дугой ГЛЛ и континуумом /. Следовательно, дуга р自р%+】 лежит внутри области, ограниченной замкнутой жордановой кривой TZ + TL应 поэтому в рассматриваемом случае имеем
“一以=±2п.(12.18)
Знак в равенстве (12.18) выбирается следующим образом. Если путь —сначала по дуге TLk от точки Trk к точке Trk+V затем по TA.k в обратном направлении — проходится в положительном направлении, то надо выбрать знак »+“，в противном случае выбирается ”一". Так как дуга рАрй+1 лежит на полигоне 冗 в положительном направлении и дуга p*+/* + i4- + 厶為 +「友р/ лежит в 冗〃 то путь — сначала по Lk от rk до 尸尼+1， а затем по Aft в обратном направлении — имеет положительное направление. Но Г сохраняет ориентацию; следовательно, положительное направление имеет и путь — сначала по дуге TLk от Trk к 丁乜加 а затем по TXk в обратном направлении. Отсюда следует, что в равенстве (12.18) всегда фигурирует знак ”+“，и потому в рассмат- ркваемом случае имеем
(12.19)(12.19)pАt -1总=2冗•
(12.19)
(12.19)
Ни р“енств (12.14) — (12.17) и (12.19) вытекает равенство
А = 2м (m> 1).(12.20)
Мео равенство показывает, что в 化,имеется особая точка пгктора сдвига преобразования Т, Но х, целиком лежит п U (/, е), поэтому в силу выбора е длина вектора У в 7zz HP меньше, чем b〉0. Мы получили, таким образом, противоречие. доказывающее теорему.
Итак, каждому неподвижному относительно преобразовании Т7 граничному элементу области G соответствует суб- гармопика ^-порядка.
В следующих двух параграфах мы укажем диссипативные системы, миожестпа 7 которых представляют собой замкнутые оЛлйСТН) ограниченнее замкнутыми жордановыми кривыми, н н § 16 бущ*м изучать диссипативную систему с множе- стном / аинчитслык) более сложной структуры.
■ 13. О существовании инвариантных поверхностей
Рассмотрим опить систему двух уравнений, периодическую по аргументу:
券= Х(х, у. /), 樂=?(*, у, f).(13.1)
Наряду с этой системой рассмотрим систему, к ней „близкуюи: 帑= Х(х, у, /) + еХ](х, у, /),
»(13.2)
7±=У(х, у, /)十沙к%, у, /).'
Относительно функций X, Х「У, Yx будем предполагать, что они непрерывно дифференцируемы по всем своим аргументам и имеют период з по /• Кроме того, будем считать, что функции X (х, у, £) н У (х, у, /) имеют непрерывные вторые производные по % м у; е — малый параметр.
Мы предположим, что исходная система (13.1) имеет гладкую торообразную инвариантную поверхность, и докажем, что при некоторых дополнительных условиях и „близкая** к ней система (13.2) также имеет такую инвариантную поверхность [61—65].
Итак, пусть система (13.1) имеет гладкую торообразную (если считать отождествленными все плоскости вида £ =初) инвариантную поверхность. Будем считать, что поверхность эта задается в виде
х = <р (0, /), у = ф(9, /). (13.3)
Предполагается, что функции 屮，屮 выбраны периодические по / с периодом ш. Так как поверхность (13.3) инвариантна, то кривые % =屮(0, 0), у =屮(仇 0) и х = ср (0, з), у =屮(0, ш) должны совпадать, поэтому сделанное нами предположение не нарушит общности рассуждений.
В пересечении с плоскостью £ = 0 поверхность (13.3) дает гладкую замкнутую кривую без самопересечений, поэтому можно считать, что функции 屮(6, 0) и 屮(0, 0) имеют некоторый период а)р равенства 屮(％, 6) = ?(%, 0),屮(％, 0)= =屮(02，°) влекут за собой равенство % -反=孔吗，где м — целое число, и [%(8, 0)]2 + [Фе(О. О)]2 > 0. Поверхность (13.3) по предположению инвариантная, т. е. состоит из целых интегральных кривых, поэтому при каждом фиксированном / функции % =中(仇 £), ¥ =屮(仇 f) задают гладкую замкнутую кривую без самопересечений. Следовательно, можно считать, что при всех t имеют место равенства
▼(0+ 叫，/)=中(8, /),屮(0+ 吗，/)=
=屮(0，仪 屏(仇f)卩+回(0，f)卩>0.
Поверхность (13.3) гладкая, следовательно, мы можем и будем считать, что функции 屮 н 屮 имеют непрерывные частные производные по обоим аргументам. Кроме того, будем предполагать, что (р(0, t) и 屮(0, £) имеют непрерывные йТОрые производные по 8.
Введем теперь в окрестности нашей инвариантной поверхности новые координаты по следующему правилу. Координату t оставим без изменения： Зафиксируем некоторое t = t и проведем в плоскости t — t нормали к кривой х = =(р(8, /), ¥ =屮(6, /). Так как функции «риф имеют непрерывные вторые производные, то в силу периодичности этих функций по обоим аргументам радиус кривизны кривых х = ?(8, /), у = ^(0, /) ограничен снизу одним и тем же числом при всех би/. Поэтому можно указать столь малую
окрестность поверхности (13.3), что в ней указанные выше ИОрмйЛИ не пересекаются, если только они соответствуют Р*ометрически различным точкам кривой х = ?(8, /), у = ■屮(D, /). Возьмем теперь точку (х, у, /) этой окрестности И прапсдем через нее плоскость постоянного /. В этой плоскости проведем нормаль п к кривой х = ?(8, /), у = м<р(0, f) мерез нашу точку. За новые координаты точки (#, у, /) выберем координату 9 точки пересечения нормали п С Ириной х = <р(0, £), у = 0(8, /) и длину z нормали п от точки (х, у, t) до точки ее пересечения с кривой. При этом z будем считать положительным, если точка (х, у, /) лежит ине области, ограниченной кривой % =中(仇 /), у = ф(9, f), и отрицательным, если она находится внутри этой области.
Выбранные таким образом координаты часто называют но|)мцлы1ымн. 1 (етрудио видеть, что новые координаты свя- :шпы со старыми следующими формулами:
屮(0, /) —•北 Z,"一屮(九，)+籌z,
где функции a = —и 卩=俞，так же как н 屮 и 屮, имеют непрерывные частные производные по обоим аргументам и периоды to по f и (Oj по 0.
В новых переменных в окрестности поверхности (13.3) система уравнений (13.1) запишется в виде
黑= 0(0, f) + z尸(仇 f, z),
dz(13.5)
舞=4 (9, f)z + z2"(0, t, г).
Мм будем в дальнейшем предполагать, что функции 尸(8, Л n), Л (0, /),"(仇 Л N)имеют непрерывные частные производные ио споим аргументам.
Сделаем еще одно весьма важное для дальнейшего предположение: 0(0, /)曰 1; проанализируем его. Система (13.5), конечно, имеет инвариантную поверхность n = 0, совпадающую с поверхностью (13.3). Если считать, что О (0, /)м1,
уравнениюуравнениюто координата 0 на этой поверхности подчиняется
уравнению
уравнению
3T=L
(13.6)(13.6)Сделаем в этом уравнении замену переменных т 8 = 0 тогда получим уравнение
(13.6)
(13.6)
d& — w
которое имеет период 2化 по обоим аргументам.
Таким образом, предположение о том, что 0(屮，6)=1, означает, что на самой интегральной поверхности решения ведут себя так же, как решения уравнения (13.6). Как показывает теорема 10.7 из § 10, в некоторых случаях этого можно добиться надлежащей заменой переменных.
При сделанных нами предположениях в новых переменных система (13.2) примет вид
^_=1+n尸(0, f, 2) + 6尸(8, /, n),
.(13.7)
第= 4(0, /)n + n2〃(9,九幻+ 哝(8, f, N),
где по-прежнему е — малый параметр. Функции А,尸，Н、 Р, R периодичны по / и 6 с периодами о) н ①】соответственно и имеют непрерывные частные производные по всем своим аргументам.
Кроме того, в дальнейшем будем предполагать, что выполняется неравенство
—М(а) = /▲«+。，f)df < 0. (13.8)
о
Положим inf М(а) = М. Нетрудно видеть, что М (а) есть (Dj-периодическая функция, а потому можно утверждать, что 加> 0.
Будем через а и с обозначать начальные данные функций 0 〃 n при 2 = 0, т. е. если О (Л а, % е), z (Л а, с, е) — решение системы (13.7), то 0 (0, а, с, е) = а, n(0, а, с, е) = с. Введем преобразование 7\ декартовой плоскости 0, z в себя по обычному правилу: поставим в соответствие точке 0 = а, z — c точку 0 = 0(ш, а, с, е), z = n((o, а, с, е). Преобразо-
плнис это, в силу теоремы о непрерывной зависимости решений от начальных данных и параметров, определено при |с| <е0 и \с \ -< Л, где £0, Л > 0 достаточно малы.
Из второго уравнения системы (13.7) видно, что при •0 преобразование То оставляет инвариантной прямую n=0.
Мы покажем, что при сделанных предположениях для всякого достаточно малого е существует кривая t(n = n(。)) ш^нериодическая по 6, переходящая при преобразовании 7\ И себя, и эта кривая при е->0 стремится к прямой n = 0.
Заметим сначала, что из шрпериодичности правых частей системы (13.7) по 0 следует, что
(13.9)(13.9)в (Л a-f- а)р % £) = 8(/, а, с, е)+wp z(£, а + Wp & Е)= 2«, а, с, е).
(13.9)
(13.9)
Рпссмотрим крнпую т ： c = g(a) в плоскости £ = 0, относительно функции *(а) предположим, что g(a + <«i)= g(a) при псех а и при всех а 依(а)|& 九 где Л — введенная ныше постоянная. Изучим крипую т = 7\『_гле 间 W %• ПоийЖСМ, что если точка (а, с) лежит на『то и точка (а + шр с) также лежит на этой кривой. Действительно, пусть (а, с) — прообраз точки (а, с) при преобразовании Tit т, е. пусть ТГ1 (а, с) = (а, с), тогда а = 8((о, а, % е), c = z((o, а, с. £)по определению преобразования 7\. Из равенств (13.9) при t = ^ следует, что
е(а), а -|- а)р с, е) = 9 (ш, а, с, e) + wi = Л + шг
z (а>, а +(П], с, e) = n(u), а, % е) = с,
т, е. 兀(@ + 叫，с) = (а + %, с). Но по условию точка (@+叫，e) лежит на т， следовательно, точка 兀(〃 + а)], с) лежит на『значит, точка (。十叫，с) лежит на у.
Таким образом, мы имеем оператор Ф6, ставящий в соответствие шрпериодической кривой f(c = g(a), |g(〃)Y力) 1кфиодическую же кривую f. В дальнейшем мы покажем, что нри любом достаточно малом е этот оператор имеет не- поднижную точку.
Внелсм обозначения
а (а, % е) = 6(ц), а, % е), с (а, % e) = z(s, а, с, е). (13.10)
Оценим частные производные、
0а да / дс дс 笳'而，而'7F'
Положим е = с = 0. Тогда система (13.7) имеет решение 6 = a-\~t, n = 0・ Следовательно, а= a-f- w, и потому при е = с = 0 имеем
爲=1，# = °-(13.11)
Определим теперь производные -^, 雾"при б = с = 0・ Пусть и есть одна из величин 久 или с. Будем, как это обычно делается, частную производную обозначать с помощью соответствующего индекса, тогда из второго уравнения системы (13,7) получим'
争= 4(0，оzu + zA^u + 2zzuH + ^0„ + z^Hzza
при e = 0. Полагая c = 0 будем иметь n = 0 при всех f, поэтому последнее уравнение дает при с = е = 0
等= 4(8, t)ztt.
При с = € = 0 8 = $+。，поэтому интегрирование дает
J A(t+a, f) dt分 3) = %(0)е°・
Отсюда в силу (13.8) получаем
/О) = % (0) е~м ®・(13.12)
Далее, ясно, что
分⑼=案=0，分(。)=亲=L
Отсюда и из (13.12) получаем для £ = с = 0
# = °> 需=n(。)<1.(13.13)
Частные производные ^*, ~-, снонм аргументам, кроме того, из дуст, что они имеют период 叫 по
дс дс-д^, 石 непрерывны по соотношений (13.9) сле- а, поэтому все эти част-дс дс-д^, 石 непрерывны по соотношений (13.9) сле- а, поэтому все эти част-ные производные равномерно непрерывны
дс дс
-д^, 石 непрерывны по соотношений (13.9) сле- а, поэтому все эти част-
дс дс
-д^, 石 непрерывны по соотношений (13.9) сле- а, поэтому все эти част-
при |с|《瓦при |с|《瓦|t| < %, —оо < а < +оо. Отсюда н из соотношений (13.11) И (13,13) пытсклст следующая лемма.
при |с|《瓦
при |с|《瓦
Л@*ма 13 J. До любого 3 > 0 можно указать />(， Л > 0 такие, что при |с|《也，|е| <t0 выпол-
1 <8,1 <8,fl<8-fl<8-ням)тсн неравенства
1 <8,
1 <8,
fl<8-
fl<8-
嘉］e8，。《亲 Сi + 8.
id# М н Inf М (а) > 0.
Из этой леммы следует утверждение:
Лемма /3,2. Если %, h достаточно малы, то при |t| 弋 % “m неравенства |с|《〃 следует неравенство
Доказательство. Из предыдущей леммы следует, что при достаточно малых %,也 | -~-| <； р < 1. Выберем А и е0 так, чтобы выполнялось утверждение предыдущей леммы. В силу непрерывной зависимости решений от параметра в найдется такое е^ > 0, что при | е | <； £q будет выполнено неравенство
I с (й> 0, £)| V 也(1 — Р).
Интегрируя теперь неравенство | 窮忙0 в промежутке от 0 до с《fi, мы и получим утверждение леммы.
Лемма 73・3・ Пусть %,也一столь малые положительные постоянные, что выполняются утверждения предыдущих лемм. Пусть ^(c = g(a), ах^а^ а2) есть отрезок кривой, такой, что |g|《也，|g，(@)l《l при 。1<。《。2・ Тогда ^ = Тд при |е|《％ предстаеляет собой дифференцируемую кривую,我 если а, с — текущие координаты- кривой「то 4^《L da
14 в. А. Цлис?
dedadedaкривой ткривой тДоказательство. Производная существует и определяется дробью
de
da
de
da
кривой т
кривой т
дс〃с — даda дададс〃с — даda дада.дс de十 ~дс di.dZ de ' 十 ~dc da.дс de十 ~дс di.dZ de ' 十 ~dc da（13.14）（13.14）
дс
〃с — да
da да
да
дс
〃с — да
da да
да
.дс de
十 ~дс di
.dZ de ' 十 ~dc da
.дс de
十 ~дс di
.dZ de ' 十 ~dc da
（13.14）
（13.14）
от нуля. Ноот нуля. Ноесли только знаменатель этой дроби отличен по лемме 13.1
от нуля. Но
от нуля. Но
а по условию |^J《1，поэтому если 8 достаточно мало, то знаменатель дроби （13.14） отличен от нуля. Воспользуемся неравенствами, установленными в лемме 13.1. Из этих неравенств следует:
I 石]8 +（e-" + 6）|嚣I-м + 23
I da I
так как ^~ |1. Если А и e0 столь малы, что 48 i — e~M,
то будем иметь |-^-|《L
Лемма доказана.
Лемма 73.4. Пусть 气 п h достаточно малы. Возьмем две точки плоскости / = 0: р. с координатами （ар Cj） н р2 c координатами （&，/）； пусть |сх| < й, 电| 式九〃 |s - Q|《）a2 -%丨，mo20a для точек а=Tsp{ （匕=1, 2, |€|《％） с координатами （包，cj） справедливо неравенство—
1^2 — Ci|《a — @il・（13.15）
отрезком условию неравен-отрезком условию неравен-Доказательство. Соединим точки рх и р2 прямой 7 : с — с】=:三？（“—а】）・ Так как по |с2——с】| 式 |。2 — @1丨，то на у будет выполняться
отрезком условию неравен-
отрезком условию неравен-
ство I —^ I <^ 1. Рассмотрим теперь кривую 丁 = 丁门；в силу
леммы 13.3 на этой кривой будет иметь место неравенство '；•］《1. Отсюда по формуле конечных приращений Лаг-
рнижя мы и получаем (13.15).
Лемма доказана.
Будем считать по-прежнему, что % и й столь малы» что при 1*1 卜 *屮 |rI <〃 нынолняются утперждении сформули- ронпнных лемм. При этом 8 > 0 выберем столь малым, чтобы ОКАТИЛОСЬ
「儿 + 26 = 0 V 1.(13.16)
Рассмотрим в плоскости / = 0 две кривые Ti(c = gl(a)) и у2(с = g2(a)). Относительно функций g^ и g2 будем предполагать, что они ш^периодичны, |g,(a)Y 也 «=1, 2) при ПССХ а И |鏡(々)一且1(做)1 < I% —а21a= 1，2). Пусть 力= 7\j а = 1* 2, 同《％) суть образы кривых и 力 при преобразовании Гв. Из леммы 13.4 следует, что кривые 丁】 и п могут быть представлены в виде c = f{ (а), с = f，a} соотвстстиснно, а функции /\ н /2 будут удовлетворять УСЛОАИИ) Лшпннцп:
I力(肉)一力(%)1《a-叫(2 = 1，2). (13.17)
Кпк было доказано ранее, функции /\(а) и /2(a) Wj-перио- дичны. Введем обозначения
p = max|^1 (a) — g2(a)\,(13.18)
р"=тах |Л(й) —/2(а)|.(13.19)
Лемма /3.5, Справедливо неравенство
Р《(13.20)
Доказательство. Предположим, напротив, что это не так, т. е. допустим, что р > др. Тогда существует такая точка а〈 что |/\(а‘) 一 /2(а')1>0Р・ Пусть точка рг имеет координаты а< 九“)，а ее прообраз % при преобразовав нии 7\ имеет координаты a, g1(a) — cv Пусть р2 — точка с координатами a, g2(a) = с2- По определению имеем
1С2— cil《Р・(13.21)
Пусть рз = Т6р2. Из обозначений (13.10) следует, что р、 имеет координаты a (a, cv s)=aj с (а, cv е) = /i(a'), а р2 —
координаты а (а, с?, е), с (а, с2. е). По формуле конечных приращений Лагранжа имеем
|2(а, Q, О —2@ сР 01 =|對 丨。2 —Si，
где производная 気 берется в некоторой промежуточной точке. По лемме 13.1 тогда имеем
Q®, с2, е) — c(at ср е)| <(e~^ 4-8) |с2 —^il- (13.22)
Кроме того,
伍(а, с2, е) —а(а, ср е)| < |-|^-j|c2 —cj , откуда
\а{а, с2, е) — а (а, ср е)| С 8 |с2 — cj. (13.23)
В силу доказанного выше неравенства (13.17) получаем 丿2(%@ S，,)—『2(£(a，f，£))1《
《|а(а, % £)— @(〃，сг е)|《3 |с2 — cj. (13.24) Имеем
/2(£(@，%, е)) —/1(%(а, сР £))1《|厶(％(臨々，•)一
—厶伍(а, %，е))| + 1А(^(Й' % £)) —』2(а(а，ci> е))1-
(13.25)
Но по самому определению точек р】и р2 можем написать 『2(@(@，3，е)) = с(@, с2, е), /1(〃(a, Q, £)) = с(а, q, е).
Из последних равенств, а также из (13.24) и (13.25) получаем неравенство
|/2(士(@，%, е)) —/i(£(a, q, е))|《
《(6一m + 3) I。2 - C11 +" I G - C1卜
Но а (а, с】，£)= a‘ в силу принятых обозначений, отсюда и из (13.16) получаем
1%”)一/1(а')1《4 心一Ql・1%”)一/1(а')1《4 心一Ql・(13.26)(13.26)
1%”)一/1(а')1《4 心一Ql・
1%”)一/1(а')1《4 心一Ql・
(13.26)
(13.26)
Л это неравенство совместно с (13.21) противоречит исходному предположению.
Лемма доказана.
Сформулированные леммы позволяют доказать следующее утверждение.
Теорема 13J. Если система (13.2) заменой переменных (13.4) приводится к виду (13.7) и если выполнено условие (13.8), то при |е| <；е0* 2。《 е0 > ^ достаточно мало, существует инвариантная торообразная поверхность, стремящаяся & поверхности (13.3) при е—>0.
Доказательство. Для доказательства теоремы достаточно установить, что при сколь угодно малом 也 и достаточно малом е0 существует(Oj-периодическая кривая 丫(c=g (а), |g(a)|《也 при всех а), такая, что 丁力=『если ©W%. Устиновим это.
Пусть Л—достаточно малое число. Мы его будем считать настолько малым, чтобы выполнялись утверждения сформулированных лемм. Рассмотрим пространство Q всех кривых т， обладающих следующими свойстпами. Кривые 丁 представимы в виде CKg(a), функции g(a) ш^периодичны, функции g(a) удоплетворяют условию Липшица с постоянной. равной единице:
冠(。1) -g@)l《& 一廟； (13.27) функции g ограничены по модулю числом 也：|g(a)|《也. Введем в пространстве Q естественную метрику
Р(11，T2)= max |gi(。)一g2(a)|. (13.28)
Из лемм 13.2 и 13.4 следует, что оператор Фе переводит пространство Q в себя. Лемма 13.5 показывает, что на этом пространстве оператор Фе представляет собой оператор сближения. Отсюда в силу принципа Банаха следует, что оператор Фе имеет на Q неподвижную точку 丁 =①^丁. Следовательно, 7 =兀7，что и доказывает теорему.
Пусть Sg—инвариантная поверхность, существование которой доказано в предыдущем пункте. При е = 0 поверхность эта вырождается в поверхность So, задаваемую формулами (13.3) (в координатах 0, /, 2 поверхность £° представляет собой плоскость 2 = 0).
Изучим вопрос об устойчивости поверхности %
Пусть й и е0 таковы, что выполняются утверждения, сделанные в предыдущем пункте. Пусть 丁 一 пересечение плоскости £ = 0 с поверхностью Sg, т. е. 7\丁 = 丁. В плоскости х, у кривая т представляет собой, как нетрудно видеть, замкнутую кривую, лежащую сколь угодно близко к кривой х = ?(8, 0), у = +(8, 0), если только е достаточно мало. Обозначим через 1\ и Г2 кривые z =——h и z = h. лежащие в плоскости х, у, а через Н — кольцеобразную область, ограниченную этими кривыми. Из доказательства теоремы 13.1 следует, что ^и". Кроме того, из леммы 13.2 вытекает, что 7\"и", где, как обычно, Н — замыкание области Н.
Теорема 13.2. Инвариантная поверхность £@, существование которой доказывается теоремой 13.1, асимптотически устойчива по Ляпунову.
Доказательство. Существование кривой 丁 было доказано с помощью принципа Банаха, поэтому кривая т может быть получена методом последовательных приближений, т. е. Г^Г1 —> н「?「2—> Т при 左->8. Отсюда следует, что
П^ = 7-
Зададимся произвольным положительным числом X > 0. Обозначим через р(р, д) евклидово расстояние между точками р、д, а через х«, р, /0) — вектор решения системы (13.2), т. е. вектор с координатами х(£, х0( %, f0, е), у (Л х。，у°, /0, е). По выбранному X в силу теоремы об интегральной непрерывности найдется *】> 0 такое, что если р(р, 7)V%, то Р(Х(£，Р> °)，％)< 入 при °《£《>，где, как и в определении 2.3, через SeZ обозначено пересечение инвариантной поверхности Ее с соответств}гющей плоскостью пространства х, у,九
Так как 丁 = И犬"， то существует такое К, что
р (Т^Гр 7)< 8Р р (MR，7)< %. Положим В = min {р (”1\, 丫), p(F
Из выбора 8 следует, что если р(р, 丁) < 8, то р(х«, р, 0), Ее/) < X при всех £》0, что н доказывает устойчивость инвариантного множества £.*
，8
Из соотношения 1 = Пл^ непосредственно вытекает,
что если pW"， то ГАр—> 7 при hfg. А отсюда в силу теоремы об интегральной непрерывности следует, что любое peineiiHe, начинающееся в области Н, стремится к Е6 при
Теорема доказана.
В качестве примера рассмотрим случай, когда правые части системы (13.1) не зависят от времени [66]. Рассмотрим систему
券= Х(х, у)+еХ](х, у, /),.
(13.29)
2 = у(r 份 + 41(乂 y，f)•
Относительно правых частей этой системы будем, как и раньше, предполагать, что они непрерывно дифференцируемы но всем своим аргументам и обладают периодом о) по t. Кроме того, будем считать, что X н У обладают непрерывными вторыми производными.
Предположим, что траектории системы
器= Х(х, у),箒=У(х, у) (13.30)
ведут себя следующим образом. Начало координат, точка О, есть состояние равновесия, и оба корня характеристического уравнения, соответствующего этому состоянию равновесия, положительны. Существует периодическое решение % = ?(/), у=，〉«) с периодом 3[. Характеристический показатель
к=/ [£«&),屮《)) + ?；«(/),屮《))]或(13.31) о
этого периодического решения отрицателен. Все траектории системы (13.30), кроме состояния равновесия О, стремятся к предельному циклу 0(х = ср(£), у = ^(/)) при /->8 Отсюда, очевидно» следует, что предельный цикл 0 охватывает начало координат. Пусть А — область, ограничиваемая никлом 0. Любое решение, начинающееся в А, стремится к началу координат при £f — оо. Любое решение,
начинающееся вне А, стремится к бесконечности при убывании времени.
При этих предположениях будем изучать поведение решений системы (13.29) с достаточно малым е.
Введем, как и выше, в окрестности предельного цикла 0 координаты 9 и по формулам
尤=у (В) — у (6) z, у =屮(0) + 屮(6) z・ (13.32) Якобиан этого преобразования равен
D — у) — 9’ (Н)—屮"(8) 2，一屮'(6)— =0("n)一 屮‘(8)+屮"(8)2,3(8)=
=У+ * +z(屮，у __(()”〃).(13.33)
Ясно, что при достаточно малых г D > 0.
Дифференцируя равенства (13.32) по f, получим
竟=(У - z 屮")6 -屮%
у = (У + z^rf) 9 + 屮£
Отсюда в силу системы (13.30) получаем
(n-2屮")0 - yz = X (屮-屮3屮+▼勿)，(y+2中")后十平小=y (?一屮2,屮+中，2).
Разрешая эту систему относительно 0, £, получаем
6 = {X (с?—屮，2,屮+(/z)</ + +?(中一屮，2,屮+中'2)屮，}^,
.■ (13.34)
z = {- X (中一屮'2,屮 + w2)(屮'+ 皙")+
+ У (中一屮% 屮 + 夕2)«' - Z屮")) - .
щаетсящаетсяПравая часть первого из этих уравнений при 2 = 0 обра- …"в {Х(<Р，屮)У + ?@ 屮)屮1 ‘『jy , НО пара функ-
щается
щается
ций ср,屮 представляет собой решение системы (13.30), поэтому Х(屮，屮)=屮〈 F (ср,屮)=屮* и, следовательно, при ^ = 0 правая часть первого уравнения (13,34) равна 1.
Trkhm образом, первое уравнение системы (13.34) может быть ипписано в виде
雾=l + z尸(6, 2).(13.35)
Нетрудно убедиться, что при 2 = 0 правая часть второго уравнения системы (13.34) обращается в нуль, поэтому второе уравнение может быть записано в виде
~ = A(e)z + z2H(0, г).(13.36)
Найдем Л (9). Непосредственно из вида правой части второго уравнения (13.34) следует:
Л (0) П
匸帚歹/Х#'-Ху 中屮-Х'-У"屮'+ '#"-'*}=
Q ；^г I”#+G)(У+屮“)一'«肝'+*#)-
-屮'(У/?' + ?抻')-<?'' -屮绅"} •
Дифференцируя тождества с/ = Х«,屮)， 屮，= У(? 屮) по 0, получаем cp/z = X^f + XyY，屮" = У#' + УуУ； следо- нательно,
4f^^
ИЛИ
4(0)=居+〃一备 ln(*+*).(13.37)
Так как функции ср и ф имеют период 叫，то из этого равенства получаем
j 4⑼d6 = j [Х*(平，屮)十 Уу®,屮)]d©=x. (13.38) • ои
Система (13.29) в переменных 6, f, z примет вид
黑=l + z尸8, z) + eP(0, /, z), d2(13.39)
^ = А^г-\-22Н^, z) + sR^, t, z)..
Для этой системы выполнены все условия предыдущих пунктов, и поэтому существует инвариантная поверхность £*•
Из сделанных предположений относительно поведения решений системы (13.30) следует, что система эта диссипативна. Так как правые части этой системы не зависят от времени, то из теоремы 2.6 вытекает, что существует фу| к- ция и(х, у) со следующими свойствами. Функция и задана и непрерывно дифференцируема по обоим аргументам при х2 -|- У2 > ^2 (где а — некоторое положительное число), и(х，у) > 0 при 炉 + 屮》* и(х, y)f 8 при *2 + у2 f 8, ^Х +百 У <0 при %2 Ч- у2 а2. Нетрудно видеть, что существует такая непрерывная определенно-положительная функция ®(х, у), что если
|Xi(x, у, £)| + |%(х，У，/)|《®(х，У) (13.40) при 尤2十屮>* то при таких х, у будет выполняться неравенство
票(Х + Х0 +芻(У+%)<0. (13.41)
Отсюда и из теоремы 2.5 следует, что тогда при любом £<1 система (13.29) диссипативна и, более того, существует число а「 не зависящее от е, такое, что любое решение системы (13.29) при возрастании времени попадает в цилиндр х2 + у2《а； и при дальнейшем возрастании времени его не покидает.
Отсюда, из асимптотической устойчивости поверхности Sg и теоремы об интегральной непрерывности следует, что любое решение, начинающееся вне цилиндра, ограниченного Ев, стремится к Ss при /—>*4-оо, если только е достаточно мало.
Из теории возмущения периодических решений (см., например, [67)) известно, что если е достаточно мало, то система (13.29) в окрестности начала координат имеет единственное периодическое решение и характеристические показатели этого решения положительны. Отсюда и из теоремы об интегральной непрерывности следует, что все решения, начинающиеся внутри поверхности £备，за исключением периодического. стремятся к £r при f —>4~°°'
Таким образом, система (13.29) при выполнении условия (13.40) и при достаточно малом е представляв! собой дисси-
I 14] СУЩЕСТВОВАНИЕ ИНВАРИАНТНОЙ ПОВЕРХНОСТИ 219 нативную систему. Множество / этой системы представляет собой замкнутую область G, ограниченную замкнутой кри- пой т，удовлетворяющей условию Липшица. Внутри области G имеется неподвижная точка р* преобразования 7\, отвечающая периодическому решению с положительными характеристическими показателями. Пусть р — точка, отличная от р(, тогда 吸宀 丫 при А —> со.
Расположение интегральных кривых на поверхности £. пли поведение преобразования 7\ на 7 требует, конечно, специального исследования, аналогичного тому, которое про- подилось в § 10.
§ 14. Существование инвариантной поверхностии поведение решений на нейв одном специальном случае
В этом параграфе мы будем опять изучать вопрос о существовании тороидальной инвариантной поверхности. Рассмотрим снова систему
—=X (х, у, f)+£X](X, у,九 £), dy(14.1)
■•-q?=y(x，y，/) + 沙1(*, y，九 £)-
Функции X, Х[ /, У】 предполагаются непрерывными по всем своим аргументам и непрерывно дифференцируемыми по хну. Кроме того, как обычно, предполагается, что эти функции имеют период о) по /.
Будем, как и в предыдущем параграфе, предполагать； что система (14.1) при е == 0 имеет инвариантную поверхность So, гомеоморфную тору. Однако в предыдущем параграфе мы предполагали, что на самой поверхности So интегральные кривые ведут себя как решения уравнения (13.6).
Сейчас мы будем предполагать, что на поверхности So располагаются й(о-периодические (内——целое) решения системы (14.1) с е = 0 и что оба характеристических показателя каждого из этих решений отличны от нуля. Кроме того, будем считать, что инвариантная поверхность So асимптотически устойчива.
Введем преобразование 7\ плоскости х, у в себя по обычному правилу: если х(Л х0, у0, ", е), у (九 х0, у。，"，®)—— решение системы (14.1), то точке (х0, у。)ставим в соответствие точку (х®, х0, %, 0, е), у®, х0, %, 0, е)).
Итак, предполагается, что существует замкнутая жорданова кривая 了° без самопересечений, инвариантная относительно преобразования Т» Поверхность 2° представляет собой семейство всех решений, проходящих через у0 при / = 0.
В дальнейшем систему (14.1) мы будем рассматривать в тороидальном фазовом пространстве, отождествив все точки вида (х, у, /十及①)(及=0, ± 1, ±2,...).
Выясним подробнее структуру поверхности So. Пусть S―■ топологическое преобразование у0 на окружность С тогда STqS'1 будет топологическим и сохраняющим ориентацию преобразованием окружности С на себя. По предположению система (14.1) при е = 0 имеет на So периодические решения. Следовательно» на 70 существует точка р, неподвижная относительно преобразования То- Будем предполагать, что k — наименьшее такое число, т. е. что если( В 》2, то Т$р # р при /= 1, 2, ... > В — 1. Покажем, что точка Sp есть неподвижная точка преобразования [SToSi*]*. Действительно, нетрудно видеть, что [SroS-1] = ЗТ^Г Следовательно, '
[ST0S-1]ft Sp = ST^S-iSp = ST^p.
Но точка p — неподвижная точка преобразования Го> т. е. 7^р = р, поэтому
[STqS-1]6 Sp^Sp,
что и доказывает наше утверждение..
Пусть Z — натуральное число, меньшее В; напишем тождество
[ST0S-1]Z Sp = ST[S~lSp = srlp.
По предположению %р # Р，поэтому
[sr^-'isp^sp.
Из рассуждений, приведенных в пункте 7 § 10, следует, ЧТО число вращения 卩 преобразования STqS"1 равно ~, где /п ——целое неотрицательное число. Из этих же рассуждений вытекает, что если точка Р окружности С непод- ппжна относительно преобразования [S^S-1] (где / — натуральное число), то l = hm、(%—целое), и точка Р также неподвижна относительно [SToS-i] . Отсюда следует, что если точка 网 кривой к неподвижна относительно Т$, то l = hm工(тг — целое) и 7^ = pv
Таким образом» все периодические решения, лежащие на £(), имеют наименьший период кз.
Из предположения о том, что любое периодическое решение, лежащее на So, имеет характеристические показатели, отличные от нуля, следует» что на So имеется лишь конечное число периодических решений. Действительно, если бы на &)было бесконечно много периодических решений, то среди них имелось бы такое, в каждой окрестности которого сутсстповало 6м периодическое решение, отличное от него самого. Это противоречит тому, что оба характеристических показателя этого решения отличны от нуля. Так как поверхность So асимптотически устойчива, то хотя бы один из характеристических показателей периодического решения, лежащего на So, отрицателен. Действительно, если бы это было не так, т. е. если бы существовало периодическое решение с положительными характеристическими показателями, то существовали бы решения, стремящиеся к So при /—> — 8 и не лежащие на So. Это невозможно из-за устойчивости So.
Пусть точка р — неподвижная точка преобразования Т*. Как было только что показано, на So располагается лишь конечное число неподвижных точек преобразования 7$; следовательно, р — изолированная неподвижная точка преобразования Т§. По следствию 10.3 для любой точки 夕，лежащей в достаточно малой окрестности точки р, выполняется одно из соотношений
. * ЛГ+8)Р， (14.2)
Т^Ч^^Р- (14.3)
222222СИСТЕМЫ ПЕРВОГО И ВТОРОГО ПОРЯДКОВСИСТЕМЫ ПЕРВОГО И ВТОРОГО ПОРЯДКОВ[ГЛ. II[ГЛ. II
222
222
СИСТЕМЫ ПЕРВОГО И ВТОРОГО ПОРЯДКОВ
СИСТЕМЫ ПЕРВОГО И ВТОРОГО ПОРЯДКОВ
[ГЛ. II
[ГЛ. II
При этом если для какой-нибудь точки qt лежащей на f0, выполняется соотношение (14.2), то и для всех точек, лежащих на То между р и ^, выполняется то же соотношение, и обратно.
Ясно, что если через точку р проходит периодическое решение с отрицательными характеристическими показателями, то для всякой точки д, лежащей в достаточной близости к р, выполняется соотношение (14.2). Такие точки р в дальней* шем будем называть устойчивыми.
Пусть x = cpz (/), y = ^t (f)——^w-периодическое решение с отрицательными характеристическими показателями. Обозначим через pi0 точку с координатами cpz (0), ^ (0); тогда ясно» что точки ра = Т^р^ (/ = 0, 1,...,自—1) будут геометрически различными устойчивыми неподвижными точками преобразования То* ,
Рассмотрим периодическое решение х = %«), у = "(/), лежащее на So с одним положительным характеристическим показателем. Пусть 0川一точка с координатами х == сру(О), у = "(0), тогда точки g八=丁切川 (/ = 0, 1, .,., В—1) будут различными неподвижными точками преобразования Т*. Сделаем в системе (14.1) при ® = 0 замену х— х — у)(£)， у = у —屮,(f), получим
-^ =。口 «) *+@12&)У + X(X, у, 0>
『—(14.4)
"^■ =021a)* +。22")0+歹(X，y- 0
В этой системе функции aik (/) (2, В=1, 2), X (х, у, £) и Y (х, у, f) имеют период о)по t、кроме того, функции X (х, у, /) и Р (х, у, £) обращаются в нуль вместе со своими частными производными по х, у при % = у = 0.
Хорошо известно [68], что заменой переменных с периодическими коэффициентами система (14.4) может быть приведена к виду
备=鹏+占怎40.
■^=5+%G，冷 /)•
3A“h 入I и % — характеристические показатели, функции Xv 匕 непрерывно дифференцируемы no Е,刁 н обращаются ■ нуль вместе со своими производными при £ =刁=0.
Рассмотрим систему первого приближения для (14.4):
(14.6)(14.6)—=an (t)x+ai2(t)y,
(14.6)
(14.6)
%=a21 (/)^十。22a)^
Составим характеристическое уравнение этой системы:
^1(也0)) — p,У1 (Лш),^1(也0)) — p,У1 (Лш),*2 (В в)у2(йш) —р*2 (В в)у2(йш) —р==о,==о,(14.7)(14.7)
^1(也0)) — p,У1 (Лш),
^1(也0)) — p,У1 (Лш),
*2 (В в)у2(йш) —р
*2 (В в)у2(йш) —р
==о,
==о,
(14.7)
(14.7)
где 局(仪 У| (/) — решение системы (14.6) с начальными данными “I (О) г I. % (0) н (), а х2 (/)» 山 «) — решение с илчальнымп динными х“())р(), у2(0)= 1. Так как по предположению один ii;i хпрлктсрнстпчсских показателей решении % е 屮,(f), уи 屮/(/) положителен, то по доказанному хпрпктсристические показатели 入】н % имеют разные ипикн; следовательно, один из корней уравнения (14.7) по модулю больше единицы, а другой меньше. Отсюда выте- кпет, что оба корня уравнения (1.4.7) вещественны. Если корни уравнения (14.7) положительны, то преобразование, переводящее систему (14.4) в систему (14.5), имеет период Аш [68], н, следовательно, функции X】и Yx имеют тот же период. Если же корни характеристического уравнения отрицательны, то это преобразование имеет период 2йш п такой же период имеют функции X、и Yv В действительности нетрудно показать, что при сделанных нами предположениях второй случай невозможен. Мы не будем останавливаться на доказательстве этого утверждения, так как для дальнейших рассуждений не важно, имеют ли функции X】 и У】 период 内① или 2to.
Так как в системе (14.5) один из коэффициентов 入】н % положителен, то в пространстве Е,刁，f имеется двумерная непрерывно дифференцируемая интегральная поверхность, проходящая через прямую ；==т] = 0. На этой поверхности лежат интегральные кривые, стремящиеся к Е = т)= О при / ->—оо. Любое решение, не лежащее на этой поверхности
при убывании /, покидает достаточно малую окрестность решения Е = ?] = 0 (о существовании такой поверхности см., например, [3]). Отсюда следует, что существует гладкая дуга Лу0, проходящая через точку q^, такая, что если gWAj(p то Т限qfq& при Bf — оо.
Из устойчивости So следует, что Лу0 с 丁。， ибо в противном случае существовали бы решения, не лежащие на Ео и стремящиеся к Ео при /—> — оо, что, очевидно, невозможно.
Таким образом, доказано, что если через точку р, неподвижную относительно преобразования То* проходит периодическое решение, имеющее положительный характеристический показатель, то для всякой точки q, лежащей на 丁。 в достаточной близости от р, выполняется соотношение (14.3). Такие точки р будем называть неустойчивыми.
Из сказанного выше следует, что точки 9亦=丁仍0 (Z = 0, 1,.・・,В—1) будут геометрически различными неустойчивыми неподвижными точками преобразования То-
Если рассмотреть преобразование SFo^"1, то из теоремы 10.4 нетрудно вывести, что на 丁。 устойчивые и неустойчивые точки чередуются.
Предположим, что на So располагается m различных периодических решений с отрицательными характеристическими показателями, тогда на % лежит km устойчивых неподвижных точек р〃 (/= 1, 2, …，m, / = 0, 1, …，Л — 1) и столько же неустойчивых неподвижных точек qu (/= 1, 2, •・・,т, / = 0, 1, ...» к—1).
Возьмем какую-нибудь неустойчивую неподвижную точку 夕儿 и дугу Луг ей соответствующую. Рассмотрим открытую дугу
Hji=±TS» (14.8)
I s = 0
Дуга эта инвариантна относительно преобразования Т§, и для любой точки q£Hji выполняется соотношение Tskq->q^ при Sf — ОО, поэтому "〃 и То・
Из теоремы 10.4 следует, что дуга "〃 своими концами примыкает к некоторым устойчивым неподвижным точкам. Таким образом, кривая ^0 представляет собой сумму всех дуг 〃# с присоединением устойчивых неподвижных точек р“ (У = 1> 2, •・・,т, / = 0, 1,...,自―1)・
2. Окружим В ПЛОСКОСТИ X,
у точки Рл н 0力 окрест-
постями Uур Vл достаточно малого радиуса с таким расчетом, чтобы каждая из них содержала лишь одну неподвижную точку преобразования 鑑 и чтобы они не пересекались между собой.
Как хорошо известно из теории возмущения периодических систем, в каждой из окрестностей U# и V^ существует (»дпп и только одна неподвижная точка преобразования Т? при I е I ^ е0, где е0 > 0 достаточно мало. Пусть это будут точки р% q^. Корни характеристического уравнения, соот- иетствующего периодическому решению, проходящему через точку р» или д%, зависят непрерывно от е. Поэтому при достаточно малых t через точку р夕 проходит периодическое решение с от|)ицптслы1ЫМ11 характеристическими показателями, в черен точку д') — решение, один из характеристических покипатслей которого положителен, а другой отрицателен. Ц ci伽н с sthm точки 力)будем называть устойчивыми, а точки (/^| неустойчивыми.
Тик же как и для точки 0,厂
гладкая дуга А% проходящая через
,для точки q(& существует
свойством, что если д£А%, то T："g—>д"
碍 и обладающая тем
при П —> — ОО.
Дли любой точки д, лежащей в достаточной блнзо二тн от
明
по на А% последовательность T^q покидает достаточно малую окрестность точки 叫.Отсюда следует, что А*иТ：А* Нетрудно видеть, кроме того, что дуги А 叉 и 「⑷电 (/ = 0, 1,...,内 ——1) или совпадают между собой, или накладываются друг на друга таким образом, что их сумма опять составляет гладкую дугу.
Из доказательства теоремы о существовании интегрального многообразия, на которую мы ссылались (см. опять [3]), следует, что дуга А* непрерывно зависит от е. Рассмотрим открытую дугу
= 2 方"А，％
5 = 0
Из теоремы о непрерывности решений по параметру И начальным данным следует, что концы этой дуги лежат
15 В. А. Плисс
в некоторых достаточно малых окрестностях устойчивых неподвижных точек преобразования То； пусть это будут точки pjt и Pj+u・ Тогда ясно, что они также попадают и в достаточно малые окрестности устойчивых неподвижных точек р貝 и р*[「 Но тогда дуга "男 просто примыкает к точкам 畤 и р']г
Рассмотрим кривую %, состоящую из всех открытые дуг "%) и устойчивых точек р% Из самого построения это^ кривой следует, что она представляет собой замкнутую жорданову кривую и что она инвариантна относительно преобразования Те: Ге76 = уе.
Из сказанного вытекает следующее утверждение [69].
Теорема /4.7. При сделанных предположениях система (14.1) имеет инвариантную поверхность Ев гомеоморфную тору, если е достаточно мало.
§ 15. Изучение одной диссипативной системыс сингулярным строением множества1 7
В этом параграфе мы изучим одну диссипативную систему с весьма своеобразным поведением решений и структуре! множества L Рассмотрим уравнение
^十内(х2 — 1) % 十％ =株内 cosX/ (15.1 и его обобщение
х kf (х) х g (х) = kp(t)t(15.2
де k — большой параметр, а ^ и 入一постоянные. Картрай и Литтлвуд [71—73] подвергли эти уравнения детальном; изучению и получили, наряду с другими, следующие замеча тельные результаты.
2
При ^ > у и k > A0(k, 0) уравнение (15.1) обладае свойством конвергенции. Наиболее детальному анализу автор]
121
подвергли случай < b < § — Из этого промежутк для b исключается некоторое множество промежутков, сумм длин которых мала, т. е. существует £ сколь угодно мало при достаточно большом В。， обладающее следующими свой
I IB] ИЗУЧЕНИЕ ОДНОЙ ДИССИПАТИВНОЙ СИСТЕМЫ 227 стннмн. Если 内》А。，то существует множество исключенных Промежутков с суммой длин, меньшей е. Оставшееся множе- Стнс В есть также система промежутков. Оно меняется вместе с А, но мера его при kQ оказывается не меньше, 29
чем § —^у^ — £• 6 разделяется на две части 8】и В2, сравнимых по мере.
Если b лежит на интервале /〔иЗ], то уравнение (15,1) имеет систему устойчивых субгармоник порядка 2也十1, и “большинство" других решений стремится к одной из этих субгармоник при £—а + оо. Число п постоянно в /】н имеет порядок ("I■二 6)4. Если b лежит в /】из ВР то существует система неустойчивых субгармоник порядка (2汽十1).
Если 力 принадлежит интервалу /2 из Я2, то уравнение (15.1) имеет дне системы устойчивых субгармоник порядка 2〃 + 1 и 2〃--1; „болыпиистио** остальных решений стремится к одной и：1 этих, субгармопик. Имеется, далее, бесконечное мпожестпо £ псустойчппых периодических решений. Существует, кроме того, множество X мощности континуум не периодических рекуррентных решений. Число п, так же как и в первом случае, постоянно в /2. Множества X н £ остаются топологически эквивалентными при изменении b в /2.
При всех о из промежутка〈勿 < w —例^ и при достаточно больших 4 существует единственное вполне неустойчивое (асимптотически устойчивое при /—> — оо) периодическое решение с периодом /・
Для уравнения (15.2) при определенных условиях получены аналогичные результаты.
Доказательства этих утверждений, весьма длинные и сложные по своей структуре, по-видимому, не допускают существенного сокращения, поэтому не представляется возможным привести их в этой книге, и мы отсылаем читателя к оригинальным работам.
Левинсон [74J рассмотрел более простое уравнение с таким же особым поведением решений, что и у уравнений (15.1) и (15.2). Мы воспроизведем сейчас рассуждения Левинсона. Знакомство с этими рассуждениями значительно облегчит изучение трудных работ Картрайт п Литтлвуда,
Рассматривается уравнение
eх-и(р(х) х + e%=6国口f,(15,3、
где е > 0 ——малый параметр» 少(尤)=1 при | % | > L ф (х)=—— при Iх| < 1, а постоянная b выбирается из некоторой си стемы интервалов, погруженной в промежуток (0, 1). Ка$ следует из теоремы 4.1, уравнение (15.3) представляет собоГ диссипативную систему. Сделаем замену переменных, полп
жим Х] = %, х2 = ех4-Ф(-^1)» где J cp(x)rfx —Ф^^, тогдг о
получим систему
&-^1 = х2 — ©(*i), -^- = — €%i 十 Gsinf. (15.4
Пусть Р(х) — функция, удовлетворяющая условию Лиг шица и такая, что |Р(х) — Ф(х)| < Д при | 尤|《5, где А — достаточно малая положительная постоянная. Так как Ф (х непрерывна. Р(尤)может быть полиномом. Наряду с (15,4 рассмотрим систему
е^ = У2 —Р(У1)，赞=—e%+6sinf. (15.5
Эта система эквивалентна уравнению
, sy-j-P(y)y + Ey = 6sin九(15,b
Функция Ф(х) удовлетворяет условию Липшица с постоя卜 ной, равной единице, поэтому если у^(/0) = xz(/0) (Z = 1, 2, то
I y1a)- "1 上)1 + I %a) - %2(》《1 ；炉1人+ " 0一1_ (15.7
до тех пор, пока | 力 |《5. Это неравенство следует иг хорошо известных теорем теории дифференциальных урак нений (см., например, [1]).
Выбором достаточно малого А мы можем сделать pas ности (у】一尤])и (为一々)сколь угодно малыми на протяжении любого, но фиксированного промежутка времени Таким образом, поведение решений систем (15,4) и (15,5
при достаточно малом А одинаково на конечном промежутке нргмени. В дальнейшем будет показано, что поведение решений системы (15.5) при —8<f<+8 определяется по нелением ее решений на некотором конечном интервале н.1менения времени. Поэтому решения систем (15.4) и (15.5) мглут себя одинаково при всех f, если только А выбрать достаточно малым.
Перед тем как переходить к точным формулировкам результатов, опишем приблизительно и без доказательств поведение решений уравнения (15.3). Оказывается, что среди решений этого уравнения имеется семейство F следующей специфической структуры. Решение х(/) этого семейства имеет максимальное значение, равное приблизительно 3. Если этот максимум достигается при t = tv то при £〉片 и пока х > 1 решение ведет себя приблизительно как функция
(3 — b) «т Ю — b cos А (15.8)
где р — малая положительная постоянная. Таким образом, при £ > А первое слагаемое (15.8) медленно убывает. Когда х достигает значения, равного 1, решение начинает быстро убывать и за промежуток времени длиною не более 2тс дости- I лет минимума, приблизительно равного —3. Затем картина повторяется: решение медленно возрастает до х =——1, и потом быстро достигает максимума, равного приблизительно 3. При дальнейшем возрастании времени решение ведет себя аналогично.
Будем называть четной точкой пересечения значение 九 при котором решение %(/) семейства F, убывающее от своего максимального значения, приблизительно равного 3, ннервые достигает значения х=1. Назовем нечетной точкой пересечения то значение f, при котором решение х"), возрастающее от своего минимального значения, впервые достигает значения х =——1. Для каждого решения из семейства F четные и нечетные точки пересечения чередуются с возрастанием t. И четные, и нечетные точки пересечения будем называть просто точками пересечения.
Каждая четная точка пересечения всегда лежит на некото- ром коротком интервале t — x (mod 2靠) 0 < т < Tj < ^-, который называется четным базисным, интервалом,
Все нечетные точки пересечения лежат на коротком промежутке / = R+c(niod 2х), 0 < т < •：! < -™, который называется нечетным базисным интервалом.
Уравнению (15.3) можно поставить в соответствие большое целое число п. Расстояние между двумя соседними базисными интервалами, в которых лежат точки пересечения одного и того же решения семейства F, близко либо к (2п——1)тс, либо к (2孔+1)冗. Зададимся произвольной последовательностью dk (— сю < й < -|- оо), где dk есть либо (2п—1)н, либо (2n+ 1)тс, тогда существует решение семейства F, точки пересечения которого лежат в базисных интервалах с соответствующими расстояниями, равными dk, и это решение не имеет других точек пересечения.
Так как последовательность . dk содержит бесчисленное множество перемен ± 1, то множество таких последовательностей имеет мощность континуума. Большую часть решений семейства 尸 составляют непериодические решения, так как последовательности dk в большинстве своем непериодические. Среди всех последовательностей ；4々 имеется счетное множество периодических. Каждой из таких периодических последовательностей отвечает по крайней мере одно периодическое решение из 尸，точки пересечения которого лежат на базисных интервалах; расстояния между ними определяются соответствующей последовательностью d片 Семейство таких периодических движений будем обозначать через £.
Уравнение (15.3) имеет две системы субгармоник порядка (2п—1)к и (2孔+1)霏,каждая из этих субгармоник асимптотически устойчива при ff+ оо. Существует также одно гармоническое колебание, асимптотически устойчивое при £ —> — оо.
Решение уравнения (15.3) может быть найдено точно: при х * 土 1 уравнение (15.3) представляет собой линейное уравнение с постоянными коэффициентами. Пусть р ——наименьший корень уравнения '
叩 2 — р + е = О, (15.9) т. е.
P = U堂= 6 + 小+e = #^. (15.10) Так как е мало, то р также ма』и.
Решение уравнения (15.3) дается формулами
в = &е-”4)/?Т-142d-Up — bcosf при | x| > 1, (15.11)
где Av Л2, % — постоянные, и аналогично
х = В^^^ + В2е^~^ ^ + Ь cos t при | х| < 1. (15.12)
Чтобы показать существование семейства 尸，содержащего по крайней мере одно решение, отвечающее каждой последовательности d左，установим некоторые утверждения относительно преобразований базисных интервалов. Рассмотрим непрерывное семейство решений с начальными данными из не- чегного базисного интервала:
*0■-1, ”0 0p(1+0cusc) — Osint + R 力=k + %
(15.13)
где 0 < t < Т| < jg. I I < e p . Это семейство будем на- аывать нечетным базисным семейством. Мы покажем в дальнейшем. что решения нечетного базисного семейства при fse:3需 близки к 3. При f > Зк эти решения даются формулой (15.11) с пренебрежимо малым первым слагаемым. Таким образом, эти решения приблизительно равны
х = Ае~^ (^-Зл)— Ь cos Л(15.14)
где 4 близко к 3 — b.
Далее будет показано, что для нечетного базисного семейства А в формуле (15.14) принимает значение из промежутка
3b —■*■ 2靠(3 — b) р《Д《3 — b -р 2n (1 — 0) р. (15.15)
Решения (15.14) убывают и достигают значения х = 1 па некотором множестве четных точек пересечения. Решение х — x(t) впервые достигает значения х— 1 при £, близком к 2/пк, как следует из формулы (15.14), ибо при 岁门)м cos f должен быть близок к единице. Чем больше Д, (гм больше требуется времени для достижения значения х = 1. Чгтнля точка пересечения t^ соответствующая максимальному значению Л из промежутка (15.15), лежит примерно нп 4K правее четной точки пересечения ^т, соответствующей минимальному значению Д, если только b выбрано надлежащим
232 СИСТЕМЫ ПЕРВОГО И ВТОРОГО ПОРЯДКОВ [ГЛ. II образом. Из соображений непрерывности следует, как мы увидим далее, что множество четных точек пересечения, соответствующих исходному нечетному базисному семейству, включает в себя два четных базисных интервала. Они лежат в промежутке (力小 t^ и даются формулами / = 2/1穴 + 弋 и f = 2(/I + 1)к十с, 0《с《с「где п — большое целое число, зависящее от & и р.
Если рассмотреть четное базисное семейство, то картина получится аналогичная.
Пусть интегральные кривые исходного нечетного базисного семейства определяют преобразование исходного нечетного базисного интервала во множество четных точек пересечения на прямой х=1; тогда ясно, что образ исходного промежутка включает в себя два четных базисных интервала. Таким образом, исходное семейство решений содержит два подсемейства, каждое из которых пересекает прямую х= 1 при х < 0 так, что точки пересечения покрывают базисный интервал, один из этих интервалов есть £ = 2тс/1 + т, а другой—£ = 2(孔+1)冗十с. Точно так же каждое семейство траекторий, начинающееся на четном базисном интервале, пересекает х = 1, х > 0 так, что точки пересечения покрывают два нечетных базисных интервала и так далее. Расстояние между некоторым интервалом и двумя интервалами, лежащими в его образе, есть (2п—1)冗 и (2孔+1)穴.
Рассмотрим последовательность базисных интервалов с соответствующими расстояниями, даваемыми произвольной последовательностью dk, —сю < А < -f-°°» где каждое dk есть или (2п—1)穴 или (2п+ 1)?:. Тогда, используя природу описанного преобразования, удается показать, что существует по крайней мере одно решение уравнения (15.3) с точками пересечения, лежащими на соответствующих последовательности d^ расстояниях.
3. Переходим к точным формулировкам утверждений и доказательствам. Рассмотрим нечетный базисный интервал, задаваемый формулой ^ = тг+т, 0《с《％, где 、<心 находится из уравнения
з 一生+2 F
sin tj = у — у g=« р Р . (15,16)
Формула (15.13) для х0 есть простое следствие (15.11). Действительно, дифференцируя (15.11) и исключая Л2. получаем
Ля* — р (х + b cos f) + b sin £ — (^<— р) 4«-《 一备故.(15.17)
Вели мы положим здесь х = —1, а £ =笈 + ^, то мы и получим (15.13) с весьма малым экспоненциальным членом Е при достаточно большой разности t —力・
При I х| > 1 уравнение (15,3) есть уравнение £%+* + + ±% = ^sinf; следовательно, его общее решение дается формулой (15.11). Если x = %o，х = х0 при £ = ", то
4 =4 =4 =4 =(15.18)(15.19)(15.18)(15.19)—£Р (*0 Ч- Ь COS %) — ЕХо "^- £匕 sin /о
4 =
4 =
4 =
4 =
(15.18)
(15.19)
(15.18)
(15.19)
1—2 叩；，
(I — ер) (%o + Ь COS %) + £%o — еб Sin 4
冬冬°2 =°2 =(15.20)(15.21)(15.20)(15.21)При |х| < 1 общее решение уравнения (15.3) задается формулой (15.12), где постоянные 瓦 и В? имеют следующие выражения через х0, х0» %:
冬
冬
°2 =
°2 =
(15.20)
(15.21)
(15.20)
(15.21)
Будем считать е и р достаточно малыми положительными постоянными; b лежит между нулем и единицей и отделено от нуля и единицы. Для удобства будем считать 0,1 < & < 0,9. В дальнейшем нам понадобятся следующие леммы о поведении решений уравнения (15.3).
Лемма 15J. Решение уравнения (15.3), начинаю^ щееся на левом конце нечетного базисного интервала / = тс, с начальными данными х0 = —1, *° =卩(1 + 勿)十£, где |£| < е р , удовлетворяет неравенству
х《3 — 2к(3 — 6)р + р% при t= Зтс, (15.22)
Доказательство. Пусть x(f) — рассматриваемое решение. Так как х0 > 0, то при ^ > тс и достаточно близких к тс окажется х >—1. Таким образом, из (15.12) находим x = %3[e(f-叫?-\-^b^^~^ -bcos 九
Отсюда и из (15.20) и (15.21) получаем
х — ^ ； t爲 е^~^ +/)(р)е? ”п) —bcosf, где |Q(p)|《2p2. Так как коэффициент при первом члене правой части последнего равенства положителен, то х〉^ b до тех пор, пока |х| < 1 н 代 <f <丁・ Поэтому при этих условиях х > 0, поскольку х0 > 0. Более того, х〉逐 6“-霏)〃 до тех пор, пока |х| < 1. Так как х0 > 0, то из этого неравенства для х следует, что х достигает единицы при t V к ~|- Зр 1п ~ •
Проинтегрируем дифференциальное уравнение (15.3) и отметим точку, в которой х достигает значения, равного единице, индексом 1; тогда будем иметь
б"】一2 + е J 尤df = — bcos 匕十 bcos 九 + 沁.(15.23)
Так как f0 = тс < /j < 笈+ 3pln-j, |x0| < 2p и |%|《1, ти можем написать
EQ + b cos 看=2 — 6 十 1叩 In 不，(15.24)
где через т обозначается величина, ограниченная при е—>0. Из (15.24) следует, что х】〉0, поэтому для дальнейшего разыскания решения надо воспользоваться формулой (15.11). Постоянные & ц Д2 найдутся из (15.18) и (15.19) в точке 厶・ Используя (15.24), получаем для достаточно малого е х = T]«-U/p + (3 — b) ©г (i) — b cos f + 伸 In } , (15.25) где величина 丁 ограничена при е->0, a I^J < 2,05 при достаточно малых е. Из формулы (15.25) нетрудно заключить, что если m достаточно мало, то при tx^ t ^^ %〉1. Тогда из этой же формулы при ； = Зтс и получаем утверждение доказываемой леммы.
Ламма 152 Решение уравнения (15.3), начинаю- М"Н “а правом конце нечетного базисного интервала / — к*卜%, “ удовлетворяющее (15.13) при t = q, nod- чин негпся неравенству
%》3+2代(1 -6)p — р% при f = 3h (15.26)
Доказательство. В процессе доказательства леммы [5
fly/K'i показано, что %〉——1 + §Ьр% при -^* < / < Зтг.
Рассматриваем решение x(f), начинающееся при £0=靠 + %, Где q дается формулами (15.16). В силу (15.13) х0 > О, поэтому для нахождения х воспользуемся выражением (15.12). И：1 условия (15.16) вытекает, что постоянная 8】мала; дей- стиителыю,
51 = лУ^> 4 = -(1—6+ 紡)，(15.27) где, как п ранее, i обозначает величину, ограниченную при t >0, Таким образом,
# — •^~^~^/~тс-т,)/р—(1 + ур2—^)^/-TC_Tl)p+&cos^ (15.28)
и ясно, что
х =(р) — Ь cos f,(15.29)
где Dj (р) >—Зр2 при 芯 + ：1《£《才・ Такйм образом, 尤〉qb〉0 на этом промежутке; так как х0 > 0, то мы имеем х >—1. вплоть до / = ~.
На промежутке 冗 + ^1<£<3大一Зр'А первое слагаемое правой части равенства (15.28) мало по смыслу обозначений Esq、Следовательно, на этом промежутке изменения времени
х = — 1 +b + 6cos/4-ip(15.30)
(как всегда, i ——ве-чичина, ограниченная при е—>0). В част-
上 5丄
пости, тогда 1 > х > — 1 + ^Р2 при -^ < ^ < Зтс—Зр4.
£丄
Положим теперь £ = 3芯一s, тогда при р4 Vs<3p《 до тех пор, пока |х| < 1, будем иметь в силу (15.28)
9Л -色+2р1
尤= -1+т^е р —済+» (15.31) Из этого равенства следует, что на рассматриваемом промежутке для s до тех пор, пока | х| < 1, выполняется неравенство х > — 1 +"з ^Р2- Следовательно, х > — 1 на этом промежутке. При s = p4 второе слагаемое правой части (15.28) оказывается весьма большим» значит, х оказывается больше единицы при некотором s из промежутка р4 < < S < Зр工
Продифференцируем теперь (15.28) и исключим член с ^«-兀-力)〃 из равенств для х и х; тогда получим
рх — х — pb sin £ — b cos f + (1 — p2)(l — b + 冲2)e(f-k-x)p.
(15.32) Пусть теперь при t = tx оказывается x=L Как было показано, р4 < Зтс — ^ < Зр4. Следовательно, из (15.32) получаем
p^i+bcosf[=2 —b +2n (1 —Sp + te* (15.33)
В частности 占 > 0. Поэтому для нахождения х воспользуемся формулой (15.11), в которой при определении 4] и Л2 учтем (15,33). Получим
х = —(2+Тр2)e-”G)/P + [(3 —力)+
+ 2к(1 —6)р+ тр%]「ам)/р —力 cosf (15.34) до тех пор, пока х > 1. Из этого равенства следует, что при /]<f《3k х > 1. Полагая в (15.34) f = 3n, получаем утверждение леммы.
Лемма 15a Все решения уравнения (15.3), нача- чающиеся на нечетном базисном интервале £ =芯 + ^1 “ удовлетворяющие (15.13), удовлетворяют неравенству
|上(3©1《Tp，(15.35)
еде т ограничено при малых е. Для всех таких решений выполняются неравенства— 1 V х < 3,1 при 冗二工 < < f < Зтг. На этих решениях х〉0 ap при 优十•：《£ <
56丄 5
-j к “ х > — 1+тёР?孔"彳n《f《3k. Кроме mozo, каждое такое решение пересекает прямую х= 1 при возрастании t лить один раз на промежутке 芯十^<
1 1
f < Зтс ——*2 р4, и далее это решение остается выше прямой х= 1 до f = 3m
Доказательство. В рассматриваемом случае равенство (15.28) выполняется, если только 7 заменить некоторой большей пеличиной, п Т| заменить на т. Следовательно, для рас- Смптриваемых решений выполняется оценка (15.29), и потому х > 0 при ^Ч~т<^<-|-тс, Таким образом, х > х0 > -^ &р r этом промежутке, и, следовательно, либо х= 1 для некоторого t из этого промежутка, либо равенство (15.28) выполняется, если в нем q заменить на некоторую большую величину, а т( на т. В последнем случае x{t) может оказаться меньше правой части равенства (15.28) разве лишь на величину порядка 僧.Таким образом, х— 1—佇 При некотором 2 < Зк — p'z. Интегрируя дифференциальное уравнение (15.3) от £0 = ^ + 1： до t так же, как при доказательстве леммы 15.1, найдем, что для 0,9 < х ^ 1 ex > 1.
Таким образом, при ^ = ^ < Зтс — у р4 окажется х = 1. Так как х(/) может оказаться меньше, чем решение, рассмотренное в лемме 15.2, лишь на величину У，то, кроме того, 15
получаем х(/) > — 1+彳Ьр^прн 彳к《£ до тех пор, пока х С 1.
В каждом случае х достигает значения, равного единице; будем обозначать точку, в которой это случается
1上
впервые, индексом 1. Тогда /】V 3冗 ——qp’. Если нспо』ь~ зовать равенство (15.32), выполняющееся в настоящих условиях, И ПОЛОЖИТЬ %=1, / = £], то получим
pXj — 2 •—Ь —6 cos f]—I—тр.(15.36)
Отсюда и из формул (15.18) и (15.19) находим — 3 V /Ц < О и 4 = 3—力+тр. Согласно (15.11) при х》1 будем иметь
х = А^"^-^ ?十 4«-"九)р — b cos t. (15.37)
Дифференцируя это no 九 находим
х — — -у- е~(£Г)/р — рД2е-Р(f-幻十bSin 九•
1 L
Так как < 3需 ——р4, то ясно, что если х》1 вплоть
до f = Зк, то мы действительно имеем х = ^р при t = Зк.
Осталось показать, что х>1 при ^ < ^ <； Зтс. Предположим, напротив, что х=1 при / = ^€(Л* Зк]. Проинтегрируем уравнение (15.3) от ^ до f2, тогда получим
ех2 = EXj—е J xdt~\~b / sin t dt. (15.38)
Из (15.37) следует, что x < 3,1. Используя (15.36), получаем в силу (15.38), что ех2 > 2 — 2力十冲？6 Но это
х<0.х<0.невозможно, так как при t = t2 должно быть
х<0.
х<0.
Лемма доказана.
доказано), что /》3冗 даютсядоказано), что /》3冗 даютсяВ пункте 2 уже отмечалось (но не было решения нечетного базисного семейства для приблизительной формулой
доказано), что /》3冗 даются
доказано), что /》3冗 даются
% = (3 —Ь)е-"3к)р — bcosf.
Ясно, что это решение впервые достигает единицы при тех значениях 九 при которых величина (3 —力)《~("3兀)？ близка к 1 十瓦 Иными словами, это значение времени £ зависит от величины
1 13 — 8
71пТ + * •
Ниелем в рассмотрение целое число п, определяемое соотношением
7 1п Г^| = (2/1 — 1) it — §.(15.39)
где 0 <^ В < 2к. Так как р мало, то п велико. Более того, слегка изменяя Ь、можно добиться такого положения, чтобы 8 лежало в пределах от 0 до 2冗?二育・ В дальнейшем нам будет удобнее предполагать, что
Р10(15.40)
Условие (15.40) дает те значения 6, для которых образ базисного интервала включает в себя два базисных интервала, лежащих ст исходного на расстоянии (2л— 1)冗 н (2л-[- 1)笈・
Так как мы предположили, что 0,1 < i> < 0,9, то можно выбрать 力 так, чтобы п имело значения, удовлетворяющие неравенствам
1 + 2：”得< "击3署，"41)
Зададимся каким-нибудь п, удовлетворяющим неравенствам (15.41). Тогда существует такой сегмент /и(р), лежащий на промежутке (0,1, 0,9), что если Ь^1п (р), то выполняются соотношения (15.39) и (15.40).
Всюду в дальнейшем будем считать, что Ь принадлежит одному из сегментов /„ (р).
Будем теперь рассматривать уравнение (15.6) с функцией Р(у), достаточно мало отличающейся от функции ①(у). Определим для решений у (Z) этого уравнения более точно понятие непрерывного нечетного базисного семейства. Пусть 9 — параметр и 弋(8),七⑼一две непрерывные функции от 0, заданные на промежутке 6()总0《&, такие, что с(玩)=0, ю т(01) = Тр 0 < -г(О) < Tj при Oq V О V % и |Е(0)|《е р . Тогда непрерывное нечетное базисное семейство есть семейство решений уравнения (15.6) у (九 0), удовлетворяющее начальным условиям
Уо = —1, /о = (2/и+1)п + т(0), .(15.42)
% = р (1 + b 8st (8)) — b sin 1： (。)+ £ (8),
где т есть целое число и 8()《8《8「Аналогично определяется непрерывное четное базисное семейство.
Выберем достаточно малое е > 0 и целое п, удовлетворяющее неравенствам (15.41). Пусть Ь^1п (р)- Сформулируем теперь следующий фундаментальный результат относительно уравнения (15.6) с функцией Р(у), достаточно близкой к Ф(у) (постоянная А достаточно мала).
Лемма 15.4. Пусть y(f, 6),力总®《力一непрерывное нечетное базисное семейство на нечетном базисном интервале / =冗十工(6). Тогда существуют два не пересекающихся интервала 0Х и 02, лежащие на (90, 0J такие, что решения у (Л 0), начинающиеся на 0Р впервые пересекают у = 1, у < 0 «а четном базисном интервале £ = 2мк-|^с, 0 < т < Ti и, сверх того, об разуют непрерывное четное базисное семейство на этом интервале. Аналогично решения, начинающиеся на интервале 02* образуют непрерывное четное базисное семейство на четном базисном интервале £ = 2(川+1)冗 + 弋， О < т < тг 7。也狂。mate же непрерывное четное базисное семейство имеет два непересекающихся подсемейства, каждое из которых образует непрерывное нечетное базисное семейство на нечетных базисных интервалах, находящихся на расстояниях (2п — 1)冗 и (2川十1)冗 от исходного.
Доказательство. Пусть у (Л G), Oq《6《瓦——непрерывное нечетное базисное семейство на нечетном базисном интервале £==^笈 +，Рассмотрим семейство решений уравнения (15.3) с теми же начальными данными, что и у у (Л 6). Выберем А в неравенстве (15.7) с таким расчетом, чтобы на промежутке времени \t —冗|《(2汽十2)冗 решения у (Л 8) и x(f, 8) уравнений (15.6) и (15.3) соответственно различались бы достаточно мало. Положим
】1(2〃гЗ)к
卜《К• —•(15.43)
Тогда если |х|<5 и |у|《5, то в силу неравенства (15.7) будем иметь
и
|у(О —х(0|<в-Т при |^ —^|<(2а4-2)те. (16.44)
ТйК как еу = у2一Р(У) ех = х2 —①(修)， то можем написать
小一引《从《) -%2⑼+ 10(%)—①(占升《
《1山一电1 + 1p(у1)-①(力)1 +1 ①(山)一①(*1)1 《
《通一词 +A+旧一*i《2e p ИЛИ
|у(0 —х(0|< 击 с Р при |f —冗《(2川 + 2)冗.(15.45)
Из леммы 15.3 следует, чтэ \х\ < 3,1 при 冗十弋《f《3m Тогда в силу (15.44) на этом же промежутке выполняется неравенство |у| < 4. Также в силу леммы 15.3 и неравенств (16,44) и (16.46) имеем y(f) > — 1 при 冗十宅 < £ < Зе Рао смотрим x(f, 8) при f》3死.Полагая в равенстве (15.11) в== 3m получаем
x(f, 8) = 41e-"-3e)企 + 46-(‘一翫)Р - Ьcos f; (15.46)
используя лемму 15.3, легко установим, что |Л^^р.
Из вида системы (15.4) следует, что 占 и х2 суть непре- рыиные функции начальных данных, а тогда это же верно и для x(f), x(f). В частности, %(3н, 8) и х(3н, 6) непрерывно зависят от начальных данных на прямой х =——1 и. следовательно, являются непрерывными функциями 8. Таким образом, Л2(6) есть непрерывная функция 仇 а 4(8), как было только что показано, удовлетворяет неравенству 14(8)1《Р・
Из соотношений (15.44)——(15.46) следует, что при / > 7те выполняются соотношения
Г y(f, 0) = 4e-pd — 6cosf + %G(8, f),(15.47)
y(t 0) = — рЛ2е~? ^-^ + ft sin f + -jL G (6, 0. (15.48)
где в обоих случаях |G(9, f)|《e p . Исключая из этих равенств & получаем
У (Л Н) = — ру(九 б) — pacosf + asinf + ^Gl 仇 f). (15.49)
16 В, А. Плисе
Полагая в (15,19) tQ = Зте, получаем в силу лемм 15.1 — 15.3:
4(%) & 3 — Ь — 2冗(3 — b) p + 2P 5»
4(%):>3 —叶2冗(1— a)p — 2p5.
положим 42(°) = 3 —a +r(8). Ясно, что функция г (6) непрерывна при %W^8《％ и множество значений г(0) при 6 £ [0О, 9J содержит в себе сегмент
—2冗(3 — b) p —j" 2P5《г《2笈(1 — 6) p — 2P5. (15.50)：
Положим в (15.47) Л2= 3 一6+r，/ = 2川П + ь и ис- i пользуем обозначение (15.39), тогда получим:
У (九 0) = (1 +6) е-р(а+б-2к) + г (9) А±А «_р (卄6-2霏)—
—acoso + ^G.
Ясно, что если выполнены неравенства (15.50), то при а < — 10冗 у > 1. Для |а|《10笈 получаем
У (^> 8)== 1 Т~ 6 ~— b cos ь —
-[р(1 + &)(а+8-2к)-г(9)-Ш-] +出，(15.51)
где, как обычно, 丁一величина, ограниченная при малых р.
Обозначим через f(8) наименьшее после f = 3n значение времени f, при котором оказывается y(f, 8)=1. Рассмотрим правую часть равенства (15.51) при 6《o《t「Если г = =/*1 = — (3 — b)(2冗一3 + р?) р, то эта правая часть меньше единицы. Это значит, что если 0 = 01О есть корень уравнения г(8) = Г], то Цб10) < 2атс. Аналогично пусть г~г2 — =—(3 — 6)(2冗一8 — р万)р и г (62о)=『2’ тогда f (%) > > 2n^-\-zv Так как 尸】и г2 лежат внутри сегмента (15.50), то 610 и Ago могут быть выбраны внутри промежутка [%, 6J. Функция г (6) непрерывна, и имеют место неравенства г (^i)> г (02О) > г (910) > г (0о), поэтому можно выбрать % и % так, что 610 < % н ri<r (°)< Q ПРИ So <。< %•
Т・К как гх <： г <^ rv то в силу (15.51) имеем, что у > 1 □pH 0 < — ^ 代・ Таким образом, £ (6) > 2汽тс —— 彳冗 при 910《 磊 6《％. Так как Ц610) < 2лтс и так как у(£(8), 8)< 1： - f^P при 2〃н — ■^冗《f(6)W2〃n + ti+^bp в силу (10,48% то ясно, что при возрастании 0 / (0) есть непрерыв- Нйй функция до тех пор, пока 2от — ^冗 W f (©)《2汽冗 + 卜片"l~；bp. Так как /((^о) > 2汽代 + 口， то существуют такие 6Н и 912, что 910 < % < 力2 < 02О и ^(9П)== 2м, f (%) = ▼ 2〃笈 + % и /(%) < £ (6) V f (%) при 6П < 9 < 012. Таким образом, мы видим, что (61р 012) есть интервал &, о котором говорится в утверждении леммы.
Совершенно аналогично.Совершенно аналогично.выбрав ，з = (3 —6)(б — р"5%
Совершенно аналогично.
Совершенно аналогично.
и q =(3 — ^)(8 + р2) р. докажем существование интервала 02.
Для четных базисных семейств доказательство проводится йпилогично.
Лемма доказана.
Замечание. Из соотношения (15.49) следует, что для четных базисных семейств, образованных из семейства y(f, 0) на интервалах £ = 2川代十弋 и I — 2(п~\~ 1)к-|-т, выполняется
неравенство \Е\ <-уР .
Установим теперь существование семейства 尸.
Теорема 75.7. Пусть дана последовательность d穴, ——8 V 月 < + оо, где dk есть или (2л ——1)笈 или (2〃+ 1)тс, тогда существует решение у(£) уравнения (15.6) с точками пересечения, лежащими на базисных интервалах С соответствующими расстояниями, равными dk, -Оо<*< +оо. Это решение не имеет других точек пересечения.
Доказательство. Рассмотрим подпоследовательность базисных интервалов с соответствующими расстояниями, равными dk при —N《к《屮№ где N ——натуральное число. По лемме 15.4 всякое непрерывное базисное семейство, начинающееся на самом левом из этих базисных интервалов, имеет подсемейство, которое представляет собой непрерывное базисное семейство на следующем из выбранных
базисных интервалов. Это семейство в свою очередь имеет подсемейство, представляющее собой непрерывное базисное семейство на следующем базисном интервале и т. д. Таким образом, на самом левом базисном интервале существует подсемейство, точки пересечения которого лежат на базисных интервалах с соответствующими расстояниями dk,在
Рассмотрим теперь множество S(N) всех решений урав-' нения (15.6), имеющих точки пересечения на каждом из выбранных базисных интервалов, 0 < т < rt со взаимными расстояниями, равными 壮比， 一N <h <*N、и таких, что в каждой точке пересечения выполняется |y+py + pbcosf —— io
—ftsin ^| < e ₽ , а между точками пересечения оказывается |у| < 4. Мы только что показали, что множество S(“' не пусто.
Без ограничения общности можем считать, что f = к-|-- есть один из выбранных нечетных базисных интервалов Пусть y(f) — решение из множества S (^). Его нечетной точке пересечения с нечетным базисным интервалом £ =冗 +工 0 < т < тг на плоскости т, е соответствует некоторая точкг с = £ — те, у (те 4-^) = ^. Из непрерывности решений по начальным данным следует, что множество S【(N) таких точек соответствующее множеству S(N) решений, открыто. Кроме того, оно не пусто, как уже отмечалось. Рассмотрим теперг множество S(N-\- М)г где М — натуральное число и соответствующее ему множество S】(“ + М) точек плоскости т, г Ясно, что S](N +M)uSi(TM).
Из предыдущих рассуждений без труда получается и боле士 точное включение SX(NM)(z.Sl(M) (как обычно, S、обе- значает замыкание множества S】). Таким образом, существуем непустое множество S】(oo), такое, что S[(8)u，(N) npi любом натуральном М Ясно, что множество решений S(oo； отвечающее точечному множеству S【(8)плоскости т, и, р есть требуемое теоремой 15.1.
Теорема доказана.
Как было показано в § 4 (см. теорему 4.1), cs стема (15.4) диссипативна. Сейчас мы будем изучать структуру множества / этой системы. Одновременно будет пока зано, что система (15.5) имеет инвариантное множестве такой же структуры, что и множество / системы (15.4) npk
I 1Й| ИЗУЧЕНИЕ ОДНОЙ ДИССИПАТИВНОЙ СИСТЕМЫ 245 некоторых дополнительных условиях, налагаемых на функции» 卩(％) в промежутке |х|《70. Из дальнейших рассуждений будет следовать, что если Р(х) отличается от Ф(х) д(1статочно мало при всех х, то это инвариантное множество Судет являться множеством / для системы (15.5).
Введем для уравнения (15.6) преобразование Т плоскости у,舒(舒=у) в себя по обычному правилу. Пусть р ——точка у0(舒()= Уо этой плоскости, a y(f, у0, у。)一решение урав- 1НЧН1Я (15.6) с начальными данными / = 0, у = у0, y=yo=Uo， н»гда 7P есть точка плоскости у, v с координатами у ”у(2т %, %), u = y(2w %, %). Пусть Г — аналогичное преобразование для уравнения (15.3).
Нетрудно видеть, что уравнение (15.3) имеет 2те-периоди- 卄 ское решение x = 6cosf. Решения, близкие к этому периодическому при £ = 0, задаются формулой
% = 8步小 +82©" + 6 cost, (15.52) где В】и В2 достаточно малы. Так как оба характеристических показателя положительны, то ясно, что решение X = bcos£ асимптотически устойчиво при ff — оо.
Рассмотрим тождество
.备 К% —力 cos £)2+(〃 4- Ь sin f)2] = y(u + ^ sin f)2，(15.53)
где 〃(/) = % (f)・
Из этого тождества следует, что расстояние между произвольным решением уравнения (15.3) и периодическим решением x = 6cosf возрастает с возрастанием времени до тех пор, пока |х| < 1. Пусть Г — окружность плоскости х, 〃 достаточно малого радиуса с центром в точке x = bt 〃 = 0, а Со — открытый круг с границей Г. Из (15.53) следует, что Со = Со-|- Гез ТС0.
Из теории возмущений периодических решений хорошо известно (см., например, монографию И. Г. Малкина [67]), что если Р(х) — Ф(х) и Р(х)—1 достаточно малы при I х\ <0,95, то уравнение (15.6) имеет периодическое решение, близкое к y = 6cosf. Это решение асимптотически устойчиво при f f——оо. и для него выполняется соотношение
а = С°十 Гит% (15.54)
из которого следует
(15.55)
Рассмотрим множество
Н = £ттсь(15.56)
т =0
Нетрудно видеть, что Н есть односвязная область. Эта область представляет собой область асимптотической устойчивости при ff — оо 2к-периодического решения уравнения (15.6), т. е. если у】(£) есть это периодическое решение и %,先一точка плоскости у,也 то соотношение
иm У) —у«, у0,命1= Um 以(/)一力«, %, %)1=0 /->—8£ 今一8
выполняется тогда и только тогда, когда точка (у0, v0) лежит в Н*
В дальнейшем будем предполагать, что |Р，(х)— 11 достаточно мало при |х|《 0,95 н |Ф(х) — Р(х)| < Д при |х|《70, где А достаточно мало.
Для изучения множества / нам понадобятся следующие леммы относительно поведения решений уравнений (15.3) и (15.6).
Лемма 15s. Пусть 尤(f) — решение уравнения (15.3) с начальными данными ", х0, х0, подчиняющимися условиям
jх01 < ь |%о — bcosfol + plA + asinfol〉瓦(15.57) где 0 < й < 1; тогда существует такое t
9 Q9fo<Vo + ”专，(15.58)
что |х(0| > L
Доказательство. Так как |х(£)! < 1, то
% =+ 当决一幻 р + 6 cos f,(15.59)
где
В】+ 8?%。-b cos f。’ ~ 3】-p" p^2 ~%o+ a sin f。’ (15.60)
как следует из начальных условий.
Таким образом,
l"J + IB2DIX0 — Gcosfol， |BJ + |B2| > p|x04-6sin/0|, итсюда получаем
|8|| + 包]》q(|x()— b cos力I + р|%о + а$Е4|)》讶九
(15.61)
Введем обозначение s = —In 丁 и предположим, вопреки утнерждению леммы, что |х『《1 при 0 式 f — fo《2s. Тогда нз равенства (15.59), в котором мы последовательно положим / SE= 0, f = s, f = 2s, получим
В +当V1 +仇I В©扭+约cw I《I +儿 [В^-^В^ |《1 + 氏(15.62)
Из первых двух неравенств (15.62) получаем |8i|(es/p_g*)《(l + »+ |B1 + BJ^<(1 + ^)(1 + ^p).
Из определения s следует |8】|<彳力，а тогда из (15.61) и (15.62) получаем
^й<|В2|<1+^+|В1|<4.(15.63)
Воспользуемся теперь третьим неравенством (15.62):
|BJ е^<(1 + &+ 141 e2sf>)e-s/p《^e-s/p+2sp , отсюда получаем
IВрр + 々esp|>|В2|^р— |В,| 6">^Йе^р —
—^e-s/p+2sp〉^ 力е$?》4> 1+儿
что противоречит (15,62). Противоречие доказывает лемму.
Лемма 75.6. Пусть выполняются неравенства (15.57)
|xol + p|iol < 20,(15.64)
тогда существует такое t = £、, удовлетворяющее неравенствам
/Ко + 5к~Ц1п^ +①^，(15.65)
wo выполняется одно из двух: либо
|^(mod 2к)|< Юр2, %i = l, —Юр1 < ^ < 0. либо
|^ (mod 2冗)一同 V 10р2, %】=—1, 0 <； Xj < Юр2.
При этом |x(f)|《60, если t°《t《к
Доказательство. Предположим сначала, что |х0|> 1, или х0= 1 и х0 > 0, или %о = —1 и Xq < 0, тогда решение уравнения (15.3) записывается в виде
х = 4gTi)/P + 4©-и ? — Ь cos Л (15.66)
где из условий для начальных данных следует |Д| < 22 G = 1, 2). Предположим еще, что при 0 < ^ — tQ < 4к |х|〉1, тогда при f〉fo + n до тех пор, пока |х|>1, будем иметь
\х — A2e~^~to^-\-bcost\ <g-2/p
и, исключая Л2 из равенства (15.66) и его производной, получаем
|x + p(x + 6cosf) — 6 sin f I < те"/? ПрИ f > 力十冗
Из этих неравенств и вытекает существование такого 5
А <А)+『чт0 выполняются утверждения леммы. Пусть теперь при некотором t = t公 ^о < ^2 < ^о Ч" ^к оказывается |%| = 1. Тогда нетрудно убедиться, что при t — t2 окажется
•2828•
либо %2=— L 0 总 ％2<7~，либо 尤2=1， < ^2^0.
Если х0 — —1, %о>О, то из неравенства (15.64) сле- .20•
дует, что х0 < —, и аналогично, если х0 — 1, О,
20 . • ТО— V Xg.
Пусть, наконец, |х0| < 1, тогда в силу предыдущей леммы
232
будем иметь |%| = 1 впервые при f = /3 < /0-]——也 万.
•'25
Если %式fo+h то, интегрируя (15.3), найдем |х31< — • Если же /3 > /0 + 1, тогда воспользуемся равенством (15.59)
И убедимся, что если 伊伍侑一备)/?| > 10, то
I瓦*1。)?| > 2 + ^»|3科l幻/h,
|х| > \В2е^^^\е 2 Р—\В^~^\е 2? —ft > 2е 2 — ft > 1, что невозможно. Таким образом, \В^~^\ < 10. Отсюда легко получаем |х3| <Если при %《f《% + 4冗 |х|〉1,
то так же, как и в начале доказательства, покажем, что выполняется утверждение леммы. Если же существует такое /2. £з《/2《?з+4冗,что при ^ = /2 |х| = 1, то опять ока- •28
жется одно из двух: либо х2 = — 1, 0 х2 < — , либо -28 / •
#2— 1, — < %2《0・
рассмотреть случай, когда существует %， +4冗 + ?111万，такое, что х2 = -1, 0^х2 #2=1 исчерпывается аналогично).Интегрируя уравнение (15.3), получаеме х 4- Ф (х) + ft cos ^ ==6X2 + ®(x2)+&cos/2 — е Грассмотреть случай, когда существует %， +4冗 + ?111万，такое, что х2 = -1, 0^х2 #2=1 исчерпывается аналогично).Интегрируя уравнение (15.3), получаеме х 4- Ф (х) + ft cos ^ ==6X2 + ®(x2)+&cos/2 — е Г< fo + (случай< fo + (случайX" (16.67)X" (16.67)Таким образом, для доказательства леммы нам осталось
рассмотреть случай, когда существует %， +4冗 + ?111万，такое, что х2 = -1, 0^х2 #2=1 исчерпывается аналогично).
Интегрируя уравнение (15.3), получаем
е х 4- Ф (х) + ft cos ^ =
=6X2 + ®(x2)+&cos/2 — е Г
рассмотреть случай, когда существует %， +4冗 + ?111万，такое, что х2 = -1, 0^х2 #2=1 исчерпывается аналогично).
Интегрируя уравнение (15.3), получаем
е х 4- Ф (х) + ft cos ^ =
=6X2 + ®(x2)+&cos/2 — е Г
< fo + (случай
< fo + (случай
X" (16.67)
X" (16.67)
6
Это равенство доказывает, что из двух неравенств % > —3 и
х < — -^——\-bcostх < — -^——\-bcost(15.68)(15.68)
х < — -^——\-bcost
х < — -^——\-bcost
(15.68)
(15.68)
первым нарушается неравенство (15.68). Действительно, при х《一3 до тех пор, пока выполнено (15.68), оказывается * > 0. Следовательно, х > — 3 до тех пор, пока выполняется (15.68). Кроме того, при £>£2+】 до тех пор, пока' имеет место (15.68), ех < 7. В самом деле, если бы при f = /б оказалось ех〉7, то из (15.67), поскольку —3《％《1, следовало бы ех > 2 при "—l《f《4・ Но тогда
неравенство (15.68) не могло бы выполняться при t = £& Итак, ех < 7.
Используя (15.67) на промежутке выполнения неравенства (15.68), получаем
ех> —2& + -|(1 —ft) /dt — 2eb. (15.69)
Следовательно, если ^ > /2- оказывается невыполненнымСледовательно, если ^ > /2- оказывается невыполненным*
Следовательно, если ^ > /2- оказывается невыполненным
Следовательно, если ^ > /2- оказывается невыполненным
卜不二方)「то неравенство (15.68) .Предположим, что (15.68) впер
вые нарушается при / = /4, и /3 < /4 — последнее перед t = t& значение f, при котором оказывается х = —1. Тогда либо ех3 < 7, либо GV^+l； в этом втором случае из (15.67) следует неравенство ех3 < 29. В обоих этих случаях при £ = %, в силу 2 = —1, имеем
% = В】(е(「(а)/р — е^-^ р) — (1 + 6 cos %) е«一厶)？ + bcos f・
(15.70)
Из равенства (15.20) следует, что [BJ < 30. При £ = % имеем %4 = —lg" + 5cos 小,следовательно, в силу(15.70)
—《$ (е("£ J/р — е(〃т)р) —(1 — 0) или.
■i— < в^-*^.
Дифференцируя равенство (15.70) и используя последнее неравенство, получаем
^ V^ V1 一方 ~4р1 一方 ~4р
^ V
^ V
1 一方 ~4р
1 一方 ~4р
Таким образом, при некотором /5<厶+^^ х5= 1, х5 > 0. Из (15.70), благодаря |BJ < 30, следует, что %5 V ^ , а отсюда и из (15.11) вытекает, что |х(О| < 60 до тех пор, пока х>1. Из интегрального соотношения (15.67), взятого в пределах от /3 до “，и из неравенства (15.68),
Справедливого при /3</< /4, получаем, так как £《> /5—у—^, Ь cos /5 —|— £*5〉2 — b — 3^£.(15.71)
Используя это в интегральной форме уравнения (15.3), найдем, что %(£)〉1 при ^5 < / < /5-|- 4тс. А тогда, так же как и В начале доказательства, установим утверждение леммы.
Лемма доказана.
Лемма 15.7. Пусть х(/) — решение уравнения (15.3) £ такое, что при t = Xj =—1, 0 <； Xj < 10p^ a
|fi(mod2 式)一к I < Юр2. Тогда существует такое /2, 厶 < % <厶+2f + £4, 4加0 %2= 1，-3 < X < 1 при 厶 < < / < ^2. От %2=1 % быстро возрастает до максимума, близкого к трем. При t〉t? имеем
х — Ае~^-^^ — bcosf + E(p, f) (15.72) до тех пор, пока х〉1 [^это неравенство будет выполняться на промежутке времени, длина которого имеет порядок у In yiTyj • При этом
|4 - (3 一 ^)1 < 7£> 1e(P，f)1+] 衣 E(p, f) I < 不。p » (15.73) 2de, как обычно, ^―величина, ограниченная при малых е. На промежутке ^ < ^ < /2 |х| < 3 и е|х| <4.
Доказательство. Не нарушая общности, можем считать, что 〔А — тс1 < Юр2. Будем предполагать, что (15.68) выполняется при ^ < / < /3 = Зи — р3. Кроме того, будем считать, что х < — 1 при f = £于 Интегрируя уравнение (15.3), получаем тогда
Т-方 cos %
》&X]-1—Ь — e / *dt> 一1-0+一g(1-ft)к£. (15.74)
Как было показано выше, из неравенства (15.68) следует, что %з> — 3. Из (15.74) тогда вытекает, что
х = Ахе ? + 々e-dJp —bcos f, (15.75)
где |4j < 4 и 幺2 > — 1 —。+ ^(1 —力)代е. Следовательно, при £ = 3f формула (15.75) дает х > — 1. Это означает, .
что"существует такое & 電 < 以 < Зтс, что при f =匕 々=—1. | А тогда из (15.75) получаем|
1>&>^=^>0.， I
Отсюда и из равенств (15.20) и (15.21) находим
当>上^碇，|В2!<2.
Дифференцируя два раза равенство
х = b[? ? + 当队'"""+ 力 cos 九
получаем
x = e p +聞2爪"3? - bcost)-工2k
до тех пор. пока f > f《и |x|《1. Так как %《> 0, то при f〉么 имеем
0 > 右+(f 一 厶)>(f 一 厶).
Следовательно, существует ^〈以+戸 такое, что при t — tb :
%5 —— 1 * Х5 > 0.入
Если (15.68) выполняется, то при ——1 ^ х3, интегри- 之 руя (15.3), получаем：
、 (1 -方)冗总go~
и. рассуждая так же, как и выше, найдем, что существует
%<%+£耳 такое, что 々 = 1, х5 > 0.
Предположим теперь, что (15.68) нарушается впервые при ? = ^4, /1 < ^4 < 4- В этом случае точно так же, как и при доказательстве предыдущей леммы, получим, что при
некотором f V 〃 + j 学6 выполняются соотношения х = 1, X > 0. Таким образом, всегда существует такое £<匕 +
+ 2^ + 2, что при этом £ х= 1, х > 0.
Обозначим через t2 первый после ^ момент времени, при
иотором х= 1. Тогда 々VA + Zf+e?. Интегрируя (15.3), Получаем
«%2— 1 + ^ cos /2 = £^i + 1 + ^ cos tx—£ J xdt. (15.76) f】
Так как x >—3 до тех пор, пока выполняется (15.68), и так как % возрастает до единицы, когда (15.68) нару- шаетсяг то ясно, что х > — 3. Таким образом, из (15.76) получаем
|ex2+ftcos/2+ft —2| < 200е.(15.77)
Найдя 4 и Л2 по формулам (15.18) и (15.19), мы и получим (15.72) и (15.73). Из интегральной формы уравнения (15.3) и из равенства (15.72) следует, что при возрастании f от ^2 " быстро возрастает до своего максимума, равного приблизительно трем. Было уже показано, что при 厶 < / V 勾 |х| < 3. Отсюда и из интегральной формы уравнения (15.3) следует, что е|х| < 4.
Лемма доказана.
Две последние леммы позволяют доказать следующее важное утверждение.
Лемма 75.8・ Каждое решение уравнения (15.6), удовлетворяющее при £ = 4 условиям
1Уо1 + р|Уо1<2О,• (15.78)
(Уо — bcos fo)2 + (y04-ftsin d)2> a2,(15.79)
где a — достаточно малая постоянная, подчиняется неравенству ]у«)|《70 при t^t^. Кроме того, су得е- ствует такое 厶，зависящее о/п е % а, что при /》％+厶
|У«)|<32 |у(0| <|.
(15.80)
Если при / = £м имеем максимум, /по при / > ^ > /()+厶 У =(3—Ь)еТ('-'м)—bcosf+a
до тех пор, пока у > 1. После того как у достигнет значения, равного единице, у(/) за промежуток времени, длина которого не превышает 7冗，достигнет при t~tm минимума, близкого к —3. При t > %
у = — (3 — b) 6一？U)— b cos f + ip
до тех пор, пока у не достигнет значения, рае- ного — \ . 3атем за промежуток времени, длина которого не превышает 7тс, у достигнет максимума, близкого к 3 и т. д. .
Доказательство. Выберем сначала достаточно малое е
Выберем затем й довало (15.57).Выберем затем й довало (15.57).так, чтобы выполнялись утверждения предыдущих лемм.
Выберем затем й довало (15.57).
Выберем затем й довало (15.57).
настолькоПоложимнастолькоПоложиммалым, чтобы из (15.79) сле-
настолько
Положим
настолько
Положим
了 с I 2 I 32 I 5
厶=9?： tIn 7 卜方k .
'р Л 1 (1一6) e
Возьмем, далее, А столь малым, чтобы для всяких решений %(£) н у(£) с одинаковыми начальными данными, удовлетворяющими неравенствам (15.57) и (15.64), имело место соот
ношение
!•*：(/) —у(0Ц~|х(0 — У(01 <^ при 0</ —/0 <£.
Тогда из лемм 15.6 и 15.7 следует, что при £з = А + 4冗 (где 匕一точка, существование которой доказано в лемме 15.6) выполняются неравенства
丨 у(%)-3|< 痺，|j闯]<20痺
или неравенства, в которых 3 заменяется на —3. Решение х(2) уравнения (15.3), удовлетворяющее тем же начальным данным, что и у (f) при £ = £, задается формулой (15.11) и, как было показано при доказательстве леммы 15.6, пере
секает прямую х= 1 при £ = 〃 |/4(то42к)| < Юр2, 0》
> % > — Юр2. В силу леммы 15.7 при / = ^ = /4-|-4и имеют место неравенства [у(^)+3| < е2 , |Х^&)| < 20е^
% кроме того,儿一％—у ^n Т^у J < Юн Такнм образом, 八一AV" " на этом промежутке у«) и у«) близки к "(f) н %(£)• При £ = % мы находимся в тех же самых
услоппях, что и при t =%, и. следовательно, таким же образом докажем, что существует £?, при котором у (/) блинок к 3 и т. д.
11ри некотором f, f4 < / < /5, y(f) достигает минимума, близкого к —3; между /6 и /7 достигает максимума и т. д. Тик как при / < /4 — Зк х(/)>1+&, то у(0 > 1, следо- пнтсльно, у (0 пересекает прямую у — 1 при，^(匕一3冗, 厶+・3代)・ Неравенства (15.80) следуют из неравенств, установленных для %(/) и х(/), и из того, что у (/) и у (/) весьма близки к х(^) и x(f).
Лемма доказана.
Замечание. Из результатов § 8 и из предыдущих рассуждений следует, что для любого решения уравнения (15.3) при достаточно больших значениях f выполняется неравенство
1%| + р| 厶丨《20. (15.81)
Поэтому для любого, решения уравнения (15.3) при достаточно больших t справедливы утверждения последней леммы.
Обозначим через С(°)область
|у| + р［矶 <20
плоскости у, и (где, как и раньше, у = и). Тогда в силу леммы 15.8 существует такое? целое число ^, что ткС^сС^} при /е>М
Введем в рассмотрение множество
J=近宀С(。).
А = 0
Из определения J следует, что 丁％丿=/. Так же, как и при доказательстве инвариантности множества / диссипативной системы (см. § 2, п. 3), устанавливается, что множество J инвариантно относительно преобразования Г, т. е・
ТЛ
Из сделанного замечания следует, что если речь идет об уравнении (15.3), то множество J совпадает с множеством / этого уравнения как D-системы.
Покажем, что множество Я (см. соотношение (15.56)) принадлежит 丄 Действительно, С0сгС(0); следовательно, 产册产с(。)(при любом натуральном А). Из определе
ния Н следует равенство Н = £ TkNC0. Отсюда и вытекает 走=i
соотношение "и，
Рассмотрим множество K — J — Н. Из определения Н следует, что TH = Н, а тогда ТК = ^. Докажем, что множество К имеет нулевую площадь. Нетрудно видеть, что кольцевая область Л, ограниченная окружностью Г (граница круга Со) и кривой ]у| + р|研=20 (граница области С(о)), содержит в себе множество К・ Покажем, что площадь области Т*А стремится к нулю при Л->оо. Так как множество К инвариантно, то отсюда и будет следовать, что площадь К равна нулю. Пусть у = у〃 Уз %) — решение уравнения (15.6) с начальными данными f = 0, у = у0, у =曾0・ Введем в рассмотрение якобиан
dy ду
_ О(у, у) 初，丽
—D (yOf v0) —*
Из дифференциального уравнения (15.6) находим
или
-}J P'(y)dfWit^W^e 0・
По лемме 15.8 для каждого решения, лежащего при / = 0 в области Л, на достаточно длинном промежутке времени 。总fg/i |У(£)| > 1」на множестве точек / с общей мерой, превышающей § длины промежутка (0,々).Выберем 尸(у) с таким расчетом, чтобы ： Р(у)〉0,9 при |у| > 1J
и /”(у)>—1,1 при |у| < 1,1. Тогда, очевидно, окажется, НТО W(?)f 0 при /-> оо равномерно для всех решений, нйчшшющихся в области А при f = 0・ Отсюда и следует, MTU площадь области Г^Л стремится к нулю при 木一> оо.
Из приведенных рассуждений следует также, что инва- рнвнтиос множество Q, состоящее из решений, проходящих при £ = 0 через множество К, асимптотически устойчиво и смысле Ляпунова, и все решения, начинающиеся при f = 0 а области Л, стремятся к Q при £-> оо・ Заметим, кроме того, что у уравнения (15.3) вообще все решения, за исключением гармоники, x = b cos t стремятся к Q при ff+ »
б. Покажем теперь, что если b удовлетворяет соотношениям (15.39), (15.40), то уравнение (15.6) имеет две системы асимптотически устойчивых субгармоник порядка 2м — 1 и 2л+1・
Положим
a 旺警三(15.82)
Рассмотрим решения уравнения (15,3) с начальными данными f。, л:。, х0. удовлетворяющими условиям х0=—1,
也一"+%|《р"，Ix0 —P + ^Pcos^0—^sin/0К ^ P. (15.83)
Обозначим область (15.83) плоскости x = —1 через Do. Используя формулы (15.11) и (15.12), установим, что при f》тт и до тех пор, пока %》1,
% = 4е-"-叫，+ 儿©-"“)° —。cos f, (15.84) где
MJ < 1,42 = 3 一力 + *加；+ 1浮.(15.85)
Положим f = 2〃朮一s, тогда из (15.84), (15.85) и (15.40) найдем
х== 1-I-. г> 4-(1 4-ft)p(s —8)4--j|^02 —ft COSS Н-^е7.
После элементарных подсчетов находим, что х= 1 при
is—。11 < ［壮"pq Р行 < 昌Р専.
17 В. А Плисс
Обозначим момент первого пересечения решения % с прямой “ х = 1 через 九 х(^) = хР тогда из последнего неравенства и из равенства (15.17) получаем
191
|£[—2/1代 +。[|<配卩 > IX] + р + р方 cos/[^—b sin ^j| <^ -^e，・
(15.86)
Обозначим область (15.86) плоскости x= 1 через Dv Образуем область 4 следующим образом: пусть точка А % лежит в Dp тогда точка t — (2м—1)代，一х Лежит в Dv и обратно. Нетрудно видеть, что D?u Dq. Как было только что показано, любое решение, начинающееся в области DQt пересекает область % Это приводит нас к непрерывному преобразованию области % в Q「Поставим теперь в соот-8 ветствие точки области 4 точкам области D{ указанным выше' способом. В итоге получим преобразование области DQ в область 4・ Так как D2 cr DQ, то по теореме Брауэра существует неподвижная точка. Это означает, что существует решение x = g(f), такое, что g (Zo) = —1,且仇，(2/1—1 )n)= 1 и g(fo)= — i(/0+(2a—1)тс). Отсюда и из вида уравнения (15.3) следует, что
g(/ +(2—1)©=—g(母(15.87)
Следовательно, решение x = g(t) уравнения (15.3) имеет период 2(2м—1)冗. Таким образом, система (15.4) имеет 2(2м—1)тс-периодическое решение.
Исследуем его устойчивость. Составим уравнение в вариациях, соответствующее этому решению:
е 将=&2— 屮(g«))&，穿=一呜・ (15.88
Так как 勺(％)—четная функция, то из (15.87) вытекает, чт< ср(g(/)) имеет период (2м—1)п. Оценим корни характери стйческого уравнения системы (15.88), соответствующегс периоду (2/1—1)п. Будет показано, что оба эти корн> меньше единицы по модулю и, следовательно, периодическое решение системы (15.4) асимптотически устойчиво. Из теориг возмущений периодических систем тогда будет следовать, чтс
И система (15.5) при соответствующем выборе функции Р(у) будгг иметь асимптотически устойчивое решение с периодом 9 (2〃 — 1)
Пусть 4 удовлетворяет первому из неравенств (15.83) и Тйкоио. что g(a)= —1. Пусть, далее,厶一первый после fi 4 момент, при котором оказывается g(t{)= 1. Из фор
мулы (15.12) следует, что тогда f】一Zo < е2. Положим /авж/0-|-(2п—1)тс, тогда g(f)>l при 厶 V У %・ Обо- иничим через Ец(£)， ^21 (С решение системы (15.88) с начальными данными £ = S ^ = 1, Е2 = 0，а через' $12(О» ^ (О — решение этой системы с начальными данными ^ = /0,兄=0, %qL Рассмотрим определитель Вронского
5()厶心
По формуле Лиувилля получаем
…-；/*?(*"))df 2(2п-1)к 〔о
g »(f2)二 e厶《旷".<e♦.
Таким образом, корни характеристического уравнения удо- 10
влетворяют неравенству \^2\ =^(^2)< е * •
Сумма корней характеристического уравнения равна ?ц (/2)4-^22 (^2)- Из формулы (15.12) следует, что
乂厶一幻"〜при малых е(15.89)
И
6一№一幻〜^^^ при малых е.(15.90)
Так как ^(g (/)) =—1 при ^0 < ^ < ^ и 屮(g(f))=l при f] V f V 片2‘ т° мы можем решить систему (15.88) точно. Воспользовавшись оценками (15.89) и (15.90), мы установим» что при достаточно малых е 匕⑷+^⑷ сколь угодно близко к ；±： . Отсюда следует, что один из корней характеристического уравнения 入】весьма мал, а другой близок к ；'+% V 1. Это и значит, что оба корня характеристического уравнения по. модулю меньше единицы.
Существование и асимптотическая устойчивость второй системы субгармоник устанавливаются точно так же, только величину % следует заменить величиной
• з (1+&)(з-ь)е+2п)
Отметим еще один интересный факт. Как внутри области //, так и за пределами области J существуют точки, через которые проходят решения, стремящиеся к устойчивым периодическим решениям системы (15.5). Мы докажем это для системы (15.4), Если выбрать А достаточно малым, то ясно, что это будет справедливо также и для системы (15.5).
Рассмотрим решение уравнения (15.3)
% = (4+力一ср)е~" — bcosf, |с| < 10.
Это решение при f = 0 лежит за пределами 丿，так как х(0) > 3,5. Выбором надлежащего с, |с| < 10, нетрудно добиться того, чтобы решение %(f) пересекало прямую з
х— 1 при |« — %)(mod2n)| Vp5, что и дает требуемый результат для решения с периодом 2 (2л — 1)死. Точно так же выбором с можно построить решение, стремящееся к 2 (2n -|- 1) и-периодическому.
Если щ — достаточно большое натуральное число, то решение
х==(1 — Ь — ср)е? р -|- срер ^~~2т^-|- ъ cos t, \с\ < 10, лежит внутри области Н при ^ = 0. Нетрудно видеть, что \х\ оказывается равным единице впервые при t = 2/птс, когда выполняется равенство х=1. При £>(2加+1)賓 имеем х = (2 ——ср) е~‘ "一2酬的—ь cos t + ?p2.
Надлежащим выбором с, |с| <10, можно добиться того, чтобы %(/) пересекало прямую х = 1 на интервале £, соответствующем любой из устойчивых субгармоник.
. Из самого определения множества К следует, что начальные точки обоих семейств субгармоник (как с периодом 2(2п — 1)тс, так и с периодом 2(2/г+1)п) лежат на К. Отсюда следует, что К хотя и имеет нулевую площадь, но не может быть замкнутой жордановой кривой. Покажем зто,
Предположим, что К представляет собой замкнутую жор- Лйнону кривую, a S — топологическое преобразование этой Ириной на окружность С. Пусть р — начальная точка одной и 旨 субгармоник первого семейства, a q — начальная *h}“K® одной из субгармоник второго семейства. Тогда имеем 7% >р = р и Dp* р при / = 1, 22п—2; T2Zq = q
и 7"g /g при /= 1, 2, ..2п.
Рассмотрим преобразование Р = STS~' окружности С НА себя. Преобразование это гомеоморфное и сохраняющее ориентацию. Пусть a = Spt b = Sg, тогда ясно, что 尸"1。=。и Р1а* а при /= 1, 2, •…2п—2 и Р2fl+'Ь =匕 и 夕力 * b при /=1, 22п. Но это невозможно, как
Следует из результатов, приведенных в конце § 10.
Полученное противоречие и показывает, что множество К не может представлять собой замкнутую жорданову кривую.
§ 16. О существовании гармонических колебанийу одной системы двух дифференциальных уравнений
В § 12 было показано, что если все решения системы двух уравнений продолжимы на периоде, то для существования гармонического колебания достаточно существования ограниченного решения. Однако далеко не всегда все решения системы оказываются продолжимыми на периоде. Примерами систем, у которых решение может уходить в бесконечность до истечения периода, могут служить системы, у которых на бесконечности „превалируют1* полиномиальные члены. В этом параграфе мы будем изучать именно такие системы.'
Рассмотрим систему [75]
^t=P^ у) + Х(х, у, О-
(〔б」)'
=у)+У(х, у, /).
戶 н Q суть однородные формы n-го измерения, а X, У не-, прерывны, удовлетворяют условию Липшица по переменным *, у в окрестности каждой точки (х, у) и имеют период ш по переменной £. Кроме того, будем считать, что на бесконечности эти функции „малы1* по сравнению с Р н Q.
Точнее говоря, предположим, что равномерно относительно £ выполняются соотношения
(炉+ у2)词2 炉+屮今8今 и, (*2 + у2)源 *2 + у2-8- и.丿
Наряду с системой (16.1) будем рассматривать также и „укороченнуюw систему
祭=p(*, y),嗡=(2(*, y).(16.3)
Изучим поведение решений систем (16.1) и (16.3) в окрестности бесконечности. Перейдем к полярным координатам по формулам
x = rcos^t у = г sin(p,(16.4)
введем обозначения
Q(cosср, sincp)coscp — Р(cosср, sincp)sincp==F(cp), У (г cosy, г sin 屮，f)cos 屮一X (r cos 中，r sin? £)sin(p = f(rt 屮，f),
P(coscp, sin cp) cos c? + Q(cos cp, sincp)sincp — G(cp), X (r cosep, r sincp, £)coscp-|- Y(r cos 中，r sin? £)sincp = g(r,屮,£), тогда системы (16.1) и (16.3) примут следующий вид:
(16.5)(16.5)务= r"G(cp) + g(r, ср, /),
(16.5)
(16.5)
*= r"G(叫，鲁=尸尸(砂 (16.6)
Всюду в дальнейшем мы будем предполагать, что уравнение
尸 «) = 0(16.7)
может иметь лишь простые корни и что эти корни не совпадают с корнями уравнения G(cp) = O.
Рассмотрим случай, когда уравнение (16.7) имеет вещественные корни. Пусть 屮=屮0 есть корень уравнения (16.7). Тогда ясно, что луч 屮=中° представляет собой траекторию системы\16.6), Будем называть направление 丫 = % исключи-
Ttf/thiU4M шшранлением для систем (16.5) и (16.6) (соответ- #Thriiiio ллч систем (16.1) и (16.3)). Из наших предположений ел^дугт. что 0(屮0)耍0 И Fr (ф0) ф 0. Если G (%)尸(屮°) > 0, ТО |1йи|итлеиие ср = ф0 назовем седловым, а если G(屮0)尸彳屮о)<。， TU пииринлсние 屮=物 будем называть узловым ). При этом •САМ О (<р0) < 0, то направление будем называть отрицатель- НМ* й ^сли О (ср0) > 0, то положительным.
Рйссмотрим какое-нибудь исключительное направле- ниа 屮 1 ср(). Выберем 8 > 0 столь малым, чтобы при |ср—ср0|《8 ныполнились неравенства
)0(T)-0(?0)|<1!0(%)1, (16.8)
I ^ (?) — ^(?()) (? — ?о) I < у I ^' (?0)I I I • (16-9)
Ив Периого ypnuiiriiiBi системы (16.5) и из соотношений (16.2) СЛ#ду@т> что гели “ > 0 достаточно велико, то в области (IV ~ % I й» ^' г •* W % сохраняет знак и, в частности, часть окружшн'ги |г вс", I屮一屮口|$；8) представляет собой Кримую 6史t контшета для векторов поли системы (16.5) при любом t* Ил второго уравнения системы (16.5) следует, что При достаточно большом R лучи {(р = ср0 ± 8, г》А} также не имеют контакта с полем системы (16.5).
Введем следующие обозначения. Обозначим область {丨屮―屮ol《3, r>R} через N+， если направление(р =(р0 положительное и узловое; эту область будем обозначать через N_, если направление c? = ?(j отрицательное и узловое. Через S4 и S_ будем обозначать область {| 屮一％ |《3, г》R}; гели направление 中= у()седловое и положительное или отри* цптельное соответственно. ,
Назовем часть окружности {r = R, |中一中°|《3} нижней стенкой, а лучи {(р =(р0 ± 8, г>/?} боковыми стенками Соответствующей области.
Нетрудно убедиться, что при возрастании времени все рстения, начинающиеся на границах области N+， входят и »гу область, а решения, начинающиеся на границах области N_, выходят из нее. При возрастании времени решении нходят в область S+ через нижнюю стенку и выходят
через боковые, а в область S_, наоборот, входят через боковые и выходят через нижнюю.
Докажем теперь следующее утверждение.
Теорема 16.1. Предположим, что выполнены следующие условиям
Выполняются соотношения (16.2).
Уравнение (16.7) имеет по крайней мере один вещественный корень, все его вещественные корни просты, и ни один из нах не совпадает с корнем уравнения G (中) = 0「
Если cpz：：：^ и 屮=屮2 — 08a соседних исключительных направления (при cpj < <р < <р2 尸(屮)娱 0), то одно из них обязательно узловое, т. с. два соседних исключительных направления не могут быть седловыми,
Индекс особой точки % = у = 0 системы (16.3) отличен от нуля. Тогда система (16.1) имеет по крайней мере одно ^-периодическое решение.
Доказательство. Функция 尸(屮)представляет собой тригонометрический полином, поэтому ясно, что уравнение (16.7) либо имеет конечное число корней, либо обращается в тождество. Второй случай невозможен в силу предположения о простоте корней уравнения (16.7).
Заключим каждое из исключительных направлений в области вида {| 屮一屮о|《8, г》/?}, описанные выше. При этом можно считать, что величины 3 н R одни и те же для всех таких областей.
Нашей ближайшей задачей будет построение такой замкнутой кривой Г, что если точка (х0, у。) лежит на Г, то решение %(£, л;。，％, "), у(/, х0, %, /о) системы (16.1) ни при каких f > /о не оказывается в этой точке.
Легко видеть» что этим свойством обладают точки границ областей ^+ и N_, поэтому в состав Г могут быть включены любые отрезки этих границ.
Рассмотрим узловое исключительное направление 屮=屮「 Для определенности будем считать, что это направление положительное. Пусть ^+—соответствующая ему область. .Пусть ср = ф2—исключительное направление, соседнее с 屮=屮厂 Мы будем считать для определенности, что 屮2 > F1 и при 91V 屮 V 中2 尸(屮)千 °* Предположим, что ср =(р2—также узловое исключительное направление. Тогда оно необходимо отрицательное. Действительно» по определению положительного узлового направления имеем О (屮卩 > 0,尸，(屮卩 < 0.
Т&к как (р = «р2 — корень уравнения (16.7), соседний С (pn(pi， то ясно, что F? (ср2) > 0. Направление 屮=§2 уйлоное, т. е.尸(屮？) О (敗)< 0; слслопателыю, О (ср2) < 0, и направленна 屮==屮？ отрицательное; ^^ — соответствующая ©му область.
Построим теперь крииую без контакта » соединяющую смежные биконы© стенки областей N+ и N., т. е. лучи 中*% 十3 и 屮1牝—К Разделим первое уравнение системы (16,6) ни второе, тогда получим
с®)+ ^А
% = Г(16.10)
При ,i + 3《屮《ср? — 8 尸(ср)力 0, поэтому существует такое а > 0. что при r>R
М<ап "11)
если только R достаточно пелико. Из неравенства (16.11) следует, что п области {屮1 + 3《屮《屮2 — 8, r》R} решения ураписния
器=川(16-12)
представляют собой кривые без контакта. Поэтому и кривая г = г^а(Ф-Ф1-5),(16.13)
где「o》R，не имеет контакта с полем системы (16.5). Кривая (16,13) при 屮 1 + 3《屮《屮2——8 и будет искомой кривой「 Рассмотрим неограниченную область К, границами которой служат кривая т и лучи 屮=屮］十3,屮=屮2-& Нетрудно йилст!., что решения системы (16.5) при возрастании времени йходит п область К через кривую 7. Пусть (勺，у。)一точка ни т н *(£} у(£) — решение с начальными данными х (^0) = х0, у(А))= Уо・ При возрастании времени это решение входит й область К, покинуть эту область оно может лишь через стщку 屮=中］十3, но тогда наше решение попадает h облпсть ^+. Ни одно решение не может при возрастании йромсии покинуть область N+・ Таким образом, решение х(/), у(£), начавшись в точке 沁，у。)，не может в эту точку иозвратиться. Следовательно, кривая 7 может быть включена в искомый контур F.
Пусть теперь 屮？一седловое исключительное направление. По условию соседние с ним исключительные направления должны быть узловыми. Пусть 中］и 中3 ——такие направления (фх < ^2 < ?з)- Для определенности будем считать, что исключительное направление (р2 положительное. Так как 屮 1 и ф3 — узловые направления, то 尸'(屮］)()(%) < 0 и 尸'(？з)° (隐〉V。； направление 屮？ положительное седловое, поэтому 卢，(屮2)>0, 0(屮2)>。・ Так как все корни уравнения (16.7) простые, то ясно, что 尸'(中］)<0, Fz (ср3) < 0. Следовательно, 6(^) > 0, О (ср3) > 0, и направления 屮】и(р3 положительные. Заключим направления 屮「屮?，?з в области N(? {г > R, % — 6《§ 01 + 6}, S+ {r^Rt 物一8^?< 《砲+ 3}, N^ {r》R Ф3 _ 3《屮《屮3+"
Нетрудно видеть, что в области {^ + 8 <；屮《中?—&，「>R} выполняется неравенство (16.11), и потому кривая「определяемая равенством (16.13), не имеет контакта с полем направлений системы (16.5). Точно так же, как и в предыдущем случае, показывается, что любое решение, начавшись в некоторой точке кривой т， не может возвратиться в эту точку при возрастании времени.
Построим кривую без контакта р, соединяющую смежные боковые стенки областей S+ и N^?, т. в. лучи 屮=屮2十6 и <р = ср3 ——8. Из равенства (16.10) точно так же, как и раньше, следует, что в области {r〉R,屮2 + ^《У <§3一3} выполняется неравенство
器 > —(16.14) где по-прежнему а — некоторое положительное число. Но тогда ясно, что кривая
г nroe-aWf+6) (16.15) не имеет контакта с полем направлений системы (16.5). Эта кривая при 屮2十&《屮《屮з — 8 и является искомой кривой т「 Нетрудно установить, что любое решение, начавшееся на Т］, не может попасть на эту кривую при возрастании времени.
Проведем теперь окружность С с центром в начале координат столь большого радиуса, чтобы кривые 丁 н т〔 содержались внутри этой окружности. Обозначим через ^2 ДУГУ этой окружности, соответствующую углам 敗一3《у《
М 屮,+ К т. е. дугу, соединяющую боковые стенки области S+. 4單 1K'剧 Тз н 74 обозначим отрезки боковых стенок области S+, ййключенные между окружностью С и кривыми 丁 н 丁】соот- нгтстненно. Обозначим через 入 кривую, составленную из криполинейвых отрезков 丁，丁3， 丁？，丁4， 丁厂 Кривая 入 соединяет Смежные боковые стенки областей N$) и N?), т. е. лучи ▼ ■屮］+ 3 и 屮=屮3 —3. Пусть К — неограниченная область, границами которой служат кривая 入 и бесконечные части лучей 屮=屮］+ 3 и ф = ср3 — 8. Из самого построения кривой 入 следует, что через эту кривую решения входят й область К. Пусть (д, %) — точка на X и х(^), y(f)— решение с начальными данными х(^0)==х0, у (^0) = у0. При возрастании времени это решение входит в область К、 покинуть эту область оно может лишь через одну из стенок 屮=屮1 + 3 или ср = ср3 — 8, но тогда наше решение попа* дпгт в одну из областей N? или N；)・ Ни одно решение. Имеющее точки в области ^+> не может покинуть эту область с возрастанием времени. Следовательно, решение х(£), y(f) при нозрастании времени не может попасть в точку (х0, %), и кривая 入 может быть включена в искомый контур Г.
Возьмем какое-нибудь узловое исключительное направление <р = ср0, для определенности будем считать его положительным. Пусть ^+—соответствующая ему область. Пусть ▼1 — соседнее с (р0 узловое исключительное направление (может, конечно, случиться, что между у。и 屮1 лежит одно седловое исключительное направление). Обозначим через ^, область, соответствующую направлению 屮1 (это, очевидно, может быть область типа №十 или ^_). Области ^+ и- можно соединить между собой кривыми типа 丁 или типа 入 (о зпиисимрсти от того, заключается ли между направле- ннммн 屮1 и 屮2 седловое). Соединим таким образом между собой все области типа N+ и N_. Рассмотрим контур Г, состоящий из соединяющих кривых и из соответствующих частей границ областей ^+ и N_. Полученный контур будет обладать тем свойством, что любое решение, начинающееся в некоторой его точке, не может возвратиться в эту точку при возрастании времени.
Из условия б) теоремы следует, что система (16.3) имеет лишь одно состояние равновесия — точку х = у = 0. Поэтому индекс кривой Г в векторном поле ［Р (х, у), Q(x, у)}
отличен от нуля. Если контур Г выбрать так, чтобы он лежал за пределами окружности с центром в начале координат достаточно большого радиуса, то ясно, что векторы полей (Р(х, у), Q(x, у)} и {Р(х, у)+Х(х, у, 0), Q(x, у) + + 卜(％, у, 0)} нигде на контуре Г не обращаются в нулевые или противоположно направленные. Мы будем считать, что контур Г выбран именно таким образом (для этого достаточно взять число R достаточно большим), и, следовательно, индексы Г в полях {Р(х, у), Q(x, у)} и {Р(х, у) + Х (х, у, 0), Q(x, у) + У(х, у, 0)} совпадают и отличны от нуля.
Рассмотрим теперь систему дифференциальных уравнений
醬= [Р(Х，У)+ Х(х, у, /)]"(*, у), dy(16.16)
у)4-Г(х, у, /)]"(*, у),
где функция "(х, у) выбирается следующим образом. Пусть D — круг с центром в начале координат, содержащий в себе контур Г; функция "(х, у) непрерывно дифференцируема И положительна при всех х, у; Н (х, у) = 1, если точка (х, у)
лежит В D, И (%2 + у2)2 "(х, y)f 0 При R + y2 f 8. Ясно, что контур Г по отношению к системе (16.16) обладает теми же свойствами, что и по отношению к системе (16.1). Но все решения системы (16.16) продолжимы на все моменты времени от —оо до +8. Поэтому система (16.16), в силу теоремы 6.1, имеет гармоническое колебание. Это ш-периодическое решение лежит, очевидно, внутри контура Г. Но внутри Г системы (16.1) и (16.16) совпадают. Это и доказывает, что система (16.1) имеет гармоническое колебание.
Теорема доказана.
^. Последнее условие теоремы предыдущего пункта состоит в том, чтобы индекс особой точки системы (16.3) был отличен от нуля. Этот индекс может быть вычислен по интегральной формуле Пуанкаре (см., например, [1, 76]), Однако в рассматриваемом случае можно указать более простой способ определения этого индекса.
Пусть 屮=屮()есть исключительное направление. Это означает, что 尸((ро)= О. Но 尸(屮)представляет собой форму д-й степени относительно sin屮 и cos. поэтому ясно, что
尸(靴+代)=0, и» следовательно,屮口+冗 есть также исклю- НИТёЛыюс направление. Произведение Fz(cp)G(cp) есть форма степени 2п от sin 屮 и cos ф, поэтому при замене sin ср на — sin ср и син 屮 па ——cos ср это произведение не меняется. Следовательно, если ср = ср0 — седловое исключительное направление, ТО И 屮=屮0-|-7： есть седловое исключительное направле- НИ©, & если ср = ср0—узловое исключительное направление, ТО таким же будет и 屮=屮0十死.
Таким образом, и узловые, и седловые исключительные Ийиривлепия появляются парами. Пусть число седловых на- нрннлспий 2比 а число узловых 2/. Из условия в) теоремы следует, что 2/》2瓦
Проведем окружность с центром в начале координат и постараемся определить поворот вектора поля при обходе #той окружности в положительном направлении.
Пусть ср = ?1 и ф = ср2 — Два соседних исключительных нпправления (* < 屮?)“ Нетрудно установить, что если оба эти направления узловые, то при переходе от ср】к ср2 вектор ноля поворачивается на угол ср2 ——屮】一冗，а если одно из них узловое, а другое седловое, то на угол ср2 —屮厂
Тнким образом, суммарный поворот вектора поля при обходе всей окружности будет равен сумме углов между исключительными направлениями (т. е. 2к) плюс —冗,умноженное на число углов, ограниченных с обеих сторон узло- пыми направлениями. Ясно, что таких углов будет ровно столько, сколько имеется „лишних** узловых направлений, именно 2/ — 2Хе. Следовательно, искомый индекс равен
/ож .^ (2it —(2/ —2Л)1С)= 1Н-А —/. (16.17)
Поэтому условие г) теоремы может быть сформулиро- пано следующим образом. Число узловых направлений не должно превышать число седловых направлений ровно на 2.
4. Теорема 16.1 касалась того случая» когда уравнение (16.7) имеет вещественные корни. Рассмотрим теперь случай, когда функция 尸(屮)не обращается в нуль при всщсстяснпых <р. Докажем следующее утверждение.
Теорема /6・2・ Если F (ср) не обращаемся в нуль и величина 2n
s=4/葡为 (16」8)
отлична от нуля、то система (16.2) имеет ^периода- ческое решение.
Доказательство. Будем считать для определенности, что F (ср) > 0, а 5 < 0. Положим
需=九⑺+ "需=九⑺+ "(16.19)(16.19)
需=九⑺+ "
需=九⑺+ "
(16.19)
(16.19)
Разделим первое уравнение системы (16.6) на тогда получимРазделим первое уравнение системы (16.6) на тогда получимвторое.второе.(16.20)(16.20)(16.21)(16.21)а (г, ср, /)=а (г, ср, /)=尸今一G%尸今一G%尸卜+4)‘尸卜+4)‘
Разделим первое уравнение системы (16.6) на тогда получим
Разделим первое уравнение системы (16.6) на тогда получим
второе.
второе.
(16.20)
(16.20)
(16.21)
(16.21)
а (г, ср, /)=
а (г, ср, /)=
尸今一G%
尸今一G%
尸卜+4)‘
尸卜+4)‘
тогда ясно, что J* Л (ср) dcp есть периодическая функция, о
^- = r(h(^)-{-s).
Перепишем уравнение (16.10) в следующем виде: 咅=，(九⑺+ s + a(r, <p, /)),
где
Из соотношений (16.2) следует, что существует такое R, что при г>/? |а&, ср, £)[<^|s]・
Проинтегрируем уравнение (16.20)
I公(平)加 г = rQes^^ ・
Отбросим здесь член, убывающий по экспоненциальному закону, получим периодическую функцию
j л (f) dy
г =「о。®・(16.22)
Выберем теперь г0 столь большим, чтобы при всех ср на кривой (16.22) оказалось r>R. Замкнутая кривая (16.22) представляет собой кривую без контакта для системы (16.2).
Дейстпителыю. вдоль кривой (16.22) имеем
*=m(中).
В силу равенства (16.21) и соотношения |a|<^|s| имеем
HI интегральных кривых системы (16.1)
~ = r(.h^ + s + ^<rh(^.. (16.23)
曷то и доказывает, что кривая (16.22) бесконтактная.
По предположению 尸(у) положительна, поэтому из второго уравнения системы (16.5) и из неравенства (16.23) следует, что векторы поля направлены внутрь кривой (16.22). Слслонательно, при движении по интегральным кривым системы (16.2) от £ = 0 до £ = «) плоская область, ограниченная кривой (16.22), переходит в себя. Отсюда и из теоремы Врауэрп и следует утверждение теоремы.
Субгармонические колебания уравнениябез диссипации
Рассмотрим движение материальной точки по прямой под действием восстанавливающей и вынуждающей сил при отсутствии сопротивления. Такое движение описывается, как хорошо нзпестно, уравнением
當+ g(x) = p⑴.(17.1)
Будем предполагать, что g(x) удовлетворяет условию Лип- ШИЩ1, n 〃(f) непрерывна и а)-периодична: p(f+s) = p(£)・
В этом пара графе будут установлены достаточные условия сущсстнования субгармоник у уравнения (17.1) (см. работы [77, 78]).
Выясним некоторые свойства решений уравнения (17.1), удовлетворяющих определенным краевым условиям.
Теорема /7.7. Если функция р(£) четная, т. е. 户«)「；р(—£), то решение уравнения (17.1), удовлетворяющее условию
X (0) = X (4 <°) = 0,. (17.2)
亨0g А — натуральное ч,исло, имеет период 々о)・
Доказательство. Пусть х == ср (/) есть решение уравнения (17.1). Покажем, что функция 小(£)=屮(一/) также является решением (17.1). Действительно,勺(£)=屮(一£)；屮(£) есть решение уравнения (17.1), поэтому
6(— /) = — g (屮(一/))+Р (— £)
или в силу четности р(£)
屮(一/) = — g (у (—£))+Р &)‘ ' отсюда получаем
W«) = -g(屮《)) +「(£)•
Это и доказывает, что функция 屮(£) = 〃一方)представляет собой решение уравнения (17.1). Отсюда вытекает, что любое решение уравнения (17.1) с начальным условием %(0) = 0 есть четная функция. Действительно, пусть % =屮(£) такое решение. Рассмотрим решение х = ф (/) = ср (——£)・ При / = 0 оказывается ф (0) = ср (0) и ф (0) = — ср (0) = 0, т. е. решение х = cp(f) совпадает с решением * =屮 “)，а это и доказывает, что 中(f) = cp(—/), т, е. ср(/) есть четная функция.
Рассмотрим теперь решение х(£) уравнения (17.1), удовлетворяющее условию (17.2). Оно является четной функцией, и потому х (— ①)=% 債(о) , х (—寺①)=—% 住 to) = 0. Это и доказывает, что решение х«) имеет период h®.
Теорема доказана.
Теорема /7.2. Если функции р(£) и g(x) нечетные, т. е. р(—/) = — p(f) u g(—x) = — g(x), mo реисение уравнения (17.1), удовлетворяющее условию
х (0) = х 債 о)) = 0,х (0) = х 債 о)) = 0,(17.3)(17.3)
х (0) = х 債 о)) = 0,
х (0) = х 債 о)) = 0,
(17.3)
(17.3)
где k — натуральное число, имеет период h®.
Доказательство. Пусть % = у(£) есть решение уравнения (17.1)., Покажем, что тогда и функция 屮(£) =—屮(一£) также является решением этого уравнения. Имеем 0(f)= =—屮(—£)•屮(f) представляет собой решение уравнения (17.1), поэтому
—Q(—f)=g(y (—/))—pD
Н4% В силу нечетности функций gup,
一中(一f) = -g(一屮(一£)) +р")， отсюда получаем
@(f) = -g(屮《)) +「《)・
Это и доказывает» что функция 屮(/) =—屮(一f) является решением уравнения (17.1).
Отсюда следует, что любое решение уравнения (17.1) С печальными данными х(0) = 0 есть нечетная функция. Дей- СТнитслыю, пусть х = ср(£) — такое решение. Рассмотрим решение х = j (£)=——ср (— /). При £ = 0 оказывается 屮(0)= ■ — <р (0) = 0 и ф (0) = ср (0), Таким образом, решение % = ср (£) сопнпласт с решением х =屮(/), а это и доказывает, что ф(/) =——<р(—£), т. е. ср(/) — нечетная функция.
Пусть х(0-—решение уравнения (17.1), удовлетворяющее услопию (17.3). Оно является нечетной функцией, и потому * ( ； з) в % (2 wj s= 0, х (— ^ ①)=% 修 а»)・ Это и до-
Кйзынпет, что решение x(t) имеет период /го).
Теорема доказана.
Запишем теперь уравнение (17,1) в виде системы
券=屮 ^ = — g(*) +「(£).(17.4)
Докажем следующую теорему.
Теорема 7九3・ Если существует такое а > 0, что xg (х) > 0 при |х|〉а “
/g(*)dxf оо при |x]f 8,(17.5)
о
то по любым /? > 0 и ^ > 0 можно указать R°>R, такое, что если x；+yW》R^ то на решении х(£)，у(£) Системы (17.4) с начальными данными % (£()) = %(), У«о) = Уо выполняется неравенство
炉(方) + 屮(方)> 炉(17.6)
，з А)О《％ + А・
18 в. А, Плисс.
Доказательство. Рассмотрим функцию v=^y2+ f g(x) dx.(17.7)
6
Из условий теоремы следует, что существует такое R, что при %2 + у2》/?2 ]у| < 了2皆・ Возьмем теперь произвольные положительные величины tx и R. Не нарушая общности, можем считать, что /?>/?.
Положим
vm = max о
(17.8)
炉十山《r2
и
P = max|p(£)|.
(17.9)
Выберем Rq так,
чтобы при炉+峭》片
выполнялось не-
равенство
(17.10)
Покажем, что это RQ и является искомым, Продифференцируем функцию (17.7) по времени в силу
дифференциальных уравнений системы (17.4):
if = yp(t).
(17.11)
Из (17.9) следует тогда, что
(17.12)
а при условии *2 十 у2》戸 имеем
方 > -]/^ p,
(17.13)
или
藹〉—Р/2df.
Интегрируя это неравенство вдоль решения системы (17.4) с начальными данными £ = £(), х = х0, У = %, 岩+並>&, получаем
Y^>V^-^P{f — t^ (17.14)
IfopatCMCTBO (17.14) справедливо до тех пор, пока на выбранном решении выполняется неравенство х2 + у2 ^- /?2« При "НИХ t и при ^о^^<^о+^1 из (17.14) получаем
了百>^京—?Р片
И# ・тз*о неравенства и из неравенства (17.10) следует тогда, что при указанных значениях времени
”>何.(17.15)
Отсюда и вытекает, что при %《f《/()十 厶 выполняется нераненство (17.6).
Теорема доказана.
Для выяснения дальнейших свойств решений уравнения (17.1) удобно в системе (17.4) перейти к полярным коор- диннтам по формулам
(17.16)(17.16)х =rcos^t у = rsincp.
(17.16)
(17.16)
Имасм
(17.17)(17.17)2У =f COSfSincp ——g(r COS cp) Sin ? + p(0sin?>
(17.17)
(17.17)
窮 H — .g " ：8 ')COS cp — sin2 Cf> + Pg) COS 2
Теорема 17А. Если,
Ilmsb oo ,
mo no любым A > 0 и Ф > 0 можно указать такое 凡>0, 4то ^力公 решения x(f), y(f) системы (17.4) с начальными данными / = fo> х = *о，у = уо, x^ + y^〉/?i выполняется:
а) полярный угол ср монотонно убывает при 仇《 <fNfo+A，
6)屮(f() + A)—屮 &) < —ф<
Доказательство. Возьмем произвольное а > 0. Из соотношения (17.18) и из второго уравнения системы (17.17) следует, что существует такое R〉6, что при r》R выполняется неравенство
嘗 < ——(a2cos2cp + ^sin2 屮)・(17.19)
Выберем Rq таким образом, чтобы при /。《/《仇+厶 на нашем решении выполнялось неравенство r^ R (такое RQ найдется в силу предыдущей теоремы). При этом условии на промежутке f°《£《4 十 А будет выполнено неравенство (17.19), что и доказывает утверждение а) теоремы.
Для того чтобы доказать второе утверждение теоремы, проинтегрируем неравенство (17.19)
a2 cos2 屮 + ^" sin2 срa2 cos2 屮 + ^" sin2 ср< -或;< -或;
a2 cos2 屮 + ^" sin2 ср
a2 cos2 屮 + ^" sin2 ср
< -或;
< -或;
отсюда
a2 COS2 У + ^" sin2 <?a2 COS2 У + ^" sin2 <?d^d^
a2 COS2 У + ^" sin2 <?
a2 COS2 У + ^" sin2 <?
d^
d^
или
?Arctg 岡:0 —
Полагая здесь
?Arctg* = %,
получаем
AWg ?у%<为(％ +屮。-f)•
Отсюда
屮 < Arctg а УE tg [^^ "° + 屮0 — Oj •
Из последнего неравенства следует, что выбором достаточно большого а можно добиться того, чтобы разность 屮一ср。по абсолютной величине была сколь угодно велика. Это и доказывает утверждение б) теоремы.
Теорема доказана. .
Теперь мы установим основные утверждения относительно периодических решений уравнения (17.1).
Теорема /7.5・ Предположим, что функция р«) четная, т. е. р(—£) =「(£), и выполнено условие (17.18) предыдущей теоремы. Тогда при любом натуральном 内 существует бесконечно много решений уравнения (17.1)
0 периодом ^o)t а накакое число вида Ы, где k — нашу- ратное, меныиее 内'не является периодом этих решений.
Доказательство. Возьмем произвольное число ^>0 и положим ^ = у о)> Ф = йк. По этим величинам выберем Rq > R, удовлетворяющее требованиям предыдущей теоремы. Рассмотрим решение системы (17.4) с начальными данными £ = 0, x — Xq^Rq, у = 0. В силу предыдущей теоремы тогда окажется, что полярный угол 屮(九 ％j) на этом решении удовлетворяет неравенству
屮俵①，％)<Т*(17.20)
Пусть s — натуральное число, такое, что
—sAk < ср (g о, *3《—(s— 1)尼冗. (17.21) Положим теперь 厶 н 专(о, Ф = — (s& + 1)冗 и, используя опить теорему 174 пойдем гакое 片 > 尤j, что на решении с ||ачпл1>иыми данными 尤(0) = х[, у (0) = 0 будет выполнено iiepuneiiCTBO
屮传侬'％，) <—(5^-|- l)ic.(17.22)
Рассмотрим семейство решений системы (17.4) с начальными данными у (0) = 0, %；《*(0)《*扌・ Ясно, что полярный угол этих решений при t = ^0 屮(^侬‘ *(°)) непрерывно нонисит от х(0). Из неравенств (17.21) и (17.22) тогда следует, что существует такое /^("厶，*；)，что на соответствующем решении выполняется равенство
屮(-^5 %。) = — (s尼+D 旧(17.23)
Покажем, что это решение удовлетворяет утверждению теоремы. Из равенства (17.23) следует, что на нашем решении у 2 ш^ = 0- Так как по самому выбору решения у (0) = 0, то по теореме 17.1 это решение имеет период к®.
Покажем, что наше решение не может иметь периода hs, где 也一натуральное число, меньшее 饱.Допустим, напротив,
что построенное нами решение имеет такой период. Предположим, что А ——наименьшее натуральное число, для которого Аю есть период рассматриваемого решения, т. е. если А < А, то Аю не является периодом нашего решения. В этом случае А должно быть делителем 尼.Действительно, величины а»* = о)(%尼+々尼)，где q и с?——целые числа, положительные, отрицательные или нули, являются периодами нашего решения. Но среди чисел cxk-\- с^ содержится наибольший общий делитель d чисел Л и Л. Следовательно, do)есть также период рассматриваемого решения. Из минимальных свойств А следует, что k = d. Таким образом, А есть делитель 此 значит, h = qh、где д》2 — целое число.
Как было показано при доказательстве теоремы 17.1, построенное нами решение есть четная функция; следовательно, полярный угол 屮(£) является нечетной функцией:
中(一£) = —Ч>«)；
отсюда
Так как наше решение имеет период hs, то из последнего равенства получаем
中停①-") = 一中債①+ ) (17.24) Из этого неравенства следует, что на промежутке времени q ① ^ £《尼① полярный угол изменяется на такую же величину, как и на промежутке времени 0^^^уо), т. е. на — (s^+l)冗.Отсюда и из (17.23) следует, что
屮(也(0, *о) =——2(s&+ 1)к. (17.25)
С другой стороны, величина h® есть период нашего решения, и потому на промежутке времени 0《£《々ю полярный угол изменяется на целое кратное 2it, т. е. ср (尼①，*())=—2гп・ А тогда ясно, что на промежутке времени hm®《£《 尼(加+1) w полярный угол изменяется на величину — 2rit; следовательно,
И время 0《t《hq® = hg полярный угол изменится на Иличину ——2^гк. т・ е. .
屮(々з, х0) = —2〃冗，，(17.26)
ЧТО н соединении с (17.25) дает
—2 (sA + 1) у = —2"冗，или
s论 + 1 =qr.
где числа s,瓦 夕，г — целые, а д》2 является делителем k. Эго невозможно.
Полученное противоречие и доказывает, что построенное нами решение не может иметь периода вида 论з.
Итак, взяв произвольное R > 0, мы указали решение с начальными данными у (0) = 0, х(0) > R, обладающее требуемыми свойствами. Из произвольности R следует, что таких решений существует бесконечно много.
Теорема доказана.
Теорема 17.6. Предположим, что функции р(/)“ g(x) нечетные, т. е・ р(—/)=——р(£) и g(——х)= — g(x), и выполнено условие (17.18). Тогда при любом натуральном А существует бесконечно много решений уравне- ни* (17.1) с периодом Лю, и никакое число вида 论з, где 6 — натуральное число, меньшее А, не является периодом этих решений.
Эта теорема дока:м.1вается так же, как и предыдущая, только надо поспользо»аться теоремой 17.2 и соответственно начальные дпнныс решений выбирать на оси Оу.
В :п1КЛ1оченис параграфа отметим, что из теорем 17.5 и 17,6 следует, что построенные там решения могут не оказаться субгармониками лишь в том исключительном случае, когда наряду с. периодом 々з они имеют период — ш, где g — целое число, взаимно простое с 论.
Г Л A В A HI-
АВТОНОМНЫЕ СИСТЕМЫ
Общие теоремы о существовании н устойчивости периодических решений автономных систем
В этом и следующих параграфах мы будем рассматривать системы свободных колебаний
笠=尸(分(18.1)
Как обычно, будем предполагать, что n-мерная вектор- функция F= {/р /2/л}определена, непрерывна и
удовлетворяет условию единственности при всех значениях л-мерного вектора X = {xv х2» - -
Исследование вопроса о существовании периодических решений системы (18.1) по сравнению с таким же вопросом, касающимся системы вынужденных колебаний (1.1), представляет некоторые дополнительные трудности. Трудности эти возникают из-за того, что в случае автономной системы нельзя, вообще говоря, заранее указать период искомого периодического решения, в то время как в случае системы вынужденных колебаний (1.1) периодическое решение обычно имеет период, равный или кратный периоду правой части. А в тех случаях, когда система (1.1) имеет решение с периодом, несоизмеримым с периодом правой части, это решение, как следует из теоремы 1.7, располагается в множестве, на котором правая часть не зависит от времени f, т. е.» строго говоря, в этом случае мы как раз имеем дело с системой вида (18Л).
В этом и следующих параграфах наиболее детальному анализу подвергается вопрос о существовании периодических решений автономных систем.
Для доказательства существования периодического решения системы (18.1) поступают обычно следующим обра- ИОм. В фазовом пространстве выделяется гиперповерхность М (п—1)-го измерения, не имеющая контакта с полем направлений системы (18.1). На поверхности М выделяется (П— 1)-мерный симплекс S. Предполагается, что если точка р лежит в S, то при возрастании времени траектория Ф(р, I) системы (18.1), проходящая при / = 0 через точку р, пересечет поверхность М в точке ①(р, т), т > 0. Таким образом, Получается преобразование Г симплекса S в гиперповерхность Mt ставящее в соответствие точке р точку Ф (р, т). Обычно без особых затруднений удается показать, что преобразование это непрерывно. Если, кроме того, преобразо- ппиие Г таково, что на S оно имеет неподвижную точку q, то ясно, что траектория ①(夕，/0) замкнута, т. е. решение ①(q, t) периодическое.
Такая схема рассуждений применяется и при устано- илспии хорошо известного принципа тора. Этот принцип состоит в следующем. Пусть R — торообразная область фазового пространства, ограниченная (п—1)-мерной гладкой поверхностью 2, такой, что все траектории пересекают эту поверхность, переходя внутрь области R при возрастании нремени 自 Пусть S — одно из сечений тора R, представляющее собой (п—1)-мерный симплекс без контакта. Если любая траектория, начинающаяся на S, при возрастании f снова пересекает S, то в R имеется замкнутая траектория.
Действительно, пусть p£S, а х — первый после / = 0 момент пересечения траектории Ф(р, f) с S. Так как поверхность £, ограничивающая S, не имеет контакта с полем напраплспий системы (18.1), то ясно, что Ф(р, х) лежит непременно внутри S (а не на его границе). Отсюда следует, что точка Ф(р, т) зависит непрерывно от p£S. Сопоставим, как указывалось выше, точку ①(р, т) точке р. Полученное таким образом преобразование Т будет непрерывным преобразованием (п—1)-мерного замкнутого симплекса в себя. По теореме Брауэра преобразование это имеет неподвижную точку д. Тогда ясно, что траектория Ф(^, /0) замкнутая.
В следующем параграфе при исследовании конкретной системы мы покажем приемы построения области R и сечения S.
В этом пункте мы укажем один признак существования периодического решения автономной системы [70].
Будем предполагать, что правые части системы (18.1) непрерывно дифференцируемы по всем своим аргументам. Образуем матрицу Якоби правой части системы:
Будем, как и раньше, через X • У обозначать скалярное произведение векторов X н У, а через ЦХЦ—евклидову норму вектора X,
Теорема /8・/・ Предположим, что 8 ограниченной области D фазового пространства выполняется соотношение
丿(У)(Х-У)・(Х-У)《一А||Х—У||2, (18.3)
где А — положительная постоянная, векторы X^D и Y ^D таковы, что их разность X — У ортогональна к полю направлений системы (18.1) 8 точке У, т, е. 尸(У) • (X — V) = 0. Предположим, кроме того, что в замкнутой области D отсутствуют состояния равновесия. Тогда любое решение X — Ф(р. f) системы (18.1), располагающееся при f》0 8 некоторой замкнутой области, погруженной в D, устойчиво 8 смысле Ляпунова, и существует положительная постоянная 入， такая, что по любому х > 0 можно указать такое е > 0, что если р(р, q) < е, то существует такое 九(д), Л (0)1 < к, что
Р(Ф(Р. f+九(9))，①(9, £))<""・ (18.4)
Доказательство. Обозначим через ср, (/),..., 斗(f) компоненты вектора Ф(р, /). Так как по предположению в D не содержатся состояния равновесия, то существует постоянная 5 > 0, такая, что при всех f > 0 выполняется неравенство
■ 揖回⑵2 >瓦 (18.5)
Мы предполагаем^ что функции Д(хР х2* ・••，хя)(А= 1, 9п)—компоненты вектора 尸(X) — непрерывно днф- фгренцируемы; следовательно, функции cpi(f),屮2«)，• • •，屮以«) дьижды непрерывно дифференцируемы по f, и вторые произ- йодние от этих функций ограничены при £>0. Таким образом, кривая Х = @(р, f) при f〉0 имеет ограниченную Ирипизну.
Введем новые координаты. Проведем через точку **M《D(p, 6) гиперплоскость (п—1)-го измерения, нормальную к кривой X =①(р, /). Так как кривая Х = Ф(р, /) Имеет ограниченную кривизну, то в достаточно малой окрестности этой кривой гиперплоскости, соответствующие близким точкам, не пересекаются. Введем в каждой из этих гиперплоскостей ортогональные координаты ур у2, ..., у7r Таким ()Срн;м)м, новые координаты со старыми будут связаны по формулам
'" 4 =弘(8)+N 畑(9)贝 (А = 1, 2, .... п). (18.6)
Координаты могут быть выбраны таким образом, что если цектпр X — Ф(р, 0) нормален к кривой Х = @(р, f), т. е. к вектору 尸(①(р, 6)), то
W (办一中*(8))2 =第％(18.7)
Функции 屮*£(。)выражаются по обычным правилам через % (°) н 屮;(8)・ Поэтому функции 屮將 непрерывно дифференцируемы при 8》0 н ограничены при 6》0 вместе со своими ГфОИЗВОДНЫМИ.
Итак, вместо переменных хр х2, ..., хп вводятся переменные 6, W， у2,…，％_1・ Дифференцируя (18.6) по / и
рдзрешая полученную систему равенств относительно 毎, "办，ПОЛУЧИМ систему дифференциальных уравнений
〃(匕 6),〃(匕 6),(18.8)(18.8)rfO NF
〃(匕 6),
〃(匕 6),
(18.8)
(18.8)
где У — вектор с компонентами уР у2* ・♦♦， Ул-п G — векторная функция с компонентами g】,g2, ..., g^—r Из замены (18.6) следует, что решение Х = ®(р, /) системы (18.1) переходит в решение 0 = Л У = 0 системы (18.8). Поэтому и (6, 0) = 1, G(6, 0) = 0. Сделаем еще одну замену. Положим 6 = f + » получим систему
d*~did*~di«(F, т, f).«(F, т, f).dY dtdY dt=G (К, т, f),=G (К, т, f),(18.9)(18.9)
d*~di
d*~di
«(F, т, f).
«(F, т, f).
dY dt
dY dt
=G (К, т, f),
=G (К, т, f),
(18.9)
(18.9)
G(小，f) = G(匕 f + 小, через gi，g2, g.r равенстваG(小，f) = G(匕 f + 小, через gi，g2, g.r равенствагде u(Yt t> t) — a(Yt f + 弋)一1, компоненты G будем обозначать Из вида функций « и G следуют
G(小，f) = G(匕 f + 小, через gi，g2, g.r равенства
G(小，f) = G(匕 f + 小, через gi，g2, g.r равенства
(18.10)(18.10)«(0, x, £)三 0, G(0, т, /) = 0.
(18.10)
(18.10)
Кроме того,Кроме того,Из вида замены (18.6) и из отмеченных выше дифференциальных свойств функций 屮玄±(6) следует, что функции и и G непрерывны при достаточно малых ||У|| и |tj и f〉0
Кроме того,
Кроме того,
и ограничены при таких значениях аргументов.
dgb證 ограниdgb證 ограни'функции эти непрерывно дифференцируемы по %(£=1,
dgb
證 ограни
dgb
證 ограни
••・,п—1), и все производные вида -g^-,
чены при достаточно малых ||У|| и | т | и при f>0.
Отсюда и из первого из тождеств (18.10) следует, что существует такое 2И > 0, что при достаточно малой ||У|| выполняется оценка
|〃(匕 а 力 <М||У||・(18.11)
Из второго тождества (18.10) вытекает, что функции g$(Y，% 力)могут быть представлены в виде
gs(yv У2%-1，5 /) = %1«)%+-，•+%_1a)%7 +
+ &(У1，％7, 5 f)(s=l, ・・・，n—1), (18.12)
где функции asi(s, Z= 1, 2n — 1) непрерывны и ограничены при f〉0, а функции 4s(У1， у?’ ・・・， Уп-г т> f) при достаточно малых |т| н ||К|| и при всех f〉0 удовлетворяют неравенствам
|&(У「У?，'，♦，％т，f) I V ill УIIG к L，，г 薛一0* (18.13)
• ID СУЩЕСТВОВАНИЕ ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ285
где постоянная 7 может быть сделана сколь угодно малой Выбором достаточно малых |т| и ||У||.
Система (18.9) переписывается в Виде
『力 с== «(К, т, /),
芻 па$1«)У1+ …+生…《)%т+(18.14)
+4(Уг・・・，% 0-.
Введем в рассмотрение функцию
л—1
У(У1，Уя-1)= ||^||2= 2^1*(18.15)
В силу равенства (18.7) можем написать:
V = 2 (^ -^(0))2 = Н -ф(р. 0)||2, (18.16)
Где вектор X —①(р, 0) ортогонален к 尸(①(р, 8)).
Продифференцируем функцию V по / полным образом В силу дифференциальных уравнений системы (18.14), будем иметь
п-1п-1д-1
п-1
п-1
卄=2工％&1刊+ ... +^„-^-1) + 2 2Mr (18.17)
С другой стороны, из равенства (18.16) и из системы (18.1) следует:
廿二22(/一^(0))[九(占%)一
-一九(屮18)，…，?„(9))-f]-
Так как вектор X — Ф(р, 6) ортогонален к 尸(①(р, 0)), т. е.
幺(4一% (0))%(/8)中"(0))=
?=[x -①(卩働•尸®(p，9)) = 0.
то вместо последнего равенства можем написать■
0 = 2 /[(/ 一公(6))(九(*i，。…%)一
2-九(外⑼中 “(8)))・ (18.18)
Отсюда, так же как и в п. 4 § 7, имеем
пи 1•.
匕=2工(打一^(е))±/鶴(々_%e))d〃，(18.19) 叁=1»10
где производные ^^ вычисляются в точке %； =〃К/-|~(1——«)^(0), а вектор X* с компонентами х*, ...» х： таков, что разность X* —①(р, 0) имеет то же направление, что и X —①(р, 0), но ||犬一①(р, 6)||<||Х —Ф(р, 6)||. Равенство (18.19), очевидно, означает.
匕=2/丿(Х*)(Х —①(р, 6))・(Х —①(р, 6))九 (18.20) о
Перепишем равенство (18.20) в виде
1
у=2р(Ф(р. е))(х —①(р, e)).(x—Ф(р, e))d〃+ о
+2/[丿(X*)-丿(①(р, 9))](Х-Ф(р, 0))-(Х-Ф(р, 8))d亿
о(18.21)
По предположению функция 尸(X) непрерывно дифференцируема, поэтому матрица 丿(X) равномерно непрерывна в области D, и, значит, разность J(X*) — J(①(р, 0)) может быть сделана сколь угодно малой по норме, если только величину ||Х—Ф(р, 9)|| = ||F|| выбрать достаточно малой. Так как вектор X—Ф (р, 9) ортогонален к 尸(①(р,。))，то по условию теоремы при достаточно малых ||У|| будем иметь неравенство
У<--|д||Г||2.(18.22)
Потребуем теперь, чтобы величины х и К удовлетворяли неравенствам
|т|《Р，11^11 <?.(18.23)
Булем считать § величиной столь малой, что при выпол- Н(|1ши неравенств (18.23) выполняются неравенства (18.11), (18.13) и (18.22), причем в неравенстве (18.13) постоянная 丁 удовлетворяет неравенству
"証ЙГ(1&24)
Тогда при выполнении неравенств (18.23), в силу (18.17) И (18.22), будем иметь
2±У5(%У】+ …+%т%т)<-*1屮•(18.25)
Заметив это, сделаем преобразование переменных
% = *у§(№ 1, 2п—1),(18.26).
где 人—достаточно малая положительная постоянная.
Последние п — 1 уравнений системы (18.14) примут 制 новых переменных вид
"" = @$1($)%++(ass(f)+人)%+ …
…+^л-1(0^-1 + ^4(е-х/71р - ^~и^п-у^ С- (18.27) Составим полную производную по времени от функции V(т^р 可2，•••，^я-1) в силу дифференциальных уравнений системы (18.27):
y = 2 2 7k(%7+ …+%1-1%-1)+ 23(仙..%7) +
+ 2е" X %4(е-"%е-"%-г% ) (18.28)
Если выполняются неравенства
~ Е《В， У 喑+ ・一 +喑«Р， f>0， (18.29) то из (18.17), (18.24) и (18.25) следует, что
R V—AV + 2W.
Выберем 入 так* чтобы было О V 人 < 彳，тогда последнее неравенство дает.
' V<—4^<°-(18.30)
Рассмотрим теперь произвольное решение системы (18.14) с начальными данными f = 0, t = %,円^二円就(s= 1,.. 儿—1)，удовлетворяющими неравенствам
g<6， У啸+…+ 吧一…,(18.31)
где 8 — положительная постоянная, меньшая р. Для этого решения условия
hЮКр.九即)+ …+*1«)《9 (18.32) будут выполняться по крайней мере для значений f, достаточно близких к начальному f = 0. Пусть / — момент времени, до которого условия (18.32) выполняются. Тогда во всем промежутке времени (0, /) -^ вдоль избранного решения будет отрицательным, и мы можем написать
y (%%-1)= u(%0%-10)十
+ /穿也《V(%。%-«))•(18.33)
Отсюда следует, что на таком промежутке времени выполняется неравенство
У* ⑺+ …+ 矶《) < 8.(18.34)
Из замены (18.26) тогда следует, что на таком промежутке времени вдоль рассматриваемого решения выполняется неравенство
IIГ (ОН <3""・(18.35)
Отсюда и из неравенства (18.11) следует, что на указанном промежутке времени выполняется соотношение
|〃(У«), с, /)1 VMM-吃(18.36)
Из первого уравнения системы (18.9) следует интегральное равенство
《)= %+/ 〃(У«), a f)或.о
(Ииюда в силу (18.36) вытекает, что на промежутке времени, НИ котором выполнены неравенства (18.32), выполняется и IltpetlCHCTBO
宀「)<]%+华.(I&37)
Возьмем произвольное положительное число Е V Р・ Выберем в неравенствах (18.31) величину 8 таким образом, чтобы было
(1 +4)S<£；(18.38)
гпгда из (18.37) следует, что на указанном промежутке времени выполняется неравенство
|т(/)| <Е.(18.39)
Покажем, что неравенства (18.34) и (18.39) выполняются при исех /》0. При / > 0 и достаточно малых эти нера- Мгиства выполняются, как следует из (18.31). Допустим, попреки нашему утверждению, что существует такое /*, что пй промежутке времени 0《f < 尸 неравенства (18.34) и (18.39) наполняются, а при £ = £* хотя бы одно из этих неравенств обращается в равенство. Но число f мы выбрали меньше 0, и В V £\ как следует из (18.38), поэтому в силу непре- рыиности функций t(f),田s«)(5=1, 2, ..., п—1) суще- стнуст такое &〉賞 что при 6《/《厶 будут выполняться неравенства (18.32), а тогда из приведенных рассуждений следует, что при 0《/《厶 будут выполнены и неравенства (18.34) и (18.39). Значит, эти неравенства будут выполнены н при / =翁 что противоречит определению этого момента. 11олученное противоречие и доказывает, что неравенства (18.34) и (18.39) выполняются при всех /》0.
Таким образом, если выполнены неравенства
|ТО|<^ Foil <3，(18.40)
I ле т0 и %—начальные данные при / ==0 решения системы (IH.9), то при всех f》0 выполняются неравенства (18.35) н (18.39).
|9 В, А, Плисс
Возьмем теперь произвольное число х > 0 и покажем, что если S достаточно мало, то вдоль выбранного нами решения будет выполнено соотношение
lim ”/)=加(18.41)
f-> +8
где IЛ I < х.
Зафиксируем величину £ из промежутка 0 < £ < х 《мн, конечно, считаем, кроме того, что Е < ?). Имеем
"£) = %+ J 〃(У«),叫 f)df.
о
Из оценки (18.36) следует, что интеграл / и (У (f), с, /) dt о сходится; положим
/ 〃(У (£),叫 f)df = &, о
Тогда получим (18.41), где 力=%十力「 Из оценки (18.37) и неравенства (18.38) следует, что | 无 | = | % +%J V f V х.
Оценим разность h —1")・ Имеем
/2 — 1(/) = / u(Y(t), т, f)df,
отсюда в силу (18.36) получаем
\h — t(t)\<Mi f e-^dt = ^-e~u.(18.42)
Как уже отмечалось, в формулах (18.6) функции <р巨(0) м 中&с(Н) непрерывно дифференцируемы и ограничены вместе со своими производными при /》0; следовательно, если величины |т(/)|, II/(/)|| малы, то мала и величина ||Х—4)(р, /)||, Кроме того, из этих формул нетрудно вывести, что величины |%| и ||У0|| могут быть сделаны сколь угодно малыми выбором достаточно малого ||X0 — р||. Отсюда следует, что решение X = Ф(р, /) системы (18.1) устойчиво в смысле Ляпунова. Осталось доказать, что выполняется неравенство (18.4).
Выберем точку q настолько близкой к точке р, чтобы мыполпнлись неравенства (18.31), в которых величина 3 подчиняется неравенству (18.38), а £*€(0, х). Так как G = f + % ТО мз формул (18.6) следуют равенства
1
4«)=弘(2+ ；(/))十 2 力?《 + <(/))%(/)(18.43)
i =1
(尼=1, ..., /г).
Вычтем из правых частей этих равенств функции 平為(/ + 九), Г ли величина h определена выше; будем иметь
外⑴-<Mf+〃) = ^(f + t(f))—<Mf + %)+
/1-1/1-1(尼=1, 2, ...» /г). (18.44)(尼=1, 2, ...» /г). (18.44)
/1-1
/1-1
(尼=1, 2, ...» /г). (18.44)
(尼=1, 2, ...» /г). (18.44)
Фуницнн (^/(Q) ограничены при О》0, функции(pft (0) имеют ©『рнннменные нрои^полпыс при 0》О, поэтому существует TIKOV 厶I > б что нри / _> 0 пыполияются неравенства
I##(/) — ▼*(/4- Л)| <
j/”丨力一t")|-| /.|旷(/州(月=1,2я).(18.45)
Но ДРЛ(/)-* компоненты вектора ①(д, £), а 屮兑« + %) — ком- понинты вектора Ф (р, f +初 Из оценок (18.35) и (18.42) С〃5ует, ЧТО существует такое 厶，что
№(9, /)-①3 / +九川《厶配一k
Нели выбрать & 式程,то мы и получим неравенство (18.4), нри 9Toм, как уже было показано, \h\ <х.
Гсорсма доказана.
Теорема 78.2. Предположим, что выполнены условия предыдущей, теоремы, и существует решение X = Ф (^, /) системы (18.1), располагающееся при /》0 8 некоторой нимкн у той области, погруженной в Dt Тогда s D имеется ^амкн^тая траектория системы (18.1).
Доказательство. Пусть Q—предельное множество полутраектории Ф(д, /) при 2》0・ Ясно, что QuD. Из следит пи и 1.2 вытекает, что в О существует точка р, через которую проходит рекуррентная траектория Ф(р, /). При всех t @(/з f)鋁， а так как множество Q замкнуто, то существует
замкнутая область, погруженная в D, в которой содержится Ф(р, /0). Как отмечалось в § 1, всякое рекуррентное движение устойчиво по Пуассону. Следовательно, решение Ф(р, f) устойчиво по Пуассону, и, кроме того, в силу предыдущей теоремы для него выполняется соотношение (18.4). Если положить a(f)=d-*e то для движения Ф(р, f) будут выполнены все условия теоремы 1.6, из которой следует, что движение Ф(р, £) периодическое.
Теорема доказана.
Заметим, что из теоремы 18.1 следует, что это периодическое решение устойчиво в смысле Ляпунова - и любое решение, начинающееся в достаточно малой окрестности его траектории, стремится к этой траектории при ff 十8, т. е. это периодическое решение орбитально асимптотически устойчиво.
Докажем теперь теорему о единственности периодических решений в некоторых областях.
Теорема 7S.3. Пусть 8 области D выполняются условия теоремы 18.1. Пусть, кроме того, область D обладает тем свойством, что при всяком p^Q решение Ф(р, £) лежит в D при / > 0. Тогда 8 области D существует единственное периодическое решение, оно устойчиво 8 смысле Ляпунова, а любое решение стремится к его траектории при ff 十8.
Доказательство, Рассмотрим произвольную точку p^D и решение Ф(р, f), проходящее через эту точку при f = 0. Пусть Q — предельное множество положительной полутраектории Ф(р, /)• Ясно, что QuD; покажем, что справедливо и более точное соотношение: Q^D Предположим, напротив, что существует точка g£Q, лежащая на границе области D. Рассмотрим точку Ф(д,厶)，где 厶 V 0. Множество Q есть предельное множество для Ф(р, f), и потому оно инвариантно, следовательно,①(g, ^)^QczD. По условию теоремы имеем Ф (Ф (^* 幻，一A) = g£D Это противоречит предположению, сделанному о точке q. Полученное противоречие и доказывает, что QuD Отсюда и из теоремы 18.2 следует, что существует точка г ^ 2, через которую проходит периодическое решение Ф(г, /) системы(18.1).
Как было показано выше, решение Ф (г, t) устойчиво В смысле Ляпунова, и любое решение, начинающееся в до-
VfITOMKO малой окрестности траектории Ф(г, /0), стремится И Ф(Г, /0) при ff 十8・
Рассмотрим множество А тех точек области Q, через ИОТорые проходят траектории, стремящиеся к Ф(г, /0). Мно- *ест 剧 о Л открыто. Действительно, пусть р£4, тогда ◎(小，)fS(r,厶)при ff +оо; следовательно, по теореме »б питегрпльной непрерывности все решения, начинающиеся 鳳 достаточной близости от точки р, попадают в сколь угодно Мйлую (»крсстность Ф(г, /0) и, значит, стремятся к Ф(г, /0) При / а оо. Это доказывает, что множество А открыто.
Если множество Л совпадает с D, то теорема доказана. Допустим, что А не совпадает с D Пусть £ — граница мно- Ж^СТйй Л. Из самого определения Л следует, что если р££, ТО @(р, £)££ при всех /. Кроме того, ясно, что £—мно・ третьи замкнутое. Так же, как и выше, мы докажем, что НМ 工 существует точка s, через которую проходит пернодн- 4₽ci((w решение ①(s, t). Ясно, что траектории Ф(г, /0) и 巾(В /0) нс пересекаются. По теореме 18.1 все решения, на- циниютиеся в достаточно малой окрестности траектории ©(禺 4J, стремятся к ①(s, /0) при ff 8. Но тогда точка s Не может быть граничной для А. Мы получили противоречив. к(п'(>рое и доказывает, что Д = D.
Теорема доказана.
0 19. Существование периодического решенияу одной пнтономной системытрех дифференциальных уравнений
В #том ппрпг|шфе мм изучим одну конкретную систему, йСТр#чикнцук)си и приложениях, опираясь на сформулированный иыше принцип тора [81].
Рассмотрим систему трех уравнений.
^ = a\f{x) — {\ + b)x-z],
^ = _с[/(х) —г],(19.1)
Система эта встречается при изучении колебательных явлений в электрических цепях.
В этой системе а,瓦 с н d — положительные постоянные, а функция /(х) определена, непрерывна и удовлетворяет условию единственности решений в окрестности каждой точки х. Мы будем считать еще, что /(%) дважды непрерывно дифференцируема в окрестности точки х = 0.
Всюду в дальнейшем мы будем считать, что выполняются следующие условия:
х/ (х) > 0 при % 十 0,(19.2)
|/(х)| < М при всех х,(19.3)
где М—некоторая постоянная;
g> 詣+ ^ +(1 + 3-/位一券y+容(IM) где g = /，(0)；
о! > 4,6c sup ^^-4-9,7c 4- 5a 4-2,4^. (19.5) -oo <x <+co “
При этих условиях мы и докажем наличие у. системы (19.1) периодического решения.
Если функция /(х) дважды непрерывно дифференцируема, то систему (19.1) можно представить в виде одного уравнения третьего порядка. Для этого надо продифференцировать первое уравнение системы два раза по / и исключить по обычным правилам у, у, z н z; в итоге получится следующее уравнение:
х + \d + а (1 —|— Ь) — а/' (%)] % ~— а/" (х) / —}~
+ [cd + ad (1 + 勿)一adf1 (x)] %+ abcdx = 0. (19.6)
Состояниями равновесия системы (19.6) служат точки, в которых одновременно выполняются равенства
/ (х) — (1 + 勿)％ — z = О,
/(x) — х — z = 0, y + z = 0.
Вычитая второе равенство из первого, получим х = 0. Из условия (19.2) и непрерывности /(х) следует, что /(0) = 0,
& т<»гда ясно, что y = N=0. Таким образом, система (19.1) имеет единственное состояние равновесия — начало координат.
Изучим поведение решений в окрестности этого состояния рв1И1()вссия. Положим / (х) = gx S (х). Так как /(х) непре- рыппо дифференцируема в окрестности х = 0, то ясно, что ^=^»f 0 при х-*0. Система (19.1) переписывается в виде
(19.7)(19.7)k = Q[(g — 1 — b)x —z】 + aS(x), 併=—c[(g— 1)х —z] + cS(x), 彳：=—d(y + z)・
(19.7)
(19.7)
Нвриду С *той системой рассмотрим „линеаризованную":
(19.8)
d(y + z)・
Линеаризованное уравнение третьего порядка запишется в виде ；+ |d + Q(l +6) —电成 +
卄 \cd ^-ad(\ +- d) — a dg] x + abcdx = 0. (19.9)
Звпншсм характеристическое уравнение:
№ + |d 4 a (1 + b) — ag]入2 +
+ [cd + Qd (1 + b) — a dg｝入 + abed = 0. (19.10)
Пусть Xp 入» X3~ корни этого уравнения. Ясно, что %%% = — abed V 0.(19.11)
Отсюда следует, что характеристическое уравнение имеет хотя бы один отрицательный корень. Для определенности будем считать» что Xj < 0.
Условия Гурвица отрицательности действительных частей корней уравнения (19.10) имеют вид
abed > 0,(19.12)
d 十 а (1 b) — ag >0,(19,13)
[d+ a(\+b) — ag\ [cd + ad(1 + b) — adg] — abed > 0.
(19.14)
Последнее неравенство может быть переписано в виде g” 一信 + 2(l+b)+^g +
十T+糸十黃1十，+T +州>°♦(19」5)
Это неравенство выполняется, если выполнено одно из двух следующих неравенств:
g<点+导+(1十6一 /(農-差y+氣 (19/6)
g>差+差+(1十6一 /後一差y十今 (19.17)
Неравенство (19.13) дает
g V "^ + 1 + 尻
(19.18)
Так как
農 + 含 + Н + »— /Й —/У
＜锵+ ■£■十11十")+1/修一备)2+与
【(19.19)
то ясно, что условия Гурвица(19.12)—(19.14):
выполняются
тогда и только тогда, когда выполнено неравенство (19.16). Из условия (19 4) следует, что условия Гурвица не выпол
нены в рассматриваемом случае, т. е. характеристическое уравнение( 19 10)имеет хотя бы один корень с положительной действительной частью Из J9 11)слелует, что таких корней ровно два； значит,
Re%>0, Re%>0・(19.20)
Ясно, что при наших условиях линеаризованная система имеет две траектории, стремящиеся к началу координат при t~^-\-OQ.
Обе эти траектории представляют собой лучи одной и той же прямой. Направление этой прямой будем называть главным исправлением.
Система (19.1) также имеет ровно две траектории, стремящиеся к началу координат при £—> + оо. Траектории эти касаются главного направления в начале координат. Все остальные траектории системы (19.1), начинающиеся в сколь угодно малой окрестности начала координат, покидают некоторую фиксированную окрестность начала при возрастании нремсни
Уточним расположение главного направления в фазовом пространстве. Уравнение (19.9) имеет частное решение
х = еМ・(19.21)
Подставим это решение в первое уравнение системы (19.8), тогда получим
z = [g-(l+S-¥]x.(19.22)
Подставляя это в третье уравнение системы (19.8) и принимай по внимание (19.21), получаем
У = -(1+»(19.23)
Уравнения (19.22) и (19.23) и определяют главное направле- ние. Положим
a = g 一(1+匕)一条(19.24)
p=1+号，(19.25)
тогда уравнения главного направления примут вид
2 = ах,(19.26)
у = — 0z・(19.27)
Направляющие косинусы этого направления будут равны
м1 + a2(1 + ¥), n+吗1 + 沁,
Z = 7 а :(19.28)
|0+20+Р2)'
В дальнейшем нам понадобится оценка величины угла между главным направлением и прямой х = 0, y = N・ Направляющие косинусы этой прямой равны Л = 0, У = ^^, Z= ^~. Следовательно, косинус т/ угла между указанными прямыми равен
n/(19.29)
'/2 /1Н-а2(1 + ?2)
Обозначим через 尸(入)левую часть уравнения (19.10). Имеем
尸(一d) = —с&2十 abed.(19.30)
Из условия (19.25) следует неравенство
尸(一d) <0.(19.31)
Так как % — единственный отрицательный корень уравнения (19.10), то ясно, что
%>—d.(19.32)
Пусть 月一некоторое число из интервала (0, 1); имеем Р(— M) = fe2(l—fe)^3 +
-Ц-月(1 —月)ad? [g — (1 + b)]—论 cd? + abed. (19.33)
Из условия (19.4) получаем
g_(l + S> 農+^_/儀一晶У 十容(19.34)
Отсюда и из условия (19,5) следует, что
g —(1+Ь)>0.(19.35)
Найдем условие, при котором выполняется неравенство
渉(1 —k) d3>kcdl(19.36)
Так как 月 > 0, то это неравенство равносильно следующему:月(1 —论)d〉с.
Из (19.5) вытекает неравенство a > 9,7с,
Поэтому предыдущее неравенство будет выполнено при усло- NIIH, ЧТО
4(1 —尼)> /у рследовательно, если А = 0,876, то выполняется неравен*стио (19.36). Из неравенства (19.36) и из (19.33) находимр(_0,876^.)> 0.
Отсюдп и из (19,32) вытекают неравенства
—d<k1< 0,876d.(19.37)
Из этих неравенств и условия (19.5) следуют неравенства а > 4,38,(19.38)
0Vo,124.(19.39)
Отсюдп it из (19.29) получаем окончательно т] >0,60.(19.40)
(19.41)(19.41)2・ Переходим теперь непосредственно к построению торообратной поверхности без контакта. В качестве боковых границ ныберем две прямые круговые конические поверхности с общей вершиной в начале координат. Осью этих поверхностей служит прямая х —0, y = z, а образующие наклонены под углом Е к плоскости y + z = 0. Уравнения этих поверхностей имеют, очевидно, вид
(19.41)
(19.41)
-~т^：广=‘ш—. ,：- = 土 sin ^./ 2H炉+ у2+炉
Покажем» что векторы поля направлений системы (19.1) пересекают поверхности (19.41) в направлении к плоскости у-|- * =0, если sinE = q，т. е. покажем, что траектории системы (19.1) пересекают поверхности (19.41), переходя в область, ограниченную обеими этими поверхностями. Оста- нопимся для определенности на одной из таких поверхностей: рассмотрим поверхность
ПустьПустьМ攵勿叶尸+炉-2一y父］＜^工歹十炉М攵勿叶尸+炉-2一y父］＜^工歹十炉(19.42)(19.43)(19.42)(19.43)
Пусть
Пусть
М攵勿叶尸+炉-2
一y父］＜^工歹十炉
М攵勿叶尸+炉-2
一y父］＜^工歹十炉
(19.42)
(19.43)
(19.42)
(19.43)
Наше утверждение будет доказано, если мы установим, что производная от о по времени, взятая в силу дифференциальных уравнений системы (19.1), отрицательна при о = ^・ Докажем это. Положим
р =匕死F产РМ, (19.44)
百=吉/中 _ uO(x£y# + z=)) (19.45) Подставляя сюда вместо производных их значения, взятые из системы (19.1), получаем
®М2= — ^/(х)+^х+^ z~У^n —
^x/(%)4^-(1 十力)/ + —^-*z +
.cvУ2、 сир歹cuM父.
^—yf(x)^― ух^― ” +
I du/歹-dvY~2 2 /in ллч
H尸* (19.46)
Из равенств (19.43) и (19.44) находимИз равенств (19.43) и (19.44) находим(19.47)(19.48)(19.47)(19.48)
Из равенств (19.43) и (19.44) находим
Из равенств (19.43) и (19.44) находим
(19.47)
(19.48)
(19.47)
(19.48)
где знаки перед радикалами должны быть противоположными, если эти соотношения рассматриваются одновременно.
Используя (19.47) и (19,48) и вводя обозначение * = рз, получаем
vV 2 = ©(" J D /(pw)干—-/(pw)M 1 —v2—的 2 —
—a"匕2 的/9的)-g(i -V2) У2{d - c) +
+ [ av2 + e (1 - v2)]的 土(0и + си)的]/1 -U —m2 ±
±
依修+闻J匸F
-(令^"一加 U 2 - abv
(19.49)
ГД# 酬2《1—v2. Оценим сверху правую часть последнего рйиенства при v = ^, будем иметь
-+，但+圖卒sup
р/2 , 3/3 , 3 ,汽、一
Ьммнс丹貝貝 йпдчспин радикалов, входящих в последнюю И ИС1К)Л1«#уИ ус向пне (19.5), мы получим百V 0.Ьммнс丹貝貝 йпдчспин радикалов, входящих в последнюю И ИС1К)Л1«#уИ ус向пне (19.5), мы получим百V 0.(19.50) оценку,
Ьммнс丹貝貝 йпдчспин радикалов, входящих в последнюю И ИС1К)Л1«#уИ ус向пне (19.5), мы получим
百V 0.
Ьммнс丹貝貝 йпдчспин радикалов, входящих в последнюю И ИС1К)Л1«#уИ ус向пне (19.5), мы получим
百V 0.
(19.51) при $■}•
Co^pniciino Аналогично докажстся, что при и = —^ d > 0・ Таким образом, траектории системы (19.1) пересекают поверхности о=±3，переходя при этом в область \v\ <
Построим теперь внешнюю границу нашей торообразной области. Рассмотрим для этого функцию
"=』w+^停+子)+专. (19.52)
Производная от этой функции по времени, вычисленная ц силу дифферснциальных уравнений системы (19.1), как нетрудно проверить, равна
〃= —-у/(х)—*(19.53)
Ии it и да этой производной и из условия (19.3) непосред- GTHvhho следует, что если и достаточно велико, а |矶《讶， то <i < 0. Поэтому в качестве внешней границы нашей
302 АЙТоНоМЙЫуСЙСТЁМЫ (「『.Hi
области может быть выбрана эллиптическая поверхность 〃 =厶 при достаточно большом положительном 厶.
Область, ограниченная поверхностями v= ± ~ и 〃 =厶， гомеоморфиа тору. Однако ее еще нельзя использовать для доказательства существования периодического решения с помощью принципа тора, так как на ее границе располагается состояние равновесия, и может оказаться, что, применяя теорему Брауэра, мы докажем существование неподвижной точки — начала координат. В связи с этим мы сейчас введем внутреннюю граничную поверхность, отделяющую наш тор от начала координат.
В силу установленного ранее неравенства (19.40) главное направление лежит вне области | v | ^ у. С другой стороны, так как имеют место неравенства (19.20), то мы можем окружить главное направление семейством цилиндров, которые пересекаются траекториями линейной системы (19.8) изнутри наружу. Для того чтобы это сделать, приведем систему (19.8) к каноническому виду:
外=入]91, 応=1闻2 — “3，(19.54)
% = Х02 + 卩 203。
Ось 9[ пойдет вдоль главного направления. Оси д? и 0з будут зависеть от корней к2 и Х3. При этом если Х2 н Х3 вещественны, то м = 6 Ц а]=%,a2 =入3， а ссли 入2 н 入3_ комплексные сопряженные, то ^ = \х2 = Re Х2. В обоих случаях, как следует из (19.20), ^ > 0, р<2 > 0.
Если в системе (19.7) перейти к координатам g『q?, §3, то мы получим систему
0i = +Wi + 4S(x), 痂=世@ —%+，2s (х)，'(19.55)
^ = ^2 + ^3+ ^(х),
где ср с2 и с3 — некоторые постоянные.
Рассмотрим функцию
Ее производная по времени, взятая в силу дифференциальных уравнений системы (19.7), равна
^•@ =因朮+ 世2 窟+ (с2g2+C303)S(X). (19.57)
Так как —^-->0 при х->0, а главное направление лежит вне области |и|М 歹，то при достаточно малом К поверхность
坊 +* = К (19.58) при |о|《-^ пересекается траекториями при возрастании у, Т, @, изнутри наружу. Поверхность (19,58) и примем за инугр#нпюю грлницу.
Облйсгь /，огрпииченнаи поверхностями v— 土歹，u = L it 屮・К, иди нетрудно лидсть, гомсоморфна тору, а ее гра- IHIЦй £, к冒к мы noKAiia^ii, пересекаетси траекториями сн- стомы (10.1) сняружи нпутрь. Такмм образом, для того чтобы установить инличие ие|)и0Д11Ч(ч'кого рсшспия, осталось по- КйВйТ1ь что !1 торс /? имеется сечение без контакта такое, что любая траектория, начинающаяся на этом сечении, пере- ССКнст его еще раз при возрастании времени. Покажем это.
Пусть О】一сечение области R полуплоскостью х = 0, ± V 6; D2 — полуплоскостью х = 0, N〉6. Сечения эти пред- Стаплякгг собой, очевидно, односвязные области. При этом вамкпутая область Q】лежит в области х = 0, ^ > 0, z < 0, а 5—в области х = 0, у V О, z > 0.
Сечения Q】и D2 не имеют контакта с полем направлений системы (19,1); действительно, при х = 0 имеем
х — — az\ (19.59)
отсюда и следует наше утверждение. Траектории системы (19.1) пересекают сечение Dv переходя из полупространства х < 0 в полупространство х〉0; сечение же D2 пересекается траекториями в обратном направлении. При этом ясно, что если траектория начинается в точке полупространства % > 0, л^жшцей в R достаточно близко к D2, то при возрастании £ Эта траектория пересечет О?. Аналогично, если траектория
начинается в точке полупространства х < 0, лежащей в R достаточно близко к Ор то при возрастании / эта траектория пересекает Dv
Рассмотрим решение x(f), y(f), z(f) системы (19.1), начинающееся при f = 0 в Dv При всех / > 0 решение это находится в области R. При / > 0 и достаточно малых окажется x(t) > 0. При дальнейшем возрастании t наше решение не может попасть на сечение D{ из полупространства x(t) > 0, так как это сечение пересекается траекториями в обратном направлении. Следовательно, возможно одно из двух: либо при всех £ х«)〉0, либо рассматриваемое решение при положительном t пересекает сечение Q2a
Покажем, что реализуется именно второй случай. Допустим напротив, что это не так, т. е. предположим, что при всех / > 0 х«)〉0. Тогда существует такое 8 > 0, что при f> 1 %(£) > 8; действительно, если бы такого 8 не существовало, то из приведенного выше свойства сечений Q】и D? следовало бы, что существует 尸 > ^* такое, что при f = f* наше решение лежит либо на Dv либо на Dv т. е. х(^*)==0, что противоречит нашему предположению.
Умножим первое из уравнений системы (19.1) на % второе на а и сложим, тогда получим уравнение
с 令 + а 券=—abcx. (19.60)
Проинтегрируем это уравнение вдоль рассматриваемого нами решения от 1 до /; получим
с% + ” 一 сх(1) — ay (1) = — abc / x(O dt. (19.61)
Но при f》l x(f)〉6, поэтому равенство (19.61) дает
сх+ ау — сх(1) — ay(1) < ——abcl(t— 1). (19.62)
Устремляя здесь £f 十8, получаем соотношение
cx(f)-|-ay «)-> — оо при /->оо.(19.63)
Это соотношение противоречит тому, что при всех f > 0 рассматриваемое нами решение лежит в ограниченной области R. Полученное противоречие и доказывает, что рас-
еМйТривпе.мое нами решение при возрастании / пересекает сечгппе
Липлогично докажется, что при дальнейшем возрастании £ Uttiiiv решение опять пересечет сечение D「
Пусть f = t>0—первый после / = 0 момент пересечении нашего решения с Q「Поставим в соответствие точке дешм л(0) = 0, у = у(0), 2 = 2(0) точку х=х(т) = 0, у = ■ y(t), z = z(t). Так как точка у = у(0), z = z(6) — произ- мольная точка сечения Dv то мы получаем, таким образом, преобразование 7 сечения Dx в себя. Преобразование это, как нетрудно видеть, непрерывно; следовательно, по теореме Врпуэра в Dj имеется неподвижная точка этого преобразо- ййнин. Через эту точку проходит замкнутая траектория система (10.1).
Игйк локпиапа
Теорема 79./. При выполнении условий (19.2) — (19.5) система ( 10.1) 〃川同&"， периодическое решение, отличное Ofn^octnoHHun рапно^сия.
/^^1[Н1 сформулпроиашпах услопиях весьма затруднительно (A#aw HiioAnti' нонможко) устлиоиить устойчивость в малом и еднш тш'ппосп. того периодического решения, существование которого было только что доказано. Однако удается до- казпть, что любое решение системы (19.1) не удаляется от периодического слишком далеко. Точнее говоря, можно доказать, что любая траектория (кроме двух, примыкающих к началу координат) попадает в область R с возрастанием времени и там остается.
Докажем это. Возьмем произвольную точку р фазового пространства и покажем, что траектория ①(р, £) либо стремится при /—> -|- оо к началу координат, либо при ^ ^ 0 пересекает плоскость)十2 = 0. Пусть точка р имеет координаты №，%, 2°. Будем для определенности считать, что у0-|-2г0> 0. Предположим, что при £》0 на Ф(р, f) выполняется неравенство
у(О+г(/)>0.(19.64)
Покажем, что тогда траектория ①(р, £) ограничена при f>0. Из неравенства (19.64) следует, что z вдоль ①(р, /) убывает.
Предположим сначала, что z(f) ограничено при f>0・ Ии первого уравнения системы (19.1) и из условия (19.3)
2Q В. А. Плисс
следует, что тогда на ①(р, Q ограничен также и х, ибо при достаточно больших | х | sign х = — sign х. Деля второе уравнение системы (19.1) на третье, получаем
dy с /(*) — # — z dz 一 ~d 汩二 *
Из этого уравнения следует, что при достаточно больших I у I выполняется неравенство
а отсюда и из ограниченности z следует ограниченность у. Таким образом, в случае ограниченности z ограничена и полутраектория Ф(р, f), £》0.
Предположим теперь, что z(f) не ограничено при f》0・ Так как z (^) < 0 при f》0 в силу неравенства (19.64), то z(f)->—оо при ff+ 8. Следовательно, существует такое /Р что при £》А
zit)^~< — M.(19.66)
где М — число, фигурирующее в условии (19.3),
Из первого уравнения системы (19.1) тогда следует, что существует такое 匀〉々 что при £〉％ выполняется неравенство
х«)<-^Д・(19.67)
Действительно, при
х вдоль ①(р, /) убывает, а так как z(f) убывает при всех £》0, то отсюда и следует неравенство (19.67). Из этого неравенства и из второго уравнения системы (19.1) вытекает неравенство
矍 < —С [/(Х) + ^у — z]' или
-с[/(х)-穽у].d
А отсюда и из (19.66) следует, что при f》^ 穿 <。；та' ким образом, на Ф(р, £) у ограничен сверху при £-> 十оо,
Эго противоречит неравенству (19.64) и соотношению z(f)-> f — оо при ff+ 8*
Полученное противоречие и доказывает» что полутраектория Ф(р, /), f>0, ограничена.
Так как траектория ①(р, /) ограничена при £》0, то она имеет и)-предельную точку q. Пусть %】,у「 z】—координаты точки д. На траектории Ф(р, /) z ограничено, кроме того, из неравенства (19.64) и из последнего уравнения системы (19.3) вытекает, что z(t) < 0, и, следовательно,
lim z «) = z卜
/-> + со
Так как Ф(/) ограничена при /》0, то ограничена и ее предельная траектория (D(g, /0),■
И：1 последнего равенства следует, что на ①(g, £) при всех / OKiiJhiiuivrcH z = Z]・ Значит, на этой траектории *еО н, елглоийтельио, y + z=»O, т. е.
у — — z「(19.68)
Тоглл мз иторого урппнепвя системы (19.1) вытекает, что на Ф(д, /) при всех £ пыполниется равенство
2[ = /(х)— х.(19.69)
Отсюда и из первого уравнения системы следует, что на траектории Ф(д, f) при всех f выполняется равенство
嘗=—о 匕北(19.70)
Это равенство показывает, что на ①(g, f) х = 0 при всех 九 ибо если бы при t = tQ было х = х0=?^ О, то из (19.70) следопало бы, что на ①(д, /) х = х^-аЬ^~^ и при /-> — 8 х на ①(д, £) не был бы ограничен, что невозможно в силу ограниченности ①(д, /0). А тогда на ①(g, t) при всех f выполняются равенства
х = 0, z = 2] = 0, у = у[ = О, (19.71) т, е. точка q совпадает с состоянием равновесия, расположенным в начале координат.
Таким образом, если траектория Ф(р, t) не пересекает плоскость y-j-z = O, то она стремится к началу координат.
Докажем теперь следующее утверждение.
Теорема /9.2・ Если траектория 力(р, /) системы (19.1) не стремится к намажу координат при /—>-|-оо, то при возрастании времени эта траектория попадает 8 область R и при дальнейшем возрастании f эту область не покидает.
Доказательство. Предположим, что Ф(р, t) не стремится к началу координат при f-> + 8, тогда, как было только что показано. Ф (р, f) пересекает плоскость' у + z = 0 при f》0. Поэтому, не нарушая общности, можем считать, что точка р лежит на этой плоскости.
Как было показано в начале предыдущего пункта, траектория Ф(р, /) при всех f》0 лежит в области |v| < -^ , где V ——функция, введенная формулой (19.43).
Если точка р лежит при этом в замкнутой области R, то теорема доказана, так как траектории системы (19.1) пересекают границу R снаружи внутрь. Пусть же р не лежит в R. Тогда возможно одно из двух: либо в точке р 〃〉厶， либо в этой точке ^ < ^.
Остановимся на первом случае. Из самого выбора постоянной 厶 и нз равенства (19.53) следует, что при и^ L и |v|<y « < 0.
Предположим, вопреки нашему утверждению, что Ф (р. t) при всех £ лежит за пределами области R. Тогда ясно, что на Ф(р, /) при £》0 выполняются неравенства II у> 厶总〃《以о， где 〃о — значение функции и в точке р. Множество {| 矶《专，厶《〃《〃о}, очевидно, ограничено; следовательно, траектория ①(р,介 имеет а)-предельную точку q, лежащую в этом множестве. Пусть «t—значение функции “ в точке д. Ясно, что на ①(р, t) выполняется соотношение lim 〃&) = 〃].(19.72)
‘今 + 8#
Рассмотрим траекторию Ф (7, 0- Эта траектория является а)-предельной для Ф(р, t) и потому лежит в множестве {|и|《^，厶《〃《〃()}• Отсюда следует, что вдоль траектории ①(q, 0 функция 以 убывает, и, следовательно, в точке ①(9，厶) “ < 〃卜 если 厶 > 0. Но точка Ф (g,厶) есть (о-предельная точка для S(P・ f)・ Отсюда и из
§ 10] СУЩЕСТВОВАНИЕ ПЕРИОДИЧЕСКОГО РЕШЕНИЯ 309 непрерывности и следует, что существует такое 尸，что при f = f* на ①(р, /) выполняется соотношение u < uv Это противоречит тому, что вдоль ①(р, /) при /〉0 функция и убывает, и соотношению (19.72). Противоречие доказывает, что траектория ①(р, /) попадает в область R.
Если в точке р ? < К, то аналогично доказывается, что ©(р, О попадает в область R при возрастании времени t.
Теорема доказана.
Обратим внимание на следующее обстоятельство. Как было показано ~в ~НЯЧОЕ^ ■настоящего параграфа, лйиеаризо- панпая система (19.8) имеет один отрицательный корень характеристического уравнения и два с положительными действительными частями, т. е. при достаточно малых х рас- смптрпваемая нами система (19.1) весьма близка к линейной системе с двумя положительными характеристическими по- кнзатслями. Это и позволило нам построить внутреннюю, цнлиилрическую часть границы £ области R.
При достаточно больишх х система (19.1), наоборот» игсьмп близка к линейной системе с отрицательными харак- теристнчгскимм иокизателями. Дейстпительно, перепишем систему (19,1) п пидс
穿=Q{[零i+ 研 x-z}'
券=7[半 i]T，(19.73)
嘗=—d(y + z).
Ясно» что наша система* в силу условия (19.3), при достаточно больших х сколь угодно близка к системе
器=一 а [(1 + b) z],
•§• = «%+/),(19.74)
窑=—d(y+ z)・
Характеристическое уравнение этой системы имеет вид 戸+ 口+"(1+6)]入2 + 因g+a(1+外]入+
-^- abed = 0.(19.75)
Условия Гурвица для уравнения (19.75) запишутся следующим образом:
abed > 0,а(1 +力)> 0,
[d-}-a(l-}-b)][cd+ad(l+b)] — abcd>OtЭти условия выполнены при положительных а, Ь} с ц d.Таким образом, корни характеристического уравнения си-стемы (19.74) имеют отрицательные действительные части.
Близость системы (19.1) к системе (19.74) и позволила построить внешнюю эллиптическую часть границы области R.
Итак, система (19.1) такова, что при малых х „боль- шинствои решений „отталкивается** от начала координат, а при больших х, наоборот, решения „притягиваются*4 к началу. Это и позволяет построить торообразную область R, ограниченную поверхностью без контакта.
Аналогичные соображения позволяют установить наличие периодических решений для многомерных систем в целом ряде весьма интересных случаев (см. работы [82—88]).
Однако оказывается, что и в тех случаях, когда система удовлетворяет так называемым обобщенным условиям Гурвица, могут появляться периодические решения. Изучению таких систем посвящаются заключительные параграфы книги.
§ 20. Изучение одного дифференциального уравнения с нелинейностью, удовлетворяющей обобщенному условию Гурвица
В этом и следующих параграфах мы будем изучать уравнение
где 〃「乙一положительные постоянные, а функцня /】(电) удовлетворяет условию Липшица в окрестности каждой ТОЧКИ 7].
Перейдем от уравнения (20.1) к системе, положив
х=祭，=喇，Z| = _& 券 (20.2)
получим
(20.3)(20.4)(20.5)(20.3)(20.4)(20.5)一石= y1 -/1（х）,斫=/ 一。м,存_ = _%尤
(20.3)
(20.4)
(20.5)
(20.3)
(20.4)
(20.5)
Сделаем в этой системе замену: тогда получим
H = y — /(x)，承= z-£ N = -。尤 где■
a =^— ‘/ (x) = /— /i ()»
Систему (20.5) и будем в дальнейшем изучать. Наряду с системой (20.5), рассмотрим линейную систему с постоянными коэффшиюнтамн:
ту — //х» ；“ к： z — х,…凉-=—ax. (20.6)
Хпрпктсрпстичсское уравнение этой системы, как нетрудно проверить» имеет вид
入з+欣2+入 + 〃 = о.(20.7)
Условие Гурвица отрицательности действительных частей корней этого уравнения записывается в виде: Л > а.
В соответствии с этим неравенство
丄黑 > а при * # 0(20.8)
называют часто обобщенным условием Гурвица для системы (20.5).
Всюду в дальнейшем мы будем предполагать, что нелинейность /(х) удовлетворяет обобщенному условию Гур- пица *).
. В этом пункте мы рассмотрим общий характер поведения траекторий системы (20.5).
Через ср(р, /) будем обозначать ту траекторию системы (20.5), которая при £ = 0 проходит через точку р фазового пространства. Пусть Е — некоторое множество точек фазового пространства, тогда через (р(£ /) будем обозначать множество тех траекторий системы (20.5), которые при / = 0 проходят через точки множества Е,
Опишем поле направлений, определяемое системой (20.5). Непосредственно из системы (20.5) видно, что при у> /(%) х вдоль всех движений системы возрастает, а при у < / (х) убывает с возрастанием времени t. При z > % у вдоль всех движений системы (20.5) возрастает, а при ^ < х убывает с возрастанием времени. Так как а > 0, то производная 嘗 имеет знак, обратный знаку х. Поэтому при % > 0 z вдоль всех движений системы (20.5) убывает» а при х < 0 возрастает с возрастанием времени.
Плоскость х = 0 траектории системы (20.5) пересекают при у〉0, переходя из полупространства х < 0 в полупространство х > 0, а при у < 0 траектории системы (20.5) пересекают плоскость х = 0, переходя при возрастании времени из полупространства % > 0 в полупространство х < 0. При у = 0 траектории системы (20.5) касаются плоскости % = 0. Пусть точка р лежит на оси Oz и пусть ее аппликата положительна, тогда траектория 中(р, /) системы (20.5) касается плоскости х = 0 при / = 0; при £ 千 0, но достаточно малых, траектория (р(р, f) лежит в полупространстве х > 0. Если точка р лежит на оси аппликат, но имеет отрицательную аппликату, то траектория ^(р, £) касается в точке р плоскости х = 0 таким образом, что при f 声 0, но достаточно малых,屮(р, £) лежит в полупространстве х < 0. Таким образом, аппликата z на плоскости х = 0 испытывает вдоль всех движений системы (20.5) максимум при у〉0 и минимум при у < 0. При у = 0 аппликата z на плоскости х = 0 на траекториях системы экстремума не имеет.
Опишем теперь поведение траекторий системы (20.5) в окрестности плоскости z — х = 0. При этом будем считать *》0, так как при х < 0 картина, очевидно» будет симметричной. Пусть точка р лежит в плоскости z — х = 0. Если в точке р У>/(*)，то траектория р(р, /) пересекает плоскость z — х = 0 при £ = 0, переходя из полупростран-
z — x < 0. Если(20.9)z — x < 0. Если(20.9)ства z — х > 0 в полупространство в точке ру — /(х) < 0, но
z — x < 0. Если
(20.9)
z — x < 0. Если
(20.9)
dz —ах _ f石=У —f (*) > *
то траектория 屮(р, /) в точке р пересекает плоскость Z—х = 0, также переходя из полупространства n — х > 0 и полупространство z — х < 0. В обоих этих случаях ордината траектории ср(р, /) в точке р достигает максимума.
Пусть теперь в точке р окажется
暁= -弊< 1,(20.10)
dx У — fM
тогда траектория ^{р, /) пересекает плоскость z — х = 0» переходя из полупространства n — х < 0 в полупространство z—х > 0. Ордината траектории 中(р, /) в точке р при этом испытывает минимум. Если же в точке р окажется
У </(*)，7£爲=1，(20.11)
то траектория 屮(〃，/) касается в точке р плоскости яг х ^ 0.
Пусть теперь точка р лежит на цилиндрической поверхности у—/(х)=0, при этом по-прежнему предполагается, что % > 0 в точке р. Если в точке р г > х, то траектория ср(р, /) пересекает поверхность у = /(х) в точке р, переходя из области {у — f(x) < 0] в область {у — /(х) > 0} (здесь и в дальнейшем неравенства, заключенные в фигурные скобки, означают те области фазового пространства, где эти неравенства выполняются). При этом в точке р абсцисса траектории ^(р, £) испытывает минимум. Если в точке р 2 < х* то траектория 屮(р, /) пересекает поверхность у — /(х) = 0, переходя из области {у—/(%)〉。} в область {у ——/(х) < 0}. При этом абсцисса траектории 屮(р, /) имеет в точке р максимум.
В этом пункте мы сформулируем одну теорему о поведении траекторий системы (20.5). Для доказательства этой теоремы нам понадобится доказать несколько лемм.
Лемма 20J. Пусть р^ {х > 0, z < 0], тогда траек* тория 甲(р, 0 при / > 0 пересекает плоскость х = 0.
Доказательство. Предположим, что /?^ {х > 0, у — /(%)>0, z < 0}. Покажем, что тогда при возрастании
времени траектория ^{р, /) системы (20.5) пересечет поверхность у — / (х) = 0 и попадет в область {х > 0. У — /(工)<0，^ < 0), Действительно, в области [х > 0, у — /(х) > 0, ^ < 0) абсцисса х вдоль всех движений системы (20.5) возрастает, а ордината у и аппликата z забывают с возрастанием времени. В рассматриваемой области у на траектории у(р、£) ограничен, так как он убывает в этой области и положителен. Но тогда в этой области на траектории 屮(р, /) ограничен и х. Действительно, разделим первое из уравнений системы (20.5) на второе, тогда получим
(20.12)(20.12)dx _ y — f(x)
(20.12)
(20.12)
dy 一 z — X '
Ясно, что z—x < 0 на траектории ^(р, /) при / > 0 и таких, что 中(р, f)g {工 > 0, у — /(х) > 0, z < 0}. Отсюда и из ограниченности у в рассматриваемой области следует ограниченность х.
Покажем, что в области {х > 0, у — /(х) > 0, z < 0} аппликата z также ограничена на траектории 中(р, £). Для этого разделим третье уравнение системы (20.5) на второе, тогда получим
dz _ —dy 一 z — *
Так как х ограничен на 屮(р, t) в рассматриваемой области, a n убывает с возрастанием времени в этой области, то правая часть равенства (20.13) ограничена. Отсюда и из ограниченности у и вытекает ограниченность z. Предположим теперь, что траектория <р(р, f) остается в области [х > 0, у—/(%)，z > 0} при всех £>0. Тогда「(р, f) ограничена при /》0. Но в нашей области все координаты зависят от времени монотонно, поэтому траектория 屮(р, /) стремится при f-> 十8 к некоторой точке фазового пространства, отличной от начала координат. Хорошо известно, что такой точкой может быть лишь состояние равновесия нашей системы. Но система (20.5) имеет лишь одно состояние равновесия, находящееся в точке x = y=z = 0. Поэтому предположение о том, что траектория 屮(р, /) при / ^ 0 остается в области {х > 0, у — / (х) > 0, 2 < 0] абсурдно. Следовательно, траектория ср (р, /) пересекает поверхность у — /(х) = 0 и попадает в область [х > а у —/(х)<о, z<0}.
третье(20.14)третье(20.14)Покажем, что траектория ?(р, /) не может при всех ，〉々 лежать в области (%〉0, у — f(x) < 0, z < 0}. Предположим, напротив, что ?(р, /) лежит в этой области при всех f > & Покажем, что тогда траектория ?(〃，/) ограничена при / > tv Действительно, х в этой области убывает и положителен, следовательно, ограничен. Предположим, что аппликата n вдоль траектории ср(р, /) неограниченно убывает с возрастанием времени. Разделим уравнение системы (20.5) на первое, тогда получим dz —@* 石=У-/(*)'
третье
(20.14)
третье
(20.14)
Из этого равенства следует, что z на траектории Ф(р, /) может быть неограниченным лишь при условии, что у на <р(р, t) ограничен при t > tv Но тогда, как видно из равенства (20.13), z на(р(р, t) при £>厶 также ограничен. Следовательно, предположение о неограниченности z на траектории ср(р, 2) при f > 厶 абсурдно, и, значит, аппликата z на траектории <р(р, / ограничена при £>f「Из
равенства
(20.15)(20.15)dy — z — x~dx~ У —/U)
(20.15)
(20.15)
Il силу монотонного убывания у и ограниченности % н z на траектории 中(р, t) при t > tv следует, что у не может быть неограниченным при £>匕 на /).
Таким образом, если траектория ,(р、/) при /〉А остается в области {% > 0, у — /(х) < 0, г < 0}, то “р, /) ограничена при / > £丫 Но все координаты вдоль траектории cp(p, t) в области {х > 0, у — /(х) < 0, z < 0} изменяются монотонно. Так как n вдоль траектории g(p, t) в этой области убывает с возрастанием времени, то отсюда вытекает существование у системы (20.5) состояния равновесия, отличного от х = у = 2 = 0. А это, как отмечалось выше, неверно. Но пересечь плоскость z = 0 эта траектория не может, так как в области {х > 0} n вдоль всех движений системы (20.5) убывает с возрастанием времени. Поверхность у—/(工)=0 траектория 屮(р, f) пересечь также не может, ибо, как отмечалось в предыдущем пункте, траектории системы (20.5) при z < % пересекают поверхность у = /(х), переходя из области {у—/(%)〉°} в область, {у — /(%)<0}，а не наоборот,
Следовательно, траектория ср(р, /) должна пересечь при / = Тр > ^ плоскость х = 0. А это и доказывает лемму.
Замечание. Утвержделиг лем\ты, очевидно, справедливо и в том случае, когда р {х > 0, n = 0} и когда рС {* = 0, z<；0, У > 0}・
Совершенно аналогично доказывается
Лемма 20,2. Если р^ (х < 0, г > 0}, то ?(р, /) при f〉0 пересекает плоскость % = 0.
Лемма, 20.3. Предположим, что р^ {х > 0, у ——/(х) > 0). Тогда траектория ср(р, /) системы (20.5) при / > 0 пересекает поверхность у — /(工)=0 〃 попадает 8 область {%〉0, у—/(х) < 0}.
Доказательство. Предположим сначала, что PC {力 >0，У 一/(х) > 0, z〉％}. В этой области хну возрастают, а г убывает с возрастанием времени t.
Сделаем предположение, обратное утверждению леммы, т. е. предположим, что при всех / > 0 屮(Р，/)€{%〉0， у — /(х) > 0}. Покажем, что тогда ^{р. /) при / > 0 пересечет плоскость n — х = 0.
Действительно, х и ^ на траектории 屮(р, /) в области {%〉0, у — /(х) > 0, 2 — х > 0} ограничены, так как z в этой области убывает с возрастанием времени. Покажем, что ордината у в этой области также ограничена на 屮(р, /)• Для этого обратимся к равенству dy _ z-产 dz 一 —a*
Знаменатель дроби, стоящей в правой части этого равенства, может обратиться в нуль лишь при х = 0. Так как на(р(р, t) при f》0 в области {х > 0, у — /(%)〉0, z — х > 0} оказывается %》％(/?) и, как отмечалось выше, х на ^{р, t) в этой области ограничен при /》0, то существует такое число I > 0, что ах> I при /》0 и таких, что траектория 屮(р, /) остается в области [х > 0, у — /(%)〉0, z > х]. Отсюда и из ограниченности z и следует ограниченность у в этой области. Таким образом* траектория 屮(р, t) ограничена при £〉0 в области {% > 0, у — f{x) > 0, 2— х > 0}.
Отсюда вытекает, что ср(Р，0 покидает эту область при возрастании времени. Действительно, допустим, напротив, что ?(р, f) W，％ > 0，У^~ /(х) > 0, z — х > 0} при всех f》0. Но тогда в силу ограниченности траектория 屮(р, /)
f 20] ИЗУЧЕНИЕ ОДНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ 317 имеет ш-предельную точку q. Так как в рассматриваемой области х вдоль 屮(р, £) возрастает, то ясно, что х(^) > 0. Кроме того, из возрастания n вдоль f(p, /) следует, что Ihn z«(p, /)) = z(g). Но из х(^) > 0 следует, что при / > 0 и достаточно малых z(「(g, /))<z(g)・ А тогда по сиойству ш-предельных множеств найдется такое т > 0, что z (?(Р，弋))V z(9)・ Последнее неравенство противоречит монотонности функции z (屮(р, 0) н соотношению г (^ (р, f))f z(g) при / —> сю. Полученное противоречие и доказывает, что 屮(р, О покидает область {х > 0, у—f(x) > 0, г > х} при / > 0.
Поверхность у — /(*) = 0 траектория g(p, /) не пересекает по предположению; следовательно, при / = /】中(р, /) пересекает плоскость z — х = 0 и попадает в область {% > 0, у — /(%) > 0, z — х < 0, г > 0). В этой области у и z ограничены на траектории cp(p, f), так как они убывают и положительны. Покажем, что и х ограничен на 屮(р, f) в этой области. Действительно, из убывания z и возрастании 工 следует, что в этой области выполняется неравенство
N —х< 厶 <0， (20.17)
где 人一некоторая постоянная. Отсюда, из ограниченности у в области [х > 0, у — /(х) > 0, z — х < 0) и из равенства (20.12) следует ограниченность х в рассматриваемой области. Таким образом, в нашей области все координаты на траектории <р(р, /) ограничены и монотонно изменяются со временем, поэтому траектория ^{р, /) не может лежать в этой области при всех f > А н» следовательно» при возрастании / покидает ее.
Пересечь плоскость z — х = 0 траектория 屮(р, f) не может, так как в области {% > 0, у > /(х), г < х, z > 0} х вдоль 屮(р, /) возрастает, a z убывает с возрастанием t. Пересечь плоскость х = 0 <р(р, /) также не может в силу возрастания х при у〉/(х). Поэтому траектория у(р, /) при /и%〉/】 пересекает либо плоскость 2 = 0, либо поверхность у — /(х) = 0. Во втором случае лемма доказана. Если же 中(р, £) при £ = % пересекает плоскость ? = 0, то она при этом переходит в область {х > 0, у — f(x) > О, z < 0). Но тогда, как видно из доказательства леммы 20.1, при / = /3 > /2 траектория ?(р, /) пересекает поверхность
у—/(х) = 0 и попадает в область [х > 0, у—/(х) < 0), Этим и завершается доказательство леммы 20.3.
Замечание. Утверждение леммы, очевидно, справедливо и в том случае, когда р W {%》0, у — /(%)》0, n — х > 0}.
Лемма 20.4. Предположим, что р ^ (х < 0, у — ——f(^) < 0). Тогда траектория <р(р, /) при / > 0 пересекает поверхность у—/(х) = 0 и попадает в область (х < 0, у —/(х)> 0).
Доказательство этой леммы аналогично доказательству леммы 20.3.
Лемма 20.5, Если при всех f》0 оказывается ?(Р‘ /)€{%〉0，У—/(х) <； 0, г > 0), то ?(р, /) стремится к началу координат при оо.
Доказательство. Так как вдоль ?(р, t) абсцисса и аппликата убывают с возрастанием времени, то они ограничены на этой траектории при f》0.
Положим
g] = max/(x) при 0 < х < ^(р).(20.18)
Тогда, так как траектория cp(p, t) находится при f》0 в области {х > 0, у — /(х)^ 0, z〉0}, то ордината у ограничена на ней сверху числом g】.Кроме того, из равенства (20.15), из ограниченности х и .г и из монотонности убывания х вдоль траектории q(p, t) с возрастанием времени вытекает, что ордината у ограничена на “р, /) при f》0 также и снизу. Таким образом, траектория ср(р, t) положительно устойчива в смысле Лагранжа и, следовательно, имеет ш-предельпую точку q с координатами х0, %, г0. Покажем, что *0 = % = 2()= 0. Действительно, так как 2 вдоль траектории ^{р. f) при /》0 монотонно убывает с возрастанием времени, то должны выполняться соотношения
Z(Q(P，t))> Zg при /》0(20.19)
и
lim N(g(p, /)) == z0.(20.20)
f-> +8
Точка g, являясь (o-предельной для траектории у(р, £), лежит внутри или на границе той области, в которой лежит траектория 屮(р, f) при f>0; следовательно, "{%》。， у—/(%)《0, z》0}. Так как траектория ?(д, /) является ш-предельной траекторией для ?(р, /)» то при всех ( ока-
жстся 屮(0, /)€{%》°，У—/(х) < о, z》0}. Предположим теперь, что точка q не совпадает с состоянием равновесия (0, 0, 0) системы (20.5). Но тогда легко видеть из предыдущих рассуждений, что при любом 八〉0 окажется
N(屮(0' G)<?&・ (20.21)
Так как траектория 屮(g, f) есть ш-предельная траектория для 屮(р, /), то из неравенства (20.21) вытекает, что существует такое т > 0, что выполняется неравенство
N(屮О с)) < N& (20.22)
Последнее неравенство противоречит неравенству (20.19). Полученное противоречие и доказывает, что точка q совпадает с началом координат. Таким образом, траектория ^(pt t} имеет точку x = y = N = 0 своей единственной («-предельной точкой. Лемма доказана.
Аналогично доказывается
Лемма 2“6・ Если при f》0 ?(■ f)W{%<°， у — /(х)>0， z < 0}, mo 屮(p, f) стремится к началу координат при /->4- оо.
Теорема 20.1, Любая положительная полу траектория системы (20.5), целиком лежащая в одном из полупространств %》0 или х《0, стремится к началу координат.
Доказательство. Предположим для определенности, что при f》0 выполняется соотношение 屮(/?,/)£ {%》0}・ Из леммы 20.1 следует, что тогда 屮(р, £)£{%〉0, г > 0} (если только р не совпадает с точкой (0, 0, 0), что мы и будем предполагать при доказательстве этой теоремы). Возможны два случая: либо существует такое Т, что при f〉Т 屮(〃，£)£{%〉0，У — /(%)《0，г > 0}, либо такого Т не существует. В первом случае доказательство завершается простой ссылкой на лемму 20.5. Обратимся ко второму случаю. В силу леммы 20.3 найдется такое 0】> 0, что 屮3。1)£{%〉6，У — /(х) < 0, z〉0}. Так как по предположению не может оказаться, что 屮(р, /)^ (х > 0, у — /(х) <0, z > 0} при всех f》8】，то найдется такое t| > 0J, что на траектории 屮(р, /) окажется
y(q)=/(*(q))・ (20・23)
Из рассуждений проведенных в первом параграфе настоящей главы, ясно что при этом окажется
N(z)— %(%)》0(20.24)
на траектории 屮(р, £).
Согласно лемме 20.3 мы сможем указать такое число ®2 > '1+ Ь что 屮(р, %)Е{х>。，У — /(%)<0，z>。}, а по этому % так же, как и выше, найдется такое & > % что
У «2)= /(% «2))，N G) — X《2)= °，(20.25)
Продолжая этот процесс дальше, мы сможем указать такую последовательность тр т2, т3, ,.. моментов времени, что%〉％т+1~
У (%) —/(*(“))= 0'(20.26)
И
2(“)一 ％(“)》0(20.27)
на траектории 屮(р, £)・
Так как траектория ср(р, /) при f>0 лежит в полупространстве %》0, то z вдоль этой траектории убывает с возрастанием времени при f》0, поэтому можем написать
Ю◎⑺(20.28)
на траектории 屮(р, /). Отсюда и из (20.27) получаем
x(“)Cz(p)(20.29丿
на 屮(р, /)• Положим теперь
^2 = inax/(x) при 0《х《z(p)・(20.30)
Из(20.26), (20.18), (20.29) и (20.30) вытекают следующие неравенства:
0《y«S，“))Cg2・(20.31)
Из неравенств (20.29) — (20.31) вытекает, что последовательность точек 屮(р, тй) ограничена, следовательно, она имеет предельную точку q с координатами х0, у。，z0.
Так как тА > тАв1-|- 1, то Пттй = оо; следовательно, ,々->8
точка 0 является а)-предельной точкой для траектории 屮(〃，/)・ Покажем, что точка q совпадает с началом координат. Действительно, так как z вдоль траектории 屮(р, /) моно-
тонко убывает с возрастанием времени, то должны выполняться соотношения
z仲("/))> 局)при /> 0(20.32)
и
Uni * (屮(卩")■*()・(20.33)
Траектории 屮(g, f) иплнется («-предельной для 中(р, /), позт什му при всех t окажется 屮(д,工)£{%》0，z》0}. Предположим, что q нс совпадает с началом координат, toi Д1, ОЧ0Н11ДНО, найдется такое А > 0, что
2(中(外 ADV%.(20.34)
Тйк как точка 中(玖 А) является ш-предельной для траектории 屮(р.，)・ то найдется такой момент времени ^2 > 0, что
2(中3 $2))V %.(20.35)
Нтп неравенство противоречит неравенству (20.32). Получен- по© противоречие и доказывает, что точка q совпадает с началом координат. Аналогично показывается, что любая Лругпя w-предельная точка траектории ср (р, t) совпадает С Нйчалом координат. Следовательно,屮(р, /) стремится к этому сосгоннию равновесия при £-> + 8. Теорема доказана.
Будем рассматривать случай, когда @》1・ Положим
/(%)= ах 十 а (%);(20.36)
тогда неравенство (20.8) примет вид
•^•>0 при х#0.(20.37)
Справедлива следующая
Лемма 20・7・ Предположим, что выполнено неравенство а > 1. Пусть рЕ{х》0, у—/(х) > 0}, тогда траектория 中("，£) при / > 0 пересекает плоскость х в 0.
Доказательство. Если n(/?)《0, то утверждение ®тоН леммы следует просто из леммы 20.1. Пусть z(〃)〉0. Предположим сначала, что 〃W {%》°，у—/(х)>0, z—х〉0}. Как было показано при доказательстве леммы 20.3, траектория 中(р, £) пересечет плоскость z — % = 0 при /™#1 > 0, и при этом на этой траектории будет выполнено
21 В. А. Плмсс
неравенство (20.17). Таким образом, если р€{%》。，У — -/(%)>0, z — x > 0}, то еущеетвуеt такое а》0，что на ср(р, t) выполняются соотношения
n(A)—х(А)С0,(20.38)
У«1)-〃х(8)》0・(20.39)
Если же р ^ (х > 0, у〉/(х), N—х《0}, то положим f] = 0, тогда соотношения (20.38) и (20.39) на траектории ср(р, /J будут также выполнены. Из неравенства (20.8) вытекает, что на ср(р, /) выполняется неравенство
'y(G》〃x(fi))>。％(々)・(20.40)
Положим
/(Х(4)) — ах «1) =九
тогда из (20.40) получим
У«1)> ах(А)+九(20.41)
на траектории ^(р, f). Обратимся теперь к равенству (20.16)> перепишем его в виде
dy — х zdz 一。十 ,
Так как по условию а》1, то из последнего равенства вытекает, что при х〉0 и z > 0 справедливо соотношение
4J< L(20.42)
Пусть 7〉А — произвольное число, такое, что при ££(£「Т) на траектории g(〃，f) оказывается х > 0, z > 0. Тогда на траектории 屮(/?, t) при £€«и「)выполнено неравенство (20.42). Проинтегрируем это неравенство вдоль траектории *(р, /) в пределах от tx до 7\ тогда получим
уе(〃，7)) —у (中(p,幻)>2(屮(〃，7)) -z®(〃，八))
ИЛИ
У«(〃，7))>z«(〃，7)) + у(<р(р,幻)一z(<p(p,幻).
Отсюда, из соотношений (20.38), (20.41) и а》1 получаем
У«(，7))〉z(<p(p, 7)) +九. (20.43)
Из этого соотношения следует, что должно быть выполнено неравенство
*9(” 7))>0，(20.44)
так как при у > 0 траектории системы (20.5) пересекают плоскость % = 0, переходя из полупространства х < 0 в полупространство х〉0.
Покажем теперь, что у(р、£) пересекает плоскость n = 0 при t > tr Действительно, допустим, напротив, что это не так, т. е. предположим, что при f > 匕 z(^ (р, f))〉0. Но тогда из (20.44) следует, что х&(р, ^)) > 0 при всех f > 厶(так как за Г можно тогда выбрать любое число, большее 厶). В таком случае из теоремы 20.1 следует, что траектория ср (р, f) стремится к началу координат при £ -* +оо, а это невозможно в силу соотношений (20.43) и N (屮(р, £))〉0 при / > /). Полученное противоречие доказывает, что 中(р, £) пересекает плоскость z = 0 при ^ = /2 > ^. При этом ясно, что при f£[fi，力】％(屮(卩，f) S* 0・
По лемме 20.1 можно утверждать, что траектория cp(p, f) пересекает плоскость х = 0.
Лемма доказана.
Предположим опять, что а》 1 Н р£ {х》0, у—/(х)>0}, тогда по лемме 20.7 траектория 屮(“ f) при / > 0 пересекает плоскость % = 0. Пусть tp — первый после £ = 0 момент пересечения траектории 屮(р, £) с плоскостью % = 0, тогда из самого доказательства леммы 20.7 видно, что на траектории 中(р, £) выполнены соотношения
У(%)<0，z(%)<0・(20.45)
Аналогично доказывается
Лемма 20,8. Если а》 1 « рС {х《о, у —/(■*：) <0}, то траектория 屮(р, /) при / > 0 пересекает плоскость # = 0.
Из лемм 20.7 и 20.8 вытекают следующие теоремы.
Теорема 20.2. Пусть выполнено неравенство а>1 〃 пусть точка р лежит в плоскости х = 0, тогда траектория 屮(р, £) системы (20.5) при £>0 пересекает плоскость х = 0.
Теорема 20.3. Предположим, что выполнено нера^ венство а>1. Пусть точка р, отличная от точки % = y = z = 0, лежит в плоскости х = 0 и пусть
^ > 0 — первый после f = 0 момент пересечения траек・ тории 屮(р, £) с плоскостью х = 0, 芍〉々—первый после А момент пересечения ^(р, /) с плоскостью х = 0. Тогда возможно одно из двух: либо у(^) > 0, 2(厶)>0, и тогда у (^2) < 0, 2(%) <0； «〃6。У (小 <0，z"i)<0, 以 тогда у(^2) > 0» 2f (f2) > 0.
Об ограниченности решений
Будем по-прежнему рассматривать систему (20.5). Относительно функции /(х) будем считать, что она удовлетворяет условию (20.8), непрерывно дифференцируема при всех х и. кроме того, существуют такие числа е > 0 и х0 > 0, что
公=广(％) — а > е при |%|》％о，(21.1)
При этих предположениях мы докажем, что все решения системы (20.5) ограничены при £f+ 8, и выясним более подробно качественную картину расположения траекторий этой системы.
Рассмотрим функцию
w =^(z —*)2 + ^у2_уа(х)+аха(х) +
+ — а2(х) — а / а(х) dx. (21.2) .*.6
Производная от этой функции по £, взятая в силу дифференциальных уравнений системы (20.5), как нетрудно проверить. равна
е = — а'(х)(У — /(х) )2.(21.3)
При |%|》％о производная эта неположительна, т. е. функция и при таких х не возрастает вдоль решений системы (20.5).
Введем следующие обозначения. Пусть D》0 таково, что
D》一minaq#) при |#|《&,(21.4)
Обозначим, кроме того,
Xj = -15£i?L Xq( %2=ioxp(21.5)
加= шах |/(х)+%|, r = ^^1.(21.6)
Докажем следующую лемму.
Лемма 27.7. Предположим, что выполнено условие (21.1). Пусть точка р лежат 6 области [0 ^ х ^ х0» 2》一л:。，У》/(%)｝； пусть, кроме того,
и(р)> 巽2,(21.7)
где и — функция координат фазового пространства, введенная равенством (21.2). Тогда траектория 屮(р, О системы, (20.5) пересекает плоскость х = хг при f = =f]〉0 (под 厶 понимается первый после f = 0 момент пересечения 屮(〃，f) с плоскостью х=Х]), и на траекто* р〃〃 屮(〃，/) выполняются соотношения
у — /(х) > 0 при fW(O,厶] (21.8)
V@(〃，0)) = v(〃)> V(屮(р,厶)). (21.9)
Доказательство. При доказательстве этой леммы мы будем рассматривать лишь одну траекторию системы (20.5) —ср(р, /). В связи с этим различные функции координат фазового пространства мы будем иногда рассматривать просто как функции времени £• Так, например, е(£)есть значение функции е в точке 屮(р, /). При доказательстве леммы мы рассмотрим два различных случая:
У 5)、1У 5)、111.11.уЗ?5)уЗ?5)<<
У 5)、1
У 5)、1
11.
11.
уЗ
?5)
уЗ
?5)
<
<
Рассмотрим сначала случай I. Из неравенства (21.7), из вида функции v (равенство (21.2)), из обобщенного условия Гурвица (20.8) и из обозначения (20.36) легко вывести неравенство
у (р) > 100加. (21.10)
Отсюда следует, что при достаточно малых £ > 0 выполняется неравенство
У«) >/(*«))•(21-11)
Из первого уравнения системы (20.5) следует, что при таких f х возрастает. Докажем теперь, что до тех пор» пока на ср(р, £) оказывается х хР на этой траектории выполняется неравенство
У > 0,9у(р)・ (21.12)
Из неравенства (21.10) и обозначения (21.6) следует, что неравенство (21.12) влечет за собой и неравенство (21.11). Таким образом, если мы установим справедливость неравенства (21.12), то тем самым мы докажем, что 屮(р, /) пересекает плоскость х — хг при / = £] н соотношение (21.8). Доказываем неравенство (21.12). Если z(p)〉x(p) и если траектория 屮(р, /) до пересечения с плоскостью х = % не пересекает плоскость z — х = 0, то неравенство (21.12) следует просто из того, что у вдоль всех движений системы (20.5) возрастает при z — х > 0. Предположим теперь, что z(p) — х(р)< 0 или что z(p) — %(р)>0, но траектория у(р, 0 пересекает плоскость z — х = 0 до пересечения с плоскостью х = %]・ Будем доказывать неравенство (21,12) от противного. Предположим, что существует такое 尸 > 0, что
у&) = 0,9у(р),•(21.13)
х(Г)<^1(21.14)
и что при ££[0,尸)неравенство (21.12) выполнено, т. е. что f* — первая точка, в которой нарушается неравенство (21.12).
Обратимся к равенству dz _ ах…
неравенства (21.10) и (21.12) сле・ (р(р, /) при f£[0, /*) выполняетсяахнеравенства (21.10) и (21.12) сле・ (р(р, /) при f£[0, /*) выполняетсяахdx —
неравенства (21.10) и (21.12) сле・ (р(р, /) при f£[0, /*) выполняется
ах
неравенства (21.10) и (21.12) сле・ (р(р, /) при f£[0, /*) выполняется
ах
Из этого равенства и из дует, что на траектории неравенство dz _ dx —89m*
а потому
黑>一击，(21」6)
Проинтегрируем последнее неравенство вдоль траектории Ф(р, 0 в пределах от 0 до 尸，тогда получим в силу (21.14) 2(0)一2e)V款(21.17)
Рассмотрим теперь равенство (20.15). Из этого равенства, из неравенств (21.12) и (21.17) и из того, что по условию z (р) = z (0)》一х0. следует
dy *。+击占+修、1不〉89^> 20 •
Интегрируя это неравенство вдоль 中(р, /) на промежутке 0 V £ V 优 получаем
У(Р)-УС) <务・(21.18)
Так как х} < 加，то последнее неравенство противоречит равенству (21.13). Полученное противоречие и доказывает неравенство (21.12).
Докажем теперь неравенства (21.9). Имеем
叫)—"(0)= / 黑&*+/芸а*.* (р)*0
Отсюда и из (21.3) следует
智(厶)一и(0) = — J』(%)(y — f(x))dx —
-f ^(x)(y-f(x))dx. (21.19)
Оценим интегралы, стоящие справа в этом равенстве. Для этого оценим сначала y(f) на промежутке 0《f《£「Из уравнения (20.15) получаем
dy1^ —Х|
dx 、 у — m *
Так как z вдоль траектории 屮(р, £) при f£[0, fj убывает с возрастанием времени и так как при / ^ [0. &] на 屮(р, t) выполняется неравенство (21.12), то из последнего неравенства и из условия случая I следует
Интегрируя это неравенство и используя неравенство (21.10), получаем
У ⑴ <2у(р) при £00,修.
Принимая во внимание это неравенство, можем написать
Го
/ 公(х)(у — f{x)}dx >—2Dy(p)x0.(21.20)
Кроме того, из неравенств (21.10) и (21.12) получаем
/ а，(*)(у—/(*))"*> gey(p)(*i — *o).
Отсюда и из (21.5) выводим
/ а，(*) (у — / (Х)) dx > 5Dy (р) х0.(21.21)
Из равенства (21.19) и неравенств (21.20) и (21.21) вытекает неравенство (21.9).
Переходим к случаю П. Так же, как и в случае 1, легко установить неравенство
2(р)> 105-^-.(21.22)
Покажем, что в рассматриваемом случае траектория 屮(〃，t) пересекает сначала плоскость % =占，а лишь затем плоскость z — х = 0. Этим, очевидно, будет доказано существование момента 厶 и неравенство (21.8). Предположим, вопреки нашему утверждению, что существует такое 尸 > 0, что
N«*)—%«*)= о,(21.23)
%(尸)《々(21.24)
и при f£[0, £*) выполняется неравенство
z(f) —%«)>0・(21.25)
Таким образом, £* — первый после f = 0 момент нарушения неравенства (21.25) (неравенство (21.25) при f = 0 выполнено, что вытекает из (21.22)). Из равенства (21.23、
и неравенства (21.22) следует, что существует такое £** е(0£), что
2 (0) — 2 (户)=/п・(21.26>
Обратимся к равенству
累=一年(21.27)
Из равенств (21.26) и (21.27) и из неравенства (21.22) следует, что на траектории ср(р,力 при ££(0, £**) выполняется неравенство
^-< — 100.
Интегрируя это неравенство вдоль траектории <р(р, О от / = 0 до / = /**, получаем в силу (21.26)
'У (严)> 100m.(21.28〉
Так как на промежутке /**</<£* выполняется неравенство (21.25), то на этом промежутке у(£) возрастает, и, следовательно, из последнего неравенства получаем
y(f)>100m при ^[/**. Л> (21.29)
Из равенства (21.15) и неравенства (21.27) заключаем, что на траектории ср (р, О при /£[/**、产]выполняется неравенство
dz 1
99'
Интегрируя это неравенство вдоль траектории <р(р, /) при Г* < ? < Г, получим, используя (21.24),
Z(尸)一z(D V击小
Отсюда и из (21.26) получаем
z(0) —z(f*)V/n+击 X].
Последнее неравенство противоречит равенству (21.23) и неравенствам (21.22) и (21.24). Полученное противоречие и доказывает» что траектория cp(p, t} в рассматриваемом случае пересекает сначала плоскость х = хг а лишь затем плоскость 2 — х = 0・
Введем следующие обозначения. Пусть, как и раньше, tQ и ™■ моменты пересечения <р(р, f) с плоскостями х — xQ м х = %i соответственно, а 2 =，一 момент пересечения 平(р, t) с плоскостью % = 2х0. Очевидно, что 0《力 V，V 片・ Покажем, что при t ^ [^, /】]выполняется неравенство
у(£)> 10/п.(21.30)
Действительно,если существует такое Г*^[0,，卜что
при / = /** выполняется равенство (21.26), тогда так же, как и выше, мыдокажем неравенство(21,28),аизнего
«будет следовать(21.30), так как у(/)при / ^[0,EJвоз
растает вместе со временем. Если же такого /** не существует, то это значит, что при t ^ [0,，] имеет место пера- ®енств0z(0) — z(t)<m..(21.31)
Будем в этом случае доказывать неравенство (21.30) от противного. Предположим, что при fg[O, f] выполняется неравенство
у«)《 10/п.(21.32)
Тогда из равенства (20.15) й неравенств (21.22) и (21.31) следует, что
dy 100m2 dx
Отсюда и из (21.32) вытекает
«а траектории ср(р, /) при /£[0, /']. Проинтегрируем последнее неравенство вдоль ^(р, t) в пределах от £ = 0 до f = L, тогда получим
у(，) 一 у(0) > 10/п.
Так как по условию у (0) > 0, то последнее неравенство противоречит неравенству (21.32). Полученное противоречие м доказывает неравенство (21.30).
Докажем теперь неравенство (21.9). Обратимся для этого к равенству (21.19). Оценим интегралы, стоящие в этом равенстве справа:
J а，(х)(у —/(x))dx>—£>у(，)&, (21.33)
“(Р)
так как при f£[0, fj у(£) возрастает;
/ м(х)(у —/(x))dx> е(у(，)一/«)(*1 —2*0).
Отсюда, из (21.30) и (21.5) следует
/ а，(х)(у —/(х))ах>50у(，)х().(21.34)
Из (21.19), (21.33) и (21.34) и вытекает (21.9).
Лемма, таким образом, доказана.
Лемма 2/.2・ Пусть выполнено условие (21.1). Пред- положим^ что точка р лежит е одной из областей ｛о《力《&，2>0, у = /(х),守>^必｝ "4〃 j х = 0, У《0, z>0,子》-1，守》｝《｝, 20%巾а/и в лемме 21.1. 0 — функция, определенная равенством (21.2). Тогда траектория ср(р, £) системы (20.5) пересекает плоскость к = Х[ при £ =九<0 (под 厶 понимается первый меле / = 0 момент пересечения 屮(р, £) с плоскостью х = х1 в направлении убывания времени), и на траектории 屮(р, t) выполняются соотношения
y V / (Х)办p" f€[厶，。)，y V / (Х)办p" f€[厶，。)，(21.35)(21.35)八Р)<М虱p，幻)■八Р)<М虱p，幻)■(21.36)(21.36)
y V / (Х)办p" f€[厶，。)，
y V / (Х)办p" f€[厶，。)，
(21.35)
(21.35)
八Р)<М虱p，幻)■
八Р)<М虱p，幻)■
(21.36)
(21.36)
Доказательство. При доказательстве этой леммы мы будем рассматривать лишь одну траекторию системы (20.5)—屮(р, f). Поэтому так же, как и при доказательстве леммы 21.1, различные функции координат фазового пространства мы будем считать функциями времени.
Так же, как при доказательстве леммы 21.1. легко уста
новить неравенство
(21.37)(21.37)2(Р)> 105 礬
(21.37)
(21.37)
Докажем, что траектория ср(р, £) пересекает плоскость х = Xj при f =厶 之 0. При £ V 0 и достаточно близких к нулю траектория 屮(р, f), как нетрудно видеть, лежит
в области {х > 0, у V/(x), z > х]. Покинуть эту область траектория ср(р, /) может лишь через плоскость z — х = 0. Но в области {х > 0} N(f) возрастает с убыванием времени. Отсюда и из неравенства (21.37) следует, что 屮(р, /) может пересечь плоскость z — х = 0 лишь после (в направлении убывания времени) пересечения с плоскостью х = хг
Предположим теперь, что траектория ср(р, /) не пересекает плоскость %=%] при ^ < 0. Тогда, очевидно, при всех f V 0 траектория cpjp, /) лежит в области {0 < х < хр У </(•«)• 2 —х> 0}.
Рассмотрим следующую функцию координат фазового пространства:
侬= ^y2 + g(z —х)2.(21.38>
Производная от этой функции по времени, взятая в силу дифференциальных уравнений системы (20.5), как легко проверить, равна
而=(2 — х)а(х).(21.39)
Из равенства (21.39) следует» что функция w в области {х > 0, 2 — х > 0} убывает вместе со временем вдоль всех движений системы (20.5). Отсюда следует» что траектория Ф(р, f) в области {0 < х < xv у — /(х), 2 — х > 0} ограничена при f V 0 и, следовательно» при /—> — оо должна стремиться к состоянию равновесия, отличному от начала координат. Но система (20.5) имеет лишь одно состояние равновесия — точку % = y = N = 0. Полученное таким образом противоречие и доказывает, что траектория cp(p, t) пересекает при 2 =厶<0 плоскость х = хР Попутно мы установили также неравенство (21.35).
Переходим к доказательству неравенства (21.36). Пусть " и 〃 一 моменты пересечения траектории cp(p, t) с плоскостями х = х0 и х = 2х0 соответственно. Ясно, дто0》£()> > ^ > А・ Покажем, что
у(У)< —9/п.(21.40)
Предположим, напротив, что
у (У) > — 9九
Так как y(f) убывает с убыванием времени, то из послед* него неравенства вытекает соотношение
у(£)》一9/п при £'《£《0・(21.41)
Из равенства (20.15) и неравенств (21.37) и (2L41) следует неравенство
生V 一10里ах
на траектории ср(р, /) при O《f《f'・
Проинтегрируем последнее неравенство вдоль траектории <р(р, t) в пределах от / = 0 до £ =，，тогда получим
У (〃) — У (°) V — 10/П,.(21.42)
Но по условию у (0) = у (Р)《/(%(р)) V/п・ Отсюда и из (21.42) вытекает следующее неравенство:
у (，)< — 9ffl.
Последнее неравенство противоречит неравенству (21.41).
Полученное противоречие и доказывает неравенство (21.40).
Доказываем теперь неравенство (21.36). Обратимся к равенству (21.19). Оценим интегралы, стоящие в правой части этого равенства:
J ^ (Х) (y — fM^dx^D (у (^) — т) х0, (21.43) Х(р)
так как при £0匕，0] y(f) возрастает вместе со временем;
J а' (х) (у — / (х)) dx < еу (f)(占—2/).
Отсюда и из (21.5) получаем -
/ а' (%) (у — f(x))dx < 1 ODy (f) №・(21.44)
Из неравенств (21.39), (21.43) и (21.44) вытекает соотношение
/公(％)(у — f(x))dx < 0.(21.45)
х(р)
А отсюда и из (21.19) следует (21.36)..
Лемма доказана...
Лемма 27・3・ Пусть выполнено условие (21.1). Пред^ положим, что точка р лежит 8 области {х = 0, у < О, jyp -< 1, u》^R，，где, как 〃 выше, и — функция, ой- ■ ределенная равенством (21.2).
Тогда траектория 屮(р, t) системы (20.5) пересекает плоскость х — xY при ^ = ^ < 0 {под 片 понимается первый после £ = 0 момент пересечения ср(р, £) с плоскостью 月=月1 8 направлении убывания времени), и на траектории ср(р, £) выполняются соотношения
У </(х) при f£ 佑，0)(21.46)
и
и(р)<и(ср(р, А))・.(21.47)
Доказательство； Так же, как и раньше, при доказательстве леммы мы будем рассматривать лишь одну траекторию системы (20.5) — ©(р, t) и считать в связи с этим различные функции координат фазового пространства функциями времени..
Как и при доказательстве предыдущих лемм, нетрудно установить неравенство
У(Р)< — 100削・(21.48)
Станем двигаться вдоль траектории ср(р, f) в направлении убывания времени от точки р. Покажем, что до тех пор, пока на траектории ср (р, t) оказывается х<： %「на ней выполняется неравенство
у < 0,9у (р).(21.49)
Будем доказывать это неравенство от противного. Предположим, что при движении вдоль траектории 中(р, /) от точки р в направлении убывания времени неравенство (21.49) нарушается раньше неравенства х ^ хР Так как при /==0 неравенство (21.49) выполнено, то это значит» что существует такое f* V 0, что
у&) = 0,9у(р),(21.50)
%(产)《占(21.51)
и
y(f)V0,9y(р) при£«尸，0],(21.52)
%(/)《％1 при/^[/*,0].(21.53)
Обратимся к равенству (20.15). Из этого равенства, и» неравенств (21.59) и (21.48) и из того, что при /£[/*, 0} z(£) возрастает с убыванием времени, следует, что на тра* ектории <р(р, 0 при t ^ [f*, 0] выполняется неравенство
Интегрируя это неравенство вдоль <р(р, /) от / = 0 до £ =尸 и используя неравенства (21.51) и (21.53), получаем
У«*)-У(0)<2/. (21.б4>
Неравенства (21.48) и (21.54) противоречат равенству (21.50). Полученное противоречие и доказывает справедливость неравенства (21.49).
Докажем теперь, что траектория ср(р, f) при £ =厶<0 пересекает плоскость х = хг Допустим, напротив, что это не так. Тогда при всех ^ < 0 траектория ср(р, /) лежит в области {0 < х < хр у<0,9у(р)}. Докажем, что тогда ср(р, 0 ограничена при / < 0. Если при всех f < 0 ^(р, О лежит в области {n—х>0}, то ограниченность траектории <р(р, /) при ^ < 0 доказывается так же, как и при доказательстве леммы 21.2, путем рассмотрения функции w, введенной равенством (21.38).
Пусть существует хотя бы один момент времени £' < О такой, что точка ср(р,，)лежит в области {0 < х <； х1( у < 0,9у (р), 2 ——％ 之0). Тогда при всех f V £' траектория ср (р, t) лежит в этой области. Действительно, покинуть эту область она может только через плоскость n — х = 0. Но, как показывает неравенство (20.10), при х > 0 и у < 0 все движения системы (20.5) пересекают плоскость z — % = 0, переходя при убывании времени из области {n — х > 0} в область {z — х < 0), Поэтому траектория ср(р, £) при % V，лежит в области {0 < х-< хР у < 0,9у (р), n—х < 0}. В этой области 2(f) возрастает с убыванием времени и ограничен сверху числом хР а у(£) возрастает и отрицателен. Таким образом, траектория ср(р, t) при ^ < 0 ограничена и при достаточно малых t целиком лежит в одной из областей {0 < х< xv у — /(х) < 0, N — X > 0} при {0 < х < xv у — /(лг) < 0, 2 — х < 0}. Следовательно, при f—> — оо траектория ср(р, /) стремится к состоянию равновесия системы (20.5), отличному от точки х = у = 2 = 0・ Это
противоречит тому, что система (20.5) имеет лишь одно состояние равновесия. Полученное противоречие доказывает, что ср(р, /) при £ = А <6 пересекает плоскость х — хР Из неравенства (21.49) следует неравенство (21.46).
Оценим теперь y(f) на промежутке 厶《£ &0 снизу. Из равенства (21.15) и из неравенств (21.48) и (21.49) следует, что
dz 1< 90
«а траектории ср (р, f) при /0% 0]. Проинтегрируем это неравенство вдоль траектории ср (р, t) в пределах от / = 0 до £ = tv тогда получим
z(G —Z(O)V 击(21.55)
Из равенства (20.16), из неравенств (21.48), (21.49) и
(21.55) и из условия¥(Р，0 при ££[£「0](21.55) и из условия¥(Р，0 при ££[£「0]|^^-《1 следует, что на траектории
(21.55) и из условия
¥(Р，0 при ££[£「0]
(21.55) и из условия
¥(Р，0 при ££[£「0]
I J \г / I
выполняется неравенство
—2
Интегрируя это неравенство вдоль ср (р, i) от / = 0 до f = A，получаем
У(А)— У(0)> — 2%i・
■Отсюда ясно, что
у(幻 >—2у(0)・(21.56)
Докажем теперь неравенство (21.47). Оценим интегралы, стоящие в правой части равенства (21.19). Имеем
/ а7 (х) (y — f(x))dx<—D (2у (р) — т) х0,(21：57
о
что следует из неравенства (21.56).
Из неравенства (21.49) вытекает соотношение
Jм(х)(у —f{x))dx < 0,9еу (д)® — &).
Отсюда и из (21.5) получаем
"(х)(У— /(*))&%< 9Оу(р)х().(21.58)
Из неравенств (21.48), (21.57) и (21.58) вытекает соотношение
/а，(х)(у—/(x))dx<0,(21.59)
О
а из неравенства (21.59) и равенства (21.19) следует неравенство (21.47).
Лемма доказана.
Лемма 2/4 Пусть выполнено условие (21.1). Пред- положим, что точка р лежит в области |х = 0, у < О, е < 0,子《1, и》^^?｝， 2。％ к〃/ и раныие, и ——функция координат фазового пространства, введенная равенством (21.2). Предположим далее, что существует такое %<°，нто на траектории 平(р, £) выполняются соотношения
%(&) = *2，(21.60)
у — /(х) < 0 при f^U。1・(21.61)
Тогда траектория ср(р, /) пересекает при ^ = ^^(^2, 0) плоскость х = хР и имеет место следующее неравен^ ство:
®(Р)<®(?(Р. А))・(21.62)
Доказательство. Интересуясь в доказательстве лишь одной траекторией системы (20.5) — траекторией ср (р, £), будем, как и выше, считать функции координат фазового пространства просто функциями времени. Положим £ = 9勺. Благодаря условиям (21.60) и (21.61) можно утверждать, что существуют такие моменты времени /°,々 и，，что
%«0)= &, % (/]) = %],尤(а)= Е,(21.63)
и эти моменты — единственные на промежутке времени (%，0). Очевидно, что % V f‘V 厶 V 寿 V 0・ Из условий v^^ R^
22 в а. тисс
и J 務《1 и из обозначения (21.6) легко вывести неравенство
z(p)V-100*z(p)V-100*(21.64)(21.64)
z(p)V-100*
z(p)V-100*
(21.64)
(21.64)
Покажем, что на промежутке ££ [^2> 0J выполняется неравенство
n«) V 0,9n(0).(21.65)
Это неравенство мы будем доказывать от противного. Предположим, что существует такое /*£[%，。卜 что
2(£*) = 0,9n(0),(21.66)
и что неравенство (21.65) выполнено при ££(尸，0]. Из неравенства (21.65) следует, что при /^【尸，3 2«)<0 и, как показывает второе уравнение системы (20.5) и равенство (21.39), у(/) и 硏/) возрастают с убыванием времени при ££ [产，0]. Поэтому имеем
®(0)《®«*)・
Из самого вида функции w тогда следует, что
Z2 (0) + у2 (0)《[N (Г) - X，)]2 + у2 (Г).(21.67)
Но у(£) при /£ [尸，0] возрастает с убыванием времени, н, кроме того, из условия (21.61) следует, что у«)</п при 看€ [尸，0]. Поэтому из неравенства (21.67) вытекает соотно-
■ шение
z2 (0)《[n (£*) — /п]2 + /п2.
Отсюда и из равенства (21.66) получаем
22 (0) < 0,81 z2 (0) — 1,8 ^ (0) /п + 2/п2.' (21.68)
Это неравенство противоречит неравенству (21.64). Полученное противоречие и доказывает неравенство (21.65).
Покажем теперь, что при t^\tf, 0]
У ⑴ V — 8/n.(21.69)
(21.70)(21.70)Так как при t ^ {t^ 0] у(£) убывает с возрастанием времени, то для доказательства неравенства (21.69) достаточно установить, что
(21.70)
(21.70)
y(f)< - 8加.
Доказываем это неравенство. Предположим, что оно не выполнено, тогда при / [Z2( tr\ выполняется
У«)> —8/я・(21.71)
Из равенства (20.15) и неравенств (21.64), (21.65) и (21.71) следует, что на траектории ?(р, £) при ££[办门 выполняется неравенство
90 —
； 9m / *
Проинтегрируем это неравенство вдоль <р(р, /) от f = f‘ до £ = f2, тогда получим
У "2)- У «’)> Ю ~ (*2 - Е)〉1。加.
Так как по условию у (勾)《/(*«2))《 优，т0 ”з последнего неравенства получаем
y (产)< -9/n.
Это неравенство противоречит неравенству (21.71). Полученное противоречие доказывает неравенство (21.70), а с ним и (21.69).'
Из равенства (20.15) и неравенств (21.64), (21.65) и (21.69) выводим, что на <р(р, /) при /£[，* 0] выполняется неравенство
、、z(p)
Умножая это неравенство на 2у V 0 и интегрируя полученное неравенство вдоль траектории <р(р, /) в пределах от f = 0 до / = £', получаем
у2(0) — у2 (Г) > — z (р) м
а отсюда
у(0)< —У—z(p)K^(21.72)
С другой стороны, из равенства (20.15) и неравенств (21.64), (21.65) и (21.69) получаем, что на траектории <р(р, /) при 2 £ [，‘ 0] выполняется неравенство
〃У 片 2z(p)
Умножим это неравенство на у V 0 и проинтегрируем на промежутке &《2《0, тогда получим
у2 (0) — у2 (А) < — 4Z (р) *1 или
[у (0) — У (А)1【у (0) + у (А)] < — 4z (р) Хр
Отсюда, из (21.72) и (21.69) получаем
у (幻一у(0)<"=崇^1
А отсюда и из (21.72) выводим
У (А) — У(0)< — ^^
Так как $ = 9хр то из последнего неравенства получаем
У(幻<^У(0).(21.73)
Доказываем теперь неравенство (21.62). Для этого обратимся к равенству (21.19) и оценим интегралы, стоящие в правой части этого равенства. Имеем
/ я' (Х)(y — f(x))dx<D(у (0) — т) х0.(21.74)
О
С другой стороны,
/ а' (х) (у — / (*)) d* < еу (厶)(*i — х0).
Отсюда, из (2L73) и (21.5) следует, что
/ а'(*)(У — /(x))dx < 5Dy (0) х0.(21.75)
勺
Из неравенств (21.74), (21.75) и (21.69) вытекает неравенство
J Q(*)(y —/(x))d*<0.(21.76)
Из равенства (21.19) и неравенства (21.76) следует неравенство (21.62).
Лемма доказана. 、
Лемма 21.5. Пусть выполнено условие (21.1). Пред* положим, что точка р лежит в области {% = 0, у V О, z V。，-^ 1,心我2卜2M как 〃 раньше, и — функция, введенная равенством (21.2). Предположим, что не существует такого t2 < 0, что на траектории ср(р, /) системы (20.5) выполняются соотношения (21.60) а (21.61). Тогда существует такое Г < 0, что на траек^ тории ср(р, /) оказывается
х{Т) = ^(21.77)
为 «)>0，^ (/) < 0 при %(Т, 0).(21.78)
Доказательство. Станем двигаться вдоль траектории cp(p, f) от точки р в направлении убывания времени. Покажем, что до тех пор, пока траектория (р(р, /) лежит в области (0 ^ х ^ х2* У《10^}, на ней выполняется неравенство
N(f)<0,9z(p)・(21.79)
Заметим, что в условиях доказываемой леммы выполнено неравенство (21.64). Неравенство (21.79) будем доказывать от противного. Предположим, что существует такое Г < 0, что
z(产) = 0,9z(p)(21.80)
и при /£[£*, 0] оказывается ^{р. /)^ {О^х^ х2, у《10/и, z ^ 0,9г(р)}. Ясно, что при /£[/*, 0] z н m возрастают с убыванием времени вдоль траектории ср(р, /)・ Поэтому имеем
侬(0)《吻(£*)•
Из вида функции 侬 тогда следует, что
炉(р) + 屮(р)《[z С) - х (尸)]2 + у2(/)(21.81)
Но при /£[/*, 0] у вдоль ср(р, 0 возрастает с убыванием времени; кроме того, по условию у《10/п, поэтому из не* равенства (21.81) получаем
/2 5) &【n (Г) — ml2 + 100m2.
А отсюда и из (21.80) получаем
?2(Р)《681?2(р)一 ],8z(р)加十 101/тА
■Это неравенство противоречит неравенству (21.64); полученное противоречие и доказывает неравенство (21.79).
Покажем, что существует такой момент времени / = /<0, что на р(р, £) оказывается
y(G = /(为(8)，(21.82)
и при /€(/「0] <р(р, £)€{0《％《*2，У </(%)}• Действительно» в области {0&为《为2， У </(*)} У вдоль 屮(р, /) возрастает с убыванием времени в силу (21.79), z также возрастает и благодаря (21.79) ограничен. Поэтому траектория <р(р, 0 покидает область {0 ^ х^х2, у < /(х)) при убывании времени. Но пересечь плоскость х—х2 при У </(*) ?(Р> *) не может, ибо момент пересечения t = t2 удовлетворял бы соотношениям (21.60) и (21.61). Поэтому траектория ^(р^ 0 пересекает поверхность у — /(х) = 0 При t = tv И при /С (厶 0) ?(Р> /)Е {0«为《％2，У < /(X)).
Легко видеть, что при t <t* траектория 屮(р, /) покидает область (0 <； х<； х2, /(х) < у <： 10/п}. Если <р(р, t) пересекает при этом плоскость х = 0, то момент пересечения t = T <t\ в силу неравенства (21.79) удовлетворяет соотношениям (21.77) и (21.78). Предположим, что при / = с < А 屮(р, /) пересекает плоскость у = 10/п и при этом на ней оказывается х(т)£[0, х2). Из равенства (21.15) вытекает, что до тех пор» пока траектория 屮(р, /) лежит в области {0《х《*2， У》10/^}, на ней выполняется неравенство.
生> —02dx
Поэтому при тех f < т, при которых <р(р, /) лежит в области {х〉0}, на ней выполняется
z{t)^3z(p).(21.83)
к Из равенства (20.15) следует, что при тех / < т, при которых траектория 屮(р, /) лежит в области {х》0}, на ней выполняется неравенство
dy、2(р) —/и -,
Отсюда следует, что при таких t траектория р(р, /) ограничена. Следовательно, она покидает область {х > 0} при
/ V т. Таким образом, существует момент времени Т < О, удовлетворяющий соотношениям (21.77) и (21.78).
Лемма доказана.
Теорема 21.1 ・ Пусть выполнено условие (21.1), Пусть точка р лежит в плоскости х = 0. Предположим, что выполнено неравенство
z2(p)+W(p)VR2. (21.84)
Предположим, кроме того, что точка р(р, Т), где Г > 0, лежит в плоскости х = 0; тогда справедливо неравенство
屮(р(р, Т)) + ^^(р. Т))<&2. (21.85)
Доказательство. При доказательстве этой теоремы мы будем рассматривать лишь одну траекторию системы (20.5) — <р(р, £)・ В связи с этим будем, как и раньше, различные функции точек фазового пространства иногда рассматривать как функции времени.
Для определенности будем считать, что у(р)》0・ При этом если N(p)《0, то будем считать у (р) > 0. Не умаляя общности, можно считать, что Т — первый после f = 0 момент пересечения траектории ^(р, /) с плоскостью х = 0» т. е. что при /£((), Т) х(/) > 0.
Рассмотрим сначала тот случай, когда z(P)《0・ Из третьего уравнения системы (20.5) следует, что при f Е (0，Т) "^ < 0； поэтому при / £ (0, Т] z «) < 0, и, следовательно, функция 侬，введенная равенством (21.38), убывает вдоль <р(р, /) при ££(0, Т). Поэтому имеем
吻(T)v 吻(0). (21.86)
Из определения функции ^ и из (21.86) и следует (21.85).
Пусть теперь z(p) > 0. Предположим сначала, что на промежутке времени 0 < Z < Г траектория(р(р, /) не пересекает участка поверхности {у =/(*), 0<х《№，z—%》0}, переходя из области (у—/(х) < 0} в область (у—/(х)>0}. Как следует из леммы 20.3, траектория р(р, f) при / = т^(0, Т) пересекает поверхность у — /(#)=» 0, переходя при 力=弋 из области {у — /(х)> 0} в область {у — /(х)< 0}. Предположим, что х(т)<；х0. Тогда траектория ?5 f) при f£(。，7) пересекает поверхность
У — /(х) = 0, переходя из области {у — /(х) > 0} в область {у — /(х) < 0} лишь один раз при / = т. Действительно, перейти из области (у—f(x) < 0} в область {У ——/(#)5*0} траектория 屮(р, £) может лишь при пересечении с участком поверхности (у = /(%), 0 < х ^ х0, ? —х》0}, а это по условию невозможно. Таким образом, при /£(0, Г) %(/) имеет лишь один максимум при / = * и, следовательно» %(/)<& при /00, Г].
Докажем, что в рассматриваемом случае выполнено неравенство (21.85). Предположим, что неравенство (21.85) не выполнено; тогда выполнено неравенство
”(T)》^R2， . (21.87)
где 皆一функция точек фазового пространства, введенная равенством (21.2). Если n(T)》0 или если z (Г) < 0 и у；Т, < 1, то нз неравенства (21.87) и из лемм 21.2 и 21.3 следует, что траектория ср (р, /)при f €(0, Т) пересекает плоскость х = хР что противоречит неравенству х (f)《х0 при 0《7《7\ Если же z(T)<0,彳济 < 1 и траектория <р(р, Г) при f£(°，7) не пересекает плоскости х= х» то по лемме 21.5 должно оказаться N(0)=N(p)^0, а это противоречит предположению z (р) > 0. Полученные противоречия и доказывают неравенство (21.85) в рассматриваемом случае.
Пусть теперь х(т) > х0. Тогда траектория <р(р, t) при t = ^0^(0, Т) пересекает плоскость х= х0. Под t — t^ понимается первый после £ = 0 момент пересечения <р(р, t) с плоскостью х= х0. Пусть t = tz — последний перед / = Т момент пересечения траектории <р(р, /) с плоскостью х= х0. Из того условия, что траектория ?(р, £) не пересекает участка поверхности {у = /(х), 0 < х^ х0, z — лг》О}, переходя из области (у — f(x) < 0} в область {у — f{x) > 0), вытекает, что в этом случае траектория ср(р, f) при /^伉，％] целиком лежит в полупространстве I%》/}, а при ££[6,铝 и /£[%, Т] — в полосе {0<м《/}・ Доказываем теперь неравенство (21.85) в рассматриваемом случае. Если v(^) < < q R2 при f£[0, Т], то неравенство (21.85) следует просто из вида функции 矶 Предположим теперь» что существует
такой момент времени f = 6 ^ [О, Т], что u(8)=^R2, и ПрИ этом будем считать, что 6 ——первый такой момент, т. е. что при /£【()，8)u«)V^R2. Так как при х> х0 署《0, что следует из (21.3) и условия (21.1) теоремы, то точка 屮(р, 6) должна лежать в полосе {О《х《*о}・
Таким образом, должно быть выполнено одно из двух: либо 6 ^ [0, %], либо 0 ^ [f3, Г]. Предположим сначала, что ©С% 丁1・ Неравенство (21.85) доказываем от противного. Предположим, что оно не выполнено, т. е. что
"(7)》共2. (21.88)
Из этого неравенства, из того, что z (р) > 0, и из лемм 21.2—21.5 следует, что <р(р, t) при / = ^2 ^ (^0, %) пересекает плоскость х — хг п имеет место неравенство
"(幻 >^必・ (21.89)
Но AV%《仇 а по определению 8 皆(£)<^*々 при всех £00, 0). Это показывает, что неравенство (21.88) в рассматриваемом случае также реализоваться не может. Следовательно, неравенство (21.85) в рассматриваемом случае выполнено. Пусть теперь 0 ^ [0, /0]. Покажем, что в этом случае
z(8)> —&・ (21.90)
(21.91)(21.92)(21.91)(21.92)Предположим, напротив, что z (8) 4 —
(21.91)
(21.92)
(21.91)
(21.92)
Покажем, что тогда
^(0)<0.
Рассмотрим сначала случай〔；,：；」•《1, тогда из определения момента 0 и из вида функции и следует
у(8)> 100/п.(21.93)
Предположим, что существует такое /*^[0, 6), что z(f*) = O(21.94)
и
?«) < 0 при / W (得 61-(21.95)
Тогда при ££(/*, 0] y(f) возрастает с убыванием времени. Отсюда» из неравенства (21.93) и из уравнения (21.15) еле* дует, что на 屮(р, f) при /£[/*, В] выполняется неравенство dz .1
五>一丽.
Интегрируя это неравенство вдоль траектории 中(р, /) в пределах от £ = /* до / = 0 и используя неравенство (21.91), убеждаемся в том, что равенство (21.94) реализоваться не может; следовательно, должно быть выполнено неравенство (21.92). Пусть теперь〔；係《 L В этом случае неравенство (21.92) доказывается так же, как и при доказательстве леммы 21.5. Но неравенство (21-92) противоречит тому, что z (р) > 0. Полученное противоречие доказывает неравенство (21.90). Из неравенства (21.90) и леммы 21.1 следует, что траектория <р(р, 7) пересекает плоскость 为=占 при f = AS(fo，/3) и имеет место неравенство
叫)<”(0) =兵2.(21.96)
Будем теперь доказывать неравенство (21.85) от противного. Предположим, что выполнено неравенство (21.88). Тогда из того, что z(p) > 0, и из лемм 21.2—21.5 следует, что траектория ср(р, £) при ^ = f2 ^ (^,心)-пересекает плоскость % = %] н имеет место неравенство
"(切>"(7)》4"《・(21-97)
Но при ££【％ %】и 1奇，/3] траектория ср(р, f), как было показано выше, лежит в полупространстве {%》%。}. Но, как показывает равенство (21.2) и условие (21.1) теоремы, функция о(£) убывает при %》х& Отсюда следует, что
&(А)>r«2)-
Последнее неравенство противоречит неравенствам (21.96) и (21.97). Полученное противоречие и доказывает неравенство (21.85).
Рассмотрим теперь случай, когда траектория 屮(р, /) при %£(。，Т) пересекает участок поверхности jy = /(%), 0 V х《х> z — м>0}, переходя при этом из области (у—у (х) < 0) в область [у—/(*)>0)・ Нетрудно видеть.
что число таких пересечений конечное. Пусть 弋卜 т2, Т3,.. ..., t走一последовательные моменты таких пересечений. Имеем
°<%<т2V ■•• <“<Г・(21.98)
На промежутках времени 0 < Z < тр 弋】V f V т?,・.・ ...Лй-i < ^ < хА,弋夬 < f < Т траектория 中(р, t) не пересекает участка поверхности {у — /(*) = 0, 0 < х ^ х0, z—х》0}, переходя из области {у — /(х) < 0} в область {У—/(-V)> 0}. Поэтому рассуждениями, аналогичными проведенным выше при доказательстве неравенства (21.85), мы последовательно докажем неравенства
”(,)< 共2 (i= 1, 2А).(21.99)
А из неравенства и (%) V ^- R? выведем неравенство и(Т) V^R4 которое совпадает с (21.85).
Теорема доказана.
Аналогично доказывается
Теорема 27.2・ Пусть выполнено условие (21.1), Пусть точка р лежит в плоскости х = 0. Предположим, что выполнено неравенство
屮(p)+n2(p)》R2.(21.100)
Предположим, далее, что точка <р(р> Т), где Т > 0, лежит в плоскости х = 0. Тогда справедливо неравенство
屮(似Р，T)) + n23(p，Т))〈屮(р)+ ^2(р)・ (21.101)
Теорема 27.3・ Пусть выполнено условие (21.1), тогда любая траектория системы (20.5), не стремящаяся к началу координат при /f+ оо, имеет точка в области {х = 0, у2-|- г2 < R2}.
Доказательство. Из теоремы 20.1 следует, что существует такая последовательность моментов времени
А V % V，3 V ■ • ■ ~(21.102) что
%(¥(■ 2) = °・(21.ЮЗ)
Допустим, вопреки утверждению теоремы, что траектория ф(р, /) не имеет точек в области (х = 0, у2 + ^2 <r2}, тогда при всех натуральных k окажется
y2&) + z2(/&)〉R2(21.104)
на траектории ср(р, f). Тогда по теореме 21.2 имеем
w(勿+ 1)十22(勿+])<屮(勿)+/2(勿)V
<y2(^1)4-^2G1) при A > 1.(21.105)
В силу неравенства (21.105) и принципа выбора Больцано — Вейерштрасса можно считать, что последовательность точек У S’ ^ft) сходится. Положим
11m ф(р,勿)=夕・• (21.106)
走->+8
Из неравенства (21.104) вытекает
y2(g)+z2(g)》R2.(21.107)
С другой стороны, из (21.105) и (21.106) следует, что на траектории(р(р, f) выполняется неравенство
屮(勿)+ N2 (勿)> 屮⑷ + / (g)(21.108)
при всех натуральных k.
Пусть Z* — такой момент времени, что 中(р, £*) лежит в плоскости х= 0. Тогда, в силу теоремы 21.2 и соотношений (21.103), (21.104) и (21.108), имеем на траектории <р(р，о
У? (Г)十 Z2 (尸)> у2 ⑷ + ?2 (g).(21.109)
Рассмотрим теперь траекторию ^{q. f) системы (20.5). Эта траектория будет» очевидно, ш-предельной для <р(р, £)• Предположим сначала, что траектория p(q, f) при всех />0 лежит в одном из полупространств {%》。} или {%《0}； в этом случае траектория <р(^, /), согласно теореме 20.1, стремится к началу координат. Тогда траектория <р(р, 0 имеет точки в любой окрестности начала координат, и нетрудно видеть, что эта траектория имеет точки пересечения с плоскостью х== 0 в любой близости от начала координат.
Пусть теперь найдется такое /'〉0, что при / =， траектория 丫(夕，f) переходит из одного из полупространств
{%》0} и {%《0} в другое. В силу теоремы 21.2 будем иметь
中(д,，)门％ = 0, y2+^<y^q)+^(q)]. (21.110)
По теореме об интегральной непрерывности тогда можно указать такое 尸，что и
8р,广)€{Х = О, y2+z2<W(g) + z2(g)}.(21.111)
Последнее соотношение противоречит неравенству (21.109).
Полученное противоречие доказывает теорему.
Теорема 27・4・ Пусть выполнено условие (21.1). Тогда существует такое Л1〉0, 4mo по любой точке р фазового пространства можно указав такое % что при />Тр на траектории ^(р, /) системы (20.5) выполняются неравенства
|х| <Mt |y|VM |г| <М.(21.112)
Доказательство. Рассмотрим произвольную траекторию 中(р, £) системы (20.5). Если ср(р, £) стремится к началу координат при £f 十8, то утверждение теоремы для нее, очевидно, выполнено. Предположим, что 叭р, £) не стремится к началу координат. Тогда по теореме 21.3 g(p, £) пересекает круг {х = 0, у2 -f-^2 < R2} при t = Тр. Положим
N = max|/(x) + %| при |%|《R・(21.113)
Покажем, что на траектории(р(р, £) при £>々 выполняется неравенство
|у| V3N.(21.114)
Пусть А > Гр — первый после Тр момент пересечения траектории 屮(р， £) с плоскостью х = 0. Покажем, что на промежутке 7р《£《А на 中(р, t) выполняется неравенство (21.114). Для определенности будем считать, что У®(р‘ 7/)》О' и если z^(p, Тр))<0, то у®(р, Тр)) > 0. Если 2(屮(尸，7р))《0， то, как отмечалось выше, у вдоль <р(р, £) при t ^ [Тр, ij убывает, и, следовательно, при таких £ выполняется неравенство
|У®3 /))Утах{уе(р, 7/), |у«(р‘ 八))|}.
Из последнего неравенства и из теоремы 21.1 следует, что |у| < R на траектории(р(р, t) при ££[Тр, fj а отсюда и следует (21.114).
Пусть теперь 2(р(р, 7 ))> 0. Так как 屮(？(尸，丁卩))+ + z2&(p, Тр)3 < R，то 2(屮О，TJ) < R. Максимумы у, как отмечалось в § 20, лежат па плоскости N — х == 0. Но z вдоль <р(р, £) при t^\Tpy £J убывает, поэтому пересечения 中(р, £) с плоскостью z — х = 0 на промежутке £0% ZJ имеют абсциссу, меньшую R. Покажем, что при 疟 j%, fj на траектории <р(р, t) оказывается
"ЗМ (21.115)
Действительно, если выполнено неравенство у《2^, то неравенство (21.115) просто следует из него. Если же это неравенство не выполнено, то, как нетрудно видеть, существует такое f =猴(7> з，"то
у (尸)=2М 2 (户)—х (Г) >0 • (21.116)
на траектории ср(р, £). Тогда до пересечения с плоскостью 2 — х = 0 на траектории ^(р, /) будет выполняться неравенство у>2М Из этого неравенства, из того, что 2(屮(尸，0) < ^? при f€(T“ *)，н из равенства (20.15) следует, что при £ > £* к таких, что N (中(р, £)) — х(^ (р, £)，》0, выполняется неравенство
dy — z — * N 1
Проинтегрируем это неравенство вдоль ^(р, t) от £ =尸 до точки пересечения 中(尸，£) с плоскостью z ——х — 0 и используем равенство (21.116) и тот факт, что на плоскости z — %=0 имеем “(中(р, £))<&• Тогда получим неравенство (21.115).
Покажем теперь, что при t^(Tp,厶)на траектории <р(р, /) выполняется неравенство
у > — 3^. (21.117)
Так как минимумы у находятся на плоскости z — х — 0 и минимумы эти чередуются с максимумами, то из (21.38) и (21.39) следует, что между максимумом и минимумом у функция 呦 вдоль <р(р, t) убывает с возрастанием времени. Отсюда и из вида функции m следует, что в момент минимума у по абсолютной величине меньше, чем в момент предыдущего максимума. Отсюда следует (21,117), а из него и из (21.115) и (21.114).
Так как при у — /(х)《0 х вдоль траектории cp(p, f) убывает, то из обобщенного условия Гурвица f(x) > ах при х > 0 следует, что на траектории cp(p, f) при t ^ [Тр.八] выполнено неравенство
х < — max у.
Отсюда и из (21.114) следует, что при f g\Tpt fj на траектории 中(р, £) выполняется неравенство
|x| V^N. (21.118)
Так как на промежутке Тр</《厶 2 вдоль 中(卩，f) убывает, то из теоремы 21.1 следует, что на промежутке Tp《t《h на 中(р, t) имеет место неравенство
|z| VR. (21.119)
Неравенства (21.114), (21.118) и (21.119) доказаны лишь для промежутка времени [7°, /J, но в силу теоремы 21.1 они, очевидно, справедливы и при всех £>丁夕・ Отсюда и вытекает утверждение теоремы.
В этом пункте мы рассмотрим случай» когда а>1 н когда выполнено условие (21.1), и докажем в этом случае одну теорему относительно расположения траекторий системы (20.5). Обозначим через Р область {х= 0, у > 0, Z>0,产+ 22<《}.
Рассмотрим периодическое движение системы (20.5). Как следует из теорем 20.2, 20.3 и 21.3, его траектория пересекает область Р. Будем называть периодическое движение системы (20.5) регулярным, если его траектория имеет только одну общую точку с областью Р.
Теорема 21,5. Пусть выполнено неравенство а〉1・ Пусть, кроме того, функция /(%) непрерывно дифференцируема при всех вещественных х и существуют такие положительные числа е и х。， что выполнено условие (21.1). Тогда, для того чтобы все решения системы (20.5) стремились к началу координат при f f + 8, необходимо и достаточно, чтобы система (20.5) не имела регулярных периодических, движений.
Доказательство. Необходимость условий теоремц очевидна. Докажем достаточности.
Пусть система (20.5) не имеет регулярных периодических движений. Требуется доказать, что тогда все движения этой системы стремятся к началу координат при £—＞十8, Предположим, напротив, что существует такая точка q фазового пространства, что траектория 中(д, £) не стремится при £-＞下8 к началу координат. В силу теорем 202 20.3 и 21.3 можно, не нарушая общности, считать, что q £Р・
Рассмотрим теперь произвольную точку р《Р、р 丰 0、0, 0) и траекторию 中(р, £) системы (20.5). В силу теорем 202 20.3 и 21.1 существует такое tp ＞ 0, что 中(р, tj£P・ При этом под tp понимается первый после £ = 0 момент пересечения траектории 中(р, £) с областью Р. Поставим в соответствие каждой точке 尸€尸，尸声(0, 0, 0) точку 屮(р, %), а точке (0, 0, 0) ее самое. Полученное таким образом преобразование замкнутой области 尸 в себя обозначим через Г. Из теоремы единственности, теоремы об интегральной непрерывности и теорем 202 20.3 и 21.1 следует, что преобразование Т взаимно однозначно и взаимно непрерывно. Кроме того, оно сохраняет ориентацию. Действительно, возьмем произвольный замкнутый контур /, лежащий в Р, и каким- либо образом его ориентируем. Проведем поверхность 屮(2, t) до пересечения ее следующий после £ = 0 раз с Р. Это пересечение даст нам, очевидно, контур TL Ориентация контура Т1 может не совпасть с ориентацией контура 2 только в том случае, если на поверхности 屮(2, t) произошло пересечение траекторий, чего не может быть в силу теоремы единственности.
Рассмотрим последовательность Tnq. При всяком натуральном п оказывается Tnq ^ Р. Так как область 尸 ограничена, то отсюда следует, что последовательность Tnq имеет предельные точки, лежащие в замкнутой области Р. Пусть Со—какая-нибудь предельная точка последовательности Tnq. Из теорем 20.3 и 21.1 следует, что если точка qQ лежит на границе области Р, то она обязательно совпадает с началом координат.
Предельное множество последовательности Tnq не может исчерпываться началом координат, ибо в этом случае так же, как и при доказательстве теоремы 21.4, мы бы установили, что 中(д, t) при достаточно больших / лежит в сколь угодно малой окрестности началу координат» т. е. стремится к нему
при £f+ 8； это невозможно по самому выбору точки д. Таким образом, последовательность Tnq имеет предельную точку с】， отличную от начала координат и, следовательно» не лежащую на границе Р, т. е. последовательность Tq имеет подпоследовательность Т"^д, для которой выполняется соотношение
lim Tnkq = q^P. (21.120)
Итак, мы имеем гомеоморфное и сохраняющее ориентацию преобразование Т плоской области 尸 в себя. Преобразование это таково, что существует точка д£Р, для которой выполняется соотношение (21.120). Но тогда из теоремы 12.5 следует, что преобразование Т имеет неподвижную точку %, лежащую в области 尸(и, следовательно, отличную от начала координат). По определению преобразования Т траектория 中(Ро，0 представляет собой траекторию регулярного периодического движения системы (20.5). Это противоречит условию теоремы. Полученное противоречие и доказывает достаточность условий теоремы.
Периодические решения
В этом параграфе мы покажем, что система (20.5) может иметь периодические решения, даже если выполнено условие (20.8).
Обозначим, как и раньше (см. равенство (20.36)), через а (х) функцию а(х) = /(х)—ах. Будем считать, что функция а(х) удовлетворяет следующим условиям：
hx2 ^.а{х) х ^.Нх2при0 <| х| <；8,(22.1)
0 < а(х)х <//х2при8 ^| х\ <е,(22.2)
0 <a(x)signx<84при|х|》е・(22.3)
Условия эти будем в дальнейшем называть условиями Е(无，"，8) или просто условиями Е. В условиях Е величина м подчиняется неравенствам
、0<е —8<§2((22.4)
а числа h и Н — неравенствам
”》九(22.5)
附 В* А. Плисе
Величина 8 достаточно мала. Понимается это в том смысле, что при фиксированных h и Н существует такое Во > О, что при 5 ^ 80 выполняются соответствующие утверждения.
В дальнейшем часто будем пользоваться символом О (8Г). Этим символом, как обычно, будет обозначаться величина, для которой можно указать такие постоянные ^ и 80, что имеет место неравенство
l°(3')|《NN при 3 Go.l°(3')|《NN при 3 Go.(22.6)(22.6)Система в видеСистема в виде(20.5) в обозначении(20.5) в обозначении(20.36) переписывается(20.36) переписывается
l°(3')|《NN при 3 Go.
l°(3')|《NN при 3 Go.
(22.6)
(22.6)
Система в виде
Система в виде
(20.5) в обозначении
(20.5) в обозначении
(20.36) переписывается
(20.36) переписывается
у— ах —а(х), -^= z — х, 窑=—〃％• (22.7)
Сделаем в системе (22.7) следующую замену переменных:
(22.8),(22.9)(22.8),(22.9)%[=q2% - "+务 w = z—x, 2] = y,Х1 一 У1+a21~ *1 + a出+91
(22.8)
,(22.9)
(22.8)
,(22.9)
тогда будем иметь
嘗=—"i—a2a(X),寫L = _zi + a(x),器=y「(22.10)
В дальнейшем мы часто будем сравнивать решения системы (20.5) с решениями той системы, которая получается, если в (20.5) положить а(х) = /(%)—ах = 6, т. е. с решениями системы
—= у-ах,星= z-x, - = -ах. (22.П)
В переменных хр у【，2【эта система имеет следующий канонический вид:
В дальнейшем через 屮(р, t) будем обозначать ту траекторию системы (22. II), которая при / = 0 проходит через точку р фазового пространства. Легко видеть, что общее решение системы (22.12) имеет вид
х{ = x1Qe~att % = y10-cos / — /о sin £,
Z[ = у】。sin f + /о cos /,(22.13)
где x^ у® a”一значения функций xv уг 马 при f==%
Пусть р и q — две точки фазового пространства. Обозначим через р(р, q) расстояние между ними. Пусть 中(р, £) и 屮(р, t) — траектории систем (22.7) и (22.11) соответственно. Будем рассматривать эти траектории на промежутке времени О《£ & Т，где Т — некоторое фиксированное число. Тогда хорошо известно, что
р(?(р，£)，屮@ 6) = О(8" + О(р(р“))・ (22.14)
Оценка (22.14), благодаря специальному виду условий Е(无，И, В), может быть улучшена. Справедлива
Лемма 22,/. Предположим, что функция а(х) удовлетворяет условию Е(无，Н, 5). Предположим, далее»
что точки р и q лежат в области j х = 0, |xj ^8, y = N]》^} и р(р, 0)= 0(辞). Тогда при достаточно малых 8 имеет место соотношение
Р(?(P. f)，屮(0，f)) =0(#)Р(?(P. f)，屮(0，f)) =0(#)'(22.15)'(22.15)
Р(?(P. f)，屮(0，f)) =0(#)
Р(?(P. f)，屮(0，f)) =0(#)
'(22.15)
'(22.15)
при /б]。, "I 斗
Доказательство. Непосредственно из формул (22.13) видно, что траектория 屮(д, £) системы (22.12) на промежутке 5
времени O《f《q¥ пересекает плоскость % = 0 три раза: при £ = 0, £ = /； и / = /г- При этом легко видеть, что /；=穴 +。(3) и £；=2代+0(3). Но тогда из оценок (22.14) и из рассуждений § 20 следует, что при достаточно малых В и траектория 中(р, t) пересекает плоскость х = 0 также три раза на промежутке времени [о, -|- к] —при £ = 0, £ = £】 и t = t?. При этом ясно, что
£】=代 + О (В),质=2冗 +。(В).
Из формул (22.13) далее следует, что траектория 屮(д, £) на промежутке времени [0, /；] пересекает плоскость х = ® два раза (при £ = t； м при £ = %) и плоскость х = 2е также два раза (при £ = % н £=%)• Ясно, что 彳 V % V % V %
Из оценок (22.14) нетрудно заключить, что и траектория 中(р, £) системы (22.7) пересекает плоскость х = е два раза на промежутке [0, £J — при f = q и £ = /• Далее из
23* *
формул (22.13) вытекает, что Oj = О (8), Но тогда из (22.14) следует, что при t ^ [О, 9J выполняется соотношение (22.15).
Из этой оценки следует, что ^^(0, 6卩，следовательно, точка 中(р, 4)лежит в области {х > е}. Из условий Е(九，Н, 8) и оценки (22.15) следует, что до тех пор, пока обе траек- тормн 中(р, £) и 屮(g, t) лежат в области {х > е}, выполняется соотношение (22.15). Но из этого соотношения ясно, что на промежутке、《f《％ обе эти траектории лежат в полупространстве х > е. Обозначив теперь через % следующий за 62 момент пересечения траектории 屮(g, t) с плоскостью х = — 2е так же, как и выше, покажем, что
°з — % = 0(8).
А отсюда вытекает, что соотношение (22.15) выполняется и при 0《/《83. Продолжая эти же рассуждения и дальше, мы докажем лемму. Из леммы 22.1 вытекают следующие соотношения:
POP® 外屮@ 4)) =0@)，(22J6)
p&(.幻，屮«，砌)=。(犖)，(22.17)
Лемма 22・2・ Предположим, что функция а(х) удовлетворяет условиям Е(儿 Н、5) с достаточно малым 8. Предположим, что точка р лежит в области
I х = 0, |xj <С^2> У = 2[>^}, тогда имеет место следующая оценка:
1”】е(，切)1 <3°，* (22.18)
20% как а раньте, %一первый после £ = 0 момент пересечения траектории *(р、t) с полуплоскостью [х = О, У > о}-
Доказательство. Непосредственно из формул (22.13) и оценок (22.14) следует, что при достаточно малых В траектория р(р, 0 пересекает полуплоскость [х = 0, у > 0} при / =伏(°， ^ н). Пусть теперь так же, как и выше, ^2—первый после £=0 момент пересечения траектории 屮(р, /) системы (22.11) с полуплоскостью {х = 0, у > 0). Тогда из
первой из формул (22-13) вытекает, что существует такая положительная постоянная г<1, что
1*1(屮仿,由)1V"工
Отсюда и из (22.17) и вытекает утверждение леммы. Введем в рассмотрение следующую функцию координат фазового пространства:
w = ^(z —*)2 + ^у2.(22.19)
Производная от этой функции по времени, взятая в силу дифференциальных уравнений системы (22.7), как легко проверить, равна-
£ =(2 — х) а (х).(22.20)
Рассмотрим в плоскости х = 0 следующую область: 尸={ % = 0, I а:/ V 8万，m〉^ (а?+ 1), у〉0 }・ Ее замыкание мы будем обозначать через Р. Возьмем произвольную точку р^Р и рассмотрим траекторию ^(р. £) системы (22.7). Если выполняются условия Е, то, как следует из предыдущих рассуждений, существуют такие моменты времени 0 < ^ < t?、 что точки 中(р, А) и 中(р, %)厶ежат в плоскости х = 0, а на промежутках 0 < ^ < ^ и А<£<% % сохраняет знак на траектории у(р, t). Поставим в соответствие точке р£Р точку (р(р, ^2), лежащую в полуплоскости {х = 0, у > 0}. Полученное таким образом преобразование плоской области Р в полуплоскость {х = 0, у > 0} обозначим через Т. Из теоремы единственности и теоремы об интегральной непрерывности следует, что преобразование Т взаимно однозначно и взаимно непрерывно.
Лемма 22.3. Предположим, что функция а(х) удовлетворяет условию Е(无，И, 8) с достаточно малым 8. Тогда имеет место соотношение
ТАиР(22.21)
Доказательство. Из лемм 22.1 и 22.2 вытекает» что для доказательства соотношения (22.21) достаточно ▲@КВ@@ТЬ лишь неравенство
w(p)<w(<p(p, ^)),(9И.90)
если- pW1% = 0，|*11《/，^®2+l)《m《2(a2十 1), у〉0}. Докажем сначала, что выполняется такое неравенство:
m(p) V 吻(ср5, £】))(22.23)
при「£卜=0, |*1|《/, ^■(a2+i)《w《2(a2+i), у>о}. В неравенствах (22.22) и (22.23)々 и % — по-прежнему последовательные моменты пересечения траектории 中(р, £) С ПЛОСКОСТЬЮ X = 0.
Как уже отмечалось, траектория р(р,力)пересекает плоскость х = е два раза на промежутке времени [0,占]—при f = q и / = т2, % V •• Ясно, далее, что <р(р, t) пересекает также два раза на промежутке 0《£《厶 и плоскость х — Ъ. Пусть £ = 7\ и f = 丁2 суть последовательные моменты пересечения траектории р(р, £) с плоскостью х = 3. Очевидно, что 0 < ?i < Tj < т2 < Т2 <
Подсчитаем приращение функции 吻 вдоль траектории 中(尸，t) при изменении времени от £ = 0 до £ =厶.Пусть у。 и zQ — ордината и аппликата точки р, а у⑴ и z^ — соответствующие координаты точки 屮(р,々).Из самого определения точки р вытекает, что / з、
No=”o+0(/)・ (22.24)
Из лемм 22.1 и 22.2 и формул (22.13) легко вывести, у(1) = — Уо+ о 倘)zO) = — Zo + О (後).(22.25)
Оценим с точностью до малых высших порядков относительно 8 величины у и г на траектории р(р, £) при ££[(), tJ. Имеем
(22.26)(22.26)dy _ Z— X dx — у — / (%)
(22.26)
(22.26)
Так как функция а (%) = /(%)——〃％ удовлетворяет условиям E{h, ", 8), то из последнего равенства и равенства (22.24) получаем следующее соотношение, справедливое на траектории <р(р, £) при / [0, tj:
黑=。+。(6).
(22.27)
до / = q, получаем
(22.28)(22.28)У = Уо+а* +。畋
(22.28)
(22.28)
dx ~ у — / (х)dx ~ у — / (х)(22.29)(22.29)Точно так же из равенства dz
dx ~ у — / (х)
dx ~ у — / (х)
(22.29)
(22.29)
雾= 0(3).雾= 0(3).получаем, что на траектории ср(р, /) при f&O, &1 имеет место оценка
雾= 0(3).
雾= 0(3).
(22.30)
Интегрируя это соотношение вдоль траектории f (р, f) при f£[0, q], получаем в силу (22.24).
z = ”o + 0(B2)・
(22.31)
Оценим теперь таким же образом величины у и z на 平(р, /) при /£[&，厶1・ Нз равенства (22.26) в силу равенств (22.24) и (22.25) так же, как и выше, получаем (22.27), а из этого равенства и из (22.25) заключаем, что на траектории ^(р, /) при t ^ [т2,厶]выполняется оценка
у = _уо+"+оМ)・(22.32)
Аналогично из равенства (22.30) получим (22.31), а из него
• z =—矶十。®)(22・33)
на(р(р, 0 при /£ &，М*
Оценим приращение функции 吻 вдоль траектории(р(р, t) при прохождении последней полосы 0《*《明 Для этого будем рассматривать функцию 吻 на траектории 中(р, /) при / [0, %] и 力6[弋2，厶]как функцию абсциссы х. При этом возникает неоднозначность, так как траектория (р(р, /) проходит полосу 0《х《е два раза на промежутке времени [О,厶].Чтобы избежать этой неоднозначности, будем на промежутке времени [0, %] снабжать функцию 吻 значком вЦ-в, а на промежутке [т2, /J значком .—“・ Этим однозначность и будет восстановлен^.“
Деля равенство (22.20) на первое из уравнений системы (22.7), получаем
生=——子7а(х).(22.34)
dx у — ах — а (%) ' /'/
Кз этого равенства и из оценок (22.28) и (22.31) находим
Z"—亢二帀汗&画а l"*Z"—亢二帀汗&画а l"*(22.35)(22.35)
Z"—亢二帀汗&画а l"*
Z"—亢二帀汗&画а l"*
(22.35)
(22.35)
Аналогично из равенства (22.34) и из оценок (22.32) и (22.33) получаем
dxdxУо —а(х) +()(б2.Уо —а(х) +()(б2.(22.36)(22.36)
dx
dx
Уо —а(х) +()(б2.
Уо —а(х) +()(б2.
(22.36)
(22.36)
Составим разность —^j^"* Непосредственным под
счетом легко убедиться в справедливости следующего соотношения:
dw.K dw^ dx dx
=2 尸——g汚才oQ"——eУ0a(办(22.37)
Vo — a (*) + О \B 2 ) ) \Уо-}-ос (х) -f- О Ц2 ))
Эта оценка справедлива на траектории (р(р, /) при 0< х<е.
Оценим теперь приращение функции 吻 вдоль траектории 平(р, t) при прохождении последней полосы 0《х《8・ По 3
предположению, имеем р £{* = (), | хг | -^ В2, но тогда из определения функции 吻 следует, что
1 + О (3)《у。《2 + О (8).(22.38)
Отсюда, из (22.37) и из условий Е(А, Н* 8) вытекает, что при достаточно малых 8 имеет место неравенство 需一需* 麻⑴一同 a (%)十0®) a (x),(22.39)
А отсюда и из того, что по условию £ h*《&8&Нк при 0 < х <； 8, получаем
嚮一需 > З- D 九炉 +。(/) (22.40)
при х^ [0, 8]. Интегрируя это неравенство от х = 0 до х == 8, находим
A1w>|(aft —1)ЛВЗ+О(82-),(22.41)
где А改一приращение функции 吻 при прохождении траекторией (р(р, f) полосы 0 <； х < 8.
Оценим теперь приращение функции 吻 вдоль траектории (р(р, /) при прохождении последней полосы 6《х《€. Из (22.37), (22.38) и условий Е(й, ", 8) получаем неравенство 需-需 >-4现(*)十。(句.(22.42)
a2吻> —a2吻> —(22.43)(22.43)Неравенство это справедливо на траектории ср(р, f) при х ^ [8, е]. Интегрируя неравенство (22.42) от х = 8 до х = &, находим
a2吻> —
a2吻> —
(22.43)
(22.43)
здесь &® обозначает приращение функции 吻 при прохождении траекторией ср(р, /) полосы 6Vx《&• Из неравенства (22.43) и условия (22.4) получаем
%吻 > О®) (22.44)
Оценим, наконец, приращение функции 吻 вдоль траектории ср(р, /) при /€[%, х2]. Из формул (22.13), оценок (22.14) и определения точки р следует, что все координаты траектории 屮(р, /) на промежутке времени [0, fj ограничены по абсолютной величине одним и тем же числом, зависящим лишь от параметра а системы (22.7). По определению мо* ментов времени q и q имеем, что на траектории ср(р, f) при ££[弋1，弋2】окажется х》@, но тогда из условия (22.3) вытекает, что 0 < а(х)^84 на <р(р, f) при t ^ [хр х2]. А отсюда и из (22.20) следует, что на траектории cp(p, f) при f С К* 5 выполняется соотношение
而=0(沙 (2**)
Далее, из формул (22.13) и оценок (22.14) следует, что % — % V 2m А тогда из (22.45) вытекает, что
△3w = O(84).(22.46)
где %吻 обозначает приращение функции 吻 вдоль траектории 中(р, t) на промежутке времени %《/《&• Складывая соотношения (22.41), (22.44) и (22.46). получаем следующую оценку:
Aw > 1(аА— 1)А83+ О(8у)((22.47)
где А吻一приращение функции w вдоль траектории(р(р, /) при / ^ [0, £]]. Отсюда и из условия (22.5) вытекает, что при достаточно малых 8 выполняется неравенство (22.23).
Продолжая эти же рассуждения дальше при / > tv мы докажем неравенство (22.22). А из этого неравенства, как отмечалось выше, и следует утверждение леммы.
Лемма доказана.
Докажем теперь теорему о существовании периодических решений у системы (20.5).
Теорема 22.7. Пусть функция а(х) = /(х)—ах у。。- влетворяет условиям Е (加 Н, 3) с достаточно малым 8. Пусть, кроме того, существует такое положительное 入. что
а(х)х》入 при |х]>е,(22.48)
где е — число, фигурирующее в условиях Е. Тогда система (22.7) имеет периодические решения, отличные от состояния равновесия.
Доказательство. Обозначим, так же как и выше, через Р область
I х = 0, ] X]I < 8^, w > у(а2-Ь 1). у > о|.
Где 吻一функция, определенная равенством (22.19). Введем, далее, в рассмотрение функцию 外 по формуле
"н "^ 4 十"i °2у；十"^ Q?z； — °3 / а(X)4*・(22.49)
Производная от функции w по времени, взятая в силу дифференциальных уравнений системы (22.7), равна
w = — ах； — a?"— aa(x))a(x).(22.50)
Возьмем произвольную точку р^Р; пусть 0, tv /2 суть последовательные моменты пересечения траектории ^(р, /) с плоскостью х = 0. Как было показано выше, на промежутке времени 0 < ^ < /т существуют два и только два момента пересечения траектории <р(р, /) с плоскостью х = е. Пусть % и 出—эти моменты, будем считать, что % </•
Из формул (22.13) и оценок (22.14) следует, что если взять достаточно большое 智()> 2(a?+ 1), то для траектории ▼(Р，С Гудет выполняться неравенство
a"2e2(q + /]_《)< ^.(q_q),(22.51)
если только точка р лежит на той части кривой {х = 0, @ = @0}, которая располагается в замкнутой области Р. Обозначим эту дугу через Z. Пусть р — произвольная точка дуги /, подсчитаем приращение Аи функции и вдоль траектории ср(р, /) при изменении ^ от 0 до /Р Из формулы (22.50) и условия £ следует, что при t [0, %] и при / [т2> 厶]на ср(р, £) выполняется неравенство
百 < 2晔.(22.52)
Обозначим общее приращение функции w вдоль траектории (р(р, t) на промежутках времени [0, %] и [т2, fj через 厶卫， тогда из (22.52) получаем
А” > аЗ”2е2 ® 十 А —弋2).(22.53)
Из равенства (22.50) и условия £(历，Н、8) вытекает, что при достаточно малых 6 на траектории q(p, t) при ££[%, т2] выполняется неравенство
и V万 ха (х).(22.54)
Отсюда и из условия (22.48) доказываемой теоремы вытекает, что на (р(р, 0 при /£[%,工2】нмеет место неравенство
石 安.(22.55)
Пусть 厶2守—приращение функции w вдоль траектории (р(р, /) на промежутке времени [тр т2]. Интегрируя неравенство (22.55) вдоль 平(р, f) от f = q до f = q, получаем
兮(3 —Q(22.56)
Складывая неравенств^ (22.53) и (22.56)» получаем в силу (22.51)
А"0・(22.57)
Последнее неравенство означает, что
и(Р)>У 幻)・(22.58)
Проведя такие же рассуждения для траектории ср(р, /) при изменении t от 厶 до %，мн получим неравенство
v(p)>v(?(p, %))•(22.59)
Обозначим через Q область ( х = 0, | Xj | < 82, w<%, 吻 >^("+1)' у > о|. Через Т, так же как и раньше, будем обозначать преобразование замкнутой области Р в себя при движении по траекториям системы (20.5). Из леммы 22.3 и соотношения (22.59) следует, что
TQcQ.(22.60)
Отсюда, в силу известной теоремы Брауэра, вытекает, что в области Q имеется точка д, неподвижная относительно преобразования Т. Но тогда по смыслу преобразования Г траектория *(q, /) есть траектория периодического движения системы (20.5).
Теорема доказана.
ЛИТЕРАТУРА
Немыцкий В. В. и Степанов В. В., Качественная теория дифференциальных уравнений, Гостехиздат, 1949.
В i г k h о f f G” Dinamical Systems, N. Y., 1927. Бирк* г о ф Дж. Д., Динамические системы, Гостехиздат, 1941.
Коддингтон Э. и Левинсон Н., Теория дифференциальных уравнений, ИЛ, 1959.
Хаусдорф Ф.( Теория множеств, ОНТИ, 1937.
М a s s е г a J., Boletin de la Facultad de Ingenieria, IV, 1 mayo, 1950.
M a s s e г a J., Publ. Inst. mat. Fac. ingr., 2, 7, 1954.
Еругин H. П., ПММ, XX, 1, 1956.
Курнвейель Ярослав, В e йв ода Отто, Чехосл. матем. журн., 5, № 3, 1955, 362 —370.
Еругин Н. П., ДАН 6ССР, VI, № 7, 1962.
Levinson N., Annals of Math., 45, 4, 1944.
IL Демидович Б. П., I, Вести. МГУ, № 6, 1961.
Барбашин Е. А., Матем. сб., 29 (71), 1951.
Yoshizawa Т., Mem. Coil. Sci. Univ. Kyoto, № 3, 1955.
К у р Ц в е й е л ь Я.. Чехосл. матем. журн., 5, 3, 1955.
Малкин И. Г., Теория устойчивости движения, Гостехиздат, 1952.
М a s s е г a J., Annals of Math., 50, 3, 1949.
W h i t h е у J., Trans, of American Math. Soc., 36, 1934.
Немыцкий В. В., О некоторых методах качественного исследования в «большом» многомерных автономных систем. Тр. Моск, матем. о-ва, 5, 1956.
Атрашенок П. В., Вести. ЛГУ, № 8, (3), 1954.
Боль П., О некоторых дифференциальных уравнениях общего характера, применяемых в механике, Юрьев, 1900.
Corduneanu К, С. г. Acad, sci., 245, № 1, 1957.
Corduneanu К., An stiint. Univ. Iasi. Sec., 1, 3, №1-2,1957.
Кордуняну K・，ДАН СССР, 131, № 4, 1960.■
Corduneanu K-, Acad. RPR, Fil, Iasi. Mat, & № 2, 1957. 107—126.
M a nf re di B.,BolLUnione mat. ital., № 1, 1956, 64—71.
С г a f f i D” Atti IV congr. Unione mat. ital., 1, 1953, 218—231.
Castro A., Rend. Seminar mat. Univ. Padova, 22, № 2, 105X
Пл исс В. А., ДАН БССР, 5, № 6, 1961.
E z e i 1 о I. О. C.( Proc. Lond. Math. Soc.t * № 13, 1969. 74-114,
Плисс В. А., ДАН СССР, 139, № 2, 1961.
Красносельский М. А., Перов А. И., ДАН СССР, 123, № 2, 1962.
Красносельский М. А., Положительные решения операторных уравнений. Физматгиз, 1962.
В а г b a I a t I., Н а 1 а п а у A., Rev. math, pures at appl. (RPR).
1958, 395-411.
Плисс В. А., ДАН СССР, 137, № 5, 1961.
Плисс В. А., Вести. ЛГУ, № 11, 1954.
Красовский Н. Н., ПММ, 21, № 3, 1957, 309—319.
Пл исс В. А., ДАН СССР, 138, № 2, 1961.
Yoshizawa Т., Mem. Coll. Sci. Univ. Kyoto, A28, № 2, 1954, 143—151.
Зубов В. И., Колебания в нелинейных и управляемых системах, Судпромгиз, 1962.
Лященко Н. Я-, ДАН СССР, 104, № 2, 1955, 177—179.
Ляпунов А. М., Общая задача об устойчивости движения, АН СССР, 1956.
Демидович Б. П., Уч. зап. МГУ, 8, 1956, 181.
Лурье А. И., Некоторые нелинейные задачи теории автоматического регулирования, Гостехиздат, 1951.
Cartwright М. L., Contrib. to the theory of nonlinear oscillations, 1, 19Й.
Л e ф ш e ц С., Геометрическая теория дифференциальных уравнений, ИЛ, 1961
О р i а 1 Z., Ann. Polon. math., 7, № 3, I960, 309—319、
Плисс В. А., ДАН СССР, 127, № 5, 1959.
D е n i о у A., J. de Mathematiques, llf 1932, 333—375.
Плисс В. А., Вести. ЛГУ, № 13, 1960.
Chin Yuan-shun, Science cecord, 1—3, 7—11, 1957.
Андронов А. А, и Понтрягин Л. С., ДАН СССР, 14, 5, 1937.
Б а г г и с Г. Ф., Грубые системы двух дифференциальных уравнений, УМН, 10, 4, 1955.
М a s s е г a J., Duke Math. J., 17, 4, 1950.
Brouwer L. Е. J., Math. Annalen, 72, 1912,
Андронов А. А. и Майер А. Г.» Автомат, и телемех.» 14, 5, 1953.
Красовский Н. Н., Некоторые задачи теории устойчивости движения, Физматгиз, 1959.
Caratheodory С., Math. Annaien, 73, 1913, 305—320.
Маркушевич Л. И., Теория аналитических функций, Гостех- издат, 1950.
Cartwright М. L. and Littlewood J. Е., Annals of Math., 54, 1951, 1—37.
Reifenberger E. R., Annals of Math., 61, I, 1955.
Боголюбов H. H., Митропольский Ю. А., Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний, Физматгиз, 1958.
Крылов Н. М., Боголюбов Н. Н., Приложение методов нелинейной механики к теории стационарных колебаний» Киев, 1934.
3'4-5-&7'&9-dL23-41Н6 6& 666 667777 7773'4-5-&7'&9-dL23-41Н6 6& 666 667777 77777.78.79.80.77.78.79.80.83.84.85.86.87,88.89.90.91.92.83.84.85.86.87,88.89.90.91.92.
3'4-5-&7'&9-dL23-41Н6 6& 666 667777 777
3'4-5-&7'&9-dL23-41Н6 6& 666 667777 777
77.
78.
79.
80.
77.
78.
79.
80.
83.
84.
85.
86.
87,
88.
89.
90.
91.
92.
83.
84.
85.
86.
87,
88.
89.
90.
91.
92.
М а г с u s М. D., Ann. math, studies, 36, 10М,
D i 1 i Ьег tо S. Р.» Huf f о гd G., Ann. Math, studies, № 36, 1956.
К о о s i s P., Ann. math, studies, № 36, 1956, Levinson N., Annals of Math., 52, 1958, 727—73B.
Малкин И. Г., Некоторые задачи теории нелинейных колгг1- нн員，Гостехиздат, 1956.
Е р у г и и Н. П., Приводимые системы, АН СССР, 1946.
Плисс В. А., ДАН СССР, 131, № 5, 1960.
Borg Goran, Kingl. Tekn. Hogskol. handl., № 153, I960. 12 pp.
Littlewood J. E., Acta math., 97, 3—4, 1957.
Littlewood J. E., Acta math., 98, 1—2, 1957,
Littlewood J. E., JRE Trans, circuit theory, 7, 4)835—642. 1960.
Levins о n N., Annals of Math., 50, 1949, 126—153.
G о m о г у R. E., Ann. math, studies, 36, 1956.
Пуанкаре А., О кривых, определяемых дифференциальным и уравнениями, Гостехиздат, 1947.
Е h г m а.п Н., Zs. angew. Math, und Mech.t 35, 1955, 9- 10, 326—327.
E h г m a n H., Arch. Ration. Meeh, and Analysis, 1( 2, 1057, 124—137.
Morris G. R., Proc. Cambridge Phil, soc., 51, 2, 1955.
Morris G. R., Proc. Cambridge Phil, soc., 54, 4, 1958.
Rauch L. L., Ann. Math, studies, 20, 1950.
Friedrichs К- О.» New York Univers, 1946. 65—103.
Colombo G., Rend. Sem. mat. univ. Padova. XIX, 1950.
Широкорад Б. В., Автомат, и телемех., 19, № 10, 1958, 953—967.
Вайсборд Э. М., Изв. высш. уч. завед., Математика, № 4, 1959, 38—49.
Вайсборд Э. М., Научи, докл. школы, Физ.-матем. науки, № 3, 1959, 10—13.
Блиичевский В. С., Матем. сб., 50 (92), № 1, 1960.
Вайсборд Э. М., Матем. сб., 56 (98), № 1, 1962.
Плисс В. А., Некоторые проблемы теории устойчивости дни- жения в целом, Изд-во ЛГУ, 1958.
Андронов А. А., Витт А. А. н X а й к и и С. Э., Теория КО* лебаний. Физматгиз, 1959.
Cartwright М. L., Proc. Tnt. Congr. Math., 3r 1954.
Плисс В. А.. Вестн. ЛГУ, № 13, 1962.
НЕЛОКАЛЬНЫЕПРОБЛЕМЫТЕОРИИ КОЛЕБАНИЙ
“S* 决、2?“S* 决、2?
“S* 决、2?
“S* 决、2?
НЕЛОКАЛЬНЫЕПРОБЛЕМЫТЕОРИИ КОЛЕБАНИЙ
“S* 决、2?“S* 决、2?
“S* 决、2?
“S* 决、2?
B84 пае
УДК 634.0
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ-
ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава I. Многомерные периодические системы9
Общие сведения о периодических и автономных системах 9
Общие теоремы о диссипативных системах29
Достаточные условия диссипативности для многомерных систем 51
О диссипативности некоторых двумерных систем, встречающихся в приложениях 61
Исследование одного нелинейного уравнения третьего порядка ■ 70
Существование гармонических колебаний у систем высших порядков, не являющихся D-снстемами . . . 84
Системы сконвергенцией 93
Вопросы конвергенции для уравнения второго порядка 107
Гл Ana II. Периодические системы первого и второго порядков120
Уравнениепервого порядка120
Г 10. Уравнения первого порядка, периодичные по обоим
\аргументам147
у| 11. О грубости дифференциальных уравнений, заданных 'на торе174
Общие теоремы оповедениирешенийсистем второго.
порядка186
О существованииинвариантныхповерхностей,.・203
I 14, Существование инвариантной поверхности и поведение решений на ней в одном специальном случае . . 219
44оглавление
4
4
Ипу”снне одной диссипативной системы с сингулярным строением множества /226
О существовании гармонических колебаний у одной системы двух дифференциальных уравнений . ... 261
Субгармонические колебания уравнения без диссипации 271
Глава IIL Автономные системы280
Общие теоремы о существовании и устойчивости периодических решений автономных систем . . . . 280
Существование периодического 'решения у одной автономной системы трех дифференциальных уравнений 293
Изучение одного дифференциального уравнения с нелинейностью, удовлетворяющей обобщенному условию Гурвица310
Об ограниченностирешений324
Периодические решения353
Литература . •365