Предисловие редактора перевода

За последние два десятилетия в результате развития новых направлений физических исследований в программах физических факультетов университетов, инженерно-физических и многих технических вузов появились новые дисциплины: квантовая электроника, квантовая оптика, голография и др. Создание мощных источников когерентного излучения обогатило физику твердого тела, акустику, радиационную химию, атомную и молекулярную физику, спектроскопию, некоторые разделы ядерной физики и т. п., что привело к существенному расширению области применения методов теории колебаний и их дальнейшему развитию. Одновременно расширился и круг задач, решаемых этими методами.

Но все эти вопросы только начали входить в программы курсов общей физики вузов и еще не нашли должного отражения в учебниках для студентов младших курсов. Старшее поколение выпускников физических факультетов университетов, инженернофизических и многих технических вузов до сих пор вспоминает добрыми словами учебник Габриеля Семеновича Горелика «Колебания и волны»1). Он в свое время содействовал успешному внедрению и установлению единого подхода к колебательным и волновым процессам различной природы. Но все же это была книга «долазерной эпохи», и сейчас нужна новая учебная монография, соответствующая требованиям нашего времени. В качестве монографии такого рода вниманию читателей предлагается русский перевод книги Г. Пейна. Она предназначена для тех, кто еще только приступает к изучению предмета. Для нее характерен единый подход к описанию колебательных и волновых процессов независимо от их природы. Ее содержание охватывает многие стороны современного учения о колебаниях и волнах. Автор не дает в ней описания демонстраций опытов

’) Горелик Г. С., Колебания и волны, 2-е изд., под ред. С. М. Рытова, ГИ ФМЛ, М., 1959.

и схем приборов, но после краткого изложения предмета а каждом разделе подробно разбирается несколько задач и учащемуся предлагается самостоятельно решить несколько примеров. Тематика задач и примеров весьма разнообразна и охватывает по существу все основные разделы физики.

Книга Г. Пейна принесет большую пользу студентам физических факультетов университетов, физико-технических и радиотехнических факультетов вузов. Она, несомненно, окажется полезной для широкого и быстро расширяющегося круга специалистов, которые в своей работе сталкиваются с колебательными и волновыми явлениями. Книга Г. Пейна — превосходное пособие для переподготовки и самообразования.

Г. Скроцкий.

На первом году обучения студентам-физикам в Имперском колледже читается вводный курс по физике колебаний и волн. Основной упор в нем делается на выявление глубокого единства тех понятий, которые более подробно изучаются на последующих стадиях обучения. В основу нашего краткого учебника положен такой курс лекций, который читался автором в течение ряда лет. Для расширения круга рассматриваемых вопросов и области их приложения были добавлены главы, посвященные преобразованиям Фурье и нелинейным колебаниям.

В начале книги предполагается, что математические знания читателя не превышают школьного уровня. Более сложные методы излагаются по мере того, как возникает необходимость в них. Так в книге вводятся разложение в ряд экспоненциальной функции, комплексные числа, частная производная и пробные решения дифференциальных уравнений. Рассматриваются только плоские волны, причем всюду, кроме двух случаев, используются декартовы координаты. Методы векторного анализа применяются только в связи со скалярным и (в одном случае) с векторным произведением.

Опрос многих студентов показал, что им желательна книга, не только разъясняющая материал, но и заставляющая самостоятельно работать. В результате был написан краткий учебник, дополненный значительным количеством задач разного содержания и разной степени сложности. Иногда мы даем указания относительно их решения, исходя из принципа, что студенту важнее понять физический смысл задачи, нежели выполнить несложное арифметическое упражнение.

Основная мысль данной книги заключается в том, что среда, через которую возможен перенос энергии с помощью волнового движения, по существу, ведет себя как континуум связанных осцилляторов. Простой осциллятор характеризуется тремя параметрами, двумя из которых определяется его способность накапливать энергию, переходящую из одной формы в другую, а третьим— диссипация энергии. Это в равной степени справедливо для любой среды.

Произведением параметров, характеризующих накопление энергии, определяется скорость распространения волны в среде, а их отношением (если третий параметр равен нулю) — волновое

сопротивление, или импеданс, среды. Если параметр, характеризующий диссипацию энергии, отличен от нуля, то в импедансе появляется член, описывающий потери. Энергия волны при ее распространении поглощается, и волна затухает.

Такой подход позволяет, проанализировав колебания простого гармонического осциллятора, осциллятора с затуханием, осциллятора, на который действует внешняя сила, а также системы связанных осцилляторов, естественным образом перейти к представлению о поперечных волнах в струне, продольных волнах в газе и твердом теле, волнах тока и напряжения в линии передачи, а также электромагнитных волнах в диэлектрике и проводнике. Все эти случаи можно рассматривать одинаково, а цель нашей книги и состоит в том, чтобы показать широкую применимость сравнительно небольшого числа физических принципов.

Май 1968 Г. Пейн

Предас ловив ко второму изданию

Основное содержание книги осталось без изменения. Введена только еще одна глава «Квантовая механика», иллюстрирующая применение классических принципов в современной физике.

Все сделанные исправления были направлены на упрощение, особенно в первых главах и дополнительных задачах. Ссылка на задачу в тексте главы указывает, что задача относится к предшествующему материалу. В конце каждой главы помещена сводка основных результатов.

Первое издание книги вызвало конструктивную критику многих читателей, в том числе студентов физических и инженерных специальностей, которые пользовались ею. Второе издание, в котором столь полно учтена эта критика, является лучшим признанием ее ценности.

Июнь 1976Июнь 1976Г. Пейн

Июнь 1976

Июнь 1976

Заряд электронаМасса покоя электрона Атомная единица массы 1 ньютон1 электронвольт Постоянная Планка h Постоянная Больцмана 6Число Авогадро Скорость света с Магнитная проницаемость вакуума ц0 Диэлектрическая проницаемость вакуума (диэлектрическая постоянная) еоЗаряд электронаМасса покоя электрона Атомная единица массы 1 ньютон1 электронвольт Постоянная Планка h Постоянная Больцмана 6Число Авогадро Скорость света с Магнитная проницаемость вакуума ц0 Диэлектрическая проницаемость вакуума (диэлектрическая постоянная) ео(36л-109)-1 фарада/метр(36л-109)-1 фарада/метр

Заряд электрона

Масса покоя электрона Атомная единица массы 1 ньютон

1 электронвольт Постоянная Планка h Постоянная Больцмана 6

Число Авогадро Скорость света с Магнитная проницаемость вакуума ц0 Диэлектрическая проницаемость вакуума (диэлектрическая постоянная) ео

Заряд электрона

Масса покоя электрона Атомная единица массы 1 ньютон

1 электронвольт Постоянная Планка h Постоянная Больцмана 6

Число Авогадро Скорость света с Магнитная проницаемость вакуума ц0 Диэлектрическая проницаемость вакуума (диэлектрическая постоянная) ео

(36л-109)-1 фарада/метр

(36л-109)-1 фарада/метр

Физические постоянные

1,602-10-19 кулон

9,1 • 10—31 килограмм

1,66-10~27 килограмм

105 дина

1,6-10~19 джоуль

6,62-10~34 джоуль-секунда

1,38-10~23 джоуль/кельвин,

8,61 • 10-5 электронвольт/кельвпн

6,022-1023 моль*1

3-108 метр/секунда

4л-10-7 генри/метр

Таблица, показывающая, как скорость волны и импеданс,или волновое сопротивление, среды определяются процессами,связанными с запасанием энергии в среде

Накопление в среде потенциальной энергии характеризуется параметром С, а кинетическойили индуктивной энергии —параметром р или L

Тип волны

(Скорость)2

Импеданс, или волновое сопротивление

Обозначения

Поперечная волна на струне

Г/р

рс

Т — натяжение,

р — линейная плотность, с —скорость, волны

Продольная волна в газе

VP/p =

= в/р =

-(рС)-1

pc=Vp/C

у — отношение удельных теплоемкостей,

Р —- давление газа,

В — модуль всестороннего сжатия,

С — сжимаемость,

с — скорость волны

Волна напряжения и тока в линии передачи

(LoCo)"1

V Lo!C»

Lo — индуктивность, ) на единицу

Со — емкость) длины

ц — магнитнаяпроницаемость,

(генри/метр),

Электромагнитная волна в диэлектрике

(ре)-1

е —диэлектрическая проницаемость (фарада/метр)

Глава 1

Незатухающие и затухающиегармонические колебания

На первый взгляд кажется, что у восьми физических систем, изображенных на фиг. 1, мало общего. На фиг. 1 показаны:

а — простой маятник в виде тела с массой т, прикрепленного к концу легкого жесткого стержня длиной / и колеблющегося около точки подвеса стержня;

б — плоский диск, подвешенный в центре на жесткой проволоке и закручивающийся на малый угол в своей плоскости то в одну, то в другую сторону;

в — тело с массой т, прикрепленное к стенке пружиной с жесткостью s; скользя без трения по плоскости, оно колеблется вдоль оси х;

г — тело с массой т, закрепленное посередине легкой струны длиной 2Z, натяжение Т которой постоянно, и колеблющееся в плоскости чертежа:

д — жидкость с плотностью р, заполняющая на длине Z U-образную трубку постоянного сечения и колеблющаяся около положения равновесия, в котором высота уровней одинакова в обоих коленах трубки (предполагается, что трение между жидкостью и стенками трубки отсутствует);

е — открытая колба объемом V с горлышком длиной Z с постоянной площадью сечения А, содержащая воздух с плотностью р, который вибрирует при прохождении звука по горлышку;

ж— ареометр, т. е. сосуд с массой т с горлышком постоянной площади поперечного сечения, плавающий в жидкости с плотностью р и при небольшом отклонении от положения равновесия совершающий малые вертикальные колебания;

з — электрический контур в виде катушки индуктивности L, присоединенной к конденсатору с емкостью С с зарядом q на его пластинах.

Все эти системы представляют собой простые гармонические осцилляторы. При малом отклонении от своего положения равновесия, или покоя, они совершают простые гармонические колебания. Это самый важный вид колебаний отдельной частицы или одномерной системы. При малом смещении х относительно положения равновесия возникает возвращающая сила

Ж3

Фиг. 1. Простые гармонические осцилляторы (указаны их уравнения движе*ния и угловые частоты колебаний со).

а — обычный маятник; б— крутильный маятник; в — тело на плоскости без трения, при крепленное к стене пружиной; г — тело, прикрепленное к средней точке струны с постоянным натяжением Т; д — невязкая жидкость, заполняющая U-образный сосуд с постоянной площадью поперечного сечения; е — акустический резонатор Гельмгольца; ж — ареометр массой т, плавающий в жидкости с плотностью р; з— электрический параллельный резонансный контур.

Л, пропорциональная смещению х и направленная к положению равновесия.

Таким образом, возвращающую силу F можно записать в виде

■F = — sx,

где s — постоянная, называемая коэффициентом жесткости. Знак минус показывает, что сила действует против увеличения смещения и направлена в сторону положения равновесия. Постоянство коэффициента жесткости означает, что мы ограничиваемся малыми смещениями х (это закон Гука). Очевидно, что коэффициент жесткости s есть возвращающая сила на единицу расстояния (или смещения), и ее размерность такова:

Сила MLT~2

Расстояние L *

Уравнение движения такой возмущенной системы определяется динамическим равновесием между силами, действующими на систему. Согласно закону Ньютона,

Масса, умноженная на ускорение = Возвращающая сила, или mx = — sx,

где х — ускорение:

.. d2x

Х — dt2 "

Отсюда получаем

mx + sx = О, или

х + — х =0,1 т

где s/m — величина с размерностью

МЫ2 _-22

ML — Т — V •

Здесь Т— время, т. е. период колебаний, величина, обратная частоте v колебаний системы.

Решив уравнение движения, мы получим синусоидальную или косинусоидальную зависимость х от времени. Поэтому удобнее пользоваться не частотой у, а угловой частотой со = 2лу, так что период

1 n / m 2л

Т = — = 2л А /= —.

v V s ю

Здесь отношение s[m записывается теперь как со2. Следовательно, уравнение простых гармонических колебаний

х + — х = 0

1 tn принимает вид

х + ®2х = 0.(1.1)

(Задача 1.1.)

Смегцение при простых гармонических колебаниях .

Движение гармонического осциллятора характеризуется смещением х относительно положения равновесия, его скоростью х и ускорением х в любой заданный момент времени. Если подставить в уравнение движения

х + о)2х = О выражение

х — A cos о/,

где А — постоянная, имеющая ту же размерность, что и х, то мы найдем, что это выражение удовлетворяет ему, поскольку

х = — Лео sin о/, х = — Лео2 cos со/ = — (о2х.

Решением этого уравнения является и выражение

х = В sin о/

(где размерность В совпадает с размерностью Л), поскольку х = Во cos о/ и х = — Ba? sin со/ = — ео2х.

Полное, или общее, решение уравнения (1.1) равно сумме, или суперпозиции, обоих выражений для х, а поэтому мы получаем

х = A cos (о/ + В sin о/,(1.2)

причем

х = — со2 (Л cos со/ + В sin о/) = — ео2х,

где А и В — постоянные, которые определяются значениями х и х в заданный момент времени. Если мы запишем эти постоянные в виде

А = a sin ф и В = а cos ф,где ф — некоторый постоянный угол, то

Л2 + В2 = a2 (sin2 ф + cos2 ф) — а2.

Отсюда

а = V Л2 + В2

И

■ х = a sin ф cos со/ + a cos ф sin ^t = a sin (со/ + ф).

Максимальное значение функции sin (со/ + ф) равно единице, поэтому постоянная а есть максимальное значение величины х и называется амплитудой смещения. Предельные значения функции 8т(со/ + ф) равны ±1, а поэтому смещение системы будет осциллировать между значениями тка. Далее мы увидим, что величина а связана с полной энергией осциллятора.

Фиг. 2. Синусоидальное изменение смещения гармонического осциллятора со временем.

Положение начальной точки в периоде колебаний зависит от постоянной фазы ф.

Угол ф называется «фазовой постоянной» по следующей причине. Простые гармонические колебания часто объясняются на примере кругового движения. Каждое возможное значение смещения х можно представить как проекцию радиус-вектора постоянной длины а на диаметр окружности, описываемой концом этого вектора при вращении его с постоянной угловой скоростью со против часовой стрелки. Таким образом, каждый поворот радиус-вектора на фазовый угол 2л радиан соответствует одному полному периоду колебаний осциллятора.

В решении

‘ х = a sin (со/ + ф)

фазовой постоянной ф, измеряемой в радианах, определяется по ложение в пределах одного периода колебаний в момент вре мени t = 0. Таким образом, начальное положение, из которой осциллятор начинает свое движение, дается выражением

х = a sin ф.

Решение

;х = a sin со/

описывает смещение только такой системы, которая начинает движение из положения х = О, занимаемого в момент времени / = 0. Если же ввести в решение фазу ф:

х = а sin (со/ + ф),

где ф может принимать все значения от 0 до 2л, то оно будет описывать движение при любом начальном положении. Это показано на фиг. 2, где отмечены разные значения ф. (Задачи 1.2—1.4.)

Скорость и ускорение при гармонических колебаниях

Скорость и ускорение для гармонических колебаний, описываемых формулой

х = a sin (со/ + ф),

даются выражениями

= х = aw cos (со/ + ф),

-^р- = х = — аю? sin (со/ + ф)-

Максимальное значение скорости аю называется амплитудой скорости. Амплитуда ускорения равна асо2.

Из фиг. 2 видно, что при добавлении положительного фазового угла, равного л/2 радиан, кривая синуса преобразуется в кривую косинуса. Следовательно, скорость

х = аю cos (со/ + ф)

опережает смещение

х = a sin (со/ + ф)

по фазе на л/2 радиан и ее максимумы и минимумы достигаются на четверть периода раньше, чем максимумы и минимумы смещения. Скорость максимальна, когда смещение равно нулю, и равна нулю, когда смещение максимально. Ускорение изменяется в «противофазе» со смещением (сдвинуто по фазе на л радиан), причем положительное ускорение максимально, когда максимально отрицательное смещение, и наоборот (фиг. 3).

Относительное смещение или относительные колебания двух осцилляторов с одинаковой частотой часто можно характеризовать разностью их фаз ф1—фг, которая может быть любой, поскольку одна система может начать движение на несколько периодов раньше, чем другая, а каждому полному периоду колебаний соответствует изменение фазового угла ф на 2л. Когда колебания двух систем диаметрально противоположны, т. е, у од-

ной системы х = +«, тогда как у другой х = —а, системы находятся в противофазе и полная разность фаз

<Pi — Ф2 = ^л радиан, где. п— нечетное целое число. В случае идентичных систем, находящихся в фазе,

Ф1 — Ф2= 2мл радиан, где п— любое целое число. Для таких систем смещение, скорость и ускорение одинаковы в любой момент времени. (Задачи 1.5—1.8.)

Нелинейность

Когда смещение изменяется во времени по закону синуса или косинуса, говорят, что система линейна. Нелинейность возникает

Фиг. 3. Временная зависимость смещения, скорости и ускорения при гармонических колебаниях.

Смещение отстает по фазе от скорости на л/2 радиан и изменяется в противофазе (л радиан) с ускорением. Начальная фазовая постоянная ф принята равной нулю.

тогда, когда коэффициент жесткости не является величиной постоянной, а зависит от смещения х (гл. 11).

Энергия гармонического осциллятора

При простых гармонических колебаниях скорость равна нулю, когда смещение максимально, и максимальна, когда смещение равно нулю. Здесь мы имеем иллюстрацию очень важного понятия взаимного превращения кинетической и потенциальной энергий. В идеальном случае полная энергия остается постоянной, хотя в действительности так никогда не бывает.

Если же потери энергии отсутствуют, то вся потенциальная энергия переходит в кинетическую, и наоборот, а поэтому а) полная энергия ЕПолн в любой момент времени, б) максимальная потенциальная энергия РЕ^акс и в) максимальная кинетическая энергия КЕмакс будут равны между собой:

Еполн = КЕ 4~ РЕ = КЕмакс = РЕмакс.

Из решения х = a sin (со/ + (р) следует, что полная энергия остается постоянной, поскольку после каждого полупериода амплитуда смещения достигает значения х = ±а в положении с максимальной потенциальной энергией. В конце этой главы мы увидим, что при наличии потерь энергии амплитуда колебаний постепенно уменьшается.

Потенциальная энергия находится путем суммирования всех малых элементов работы sxdx (сила sx умножается на элемент пути dx) ^совершаемой системой против возвращающей силы на отрезке от 0 до х, где точка х = О соответствует нулю потенциальной энергии. Таким образом, потенциальная энергия равна

X

\ sx dx = -^ sxz. о

Кинетическая энергия равна 72/ftx2, а поэтому полная энергия есть

Е = ~- тх2 + ^ sx2.

Поскольку величина Е постоянна, мы имеем

= (тх + sx) х = О,

откуда снова следует уравнение движения mx + sx = 0.

Потенциальная энергия достигает максимума при х = ±я, и> следовательно,

= — сгр1^макс — 2*

Максимальная кинетическая энергия такова:

^макс =m^2)= V mfli2®2 l00^ ^ + Ф^макс = Т

х/макс z

(в последнем выражении косинус положен равным единице). Однако ту? = s, а поэтому максимальные значения потенции

альной и кинетической энергий одинаковы. Отсюда следует, что энергия полностью переходит из одной формы в другую.

Полная энергия в произвольный момент времени и при любом значении х имеет вид

Е—-^-т^ + уsx2 = Т та^ Icos2 ^ + ф) + sin2 ^ + ф)] =

= у ma-ti? = у so2, как и должно быть.

-a .ciа +а

Смещение

Фиг. 4. Параболические зависимости потенциальной и кинетической энергий от смещения для гармонических колебаний.

Одна кривая обратна другой, что говорит о наличии разности фаз в 90°. При любом сме-щении сумма ординат обеих кривых равна постоянной полной энергии Е.

На фиг. 4 представлена зависимость энергии от смещения для гармонических колебаний. Отметим, что кривая потенциальной энергии как функции смещения х

РЕ = у sx2 = ~ та2«? sin2 (со/ + ср)

есть парабола, симметричная относительно точки х = 0. Таким образом, в осцилляторе запасена энергия как при положительных, так и при отрицательных значениях х. Например, пружина запасает энергию и при сжатии, и при растяжении. Точно так же газ запасает энергию и при сжатии, и при разрежении.

кинетическая энергия

KE = ^ тх2 = ^ та2«? cos2 (со/ + ср)

описывается параболой и как функция смещения х, и как функция скорости х. То, что одна кривая представляет собой

перевернутую другую, говорит о наличии разности фаз л/2 между смещением (связанным с потенциальной энергией) и скоростью (связанной с кинетической энергией). При произвольном значении х сумма ординат обеих кривых равна постоянной полной энергии Е. (Задачи 1.9—1.11.)

Гармонические колебания в электрическойсистеме

Пока что мы рассматривали простые гармонические колебания механических и гидродинамических систем, изображенных на фиг. 1, исходя в основном из модели в виде тела с инертной массой, растягивающего невесомую пружину с коэффициентом жесткости s. Коэффициент жесткости пружины s показывает, на-

Фиг. 5. Гармонические колебания в электрической схеме.Сумма напряжений вдоль цепи определяется законом Кирхгофа: L {dHdt} + q}c=Q.Фиг. 5. Гармонические колебания в электрической схеме.Сумма напряжений вдоль цепи определяется законом Кирхгофа: L {dHdt} + q}c=Q.сколько трудно растягивать данную пружину. Величина, обратная коэффициенту жесткости, податливость С = 1/s, характеризует легкость, с которой растягивается пружина и накапливается потенциальная энергия. Буква С как символ для податливости удобна при анализе гармонических колебаний в электрической цепи, представленной на фиг. 1,з и 5, где мы имеем катушку индуктивности L, присоединенную к обкладкам конденсатора С.

Фиг. 5. Гармонические колебания в электрической схеме.

Сумма напряжений вдоль цепи определяется законом Кирхгофа: L {dHdt} + q}c=Q.

Фиг. 5. Гармонические колебания в электрической схеме.

Сумма напряжений вдоль цепи определяется законом Кирхгофа: L {dHdt} + q}c=Q.

Уравнение сил, использовавшееся для описания примеров механических и гид*

родинамических систем, теперь заменяется уравнением для напряжений (баланса напряжений) в электрической цепи. Однако вид и решение этих уравнений, а также колебательный характер поведения систем одинаковы.

Если сопротивление равно нулю, то энергия электрической системы остается постоянной и происходит лишь переход энергии магнитного поля, запасенной в катушке индуктивности, в энергию электрического поля, запасенную между обкладками конденсатора, и наоборот. В произвольный момент времени напряжение на катушке индуктивности дается выражением

dt — L dt2

где / — ток, a q— заряд. Знак минус показывает, что напряжение препятствует росту тока. Это напряжение равняется напряжению qlC на конденсаторе, а поэтому

Lq -V q,C = 0 (закон Кирхгофа),

ИЛИ

q + (О2^ = О, где

21

Ю = LC-

Энергия, накопленная за период индуктивной частью цепи в виде магнитного поля, получается путем интегрирования мгновенной мощности по времени:

EL = $ VI dt,

где V—напряжение на катушке индуктивности. Если ток увеличивается от 0 до /, то

/

£L = ^VId(=^L-^-/dt = ^LZd/ = -yL/2 = yLq2.

О

Потенциальная энергия (в случае пружины — механическая энергия) теперь представляет собой электростатическую энергию и определяется формулой

г Сравнение уравнений для механического и электрического осцилляторов:

механический (сила) электрический (напряжение) механический (энергия)

шх + sx = 0, Lq + qlC = O, у пгх2 + у sx2 = Е,

электрический (энергия)

lLq^q2IC=E

показывает, что скорость изменения тока при заданном напряжении в цепи точно так же зависит от инерции магнитного поля (характеризуемой индуктивностью L), как изменение скорости при заданной силе от инертной массы. Инерционность магнитного поля (или индуктивное поведение) обусловлена тем, что ма/нитный поток через контур цепи стремится оставаться постоянным. Любое изменение потока приводит к возникновению напряжения и, следовательно, тока, который противодействует изменению потока. В этом физическая основа правила правой руки.

Сложение двух гармонических колебаний,происходящих вдоль одной прямой

Колебания с одинаковыми частотами

В следующих главах мы встретимся с физическими ситуациями, когда происходит сложение двух и более гармонических колебаний одной системы.

Мы уже видели, как амплитуду и фазу смещения в случае простых гармонических колебаний можно описывать вектором

Фиг. 6. Сложение двух векторов, каждый из которых описывает гармонические колебания с угловой частотой со вдоль оси х, при отыскании смещения х = = R sin (со/ + 0) результирующих гармонических колебаний.Фиг. 6. Сложение двух векторов, каждый из которых описывает гармонические колебания с угловой частотой со вдоль оси х, при отыскании смещения х = = R sin (со/ + 0) результирующих гармонических колебаний.Если первое движение описывается выражениемЕсли первое движение описывается выражениемпостоянной длины, вращающимся в положительном направлении (против часовой стрелки) с постоянной угловой скоростью (О* Чтобы найти результирующее движение системы вдоль оси х, совершающей одновременно гармонические колебания двух видов— с одинаковыми частотами, но разными амплитудами и фазами,— мы можем представить простые гармонические колебания каждого вида соответствующим вектором и сложить эти векторы.

Фиг. 6. Сложение двух векторов, каждый из которых описывает гармонические колебания с угловой частотой со вдоль оси х, при отыскании смещения х = = R sin (со/ + 0) результирующих гармонических колебаний.

Фиг. 6. Сложение двух векторов, каждый из которых описывает гармонические колебания с угловой частотой со вдоль оси х, при отыскании смещения х = = R sin (со/ + 0) результирующих гармонических колебаний.

Если первое движение описывается выражением

Если первое движение описывается выражением

Xi = ai sin (со/ + ф1),

а второе выражением

х2 = а2 sin (со/ + Фг)»

то амплитуда R полного смещения определяется формулой (фиг. 6)

/?2 = ^ 4- а2 cos б)2 + (а2 sin б)2 = а2 + ^ + 2а1а2cos б>

где б = ф2 — Ф1 — постоянная.

Фазовая постоянная 0 для смещения дается выражением

, g _ Qi sin Ф1 + а2 sin ф2°«1 COS Ф1 + #2 COS ф2 ’

а поэтому смещение результирующего гармонического движения запишется в виде

х = R sin (со/ + 0),соответствующем колебаниям с той же самой частотой со, ноимеющим амплитуду R и фазовую постоянную 0. (Задача 1.12.)

Колебания с разными частотами

Рассмотрим теперь сложение двух колебаний с одинаковыми амплитудами, но с разными частотами. Если мы запишем эти колебания в виде

x1 = asinco1/ и х2 = a sin (о2/,

где (02 > о)ь то результирующее смещение получим в виде

,/ •, Iп((01 + to2) t (<02 — (O^t

х = Xi + х2 = a (sin (0]/+ sin о2/) = 2а sin ~2cos2

Это выражение описывает синусоидальные колебания со средней частотой (o)i+g)2)/2 и модулированной амплитудой смещения

Фиг. 7. Сложение двух гармонических колебаний хх = a sin (01/ и х2 — = a sin co2Z при (о2 > о)ь

Огибающая cos [(g>2 — <0i) ^/2] модулирует кривую sin [(cL>t 4-cl>2) t/2\ так, что амплитуда смещения х меняется от —а до 4-а.

2а (фиг. 7). Амплитуда изменяется от 0 до 2а и по закону косинуса с намного меньшей частотой (<о2 — coi)/2, равной половине разности частот исходных колебаний.

Когда частоты coi и 02 почти одинаковы, частота синуса очень близка к обеим частотам coi и (о2, а частота (со2 — (0i)/2 косинусоидальной модуляции амплитуды 2а очень мала.

В акустике, когда мы слышим два звука почти равной ча- стбты, нарастание и спад амплитуды воспринимаются как «биения». Частота «биений» равна разности 0)2 — cdi отдельных частот (а не половине этой разности), поскольку максимум амплитуды 2а' достигается дважды за период, соответствующий

частоте ((о2—coi)/2. Мы снова встретимся с этим явлением, когда будем говорить о связи двух осцилляторов в гл. 3 и о групповой скорости в гл. 4.

Сложение двух перпендикулярныхгармонических колебаний

Колебания с одинаковыми частотами

Допустим, что частица гармонически колеблется с одинаковой частотой одновременно вдоль двух взаимно перпендикулярных осей х и у. Каково ее результирующее движение?

Смещения можно записать в виде

х = ах sin (со/ + ф!), у = а2 sin (со/ + ф2).

Чтобы найти траекторию частицы, необходимо исключить из этих уравнений время t и получить выражение, -содержащее только координаты х и у, а также постоянные ф1 и ф2.

Раскрывая синусы сумм аргументов:

^ = sin со/ cos ф1 + cos со/ sin фь

~- = sin со/ cos ф2 + cos со/ sin ф2

и вычисляя сумму квадратов разностей

(~ Sin Ф2 “Sitl Ф1)2 + Й C0S Ф1 - ^ C0S Ф2)2 -

получаем равенство

+ "4" — COS (ф2 — Ф1) = sin2 (ф2 — фО, (1.3) ах а2 ava2

которое представляет собой общее уравнение эллипса.

В самом общем случае главные оси эллипса наклонены относительно осей х и у. Но оси х и у совпадают с главными осями эллипса, когда разность фаз

л

Ф2 Ф1 — “2" •

Тогда уравнение (1.3) принимает знакомый вид

уравнения эллипса с полуосями aj и а2.

Если Л1 = а2 = а, то эллипс превращается в окружностьх2 + z/2 = а2.

При

ф2 — Ф1 = 0, 2л, 4л и т. д. уравнение сводится к уравнению прямой

проходящей через начало координат, с тангенсом угла наклона, равным а21а\.

При

ф2 — Ф1 = л> Зл, 5л и т. д.

мы тоже получаем уравнение прямой

проходящей через начало координат, с тем же по абсолютной величине углом наклона, но противоположным по знаку.

Фиг. 8. Траектории системы, которая гармонически колеблется с одинаковой- частотой одновременно в двух перпендикулярных направлениях. Величина б — это фазовый угол, на который колебания по оси у опережают колебания ПО ОСИ X.

Траектории частицы при разных значениях б = ф2— Ф1 изображены на фиг. 8, их легко получить на экране электронного осциллографа.

Когда

ф2 — Ф1 = 0, л, 2л и т. д.,

эллипс вырождается в прямую и результирующие колебания происходят в одной плоскости. Такие колебания называют плоско- (или линейно) поляризованными. Плоскостью поляризации принято считать плоскость, перпендикулярную той плоскости, в которой происходят колебания. При других значениях разности ф2— Ф1 мы получаем круговую или эллиптическую поляризацию, когда конец результирующего вектора описывает соответствующее коническое сечение. (Задачи 1.13—1.15.)

Поляризация п ’

Понятие поляризации — одно из важнейших в оптике; оно основано на представлении о сложении двух перпендикулярных гармонических оптических колебаний. Мы увидим в гл. 7, что в случае линейно-поляризованной световой волны вектор ее электрического поля колеблется в одной плоскости и описывает синусоиду вдоль направления волнового движения.

Такие вещества, как кварц и кальцит, способны разделять свет на две волны с взаимно перпендикулярными плоскостями поляризации. Эти волны имеют разные скорости распространения во всех направлениях, кроме одного, носящего название оптической оси. Одна из волн, обыкновенная, или О-волна, распространяется во всех направлениях с одинаковой скоростью, а колебания ее электрического поля всегда перпендикулярны оптической оси. Скорость необыкновенной волны, или Е-волны, зависит от направления распространения.

Как для обыкновенной, так и для необыкновенной световой волны существует свой собственный показатель преломления, а поэтому кварц и кальцит называются двоякопреломляющими. Если скорость обыкновенной волны больше, как, например, в кварце, то кристалл соответствующего вещества называется положительным. В кальците же необыкновенная волна имеет большую скорость, и соответствующий кристалл является отрицательным.

На фиг. 9 представлены поверхности — сферы и эллипсоиды,— которые служат геометрическим местом точек для концов векторов волновой скорости в произвольном направлении. Для заданного направления распространения колебания электрического поля отдельных волн происходят по касательной к поверхности сферы или эллипсоида.

На фиг. 10 показан случай, когда плоскополяризованный свет падает нормально на кристалл кальцита, вырезанный параллельно его оптической оси. Внутри кристалла колебания элект-

!) Этот раздел можно пропустить при первом чтении.

рического поля более быстрой £-волны происходят параллельно оптической оси, а колебания электрического поля 0-волны происходят перпендикулярно плоскости чертежа. Разница в скорости распространения приводит к дополнительному набегу

Фиг. 9. Обыкновенная (сферическая) и необыкновенная (эллипсоидальная) волновые поверхности в двоякопреломляющих кальците и кварце.Фиг. 9. Обыкновенная (сферическая) и необыкновенная (эллипсоидальная) волновые поверхности в двоякопреломляющих кальците и кварце.

Фиг. 9. Обыкновенная (сферическая) и необыкновенная (эллипсоидальная) волновые поверхности в двоякопреломляющих кальците и кварце.

Фиг. 9. Обыкновенная (сферическая) и необыкновенная (эллипсоидальная) волновые поверхности в двоякопреломляющих кальците и кварце.

В кальците Е-волна распространяется быстрее 0-волны во всех случаях, кроме случая распространения вдоль оптической оси. В кварце быстрее распространяется О-волна. О-колебания всегда перпендикулярны оптической оси. Кроме того, О- и Е-колебания всегда направлены по касательной к своим волновым поверхностям.

фазы для £-волны по сравнению с фазой 0-волны, который увеличивается с толщиной кристалла.

I

Кристалл нальцитаКристалл нальцитаО-колебания(1 плоскости чертежа^О-колебания(1 плоскости чертежа^ Плоскополяризованный свет, падающий нормально

Кристалл нальцита

Кристалл нальцита

О-колебания

(1 плоскости чертежа^

О-колебания

(1 плоскости чертежа^

Е-колебания Оптическая=ось

Фиг. 10. Плоскополяризованный свет падает нормально на поверхность кри* сталла, вырезанного из кальцита параллельно его оптической оси.

Опережение Е-волной О-волны эквивалентно опережению по фазе.

На фиг. II показан случай, когда плоскополяризованный свет падает нормально на кристалл, изображенный на фиг. 10, причем угол между плоскостью колебаний электрического поля световой волны и оптической осью составляет 45°. Кристалл разделяет колебание на две равные Е- и О-компоненты. При определенной толщине на выходе кристалла £-волна имеет

Разность фаз вызываетРазность фаз вызываетКристалл кальцитаКристалл кальцитаОптическая осьОптическая осьвращение вектора результирующего электрического полявращение вектора результирующего электрического поляФиг. 12. Простые фигуры Лиссажу, возникающие в результате сложения гармонических колебаний с разными угловыми частотами по двум перпендикулярным осям.Фиг. 12. Простые фигуры Лиссажу, возникающие в результате сложения гармонических колебаний с разными угловыми частотами по двум перпендикулярным осям.

Разность фаз вызывает

Разность фаз вызывает

Кристалл кальцита

Кристалл кальцита

Оптическая ось

Оптическая ось

вращение вектора результирующего электрического поля

вращение вектора результирующего электрического поля

Фиг. 12. Простые фигуры Лиссажу, возникающие в результате сложения гармонических колебаний с разными угловыми частотами по двум перпендикулярным осям.

Фиг. 12. Простые фигуры Лиссажу, возникающие в результате сложения гармонических колебаний с разными угловыми частотами по двум перпендикулярным осям.

Синусоидальныеколебания

электрического поля Е-колебания на 90°опережают по фазеО-колебания

Фиг. 11. Толщина кристалла кальцита (фиг. 10) такова, что в результате про-хождения через кристалл £-волна опережает по фазе О-волну на л/2.

В результате сложения волн, выходящих из кристалла, свет оказывается поляризованнымпо кругу.

дополнительный набег фазы в 90° относительно О-волны. Сложение этих двух волн дает свет, поляризованный по кругу, электрический вектор которого описывает спираль (винтовую линию) против часовой стрелки.

Колебания с разными частотами (фигуры Лиссажу)

Если частоты двух перпендикулярных гармонических колебаний неодинаковы, то результирующее движение становится более сложным. Соответствующие траектории движения называются фигурами Лиссажу. Пример таких кривых приведен на фиг. 12, где частоты осевых колебаний связаны простыми соотношениями, указанными на фигуре, и

б = % — ф| = — .

Если амплитуды колебаний равны а и 6, то получающаяся фигура Лиссажу будет всегда ограничена прямоугольником со сторонами 2а и 2Ь. Стороны этого прямоугольника будут всегда касаться кривой в ряде точек, причем отношение числа точек касания, лежащих на оси х, к числу точек касания, лежащих на оси у, обратно пропорционально отношению соответствующих частот (фиг. 12).

Сложение большого числа п гармонических колебанийодинаковой амплитуды а с последовательным сдвигомпо фазе на 6

На фиг. 13 складываются п векторов одинаковой длины а, каждый из которых описывает гармонические колебания, сдвинутые по фазе относительно соседних на 6. Такое сложение характерно для двух физических явлений. Первое из них встретится нам в гл. 4 как задача о волновом пакете. Здесь разность фаз б связана с малой разностью частот бсо соседних компонент, образующих волновой пакет. С вторым мы встретимся в гл. 10, где речь идет о распределении интенсивности поля при интерференции и дифракции света. В этом случае складываемые гармонические колебания будут иметь одинаковую частоту, но каждая компонента поля будет сдвинута по фазе относительно своей соседней компоненты на постоянную величину благодаря дополнительному пути, который она прошла.

Ча фиг. 13 приведено графическое изображение суммы ряда

R cos (со/ + а) = a cos со/ + a cos (о/ + б) + a cos (о/ + 26) + ...

... + a cos (со/ + \п — 1] 6).

Здесь R— амплитуда результирующего вектора, а а — его фазовый сдвиг относительно первой компоненты a cos со/. Из геометрических соображений следует, что длина каждого отрезка дается формулой

& = 2r sin —,

где г — радиус круга, описывающего (неполный) многоугольник.

Фиг. 13. Векторное сложение большого числа п гармонических колебаний равной амплитуды а с одинаковым последовательным сдвигом фаз д.Амплитуда результирующего колебания Д=2г sin (п6/2) = а sin (n6/2)/sin 6/2, причем его фаза сдвинута относительно фазы первого слагаемого на величину а = (л —1)6/2.Фиг. 13. Векторное сложение большого числа п гармонических колебаний равной амплитуды а с одинаковым последовательным сдвигом фаз д.Амплитуда результирующего колебания Д=2г sin (п6/2) = а sin (n6/2)/sin 6/2, причем его фаза сдвинута относительно фазы первого слагаемого на величину а = (л —1)6/2.

Фиг. 13. Векторное сложение большого числа п гармонических колебаний равной амплитуды а с одинаковым последовательным сдвигом фаз д.

Амплитуда результирующего колебания Д=2г sin (п6/2) = а sin (n6/2)/sin 6/2, причем его фаза сдвинута относительно фазы первого слагаемого на величину а = (л —1)6/2.

Фиг. 13. Векторное сложение большого числа п гармонических колебаний равной амплитуды а с одинаковым последовательным сдвигом фаз д.

Амплитуда результирующего колебания Д=2г sin (п6/2) = а sin (n6/2)/sin 6/2, причем его фаза сдвинута относительно фазы первого слагаемого на величину а = (л —1)6/2.

Длина результирующего вектора находится из равнобедрен* ного треугольника ОАС;

R = 2г sin -у = аR = 2г sin -у = аsin (пб/2)sin 6/2sin (пб/2)sin 6/2

R = 2г sin -у = а

R = 2г sin -у = а

sin (пб/2)sin 6/2

sin (пб/2)sin 6/2

Как видно из фиг. 13, фазовый угол результирующего вектораa — / ОАВ — Z ОАС.

В равнобедренном треугольнике ОАС

Z ОАС = 90° —-^->

а в равнобедренном треугольнике ОАВ

ZОАВ = 90° - ^\

следовательно,

а = (90° — у) ~ (90° —-у-) = (м — Пу-

Иными словами, фазовый угол а равен половине разности фаз между первой и последней компонентами. Таким образом, результирующий вектор запишется в виде

R cos (со/ + а) = а ууйтг- cos [®/ + (п — 1)у].

Dili и/LJ

Несколько далее в этой главе мы получим тот же самый результат как пример применения экспоненциальных обозначений для синуса и косинуса.

Сейчас же исследуем поведение длины результирующего вектора

n _ sin (пб/2)° sin (д/2) ’

которая не постоянна, а зависит от величины б. Когда число п очень велико, а сдвиг 6 очень мал, многоугольник становится дугой окружности с центром в точке О. Длина дуги равна па = Л, a R — ее хорда. В этом случае

а = (п— 1)у « —

Следовательно, в таком пределе

~ sin (пб/2) sin a sin а А sin аR = a —.= а —7— = ^= Л.

* sin (6/2) а/паа

На фиг. 14 показано, как функция Л sin а/а зависит от а. Кривая зависимости симметрична относительно вертикальной прямой а = 0 и проходит через нуль во всех случаях, когда sin а = 0, кроме случая, когда а->0, >где sin а/а ->1. При а = 0 мы имеем б = 0 и в результате сложения п векторов по- лучаех отрезок прямой длиной Л (/ на фиг. 14). Если 0 < а < < л/2, то Л— длина дуги окружности. При а==л/2 первый и последний члены векторной суммы находятся в противофазе (2а = л) и дуга Л превращается в полуокружность, диаметр

которой равен амплитуде R результирующего вектора (2 на фиг. 14). Дальнейшее увеличение 6 приводит к увеличению а, и при а = л величина А равна длине окружности, а результирующий вектор равен нулю (3 на фиг. 14). При а = Зл/2 длина А в 3/2 раза больше длины окружности, диаметр которой равен

Фиг. 14. Кривая зависимости величины Л sin а/а от а.

Указана амплитуда результирующих колебаний: / — при а=0; 2 — при а = л/2; 3—при а = л; 4 — при а = Зл/2.

амплитуде первого максимума (4 на фиг. 14).

Сложение п одинаковых векторовпростых гармонических колебаний с длиной аи случайной фазойХ}

Когда разность фаз между двумя соседними векторами, рассмотренными в последнем разделе, может принимать случайные значения ф, лежащие в интервале от 0 до 2л, векторная сумма и результирующий вектор R могут быть изображены так, как на фиг. 15.

Проекции вектора R на оси х и у даются следующими выражениями:

п

Rx = a cos q>i + a cos ф2 + ° cos ф3 + ... + а cos ф„ — а У, cos фь

Ry = а X sin фь

= 1 где

R2 = Rx + R2y

’) Этот раздел можно пропустить при первом чтении.

Теперь

(

п\2г пппП

У, cos ср, I = а2 У cos2 ф; + Z созфг У созф, , 1=1/I i=ii-ii=i

*-i Ф /

УУФиг. 15. Результирующий вектор длиной R — л] па, полученный путем сложения п векторов длиной а со случайной фазой.Эта формула имеет важное значение в теории оптической некогерентности и в расчете энергии волн, теряемой за счет случайных диссипативных процессов.Фиг. 15. Результирующий вектор длиной R — л] па, полученный путем сложения п векторов длиной а со случайной фазой.Эта формула имеет важное значение в теории оптической некогерентности и в расчете энергии волн, теряемой за счет случайных диссипативных процессов.где множители cos ф^ и cos ф/, входящие в общий член 2 cos ф/cos ф/ двойной суммы, принимают случайные значения от —1 до 4*1. В результате усредненная сумма всех таких произведений практически равна нулю.

У

У

Фиг. 15. Результирующий вектор длиной R — л] па, полученный путем сложения п векторов длиной а со случайной фазой.

Эта формула имеет важное значение в теории оптической некогерентности и в расчете энергии волн, теряемой за счет случайных диссипативных процессов.

Фиг. 15. Результирующий вектор длиной R — л] па, полученный путем сложения п векторов длиной а со случайной фазой.

Эта формула имеет важное значение в теории оптической некогерентности и в расчете энергии волн, теряемой за счет случайных диссипативных процессов.

Суммирование ряда

п

У COS2 ф; = П COS2 ф

свелось к умножению числа членов ряда п на среднее значение cos2ф, которое равно интегралу от функции со52ф, вычисленному в интервале от 0 до 2л и поделенному на длину интервала 2л: 2л

COS2 ф = -^ ^ COS2 ф l/ф = у = о

= sin2 ф.

Следовательно, п

22^2y = a2lL s*n2(Pi = па2 81П2ф* =>

2

2

z = l откуда

R2 = Rx + Ry = na\ т. е.

R=^Jna,

Таким образом, амплитуда R системы, участвующей в п одинаковых гармонических колебаниях с одинаковой амплитудой а и случайными фазами, равна всего лишь Vпа, тогда как при сфазированности всех движений амплитуда R равнялась бы па. Данный результат иллюстрирует очень важный принцип случайного поведения системы. (Задача 1.16.)

Применение

Некогерентные источники в оптике. Полученный выше результат имеет прямое отношение к вопросу о когерентности в оптике. Когерентными называют сфазированные световые источники. Когерентность — необходимое условие экспериментального получения эффектов оптической интерференции. Если амплитуда одного светового источника равна а, а его интенсивность пропорциональна а2, то полная амплитуда излучения п когерентных источников равняется па, а его интенсивность пропорциональна ^п2а2у Излучение некогорентных источников характеризуется случайными фазами; поэтому полная амплитуда излучения п таких источников равна ^па, а его интенсивность пропорциональна па2. Здесь а — амплитуда излучения одного источника.

Случайные процессы и поглощение энергии. Для нас здесь случайные процессы важны своим вкладом в потери энергии или поглощение волн, распространяющихся через среду. Мы будем встречаться с этим, какие бы волны ни рассматривали. Случайные процессы, например столкновения между частицами при броуновском движении, имеют очень большое значение в физике. Диффузия, вязкость или сопротивление трения, теплопроводность— все это обусловлено процессами случайных столкновений. Такие процессы, приводящие к диссипации энергии, связаны с переносом массы, импульса и энергии и протекают только в направлении увеличения беспорядка. Они называются «термодинамически необратимыми» процессами и сопровождаются увеличением энтропии. Тепло, например, может передаваться только от тела с более высокой температурой к телу с более низкой температурой.

Предположим, что в проведенном выше анализе отрезок а не амплитуда гармонических колебаний, а среднее расстояние, проходимое частицей между двумя случайными столкновениями (средняя длина свободного пробега). Тогда после п таких столкновений (с одинаковыми в среднем временными интервалами между столкновениями) частица отойдет'от своего положения при /=0 в среднем только на расстояние ^ па. Поэтому пройденный путь пропорционален корню квадратному из времени, прошедшего после того, как началось движение, а не первой степени этого времени. Это свойственно всем случайным процессам.

Расстояние л^па пройдут не все частицы системы. Но это расстояние наиболее вероятно и представляет собой статистическое среднее.

Случайное поведение системы описывается уравнением диффузии (см. последний раздел гл. 6), при этом всегда будет возникать постоянная, называемая коэффициентом диффузии для

данного процесса. Размерность коэффициента диффузии всегда такова: (длина) 2/время; эту величину нужно интерпретировать как некую характерную длину процесса, в котором расстояние изменяется лишь как корень квадратный из времени.

Некоторые сведения из математики

Разложение экспоненциальной функции в ряд

«Естественным процессом» роста или уменьшения называют такой процесс, при котором изменение рассматриваемой вели

чины в данном пространственном или временном интервале равно некой постоянной доле самой величины. Закону естественного роста следует, например, прирост капитала, составляющий

5% годовых. Процессы затухания в физике обычно следуют закону естественного уменьшения.

В дифференциальной форме этот закон запишется в виде

-д— = ±adx или — = ±сш, где N— изменяющаяся величина, а а — постоянная; знак плюс относится к случаю возрастания, а знак минус — к случаю уменьшения величины N. Таким образом, производные dNIdx или dN)dt пропорциональны тому значению N, при котором определяется производная.

В результате интегрирования

Фиг. 16. Кривые зависимости экспоненциальных функций у = ех и у = е~х от х.Фиг. 16. Кривые зависимости экспоненциальных функций у = ех и у = е~х от х.приведенных выше уравненийприведенных выше уравненийполучаем .

Фиг. 16. Кривые зависимости экспоненциальных функций у = ех и у = е~х от х.

Фиг. 16. Кривые зависимости экспоненциальных функций у = ех и у = е~х от х.

приведенных выше уравнений

приведенных выше уравнений

N = Noe±ax или N = NQe-at,

где No—значение величины N при х = О или / = 0, а е — основание натуральных логарифмов.

Разложение в ряд экспоненциальной функции определяется следующим- образом:

уЗ

е'=1+* + 4- + ^ + ... + -^ + ....

График этой функции при положительных и отрицательных значениях х приведен на фиг. 16. Важно отметить, что, каков бы ни был вид показателя величины е, он представляет собой степень, в которую возводится эта величина, а потому всегда без-

о*

размерен. Следовательно, величина ах безразмерная и множитель а должен иметь размерность величины х-1.

Записывая

е^= 1 +«х + -^е^= 1 +«х + -^(ахУ .3!(ахУ .3!

е^= 1 +«х + -^

е^= 1 +«х + -^

(ахУ .

3!

(ахУ .

3!

сразу получаем, что

I ^а I ЗСЬ^ а . — е- = а+—х + —х2 +

1 I (ax)2 1 (ax)3 ."1

= a[l + ax + -^зГ- + -3T- + ...J=ae“*. Аналогично

d2 ax"d^2"6 —d2 ax"d^2"6 —a2eaxea2eaxe

d2 ax

"d^2"6 —

d2 ax

"d^2"6 —

a2eaxe

a2eaxe

В ряде случаев в этой главе мы будем пользоваться соотношениями

eat = aeat,= o?eat.

atdr

Прологарифмировав, легко показать, что ехеу = ех^ у, поскольку

In (exev) = In ех + In еи = х + и.

Обозначение г = ^J — X

В физике особенно удобна комбинация ряда для экспоненци- альной функции с комплексной формой записи / = V"—1- Здесь мы покажем математическое удобство представления синусоидальных или косинусоидальных колебаний в комплексной форме eix = cos х + i sin х.

В гл. 2 мы увидим также, что мнимую единицу I выгодно использовать в качестве векторного оператора.

Функции sinx и cosx следующим образом разлагаются в ряд:

X3Iх5X7.

sinx —X—3!+5171+

получаем

= 1 + ix 4- -^ ++ ... =

1 4~ IX 21 зГ" 41 + • • •

=1 — ^ + ^ + ... + i (* — -J- + ^г — • • •) = cos х +i sin х.

Мы также видим, что

-A- etx = ieix = i cos х — sin х. ах

Мы будем часто заменять синус или косинус функцией etx, а чтобы вернуться к исходной форме записи — брать мнимую часть решения в случае синуса и действительную часть решения в случае косинуса.

Примеры*

В случае простых гармонических колебаний (х + (о2х = 0) возьмем в качестве пробного решения функцию х = ае^1е^, где а — постоянная длина, а ф (и, следовательно, е1^—безразмерная константа:

= х = i(daeitote^ = i^x, at

= х = ?«?аеше^ = — (о2х.

Следовательно, функция-

х = aeltote1^ = ael ^tot +^ = a cos (^t + ф) + ш sin (со/ + ф)

является полным решением уравнения х + со2х = 0.

На стр. 24 мы использовали решение в виде синуса. Решение в виде косинуса также справедливо, оно отличается лишь сдвигом фазы ф на л/2.

^ + ^-^^2(1 -^- + 4“ ...) = 2cosx,

еи — е-1х = Ч1^х —|f + "||— ...) = 2Z sin x.

На стр. 32 мы нашли геометрическим методом результат сложения гармонических колебаний:

a cos mt + a cos (coZ + 6) + a cos (а>/ + 2d) + ...

... + а cos (а>/+ [п — 1] 6) = а -^пУ' cos { ю/ + (^Ч^") 6 } * Dill \Jj\\^/^

Мы можем получить тот же самый результат, представив косинусы в виде комплексных экспонент и вычислив сумму ряда как сумму геометрической прогрессии:

Qgitot _]_ aei (to^+б) _|_ aei (to^+26) _|_ e e , ^_ aei \tot + (л-1)6] —

= aeitot (1 + e^ + e126 + ... -|-^Hn-i)6) —=

^t enb[^e-inMZ einM^^t enb[^e-inMZ einM^. , 1 — einb

^t enb[^e-inMZ einM^

^t enb[^e-inMZ einM^

= aeltot= ae

1 -el6

= pi {^t + {{n-\)IZ] 6} sin (n^/2) sin 6/2

Если теперь перейти от комплексной формы записи к исходной^ действительной форме, то получим прежний результат

a cosa cos{"■'+(V-)6}{"■'+(V-)6}sin (пб/2)sin 6/2sin (пб/2)sin 6/2

a cos

a cos

{"■'+(V-)6}

{"■'+(V-)6}

sin (пб/2)sin 6/2

sin (пб/2)sin 6/2

(Задача 1.17.)

Допустим, что мы записали гармоническое колебание с помощью комплексной экспоненциальной функции

2 = aeitot,

где а — действительная амплитуда. Если заменить i величиной

—I, то мы получим комплексно сопряженную функцию

2* = ae”itot.

О применении комплексно сопряженных величин подробнее говорится в гл. 2, а здесь мы отметим лишь, что произведение двух комплексно сопряженных величин всегда равно квадрату амплитуды:

22* = a?eitote”itot = а2.

(Задача 1.18.)

Затухающие гармонические колебания

Ранее мы рассматривали случай идеальных гармонических колебаний, в котором полная энергия системы остается постоянной, а смещение изменяется по закону синуса — очевидно, неограниченно долго. В действительности же некоторая доля энергии всегда теряется из-за наличия сопротивления или вязкости. Например, амплитуда свободно колеблющегося маятника всегда будет уменьшаться со временем, по мере того как теряется энергия.

Наличие сопротивления движению означает действие другой силы, которую принимают пропорциональной скорости. Подобна

силе упругости, она всегда действует в направлении, противоположном ускорению (фиг. 17). Новое уравнение баланса сил, или уравнение движения, принимает вид

тх = — sx — гх,

где г — постоянный коэффициент пропорциональности, равный силе сопротивления, приходящейся на единицу скорости. Наличие такого слагаемого всегда будет приводить к потерям энергии.

Сила гэс трения

■Фиг. 17. Гармонические колебания тела, на которое действует тормозящая сила (или сила трения) гх, направленная против движения системы.

Уравнение движения: тх + гх + sx=0.

Теперь задача заключается в том, чтобы найти зависимость смещения х от времени из уравнения

тх + гх + sx = 0,(1.4)

где т, г и s— постоянные коэффициенты.

Когда эти коэффициенты постоянны, можно всегда найти решение в виде х = Ceat. Поскольку экспоненциальная функция безразмерна, постоянная С, очевидно, имеет размерность величины х (скажем, длины), а размерность величины а обратна размерности времени. Мы увидим, что существуют три возможных вида этого решения, каждый из которых описывает различную зависимость смещения х от времени. В два из них величина С входит в явном виде как постоянная длина, а в третьем случае она принимает вид1)

С = А + Bt,

где А— длина, В — скорость, a t—время, что обеспечивает величине С общую размерность длины, как и должно быть. Для нас этот случай не самый важный.

*) .Число возможных постоянных, входящих в общее решение дифференциального уравнения, всегда равно порядку уравнения (т. е. порядку высшей производной в нем). Поскольку уравнение (1.4) —второго порядка, возможны две постоянные А и В. Значения постоянных выбирают так, чтобы выполнялись начальные условия.

Считая С постоянной длиной, получаем

х = аСе°\ х = a2Ceat;

поэтому уравнение (1.4) можно переписать в виде

Ceat (та2 + га + s) = 0.

Отсюда либо

x = Ceat = 0 (тривиальный случай), либо

та2 + га + s = 0.

Решая квадратное уравнение относительно а, находим

г |/ г2а 2т4т2 т *

Отметим, что размерность всех членов r!2m, (s/my^ и, следовательно, величины а обратна размерности времени, что и соответствует виду функции eat.

Теперь смещение можно переписать следующим образом:

д- — Qe-r№mWIW--sMVi2 t

где разность г214т2— s]m может быть положительной, нулевой или отрицательной в зависимости от соотношения между двумя ее членами. Каждому из этих трех случаев соответствует одно из трех возможных решений, указанных выше. Каждое решение описывает особый вид движения. Мы рассмотрим эти решения в порядке их важности с нашей точки зрения. Третьему решению будет уделено главное внимание в остальной части книги.

Итак, рассмотрим три случая.

Разность в скобках положительна (r2/4m2 > s/m). В этом случае член г2/4т2, описывающий демпфирующее сопротивление, превышает член s/m, связанный с жесткостью. Вследствие сильного затухания мы имеем апериодическое движение.

Разность в скобках равна нулю (r2/4m2 = s/m). Равенство двух членов соответствует критическому затуханию.

Разность в скобках отрицательна (гЩш2 < s/m). При наличии небольшого затухания мы имеем затухающие гармонические колебания.

Случай 1. Сильное затухание.

Вводя новые обозначения

Г(г2S Vk

~— = р и -гт= q> 2mr \ 4mzm /

мы можем переписать решение

д- — Qg — rt^m + ^H/Am2 — slm№ t

в виде

х = e”pt (Cxeqt + C2e~qty

Здесь постоянные Ci (i=l,2) могут принимать любые значения, но их размерность совпадает с размерностью постоянной С (отметим, что возможны два независимых значения С, поскольку дифференциальное уравнение (1.4) — второго порядка).

Если теперь положить

f=cx + c2) G = CX-C2)

то получим смещение в виде

х = e-pt £ --- (eqt + е~^) + -у (eqt — e~qf или

х = e-pt (F ch qt + G sh qty

Такое выражение описывает апериодический процесс. Фактическое смещение будет зависеть от начальных условий, т. е. от

Фиг. 18. Апериодическое движение гармонической системы с сильным затуханием (г2/4/и2 > s/m), после того как она была резким толчком выведена из положения покоя х = 0.

значения величины х в момент времени / = 0. Если при / = 0 мы имеем х = 0, то F = 0 и

X = Ge"^*" Sh Г(-^ - — УА /].

4m2 mJ J

Для иллюстрации на фиг. 18 представлен случай, когда система с большим затуханием выведена из состояния равновесия резким толчком (т. е. при Z = 0 имеется некоторая скорость). Система будет возвращаться в состояние с нулевым смещением довольно медленно без каких-либо осцилляций около своего положения равновесия. Более строгий математический анализ показывает, что скорость dxfdt обращается в нуль только один раз и поэтому смещение имеет только один максимум. (Задача 1.19.)

Случай 2. Критическое затухание {r2/^m2 = s/m)

Пользуясь теми же обозначениями, что в случае 16, получаем что q = 0 и х = Ce-pt. Это предельный вариант случая 1 при из* менении q от положительных до отрицательных значений. Квадратное уравнение для а имеет одинаковые корни, а поэтому постоянная С в решении дифференциального уравнения должна быть записана в виде С = А + Bt, где А — постоянная длина, а В — определенная скорость, зависящая от начальных условий. Проверкой легко убедиться, что величина

х = (Л + В/) ^-^ = (Л Ц- В/) e~pt

удовлетворяет уравнению mx + rx + sx = 0, если гЩт = slm» (Задача 1.20.)

Баллистический гальванометр

Критическое затухание («успокоение») имеет важное значе* ние в измерительных приборах, таких, как баллистические гальванометры, которые испытывают резкие импульсные воздействия и которые должны за минимальное время возвращаться в поло*

Фиг. 19. Предельный случай апериодического движения гармонической системы с затуханием, когда r2[4m? = slm (критическое затухание).

жение нулевого смещения. Допустим, что на такой гальвано* метр, световой зайчик которого при / = 0 стоит на нуле, подается некоторый электрический заряд, в результате чего световой зайчик начинает двигаться со скоростью V по линейной шкале.

Тогда при / = 0 мы имеем х = 0 (поэтому А = 0) и х = К. Но при t = 0

х = В [(- р/) e~pt + е-рЛ = В.

а поэтому 6 = V и полное решение имеет вид

х = Vte-pt.

Максимальное смещение х достигается в тот момент, когда световой зайчик гальванометра останавливается, прежде чем начать двигаться к положению нулевого смещения. При максимальном смещении

х=Уе-рЦ\ — р0 = 0,

отсюда 1 — pt = 0, т. е. t = \]р.

Следовательно, в этот момент времени смещение имеет вид

X = Vie-»* = — е-1« 0,368 — = 0,368 ^L.

РРг

Кривая зависимости смещения от времени представлена на фиг. 19. В системе с критическим затуханием возврат в состояние с нулевым смещением происходит за минимальное время.

Случай 3. Затухающие гармонические колебания

При гЩт2 < slm затухание невелико, и мы получаем самый важный для нас вид движения — затухающие гармонические колебания.

Величина (г2/4/п2— slm)^ является мнимой, т. е. это квадратный корень из отрицательного числа; ее можно переписать следующим образом:

I 4m2 m )*\ /и 4m2 /\ m 4m2 ) 1

отсюда находим смещение:

x — Ce~rt/2me^l (slm-r^m^ t*

Размерность величины (s/m — r2l^tn^u обратна размерности времени, т. е. это величина с размерностью частоты, и ее можно обозначить через со'. Тогда вторая экспоненциальная функция примет вид е1^4 = cosa/t + i sine»'/. Отсюда следует, что смещение осциллирует с новой частотой ^ <^ = ^1т^!\ где со — частота идеальных гармонических колебаний. Чтобы провести сравнение между осциллятором с затуханием и идеальным осциллятором, нам хотелось бы записать решение в таком же виде, как и в идеальном случае, т. е. в виде х = A sin (о// + ф), где частота со была заменена частотой со'.

Мы можем сделать это, написав

х = e-rti2m (C{ei(iift + С^е- wt\

Если теперь мы положим

Сх = Л-е^ и Сг= — Ле*^,

где Л и ф (и, следовательно, e/tp)—константы, которые зависят от характеристик движения при t = 0, то после подстановки получим

i (ф^+ф) _ p-i (со^+ П

% = Ае~г^2,п -^= Ae"rmrn sin ^'t + ф).

Такое преобразование эквивалентно наложению начального условия х = A sin ф при t = 0 на решение х. Таким образом, смещение изменяется во времени по закону синуса, как и в случае идеальных гармонических колебаний, но теперь частота ко* лебаний иная:

/ f sг2 Via

03\т4m2 ) *

а амплитуда колебаний содержит дополнительный экспоненциальный множитель e""rti2m, монотонно убывающий со временем.

Фиг. 20. Затухание колебаний при s/m <r2/4m2.

Амплитуда уменьшается как е—г^т, а приведенная угловая частота определяется соот-ношением a/2 = slm—г214т2.

Если при t = 0 мы имеем х = 0, то ф = 0. На фиг. 20 пред* ставлена кривая такой зависимости х от времени. Осцилляции величины х постепенно затухают, причем огибающая (штриховая кривая, проходящая через точки максимальной амплитуды) следует закону e~rti2m. Постоянная А — это, очевидно, то значение, до которого выросла бы амплитуда колебаний в первом максимуме, если бы не было затухания.

Таким образом, наличие силы гх в уравнении движения приводит к потерям энергии, которые вызывают затухание амплитуды колебаний во времени согласно множителю e~rtl2m. (Задача 1.21.)

Методы описания затухания осциллятора

Ранее в данной главе мы видели, что энергия осциллятора определяется формулой

Е = -^ mdW = -~ sa2,

т. е. пропорциональна квадрату его амплитуды.

Выше мы пришли к выводу, что при наличии тормозящей силы амплитуда колебаний убывает со временем по закону

Q-rtt2m

и, следовательно, энергия уменьшается пропорционально величине

^-rtj2my — g—rtlm.

Чем больше тормозящая сила гх, тем быстрее уменьшаются амплитуда и энергия. Следовательно, мы можем характеризовать скорость, с которой уменьшаются амплитуда и энергия, экспоненциальным множителем.

Логарифмический декремент затухания

Эта величина характеризует скорость уменьшения амплитуды. Возьмем выражение

х = Ae-rt!<2m sin (со'/ + ф),

положим в нем л Ф = Т

и перепишем его в виде

х = Аое-г^2гп cos со'/,

где х = Ао при t = 0. Изменение х во времени будет следовать кривой, представленной на фиг. 21.

Если период колебаний равен т', причем т'= 2л/а/, то через один период амплитуда будет равна

,Ах = Aoe-№^v.

Отсюда-

^° — ^rV^m — ^6.

величина

называется логарифмическим декрементом затухания. Он равен логарифму отношения двух амплитуд колебаний, разделенных во времени одним периодом, причем большая амплитуда служит числителем, поскольку еб > 1.

Аналогично

А2’ Ап—е •

Экспериментально величину 6 лучше всего определять по изменению амплитуды колебаний за п периодов. В этом случае

Фиг. 21. Логарифм отношения двух амплитуд, разделенных во времени одним периодом, называется логарифмическим декрементом затухания: 6 == ln(AJAn*d = rV^m. 'Фиг. 21. Логарифм отношения двух амплитуд, разделенных во времени одним периодом, называется логарифмическим декрементом затухания: 6 == ln(AJAn*d = rV^m. '

Фиг. 21. Логарифм отношения двух амплитуд, разделенных во времени одним периодом, называется логарифмическим декрементом затухания: 6 =

= ln(AJAn*d = rV^m. '

Фиг. 21. Логарифм отношения двух амплитуд, разделенных во времени одним периодом, называется логарифмическим декрементом затухания: 6 =

= ln(AJAn*d = rV^m. '

величина 6 находится как тангенс угла наклона кривой- зависимости величины \х\А^Ап от п.

Постоянная времени затухания

Затухание можно характеризовать временем, за которое амплитуда уменьшается до величины, составляющей

e-i = 0,368

ее начального значения Ао. Такое время называется постоянной времени затухания. В момент времени t = 2пг/г достигается амплитуда

At = Aoe-rt^ = Аое-1.

В физике широко принято характеризовать естественное затухание величины временем се уменьшения в е раз, поскольку время, необходимое для уменьшения ее до нуля в процессе естественного убывания, равно (конечно, теоретически) бесконечности.

(Задача 1.22)

Добротность Q гармонического осциллятора с затуханием

Эта величина характеризует скорость уменьшения энергии. Поскольку амплитуда уменьшается по закону

А = Лое-Г^, энергия уменьшается пропорционально величине А? = А^е-Г‘1т и можно написать

где В» — энергия при / = 0.

Время, необходимое для уменьшения энергии Е до значения Ейе~х, равно t = m!r секунд. За это время фаза осциллятора изменится на to'mjr радиан.

Мы определим добротность to'm Ч г

как число радиан, на которое изменяется фаза системы с затуханием при уменьшении энергии системы до значения

Е = Е^.

Обычно добротность Q очень велика и, следовательно, демпфирующее сопротивление г очень мало, а потому

пг 4m2 и

Таким образом, в очень хорошем приближении мы можем написать

q topm

и считать добротность постоянной величиной для системы с затуханием.

Поскольку добротность Q^toom/r) постоянна, отношение Энергия, накопленная в системе

Энергия, теряемая за один период

тоже постоянно, так как

Q соот vom2л2лг г

есть число периодов (или полных колебаний), которое необходимо для уменьшения энергии системы до значения Е = Еое-Х. Если

E = Eoe-^S

то энергия, теряемая за один период, равна

— dE — — Edt = -E-V,inт v

где dt = MV = х'— период колебаний. Таким образом,

Энергия, запасенная в системе Е у'т ^ ^от Q

Энергия, теряемая за один период — dE г ^ г 2л *

В следующей главе мы встретимся с той же добротностью Q в ее новых ролях: во-первых, она выступит как мера частотной ширины линии поглощения для осциллятора с затуханием, возбуждаемого вблизи резонансной частоты, и, во-вторых, она будет характеризовать увеличение смещения осциллятора при резонансе.

Пример*, расчет добротности гармонического осциллятора с затуханием

Электрон в атоме, который свободно излучает энергию, ведет себя подобно простому гармоническому осциллятору с затуханием. Мощность излучения равна Р = q^x^IXIrn^ ватт на длине волны 0,6 мкм (6000 А). Показать, что добротность Q атома — порядка 108, а его время свободного излучения — порядка 10-8 с (время, необходимое для уменьшения начальной энергии атома в е раз). Здесь

q = 1,6 • 10-19 кулон,

74ле0 = 9 • 109 метр • фарада-1

me = 9- 10""31 килограмм,с = 3 • 108 метр • секунда-1,х0 = максимальная амплитуда колебаний.

Мощность излучения равна Р = —^dE, где —dE есть энергия, теряемая за один период. Энергия осциллятора дается формулой Е = '/2те(л2х2.

Следовательно, 2л£ чкгпк^х^ Q — ^ПГ = Р ’

подставляя указанные выше значения параметров и учитывая, что со = 2nv = 2лс/Х, где X— заданная длина волны, получаем значение Q « 5-107.

Соотношением Q = mt определяется время излучения / - 10"8 с.

Диссипация энергии

Мы уже видели, что наличие силы сопротивления приводит к уменьшению амплитуды колебаний со временем вследствие диссипации энергии.

Полная энергия по-прежнему равна сумме кинетической и потенциальной энергий:

£ = у /их2 + ^- sx2.

Однако теперь производная dE/dt отлична от нуля и отрицательна, поскольку энергия теряется. Следовательно,

= 41 (т m5? + lsx2) =+ sx) - - гх\

где было использовано уравнение тх + rx + sx = 0. Отсюда следует, что скорость уменьшения энергии равна работе, совершаемой против силы трения за единицу времени (размерность произведения сила X скорость такова: сила X длина/время). (Задачи 1.23, 1.24.)

Затухающие гармонические колебания в электрическом контуре

В случае электрического контура, содержащего катушку индуктивности, резистор и конденсатор (фиг. 22), уравнение сил для механического осциллятора заменяется уравнением для напряжений.

Следовательно, мы имеем уравнение

l^ + ri + ^-o,

или

Lq + Rq + ^ = O.

Сравнивая с решениями для х в механическом случае, мы сразу получаем, что заряд дается выражением

q = q^—Rtl^L ±мш- x/Lc^k te

При \(LC >* R^JAlL? это решение дает величину, осциллирующую с частотой со, которая определяется равенством

2 I ^2

ю = Тс - 477-

l^blR+4-0l^blR+4-0Из вида экспоненциально-убывающего члена вледует, что отношение R]L имеет размерность Г-1, обратную размерности времени, т. е. размерность частоты со, а поэтому произведение coL имеет размерность сопротивления R и измеряется в омах.

l^blR+4-0

l^blR+4-0

Фиг. 22. Электрическая цепь, составленная из катушки индуктивности, конденсатора и резистора, в которой возможны затухающие гармонические колебания. Сумма напряжений вдоль цепи определяется законом Кирхгофа: Ldlldt + IR +

+ q/C = 0. ,

Аналогично, поскольку со2 = \ILC^ ^L = 1/соС, величина 1/соС также измеряется в омах. Эти результаты будут использованы в следующей главе. (Задачи 1.25—1.27.)

Задача 1.1

Уравнение движения

mx = — sx,

где ^—slm^ непосредственно применяется к системе, изображенной на фиг. 1, в. Покажите, что при смещении маятника, представленного на фиг. 1,а, на малое расстояние х коэффициент жесткости (возвращающая сила на единицу смещения) равен mg/l, а ^ = g/l^ где g— ускорение свободного падения. Затем вместо х возьмите малое угловое смещение 6 и покажите, что выражение для частоты со останется без изменения.

Колебания, представленные на фиг. 1,6— вращательные, поэтому инертная масса заменяется моментом инерции I диска, а

коэффициент жесткости — возвращающим моментом сил нити, который равен С на 1 радиан углового смещения. Покажите, что (о2 = //С.

Покажите, что в случае системы, изображенной на фиг. 1,г, коэффициент жесткости равен 2Г//, а со2 = ^Tflm.

Покажите, что в случае системы, изображенной на фиг. 1,5, коэффициент жесткости равен 2pg, a to2 = <2^11, где g— ускорение свободного падения.

В случае системы, изображенной на фиг. 1,е, колеблется только газ, находящийся в горлышке сосуда. Он ведет себя как поршень с массой рА/. Учитывая, что изменения давления определяются уравнением состояния, возьмите уравнение адиабаты pVy = const и, прологарифмировав, покажите, что изменение давления в сосуде подчиняется уравнению

,dVАх

dp = — ^p — =~^p—»

где х— смещение газа в горлышке. Отсюда покажите, что со2 = = ^pA(lpV. Величина ур есть коэффициент жесткости газа (гл. 5).

Площадь поперечного сечения горлышка ареометра, изображенного на фиг. 1,ж, равна А. Если ареометр приподнят на высоту х относительно своего нормального уровня плавания, то на него действует возвращающая сила, равная весу смещенной жидкости (закон Архимеда). Покажите, что m2 = gpA/m.

Во всех случаях проверьте размерность величины ш2.

Задача 1.2

Путем выбора соответствующих значений постоянных А и В в уравнении (1.2) покажите, что в равной степени справедливы решения для х:

х = а cos (tot + (р), х = a sin (tot — ф), х = a cos (tot — ф).

Покажите, что эти решения удовлетворяют уравнению

х + (о2х = 0.

Задача 1.3

Маятник, изображенный на фиг. 1,а, колеблется с амплиту дой а. Найдите фазовую постоянную ф для решений

' х = a sin (tot ± ф), х = a cos (tot ± ф),

если колебания начинаются из положения

а) х = а, б) х — —а, в) х = а/V2, г) х = а/2, д) х = 0.

Задача 1.4

Покажите, что отношение значений величины со2 для гармонических колебаний трех систем, изображенных на фиг. 23, рав* но 1:2:4.

Фиг. 23

Задача 1.5

Смещение гармонического осциллятора описывается уравнением

х = a sin (со/ + ф).

Покажите, что если колебания начинаются в момент времени / = 0 из положения х = х0 со скоростью х = и0, то

tg ф = coxo/vo, а = (х2 + Vq/cO^)'^,

Задача 1.6

Частица совершает гармонические колебания вдоль оси х с амплитудой а. Из точки х в точку х + dx она перемещается за время dt. Покажите, что вероятность найти частицу в интервале от х до х + dx равна dx

л (л2 — Х2)1/2

(в квантовой механике эта вероятность отлична от нуля и при х > а).

Задача 1.7

Вдоль оси х в некой среде равномерно распределено большое число одинаковых гармонических осцилляторов. Фотография показывает, что огибающая их смещения вдоль оси у является синусоидой. Расстояние между осцилляторами с разностью фаз 2л радиан равно X. Какова разность фаз осцилляторов, находящихся на расстоянии х друг от друга?

Задача 1.8

На платформе, совершающей гармонические колебания с частотой 5 Гц в вертикальном направлении, стоит груз. Покажите^ что груз теряет контакт с платформой, когда ее смещение превысит 10-2 м.

Задача 1.9

Груз с массой М подвешен на конце пружины длиной I с коэффициентом жесткости $. Масса пружины равна т, а скорость элемента пружины dy пропорциональна расстоянию у да закрепленного конца пружины. Покажите, что кинетическая энергия этого элемента равна

где и — скорость движения подвешенного груза М. Проинтегрировав эту величину по всей длине пружины, покажите, что ее полная кинетическая энергия равна 7б^Ц2- Исходя из полной энергии колеблющейся системы, покажите, что частота колебаний определяется выражением

Задача 1.10

Общая формула для энергии простого гармонического осциллятора имеет вид

Е = 7г масса X (скорость)2 +

+ 7г коэффициент жесткости X (смещение)2*

Найдите формулы для энергии всех осцилляторов, изображенных на фиг. 1. Выведите уравнение движения в каждом случае,, пользуясь условием

Задача 1.11

Смещение гармонического осциллятора описывается уравне-- нием x = asincot Считая, что смещение х и скорость х откладываются на двух взаимно перпендикулярных осях, исключите / и покажите, что геометрическим местом точек (х, х) является эллипс. Докажите, что этот эллипс является кривой постоянной энергии.

Задача 1.12

В гл. 10 будет показано, что распределение интенсивности света, распространяющегося от двух щелей (опыт Юнга), определяется суперпозицией двух гармонических колебаний с одина-

новой амплитудой а и разностью фаз 6. Докажите, что эта интенсивность описывается выражением

I = R2 = 4а2 cos-|-.

В каких пределах она изменяется?

Задача 1.13

Проведите указанные в тексте выкладки, необходимые для вывода уравнения (1.3) на стр. 24.

Задача 1.14

Координаты частицы массой т определяются уравнениями х = a sin (о/, у = b cos со/.

Исключите / и покажите, что траектория движения частицы представляет собой эллипс. Сложив кинетическую и потенциальную энергии частицы в произвольном положении (х,у), докажите, что такой эллипс является кривой постоянной энергии, равной сумме отдельных энергий гармонических колебаний.

Докажите, что величина т^ху — ух) также постоянна. Что представляет собой эта величина?

Задача 1.15

Рассмотрим гармонические колебания с одинаковой частотой одновременно в двух взаимно перпендикулярных направлениях— вдоль осей х и у. Колебания происходят с разностью фаз

б = ф2 — Ф1.

благодаря чему главные оси результирующего эллипса наклонены под некоторым углом к осям х и у. Покажите, что для определения разности фаз достаточно измерить два отдельных значения х (или у).

^Указание. Нужно взять уравнение (1.3) и определить уМакс и значение у при х = 0.)

Задача 1.16

Имеется набор из 21 значения величины sin q>z:

sin(p/ = +l; i0,9*, ±0,8; ...; 0.

Выберите из него случайную группу из п значений и вычислите произведение

пп

У, sin ф( У sin <р/.

Покажите, что среднее значение данного произведения для нескольких таких групп пренебрежимо мало по сравнению с величиной п/2.

Задача 1.17

Пользуясь тем же методом, что и в примере 3 на стр. 37, докажите равенство

a sin со/ + а sin ((о/ + 6) + л sin ((о/ + 2б) + .. - + а sin ((о/+[п—1]6) =

• Г । f л — 1 X «Л sin пб/2

=asmL^+(-T-)6j4hrw

Задача 1.18

Представив сумму ряда

a cos со/ + я cos (со/ + d) + a cos (со/ 4*26) + ... + a cos [(о/+ (я—1) д] в комплексной форме с помощью экспоненциальных функций:

2 = ^(1+ez6 + ^26 + ... + ^^-1>6),

покажите, что

«_ 2 sin2 (пд/2)sin2 6/2 •

Задача 1.19

Гармоническая система с большим затуханием (фиг. 18) смещается на расстояние F относительно ее положения равновесия и затем отпускается из состояния покоя. Покажите, что смещение системы описывается выражением

\ 4m2 tn /

Изобразите графически зависимость ее смещения х от времени.

Задача 1.20

Покажите, что смещение

х (Д + ВО e-ft^m удовлетворяет уравнению

mx + rx + sx = 0,

если

Г2 _ $

4m2 m *

Задача 1.21

Покажите, что если на общее решение

х = e-rti2m (С^4 + С2е”^),

которое описывает затухающие гармонические колебания, наложить начальное условие х = A cos ф при t = 0, то мы получим

АА

=С2 = -^е-^.

Задача 1.22

Конденсатор с емкостью С, имеющий заряд q^ при t = 0 начинает разряжаться через резистор с сопротивлением R. Исходя из уравнения для напряжений

£ + «=0.

покажите, что постоянная времени такого процесса в секундах равна RC, т. е.

q = q^tlRC.

(Величина tIRC безразмерная.)

Задача 1.23

Частота гармонического осциллятора с затуханием определяется выражением

/ООГ9Г

Покажите:

что при (о2 — g/2 = 10“6(о2 добротность Q = 500, а логарифмический декремент затухания б = л/500;

что при (Do = Ю6 Гц и т= 10-10 кг коэффициент жесткости системы равен 100 Н-м-1, а коэффициент силы сопротивления г = 2 -10-7 Н-с-м”1;

что если максимальное смещение при / = 0 равно 10~2 м, то энергия системы равна 5-Ю-3 Дж, а время уменьшения энергии в е раз составляет 50 мс;

что энергия, теряемая за первый период, равна 2л-10-5Дж,

Задача 1.24

Покажите, что относительное изменение резонансной частоты <d0 (o)2 = s//n) в случае гармонического механического осциллятора с затуханием равно ~(8Q2)-1, где Q — добротность.

Задача 1.25

Покажите, что добротность электрической £С7?-цепочки дается формулой Q = to^L/R, где <о2 = \JLC.

Задача 1.26

Плазма представляет собой ионизованный газ, содержащий в равной концентрации ^ni = ne = n^ ионы и электроны с зарядами противоположного знака ±е и с массой mt и те, причем mi > те. При смещении электронов относительно ионов возни

кает электрическое поле, которое возвращает электроны в равновесное положение, если ионы считать неподвижными. На фиг. 24 показан плазменный слой толщиной /. Все электроны слоя смещены на расстояние х, при этом возникло возвращающее электрическое поле Е = пех/г^ где е0 — постоянная. Покажите, что на электроны действует возвращающая сила (отнесенная к единице площади), равная хпЗеЧ]^, и что электроны гармонически колеблются с угловой частотой о)| = пе^т^. Эта частота называется электронной плазменной частотой. В такой ионизованной среде

могут распространяться только радио

волны с частотой со > о)е. Этим объясняется отражение радиоволн с со < СОе от ионосферы.

Задача 1.27

Простой маятник в виде тела массой т, которое подвешено на конце нити длиной /, совершает малые колебания. Длина нити очень медленно уменьшается за время, за которое маятник совершает большое число колебаний с постоянной амплитудой /9, где 9 — очень малый угол. Покажите, что при уменьшении длины нити на величину — А/ совершается работа — mgM (затрачиваемая на повышение положения равновесия) и энергия маятника, увеличивается на

А£ = ^mg ~/п/92) А/,

где 9—среднее значение угла 9 за время уменьшения длины нити. Покажите, что в случае 9 = 90coscoZ энергию маятника в любой момент времени можно записать в виде

m/VO2 mgl^

и, следовательно,

^E 1 А/ Av

ЕТ /~v~’

Иными словами, отношение энергии маятника Е к его частоте колебаний v остается постоянным в ходе медленного изменения параметра маятника. (Постоянство данного отношения при медленно меняющихся условиях имеет важное значение в квантовой теории, где это постоянное отношение записывается в виде целого кратного постоянной Планка.)

Сводка основных результатов

Простой гармонический осциллятор (масса т, коэффициент жесткости s, амплитуда а)

Уравнение движения х + м2х = 0, где со2 = s/m.

Смещение х = a sin (со/ + ср).

Энергия у тх2 + у sx2 = у mto2a2 = у sa2 = const.

Сложение (амплитуды и фазы) двух гармонических колебаний

В одном измерении

Одинаковая частота со, разные амплитуды, разность фаз 6, результирующая амплитуда R, причем R2 = а2 + а2 + 2аха2 cos б.

Разные частоты со, одинаковая амплитуда:

х = Xi + х2 = а (Sln <°i^ + sin = 2а sin •- ^—— cos --—~ •

В двух измерениях: взаимно перпендикулярные оси

Одинаковая частота со, разные амплитуды. В этом случае получается общее уравнение конического сечения

А- + ^Т - cos (ф2 — Ф1) = Sin2 (ф2 — Ф1).а2 а1а2

(Это уравнение лежит в основе теории оптической поляризации.)

Сложение п векторов, описывающих гармоническое движение (одинаковая амплитуда а и постоянный последовательный сдвиг фаз б)

Результирующая амплитуда Reos (tot + а), где sm^б

sin 6/2v '2

Эти формулы важны в теории дифракции света и для описания волновых пакетов, образованных из большого числа компонент.

Затухающие гармонические колебания

Уравнение движения mx + rx + sx = 0. Колебания — при

— f2tn 4ш2 *

г Смещение х = Ae-rt/2m cos (a/t + (р), где

/2 sr2

(О 2 =—

пг4пг

Уменьшение амплитуды

Логарифмический декремент затухания 6 — логарифм отношения двух значений амплитуды, разделенных во времени одним периодом:

Время релаксации

Время, необходимое для уменьшения амплитуды до значения

А = А^е~Н12т — Лов”1, т. е. t — *lm[r.

Уменьшение энергии

Добротность Q равна числу радиан, на которое изменяется фаза колебаний при уменьшении энергии до значения Е = ^е-1:

~о Энергия, запасенная в системе

XV 1,"■ -■- ^Л гх"""'

гЭнергия, теряемая за один период

Е = Е^е-г11т = Е^е-\ когда Q = coo^

В случае затухающих гармонических колебаний

^- = [mx + sx) х = — гх2 (работа, совершаемая силой сопротивления в единицу времени).

В эквивалентных выражениях для электрических осцилляторов необходимо произвести замену m^L, r-^R и s->l/C. Уравнение для сил переходит в уравнение для напряжений.

Глава 2

Вынужденные колебания осциллятора

Действие оператора i на вектор

Мы уже видели, что гармонические колебания удобно описывать функцией eitot. Мнимая единица I удобна в математическом отношении, и, кроме того, ее можно рассматривать как векторный оператор, имеющий определенный физический смысл. Когда вектор умножается на t, т. е. i действует на вектор, этот вектор поворачивается на положительный (т. е. против часовой стрелки) угол л/2. Действуя как оператор, i увеличивает фазу вектора на 90°. Оператор —i поворачивает вектор по часовой стрелке на .л/2 и уменьшает его фазу на 90°.

Фиг. 25. Векторное представление комплексных величин, в котором используются оператор i и показатель экспоненты.

-Звездочкой обозначаются комплексно сопряженные величины, в которых I заменено величиной —I.

Комплексную величину r = a+ ib можно изобразить на плоскости в виде вектора, как на фиг. 25, где величина а отложена по оси абсцисс, а величина lb — по оси ординат. Величина вектора, или его модуль, записывается в виде

II = (а2 + б2)71 И

г2 = а2 + Ь2 = {а + lb^ (а — ib) = rr*.

Здесь а—ib = r* есть величина, комплексно сопряженная вели-* чине а + ib, т. е. отличающаяся от нее знаком перед I. Вектор .г* = а — lb также изображен на фиг. 25.

Комплексная величина г = а + ib может быть записана в гвиде произведения ее модуля |г| на фазовый множитель е^» *

| г | = | г 16^ = | г | (cos ф + i sin ф) а + ib.

Отсюда получаем формулы, устанавливающие связь с векторным представлением комплексной величины (фиг. 25):

а = | г | cos <р, b = | г | sin ф,илиaabЬ

COS ф ==гт» Sin ф ==77-,

И (а2+62)‘/2|г|(а2 + 62)‘/2

откуда tg ф = Ь,а.

Точно так же

I г Г = [ г [е-/(р = | г | (cos ф — Z sin ф),

со5ф = -|Ур 51пф = -^, tgф = -^ (фиг. 25).

Комплексная форма закона Ома

Мы знаем закон Ома как соотношение V = IR для действительных величин — напряжения V на резисторе R и тока / через этот резистор. Действительная форма соотношения означает, что

•Фиг. 26. Электрический осциллятор, совершающий вынужденные колебания. На цепочку последовательно соединенных катушки индуктивности L, конденсатора С и резистора R подается напряжение VQ1 так что V a = LdHdt + IR + qjC.

напряжение и ток всегда находятся в фазе. Временная зависимость обеих величин дается функцией зт(о)/ + ф) или cos (со/+ + ф), где величина ф одинакова как для напряжения, так и для тока.

Но при наличии индуктивности L или емкости С (или того и другого) возникает разность фаз между напряжением и током и закон Ома принимает комплексную форму

= IZe.

В него вместо сопротивления входит величина Ze, которая называется импедансом. Импеданс равен сумме эффективных сопротивлений резистора R, катушки индуктивности L и конденсатора С, имеющихся в цепи.

Когда к последовательно соединенным резистору, катушке индуктивности и конденсатору (фиг. 26) приложено переменное напряжение Va частоты со, баланс напряжений имеет вид

V.-IR^L^^.

Ток в такой цепи определяется формулой

/ = /0^.

Напряжение на катушке индуктивности

L = L -^- = lA 1^ = itoU^1 = iaLI.

Но как мы видели в конце первой главы, величина mL измеряется в омах и представляет собой эффективное сопротивление, которое оказывает индуктивность L току частоты со. Перед

л

icoL

RRR

R

R

LcoCL

Фиг. 27. Векторное сложение сопротивления и реактансов при нахождении электрического импеданса Ze = R + i^toL — 1/wC).

произведением со/,/, размерность которого равна размерности произведения сопротивления на ток, т. е. напряжения, стоит мнимая единица i. Это означает, что напряжение на катушке индуктивности опережает по фазе на 90° ток цепи.

Точно так же напряжение на конденсаторе равно

^. = -1 f / Л = Л € ei«»t dl = N^L = _ JI С C JС JitoCtoC

(поскольку l/i = —i). Величина 1/cdC, измеряемая в омах, представляет собой эффективное сопротивление, которое оказывает конденсатор току с частотой ш. Однако теперь перед напряжением на конденсаторе /шС стоит —1, и, следовательно, оно отстает по фазе от тока на 90°. В случае резистора напряжение находится в фазе с током.

Закон Ома в комплексной форме можно записать следующим образом:

V = IZe = IYR + i (o)L - 1/соС)],

где величина Ze = R + Ц^Ь—1/соС) есть импеданс. Векторное представление импеданса приведено на фиг. 27. Величины coL и 1/соС называются реактансами; они вносят не только эффективное сопротивление, но и фазовый сдвиг. Выражение в скобках (соЛ— 1/соС) есть реактивная компонента импеданса Ze, ее часто обозначают символом Хе<

Модуль импеданса, т. е. его величина в омах, дается выражением

IZe^I^ + ^L-l/^C)2]''’.

Комплексную величину Ze можно представить в виде произведения модуля Ze на фазовый множитель:

Ze = \Ze\ е^ = | Ze | (cos ф + i sin ф), откуда•

R . Хе . Хеsm<p = TCT'

Здесь ф — разность фаз между полным напряжением и током в цепи.

Величина ф может быть и положительной, и отрицательной в зависимости от соотношения величин coL и 1/соС: при wL > >> 1/соС величина ф положительна. Но поскольку эти величины зависят от частоты, разность фаз ф может менять и знак, и величину. Модуль импеданса \Ze\ также зависит от частоты и принимает свое минимальное значение \Ze\ = R при mL = \[^С.

Импеданс механической системы

Все сказанное справедливо и тогда, когда мы рассматриваем не электрический осциллятор, а механическую систему, характеризуемую массой, коэффициентом жесткости и сопротивлением.

Механический импеданс определяется как сила, необходимая для того, чтобы сообщить осциллятору единичную скорость, т. е.

Zm = "^ ИЛИ F=vZm.

Мы можем сразу записать механический импеданс в виде

Zm = г + i (tom — А) = Г + ixт, где

Zm = I Zm | егФ и tg ф = XJr.

Здесь ф — разность фаз между силой и скоростью, a \Zm\ =

Масса, подобно индуктивности, определяет положительный реактанс, а коэффициент жесткости играет ту же роль, что и емкость.

Поведение осциллятора под действием внешней силы

Теперь мы в состоянии рассмотреть физическое поведение механического осциллятора с массой т, коэффициентом жесткости $ и сопротивлением г, находящегося под действием переменной силы Fo cos со/, где Fo— амплитуда силы (фиг. 28). Эквивалентным электрическим осциллятором была бы приведенная

Фиг. 28. Механический осциллятор, совершающий вынужденные колебания.На механическую систему с затуханием, изображенную на фиг. 17, действует сила Fo cos totФиг. 28. Механический осциллятор, совершающий вынужденные колебания.На механическую систему с затуханием, изображенную на фиг. 17, действует сила Fo cos tot

Фиг. 28. Механический осциллятор, совершающий вынужденные колебания.

На механическую систему с затуханием, изображенную на фиг. 17, действует сила Fo cos tot

Фиг. 28. Механический осциллятор, совершающий вынужденные колебания.

На механическую систему с затуханием, изображенную на фиг. 17, действует сила Fo cos tot

на фиг. 26 цепочка, содержащая индуктивность L, емкость С и сопротивление R, к которой приложено переменное напряжение Vo cos со/.

Механическое уравнение движения, т. е. уравнение динамического баланса сил, имеет вид

пгх + гх + sx = ^о cos со/.

Уравнение напряжений для эквивалентного электрического осциллятора запишется следующим образом:

Lq + Rq + q/C = Vo cos со/.

Мы будем исследовать поведение механической системы, но все сказанное будет в равной степени относиться и к электрическому осциллятору.

Полное решение уравнения движения состоит из двух членов:

«нестационарного» члена, который затухает со временем и в действительности является решением уравнения mx-Vrx + + s% = 0, рассмотренного в гл. 1; он имеет вид

— QQ — ftr^m^i (81т-гЩт?№ t

и затухает со временем как e~rt/2m;

«стационарного» члена, который описывает поведение осциллятора после затухания нестационарного члена.

В начальной стадии оба члена дают вклад в решение, однако главное внимание мы уделим «стационарному» члену, который описывает конечное поведение осциллятора.

Заменим cos со/ величиной eitot и перепишем уравнение сил в комплексной форме:

тх + гх + sx = F^eltot.тх + гх + sx = F^eltot.(2.1)(2.1)

тх + гх + sx = F^eltot.

тх + гх + sx = F^eltot.

(2.1)

(2.1)

Решив это уравнение относительно х, мы найдем модуль смещения и его фазу относительно действующей силы Foeitot. Сначала в качестве пробного решения выберем

х = Aeitot,

где величина А может быть комплексной, т. е. может иметь компоненты, которые находятся в фазе или противофазе относительно действующей силы.

Скорость

х = i(dAeitot = /сох, откуда

X = ?(Т?Х = — (02Х,

и уравнение (2.1) принимает вид

(— AaFm + i^Ar + Xs) eltot = F^e1^.

Поскольку это уравнение выполняется при всех /,

tear + (s — (o2m)

или, после умножения числителя и знаменателя на —i, д _— IFо — iF0

со [г + z (com — s/(o)J toZm *

Следовательно,

x = Aei«>t _-==

<oZm co | Zm | e^to | Zm |

где

1| = [r2 + ^m — s»2]72.

Этим стационарным решением в комплексной форме полностью определяется амплитуда смещения и его фаза относительно действующей силы, после того как затухнет нестационарный член. Оно позволяет сделать следующие три вывода:

благодаря наличию реактивной части сот— s/co механического импеданса существует разность фаз ф между смещением х и силой;

существует дополнительная разность фаз, обусловленная множителем —I; даже если бы разность фаз ф равнялась нулю, то смещение х отставало бы по фазе от силы F0cosco/ на 90°;

максимальная амплитуда смещения х равна F^to\Zm\; мы видим, что эта величина имеет правильную размерность, поскольку размерности скорости x/t и F^Zm одинаковы.

Мы представляли величиной FQeitot ее действительную часть Fn cos tot, а потому теперь возьмем действительную часть решения

_ „ iF.el

х <0 I I

для нахождения действительной величины х. (Если бы сила имела вид FosinG^, то мы взяли бы теперь мнимую часть решения х.)

Итак,

х =е1cos (tot — фНгу—г sin (со/ — ф),

od|Zw|^\Zm\ хх to\Zm\ х

Следовательно, смещение х под действием силы Fo cos tot определяется выражением

х = -Л° .■ sin (со/ — ф)

(смещение х под действием силы Fosinco/ равнялось бы —Fo COS (tot — ф) /to | Zm | ) .

Оба эти решения удовлетворяют требованию, чтобы полная разность фаз между смещением и силой была равна ф плюс величина —л/2, обусловленная множителем —I. При ф = 0 смещение х = Fo sin tot/to\Zm\ отстает по фазе от силы Focos tot точно на 90°.

Скорость вынужденных колебаний в стационарном состоянии мы найдем следующим образом:

Мы сразу видим, что:

перед выражением нет множителя /, а потому разность фаз между скоростью и и силой равна только ф; при ф = 0 скорость находится в фазе с силой;

амплитуда скорости равна F0/\ZmV как мы и ожидали, исходя из определения механического импеданса Zm = F/v.

Снова взяв действительную часть комплексного выражения для скорости, которая будет соответствовать действительной части силы F^e1^, находим

и = ■7- cos (со/ — ф).

Таким образом, скорость всегда опережает смещение по фазе на 90°, а ее сдвиг фазы относительно силы равен лишь ф, причем

.tom — s/to Xm

tgф=—н-=—.

Следовательно, сила Fq cos tot вызывает смещение х = Тй^"! sin ^ ~ ф)

и скорость

V = ■ 7 ° I cos (со/ — ф).

(Задачи 2.1—2.4.)

Зависимость амплитуды и фазы скорости vот частоты внешней силы ы

Амплитуда скорости равна отношению

I Zm |[г2 + (мт - s/co2)]*^ •

ш0 =(s/m)ш0 =(s/m)Следовательно, она изменяется при изменении частоты со, поскольку Zm зависит от частоты.

ш0 =(s/m)

ш0 =(s/m)

Фиг. 29. Зависимость скорости при вынужден-ных колебаниях осциллятора от частоты овнешней силы.

Максимальная скорость уМакс = 4ро/г Д°стигается при 2 <0=(0q, причем ti)^ = sjm.

На низких частотах самым большим в выражении для Zm является член — s/co, т. е. импеданс определяется коэффициентом жесткости. На высоких же частотах основным членом является torn и импеданс определяется массой. На частоте соо, такой, что toom = sjtoo> импеданс принимает свое минимальное значение гт = г, которое представляет собой действительную величину, поскольку реактанс равен нулю. В этом случае скорость FJ\Zm\ принимает максимальное значение v = F^r и частоту й)0 называют частотой резонанса скорости. На частоте соо мы имеем tgф = 0, поскольку скорость и сила находятся в фазе.

Зависимость скорости от частоты со внешней силы представлена на фиг. 29. Высота и острота максимума при резонансе зависят только от сопротивления г, которое является единственным существенным членом в выражении для Zm на частоте соо.

Из выражения гдеИз выражения гдеV = гу"" г COS ((О/ — ф),V = гу"" г COS ((О/ — ф),

Из выражения где

Из выражения где

V = гу"" г COS ((О/ — ф),

V = гу"" г COS ((О/ — ф),

, com — s/cotg ф=—

следует, что при положительных значениях ф, т. е. при com > s/co, скорость и отстает по фазе от силы, поскольку в аргумент косинуса входит —ф. Когда частота внешней силы со очень велика, при со -> оо мы имеем ф->90° и скорость отстает по фазе от силы именно на эту величину.

Фиг. 30. Зависимость разности фаз ср между скоростью вынужденных колебаний осциллятора и внешней силой от частоты внешней силы.В случае резонанса скорости ср = О. Каждая кривая соответствует определенному значению сопротивления.Фиг. 30. Зависимость разности фаз ср между скоростью вынужденных колебаний осциллятора и внешней силой от частоты внешней силы.В случае резонанса скорости ср = О. Каждая кривая соответствует определенному значению сопротивления.

Фиг. 30. Зависимость разности фаз ср между скоростью вынужденных колебаний осциллятора и внешней силой от частоты внешней силы.

В случае резонанса скорости ср = О. Каждая кривая соответствует определенному значению сопротивления.

Фиг. 30. Зависимость разности фаз ср между скоростью вынужденных колебаний осциллятора и внешней силой от частоты внешней силы.

В случае резонанса скорости ср = О. Каждая кривая соответствует определенному значению сопротивления.

При сот < s/co фаза ф отрицательна и скорость опережает по фазе силу. В случае низкой частоты внешней силы, когда о)-^О, мы имеем s/co~>oo и ф —*—90°. Таким образом, на низких частотах скорость опережает силу по фазе (фаза ф отрицательна), а на высоких частотах скорость отстает от силы по фазе (фаза ф положительна).

Однако на частоте соо выполняется равенство сорш = s/coo и ф = 0, а поэтому скорость находится в фазе с силой. На фиг. 30 показано, как изменяется фаза ф с частотой со для скорости; форма кривых зависит от величины г. (Задача 2.5.)

Зависимость смещения от частоты со внешней силы

Смещение

всегда отстает от скорости по фазе точно на 90°. График зависимости ф от (о остается без изменения, но полная разность фаз

между смещением и силой содержит дополнительное запаздывание на 90°, обусловленное оператором —L

Таким образом, на очень низких частотах, где ф =—л/2 радиан и скорость опережает по фазе силу, смещение и сила изменяются в фазе, как мы и должны были ожидать. На высоких частотах смещение отстает по фазе от силы на л радиан и изменяется в противофазе с ней. Поэтому кривая разности фаз между смещением и силой представляет собой кривую зависимости ф от со, смещенную на л/2 радиан (фиг. 31).

При низких частотах | Zm | = [г2 + (com — s/co)2]72 ->s/co, а поэтому амплитуда смещения х = F^to\Zm\ ^ F^^s)^ = FQ/s. На

Фиг. 31. Зависимость полной разности фаз* между смещением и внешней силой от частоты (О внешней силы.Полная разность фаз равна (—Ф— л/2) радиан.Фиг. 31. Зависимость полной разности фаз* между смещением и внешней силой от частоты (О внешней силы.Полная разность фаз равна (—Ф— л/2) радиан.

Фиг. 31. Зависимость полной разности фаз* между смещением и внешней силой от частоты (О внешней силы.

Полная разность фаз равна (—Ф— л/2) радиан.

Фиг. 31. Зависимость полной разности фаз* между смещением и внешней силой от частоты (О внешней силы.

Полная разность фаз равна (—Ф— л/2) радиан.

высоких частотах | Zm | -> сот, поэтому величина х^Р^^пг и стремится к нулю, когда частота становится очень большой. Следовательно, при очень высоких частотах амплитуда смещения почти равна нулю из-за инерции системы, определяемой ее массой.

На частоте a^ = slm, где знаменатель \Zm\ выражения для амплитуды скорости минимален, происходит резонанс скорости. Резонанс смещения же, в силу того что х = ^F^to\Zm\ )s4n(w^ — — ф), происходит при минимальном значении знаменателя <o|Zm|. Этот минимум достигается, когда

А ((01 Zm |)_ ^. (ю [Г2 + (фт _ s/^2]1^ = 0(

2сог2 + 4сот (со2т — s) = 02(о [г2 + 2т ^пг — s)] = 0.2сог2 + 4сот (со2т — s) = 02(о [г2 + 2т ^пг — s)] = 0.т. е. когда

2сог2 + 4сот (со2т — s) = 0

2(о [г2 + 2т ^пг — s)] = 0.

2сог2 + 4сот (со2т — s) = 0

2(о [г2 + 2т ^пг — s)] = 0.

или

Отсюда либо

(0 = 0,

либо

• 2 '

2т2too2т2 *

Следовательно, резонанс смещения происходит на частоте, несколько меньшей частоты (оо резонанса скорости. В случае малой константы затухания г или большой массы т практически

Фиг. 32. Зависимость смещения осциллятора при вынужденных колебаниях от частоты со внешней силы при разных значениях г.

При частоте резонанса смещения to=(s/m--r2,2m2V^ максимальное смещение *макс= = FJto'r, где ш' = ^slm — г214т2)г^.

всегда можно считать, что эти два резонанса происходят на частоте О)о-

Максимальное значение смещения определяется формулой

*маКс (со I Zm I )мин •

Подставив в знаменатель величину со = (со2 — г^т?^1, получаем значение

х =

Лмакс Ю7 *

где со'2 = со2 — r2/4m2. Из последней формулы видно, что резонансная амплитуда уменьшается с увеличением г. Зависимость х от co при разных значениях г представлена на фиг. 32.

При очень малом г амплитуда оказывается очень большой при резонансе. На этом основана высокая избирательность на*

страиваемого высокочастотного контура (см. в этой главе раздел, где добротность Q рассматривается как коэффициент усиления). Виброизоляция же основана на уменьшении резонансной амплитуды. (Задачи 2.6, 2.7.)

Виброизоляция

На фиг. 33 представлен типичный амортизатор колебаний. Тяжелая плита крепится на колеблющемся полу с помощью системы пружин с коэффициентом жесткости s и вязким сопротивлением г, изображенным на схеме в виде демпфера. Обычно

Фиксированный уровень отсчетаФиксированный уровень отсчетаРавновесное положение покоя плитыРавновесное положение покоя плитыФиг. 33. Амортизатор колебаний.Тяжелая плита лежит на вибрирующем полу на пружинах с вязкостным демпфером.Фиг. 33. Амортизатор колебаний.Тяжелая плита лежит на вибрирующем полу на пружинах с вязкостным демпфером.

Фиксированный уровень отсчета

Фиксированный уровень отсчета

Равновесное положение покоя плиты

Равновесное положение покоя плиты

Фиг. 33. Амортизатор колебаний.

Тяжелая плита лежит на вибрирующем полу на пружинах с вязкостным демпфером.

Фиг. 33. Амортизатор колебаний.

Тяжелая плита лежит на вибрирующем полу на пружинах с вязкостным демпфером.

амортизатор работает на том краю частотного спектра, где основную роль играет масса (инерционность). Резонансную частоту выбирают так, чтобы она лежала ниже области частот, которые могут встретиться в процессе работы. Допустим, что вертикальные колебания пола относительно его положения равновесия описываются формулой х = A cos tot. Соответствующее вертикальное смещение плиты относительно ее положения покоя обозначим через у. Амортизатор должен обеспечивать минимальное отношение у/А.

Уравнение движения

ту = — г <у — х) — $ (у — х)

после замены у — х = X принимает вид

тХ + rX + sX = — тх = mAto2 cos со/ = Fo cos со/,

где Fq = mAto2»

Используя стационарное решение для X, покажите, что

у = —г~—г sin (со/ — ф) + A cos со/. (О I I

Отсюда, учитывая, что у есть сумма двух гармонических компонент с постоянной разностью фаз, покажите справедливость формулы

#макс (г2 + S^^^

A\Zm\ 1

где

I |2 = Г2 + ((0/71 — s/to)2.

Отметим, что

> 1 если to2 < 2^Ат

поэтому для обеспечения изоляции от колебаний с данной частотой со отношение s]m должно быть как можно меньшим.

Покажите, что: а) г/максМ = 1 при cd2 = 2slm\ б) умаксМ < 1 при cd2 > 2slm\ в) если и? = slm, то у^ак^А > 1, но демпфирование способствует уменьшению колебаний плиты до достаточно низкого уровня; г) если со2 > ^s/tn, то i/макс/Л < 1, но демпфирование играет вредную роль.

Физический смысл двух компонент смещения

Каждая кривая на фиг. 32 есть сумма двух кривых а и Ьг изображенных на фиг. 34, поскольку смещение х можно переписать в виде гр

х = —.-~ .■ sin (со/ — ф) = —г^—г (sin ^ cos Ф “ cos ^ sin ф) to I I(О I Zт I

или с учетом формул Г.Хт

С05ф=та- 81П(р==тет в виде

Fo г .. Fо Хт ,

X =г-у—г , ~ ■ SIH (0/। у г COS О)/.

\Zm\^\Zrn\ \Zm\

Компонента, содержащая cos tot (co знаком минус), находится точно в противофазе с вынуждающей силой FqCoscd/. Ее амплитуду (кривая я) можно записать следующим образом:

f0 ХтF0m (<°0 - ю2)

® | zm I2 т2 (“о - ®2)2 + <»2г2 ’

где too = slm и <в0—частота резонанса скорости.

Компонента, содержащая sin tot, отстает по фазе от действующей силы Fq cos tot на 90°. Ее амплитуда (кривая 6) дается выражением

Fq г Fotor

। У2/,ч2„2\2 ।2 2 *

(О Г + Am tn I (Oq — (0 I т(о г

Мы сразу видим, что на частоте соо кривая а проходит через нуль, а кривая b — через максимум. Сложение этих двух кривых

Фиг. 34. Типичная кривая фиг. 32, разделенная на «противофазную» компоненту (кривая а) и компоненту, сдвинутую по фазе на 90° (кривая Ь).

Кривая а описывает реактивную, а кривая ^ — активную часть импеданса. Кривая b соответствует поглощению, а кривая <2 — аномальной дисперсии электромагнитных волн в среде, где имеются резонансные атомные или молекулярные частоты, равные частоте волны.

приводит к образованию максимума на резонансной частоте смещения со, которая определяется соотношением

Эти кривые особенно часто встречаются в исследованиях по дисперсии света, где осциллятором, совершающим вынужденные колебания, является электрон атома, а внешней силой — переменный вектор поля электромагнитной волны частоты со. Когда со совпадает с резонансной частотой электрона в атоме, атом поглощает большое количество энергии электромагнитной волны и кривая b имеет форму характерной кривой поглощения. Отметим, что кривая b описывает диссипативную, т. е. связанную с поглощением, часть импеданса

\Zm\T\Zm\T

\Zm\T

\Zm\T

и ту часть смещения, которая отстает по фазе от действующей силы на 90°. Следовательно, связанная с этой компонентой скорость будет в фазе с действующей силой. Именно эта часть скорости входит в член гх2, описывающий потери энергии, обусловленные сопротивлением осциллятора, и приводит к поглощению.

Кривая же а описывает реактивную, т. е. связанную с накоплением энергии, часть импеданса

Реактивными компонентами определяется скорость волн в среде, а скоростью волн определяется показатель преломления п. Кривая а совпадает с кривой изменения величины п2 в области аномальной дисперсии, где ось со соответствует значению п= 1. Такие области имеются вблизи каждой резонансной частоты атомов, образующих среду. Мы вернемся к этому вопросу в книге несколько позже. (Задачи 2.8—2.10.)

Энергия, передаваемая осциллятору внешней силой

Для поддержания в системе стационарных колебаний внешняя сила должна возмещать энергию, теряемую за каждый период колебаний из-за наличия сопротивления. Выведем очень важное положение: в стационарном состоянии амплитуда и фаза осциллятора, совершающего вынужденные колебания, устанавливаются таким образом, чтобы средняя энергия, передаваемая внешней силой в единицу времени, точно равнялась средней энергии, теряемой в единицу времени из-за наличия силы трения.

Мгновенная мощность Р, передаваемая осциллятору, равна произведению мгновенной внешней силы на мгновенную скорость осциллятора:

FF2

Р = Fq COS со/ . 7°Т COS (tot — ф) = .--у"Т COS tot COS (tot — ф).

Средняя мощность

p Полная работа, совершаемая за один период колебаний

срПериод колебаний

Следовательно,

cos tot cos (tot — ф) dt

[cos2 tot cos ф + cos tot sin tot sin ф] dt

(где Т — период колебаний), поскольку

тт

cos со/ sin tot di = 0, у- ^ cos2 tot di = у. оо

Энергия, передаваемая внешней силой, не накапливается в системе, а диссипируется за счет работы, совершаемой при движении системы против силы трения гх. Работа, совершаемая в единицу времени силой трения (мгновенная мощность), равна

(tx) X —Г Х2 = Г "Гу-Ду COS2 (tot — ф).

После усреднения по периоду колебаний данное выражение принимает вид

г^ _ 1 F2

|Zm|2 ~ 2 \Zm\ C0S<P’-

поскольку rl\Zm\ = cos ф. Тем самым мы доказали положение о равенстве энергий, передаваемой и диссипируемой в единицу времени.

В случае электрической цепи мощность равна произведению VI cos ф, где V и / — среднеквадратичные значения напряжения и тока, а созф — так называемый коэффициент мощности:

V2v2

VI COS ф = ry-v COS ф = о . у -Г COS ф,

поскольку V=Vj^/<2. (Задача 2.11.)

Зависимость Р ср от <о, резонанснаякривая поглощения

Возвращаясь к случаю механического осциллятора, мы видим, что средняя мощность

Pcp = (fo/2| 2m|)cos<p

проходит через максимум при созф= 1, т. е. при ф = 0 и torn — — s/co = О или со2 = о2 = s/m. Тогда сила и скорость находятся в фазе, а импеданс Zm принимает свое минимальное значение г. Следовательно,.

F2

Рср (макс.) =27.

Кривая зависимости Р^ от частоты со внешней силы представлена на фиг. 35. Подобно кривой зависимости смещения от со, данная кривая характеризует реакцию осциллятора на дей-

ствие внешней силы. Острота максимума при резонансе также определяется коэффициентом затухания г, который является единственным членом, остающимся в выражении для Zm при резонансной частоте о)О. Максимум приходится на частоту резо-

Фиг. 35. Зависимость средней энергии, передаваемой осциллятору внешней силой в единицу времени, от частоты со.

От частотной ширины (о2 —(»i резонансной кривой зависит отклик, который определяется .добротностью Q=(o0/(to2—coj, где coo=s/m.

нанса скорости, когда энергия, отбираемая системой у внешней силы, максимальна. Кривая называется кривой поглощения осциллятора (она похожа на кривую b фиг. 34).

Добротность Q, выраженная через ширинучастотной полосы поглощения

В первой главе мы говорили о добротности осциллятора, рассматривая уменьшение его энергии. Мы можем получить тот же самый параметр, рассматривая кривую фиг. 35, где острота резонансного максимума определяется отношением

Здесь о)1 и о)2 — частоты, на которых мощность Р^ = = Уг^ср (макс.). Разность частот о)2 — оц часто называют шири- • ной частотной полосы поглощения.

Итак, г F^ !1 ^

^ср — уу ^срУ^КС-) = "2"27>

когда Z-m = 2г2, т. е. когда

Г2 + Хт = 2г2 ИЛИ Хт = <0Ш — s/(D = ± Г.

Если (02 > 0)1, то

со2т — s/co2 = + г, ^хпг — s^x = — г.

Исключая из этих уравнений s, получаем

и, следовательно, п to о т ч г •

Частоты (01 = о)о — г!%т и со2 = со0 + г/2т отмечены на графике, представленном на фиг. 34.

Добротность электрической цепи определяется выражением

где ®2 = (LC)-1.

Для больших значений Q, при которых затухание г мало, частота о)', входившая в первой главе в определение Q = ^т/г, очень мало отличается от частоты соо- Поэтому оба определения величины Q, а также третье, с которым мы встретимся в следующем разделе, оказываются эквивалентными.

Добротность как коэффициент усиления

Мы уже видели, что смещение при резонансе дается выражением

А

^макс —>

где о'2 = slm — гЩт2. На низких частотах (а)->0) смещение имеет величину

поэтому

/^максУ_ ^О_й0«2Q

V Л., ) «V f2 /[^-г2^2]/[1-1/4Q2]1 — 1/4Q2 *

Следовательно, при больших значениях Q

/макс _ Q Q Г I 1 □

Л» [1-1/4Q2]'/3^L^ 8Q2] Ч"

Фиг. 36. Кривые фиг. 32, представленные при разных значениях добротности Q системы.

Величина Q в случае резонанса есть коэффициент усиления отклика x—FJs, получаемого на низких частотах.

Таким образом, в случае резонанса смещения смещение на низких частотах умножается на большую величину Q.

Кривые фиг. 32 представлены на фиг. 36, где для каждой из них указано соответствующее значение добротности Q. В настраиваемых радиотехнических контурах добротность Q служит мерой селективности: благодаря большой остроте резонансного максимума можно получать сигнал, свободный от наложения сигналов с близкими частотами. В случае обычных радиотехнических контуров, работающих на частоте порядка 1 МГц, величина Q— порядка нескольких сотен. На более высоких частотах медные резонаторы имеют значения Q порядка 30 000, а для пьезоэлектрических кристаллов добротность Q может достигать 500 000. Добротностью Q часто характеризуют оптическое поглощение в кристаллах и ядерный магнитный резонанс. Эффект Мессбауэра в ядерной физике характеризуется величиной Q порядка 1010. (Задачи 2.12—2.18.)

Задача 2.1

Уравнение движения для осциллятора, совершающего вынужденные колебания, записано в комплексной форме, где сила Fosinco/ представлена величиной F^eitot\ покажите, что смещение

X = — 77ТТЛ cos ^ “ ^ и скорость р

и = . 7 т sin (со/ — ф).

Задача 2.2

Смещение осциллятора при вынужденных колебаниях равно нулю в момент времени t = 0. Скорость роста смещения определяется скоростью уменьшения нестационарного члена. За время / он уменьшается в е~к раз. Покажите, что в случае малого затухания средняя скорость нарастания колебаний определяется формулой x^t = F^kmto^ где х0 — максимальное стационарное смещение, Fo— амплитуда силы и to^ = s!m.

Задача 2.3

Уравнение тх + sx = Fo sin tot описывает движение гармонического осциллятора без затухания под действием силы с частотой со. Решив это уравнение в комплексной форме, покажите, что стационарное решение описывается выражением

Fp sin tot т (mq — (О2) *

где co2 = s[m. Нарисуйте график зависимости х от со и обратите внимание на то, что изменение знака при со = соо означает изменение фазы смещения на л радиан. Далее покажите, что общее решение для смещения имеет вид

Fо sin tot ..у I п • у

X =+ A COS С00/ -Н В Sin (00Л т (05 — to )

где А и В — постоянные.

Задача 2.4

Решив уравнение задачи 2.3 при начальных условиях х = = х = 0 при t = 0, покажите, что

Fo 1/ . , (о . Л

X =ху ( Sino)/SIH (00/ I .

т toy — to \(О0у

Записав со = о)о + Ао), где Асо— малая величина, покажите, что вблизи резонанса

х = (sin eV — oV cos toot).

2mtoQ

Нарисуйте график такой зависимости, обращая внимание на рост второго члена со временем, который обеспечивает нарастание колебаний (резонанс между свободными и вынужденными колебаниями).

Задача 2.5

Какой вид имеет общее выражение для ускорения и в случае механического осциллятора с затуханием, на который действует сила Fq cos mt? Выведите выражение для частоты максимального ускорения и покажите, что в случае г = л/sm амплитуда ускорения на частоте резонанса скорости равна предельной амплитуде ускорения на высоких частотах.

Задача 2.6

Докажите, что при резонансе смещения точную амплитуду механического осциллятора, совершающего вынужденные колебания, можно записать в виде

где Fo — амплитуда внешней силы и со'2 = s/m — r^m?.

Задача 2.7

Покажите, что в случае механического осциллятора, на который действует внешняя сила, от частоты не зависят следующие величины: а) амплитуда смещения на низких частотах, б) амплитуда скорости при резонансе скорости и в) амплитуда ускорения на высоких частотах (со->оо).

Задача 2.8

Покажите, что при со = соо кривая b на фиг. 34 имеет максимум, равный F0/to0r. Покажите также, что при малом г максимум кривой а равен приближенно F0/2to0r и достигается на частоте col = о)о — г^т, а ее минимум равен приближенно —/^соог и достигается на частоте сог = «о + г 12т.

Задача 2.9

У равнение х + ^-к =— (e£0/m) cos со/ описывает без учета затухания движение свободного электрического заряда —е с массой т под действием переменного электрического поля Е = = E0costot. Покажите, что поляризуемость на единицу объема (динамическая восприимчивость) среды равна

аг пех _ пег

Хе( 2’

г^Е г^т

где п—плотность числа электронов. (Диэлектрическая проницаемость среды определяется по формуле е = ео(1 + %), где е0 —

диэлектрическая проницаемость свободного пространства. Относительная диэлектрическая проницаемость гг = е/ео равна квадрату показателя преломления, если £— электрическое поле электромагнитной волны.)

Задача 2.10

Решите задачу 2.9 в случае, когда в уравнении колебаний для электрона учитывается затухание. Учитывая только ту компоненту смещения х, которая описывается кривой а на фиг. 34, покажите, что

f( пе^пг (со2 — со2)

^г = 1 Ч™ X ^ 1 Ч г 2/22\2 I 2 21 *

е0+ to г J

Действительно, кривая а на фиг. 34 есть кривая зависимости ег = 8/8о. Отметим, что

( ! . пе2

1 Ч при 0)С(09,еотм5

er ~ |2

ПРИ

Задача 2.11

Покажите, что энергия, теряемая за один период колебаний из-за наличия силы трения гх, равна лгсох2акс, где со — угловая частота колебаний.

Задача 2.12

Покажите, что частотной шириной резонансной кривой поглощения определяется интервал изменения фазового угла, в котором tg<p пробегает значения от —1 до +1.

Задача 2.13

На цепочку последовательно соединенных катушки индуктивности, конденсатора и резистора подается переменное напряжение с амплитудой Vo. Покажите, что при резонансе тока напряжение либо на катушке индуктивности, либо на конденсаторе равно Q1/0-

Задача 2.14

Покажите, что в резонансной цепочке, состоящей из последовательно соединенных катушки индуктивности, конденсатора и резистора максимальное напряжение на конденсаторе достигается при частоте со = о)о(1 — l/2Qy)V2, где coq = (LC)“1 и Qo = tooL/R.

Задача 2.15

Исходя из условий задачи 2.14, покажите, что максимальное напряжение на катушке индуктивности достигается на частоте (0 = to0(l - Х^Г'11-

Задача 2.16

Электрон атома, который ведет себя подобно гармоническому осциллятору с небольшим затуханием и добротностью Q =5-107, испускает свет с длиной волны 0,6 мкм (6000 А). Исходя из частотной ширины резонансной кривой, покажите, что ширина спектральной линии такого атома равна 1,2-10“14 м.

Задача 2.17

Считая добротность Q в задаче 2.6 большой, покажите, что ширина резонансной кривой смещения приближенно равна 'х/Ъг/т, если она измеряется между частотами, для которых X = Хмакс/2.

Задача 2.18

Покажите, что при условиях задачи 2.10 средняя скорость поглощения энергии в единице объема дается выражением

пеЕ^to2 г

р =2

2пг2^-а?У^^г2 *

Сводка основных результатов

Механический импеданс Zm = F!v (сила на единицу скорости)

Zm = \Zm\е1^ = г + i(com — s/m), где|Zm |2 = г2 4- (сот —

—s/co)2;

. сот — s/coг .tom — slto

sin ср =7, cos ф — —, tg ф =;

Ф — фазовый угол между силой и скоростью.

Осциллятор под действием внешней силы

Уравнение движения тх -}- rx + sx = FQ cos со/.

Подстановка х = Aeitot дает стационарные значения смещения

y —/ ^° - е1toZm

и скоростии скоростиХ = VХ = VF° . gl (й)^—ф)*ZmF° . gl (й)^—ф)*Zm

и скорости

и скорости

Х = V

Х = V

F° . gl (й)^—ф)*

Zm

F° . gl (й)^—ф)*

Zm

Если Fo cos mt заменить величиной Foeitot, то х = sin (tot — ф), и = -~- cos (со/ — ф). ^тп

Максимальная скорость = F^/r на частоте резонанса скорости (О) = (sjm^2.

Максимальное смещение = F^/to'r, где со' = (s/m — r2/4m2)'\ на частоте резонанса смещения to = (s/m— г2/2т2У^.

Энергия, поглощаемая осциллятором при действии внешней силы

Амплитуда и фаза осциллятора устанавливаются так, что энергия, поглощаемая в единицу времени, равна энергии, теряемой в единицу времени.

Энергия, поглощаемая в единицу времени, равна 1 /2(^0/^m) X Хсозф (cosф — коэффициент мощности).

Максимальная энергия, поглощаемая в единицу времени, равна РУ^г и соответствует частоте (оо-

Половина максимальной энергии, поглощаемой в единицу времени, равна рУ^г и соответствует частотам coi = соо — г)2т И to2 == СОо *4” Г/2/77.

Добротность Q = -^^ = -^”^^

Максимальное смещение при резонансе смещения Дмакс Смещение при (о->0F0,s *

Чтобы получить соответствующие выражения для электрических осцилляторов, нужно произвести замену m->L, r->R, 1/С и Fq-> Vo (напряжение).

Глава 3

Связанные колебания

В двух первых главах подробно было показано, как ведет себя колеблющаяся система, взятая отдельно. Но осцилляторы редко находятся в полной изоляции. Волновое движение возможно лишь при наличии таких колеблющихся систем, которые взаимодействуют между собой и способны передавать друг другу свою энергию.

В общем случае такой перенос энергии происходит потому, что два осциллятора связаны общим элементом: емкостью (жесткостью), индуктивностью (массой) или сопротивлением. Связь через сопротивление неизбежно приводит к потере энергии и быстрому затуханию колебаний. Связь же, осуществляемая при помощи любой из двух других компонент, не потребляет энергии и допускает непрерывный перенос энергии через большое количество осцилляторов. Это составляет основу волнового движения. Сначала мы рассмотрим механический пример связи двух маятников через жесткость. Это могут быть два атома, входящих в состав кристаллической решетки и находящихся под действием взаимных сил связи. Затем мы исследуем пример связи через массу (индуктивность), а в заключение рассмотрим связанное движение длинной цепочки осцилляторов, которое естественным образом приведет нас к понятию волнового движения.

Осцилляторы, связанные через жесткость(или емкость)

На фиг. 37 изображены два одинаковых маятника. Каждый из них представляет собой тело массой т, подвешенное на лег-

Фиг. 37. Два одинаковых маятника, соединенные неве-

IIсомой пружиной с коэффициентом жесткости s.

„Каждый маятник представляет собой тело с массой /и, укреплен

ное на конце легкого жесткого стержня длиной /. Собственная слгнткэ длина пружины равна расстоянию между телами при их нулевом смещении.

—■ ■>*-

у ж

ком жестком стержне длиной L Оба тела соединены легкой пружиной с коэффициентом жесткости s. Длина нерастянутой и несжатой пружины равна расстоянию между телами, когда они на-

холятся в положении равновесия. Мы будем рассматривать малые колебания в плоскости чертежа.

Если смещения тел обозначить через х и у, то уравнения движения будут иметь вид

тх = — mg у — $ (х — у),

mij = — mg у + s (х — у).

Кроме обычных членов, соответствующих гармоническим колебаниям каждого маятника, эти уравнения содержат дополнительный член связи s(x— у), обусловленный пружиной. Мы видим, что если х > у, то пружина растянута больше своей нормальной длины и будет уменьшать ускорение х, но увеличивать ускорение у.

Написав «^ = gll, где соо — собственная частота колебаний каждого маятника, получаем

х + ©2х= — -^(х — у),(3.1)'

у = — ^(у — х).(3.2)

Вместо того чтобы прямо решать эти уравнения относительно с и у, мы выберем две новые координаты:

X = x-Vy, Y = x — y.

Преимущества такого подхода станут ясными позднее. Складывая уравнения (3.1) и (3.2), получаем

х + у + (Од (х + у) = О, т. е.

X + (0о% = 0.

Вычитая уравнение (3.2) из уравнения (3.1), находим

Y + (соо + ^т^ Y --- 0.

Таким образом, движение связанной системы описывается двум^ координатами X и У, каждая из которых удовлетворяет уравнению гармонических колебаний.

Если во все моменты времени Y = 0 и х = у, то движение- полностью описывается уравнением

X + а>оХ = 0.

В этом случае частота колебаний точно такая же, как частота одного отдельно взятого маятника, а жесткость связи не оказы-

вает никакого влияния на движение. Это объясняется гем, что оба маятника все время колеблются в фазе (фиг. 38, а), длина легкой пружины при этом не изменяется.

Фиг. 38. а — «синфазная» мода колебаний, описываемая уравнением ^ + (Оо^ = О, где X = х + у — нормальная координата, а ц^= q!Lб — «противофазная» мода колебаний, описываемая уравнением P + (toj4-4- 2 s/m) У = О, где У = х — у — нормальная координата.Фиг. 38. а — «синфазная» мода колебаний, описываемая уравнением ^ + (Оо^ = О, где X = х + у — нормальная координата, а ц^= q!Lб — «противофазная» мода колебаний, описываемая уравнением P + (toj4-4- 2 s/m) У = О, где У = х — у — нормальная координата.6

Фиг. 38. а — «синфазная» мода колебаний, описываемая уравнением ^ + (Оо^ = О, где X = х + у — нормальная координата, а ц^= q!L

б — «противофазная» мода колебаний, описываемая уравнением P + (toj4-

4- 2 s/m) У = О, где У = х — у — нормальная координата.

Фиг. 38. а — «синфазная» мода колебаний, описываемая уравнением ^ + (Оо^ = О, где X = х + у — нормальная координата, а ц^= q!L

б — «противофазная» мода колебаний, описываемая уравнением P + (toj4-

4- 2 s/m) У = О, где У = х — у — нормальная координата.

Если во все моменты времени X = 0 и х — у, то движение полностью описывается уравнением

У + (оо + 2s/m) У = 0.

Частота таких колебаний больше, поскольку маятники колеблются в противофазе (фиг. 38,6), так что пружина все время либо растянута, либо сжата и связь осцилляторов действует эффективно.

Нормальные координаты, степени свободыи нормальные моды колебаний

Мы взяли параметры X и Y для описания движения, потому что они позволяют очень просто проиллюстрировать понятие нормальных координат.

Нормальные координаты — это такие координаты, в которых уравнения движения записываются в виде систему линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Каждое уравнение содержит только одну зависимую переменную (см. наши гармонические уравнения для X и У).

Колебания, описываемые только одной зависимой переменной X (или У), называются нормальным типом или нормальной модой колебания и характеризуются своей собственной нормальной частотой. При возбуждении такой нормальной моды все компоненты системы колеблются с той же самой нормальной частотой.

Полную энергию системы без затухания можно представить в виде суммы квадратов нормальных координат и квадратов первых производных нормальных координат, умноженных на постоянные коэффициенты. Если происходят колебания обеих мод X и Y, то энергия связанной системы выражается через квадраты скоростей и смещений X и Y (задача 3.1).

г Важное значение нормальных мод колебаний обусловлено тем, что они полностью независимы одна от другой. Одна нормальная мода никогда не обменивается энергией с другой модой. Именно поэтому при вычислении полной энергии мы можем складывать энергии отдельных мод. Если возбуждены колебания только одной моды, то колебаний второй моды нашей системы не будет, так как они не получают энергии от колебаний первой моды.

д. Каждый независимый путь, по которому система может получать энергию, называется степенью свободы. С каждой степенью свободы связана своя отдельная нормальная координата. Число таких различных путей, по которым система может получать энергию, есть число ее степеней свободы, а также число ее нормальных координат. Каждый гармонический осциллятор имеет две степени свободы, поскольку он может приобретать потенциальную энергию (нормальная координата X) и кинетическую энергию (нормальная координата X).

В случае наших двух нормальных мод энергии могут быть записаны в виде

Ех = аХ2 + ЬХ2, Еу = cY2 + dY2, '

где а, Ь, с и d — постоянные. Следовательно, наша система из двух связанных маятников имеет четыре степени свободы и четыре нормальные координаты.

Любое состояние нашей связанной системы можно представить в виде суперпозиции двух нормальных мод:

X = X + У = Хо COS ((OjZ + ф^,Y = х — у = Уо cos (оз2/ + ф2).

Здесь Хо и Уо—амплитуды нормальных мод, a a^ = g!i и <0^ = g)l + ^[пг-— частоты нормальных мод.

Для простоты положим

Хо = Уо = 2а, Ф1 = ф2 = 0.

Тогда смещения маятников будут описываться выражениями

х = -^ (X + У) = a cos toxt + a cos со2/,

у = у (X — У) = a cos 0)1/ — a cos со2/,

а их скорости — выражениями

х = — a®! sin со^ — асо2 sin <о2/,

у = — а®! sin (dxt + ato2 sin

Теперь приведем систему в движение, сместив правое тело на расстояние х = 2а и отпустив оба тела из положений покоя в момент времени t = 0 при условии х = у = 0. Из фиг. 39

Фиг. 39. Смещение одного маятника на расстояние 2а представлено в виде суммы двух нормальных координат X и Y.

видно, что наше начальное смещение можно рассматривать как суперпозицию «синфазной» моды (х = у = а, поэтому х + у = = Хо = 2а) и «противофазной» моды (х = —у = а, поэтому Уо = 2а).

Фиг. 40. Изменение смещения отдельных маятников во времени.

При уменьшении смещения х от 2а до 0 смещение у растет от 0 до 2а и происходит полный обмен энергией между маятниками.

После освобождения тел движение правого маятника описывается формулой

. .. п (©2 — <О1Н (б)2 + 0)1)/

х = a cos ^xt + а cos со2/ = 2а cos $—~ cos21

а движение левого маятника — формулой

у = а cos (01/ — a cos со2/ = — 2а sin ———— sin 9—~ •

Если мы построим кривые зависимости х и у от времени (фиг. 40), то увидим, что после того, как первое тело смещено

на расстояние 2а от его положения равновесия и предоставлено самому себе, смещение х меняется по закону косинуса. Частота колебаний равна средней частоте двух нормальных мод, а их амплитуда изменяется по закону косинуса с меньшей частотой, равной половине разности частот нормальных мод. В то же время смещение у, начальное значение которого равно нулю, колеблется по закону синуса со средней частотой. Его амплитуда сначала растет до значения 2а, а затем уменьшается по закону синуса с низкой частотой, равной половине разности частот нормальных мод. Короче говоря, тело, описываемое переменной х.

XУ

-*2а х=О аа *--* а

Фиг. 41. Более быстрое колебание моды У опережает по фазе на л радиан колебание моды X, приводя к смещению у = 2а, которое представлено здесь в виде разности нормальных координат X — У.

передает всю энергию телу, которое описывается переменной у» и не движется, когда смещение у изменяется с амплитудой 2ау а затем энергия снова возвращается к первоначально смещенному телу.

Такой полный обмен энергией возможен только тогда, когда обе массы одинаковы и отношение (ooi + 002)/(сог — coi) равно целому числу. В противном случае ни одно из тел никогда не будет совершенно неподвижным. Медленное изменение амплитуды с частотой, равной половине разности частот нормальных мод, называется «биениями» двух колебаний с почти одинаковыми частотами. В дальнейшем мы рассмотрим данное явление в той части гл. 4, где описываются пакеты волн.

Необходимо, однако, усвоить один важный момент: хотя отдельные маятники могут обмениваться энергией, обмен энергией между нормальными модами отсутствует. На фиг. 39 показано состояние х = 2а, у = 0, разложенное по модам X и Y. Поскольку частота моды У выше, через несколько колебаний мода Y опередит моду X на половину колебания (по фазе — на л радиан), как показано на фиг. 41. В этом случае сложение мод X и У дает у = 2а и х = 0, и процесс вновь повторяется. Когда мода У опередит моду X еще на половину колебания, величина х станет снова равной 2а. Маятники могут обмениваться энергией, а нормальные моды — нет.

си2=7,05-IO13 с"1ш3=2- ЮаС1си2=7,05-IO13 с"1ш3=2- ЮаС1Фиг. 42. Нормальные моды колебаний трехатомных молекул СОг и Н2О.Фиг. 42. Нормальные моды колебаний трехатомных молекул СОг и Н2О.и^-МВ-ТО^с"1и^-МВ-ТО^с"1

си2=7,05-IO13 с"1

ш3=2- ЮаС1

си2=7,05-IO13 с"1

ш3=2- ЮаС1

Фиг. 42. Нормальные моды колебаний трехатомных молекул СОг и Н2О.

Фиг. 42. Нормальные моды колебаний трехатомных молекул СОг и Н2О.

и^-МВ-ТО^с"1

и^-МВ-ТО^с"1

wt=4,lB ■ IOJ3 с'1

Атомы в многоатомных молекулах ведут себя так же, как наши маятники. На фиг. 42 представлены нормальные моды двух трехатомных молекул СО2 и Н2О и их частоты. Нормальные моды колебаний будут часто встречаться на протяжении всей нашей книги.

Общий метод нахождения частотнормальных мод

Мы только что видели, что, когда в связанной системе возбуждены колебания только одной нормальной моды, каждый компонент системы будет колебаться с частотой данной моды. На этом и основан метод определения частот нормальных мод и относительных амплитуд колебаний отдельных осцилляторов на каждой частоте.

Допустим, что система связанных маятников, описанная в последнем разделе, совершает колебания, соответствующие только одной ее нормальной моде с частотой со. Тогда мы можем искать решение уравнений движения

mx + mg W) + s (х —• у) = 0,

my + mg (у, I) — s(x — у) = 0 в виде

х = A cos gV, х = В cos tot,

где А и В — амплитуды смещений х и у на частоте со.

Подставляя эти выражения в уравнения движения, получаем [— /исо2Л + (mg/l) А + s (Л — В)] cos coZ = О, [— та?В + (mgH) В — s (Л — В)] cos со/ = 0.

Сложение обоих уравнений приводит к уравнению

(Л + В) (— та? + mgll) = 0,

которое удовлетворяется при со2 = g]l, где со — частота первой нормальной моды. Вычитанием второго выражения из первого получаем уравнение

(Д - В) (- та? + mg[l + 2s) = 0,

которое удовлетворяется при условии со2 = gjl + Zslm, где со — частота второй нормальной моды.

Подставляя значение со2 = g)l в наши два уравнения, полу* чаем А = В (условие одинаковых фаз), тогда как подстановка значения а? = gjl-V^ltn дает А = —В (условие противоположных фаз). Это результаты, полученные в предыдущем разделе.

Мы смогли выбрать решение в простом виде х = A cos со/, у = В cos со/

благодаря тому, что система начинала свое движение из состояния покоя. Если же маятники имеют при t = 0 некоторую начальную скорость, то в соответствии с начальными условиями решения должны быть записаны в виде

х = A cos (со/ + а), у = В cos (со/ + а).

Здесь каждой нормальной моде с частотой со соответствует свое собственное частное значение фазовой постоянной а. Теперь число подгоночных констант достаточно велико для того, чтобы решения удовлетворяли произвольным начальным смещениям и скоростям обоих маятников. (Задачи 3.1—3.11.)

Связь через массу или индуктивность

В одной из следующих глав мы будем рассматривать распространение волн напряжения и тока вдоль линии передачи, которую можно рассматривать как последовательность связанных электрических осцилляторов с одинаковыми индуктивностью и емкостью. Здесь же мы рассмотрим обмен энергией между двумя электрическими контурами, связанными через индуктивность.

О взаимной индуктивности (общей «массе») двух электрических контуров можно говорить тогда, когда магнитный поток»

создаваемый током одного контура, проходит через второй контур. При любом изменении потока в обоих контурах индуцируется напряжение.

На взаимной индуктивности основана работа трансформатора. Источник энергии присоединяется к первичной обмотке трансформатора, имеющей пх витков. Поверх этой обмотки в том же направлении намотана вторичная обмотка, имеющая п2 витков. Если единичный ток в одном витке первичной обмотки создает магнитный поток ф, то поток, пронизывающий каждый виток первичной обмотки (предполагается, что рассеяния потока вне обмотки нет), равен М1ф. Полный поток, пронизывающий все /12 витков первичной обмотки, таков:

Ц = п^ф,

где Lx — самоиндуктивность первичной обмотки. Если единичный ток в одном витке вторичной обмотки создает поток ф, то поток, пронизывающий каждый виток вторичной обмотки, равен п2ф. Полный поток, пронизывающий вторичную обмотку, равен

Ц = 'Ф»

где L2 — самоиндуктивность вторичной обмотки.

Если все линии магнитного потока, создаваемого единичным током в первичной обмотке, проходят через все витки вторичной обмотки, то полный поток через вторичную обмотку равен взаимной индуктивности

М = п2 (n^) = VL\U-

На практике из-за рассеяния потока вне обмотки мы имеем М < aJlxU; отношение

V ^1^2

называется коэффициентом связи.

Если первичный ток 1Х изменяется во времени по гармоническому закону eitot, то он индуцирует в первичной обмотке напряжение

— L

at1

а во вторичной обмотке — напряжение

— M-j- = — itoMIx.

Если мы теперь рассмотрим два электрических контура без со-* противления, изображенные на фиг. 43, где в катушках индук-

тивности Lx и L2, связанных через магнитный поток, ток и напряжение осциллируют с частотой со, то уравнения для напряжения запишутся в виде

itoLxlx — Z-^-/1 + ZcoM/n = 0,(3.3)

i^L^I^ — I "^q~ ^2 H- itoMI x ^ 0,(3*4)

где M — взаимная индуктивность.

м

Фиг. 43. Индуктивно связанные LC-контуры с взаимной индуктивностью М.

Умножая уравнение (3.3) на mfiLx:

а уравнение (3.4) — на ^liLf.

и вводя собственные частоты контуров

121

“1 L^Cx’LiCi’

получаем

(о), — о»2) Л = -^ «?12,(3.5)

0йХ-<йгу2=^®Чх.(3.6)

Произведение уравнений (3.5) и (3.6) имеет вид

(со2 — со2) (со2 — о2) = "2~^ со4 = к2^,(3.7)

где к — коэффициент связи.

Решение последнего уравнения относительно со дает частоты, при которых обмен энергией между контурами приводит к резо^ нансу в этих контурах. Если собственные частоты контуров оди-

каковы, скажем сщ = а>2 = «о, то уравнение (3.7) упрощается и принимает вид

откудаоткуда(со2 — со2)2 = &2со4,

откуда

откуда

соо

® = ±VT^ •

Выбирая перед корнем знак плюс, получаем два значения частоты

ф'=±“о^^„е^

VI+ ^ V1 — &

которым, если построить кривую зависимости тока от частоты,, будут соответствовать два максимума (фиг. 44),

Фиг. 44. Изменение амплитуды тока в каждом контуре около резонансной частоты.Фиг. 44. Изменение амплитуды тока в каждом контуре около резонансной частоты.

Фиг. 44. Изменение амплитуды тока в каждом контуре около резонансной частоты.

Фиг. 44. Изменение амплитуды тока в каждом контуре около резонансной частоты.

Коэффициент связи к: 1 —большой; 2 —средний: 3 —малый. Небольшое сопротивление предотвращает обращение в бесконечность амплитуды тока при резонансе, но это не учитывалось в нашем упрощенном анализе. Плато в окрестности максимума кривой определяет частотную полосу пропускания системы.

В случае слабой связи величины к и М малы и со' ^ со" ^ соо, а потому обе системы ведут себя почти независимо. В случае же сильной связи разность частот со" — со' увеличивается и появляются два максимума тока с четко выраженным провалом между ними. В нашем упрощенном анализе сопротивление не учитывалось, но в действительности всегда имеется некое сопротивление, которым ограничивается максимум амплитуды. (Задачи 3.12—3.16.)

Связанные колебания нагруженной струны

В качестве последнего примера системы, состоящей из большого числа связанных осцилляторов, рассмотрим легкую струну, по всей длине которой на одинаковом расстоянии а друг от

Др} га закреплено п одинаковых тел с массой т. Оба конца струны, полная длина которой равна (п + 1)а, закреплены. Во все моменты времени вдоль всей струны существует постоянное натяжение Т.

Тела могут совершать малые гармонические колебания только в одной плоскости. Требуется найти частоты нормальных мод, а также смещение каждого тела в данной нормальной моде.

Такая задача, впервые поставленная Лагранжем, особенно интересна тем, что в ней используются нормальные моды. Кроме того, она позволяет лучше понять волновое движение и колебания однородной струны, в которую переходит наша система, если постепенно уменьшать массу тел и расстояния между ними.

Фиг. 45. Смещения трех тел на нагруженной струне с натяжением Г, приводящие к уравнению движения myr — Т(уг+1 — 2уг + уг-\Ма.

На фиг. 45 показано смещение уг тела с номером г и смещения двух соседних с ним тел. Уравнение движения r-го тела можно написать, рассмотрев компоненты натяжения, направленные в сторону положения равновесия. Смещение r-го тела вниз, в направлении положения равновесия, вызывается силой Т sin 0ь обусловленной натяжением струны с левой стороны от данного тела, и силой Т sin02, обусловленной натяжением струны с правой стороны от этого тела, причем

sin 01 = ^r—^r-1sin 02 = JxZLh±l_.

а2 а

Следовательно, уравнение движения имеет видm-^=-T(sine1 + sino2) = -r(-£^^ +

Отсюда d?yr .. Т , — у Г\Уг-1 — %Уг + Уг+\\

Если в случае нормальной моды колебаний с частотой со временная зависимость смещения у, относительно оси равновесия является гармонической, то смещение r-го тела для этой моды мы

можем записать следующим образом: yr = Areitott

где Аг — максимальное смещение. Аналогично

yr+i = Лг+1^ю', yr-i = Ar_xeitot.

Подставляя эти значения у в уравнение движения, получаем

«?Аге^ = ^^Аг_х - ^Аг + Аг^е1й<,

ИЛИ

Аг_х + ^2^—j Ат — Аг^х = 0.

Это — основное уравнение.

Теперь нужно, начав с первого тела г = 1, двигаться вдоль струны и выписывать систему аналогичных уравнений, где г принимает значения 1, 2, 3, ..., п. Следует помнить, что концы струны закреплены и поэтому

о= ^о = 0, уп^х = ^n+i = 0.

Таким образом, мы получаем следующие уравнения: г = 1

(2-^)л,-Л2 = 0 (Ло = О), г = 2

_Л1 + (2-2^)л2-Л3 = 0, г = п

-Л„_, + (2-^-)л„ = 0 (Лп+1 = 0).

Следовательно, мы имеем систему из п уравнений, решив которую можно найти п разных значений со2, причем каждое такое значение со будет частотой некой нормальной моды. Число нормальных мод равно числу тел.

Вообще говоря, решение этой системы п уравнений основано на теории матриц. Но мы можем легко получить решение для простейших случаев, когда на струне имеется одно или два тела (п = 1 или п = 2). Кроме того, обходясь без сложной математики, можно показать, какой вид должно иметь полное решение в случае п тел.

Во-первых, когда и = 1 и на струне длиной 2л находится одно тело, нам достаточно только уравнения для г = 1. При

Фиг. 46. а — нормальные колебания с частотой со2 = 2Т1та в случае одного тела массой т, укрепленного на струне длиной 2а.

б — нормальные колебания двух тел, укрепленных на струне длиной За. Показаны слабо связанная «синфазная» мода, имеющая частоту со2 —Tima, и сильнее связанная «противофазная» мода, имеющая частоту <Й2=^Т1та. Число нормальных мод колебаний равно числу тел.

этом Ло = Л2 = 0, поскольку концы струны закреплены. Следовательно, мы получаем уравнение

таю2\ -~

2—) Л^О,

которое дает одну-единственную частоту возможных колебаний (фиг. 46, а)

2 2Г(О2 =.

та

Когда п = 2 и длина струны равна За (фиг. 46, б) г нам необходимы уравнения как для г = 1, так и для г = 2, т. е.

(2—

-Л, + (2-^^)л, = 0 (Л„ = Л, = 0).

Исключив Л! или Л2, мы увидим, что эти два уравнения имеют решение (являются совместными), когда

^_^)2_i = 0,

т. е. при

(2_^_i)(2_^+i) = 0.

Таким образом, существуют две частоты нормальных мод:

Подстановка значения частоты сщ в уравнение для г = 1 и г = 2 дает Д1 = Л2, т. е. определяет медленное «синфазное» колебание, изображенное на фиг. 46, б. Подставив же значения частоты о)2, получим Ai = —Д2, т. е. более быстрое «противофазное» колебание, возникающее благодаря увеличенной связи.

Чтобы найти общее решение при любом п, перепишем уравнение•

-Лг_] + (2-^) Лг-Лг+1 = 0

в виде

Лг_| + Лг+1 2<а2 — ш2

Ar(Oq

где ^ = Т)та. Мы видим, что при любом заданном значении частоты о) нормальной моды (скажем, cos) правая часть этого уравнения постоянна, не зависит от г. Поэтому уравнение справедливо при всех значениях г. Какие значения мы можем приписать Аг, удовлетворяющие этому уравнению и согласующиеся с граничными условиями Ло = Агн = 0 для конца струны?

Предположим, что мы можем записать амплитуду смещения г-го тела на частоте со$ следующим образом:

Xr = Csinr0s,'

где С — постоянная, a 9S — некоторый постоянный угол при данном значении cos. Тогда, преобразуя левую часть уравнения

Ат—\ + Лг+1 _ С [sin (г — 1)0$ + sin (г + 1) 0$] _

ArС sin r^s

- _ 2С sin r0$ cos 0$ _ 9 A ~ C sin r0$—

получаем, что она представляет собой константу, не зависящую от г.

Угол 0s (постоянный для частоты cos) легко находится из граничных условий

До — ^n+i — 0,

поскольку

Ло = С8шО = О (выполняется автоматически при г = 0) и

АплЛ = С sin (n + 1) 9S = О, если

(/г + 1) 9S = £Л при s = 1, 2, ..., п.

Следовательно,

Аг = С sin r9s = С sin

есть амплитуда смещения r-го тела при фиксированной частоте нормальной моды со5.

Чтобы найти разрешенные значения <0$, напишем

г + 12(d2-ti)2SJl

ААОтсюда получаемОтсюда получаем=n— = 2 cos 9S = 2 cos (Oqn +

А

А

Отсюда получаем

Отсюда получаем

0)2 = 2(0^ Г1 — cos 1,50 L n +1J

где s — может принимать значения 1,2, ..., n и у^ = Т1та.

Отметим, что существует максимальная частота колебаний (о$ — 2о)О, которая называется критической. Наличие такой предельной верхней частоты характерно для всех колебательных систем, образованных из одинаковых элементов (масс), которые периодически повторяются во всей структуре системы. Мы встретим ее в следующей главе как характеристику волнового распространения в кристаллах.

Итак, мы нашли частоты нормальных мод колебаний для п связанных тел, укрепленных на струне. Эти частоты определяются выражением

Для каждой частоты (о$ амплитуда смещения г-го тела имеет вид

где С — постоянная. (Задачи 3.17—3.21.)

Волновое уравнение

В заключение данной главы мы покажем, как связанные колебания в периодической структуре нашей нагруженной струны переходят в волны, распространяющиеся в непрерывной среде.

Мы нашли, что уравнение движения r-го тела имеет вид

= "та ^Уг+1 ~ ^Уг + Уг-^-

Положим теперь а = бх. Рассмотрим предел при бх->0, когда, сближаясь, тела сливаются в однородную тяжелую струну.

Тогда мы получим

d2yr = Т / t/r+l — 2yr + yr_\ X = Т / уг-н — уг _ If г — уг_х X = dt2 m \dx) m \ йхбх )

= 2- ГЛ) -№]

m L\ дх 7 г+1\ дх /Д*

Далее,

Л) -Л) = ^y_dx\dx)x+dx \dx)x dx2

Поэтому в пределе при бх->0 мы можем опустить индексы и написать уравнение движения для гармонического осциллятора в точке х следующим образом:

d2y _ Т d2y .Т d2y

dt2m dx2'p dx2 *

Здесь p = m/dx— масса, приходящаяся на единицу длины струны (ее линейная плотность). Последнее соотношение называется ВОЛНОВЫМ УРАВНЕНИЕМ.

Величина Т/р имеет размерность квадрата скорости с, это скорость, с которой распространяется волна (т. е. фаза колебаний). Решение для у всегда имеет такой же вид, как решение, описывающее гармонические колебания в некоторой точке х струны.

Задача 3.1

Покажите, что потенциальную энергию двух одинаковых простых маятников, соединенных пружиной, можно записать в виде аХ2 -V- bY2, где X и Y—нормальные координаты, а а и b— постоянные. Покажите, что кинетическую энергию можно представить в виде cX2 + dY2, где с и d— постоянные. Выразите а, Ь. с и d через s, /, m и g.

Задача 3.2

Выразите полную энергию системы, о которой говорится в задаче 3.1, через смещения маятников х и у следующим образом:

Е == (Екин 4~ EnOT)x 4” (Екин 4“ Епот)^ 4“ (Епот)х^’

Здесь в скобках стоит энергия каждого маятника, записанная через его собственные координаты, а (EnOT)Xz/— энергия связи, или обмена, зависящая от произведения этих координат.

Задача 3.3

На фиг. 39 и 41 показано, как в результате сложения нормальных мод X и Y получаются состояния маятников с х = 2а, у = 0 и х = 0, у = 2а. Взяв те же самые начальные условия (х = 2а, у = 0, х = у =0), покажите точно так же, что сложение мод X и Y приводит к состояниям с х = —2а, у = 0 и х = 0, у = —2а.

Задача 3.4

На фиг. 47 изображены два тела с массами тх и т^ соединенные пружиной, имеющей собственную длину / и жесткость s.

Фиг. 47.

Обозначив растяжение пружины через х, покажите, что уравнения движения вдоль оси х имеют вид

тххх = sx, т^х^ = — sx.

Рассматривая эти уравнения совместно, покажите, что система колеблется с частотой

где р = тхт2/(тх + m2) — так называемая приведенная масса.

Предположим теперь, что на фиг. 47 изображена двухатомная молекула в виде гармонического осциллятора с эффективной массой, равной приведенной массе молекулы. Покажите, что в случае молекулы хлористого натрия, имеющей собственную частоту колебаний 1,4-1013 Гц (лежащую в инфракрасной области электромагнитного спектра), постоянная межатомного взаимо-

действия s= 120 Н-м-1. (Такая простая модель дает завышенное значение постоянной s по сравнению с более совершенными методами, учитывающими другие взаимодействия в кристаллической решетке соли.) Масса атома Na = 23 а. е. м., масса атома С1 = 35 а. е. м. (1 а. е. м. = 1,67 • 10~27 кг).

Задача 3.5

Фиг. 48.Фиг. 48.Два тела с одинаковой массой, изображенные на фиг. 48, колеблются в вертикальном направлении. Покажите, что частоты нормальных мод колебаний определяются выражением

Фиг. 48.

Фиг. 48.

®2=(з ± V5)-^

и что отношение амплитуды смещения верхнего тела к амплитуде смещения нижнего тела равно VjV2— 1 в случае медленных колебаний и V5/2+ 1 в случае быстрых колебаний.

Задача 3.6

Для связанных маятников, изображенных на фиг. 39, напишем частоту модуляции в виде а^ = (сог— (0i)/2 и среднюю частоту в виде CDcp = ((02 + М1)/2 и допустим, что пружина очень слабая и запасает пренебрежимо малую

энергию. Допустим, что модулированная амплитуда

2а cos ®Mt или 2а sin (о^/ постоянна в течение периода, соответствующего средней частоте (оср. Покажите, что энергию тел можно записать в виде

Ev = ^терц? cos2 и Е„ = 2ma2co2 sin2 (ом/.

Покажите, что полная энергия Е постоянна, а разность энергий в любой момент времени имеет вид

Ех — Еу — Е cos (со2 — <oi) t.

Докажите, что

= 4 I1 + C°s («»2 — ®1)/],£9 = ^(1 — COS (®2 ~ ®1) Л-

Исходя из последних двух выражений, покажите, что полный обмен постоянной полной энергией между двумя маятниками происходит с частотой биений 0)2 — соь-

Задача 3.7

Если массы связанных маятников, изображенных на фиг, 37, неодинаковы, то уравнения движения принимают вид

тхх = — тх (g/Z) х — s (х — у),т2у = — т2 (g/l) y-Vs^x — yY

Покажите, что в качестве нормальных координат мы можем выбрать

Х=т2х^пад у = х_ тх + ^2

Частоты нормальных мод определяются выражениями

<02=^, Ю2=«+s(_L + _Ly

/2/ * X тх т2 )

Отметим, что X — это координата центра масс системы, тогда как эффективная масса моды У равна приведенной массе системы ц (1/ц = \!тх + 1//п2).

Задача 3.8

Система, о которой говорится в задаче 3.7, приходит в движение с начальными условиями х = А, у = 0, х = у = 0 при / = 0. Покажите, что амплитуды нормальных мод таковы:

Х0-^А, У, = А;

-отсюда выведите, что

д

х = *]ц ^i cos toxt + т2 cos co2Z),

у = А ~~ (cos юх1 — cos (d2Z),

где M = тх + ^2-

Перепишите эти смещения в виде

2Д

х = 2Д cos (o^Z cos соср/ + -^- (тх — m2) sin co^Z sin ocpZ,

у = 2А sin ^Mt sin (оср/, '

где сом = (<02 — о)1) /2 и соср = (o)i + сог) /2.

Задача 3.9

Применив условие слабой связи задачи 3.6 к системе, о которой говорится в задаче 3.8, покажите, что

= -^ [mf + ml + гт^з cos (<о2 — mJ /],

Еи = Е [1 - cos (Ю2 - <00 /].

Отметим, что энергия Ех изменяется от максимального значения Е (при t = 0) до минимального значения [(/Hi— т<^1М\^Еу тогда как Ед колеблется с частотой биений cd2 — on между минимальным нулевым значением (при / = 0) и максимальным значением ^^тхт^М^Е.

Задача 3.10

На правый маятник связанной системы (фиг. 49) действует горизонтальная сила Fo cos mt. Если учесть малую константу за

тухания г, то уравнения движения можно записать в видетх = —^ х — гх — s (х — у) + ^о cos со/,ту = — -^- у — ry + s (,х — у).тухания г, то уравнения движения можно записать в видетх = —^ х — гх — s (х — у) + ^о cos со/,ту = — -^- у — ry + s (,х — у).Покажите, что уравнения движения для нормальных координат X = х + у и У = х — у совпадают с уравнениями движения для осцилляторов с затуханием, на которые действует внешняя сила EqCoso)/. Решив эти уравнения относительно У и X в пренебрежении величиной г, покажите, чтоПокажите, что уравнения движения для нормальных координат X = х + у и У = х — у совпадают с уравнениями движения для осцилляторов с затуханием, на которые действует внешняя сила EqCoso)/. Решив эти уравнения относительно У и X в пренебрежении величиной г, покажите, чтоГ0 , г 1—— COSO)/ 72т L ^1 - °Г0 , г 1—— COSO)/ 72т L ^1 - °Го * у ^ —— coso)/ 2mГо * у ^ —— coso)/ 2m11со? — о)2со? — о)2гдегде(^ = 4» й2 = 4 + -^1/2/ 1 m(^ = 4» й2 = 4 + -^1/2/ 1 mПокажите, чтоПокажите, чтоУ _о)1-<»Тх со2 + 0)^ — 2(о2 *У _о)1-<»Тх со2 + 0)^ — 2(о2 *

тухания г, то уравнения движения можно записать в видетх = —^ х — гх — s (х — у) + ^о cos со/,ту = — -^- у — ry + s (,х — у).

тухания г, то уравнения движения можно записать в видетх = —^ х — гх — s (х — у) + ^о cos со/,ту = — -^- у — ry + s (,х — у).

Покажите, что уравнения движения для нормальных координат X = х + у и У = х — у совпадают с уравнениями движения для осцилляторов с затуханием, на которые действует внешняя сила EqCoso)/. Решив эти уравнения относительно У и X в пренебрежении величиной г, покажите, что

Покажите, что уравнения движения для нормальных координат X = х + у и У = х — у совпадают с уравнениями движения для осцилляторов с затуханием, на которые действует внешняя сила EqCoso)/. Решив эти уравнения относительно У и X в пренебрежении величиной г, покажите, что

Г0 , г 1

—— COSO)/ 7

2т L ^1 - °

Г0 , г 1

—— COSO)/ 7

2т L ^1 - °

Го * у ^ —— coso)/ 2m

Го * у ^ —— coso)/ 2m

1

1

со? — о)2

со? — о)2

где

где

(^ = 4» й2 = 4 + -^

1/2/ 1 m

(^ = 4» й2 = 4 + -^

1/2/ 1 m

Покажите, что

Покажите, что

У _о)1-<»Т

х со2 + 0)^ — 2(о2 *

У _о)1-<»Т

х со2 + 0)^ — 2(о2 *

Изобразите графически зависимость смещения осциллятора от частоты и покажите, что вне частотного интервала от сщ до сог амплитуда смещения у меньше амплитуды смещения х.

Задача 3.11

Переменная сила FqCOscdZ действует на тело с массой М, (фиг. 50), которое является частью гармонической системы с коэффициентом жесткости к и присоединено к телу с массой т

Fo cosootFo cosootФиг. 50.Фиг. 50.

Fo cosoot

Fo cosoot

Фиг. 50.

Фиг. 50.

пружиной с коэффициентом жесткости s. Все колебания происходят вдоль оси х. Покажите, что тело с массой М неподвижно при со2 = s/m. (Это простой вариант используемой в технике нагрузки малой массой для гашения нежелательных колебаний.)

Задача 3.12

Два одинаковых LC-контура (фиг. 51) связаны общей емкостью С. Направление токов в цепи указано стрелками. Урав-

Фиг. 51.Фиг. 51.

Фиг. 51.

Фиг. 51.

нения для напряжений имеют вид

V2-l/3 = L^

а токи определяются выражениямиdq 1 т dq^ г т dq^ ,dt —dtlb' dt ~lb'

Решив уравнения для напряжений в нормальных координатах 1а + 1ь и 1а — 1ь, покажите, что нормальные моды колеба-

ний описываются формулами

прн <0? = ^ при ®2 = -^-прн <0? = ^ при ®2 = -^-

прн <0? = ^ при ®2 = -^-

прн <0? = ^ при ®2 = -^-

Отметим, что при 1О = 1Ь емкость связи можно убрать и* Я\ = —q^. Если 1а = —1ь, то q2 = — 2^i = — 2q3.

Задача 3.13

Генератор э. д. с. Е (фиг. 52) соединен с нагрузкой Z через идеальный трансформатор. Применяя к данной схеме закон

Фиг. 52.

Кирхгофа, получаем

Е = — ех = itoLJx — i^Ml^f2Z2 = ^2 = i^MIx — UtiLj^

Покажите, что отношение Е/1\, т. е. импеданс всей схемы, при* соединенной к зажимам генератора, равно сумме импеданса первичной обмотки трансформатора и «импеданса связи» второй цепочки cd2M2/Zs, где Zs = Z2-V UaL2.

Задача 3.14

Покажите, что в случае идеального трансформатора, о котором говорится в задаче 3.13, импеданс схемы, присоединенной к зажимам генератора, равен импедансу параллельного соединения импеданса первичной обмотки трансформатора с импедансом (^i/n2)2Z2, где пх и п2— числа витков в первичной и вторичной обмотках трансформатора.

Задача 3.15

Энергия, отдаваемая генератором нагрузке, максимальна тогда, когда нагрузка равна его внутреннему импедансу. Покажите, что при помощи идеального трансформатора можно согла*

совать нагрузку с генератором, например громкоговоритель, имеющий импеданс в несколько ом, с выходом усилителя, импеданс которого — порядка 103 Ом.

Задача 3.16

В случае двух контуров (фиг. 53), которые связаны переменной взаимной индуктивностью М, закон Кирхгофа дает сле-

Фиг. 53.

дующие уравнения:

ZJi + Z^I2 = Е, ^мЬ + Z2I2 = 0, где Zm = imM. На резонансной частоте со, на которой реактансы Xi = Х2 = 0, величину М изменяют так, чтобы ток /2 достиг максимального значения. Покажите, что условие такого максимума имеет вид

юМ = V^i^2и что им определяется «критический коэффициент связи»

где Qs — добротность контуров (s = 1, 2).

Задача 3.17’

Допустим, что число тел на нагруженной струне, о которой говорилось в данной главе, равно п = 3. Покажите, что частоты нормальных колебаний даются следующими формулами:

ю2 = (2-V2) —, Ю2 = 2 — , to2 = (2 + V2)—•

14 v 2 та 2 та 3 х 1 v / та

Задача 3.18

Покажите, что отношение смещений тел в этих модах равно 1 : V2 ♦ 1, 1:0: —1 и 1 : — V^ : 1. Изобразив смещения графически, покажите, что с усилением связи растет частота мод.

Задача 3.19

Взяв максимальное значение

при s = п, которое определяется наиболее сильной связью, найдите относительные смещения соседних тел. Проверьте правильность вычислений, подставив полученные значения в последовательные разностные уравнения, связывающие r/r+i, уг и уг-\. Почему маловероятно то, что ваше решение удовлетворит смещениям тел вблизи концов струны?

Задача 3.20

При s<n разложите величину

в ряд по степеням sl(n + 1) и покажите, что в пределе очень больших п низкая частота дается выражением

где р = т/а и I = (п + 1) а.

Задача 3.21

Электрическая линия передачи состоит из одинаковых катушек индуктивности L и конденсаторов С, соединенных как пока-

Чг-1 L QrЧг-1 L Qr

Чг-1 L Qr

Чг-1 L Qr

Фиг. 54.

зано на фиг. 54. Исходя из уравнений

покажите, что для 1Г можно вывести выражение, эквивалентное выражению для уг в случае струны, нагруженной массами. Такая линия работает как низкочастотный электрический фильтр и имеет критическую частоту, как и в случае струны. Наличие критической частоты характерно для распространения волн в периодических структурах и волноводах.

Сводка основных результатов

В связанных системах каждой нормальной координате соответствует одна степень свободы; каждой степенью свободы определяется один из путей, по которому система может получать

энергию. Полная энергия системы равна сумме энергий ее нормальных мод колебаний, поскольку эти моды никогда не обмениваются энергией, а остаются изолированными и отличными друг от друга.

Гармонический осциллятор имеет две нормальные координаты [скорость (или импульс) и смещение] и, следовательно, две степени свободы, первая из которых связана с кинетической энергией, а вторая — с потенциальной энергией.

п одинаковых тел, укрепленных с равным интервалом а на струне с постоянным натяжением Т

Уравнение движения r-го тела с массой m

my г = -у (Уг-i — 2уг + Уг^

после подстановки yr = Areitot преобразуется к виду

,, Л mam2 * а

— Ar+i + 2— Аг — Дг_1 = 0.

Имеется п нормальных мод, частоты которых cos определяются формулой

В случае нормальной моды с частотой cds амплитуда смещения r-го тела имеет вид

где С — постоянная.

Волновое уравнение

В пределе, когда интервал ^ = 6х-^0, уравнение движения r-го тела на нагруженной струне

= Т- <уг_х — ^Уг + Уг^

превращается в волновое уравнение

d2y Т d2y 2 d2y dt2 р dx2 dx2 *

где p — масса, приходящаяся на единицу длины, а с — скорость волны.

Глава 4

Поперечные волны

Частная производная

В этой главе и далее мы будем часто обращаться к понятию частной производной. Когда мы имеем дело с функцией одной переменной, скажем y = f(x^ производная определяется как

lim Нх + бх) — f(x)^ бх^О Ьх *

Но если мы рассматриваем функцию двух или большего числа переменных, то она будет меняться как при изменении одной произвольной переменной, так и при изменении всех переменных.

Например, координата г на поверхности сферы с центром в начале координат О, которая описывается уравнением х2 + у2 + z2 = а2, где а — радиус сферы, будет зависеть от х и у. Поэтому z является функцией координат х и у и записывается в виде z = z(x, у). Дифференциальное приращение координаты г, обусловленное изменением координат х и у, можно записать следующим образом:

Здесь (dz/dx)y означает дифференцирование z по х при фиксированном значении у, поэтому .

( дг \ — Цт ^(Х + бх, y) — z(x, У^ К дх )у 6х^0 6х е

Полное изменение dz находится путем сложения отдельных дифференциальных приращений, обусловленных изменением каждой переменной по очереди, в то время как остальные переменные остаются постоянными. Из фиг. 55 явствует, что, положив координату у постоянной, мы выделяем плоскость, которая разрезает сферическую поверхность по кривой. Дифференциальное приращение dz вдоль этой кривой точно такое же, как если бы координата z была функцией только координаты х. Фиксировав теперь величину х, мы поворачиваем эту плоскость на 90° и повторяем вычисления, считая у переменной. В результате полное дифференциальное приращение dz равно сумме приращений, полученных двумя такими способами.

В случае функции только двух переменных индекс, указывающий фиксированную переменную, можно опустить без потери определенности. Наши функции, описывающие волновое движение, будут зависеть от пространственной и временной переменных, а поэтому мы будем обозначать первую производную

dz.dz.ДуДуТолько г(ж) производная^^Только г(ж) производная^^Только z(y) производнаяМу иТолько z(y) производнаяМу иПлоскость ж=constПлоскость ж=constПлоскость у = constПлоскость у = constОктант сферы радиусом а с центром в О хг*уг+гг=агОктант сферы радиусом а с центром в О хг*уг+гг=агУУ

dz.

dz.

Ду

Ду

Только г(ж) производная^^

Только г(ж) производная^^

Только z(y) производная

Му и

Только z(y) производная

Му и

Плоскость ж=const

Плоскость ж=const

Плоскость у = const

Плоскость у = const

Октант сферы радиусом а с центром в О хг*уг+гг=аг

Октант сферы радиусом а с центром в О хг*уг+гг=аг

У

У

Фиг. 55. Часть сферы с центром в начале координат.

Схема иллюстрирует соотношение dz=dz j + dz2=(dz/dx)^ dx 4- (dzldy)xdy, в котором каждая производная вычисляется при фиксированном значении одной переменной.

по х символом д/дх, а вторую — символом д2/дх2, считая время t постоянным. Первую же и вторую производные по времени мы будем обозначать через d/dt и d2/dt2y подразумевая, что величина х остается постоянной.

Волны

Один из самых простых способов продемонстрировать волновое движение — это взять свободный конец длинной веревки, второй конец которой закреплен, и дернуть его вверх и вниз. Вдоль веревки побегут горбы и впадины волн, и если бы веревка была бесконечно длинной, то такие волны можно было бы назвать бегущими волнами — так называются волны, распространяющиеся в неограниченной среде, где нет отражения (фиг. 56).

Если размеры среды ограничены, например если веревку заменить скрипичной струной с закрепленными обоими концами, то бегущие волны, распространяющиеся по струне, отражались бы от обоих концов. Тогда колебания струны представляли бы собой комбинацию таких волн, распространяющихся взад и вперед по струне, и образовались бы стоячие волны.

Волны на струнах — это поперечные волны, т. е. смещения или колебания в среде происходят поперек направления распространения волны. Когда колебания параллельны направлению распространения волны, волны называются продольными. К продольным волнам относятся звуковые волны. В газе могут распространяться только продольные волны, поскольку для существования поперечных волн необходима сила сдвига. В твердом же теле могут распространяться и продольные, и поперечные волны.

Впадина

Фиг. 56. Поперечные бегущие волны, распространяющиеся вдоль струны.

Мы в своей книге будем рассматривать только плоские волны. Когда мы наблюдаем волновое движение в виде последовательности горбов и впадин, то в действительности мы видим колебательное движение отдельных осцилляторов в среде и, в частности, всех тех осцилляторов в плоскости среды, которые в момент наблюдения имеют одинаковую фазу колебаний.

Если мы возьмем плоскость, перпендикулярную направлению распространения волны, то все осцилляторы, лежащие в этой плоскости, имеют общую фазу. Мы будем наблюдать во времени, как плоскость общей фазы будет перемещаться через среду. На такой плоскости все параметры, описывающие волновое движение, остаются постоянными. Горбы и впадины соответствуют плоскостям максимальной амплитуды колебаний, которые сдвинуты по фазе относительно друг друга на л радиан. Горб соответствует плоскости максимальной положительной амплитуды, а впадина — плоскости максимальной отрицательной амплитуды. При математическом описании такого волнового движения мы должны будем связать разность фаз между двумя любыми плоскостями с расстоянием между ними. По существу мы уже проделали это при нашем рассмотрении осцилляторов.

Сферическими волнами называются волны, поверхности одинаковой фазы которых представляют собой сферы. Источник таких волн, например взрыв, лежит в центральной точке. Каждой сферической поверхностью определяется совокупность осцилляторов, которые при данном волновом возмущении колеблются в фазе. На практике сферические волны, прошедшие очень короткое расстояние, можно считать плоскими. Малый участок сферической поверхности очень близок к плоскости.

Скорости волнового движения

С самого начала мы должны четко усвоить один момент. Отдельные осцилляторы, образующие среду, не распространяются вместе с волнами через среду. Они гармонически колеблются в поперечном и продольном направлении относительно своих положений равновесия. Мы наблюдаем как волны их фазовые соотношения, а не их распространение в среде.

При волновом движении существуют три скорости, которые представляют собой совершенно различные величины, хотя они и связаны математически.

Скорость частиц. Это скорость простых гармонических колебаний осциллятора около его положения равновесия.

Волновая, или фазовая, скорость. Это скорость, с которой перемещаются в среде поверхности одинаковой фазы, т. е. горбы или впадины.

Групповая скорость. Путем сложения ряда волн с разными частотами (длинами волн) и скоростями можно получить группу волн, или волновой пакет. Волны редко существуют в виде отдельных монохроматических компонент. Импульс белого света имеет сплошной спектр частот, поэтому движение такого импульса описывается его групповой скоростью. Конечно, такой пакет расплывается со временем, поскольку волновые скорости каждой компоненты неодинаковы во всех средах, кроме свободного пространства. Только в свободном пространстве импульс белого света остается неизменным.

Мы рассмотрим вопрос о групповой скорости отдельно в одном из последующих разделов данной главы. Групповая скорость имеет важное значение как скорость, с которой переносится энергия в волновой группе. В случае монохроматической волны групповая и волновая скорости одинаковы. Здесь мы подробнее рассмотрим скорость частиц и волновую скорость.

Волновое уравнение

Волновое уравнение будет основным для остальной части книги, а поэтому мы выведем его, рассматривая прежде всего движение поперечной волны по струне.

Рассмотрим вертикальное смещение у очень короткого отрезка однородной струны. Этот участок струны, совершающий вертикальные гармонические колебания, будет нашим простым гармоническим осциллятором. Конечно, смещение у изменяется со временем, а также зависит от х, положения той точки струны, которую мы выбираем для наблюдений за колебаниями.

Итак, волновое уравнение будет связывать смещение у отдельного осциллятора с расстоянием х и временем L Мы будем

рассматривать колебания только в плоскости чертежа, так что наши поперечные волны на струне будут плоскополяризован- ными.

Масса однородной струны, приходящаяся на единицу длины,, или ее линейная плотность, равна р. Вдоль струны существует постоянное натяжение Т, хотя она обладает небольшой растяжимостью. В соответствии с этим мы должны рассматривать столь короткий отрезок и столь малые колебания, что наши уравнения могут быть линеаризованы. Действие силы тяжести не учитывается.

Фиг. 57. Смещенный элемент струны, имеющий длину ds « dx.

Сила натяжения Т действует в точке х под углом 6, а в точке x + dx —под углом 0 + d к оси х.

Как видно из фиг. 57, на искривленный элемент длиной ds с одного конца действует натяжение Т, направленное под углом 6 к оси х, а с другого — натяжение Г, направленное под углом 6 + dQ. Длина искривленного элемента равна

но в силу наложенных ограничений величина ду)дх так мала, что мы можем пренебречь ее квадратом и принять ds = dx. Следовательно, масса элемента струны равна pds = pdx, а уравнение его движения находится из закона Ньютона: сила равна массе, умноженной на ускорение.

Перпендикулярная сила, действующая на элемент dx в положительном направлении оси у, равна Tsin(0 + ^6)—Т sin 6. Она равна также произведению массы pdx на ускорение d2y/dt2. Поскольку угол 6 мал, мы имеем sin 6 » tg0 = ду/дх и сила равна

Г[(£и-(Ш

Здесь индексы относятся к точке, где вычисляются производные. Разность в квадратных скобках равна произведению производной функции ду]дх на элемент расстояния dx, а поэтому сила равна*

Т~д^ dx-

Тогда уравнение движения малого элемента dx принимает вид

т д2у л л д2У

Т дх2 ^ Р ^ dt2 *

ИЛИ

д2ур д2у

дх2Т dt2 е

Здесь отношение Г/р имеет размерность квадрата скорости с2, а потому последнее уравнение можно переписать в виде

д2у = 1 д2у дх2 с2 dt2 *

Это — ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ.

Оно связывает ускорение гармонического осциллятора в среде с второй производной его смещения по координате х, определяющей положение осциллятора. В какой части уравнения должен быть множитель с2, всегда легко определить путем быстрой оценки размерности.

/Мы еще не сказали, что означает скорость с. Ниже мы увидим, что с — это волновая, или фазовая, скорость, т. е. скорость, с которой перемещаются плоскости одинаковой фазы. В случае струны эта скорость возникает как отношение натяжения к инерционной плотности струны. Мы покажем, что независимо от типа волн волновую скорость всегда можно представить как функцию упругости (связанной с механизмом накопления потенциальной энергии в среде) и инерции среды (связанной с накоплением кинетической или индуктивной энергии). В случае продольных волн в твердом теле упругость характеризуется модулем Юнга, а в газе — величиной уР, где у — отношение удельных теплоемкостей *)> а Р— давление газа.

9 А именно у = CplCv, где Ср — удельная теплоемкость газа при постоянном давлении, a Cv — его удельная теплоемкость при постоянном объеме. — Прим, перев. _ '

Решение волнового уравнения

Решение волнового уравнения д2и 1 д2у дх2с2 дг2 *

конечно, будет функцией переменных х и t. Мы покажем, что его решением является любая функция вида y = fx(ct— х). Кроме того, решением будет также любая функция y=f2(ct+x), так что полное решение в общем случае имеет вид суперпозиции у = fl(ct — x) + f2(^ + х).

Если через /' обозначить производную функции fi по ее аргументу ct — х, то

^- = -rx<ct-x^ ^ = f"(ct-x\

Кроме того,

■^7 = с/; let — х), -§- = сЧ" let — х),

откуда для у = Л (с/—х) получаем

д2у = 1 д2у дх2 с2 dt2 *

Аналогичный результат справедлив для у = f^ct + х). (Задачи 4.1, 4.2)

Если у — смещение в точке х в момент времени t осциллятора, совершающего простые гармонические колебания, то в силу сказанного в гл. 1 мы можем представить его в виде у = asin(to^—ф). И действительно, все волны, которые мы рассматриваем в этой книге, будут описываться функциями синуса или косинуса, поскольку они представляют собой плоские волны.

Аргумент ct — х функции y = f(ct— х) имеет размерность длины. Для того чтобы эта функция могла быть синусом или косинусом, ее аргумент должен иметь размерность угла и измеряться в радианах. Поэтому разность ct — х нужно умножить на коэффициент 2л/Х, где А — длина волны, которую следует определить.

Теперь мы можем написать

2 лу = a sin (со/ —- ф) = a sin — (ct — х)

в качестве решения волнового уравнения, если 2лс/Х = со = 2луг где v— частота колебаний, и ф = 2лх/Х. Это означает, что если в момент времени t = 0 сфотографировать осцилляторы среды, в которой вправо бежит волна, то траектория смещений осцилляторов (фиг. 58) будет описываться выражением у = —a sin ф =

= - a sin (2лхД). Если же мы наблюдаем за движением осциллятора в точке х = 0, то его смещение будет описываться функцией у = a sin со/.

Под действием волны, бегущей вправо, любой осциллятор, расположенный в некоторой точке х справа, начнет движение с некоторым запаздыванием. Его движение будет описываться выражением

2л у = a sin (со/ —- ф) = a sin — (с/ — х),

где ф — запаздывание по фазе относительно осциллятора в точке х = 0. Поскольку ф = 2лх/Х, при х = X фазовый сдвиг равен 2л радиан, т. е. запаздывание равно одному полному периоду колебаний осциллятора.

Фиг. 58. Профиль смещения осцилляторов в сплошной среде, в которой распространяется волна в положительном направлении оси х.

Длина волны К —это расстояние между любыми двумя осцилляторами, имеющими разность фаз 2л радиан.

Тем самым мы определили X как длину волны — расстояние между любыми двумя осцилляторами, имеющими разность фаз 2л радиан. Из выражения 2лс/Х = со = 2nv находим величину с = vX; это волновая, или фазовая, скорость, равная произведению частоты на длину волны. Таким образом, справедливо соотношение Х]с = 1/v = т, где т — период колебаний, показывающее, что волна проходит расстояние в одну длину волны за время т. Мимо наблюдателя, расположенного в любой точке, за одну секунду проходит волновой цуг, содержащий v длин волн и имеющий длину, численно равную скорости волны с.

Если волна бежит влево, то знак величины ф должен быть обратным, поскольку колебания в точке х начинаются раньше, чем в точке х = 0. Следовательно, аргумент ct — х соответствует волне, распространяющейся Вправо, а аргумент ct + х— волне, распространяющейся в направлении отрицательных значений х.

Имеется несколько эквивалентных форм записи функции у = ^ct— х), которые мы здесь приведем для случая, когда функция f— синус (хотя представление функции f в виде косинуса тоже справедливо):

у = a sin -у- (с/ — х),

у = a sin 2л (v/ — ~),

у = a sin (о (/ — у), у = a sin (со/ — &х),

где к = 2л/Х = м/с — так называемое волновое число. Можно также использовать экспоненциальное представление синуса и косинуса в виде у = ае^1~кх\ Каждое из приведенных выше выражений является решением волнового уравнения, определяющим смещение осциллятора, а также .его фазу относительно некоторого исходного осциллятора. То, что мы наблюдаем как волновое движение, есть изменение смещений осцилляторов и распространение фазы их колебаний..

Волновая, или фазовая, скорость, конечно, равна dxldt —■ скорости, с которой возмущение перемещается по системе осцилляторов. Скорость осциллятора или частицы есть простая гармоническая скорость dyldt.

Выбирая любое из приведенных выше выражений для бегущей вправо волны, например

у = a sin (со/ — кх\

мы получаем

= соа cos (со/ — кх\ ^ = — ка cos (со/ — кх),

откуда

ду ду _____ ду / _ _ дх ду X dt к дх С дх k dt дх ) *

Следовательно, скорость частицы dyldt равна произведению волновой скорости с = dxldt на градиент волнового профиля, взятого со знаком минус в случае волны, распространяющейся вправо, вида

у = Цс1 — xY

Стрелками на фиг. 59 показано направление скорости частиц в разных точках волны, бегущей вправо. Очевидно, что скорость частиц увеличивается в том же направлении, в котором увели-

Фиг. 59. Синусоидальная волна, бегущая вправо.

Внизу стрелками указаны величина и направление скорости частиц dyldt = — с ду/дх в разных точках х.

чивается поперечная сила в волне. В следующем разделе мы увидим, что эта сила определяется выражением

т дудх ’

где Т — натяжение струны. (Задача 4.3.)

Импеданс струны (струна как, осциллятор, колеблющийсяпод действием внешней силы)

Любая среда, в которой распространяются волны, характеризуется неким импедансом для этих волн, или волновым сопротивлением. Если среда без потерь и не имеет механизма диссипации или сопротивления, то импеданс будет действительным и будет определяться двумя параметрами, описывающими накопление энергии в среде: инерцией и упругостью. При наличии механизма потерь в импедансе появится мнимый член.

Струна тоже характеризуется неким импедансом для бегущих волн, который в соответствии с природой этих волн определяется как поперечный импеданс:

^ Поперечная сила F

Поперечная скорость и ’

Ниже мы выявим двойную роль струны — как среды и как осциллятора, колеблющегося под действием внешней силы.

Рассмотрим бегущую по струне волну (фиг. 60), которая возбуждается на одном из концов струны переменной силой F^e1^, действующей на струну только в поперечном направлении (и лежащей в плоскости чертежа). Натяжение струны постоянно и равно Т. Баланс сил для конца струны показывает, что в лю-

Фиг. 60. Струна как осциллятор, совершающий вынужденные колебания. На один конец струны действует вертикальная сила F^e^.

бой момент времени внешняя сила равна по величине и противоположна по направлению силе Т sin 6, а поэтому

F^ = -rsin9«-Ttg9 = - Т^,

где 6 — малый угол.

В случае бегущих волн смещение можно записать в экспоненциальной форме

у==Ае1^-кх\

где амплитуда А может быть комплексной благодаря ее фазо-вому сдвигу относительно F. Для конца струны, где х = 0,F^ — — Т(-^-)=ИгТАе‘^‘-к-°>,

их дх 7х=о

(поскольку С = to/fe).

Поперечной скоростью

v = у = Fo (у-) ei ((0^-^х)

и амплитудой скорости v = F^Z определяется поперечный импеданс

Z = — = рс (поскольку Т = рс2),

или волновое сопротивление, струны. Так как скорость с зависит от инерции и упругости, импеданс также определяется этими свойствами среды.

(Как нетрудно видеть, амплитуда смещения y = FQ/^Z и фазовый сдвиг смещения относительно силы, соответствующий множителю —U полностью согласуется с тем, что говорилось в гл. 2.)

Отражение и прохождение волнна границе двух струн

Мы уже видели, что струна обладает импедансом рс для. волн, бегущих по ней. Теперь мы спрашиваем: как будут реагировать волны на резкое изменение импеданса, т. е. величины рс? Такой вопрос мы будем задавать, рассматривая все волны, включая акустические, электромагнитные, а также волны напряжения и тока. При этом мы обнаружим замечательное сходство в их поведении. -

Фиг. 61. Падающая, отраженная и прошедшая волны на стыке двух струн, где импеданс изменяется скачком от piCi до ргСг-

Предположим, что струна состоит из двух кусков, гладко соединенных в некоторой точке, и имеет постоянное натяжение Т вдоль всей длины. Обе части струны имеют разные линейные плотности pi и р2 и разные волновые скорости ^/Pi = c? и Т1р2 = ст Характеристические импедансы равны piCi и р2с2.

Волна, бегущая по струне, в точке х = О встречает скачок импеданса, как показано на фиг. 61. В этой точке х = 0 часть падающей волны отразится, а другая часть пройдет в область с импедансом р2с2.

Обозначим импеданс pi^i через Zb а импеданс р2с2— через Z2. Смещение для падающей волны запишем в виде У{ = — Axel^t-kxx^ где у^—действительная амплитуда (волна бежит в положительном направлении оси х со скоростью Ci). Смещение для отраженной волны, бегущей в отрицательном направлении оси х со скоростью С\, имеет вид уг = Вхе1^г-¥кхХ\ где Вх — ам-

плитуда. Смещение для прошедшей волны, бегущей в положительном направлении оси х со скоростью с2> определяется выражением yt = A2el где д^ — амплитуда.

Мы хотим найти амплитудные коэффициенты отражения и прохождения, т. е. отношения величин By и А2 к амплитуде Ль Для этого воспользуемся граничными условиями, которые должны выполняться в точке скачка импеданса х = 0. Эти граничные условия следующие:

Геометрическое условие, заключающееся в том, что в любой момент времени смещение справа и слева в непосредственной близости от точки х = 0 одинаково. Таким образом, скачка смещения нет.

Динамическое условие, заключающееся в том, что поперечная сила Т(ду!дх) непрерывна в точке х = 0. Следовательно, непрерывна производная смещения по х. Это условие должно выполняться, ибо в противном случае конечная разность сил будет действовать на бесконечно малую массу струны и вызовет бесконечно большое ускорение, что недопустимо.

Согласно условию (1), мы имеем

Vi + У Г = Уь

ИЛИ

Д^^ W-M 4- Вув1 и+м = А2е1 w-Mt

При х = 0 можно сократить экспоненциальные множители; получим

Л. + В,^.(4.1)

Согласно условию (2), при х = 0 для всех значений t

откуда после сокращения экспоненциальных множителей при х = 0 получаем

- куТАу + кхТВх = - k2TA2l

или

— со — Ах Н™ со By = — со "г" А2.

СуСу 4^2

Но

~ = Pi^i = ^ь — = р2с2 = Z2;

поэтомупоэтому^1 (А — В у) — z2a2.^1 (А — В у) — z2a2.(4.2)(4.2)

поэтому

поэтому

^1 (А — В у) — z2a2.

^1 (А — В у) — z2a2.

(4.2)

(4.2)

В\ zx — z^Д1Z\ + Zi ’Д2 2Z]дГ “ Zi + z2 'В\ zx — z^Д1Z\ + Zi ’Д2 2Z]дГ “ Zi + z2 'Из уравнений (4.1) и (4.2) находим: Амплитудный коэффициент отражения

В\ zx — z^

Д1Z\ + Zi ’

Д2 2Z]

дГ “ Zi + z2 '

В\ zx — z^

Д1Z\ + Zi ’

Д2 2Z]

дГ “ Zi + z2 '

Амплитудный коэффициент пропускания

Мы сразу видим, что эти коэффициенты не зависят от to и одинаковы для волн любой частоты. Они действительны и не вносят никаких фазовых сдвигов, если не считать сдвига на л радиан, который будет изменять знак члена. Кроме того, эти отношения полностью определяются отношениями импедансов (см. таблицу на стр. 382).

отраженный I——ммпулъсотраженный I——ммпулъсК+В'К+В'Бесконечный, импеданс рс = «з

отраженный I——ммпулъс

отраженный I——ммпулъс

К+В'

К+В'

Падающий импульс»

Фиг. 62. Отражение импульса, или волнового пакета, состоящего из большого числа частотных гармоник, от границы с бесконечным импедансом (рс = оо). Каждая гармоника полностью отражается с изменением фазы на л радиан, поэтому форма отраженного импульса оказывается обращенной по отношению к первоначальной форме импульса. На фигуре импульс в момент отражения поделен на три части: А, В и С. В момент наблюдения часть С уже отразилась и испытала обращение формы, необходимое для превращения в С'. Фактическая форма импульса, наблюдаемого в этот момент, есть А, поскольку он равен Л + В-ЬС', где В = С'. Смещение в точке отражения должно равняться нулю. Перевернутая и обращенная часть А' + В' соответствует неотраженной части А 4- В и будет распространяться в отрицательном направлении оси х вдали от границы, когда отразятся части Л и В.

Случай Z2 = оо соответствует концу струны, закрепленному в точке х = 0, поскольку прошедшей волны нет. Отсюда получаем BiMi = —1, поэтому падающая волна полностью отражается (как и должно быть) с изменением фазы на л (обращение фазы). В дальнейшем мы получим, что эти условия являются необходимыми для существования стоячих волн. В случае Z2 = = оо волновой пакет, образованный из множества волн различной частоты, при отражении будет сохранять свою форму,, которая в результате отражения лишь обращается (фиг. 62).

Если Z2 = О, то х = 0 соответствует свободному концу струны и By/Ах = 1, А^АХ = 2. Этим объясняется хлопок, возникающий, когда волна достигает конца кнута или незакрепленной струны. (Задачи 4.4—4.6.)

Отражение и прохождение энергии

Наш основной интерес к волнам связан, однако, с их способностью переносить энергию через среду. Поэтому посмотрим, что происходит с энергией волны, когда волна падает на границу раздела двух сред с разными импедансами.

Мы знаем, что если рассматривать единичный отрезок струны с массой р как гармонический осциллятор с максимальной амплитудой колебаний Л, то его полная энергия имеет вид

£ = у Р<О2Д2,

где со— частота волны. Поскольку каждый единичный отрезок струны начинает колебания с приходом волны, а волна распространяется со скоростью с, скорость переноса энергии вдоль струны дается выражением

Энергия X Скорость = у рсо2Д2с.

Таким образом, скорость поступления энергии на границу х = О равна энергии, переносимой падающей волной за единицу времени, т. е.

^pxcvto2A2v = ^Zxto2Azv

Скорость, с которой энергия уносится от границы отраженной и преломленной волнами, равна

у р.ср'В’ +1 р^М- -1 Z,«>«B» + ^z^a*=

=^л;=^л;Zx (Zt - Z,V + 4Z^Z21„

=^л;

=^л;

(Zi + 22)2

Здесь были использованы формулы для отношений BJAX и Л2Мь Следовательно, энергия сохраняется: вся энергия, переносимая к границе падающей волной, уносится от границы отраженной и преломленной волнами.

Энергетические коэффициенты отраженияи пропускания

Эти коэффициенты определяются следующим образом:

Отраженная энергияZ^В^/ Zv— Z2

Падающая энергия^ХАХАх\ Zx + Z^

Прошедшая энергияZ2A2 AZXZ2

Падающая энергияZXAX(Zv-VZ2y

Мы видим, что энергия не отражается, если Zx = Z2. В этом случае говорят, что импедансы согласованы. (Задачи 4.7, 4.8.)

Согласование импедансов

Согласование импедансов имеет очень важное практическое значение в вопросе передачи энергии. Длинные кабели, по которым переносится энергия, должны быть точно согласованы во всех соединениях, чтобы избежать потерь энергии за счет отражения. Энергия, получаемая от любого генератора, максимальна, когда нагрузка согласована с импедансом генератора. Громкоговоритель согласуется с импедансом выхода усилителя путем выбора правильного отношения числа витков в обмотках трансформатора связи. Этот последний пример, где между двумя несогласованными импедансами вводится элемент связи, имеет важнейшее значение во многих областях инженерной физики и оптики. Мы проиллюстрируем этот прием на примере волн, бегущих по струне, но результаты будут справедливы для всех волновых систем.

Мы уже видели, что, когда между двумя струнами с разными импедансами имеется гладкое соединение, на границе происходит отражение энергии. Теперь мы покажем, как путем введения еще одной струны определенной длины между двумя несогласованными струнами можно исключить отражение энергии и согласовать импедансы.

Нам нужно (фиг. 63) согласовать импедансы Zx = pict и 23 = р3с3 путем введения струны длиной I с импедансом Z2 = = р2С2. Струны гладко соединены, и задача в том, чтобы найти величины / и Z2.

На фиг. 63 показаны смещения для падающей, отраженной и прошедшей волн в точках соединений х = 0 и х = L Мы хотим добиться, чтобы отношение

Прошедшая энергия ^з^зПадающая энергия ZXA^было равно единице.

Согласно граничным условиям, величины у и Т(ду!дх) непрерывны при переходе через соединения х = 0 и х = I. Из условия непрерывности величины у в точке х = 0 между струнами с импедансами Zx и Z2 следует уравнение

Ахе1 W-M _|_ вхе1 (^+м = А^е1 ^-^ _[_ g^i w-ьм^ или

Ах^Вх = АгА-В2,(4.3)

поскольку X = 0.

Фиг. 63. Импедансы Zx и Z3 двух струн согласуются путем введения между ними струны, имеющей длину I и импеданс Z2.

Падающая и отраженная волны показаны для границ х=0 и х=1. Импедансы согласованы, когда 22=2^2 и 1 = Х?4» где / — длина струны с импедансом Z2 Все сказанное справедливо для волн во всех средах.

Точно так же из условия непрерывности величин Т(ду!дх) в точке х = 0 следует, что

Т (— ik\A\ -j- ikiB[) = Т (— /^2^2 “Ь ^2^2)*

Разделив обе части равенства на to и вспомнив, что Т(А/со)=: = Т[с = pc = Z, получаем

2,(Л1-В1) = 72(Л2-В2).(4.4)

Аналогично условие непрерывности у в точке х = I приводит к соотношению

+ В^м = Л3,(4.5)

а условие непрерывности Т(ду]дх)— к соотношению

Z2 ^А2е-1М - В2е^1) = Z3A3.(4.6)

Из четырех граничных уравнений (4.3) — (4.6) нам необходимо найти отношение Л3/Ль Используя уравнения (4.3) и (4.4), мы исключим В] и выразим Л1 через члены Л2 и В2. Затем с помощью уравнений (4.5) и (4.6) выразим Л2 и В2 через член Л3.

Из уравнений (4.3) и (4.4) следует, что

Z1 (Д1 — Л2 — S2 + A i) = Z2 (Д2 — S2), или

Л _ ^2 (Г12 + 1) + В2 (г 12 — 1)

2г 12

где п2 = ZJZ2.

Согласно уравнениям (4.5) и (4.6),

где г23 = Z2/Z3.

С помощью уравнений (4.7) и (4.8) находим, что

Л, = -^- [(r12 + 1) (г23 + 1) е^‘ + (г12 - 1) (г23 - 1) е-^] =

4Г12Г23

= -^ «Г13 + 1) ^ + е"^ + (r12 + r23) (е^ - е-‘М^ =

гдегдеСледовательно,Следовательно,= "577 ^г*3 + ^ cos ^1 + Z (ri2 + Г23) Sin М.

где

где

Следовательно,

Следовательно,

ZXZ2 Zx

Г12Гк — ~2^' — 'гГ — Г13-

И ^з 4г1з

X Л, /(г13 + I)2 COS2 k2l + (Г12 + Г23)2 Sin2 М*

откуда

Прошедшая энергия Z31 Л312 1 / | Л3|\2

Падающая энергия/ДЛИ2г13 \|Л1|/

4г13

(rl3 + I)2 cos2 к21 + (^12 + Г23)2 Sin2 к21 *

Если мы выберем I = Х2/4, то cos к21 = 0, sin k2l = 1 и

z31 Лз I2 4r13

Zi| ЛД2 (r12 + r23)2

при Г12 = г2з, т. е.

Z2Z^ *Z2Z^ *или Z2 = V^i^3eили Z2 = V^i^3e2i

Z2

Z^ *

Z2

Z^ *

или Z2 = V^i^3e

или Z2 = V^i^3e

22

Таким образом, мы видим, что если импеданс связывающей среды равен среднему геометрическому двух импедансов, кото-

рые должны быть согласованы, и толщина связывающей среды равна

где Xs = 2nfhs, то вся энергия волны с частотой со будет проходить без отражения.

Толщина диэлектрического покрытия на оптических линзах, которое исключает отражение при прохождении света из воздуха в стекло, равна четверти длины волны. Радужная окраска в таких линзах возникает из-за того, что точное согласование происходит только на одной частоте. Линии передачи согласуются с нагрузками путем введения четвертьволновых отрезков линии с соответствующим импедансом. (Задачи 4.9, 4.10.)

Стоячие волны на струне фиксированнойдлины

Мы уже видели, что если импеданс отражающей среды равен бесконечности, то бегущая волна полностью отражается с изменением фазы на л радиан. Бесконечным импедансом характеризуются жестко закрепленные концы струны с фиксированной длиной /. Теперь мы исследуем поведение волн на такой струне.

Рассмотрим простейший случай, когда одна монохроматическая волна с амплитудой а и частотой со распространяется в положительном направлении оси х, а другая монохроматическая волна той же частоты с амплитудой b распространяется в отрицательном направлении оси х. Тогда смещение в любой точке струны будет определяться выражением

у — Qgi ktot — kx^ _|_ ^gi {mt + kx)

и граничными условиями у = 0 при х = 0 и х = I для любого момента времени.

Условие у = 0 при х = 0 дает 0 = (а + b^eltot для всех значений /, а поэтому а = —Ь. Физически данное соотношение выражает то обстоятельство, что волна, бегущая в любом направлении, доходя до конца струны, обладающего бесконечным импедансом, полностью отражается с изменением фазы на л радиан. Этот результат справедлив для всех волн любой формы и любой частоты.

Таким образом, смещение у дается выражением

у = aeitot ^e~ikx — eikx) = — Уае^1 sin Ах,(4.9)

которое удовлетворяет стационарному волновому уравнению для стоячей волны

посколькупосколькуд2У ।дх2 *д2У ।дх2 *к2 У = О,к2 У = О,1 д2у .с2 dt21 д2у .с2 dt2гУ = — ^угУ = — ^у

поскольку

поскольку

д2У ।

дх2 *

д2У ।

дх2 *

к2 У = О,

к2 У = О,

1 д2у .

с2 dt2

1 д2у .

с2 dt2

гУ = — ^у

гУ = — ^у

Согласно условию у = 0 при х = I, для всех значений t sin kl = sin— = 0, или — = мл. сс

Отсюда находим разрешенные частоты: пасПС с

ИЛИ vn = ~z =Т, т. е. < мА • tonX • плх l = — t sin —— = sin —7-. 2сI

Это нормальные частоты, соответствующие нормальным модам колебаний, с которыми мы впервые встретились в гл. 3. Их

Фиг. 64. Первые четыре гармоники (м = 1—4) стоячих волн, которые могут существовать в струне с двумя закрепленными концами.

часто называют собственными частотами. Такие частоты определяются числом полуволн, укладывающихся на длине струны. На фиг. 64 показано смещение струны для первых четырех гармоник (п = 1, 2, 3, 4). Гармоника, соответствующая п = 1, называется основной.

Как и в случае нагруженной струны, о которой говорилось в гл. 3, все нормальные моды могут существовать одновременно, при этом полное смещение равно сумме смещений на каждой частоте. Это более сложная задача, которую мы рассмотрим в гл. 9, посвященной методам Фурье.

Сейчас мы видим, что при п > 1 на струне будет ряд точек, которые всегда остаются неподвижными. Они определяются

уравнением

. tonX . ППХ

Sin —— = sin —:— = 0,

СI 1

или

^ = гл (г = 0, 1, 2, 3,п).

Значения г = 0 и г = п соответствуют концам струны х = 0 и х = /. Однако в случае п-и гармоники между концами струны имеется еще (п—1) точек, в которых смещение всегда равно нулю. Такие точки, распределенные равномерно по всей струне, называются узлами или узловыми точками. Это точки нулевого движения (покоя) в системе стоячих волн. Стоячие волны возникают благодаря сложению волновых возмущений, распространяющихся в противоположных направлениях. Если амплитуды этих бегущих волн равны по величине и противоположны по знаку (благодаря полному отражению), то узловые точки будут существовать.

Но отражение часто оказывается неполным, а поэтому волны, бегущие в противоположных направлениях, не точно компенсируются и не образуют идеальных узлов, в которых смещение было бы строго равно нулю. В этом случае говорят о коэффициенте стоячей волны, который мы рассмотрим немного ниже.

Если же узловые точки существуют, то мы знаем, что волны, бегущие в противоположных направлениях, одинаковы во всех отношениях. Поэтому энергия, переносимая в одном направлении, точно равна энергии, переносимой в другом направлении. Это означает, что полный поток энергии, т. е. энергия, переносимая в единицу времени через единичную площадь в стоячей волне, равен нулю.

Возвращаясь к уравнению (4.9), мы видим, что в случае п-и гармоники полное выражение для смещения имеет вид

уп= — 12а (cos <йп1 + / sin <dnf) sin -^у-.

Мы можем переписать это выражение следующим образом:

уп = (Л n cos tont + Вп sin oV) sin -^-,(4.10)

где амплитуда n-й моды определяется формулой(Л„ + Вп)/г =2а. (Задача 4.11.)

Энергия колеблющейся струны

Колеблющаяся струна обладает как кинетической, так и потенциальной энергией. Кинетическая энергия элемента струны, имеющего длину dx и линейную плотность р, равна V2P dx у2.

Полная кинетическая энергия струны определяется интегралом от этого выражения по всей длине струны:

i

Екин = 4 $ РУ2 dx.

О

Потенциальная энергия равна работе, которую совершает натяжение Т при колебании струны, изменяя длину элемента от dx до ds. Следовательно,

Е„ - $ Ttds-dxl = $ 7 {[1 + (-^)T'-'} Т S Ш’ dx- если мы пренебрежем высшими степенями величины ду/дх.

Далее, изменение длины элемента dx равно Xl2(dyldx)2dx. В случае упругой струны изменение ее натяжения пропорционально изменению длины, поэтому, если ду]дх — величина первого порядка малости, то изменение натяжения имеет второй порядок малости и величину Т можно считать постоянной.

Энергия каждой нормальной модыколеблющейся струны

Полное смещение струны у является суперпозицией смещений уп отдельных гармоник. Мы можем найти энергию каждой гармоники, заменив в формулах последнего раздела величину у величиной уп. Таким образом, кинетическая энергия п-й гармоники дается выражением

i£„(кин.) = 4 $ py^dx,О

а потенциальная энергия — выражением

О

Как мы уже показали,

У». = <Ап cos ®п< + Вп sin ©„/) sin ". поэтому

уп = (— Ап<йп sin со„/ + Вп®п cos <»п0 sin -^-,

•^ = ^ (An cos ©„t + Bn sin ®д0 cos -^ •

Следовательно,

Еп (кин.) = у р®2 (— Ап sin ®^ + Вп cos ®„/)2 ^ sin2 -^- dx,

О

2

Ега (пот.) = у Т ^- (Л rt cos <ant + Вп sin <йп(У ^ cos2 -^- dx. О

Вспоминая, что Т = рс2, получаем

Е. (кин. + нот.) = 1 »№„ (Д’ + В=) -1 ™< (Л‘ + В’), где пг— масса струны, а Л„ + В« — квадрат максимального смещения амплитуды моды.

Чтобы найти точное значение полной энергии Еп моды, нам нужно знать точные величины Ап и Вп. Мы их вычислим в гл. 9, посвященной методам Фурье. Полная энергия колеблющейся струны равна, конечно, сумме энергий Еп всех нормальных мод. (Задача 4.12.)

Коэффициент стоячей волны

Когда волна полностью отражается, сложение амплитуд падающей и отраженной волн приведет к образованию узловых точек (с нулевой амплитудой), в которых падающая и отраженная волны компенсируют друг друга. В точках максимального смещения, где падающая и отраженная волны усиливают друг друга, амплитуда равна удвоенной амплитуде падающей волны.

Допустим, что бегущая волна лишь частично отражается на границе. Обозначим амплитудный коэффициент отражения ВХ]АХ, введенный выше в одном из разделов, через г (г <С 1).

Максимальная амплйтуда при усилении равна сумме Ах + 4- BXl а минимальная амплитуда равна разности Д1 — Вх. В этом случае отношение максимальной амплитуды к минимальной в стоячей волне называется коэффициентом стоячей волны (КСВ):

где г = ВХ]АХ.

Измерив максимальную и минимальную амплитуды, можно найти коэффициент отражения, поскольку

_ Вх _ КСВ - 1

Г Ах КСВ + 1 •

(Задача 4.13.)

Волновые пакеты и групповая скорость

Выше мы рассматривали только монохроматические волны, т. е. волны, имеющие одну частоту и длину волны. Значительно более общим является случай, когда волны существуют в виде набора или группы частотных гармоник. Например, белый свет имеет сплошной спектр, занимающий участок видимого диапазона примерно от 3000 А в голубой области до 7000 А в красной области. Анализ поведения таких пакетов приводит к понятию групповой скорости, упомянутому в начале главы.

Сложение двух волн с почти одинаковыми частотами

Рассмотрим пакет из двух компонент с одинаковой амплитудой, но с разными частотами ссц и сог, различающимися на малую величину.

Их отдельные смещения описываются формулами

ух = a cos (со^ — кхх\ У2 = а cos (со2/ — к2х\

У = Ух + Уз =У = Ух + Уз =Складывая амплитуды и фазы, получаем выражение

У = Ух + Уз =

У = Ух + Уз =

(©! — (02) t (kx — k2) х 1 Г (CD! + (О2) t (kX + k2) X ]

22 J[22

описывающее волну с частотой (соi + со2)/2, которая очень близка к частоте любой из двух компонент. Амплитуда волны, имеющая максимальное значение 2а, модулирована в пространстве и времени очень медленно меняющейся огибающей с частотой (о)] — со2) /2 и с волновым числом (кх — к2)12.

Поведение такой волны (фиг. 65), конечно, похоже на поведение эквивалентных связанных осцилляторов, рассматривавшихся в гл. 3. Скорость новой волны равна.

CDj — (02 кх — k2 кх-к2 — С кх — к» ~ С’

где через с обозначена фазовая скорость: с = (дх/кх = <02/^2- Следовательно, частотные гармоники и их сумма, т. е. пакет, будут распространяться с одинаковой скоростью, причем профиль пакета, изображенного на фиг. 65, не изменяется.

Если волны звуковые, то интенсивность максимальна всегда, когда амплитуда имеет максимальное значение 2а. Это происходит дважды за период, определяемый частотой модуляции, т. е. частотой vi — vs..

Таким образом, частота биений интенсивности равна разности частот гармоник vi — v2. В приведенном здесь примере, где амплитуды гармоник одинаковы и равны а, в результате сложения гармоник амплитуда будет меняться от 0 до 2а. В этом случае говорят о полной, или 100%-ной, модуляции.

Колебания с частотой -1 ^^2

Фиг. 65. Сложение двух волн с почти одинаковыми частотами cdj и ю2 приводит к образованию пакета.

Более быстрые колебания происходят со средней частотой двух компонент (coi + с02)/2. Медленно меняющаяся огибающая пакета имеет частоту (о»!—to2)/2, равную половине разности частот компонент.

В более общем случае волну с модулированной амплитудой можно записать в виде

у = A cos (со/ — fex), где модулированная амплитуда

А = а + b cos «/t.

Отсюда получаем

у = acos (со/ — Ах) + -~ {cos [(со + <oz) / — кх\ + cos [(со—со') / — Ах]}.

Таким образом, здесь из-за амплитудной модуляции появились две новые частоты со ± со', которые называются комбинационными или боковыми частотами. Амплитудная модуляция несущей частоты широко применяется при радиопередаче, но сопутствующая генерация боковых частот приводит к чрезмерной плотности радиочастот и увеличению помех.

Волновые пакеты и групповая скорость

Теперь предположим, что две гармоники, рассмотренные в предыдущем разделе, имеют разные фазовые скорости и Ф|/^1 #= со2/А2. Скорость максимума амплитуды пакета, т. е.

групповая скорость,

ср 1 — (о2 Асокх — ^2 А&

теперь отлична от каждой из этих скоростей. Вид суперпозиции двух волн уже не будет сохраняться неизменным, и профиль пакета будет изменяться со временем.

Среда, в которой фазовая скорость зависит от частоты (отношение to]k не является постоянным), называется диспергирующей средой. Зависимость со от к выражается дисперсионной формулой. Если пакет состоит из гармоник с почти одинаковыми частотами, то исходное выражение для групповой скорости записывается следующим образом:

Асо

Nk dk *

Групповая скорость есть скорость максимальной амплитуды пакета, а потому это скорость, с которой переносится энергия пакета.

Поскольку о) = ко, где о — фазовая скорость, групповая скорость равна

dw d ,, х< dua du

VS~ dk ~ dk ^U) — V + k dk — U dX*

где к = 2л/Х. Обычно производная dv/d\ положительна, так что п^ *< о. Это случай нормальной дисперсии. Но возможна аномальная дисперсия — когда производная dv/dh отрицательна п и^ > У.

При рассмотрении электромагнитных волн мы увидим, что для таких волн электрический проводник обладает аномальной дисперсией, а диэлектрик — нормальной дисперсией всюду, кроме небольших областей около собственных резонансных частот атомов, образующих диэлектрик. В главе, посвященной вынужденным колебаниям, мы видели, что волна действует на атомные осцилляторы как внешняя сила. При этом сильное поглощение волновой энергии описывается диссипативной частью импеданса осциллятора, тогда как кривая аномальной дисперсии следует за реактивной частью импеданса.

На фиг. 66 представлены три кривые, которые описывают:

среду без дисперсии, для которой величина ^]к постоянна и vg = v (например, свободное пространство для световых волн);

область нормальной дисперсии, где ug *< и; ..

область аномальной дисперсии, где ug > и.

Пример. Электромагнитная волна распространяется в диэлектрике со скоростью v = (ре)~1/2, где pi и е — магнитная и

диэлектрическая проницаемость. В свободном пространстве эта скорость равна скорости света с = (цово)~1/2. Показатель преломления п = с!о = л/ ре/роео V^r/^r, где рг = ц/ц0 и ег = е/ео. Для многих веществ цг— постоянная порядка единицы, а величина 8г зависит от настоты и поэтому о зависит от к

Фиг. 66. Дисперсионные кривые.

/ — прямая линия, соответствующая среде без дисперсии, где и = у^; 2 — нормальная дисперсия: тангенс угла наклона прямой у=ю/А > Vg=dMk\ 3 — лночальная дисперсия: у <у^*

Фиг. 67. Зависимость показателя преломления п=^гг от со и X в области аномальной дисперсии.

Величина too —резонансная частота атомов среды. Штриховой линией показано поглощение в данной области.

Групповая скорость

следовательно, оё > о (аномальная дисперсия), когда дгг/дХ > > 0. На фиг._67 представлена зависимость показателя преломления п = л]гг от частоты со и длины волны X в области ано-

мальной дисперсии, связанной с резонансной частотой. Штриховой линией показано поглощение энергии (ср. с фиг. 34). (Задачи 4.14—4.19.)

Волновой пакет, состоящий из многих гармоник,теорема о ширине частотной полосы

Выше мы рассматривали волновые пакеты, состоящие только из двух частотных компонент. Мы можем легко обобщить наш анализ на случай пакета, образованного из большого числа частотных компонент с одинаковой амплитудой а, лежащих в узком частотном интервале Асо.

Физическую суть этой задачи мы уже выяснили, когда нашли (на стр. 29) сумму ряда

п-1

R = 2 a cos (со/ + л$)>

п=0

где 6 — постоянная разность фаз между последовательными компонентами. Здесь мы имеем дело с постоянной разностью фаз (б(о) t, обусловленной постоянной разностью частот 6(о между последовательными компонентами. Частотный спектр такого пакета приведен на фиг. 68, а; мы хотим исследовать его поведение во времени.

Нам нужно найти амплитуду, которая получается в результате сложения частотных компонент и записывается в виде ряда

R = a cos (0^ + a cos (<»i + 6(о) i + a cos (toi + 26(d) t + ...

... + a cos [с»! + (n — 1) dco] /.

Сумма такого ряда (стр. 31) имеет вид

nsin \п (дю) t^A

R — a —\• cos to/,

sin [(dco) //2]*

где to— средняя частота импульса:

to = to] + у ^п — 1) 6(0.

Но ширина импульса п бсо = А(о, а поэтому при больших п зависимость суммарной амплитуды R от времени можно переписать следующим образом:

nsin (Дсо//2)_. sin (Дсо//2)_,

R ^ = а -^^)-cos ю/ = па C0S Ю/’

или

R (f) = А ~а cos 5>t.

Здесь А = па и а = Део tl6!^ т. е. а — это разность фаз между первой и последней частотной компонентами в момент времени t.

На основе данного выражения построен график временного поведения импульса, представленный на фиг. 68, б. Мы видим,

*Део*

Фиг. 68. а — прямоугольный волновой импульс с частотной шириной Асо, состоящий из п гармоник, которые имеют амплитуду а и общую разность частот 6(о; б — представление этого_ импульса на временной оси в виде кривой косинуса со средней частотой со, амплитуда которого модулирована функцией sin а/а, где а = Да>^/2.

Через время / = 2л/Л(о сложение гармоник дает нулевую амплитуду.

что амплитуда R^ изменяется по закону синуса со средней частотой со, но с модулирующим множителем A sin а/а.

При t = 0 мы имеем sin а/а —► 0, а поэтому все компоненты складываются с нулевой разностью фаз и дают максимальную амплитуду R^ = А = па. Через некоторый интервал времени М, когда

Асо Ма=—=л,

фазы частотных компонент становятся такими, что суммарная амплитуда /?(/) обращается в нуль.

Таким образом, время А/, которое может служить мерой ширины центрального импульса на фиг. 68, б, определяется соотно-

шением Д(0 А/ A A J 1

—-— = л или Av А/ = 1,

где Асо = 2л Av.

Ширина основания центрального импульса равна 2Д/, а интервал А/ с центром в точке t = 0 взят в качестве условной меры времени, в течение которого амплитуда R^ остается достаточно большой (>А/2). При таком произвольном определении точное соотношение

Av А/ = 1 превращается в приближенное равенство

Av А/ « 1, или Асо А/ ^ 2л.

Данное соотношение известно под названием ТЕОРЕМЫ О ШИРИНЕ ЧАСТОТНОЙ ПОЛОСЫ.

Согласно этой теореме, сложение компонент импульса с частотной шириной Асо дает значительную амплитуду R(t) только в течение времени М, а затем импульс затухает из-за случайных разностей фаз компонент. Чем больше ширина полосы Асо, тем короче интервал АЛ -

Иначе говоря, в теореме утверждается, что одиночный импульс длительностью А/ является результатом сложения компонент, частоты которых лежат в интервале Асо. Чем короче длительность импульса АЛ тем шире интервал частот Асо, необходимых для его создания.

Когда интервал Асо равен нулю и есть только одна частота, мы имеем дело с монохроматической волной, длительность которой, следовательно, должна быть (теоретически) бесконечной.

Для описания нашего волнового пакета мы выбрали два параметра: частоту и время (произведение которых безразмерно), но мы можем так же легко работать с другой парой параметров: волновым числом к и расстоянием х.

При замене со —► к и 1—>х мы выразили бы длину волнового пакета Ах через интервал длин волн компонент А(1/Х). Тогда теорема о ширине частотной полосы принимает вид

Ах Ай 2л, или Ах| А (1/Л) | « 1.

Снова отметим, что в случае монохроматической волны из соотношения Ай = О следует условие Ах —> оо, определяющее бесконечно длинный волновой цуг.

В случае волнового пакета, который мы только что рассмотрели, задача была упрощена благодаря предположению о равенстве амплитуд всех частотных компонент. Если данное

предположение не выполняется, то учет различных значений а (со) производится методом Фурье (гл. 9).

Мы еще не раз встретимся с идеями этого раздела на протяжении всей книги. В частности, отметим, что в современной физике теорема о ширине частотной полосы переходит в принцип неопределенности Гейзенберга. (Задача 4.20.)

Поперечные волны в периодической структуре

В конце главы, посвященной связанным колебаниям, мы рассмотрели поперечные колебания п тел одинаковой массы, распределенных с равным интервалом а на струне с натяжением Т. Оба конца струны, имеющей общую длину а\п-\- 1), были закреплены. Было найдено, что уравнение движения r-й частицы имеет вид

ту г = у- (у г-н + Уг-i — 2уг),

а частоты нормальных мод колебаний для п тел определяются выражением

9 2Г5Л X

со: =I 1 — COS -Г- ,

$ та \п + 1 /

где s = 1, 2, 3, ..., п.

- Когда интервал а бесконечно мал (скажем, равен dx^, член, стоящий в скобках в уравнении движения, можно преобразовать следующим образом:

"7 ($/г+1 + Уг-1 — 2уг) -* -^ (Уг+1 + Уг-1 — 2уг) =

_ Уг*\-Уг _ У г —Уг-i = (ду_\_ ( д«\= Г^У.'Х Д,

dxdx X Эх )rvh X дхX дх2 )r и е

Тогда уравнение движения превращается в волновое уравнение

д2у = Т д2уdt2 р дх2 ’

где р = mldx — линейная плотность и у ос el

Теперь рассмотрим распространение поперечных волн вдоль линейной цепочки атомов с массой т в кристаллической решетке, где натяжение Т есть упругая сила взаимодействия атомов (так что Ца есть коэффициент жесткости). Расстояние а между атомами — порядка 1 А, или 10-10 м. Если закрепленные концы струны заменены концами кристалла, то мы можем запи-

сать смещение r-й частицы, обусловленное поперечной волной в виде

уг — Аге^ ^-^^ — Аге^ w-kra^

поскольку х = га.

Тогда уравнение движения преобразуется следующим образом:

— y?tn = ~- (eika 4~ е ^а — 2) = -~ (eikal2 — g-ika^y _ — ^, sin2^. е

Отсюда находим разрешенные частоты:

2 4Т . п ка

СО2 = 81П2 -z-.

ma 2

Это выражение для со2 эквивалентно выражению, полученному в конце гл. 3:

9 2Г$л X 4Г . о $л

СО; =I 1 — COSI,

$ ma \п + 1 / та 2 (n + 1)

если к а8з11 о о

"Т = 2(n + 1) и s—ь 2, 3, ..п.

Но (пЦ- \)а = I есть длина струны или кристалла, а мы уже видели, что разрешенные длины волн А удовлетворяют соотношению

р^- = 1 = (п+ О а.

Следовательно, ка _ 2л а $дл s зш 2 — X 22(п+ 1)а — р X ’

если s — р. При s = р изменение s на единицу соответствует переходу от одного разрешенного числа полуволн к следующему, поэтому минимальная длина волны А = 2а. Тем самым определяется максимальная частота to?M = 4Т1та. Таким образом, оба выражения можно считать эквивалентными.

При X = 2а мы имеем $1пка]2 = 1, поскольку ка = л. Сдвиг фаз между колебаниями соседних атомов равен точно л радиан, так как

——— ос е1ка = ein = — 1.

УгН

Следовательно, самая высокая частота соответствует максимальной связи, как и должно быть.

sinsinha haha ha

sin

sin

ha ha

ha ha

В случае больших длинВ случае больших длинволн или малых волновых чисел к

В случае больших длин

В случае больших длин

поэтомупоэтомуи =и =(От=с(От=сsin ha/2ka/2 *sin ha/2ka/2 *

поэтому

поэтому

и =

и =

(О

т=с

(О

т=с

sin ha/2ka/2 *

sin ha/2ka/2 *

4T h2a2

ma 4

и скорость волны, как и раньше, определяется формулой 2_ to2 _ ТаТ

С k2 mр ’

где р = ml а.

В общем случае фазовая скорость дается выражением

Соответствующая дисперсионная кривая представлена на фиг. 69. Лишь в области очень коротких длин волн расстояние

Фиг. 69. Кривая дисперсии о = со(&) для волн, распространяющихся вдоль линейной одномерной цепочки атомов в периодической структуре.

между атомами в кристаллической решетке действительно влияет на волновое распространение. Здесь предельное, или максимальное, значение волнового числа таково: км = л/а « « 1010 м-1.

Для кристалла постоянная упругой силы Т)а — порядка 15 Н-м“1, а типичное значение «приведенной» атомной массы — порядка 60-10~27 кг. При таких значениях квадрат максимальной угловой частоты

»2 = — ^-=1°27рад/с

дает значение частоты v = со/2л 5» 1012 Гц.

(Взятая здесь для кристалла величина Т)а в 8 раз меньше величины, найденной для отдельной молекулы в задаче 3.4. Это обусловлено взаимодействием между соседними ионами и изменением равновесного состояния между ними.)

Полученная частота лежит в инфракрасной области электромагнитного спектра. В одной из следующих глав мы увидим, что электромагнитные волны с частотой со имеют поперечное электрическое поле Е = Е^е^, где Ео — максимальная амплитуда. Поэтому заряженные атомы, или ионы, могут совершать вынужденные колебания под действием электрического поля излучения, падающего на кристалл, и последний может поглощать любое излучение на резонансной частоте его колеблющихся атомов.

Линейная цепочка из атомов двухтипов в ионном кристалле

Продолжим анализ данного вопроса, взяв одномерную линейную цепочку, которая содержит атомы двух типов. Расстояние между атомами, как и прежде, равно а. Атомы с массой М занимают положения, соответствующие нечетным номерам 2г— 1, 2r + 1 и т. д., а атомы с массой m — положения с четными номерами 2г, 2г + 2 и т. д. Уравнения движения для каждого типа атомов имеют вид

тmylr = — (z/2r+i + Угг—i — 2у2г),

^У2г+1 — ™(У2г+2 4" У 1г 2уг+1).

Их решения описываются выражениями у2г = А,^-^,

где Ат и Ам — амплитуды смещений соответствующих атомов.

Следовательно, уравнения движения преобразуются к виду

ТА^ТА

— o?mAm = —^- ^e-ika + eika^-^-,

7* Л2ТЛ

- е?МАм = -^- {e~ika + е1к^^.

Эти уравнения совместны, когда

2 __ Т / 1 . 1 XТ Г/ 1 . 1 У _ 4 sin2 ка Т^

Ю а к пгМ )a Lx m М ) тМ J

Если изобразить графически дисперсионную зависимость со от к в случае знака плюс и при m > М, то получим верхнюю кривую фиг. 70, где

f —(—+ 4-) при й = 0,

0 а х m х М )1

®* птд

-^- при ^м = -^- (минимальная длина волны Л = 4а)

Выбрав знак минус, получим а (М + т)

03। 2L

^ ат

нижнюю кривую фиг. 70, где при очень малых к,

« л

при 6=^.

Верхняя кривая называется «оптической», а нижняя — «акустической» ветвью. Движения атомов двух типов для каждой ветви

показаны на фиг. 7Lпоказаны на фиг. 7LФиг. 70. Кривые дисперсии для двух мод поперечных колебаний в кристаллической структуре.Фиг. 70. Кривые дисперсии для двух мод поперечных колебаний в кристаллической структуре.Фиг. 71. Смещения атомов различного типа для двух мод поперечных колебаний в кристаллической структуре.а —оптическая мода, б — акустическая модаФиг. 71. Смещения атомов различного типа для двух мод поперечных колебаний в кристаллической структуре.а —оптическая мода, б — акустическая мода

показаны на фиг. 7L

показаны на фиг. 7L

Фиг. 70. Кривые дисперсии для двух мод поперечных колебаний в кристаллической структуре.

Фиг. 70. Кривые дисперсии для двух мод поперечных колебаний в кристаллической структуре.

Фиг. 71. Смещения атомов различного типа для двух мод поперечных колебаний в кристаллической структуре.

а —оптическая мода, б — акустическая мода

Фиг. 71. Смещения атомов различного типа для двух мод поперечных колебаний в кристаллической структуре.

а —оптическая мода, б — акустическая мода

В случае оптической ветви при больших длинах волн и малых к отношение Am/AM = — М/т и атомы колеблются в противоположных направлениях, так что центр масс единичной ячейки в кристалле остается неподвижным. Такие колебания можно возбудить электромагнитной волной, если чередующиеся атомы представляют собой ионы с зарядами противоположного знака; отсюда и название ветви «оптическая».

В случае акустической ветви при больших длинах волн и малых к выполняется равенство Ат = Ам; поэтому атомы и их центр масс движутся вместе в одном направлении (как в случае продольных звуковых волн). В следующей главе мы увидим, что атомы могут также колебаться в продольной волне.

Поперечные волны, о которых мы только что говорили, поляризованы в одной плоскости. Они могут также колебаться в плоскости, перпендикулярной к рассмотренной здесь плоскости. Колебательная энергия таких двух поперечных волн вместе с энергией продольной волны, которая будет рассмотрена в следующей главе, лежат в основе теории удельных теплоемкостей твердых тел. К этому вопросу мы вернемся в гл. 8.

Поглощение инфракрасного излученияионными кристаллами

Для излучения с частотой 3-1012 Гц длина волны равна 100 мкм (10“4 м) и лежит в инфракрасной области, а волновое число к = 2л/Х ^ 6-104 м-*1. Мы установили, что критической частоте кристаллической решетки соответствует волновое число км ~ 1010 м-1; поэтому величина к для инфракрасного излучения пренебрежимо мала по сравнению с км, и ее можно принять равной нулю.

Когда под действием электрического поля Е = Eoeitot электромагнитного излучения движутся ионы с зарядами противоположного знака ±е, уравнения движения (при к = 0) принимают вид

(0 HlAm ^ (Ам Am) ^Eq,

— <й2МАм = - (Ам А^ + еЕ^.

Решив эти уравнения, получим

Л еЕоЛ —— еЕо

М М^-со2)' т т^-^У где частота соо,

2 2Г / 1.1 \

а \ т*

является предельной для оптической ветви при к —► 0.

Таким образом, при со = соо инфракрасное излучение сильно поглощается ионными кристаллами, а амплитуды колебаний ионов Ам и Ат увеличиваются. Экспериментально установлено, что хлористый натрий сильно поглощает при X = 61 мкм, а хлористый калий имеет максимум поглощения на длине волны X = 71 мкм. (Задача 4.21.)

Эффект Доплера

В отсутствие дисперсии скорость волн, излучаемых движущимся источником, постоянна, но длина волны и частота, измеряемые неподвижным наблюдателем, изменяются.

На фиг. 72 неподвижный источник S излучает сигнал с частотой v и длиной волны X, который доходит до неподвижного наблюдателя О за время I, пройдя расстояние, равное vX/. Если источник S' движется к наблюдателю О со скоростью и, то в точке О будет зарегистрирована новая частота V.

Мы видим, что

vXZ = ut + vVZ,

откуда в силу соотношения

с = vZ = W получаем

с — и ., с

и, следовательно,

/ VC

V =.

с — и

Такое изменение частоты, регистрируемой наблюдателем, называется эффектом Доплера.

vt Л

vtx’

Фиг. 72. Эффект Доплера.

Если волны от неподвижного источника S принимаются неподвижным наблюдателем О на частоте V и длине волны X, то при движении источника S' в процессе излучения измеряемые частота и длина волны равны V и V.

Предположим теперь, что источник S неподвижен, а наблюдатель О' движется от источника S со скоростью о. Если наблюдателю, источнику и волнам мы припишем скорость —и, то тем самым сделаем наблюдателя неподвижным. При этом источник будет иметь скорость —и, а волна — скорость с — и. Подставляя эти значения в выражение для V, получаем новую наблюдаемую частоту

= у (с-у)

с *

(Задачи 4.22—4.31.)

Задача 4.1

Покажите, что функция у = !Дс1-V х^ удовлетворяет волновому уравнению

дх- с2 д/2 *

Задача 4.2

Покажите, что профиль волны y = fv (cl — х) не изменяется со временем, если с — волновая скорость. Для этого рассмотрите выражение для у в момент времени t + А/, где А/ = Ах/с.''

Решите эту задачу для случая у = f^ct -|- xY

Задача 4.3

Нарисовав график распределения скоростей частиц (как на фиг. 59), покажите, что в случае волны, бегущей влево,

dtдх *

(Следует учесть, что с — это абсолютная величина скорости, которая не меняет знака.)

Задача 4.4

Импульс треугольной формы, имеющий длину /, отражается от закрепленного конца струны, по которой он распространяется (Z2 = оо). Нарисуйте форму импульса (фиг. 62) после отражения части импульса с длиной: а) //4, б) //2, в) 3//4 и г) I. Нарисуйте график изменения скорости частицы вдоль отраженного импульса в каждом случае.

Задача 4.5

Точечная масса М прикреплена в некоторой точке к струне, имеющей характеристический импеданс рс. Поперечная волна с частотой со распространяется в положительном направлении оси х и частично отражается от этой массы, а частично проходит. Граничные условия заключаются в том, что смещения струны в непосредственной близости справа и слева от массы одинаковы (yt + Уг = ytY а разность поперечных сил в этих же точках равна произведению массы на ее ускорение. Обозначив через Ль Вх и Л2 амплитуды падающей, отраженной и прошедшей волн, покажите, что

В\ — iq А2 _____1

Xi 1 + iq ’ Ах 1 + iq ’

где q = соЛ4/2рс и I2 = — 1.

Задача 4.6

Записав q = tg 9, покажите, что в задаче 4.5 амплитуда Л2 отстает по фазе от Л1 на угол 9, а амплитуда Вх отстает по фазе от Л1 на угол л/2 4- 9, причем 0 ,< 9 < л/2

Покажите также, что энергетические коэффициенты отражения и прохождения равны sin2 6 и cos2 6.

Задача 4.7

По струне бежит волна (фиг. 60) со смещением у = a sin (со/ — кх\

Покажите, что средняя работа, совершаемая силой за единицу времени (среднее произведение поперечной силы на поперечную скорость), равна скорости переноса энергии вдоль струны.

Задача 4.8

Поперечная гармоническая сила с пиковым значением 0,3 Н и частотой 5 Гц возбуждает волны на конце очень длинной струны с линейной плотностью 0,01 кг/м. Покажите, что скорость переноса энергии вдоль струны равна Зл/20 Вт, а волновая скорость составляет 30/л м/с.

Задача 4.9

На фиг. 73 показаны две среды с импедансами 7,х и Z3, разделенные третьей средой с промежуточным значением импеданса

Z2. В первой среде по нормали к границе идет падающая волна с единичной амплитудой. На схеме указаны коэффициенты отражения и пропускания для многократных отражений. Покажите, что полная амплитуда отраженной волны в среде 1, описываемая рядом

R-VtTR'kX -VrR'-Vr^-Y ...), равна нулю, если R = —R'. Покажите, что отсюда следует условие

Z2 = Z1Z3.

(В случае нулевой амплитуды полной отраженной волны в среде 1 амплитуда R первой отраженной волны ком

пенсируется суммой амплитуд всех последовательно отраженных волн.)

Задача 4.10

Соотношение между импедансом Z и показателем преломления п диэлектрика определяется формулой Z = Х/п. Свет, распространяющийся в свободном пространстве, падает на стек-

лянную линзу, показатель преломления которой равен 1,5 для длины волны в свободном пространстве 5,5 • 10-7 м. Покажите, что отражение на этой длине волны можно устранить при помощи покрытия с показателем преломления 1,22 толщиной 1,12-10-7 м.

Задача 4.11

Докажите, что смещение уп в выражении (4.10) для стоячей волны удовлетворяет стационарному волновому уравнению

Задача 4.12

Полную энергию Еп нормальной моды можно найти другим способом. Каждый элемент dx струны представляет собой гармонический осциллятор, полная энергия которого равна максимальной кинетической энергии колебаний

^макс = J Р (#Хакс = Т Р ^ (У^макс»

Далее, величина (у^)макс в точке х струны определяется формулой

х^/макс \ п 1с

Покажите, что нужный результат дает энергия этих осцилляторов, просуммированная по всей струне, т. е. интеграл

ТР^СУпХакс^-

О

Задача 4.13

Смещение в случае волны на струне с двумя закрепленными концами дается выражением

у (х, /) = A cos (со/ — kx^ + г A cos (со/ + кх\

где г — амплитудный коэффициент отражения. Покажите, что это выражение можно представить в виде суперпозиции стоячих волн:

У (х, /) = А (1 + г) cos со/ cos кх + А (1 — г) sin со/ sin кх»

Задача 4.14

Волновой пакет состоит из двух компонент с длинами волны Л и Л + АЛ, причем отношение ДЛ/Л очень мало. Покажите, что число длин волн Л, умещающихся между двумя соседними нулями модулирующей огибающей, приблизительно равно Л/ДЛ.

Задача 4.15

Фазовая скорость поперечных волн в кристалле с межатомным расстоянием а определяется выражением

„ sin (^а/2)

L ка,^ ’

где к — волновое число, ас — постоянная. Покажите, что групповая скорость равна

кас cos —.

Каково предельное значение групповой скорости при больших длинах волн?

Задача 4.16

Относительная диэлектрическая проницаемость газа на длине волны X описывается выражением

«, = £ = Л + £-№,

где Л, S и D — постоянные, с — скорость света в свободном пространстве, a v — его фазовая скорость в газе. Покажите, что групповая скорость Vg удовлетворяет соотношению

Kger = y(X-2Z)X2).

Задача 4.17

Из решения задачи 2.10 следует, что относительная диэлектрическая проницаемость ионизованного газа дается выражением

где и — фазовая скорость, с — скорость света, а (ое — постоянное значение электронной плазменной частоты. Покажите, что это выражение приводит к следующей дисперсионной формуле:

со2 = or + с2&2,

причем при со —► сое фазовая скорость превышает скорость света с, но групповая скорость (скорость переноса энергии) всегда меньше с.

Задача 4.18

Электронная плазменная частота в задаче 4.17 определяется соотношением

(о2=-^-.

в тв£о

Покажите, что электромагнитные волны, распространяющиеся в плазме с плотностью числа электронов пе ~ 1020 м-3 (что равно 10~5 плотности числа молекул в атмосфере), должны иметь длины волн X < 3-10~3 м (т. е. лежащие в СВЧ-области). Это типичные значения длин волн, используемых для зондирования термоядерной плазмы при высоких температурах. Здесь 8о = 8,8-10-12 Ф/м, те = 9,1 • 10-31 кг, е = 1,6-10"19 Кл.

Задача 4.19

В квантовой механике дисперсионная формула для электрона записывается в виде

СО2 ^2 | п^с2

где с — скорость света, а т — масса электрона (рассматриваемая как постоянная при данной скорости); его фазовая скорость определяется формулой

где h = h/2n и h — постоянная Планка. Покажите, что произведение групповой и фазовой скоростей равно с2. Фазовая скорость может превышать с, но групповая скорость будет всегда меньше с.

Задача 4.20

На фиг. 74 изображен импульс у = A cos соо^ длительностью М. Покажите, что центр частотного представления

у (со) = a cos (д\1 + a cos («ц + бсо) / + . . . + a cos [w] + (д — 1) (бсо) /] приходится на среднюю частоту too, а область частот, дающих существенный вклад в импульс, удовлетворяет условию

Асо А/ ^ 2л.

Повторите этот анализ для случая импульса у — A cos кох длиной Ах и покажите, что в ^-пространстве центр импульса со-

Д1

Фиг. 74.

ответствует ко, а существенная область волновых чисел Afe удовлетворяет условию

^x^k 2л.

Задача 4.21

Константа упругой силы для ионного кристалла равна приблизительно 15 Н/м. Покажите, что экспериментальные значения для частот инфракрасного поглощения, приведенные в конце этой главы для NaCl и КО, удовлетворительно согласуются с вычисленными значениями. Масса атома Na = 23 а. е.м., масса атома К = 39 а. е. м. и масса атома С1 = 35 а. е. м.; 1 а. е. м. = = 1,66-10-27 кг.

Задача 4.22

Покажите, что в случае эффекта Доплера изменение частоты, измеряемой неподвижным наблюдателем О при прохождении мимо него движущегося источника S', дается выражением

где с = чХ — скорость сигнала, а и — скорость источника S'.

Задача 4.23.

Источник S' и наблюдатель О движутся в одном направлении со скоростями и и и. Придав системе скорость —и и приведя тем самым наблюдателя в состояние покоя, покажите, что теперь наблюдатель О' регистрирует частоту

„ = у (с — у)с — и *

Задача 4.24

Свет с длиной волны 6-Ю-7 м, идущий от звезды, смещен на 10-11 м в красную область спектра по сравнению с таким же излучением лабораторного источника. Скорость света равна 3 • 108 м/с. Покажите, что Земля и звезды разлетаются в противоположные стороны со скоростью 5-103 м/с.

Задача 4.25

Самолет, летящий горизонтальным курсом, посылает сигнал на частоте 3-109 Гц, который после отражения от удаленной точки, находящейся впереди по курсу, принимается самолетом с разностью частот 15 кГц. Какова скорость самолета?

Задача 4.26

Свет, испускаемый нагретыми парами натрия, занимает по обе стороны от своей центральной длины волны 6-Ю-7 м спектральную область шириной 2-10-12 м, что обусловлено эффектом Доплера, связанным с движением атомов относительно наблюдателя. Вычислите тепловую скорость атомов и покажите, что температура газа порядка 900 К.

Задача 4.27

Источник и наблюдатель движутся в разных направлениях. Покажите, что формулы для частот

^с „ v(c — o} „ с — V

V = —— V = V

с — исс — и ’

описывающие эффект Доплера, остаются справедливыми, если и и и — не сами скорости, а их проекции на направление, в котором волны приходят к наблюдателю.

Задача 4.28

Обобщая принцип Доплера, рассмотрим схему, представленную на фиг. 75, где О — неподвижный наблюдатель, находя

о to)

0—и О'

Фиг. 75.Фиг. 75.щийся в начале системы координат О(х, /), а О' — наблюдатель, находящийся в начале системы координат О'(х', t'V которая движется вдоль оси х с постоянной скоростью D относительно системы О. В момент времени t = f = 0 системы О и О' совпадают и световой источник излучает вдоль оси х волны, распространяющиеся с постоянной скоростью с. Эти

Фиг. 75.

Фиг. 75.

волны удовлетворяют соотношению

О = х2—сЧ2 (согласно наблюдателю О) =

= x'2 — c2t'2 (согласно наблюдателю О').(1)

Поскольку имеется только одна относительная скорость и, должны быть также справедливы преобразования

(2)(2)О)О)х' = к (х — и/),

(2)

(2)

О)

О)

х = к' (х’ + ut'Y

Используя формулы (2) и (3), исключите х' и f из тождества (1) и покажите, что это тождество выполняется только при

к = к' =—тг,

(1 -р2)/2

где р = *и/с. (Указание. В тождестве (1) нужно приравнять нулю коэффициенты при одинаковых переменных.) Это преобразование Лоренца специальной теории относительности, из которого следуют соотношения

/ х — vt х' + у/

х — (1 -р2)1/2’ х — (1 -р2)1^ ’

_ / — (и/сУ х _ у + VejcY х'(1-P2)V2 ’(1 _p2)Va •

Задача 4.29

Покажите, что если интервал, измеренный в системе О задачи 4.28, равен Д^ = /2 — 6, то тот же самый интервал, измеренный в системе О', равен М' = к Ы. Докажите, что если длина отрезка, измеренного в системе О, равна / = х2— хь то длина этого же отрезка, измеренного в системе О', равна V = 1)к.

Задача 4.30

Покажите, что два события в точках х2 и хД^ = Л), одновременных при наблюдении в системе О, о которой говорилось в предыдущих задачах, не являются одновременными при наблюдении в системе О' (т. е. t\ =^/2)-

Задача 4.31

Покажите, что порядок событий, наблюдаемых в системе 0(^2 >6), о которой говорилось в предыдущих задачах, не может измениться при наблюдении в системе О' (т. е. ^>б). поскольку скорость света с — это наибольшая достижимая скорость.

Сводка основных результатов

пд2у 1 д2у

Волновое уравнение.

Волновая (фазовая) скорость = с = ~-= 4—.

Волновое число к^^-»

где X— длина волны, определяет расстояние между двумя точками с разностью фаз 2л радиан.

дуду

Скорость частиц =

Смещение у = ае1^1”^,

где а — амплитуда волны.

Поперечная сила Поперечная скоростьПоперечная сила Поперечная скорость= рС.= рС.Импеданс, или волновое сопротивление, струны

Поперечная сила Поперечная скорость

Поперечная сила Поперечная скорость

= рС.

= рС.

Z =

Коэффициенты отражения и пропускания

Амплитуда отраженной волны Zx — Z2

Амплитуда падающей волныZX-VZ2 1

Амплитуда прошедшей волны 2ZX

Амплитуда отраженной волны Zx + Z2 ’

Отраженная энергия / Zx — Z2 \2

Падающая энергия к Zx + Z2 / ’

Прошедшая энергия 4 Z1Z 2

Падающая энергия (Z, + Z2)2 *

Согласование импедансов

Импедансы Z\ и Z3 согласуются путем включения между ними импеданса Z^ = ^Z^yk

Толщина среды с импедансом Z2 равна Х/4, где Л = длина волны в этой среде.

Стоячие волны, нормальные моды, гармоники

В решении волнового уравнения пространственная и временная зависимости разделяются для того, чтобы оно удовлетворяло не зависящему от времени волновому уравнению

к^у = 0 (множитель eitot сокращен).

Длина волны X стоячей волны на струне длиной I удовлетворяет соотношению

Смещение в случае п-й гармоники

уп = (An cos co^Z + Вп sin щЛ/) sin -—^.

Энергия п-й гармоники (масса струны т)

Еп = КЕп + РЕп = \ ш< (А1 + В^.

Групповая'скорость

В диспергирующей среде волновая скорость и зависит от частоты со (или волнового числа ку Энергия пакета таких волн

распространяется с групповой скоростью dm , , du.du

y8=-dk=y-Vk4k=y-x-dX‘

Прямоугольный волновой пакет из п компонент с амплитудой а, имеющий частотную ширину Асо, описывается во времени выражением

sin (Асо//2)

RU) = a ;cos со/,

v 7 sin (Ato //2Д)’

где to—средняя частота. Амплитуда R^ обращается в нуль, когда

Acd t

— Л,

т. е. (ТЕОРЕМА О ШИРИНЕ ЧАСТОТНОЙ ПОЛОСЫ)

Ас» А/=2л, или

А& Ах = 2л.

Для определения импульса длительностью А/ в частотном пространстве необходима частотная ширина Асо, и наоборот.

Эффект Доплера

Если источник, излучающий сигнал с частотой v и скоростью с, движется к неподвижному наблюдателю со скоростью и, то наблюдатель принимает сигнал с частотой

/ *vc

V =.

с — и

Глава 5

Продольные волны

В гл. 4 при выводе волнового уравнения

д2у _ 1 д2удх2 с2 dt2

мы использовали пример поперечной волны и продолжили рассмотрение волн этого типа на колеблющейся струне. В данной же главе мы рассмотрим продольные волны, т. е. волны, в которых направление колебания частиц или осцилляторов совпадает с направлением распространения волны.

Продольные волны распространяются в виде звуковых волн в веществе, находящемся в любом состоянии: в плазме, газах, жидкостях и твердых телах. Но мы уделим основное внимание газам и твердым телам. В случае волн в газах на распространение волн налагаются некоторые термодинамические ограничения. В случае твердых тел распространение волн будет зависеть от формы образца. Ни в газах, ни в жидкостях невозможна поперечная сдвиговая деформация, необходимая для поперечных волн. В твердом же теле могут поддерживаться как продольные, так и поперечные колебания.

Звуковые волны в газах

Рассмотрим постоянную массу газа, которая при давлении Ро занимает объем Vo, имея плотность р0. Эти величины характеризуют равновесное состояние газа, которое нарушается, или возмущается, сжатиями и разрежениями звуковых волн. Под действием звуковых волн

давление Ро становится равным Р = Ро -'- р, объем Vo становится равным V = Vo + ^ плотность ро становится равной р = ро + ра-

Избыточное давление р равно амплитуде давления звуковой волны, которое, будучи переменной компонентой, накладывается на равновесное давление газа Ро.

Относительное изменение объема y/V = б называется разрежением, а относительное изменение плотности р^/ро = 5 называется уплотнением. Для обычных звуковых волн величины б

и $ равны приблизительно 10-3, а давление р = 2-10“5 Н/м2 (порядка 10-10 атмосферного) создает звуковую волну, еще слышимую на частоте 1000 Гц. Таким образом, изменения в среде, вызываемые звуковыми волнами, чрезвычайно малы по порядку величины и соответствуют ограничениям, при которых применимо волновое уравнение.

Постоянная масса газа равна произведению

PoVo = pV = PoVo(l+6)(l+s);

отсюда (1 + б) (1 + s) = 1, и в очень хорошем приближении получаем, что s = — 6. Упругость газа, или его сжимаемость, характеризуется модулем всестороннего сжатия

р dP т/ dP— dV/V — V dV ’

равным отношению изменения давления к относительному изменению объема. Поскольку увеличение объема происходит при уменьшении давления, в правой части формулы стоит знак минус.

Величина В зависит от того, являются ли изменения в газе, обусловленные волновым движением, адиабатическими или изотермическими. Они должны быть термодинамически обратимыми для того, чтобы исключить энергетические потери, связанные с диффузией, вязкостью и теплопроводностью. Если такие случайные процессы, приводящие к увеличению энтропии, полностью отсутствуют, то мы имеем адиабатический процесс — термодинамический цикл с к. п. д. 100% в том смысле, что не теряется ни потенциальная, ни кинетическая энергия волны.

В случае звуковой волны в силу таких термодинамических соображений ограничивается амплитуда избыточного давления. При очень большой амплитуде будет сильно повышаться локальная температура газа в области пика давления и энергия будет уходить из волновой системы за счет теплопроводности. Будут также возникать локальные градиенты скорости частиц, приводящие к диффузии и потерям энергии за счет вязкости.

Взяв постоянное значение адиабатического модуля всестороннего сжатия, мы ограничили амплитуду колебаний в звуковой волне малыми значениями, поскольку полное давление Р = = Ро + р считается постоянным. При больших амплитудах возникают нелинейные эффекты и ударные волны, которые мы рассмотрим отдельно в гл. 11.

Все адиабатические изменения в газе подчиняются соотношению PV^ = const, где у — отношение удельных теплоемкостей при постоянном давлении и постоянном объеме. Дифференцируя

это соотношение, получаем

Vs dP + ^PV'1"1 dV = 0,

ИЛИ

— V-^- = \Р = Ва (индекс а означает адиабатический процесс).

Следовательно, упругость газа характеризуется величиной уР, которую мы считаем постоянной. Поскольку Р = Ро + р, можно написать dP = р, где р — избыточное давление, и

Ва= — -^, или p = — Bab = Bas.

docdocВ звуковой волне смещения и скорости частиц направлены по оси х. Смещение мы будем характеризовать координатой тр При выводе волнового уравнения мы рассмотрим движение элемента газа, имеющего бесконечно малую толщину dx и единичное поперечное сечение. Движение этого элемента под действием звуковой волны показано на фиг. 76.

doc

doc

Фиг. 76. Тонкий элемент газа с единичным поперечным сечением и толщиной dx, который под действием разности давлений — (dPxldx)dx смещается на расстояние п и расширяется на величину ^дх\]дх^.

Частицы в слое х смещаются на расстояние т), а частицы в слое х + dx смещаются на расстояние т) + dv^ поэтому увеличение толщины, которым, очевидно, определяется увеличение объема элемента dx, имеющего единичное поперечное сечение, равно

1 дх

И

~ и дп dx

Ио дх dx дх

Величина дх\]дх называется деформацией.

Среда деформируется, потому что давления вдоль оси х с обеих сторон тонкого элемента не компенсируют друг друга

(фиг. 76). Полная сила, действующая на элемент, такова:

Рх - Px + dx = |А - (Рх + ^^)] =

= —dx = —(Ро + р) dx = — dx. дхдх х и 1дх

Ускорение элемента, имеющего массу p^dx, в хорошем приближении равно d2x\ldt2, Поэтому, согласно закону Ньютона,

др 1. д2т)

"37 ^х — р0 ^х HF ’

где

р = -ВаЬ = -Ва^.

Отсюда следует, что

п д2Ч _^2П

Dftdx2 р0 di2 *

Но Balpv = уР/ро есть отношение упругости к плотности, являющейся мерой инерции среды, и имеет следующую размерность;

СилаПлощадьСилаПлощадьОбъем /^\о

Сила

Площадь

Сила

Площадь

-Т7= (Скорость)2.

Масса х г 7

Поэтому

2= с2,Ро

где с — скорость звуковой волны.

Следовательно, мы получаем волновое уравнение

^т^ 1 д2т)

дх2с2 dt2

Обозначив через т)м максимальную амплитуду смещения, мы получим следующие выражения для волны, бегущей в положительном направлении оси х:

Л = W' ^1”кх\ т) = ~р = /сот),

d = -|™ = “ ikx\ = — s (т. е. s = /^r]),

р = Bas = iBakx\.

Фазовые соотношения между этими параметрами (фиг. 77, а) таковы: при распространении волны в положительном направлении оси х избыточное давление р, относительное увеличение

плотности s и скорость частиц т) опережают по фазе на л/2 радиан смещение т], тогда как изменение объема (сдвинутое по фазе на л радиан относительно изменения плотности) отстает по фазе на л/2 радиан относительно смещения.

аб

Волна, бегущая Волна, бегущаяв направлении +х в направлении - ос

Фиг. 77. Фазовые соотношения между смещением частиц т|, скоростью частиц т), избыточным давлением р и уплотнением s = —6 (разрежением) для волн, распространяющихся в положительном и отрицательном направлениях оси х.

Смещение Т) для обеих волн отсчитывается в положительном направлении оси х.

Соотношения становятся иными, когда направление распространения волны изменяется на противоположное (фиг. 77,6). В случае волны, бегущей в отрицательном направлении оси х,

Л = Чм^ ^t-vkx\ Т) == /сот],

б = ^- = ikv{ = — s (т. е. s = — 1кт\),

р = Bas = — 1Вакх\.

В обоих случаях смещение частиц т] измеряется в положительном направлении осн х и рассматривается тонкий элемент газа dx, колеблющийся около своего среднего положения г] = 0.

В случае волны, бегущей в положительном направлении оси х, значению г] = 0 при максимальном положительном значении величины т] соответствует максимальное избыточное давление (сжатие) с максимальным уплотнением s (максимальной плотностью) и минимальным объемом. В случае волны, бегущей в отрицательном направлении оси х, тому же самому значению ц = 0 при максимальном положительном значении величины f) соответствует максимальное отрицательное избыточное давление (разрежение), максимальный объем и минимальная плотность.

В случае волны, бегущей в отрицательном направлении осн х, для создания сжатия скорость частиц т) должна быть максимальной по величине и направленной в сторону

отрицательных значений х при т] = 0. Это различие существенно, когда мы определяем импеданс среды для волн. При изменении направления изменяется знак — этим правилом мы также должны будем руководствоваться при рассмотрении волн в гл. 6 и 7,

Распределение энергии в звуковых волнах

Кинетическую энергию звуковой волны можно найти, рассмотрев движение отдельных элементов газа толщиной dx. Каждый такой элемент будет обладать кинетической энергией

Д^кин == "2" Ро dxx\ ,

где величина f] будет зависеть от положения элемента х. Среднее значение плотности кинетической энергии находится путем усреднения величины f)2 по области протяженностью в п длин волн. Далее,

T] = T]M sin-^^/ —х);

поэтому

пХ

^ Sin2 [2Л (с/ — х^Щ dx

• 9 0 1 • 9

”Гх= Т

Следовательно, средняя плотность кинетической энергии в среде дается выражением

(кинетическая энергия гармонического осциллятора с максимальной амплитудой колебаний а, усредненная по периоду, равна xUmti?a?Y

Плотность потенциальной энергии найдем, рассмотрев работу pdV, которая совершается над газом, имеющим постоянную массу и занимающим объем Vo, при адиабатических изменениях в звуковой волне. Эта работа записывается в виде

Д^ПОТ Р dV)

где знак минус показывает, что изменение потенциальной энергии положительно как при сжатии, когда р > 0, a dV < 0, так и при разрежении, когда р < 0, a dV > 0 (фиг. 78).

Уплотнение выражается следующим образом:

s==~~'

где dV = *0 — малое приращение исходного объема Vo. Поэтому

dV — — Vo ds.

Отсюда, учитывая соотношение

Р = Bas, получаем

kEn0T = —^pdV=^ BasVo ds = у Bas2 dx = ~ Bab2 dx. 0

Здесь s = — 6, а толщина dx элемента, имеющего единичное поперечное сечение, численно равна его объему Vo.

Фиг. 78. Заштрихованные треугольники показывают, что потенциальная энергия ру/2, приобретенная газом при сжатии, равна потенциальной энергии, приобретенной газом при разрежении (поскольку обе величины р и и изменяют знак).Фиг. 78. Заштрихованные треугольники показывают, что потенциальная энергия ру/2, приобретенная газом при сжатии, равна потенциальной энергии, приобретенной газом при разрежении (поскольку обе величины р и и изменяют знак).

Фиг. 78. Заштрихованные треугольники показывают, что потенциальная энергия ру/2, приобретенная газом при сжатии, равна потенциальной энергии, приобретенной газом при разрежении (поскольку обе величины р и и изменяют знак).

Фиг. 78. Заштрихованные треугольники показывают, что потенциальная энергия ру/2, приобретенная газом при сжатии, равна потенциальной энергии, приобретенной газом при разрежении (поскольку обе величины р и и изменяют знак).

Далее, поэтомуДалее, поэтому

Далее, поэтому

Далее, поэтому

т]=т]Л1е^^±^);

_ дч . 1 04

дх с dt *

где с = (о/^. Таким образом, Д^пот = у ^ dX = Po1i' dX‘

Усредняя это выражение по области с линейным размером пХ, получаем плотность потенциальной энергии:

'^^пот = "4 Ро^М*

Мы видим, что в звуковой волне средние значения плотностей кинетической и потенциальной энергий одинаковы. Но важнее другое обстоятельство. Поскольку плотность энергии того и другого вида для элемента dx равна УгРЦ2, потенциальная и кинетическая энергии элемента максимальны (или минимальны) одновременно. Энергия элемента возрастает до максимума и

ЛААД

Расстояние

Фиг. 79. Распределение энергии в пространстве для звуковой волны в газе. И потенциальная, и кинетическая энергии максимальны, когда скорость частиц л имеет максимальное значение, и равны нулю при л=0.

при сжатии, и при разрежении, поскольку запасенная энергия определяется величиной гр Поэтому энергия волны распределена в пространстве так, как показано на фиг. 79.

Интенсивность звуковых волн

Интенсивность характеризует поток энергии, т. е. скорость, с которой энергия проходит через единичную площадь; поэтому она равна произведению плотности энергии (кинетической и потенциальной) на волновую скорость с. Интенсивность обычных для нас звуковых волн очень низка: от 10“12 до 1 Вт/м2, что свидетельствует о высокой чувствительности уха. Рев большой толпы футбольных болельщиков, приветствующих гол, будет приблизительно эквивалентен всего лишь теплу от чашки кофе.

Интенсивность можно вычислить следующим образом:

= 7 РоСПм = 4 Ро^М = Ро^^ср.-кв = Рср.-кв/РоС = Рср.-квЧср.-кв-

где индекс ср.-кв означает среднеквадратичное значение. Обычно используемый стандарт звуковой интенсивности определяется величиной

70=Ю~2 Вт-м'2,

которая приблизительно соответствует разговору в среднем тоне двух людей, стоящих рядом друг с другом. Крику на таком же расстоянии соответствует в 100 раз большая интенсивность.

Если интенсивность лежит в интервале от 100/0 до 1000/о (10 Вт-м~2), то звук причиняет болевые ощущения.

Когда звуковая интенсивность увеличивается в 10 раз, говорят, что она увеличивается на 1 бел. Динамический диапазон уха порядка 12 бел. Если интенсивность увеличивается в 100’1 = = 1,26 раза, то говорят, что она увеличивается на 1 децибел (1 дБ). Такое изменение громкости замечает лишь человек с хорошим слухом.

Избыточное давление рСкорость частицт)Избыточное давление рСкорость частицт)Мы видим, что почти во все выражения для интенсивности входит произведение рс. Его физический смысл станет очевидным после того, как мы определим импеданс среды для акустических волн:

Избыточное давление р

Скорость частицт)

Избыточное давление р

Скорость частицт)

Удельный акустический импеданс =

(отношение силы на единицу площади к скорости).

В случае волны, бегущей в положительном направлении

ОСИ X,

р = Bas = iBakx\ и г)=/сог|.

поэтому

Р Вак Ва

Т)(0С Р°

Следовательно, акустический импеданс среды для этих волн, как и в случае поперечных волн на струне, равен произведению плотности на волновую скорость и определяется упругостью и инерцией среды. Для волны, бегущей в отрицательном направлении оси х, удельный акустический импеданс равен

рiBak-n

=L = — рос.

Т]zcon

Здесь изменение знака обусловлено изменением фазового соотношения.

В книгах по практической акустике в качестве единиц измерения величины ре обычно указывают кг^м^-с"1. В этих единицах удельный акустический импеданс воздуха равен ~ 400, воды ~ 1,45-106 и стали ~ 3,9-107. Данные значения приобретут больший смысл, когда позже мы их используем в примерах на отражение и прохождение звуковых волн.

Для плоских звуковых волн удельный акустический импеданс рос является действительной величиной, а в случае сферических волн он имеет дополнительную реактивную компоненту iklr, где г — расстояние, пройденное волновым фронтом. С увеличением г эта компонента стремится к нулю, а сферическая волна становится практически плоской. (Задачи 5.1—5.8.)

Продольные волны в, твердом теле

Скорость продольных волн в твердом теле зависит от формы образца, в котором распространяются волны. Если он имеет форму тонкого стержня с конечной площадью поперечного сечения, то для него справедливо все сказанное в случае продольных волн в газе. Единственное различие заключается в том, что модуль всестороннего сжатия Ва заменяется модулем Юнга У, равным отношению продольного напряжения в стержне к его продольной деформации.

Тогда волновое уравнение принимает вид

д2П 1 д2чдх2с2 dt2 *

где с2 = У/p. Продольная волна, распространяющаяся в среде, сжимает ее и искажает в поперечном направлении. Поскольку в твердом теле сила сдвига может существовать в любом направлении, такое поперечное искажение сопровождается поперечным сдвигом. Влияние этого сдвига на волновое движение в твердых телах с конечным поперечным сечением носит сложный характер, и оно не учитывалось в случае очень тонкого образца, о котором говорилось выше. Но в случае объемных твердых тел продольные и поперечные моды могут быть рассмотрены раздельно.

Мы уже видели, что продольное сжатие создает деформацию дх\,дх. Сопутствующее боковое искажение вызывает деформацию д^(ду (противоположную по знаку производной дк\/дх и направленную перпендикулярно оси х). Здесь 0— смещение по оси у, зависящее как от х, так и от у.

Отношение этих деформаций

ду ' дх

называется коэффициентом Пуассона и выражается через упругие постоянные Ламе Z и р твердого тела:

2(Л + ц) ’

где X = оУ/(1 + о) (1 — 2а). Эти постоянные положительны, поэтому а < 7г, обычно а ^ 7з- Модуль Юнга, выраженный через данные постоянные, имеет вид

У = X 4- 2ц — 2Хо.

Постоянная ц — это модуль сдвига, т. е. отношение поперечного напряжения к поперечной деформации. Он играет роль

упругости при распространении чисто поперечных волн в объемном твердом теле. Такую же роль играет модуль Юнга для продольных волн в тонком образце.

XI ЦжXI ЦжУ

XI Цж

XI Цж

Фиг. 80. Сдвиговая деформация в объемномтвердом теле, создающая поперечную волну.Поперечная сдвиговая деформация равна д$1дх,поперечное сдвиговое напряжение равно цОДдх,где ц, —модуль сдвига.

^~ = поперечная деформация

На фиг. 80 показан сдвиг для поперечной плоской волны, для которой поперечная деформация равна сф/дх. Следовательно, поперечное напряжение в точке х равно

Тх = ц д^дх, а уравнение для поперечного движения тонкого элемента dx принимает вид

ТxA-dxТх = р dxyt

ИЛИ д ( др \..

где р — плотность. Однако у = d^/dt2, и, следовательно, мы получаем волновое уравнение

д2р = р д2р

дх2 ц di2 1‘

в котором скорость определяется выражением с2 = ц/р.

Наличие поперечной упругости, характеризуемой модулем сдвига р, приводит к увеличению коэффициента жесткости твердого тела, а также константы упругости, которой определяется распространение продольных волн. В случае объемного твердого тела скорость таких волн определяется уже не соотношением с2 = У/p, а формулой

9 X + 2рс2 =.

р

Поскольку модуль Юнга У = X + 2ц — 2Хо, упругость возрастает на величину 2Ха ^ X, и поэтому скорость продольных волн в объемном твердом теле больше, чем в тонком стержне.

В случае изотропного твердого тела, когда скорость распространения одинакова во всех направлениях, тоже можно ввести модуль всестороннего сжатия, как и в случае волн в газах.

Модуль всестороннего сжатия для твердого тела следующим образом выражается через постоянные Ламе:

5 = Л + |ц = У[3(1-2а)Г1,

а скорость продольной волны для объемного твердого тела принимает вид

В то же время выражение для поперечной скорости остается без изменения:

Применение к описанию землетрясений

Такие скорости хорошо известны для сейсмических волн, создаваемых землетрясениями. Скорость продольных волн вблизи поверхности Земли составляет 8 км/с, а поперечные волны распространяются со скоростью 4,45 км/с. Скорость продольных волн растет с увеличением глубины, но до глубин порядка 30 км волны уже не доходят из-за скачка и большого рассогласования импедансов, связанного с жидким ядром.

На скорость поперечных волн, распространяющихся по поверхности Земли, влияет то обстоятельство, что компоненты напряжения, направленные перпендикулярно к поверхности, равны здесь нулю. Эти волны, называемые рэлеевскими волнами, распространяются со скоростью

Г = /«7)(^У,

где /(о) — 0,9194 при о = 0,25 и /(а) = 0,9553 при о = 0,5.

Энергия рэлеевских волн заключена в двумерной области пространства. Их амплитуда часто бывает намного больше амплитуды трехмерных продольных волн, и, следовательно, они могут приводить к более серьезным разрушениям.

При землетрясении приход быстрых продольных волн сопровождается рэлеевскими волнами, а затем устанавливается сложное распределение отраженных волн, включая волны, определяемые слоистой структурой Земли и известные под названием волн Лява. (Задача 5.9.)

Продольные волны в периодической структуре

Постоянные упругости Ламе X и ц, которые входят в определение таких макроскопических величин, как модуль Юнга и модуль всестороннего сжатия, сами определяются силами, дей-

ствующими на межатомных расстояниях. Анализ поперечных волн в периодической структуре уже показал, что в одномерной цепочке, представляющей кристаллическую решетку, взаимодействие между атомами, разделенными расстоянием а, можно характеризовать коэффициентом жесткости $ — Т,а дин-см-1.

ПгнПгнКогда вдоль такой цепочки бегут продольные волны, атомы смещаются относительно положения равновесия; смещение атомов будем обозначать через т] (фиг. 81). Увеличение расстоя-

Пгн

Пгн

Фиг. 81. Смещение атомов в линейной цепочке, обусловленное продольной волной в кристаллической структуре.

ния между атомами от а до ^'-рц вызывает деформацию е = = х\]а. Это приводит к появлению напряжения, которое направлено нормально к внешней поверхности единичной ячейки кристалла с площадью а2 и равно s^/d2, = sz/a, т. е. силе, действующей на единицу площади.

Модуль Юнга равен отношению этого продольного напряжения к продольной деформации, поэтому Y = se/eat и s = = Ya. Частота продольных колебаний атомов с массой /и, связь между которыми характеризуется коэффициентом жесткости s, весьма приближенно дается выражением

~~ с0

2л 2л V ~ 2лл у Р ~ 2ла ’

где иг = ра3, а с0 — скорость звука в твердом теле.

При Со ^ 5-Ю3 м-с-1 и а « 2-Ю-10 м частота v ^ 3-1012 Гц и почти совпадает с частотой поперечной волны в инфракрасной области электромагнитного спектра. Самая высокая ультразвуковая частота, полученная в настоящее время, примерно в 10 раз меньше частоты v = с^тш. В области частот от 5-1012 до 1013 Гц следует ожидать многих интересных экспериментальных результатов.

Более точный математический анализ приводит к такому же уравнению движения для r-й частицы, как и в случае поперечной волны, а именно

mx\r = s (т)г+1 + Пг-1 — 2лг)-

где s = Т]а и п n pi (со/ -kra) Чг— Чмакс"

Результаты точно совпадают с результатами, полученными дли поперечных воли, при этом форма дисперсионной кривой также похожа.

Правда, максимальное значение критической частоты сом для продольных волн больше, чем для поперечных. Это объясняется тем, что продольная постоянная упругости Y больше поперечной постоянной упругости р, т. е. сила, необходимая для заданного смещения в продольном направлении, больше, чем сила, необходимая для такого же смещения в поперечном направлении.

Отражение и прохождение звуковых волнна границе сред

Когда звуковая волна падает на границу, разделяющую две среды с разными акустическими импедансами, при расчете отражения и прохождения волны нужно учитывать два граничных условия:

на границе должны быть непрерывными

скорость частиц г],

избыточное акустическое давление р.

Это физические условия, необходимые для того, чтобы две среды находились в полном контакте на всей границе.

Падающая

Прошедшая

Отраженная

Фиг. 82. Падающая, отраженная и прошедшая зву

ковые волны на плоской границе раздела сред с

удельными акустическими импедансами piCi и

Р2С2.

Pi ci

Рг сг

Как показано на фиг. 82, мы рассматриваем плоскую звуковую волну, распространяющуюся в среде с удельным акустическим импедансом Zi = piCi. Волна падает нормально на бесконечную плоскую поверхность, отделяющую первую среду от другой среды, с удельным акустическим импедансом Z2 = Р2С2. Если индексом I обозначить падающую, индексом г — отраженную и индексом t— прошедшую волны, то в силу граничных условий

Пг + Пг = Пь(5-1)

PfVPr = Pt.(5.2)

Для падающей волны pi = piCifji, а для отраженной волны р, = — piCifp; поэтому уравнение (5.2) принимает вид

Pl^lfli — Р1С1Т1г = Р2С211Ь

илиили2^; — Хх^г = 2гч\1-2^; — Хх^г = 2гч\1-(5.3)(5.3)

или

или

2^; — Хх^г = 2гч\1-

2^; — Хх^г = 2гч\1-

(5.3)

(5.3)

Исключив г], из уравнений (5.1) и (5.3), получим соотношение Чг _ <°Чг _ Чг _ 2, — 2, Чг ®4Z 4Z 21 + Z2 ’

а исключив f]r из уравнений (5.1) и (5.3),— соотношение

Ч; Ч/ 2Zj

Ч, ~Zl + Z2 '

Теперь

Рг_ _ _ ^1Пг _ Z; — Z| йг

Pi "^7 Zl + Z2

Pt2Z2

Pi ^^ Z1 + Z2

Мы видим, что при Zi > Z2 скорости частиц в падающей и отраженной волнах находятся в фазе, тогда как акустические давления в падающей и отраженной волнах — в противофазе. Сложение находящихся в фазе скоростей частиц в падающей и отраженной волнах приводит к нулевому давлению (узлу давления в стоячей волне). Если Zi < Z2, то давления находятся в фазе, а скорости — в противофазе.

Скорость частиц и акустическое давление в прошедшей волне всегда находятся в фазе с соответствующими величинами для падающей волны.

На поверхности жесткой стенки, где импеданс Z2 бесконечен, скорость т]=О=г);4",Пг, чт0 приводит к удвоению давления на границе (см. сводку результатов на стр. 382).

Интенсивность отраженной и прошедшей звуковых волн

Энергетические коэффициенты отражения и пропускания определяются следующими формулами:

If = 2, (Чг)ср..кв / 21 - 22 Vh ^С-кв ^VZ^zJ

И

С _22(^)cp..KB_Z2/ 2Z, у 4ZjZ2

Л “ Zy «р..кв ~ zAz^zJ (Z! + 22)2 •

Из закона сохранения энергии следует, что

A + A = i, т. е. Л = Л + /Г.

Большое различие между удельными акустическими импе- цансами воздуха, с одной стороны, и воды или стали, с другой

стороны, приводит к чрезвычайно сильному рассогласованию импедансов, когда предпринимаются попытки передать акустическую энергию через границу между этими средами.

На границе воздух — вода энергия звуковой волны почти полностью отражается независимо от того, с какой стороны волна падает на поверхность. Через границу сталь — вода может быть передано только 14% акустической энергии. Это имеет очень важное значение для передающих и приемных акустических устройств. (Задачи 5.10—5.17.)

Задача 5.1

Покажите, что в Тазе с температурой Т средняя тепловая скорость молекул приблизительно равна скорости звука.

Задача 5.2

Скорость звука в воздухе с плотностью 1,29 кг-м~3 можно принять равной 330 м-с-1. Покажите, что акустическое давление звука, вызывающего болевые ощущения и имеющего интенсивность 10 Вт-м-2, порядка 6,5-10~4 атмосферного давления.

Задача 5.3

Покажите, что в случае звуковой волны с частотой 500 Гц, имеющей интенсивность 10 Вт-м~2 (такая волна вызывает болевые ощущения), амплитуда смещения молекулы воздуха равна приблизительно 3* 10~4 м.

Задача 5.4

Едва слышимый звук в воздухе имеет интенсивность 10—10 /о. Покажите, что для звука с такой интенсивностью и частотой 500 Гц амплитуда смещения молекулы воздуха равна приблизительно 10“10 м, т. е. она порядка диаметра молекулы.

Задача 5.5

Высококачественный проигрыватель очень громко играет с интенсивностью 100/0 в маленькой комнате с площадью поперечного сечения 3 м X 3 м. Покажите, что выходная звуковая мощность проигрывателя — порядка 10 Вт.

Задача 5.6

Две звуковые волны — одна в воде, другая в воздухе — имеют одинаковую интенсивность. Покажите, что отношение их амплитуд давления (Рвод/Рвозд) равно приблизительно 60. Покажите, что при равенстве амплитуд давления отношение интенсивностей равно ~3*10“2.

Задача 5.7

Пружина с массой т, коэффициентом жесткости s и длиной L растянута до длины L + /. Когда вдоль пружины распространяются продольные волны, уравнение движения элемента пружины длиной dx может быть записано в виде_

, д2т)дР -

т ^х"дх" ^Х’

где у — продольное смещение, a F— возвращающая сила. Выведите волновое уравнение и покажите, что волновая скорость и определяется формулой

-2

Р

где р — масса, приходящаяся на единицу длины пружины.

. Задача 5.8

В задаче 1.9 мы показали, что тело с массой М, подвешенное на пружине с коэффициентом жесткости s и массой т, совершает гармонические колебания с частотой, определяемой выражением

2 5

® М + т/3 •

Мы можем решать ту же самую задачу, рассматривая стоячие волны, установившиеся вдоль вертикальной пружины со смещением

ц = (Л cos кх + В sin кх) sin ок,

где к = co/у — волновое число. Граничные условия имеют видт] = 0 при х = 0 (на верхнем конце пружины),

М~^- = — sL^~ при x = L (на нижнем конце пружины).

Покажите, что отсюда следует соотношение

kLt£kL = ^

и, разложив tg kL в ряд по степеням kL, докажите, что во втором приближении

2 5

° " Л1 + т/3 *

Выражение для и приведено в задаче 5.7.

Задача 5.9

Коэффициент Пуассона о для твердого тела равен 0,25. Покажите, что отношение скорости продольной волны к скорости поперечной волны равно V^- Взяв значения этих скоростей, указанные в тексте, найдите соответствующую величину о для земли.

Задача 5.10

Покажите, что при нормальном падении звуковых волн на плоскую поверхность раздела стали и воды отражается 86% энергии. Покажите, что в случае волн, распространяющихся в воде и падающих по нормали на плоскую поверхность раздела воды и льда, через границу раздела сред проходит 82,3% энергии. Возьмите следующие значения рс (в единицах кг-м”2-^"): для воды 1,43-106, для льда 3,49-106, для стали 3,9-107.

Задача 5.11

Исходя из граничных условий для стоячих акустических волн в трубе, убедитесь в правильности следующих результатов:

Смещение частиц

Давление

закрытый конец

открытый конец

закрытый конец

открытый конец

Изменение фазы при

180°

0

0

180°

отражении

узел

пучность

пучность

узел

Задача 5.12

В трубе длиной / образовались стоячие акустические волны. Возможны два случая: а) оба конца трубы открыты, б) один

а6

а в случае «б»

т] = A cos ^х sin со/, где Л==4//(2п+!)•

Нарисуйте первые три гармоники для каждого случая.

Задача 5.13

На стр. 126 мы рассмотрели вопрос о согласовании двух струн ,с импедансами Zx и Z3 путем введения между ними четвертьволнового элемента с импедансом

Z2 = ^ZXZ^.

Снова решите эту задачу в случае акустических волн, в котором выражениями для смещений струн уь уг и yt даются соответствующие акустические давления pi, рг и pt.

Покажите, что граничное условие непрерывности давления при х = 0 имеет вид

Л1 + Вх = А2 + В2, а граничное условие, выражающее непрерывность скорости частиц, запишется следующим образом:

^2 (Л ^1)^1 (^2^2).

Аналогично покажите, что граничные условия при х = I имеют вид

А2е-1М + В2е1кг1 = Л3,Z3 ^A2e""ik^ — B2elk^ = Z2A3.

Исходя из этих условий, покажите, что коэффициент прохождения звука равен

когда

Z\ = ZVZ^ 1 = ^-

(Вид обоих граничных условий и выражение для коэффициента пропускания отличаются от соответствующих формул для случая струны.)

Задача 5.14

При большой амплитуде звуковых волн модуль всестороннего сжатия уже нельзя считать константой. Используя при выводе волнового уравнения условие адиабатичности

Р У Vo f

Ро L^0(l+d)J '

покажите, что каждый участок волны с большой амплитудой распространяется со своей собственной скоростью

Co(H-s)<Y+W2,

где ^ = у-Ро/Ро> — разрежение, s — уплотнение и у — отношение удельных теплоемкостей при постоянном давлении и объеме.

Задача 5.15

В плазме некоторые продольные волны связаны одновременно с электрическими и акустическими процессами. Они подчиняются дисперсионному уравнению

(М^З^2,

где Т — температура, сое — постоянная электронная плазменная частота (см. задачу 4.18) и через а обозначена постоянная Больцмана (чтобы не смешивать ее с волновым числом й). Покажите, что произведение фазовой скорости на групповую связано со средней тепловой энергией электрона (которая находится из уравнения pV = RTy

Задача 5.16

Волновое уравнение для приливных волн (длинных волн на мелководье) можно вывести так же, как выводилось акустическое волновое уравнение. На фиг. 84 изображен элемент жид

Фиг. 84.Фиг. 84.давление. Покажите, чтодавление. Покажите, чтокости с постоянной массой, единичной шириной, высотой h и длиной Ах. Когда он переместится на расстояние т], его высота» становится равной h + а, длина — равной (1 + дп/дх) Ах, но ширина остается единичной. Покажите, что в первом приближении

Фиг. 84.

Фиг. 84.

давление. Покажите, что

давление. Покажите, что

Если не учитывать поверхностного натяжения, то сила, действующая на по-

верхность элемента жидкости на высоте h + а, равна произведению этой высоты на среднее гидростатическое полная сила, действующая на элемент

жидкости, определяется выражением

dF ал да а

Ах = — ogh -3— Ах.дхдх

Продолжите вывод по аналогии с акустическим случаем и покажите, что у таких волн нет дисперсии, а их фазовая скорость удовлетворяет соотношению и2 = gh.

Задача 5.17

Вблизи поверхности невязкой несжимаемой жидкости с плотностью р фазовая скорость волны определяется соотношением

где g — ускорение свободного падения, Т — коэффициент поверхностного натяжения, к — волновое число, ah — глубина жидкости. Вода считается мелкой при h <С X и глубокой при h » к

Покажите, что в случае, когда поверхностное натяжение сравнимо с силой тяжести и h ^ X, волновая скорость имеет минимум у4 = ^gT)^, который достигается на критической длине волны Хс = 2n(T/pg)V2.

Условием X ^> Хс определяются гравитационные волны, для которых поверхностное натяжение несущественно. Покажите, что у таких гравитационных волн нет дисперсии, а их скорость v—^/gh (задача 5.16).

Покажите, что для таких волн на глубокой воде фазовая скорость равна v — ^Jg/k, а групповая — вдвое меньше.

Условием X < Хс определяется рябь (зависящая главным образом от поверхностного натяжения). Покажите, что фазовая скорость мелкой ряби на глубокой воде, равна v = V^/P> а ее групповая скорость равна 3Л и- (Здесь мы имеем случай аномальной дисперсии.)

Сводка основных результатов

Волновая скорость

2 Модуль всестороннего сжатия уР ”Р

Удельный акустический импеданс

^ Акустическое давлениеСкорость частиц

ре (для волны, бегущей вправо).

-рс-рс(для волны, бегущей влево, поскольку давление и скорость частиц находятся в противофазе).

-рс

-рс

Интенсивность = 1 рст)2 акс == рср..кЛР.-кв

Коэффициенты отражения и пропускания

Амплитуда отраженной волны Амплитуда падающей волны

Амплитуда прошедшей волны Амплитуда падающей волны

{смещение и скорость} —

Zx — Z2 Давление отраженной волны ,

Z, + Z2Давление падающей волны ’

{смещение и скорость} =

= 2Z

Z1 -г

Интенсивность отраженной волны Интенсивность падающей волны Интенсивность прошедшей волны Интенсивность падающей волны

1 Zi , Давление прошедшей волны е Z2 Z2 Давление падающей волны ’

{энергия} =(z> + ^) ;

{энергия} = (Zi_^)2.

Глава 6

Волны в линиях передачи

Относительно волнового движения, которое мы рассматривали выше, можно сделать четыре основных вывода:

отдельные частицы среды колеблются около своих положений равновесия, но в среднем не перемещаются;

по среде распространяются горбы и впадины, а также все плоскости одинаковой фазы колебаний, что и воспринимается как волновое движение;

волновая, или фазовая, скорость определяется произведением двух величин, одна из которых характеризует инерцию среды, а другая — способность среды запасать потенциальную энергию, т. е. ее упругость;

импеданс среды для такого волнового движения определяется отношением двух указанных величин, характеризующих инерцию и упругость (см. таблицу на стр. 10).

В данной главе мы исследуем волновое распространение напряжений и токов. Как мы увидим, и в этом случае в основном сохраняются те же самые физические закономерности. Волны напряжений и токов обычно посылают по геометрическим комбинациям проводов и кабелей, носящим название линий передачи. Такие линии могут быть разных размеров — от кабеля для осциллографа на лабораторном столе до линий электропередачи, подвешенных к мачтовым опорам и простирающихся на сотни километров, или подводных кабелей дальней связи, проложенных по дну океана.

Любую линию передачи можно упрощенно .представить в виде системы двух параллельных проводов, к одному концу которой присоединен генератор переменного тока. На фиг. 85, а показана такая линия в тот момент, когда вывод А генератора положителен относительно вывода В и ток, создаваемый генератором, идет от вывода А к выводу В. Через половину периода положение меняется на обратное и положительным становится вывод В. В результате вдоль каждого провода устанавливается распределение зарядов, как показано на схеме, меняющее знак через каждую половину периода соответственно гармоническим колебаниям носителей заряда (фиг. 85,6). Носители смещаются по обе стороны от своего положения равновесия на расстояние.

Индуктивная связьИндуктивная связьПровода линии ЛехераПровода линии ЛехераввГенераторГенераторНеоновая лампаНеоновая лампаФиг. 85. Бесконечно длинная линия передачи, в которую непрерывно поступает энергия от генератора.Показано распределение зарядов и волны напряжения: а —когда вывод А генератора положителен; б—через половину периода, когда положителен вывод В генератора: в —лабораторная демонстрация максимумов напряжения вдоль двухпроводной линии Лехера.Неоновая лампа загорается, когда она находится вблизи точки, где V = VMaФиг. 85. Бесконечно длинная линия передачи, в которую непрерывно поступает энергия от генератора.Показано распределение зарядов и волны напряжения: а —когда вывод А генератора положителен; б—через половину периода, когда положителен вывод В генератора: в —лабораторная демонстрация максимумов напряжения вдоль двухпроводной линии Лехера.Неоновая лампа загорается, когда она находится вблизи точки, где V = VMa

Индуктивная связь

Индуктивная связь

Провода линии Лехера

Провода линии Лехера

в

в

Генератор

Генератор

Неоновая лампа

Неоновая лампа

Фиг. 85. Бесконечно длинная линия передачи, в которую непрерывно поступает энергия от генератора.

Показано распределение зарядов и волны напряжения: а —когда вывод А генератора положителен; б—через половину периода, когда положителен вывод В генератора: в —лабораторная демонстрация максимумов напряжения вдоль двухпроводной линии Лехера.

Неоновая лампа загорается, когда она находится вблизи точки, где V = VMa

Фиг. 85. Бесконечно длинная линия передачи, в которую непрерывно поступает энергия от генератора.

Показано распределение зарядов и волны напряжения: а —когда вывод А генератора положителен; б—через половину периода, когда положителен вывод В генератора: в —лабораторная демонстрация максимумов напряжения вдоль двухпроводной линии Лехера.

Неоновая лампа загорается, когда она находится вблизи точки, где V = VMa

составляющее доли длины волны. Движение зарядов есть ток, и этот ток достигает максимального значения, когда максимально произведение плотности заряда на скорость.

Максимумы и минимумы тока, положение которых вдоль кабеля изменяется во времени по гармоническому закону, соответствуют волне тока, идущей вдоль кабеля. С волной тока связана волна напряжения (фиг. 85, а). Если напряжение и ток на выходе генератора изменяются в фазе, то энергия непрерывно поступает в линию передачи и волны уносят энергию от генератора. В лаборатории волны напряжения и тока можно продемонстрировать, пользуясь двухпроводной линией Лехера (фиг. 85, в).

Чтобы найти скорость волны, мы выведем волновое уравнение для напряжения и тока, а для этого рассмотрим короткий элемент линии, длина которого намного меньше длины волны. В первом приближении мы можем считать, что на таком эле-

менте переменные величины изменяются линейно, и использовать дифференциалы.

Токи, существующие в линии, создают магнитный поток, который пронизывает область между кабелями, так что линия характеризуется определенной погонной индуктивностью, которую мы обозначим через Lo и будем измерять в единицах генри на метр. Провода линии образуют конденсатор, погонную емкость которого мы обозначим через Со и будем измерять в единицах фарада на метр. Если активное сопротивление в линии отсутствует, то эти два параметра полностью характеризуют линию и линия называется идеальной или линией без потерь.

Идеальная линия передачи (без потерь)

На фиг. 86 изображен короткий элемент (с нулевым сопротивлением) идеальной линии передачи длиной dx ^ X, где X— длина волны напряжения или тока. Индуктивность элемента равна Lodx генри, а его емкость — CQdx фарад.

Фиг. 86. Схема элемента идеальной линии передачи с индуктивностью Lo генри на единицу длины и емкостью Со фарада на единицу длины.

Длина элемента намного меньше длины волны Л для волн напряжения и тока.

Если скорость изменения напряжения по длине в любой заданный момент времени есть dV/dx, то напряжение на концах элемента dx равно (dV/dx^dx; в то же время это падение напряжения на индуктивности L, т. е.—^LQdx\dIldt. Следовательно, dV ,м хд!

дх ^<Udx),

или

dVJ di,.

<бл)

Если скорость изменения тока по длине в любой заданный момент времени есть dljdx, то на длине dx часть тока —(dlldx)dx теряется, поскольку ток заряжает емкость Со dx линии до напряжения V. Если заряд q = (Со dx) V, то

поэтому или

dI -с dVГб

Поскольку д2!дх dt = d2)dt дх, мы, дифференцируя уравнение (6.1) по х, а уравнение (6.2)— по Г, получаем

Это — простое волновое уравнение для напряжения, в котором скорость распространения определяется соотношением и2 = = 1/LqCq. Аналогично, дифференцируя уравнение (6.1) по Г, а уравнение (6.2) по х, получаем

дЧ т г дЧ

Отсюда следует, что волны тока распространяются с той же самой скоростью и2 = 1/Л0С0. При проверке размерности мы должны помнить, что Ло и Со — погонные величины, т. е. они отнесены к единице длины.

Итак, колебательное движение носителей заряда (наших частиц в среде) создает волны напряжения и тока, распространяющиеся со скоростью, которая определяется произведением индуктивности, т. е. магнитной инерции среды, на емкость, характеризующую способность среды накапливать потенциальную энергию.

Коаксиальные кабели

Многие линии передачи выполняются в виде коаксиального кабеля, т. е. цилиндра из диэлектрического материала (например, полиэтилена), по оси которого проходит один проводник, а по внешней поверхности — другой. Погонная индуктивность такой системы равна

1о = ^1п77 (генРи)>

где Г\ и г2 — радиусы внутреннего и внешнего проводников, a ц— магнитная проницаемость диэлектрика (измеряется в единицах генри на метр). Погонная емкость системы дается выражением

c"=-id^) <*араяа>'

где е — диэлектрическая проницаемость диэлектрика (измеряется в единицах фарада на метр); поэтому и2 = 1/LOCO = = 1/Ц8.

Скорость волн напряжения и тока вдоль такого кабеля полностью определяется свойствами диэлектрической среды. В следующей главе, посвященной электромагнитным волнам, мы увидим, что величины 8 и ц характеризуют инерционные и упругие свойства любой среды, в которой распространяются такие волны. Скорость этих волн будет определяться соотношением и2 = 1/|ле. В случае свободного пространства данные параметры имеют следующие значения:

ц0 = 4л;. 10“7 генри на метр,е0 = (36л- 109)“1 фарада на метр,а и2 переходит в с2 = (цосо)-1, где с — скорость света, равная3-108 метрам в секунду.

Коаксиальные кабели можно изготовить с очень высокой степенью точности, поэтому время прохождения электрическим сигналом определенного расстояния может быть точно вычислено, ибо его скорость известна. Такие кабели могут служить «линией задержки», позволяющей разделить момент прихода сигналов в данную точку очень малыми интервалами времени.

Волновое сопротивление линии передачи

Решения уравнений (6.3) и (6.4), конечно, имеют вид

К+ = Vo+ sin -^-(^ — я) и /+ = /0+ sin ^- (vt — х), где Ко и /о — максимальные значения, а индекс + относится к волне, распространяющейся в положительном направлении оси х. Тогда из уравнения (6.1) следует, что

- /+ = - о V+,

где штрихом обозначено дифференцирование по величине и/ — х. Интегрируя это уравнение, получаем

V^ = x)L.U.

Здесь константа интегрирования не имеет значения, поскольку мы рассматриваем только осциллирующие значения напряжения и тока, а константой определяется просто уровень постоянного тока.

Отношение

х=си=V5 (Ом>'

где величина V^o/Co, обозначаемая через Zo, постоянна для линии передачи с определенными свойствами и называется волновым сопротивлением. Отметим, что эта величина представляет собой чистое сопротивление (в ее размерность не входит длина) и играет для волны, бегущей вдоль бесконечно длинной линии, точно такую же роль, как удельный акустический импеданс рс для акустической волны. Физическое соответствие между рс и Лои = VЦСо = ^о сразу становится очевидным.

Можно показать, что в случае коаксиального кабеля, о котором говорилось ранее,

Z0=^-a/—In—•и 2л V 8 гх

Волновое сопротивление вакуума для электромагнитных воли имеет величину

Zo = /^/^- = 376,6 Ом.

Мы рассматривали волны, распространяющиеся только в положительном направлении оси х. Волны же, которые распространяются в отрицательном направлении оси х, будут описываться следующими выражениями, полученными путем решения волнового уравнения:

V_ = Vo- sin -^ (и/ + х), /- = /0- sin ^- (yt + х).

Здесь минусом в индексе обозначено отрицательное направление оси х, в котором распространяется волна.

Тогда из уравнения (6.1) следует, что

*у == uLq = Zq.

Таким образом, как и в случае удельного акустического импеданса, в это отношение вводится знак минус, когда волны распространяются в отрицательном направлении оси х.

Если волны распространяются вдоль линии передачи в обоих направлениях, то полное напряжение и полный ток в любой точке будут определяться выражениями

у= у+ + у_, / = /+ + /_.

Когда в линии передачи волны распространяются только в положительном направлении, волны напряжения и тока всегда находятся в фазе и переносят энергию, которая все время поступает в линию от генератора. Когда же волны распространяются в обоих направлениях, положение изменяется. Волны, бегущие

в отрицательном направлении оси х, возникают за счет отражения на границе, если линия имеет конечную длину или не согласована. Рассмотрим такое отражение. (Задача 6.1.)

Отражение от конца линии передачи

V^V^Vt17+ -К.I/ L = ZoV^V^Vt17+ -К.I/ L = ZoПредположим, что линия передачи с волновым сопротивлением Zo имеет конечную длину, а на ее конце, противоположном генератору, имеется нагрузка с импедансом ZL (фиг. 87). Волна, бегущая вправо (V+, /+), может отразиться в виде волны, бегущей влево (У-, /_).

V^V^Vt

17+ -К.

I/ L = Zo

V^V^Vt

17+ -К.

I/ L = Zo

НКЛ)

^о

kV-J^

Фиг. 87. Линия передачи, которая оканчивается нагрузкой с импедансом ZL.В линии возникает отраженная волна, если Z^^Z^ где ZQ— волновое сопротивлениелинии.

Граничные условия на нагрузке должны быть следующими: IZ+ + I/_=l/£, /+ + /_ = /L,

где Vl — напряжение на нагрузке. Кроме того, + 7— 7£ 7 ттIL*

Из этих уравнений нетрудно получить, что

- _ Z£~Z0

v+ zl + zo

(амплитудный коэффициент отражения для напряжения), _ Z0~ ZL

Z0 + ZL

(амплитудный коэффициент отражения для тока),

ML lL 2Z0

Zl + Zo’ '+

Данные результаты полностью согласуются с теми коэффициентами отражения и пропускания, которые встречались нам выше (см. сводку результатов на стр. 382).

Мы видим, что если линия оканчивается нагрузкой ZL = Z^ где Zo — волновое сопротивление линии, то линия согласована и вся энергия, переносимая волной вдоль линии, поглощается, а поэтому отраженной волны нет. Таким образом, при Zl = Zo волна, бегущая в положительном направлении, ведет себя так, как если бы линия передачи была бесконечно длинной.

Короткозамкнутая линия передачи (ZL=0)

Если концы линии передачи замкнуты накоротко (фиг. 88) и Zl = 0, то мы получаем

vL=v^ + v„ = o.

НапряжениеНапряжениеТокТокСледовательно, V+ = — У_ и происходит полное отражение с изменением фазы волны на л. Но при таких условиях, как мы видели раньше, должны возникать стоячие волны. Мы увидим, что такие волны существуют и в линиях передачи.

Напряжение

Напряжение

Ток

Ток

Фиг. 88. Стоячая волна в короткозамкнутой линии передачи длиной (2/г +

+ 1) V4.

На конце линии ток максимален, а напря-жение равно нулю.

В любой точке х линии мы можем представить две рассматриваемые волны напряжения в виде

У+ = /0/+ = Vo^ ^t-^\ у_ = - ZJ_el

В случае полного отражения и изменения фазы на л выполняется соотношение Ео+ = — Vo-, а поэтому полное напряжение в точке х таково:

Vх = У+ + V_ = Vo+ (e~ikx — eikx) eitot = —- Z2E0+ sin kxeltot.

а соответствующий ток

Ix = /+ 4-1_ = X^- (elkx + e*11^ eitot = -^±" cos kxeitot.

Отсюда мы видим, что в любой точке х напряжение Vx изменяется как sin kx, а ток 1Х — как cos kx; поэтому в пространстве напряжение и ток сдвинуты по фазе относительно друг друга на 90°. Кроме того, множитель —i в выражении для напряжения показывает, что во времени напряжение отстает по фазе от тока на 90°. Следовательно, если при временной зависимости eitot мы примем, что напряжение меняется как cos со/, то ток будет меняться как —sin со/. Если же мы примем, что из-

менение напряжения во времени описывается функцией sin tot» то ток будет описываться функцией cos tot.

Во всех точках линии напряжение сдвинуто по фазе относительно тока на 90° как в пространстве, так и во времени. Поэтому коэффициент мощности cos ср = cos 90° = 0 и энергия не потребляется. В случае стоячей волны в обоих направлениях переносится одинаковая энергия и полная переносимая энергия равна нулю. Узлы напряжения и тока расположены вдоль линии так, как показано па фиг. 88, причем ток / всегда максимален там, где V = 0, и наоборот.

Если зависимость тока / от времени описывается функцией cos tot» то он достигает максимума при V = 0. Когда напряжение V максимально, ток равен нулю. Таким образом, энергия системы переходит из одной формы в другую каждую четверть периода: магнитная энергия V2T0/2 полностью превращается в электрическую энергию xhCtV2» и наоборот. (Задачи 6.2—6.10.)

Роль сопротивления в линии передачи

Мы рассматривали линию передачи, имеющую только индуктивность и емкость, т. е. компоненты, которые не потребляют энергию. В действительности такие линии,' конечно, не существуют: в проводах всегда имеется некоторое сопротивление,

Фиг. 89. Элемент реальной линии передачи.

В нем имеется последовательное сопротивление Ro Ом на единицу длины и шунтирующая проводимость Go сименс на единицу длины.

которое будет приводить к потерям энергии. Мы учтем это сопротивление, предполагая, что линия передачи содержит последовательно включенный резистор с сопротивлением Ro (в омах па единицу длины) и параллельный, или шунтирующий, резистор между проводами, который мы будем характеризовать проводимостью (она обратна сопротивлению). Эту проводимость, имеющую размерность сименс на метр, мы обозначим через Go-

Hama модель короткого элемента линии передачи, имеющего длину dx» приведена на фиг. 89. В нее входят резистор с сопротивлением Rodx, соединенный последовательно с катушкой индуктивности Lo dx» и резистор с проводимостью Go dx»

шунтирующий конденсатор с емкостью Codx. Теперь возможен ток и поперек линии передачи, поскольку диэлектрик не является идеальным.

Мы уже видели, что временную зависимость напряжения и тока вдоль линии передачи можно представить в виде

у = 1/ое^ I = i^eltot.

Поэтому

L^-toLJ, С0^- = ^С0У.

Изменения напряжения и тока на элементе линии длиной dx теперь определяются уравнениями

^ = -L0^-RJ=-(R0-H«>UI,(6.1а)

^ = -Co^-GoV = -(Go + Z«)Co)/,(6.2а)

поскольку ток через резистор, которым шунтирован конденсатор, равен (Godx^V.

Дифференцируя уравнение (6.1а) по х и используя уравнение (6.2а), получаем

^ = - № + W |1 = (^0 + ZoLo) (Go + z<oCo) V = Y2V,

где у2 = (Ro + itoLo) (Go + i^Co). Величина у> очевидно, комплексна, и ее можно представить в виде

Y = a + ik.

Дифференцируя уравнение (6.2а) по х и учитывая (6.1а), получаем уравнение

^ = - (Go + Z®C0) ^ = (₽0 + W (Go + z®oCo) / = Y2/,

аналогичное уравнению для V.

Решения уравнения

(6.5)(6.5)d2V 9,, n

(6.5)

(6.5)

-^r-Y2H = 0,

описывающие зависимость V от х, имеют вид

V = Ae"^ или V = Be^\

где А и В — постоянные. Мы уже знаем, что временная зависимость V описывается множителем efcd/, а поэтому полное решение для V можно представить следующим образом:

или, поскольку у = а + ikt

у = (Дб™ах5™^х -|- Вейхе^х^ s1*^ = Де~ах2г ^-м -|- Веахе^№+ьх)л

Характер изменения напряжения V показан на фиг. 90; здесь две волны: одна бежит вправо, и ее амплитуда уменьшается с расстоянием соответственно множителю е-а\ а другая бежит влево, и се амплитуда уменьшается экспоненциально с расстоянием соответственно множителю еах. Величины у, а и к, входящие в формулу у = а + 1к, называются константой распространения, коэффициентом затухания или поглощения и волновым числом.

Фиг. 90. Волны напряжения и тока, бегущие в обоих направлениях вдоль линии передачи с потерями.

Действие диссипативного члена выражается в экспоненциальном затухании волн, распространяющихся в обоих направлениях.

Ток / изменяется точно так же. Поскольку мощность равна произведению V/, зависимость потерь энергии от расстояния описывается функцией ^е~ах)2, т. е. г2ах. Такую зависимость мы могли бы предсказать на основе проведенного ранее анализа затухающих гармонических колебаний. Когда свойства линии передачи являются чисто индуктивными (инерционными) и емкостными (упругими), мы имеем чисто волновое уравнение с решениями в виде синуса или косинуса. Введение же сопротивления или элемента потерь приводит к экспоненциальному затуханию с расстоянием вдоль линии передачи. Точно так же затухают колебания осциллятора со временем.

Такие механизмы потерь, как сопротивление, вязкость, трение или диффузия, будут всегда приводить к потерям энергии распространяющейся волны. Все они являются примерами случайных столкновительных процессов, протекающих только в одном направлении в том смысле, что они являются термодинамически необратимыми процессами. В конце главы мы остановимся на их влиянии более подробно.

Волновое сопротивление линии передачис потерями

В случае линии без потерь мы видели, что отношение V+//+ = ^7^ = ^Lq/Cq = Zo измеряется в омах и является чисто резистивным. Каким образом введение сопротивления в линию влияет на характеристический импеданс?

Решение уравнения

д2/9,

дх2

учитывающее только зависимость / от х, можно записать в виде[-А'е^ + в'е^.

В результате из уравнения (6.2а) получаем

- у UV^ - в'е^ = - (Go + Z<ooCo) V

ИЛИ

У(^о + ZcoLp) (Go + ztoCo) ^д'^хy'^V^) _ у __ у+ | у

Но если не учитывать множитель eitot, то

Afe"v< = U

есть волна тока, бегущая в положительном направлении оси х. Следовательно, для линии передачи с потерями

V

Ro + i(dL0 ,

(7о + /юСп или

И 4- / Ro + imLo

/4-Go + itoCp °

Аналогично

bVx = i_,= -

V Go 4-

Наличие резистивного члена в комплексном волновом сопротивлении означает, что энергия волн будет поглощаться за счет выделения джоулева тепла. Мы рассмотрим этот вопрос более подробно в следующей главе, посвященной электромагнитным волнам. Сейчас же исследуем поглощение с другой (хотя и эквивалентной) точки зрения. (Задачи 6.11, 6.12.)

Уравнение диффузии и поглощениеэнергии в волнах

В гл. 1 мы кратко упомянули о роли случайных процессов. Теперь рассмотрим данный вопрос подробнее. Волновое уравнение

д2Ф 1 д2ф

дх2с2 dt2

— это лишь одно из семейства уравнений, содержащих в левой части вторую производную по координате. В случае трех измерений левая часть уравнения должна иметь вид

д2ф । ^2Ф I д2Ф

дх2 + ду2 + дг2 *

В векторном анализе такое выражение называется дивергенцией градиента (div grad) и обозначается символом У2ф.

В одномерном случае можно написать пять уравнений данного семейства:

уравнение Лапласа

А2. = о (только для <р (х)),

уравнение Пуассона

= Постоянная (только для ф(х)),

уравнение Гельмгольца д2ф p-г = Постоянная • ф,

уравнение диффузии (Фика)

-|^- = (Положительная постоянная) • — ,

волновое уравнение

•^г = (Положительная постоянная) • -^.

Уравнения Лапласа и Пуассона очень часто встречаются в теории электростатического поля и используются для нахождения значений электрического поля и потенциала в произвольной точке пространства. В этой главе мы уже встречались с уравнением Гельмгольца на примере уравнения (6.5), где постоянная была положительной (и записывалась как у2). Мы познакомились с характером решений этого уравнения, когда постоянная является отрицательной, поскольку в этом случае оно эквивалентно уравнению для гармонического движения. Но

только здесь вторая производная берется по координате, а не по времени. Постоянная в волновом уравнении имеет, конечно, вид 1/с2, где с — волновая скорость. Там, где в волновом уравнении справа стоит «ускорение» (член с d^/dt2), в случае уравнения диффузии стоит «скорость» (член с дф/дГ).

В левой же части всех уравнений содержится один и тот же член с д2ц)1дх2, и мы должны спросить себя: «Каков его физический смысл?» •

Мы знаем, что значения скаляра ср зависят от той точки пространства, где он измеряется. Допустим, что мы выберем точку, в которой ф имеет значение ф0, и окружим эту точку маленьким кубом с ребром /. В объеме куба величина ф может принимать другие значения. Если усредненное по этому маленькому кубу значение величины ф обозначить через ф, то разность между средним значением ф и значением ф0 в центре куба описывается формулой

ф-ф0= Постоянная - (^ + ^ + 5Оо-

Эта формула доказывается в приложении в конце настоящей главы, и ее легко поймут тс, кто знаком с тройными интегралами. Итак, левая часть всех этих уравнений определяется разностью ф — ф0.

В уравнении Лапласа данная разность равна нулю, а поэтому величина ф постоянна во всем рассматриваемом объеме. В случае уравнения Пуассона эта разность постоянна, а из уравнения Гельмгольца следует, что величина ф в любой точке объема пропорциональна этой разности. Первые два уравнения являются «стационарными», т. е. они не зависят от времени.

Из уравнения Гельмгольца следует, что при положительной постоянной величина ф экспоненциально увеличивается или уменьшается с расстоянием. Например, в уравнении (6.5) постоянная у2 положительна. Но если постоянная отрицательна, то ф будет меняться с расстоянием синусоидально или косинусоидально таким же образом, как изменяется во времени смещение при гармонических колебаниях, а уравнение принимает вид стационарного волнового уравнения для стоячих волн. Это уравнение ничего не говорит о временной зависимости величины ф, которая будет определяться только самой функцией ф.

Как диффузионное, так и волновое уравнения содержат производные по времени. Согласно уравнению диффузии, «скорость», т. е. изменение ф во времени в некоторой точке объема, пропорциональна разности ф — ф0, тогда как в случае волнового уравнения от этой разности зависит «ускорение» <52ф/дЯ

Волновое уравнение напоминает уравнение движения гармонического осциллятора, где отклонением от среднего положе-

ния (х = 0) определялась сила или ускорение. Как уравнение осциллятора, так и волновое уравнение имеют решения, зависимость которых от времени описывается синусом или косинусом. Для таких решений максимальная скорость dq/dt достигается при нулевом смещении из положения равновесия, т. е. там, где разность ф — ф0 = 0.

Диффузионное же уравнение описывает другой тип поведения. Оно описывает неравновесную систему, которая движется к равновесию со скоростью, определяющейся ее расстоянием до

Фиг. 91. Кривая охлаждения по Ньютону.

Скорость охлаждения нагретого тела dTjdt зависит от разности температур между телом и окружающей средой, а эта разность прямо пропорциональна величине д2Т!дхг.

положения равновесия. Следовательно, система достигает равновесия за время, теоретически равное бесконечности. Читатели уже встречались с такой ситуацией в случае закона охлаждения Ньютона. Пусть нагретое тело с температурой Го находится в комнате с более низкой температурой Т. Скорость охлаждения тела, т. е. величина dT/dt, зависит от Т—То. График изменения температуры при таком охлаждении представлен на фиг. 91. Скорость охлаждения максимальна при максимальной разности температур. Охлаждение замедляется, по мере того как система приближается к равновесию. Здесь обе величины Т — 70 и dTIdt, конечно, отрицательны.

Все неравновесные процессы такого рода протекают лишь в одном направлении, т. е. они термодинамически необратимы. Они связаны с переносом массы в случае диффузии, с переносом импульса в случае трения или вязкости и с переносом энергии в случае проводимости. Все такие процессы приводят к потерям полезной энергии и увеличению энтропии.

Все это процессы, которые определяются случайными столкновениями. Складывая в гл. 1 векторы с постоянной длиной и

случайной фазой, мы установили, что среднее расстояние, проходимое частицами, которые участвуют в таких процессах, пропорционально не времени, а корню квадратному из времени.

Переписав уравнение диффузии в виде

д2ф 1 дфдх2d dt ’

мы видим, что размерность постоянной d, называемой коэффициентом диффузии, находится из соотношения

Ф _ 1 Ф е(Длина)2 d Время е

Следовательно, размерность величины d такова: длина2/время. Об интерпретации этой величины как квадрата характерной длины, изменяющейся пропорционально корню квадратному из времени, уже говорилось в гл. 1.

В случае вязкости величина d определяется отношением г|/р, где т] — коэффициент вязкости, ар — плотность. В случае теплопроводности d = К!рсР) где К — коэффициент теплопроводности, р — плотность, а ср— удельная теплоемкость при постоянном давлении. Для магнитного поля, распределенного неоднородно в проводнике, коэффициент диффузии t/= (juo)-1, где ц— магнитная проницаемость, а о — удельная электропроводность.

Одним из наиболее известных процессов случайных столкновений является броуновское движение. Расстояние х, проходимое за время t частицей, испытывающей многократные случайные столкновения, определяется формулой Эйнштейна для коэффициента диффузии

,_ х2 2RT/ “ блч^ *

Уравнением состояния идеального газа pV = RT величина RT определяется как энергия одного моля газа при температуре Т. Число частиц в одном моле равно числу Авогадро N. Средняя энергия отдельной частицы RT/N = kT, где к— постоянная Больцмана.

Таким образом, процесс определяется отношением энергии частиц к коэффициенту вязкости, который служит мерой сил трения. Чем выше температура, тем больше энергия, тем меньше влияние сил трения и тем больше среднее проходимое расстояние..

Волновое уравнение с учетом, эффектов диффузии

В реальных системах вряд ли можно встретить случай, когда на распространении волн совершенно не сказываются механизмы потерь, о которых идет речь. Но если такие потери не

очень значительны, то мы можем полностью описать распространение волн в пространстве и времени, комбинируя волновое и диффузионное уравнения.

В качестве решения объединенного уравнения

д2Ф 1 ^2ф . 1 дф

дх2с2 dt2 * d dt

не подходит просто синус или косинус. Подставляя в уравнение пробное решение

Ф = (pM^^-v*),

где фм — максимальная амплитуда, получим комплексное значение у:

Но со2/с2 = fe2, где к — волновое число, а поэтому, полагая у = к — ia, получаем

у2 = &2 — 2ika — а?^к2 — 21ка, если а <С к.

Тогда решение ф принимает вид

Ф = ^Mel (^-vx) = ^Me-^ei ^t-kx^

соответствующий колебаниям, описываемым синусом или косинусом. Максимальная амплитуда этих колебаний экспоненциально уменьшается с расстоянием. Физический смысл условия а с к = 2л/Х заключается в том, что уменьшение амплитуды до значения фм£-1 происходит на расстоянии х = 1/а, которое намного больше длины волны X. Диффузионные процессы приведут к ослаблению или потерям энергии волны. Энергия волны пропорциональна квадрату амплитуды и поэтому уменьшается по закону г2а< (Задачи 6.13—6.15.)

Приложение

Физический смысл величины

а2ф . д2Ф . д2Ф дх2 ду2 dz2 — v

+ Z/2ф/3 = ^ ф dx dy dz.— 1/2+ Z/2ф/3 = ^ ф dx dy dz.— 1/2Пусть в некоторой точке О скалярного поля ф = фо. Окружив точку О кубом с ребром / и усреднив ф по объему куба, получаем

+ Z/2

ф/3 = ^ ф dx dy dz.

— 1/2

+ Z/2

ф/3 = ^ ф dx dy dz.

— 1/2

Разложим <р в точке О в ряд Тейлора:

Проинтегрировав по объему куба от —//2 до //2, получим ф/з= Z3 + ^.^ + ^ + Д.) .

y ти । 24 V дх2 1 ду2 1 dz2 /о

Здесь учтено, что интегралы от функций вида

обращаются в нуль, а

\\\xMxdijdz = 4--//2

Следовательно,

ф — Фо=^- (Wo,

где / —постоянная.

Задача 6.1

Покажите, что волновое сопротивление двухпроводной линии Лехера в среде с магнитной проницаемостью ц и диэлектрической проницаемостью е дается формулой

z = А аЛМп-,и Л V 6 г

где г — радиус провода, ad — расстояние между проводами.

Задача 6.2

В случае короткозамкнутой линии передачи без потерь проинтегрируйте магнитную (индуктивную) энергию Уг^о/2 и электрическую (потенциальную) энергию V2C0V2 по последней четверти длины волны (от 0 до —Л/4) и покажите, что они равны.

Задача 6.3

Покажите, что в задаче 6.2 сумма мгновенных значений двух энергий, приходящихся на последнюю четверть длины волны, равна максимальному значению любой из этих энергий.

Задача 6.4

Покажите, что импеданс реальной линии передачи в точке х линии дается выражением

7 _7 Ае^^Ве^х 0 Ае-<х + Ве<х '

где у — константа распространения, а А и В — амплитуды тока при х = 0 для волн, распространяющихся в положительном и отрицательном направлениях оси х. Длина линии равна /, на ее конце имеется нагрузка Zl\ докажите справедливость фор* мулы

7Ае^-Ве^1

Ав-^ + Ве^ *

Задача 6.5

Покажите, что входной импеданс линии, о которой говорилось в задаче 6.4, т. е. импеданс линии в точке х = 0, имеет вид

7 _7+ ^Lch yZ X'

—z0 ch у/+ ZL Shy/ )*

(Напомним, что 2ch у/ = e^1 + e-^1 и 2sh у/ = e^1 — e~YZ.)

Задача 6.6

Покажите, что входной импеданс линии передачи, о которой говорилось в задаче 6.4, равен

^кор.-замкн === Zo th yZ,

если линия коротко замкнута, и

^разомкн = ^0 Cth у/,

если линия разомкнута.

Вычислив произведение этих величин, предложите способ измерения волнового сопротивления линии.

Задача 6.7

Покажите, что входной импеданс короткозамкнутой линии без потерь, имеющей длину /, дается выражением

ri •/ Lo 1 2зх1

Изобразив графически зависимость отношения zJ^LqICq от Z, покажите, что при (и + 1) Х/2 >> Z > (2м + 1)Х/4 импеданс Zt носит емкостный характер, а при (2м + 1)Х/4 > I > пХ/А— индуктивный. (От этого зависит знак реактанса для согласования с другой линией.)

Задача 6.8

Покажите, что линию с волновым сопротивлением Zo можно согласовать с нагрузкой ZL при помощи четвертьволновой линии без потерь с волновым сопротивлением Zm, если Z^ = Z0ZL.

Оказание. Вычислите входной импеданс в точке соединения линий Z0Zm.)

Задача 6.9

Покажите, что короткозамкнутая четвертьволновая линия без потерь обладает бесконечным импедансом и, если ее соединить с другой линией передачи, она не будет влиять на основную гармонику, но замкнет накоротко любую нежелательную вторую гармонику.

Задача 6.10

Покажите, что линию без потерь, имеющую волновое сопротивление Zo и длину мХ/2, можно использовать для связи двух высокочастотных цепей без воздействия на другие импедансы.

Задача 6.11

В случае линии передачи с потерями, для которой величины RJtdLo и G^C^ малы, разложите выражение для константы распространения

V = [№ + i^L^ (Go + /<оС0)]'

в ряд по степеням этих величин и покажите, что константа затухания дается выражением

а волновое число

Покажите, что при Go = 0 добротность Q для такой линии равна fe/2a.

Задача 6.12

Разложите выражение для волнового сопротивления линии передачи, о которой говорилось в задаче 6.11, выделяя волновое сопротивление линии без потерь, и покажите, что при условии

RoGo

Го Со импеданс остается действительным, поскольку фазовые эффекты, обусловленные последовательным и шунтирующим сопротивлениями, равны по величине, но противоположны по знаку.

Задача 6.13

Электрон с полной энергией Е в потенциальной яме (фиг. 92), имеющей глубину V и занимающей область 0 < х < /, описывается стационарным волновым уравнением Шредингера

;Рг+Чг-(£- Ш = 0,

где т — масса электрона, a h — постоянная Планка. (В потенциальной яме V = 0.)

Покажите, что при Е > V (внутри потенциальной ямы) реше- цием для ф является стоячая волна, а при Е < V (вне области 0 < х << /) зависимость ф от х имеет вид е=^ где у = = 2л -V2m(V - E^jh.

Задача 6.14

Магнитное поле Н, локализованное в электропроводящей среде с магнитной проницаемостью ц и удельной проводимостью о, диффундирует по среде в направлении оси х со скоростью, определяющейся уравнением

дН = 1 д2Нdt" ца дх2 *

Покажите, что скорость уменьшения поля приближенно равна произведению L2|io, где L — линейный размер среды. Покажите, что в случае медного шара радиусом 1 метр, для которого ц = = 1,26-10~6 Г/м и о = 5,8-107 См/м, это время меньше 100 секунд. .

(Если бы ядро Земли состояло из расплавленного железа, то это поле свободно затухало бы примерно в течение 15-Ю3 лет. В случае Солнца для уменьшения локального поля потребовалось бы 1010 лет. При очень большой величине о локальное поле будет изменяться только за счет его переноса при движении среды. О таком поле говорят, что оно «заморожено» в среде. При движении силовые линии растягиваются и создают возвращающую силу, противодействующую движению среды.)

Задача 6.15

В момент времени /0 в точке хо, находящейся в центре бол! шой пластинки, материал которой характеризуется коэффициеь том теплопроводности к, удельной теплоемкостью С и плотнс стью р, температура Т бесконечно высока. Скорость диффузи тепла в среде определяется уравнением

дТ _ к д2Т , д2Т dt ~ рС дх2 дх2 *

Подставив в это дифференциальное уравнение выражение

Ул

где а = х — х0 и r = xl2^dt> покажите, что оно описывает пс ток тепла вдоль оси х.

Решение представляет собой гауссову функцию, график кс торой для переменных х и t данной задачи приведен на фиг. 12$ В точке (х0, /о) она имеет вид дельта-функции Дирака. С теч( нием времени, по мере того как тепло распространяется п среде, высота гауссовых кривых уменьшается, а их ширина ув€ личивается. Однако полное количество тепла, т. е. площадь гау( совой кривой, остается постоянным.

Сводка основных результатов

Линия передачи без потерь

Погонная индуктивность = Lo или ц.

Погонная емкость = Со или е.

Волновое уравнение d2V \ d2V ,х

^ЛЯ напряжения),

д211 дЧ , m х

(Для тока),

фазовая скорость

^2 —или Д_LqCqре

Волновое сопротивление

Zo = 4- = л4г- или А/ — (для волны, бегущей вправо (— Zo — для волны, бегущей влево).

Линия передачи с потерями

Сопротивление /?о на единицу длины

Шунтирующая проводимость Go на единицу длины.

Волновое уравнение принимает вид

^-^—Y2^)=0 (такое же уравнение справедливо

для тока /),

где у = а + ik — константа распространения, а — коэффициент затухания, к — волновое число.

Решение волнового уравнения

V = Ae-ax^i (tot-kx) _|_ Q^x^i (со/+йх)е

Волновое сопротивление

Z^ = ~- = aJ ^^ ^^ (для волны, бегущей вправо)

(— Zo — для волны, бегущей влево)*

Затухание волн

Поглощение энергии в среде описывается диффузионным уравнением

д2ф 1 дф

дх2d dt *

которое добавляется к волновому уравнению для учета затухания: '

д2ф 1 д2ф . 1 Эф

дх2с2 dt2 ‘ d dt *

Это уравнение имеет экспоненциально-убывающие решения

•^ = ^Me-axew"-kx\

Глава 7

Электромагнитные волны

В предыдущих главах было показано, что скорость распространения волн в среде определяется инерцией среды и ее упругостью. Эти два свойства характеризуют способность среды запасать энергию волн. В отсутствие диссипации энергии ими определяется также волновое сопротивление среды. Кроме того, в отсутствие потерь мы всегда получаем волновое уравнение, решение которого имеет вид синуса или косинуса. Но при добавлении члена, описывающего сопротивление, или потери, это уравнение изменяется и дает осциллирующие решения, которые затухают со временем или с расстоянием.

Такими же физическими свойствами среды определяется и процесс распространения электромагнитных волн в ней. Магнитная инерция среды, как и в случае линии передачи, связана с индуктивными свойствами среды и характеризуется магнитной проницаемостью ц, имеющей размерность генри на метр. Упругость же соответствует электрической емкости среды, которая характеризуется диэлектрической проницаемостью е, имеющей размерность фарада на метр. Накопление магнитной энергии обусловлено магнитной проницаемостью ц, а накопление потенциальной энергии, или энергии электрического поля, обусловлено диэлектрической проницаемостью е.

Если материал представляет собой диэлектрик, то все определяется только величинами ц и е; поэтому чисто волновое уравнение будет справедливо как для вектора магнитного поля Н, так и для вектора электрического поля Е. Если же среда представляет собой проводник и характеризуется не только величинами ц и 8, а и удельной проводимостью а (величиной, обратной удельному сопротивлению), имеющей размерность сименс на метр, то будет происходить поглощение и энергия волны будет диссипироваться.

В данной главе мы сначала рассмотрим распространение электромагнитных волн в среде, характеризуемой только величинами е и ц, а затем исследуем общий случай, когда среда описывается величинами et р и о.

Уравнения Максвелла

Электромагнитные волны возникают всегда, когда изменяется скорость движения электрического заряда. Электроны, переходящие в атоме с более высокого на более низкий энергетический уровень, излучают волну с определенной частотой и длиной волны. Очень горячий ионизованный газ, состоящий из заряженных частиц, излучает волны, имеющие непрерывный спектр частот, поскольку траектории отдельных частиц искривляются при взаимных столкновениях. Такое излучение называется тормозным. Излучение электромагнитных волн антенной обусловлено колебательным движением зарядов, которые создают переменный ток в антенне.

Частота в герцах оЮ8Частота в герцах оЮ8ЭнергияЭнергия10101012 ю14—II I I I I10101012 ю14—II I I I I1ИнфракрасныеI СВЧ-волцыРадиочастоты —I—L11JII1।1ИнфракрасныеI СВЧ-волцыРадиочастоты —I—L11JII1।Частота ► в герцах1016Ю18 10го 10гг ю2311111III-*Гамма -лучи —Рентгеновские лучиУльтрафиолетовыеЧастота ► в герцах1016Ю18 10го 10гг ю2311111III-*Гамма -лучи —Рентгеновские лучиУльтрафиолетовые1 101 10Ю"3Ю"310"610"6-13-13

Частота в герцах о

Ю8

Частота в герцах о

Ю8

Энергия

Энергия

10101012 ю14

—II I I I I

10101012 ю14

—II I I I I

1Инфракрасные

I СВЧ-волцы

Радиочастоты —I—L11JII1।

1Инфракрасные

I СВЧ-волцы

Радиочастоты —I—L11JII1।

Частота ► в герцах

1016Ю18 10го 10гг ю23

11111III

-*Гамма -лучи —

Рентгеновские лучи

Ультрафиолетовые

Частота ► в герцах

1016Ю18 10го 10гг ю23

11111III

-*Гамма -лучи —

Рентгеновские лучи

Ультрафиолетовые

1 10

1 10

Ю"3

Ю"3

10"6

10"6

-13

-13

в метрах

Фиг. 93. Длины волн и частоты в спектре электромагнитных волн.

На фиг. 93 приведен спектр электромагнитных волн. У всех этих волн одинаковые физические свойства.

Весьма интересно, что вся теория электромагнитного поля может быть сведена к четырем векторным соотношениям, образующим систему уравнений Максвелла. При подробном исследовании этих уравнений мы увидим, что два из них являются стационарными, т. е. не зависящими от времени, а два других — зависящими от времени.

Чтобы вывести отдельные волновые уравнения для векторов электрического Е и магнитного Н полей, достаточно двух уравнений, зависящих от времени. Стационарные же уравнения устанавливают поперечный характер волн.

Первое зависящее от времени уравнение связывает изменение во времени магнитной индукции pH = В с пространственным изменением поля Е, т. е.

Q (ЗЕ

связывается, скажем, с

Как мы увидим, это не что иное, как форма записи закона Ленца или Фарадея.

Согласно второму зависящему от времени уравнению, изменением во времени величины еЕ определяется пространственное

изменение поля Н, т. е.

(еЕ) связывается, скажем, с

Мы снова увидим, что это уравнение в действительности представляет собой математическое выражение закона Ампера.

Из этих уравнений следует, что изменения поля Е во времени и пространстве влияют на пространственные и временные изменения поля Н, и наоборот. Поля Е и Н нельзя рассматривать как изолированные величины, поскольку они зависят друг от друга.

Произведение еЕ имеет следующую размерность: фарада вольт Заряд метрметрПлощадь *

Эта величина, имеющая размерность заряда на единицу площади, называется электрической индукцией и обозначается через D.

Индукция возникает тогда, когда внешнее электрическое поле поляризует атомы и молекулы, образующие диэлектрик, и через любую плоскость, проведенную в диэлектрике перпендикулярно направлению внешнего поля, перемещаются заряды. Если внешнее электрическое поле изменяется во времени, то размерность величины

дР д ,Заряд

dt dt 'е ' Время X Площадь

такая же, как размерность тока, приходящегося на единицу площади. Этот ток называется током смещения. Его довольно легко представить себе в случае диэлектрика, где имеются заряды, которые могут двигаться, но отнюдь не просто вообразить себе ток смещения в свободном пространстве, где нет никакого вещества.

Посмотрим, что происходит в электрической цепи, изображенной на фиг. 94, когда при замыкании переключателя батарея начинает заряжать конденсатор С до потенциала V. Пока заряжается конденсатор, по соединительным проводам будет проходить ток /, подчиняющийся закону Ома (V = /7?). Стрелка компаса или другой детектор магнитного поля, помещенный около проводов, покажет наличие магнитного поля, связанного с током. Но предположим, что детектор магнитного поля (экранированный от всех посторонних воздействий) помещен между обкладками конденсатора, где омический ток, или ток проводимости, отсутствует. Обнаружит ли детектор магнитное поле? Ответ: да, обнаружит. Все эффекты магнитного поля, связанные с током, существуют в этой области, пока конденсатор заря-

жается, т. е. пока разность потенциалов и электрическое поле между обкладками конденсатора изменяются во времени.

Главный вклад Максвелла в теорию электромагнитного поля заключался именно в доказательстве того, что переменное во времени электрическое поле создает в свободном пространстве ток смещения. Точно такой же результат следует из рассмотрения сохранения заряда. Поток заряда, входящий в малый объем пространства, должен равняться потоку заряда, выходящему из

Фиг. 94. Цепь, в которой при замыкании переключателя конденсатор заряжается за счет тока проводимости.

В процессе зарядки величина еЕ в объеме конденсатора изменяется и возникает ток смещения, плотность которого равна edE/dt. Ток смещения связан с магнитным полем, существующим между обкладками конденсатора.

этого объема. Если выделенный объем включает в себя верхнюю пластину конденсатора, то омический ток, идущий по проводам, создает поток заряда, направленный внутрь объема, а ток смещения соответствует потоку заряда, выходящему из объема.

Таким образом, в дальнейшем будет необходимо учитывать два вида тока:

хорошо известный ток проводимости, подчиняющийся закону Ома V = IR;

ток смещения с плотностью dD/dt.

В среде с конечными магнитной проницаемостью ц и диэлектрической проницаемостью е, но с удельной проводимостью а = 0 ток смещения будет единственным током. В этом случае Е и Н будут определяться чисто волновым уравнением и не будет потерь энергии или затухания волн.

При о ^ 0 возможен ток проводимости, который будет приводить к потерям энергии. К волновому уравнению добавляется диффузионный член, и амплитуда волны будет экспоненциально уменьшаться с расстоянием. Мы увидим, что относительная величина этих двух токов зависит от частоты, а от отношения их амплитуд зависит, ведет ли себя среда как проводник или как диэлектрик.

Электромагнитные волны в среде, где р#=0, е #= 0, но а = 0

Мы будем рассматривать плоские волны. В качестве плоскости, где свойства волны являются постоянными, мы выберем плоскость ху. Эти свойства не будут зависеть от х и у, поэтому

Первое зависящее от времени уравнение Максвелла записывается в векторной форме следующим образом:

rotE = VXE = -^ = -^.

Это векторное уравнение соответствует трем уравнениям для компонент полей:

дЕд d£ ’дЕг дх ’ дЕх ду ’дЕд d£ ’дЕг дх ’ дЕх ду ’(7.1)(7.1)dHx _ дЕг11 at ay

дЕд d£ ’

дЕг дх ’ дЕх ду ’

дЕд d£ ’

дЕг дх ’ дЕх ду ’

(7.1)

(7.1)

„ dHg дЕХ dt dz

дН2 _ dEg^ dt дх

Здесь индексы указывают направления компонент.

Размерность этих уравнений может быть записана в виде

ЕЕ\Ш

Е

Е

Время Длина *

Умножая последнее равенство с обеих сторон на квадрат длины, получаем

в"™ X Площадь = Е х Длина,

т. е.

Полный магнитный поток т т

в^= Напряжение.

Размерность этого соотношения совпадает с размерностью уравнения, выражающего закон Ленца или Фарадея.

Второе зависящее от времени уравнение Максвелла записывается в векторной форме следующим образом:

rotH = VXH = -^-e^..

Это векторное уравнение соответствует трем уравнениям для компонент поля:

дЕх _dHzdHg6 dtдуdz ’дЕддНхdHz6 dt —dzdx 'dEzdHgдНх8=dtдхду 'дЕх _dHzdHg6 dtдуdz ’дЕддНхdHz6 dt —dzdx 'dEzdHgдНх8=dtдхду '(7.2)(7.2)

дЕх _

dHz

dHg

6 dt

ду

dz ’

дЕд

дНх

dHz

6 dt —

dz

dx '

dEz

dHg

дНх

8=

dt

дх

ду '

дЕх _

dHz

dHg

6 dt

ду

dz ’

дЕд

дНх

dHz

6 dt —

dz

dx '

dEz

dHg

дНх

8=

dt

дх

ду '

(7.2)

(7.2)

Размерность уравнений (7.2) может быть записана в виде

Ток I Н

ПлощадьДлина *

Умножая это соотношение с обеих сторон на длину, получаем уравнение

Ток I цДлина Длина ’

размерность которого совпадает с размерностью уравнения, выражающего закон Ампера. (Согласно закону Ампера, круговое магнитное поле, создаваемое током / на расстоянии г от прямолинейного провода, по которому он протекает, таково: Н = = //2лг.)

Первое стационарное уравнение Максвелла можно записать в виде *)

S дЕх дЕн дЕ2\

divD = VD = 8(-^ + ^+-^) = Р. (7.3) \ дх 1 ду dz )х '

где р — плотность зарядов. Из этого уравнения следует, что изменение индукции на малом элементе объема dx dy dz с плотностью зарядов р зависит от величины р. При р = 0 уравнение (7.3) принимает вид

/ dEx дЕ» дЕ2\

++(7.3а)

\ dx ' dy 1 dz ух '

Следовательно, если электрическую индукцию D = гЕ представить графически с помощью линий потока индукции, которые должны начинаться и заканчиваться на электрических зарядах, то число линий потока, входящих в элемент объема dx dy dz, равно числу линий потока, выходящих из этого элемента объема.

Второе стационарное уравнение записывается следующим образом:

_ /дНх дН« дН2\

divB-V.B-^-^ + ^ + ^-O.(7.4)

Согласно этому уравнению, число линий магнитной индукции, входящих в объем dx dy dz и выходящих из него, тоже должно быть одинаковым. Данный результат есть физическое следствие того, что в природе нет изолированных магнитных полюсов, т. е. отдельного северного или южного полюса.

В то время как плотность заряда р в уравнении (7.3) может быть положительной (т. е. являться источником линий электрической индукции) или отрицательной (т. е. являться стоком ли

!) Здесь предполагается, что среда однородная и величины е и ц не зависят от координат. — Прим, перев.

ний потока смещения), отдельные источники или стоки линий магнитной индукции не могут существовать изолированно: каждому источнику всегда соответствует сток равной силы.

Волновое уравнение для электромагнитных волн

Поскольку для выбранных нами плоских волн все производные по х и у равны нулю, из уравнений (7.1) и (7.4) следует,

Таким образом, величина Н2 постоянна в пространстве и времени. Мы рассматриваем только осциллирующее поле Н, по этому постоянное поле Н2 не может влиять на волновое движение. Следовательно, можно положить Н2 = 0. Аналогичный анализ уравнений (7.2) и (7.3а) приводит к равенству Е2 = 0.

Постоянство значений Н2 и Е2 означает, что колебания или изменения Н и Е происходят в направлениях, перпендикулярных оси z. Как мы увидим, отсюда следует вывод о том, что электромагнитные волны являются поперечными волнами.

Для большей простоты мы будем рассматривать только те плоские волны, которые являются плоскополяризованными. Мы можем выбрать направление колебаний электрического поля вдоль оси х или у. Рассмотрим только поле ЕХ) положив Еу = 0. В этом случае из уравнений (7.1) и (7.2) получаем

Учитывая соотношение

дг di dt dz 9

а также производные уравнения (7.1а) по / и уравнения (7.2а) по 2, находим волновое уравнение для Ну:

д^Нуд^Нуд^Нид^Ниdz2 — I18 at2dz2 — I18 at2

д^Ну

д^Ну

д^Ни

д^Ни

dz2 — I18 at2

dz2 — I18 at2

Аналогично, дифференцируя уравнение (7.2а) по /, а уравнение (7.1а) по z, получаем волновое уравнение для Ех:

Таким образом, оба поля Ех и Ну подчиняются одному и тому же уравнению, распространяясь вдоль оси г с одинаковой

скоростью, определяемой соотношением у2 = 1/|ле. В случае свободного пространства эта скорость равна скорости света, т. е. с2 = 1/роео, где ро и е0 — магнитная и диэлектрическая проницаемости свободного пространства.

В случае плоских волн решения этих волновых уравнений могут быть записаны следующим образом:

Ех = Ео sin -^- ^x)t — 2), Ни = HQ sin -^- (vt — 2),

где Ео и Но — амплитуды полей Е и Н. Отметим, что существование решений в виде синуса (или косинуса) означает отсутствие поглощения: существуют только токи смещения, а токи проводимости, или омические токи, отсутствуют.

Фиг. 95. Плоскополяризованная электромагнитная волна.

Вектор электрического поля Е^ и вектор магнитного поля Н^ такой волны взаимно перпендикулярны и изменяются по закону синуса. В непроводящей среде они находятся в фазе. Векторное произведение Е X Н называется вектором Пойнтинга. Оно дает направление и плотность потока энергии.

Мы можем изобразить электромагнитную волну ^Ех, Ну), распространяющуюся вдоль оси 2, так, как это сделано на фиг. 95. Напомним, что, поскольку поля Е2 и Н2 постоянны (или равны нулю), электромагнитная волна является поперечной волной.

Направление распространения волн всегда будет совпадать с направлением вектора Е X Н. В данном случае вектор EX Н имеет величину ЕХНУ и направлен вдоль оси 2. Это векторное произведение имеет размерность

Напряжение X Ток Электрическая мощностьДлина X ДлинаПлощадь’

г. е. измеряется в ваттах на квадратный метр. Векторное произведение Е X Н называется вектором Пойнтинга, им определяется плотность потока энергии.

Пример на использование вектора Пойнтинга

Вектор ЕхН направлен к оси конденсатораВектор ЕхН направлен к оси конденсатораДля примера рассмотрим поток электромагнитной энергии и вектор Пойнтинга в простой схеме, представленной на фиг. 96, где конденсатор заряжается до напряжения V. Конденсатор состоит из двух параллельных пластин площадью А, расстояние между которыми равно d. Промежуток между пластинами заполнен диэлектриком с диэлектрической проницаемостью 8.

Вектор ЕхН направлен к оси конденсатора

Вектор ЕхН направлен к оси конденсатора

Фиг. 96. Плоский конденсатор.

В процессе зарядки вектор Пойнтинга Е X Н направлен внутрь объема конденсатора В конце зарядки энергия конденсатора является полностью электростатической и равняется произведению объема конденсатора Ad на плотность электростатической энергии */2 $Е2.

Во время всей зарядки через конденсатор проходит ток. Анализ векторов электрического и магнитного полей показывает, что вектор Пойнтинга всегда направлен внутрь объема Ad, занятого диэлектриком.

Емкость конденсатора С = sA/d, при этом полная энергия конденсатора, заряженного до напряжения V, равна V2CV2 джоулей и запасена в виде электростатической энергии. Но V = Ed, где Е — конечное значение электрического поля, поэтому полная энергия имеет вид

tcv=t (4Y pd2=4м*

ДL \ U /

где Ad — объем конденсатора.

Таким образом, в конденсаторе запасена электростатическая энергия с плотностью Ч^Е^, и это обусловлено потоком электромагнитной энергии в процессе зарядки.

Волновое сопротивление диэлектрикадля электромагнитных волн

Если мы подставим решения

Ех = Ео sin (vt — г), Ну = Н^ sin ^- (у/ — г)

б уравнение (7.1а), то получим соотношение — р,иНу = — Ех.

Поскольку к виду

у2 = 1/|ые, последнее соотношение преобразуется

V^ Ни=л^Ех,

т. е.

ЕХ А !— ^0

НуVен0-

Данное отношение имеет размерность сопротивления.

Следовательно, величина VlV^ есть волновое сопротивление среды для электромагнитных волн (ср. эту величину с эквивалентным результатом УЦ = ^ Ь^С^ = ZQ для линии передачи, полученным в гл. 6). В случае свободного пространства

ТГ = а/— =376,7 Ом,

Ну N 8о

поэтому волновое сопротивление свободного пространства для распространяющихся в нем электромагнитных волн равно 376,7 Ом.

Н2и вН2и вИз соотношения

Н2и в

Н2и в

следует, что

и, следовательно,

еЕх = V.H2y.

Обе эти величины имеют размерность плотности энергии. Например, размерность величины еЕ^ такова:

фарада ^у (вольт)2 джоульметр (метр)2(метр)3 ’

как мы это видели в примере, в котором речь шла о векторе Пойнтинга. Таким образом, в случае диэлектрика плотность электрической энергии Ч^Е2 в электромагнитной волне равна плотности магнитной энергии Ч^Н2У, а плотность полной энергии равна сумме Ч^Е^ + х[^Н2и. (Задачи 7.1—7.10.)

Электромагнитные волны в среде, где р ^ О, г ^ 0 и 6 =/= О

С физической>точки зрения электрическое поле электромагнитной волны играет значительно более важную роль, чем магнитное поле. Например, большинство оптических эффектов связано с электрическим полем. Поэтому мы сосредоточимся на рассмотрении поведения электрического поля.

Для среды с удельной проводимостью а = 0 мы получили волновое уравнение

д2Ех д2Е^

Правая часть, переписанная в виде

"дТ [дГ’

показывает, что мы рассматриваем величину д Г Ток смещения !

^ dt L Площадь J*

При о Ф 0 мы должны также учесть токи проводимости, которые определяются законом Ома / = VJR. Введем плотность тока, т. е. ток через единицу площади, как

J =1=1 V V = аЕ

Площадь R X Длина Длина *

Здесь о = II(R X Длина)— удельная проводимость, а Е — электрическое поле. Уравнение J = оЕ представляет собой другую форму записи закона Ома.

При наличии и тока смещения, и тока проводимости второе зависящее от времени уравнение Максвелла записывается в векторной форме следующим образом:

VXH=^ + J,(7.5)

причем каждый член в правой части этого уравнения имеет размерность тока на единицу площади. Изменение волнового уравнения, связанное с наличием тока проводимости, заключается в добавлении второго члена такого же вида

д/ Ток \

dt V Площадь /

в его правую часть, а именно члена •

dJ д ,

Таким образом, окончательное уравнение принимает вид

d2Exd2Exdz2di2d2Exd2Exdz2di2(7.6)(7.6)

d2Exd2Ex

dz2di2

d2Exd2Ex

dz2di2

(7.6)

(7.6)

Это уравнение можно вывести формально, если выписать проекцию уравнения (7.5) на ось х:

дЕ¥dH м

е^ + а£х = --^(7.5а)

dt х х dz'7

вместе с уравнением (7.1а)

дНу _ dEx

11 dt dz

и затем продифференцировать уравнение (7.5а) по I, а уравнение (7.1а)—по г. Мы сразу видим, что наличие диссипативного члена, или сопротивления, благодаря которому возможны токи проводимости, приводит к добавлению в чисто волновое уравнение диффузионного члена типа рассмотренного в последней главе. Произведение (цо)-1 называется магнитным коэффициентом диффузии и имеет размерность L-2T-1, как и должно быть для коэффициента диффузии.

Теперь найдем решение Ех нового уравнения, предполагая, что его временная зависимость является гармонической. Подставляя Ех = E^eitot в уравнение (7.6), получаем

— (/(оца — (о2|Ы8) Ех = 0.

Э^ЕХdz2Э^ЕХdz2-^Ех = 0,-^Ех = 0,Если последнее уравнение переписать как

Э^ЕХdz2

Э^ЕХdz2

-^Ех = 0,

-^Ех = 0,

где у2 = цоро — о)2|Ы8, то оно примет вид уравнения (6.5).

В гл. 6 мы видели, что это уравнение имеет решение, содержащее множитель е-^2 или е^2. Но мы рассмотрим лишь волну Ех, бегущую в положительном направлении оси г, написав

Ех = EQeitote-^.

Чтобы представить величину у в удобном виде, мы должны вернуться назад к уравнению (7.6) и рассмотреть относительные значения двух членов, стоящих в правой части этого уравнения.

Если среда представляет собой диэлектрик, то возможны только токи смещения. Если же среда — проводник, то будут преобладать омические токи, описываемые вторым членом в правой части уравнения. Отношение плотности тока проводимости к плотности тока смещения, равное отношению двух членов в правой части уравнения, имеет вид

/ оЕх оЕх о

dD/dtd[dt (eEeltot)1(деЕхitoe

Мы сразу видим, что благодаря множителю I ток смещения опережает по фазе на 90° омический ток, или ток проводимости.

В случае проводника, где |J|>|dD/d/|, мы имеем о ^> сое и выражение у2 = ш(сор)—сое (сор) с высокой степенью точности можно переписать в виде

у2« шсор.

Далее, ^l = (l+/)/V2; поэтому

^=(1+<)(^)V' и поле

Ех = Е$еше~^ = E^"*^i^x,t*el ^t-tewi^z]

соответствует волне, распространяющейся в положительном направлении оси 2. Амплитуда волны уменьшается по закону ^-^ца^Уг ге Отметим, что произведение соро имеет размерность Л-2. (Задача 7.11.)

Глубина скин-слоя

В проводнике электрическое поле уменьшается до значения Ех = Д^-1 на расстоянии

V сора / ’

которое называется глубиной скин-слоя (фиг. 97). Для меди р » р0 и о « 5,8* 10 сименс/метр, а потому на частоте 60 Гц

Фиг. 97. Электромагнитная волна, падающая из диэлектрика на плоскую поверхность проводника.

Электрическое поле Но уменьшается до значения Нов"”1 на расстоянии (2/соц,о)У2’ которое называется глубиной скин-слоя. Этим объясняется возможность экранирования проводником от воздействия электрического поля. Величина Яс—длина волны в проводнике.

ние. Электрическое поле отлично от нуля лишь в очень малой области вблизи поверхности. Существенные токи будут только около поверхности, а поэтому сопротивление проводника растет с частотой. Мы видим также, что проводник может «экранировать» некоторую область пространства от воздействия электромагнитных волн.

Скорость электромагнитных волн в проводникеи аномальная дисперсия

Фазовая скорость волны у определяется выражением

со соt / 2(0 \1л

у = — =гг = соб = I — | = vZc,к (а>рсг/2)'2\ ра 7

где Хс — длина волны излучения в проводнике. Когда величина б мала, скорость у также мала и показатель преломления с/у проводника может быть очень большим. В дальнейшем мы увидим, что этим можно объяснить высокую отражательную способность хороших проводников на оптических частотах.

Скорость у = соб = 2nvd, поэтому длина волны Хс в проводнике равна 2лб и может быть очень малой величиной. Поскольку у зависит от частоты, электрический проводник является диспергирующей средой для электромагнитных волн. Более того, как показывает таблица, приведенная ниже, производная ди)дХ отрицательна, поэтому проводник обладает аномальной дисперсией и групповая скорость больше волновой скорости.

Поскольку

С2 Ц8

о2 —

(где индексом г обозначены безразмерные относительные величины Цг = р/ро, ег = е/ео), при pr ~ 1

егу2 = с2,дгг 2_ди,

W —и вг дХ*

Этим подтверждается то, что было сказано в связи с вопросом о групповой скорости, а именно что в случае положительной производной д&г/дХ среда обладает аномальной дисперсией.

Мы видим также, что

С22

— = ег = п2,

где п — показатель преломления. Поэтому кривая зависимости реактивной части импеданса осциллятора от частоты вблизи резонанса смещения, представленная на фиг. 34, дает также зависимость п от частоты. На низких частотах эта относительная

диэлектрическая проницаемость слабо зависит от частоты. Но в области более высоких частот нужно помнить, что диэлектрическая проницаемость зависит от частоты.

Частота, Гц

X в свободном пространстве, м

б, м

^проводи ^ м/с

Показатель преломления (^проводи)

60

5 - 10б

9.10”3

3,2

9,5- 107

106

300

6,6- 10“5

4,1 • 102

7,3 • 105

3. 1010

10“2

3,9- 10"7

7,1 • 104

4,2 • 103

Длина волны Хс = 2лб очень мала, а поэтому, когда электромагнитная волна падает на проводящую поверхность, электрическое поле будет убывать до значения, равного приблизительно 1% значения поля на поверхности, на расстоянии 3/ДС = = 4,6 6. Следовательно, электромагнитная волна практически не проникает в проводник на глубину, большую, чем одна длина волны. (Задачи 7.12—7.14.)

Когда среда проводник и когда она диэлектрик?

Мы уже видели, что для любой среды, характеризующейся величинами ц, е и о, отношение плотности тока проводимости к плотности тока смещения

I J |(Г

| dDjdt Iсое

безразмерно. Следовательно, мы можем представить среду простой схемой, изображенной на фиг. 98, где полный ток распределяется между двумя ветвями цепи. Одна из ветвей имеет емкостный характер и описывается реактансом 1/сое (Ом/метр), а другая содержит сопротивление и описывается удельной проводимостью о (сименс/метр).

Если проводимость о велика, то сопротивление мало и большая часть тока проходит по а-ветви в виде тока проводимости. Если же емкостный реактанс сое так мал, что основная часть тока проходит по емкостной ветви в виде тока смещения, то среда ведет себя как диэлектрик.

Весьма условно можно сказать, что при

I dDfdt I => 100

преобладает ток проводимости и среда — проводник, а при |^^| = ^> 100

преобладает ток смещения и среда — диэлектрик.

Промежуточные значения данного отношения соответствуют квазипроводникам. В эту категорию попадают некоторые полупроводники.

Правда, отношение о/сое зависит от частоты, а поэтому вещество, являющееся на одной частоте проводником, может на

Фиг. 98. Простая электрическая схема, показывающая, как проводящая среда реагирует на электромагнитную волну.

Полная плотность тока I делится между параллельно соединенными элементами цепи в отношении о/сое (это отношение плотности тока проводимости к плотности тока смещения). Большой удельной электропроводности о (малому удельному сопротивлению) соответствует большой ток проводимости, а малому емкостному реактансу 1/(08 — большой ток смещения. В случае проводника б/сов ^ 100, в случае диэлектрика (080 ^ 100, но это отношение зависит от частоты. Для рентгеновских лучей, т. е. на частоте со~ 1020 Гц, медь является диэлектриком.

другой частоте стать диэлектриком. В случае меди, для которой о = 5,8-107 сименс/метр и е ^ ег = 9 -1012 фарада/метр,

а ~1018

сое ~ Частота ’

поэтому вплоть до частоты 1016 герц (частота ультрафиолетового света) мы имеем о/сое >> 100 и медь является проводником. Но на частоте 1020 герц (частота рентгеновских лучей) величина о/сое < 100 и медь ведет себя как диэлектрик. Этим объясняется, почему в меди рентгеновские лучи проходят расстояние, равное многим длинам волн.

Обычно для диэлектрика о ^ 10-15 сименс/метр и е « 10-11 фарада/метр, так что

—104(о.

а

Следовательно, ток проводимости пренебрежимо мал на всех частотах.

Почему электромагнитные волныне проникают в проводник?

Чтобы ответить на этот вопрос, достаточно лишь рассмотреть простую цепь, в которой конденсатор С разряжается через резистор с сопротивлением R. Уравнение для напряжения имеет вид

А. + IR = 0.

Поскольку / = dq/dt, получаем

=ИЛИ q = q^-WG,

где qo — начальный заряд.

Мы видим, что электрическое поле будет существовать между пластинами конденсатора только в течение времени t « RC. Оно исчезнет, как только заряды равномерно распределятся по цепи. Электрическое поле может существовать только при наличии неоднородного распределения зарядов.

Если мы возьмем пластинку из любого вещества и поместим заряд q в некоторой точке внутри этой пластинки, то среда будет вести себя как 7?С-цепь и выражение

q = q^r^ примет вид

Однородное распределение зарядов будет устанавливаться за время t ~ е/о, поэтому электрическое поле будет поддерживаться только в течение этого времени. Время в/о называется временем релаксации среды (7?С — постоянная времени электрической цепи). Это максимальное время, в течение которого может существовать электрическое поле, пока распределение зарядов не станет однородным.

В веществе любое электрическое поле с частотой v < о/s затухает и устанавливается только высокочастотное поле, для которого v > о/е.

Волновое сопротивление проводящей средыдля электромагнитных волн

Волновое сопротивление среды без потерь — действительная величина. Волновое сопротивление линии передачи, о которой говорилось в гл. 6,

z»—ttV^ <°”>-

а для электромагнитных волн в диэлектрике

причем поля Ех и Ну синфазны.

В случае линии передачи мы видели, что при введении механизмов потерь в виде последовательного сопротивления Ro и шунтирующей проводимости Go импеданс становится комплексной величиной и принимает вид

Ro + i^Lp

Go 4- itoCo *

Спрашивается: каким будет волновое сопротивление для электромагнитных волн проводящей среды, характеризующейся величинами р, е и о? Если отношение ЕХ]НУ — комплексная величина, то это означает, что между двумя полями существует разность фаз.

Мы уже видели, что в проводнике

Ех = Еое^е”^,

где у = (1 + О (соро^)1^. Теперь предположим, что поле Ну отстает от Ех по фазе на ср, и напишем

Отсюда находим импеданс проводника

с~ Ну Ное *

Согласно уравнению (7.1а),

— ^Ех = — ^Нд;

поэтому импеданс

7 Ех /сор

имеет величину (wp/o)72 и фазовый угол ср = 45°, т. е. поле Ну отстает по фазе от Ех на 45°. Мы можем также переписать Zc в виде

сор \*/2

ИЛИ

zc =zc =Но._8о__Ц_^£^Ф>Но._8о__Ц_^£^Ф>808 Pq СТ808 Pq СТ

zc =

zc =

Но._8о__Ц_^£^Ф>

Но._8о__Ц_^£^Ф>

808 Pq СТ

808 Pq СТ

где величина импеданса

\ZC 1 = 376,6 Ом а!^ а!—.

N N °

На длине волны X = ОД м, т. е. на частоте v = 300 МГц, величина сое/о для меди равна 2,9-10-9 и |ir«8r«l. Отсюда следует, что на данной частоте Zc = 0,02 Ом. Если о = оо, то Zc = 0 и электрическое поле Ех обращается в нуль. Следовательно, мы можем сказать, что, когда импеданс Zc мал или равен нулю, проводник ведет себя по отношению к электрическому полю как короткозамкнутая цепь. Это приводит к большим токам проводимости и увеличению магнитной энергии.

Из выражения для импеданса диэлектрика

Ну Vе

следует, что плотности энергии электрического и магнитного полей одинаковы, т. е. 72Н^ = 728£д* Величина импеданса проводника

г.=1^|=(^Г.

поэтому отношение плотности энергии магнитного поля к плотности энергии электрического поля в электромагнитной волне таково:

Ч^Н^и а = а

ЧзбЕ^8 СОЦ (08

Мы уже знаем, что для проводника это отношение очень велико, поскольку оно равно отношению тока проводимости к току смещения. Следовательно, в проводнике энергия магнитного поля значительно превышает энергию электрического поля и увеличивается по мере уменьшения энергии электрического поля.

Отражение и прохождение электромагнитных волнна границе раздела сред (нормальное падение)

На фиг. 99 изображена неограниченная плоская поверхность, разделяющая две среды с импедансами Zx и Z2 (действительными или комплексными), на которую нормально падает электромагнитная волна. Составляющие полей показаны на схеме, где индексы ц г и t обозначают падающую, отраженную и прошедшую волны. Отметим, что направление вектора Ег X Нг

должно быть противоположно направлению вектора Е< X Н/, чтобы выполнялось условие непрерывности потока энергии, описываемого вектором Пойнтинга.

Согласно теории электромагнитного поля, граничные условия заключаются в том, что тангенциальные, т. е. параллельные

Фиг. 99. Отражение и прохождение электромагнитной волны, падающей нормально на плоскую границу раздела сред с волновыми сопротивлениями ZX И Z2.

Как показывает направление вектора Пойнтинга для отраженной волны (Е X H)f, при отражении может изменить свою фазу на противоположную по знаку либо Е, либо Н в зависимости от относительных величин Zx и Z2.

границе, составляющие полевых векторов Е и Н непрерывны на границе раздела сред. Таким образом,

Е£ + ЕГ = ЕЬ Ht + Hr=Hb где

НI у Ег У Ef у Нг™ V Нг~

Используя эти соотношения, легко показать, что

Ег Z2 — ZxEt 2Z2

EtZx-V Z2*E(Zx + Z2 *

Последние формулы согласуются с коэффициентами отражения и пропускания, которые мы нашли для других волн. Если волна, распространяющаяся в воздухе, падает нормально на идеальный проводник с Z2 = 0, то

Е г Z2 — Zx .

Et “ Z2 + Zx —1

что соответствует полному отражению, и

Et 2Z2

EL "" Z2 + Zx “

Следовательно, хорошие проводники хорошо отражают электромагнитные волны. Например, световые волны хорошо отражаются от металлических поверхностей (см. сводку результатов на стр. 382).

Связь между волновым сопротивлениеми показателем преломления

Если электромагнитная волна падает из свободного пространства на диэлектрик, то показатель преломления диэлектрика п определяется выражением

п = — = J= У ег = -—- =

У V Ново V Г ^2 Z (свободного пространства)

Z (диэлектрика) *

поскольку р/р0 ~ pr ~ 1. В том случае, когда Z^ описывает проводник, a Zx — свободное пространство, показатель преломления

Z2 Ct + ZCt

где 0=Vho/8o и ^=^^1^0, является комплексным.

Комплексный показатель преломления всегда говорит о наличии поглощения, поскольку комплексное волновое сопротивление определяется комплексной константой распространения. Например, здесь Z2 = иор/у, поэтому

Z2 \ е0 zcop \2'' \ 2(оео ’

где VНо/Н ~ 1 • Следовательно, отношение Er/Ei комплексно (между падающим и отраженным полями существует разность фаз) и имеет величину

Е rZ^ — Z\ а -V id — P 1 — P/ct -|- z*

EiZ2 + Zxa + id + P1 + P/ct + i ’

где P/a ^> 1.

Поскольку отношение Er]Ei комплексно, энергетический коэффициент отражения R находится путем возведения в квадрат модулей числителя и знаменателя данного отношения:

р _ I Ег |2 _ | Z2 - Z, |2 _ (1 - p/a)2 + 1 _

К |£,|2|Z2 + ZJ2 (l+p/a)2+l

= 1 — 2 + 2р/а + (Р/а)21 Г (ПРИ ^а ^‘

Следовательно,

(Задачи 7.15—7.23.)

Задача 7.1

Покажите, что, рассматривая величину В2/2р (плотность маг* нитной энергии) как давление магнитного поля, можно объяснить взаимное притяжение двух параллельных проводов, по которым проходят токи в одном направлении, и их взаимное отталкивание в том случае, когда токи противоположны по направлению. (Нужно взять точку, лежащую посредине между двумя проводами.) Покажите, что точно так же можно объяснить движение проводника с током во внешнем постоянном магнитном поле.

Задача 7.2

Электрическое поле на расстоянии г от частицы массой m и зарядом е определяется по формуле Е = е(4леог2. Проинтегрировав плотность электростатической энергии по всему пространству, кроме сферической области радиусом а, в центре которой находится частица, и приравняв полученную энергию величине тс2, покажите, что «классический» радиус электрона равен

а = 2,82- 10"15 м.

Задача 7.3

Количество тепла, выделяющегося в единицу времени в длинном цилиндрическом проводе, по которому проходит ток /, равно I2R, где R — сопротивление провода. Покажите, что это джоулево тепло можно вычислить как поток энергии в провод из окружающего пространства, равный произведению вектора Пойн- тинга на площадь поверхности провода.

Задача 7.4

Покажите, что при увеличении тока в длинном равномерно намотанном соленоиде с радиусом витков г полный поток энергии в соленоид на длине / (равный вектору Пойнтинга, умноженному на площадь поверхности соленоида 2л/7) равен скорости изменения во времени магнитной энергии, запасенной на этой длине соленоида.

Задача 7.5

Плоскополяризованная электромагнитная волна (£х, Ну), о которой говорилось в данной главе, распространяется в свободном

пространстве. Покажите, что вектор Пойнтинга (поток энергии, измеряемый в единицах Вт/м2) дается выражением

S = ЕхНу = с (у е0Ех + у Цо#») = csofx, где с — скорость света. Интенсивность такой волны1)

Т = Scp = С^Е" = ~ С8о£макс»

Покажите, что

S = 1,327 . 10“3E2MaKJ £Макс = 27,455'/г В/м;

Ямакс = 7,3. 10-3§‘А А/м.

Задача 7.6

Световой импульс рубинового лазера представляет собой линейно-поляризованный волновой цуг с постоянной амплитудой. Его длительность равна 10-4 секунды, и он переносит энергию 0,3 джоуля. Диаметр круглого поперечного сечения пучка составляет 5-Ю-3 метра. Используя результат задачи 7.5, вычислите плотность энергии в пучке и покажите, что среднеквадратичное значение электрического поля волны составляет 2,4-105 вольт/метр.

Задача 7.7

На один квадратный метр земной поверхности, освещаемой Солнцем, при нормальном падении приходится поток энергии, равный 1,35 киловаттам. Покажите, что амплитуда электрического поля на поверхности Земли равна 1010 В/м, а соответствующее магнитное поле волны имеет амплитуду 2,7 А/м (см. задачу 7.5). Плотность энергии электрического поля ^ef2 имеет размерность давления. Вычислите радиационное давление солнечного света на Землю.

Задача 7.8

Полная энергия, теряемая Солнцем, равна энергии, получаемой единичной площадью земной поверхности, умноженной на площадь поверхности сферы радиусом, равным расстоянию между Солнцем и Землей (15-107 км). Покажите, что масса, превращаемая за единицу времени в энергию излучения и теряемая Солнцем, составляет 4,2-109 кг (см. задачу 7.5).

Задача 7.9

Средняя мощность излучения радиостанции, распределенного равномерно по полусфере с центром в точке расположения

J) Здесь чертой сверху обозначено усреднение по времени. — Прим, персе.

станции, составляет 105 Вт. Найдите величину вектора Пойн- тинга, а также амплитуду электрического и магнитного полей плоской электромагнитной волны в точке, находящейся на расстоянии 10 км от станции (см. задачу 7.5).

Задача 7.10

Плоскополяризованная электромагнитная волна распространяется вдоль линии передачи, состоящей из двух параллельных идеально проводящих полос, промежуток между которыми заполнен средой с магнитной проницаемостью ц и диэлектрической проницаемостью е. На фиг. 100 изображен отрезок этой ли

нии передачи объемом 1 м3 и показаны соответствующие векторы поля. Электрическое поле Ех индуцирует на проводниках равные по величине, но противоположные по знаку поверхностные заряды с плотностью гЕх кулон на квадратный метр. Движению этих поверхностных зарядов в направлении распространения волны соответствует поверхностный ток (как и в случае фиг. 85). Покажите, что этот ток равен НУ) а волновое сопротивление линии передачи имеет вид

Задача 7.11

Покажите, что по размерности уравнение (7.6) соответствует уравнению

V = L— ,v dt *

где V — напряжение, L — индуктивность, а / — ток.

Задача 7.12

Покажите, что при распространении пакета электромагнитных волн с почти равными частотами в проводящей среде групповая скорость в 2 раза больше фазовой.

Задача 7.13

Удельная проводимость среды о = 10-1 сименс/метр, относительная диэлектрическая проницаемость ег = 50 (не зависит от частоты) и относительная магнитная проницаемость цг = 1. Определите, является среда проводником или диэлектриком на частоте:

а) 50 кГц, б) 104 МГц [е0 = (36л• 109)"1 Ф/м; ц0 = = 4л-10"7 Г/м.]

Ответ: а) о/сое = 720 (проводник); б) о/сое = 3,6-10-3 (диэлектрик).

Задача 7.14

Электрические и магнитные свойства воды в Атлантическом океане характеризуются следующими параметрами: ег = 81, pr = 1, о = 4,3 сименс/метр. Покажите, что вода океана ведет себя как проводник до частоты порядка 10 МГц. Какова наибольшая длина волны электромагнитных волн, которые могут распространяться под водой?

Задача 7.15

Покажите, что при нормальном падении плоской электромагнитной волны из воздуха на плоскую проводящую поверхность прошедшее магнитное поле равно Ht ~ ^Ht и в воздухе возникает стоячая волна магнитного поля с очень большим коэффициентом стоячей волны. Покажите, что если волна, распространяющаяся в проводнике, нормально падает на плоскую границу раздела проводник — воздух, то при отражении Et = 2EV Покажите, что первый случай аналогичен короткозамкнутой, а второй — разомкнутой линии передачи.

Задача 7.16

Покажите, что в проводнике среднее значение вектора Пойн- тинга определяется выражением

Scp = ~ EqHq cos 45° =

= ~ Но • (действительная часть Z^ Вт/м2,

где Eq и Hq — амплитуды полей. Плоская волна, имеющая частоту 103 МГц и поле Eq = 1 В/м, распространяется в воздухе и падает по нормали на большой медный лист. Сначала покажите, что действительная часть импеданса проводника равна 8,2-Ю-3 Ом. Затем (учитывая удвоение Но в проводнике, см. задачу 7.15) покажите, что средняя мощность, поглощаемая на одном квадратном метре медной поверхности, составляет 1,6-10~7 Вт.

Задача 7.17

Для хорошего проводника ег = Цг = 1. Покажите, что при отражении электромагнитной волны, падающей по нормали на такую проводящую поверхность, коэффициент потерь энергии (1 —R, где R— коэффициент отражения) точно равен VScoe/o. Таким образом, отношение плотности тока смещения к плотности тока проводимости служит прямой мерой отражательной способности поверхности.

Задача 7.18

Воспользуйтесь результатами вычисления вектора Пойнтинга в проводнике в задаче 7.16 и покажите, что отношение этой величины к вектору Пойнтинга в воздухе точно равно V&oe/or, как и должно быть, в силу решения задачи 7.17.

Задача 7.19

Электрическое и магнитное поля в проводнике электромагнитной волны, о которой говорится в задачах 7.17 и 7.18, имеют вид

Ех = Ае-к*еи^-кг\

н =а(— YA е-кге1

у Ч СОЦ /’

где к = (сдцог/2)1/2. Покажите, что среднее значение вектора Пойнтинга в проводнике таково:

Это энергия, поглощаемая в единицу времени единицей поверхности проводника. Но мы знаем, что волна проникает в провод-

ник только на расстояние порядка глубины скин-слоя и, значит, эта энергия быстро превращается в другие формы энергии. Скорость изменения потока энергии с расстоянием равна д5ср/дг, т. е. она равна энергии, преобразующейся в другие формы энергии за единицу времени в единичном объеме. Покажите, что эта величина равна удельной проводимости а, умноженной на квадрат среднего значения электрического поля Е, т. е. джоулеву теплу, выделяемому токами в поверхностном слое проводника, толщина которого по порядку величины равна глубине скин-слоя.

Задача 7.20

Покажите, что при нормальном падении света, распространяющегося в свободном пространстве, на поверхность диэлектрика с показателем преломления п относительные интенсивности отраженного и прошедшего света определяются коэффициентами R и Т:

п У^гУ fl-nV4п

—к 1 + п ; ’1“ (1 + пУ е

(Отметим, что R + Т = 1.)

Задача 7.21

Допустим, что среда в задаче 7.20 — это стекло ^п = 1,5). Покажите, что R = 4% и Т = 96% и что если электромагнитная волна с частотой 100 МГц нормально падает на воду (8г = 81), то R = 65% и Г = 35%.,

Задача 7.22

Свет проходит через стеклянную пластинку перпендикулярно ее поверхности, испытывая только одно отражение на границе воздух — стекло и одно отражение на границе стекло — воздух. Какая интенсивность при этом теряется?

Задача 7.23

Излучающая антенна простейшего типа представляет собой просто кусок провода длиной х0, в котором поддерживается переменный ток. Выражение для мощности излучения антенны такое же, какое было использовано на стр. 48 для колеблющегося электрона:

= J7^o_dt 12ле0с3 ’

где q — заряд электрона, а со — частота колебаний. Ток / в антенне можно записать в виде /0 = со^. Исходя из того, что

Р = 11гР^ покажите, что сопротивление излучения ^=^-л/?(тУ = 787 (тУ

где X— длина волны излучения (выражение справедливо при X > хо).

Покажите, что если антенна имеет длину 30 м и излучает на частоте 5-Ю5 Гц, а среднеквадратичный ток равен 20 А, то сопротивление излучения антенны равно 1,97 Ом, а мощность излучения равна 400 Вт (проверьте условие X *> х0).

Сводка основных результатов

Диэлектрик*. ц и е (о = 0) Волновое уравнение

д2Ех д2Ех / 9

Vu =

д2Нн _ д2Нудг2"-118 dt2 1

Волновое сопротивление

= /\J-^- (волновое сопротивление свободного

пространства равно 376,7 Ом).

Плотность энергии Ч^Ех + Ч^Ну._

Средний поток энергии = Интенсивность = S = и • (средняя плотность энергии) = и (!/2 е£х+72Н ^)сРедн = wE^ = Ч^й маКс.

Проводник*, ц, 8 и а

Добавление диффузионного уравнения к волновому уравне.- нию для учета потерь, обусловленных проводимостью о, приводит к уравнению

дг2дг2д2Ех , дЕх ^е № + ца dtд2Ех , дЕх ^е № + ца dt

дг2

дг2

д2Ех , дЕх ^е № + ца dt

д2Ех , дЕх ^е № + ца dt

решение которого имеет вид

Ех = Еое"к2е1 ^-^\ где

й2 = (оца/2.

Г дубина скин-слоя

6 = *^ (на этой глубине Ех = Е^е~хУ

Критерием поведения вещества как проводника или как диэлектрика является отношение

Ток проводимостиа ,х

——= — (отношение зависит от частоты).

Ток смещениясое х’

Волновое сопротивление Zc (проводника) определяется выражением

V^ \ а 7

и имеет величину Zc = 376,6 V\Ц^т ^^h 0м- Коэффициенты отражения и пропускания

^= ^^г^- Ф и Z могут быть комплексными),

Et 2Z2

Ei ^2 + ^1

Показатель преломления

п =п =сZ(свободного пространства)

п =

п =

иZ (диэлектрика)

Глава 8

Волны в пространстве двухи трех измерений

Плоская волна в пространстве двух и трех измерений

Волны, распространяющиеся в двумерном пространстве со скоростью с, можно представить линиями постоянной фазы (фиг. 101), которые перемещаются в направлении вектора к. Вектор к перпендикулярен каждой такой линии, а его модуль равен волновому числу 2лХ.

Фиг. 101. Горбы (сплошные линии) и впадины (штриховые линии) двумерной плоской волны, перемещающиеся в направлении вектора к (направляющие косинусы которого равны / и т).

Волна определяется уравнением lx A- my=p=ct, где р—расстояние, отсчитываемое от начала координат и проходимое волной за время t со скоростью с.

Направляющие косинусы вектора к определяются следующими формулами:

причем к2 = к\-\~ Й- Произвольная точка г(х, у) линии постоянной фазы удовлетворяет уравнению

lx + my = p = ct,

где р — расстояние от начала координат до данной линии. Смещения во всех точках г (%, у), лежащих на одной линии, имеют одну и ту же фазу. Разность фаз ф между колебаниями волны в начале координат и в точках данной линии дается выражением

Ф = ^- (разность пути) = -^ р = к • г = кхх + к2у = кр.

Следовательно, в случае волн в двумерном и трехмерном пространстве выражение tot — ф = tot — кх, которое мы имели в случае одномерной волны, заменяется выражением tot— к г. Например, мы будем использовать экспоненциальное выражение

gi (6)Z—к*г)

В пространстве трех измерений все точки г (%, у, г) определенного волнового фронта лежат на плоскостях постоянной фазы, удовлетворяющих уравнению

.lx + my + nz = р = ct,

а вектор к перпендикулярен такой плоскости и имеет направляющие косинусы

k\к^к3

(следовательно, к? = К\ + кХ + кз). Расстояние р от начала координат до данной плоскости постоянной фазы определяется уравнением

kp = к • г = кхх + k2y + k3z.

Волновое уравнение в случае двух измерений

Рассмотрим волны, распространяющиеся по плоской натянутой мембране, толщина которой пренебрежимо мала. Масса мембраны, приходящаяся на единицу поверхности, равна р. Мембрана растянута под действием однородного натяжения Т. Это означает, что если на поверхности мембраны провести линию единичной длины, то материал, находящийся по одну сторону от этой линии, действует на материал, находящийся по другую сторону, с силой Т, направленной перпендикулярно линии.

Если равновесным положением мембраны является плоскость ху, то колебательные смещения, перпендикулярные этой плоскости, будут описываться функцией г, которая зависит от координат х и у. На фиг. 102, а изображен малый прямоугольный элемент со сторонами 6х и dz/, совершающий колебания. На стороны элемента в направлениях, указанных на схеме, действуют силы ТЬх и Тбу, которые стремятся вернуть элемент в его равновесное положение.

При выводе уравнения для волн на струне мы видели, что натяжение Т вдоль искривленного элемента струны длиной dx создавало силу, перпендикулярную оси х и равную

T^dx,

где у — перпендикулярное смещение. Здесь на основании фиг. 102, б мы точно так же получим, что сила Т&у, действую-

Фиг. 102. Прямоугольный элемент однородной мембраны, колеблющейся в направлении оси 2.

Вдоль краев элемента бх действует возвращающая сила Тбх» а вдоль краев элемента длиной оу— возвращающая сила ТЬу.

щая на элемент мембраны длиной бх, определяет силу, направленную вдоль оси 2,

ТЬу^Ьх

(где г— перпендикулярное смещение), а другая сила Т^х, действующая на элемент мембраны длиной бу, определяет силу

Т^х^Ьу.

Сумма этих возвращающих сил, действующих в направлении оси 2, равна массе элемента рбхбу, умноженной на ее ускорение вдоль оси 2:

т^^х^у-¥т 1^х?,У = 9ЬхЬу^.

Отсюда получаем двумерное волновое уравнение:

d2z . d2z р d2z 1 d2z

дх2 ду2 at2 — с2 at2 ’

где с2 = Т(р. В случае волн, распространяющихся по такой мембране, смещение будет описываться выражением

— Ае^ (й^~кеГ) — Ael W-kk\x-¥WA

где ^2 = ^i + ^2. Читателю нетрудно убедиться, что это выражение для z действительно удовлетворяет двумерному волновому уравнению. (Задача 8.1.)

Волноводы

Отражение двумерной волны от абсолютно твердых границ Сначала мы рассмотрим двумерную волну, распространяющуюся в направлении вектора k (feb &2) по мембране шириной 6, лежащей в плоскости ху. Мембрана натянута с силой Т на двух жестких стержнях, обладающих бесконечно большим волновым сопротивлением (бесконечно большим механическим импедансом).

у=ьу=ьу=0у=0БесконечныйБесконечныйимпедансимпедансФиг. 103. Распространение двумерной волны вдоль натянутой мембраны.Фиг. 103. Распространение двумерной волны вдоль натянутой мембраны.На границах мембраны у=0, у=Ь волновое сопротивление равно бесконечности, так что величина kt меняет знак при каждом отражении волны.На границах мембраны у=0, у=Ь волновое сопротивление равно бесконечности, так что величина kt меняет знак при каждом отражении волны.

у=ь

у=ь

у=0

у=0

Бесконечный

Бесконечный

импеданс

импеданс

Фиг. 103. Распространение двумерной волны вдоль натянутой мембраны.

Фиг. 103. Распространение двумерной волны вдоль натянутой мембраны.

На границах мембраны у=0, у=Ь волновое сопротивление равно бесконечности, так что величина kt меняет знак при каждом отражении волны.

На границах мембраны у=0, у=Ь волновое сопротивление равно бесконечности, так что величина kt меняет знак при каждом отражении волны.

Из фиг. 103 мы видим, что при отражении от линии у = b компонента к\ остается неизменной, а компонента к^ изменяет знак и принимает значение —к^ Отражение при у = 0 оставляет неизменной компоненту к\, а компонента —к^ снова меняет свой знак и принимает начальное значение к^. Следовательно, система волн на мембране будет определяться суперпозицией падающей и отраженной волн, т. е.

2 = Д1 sin [со/ — (^1% + ^2^/)] + Л2 sin [^ “ (&1* — ^)], где г удовлетворяет граничным условиям г = 0 на прямых у = 0 и у = 6, соответствующих бесконечно большому волновому сопротивлению.

Из условия 2 = 0 при у = 0 следует, что

Л2 = — Ль

Второе граничное условие (г = 0 при у = Ь^ дает уравнениеsin k2b = 0

или

к2=^-, n= 1, 2, 3, ... .

(Задача 8.2.)

При этих значениях Дг и к2 получаем, что смещение

z = — 2Л1 sin к2у cos (со/ — кхх)

соответствует волне, распространяющейся вдоль оси х с фазовой скоростью

В случае бесконечно широкой мембраны скорость со

у = Т<уР'

поскольку к2 = к2 + к2.

Но

#2 A2 I n2jl2

к =к\ Н—^2", поэтому

61 = г6,_"У''_г4-"у''

X b2 /\ и2 Ь2 )

и групповая скорость волны в направлении оси х принимает вид да> к\ о

V„ = -тг- = — и2 = -77- V,8 дкх со к

Отсюда находим произведение фазовой скорости на групповую: УрУг=У2.

Поскольку для бегущей волны компонента кх должна быть действительной, из соотношения

К,^2

мы находим условиемы находим условиесо2 м2л2у2 / Ь2 ’со2 м2л2у2 / Ь2 ’

мы находим условие

мы находим условие

со2 м2л2

у2 / Ь2 ’

со2 м2л2

у2 / Ь2 ’

пиOb’’пиOb’’т. е.

пи

Ob’’

пи

Ob’’

пло

—г— ИЛИ b

где п — номер моды, которым определяется распределение ее амплитуды по оси у. Таким образом, только волны определенной частоты v могут распространяться по мембране, а мембрана действует как волновод.

Для каждой моды с номером п имеется критическая частота nnvlb, а поэтому волновод действует как частотный фильтр (то же самое говорилось о волнах, распространяющихся вдоль на-

груженной струны, в гл. 3). Благодаря наличию множителя sin кчу в выражении для смещения г амплитуда волны изменяется в поперечном направлении у так, как показано на фиг. 104 для мод с номерами п = 1, 2, 3. Таким образом, в любом направлении, в котором для волн имеются абсолютно твердые границы, возникают стоячие волны, подобно тому как это

Фиг. 104. Изменение амплитуды вдоль оси у в случае двумерной волны, рас-пространяющейся по мембране, изображенной на фиг. 103.

Нормальные моды (приведенные здесь для п = 1, 2 и 3) устанавливаются вдоль любого отрезка, на концах которого волновое сопротивление равно бесконечности.

происходит в случае струны с закрепленными концами. На вытекающих отсюда следствиях мы остановимся в разделе, посвященном нормальным модам и методу разделения переменных.

Волноводы используются для всех видов волн, в частности для акустических и электромагнитных. На принципе волновода основана волоконная оптика, но наибольшее распространение получили волноводы для электромагнитных волн, применяемые в системах дальней связи. В таких волноводах отражающими поверхностями служат стенки медных труб круглого или прямоугольного поперечного сечения. Отметим, что в этом случае скорость волны в свободном пространстве переходит в фазовую скорость

ир>с=Т’

но в силу соотношения UpVg = с2 групповая скорость vgl с которой переносят энергию волны, по-прежнему меньше скорости света: vg < с. (Задачи 8.3—8.11.)

Нормальные моды и метод разделения переменных

Мы только что показали, что при распространении волн в двумерном и трехмерном пространстве вдоль любого отрезка, на концах которого волновое сопротивление равно бесконечности, образуется стоячая волна.

В гл. 4 мы установили, что стоячие волны могут существовать на струне фиксированной длины /. В этом случае смещение

имеет вид

( sin kx sin (о^, у = A s ,

( cos kx cos <од/,

где А — постоянная. Любое из этх двух решений можно взять, если оно удовлетворяет заданным граничным начальным условиям. Когда оба конца струны закреплены, условием у = О исключается решение, содержащее cos кх. Из условия у = О, х = / следует, что кп1 — пл, или кт = пл// = 2лДп, откуда / = пХп/2. Из формулы для волновой скорости с = ^пХп находятся разрешенные частоты юп = 2лvZг = тсЦ, которые называются частотами собственных колебаний или частотами нормальных мод колебаний.

Мы получим такое решение методом, допускающим обобщение на случай волн в двумерном и трехмерном пространстве. Как мы уже видели, решение волнового уравнения

д2ф 1 д2фдх2 с2 dt2

может быть записано в виде произведения двух множителей, один из которых зависит только от х, а другой — только от t.

Применяя так называемый метод разделения переменных, напишем ф = Х^ТЦУ После подстановки волновое уравнение принимает вид

у д2Тдх2 1 — с2 л dt2 '

или

XxJ = -\-XTtb

где двойными индексами обозначено двойное дифференцирование по соответствующим переменным. Разделив обе части уравнения на ф = Х(х)Г(/), получим

Ххх 1 TttX ~ с2 Т е

Здесь левая часть уравнения зависит только от х, а правая часть — только от t. Но, поскольку х и /— независимые переменные, такое равенство может выполняться только тогда, когда обе его части не зависят от х и / и равны некой постоянной. Для удобства обозначим эту постоянную через —к2. Итак,

■^- = — к2, откуда Ххх + к2Х = О, и

-^ ^~ = — к2, откуда Тц + с2к^Т = 0.

Таким образом, функция Х(х) имеет вид е-1к\ а функция Т(/)— вид e-lckt. Поэтому ф = де-1кхе^1ск^ где д — постоянная. Частное решение мы выберем в уже знакомой нам форме, написав

ф — Де1 kckt-kx> — Де1 Ш-кх),

где со = ск. Это решение мы можем переписать в таком же виде, как и решение, приведенное выше:

( sin кх sin ckt,ф=Л{ и

( cos кх cos ckt.

Двумерный случай

Обобщая этот метод на случай двумерных волн, мы рассмотрим волновое уравнение следующего вида:

д2ф . д2ф 1 д2ф дх2ду2с2 dt2 *

Написав ф = X(x")Y(у)Т(/), где Y(у) зависит только от у, после двукратного дифференцирования и деления на ф = XYT, получаем

Ххх^уд 1 Ttt

Левая часть этого уравнения зависит только от х и у, а правая — только от L Поскольку х, у и t — независимые переменные, обе части должны равняться некой постоянной, скажем —&2. Это означет, что входящие в левую часть уравнения функции переменных х и у при всех значениях х и у различаются только на константу. Поэтому каждая такая функция есть постоянная. Следовательно, мы можем написать

^ХХ,2^УУ,2

^К>\> у^2,

= — (^2 + 62) = —

Отсюда получаем

Ххх + ^Х — О,

Ytiy-V^Y = 0,

Ttt + c2k2T = 0 и

ф — Ae^ik\Xe^ikzye^lckt

где fe2 = fei + ^2, или в обычной форме:

( sin кхх sin к2у sin ckt,Ф I cos к\Х cos к2у cos ckt.

Трехмерный случай

В трехмерном случае действуем точно так же. Волновое уравнение имеет вид

д2(р . д2ф . д2ф 1 д2ф

дх2ду2 дх2с2 dt2 ’

а его решение записывается в виде

Отсюда получаем

( sin к\Х sin к2у sin k^z sin ckt, "

Ф 1 cos kxx cos k2y cos k3z cos ckt,

где k\ + kX + £з = к2. Пользуясь векторными обозначениями, мы можем переписать решение в виде

Ф = Aei^t-k-r^

где кг = кхх + к2у + k^z. •

Двумерные нормальные моды прямоугольной мембраны

-*—а-^ДЛ^Л/А/^соз ос —►-*—а-^ДЛ^Л/А/^соз ос —►Предположим, что волны распространяются по прямоугольной мембране в направлении вектора к. Длины сторон мем-

-*—а-^ДЛ^Л/А/^соз ос —►

-*—а-^ДЛ^Л/А/^соз ос —►

Фиг. 105. Нормальные моды для прямоугольной мембраны в направлении вектора к.

Они удовлетворяют граничным условиям в виде равенства нулю смещения на краях мембраны, имеющих длины а = пх (Х/2) cos а и Ь — пг (А/2) cos 0.

браны равны а и b (фиг. 105). Расстояние между соседними штриховыми линиями равно Х/2. Стоячие волны будут существовать всегда, когда а = пхАА' и b = п2ВВ', где п\ и П2 — целые числа.

Но* Л Л к Л 2л 1 л

2 cos а2 кх2 Л кхкх '

а поэтому М)Л у /1]Л

CL = —Т— >К\ —,

кх 1 а ’

и аналогично / fl2^

Следовательно, /2/2 | ,2( ^Х . Л2 ^

к = кхА-к2 = -£г = и +

Последним выражением определяется частота моды ^пх, n^ji

Здесь с2 = Г/р, а ni и П2 характеризуют распределение смещения моды по осям х и у.

Если вектор к не перпендикулярен ни одной из сторон а или Ь, то мы можем написать общее решение для волн в следующем виде:

2 = Л2 = Лsin кхх sin к2у sin ckt >

2 = Л

2 = Л

cos кхх cos к2у cos ckt J .

При этом должны выполняться граничные условия 2 = 0 при х = 0, а; г = 0 при у = 0, Ь.

Условию 2 = 0 при х = у = 0 удовлетворяет решение, содержащее множитель sin кхх sin к^у. Условием 2 = 0 при х = а определяется значение кх = пхя]а, а условием 2 = 0 при у = = b — значение к^ = п^Ь. В результате получаем

- . П1ЛХ . п2тси .

2 = Л sin —— sm —-, - sin ckt.

ab

Основная частота, соответствующая nx = n,2 = 1, принимает вид

В общем случае произвольной моды (пх, п2) линии нулевого смещения, или линии узлов, соответствуют прямым

Некоторые из этих нормальных мод представлены на фиг. 106, где заштрихованы области со смещением, противоположным смещению в незаштрихованных областях.

и,п

Фиг. 106. Некоторые нормальные моды прямоугольной мембраны.

Смещение изменяется по закону синуса и в заштрихованных областях мембраны противо-положно по знаку смещению в незаштрихованных областях.

Полное решение для смещения должно, как и в более простом случае волн на струне (см. главу, посвященную рядам Фурье), быть суммой отдельных нормальных мод, удовлетворяющей заданным граничным и начальным условиям. Частоты некоторых мод с разными значениями п,х и п2 могут быть одинаковыми. Например, в случае квадратной мембраны одинаковы частоты всех четырех мод (4,7), (7,4), (1,8) и (8,1). Если мембрана прямоугольная и а = ЗЬ, то моды (3,3) и (9,1) имеют одинаковые частоты. Такие моды называются вырожденными. Данный термин употребляют и в применении к одинаковым энергетическим уровням электронов в атоме, соответствующем разным квантовым числам.

Трехмерные нормальные моды

В трехмерном случае нормальная мода характеризуется числами пх, п2, Пз и имеет частоту

где /ь U и /3— длины сторон прямоугольника, внутри которого распространяются волны. Теперь мы образуем прямоугольную

Фиг. 107. Решетка из прямоугольных ячеек в пространстве частот.

Длина вектора, идущего из начала координат в угол любой ячейки, численно равна частоте

V

9 / 92 / 22 /2

Mj// 1 *^ 2 + п3г 3* НапРавление вектора совпадает с на

правлением распространения волн данной моды.

решетку, разбивая (фиг. 107) оси х, у и х на отрезки длинойс с с

Чц* Чй’ Чи

и принимая длины этих отрезков за единицы измерения расстояния вдоль соответствующих осей. Тогда мы можем взять вектор с проекциями на оси х, у и г, равными гц, п2 и п^ полная длина которого будет равна

Таким образом, каждую частоту можно представить отрезком, соединяющим начало системы координат с точкой (сп\(21ь cn^U, cn^ls) прямоугольной решетки. Длина отрезка численно равна частоте, а его направление совпадает с направлением, в котором образуется стоячая волна.

Каждая точка решетки будет соответствовать вершине угла прямоугольной единичной ячейки со сторонами cl^lx, с/212 и с!^ и объемом c^Blxkh. Ячеек будет столько, сколько имеется точек (т. е. частот), поскольку каждая ячейка содержит восемь точек, расположенных в ее углах. Каждая точка служит вершиной угла для 8 ячеек.

Возникает очень важный вопрос: сколько же всего нормальных мод (стационарных состояний в~ случае квантовой механики), которые могут существовать в частотном интервале от v до v + dv. Ответ таков: их столько, сколько положительных целых чисел (пь п2, п3), удовлетворяющих неравенству

„ С2 f Пл£Пл\

4 \12/

соответствующему формуле (8.1).

То есть нужно найти число возможных точек (пх, п2, п^, лежащих в положительном октанте между двумя концентрическими сферами с радиусами v и v + dv. Число соответствующих точек в других октантах будет просто равняться числу точек в положительном октанте, поскольку приведенные выше неравенства квадратичны по п.

Следовательно, полное число возможных точек, или ячеек, будет равно

1 Объем сферического слоя 4лу2 dv 8/^/3 л 1 1 1 v2 ^v

8 Объем ячейки8 с3 л 1 2 з сз •

Таким образом, число возможных нормальных мод, лежащих в частотном интервале от v до v + dv и приходящихся на единицу объема, равно

4лу2 dvс3

Эта величина, число нормальных мод на единицу объема, не зависит от конкретной системы. Для примера рассмотрим два важных приложения полученной формулы.

Частотное распределение энергии,излучаемой нагретым телом,формула Планка

Электромагнитную энергию, излучаемую нагретым телом при температуре Т в малом частотном интервале от v до v + dv, можно представить как E^dv. Если эту величину измерить экспериментально в широкой области значений v, то в результате получится кривая Т\, изображенная на фиг. 108. Общая форма

этой кривой не зависит от температуры, но с ростом Т максимум кривой увеличивается и сдвигается в область более высоких частот.

Первые попытки найти аналитическое выражение для этой кривой основывались на двух результатах, которые нами уже использовались. В гл. 3, посвященной связанным колебаниям, мы установили связь между нормальными модами и «степенями

Фиг. 108. Кривые Планка (/) для излучения черного тела, соответствующие двум разным температурам Т2*>Тх, и кривая (2), построенная по классической формуле Рэлея — Джинса, которая приводит к «ультрафиолетовой катастрофе».

свободы» системы, т. е. числом путей, по которым система может получать энергию. В случае кинетической теории газа предположение о том, что на каждую степень свободы одноатомного газа, имеющего температуру Т, приходится энергия х!^кТ3 приводит к уравнению состояния газа pV = RT = NkT. Здесь N— число Авогадро, к — постоянная Больцмана и R — газовая постоянная.

Если мы предположим, что каждая частотная компонента излучения нагретого тела связана с нормальной модой осциллятора, имеющего две степени свободы и два состояния поляризации, то энергия, излучаемая в частотном интервале dv, может быть записана в виде произведения числа нормальных мод или осцилляторов в интервале dv на энергию кТ каждого осциллятора для каждого состояния поляризации. Отсюда получаем формулу

„ , 4nv2 d^ ^кТ Bn^2kT dv

d-v =,

которая называется формулой Рэлея — Джинса.

Но согласно этой формуле, плотность энергии пропорциональна v2 и, как показывает сплошная кривая на фиг. 108, неограниченно растет при очень высоких частотах. Этот не имеющий физического смысла результат известен под названием «ультрафиолетовой катастрофы».

Правильное решение данной проблемы было крупным успехом физики. Планк предложил квантовую теорию, в которой средняя энергия кТ заменяется величиной hv/\ehv/kT—1), где h — постоянная Планка (единица действия). Экспериментальная кривая правильно описывается формулой Планка

г. < 8rtv2 Av ,av ^з ehvjkT „ j ^v.

Теория удельной теплоемкости Дебая

Успехами современной теории удельной теплоемкости твердых тел мы во многом обязаны Дебаю, который предложил рассматривать тепловые колебания атомов в кристаллической решетке твердого тела как систему стоячих волн, занимающих большую область частотного спектра. Такая картина в пространстве трех измерений соответствует задаче об атомах, расположенных вдоль одной прямой (гл. 4). В теории удельной теплоемкости считалось, что каждый атом может совершать два поперечных колебания (соответствующих перпендикулярным плоскостям поляризации) и одно продольное колебание.

Тогда число возможных мод, или колебаний, приходящихся на единицу объема в частотном интервале от v до v + dv, имеет вид

dn = 4nv2 dv (-у- 4—, (8.2) \ СТ CL )

где Ст — скорость поперечной, a Cl — продольной волны. Согласно формуле Планка, средняя энергия каждой моды

Av

— ehM]kT _ j •

Поэтому полная энергия колебаний атомов в частотном интервале от v до v + dv для одного моля вещества, занимающего объем Va) равна

Av3 гAv3 г/91 \

Av3 г

Av3 г

Уаё^ = 4лУяНг + -Н\ СТCL /

Отсюда, интегрируя по всем разрешенным частотам, находим полную энергию, приходящуюся на один моль:

vm3kc

S

z о 1

Гле^/г = 4л17аГ-г+-г) J „ dv,

X СТ CL / о е ~

где vMaKc — максимальная частота колебаний.

В одном моле вещества содержится N атомов, где N — число Авогадро. Каждый атом может участвовать в колебаниях трех

Температура, КТемпература, КФиг. 109. Удельная теплоемкость твердого тела.Фиг. 109. Удельная теплоемкость твердого тела.

Температура, К

Температура, К

Фиг. 109. Удельная теплоемкость твердого тела.

Фиг. 109. Удельная теплоемкость твердого тела.

Сплошная линия—кривая, рассчитанная на основе теории Дебая, отдельные точки —экспе-риментальные данные для алюминия.

МОД, поэтому Приближенно величину VMaKC можно оценить, взяв интеграл от выражения (8.2) для одного моля:

J ^ = 3^ = 4лУлJ ^ = 3^ = 4лУл

J ^ = 3^ = 4лУл

J ^ = 3^ = 4лУл

VM3KC

X С о <

— | \ V2 =

1X

11 V3

,3„31макс*

ТCL/

Величины ст и cL можно вычислить, зная упругие постоянные твердого тела (см. гл. 5, где рассматриваются продольные волны). Затем можно найти vMaKc

Таким образом, величина Ед принимает вид

VM3KC

еКм]кТ _ jеКм]кТ _ jea = —— \V Jмакс о

еКм]кТ _ j

еКм]кТ _ j

Производная величины Ед по Т дает нам молярную теплоемкость вещества при постоянном объеме. На фиг. 109 представлена зависимость удельной теплоемкости алюминия от Т, рас-

считанная таким способом. Для сравнения здесь же приведены результаты экспериментального измерения теплоемкости. (Задачи 8.12—8.19.)

Отражение и прохождение трехмерной волнына плоской границе раздела сред

Для большей ясности мы рассмотрим конкретный случай прохождения световой волны через границу раздела воздуха и стекла, имеющий важное физическое значение. На фиг. НО представлен более общий случай, когда плоскополяризованная

Е Е^О при. z=0

Фиг. НО. Плоскополяризованная электромагнитная волна, распространяющаяся в плоскости чертежа, представлена вектором электрического поля Ei.

При отражении волны от плоской границы раздела двух сред с волновым сопротивлением Z\ и Z2 возникают отраженная волна Ef и прошедшая волна Е^. Никаких предположений относительно плоскостей распространения волн Ef и Е^ не делается. Из граничного условия непрерывности компоненты электрического поля Ех на плоскости #=0 следует: 1) что волны Ер Ef и Е^ распространяются в одной плоскости; 2) что 0 = 0' (угол падения равен углу отражения); 3) что sin 0/sin ф=п2/П1, где п — показатель преломления (закон Снеллиуса).

электромагнитная волна Ei падает под углом 9 к нормали на граничную плоскость z = 0, разделяющую два диэлектрика с волновыми сопротивлениями Zx и Z2. При этом возникают отраженная волна Ег и преломленная волна Е/.

Согласно граничным условиям, тангенциальное электрическое поле Ех непрерывно при г = 0. Волновой вектор к/, задающий направление распространения волны Е/, лежит в плоскости чертежа (у = 0), но никаких предположений относительно распространения отраженной и прошедшей волн (а также относительно плоскостей колебаний их векторов электрического поля) мы не делаем.

Запишем векторы электрических полей в виде р _ дgi \wt-k. (Z^x+n^z)] Д ^ [со£-^ (х sin 0+z cos 0)]

Е = Д^ [coZ-^ (Z^+zr^+^z)],

Ef = Д^ t^-kt(ltx*mtv*ntz)^

где kr и kf — волновые векторы отраженной и прошедшей волн, а I, т и п — соответствующие направляющие косинусы. Поскольку поле Ех непрерывно при г = 0 при всех значениях х, у, t, мы получаем тождество

Auel №~kix sin 61 + Arxel Vtot”kr (1гх^тгУ^ = Atxel №~к* ^tx^mt^\,

которое возможно только тогда, когда показатели экспоненциальных функций во всех трех членах одинаковы, т. е.

со/ — kLx sin 6 = tot — кг (lrx + тгу^ = tot — kt (fax + mtyY Приравнивая в этом тождестве коэффициенты при х и у, получаем уравнения

kt sin 6 = krlr = ktlb

0 = krmr = ktmt.

Из второго уравнения следует, что

тг = пц = 0;

поэтому отраженный и преломленный лучи не имеют компонент вдоль оси у и лежат в плоскости падения Х2, т. е. падающий, отраженный и прошедший (преломленный) лучи компланарны. Далее,

—♦

поскольку падающая и отраженная волны распространяются в среде с волновым сопротивлением Zb Следовательно,

кх sin 9 = кг1п откуда

к^ sin 6 = kr sin 9',

т. e. угол падения равен углу отражения:

= 9'.

Величина

поэтому

к^ sin 9 = ktlt

и, следовательно,

2л . о 2Л .

-Т— Sin 0 = -т— sin ф

илиилиAiЛг

или

или

81П 0 Л] П2

sin фЛгПх

где П\ — показатель преломления среды 1, а П2— среды 2. Данное соотношение между углом падения и углом преломления представляет собой хорошо известный нам закон преломления (закон Снеллиуса). (Задача 8.20.)

поверхностях х = 0 и х = а. Покажите, что в соответствии с первым граничным условием мы можем написать

Ez = Ео (eik*x - е"1кх^ е1 (куу~ы\

где йх = 6со5 0 и ку = к sin 6, а из второго граничного условия следует, что кх — 1ш[а.

Проводящая плоскость

Фиг. 111.

Пусть Ло = 2лс/со, а Хс = 2и!кх и Xg = 2к]ку— длины волн, распространяющихся вдоль осей х и у. Покажите, что

12 л 2 о 2AgAq

При п = 1 мы имеем кх = л/а и Хс = 2а. Поэтому с уменьшением со и увеличением Ло величина ку = к sin 6 становится мнимой и волна затухает. Таким образом, значению п = 2 ^кх = 2л/а) соответствует «критическая длина волны» Лс = а, т. е. наибольшая длина волны, с которой может распространяться волна в волноводе с поперечным размером а. Наличие таких критических длин волн и частот характерно для волнового распространения в периодических структурах, линиях передачи и волноводах.

Задача 8.4

Исходя из уравнений (7.1) и (7.2), покажите, что магнитное поле плоскополяризованной электромагнитной волны, о которой говорилось в задаче 8.3, имеет отличные от нуля компоненты вдоль обеих осей х и у. [Если распространяющаяся в волноводе электромагнитная волна имеет только поперечное электрическое поле, а ее электрическое поле в направлении распространения равно нулю, то она называется поперечной электрической вол-

ной (ГЕ-волной). Аналогично может существовать поперечная магнитная волна (ТУИ-волна). Плоскополяризованная волна задачи 8.3 является поперечной электрической волной. У соответствующей поперечной магнитной волны должны быть компоненты Н2, Ех и Еу. Значения п из задачи 8.3, удовлетворяющие граничным условиям, записываются в виде индексов в обозначении моды распространения: например, ТЕю.]

Задача 8.5

Исходя из выражений для индуктивности и емкости двух параллельных плоских проводников шириной 6, находящихся на расстоянии а друг от друга, покажите, что волновое сопротивление такого волновода равно

z- - т °"’

где ц и е — магнитная и диэлектрическая проницаемости среды между проводниками.

Задача 8.6

Исходя из выражения для вектора Пойнтинга, или для плотности энергии электромагнитной волны, покажите, что мощность одной волны, бегущей в положительном направлении в волноводе, о котором говорилось в задаче 8.5, равна Ч^аЬЕо л/ е/ц.

Задача 8.7

Электромагнитная волна (Е, Н) распространяется вдоль оси х по полой трубе произвольного поперечного сечения с идеально проводящими стенками. Тангенциальная компонента поля Е на проводящих стенках всегда должна оставаться равной нулю.

Покажите, что подстановка решения Е—Е(у, г) cos (coZ—kxx) в волновое уравнение приводит к следующему уравнению:

'ду2 dz2 R

где к^ — ^^с1 — к\, а ^ — проекция волнового вектора на ось х.

Задача 8.8

Волновод, о котором говорилось в задаче 8.7, имеет прямоугольное поперечное сечение с шириной а (вдоль оси у) и высотой b (вдоль оси г). Покажите, что граничными условиями Ех = 0 при у = 0, у = Ь, а также г = О, z = b определяется

следующее решение волнового уравнения, полученного в задаче 8.7:

Ех = A sin - а' sin -у cos (со/ — кхх), где

^ = л=(£ + £).

Задача 8.9

Исходя из решений задач 8.7 и 8.8, покажите, что наименьшее значение частоты со (критическая частота), при котором кх— действительная величина, определяется условием т = = п — 1.

Задача 8.10

Покажите, что в случае волны, о которой шла речь в задачах 8.7—8.9, произведение фазовой скорости ^]кх на групповую скорость д^!дкх равно с2, где с — скорость света.

Задача 8.11

Обобщим теперь задачу 8.2: волны отражаются от абсолютно твердых краев прямоугольной мембраны, стороны которой равны

Фиг. 112.

а и b (фиг. 112). Полное смещение мембраны определяется суперпозицией волн

2 = А1 sin [со/ — (кух + &2у)] + ^2 sin [со/ — (^кух — &2у)] +

+ А3 sin [со/ — (— кух — к2у)\ + A sin [со/ — (— кхх + к2у^ удовлетворяющей граничным условиям 2 = 0 при х = 0 и х = a, z = 0 при у = 0 и у = Ь.

Покажите, что в окончательном виде смещение, удовлетворяющее этим условиям, таково:

2 = — 4АХ sin кхх sin к^у sin со/, где

^1 = —Т->^2 = -Г~-

ао

Задача 8.12

При выводе выражения для средней энергии осциллятора с частотой v и температурой Т

- Av

6е^кт _1

Планк исходил из предположения, что большое число N осцилляторов обладает энергиями 0, Av, 2Av, ..., nh-v, соответствующими распределению Больцмана

Nn==Noe-^kT»

т. е. число осцилляторов Nn, имеющих энергию nh^ уменьшается экспоненциально с увеличением п.

Исходя из формулы для суммы геометрической прогрессии ^=£^„ = ^0(Ц- е-^'кт 4- е-^т + ...), п покажите, что

N =

_ e-h^!kT *

Полная энергия осцилляторов, находящихся в n-м энергетическом состоянии, равна

Еп = Nnnhv.

Докажите, что полная энергия, просуммированная по всем п энергетическим состояниям, дается выражением

E = ^En = NQпE = ^En = NQпAve(1 _ е-Нм!ктуAve(1 _ е-Нм!кту

E = ^En = NQп

E = ^En = NQп

Ave

(1 _ е-Нм!кту

Ave

(1 _ е-Нм!кту

Исходя из этого, покажите, что средняя энергия осциллятора такова:

- Е Av

Разложив знаменатель последнего выражения в ряд по степеням отношения hvIkT, покажите, что при hv/kT <С 1 (т. е. при низких частотах и больших длинах волн) формула Планка переходит в классическую формулу Рэлея — Джинса.

Задача 8.13

В квантовой механике частица, например электрон, в прямоугольной потенциальной яме, где V = 0, описывается не зависящим от времени уравнением Шредингера

д2Ф । д2Ф । д2ф _ _ 8л2/и р дх2 ду2 dz2L2

Здесь Е и т — энергия и масса частицы, ай — постоянная Планка. Волновая функция ф должна удовлетворять следующим граничным условиям: ф = О при х = у = z = 0 и при х = ЕХэ у = Ly, z = Lz, где Lx, Ly и Lz — линейные размеры ямы.

Покажите, что функция

,- . lux . ту . ми

ф = Л sin —,— Sin Sin -7—Lx Ly

является решением уравнения Шредингера и дает энергию

Р А2 / I2 . г2 . п2 X8/71 X/

где /, г, п— целые числа. Когда яма имеет форму куба со стороной L,

E=1^l’ + W)

и наименьшее значение квантованной энергии

Е — Ео — 8mL2

соответствует значениям / = 1, г = п = 0.

Покажите, что энергии следующих уровней имеют вид ЗЕ0, 6Е0 (трехкратное вырождение), 9£0 (трехкратное вырождение), ПЕо (трехкратное вырождение), 12Е0 и 14Е0 (шестикратное вырождение).

Задача 8.14

Покажите, что в случае уровней с малой энергией Av << кТ (большие длины волн) формула Планка для излучения эквивалентна формуле Рэлея — Джинса.

Задача 8.15

Формула Планка для плотности энергии излучения, приходящейся на единичный интервал длин волн, а не частот, имеет вид

о _ 8лсА

Перейдя к переменной к = chlXkT, покажите, что плотность полной энергии при абсолютной температуре Т определяется формулой •

EKdK — аР Дж • м“3,

о где

Вл5#1

(^са/4 = о— постоянная в законе Стефана — Больцмана). Отметим, что

S

x3 dx л4 ех-1 —*

о

Задача 8.16-

Покажите, что длина волны Хмакс, на которую приходится максимум величины Е^ введенной в задаче 8.16, определяется решением уравнения

где х = ch/XkT. Решение этого уравнения ch/Kxa^kT ^ 4,965 можно выразить через частоту следующим образом: йумакс ~ » 5 кТ.

Задача 8.17

Используя результат задачи 8.16 /ivMaKc = 5 кТ, покажите, что если температура Солнца приблизительно равна 6000 К, то ^макс ~ 4,7-10-7 м и лежит в зеленой области видимого спектра, где чувствительность человеческого глаза наибольшая (результат эволюции?)

Задача 8.18

Температура вольфрамовой нити электрической осветительной лампы равна приблизительно 2000 К. Покажите, что в этом случае Хмакс ~ 14-10-7 м и лежит в дальней инфракрасной области спектра. Следовательно, такая лампа представляет собой хороший тепловой излучатель, но малоэффективна как источник света.

Задача 8.19

Энергия свободного электрона (движущегося в области с нулевым потенциалом)

Е = ^2- — к" — Е

L 2m — 2m R L

где длина волны

а А 2лЛ = — =.

р к

В случае периодического потенциала небольшой величины, как, например, в хорошо проводящем твердом теле,

где т* — так называемая эффективная масса. (Для валентных электронов т* « т.)

При волновом описании электронов в потенциальной яме (V = 0) кубической формы со стороной L разрешенные волновые числа к удовлетворяют уравнениям

&2=^+^+^>

(см. задачу 8.13). При каждом значении к существуют два разрешенных состояния (каждым из которых определяется спиновое состояние единственного электрона, занимающего данное состояние — принцип Паули).

Рассуждая так же, как в гл. 8, покажите, что полное число состояний в ^-пространстве, лежащих между значениями к и к + dk, дается выражением

Используя соотношение Е = (й2/2т*)62, преобразуйте последнее выражение в формулу для числа состояний S(E) dE, приходящихся на интервал энергий dE:

где А = IA

В соответствии с принципом Паули N электронов находятся в N состояниях с наименьшей энергией. Покажите, что интегралом

Ef

\s(E)dE = N о

определяется уровень Ферми

р _ № ( 3n2N \7»2т* \ А ) ’

т. е. кинетическая энергия электрона с наибольшей энергией в твердом теле, находящемся в своем основном состоянии.

Задача 8.20

При выводе в конце гл. 8 закона Снеллиуса sin 6 п2 sin фпх

на плоскости колебаний вектора электрического поля не налагались никакие ограничения. На фиг. 113, а вектор электрического поля направлен перпендикулярно плоскости чертежа (параллельно оси z/). Показаны также соответствующие векторы

Фиг. 113.Фиг. 113.

Фиг. 113.

Фиг. 113.

магнитного поля. На фиг. 113,6 вектор электрического поля лежит в плоскости XZ чертежа.

Взяв в случае фиг. 113, а граничные условия

Et-Er = Et, Et + Er = Et-^

покажите, чтопокажите, чтоЕг sin (6 — ф) Ei sin (6 + ф) *Ег sin (6 — ф) Ei sin (6 + ф) *

покажите, что

покажите, что

Ег sin (6 — ф) Ei sin (6 + ф) *

Ег sin (6 — ф) Ei sin (6 + ф) *

На основании закона Снеллиуса покажите, что при 0 и ф—>0 (условие 0 = ф = 0 соответствует нормальному падению)

Егп^ — пх п — 1

Eiп*2 "V пхп + 1 ’

где п = п21п\.

Взяв в случае фиг. 113, б граничные условияЕ^ЕГ = ^ЕЬ Et-Er = Et^,

покажите, что

Ег _ tg (6 - <р)

Ei tg (6 н- <р) •

На этом основании докажите, что при tg 0 = п2,пх отношение Er[Ei = 0. Покажите, что в случае, когда волна в воздухе падает на стекло (n2Mi = 1,5), отношение ErIEi = Q при 6 = 56°.

Сводка основных результатов,

Волновое уравнение в двумерном пространстве

d2z . d2z дх^ ' ду2d2z . d2z дх^ ' ду21 d2zс2 dt21 d2zс2 dt2

d2z . d2z дх^ ' ду2

d2z . d2z дх^ ' ду2

1 d2z

с2 dt2

1 d2z

с2 dt2

Линии постоянной фазы lx + my = ct перемещаются в направлении вектора к(&ь&2), где / = k\]k, т = k2]k, &2 = &i + к2 и с2 = w2lk2. Решение имеет вид

2 = Ае^ ^^ - к-г)

где г = г (х, уУ

Волновое уравнение в трехмерном пространстве

д2Ф . д2ф № ' ду2д2Ф . д2ф № ' ду2д2ф 1 д2фdz2с2 dt2 *д2ф 1 д2фdz2с2 dt2 *

д2Ф . д2ф № ' ду2

д2Ф . д2ф № ' ду2

д2ф 1 д2ф

dz2с2 dt2 *

д2ф 1 д2ф

dz2с2 dt2 *

Плоскости постоянной фазы 1х + ту + пг = ct перемещаются в направлении вектора k(£j, k2l k^y где I = k\]k, m = k2lk, n = k^k k2 = k2 + k2 + k2 и c2 = ^jk2. Решение имеет вид

Ф = Ае1 И-кт), где г = г (х, у, 2).

Волноводы

При отражении волны с частотой со и волновым вектором k(&b к2) от стенок у = 0, у = b двумерного волновода устанавливаются нормальные моды колебаний. Распределение поля этих мод вдоль оси у определяется величиной к2 = пп/Ь. Волны этих мод распространяются вдоль оси х с фазовой скоростью

и групповой скоростью

vs — "5^7-

причем OpOg, = и2.

Критическая частота

В волноводе распространяются только те волны, у которых частота со ^ nwolb, где п — номер моды.

Нормальные моды в трехмерном пространстве

Волновое уравнение разделяется на три уравнения (по одному для каждой переменной х, у, z) и имеет решение

Г sin kxx sin k^y sin k^z sin co/)

Ли*

( cos k\X cos k2y cos k3z cos coZ)

(Окончательный вид решения определяется граничными условиями.)

Если скорость волн равна с, то число нормальных мод на единицу объема в частотном интервале от v до v + dv равно

4лv2 d^

Это выражение находит прямое применение: а) в формуле Планка для излучения, б) в теории удельной теплоемкости Дебая для твердых тел, в) при вычислении уровня Ферми (задача 8.19).

Глава 9

Методы Фурье

Ряд Фурье

В данной главе мы рассмотрим подробнее следствия, вытекающие из принципа суперпозиции. С этим принципом мы встретились в начале книги, когда складывали два отдельных решения уравнения для гармонических колебаний. Наш анализ монохроматических волн привел к представлению о простейшем виде периодического изменения. Теперь мы рассмотрим более сложные формы периодической зависимости, возникающие в результате суперпозиции.

Всякая функция, значения которой повторяются через заданный пространственный или временной интервал, называется периодической. Для периодической функции можно написать f (х) =/(х ± а), где а — интервал повторения, или период.

Фиг. 114. Прямоугольная волна высотой h.Ее прелставление в виде ряда Фурье, содержащего синусы (нечетная функция), таково: f (x)=(4/i/n) (sin х 4-Vs sin 3x4-Vs sin 5x4-Vz sin 7x4-Фиг. 114. Прямоугольная волна высотой h.Ее прелставление в виде ряда Фурье, содержащего синусы (нечетная функция), таково: f (x)=(4/i/n) (sin х 4-Vs sin 3x4-Vs sin 5x4-Vz sin 7x4-

Фиг. 114. Прямоугольная волна высотой h.

Ее прелставление в виде ряда Фурье, содержащего синусы (нечетная функция), таково: f (x)=(4/i/n) (sin х 4-Vs sin 3x4-Vs sin 5x4-Vz sin 7x4-

Фиг. 114. Прямоугольная волна высотой h.

Ее прелставление в виде ряда Фурье, содержащего синусы (нечетная функция), таково: f (x)=(4/i/n) (sin х 4-Vs sin 3x4-Vs sin 5x4-Vz sin 7x4-

Простейшим примером периодической функции может служить синус или косинус с фиксированной частотой или длиной волны; в этом случае а — период т, длина волны X или фазовый угол 2л радиан в зависимости от значения х. Другие периодические функции, например прямоугольная волна (фиг. 114), довольно просто представляются графически, но их математическое описание гораздо сложнее. Но почти все периодические функции, представляющие интерес для физики, можно представить математически, пользуясь методом ряда Фурье. Метод состоит в том, что любая периодическая функция представляется в виде ряда

Цх) = ~aQ + ах cos х + а2 cos 2х + ... + ^cosnx +

+ bx sin х + b2 sin 2x + ... +6nsinnx+ ...,(9.1)

т. е. в виде суммы постоянной V2ao и синусов и косинусов с разными коэффициентами и с частотами, которые растут в арифметической прогрессии. Конечно, такой ряд должен удовлетворять некоторым условиям, главным из которых является сходимость ряда. Условие сходимости выполняется для функции с конечными разрывами, имеющей ограниченные первую и вторую производные. В точках таких разрывов, как, например, в случае прямоугольной волны при х = О, ±2л и т. д., где /(х) = ±А, ряд дает среднее значений функции, взятых слева и справа от скачка.

Ряд можно записывать в разных эквивалентных видах: либо в виде

f (х) = ~ а0 + ^ (ап cos пх + bn sin пх) = у а0 + ^ сп cos (пх — 9J,

п=1п=1

где•

С2 = а2+&2 fgQ =_£«.

п п 1 п» Ь п ап »

либо в виде

Ш = 2 dneto\п=*-со

где

^dn ^ йп — ibn (п ^^ 0), 2dn = ап ■}■ ibn (п < 0).

Чтобы найти коэффициенты ап и ЬП) умножим обе стороны равенства (9.1) на cos пх и проинтегрируем по х в пределах периода, скажем, от 0 до 2л. Получим

2л

с,( 0 при т=^п,

\ cos mx cos пх dx = <

0J(л при m = nt

2л

sin mx cos nx dx = 0

о

при всех m и п. Следовательно, при m = п

2л

ап cos2 пх dx = лап,

о

откуда

2л

«„ = -— ^ / (х) cos пх dx.

Точно так же, умножая обе стороны равенства (9.1) на sin пх и интегрируя от 0 до 2л, получаем

2л

2лsin тх sin пх dx =2лsin тх sin пх dx =Ьп = -~ / (х) sin пх dx, о поскольку

2л

sin тх sin пх dx =

2л

sin тх sin пх dx =

О при т^п,л при т = п.

Мы сразу видим, что постоянная (п = 0), определяемая формулой

2л

Т°о = t^dx,о

есть просто среднее значение функции в интервале 2л. Следовательно, эта постоянная дает постоянный уровень, на который накладываются изменяющиеся члены ряда в виде синусов и косинусов. Постоянную можно изменять, смещая функцию относительно оси х. Когда периодическая функция симметрична относительно оси х, ее среднее значение ^гЛо, т. е. постоянный уровень, обращается в нуль, как, например, в случае прямоугольной волны на фиг. 114. Если мы сдвинем прямоугольную волну вверх по оси у на величину h так, чтобы она представляла собой последовательность импульсов высотой 2ft, расположенных на оси х, то величина ^^о будет равна h (среднему значению функции в интервале 2л). Величины ап равны удвоенному среднему значению произведения /(x)cosnx в интервале 2л. Коэффициенты Ьп могут быть найдены аналогичным образом.

Мы также видим, что ряд, представляющий функцию, есть сумма косинусов, являющихся четными функциями [cos х = = cos(—х)], и синусов, являющихся нечетными функциями [sin х = —sin(—х)]. Но всякую функцию мы можем записать в виде

f to = IИ to + f (- х)] + у [f to - f (- x)],

где выражение в первых квадратных скобках — четная функция, а выражение во вторых квадратных скобках — нечетная. Следовательно, одна часть ряда Фурье, содержащая косинусы, описывает четную часть функции, а другая часть ряда, содержащая синусы, описывает нечетную. Отсюда ясно, что четная функция Цх) описывается рядом Фурье, содержащим только косинусы. Если же /(х) нечетная функция, то ее ряд Фурье будет содер-

жать только синусы. Четность и нечетность функции часто определяется положением оси у.

Наша пямоугольная волна на фиг. 114 является нечетной функцией {/(х) =—/(—х)] и представляется следующим рядом Фурье:

f (х) = -у- ( sin х + у sin Зх + у sin 5х + ...),где постоянная равна нулю. Но если мы сдвинем ось у на поло-вину периода вправо (фиг. 115), то функция будет удовлетво^

фиг. 114, и сложим, то получимфиг. 114, и сложим, то получимтрех членов •.трех членов •.

фиг. 114, и сложим, то получим

фиг. 114, и сложим, то получим

трех членов •.

трех членов •.

Фиг. 115. Та же функция, что и на фиг. 114, но представленная симметричнойотносительно оси у.

Теперь она представляется в виде ряда Фурье, содержащего косинусц (четная функция):f (х^ЦИ/я) (cos х—7з cos Зх-j- */5 cos 5x—xh Cos 7x + • • ♦).

рять соотношению f(x)=/(—x) и станет четной, а прямоугольная волна будет описываться другим рядом Фурье:

/ (х) = у- (cos х — у cos Зх + у cos 5х — у cos 7х + У

Если мы возьмем первые три или четыре члена ряда, описываю-

щего прямоугольную волну на

Фиг. 116. Сложение первых трех членов ряда Фурье для прямоугольной волны, изображенной на фиг. 114.

Крутизна краев импульса определяетсявысшими гармониками.

результат, приведенный на фиг. 116. Основная, или первая, гармоника имеет частоту прямоугольной волны. Гармоники более высоких частот создают прямоугольную форму волны. Самыми высокими частотами определяется крутизна вертикальных краев волны.

Прямоугольная волна такого вида обычно используется для проверки частотной характеристики усилителей. Усилитель, на вход которого подана прямоугольная волна, «разлагает» входной сигнал в ряд Фурье и усиливает отдельные частотные компоненты. Затем эти сигналы складываются на выходе усилителя. Если на выходе усилителя возникает идеальная прямоугольная волна, то это доказывает возможность работы усилителя в целой области частот с одинаковой эффективностью. Уменьшение же крутизны краев волн показывает, что отклик усилителя ограничен в области более высоких частот.

Пример ряда Фурье

Рассмотрим прямоугольную волну высотой h (фиг. 114). Функция задается следующим образом: ( h при 0 < х < л, ( — й при л < х < 2л.

Коэффициенты разложения функции в ряд имеют вид [л2лИ

h \ cos пх dx — h \ cos пх dx I = О,

ОЛJ

поскольку

л2л

cos nx dx = cos nx dx = 0 Ол

И [л2л"I

h \ sin nx dx — h \ sin nx dx I =ОЛJ

= -^ [cos nx I” + cos nx |„”J = -^ [(1 — COS Пл) + (1 — cos пл)].

Отсюда bn = 0 при четных значениях п и bn = 4h]nn при нечетных значениях п. Таким образом, ряд Фурье для прямоугольной волны принимает вид

? х 4/г / .. sin Зх , sin 5х . sin 7х .\

f (^) = —(sm х + —^+ —5—+ —^ + ••)•

Ряд Фурье для произвольного интервала

Хотя мы рассмотрели представление Фурье только для случая периодической функции, область его применения значительно шире. Можно выбрать любую часть или отрезок достаточно гладкой функции и записать ее в виде ряда Фурье. Этот

ряд будет точно описывать функцию только в пределах выбранного отрезка. Вне данного отрезка ряд не будет соответствовать функции, а будет периодически повторять значения, принимаемые ею внутри выбранного отрезка. Если мы опишем этот отрезок функции с помощью разложения Фурье по косинусам, то повторения будут соответствовать четной функции. Если же используется разложение Фурье по синусам, то повторение будет соответствовать нечетной функции.

Фиг. 117. Одна и та же функция, представленная разными рядами Фурье в выбранном полуинтервале.

Функция общего вида а в полуинтервале 0 < х < Z/2 представлена: б —в виде ряда, содержащего только косинусы и дающего четную функцию fe; в — в виде ряда, содержащего только синусы и дающего нечетную функцию fo. Эти представления справедливы только для указанного полуинтервала. Вне данного полуинтервала эти представления ведут себя как периодические функции и отличаются от исходной функции.

Теперь предположим, что нас интересует поведение функции только на половине ее полной области определения. Ее описание вне этого ограниченного интервала нас не интересует. На фиг. 117, а функция /(х) изображена во всем своем пространственном интервале определения от —//2 до //2. Но в интервале от 0 до //2 функция /(х) может быть полностью описана с помощью разложения в ряд либо по косинусам (такой ряд будет повторять свои значения через каждую половину интервала как четная функция), либо по синусам (такой ряд будет повторять свои значения через каждую половину периода как нечетная функция).

Ни одно из этих представлений не будет соответствовать функции /(х) вне области от 0 до 112, но для половины интервала

от 0 до //2 мы можем написать

f to = fe to = foto,

где индекс е обозначает четное (по косинусам), а индекс о нечетное (по синусам) разложение Фурье.

Аргументами синусов и косинусов должны быть, конечно, фазовые углы, поэтому переменная х измерялась в радианах. Однако теперь интервал определен как расстояние, и переменной становится величина 2лх//. В результате всякий раз, когда х изменяется на величину /, фазовый угол изменяется на 2л.

Таким образом,

с / \ а о I \'2 ля

f с W = — + Л ап cos —-х

где

//■2Г о

ап = 4й f Wcosdx = yfe (х) cos ^"t dx +

2 -Z/2I—Z/2

Ц2-iZ/2

+ e W COS --y*- dx = у f (x) cos 2л™ dx,

0-Io

поскольку

f M = fe W при 0 < X < //2

и

f (x) = f (— x) = fe (x) При — //2 < X < 0.

Аналогичным образом мы можем записать /(х) в виде разложения в ряд по синусам:

f [х) = /о (х) = £ 6« sin "^7п= i

для области 0 < х < //2, где

Z/2

^=17J } г (х) sin-у— dx =

2 -Z/2

Г 01/2

2 I Г с / х . 2лпх , । С £ / \ • 2лмх , ~\ /o(x)sin—j—dx-V \ /о (х) sin—^—dx

Во втором интеграле для области 0 < х < //2 мы имеем /0(х) = = /(х), тогда как

оо

S

£ / \ . 2ллх .С £ /х • 2тспх ,

to (х) sin —j— dx= \ тоX) sin —— dx =

— 1/21/2

О1/21/2

S

£ / х • 2лпх < С £ / х • 2лпх у С £ / х • 2лмх < fo(x)sin—j—dx = \ f0W sin ——dx=\ f (х) sin——dx.

1/200

Следовательно,

//2

,4 f £ , x • 2лпх ,

bn = -у \ I (X) sin —— dx.

0

Если мы проследим за поведением функций /е(х) и /0(х) за пределами интервала от 0 до //2 (фиг. 117), то увидим, что они больше не совпадают с функцией /(х).

Разложение треугольной функции в ряд Фурьепо синусам

На фиг. 118 изображен график функции, которую мы собираемся представить в виде ряда по синусам для половины ин-

Фиг. 118. Функция, описывающая оттянутую струну, определена в конечном интервале.

При колебаниях струны все разрешенные гармоники дают вклад в начальную конфигурацию струны.

тервала от 0 до л. Эта функция задается следующим образом: ( х при 0 < х < л/2,

f W = )

( л — х при л/2 < х < л.

Написав

f (х) = У bn sin пх,пполучаемл/2л

Ьп = — \ х sin пх dx Н\ (л — X) sin пх dx = —о— sin .

п л Jл J х 72

ОЛ/2

Когда п четное, sin пл/2 = 0, а потому сохраняются только члены с нечетными значениями п и разложение в ряд принимает вид

г, х 4 / sin х sin Зх , sin 5х sin 7х . X

При х = л/2 мы имеем / (х) = л/2; отсюда•

8 — I2 З2 52‘(2и+ I)2 ‘

п=0

Мы воспользуемся этим результатом несколько позже.

Сплошная линия на фиг. 118 в интервале от 0 до —л соответствует разложению в ряд Фурье по синусам для /(х), который повторяется вне интервала от 0 до л. Если бы в интервале от 0 до л мы разложили f(x) в четный ряд по косинусам, то поведение этого ряда в интервале от 0 до —л описывалось бы штриховой линией. (Задачи 9.1—9.9.)

Вычисление энергии нормальныхмод колеблющейся струны

Если взять струну длиной / с закрепленными концами и оттянуть ее центр на расстояние d, то мы получим конфигурацию, изображенную на фиг. 118 в полуинтервале от 0 до л. Эту конфигурацию мы описали с помощью ряда Фурье по синусам. Если центр струны освободить, возникнут нормальные моды колебаний, или стоячие волны. Смещение для каждой такой моды (стр. 130) дается формулой

Уп = (Л„ cos tont + В„ sin <ЙПО sin ,

где (дп = ппс/1 — частота нормальной моды.

Полное смещение, которым определяется форма оттянутой струны в момент времени t = 0, описывается рядом Фурье*

У = У Уп = У, М„ cos ©„/ + Вп sin ®„0 sin -^-.

Поскольку концы струны закреплены, разложение в ряд может содержать зависящие от х члены только в виде синусов. Если оттянутая струна находится в покое, то для ее описания необходимы только зависящие от х члены, взятые с соответствующими коэффициентами. Однако колебательное движение струны после ее освобождения зависит от времени, что выражается в следующей временной зависимости каждого коэффициента гармоники:

Ап cos юп1 + Вп sin (оЛ/.

Смысл этих коэффициентов выяснится, когда мы рассмотри^ начальные условия.

Запишем полное смещение струны в момент времени / = О*

Уо W = ^ Уп W = 2 (An cos ®„/ + В„ sin ®„0 sin =

= £ Дп sin/ = о.

Аналогичным образом мы запишем скорость струны в момент времени / = 0:

Уо(х) = ^^- = ^уп(х) =

= 2 (~ “"^sin ^ + “Л cos ^ sin “г- = 2 tonB" sin "^./ = 0.

Тем самым мы представили и уо(х), и ^o(x) в виде разложения в ряд Фурье по синусам.

Но если при t = 0 струна находится в покое, то р0(х)= о все коэффициенты Вп обращаются в нуль и остаются только ко’ эффициенты Ап. Если же при t = 0 смещение струны г/о(х)=О а струна движется, то все величины Ап равны нулю и коэффи’ циентами Фурье являются величины ^пВп.

Мы можем решить уравнения относительно Ап и ^Вп обыч. ным способом. Если для струны длиной /

Уо М = £ Д« sin, u0(x) = ^a>rtB„sin-^-, ТО

Ап = т\Уй М sin '^ dx’о

I„2 Г / \ . tonX ,

tonBn = у \ у0 W sin -у— dx.

о

Если оттянутая струна с массой m (с линейной плот, ностью р) начинает движение из состояния покоя при t = о (ио(х)=О), то формула для энергии каждой ее нормальной моды

Еп = у пг(дн (Ап + Вп\

приведенная на стр. 132, принимает простой вид

Е =1 пгт2 Д2,п 4 а п1

поскольку все коэффициенты Вп равны нулю. Полная энергия колебаний освобожденной струны будет определяться суммой ^Еп по всем модам, участвующим в колебании.

Теперь решим задачу об оттянутой струне, которая начинает свое движение из состояния покоя. Конфигурация струны, представленная на фиг. 118 (длина струны /, центр струны оттянут на расстояние d), описывается следующими формулами:

У о to =У о to =приприприпри2Jx

У о to =

У о to =

при

при

при

при

2d (/ - х)/

таким образомН/2таким образомН/2Л = — LoЛ = — Lo2ti?^ ^п,х . , f 2d (/ - х) . tonx[ Sin ^ ClX to j ! Sin c1/28d . nn./~ ~nW~ Sm ~2"V2ti?^ ^п,х . , f 2d (/ - х) . tonx[ Sin ^ ClX to j ! Sin c1/28d . nn./~ ~nW~ Sm ~2"V'/1 —'/1 —

таким образом

Н/2

таким образом

Н/2

Л = — Lo

Л = — Lo

2ti?^ ^п,х . , f 2d (/ - х) . tonx[ Sin ^ ClX to j ! Sin c

1/2

8d . nn./

~ ~nW~ Sm ~2"V

2ti?^ ^п,х . , f 2d (/ - х) . tonx[ Sin ^ ClX to j ! Sin c

1/2

8d . nn./

~ ~nW~ Sm ~2"V

'/1 —

'/1 —

Мы сразу видим, что Ап = 0 при четных значениях п (когда синус обращается в нуль), а поэтому все четные гармоники пропадают. С физической точки зрения это объясняется тем, что для четных гармоник было бы необходимо существование узла в центре струны, который всегда движется после освобождения струны.

Следовательно, смещение нашей оттянутой струны определяется путем сложения всех разрешенных (нечетных) мод:

Уо М = У Уп М = У, An sin ,п нечетн.п нечетн.

где

Энергия п-й моды колебаний

1 п \Ы2т«?Е^-т^А^ nW

16d2c2m^1л2/2п2 *п нечетн.16d2c2m^1л2/2п2 *п нечетн.поэтому при ton = ппс/l полная колебательная энергия струны описывается следующим выражением:

16d2c2m^1

л2/2п2 *

п нечетн.

16d2c2m^1

л2/2п2 *

п нечетн.

v р —166/2,77 V ^ п нечегн.п нечетн.

Но в последнем разделе мы видели, что

п2 8 ’ п нечетн. -

следовательно,

V с _ ^тсЧ2 _ ^Td2 i2 = i *

где Т = pc2 — постоянное натяжение струны. В отсутствие диссипации эта колебательная энергия должна равняться потенциальной энергии оттянутой струны до ее освобождения. Предоставляем читателю доказать это.

Подведем итоги. Наша оттянутая струна может быть описана с помощью разложения Фурье по синусам. При освобождении струны каждой компонентой Фурье определяется возбуждение разрешенной нормальной моды колебаний. Метод нормальных мод позволяет складывать энергии каждой моды для нахождения полной энергии колебаний, которая должна равняться потенциальной энергии оттянутой струны до ее освобождения. Энергия п-и моды пропорциональна гт2 и уменьшается с увеличением частоты. Четные моды запрещены начальными условиями.'

Разрешенные моды определяются начальными условиями. Если бы по струне ударили молотком, то имеющие узел в точке удара гармоники отсутствовали бы, как и в случае оттянутой струны. Фортепьяно обычно устроено таким образом, что молоточек ударяет в точку струны, отстоящую от конца струны на V? ее длины. Тем самым исключается седьмая гармоника, которая, складываясь с другими гармониками, вызывает диссонанс.

Разложение в ряд Фурье прямоугольного импульсаскорости на струне

Рассмотрим теперь такую же задачу, как и в предыдущем разделе, но только теперь в момент времени t = 0 смещение струны уо^ будем считать равным нулю, а скорость и0(х)— отличной от нуля. Деревянный молоточек шириной а ударяет по центру струны длиной /, оба конца которой закреплены. В момент удара смещение

У о (х) = О,

однако скоростьоднако скорость„ '-А — д«» W^0 v4 ^t„ '-А — д«» W^0 v4 ^t'О приг при 1^ — 41 < Т‘'О приг при 1^ — 41 < Т‘

однако скорость

однако скорость

„ '-А — д«» W

^0 v4 ^t

„ '-А — д«» W

^0 v4 ^t

'О при

г при 1^ — 41 < Т‘

'О при

г при 1^ — 41 < Т‘

Распределение скорости на струне показано на фиг. 119,

Ряд Фурье имеет вид

Уо (х) = ^ Уп = У, со„в„ sin -^пп *--

где

112+а12

п 2 f . tonx . 4о . пл . птса®пВп = - J asm — dx= — sin-у sin —.

Ц2-а!2

Мы снова видим, что ^пВп = 0 при четных значениях п (sin птс^ = 0), поскольку центр струны никогда не находится

ииххФиг. 119. Распределение скорости на струне длиной / с закрепленными концами в момент времени / = 0, когда в средней точке по струне ударили деревянным молоточком шириной а.Смещение у0 (х)=0, скорость у0 (х)=у при | х—1/2 | <а/2, вне этой области скорость равна нулю.Фиг. 119. Распределение скорости на струне длиной / с закрепленными концами в момент времени / = 0, когда в средней точке по струне ударили деревянным молоточком шириной а.Смещение у0 (х)=0, скорость у0 (х)=у при | х—1/2 | <а/2, вне этой области скорость равна нулю.

и

и

х

х

Фиг. 119. Распределение скорости на струне длиной / с закрепленными концами в момент времени / = 0, когда в средней точке по струне ударили деревянным молоточком шириной а.

Смещение у0 (х)=0, скорость у0 (х)=у при | х—1/2 | <а/2, вне этой области скорость равна нулю.

Фиг. 119. Распределение скорости на струне длиной / с закрепленными концами в момент времени / = 0, когда в средней точке по струне ударили деревянным молоточком шириной а.

Смещение у0 (х)=0, скорость у0 (х)=у при | х—1/2 | <а/2, вне этой области скорость равна нулю.

в покое, как это необходимо в случае четной гармоники. Следовательно,

/ хЧП 4и . птса . tonx

OoW= / Sin Sin

vL-i птс 21 c

n нечетн.

Энергия одной моды колебаний

т-t 19 / Л? I Г)9\9 Г>9 4ИЩ2 « ПТСП

Еп = 1У’

поскольку все Ап = 0. Далее,

_ tonl

©1 тсс ’

так как основная частота coi = лс//. Таким образом, энергия одной моды

,9 9п •

Поскольку ton ос п, то мы снова видим, что энергия n-й моды пропорциональна п-2 и уменьшается с увеличением частоты гар-

моники. Мы можем показать это, переписав энергию следующим образом:

г, / х mv2a2 sin2 ((0кд/2с) mu2a2 sin2 a

En^ = —ет^г-=——>

где an = tonal2c, и представив последнее выражение в виде частотно-энергетического спектра на фиг. 120. Знакомая кривая sin2 a/a2 снова появляется в качестве огибающей значений энергии для каждой частоты со^.

Фиг. 120. Распределение энергии между гармониками юп струны, изображенной на фиг. 119.

Спектр Еп (<о) оо sin2 a/a2, где a = ©na/2c. Большая часть энергии струны приходится на частотный интервал А©~2лс/а. В случае когда а = Ах (пространственная ширина импульса), мы имеем М = \х)с и А© А/«2л (теорема о ширине частотной полосы).

Если энергию моды с частотой coi обозначить через Ei, то £3 = £^9 и £5 = £1/25, поэтому основная часть энергии, запасенной в импульсе скорости, должна приходиться на низкие частоты. Первый нуль огибающей sin2 a/a2 соответствует значению

отсюда находится ширина центрального частотного пика, содержащего основную энергию:

‘А 2лс

Асо «.

а

Эта область частот гармоник, несущих основную энергию, называется «спектральной шириной» импульса. «Пространственную ширину» а импульса можно обозначить через Ах. Тогда получим

Ах Асо 2лс.

Уменьшение ширины Ах молоточка будет приводить к увеличению области частот Асо, необходимой для аккумуляции энергии в прямоугольном импульсе скорости. Далее, с скорость волн на струне, поэтому величина \х(с есть длительность импульса А/, так что

Асо А/ ^ 2л, или

Av А/ ^ 1.

Это соотношение выражает теорему о ширине частотной полосы, с которой мы впервые встретились на стр. 139.

Отметим, что, поскольку частоты гармоник выражаются формулой

ПТ1С

частотный интервал между гармониками равен лс//. Когда длина струны I становится очень большой (/—>оо), интервал между гармониками становится очень малым и его можно заменить дифференциалом. Тогда в случае изолированного непериодического импульса суммирование ряда Фурье заменяется интегралом Фурье.

Спектр ряда Фурье

Ряд Фурье можно всегда представить в виде частотного спектра. На фиг. 121, а приведены относительные амплитуды частотных компонент прямоугольной волны, изображенной на фиг. 114, причем каждому члену с синусом соответствует одна спектральная линия. Аналогичным образом можно представить зависимость энергии от частоты для случая оттянутой струны, рассмотренной в одном из предшествующих разделов. Частота r-й моды изменяется обратно пропорционально г2, где г — нечетное число. Спектр энергетического распределения приведен на фиг. 121, б.

Теперь предположим, что длина струны уменьшилась в два раза, а полная энергия осталась неизменной. Частота основной гармоники теперь увеличится до значения со'= 2глс//, а частотный интервал между соседними спектральными линиями удвоится (фиг. 121, в). Снова, чем меньше область, в которой сконцентрирована определенная величина энергии, тем шире частотный спектр, необходимый для ее описания.

Часто (см., например, следующий раздел) ряд Фурье записывают в комплексной или экспоненциальной форме

f^ " л^^п х + Jsln^ + у 5^п 5л + у sin Zr)f^ " л^^п х + Jsln^ + у 5^п 5л + у sin Zr)ЧастотныйспектрЧастотныйспектрЗое5 ос7хЗое5 ос7хсиг =zr -рсиг =zr -рE^ZEjE^ZEj1 2лс г I1 2лс г IEi 49Чио\Ei 49Чио\Дей ствительная плоскостьДей ствительная плоскостьМнимаяплоскостьМнимаяплоскость-па) 0* поиcos ncut = ^ (е1па)1+ eimut^-па) 0* поиcos ncut = ^ (е1па)1+ eimut^-па) 0 -v псиsin пш1 =^eln(vi-eina)iy)-па) 0 -v псиsin пш1 =^eln(vi-eina)iy)

f^ " л^^п х + Jsln^ + у 5^п 5л + у sin Zr)

f^ " л^^п х + Jsln^ + у 5^п 5л + у sin Zr)

Частотныйспектр

Частотныйспектр

Зое5 ос7х

Зое5 ос7х

сиг =zr -р

сиг =zr -р

E^ZEj

E^ZEj

1 2лс г I

1 2лс г I

Ei 49

Чио\

Ei 49

Чио\

Дей ствительная плоскость

Дей ствительная плоскость

Мнимая

плоскость

Мнимая

плоскость

-па) 0* пои

cos ncut = ^ (е1па)1+ eimut^

-па) 0* пои

cos ncut = ^ (е1па)1+ eimut^

-па) 0 -v пси

sin пш1 =^eln(vi-eina)iy)

-па) 0 -v пси

sin пш1 =^eln(vi-eina)iy)

Фиг. 121. а — разложение в ряд Фурье по синусам для прямоугольной волны и ее частотный спектр; б — энергетический спектр оттянутой струны длиной /; в — энергетический спектр оттянутой струны длиной Z/2, полная энергия которой точно такая же, как в случае б (как и должно быть в силу теоремы о ширине частотной полосы, чем больше концентрация энергии в пространстве или во времени, тем шире соответствующий частотный спектр); д — комплексное представление частотного спектра функции cos со/, выраженной через экспоненциальные функции; е — то же самое для функции sin оз/.

где 2dn = ап — ibn при п ^ 0 и 2^ = ап + ibn при п < 0. Поскольку

cos nxat = ~ (etntot + e~lntot\ sin neat = -~- (eintot —- e”lntot\

для каждой частотной компоненты исо частотный спектр на комплексной плоскости дает две спектральные линии: одну на частоте +1Ш, а другую на частоте —/гео. На фиг. 121,5 приведено комплексное представление косинуса, целиком лежащее на вещественной плоскости, а на фиг. 121, е — комплексное представление синуса, целиком лежащее на мнимой плоскости.

Амплитуды линий в областях положительных и отрицательных частот являются, конечно, комплексно-сопряженными, поэтому их произведение равно квадрату истинной амплитуды. Понятие отрицательной частоты возникло, как можно видеть, благодаря тому, что увеличение фазы члена e~intot противоположно по знаку увеличению фазы члена eintot с положительной частотой. Знак минус перед амплитудой компоненты с отрицательной частотой в разложении синуса указывает на то, что она находится в противофазе по отношению к компоненте с положительной частотой.

Интеграл Фурье

В начале этой главы мы видели, что разложение функции в ряд Фурье может быть записано в виде

П- — оо

где 2dn = ап — ibn при п ^ 0 и 2dn = ап ’+ ibn при и < 0. Если в качестве переменной мы возьмем время, то это разложение может быть переписано следующим образом:

f(0 = Е dne=^.

Если Т — период функции, то

Т/2

dn = T $ t^e-^dt (» = 0, ±1, ±2,...).

-T/2

Используя формулу (о = 2nvi, где vi — основная частота, мы можем записать

ОО г Г/2П

п-ж-оо L-T/2J

Если теперь устремить период Т к бесконечности, то мы тем самым выделим один импульс, поскольку можно сказать, что он не будет повторяться в течение бесконечного интервала времени. Частота vi = 1/7* —> 0, и величина 1/7 становится бесконечно малой; ее можно обозначить через dv.

Далее, когда число п становится таким большим, как нам нужно, и 1/7 = vi —*0, величину nvi можно обозначить через v. Сумма по п становится интегралом, поскольку изменение п на единицу приводит к бесконечно малому изменению величины п/Т = nvi.

Следовательно, в случае бесконечного периода, т. е. одного непериодического импульса, мы можем записать функцию /(/) в виде интеграла Фуръе\

i2^t Д^^i2^t Д^^

i2^t Д^^

i2^t Д^^

Эта формула ФуръехЭта формула Фуръехf(/) = | F^eMd^f(/) = | F^eMd^может быть переписана в виде преобразования

Эта формула Фуръех

Эта формула Фуръех

f(/) = | F^eMd^

f(/) = | F^eMd^

где величина

F^) = ^ f^e-^dt

называется фурье-образом функции f(t). На преобразовании Фурье мы подробнее остановимся в следующем разделе данной главы.

Если период конечен и /(/)—периодическая функция, то из выражения

Н0 = X d^t

П = — оо

мы видим, что разложение содержит бесконечное число компонент с разными частотами, причем частотное расстояние между соседними компонентами конечно. Но если /(0—непериодическая функция (период бесконечен), то

f (/) = ^ F (v) el<2^1 dv.

Здесь мы имеем интеграл (а не сумму), значение которого определяется бесконечным числом частотных компонент с амплитудой F^. Их частоты расположены вплотную друг к другу, поскольку v изменяется непрерывно, а не дискретно.

В случае периодической функции амплитуда коэффициента для ряда Фурье дается выражением

T/2

d„ = 4" $ HOe-^dt,

-VT2

тогда как соответствующая амплитуда в интеграле Фурье такова:

f(v)dv = d(l) J Цве-^ cW.

Этим подтверждается то, что было сказано, когда речь шла о частотном спектре: чем уже или менее растянут импульс, тем шире частотная область компонент, необходимых для его описания. Для корректного определения истинной монохроматической волны, имеющей одну частоту и длину волны (или волновое число), необходим волновой цуг бесконечной длины. Ни один волновой цуг конечной длины не может быть задан одной-един- ственной длиной волны.

Поскольку бесконечно длинная монохроматическая волна, имеющая одну частоту и постоянную амплитуду, не несет информации, ее амплитуда должна быть промодулирована путем добавления других частот (как мы уже видели это в гл. 4), прежде чем изменение амплитуды сможет передать информацию. Эти представления выражены в виде теоремы о ширине частотной полосы.

Фурье-образы'

Мы только что видели, что интеграл Фурье, представляющий непериодический волновой пакет /(^), можно записать в виде

/(/) = J F^e^dv,

где

F^) = J f^e-^'^dt

— его фурье-образ. Стало быть, в результате интегрирования по одной переменной получается функция другой переменной. Обе переменные входят как произведение в показатель экспоненциальной функции, поэтому произведение должно быть безразмерным. Любая пара переменных, удовлетворяющих этому условию, составляет пару фурье-образов, поскольку из симметрии выражений мы сразу видим, что если

F^ есть фурье-образ функции /(/), то

f(—v) есть фурье-образ функции F (/).

Если нам задана функция времени, то мы сразу можем получить ее частотный спектр, и наоборот. Аналогичным образом данное распределение в пространстве может быть представлено как функция волновых чисел (при этом перед фурье-образом просто появляется множитель 1/2л, поскольку & = 2л/Л).

Такой же множитель появится, если вместо v использовать ю. Если функция /(/) четная, то отличны от нуля только члены, содержащие косинус экспоненциальной функции. В результате мы получаем косинус-преобразование Фурье:

f (/) = F (v) cos 2лу/ d*v,

(i

F (у) = / (/) cos 2лу/ dt.

Если функция ЦГ) нечетная, то отличны от нуля только члены, содержащие синус, поэтому в приведенных выше выражениях косинусы заменяются синусами. Отметим, что в эти выражения входят только положительные частоты. Фурье-образ четной функции — действительный и четный, а нечетной функции — мнимый и нечетный.

Примеры фурье-образов

Для иллюстрации метода мы выбрали два примера преобразований Фурье, имеющих большое значение в физике. Это преобразования:

прямоугольной функции (функции «щели»), изображенной на фиг. 122, а;

гауссовой функции, изображенной на фиг. 124.

Обе функции четные, и, следовательно, их фурье-образы действительны. Физический смысл этого заключается в том, что все

6

Фиг. 122. а — узкая прямоугольная функция высотой И, отличная от нуля во временном интервале d; б — ее фурье-образ.

частотные компоненты имеют одинаковую фазу в нулевой момент времени.

Прямоугольная функция

Это функция, имеющая высоту h во временном интервале от —d/2 до d^. Следовательно, f (t) = h при |/|<d/2 и /(/)=0 при |/| > d/2; поэтому

ооd/2

F^= f(/)е™12^1 dt = he-^dt —

— оо—d/2

— —- Ve-i2nW ei2n^d/23 — s!n а

z2лv LJа ’

где а = 2nvd/2.

Мы снова видим, что преобразование Фурье прямоугольного временного импульса приводит к частотной зависимости вида sin а/а. Преобразование Фурье аналогичного пространственного импульса будет давать точно такое же распределение как функцию длины волны. Из фиг. 122,6 видно, что с уменьшением временной длительности импульса расстояние между нулями фурье- образа увеличивается. Отрицательные значения фурье-образа указывают на обращение фазы амплитуды у соответствующей частотной компоненты.

Применение преобразования Фурье при анализедифракции света на щели

Этот вопрос, вообще говоря, относится к теме следующей главы, где он будет исследован другим методом. Здесь же мы выведем основной результат в качестве примера преобразова-

ния Фурье. Элегантность этого метода обнаруживается в задачах более сложных, нежели одномерный пример, рассмотренный здесь. С обобщением метода Фурье на двумерный случай мы встретимся в гл. 10, когда будем рассматривать дифракцию на прямоугольном или круглом отверстии.

Амплитуду света, проходящего через щель, можно представить в пространстве как прямоугольный импульс, изображенный на фиг. 122, а, где d теперь — ширина щели. Плоский фронт волны монохроматического света с длиной волны X, падающий по нормали на экран с узкой щелью шириной d ~ X, является

Фиг. 123. Дифракция на щели.

Монохроматическая плоская волна, падающая нормально на узкую щель шириной d, дифрагирует под углом 6. Распространяющийся в этом направлении свет фокусируется в точку Р, где амплитуда равна сумме всех вкладов с учетом их фаз относительно вклада центральной точки щели. Вклад от точки х щели сдвинут по фазе относительно вклада центральной точки щели на величину ф=2лх sin 0/Х. Разность фаз между вкладами точек, находящихся на противоположных краях щели, равна <p=2jtd sin 6/Л^2а.

источником вторичных плоских волн, дифрагирующих во всех направлениях относительно экрана. Дифрагированные волны фокусируются на втором экране, распределение интенсивности (квадрата амплитуды) на котором мы хотим выразить через ширину щели d, длину волны X и угол дифракции 0.

Как показано на фиг. 123, свет, дифрагированный под углом 9, фокусируется в точку Р на экране РР^. Чтобы найти амплитуду света в точке Р, нужно просто просуммировать все малые вклады в дифрагированную волну с учетом всех разностей фаз. Разности фаз обусловлены различиями в длине пути от точек щели, которые служат источниками волн, дающих вклады в дифрагированную волну, до точки Р. Амплитуда дифрагированной волны в ^-пространстве, или пространстве волновых чисел, представляет собой фурье-образ импульса шириной d в х-пространстве (фиг. 122, б).

Сопряженные параметры v и t обратны друг другу, но в произведение величин х и к входит множитель 2л, а поэтому

необходимо ввести либо множитель 1/2л перед одним из интегралов преобразования, либо множитель 1/V2^ перед каждым интегралом преобразования. Однако этот множитель входит в постоянную величину максимальной интенсивности, а все другие значения интенсивности измеряются относительно этой величины.

Итак, амплитуда малых волновых источников, распределенных по щели шириной d, равна постоянной амплитуде h импульса и метод преобразования Фурье заключается в сложении вкладов этих источников путем интегрирования.

Из фиг. 123 мы видим, что разность путей для волн, выходящих из центра щели и из точки х щели, равна х sin 0, поэтому разность фаз'

2 л

Ф = — х sin 9 = kx sin 9.

Произведение кх sin 9 можно записать в виде скалярного произведения k x = klx, что удобнее для обобщения на случай пространства двух и трех измерений. Здесь к — волновой вектор, задающий направление распространения волны, I — направляющий косинус:

I = cos ( y — э) = sin 9,

а 9 — угол между вектором к и осью х.

Сложение всех малых вкладов источников, распределенных по щели, для нахождения амплитуды волны в точке Р методом Фурье приводит к следующему результату:

+d/2

—d/2

где

kidл • /x

a = —5— — a sin и.

Интенсивность / в точке P определяется квадратом амплитуды, т. е. произведением F^k) на комплексно-сопряженную величину F* (k), так что

г d^h? sin2 a4л2 a2 ’

откуда получаем интенсивность главного максимума при a = О (в точке Ро на фиг. 123):

Распределение Гаусса, или нормальноераспределение (кривая ошибок)

Эта кривая часто используется для представления формы волнового пакета, соответствующего частице, в квантовой механике. Фурье-образ одного гауссова распределения представляет собой другое гауссово распределение.

На фиг. 124, а изображена гауссова кривая ошибок высотой h, симметричная относительно момента времени t = 0 и описываемая выражением f(t) = he-t2!^ , где о — параметр ши-

аd

Фиг. 124. а — гауссова функция; б — ее фурье-образ, тоже являющийся гаус-совой функцией.

рины, называемый стандартным отклонением; он равен тому значению абсциссы t, при котором ордината кривой в е-х^ раз меньше ее максимума.

Фурье-образ гауссовой функции имеет вид

р (v) —^e-t2№e-i2^t dt —^(-/2/2o2~Z2nv^+2n2v2o2)^-2n2v2a2 df =

= Ие~2п^°' g-(W2a+t V^nva)2 ^,

Производя замену-

x = //V2or + i V^^va, dt = ^2о dx

и учитывая, что интеграл

е-х" dx = л/л,

получаем

F (v) = h л/^пое-2^202.

Это тоже гауссово распределение в пространстве частот (фиг. 124,6)—с другой высотой ho ^2л и с другим параме-

тром ширины (V2^ а) . Как и в случае щели и соответствующего ей дифракционного распределения, мы снова видим, что короткий во времени импульс (шириной о) приводит к широкому частотному распределению (шириной (^2ла) *).

Если кривую нормировать так, чтобы ее площадь была равна единице, то высота h будет равна (^2ла) , поскольку

Следовательно, импульс, описываемый нормированной кривой, преобразуется в импульс единичной высоты, а импульс единичной высоты преобразуется в импульс шириной (V2no) •

Фиг. 125. а — семейство нормированных гауссовых функций, переходящих в пределе при неограниченном уменьшении ширины в дельта-функцию Дирака;

б — семейство их фурье-образов.

Рассмотрим семейство гауссовых функций с нормированной на единицу площадью их кривых, в котором высота h постепенно увеличивается, а ширина о постепенно уменьшается. В пределе неограниченного роста высоты (Л—>оо) и неограниченного уменьшения ширины (о —> 0) мы придем к бесконечно узкому импульсу с конечной единичной площадью. Такой импульс называется дельта-функцией Дирака, которая обозначается через б. Фурье-образ такой функции — постоянная, равная единице. На фиг. 125 представлено семейство нормирован-

Фиг. 126. Некоторые часто встречающиеся пары фурье-образов.

ных гауссовых распределений и их фурье-образы. На фиг. 126 представлен ряд часто встречающихся пар фурье-образов. (Задачи 9.10—9.17.)

Задача 9.1

Определите по виду двух кривых, изображенных на фиг. 127 (без всякой математики), каковы постоянные в разложении этих волн в ряд Фурье, имеются или отсутствуют в нем синусы, ко

синусы, нечетные или четные гармоники и каковы частотные области гармоник в таком разложении.

Задача 9.2

Покажите, что в случае периодической волны, которая через каждую половину периода, сохраняя свою форму, изменяет знак, в спектре Фурье отсутствуют четные частотные гармоники. Проанализируйте этот результат с физической точки зрения.

Задача 9.3

В случае чисто синусоидальной волны у = h sin х однополу- периодный выпрямитель исключает полупериоды с отрицательной амплитудой. Покажите, что ряд Фурье для волны на выходе выпрямителя имеет вид

л .2 о

ууу sin х —рту cos

22

— COS 4хCOS 6х — 0*0о • /

Задача 9.4

Двухполупериодный выпрямитель просто меняет знак амплитуды синусоидальной волны в те полупериоды, когда амплитуда отрицательна. Покажите, что это приводит к удвоению амплитуды выходного сигнала и устранению нежелательной модулирующей пульсации первой гармоники.

Задача 9.5

Покажите, что в интервале от —л до +л функцию /(х) = х2 можно представить в виде ряда

/ w=4л2+£ <-~ ^ ^cos пх-

Задача 9.6

Исходя из разложения в ряд (по синусам) прямоугольной волны единичной высоты:

/ (х) =( sin х + у sin Зх + у sin 5х + ... ) ,

покажите, что

Задача 9.7

Неограниченная последовательность импульсов с единичной высотой и длительностью 2т описывается формулами:

т=т=О при —-71 < / < —- т,1 при — т < / < т,О при т < I < у Г

т=

т=

fy + n = f^t

где Т — интервал между соседними импульсами. Покажите, что эта функция четная и разлагается в ряд Фурье по косинусам, причем соответствующие коэффициенты разложения таковы:

2 . 2лпл 1

Задача 9.8

Покажите, что в задаче 9.7 ап —► 4т/7 при т->0 и коэффициенты ап не зависят от п, а спектр состоит из бесконечного числа равноотстоящих линий постоянной высоты. Теперь описание последовательности импульсов во времени и в цростран-

стве частот имеет одинаковый вид. Такие функции называются взаимно обратными. Каков физический смысл того, что ап —► О при т —► О?

Задача 9.9

Импульсы, рассмотренные в задачах 9.7 и 9.8, имеют амплитуду 72т и единичную площадь. Покажите, что при т —► О бесконечная последовательность импульсов описывается функцией

/ (0 = у + Т X cos (^л^/Л-

П=1

При таких условиях амплитуда исходных импульсов становится неограниченной, энергия каждого импульса остается конечной и полная энергия бесконечной последовательности импульсов также неограниченно велика. Амплитуда отдельных частотных компонент конечна, и ей соответствует конечная энергия, но бесконечное число компонент снова приводит к неограниченной энергии.

Задача 9.10

Единичная ступенчатая функция задается следующим образом (фиг. 128):

Г 1 при t > 0,М 4 I 0 при t < 0.

Такая функция играет важную роль в физике и технике, но она не удовлетворяет условию существования представления Фурье,

1

1

о

Фиг. 128.

поскольку интеграл от нее неограничен. Подобная же функция, определенная в конечном интервале, будет удовлетворять этому условию. Эта функция задается так:

( 1 при 0 < / < 7, Н/) = 1

(. 0 при всех других значениях /.

Исходя из выражения для ее фурье-образа оот

F(o>) = ^ f (Z)e-to/dZ = j e-to/d/ = -^ (1 — ега)/], — ооО

покажите, что при больших значениях Т

1] Г eitot

f (О == "о 1 о \ — ^^‘

1 х 72 1 2л J ZCD

(Отметим, что интеграл в последней формуле равен —л при / < 0 и +л при t > 0. Такое спектральное представление показано на фиг. 126.)

Задача 9.11

Цуги световых волн, испускаемые излучающими атомами, имеют конечную длину. Только неограниченный волновой цуг можно характеризовать одной частотой. Следовательно, излучение атомов характеризуется целой полосой частот, которые дают вклад в спектральную ширину линии. Случайные фазовые соотношения, существующие между этими волновыми цугами, приводят к некогерентности и вызывают трудности в получении интерференционных эффектов с излучением независимых источников.

Допустим, что цуг монохроматической волны с частотой vo, имеющий конечную длину, описывается /Косинусом с постоянной амплитудой /о, которая отлична от нуля в интервале от —т/2 до т/2. Расстояние I = ст называется длиной когерентности. Комплексная форма записи такого цуга имеет вид

f (/) = ^^t, — т/2 < / < т/2.

Этот конечный цуг представляет собой суперпозицию частотных компонент с амплитудой ^(v), определяемой преобразованием Фурье

ОО+т/2

F^= $ f ^e-tomtdt = $ ^-ti^-^t dL

— оо— T/2

Покажите, что

рНМоТ^[^-^1.,

Х 7Л (v — Vo) т

а распределение относительной энергии в спектре соответствует распределению интенсивности в случае дифракции на одной щели.

Задача 9.12

Покажите, что полная ширина первого максимума энергетического спектра в задаче 9.11 равна частотному интервалу 2Av, которым определяется введенная в задаче 9.11 длина когерентности /, согласно формуле Ху/АХ, где Kq = c!vq.

Задача 9.13

Для излучения рубинового лазера величина Av, о которой говорится в задаче 9.12, равна 104 Гц, a Хо = 6,936-10~7 м. Покажите, что АХ = 1,6-10-17 м, а длина когерентности I излучения составляет 3* 104 м.

Задача 9.14

В случае затухающих гармонических колебаний излучающего атома, рассмотренного в гл. 1, энергия конечного волнового пакета описывается выражением Е = Еов^^. На основании физических соображений покажите, что, согласно этому выражению, частотный спектр такого пакета занимает область Асо около частоты соо, где добротность Q = со0/Асо. (Предлагаемая схема рассуждения следующая. При максимальной амплитуде все частотные компоненты находятся в фазе. Через время т фаза частотной компоненты соо изменится на величину юот. Изменение фаз других компонент приводит к их взаимной компенсации в результате интерференции. Какие значения ширины частотной полосы и изменения фаз являются допустимыми?)

Задача 9.15

Рассмотрите задачу 9.14 более формально. Пусть затухающая волна описывается функцией времени •

/ (0 =

где /о—постоянный коэффициент, а т — постоянная времени затухания. Исходя из преобразования Фурье, покажите, что распределение амплитуды в частотном спектре имеет вид

' '1/т + /2л (v — v0) ’

Записав знаменатель в виде гею, покажите, что распределение энергии гармоник в области v — vo таково:

Н V 7 1 Г2 (1/Т)2 + (О - (Do)2 *

Задача 9.16

Покажите, что кривая зависимости [^(v) |2, найденной в задаче 9.15, является резонансной кривой энергии, рассмотренной в гл. 2. Покажите, что ее ширина на уровне, соответствующем

половине максимального значения, равна (/от)2, т. е. Av = 1/лт. Используя формулу задачи 9.12, покажите, что спектральной линии с шириной ДХ = 3-10“9 м соответствует ограниченный волновой пакет с длиной когерентности 32-10-6 м (32 мкм), если Хо = 5,46* 10-7 м.

Задача 9.17

Фурье-образ прямоугольного импульса высотой h и шириной d имеет вид ^(v) = hd sin а/а, где а = 2лvd/2. Покажите, что фурье-образ импульса в виде равнобедренного треугольника с высотой h и основанием 2d таков:

F(^ = 4h2d2^^,

где а = 2nvd/2.

Треугольный импульс можно получить, сдвигая один прямоугольный импульс высотой h и шириной d вдоль основания другого такого же импульса и откладывая как ординату треугольного импульса отрезок на оси абсцисс, на котором перекрываются два прямоугольных импульса (максимальное значение соответствует их полному перекрыванию). Такое преобразование называется сверткой.

Сводка основных результатов

Ряд Фурье

Любую функцию можно представить в интервале от —л до +л следующим образом:

/№=-5"°°+ У-ап cos пх + ^ bn sin пх,п=\п=\

где

лл

f (х) cos пх dx, bn = -~ ^ f (x) sin nx dx. -Л—Л

Интеграл Фурье {преобразование Фурье)

Одиночный непериодический импульс можно записать в виде

Ц0 = И / (Oe-^dt е1^1 d^

292

Глава 9

или

tM} = J F (v) е1^ dv,

где

F^)= J f^e-^dt.

Функции f (/) и F(v)— фуръе-образы друг друга.

При замене t на х и v на к перед правой частью каждого преобразования появляется множитель 1/V2n. Фурье-образ прямоугольного импульса равен sin а/а (этот результат играет важную роль в теории дифракции света).

Глава 10

Интерференция и дифракция света

Для всех волн характерны явления интерференции и дифракции, возникающие при сложении волн, идущих от разных источников. В каждой точке интерференционной или дифракционной картины разность фаз складываемых волн зависит от разницы в путях, проходимых отдельными волнами. Суммарная амплитуда может быть и больше, и меньше амплитуды любой одиночной компоненты.

Различие между интерференцией и дифракцией заключается просто в масштабе. В случае дифракции света на узкой щели или дифракции света малого источника размер отверстия или источника — порядка длины волны света. Согласно принципу Гюйгенса, каждую точку волнового фронта в плоскости щели можно рассматривать как источник вторичных волн, а дальнейшую эволюцию системы дифрагированных волн можно найти путем сложения этих вторичных волн.

В случае интерференции света, идущего от двух или большего числа таких узких щелей, каждую щель можно рассматривать как источник одной волны. Поэтому число компонент, складываемых в конечной интерференционной картине, равно числу щелей (или источников). Это означает, что на полном изображении двух и большего числа щелей должны наблюдаться эффекты и интерференции и дифракции. В дальнейшем мы увидим, что это действительно так.

Суперпозиция волн сводится к сложению двух или большего числа гармонических компонент с разными фазами. В основе нашего подхода лежит сложение векторов, показанное на фиг. 13. Формально мы уже показали в гл. 9 (стр. 281), что метод преобразования Фурье в случае дифракции эквивалентен такому сложению.

Интерференция

Интерференция волн, распространяющихсяот двух щелей или источников

На фиг. 129 буквами Si и S2 обозначены два одинаковых источника, разделенные расстоянием /. Каждый источник излучает волну с угловой частотой со и амплитудой а. В точку Р,

Фиг. 129. Интерференция в точке Р волн от двух одинаковых источников Si и S2, находящихся на расстоянии f друг от друга.

Результат интерференции зависит только от разности путей х2 —xv Геометрическим местом точек с постоянной разностью фаз б = (2л/Л) ^х2— xt) является семейство гипербол с фокусами в точках Si и S2.

достаточно удаленную от источников Si и S2, приходят только плоские волновые фронты со смещениями

Ух = a sin (tot — кхх) от Sbу2 = a sin (tot — kx2) от S2.

Отсюда находим разность фаз между сигналами в точке Р;

6 = к (х2 — xj = -^- (х2 — Xi).

Она обусловлена разностью путей х2— Xi и зависит только от хь х2 и длины волны А, но не зависит от какого-либо изменения в поведении источника. Для этого необходимо, чтобы фаза сигнала, излучаемого каждым источником, не изменялась резкими скачками. Такие источники называются когерентными.

Складывая смещения в точке Р, находим полное смещение

Р = У\ + У2 = а [sin (со/ — кхх^ + sin (со/ — кх^\

и интенсивность

/ = R2 = 2а2 (1 + cos б) = 4а2 cos2 -~.

Когда

cos у = К

интенсивность максимальна:

/ = 4а2,

а компоненты смещения усиливают друг друга, т. е. мы имеем усиливающую интерференцию. Это происходит при условии

у = J- — *i) = пл

т. е. когда разность путей

х2 — хх = пХ.

Когда

д А

cos — = О,

интенсивность обращается в нуль, а компоненты гасят друг друга, т. е. мы имеем ослабляющую интерференцию. Для этого необходимо, чтобы выполнялось условие

4 = (2n + Df = f(x2-x')

или разность путей

х2 — Х1 = (п + у) К.

Геометрические места точек, или траектории, для которых разность х2 — ^1 (или б) постоянна, представляют собой, как показано на фиг. 129, гиперболы с фокусами в точках Si и S2. (В трехмерном случае геометрическим местом точек будут гиперболические поверхности вращения.)

Интерференция в случае двух одинаковыхисточников, разделенных расстоянием, f

Расстояние / ^> X, опыт Юнга

Один из наиболее известных способов демонстрации интерференции света — опыт Юнга с щелями. В таком опыте (схема его приведена на фиг. 130) две одинаковые щели Si и S2 освещаются монохроматическим светом одного источника, находя-

щегося на одинаковом расстоянии от щелей Si и Sg. Картина наблюдается на экране, который расположен на расстоянии I от плоскости щелей.

Интенсивность в точке Р экрана описывается выражением

/ = /^2 = 4а2 cos2 ~.

Расстояние РР0 = г и интервал между щелями f намного меньше / (это величины порядка 10”3/), что условно показано

Фиг. 130. Интерференция волн, идущих от двух одинаковых источников Si . и 52.

Волны интерферируют в точке Р с разностью фаз б=(2л/Х) (х2—Х1)=(2л/Л) f sin 6«(2л/Х) fz/l. Расстояние I намного больше z и f, поэтому прямые S\P и S^P практически параллельны. В плоскости РР0 образуются интерференционные полосы с интенсивностью /=/о cos2 д/2.

разрывами линий Xi и х2 на фиг. 130. Прямые S\P и S^P можно считать почти параллельными. Поэтому в очень хорошем приближении разность путей запишется в виде

х2 — Xi = f sin 0 = f у,

и, следовательно, 2л /\ 2л г • л 2л р 2

б = —(х2-%.) = — /Sin 0 = -/-,

Если

/ = 4a2cos2-j,

то

/ = /0=4а2,

когда cos 6/2 = 1, т. е. когда разность путей

ииfy — O, ±Л, ±2Х±пХ,

и

и

./ = 0,

когда cos 6/2 = 0, т. е. когда

Если принять, что г = 0 в точке Ро, то зависимость интенсивности на экране РР0 от z будет такой, как показанная на фиг. 130, и картина будет представлять собой ряд чередующихся

Фиг. 131. Интенсивность внутри интерференционных полос изменяется пропорционально cos2 6/2, где д — разность фаз интерферирующих волн.Энергия, потерянная в области ослабляющей интерференции (в минимумах), перераспределяется в область усиливающей интерференции (в максимумы).Фиг. 131. Интенсивность внутри интерференционных полос изменяется пропорционально cos2 6/2, где д — разность фаз интерферирующих волн.Энергия, потерянная в области ослабляющей интерференции (в минимумах), перераспределяется в область усиливающей интерференции (в максимумы).

Фиг. 131. Интенсивность внутри интерференционных полос изменяется пропорционально cos2 6/2, где д — разность фаз интерферирующих волн.

Энергия, потерянная в области ослабляющей интерференции (в минимумах), перераспределяется в область усиливающей интерференции (в максимумы).

Фиг. 131. Интенсивность внутри интерференционных полос изменяется пропорционально cos2 6/2, где д — разность фаз интерферирующих волн.

Энергия, потерянная в области ослабляющей интерференции (в минимумах), перераспределяется в область усиливающей интерференции (в максимумы).

светлых и темных полос, параллельных направлению щелей. Светлые полосы с интенсивностью / = 4а2 соответствуют z = = /Ш/Д а темные полосы с интенсивностью / = 0 соответствуют 2 = (n + V2)Mf, гДе п — так называемый порядок интерференционной полосы. Центральная светлая полоса в точке Ро имеет нулевой порядок п = 0. Расстояние на экране между двумя светлыми полосами порядка п и п + 1 дается формулой

z^ —£„ = [(«+ 1) —/г]у-==-р,

которая дает также расстояние между двумя соседними темными полосами. Таким образом, расстояние между полосами постоянно и не зависит от п. Измерив это расстояние, а также величины / и Д можно определить X.

Кривая распределения интенсивности (фиг. 131) показывает, что в том случае, когда две волны приходят в точку Р точно в противофазе, при интерференции они гасят друг друга и в результате суммарная интенсивность, или поток энергии, равна нулю. Из закона сохранения энергии следует, что энергия может лишь перераспределиться и потери энергии в области с нулевой

интенсивностью должны компенсироваться увеличением энергии в области с максимальной интенсивностью. Поскольку среднее значение величины cos2 6/2 равно ^2, интенсивность, усредненная по всему интерференционному распределению и равная сумме отдельных интенсивностей излучения от каждой щели, определяется штриховой линией, проведенной на уровне 1=2а2.

При анализе дифракционных явлений необходимо помнить о двух важных особенностях интерференционных полос:

изменение интенсивности в них описывается множителем cos2 6/2;

максимумы соответствуют разности путей, равной нулю или целому числу длин волн, а минимумы соответствуют разности путей, равной нечетному числу половин длин волн.

Расстояние f <^ X (&/ <^ 1, где к = 2л/Х).

Если разность фаз сигналов, выходящих из источников Si и S2, равна нулю, то интенсивность в некоторой удаленной точке Р можно записать в виде

/ = 4а2 cos2 у = 4/$ cos2 ^^L^l® )4/s,

где разность путей S2P — SyP = f sin 6 и Is = a2 — интенсивность излучения каждого источника. Поскольку f <С X (&/ <^ 1), интенсивность очень слабо зависит от 9, и два источника можно заменить одним источником с амплитудой излучения ^а.

Дипольное излучение (f > X)

Если же сигналы выходят из источников Si и S2 в противофазе, то их полная разность фаз в некоторой удаленной точке Р равна

5 = 60 + kf sin 9, где 6о = л — разность фаз, введенная в источнике. Интенсивность в точке Р дается выражением

I = 4/5cos2 у = 41 s cos2 (у +=

= 4/s sin2 (-^L® ) « /$Sin 0)2,

поскольку kf <С 1.

Два противофазных источника такого рода образуют диполь, интенсивность излучения / которого намного меньше интенсивности излучения Is отдельного источника, если kf <^ 1. Как видно из приведенной выше формулы, эффективность излучения зависит от произведения kf. При фиксированном расстоянии / диполь на низких частотах (при малых значениях к) менее эффективен как излучатель, чем на более высоких частотах.

Фиг. 132. Зависимость интенсивности / от направления 0 при интерференции волн двух одинаковых источников, которые сдвинуты по фазе относительно - друг друга на л радиан и образуют диполь.

Расстояние между источниками f <С А,. Ось диполя ориентирована в направлении 0 = ±л/2.

На фиг. 132 представлена зависимость интенсивности излу* чения / от полярного угла 9. Мы видим, что, когда ось диполя совпадает с осью 9 = л/2, интерференция, приводящая к полной взаимной компенсации компонент, имеет место только для перпендикулярных осей 9 = 0 и 9 = л. Направление (т. е. угол 9), соответствующее интерференции с полным усилением компонент, не существует. Интенсивность излучения вдоль осей 9 = = л/2 и 9 = Зл/2 максимальна, но и здесь она равна всего лишь

где kf < 1.

Направленность излучения диполя используется при создании передающих антенн. В акустике громкоговоритель можно рассматривать как мультипольный источник. В выходной плоскости громкоговорителя формируются волны сжатия, а в его задней части — волны разрежения. Отражение акустических волн от окружающих стен приводит к нежелательным интерференционным эффектам, для устранения которых громкоговоритель помещают в ящик. У ящиков, отражающих на низких частотах (или ящиков с обращением фазы), в той стенке, к которой

обращен выход громкоговорителя, имеется отверстие. Расстояние от него до задней поверхности громкоговорителя делают равным половине длины волны акустического излучения. Тогда отверстие действуе как второй источник, находящийся в фазе с выходом громкоговорителя, что улучшает частотные характеристики всего устройства. (Задачи 10.1 —10.5.)

Интерференция в случае линейной цепочкииз N одинаковых источников

На фиг. 133 изображена линейная цепочка из N одинаковых источников, расположенных на постоянном расстоянии f друг

f sin 9

Фиг. 133. Линейная цепочка из N одинаковых источников, интервал между которыми равен Д излучает в направлении 6.

Излучение принимается в удаленной точке Р, где полная амплитуда излучения равна R=a [sin (jV6/2)/sin (6/2). Здесь а —амплитуда излучения отдельного источника и 6 — = (2n/X)f sin 6—разность фаз между соседними источниками.

от друга и испускающих сигналы с нулевой разностью фаз (бо = 0). В удаленной точке Р разность фаз между сигналами, приходящими от двух соседних источников, имеет вид

6 =-у-f sin 9,

где 9 — угол между нормалью к линии источников и направлением на точку Р. Полная амплитуда в точке Р находится путем сложения одинаковых вкладов от каждого источника с постоянной разностью фаз 6 между последовательными вкладами.

Но ранее (фиг. 13) мы установили, что полная амплитуда такой суперпозиции равна

R = aR = asin (УУд/2)sin д/2sin (УУд/2)sin д/2

R = a

R = a

sin (УУд/2)sin д/2

sin (УУд/2)sin д/2

где а—амплитуда сигнала от каждого источника. Поэтому интенсивность можно записать в виде

, 2 s*n2 (^/2) т sin2 (УУл/ sin 0/А) , sin2 N^ sln2(6/2) —Is $№=(«/ Sin ЭД)Sin2p ’

где . Is — интенсивность излучения одного источника, а р = = л/ sin 9Д. Если мы выберем случай N = 2, то получим формулу для распределения интенсивности в интерференционном опыте Юнга с двумя щелями:

i=is х^Т=4/$ cos2 ^=4/«c°s2 т-

Мы можем исследовать распределение интенсивности для случая N источников, анализируя изменение величины sin2 Afp/sin2 р. Мы видим, что при

Р =-^- f sin 9 = О, ± л, ±2л и т. д., т. е. при

f sin 9 = 0, ± А/, ±2Л, ... ±мЯ,,

имеет место усиливающая интерференция n-го порядка и

Sin^p ^2V2P2л/2

sin2 р р2 е

Отсюда получаем, что в области, где выполняется условие главного максимума

f sin 9 = пХ,

интенсивность очень велика:

I = N4S.

Мы можем представить поведение величины sin2 ^p/sin2 р следующим образом:

числитель sin2Mp равен нулю при УУр->Ол, ..., Мтс, ..., 2УУл, I i I

знаменатель sin2p равен нулю при р->0, ..., л, ..., 2л.

Точками совпадения нулей числителя и знаменателя (где fsin9 = nX) определяются главные максимумы, в которых интенсивность одного источника умножается на №. Между этими главными максимумами всегда имеется (N— 1) точек с нулевой

интенсивностью. Они возникают всякий раз, когда числитель sin2 ^p = 0, а знаменатель sin2 р остается отличным от нуля. Положение этих минимумов определяется уравнением

fsmO = T,fsmO = T,(п- 1)ХN(п- 1)ХN

fsmO = T,

fsmO = T,

(п- 1)Х

N

(п- 1)Х

N

Между главными максимумами имеются (^ — 2) побочных максимумов, интенсивность которых намного меньше, поскольку

51П0

N = 2N = 2sin 9sin 9x/r-* +-xir—> *-x,f-^ *-x!f-^^ sLn °x/r-* +-xir—> *-x,f-^ *-x!f-^^ sLn °Фиг. 134. Интенсивность интерференционного распределения, создаваемого линейной цепочкой из N одинаковых источников, интервал между которыми равен f.Над каждой кривой распределения указан спектральный порядок интерференции п [величина f sin (6/Х)]. Шкала величины sin 0, показывает, что расстояние между главными максимумами определяется равенством sin O = X/f, а полуширина главного максимума — равенством sin 6 = kiNf.Фиг. 134. Интенсивность интерференционного распределения, создаваемого линейной цепочкой из N одинаковых источников, интервал между которыми равен f.Над каждой кривой распределения указан спектральный порядок интерференции п [величина f sin (6/Х)]. Шкала величины sin 0, показывает, что расстояние между главными максимумами определяется равенством sin O = X/f, а полуширина главного максимума — равенством sin 6 = kiNf.

N = 2

N = 2

sin 9

sin 9

x/r-* +-xir—> *-x,f-^ *-x!f-^^ sLn °

x/r-* +-xir—> *-x,f-^ *-x!f-^^ sLn °

Фиг. 134. Интенсивность интерференционного распределения, создаваемого линейной цепочкой из N одинаковых источников, интервал между которыми равен f.

Над каждой кривой распределения указан спектральный порядок интерференции п [величина f sin (6/Х)]. Шкала величины sin 0, показывает, что расстояние между главными максимумами определяется равенством sin O = X/f, а полуширина главного максимума — равенством sin 6 = kiNf.

Фиг. 134. Интенсивность интерференционного распределения, создаваемого линейной цепочкой из N одинаковых источников, интервал между которыми равен f.

Над каждой кривой распределения указан спектральный порядок интерференции п [величина f sin (6/Х)]. Шкала величины sin 0, показывает, что расстояние между главными максимумами определяется равенством sin O = X/f, а полуширина главного максимума — равенством sin 6 = kiNf.

соответствующие выражения для интенсивности не содержат множителя №. На фиг. 134 представлены кривые распределения интенсивности при N = 2, 4, 8 и при ^ —> оо.

По горизонтальной оси нанесены две шкалы. Одна из них дает порядок интерференции п = / sin 9Д для разных максимумов. Другая шкала, шкала величины sin 9, позволяет выявить две особенности интерференционной структуры: она показывает, что расстояние между главными максимумами, взятое как sin 9, равно X//, а полуширина основания главных максимумов по той же шкале равна X/Nf (эта величина совпадает с шириной основания побочных максимумов). С увеличением N не

только растет (пропорционально №^ интенсивность в главных максимумах, но и уменьшается ширина главного максимума, которая становится очень малой.

При очень больших N интерференционное распределение интенсивности становится высоконаправленным с очень острыми пиками большой интенсивности, возникающими всегда, когда sin 6 изменяется на величину X/f.

Направленность таких линейных цепочек широко используется как в передающих, так и в принимающих антеннах. На фиг. 135 показана полярная диаграмма, соответствующая зна-

Фиг. 135. Полярная диаграмма интенсивности для интерференционной картины в случае четырех источников, расположенных на одной прямой с интервалом f = Х/2.

Полуширина главного максимума равна 0 = л/6 и удовлетворяет соотношению sin6 = &/JVf, а расстояние между главными максимумами соответствует изменению величины sin Она Х/Д

чению N = 4. Такая цепочка с большим N, используемая как приемник, лежит в основе радиотелескопа, в котором приемники (источники) расположены на фиксированном, но регулируемом расстоянии / друг от друга и настроены на прием определенной длины волны. Каждый приемник имеет форму параболического отражателя. При ориентации отражателей в различных направлениях их оси сохраняются параллельными друг другу. Угловое расстояние между направлениями падения излучения, для которых принятый сигнал максимален, определяется уравнением sin9 = X/f. (Задачи 10.6, 10.7.)

Дифракция

Дифракция на одной узкой (цели

В начале главы было сказано, что различие между интерференцией и дифракцией заключается просто в масштабе, а не в физике явления.

Допустим, что мы уменьшаем интервал / между N одинаковыми источниками, изображенными на фиг. 133, до тех пор, пока

расстояние между первым и последним из них, первоначально равное Nf, не станет равным d. Предположим, что теперь d есть ширина узкой щели, на которую падает монохроматическое излучение с длиной волны X, причем d ~ X. Теперь каждый из большого числа N одинаковых источников можно рассматривать как источник вторичных волн в соответствии с принципом Гюйгенса. Они образуют систему волн, дифрагированных во всех направлениях.

Если эти дифрагированные волны фокусируются на экране, как показано на фиг. 136, то распределение интенсивности дифрагированных волн можно выразить через ширину щели, длину

ки.ртины

Фиг. 136. Монохроматическая волна, падающая по нормали на узкую щель шириной d, дифрагирует под углом 0.

Свет, распространяющийся в этом направлении, фокусируется в точку Р. Амплитуда в точке Р определяется суперпозицией всех вторичных волн, возникающих в плоскости щели, с учетом соотношения фаз. Максимальная разность Лаз между вкладами волн от противоположных краев щели ф=2ш/ sin 6/Х=2а.

волны X и угол дифракции 6. На фиг. 136 плоская световая волна падает нормально на щелевую диафрагму шириной d. Волны, дифрагированные под углом 0, фокусируются в точке Р на экране РР0. Точка Р находится далеко от щели, так что все волновые фронты, достигающие этой точки, можно считать плоскими. Рассматривая только плоские волны, мы ограничиваемся случаем так называемой дифракции Фраунгофера.

Нахождение амплитуды света в точке Р сводится просто к сложению всех малых вкладов N одинаковых источников, расположенных в плоскости щели, с учетом разности фаз, обусловленной различием в длине пути от точки Р до этих источников. Мы уже решали эту задачу несколько раз. В гл. 9 мы выбрали ее в качестве примера на применение метода Фурье, а здесь мы снова возьмем уже использованное в этой главе на стр. 301 выражение для интенсивности в точке Р

Тr sin2 wp

Sin2p •

Величина Л^р = (лД)Л^/sin 0 — половина разности фаз между вкладами первого и последнего источников.

Однако теперь величина Nf равна ширине щели d; поэтому если мы заменим р величиной а = (лД) d sin 6, т. е. половиной разности фаз между вкладами противоположных краев щели, то интенсивность дифрагированного света в точке Р запишется в виде

г г sin2 [(л/Х) d sin 6] sin2 а

s sin2 [(л/ЛМ) d sin 0] *s sin2 (а/.V) '

При больших значениях N

. 9 a / a \2s,n>

поэтому мы получаем ,sin2 a , sin2 a

I = N4 s —2 — = /0 —г—s a2 u a2

(напомним, что в выводе преобразования Фурье на стр. 282 /о = d^-K^W, где h — амплитуда излучения каждого источника) г

Фиг. 137. Распределение интенсивности света 7 = 70 sin2a/a2, дифрагированного на одиночной щели шириной d.

Здесь а=ш1 sin 0/Л.

Построив кривую зависимости величины / =/0(sin2 a/a2) от a=(n/X)dsin0 на фиг. 137, мы видим, что она симметрична относительно значения

а = 0 = 0.

Здесь / =/о, поскольку sin a/a —► 1 при a—*0. Интенсивность 1 обращается в нуль всякий раз, когда sin a = 0, т. е. всегда, когда величина а равна целому кратному числа л, или

a = у- d sin 6 = ± л, ± 2л, ±3л и т. д,

Отсюда находим, что

dsin9=±A,, ±2Л, ± ЗХ и т. д.

Это условие дифракционного минимума имеет точно такой же вид, как условие интерференционного максимума в случае двух щелей, разделенных расстоянием d. Данное обстоятельство имеет важное значение, когда мы рассматриваем задачу с многими щелями.

Фиг. 138. Положение главных и побочных максимумов интенсивности света, дифрагированного на одиночной щели, определяется точками пересечения кривых у = а и у = tg а.

Максимумы распределения интенсивности соответствуют максимуму множителя sin2 а/а2, т. е. условию

d / sin а \2 d / sin a \ gda \ a / ~ da \ a /*

или

cos asin a g

aa2*

Это условие выполняется, когда a = tga. Как видно из фиг. 138, в очень хорошем приближении корни последнего уравнения таковы: а = 0; ±Зл/2, ±5л/2 и т. д. (точные значения см. в задаче 10.9).

Ниже приводится таблица, в которой указаны отношения интенсивностей побочных максимумов к интенсивности главного максимума /0. Быстрым уменьшением интенсивности, по мере того как мы удаляемся от центра интерференционной картины,

объясняется, почему обычно наблюдаются только первые два или три побочных максимума.

а

sin2 а а-

/0 sin2 а а2

0

1

10

Зл

4

/0

9л2

22,2

5л

4

2

25л2

61,7

7л

4

49л2

121

Масштаб распределения интенсивности

Ширина главного максимума определяется условием d sin 9 = ± X. Если длина волны X постоянна, то при уменьшении ширины щели d будут возрастать величина sin 0 и ширина главного максимума, а также расстояние между побочными максимумами. Чем уже щель, тем шире дифракционное распределение, или, если иметь в виду преобразование Фурье, чем уже импульс в х-пространстве, тем больше область в ^-простран- стве (или пространстве волновых чисел), необходимая для его описания. (Задачи 10.8, 10.9.)

Распределение интенсивности в случае интерференциии дифракции на N одинаковых отелях

Все сказанное выше в случае одной щели очень просто обобщить на случай N одинаковых щелей шириной d с постоянным интервалом / между ними (фиг. 139). Чтобы найти выражение для интенсивности света в точке Р, дифрагированного на одной щели, мы суммировали вклады множества одинаковых источников, распределенных по поверхности щели.

Мы получили результат

,у sin2 а

sin2 аsin2 аЛ = /оЛ = /оа-а-сжимая исходную линейную цепочку из N источников, расстояние между которыми равно / (фиг. 133). Если мы снова растянем систему до восстановления линейной цепочки, где каждый источник теперь является щелью, определяющей дифракционное распределение интенсивности

sin2 а

sin2 а

Л = /о

Л = /о

а-

а-

Фиг. 139. Распределение интенсивности света, дифрагированного на N одинаковых щелях, разделенных промежутком f.

Распределение описывается выражением /^/o (sina а/а2) (sina Л^З/sin2 3), которое представляет собой произведение интенсивности света /о sin2 а/аа, дифрагированного на одной щели, на распределение интенсивности sin2 ^0/sin2 Р, определяющееся интерференцией излучения N источников. Здесь а=(л/Х) d sin 6 и 0 = (л/Х) f sin 6.

то намходноето намходноепределенияпределениядостаточно будет лишь подставить это значение Is в ис- выражение для интенсивности интерференционного рас-

то намходное

то намходное

пределения

пределения

r sin2 N^

s sin2 p *

приведенное на стр. 301, чтобы получить интенсивность в точке Р на фиг. 139:

r sin2 a sin2 N^0 а2 sin2 р

Здесь р = (л/Z)/ sin 9 и а = ^IX^d sin 9.

Отметим, что в этом выражении объединяются дифракционный множитель sin2 а/а2, относящийся к одной щели (одному источнику), и интерференционный множитель sin2 Лф/sin2 0, характеризующий совместное действие N источников (чем подтверждается сказанное нами в первых разделах данной главы). При любом числе щелей дифракционное распределение будет всегда иметь огибающую

sin2 а

а2 ’

определяемую дифракцией на одной щели, которая изменяет интенсивность интерференционного распределения

sin2 Аф

sin2 Р *

создаваемого всей совокупностью щелей (источников).

Дифракция на двух одинаковых щелях (N = 2)

При N = 2 имеем

поэтому интенсивностьг л г Sin Ct/ = 4/0—cos2p.

Здесь коэффициент 4 обусловлен величиной N2, а величина cos2 р — известный нам множитель, связанный с интерферен-

Фиг. 140. Дифракционное распределение интенсивности в случае двух одинаковых щелей.

Оно состоит из интерференционных полос, модулированных дифракционным распределением от одной щели. Когда дифракционные минимумы совпадают с интерференционными максимумами, светлая полоса исчезает (теряющийся при этом порядок интерференции указан стрелкой).

цией двух источников. Распределение интенсивности при N = 2 и f = 2 представлено на фиг. 140. Интенсивность равна нулю в дифракционных минимумах, когда d sin 6 = пХ. Она также обращается в нуль в интерференционных минимумах, когда f sin 6 = (п + 72)^

При некотором значении 6 положение интерференционного максимума, определяемое уравнением / sin 9 = пХ, совпадает с положением дифракционного минимума, определяемым уравнением d sin 9 = mX. В этом случае дифракционный минимум

приводит к исчезновению интерференционного максимума и соответствующий порядок интерференции п теряется.

Порядок п зависит от отношения расстояния между щелями к ширине щели, поскольку

пХ f sin 6

тХd sin 6 *

Т. е.

т d а *

Следовательно, если

то потерянные порядки будут соответствовать значениям п = = 2, 4, 6, 8 и т. д. для m = 1, 2, 3, 4 и т. д.

Отношением

£ = £d а

определяется масштаб дифракционной структуры, поскольку им определяется число интерференционных полос, расположенных между дифракционными минимумами. Масштаб дифракционной огибающей определяется величиной а. (Задача 10.10.)

Дифракционная решетка (большоеМ)

Большое число N эквивалентных щелей образуют дифракционную решетку, причем постоянное расстояние / между соседними щелями называется постоянной решетки. Снова, согласно выражению для интенсивности

т т sin2 a sin2 Аф

огибающей интерференционной структуры является функция

sin2 аа2 ’

описывающая дифракционное распределение для одной щели (фиг. 141).

Положение главных интерференционных максимумов, интенсивность которых пропорциональна №, определяется уравнением

t sin 6 = пХ.

Эти максимумы наблюдаются как спектральные линии порядка п. Мы, однако, увидим, что при фиксированной длине волны ин-

Огибающая (дифракция на одной щели)Огибающая (дифракция на одной щели)М-2 побочных максимумовМ-2 побочных максимумовФиг. 141. Спектральная линия определенной длины волны, полученная при помощи дифракционной решетки.Фиг. 141. Спектральная линия определенной длины волны, полученная при помощи дифракционной решетки.

Огибающая (дифракция на одной щели)

Огибающая (дифракция на одной щели)

М-2 побочных максимумов

М-2 побочных максимумов

Фиг. 141. Спектральная линия определенной длины волны, полученная при помощи дифракционной решетки.

Фиг. 141. Спектральная линия определенной длины волны, полученная при помощи дифракционной решетки.

Интенсивность линии уменьшается с увеличением порядка п, поскольку она модулирована дифракционным распределением интенсивности от одной щели. Интенсивность главного максимума каждой спектральной линии содержит множитель Na, где N — число линий в решетке.

тенсивность спектральных линий уменьшается с увеличением порядка спектра из-за огибающей sin2 а/сх2.

Разрешающая способность дифракционной решетки

Дифракционная решетка — важный оптический прибор, позволяющий разделять спектральные линии двух длин волн, слишком близких друг к другу, чтобы их можно было различить невооруженным глазом. Если эти две длины волны равны X и X + dX, где dX)X— очень малая величина, то разрешающей способностью (или разрешающей силой) любого оптического прибора называется отношение XjdX.

Согласно критерию Рэлея, две такие линии разрешены, когда максимум одной линии совпадает с первым минимумом другой линии. Когда же линии находятся на более близком расстоянии, они воспринимаются как одна линия.

Если вспомнить, что спектральные линии — это главные максимумы интерференционного распределения, создаваемого большим числом щелей, то мы можем пояснить критерий Рэлея схемой, представленной на фиг. 142, где спектральные линии п-го порядка для двух длин волн построены на оси, по которой откладывается величина sin 9. Мы уже видели (фиг. 134), что полуширина спектральных линий (главных максимумов), определяемая по изменению sin 9, равна X/Nf, где N теперь число линий (щелей) решетки, а /— постоянная решетки.

Д(5Ш ММД(5Ш ММФиг. 142. Согласно критерию Рэлея, две длины волны X и X + dX минимально разрешены в n-м спектральном порядке, когда максимум одной линии совпадает с первым минимумом другой линии, как показано на фигуре.Это разделение, характеризуемое величиной sin 6, равно K/Nf, где N — число дифракционных линий в решетке, a f —постоянная решетки. Отсюда следует, что разрешающая способность дифракционной решетки "kldk — nNФиг. 142. Согласно критерию Рэлея, две длины волны X и X + dX минимально разрешены в n-м спектральном порядке, когда максимум одной линии совпадает с первым минимумом другой линии, как показано на фигуре.Это разделение, характеризуемое величиной sin 6, равно K/Nf, где N — число дифракционных линий в решетке, a f —постоянная решетки. Отсюда следует, что разрешающая способность дифракционной решетки "kldk — nN

Д(5Ш ММ

Д(5Ш ММ

Фиг. 142. Согласно критерию Рэлея, две длины волны X и X + dX минимально разрешены в n-м спектральном порядке, когда максимум одной линии совпадает с первым минимумом другой линии, как показано на фигуре.

Это разделение, характеризуемое величиной sin 6, равно K/Nf, где N — число дифракционных линий в решетке, a f —постоянная решетки. Отсюда следует, что разрешающая способность дифракционной решетки "kldk — nN

Фиг. 142. Согласно критерию Рэлея, две длины волны X и X + dX минимально разрешены в n-м спектральном порядке, когда максимум одной линии совпадает с первым минимумом другой линии, как показано на фигуре.

Это разделение, характеризуемое величиной sin 6, равно K/Nf, где N — число дифракционных линий в решетке, a f —постоянная решетки. Отсюда следует, что разрешающая способность дифракционной решетки "kldk — nN

На фиг. 142 положение спектральной линии /г-го порядка для длины волны X определяется уравнением

f sin Q = nX1

а положение спектральной линии того же порядка для длины волны X + dX удовлетворяет соотношению

f [sin 0 + A (sin 6)] = п (X + dX);поэтомуfA (sin ^ = ndX.

Согласно критерию Рэлея, линии разрешены, если A (sin 9) = ^-,

откудаоткудаfA (sin 9) = п dL = -^-.fA (sin 9) = п dL = -^-.

откуда

откуда

fA (sin 9) = п dL = -^-.

fA (sin 9) = п dL = -^-.

Следовательно, разрешающая способность дифракционной решетки в n-м порядке определяется выражением

4r = Nn.ал»

Отметим, что разрешающая способность растет с увеличением числа линий решетки N и спектрального порядка п. Но максимальный порядок п ограничивается тем обстоятельством, что при увеличении п из-за влияния дифракционной огибающей sin2 а/а2 уменьшается интенсивность (фиг. 141).

Разрешающая способность и теоремао ширине полосы частот

Спектральная линия n-го порядка возникает при условии f sin 0 = пХ, где / sin О — разность путей для света, идущего от двух соседних щелей решетки. Следовательно, максимальная разность путей для света, идущего от противоположных концов решетки с N линиями, равна

Nf sin 9 = NnX.

Разность времен прихода сигналов, идущих по этим экстремальным путям,такова:

где с — скорость света.

Минимальное разрешаемое изменение частоты света v = с(Х дается выражением

Л 1 I АМ с

|Av| —с

поскольку для обратной величины разрешающей способности мы имеем АХ/Х = i/Nn. Следовательно,

АС1

Av ==.

NnX А/ ’

где Av М = 1 (теорема о ширине частотной полосы).

Таким образом, минимальная разность частот, которую можно разрешить, равна обратной разности времен прихода сигналов, идущих по экстремальным путям. (Соотношение Av М = 1 эквивалентно, конечно, соотношению Асо А/ = 2л.)

Если теперь записать разность экстремальных путей в виде

NnX = Ах,

то величину, обратную разрешающей способности, получим как

ДА _ 1v Nn

Следовательно,

I /? I |\ Л J I 2л NnX Дх ’

где к = 2л/Х — волновое число. Таким образом, мы также получаем, что

Ax Afe = 2л,

где А£, т. с. мера разрешаемой разности длин волн, выражена через разность экстремальных путей[ Ах. (Задачи 10.11 —10.14.)

Дифракция на прямоугольном отверстии

Плоскость дифракционного изображенияПлоскость дифракционного изображенияФиг. 143. Плоские волны монохроматического света, падающие нормально на прямоугольное отверстие, дифрагируют в направлении к.Весь свет, распространяющийся в этом направлении, фокусируется в точке Р на плоскости изображения. Амплитуда в точке Р определяется суперпозицией вкладов всех точек (х, у) плоскости отверстия с учетом их фаз.Фиг. 143. Плоские волны монохроматического света, падающие нормально на прямоугольное отверстие, дифрагируют в направлении к.Весь свет, распространяющийся в этом направлении, фокусируется в точке Р на плоскости изображения. Амплитуда в точке Р определяется суперпозицией вкладов всех точек (х, у) плоскости отверстия с учетом их фаз.Ценность изложенного в гл. 9 метода преобразования Фурье становится очевидной, когда мы рассматриваем дифракцию плоской волны на отверстии, ограниченном в двух измерениях. Хотя

Плоскость дифракционного изображения

Плоскость дифракционного изображения

Фиг. 143. Плоские волны монохроматического света, падающие нормально на прямоугольное отверстие, дифрагируют в направлении к.

Весь свет, распространяющийся в этом направлении, фокусируется в точке Р на плоскости изображения. Амплитуда в точке Р определяется суперпозицией вкладов всех точек (х, у) плоскости отверстия с учетом их фаз.

Фиг. 143. Плоские волны монохроматического света, падающие нормально на прямоугольное отверстие, дифрагируют в направлении к.

Весь свет, распространяющийся в этом направлении, фокусируется в точке Р на плоскости изображения. Амплитуда в точке Р определяется суперпозицией вкладов всех точек (х, у) плоскости отверстия с учетом их фаз.

Свет, дифрагированныйв направлении к,фокусируете я'в точке Р

анализ преобразования в гл. 9 был доведен до конца только в случае одной переменной, он в равной степени применим к функциям двух и более переменных. В случае двух измерений функция Цх) заменяется функцией f(x,y), фурье-образ которой! имеет вид F{kx, ky), где индексы указывают направления с которыми связаны волновые числа.

На фиг. 143 плоская волна дифрагирует, проходя через прямоугольное отверстие с размерами d и b по осям х и у. Направляющие косинусы вектора к, нормального к фронту дифрагиро-

ванной волны, относительно осей х и у равны / и т. Эта волна фокусируется в точке Р, где амплитуда поля является суперпозицией вкладов всех точек отверстия (х, у) с учетом их соответствующих фаз.

Произвольную точку отверстия (х, у) можно представить вектором г. Разность фаз между вкладом этой точки и вкладом центральной точки отверстия О, конечно, равна (2лД) • (разность путей). Но разность путей равна просто проекции вектора г на вектор к, а поэтому разность фаз равна

к • г = -у- (/х + myY

где 1х + ту — проекция вектора г на вектор к.

Если мы напишем

2л/,2л/?г,

— и — =

то преобразование Фурье для двух измерений примет вид

F^x. ky) (2л)2F^x. ky) (2л)2yV"4k^k^dx dy,yV"4k^k^dx dy,

F^x. ky) (2л)2

F^x. ky) (2л)2

yV"4k^k^dx dy,

yV"4k^k^dx dy,

где ^х, у)—амплитуда малых вкладов от точек отверстия.

Принимая функцию f(x, у) равной постоянной а, мы находим, что в точке Р амплитуда F(kXi ky) в ^-пространстве равна +d/2 + 6/2.,

( ( e~lkxVikuy dxdy = ^-bd—(2л)2 J J4л2 а р

-(1Г1 -b,2гдеKidkxdктЬ kub

а = —= 2 ’A = 2 •

Интегрируя по у, мы вычисляем вклад узкой полоски отверстия, идущей вдоль оси у, а затем, интегрируя по х, суммируем вклады всех таких полосок с учетом фазовых соотношений.

Распределение интенсивности в случае прямоугольного отверстия имеет вид г т sin2 a sin2 Р

Относительные интенсивности побочных максимумов определяются произведением двух дифракционных множителей sin2 а/а2 и sin2 р/р2. Следовательно, эти относительные величины будут численно равны произведению двух произвольных членов ряда 444

9л2 ’ 25л2 ’ 49л2 11 Т* ^’

Широкий дифракционный максимум, соответствующий размеру у

Фиг. 144. Распределение интенсивности в дифракционном изображении прямоугольного отверстия.

Распределение представляет собой произведение двух дифракционных распределений от одиночных щелей: широкого дифракционного распределения, соответствующего меньшему размеру отверстия, и узкого дифракционного распределения, соответствующего большему размеру отверстия. Поэтому дифракционная картина как бы повернута на 90° относительно отверстия.

Дифракционная картина, получаемая на таком отверстии, вместе с диаграммой относительных интенсивностей представлена на фиг. 144.

Дифракция на круглом отверстии

Это еще одна двумерная задача, к которой может быть применен метод преобразования Фурье. Как и в случае прямоугольного отверстия, дифрагированная плоская волна распространяется в направлении вектора к, направляющие косинусы которого относительно осей х и у равны I и m (фиг. 145, а). Радиус круглого отверстия равен d. Произвольная точка отверстия задается полярными координатами г, 9, где х = г cos 9 и у = = г sin 9. Плоская волна, распространяющаяся в направлении вектора к, фокусируется в точке Р на плоскости дифракционной картины. .

Амплитуда в точке Р определяется суперпозицией вкладов всех точек (г, 9) отверстия с учетом соответствующих фазовых соотношений. Разность фаз между вкладом точки (х, у) и вкла-

х^гcos 6

y=r sin 9

Плоскость xzПлоскость xzх = г cos 9 у = г sin 9х = г cos 9 у = г sin 9Плоскость дифракционного изображенияПлоскость дифракционного изображенияСвет, дифрагированный в направлении к, фокусируется в точку РСвет, дифрагированный в направлении к, фокусируется в точку Ру Плоскость и \ фокусирующей 11 линзыу Плоскость и \ фокусирующей 11 линзы

Плоскость xz

Плоскость xz

х = г cos 9 у = г sin 9

х = г cos 9 у = г sin 9

Плоскость дифракционного изображения

Плоскость дифракционного изображения

Свет, дифрагированный в направлении к, фокусируется в точку Р

Свет, дифрагированный в направлении к, фокусируется в точку Р

у Плоскость и \ фокусирующей 11 линзы

у Плоскость и \ фокусирующей 11 линзы

6

Фиг. 145. Плоская монохроматическая волна, дифрагированная на кругломотверстии в направлении вектора к, фокусируется в точке Р плоскости изо-бражения.

Вклады всех точек (х, у) отверстия складываются в точке Р с учетом соответствующихфаз. а—вектор к направлен произвольно; б —вектор к для простоты считается лежащимв плоскости хг. В случае б общность рассмотрения не теряется в силу круговой симметриизадачи: полное дифракционное распределение определяется изменением амплитуды дифра-гированного света по радиусу.

дом центральной точки отверстия такая же, как и в случае прямоугольного отверстия, и равна

-^- • (разность путей) = -^- (/х + ту) = кхх + куу,

поэтому преобразование Фурье принимает вид

F(kx, ку) = -^\ ^ ^х> yW^^dxdy.

Если мы перейдем к полярным координатам, то функция /(х, у) запишется в виде /(г, 0), а произведение dx dy— в виде г dr dQ, где угол 6 изменяется в пределах от 0 до 2л. Кроме того, мы можем упростить задачу, учитывая круговую симметрию: если известно распределение амплитуды или интенсивности вдоль любого радиуса дифракционной структуры, то этого достаточно для определения всей дифракционной структуры. Из соображений удобства мы можем выбрать это единственное радиальное распределение таким образом, чтобы вектор к лежал

в плоскости хг (фиг. 145, б). Тогда т = ку = 0 и разность фаз равна просто

^- lx = кхх = kxr cos 0.

Если предположить, что функция /(г, 9)—постоянная, равная а во всех точках круглого отверстия, то преобразование принимает вид

2л (1

F^-^AdsV^^rdr.

х 2л j а о о

Подынтегральное выражение можно проинтегрировать по частям относительно г, а затем, разложив полученную функцию в ряд по степеням cos 9, можно проинтегрировать все члены ряда по 9. Результат интегрирования хорошо известен, и его удобно выразить через функцию Бесселя*.

F(kx) = ^h

где 1\^кхй^—функция Бесселя первого порядка.

Функции Бесселя — это функции, которые определяются с помощью ряда и применяются аналогично синусу и косинусу. Синусы и косинусы удовлетворяют прямоугольным граничным условиям, заданным в декартовых координатах, а функции Бесселя удовлетворяют круговым или цилиндрическим граничным условиям, требующим полярных координат. Так, для описания стоячих волн на круглой мембране, т. е. на барабане, нужны функции Бесселя.

Функции Бесселя п-го порядка записывается в виде

^ = ^пХ ( 1 “ 2 (2п + 2) "*" 2 • 4 • (2п + 2) (2п + 4)“O’

так что, например,

И W = " 22 422.42.6 ~ 22.42 • 62.8 I • • • •

На фиг. 146 представлена графически (нормированная) величина аМА\1\Ц^^к^2, которая характеризует распределение интенсивности вдоль произвольного радиуса дифракционной картины в случае круглого отверстия.

Функция J\(kxd} имеет бесконечное число нулей, а поэтому дифракционная картина состоит из бесконечного числа светлых и темных концентрических колец. Положение первого темного кольца будет соответствовать первому нулю функции J\Vkxd^ который определяется уравнением kxd = 1,219 л.

Однако

kxd = ^ld = ^dsm 6',

где 0' — угол между вектором к и осью г, т. е. угол дифракции. Таким образом, положение первого минимума определяется уравнением d sin 0' = 0,61Х, а положение второго минимума — уравнением d sin 0' = 1,16 X. Если бы отверстие было квадратным с длиной стороны 2d (равной диаметру круга), то положение первой темной полосы определялось бы уравнением d sin 0' = 0,5 X, а положение второй темной полосы — уравнением d sin 0' = X.

Фиг. 146. Зависимость интенсивности света, дифрагированного на круглом отверстии радиусом d, от радиуса г дифракционного распределения.

Интенсивность пропорциональна [Jj ^x^l^x^V* где Л“ФункНия Бесселя первого порядка. Распределение состоит из центрального круглого главного максимума и окружающих его концентрических колец, соответствующих минимумам и побочным максимумам с быстро уменьшающейся интенсивностью.

С уменьшением радиуса круглого отверстия угол 0' для первого минимума увеличивается и вся картина расширяется. Это напоминает нам о том, что уменьшение импульса в х-простран- стве приводит к увеличению области в пространстве волновых чисел, или ^-пространстве, необходимой для его описания.

Задача 10.1

Две одинаковые радиомачты, находящиеся на расстоянии 400 метров друг от друга, передают на частоте 1500 кГц. Покажите, что интенсивность интерференционного распределения между этими излучателями имеет вид

/ = 2/0 [1 + cos (4л sin 0)],

где /0— интенсивность излучения каждой радиомачты. Изобразите графически это распределение интенсивности на полярной диаграмме, считая, что радиомачты расположены на оси 90—

270°. Покажите, что вдоль этой оси имеются два главных конуса излучения, направленных в противоположные стороны, и, кроме того, существуют 6 меньших конусов излучения при углах 0; 30; 150; 180; 210 и 330°.

Задача 10.2-

Два одинаковых источника, излучающих на длине волны К находятся на расстоянии Х/2 друг от друга. Сигналы, испускаемые источниками, имеют разность фаз 6о = л. Покажите, что распределение интенсивности излучения описывается выражением

/ = 41 s sin2sin б),

где Is — интенсивность излучения каждого источника (источники лежат на оси 9 = ± л/2). Нарисуйте график зависимости / от 9.

Источники, о которых говорилось в части «а», находятся на расстоянии Х/4 друг от друга, и 60 = л/2. Покажите, что

/ = 4/s [cos2y (1 + sin 0)].

Нарисуйте график зависимости / от 0.

Задача 10.3

Большое число одинаковых осцилляторов расположено в виде горизонтальных и вертикальных рядов, образуя решетку. Единичная ячейка такой решетки представляет собой квадрат со стороной d. Покажите, что на большом расстоянии все излучение решетки в направлении 6 будет в фазе, если tg 9 = mln, где т и п — целые числа.

Пусть решетка, о которой говорится в части «а», образована из атомов кристалла и атомные ряды параллельны передней поверхности кристалла. Покажите, что излучение с длиной волны Л, падающее на переднюю поверхность кристалла под углом скольжения 9, рассеивается с образованием интерференционных максимумов, определяемых уравнением 2dsin9 = nA (брэгговское отражение).

Задача 10.4

В звездном интерферометре Майкельсона, схема которого представлена на фиг. 147, монохроматический свет двух отдельных звезд 1 и 2, проходя через две щели, образует на экране РР' систему интерференционных полос. Покажите, что в случае малых углов 9 разность фаз между двумя пучками света от звезды 1 такова:

б1 = ^/(а» + 0).

зеркал М (фиг. 148). Расстояния / и f можно изменять. Покажите, что разрешающая способность такого прибора в /// раз больше, чем интерферометра из задачи 10.4.зеркал М (фиг. 148). Расстояния / и f можно изменять. Покажите, что разрешающая способность такого прибора в /// раз больше, чем интерферометра из задачи 10.4.

зеркал М (фиг. 148). Расстояния / и f можно изменять. Покажите, что разрешающая способность такого прибора в /// раз больше, чем интерферометра из задачи 10.4.

зеркал М (фиг. 148). Расстояния / и f можно изменять. Покажите, что разрешающая способность такого прибора в /// раз больше, чем интерферометра из задачи 10.4.

Найдите аналогичное выражение Покажите, что условие смещения излучением звезды /, относительно системы полос, образо- ванной излучением звезды 2, на половину ширины полосы имеет вид

а = а2 — «! = у-.

Здесь а — угловое расстояние между звездами. Такое смещение полос приводит к исчезновению контраста интенсивности в системе полос. В эксперименте путем изменения величины / определяют ее минимальное значение, при котором контраст исчезает, что позволяет найти а.

Задача 10.5

Схема интерферометра, описанного в задаче 10.4, изменена: в нее введена система

для 62 (для второй звезды),системы полос, образованной

Задача 10.6

Покажите, что, для того чтобы главный максимум излучения линейной цепочки одинаковых источников был направлен вдоль

линии источников (9 = ± л/2), расстояние между источниками должно быть равно длине волны излучения. Определите положение (значения 9) вторичных максимумов для случая N = 4 и нарисуйте угловое распределение интенсивности излучения.

Задача 10.7 .

Первый многолучевой радиоастрономический интерферометр был эквивалентен линейной цепочке из ^ = 32 источников (приемников), находящихся на расстоянии / = 7 м друг от друга и работающих на длине волны X = 0,21 м. Покажите, что угловая ширина центрального максимума составляет 6 угловых минут, а угловое расстояние между соседними главными максимумами равно 1°42'.

Задача 10.8

Монохроматический свет падает по нормали на одиночную щель. Интенсивность и направление распространения света, дифрагированного под углом 9, даются вектором 1(9), конец которого описывает полярную диаграмму. Нарисуйте несколько полярных диаграмм и покажите, что при постепенном увеличении отношения ширины щели к длине волны полярная диаграмма становится остронаправленной вдоль оси 9 = 0.

Задача 10.9

Положение максимумов в распределении интенсивности света, дифрагированного на одиночной щели шириной d, определяется уравнением а = tg а, где a = ndsin9/X и X —длина волны. Приближенные значения а, удовлетворяющие этому уравнению, таковы: a = 0, ±Зл/2, ±5л/2 и т. д. Написав а = = Зл/2 — б, 5л/2 — бит. д., где 6 — малая величина, покажите, что действительные решения имеют вид: a = 0; ± 1,43л; ±2,459л; ±3,471л и т. д.

Задача 10.10

Докажите, что интенсивность вторичного максимума в случае дифракционной решетки с тремя щелями составляет Vo интенсивности главного максимума.

Задача 10.11

Дифракционная решетка состоит из N щелей, постоянная решетки равна f. Пусть 0 = л/ sin 9/Х, где 9 — угол дифракции. Вычислите изменение фазы ^0, необходимое для смещения дифрагированного света от главного максимума к первому минимуму. Покажите, что полуширина спектральной линии, создаваемой дифракционной решеткой, определяется уравнением de =(nN ctg 0)-1, где п— порядок спектра. (При N = 14 000, п = 1 и 0 = 19° величина de ^ 5".)

Задача 10.12

Дисперсия — это разделение спектральных линий с разной длиной волны при помощи дифракционной решетки. Дисперсия увеличивается с ростом порядка спектра п. Покажите, что в случае дифракции под углом 9 и наблюдения спектра /г-го порядка дисперсия линий, проецируемых на экран линзой с фокусным расстоянием F, такова:

dl р d^ nF

~dK ~ ~dF ~’

где / — линейный интервал между линиями на экране, a f— постоянная решетки.

Покажите, что для системы с F = 2 м и / = 2-10~6 м изменение линейного разделения спектральных линий при увеличении порядка спектра на единицу для двух длин волн Xi = = 5-10-7 м и Х2 = 5,2-10~7 м составляет 2-10-2 м.

Задача 10.13

Дублет натрия состоит из двух линий с длинами волн X,! = 5,890-10-7 м и Хг = 5,896-10-7 м. Покажите, что минимальное число линий дифракционной решетки, необходимое для разрешения этого дублета в третьем спектральном порядке, равно приблизительно 328.

По данным наблюдения, красная спектральная линия, соответствующая длине волны Х = 6,5-10-7 м, является узким дублетом. Эти две линии едва разрешаются дифракционной решеткой, имеющей 9-Ю4 линий. Покажите, что разность длин волн линий,“ образующих дублет, составляет 2-10~12 м.

Задача 10.14

В оптических приборах обычно применяются круглые отвер- > стия и диафрагмы, а поэтому критерий Рэлея определяется формулой sin 9 = 1,22 Х/а, где а — диаметр отверстия.

Две точки О и О' образца, находящегося в предметной плоскости микроскопа, разделены расстоянием s (фиг. 149) (расстояние s считаем очень малым, так что ОВ Ц О'В и О А И О'Ау

Угол, под которым видна из каждой точки линза объектива, равен 2/, а изображения точек / и Г — на пределе разрешения. Рассматривая разность путей между О'А и О'В, покажите, что расстояние s = 1,22 Х/2 sin L

Сводка основных результатов .

Интерференция {два одинаковых источника^ Интенсивность

I = MS cos2d/2,

где Is — интенсивность источника и

^ —["^ (разность путей)j есть разность фаз.

Интерференция {N одинаковых источников, интервал между ними f)

,, sin2 W0

1 = sin2 p ’

где p = у-/sin ОД.

Главные максимумы

I = N4S при f = sin 0 = nX.

Дифракция {одна щель шириной d)

Интенсивность ,т sin2 а ^2—,

где а = -^- d sin 9Д.•

Распределение интенсивности в случае N щелей {ширина d, интервал f)

тг sin2 а sin2 N^У° а2 sin2 р е

(интерференционное распределение, модулированное кривой интенсивности света, дифрагированного на одиночной щели)

Разрешающая способность дифракционной решетки

аЛ

где п — спектральный порядок, a N — число линий решетки. Записывается в виде теоремы о ширине частотной полосы следующим образом:

Av А/ = 1,

где Av — минимальная разрешаемая разность частот, а А/ — разность времен прохода светового сигнала по двум экстремальным оптическим путям.

Глава 11

Нелинейные колебания

Ранее во всей книге мы рассматривали колебания, считая, что их амплитуда удовлетворяет уравнению движения, в котором возвращающая сила является линейной функцией смещения. Это условие было подчеркнуто в гл. 1, и время от времени его ограничивающее воздействие требовало дополнительных разъяснений, как, например, в гл. 5, когда речь шла об акустических волнах в жидкости. Теперь мы рассмотрим некоторые следствия, возникающие при снятии этого ограничения.

Свободные колебания нелинейного осциллятора,движение простого маятника с большой амплитудой

На фиг. 1 уравнение движения простого маятника было за* писано для его углового смещения в виде

5 + ^е=о,

где а)2 = g]L Здесь была сделана приближенная замена sin 6—>6, а поэтому уравнение справедливо лишь при амплитудах колебаний, лежащих в соответствующих пределах. Если же 6 ^ 7°, то такое уравнение неприменимо и мы должны рассматривать более сложное уравнение

-^ + 0)2 sin 0 = 0.

Умножая это уравнение на 2dQ/dt и интегрируя по t, получаем (dQldty = 2со2 cos 6 + А, где А— постоянная интегрирования. Скорость d^ldt обращается в нуль при максимальном угловом смещении 9 = 90, отсюда А = — 2со2 cos 90 и

-^- = соо [2 (cos 9 — cos 90)]/2,

или, после интегрирования, (0л/ = \ тт- .

3 [2 (cos 0 — cos 0О)]1г

Если в момент времени / = О угол 6 — 0 и Т — новый период колебаний, то 0 = 0О при / = Г/4 и, производя замену 0 —► 0/2, мы получаем

9

Т С^0

° 4 J 2 (sin2 60/2 — sin2 6/2)1/г

Если теперь выразить 0 в долях 0О, написав sin 0/2 = = sin 0о/2 sin ф, где, конечно, —1 < sin ф < 1, то

у (cos 0/2) 60 = (sin 0о/2) cos ф 6ф.

Отсюда

Л/2л Т Г dtp

2 То ~' 3 [1 - (sin2 02/2) sin2 <р],/2 ’

где То = 2л/(о0. Разлагая подынтегральное выражение в ряд и интегрируя, получаем

7’ = 7’0(1+7-sin2 90/2+^-51^90/2 + ...)

или приближенно

Г = Г0(1 +|sin2 90/2).

(Задача 1.1.)

Вынужденные колебания, нелинейная возвращающая сила

Если на осциллятор без затухания действует гармоническая сила, то уравнение движения такой системы имеет вид

mx + s (х) = Fo cos со/.

Здесь s(x)—нелинейная функция своего аргумента х, которую можно представить в виде полинома

s (х) = SiX + s2x2 + s3x3 + ...

с постоянными коэффициентами.

На практике во многих случаях достаточно двух членов: s(x) = Six + S3X3. Кубический (а не квадратичный) член обеспечивает одинаковое значение возвращающей гилы при положительных и отрицательных смещениях, и поэтому колебания симметричны относительно х = 0. Когда оба коэффициента Si и S3 положительны, возвращающая сила при заданном смещении больше, чем в линейном случае. Если это сила упругости пру-

жины, то такую пружину называют «жесткой». Когда коэффициент s3 отрицателен, возвращающая сила меньше, чем в линейном случае, и пружина называется «мягкой». На фиг. 150 представлены кривые зависимости возвращающей силы для случаев, когда a) s3 = 0 (линейная пружина), б) s3 > 0 (жесткая пру-

Фиг. 150. Зависимость возвращающей силы от смещения осциллятора.

/ — линейная возвращающая сила; 2—«жесткая» нелинейная пружина; 3—«мягкая» нелинейная пружина.

жина) и в) s3 *< 0 (мягкая пружина). Таким образом, мы видим, что колебания маятника с большой амплитудой, о которых говорилось в предыдущем разделе, соответствуют случаю мягкой пружины, поскольку

sin е«е - у е3.

DDD’D’На фиг. 151 изображено тело с массой т, прикрепленное к точкам D и D' двумя легкими упругими струнами с постоян-

D

D

D’

D’

Фиг. 151. Тело с массой т, прикрепленное упругими струнами к точкам D и D', лежащим на вертикальной прямой на расстоянии 2а одна от другой.

На тело действует боковая сила Fo cos art.

ным коэффициентом жесткости s. Точки D и D' лежат на вертикальной прямой на расстоянии 2а одна от другой. На тело действует внешняя горизонтальная сила Fo cos ^t. При нулевом смещении натяжение струн равно То, а при смещении х (неограниченном по величине) T=T0 + s(L — а), где L— длина растянутой струны.

Уравнение движения (без учета силы тяжести) имеет вид

тЯ = — 2Т sin 0 + Fq cos со/ = — 2 [То + s (L — а)] -~ + F^ cos cor.

Если в него подставить выражение

затем разложить последнее в ряд по степеням х/а и пренебречь членами, меньшими чем (х/а)3, то мы получим

•• 27*о^sci — Го) з i с 4.

тх =— х-—а3х3 + ^о cos tot.

Данное уравнение мы можем переписать следующим образом: х + Six + s3x3 = -^- cos со/, где

s = 2^°$ = sa ° е

.1 та '3 та3 *

Если коэффициент s3 мал, то, выбирая в качестве первого приближения решение Xi = A cos tot и подставляя его в уравнение, находим

х2 = — 51Д cos tot — $3Д3 cos3 tot + COS tot.

Поскольку cos3 оз/= 3/4 cos со/-f-74 cos Зсо/, это уравнение преобразуется к виду

х2 = — (si А + -|- $3Л2 — Folm^ cos со/ — ~ s3X3 cos Зсо/.

Дважды интегрируя последнее уравнение и полагая константы интегрирования равными нулю в соответствии с начальными условиями, в качестве второго приближения для решения уравнения

X + 51Х + s3x3 = — COS tot получаем

*2 = -^Г ($1Л 4- у S3л3 — -^-) COS tot + -^- COS 3tot.

Таким образом, при малых коэффициентах s3 заданной амплитуде А соответствует некоторое значение величины со, и поэтому можно построить график зависимости амплитуды от частоты внешней силы. Отметим, что решение содержит третью гармонику. Мы видим, что в системе с нелинейной возвращающей силой такой резонанс, как в линейном случае, не существует. В приведенном выше примере даже в отсутствие затухания амплитуда не будет неограниченно расти под действием силы с определенной частотой, поскольку частота со, являю-

щаяся собственной частотой при небольшой амплитуде, не будет собственной частотой при большой амплитуде.

Если же коэффициент s3 положителен (жесткая пружина), то собственная частота увеличивается с ростом амплитуды и на кривой зависимости амплитуды от частоты имеется наклонный максимум (фиг. 152, а). В случае мягкой пружины (s3 < 0) кривая имеет такой вид, как на фиг. 152,6. Наклон максимума может оказаться настолько большим (фиг. 152, в), что при одном значении частоты со будет несколько возможных значений

Фиг. 152. Кривые зависимости амплитуды от частоты для осцилляторов с нелинейной возвращающей силой.

а —«жесткая» пружина; б — «мягкая» пружина; в —предельный случай, когда наклон максимума велик и заданной частоте могут соответствовать несколько значений амплитуды, так что возможны «ударные скачки» амплитуды (см. фиг. 156, где изображена такого рода звуковая волна с большой амплитудой).

амплитуды. Поэтому на определенной частоте возможны ударные скачки амплитуды (см. ниже раздел о нелинейных эффектах в акустических волнах с большой амплитудой). (Задачи 11.2, 11.3.)

Тепловое расширение кристалла

В гл. 1 было показано, что кривая зависимости потенциальной энергии от смещения в случае линейного осциллятора имеет вид параболы. В случае же ангармонических колебаний такая кривая отклоняется от параболической формы. Рассмотрим кривую потенциальной энергии для двух соседних ионов с зарядами противоположного знака ±е в кристаллической решетке такого вещества, как КС1. Если г — расстояние между ионами, то потенциальная энергия их взаимодействия

v^=- — + 4-,

где аир — положительные константы, а р = 9. Эта зависимость представлена на фиг. 153, где мы видим, что кривая потенциальной энергии — уже не парабола.

Первый член в выражении для V (/) описывает потенциальную энергию кулоновского притяжения, а второй член -- потен-

циальную энергию взаимного отталкивания. Величина а, зависящая от наличия соседних ионов, — порядка 0,3. Константу р можно выразить через а и равновесное межионное расстояние го- Действительно, в равновесии

ЬгДг, ^

откуда

р

Рентгеноструктурный анализ дает для КС1 значение г0 = 3,12 А, что позволяет вычислить величину р.

Фиг. 153. Непараболическая кривая потенциальной энергии взаимодействия разноименно заряженных ионов в решетке ионного кристалла (NaCI или КС1).

Равновесное межионное расстояние г» определяется балансом сил отталкивания и притяжения. При небольшом увеличении энергии возникают гармонические колебания около положения Го. При больших же значениях энергии колебания становятся ангармоническими, что приводит к тепловому расширению кристалла.

Будем рассматривать малые смещения из равновесного положения г0, что дает нам право разложить функцию V(r) в ряд Тейлора в точке г = г0. В результате получим

v v .г.)+х (^)„„+4 (^х.„+4 m ■ где х = г — Го- Поскольку (dl//dr)r=ro = 0, мы можем написать

V (г) - V (го) = У(х)«д4 + В4-

Величина Ах2/2 — это квадратичный член, с которым мы хорошо познакомились в случае линейного осциллятора. Таким образом, при очень малых возмущениях нижняя часть кривой потенциальной энергии остается параболической, так что малое увеличение энергии вызывает колебания ионной пары, симметричные относительно г = г0. При дальнейшем увеличении энергии ионной пары становится существенным второй член Вх3/6, а потому колебания оказываются уже не симметричными относительно го (на фиг. 153 г2— г0>/1 —г0). Следовательно, сред-

нее по времени значение разности г — г0 не равно нулю, как в случае линейного осциллятора, а усредненное по времени расстояние Г/ больше г0- Если все ионные пары приобретают такое количество энергии (например, при нагреве), то кристалл расширяется.

Мы можем представить силу взаимодействия ионов в виде

F = --a?=-Ax-B--

Здесь из-за наличия квадратичного члена симметрия в движении ионов отсутствует. Если бы вместо квадратичного члена был кубический член, как в предыдущем примере, то симметрия движения около г0 сохранялась бы. Коэффициент А в выражении для силы — это коэффициент жесткости, о котором говорилось, когда речь шла о кристаллах в гл. 4 и 5, и в конечном счете он равен модулю Юнга. Коэффициент В связан с коэффициентом теплового расширения кристалла. (Задачи 11.4, 11.5.)

Нелинейные эффекты в электрических приборах

Типичным проявлением нелинейности в механических устройствах, рассмотренных раньше, было возникновение гармоник основной частоты, с которой колеблется внешняя сила. В случае электронных систем таких нелинейных эффектов довольно просто избежать, выбирая малый линейный участок рабочей характеристики и предусматривая несколько ступеней усиления. В электромеханическом устройстве, таком, как пьезоэлектрический кристалл, линейность тоже достигается путем ограничения амплитуды всех колебаний (режим малых сигналов) и применения усилителя. В электроакустических устройствах, таких, как микрофоны и громкоговорители, возникновение гармоник часто приводит к сильному искажению сигнала. В случае громкоговорителя, изображенного на фиг. 154, трудно создать механическую подвеску конуса, которая обеспечивала бы линейное воспроизведение даже чисто синусоидальной волны, подаваемой на звуковую катушку. Конус действует как поршень, излучающий акустическую энергию. При ограничении же амплитуды наряду с неизбежным рассогласованием акустических импедансов (волновых сопротивлений) падает к. п. д. преобразования электрической энергии в акустическую энергию до уровня, не превышающего 10%. Правда, человеческое ухо — это очень чувствительный прибор.

Однако нелинейные электрические колебания часто применяются. На фиг. 155 представлена схема релаксационного генератора, в котором конденсатор очень быстро разряжается через газоразрядную лампу, наполненную, например, водородом. Здесь

Е — постоянное напряжение зарядки, а I— мгновенная сила тока, заряжающего конденсатор через резистор R до потенциала зажигания VS) при котором газ в лампе быстро ионизуется.

Ангармонический выходной сигнал большой амплитудыАнгармонический выходной сигнал большой амплитудыВынуждающая сила F^Ток в катушке х Магнитное поле в зазореВынуждающая сила F^Ток в катушке х Магнитное поле в зазореФиг. 154. При подаче на вход электроакустического преобразователя, такого, как громкоговоритель, простого синусоидального сигнала на выходе будет искаженный звук, если у подвески конуса коэффициент жесткости нелинеен при высоких амплитудах.Фиг. 154. При подаче на вход электроакустического преобразователя, такого, как громкоговоритель, простого синусоидального сигнала на выходе будет искаженный звук, если у подвески конуса коэффициент жесткости нелинеен при высоких амплитудах.Синусоидальный входной сигнал

Ангармонический выходной сигнал большой амплитуды

Ангармонический выходной сигнал большой амплитуды

Вынуждающая сила F^

Ток в катушке х Магнитное поле в зазоре

Вынуждающая сила F^

Ток в катушке х Магнитное поле в зазоре

Фиг. 154. При подаче на вход электроакустического преобразователя, такого, как громкоговоритель, простого синусоидального сигнала на выходе будет искаженный звук, если у подвески конуса коэффициент жесткости нелинеен при высоких амплитудах.

Фиг. 154. При подаче на вход электроакустического преобразователя, такого, как громкоговоритель, простого синусоидального сигнала на выходе будет искаженный звук, если у подвески конуса коэффициент жесткости нелинеен при высоких амплитудах.

Фиг. 155. Схема нелинейного «релаксационного генератора».Конденсатор С заряжается через резистор R до потенциала Vs < Е, при котором в газонаполненной лампе зажигается разряд, что приводит к быстрой разрядке конденсатора до потенциала Ге, при котором разряд гаснет и лампа перестает быть проводящей, а затем цикл повторяется.Фиг. 155. Схема нелинейного «релаксационного генератора».Конденсатор С заряжается через резистор R до потенциала Vs < Е, при котором в газонаполненной лампе зажигается разряд, что приводит к быстрой разрядке конденсатора до потенциала Ге, при котором разряд гаснет и лампа перестает быть проводящей, а затем цикл повторяется.Лампа начинает хорошо проводить ток и за пренебрежимо короткое время разряжает конденсатор до потенциала деиониза-

Фиг. 155. Схема нелинейного «релаксационного генератора».

Конденсатор С заряжается через резистор R до потенциала Vs < Е, при котором в газонаполненной лампе зажигается разряд, что приводит к быстрой разрядке конденсатора до потенциала Ге, при котором разряд гаснет и лампа перестает быть проводящей, а затем цикл повторяется.

Фиг. 155. Схема нелинейного «релаксационного генератора».

Конденсатор С заряжается через резистор R до потенциала Vs < Е, при котором в газонаполненной лампе зажигается разряд, что приводит к быстрой разрядке конденсатора до потенциала Ге, при котором разряд гаснет и лампа перестает быть проводящей, а затем цикл повторяется.

ции Ve> при котором она перестает проводить ток. Конденсатор снова заряжается до потенциала Vs, и цикл повторяется. На фиг. 155,6 показано, как изменяется напряжение на конденсаторе. Предположим, что в точке А (в момент времени /) конденсатор только что разрядился. Если io — ток в момент вре-

мени t = 0, то

Уе = Е-1^е-^с.

Конденсатор заряжается до потенциала Vs за время т, поэтому

Vs = E-i0Re-^W.

Отсюда

Vs—Ve = i0R (е~^с - е-^+^с) = 1^е"^с (1 - е~^с) =

=ЦЕ- У^-е-^

и, следовательно,

p-TlRC — Е — Vs

” E-Ve'

или

Таким образом, период колебаний прямо пропорционален постоянной времени зарядки RC.

В более сложной схеме можно получить линейную зарядку с очень малым временем разрядки. На выходе такой схемы экспоненциальное выходное напряжение становится линейным, т. е. она дает «пилообразное» напряжение. Из гл. 9 нам известно, что такая периодическая функция содержит много гармоник. Пилообразное выходное напряжение, подаваемое на пластины горизонтального отклонения осциллографа, обеспечивает равномерное движение луча по экрану (линейная развертка).

Нелинейные эффекты в акустических волнах

Продольные акустические волны, которые мы рассматривали в гл. 5, линейны при условии, что постоянен модуль всестороннего сжатия

р_ dP° — dV/V ’

Если же амплитуда звуковой волны слишком велика и данное условие не выполняется, то волновое распространение принимает новую форму.

Определенная масса газа, испытывающего адиабатическое изменение, подчиняется следующему уравнению (записанному в обозначениях гл. 5):

р _ f _ г Ир f

Ро — k V ) L Ко (I +д) J

Следовательно,

^ = ^ = -YPo(l+6)-(v+,)-^-.дх дхт и \।/ дх2 >

поскольку б = дч\/дх.

Так как (1 + 6) (1 + s) = 1, мы можем написать, что^ = _YP0(l+s)V+'^_,дхГ U \ I / дх2

и на основании второго закона Ньютона

др _^П.

дх Р° di2

находим dt2 —дх2 ,

где Cq = уР0/р0.

С физической точки зрения это уравнение означает, что локальная скорость звука с0(1 + $)(Y+l,/2 зависит от уплотнения s. Следовательно, в случае звуковой волны с конечной амплитудой

Фиг. 156. Изменение формы звуковой волны с большой амплитудой в процессе ее распространения.

Локальная скорость звука в звуковой волне с большой амплитудой (я) зависит от давления и плотности. Волна деформируется с течением времени (б), поскольку ее гребень догоняет области с меньшей плотностью. Крайний случай (в) не достигается из-за механизмов, приводящих к увеличению энтропии; вместо этого волна стабилизируется в виде ^образной ударной волны (г) с крутым передним фронтом.

скорость звука будет больше там, где больше плотность и давление. Локальные возмущения, соответствующие таким частям волны, будут перемещаться быстрее ее возмущений с меньшими плотностью, давлением и температурой и нагонять их.

Одиночную синусоидальную волну с большой амплитудой можно получить в трубе при помощи хорошо пригнанного поршня, очень резко толкнув его вперед, а затем вернув в исходное положение. На фиг. 156, а показана начальная форма такой волны, а на фиг. 156,6 — изменение ее формы при распространении волны по трубе. Если бы деформация продолжалась, то в конечном счете волна приняла бы такую форму, как на фиг. 156,в, и давление, плотность и температура стали бы неоднозначными, как и в случае нелинейного осциллятора на

Фиг. 157. а — фронты волн, возникающих в точках S вдоль пути самолета, который летит со скоростью и, превышающей скорость звука vs.

Волновые фронты (окружности) складываются на поверхности конуса Маха (типичная точка которого обозначена через Р) с половиной угла при вершине a = arcsin ^vs(uy образуя ударный фронт.

б — в точку Р звуковые волны приходят одновременно из точек Л и В вдоль пути самолета, если (ufvs) cos 0 = 1 (6 + ос = 90°).

фиг. 152, в. Но прежде чем дело дойдет до этого, форма волны стабилизируется и принимает такой вид, как на фиг. 156, г, ибо при быстром изменении плотности частиц, скорости и температуры на вертикальном «ударном фронте» интенсифицируются диссипативные процессы диффузии, вязкости и теплопроводности. Скорость такого ударного фронта всегда больше скорости звука в газе, в котором он распространяется. При переходе через «ударный фронт» энтропия всегда возрастает. Благодаря противоположному действию эффектов диссипации и нелинейности стабильность фронта обеспечивается до тех пор, пока волна сохраняет достаточную энергию. Волна М-образной формы (фиг. 156, г) всегда возникает при взрывах в виде сферической волны, в которой за взрывным уплотнением часто следует разрежение.

Формирование ударного фронта можно также рассматривать как проявление обобщенного эффекта Доплера (стр. 145) в случае, когда скорость источника больше скорости сигнала. На фиг. 157, а при пролете самолета из точки S в точку S' за время I воздух вокруг него смещается и возмущение уходит из этой

области с локальной скоростью звука us. Окружности показывают положение в момент времени t фронтов звуковых волн, возникших в разных точках на пути самолета. Но если скорость самолета и больше скорости звука us, то будут возникать области с высокими значениями плотности и давления, особенно на краях корпуса самолета и вдоль конической поверхности, касательной к фронтам последовательных волн, возникающих при скорости, большей скорости звука. Эти волны возбуждаются до большой амплитуды с образованием ударной волны. Угол а полураствора конуса, осью которого является путь самолета, определяется соотношением

Такой конус называется «конусом Маха». Когда он доходит до поверхности земли, слышен «сверхзвуковой хлопок».

Возникновение ударной волны на поверхности конуса можно объяснить, рассматривая, как на фиг. 157,6, звуковые волны, возникающие в точках А (в момент времени Ia) и В (в момент времени /в) вдоль пути самолета, который пролетает расстояние АВ = х = иМ за промежуток времени М = 1в — tA. Чтобы достичь точки Р в момент времени

звуковой волне из точки А нужно пройти расстояние Го. Чтобы прибыть в точку Р в момент времени

^ = ^в + ^">

волна из точки В должна пройти расстояние гх. Если величина х мала по сравнению с г0 и гь то мы получим

, Гх — r0«x COS 6 = и Д/ cos 6, откуда временной интервал

vs\vs /

Если и < и5, то интервал t\ — /0 всегда положителен и звуковые волны приходят в точку В в том порядке, в каком они возникли. При и > и5 их временная последовательность зависит от 6. Когда

— COS 6=1,

Vs

tx = t0 и звуковые волны приходят в точку Р одновременно, образуя ударную волну.

Теперь углы 9 и а оказываются дополнительными, так что из условия

COs 6 = — и следует равенство

sin а = —. и

Таким образом, все точки Р лежат на поверхности конуса Маха.

Аналогичное положение может возникнуть, когда заряженная частица q, излучающая электромагнитные волны, движется в среде с показателем преломления, большим единицы. Скорость частицы и^ может быть больше фазовой скорости электромагнитных волн в среде (и<с). В этом случае образуется конус Маха для электромагнитных волн с углом полураствора а, таким, что

sin а = —.

Появляющаяся в результате «ударная волна» называется черепковским излучением. Измерение эффективного направления распространения черепковского излучения — один из способов определения скорости заряженной частицы.

Толщина ударного фронта

В одноатомном газе размер области, в которой изменяются свойства газа, т. е. толщина фронта ударной волны, может равняться лишь нескольким средним длинам свободного пробега. Дело в том, что для обмена энергией, в результате которого характеристики атомов изменяются от соответствующих равновесным условиям впереди фронта до характеристик, соответствующих условиям позади фронта, достаточно лишь нескольких столкновений между атомами. В случае многоатомного газа за счет столкновений довольно быстро увеличивается энергия поступательного и вращательного движения атомов. Для достижения же нового равновесного состояния колебательных мод требуется значительно больше времени, а поэтому толщина фронта ударной волны во много раз больше, чем в случае одноатомного газа.

Найти состояние газа в пределах толщины фронта ударной волны нс так просто, но состояние газа с одной стороны фронта можно вычислить, зная состояние газа с другой стороны фронта, на основе законов сохранения массы, импульса и энергии.

Уравнения законов сохранения

В лаборатории ударные волны создаются в так называемой ударной трубе, которая поделена перегородкой на короткое отделение с высоким давлением и на отделение с низким давлением, имеющее значительно большую длину. Когда перегородка разрушается, расширяющийся газ высокого давления ведет себя как очень быстрый малоинерционный поршень, который сжимает газ низкого давления с другой стороны перегородки и создает

Возмущенный газ Плотностьрг Давление Рг Скорость потопай Относит, скорость U2 = U,-U

1

1

1

1

Стационарный газ Плотность р;

Давление Рг

Относит, скорость и,

| Скорость фронта.

\ ^ударной волны ut

I ^

IНаблюдатель на фронте

Оударной, волны

Невозмущенный неподвижный

газ

а

Фиг. 158. Ударная волна, создаваемая в ударной трубе; штриховой линией показан профиль давления в виде ступенчатой функции.

Плоские поперечные сечения Л В неподвижны относительно наблюдателя О, движущегося вместе с фронтом ударной волны со скоростью их в невозмущенном газе с плотностью Pi, который находится в покое при давлении р> Возмущенный газ характеризуется давлением рг, плотностью р? и скоростью и, поэтому его скорость относительно фронта ударной волны ui = ux—u. Состояние газа в сечении Л связано с состоянием в сечении В уравнениями сохранения массы, импульса и энергии при переходе через фронт ударной волны. Для определения неизвестных параметров достаточно экспериментально измерить скорость ударной волны их> если параметры стационарного газа известны.

бегущую по трубе ударную волну. Профиль ударной волны описывается ступенчатой функцией (фиг. 158, штриховая линия). Газ, в котором распространяется ударная волна, мы считаем неподвижным. Это упрощает анализ, поскольку тогда можно рассматривать состояние газа на фиг. 158 таким, как его видит наблюдатель О, движущийся со скоростью фронта ударной волны и в стационарном газе. Фронт ударной волны находится между поверхностями А и В единичной площади. Обе поверхности неподвижны относительно наблюдателя. Стационарный газ, который проходит сквозь фронт ударной волны через поверхность В, приобретает скорость потока и < их, и, следовательно, скорость относительно фронта и2 = их — и.

С точки зрения наблюдателя количество газа, входящего через единичную площадь области АВ в единицу времени, равно pi^i, где pi — плотность газа впереди фронта ударной волны. Количество газа, уходящего через единичную площадь области АВ

в единицу времени, равно p2(^i— ^) = рг^2, где р2— плотность газа в ударной волне.-

Из закона сохранения массы следует, что pi^i = p2w2 = ^ (постоянная масса). Сила (отнесенная к единице площади), действующая через область АВ, равна разности р2— Рь а последняя равна скорости изменения импульса газа в единичном элементе пЦих— U2Y Следовательно, уравнение закона сохранения импульса имеет вид

Р1 + Р1“1 = Р2 + Р2М2-

Работа p\UX — P2U2, совершаемая в единицу времени силами, действующими на единичной площади области АВ, равна скорости увеличения кинетической и потенциальной энергий газа, проходящего через единичную площадь фронта ударной волны. Поскольку

рхих — р2и2 = ^-т — ^т,

закон сохранения энергии, приходящейся на единицу массы, если внутренюю энергию на единицу массы газа обозначить через е = Цр, pY принимает вид

У+ -^- = "2«2 ++ -^-.

В случае идеального газа р/р = RT и е = с^Т = (1/у — 1)р/р, где Т — абсолютная температура, с^ — удельная теплоемкость (на один грамм) при постоянном объеме, у = cp/cv и ср — удельная теплоемкость (на один грамм) при постоянном давлении.

Три закона сохранения:

Pi^i = p2u2 = m (массы),

Рх + Piui = Р2 + Рги2 (импульса),

Т“1 + е1+77 = T“2 + e2 + 77 (энергии)

вместе с выражением для внутренней энергии е^р, р) полностью определяют характеристики идеального газа за ударной волной через характеристики стационарного газа перед ударной волной.

В эксперименте свойства газа перед фронтом ударной волны обычно известны, поэтому в четырех уравнениях остаются пять неизвестных: скорость фронта ударной волны их, плотность газа в ударной волне р2, относительная скорость потока позади фронта ударной волны и2, давление р2 и внутренняя энергия е2 газа в ударной волне. На практике скорость фронта ударной волны их измеряется, поэтому остальные четыре характеристики могут быть затем вычислены.

Число Маха

Важным параметром в теории ударных волн является число Маха. Это локальный параметр, равный отношению скорости потока к локальной скорости звука. Следовательно, число Маха для фронта ударной волны Ms = их]с\, где и\ — скорость фронта ударной волны, распространяющейся в газе, в котором скорость звука равна Сь

Число Маха для потока газа позади фронта ударной волны определяется как Mf = ujc2, где и — скорость потока газа (и < Ui), а с2— локальная скорость звука позади фронта ударной волны. При переходе через фронт ударной волны температура всегда увеличивается, поэтому с2 >* Ci и Ms^> Mf. Физический смысл числа Маха станет ясным, если записать его квадрат М2 = и2!с2, определяющий отношение кинетической энергии потока на один моль х12и2 к тепловой энергии на один моль с2 = ^RT. Чем выше доля кинетической энергии потока в полной энергии газа, тем больше число Маха.

Отношения характеристик газа по обе стороныот фронта ударной волны

Ударную волну можно характеризовать числом Маха для фронта Ms, а также отношениями плотностей 0 = рг/рь температур Т2/Т\ и давлений (силы ударной волны) у = р^[рх газа по обе стороны от фронта ударной волны.

Если задана сила ударной волны у = p-Jpx, то уравнение законов сохранения можно легко решить и найти uL=fX+aVi\ 5 С] X 1 + а 7 '

где

Y- 1 в. Рг _ « + »1 +а</

Y+ 1 ’ Р Pi 1 +«У * Тх у а + у 1

Эти же отношения можно выразить через экспериментально измеряемый параметр Ms".

РхPl1 — а + aMs

г2 [« W - 1) + ^][а (м’ - 1) +1] ТхM2S1

В случае слабых ударных волн (когда отношение р2]рх лишь немного больше единицы) величины 0, Т2]ТХ и Ms также незначительно превышают единицу и ударная волна распространяется со скоростью звука.

Сильные ударные волны

При р2,р\ )§> 1 мы имеем сильную ударную волну. В этом случае

2уr pi у-1

Если в последнее выражение подставить значение у, то предел окажется равным 6 для воздуха и 4 для одноатомного газа. Скорость потока

2^1

и = Ux — и^ -> —

и отношение температур

ZL = f^Y->-^-v

'тхY+1

Увеличение температуры в сильной ударной волне представляет большой интерес с экспериментальной точки зрения. Физическая причина такого увеличения станет ясной, если уравнение сохранения энергии переписать в виде 72^1 + ^1 = 72^2 ^ ^ > где h = е + р/р — полная тепловая энергия, или энтальпия, на единицу массы. В случае сильной ударной волны ft2 3> hXt где hx — энтальпия холодного неподвижного газа, и их *> из; поэтому уравнение закона сохранения энергии сводится к виду /г2^ 72^1- Отсюда следует, что, когда ударная волна проходит через элемент стационарного газа, находящийся непосредственно перед фронтом ударной волны, его относительная кинетическая энергия превращается в тепловую энергию.

Энергия газа, который подвергся воздействию очень сильной ударной волны, делится почти пополам между его кинетической и тепловой (или внутренней) энергиями. Это можно показать, считая, что в уравнениях законов сохранения начальные значения внутренней энергии ех и давления рх холодного неподвижного газа пренебрежимо малы. Тогда кинетическая энергия, приходящаяся на единицу массы газа позади фронта ударной волны, равна

1 и2 = !(«! — и2)2 = е2,

где е2— внутренняя энергия, приходящаяся на единицу массы газа в ударной волне.

В принципе температура позади фронта очень сиьпых ударных волн могла бы достигать миллионов градусов. В действительности же этому препятствуют свойства реального газа.

В одноатомном газе за счет увеличения энергии поступательного движения температура может повышаться лишь до тех пор, пока не наступит ионизация. После этого энергия, которая должна была бы идти на дальнейшее увеличение температуры, затрачивается на ионизацию. В многоатомном газе полная энергия делится между разными степенями свободы (поступательными, вращательными и колебательными) и поэтому достигаемая температура намного ниже, чем в случае одноатомного газа. Такие процессы приводят к значительному уменьшению величины у; так, при увеличении ионизации у —► 1, а отношение температур пропорционально отношению (у—1)/(у+ 1), которое оказывается очень малым. (Задачи 11.6—11.11.)

Задача 11.1

Период маятника, колеблющегося с большой амплитудой, дается формулой

Т = Г0(1 +|sin2-^),

где То — период колебаний с малой амплитудой, а 6о — амплитуда колебаний. Покажите, что при 6о < 30° величины Т и Т^ различаются только на 2%, а при 60 = 90° их разность составляет 18%.

Задача 11.2

Уравнение движения свободного нелинейного осциллятора без затухания имеет вид

mx = — f (х).

Покажите, что период колебаний с амплитудой Хо равен

dx[F (х0) - F (х)]'^ ’dx[F (х0) - F (х)]'^ ’

dx

[F (х0) - F (х)]'^ ’

dx

[F (х0) - F (х)]'^ ’

где

F (-to) = $ f (х)о

Задача 11.3

Уравнение движения для нелинейного осциллятора без затухания с единичной массой, на который действует внешняя сила, имеет вид

х + s (х) = Fq cos со/.

Написав s(x) = Six + $зх3, где Si и s3— постоянные, перейдите к новой переменной ф = tot и покажите, что все члены решения

X = ^ (ancos -уф + bn sin -у ф),

П=1

содержащие косинусы и синусы с четными значениями п, равны нулю, а при s3 <^ 51 главными остаются члены с основной и утроенной основной частотами.

Задача 11.4

Потенциал межионного взаимодействия в кристалле имеет в-ид

где г0 — равновесное значение межионного расстояния г. Разложив V в ряд около значения Vo, покажите, что ионы могут совершать малые гармонические колебания на частоте, определяющейся соотношением со2 ^ Г^У^тг^ где т — приведенная масса.

Задача 11.5

Потенциальная энергия осциллятора такова:

V (х) = у £х2 — -|- ах3,

где а — положительная величина, причем а<к. Покажите, что решение вида х = A cos tot + В sin 2wZ + xi дает хорошее приближение при (о2 = со2 = klm, если х( = аД2/2со2 и В = — аД2/6(о^ где а = а(т.

Задача 11.6

Для неподвижного газа, содержащегося в большом резервуаре при температуре То, известны: скорость звука с0, энтальпия на единицу массы й0 = срТ^ и постоянное отношение удельных теплоемкостей у. Пусть перегородка резервуара разрушена и газ может течь вдоль трубы со скоростью и. Исходя из уравнения закона сохранения энергии, докажите, что

со _ Y + I *2

Y-12 (у — 1)’

где с* — скорость, при которой скорость потока равна локаль- ной скорости звука.

Далее покажите, что если их(с* = М* и их]сх = Ms, то

Ai.2==_Mi)^_

(у - 1) М2 + 2 ‘

Задача 11.7

Возьмите систему координат, которая движется вместе с фронтом ударной волны со скоростью их, и, исходя из уравнений законов сохранения, покажите, что скорость с* в задаче 11.6 дается выражением

с*2 = ихи^

где и2 — относительная скорость потока газа позади фронта ударной волны.

Задача 11.8

Исходя из уравнений законов сохранения, докажите, что отношение давлений с обеих сторон фронта ударной волны в газе с постоянным отношением у равно

Р2 _ Р — а

Pi 1 — ра ’

где р = p2/pi — отношение плотностей, а а = (у — 1) / (у + 1).

Задача 11.9

Исходя из результатов задач 11.6 и 11.7 и из закона сохранения импульса, покажите, что число Маха для фронта ударной волны дается формулой

сх V 1 + а *

где у = р^рх— отношение давлений с обеих сторон фронта, а а = (у—1)/(у+0- Далее, покажите, что скорость потока позади фронта

V(i + «)(# + «)

Задача 11.10

На фиг. 159 изображены: а) ударная волна, имеющая давление р2 и скорость потока и, распространяющаяся в неподвижном газе с давлением рх; б) волна, отраженная от абсолютно твердой стенки, имеющая давление ра и идущая обратно в газе позади фронта падающей ударной волны, в которой давление еще равно р2. Исходя из последней формулы в задаче 11.9, покажите, что для скорости иг потока газа позади фронта отраженной волны выполняется соотношение

«г =(1 — а) (рз/р2 — 1)

с2 V(1 + а) (рз!р2 + а)

ad

Абсолютно твердая стенкаРги"*р,1Абсолютно твердая стенкаРги"*р,1Фиг. 159.Фиг. 159.—Абсолюта твердая стенкаРз1и11и,.—Абсолюта твердая стенкаРз1и11и,.

Абсолютно твердая стенка

Рг

и"*р,

1

Абсолютно твердая стенка

Рг

и"*р,

1

Фиг. 159.

Фиг. 159.

—

Абсолюта твердая стенка

Рз

1

и1

1

и,.

—

Абсолюта твердая стенка

Рз

1

и1

1

и,.

Далее, с учетом равенства c2/ci = (Т2)Тхуь и условия на абсолютно твердой стенке и + иг = О докажите, что

рз _ (2«+ 1) У — а

Р2 ay + 1’

где у = pdpv и а = (у — 1)/(у + 1).

Задача 11.11

На основании формул задачи 11.10 докажите, что в пределе очень сильных ударных волн

Р2 — Р1а

(Отметим, что при у = 1,4 эта величина равна 8, а при у = 5/3 она равна 6, тогда как скачок нормального акустического давления при отражении равен 2.)

Глава 12

Квантовая механика

В основе так называемой «современной физики» лежат квантовая механика Шредингера (1926 г.) и эквивалентная ей матричная теория Гейзенберга (1926 г.). Они полностью заменили или включили в себя классическую механику во всей физике, рассматриваемой на атомном и молекулярном уровне (а атомномолекулярной физикой определяются макроскопические свойства большего масштаба). Что же касается физики элементарных частиц очень высокой энергии, то здесь еще остается много проблем.

В данной главе мы будем рассматривать только квантовую механику Шредингера, причем лишь с тем, чтобы показать, как в ней выступает двойственная корпускулярно-волновая природа материи. Такая двойственная природа впервые была установлена для электромагнитного излучения. Параллельные попытки доказать волновую природу материальных частиц составляют основу всей истории физики XX в.

Источники современной квантовой механики

В XIX в. интерференционные и дифракционные эксперименты вместе с классической электромагнитной теорией со всей очевидностью подтвердили волновую природу света. Но в 1901 г. для того, чтобы объяснить экспериментальные кривые, описывающие излучение черного тела, Планк постулировал, что электромагнитный осциллятор с частотой у может иметь лишь дискретные значения энергии nh\, где п — целое число, ай — некая постоянная (стр. 245) ^ Прошло четверть века, прежде чем это свойство осциллятора было теоретически выведено в новой, квантовой механике.

В 1895 г. Рентген открыл рентгеновские лучи, в 1912 г. фон Лауэ продемонстрировал их волновые свойства в своих опытах по дифракции, а вскоре была доказана их электромагнитная природа. Значительно больше времени потребовалось, чтобы установить волновые свойства отрицательно заряженных частиц,

9 Это не совсем точно: Планк постулировал дискретность энергии материального осциллятора. — Прим, перев.

которые были открыты Дж. Дж. Томсоном в его экспериментах с катодными лучами в 1897 г. Лишь в 1927 г. Дэвисон и Джер- мер обнаружили интерференционные эффекты при отражении и рассеянии электронов, а в 1928 г. Дж. П. Томсон (сын Дж. Дж. Томсона) получил дифракционные картины в виде концентрических колец, пропуская электроны через тонкую фольгу.

Тем временем в 1906 г. Эйнштейну удалось, используя идею Планка, объяснить фотоэлектрический эффект, т. е. эмиссию электронов из поверхности, на которую падает свет. Эйнштейн рассматривал световой пучок как поток отдельных фотонов, или квантов света, каждый из которых обладает энергией /zv. В результате столкновений с такими квантами электроны в материале мишени получают достаточную энергию для того, чтобы выйти с поверхности мишени.

В 1912 г. Резерфорд на основе своих опытов по рассеянию а-частиц выдвинул гипотезу о том, что атом состоит из положительно заряженного ядра малых размеров и окружающих его отрицательных электронов, которых столько, что атом электрически нейтрален. На такой модели атома была основана «старая квантовая механика» Бора и Зоммерфельда, т. е. комбинация классической механики с квантовыми постулатами, с помощью которой они пытались объяснить среди других явлений регулярность спектральных серий в излучении атомов. Из этой теории следовало, что электрон вращается вокруг ядра по орбитам, соответствующим определенным энергетическим уровням (подобно планетам вокруг Солнца). Когда электрон переходит с одной орбиты на другую, энергия которой меньше на величину Д£ = Н\, атом испускает излучение с частотой v. Требовалось, чтобы эти орбиты были стабильными, или «стационарными», орбитами с квантованными, т. е. дискретными разрешенными, значениями энергии и углового момента. Но, как было показано в классической электромагнитной теории, заряд, движущийся с ускорением (как, например, электрон на орбите), сам должен непрерывно испускать излучение. Эта трудность оказалась непреодолимой в рамках старой квантовой теории.

К 1920 г. Эйнштейн доказал два важнейших положения, необходимых для дальнейшего продвижения. Он показал: а) что энергия кванта излучения Е = /zv и б) что релятивистская энергия Е частицы с импульсом р = то и массой покоя т^ удовлетворяет соотношению Е2 = р2с2 + (т0с2)2; этим соотношением устанавливается эквивалентность массы и энергии, поскольку неподвижная частица с о = 0 обладает энергией Е = т0с2, где с — скорость света.

Теперь оставалось два шага до современной квантовой теории. Один из них был сделан Комптоном в 1922—1923 гг., а другой — де Бройлем в 1924 г.

Комптон, пропуская рентгеновские лучи с известной частотой через тонкую фольгу, установил, что частота v рассеянного излучения не зависит от материала фольги. Отсюда следовало, что рассеяние обусловлено столкновениями между рентгеновскими квантами с энергией hv и электронами в материале мишени. Кроме рассеяния на частоте падающего излучения, всегда наблюдалось рассеянное излучение с меньшей частотой, которая зависела только от массы рассеивающих частиц (электронов) и угла рассеяния. Комптон показал, что эти результаты можно объяснить, если исходить из закона сохранения импульса и энергии при упругом столкновении двух «частиц» — электрона и рентгеновского кванта. Таким образом, рентгеновский квант рассматривается как частица с энергией /zv, массой покоя т0 = 0 и импульсом (определяемым по релятивистской формуле Эйнштейна для энергии)

Еhvh

' ссл

где с — скорость света.

В 1924 г. де Бройль высказал предположение, что как для описания двойственной корпускулярно-волновой природы электромагнитных полей приходится вводить импульс частицы р = = й/Х, так и, наоборот, любой частице с импульсом р = nw можно приписать длину волны X некоторого «поля материи» в соответствии с соотношением р = h]X. Он рассуждал следующим образом. Если фазовая скорость такой волны подчиняется обычному соотношению

^P = vX,

где v — частота, то предположение о том, что любая частица обладает импульсом р = й/Х, вместе с формулой Эйнштейна Е = hv приводит к выражению ир = Е/р.

Согласно теории относительности, частица с массой покоя /Ио и скоростью и обладает энергией Е = тс2 и импульсом р = ти, где величина

m = m0(l —

есть масса частицы, движущейся со скоростью у. Фазовая скорость такой частицы равна

т. е.

VVp = с2.

(С этим выражением мы встречались раньше, когда речь шла о волноводах, стр. 235.)

Отсюда следует, что для частицы, движущейся со скоростью и < с, фазовая скорость ир > с. Но энергию волна де Бройля (или частица) переносит с групповой скоростью

5(0

• которая с учетом соотношений

„, hh h 1

преобразуется к виду

до» дЕ — dh — др ’

Для такой частицы с релятивистской энергией Е, где Е2 = р2С2 + (/ПоС2)2,

выполняется соотношение

2£-^- = 2pc2,др *’

ИЛИ

дЕрс2ис2

и ==— у

8 дрЕс2

Таким образом, групповая скорость дебройлевской волны равна ' скорости частицы и.'

Даже в «старой квантовой теории» Бора — Зоммерфельда была в некоторой степени использована гипотеза де Бройля. Как было показано, в случае круговой орбиты радиусом г их постулат о том, что угловой момент для стационарных орбит ограни- * чен целыми (квантовыми) числами единичного углового момента h, приводит к соотношению

2лгр = nh,

ИЛИ

2лг = — = nX.p

Таким образом, стационарной орбите соответствует система стоячих волн, а на длине ее окружности укладывается целое число п длин волн де Бройля X.

Через три года эти квантовые числа перестали быть гипотетическими и стали естественным следствием новой квантовой теории Шредингера и Гейзенберга.

Принцип неопределенности Гейзенберга

Хотя уравнение Шредингера, как мы увидим, имеет вид волнового уравнения для стоячих волн, с тем обстоятельством, что на длине окружности боровской орбиты должно укладываться целое число стоячих волн де Бройля, связаны трудности принципиального характера. Угловая симметрия такой траектории (фиг. 160), описываемой электроном при его движении по орбите, не позволяет точно указать положение электрона в отдельный момент времени. Эту проблему решил Гейзенберг на основе теоремы о ширине полосы частот, с которой мы впервые встретились на стр. 139.

Фиг. 160 Вдоль круговой боровской орбиты укладывается целое число волн де Бройля Л = h^p, образуя стоячую волну.

Это не позволяет точно определить положение электрона в тот или иной момент времени.

Там было показано, что волны в частотном интервале Av, образующие волновой пакет, который распространяется с групповой скоростью ug, эффективно складываются только в течение времени А/, удовлетворяющего соотношению

А/ Av 1.

Точно так же, если волны, образующие пакет, занимают интервал волновых чисел Afe, то их сложение в пространстве происходит эффективно лишь на расстоянии Ах, удовлетворяющем соотношению

Ах Afe ^ 2л.

Скорость же волн де Бройля, связанных с частицами, — это по самой своей сути групповая скорость. Импульс волн

де Бройля равен

где h = й/2л; поэтому

\p = hkk

и теорема о ширине полосы частот выступает как принцип неопределенности Гейзенберга

Ах Ар ^ h.

Из соотношения

E = hv = со = Йео

следуют два других выражения для принципа неопределенности Гейзенберга:

= А£ Ы « h

И

А£ ^ Й Ас».

Этими соотношениями принципиально ограничивается предельная точность, с которой мы можем знать положение х ча-

Фиг. 161. Расплывание волнового пакета, описывающего частицу, со временем. а — волновой пакет; б — тот же пакет спустя время t. Квадрат амплитуды волны в любой точке дает вероятность нахождения частицы в этой точке. Дисперсия увеличивает со временем неопределенность положения частицы (принцип неопределенности Гейзенберга).

стицы и компоненту ее импульса по оси х. Если частицу описывает волновой пакет, изображенный на фиг. 161, то отрезок Ах характеризует неопределенность положения частицы, т. е. это размер той области пространства, где ее можно обнаружить (вероятность нахождения частицы в определенном месте равна квадрату амплитуды волны в этом месте).

Соотношение

'\xkp « h

означает, что скорость частицы (р = nw^ также является неопределенной. Чем точнее известно положение частицы, тем ме-

нее определенна ее скорость. Если частица «наблюдается» в более поздний момент времени, то дисперсия пакета будет приводить к увеличению области Дх и уменьшению амплитуды. Неопределенность положения увеличивается, а вероятность найти частицу в любой отдельно взятой точке уменьшается. Но это обусловлено исходной неопределенностью скорости частицы (через Др), которая делает точное предсказание ее положения спустя время t еще менее вероятным.

Пример выполнения соотношения

ДЕ Д/ h

можно найти, рассматривая время, которое проводит электрон на атомной орбите. В случае устойчивой орбиты это время Д/ велико, а неопределенность энергии ДЕ мала, поэтому энергетические уровни устойчивых орбит точно определены. Когда электрон переходит с одного энергетического уровня на другой с испусканием излучения, время пребывания электрона на орбите может быть малым, а значит, энергетические уровни определены неточно и величина ДЕ дает вклад в ширину спектральной линии. (Задачи 12.1 —12.10.)

Волновое уравнение Шредингера

Старая квантовая теория пыталась установить правила для определения дискретных частот и дискретных энергетических уровней. На круговой боровской орбите должно укладываться целое число длин волн де Бройля. И дискретные частоты, и целое число длин волн согласуются со свойствами классических стоячих волн, рассмотренными нами в гл. 4 и 8, где волны, распространяющиеся между двумя абсолютно твердыми поверхностями, испытывали полное отражение.

В гл. 4 мы видели, что поперечное смещение у(х, 0 струны длиной / с закрепленными концами подчиняется волновому уравнению

д2у1 д2у _ п

дх2v^ дР ’

где Up — волновая скорость. В случае решения, описывающего стоячую волну, можно было разделить переменные х и /, и тогда оказывалось, что

у (х, /) = A sin sin tont.

Vp

Здесь п может принимать целые значения п = 1, 2, 3, ..., которыми определяются собственные частоты

ПКОр

^ = —

Решение у^х, Ц, соответствующее данной частоте о)л, называется собственной функцией или волновой функцией.

Шредингер установил, что такое волновое уравнение пригодно для описания движения частицы. Доводы, приводимые ниже в его выводе, никоим образом нельзя считать доказательством, поскольку волновая механика не может быть выведена из классической механики, а основывается на некоторых постулатах. Справедливость этих постулатов можно подтвердить лишь точностью предсказываемых результатов.

В классической механике полная энергия Е частицы с массой m и импульсом р, находящейся в консервативном поле с потенциалом V, описывается формулой

E = -E- + V.

2пг 1

Следовательно, импульс можно записать в виде p = ^m(E-V\

откуда находим фазовую скорость волны де Бройля, связанной с частицей:

Е = Е

р — р ~ л/2т (Е - К) '*

Таким образом, волновое уравнение принимает вид (в одномерном случае)

а2^2/и(£-7) ^2^

дх2Е2dt2

Здесь через Т(х, t^ мы обозначили, как это принято, амплитуду волны де Бройля в точке х в момент времени t. Состояния с постоянной энергией — это состояния с постоянной частотой. В решениях, описывающих такие состояния, переменные х и t можно разделить, как и в гл. 8. В результате получаем

V (х, /) = ф (х) e"itot,

где временная зависимость является гармонической. Здесь показатель экспоненты взят со знаком минус, поскольку во всех книгах по квантовой механике для описания волны, бегущей вправо, используется экспоненциальная зависимость вида

g-i (tot -kx^ — gikx-itot

а для описания волны, бегущей влево, — экспоненциальная зависимость вида

g-i (tot +kx) — g-ikx-itot

Это приводит просто к сдвигу по фазе на л относительно обозначений, которые использовались всюду в предыдущих главах этой книги. Мы будем пользоваться в данной главе этим новым обозначением, чтобы избежать расхождений с другими учебниками, и при этом будем обращать особое внимание на любую возможную неоднозначность и неясность.

Теперь

at2

поскольку временная зависимость является гармонической, а волновое уравнение Шредингера может быть записано в форме, не зависящей от времени:

^^ I 2т(Е-Уу 2 дх2 + Е2 °—

С учетом соотношения Е = Ьг = 1ш перепишем последнее уравнение в виде

дх2 1 h2’

где теперь мы можем взять только пространственную часть *ф(х) полной функции ^(х, /) и получить для нее следующее уравнение:

Это не зависящее от времени волновое уравнение будет описывать состояния с постоянной частотой, т. е. с постоянной энергией. В своей книге мы будем рассматривать только такие состояния. Отметим, что данное уравнение имеет вид уравнения для стоячих волн, с которым мы впервые встретились в гл. 4.

Одномерная бесконечно глубокая потенциальная яма

В качестве первого примера рассмотрим случай, когда движение частицы ограничено областью 0 ^ х ^ а, где потенциал V = 0. В точках х = 0 и х = а высота потенциального барьера бесконечно велика, как показано на фиг. 162. Это идеализированная модель потенциала, которым определяется поведение электрона на низких энергетических уровнях вблизи атомного ядра.

Поскольку при 0<х<а мы имеем У(х)=0, уравнение Шредингера принимает вид

Это уравнение может быть переписано в таком же виде, как на стр. 355:

S + ^=o,

где к2 = 2mElh2. Граничные условия таковы: i|)(x) = 0 в точках х = 0 и х = а, где потенциал Г(х) обращается в бесконечность, а остальные члены уравнения остаются конечными.

Фиг. 162. Бесконечно глубокая потенциальная яма и разрешенные энергетические уровни Еп для частицы, движущейся в этой яме.Фиг. 162. Бесконечно глубокая потенциальная яма и разрешенные энергетические уровни Еп для частицы, движущейся в этой яме.Волновая функция n-го уровня ФП = Д sin кпх,Волновая функция n-го уровня ФП = Д sin кпх,где ^«’ZmEff? игде ^«’ZmEff? ит — масса частицы.т — масса частицы.

Фиг. 162. Бесконечно глубокая потенциальная яма и разрешенные энергетические уровни Еп для частицы, движущейся в этой яме.

Фиг. 162. Бесконечно глубокая потенциальная яма и разрешенные энергетические уровни Еп для частицы, движущейся в этой яме.

Волновая функция n-го уровня ФП = Д sin кпх,

Волновая функция n-го уровня ФП = Д sin кпх,

где ^«’ZmEff? и

где ^«’ZmEff? и

т — масса частицы.

т — масса частицы.

Частица, находящаяся в потенциальной яме, в классической механике должна упруго отражаться от «стенок» потенциала независимо от ее энергии. Поведение частицы можно описывать волновой функцией eikx, удовлетворяющей уравнению Шредингера, когда частица движется вправо, и волновой функцией е~1кх, когда частица движется влево.

Но, как и в случае волн на струне при полном отражении, когда амплитуда меняет знак на обратный, решение уравнения Шредингера фп(х) описывает стоячую волну с частотой ^п и дается выражением

= СекпХ — Ce~iknX = A sin кпх = A sin ,

Ур

где А = С121.

Из граничного условия гр/2(х)= 0 при х = а следует, что кпа = ил, где п = 1, 2, 3, ..., т. е. кп = п^а. Следовательно,

,2 ^тЕп п2л2

^п- /г2 —"1Г

откуда получаем собственные значения энергии:

р _п^л^_

,п 2пга2 *

Мы видим, что при наложении граничных условий на волновые функции, удовлетворяющие уравнению Шредингера, естествен-

х^Ох=а х =0х = ах^Ох=а х =0х = аФиг. 163. Волновые функции фл(х) и плотности вероятности |'фл(х)|2 для первых трех разрешенных энергетических уровней в случае бесконечно глубокой потенциальной ямы шириной а.Фиг. 163. Волновые функции фл(х) и плотности вероятности |'фл(х)|2 для первых трех разрешенных энергетических уровней в случае бесконечно глубокой потенциальной ямы шириной а.

х^Ох=а х =0х = а

х^Ох=а х =0х = а

Фиг. 163. Волновые функции фл(х) и плотности вероятности |'фл(х)|2 для первых трех разрешенных энергетических уровней в случае бесконечно глубокой потенциальной ямы шириной а.

Фиг. 163. Волновые функции фл(х) и плотности вероятности |'фл(х)|2 для первых трех разрешенных энергетических уровней в случае бесконечно глубокой потенциальной ямы шириной а.

ным образом возникают дискретные значения энергии, определяющиеся квантовым числом п. Импульс частицы также квантован, поскольку

p=T=tlk=—

Очевидно, что энергия электрона или другой частицы, находящейся в потенциальной яме бесконечной глубины, не может быть любой, а должна принимать только квантованные значения Еп. Такое положение будет всегда при решении уравнения Шредингера с потенциалом V(x), ограничивающим движение частицы конечной областью.

На фиг. 163 изображены волновые функции фп(х) при п = = 1, 2, 3. Нетрудно видеть, что они идентичны разрешенным распределениям амплитуды для стоячих волн на колеблющейся струне с закрепленными концами. При этом интервал между разрешенными энергетическими состояниями уменьшается, когда

увеличивается масса частицы или ширина потенциальной ямы. В случае частиц с большой массой и систем с большими размерами разрешенные энергетические состояния можно практически рассматривать как континуум и считать энергию неквантованной величиной. Следовательно, при переходе от атомных масштабов к макроскопическим результаты квантовой механики переходят в результаты классической физики.

Мы видим, что минимальная энергия частицы в потенциальной яме отлична от нуля и равна

Р Л2 л21 2та2 *

Существование конечной минимальной энергии связано с принципом неопределенности Гейзенберга

Ах \р ^ А.

В самом деле, неопределенность положения частицы Ах равна а. Что же касается импульса частицы р, то он может быть направлен либо в сторону положительных, либо в сторону отрицательных значений х и, стало быть, неопределенность импульса равна

kp = 2p.

Следовательно,

Ах Ар = а 2р ^ А, или

Р ~ 2а *

При У(х)= О мы имеем

р2 р2 h2 А2л2

2тВ та22та2 *

Это пример так называемой энергии нулевых колебаний. В дальнейшем мы встретимся с другими примерами. (Задача 12.11.)

Физический смысл амплитуды фДх) волновой функции

На фиг. 163 кроме амплитуды фп(х) волновой функции представлена величина | *ф^ (x) 12 ПРИ значениях п = 1, 2, 3. Для волн, с которыми мы встречались ранее, квадрат амплитуды был мерой интенсивности волны. В том месте, где амплитуда большая, волна была более интенсивной, т. е. в данном месте была локализована большая энергия. Теперь же наша волна, волна де Бройля, описывает движение частицы, ограниченное малой областью. Амплитуда волновой функции фДх) меняется от точки к точке в той малой области, где может быть обнаружена частица. Вне бесконечно глубокой потенциальной ямы функция

фп(х) равна нулю. Интенсивность волны де Бройля записывается в виде

| ф (х) I2 = ф* (х) ф (х),где ф*(х)—комплексно-сопряженная величина, ибо функцияф(х) может быть комплексной.

Поскольку волна де Бройля описывает движение частицы, мы можем сказать, что вероятность найти частицу больше в тех областях пространства, в которых велика интенсивность |ф(х) |2, или, более строго:

Вероятность нахождения частицы, описываемой волновой функцией ф(х), в окрестности dx точки х равна |ф(х) |2dx.

Плотность вероятности нахождения частицы в точке х

Р (х) = | ф (х) |2.

В трехмерном случае волновая функция должна иметь вид ф(х, у» 2), а потому вероятность нахождения частицы в области единичного объема, окружающей точку с координатами х, у, г, определяется выражением

Р(х, у, 2) = |ф(х, у, 2) |2.

Вероятность нахождения частицы внутри конечного объема V, очевидно, запишется в виде

Ру = ^ I ф (х, У> z) I2 dx dy dz.v

Далее, поскольку частица всегда должна находиться в той или иной точке пространства, при интегрировании по всему пространству мы получим вероятность достоверного события, т. е. единицу:

I Ф U, у, г) |2 dx dy dz = 1.

по всемупространству

Такое интегрирование по всей возможной области локализации с приравниванием результата единице называется нормировкой. Нормировка всегда накладывает некоторые ограничения на вид функции ф(х, у, 2), ибо последняя должна стремиться к нулю, когда х, у или z стремится к бесконечности.

Нормировкой определяется константа А в нашей волновой функции

фп to = A sin -^—

для случая бесконечно глубокой потенциальной ямы. Здесь ооаа

$ I Фп W I2 ^ = ^ I Ф« (я) I2 dx = Д2 ^ sin2-^- dx = Д2 -у = 1; — ооо0

следовательно,

и нормированная волновая функция принимает вид

, , х / 2 пахФп«=Д/-81П — .

(Задача 12.12.)

Частица в трехмерном, «потенциальном яи^ике»

Предположим, что движение частицы ограничено прямоугольной областью объемом abc на дне бесконечно глубокой потенциальной ямы (1/ = 0), где а, Ь, с — стороны прямоугольной области. Тогда энергия частицы

£-£=^« + < + #-й.

где рХ1 Ру и pz — компоненты импульса:

л/lл/zлД

Рх ^1> Ру ^21 Pz ^3 —~ >

а пь п2 и п3 — целые числа.

Следовательно, энергетические уровни, разрешенные в «потенциальном ящике», определяются выражением

л А ( п; П) nt А

Е =

а решения, соответствующие пространственной части волновой функции, могут быть записаны в виде

. /х д . П1ЛХ .. пзтсг

ф (х, у, 2) = A sin —-— sin , sin —— т1abc

в соответствии с решением для трехмерной нормальной моды, приведенным на стр. 240.

Если «потенциальный ящик» имеет форму куба и а = b = с. то выражение для разрешенных уровней энергии принимает вид

Е —(п2 Л_ '^2 Д_ п2\ _.^2

22 2пга2 \п1 п2 пз; 2пга2 ’

iwy . м3лгааiwy . м3лгаагде к2 = п\ + П2 + ^з> а волновая функция

iwy . м3лгаа

iwy . м3лгаа

ф (х, у, г) = Л sin -~— sin

Но мы видели (стр. 239), что комбинации разных величин п могут давать одно и то же значение к, т. е. одно и то же значение энергии. При перестановке чисел nXl п2 и Пз без изменения величины к волновая функция также меняется. Поэтому один уровень энергии может быть связан с несколькими разными волновыми функциями или динамическими состояниями. Такой энергетический уровень называют вырожденным, причем число различных, или независимых, волновых функций, связанных с этой энергией, называется степенью вырождения.

' В случае кубического «потенциального ящика» энергия низшего уровня равна 3£i (т. е. пх = п2 = пз = 1), где

1 2пга2 *

Энергия следующего уровня равна 651, причем этот уровень трехкратно вырожден со следующими значениями п*. (2, 1, 1), (1,2,1) и (1,1,2). Более высокие значения энергии и степени их вырождения приведены в помещенной ниже таблице.

Энергия

Комбинации квантовых чисел «ь п2, Пз

Степень вырождения

ЗЕХ

(1,1,1)

1

6ЕХ

(2,1,1)(1,2,1)(1,1,2)

3

9Е}

(2,2,1)(2,1,2)(1,2,2)

3

1 IjE*!

(3,1,1)(1,3,1)(1,1,3)

3

12^!

(2, 2, 2)

1

14^

(1,2,3)(3,2,1)(2,3,1)(1,3,2)(2,1,3)(3,1,2)

6

(Задача 12.13.)

Число энергетических состояний в интервале от Е до Е + dE

Пока размеры кубического «потенциального ящика», о котором говорилось выше, малы, энергетические уровни остаются разделенными. Но при увеличении объема, как в случае свободных электронов в металле, соседние энергетические уровни настолько сближаются, что они почти сливаются в непрерывный спектр.

Если мы хотим определить, сколько энергетических уровней может содержаться в малом энергетическом интервале dE в случае, когда «потенциальный ящик» очень велик, то нам достаточно применить результат, приведенный на стр. 243. Там мы установили, что число возможных нормальных мод колебаний, приходящееся на единицу объема в частотном интервале от v до v + dv, равно

, 4лv2 dvan—:—.

с3

При этом мы подчеркивали, что данный результат не зависит от конкретной системы, поэтому мы применяли его в формуле Планка для излучения и в теории удельной теплоемкости Дебая.

Используя здесь этот результат вместе с соотношениями

Е = ^ = Н^ p = ^- = ^L2пгг с с

[следовательно, dE = ^p]m^dp = hd\ и dp ^h] с^ d^\ мы получаем число состояний, приходящееся на единицу объема в энергетическом интервале dE:

dn (Е) =dE.

Данное выражение позволяет сразу найти возможное распределение свободных электронов в металле в интервале энергий от нуля до некоторого значения Е. Согласно принципу Паули, на каждом энергетическом уровне могут находйться только два электрона (с противоположными спинами), поэтому полное число электронов в единице объема в энергетическом интервале от нуля до Е дается выражением

n=2^dn(E) = 2 \3<- J Ег dE =W^’

О

где те — масса электрона.

Когда металл находится в своем основном состоянии, все электроны в нем занимают наинизшие уровни энергии. Если полное число электронов в единице объема п0 меньше, чем полное число энергетических уровней в зоне, то электроны будут занимать все энергетические состояния вплоть до максимальной энергии EFi называемой энергией Ферми и определяемой соотношением

16л (2^)1/з Е^1

Типичное значение величины EF — порядка 5 электронвольт (1 электронвольт = 1,6-10—19 Дж). (Задачи 12.14, 12.15.)

Потенциальная ступенька

Случай стоячей волны в бесконечно глубокой потенциальной яме, где волновая функция фп(х) конечна в области с И(х) = О, но равна нулю во всех остальных точках, исключителен в том отношении, что классические и квантовомеханические результаты оказываются фомально одинаковыми. Если же рассмотреть общий случай потенциальной ступеньки конечной высоты V

Фиг. 164. Волновые функции ф1(х) и ф2(х) частицы с массой m и энергией Е <_ V в случае потенциальной ступеньки V(x) = V.

(фиг. 164), то квантовые эффекты станут более очевидными. Такая ступенька — предельная форма очень крутого градиента потенциала консервативной силы

v ' дх

Потенциальный барьер подобного вида обычно существует для электрона вблизи поверхности металла.

Мы рассмотрим отдельно случай, когда полная энергия частицы

Е = ^- + VU)2m х '

меньше потенциальной энергии V, и случай, когда она больше V.

E<V

Когда Е *< V, область х>0 на фиг. 164 запрещена для частицы законами классической механики, поскольку в этой области кинетическая энергия р^т была бы отрицательной. Чтобы найти полное решение ф(х) в случае потенциальной ступеньки, нам нужно решить уравнение Шредингера для отдельных обла-

стей, показанных на фиг. 164: х<0 (область 1) их>0 (область 2).

В области 1 потенциал V(x) = 0, поэтому мы получаем уравнение

дх2 1v 7*

имеющее решение

^ (х) = AelXxX + Be-ikxX,

где А? = 2тЕ1Т?. Член АегкхХ (с учетом правила знаков, принятого в данной главе) описывает частицу, движущуюся вправо, а член Ве~1кхХ — отраженную частицу, движущуюся влево.

В области 2 мы имеем V(x) = V, а поэтому уравнение Шредингера принимает вид

д2^2 (х) . 2т (Е — 7), . __ п

дх= . +h^^ W = о, или

где

2 2m(V-E)

Такое уравнение имеет решение

^2^ = Се-ах + Deax.

Теперь вероятность обнаружить частицу в области 2, где она не может находиться по законам классической физики, зависит от квадрата амплитуды волновой функции | фз (л:) |2 при условии, что грг(-^)—^ 0 при х-> оо. Это условие необходимо для нормировки любой волновой функции (т. е. для выполнения соотношения ^ | ф2 to I2 dx = 1У

Отсюда следует, что второй член De^, который растет с увеличением х, должен равняться нулю. Но остается еще один член, и волновая функция

ф2 to = С е-ах

дает конечную вероятность найти частицу за потенциальной ступенькой (правда, эта вероятность уменьшается экспоненциально с расстоянием). В этом глубокое отличие от классической механики.

На границе х = 0 функция ф(х) должна быть конечной, чтобы она давала конечную вероятность нахождения здесь частицы, а потенциал V(x) испытывает конечный скачок в точке х = 0. Но согласно уравнению Шредингера, вторая произвол-

ная д2^(дх2 при х = 0 ограничена, что означает непрерывность как г|? (х), так и d^^ldx в точке х = 0. Требование непрерывности этих функций — вот те граничные условия, которые позволяют сшить на границе двух областей отдельные решения ф1(х) и ф2(*) Для волновой функции.

* В силу условия непрерывности ф(х) при х = 0 мы имеем ф1 (0) = 1|)2(0), ИЛИ

А + S = С,

тогда как из равенства дф1 (x)/dx = d^^ldx при х = 0 следует, что

ikx (Л — В) = — аС = — а (Л + В).

Таким образом,

В = ( ^, + °) Л, С = -^—АX iki — а уikx — а

и волновые функции для отдельных областей принимают вид

Ф1 (х) = A _|_ е^А , XL «V | хЛ/

ф2 W = -т~^— Ае~ах.' ikx — а

Они представлены на фиг. 164.

Отметим, в частности, что интенсивность той части волновой функции, которая описывает падающую волну, равна

1Ф1М 12 = | Л |2,

тогда как интенсивность отраженной волны равна 1612=|т^йлГ=1л12-

Следовательно, при любой энергии Е <. V имеет место полное отражение, как и в классическом случае, даже для тех частиц, которые проникают в запрещенную классической физикой область х > 0, где волновая функция г|)2(я) отлична от нуля.

В области 2 вероятность нахождения частицы

Р(х) = |-ф2(х) ]2 = |Се-ах|2 =Р(х) = |-ф2(х) ]2 = |Се-ах|2 =2^i24&7 оL_ Ае"ах = ——!— Л2е-2ах.ikx — аkx + а 22^i24&7 оL_ Ае"ах = ——!— Л2е-2ах.ikx — аkx + а 2

Р(х) = |-ф2(х) ]2 = |Се-ах|2 =

Р(х) = |-ф2(х) ]2 = |Се-ах|2 =

2^i24&7 о

L_ Ае"ах = ——!— Л2е-2ах.

ikx — аkx + а 2

2^i24&7 о

L_ Ае"ах = ——!— Л2е-2ах.

ikx — аkx + а 2

Поскольку показатель экспоненты а зависит от V(x), чем больше величина V(x), тем быстрее стремится к нулю волновая функция ф2(*) в области 2 при заданной полной энергии Е < V. Если V(x)—+ оо, как в случае бесконечно глубокой потенциальной ямы, то, как мы уже видели, функция ф2(х) обращается

в нуль и проникновение в область, запрещенную классической физикой, не происходит.

Предположение о том, что волновая функция фгМ частицы, подлетающей с энергией £< V к потенциальному барьеру конечной высотой V и конечной шириной 6, еще отлична от нуля в точке х = Ь, позволяет объяснить ряд важных физических явлений. В результате становится возможным туннельный переход частицы через потенциальный барьер, как показано на фиг. 165.

Область 1

Фиг. 165. Узкий потенциальный барьер шириной 6, через который проходит частица, описываемая функцией ф1(х).

За барьером амплитуда функции фДх) остается конечной и дает некоторую вероятность найти частицу в области 3.

Вероятность того, что частица под барьером достигнет точки х = 6, определяется выражением

р (6) = 1^(6) |2осе~2а\

За этим барьером частица будет распространяться в области 3 с волновой функцией ф3(х), имеющей уменьшенную амплитуду. В таком случае для сшивания функций г|)2(я) и ф3(х) должны использоваться граничные условия при х = Ь.

Квантовый «туннельный эффект» лежит в основе объяснения радиоактивного распада ядра. Кроме того, им объясняется так называемая холодная ^автоэлектронная^ эмиссия электронов*. потенциальная ступенька, существующая для свободных электронов вблизи поверхности металла, может измениться (фиг. 166) под действием внешнего электрического поля так, что образуется барьер конечной ширины и электроны с наибольшей энергией, находящиеся вблизи поверхности металла, могут просачиваться через барьер.

Другой пример связан с двумя возможными положениями атома азота относительно трех водородных атомов в молекуле аммиака NH3. Эти положения, обозначенные буквами N и N', показаны на фиг. 167, где представлен также потенциальный барьер, препятствующий свободному движению атома азота между положениями N и N'. В основном состоянии молекулы МНз атом азота переходит через барьер с частотой 2,3786-1010 Гц.

Высокая точность определения этой частоты, основанная на малой ширине линии, используется в атомных часах для установления эталона времени. (Задача 12.16.)

Потенциал поверхности ~ металла

Туннельный переходэлектрона с достаточнобольшой энергией

'х = О

Фиг. 166. При наличии внешнего электрического поля Е потенциал поверх-ности металла, бывший ранее равным Vo, становится равным V = Vo — Ex,что соответствует образованию барьера конечной ширины.

Через этот барьер могут проходить электроны, находящиеся вблизи поверхности металла и имеющие достаточную энергию.

н

ннV для дзиженияV для дзиженияФиг. 167. Два возможных положения N и N' атома азота относительно трех атомов водорода в молекуле аммиака NH3.В основном состоянии молекулы NH( частота прохождения атома азота через потенциаль ный барьер превышает 1010 Гц.Фиг. 167. Два возможных положения N и N' атома азота относительно трех атомов водорода в молекуле аммиака NH3.В основном состоянии молекулы NH( частота прохождения атома азота через потенциаль ный барьер превышает 1010 Гц.

н

н

V для дзижения

V для дзижения

Фиг. 167. Два возможных положения N и N' атома азота относительно трех атомов водорода в молекуле аммиака NH3.

В основном состоянии молекулы NH( частота прохождения атома азота через потенциаль ный барьер превышает 1010 Гц.

Фиг. 167. Два возможных положения N и N' атома азота относительно трех атомов водорода в молекуле аммиака NH3.

В основном состоянии молекулы NH( частота прохождения атома азота через потенциаль ный барьер превышает 1010 Гц.

Е > V

В области х<0на фиг. 164 потенциал У(х)= 0, а поэтому уравнение Шредингера

ИЛИИЛИ^М + ^Д^и-о,

ИЛИ

ИЛИ

'■^ + к*. = о,

дх2 *1^1’

где к\ = <2тЕ[Гг\ имеет решение

Ф1 W = Aeik^x + Be~ik^xf

содержащее как падающую, так и отраженную волны. Импульс частицы р\ определяется из формулы p\j2m — E.

В области х > 0 мы имеем V^ = V и уравнение Шредингера принимает вид

илигдеилигде02^2дх202^2дх2+ k^2 = О,+ k^2 = О,

или

где

или

где

02^2дх2

02^2дх2

+ k^2 = О,

+ k^2 = О,

2 2т (Е- V), _—

а импульс частицы р2 находится по формуле рЦ2т = Е — V.В качестве решения для волновой функции в этой области мырассмотрим только бегущую вправо, или прошедшую, волну, по-скольку при х > 0 волне не от чего отразиться. Следовательно,ф2 W = Се1к1Хэ

где волновое число к теперь связано с длиной волны де Бройля для частицы.

Мы видим, что величина к изменяется вместе с потенциалом V, т. е. вместе с силой, действующей на частицу. Иначе говоря, частица реагирует на изменяющийся потенциал так же, как свет реагирует на изменяющийся показатель преломления. Если при Е > V потенциал V увеличивается, то импульс р и волновое число к ^р = йк) уменьшаются, а длина волны X увеличивается.

Из условий непрерывности при х = 0 следует, что

Ф1 to = \|)2 to. или

А + В = С, и

5^1 (х) ^Фг (х)

дхдх 1

ИЛИ

А^Д — В) = Д2С.

Решая эти два уравнения, получаем

В=Т^ГА С=^ь А-

Поскольку коэффициент В отличен от нуля, при х = 0 происходит некоторое отражение, несмотря на то что энергия Е > V. Очевидно, что это не классический эффект.

Если при х = 0 мы имеем падающий пучок из большого числа частиц и скорость каждой частицы равна

то скорость прошедших частиц будет равняться - ^2 = ^2

2 m m ‘

Интенсивность потока частиц, т. е. число частиц, проходящих через единицу площади в единицу времени, можно записать в виде произведения скорости на квадрат амплитуды волновой функции. Тогда интенсивности падающего, отраженного и прошедших потоков равны У1|Д|2, ui|B|2 и и2|С|2.

Следовательно, коэффициент отражения, равный отношению интенсивности отраженного потока к интенсивности падающего потока, имеет вид

П _ У1 I В |2 _ / ^1 - ^2 \2

* У1|лр +

Коэффициент пропускания, равный отношению интенсивности прошедшего потока к интенсивности падающего потока, определяется формулой

гр 1^2 | С |2 /?2 /26)\246)^2

+“ (6i + 62)2 ’

Эти результаты сходны с результатами, полученными для наших классических волн в предыдущих главах. Отметим, что в силу соотношения К + Т = 1 полное число частиц сохраняется.

В нашем примере коэффициенты R и Т относятся к числу частиц, образующих пучок. Если же мы рассматриваем отдельные частицы, входящие в состав пучка, то эти коэффициенты дают среднюю вероятность того, что отдельная частица отразится от потенциального барьера или пройдет сквозь него. (Задача 12.17.)

Прямоугольная потенциальная яма

Рассмотрим частицу с энергией Е < У, движущуюся в прямоугольной потенциальной яме шириной а (фиг. 168). Внутри ямы, высота V которой конечна, потенциал равен нулю. Такая потенциальная яма — приближенное представление потенциала сил с конечным радиусом действия, не оказывающих воздействия за пределами этого радиуса. Вне области действия сил потенциал можно считать постоянным. На основании того, что было сказано в случае бесконечно глубокой потенциальной ямы (У = оо) и потенциальной ступеньки, можно полагать, что наша

волновая функция будет представлять собой стоячую волну де Бройля с целым числом полуволн в области потенциальной ямы и экспоненциально-затухающую волну вне потенциальной ямы.

Фиг. 168. Энергия частицы Е < V (V — конечная высота прямоугольной потенциальной ямы шириной а) может принимать только значения, удовлетворяющие уравнению tg ка^тЕЦг2 ) = 2VF (V — £)/(2E — И).Волновые функции для трех областей сшиваются на границах х=0 и х=а с учетом условий непрерывности ф (х) и дф кхУдх.Фиг. 168. Энергия частицы Е < V (V — конечная высота прямоугольной потенциальной ямы шириной а) может принимать только значения, удовлетворяющие уравнению tg ка^тЕЦг2 ) = 2VF (V — £)/(2E — И).Волновые функции для трех областей сшиваются на границах х=0 и х=а с учетом условий непрерывности ф (х) и дф кхУдх.

Фиг. 168. Энергия частицы Е < V (V — конечная высота прямоугольной потенциальной ямы шириной а) может принимать только значения, удовлетворяющие уравнению tg ка^тЕЦг2 ) = 2VF (V — £)/(2E — И).

Волновые функции для трех областей сшиваются на границах х=0 и х=а с учетом условий непрерывности ф (х) и дф кхУдх.

Фиг. 168. Энергия частицы Е < V (V — конечная высота прямоугольной потенциальной ямы шириной а) может принимать только значения, удовлетворяющие уравнению tg ка^тЕЦг2 ) = 2VF (V — £)/(2E — И).

Волновые функции для трех областей сшиваются на границах х=0 и х=а с учетом условий непрерывности ф (х) и дф кхУдх.

Записывая уравнение Шредингера для каждой из трех областей, мы получим для области 1 (0 < х ^ а) следующее уравнение:

д2(ф1 (х) . 2тЕ , к

-^+ — Ф1 (x) = G,

решение которого имеет вид

ф! М = Ае1кхХ + Be-lkxX =

= A (cos кхх + I sin kxx^ + В (cos kxx — i sin kxx^ =

= Ax cos kxx + Bx sin kxx.

Здесь Ax = A + B, Bx = i(A — В) и k\ = 2mEjH2.

В области 2 (x^d) уравнение

дх2 1 fl2 tz \ /

имеет решениегдеимеет решениегдеф2 ^ = А^Х +-52е-ах,ф2 ^ = А^Х +-52е-ах,

имеет решение

где

имеет решение

где

ф2 ^ = А^Х +-52е-ах,

ф2 ^ = А^Х +-52е-ах,

а2 = ^(1/-Е).

В области 3 (х < 0) уравнение

д2фз (я)дх2д2фз (я)дх2^п^Е-У^ . , х пУФз (х) = О

д2фз (я)дх2

д2фз (я)дх2

имеет решение

Фз ^ = А^ЧВ#-ах.

Поскольку функция ф(х) должна оставаться конечной при х —* + оо (условие нормировки), постоянные А2 и В3 должны равняться нулю. Кроме того, должны выполняться граничные условия непрерывности ф(х) и d^^fdx в точках х = 0 и х = а.

При х = О

Ф1W = Фз (Д=

<Эфз (х)

дх ’

откуда

Д i = А3,

(12.1)

кхВх = аД3.

(12.2)

В то же время при х = а

ti (х) = -ф2 (х), —57^ =

<Эф2 (х) дх ’

откуда

Д1 cos кха + Вх sin кха =

(12.3)

— кхАх sin кха + кхВх cos кха =

= — аВ2е~аа.

(12-4)

Для того чтобы выполнялись уравнения (12.1) — (12.4), на величины к и а, т. е. на энергию Е, должны быть наложены определенные условия, иначе говоря, разрешены должны быть только определенные значения Е. Из уравнений (12.1) и (12.2) следует, что

Ах к

Вх а *

Используя это соотношение вместе с уравнениями (12.3) и (12.4), получаем

tg^a=T2—Г'

&1— а

илиили. (/2тЕ \*Ф Nt). (/2тЕ \*Ф Nt)2 д/Е (V — Е)2E — V2 д/Е (V — Е)2E — V

или

или

. (/2тЕ \

*Ф Nt)

. (/2тЕ \

*Ф Nt)

2 д/Е (V — Е)2E — V

2 д/Е (V — Е)2E — V

Разрешенными энергетическими состояниями являются только те значения В, которые удовлетворяют данному соотношению. Но эти значения приходится находить либо численными методами, либо графически.

Фиг. 169. Волновые функции для трех низших разрешенных энергий Ех, Е2 и Ез в случае частицы, находящейся в прямоугольной потенциальной яме.

За пределами ямы ф (х) уменьшается по экспоненте.

Волновые функции для первых трех разрешенных значений энергии приведены на фиг. 169. Ход их изменения можно объяснить, рассматривая уравнение Шредингера в виде

A2^L = —(Положительная константа) (£ — V).

Величина д2^,дх2 — это скорость изменения наклона касательной к кривой волновой функции ф(х), т. е. кривизна этой кривой. При Е > V обе части уравнения отрицательны, поэтому кривая ф(х) должна всюду быть выпуклой в сторону от оси х, как, например, синусоида или косинусоида. Поскольку кривизна увеличивается с ростом Е, на более высоких энергетических уровнях на ширине потенциальной ямы должно укладываться большее число полуволн де Бройля. Это согласуется с тем, что при увеличении энергии Е увеличивается волновое число к и уменьшается длина волны де Бройля К

На низшем энергетическом уровне у кривой функции ф(х) нет ни одного узла, на втором энергетическом уровне имеется один узел, на третьем энергетическом уровне имеются два узла

и т. д. Но в пространстве узлы расположены не совсем равномерно, а амплитуда функции ф(х) не одинакова по всей потенциальной яме. В частности, амплитуда должна увеличиваться вблизи стенок потенциальной ямы по мерс замедления частицы, чтобы она давала более высокую вероятность нахождения здесь частицы.

В области, где Е < V, отношение (д2ф/дх2)/ф положительно, а поэтому кривая ф(х) должна быть обращена своей выпуклостью к оси х, как в случае экспоненциальной зависимости. Изменение характера кривой ф(х) должно происходить на границе Е = V, причем две части кривой будут сшиваться только при определенных значениях Е. ,

Гармонический осциллятор

В качестве последнего примера, иллюстрирующего кривые ф(х) в случае потенциальной ямы, мы рассмотрим кривую потенциальной энергии гармонического осциллятора V = v/2sx2 (фиг. 170).

Фиг. 170. Кривая потенциальной энергии V гармонического осциллятора с разрешенными энергетическими уровнями Еп = (^ + xl<^hx.

В тексте показано, что энергией Е (амплитудой колебаний осциллятора а) определяется средняя длина волны де Бройля ’K = hl^l%mE^h.

Расчет кривых ф(х) слишком сложен для данной главы, и мы просто приведем их, чтобы показать, что их общая форма совпадает с той, которую мы можем ожидать, исходя из предыдущих примеров. Кроме того, мы получим квантовомеханические результаты в очень хорошем приближении путем чисто классических рассуждений.

В 1901 г. Планк постулировал, что энергия такого осциллятора может иметь значения Е = nh\, где п — целое число, a v — частота. Шредингеру удалось вывести этот результат в 1926 г., но с одним существенным различием, которое связано с принципом неопределенности. Согласно этому принципу, должен существовать уровень с минимальной энергией, или энергией нулевых колебаний, равной V2^v.

В случае классического осциллятора минимальная энергия Е = 0. Соответствующее состояние определяется точкой О на фиг. 170, которая одновременно дает точные значения х = 0 и р = 0, т. е. осциллятор не совершает колебаний. Принцип неопределенности запрещает это. Если а^ — наименьшая амплитуда колебаний осциллятора, совместимая с принципом неопределенности, то

^о ~ 4Лх#

Если ро— максимальный импульс осциллятора с амплитудой колебаний а0, то

Ро~^Р,

поскольку он может быть направлен как в положительном, так и отрицательном направлении оси х.

Энергия классического осциллятора

Е = у Wag = ^ <оа0 (пуйй^ = у тасрь «

^ ^^ Ах Ар^ ^~ /?(0~ у ft(o=~ hv.

Таким образом, все другие уровни энергии будут располагаться выше этой энергии нулевых колебаний на величину, равную целому числу энергетических ступенек Av.

Рассмотрим осциллятор, колеблющийся с амплитудой а. Его энергия

Е = -£—Н V = ~—И 4" sx2 = sa2 = -~ т<д2а2; 2т *• 2т 1 222’

следовательно,

Кинетическую энергию осциллятора, усредненную по пространственному интервалу от —а до а длиной 2а, можно записать

в виде

а

p2[2m dxа

^х " "^а 5 (^ “ Тm(°2x2) dx — Е — ^ пг^а2 = ^Е, dxа

— а

поскольку

Е = у тсо2а2.

Таким образом, среднее значение кинетической энергии

2m3

откуда

h/ 4mE

Последняя формула дает нам среднее значение длины волны де Бройля:

л/4тЕ13 *

Мы предполагаем, что при энергии Е на длине

2а = i Л/М

уложится п полуволн. Следовательно, К пХ2/ 2Е

2 2л/4тЕ,^to V т

и, записывая со = 2лу, мы получаем

Е = —■ д/-| nh^ ^ 0,96nftv,

что очень близко к nhv. Однако в точном результате должна учитываться энергия нулевых колебаний 72Av. Следовательно, энергетические уровни описываются формулой

■E==^n^^hv (га = 0, 1, 2, 3,

Кривые функций ф и |ф|2 для первых четырех энергетических уровней представлены на фиг. 171. Мы видим, что, тогда

Фиг. 171. Волновые функции ф(х) и плотности вероятности |ф(х)|2 для пер* вых четырех энергетических уровней гармонического осциллятора. '

как классический осциллятор никогда не может превысить свою максимальную амплитуду колебаний а^ частица, подчиняющаяся законам волновой механики, может быть с определенной вероятностью обнаружена за этим пределом. (Задачи 12.18, 12.19.)

Задача 12.1

Энергия электрона с массой т и зарядом а, вращающегося по круговой орбите радиуса г, имеет вид

62т 4ле0г *

где р— импульс. Исходя из принципа неопределенности Гейзенберга в виде Др Аг « й, покажите, что минимальная энергия (энергия основного состояния атома Н)

те^

8е^2соответствует боровскому радиусуг е0А2пте2 *

Задача 12.2

При регистрации некой частицы происходит ее аннигиляция: энергия, соответствующая массе покоя частицы т, превращается в энергию излучения. Исходя из соотношений Др Дх ^ h и Е = рс для фотона, покажите, что коротковолновый предел измерения длины равен комптоновской длине волны

Покажите, что для электрона последняя равна 2,4 • 10~12 м.

Задача 12.3

Если х и р изменяются по гармоническому закону, то средние квадраты неопределенностей удовлетворяют соотношению

Энергия гармонических колебаний с частотой со дается выражением

Покажите, что ее минимальное значение равно 7г Av.

Задача 12.4

Электрон с импульсом р и длиной волны Л = p/h проходит через щель шириной Ах. Дифракцию его как волны можно характеризовать изменением его импульса Ар в направлении, параллельном плоскости щели (при постоянном полном импульсе электрона). Покажите, что приближенное положение первого минимума в дифракционной картине согласуется с принципом неопределенности Гейзенберга. (Кривая интенсивности в главном максимуме дифракционной картины дает вероятность того, что электрон попадает в ту или иную точку экрана.)

Задача 12.5

Пучок электронов с длиной волны де Бройля 10-5 м проходит через щель шириной 10-4 м. Покажите, что угловая ширина пучка, обусловленная дифракцией, равна 5° 47'.

Задача 12.6

Покажите, что длина волны де Бройля электрона, ускоренного разностью потенциалов V, такова:

K = hl^meeV^= 1,29 • 10"9V“'A м,

где V измеряется в вольтах.

Задача 12.7

Расстояние между атомами в неком кристалле равно 3-10-10 м (ЗА). Покажите, что для получения картины дифракции электронов на таком кристалле необходимо напряжение 3 кВ.

Задача 12.8

Электромагнитное излучение состоит из фотонов с нулевой массой покоя. Покажите, что плотность среднего импульса, переносимого электромагнитной волной с амплитудой электриче-

ского поля Ео> дается формулой

Рс •

(Проверьте размерность обеих частей этого равенства.)

Задача 12.9

Покажите, что средний импульс, переносимый электромагнитной волной, создает давление излучения

Р = ср = -^в(Д.

когда волна падает нормально на идеальный поглотитель, и давление

Р = 2ср = еД.

когда волна падает нормально на идеальный отражатель. (Если излучение падает на поверхность по всем направлениям внутри телесного угла 2л, то в приведенные выше выражения войдет множитель 7з-)

Задача 12.10

Плотность потока энергии солнечного излучения, падающего на идеально поглощающую поверхность Земли, равна 1,4 Вт-м-2, и излучение приходит по всем направлениям внутри телесного угла 2л. Покажите, что давление излучения составляет примерно 10~и атмосферного давления.

Задача 12.11

Два атома в молекуле углерода колеблются с частотой 6,43-10-11 Гц. Покажите, что энергия нулевых колебаний равна 1,34-10"3 эВ (1 эВ = 1,6-10"19 Дж).

Задача 12.12

Частица с массой пг движется в бесконечно глубокой прямоугольной потенциальной яме, заданной следующим образом:

( 0 при — а^х^Са, V(x) = < Р

( оо при | х I > а.

Частица описывается волновой функцией

/ 1 /.л2х2 \.

I —7=-( 1—- | при х < а,

^(.() = j V8а? уF 1 1’

0при | х | > а.

Вычислив интеграл j I Ф W I2 dx, покажите, что вероятность —а

найти частицу в яме равна 0,96.

Покажите, что основное состояние частицы описывается нормированной функцией ^(x) = (l/Va) соз(лх/2а). Разложите эту функцию в ряд по степеням лх/а и сравните ряд с волновой функцией, приведенной выше.

Задача 12.13

Покажите, что нормировочная постоянная для волновой функции

х л . П1ЛХ . n2^u . Пзлг , у, z) = A sin —— sinsin ——,

аЬс

описывающей электрон в объеме abc на дне глубокой потенциальной ямы, равна ^Jabcyk

Задача 12.14

Все N электронов, находящиеся в объеме V твердого тела, при очень низкой температуре занимают энергетические уровни, лежащие в интервале энергий от нуля до энергии Ферми EF. Покажите, что их полная энергия

Ер

U=\Edn= \ E-^dE = ^NEF.

JJ uhо г

0

Отсюда средняя энергия одного электрона равна 3fsEF.

Задача 12.15

В меди на один атом приходится один электрон проводимости. Плотность меди равна 9, а ее атомный вес равен 64. Покажите, что плотность свободных электронов равна ~8-1028 м~3, а энергия Ферми равна ~7 эВ (1 эВ = 1,6-10-19 Дж).

Задача 12.16

Вероятность проникновения частицы с массой tn на расстояние х в область, запрещенную законами классической физики, пропорциональна е™2ах, где

a2 = 2m^V -EW-

Приняв х = 2«10“10 м (2 А) и V — Е = 1 эВ (1,6-10~19 Дж), покажите, что

-2ах Г ^ ДЛЯ ЭЛекТР0На>

.I 10“43 для протона.

Задача 12.17

Частица с полной энергией Е движется в положительном направлении оси х в области, где потенциальная энергия V = 0. Потенциал резко уменьшается до очень большого отрицательного значения. Покажите, что, согласно квантовой механике, амплитуда отраженной волны стремится к единице, а амплитуда прошедшей волны стремится к нулю. Отметим, что это означает неклассическое полное отражение.

Задача 12.18

Покажите, что уравнение Шредингера для одномерного гармонического осциллятора с частотой со имеет вид

S-+^ [5—4 ^t»2*2] ^=°-

Покажите, что при а2 = matlh функции

И

Ф1 (х) = (а/2 Vя )/з 2ахе“а2х2/2

являются нормированными волновыми функциями для состояний с энергиями £0 = Уг^со (энергия нулевых колебаний) и Ех = 3/2^со.

Задача 12.19

Нормированная волновая функция для одномерного гармонического осциллятора с энергией Еп = (п + Уг^со имеет вид

% (х) = NnHn (ах)е~^\ где

Л^ = (а/л'/^га!)'71, аР-та/Ь и Нп (у) = (— 1)"е»* -^пе-»‘.

Покажите, что функции фр(х) и ф](х) в задаче 12.18 удовлетворяют общему выражению для фл, и вычислите фг(х) и фз(х).

Сводка основных результатов

Длина волны де Бройля X = h/p.

Принцип неопределенности Гейзенберга (теорема о ширине частотной полосы)

Ах Ар ^ /г,

LEM^h

определяет энергию нулевых колебаний.

Независящее от времени уравнение Шредингера

^^ = Aelkx + Be~lk\

где № = 2m(E — V^h\ E>V,

^^ = Ce0X + De"^, nxe a2 = 2m(V — E)lh\ V > E.

Вероятность на единицу длины нахождения частицы в точке х

Р^ = \Ш I2.

Нормировка

| ф (х, у, г) |2 dx dy dz=\,

где интеграл берется по всему пространству.

Гармонический осциллятор

Энергетические уровни Еп = (п + у) Av.

Волны, падающие на плоскую границу раздела двух сред с волновым сопротивлением Zx и Z2

Тип волн

Амплитудные коэффициенты

Волновое сопротивлениеZ: + для волны, бегущей в положительном направлении, — для волны, бегущей в отрицательном направлении

Граничные условия

Отраженная r Падающая i

Zx — Z2 Z\-{- z2

Прошедшая г Падающая 1 2Z, Z\ + Z2

Отраженная г Падающая i Z2 —Z] Z2 + Z]

Прошедшая t Падающая 1 2Z, Zt + Z2

Поперечные на струне (стр. 120)

Ui + У г —tit или yt + Уг = yt T(d«i । d«r.„d«t\ \ dxдх )

У и у

т ду дх

Продольные акустические (стр. 170)

Y = Рос = <ворУк

4, + ^ = ^

Pt-Vpr = Pt

Т) И Т)

р

Напряжения и тока в линии передачи (стр. 185)

Ii-¥lr = lt

Vi+Vr = Vt

/

V

Электромагнитные (стр. 211)

— —А ГЕ

Н Д/ е

Ht + Hr = Ht Ei-VEr = Et

Н

Е

Для всех волнДля всех волнОтраженная интенсивностьПадающая интенсивностьОтраженная интенсивностьПадающая интенсивность(Zi — Z2 \2 Прошедшая интенсивность 4Z1Z2 ^1 + ^2 / ’ Падающая интенсивность (Zi + Z2)2 *

Для всех волн

Для всех волн

Отраженная интенсивностьПадающая интенсивность

Отраженная интенсивностьПадающая интенсивность

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ

Акустические волны 157 конечной амплитуды 335 распределение энергии 162

Апериодическое движение 40

Баллистический гальванометр 42

Бесселя функции 318

Биения 23, 89, 134

Виброизоляция 71

Волна бегущая 111

в волноводе 234

периодической структуре 140

— двумерная 231

— длина волны 117

— интенсивность 164

— напряжения 182

— плоская 112

— плотность энергии 131, 162, 209

— поперечная НО

— продольная 157

— скорость 113, 117, 118

— стоячая 128

— сферическая 112

— тока 182

— трехмерная 231

— уравнение 113, 232, 234

— — с учетом эффектов диффузии

— электромагнитная 202

в диэлектрике 205

проводнике 212

Волновое сопротивление (импеданс) диэлектрика 210

линиипередачибез потерь183

с потерями 190

проводника 218

— —связьс показателемпреломления222

согласование 125

струны 119

Вырождение 241, 361

Гейзенберга принцип неопределенно сти 140, 351

Двоякопреломляющий кристалл 26

Дебая теория удельной теплоемкости 245

Де Бройля длина волны 349

Децибел 165

Дипольное излучение 298

Дисперсия 135

— аномальная 135

— нормальная 135

Дифракционная решетка 307, 310

разрешающая способность (сила) 311

критерий Рэлея 312

теорема о ширине частот

ной полосы 313

Дифракция 303

— круглое отверстие 316

— прямоугольное отверстие 314

— узкая щель 280, 303

— Фраунгофера 304

Диффузии уравнение f91

Доплера эффект 145

связь с ударной волной 336

Звуковые волны 157

интенсивность 164

Импеданс осциллятора механического 63

электрического 61

— согласование 125

— удельный акустический 165

Интерференция 293

— двух источников 293

— дипольное излучение 298

— линейной цепочки из N источников 300

— максимумы главные 301

побочные 302

Интерференция опыт Юнга с двумя щелями 295

— полосы 297

порядок 297

потерянный 310

Ионные кристаллы, поглощение инфракрасного излучения 145

распространение волн 143

тепловое расширение 330

Квантовая механика 347

атомные часы 367

нулевые колебания 358

энергия 358, 374

отражение частиц от потенциального барьера 364

— — туннельный переход через потенциальный барьер 366

Ферми энергетический уровень 362

функция волновая 354, 358

нормировка 359

Шредингера волновое уравнение 353

Когерентность 34

Колебания гармонические 11

затухание 38

добротность 47, 76, 77

критическое 42

логарифмический декремент затухания 45

постоянная времени затухания 46

сильное 40

скорость диссипации энергии 49

сложение 22, 24, 32

— нелинейные 326

— связанные 84

Критическая частота 99, 235

Ламе упругие постоянные 166

Лиссажу фигуры 29

Максвелла система уравнений 203

Маха конус 337

— число 341

Модуль всестороннего сжатия 158,

168

Нормальные координаты 86

— моды двумерные 239

— — одномерные 86, 129

Нормальные моды трехмерные 242 — частоты 86

Осциллятор под действием внешней силы 60

механический 64

нестационарные колебания 64

передаваемая энергия 74

резонанс скорости 67

смещения 69

стационарные колеба

ния 64, 65

электрический 61

Отражение волн на границе раздела линий передачи 185 сред в акустике 170 двумерном пространстве 234

трехмерном пространстве 247

электродинами

ке 220, 247

коэффициент отражения амплитудный 123

— — — — — — — — энергетический 124

сводка результатов 382

Пакет волновой 133

групповая скорость 113, 133

двухкомпонентный 133

многокомпонентный 137

Передачи линия 178

без потерь 181 реальная 187

Планка формула излучения 243

Поглощение энергии в волнах 191, 195

коэффициент поглощения 189

Пойнтинга вектор 209

Поляризация 26

Постоянная времени релаксации среды 218

Прохождение волн через границу раздела линий передачи 185 сред в акустике 170 двумерном пространстве 247

— электродинамике 220, 247

коэффициент пропускания амплитудный 123

Прохождение волн через границу раздела коэффициент пропускания энергетический 124

сводка результатов 382

Пуассона коэффициент 166

Разделение переменных (метод) 236

Распространения константа 189, 195

Релаксационный генератор 332

Стоячая волна энергия гармонической моды 131

Теорема о ширине частотной полосы 137, 274

Ударные волны 336, 337

Узловые точки (узлы) 130

Связанные колебания 84

маятников, соединенных пружиной 84

нагруженной струны 94

предельный переход к

волновому движению 100

электрические 91

Скин-слоя глубина 214

Скорость волны 113, 117, 118

— пакета 113, 133

— частиц 113

Смещения ток 204

Снеллиуса закон 249

Собственные функции 354

— частоты 129, 237, 353

Степень свободы 87

Стоячая волна 128

коэффициент 132

на струне 128

уравнение 129

Фурье интеграл 276

Фурье-образы 278

гауссовой функции 283

прямоугольной функции 280

Фурье ряд 260

частотный спектр 273, 274

Частная производная НО

Черепковское излучение 338

Экспоненциальная функция, разложение в ряд 35

Юнга модуль 166

Оглавление

Предисловие редактора перевода 5

Предисловие к первому изданию 7

Предисловие ко второму изданию 9

Глава 1. Незатухающие и затухающие гармонические колебания ц

Смещение при простых гармонических колебаниях (14). Скорость и ускорение при гармонических колебаниях (16). Энергия гармонического осциллятора (17). Гармонические колебания в электрической системе (20). Сложение двух гармонических колебаний, происходящих вдоль одной прямой (22). Сложение двух перпендикулярных гармонических колебаний (24). Поляризация (26). Сложение большого числа п гармонических колебаний одинаковой амплитуды а с последовательным сдвигом по фазе на д (29). Сложение п одинаковых векторов простых гармонических колебаний с длиной а и случайной фазой (32). Применение (34). Некоторые сведения из математики (35). Затухающие гармонические колебания (38). Методы описания затухания осциллятора (45). Сводка основных результатов (58).

Глава 2. Вынужденные колебания осциллятора60

Действие оператора / на вектор (60). Комплексная форма закона Ома (61). Импеданс механической системы (63). Поведение осциллятора под действием внешней силы (64). Зависимость амплитуды и фазы скорости и от частоты внешней силы со (67). Зависимость смещения от частоты со внешней силы (68). Виброизоляция (71). Физический смысл двух компонент смещения (72). Энергия, передаваемая осциллятору внешней силой (74). Зависимость Рср от со, резонансная кривая поглощения (75). Добротность Q, выраженная через ширину частотной полосы поглощения (76). Добротность как коэффициент усиления (77). Сводка основных результатов (82).

Глава 3. Связанные колебания84

Осцилляторы, связанные через жесткость (или емкость) (84). Нормальные координаты, степени свободы и нормальные моды колебаний (86). Общий метод нахождения частот нормальных мод (90). Связь через массу или индуктивность (91). Связанные колебания нагруженной струны (94). Волновое уравнение (100). Сводка основных результатов (108).

Глава 4. Поперечные волныпо

Частная производная (ПО). Волны (111). Скорости волнового движения (113). Волновое уравнение (113). Решение волнового уравнения (116). Импеданс струны (струна как осциллятор, колеблющийся под действием внешней силы) (119). Отражение и прохождение на границе двух струн (121). Отражение и прохождение энергии (124). Энергетические коэффициенты отражения и пропускания (124). Согласование импедансов (125). Стоячие волны на струне фиксированной длины (128). Энергия колеблющейся струны (130). Энергия каждой нормальной моды колеблющейся струны (131). Коэффициент стоячей волны (132). Волновые пакеты и групповая скорость (133). Волновой пакет, состоящий из многих гармоник, теорема о ширине частотной полосы (137). Поперечные волны в периодической структуре (140). Линейная цепочка из атомов двух типов в ионном кристалле (143). Поглощение инфракрасного излучения ионными кристаллами (145). Эффект Доплера (145). Сводка основных результатов (154).

Глава 5. Продольные волны157

Звуковые волны в газах (157). Распределение энергии в звуковых волнах (162). Интенсивность звуковых волн (164). Продольные волны в твердом теле (166). Применение к описанию землетрясений (168). Продольные волны в периодической структуре (168). Отражение и прохождение звуковых волн на границе сред (170) Интенсивность отраженной и прошедшей звуковых волн (171). Сводка основных результатов (177).

Глава 6. Волны в линиях передачи179

Идеальная линия передачи (без потерь) (181). Коаксиальные кабели (182). Волновое сопротивление линии передачи (183). Отражение от конца линии передачи (185). Короткозамкнутая линия передачи (ZL = ^ (186). Роль сопротивления в линии передачи (187). Волновое сопротивление линии передачи с потерями (190). Уравнение диффузии и поглощение энергии в волнах (191). Волновое уравнение с учетом эффектов диффузии (194). Приложение (195). Сводка основных результатов (200).

Глава 7. Электромагнитные волны202

Уравнения Максвелла (203). Электромагнитные волны в среде, где ц=#0, 8#=0, но а = 0 (205). Волновое уравнение для электромагнитных волн (208). Пример на использование вектора Пойнтинга (210). Волновое сопротивление диэлектрика для электромагнитных волн (210). Электромагнитные волны в среде, где ц^О, 8^0 и а=/=0 (212). Глубина скин-слоя (214). Скорость электромагнитных волн в проводнике и аномальная дисперсия (215). Когда среда проводник и когда она диэлектрик? (216). Почему электромагнитные волны не проникают в проводник? (218). Волновое сопротивление проводящей среды для электромагнитных волн (218). Отражение и прохождение электромагнитных волн на границе раздела сред (нормальное падение)

(220). Связь между волновым сопротивлением и показателем преломления (222). Сводка основных результатов (229).

Глава 8. Волны в пространстве двух и трех измерений . . 231

Плоская волна в пространстве двух и трех измерений (231). Волновое уравнение в случае двух измерений (232). Волноводы (234). Нормальные моды и метод разделения переменных (236). Двумерный случай (238). Трехмерный случай (239). Двумерные нормальные моды прямоугольной мембраны (239). Трехмерные нормальные моды (242). 1. Частотное распределение энергии, излучаемой нагретым телом, формула Планка (243). 2. Теория удельной теплоемкости Дебая (245). Отражение и прохождение трехмерной волны на плоской границе раздела сред (247). Сводка основных результатов (258).

Глава 9. Методы Фурье260

Ряд Фурье (260). Разложение треугольной функции в ряд Фурье по синусам (267). Вычисление энергии нормальных мод колеблющейся струны (268). Разложение в ряд Фурье прямоугольного импульса скорости на струне (271). Спектр ряда Фурье (274). Интеграл Фурье (276). Фурье-образы (278). Примеры фурье-образов (279). Прямоугольная функция (280). Применение преобразования Фурье при анализе дифракции света на щели (280). Распределение Гаусса, или нормальное распределение (кривая ошибок) (283). Сводка основных результатов (291).

Глава 10. Интерференция и дифракция света293

ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ (293). Интерференция волн, распространяющихся от двух щелей или источников (293). Интерференция в случае двух одинаковых источников, разделенных расстоянием f (295). Интерференция в случае линейной цепочки из N одинаковых источников (300). ДИФРАКЦИЯ (303). Дифракция на одной узкой щели (303). Масштаб распределения интенсивности (307). Распределение интенсивности в случае интерференции и дифракции на N одинаковых щелях (307). Дифракция на двух одинаковых щелях (М = 2) (309). Дифракционная решетка (большое N^ (310). Разрешающая способность дифракционной решетки (311). Разрешающая способность и теорема о ширине полосы частот (313). Дифракция на прямоугольном отверстии (314). Дифракция на круглом отверстии (316). Сводка основных результатов (324).

Глава 11. Нелинейные колебания32«

Свободные колебания нелинейного осциллятора, движение простого маятника с большой амплитудой (326). Вынужденные колебания, нелинейная возвращающая сила (327). Тепловое расширение кристалла (330). Нелинейные эффекты в электрических приборах (332). Нелинейные эффекты в акустических волнах (334). Толщина ударного фронта (338). Уравнение законов сохранения (339). Число Маха (341). Отношение характеристик газа по обе стороны от фронта ударной волны (341). Сильные ударные волны (342).

Глава 12. Квантовая механика 347

Источники современной квантовой механики (347). Принцип неопределенности Гейзенберга (351). Волновое уравнение Шредингера (353). Одномерная бесконечно глубокая потенциальная яма (355). Физический смысл амплитуды -фп (х) волновой функции (358). Частица в трехмерном «потенциальном ящике» (360). Число энергетических состояний в интервале от Е до Е + dE (361). Потенциальная ступенька (363). Прямоугольная потенциальная яма (369). Гармонический осциллятор (373). Сводка основных результатов (380).

Волны, падающие на плоскую границу раздела двух сред

с волновым сопротивлением Zt и Z2382

Предметный указатель383

6 « 9 мм, на частоте 1 Мгц 6 ^ 6,6-10~5 м и на частоте 30 000 Мгц (соответствующей сантиметровым волнам, применяющимся в радиолокации) б ^ 3,8-10~7м.

2 = — 2AV sin к2у cos ^ — кхх\

где к^ = пл.1Ь.

Задача 8.3

Потери электромагнитной волны при отражении от хорошо проводящей поверхности пренебрежимо малы. Многократно отражаясь, волна может распространяться вдоль линии передачи или волновода, состоящего из двух параллельных плоскостей с бесконечной проводимостью, расстояние между которыми равно а.

Если волна плоскополяризована, так что отлично от нуля только поле Е2 (фиг. 111), то волновой вектор к лежит в плоскости ху. Согласно граничным условиям, полное тангенциальное электрическое поле Е2 обращается в нуль на проводящих

THE PHYSICS OF VIBRATIONS AND WAVES

2nd Edition

H. J. PAIN

Department of Physics Imperial College, London

JOHN WILEY AND SONS, LTD LONDON• NEW YORK•SYDNEY • TORONTO 1976

Г. Пей*

ФИЗИКАКОЛЕБАНИЙИ ВОЛН

Перевод с английскогоканд. физ.-мат. наук А. А. КОЛОКОЛОВАпод редакцией

д-ра физ.-мат. наук, проф. Г. В. СКРОЦКОГО

Москва«Мир»1979

УДК 534+535.44-538.3+530.145

Книга представляет собой учебное пособие по физике колебаний и волн. В ней рассматриваются линейные и нелинейные колебательные и волновые процессы в механике, акустике, электромагнетизме, радиотехнике, оптике и квантовой механике; приводится много примеров и задач.

Может служить пособием по курсу общей физики для студентов физических, механико-математических, инженерно-физических и радиотехнических специальностей. Книга может дать ценный материал для семинаров и лекций преподавателям и будет полезна всем желающим расширить кругозор в вопросах физики колебаний и волн.

Редакция литературы по физике

© 1976 by John Wiley and Sons, Inc. All Rights Reserved.

1704010000 20401—073П 041 (01)—791704010000 20401—073П 041 (01)—79Authoried translation from English language, edition published by John Wiley, and Sons, Inc.

1704010000 20401—073

П 041 (01)—79

1704010000 20401—073

П 041 (01)—79

73—79 © Перевод на русский язык, «Мир», 1979