Глава 1

Кинематика волн ..............................17

Гармоническая волна ..........................17

Комплексное представление волны ..............18

Фазовая скорость ......................... 20

Дисперсия ............................. 21

М оду лир ов анная волна и групповая скорость ............ 22

Распространение волнового пакета .................. 26

Затухающие волны ........................... 30

Исторические замечания и комментарии ............... 31

Задачи и упражнения .......................... 33

Глава 2

Линейные волны в средах с дисперсией .............. 35

Электромагнитные волны ....................... 35

Электромагнитная волна в вакууме .............. 36

Электромагнитная волна в плазме ............... 37

Электромагнитная волна в диэлектрике ........... 38

Акустические волны ........................... 43

Волны в идеальном газе ..................... 43

Волны в газе с релаксацией ................... 44

Волны в жидкости с пузырьками газа ............. 46

Волны на поверхности жидкости ................... 48

Волны в упругих телах ......................... 51

Продольные волны в стержне ................. 52

Изгибные волны в стержне ................... 54

Исторические замечания и комментарии ............... 56

Задачи и упражнения .......................... 62

Глава 3

Энергия и импульс волн ......................... 65

Законы сохранения и уравнения переноса .............. 65

Энергия волн в среде с дисперсией .................. 68

Электромагнитная волна в плазме ............... 68

Волны на поверхности жидкости ................ 69

Упругие волны в стержне .................... 70

Энергия и групповая скорость ..................... 72

Кв азигар моническая волна в диэлектрике .............. 74

Энергия волн в неравновесной среде ................. 78

Импульс электромагнитной волны .................. 82

Электромагнитная волна в вакууме .............. 82

Давление света .......................... 83

Электромагнитная волна в среде ................ 85

Импульс акустической волны ..................... 86

Исторические замечания и комментарии ............... 88

Задачи и упражнения .......................... 93

Глава 4

Вариационные методы в теории волн ................ 96

Уравнения движения .......................... 96

Уравнения в форме Лагранжа ................. 97

Уравнения в форме Гамильтона ................ 97

Системы более высокого порядка ............... 99

Уравнения переноса энергии и импульса ............... 100

Вариационное описание электромагнитного поля .......... 102

Усредненный вариационный принцип ................. 104

Уравнения для огибающих ................... 104

Волновое действие и законы сохранения ........... 106

Гамильтонова форма уравнений для огибающих ...... 108

Энергетические соотношения для линейных волн .......... 109

Волны отрицательной энергии ..................... ПО

Исторические замечания и комментарии ............... 113

Задачи и упражнения .......................... 119

Глава 5

Асимптотики линейных волн ...................... 121

Метод стационарной фазы ....................... 121

Распространение волн в среде с дисперсией ............. 124

2.1. Расплывание короткого импульса ............... 124

Волны на глубокой воде ..................... 128

Автомодельные волны ......................... 130

Параболическое уравнение ................... 131

Линеаризованное уравнение КдВ ............... 133

Коротковолновое приближение .................... 135

ВКБ-приближение ........................ 135

Колебания висящей цепи .................... 137

Волна де™Бройля для электрона ................ 139

Исторические замечания и комментарии ............... 140

Задачи и упражнения .......................... 144

Глава 6

Пространственно-временная геометрическая оптика ...... 146

Уравнение переноса для частоты и волнового числа ........ 146

Эволюция моду лиров анной волны ................... 149

.1. Пространственно-временные каустики ............ 150

Пространственно-временные фокусы ............. 152

Изменение амплитуды волны ..................... 155

Асимптотика модулированных волн ................. 157

Асимптотическое поведение волн на воде .............. 158

Исторические замечания и комментарии ............... 160

Задачи и упражнения .......................... 161

Глава 7

Пространственно-временная квазиоптика ............. 163

Пределы применимости ПВ™геометрической оптики ........ 163

Уравнения ПВ™квазиоптики ...................... 165

Уравнение для комплексной огибающей ........... 165

Уравнения для амплитуды и частоты ............. 166

Гауссов импульс ............................. 168

Автомодельные волны огибающих .................. 171

Исторические замечания и комментарии ............... 173

Задачи и упражнения .......................... 176

Глава 8

Волны в нестационарных средах ................... 178

Примеры систем с переменными параметрами ........... 178

Пространственно-временная геометрическая оптика ........ 180

Уравнения для частоты и волнового числа .......... 181

Изменение амплитуды и энергии волны ............ 182

Среда с бегущей волной параметра .................. 183

Общие соотношения ....................... 184

Стационарные волны огибающих ............... 185

Периодическая волна параметра ................ 187

Модуляция поверхностной волны на воде ........... 189

Пространственно-временная квазиоптика .............. 191

Волны в среде без дисперсии ...................... 192

Уравнения для связанных нормальных волн ......... 193

Одноволновое приближение ................... 196

Недиспергирующая среда с бегущей волной параметра ...... 200

Общие соотношения ....................... 201

Параметрическое формирование импульсов ......... 203

Исторические замечания и комментарии ............... 207

Задачи и упражнения .......................... 208

Глава 9

Примеры нелинейных волновых процессов ............ 209

Электромагнитные волны ....................... 209

Нелинейная среда без дисперсии .210

Диэлектрик с электронной поляризацией ........... 211

Диэлектрик с ориентационной поляризацией ......... 213

Дискретные линии передачи .................. 215

Нелинейные акустические волны ................... 216

Волны в идеальном газе ..................... 217

Слабонелинейные акустические волны ............ 218

Волны на поверхности жидкости ................... 220

У равнения для потенциала скорости ............. 220

Волны на мелкой воде ...................... 221

Волны в твердых телах ......................... 224

Волны в изотропном твердом теле ............... 224

Продольные волны в стержне ................. 226

Волны в цепочке маятников ...................... 227

Исторические замечания и комментарии ............... 229

Задачи и упражнения .......................... 233

Глава 10

Нелинейные эволюционные уравнения. Простые и ударные волны235

Волна с медленно меняющимся профилем .............. 236

Волны в электромагнитных линиях передачи ........ 237

Электромагнитные волны в диэлектрике ........... 238

Метод связанных волн ......................... 238

Общая схема ........................... 239

Акустические волны в вязком газе .............. 240

Волны на мелкой воде ...................... 242

Нелинейные волны в среде без дисперсии .............. 243

Ударные волны ............................. 246

Ударные волны в вязкой среде .................... 250

Исторические замечания и комментарии ............... 253

Задачи и упражнения ......................... 254

Глава 11

Нелинейные квазигармонические волны .............. 257

Нелинейное уравнение Шредингера ................. 258

Волны огибающих в приближении пространственно-временной геометрической оптики ......................... 260

Модуляционная неустойчивость ................ 260

Простые волны огибающих ................... 262

Модуляционная неустойчивость в квазиоптическом приближении 265

Стационарные волны огибающих ................... 267

«Светлые» и «темные» солитоны огибающих ........ 267

Волна с амплитудно-частотной модуляцией ......... 270

Ударные волны огибающих ...................... 272

Основные уравнения ....................... 273

Структура ударных волн огибающих ............. 274

Исторические замечания и комментарии ............... 277

Задачи и упражнения ......................... 279

Глава 12

Модулированные несинусоидальные волны ............ 283

Стационарные бегущие волны ..................... 283

Уравнение Кортевега-де Вриза .................... 285

Уравнение Буссинеска ......................... 289

Нелинейное уравнение Клейна-Гордона ............... 294

М оду лиров анные волны в лагранжевых системах ......... 299

Волны в неоднородной среде с диссипацией ............. 301

Волны на поверхности жидкости переменной глубины ...... 306

Исторические замечания и комментарии ............... 309

Задачи и упражнения ......................... 312

Глава 13

Солитоны. Усиление и взаимодействие ............... 313

Солитоны ................................. 314

Уравнение Кортевега^де Вриза ................ 314

Модифицированное уравнение КдВ .............. 315

Параметрическое усиление солитонов ................ 317

Основные уравнения ....................... 317

Уравнения движения солитона в переменном поле . . . . . 318

Различные режимы усиления солитонов ........... 320

Взаимодействие солитонов как классических частиц ........ 325

Теория возмущений для солитонов .................. 328

Лагранжево описание взаимодействия солитонов .......... 332

Общая схема ........................... 333

Типы взаимодействий ...................... 336

Взаимодействие солитонов в неинтегрируемой системе ...... 338

Исторические замечания и комментарии ............... 340

Задачи и упражнения ......................... 344

Глава 14

Взаимодействие топологических солитонов ............ 346

Уравнение синус-Гордона ....................... 346

Точные решения ............................. 350

Столкновение двух кинков ....................... 352

Столкновение кинка и антикинка ................... 357

Бризер359

Приближенное описание взаимодействия кинков .......... 362

Исторические замечания и комментарии ............... 366

Задачи и упражнения ......................... 367

Приложение .................................. 369

Список литературы .............................. 375

Предметный указатель ............................ 398

100-летию А.А. Андронова посвящается

ПРЕДИСЛОВИЕ

Мы живем в мире волн. Наше зрение воспринимает световые, а слух — звуковые волны; радиоприемник и телевизор улавливают радиоволны; ветер порождает волны на поверхности моря ... ——этот список можно продолжать дальше. Изучение волн различной природы ——одна из важнейших задач физики. В последние десятилетия особенно бурно развивалась теория нелинейных волн, таких как интенсивные световые пучки, локализованные волновые структуры (солитоны), обладающие, как выяснилось, многими свойствами, роднящими их с материальными частицами; автоволны, характерные, в частности, для биологических и химических систем. Были сделаны важные математические открытия, позволившие построить точные решения для целого класса уравнений в частных производных. Естественно, что новые достижения теории волн нашли отражение в обзорах и книгах, число которых уже измеряется десятками. Часть из них посвящена в основном «горячим точкам» теории (например, методу обратной задачи рассеяния в теории солитонов), некоторые имеют более общий характер. Однако книг, которые могли бы служить введением в проблему и содержали бы как классические положения, так и современные результаты, очень мало и все они были написаны не позднее начала 1980-х годов.

Круг задач, относящихся к теории волн настолько широк, что написать всеобъемлющее руководство по теории волн вряд ли вообще возможно. Мы поставили себе более скромную задачу: рассказать об одномерных волнах, в которых все переменные зависят от времени и одной координаты. Иными словами, мы рассматриваем «волны в одномерном мире». Хотя

этот класс задач может показаться узким, на самом деле, пожалуй, большинство общих закономерностей теории волн может быть понято применительно к этому классу. Более того, многие трехмерные процессы в асимптотике переходят в квазиплоские (т.е. локально близкие к одномерным) волны или могут иметь заданную поперечную структуру (как в волноводных системах), так что требуется определить лишь закон распространения волны вдоль оси системы. Другое ограничение, в рамках которого мы предполагали (хотя и не всегда успешно) оставаться,——это рассмотрение обширного и важного класса волн, которые можно назвать модулированными.

По мере работы над книгой мы не смогли полностью удержаться в рамках поставленной самим себе задачи. Чтобы облегчить читателю понимание предмета, мы решили начать с изложения классических сведений о волнах. Не устояли мы и перед соблазном привести некоторые сведения и комментарии, относящиеся к истории развития волновых представлений в физике и математике, от трудов классиков науки до работ недавнего прошлого. Эти сведения неизбежно отрывочны и неполны, но, по нашему убеждению, их полезно знать всем, кто работает в этой области или интересуется ею. Из-за ограниченности объема книги некоторые интересные проблемы теории модулированных волн, в частности, нелинейные многоволновые взаимодействия, в нее не вошли.

Все используемые в книге методы исследования нелинейных волновых задач, как правило, изложены на «физическом» уровне строгости. Мы не стремились к приведению строгих математических доказательств, а ограничивались простыми математическими моделями и их применением к решению физических задач. По уровню изложения книга доступна студентам старших курсов и аспирантам университетов. Вместе с тем, она может оказаться небезынтересной и для специалистов самых различных профилей, поскольку мы старались придать ей междисциплинарный характер, а некоторые из ее разделов вряд ли известны широкому кругу читателей. По сравнению с нашей книгой «Modulated waves. Theory and applications», изданной в 1999 г. в США, настоящее издание существенно переработано и дополнено рядом новых разделов. Его выход в свет планировался в 2001 г. к юбилею А.А. Андронова, основателя Нижегородской (Горьковской) школы теории нелинейных колебаний, но, к сожалению, работа над книгой затянулась.

Мы считаем своим приятным долгом поблагодарить А.В. Га™ понова^Грехова, так как ряд изложенных в книге идей впервые появился на свет в дискуссиях с ним по общим проблемам фи™ зики нелинейных волн. Мы благодарны К.А. Горшкову, который по нашей просьбе написал разделы 13.4 и 13.5. Пользуем™ ся случаем выразить признательность нашим соавторам и кол™ легам из ЕШ① РАН, Нф ИМАШ РАН и ННГУ, многолетнее сотрудничество с которыми, способствовало формированию наших представлений о роли и месте нелинейной волновой динами™ ки в современной науке. Выражаем искреннюю благодарность А.М. Дыхне и С.А. Рыбаку, которые стимулировали издание этой книги на русском языке, а также Н.Б. Мезенцевой, Е.А. Мо™ товой и В.А. Прокофьевой за большую помощь при подготовке рукописи книги.

Написанию этой книги способствовала также поддержка наших исследований со стороны Российского фонда фунда™ ментальных исследований, Международного научного фонда и ИНТАС.

Авторы

Недостаточно иметь ясные и верные мысли. Чтобы сообщить их другим, надо еще уметь выражать их ясно.

Гельвеций

Современная теория волн — очень многоликое явление. Да™ же определить, что такое волна ——дело не простое. У многих из нас есть интуитивное представление о волне как о процессе переноса энергии возмущений в пространстве без обязательно™ го движения среды как целого. Однако это не относится, ска™ жем, к стоячей волне, в которой энергия никуда, в среднем, не переносится, а лишь переходит из одной ее формы в другую и обратно. Или, если мы движемся мимо гофрированной нетто- движной поверхности (скажем, летим на самолете над грядой песчаных дюн), видим мы волну, проносящуюся под нами, или нет? А к электромагнитным волнам вообще трудно применить понятие среды. Электромагнитное поле в вакууме существует в форме волн, и отделить их от некоей среды («эфира»), суще™ ствующей в отсутствие волн, вообще невозможно. Это, однако, не мешает выделить теорию волн в самостоятельную область науки, изучающую свойства волновых процессов независимо от их физической (или даже биологической) природы.

Современная наука о волнах активно развивается, начиная с 1960-х годов. Здесь уместно вспомнить слова Л.И. Мандельштама, сказанные им о теории колебаний, но полностью справедлив вые по отношению к теории волн:

«Было бы бесплодным педантизмом стараться «точно» опре™ делить, какими именно процессами занимается теория колебаний. Важно не это. Важно выделить руководящие идеи, основ™ ные общие закономерности. В теории колебаний эти закономер™ ности очень специфичны, очень своеобразны, и их нужно не про™ сто «знать», а они должны войти в плоть и кровь».

К важным и трудным для изучения типам волновых движе™ ний принадлежат так называемые нелинейные волны, т.е. волны, настолько интенсивные, что они заметно влияют на свойства среды, в которой распространяются, и поэтому разные участки одной и той же волны движутся как бы по различным средам. В результате форма волны претерпевает своеобразные, иногда чрезвычайно резкие изменения. Некоторые типы нелинейных волн известны издавна. Среди них ударные волны ——«скачки уплотнения», возникающие, например, в атмосфере от взрывов, сверхзвуковых самолетов и т.д. Другой тип нелинейных волн —— солитоны ——представляет собой устойчивые импульсы, которые могут распространяться без изменения формы на значительные расстояния. Такие импульсные возвышения наблюдались на поверхности воды Скоттом Расселом еще более полутора веков то™ му назад.

В середине XX столетия появились новые мощные источники оптического излучения ——лазеры. Их излучение стало широко использоваться для воздействия на вещество, передачи информации и многих других целей. Нелинейность электромагнитных волн, излучаемых световыми источниками, носит совсем другой характер, чем нелинейность упомянутых выше ударных волн или солитонов. Здесь волна представляет собой быстрые коле™ бания (для света это 1014^1015 колебаний в секунду), интенсивность и частота которых сравнительно медленно изменяются во времени и пространстве. Это типичные модулированные волны. Многие закономерности их нелинейного поведения были поняты еще в 1960-х годах. Тогда же обнаружилась возможность сжатия в нелинейной среде мощного модулированного излучения в про™ странстве (самофокусировка) и во времени (самомодуляция). В световой волне могут возникать резкие изменения типа ударных волн и солитонов, но ——и это принципиально ——такие измене™ ния претерпевает не само поле, а его огибающие ——амплитуда и частота, сами же колебания поля остаются близкими к сину™ соидальным. Это был неожиданный результат: опыт многолетних исследований по распространению волн малой амплитуды подсказывал, что любой цуг колебаний конечной длительности (волновой пакет), распространяясь в среде, будет неограниченно расплываться из-за дисперсии. Явление самолокализации моду™ лированных волн используется, в частности, для получения коротких световых импульсов ——оптических солитонов.

Термин модулированные волны первоначально относился к квазигармоническим волнам вида и(力/) = Л(ж, t) exp {г0(ж, t)},

где и ——переменная, описывающая поле,夕(力/)——фаза волны. Локально, на небольших интервалах изменения х и 力)та- кая волна близка к гармонической, а ее амплитуда Л(ж, t), ча™ стота ш(ж, t) = dO/dt и постоянная распространения 卜(力/)= =^дО/дх достаточно плавно изменяются во времени и про™ странстве (рис. 1). Квазигармонические волны типичны для сред со слабой нелинейностью и сильной дисперсией. Для многих нелинейных явлений на поверхности воды, в плазме и дру™ гих средах характерно возникновение существенно несинусоидальных квазипериодических волн, в которых период и дру™ гие параметры медленно изменяются в пространстве и времени

ческой волныческой волныРис. 1. Модуляция квазигармони™ Рис. 2. Модуляция несинусоидаль™Рис. 1. Модуляция квазигармони™ Рис. 2. Модуляция несинусоидаль™ной волныной волны

ческой волны

ческой волны

Рис. 1. Модуляция квазигармони™ Рис. 2. Модуляция несинусоидаль™

Рис. 1. Модуляция квазигармони™ Рис. 2. Модуляция несинусоидаль™

ной волны

ной волны

Рис. 3. Медленная эволюция простой волныРис. 3. Медленная эволюция простой волныются лишь на интервалах, многоются лишь на интервалах, многобольших характерной длиныбольших характерной длины

Рис. 3. Медленная эволюция простой волны

Рис. 3. Медленная эволюция простой волны

ются лишь на интервалах, много

ются лишь на интервалах, много

больших характерной длины

больших характерной длины

(рис. 2). Более того, о модуляции можно говорить и применительно к уединенным импульсным волнам ——солитонам, пара

метры которых медленно изменяются по мере распространения.

Понятие модуляции можно применить к еще более широкому классу волновых процессов, для которого в «несущей» волне

нельзя вообще выделить ко™ нечного числа параметров, полагаемых затем функциями медленных переменных. Примером может служить простая волна (или волна Ри™ мана) и(力)力)= F(力-0力-从"力)) (рис. 3). В этом случае нелинейные искажения сказыва

волны, и их можно рассматривать как модуляцию по отношению к «несущей» волне F(x — с力))распространяющейся без ис™ кажений.

Все перечисленные выше типы волновых процессов будем относить к модулированным волнам, подразумевая под этим до™

статочно плавное изменение каких-либо их параметров. Это из™ менение может быть связано с наличием в исходных уравнениях малых членов, обусловленных нелинейностью, дисперсией, тю- глощением или плавным изменением параметров среды в про™ странстве и времени. Другая возможность состоит в том, что модуляция обусловлена граничными или начальными условия™ ми (например, на границе задано модулированное колебание).

С некоторой долей условности книгу можно разделить на три части. Первая из них (главы 1-5), представляет собой введение в теорию волн. В ней приводятся общие сведения о линейных волнах, их кинематических и динамических характеристиках, о вариационных методах в теории волн. Рассматриваются метод стационарной фазы, метод ВКБ и метод теории размерностей, применяемый для анализа автомодельных волновых процессов. Обсуждаются конкретные примеры волновых процессов в элек™ тродинамике и физике плазмы, в акустике и гидродинамике, а также в теории упругости. Эта часть доступна студентам 3—4 курсов университетов, только еще приступающим к изучению теории волн.

Вторая часть (главы 6—8) посвящена исследованию линейных модулированных волн. В ней используются пространственно™ временные аналоги метода геометрической оптики и его обобщения ——квазиоптики. В восьмой главе рассматриваются процессы распространения и преобразования модулированных волн в нестационарных средах.

Третья часть книги (главы 9—14) посвящена исследованию волн в нелинейных системах. В главе 9 приведены примеры нелинейных волновых процессов в электродинамике, механике жидкости и газа, механике твердого тела, которые в линейном приближении были рассмотрены во второй главе. В главе 10 выводятся простые модельные уравнения и рассматриваются неко™ торые свойства простых и ударных волн в недиспергирующих средах. В главе 11 исследуются квазигармонические волны в средах с сильной дисперсией и слабой нелинейностью. Здесь модуляция проявляется в медленных пространственно-временных изменениях амплитуды и частоты, которые рассматриваются как волны огибающих. В двенадцатой главе изучается модуля™ ция несинусоидальных волн. В качестве невозмущенных (немо- дулированных) волн рассматриваются как периодические, так и уединенные волны. В главе 13 рассматриваются свойства солитонов. Обсуждаются процессы их параметрического усиления в поле бегущей волны, а также эффекты взаимодействия. Знали-

тельное внимание уделяется рассмотрению процессов взаимо™ действия солитонов как классических частиц, движение кото™ рых описывается уравнениями ньютоновского типа. В заключи™ тельной главе 14 на примере уравнения синус—Горгона рассма™ триваются взаимодействия топологических солитонов (кинков) и процесс образования бризера — связанной осциллирующей па™ ры из кинка и антикинка. Проводится сравнение точного и при™ ближенного описания процессов столкновения кинков.

КИНЕМАТИКА ВОЛН

Нужно обращать остроумие на самые незначительные и простые вещи и долго останавливаться на них, пока не привыкнешь отчетливо и ясно прозревать в них истину.

Рене Декарт

Начнем с обсуждения общих характеристик волн. С некоторой долей условности у них можно выделить кинематические (например, частота, длина волны, фазовая и групповая ско™ рости) и динамические характеристики (например, амплитуда, энергия). В соответствии с этим в теории волн иногда выде™ ляются задачи «кинематики» (нахождение резонансных частот системы, вычисление фазовых и групповых скоростей волн в среде с дисперсией, определение сдвига частоты при движении излучателя или приемника и др.) и задачи динамики (вычисле™ ние энергии и импульса, переносимых бегущей волной, опреде™ ление силового воздействия волны на препятствие и т.п.). Для линейных систем эти задачи нередко могут быть рассмотрены по отдельности ——сначала кинематические, а затем динамиче™ ские, хотя в общем случае они, конечно, оказываются взаимо™ связанными. В этой главе приводятся сведения о простейших кинематических характеристиках линейных волн в системах с дисперсией, которые будут использоваться при изучении моду™ лированных волн.

Гармоническая волна

Классический объект теории линейных волн — это одномер™ ная бегущая гармоническая волна, описываемая выражением

и(力)力)=uq sin (cut —卜力 + 99),(1.1)

где и (力)力)——некоторая физическая величина (полевая перемен™где и (力)力)——некоторая физическая величина (полевая перемен™ная), uq ——амплитуда волны, (1.1), в каждой точке среды бание с круговой частотой ш разных точках эти колебанияная), uq ——амплитуда волны, (1.1), в каждой точке среды бание с круговой частотой ш разных точках эти колебанияад — фаза. Согласно формуле происходит гармоническое коле™ (периодом Т = 2тг/ш), причем в имеют разные фазы (рис. 1.1а).ад — фаза. Согласно формуле происходит гармоническое коле™ (периодом Т = 2тг/ш), причем в имеют разные фазы (рис. 1.1а).Рис. 1.1. Гармонические колебания, создаваемые волной в двух различных точках Ж1 и ж2 (а), и их представление на комплексной плоскости (б)Рис. 1.1. Гармонические колебания, создаваемые волной в двух различных точках Ж1 и ж2 (а), и их представление на комплексной плоскости (б)

где и (力)力)——некоторая физическая величина (полевая перемен™

где и (力)力)——некоторая физическая величина (полевая перемен™

ная), uq ——амплитуда волны, (1.1), в каждой точке среды бание с круговой частотой ш разных точках эти колебания

ная), uq ——амплитуда волны, (1.1), в каждой точке среды бание с круговой частотой ш разных точках эти колебания

ад — фаза. Согласно формуле происходит гармоническое коле™ (периодом Т = 2тг/ш), причем в имеют разные фазы (рис. 1.1а).

ад — фаза. Согласно формуле происходит гармоническое коле™ (периодом Т = 2тг/ш), причем в имеют разные фазы (рис. 1.1а).

Рис. 1.1. Гармонические колебания, создаваемые волной в двух различных точках Ж1 и ж2 (а), и их представление на комплексной плоскости (б)

Рис. 1.1. Гармонические колебания, создаваемые волной в двух различных точках Ж1 и ж2 (а), и их представление на комплексной плоскости (б)

В каждый момент времени поле синусоидально распределено в пространстве с пространственной частотой к^ называемой вол™ новым числом или постоянной распространения (пространствен™ ный период ——длина волны равна Л = 2тг/к)*

Комплексное представление волны

Из соображений удобства при выполнении математических one™ раций гармоническую волну (1.1) записывают в комплексной форме:

U(力)力)= Л exp {〃(以力_卜力)}) (1.2)

где Л = и。exp {〃夕} — комплексная амплитуда). На комплексной плоскости (Re u, Im и) выражению (1.2) соответствует радиус-вектор, вращающийся вокруг начала координат. Длина радиус-вектора пропорциональна амплитуде колебаний “仇 а угол между ним и горизонтальной осью равен полной фазе волны 6 = a)t — кх + (р (рис. 1.1 б). Производная от полной фазы волны по времени соответствует частоте ш = dO/dt^ а производная по координате ——волновому числу к = ^дО/дх. Физический смысл имеют действительная или мнимая части комплексного выражения (1.2), которые, в силу известной формулы Эйлера,

выражаются так:

Re а =丄(〃 + n*) = ncos (з力一кх + 夕о),

[(L3)

Im и = — - (и — 〃*) = и sin (з力—кх + 夕о),

где п* = Авхр{—〃<9} — комплексно сопряженное выражение. Комплексная запись гармонической волны (1.2) удобна тем, что ее дифференцирование по времени и координате сводится те™ перь просто к умножению на ш и —ik соответственно.

В физических приложениях нередко приходится вычислять средние значения от произведения гармонических величин вида (1.2). Среднее по времени (или фазе колебаний) от такого произведения равно

Т27r

WW =不/ 也仅2 "力=方/ ^1^2 d<9 =/ Re (儿4)(1.4)

оо

При ui = U2 = и формула (1.4) дает выражение для среднего квадрата функции и:

弱』е(М)(1.5)

Формулы (1.4), (1.5) позволяют вычислять средние значения от квадратичных («энергетических») величин волнового поля по известным комплексным амплитудам. Заметим, что мнимая часть произведения амплитуд может и не иметь физического смысла.

В теории линейных колебаний и волн гармонические функ™ ции играют фундаментальную роль. Иногда говорят: это вы™ звано тем, что синусы и косинусы ——это самые «простые» из периодических функций. Но такой ответ вряд ли удовлетвори™ телен, так как «простота» ——в достаточной мере произвольный критерий. Определяющее значение здесь имеет тот факт, что системы, которыми чаще всех пользуются в физике и технике для анализа колебаний и волн (резонаторы), описываются линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами, частным решением которых являются гармонические колебания. Кроме того, как будет видно из дальнейшего, линейные однородные среды с постоянными параметрами до™ пускают в общем случае лишь один тип стационарных (бегущих без искажения формы) волн, — и это как раз гармонические вол-

ны. Но если перейти, например, к параметрическим системам, описываемым линейными уравнениями с периодическими коэф™ фициентами, то гармонические функции потеряют свое особое значение и их место займут несинусоидальные периодические функции Матье или Хилла.

Фазовая скорость

Введем некоторые другие понятия, необходимые для анализа волнового процесса. Одно из основных понятий ——скорость вол™ ны. В механике частиц понятие скорости можно считать доста™ точно ясным и однозначным. Определение скорости частицы как материальной точки неразрывно связано с возможностью отождествления ее положения в пространстве: если в момент времени t + △力 в точке пространства В находится частица М, которая в момент времени t находилась в точке А, то ее скорость равна V = Jim (АВ/At).

При распространении волны мы имеем дело не с перемещением «точки», а с переносом некоторого распределенного в про™ странстве возмущения. Чтобы судить о скорости переноса, надо уметь сопоставлять возмущения среды в разных точках про™ странства и в различные моменты времени. Пусть волна рас™ пространяется без изменения формы, т.е.

U(力)力)=и(х — ct). (1.6)

Очевидно, что поле имеет одинаковое значение для координат и моментов времени, удовлетворяющих соотношениям х ct = =const. Это значит, что если в некоторый момент t = 0 в неко™ торой точке 力о поле имело определенное значение а。= и。(力о)0), то через промежуток времени 力 то же самое значение поле будет иметь на расстоянии ct от первоначального места, т.е. в точке ж = жо + ct. Мы можем сказать, что все значения поля распространяются в пространстве со скоростью, равной с. Таким обра™ зом, и(х — ct) представляет собой волну неизменного профиля, бегущую в положительном направлении оси х. В тех случаях, когда профиль волны по мере распространения изменяется, нужно сначала определить, что мы будем называть скоростью распространения волны.

В линейных однородных средах с постоянными параметра™ ми без искажения распространяются лишь гармонические волны вида (1.1). Для этого класса волн точка профиля волны од™ позначно определяется значением фазы <9(ж, t) = з力一衣力 + 夕,

которая и должна оставаться неизменной, т.е.

Таким образом, скорость любой точки профиля гармонической волны определяется как отношение ее частоты к волновому числу:

(1.7)(1.7)dx ш

(1.7)

(1.7)

凉=^ = "Pha

Эта величина называется фазовой скоростью гармонической волны.

Дисперсия

Связь между частотой ш и волновым числом к гармонической волны определяется физическими свойствами среды. Эта связь, заданная в явном или неявном виде

(1.8)(1.8)Р(ш, к) = 0 или ш = з(к)) или к = /с(ш),

(1.8)

(1.8)

называется дисперсионным соотношением или дисперсионным уравнением.

В простейшем случае зависимость частоты ш от волнового числа к линейная: ш = ск^ где с = %h — фазовая скорость, не зависящая от частоты волны (рис. 1.2 а). Такая среда (или волна) называется недиспергирующей. В этом случае любое возмущение, описываемое произвольной функцией (1.6), распростра™ няется без изменения формы.

Если же связь между ш и к нелинейна (рис. 1.2 б), то фазо™ вая скорость зависит от частоты (или волнового числа), и различные спектральные составляющие волны распространяются с разными скоростями. В результате только гармонические волны могут распространяться без искажений. В этом случае говорят о диспергирующих средах и дисперсии волн.

Необходимо сразу же заметить, что дисперсионное уравнение О(з)衣=0) может иметь несколько корней, тогда говорят о нескольких «ветвях» дисперсионных кривых (см. рис. 1.2 б), соответствующих различным волновым модам. В изотропной среде такие ветви появляются симметричными парами: 3],2 = =±/(/с), что соответствует волнам, бегущим в противополож™ ных направлениях.

Причина дисперсии волн связана с существованием в срв- де характерных пространственных или временных масштабов. Иногда различают временную дисперсию, вызванную наличи-

ем в среде собственных временных масштабов (например, частота собственных колебаний молекул, характерное время ре™ лаксации и т.п.), и пространственную дисперсию, связанную с наличием пространственных масштабов (например, период кри™ сталлической решетки, характерные размеры волновода и т.п.).

Рис. 1.2. Зависимость частоты и фазовой скорости гармонической волны от волнового числа в среде без дисперсии (а) и в среде с дисперсией (6); 1 — низкочастотная мода, 2 — высокочастотная мода

При математическом описании волновых процессов это приводит к нелокальной зависимости между физическими пере™ менными (например, между поляризацией и напряженностью электрического поля в диэлектрике или между напряжением и деформацией в твердом теле), которые записываются в виде дифференциальных и интегро™дифференциальных уравнений. В общем случае (например, для волн в движущихся средах) раз™ деление дисперсии на пространственную и временную не всегда возможно.

Модулированная волна и групповая скорость

Гармоническая волна (1.2) однородна в пространстве и вре™ мени. Она является полезной математической идеализацией, но в природе ее не существует. Реальный процесс, строго говоря,

никогда не сводится к одной синусоиде, хотя бы потому, что источник возбуждения （генератор） работает ограниченное время и у волны имеется «начало» и «конец». Передача сигналов с помощью гармонической волны также невозможна из™за ее од™ нородности в пространстве и времени.

Чтобы передать сигнал при помощи волны, нужно ее про- модулировать, то есть изменить какой-то ее параметр во вре™ мени. Если при этом волна остается близкой к гармонической, то такими изменяемыми параметрами могут быть ее амплиту™ да, частота или фаза. Соответственно различают амплитудную по = пд（ж, ^）, частотную ш = з（力）力）и фазовую 夕=夕（力）力）моду™ ляции. В результате получается не гармоническая волна, а, на™ пример, локализованное возмущение （волновой пакет） который можно рассматривать как набор гармонических волн с ампли™ тудами и фазами, зависящими от частоты. Другими словами, модулированная волна может быть представлена рядом или ин™ тегралом Фурье.

Понятие групповой скорости. Для начала рассмотрим

процесс, состоящий изпроцесс, состоящий издвух гармонических волн с близкими

процесс, состоящий из

процесс, состоящий из

Рис. 1.3. Спектр （а） и форма （6） бигармонической волныРис. 1.3. Спектр （а） и форма （6） бигармонической волны

Рис. 1.3. Спектр （а） и форма （6） бигармонической волны

Рис. 1.3. Спектр （а） и форма （6） бигармонической волны

частотами 04 и W2 （&2 一 幻1《&1,2）и одинаковыми амплиту™ дами （рис. 1*3 о）:

u（/）t） = Uo COS（S1 力一衣1/）+ Uq COS （以2力-衣2/）=

=2n0 COS （竺…-竺工—•&…■%） cos ^（W1 + 32）力— X& + 衣2）d •

（L9）

Отсюда видно, что такой волновой процесс можно описать произведением двух периодических функций, одна из которых cos （зо力一к。力），где зо =（3i +о；2）/2 и к。= （/q +衣2）/2, описывает

быстро осциллирующую (несущую) волну, а другая

а(х^ t)а(х^ t)=2no cos=2no cos[!（^2 一 31）力一；（衣2 一衣1）力][!（^2 一 31）力一；（衣2 一衣1）力]

а(х^ t)

а(х^ t)

=2no cos

=2no cos

[!（^2 一 31）力一；（衣2 一衣1）力]

[!（^2 一 31）力一；（衣2 一衣1）力]

трех син-частотамитрех син-частотами卜3.卜3.

трех син-частотами

трех син-частотами

卜3.

卜3.

описывает медленные изменения амплитуды несущей волны —— амплитудную огибающую (рис. 1.3 а, б). Модулированная волна представляет собой «биения», причем в точках, где амплитуда проходит через нуль, фаза претерпевает скачок на величину, равную 7Г.

Несущая волна перемещается с фазовой скоростью Uph = = wo //со, а огибающая группы волн а (ж, t) перемещается со скоростью

一з2 - si _ Aw = XT

Аналогично рассмотрим процесс, состоящий из фазных гармонических волн (рис. 1.4 о) с близкими

6

Рис. 1.4. Спектральный состав (а) и профиль амплитудно™модулированной волны (6) для различных соотношений между амплитудами: m < 1 (1), т = =1 (^) и m > 1 (3)

шо, с^1,2 = И) ± Acd и волновыми числами ki = k(g)：

2

"/)力)=Uq COS (so力-衣0/)+ ^2 Ul COS (S北力-knx).

n=l

Связь между приращениями Аш и △衣=(衣2 —衣1)/2 находит™ ся из дисперсионного уравнения к =衣(з), которое для малых значений Аш и △衣 может быть представлено в виде степенного

полиномаполинома

полинома

полинома

衣(зо 土 △з) = к。土 X、з + ^/с^Аш2 + ...,

где к。= /с(шо), к1 = dk/dev и kf, = d2fc/dw2. Принимая во внимание только два первых члена разложения, можно представить волновое поле в виде

п(ж, t) = ng [1 + т cos (△з力一Акх)] cos (wgt —衣0力))

где т = 2ni/no — коэффициент амплитудной модуляции. Вид такой модулированной волны при различных значениях коэффициента модуляции т показан на рис. 1.4 б. Скорость распространения ее огибающей определяется, как и в предыдущем случае: %г = Аш/А/с.

Таким образом мы видим, что для характеристики модули™ рованной волны необходимо ввести еще одно понятие ——скорость огибающей, которую называют групповой скоростью. В общем случае групповая скорость модулированной волны определяется выражением

(1.11)(1.11)т Awds

(1.11)

(1.11)

夕虹 = lim

/МОdk

При таком определении групповой скорости отношение ко™ нечных разностей △з/△衣 заменяется на производную dg/dk*

Важно отметить, что групповая скорость может сильно отличаться от фазовых скоростей всех гармонических волн, входящих в состав спектра модулированной волны, несмотря на то, что в узкополосном сигнале все составляющие имеют близкие фазовые скорости. Между групповой и фазовой скоростями существует простая зависимость:

久г =力衣 ”Ph) = %h + 卜*1)(L12)

называемая формулой Рэлея. Отсюда видно, что групповая и фазовая скорости совпадают, если Uph не зависит от волнового числа, т.е. в отсутствие дисперсии. При наличии дисперсии груп™ повая скорость может быть как больше, так и меньше фазовой скорости, в зависимости от знака производной dv^/dk.

Дисперсию называют нормальной (или отрицательной), во ли Ugr < Uph (т.е. cbph/dk < 0), и аномальной (или положительной)^ если Ugr > Uph (т.е. cbph/dk > 0).

Аномальная дисперсия встречается, например, в диэлектри™ ках на частотах электромагнитных волн, близких к резонанс™

Рис. 1.5. Графическое определение фазовой и групповой скоростей волны по дисперсионной кривойРис. 1.5. Графическое определение фазовой и групповой скоростей волны по дисперсионной кривойным линиям поглощения, у капиллярных волн на поверхности жидкости, у изгибных волн в тон™ ком стержне.

Рис. 1.5. Графическое определение фазовой и групповой скоростей волны по дисперсионной кривой

Рис. 1.5. Графическое определение фазовой и групповой скоростей волны по дисперсионной кривой

Существует простой графический способ определения групповой и фазовой скоростей по дисперсионной кривой (рис. 1.5). Величина и знак фазовой скорости определяются тангенсом угла наклона секущей, проведенной из начала координат: %h = tga, а групповая скорость равна тангенсу угла касательной: %『=tg /3.

Распространение волнового пакета

Рассмотрим теперь волны со сплошным спектром. В силу принципа суперпозиции общее решение, описывающее волновой процесс в линейной системе, может быть записано в виде интеграла Фурье. Типичная постановка задачи — это задание значений функции п(ж, 0) и нужного числа ее производных в начальный момент времени на всей оси — ос ＜；力 ＜；ос (задача Коши) или задание функции 〃(力)力)и ее производных на границе полупространства ж ＞ 0 при нулевых начальных условиях (краевая задача).

Соответствующее Фурье-представление решения в первом случае имеет вид )

мМ ос

我(力/)= Е^ = Е / Fm(k) exp {i[kx (jjm(k)t]} dk^ (1.13) m=lm=l — oc

где M ——число ветвей дисперсионного уравнения О(з)к) = 0, соответствующее числу нормальных волн в системе, Fm(k)——

пространственные спектры Фурье нормальных волн, определи™ емые из начальных условий задачи.

Пусть, например, в среде могут распространяться только две встречные волны, удовлетворяющие дисперсионным соотноше™ ниям 31,2 = ^^(к). Тогда начальные условия можно задать в виде

и(х^ 0) = ио(х)^ п^(ж, 0)=少0(力)) 一сх) < х < оо. (1.14)

Запишем функции uq(x) и и。(力)в виде интегралов Фурье:

ОООО

по (ж) = /①1(衣"泳z必=/ (£ +?2"/凡

(1.15)

ОоО0

00(力)=/①2(衣"泳2必=一Z / 3(衣)(尸1 一?2)尹"凡

—OO—OO

отсюда находим пространственные спектры возмущений:

1 - 2一一1 - 2一一++1 - 2 一一1 - 2 一一(1.16)(1.16)

1 - 2一一

1 - 2一一

+

+

1 - 2 一一

1 - 2 一一

(1.16)

(1.16)

Следовательно, решение задачи об эволюции начального возмущения имеет вид

ос

ит(х^) = / 耳九(衣)вхр ｛〃［衣力干 з(к)力］｝ d凡 7Л = 1, 2. (1.17)

При т = 1 выражение (1.17) описывает волну, бегущую вправо, а при m = 2 — волну, бегущую влево.

Пусть начальное возмущение представляет собой локализованную в пространстве модулированную волну (волновой пакет) (рис. 1.6) со спектром, сконцентрированным вблизи некоторого значения волнового числа 衣=к。：

uq(x) = 4(力)exp ｛泌0力｝)(力)=0.(1.18)

Здесь А(х) — медленно (в масштабе l/衣。) изменяющаяся амплитудная огибающая, причем 71fo при \х\ f ос.

Решение, описывающее эволюцию волнового пакета, будем искать в виде (1.17), выделив в нем высокочастотную несущую волну:

п(ж, t)=

ОС

=eхр {е(коб干0;0力)} / /,2(衣)exp {i[(k -衣0)6干(з(к) wo)t]} dk,

где wq = з(ко), а %,2 = 止/ 〃о(方)exp {—ikx} dx ——Фурье-спектр начального возмущения. Входящее в (1.19) интегральное выражение описывает пространственно-временное поведение амплитуды модулированной волны. Преобразуем его, воспользовавшись узостью спектра. Для этого аппроксимируем дисперсионное уравнение ш = з(к) в окрестности точки к = ко степенным полиномом (рис. 1.6 6):

з(к) —а о/(ко)△衣 + ^ J(ko)△庐 + i a/"(ko)ak3 +(1.20)

где △衣=衣一ко, а штрих обозначает производную по аргументу. Ограничимся сперва линейным слагаемым (так называемое пер™

Рис. 1.6. Форма волнового пакета (а) и дисперсионная характеристика среды (6): 1 — линейное приближение, 2 — квадратичное приближение, 3 — спектр волнового пакета

вое приближение теории дисперсии). Тогда, подставляя (1.20) в интеграл (1.19) и используя известную теорему о сдвиге аргу-

мента:

ОО

J F(k) exp {泳(s 士 б。)} dk = u(s 士 s)

где F(k) — Фурье-образ функции u(s\ получаем

ОО

J F(k) exp {i(k — к^)(х ± &gr力)} dk = -Л(ж ± &gr力)"

Отсюда следует, что начальное локализованное возмущение (1.18) превращается в две модулированные волны, распространяющиеся в противоположные стороны:

以2 = ：4(z干久淌川瓦z*。也(1.21)

При этом высокочастотные несущие волны распространяются с фазовыми скоростями vp^ = ±шо /ко, а амплитудная огибающая распространяется с групповой скоростью &gr = о/(R。) без изменения своей формы.

Групповую скорость %г называют также скоростью распространения сигнала, поскольку информация, переносимая волной, передается именно огибающей модулированной волны, а не ее несущей. Как легко проверить, амплитудная огибающая 4(z/) удовлетворяет уравнению переноса:

恭(L22)

Если же рассматривается волна в среде, занимающей полупространство z》0 с заданным условием на границе:

(丄團/ J丿

0) =0) = 0, 0 ж oo,

то решение удобно искать в форме:

ОО

/ F(w) exp {i[(Ajt к(ш)х\} dw, (1.24)

где 歹(3)——частотный спектр источника 〃о(力).При этом в интеграле (1.24) необходимо удержать волны бегущие вправо, т.е. только те, у которых групповая скорость положительна.

В заключение этого параграфа еще раз подчеркнем, что в механике скорость материальной точки определяется единственным образом, а при анализе волновых процессов приходится вводить по меньшей мере две скорости: фазовую &ph и групповую &gr- Напомним также, что «групповое» описание поведения модулированной волны является приближенным, поскольку в представлении дисперсионного уравнения полиномом (1.20) отбрасываются все члены с высшими степенями △R. К чему приводит их учет, мы увидим в главах 5 и 7.

Затухающие волны

Хотя в большинстве случаев мы будем иметь дело с «прозрачными» средами, не отнимающими энергию от волны, необходимо помнить, что реальные среды всегда вносят хотя бы слабое затухание в волну, уменьшая ее амплитуду во времени и пространстве. В простейших случаях амплитуда экспоненциально затухает во времени (а = по ехр {—В力}) или в пространстве (а = =а。ехр {—&/})• Это означает, что в дисперсионном уравнении (1.8) частота или волновое число будет комплексной величиной:

& = з + 56 или R = R — 5а(1.25)

Здесь мнимые части В и 先 называют соответственно временным и пространственным декрементом затухания волны. Волновое поле соответственно имеет вид

и(х^ 力)=по ехр {—8力} ехр {“з力一кх)}(1.26)

или

и(х^ 力)=по ехр {—先力} ехр {“з力一кх)}.(1.27)

Если затухание достаточно мало, так что В《з или 先《R)то можно по-прежнему считать, что фазовая и групповая скорости волны определяются действительными частями комплексных величин & и & т.е. &ph = з/R и &gr = du/dk. Такие волны также можно рассматривать как модулированные. В общем случае частота и волновое число могут быть комплексными одновременно.

Если в поглощающей среде задан волновой пакет с фиксированным волновым числом, то в дальнейшем его амплитуда будет

экспоненциально затухать во времени:

и(х^ t) = А(х — &gr力)exp {—6力} • exp {“з力一кх)}.(1.28)

Это описание имеет ограниченную применимость: на больших интервалах времени форма пакета будет искажаться.

Затухание волны, естественно, означает потерю энергии волнового поля. В линейной среде энергия W пропорциональна квадрату амплитуды волны: Ж ~ Л2 (более подробно этот вопрос будет обсуждаться в § 3.2), причем мощность, поглощаемая средой, пропорциональна величине запасенной энергии W:

乎=—261忆(1.29)

Соотношение (1.29) часто используется в экспериментах для определения декремента затухания волны 5.

Затухание волны определяется различными физическими механизмами и зависит от ее конкретной природы. В механике они обычно связаны с вязкостью (внутренним трением) или теплопроводностью среды (термоупругими эффектами), в электродинамике ——с электропроводностью среды, соударениями частиц и другими внутренними процессами. Изучая спектры поглощения волн, можно получать информацию о структуре вещества.

В заключение отметим, что потери энергии и дисперсия в среде всегда связаны между собой. Эта связь следует из фундаментального принципа причинности и дается так называемыми соотношениями Крамерса^Кронига. Однако детальное обсуждение этих вопросов выходит за рамки данной книги. Для нас важно лишь, что потери в среде могут быть достаточно малыми, так что идеализация «прозрачной» среды (или близкой к ней) имеет реальный физический смысл.

Исторические замечания и комментарии

Волны и звук. История исследования волновых процессов берет свое начало от изучения процессов возбуждения и распространения звука в воздухе. Первые сведения о волнах появляются уже в теории музыки пифагорейцев (VI в. до н.э.). Аристотель (IV в. до н.э.) правильно подметил, что для передачи звука от струны до уха необходимо некоторое время, но то, что это время нужно для распространения звуковой волны, не

было еще осознано. В I в. до н.э. римский инженер и архитектор Витрувий подметил аналогию между распространением волн на воде и звука в воздухе. Эту аналогию между движениями воды и воздуха выразительно описал в XVI в. Леонардо да Винчи: «... как брошенный в воду камень становится центром и причиною различных кругов, так же кругами распространяется и звук, порожденный в воздухе». Звук распространяется и «образует круги» на далекое расстояние в воздухе, при этом «круги, распространяющиеся от различных исходных точек, встречаются друг с другом без какой бы то ни было помехи и проникают друг в друга и проходят один через другой ——и так сохраняют всегда первопричину в качестве причины своей в середине». Леонардо да Винчи обратил внимание на то, что движение частиц среды и процесс распространения волны не одно и то же. При распространении волны по поверхности воды «появляется некоторая видимость движения, но вода со своего места не двигается». Происходит «колебание воды», которое является скорее как бы дрожанием, нежели движением. Например, соломинки «не покидают своего места под действием волны, возникающей под ними от происхождения кругов».

Скорость звука. Исследования процессов распространения звука в воздухе были в средние века одним из важных инструментов изучения движения сжимаемой среды. Первую теоретическую формулу для определения скорости звука в газе (。5 = д/ро/〃о)где ро)〃о — давление и плотность газа) предложил Исаак Ньютон в своем знаменитом трактате «Математические начала натуральной философии» (1687 г.). Она оказалась ошибочной и давала величину скорости звука cs = 298 м/с, значительно меньшую известных в то время опытных данных. Такое расхождение Ньютон объяснял тем, что он не учитывал величину частиц воздуха и содержание в воздухе водяных паров. Но объяснения Ньютона не убедили его современников, а причины расхождения опытных и теоретических данных стали предметом многолетнего научного поиска. Только спустя более 100 лет П. Лаплас (1816 г.) и С. Пуассон (1820 г.) получили правильную формулу для скорости звука в газе: cs =，7P°/0。)где 7 = cp/cv ——показатель адиабаты, ср и cv ——удельные теплоемкости газа. Это произошло после того, как была осознана важность термодинамических процессов в сжимаемом газе и Лаплас выдвинул идею об адиабатичности процесса распространения звуковой волны в газе.

Фазовая скорость волны. Понятие фазовой скорости периодической волны ввел, по-видимому, также Ньютон в своих ^Математических началах... ^ на примере волн на поверхности воды. Он определил фазовую скорость как отношение длины волны к периоду колебаний в каждой точке, т.е. & = Л/Т, что совпадает с определением (1.6), если положить Л = 2тг//с и Т = 2тг/з* Ньютон показал, что фазовая скорость волн на воде пропорциональна VX (это гравитационные волны на глубокой воде), а ее точное выражение, с =，gA/2?r)скорее всего, впервые было приведено Г. Эйри в статье «Tides and Waves», опубликованной в 5 томе ^Encyclopedia Metropolitana^ (1845 г.). Следовательно, с работы Ньютона можно начать исторический отсчет теории дисперсии волн. Сам же термин «дисперсия» первоначально появился в оптике и в дальнейшем был распространен на волны различной физической природы.

Групповая скорость волны. Впервые понятие о скорости группы волн в дискретной цепочке ввел У. Гамильтон в 1839 г. Термин «групповая скоростью и использованная в п. 1.2.1 интерпретация групповой скорости была предложена Д. Стоксом в 1876 г. и, независимо от него, Рэлеем в книге « Теория звукам (1877 и) [1.10].，

Задачи и упражнения

Показать, что если дисперсионное соотношение задается в неявном виде, D(w, /с) = 0, то выражение для групповой скорости имеет вид

d® Dk / n dQ n dQ、

Показать, что формула Рэлея (1.12), связывающая фазовую и групповую скорости, может быть записана в виде

&gr = &ph —

где Л = 2тг//с ——длина волны.

Найти выражение для огибающей волнового пакета, образованного ^ гармоническими волнами с одинаковыми

2 Л.А. Островский, А.И. Потапов

амплитудами ng и близкими частотами з几=з° + ?гО и волновыми числами кп = к。+ пК (тг = 1 + ^, ^O《з°):

N

и =，2 no cos]® + тШ)力—% + пК)х]. п=0

Найти &ph и &gr для волны, описываемой линейным уравнением Клейна-Гордона

寸一 e『+伙1 = S

Каким типом дисперсии обладает волна в такой среде? Вычислить значение критической частоты з*)ниже которой волна становится нераспространяющейся. Что происходит с волной при ш < ш*?

д2и _ 2炉〃 _0о%一0dt2 C dx2 dx2dt2 "д2и _ 2炉〃 _0о%一0dt2 C dx2 dx2dt2 "По аналогии с задачей 1.4 провести анализ дисперсионных свойств волны, описываемой линейным уравнением Буссинеска

д2и _ 2炉〃 _0о%一0

dt2 C dx2 dx2dt2 "

д2и _ 2炉〃 _0о%一0

dt2 C dx2 dx2dt2 "

ГЛАВА 2

ЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ В СРЕДАХ С ДИСПЕРСИЕЙ

Много ли есть людей, которые, любуясь игрой волн на поверхности ручейка, думают, как найти уравнения, по которым можно было бы вычислить форму любого волнового гребня?

Людвиг Больцман

В этой главе будут рассмотрены примеры волн, встречающиеся в различных областях физики: электродинамике, акустике, гидродинамике и теории упругости. Мы выведем уравнения, описывающие распространение волн различной природы, и обсудим их дисперсионные свойства.

Электромагнитные волны

Электромагнитные волны описываются уравнениями Максвелла для напряженностей электрического Е и магнитного Н полей и соответствующих им индукций D и В. Для плоской линейно-поляризованной волны в изотропной среде, распространяющейся вдоль оси ж (рис. 2.1), уравнения для по

Рис. 2.1. Структура полей в плоской электромагнитной волне

сводятся к следующим:сводятся к следующим:лей Еу = Е(х^ t) и Hz = Н(х^ t)

сводятся к следующим:

сводятся к следующим:

(2Л)(2Л)дЕ — дВ дН — дР

(2Л)

(2Л)

dx 0方‘ dx dt

Эти уравнения не замкнуты и должны быть дополнены материальными уравнениями, связывающих электрическую D и магнитную В индукции с напряженностями полей Е и Н. В материальных уравнениях электромагнитного поля используется также электрическая поляризация среды Р (дипольный момент единицы объема) и магнитная поляризация среды М.

Электромагнитная волна в вакууме

В вакууме D = е^Е и В = 〃off)где £° и до — диэлектрическая и магнитная проницаемости вакуума. Подставив эти соотношения в (2.1), получим уравнение для полей Е ж Н:

дЕ — дН дН _ дЕ

которые могут быть сведены к одному волновому уравнению второго порядка:

д2Е 2。?石 n

где с = ,£。从0 = 3 " 103м/с — скорость света в вакууме.

Его общее решение представляет собой суперпозицию двух волн произвольного профиля, распространяющихся в противоположных направлениях:

Е(х)t)=①i(z — ct) + ①2(力 + ⑺”(2.4)

Для бегущей гармонической волны (1.2) из уравнения (2.3) следует, что связь между частотой з и волновым числом к линейна:

з = ±сА(2.5)

Отсюда видно, что электромагнитная волна в вакууме не обладает дисперсией: она распространяется с постоянной скоростью с, не зависящей от частоты. Дисперсия электромагнитных волн возникает лишь при распространении в материальных средах (плазме, диэлектрике) или в направляющих системах — волноводах.

Электромагнитная волна в плазме

Плазма представляет собой частично или полностью ионизированный квазинейтральный газ. В простейшей модели плазмы предполагается, что положительно заряженные ионы практически неподвижны, а электроны движутся в поле электромагнитной волны под действием силы Лоренца

F = —сЕ —c(vxB))(2.6)

Здесь е ——заряд, a v ——скорость электрона. Кроме того, прене- брегается влиянием столкновений между частицами. В линейном приближении не учитывается магнитная составляющая силы (2.6), вызывающая дополнительные перемещения электрона (дрейф) в направлении распространения электромагнитной волны, так как она имеет второй порядок малости. Тогда движение электрона в поле плоской волны (см. рис. 2.1) происходит в направлении оси у (вдоль направления Е) и описывается уравнением

ту = —cE(z/))(2.7)

где m ——масса электрона. Возникающая при этом поляризация плазмы равна F = —eNy (^ ——концентрация электронов). В результате поперечная электромагнитная волна, распространяющаяся в такой среде, описывается уравнениями

дЕ —дН

=+ П(2.8)

Система (2.8) сводится к одному уравнению второго порядка для напряженности электрического поля:

笠7若+ *e = s笠7若+ *e = s(2-9)(2-9)

笠7若+ *e = s

笠7若+ *e = s

(2-9)

(2-9)

Параметр з@ = ^e2N/(£Qm) называется плазменной частотой электронного газа. Для гармонической волны, когда Е 〜 exp {i(wf — кх)}, дисперсионное уравнение имеет вид (рис. 2.2 а)

ш2 = Шр + с2 к2. (2.10)

Фазовая и групповая скорости электромагнитной волны в плазме зависят от ее частоты (рис. 2.2 б):

= 士+ 谣/с2 卜 2 = 士с/(2.11)

Ogr = 土 с% /+ C2 k 2 = ±с J]—幻弘/" (2.12)

Из формул (2.10)—(2.12) следует, что в плазме могут распространяться электромагнитные волны лишь с частотой большей плазменной з@)а дисперсия наиболее сильно сказывается именно около этой частоты. Область з С з@ является областью

Рис. 2.2. Дисперсионная кривая для электромагнитной волны в плазме (а). Зависимости фазовой и групповой скоростей (б)

непрозрачности, где волновое число мнимое: ск = ш2)/2, так что Е 〜 exp { — \к\ ж}, а величина 问一1 = с(* —/)—1/2 определяет эффективную толщину слоя, экранирующего внешнее электрическое поле 1).

В области прозрачности (ш > шр) групповая скорость волны &gr начинается от нуля при ш = шр и с ростом частоты стремится к скорости света в вакууме (см. рис. 2.2 б). При этом для всех частот произведение фазовой и групповой скоростей равно квадрату скорости света: &gr&ph = с2.

Электромагнитная волна в диэлектрике

Диэлектрики ——вещества, не проводящие электрический ток —— подразделяются на полярные и неполярные. В полярных диэлектриках молекулы обладают собственным дипольным электрическим моментом. В неполярных диэлектриках в отсутствие внеш-

него электрического поля «центры тяжести» положительных и отрицательных зарядов в молекуле совпадают, и ее дипольный момент равен нулю. Электрическое поле «раздвигает» заряды в пространстве и поляризует среду. При снятии внешнего поля электрические силы будут возвращать заряды в положение равновесия. При этом из-за наличия массы у частиц (электронов и ионов) и связанной с ней инерции движение частиц после снятия поля будет иметь осциллирующий характер. Возвращение возбужденной молекулы в состояние равновесия происходит благодаря затуханию осцилляций.

Простейшей динамической моделью однородного неполярного диэлектрика может служить совокупность одинаковых нейтральных молекул (модель Лоренца). Движение связанных электронов в молекуле описывается уравнением гармонического осциллятора. Под действием электромагнитной волны молекулы приобретают дипольный момент в результате смещения электронов относительно неподвижных ионов. Распространение плоской электромагнитной волны в такой среде описывается уравнениями Максвелла (2.1), дополненными уравнением для поляризации Р:

дЕ —дН

=+ n(2.13)

д2Р . лдР . 2о 万

Здесь Ed = (Е+Р/З^о) — действующее в диэлектрике поле, шо — резонансная частота колебаний электрона в молекуле, m ——его эффективная масса, 8 ——коэффициент затухания.

д2е __32 P而—C而=_而)д2е __32 P而—C而=_而)(2.14)(2.14)Первые два уравнения (2.13) сводятся к волновому уравнению

д2е __32 P

而—C而=_而)

д2е __32 P

而—C而=_而)

(2.14)

(2.14)

которое совместно с третьим уравнением (2.13) образует замкнутую систему и описывает взаимодействие электромагнитной волны с колебаниями молекул вещества.

Дисперсионное уравнение для гармонической волны в такой

среде имеет видсреде имеет видгде шр — плазменная частота, а величина ш^/З дает поправ-где шр — плазменная частота, а величина ш^/З дает поправ-(2.15)(2.15)

среде имеет вид

среде имеет вид

где шр — плазменная частота, а величина ш^/З дает поправ-

где шр — плазменная частота, а величина ш^/З дает поправ-

(2.15)

(2.15)

ку к резонансной частоте колебаний электрона из-за того, что действующее поле 石由 отличается от среднего поля Е. Последнее слагаемое в (2.15) учитывает связь между поперечной электромагнитной волной и колебаниями диполей. Дисперсионное уравнение (2.15) может быть разрешено относительно волнового числа:

с2 к1 = ш2{1 + 谣/[(宕—谣/3) — о? + йш]} = w26(w). (2.16)

Здесь выражение, стоящее в фигурных скобках, представляет собой комплексную диэлектрическую проницаемость 岂幻)= =c^/u^h = n2(w), где тг(з)——показатель преломления среды.

Дисперсия волн в областях прозрачности. Если пренебречь отличием действующего поля Е^ от Е (что допустимо для газовых диэлектриков из-за малой концентрации молекул N) и диссипацией (8 = 0), то (2.16) можно представить в более компактной форме:

丛=±3 С；) = wn(w), (2.17) где s = J/ + / — частота продольных колебаний электронов, а показатель преломления среды п(ш) в этом случае равен

Дисперсионная зависимость (2.17) и показатель преломления ?г(ш) изображены на рис. 2.3. Из рисунка 2.3 а видно, что вблизи собственной частоты колебаний электронов шд имеются две ветви поперечных электромагнитных волн: низкочастотная ветвь (ш < шо) с асимптотами з = сМ/тг(О) при М Т 0 и з = =шо при А/ f ос и высокочастотная ветвь (ш > ше) с асимптотами g = s при кг 0 и CV = скг при М f ос“ Вдали от резонанса частотная дисперсия исчезает, а показатель преломления соответственно равен ?г(0) = ше/шо для з《з()и тг = 1 для з》о；е* Интервал частот (wq, we) является запрещенным для электромагнитных волн (так называемое окно непрозрачности). Здесь волновое число, согласно (2.17), оказывается чисто мнимой величиной. В этой области чисто мнимым является также показатель преломления тг(з) (рис. 2.3 б). Анализ дисперсионных кривых показывает, что в областях прозрачности (0, шд) и

(ше, сю) такие волны обладают нормальной дисперсией, так как dn(bj)/d(jj > 0.

66Рис. 2.3. Дисперсия электромагнитной волны в диэлектрике без учета диссипации (а). Зависимость показателя преломления от частоты (б)Рис. 2.3. Дисперсия электромагнитной волны в диэлектрике без учета диссипации (а). Зависимость показателя преломления от частоты (б)

6

6

Рис. 2.3. Дисперсия электромагнитной волны в диэлектрике без учета диссипации (а). Зависимость показателя преломления от частоты (б)

Рис. 2.3. Дисперсия электромагнитной волны в диэлектрике без учета диссипации (а). Зависимость показателя преломления от частоты (б)

宀力）7石t幾宀力）7石t幾(2.18)(2.18)Низкочастотная аппроксимация. Пусть w/wq《1. Тогда, используя это отношение как малый параметр, из третьего уравнения (2.13) выразим поляризацию Р через электрическое поле Е:

宀力）7石t幾

宀力）7石t幾

(2.18)

(2.18)

Подставив это соотношение в (2.14), получим уравнение, содержащее четвертую производную

匹2匹a力 2^2匹2匹a力 2^2п2(он IF — 5п2(он IF — 5(2.19)(2.19)

匹2匹

a力 2^2

匹2匹

a力 2^2

п2(он IF — 5

п2(он IF — 5

(2.19)

(2.19)

где V = с/?г(0)——характерная скорость волны в низкочастотном (длинноволновом) пределе (см. рис. 2.3 а), ?г2(0) = (1 + w^/wq).

Высокочастотная аппроксимация. В высокочастотном пределе (w/wq》1) дисперсионное соотношение (2.17) хорошо аппроксимируется выражением

(2*20)(2*20)ш2 = с2/с2 +

(2*20)

(2*20)

которому соответствует дифференциальное уравнение

(2-21)

совпадающее с уравнением (2.9) для электромагнитных волн в плазме. На очень высоких частотах показатель преломления среды п практически не зависит от частоты и стремится к единице (см. рис. 2.3 б).

Дисперсия в области резонанса. При стремлении частоты электромагнитной волны к резонансной мнимую часть волнового числа нельзя считать пренебрежимо малой. Поэтому исследуем этот участок спектра с учетом затухания волны. Полагая « = к1 + ikff и к11 <С к\ из (2.16) находим приближенное выражение для действительной части к:

= ±?2(з)2[(端 dj^)2 + ?%2] } •(2.22)

Мнимая часть к (показатель поглощения волны) будет

"'(3)- 2c[(端：з2~ +户炉]・(2・23)

Вблизи резонанса можно положить

(忐—w2) и

тогда соотношения (2.22) и (2.23) упростятся:

кг(ш) = 士艺кг(ш) = 士艺1 +1 +^o(tVo — g)Co[4Qo一公尸+户]^o(tVo — g)Co[4Qo一公尸+户]F(3)=干 2c[4(g。-：)2 + /「F(3)=干 2c[4(g。-：)2 + /「(2.24)(2.25)(2.24)(2.25)

кг(ш) = 士艺

кг(ш) = 士艺

1 +

1 +

^o(tVo — g)

Co[4Qo一公尸+户]

^o(tVo — g)

Co[4Qo一公尸+户]

F(3)=干 2c[4(g。-：)2 + /「

F(3)=干 2c[4(g。-：)2 + /「

(2.24)

(2.25)

(2.24)

(2.25)

Дисперсионные кривые fc^w), тг(з)) а также кривая поглощения kff((jj) показаны на рис. 2.4. Граничные точки д и 应

Рис. 2.4. Дисперсионная кривая (а) показатель преломления и коэффициент поглощения (б) в диэлектрике с диссипацией

находятся из условия dn/duo = 0. Между этими значениями показатель преломления убывает с ростом частоты dn/dev < 0. Это область аномальной дисперсии. В области аномальной дисперсии фазовая и групповая скорости волны направлены в противоположные стороны.

Здесь мы рассмотрели лишь простейшую модель диэлектрика, состоящего из независимых одинаковых молекул. Она дает правильное качественное описание дисперсионных свойств системы с одной резонансной частотой. Данная теория дисперсии легко обобщается на случай нескольких групп осцилляторов с разными резонансными частотами.

Акустические волны

В этом параграфе мы обсудим некоторые математические модели, описывающие распространение акустических волн в жидких и газообразных средах. Такие волны, в отличие от радиоволн, относительно слабо затухают в воде и могут распространяться в ней на сотни и даже тысячи километров. Поэтому они широко используются для исследования океана, а также для связи и передачи информации.

Волны в идеальном газе

Одномерные звуковые волны малой амплитуды в покоящемся идеальном газе описываются линейными уравнениями

。。a樂=。，％+瓏=。，⑵26）

где р\р\ V — соответственно, малые возмущения плотности, давления и скорости частиц газа относительно их равновесных зна~ чений 〃 = 〃о）夕о = и。= 0* Эта система уравнений не замкнута. К ней необходимо добавить уравнения состояния, связывающие давление, плотность и другие термодинамические характеристики газа.

Для адиабатических процессов связь между изменениями давления и плотности имет простой вид

У =。力（2.27）

где cs =，”о/.。— адиабатическая скорость звука, 7 — показатель адиабаты Пуассона. Волна давления в этом случае опи-

сывается волновым уравнением

=0*(2.28)

Его общее решение представляет собой суперпозицию двух встречных волн произвольного вида, см. (2.4). Для гармонической волны связь между частотой и волновым числом линейная: w = ±csfc, т.е. фазовая и групповая скорости равны друг другу и не зависят от частоты. Следовательно, в этом приближении звуковые волны не обладают дисперсией.

Волны в газе с релаксацией

Причина появления дисперсии акустических волн в газе может быть связана с релаксационными процессами, когда термодинамическое равновесие в среде устанавливается с запаздыванием по отношению к сжатиям и разрежениям. В результате связь между давлением р и плотностью р становится нелокальной во времени, она зависит от изменений плотности в предыдущие моменты и описывается интегральным выражением

t

夕(伤力)= J R(t tf)p(x^ /) dtf.(2.29)

Явный вид ядра R(t —力')можно найти, изучая внутреннюю структуру газа. Эти вопросы относятся к области молекулярной акустики и акустической спектроскопии. Однако ряд важных результатов можно получить на основе феноменологического рассмотрения процессов релаксации, не конкретизируя их физической природы. Например, релаксационная теория Мандельштама^Леонтовича основана на предположении, что вклад от «предыдущих» воздействий экспоненциально убывает с ростом времени их запаздывания. В случае одного релаксационного процесса это приводит к следующему уравнению состояния:

t

р(ж,力)=СоР(ж, t) — (с^ — Со) / exp (―三^) K'E 力"厶

(2.30) которое эквивалентно уравнению (2.29) с ядром

A(力一力=e詁(力一力一点二6 exp (一^^) .(2.31)

Здесь eg, Cqq — соответственно скорости низкочастотного (шт f 0) и высокочастотного (шт f ос) звука, причем с^ > со, а 丁 ——характерное время релаксации. Подставляя (2.30) в (2.26) и исключая переменные и и р, приходим к интегродифференциальному уравнению для плотности:

装-瑞t -m启抬 / exp (一子)^P(x,t')dt, = 0.

(2.32)

Для гармонической волны дисперсионное уравнение, связывающее частоту и волновое число, имеет вид

шт1 — штшт1 — шт(2.33)(2.33)

шт

1 — шт

шт

1 — шт

(2.33)

(2.33)

где m = (с^ — Cq)/cq = 2(^ — cq)/со — параметр, характеризующий относительную величину изменения фазовой скорости волны с ростом ее частоты. Обычно эта величина мала. Раскладывая к в ряд по малому параметру т, придем к выражению

« = 士一 1 一 k« = 士一 1 一 kсосо222 21 + G2T22 21 + G2T2-m—”2-m—”2GT1 + G2T2GT1 + G2T2(2*34)(2*34)

« = 士一 1 一 k

« = 士一 1 一 k

со

со

2

2

2 2

1 + G2T2

2 2

1 + G2T2

-m

—”2

-m

—”2

GT

1 + G2T2

GT

1 + G2T2

(2*34)

(2*34)

(2*35)(2*35)Из (2.34) следует, что распространение звуковой волны в газе с релаксацией всегда сопровождается поглощением и связанной с ним дисперсией:

(2*35)

(2*35)

%h -前%- 3 V十D1+炉丁2丿）儿-乐1+炉产

Графики зависимостей (2.34) и (2.35) изображены на рис. 2.5, из которого видно, что дисперсия в такой среде является ано мальной. Итак, наличие релаксации приводит к увеличению ско~ рости звука с ростом частоты и его затуханию (см. рис. 2*5). Такое релаксационное затухание наблюдается не только в газе, но и в морской воде, где оно объясняется присутствием различного рода ионных примесей.

В области низких частот (з丁《1))когда производная от плотности дрг/dt изменяется гораздо медленнее экспоненциального ядра в интеграле (2.30), ее можно разложить в ряд по малому запаздыванию:

(2.36)(2.36)

(2.36)

(2.36)

Подставив (2.36) в (2.32) и интегрируя по 力［мы сведем интегро- дифференциальное уравнение к дифференциальному, содержащему высшие производные:

整一— ™^7^4? + 加备嗯?泰=0，⑵ 37)

Третье слагаемое в (2.37) характеризует затухание звука, пропорциональное квадрату частоты, и имеет такую же структуру,

Рис. 2.5. Дисперсионная кривая (а), зависимости фазовой и групповой скоростей (б)豆 коэффициента поглощения (в) от безразмерной частоты шт

как для волн в вязкой теплопроводной среде. Четвертое слагаемое описывает дисперсионные эффекты.

Волны в жидкости с пузырьками газа

Жидкость с пузырьками газа представляет собой пример структурно-неоднородной (двухфазной) среды. Ее простейшей моделью является смесь из идеальной жидкости с равномерно распределенными в ней газовыми пузырьками одинакового размера. Пузырьки находятся на достаточном удалении друг от друга, так что взаимодействие между ними осуществляется только через поле давления. Радиальные пульсации газовых пузырьков обусловлены действием двух сил: силы упругого сжатия газа в пузырьке и силы инерции присоединенной массы жидкости, вовлеченной в движение пульсациями пузырька. В результате газовый пузырек в жидкости можно рассматривать как осциллятор, изменения радиуса которого £ = (А — А。) в

линейном приближении описываются уравнением

《+ 宕£ = _X从 (2-38)

Здесь ш0 = [37ро/(ро^о)]1/2 —частота собственных колебаний пузырька, х = ^KpqRq) — параметр связи, ро? Ро — невозмущенные значения плотности и давления в жидкости, рг — отклонение давления от равновесного значения, А(力)——текущий радиус пузырька, К。一 его равновесный радиус при давлении ро-

Предполагается, что характерная длина акустической волны велика по сравнению не только с радиусом пузырьков, но и со средним расстоянием между ними. В этом случае газожидкостную смесь можно рассматривать как однородную (гомогенную) среду с некоторыми эффективными значениями плотности, давления и других величин. Так, средняя плотность среды, очевидно, равна

Р = 01(1 — %) + 〃2羽 (2.39)

где 〃i,2 — плотности жидкости и газа соответственно, а 2 = =NV — объемное газосодержание в жидкости, N — число ну- зырьков в единице объема, а У = (4/3)тгЯ3 — объем одного пузырька. Будем далее считать объемное газосодержание малым (%《 1)* Тогда, учитывая, что 2 = 3 + /, pi = рю + 小 〃2《 《pi, напишем отклонение плотности смеси “ от равновесного значения .о：

“ =〃[(1 - 2о) - рю/. (2.40)

Возмущение плотности жидкости 〃； и избыточное давление 夕'в первом приближении связаны соотношением (2.27). Подставив (2.40) в (2.26), получим следующие уравнения:

(2.41)(2.41)dv A" _ с —2 др . dv — dzpo_ + _ = o, c0 —+p0— =P10 —,

(2.41)

(2.41)

где ро — равновесная плотность смеси, близкая к плотности жидкости, а со = 优/(1 — 方。)〃？ = cs — скорость звука. Возмущение объемного газосодержания，в первом приближении связано с изменением радиуса пузырьков £ линейным соотношением 〃 = NVf = 4穴RaNg. Учитывая это соотношение, приведем систему (2.41) к одному уравнению второго порядка для давления

0 a力2^2 一"a力2)0 a力2^2 一"a力2)(2*42)(2*42)

0 a力2^2 一"a力2)

0 a力2^2 一"a力2)

(2*42)

(2*42)

где 户=4ttRqNpq — коэффициент связи между пульсациями пузырька и избыточным давлением в смеси. Уравнение (2.42) совместно с уравнением пульсации пузырька (2.38) описывает распространение звуковых волн в двухфазной среде.

Интересно отметить, что по виду уравнение (2.42) совпадает с уравнением (2.14), а (2.38) с последним уравнением в (2.13), описывающими распространение электромагнитных волн в диэлектрике в отсутствие потерь. Поэтому дисперсионные характеристики звуковых волн в жидкости с пузырьками газа аналогичны соответствующим характеристикам электромагнитных волн в диэлектрике (см., например, рис. 2.5). Это частный, но весьма наглядный пример «волновой» общности динамических процессов различной физической природы.

Волны на поверхности жидкости

Еще один важный физический пример ——волны, возникающие на свободной поверхности жидкости, находящейся в поле сил тяжести. Учение о таких волнах является одним из самых старых разделов гидромеханики и теории волн. Интерес к этому явлению не угасает на протяжении более 200 лет. Большинство задач гидродинамики, связанных с образованием волн на поверхности жидкости, рассматривается в предположении, что жидкость идеальная, несжимаемая, а движение потенциально. В этих предположениях и будет рассматриваться задача о волновых движениях на поверхности жидкости.

Будем считать, что снизу, при z = ^h, жидкость ограничена твердым дном (рис. 2.6). При малых амплитудах, когда можно

Рис. 2.6. Поверхностные волны в канале конечной глубины ограничиться линейным приближением, двумерные уравнения теории поверхностных волн с учетом сил тяготения и поверх-

ностного натяжения запишутся в виде

(2*43)

(2.44)

(2.45)

где 夕一потенциал поля скоростей v = ▽夕)《(①)力)—верти™ кальное смещение поверхности, вызванное волной, g ——ускорение свободного падения. Уравнение Лапласа (2.43) выража™ ет условие несжимаемости среды. Уравнения (2.44) отражают кинематические граничные условия на свободной поверхности 2 =《(①〉力)и на дне. Уравнение (2.45)——это динамическое гр а™ ничное условие на поверхности (вытекающее из уравнения Бер™ нулли) при постоянном давлении. Оно показывает, что при от™ клонении свободной поверхности жидкости от невозмущенного состояния 2 = 0 действуют две силы: сила тяжести g^ и сила по™ верхностного натяжения。(^^《/已①？), где а ——коэффициент по™ верхностного натяжения. Физическая природа этих сил и легла в основу названия рассматриваемого типа волновых движений: гравитационно-капиллярные волны на поверхности жидкости.

Система уравнений (2.43)—(2.45) описывает гармонические волны, распространяющиеся вдоль координаты х и имеющие неоднородную структуру в вертикальном направлении 2：

⑵46)⑵46)《(“力)=aexp{i(ut kx)}^

⑵46)

⑵46)

夕(①/) = Ф(^)аехр{г(ш^ kx)}.

Решение такого типа называют неоднородной плоской волной. Здесь функция Ф(^) описывает распределение потенциала скорости по глубине, т.е. поперечную структуру волны. После под™ становки (2.46) в соотношения (243)—(2.45) получается диспер™ сионное уравнение

ш2 = (gk + ak3) th kh.ш2 = (gk + ak3) th kh.(2.47)(2.47)

ш2 = (gk + ak3) th kh.

ш2 = (gk + ak3) th kh.

(2.47)

(2.47)

Следовательно, фазовая и групповая скорости поверхностной волны в слое конечной глубины равны

Uph = [(g/к + m) th к川 1/2)(2.48)

= '"ph「&q、

gr _三[相麻十照2 + 4 J •J y丿

Здесь кт = ^/g/a = 2тг/Лт ——значение волнового числа, со™ ответствующее минимальной фазовой скорости. Дисперсионная кривая з(к), а также зависимости от к фазовой и групповой скоростей приведены на рис. 2.7.

Рис. 2.7. Дисперсионная кривая (а) и зависимости от к фазовой и группо™ вой скоростей для гравитационно-капиллярной волны (б) (и。= -\/gh,幻小= =4ag/p, kgr ~ 0, 39左小)Рис. 2.7. Дисперсионная кривая (а) и зависимости от к фазовой и группо™ вой скоростей для гравитационно-капиллярной волны (б) (и。= -\/gh,幻小= =4ag/p, kgr ~ 0, 39左小)

Рис. 2.7. Дисперсионная кривая (а) и зависимости от к фазовой и группо™ вой скоростей для гравитационно-капиллярной волны (б) (и。= -\/gh,幻小= =4ag/p, kgr ~ 0, 39左小)

Рис. 2.7. Дисперсионная кривая (а) и зависимости от к фазовой и группо™ вой скоростей для гравитационно-капиллярной волны (б) (и。= -\/gh,幻小= =4ag/p, kgr ~ 0, 39左小)

Дисперсионные свойства поверхностных волн наглядно иллюстрируются на следующих частных случаях.

Волны на мелкой воде (<7卜2《百〉kh^l). В этом случае из общих формул следует

з = ky/gh =。0瓦 и Uph =鱼丁 =。5(2.50)

Очевидно, такие волны не обладают дисперсией. Подобным об™ разом распространяются, например, приливные волны и волны цунами в океане. При средней глубине океана 4—5 километров скорость подобных волн может превышать 200 м/с, что приближается к скорости современных воздушных лайнеров. Если учесть дисперсию длинных поверхностных волн (т.е. th (kh)弋 уА/3/з), то дисперсионное соотношение (2.47) примет вид ш = = ghk2 — ghk^. Такой дисперсией обладают волны, описывав™ мые уравнением

(2-51)(2-51)

(2-51)

(2-51)

ак2 « g, так что «работает» только сила тяжести, для которых

з = V^^〉Uph = Jg/k = g/з)^gr = gUph) (2-53)

и капиллярные волны^ когда ак2》g, т.е. доминирует сила по™ верхностного натяжения, и

3 zzz \/(Jк?)Uph7Оk)Ug『/Uph®(2.54)

На глубокой воде гравитационные волны обладают сильной дисперсией. При этом длинные волны распространяются бы™ стрее коротких. Известно, что из области шторма в океане излучаются волны зыби длиной порядка или более 100 м,《взбал- тывающие» иногда большие акватории.

Дисперсия гравитационных волн является нормальной, так как。且『＜ Uph, а капиллярных волн ——аномальной (。且『＞ Uph)- В промежуточной гравитационно-капиллярной области фазовая скорость волны имеет минимум, который для чистой воды (по™ верхностное натяжение воды Т = ра=735 дин/см) равен 少广 ^ = = (《ger)" = 23 см/с и достигается при кт = 3,6 * 10^2см^х (Лт = 1,73 см). Групповая скорость достигает своего минимума, равного v™ax = 0)77。靠11 = 18 см/с, в области более длинных волн, когда Agr = 2,5ЛТО = 4,38см.

Волны в упругих телах

В твердых средах, в отличие от жидкости и газа, могут рас™ пространяться, как минимум, два типа упругих волн: продоль™ ные и сдвиговые. В безграничной среде эти волны, так же, как электромагнитные волны в вакууме и волны давления в идеаль™ ном газе, не обладают дисперсией. Дисперсия упругих волн по™ является в ограниченных телах (стержнях, пластинах, оболоч™ ках), когда длина волны становится сравнимой с их поперечны™ ми размерами. Этот тип дисперсии связан с наличием границ. Общее решение уравнений теории упругости, описывающих ко™ лебания тел ограниченной формы с учетом всех граничных уело™ вий, часто сталкивается с неопреодолимыми математическими трудностями. Рассмотрим здесь два основных вида нормальных волн в стержне: продольные и изгибные.

Продольные волны в стержне

Рассмотрим круглый стержень радиуса а, в котором возбужде™

на продольная волна. Как известно, продольной деформации стрежня всегда сопутствует поперечная деформация (эффект

Рис. 2.8. Деформация стержня при рас™ пространении продольной волныРис. 2.8. Деформация стержня при рас™ пространении продольной волныПуассона). Следовательно, смещение частиц при про дольных колебаниях имеет в общем случае две компо™ ненты: одна из них, uj па™ раллельна, а другая, ” — перпендикулярна оси стержня. Поэтому первоначально прямолинейные продольные

Рис. 2.8. Деформация стержня при рас™ пространении продольной волны

Рис. 2.8. Деформация стержня при рас™ пространении продольной волны

«волокна» при распространении волны искривляются (рис. 2.8)* Для достаточно длинных волн, когда fca << тг

(к — характерное волновое число), преобладают продольные движения (приближение Лява). В этом случае продольные и

П1 = U(X,t),"2 = —П1 = U(X,t),"2 = —(2.55)(2.55)поперечные смещения связаны соотношениями:

П1 = U(X,t),"2 = —

П1 = U(X,t),"2 = —

(2.55)

(2.55)

где и(ж, t)——смещение точек стержня вдоль его оси, г < а ——рас™ стояние от оси стержня,沙 ——коэффициент Пуассона. Учет попе™ речных смещений приводит к появлению в погонных плотностях кинетической Т и потенциальной энергии Ж дополнительных слагаемых, пропорциональных квадратам вторых производных:

(2.56)(2.57)(2.56)(2.57)

(2.56)

(2.57)

(2.56)

(2.57)

Здесь 石 и 〃一 модуль Юнга и модуль сдвига материала, р — объемная плотность, F = тга? — площадь поперечного сечения стержня, го = а/ V^ ——его полярный радиус инерции сечения.

Второе слагаемое в правой части (2.56) описывает кинети™ ческую энергию, связанную с движением частиц стержня в радиальном направлении, а второе слагаемое в (2.57) учитывает потенциальную энергию сдвиговых деформаций.

Используя вариационный принцип механики (см. п. 4.1.3 ), придем к следующему уравнению, описывающему продольные волны в стержне:

(2.58)(2.58)

(2.58)

(2.58)

где с/ =，石/о ——скорость длинных продольных волн в стержне (стержневая скорость), 0r = у/р/р — скорость сдвиговых волн в безграничной среде.

Подставив в (2.58) выражение для гармонической волны и 〜expi(ajt — кх)^ получим дисперсионное уравнение

3 = 土gk3 = 土gk(2.59)(2.59)/1 + 172y^左 2(с『/с/2

3 = 土gk

3 = 土gk

(2.59)

(2.59)

У 1 +沙2『泳2

(2.60)(2.61)(2.60)(2.61)из которого находятся выражения для фазовой и групповой скоростей волны:

(2.60)

(2.61)

(2.60)

(2.61)

-1 + "詁2)

gr P (1 +沙2『油2)(1 +沙2『油22/寸)*

Эти зависимости изображены на рис. 2.9. На рис. 2.9 а штриховыми линиями нанесены прямые, соответствующие продоль™ ным волнам в стержне в элементарном приближении Бернулли^

Рис. 2.9. Дисперсионная кривая (а), фазовая и групповая скорости для продольной волны в тонком стержне (б)Рис. 2.9. Дисперсионная кривая (а), фазовая и групповая скорости для продольной волны в тонком стержне (б)

Рис. 2.9. Дисперсионная кривая (а), фазовая и групповая скорости для продольной волны в тонком стержне (б)

Рис. 2.9. Дисперсионная кривая (а), фазовая и групповая скорости для продольной волны в тонком стержне (б)

Эйлера (к f 0, з = а к) и сдвиговым волнам в безграничной упругой среде (к оо, з = “к)%

Групповая скорость продольных волн всегда меньше фаз。- вой и асимптотически приближается к ней при к 0 н к оо (рис. 2.9 б). В точке A:gr = A^rgy (cT/q) (Agr = 4)44s，0r/да) групповая скорость имеет минимум

(2.62)(2.62)min = 巨 1 + 2力0

(2.62)

(2.62)

gГ 丁1 + "/ + ("/产

Это значение не зависит от геометрических размеров стержня и определяется только свойствами материала. Например, для стержня из меди (q = 3710 м/с, ст = 2260 м/с, и = 0,32) зна™ чение。力】11 = 0,53q = 1968 м/с достигается при длине волны Agr = 1,11а (kg『a = 5,66). Заметим, что выражения (2.59)—(2.61), строго говоря, не могут использоваться при ка > ж. Однако их сравнение с точными дисперсионными зависимостями для нулевой моды цилиндрического стержня показывает, что при™ веденные здесь формулы сохраняют применимость вплоть до значений ка о 6, т.е. до точки минимума групповой скорости.

В области длинных волн (к < 1/〃『о) фазовая и групповая скорости стремятся к одному и тому же предельному значению Ugr = Uph = & • В предельном случае (к f 0) дисперсия продоль™ ных волн отсутствует, и уравнение (2.58) переходит в волновое уравнение вида (2.3).

Изгибные волны в стержне

Изгибные волны возникают, например, при ударе по стержню в поперечном направлении. Они представляют собой изгиб, бегу-

Рис. 2.10. Перемещения, возникающие при изгибной деформации стержняРис. 2.10. Перемещения, возникающие при изгибной деформации стержнящий от места возбуждения. Пусть стержень совершает колебания в плоскости ж, у (рис. 2.10). Будем иреддо лагать, что плоские сече™ ния стержня, перпендику™ лярные его срединной ли-

Рис. 2.10. Перемещения, возникающие при изгибной деформации стержня

Рис. 2.10. Перемещения, возникающие при изгибной деформации стержня

нии в покое, остаются плоскими и перпендикулярными срединной линии и во время изгиба. Поперечные смеще™

ния срединной линии малы по сравнению с длиной волны, что позволяет пренебречь растяжением стержня.

В этом приближении поперечное движение стержня склады™ вается из двух составляющих: перемещения его центра масс в вертикальном направлении на величину w(x, t) и поворота на угол 夕(优/) о wx относительно центра масс (см. рис. 2.10). По™ гонная плотность кинетической энергии изгиба стержня состоит из суммы кинетической энергии поступательного движения эле™ мента стержня и энергии его вращения вокруг оси, проходящей через срединную линию перпендикулярно плоскости колебаний:

Т =Т =дх dt)дх dt)(2*63)(2*63)

Т =

Т =

дх dt)

дх dt)

(2*63)

(2*63)

Плотность потенциальной энергии изгиба равна работе восстанавливающих упругих сил и описывается выражением

(2*64)(2*64)

(2*64)

(2*64)

Здесь J ——геометрический момент инерции поперечного сечения стержня относительно оси, перпендикулярной плоскости коле™ баний; EJ — изгибная жесткость стержня; F — площадь попе™ речного сечения; wXf а。——угловая скорость поворота попереч™ ного сечения стержня.

Уравнение изгибных волн в стержне выводится из вариационного принципа (см.п. 4.1.3):

а%〃2 2 а% 2 а*〃 — па%〃2 2 а% 2 а*〃 — п(2.65)(2.65)

а%〃2 2 а% 2 а*〃 — п

а%〃2 2 а% 2 а*〃 — п

(2.65)

(2.65)

где с/ = y/Ejp ——стержневая скорость,广i = (J/F)i/2 — осевой радиус инерции, равный а/2 для цилиндрического стержня.

Дисперсионная зависимость для изгибных волн достаточно специфична:

(2*66)(2*66)з = ±q一』£=

(2*66)

(2*66)

У1 + r^k2

На плоскости ш, к эта зависимость изображается кривой, выхо™ дящей из начала координат по параболе и асимптотически приближающейся к прямой з = 土qk при k f ос (рис. 2*11 а)* Фа™ зовая и групповая скорости изгибной волны равны

Uph = ±аUph = ±аrik，1 +г泳2rik，1 +г泳2(2*67)(2*67)

Uph = ±а

Uph = ±а

rik

，1 +г泳2

rik

，1 +г泳2

(2*67)

(2*67)

Их графики выходят из нуля (рис. 2.11 б) и с ростом волнового числа стремятся к одному и тому же постоянному значению q.

При этом групповая скорость всегда больше фазовой, т.е. дис™ Персия изгибных волн является аномальной (duph/dk > 0). Груп™ повая скорость имеет максимум。力®* = 1, 09с/, который дости™ гается при kg『=V^/厂, что соответствует длине волны Agr = =V^7i广 1 = 2, 22а. Расчеты по точной теории Похгаммера^Кри дают максимум групповой скорости в области более длинных волн 3, 33а < Л < 4a. Это указывает на ограниченность области

Рис. 2.11. Дисперсионная кривая (а) и фазовая и групповая скорости (б) для изгибной волны в стержне (модель Рэлея)

применимости уравнения (2.65), связанной с предположением о том, что первоначально плоские поперечные сечения стержня остаются таковыми и при изгибе. При описании длинных изгибных волн, когда ka》1, обычно пренебрегают кинетической энергией вращения элементов стержня и вместо (2.65) используют упрощенное уравнение

广污空(2-68)

В этом случае дисперсионная кривая является параболой, а фа™ зовая и групповая скорости линейно зависят от волнового числа.

Исторические замечания и комментарии

Волновое уравнение. Изучение волнового уравнения

д2и 2 &2и — п

W и

сыграло большую роль в истории науки. Впервые его вывел Жан Даламбер в 1747 г. при исследовании малых поперечных

колебаний струны. Он показал, что общее решение этого урав™ нения имеет вид суперпозиции двух бегущих волн: и(ж, t) = =“1(优一ct)+u2(x^ct). Он же указал на возможность использо™ вания этого уравнения для описания процесса распространения звука. В 1748 г. Леонард Эйлер выразил произвольные функции С*(优±с力)через начальное отклонение струны и(ж, 0) = Uq(x) и ее начальную скорость и^(ж, 0) = РЬ(х), получив формулу, кото™ рую обычно называют формулой Даламбера. В 1753 г. Даниил Бернулли при изучении колебаний одномерной цепочки пришел к выводу о возможности представления произвольного движе™ ния цепочки в виде суммы простых гармонических колебаний:

ОО

и(ж, t) = ^2 ап sin (кпх) cos (nut).

n=0

Тем самым Бернулли ввел в теорию колебаний и волн принцип суперпозиции и объявил его общим законом, присущим самой природе колебаний. Эйлер и Лагранж с этим не согласились. Они сомневались в возможности представления произвольной функции тригонометрическим рядом. Только в 1807 г. Жан ①у- рье сформулировал теорему о разложении произвольной периодической функции в тригонометрический ряд. Как ни странно, против этого решительно возражал Жозеф Лагранж, хотя он сам пришел к почти аналогичным результатам еще в 1759 г. Теорема Фурье была доказана Петером Дирихле лишь в 1829 г., а в 1853 г. Георг Риман, изучая условия представления функции тригонометрическим рядом, пришел, в частности, к своему известному определению интеграла (интеграл Римана).

Доказательство того, что волновое уравнение описывает рас™ пространение звуковых волн, а с и есть скорость звука, было да™ но Эйлером в 1762 г. Однако формулу для вычисления скорости звука он не привел (см. комментарии к гл.1).

Дисперсия волн. Из примеров, приведенных в этой главе, видно, что «спектр» дисперсионных свойств различных волн мо жет быть чрезвычайно широким, но вместе с тем нередко волны совершенно различной природы ——электромагнитной, механиче™ ской — описываются одинаковыми дифференциальными урав™ нениями и обнаруживают практически полное сходство в дис™ персионных свойствах. Можно выделить, например, дисперсию типа з о ск(1 — ак?)) характерную для многих волн низкой ча™ стоты, или, скажем, ш2 = Шд + с2к2^ которая может проявляться на высоких частотах, или резонансную дисперсию и поглоще™

ние в области выделенных частот. Это позволит в дальнейшем работать с достаточно общими типами уравнений волн и про ан а лизир ов ать их свойства, характерные для широкого круга процессов.

Дисперсия света ). Волновая теория света была основательно разработана в трудах Томаса Юнга и Огюстена Фре™ неля и позволяла из небольшого числа принципов объяснить и рассчитать все известные тогда явления интерференции, ди™ фракции, поляризации и двойного преломления. Единственная неудача постигла волновую теорию в объяснении дисперсии и поглощения света. Френель указал на молекулярную структуру вещества как на возможный источник дисперсии, но, к со™ жалению, ранняя смерть в 1827 г. не позволила ему развить эту идею. Ее подхватил Огюстен Коши, представивший среду системой материальных точек, связанных между собой силами взаимного притяжения и отталкивания. В 1830 г. Коши в своих «Мемуарах о дисперсии света» вывел уравнение для смещения частиц в среде:

叁 2叁如=0

описывающее распространение света в такой среде и учитываю™ щее явление дисперсии.

В 1842 г. ученик Коши Шарль Врио предложил описывать распространение света в среде уравнением

д2и — 2 д2и dt2 С дх2д2и — 2 д2и dt2 С дх2+ Ди = 0.+ Ди = 0.

д2и — 2 д2и dt2 С дх2

д2и — 2 д2и dt2 С дх2

+ Ди = 0.

+ Ди = 0.

В дальнейшем оно нашло широкое применение в теории волн и теории поля и получило название уравнения Клейна^Гордона. Эти уравнения, учитывающие упрощенные предположения о ха™ рактере взаимодействия среды и света, давали достаточно хорошее совпадение теории с известными в то время опытными данными и, как мы теперь знаем (см. п. 2.1.4.), описывают нор™ мальную дисперсию света соответственно в низкочастотной и высокочастотной областях спектра (см. рис. 2.3 а).

В 1860—1862 гг. французский физик Ф. Леру, измеряя показатель преломления у паров йода, обнаружил обратную зависимость коэффициента преломления от цвета и назвал открытое

им явление аномальной дисперсией. Это открытие получило об™ основание в электронной теории дисперсии света, развитой Ген™ дриком Лоренцем.

Первая попытка использовать открытие Леру была предпринята в 1868 г. известным французским механиком Ж. Буссинеском. Он считал, что все пространство заполнено эфиром, имеющим одну и ту же инерцию и упругость, и что при распространении света между эфиром и веществом появляются силы взаимодействия. Поэтому, по мнению Буссинеска, все процессы в эфире должны быть описаны двумя уравнениями: одно из них описывает распространение волны в эфире, а другое ——взаимодействие эфира и вещества. Эти уравнения он записал в виде

д2и д2и>£

дхдх2

где р и в ——инерционный и упругий параметры эфира, pi, ^ —— плотность и смещение частиц среды, 48,0 — константы, характеризующие свойства среды. При В = 0 эта система сводится к одному уравнению

д2и 2 д2и 冃 д4и

济—时十Р ах2 at2

где с2 = е/(р + р1А)——скорость распространения света в среде; /3 = 0iO/(0i4)) —— параметр, характеризующий дисперсию света.

Позже система уравнений, описывающая дисперсию света, была предложена В. Зельмейером (1872 г.), впервые высказавшим идею о резонансном взаимодействии эфира и вещества, и Г. Гельмгольцем (1875 г.), который ввел в уравнение колебаний частиц среды《трение»:

д и 2 0 口 о /

Эта модель позволила объяснить связь между аномальной дис™ Персией и поглощением света, а также предсказать эффект стремления к единице показателя преломления для очень коротких волн. В то время такой эффект казался абсурдным, но

позже, в 1894—1900 гг., он был подтвержден опытами с рентге™ новскими лучами. Правда, к тому времени об этом следствии теории Зельмейера^Гельмгольца уже успели позабыть.

Интересно отметить, что за три года до появления работы В. Зельмейера дисперсией света интересовался Дж. К. Макс™ велл. В 1869 г. им был опубликован в «Cambridge University Calendar» экзаменационный вопрос по математике для получе™ ния ученой степени доктора философии. Суть вопроса заключав лась в выводе уравнения распространения поперечных волн в среде (эфире) с учетом их взаимодействия с атомами другого ве™ щества и его интерпретации на языке волновой теории света. Пред™ полагалось, что атомы вещества независимы и связаны с эфиром силой притяжения, пропорциональной относительному смеще™ нию между атомами и эфиром, а также силой сопротивления, пропорциональной скорости относительного смещения атомов.

В принятых нами обозначениях уравнения, предложенные Максвеллом, можно записать в виде системы

где т и р ——удельные плотности эфира и вещества, и ——смещение эфира, £ ——относительное смещение атомов, Е ——модуль упруго™ сти эфира, шо — резонансная частота колебаний атомов,五一коэффициент трения. Эти уравнения приводят практически к та™ ким же результатам, что и уравнения Зельмейера^Гельмгольца. На эту работу, опубликованную в малоизвестном издании, впер™ вые обратил внимание лишь Д. Релей уже после появления ста™ тей Г. Лоренца по электронной теории дисперсии.

Электромагнитная теория света в своей первоначальной форме не описывала явление дисперсии, что было отмечено еще Максвеллом. Только электронная теория, развитая голландским физиком Гендриком Лоренцем в 1890—1899 гг., смогла дать объ™ яснение этому явлению. Подробная история учения о дисперсии света, начиная с ее зарождения, изложена в книге Е.И. Иогре- бысской «Дисперсия света. Исторический очерк» [И.11].

Волны на воде. Простейшая теория волн на поверхности воды была дана И. Ньютоном в его «Математических началах натуральной философии» (1687 г.). Эта теория была основана на неправильном допущении того, что частицы воды в волне просто колеблются в верх™ в низ. Ньютон сознавал ошибочность

такого допущения. Однако он счел возможным воспользоваться им для приближенной оценки скорости распространения волны. Правильный подход к теории волн на воде был найден Ж. Лагранжем и изложен в его «Аналитической механике» (1788 г.). Он вводит в гидродинамику термины сжимаемая и несжимаемая жидкость, а также потенциал скорости. Лагранж нашел аналитическое решение, описывающее распространение длин™ ных волн на мелкой воде, и получил выражение для их скоро™ сти: и = y/gh. Однако он не занимался детальной разработкой теории волн, так как его увлекали другие, более общие математические проблемы. В дальнейшем идеи Лагранжа были разработаны французскими математиками О. Коши и С. Пуассоном, которые приняли участие в конкурсе на Большой приз по ма™ тематике, объявленный в 1815 г. Парижской академией наук по теме теория волн. Премию получил О. Коши, а мемуар С. Пуассона заслужил почетный отзыв. Наиболее полно основы теории волн на воде были разработаны в трудах английских ученых Дж. Стокса и Д. Ре лея.

Коши и Остроградский. С развитием теории волн на ео де связана одна любопытная история, характеризующая стиль отношений между учеными XIX века. В 1822 г. молодой русский математик Михаил Остроградский (1801—1862) жил в Париже и посещал лекции П. Лапласа, О. Коши, Ж. Фурье. Он написал работу «Теория волн в сосуде цилиндрической формы» и по™ слал ее О. Коши. Работа Остроградского произвела на Коши сильное впечатление, он одобрил ее и направил в Труды Па™ рижской академии наук (статья была опубликована в 1826 г.). В это время Остроградский сидел в парижской долговой тюрьме, так как задолжал хозяину гостиницы из-за задержки в высыл™ ке денег из дома. Коши, не будучи богатым человеком, Еыку- пил Остроградского из долговой тюрьмы и рекомендовал его на должность учителя математики в один из лицеев Парижа. Впо™ следствии Остроградский был избран членом^корреспондентом Парижской академии наук.

Упругие волны. До конца XVIII в. думали, что звук в твердых телах передается мгновенно. Первое измерение скоро™ сти звука в твердом теле по отношению к его скорости в воздухе выполнил в 1797 г. немецкий ученый Э. Хладни. Он открыл про дольные и вращательные (крутильные) волны в стержне, и его опыты заложили основы экспериментальной акустики. Он же провел точные измерения скорости в различных газах, пользу-

ясь для этой цели органными трубами. Ему принадлежит пер™ вое систематическое изложение акустики, выпущенное в свет в 1802 г. Интересно отметить, что под впечатлением от обаяния и остроумия Хладни, его лекций и опытов, Наполеон выделил 6000 франков для перевода его книги «Акустика» на француз™ ский язык.

Уравнение (2.66) для изгибных волн впервые было выведено Релеем из условия стационарности интеграла действия и ириЕе- дено в его знаменитой книге «Теория звука». Следует отметить также, что он одним из первых стал систематически применять вариационные принципы механики для вывода уравнений дви™ женин распределенных систем (см. комментарии к гл. 4).

Задачи и упражнения

Покажите, что если ввести векторный потенциал злектри- ческого поля А(х,t):

Е = _1四 я =-

с dt 5дх 5

то система (2.8) будет эквивалентна уравнению Клейна— Гордона

из которого простым дифференцированием можно полу™ чить уравнения для электрического и магнитного полей.

Выведите дисперсионное соотношение (2.15) для уравнений электромагнитного поля в диэлектрике (2.13). Покажите, что в резонансной области дисперсия является аномальной, а фазовая и групповая скорости имеют разные знаки, т. е. UgrUph < 0 •

Покажите, что электромагнитные волны в диэлектрике в областях прозрачности (0)з。) и (ше, ос) обладают нормальной дисперсией.

Указание. Используйте формулу Рэлея (1.12) и соотношение Uph = с/п(ш).

Покажите, что в среде с «высокочастотной» дисперсией, описываемой уравнением

не могут распространяться волны с частотой выше ш = =

Исследуйте дисперсионные свойства волн, описываемые системой уравнений Зельмейера^Гельмгольца (см. коммен™ тарий к главе). Сравните их с дисперсионными свойства™ ми электромагнитных волн в диэлектрике, описываемыми уравнениями Лоренца (2.13).

Как изменится уравнение для изгибных колебаний стерж™ ня (2.65), если стержень предварительно растянуть с силой N(j? Выведите это уравнение и исследуйте его дисперсион™ ные свойства.

Указание. В потенциальную энергию изгиба стержня (2.64) необходимо добавить член, учитывающий энергию растяжения: (Nq/pF)w^.

На поверхности глубокой воды возбуждается пакет граЕи- тационных волн, содержащий N》1 периодов колебаний с частотой шс. Определите число гребней волн Ni на по™ верхности, которые увидит наблюдатель, находящийся на берегу, и количество колебаний №)которые совершит наблюдатель, находящийся в лодке, при прохождении аанно го волнового пакета.

Решение. Пакет гравитационных волн можно представить в виде

д(х,力)=A(t —力/汽卩 exp {г(шо^ — k()x)}.

Частота ojq и волновое число к。несущей волны удовлетво™ ряют дисперсионному уравнению ш2 = gk (см. § 2.3), ее длина равна Aq = 2?r/fco = 2打。卩1]/幻0)а огибающая распространяется с групповой скоростью Ugr = (l/2)yg/fco = =(l/2)0ph и отлична от нуля на интервале времени △力= =27г^/шo.

Для наблюдателя на берегу волновой пакет будет иметь длину L = Ugr△力=27г^/Уgr/шo и, следовательно, в нем уложится М = £/Хо = Nugr/uph = N/2 длин волн. Для наблюдателя в лодке время прохождения пакета волн рав™ но At За это время лодка совершит N2 = (Atшo/27г)^ колебаний.

Найдите явный вид функции ①（2）в формуле （2.46）, они- сывающей распределение потенциала скорости 夕（力）2）力）по вертикальной координате в канале с конечной глубиной h^ в глубоком канале и мелком канале.

Ответ. В канале конечной глубины:

①⑶=—沁 ch 网2 + /?,）］/（fc shkh）^

в глубоком канале （kh》1）:

①（2）=—沁 expkz/k〉

в мелком канале （kh《 1）:

①（2）= —iaj/k2h.

ГЛАВА 3

ЭНЕРГИЯ И ИМПУЛЬС ВОЛН

Насколько движение энергии и дви™ жение сжимаемого вещества обуслав™ ливаются законами их сохранения, настолько мы имеем право уподоб™ лять движение энергии движению подвижного и сжимаемого вещества.

Н. А. Умов

В этой главе мы обсудим фундаментальные характеристики волнового поля ——энергию и импульс, а также связанные с ни™ ми законы сохранения. Как известно, волны могут переносить энергию и оказывать силовое воздействие на материальные тела. При этом возникает множество вопросов, например, с какой скоростью переносится энергия волны в среде или как связаны возникающие силы с импульсом волны. Здесь мы постараемся дать на них ответ на примере нескольких типов волновых дви™ жений и приведем общие соотношения.

Законы сохранения и уравнения переноса

Математические уравнения, описывающие динамические процессы, часто представляют в форме законов сохранения. За™ коны сохранения первоначально формулируются в интегральной форме, однако для непрерывных и дифференцируемых ве™ личин интегральная форма записи эквивалентна дифференци™ альным уравнениям, называемым также уравнениями переноса.

В области пространства, где нет источников и стоков поля, плотность некоторой физической величины а и ее поток С через

единичную площадку связаны законом сохранения

>+dlvc = 0 ЙЛЙ 丽+ 丽=°">+dlvc = 0 ЙЛЙ 丽+ 丽=°"(3.1)(3.1)

>+dlvc = 0 ЙЛЙ 丽+ 丽=°"

>+dlvc = 0 ЙЛЙ 丽+ 丽=°"

(3.1)

(3.1)

Примером таких соотношений является закон сохранения массы в механике сплошной среды, где а = р ——плотность среды, а С = =0V ——поток массы. В электродинамике ——это закон сохранения электрического заряда, где а =夕& ——плотность заряда, а С = j —— плотность электрического тока.

Если рассматривается векторная величина g, то закон сохра™ нения (3.1) выполняется для каждой из ее компонент:

+ 醬=0. (3.2) dxk

Здесь g 分 ——проекция вектора g на ось 力* а П.^ ——компоненты тензора плотности потока величины g. Примером уравнения (3.2) в гидродинамике является закон сохранения импульса g = pv , тогда II泳=pv^k + p^ik — тензор плотности потока импульса.

Законы сохранения (3.1) и (3.2) в общем случае не опреде™ ляют однозначно входящие в них величины. Дело в том, что к ним всегда можно добавить величины a(D)с[)и g'〈 口丿【〈 удовлетворяющие тождествам

ии醬醬(3.3)(3.3)

и

и

醬

醬

(3.3)

(3.3)

которые не влияют на форму уравнений (3.1) и (3.2), но из™ меняют вид входящих в них величин. В теории поля подобные преобразования называют калибровкой. Вопрос о физически со держательных величинах, входящих в законы сохранения, реша™ ется либо на основе опыта, либо на основе анализа микроскопических материальных уравнений среды.

Для волновых полей в средах без диссипации выполняется закон сохранения энергии:

(3.4)(3.4)dw dSk — n

(3.4)

(3.4)

где w — плотность энергии, a S = {S^} — вектор плотности потока энергии (вектор Умова^Пойнтинга).

С физической точки зрения под энергией волны понимается разность между энергией системы «среда + волна» и энергией невозмущенной среды. Для нахождения явного вида величин w и S используют уравнения, описывающие динамику физической системы.

Уравнение переноса энергии (3.4) иногда конструируется из линеаризованных уравнений поля. Однако следует отметить, что получаемая таким образом квадратичная по полю величи™ на w не обязательно совпадает с действительной энергией, свя™ занной с волной х). Этот вопрос мы обсудим ниже при анализе волн в неравновесных и нелинейных средах, а сейчас рассмотрим несколько примеров вывода уравнений переноса энергии в физических системах.

Звуковая волна в газе. Уравнение переноса энергии плоскими акустическими волнами в идеальном газе можно получить из уравнений (2.26) и (2.27). Для этого умножим первое из них на и〉а второе на р/ро и сложим их. В результате получим уравнение вида (3.4), где плотность энергии звуковой волны w и ее поток S равны

Электромагнитная волна в вакууме и диэлектрике. Уравнение переноса энергии плоской электромагнитной волной в вакууме следует из уравнений Максвелла (2.2) после их умно™ женин соответственно на Н и Е и сложения. Плотность энергии и ее поток в этом случае равны:

石 2；〃。炉,S = EIL(3.6)

В среде с постоянными значениями относительной диэлектри™ ческой(£)и магнитной (д) проницаемостей плотность электро™ магнитной энергии равна (см. задачу 3.1)

w =2 叱旦二(3.7)

а плотность ее потока S по-прежнему дается выражением (3.6).

То же самое относится к уравнению переноса волной импульса.

з*

Энергия волн в среде с дисперсией

Для диспергирующих сред, где различные физические пе™ ременные нелокально связаны между собой во времени и про странстве, вывод уравнения переноса энергии усложняется. Как уже отмечалось в предыдущей главе, временная дисперсия со провождается диссипацией энергии и в общем случае заранее не ясно, как определить энергию поля, связанную с волной. Для этого необходим анализ материальных уравнений среды. Вместе с тем, если диссипация мала и ей можно пренебречь, то Еыра- жение для энергии волны в диспергирующей среде можно полу™ чить из феноменологических уравнений движения.

Электромагнитная волна в плазме

Изменение энергии электромагнитного поля в среде описывается уравнением Пойнтинга

ЕН…(3.8)

получающимся из уравнений Максвелла (2.1) после их умножения соответственно на Н и Е и сложения. Выражение для плот™ ности потока энергии S = ЕН в этом случае остается таким же, как и для волны в вакууме, но запись первых двух слагаемых в виде производной по времени от энергии dw/dt становится не столь простым делом. Для их преобразования необходимо обра™ титься к материальным уравнениям среды. В частности, для электромагнитных волн в плазме D = £qE + Р, В = ®Н)а электрическая поляризация Р = —eNy удовлетворяет диффе™ ренциальному уравнению j^P/O力？ = и^е^Е (см. п. 2.1.2). Под™ ставляя эти выражения в (3.8), приходим к уравнению переноса (3.4), в котором плотность энергии равна

+壶(奈广(39

Заметим, что второе слагаемое в выражении (3.9) представляет собой кинетическую энергию частиц плазмы в поле электромаг™ нитной волны, так как

Таким образом, энергия электромагнитного возмущения в плаз™ ме представляет собой сумму энергии электромагнитного поля в вакууме и кинетической энергии частиц плазмы в поле вол™ ны. Иными словами закон сохранения энергии (3.8) выполни™ ется для замкнутой динамической системы «электромагнитное поле + частицы плазмы». Аналогичное утверждение справ ед™ либо и для более общих моделей диспергирующих сред.

Волны на поверхности жидкости

Для вывода уравнения переноса энергии поверхностными гр а™ витационными волнами (см. п. 2.3) воспользуемся уравнением движения идеальной несжимаемой жидкости в поле сил тяже™ сти:

。空=-V₽ +Ag, (З.И)

где d/dt = A/а力+ (vV)——полная (субстанциональная) произ™ водная по времени, V = id/дх + jd/dy + kd/dz ——оператор Га™ мильтона. Умножив (3.11) скалярно на v, придем к уравнению изменения плотности кинетической энергии

(ру) + VW — pgv = S (3.12)

Здесь второе слагаемое, в случае несжимаемой жидкости (div V = 0), равно vVp = V (vp), где произведение vp предста™ вляет собой работу, производимую силами давления над жидко™ стью, в единицу времени. Третье слагаемое pgv есть мощность, развиваемая силой тяжести при вертикальных движениях жид™ кости. Введем переменную ^(х,t), отсчитываемую от поверхно™ сти г = 0 (см. рис. 2.6) и характеризующую вертикальное смв- щение элемента жидкости в слое ^h ^ ^ ^ ^. В этом случае pgv = —0gd£/d力 = pg(d^/dt + vV^). Подставляя эти выражения в (3.12) и переходя к частным производным по времени, придем к уравнению переноса энергии

^ (ру + Pg€)+ div [v (р + py + pg^ = 0” (3.13)

Отсюда находим, что объемная плотность энергии в гравитаци™ онной волне равна сумме кинетической и потенциальной энергий элемента жидкости в поле сил тяжести:

也 u = Ру +0g& (3.14)

Потенциальная энергия, связанная с поверхностным натяжени™ ем, здесь не учитывается.

Векторная величина

S’u = vp + 0V (^ + gf)(3.15)

представляет собой плотность потока энергии в гравитационной волне. Физический смысл первого слагаемого в (3.15) был объяс™ нен выше, а второе слагаемое определяет конвективный перенос энергии движущейся жидкостью.

Для перехода от уравнения (3.13) к уравнению переноса энергии в направлении распространения волны необходимо проинтегрировать его по вертикальной координате г. Плотность энергии гравитационной волны в этом случае равна

СоС

w = / wv dz / pgzdz = I J ^2 dz + ^pgC2•(3.16)

Второе слагаемое в правой части (3.16), представляет собой по™ тенциальную энергию, равную работе, затрачиваемой волной на подъем столба жидкости с единичной площадью на высоту г = =《(方，力).Аналогично поток энергии должен быть проинтегри™ рован по вертикальной координате. Из (3.15) следует, что в по™ верхностной волне горизонтальная компонента плотности пото™ ка энергии равна

(3.17)(3.17)Sz = / 卜陋 +夕％ (у + g^] d?"

(3.17)

(3.17)

Мы вернемся к этому выражению позже при обсуждении сред™ него значения энергии поверхностной волны.

Упругие волны в стержне

Продольные волны в круглом стержне при учете его толщинных колебаний описываются уравнением

Чтобы получить уравнение переноса энергии, умножим (3.18) на pF ди / dt и учтем тождества

д2и ди _ 1 д (Амд2и ди _ д /ди Ам)1 д /ди\2

况2 况—2 3力(况丿，дх2 dt дх \ дх dt /2 dt \дх J ，

д4и ди _ д / 炉设 ди\1 д / д2и⑺

дх2 dt2 况—дх \о>ж dt2 况丿2 dt \dxdtj ，，丿

济设 ди _ д /炉设 ди д，2и д，2и决设；

2r4女 -qx女 2c2 2c况丿 2 dt (a関2丿

После группировки слагаемых придем к уравнению переноса энергии (3.4), где погонная плотность энергии упругой волны равна

= I(齿 + 沙*磺)+ 归尸)(必 + ^rQ I *)[(3.20)

а плотность потока энергии описывается выражением

S = —EFuxUf — v^TqF [puXf/Uf + ii^uxxuxf — ихххи/^ .(3.21)

Для длинных волн в стержне, когда R f 0)е уравнении (3.18) можно пренебречь четвертыми производными. В этом случае дисперсия продольных волн исчезает, а выражения для энергии и ее потока существенно упрощаются:

w = I (pFu^ + EF吟,S = -EFutux. (3.22)

Примером волн с дисперсией являются изгибные волны в тонком стержне, описываемые в простейшем случае уравнением (см. п. 2.4.2)

+m产济m—0

Умножим его на pF ди / dt и воспользуемся первым и четвертым тождествами (3.19), в результате получим уравнение переноса (3.4), в котором плотность энергии изгибной волны и плотность ее потока соответственно равны

w = — (pF* +『[EFu 薪)1 S = ^r^EF (uxxuxf — uxxxUf).

(3.23)

В этом случае в выражение для плотности потока энергии ехо- дят только вторые и третьи производные от смещения и(х, t) по координате.

Энергия и групповая скорость

Групповая скорость была введена в § 1.2 из кинематических соображений, и ее выражение 匕也『=da)/dk годится для кв азимо™ нохроматических волн любой природы. Вместе с тем групповая скорость, как скорость распространения сигналов, имеет смысл скорости переноса энергии. В этом легко убедиться на частных примерах. Определим скорость переноса энергии %%□ как отношение среднего за период потока энергии S к вв средней плот™ НОСТИ W：

ven = S/w.(3.24)

В качестве первого примера рассмотрим акустическую волну в идеальном газе:

外=外0 ехр {“з力一kx)}, p = Pq exp {i(at — kx)}.

Средние значения плотностей энергии и потока (3.5) такой вол™ ны с учетом связи и = p/p()cs равны

1 -41 -41 -4 一S1 -4 一S1-21-2

1 -4

1 -4

1 -4 一S

1 -4 一S

1-2

1-2

Отсюда вытекает, что S = csw, т.е. энергия акустических волн распространяется со скоростью звука. Это естественно, так как в идеальном газе отсутствует дисперсия.

Примером волн, в которых наличие дисперсии принципиаль™ но, служат изгибные волны в стержне. Подставляя в (3.23) вы™ ражение для гармонической волны и。ехр {5(оЯ —Rz)} и усредняя по времени, имеем

WW1 -41 -42323ж * ж пж жж * ж пж ж

W

W

1 -4

1 -4

2

3

2

3

ж * ж п

ж ж

ж * ж п

ж ж

s =邑了 Re (uxxu^t - uxxxul) = rlEFa)k3ul，

Подставим ⑪ и S е (3.24) и, учитывая, что ш2 = г^^к^найдем скорость переноса энергии изгибной волной в стержне:

= 2Txetк = Vgr 1

которая также совпадает с групповой скоростью волны. Нетруд™ но показать, что и электромагнитные волны в плазме переносят энергию с групповой скоростью (см. задачу 3.7).

Таким образом, среднее значение потока энергии, переноси™ мого волной, независимо от физической природы равно произведению средней плотности энергии на групповую скорость S = =VgYw и, следовательно, плотность можно трактовать как скорость переноса энергии ). Исходя из него, уравнение переноса средней энергии можно представить в виде

需 +=0.(3.25)

Отсюда следует, что энергия ограниченного волнового паке™ та (энергия, заключенная между «групповыми траекториями» х — Ug『力 t const) остается постоянной.

Поверхностные волны на глубокой воде. Вычислим усредненные по времени выражения плотности энергии w и ее потока Sx для гармонической поверхностной волны. Для этого подставим

V = и()е用z exp {“з力一kx)}^

£ = &小 exp {"3方-后方)},

《=& exp {i(ujt — kx)}

в (3.14), (3.16) и (3.17) и проинтегрируем их по координате г. Все средние значения от линейных величин исчезнут, а от кв а™ дратичных останутся слагаемые, пропорциональные квадратам амплитуд волны. При вычислении выражения для усредненной погонной плотности энергии, сохраняющего все квадратичные слагаемые (амплитуда волны предполагается маленькой) мы мо жем изменить верхний предел для v2 в интеграле (3.16) с на нуль. Так как величина《мала по сравнению с характерным масштабом волны /с] то мы получим погрешность третьего по™ рядка малости. Однако это некорректно для второго слагаемого

в (3.14), содержащего линейный член £* Его среднее значение в постоянных пределах интегрирования равно нулю, но при пере™ менном верхнем пределе интегрирования £ =《(方，力)появляется квадратичное слагаемоеи при kV()《1 имеем

/ f(厶 г) dz = ^e仅 exp {5(3力一后方)} = ^(1 + RQ exp {5(3力一后方)}" — ОО

В результате получаем

而I PgKl 一加。『4k 44\ к

Здесь мы воспользовались формулами из п. 1.1.1 для вьр числения средних значений от кв а др атичных величин, и также соотношениями между переменными в бегущей короткой грав и™ тационной волне, а именно

П1 =叽 I и k;o 12 = 21 12 = 2G2 Ko

Вычисление среднего значения потока энергии более про™ стое. Последнее слагаемое в (3.17) имеет третий порядок по амплитуде волны, поэтому после подстановки в него выражения 00 = —rvXQuj/k^ следующего из линеаризованного уравнения Эй™ лера, мы имеем

где %『=з/2/c = (1/2)(g//с)】" —групповая скорость поверх™ ностной гравитационной волны.

Квазигармоническая волна в диэлектрике

Нестационарный процесс в веществе всегда в той или иной степени термодинамически необратим и, следовательно, в нем неизбежно присутствуют потери. Такая ситуация имеет место, например, для электромагнитных волн в диэлектрике (п. 2.1.3) и для волн в газе с релаксацией (п. 2.2.2).

Рассмотрим электромагнитную волну, распространяющуюся в диэлектрической среде с комплексными проницаемостями £ и д. В среде, так же как и в вакууме, плотность потока энергии определяется вектором Пойнтинга S = Е х Н, а перенос энергии электромагнитного поля плоской волной описывается уравнени™ ем (3.8)

鸣+碎+員eh) =0*

dt dt дх'

Первые два его слагаемых определяют одновременно и прираще™ ние энергии электромагнитного поля и ее диссипацию, связан™ ную с необратимыми процессами в среде. При взаимодействии поля с веществом часть энергии поля переходит в энергию дви™ жения частиц среды, но при этом часть механической энергии заряженных частиц не может быть возвращена полю (напри™ мер, из-за неупорядоченных столкновений) и в конечном итоге переходит в тепло.

Уравнение Пойнтинга (3.8) не содержит никаких указаний на то, каким образом выражение, стоящее в его левой части, де™ лится на энергию поля и диссипацию. Эту информацию можно получить, обращаясь к анализу материальных уравнений среды (см., например, п. 3.2.1).

Материальные уравнения. При изучении волновых процессов в средах, в которых одновременно присутствуют и дис™ Персия и диссипация, недостаточно рассматривать чисто гар™ моническую волну, так как благодаря строгой периодичности в ней не происходит никакого систематического накопления или убывания энергии. В этом случае важное значение приобретает анализ энергетических характеристик квазигармонических волн

Е = Eq(x,力)exp {5(зо力一Ro方)}, H = Hq(x,力)exp {z(o；ot — k()x)} (3.26) с медленно меняющимися в пространстве и времени комплекс™ ными амплитудами Eq(x, t) и Hq{x, t).

Как уже отмечалось в § 1.3, такие волны представляют собой суперпозицию гармонических волн и могут быть представлены в виде интегралов Фурье

ОО

e = / 凡(3)ехр {5(3力-R方)}dcu,

ОО

Н = / Fh(5 exp {z(wt — Rz)}d3,

где Fe и >я — фурье^спектры электрического и магнитного тюлей волны, заметно отличающиеся от нуля лишь в узком интвр- вале частот и волновых чисел, лежащими вблизи значений шд и ко (Дш <С wo, △R《Ro)“ Комплексная амплитуда электрического

поля связана с Фурье-спектром соотношением

шо + Аш

Eggt) */ 尸石(зо + J) вхр 何J力—(R —岛)方］} dJ, (3.27)

wo — Aw

где о/ = з — зо ——отстройка от средней частоты волнового па™ кета. Условие медленности изменения комплексной амплитуды означает, что характерные временные и пространственные мае™ штабы изменения огибающей много больше периода Т = 2тг/шо и длины А = 2тг//с()несущей электроманитной волны. Здесь и далее все преобразования для краткости будем проводить толь™ ко с электрическим полем, для магнитного поля все вычисления проводятся аналогично.

Связь между индукцией электрического поля в среде D и его напряженностью Е имеет вид

ОО

0(方/)= / 60^(^)^(^) ехР кх)} dw, (3.28) — ОО

где £(з) = £‘(з) + 〃£“(з)——комплексная диэлектрическая проницаемость среды. Производная по времени от (3.28) равна

ОО

穿= / 5з£()£(з)尸石(з) вхр {“з力一R方)} dcu*(3.29)

В силу спектральной узости волнового пакета в подынтеграль™ ном выражении можно положить

£(3о + а £(3о) +(3.30)

и после несложных преобразований получим

导 о 加0£(30)石0(方/) + ("exp {z(wot - kx)}.

(3.31) Таким образом, наличие дисперсии среды существенно изменяет связь между производными dD/dt и dE/dt в квазигармониче™ ской волне.

Уравнение переноса средней энергии. Вычислим средние по времени от выражений, входящих в уравнение Пойнтинга (3.8). Для этого воспользуемся правилом усреднения величин, записанных в комплексном виде (1.4). Так для слагаемого, свя™ занного с электрическим полем, имеем

磚= Re(E*).

Подставив сюда соотношения (3.26) и (3.31), получаем

磚=^(等)+ 旧。产，

где £‘ и £“ ——действительная и мнимая части электрической проницаемости на частоте wq. Аналогичным образом находится выражение для магнитного поля

Среднее значение плотности потока энергии равно

S=^EH = ^EqH^(3.32)

Подставив полученные выражения в (3.8), приходим к уравне™ нию переноса усредненной энергии в диспергирующей среде с поглощением:

— 謂+ H = W(з・зз)

Здесь w ——среднее значение плотности электромагнитной энергии в диспергирующей среде:

⑪=；卜0^(3£')|e0『+ 4О^(з")|Д)『］"(3-34)

В (3.33) появляется новое слагаемое, имеющее смысл средней мощности тепловых потерь электромагнитного поля:

Q = ^(8Q8ff\EQ\2+^(3.35)

Оно указывает, что диссипация энергии определяется мнимы™ ми частями комплексных проницаемостей. Диссипация энергии сопровождается переходом электромагнитной энергии в тепло,

поэтому Q > 0. Отсюда следует, что мнимые части £ и д всегда положительны:

> 0, // > 0"

Знаки вещественных частей комплексных проницаемостей (при з * 0) нв ограничены никакими физическими условиями, так что £‘ и д7 могут быть как положительными, так и отрицатель™ ными.

В равновесной среде средняя энергия волны всегда положи™ тельна и поэтому должны выполняться неравенства

否"У) > & 言(з〃')> °-(з・зб)

Однако в неравновесных (активных) средах вполне может ока™ заться, что неравенства (3.37) (одно или оба) изменят свой знак, и поэтому средняя энергия волны w будет отрицательной.

В следующем разделе будет рассмотрен один из примеров волн отрицательной энергии в гидродинамике.

Энергия волн в неравновесной среде

До сих пор мы говорили об энергии волн в равновесных сре™ дах, в которых нет внутренних источников энергии, так что воз™ буждение волны всегда требует внесения энергии извне. Суще™ ствует, однако, класс неравновесных сред, где волна освобожда™ ет энергию присутствующего в среде источника, который сам по себе волны не возбуждает. Таким источником может служить поток электронов в плазме или сдвиговое течение в гидроди™ намике. В радиотехнике ——это постоянное анодное напряжение на транзисторах, в лазерной оптике ——лампа накачки, нарута- ющая равновесное распределение молекул по уровням энергии, и т.д. При этом может случиться так, что возбуждение волны извне может привести не к добавлению энергии в систему, а, наоборот, к ее уменьшению из-за отбора энергии от источника. Если энергия системы «источник + волна» меньше, чем энергия источника без волны, то говорят, что в такой системе возбужда™ ется волна отрицательной энергии (ВОЭ).

Интересное свойство ВОЭ проявляется, когда в среде имеет™ ся небольшая диссипация (скажем, вязкость, или излучение из среды, или взаимодействие с волной положительной энергии).

Из уравнения баланса энергии (1.29) следует

卓=—2|『|,卓=—2|『|,(3.37)(3.37)

卓=—2|『|,

卓=—2|『|,

(3.37)

(3.37)

Рис. 3.1. Модель течения Кельвина^ Гельмгольца в двухслойной жидкости. Нижнаяя жидкость неподвижна, а верх™ няя движется с постоянной скоростью UРис. 3.1. Модель течения Кельвина^ Гельмгольца в двухслойной жидкости. Нижнаяя жидкость неподвижна, а верх™ няя движется с постоянной скоростью Uнеподвижна, а верхняя движетсянеподвижна, а верхняя движетсяU (модель Кельвина-U (модель Кельвина-（芻唠穿（芻唠穿(3.39)(3.39)

Рис. 3.1. Модель течения Кельвина^ Гельмгольца в двухслойной жидкости. Нижнаяя жидкость неподвижна, а верх™ няя движется с постоянной скоростью U

Рис. 3.1. Модель течения Кельвина^ Гельмгольца в двухслойной жидкости. Нижнаяя жидкость неподвижна, а верх™ няя движется с постоянной скоростью U

неподвижна, а верхняя движется

неподвижна, а верхняя движется

U (модель Кельвина-

U (модель Кельвина-

（芻唠穿

（芻唠穿

(3.39)

(3.39)

где PF士 一 средняя энергия волны, 8 — коэффициент потерь. Мы видим, что при PF+ > 0 энергия волны должна убывать со временем. В обычном случае это означает затухание поля, однако, если < 0, то уменьшение энергии означает рост модуля

а значит, увеличение ее амплитуды, т.е. волна с отрицательной

энергией усиливается! Таким образом, наличие положительных потерь (8〉0) приводит к неустойчивости волн отрицательной энергии, подобно тому, как наличие «отрицательных потерь» (8 < 0) приводит к неустойчивости волн с положительной энергией.

В качестве примера рассмотрим гравитационные волны на границе раздела двух несжимаемых жидкостей различных плотностей Р1 И Р2? из которых нижняя, более плотная (pi > pi),

вдоль границы раздела со скоростью Гельмгольца) (рис. 3.1).

Рассматриваемые волны удовлетворяют уравнениям Лапла

са для потенциалов скоростей. Если vi = Ux()+ ▽夕，V2 = ▽夕2)

где х()——единичный вектор вдоль оси ж, то

(3.38)(3.38)△夕1 = 0, 0 < г < +оо,

(3.38)

(3.38)

△夕2 = 0, —сю < г < 0,

и выполняются условия непрерывности вертикальных смещений

и условия непрерывности давлений на поверхности

内(牛+ 0^ +式)=他(%+冥).(3*40)

Решение системы уравнений (3.38)-(3.40) ищем в виде неоднородной бегущей волны

《(力= (о exp {i(ut — кх)},(3

3I,2(力)爲力)=(gФ1,2(^) exp {5(3力一кх)},

у которой з и к удовлетворяют дисперсионному уравнению

ш2 + $(з — Ukf — (1 — s)gk = 0,(3.42)

где з = pi/p2- Уравнение (3.43) имеет две дисперсионных ветви

也2 = 士Uk ± 占，(1 —3)2g№ —зО/^ (3.43)

При з = 0 оно превращается в дисперсионное уравнение (2.53) для гравитационных волн на поверхности глубокой воды. В общем случае (з # 0)U # °) дисперсионные кривые Reo; и 1шш показаны на рис. 3.2 а, б.

Из рисунка видно, что достаточно короткие волны при (к〉后 =g(l — s2)/sll2) экспоненциально нарастают. Это известная неустойчивость тангенциального разрыва (неустойчивость Кельвина^Гельмгольца), существующая и в однородной

\Im ®2

Рис. 3.2. Дисперсионные кривые для поверхностных волн: реальная (а) и мнимая (0 части частоты. Область волн с отрицательной энергией заштрихована. Сплошные кривые соответствуют идеальным жидкостям, штриховые —вязкой нижней жидкости

среде, когда s = 1. Вместе с тем, более длинные волны устойчивы, и в области к < к? существуют две дисперсионных ветви (рис. 3.2 а). Энергии волн, отвечающих этим дисперсионным

ветвям, вычисляются по аналогии с энергией поверхностных волн (см. п. 3.3): плотности кинетической и потенциальной энергий для жидкостей сверху и снизу от границы раздела интегрируются по вертикальной координате г и усредняются по времени. Средняя плотность кинетической энергии системы равна

осС

Т = [(Uxo + Bi)2 一0]血 +仔 / (▽3 2产也(3.44)

Подставляя сюда выражение для потенциалов 夕 1,2 из (3.41) и удерживая лишь слагаемые второго порядка малости, получим

个=令[32(1 + 5)—st/2(3.45)

Отметим важную роль второго слагаемого в правой части (3.45). Благодаря ему кинетическая энергия может стать отрицательной. Средняя потенциальная энергия вычисляется аналогичным образом:

诉=3 — Pi)gC2 =勺(1 —(3.46)

Она всегда положительна и не зависит от скорости потока. Полная средняя энергия рассматриваемой гравитационной волны равна

毎=个 + 存=^[(1 + 3)32 +(1 — w)gk — sU2k2^ ^.(3*47)

Используя дисперсионное соотношение (3.43), ее можно преобразовать к виду

W,2 = ±^1,2 ki —。21匕^)(3-48)

где знаки 士 и индексы 1,2 относятся, соответственно, к верхней и нижней ветвям дисперсионной кривой. Из рис. 3.2 а видно, что для участка нижней ветви между точками 卜工 и &2)где о；2 > О, энергия волны отрицательна.

Пусть нижняя неподвижная жидкость обладает малой вязкостью с коэффициентом 〃. При этом в правой части (3.45) появится член —АЕзЗ Соответствующие дисперсионные кривые на рис. 3.2 изображены штриховыми линиями. В области правее точки &2 эта вязкость лишь ослабляет неустойчивость Кельвина-Гельмгольца; в частности, при k f оо мнимая часть Im 32 стремится к конечному значению sU2/2у. Зато в области ki < к < к2 теперь тоже возникает неустойчивость (Imо；2〉0).

Инкремент неустойчивости в точках, не слишком близких к 后) описывается простой формулой

Im 32 4Im 32 44沙左2g21 十 5 ®1 — ®24沙左2g21 十 5 ®1 — ®2

Im 32 4

Im 32 4

4沙左2g2

1 十 5 ®1 — ®2

4沙左2g2

1 十 5 ®1 — ®2

Важно отметить, что в движущейтся системе отсчета, где всей жидкости придается дополнительная скорость У, частота з заменяется на з — kVтак что величина и, возможно, знак энергии W2 меняются, т.е. энергия волны не инвариантна по отношению к системе отсчета. Вместе с тем сам факт устойчивости или неустойчивости и величина инкремента не зависят от системы отсчета: вместе со знаком 府2 меняется и знак эффективной вязкости. В действительности понятие ВОЭ полезно в том отношении, что оно позволяет предсказать появление неустойчивости при введении в идеальную систему «истинных» положительных потерь (к ним всегда относится вязкость неподвижной в данной системе отсчета жидкости). Круг физических систем, для которых рассмотрены ВОЭ и связанные с ними вопросы, в настоящее время весьма широк. К обсуждению некоторых общих свойств ВОЭ мы вернемся в следующей главе.

Импульс электромагнитной волны

Если волна переносит энергию, то естественно возникает вопрос: не переносит ли она и импульс и какое воздействие она оказывает на тела, помещенные в область волнового поля? Постараемся дать ответ на этот вопрос на примере электромагнитных волн, распространяющихся в вакууме и в среде.

Электромагнитная волна в вакууме

Для электромагнитных волн в вакууме из уравнений Максвелла (2.2) после их умножения соответственно на 石 и JT и сложения получается закон сохранения

済+鳥严(3.49)

Величина, входящая под знак производной по времени, имеет размерность плотности импульса и с точностью до константы

2 совпадает с ^-компонентой вектора Пойнтинга S:

g = l[EH] = ^(3.50)

Уравнение (3.49) интерпретируется как закон сохранения импульса электромагнитного поля (или, кратко, электромагнитного импульса), а величина, входящая под знак производной по координате, представляет собой компоненту тензора плотности потока импульса:

Заметим, что в данном частном случае поток электромагнитного импульса П совпадает с плотностью энергии w электромагнитной волны.

Проинтегрируем (3.49) по объему, представляющему собой параллелепипед, ограниченный неподвижными параллельными плоскостями х\ и 力2 с единичной площадью (рис 3.3). Так как электромагнитное поле не зависит от координат у и г, то скорость изменения электромагнитного импульса в выделенном объеме равна разности его потоков через сечения Ж1 и 力2：

筹=口(力1)一Ц(2)) (3-51)

где G = J g (ж) dx ——электромагнитный импульс в конечном объеме V. Если разность потоков импульса через границы Xi и 力2 равна нулю, то полный электромагнитный импульс в объеме сохраняется, а его величина определяется начальными данными.

Давление света

Рассмотрим ситуацию, когда плоская электромагнитная волна падает на полностью или частично отражающую стенку. Объем У, по которому проводится интегрирование, выберем как показано на рис. 3.3.

В этом случае П(Ж1) # 口(力2)и, следовательно, электромагнитный импульс G не сохраняется. Что же происходит в этом случае? Оказывается, что в данной ситуации электромагнитная волна обменивается со стенкой импульсом и воздействует на нее с некоторой силой f. Возникновение этой силы связано с воздействием электромагнитного поля на вещество. Действительно, электрическое поле волны Е заставляет двигаться свободные электроны в металлической стенке и наводит в ней поверхностный ток с плотностью j = аЕ (где а — электропроводность металла). Магнитное же поле волны Н действует на этот ток с силой f = [jH]/& которая направлена по оси х в сторону рас-

пространения волны. Величина этой силы равна разности плотности потоков электромагнитного импульса через сечения х\ и 力2 - Ев среднее значение по времени р, рассчитанное на единицу площади, называют световым давлением:

p=口（川一口S）=而p=口（川一口S）=而(3*52)(3*52)

p=口（川一口S）=而

p=口（川一口S）=而

(3*52)

(3*52)

Это соотношение у стан авл ив ает связь между величиной светового давления и импульсом электромагнитной волны.

Рис. 3.3. К вычислению давления электромагнитной волны на отражающую стенкуРис. 3.3. К вычислению давления электромагнитной волны на отражающую стенку

Рис. 3.3. К вычислению давления электромагнитной волны на отражающую стенку

Рис. 3.3. К вычислению давления электромагнитной волны на отражающую стенку

Пусть на стенку падает гармоническая волна Ер = =Eq exp {i(cjt — кх)} (см. рис. 3.3), а отраженная волна рав~ на Ег = — а/Й^о exp {i(cjt + кх)}^ где R = \Ер\2/\ЕГ\2 —коэффициент отражения. Тогда, учитывая, что в бегущей волне напряженности электрического и магнитного полей связаны соотношением Н = [n Е] (где л = к/肉一единичный вектор), получаем

(1 + Я2) * = (1 + Я2)屯 (3.53)

Отсюда видно, что при полном отражении волны от идеальной границы (R = 1) световое давление на нее вдвое больше, чем при полном поглощении волны (Я = 0). Эта величина является чрезвычайно малой (например, при Eq а 103 В/м,夕^ 10^5 Па), тем не менее она была экспериментально измерена П.Н. Лебедевым уже в 1899 г.

Электромагнитная волна в среде

В п. 3.1.1 отмечалось, что законы сохранения (3.1) и (3.2) не могут однозначно определять входящие в них плотности и потоки энергии и импульса, поскольку имеется возможность их калибровки. Здесь будет рассмотрен один из примеров такой неоднозначности при определении импульса электромагнитной волны в среде.

Для электромагнитной волны, распространяющейся с среде, возможны два различных определения импульса. Одно из них принадлежит А. Абрагаму и совпадает с определением импульса электромагнитного поля в вакууме (3.50). Второе определение было предложено Г. Минковским

gM = QB]* (3.54)

На первый взгляд, оно больше соответствует духу макроскопической электродинамики, в которой электромагнитное поле в среде характеризуется переменными D и В. Импульс Минковского удовлетворяет закону сохранения, который для плоской волны имеет вид

^(。8)+(0嚣影)=0. (3.55)

Как и в случае с энергией, для приведения второй группы слагаемых к дивергентному виду необходимо привлекать конкретный вид материальных уравнений среды.

Вычислим разность производных от импульсов, определенных по Минковскому и Абрагаму:

=^(08)一 (3.56) dt dt dt dt '

В вакууме она, естественно, равна нулю, но в диэлектрике с постоянными проницаемостями D = eqeE^ В = додН она отлична от нуля:

Г 京 ЕНЦ (3*57)

Эта разность имеет размерность плотности силы и добавляется к силе Лоренца, действующей на частицы среды, помещенной в электрическое поле (см. п. 2.1.2). Ее называют силой Абрагама. Заметим, что сила Абрагама возникает только в динамических полях и отсутствует в статическом электромагнитном поле.

Таким образом, если считать, что в переменных электромагнитных полях на среду кроме силы Лоренца действует еще и сила Абрагама, то использование выражения для импульса в форме Абрагама (3.50) или форме Минковского (3.54) не приводит

к противоречиям. Следует помнить, что импульс распространяющейся в среде электромагнитной волны складывается из двух составляющих: импульса собственно электромагнитного поля и импульса частиц среды, взаимодействующих с полем. Выбор того или иного представления для электромагнитного импульса в среде связан в определенной мере с удобством вычислений и физической интерпретации результатов.

Непротиворечивость этих двух определений импульса видна на примере электромагнитной волны в плазме. Для импульса, представленного в форме Минковского, уравнение переноса имеет вид (3.55). Учитывая, что в плазме О = £qE + Р и 8 = д()Н, первое слагаемое в (3.55) может быть записано как

В)=読(ЕН) + 呜(РН), (3.58)

а вторая группа слагаемых приводится к виду

式唠 + 哨(3.59) Подставим (3.58) и (3.59) в (3.55). Учитывая, что из первого уравнения Максвелла (2.1) следует дЕ/дх = ^^dH/dt^ получаем другую форму записи уравнения переноса электромагнитного импульса

而(2 )h" (3.60)

Оно отличается от уравнения переноса импульса электромагнитной волны в вакууме (3.49) наличием в правой части силы, описывающей взаимодействие магнитного поля волны с наведенными в плазме токами. Это и есть так называемая сила Абра- гама.

Импульс акустической волны

Акустическая волна представляет собой форму коллективного движения частиц среды, и поэтому под импульсом волны подразумевают количество движения, которым обладают частицы, участвующие в волновом движении. Понятие импульса j акустической волны вводится для волнового пакета, занимающего конечную область пространства, а его плотность совпадает с плотностью потока массы:

j = pv = pov + /v,j = pv = pov + /v,(3.61)(3.61)

j = pv = pov + /v,

j = pv = pov + /v,

(3.61)

(3.61)

где V — колебательная скорость частиц в волне, ро — плотность невозмущенной среды, pf — изменение плотности, обусловленное наличием акустической волны. В идеальной жидкости поле скоростей в линейной акустической волне можно считать потенциальным: V = ▽夕(夕一потенциал), а изменение плотности pf связано с изменением давления pf соотношением /У = "/3 поэтому импульс можно представить в виде

j = 〃о▽夕 + S/目 (3-62)

где S = p'v — вектор плотности потока энергии в акустической волне (вектор Умова^Пойнтинга). Заметим, что второе слагаемое совпадает по форме с определением импульса электромагнитной волны, по аналогии с которым мы будем называть его волновым импульсом акустического поля:

g = S/u^ (3-63)

Подчеркнем, что введенный здесь волновой импульс акустического поля g не тождественен полному импульсу среды j и представляет собой лишь его кв а др атичную часть, связанную с волновыми движениями в среде.

Полный импульс волны, распространяющейся в неподвижной среде, равен интегралу по всему занимаемому ею объему F, но интеграл от 夕 преобразуется в интеграл по поверхности и обращается в нуль, так как вне занимаемого волновым пакетом объема 夕=0* Таким образом, полный импульс волнового пакета в данном случае равен интегралу от волнового импульса

J = /jd『=/ = % (3*64)

Плотность потока импульса в гидродинамике характеризуется тензором II泳=(p§ik + pViVk)^ который для одномерных акустических волн равен

Пжж = П = ®2 +/. (3.65)

Изменение полного импульса среды J (3.64) в фиксированном объеме V определяется потоком импульса Щд； через его поверхность. В одномерных задачах интегрирование по объему сводится к интегрированию по координате ж (см. рис. 3.3) и поэтому

筹=伉皿2 —[。皿2 +У]«1- (3.66)

Это уравнение представляет собой обобщение второго закона Ньютона на конечный объем сплошной среды, заключенный

между неподвижными сечениями х = Xi и х = Х2- Следовательно, правая часть (3.66) есть не что иное как сила, действующая на этот объем. Среднее по времени от этой величины называют радиационным давлением:

Fp = [(〃0庐 + рГ)]х=Х2 — [(〃0庐 + pr)]x=xi • (3.67)

Из этого определения вытекает, что радиационное давление акустической волны отличается от постоянной составляющей гидростатического давления р на величину п 〃о)равную удвоенной кинетической энергии.

Исторические замечания и комментарии

Энергия волны. В механике закону сохранения энергии предшествовала идея сохранения «живои силы» mv , введенной Лейбницем в 90-х годах XVII в. в противовес «мертвой силе» mn〉для которой закон сохранения был установлен ранее Декартом. Закон сохранения «живых сил» использовал Д. Бернулли (1738 г.) при выводе известного уравнения гидродинамики, носящего его имя. Он же одним из первых указал на возможность перехода механической энергии в тепловую при различных ме~ ханических процессах.

Термин «энергия» ввел английский физик В.Дж. Рэнкин в 1855 г. Он же попытался дать общее определение энергии как состояния субстанции, способной производить работу, и разделил энергию на «актуальную» и «потенциальную». Позднее В. Томсон (лорд Кельвин) вместо «актуальной» ввел термин «кинетическая энергия». В середине XIX в. закон сохранения и превращения энергии был признан как общий закон природы, охватывающий все физические явления.

Следующим важным шагом в развитии закона сохранения энергии было введение понятия энергии электромагнитного поля Дж. Максвеллом в 1865 г. и представления о движении энергии в материальных средах Н.А. Умовым [3.21], который в своей докторской диссертации «Уравнение движения энергии в телах» (1874 г.) вывел общее уравнение переноса энергии (3.1) и ввел понятие вектора потока энергии S, который теперь называют вектором Умова. Он провел аналогию между потоком энергии и потоком сжимаемой жидкости, впервые дал определение луча как линии, вдоль которой движется энергия, и ввел понятие

скорости движения энергии ven = S/w. К сожалению, эта работа не была понята ведущими русскими физиками того времени и подверглась острой критике, в частности, со стороны А.Г. Сто™ летова. Впоследствии Н. Умов не возвращался к этой проблеме. Независимо от Умова Дж. Пойнтинг в 1884 г. и О. Хевисайд в 1885 г. развили теорию переноса энергии электромагнитно™ го поля и получили выражение для вектора плотности потока энергии S = [Е Н], названного позднее вектором Пойнтинга. Выражение для усредненной энергии электромагнитного поля в диспергирующей среде (3.34) было впервые получено Л. бриллюэном в 1921 г.

Волны отрицательной энергии. Понятие о волнах с отрицательной энергией (ВОЭ) впервые появилось в сверхвысокочастотной электронике. Впервые на это интересное обстоятельство обратил внимание Л. Чу в 1951 г. Он показал, что с медленной волной пространственного заряда в электронном пучке свя~ зан поток «отрицательной кинетической мощности». В 1960 г. П. Стэррок [3.26], не конкретизируя природы волн, показал, что в среде, движущейся со скоростью У, энергия быстрой (бегущей по потоку, Wf < 0) и медленной (бегущей против потока, Ws < 0) волн, измеряемая неподвижным наблюдателем, выра~ жается соотношениями

叼=Жо(1 + IZ/%h))Ж = Жо(1 — У/%",

где “ph ——фазовая скорость волны в системе координат, относительно которой среда неподвижна, Wq ——энергия волны в этой же системе координат. Из (3.79) следует, что при Uph > У энер~ гия медленной волны отрицательна, т.е. Ж5 < 0.

Представление о волнах отрицательной энергии в аисиврги- рующих средах и механизмах их неустойчивости с точки зрения общей физики и физики плазмы, было дано в работе Б.Б. К а™ домцева и др. в 1964 г [3.8]. Роль ВОЭ в возникновении плаз™ менных неустойчивостей и их связь с аномальным эффектом Доплера была подробно рассмотрена М.В. Незлиным в 1974 г. [ЗЛ6].

Что касается гидродинамики, то среди физиков одно время существовало даже мнение о невозможности ВОЭ в механике жидкостей. Однако первая работа, в которой рассматривались ВОЭ в гидродинамике, правда, без введения этого термина, была опубликована Т. Бенджаменом [3.23] еще в 1963 г. при клас™ сификации неустойчивостей в стратифицированных сдвиговых

потоках. В дальнейшем это направление развивалось в работах Л. Островского и др. [3.17].

Импульс. Эволюция, которую претерпело понятие импульса (количества движения), сходна с эволюцией понятия энергии. Понятие количества движения вначале применялось только к механическим движениям и определялось как произведение мае™ сы на скорость («мертвая сила» Декарта). С течением времени понятие количества движения было обобщено и стало охватывать не только механическую, но и другие формы движения. Это позволило сформулировать закон сохранения импульса, учитьь вающий возможность его превращения из одной формы в ару- гую (например, из электромагнитной в механическую).

Импульс электромагнитного поля. Впервые мысль о существовании импульса электромагнитного поля высказал Дж.Дж. Томсон (1893 г.), исходя из построенной им мвхани- ческой модели электромагнитного поля. Он указал, что одно™ временно с переносом энергии в электромагнитном поле должен иметь место и перенос импульса g, который связан с вектором Пойнтинга соотношением g = S/c2. В 1900 г. А. Пуанкаре пока™ зал, что в произвольной замкнутой системе, содержащей элек™ троны и поле, через которое они взаимодействуют, рввультиру- ющая всех электромагнитных сил, действующих на электроны, отлична от нуля. Это противоречило третьему закону Ньютона. Чтобы избежать противоречия, Пуанкаре, так же как и Томсон, предложил приписать электромагнитному полю импульс, равный g = S/c2. В итоге он пришел к выводу, что для замкну™ той системы заряженных частиц должен сохраняться полный импульс системы, равный сумме механического и электромаг™ нитного импульсов. Эти идеи Пуанкаре получили дальнейшее развитие в работах А. А брагам а, Г. Лоренца и Г. Минковского.

Давление света. В тесной связи с вопросом об электромаг™ нитном импульсе находится вопрос о давлении световой волны. Так как световая волна не только несет энергию, но и обладает количеством движения (импульсом), то падая на препятствие, она передает ему некоторый импульс, создавая тем самым дав™ ление на препятствие. Существование светового давления следу™ ет из корпускулярной теории света как результат бомбардиров™ ки освещенного тела «световыми частицами» (фотонами). Из волновых представлений не так просто и наглядно можно было придти к выводу о существовании светового давления. Так один

из основателей волновой теории света О. Френель в 1825 г. по™ тратил много труда на безуспешные попытки обнаружить сввто- вое давление на опыте. В 1873 г. Дж. Максвелл, развивая элек™ тромагнитную теорию света, теоретически обосновал необходи™ мость существования светового давления. В 1879 г. А. Барто™ ли, развивая основы термодинамики излучения, независимо от Максвелла также пришел к необходимости существования све™ тового давления, так как отсутствие этого давления нарушало бы второе начало термодинамики. Однако доводы Максвелла и Бартолли, несмотря на их общность, не являлись для их совре™ менников убедительными. Более того, вызывала сомнение сама правомерность применения термодинамического подхода к тако™ му объекту, как излучение. Строгий вывод выражения для силы светового давления, основанный на максвелловской электроди™ намике, был дан лишь в 1901 г. российским физиком Д.А. Гольд™ гаммером уже после знаменитых экспериментов П.Н. Лебедева в 1899-1901 гг. по прямому измерению давления света на твер™ дые тела.

Импульс волн в механике сплошной среды. Волновой импульс и связанное с ним радиационное давление относятся к общефизическим характеристикам волновых процессов и сира- ведливы для волн любой природы. Однако, если в оптике и элвк- тродинамике они достаточно подробно исследованы как творв- тически, так и экспериментально и являются общепризнанными волновыми категориями, то вопрос о физическом смысле волно™ вого импульса в сплошной среде до сих пор дискутируется на страницах научных изданий [3.3, 3.5, 3.15, 3.18]. Это связано с рядом причин.

Во-первых, в отличие от электромагнитного поля, в сплош™ ной среде уже существует понятие импульса j = pv, как вств- ственное обобщение ньютоновского импульса материальных на- стиц, и поэтому введение еще одного понятия ——волнового импульса ——на первый взгляд представляется излишним.

Во-вторых, уравнения механики сплошной среды нелиней™ ны, и поэтому импульс волны (впрочем, так же как и энергия) должен, строго говоря, определяться в рамках нелинейной зада™ чи. Действительно, величины волнового импульса энергии и их потоков квадратичны по амплитуде волны, и при их вычисле™ нии в рамках линеаризованной задачи следует соблюдать осмо трительность, так как при учете нелинейности такой же вклад могут давать величины следующего порядка. В акустике впвр-

вые на это обратили внимание, по^видимому, Б.П. Константин нов с М.П. Бронштейном в 1936 г. и Н.Н. Андреев в 1940 г. [3.1, 3.2]. В гидродинамике это связано с учетом индуцирован™ ных волной средних течений, также имеющих второй порядок малости [3.2, 3.20]. При этом здесь так же, как и в электродина™ мике сплошных сред, возникает неоднозначность в разделении полей физических переменных на поле волны и движение среды. Характерным примером может служить многолетняя дискуссия по поводу определения импульса электромагнитного поля в среде по Абрагаму или Минковскому и силы А брагам а [3.3, 3.18, 3.23].

B-трвтьих)в механике сплошной среды существует два спо™ соба описания движения среды: в эйлеровых переменных, свя™ занных с системой отсчета наблюдателя, и в лагранжевых пере™ менных, жестко связанных с частицами среды. Для правильной интерпретации теоретических результатов и их сопоставления с экспериментальными данными становится существенным во™ прос о том, в каких переменных определяются кинематические и динамические характеристики движения среды и как они из™ меряются в эксперименте. В линейном приближении эйлерово и лагранжево описания движения среды неразличимы, и их отличия появляются лишь в приближении второго порядка. Но именно такой порядок имеют интересующие нас величины вол™ нового импульса и радиационного давления, и поэтому при их вычислении необходимо учитывать различия в эйлеровом и лагранжевом описаниях волнового процесса.

Импульс волны в сплошной среде должен в общем случае определяться в рамках нелинейной задачи с учетом изменения средних значений физических полей во втором приближении. Однако обычно поступают иначе: решают линеаризованную за™ дачу и определяют плотность волнового импульса g вместе с соответствующим ему законом сохранения для мгновенных или средних по времени значений. При этом получаемое выражение для g может не совпадать с механическим импульсом среды pv. Для того, чтобы избежать путаницы в использовании классинв- ского понятия импульса pv, справедливого как для дискретных частиц, так и для сплошной среды, и волнового импульса g, характеризующего лишь коллективную (волновую) форму дви™ жения сплошной среды, последний называется «псевдоимпуль- сом^ или «квазиимпульсом^ по аналогии с физикой твердого тела и физикой плазмы. Более точные расчеты, учитывающие нелинейные факторы [3.6, 3.20], показывают, что в ряде случаев, например, если среда в начальном состоянии покоилась, волн。-

вой импульс g можно рассчитывать в рамках линейной теории, игнорируя эффекты второго приближения.

Энергия поверхностных волн. В этой главе мы лишь кратко коснулись вывода уравнения переноса энергии гравитационными волнами на поверхности глубокой воды (п. 3.2.2), который был необходим для рассмотрения волн отрицательной энергии в § 3.6. По этим же причинами мы совершенно не затрагивали вопрос об импульсе поверхностных волн. Круг этих проблем весьма обстоятельно изложен в книге О. Филлипса [2.21] и двухтомной монографии по волнам в океане П. Ле Блона и Л. Майсека [3.13], поэтому интересующихся деталями мы отсьр лаем к указанным работам. Там же приведены достаточно подробные библиографические и исторические сведения о вкладе в эту область теории волн таких ученых, как Т. Леви-Чивита, М. Лонге~Хиггинс, Р. Стюарт, Ф. Брезертон, Дж. Уизем и дру~ гих.

Задачи и упражнения

Выведите уравнение переноса энергии электромагнитными волнами в диэлектрике с постоянными значениями относи™ тельных проницаемостей £ и д.

Выведите уравнение переноса энергии изгибными волнами в стержне, описываемыми уравнениями Рэлея (2.66). Най™ дите средние значения плотности энергии w и ее потока S для гармонической волны и покажите, что скорость ив- реноса средней энергии совпадает с групповой скоростью изгибных волн (2.69).

В плоской гармонической волне амплитуда звукового давления равна 夕о = 2 " 10^3 дин/см = 2 • 10^2 Па. Вычислите t

амплитуду скорости 少丁 смещение частиц £ = J vt, а так- 0_

же средние значения плотности энергии w и ее потока S (интенсивность звуковой волны) в воздухе на частоте / = =®/27r = 1 кГц* При вычислениях принять, что для воздуха ро = 1,29 кг/м3, cs = 331 м/с.

Ответ, vq = 4)5-107 м/с)£ = 7-Ю^11 м, w = 13-10^3 Дж/м, 5=0,45 Вт/м2.

Амплитуда давления в звуковой волне при громком звуке равна 夕 о = 100 дин /см2. Найдите поток энергии, попада™ ющий за 1 с. в ухо человека, расположенное перпендику™ лярно направлению распространения волны. Площадь уха считать равной 歹=4 см2.

Ответ. SF = 4, 6 • 105 Вт.

Интенсивность звука в воде равна S = 0)1 Вт/м2. Вынио лите объемную плотность энергии w, давление 夕о и смв- щение частиц £ в плоской волне на частоте / = 10 кГц. При вычислениях принять, что для воды ро = Ю3 кг/м3, cs = 1500 м/с.

Ответ, w = 6, 5-10^5 Дж/м3,夕о = 550 Па, £ = 5)8-10^9 м.

Покажите, что среднее значение плотности энергии элвк- тромагнитной волны в плазме, определенное по формуле (3.9), совпадает с выражением (3.40).

Указания. 1. При вычислении w в (3.9) достаточно под™ ставить выражение для гармонических полей Е^ Н 〜 〜ехр {i(a)t — kx)} и произвести усреднение по пврио ду. 2. Электрическая проницаемость бесстолкновительной плазмы равна е(ш)=廿/建卜=1 —(叫/幻产 и, следователь™ но, d(e £)/血=1 + Wp/ш2 = 2 — £(5*

Покажите, что электромагнитная волна в плазме переносит энергию с групповой скоростью, т.е. S = vgrw.

Покажите, что для электромагнитной волны в плазме среднее значение силы А брагам а для квазигармонической волны /А = 〃о拼(РН) совпадает с выражением (3.57).

Указание. При вычислении производной от поляризации dp/dt в квазигармонической волне воспользуйтесь соотношением D = Е + 47rp и формулой (3.32).

Вычислите среднее значение силы А брагам а (3.57) для электромагнитной волны в плазме.

Указание. Воспользуйтесь следующими выражениями для магнитной и электрической проницаемостей в плазме: 2(3)= 1 一(⑴力/))Д = 1.

Выразите плотность энергии акустической волны в газе

и ее поток через потенциал поля скоростей v = ▽夕“

Найдите среднюю силу светового давления на полностью поглощающее зачерненное крылышко при нормальном падении света (опыт П.Н. Лебедева). Напряженность элвк- трического поля в падающей гармонической волне Eq = =22 • 103 в/м, а диаметр крылышка равен 5 мм.

Ответ, g = 5, 3 • 103 Вт/м2, И = g/с = 1)810一行 Па, / = =口歹=3)5 " 10Т° н.

Запишите уравнение переноса импульса электромагнит™ ной волной в плазме через вектор-потенциал элвктринв- ского ПОЛЯ.

Рассчитайте давление, оказываемое плоской акустической волной в воздухе, на полностью отражающую поверхность, перпендикулярную падающей волне. Частота волны / = =ш/2тг = 1 кГц, амплитуда смещений £ = 10一行 см. Пара™ метры среды такие же, как в задаче 3.3.

Ответ. П = 0, 55 Па.

ГЛАВА 4

ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ В ТЕОРИИ ВОЛН

Принцип наименьшего действия обладает тем преимуществом, что он в одном уравнении дает соотношение между величинами, имеющими непосредственное значение не только для механики, но и для электроди™ намики и термодинамики, . .. эти величины — пространство, время и потенциал.

Макс Планк

Вариационные принципы содержат информацию о структур ре динамических уравнений системы. Основанный на них мате™ матический формализм Лагранжа^Гамильтона может считать™ ся фундаментом классической механики, и не только механики. Достоинством такого подхода является его универсальность в отношении вывода уравнений движения и законов сохранения для достаточно широкого класса динамических систем. Более того, вариационные методы дают представление об общих свой™ ствах системы без решения соответствующих уравнений.

Уравнения движения

Вариационные принципы широко применяются в теории по™ ля и механике твердого деформируемого тела, в частности, при описании волновых процессов. Кроме выяснения общих свойств уравнений движения, вариационные формализмы Лагранжа и Гамильтона лежат в основе ряда приближенных методов описания волн, в том числе модулированных.

Уравнения в форме Лагранжа

Уравнения движения распределенных (континуальных) систем могут быть получены из вариационного принципа Гамильтона— Остроградского, согласно которому вдоль истинного движения функционал S = J J Ldxdt (его часто называют интегралом действия) принимает стационарное значение, т.е. его первая в а™ риация должна быть равна нулю:

8S = b/ J L(u3^^,x^ dxdt = 0,(4.1)

где L(uj^ duj/dt^ duj/dx^ x, t) —— плотность функции Лагранжа, зависящая в общем случае от совокупности N полевых переменных Uj(x^ 力))j = 1)2)...)N)их частных производных по врвмв— ни и координате, а также от времени и координаты. Интеграл в (4.1) варьируется по явно входящим в лагранжиан полевым переменным 口力 Uj^^ 口么囂：

as = / / (器М帯^小也黃=0*

Принимая во внимание, что оператор вариации и частные производные перестановочны, а также учитывая тождества

условие стационарности функционала можно представить в виде

io囂оio囂оj dx dt +j dx dt +a dL — д dL

io囂о

io囂о

j dx dt +

j dx dt +

dt dujt 。方 ди3х

Здесь второй интеграл по теореме Гаусса-Остроградского сво™ дится к интегралу по замкнутому контуру вдоль границ области

4 Л.А. Островский, А.И. Потапов

варьирования и обращается в нуль ), а из первого интеграла вытекает система вариационных уравнений:

(4*2)(4*2)

(4*2)

(4*2)

Они известны как уравнения Эйлера-Остроградского и описьр вают движение рассматриваемой распределенной системы.

Уравнения в форме Гамильтона

dLdLИз условия стационарности интеграла действия (4.1) можно по™ лучить уравнения движения в форме Гамильтона, отличной от (4.2). Для этого вместо обобщенных скоростей Ujt перейдем к обобщенным импульсам

dL

dL

(4.3)

и вместо лагранжиана L введем в рассмотрение гамильтониан

Н =Н ==PjUjt — L(uj, Ujx^pj, ж,力).=PjUjt — L(uj, Ujx^pj, ж,力).(4.4)(4.4)

Н =

Н =

=PjUjt — L(uj, Ujx^pj, ж,力).

=PjUjt — L(uj, Ujx^pj, ж,力).

(4.4)

(4.4)

В результате интеграл действия (4.1) равен

£夕*九一Н(и^и]Х,р^х^)£夕*九一Н(и^и]Х,р^х^)dx d力dx d力

£夕*九一Н(и^и]Х,р^х^)

£夕*九一Н(и^и]Х,р^х^)

dx d力

dx d力

а его первая вариация будет равна

6S=" e（吁翁》打+E僻黑一需匈dxdt +

+ 〃+ 〃+ дх+ дхdx dt.dx dt.(4*5)(4*5)

+ 〃

+ 〃

+ дх

+ дх

dx dt.

dx dt.

(4*5)

(4*5)

Здесь второй интеграл по теореме Гауса-Остроградского сводится к контурному интегралу по границе области 力о W 力 W 力1： xg W 优 W Ж1. Но так как на границах переменные 口力 и pj не варьируются, то он обращается в нуль. Из условия 3S = 0 приходим к уравнениям движения в форме Гамильтона:

dt дрд ' dt〈 ди3дх du3 ①丿'

Это система 2N дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка по времени. Они представляют собой континуальный аналог канонических уравнений Гамильтона в аналитической механике. Если ввести вариационную (функциональную) производную

ШдНд дН

Г — я — я~л )(丄 / /

и Uj(JUj(/Ж (JUj x

то уравнения (4.6) запишутся в симметричном виде

出=也 亚=_也/40х

dt M' dt 万出‘

более похожем на канонические уравнения Гамильтона.

Системы более высокого порядка

В ряде случаев при выводе вариационных уравнений движе™ ния в лагранжиане необходимо учитывать производные высо™ кого порядка от переменных Uj(x, t). Появление высших произ™ водных вызвано нелокальной (как правило дифференциальной) связью между различными переменными системы, определяю™ щими ее динамическое состояние. С примерами таких связей мы уже встречались ранее во второй главе. Это соотношения между поляризацией и напряженностью электрического поля в диэлектрике, связь между потенциалом поля скоростей и верти™ кальным смещением частиц жидкости в поверхностных волнах на воде, между смещениями частиц, лежащими на центральной оси стержня и вне ее, и др. Пусть лагранжиан системы зависит от производных до второго порядка включительно:

LL (我/)LL (我/)ujt^ ujx^ ujxx^ujt^ ujx^ ujxx^ujxt) •ujxt) •(4.9)(4.9)

LL (我/)

LL (我/)

ujt^ ujx^ ujxx^

ujt^ ujx^ ujxx^

ujxt) •

ujxt) •

(4.9)

(4.9)

В этом случае вариационные уравнения движения имеют вид.

(4.Ю)(4.Ю)dL — a dL — a dL + a2 dL + > ЗЕ ди3 dt dujt дх дизх ^ж2 duJXX dx dt dujxt

(4.Ю)

(4.Ю)

Если в лагранжиан входит вторая производная по времени Uj^, то в уравнении (4.10) появляется четвертая производная по времени. В этом случае (4.10) эквивалентно системе двух свя™ занных уравнений второго порядка для Uj и, например, Vj = Ujt，

Уравнения переноса энергии и импульса

Из теории поля известно, что вариационные уравнения (4.2) обладают интегралами движения, которые следуют из инвари™ антности лагранжиана системы относительно преобразований пространства и времени. В теории волновых процессов наибольший интерес представляют законы сохранения, связанные с энергией и импульсом.

Из вариационных уравнений (4.2) легко могут быть хюлучв- ны интегралы движения для плотности энергии системы

(4.И)(4.И)

(4.И)

(4.И)

которая совпадает с гамильтонианом (4.4), и для плотности им™ пульса

'N

g(4」2)

Для вывода интеграла энергии умножим (4.2) на обобщенную скорость duj/dt и воспользуемся тождествами:

a dL dt du3ta dL dt du3ta dL дх dujta dL дх dujtdL — d'LdL — d'L(4.13)(4.13)

a dL dt du3t

a dL dt du3t

a dL дх dujt

a dL дх dujt

dL — d'L

dL — d'L

(4.13)

(4.13)

Здесь символом д!L/ dt обозначена частная производная от лагранжиана по явно входящему времени. Группируя в получен-

ном выражении соответствующие слагаемые, приведем его к форме уравнения переноса:

四 + 史М*(4.14)

dt дх dt

Уравнение (4.18) называют уравнением переноса энергии, а ве™ личину

'N

S =(4」5)

——плотностью потока энергии.

Заметим, что правая часть уравнения (4.14) отлична от нуля в нестационарных системах, параметры которых явно зависят от времени. В таких системах возможно увеличение или умвнь- шение энергии волнового поля за счет работы сторонних сил, изменяющих параметры системы.

Уравнение переноса волнового импульса g получается в ре™ зультате умножения (4.2) на пространственные производные duj/дх и проведения преобразований, аналогичных (4.13):

dt дх дх *J 丿

Здесь

N

Ц = Е —(4」7)

——плотность потока волнового импульса. Слагаемое, стоящее в правой части (4.16), указывает на то, что в неоднородных системах импульс волны может изменяться, хотя ее энергия остается неизменной.

Уравнения переноса энергии (4.14) и волнового импульса (4.16) для систем более высокого порядка сохраняют свою фор™ му, но выражения плотностей энергии, и импульса, а также их потоков S и П имеют более сложную структуру.

Так, энергия и волновой импульс представляют собой сумму двух групп слагаемых:

(4.18)(4.19)(4.18)(4.19)

(4.18)

(4.19)

(4.18)

(4.19)

а выражения для их потоков равныа выражения для их потоков равныа ахdt dujxtа ахdt dujxtд dL \ ЗЕдх дизхх у П^дизхх U^xtд dL \ ЗЕдх дизхх у П^дизхх U^xt(4.20)(4.20)a dLdt duj x ta dLdt duj x td dL \ dx duJXX у U^xd dL \ dx duJXX у U^xdL初”一(4.21)dL初”一(4.21)

а выражения для их потоков равны

а выражения для их потоков равны

а ах

dt dujxt

а ах

dt dujxt

д dL \ ЗЕ

дх дизхх у П^дизхх U^xt

д dL \ ЗЕ

дх дизхх у П^дизхх U^xt

(4.20)

(4.20)

a dLdt duj x t

a dLdt duj x t

d dL \ dx duJXX у U^x

d dL \ dx duJXX у U^x

dL

初”一

(4.21)

dL

初”一

(4.21)

Заметим, что выражения для плотностей энергии и импульса совпадают с соответствующими выражениями локальной теории (4.11) и (4.12), если ввести дополнительную переменную Vj = Ujx. Однако выражения для их потоков не совпадают с (4.15) и (4.17). По^видимому, это связано с общей проблемой неоднозначности математического представления уравнений переноса (см. п. 3.1.1).

Вариационное описание электромагнитного поля

Во второй главе с помощью вариационного принципа выве™ дены уравнения продольных и изгибных колебаний стержней (см. § 2.4). Здесь остановимся более подробно на вариационном описании электромагнитного поля. Лагранжиан электромагнит™ ного поля выражается через компоненты векторного А и скаляр™ ного 夕 потенциалов. В интересующем нас случае плоских волн (см. рис. 2.1) отлична от нуля лишь одна составляющая векторного потенциала Ах = Л(ж, t), а компоненты электромагнитного поля Еу = Е(х, t), Hz = Н(х, t) равны

Е =Е =алалh = 40 五"h = 40 五"(4.22)(4.22)

Е =

Е =

ал

ал

h = 40 五"

h = 40 五"

(4.22)

(4.22)

В этом случае лагранжиан электромагнитного поля имеет вид

(4*23)(4*23)

(4*23)

(4*23)

где с2 = 1厶,笃仰—скорость электромагнитной волны в ваку™ уме. Подставляя его в (4.2), приходим к волновому уравнению

для потенциала

(4*24)(4*24)а2 а — 2 >4dt2 С дх2

(4*24)

(4*24)

которое эквивалентно первому уравнению Максвелла

дЕ , дН с

Второе уравнение Максвелла

дН , дЕ с

следует непосредственно из определения (4.22).

Согласно определению (4.11), энергия электромагнитного поля равна

=^咼炉+仰h”(4*25)

а ее поток (4.15) есть

S =)(釣=(4.26)

Аналогично находятся электромагнитный импульс и плот™ ность его потока

"^懵了 +廿废开='°e：""。(4,28)

Рассмотрим вариационный способ описания электромагнит™ ного поля в материальной среде. Например, для электромагнит™ ных волн в плазме из (4.22) и третьего уравнения в (2.8) нахо™ дим, что dP/dt = SQUjpA. Тогда лагранжиан системы запишется в виде

鸣)工2(讶(429)

Отсюда следует, что электромагнитная волна в плазме описы™ вается уравнениемКлвйна—Горгона

祟-储=0,(4.30)

dt2 дх2'

котороесовпадаетс уравнением(2*9)для электрического поля,

если воспользоваться заменой (4.22).

Выражения для плотностей энергии и импульса электромаг™ нитной волны и их потоков находятся по формулам (4.11), (4.12) и (4.15), (4.17).

Усредненный вариационный принцип

Весьма эффективный метод описания модулированных волн следует из усредненного вариационного принципа, предложен™ ного в середине 1960-х годов Дж. Уиземом для квазипериодиче™ ских волн в консервативных системах. Он позволяет получать по известному лагранжиану системы уравнения для медленно меняющихся в пространстве и времени параметров квазиперио™ дических волн.

Уравнения для огибающих

Будем исходить из лагранжиана системы, зависящего лишь от одной полевой переменной,

Ь = Ь(п,пйиг).(4.31)

Соответствующее ему уравнение движения имеет вид (4.2), где следует положить uj = и(х, t). Пусть уравнение (4.2) имеет ре~ шение, описывающее бегущую стационарную волну

№/) = U(仇吟(4.32)

где U ——периодическая функция (не обязательно синусоидаль™ ная), 0 = ujt — кх ——фаза волны (ш и к ——постоянные ввличи- ны, имеющие смысл соответственно частоты и волнового числа), а а ——постоянная величина, эквивалентная амплитуде волны. Для семейства решений (4.32) уравнение в частных производи ных (4.2) сводится к обыкновенному дифференциальному урав™ нению

(433) dd dUe dU'

которое соответствует лагранжиану

Е ⑶=Е(ЗзВ,—卜图)，(4.34)

Здесь введены обозначения Ug = dU/dO и d/dO = ш д/дщ — —к д/дих.

Далее будем интересоваться квазистационарной волной, у которой параметры медленно изменяются во времени и простран-

стве. Тогда в первом приближении волна по-прежнему описы™ вается выражением (4.32), но ее фаза 0(х, t) уже не является линейной функцией ж и t. Локальная частота ш(ж, t) и волновое число к(х, t) связаны с фазой соотношениями

以优/) = * 卜炽力)=_%(4.35)

Дальнейшая задача заключается в том, чтобы избавиться в ив- ременной u(z)力)от быстрых периодических осцилляций и найти приближенные уравнения, описывающие медленные изменения ее параметров: амплитуды a(z,力)，частоты ш(ж, t) и волнового числа к(х, t). С этой целью введем в рассмотрение усредненный лагранжиан. Для этого подставим (4.32), (4.35) в (4.31) и усред™ ним по фазе, считая параметры ш, к и а постоянными на периоде усреднения:

2тг

4(® 卅 ％)= Е / L{U^Ue^kUe) d仇(4*36)

о

В усредненном лагранжиане независимыми переменными счи™ таются амплитуда а и фаза 0.

Теперь можно сформулировать усредненный вариационный принцип:

方// .(y(a,0h0x)dxdt = 0,(4.37)

to

т.е. первая вариация функционала равна нулю, если а(ж, t) и J(z,力)описывают изменения параметров квазипериодической волны (4.32).

Вариационные уравнения, получающиеся из этого условия имеют вид

дада=0,=0,

да

да

=0,

=0,

дд^ 3 3夕=0

К ним необходимо добавить условие дк .с

万+厂3

вытекающее из определения локальной частоты и волнового числа (4.35).

При анализе модулированных волн удобнее работать не с фа™ зой J)а другими переменными: частотой ш, волновым числом к

и амплитудой а. Перепишем вышеприведенную систему уравнв-

ний в виде

祭=3(4・38)

^絮—寥=0,(4.39)

A A S(4*4。)

Здесь под производными дХ/дш и д^/дк понимаются усреднен™

ные величины

2тг

丝

—曲， dOt 2тг Jout

0

2тг

丝二

иОх 27r J(JUx

0

Уравнение (4.38)—

это нелинейное дисперсионное уравнение.

Оно определяет функциональную зависимость между мгновенной частотой ш, локальным волновым числом к и амплитудой волны а. Уравнение (4.39) описывает медленные пространствен™ но ——временные изменения амплитуды, а (4.40) выражает уело™ вие непрерывности фазы волны.

Уравнения (4.38)-(4.40) описывают квазистационарные волны с медленно меняющимися параметрами.

Волновое действие и законы сохранения

Из классической механики известно, что периодическому дви~ жению системы с частотой ш соответствует адиабатический ин~ вариант

2тг2тг

2тг

2тг

Его обобщение на распределенные системы приводит к следую™ щему выражению для адиабатического инварианта:

27r

丝

3 J

которое получило название плотности волнового действия. Та™ ким образом, вариационное уравнение (4.39) можно рассматривать как закон сохранения волнового действия и записать в виде

dJ 丄 OTj n dt дх

(4.42)

где Uj = —dL/dk играет роль плотности потока волнового дей™ ствия.

Из (4.42) в частности, вытекает, что для локализованных волновых пакетов сохраняется интегральная величина

/ J dx.

(4-43)

имеющая смысл полного волнового действия локализованного возмущения.

Закон сохранения усредненной энергии в стационарной срв- де, когда dfL/dt = 0, следует из (4.12) после его усреднения:

dt дх

(4*44)

где средняя плотность энергии w и ее поток S равны

(4.45)

(4.46)

Аналогичным образом из (4.16) получается закон сохранения усредненного импульса квазистационарной волны в однородной среде, когда dfL/дх = 0:

(4*47)

Здесь средний импульс g и его поток П задаются выражениями

dL дих

Нетрудно показать, что в системе с постоянными параметра™ ми закон сохранения средней энергии (4.44) эквивалентен зако™ ну сохранения волнового действия (4.39). Действительно, под™ ставив (4.45), (4.46) в (4.44) после дифференцирования и группировки слагаемых, имеем

Здесь последние три члена обращаются в нуль, так как

а оставшиеся слагаемые в квадратных скобках дают уравнение (4.39). Аналогичное соответствие имеет место и для усреднен™ ного волнового импульса (4.48).

Таким образом, для систем с постоянными параметрами за™ коны сохранения усредненной энергии и волнового импульса вы™ текают из закона сохранения волнового действия. В системах с переменными параметрами подобного соответствия уже нет. Для систем с изменяющимися во времени параметрами не вы™ полняется закон сохранения энергии (4.44), а если параметры системы зависят от координаты, то не выполняется закон со™ хранения волнового импульса (4.47). Закон же сохранения вол™ нового действия (4.42) выполняется во всех случаях.

Гамильтонова форма уравнений для огибающих

Уравнения модуляции (4.38), (4.39) и (4.40) могут быть записаны в форме Гамильтона. Для этого вместо амплитуды волны а введем новую независимую переменную — волновое действие J, определенное выражением (4.41), и вместо усредненного лагран™ жиана 3(® ш, к) будем рассматривать усредненный гамильтониан Ж как функцию независимых переменных J, ш и к:

(4.50)(4.50)зависитзависит(4.51)(4.51)2тг

(4.50)

(4.50)

зависит

зависит

(4.51)

(4.51)

27r J \ UUt/

0

Дифференцируя (4.50) по J и учитывая, что 夕 не явно от J, получаем

Следовательно, частота волны равна производной от усредненного гамильтониана по волновому действию. Закон сохранения волнового действия (4*42) можно представить в следующем

виде:

(4*52)

Из (4.50) следует, что дЖ/дк = —д^/дк^ и равенство (4.40) с учетом (4.52) преобразуется в

(4.53)(4.53)

(4.53)

(4.53)

Уравнения (4.52) и (4.53) аналогичны уравнениям Гамильтона (4.8). Отметим еще одну интересную аналогию. Переменные J и к^ используемые для описания модулированных волн, играют роль, аналогичную роли канонических переменных действие^ угол в классической механике.

Энергетические соотношения для линейных волн

Обсудим соотношения, которые существуют между усредненными значениями энергии (4.45) и импульса (4*47) с одной стороны и их потоков (4*46) и (4.48) с другой. Рассмотрим ква- зигармоническую волну

n(x, t) = а(х, t) cos J(N)力)) (4.54)

распространяющуюся в линейной системе с постоянными параметрами. Модулированные волны в системах с переменными параметрами и в нелинейных системах будут рассмотрены соответственно в главах 8 и 11.

В линейных задачах лагранжиан L является квадратичной функцией полевой переменной и ее производных (см. § 2.4). Как следствие, усредненный лагранжиан 夕 должен быть квадратичной функцией амплитуды волны

^(а, к) = Z(w, к)а2^ (4.55)

где Z(3)k)——некоторая функция частоты и волнового числа. В этом случае (4.38) приводит к линейному алгебраическому уравнению, которое имеет нетривиальное решение при условии, что

Z{uj,k) = D(uj,k) = 0, (4.56)

т.е. функция 2(з)к) совпадает с дисперсионным уравнением линейной системы. При этом, очевидно,夕 равно нулю, что соответствует теореме вириала о равенстве средних значений кинетической и потенциальной энергий в линейной колебательной системе.

Уравнение сохранения волнового действия (4.39) в этом случае запишется в виде

(О/) - А (协а,2) = о,(4.57)

где 入=dP/dw,。素=dD/dk. Поскольку дисперсионное соотношение (4.56) может быть разрешено относительно частоты з = з(к)? то из тождества О[з(к))к]三 0 имеем

+ а = з

и в результате получим выражение для групповой скорости

Dk

Подставляя (4.58) в (4.57), приходим к равенству

几閣 + 3偌 + "grff) = О-

Далее, учитывая, что выражение во второй скобке равно нулю в силу (4.40), получаем уравнение переноса для амплитуды волны:

粤+ 厶%")=。・(459)

Таким образом, в линейных системах с постоянными параметрами исследование эволюции модулированной волны (4.54) сводится к совместному решению уравнений (4.56), (4.59) и (4.40).

Связь между средними плотностями энергии линейной модулированной волны и ее потоком следует из выражений (4.45), (4*46), (4*55) и (4.58):

S =一?行=支1 而)(4.60)

что является общим доказательством соотношений, полученных в § 3.3 для частных производных. Из (4.48) и (4.49) вытекает

связь между средней плотностью волнового импульса и его потоком:

n =一分耳=%Г屏(4*61)

Средняя плотность энергии модулированной волны равна произведению волнового импульса на фазовую скорость:

g = %hW*(4*62)

Выражения (4.60), (4.61) и (4.62) дают соотношения между энергетическими характеристиками квазигармонических волн.

В линейных системах、屮=0 и волновое действие равно отношению энергии к частоте: J = w/w (см. (4.45), тогда уравнение (4*42) принимает вид

^O：("i(463)

dt J дх I

а интегральная величина (4.43)

ос —

I =

определяет адиабатический инвариант для модулированной волны. Для волновых пакетов с постоянной несущей частотой это приводит к соотношению

Ж/ш = const,

где Ж ——полная энергия пакета. Вспомнив известное соотношение для энергии из квантовой теории Е = N方з (方 ——постоянная Планка), последене равенство можно записать как Ж/w = ^ = =const, которое гласит, что в рассматриваемом волновом пакете сохраняется полное число квантов (квазичастиц) с энергией hw, хотя частота з может изменяться. Аналогичный результат может быть получен и для волнового импульса, поскольку g/fc = =д^/дш. Он соответствует сохранению в волне числа квантов с импульсом, равным р = hk.

Волны отрицательной энергии

Волны с отрицательной энергией (ВОЭ) в неравновесных средах уже обсуждались в § 3.6 на примере внутренних волн

в двухслойной жидкости с тангенциальным разрывом поля скоростей. Там причиной возникновения ВОЭ служило движение одного слоя жидкости по другому. Кроме волн в системах с потоками, отрицательной энергией могут обладать, например, электромагнитные волны в диэлектрической среде в области аномальной дисперсии, где (dwe/dw) < 0 и (dw^/dw) < 0 (см. (3.3)).

Наличие ВОЭ тесно связано с дисперсионными и диссипативными свойствами системы. Наиболее наглядно эта связь выявляется при использовании усредненного вариационного принципа.

Средняя плотность энергии линейных квазигармонических волн описывается выражением (4*44) при 9 = 0:

而=3而=3丝丝dD 2 7dD 2 7(4*64)(4*64)

而=3

而=3

丝

丝

dD 2 7

dD 2 7

(4*64)

(4*64)

Рис. 4.1. Область волн с отрицательной энергией на дисперсионной кривой заштрихованаРис. 4.1. Область волн с отрицательной энергией на дисперсионной кривой заштрихована

Рис. 4.1. Область волн с отрицательной энергией на дисперсионной кривой заштрихована

Рис. 4.1. Область волн с отрицательной энергией на дисперсионной кривой заштрихована

Отсюда видно (рис. 4.1), что знак w может измениться в тех точках дисперсионной плоскости з)к? где меняется знак либо частоты з (точка Л), либо производной Р^ (точка В) на дисперсионной кривой. Первое условие означает, что меняется знак фазовой скорости ”ph = з/k относительно групповой = duj/dk = —。素/。⑴(т.е. волна из «прямой» становится «обратной» или наоборот). Второе условие в общем случае соответствует обращению в бесконечность групповой скорости. Таким образом, типичный участок ВОЭ на дисперсионной кривой з = з(к) выглядит так, как показано штриховкой на рис. 4.1. В точке В, где 久『=сю, происходит смыкание двух волновых ветвей дисперсионной кривой, одна из которых отвечает ВОЭ, а другая — обычной волне с положительной энергией. За точкой ветвления частота становит

ся комплексной, что приводит к неустойчивости связанных волн разных знаков. Такая неустойчивость хорошо известна в электродинамике и в гидродинамике.

Как уже отмечалось в § 3.4, введение в систему потерь приводит к нарастанию ВОЭ во времени. В этом случае в дисперсионном уравнении появляется мнимая часть, и частота з

становится комплексной:

О(з)к) + ш(ш, к) = 0.О(з)к) + ш(ш, к) = 0.(4.65)(4.65)

О(з)к) + ш(ш, к) = 0.

О(з)к) + ш(ш, к) = 0.

(4.65)

(4.65)

Считая потери малыми и раскладывая (4.65) в ряд по J/J « 1, находим временной инкремент волны

(4.66)(4.66)

(4.66)

(4.66)

Представляет интерес вопрос о связи между временным (з") и пространственным (к") инкрементами волны. Последний возникает, например, в задачах о пространственном усилении волны, возбуждаемой гармоническим источником с частотой ш, неподвижным относительно данной системы отсчета.

Для нахождения пространственного инкремента можно воспользоваться разложением дисперсионного соотношения (4.65), где з = сУ + 〃з")к = к' + ik" в ряд по малым мнимым частям з" и k/f. Принимая во внимание, что Р(ш\ к') = 0, получим про- транственный инкремент неустойчивости

к') —z/(w, kf)DkQg&grк') —z/(w, kf)DkQg&gr(4-67)(4-67)

к') —z/(w, kf)

DkQg&gr

к') —z/(w, kf)

DkQg&gr

(4-67)

(4-67)

который связан с временным инкрементом (4.66) через групповую скорость.

Исторические замечания и комментарии

Вариационные принципы в классической механике. Здесь вместе с краткой историей развития вариационных принципов в механике [4.2] приводятся некоторые определения и формулы, использованные при написании этой главы.

Первую отчетливую формулировку вариационного принципа дал один из величайших математиков XVIII века француз П. Ферма в 1662 г. применительно к проблеме распространения и преломления света в среде. Он выдвинул постулат о том, что свет, распространяясь в среде из одной точки в другую, выбирает такой путь, чтобы время прохождения его оказалось минимальным (принцип Ферма). Из этого принципа Ферма вывел закон преломления света, открытый ранее В. Снеллиусом.

В механике первая формулировка вариационного принципа была дана французским астрономом и физиком П. Мопертюи в 1744 г. Согласно его принципу при истинном движении те-

ла минимальным является произведение его массы на скорость и на путь. Эту величину Мопертюи, следуя Лейбницу, назвал действием. Впоследствии став президентом Берлинской академии наук, Мопертюи объявил принцип наименьшего действия общим законом природы и основным доказательством бытия божьего. Однако этот принцип, и особенно его теологическое обоснование, вызвали резкие возражения современников. Одним из возражающих был член Берлинской академии наук И. Кв- гин. Он, в частности, утверждал, что этот принцип был известен еще Г. Лейбницу. Принцип наименьшего действия Мопертюи в то время поддержал лишь Эйлер, который и придал ему законченную математическую формулировку. Эйлер указал, что выражение для действия, предложенное Мопертюи, пригодно только для малых участков пути dS = ” 壮力？ а для всего пути надо просуммировать все малые приращения действия и записать его в виде

siй力 1

S = / mv ds = / mv2 dt = / 2T d力t0to

где T = mv2/2 ——кинетическая энергия. Именно это интегральное выражение называется действием по Мопертюи.

Более точную и общую формулу принципа наименьшего действия в форме Мопертюи придал Лагранж. В своей книге «Аналитическая механика» (1788 г.) он распространил этот принцип на случай произвольной системы материальных точек, связанных между собой и действующих друг на друга произвольным образом, и сформулировал его в виде равенства нулю первой вариации

6s = 6 f 2T 必(4.68)

Варьирование движений по Лагранжу осуществляется при условии сохранения полной энергии системы Т + Ж = const, а поэтому момент времени 力i в (4.68) не остается постоянным. Лагранж вывел также ставшие классическими уравнения движения системы материальных точек:

d атd атдТдТ必a厶必a厶(4.69)(4.69)

d ат

d ат

дТ

дТ

必a厶

必a厶

(4.69)

(4.69)

где q?% О?% Q?：——обобщенные координаты, скорости и силы. Однако в своей книге Лагранж изложил эти вопросы не совсем ясно,

что дало повод для дальнейших размышлений ряду ученых XIX века и привело У. Гамильтона, М. Остроградского, К. Якоби и А. Пуанкаре к новым модификациям вариационного принципа.

Гамильтон в 1834-1835 гг., отталкиваясь от своих работ по оптике, пришел к созданию нового вариационного принципа механики, носящего его имя. Для консервативных систем со стационарными связями он предложил принцип наименьшего (стационарного) действия в форме

6s = 6 J (T — W)dt = 6 J Ldt = D) (4.70)

где L ^ Т — W ——функция Лагранжа^ равная разности кинетической и потенциальной энергий. Преимуществом этого принципа является возможность считать конечный момент интегрирования 力 1 заданным и не варьируемым, в отличие от принципа Мопертюи-Лагранжа (4.68). Из принципа Гамильтона (4.70) легко получаются уравнения Лагранжа второго рода (4.69), в которых Q?： = — (3W)/(3%) являются потенциальными силами. Гамильтон предложил в качестве переменных, характеризующих состояние системы, взять 力％「3, где 3 = dL/dqi — обобщенные импульсы (еще ранее введенные в механику Пуассоном) и ввел в рассмотрение функцию

H(qi.p^t) =з@ —Е(伍)з/)) (4*71)

с помощью которой уравнения движения (4.69) он представил в виде системы дифференциальных уравнений первого порядка:

仇一福" (4/2)

Уравнения (4.72) Якоби назвал уравнениями Гамильтона, а функцию Н(%」)pif)力)一функцией Гамильтона^ которая для системы с идеальными стационарными связями совпадает с ее полной энергией.

В 1850 г. М.В. Остроградский опубликовал в трудах Петербургской академии наук «Мемуар о дифференциальных уравнениях, относящихся к изопериметрической задаче», в котором он рассмотрел движения механической системы с нестационарными (т.е. зависящими от времени) связями. Он предложил новую

форму интегрального вариационного принципа:

/ (方Т + 工 必=0(4*73)

и показал, что такая вариационная задача может быть сведена к интегрированию уравнения типа канонических уравнений Гамильтона (4.70). Работа Остроградского обобщила принцип наименьшего действия на системы с нестационарными связями и на неконсервативные системы. Вариационный принцип (4.73) называют также принципом Гамильтона-Остроградского.

Интеграл действия S является функцией начальных и конечных значений координат и времени. В 1842 г. Якоби показал, что S можно рассматривать как характеристическую функцию системы S(伍/)? зависящую от обобщенных координат и времени и определяемую из решения дифференциального уравнения в частных производных первого порядка:

которое теперь называют уравнением Гамильтона-Якоби. Если известен общий интеграл (4.74), то по нему легко находится решение уравнений динамики.

Еще одну модификацию вариационного принципа разработал в 1892 г. А. Пуанкаре. Он предложил определять действие на траекториях в фазовом пространстве 伍)夕分 и вычислять вариацию

S = j [piQi - H(pi. ф)] dt = 0.(4.75)

Отсюда можно прийти к каноническим уравнениям Гамильтона (4.72). Из (4.75) также вытекает интегральный инвариант Пуанкаре—К артана

/ =,(“不伍一H6t).(4*76)

с

где С ——произвольный замкнутый контур в фазовом пространстве pi,伍.

В физике и механике вывод уравнений движения из (4.70) и основанные на них методы анализа динамических систем часто

называют лагранжевым формализмом^ а методы анализа, основанные на (4.75) и уравнениях Гамильтона называют гамильтоновым формализмом.

Вариационный принцип в теории поля. В теории поля вариационный принцип, по-видимому, впервые применил Дж. Фицжеральд, который в 1880 г. с его помощью вывел уравнения Максвелла для электромагнитного поля в вакууме [4.8]. В 1900 г. Д. Лармор использовал вариационный принцип в своей книге «Эфир и материя». Однако широкое распространение в теории поля этот принцип получил лишь после работ К. Шварцшильда (1903 г.) и А. Пуанкаре (1905 г.), установивших инвариантность интеграла действия относительно преобразований Лоренца, и работы М. Борна (1909 г.), применившего четырехмерную форму записи принципа стационарного действия в электродинамике, в результате чего он приобрел симметричный вид.

Очередной всплеск интереса к вариационным принципам в теории поля пришелся на 1915—1918 гг. в связи с развитием релятивистской теории гравитации. В этот период данной проблеме была посвящена серия работ крупнейших физиков и математиков начала XX столетия, среди них работы Г. Лоренца (1915— 1916 гг.), Д. Гильберта (1915 г.), А. Эйнштейна (1916 г.), Г. Вейля (1917—1918 гн), Ф. Клейна (1917—1918 гт.) и Э. Нетер (1918 к), доказавшей теорему о связи интегралов движения динамической системы с инвариантностью ее лагранжиана относительно преобразования координат и времени. После этого вариационные принципы прочно вошли в арсенал математических методов как классической, так и квантовой теории поля.

Вариационный принцип в механике сплошных сред. Применение вариационных принципов к динамике распределенных механических систем началось гораздо раньше, чем в электродинамике. В 1877 г. лорд Рэлей (J.W. Strutt) в свой знаменитой книге «Теория звука», положившей начало теории колебаний и волн как самостоятельной науки, уже широко применяет вариационные методы для вывода уравнений колебаний стержней и пластин, а также вычисления частот собственных колебаний упругих тел.

Сделаем несколько замечаний об особенностях применения вариационного принципа в механике сплошных сред. В механике сплошной среды используются два равноправных способа описания движения среды: с помощью переменных Лагранжа и переменных Эйлера. В первом случае сохраняется аналогия

между математическим описанием движения сплошной среды и системы дискретных материальных частиц: при вычислении интеграла действия суммирование по частицам заменяется на интегрирование по объему, занимаемому средой. Число частиц в таком объеме остается неизменным, а величина и форма объема непрерывно изменяются из-за движения среды. Применение вариационного принципа в этом случае не требует существенных изменений по сравнению с динамикой дискретных частиц. Сохраняется и физический смысл плотности функции Лагранжа (лагранжиана) как разности плотностей кинетической и потенциальной энергий рассматриваемого объема среды. Такой подход широко распространен в механике деформируемого твердого тела, где уравнения движения имеют второй порядок по времени (см., например, книгу В.Л. Бердичевского [4.1]).

При использовании переменных Эйлера, более удобных в задачах гидродинамики, интеграл действия вычисляется по неподвижному в пространстве объему, границы которого непрерывно пересекаются частицами среды. В этом случае простая аналогия с вариационным принципом для системы дискретных частиц утрачивается. Варьируемые переменные р,化 v не являются независимыми, на них накладываются связи (например, Эр/St + + div 0V = 0) и для получения вариационной задачи на безусловный экстремум используется метод неопределенных множителей Лагранжа, в результате чего приходят к уравнениям движения сплошной среды в переменных Эйлера (Р. Селиджер и Дж. Уизем [4.9], В.Л. Бердичевский [4.1]).

Усредненный вариационный принцип Уизема. Этот принцип был предложен Дж. Уиземом в 1965 г. как эвристический метод описания квазипериодических волн в консервативной системе [4.8]. В 1966 г. Д. Льюк с помощью последовательной схемы разложения по малому параметру дал доказательство этого принципа на примере нелинейного уравнения Клвйна— Гордона. В 1968 г. Ф. Брезертон и К. Гаррет [4.11] предложили использовать для анализа волн в движущихся средах закон сохранения волнового действия, который расширяет область применимости усредненного вариационного принципа Уизема. В 1970 г. Л.А. Островский и Е.Н. Пелиновский [4.6] дали обобщение усредненного вариационного принципа на неконсервативные системы, которое, по существу, представляет собой усредненный вариант принципа Гамильтона-Остроградского (4.73), обобщенный на распределенные системы. На возможность применения

принципа Уизема для анализа волн отрицательной энергии бы™ ло указано в 1986 г. в работе Л.А. Островского, С.А. Рыбака и Л.Ш. Цимринга [4.7].

Задачи и упражнения

Найдите лагранжиан для уравнения д2и 2 д2и

Найдите лагранжиан, для системы уравнений

д2Ед2Е上0方2上0方2学и “/…上2 况2次2UШ学и “/…上2 况2次2UШ

д2Е

д2Е

上

0方2

上

0方2

学и “/…上2 况2次2UШ

学и “/…上2 况2次2UШ

описывающих распространение поперечной электромаг™ нитной волны в диэлектрике (см. п. 2.1.3).

Найдите лагранжиан для системы уравнений Зельмейера

д2и 2 a2也 /Э / с

而时j

£ +)£ =仇(u 一 £)a

Выведите уравнение для поперечных волн в тонком стержне, растянутом с силой Nq по известному лагранжиану

22

2

2

где w ——поперечное смещение оси стержня. При каком условии тонкий стержень можно считать струной.

По известному лагранжиану

выведите уравнения изгибных волн в стержне с учетом сдвиговых напряжений (модель Тимошенко). Здесь w —— поперечное смещение срединной линии стержня,夕一угол поворота поперечного сечения стержня, & а 0)8 ——коэф™ фициент сдвига, J/F = Гр

Используя выражение для лагранжиана электромагнит™ ных волн в диэлектрике (см. задачу 4.2), выведите уравнение переноса энергии w и волнового импульса g в такой среде. Дайте физическую интерпретацию входящих в них слагаемых.

Выведите уравнение переноса усредненной энергии w для волновых процессов, рассмотренных в задачах 4.2 и 4.3. Может ли w в этих случаях иметь отрицательный знак?

Выведите уравнения переноса энергии изгибными волнами в стержне, описываемыми системой уравнений (см. зада™ чу 4.5)

— кс^жж + кс^ж = 0,

夕"一ё沁z①+ &2门夕一K(^rlwx = 0.

Для ситуации, описанной в задаче 4.8, выведите уравнение переноса усредненной энергии. С какой скоростью она переносится вдоль стержня?

Покажите, что уравнение переноса волнового действия для модулированных волн в равномерно движущейся среде может быть записано в виде

где У ——скорость движения среды, 3°)毎° частота и сред™ няя плотность энергии волнового пакета в системе отсчета, движущейся вместе со средой.

Указание. Воспользуйтесь выражением для усредненного лагранжиана в неподвижной системе отсчета

Б(ш, к) = О(з)к)а^ = О(зо + kU〉

где w = wo + kV ——частота волны в неподвижной системе отсчета.

ГЛАВА 5

АСИМПТОТИКИ ЛИНЕЙНЫХ ВОЛН

На свете есть вещи поважнее самых прекрасных открытий — это знание метода, которым они были сделаны.

Готфрид Лейбниц

Дифференциальные уравнения в частных производных, для которых удается найти точные аналитические уравнения, ветре™ чаются достаточно редко. Для отыскания решений остальных чаще всего применяются приближенные методы. Во многих слу™ чаях именно асимптотические решения позволяют провести де~ тальный анализ происходящих в системе волновых процессов.

В этой главе рассматриваются метод стационарной фазы, ме™ тод ВКБ и автомодельные решения дифференциальных уравнений в частных производных. Они позволяют проанализировать поведение волн при больших временах и на больших расстояние ях от места их возбуждения, когда волна приобретает опреде™ ленные универсальные свойства.

Метод стационарной фазы

Интегралы Фурье (1.13) или (1.17) формально дают точные решения задачи о волнах в линейных однородных средах, но они далеко не всегда дают наглядное представление об их пове™ дении. Дело в том, что в среде с дисперсией частота з и волновое число к связаны нелинейным соотношением и интегралы Фурье, как правило, не могут быть вычислены аналитически для про™ извольных моментов времени. Однако для больших значений ж и t можно получить асимптотическое выражение искомой вели™ чины 口(犷)力),используя метод стационарной фазы. Этот метод

позволяет детально описать структуру «расплывшегося» волно™ вого пакета и проясняет многие свойства волн в среде с диспер™ сией.

Рассмотрим бегущую волну:

осос

u{x,t) = / F(k)e2[kx^^t] dk = J F{k)e^k)tdk. (5.1) — ос—ос

где введено обозначение 吵(k) = kx/t а)(к). Будем рассматри™ вать поведение интеграла (5.1) при jt Т оо, но так, чтобы от™ ношение х/t оставалось конечным и постоянным. Для больших значений времени основной вклад в интеграл (5.1) дают малые окрестности вблизи «стационарных точек» к = кс^ в которых

(票)係)(52)

Вблизи этих точек осцилляции подынтегральной функции исчезают и интеграл (5.1) остается конечным. В точках, где (d吵/dk^o) * 0, подынтегральная экспонента является быстро осциллирующей функцией волнового числа к〉и при 力 Т оо ин™ теграл стремится к нулю. Техника получения главных членов асимтотического разложения интеграла Фурье (5.1) состоит в следующем. Функции F(k) и 吵(к) раскладываются в ряды Тейлора в окрестности стационарной точки:

F(k) + FFg(k —

—2 ОЗ)

吵(k)心吵饱)+ /(kc)(k — kJ + :吵"(k — kc)(k - kc) + …

(штрих означает производную по аргументу к). В окрестности стационарной точки первая производная ^(кс) = 0 и доминируй ющий вклад в интеграл дадут подчеркнутые слагаемые (если, конечно 吵“网)* 0):

ОС

“犷/)心 / F(kc) exp ^i ^(fcc) + ^，f(kc)(k - kc)2^ f j dk =

ОС

=F{kc)e^x^k^ / exp ^fkc(k — kcfj f} dk (5.4)

С помощью замены переменных

^ajrr(kc)t = а, (к — kcf = г2(5.5)

интеграл в (5.4) сводится к интегралу ошибок ос

/〕小"d% =，7г/|а| . exp (一〃^ signa) .(5.6)

— ос

В результате первый член асимптотического разложения инте™ грала (5.1) примет вид

=，［:］ у力 ^Р {卜也一^(kc)t — ^ signg"(kc)］卜 (57)

Если существует несколько стационарных точек ксп, удовлетво™ ряющих уравнению (5.2), то каждая из них дает вклад, анало™ гичный (5.7), и их надо просуммировать.

Согласно формуле (5.7) в среде с дисперсией волна любой начальной формы в конечном счете, при больших значениях ж и 力 превращается в квазигармоническую волну, у которой ам™ плитуда убывает пропорционально 力一i/乙 Пусть начальный профиль волны г^ж, 0) = Uq{x) (рис. 5.1) представляет собой ли-

Рис. 5.1. Эволюция начального возмущения в диспергирующей среде

нейную комбинацию гармонических волн со всеми возможными волновыми числами. При этом в начальный момент компонента с волновым числом 卜⑦ ничем не выделена в спектре волны.

Однако спустя большой промежуток времени, эта компонента оказывается доминирующим возмущением вдоль направления x/t = Vg (fcg) (см. рис. 5.1).

Каждый участок спектра сигнала имеет свою групповую ско~ рость Vg (к). С помощью метода стационарной фазы, выбирая значение x/t = Ug(k))можно проследить за асимптотическим поведением различных областей сигнала, и по ним воспроизвести картину эволюции всего сигнала. Другими словами, диспергирующая среда производит «развертку спектра» сигнала в пространстве.

Специального обсуждения требуют точки с максимальной и минимальной групповой скоростью. В этих точках a)ff {кс) = 0 и решение (5.7) становится некорректным. Правильное асимптотическое поведение определяется с помощью учета дальнейших членов ряда Тейлора для 吵(к) и имет вид

и(х^ t) аи(х^ t) а(5.8)(5.8)

и(х^ t) а

и(х^ t) а

(5.8)

(5.8)

Как мы увидим в гл. 6, асимптотические выражения типа (5.7) могут быть получены в рамках «геометро^оптического» подхода к анализу модулированных волн.

Распространение волн в среде с дисперсией

Воспользуемся методом стационарной фазы для анализа асимптотического поведения импульсных возмущений в среде с дисперсией.

.1. Расплывание короткого импульса

Примером волн со слабой дисперсией служат продольные волны в стержне при учете радиального движения частиц среды (см. уравнение (2.58)). Для волны, бегущей в положительном направлении оси ж при длине волны, много большей радиуса стержня (后店k « 1), из (2.59) получаем следующий закон дисперсии:

з a csk — 8依}(5.9)

где для малого параметра /3 справедливо /3 = ——-— « 2〃 丁己[1 —(Ст/с$)]

« 1. По дисперсионному соотношению легко восстанавливается

РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН В СРЕДЕ С ДИСПЕРСИЕЙ 125 дифференциальное уравнение для смещения и(х^ t) с помощью подстановок ш = d/dt и ik = —д/дх:

A吟察=。・ (5」。)

Если в (5.10) перейти к новым переменным х1 = х — cst и tf = f, отвечающим системе координат, движущейся со скоростью cs, то получим уравнение (штрихи опущены)

圻嚟=0,

которое описывает распространение волны в среде с высокоча™ стотной дисперсией.

Рассмотрим распространение в такой среде короткого им™ пульса. Для определенности будем считать, что его форма в начальный момент времени описывалась ^функцией:

(5.12)(5.12)“伤 0) = Ао(5(ж).

(5.12)

(5.12)

Точное решение. При начальном условии, заданном в виде ^импульса, спектральная плотность F(k) = 4о/2тг одинакова на всех частотах, и интеграл Фурье (5.1) вычисляется точно:

ОС

“伤力)=” / exp {i [k(x — cst) + I31^i\ } dfc =

ОСОС00COSCOS卜s （方一Co力）卜s （方一Co力）+ 亍]ds. (5.13)+ 亍]ds. (5.13)

ОС

ОС

0

0

COS

COS

卜s （方一Co力）

卜s （方一Co力）

+ 亍]ds. (5.13)

+ 亍]ds. (5.13)

Здесь была использована замена переменной интегрирования

(5.14)(5.14)з = -\/3f3t к.

(5.14)

(5.14)

Введем функцию Эйри (рис. 5.2)

о©зо©3

Ai (г) = i / cos 卜z + y^ ds = ； Re / exp {卜z + y^ } ds,

0—oc

тогда искомое решение задачи (5.11), (5.12) можно записать в виде

и(х^ t)=и(х^ t)=X cstX cst(5.16)(5.16)

и(х^ t)=

и(х^ t)=

X cst

X cst

(5.16)

(5.16)

Из него ширинуИз него ширину(ж 4 cst) имеет cs (рис. 5.3). По мере распространения ее ампли™ туда убывает по закону A/Aq ~ 〜(3/3力)—1/3, а длительность уве™ личивается как (3/3力)1/з • Позади от фронта импульса (ж < cst) но являются осцилляции, в которые непрерывно переходит энергия от головной части волны, а впереди (ж 〉cst) амплитуда волны экс™ поненциально убывает (рис. 5.3). Точное решение (5.16) можно ио(ж 4 cst) имеет cs (рис. 5.3). По мере распространения ее ампли™ туда убывает по закону A/Aq ~ 〜(3/3力)—1/3, а длительность уве™ личивается как (3/3力)1/з • Позади от фронта импульса (ж < cst) но являются осцилляции, в которые непрерывно переходит энергия от головной части волны, а впереди (ж 〉cst) амплитуда волны экс™ поненциально убывает (рис. 5.3). Точное решение (5.16) можно иовидно, что «головная» часть импульса△〜(3夕)1/з и движется со скоростьювидно, что «головная» часть импульса△〜(3夕)1/з и движется со скоростьюРис. 5.2. График функции ЭйриРис. 5.2. График функции Эйрипользовать в качестве эталона для сравнения с асимптотически™ ми формулами (5.7) и (5.8).пользовать в качестве эталона для сравнения с асимптотически™ ми формулами (5.7) и (5.8).

Из него ширину

Из него ширину

(ж 4 cst) имеет cs (рис. 5.3). По мере распространения ее ампли™ туда убывает по закону A/Aq ~ 〜(3/3力)—1/3, а длительность уве™ личивается как (3/3力)1/з • Позади от фронта импульса (ж < cst) но являются осцилляции, в которые непрерывно переходит энергия от головной части волны, а впереди (ж 〉cst) амплитуда волны экс™ поненциально убывает (рис. 5.3). Точное решение (5.16) можно ио

(ж 4 cst) имеет cs (рис. 5.3). По мере распространения ее ампли™ туда убывает по закону A/Aq ~ 〜(3/3力)—1/3, а длительность уве™ личивается как (3/3力)1/з • Позади от фронта импульса (ж < cst) но являются осцилляции, в которые непрерывно переходит энергия от головной части волны, а впереди (ж 〉cst) амплитуда волны экс™ поненциально убывает (рис. 5.3). Точное решение (5.16) можно ио

видно, что «головная» часть импульса

△〜(3夕)1/з и движется со скоростью

видно, что «головная» часть импульса

△〜(3夕)1/з и движется со скоростью

Рис. 5.2. График функции Эйри

Рис. 5.2. График функции Эйри

пользовать в качестве эталона для сравнения с асимптотически™ ми формулами (5.7) и (5.8).

пользовать в качестве эталона для сравнения с асимптотически™ ми формулами (5.7) и (5.8).

Рис. 5.3. Эволюция импульса в среде с высокочастотной дисперсиейРис. 5.3. Эволюция импульса в среде с высокочастотной дисперсией

Рис. 5.3. Эволюция импульса в среде с высокочастотной дисперсией

Рис. 5.3. Эволюция импульса в среде с высокочастотной дисперсией

Для более детального анализа участков волны спереди и сзади от фронта импульса воспользуемся асимптотическим разло™

жением функции Эйри:жением функции Эйри:(5.17)2 —> —ОО"(5.17)2 —> —ОО"

жением функции Эйри:

жением функции Эйри:

(5.17)

2 —> —ОО"

(5.17)

2 —> —ОО"

Тогда при больших отрицательных значениях z = (犷一 —c()t)/^ЗД f —00 решение (5.17) примет вид

и(х^ t) аи(х^ t) а7Г，3夕2（c5 -宽/力）7Г，3夕2（c5 -宽/力）COSCOS2 &力一宽)3/2 .32 &力一宽)3/2 .3(5.18)(5.18)

и(х^ t) а

и(х^ t) а

7Г，3夕2（c5 -宽/力）

7Г，3夕2（c5 -宽/力）

COS

COS

2 &力一宽)3/2 .3

2 &力一宽)3/2 .3

(5.18)

(5.18)

Оно показывает, что убывание амплитуды осцилляций за импульсом (〜 力—1/2) происходит медленнее, чем убывание ампли™ туды самого импульса (A/Aq 〜 力一1/?). Это ведет к тому, что при больших значениях времени 力 f ос импульс превращается в квазигармонический волновой пакет с локальным волновым числом к а、/力/(3/3力)и локальной частотой з = —(Зк? a —x/3t.

Асимптотический анализ. Проведем анализ той же зада™ чи методом стационарной фазы. Стационарные точки кс нахо дятся из уравнения (5.9) и равны

(5.19)

Вторая производная 3“(儿) = —6/3乩 отлична от нуля, ео ли x/t * с5. Следовательно, асимптотическое выражение (5.7) справедливо везде за исключением «головной» части импульса, где нужно воспользоваться более точным разложением (5.8).

Рассмотрим область, лежащую сзади от фронта волны ж < cst. Подставляя значения кс^ of (кс) и F(kc) = Ао/2тг в (5.7), получаем решение в виде модулированной квазигармонической волны:

t^x, t)弋t^x, t)弋4427r，012户力2（05 力一宽）27r，012户力2（05 力一宽）coscos2 &力一方)3/243 7W ,2 &力一方)3/243 7W ,(5.20)(5.20)

t^x, t)弋

t^x, t)弋

4

4

27r，012户力2（05 力一宽）

27r，012户力2（05 力一宽）

cos

cos

2 &力一方)3/24

3 7W ,

2 &力一方)3/24

3 7W ,

(5.20)

(5.20)

В области перед фронтом волны (ж〉cst) значение волнового числа в стационарной точке (5.2) становится чисто мнимым ) кс = ±底，(犷/力一0))/3/3)и асимптотическое решение принимает вид

/ 人 二 —；］卜 (5.21)

卜 丿 2斤％12夕2(方/力一盡)3 Д/зД 4j J 卜 丿

Полученные асимптотические выражения описывают экспоненциальное спадание переднего фронта волны и возникновение спадающих высокочастотных осцилляций в «хвостовой» части возмущения (см. рис. 5.3).

В области максимума фронта волны, где ж ^ cst и a)ff{кс)= = 0, воспользуемся формулой (5.8). В этом случае J" = —6/3 и асимптотическое решение

“犷⑺夕 (5.22)

с точностью до константы совпадает с выражением для ам™ плитуды волны Эйри (5.16). В совокупности выражения (5.20)(5.22) представляют полное асимптотическое решение задачи и согласуются с соответствующими асимптотическими представ™ лениями точного решения (5.16).

5・2・2・ Волны на глубокой воде

Заметим, что для проведения асимптотического анализа линейных волн, вообще говоря, не требуется знания дифференциаль™ ного уравнения, достаточно лишь вида дисперсионного соотно™ шения. Проиллюстрируем это на примере гравитационной вол™ ны на глубокой воде. Для нее дисперсионное соотношение имеет вид (см. § 2.4):

з = ±^1.

Пусть в начальный момент времени на поверхности задано 8- образное возвышение ^(ж, 0) = 8(犷).С течением времени оно распадется на две волны, бегущие в противоположных направ™ лениях; мы будем следить за волной, бегущей в положительном

направлении. Из дисперсионного соотношения находим

(5*23)

Так как форма начального возмущения, имеющего спектр F(k) = 1/2”，описывается ^функцией, то асимптотическое поведение гравитационной волны дается формулой (5.7), приводящей к выражению

处 cos (*一小.(524)

Отсюда следует, что при больших временах и на больших расстояниях возмущение представляет собой модулированную волну с частотой ш и волновым числом 儿 изменяющимися в пространстве и времени:

3=况=^ и -瓦=3"(5,25)

В такой волне низкочастотные (длинноволновые) составляющие с течением времени убегают вперед, так как их групповая скорость больше, чем у высокочастотных составляющих:

= (l/2)，g/4; = g/2” Амплитуда смещения《 убывает в пространстве пропорционально L^/2, а дЛИна волны А = 2тг/4; растет пропорционально ж2 (рис. 5.4 а). В фиксированной точке

Рис. 5.4. Асимптотическое поведение волны на поверхности глубокой во ды: а — пространственное распределение смещения при большом 力)б — осциллограмма колебаний при большом ж

5 Л.А. Островский, А.И. Потапов

пространства, находящейся далеко от места начального возмущения, амплитуда волны и ее локальная частота возрастают во времени по линейному закону (рис. 5.4 б).

Следует отметить, что полная энергия такой волны, пропор*ОС

циональная интегралу /《？ d①，равна бесконечности. Этого слв- — ос

довало ожидать, так как интеграл от квадрата дельта-функции расходится. Тем не менее, поведение локализованного возмущения с конечной энергией также хорошо описывается приведенными выше асимптотическими выражениями.

Автомодельные волны

Мы уже встречались со стационарными волнами вида 口(优一е力),в которых искомая функция воспроизводит себя без изменений на последовательных интервалах оси х. Существует и более общий класс процессов, которые воспроизводят себя подобным образом, но с изменением во времени масштабов по координате 力⑴ масштаба самой искомой переменной Оо⑴* Такие процессы называются автомодельными^ а описывающие их математические выражения вида

〃(①⑺=UQ(t)f^^ = UQ(t)f^) (5.26)

называют автомодельными решениями. Здесь ^ = x/L(t) — автомодельная переменная. В большинстве случаев масштабы искомой величины и координаты ищутся в виде степенных функций времени: Оо(力)=а • F,力(力)=b • tq (где p, q〉а, Ь — постоянные) .Функция /(£) удовлетворяет обыкновенному дифференциальному уравнению.

С автомодельными решениями тесно связаны упоминавшиеся решения типа бегущих волн и = F(x — ct — а). В этом случае характеристики процесса в разные моменты времени получаются одно из другого простым сдвигом 〃 =①一& — а, а не преобразованием подобия (5.26). Однако если ввести новые переменные

①=hi%〉 t = In г, а = 1пЛ,(5.27)

то решение преобразуется к автомодельному виду

口也力)=方(in 广)=/ k = ±) ”(5*28)

Отыскание автомодельного решения уравнения с частными производными в общем случае сводится к разделению переменных после их подходящей замены и решению обыкновенного дифференциального уравнения. Для установления автомодельности решения задачи в ряде случаев достаточно анализа размерностей, основанного на П-теореме.

В качестве примеров ниже построены автомодельные реше™ ния уравнения Шредингера и линейного уравнения Кортевега^ де Вриза.

Параболическое уравнение

Рассмотрим автомодельное решение уравнения

嗡(529) где /3 — параметр дисперсии. В квантовой механике уравнение (5.29) описывает волну де Бройля для электрона в свободном пространстве. В этом случае комплексная величина 4(①)力)имеет смысл волновой функции электрона. Уравнение (5.29) описывает также эволюцию медленно меняющейся комплексной амплитуды модулированной волны в линейных средах (см. п. 7.1).

Решение уравнения (5.29) ищем в виде Л = 4(①)力户)，где определяющие величины имеют следующие размерности ):

[ж]=乙 用=7,[户]=T一1力2” (5.30)

Здесь L — размерность длины, Т — размерность времени. Из трех размерных величин x^t и /3 независимые размерности имеют две: х и t. Из них можно составить лишь одну безразмерную комбинацию

£ = pltrxm ос х21+тГ^\ (5.31) где показатели степеней Z, г, т — должны удовлетворять следующим условиям:

2Z + rn = 0)Z = S (5.32) Эта система уравнений недоопределена, поэтому одну из величин, например, ?п, можно выбрать произвольно. Тогда I = =—т/2, 丁 = — m/2 и автомодельная переменная в общем случае принимает вид

При выборе переменной £ имеется произвол из-за возможности выбора различных значений т. Его можно использовать так, чтобы уравнение в обыкновенных производных имело наиболее простой вид. Входящая в (5.33) безразмерная постоянная а не меняет структуру автомодельной переменной и может быть использована для нормировки числовых коэффициентов в уравнении.

Пусть тп = 1, тогда частные производные от Л = /(£ = =х/夕)равны

ал _ ж _ 且 也_1 d2fdt2，^济3/2 dg2力 dg' dx2 a仇 d0

Подставляя их в (5.29), получим

Положим a = 2 и введем обозначение 4f/d£ = Ф, тогда придем к обыкновенному дифференциальному уравнению

(5.34)

которое решается методом разделения переменных:

①(£) = 4)exp 0：C2/2),

где Ло ——постоянная интегрирования. Решение для комплексной амплитуды имеет вид

4(£)=4о / exp «2/2)< = Ло / cos

Входящие в его правую часть интегралы могут быть выражены через интегралы Френеля

cos ^С2 <

которые хорошо известны в теории дифракции. Они являются аналитическими функциями переменной £ и принимают предельные значения (рис. 5.5):

С(0) = ЭД = 0, elimC^2)=€limS(^2)=|.

Выражение (5.35) описывает изменение амплитуды модулированной волны 〃(①/) = 4(①/) exp {i(u)t —衣①)}, которая сначала экспоненциально растет, а затем, осциллируя, приближается к постоянному значению (рис. 5.6). По такому закону изменяется амплитуда, которая включается на границе среды в момент времени t = 0.

Рис. 5.5. Графики интегралов Рис. 5.6. Профиль модулированнойФренеляволны, сформировавшейся из полусинусоиды при большом жРис. 5.5. Графики интегралов Рис. 5.6. Профиль модулированнойФренеляволны, сформировавшейся из полусинусоиды при большом ж

Рис. 5.5. Графики интегралов Рис. 5.6. Профиль модулированной

Френеляволны, сформировавшейся из полуси

нусоиды при большом ж

Рис. 5.5. Графики интегралов Рис. 5.6. Профиль модулированной

Френеляволны, сформировавшейся из полуси

нусоиды при большом ж

Линеаризованное уравнение КдВ

Займемся поиском автомодельных решений уравнения (5.11). Его решение зависит от трех размерных величин

[ж]=厶罔=Т)[户]=L3T *

из которых можно составить только одну безразмерную комби™ нацию

Из условия безразмерности £ следует, что показатели степеней должны удовлетворять условиям

3/ + т = 0, 丁 一 Z = О*

Отсюда находим, что I = — тп/3, г = — тп/3, и автомодельная переменная при тп = 1 примет вид

(5.38)

где а ——безразмерная постоянная. Вычисляя частные производные от 〃(①)力) = 〃(£) и подставляя их в (5.11), получим обыкновенное дифференциальное уравнение

d3u aс

Введем обозначение du/d^ = Ф(^) и положим а = 3. В результате придем к уравнению

*(5.39)

Его решением является введенная в п. 5.2.1 функция Эйри

ОС

①(£) = Ai (£) = J J cos (s£ + 产/3)ds,о

а искомая величина п(^) выражается через интеграл

§I Г-

и(^) = / Ai ⑶ dz =丄 / / cos (sz + s3/3)ds dz. (5.40)

Это решение описывает дисперсионное расплывание «ступеньки», заданной в начальный момент времени и, поэтому, оно отличается от решения (5.16), описывающего расплывание дельта-импульса.

Какова польза от найденных частных решений? Ответ состоит в том, что автомодельные решения, как правило, представляют собой асимптотики более широкого класса решений, отвечающих другим начальным условиям.

В заключение заметим, что поиск автомодельных решений с помощью анализа размерностей не всегда приводит к желаемому результату. Он применим только в том случае, когда число величин с независимыми размерностями на единицу меньше общего числа определяющих величин. Более общим методом

поиска автомодельных решений дифференциальных уравнений в частных производных является групповой анализ дифференциальных уравнений, частным случаем которого является анализ размерностей.

Коротковолновое приближение

Рассмотрим распространение волны в неоднородной стационарной среде. Для гармонических во времени волн задача сводится к решению уравнений в обыкновенных производных с переменными коэффициентами. В случае плавнонеоднородной среды задача может быть решена с помощью метода Вентцеля^ Крамерса-Бриллюэна (ВКБ-приближение).

ВКБ-приближение

Приближение ВКБ — один из наиболее распространенных методов описания волн в неоднородной среде, когда длина волны много меньше масштаба неоднородности среды. Рассмотрим метод ВКБ на примере анализа распространения продольной волны в стержне с переменными плотностью и поперечным сечением. Будем считать длину волны много большей диаметра стержня, так что можно пренебречь радиальным перемещением частиц среды при осевой деформации. В этом приближении уравнение для продольных волн имеет вид (см. п. 2.4.1)

Число случаев, когда существуют его точные решения, невелико, поэтому большое значение приобретают приближенные решения.

Будем интересоваться распространением монохроматической волны, когда параметры р(ж) и F(x) мало меняются на длине волны:

我(伤力)=U(ж) ехр (沁力)*(5.42)

Подставив (5.42) в (5.41), получим для U(ж) обыкновенное дифференциальное уравнение

d2U 户⑺dUJ0(/)

而石十 FE

Заменой переменных

⑦⑺=，F{^JU ⑺)(5.44)

уравнение (5.43) сводится к одномерному уравнению Гельм™ гольца

脸 +庙簿,⑺少=0工(5*45)

Здесь储冷(方)=卜2"①)/石+尸2/4产一方"/2T —квадрат эффективного волнового числа, п(ж) — переменный показатель преломления, а ко ——большой параметр. С помощью замены переменных

吵(х) = ехр { / "(£)d§}(5.46)

вместо (5.45) получим уравнение Риккати:

^ + 产 + k()n(x)v = 0.(5.47)

Учитывая медленность изменения параметра п(х^ будем искать приближенное решение уравнения в виде асимптотического разложения

(5.48)(5.48)V(X)? A?0^0(^) + ?〃(①)+ 木丁%)2(①)+ • • •

(5.48)

(5.48)

Подставляя (5.48) в (5.47) и приравнивая члены при одинаковых степенях 衣о, получим

(5.49)(5.49)*(①)=—冷(①))21；il；o + ^ = 0,...

(5.49)

(5.49)

Отсюда находим

ио ⑺=±2；，?!(/)) S ⑺ио ⑺=±2；，?!(/)) S ⑺2 dx2 dx

ио ⑺=±2；，?!(/)) S ⑺

ио ⑺=±2；，?!(/)) S ⑺

2 dx

2 dx

Знаки《土》у переменной г；о(ж) соответствуют прямой и встречной волнам. В результате ⑦ записывается в виде

吵⑺=y^J exp 卜о J v4U d，+

(5.50)(5.50)

(5.50)

(5.50)

Таким образом, решение уравнения (5.41) в ВКБ-приближении

имеет вид

我（伤力）我（伤力）WWJехр ｛小 + "о № 矶 +WWJехр ｛小 + "о № 矶 +(5.51)(5.51)

我（伤力）

我（伤力）

WWJехр ｛小 + "о № 矶 +

WWJехр ｛小 + "о № 矶 +

(5.51)

(5.51)

Здесь Л и U — произвольные постоянные. Ввиду малости от™ ражений на плавных неоднородностях встречные волны в этом приближении не взаимодействуют между собой. Чтобы учесть отражение волн на неоднородностях среды, необходимо найти поправки следующего приближения. Решение (5.51) несправед™ либо в окрестностях особых точек, где п(ж) = 0. Эти точки тре™ буют отдельного рассмотрения. Приводимые ниже примеры до™ пускают точное решение и позволяют проследить пределы при™ менимости ВКБ^приближения.

Колебания висящей цепи

Рассматрим задачу Бернулли о колебаниях вертикально вися- (5.53) щей цепи (тяжелой нити) (рис. 5.7 а). Поперечные коле-

Рис. 5.7. Поперечные колебания висящей цепи: (а) схематическое изобра™ жение системы; (6) пространственная форма колебанийРис. 5.7. Поперечные колебания висящей цепи: (а) схематическое изобра™ жение системы; (6) пространственная форма колебаний

Рис. 5.7. Поперечные колебания висящей цепи: (а) схематическое изобра™ жение системы; (6) пространственная форма колебаний

Рис. 5.7. Поперечные колебания висящей цепи: (а) схематическое изобра™ жение системы; (6) пространственная форма колебаний

бания цепи, закрепленной в точке ж = / и имеющей свободный конец при ①=0)описываются дифференциальным уравнением

Й 显(g°(5・52)

с краевыми условиями

〃（0）力）＜ ос） и（1^ 力）=О,〃（0）力）＜ ос） и（1^ 力）=О,(5.53)(5.53)

〃（0）力）＜ ос） и（1^ 力）=О,

〃（0）力）＜ ос） и（1^ 力）=О,

(5.53)

(5.53)

где 〃(①⑺一отклонение цепи от вертикали, a g — ускорение силы тяжести. В линейном приближении вертикальными перемещениями конца цепи пренебрегаем. Первое условие в (5.53) означает ограниченность амплитуды смещения свободного конца цепи.

Уравнение (5.52) является частным случаем уравнения (5.41). Будем искать его решение в виде

“方）力）=U （胃）e汝力+ к.e.“方）力）=U （胃）e汝力+ к.e.(5.54)(5.54)

“方）力）=U （胃）e汝力+ к.e.

“方）力）=U （胃）e汝力+ к.e.

(5.54)

(5.54)

Подставляя это решение в (5.52), получаем, что функция U(x) удовлетворяет уравнению

d2U I dUл

которое заменой % = 2з,①/g приводится к стандартному виду

уравнения Бесселя с нулевым индексом:

аг2 dzаг2 dz(5.55)(5.55)

аг2 dz

аг2 dz

(5.55)

(5.55)

Его общее решение записывается в цилиндрических функциях (функциях Бесселя) нулевого порядка

U⑶=4)Jo ⑶+ 8yo ⑶"U⑶=4)Jo ⑶+ 8yo ⑶"(5.56)(5.56)

U⑶=4)Jo ⑶+ 8yo ⑶"

U⑶=4)Jo ⑶+ 8yo ⑶"

(5.56)

(5.56)

Из условия ограниченности U в точке % = 0 следует, что 8 = 0, так как 7»(0) = ос, и, следовательно, решение (5.54) представляет собой неоднородную стоячую волну (рис. 5.7б):

u(x,t) = 4/0(23方，方/g)cos Qk力 + 夕o))(5.57)

где Л — амплитуда,夕о — начальная фаза волны,幻用 = =a"(2,g〃) — частота собственных колебаний, а параметр о^ определяет нули функции Бесселя Jo(Q/c) = 0, А: = 1, 2, 3,...

В асимптотике при больших значениях % = 2з，①/g, когда Jo (г) ^ [2тгг cos (z — тг/4)]1/2, решение (5.57) можно представить

в виде суперпозиции волн, бегущих в противоположных направлениях:

u{x,t) - •••••I cos &力一23AA7i + тг/4)+

+ cos 3力 + 2g,a/g — тг/4)]. (5.58)

Это выражение эквивалентно ВКБ-решению уравнения (5.52).

Волна де Бройля для электрона

В качестве другого примера рассмотрим движение электрона в однородном электрическом поле Е)направленном вдоль оси х. В квантовой механике электрон описывается волновой функцией 5(出)力))удовлетворяющей уравнению Шредингера

一屮(①)5 = °-(5.59)

dt 2m0宽/

Здесь m ——масса электрона,方 ——постоянная Планка, а Ж(ж)= =еЕх ——потенциальная энергия электрона в электрическом по™ ле. Решение будем искать в виде

^(ж, t)=①(х) exp (—沁力))(5.60)

где ш = E/h — частота волны де Бройля, а функция ①(①)удо™ влетворяет уравнению

礬 + 誓—=(5.61)

Заменой переменной z = —灯2тЕ丨窿Q — ж) уравнение (5.61) приводится к уравнению Эйри:

少-z①=S(5.62)

Слева от особой точки (т.е. ^ < 0) уравнение (5.62) имеет осциллирующее решение с переменной пространственной «частотой», пропорциональной，^ а справа от нее (z > 0) оно описывает апериодический процесс. Решение уравнения (5.62), удовле™ творяющее условиям ограниченности при |^| f сю, выражается через функцию Эйри (см. рис. 5.3):

ОО

①⑶=CAi (z) = (7 J* cos 卜z + y^j ds, (5.63) о

где С — постоянная. Волновая функция, описывающая поведение электрона в однородном электрическом поле, имеет следующий вид:

⑦山力）=CAi⑦山力）=CAiexp {—iujt}.exp {—iujt}.(5.64)(5.64)

⑦山力）=CAi

⑦山力）=CAi

exp {—iujt}.

exp {—iujt}.

(5.64)

(5.64)

Рис. 5.8. Распределение плотности вероятности нахождения электрона в пространствеРис. 5.8. Распределение плотности вероятности нахождения электрона в пространстве

Рис. 5.8. Распределение плотности вероятности нахождения электрона в пространстве

Рис. 5.8. Распределение плотности вероятности нахождения электрона в пространстве

На рис. 5.8 приведено распределение функции |^|2, характеризующей вероятность нахождения электрона в точке пространства

с координатой z. Из рисунка видно, что при z〉0 вероятность нахождения электронов быстро убывает до нуля. В классической теории точку z = 0 называют точкой поворота. В ней кинетическая энергия электрона равна потенциальной и поэтому за точку z = 0 электрон не проникает.

Слева от точки поворота (при z < 0) выражение (5*64) представляет собой неоднородную стоячую волну. Воспользовавшись асимптотическим выражением ДЛЯ функции Эйри при 2 f — 0С) его можно представить в виде суперпозиции двух бегущих волн:

以2/)Вхp{一5 (ш力一^1z13/2 + ^)} +

+ вхр ^i 卜力 + |k|3/2 — ^) } * (5.65)

Это решение соответствует квазиклассическому приближению квантовой теории, в которой каждое из слагаемых представляет собой волну де Бройля, обобщенную на случай плавного изменения потенциала Ж (ж).

Исторические замечания и комментарии

Метод стационарной фазы. В наиболее общем виде он был развит в 1887 г. английским физиком, механиком и мате-

матиком У. Томсоном (лордом Кельвином) для приближенно- ОО

го вычисления интегралов вида 1(р) = / /(ж) cosp夕(х) dx^ где р — большой параметр, хотя такой же подход к вычислению ин™ тегралов с быстроосциллирующей фазой применял еще Г. Стокс в 1840-х годах, правда, без строгих обоснований [5.9].

Автомодельные решения. Для описания нестационарных волновых процессов их впервые применил, по^видимому, Дж. Буссинеск, который в 1832 г. нашел автомодельное решение, описывающее изгибные волны в тонком стержне. Связь автомодельных решений с асимптотическим поведением нелинейных волн (так называемые промежуточные асимптотики) была установлена в работах Я.Б. Зельдовича и Г.И. Баренблатта в 1950-1960-х гг. [5.1].

Приближение ВКБ. В физической литературе асимптотическое разложение решений линейного уравнения с переменными коэффициентами (5.45) при к。Т ос наиболее часто называют ВКБ-асимптотикой, а решение (5.50) — ВКБ-приближением. Это название представляет собой первые буквы фамилий авторов Г. Вентцеля, X. Крамерса и Л. Бриллюэна, разработавших в 1926 г. этот метод для нахождения приближенных собственных значений и собственных функций одномерного уравнения Шредингера. В теории волн этот метод имеет название коротковолнового приближения или приближения геометрической оптики [5.2, 5.6].

Математики называют (5.46) преобразованием Лиувилля^ Грина, которые в 1837 г. рассмотрели поведение решений уравнения типа (5.45) для больших значений к。при условии, что п(х)——положительная, непрерывная дифференцируемая функция [5.16].

Функция Эйри. Этим именем названа функция Ai (z) (см. (5.15)) в честь английского королевского астронома Джорджа Эйри. Эти функции возникают во многих задачах оптики, радиофизики, квантовой механики. Впервые функция (5.15) была использована Дж. Эйри в 1838 г. при изучении каустик световых волн. В математической физике функции Эйри первого и второго типа с успехом применяются при построении сквозных асимптотик обыкновенных дифференциальных уравнений, содержащих точки поворота. В теории волн функция Эйри возникает при и с следовании поведения волн в окрестности каустик,

где методы геометрической оптики неприменимы. В методе стационарной фазы возникает особенность, когда в некоторой точке обращаются одновременно в нуль и первая, и вторая производные от фазы. Вблизи этих точек функция Эйри дает правильное асимптотическое решение уравнений.

Джордж Эйри ——английский астроном, физик, механик и изобретатель (1801-1892 гг.), член Лондонского Королевского общества и член-корреспондент Петербургской Академии наук (с 1840 г.), директор Гринвичской обсерватории. Этот ученый обладал многими талантами и был заметной фигурой в английской науке XIX столетия. Он разработал теорию дифракции света в объективах телескопов, предложил теорию радуги, обнаружил явление астигматизма человеческого глаза и ввел в употребление цилиндрическо-сферические линзы для исправления этого дефекта. Усовершенствовал теорию приливов и отливов Лапласа. Определил плотность и массу Земли с помощью маятников, установленных на поверхности и в глубине шахты. Его имя носит также функция напряжений, широко используемая при решении двумерных задач теории упругости. В своем трактате «Tides and Waves》(1845 г.) Эйри впервые дал правильную теоретическую формулу для фазовой скорости волны на поверхности глубокой воды. В этой же работе он придирчиво изучил «Report on Waves» Дж. Рассела (1844 г.) с описанием первого наблюдения уединенной волны на поверхности воды и подверг критике формулу для ее скорости. Критика уединенной волны, данная таким известным специалистом как Эйри, естественно, не способствовала увеличению интереса к этому явлению. В итоге изучение уединенных волн — солитонов, стало одним из ярких событий физики нелинейных явлений уже во второй половине XX столетия.

Задача Бернулли и цилиндрические функции. Задача о колебаниях висящей цепи была решена Д. Бернулли в 1732 г. и опубликована в трудах Петербургской академии наук. Решая ее, он нашел выражение для цилиндрической функции Jq(x) в виде степенного ряда и заметил (без доказательства), что уравнение Jq{x) = 0 имеет бесчисленное множество корней. Следующей работой, в которой встречаются цилиндрические функции Jn(^)^ была статья Л. Эйлера (1738 г.) о колебаниях круглой мембраны. В этой работе он получил практически все основные результаты, связанные с цилиндрическими функциями и их приложениями к математической физике. Немецкий астроном Ф.Бессель, с именем которого обычно связывают цилиндрические функции,

в работе 1824 г. о движении планет вокруг солнца, дал рекуррентные соотношения для функций Ja(x) (А ——произвольное действительное число). Для целочисленных значений Л = п он получил новое интегральное представление цилиндрических функций и составил их первые таблицы для п = 0,1, 2.

В частности, через функции Бесселя порядка 1/3 выражается функция Эйри. Для отрицательных значений аргумента эта связь имеет следующий вид:

Ai (—2) = ；，i 卩т/з© + 4/з(0])

где《 =(2/3)//2 — аргумент функции Бесселя.

Волна де Бройля. Луи Виктор де Бройль — известный французский физик-теоретик, лауреат Нобелевской премии за открытие волновой природы электронов. Его заинтересовала аналогия между математическим аппаратом аналитической механики с волновой теорией. Развивая идею Эйнштейна (1905 г.) о корпускулярно-волновом дуализме света, де Бройль предположил, что дуализм является общим свойством поля и вещества. Он предположил, что всякая частица, имеющая энергию Е и импульс р = т” может быть представлена в виде волны ⑦=аехр {i(ut —卜出)卜 При этом Е и ш связаны между собой соотношением Эйнштейна для фотона Е =幻九(九一постоянная Планка), а связь между длиной волны Л = 2п/к и импульсом 夕 дается формулой де Бройля: Л = 2тгЬ/р (или 夕=hk). С помощью этой формулы он определил длину волны электрона в планетарной модели атома и вычислил электронные орбиты, которые совпали с результатами теории Н. Бора. Успех этого расчета ознаменовал рождение новой науки ——волновой механики, составляющей костяк современной науки о движении микрочастиц.

Менее известно, что Луи де Бройль начал учиться на историческом факультете Парижского университета, но после интеллектуального потрясения, связанного с участием в Сольвеев- ском конгрессе, перешел на факультет наук, который закончил в 1913 г. С 1913 г. по 1919 г. он служил в армии в войсках радиосвязи. Вначале он занимался вопросами истории и методологии физики, а теоретической физикой заинтересовался лишь в 1920 г. в возрасте 28 лет под влиянием своего старшего брата Мориса де Бройля, известного физика-экспериментатора, и П. Ланжевена. Теория волновых свойств материи, окончательно

сформулированная в докторской диссертации де Бройля (1923— 1924 гг.), явилась результатом методологического анализа механики и оптики и представляет собой идеальный пример историко-научного исследования, приводящего к новым научным открытиям. Любопытно отметить, что никто из французских физиков того времени не оценил всей глубины и дерзости его идей. По всей вероятности, члены жюри, состоявшего из знаменитых ученых-физиков Ж. Перрена, П. Ланжевена и математика Э. Картана, не присудили бы ему докторской степени, если бы Ланжевен не догадался послать экземпляр диссертации Эйнштейну. Эйнштейн мгновенно оценил значение идей де Бройля и написал Ланжевену: «Он поднял угол великого занавеса... Известно, что фотон не только волна, но и частица. Почему же электрону, который частица, да и вообще любой частице, не быть также волной?» Этим все сказано. За это открытие в 1929 г. де Бройлю в возрасте 37 лет присуждается ни с кем не разделенная Нобелевская премия.

Задачи и упражнения

С помощью интеграла Фурье найдите явные аналитинв- ские решения, описывающие эволюцию В-имиульса в среде с высокочастотной диссипацией:

ди . ди .父 д2и с J — = О, dt дх дх2

и в среде с частотно-независимым затуханием:

ди . ди . * с

Методом стационарной фазы исследуйте асимптотическое поведение капиллярных волн с ш =，^^ вдали от точки их возбуждения (см. § 2.3).

Найдите автомодельное решение для изгибных волн в тонком стержне (задача Буссинеска):

п(ж, 0) = UqS{x)^ и(ж^ t) = 0.

Найдите автомодельное решение, описывающее поведение изгибных волн в тонком стержне (см. задачу 5.3) при возбуждении его коротким ударом (пДО, ж) = ¥()^(ж)) в точке ж = 0.

Найдите автомодельное решение задачи о тепловой волне, возбуждаемой точечным источником:

ди д2и п

п(ж, 0) = UqS{x)^ u(oq^ t) = 0.

Как изменится уравнение (5.52), описывающее малые поперечные колебания вертикально висящей цепи (см. рис. 5.1 а), если точка ее подвеса будет вращаться во круг вертикальной оси с постоянной угловой скоростью ш? Ответ.；

Исследуйте его решения в приближении ВКБ.

На границе ж = 0 полубесконечного стержня 0 ^ ж < сю с ив- ременной площадью поперечного сечения F =瓦(1 — ах) при р = const, Е = const возбуждается продольная волна смещения n(0, t) = и。sin幻。力(力 》0). Исследуйте ассим- птотики распространяющейся по стержню волны, считая, что 1 — ах > 0. Как изменятся амплитуда и длина волны при прохождении волной расстояния Б?

Найдите решение предыдущей задачи методом ВКБ и сопоставьте его с ранее полученным решением.

ГЛАВА 6

ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННАЯГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИКА

Я больше всего дорожу аналогиями, моими самыми верными учителями.

Иоганн Кеплер

Решение задачи о распространении модулированной волны в линейной среде с дисперсией может быть сконструировано с помощью интегралов Фурье или Лапласа по известному решению для гармонической волны. Однако вычисления этих интегралов, за немногочисленными исключениями, доступны лишь ЭВМ и часто приводят к громоздким результатам.

В этой главе рассмотрен другой подход к описанию модулированных волн, заключающийся в отказе от спектрального анализа в пользу пространственно-временного анализа модуляции волны. При таком подходе открывается далеко идущая «пространственно-временная» аналогия между стационарными процессами в двумерных задачах и нестационарными одномерными задачами. Уравнения для мгновенной частоты и локального волнового числа в линейной диспергирующей среде с дисперсией оказываются нелинейными. В асимптотике волновые группы «выстраиваются» в порядке убывания групповой скорости, а энергия распределяется в соответствии с величиной дисперсии ——максимальная энергия приходится на область со слабой дисперсией.

Уравнение переноса для частотыи волнового числа

Пусть в однородной стационарной среде с дисперсией распространяется модулированная по амплитуде и частоте волна,

описываемая выражением

п(ж, t) = а(ж, t) cos。(伤力))(6.1)

где а(ж, t)——амплитуда волны, a J(x)t)——ее фаза. Начнем с опи™ сания изменений в пространстве и времени мгновенной частоты 幻(出)力)и локального волнового числа к(х)力))определенных как частные производные от фазы (см. (4.35)):

) = * kg) = —*(6.2)

Эти величины приближенно удовлетворяют локальному дисперсионному уравнению

幻闻力)=f[k{x,t)],(6*3)

которое фактически представляет собой нелинейное дифференциальное уравнение для фазы:

»了(一黑)=。・⑹4)

В механике уравнение такого типа называют уравнением Гамильтона^Якоби, а в геометрической оптике — уравнением эйконала. Его решения определяют пространственно-временные лучи (ПВ-лучи), вдоль которых распространяются отдельные группы волн.

Из соотношений (6.2) вытекает очевидное равенство

+= о.(6.5)

dt дх

Подставляя в него (6.3), получим уравнение переноса волнового числа

1 + ^)1 = о,(6.6)

где 乞也丫 = (dcj/dk)——групповая скорость. С другой стороны, под™ ставляя в (6.5) дисперсионное соотношение (6.3), разрешенное относительно волнового числа к = ^(ш), приходим к эквива™ лентному уравнению переноса частоты

+ %г(з)|| = о,(6.7)

где vgr(cj) = (dk/du)^1 — групповая скорость, записанная как функция частоты. Уравнения (6.6) и (6.7) показывают, что в

этом приближении перенос возмущения частоты и волнового числа происходит с групповой скоростью. Следует отметить, что, рассматривая линейную задачу о распространении модулированной волны в среде с дисперсией, мы пришли к нелинейным уравнениям. Как нетрудно заметить, это связано с нелинейностью дисперсионного уравнения (6.3).

Так как ш и к связаны дисперсионным уравнением (6.3), то, очевидно, достаточно рассмотреть одно из уравнений (6.6) или (6*7). Они являются квазилинейными уравнениями первого ио рядка и интегрируются в общем виде. Вспомнив выражение для полной производной по времени

血—дш dx dt dt dt dx'

видим, что (6.7) выражает постоянство частоты вдоль пространственно-временной линии dx/dt = vgr(cj). Представим (6.7) в виде эквивалентной системы обыкновенных дифференциальных уравнений:

a 卜。" (6*8)

Их интегралы определяют на плоскости ①)力(рис. 6.1) про странственно^временные (ПВ) лучи, которые соответствуют

Рис. 6.1. Характеристики уравнения переноса частоты (6.7) для периоди™ ческой модуляции

характеристикам уравнения (6*7)，). Из второго уравнения (6.8) следует, что вдоль ПВ^лучей остаются постоянными частота ш

Подчеркнем, что они не имеют прямого отношения к характеристикам уравнения волнового поля.

и групповая скорость v(ujgr). Следовательно, они являются пря™ мыми:

ж — v(ajgr)t = ^(w),(6.9)

где《 ——константа для данного значения частоты ш. Зависимость от ш определяется законом модуляций частоты при ж = 0. Решение (6.9) можно записать также в виде

з(优⑴=F[x — vgr(w)t],(6.10)

где F — функция, обратная ^(ш), которая определяется из на™ чальных или краевых условий. Решение (6.10) описывает про™ стую волну, называемую также волной Римана (см. § 10.3) в нелинейной среде без дисперсии, хорошо известную в механике сжимаемого газа.

Таким образом, мы приходим к неожиданной аналогии меж™ ду теорией модуляции и механикой: частота модулированной волны в линейной диспергирующей среде ведет себя так же, как и мгновенное значение давления в газе! Эту аналогию нетрудно понять с помощью следующих простых рассуждений: при до™ статочно плавном изменении частоты з (优)力)и волнового числа к(х^ t) м оду лиров анную волну можно представить как последо™ вательность независимых групп, каждая из которых характеризуется своими значениями частоты ш и волнового числа к и распространяется с соответствующей групповой скоростью г;(ш) как отдельная частица ) (см. рис. 6.1).

Эволюция модулированной волны

Нетрудно представить характер изменения частоты з (优⑴ как функции координаты и времени: каждая точка кривой ш движется с постоянной скоростью t;gr, причем участки с dv^/dx > 0 растягиваются, а с dv^/dx < 0 ——сокращаются, подобно волнам разрежения и сжатия в газодинамике (рис. 6.2 а, б).

В зависимости от закона модуляции частоты группы волн могут как расходиться, так и сближаться, обгоняя друг друга. Наглядную картину процесса дает поведение ИВ-лучвй (6*9) на плоскости ж, t (рис. 6.3)• ИВ-лучи представляют собой прямые

линии, наклон которых к оси ж пропорционален скорости точки профиля волны Ugr(g))движущейся вдоль этой прямой. Пересе™

Рис. 6.2. Нелинейная эволюция волны частотной модуляцией при vf (ш) < 0 (а) и при t/Q)〉0 (0, £*/* — координаты « опрокидывания » волныРис. 6.2. Нелинейная эволюция волны частотной модуляцией при vf (ш) < 0 (а) и при t/Q)〉0 (0, £*/* — координаты « опрокидывания » волнычение IIB-лучвй создает неоднозначность решения (6.10) в области 优 1* < ж < < 优2*， Однако, в отличие от нелинейных волн в газ о™ динамике, здесь сохраняет определенный смысл и многочастотное решение. В точку пересечения 优*匕力*i сходятся две или три Грун- цы волн, которые затем снова разбегаются, так как они движутся с различны™ ми скоростями. Из рис. 6.3 а видна еще одна важная ана™ логия с поведением лучей в геометрической оптике. Там их пересечение со здает каустики и фокусы. В нашем случае можно

Рис. 6.2. Нелинейная эволюция волны частотной модуляцией при vf (ш) < 0 (а) и при t/Q)〉0 (0, £*/* — координаты « опрокидывания » волны

Рис. 6.2. Нелинейная эволюция волны частотной модуляцией при vf (ш) < 0 (а) и при t/Q)〉0 (0, £*/* — координаты « опрокидывания » волны

говорить о ПВ^лучах, пространственно-временных каустиках и пространственно-временных фокусах.

Пространственно-временные каустики

Огибающая пересекающихся ИВ-лучвй называется пространственно-временной каустикой (см. рис. 6.3 а,优i* < ж < < 优2*)以 Начальная точка каустики с координатами (优*匕力*1) co- ответствует точке первого пересечения характеристик (6.9) и ее координаты находятся точно так же, как и координаты опрокидывания волны Римана.

Рас см атривая координату ж как функцию частоты ш, легко видеть, что в точке а эта функция имеет перегиб с нулевым наклоном (см. рис. 6.2), т.е.

Продифференцируем уравнение (6.9) два раза по ш и учтем (6.11): * *

—力 &(3*) = С(^). (6.12)

Добавим к ним уравнение (6.9) в точке разрыва:

优* — ^gr (^* )^* =《(3*)〉优* — ^gr (^* )^* =《(3*)〉(6.13)(6.13)

优* — ^gr (^* )^* =《(3*)〉

优* — ^gr (^* )^* =《(3*)〉

(6.13)

(6.13)

в результате получим систему из трех уравнений для определе™ ния двух координат 优*)力* и значения частоты з* в точке опро кидывания.

I х = хзI х = хзх = Ох = ОттРис. 6.3. Поведение ПВ~лучей для волнового пакета линейной частотной модуляцией (а), осциллограммы колебаний (б), изменение частотной модуляции (в)Рис. 6.3. Поведение ПВ~лучей для волнового пакета линейной частотной модуляцией (а), осциллограммы колебаний (б), изменение частотной модуляции (в)

I х = хз

I х = хз

х = О

х = О

т

т

Рис. 6.3. Поведение ПВ~лучей для волнового пакета линейной частотной модуляцией (а), осциллограммы колебаний (б), изменение частотной модуляции (в)

Рис. 6.3. Поведение ПВ~лучей для волнового пакета линейной частотной модуляцией (а), осциллограммы колебаний (б), изменение частотной модуляции (в)

Область, куда IIB-лучи не проникают,——это область каустической тени. В зоне тени в этом приближении поле равно нулю, а на самой каустике амплитуда и плотность энергии поля обраща™ ются в бесконечность (см. § 6.3), что свидетельствует о нвпри- годности геометрооптического приближения на ПВ^каустиках. В действительности поле там отлично от нуля и может быть рассчитано в приближении пространственно-временной квазиоптики (см. гл. 7).

Здесь мы не накладывали каких-либо ограничений на ширину спектра волны, поэтому изменение частоты Дш может быть сравнимо с ее величиной wq, лишь бы оно было достаточно мед™ ленным. Если же изменения частоты не только медленны, но и

малы, т.е. w = wq + ш(ж, t), где 6о/з《1, то приближенно можно записать t;gr = г；о + 少^色.Тогда условия (6.12) и (6.13) упроща™ ются:

优* -(00 + 必 0*)力* =4(з0 + w*).优* -(00 + 必 0*)力* =4(з0 + w*).

优* -(00 + 必 0*)力* =4(з0 + w*).

优* -(00 + 必 0*)力* =4(з0 + w*).

Рис. 6.4. Формирование пространственно-временного фокусаРис. 6.4. Формирование пространственно-временного фокуса竞『（С =「"（6.16）竞『（С =「"（6.16）Следовательно, должна бытьСледовательно, должна быть

Рис. 6.4. Формирование пространственно-временного фокуса

Рис. 6.4. Формирование пространственно-временного фокуса

竞『（С =「"（6.16）

竞『（С =「"（6.16）

Следовательно, должна быть

Следовательно, должна быть

Если, например, на входе в систему (ж = 0) волна модулирована по частоте, w(0, t) = С。sin fl力,то из (6.14) находим параметры точки опрокидывания

Как и следовало ожидать, при слабой модуляции время опро кидывания огибающей 力* велико по сравнению с периодом моду™ ляции Г = 2тг/0. Действительно, из второго соотношения (6.15) получаем Т/力* 〜г；о/^ог4》1*

Пространственно-временные фокусы

Интересен вопрос, как нужно модулировать исходную волну, чтобы ЛВ-лучи (6.9), выходящие при 优=0 из конечного интер™ вала 0 W 力 W Т)сошлись одновременно в одной точке ж = ж*,

t = t^^ т.е. чтобы получился пространственно-временной фокус

(рис. 6.4). Ясно, что в точке фокуса уравнение характеристик

должно выполняться тожде™ ственно для всех ^(ш) в некотором интервале их значений. Это возможно лишь при определенном за™ коне модуляции частоты падающей волны, зависящем от закона ди с™ Персии среды. Подставляя значения х = х^ л t = t^ в (6.9))получим

частота сигнала промодулирована

так, чтобы ее групповая скорость

Ugi•(优)0) изменялась в пространстве по линейному закону. Исключая переменную 《 из (6.9) и (6.16), получим явное

выражение для t;gr как функции координаты и времени:

久Г（写方）=达）《（•方）=三二（6**）

Отсюда следует, что для идеальной фокусировки волны ее групповая скорость должна изменяться линейно в пространстве

(力=0) или обратно пропорций™ нально времени на границе среды ж = 0. При малой девиации часто™ ты линейному изменению грутшо вой скорости t?gr = vq + U36 отве™ чает линейное же изменение ча™ стоты w(0, t) = wgt/T (t Т =2тг/0).

В качестве примера рассмотрим условия оптимального сжатия электромагнитной волны, распространяющейся в однород™ ной изотропной плазме. Выясним оптимальный закон модуляции частоты волны на входе в плазму и найдем координаты ПВ^фокуса.

Рис. 6.5. Групповые линии для электромагнитных волн в холодной плазмеРис. 6.5. Групповые линии для электромагнитных волн в холодной плазмеКлейна-Гордона (2.9) и ееКлейна-Гордона (2.9) и ее(6.18)(6.18)Электромагнитная волна в плазме описывается уравнением групповая скорость равна

Рис. 6.5. Групповые линии для электромагнитных волн в холодной плазме

Рис. 6.5. Групповые линии для электромагнитных волн в холодной плазме

Клейна-Гордона (2.9) и ее

Клейна-Гордона (2.9) и ее

(6.18)

(6.18)

Уравнение (6.9) определяет ИВ-лучи

优=- W2/W2ct + ((W),优=- W2/W2ct + ((W),(6*19)(6*19)

优=- W2/W2ct + ((W),

优=- W2/W2ct + ((W),

(6*19)

(6*19)

представляющие собой прямые линии, выходящие из точек оси ж = 0. При ^ = 0 и шр ш < оо лучи непрерывно заполняют сектор с углами 0 ^ /3 ^ тг/4 на плоскости ж, ct (рис. 6.5, сплошные линии). Штриховыми кривыми на рисунке нанесены линии равной фазы 夕=Зр/и.с?力2 —优2)представляющие собой гиперболы.

Для того чтобы все ПВ^лучи, выходящие из интервала 0 W 力 W Т)сошлись в одной точке (x^^t^) (рис. 6.6), необходимо, чтобы их наклон у в сличив ался с увеличением времени выхода

IIB-луча из оси ж = 0. Требуемый для этого закон изменения частоты шо(^) на границе системы находится из (6.18), если под™ ставить в него выражение для vgr из (6.17) и положить ж = 0:

2

芯⑴1 —小戸(6*2°)

Отсюда видно, что частота волны на входе в плазму должна расти со временем. Это вполне понятно, поскольку групповая скорость Vgr(w) является растущей функцией частоты. Если за™ даны значения частоты в начале и в конце цуга волны (wq(0)= =3，wq(T) = W2 > wi), то координата и время наступления ПВ~фокуса будут равны

- 1 --后)/(1 —危)‘ * 1 --后)/(1 —府)'' ''

где 先I* = 3卩/幻1,2- С приближением начальной частоты волны wi к частоте плазменных колебаний шр (т.е.先1一 1) расстояние 田*, на котором происходит сжатие волны (см. рис. 6.6), убывает из-за увеличения дисперсии.

Рис. 6.6. Образование ПВ~фокуса (а) и закон изменения частоты волны при входе в плазму (б): 1 — ж = 鏡(0)方 к 2 — ж = v(T)方 +《(T)Рис. 6.6. Образование ПВ~фокуса (а) и закон изменения частоты волны при входе в плазму (б): 1 — ж = 鏡(0)方 к 2 — ж = v(T)方 +《(T)

Рис. 6.6. Образование ПВ~фокуса (а) и закон изменения частоты волны при входе в плазму (б): 1 — ж = 鏡(0)方 к 2 — ж = v(T)方 +《(T)

Рис. 6.6. Образование ПВ~фокуса (а) и закон изменения частоты волны при входе в плазму (б): 1 — ж = 鏡(0)方 к 2 — ж = v(T)方 +《(T)

Эффект сжатия частотно^модулированных сигналов в дис™ пергирующих средах используется, например, в радиолокации. Полученные здесь решения хотя и непригодны для определения формы сигнала в точке наибольшего сжатия, зато они позволяют проследить за процессом сжатия и определить координаты

ПВ^фокуса при любых дисперсионных свойствах системы и любом законе модуляции.

Изменение амплитуды волны

Для описания изменений амплитуды и энергии модулированной волны воспользуемся законом сохранения усредненной энергии (см. § 4.5):

碧 + 察=(6.22)

В модулированной волне функции w и S не остаются тюсто янными, а медленно изменяются в пространстве и времени.

Если учесть, что средние величины энергии и плотности ее потока связаны соотношением S = t;gr(w)w, то (6.21) преобразу™ ется в уравнение для w:

(呜+(623)

Знак усреднения w здесь и в дальнейшем будем опускать. Это уравнение линейное, но его коэффициенты vgr и dv^/dx явля~ ются функциями координаты и времени и закон их изменения определяется решением (6.10). На первый взгляд, решение урав~ нения (6.22) выглядит весьма сложным делом, поскольку функ~ ция 匕看丫 сама задана в неявной форме. Однако, эта трудность исчезает, если в качестве одной из переменных взять《=优一 —Ugr(《)九 Перейдем в (6.22) к новым переменным & t и учтем равенства

дш — dw dw 纹 dw — dw 纹 dt dt @《dt〉 дх @《dx〉

祭= (1 +啜， (624)

区=I gr线 =Vgr

况— gr 次 dt —1 +t(cbgr/<)'

Тогда (6.22) запишется в виде уравнения с разделяющимися ив- ременными

半+叫y В = 0工

dtl+±(dt?gr/d《)

Решая его, получаем

1+力(dtv/dQдх1+力(dtv/dQдх(6.25)(6.25)

1+力(dtv/dQдх

1+力(dtv/dQдх

(6.25)

(6.25)

где Q(《)—произвольная функция, определяемая начальным или граничным условием. Второе равенство в (6.24) следует из того, что (ди)/дх) = (du)/dQ(d(/dx).

ражениемражениемТак как в линейной среде энергия является квадратичной формой: w = Ф(ш, к)а^то амплитуда сигнала описывается вы-

ражением

ражением

(6.26)(6.26)Qi(C)

(6.26)

(6.26)

У|1 + t(cbgr/<)|

где Qi =，Q/W — также произвольная функция. Итак, в дан™ ном приближении для исследования процессов модуляции волны (6.1) необходимо решать уравнения переноса частоты (6.7) или волнового числа (6*6) и затем уравнение переноса энергии (6.14). Первое из них имеет общий интеграл (6.10), а второе —— интегрируется при известном решении (6.10). Таким образом, исследование характеристик модулированной волны сводится к вычислениям сравнительно простых выражений (6.10) и (6.25), определяющих изменение частоты и амплитуды вдоль ИВ-луча.

Рис. 6.7. Изменение интенсивности w ~ а2 и частоты модулированной волны: а ——модуляция волны на входе в систему ж = 0, ——модуляция при ж < ж*, в ——модуляция при ж > ж*Рис. 6.7. Изменение интенсивности w ~ а2 и частоты модулированной волны: а ——модуляция волны на входе в систему ж = 0, ——модуляция при ж < ж*, в ——модуляция при ж > ж*

Рис. 6.7. Изменение интенсивности w ~ а2 и частоты модулированной волны: а ——модуляция волны на входе в систему ж = 0, ——модуляция при ж < ж*, в ——модуляция при ж > ж*

Рис. 6.7. Изменение интенсивности w ~ а2 и частоты модулированной волны: а ——модуляция волны на входе в систему ж = 0, ——модуляция при ж < ж*, в ——модуляция при ж > ж*

На рис. 6.7 представлено изменение интенсивности огибаю™ щей &2(力)волны с синусоидальной модуляцией частоты в среде с dv^/dtv > 0.

Ниже рассмотрим некоторые физические следствия и при™ меры использования изложенной здесь теории.

Асимптотика модулированных волн

Пусть в начальный момент времени задано некоторое л ока- лизованное в пространстве возмущение (волновой пакет). Каким будет поведение волны по прошествии достаточно большого вре~ мени и на больших расстояниях от начальной точки? Согласно вышеизложенному, импульс будет расплываться, приобре

тая вид последовательности волновых

支/с 0优/九支/с 0优/九(6.27)(6.27)групп, каждая из которых характеризуй ется своей частотой и распространяется с соответствующей групповой скоростью. Поэтому, на больших расстояниях и вре~ менах имеем

支/с 0优/九

支/с 0优/九

(6.27)

(6.27)

В этом случае на плоскости ж, t характе

ристики ж — Ug『力=《можно считать вы

ходящими из начала координат (рис. 6.8). Рис- 6.8. Групповые В механике такая волна называется цен™ линии центрированной трированной волной разрежения, а выра™ волны

жение (6.26) является простейшим приме™

ром автомодельных решений (см. § 5.3). Выражения для знвр- гии (6.24) и амплитуды (6.25) при больших значениях времени

имеют вид

(6.28)(6.28)Qi(Q * Qi(Qtcbgr/dC 〜，标2也"次

(6.28)

(6.28)

Разумеется, в такой волне dv^/dQ > 0, поскольку вперед выхо дят группы с большей скоростью.

Итак, для каждой группы плотность энергии убывает как 力—\ а амплитуда пропорциональна f^1/2. Распределение энергии волны в пространстве определяется отношением Qi/(dt;gr/d^), которое зависит от спектра сигнала. В рассматриваемом случае w dx = Еш dw, где 石(з) = dW/du ——спектральная плотность энергии, и, соответственно, w = Еш(дш/дх). Из равенства (6.26) и (6.27), находим

w ^w ^Езt dvgr/duЕзt dvgr/du(6.29)(6.29)

w ^

w ^

Езt dvgr/du

Езt dvgr/du

(6.29)

(6.29)

Пусть спектральная плотность энергии Еш примерно посто™ янна в интервале частот от З] до W2 и близка к нулю вне это™ го интервала. Тогда по истечении времени плотность энергии

будет больше на участках со слабой дисперсией, т.е. там, где от™ ношение dt;gr/dw мало. Физически это понятно: на таких участках волна расплывается медленнее. Соотношения (6.26), (6.27) и (6.28) совпадают с соответствующими асимптотическими выра™ жениями, полученными в п. 5.2.1 методом стационарной фазы.

Асимптотическое поведение волн на воде

Для гравитационных волн на глубокой воде дисперсионное уравнение имеет вид (см. § 2.3) w = v^^, и групповая скорость равна

%г(з)= ^У1=*・⑹ 30)

Поэтому согласно (6.26)для короткого начального импульса распределения частоты и плотности энергии в асимптотике имеют вид

== ^^.(6.31)

2小4川)gt 2ж2I 丿

В этом случае и частота, и плотность энергии в данный момент убывают в пространстве (рис. 6.9 а). Максимум энергии

Рис. 6.9. Асимптотическое поведение гравитационной волны: а — распределение частоты и энергии в волне; б ——распределение поля смещения в пространстве

волны находится в области максимальной частоты. Поэтому, если спектральная плотность волны вначале была постоянна

(凡=const) в некотором интервале частот, то в дальнейшем плотность энергии будет расти в области коротких волн (рис. 6.9 б). Хотя в океане относительно длинные волны могут уходить на большие расстояния от области их возбуждения, они несут лишь малую часть энергии волнового поля.

Иначе ведут себя длинные гравитационные волны на мелководье. В этом случае частота ш 心-\/gh(k — ti2k3/2) и групповая скорость поверхностных волн равна Ug^ = vq(1 — /ЗА;2), где и° = =y/gh и /3 =力2/2* Отсюда находим, что в асимптотике

=丿 1 — J w = ^ =&3(6.32)

V V vot2[3kt 2-v^Vl - x/vQt °

Здесь амплитуда волны, в противоположность предыдущему случаю, неограниченно растет с приближением к фронту (ж = =и°力))а перед фронтом при ж 〉 и° 力 возмущение отсутствует. Это является следствием того, что для больших длин волн (衣 Т 0) дисперсия гравитационной волны исчезает.

Для гравитационно-капиллярных волн, когда эффект поверхностного натяжения становится сравнимым с действием 2 поля сил тяжести, дисперсионное уравнение имеет вид ш = =(gr + а к3) и групповая скорость волнового пакета равна

g + Зак24= ь

g 2，gk + ok3

Рассмотрим сначала очень короткие волны, для которых эффекты капиллярности преобладают над гравитационными (gk << ак3). Для таких волн и = (3/2) V^〉и тогда асимптотические распределения волнового числа и энергии имеют вид

娥(6.34)

При сравнимых гравитационных и капиллярных эффектах важно то обстоятельство, что при волновом числе к = 0, 39-^g/a групповая скорость имеет минимум, равный Umin = 1)14，g/c Это означает, что все возмущение уносится из начальной точки в Область X〉Umin力 Причем ПЛОТНОСТЬ Энергии В ТОЧКе /* = Umin力 в данном приближении бесконечна, поскольку (dv^/dk^)v^ = 0. Это типичная ПВ-каустика. Распределение волновых чисел при Umin力 < ж становится двузначным. Более того, |dv^|/dk имеет

максимумы как при к < 衣*)так и при к 〉衣*)что приводит к довольно сложному распределению плотности энергии в пространстве.

Исторические замечания и комментарии

Геометрическая оптика и геометрическая акустика. Геометрическая оптика и геометрическая акустика ——упрощенные теории распространения света и звука, пренебрегающие дифракционными явлениями. Волновое поле в этих теориях представляют в виде лучевой картины, на зависящей от длины волны, и считают, что энергия поля распространяется вдоль каждой лучевой трубки (луча) независимо от остальных лучей. В однородных средах лучи ——прямые линии, в неоднородных они искривляются (явление рефракции).

С математической точки зрения геометрическое приближение есть предельный случай волновой теории при стремлении длины волны к нулю. Волновое поле локально рассматривается как квазиплоская волна, бегущая в направлении касательной к лучу. Геометрическое приближение неприменимо в областях, где существенны дифракционные эффекты волнового поля (каустики, фокусы), принципиально не учитываемые этой теорией. В этих областях необходимо использовать квазиоптическое приближение.

Пространственно-временная геометрическая оптика. Развитие пространственно-временной геометрической оптики началось с отдельных работ и догадок, не казавшихся современникам существенными. По-видимому, первые кирпичики в современное здание классической геометрической оптики заложил Гамильтон, который на частном примере колебаний цепочки связанных масс ввел фундаментальное для физики понятие групповой скорости волны. Свои результаты он сообщил в 1839 г. в письме Дж. Гершелю [И.10].

В 1874 г. Н.А. Умов в своей докторской диссертации высказал парадоксальную для того времени мысль, что энергия наподобие жидкости льется в физических телах, подчиняясь при этом гидромеханическому уравнению неразрывности.

Важный шаг на пути создания геометрической оптики сделали К. Рунге и А. Зоммерфельд, опубликовавшие вывод уравнения эйконала, описывающего пространственное распределе-

ние монохроматического электромагнитного поля из уравнения Гельмгольца. Сам термин «эйконал» вошел в употребление физиков в конце 80-х годов XIX столетия.

Вопрос о применимости геометрооптических построений к теории модулированных волн впервые, по-видимому, был поставлен С.М. Рытовым в 1940 г. в докторской диссертации, в которой он рассмотрел задачи о распространении модулированных электромагнитных волн в нестационарных средах [6.11, 6.12]. Интенсивное развитие метода пространственно-временной геометрической оптики началось в 1960-е годы. Тогда же этот метод стал рабочим аппаратом специалистов по теории волн. Была развита четырехмерная форма уравнений геометрической оптики на основе аналогии с поведением частиц в четырехмерной механике. Это привело, в частности, к введению понятия пространственно-временных лучей, которые широко используются в этой главе [6.1].

Задачи и упражнения

На границу прозрачной среды с законом дисперсии и(ш)= =— /Зш2) падает волновой пакет и = и。sin®力 с линейной частотной модуляцией ш = шп(1 at/т)^ а = =(шп — ш^)/шп и длительностью, равной 丁. На каком расстоянии от границы частотная огибающая волнового пакета «опрокинется» ?

На поверхности глубокой воды в точке ж = 0 возбуждается гравитационная волна с частотой, возрастающей по линейному закону g = шп(1 + а力/丁))0 < 力《丁)а = (wn — шд；)/шп. Ha каком расстоянии от места возбуждения частотная огибающая такой волны «опрокинется»?

Произойдет ли «опрокидывание» частотной огибающей капиллярной волны на поверхности глубокой воды (ш = =Vак3), если ее частоту модулировать по закону, указанному в задаче 6.1 или 6.2?

Изгибная волна в упругом стержне в простейшем случае обладает дисперсией ш = сегк2 (см. п. 2.4.2). Что будет происходить с частотной модуляцией изгибной волны, если ее частота в точке ж = 0 изменяется по законам, при-

6 Л.А. Островский, А.И. Потапов

веденным в задачах 6.1 или 6.2? В каком из этих случаев частотная огибающая волны «опрокинется»? Найдите расстояние, на котором произойдет «опрокидывание».

Найдите как должна изменяться во времени частота гравитационной волны (в приближении глубокой воды) на границе ж = 0, при котором модулированная волна «сфокусируется» .Найдите координаты ПВ-фокуса.

Решите задачу 6.5 для капиллярных волн на поверхности воды.

Решите задачу 6.5 для изгибных волн в тонком стержне.

На границе слоя холодной плазмы (ж = 0) задан короткий импульс поперечной электромагнитной волны с равномерным распределением амплитуды от ш = 0 до ш111ах》шр. Необходимо исследовать асимптотическое поведение волны вдали от ПВ-фокусов и ПВ-каустик. Нарисуйте качественные зависимости распределения частоты и плотности энергии в волне, а также распределение поля волны по координате ж.

ГЛАВА 7

ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННАЯКВАЗИОПТИКА

Первое правило всяких вычислений состоит в том, чтобы точность результатов, ими доставляемых, соответствовала той практической потребности, для которой вычисление производится. Очевидно, что расчеты не точны, но слова «не точны» не равносильны словам «не пригодны для дела».

А. Н. Крылов

Так же, как в обычной геометрической оптике пренебрегают дифракцией волны, в пространственно-временной геометрической квазиоптике не учитывается «временная дифракция», приводящая к расплыванию отдельных групп волн. Эти эффекты приходится учитывать, в первую очередь, для окрестности ПВ-фокусов и каустик, где интенсивность волны в приближении ПВ-геометрической оптики неограниченно растет.

В этой главе будет рассмотрен круг вопросов, связанных с учетом «временной дифракции». Будет показано, что для ква- зигармонических волн с узким частотным спектром (а точнее, с узким спектром групповых скоростей) процессы модуляции описываются уравнением Шредингера для комплексной огибающей или его аналогами для действительных амплитуды и частоты. В рамках этих уравнений мы проследим за эволюцией волны в окрестности ПВ-фокусов и каустик.

Пределы применимостиПВ-геометрической оптики

В приближении ПВ-геометрической оптики вблизи фокусов длительность волновой группы стремится к нулю. В действи-

тельности же из спектрального соотношения неопределенности △си△力》7Г следует, что длительность сигнала при предельном сжатии не может быть меньше Т^^^тг/Ашт^ где Ашто — максимальная девиация частоты. При этом «групповое» приближение для волнового пакета, имеющего конечную ширину спектра Аш, теряет смысл, так как отношение конечных разностей △си/△衣 отличается от производной dbj/dk и уравнения (6.7) и (6.23) теряют применимость. Выясним, до каких пор можно пользоваться «групповым» приближением.

Из (1.20) следует, что при замене △си/△衣 на d^/dk ошибка в фазе гармонических составляющих волнового пакета, вызванная опусканием второго и следующих слагаемых в (1.20), за время t имеет порядок

；常)反也ma% (7.1)

Пока она остается малой (т.е. △夕 < тг), можно считать, что огибающая не меняет своей формы и движется с групповой скоростью Ug- Отсюда находится время t, в течение которого справедливо «групповое» приближение

力 W 脸(*；)w(7.2)

Так как волновой пакет движется со скоростью Ugi■(衣о))то он сохраняет свою форму до расстояния

力…=(7.3)

Целесообразно различать случаи, когда волновой пакет имеет широкий спектр Аш 〜 幻。и узкий спектр △cu《си> В первом из них минимальная длительность группы волн равна 厶口也 ^亓/幻。)т.е. сжатие группы может продолжаться до тех пор, пока ее длительность не будет сравнима с периодом осцилляций поля, после чего говорить о медленной модуляции волны вообще не имеет смысла.

Во втором случае при малых изменениях частоты, понятие модуляции сохраняет смысл повсюду. Действительно, здесь △ugr t (diJgr/dcu) Аш, причем Дш《幻山 а минимальная длительность группы много больше периода осцилляции 厶口也 ^ тгДш》 》7Г®> Следовательно, в случае малой модуляции частоты есть надежда «пробиться до конца», оставаясь в рамках «модуляци-

онных» представлений. Для этого необходимо учесть эффект дисперсионного расплывания волнового пакета, связанный со следующими членами в разложении дисперсионного уравнения (1.20). Соответствующую модификацию геометрической оптики, учитывающую эффекты дифракции, часто называют квазиоптикой. Здесь мы рассмотрим аналогичное приближение для пространственно-временных процессов.

Уравнения ПВ-квазиоптики

Групповая скорость лишь приближенно характеризует распространение модулированной волны, поскольку в этом случае дисперсионная кривая ш =幻(衣)аппроксимируется линейной зависимостью ш сид + шг{ко)Ак (см. рис. 1.4 б). Если учесть следующие члены в разложении (1.20), то огибающая волнового пакета уже не будет перемещаться как единое целое. При узком спектре искажения огибающей модулированной волны будут медленными по сравнению с пространственными и временными масштабами несущей волны. Наша задача заключается в выводе уравнений, описывающих эти медленные изменения.

Уравнение для комплексной огибающей

Модулированную квазигармоническую волну будем описывать выражением

(7.4)(7.4)и(х^ 力)= Л(ж,力)exp [〃(®о力一k()x)]^

(7.4)

(7.4)

где 4(步)力)——медленно меняющаяся комплексная амплитуда. Вид уравнения для комплексной амплитуды легко находится по дисперсионному соотношению (1.20). С помощью замены

— 3°) = id/dt, (к —衣°) = —id/dx выражение (1.20) преобразуется в операторное соотношение:

.д . х дО? “.д . х дО? “J炉6 дх3J炉6 дх3+ …(7*5)+ …(7*5)

.д . х дО? “

.д . х дО? “

J炉

6 дх3

J炉

6 дх3

+ …(7*5)

+ …(7*5)

Пренебрегая производными второго порядка порядка и выше, получаем уравнение для огибающей в первом (групповом) приближении:

ал 丄 алал 丄 ал=о.=о.

ал 丄 ал

ал 丄 ал

=о.

=о.

Во втором приближении теории дисперсии, удерживая в (7.5) вторую производную по координате, получим следующее уравнение для комплексной огибающей:

，偿+ ”£)+*(75)

где /3 = ш,,/2 = Ugr/2 ——параметр, характеризующий дисперсию групповой скорости. Из сопоставления этих уравнений видно, что групповое приближение выполняется тем лучше, чем медленнее меняется амплитуда волны и слабее дисперсия среды. Уравнение (7.6) можно привести к более привычному виду, если перейти к «бегущей» координате "=步一vgrt:

% 折犷(77)

Его называют параболическим уравнением Леонтовича или уравнением Шредингера.

Специальное рассмотрение требуется для области частот, где групповая скорость достигает экстремума и, следовательно, /3 = 0. В этих случаях в дисперсионном соотношении (7.5) определяющую роль начинает играть кубическое слагаемое, и для комплексной огибающей получаем уравнение

嘗-仇祟=。，(7.8)

где /31 = (1/6)ш,,,(А；о)- Оно совпадает с линеаризованным уравнением Кортевега де Вриза (5.11).

Уравнения для амплитуды и частоты

Прежде чем заняться исследованием решений уравнения (7*7))выведем уравнения для амплитуды и частоты огибающих модулированной волны. Представим комплексную амплитуду Л(ж, t) в следующем виде ):

Л(ж,力)=矶步)力)exp [i(p(x^ f)],(7.9)

где &(/)力)и 夕(步)力)一действительные функции, описывающие соответственно амплитудную и фазовую модуляции волнового пакета. Частные производные от фазы 夕(步)力)дают поправки к

частоте шд и волновому числу ко несущей волны:

(7.10)(7.10)

(7.10)

(7.10)

После подстановки (7.9) в (7.7) и разделения действительной и мнимой частей получим систему уравнений для а (ж, t) и 夕(步)力)：

等+。儔）2-3察=。，等+。儔）2-3察=。，dt \ дх дхdt \ дх дх+ а+ а=0.=0.(7.11)(7.11)

等+。儔）2-3察=。，

等+。儔）2-3察=。，

dt \ дх дх

dt \ дх дх

+ а

+ а

=0.

=0.

(7.11)

(7.11)

Приведем эту систему уравнений к более удобному виду. Для этого продифференцируем первое уравнение по координате, а второе умножим на амплитуду и введем новую переменную U(ж, t), равную

U = 2哼=—2/3 必⑵》 (7.12) В итоге получим

警+嗒= 2/^『籍， (7.13) 票+ "2и)= о. с,)

Система (7.13), (7.14) по виду напоминает уравнения гидродинамики идеальной сжимаемой жидкости, где U играет роль скорости, а а2 — плотности среды. Их называют иногда уравнениями дисперсионной гидродинамики, так как в них входит третья производная по координате.

Может показаться, что мы усложнили задачу, преобразовав линейное уравнение (7.7), в систему нелинейных уравнений (7.13) и (7.14). Однако в ряде случаев работать с действительными переменными удобнее, особенно в нелинейных задачах, рассматриваемых в гл. 11. Пока же заметим, что в групповом приближении (/3 = 0) модуляция волнового числа, описываемая функцией U(//))эволюционирует независимо и порождает амплитудную модуляцию а(ж, t), описываемую уравнением (7.14). Такие процессы рассматривались в гл. 6. Во втором приближении (/3，0) частотная и амплитудная модуляции волны взаимосвязаны.

Гауссов импульс

Рассмотрим важный класс точных решений линейного уравнения Шредингера (7.7))описывающих эволюцию волнового пакета, у которого в начальный момент времени амплитуда изменяется в пространстве по гауссову закону, а волновое число изменяется по линейному закону:

Л(ж, 0) = «о вхр (—)/2))Л(ж, 0) = «о вхр (—)/2))(7.15)(7.15)

Л(ж, 0) = «о вхр (—)/2))

Л(ж, 0) = «о вхр (—)/2))

(7.15)

(7.15)

где 7 = △「+ 58. Здесь △()— начальная ширина пакета, 2d — коэффициент модуляции волнового числа. В электродинамике модулированную волну с такой огибающей часто называют радиоимпульсом с частотной модуляцией. Решение уравнения (7*7) с начальным условием (7.15) может быть получено с помощью интеграла Фурье (5.1), где F(k) = о©/，47rу ехр (—3/4))* Опуская промежуточные выкладки, которые предлагаем проделать самостоятельно в качестве упражнения (см. задачу (7.3)))запишем получаемое в результате автомодельное решение

w 力= Urxpw 力= Urxp啰2啰21 + i4/3^t J •1 + i4/3^t J •(7.16)(7.16)

w 力= Urxp

w 力= Urxp

啰2

啰2

1 + i4/3^t J •

1 + i4/3^t J •

(7.16)

(7.16)

Отсюда следует, что действительные амплитуда а(//) и фаза 夕(//) радиоимпульса изменяются по следующим законам:

а(伤 t)=а(伤 t)=а。а。ж2ж2ехр CAlW)rехр CAlW)r(7.17)(7.17)9⑴=_89⑴=_8(1 — 4/38力)一4/ЗА0 2力(1- 4 户员)2 + (4 户△「力)2(1 — 4/38力)一4/ЗА0 2力(1- 4 户员)2 + (4 户△「力)22 8卜1 _4心产力2 8卜1 _4心产力)(7.18))(7.18)

а(伤 t)=

а(伤 t)=

а。

а。

ж2

ж2

ехр CAlW)r

ехр CAlW)r

(7.17)

(7.17)

9⑴=_8

9⑴=_8

(1 — 4/38力)一4/ЗА0 2力

(1- 4 户员)2 + (4 户△「力)2

(1 — 4/38力)一4/ЗА0 2力

(1- 4 户员)2 + (4 户△「力)2

2 8卜1 _4心产力

2 8卜1 _4心产力

)(7.18)

)(7.18)

где введено обозначение Т⑴=[(1 — 4/%力产 + (4/3△「力产]* Отсюда видно, что амплитудная и фазовая огибающие волнового пакета взаимно связаны между собой, а скорость распространения его максимума совпадает с групповой скоростью волны Ug— Ширина волнового пакета △«) и его максимум а (力)изменяются во времени по законам

△⑴=◎⑴=询/(7.19)

Анализ показывает, что в зависимости от знака произведения коэффициента модуляции 8 и параметра дисперсии /3 = о/'(衣° )/2

волновой пакет по мере распространения может сжиматься, если (5/3 > 0 (рис. 7.1) или расширяться, если(5/3 < 0. В случае сжатия в некоторый момент времени

(7.20)(7.20)1 N

(7.20)

(7.20)

4/Ф + 宀 2]

ширина импульса достигает минимума, а значение амплитуды —— максимума:

△тЕ = 7=^^ °max =。。+ 户%(721)

В приближении ПВ-геометрической оптики в точке 力*)①* = = Ugr力* происходит пересечение ПВ-лучвй (см. п. 6.2.2), т.е. возникает ПВ-фокус. В этой точке импульс не модулирован по частоте. В данном случае в отличие от геометрооптического

Рис. 7.1. Сжатие волнового пакета с линейной модуляцией волнового числа приближения ширина и амплитуда волнового пакета имеют конечные величины. При переходе через ПВ-фокус импульс начинает расплываться, его амплитуда уменьшается (рис. 7.1) и вновь появляется частотная модуляция. Для удобства расчетов вводят коэффициент сжатия импульсаРис. 7.1. Сжатие волнового пакета с линейной модуляцией волнового числа приближения ширина и амплитуда волнового пакета имеют конечные величины. При переходе через ПВ-фокус импульс начинает расплываться, его амплитуда уменьшается (рис. 7.1) и вновь появляется частотная модуляция. Для удобства расчетов вводят коэффициент сжатия импульса

Рис. 7.1. Сжатие волнового пакета с линейной модуляцией волнового числа приближения ширина и амплитуда волнового пакета имеют конечные величины. При переходе через ПВ-фокус импульс начинает расплываться, его амплитуда уменьшается (рис. 7.1) и вновь появляется частотная модуляция. Для удобства расчетов вводят коэффициент сжатия импульса

Рис. 7.1. Сжатие волнового пакета с линейной модуляцией волнового числа приближения ширина и амплитуда волнового пакета имеют конечные величины. При переходе через ПВ-фокус импульс начинает расплываться, его амплитуда уменьшается (рис. 7.1) и вновь появляется частотная модуляция. Для удобства расчетов вводят коэффициент сжатия импульса

八=三=(1 +屛△犷/2(7*22)

и коэффициент усиления амплитуды

Ка = * = (1 + 屛△犷/4 .(7.23)

При отсутствии частотной модуляции ((5 = 0) волновой пакет только расплывается, и его ширина увеличивается в V^ раз за время

td = ^ =—力…包一)(7.24)

которое называется временем дисперсионного расплывания. На рис. 7.2 приведены графики изменения во времени амплитуды и ширины волнового пакета в зависимости от знака произведения (5/3*

Рис. 7*2. Изменение ширины (а) и амплитуды (6) волнового пакета с линейной частотной модуляцией: 1 — ^ = 0, 2 — 6/3 < 0, 3 — ^/3 > 0Рис. 7*2. Изменение ширины (а) и амплитуды (6) волнового пакета с линейной частотной модуляцией: 1 — ^ = 0, 2 — 6/3 < 0, 3 — ^/3 > 0

Рис. 7*2. Изменение ширины (а) и амплитуды (6) волнового пакета с линейной частотной модуляцией: 1 — ^ = 0, 2 — 6/3 < 0, 3 — ^/3 > 0

Рис. 7*2. Изменение ширины (а) и амплитуды (6) волнового пакета с линейной частотной модуляцией: 1 — ^ = 0, 2 — 6/3 < 0, 3 — ^/3 > 0

В ряде задач возникает необходимость учета дисперсионных эффектов третьего приближения. Особенно это относится к случаям, когда на несущей частоте шо групповая скорость имеет экстремум и, следовательно, си"(人沁)〜/3 = 0. Такая ситуация может иметь место, например, при распространении продольных волн в стержне и гравитационно-капиллярных волн на поверхности воды, у которых дисперсионные кривые ш = ш(А:) имеют точки перегиба (см. рис. 2.7. и рис. 2.9). В этих случаях эволюция комплексной амплитуды 4(优)力)описывается уравнением (7.8). В этом случае форма гауссова импульса изменяется с течением времени, а скорость перемещения его максимума отличается от групповой скорости волны.

Автомодельные волны огибающих

В гл. 5 были рассмотрены автомодельные решения некоторых уравнений. Здесь будет рассмотрен более общий случай получения автомодельных решений уравнений (7.13) и (7.14) методом разделения переменных. Будем искать их решение в виде произведения функций, каждая из которых зависит от одной переменной

а =⑦⑴ G(£), U =夕⑴①(£)) ^ = xD(t). (7*25)

Здесь £ — автомодельная переменная, а функции ⑦⑴)夕⑴) G(£))Ф(^), D(t) подлежат определению. Подставляя (7.25) в (7.13) и (7.14), получим

击察-堂+卷冉=。，(726)

+ 2。2①7 (3)' + ^ 6 + 8景 g ^ =。.(727)

Здесь штрихи обозначают дифференцирование по соответствующим переменным.

Рассмотрим различные случаи, когда в системе (7.26), (7.27) разделяются переменные. Начнем с уравнения (7.26), которое имеет вид

Т1 ⑴一61(£)=Т2⑴62(£)工

Здесь и = (*)，/夕⑦23不=0/в03, @1 =(①G2)7G2)@2 = = ^(G2)1 /G2 — комбинации из искомых функций, зависящие только от времени или пространственной переменной. Дифференцируя его по t и & видим, что либо @2(£))либо 不⑴ должны быть постоянными. В обоих случаях получаются уравнения с разделяющимися переменными, в которых нас интересуют только решения с ограниченным значением амплитуды.

Если @2(£) = ^(G2)r/G2 = Q = const, то функция G2(^)= =£°1 и амплитуда остается конечной только при Ci = 0 и, следовательно, G = Go Тогда из (7*26) и (7.27) получим

①=02《 俨=*/(02 %+ Q)"夕0=一1/(02 力+03卜

Заметим, что все введенные здесь обозначения Oi,2,3)Go и ⑦°) не поясняемые специально, относятся к константам интегрирования. Из полученных соотношений следует решение, описывающее изменение амплитуды модулированной волны и поправки к ее волновому числу:

(7.28) 十 Оз十 Оз

Найденное решение описывает пространственно-временную эволюцию амплитуды и частоты волны, у которой в начальный момент времени амплитуда была постоянной, а волновое число изменялось в пространстве по линейному закону: Sk = 2/3U(ж, 0)〜 〜х. Такие решения уже рассматривались ранее в § 6.2 и 6.3, однако там не учитывался эффект «временной дифракции» ИВ- лучей.

Существенно богаче случай 4(力)=。'/夕。？ =。1 = const. При этом из (7.26) имеем

(色;二(2「1上

丿 \dqJ 〉中

(①-0*)展=02 - 日.(7.30)

Тогда в левой части (7.27) переменные разделяются и возникают две возможности:

^ + MD^ = QD\ (^^) Ф^-М,俨⑴= 2Q0 (7.31) либо

少=Q1D3, d = M.D3,俨(^) = *巾2 (1 — Q£^) , (7.32)

где М, Mi, Qi — произвольные константы.

Рассмотрим сначала равенство (7.31). В этом случае функции G и Ф удовлетворяют сразу трем уравнения ((7.30) и два последних в (7.31)). Они совместны при условиях М = 0, Ci = С2, Ф = О1£)тогда (7.30) выполняется тождественно. Из оставшихся уравнений в (7.29) и (7.31) находим, что

VQ1 Q" + Q2

(7.33)(7.33)G 1vz(Q" + Q?)2 十 8i

(7.33)

(7.33)

а функция G(£) удовлетворяет вырожденному гипергеометрическому уравнению

炉2g" +(82 —8iL)g = 0)(7*34)

где 石1,2 — константы интегрирования.

Среди решений уравнения (7.34) особый интерес представляют локализованные импульсы с конечной полной энергией. Искать такие решения имеются все основания, поскольку энергия волны +оо+оо

—оо—оо

должна сохраняться, т.е. "ф2/D = const. Функции ⑦ и D из (7.33) как раз удовлетворяют этому условию. Из теории дифференциальных уравнений известно, что такие решения уравнения (7.34) существуют при 8] > 0. Собственные значения краевой задачи при т4(=Ьоо) = 0 даются условием (В2/д)УЖ = (2п + 1), где п = 0,1, 2,... , а соответствующие собственные функции равны

4(0 〜(20L/2「/2T〃(d(7.35)

где С = (81/『)1/4& а Hn(Q = ㈠严*『\6- — полиномы Чебышева^Эрмита (рис. 7.3). Амплитудная огибающая модулированной волны в этом случае имеет вид

"力()〜/ I广0 (7.36) %(Q" + Q2)2+8i 火九 V 7 5

где С = Q\z/^/(Q\t + Q2)2 + Bi，При всех значениях параметра п решение (7.36) описывает локализованные волновые пакеты (радиоимпульсы). В частности, при п = 0 оно описывает эволюцию гауссова импульса с линейной частотной модуляцией (см. § 7.3). Длительность и амплитуда импульса непрерывно изменяются по мере его распространения. Так, если Qi < 0, a Q2 < 0, то импульс сжимается, и наибольшее сжатие достигается в момент 力=力* = —Q2/Q1 (в точке ПВ-фокуса). При этом в фокусе частотная модуляция волны отсутствует (U亿优)=0), как и в гауссовом решении (7.16). При удалении от пространственновременного фокуса импульс неограниченно растягивается, а частотная модуляция вновь нарастает. Если при некотором 力° < 力*

известны Dq и начальная длительность импульса Tq на уровне а = а。/ ^^)то минимальная ширина волнового пакета при 力=力* и n = 0 равна △min = 2/Z)o (см. рис. 7.2).

В случае, если выполняются условия (7.32), локализованных решений не существует. Здесь имеется другой важный класс ре-

Рис. 7.3. Функции Чебышева-ЭрмитаHr1g при и = 0,1, 2Рис. 7.3. Функции Чебышева-ЭрмитаHr1g при и = 0,1, 2шений, удовлетворяющий перепаду («ступеньке») от а(—оо) = 0 до а(+оо) = а。= =const. Этот класс решений описывается интегралами Френеля. Он был получен методом теории размерностей в п. 5.3.1 для комплексной огибающей модулированной волны.

Рис. 7.3. Функции Чебышева-Эрмита

Hr1g при и = 0,1, 2

Рис. 7.3. Функции Чебышева-Эрмита

Hr1g при и = 0,1, 2

Автомодельные решения имеют важное физическое значение. Они, как правило, представляют собой асимптотики более широкого класса решений, отвечаю

щих другим начальным условиям, и поэтому с их помощью можно сделать полезные выводы о конечной судьбе других,

неавтомодельных волн.

Исторические замечания и комментарии

2泳2泳dа _炉 4дх ду2dа _炉 4дх ду2=О=О(7.37)(7.37)Параболическое уравнение Леонтовича. Для описания процесса распространения электромагнитных волн вдоль поверхности Земли М. Леонтович и В. Фок в 1946 г. [6.6, 6.7] вывели приближенное дифференциальное уравнение

2泳

2泳

dа _炉 4

дх ду2

dа _炉 4

дх ду2

=О

=О

(7.37)

(7.37)

и назвали его «параболическим уравнением». Параболическое уравнение описывает поперечную диффузию комплексной лучевой амплитуды А и сходно с уравнением Шредингера в квантовой механике.

Известны многочисленные обобщения пароболического уравнения (ПУ) на нестационарные и нелинейные волновые процессы как в однородных, так и неоднородных средах с регулярными

и случайными изменениями параметров. Однако наибольшую известность получило обобщение параболического уравнения на нелинейный случай (см. комментарии к гл. 11), которое принято называть нелинейным уравнением Шредингера. Широкое распространение ПУ приобрело также в подводной акустике, при исследовании распространения акустических сигналов по подводным звуковым каналам в океане. Параболическое уравнение Леонтовича составляет основу математического аппарата «квазиоптики» .Важным классом его решений являются гауссовы пучки, структура которых имеет автомодельный характер.

Гидродинамическая аналогия квантовой механики.

Практически сразу же после появления уравнения Шредингера, описывающего движение частицы с массой m во внешнем поле с потенциалом U(ж),

访* ++ и(7.38)

dt 2т дх2 7

Е. Маделунг в 1926 г. предложил замену, которая сводила уравнение (7.38) к системе уравнений для двух действительных функций. Он представил комплексную функцию ^(ж, t) в виде

肌 х^=а(х^》^6?(7.39)

где а(ж, t) и S(/)力)——действительные функции. Подставляя (7.39) в (7.38) и вводя обозначение г;(ж, t) = m^dS/дх^ получаем систему уравнений в частных производных (ср. с (7.13), (7.14)):

dv . dv д г 、 ] !方2 0 ( д2а\

丽+(7 40)

да2 . д /с

而石(話)=0"

Первое из них без последнего слагаемого в правой части есть уравнение Эйлера, а второе ——уравнение непрерывности для некоторой «гипотетической» среды. Здесь квадрат амплитуды играет роль плотности (а2 = р) среды. Последнее слагаемое в правой части уравнения Эйлера отвечает за дисперсионные свойства среды. Преобразование уравнения Шредингера (7.38) к эквивалентным ему уравнениям (7.40) называют гидродинамической аналогией. В физике нередко встречаются весьма интересные и поучительные аналогии между, казалось бы, разнородными явлениями.

Дисперсионные эффекты высокого порядка. На недостаточность приближения геометрической оптики для описания нестационарного волнового поля впервые обратили внимание в 1914 г. Арнольд Зоммерфельд и Леон Бриллюэн. Они рассмотрели задачу о дисперсионном расплывании «полуограниченной» (внезапно включенной) синусоидальной волны. Они показали, что передний фронт сигнала всегда распространяется со скоростью электромагнитной волны с. В начале прибывает передняя часть сигнала ——так называемый предвестник, который имеет малую амплитуду и высокую частоту. Основная часть сигнала всегда переносится со скоростью и < с. Выражение для и не может быть записано в общем виде, так как ее определение неоднозначно и связано с методом вычисления [5.6, 6.3].

Квазиоптика имеет дело с описанием волновых полей, характеризующихся различными масштабами изменения амплитуды в направлении локального волнового вектора и в перпендикулярном направлении.

В отличие от геометрической оптики, описывающей распространение волн в каждой лучевой трубке независимо, «квазиоптика» учитывает эффекты поперечной диффузии амплитуды в смежные лучевые трубки.

Возникнув в «недрах» электродинамики, квазиоптика в дальнейшем приобрела универсальный характер как метод, пригодный для волн любой природы и в любом диапазоне частот, если только выполнен необходимый критерий ее применимости 入《d (где А ——длина волны, d ——характерный пространственный масштаб волнового пакета).

Задачи и упражнения

Найдите решения системы уравнений (7.13), (7.14), описывающие возмущения амплитуды и волнового числа ква- зигармонической волны, у которой в начальный момент времени 力=0 задана малая амплитудная модуляция

а(ж, 0) = «о + «т cos Кх^ U(ж, 0) = 0.

72 Найдите решение системы (7.13), (7.14), описывающее стационарную волну огибающей, зависящую от одной «бегущей» переменной п = х — V~L

Указание. В стационарной волне частотная и амплитудная модуляции связаны соотношением (/(ту) = К + С1/а2(?]), а переменная а(〃) удовлетворяет уравнению

2乃*+(*2 72)а +。"尸=3

где О],2 — произвольные постоянные.

Покажите, что решение уравнения (7.7) с начальным условием (7.15) описывается выражением (7.16).

Указание. Решение записывается в виде интеграла Фурье

4@t)4@t)ОООО—оо—ооехрехрexp (i[kx — g(R)出)办入exp (i[kx — g(R)出)办入

4@t)

4@t)

ОО

ОО

—оо

—оо

ехр

ехр

exp (i[kx — g(R)出)办入

exp (i[kx — g(R)出)办入

где cu(R) = i^k?. Замена переменной интегрирования

，"£= "1 + 45+ 2 方餐詞

сводит интеграл Фурье к вычислению интеграла ошибок

ОО

1 + 4?；/3)力\ 1 + 42/3)力 / J

Запишите уравнения для действительной амплитуды и девиации волнового числа, эквивалентные следующему уравнению для комплексной амплитуды:

.дА . q д2 А . п д3 А с

dt дх2 Оа”

Найдите решение уравнения Шредингера (7*7))описывающее эволюцию огибающей волны, которая в начальный момент времени 力=0 имела лишь линейную частотную модуляцию Л(ж, 0) = «о ехР (i<5^2). Найдите координаты пространственно-временного фокуса.

Ответ. Амплитуда и фаза модулированной волны изменяются по законам:

а(ж, t) = «о/，1 — 4/Ш)夕応 t)=—方优2/(1 — 4/3)力).

Координаты ПВ-фокуса:力* = 1/4/3(5, 优* = Ugr/4/3R

ГЛАВА 8

ВОЛНЫ В НЕСТАЦИОНАРНЫХ СРЕДАХ

Характер идеализаций, допустимых при рассмотрении той или иной задачи, определяется всей задачей в целом и зависит поэтому не только от свойств рассматриваемой системы но и от того, на какие именно вопросы желательно получить ответ при рассмотрении задачи.

Л. И. Мандельштам

В предыдущих главах рассматривались волны в средах с постоянными во времени параметрами. В таких средах гармонические волны не порождают волн других частот. Модуляция амплитуды и частоты появляется за счет граничных и начальных условий, а форма огибающих изменяется по мере распространения из-за дисперсии, приводящей к сдвигу фаз гармонических компонет в волне. В этой главе будут рассмотрены случаи, когда сама среда может служить «модулятором» распространяющейся в ней волны, благодаря тому, что ее параметры изменяются во времени.

Примеры систем с переменными параметрами

Рассмотрим некоторые примеры сред, у которых параметры могут изменяться как в пространстве, так и во времени. Причины и характер изменений параметров среды могут быть самыми разнообразными: движение неоднородной среды (плазмы, газа, жидкости), управление ее параметрами посредством распределенных в пространстве источников и т.п. Во всех

рассматриваемых здесь примерах мы будем считать, что пара™ метры среды изменяются по заданным законам, не вдаваясь в выяснение причин, их вызывающих.

Диэлектрик с переменными параметрами. В диэлектрике с изменяющимися в пространстве и времени электрической и магнитной проницаемостями индукции и напряженности полей связаны материальными уравнениями

О = £о£(х/)旦 В = PqP(X^ t)H. (8.1)

Ограничимся рассмотрением низкочастотных волн, когда эффектами дисперсии и диссипации можно пренебречь. Тогда, подставляя (8.1) в (2.1), приходим к уравнениям электромагнитного поля в неоднородной нестационарной среде:

警需一喧 НМ)国.(8.2)

Если величины электрического Е и магнитного Н полей плоской линейно поляризованной волны выразить через вектор™ ный потенциал для плоской линейно поляризованной волны:

石=一^，Н=丄*, (8.3) at ' до ох '

то систему (8.2) можно свести к одному уравнению второго по рядка

)需］=Q(吟 岱・4)

где с2 = 1/еоЯо ——квадрат скорости электромагнитной волны в вакууме, a Q(x)——произвольная функция. В общем случае, при произвольной зависимости проницаемостей £(х/) и 从(片/), напряженности электрического Е и магнитного Н полей по отдель™ ности удовлетворяют дифференциальным уравнениям не ниже третьего порядка (см. задачу 8.1).

Система (8.2) и уравнение (8.4) имеют достаточно универ™ сальный вид. Аналогичными уравнениями описываются волны в радиолиниях, акустические волны в нестационарной среде, по™ перечные волны в струне с переменными натяжением и плотно™ стью и т.п. Такое совпадение еще раз указывает на существовав ние математической аналогии при описании волновых процессов в системах различной физической природы.

Движущаяся неоднородная плазма. Пусть плоскослоистая неоднородная плазма движется произвольным образом

вдоль оси х со скоростью vx = v{x^ t). Величины электрического Е и магнитного Н полей плоской волны могут быть выражены через векторный потенциал (8.3), который удовлетворяет уравнению

2 д2А д2А —/о г л

с — о,9 一 4：7reNvy.(8.5)

дх2 dt2J丿

Здесь с = 1 /,£о4о)N ——переменная концентрация электронов в плазме,поперечная компонента скорости электрона.

К уравнению (8.5) необходимо добавить уравнение движения электрона под действием электрического поля волны:

*"(掾+唱)(8.6)

где т(ж,t) = mo(l — v2/с2)^1^2 — релятивистская масса электрона. Отсюда следует, что vy = (е/т)А и (8.5) записывается в виде уравнения Клейна^Гордона с переменным коэффициентом

i裔0(8.7)

где 幻目=(《тге^Дс/пг伤力)1/2 — переменная плазменная частота.

Таким образом при описании электромагнитной волны в неоднородной движущейся плазме с помощью векторного по™ тенциала Л получается уравнение такого же вида, как и при N = const. В то же время уравнения для электрического и магнитного полей имеют более сложный вид. Так, например, для электрического поля из (8.7) и (8.3) получим интегро- дифференциальное уравнение

e2* /石山= ()•(8.8)

О

Изменение концентрации электронов в плазме может происхо дить также из-за процессов рекомбинации и ионизации.

Пространственно-временнаягеометрическая оптика

Многие задачи о распространении модулированных волн в диспергирующих средах с переменными параметрами могут быть решены методом пространственно-временной геометриче™ ской оптики, описанным в гл. 6. Здесь дается его обобщение

на задачи, связанные с исследованием распространения моду™ лированных волн в неоднородных и нестационарных средах с дисперсией.

Уравнения для частоты и волнового числа

В общем случае плавнонеоднородной и нестационарной среды снова предполагается, что для квазигармонической волны

u = 4①)力)exp {5e(出)右)}(8.9)

выполняется локальное дисперсионное соотношение

ш = / [к^р(х^ t)] или к = ф [ш,р(ж, t)] ,(8.10)

где 夕(片)力)一некоторый заданный переменный параметр среды. Оно учитывает явную зависимость мгновенной частоты ш = =дв/dt и локального волнового числа к = —дд/дх от простран™ ственной координаты ж и времени t через некоторый параметр (или совокупность параметров)「(％)"• Подставляя (8.10) в тож™ дество dk/dt = —дш/дх, приходим к уравнениям для к(х^ t) и ш(х, t), обобщающим уравнения переноса (6.6) и (6.7):

дш ./、9®/ 9屮 \ др

dtдх \ др 丿 к дх

где v = (dev/dk)p=collst = (дк/d(jj)plconst — локальная групповая скорость модулированной волны (здесь и далее индекс у групповой скорости опускается). Квазилинейные уравнения в частных производных (8.11) эквивалентны системам обыкновенных дифференциальных уравнений

Ц噺(&12)

= ^ 竽= -(*)/•(8」3)

Так как ш и к связаны дисперсионным соотношением (8.10), то достаточно рассмотреть лишь одно из уравнений (8.11). Удоб™ ство использования того или иного из них зависит от особен™ ностей конкретной задачи. Далее мы остановимся на анализе уравнения переноса частоты ш(х, t). В общем случае из системы уравнений (8.12) получаются два первых интеграла

П1(ш, ж, t) = Ci и П2(ш, дк/др^ ж, t) = С^^(8.14)

где С\，2 — произвольные константы. Эти интегралы определяют семейство характеристических кривых в пространстве 幻)х/. Их проекции на плоскость ж, t (при ш = const) дают 出)力-лучи (ИВ- лучи), которые, в отличие от ситуации, рассмотренной в п. 6.1, уже не являются прямыми линиями.

В одномерных задачах ПВ-пучи будем называть групповьь ми траекториями, поскольку они описывают модулированную волну как последовательность волновых групп (цугов). Движе™ ние групп зависит как от их частот, так и от закона изменения параметров среды. Общее решение первого уравнения (8.11) записывается в виде 口2 =尸(口1))где F — произвольная функция, определяемая из начальных или граничных условий (см. § 8.4 и 8.5).

Из уравнений (8.12) и (8.13) следует, что у данной волновой группы к меняется только в неоднородной среде, а ш — только в нестационарной. Следовательно в среде с переменными во времени параметрами, даже при гармоническом начальном (или краевом) возмущении, в бегущей волне появляется частотная модуляция, которая в диспергирующей среде может сопровождаться появлением ПВ-каустик или ПВ~фокусов. Это позволяет эффективно управлять частотой и амплитудой волны за счет изменения параметров среды.

Сделаем краткое замечание о волне, представляющей собой короткий цуг, длина I и длительность Т которого много мвнь- ше масштабов изменения параметров среды. Частоту такого цу™ га можно считать постоянной, а его длина изменяется вследствие того, что концы цуга движутся с разными групповыми скоростями。1 и。2 вследствие неоднородности среды, поэтому dl/dt = V2 簿 1 или, при малой длине дуги dl/dt = dv/dxl. Слв- довательно, можно записать

где % ——первоначальная длина цуга, а интеграл берется вдоль групповой траектории. Временная длительность цуга Т равна l/v.

Изменение амплитуды и энергии волны

Как уже отмечалось ранее (см. п. 4.1.1), энергия волнового поля в нестационарной среде изменяется за счет работы, совершав™ мой при изменении во времени параметров среды, и, следова™ тельно, энергия волнового пакета не сохраняется. Для анализа

изменения амплитуды и энергии волны вдоль ж,力-луча в средах с переменными параметрами удобнее пользоваться не законом сохранения усредненной энергии, а законом сохранения вол но™ вого действия (4.42), справедливым и в системах с переменными параметрами:

где J = <Э^7дш = Ш/ол Это линейное уравнение с переменными коэффициентами. От него, при необходимости, можно перейти к уравнению для амплитуды, если принять во внимание, что в квазигармонической волне (8.9) действие J 〜шЛ2. Решение уравнения (8.15) может быть записано в следующей форме:

J = 7о(П1) ехр (— J (dv/dx) dt^) (8.16) где интеграл должен вычисляться вдоль пространственно™ временной траектории, определяемой уравнениями (8.14).

Из (8.15) следует, что для локализованного волнового паке™ та сохраняется интеграл J = J Jdx. Это означает, что энергия любой волновой группы изменяется пропорционально измене™ нию ее частоты. Следовательно, для короткого волнового паке™ та, когда можно пренебречь изменением частоты на его длине, отношение —

丿=臣=亠= const (8.17)

является адиабатическим инвариантам (см. п. 4.3.2).

Поскольку в линейной среде средняя энергия пропорций™ нальна квадрату амплитуды, соотношение (8.17) можно истюль- зовать для определения изменения амплитуды волновой груп™ пы.

Среда с бегущей волной параметра

Если параметры среды зависят как от координаты, так и от времени, то в этом случае при наличии в среде дисперсии пвр- вое из уравнений (8.12) нельзя решить независимо от второго. Аналитические решения могут быть найдены для класса систем, параметры которых зависят от одной переменной 〃 = at+qx, где а и q ——постоянные. Эта зависимость описывает среду, у кото™ рой параметры меняются по закону бегущей волны (У = —a/q). Ее частные случаи: неоднородная стационарная среда (а = 0) и однородная нестационарная среда (q = 0).

Общие соотношения

Для того, чтобы проинтегрировать нелинейные уравнения (8.11) для кио;)удобно ввести новую искомую функцию § = /Зш + ак, а в качестве независимых переменных выбрать 〃 и £ = a!t + q'x) где а1 и q'——произвольные константы и afq，aqf. Тогда из (8.11) легко получить

^ + b-1M^j=0,(8.18)

где Ь(§)〃)= (с/ + Vqf/(а + Уд)). Уравнение (8.18) эквивалентно характеристической системе

а их первые интегралы имеют вид

§ =尸(Q) С = £ — / 厂1(，“)dr/а(8.19)

Здесь F — произвольная функция, а интеграл во втором еы- ражении вычисляется при постоянном значении s. Частота з и волновое число к модулированной волны находятся по изевст- ной функции з из закона дисперсии. Аналогично п. 6.2.1 нвтруа- но получить, что в точке «опрокидывания» волны выполняются соотношения:

/ ^drl = &/ 壯(&2°)

Аналогичным образом можно проинтегрировать и уравнение волнового действия (8.15), описывающее распределение интвн- сивности волны вдоль UB-луча* Для этого в качестве независимых переменных нужно выбрать 〃 и《)последняя определяется из (8.19) в неявной форме. Поскольку вдоль ПВ-лучей dQ/dt = =d^/dt + V(д(/дх) = 0, а в силу (8.19)

(8-21)(8-21)匹= 鼠-qb(4〃)

(8-21)

(8-21)

1 + (応/附)f(db/ds)di1

то уравнение в частных производных (8.15) переходит в обыкно венное дифференциальное уравнение, интеграл которого имеет

видвид

вид

вид

(8.22)(8.22)丁 —毎—Q(Q

(8.22)

(8.22)

1 + (ds/dQ J (db/ds) drj

где Q(《)—произвольная функция, w ——среднее значение плотности энергии. Таким образом, решение граничной (или началь™ ной) задачи сводится к определению функций §(《)и Q(《)“

Стационарные волны огибающих

Рассмотрим более детально модулированную волну, параметры которой зависят от переменной 〃 = x — Vt. Для конкретности будем интересоваться распространением электромагнитной волны в неоднородной плазме, движущейся с постоянной скоростью V. Электромагнитное поле в этом случае описывается уравнением (8.7), где плазменная частота зависит от бегущей координаты Шр = й^(〃)0 Наибольший интерес здесь представляют особенно™ сти, связанные с групповым синхронизмом^ когда скорость вол™ ны параметра V близка к групповой скорости волны. Именно в этом случае возможно наиболее эффективное преобразование частоты и амплитуды волны. Положим в (8.19) и (8.22), что

§ = 《=力 伙§)〃)= [1 — ту)/。]—、 (8.23)

В такой среде возможно существование модулированных волн, у которых огибающие движутся вместе с волной параметра. Это так называемые ст.ационарные волны огибающих, все парамет™ ры которых зависят от одной переменной ту.

Пусть в полупространстве 〃 < g где параметры среды по™ стоянны, задана монохроматическая волна. Тогда граничными условиями будут

^(^7о) = ^о, ^(^7о) = ^о, J{^) = Л, (8-24)

и решение задачи при 〃〉味 можно искать в виде функции одной переменной 〃. Подставляя § = §(〃) в (8.18), легко видеть, что имеются две возможности: или и(，〃) = К, или s = sq, где so — произвольная константа. В первом случае переменная §)а значит, ш и 衣)являются вполне определенными функциями ту, но, вообще говоря, не удовлетворяющими граничным условиям (8.24). Во втором же случае, полагая б。= шд —。衣。)получим решение задачи для произвольных значений шд и kQ. При этом

из (8.22) следует, что

(8.25)(8.25)

(8.25)

(8.25)

а из дисперсионного уравнения

ш2 = C2fc2 + 幻1〃)

найдем выражение для частоты и волнового числа как функций бегущей координаты 〃：

у — Soу — So(8*26)(8*26)

у — So

у — So

(8*26)

(8*26)

где 户=V/c — отношение скорости волны параметра к скорости электромагнитной волны в вакууме.

Рис. 8.1. Зависимость частоты, волнового числа и амплитуды полей электромагнитной волны от концентрации в движущейся неоднородной плазме: а — 3 = 0,3； 6 — 3 = -&3； q =吟(〃)/届

На рис. 8.1 приведены зависимости частоты и волнового числа от концентрации плазмы при попутном (Д > 0) и встречном (Д < 0) движении волн сигнала и параметра. Для определенно™ сти предполагается, что 吟(〃 S 曾о) = 0. Здесь же показано измв- нение напряженностей электрического Е 〜7зА и магнитного Н 〜[(си?—吟(?7)) Jp/2 полей волны, найденное с помощью (8.25).

При встречном движении сигнала и волны параметра (Д < 0) в точке, где §^ = 0^(〃*))волновое число проходит через нуль, и

направления групповой Ug『и фазовой Uph скоростей меняются на обратное из-за явления сноса волны средой (рис. 8.1 б).

В критической точке 〃 =灰「где ш^ =區/(1 —户？))величины ш и к становятся комплексными. Это соответствует точке пово™ рота волны в неподвижной неоднородной плазме. Следует отмв- тить, что в точке поворота и(〃сг)=『)т.е. она является точкой группового синхронизма. Ее траектория на ж, ^плоскости соответствует ПВ^каустике, в окрестности которой поведение поля описывается функцией Эйри.

Периодическая волна параметра

Для нестационарных процессов вычисление интегралов в (8.19), (8.22), необходимых для определения функций §(《)и Q(《))яв™ ляется существенно более сложной задачей, чем в стационарном случае. В этом разделе обсудим ситуацию когда параметры срв- ды изменяются по периодическому закону.

Общие соотношения. Прежде чем рассматривать такие задачи, сделаем ряд дополнительных упрощений: будем полагать изменение параметров среды 夕(出)力)не только медленным, но и малым, т.е. р = ро +「'(〃))где pf <Сро- Тогда изменения ш, к и § (но не амплитуды) также будут малыми и из (8.19) получим

С(『)=力+ (历 + ^『)〃一^ / "®")d 儿(8.27)

о

где ш = ш0 +^, s = s0 + 丛 b = (1 —。/『)一\ 60 = b{sQ,pQ).

Если задана функция s^O, t) = W(力))а значит и обратная функция t(sf)^ то из (8.27) следует

t — bo〃 一 (db/ds)sf,r] — (db/dp) /pfdr]f

1 — bo — (db/ds)sf

Будем считать далее, что 夕'(〃) осциллирует с нулевым средним. Тогда последний член в числителе (8.28) остается малым при всех ж и t и может быть отброшен. Подставляя еще значения 6g и db/ds^ получим

『=2 [力—十(1 —(?少)]"(8*29)

Таким образом, согласно (8.29) в первом приближении sf распространяется как простая волна со скоростью 。(§) = и。+

+ VQ(dv/ds)sf (см. § 6.1). Изменение параметра У (ж, t) сказы™ вается лишь на виде граничной функции 3(力).Если при ж = О задана о/ = 6(力))то sf = о/(1 — У/и。) + (У/^о)(д^/dp)pf, и из (8.29) получаем выражение для оД а из (8.22) — для интенсив™ ности.

Гармоническая волна параметра. Пусть задан гармонический закон изменения pf = рт sin От/, 6(力)=0, тогда

3’ = Sv (^) ^ sin fi< {sin Q 0 - ^)-

-sin " ^ (「竭(紛備)p™ sin QC)]}, (8.30)

J = Jo ^<(£)(1)^-^ "(&31)

r#《=力—（出/。0）[i — ^1（a^/as）s,].r#《=力—（出/。0）[i — ^1（a^/as）s,].Следовательно, при маломСледовательно, при маломметра р изменение частоты о/метра р изменение частоты о/Рис. 8.2. Частотная и амплитудная огибающие волны в среде с периодической волной параметра при Of = 27mРис. 8.2. Частотная и амплитудная огибающие волны в среде с периодической волной параметра при Of = 27mпериодическом изменении пара™ является квазипериодическим с характерным временным пврио дом Т = 2?r/Q и пространствен™ ным периодом А = тг/[О(У^х — —и「)]. На больших расстояние ях сказываются дисперсионные искажения волны, приводящие к «опрокидыванию» частотной огибающей ш^ж, t). Это дывание происходит в о/ = 0 и координатой*(д-v /дш)(дш /др)ртОпериодическом изменении пара™ является квазипериодическим с характерным временным пврио дом Т = 2?r/Q и пространствен™ ным периодом А = тг/[О(У^х — —и「)]. На больших расстояние ях сказываются дисперсионные искажения волны, приводящие к «опрокидыванию» частотной огибающей ш^ж, t). Это дывание происходит в о/ = 0 и координатой*(д-v /дш)(дш /др)ртОопроки- точке сопроки- точке с(8.32)(8.32)Из (8.30) видно, что с при™ ближением к групповому синхронизму (У f и。)максималь™ ная девиация частоты растет. Это, естественно, влечет за со-Из (8.30) видно, что с при™ ближением к групповому синхронизму (У f и。)максималь™ ная девиация частоты растет. Это, естественно, влечет за со-

r#《=力—（出/。0）[i — ^1（a^/as）s,].

r#《=力—（出/。0）[i — ^1（a^/as）s,].

Следовательно, при малом

Следовательно, при малом

метра р изменение частоты о/

метра р изменение частоты о/

Рис. 8.2. Частотная и амплитудная огибающие волны в среде с периодической волной параметра при Of = 27m

Рис. 8.2. Частотная и амплитудная огибающие волны в среде с периодической волной параметра при Of = 27m

периодическом изменении пара™ является квазипериодическим с характерным временным пврио дом Т = 2?r/Q и пространствен™ ным периодом А = тг/[О(У^х — —и「)]. На больших расстояние ях сказываются дисперсионные искажения волны, приводящие к «опрокидыванию» частотной огибающей ш^ж, t). Это дывание происходит в о/ = 0 и координатой

*(д-v /дш)(дш /др)ртО

периодическом изменении пара™ является квазипериодическим с характерным временным пврио дом Т = 2?r/Q и пространствен™ ным периодом А = тг/[О(У^х — —и「)]. На больших расстояние ях сказываются дисперсионные искажения волны, приводящие к «опрокидыванию» частотной огибающей ш^ж, t). Это дывание происходит в о/ = 0 и координатой

*(д-v /дш)(дш /др)ртО

опроки- точке с

опроки- точке с

(8.32)

(8.32)

Из (8.30) видно, что с при™ ближением к групповому синхронизму (У f и。)максималь™ ная девиация частоты растет. Это, естественно, влечет за со-

Из (8.30) видно, что с при™ ближением к групповому синхронизму (У f и。)максималь™ ная девиация частоты растет. Это, естественно, влечет за со-

бой рост дисперсионных искажений, и значение координаты х* уменьшается. Развитие частотной и амплитудной модуляции волны для этого случая показано на рис. 8.2.

Применимость формул (8.27)-(8.31) ограничена условиями малости ш7 и медленности модуляции параметров среды Сс41ax « °)так как не учитывается дисперсионное расплывание волнового пакета. Эти условия совместны, если

поэтому при V ^vq геометрооптическое рассмотрение несправедливо. Этот случай может быть более подробно исследован в приближении пространственно-временной квазиоптики.

Интересное обобщение этой теории возникает, когда мы рассматриваем процесс в подвижной системе отсчета. В ней параметры среды постоянны во времени и частота каждой группы не изменяется. Для некоторых групп может случиться так, что точки группового синхронизма могут находится внутри одного периода волны параметра, поэтому группа будет «захвачена» волной накачки. Точно также это может иметь место для частиц в силовом поле с периодическим в пространстве потенциалом.

Модуляция поверхностной волны на воде

Кратко обсудим важную для океанологии задачу о взаимодействии между внутренней и поверхностной волнами. Длинная внутренняя волна создает волну параметра в виде горизонтального течения U(x — ct), бегущую с фазовой скоростью с и воздействующую на короткую гравитационную волну. Групповая скорость последней vgr = (1/2) \/g/к может быть близка к с, что и означает наступление группового синхронизма. Воздействие волны параметра при этом может быть весьма сильным даже при малой ее амплитуде, когда ^ = U/c 1.

Эту задачу удобно рассматривать в системе отсчета, движущейся со скоростью с. В ней параметры среды не зависят от времени и, следовательно, частота попутного волнового пакета шо отличается от локальной частоты ш = y/gk в неподвижной воде на величину доплеровского сдвига к(с — U) = кс\1 — /3(〃)]) где 〃 = ж ct. Следовательно, дисперсионное уравнение для поверхностной волны имеет вид

шо = \/gk — ck + ск^(т])^ (8.33)

где шо — частота в сопровождающей системе отсчета.

Нас интересуют значения волнового числа к, близкие к условиям группового синхронизма. Поэтому положим к = ko + k[ где

к1 мало, а ко удовлетворяет условию Ugr(ko) = (1/2) Jg/к。= с. Разлагая ^^l' в ряд по к1 с точностью до к'? включительно, получаем

skr2 = —◎()+ ско^(т])^ (8.34)

где s = с/4ko > 0, а шо = ^о (Vg^o — ско)=幻。一ckjгде s = с/4ko > 0, а шо = ^о (Vg^o — ско)=幻。一ckjПусть,% cos 仲(причем 6 « к). ТогдаПусть,% cos 仲(причем 6 « к). Тогда户= зависимость kz(〃))определяемая равенством (8.34), имеет вид, показанный на рис. 8.3, на котором различные кривые отвечают разным значениям шд-Очевидно, что (8.34) имеет действительные решения лишь при cfcg/5o = шо > 0. При этом в области |шо| < < ски/3 кривые к'(〃)замкнуты (всегда есть точки, где к1 обращается в нуль), а при шо < 0 и |шо| > скор — незамкнуты. Кривые, представленные на рис. 8.3, — это户= зависимость kz(〃))определяемая равенством (8.34), имеет вид, показанный на рис. 8.3, на котором различные кривые отвечают разным значениям шд-Очевидно, что (8.34) имеет действительные решения лишь при cfcg/5o = шо > 0. При этом в области |шо| < < ски/3 кривые к'(〃)замкнуты (всегда есть точки, где к1 обращается в нуль), а при шо < 0 и |шо| > скор — незамкнуты. Кривые, представленные на рис. 8.3, — этонапример, внутренняя волна синусоидальна, т.е.например, внутренняя волна синусоидальна, т.е.Рис. 8.3. Траектории движения цуговРис. 8.3. Траектории движения цуговповерхностных волн в поле внутренней волныповерхностных волн в поле внутренней волнытраектории групп поверхностных волн. Среди нихтраектории групп поверхностных волн. Среди нихесть «захваченные» группы (траектории типа 5), всеесть «захваченные» группы (траектории типа 5), все

где s = с/4ko > 0, а шо = ^о (Vg^o — ско)=幻。一ckj

где s = с/4ko > 0, а шо = ^о (Vg^o — ско)=幻。一ckj

Пусть,

% cos 仲(причем 6 « к). Тогда

Пусть,

% cos 仲(причем 6 « к). Тогда

户= зависимость kz(〃))определяемая равенством (8.34), имеет вид, показанный на рис. 8.3, на котором различные кривые отвечают разным значениям шд-

Очевидно, что (8.34) имеет действительные решения лишь при cfcg/5o = шо > 0. При этом в области |шо| < < ски/3 кривые к'(〃)замкнуты (всегда есть точки, где к1 обращается в нуль), а при шо < 0 и |шо| > скор — незамкнуты. Кривые, представленные на рис. 8.3, — это

户= зависимость kz(〃))определяемая равенством (8.34), имеет вид, показанный на рис. 8.3, на котором различные кривые отвечают разным значениям шд-

Очевидно, что (8.34) имеет действительные решения лишь при cfcg/5o = шо > 0. При этом в области |шо| < < ски/3 кривые к'(〃)замкнуты (всегда есть точки, где к1 обращается в нуль), а при шо < 0 и |шо| > скор — незамкнуты. Кривые, представленные на рис. 8.3, — это

например, внутренняя волна синусоидальна, т.е.

например, внутренняя волна синусоидальна, т.е.

Рис. 8.3. Траектории движения цугов

Рис. 8.3. Траектории движения цугов

поверхностных волн в поле внутренней волны

поверхностных волн в поле внутренней волны

траектории групп поверхностных волн. Среди них

траектории групп поверхностных волн. Среди них

есть «захваченные» группы (траектории типа 5), все

есть «захваченные» группы (траектории типа 5), все

время остающиеся в пределах периода внутренней волны, и «пролетные» группы (траектории типа 1), движущиеся со скоростью, заметно отличающейся от с и не удерживаемые волной параметра. Эти типы движений разделены сепаратрисой (кривая 2). Вся эта картина движения такая же, какая наблюдается у частиц в периодическом силовом

поле.

Подобные эффекты способны приводить к сильной перестройке спектра поверхностных волн и тем самым делать внутренние волны видимыми на поверхности моря в виде 《ели- ков» ——полос более гладкой поверхности, расположенных вдоль фронтов внутренней волны. Они возникают из-за того, что поверхностные цуги, группируясь в одних местах, оставляют гладкие полосы в других.

Пространственно-временная квазиоптика

Чтобы устранить особенности геометрооптических решений, возникающие вблизи пространственно-временных каустик и фокусов, необходимо отказаться от предположения, что движение волнового пакета определяется лишь локальной групповой скоростью, и учесть эффект дисперсионного расплывания. Как показано в гл. 7, уточнение «геометрических» формул (8.30) и (8.31) в рамках модуляционного подхода имеет смысл для волн с узким спектром, когда применимы «квазиоптические» уравнения.

Рассмотрим короткий волновой пакет, протяженность которого мала по сравнению с масштабом изменения параметров среды. Такой пакет локализован вблизи одного ПВ-луча, и изменения огибающих вдоль луча происходят на много больших масштабах, чем размер самого пакета. Решение снова можно отыскивать в виде (8.9), но в уравнениях (8.11) следует удерживать вторые производные от амплитуды.

Для вывода уравнения модуляции удобно перейти от независимых переменных 犷 и 力 к переменным вдоль ПВ-луча 力 и《) где《(犷)力)——«групповая» переменная, являющаяся интегралом уравнения характеристик (8.12) и удовлетворяющая уравнению dCJdt + 少(3《/3犷)=0. Выражение для комплексной амплитуды волны представим в виде

4伤力)=貝力04(力0)(8.35)

где функция Ло описывает изменение амплитуды в «геометрическом» приближении, а Г ——переменный комплексный множитель, учитывающий дисперсионные искажения пакета. Тогда для F(XC) получим параболическое уравнение с переменными коэффициентами (ср. с (7.7)):

嘿(訂 土。，(&36)

где /3(力 С) = (l/^^kldu)2)PQ — дисперсионный параметр, а коэффициент (д^/дх)2 учитывает изменение параметров среды вдоль ПВ-луча.

Частным решением уравнения (8.36) является импульс гауссовой формы

Г = /(^С)ехр (—久2))

Здесь /(力 С) и q(t^ Q — комплексные функции, характеризующие

медленные изменения параметров импульса вдоль ПВ-луча и удовлетворяющие уравнениям:

Решая их, находим

q&Q=qo 1 —8海 J "fl)力7

-0.

где go и /о — комплексные постоянные, определяемые параметрами волнового пакета при t = 0.

Эти формулы обобщают решение (7.16), полученное в § 7.3 для среды с постоянными параметрами. Амплитудная огибающая имеет гауссову форму, а фаза квадратична по переменной & что соответствует линейной частотной модуляции. Такой импульс может испытывать дисперсионное сжатие. При этом коэффициент сжатия импульса (7.22) равен К = Im go/2Re go и, следовательно, условие существенного сжатия имеет вид Reqo« «Imqo.

Необходимо иметь в виду, что в неоднородной (или нестационарной) среде гауссово решение справедливо лишь на ограниченных интервалах ж и t. Действительно, расплывание импульса приводит к тому, что его длина с течением времени сравнится с масштабом неоднородности и затем превысит его. В результате расплывания параболическое слагаемое в (8.36) становится пренебрежимо малым. На этом этапе решение описывается «геометрическими» формулами и дальнейшее расплывание импульса связано с расхождением ПВ-лучей.

Волны в среде без дисперсии

При отсутствии дисперсии скорость распространения волны зависит только от параметров среды, а дисперсионное соотношение остается линейным: ш = kv(x^ t). В этом случае приближение ПВ-геометрической оптики можно обобщить на случай неосциллирующих волн, таких как короткие импульсы без высокочастотного заполнения. В этом разделе такие задачи будут рассмотрены на примере электромагнитных волн в диэлектрике с переменными параметрами. Излагаемый ниже подход в силу математической аналогии применим и к другим типам волн в

средах, не обладающих дисперсией, например, к упругим волнам в твердых телах.

Уравнения для связанных нормальных волн

При постоянных параметрах среды (д = const и £ = const) решение уравнений Максвелла (8.2) представляет собой суперпозицию волн, бегущих в противоположных направлениях:

Е(х^ 力)=石1(犷一vt) + E?(x + и力

Н(х^ t) = Z^r[Ei{x — vt)—石2(步 + ^t)]^

где и = с/^ед = с/п — скорость распространения волны в среде, n = ^s/7 — коэффициент преломления, Z =，〃/£ — волновое сопротивление (импеданс) среды. Исходя из (8.37), будем искать выражение для полей Е и Н в виде суммы и разности двух функций при переменных параметрах £ = £(伤力)и д =从(伤力)：

e = 我1(伤力)+ u2(伤力))h = Z^1[ui(x^ 力)一我2(Х 力] (8.38)

Здесь 〃1,2(力)力)—новые искомые функции. Из (8.38) легко получить и обратное преобразование:

〃i = (1/2)(Е + ZH), 〃2 = (1/2)(Е — ZH)" (8.39)

(8.40)(8.40)Подставляя его в (8.2), для 〃i,2(犷)力)получаем симметричную систему уравнений с переменными коэффициентами:

(8.40)

(8.40)

空一=k21u1 +k22u2)oxdt

где коэффициенты 衣舒 имеют следующий вид:

(8.41)(8.41)= ~~dT + 2z\^ + v 瓦丿，

(8.41)

(8.41)

7—1 (dZ —7—1 (dZ —

Здесь и(优)力)=c/^sp = с/п(ж, t)——величина, имеющая смысл локальной скорости распространения волны.

7 Л.А. Островский, А.И. Потапов

Левые части уравнений (8.40) описывают волны, бегущие в положительном (щ) и отрицательном (〃2)направлениях оси ж, а их правые части ответственны за эффекты трансформации волн из-за неоднородности и нестационарности среды, а также в результате их встречного взаимодействия. Уравнения (8.40) называют уравнениями, приведенными к нормальной форме, они эквивалентны исходным уравнениям Максвелла (8.2). Заметим, что изменения коэффициентов 4切(犷)力)здесь еще не предполагаются ни малыми, ни медленными. Если волновое сопротивление среды остается постоянным, то уравнения (8.40) разделяются, и бегущие волны 〃i и и2 становятся независимыми.

Уравнения связанных нормальных волн (8.40) можно записать в более компактной форме, если от физических переменных ж, t перейти к лучевым переменным gi,2(犷)力))являющимся решениями характеристических уравнений

= ±и(伤力)•(8.42)

Так как gig являются интегралами уравнений (8.42), то выполняются равенства

и левые части (8.40) преобразуются к более простому виду

dt 7dt 7=抵 2（&）&）=抵 2（&）&）=伉(8)&)=伉(8)&)

dt 7

dt 7

=抵 2（&）&）

=抵 2（&）&）

=伉(8)&)

=伉(8)&)

где 九],2({]){2)= (^ 士 夕―1^) €1,2 — линейные дифференциальные операторы. В результате вместо (8.40) получим уравнения в лучевых переменных

拉= кц111 + k12u2)

(8.43)(8.43)實2

(8.43)

(8.43)

九=k21u1 + ^22^2-

Их левые части представляют собой производные вдоль ИВ- лучей gig，Если вместо 〃i,2 ввести новые искомые величины

五；(&)&) = Uyexpl—刁 (&)&)]) j = 1,2,(8.44)

где pi = f knh^d^.目2 = / k^h^d^. то (8.43) приведутся к следующему виду:

^^ = ^2(8)&)五 2) ^^ =€2)^1-(8*45)

Здесь mi = 厄1 九£%xp(m — P2) и m2 = k^h^1 exp (p2 一 Pi)— коэффициенты взаимодействия встречных волн. Если в полученных уравнениях mi^ равны нулю, то искомые величины ^>(€1? €2) становятся независимыми и сохраняют свои значения вдоль ПВ-лучей:

Ri=F^l 五2 =卫(&),(8.46)

Здесь 修,2 — произвольные функции своих аргументов, определяемые из начальных или граничных условий.

Упругие волны в стержне с переменными параметрами. Продольные волны в тонком стержне с переменными плотностью р(ж,力)и модулем Юнга Е(х^ t), описываются уравнением

融也，唠)，喘(847)

Представим его в виде системы

^ =心，得 ^ = e-、e 嗒 (8.48)

и перейдем от и и и к волновым переменным 〃i,2：

и = 〃i + 〃2) 少=Z(〃2 — 〃1))(8.49)

где Z = ^Ер ——волновое сопротивление системы. В новых пе~ ременных система (8.48) преобразуется к симметричному виду:

Здесь。(犷)力)=у/Е/р ——локальная скорость волны. Перейдем от 犷 и 力 к переменным {1,2(犷)力))являющимся интегралами уравнений dx/dt = 士с(犷)力))и введем

(8.51)(8.51)修(&)&) = S exp [—ln(Z/2)])

(8.51)

(8.51)

тогда вместо (8.50) получим уравнения в лучевых переменных

(8.52)(8.52)

(8.52)

(8.52)

При постоянном значении волнового сопротивления среды Z = =const полученные уравнения становятся независимыми, а переменные 五 1,2 остаются постоянными в неоднородной и нестационарной системе вдоль ПВ-лучей.

Одноволновое приближение

Если волновое сопротивление среды постоянно (Z = const), то уравнения (8.40) полностью разделяются и волны 〃i и 〃2 независимы. Этот интересный, но специальный случай будет подробно проанализирован в следующем параграфе. Здесь же мы остановимся на рассмотрении случая, когда изменяются и волновое сопротивление и показатель преломления среды, но изменяются медленно, так что их производные малы. В этом случае уравнения (8.40) разделяются приближенно. Так, например, если в среде возбуждена бегущая волна 〃1(犷)力))то вторичная волна 〃2(犷)力))бегущая ей навстречу, возникает лишь за счет отражений на неоднородностях среды и поэтому мала по сравнению с первичной волной. В этом случае слагаемое кцщ является величиной первого порядка малости, a ki2u2 ——величиной второго порядка малости, и им можно пренебречь. В результате исходная задача в первом приближении сводится к решению уравнения, описывающего распространение волны 〃i = 〃(伤力)：

ди дхди дхк11 =一侪0+5к11 =一侪0+5(8.53)(8.53)

ди дх

ди дх

к11 =一侪0+5

к11 =一侪0+5

(8.53)

(8.53)

Уравнение (8.53) можно так же как и (8.11) решать методом характеристик. Его левая часть представляет полную производную du/dx = ди/дх + (dt/dx)du/dt^ вычисляемую вдоль пространственно-временной траектории dt/dx =少一L

В качестве примеров рассмотрим две задачи о распространении волны в неоднородной и нестационарной средах.

Волна в неоднородной среде. Пусть на границе неоднородной среды с Z = Z(x) и п = п(ж), занимающей полупространство 0 < ж < оо, задано электрическое поле Е(0"). Тре-

буется найти поведение электрического и магнитного полей в произвольной точке пространства.

В этом случае и = с/п и характеристические уравнения для (8.53) принимают вид

什= |A(inz)ue(8.54)

dt п(ж) dx 2 dxK' 7

Их первые интегралы равны соответственно С^ =力一с~工/ п(ж,) dxf о

и и = C2，Z)а общее решение есть

и(х^ t) = ^/ZF(t J n(xf) dxA .(8.55)

Из граничного условия (8.38) находим выражения для электрического Е = и и магнитного Н = u/^/Z полей:

Е(х^ 力)=^Z(x) F(t —/ n(xf) )

Hg)Hg)(8.56)(8.56)

Hg)

Hg)

(8.56)

(8.56)

Входящая в них произвольная функция F(x) определяется из граничного условия задачи. Так, если Е(0)力) = Eq sincuot, то в произвольной точке полупространства ж > 0 электрическое и магнитное поля будут

(8.57)(8.57)Eg) = Eosin 3。(力―L J тг© d《｝力='布品马 Sina。С — L p(O 女).

(8.57)

(8.57)

С их помощью легко проанализировать поведение электрического и магнитного полей в пространстве и времени, а также вычислить энергию и импульс волны при заданных законах изменения волнового сопротивления Z(x) и коэффициента преломления п(ж). При этом частота волны остается неизменной и равной частоте источника шд, а локальное волновое число изменяется в пространстве пропорционально изменению коэффици

ента преломления среды

m’)=i=喘^，

где ко = шо/сп(О). В данном случае можно говорить о пространственной модуляции волны.

Однородная нестационарная среда. Пусть параметры среды зависят только от времени, т.е. Z = Z(力)и п = п(力).Характеристическая система уравнений в этом случае запишется в виде

dx dtdx dtсdun(t))dtсdun(t))dtdn , 1 rydZ\_几 + Z—dt 2 dt /dn , 1 rydZ\_几 + Z—dt 2 dt /и.и.(8.58)(8.58)

dx dt

dx dt

сdu

n(t))dt

сdu

n(t))dt

dn , 1 rydZ\

_几 + Z—

dt 2 dt /

dn , 1 rydZ\

_几 + Z—

dt 2 dt /

и.

и.

(8.58)

(8.58)

Здесь, в отличие от (8.54), во втором уравнении вместо пространственной производной использована производная по времени du/dt = [c/n(t')](du/dx'). По известным первым интегралам

tоtои =02и =02

t

о

t

о

и =02

и =02

находится общий вид решения

Me 力）= ^F（化一сMe 力）= ^F（化一соо(8.59)(8.59)

Me 力）= ^F（化一с

Me 力）= ^F（化一с

о

о

(8.59)

(8.59)

где F(g) — произвольная функция. Если известно начальное распределение электрического поля, например, Е(х^ 0)=石。sin fcg^, то искомое решение имеет вид

Е(х^ t)=Е(х^ t)=/ sin fcg 丿/ sin fcg 丿犷一e犷一eоо(8.60)(8.60)

Е(х^ t)=

Е(х^ t)=

/ sin fcg 丿

/ sin fcg 丿

犷一e

犷一e

о

о

(8.60)

(8.60)

Из него следует, что амплитуда электрического поля изменяется во времени пропорционально отношению V^/n, а локальное волновое число остается неизменным и равным первоначальному значению к» Мгновенная частота волны изменяется обратно пропорционально коэффициенту преломления среды

/ ск0 п(0)

(8.61)(8.61)Cd (力)一—7…三—Cd。—7…？)

(8.61)

(8.61)

где шо = ско/п(О) — частота в начальный момент времени.

Пусть в начальный момент времени поле в среде отсутствует, а на границе среды ж = 0, t > 0 задано электрическое поле

石(0)力)=Eq sin wot Тогда, из (8.60) следует, что

硏""(С硏""(Соо=wf同⑴])=wf同⑴])(8*62)(8*62)

硏""(С

硏""(С

о

о

=wf同⑴])

=wf同⑴])

(8*62)

(8*62)

где £о(力)определяет значение фазы волны £(/)t) на границе сре~ ды ж = 0 в текущий момент времени. В принципе всегда можно выразить текущее значение времени t через значение «фазы» на границе £о)(т.е. найти обратную функцию t =力(go))* Подставляя соотношение (8.62) в условие Е(0, t) = Eq sinwot(^o), находим явный вид функции Fq(^q)：

F(€o)=^o^^Lsino；o<o).

Для произвольной точки среды ж > 0 необходимо заменить начальную фазу & на £ =力一с / dt1 /п^)^ и тогда решение задачи примет вид 0

г] 1/2

S = * Ж0 咼3。氓)，(8.63)

где Z[力(&)] и 八[力(&)] — значения волнового сопротивления и коэффициента преломления среды в момент вхождения в нее данного цуга волны. Мгновенная частота и локальное волновое число модулированной волны (8.63) по определению равны

3 - 30 a力-^03 - 30 a力-^0必⑹夾< dt必⑹夾< dtk =k ="К = f。"К = f。必®夾d£ дх必®夾d£ дх

3 - 30 a力-^0

3 - 30 a力-^0

必⑹夾

< dt

必⑹夾

< dt

k =

k =

"К = f。

"К = f。

必®夾

d£ дх

必®夾

d£ дх

Входящая в них функция t(^) представляет собой время《влета» данного цуга волны в среду, выраженное через фазу волны на границе, поэтому

包==制方®)] d£ \ dt / 卜 dt 丿с

Здесь учтено, что вдоль характеристики £ = &* Частные производные от £ по 力 и ж равны d^/dt = —c/n(t), д^/дх = 1 и, следовательно,

W = WoW = Wo制力（电）］制力（电）］k =隔k =隔制力（电）］制力（电）］МО))МО))(8.64)(8.64)

W = Wo

W = Wo

制力（电）］

制力（电）］

k =隔

k =隔

制力（电）］

制力（电）］

МО))

МО))

(8.64)

(8.64)

где 隔=шоп(О)/с — волновое число в начальный момент вре™ мени. Частота ш каждого волнового цуга изменяется обратно пропорционально коэффициенту преломления среды, а волновое число к остается постоянным.

На основании полученных результатов качественная карти™ на эволюции волны в нестационарной среде, возбуждаемой гр а™ ничным источником, выглядит следующим образом. В раз лич™ ные моменты времени волна от источника входит как бы в раз™ личные среды, отличающиеся своими параметрами Z(力)и n(t). При этом каждый цуг, распространяющийся в среде, имеет по™ стоянную длину L 心。/^。冷]力(go)] = const, равную его длине в момент входа в среду. По мере распространения цуг ускоряет™ ся или замедляется в соответствии с изменением скорости распространения, в результате изменяется его частота w = v/L = =u)n\t(^Q)]/n(t). Амплитуда и плотность энергии цуга также увеличиваются или уменьшаются в зависимости от закона ив- менения параметров n(t) и Z(t). Заметим, что при специальном выборе функции n(t), значение частоты (8.64) может быть по™ стоянным во времени, но зависящим от координаты. Если к тому же Z = const, то отсутствует и амплитудная модуляция, т.е. в каждой точке волна явлется монохроматической со своей часто™ той.

Недиспергирующая среда с бегущей волной параметра

Как ясно из предыдущего, среда совершает положительную работу над полем (т.е. усиливает его) в точках, где dn/dt < 0; обратное верно при дп/dt < 0. Это обстоятельство, хорошо из™ вестное в теории колебаний, может быть использовано для по™ лучения эффекта накапливающегося роста энергии волны ——па™ раметрического усиления. Для этого усиления группы должны продолжительное время находиться на участках с дп/dt < 0. Это может быть достигнуто в случае синхронизма, когда параметр («накачка») представляет собой волну, бегущую со ско™ ростью, близкой к фазовой скорости волны. На этом принципе основано параметрическое усиление бегущей волны, в которой обычно усиливается основная гармоника, остальные же несин™ хронны с волной накачки из™за дисперсии среды. Заметим, что рассмотренный в п. 8.3.4 групповой синхронизм приводит к росту глубины модуляции волны, а не ее полной интенсивности. В

среде без дисперсии групповой и фазовый синхронизм ——это, в сущности, одно и то же, и параметрическое усиление возможно сразу для всех гармоник волны. Характерный пример ——пара™ метрическое усиление импульса, приводящее одновременно к его сжатию в соответствии с адиабатическим инвариантном (8.17). Ниже рассматривается параметрическое преобразование (и уси™ ление) волны в среде с бегущим параметром.

Общие соотношения

Рассмотрим полупространство ж > 0, заполненное средой с постоянным волновым сопротивлением Z = Z° и переменным коэффициентом преломления п(х^ t) = 71(77), где 〃 = t x/V. В этом случае система (8.40) разделяется на два независимых уравнения:

dui , пdui , 1 дп с

о о 1 о(8.65)

而2 =

Дифференциалы d/〉d力 d〃 вдоль характеристик системы связа™ ны соотношениями

dx = ^~(c/n)dt^ d〃 =必一V^dx = (1 干 c/Vn)dt^dx = 土cd〃/(71 干 с/У).

С их учетом характеристические уравнения для системы (8.65) запишутся в виде

dx — ± с

而=*)干С/L(8.66)

安⑺⑺干di]，

Отсюда находим, что

^l,2(^J) =(h 干С/卜厂1a2(&,2))

〃(8.67)

8,2 =力干 С / [п(0 т c/U]T <,

0

где 田，2 — произвольные функции, вид которых определяется из граничных или начальных условий задачи. В дальнейшем

будем рассматривать только одну волну ni = 〃(/)%))бегущую в положительном направлении оси ж. Для волны 〃2 все результаты получаются аналогичным образом.

Пусть начальные условия равны нулю, а на границе ж = 0 заданы поля Е и Н:

石(3力)=e0⑴)H((V) = %⑴*

Если выполнены соотношения E^(t) = Zglfo(t), то в среде воз™ буждается одна прямая волна, а встречная волна отсутствует. Подставляя выражения для Е и Н из (8.62), и проводя лреоб- разования, аналогичные изложенным в п. 8.5.2, получим

F(&) = I Ь[<о)]-с/У} UW(&)])(8*68)

где Ро(力)=石о(力)+ Z()Ho(力)=2石o(力))a 力(go) — момент времени, в который цуг проходит через границу.

В результате при ж > 0 искомое решение принимает вид

石包力)=①也力)同[力(£)])

(8.69)

h(ж/)=彳①(力⑴同[力(£)],

где функция Ф зависит лишь от параметров среды и равна

Ф(ж, t)=Ф(ж, t)=制方(£)] 一 dvn(?7)— c/V制方(£)] 一 dvn(?7)— c/V(8.70)(8.70)

Ф(ж, t)=

Ф(ж, t)=

制方(£)] 一 dvn(?7)— c/V

制方(£)] 一 dvn(?7)— c/V

(8.70)

(8.70)

Отсюда следует, что выражение для электрического и магнитного полей волны является произведением двух функций. Безразмерная функция Ф(ж, t) играет роль амплитудного множителя волны и зависит лишь от закона изменения коэффициента преломления среды п(х^ 力)• В среде с постоянными параметрами (тг = const) амплитудный множитель обращается в единицу.

Изменения амплитуды и частоты волны связаны между собой. При Ео (力)=Eq sin wot мгновенная частота определяется выражением

Так как в этом случае

必(£) = —с= —с

<制方®]一 c/V' Ia方丿 z=o〃.⑺ 一 c/V‘

то отношение мгновенной частоты к частоте источника равно

GoGo制力(£)] - c[v〃，(〃)一c/V制力(£)] - c[v〃，(〃)一c/V=Ф(жД),=Ф(жД),(8-71)(8-71)

Go

Go

制力(£)] - c[v〃，(〃)一c/V

制力(£)] - c[v〃，(〃)一c/V

=Ф(жД),

=Ф(жД),

(8-71)

(8-71)

которое вырождается в (8.64) при IZ Т схх Формально соотно™ шение (8.71) справедливо при всех значениях wq, но выражение з = д0/dt можно рассматривать как мгновенную частоту толь™ ко при условии, что амплитудный множитель Ф мало изменя™ ется за период высокочастотного сигнала 2тг/ш. Отметим, что так как и мгновенная частота, и амплитуда колебаний бегущих волн пропорциональны ①(力)力))то для их анализа достаточно проанализировать поведение амплитудного множителя.

Параметрическое формирование импульсов

В качестве примера рассмотрим случай, когда на границе среды ж = 0 задано гармоническое поле 石(力)=石。sin wgt, а коэффици™ ент преломления среды изменяется по периодическому закону

八⑺=7i0(l + mcos О?}),(8.72)

где m ——глубина модуляции,。«出口 ——частота модуляции, 〃 =力一 x/V. В этом случае в знаменатель амплитудного множителя

Ф(ж, t) (8.70) входит безразмерная комбинация, пропорциональ™ ная разности между скоростью волны параметра V и скоростью сигнала и = c/n(rj):

71(77) — c/V = b + a cos О77,

где b = (ri。一 с/У), а а = тп^. При |Ь| > а скорость волны параметра отличается от скорости сигнала и амплитуда волны ограничена. Это так называемый несинхронный режим пара™ метрического взаимодействия. При |Ь| < а скорость сигнала и скорость волны параметра могут совпадать (синхронный режим параметрического взаимодействия) и тогда значение Ф стремит™ ся к бесконечности. Исследуем поведение волны в этих режимах более подробно.

Несинхронная волна параметра (|Ь| > а). В этом случае выражение для £(力)力)согласно (8.67) имеет вид

£ = * — с f “= / -—— 2с arctg

、J 6 + acosOC 0，Ь2 一 @2 总 J F 2

0

где J = у (Ь + а)/(Ьа). Отсюда находим значение обратной

функции при ж = 0:

£&) = ^arctg.

Производя замену £° на <^(ж, t) и подставляя найденное соотно™ шение в (8.69))получим выражение для модулированного сиг™ нала в среде с бегущей волной параметра:

硏方/) = ? Ф(ж, t) sin ^2夕(方/))(8.73)

叫 = g(z』)=b + acos2q

— Ь + acos Щ'

9 =⑦代)=arctg {,tg+ a^g (『"g 喲］}.

Отметим некоторые свойства модулированной волны, выте™ кающие из (8.73). Изменение поля имеет характер периодиче™ ских пространственных биений (рис. 8.4), амплитуда которых всегда ограничена:

(8*74)

При этом чем больше отношение \Ь\/а (т.е. чем дальше режим от синхронного), тем меньше Ф отличается от единицы. В фиксиро™ ванной точке пространства ж функция Ф периодична по времени с периодом 2тг/С. Это означает, что волна (8.73) модулируется и по амплитуде, и по фазе с частотой изменения параметра С*

При постоянном значении 〃 функция Ф имеет пространствен™ ный период

Л =Л =2тгУ2тгУЛЛ(8.75)(8.75)

Л =

Л =

2тгУ

2тгУ

Л

Л

(8.75)

(8.75)

где А = 2тгУ/С — длина волны параметра. В фиксированный момент времени функция Ф является, вообще говоря, почти ле- риодической по координате х с периодом, кратным Л. На рис. 8.4 показана пространственная зависимость амплитуды модулиро™ ванной волны (8.73) от координаты ж для случая b = 2а, Л = =5А, m ^ 0,15, в момент времени 力° = 2тгк/С. Максимальное Л

увеличение амплитуды волны достигается в точках ж =————) Z (JL 十 )

а его численное значение тем больше, чем ближе |Ь| к а. При |Ь| Т а, т.е. при приближении к синхронному режиму, период Ф стремится к бесконечности (А т ос).

Рис. 8.4. Пространственное поведение амплитудной огибающей при несинхронной волне параметраРис. 8.4. Пространственное поведение амплитудной огибающей при несинхронной волне параметра

Рис. 8.4. Пространственное поведение амплитудной огибающей при несинхронной волне параметра

Рис. 8.4. Пространственное поведение амплитудной огибающей при несинхронной волне параметра

Синхронная волна параметра (|Ь| < а)* Условие синхронизма, выражающее требование близости скоростей распростра™ нения сигнала и и волны параметра F, может быть записано в виде

^min = с/71о (1 + Ш)，卜，Umax = с/Hq[1 Ш).

£(//)£(//)са"a2一b2са"a2一b2В этом случае характеристическая переменная (ИВ-лун) дается выражением

£(//)

£(//)

с

а"a2一b2

с

а"a2一b2

ln tg (П〃/2)十丁 tg 9〃/2) — 7

где J = [(b + a)/(b — а)]1/2, а обратная ей функция при ж = 0 равна

力(&) = ^ardg力(&) = ^ardg1 土 exp (—Q，a2 —，2g)1 土 exp (—Q，a2 —，2g)11

力(&) = ^ardg

力(&) = ^ardg

1 土 exp (—Q，a2 —，2g)

1 土 exp (—Q，a2 —，2g)

1

1

Электрическое поле, как и ранее, описывается выражением (8.73), где величина фазы равна

夕(ж/) = arctg夕(ж/) = arctg(8.76)(8.76)tg (П〃/2) — “h 07《—垓&/2)'tg (П〃/2) — 7cth (ОУ«2 — Ь2ж/2)

夕(ж/) = arctg

夕(ж/) = arctg

(8.76)

(8.76)

Можно показать, что при всех ж и t амплитудная функция Ф(ж, t) положительна и непрерывна. На границе среды ж = 0 она равна единице, а в точках, где cos (С〃)т (—Ь/с))амллиту-

да волны изменяется по экспоненте:

Ф 〜exp (土С，“2 —乒力),(8.77)

причем показатель степени экспоненты положителен для тех точек, в которых (dn/dt < 0). Таким образом, амплитуда модулированной волны в этом случае может неограниченно возрастать.

Рассмотрим подробнее случай, когда b = 0. Это означает, что скорость волны параметра V совпадает со средней скоростью распространения сигнала vq = с/п°. При этом амплитудный множитель равен

Ф(ж, t) = cos {2 arctg [exp (—tg 夕一тг/2]} cos^1 C〃 =

=[2 sh(—mKx) cos2 0 + exp (—mKx)] 1, (8.78)

где 夕=(C〃/2) +(7г/4))a К = H/F. Выражение для поля электромагнитной волны (8.73) в данном случае имеет вид

石=? [2 sh (тКх) cos2 0 + exp (—тКх)] 1 х

х sin { ^^ (arctg [exp (—mKx) tg 团一力} " (8.79)

Рис. 8.5. Амплитудная огибающая при синхронной волне параметраРис. 8.5. Амплитудная огибающая при синхронной волне параметраВ фиксированной точке пространства ж амплитуда волны £ до™ стигает экстремальных значений при 夕=тгк/2)где к — целое число. Причем при нечетных значениях Ф ~ ехр (тКх), а при четных —①〜exp (—тКх).

Рис. 8.5. Амплитудная огибающая при синхронной волне параметра

Рис. 8.5. Амплитудная огибающая при синхронной волне параметра

Это означает, что синусои- дальний на входе сигнал по мере распространения разби™ вается на группы (волновые пакеты), следующие друг за другом с частотой модуляции параметра О. На рис. 8.5 по™ казано пространственное распределение амплитудной оги™ бающей волны при глубине модуляции m = 0,1 в момент времени 力° = (4k—1)тг/2c. При

этом максимумы имеют место для тех участков волны парамет™ ра, где производная (dn/dt) равна наибольшему отрицательно™

му значению (dn/dt = ^mOyig), а для минимумов — наоборот (dn/dt = тОпо).

Таким образом, в синхронном режиме даже при неглубоком и сравнительно медленном изменении тг(〃)можно получить большое увеличение мгновенной амплитуды и частоты сигнальной волны. Среднее значение интенсивности волны за период волны параметра изменяется в (Е2(х)/Е2(0) = ch/ раз. Поль™ зуясь (8.73) нетрудно показать, что при |Ь| = а на больших расстояниях, где тКх》1,

Фщах 心 1 + (тКж)2/(1 — m)2,

(8.80) ①min 二[1 + (тКхУ/(1 - m)2] .

Сравнивая выражения (8.74), (8.77) и (8.80), приходим к заключению, что параметрическое усиление является наиболее эффективным в синхронном режиме при b =⑺。一c/IZ) = 0.

Исторические замечания и комментарии

Волны в параметрических системах. Первые работы по исследованию волновых процессов в системах с переменными параметрами появились в конце 50-х—нанале 60-х гг. XX века (см. [8.2-8.4, 8.12, 8.13, 8.15]). В первых же работах было по™ казано, что эффект параметрического усиления волны в нестационарной среде связан не с абсолютной величиной изменения параметров среды, а со скоростью изменения во времени dp/dt. Н акапл ив ающиеся параметрические эффекты в недиспергирую™ щей среде с бегущим параметром исследовались в [8.10, 8.11]. В таких системах можно отказаться от предположения о монохро™ матичности волны, поэтому решения, полученные в § 8.5, годят™ ся и для видеоимпульсов. Подобные параметрические системы, генерирующие импульсные волны, были реализованы экспериментально на распределенных параметрических диодах [13.2].

ПВ-геометрическая оптика для нестационарных сред. Впервые вопрос о применимости геометрической оптики к вычислению модулированных волновых полей в нестационар™ ных средах был поставлен С.М. Рытовым в 1938 г. [6.11,6.12]. Он же ввел термин «модулированная волна», который по ана™ логии с модулированными колебаниями относился к квазигар™

моническим волнам. В своих исследованиях С.М. Рытов огра™ ничился рассмотрением квазистатического приближения, когда скоростями изменения параметров среды можно пренебречь по сравнению со скоростью изменения поля. Вопрос о границах применимости такого приближения был впервые поставлен в ра™ боте [8.1].

Задачи и упражнения

Покажите, что, если магнитная проницаемость среды ив- меняется по закону д(ж, t) = Д1(Ж)Д2(^) при произвольной £(/)%))то система уравнений Максвелла (8.2) может быть приведена к уравнению второго порядка для электрине- ского поля. Найдите вид этого уравнения.

Ответ.

д2Е Д1Д2£ д2Е / 8д1 勺дЕ

1 纨£2 дЕ/д2£ . dpi @£ n

-1寸+今后e =0.

Д1Д2 ох дх \ dt2 况 dt /

При каких £(力)力)и д(ж, t) система (8.2) может быть сведена к уравнению второго порядка для магнитного поля Н? Найдите вид этого уравнения.

На границе ж = 0 однородного диэлектрика с переменными во времени параметрами & = £加(1 一 а力)и д = дто(1 — а) действует гармонический источник электрического поля E(t) = Eq sin wq! Найдите структуру электромагнитной волны при ж > 0 и определите законы изменения ее амлли- туды, мгновенной частоты и локального волнового числа. Как изменяется плотность энергии в такой системе?

Покажите, что в режиме синхронизации (п. 8.7.2) при совпадении скорости волны параметра со средней скоростью сигнала (т. е. V = с/п°) амплитудная модуляция волны Ф(ж, t) изменяется по закону (8.80).

ГЛАВА 9

ПРИМЕРЫ НЕЛИНЕЙНЫХ ВОЛНОВЫХПРОЦЕССОВ

При всяком теоретическом исследовании какой либо реальной физической системы ... нужно учесть основные решающие факторы, определяющие те именно черты поведения системы, которые нас в данное время интересуют, и отнюдь не следует стремиться точно учесть все без исключения ее свойства.

А. А. Андронов

В предыдущих главах рассматривались волны малой амплиту™ ды, когда при их описании можно было ограничиться линейными уравнениями ——хотя даже и в этой ситуации при исследовании пространственно-временной эволюции модулированных волн воз™ никали нелинейные задачи из-за нелинейности дисперсионного уравнения. Вместе с тем, во многих других реальных случаях амплитуды волн нельзя считать исчезающе малыми, и тогда ис™ ходные динамические уравнения, описывающие волновой процесс, оказываются нелинейными. Возникающие при этом нелинейное™ ти, как правило, малы, но их учет принципиален, так как при™ водит к новым эффектам, отсутствующим в линейных задачах.

В этой главе будут приведены примеры нелинейных волно™ вых процессов в электродинамике, механике жидкости и газа, а также в механике твердого тела, которые в линейном ирибли- жении были рассмотрены во второй главе.

Электромагнитные волны

Уравнения Максвелла, описывающие распространение одно™ мерной плоскополяризованной волны в изотропной среде без за-

рядов и токов, имеют вид:

дЕ _дБдн =dDдхдхdivD=〃div В :=бдЕ _дБдн =dDдхдхdivD=〃div В :=б(9」)(9」)

дЕ _

дБ

дн =

dD

дх

дх

divD

=〃

div В :

=б

дЕ _

дБ

дн =

dD

дх

дх

divD

=〃

div В :

=б

(9」)

(9」)

Чтобы замкнуть систему, ее необходимо дополнить матери™ альными соотношениями

D(E) = eQE + Р(Е), 8(H)=仰 Н + 仰 АДЕ),(9*2)

устанавливающими связь между электрической и магнитной индукциями с одной стороны, и поляризацией Р и намагниченностью М среды, с другой. Операторы Р(Е) и М(Е) характеризуй ют взаимодействие вещества с электромагнитным полем. Если воздействие поля на вещество сопоставимо с внутренними полями (например, межатомными или межмолекулярными полями), то отклик вещества на поле будет нелинейным. Это выразится в нелинейности выше упомянутых операторов. В частности, характерная величина межатомной электрической напряженности в конденсированных средах имеет порядок Е^т 〜1064™108 В/см. Напряженности, сравнимые с этими величинами, получаются, например, при фокусировке лазерного пучка. Для анализа подобных ситуаций необходимо привлекать нелинейные материальные уравнения. Но при Е«£ат часто необходимо учитывать малые нелинейности в материальных уравнениях. Дело в том, что слабые нелинейности приводят к малым искажениям волны за время порядка ее периода, однако малые искажения накапливаются и приводят к значительным нелинейным эффектам. Рассмотрим некоторые примеры уравнений, описывающих волновые процессы в нелинейных средах. Для определенности будем учитывать лишь нелинейность электрических свойств сре~ ды, полагая магнитные свойства среды линейными, т.е. 8 = =до JET.

Нелинейная среда без дисперсии

При достаточно медленных изменениях электромагнитного по™ ля отклик среды успевает отслеживать эти изменения, так что связь между параметрами среды можно считать квазистатиче™ ской: D = D(E) (рис. 9.1).

Такая связь реализуется в сегнетоэлектриках, а для более

сильных полей ——и в обычных диэлектрических материалах, ео

ли характерный период поля много больше времени релаксации

Рис. 9.1. Зависимость индукции D (а) и дифференциальной про™ ницаемости s (б) от напряженное™ ти электрического поля ЕРис. 9.1. Зависимость индукции D (а) и дифференциальной про™ ницаемости s (б) от напряженное™ ти электрического поля Ев среде. В этом случае система (9.1) сводится к одному уравне™

Рис. 9.1. Зависимость индукции D (а) и дифференциальной про™ ницаемости s (б) от напряженное™ ти электрического поля Е

Рис. 9.1. Зависимость индукции D (а) и дифференциальной про™ ницаемости s (б) от напряженное™ ти электрического поля Е

НИЮ

02。

Полагая, что D = D(E)^ мы полу™ чим

где £(Е) = Cq1 (dD/dE) — диф™ ференциальная проницаемость среды. Из (9.3) следует, что

скорость волны зависит от наира-

женности электрического поля Е. Поэтому в нелинейной волне каждая точка профиля движется со своей локальной скоростью v(E) = е/，£(Е))зависящей от величины электрического поля

волны.

Диэлектрик с электронной поляризацией

Нелинейная поляризация диэлектрика может быть обусловлена различными физическими механизмами: ангармонизмом движения связанных атомарных или молекулярных осцилляторов (электронная нелинейность), ориентацией в сильном электромагнитном поле вытянутых молекул, обладающих анизотропной поляризуемостью (высокочастотный эффект Керра) или локальным изменением плотности среды (электрострикция) и др.

Строго говоря, детальное теоретическое рассмотрение процессов нелинейной поляризуемости среды может быть проведено лишь в рамках квантовой механики. Однако во многих задачах электродинамики и нелинейной оптики можно ограничиться феноменологическим описанием процессов взаимодействия электромагнитного поля с веществом, оставаясь в рамках классической теории.

Диэлектрик с электронной поляризацией в линейном приближении был рассмотрен в п. 2.1.3. Нелинейность поляризации связана с учетом ангармонизма электронных осцилляторов. Для

изотропных диэлектриков нелинейная восстанавливающая сила, действующая на электроны, в общем случае является нечетной функцией их смещения, начинающейся с кубического слагаемо™ го. Поэтому для плоскополяризованной электромагнитной волны вместо (2.13) нужно использовать следующую систему свя™ занных уравнений:

02 石_2 匕__一2 P02 石_2 匕__一2 P(9*4)(9-5)(9*4)(9-5)

02 石_2 匕__一2 P

02 石_2 匕__一2 P

(9*4)

(9-5)

(9*4)

(9-5)

где Oq = (шд —з^/З)——резонансная частота колебаний электрона, а ——параметр, характеризующий нелинейный отклик среды на внешнее воздействие. Обычно слагаемое аР? мал0 по срав~ нению с главным линейным членом и его можно рассматривать как малое возмущение.

Если характерная частота электромагнитного поля мала по сравнению с резонансной частотой электронов (т.е. з « Од), то процесс поляризации среды можно считать безынерционным. Тогда, пренебрегая производными d2P/dt2 и dP/dt и считая нелинейность малой, получим

Р о £嗡Е ■ (9S)

Это частный случай рассмотренной в предыдущем разделе нелинейной недиспергирующей среды, в которой дифференциальная диэлектрическая проницаемость зависит от квадрата электрического поля

"Л За—"Л За—(9*7)(9*7)

"Л За—

"Л За—

(9*7)

(9*7)

Для проведения расчетов в нелинейной оптике обычно используют не диэлектрическую проницаемость, а показатель пре™ л омления п =汽，0+汽，2石2/2)где коэффициент П2 определяет вели™ чину нелинейной добавки к показателю преломления. Так как, по определению 6 = п2 Пд + п^п^Е2то из (9.7) следует:

По =По =1 +1 +П2 t —За£П2 t —За£

По =

По =

1 +

1 +

П2 t —За£

П2 t —За£

Эксперименты показывают, что для кварцевого стекла ng = = 1, 52 И П2 s 10一23 м2/1?2) а ДЛЯ рубина По t 1,65 и П2 t 10一12 м^/З?. Типичные значения пиковых напряженно™ стей в несфокусированных лучах мощных лазеров составляют 102 + 105 В/м, а при волоконно-оптической компрессии достига™ ют 109 ^ 1011 В/м. Это указывает на то, что нелинейные поправ™ ки к показателю преломления могут быть весьма существен™ ными. Так как характерное время установления электронной поляризации составляет 10^14 + 10^15 с, то приближенное со™ отношение (9.6) справедливо для оптических импульсов с дли™ тельностью Т 之 10一^^с.

В следующем приближении, удерживая в (9.5) малое инерционное слагаемое d2P/dt2 〜з^Р〉получаем

Подставляя его в (9.4), приходим к нелинейному уравнению, учитывающему временную дисперсию среды:

&2Е 廿标石 02炉方石

= 0,9*9)

况2е(о)аж2 况2/

где «1 = абд[б(0) — 1]3/б(0)Од — коэффициент нелинейности, /3 = |б(0) — 1]/б(0)Од — параметр дисперсии, £(0) = (1 + ш^/Од)— линейная диэлектрическая проницаемость. Уравнение (9.9) обобщает полученное ранее уравнение (2.19) на случай учета кубической нелинейности среды.

Диэлектрик с ориентационной поляризацией

Модель диэлектрической среды с ориентационной поляризацией представляет собой набор невзаимодействующих молекул, часть из которых обладает дипольным моментом. Этот механизм ха™ рактерен для нелинейных жидкостей, где молекулы могут лег™ ко поворачиваться. В отсутствие внешнего электрического поля ориентации осей жестких диполей хаотически распределены по углу и поляризация равна нулю. Ориентационная поляриза™ ция среды вызывается поворотом жестких молекул с постоян™ ным дипольным моментом под действием электрического поля (нестационарный эффект Керра). В простейшем случае та™ кую молекулу можно представить в виде стержня с зарядами +q и —q на концах (рис. 9.2). Электрическое поле стремится

сориентировать ось диполя по направлению вектора Е. Однако из-за теплового движения не все молекулы точно ориентируют™ ся по полю. В качестве характеристики среды вводят параметр порядка 0，①，1. При случайном распределении ориентации молекул среда изотропна и Ф = 0, а при Ф = 1 все молекулы, обладающие дипольным моментом, ориентированы параллель™ но друг другу и среда максимально анизотропна. Поляризацию среды, наведенную электрическим полем Е)записывают в виде

Р = £о[х + 4Х^(Е)]4Р = £о[х + 4Х^(Е)]4(9.10)(9.10)

Р = £о[х + 4Х^(Е)]4

Р = £о[х + 4Х^(Е)]4

(9.10)

(9.10)

Рис. 9.2. Ориентация молекулы, обладающей дипольным моментом, в элек™ трическом полеРис. 9.2. Ориентация молекулы, обладающей дипольным моментом, в элек™ трическом поле

Рис. 9.2. Ориентация молекулы, обладающей дипольным моментом, в элек™ трическом поле

Рис. 9.2. Ориентация молекулы, обладающей дипольным моментом, в элек™ трическом поле

где х — диэлектрическая восприимчивость среды при Ф = 0, а △% ——коэффициент анизотропии среды, соответствующий Ф = 1. Поскольку Ф зависит от Е)то второе слагаемое в (9.10)

отвечает за нелинейную поляризацию среды.

В быстропеременном электрическом поле ориентирование молекулы запаздывает относительно изменения поля. Простейшая математическая модель этого процесса приводит к релаксационному уравнению для параметра порядка :

T广字+①=)e2. (9.11)

Здесь тг ——время релаксации, а 7 ——коэффициент, характеризующий степень воздействия электрического поля на ориентацию молекул. Время установления ориентационной поляризуемости тг для обычных жидкостей составляет 1О^10 ^10^12с, а для жидких кристаллов тг 〜10^6 + 10^8с.

Уравнения (9.10) и (9.11) совместно с (9*4) описывают рас™ пространение электромагнитных волн в нелинейной среде с ориентационной поляризацией. При медленном изменении электрического поля инерционностью отклика среды можно пренебречь, тогда Ф а)石2 и соотношение (9.10) соответствует недисперги™ рующей среде с квазистатической кубической нелинейностью.

Дискретные линии передачи

В экспериментах наряду с распределенными электромагнитны™ ми линиями передачи (двупроводные, коаксиальные и полоско™ вые линии) часто используются цепочки, составленные из дис™ кретных элементов: емкостей С、индуктивностей L и соиротив- лений R. Дискретные элементы легко сделать нелинейными, их можно менять как в конструкторе, создавая ту или иную модель среды с интересующими нас нелинейными, дисперсионньь ми и диссипативными свойствами. Все это делает Л Б цепочки весьма привлекательными с точки зрения теоретического и экс™ периментального (аналогового) моделирования нелинейных вол™ новых процессов в различных физических средах.

Рассмотрим простейшую БС7™цепочку, изображенную на рис. 9.3 а. Для вывода ее уравнений воспользуемся правилами Кирхгофа: алгебраическая сумма токов в узле равна нулю и в

ии解龍+1ии解龍+1Рис. 9.3. LC-цепочки, моделируюшие среду с пространственной дисперсией (а) и с пространственно-временной дисперсией (б)Рис. 9.3. LC-цепочки, моделируюшие среду с пространственной дисперсией (а) и с пространственно-временной дисперсией (б)

ии解龍+1

ии解龍+1

Рис. 9.3. LC-цепочки, моделируюшие среду с пространственной дисперсией (а) и с пространственно-временной дисперсией (б)

Рис. 9.3. LC-цепочки, моделируюшие среду с пространственной дисперсией (а) и с пространственно-временной дисперсией (б)

любом замкнутом контуре падение напряжений равно нулю. В соответствии с этими правилами для £<7-цетючки имеем:

ип - 口…=

^ = 一上牛)(9.12)

где un ——напряжение на n-й емкости, in ——токи в катушках индуктивности, Q(un) = Go(ип — m^/2) — заряд на нели-

нейной емкости, dQ/dun = Со(1 — min)——дифференциальная емкость линии. Исключая из (9.12) токи in и получаем дифференциально-разностное уравнение для напряжения:

%(9*13)

at2'

Если характерный пространственный период волны А охваты™ вает много звеньев т.е.入》1)то можно перейти от дискретной переменной п (номера ячейки) к непрерывной координате х = =па (а — пространственный период ячейки) и воспользоваться разложением

⑴=и(х 士 а/) о «(ж, t)±^a + ^ (|^) а2 ±

Подставляя это разложение в (9.13), получаем дифференциальное уравнение в частных производных

д и —2 д и I а д и . д и оi 、

и 况2 2g dt- ox4

где г；о = a/「yi^"——скорость распространения длинной волны в линейной системе, а /3 = а2/12 — коэффициент, отвечающий за дисперсию волны. В длинноволновом приближении, когда мож™ но положить, что /3 = 0)уравнение (9.14) описывает распростра™ нение нелинейной волны напряжения в среде без дисперсии.

Учет дискретности линии, когда 户 ^ 0, приводит к появлению высокочастотной дисперсии. Заметим, что к появле™ нию высокочастотной дисперсии приводит подключение допол™ нительных емкостей С^ параллельно индуктивным элементам (рис. 9.3 б). Это создает возможность управления дисперсион™ ными и нелинейными свойствами системы за счет изменения параметров электрической схемы и открывает возможность эффективного моделирования с их помощью нелинейных волновых процессов различной физической природы.

Нелинейные акустические волны

В линейной акустике амплитуда волны считалась такой ма™ лой, что присутствие волны не сказывалось на распространении

других волн, т.е. выполнялся принцип суперпозиции. Такое но ложение представляет собой идеализацию, так как нелинейность присутствует и в уравнениях движения и в уравнениях состоя™ ния среды. Вопрос в том, насколько существенно проявляются эти нелинейности в той или иной конкретной ситуации.

Волны в идеальном газе

Одномерные движения идеального газа описываются уравнени™ ем Эйлера

уравнением неразрывности

穹 )=0(9.16)

и уравнением состояния среды (адиабата Пуассона)

Р = Ро(р/роУ,(9.17)

где ро и ро — равновесные значения давления и плотности, а 7 — показатель адиабаты Пуассона (для газов 1 < 7 < 2).

Уравнения (9.15) и (9.17) записаны в переменных Эйлера ж, 1 В ряде случаев более удобна формулировка одномерных уравнений газовой динамики в переменных Лагранжа.

Пространственное положение частицы среды в произвольный момент времени характеризуется координатой ж, называ™ емой переменной Эйлера. Ее положение в начальный момент времени 力=0 определяется переменной £)называемой пере™ менной Лагранжа. Связь между эйлеровыми и лагранжевыми переменными дается выражением

优=£ + u(/力(9.18)

где и{^ t)——смещение частицы от начального положения. В переменных Лагранжа уравнение движения (9.15) и уравнение неразрывности (9.16) имеют вид:

夕(1 + ||)=夕(9.20)

а уравнение состояния (9.17) остается прежним. Систему (9.19)(9.20) совместно с уравнением состояния (9.17) можно привести к одному уравнению второго порядка. Из (9.17) и (9.20) следует, что

др dp др 2 а .&2h

где с$ = у 7Ро/Ро — скорость звука в невозмущенном газе. Подставляя это соотношение в (9.19), получаем так называемое уравнение Ирншоу:

為*(1+少"装=。・

Отсюда видно, что акустические волны не обладают дисперсией, а их нелинейность связана с тем, что локальная скорость звука зависит от степени сжатия газа.

Отсутствие дисперсии у акустических волн в свободном про™ странстве является характерной чертой, отличающей нелинейную акустику от нелинейной оптики, где дисперсия электромаг™ нитных волн в среде играет существенную роль. Как было по™ казано ранее, у акустических волн дисперсия возникает лишь в следствии релаксационных процессов в газе (п. 2.2.2), либо при наличии газовых пузырьков в жидкости (п. 2.2.3).

Слабонелинейные акустические волны

Рассмотрим звуковые волны малой, но конечной амплитуды, ко гда в уравнениях (9*15)—(9.17) необходимо учитывать не только линейные, но и квадратичные по амплитуде волны члены. Тогда уравнение состояния (9.17) можно записать в виде

Р + (^Р + ^^^р.(9*22)

В этом приближении уравнения гидродинамики принимают вид

包+左里=.3 - 2储/力_炉火 dt po дхp1 дх дх)23)

dp dv —。、

Правые части в этих уравнениях малы. Параметром малости служит величина М = v/cs 〜pf/ро? называемая акустическим

числом Маха. Можно показать, что в случае слабонелинейных процессов эта система эквивалентна одному уравнению второго порядка для потенциала скорости (г; = д(р/дх):

(9.24)(9.24)

(9.24)

(9.24)

Здесь при преобразованиях нелинейных слагаемых использовалось приближенное равенство d2(p/dt2 = с^(92(/?/9ж2), а кубическим слагаемым мы пренебрегли. Первое слагаемое в правой части (9.24) обусловлено конвективной составляющей ускорения в уравнении (9.15) и не связано со свойствами среды. Второе слагаемое связано с нелинейностью уравнения состояния (9.17).

Следует заметить, что вместо (9.24) в нелинейной акустике применяются близкое по виду уравнение для скорости и:

d2v 2 a2 и — 2 a2 d

где £ =(7 + 1)/2 ——параметр акустической нелинейности. При его выводе была использована замена d/dt = (д/дх)^ справедливая лишь для волны, бегущей в одну сторону, и оно, вообще говоря, непригодно для анализа взаимодействия волн, бегущих в противоположных направлениях.

Во многих задачах важно учитывать малую вязкость среды, действие которой может быть сопоставлено с влиянием нелинейности. Движение вязкой среды описывается уравнением Навье— Стокса:

dv . dv 1 др г d2v

Здесь <5 = (4〃/3 + х)0「——приведенный коэффициент вязкости, 7/ ——коэффициент сдвиговой, а х — объемной вязкости. Его необходимо рассматривать совместно с уравнениями непрерывности (9.16) и состояния (9.17). Для слабонелинейных акустических возмущений эта система уравнений может быть приведена к одному нелинейному уравнению

(9*25)(9*25)d2v 2 a2 и — 2 А%/方 d3v

(9*25)

(9*25)

3力24 3関2*4 Ox2dx2dt'

Оно может использоваться не только для газов, но и для жидкостей с уравнением состояния Тэта:

где 4。」一эмпирические константы. Величина 夕° = 4° — —4] и рос2 имеет порядок «внутреннего» давления в жидкости, связанного с силами межмолекулярного взаимодействия.

Волны на поверхности жидкости

Гравитационные волны на поверхности жидкости представляют собой классический пример нелинейных диспергирующих волн.

Уравнения для потенциала скорости

При рассмотрении волн конечной амплитуды уравнения линейной теории (2.43)^(2.45) необходимо дополнить двумя нелинейными членами. Один из них входит в интеграл Бернулли (2.45) из-за наличия конвективной производной в уравнении Эйлера [(V, V)v = 1/2(▽夕)2])а второй —в кинематическое граничное условие (2.44) на свободной поверхности 2 = С(力，力)из-за того, что вектор скорости v точек, лежащих на подвижной поверхности, имеет горизонтальную и вертикальную компоненты в результате искривления поверхности (см. рис. 2.6). Его вертикальная составляющая равна vz = (dz/dt) = dCjdt + vx(d(/дх). В результате полная система нелинейных уравнений без учета сил поверхностного натяжения имеет вид:

窘 + 卷；二 J， (9・26)

(釣 Z一 = °，(927)

(釣

｛雾 + 訳雾 了+(釣(9-29)

где h ——глубина слоя жидкости.

Нас интересует изменение во времени формы его свободной поверхности 2 = ^(ж,t), которая и представляет собой поверхностную волну вдоль оси х. Специфика задачи состоит в том, что искомая функция С (力，力)входит в краевое условие на неизвестной подвижной границе. Наша задача состоит в исключении «неволновой» координаты 2 из исходных уравнений (9.26)—(9“29) и получении нелинейных эволюционных уравнений для 夕 и《〉 зависящих лишь от «волновых» переменных ж и 力.

В нашем распоряжении имеются два безразмерных параметра = а/Л и д =九/X〉где а, Л ——соответственно амплитуда и длина волны. Первый из них характеризует степень нелинейности, а второй ——дисперсионные свойства поверхностной волны. В зависимости от величин этих параметров можно рассматривать линейные (&i《1) волны на «мелкой» (д <С 1) или «глубокой» (〃》1) воде, а также нелинейные(£]〜1). Линейные поверхностные волны были рассмотрены в п. 2.3 и здесь мы сконцентрируем внимание на выводе уравнений нелинейных поверхностных волн.

В случае глубокой воды (从》1) единственным малым параметром задачи является параметр, характеризующий нелинейность волны. Решение уравнений (£126)—(9.29) может строиться в виде асимптотических рядов переменных 夕 и《по степеням параметра нелинейности

Волны на мелкой воде

В этом случае 从=九/Л《1 и нелинейность волны определяется уже не 61, а отношением амплитуды волны к глубине канала £ = a/h. Для дальнейшего упрощения уравнений (9.26)—(929) и выделения в них доминирующих слагаемых удобно перейти к безразмерным переменным

(9.30)(9.30)

(9.30)

(9.30)

где vq = v^b ——предельная скорость распространения поверхностной волны на мелкой воде. В качестве масштаба времени выбран интервал, за который волна пройдет путь, равный ее длине. В безразмерных переменных система уравнений (926)—(9.29) теперь выглядит так (штрихи у безразмерных пе-

ременных опускаем):

(9.31)(9.32)(9.33)(9.31)(9.32)(9.33)

(9.31)

(9.32)

(9.33)

(9.31)

(9.32)

(9.33)

(9.34)(9.34)

(9.34)

(9.34)

В эти уравнения входят два малых параметра е и д2, и чтобы одновременно учесть эффекты нелинейности и дисперсии, необходимо положить &〜〃2. Выражение для потенциала скорости 夕(力)d 力)представляется в виде степенного ряда по координате 2：

ОО

夕(伤d力)1夕0(伤力)+ f/Zy + 1广夕冷(伤力(9-35)

n=l

Здесь 夕о(力)力)=夕(伤力 2 = —1,) — потенциал поля скоростей на дне канала. Подставляя это разложение в уравнение Лапласа (9.31) и граничное условие (9.32), находим, что все нечетные члены разложения обращаются в нуль, а четные слагаемые связаны рекуррентным соотношением

^^ = -+ 1)(" + 2)夕冷

В результате (9.35) примет вид 1)

夕(力,华力)1 夕 0(力0 +(936)

На свободной поверхности z = С (力，力)потенциал представляется в виде разложения в ряд Тэйлора по степеням вертикаль-

Заметим, что до этого момента еще не делалось никаких приближений. В случае мелкой воды (〃，《1) в выражении (9.36) обычно ограничиваются лишь первыми тремя членами.

ного отклонения от уровня 2 = 0：

力)-g也屮)+ (箱К +貝発)« +…(937)

Подставляя эти разложения в граничные условия (9.33) и (9.34),

2

получаем с точностью до величин порядка е и 〃

I也亠g (2 _ "，2心0 =

出十22 dx^dt - 5

火I >90/匹也 I广心0)"，2 心。=п

Эти уравнения описывают нелинейные поверхностные волны на мелкой воде и называются системой уравнений Буссинеска.

Система уравнений (9.38) может быть записана в более привычной форме. Для этого необходимо вернуться к размерным физическим переменным (9.30), продифференцировать первое уравнение (9.38) по координате ж и ввести в рассмотрение горизонтальную скорость 川力⑺=д(ро/дх^ которая определяется как д(ро/дх у <5 + j^a^v/Все2). После этих преобразований система (9.38) запишется в виде:

dt дх Q дх \ 2 /dt дх Q дх \ 2 /h2 d3vh2 d3vA ^ 石（c+九）"]=。*A ^ 石（c+九）"]=。*(9*39)(9*39)

dt дх Q дх \ 2 /

dt дх Q дх \ 2 /

h2 d3v

h2 d3v

A ^ 石（c+九）"]=。*

A ^ 石（c+九）"]=。*

(9*39)

(9*39)

Они отличаются от уравнений газовой динамики (9.15) и (9.16) наличием третьей производной в правой части первого уравнения и совпадают с ними при стремлении глубины канала к нулю. Роль плотности среды играет возвышение《〉а роль давления — величина g^2/2^ что соответствует уравнению адиабаты Пуассона (9.17) с эффективным показателем)= 2.

Систему уравнений (9*39) можно свести к одному уравнению относительно переменной《Для этого продифференцируем второе уравнение (9.39) по времени и воспользуемся заменами dv/dt u —gd^/dx^ dv/дх u hr'dCjд{)следующими из линейного приближения. В результате после ряда несложных преобразований придем к уравнению Буссинеска

a户 0 ^2 2无 ^22 ar4a户 0 ^2 2无 ^22 ar4(9.40)(9.40)

a户 0 ^2 2无 ^22 ar4

a户 0 ^2 2无 ^22 ar4

(9.40)

(9.40)

где г；о = v^7^ — скорость поверхностных волн на мелкой воде. Это уравнение пользуется большой популярностью в теории нелинейных волн, так как относится к точно интегрируемым уравнениям.

Волны в твердых телах

Мы уже видели в гл. 4, что вариационные принципы приводят к весьма общей форме записи уравнений движения. Здесь они будут использоваться для вывода уравнений, описывающих нелинейные волны в упругих телах.

Волны в изотропном твердом теле

Уравнения механики твердого тела могут быть получены из вариационного принципа Гамильтона-Остроградского. В механике твердого тела для описания процессов деформации используются лагранжевы координаты, отвечающие начальным положениям частиц среды. Применительно к задачам твердого тела лагранжевы координаты в твердом теле мы будем обозначать через/分.

Объемная плотность лагранжиана для упругого тела в прямоугольных декартовых координатах записывается следующим образом:

0 = |ро (*)—能(々用)) (9.41) где %(力1〉力2〉①3〉力)——компоненты вектора смещения, ро ——плотность среды в начальный момент времени,卷一внутренняя энергия, &泳 ——тензор конечных деформаций:

々用=礬. (9.42)

2 \oxk дхг oxl дхк J

При адиабатических процессах изменение внутренней энергии, вызванное деформациями тела, можно представить разложением по инвариантам тензора 々用• Для изотропной среды оно имеет вид

卷=^/2 + 从/2 + 胃/: + " 2厶/2 + *3/3・ (9.43)

Здесь 厶=6ц,』2 = ^ik^ki ? ‘3 = ^ik^ki^ij J 入〉从—КОНСТЯНТЫ упругости второго порядка (коэффициенты Ламе); ип — константы упругости третьего порядка. Это разложение соответствует так

называемой пятиконстантной теории упругости и учитывает эффекты, связанные с квадратичной нелинейностью среды.

Заметим, что нелинейные эффекты в твердых телах определяются двумя факторами. Прежде всего это нелинейность тензора Грина 々用〉которая не зависит от физических свойств среды и определяется геометрией деформирования, поэтому ее называют геометрической нелинейностью. Кроме геометрической, существует физическая нелинейность^ связанная с тем, что в выражение для внутренней энергии (9.43) входят третьи степени градиентов перемещений дщ/дх^ с коэффициентами 沙期 характеризующими физические свойства среды. Оба этих фактора приводят в итоге к нелинейности уравнений движения.

Подставляя (9.41)—(943) в интеграл действия (4.1), после стандартных вычислений приходим к уравнениям движения

д2иг — а爲亦=初д2иг — а爲亦=初д(диг/дхк)д(диг/дхк)(9.44)(9.44)

д2иг — а

爲亦=初

д2иг — а

爲亦=初

д(диг/дхк)

д(диг/дхк)

(9.44)

(9.44)

которые описывают нелинейные волны в изотропном твердом теле.

В случае распространения плоских продольной и сдвиговых волн вдоль оси Xi = х уравнения (9.44) сводятся к системе

dt2 4 дх2 2 дх \дх) 2 дх \ дх ) 7、

(9.45) @2w2 a2W — д Гди dw\

dt2 。丁 dх2 dxдx 丿"

где W(ж, t) = г;в22 + ^^з — вектор поперечных смещений, в?,з — единичные орты осей 力2 и 力3〉величина &i = Зс? + 而乂％ + 6〃2 + + 8〃з) играет роль нелинейного параметра для продольной волны, а «2 = 寸/2 + 0「(〃2/2 + 沙з) — параметр, отвечающий за нелинейное взаимодействие продольной и сдвиговой волн. Заметим, что эти волны не обладают дисперсией и, кроме того, у сдвиговой волны отсутствует собственная нелинейность, поэтому она может взаимодействовать лишь с продольной волной. В этом приближении продольная волна воздействует на сдвиговую параметрическим образом, а сдвиговая волна является для продольной нелинейной силой. Собственная нелинейность у сдвиговых волн появляется лишь в следующем порядке. Это связано с тем, что сдвиговые волны поперечны и в изотропной среде они могут обладать только нечетной нелинейностью.

8 Л.А. Островский, А.И. Потапов

Продольные волны в стержне

Как мы видели в п. 2.4, дисперсия появляется при распространении упругих волн в стержнях. Здесь мы рассмотрим, к чему приводит учет нелинейных эффектов для продольных волн в стержне. Распределения смещений в поперечном сечении тонкого круглого стержня описываются выражениями:

их = п(ж, t), иг = —0 г а, (9.46)

а компоненты тензора Грина (9.42) равны

ди . 1 fди\23〃

Объемная плотность функции Лагранжа (9.41) в этом случае равна

где Е = д(ЗЛ + 2д)/(Л + д) — модуль Юнга, а = (3石+ /(1 —6〃) + +6〃2(1 —2〃)+8〃з)——нелинейный параметр для продольных волн в стержне. В выражение (9.47) входит «неволновая» переменная г. Она стоит перед высшими производными, отвечающими за дисперсию продольных волн, и ее учет делает задачу неодномерной, как и в случае поверхностных волн на воде (см. п. 9.3). Чтобы избавиться от неодномерности, проинтегрируем (9.47) по поперечному сечению стержня и перейдем к одномерному лагранжиану L = 2я /^ Lvrdr. Подставляя L в (4.10), приходим к уравнению, описывающему нелинейные продольные волны в стержне (ср. (2.58)):

(9.48)(9.48)

(9.48)

(9.48)

где го = a/V^ ——полярный радиус инерции. Заметим, что в области длинных волн можно воспользоваться приближенным

соотношением d2u/dt2 и с^^и/дх2 и заменить (9.48) более простым уравнением

亲—不工=0(9.49)

dt- ' \ E dx J дх- и \ cf у dx2dt-

которое иногда называют модифицированным уравнением Буссинеска.

Волны в цепочке маятников

Рассмотрим физическую модель, приводящую к другому, весьма популярному в нелинейной теории волн уравнению —— уравнению синус^Гордона (СГ). Это цепочка из связанных маятников, совершающих колебания около общей оси (рис. 9*4).

Рис. 9.4. Механическая линия передачи из упруго связанных маятников

Маятники подвешены на прямом стержне, отстоят друг от друга на расстояние а по оси ж и связаны между собой пружинами, работающими на кручение. Угол отклонения 冗-ro маятника от вертикали обозначим через 夕冷(力》Свободные колебания одного маятника без учета упругих связей описываются известным уравнением

/亲 +Tsin 夕=&

где / = ml2 — момент инерции маятника. Т = mgl — возвращающий момент силы тяжести; /, т — соответственно длина маятника и его масса.

Взаимодействие п-го маятника со своими соседями добавляет к этому уравнению моменты Mn^n±i = К(夕冷±1 —夕冷)〉создаваемые пружинами, расположенными слева и справа от п- го маятника. Поэтому уравнение колебаний цепочки маятников приобретает вид

/* + ^sinW =К(外，+1 - 2夕冷 + 夕(9.50)

где К — константа кручения пружины. В длинноволновом приближении, когда характерная длина волны Л много больше расстояния между маятниками а, в уравнении (9.50) можно перейти от дискретного параметра п к непрерывной координате 力=па и воспользоваться разложением

夕几±1⑴t夕(力±0⑴t夕(力0±!^a + ^ (|j) °2 + •-

В этом случае дифференциально-разностное уравнение (9.50) сведется к дифференциальному уравнению в частных производных, называемому уравнением синус-Гордона:

^i^ — *^j^ + 宕 sin“ = 0,(9.51)

где eg = [(Kg2)/(2J)] I'?——скорость волны вращения, g^ = =g/I ——парциальная частота колебаний отдельного маятника.

Значение уравнения (9.51) далеко выходит за рамки описанной «игрушечной модели». Оно встречается в теории кристаллов, теории сверхпроводимости. С ним связаны некоторые попытки построения единой теории элементарных частиц. Уравнение является частным случаем нелинейного уравнения Клейна- Гордона

+(9.52)

Другим частным случаем (9.52) является так называемое уравнение 夕&

奈一届翡+就9 +а，= 0(9.53)

которое встречается в нелинейной теории поля и физике элементарных частиц. Все эти уравнения релятивистски инвариантны в том смысле, что их вид не изменяется при преобразованиях Лоренца.

Исторические замечания и комментарии

Нелинейная оптика. Первые прямые эксперименты по регистрации нелинейных эффектов при поглощении и преломлении света в урановых стеклах были выполнены С.И. Вавиловым в 1920—30-е гг. еще задолго до появления лазеров. Вавило™ вым было подмечено, что минимальные световые поля, при ко™ торых могут наблюдаться нелинейные эффекты, соответствуют резонансам молекул среды. Поэтому основное внимание в его исследованиях было сосредоточено на наблюдении нелинейных эффектов вблизи резонансных линий поглощения. С.И. Вавилову и В.Л. Левшину принадлежит первое экспериментальное наблюдение эффекта «просветления» непрозрачной среды в по™ ле интенсивной волны (1925 г.). Этот эффект был заново открыт в 1965 г. С. МакКоллом и Е. Ханом и получил название эффекта самоиндуцированной прозрачности [9.1].

Первое четкое изложение причин появления оптических нелинейностей было дано Вавиловым в его книге《Микроструктура света» (1950 г.). В ней же впервые появился и термин «нелинейная оптика». При распространении сильных электро™ магнитных волн в конденсированных средах различие меж™ ду действующим полем и внешним макроскопическим полем связано с возникновением нелинейной поляризуемости среды. Классические модели нелинейностей, обобщающие электронную модель Лоренца были предложены в работах Н. Бломбергена и подробно описаны в его монографии «Нелинейная оптика» (1965 г.) [9.5] и монографии С.А. Ахманова и Р.В. Хохлова «Про™ блемы нелинейной оптики» (1964 г.) [9.2].

Интенсивное развитие нелинейной оптики началось в 1960-х годах после изобретения лазера, позволившего получать силь™ ные оптические поля. Первыми нелинейными эффектами в ла™ зерной оптике стали генерация второй оптической гармоники в кристалле кварца (П. Франкен и др., 1961 г.) генерация 3-й и 4-й оптических гармоник в лазерах с модулируемой добротно™ стью. В 1962-1964 гг. были экспериментально обнаружено явле™ ние вынужденного комбинационного рассеяния и вынужденное рассение Мандельштам а™ Б ри л люэна [9.1].

В 1963 г. впервые наблюдались самофокусировка света, кото™ рая теоретически была предсказана в 1961 г. Г.А. Аскарьяном. В 1965 г. экспериментально наблюдался эффект самоиндуциро™ ванной прозрачности.

К середине шестидесятых годов XX века нелинейная опти™ ка сформировалась как самостоятельное направление нелинейной физики. К этому времени появились генераторы оптических гармоник и перестраиваемые параметрические генераторы света.

Фактором, стимулировавшим развитие нелинейной оптики, было интенсивное развитие нелинейной радиофизики в 1958— 1959 гг. в связи с исследованием процессов усиления, преобра™ зования и генерации электромагнитных волн в приборах сверх™ высокочастотного диапазона и в электромагнитных линиях пе™ редачи, содержащих нелинейные элементы.

Нелинейная гидродинамика. Нелинейные уравнения движения идеальной жидкости были сформулированы Л. Эй ле™ ром в 1755 г. Он исходил из идеи о том, что для каждой частицы, мысленно выделенной из общего объема жидкости, применим второй закон Ньютона. Полная система уравнений гидродина™ мики идеальной жидкости включала в себя пять уравнений: три уравнения движения для компонент вектора скорости, уравнение непрерывности и уравнение состояния жидкости.

В 1788 г. Ж. Лагранж вводит термины сжимаемая и несжимаемая жидкость и функцию 夕)которая позднее стала назьь ваться потенциалом скорости (v = ▽夕丿.Это позволило ему записать уравнение неразрываности для несжимаемой жидко™ сти в виде уравнения Лапласа △夕=0. Это уравнение называ™ ют интегралом Коши-Лагранжа. Лагранж также предпринял первую попытку сведения системы трехмерных уравнений гид™ родинамики к одному уравнению для потенциала скоростей 夕, но получившееся уравнение оказалось чрезвычайно сложным.

Уравнение нелинейной газовой динамики в переменных Лагранжа (9.21) впервые появилось в статье С. Ирншоу «К мате™ матической теории звука» (I860 г.), в которой он сделал попытку отыскать решение общего уравнения звуковых волн. Он рассматривал уравнение состояния газа в общем виде р = F(p/po) и пришел к уравнению

совпадающему с (9.21) при F = р0(р/р0)7. Ирншоу был одним из первых, кто установил, что с увеличением скорости движения плотность среды может возрастать [И.7].

Уравнения Буссинеска. Жозеф Валентин Буссинеск (1842—1929), французский механик и физик, внес значительный

вклад в различные области гидродинамики, теории упругости и теорию распространения света. Его исследования по распространению слабонелинейных поверхностных волн на мелкой воде изложены в трех статьях (1871—1872 гг.). Буссинеск предпола™ гал течение несжимаемой и невязкой жидкости безвихревым и раскладывал потенциал поля скоростей по степеням вертикаль™ ной координаты. Сначала он вывел систему нелинейных уравнений (9.38), а затем, используя приближение d/dt о —v^d/dx (справедливое лишь для волн, бегущих в одну сторону), свел ее к одному уравнению второго порядка (9.40). Буссинеск нашел три интегральных инварианта этого уравнения, два из которых представляют собой законы сохранения массы и энергии. Он вывел также формулу для скорости распространения возвышения на поверхности воды и показал, что из условия ее постоянства вытекает выражение для формы уединенной волны, которое те™ перь известно как солитон. Буссинеск показал также, что уе™ диненная волна представляет собой возвышение на поверхности воды и не может сформироваться при отрицательном начальном смещении поверхности. Эти результаты Буссинеска на много лет вперед предвосхитили предсказания нелинейной волновой теории длинных волн на воде.

Нелинейная упругость в механике твердого тела. В 1687 г. Якоб Бернулли в своих опытах по растяжению струн, изготовленных из кишок кошки, пришел к противоречию с ли™ нейным законом Р. Гука и написал об этом письмо Г. Лейбни™ цу. Лейбница заинтересовало отсутствие согласованности меж™ ду линейным законом Гука и опытами Бернулли. В своем ответе (1690 г.) он предположил, что экспериментальные данные Вер- нулли описываются гиперболической зависимостью. Так был сформулирован первый нелинейный закон упругости задолго до того, как в трудах К「Л. Навье (1821 г.) и О. Коши (1825— 1830 гг.) появились уравнения механики твердого тела [И.1].

В 1695 г. Я. Бернулли предложил параболический закон упругости: х = kFm^ где ж — удлинение, F — продольное уси™ лие, а к и "г〉1 — константы. При m = 3/2 этот закон лучше согласовывался с экспериментальными данными, чем закон Лейбница. В течение последующих двух с половиной столетий параболический закон Бернулли неоднократно переоткрывался другими исследователями для широкого спектра материалов.

Следующий важный вклад в нелинейную упругость при малых деформациях был сделан лишь спустя сто с лишним лет

французским математиком, механиком и политиком П. Дюпе™ ном. В 1811—1815 гг. он, будучи морским офицером, заинтересо™ в алея изменением формы деревянных судов после их спуска на воду. С этой целью он выполнил серию экспериментов, в кото™ рых измерял прогибы свободно опертых призматических балок из кипариса, березы, дуба и сосны и устанавливал вид прогиба. После обработки экспериментальнных данных Дюпен предло™ жил параболический закон b = aF + bF2, описывающий зависимость прогиба деревянной балки 8 от приложенной силы F (а и 6 ——константы, находящиеся из опытов).

В 1824 г. чешский механик Ф. Герстнер, автор книги «Теория волн» (1804 г.) и первого точного решения, описывающего нели™ нейные волны на поверхности глубокой воды (волны Герстнера), провел серию экспериментов по растяжению стальных фортешь анных струн и обнаружил, что опытные данные описываются параболой г = —匕£乙 Где 丁 — растягивающее напряжение, £ — относительная деформация, а, 6 ——экспериментально определяемые константы. Спустя полтора десятилетия в 1839 г. к такому же закону пришел английский механик-экспериментатор И. Хо- джкинсон, в своих опытах по растяжению и сжатию стальных стержней.

Запись закона нелинейной упругости в виде разложения объ™ емной плотности внутренней энергии по степеням компонент тензора деформации (9.43) была предложена в 1937 г. Ф. Мур- наганом и независимо от него Л.Д. Ландау.

История этих исследований подробно описана Дж. Беллом в книге «Экспериментальные основы механики деформируемых твердых тел» (см.回1]).

Нелинейные волны в стержнях. В первых работах, посвященных исследованию нелинейных диспергирующих волн в тонких стержнях учитывалась дисперсия продольных волн, свя™ занная лишь с учетом кинетической энергии поперечного дви™ жения частиц стержня. Это соответствует удержанию в уравнении (9.48) слагаемого с d4u/dx2dt2 и пренебрежению слага™ емым, пропорциональным д^и/дх^. Такой приближенный учет дисперсии продольных волн в тонком стержне был предложен А. Лявом еще в 1892 г. Он игнорирует вклад сдвиговых дефор™ маций, связанных с изгибом продольных волокон, в потенщь лаьную энергию стержня. Ляв мотивировал это приближение тем, что основная часть потенциальной энергии от сдвиговых де™ формаций учитывается заменой коэффициента (Л + 2д) модулем

Юнга Е, что приводит к уменьшению скорости продольных волн в стержне с/ = \Е[р、по сравнению со скоростью плоской про™ дольной волны в свободном пространстве ci = у (Л + 2д)/pQ. Более точный анализ [9.13, 9.14] показывает, что при малых длинах волн слагаемое с д4и/дх4 не является пренебрежимо малым по сравнению с д^и/дх^dt2. Его учет позволяет расширить область применимости математической модели вплоть до длин волн а/Л ~ 1, когда групповая скорость продольной волны до™ стигает минимального значения.

Задачи и упражнения

Выведите уравнение для потенциала скорости из уравнений нелинейной гидродинамики (9*15)—(9.17) при выполнении закона р = с^р, где cs = const.

Найдите лагранжиан, из которого уравнение (9.24) получалось бы как вариационное уравнение (4.2).

Найдите вид лагранжиана для уравнения Ирншоу (9.21). Найдите выражения для плотности энергии, волнового импульса и их потоков.

Считая нелинейность слабой, упростите уравнение (9.24), сохранив в нем только квадратичную нелинейность.

Ответ.

д2и — з д2и _ _ 2(7 +1) а

а力2с§дх2 Cs 2 0方"

Найдите лагранжиан, соответствующий уравнению Вусси- неска (9.40).

Выведите уравнение продольных колебаний цепочки оди™ наковых частиц, имеющих массы m и отстоящих друг от друга на расстояние а. Частицы связаны между собой нелинейными пружинками, у которых сила F и удлине™ ние х связаны соотношением F = к()х + kix2, где k。？ ki — константы.

Ответ:

т^^ = kQ(un+i-2un+un^i)+ki[(un+i-unf-(un-un^if^

Здесь ип(1)——смещение 冷-й частицы от положения равно™ весия.

Для цепочки, описанной в задаче 9.6, получите уравнение в частных производных, описывающее ее колебания в длин™ новолновом приближении (Х/а》1).

Выведите дифференциально-разностное уравнение, они- сывающее распространение волны напряжения в LC- цепочке, показанной на рис. 9.3 б. Найдите алинноволно- вую аппроксимацию этого уравнения, учитывающую временную и пространственную дисперсии.

ГЛАВА 10

НЕЛИНЕЙНЫЕ ЭВОЛЮЦИОННЫЕ УРАВНЕНИЯ.ПРОСТЫЕ И УДАРНЫЕ ВОЛНЫ

Когда мы хорошо понимаем вопрос, нужно освободить его от всех излит- них представлений, свести его к про стейшим элементам.

Рене Декарт,

Начиная с 1960-х годов в теории нелинейных волн были до™ стигнуты разительные успехи. Выяснилось универсальное зна™ чение уравнений Кортевега^де Вриза, Бюргерса, Буссинеска, синус^Гордона и др., которые задолго до этого появились в раз™ личных областях физики и математики, но не имели широкого распространения. Для всех этих уравнений были разработаны новые точные и приближенные методы исследования. В резуль™ тате были обнаружены новые эффекты в нелинейной оптике, физике плазмы, гидродинамике, биофизике и других областях науки. Вместе с тем была сформулирована система универсаль™ ных понятий, общих как для физиков, так и для математиков, которые привели к пониманию многих нелинейных явлений с общих «теоретико™волновых» позиций.

Нелинейные волновые процессы описываются, как правило, системами квазилинейных дифференциальных уравнений, точные решения которых удается получить только в некоторых про™ стейших случаях. Основным же способом их исследования явля™ ются приближенные методы, большинство из которых так или иначе связаны с близостью искомого решения к некоторому известному невозмущенному решению. Эта близость определяется явно или неявно входящим малым параметром, содержащимся либо в самих дифференциальных уравнениях, либо в граничных или начальных условиях. При этом задача сводится к определе™ нию параметров решения и малых поправок к нему.

Имеется другой тип задач, в которых учет малых не л инейных факторов приводит к появлению качественно новых эф™ фектов. В этих случаях обычно не удается построить равно™ мерно пригодные асимптотические разложения непосредствен™ но для решений в рамках малых добавок к порождающему решению. Адекватное описание возмущенной системы достигает™ ся при этом преобразованием переменных. В виде асимптотического представления ищутся уравнения для новых перенормированных величин и формулы связи между новыми и старыми переменными. В таких случаях оказывается удобным преобразование исходной системы уравнений к некоторой упрощенной мо™ дельной форме. Это позволяет сделать минимум предположений о виде искомого решения, который затем естественно вытекает из преобразованных уравнений. Такое преобразование позволя™ ет отбросить второстепенные факторы и более подробно изучить эволюцию нелинейных волн, их структуру и взаимодействие.

Ниже излагаются некоторые методы приведения нелинейных уравнений к модельному виду и рассматриваются примеры их использования в конкретных задачах.

Волна с медленно меняющимся профилем

Рассмотрим волну, распространяющуюся в положительном направлении оси х. В простейшем случае, когда в среде отсутствуют нелинейность и дисперсия, она описывается эволюцион™ ным уравнением

= 0.(ЮЛ)

отдх''

Если перейти к новым переменным

《=步一也т = 〃力(10.2)

то решение уравнения (10.1) будет зависеть лишь от одной пе™ ременной ^.

Для нерелятивистских процессов замена переменных (10.2) совпадает с преобразованиями Галилея и соответствует пере™ ходу от неподвижной системы отсчета ж, t к движущейся £〉丁. Поэтому иногда мы будем использовать следующее выражение: переход к сопровождающей системе координат г.

Если среда обладает слабой нелинейностью, дисперсией или диссипацией, то профиль волны и(х^ t) будет зависеть не толь™

ко от £ =步一с力,но еще и медленно изменяться во времени. В этом случае также можно перейти к сопровождающей системе координат ^, г, но волновое поле будет описываться функцией двух переменных и(х^ 力)=F(^ 〃力)，где 儿《1 — малый параметр, характеризующий медленность изменения формы волны во вре™ мени. В соответствии с этой заменой переменных производные от функции F выражаются следующим образом:

dnF _ ^£ 竺_竺_艾

(10.3)

尹F _2。"° 尹F I 2>F

—— 2屮…

or22

Поскольку зависимость 尸(£)丁) от переменной г медленная, то каждое дифференцирование по г увеличивает порядок малости соответствующего члена. Поэтому при анализе нестационарных процессов в выражениях (10.3) во многих практически интересных случаях достаточно удерживать лишь первые производные по г. Такое предположение существенно упрощает вид уравнений, описывающих эволюцию однонаправленных волн в средах со слабой нелинейностью, дисперсией и диссипацией. В силу своей простоты и наглядности описанный метод получил широкое распространение при исследовании нелинейных волн в различных областях физики.

Ниже мы продемонстрируем этот метод на примерах вывода эволюционных уравнений в задачах электродинамики, акустики и механики твердого деформируемого тела.

Волны в электромагнитных линиях передачи

Волна напряжения в нелинейной цепочке (см. рис. 9.4) в континуальном приближении описывается дифференциальным уравнением (9.14). Перейдем к переменным £ =步一и°力 и г = 〃力 тогда получим

/ 2 Д д2и д2а /д2и2 2д д2и2 д2 д2и2 А— °

( ©о д^дт Vq дт2 丿 2 ( Ng? vo д^дт 涼 дт2 丿 灭4 “

(10-4)

Будем считать, что в слабонелинейной волне амплитуда имеет порядок д и параметр дисперсии /3 также имеет порядок д. Чтобы учесть нелинейные и дисперсионные эффекты в первом приближении, сохраним в (10.4) все члены не выше первой сте™ пени д, а слагаемыми порядка д2 и выше пренебрежем ввиду их

малости. В результате получим

(1。方)

После интегрирования по £ она сведется к эволюционному уравнению

ди . ди . у д и с1 с р \

而 + auJc + 匕足=31°'

где а = cw°/2〃，6 = Pvq/2^. Это известное модельное уравнение Кортевега^де Вриза.

Электромагнитные волны в диэлектрике

Когда частота электромагнитной волны в диэлектрике много меньше резонансной частоты электронов (си《С。), она обладает слабой высокочастотной нелинейностью и описывается нелинейным уравнением (9.9) для электрического поля. После перехо™ да к переменным £〉丁 и вычисления производных по формулам (10.3) уравнение (9.9) сведется к модифицированному уравнению Кортевега-де Вриза (МКдВ)

牛+а炉岑+ Ь举 =3(10*7)

где а = а]_с/(2〃，£(0)), b = —/Зс/(2〃，£(0)》Заметим, что, если в исходном уравнении (9.9) слагаемые, описывающие нелиней™ ность и дисперсию, малы по сравнению с каждым из членов ли™ нейного волнового оператора, то в уравнении (10.7) все члены, вообще говоря, одного порядка (если нелинейность и дисперсия учитываются в одном порядке малости). Кроме того слагаемые, характеризующие нелинейность, дисперсию (и, как увидим ниже, диссипацию) входят в эволюционные уравнения аддитивно. Это позволяет «конструировать» эволюционные уравнения, ис™ пользуя «базовые» элементы для различных типов нелинейно™ сти, дисперсии и диссипации.

Метод связанных волн

Этот метод применяется к квазигиперболической системе уравнений с малыми параметрами нелинейности, дисперсии и диссипации.

Общая схема

Пусть распространение волн в среде описывается системой уравнений

^ +力)，(10*8)

где u = (wi, 1/2, • • • un)T — вектор-столбец N физических переменных (знак (...)丁 означает операцию транспонирования), Во ——квадратная (N х N) матрица с постоянными коэффициент тами, R ——векторный оператор, описывающий в общем случае нелинейные, дисперсионные и диссипативные эффекты,从《1 — малый параметр, характеризующий слабое влияние членов, входящих в правую часть (10.8), на изучаемый волновой процесс.

Левая часть системы (10.8) описывает волновые процессы в нелинейной недиспергирующей среде, поэтому ее решение (при 从=0) можно искать в виде набора собственных волн:

N

и(ж,力)=£ ит{х — Anf)rn,(Ю.9)

n=l

где Un ——произвольные безразмерные скалярные функции, гп —— некоторые векторы, определяющие размерности физических величин U)入咒——характерные скорости распространения собствен™ ных волн в среде. Подставляя (10.9) в (10.8) (при 从=0))нахо™ дим, что оно будет решением системы уравнений (10.8), если выполнены условия

Det|B0 - AnI| = 0, Born = Апгп, (10.10)

где I ——единичная матрица. Таким образом, величины скоро™ стей собственных волн Ап являются собственными значениями матрицы Во, а гп ——ее правые собственные векторы.

Для изучения более общего класса нестационарных волновых процессов, когда 从 # 0)соотношение вида (10.10) будем рассматривать как замену переменных

N

u = e乙(//h小(io.li)

n=l

где для новых искомых переменных Un(x^ t) еще не конкретизируется зависимость от координаты и времени. Частный случай такой замены переменных уже использовался в п. 8.5 для приведения уравнений электромагнитного поля в нестационарной среде к уравнениям связанных волн.

Подставим (10.11) в (10.8), умножим последнее на левые собственные вектора 1加 матрицы Во (ZB0 = Al) и воспользуемся условием ортогональности 1ТО • гп = 0 при т ^ п. В результате система (10.8) приведется к нормальной форме уравнений связанных волн Um:

嘗 +入"分 =(b"MR(U%…⑴* (10.12)

В правых частях этих уравнений по дважды встречающимся индексам т и п ведется суммирование.

Согласно выражениям (10.11) функция и(ж, t) является суперпозицией волн Un(x^ f), каждая из которых распространяется вдоль своей характеристики (品=力一Xnt = const) и слабо вза™ имодействует с другой волной.

Во многих случаях граничные или начальные условия та™ ковы, что в первом приближении в среде распространяются лишь М нормальных волн (М < N) или даже только одна из них (М = 1). Тогда система (10.13) распадается на две грухт- пы: М связанных нелинейных уравнений для «основных» волн Um(x^ f) (тп = 1,2,... М) и N — 2И линейных уравнений для остальных волн (m = N + Х^М + 2,... N))в правых частях ко™ торых остаются лишь переменные Um (тп = 1,2,... М, определяемые из уравнений первого приближения. Поочередное рвшв- ние этих групп уравнений позволяет построить итерационную процедуру нахождения эволюционных уравнений для основных волн в первом, втором и более высоких приближениях. Мы не будем останавливаться подробно на изложении итерационной схемы решения, с которой можно познакомиться по литер ату™ ре к данной главе. В первом приближении по 从 эволюционные уравнения для «основных» волн Um естественным образом вы™ текают из системы (10.13), если в ней положить равными нулю амплитуды «чужих» волн Un(n 工 т). Далее мы будем интересоваться только одноволновым приближением (М = 1) и проде™ монстрируем применение этого метода на примерах вывода эво™ люционных уравнений для слабонелинейных акустических волн в вязком газе и поверхностных волн на мелкой воде.

Акустические волны в вязком газе

При малой нелинейности волны в вязком газе описываются си™ стемой уравнений для скорости и и возмущений плотности “

(см. п. 9.2.2)(см. п. 9.2.2)dv Ср др dt ро дхdv Ср др dt ро дх丄22 дх丄22 дх+ а")+ а")+ 8赤+ 8赤др . dv _0 / /、1?+0°而=_而(0办др . dv _0 / /、1?+0°而=_而(0办(10.13)(10.13)имеемимеемПри записиПри записигде а = с^(7 — 2)/届* В правую часть (10.13) входят малые ела- гаемые, описывающие нелинейные и диссипативные эффекты.где а = с^(7 — 2)/届* В правую часть (10.13) входят малые ела- гаемые, описывающие нелинейные и диссипативные эффекты.(10.14)(10.14)

(см. п. 9.2.2)

(см. п. 9.2.2)

dv Ср др dt ро дх

dv Ср др dt ро дх

丄2

2 дх

丄2

2 дх

+ а")

+ а")

+ 8赤

+ 8赤

др . dv _0 / /、

1?+0°而=_而(0办

др . dv _0 / /、

1?+0°而=_而(0办

(10.13)

(10.13)

имеем

имеем

При записи

При записи

где а = с^(7 — 2)/届* В правую часть (10.13) входят малые ела- гаемые, описывающие нелинейные и диссипативные эффекты.

где а = с^(7 — 2)/届* В правую часть (10.13) входят малые ела- гаемые, описывающие нелинейные и диссипативные эффекты.

(10.14)

(10.14)

где и — вектор-столбец физических переменных. Собственные значения Хт и собственные векторы 1ТО и гт матрицы Bq находятся из уравнений (10.10) и равны

Заметим, что собственные векторы гт и 1ТО находятся из (10.10) с точностью до произвольного множителя д, который может быть использован для нормировки коэффициентов в (10.14). Еу- дем считать, что q = 1)тогда замена переменных (10.11) имеет вид

u = U1 +u2)p1 =竺(6 -u2)

СР

ИЛИ

“ =；,内=；卜-* •(10Л5)

2 ' ро /2 ' ро /

Отсюда видно, что новые переменные 5,2 представляют собой комбинации из физических переменных и и р\ каждая из кото™ рых при отсутствии нелинейности и диссипации распространяв ется без изменений вдоль своей характеристики.

Уравнения связанных волн (10.12) имеют вид

嘗士 С。響=-[(6 + U2『± 2 伤—陽)+

+(7 — 2)("—历产]+ g 为("+ U2)・ (10.16)

Отсюда видно, что переменная U] описывает волну, распространяющуюся в положительном направлении и слабо взаимодействующую со встречной волной U2 a В одноволновом приближении уравнение для U] получается из (10.16), если положить u2 = 0;

95056 + 1) OU/25 —

dtCs дх 4 дх2 дх2

или для поля скорости

dv dv (у +1) dv2 方 d2vdt 盛 дх 4 дх 2 дх2

поскольку теперь Ui = v. После перехода к переменным £ =力一 ^ cst и г = f они преобразуются в уравнение Бюргерса

dvdv. dv. dv(10.17)(10.17)

dv

dv

. dv

. dv

(10.17)

(10.17)

где а = (т + 1)/2 = £)b = 8/2.

Уравнение Бюргерса ——одно из основных в нелинейной аку™ стике, как и вообще одно из наиболее изученных уравнений те™ ории нелинейных волн.

Волны на мелкой воде

Слабонелинейные волны на поверхности мелкой воды описы™ ваются системой уравнений Буссинеска (9*39). При матричной форме записи системы Буссинеска в виде (10.8) имеем

дх 2 dx2dt

\/

(10.18)

Собственные значения и собственные векторы матрицы Bq равны

А1,2 = 土А1,2 = 土

А1,2 = 土

А1,2 = 土

где и。= л/gh ——максимальная скорость линейных поверхности ных волн на мелкой воде (см. п. 2.3). Переход от физических переменных и и к U\^ задается соотношениями

。 =于(" 一u2))?=(" +u2)(10*19)

или

а уравнения для связанных волн имеют вид

絮±"。驚一霖И2(Ь Y) ± (6.⑸2] ±

土 SO)

Эта система уравнений описывает волны, бегущие в противоположных направлениях и слабо взаимодействующие между собой за счет нелинейности и дисперсии. В одноволновом приближении (内=0) получаем уравнение

которое иногда называют уравнением длинных волн. Оно, по существу, представляет собой уравнение для вертикального смв- щения поверхности, так как U]=《=hv/vq. При переходе к переменным £ = 力 一 и。% 丁 = 力 уравнение (10.21) совпадает со стандартной формой уравнения Кортевега-де Вриза (10.6), где а = Зио/九 и b = Л2/*

Нелинейные волны в среде без дисперсии

Начнем этот раздел с рассмотрения нелинейных процессов в средах без дисперсии и потерь. Характерный физический при-

мер ——акустические волны конечной амплитуды, описываемые уравнением (10.17), если в нем положить Ь = 0. Здесь мы рас™ смотрим несколько более общее уравнение

ди , ди , п ди сди , ди , п ди с(10.22)(10.22)

ди , ди , п ди с

ди , ди , п ди с

(10.22)

(10.22)

где ”(力)力)一переменная, характеризующая физическое поле, со ——скорость волны в линейном приближении, п ——целое число, характеризующее степень нелинейности среды, так например, п = 1 соответствует квадратичной нелинейности, а ?г = 2 —— кубической нелинейности.

После замены переменных z = % —и% 丁 =力 уравнение (10.22) принимает вид

(10.23)(10.23)ди . п ди п

(10.23)

(10.23)

С подобным уравнением мы уже встречались ранее в п. 6.1. Там было показано, что оно эквивалентно характеристической системе

dz n du c=QU=0

drdr

а ее полный интеграл может быть записан в виде

u(z^ г) = F(z — аипт)^u(z^ г) = F(z — аипт)^(10.24)(10.24)

u(z^ г) = F(z — аипт)^

u(z^ г) = F(z — аипт)^

(10.24)

(10.24)

где F — функция, которая определяется из начальных условий. Выражение (10.24) называют простой волной или волной Римана. Нелинейная эволюция простой волны показана на рис. 6.2, из которого видно, что ее профиль по мере распространения искажается, поскольку разные участки бегут с разными скоро™ стями. Заметим, что в переменных г, г точки профиля волны, в которых u(z)丁) = 0, остаются неподвижными.

u(z)丁)= и。sin kz —u(z)丁)= и。sin kz —Проследим более подробно нелинейную эволюцию волны, заданной в начальный момент времени в виде синусоиды u(z^ 0) = Uo sin(kz + 7Г)：

u(z)丁)= и。sin kz —

u(z)丁)= и。sin kz —

(10.25)

где ri = aku^T ——безразмерное время. За нелинейными искажениями волны удобнее всего проследить с помощью графине- ских построений. В силу периодичности функции (10.25)) можно

10.3 НЕЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ В СРЕДЕ БЕЗ ДИСПЕРСИИ 245 ограничиться ее рассмотрением лишь на одном периоде. Запи™ шем уравнение характеристики

(10.26)(10.26)

(10.26)

(10.26)

Отсюда видно, что профиль волны при т(卢 0 получается путем графического сложения функции kz = arcsin(Tz/TZo), они- сывающей форму волны при % = 0, и кривой kz = т\(и/и^)п характеризующей относительные перемещения точек профиля волны в зависимости от амплитуды. На рис. 10.1 приведен гра-

Рис. 10.1. Искажение профиля простой вол™ ны в среде с квадратичной нелинейностью. Профиль волны при т = 0 (1); при т = 1 (2) и при т > 1 (5*); прямая kz = t(u/uq) (/)Рис. 10.1. Искажение профиля простой вол™ ны в среде с квадратичной нелинейностью. Профиль волны при т = 0 (1); при т = 1 (2) и при т > 1 (5*); прямая kz = t(u/uq) (/)

Рис. 10.1. Искажение профиля простой вол™ ны в среде с квадратичной нелинейностью. Профиль волны при т = 0 (1); при т = 1 (2) и при т > 1 (5*); прямая kz = t(u/uq) (/)

Рис. 10.1. Искажение профиля простой вол™ ны в среде с квадратичной нелинейностью. Профиль волны при т = 0 (1); при т = 1 (2) и при т > 1 (5*); прямая kz = t(u/uq) (/)

фический анализ нелинейных искажений простой волны (10.25) на плоскости (u/uq^ kz) при квадратичной нелинейности, когда "=1. Из рисунка видно, что в некоторый момент времени 丁i = =丁1* простая волна приобретает бесконечную крутизну и затем (при 丁 1 〉丁 1*) становится неоднозначной. Это явление иногда называют опрокидыванием волны. Оно начинается при 丁i* = =1, когда на ее профиле впервые появляется точка с вертикальной касательной. Как было показано в п. 6.3.1, параметры точки опрокидывания %*)丁”)и* находятся из условий, что в ней (dz/du)^ = —А；т(届 — 硝г* + 丁”(Ажо)т = 0 и, кроме того, ((^2z/ди2)^ = и^к^1(и^ — и^)—3/2 = 0. Следовательно, опрокиды™ вание волны происходит при и* = 0 в момент времени 八* = 1 и в точке с пространственной координатой z* = 0. В этот момент угол наклона прямой kz = tl(u/uo) равен тг/4. В исходных переменных ж = г + cq^, t = г опрокидывания простой волны

происходит при

力* = 1/акио z* ~ с。力* = eg /акио.

Эти величины обратно пропорциональны амплитуде волны uq и представляют собой характерный временной и пространствен™ ные масштабы нелинейных искажений.

На спектральном языке нелинейные искажения волны означают обогащение ее спектра высшими гармониками. Можно показать (см. упражнение 10.3 ), что спектр волны (10.25) дается следующим рядом:

ОО

(10.27)(10.27)21n (%) sin '滋z

(10.27)

(10.27)

'厶1пт

где 1п{пт)/пт = Вп{т)——амплитуды фурье-гармоник нелинейной периодической волны 1п ——функции Бесселя. Выражение

Рис. 10.2. Зависимость амплитуд гармонических составляющих простой вол™ ны от времениРис. 10.2. Зависимость амплитуд гармонических составляющих простой вол™ ны от времени(10.27) называют разложением Бесселя-Фубини. Оно справедливо лишь при т< 1, так как при г > 1 функция (10.25) становится неоднозначной. На рис. 10.2 изображены зависимости амплитуд первых трех гармоник от г.

Рис. 10.2. Зависимость амплитуд гармонических составляющих простой вол™ ны от времени

Рис. 10.2. Зависимость амплитуд гармонических составляющих простой вол™ ны от времени

Более подробный анализ нелинейных искажений волны в среде с кубической нелинейностью и определе™

ние координат ее опрокидывания мы предлагаем читателю про™ вести самостоятельно.

Ударные волны

После опрокидывания профиль простой волны (10.25) ста™ новится многозначным, что в акустике не имеет физического смысла. Вместо этого в волне возникает разрыв ——ударная волна. Поэтому при 丁〉т* необходимо, строго говоря, исследовать более полные уравнения с учетом эффектов дисперсии и дисси™ пации.

Исследование волновых процессов, содержащих резкие (ударные) фронты, обычно разбивается на две задачи. Вне об™ ласти быстрого изменения полей (на рис. 10.3 Z2〉z)z〉zi) динамический процесс по-прежнему описывается выражением простой волны (10.25)——это «внешняя» задача. В области быс™ трых движений(3 W z W %1) необходимо учитывать диссипа™ тивные эффекты, которые из-за больших значений производных

становятся сравнимыми с нелинейными слагаемыми и препят™ ствуют опрокидыванию волны. Это «внутренняя» задача.

При этом фронт волны представляет собой достаточно рвз- кий, но непрерывный переход от одного предельного значения

U1 К другому и2 (рис. 10.3). Ширина переходного слоя (ударного фронта) △=乃一 —%2 зависит от диссипации среды. На границах области ударного фронта решения «внутренней» и «внешней» задач сшиваются с помо™

1ЦЕЮ соответствующих гра- ри& ^書.Определение положения раз- НИЧНЫХ условии. Если шири- рЬ1ва в простой волне по методу равных на ударного фронта △ много ПЛОщадей меньше внешнего простран™

ственного масштаба волны, то переходный слой можно заменить разрывом, соединяющим значения “华丁) перед фронтом удар™ НОЙ ВОЛНЫ 丁) = U1 И за НИМ u{z^ г) = "2-

Мы сначала рассмотрим ударные волны в разрывном приближении, а затем изучим их структуру в вязкой среде в рамках модельного уравнения Бюргерса, а также в среде с вязкостью и дисперсией (уравнение КдВ-Бюргерса).

Условия на фронте ударной волны. Если искомая величина u(z)力)является разрывной функцией z и г, то для однозначности решения нужно к уравнению простой волны (10.25) присоединить граничные условия на разрыве z = ^(т).

Для вывода граничных условий обратимся к уравнению Бюргерса (10.17) и проинтегрируем его по интервалу 3 W % W %1)содержащему скачок параметров волны (рис. 10.44):

(10.28)(10.28)д Г 『 д Г / п2 с-ди\ j

(10.28)

(10.28)

N2B2

Устремим пределы интегрирования %] и %2 к точке г^, тогда интегральное слагаемое в левой части (10.28) преобразуется к виду

—I J и dz + J и dz

2121%d + 0%d + 0dz +/ ^ dz + ("2 -

21

21

%d + 0

%d + 0

zd + °

где ui,2 = "(%2 ±0) — значения “华丁)перед разрывом и после него,吟=dzd/dr ——скорость разрыва. Интегралы J(ди/dz)dz обращаются в нуль из-за того, что их области интегрирова™ ния стремятся к нулю при конечных значениях ди/дт. Слага™ емое в правой части (10.28)

Рис. 10.4. К выводу граничных уело™ вий на разрыве в простой волнеРис. 10.4. К выводу граничных уело™ вий на разрыве в простой волнете ударной волны и связываетте ударной волны и связываетпревратится в конечную разность +夕冠一后).Таким образом на линии разрыва интв- гральное соотношение (10.28) превращается в конечно™ разностное соотношение

Рис. 10.4. К выводу граничных уело™ вий на разрыве в простой волне

Рис. 10.4. К выводу граничных уело™ вий на разрыве в простой волне

те ударной волны и связывает

те ударной волны и связывает

(^2 — ”1)% = |П —居)"

(10.29) Оно является граничным условием на разрывном фрон- скачок параметров в ударной

волне со скоростью ее распространения

Vd = ^(^2 + ”1)"(10.30)

% = 3 + 扪 2 + ^1).% = 3 + 扪 2 + ^1).(10.31)(10.31)В переменных (ж = z + c^t^ 力=丁) скорость ударной волны равна

% = 3 + 扪 2 + ^1).

% = 3 + 扪 2 + ^1).

(10.31)

(10.31)

Из (10.31) следует, что если скачок u(z^ г) симметричен относительно оси и = 0, т.е. 2〃 = —“2)то в переменных г, г он остается неподвижным (吟=0). Местонахождение разрыва в профиле простой волны определяется в общем случае по методу равных площадей: разрыв должен отсекать у простой волны области с равными площадями S] и S2)которые на рис. 10.3 заштрихованы.

Большое значение имеет вопрос о том, как изменяется ев- личина скачка поля на разрыве? Это легче всего выяснить на примере синусоидальных начальных условий. В силу симметрии (10.25) разрыв образуется в точке 2d = ° и при n = 1 его величина ту = 〃1 一 〃2 может быть найдена из трансцендентного уравнения

(10*32)

Рис. 10.5. Изменение скачка поля на раз™ рыве в простой волне (сплошная линия — точное решение, штриховая линия — при™ ближенное решение) (а); профили волны в различные моменты времени (б)Рис. 10.5. Изменение скачка поля на раз™ рыве в простой волне (сплошная линия — точное решение, штриховая линия — при™ ближенное решение) (а); профили волны в различные моменты времени (б)и 10.4). Прии 10.4). ПриГрафическое решение этого уравнения изображено сплошной линией на рис. 10.5 а. Из него видно, что при 1 W tiu^/uq W “/2 скачок поля на разрыве растет, достигая своего максимального значения = ng в момент 丁i = тг/2.

Рис. 10.5. Изменение скачка поля на раз™ рыве в простой волне (сплошная линия — точное решение, штриховая линия — при™ ближенное решение) (а); профили волны в различные моменты времени (б)

Рис. 10.5. Изменение скачка поля на раз™ рыве в простой волне (сплошная линия — точное решение, штриховая линия — при™ ближенное решение) (а); профили волны в различные моменты времени (б)

и 10.4). При

и 10.4). При

Затем форма волны приближается к пилообразной (рис. 10.5 6). Далее величина скачка в пилообразной волне убывает приблизительно по гиперболическому закону u^/uq о 7г/(1 + ri). Гиперболический закон затухания нвли- нейных разрывных волн является характерной особенностью, отличаю™ щей их от гармонических волн в линейной среде, которые затухают по экс™ поненциальному закону. Уменьшение величины скачка поля на разрыве связано с диссипацией энергии волны. Наглядно этот процесс можно рас™ сматривать как результат «съедания» разрывом неоднозначных частей профиля (см. рис. 10.1 больших

значениях 丁i амплитуда волны, а, следовательно, и нелинейность, становятся малыми и профиль волны синусоидальному (рис. 10.5 б).

вновь сглаживается, ппиближаясь квновь сглаживается, ппиближаясь кНе все разрывы, удовлетворяющие уравнению (10.52), могут существовать в реальности. Для их существования необходимо,

вновь сглаживается, ппиближаясь к

вновь сглаживается, ппиближаясь к

чтобы выполнялось еще и условие устойчивости: малые Еозму- щения должны вызывать малые изменения решения. Для этого необходимо, чтобы скорость распространения малых возмуще™ ний перед разрывом @ = 3 + а〃2)была меньше %〉а после разрыва (ci = со + ащ) была больше т.е.

с2 (10.33)

Рассмотренная нами волна удовлетворяет этому условию при а > 0. Ее скорость (10.30) равна полусумме скоростей волн до и после разрыва. Если условие (10.33) не выполнено, то разрыв является неустойчивым, что в конечном итоге приведет к его исчезновению. Так, например, рассмотренная нами разрывная волна неустойчива при а < 0.

Устойчивые ударные волны могут возникать в результате нелинейной эволюции простых волн, поэтому их иногда называ™ ют эволюционными ударными волнами. Примером таких волн могут служить ударные волны сжатия в газе и жидкости, а в большинстве твердых тел устойчивыми являются ударные вол™ ны разгрузки.

Ударные волны в вязкой среде

В предыдущем разделе ударная волна рассматривалась как движущийся разрыв, и вопрос о ее структуре и характерной ширине ее фронта в этом приближении не ставился. При более детальном анализе ударных волн разрывной фронт заменяется узкой областью, в которой происходит быстрое изменение поля, описываемое уравнениями, учитывающими, в общем случае, эф™ фекты высокочастотной диссипации и дисперсии.

Обычно при описании структуры фронта ударной волны ио ходят из следующих предположений. Считается, что все дина™ мические переменные в переходном слое зависят лишь от одной переменной т/ = х — Vt (где V ——скорость движения ударной волны), т.е. они являются стационарными и описываются обык™ новенными дифференциальными уравнениями (ОДУ).

Поскольку вне ударного фронта все переменные изменяют™ ся очень медленно по сравнению с их изменениями на фронте, то можно считать, что в его окрестности они вообще остают™ ся постоянными и соответствуют состояниям равновесия ОДУ, описывающих структуру ударного фронта.

Таким образом, задача исследования структуры ударных волн сводится к нахождению фазовой траектории, соединяющей его состояния равновесия. Для их анализа могут быть исполь™ зованы качественные методы теории нелинейных дифференци™ альных уравнений, в частности, метод фазовой плоскости.

Структура фронта ударной волны в вязкой среде. В вязкой среде ударная волна описывается уравнением Бюргерса (10.17), которое для стационарных волн 〃 = 〃(〃) преобразует™ ся в

8 半=*2 —『〃 +。(10.34)

2

где D ——постоянная интегрирования. Это уравнение имеет два состояния равновесия = 『/[矶1 ± у 1 2aDi/V2)], соединенные между собой решением, имеющим вид перепада (рис. 10.6)

Мп)= 也 + TV——詈二…空(1035) 1 + exp[a(篁 2 —篁 i)〃/ij

скорость разрыва ширина величинескорость разрыва ширина величине卜〃〃2卜〃〃2〃1〃1Этот перепад и есть фронт ударной волны, который ранее мы представляли разрывом. Ударные волны подобного типа называют тейлоровскими. Их совпадает со скоростью (10.30), а характерная обратно пропорциональна скачка

скорость разрыва ширина величине

скорость разрыва ширина величине

卜〃

〃2

卜〃

〃2

〃1

〃1

00(10.36)(10.36)n

0

0

(10.36)

(10.36)

a(鱼2 -直1)

Рис. 10.6. Профиль тэйлоров™ и стремится к нулю при 8 To. ской ударной волны

Ударная волна в среде с вязкостью и дисперсией. В тех случаях, когда кроме диссипации необходимо учесть и дис~ персионные эффекты, можно обратиться к анализу уравнения Кортевега-де Вриза-Бюргерса

ди . ди . у д ис д и/八 q

которое учитывает совместное влияние нелинейности, диспер™ сии и диссипации. После перехода к переменной т/ = z Vt оно превращается в ОДУ второго порядка

^Vu + D(10.38)

где D ——постоянная интегрирования. Уравнение (10.38) описьь вает движение «частицы» с массой b под действием нелинейной силы F = —BW/ди с потенциалом Ж(п) = ^ 涼-^ 炉十出〃 + + с?з и силы трения с коэффициентом 8. При этом роль времени t играет переменная 《一〃》• На рис. 10.7 а изображен фазовый портрет» уравнения (10.38) при Ь > 0.

2v2vХарактер движения зависит от соотношения между пара™ метрами дисперсии b и диссипации 8. Если 8 достаточно мало (У VW)〉 то «частица», находящаяся при 力=—ос е на™ чале координат U± = 0, будет скатываться на дно «ямы»: 〃2 =

2v

2v

(t = сю), совершая затухающие колебательные движения

около положения равновесия. В этом случае ударная волна име™

ет осциллирующую структуру (рис. 10.7б), а скорость ее распространения V = совпадает со скоростью в разрывном приближении.

Рис. 10.7. «Фазовые портреты» уравнения (10.39) и профили фронта ударной волны при Ь > 0 (а, б) и Ь < 0 (в, а)Рис. 10.7. «Фазовые портреты» уравнения (10.39) и профили фронта ударной волны при Ь > 0 (а, б) и Ь < 0 (в, а)

Рис. 10.7. «Фазовые портреты» уравнения (10.39) и профили фронта ударной волны при Ь > 0 (а, б) и Ь < 0 (в, а)

Рис. 10.7. «Фазовые портреты» уравнения (10.39) и профили фронта ударной волны при Ь > 0 (а, б) и Ь < 0 (в, а)

При Ь < 0 осцилляции возникают впереди фронта удар™ ной волны (рис. 10.7 г). Такие ударные волны с осциллирующей структурой экспериментально наблюдаются в плазме и электро™ магнитных линиях передачи.

Исторические замечания и комментарии

Уравнение Кортевега—де Вриза. Голландский математик Дидерик Иоханнес Кортевег и его ученик Г устав де Вриз, отталкиваясь от работ Ж. Буссинеска и Дж. Рэлея, в 1895 г. вы™ вели уравнение (10.6), описывающее все основные эффекты, экс™ периментально наблюдавшиеся С. Расселом на большой волне в канале около Эдинбурга (см. коммент, к гл. 13) [4.6].

Уравнение КдВ сыграло большую роль во втором 《ро- ж дении» солитона уже в наше время, хотя сами авторы, по™ видимому, не придавали большого значения своей статье, в ко™ торой оно было получено. В частности, о ней даже не ухюми- нается в биографии Кортевега (1945 г.). Знаменитым оно стало после того, как в 1965 г. Н.Забуски и М. Кру ска л выяснили, что оно описывает локализованные волны, которые не изменяются после столкновения друг с другом, и ввели в обращение термин солитона. В 1967 г. группе американских ученых С. Гарднеру, Дж. Грину, М. Крускалу и Р. Миуре удалось найти общее рв- шение уравнения КдВ с помощью метода обратной задачи рао сеяния. От этой работы обычно и отсчитывают начало бурного развития науки о солитонах.

Простые и ударные волны. В 1808 г. С. Пуассон вывел уравнение движения идеальной сжимаемой жидкости с учетом нелинейных членов и нашел не частное решение в неявном виде д(р/дх = f[x — (с^д(р/dx)t\^ которое описывает распространение простой волны. Пуассон не исследовал полученное им решение, и оно не было широко известно его современникам. Лишь в кон™ це 40-х годов это решение стало предметом глубокого изучения в работах Дж. Чаллис (1848 г.), Г. Стокса (1848 г.), а затем С. Ннр- шоу («On the mathematical theory of sound», 1860 г.) и особен™ но Б. Римана («О распространении волн конечной амплитуды», 1860 г.). Двое последних дали общее математическое решение проблемы, поставленной Пуассоном [И.7].

В 1877 г. лорд Рэлей, отдавая должное результатам Пуассо™ на, назвал найденное им выражение для дср/дх в простой волне интегралом Пуассона, и это название долгое время сохранялось в научной литературе.

Ирншоу ввел понятия о волнах сжатия и разрежения, установил зависимсоть между плотностью и скоростью потока. Риман ввел понятие об ударной волне и разработал математический мв- тод решения задачи о разрыве, составивший основу современно™ го метода характеристик (метод Римана).

Следует, однако отметить, что ни Ирншоу, ни Риману не уда™ лось дать правильную физическую интерпретацию явления раз™ рыва гидродинамических параметров. В частности, когда Риман пытался дать явлению разрыва энергетическую оценку, он исходил из неверной посылки об адиабатическом характере перехо™ да через скачок. На это указал в 1878 г. Рэлей, подчеркнувший, что игнорирование уравнения сохранения энергии было ошибкой Римана, не позволившей ему рассмотреть вопрос о суще™ ствовании разрыва. Правильный анализ разрывных течений в газодинамике с учетом термодинамических процессов был дан в работах В. Рэнкина (1870 г.) и X. Гюгоньо (1885-1887 гг.) [И.7].

Задачи и упражнения

Из системы уравнений газовой динамики (9.15)^(9.17) выведите уравнение простой волны (волны Римана).

Решение. Полагаем, что р = p(v), тогда уравнения (9.15) и (9.16) приводятся к виду

戸("+乎黑)好。，

с(а) = (ф/ф)1/2 =盡(р/ро)(7^1)/2 ,

где с(р) = (dp/dp)1/2 = Cskp]pi'f — местная скорость звука, ж5 = у 7Ро/ро — скорость звука в невозмущенной среде. Условия совместности полученных уравенний приводят к соотношению dc/dp = ±с(р)/р, из которого нахо~ дим и = ±2[с(р) — е//()— 1). Подставляя найденные соот~ ношения в исходные уравнения, получаем два уравнения первого порядка

竽土&+2^=。，

где £ = ()土 1)/2.

С помощью метода связанных волн выведите нвлинвй- ные эволюционные уравнения для продольных и сдвиго™ вых волн в твердом теле (9.45).

Указание. Для простоты считайте, что сдвиговая волна плоскополяризованная, т.е. W = u(z)力)у。.

Графическим методом исследуйте нелинейную эволюцию простой волны, описываемой уравнением

ди , ди ,2 0篁с

_ + со_+аСоП —

при условии на границе u\x=q = uq sinojt. Найдите коорди™ нату z* и момент времени 力*〉когда в простой волне образуется разрыв.

Покажите, что периодическая волна Римана (10.25) может быть записана в виде разложения Бессела^Фубини (10.27). Указание. Решение (10.25) может быть представлено ря™ дом Фурье

ос

г) = по〉2 8几(丁) sinnAiz,

п=1

где Вп(т] = 一 J sin(A;z — tu/uq) sinnkz d(kz) — коэффици™

енты Фурье. После замены переменной

С = к? — tu/uq^ d(kz) = d(《一г sin《)

и интегрирования по частям выражение для Вп приводит™ ся к виду

7Г

Вп(т) = ^― / cos С sin |n《 一丁 sin《)]d《 = о 7Г

=—丄/{cos [(n +1)^nr sin (] + cos [(n1)nr sin (]}d(. 0

Далее используется интегральное представление функции Бесселя

7Г

/靑(几丁) = 一 f cos (k( nr sin Л d( 7Г J'

0

и рекуррентное соотношение

2 (пт) + 4+1 (пт) = ^1п(пт).

В результате волна Римана (10.25) приводится к виду (10.27^*

Вычислите скорость распространения слабой ударной вол™ ны, описываемой уравнением (10.22) при п = 2.

Докажите, что тейлоровская ударная волна (10.35) имеет два эквивалентных представления:

“〃)=tq +“〃)=tq +直 2 - Ui直 2 - Ui1 + exp1 + expa(直2 -直i)a(直2 -直i)

“〃)=tq +

“〃)=tq +

直 2 - Ui

直 2 - Ui

1 + exp

1 + exp

a(直2 -直i)

a(直2 -直i)

и

〃m)= I {(^i+й2)+(a2 一 〃1)济「";丁 F}.

Найдите стационарное решение модифицированного урав™ нения Бюргерса

ди2 3篁 пд2и с

которое описывает структуру фронта ударной волны в вяз™ кой среде с кубической нелинейностью

Ответ.

=篁2 ехр(—p〃)

—卩—exp(_2p〃)卩б)

где Hi = 0, р = а*/33 V = —a疋/3 — скорость ударной волны.

ГЛАВА 11

НЕЛИНЕЙНЫЕ КВАЗИГАРМОНИЧЕСКИЕВОЛНЫ

Физическая теория подобна костюму, сшитому для природы. Хорошая тео рия подобна хорошо сшитому костюму, а плохая — тришкину кафтану.

Я. И. Френкель

В этой главе рассматриваются волны, близкие к синусои™ дальным, в нелинейной диспергирующей среде. Возникает ео прос: когда возможны такие волны? — ведь нелинейность по™ рождает высшие гармоники, и волна, вначале синусоидальная, перестает быть таковой по мере распространения. Существует, однако, широкий класс процессов, в которых нелинейные искажения несущей волны остаются малыми. Это волны в средах, в которых «дисперсия сильнее нелинейности», другими словами, изменения скорости волны за счет нелинейности значительно меньше разницы между скоростью собственной волны на основ™ ной частоте и ее ближайшей гармонике. Рассмотрению таких процессов и посвящена настоящая глава. В главах 6 и 7 мы видели, как, казалось бы, в «безнадежно линейной» ситуации возникают, благодаря «частотной нелинейности», типично нвли- нейные задачи. В этом смысле волны огибающих оказываются нелинейными даже в линейных средах. Разумеется, переход к изучению «истинно нелинейных» сред чрезвычайно расширяет круг задач и в той же мере их усложняет.

В модулированной волне нелинейные искажения огибаю™ щей становятся существенными на больших пространственно™ временных масштабах. В квазиоптическом приближении они описываются нелинейным уравнением Шредингера для ком™ плексной амплитуды или его аналогами для действительных амплитуды и частоты.

Нелинейное уравнение Шредингера

Уравнения для огибающих квазигармонических волн в нели~ нейной среде могут быть получены различными способами, например, методом многомасштабных разложений или с помощью усредненного вариационного принципа Уизема. Здесь же мы ограничимся простейшим выводом уравнений для огибающей на примере нелинейного уравнения Клейна^Гордона

д2и 2 д2и .2,3 n

их2 夕

Его решение будем искать в виде квазигармонической волны

m④方)=4(0方)6心。力4。*)+4*(0方)「g。右4。？(11.2)

где 4(z)力)——медленно меняющаяся комплексная амплитуда, а частота шд и волновое число А；о удовлетворяют дисперсионному соотношению

ш2 Шр +(?務"(11.3)

Вычислим производные от комплексных величин, входящих в (11.1):

д2и — /с

4)ег0° + к.с.

д2и — /(

4)展小 + к.С.

а также нелинейное слагаемое:

苏=Л3е3г^о +3 没 + 3 川川小 о + 34*| 川 26Tq

где 0о = s()力一A；oz — фаза несущей волны. Подставим эти Еыра- жения в (11.1) и приравняем к нулю выражения, стоящие при exp (г^о). В результате получим эволюционное уравнение для комплексной амплитуды:

俏+%黑)+★(祟一，*)+。心=。，

где %『=с2А：о/^о = (duj/dk)k0 — групповая скорость волны, q = =Зао^о ——нелинейный коэффициент. Перейдем от ж и t к новым

переменным ж;=优一匕上丫力)tf = t. Эта замена переменных соответствует переходу в сопровождающую систему координат, в которой амплитуда медленно изменяется в пространстве и времени из-за эффектов дисперсии и нелинейности. В новых переменных уравнение (11.4) сводится к нелинейному уравнению Шредингера

"折一小+ "h 4 = 3"折一小+ "h 4 = 3(11.5)(11.5)

"折一小+ "h 4 = 3

"折一小+ "h 4 = 3

(11.5)

(11.5)

где /3 =产0^/20^ = \/2((^ш/Sk) — дисперсионный параметр задачи. Здесь штрихи у независимых переменных опущены.

Уравнения в действительной форме. От уравнения (11.5) с помощью замены А = оехр^д) можно перейти к системе уравнений для действительных переменных ——амплитуды о(优)力)и фазы 夕(优/) квазигармонической волны:

(1L6)(1L6)

(1L6)

(1L6)

Если вместо фазы 夕 ввести новую искомую величину U = =2万(3夕/3优))то (11.6) сведется к системе уравнений:

小吸=—疗+ 2俨.J)

dt дх дх дх \/、

某+ *u)=。，

где q = 2万а = &((产3/"卜2) — новый параметр, равный произ™ ведению коэффициента нелинейности на параметр дисперсии. Система (11.7) отличается от уравнений квазиоптического при™ ближения (7.13) и (7.14) наличием нелинейного слагаемого. Ло™ кальное волновое число модулированной волны равно:

к = ко + —U(x^ t).(11-8)

Из (11.7) следует, что поведение нелинейных волн огибающих определяется соотношением между параметрами нелинейности и дисперсии.

Волны огибающихв приближении пространственно-временнойгеометрической оптики

В правую часть первого уравнения (11.7) входят нелинейные слагаемые, обусловленные различными физическими фактора™ ми. Первое (qda2/дх) связано с нелиненостью среды, а второе учитывает «нелинейную» дисперсию групповой скорости волнового пакета. В свою очередь, эти слагаемые могут иметь разные порядки малости. В главе 7 была рассмотрена одна предель™ ная ситуация ——линейная квазиоптика, когда слагаемое, связан™ ное с нелинейностью среды, отсутствовало. Здесь сначала будет рассмотрен другой предельный случай ——пространственно™ временная геометрическая оптика. В этом динамическом при™ ближении предполагается, что модуляция настолько медленна, что можно пренебречь дисперсией групповой скорости, описьр ваемой последним слагаемым в правой части уравнения (11.7). Тогда уравнения огибающих принимают вид, сходный с уравне™ ниями газовой динамики:

OU ( TTdUда2

—+

дхдх/、

О 2о)

dt dx4/

Отсюда следует, что в нелинейной среде, в отличие от линейной (см. гл. 6), амплитудная и частотная модуляция взаимосвязаны уже в геометрооптическом приближении.

Модуляционная неустойчивость

Рассмотрим монохроматическую волну типа (11.2), где А = о© = =const и Uq = 0, и исследуем ее устойчивость по отношению к малым модулирующим возмущениям. Для этого линеаризуем систему (11.9) в окрестности стационарнного значения а = о© + + «1(ж, t), U = 14(优)f), («1/ао《1)Ui《1):

而 而=o,+

Система (11.10) имеет два семейства характеристик:

которые при q 〉0 являются действительными (т.е. система уравнений ——гиперболическая), а при g < 0 ——комплексными (т.е. система уравнений — эллиптическая).

Пусть у бегущей монохроматической волны и(х)力)задана малая пространственная модуляция параметров, изменяющаяся по закону ехр(5Кх)* Решение для огибающих в последующие моменты времени можно искать в виде гармонического возмуще™ ния: «1, Ui 〜exp[i(Ot — Кх)] с действительным К. Тогда из (11.10) находим, что частота С и волновое число К огибающих связаны дисперсионным соотношением

^1,2 = 土 Jqo^K* (11.12)

Из него следует, что при q 〉0 частоты Cig действительны и малое начальное возмущение не нарастает, а значит, монохроматическая волна в этом случае является устойчивой. Иная ситуация наблюдается при g < 0. В этом случае частоты Ci* комплексные, и малые начальные возмущения огибающей возрастают со временем как ехр (■^4^Тао力))т.е. монохроматическая волна неустойчива и имеет место самомодуляция (рис. 11.1). На спектральном языке эффект самомодуляции связан с усилением боковых компонент в спектре модулированной волны, в которые

з0 ①

Рис. 11.1. Самомодуляция волны в нелинейной среде при g < 0: 。一форма модулированной волны; б — спектр волны

перекачивается энергия из его центральной части (рис. 11.1 б). Для возникновения модуляционной неустойчивости волны необ™ ходимо, чтобы нелинейный а и дисперсионный /3 параметры ере- ды имели противоположные знаки:

q = a < 0.\ dk2 /

Это условие известно, как критерий модуляционной неустойчивости Лайтхилла. Примерами самомодуляции являются неустойчивость огибающих оптических полей, а также неустойчивость нелинейных волн Стокса на поверхности глубокой воды (известная как неустойчивость Бенджамена-Фейра), которая приводит к их распаду на волновые пакеты. Модуляционная неустойчивость наблюдается также у изгибных волн в тонких стержнях и пластинах.

Простые волны огибающих

Проведем анализ нелинейной эволюции волн огибающих при больших начальных возмущениях. Будем искать частный класс решений системы (11.9), в котором существует локальная связь между переменными а2 и U:

(П-14)(П-14)U = U(*"

(П-14)

(П-14)

Подставляя это соотношение в (11.9), получим два уравнения для одной переменной о :

да2да2(11.15)(11.15)Условие их совместности требует выполнения равенстваУсловие их совместности требует выполнения равенства(11.16)(11.16)из которого находится локальная связь между амплитудой и частотой модулированной волны:из которого находится локальная связь между амплитудой и частотой модулированной волны:U = ±2v4^*U = ±2v4^*(11.17)(11.17)Подставляя (11.16) и (11.17), например, во второе уравнение (11.16), придем к квазилинейному уравнению первого порядка для амплитудной огибающей:Подставляя (11.16) и (11.17), например, во второе уравнение (11.16), придем к квазилинейному уравнению первого порядка для амплитудной огибающей:dtдхdtдх(11.18)(11.18)

да2

да2

(11.15)

(11.15)

Условие их совместности требует выполнения равенства

Условие их совместности требует выполнения равенства

(11.16)

(11.16)

из которого находится локальная связь между амплитудой и частотой модулированной волны:

из которого находится локальная связь между амплитудой и частотой модулированной волны:

U = ±2v4^*

U = ±2v4^*

(11.17)

(11.17)

Подставляя (11.16) и (11.17), например, во второе уравнение (11.16), придем к квазилинейному уравнению первого порядка для амплитудной огибающей:

Подставляя (11.16) и (11.17), например, во второе уравнение (11.16), придем к квазилинейному уравнению первого порядка для амплитудной огибающей:

dtдх

dtдх

(11.18)

(11.18)

От знака параметра д, входящего в это уравнение, существенно зависит характер нелинейной эволюции огибающей. Если g > О, то характеристики (优)力-луни), определяемые из условия dx/dt = = 土，да?〉будут действительными, а уравнения (11.9) будут гиперболическими .Если же g < 0, то характеристики будут комплексными, а уравнения (11.9) будут эллиптическими.

Остановимся на рассмотрении нелинейных волн модуляции, описываемых уравнением гиперболического типа (д > 0). В этом случае амплитудная и частотная огибающие модулированной волны будут описываться выражениями

а2(ж, t) = F ^х ± 3，q〃2力))(11.19)

U(© t) = ±2^ [^(ж 土 Зх/^М "\(11.20)

где F ——произвольная функция, определяемая из начальных или краевых условий. Решение такого типа в гидродинамике принято называть волнами Римана, или простыми волнами. Знаки 士》соответствуют волнам огибающих, распространяющихся соответственно в отрицательном и положительном направлениях оси х. При переходе от подвижной системы координат к неподвижной решения (11.19) и (11.20) будут зависеть от аргументов ?]± =优一^t;gr 土 3，qo,2)九 Следовательно, в неподвижной системе координат обе волны огибающих будут распространяться в одну сторону, но с различными скоростями: быстрая волна ——с локальной скоростью г;+ = t;gr + 3，qq2)а медленная со скоростью = %丫 — 3,qc^ Это так назЬ1вае» мый эффект расщепления групповых скоростей, впервые теоретически предсказанный Дж. Уиземом. С течением времени у быстрой волны увеличивается крутизна фронта, а у медленной волны — крутизна спада. В результате начальный профиль волнового пакета симметрично расплывается с увеличением крутизны его краев (рис. 11.2). Такое поведение огибающей, вызванное расщеплением групповых скоростей, совершенно не похоже на поведение нелинейного волнового пакета, у которого существует лишь одна групповая скорость. Крутизна профиля огибающей будет увеличиваться до тех пор, пока не образуется «разрыв». Точка образования «разрыва» огибающей определяется из условий, аналогичных условиям (6.11) и соответствует появлению ж, f-каустики. В ее окрестности приближение

ПВ-геометрической оптики теряет силу, и дальнейшее исследова ние волны огибающей необходимо проводить в квазиоптическом приближении на основе анализа решений более полных уравнений (11.7), учитывающих дисперсию групповой скорости.

Рис. 11.3. Нелинейная эволюция волнового пакета при g < О

Нелинейная стадия развития модуляционной неустойчивости волны при g < 0 описывается эллиптической системой уравнений (11.10) и более сложна для анализа. Ее точное реше-

ние может быть найдено с помощью известного в гидродинамике преобразования годографа. Здесь мы не будем вдаваться в подробности этого весьма сложного анализа и приведем лишь рис. 11.3, дающий качественное представление о нелинейной эволюции огибающей волнового пакета. Из него видно, что вершина пакета обостряется вплоть до образования острого пика.

Из рассмотренных примеров можно судить о том, насколько сложнее и разнообразнее оказывается эволюция волн огибающих в нелинейной среде по сравнению с линейной. В этом случае, вообще говоря, уже нельзя ввести универсальную групповую скорость волнового пакета, определяющую поведение ж, t- лучей. При q〉0 существует две локальных скорости:电=t;gr± ±3，qo2)но ни одна из них не является скоростью переноса энергии модулированной волной. Более того, при д < 0 эти скорости и соответствующие им ж, f-лучи оказываются комплексными и тогда бегущая волна сама себя модулирует.

Модуляционная неустойчивостьв квазиоптическом приближении

В приближении нелинейной ПВ-геометрической оптики у волн огибающих возникают особенности в точке опрокидывания при q〉0 или на вершине цуга при д < 0. Чтобы устранить эти особенности, в первом уравнении (11.8) необходимо учесть эффект дисперсионного расплывания волнового пакета.

Рассмотрим сначала поведение малых возмущений а/(ж, t)= =ад и Uf(x^ t) монохроматической волны, которые описываются линеаризованной системой уравнений, следующей из (11.8):

dU1 ) q дa1 2/乎炉從

+ 2д«0-^—— = 0,

(11.21) да . а о dU'п

dt 2 дх

Полагая о] Uf 〜exp[i(Of^Ifx)], получим дисперсионное соотно™ шение, связывающее частоту и волновое число волны модуляции

^1,2 = ±а0^уд + ^К2.^1,2 = ±а0^уд + ^К2.(11.22)(11.22)

^1,2 = ±а0^уд + ^К2.

^1,2 = ±а0^уд + ^К2.

(11.22)

(11.22)

Оно отличается от дисперсионного уравнения (11.12) наличием дополнительного слагаемого под радикалом. Поведение возмущений в этом случае зависит от знака параметра q. При g > О монохроматическая волна устойчива, а при g < 0 имеется интервал волновых чисел К < К* =，将時/俨)на котором частота О является мнимой и, следовательно, возмущения нарастают с инкрементом

Im С =—(^К)1 (11.23)

Таким образом, учет третьей производной в (11.21) не устраняет эффект модуляционной неустойчивости, а лишь ограничивает область значений К^ при которых она имеет место. На рис. 11.4 приведена зависимость мнимой части частоты Im С от волнового числа К. Из него видно, что при Кт = К^/у/2 достига™ ется максимальная величина инкремента, равная (Im O)max = =а届* Следовательно, в монохроматической волне при g < О наиболее быстро нарастает модуляция с длиной волны Аш = =2п/Кт = 27r 万/о()，Ц которая обратно пропорциональна амплитуде. Интересно отметить, что значение (Im O)max не зависит от дисперсионного параметра /3, однако с уменьшением дисперсии максимум инкремента достигается для более высокой частоты модуляции (см. рис. 11.4, кривая 2). Итак, при отрица-

Рис. 11.4. Инкремент модуляционной неустойчивости: ? — q = q，2 — q = Q2

тельных значениях параметра q нелинейная монохроматическая волна оказывается неустойчивой относительно модуляции ее амплитуды и частоты. Ограниченность ширины полосы неустойчивости связана с учетом члена, описывающего «временную ди™ фракцию» волн.

Стационарные волны огибающих

Значительный интерес представляет вопрос о существовании стационарных волн огибающих. Класс стационарных волн здесь гораздо богаче, чем в линейном случае. Полагая в (11.7) о(优)力) и U(ж, t) зависящими от одной переменной т] = х — Vt, где V = =const — скорость волны, получим первые интегралы в виде:

где С,2 — константы интегрирования. Первое соотношение в (11.24) устанавливает алгебраическую связь между амплитудной и частотной огибающими волнового пакета, а второе уравнение описывает их изменение вдоль бегущей «координаты» г/. Заметим, что при。1 卢 0 и амплитуде, стремящейся к нулю, у фазовой переменной возникает особенность U оо, соответствующая скачку фазы в волне. Чтобы избавиться от нее, положим С] = 0. В этом случае отсутствует частотная модуляция волны, а ее скорость равна групповой скорости в линейной среде и не зависит от амплитуды. Равенство U = V дает лишь постоянный сдвиг частоты (волнового числа) несущей волны и приводит к появлению во втором уравнении (11.24) постоянной 『2/2万2. Не уменьшая общности, эту постоянную можно положить равной нулю, так как ее всегда можно исключить соответствующей перенормировкой переменных U и а.

«Светлые» и «темные» солитоны огибающей

Система (11.24) при 64 = 0 сводится к уравнению нелинейного осциллятора:

* + *(。2 - qa2)a = 0.(11*25)

Это известное уравнение Дуффинга. Его решения могут быть выражены в эллиптических функциях (см. Приложение 1), однако более наглядно можно проследить их поведение на фазовой плоскости (a, da/dt]). Характер решений зависит от знаков коэффициентов q и (?2“ Так как 邑—произвольная постоянная, то мы рассмотрим все возможные случаи, когда уравнение (11.25) имеет ограниченные решения.

При g < 0 и (?2 < 0 уравнение (11.25) имеет три состояния равновесия: седло при «1 = 0 и центры «2,3 = ±，。"仆 На

Рис. 11.5. Фазовый портрет уравнения (11.25) для q < 0 и。2 < 0 (а); типы волн огибающих, соответствующие фазовым траекториям 1 и 2 (б, в); солитон огибающей (г)

рис. 11.5 показаны фазовый портрет уравнения и различные типы модулированных волн со стационарными огибающими. Здесь следует особо отметить существование локализованного волно™ вого пакета ——солитона огибающей (рис. 11.5 г), который ошв сывается выражением:

u(x^ t) = amsecli(优一■力) exp [々(吋力-к()x)] + к.c.,

(11.26)

где ат — максимальное значение амплитуды. Солитоны (11.26) образуют семейство решений, зависящее от двух параметров —— несущей частоты и максимальной амплитуды. Ширина солитона обратно пропорциональна его амплитуде: △ = 2(3/(amy/\q\). Заметим, что она имеет порядок масштаба модуляции монохроматической волны Ат, = 2тг^/(а0-/Ы). при котором модуляционная неустойчивость имеет наибольший инкремент

нарастания. В оптике волну (11.26), представляющую собой «вспышки света». часто называют светлым солитоном.

На рис. 11.6 приведены экспериментальные результаты по наблюдению нелинейных волн огибающих в L С~линии передачи.

Если (?2 > 0 и g < 0, то уравнение (11.25) имеет только одно состояние равнове™ сия ——центр, находящийся при а = О*

При положительных значениях q и С? > 0 уравнение (11.25) имеет три состояния равновесия: центр при «1 = 0 и седла при ”з = =土q. Фазовый портрет в этом случае имеет вид《ко шачьего глаза»(рис. 11.7а), а характерные типы модулиро™ ванных волн приведены на рис. 11.7 d? в. В этом случае ло~ кализованной уединенной вол-

Рис. 11.6. Развитие модуляционной неустойчивости квазигармонической волны в L С линии передачи и формирование солитонов огибающейРис. 11.6. Развитие модуляционной неустойчивости квазигармонической волны в L С линии передачи и формирование солитонов огибающейны не существует, но зато имеется уединенное решение в виде провала в гармонической волне (см. рис. 11.7 в). Это так назьь ваемый темный солитон, для которого легко записать решение в явном виде.

Рис. 11.6. Развитие модуляционной неустойчивости квазигармонической волны в L С линии передачи и формирование солитонов огибающей

Рис. 11.6. Развитие модуляционной неустойчивости квазигармонической волны в L С линии передачи и формирование солитонов огибающей

и(伤 t) = amth [v^H(x — t；gl4)j exp[〃(G()力一fcg^)] + к.с., (11.27)

Это семейство решений опять зависит от частоты несущей волны о;。и амплитуды ат. Распределение интенсивности в такой волне описывается выражением

/ 〜 吟th2 (强m刀)=* [1 - sech? ^ат7^ (И.28) и представляет собой «провал» в виде перевернутого солитона относительно уровня Iq = 吟 (см. рис. 11.7 г). Ширина «темного» солитона обратно пропорциональна его амплитуде: △ = 28丨〈у/^ат)电

Рис. 11.7. Фазовый портрет уравнения (11.25) для q〉0 к (?2 > 0 (а); волны огибающих, соответствующие фазовым траекториям 1 и 2 (б", в) и распределение интенсивности в «темном» солитоне (г)Рис. 11.7. Фазовый портрет уравнения (11.25) для q〉0 к (?2 > 0 (а); волны огибающих, соответствующие фазовым траекториям 1 и 2 (б", в) и распределение интенсивности в «темном» солитоне (г)

Рис. 11.7. Фазовый портрет уравнения (11.25) для q〉0 к (?2 > 0 (а); волны огибающих, соответствующие фазовым траекториям 1 и 2 (б", в) и распределение интенсивности в «темном» солитоне (г)

Рис. 11.7. Фазовый портрет уравнения (11.25) для q〉0 к (?2 > 0 (а); волны огибающих, соответствующие фазовым траекториям 1 и 2 (б", в) и распределение интенсивности в «темном» солитоне (г)

В случае, когда q〉0 и О2 V 0, уравнение (11.25) не имеет ограниченных решений.

Волна с амплитудно-частотной модуляцией

До сих пор рассматривались модулированные волны, у которых имелась амплитудная модуляция, но не было частотной. Здесь будет рассмотрен более общий случай волновых процессов, когда Ох 卢 0 и наряду с амплитудной имеется и частотная мо дуляция. Система (11.24) при G^ 卢 0 эквивалентна уравнению второго порядка

d2 a d〃2d2 a d〃20 -弄"30 -弄"34户20,34户20,3(11.29)(11.29)

d2 a d〃2

d2 a d〃2

0 -弄"3

0 -弄"3

4户20,3

4户20,3

(11.29)

(11.29)

Его можно интерпретировать как уравнение движения материальной точки с отталкивающим центром. Аналитическое решение уравнения (11.29) приводит к довольно сложным и громоздким вычислениям, поэтому обратимся к его анализу на фазовой

плоскости. Перейдем от а и ту к новым переменным

Тогда уравнение (11.29) преобразуется к виду:

#^ + siw + §2疗-7w^3 = 0,(11.31)

где 5工 = sign (qC2 + 玲/2), s2 = sign(g), 7 = = C^q2(O2 + 丿2/2)/2(2Д2)4. Первый интеграл уравнения (11.31) определяет траектории движения изображающей точки на фазовой плоскости:

；0口（初=?；0口（初=?(11.32)(11.32)

；0口（初=?

；0口（初=?

(11.32)

(11.32)

Здесь слагаемое П(ад) = [(si/2)/2]w2^ [(^2/4)/4]w4+ [(7/2)/2]w^2 определяет потенциальную энергию частицы, а постоянная Е имеет смысл полной энергии частицы. Уравнение (11.32) может быть проинтегрировано методом разделения переменных:

s =±s =±dwdw，2(e - 口®))，2(e - 口®))(11.33)(11.33)

s =±

s =±

dw

dw

，2(e - 口®))

，2(e - 口®))

(11.33)

(11.33)

и сведено к вычислению эллиптических интегралов. На рис. 11.8 а приведен характерный вид потенциала H(w) при §i = =S2 = 1 и 0 < 7 < 4/27. Фазовые траектории на рис. 11.8 а соответствуют разным значениям постоянной Е.

Таким образом, ограниченные стационарные волны огибающих с амплитудно-частотной модуляцией существуют только при д > 0. При этом реализуются лишь волны затемнения. Сепаратрисе на фазовой плоскости (рис. 11.8 ^, кривая 2) отвечает солитон затемнения (рис. 11.8 г), описываемый выражениями:

(11.34)(11.34)刨 с =— w21secli2(wm.g/V2),

(11.34)

(11.34)

U© 〜arctg ^^tg(wTOg/V2)j ,

где Wqq — значение амплитуды волны на бесконечности, a wm — амплитуда солитона, определяющая «провал» интенсивности в

Рис. 11.8. Потенциал II(w) и фазовый портрет уравнения (11.31) при si = S2 = 1 и 0 < 7 < 4/27 (а, б); профили огибающей (в, а)

гармонической волне. Скорость модулированной волны теперь зависит от ее амплитуды.

Ударные волны огибающих

Ударные волны ——нелинейный процесс, характерный для сред со слабой дисперсией, допускающих сильные искажения профиля волны вплоть до образования разрывов. В средах же с сильной дисперсией, изучаемых в этой главе, нелинейность проявляется, главным образом, в пространственно-временных изменениях медленно меняющихся амплитуды и частоты, тогда как локальная структура несущей волны остается неизменной (в нашем случае — квазигармонической). Выше мы видели, что при q〉0 волны огибающих могут испытывать накапливающиеся искажения, аналогичные искажению мгновенного профиля волны в слабодиспергирующих средах. В частности, при q > > 0 возможны простые (римановы) волны огибающих (п. 11.2). Естественно предположить далее, что распространение таких волн приводит к установлению резкой (по сравнению с масштабом изменения огибающей) переходной области — ударной волны огибающей. На эту мысль наводит, в частности, существование двух точек равновесия (седла и центра) на фазовой плоскости системы уравнений (11.24) при q〉0. Если в систему уравнений (11.7) ввести хотя бы малое затухание, то могут появиться

фазовые траектории, соединяющие соседние точки равновесия. Такие траектории соответствуют ударным волнам огибающих, по аналогии с ударными волнами в обычной газодинамике.

Основные уравнения

Следует отметить, что подходящий диссипативный процесс должен быть довольно специфичным. Непосредственный учет линейной вязкости, достаточный для описания обычных ударных волн, не дает установления ударных волн огибающих и приводит лишь к общему затуханию волны. Здесь необходимо присутствие инерционной нелинейности, которая релаксирует при изменении средней интенсивности поля. Учет подобных процессов приводит к повышению порядка усредненных уравнений для огибающих, необходимому для получения переходной области между двумя состояниями равновесия, отвечающими немодулирован- ным волнам. Не конкретизируя физической природы нелинейного инерционного процесса, будем описывать его дополнительной переменной %(х, t). В простейшем случае инерционный «отклик» среды на воздействие мощной волны описывается уравнением релаксации.

В качестве модельного примера, описывающего волновой процесс в среде с инерционной нелинейностью, рассмотрим систему, включающую уравнение для релаксации нелинейного параметра:

д2и 9 д2и ,9,с

而—L审 + 央 + MX" = О,

(11.35)

.19

丁0証+ х =

где тр — характерное время релаксации среды,)№『一учитывает влияние интенсивности волнового поля на нелинейные процессы в среде. Для обычных сред 窃〉0 и)〉0)хотя могут быть и другие возможности. Выражение для и(х)力)будем искать в виде квазигармонической волны (11.2).

Подставляя (11.2) в (11.35), придем к следующей системе эволюционных уравнений:

勿(> + 穿)一0系 += 0，

7р祭+ X

При выводе (11.36) мы воспользовались заменой д2А/dt2 ^ v^.{d2А/дх2)^ вытекающей из группового приближения. Все остальные обозначения совпадают с принятыми в (11.5).

В тех случаях, когда можно пренебречь релаксацией среды, т.е. тр = 0^ система (11.36) приводится к нелинейному уравнению Шредингера (11.5). Заметим, что в уравнениях (11.36) не целесообразно переходить к «бегущей» координате х1 =片一％丫力 так как избавление от слагаемого v^dA/dx в уравнении Шредингера приводит к появлению пространственной производной v^(dr]/дх) в уравнении релаксации. Перейдем к действительным переменным а(х, t),夕(片)力))v(x^ t):

4(© 力)=〃б'\ и = %r — 2^д(р/дх.(11.37)

Подставляя (11.37) в (11.36) и производя преобразования, аналогичные описанным в п. 11.1, получим:

等+ 3(。2")=。，(1L38)

乙

где как и выше q = а/3. Система уравнений (11.38) является обобщением уравнений (11.7) на случай среды с нелинейной релаксацией. При тр = 0 системы (11.7) и (11.38) эквивалентны.

Структура ударных волн огибающих

Так же, как и в п.11.4, будем искать стационарные волны, зависящие от одной переменной 〃 =力一卜力,где У = const. Это позволяет в (11.38) перейти к уравнениям в обыкновенных производных, причем первые два уравнения один раз интегрируются. В результате получаем:

(11.39) 行丿窑一x + )"2 = 0"

Здесь Сц2 — константы интегрирования. Система (11.39) имеет третий порядок и ее исследование в полном виде затрудните ль-

но. Проанализируем более подробно два предельных случая, когда инерционность нелинейности либо мала, либо велика.

В рассмотренной системе существуют два независимых вре™ менных масштаба: тр ——время релаксации нелинейности и тш 〜 〜 (Km,Ug『)—1 〜 Д/с\/Шатах — характерное время модуляции, равное периоду волны, для которой инкремент неустойчивости максимален (см. рис. 11.4). Влияние параметров тр и тш в урав™ нениях (11.38) сходно с влиянием вязкости и дисперсии в урав™ нениях для мгновенных значений поля. Ход волнового процесса зависит от соотношения между характерной длительностью на™ чального возмущения 丁о и указанными параметрами.

В случае большой инерционности нелинейного параметра (тр》тш) производной Sa/dr]2 в (11.39) можно пренебречь, и после несложных преобразований приходим к уравнению перво- 2 го порядка для интенсивности m а :

窃* = ^(Ьо - bim2 + 匕2疗))(11.40)

где Ьо = 1/К 匕2,=(片/2 + C^VCf и Ь3 = qj/VCf.

Уравнение (11.40) может быть проинтегрировано, но мы ограничимся его качественным исследованием на фазовой плос™ кости. Нетрудно проанализировать все варианты поведения фа™ зовых траекторий уравнения (11.40) в зависимости от знаков и величин входящих в него коэффициентов. Ясно, что физи™ ческий смысл имеют только неотрицательные значения т. На рис. 11.9 а показан один из вариантов фазовой траектории это го уравнения. Соответствующая ей ударная волна огибающей представляет переход от неустойчивого состояния равновесия тпз (приос) К устойчивому СОСТОЯНИЮ ГП2 (при 77 foс).

Форма ударной волны, в которой амплитуда монотонно спадает от m3 до m2, показана на верхнем рисунке 11.9 6. Характерная длительность ударного фронта Т имеет порядок тр/(1 ^m2/mi), то есть Т ^ тр.

Для среды с малой инерционностью (тр《тш) второе уравнение (11.39) содержит малый параметр при производной. Такой процесс можно разбить на два этапа: быстрый, происходящий за время порядка 窃)и медленный по сравнению с тр. При 窃〉0 траектории быстрых движений в фазовом пространстве (a, d〃/d〃)х) системы (11.39) приходят за время порядка тр на цилиндрическую поверхность х )в окрестности которой происходят все медленные движения. Для медленных движе-

ний Tpdx/dr]《х 〜Та"〉и можно положить dx/d〃 心—jda2/dr]. Совсем отбросить производную от х нельзя, так как при этом

Тр 宅 ^тТр 宅 ^тТр»ТотТр»ТотРис. 11.9. Фазовые портреты (а) и соответствующие им формы ударных волн огибающих (б) для тг《тт и 丁『》ттРис. 11.9. Фазовые портреты (а) и соответствующие им формы ударных волн огибающих (б) для тг《тт и 丁『》тт

Тр 宅 ^т

Тр 宅 ^т

Тр»Тот

Тр»Тот

Рис. 11.9. Фазовые портреты (а) и соответствующие им формы ударных волн огибающих (б) для тг《тт и 丁『》тт

Рис. 11.9. Фазовые портреты (а) и соответствующие им формы ударных волн огибающих (б) для тг《тт и 丁『》тт

система (11.39) становится консервативной и не имеет решений, соответствующих ударной волне. При сделанных предположениях система (11.39) приводится к уравнению второго порядка:

* + q不后^ + "ia -而序 + "3а一3 = 0,(11*41)

где 心=(У2 -02/2))d2 =g7/2忻)d3 =0力2忻* Уравнение (11.40) можно рассматривать как уравнение движения матери™ альной точки в потенциальном силовом поле с отталкивающим потенциалом

(11.42)(11.42)

(11.42)

(11.42)

и нелинейным трением. Знак силы трения определяется знаком произведения q^r. Нетрудно провести исследование решений первого уравнения (11.39) на фазовой плоскости (a, da/dry), соответствующей указанной выше поверхности х = 7«2- На рис. 11.9 показан фазовый портрет (а,) и структура ударной волны огибающей (б). Заметим, что последняя превращается в «темный» солитон при исчезновении инерции (см. рис. 11.8).

В заключение отметим, что ударные волны огибающих наблюдались экспериментально для пикосекундных световых импульсов в изотропных жидкостях, а также в радиодиапазоне в нелинейных L С-линиях, содержащих в качестве

Рис. 11.10. Формирование ударной волны огибающей в Ь(7™линии переда™ чи с инерционной нелинейностью [11.16]: а — быстрая ударная волна, 6 — медленная ударная волна

инерционных нелинейных элементов полупроводниковые диоды (см. рис. 11.10).

Исторические замечания и комментарии

Нелинейные волны огибающих. В 50-60 гг. XX столетия появились новые мощные источники энергии волновых полей, например, лазеры; их излучение стало широко использоваться для воздействия на вещество, передачи информации и многих других целей. Эти волны имеют совсем другой характер, чем, например, ударные волны. Здесь волна представляет собой быстрые колебания (для света ——многие миллиарды колебаний в секунду), интенсивность и частота которых сравнительно медленно (например, с частотой звука) изменяются во времени и пространстве. Такие волны называют модулированными. Закономерности их нелинейного распространения к началу 60-х гг. оставались неисследованными.

Теоретические исследования нелинейных модулированных волн начались в 1960-х годах, практически одновременно в электродинамике Л.А. Островским и в механике (теория волн на воде) Дж. Уиземом и М. Лайтхиллом. Возможность существования простых и ударных волн огибающих была показана Л.А. Островским в 1963 г.[11.16, 11.18] В 1965 г. Дж. Уизем

предложил использовать метод усредненного лагранжиана для описания модулированных волн, а М. Лайтхилл показал возможность самомодуляции нелинейных волн и ввел соответствующий критерий неустойчивости (см. [11.14]). На возможность существования солитонов огибающих было указано Островским в 1966 г. [11.17], а детально они были исследованы В.И. Карп- маном и Е.М. Крушкаль в 1968 г. [11.11, 11.10].

Экспериментально солитоны и ударные волны огибающих были обнаружены сначала в радиофизике на ЬС-линиях с нелинейными элементами (Л.А. Островский, Л.В. Соустов, 1972— 1975 гг. [11.19, 11.20]), а потом и для мощных лазерных импульсов в оптических волокнах и жидкостях (Л. Молленауэр и др., 1980 г. см. [11.26], Е.В. Нестерова и И.А. Александров, 1985 г. [11.15]). Солитоны огибающих экспериментально наблюдались также на поверхностных волнах на глубокой воде (Г. Юэн и Б. Лейк, 1975 г. [11.25]) и у изгибных волн в тонкой металлической оболочке (Дж. By и др., 1987 г. [11.30]).

В последующие годы исследования нелинейных волн огибающих проводились очень активно. Самолокализация модулированных волн и связанное с ней расширение спектра были использованы для получения коротких световых импульсов. Предлагается использовать солитоны огибающих для передачи без искажений световых импульсов в волоконных волноводах на большие расстояния (так как слабые, линейные волны в них расплываются) .С подобными волнами пытаются связать происхождение спиральных рукавов галактик и свойства элементарных частиц.

Нелинейное уравнение Шредингера. Это фундаментальное уравнение нелинейной физики появилось в 1960-х-на- чале 1970-х годов в различных областях науки. По-видимому, впервые оно возникло в 1961 году в теории конденсированных сред, когда Л.П. Питаевский [11.21] и Е. Г росс независимо друг от друга предложили его для описания процесса формирования вихревых нитей в конденсате Бозе^Эйнштейна. Проникновение нелинейных уравнений Шредингера в нелинейную теорию волн началось с задач о самофокусировке волновых пучков, рассмотренных П. Келли в 1964 г. и В.И. Талановым в 1965 г. (см. [11.4, 11.22]) Для описания нестационарных волновых полей в диспергирующих средах оно было предложено практически одновременно для нелинейных электромагнитных волн в диэлектрике А.Г. Литваком, В.И. Талановым в 1967 г. [11.13], и В.И. Карпманом [11.10, 11.11]. для описания модулированных

волн, а В.Е. Захаровым (1968 г.) при исследовании устойчивости поверхностных волн [12.7]. В наиболее общем виде нелинейное уравнение Шредингера было предложено Д. Бенни и А. Ньюэлом (1967 г.) как формализованное модельное уравнение, пригодное для описания слабонелинейных диспергирующих волн различной физической природы. В 1970 г. НУШ появилось в работе Ф. Тапперта и К. Вармы в связи с изучением распространения теплового импульса в твердом теле, а в 1972 г. оно проникло в физику плазмы для описания нелинейных ленгмюровских волн. Однако известность оно приобрело в 1971 г. после работы В.Е. Захарова и А.Б. Шабата [11.9], в которой они нашли точное решение НУШ с помощью усовершенствованного ими метода обратной задачи рассеяния. В дальнейшем большой вклад в теорию нелинейного уравнения Шредингера внесли работы Г. Юэна и В. Лейка (1975-1982 гг.) по нелинейной динамике гравитационных волн на глубокой воде [11.25].

Модуляционная неустойчивость волн Стокса. В 1847 г. Д. Стокс нашел приближенное выражение для нелинейных гравитационных волн на поверхности глубокой воды, зависящее от одной переменной, и высказал предположение, что с увеличением амплитуды профиль волн приближается к некоторой предельной форме (циклоиде) с угловой точкой на вершине. Попутно Стокс получил два фундаментальных результата, состоящих в том, что в нелинейных средах с дисперсией могут существовать стационарные волны и, что в дисперсионное соотношение для нелинейной периодической волны входит амплитуда [12.20]. В 1967 г. Т. Бенжамин и Дж. Фейр экспериментально и теоретически доказали неустойчивость волн Стокса по отношению к малым продольным возмущениям (см. [11.14]). Ими было найдено критическое отношение глубины воды к длине волны 2ттк/Х = =1,36, при котором наступает неустойчивость. Этот результат произвел эффект разорвавшейся бомбы среди механиков и математиков, потративших много лет и усилий на доказательство существования и устойчивости волн Стокса. И в результате оказалось, что эти волны неустойчивы!

Задачи и упражнения

Выведите нелинейное уравнение Шредингера для медленно меняющейся комплексной амплитуды 4(ж)力)квазигар-

монической волны (11.2), удовлетворяющей модифицированному уравнению Кортевега^де Вриза

диди+ сш+ сш2万"дх2万"дх+抬+抬=0.=0.

ди

ди

+ сш

+ сш

2万"

дх

2万"

дх

+抬

+抬

=0.

=0.

Выведите нелинейное уравнение Шредингера для квази- гармонической волны, описываемой уравнением:

д2ид2иа2а2

д2и

д2и

а2

а2

С помощью метода усреднения выведите уравнение огибающей для квазигармонической волны, удовлетворяющей уравнению Гарднера:

崇 ++a2й2 偿 + 0姑=0.

Указание. Решение следует искать в виде суммы трех гармоник с медленно меняющимися амплитудами и медленно изменяющейся составляющей Ло (%, т):

п(ж,力)=4小 + д(Л0 + А2е2гв) + д2Л3е3^ + к.с.,

где м«1 ——малый параметр. Квадратичная нелинейность, которая в первом приближении порождает постоянную составляющую Aq и вторую гармонику. Во втором же приближении она приводит к генерации третьей гармоники и нелинейному вкладу в волну на основной частоте.

Запишите нелинейное уравнения Шредингера (11.5) для действительных функций и и w, определенных выражением Л = и + iw.

Для модифицированного уравнения Шредингера вида

用 2" + a21川4" = 0

dt дх2I

найдите:

нелинейное дисперсионное уравнение, отвечающее монохроматической волне;

систему « гидр одинамических » уравнений типа (11.7);

выявите условия, при которых монохроматическая волна неустойчива относительно модуляции амплитуды и частоты, и найдите максимальный инкремент неустойчивости.

Указание. Воспользуйтесь результатами п. 11.1. и п. 11.3.

Найдите локализованную солитоноподобную волну огибающей (светлый солитон) для уравнения

при произвольном п > 2. Ответ.

4(ж)力)=Aosech?/714(ж)力)=Aosech?/71p^Qt—К x)p^Qt—К x)

4(ж)力)=Aosech?/71

4(ж)力)=Aosech?/71

p^Qt—К x)

p^Qt—К x)

Нелинейный закон дисперсии имеет вид С = 1 + К?— -2Лп/(п + 2).

Исследуйте на устойчивость систему уравнений (11.7) при малых возмущениях ее стационарного состояния а = =о©, U = Uq.

Ответ.

3,2 — ОоК) = ±аоК

V ао

Система неустойчива, если g > 0 и 0 < К2 < |д|ад//32.

Выведите уравнения для амплитудной и частотной огибающих «спиральной» волны, удовлетворяющей векторному уравнению Буссинеска:

争一2察+g貫=q“42W)，dt2 аж2 аж4 дх

где w(x)t) = (0, wg(x^ t)^wz(x^ t)) — вектор смещения.

Указания. Решение ищется в виде спиральной волны w(x)t) = а(ж, t)e(x, t), где а(ж, t) —— амплитуда волны, а е = {cos 夕(ж/)〉一 sin夕(ж/)} —— поляризационный вектор, О Е t) =3。一 Kqx + 夕(伤力)一фаза волны вращения.

Найдите аналитический вид решений уравнения (11.25), описывающих периодические волны огибающих, представ-

ленные на рисунках 11.5,6", 11.5,в и 11.7,6". Проанализируйте их предельный переход к уединенным волнам ——солитонам огибающих.

Найдите аналитический вид решений уравнения (11.29), описывающих периодические волны затемнения. Ироана- лизируйте их предельный переход в солитон.

Выявите условия модуляционной неустойчивости монохроматической волны в среде с инерционной нелинейностью, описываемой уравнениями (11.38).

С помощью замены переменных ж и у приведите двумер™ ное нелинейное уравнения Шредингера

к одномерному.

Указание. Нужно перейти к новой пространственной координате г = ж cos q + 沙 sin q (поворот системы координат на угол а).

ГЛАВА 12

МОДУЛИРОВАННЫЕ НЕСИНУСОИДАЛЬНЫЕ

ВОЛНЫ

Из всех услуг, которые могут быть оказаны физике, введение новых идей — самая важная.

Дж.Дж. Томсон

Квазигармонические волны, рассмотренные в предыдущей главе, характерны для сред с сильной дисперсией и малой нели™ нейностью. Подобные среды типичны, например, для нелинейной оптики. В средах же со слабой дисперсией даже малая нелинейность ведет к существенным искажениям формы волн, и «квазигармоническое» приближение уже не пригодно. Зада™ чи такого рода возникают для нелинейных волн на воде, волн в плазме, в нелинейных линиях передачи.

В этой главе рассматриваются медленные вариации несинусоидальных волн. При этом расширяется понятие модуляции: теперь изменяются не только амплитуда, частота и фаза волны, но и ее профиль.

Стационарные бегущие волны

В первоначально гармонической волне с конечной амплитудой из-за нелинейности появляются высшие гармоники, и ее форма искажается в процессе распространения. Чаще всего (хотя и не всегда) чем больше амплитуда волны, тем больше и нелинейные искажения. Однако характер процесса зависит не только от величины нелинейности, но еще и от дисперсионных свойств среды. Если дисперсия отсутствует, то волны всех частот распространяются с одинаковыми фазовыми скоростями. Это обес-

печивает взаимный резонанс гармоник во времени и пространстве, и поэтому даже слабая нелинейность приводит с течением времени к накапливающимся искажениям профиля начальной волны. При сильной дисперсии, когда синхронизм отсутствует, волна такой же амплитуды будет искажаться существенно слабее, а при небольшой нелинейности остается почти синусоидальной.

Особенности нелинейных волновых процессов в существенной степени определяются конкуренцией между нелинейностью и дисперсией, а в неконсервативных системах — также и диссипацией энергии волны. Нелинейность, как уже отмечалось, приводит к зарождению высших гармоник, в которые перекачивается энергия из основного возмущения, и тем способствует появлению в профиле волны резких перепадов. Дисперсия же, наоборот, имеет тенденцию к «размыванию» резких перепадов из-за различия в фазовых скоростях гармонических составляющих волны. Диссипация также может препятствовать нелинейным искажениям волны просто потому, что из-за затухания нелинейность в ней падает.

Из-за трудности, а нередко и невозможности получения общего решения нелинейных уравнений в частных производных, в теории нелинейных волн ограничиваются анализом частных решений, описывающих тот или иной тип волновых движений. В 1960-х годах были открыты новые методы точного решения некоторых типов таких уравнений, наиболее известный из них —— метод обратной задачи рассеяния. Эти методы применимы к классу так называемых точно интегрируемых уравнений. Од™ нако многие динамические процессы в нелинейной физике описываются неинтегрируемыми уравнениями.

Относительно простой, но весьма показательный класс решений описывает стационарные волны, сохраняющие свою форму в процессе распространения:

= /(^,Ст), (12.1)

где г; = ж Kt, V — скорость стационарный волны, а Ст — совокупность других ее параметров. В линейных средах с постоянными параметрами без дисперсии любое бегущее возмущение является стационарной волной. В линейных средах с дисперсией стационарными являются гармонические волны вида и = =a cos (з力一кх). В нелинейных средах стационарные волны существуют в результате «уравновешивания» действий нелиней-

ности и дисперсии. Такие решения играют выделенную роль в теории нелинейных волн. Они описываются обыкновенными дифференциа льны ми уравнениями, и для их анализа могут быть использованы качественные методы теории колебаний, например, метод фазовой плоскости. Однако здесь есть одно отличие: теперь в уравнение входит дополнительный произвольный параметр — скорость стационарной волны V.

Во многих случаях волны, близкие к стационарным, возникают в результате нелинейной эволюции нестационарных волн, отвечающих более широкому классу начальных и граничных условий.

Уравнение Кортевега—де Вриза

Начнем с рассмотрения свойств нелинейных периодических волн на примере уравнения КдВ (см. п. 10.2) ■*")

ди . ди . q д и с

X + ап—= 0,(12.2)

dt дх/

которое описывает в сопутствующей системе координат волну, распространяющуюся в среде со слабой нелинейностью и дисперсией. Будем искать его решение в виде бегущей волны и(у = ж Vt) и после подстановки в (12.2) и интегрирования придем к уравнению в обыкновенных производных

嗚-+ # = 4(12.3)

где d ——постоянная интегрирования. Если использовать аналогию с механикой, то уравнение (12.3) описывает движение частицы в консервативном силовом поле, причем выполняется закон сохранения энергии:

^備)2+(12.4)

Здесь П(п) = и? + 3|/口2/@ +(}и имеет смысл потенциальной, а Е —— полной энергии частицы. С помощью (12.4) можно по™ строить фазовые траектории динамического процесса на плоскости (dn/dr;, п), варьируя, например, величину «энергии» Е. На

Здесь и далее мы будем использовать обозначения 関 и 力 вместо § и т.

рис. 12.1 а показаны вид нелинейного потенциала П(п) и «фазовый портрет» уравнения. Уравнение (12.4) интегрируется в квадратурах:

du，(〃3 - 〃)(〃2 - 〃)(〃1 - 〃)du，(〃3 - 〃)(〃2 - 〃)(〃1 - 〃)

du

，(〃3 - 〃)(〃2 - 〃)(〃1 - 〃)

du

，(〃3 - 〃)(〃2 - 〃)(〃1 - 〃)

(12.5)

где г;。一 начальная фаза волны; 〃1，2,з — действительные корни кубического уравнения Е — П(п) = 0 (g ^ U2 ^ и ^ 113);

Рис. 12.1. Вид функции П(п) и фазовые траектории уравнения КдВ (а). Форма стационарных волн (б): 1 — квазигармоническая волна; 2 — кнои- дальняя волна; 3 — уединенная волна (солитон)Рис. 12.1. Вид функции П(п) и фазовые траектории уравнения КдВ (а). Форма стационарных волн (б): 1 — квазигармоническая волна; 2 — кнои- дальняя волна; 3 — уединенная волна (солитон)

Рис. 12.1. Вид функции П(п) и фазовые траектории уравнения КдВ (а). Форма стационарных волн (б): 1 — квазигармоническая волна; 2 — кнои- дальняя волна; 3 — уединенная волна (солитон)

Рис. 12.1. Вид функции П(п) и фазовые траектории уравнения КдВ (а). Форма стационарных волн (б): 1 — квазигармоническая волна; 2 — кнои- дальняя волна; 3 — уединенная волна (солитон)

F(夕)з) — эллиптический интеграл первого рода. Согласно определению эллиптических интегралов здесь введены следующие обозначения: з =，(из — 口2)/(口3 — 口1) — параметр эллиптичес™ кого интеграла (0 < з < 1))夕=arcsin，(113 — u)/(113 — 口2)— его аргумент. Разрешая последнее соотношение относительно переменной п(г/), находим явный вид решения

我①)=й3 _ m3 一 我2)sill2 夕*

Используя определение эллиптических функций (см. Приложение) ,найденное решение приведем к следующему виду:

u(rj) = из — (из — u2)sii[k(t] — r/о)^],(12.6)

где 尤=，а(из — 口1)/12/3 ——постоянная распространения ноли- нейной периодической волны, з ——модуль эллиптической функции*

Решение (12.6) зависит от трех параметров щ^,з и описывает при s < 1 периодическую стационарную волну х), в которой переменная и(ж)力)изменяется от минимального и? до максимального из значения (рис. 12.1 б).

Между скоростью волны У, ее энергией Е и корнями кубического уравнения ui,2,3 существует связь:

г=Q(U1 + u2 + U3)/3) e = u1u2u3" (12.7)

В качестве характеристик нелинейной волны вместо корней 口1,2,3 удобно выбрать более содержательные с точки зрения фи™ зики параметры: амплитуду Л = (〃з — П2)/2, скорость У = = q(ui + 口2 + 口3)/3 и коэффициент з* У решения (12.6) суще™ ствует эквивалентная форма записи:

u(ж/) = (из 一 |^) + ^由12[现(/-V力-r;o))可) (12.8)

где 尤=，съ4/6/3з2? а через dn (г/, з) обозначена эллиптическая функция, называемая дельта-амплитудой Якоби. Можно ввести также параметр подобия нелинейной периодической волны

"=6/3长

Период А функции (12.8) определяется выражением

a=牛=讯水(力(12.9)

а ее среднее значение равно

л

"；/ 口①)俭3 -)(12*10)

0'/

где К и Е — соответственно полные эллиптические интегралы первого и второго рода (см. Приложение).

В физических приложениях среднее значение поля волны часто равно нулю. Это накладывает на параметры дополнительное условие и волна становится двухпараметрической. Так, скорость волны V можно выразить через амплитуду Л и з (или через волновое число к = 2тг/А и з):

練+ s2 — 2)=—然2警)2練+ у •

(12-11) Выражение (12.11) представляет собой нелинейное дисперсионное уравнение^ связывающее фазовую скорость кноидальной волны с ее амплитудой. Оно может быть записано в более привычном виде для частоты и волнового числа по аналогии с дисперсионным уравнением для гармонической волны. Для этого вместо переменной г; = х — Vt введем фазу волны 夕=к/ — —з力=k/q. По определению фазовая скорость У, частота ш и волновое число к связаны соотношением V = ш/к. Тогда (12.11) может быть представлено в следующем виде:

3 =—州3(§)2 練+ §2_2).(12.12)

Отсюда следует, что когда параметр нелинейности з равен нулю, К = Е = тг/2 и (12.12) вырождается в дисперсионное уравнение для линейного уравнения КдВ: ш = —/Зк? (см. п. 5.2.1).

При отсутствии постоянной составляющей (и = 0) решение (12.8) принимает вид

“力⑴=|^ [dn2 U^(x^Vt^ 77о), 5)— ^].(12-13)

При малых амплитудах волны, когда 6 《1, можно воспользоваться асимптотическими выражениями для эллиптических и интегралов: К(б) о (тг/2) (1 + (l/4)s2), Е(б) а (тг/2) (1 — (l/4)s2) . В этом случае эллиптические функции превращаются в тригонометрические, а решение (12.13) с точностью до слагаемых, пропорциональных квадрату амплитуды, описывает периодическую волну, состоящую из двух гармоник

n(x, t) = A cos (ut — кх) + ^^ cos 2&力一kx) +(12.14)

Приближение малой амплитуды соответствует случаю, когда дисперсионные эффекты в среде преобладают над нелинейными. В другом предельном случае, когда s = 1, фазовой траекторией является сепаратриса (см. рис. 12.1 а), решение (12.6) приобретает форму импульса (рис. 12.1 6)кривая S), соответствующего пространственно локализованной уединенной волне ——солитону. Такие волны образуют важный тип нелинейных процессов и будут рассмотрены в следующей главе.

Уравнение Буссинеска

В качестве следующего примера рассмотрим свойства нелинейных волн, описываемых уравнением Буссинеска

= 3(12.15

В отличие от уравнения КдВ, оно описывает волны, которые могут распространяться в обоих направлениях. В одноволновом приближении в соответствующей системе координат оно сводится к уравнению КдВ (см. п. 10.1).

Прежде всего, обсудим общие свойства нелинейных волн, вытекающие из условий инвариантности рассматриваемого уравнения. Легко видеть, что уравнение (12.15) всегда инвариантно относительно инверсии времени (力 f —力)〉а его инвариантность относительно инверсии координаты (х f —%) выполняется лишь при условии изменения полярности волны (и Т —и) или знака коэффициента нелинейности (a f —а). Из этой инвариантности вытекают два следствия: в среде с квадратичной нелинейностью волна, бегущая вправо, ведет себя точно так же,

10 Л.А. Островский, А.И. Потапов

как и волна, бегущая влево, но имеющая противоположную полярность; нелинейная волна положительной полярности в среде с а > 0 ведет себя так же, как волна отрицательной полярности в среде с а < 0. Эти свойства позволяют ограничиться рассмотрением только волн положительной полярности в среде с а > 0.

Подстановка и = и(т/) в (12.15) приводит к обыкновенному дифференциальному уравнению

Проинтегрируем его по т/ и введем обозначение w = du/dr/. В результате получим уравнение второго порядка

嗤片"6)

где d —— постоянная интегрирования. Оно отличается от (12.3) только коэффициентами, и для анализа его решений можно воспользоваться результатами предыдущего раздела. По аналогии с механикой уравнение (12.16) описывает движение частицы в консервативном силовом поле, и имеет место закон сохранения энергии (12.4), где потенциальная энергия равна

、 з I 3(У2 - c2)w27

ас2

Периодические решения уравнения (12.16) выражаются через эллиптический синус

w(^) = w3 - ®з — w2)sn2[^(7/ —小))引)(12.17)

где 片=у ас2(W3 — wi)/12/3 ——аналог постоянной распространения; 6 = ^/(W3 W2)/(W3 wi) —— параметр нелинейности волны; wn ——действительные корни кубического уравнения Е — —n(w) = 0(W1 ^ W2 ^ W ^ W3).

Трехпараметрическое решение (12.17) описывает при 6 < 1 волну, в которой w изменяется от минимальной величины W2 до максимума W3 (см. рис. 12.1 б). Параметры У, Е и wn связаны соотношениями

卜2 = у + 々(仅 х + 仅2 + w3), Е =仅 1 仅2 仅3)(12.18)

вытекающими из теоремы о свойствах корней кубического уравнения.

Как и в предыдущем случае, в качестве параметров бегущей волны удобно выбрать ее амплитуду А =(仅？ 一 W2)/2, скорость У и параметр нелинейности 6：

仅也力)=仅3 一 24sli2[现(/一卜力一T70))可)(12.19)

где 片=у ас2 А/24/3s2. Отсюда следует, что кноидальная волна существует, если произведение а4 положительно. Можно ввести параметр подобия кноидальной волны

—4 —[

° = 24052依=)

который с точностью до константы совпадает с параметром подобия для уравнения КдВ. Пространственный период равен

А =А =2K⑻ к2K⑻ к(12.20)(12.20)

А =

А =

2K⑻ к

2K⑻ к

(12.20)

(12.20)

Постоянная составляющая волны w определяется по формуле (12.10). Если w = 0, то волна (12.19) описывается двухпараметрическим семейством решений:

仅(т/) = 24 [(仅(т/) = 24 [((12.21)(12.21)

仅(т/) = 24 [(

仅(т/) = 24 [(

(12.21)

(12.21)

Используя соотношения между эллиптическими функциями, можно дать эквивалентное представление найденного решения через дельта- амплитуду Якоби

仅(z/) = !^ 1dli2^^()-卜力-小))6)-第•(1222)

Переменная 仅=ди/дх описывает градиент поля и(х^ t) и через нее может быть легко найдено выражение для ди/dt = —Vdu/dx. Выражение для и(х^ t) находится из (12.22) ю*

интегрированием по координате:

(12.23)(12.23)

(12.23)

(12.23)

где zn(片〃 6)— дзета-функция Якоби с периодом 2K(б) (см. Приложение) .Графики нелинейных волн и〉ди/дх^ и д2и/дх2 при различных значениях параметра 6 показаны на рис. 12.2. Из

Рис. 12.2. Нелинейные периодические волны и их спектральные составы при различных значениях параметра 5： 7 — s = 0〉6; 2—0,9; 3 — 0)99Рис. 12.2. Нелинейные периодические волны и их спектральные составы при различных значениях параметра 5： 7 — s = 0〉6; 2—0,9; 3 — 0)99

Рис. 12.2. Нелинейные периодические волны и их спектральные составы при различных значениях параметра 5： 7 — s = 0〉6; 2—0,9; 3 — 0)99

Рис. 12.2. Нелинейные периодические волны и их спектральные составы при различных значениях параметра 5： 7 — s = 0〉6; 2—0,9; 3 — 0)99

приведенного рисунка видно, что с ростом амплитуды волны ее форма приближается к импульсной, а спектр расширяется.

Связь между фазовой скоростью нелинейной волны и другими ее параметрами находится из выражений (12.18)и (12.20):

(12.24)(12.24)

(12.24)

(12.24)

Соотношение (12.24) представляет собой нелинейное дисперсионное уравнение, устанавливающее связь между фазовой скоростью, волновым числом и параметром 6 кноидальной волны. На рис. 12.3 показана зависимость скорости волны от волнового

Рис. 12.3. Зависимость скорости стационарной волны от волнового числа к и параметра нелинейности sРис. 12.3. Зависимость скорости стационарной волны от волнового числа к и параметра нелинейности s

Рис. 12.3. Зависимость скорости стационарной волны от волнового числа к и параметра нелинейности s

Рис. 12.3. Зависимость скорости стационарной волны от волнового числа к и параметра нелинейности s

числа и параметра нелинейности. Из него видно, что при переходе параметра 6 через некоторое критическое значение s^ 0, 9 стационарная волна становится «сверхзвуковой», т. е. V > с. При этом изменяются ее дисперсионные свойства ——скорость волны при фиксированном значении 6 не убывает с уменьшением ее длины, а, наоборот, растет. Это объясняется тем, что при 6〉6* «амплитудная» часть дисперсии волны начинает преобладать над линейной дисперсией.

Связь между частотой, волновым числом и параметром нелинейности имеет вид:

(12.25)(12.25)

(12.25)

(12.25)

Зависимость частоты кноидальной волны от волнового числа и параметра нелинейности представлена на рис. 12.4. При 6 = 0

Рис. 12.4. Нелинейное дисперсионное соотношениеРис. 12.4. Нелинейное дисперсионное соотношение

Рис. 12.4. Нелинейное дисперсионное соотношение

Рис. 12.4. Нелинейное дисперсионное соотношение

вырождается в дисперсионное уравнение для линейной волны: ш2 = с2к2 — /ЗАЛ

Нелинейное уравнение Клейна-Гордона

Анализ свойств стационарных волн в среде с кубической нелинейностью, можно провести на примере нелинейного уравнения Клейна—Горгона:

д и 2 A u I 2 I 3 с\

-с + ш и + аи = 0.(12.26)

女2дx2 夕

Это уравнение используется при описании структурных фазовых переходов в твердых телах и конденсированных средах. Оно

инвариантно относительно инверсии не только времени (力 т — —力)〉но и координаты (х f —%) и изменения полярности волны (и f —〃)• Кроме того, оно инвариантно относительно преобразований Лоренца, и поэтому широко применяется в нелинейной релятивистской теории поля.

В предыдущей главе это уравнение использовалось для изучения квазигармонических волн в нелинейной среде. Здесь мы рассмотрим его решения, описывающие стационарные периодические волны.

Будем искать решение уравнения (12.26) в виде бегущей волны и = 〃(〃)〉тогда оно преобразуется в обыкновенное дифференциальное уравнение

(У2 -廿)^ + 幻加 + 田=& (1227)

которое совпадает с уравнением Дуффинга, но содержит дополнительный параметр ——скорость стационарной волны V. Качественный анализ поведения его траекторий на фазовой плоскости (du/dr]^ и) проводился ранее в п. 11.4.1 (см. рис. 11.5—11*7).

Уравнение (12.27) сводится к уравнению первого порядка (12.4) с потенциальной «энергией» И(и) = (aw4 + 2о)р/о2)/4(У2 — —е?). Функция II(и) может иметь одну или две «ямы» в зависимости от знаков а и (У2^с2). Этим случаям отвечают различные типы волн: «быстрые» (У > с) или «медленные» (У < с) волны.

Начнем с рассмотрения быстрых волн (У > с) в среде при (а < 0). Фазовый портрет динамической системы показан на (рис. 12.5 а). Периодические волны соответствуют замкнутым траекториям, лежащим внутри области, ограниченной сепаратрисами, и описываются эллиптическим синусом:

U(X^ t) = Asn vt — 7/0), 5],

..J (12.28)

“ =5—J—!…jj…牙5」 。< 6 < 1.

Такие волны не имеют постоянной составляющей и содержат три параметра: скорость У, амплитуду А и параметр нелинейности 6. Амплитуда волны изменяется в интервале 0 < А < < 4mах = у4^/|а|〉а частота ш = kV^ постоянная распространения « = 2тг/А и 6 связаны дисперсионным уравнением

32 =办2 + e4鳥)〔 (1229)

При малой амплитуде форма волны близка к синусоидальной, а по мере приближения фазовой траектории к сепаратрисе волна все больше отличается от синусоидальной (рис. 12.5 б,

Рис. 12.5. Вид функции Т1(и) и фазовый портрет уравнения (12.27) для «быстрых» волн (У > с) при а < 0 (а). Форма стационарных волн (6): 1 — кноидальная волна; 2 — уеди™ ненная волнаРис. 12.5. Вид функции Т1(и) и фазовый портрет уравнения (12.27) для «быстрых» волн (У > с) при а < 0 (а). Форма стационарных волн (6): 1 — кноидальная волна; 2 — уеди™ ненная волна

Рис. 12.5. Вид функции Т1(и) и фазовый портрет уравнения (12.27) для «быстрых» волн (У > с) при а < 0 (а). Форма стационарных волн (6): 1 — кноидальная волна; 2 — уеди™ ненная волна

Рис. 12.5. Вид функции Т1(и) и фазовый портрет уравнения (12.27) для «быстрых» волн (У > с) при а < 0 (а). Форма стационарных волн (6): 1 — кноидальная волна; 2 — уеди™ ненная волна

кривая 1). При движении по сепаратрисе, соединяющей состояние равновесия, стационарная волна превращается в перепад (рис. 12.5 б, кривая 2)〉соединяющий одно состояние равновесия с другим.

При а < 0 в системе возникают медленные волны (У < с). Фазовый портрет системы имеет вид перевернутой восьмерки (рис. 12.6 а). Здесь возможны два различных типа периодических волн. Первый из них соответствует замкнутым траекториям, лежащим внутри областей, ограниченных сепаратрисами (кривая 1), которые описываются дельта-амплитудой Якоби:

(12.30)(12.30)и(х^ t) = 4dn [^^«(z — V力一T/о))б],

(12.30)

(12.30)

Такие волны существуют, если А изменяется в интервале от

и имеют постоянную состав

ш2 = гк2ш2 = гк2(12.31)(12.31)ляющую. Дисперсионное уравнение для таких волн имеет вид:

ш2 = гк2

ш2 = гк2

(12.31)

(12.31)

форма волны все большеформа волны все большеРис. 12.6. Вид функции П(ад) и фазовый портрет уравнения (12.27) медленных волн (V < с) при а < 0 (а). Форма стационарных волн 1 — волна, близкая к синусоидальной; 21, 2纟—кноидальные волны;Рис. 12.6. Вид функции П(ад) и фазовый портрет уравнения (12.27) медленных волн (V < с) при а < 0 (а). Форма стационарных волн 1 — волна, близкая к синусоидальной; 21, 2纟—кноидальные волны;

форма волны все больше

форма волны все больше

Рис. 12.6. Вид функции П(ад) и фазовый портрет уравнения (12.27) медленных волн (V < с) при а < 0 (а). Форма стационарных волн 1 — волна, близкая к синусоидальной; 21, 2纟—кноидальные волны;

Рис. 12.6. Вид функции П(ад) и фазовый портрет уравнения (12.27) медленных волн (V < с) при а < 0 (а). Форма стационарных волн 1 — волна, близкая к синусоидальной; 21, 2纟—кноидальные волны;

По мере приближения фазовой траектории к сепаратрисе

становится похожа на периодическую

Для (0: 3 —

уединенная волна — солитон

последовательность однополярных импульсов (рис. 12.6 б, кривая 2,). При движении по сепаратрисе, соединяющей состоя-

ние равновесия, уединенная стационарная волна приобретает вид импульса положительной или отрицательной полярности (рис. 12.6 б, кривая ?)•

Периодическая волна (12.30) может быть представлена рядом Фурье

ОО

1 + 4 * q cos乙1 +产？

где 8 = к(х —卜力)一фаза волны, sz =— 5 ——дополнительный модуль эллиптической функции и q = exp(^7rK(s,)/K(s)). При малой амплитуде волны полный эллиптический интеграл первого рода может быть представлен асимптотическим выражением К(б) о(7г/2)(1 + s2/4) и (12.32) превращается в

и(х^ t) и М + a cos <9 + 三 cos 30 + ...

Здесь и — постоянная составляющая, а = (1/2)(厶2 — 厶1) — амплитуда волны. Дисперсионное уравнение для основной гармоники

з = о^+ с2 к2 +04

представляет собой асимптотическое разложение (12.31) по малому параметру s. Последнее слагаемое в его правой части дает поправку к линейному дисперсионному уравнению, пропорциональную квадрату амплитуды волны. Заметим, что такая поправка к дисперсионному уравнению основной гармоники волны характрена для всех рассмотренных здесь примеров.

Вне сепаратрисы (рис. 12.6 а, кривая 2纟)периодическая стационарная волна описывается эллиптическим косинусом:

и(х^ = Асп \^^к{х — Vt — T/о), 5

(12.33)

2(@a2 -公|)2(@a2 -公|)1/2 < М < L

2(@a2 -公|)

2(@a2 -公|)

Амплитуда такой волны превышает пороговое значение %2 = .Она представляет собой последовательность колоколообразных импульсов чередующейся полярности (рис. 12.6 б, кривая 2纟)и не имеет постоянной составляющей. Дисперсион-

ное уравнение для таких волн имеет вид

22(12.34)(12.34)

2

2

(12.34)

(12.34)

Отметим, что, в отличие от рассмотренных выше случаев, у этих волн величина параметра з уменьшается с ростом амплитуды.

Модулированные волны в лагранжевых системах

Для лагранжевых систем наглядное описание модулированных волн дает теория Уизема (см. п. 4.3), основанная на близости решения к стационарной периодической волне. Напомним основные положения этой теории.

Пусть динамическая система описывается уравнением (4.2) с лагранжианом L(u^ ut^ пж, ^, ж), где явная зависимость лагран™ жиана от 力 и 牙 характеризует медленное изменение параметров системы во времени и пространстве. Пусть известно его стаци™ онарное решение и = и{в^ а). Тогда медленные изменения пара™ метров волны описываются уравнениями:

dt дш дх дк

9£ _ 09£ _ 0= о, (12.36) dt дх '

9£ _ 0

9£ _ 0

(12.37)

Уравнение (12.35) описывает пространственно-временные изменения амплитуды, (12.36) выражает условие непрерывности фазы волны, а (12.37) определяет зависимость между мгновенной частотой, локальным волновым числом и амплитудой волны и является нелинейным дисперсионным уравнением системы. Задача состоит в том, чтобы найти явный вид уравнений модуляции для нелинейных периодических волн и исследовать их свойства.

В качестве примера рассмотрим модуляцию нелинейных периодических волн описываемых уравнением Клейна-Гордона (12.26). Оно получается из вариационного уравнения (4.2) с ла-

гранжианом

(12.38)

Лагранжиан, усредненный по периоду стационарной волны, равен

£=((/_ с2А：2)嚼—o^f — ^齐)(12.39)

где вид функции и(в) определяется соотношениями (12.28), (12.30) или (12.33). Подставляя (12.39) в (12.35), получим

* +产i羽 (12.40)

dt w dx7 w \ dtdx J'

а соотношение (12.37) дает нелинейное дисперсионное уравнение

ш2 — с2 к2 = о^(/2(з)"(12.41)

Входящая в (12.40) функция qi(3)= u^/a(dug/da) для стацино- нарной волны (12.33) равна

巾=Е/К +(一2)/(2^ —1)

11(4С — 1)/(2父—1) — 2E/K — [(2s2 — 1)/(1 — s2)](E2/K2)^

а функция 口2 (з) определяется из дисперсионного соотношения (12.34). Уравнение (12.40) вместе с (12.36) и (12.41) образует замкнутую систему, описывающую медленные изменения параметров волны во времени и пространстве.

На основе этих уравнений исследуем устойчивость стационарных волн относительно малых возмущений. Для этого линеаризуем уравнения (12.40) и(12.41) около постоянных значений А = 4。)си = си。, к = ко и будем считать возмущения зависящими от бегущей переменной 〃 =力一牙/и. Разрешая полученную систему уравнений, найдем значение характеристической скорости для огибающей

g =1 + 3^/с2k2)(р + з)g =1 + 3^/с2k2)(р + з)[у/1 + (щ2/с2^^,

g =

1 + 3^/с2k2)(р + з)

g =

1 + 3^/с2k2)(р + з)

где p(s} = Aogi(s)/2(dg2/^)A=4o-где p(s} = Aogi(s)/2(dg2/^)A=4o-(12.42)

где p(s} = Aogi(s)/2(dg2/^)A=4o-

где p(s} = Aogi(s)/2(dg2/^)A=4o-

Так как р и q^ могут принимать отрицательные значения, то выражение (12.42) определяет в общем случае два различных комплексных значения характеристической скорости волны огибающей. Если оба значения скорости действительны, то уравнения модуляции являются гиперболическими и периодическая стационарная волна (12.33) устойчива относительно малых медленных возмущений (см., например, п. 11.2.1). Если значения скорости комплексные, то система (12.40), (12.36) относится к эллиптическому типу и периодическая стационарная волна неустойчива. В этом случае имеет место самомодуляция периодической волны.

В линейном приближении, когда з —> 0, и, следовательно 41,2 — 1, р — 0 из (12.42) получаем, что скорость огибающей и = с/у 1 + о^с2k2 совпадает с групповой скоростью линейной гармонической волны.

Спектр несинусоидальной волны состоит (рис. 12.7 а) из нескольких дискретных линий, число которых определяется ее формой, а расстояние между ними ——периодом волны (см. рис. 12.2). Медленная амплитудная и малая частотная модуляция означают появление дополнительных компонент в узкой полосе около каждой из гармоник волны. Самомодуляция волны связана с возбуждением боковых компонент возле каждой из гармоник (рис. 12.7 б).

Рис. 12.7. Модулированная несинусоидальная волна (а) и ее спектр (6)Рис. 12.7. Модулированная несинусоидальная волна (а) и ее спектр (6)

Рис. 12.7. Модулированная несинусоидальная волна (а) и ее спектр (6)

Рис. 12.7. Модулированная несинусоидальная волна (а) и ее спектр (6)

Волны в неоднородной среде с диссипацией

Рассмотрим эффекты, связанные с плавным изменением параметров среды в пространстве. Подобные эффекты интересны тем, что вызванное ими изменение амплитуды волны приводит к изменению ее формы.

Широкий класс волновых процессов в средах с плавной неоднородностью и малой диссипацией (когда они меньше, чем эффекты нелинейности и дисперсии) может быть описан уравнением ):

^W^ + а(牙)乳^ + /X 牙)公 + 力(牙)乳一必(牙)壮=0, (12.43) где г = x/c — t ——время в сопровождающей системе координат; с ——скорость линейной волны; q(力))а(х))/3(х)——медленно меняющиеся функции координаты. Параметр 方2 описывает потери, a §i ——характеризует неоднородность среды и связанное с ней рассеяние волны.

При 方1,2 = 0 и постоянных 仆 а и /3 стационарными решениями уравнения (12.43), зависящими от фазы в = кх — шт^ являются кноидальные волны (см. п. 12.2)

〃 = W + ^ (丕)凯(星仇 j . (12.44)

Здесь zn(0, s)——дзета-функция Якоби, 〃° ——постоянная составляющая, характеризующая стационарное состояние среды при отсутствии возмущений. Частота ш и волновое число к связаны дисперсионным уравнением

qk = oluquj — 4/3®з (券)(3^ + з - 2)• (12.45)

Первое слагаемое в (12.45) учитывает сдвиг частоты волны, обусловленный наличием постоянной составляющей в (12.44). Амплитуда кноидальной волны равна

Для применения нелинейной теории модуляции Уизема уравнение (12.43) удобно преобразовать к лагранжевой форме. С этой целью введем замену переменных

(124)

Тогда (12.43) можно представить в виде

д dL, д dLЗА

(12.48)(12.48)дт дФт дх дФхдФт

(12.48)

(12.48)

д dL _ ЗЕ _ _ OR

В этих уравнениях функция

(12*49)(12*49)

(12*49)

(12*49)

формально может рассматриваться как лагранжиан, а

А =；(力—；勿)虻(12.50)

——как плотность диссипативной функции Рэлея. Вычислим их средние значения:

夕=

历（历_^ j儲一萼局①"，历（历_^ j儲一萼局①"，(12*51)(12*51)

历（历_^ j儲一萼局①"，

历（历_^ j儲一萼局①"，

(12*51)

(12*51)

где угловые скобки означают усреднение по переменной в. Из них находится уравнение для медленно меняющихся параметров кноидальной волны, обобщающее (12.35) на случай учета диссипации:

2丝_旦女=逆dt дш дх дк дш2丝_旦女=逆dt дш дх дк дш(12*52)(12*52)

2丝_旦女=逆

dt дш дх дк дш

2丝_旦女=逆

dt дш дх дк дш

(12*52)

(12*52)

В качестве примера рассмотрим граничную задачу об изменении параметров периодической волны (12.44) с заданными при ж = 0 значениями ее амплитуды А(0) = Ад, и частоты ш(0)= =шд. Кроме того, положим, что у волны отсутствует постоянная составляющая, т.е.虱。= 0.

В неоднородной среде период волны не изменяется, а остальные параметры будут функциями координаты х. При этих условиях из (12.52) находим уравнение

(12.53)(12.53)色叱_竺

(12.53)

(12.53)

dx дк дш

Подставляя в него 夕 и 次 из (12.51), получаем

瓦[&2 К~而 j = - @2 К? [31 一 1/2%)而力 + 加 S河 ZI1%].

(12.54)

Здесь выражения

представляют собой монотонно возрастающие функции переменной s.

Таким образом, задача о модуляции кноидальной волны сводится к интегрированию уравнения первого порядка (12.54) для функции з = з⑺)а остальные параметры волны (амплитуда и волновое число) определяются через з по формулам (12.45), (12.46). Напомним, что уравнение (12.54) справедливо при условии малости диссипативных членов по сравнению с остальными, в противном случае волна не остается локально стационарной.

В общем виде найти аналитическое решение уравнения (12.54) не удается. Однако нетрудно найти асимптотические выражения для з(牙)в случае малых и больших значений з“

Если з《1)то функция (12.44) близка к гармонической. При этом изменение ее амплитуды будет описываться выражением

Ain(^) = А。вхр (— /)(12.55)

которое соответствует линейному приближению.

При больших значениях параметра нелинейности, когда л/1 — $2 = з'《1)кноидальная волна (12.44) близка к периодической последовательности солитонов (s = 1) '))слабо связанных между собой:

и =и =A sech2A sech2(12.56)(12.56)

и =

и =

A sech2

A sech2

(12.56)

(12.56)

1) Свойства солитонов подробно рассматриваются в следующей главе.

(12.57) где Aq — начальное значение амплитуды.На рис. 12.8 показаны зависимости коэффициента затухания волны как функции параметра(12.57) где Aq — начальное значение амплитуды.На рис. 12.8 показаны зависимости коэффициента затухания волны как функции параметраРис. 12.8. График зависимости коэффициента затухания периодиче™ ской волны от параметра s: 7 — вы™ сокочастотные потери (#i = 0,心 次 W 0); 2 — частотно-независимые потери (心=0, ^2 / 0)Рис. 12.8. График зависимости коэффициента затухания периодиче™ ской волны от параметра s: 7 — вы™ сокочастотные потери (#i = 0,心 次 W 0); 2 — частотно-независимые потери (心=0, ^2 / 0)Asin 〜вхр—；伤Asin 〜вхр—；伤4oi4oi4心〜exp 一工一匕 j q4心〜exp 一工一匕 j q(12.58)(12.58)

(12.57) где Aq — начальное значение амплитуды.

На рис. 12.8 показаны зависимости коэффициента затухания волны как функции параметра

(12.57) где Aq — начальное значение амплитуды.

На рис. 12.8 показаны зависимости коэффициента затухания волны как функции параметра

Рис. 12.8. График зависимости коэффициента затухания периодиче™ ской волны от параметра s: 7 — вы™ сокочастотные потери (#i = 0,心 次 W 0); 2 — частотно-независимые потери (心=0, ^2 / 0)

Рис. 12.8. График зависимости коэффициента затухания периодиче™ ской волны от параметра s: 7 — вы™ сокочастотные потери (#i = 0,心 次 W 0); 2 — частотно-независимые потери (心=0, ^2 / 0)

Asin 〜вхр—；伤

Asin 〜вхр—；伤

4oi

4oi

4心

〜exp 一工一匕 j q

4心

〜exp 一工一匕 j q

(12.58)

(12.58)

Закон изменения амплитуды солитона в неоднородной диссипативной среде имеет вид

[(а/ао)/(/3//Зо)]1/3 exp f ^4/3 /p/qdx^

Ao4ж л f x， \

1 + 而厶05(仇/&0)1/3 / (&//3)"3 exp I -4/3 / p/qdxu dxf/q о\ о/

к = ^(ЭА/ЭА)/А кноидальной з при наличии в системе только высокочастотных (кривая 1) или только частотно независимых (кривая 2) потерь. Из графика видно, что нелинейность приводит к росту затухания волны, причем это сильнее сказывается в случае высокочастотных потерь. Это объясняется тем, что при увеличении амплитуды в волне появляются гармоники, в которые перекачивается энергия из основной частоты. Так как в среде с высокочастотной диссипацией коэффициент затухания пропор™ ционален ш^, то гармоники за-

тухают сильнее. В результате увеличивается общее затухание нелинейной периодической волны.

Однородная среда с диссипацией. В однородной среде с низкочастотными потерями (必=0) амплитуды квазигармони- ческой волны и солитона убывают по экспоненциальному закону, но с разными показателями экспоненты:

Отсюда видно, что солитон затухает быстрее, чем синусоида. Это связано с расплыванием солитона при уменьшении его амплитуды.

Для высокочастотных потерь (加=0)方2，0) экспоненциально затухает лишь синусоида (Asjn 〜 вхр(—加幻?牙/(/)))а амплитуда солитона затухает по гиперболическому закону

^sol =^sol =441 +1 +4 &#245 qp4 &#245 qpАохАох(12.59)(12.59)

^sol =

^sol =

4

4

1 +

1 +

4 &#2

45 qp

4 &#2

45 qp

Аох

Аох

(12.59)

(12.59)

На больших расстояниях амплитуда солитона пропорциональна 出一 1 и не зависит от начального значения Aq. Аналогичная ситуация имеет место для пилообразной волны в среде без дисперсии (см. рис. 10.5).

Заслуживает внимания то обстоятельство, что в активной среде ((方2 < 0) согласно (12.59) амплитуда солитона становится бесконечной на конечном расстоянии 牙* = 45q/3/4aB2 Ao. Это явление получило название взрывной неустойчивости.

Волны на поверхности жидкости переменной глубины

Рассмотрим эволюцию длинных нелинейных волн на поверхности жидкости с переменной глубиной, каковым является, например, береговая зона океана (рис. 12.9).

В этой области можно наблюдать различные типы волн — от синусоиды до изолированных возвышений, близких к солитонам, причем существенную роль играют уклоны дна. Для доста

Рис. 12.9. Волна на поверхности жидкости в канале переменной глубиныРис. 12.9. Волна на поверхности жидкости в канале переменной глубиныточно плавного изменения глубины Л (ж) описание нелинейной трансформации волн может быть дано на основе обсуждавшейся выше теории модуляции.

Рис. 12.9. Волна на поверхности жидкости в канале переменной глубины

Рис. 12.9. Волна на поверхности жидкости в канале переменной глубины

Длинные волны на поверхности покоящейся жидкости описываются уравнениями Буссинеска (9.39). Их можно обобщить на случай, когда глубина слоя жидко-

сти Л (ж) плавно изменяется. Уравнения (9.39) были выведены в предположении малости параметров дисперсии д2 = (Л2/А)2 и нелинейности е = а/h ^ u/，g儿 Кроме этого, будем считать,

что величина 入/厶 характеризующая уклон дна, много меньше параметра диспер- сии, т.е.入/工《 (/i/A)2), где L — характерный масштаб изменения глубины. При этих предположениях от системы Буссинеска с помощью метода связанных волн (см. п. 10.2.3) можно перейти к «возмущенному» уравнению Корте- вега-де Вриза:

1! + 談^ + 筝若 + 齧^ =。，(12.60)

где 丁 = / [(g/i)—i/^d牙]—力 ——уравнение характеристики, на которой вертикальное отклонение поверхности《и скорость и связаны между собой соотношением《 = ^h /gv. У равнение (12.60) отличается от обычного КдВ последним слагаемым, учитывающим изменение глубины, и является частным случаем уравнения (12.43), в котором надо положить ^ = 0 и В] = (dh/dx)/4h. При h = const (12.60) имеет решение

С⑺二等力口哼仇勺)(12*61)

j7Tg ап \ 7Г /

Отсюда видно, что высота волны зависит от глубины канала и параметра нелинейности:

СО = Стах -(12.62)

При плавном изменении глубины модуляция квазистационарной волны описывается уравнением (12.54), которое интегрируется и приводит к алгебраическому соотношению

Л9/2K2(s) zn| = const.(12.63)

Можно показать, что соотношение (12.63) эквивалентно условию сохранения среднего потока энергии поверхностной волны S (см. (3.17)). Действительно, благодаря малости нелинейности и дисперсии можно использовать для S выражение, полученное в линейном приближении для волн на мелкой воде:

S = ^grW = y/ghpg(2.(12.64)

В этом приближении скорость переноса энергии принимается равной скорости волн на мелкой воде: (ugr = у/gh^ а функция

С(<9) определяется выражением (12.61). Влияние нелинейности волны на средний поток энергии (12.64) в данном случае учитывается только видом решения (12.61). Подставляя (12.61) в (12.64) и усредняя его по 0, из условия S = const приходим к соотношению (12.63).

Вернемся к анализу соотношения (12.63). Так как произведение k2而^ монотонно возрастает с увеличением з)то из (12.63) следует, что при уменьшении глубины h{x) параметр з(牙)возрастает и, следовательно, растет нелинейность профиля волны, набегающей на берег, вплоть до ее превращения в солитон (з = 1). На рис. 12.10 показана зависимость з(/“ для некоторых значений б(0))определяющих профиль волны на глубине h = Eq.

Зависимость высоты волны от глубины дается в неявной форме соотношениями (12.62) и (12.63). Можно показать, что для рассматриваемых волн d^o/^ < 0, следовательно, высота волны и ее скорость vmax 〜^/у/Ь растут с уменьшением глубины (т.е. при движении к берегу). На рис. 12.11 представлены зависимости ^о(^) для различных значений

Рис. 12.10. Зависимость параметра нелинейности кноидальной вол™ ны от глубины канала при раз лич™ ных начальных значениях s(0) = sq. 1 — so = 0, 5; 2 — so = 0, 3; 3 — so = =0, 2; 4 — so = 0,1; 5 — so = 0, 01Рис. 12.10. Зависимость параметра нелинейности кноидальной вол™ ны от глубины канала при раз лич™ ных начальных значениях s(0) = sq. 1 — so = 0, 5; 2 — so = 0, 3; 3 — so = =0, 2; 4 — so = 0,1; 5 — so = 0, 01W)W)。£51 й/Ло。£51 й/ЛоРис. 12.11. Зависимость амплиту™ ды нелинейной волны от глубины.1 — линейная волна (so = 0); 2 — so = 0, 01; 3 — so = 0,2; 4 — уеди™ ненная волна (so = 1)Рис. 12.11. Зависимость амплиту™ ды нелинейной волны от глубины.1 — линейная волна (so = 0); 2 — so = 0, 01; 3 — so = 0,2; 4 — уеди™ ненная волна (so = 1)

Рис. 12.10. Зависимость параметра нелинейности кноидальной вол™ ны от глубины канала при раз лич™ ных начальных значениях s(0) = sq. 1 — so = 0, 5; 2 — so = 0, 3; 3 — so = =0, 2; 4 — so = 0,1; 5 — so = 0, 01

Рис. 12.10. Зависимость параметра нелинейности кноидальной вол™ ны от глубины канала при раз лич™ ных начальных значениях s(0) = sq. 1 — so = 0, 5; 2 — so = 0, 3; 3 — so = =0, 2; 4 — so = 0,1; 5 — so = 0, 01

W)

W)

。£51 й/Ло

。£51 й/Ло

Рис. 12.11. Зависимость амплиту™ ды нелинейной волны от глубины.

1 — линейная волна (so = 0); 2 — so = 0, 01; 3 — so = 0,2; 4 — уеди™ ненная волна (so = 1)

Рис. 12.11. Зависимость амплиту™ ды нелинейной волны от глубины.

1 — линейная волна (so = 0); 2 — so = 0, 01; 3 — so = 0,2; 4 — уеди™ ненная волна (so = 1)

В случае малых (з《1) и больших (з т 1) значений параметра нелинейности для высоты волн из (12.63) следуют простые

асимптотические выражения

Gin 〜/厂" Gsoi (12.65)

Первое из этих соотношений хорошо известно. Оно соответствует (в ВКБ-приближении) закону изменения амплитуды линейной волны, распространяющейся в плавно неоднородной среде (см. п. 5.4)• В теории поверхностных волн он известен также как закон Грина. Второе соотношение (12.65) описывает другой предельный случай, а именно изменение амплитуды солитона в плавно неоднородной среде.

Общая же качественная картина эволюции нелинейной по™ верхности волны при ее движении к берегу следующая. С умень™ шением глубины растет нелинейность профиля волны, а высота волны и амплитуда монотонно увеличиваются. Если начальный профиль волны был близок к синусоидальному ($о《1))то, как видно из рис. 12.10 (кривая 5), такая волна, приходя в мелко™ водную зону, в большом интервале изменения глубины почти не меняет формы (з остается малым), и ее высота растет как /г^1/4 (рис. 12.11, кривая 2). Затем параметр s{x) быстро растет, и на каждом периоде профиль волны становится близким к профи™ лю солитона (з = 1), после чего высота волны нарастает как /г™1. Причина этого ——уменьшение ширины солитона с ростом его амплитуды, так что для сохранения полной энергии волны ее амплитуда должна расти быстрее.

На очень малой глубине, когда скорость частиц на гребне волны сравнивается со скоростью ее распространения, полученные решения уже непригодны, так как нелинейность перестает быть слабой. При Q/h 〜1 поверхностная волна обрушивается. Начальное синусоидальное возмущение (з。《1) превратится в одиночную волну (солитон) только в том случае, когда при х = =0 его амплитуда достаточно мала, в противном случае обрушивание волны происходит раньше, чем ее форма существенно изменится.

Исторические замечания и комментарии

Метод фазовых траекторий. Фактором, отделившим в свое время теорию колебаний от собственно теории дифферен™ циальных уравнений, можно считать метод фазовых траекторий

или, в случае систем с одной степенью свободы, метод фазовой плоскости, который позволил строить топологические образы основных типов движений и, тем самым, получать о них доста™ точно полное качественное представление [12 口

Впервые для изучения колебательных систем фазовые тра- кектории были применены в 1885 г. французским математиком Анри Леоте, преподавателем знаменитой Политехнической тко лы в Париже. С помощью построения интегральных кривых и предельных циклов в фазовом пространстве (правда, не давая им этого названия) он исследовал работу устройства автомати™ ческого регулирования водяных турбин. По-видимому, Леоте не был знаком с опубликованной за три года до этого (в 1882 г.) ра™ ботой своего тезки и тоже выпускника Политехнической школы Анри Пуанкаре «О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями», в которой он разработал качественный и геомет™ рический подходы к решению дифференциальных уравнений.

К сожалению, связь идей Пуанкаре с исследованиями колебаний не была замечена ни самим Пуанкаре, ни кем-либо другим, а статья последнего была полностью забыта. Лишь спустя 43 года была опубликована статья А.А. Андронова «Предельные циклы Пуанкаре и теория автоколебаний» (1928 г.), после ко™ торой метод фазовых траекторий получил широкое распространение в теории колебаний. Общепризнанным «интернациональ™ ным» языком специалистов по теории колебаний, теории устойчивости и теории бифуркаций метод фазовых траекторий стал после выхода в 1937 г. в свет книги А.А. Андронова и С.Э. Хай- кина «Теория колебаний» [12.1]. По трагическому стечению обстоятельств среди авторов первого издания этой книги не была указана фамилия А.А. Витта, который в это время был незаконно арестован, а затем трагически погиб.

В теорию волн метод фазовой плоскости вошел в начале 1960-х годов, когда, собственно, и формировалась современная теория нелинейных волн. С его помощью Р.В. Хохлов исследовал нелинейное взаимодействие гармонической волны с ее вто™ рой гармоникой в случае близких фазовых скоростей (1961 г.), А.В. Гапонов, И. Катаев и Г.И. Фрейдман в 1959—1965 гг. изучали структуру стационарных электромагнитных ударных волн в радиолиниях с различными дисперсионными характеристика™ ми [10.3]. Широкое распространение в теории нелинейных волн, метод фазовых траекторий обрел после появления монографии

А.С. Ахманова и Р.В. Хохлова «Проблемы нелинейной оптики» [9.2] и книги А. Скотта «Волны в активных и нелинейных сре™ дах в приложении к электронике». Хотя конечномерное фазовое пространство в случае волновых систем может быть построено только для частных классов решений, в первую очередь, ста™ ционарных волн, солитонов, автоволн, однако они часто играют первостепенную роль в понимании качественных особенностей волнового процесса.

Нелинейные волны на поверхности жидкости. Задача об отыскании нелинейных установившихся волн на поверхности бесконечно глубокой жидкости впервые была сформулирована Дж. Стоксом в 1847 г. Он же получил ее решение в виде тригонометрических рядов и показал, что найденное им решение можно рассматривать как прогрессивную (бегущую) волну, распространяющуюся без изменения своего профиля по поверхности жидкости. Из его расчетов следовало, что скорость распространения такой волны зависела не только от ее длины, но и от амплитуды. Таким образом, Стокс фактически впервые ввел понятия стационарной волны и нелинейного дисперсионного уравнения, которые широко используются в современной теории нелинейных волн [12.20].

Изучая вопрос о форме траектории частиц жидкости при распространении волны конечной амплитуды, Стокс пришел к неожиданному результату, а именно: при распространении такой волны частицы жидкости имеют, помимо колебательного движения, еще постоянное движение в направлении распространения волны. Более строгое доказательство существования такого дополнительного течения в бесконечно глубоком потоке было дано Дж. Рэлеем в 1876 г.

В приложениях к своему основному мемуару о волнах, Стокс высказал предположение, что с увеличением амплитуды очертания волн приближаются к некоторой предельной форме, характеризуемой наличием на вершине волны угловой точки. Он не построил профиль волны, но доказал, что угол между касательными в угловой точке всегда равен 120 градусам. Первое построение формы предельной волны Стокса было дано Дж. Митчелем в 1893 г., а затем в 1851 г. А.И. Некрасовым [12.22], с помощью метода конформных отображений. В 1967 году, через 120 лет после открытия волн Стокса Т. Бенжамин и Дж. Фейр экспериментально и теоретически доказали их неустойчивость по отношению к малым возмущениям (см. комментарий к гл. 11).

Задачи и упражнения

С помощью фазовой плоскости исследуйте стационар™ ные периодические волны, описываемые уравнением МК- дВ (10.7). Сколько типов периодических волн возможно в этом случае? Найдите периодические решения в аналитическом виде.

Найдите периодические решения обобщенного уравнения КдВ

ди . п ди .п

初+ 石不

При каких параметрах п, а, и /3 они существуют? Вычис™ лите период таких волн и запишите нелинейное аисиерси- онное уравнение.

Найдите аналитические выражения для периодических стационарных волн, описываемых уравнением синус-Гор™ дона.

д2и д2и .. п

dt2 дх2

Вычислите период таких волн и запишите нелинейное дис™ персионное уравнение.

ГЛАВА 13

СОЛИТОНЫ. УСИЛЕНИЕ И ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ

Часто достаточно изобрести одно но вое слово, и это слово становится творцом.

Анри Пуанкаре

В этой главе обсуждается один из наиболее ярких примеров нелинейных волн — уединенные консервативные волны или солитоны. Солитоны представляют собой локализованные стацио нарные волны, которым в фазовом пространстве соответствуют сепаратрисы. В этом смысле их можно назвать предельными волнами. Характерное свойство солитонов состоит в том, что при взаимодействии с себе подобными и другими возмущения™ ми они сохраняют свою форму подобно материальным части™ цам. Солитоны после их столкновения остаются неизменными как частицы при упругом соударении. Именно на этом их свой™ стве основывается определение солитонов, которое характерно в основном для интегрируемых уравнений: КдВ, МКдВ, Еуссине- ска, синус-Гордона и др. В неинтегрируемых системах уединен™ ные волны не удовлетворяют этим жестким требованиям, хотя во многих случаях ведут себя почти как солитоны. Они также как и солитоны, могут сталкиваться, сцепляясь или уничтожая друг друга, а в процессе взаимодействия излучают некоторое осциллирующее возмущение, которое отсутствует у солитонов в интегрируемых системах. Такие волны мы также будем назьь вать солитонами. На основе аналогии солитон^частица разработаны приближенные методы, описывающие поведение уединен™ ных волн как деформируемых частиц, подчиняющихся ураЕне- ниям Ньютоновской динамики. На этом пути решены многочис™ ленные задачи об усилении, распространении и взаимодействии солитонов в нестационарных и неоднородных средах. Некоторые из таких задач рассматриваются в данной главе.

Солитоны

В этом разделе рассматриваются солитоны, описываемые уравнением Кортевега^де Вриза и его модификацией.

Уравнение Кортевега—де Вриза

Солитон, описываемый уравнением КдВ

диди. ди+ 5. ди+ 5=о,=о,(13.1)(13.1)

ди

ди

. ди

+ 5

. ди

+ 5

=о,

=о,

(13.1)

(13.1)

представляет собой волну, которой в фазовом пространстве соответствует сепаратриса, выходящая из точки равновесия и возвращающаяся в нее (см. рис. 12.1). Аналитическое выражение для солитона получается как предел кноидальной волны (12.6) при s = l, которое после преобразований переходит в простое

решение

〃(优)力)=74 ch一2 ^^^^〃(优)力)=74 ch一2 ^^^^(13-2)(13-2)

〃(优)力)=74 ch一2 ^^^^

〃(优)力)=74 ch一2 ^^^^

(13-2)

(13-2)

Рис. 13.1. Скорость солитона и его ширина как функции ах- плитуды для уравнения КдВ: V 〜4 △〜4T/2Рис. 13.1. Скорость солитона и его ширина как функции ах- плитуды для уравнения КдВ: V 〜4 △〜4T/2(13.3)(13.3)

Рис. 13.1. Скорость солитона и его ширина как функции ах- плитуды для уравнения КдВ: V 〜4 △〜4T/2

Рис. 13.1. Скорость солитона и его ширина как функции ах- плитуды для уравнения КдВ: V 〜4 △〜4T/2

(13.3)

(13.3)

описывающее солитон (рис. 12.1 伝 кривая 3). Амплитуда солитона Л, его скорость У и ширина △ связаны между собой соотно

шениями

первое из которых вытекает из (12.11) при з = 1. В солитоне один из параметров Л, У или △ может быть выбран в качестве независи™ мого, а остальные два выражаются через него. Из (13.3) следует, что скорость солитона растет, а шири™ на уменьшается с ростом амилиту- ды (рис. 13.1). При этом произведе™ ние ЛД2 = 3万/а остается постоян™ ной величиной и определяется лишь отношением параметров нелинейно™ сти и дисперсии среды. Полярность

солитона в среде с нормальной дисперсией (при /3 > 0) совпадав

ет со знаком параметра нелинейности, а в среде с аномальной дисперсией (при /3 < 0) полярность солитона противоположна знаку нелинейности.

Уравнение КдВ можно записать в дивергентной форме:

из которого следует, что для солитона (13.2) сохраняется инте- ос

гральная величина Р = / udx, которую можно интерирети-

ровать как «импульс». Умножая (13.1) на переменную % после несложных преобразований получим еще один закон сохранения:

=0,(13.4)=0,(13.4)

=0,(13.4)

=0,(13.4)

из которого вытекает, что сохраняется полная «энергия» солитона )

Ж= / udx = A2A / ch™4<< = IЛ2А.(13.5)

Из (13.5) и (13.2) следует, что энергия солитона Ж пропорциональна Л/2, в то время как в линейной волне энергия пропорциональна квадрату амплитуды.

Модифицированное уравнение КдВ

Решения, найденные в предыдущем разделе, легко обобщить на случай произвольной степенной нелинейности (см. задачу 13.1). Здесь мы остановимся лишь на рассмотрении солитонов в среде с кубической нелинейностью, описываемых модифицированным уравнением Кортевега-де Вриза (МКдВ)

(13.6)

Уравнение для стационарных волн и = и(т)= х ^ Vt) имеет вид

Фазовые портреты этого уравнения зависят от знаков его

коэффициентов и совпадают с фазовыми портретами уравнения

Рис. 13.2. Скорость солитона и его ширина как функ™ ции амплитуды для уравнения мкдВ： —и〜л2, △〜л.—1Рис. 13.2. Скорость солитона и его ширина как функ™ ции амплитуды для уравнения мкдВ： —и〜л2, △〜л.—1(12.27) (см. рис. 12.5 а и 12.6 а). Так, например, в среде с нормальной дис™ Персией (万〉0) при «жестком» 1) типе нелинейности (а〉0) существуют «быстрые» солитоны, распространи™ ющиеся со скоростью У > 0. На фа™ зовой плоскости им соответствует сепаратриса, выходящая из «седловой» точки и возвращающаяся в нее (см. рис. 12.6 а, кривая 5). Такие солито ны описываются выражением

Рис. 13.2. Скорость солитона и его ширина как функ™ ции амплитуды для уравнения мкдВ： —и〜л2, △〜л.—1

Рис. 13.2. Скорость солитона и его ширина как функ™ ции амплитуды для уравнения мкдВ： —и〜л2, △〜л.—1

心1)=±4±T (气^) (13.8)

и могут иметь как положительную, так и отрицательную полярности (см.

—17 =—17 =(13*9)(13*9)рис. 12.6 6)кривая 5). Их амплитуда, скорость и ширина связаны соотношениями (рис. 13.2)

—17 =

—17 =

(13*9)

(13*9)

У солитонов МКдВ инвариантом является произведение ЛА = =，3万/Q)а их полная энергия пропорциональна амплитуде: Ж〜Л2А〜4

Для медленной волны У < 0 в среде с^>0иа<0 уеди™ ненной волне на фазовой плоскости соответствует сепаратриса〉 соединяющая две различные седловые точки (см. рис. 12.5 а, кривая 3). Такие уединенные волны представляют собой с ту™ пеньку (кинк), т.е. переход от одного стационарного состояния к другому. Их форма описывается гиперболическим тангенсом (рис. 12.5 6)кривая 3):

“优)t)“优)t)=±4 th (=±4 th ((13.10)(13.10)

“优)t)

“优)t)

=±4 th (

=±4 th (

(13.10)

(13.10)

Высота кинка Л, его ширина △ и скорость распространения У связаны между собой соотношениями

(13.11)(13.11)

(13.11)

(13.11)

Производные от кинка по координате и времени представляют собой колоколообразные импульсы:

ди дхди дхdtdtI 4 h一2± X chI 4 h一2± X ch(13.12)(13.12)

ди дх

ди дх

dt

dt

I 4 h一2

± X ch

I 4 h一2

± X ch

(13.12)

(13.12)

и отличаются от (13.2) лишь соотношениями между параметрами.

Параметрическое усиление солитонов

До сих пор мы считали параметры среды, в которой распространяется волна, постоянными во времени. Теперь рассмотрим задачу о взаимодействии солитона с бегущей волной «на™ качки». Подобная ситуация для линейной недиспергирующей среды рассматривалась в п. 8.6. Там было показано, что, ео ли скорость распространения сигнала близка к скорости волны параметра, то синусоидальное начальное возмущение по мере распространения превращается в последовательность имиулв- сов (см. рис. 8.8). Здесь будет проанализировано влияние нели™ нейности, дисперсии и диссипации среды на эффект параметрического усиления импульсов.

Основные уравнения

Рассмотрим уравнение КдВ, дополненное диссипативными ела™ гаемыми и внешним силовым источником,

> + 3(1 + аи^ + ^ =+ 62貶 + ①(力 (L3.L3)

Здесь Ji и 4 — соответственно, коэффициенты частотно™ независимых и высокочастотных потерь,①①)——внешняя сила, зависящая от бегущей координаты 〃 =优一I/力 где У скорость движения внешнего источника. Близкая модель использовалась в п. 12.6 для исследования трансформации квазистационарных периодических волн в неоднородной среде.

Предположим, что существует решение уравнения (13.13) в виде вынужденной бегущей волны F(〃))которое удовлетворяет обыкновенному дифференциальному уравнению

(со -丿)巧+ CXCqFF^ +万巧g-B]F +方2巧〃 +①m)"

Рассмотрим возмущение, распространяющееся на фоне F(〃} Для этой цели введем новую переменную uf(x, t) = uf(x^ t) — F. Искомая переменная и1 [х^ t) удовлетворяет уравнению

^+0o[l+a(u'+F)]^r+。^"=-瓦〃'+ 62^^典и'. (13.14)

Это нелинейное уравнение, в котором закон изменения коэффи™ циентов определяется волной накачки F(〃).

Предположим, что возмущение и!(х^ t) локально близко к со™ литону (13.2). Однако теперь его скорость зависит не только от амплитуды Л, но и от величины «пьедестала» Fа его ширина, как и прежде, определяется лишь амплитудой:

V = со [1 +а(F +(13.15)

Таким образом, задача сводится к исследованию динамики со™ литона под действием возмущений, связанных с нестационарно™ стью и диссипацией системы.

Уравнения движения солитона в переменном поле

Будем считать, что длина волны накачки много больше ширины солитона. Это означает, что параметр F(rj) в (13.14) изменяется медленно, а слагаемые в правой части этого уравнения малы, потому что содержат производную от F. В этом случае можно рассматривать адибатические изменения солитона как целого с медленно меняющейся амплитудой 74soi ⑴)а его положение на волне накачки характеризуется значением фазовой переменной

夕⑴=kps(t) = кр J (V— и) dt,

о

где 6 ——координата солитона в системе отсчета, движущейся со скоростью V (рис. 13.3), кр = 2тгЛр, а Л@ — длина волны накачки.

Рис. 13.3. Положение солитона на волне накачки

Кинематическое уравнение для солитона имеет вид:

^ = kp[V{AsohAp^^V^(13.16)

Пусть волна накачки синусоидальная, т.е.尸(〃)=Ар cos крт]= =Ар cos(/?, тогда согласно (13.15) скорость солитона есть

『(AsoL 夕)=^{^р cos 99 + ylsoi/3)*

Подставляя это выражение в (13.16), находим уравнение, опрв- деляющее положение солитона относительно бегущей волны па™ раметра:

军=А + т cos ср — Г,(13.17)

dr

где А = ciAsoi/3cq — безразмерная амплитуда солитона, (А > 0), г = kpCQt — безразмерное время, m = aAp/V — параметр мо дуляции, Г = (1 — У/з)——относительная расстройка между скоростью волны накачки и характерной скоростью линейной волны в системе.

Уравнение для амплитуды солитона может быть найдено из уравнения энергетического баланса. Умножая (13.14) на uf и ин™ тегрируя по ж, получим уравнение переноса энергии

需 +-喘/宀—2 偿)1(13.18)

где w = и$/2 представляет собой плотность энергии, а величина

играет роль потока энергии, переносимой солитоном. Первое слагаемое в правой части (13.18) описывает работу, совершав™ мую волной накачки над солитоном, а последние два слагаемых определяют низко и высокочастотные потери в системе. Инте™ грируя (13.18) по ж в окрестности солитона и предполагая, что на длине солитона dF/dr] остается постоянной, приходим к урав™ нению баланса энергии:

勺=—a^W — 2(51 Ж — 62B(W),(13.19)

где Ж ——полная энергия солитона

ОО

Ж = 1/2 / n,2 dx = IS^^Cq^A3/2,

a B(W) — функция, описывающая высокочастотные потери в системе:

ОО

В = / I/； dx = 12(。；/2/『\/^)笛"

Из (13.19) находится уравнение для безразмерной амплитуды солитона:

学=夕一71) — )2%'(13.20)

Здесь 71 = 28]/%з и 72 = 443/9% — безразмерные параметры диссипации.

Различные режимы усиления солитонов

Как было показано в первом приближении, динамика солитона в среде с бегущей волной параметра описывается двумя пере™ менными параметрами: амплитудой А и фазой 夕〉удовлетвори™

ющими автономной системе уравнений

学+ 7i)A — 72 А2,

3(13.21)

* = А — т cos 夕ат

Исследование различных режимов усиления солитона в среде с бегущей волной параметра сводится к анализу решений систе™ мы (13.21), который можно провести качественно на фазовой поверхности А,夕，представляющей собой, ввиду периодичности 夕)цилиндр.

Рассмотрим различные режимы поведения солитона в зав и™ симости от значений параметров системы. Сначала кратко об™ судим простейший случай, когда Г = 0 и в системе отсутствуют потери (т.е. 71 = 72 = 0)- В этом случае состояния равновесия, в которых dA/dr = d(p/dr = 0, соответствуют значениям 夕汽= =П7Г, где п = 0,1, 2, 3,... и Ап = —т — для четных п и Ап = т —для нечетных п. Исследование движений солитона при малых отклонениях от состояния равновесия (А = Ап + А7,夕=夕汽 + 夕［ Af《An,夕'《(pn) проводится с помощью линеаризованной си™ стемы уравнений (13.21). Анализ показывает (читатель может провести его самостоятельно), что при нечетных п состояния равновесия являются центрами, а при четных ——седлами. Фазо™ вый портрет линеаризованной системы имеет вид, аналогичный показанному на рис. 12.5. Следовательно, у солитона существу™ ют нейтрально устойчивые состояния, когда малое изменение параметров системы вызывает малое отклонение от равновес™ ных значений амплитуды и фазы.

Теперь рассмотрим неконсервативную систему, когда『卢 0 71 7^ 0, а 72 = 0. Из первого уравнения (13.21) следует, что при m < 71 солитон может только затухать, поэтому будем исслв- довать случай, когда m〉)> При этом существует интервал значений фазы — Зтг/2 arcsin(7i/m) < ср < Зтг/2 + arcsin(7i/m), где т sin 夕〉一)i и возможно усиление солитона. Установив™ шиеся значения амплитуды и фазы определяются состояниями равновесия системы (13.21). При отсутствии высокочастотных потерь (72 = 0) они даются следующими соотношениями:

%1,2 = 0, cos 处,2 =『"九，

(13.22)

^3,4 = 2(Г ± ,?九2 —臂),sin 夕3,4 =/w-

11 Л.А. Островский, А.И. Потапов

Анализ окрестностей особых точек (13.22) и поведения фа™ зовых траекторий позволяет выделить четыре области значений

ГГРис. 13.4. Бифуркационные кривые на плоскости т, Г: 1 ——т = )1，2 —— m = Г, 3 ——т = ^/Г + 7|Рис. 13.4. Бифуркационные кривые на плоскости т, Г: 1 ——т = )1，2 —— m = Г, 3 ——т = ^/Г + 7|параметров m и Г (рис. 13.4), в которых поведение системы имеет качественно различный характер.

Г

Г

Рис. 13.4. Бифуркационные кривые на плоскости т, Г: 1 ——т = )1，2 —— m = Г, 3 ——т = ^/Г + 7|

Рис. 13.4. Бифуркационные кривые на плоскости т, Г: 1 ——т = )1，2 —— m = Г, 3 ——т = ^/Г + 7|

Область I (т〉，］?2+臂). В этом случае имеются четы™ ре состояния равновесия: два седла (夕 1,2； %1,2)и два устой— чивых фокуса (^3?4; А3?4). Нулевая точка равновесия 厶2 = 3 夕2 = » + arccos (Г/m)

неустойчива и находится

внутри области усиления —Зтг/2 — arccos (71 /т) < < 夕 < Зтг/2 + arccos (71/т) (рис. 13.5 а, б), поэтому все фазовые траектории, начинающиеся в области А > 0, заканчиваются в устойчивом фокусе (夕匕厶］)

Рис. 13.5.Рис. 13.5.О-yi/даО-yi/даМягкий режим усиления солитона при т >Мягкий режим усиления солитона при т >(а, б— фазы состояний равновесия, в — фазовый портрет системы)(а, б— фазы состояний равновесия, в — фазовый портрет системы)sin ср

Рис. 13.5.

Рис. 13.5.

О

-yi/да

О

-yi/да

Мягкий режим усиления солитона при т >

Мягкий режим усиления солитона при т >

(а, б— фазы состояний равновесия, в — фазовый портрет системы)

(а, б— фазы состояний равновесия, в — фазовый портрет системы)

（рис. 13.5 в） 1）. Малые солитоны с Ад > 0 и любой начальной фазой 夕о нарастают до устойчивого состояния с амплитудой А4 и фазой 夕4〉где устанавливается динамический баланс между энергией, получаемой солитоном от накачки, и диссипатив™ ными потерями. Эта область соответствует мягкому режиму параметрического усиления солитонов.

Область II（Г < т < ,]?2 +）；）. В этом случае также имв- ется четыре состояния равновесия: два седла （夕 1,3）厶1，3）〉устой- чивый фокус （夕4,厶4）и устойчивый узел （夕2,%2）（рис. 13.6 6）.

Рис. 13.6. Жесткий режим усиления солитона при Г < т < у Г2 + 7^

Из рисунка видно, что нулевое состояние равновесия （夕匕 4Q на™ ходится вне области усиления и все фазовые траектории, ирохо- дящие вблизи линии А = 0, заканчиваются в узле （夕2）%2 = 0）-

Это означает, что все малые солитоны затухают, а усилив а™ ются до стационарного значения （夕4,厶4）только солитоны с до™ статочно большой начальной амплитудой. Следовательно, эта область соответствует жесткому режиму параметрического уси-

1） При А < 0 в рассматриваемой системе солитоны не существуют, поэтому фазовые траектории в области А < 0 не рассматриваются.

ления солитонов. На границе областей мягкого и жесткого усиления 夕2 =夕з (рис. 13.6 а, б) и т = у Г2 + 7^.

Область III(71 < m < Г). В этом случае имеется только два состояния равновесия: седло (夕3)A3) и устойчивый узел (夕4)84) (рис. 13.7).

Здесь синхронное движение малых импульсов с волной пара™ метра невозможно, так как на оси А = 0 нет точек равновесия (рис. 13.7 в). В этой области возможен лишь жесткий режим

Рис. 13.7. Жесткий режим усиления солитона с при 71 < т < Г

усиления солитонов. Отличие от предыдущего случая состоит в том, что малые начальные солитоны затухают, не приобретая определенной фазы относительно волны параметра.

Область IV (Г < —，m2 —疗).Здесь все импульсы положи™ тельной полярности (А〉0) затухают так же, как и при т < §i.

Во всех рассмотренных случаях процесс установления со™

литона связан с так называемым «расстроечным» механизмом:

при изменении амплитуды изменяется скорость солитона и на™ рушается синхронизм между ним и волной параметра. Солитон начинает перемещаться вдоль волны параметра (см. рис. 13.3) в область, где взаимодействие приводит к изменению его ам-

плитуды и скорости, противоположному тому, которое вызва™ ло начальную рассинхронизацию. «Обратное движение» соли™ тона вдоль волны параметра происходит до установления ба™ ланса между энергией, получаемой им от волны «накачки» и потерями. Таким образом в процессе установления стационар™ ного режима солитон может совершить несколько затухающих колебаний в окрестности равновесных значений фазы и амили- туды.

Описанные здесь режимы параметрического усиления соли™ тона имеют некоторую аналогию с разгоном частиц в циклинв- ских ускорителях, причем роль частиц в нашем случае играют солитоны.

В рассмотренных случаях не учитывались высокочастотные потери в системе. При их наличии (72 卢 0) также возможны мягкий и жесткий режимы усиления солитонов, а некоторые дополнительные особенности процесса установления связаны с зависимостью затухания импульсов от их амплитуды.

Следует отметить, что при параметрическом взаимодействии амплитуда волны накачки, строго говоря, не остается постоян™ ной, как было принято в рассмотренном нами случае. Учет изме™ нения амплитуды накачки усложняет исследование, но основные черты рассмотренного механизма сохраняются.

Взаимодействие солитонов как классических частиц

На поведение солитонов как частиц указывает то, что со™ литон способен сохранять свою структурную целостность под действием различных возмущений. В предыдущем разделе было показано, что при плавных изменениях параметров системы он остается в семействе уединенных волн.

Еще более выраженным примером такого поведения явля™ ется взаимодействие двух (или более) солитонов. После нели™ нейного взаимодействия они сохраняют свои параметры, кото™ рые имели до столкновения, изменяется только общее время их распространения (т.е. фазы солитонов). Рассмотрим взаимодей™ ствие солитонов в рамках уравнения КдВ

ди . ди . О и с о \

_+п_ + _=0, (13*23)

(где для простоты положили а = /3 = 1)以 Вначале обсудим тонное решение уравнения (13.23), описывающее взаимодействие двух солитонов. Это решение может быть получено различны™ ми методами, здесь же приведем конечный результат без его подробного вывода:

n(ж,力)n(ж,力)(4 -%2)(4 -%2)4sh-2 (小/A) + 42 cL (小心2)[V^Tcth(小/A) - V^tli(772/A2)]24sh-2 (小/A) + 42 cL (小心2)[V^Tcth(小/A) - V^tli(772/A2)]2(13.24)(13.24)

n(ж,力)

n(ж,力)

(4 -%2)

(4 -%2)

4sh-2 (小/A) + 42 cL (小心2)[V^Tcth(小/A) - V^tli(772/A2)]2

4sh-2 (小/A) + 42 cL (小心2)[V^Tcth(小/A) - V^tli(772/A2)]2

(13.24)

(13.24)

где % = ж Vkt фазы солитонов, а их скорости 14 7 амплиту™ ды А^ и длительности Ад； связаны соотношениями (13.3). Далее для определенности будем считать, что 4 V 儿*

Рассмотрим асимптотику решения (13.24) при 力 Т ±оо и 小/△? — LB этом случае первое слагаемое в (13.24) стремится к нулю:

…g А2(А2 — A)

[±"/1一，42th (42/△2月

Используя стандартные формулы преобразования гиперболиче™ ских функций, можно показать, что оно эквивалентно одиноч™ ному солитону

м伤力)I 42ch—2 (^^ 干 e) ,(13.25)

где

19 == In +(13.26)

Следовательно, в результате взаимодействия быстрый солитон 厶2 сохраняет свою индивидуальность, но получает прираще™ ние фазы на величину 2仇 Аналогичным образом можно проанализировать асимптотическое поведение решения (13.24) при 〃2 — ±оо и T/i/Ai 〜1. Для значений времени, отстоящих в да™ лекое прошлое от момента взаимодействия, выражение (13.24) сводится к суперпозиции солитонов:

и(х,力 1 —оо) и А2 cli^2 (小/— 8) + 4 ch-2 (力/△] + <9), (13.27) а для значений времени, отстоящих далеко в будущее после момента взаимодействия, получаем суперпозицию тех же двух со

литонов, но со сдвигами фаз:

и(х,力 f +оо) 1 А2 с11~2 (〃2/△? +。) + 41 с11~2 (力/△]—。).

(13.28)

Таким образом в результате взаимодействия солитоны сохра™ няют свои первоначальные параметры. Результат их взаимодей™ ствия состоит в том, что быстрый солитон с амплитудой А? смв- щается вперед на величину Аж2 = 20А2 от своей невозмущенной траектории, а медленный солитон 4 смещается назад на вели™ чину Аж1 = 20Ai，Более подробный анализ позволяет выявить следующие особенности взаимодействия солитонов:

Если амплитуды солитонов сильно отличаются друг от друга (А2/А1 〉3), то меньший солитон вначале поглощается, а затем излучается большим солитоном и в момент их полного перекрытия волновое поле имеет один максимум. Это так называемое обгонное взаимодействие (рис. 13.8 а).

обменном (б) взаимодействияхобменном (б) взаимодействияхРис. 13.8. Качественная картина поведения солитонов при обгонном (о) иРис. 13.8. Качественная картина поведения солитонов при обгонном (о) и

обменном (б) взаимодействиях

обменном (б) взаимодействиях

Рис. 13.8. Качественная картина поведения солитонов при обгонном (о) и

Рис. 13.8. Качественная картина поведения солитонов при обгонном (о) и

Если солитоны мало отличаются друг от друга (А2/А1 < < 2, 62), то в течение всего процесса взаимодействия имеют мв- сто два максимума поля. Это так называемое обменное взаимодействие рис. 13.8 б).

В реальной физической системе нелинейные волновые про™ цессы как правило описываются неинтегрируемыми уравнения™ ми и, строго говоря, в них мы имеем дело не с солитонами, а с некоторыми солитоноподобными локализованными возмущени™ ями. Солитон же можно брать в качестве начального волнового образования (невозмущенного решения) близкого к реальности.

Для подобных ситуаций можно построить теорию возмуще™ ний, которая рассматривает солитон как деформируемую части™ цу, сохраняющую свою индивидуальность и подчиняющуюся за™ конам динамики Ньютона. Такое описание позволяет не только решать конкретные задачи, но и провести классификацию воз™ можных типов взаимодействия солитонов, как классических на- стиц.

Теория возмущений для солитонов х)

В настоящее время разработано достаточно много вариантов методов возмущений для описания эволюции сильно нелинейных волновых процессов и, в частности, солитонов. Одни из них пригодны лишь для систем, близких к точно интегрируемым, а другие, обладая достаточной общностью, требуют для своей реализации дополнительной информации об исследуемой системе. Вместе с тем основные идеи, лежащие в основе всех подходов, достаточно наглядны и носят универсальный характер.

Прямые методы возмущений. Наиболее существенный вывод, следующий из численных и физических экспериментов с уединенными волнами и закладывающий основу для построе™ ния методов возмущений, заключается в том, что наличие малых возмущений не приводит к разрушению солитонов и, бо™ лее того, солитоны и в этой ситуации проявляют определенную устойчивость: эволюция волны, первоначально близкой к соли™ тону, происходит таким образом, что в каждый момент времени волна остается близкой к стационарному солитону, параметры которого медленно (по сравнению с соответствующими масшта™ бами уединенной волны) изменяются во времени. Поправки к уединенной волне под действием возмущающих факторов, накапливаются таким образом, что не выводят общее решение из семейства стационарных. Это свойство солитонов заложено во все методы возмущений для уединенных волн, так что основная цель этих методов сводится по существу к нахождению законов

Разделы 13.4 и 13.5 написаны К.А. Горшковым.

изменения параметров солитона и, если необходимо, нахождению малых поправок, сопровождающих уединенную волну.

Общая последовательность действий при построении схемы методов возмущений следующая. Рассмотрим волновую систему

R@e) =0)(13*29)

где N ——нелинейный оператор, Ф ——совокупность полевых переменных, £ ——малый параметр. Предположим, что при 6 = 0 система (13.29) допускает локализованное решение ——уединенную волну ①(°)(力)力 А))характеризуемую совокупностью параметров А = {Л1,... Лто} (это могут быть координата, скорость, амплитуда и другие параметры волны ). При учете возмущений, когда £ 卢 0)интересующее нас решение в окрестности данного солитона отыскивается в виде ряда по степеням £：

宴力/)=①⑼亿力a) + е£П①m)(力/))(13.30)

где главный член разложения m(°)——известное уединенное решение. Подставляя (13.30) в систему (13.29) и приравнивая нулю слагаемые при каждой степени 6, мы получим в каждом приближении линейные уравнения для возмущений:

£ ①⑺=ЯИ8(13.31)

Здесь £ ——линеаризованный вблизи решения ①(°) оператор N а Н(п) содержит лишь функции предыдущих приближений

Леваячасть уравнения содержит переменные коэффициенты, обусловленные исходной уединенной волной, поэтому (13.31) можно рассматривать как задачу рассеяния волн в линейной неоднородной среде, создаваемых источником Н^.

Алгоритм построения приближенного решения (13.30) начинается с анализа характера решения начальной задачи (13.31). Будем предполагать, что исходное уединенное решение ①(°) устойчиво по отношению к возмущениям начальных данных, так что часть решения (13.31), обусловленная возможным наличием начальных возмущений, остается ограниченной при любых временах. Для выяснения характера временного поведения части решения (13.31), обусловленной источником Н^, разложим

①5)по полной системе собственных функций оператора L:

①⑺応力)=£◎⑴力応力)+ / Ck(t)fk(x,t)clk, (13*32)

где {/d (出)力))/用(出)力)}——совокупность собственных функций оператора 力)a {Cd(t), Ck(t)} — подлежащие определению коэффициенты разложения, относящиеся соответственно к дискретному и сплошному спектрам оператора L. Подставив (13.32) в линейные уравнения (13.31) и используя условия полноты и ортогональности собственных функций

/九9方)插(出0"出=/九位方)仃山方)。近=

/力(伤力)方亿方)d力=3

где к ^ k\ d ^ dz, получаем уравнение для коэффициентов С^, С^. Если система (13.31) разрешена относительно первых производных по времени (что, очевидно, всегда можно сделать), то эти уравнения приобретают простой вид:

導=f f+d^x,t)H^\x,t)dx. (13.33)

Здесь f+d,k — собственные функции оператора Ь+, сопряженного £ т). Типичная особенность получаемых таким образом решений —это секулярная (степенная по 力)расходимость во времени части коэффициентов。応小 Для возникновения такой расходимости (т.е. возникновения резонансов) достаточно, чтобы правые части (13.33) имели отличное от нуля среднее по времени.

Для коэффициентов сплошного спектра С^ такая расходимость обычно не приводит к росту соответствующей части решения (13.32). Дело в том, что для волновых систем собственные функции Д не локализованы и отвечают падающим на рассеивающий потенциал и отраженным от него волнам. При этом секулярный рост коэффициентов С^ связан с ростом размеров области, занятой полем расходящихся волн, и не приводит к росту величины самого поля излучения.

1) Сопряженный оператор определяется соотношением / ^L^dx = =/①沙田松

Иная ситуация складывается при секулярном росте коэффициентов дискретного спектра Cd- Здесь расходимость коэффициентов приводит к р асходим о сти первой части решения (13.32), что обусловлено их пространственной л окал из ацией: отток возмущений из моды при резонансном возбуждении невозможен. Существенно, что среди л ока л из ов анных собственных фукнций всегда есть такие, которые отвечают вариациям порождающего решения ①(°)по параметрам 4° (это следует просто из того, что линейный оператор L получается вариацией исходного нелинейного оператора). Ясно, что в случае, когда набор собственных фукнций дискретного спектра ограничивается только этими функциями, решение (13.30) может быть записано приближенно (с точностью до величины О(б2)) следующим образом:

Ф(ж, t)=①⑼亿力a) +/*出号/ +…=①⑼(X力a + a方)+…

(13.34) где а。——некоторые постоянные порядка 6, а многоточием обозначена часть решения, отвечающая сплошному спектру и остающаяся ограниченной при 力 f ось Таким образом нарастающая (резонансная) часть возмущения приводит к сдвигу волны как целого в пространстве параметров А. Этот вывод указывает способ подавления возникающей секулярной расходимости. Для этого необходимо считать параметры 4° порождающего решения ①(°)медленно меняющимися функциями времени, т.е. 4° = =ЛДт), где г = el. Это несколько модифицирует правые части уравнения (13.31), так в первом приближении Н⑴ заменяется на Н^ — (дФ^/дAi)(dAi/clt). Возникающий таким образом произвол в определении функции ЛДт) используем для того, чтобы потребовать выполнения следующих условий:

/ /+d(^, т)Н^ (ж, г) dx = 0. (13.35)

Это условия ортогональности, предотвращающие рост коэффициентов дискретного спектра. Соотношение (13.35) представляет собой дифференциальные уравнения, определяющие зависимость параметров 从 от времени и, следовательно, закон эволюции исходного решения под действием возмущений.

В случае, когда при 6 = 0 система (13.29) относится к классу точно интегрируемых, все собственные функции дискретного

спектра определяются вариациями ①(°)по Ai^ и можно утверждать, что с помощью условий ортогональности устранены все р асходим ости (в первом приближении число резонанснов равно числу неизвестных функций 4) и описание исходной распределенной системы сводится к решению конечномерной системы дифференциальных уравнений:

mdi^ = /尸dh⑴0丁上优 d=12…771)(13*36)

где элементы матрицы т^ равны J7+d(a ①⑼/34М 匕

Малые поправки, сопровождающие эволюцию уединенной волны, находятся из выражения (13.32), которое после выполнения условий ортогональности (13.35) полностью определяется собственными функциями сплошного спектра оператора L. Интересно отметить, что в случае интегрируемых систем все собственные функции непрерывного спектра также могут быть найдены путем вариации порождающего солитонного решения.

Лагранжево описание взаимодействия солитонов

Обсудим здесь применение теории возмущений к задаче о взаимодействии уединенных волн. Наиболее общая ситуация, попадающая под такое приближенное описание, связана с ансамблями сильно разнесенных, слабо взаимодействующих солитонов, имеющих близкие параметры (амплитуды, скорости и т.п.). В этом случае изменение параметров каждого из солитонов, обусловленное слабыми полями соседних уединенных волн, можно считать квазистационарным, а общее решение ——близким к суперпозиции солитонов. В нулевом приближении, когда взаимодействие еще не учитывается, глобальное решение представим суммой солитонов с одинаковыми параметрами, а с учетом взаимодействия поле в окрестности каждого (z-го) солитона будем искать в виде разложения

(13.37)

где①⑼(£ =x^Vt.V) — солитонное решение, отвечающее средней скорости солитонов в ансамбле,丛：(力)——координаты солитонов такие, что dsi/dt 〜0(бУ), г = et, р = еж, £ — малый параметр по порядку величины, равный отношению разности скоростей солитонов к средней скорости У, величины полей соседних 仃-x) солитонов в области расположения данного (勿-ro) 2

имеют порядок e J

Общая схема

Наглядные с физической точки зрения результаты получаются при использовании уравнений поля в лагранжевой форме:

+= &(13.38)

dt9①方 дx дФх a

где £(①九①富)①)——плотность функции Лагранжа. Далее для простоты, изложение ведется для однокомпонентной функции ①(力)力))хотя все основные этапы применения теории возмущений сохраняются и в более общем случае, включающим неодномерность и многокомпонентность полевой функции Ф(ж, t).

Подставляя (13*37) в (13.38), получаем стандартную систему уравнений последовательных приближений 力①,)=Н，с линейным оператором второго порядка:

小…小 С, (13-39)

где переменные коэффициенты, зависящие от £ — 5爲 определяются следующим образом:

л =片 3217a 酬一2卜3力/3/3% + a2б/aф^

8 = ^vd2L/d^td^ + а2ь/а#жаФ,

с = a217a ① 2"

Лагранжева форма исходных уравнений (13.38) обуславливает самосопряженность оператора L. Уравнения Lf = 0, а значит, ввиду самосопряженности, и 力+/+ = 0 всегда имеют убывающее при £ f ±оо решение ①，＜ поэтому в каждом приближе-

нии для ограниченности поправок ①？" необходимо и достаточно выполнение условий ортогональности / Н「啖 (£ 一 丛：)恋=S В первом приближении условия ортогональности выполняются тождественно, так как решения уравнений 力①;° = Н^, где

dd< d^t 丁< d^t 丁а2ьa①m①工а2ьa①m①工户Еa①т①户Еa①т①

d

d

< d^t 丁

< d^t 丁

а2ь

a①m①工

а2ь

a①m①工

户Еa①т①

户Еa①т①

(13.40)

имеют вид ①У)= 5г：ЭФ^0^/ЭУ, т.е. ограничены при любых & Во втором приближении Н? = ff^ + Н^ + Н^, где

02ёa①m①力02ёa①m①力%：— y dv%：— y dv(13.41)(13.41)

02ё

a①m①力

02ё

a①m①力

%：— y dv

%：— y dv

(13.41)

(13.41)

Оператор Ьу в (13.41) — это производная по V от оператора L в (13.39), а оператор L^ в (13.41) имеет тот же вид, что и L в (13.39), но его элементы Л, В, С определяются нелинейной частью лагранжиана Ln = L — L* где £工 ——квадратичная по полевым переменным часть лагранжиана. Во втором приближении условия ортогональности необходимы только к части Н^, а именно / (Н^ Н^ )Ф^cl^ = 0. К части Н^ условия ортого™ нальности выполняются тождественно ? поскольку? как и в пер™ вом приближении, уравнения Lf = Н^ имеют всюду ограниченные решения (1/2居①;0k В результате условия ортогональности приводят к уравнениям для координат солитонов 5储 которые по своей структуре совпадают с уравнениями для классических частиц с парным потенциалом взаимодействия U{si — Sj)

и эффективным лагранжианом вида

Вф = e {^考一uе 一办)})

uе - " = / а+毒)一你卜"⑼""代

—оо

(13*42)

— ос

Величина массы классической частицы m в выражении (13.42) определяется через полный волновой импульс солитона Р, а эффективный парный потенциал взаимодействия представляется приращением исходного Лагранжиана, обусловлен

ным полем соседнего солитона.

Описание взаимодействия уединенных волн в рамках эффективного Лагранжиана (13.42) допускает обобщение на многомерный и многокомпонентный случай:

力эф =〉］ {mpq^ip^iq — U(S分

+oo

吋尸* У /栽嘅代 (13/3)

U(sf)=/ 层(-%15 + 最)-MJ 砂(一力乘

При этом предполагается, что исходная лагранжева система уравнений допускает локализованное решение вида Ф(°)(^, У)= ={吸)}〉к = 12 …V £ = {晶=xq - Vqt}. g = 1,2, Индексы i, J, как и выше, нумеруют взаимодействующие солитоны, а по дважды повторяющимся индексам р, д, к в (13.43) предполагается суммирование.

Типы взаимодействий

Общее выражение (13.42) для парного потенциала взаимодействия солитонов записано в виде интеграла по бесконечному интервалу ^оо < ^ — Si < +оо. Фактически этот интеграл эффективно определяется областью с размерами порядка масштаба солитона, так что в качестве величины ①⑼(£ —S。) при вычислении (13.42) достаточно ограничиться асимптотическим выражением для поля J-ro солитона: /(£) = Пш^±ш ①(°)(£)* В типичных ситуациях /(£) определяется из линеаризованных уравнений поля и имеет вид:

〃£) = £以2(小同)，(13.44)

к

где С% ——действительные постоянные, а 入紀 ——характеристические корни линеаризованных уравнений (естественно, отбираются только корни с ИеАд； < 0). Понятно, что зависимость U(s) от з повторяет зависимость /(£) от £. Для пары солитонов в простейшем случае, когда /(£) и U(s) определяется одной экспонентой, уравнения движения имеют вид:

黑^ = 2U'($) = «Re(eAs), s = s? -(13*45)

Здесь можно выделить три случая.

При монотонной зависимости U(s)(ImA = 0) возможен либо отталкивающий (adP/dV > 0), либо притягивающий (adP/dV < 0) характер взаимодействия солитонов. В случае отталкивания солитоны после взаимодействия (力 Т +оо) обмениваются скоростями @i,2(+x) = 52д(^оо) и единственный результат взаимодействия сводится к сдвигу траекторий центров солитонов (сдвиг фаз):

А(Аж)1,2 = ±1п (А(Аж)1,2 = ±1п (а2Хзс^Руа2Хзс^Ру(13.46)(13.46)

А(Аж)1,2 = ±1п (

А(Аж)1,2 = ±1п (

а

2Хзс^Ру

а

2Хзс^Ру

(13.46)

(13.46)

При монотонной U(5)и притягивающем характере взаимодействия, рано или поздно наступает этап сильного перекрытия полей отдельных солитонов. Если, однако, эта стадия относительно непродолжительна, то из уравнения (13.45) можно вычислить период Т колебаний связанного состояния двух со-

литонов, оказывающийся возможным в этом случае:

Т = 8 (А„ ) / QSmax/2 arccos (「XSmax/2),(13.47)

где smax ——максимальное расстояние, на которое расходятся взаимодействующие солитоны.

Наконец, при 1шА 卢 0 потенциал взаимодействия имеет вид бесконечной последовательности ям и горбов. Здесь, в принципе, оказываются возможными статические и возбужденные связанные состояния, их счетное число, и все они описываются в рамках слабого взаимодействия.

Все перечисленные типы взаимодействия можно проиллюстрировать на примере обобщенного уравнения КдВ

等+①噹+券等+①噹+券=о,=о,(13.48)(13.48)

等+①噹+券

等+①噹+券

=о,

=о,

(13.48)

(13.48)

которое может быть записано в лагражевой форме с плотностью функции Лагранжа, равной

g = 3)(q = 5)g = 3)(q = 5).1 2

g = 3)

(q = 5)

g = 3)

(q = 5)

£ =72 當 *(р+1)(р + 2)當£ =72 當 *(р+1)(р + 2)當UXWX +

£ =7

2 當 *(р+1)(р + 2)當

£ =7

2 當 *(р+1)(р + 2)當

..1 2

UXWX + W • V

(13.49) где ux = Ф. Подставляя (13.49) в (13.42), получаем выражения для m и U(s).

При q = 3 и р = 1 уравнение (13*48) представляет собой каноническую, точно решаемую модель КдВ с солитонным решением ①⑼ =3Fch^2(vV^/2) (см. пп. 13.1.1 и 13.3). В этом случае линейная асимптотика решения имеет вид

〃£) = 12^ ехр(-/и^).

Для модифицированного уравнения КдВ солитонные решения имеют вид (см. п. 13.1.2)

с линейной асимптотикой

= ±2，^¥ехр(—

В этих случаях уравнение движения (13.45) для пары солитонов приобретает вид

^f = ±32…ехр(—(13.50)

где знак «+» отвечает взаимодействию солитонов уравнения КдВ и солитонов одинаковой полярности в модели МКдВ, а знак « —» — взаимодействию солитонов разной полярности уравнения МКдВ.

Результирующий сдвиг фаз (13.46) в этих случаях равен

"△力= 21n[4V/(ds/clt)ool

что согласуется с известным точным выражением при (厶/必)/2丿《1*

Кроме того, взаимодействие разнополярных солитонов уравнения МКдВ эквивалентно взаимному притяжению частиц (U(5)〜 —expJvVs)), что свидетельствует о существовании связанных состояний таких солитонов. Это также согласуется с известными точными решениями.

Взаимодействие солитонов в неинтегрируемой системе

Дадим более подробный анализ взаимодействия солитонов применительно к обобщенному уравнению Кортевега^де Вриза (13.48) при р = 1)и q = 5. В этом случае оно является неинте™ грируемым и, более того, неизвестны аналитические выражения для стационарных волн ——солитонов, поэтому формулы для расчета взаимодействий таких волн в законченном виде получить не удается. Тем не менее в рамках предлагаемого описания может быть составлена достаточно полная картина их взаимодействия.

Прежде всего укажем, что из соображений подобия следует, что общая структура решения дается формулой 〃(£)= =卜夕(L/%), где £ = х — Vt. Отсюда сразу определяется связь между амплитудой и длительностью солитона. Можно определить также асимптотическое поведение хвостов солитона при |£| f оо, существенное для анализа слабого взаимодействия. Линеаризуя уравнение (13.48) для стационарной волны и = 〃(£) вблизи п = 0, легко видеть, что при У < 0 (медленный солитон)

хвосты солитона осциллируют:

и о< вхр(—I/"/4g/2) cos(I/T/4g/2)"(13.51)

Этих сведений уже достаточно для записи приближенного уравнения взаимодействия (13.50), которое имеет вид

(13.52)(13.52)

(13.52)

(13.52)

могут иметь как притягивающий, так и отталмогут иметь как притягивающий, так и отталствия солитоновствия солитоновРис. 13.9. Фазовый портрет уравнения (13.53) (7 — инфинитные движения солитонов; 2 — колебательные движения солитонов относительно центра масс; 3 — связанные двухсолитонные состоя™Рис. 13.9. Фазовый портрет уравнения (13.53) (7 — инфинитные движения солитонов; 2 — колебательные движения солитонов относительно центра масс; 3 — связанные двухсолитонные состоя™

могут иметь как притягивающий, так и оттал

могут иметь как притягивающий, так и оттал

ствия солитонов

ствия солитонов

Рис. 13.9. Фазовый портрет уравнения (13.53) (7 — инфинитные движения солитонов; 2 — колебательные движения солитонов относительно центра масс; 3 — связанные двухсолитонные состоя™

Рис. 13.9. Фазовый портрет уравнения (13.53) (7 — инфинитные движения солитонов; 2 — колебательные движения солитонов относительно центра масс; 3 — связанные двухсолитонные состоя™

Знак правой части уравнения (13.52) изменяется в зависимости от расстояния между солитонами, и поэтому силы взаимодей

кивающий характер. Основные типы движений солитонов удобно исследовать на фазовой плоскости уравнения (рис. 13.9).

Анализ фазовых траекторий позволяет выделить три типа взаимных движений солитонов с осциллирующими «хвостами».

Инфинитные движения солитонов (рис. 13.9, траектории 7). В этом случае солитоны после сближения на расстояние smin неограниченно расходятся. Этот тип движения кане-

ственно похож на тот, что Ния)

реализуется при столкнове

нии солитонов с экспоненциальными асимптотиками. Отличие

заключается в том, что теперь зависимости результитующих сдвигов фаз являются разрывными функциями скорости сталкивающихся солитонов.

Связанные состояния солитонов (рис. 13.9, траектории 2)) колеблющихся относительно центра масс. Этому типу движений соответствуют замкнутые траектории на фазовой плоскости.

Стационарные двухсолитонные волны (мультисолитоны) (рис. 13.9, состояния равновесия 5), соответствующие на фазовой плоскости точкам равновесия типа «центр».

Последние два типа движений обусловлены знакопеременным потенциалом взаимодействия солитонов, который имеет потенциальные «ямы» убываю- 八 Ащей с ростом s глубины. В тех

/I11случаях, когда разность энер-

I ]гий солитонов, находящихся

/II Iна дне ямы, недостаточна для

/'] \преодоления сил притяжения,

_/II \они не могут разойтись и со-

〔颯」—х вершают взаимные колебания, 'AS'испытывая то притяжение, то

отталкивание. При равенстве Ркс* 13.10. Стационарный двугор- энергий солитонов, находя- бь1Й солитон (бксолктон)щихся на дне ямы, колебания

не возникают, и в этом случае мы имеем стационарный двугорбый солитон (рис. 13.10). Дальнейшее исследование стационарных волн с двумя и более максимумами в основной части решения (мультисолитоны) требует более точного расчета в рамках исходного уравнения (13.48).

Отметим также еще одну принципиальную возможность взаимного захвата первоначально удаленных солитонов в системе с диссипацией энергии. В этом случае в правую часть уравнения (13.52) добавляется диссипативное слагаемое пропорциональное ds/dr и на фазовой плоскости особые точки типа «центр» превращаются в устойчивые фокусы. Явлению захвата соответствуют фазовые траектории, начинающиеся в бесконечности и заканчивающиеся в фокусах. После захвата солитоны совершают «затухающие» колебания относительно друг друга и при достаточно больших временах образуют квазистационарный бисолитон.

13.7. Исторические замечания и комментарии

«Большая уединенная волна» Скотта Рассела. Впервые большую уединенную волну (солитон) наблюдал английский кораблестроитель и изобретатель Джон Скот Рассел в августе 1834 г. В это время Рассел изучал перспективы использования паровых судов на канале, соединяющем Эдинбург и Глазго. В этой связи Рассел проводил эксперименты с баржами различной формы, движущимися с разными скоростями, и в ходе экспериментов он обнаружил, что после внезапной остановки баржи в

узком канале масса воды, которую баржа привела в движение, собралась около носа судна и затем неожиданно оторвалась от него, катясь вперед в виде большого одиночного возвышения. Эта волна долго двигалась вдоль канала практически с постоянной скоростью, не изменяя своей формы. Он дал ей название волна трансляции. Первое сообщение об этом Рассел сделал в 1838 г., а в 1844 г. в статье «Report on Waves» он дал подробное описание этого явления и выполненых им экспериментов [И.З.].

Рассел экспериментально установил следующие основные свойства уединенных волн:

——постоянство скорости и неизменность формы отдельной уединенной волны;

—зависимость скорости волны от глубины канала и высоты волны;

—распад достаточно большой волны на две или более уединенные волны;

——наблюдаются только волны возвышения.

Кроме этого, в своей первой публикации (1838 г.) Рассел отметил, что большие первичные волны (солитоны) проходят друг через друга без каких-либо изменений, таким же образом, как и малые колебания, производимые упавшим на поверхность воды камнем. Правда этому явлению «упругого» взаимодействия солитонов, которое так поразило ученых, вновь открывших его 130 лет спустя, Рассел, по-видимому, не придавал особого значения и больше не возвращался к его обсуждению. На континенте работа Рассела не была замечена, но в Англии ей заинтересовались Дж. Эйри и Дж. Стокс. Эйри придирчиво изучил доклад Рассела и в своей работе «Tides and waves» (1845 г.) подверг резкой критике его выводы об уединенной волне. Эйри утверждал, что длинные волны в каналах не могут сохранять свою форму. Выражение Рассела для скорости уединенной волны не получается из теории длинных волн на мелкой воде х), а ловерхшюст- ные волны могут иметь как положительный, так и отрицательный знаки амплитуды. Стокс в своей работе «On the theory of oscillating waves» (1847 г.) с большей осторожностью, чем Эйри, подходил к наблюдениям Рассела, но и его заключение гласило, что волны не могут сохранять постоянную форму.

Критика наблюдений Рассела такими известными специа™ листами как Эйри и Стокс не способствовала увеличению ин-

В этой работе Эйри приводит формулу для фазовой скорости линейных поверхностных волн на мелкой воде (см. комментарий к гл. 1).

тереса к этому явлению, и об уединенной волн надолго забыли. Расселовский доклад о волнах привлек внимание В. Буссинеска (1871 г.) и Дж. Рэлея (1876 г.). Они оба нашли, что уединенная волна имеет форму гиперболического секанса и = =t^osecli2[(x — У t) / △], а ее скорость У определяется формулой V = у g(h + а。)〉найденной эмпирически Расселом. Их работы, а также статья Дж. Маккована «On the solitary wave» (1891 г.) и новые опыты с уединенной волной подтвердили правоту Рассела. Тем не менее, споры о существовании уединенной волны в кругу специалистов еще долго не прекращались — слишком велик был авторитет Эйри и Стокса.

Теория солитонов и уравнение Кортевега де Вриза. В 1895 году голландские ученые Д. Кортевег и его ученик Г. де Вриз вывели уравнение (13.27) (носящее их имя), наибо™ лее просто описывающее все основные эффекты, наблюдавшие™ ся Расселом. Они нашли его периодические волновые решения (кноидальные волны), а также показали, что решение вида и = =t^osech2[(x — У t) / △] является стационарным, опровергнув тем самым мнение Эйри.

Хотя уравнение КдВ сыграло в дальнейшем большую роль во втором «рождении» солитона в 1960-е годы, сами авторы, по-видимому, не придавали большого значения своей статье, где оно было получено. В частности, о ней даже не упоминается в биографии Кортевега. Знаменитым уравнение КдВ стало после того, как в 1965 г. Н. Забуски и М. Крускал выяснили, что оно описывает стационарные локализованные волны, которые не изменяются после столкновения друг с другом, и ввели в обращение термин ^ солитона. В 1967 г. группе американских ученых С. Гарднеру, Дж. Грину, М. Крускалу и Р. Миуре удалось найти общее решение уравнения КдВ с помощью метода обратной задачи рассеяния. От этой работы обычно и отсчитывают начало бурного развития науки о солитонах.《Клуб» солитонов все время пополняется новыми членами и сегодня среди их пестрой «толпы» трудно ориентироваться даже специалистам [И.6., ИЛЗ].

Взаимодействие солитонов как частиц. Проблема взаимодействия солитонов, пожалуй, самая красивая и все еще наименее изученная область теории нелинейных волновых процессов. На частицеподобные свойства солитонов, которые выходят из столкновения с неизменными формами и скоростями и приобретают лишь некоторые сдвиги фаз (упругое взаимодействие)

впервые обратили внимание Н. Забуски и М. Крускал в 1965 г., а в 1968 г. П. Лэксом с помощью разработанной им техники L-A пар было дано строгое теоретическое доказательство этого факта. Оно показывает, что энергия в нелинейных средах с дисперсией может распространяться в виде устойчивых локализованных образований без рассеяния. Это свойство часто используется в качестве определения солитона, накладывает весьма жесткие требования, которым удовлетворяют далеко не все уединенные волны. При этом форма солитона не является важной частью его определения: он может иметь колоколообразную форму или форму «ступеньки». На первый план выступают «столкновительные» свойства взаимодействующих волн [13.15].

Существует, однако, обширное семейство частицеподобных волн, которые не удовлетворяют этим жестким требованиям, хотя во многих случаях они ведут себя почти как солитоны. Например, ни одно из локализованных решений нелинейного уравнения Клейна-Гордона, описывающих частицеподобные волны, не удовлетворяет указанным требованиям. Но как показывают численные эксперименты, они также как и солитоны, могут сталкиваться, сцепляясь или уничтожая друг друга, а в процессе столкновения они всегда испускают некоторое осциллирующее возмущение («излучение»), которое отсутствует у взаимодействующих солитонов. Такие волны также целесообразно называть солитонами [13.10].

Недавно в экспериментах с механическими системами были обнаружены сильно нелинейные частицеподобные волны [(13.29)], которые расщепляются при встречных столкновениях, порождая вторичные частицеподобные волны. Известны математические модели [13.8, 13.19, 13.25, 13.30], качественно описывающие подобные эффекты. Явление расщепления частицеподобных волн при встречных столкновениях имеет любопытную квантово-механическую аналогию с взаимодействием элементарных частиц.

Теория возмущений для солитонов. Отталкиваясь от идеи: солитон-частица, были разработаны различные приближенные методы, описывающие поведение солитонов как деформируемых частиц, подчиняющихся уравнениям ньютоновской динамики. На этом пути были решены многочисленные задачи об усилении, рассеянии и взаимодействии солитонов в нестационарных и неоднородных средах (см. обзор [13.23]).

В настоящее время разработано достаточно много вариантов методов возмущений для описания эволюции сильно нелиней-

ных волновых процессов и, в частности, солитонов. Одни из них принципиально пригодны лишь для систем, близких к точно интегрируемым [13.1, 13.9], а другие, обладая достаточной общностью, требуют для своей реализации весьма обширной информации об исследуемой системе [13.16, 13.24].

Изложенная в этой главе адиабатическая теория взаимоде™ ствия солитонов основана на работах [13.21, 13.26]. Она не является вполне строгой и полной, поскольку, во-первых, в некоторых случаях ее результаты приводят к необходимости учета сильных взаимодействий и, во-вторых, отсутствует строгое об™ основание асимптотической сходимости данного метода. В част™ ности, в рамках рассматриваемой теории невозможно учесть из™ лучение энергии при взаимодействии солитонов. Вопрос об из™ лучении важен с точки зрения применимости предложенного модельного описания для количественного расчета взаимодей™ ствий солитонов в экспериментах. Вместе с тем, полученные результаты дают наглядную интерпретацию процесса взаимодей™ ствия солитонов и находят количественное подтверждение при сравнении с точными аналитическими решениями в тех случаях〉 когда последние существуют, а также подтверждаются ре™ зультатами численного моделирования [13.13, 13.14] и экспериментальными данными по взаимодействию солитонов в электромагнитных линиях передачи [13.2^13.4].

13.8. Задачи и упражнения

Найдите солитонное решение обобщенного уравнения КдВ ди . и ди . од3и с 石瓦而

(n > 0 — а целое число), описывающее волны удовлетворяющие нулевым условиям на бесконечности и = =0, ди/дх = 0 при х ■ ±ос. Выявите соотношения между его амплитудой Л, скоростью V и шириной △.

Ответ. Решение имеет вид

а его параметры связаны соотношениями

Найдите решение в виде уединенной волны обобщенного уравнения КдВ с производной пятого порядка

ди . ди .с

Выявите связь между ее параметрами.

Найдите солитонное решение уравнения Гарднера

ди , ди 2 ди , од3и 门

при а〉0)/3〉0 и выявите связь между ее амплитудой, шириной и скоростью.

Найдите решение в виде уединенной волны для уравнения Бендамена^Бона^Махони

ди . ди . ди q д3и 力

при а〉0)/3〉0.

Ответ. Решение имеет вид

Найдите решение в виде уединенной волны для уравнения Джозефа-Эгри

ди , ди . Ом I “ д3и с

_ + со_ + о_ + /3__ = 0.

ГЛАВА 14

ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИХСОЛИТОНОВ

Немаловажный урок состоит в том, что точные решения все еще окружают нас со всех сторон и не всегда следует сразу устремляться на гкжо ки малого £.

Дж.. Уизем

В заключительной главе мы более подробно обсудим пример нелинейной волновой системы, на котором удобно сравнить точные и приближенные решения для взаимодействующих солитонов. В качестве изучаемой модели выберем известное уравнение синус-Гордона, которое занимает весьма важное место в нелинейной теории волн, так как, с одной стороны, оно тесно связано со многими проблемами нелинейной физики, а с другой ——имеет сравнительно простые точные решения. На их примере проследим за процессами взаимодействия солитонов как частиц, а также исследуем динамику бризера ——связанного состояния солитона и антисолитона. Сопоставление точных решений с приближенными, полученными, например, методами, изложенными в предыдущей главе, полезно с точки зрения определения степени достоверности последних и области их применимости.

Уравнение синус Гордона

В отличие от уравнений КдВ и МКдВ, уравнение синус— Гордона (9.51) имеет второй порядок по времени. В безразмер-

ных переменных оно записывается в каноническом виде:

—+ sin и = 0.(14.1)

dt2 дх2''

В такой системе стационарные волны вида 〃 = 〃(〃 = % —丿力) описываются уравнением математического маятника:

¥ + —? sin а = 0.(14.2)

Для медленных волн (У < 1) «фазовый портрет» уравнения показан на рис. 14.1. Умножив (14.2) на du/dr) и проинтегрировав по 〃 получим

備)2 + 2°^"")(14・3)

где Е ——постоянная интегрирования. Различным ее значениям соответствуют разные фазовые траектории. Уединенным вол-

Рис. 14.1. Фазовый портрет уравнения синус-Гордона

нам соответствуют сепаратрисы при Е = 0)соединяющие два со™ седних состояния равновесия ). В этом случае из (14.3) имеем

w/2

«о/2

откуда находим решение, описывающее уединенную волну:

u(x,t) = 4arctg [exp (± ^^^^)[(14.4)

где J。一 начальная «фаза» волны. В решении (14.4) первая пара знаков определяет полярность волны, а вторая пара ——направление ее распространения. Волны, описывающие монотонный переход от 0 до 2тг (или от — 2тг до 0) при изменении х от —а до 2 называют кинками (или 2тг-импульсами) (рис. 14.2 а). Две другие волны, изменяющиеся от 2тг до 0 (или от 0 до —2тг)) (рис. 14.2 б).

Рис. 14.2. Кинк (а) и антикинк (б), соответствующие сепаратисам 7 K 2 на рис. 14.1

В ряде задач, например, в теории джозефсоновских перехо™ дов, физический смысл имеет не сама функция 〃)а ее частные производные ди/dt и ди/дх, соответствующие электрическому и магнитному полям:

(Кб)(Кб)ди Jrdu 丄 2 У 〔—I / 力 ± 1々 + no ^ = ^> = ±<^ch

(Кб)

(Кб)

Отсюда видно, что профиль производной от кинка совпадает с профилем солитона в среде с кубической нелинейностью, описываемого уравнением МкДВ (см. п. 13.1.2). Однако связь между скоростью У, амплитудой А = 2/，1 — У2 и шириной △= =,1 —丿2 в волне (14.5) отличается от соответствующих соотношений для солитона (13.8).

Вычислим энергию, переносимую волнами. Для этого воспользуемся лагранжианом

(14-6)

В соответствии с определением (4.3) плотность энергии волны равна

(14.7)(14.7)7］停)2+(幫+(1-3)■

(14.7)

(14.7)

Подставляя сюда (14.4) и (14.5), находим

w = 4k2 ch~2w = 4k2 ch~2х + Vt + жох + Vt + жо,1 —『2,1 —『2

w = 4k2 ch~2

w = 4k2 ch~2

х + Vt + жо

х + Vt + жо

,1 —『2

,1 —『2

Полная энергия кинка равна

ОО

(14"8)(14"8)「w dx = / 8

(14"8)

(14"8)

—оо—ооJ,1 —『2

—оо

—оо

Аналогичное выражение получается и для антикинка. Из (14.8) следует, что энергия кинка и антикинка не может быть меньше Wq = 8 и увеличивается с ростом скорости.

Нелинейные волны (14.4) обладают конечной интегральной величиной

ОО

которая в теории поля называется топологическим зарядом и равна ±1 соответственно для кинка и антикинка. Уединенные волны, обладающие ненулевым топологическим зарядом называют также, топологическими солитонами.

Точные решения

Уравнение синус^Гордона имеет точные многосолитонные решения, на примере которых удобно проследить за процессами взаимодействия солитонов (кинков). Обратим внимание на то, что его солитонные решения (14.4) описываются выражением “(д 力)=4 arctg U(ж ^Vt)^ где U — экспоненциальная функция аргумента. Будем искать более общий класс решений уравнения (14.1):

и(х^ t) = 4 arctg U(x^ t). (14.9)

Здесь U(伤力)一новая искомая функция, зависящая от ж и 力. Рассматривая (14.9) как замену переменных и подставляя ее в (14.1), получим уравнение в частных производных для U(化)力)：

(14.10)

При его выводе использовалось тождество

sin 4г =sin 4г =4 tg (1 - tg2%)(1 +tg2^)2

sin 4г =

sin 4г =

На первый взгляд, уравнение (14.10) гораздо сложнее, чем исходное уравнение, но по счастливому стечению обстоятельств его решения можно искать методом разделения переменных, чего не удается сделать в (14.1). Положим

U(x,t)U(x,t)ад丁⑴ад丁⑴(ИЛ)(ИЛ)

U(x,t)

U(x,t)

ад丁⑴

ад丁⑴

(ИЛ)

(ИЛ)

и подставим это соотношение в (14.10), в результате получим:

(х2 + 丁2)(三 + g) _ 2(Х'2 + f2) = х2 — т2,(14.12)

где штрихи обозначают дифференцирование по координате, а точки — дифференцирование по времени. Дифференцирование выражения (14.12) по ж и t и последующая группировка слагаемых позволяют разделить переменные:

1 d —1 d2XX?苏=一亓？凉1 d —1 d2XX?苏=一亓？凉

1 d —1 d

2XX?苏=一亓？凉

1 d —1 d

2XX?苏=一亓？凉

где А2 — постоянная разделения. Отсюда находим обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка для функций Х(ж) и т(力)：

(14.13)(14.13)R - d1T + 2A2T3 = 0,

(14.13)

(14.13)

& - 3 - 2A2Z3 = 0,

где di* — постоянные интегрирования. Уравнения имеют первые интегралы:

（器『 -山片+工力一匕（器『 -山片+工力一匕◎— &Х2ах/◎— &Х2ах/— 2X4— 2X4=〃2)=〃2)(14.14)(14.14)

（器『 -山片+工力一匕

（器『 -山片+工力一匕

◎— &Х2

ах/

◎— &Х2

ах/

— 2X4

— 2X4

=〃2)

=〃2)

(14.14)

(14.14)

где 〃i，2 — еще две постоянные. Заметим, что постоянные di* и 〃1，2 не являются независимыми. Подстановка выражений (14.13) и (14.14) в (14.12) приводит к двум дополнительным соотношениям между константами:

% + 〃2 = а а?—必=1*

Если обозначить 〃2 = 簿? и 02 = 衣乙 то из (14.14) получим:

fdT\2fdT\2(fc2-l)T2 + A2T4-n2,(fc2-l)T2 + A2T4-n2,

fdT\2

fdT\2

(fc2-l)T2 + A2T4-n2,

(fc2-l)T2 + A2T4-n2,

= 3x2— 2x4+层*= 3x2— 2x4+层*(14.15)

= 3x2— 2x4+层*

= 3x2— 2x4+层*

В эти уравнения входят три независимых параметра А, к и п. В общем случае их решения получаются обращением эллиптических интегралов (см. Приложение)

dT

(14.16)(14.16)彳j入2宁4 + (k2_1)宁2_冷2

(14.16)

(14.16)

X

J2X4 + k2X2 +n2

0

Конкретный же вид решений зависит от выбора постоянных А, к и п. Проанализируем некоторые частные решения, допускающие простую физическую интерпретацию.

Односолитонное решение. Пусть параметры А = 0, п = О и fc2 > 1, тогда дифференциальные уравнения (14.13) линейные и для X(ж) и Т(力)получаем из (14.2) следующие выражения:

X(方)=exp (土衣(% -方o))) T(力)=exp (土，n - 1(力-力o)))

где 化о,力о ——постоянные интегрирования. В этом случае решение уравнения (14.1) имеет следующий вид:

и(х^ t) = 4 arctg exp (土(三一二一\^主••••*‘二1®)=

=4 arctg exp. (14.17)

Здесь У = “№ — 1/衣——скорость волны, a 0q = (^o + 丿力о)—— начальная фаза. Это решение полностью совпадает с (14.4).

Столкновение двух кинков

X и Т описываютсяX и Т описываютсяПри А = 0, 71 7^ 0, fc2 > 1 функции выражениями:

X и Т описываются

X и Т описываются

X ⑺=±71 二 shX ⑺=±71 二 shж + Жож + Жо"1 —『2"1 —『2т«) =т«) =严 g卩" 一。） "1 —『2[ ,1 —『2严 g卩" 一。） "1 —『2[ ,1 —『2

X ⑺=±71 二 sh

X ⑺=±71 二 sh

ж + Жо

ж + Жо

"1 —『2

"1 —『2

т«) =

т«) =

严 g卩" 一。） "1 —『2[ ,1 —『2

严 g卩" 一。） "1 —『2[ ,1 —『2

Постоянные 化о)力о устанавливают начало отсчета, далее положим, что 力о = 0 и 力о = 0* Тогда искомое решение примет вид

и(х^ 力)=±4 arctgи(х^ 力)=±4 arctgsh -『J ][chJsh -『J ][chJ(14.18)(14.18)

и(х^ 力)=±4 arctg

и(х^ 力)=±4 arctg

sh -『J ]

[chJ

sh -『J ]

[chJ

(14.18)

(14.18)

Заметим, что этот результат не зависит от константы п, так как в выражение для и(х^ t) входит отношение X(ж)/T{t).

Отвлечемся от анализа решения (14.4) и рассмотрим суперпозицию бегущих навстречу друг другу кинков. Принимая во внимание тригонометрическое равенство

arctg г 士 arctg у = arctg (；堂:))

находим, что эта суперпозиция описывается выражением

4 arctg (,(14.19)

一\ 1 — exp 〃i exp т/2 / '

где 7/i，2 =(化 土丿力)/,1 —丿？——фазы бегущих волн. К подобному виду можно преобразовать и решение (14.18):

=±4 J exp(〃i+hiV)—ехр[—(小―MV)].]

，，g [ ] +2 exp (〃i + In V) exp [― (〃2 — In V)] j

(14.20)

Сравнивая выражения (14.19) и (14.20), видим, что (14.20) отличается от (14.19) наличием множителя У™2 в знаменателе и знаком фазы у экспоненты ехр(—т/2)* Для выяснения смысла этого различия рассмотрим асимптотики (14.20) при t —ос (отдаленное «прошлое») и при 力 f ос (далекое «будущее»). Асимптотики можно получить, рассматривая пределы (14.20) при t Т ±ос вблизи характеристик ж = 士丿九 Выберем в (14.20) верхний знак и воспользуемся равенством

arctg г = тг/2 — arctg (1/г).

Тогда получим, что выражение (14.20) в «прошлом» описывало суперпозицию двух кинков:

u(t f —ос) ^ 4 arctg[ехр (力 + т/о)] + 4 arctg[ехр 仇 一^о)] — 2тг,

(14.21) где т/о = Ink — начальные фазы кинков. В далеком «будущем» решение (14.20) также описывает суперпозицию двух кинков:

u{t f ос) р 4 arctg[ехр (力 + 〃о — △〃)] +

+ 4 arctg[ехр 仇 一 4о + △〃)] — 2тг. (14.22)

12 Л.А. Островский, А.И. Потапов

Здесь △?)= In 丿一2 — дополнительный сдвиг фаз кинков, зависящий от их начальной скорости. Анализ этих асимптотик показывает, что найденное решение описывает встречное столкновение двух одинаковых кинков (рис. 14.3). При этом «центр тяжести» пары кинков в процессе взаимодействия остается неподвижным,

а кинки получают дополнительные пространственные сдвигиа кинки получают дополнительные пространственные сдвигиРис. 14.3. Встречное столкновениеРис. 14.3. Встречное столкновениекинков: волновые профили в раз лич™ ные моменты временикинков: волновые профили в раз лич™ ные моменты времени△化 = 干 VI У2 In У2 в направлении их движения (сравни с п. 13.3). Физическая трактовка взаимодействия такова: кинки одинаковых знаков 《упруго» отталкиваются друг от друга, обмениваясь скоростями.Полная энергия такого процесса равна удвоенной энергии отдельных кинков: W = 16к = 16八〃—匸 Это^ го и следовало ожидать, поскольку решение (14.20) описывает упругое взаимодействие кинков, каждый из ко-△化 = 干 VI У2 In У2 в направлении их движения (сравни с п. 13.3). Физическая трактовка взаимодействия такова: кинки одинаковых знаков 《упруго» отталкиваются друг от друга, обмениваясь скоростями.Полная энергия такого процесса равна удвоенной энергии отдельных кинков: W = 16к = 16八〃—匸 Это^ го и следовало ожидать, поскольку решение (14.20) описывает упругое взаимодействие кинков, каждый из ко-

а кинки получают дополнительные пространственные сдвиги

а кинки получают дополнительные пространственные сдвиги

Рис. 14.3. Встречное столкновение

Рис. 14.3. Встречное столкновение

кинков: волновые профили в раз лич™ ные моменты времени

кинков: волновые профили в раз лич™ ные моменты времени

△化 = 干 VI У2 In У2 в направлении их движения (сравни с п. 13.3). Физическая трактовка взаимодействия такова: кинки одинаковых знаков 《упруго» отталкиваются друг от друга, обмениваясь скоростями.

Полная энергия такого процесса равна удвоенной энергии отдельных кинков: W = 16к = 16八〃—匸 Это^ го и следовало ожидать, поскольку решение (14.20) описывает упругое взаимодействие кинков, каждый из ко-

△化 = 干 VI У2 In У2 в направлении их движения (сравни с п. 13.3). Физическая трактовка взаимодействия такова: кинки одинаковых знаков 《упруго» отталкиваются друг от друга, обмениваясь скоростями.

Полная энергия такого процесса равна удвоенной энергии отдельных кинков: W = 16к = 16八〃—匸 Это^ го и следовало ожидать, поскольку решение (14.20) описывает упругое взаимодействие кинков, каждый из ко-

торых имеет энергию Ж = 8k)а полная энергия в консервативной системе сохраняется.

Взаимодействие кинков как частиц. Покажем, что решение (14.20) можно представить в виде суперпозиции кинков, бегущих с переменными скоростями. Умножим числитель и знаменатель аргумента функции в (14.20) на ехр [s{t)] и приведем ее к виду

"応力)=4 arctg"応力)=4 arctgШф [)(步 + 3⑴)]一 Шф [一()(方 一 3⑴)]21/т exp [75(f)] ch ()V力)

"応力)=4 arctg

"応力)=4 arctg

где J = 1/，1 — Здесь s(t)——имеет смысл расстояния от кин— ка до центра масс системы, расположенного в начале координат. Если на переменную s(t) наложим условие

2丿一1 ехр [)8⑴]ch ()『力)=1 + ехр [2js(^)],

эквивалентное уравнению

ch (^Vt) = V ch [ys(t)]^ch (^Vt) = V ch [ys(t)]^(14.23)(14.23)

ch (^Vt) = V ch [ys(t)]^

ch (^Vt) = V ch [ys(t)]^

(14.23)

(14.23)

то решение задачи может быть записано как суперпозиция кинков:

“(д 力)=4 arctg {exp [7(ж + s)]} — 4 arctg {exp [―)(化一$)]}.

(14.24)

Выражение (14.23) представляет собой неявную зависимость координаты кинка от времени. Разрешая его относительно s, находим явный вид закона движения кинка:

з ⑴=72агсЪ[У^1 сЪ(7У^)]=

=In {丿т ch()丿力)1 +J1 —口 с『2()丿力)I (14.25)

На рис. 14.4 а показана зависимость скорости кинков ds/dt

Рис. 14.4. Зависимость скорости кинков от расстояния между ними (а); пространственно-временные траектории кинков (6); фазовые сдвиги кин™ ков (Аж) и минимальное расстояние между ними (Джт^,) как функции начальной скорости (в). Сплошные линии — точное решение, штриховые линии — приближенное решение

12*

представляют собой гиперболы (рис. 14.4 б) с асимптотами

s{t f ±оо) = ±，1 -『2 In 士 丿九

Левые части рисунков 14.4 а и б соответствуют кинку, начинающему движение из з = — ос)а правые части — кинку, начинающему движение из з = ос* Величина пространственного сдвига кинка, полученного им в результате взаимодействия:

совпадает с выражением, полученным из анализа решения (14.20). По закону движения (14.25) легко восстановить дифференциальное уравнение второго порядка, описывающего движение частицы (см. задачу 14.3). Здесь же мы ограничимся выво~ дом дифференциального уравнения первого порядка, имеющего смысл закона сохранения энергии кинка. Для этого продифференцируем (14.23) по времени и возведем его в квадрат. После преобразований гиперболических функций находим:

得了+代『2(戸)=172. (14.26)

Это выражение можно интерпретировать как закон сохранения энергии отдельной частицы, движущейся в силовом поле с потенциалом

=齐2s『2()力

Другими словами, задача о взаимодействии двух одинаковых кинков эквивалентна задаче о движении частицы в силовом поле с потенциалом U(s). Роль начальной энергии системы играет величина, равная кинетической энергии частицы при з т — ос. Потенциальное поле в данном случае является отталкивающим, и минимальное расстояние между кинками может быть найдено из (14.26) при условии, что в точке поворота скорость частицы равна нулю:

△g11m = 2，1-Н 呻1 + —㈠/汀 (14.27)

Зависимости сдвига фаз Дж и минимального расстояния между кинками Джmin от начальной скорости У приведены на рис. 14.4 в.

Столкновение кинка и антикинка

Пусть А 7^ 0, п = 0 и fc2 > 1, тогда решение уравнения (14.1) может быть записано в виде

±4 arctg {±^1}=

=±4 arctg=±4 arctgехр [7(ж + Vt) — In У] — exp [7(ж — Vt) — In У] 1

=±4 arctg

=±4 arctg

1 + У2 ехр [7(ж + Vt) - In У] ехр[7(ж — Vt) - In У] J， (14.28)

где введено обозначение 7 = 1/，1 — Н* Асимптотический анализ, аналогичный проведенному в предыдущем разделе, показывает, что данное решение описывает встречное столкновение кинка и антикинка (рис. 14.5). «Центр тяжести» солитон-анти- солитонной пары остается неподвижным и совпадает с началом

Рис. 14.5. Встречное столкновение кинка и антикинкаРис. 14.5. Встречное столкновение кинка и антикинка

Рис. 14.5. Встречное столкновение кинка и антикинка

Рис. 14.5. Встречное столкновение кинка и антикинка

координат (рис. 14.5 б). Кинк и антикинк в процессе взаимодействия смещаются навстречу друг другу и можно говорить о их взаимном ускорении. Полная энергия системы, как и в предыдущем случае, равна удвоенной энергии кинка.

Динамика кинков как частиц. Используя схему, изложенную в предыдущем разделе, решение (14.28) можно записать в виде суперпозиции кинка и антикинка, движущихся с переменными скоростями. При этом динамическая переменная s(t) должна удовлетворять следующему условию:

sh()丿力)=ysh(7s). (14.29)

Нетрудно показать, что взаимодействие кинка и антикинка эквивалентно движению частицы в поле с притягивающим потенциалом

(14.30)(14.30)0

(14.30)

(14.30)

Зависимость скорости частиц от расстояния между ними показана на рис. 14.6 а. Пространственно-временные траектории

Рис. 14.6. Зависимость скорости кинка и антикинка от расстояния между ними (а); пространственно-временные траектории частиц (6); фазовый сдвиг (Аж) как функция скорости (в). Сплошные линии — точное решение, штриховые линии — приближенное решениеРис. 14.6. Зависимость скорости кинка и антикинка от расстояния между ними (а); пространственно-временные траектории частиц (6); фазовый сдвиг (Аж) как функция скорости (в). Сплошные линии — точное решение, штриховые линии — приближенное решение

Рис. 14.6. Зависимость скорости кинка и антикинка от расстояния между ними (а); пространственно-временные траектории частиц (6); фазовый сдвиг (Аж) как функция скорости (в). Сплошные линии — точное решение, штриховые линии — приближенное решение

Рис. 14.6. Зависимость скорости кинка и антикинка от расстояния между ними (а); пространственно-временные траектории частиц (6); фазовый сдвиг (Аж) как функция скорости (в). Сплошные линии — точное решение, штриховые линии — приближенное решение

пары кинк^антикинк описываются выражением

s(t) = 7^xarcsh [^У^1 sh(7yt)]=

=,1 -丿2 m J sh(W) + Jl + Lsh2(W)} (14.31)

и в асимптотиках стремятся к прямым (рис. 14.6 б)

5(力 f ±Ш)= ±，1 -『In L 土

Отсюда следует, что сдвиги фаз кинка и антикинка точно такие же, как и при столкновении кинков (рис. 14.6 в).

Бризер

При X ^ 0^ п = 0 и к2 < 1 решение задачи может быть получено из (14.28) заменой параметра V на мнимую величину iV = iVl к2/к:

=±4arctg压嘰+ ±4arctg 冃器•

(14.32) Оно описывает локализованное в пространстве и осциллирующее во времени возмущение, которое называют бриз ером (рис. 14.7). Величина С = У/v 1 + V72 есть частота осцилляций

Рис. 14.7. Бризер — связанное состояние кинка и антикинка

бризера во времени, а параметр R = (1 + у2)^1/2 характеризует его пространственную локализацию. Бризер можно интерпретировать как связанное состояние двух кинков разных знаков. Кинки колеблются относительно общего центра с частотой 0 < < О ^ 1 и амплитудой Дж 弋 | In У |.

Внешне бризер выглядит как стоячая волна, достигающая максимума в моменты времени Ot = (2п + 1)тг/2 (п = 0, ±1, ±2,...). Другое свойство бризера заключается в том, что он, так же как и кинки, ведет себя подобно частице. «Фазовый портрет» бризера и его основные пространственно-временные характеристики представлены на рис. 14.8 а—8“ Энергия бризера

Координата6Координата6Рис. 14.8. Зависимость скоростей кинка и антикинка в бризере от рассто™ яния между ними (а); ПВ™траектории (б); зависимость ширины бризера от его энергии (скорости частиц) (в). Сплошные линии — точное решение, штриховые линии — приближенное решениеРис. 14.8. Зависимость скоростей кинка и антикинка в бризере от рассто™ яния между ними (а); ПВ™траектории (б); зависимость ширины бризера от его энергии (скорости частиц) (в). Сплошные линии — точное решение, штриховые линии — приближенное решение

Координата

6

Координата

6

Рис. 14.8. Зависимость скоростей кинка и антикинка в бризере от рассто™ яния между ними (а); ПВ™траектории (б); зависимость ширины бризера от его энергии (скорости частиц) (в). Сплошные линии — точное решение, штриховые линии — приближенное решение

Рис. 14.8. Зависимость скоростей кинка и антикинка в бризере от рассто™ яния между ними (а); ПВ™траектории (б); зависимость ширины бризера от его энергии (скорости частиц) (в). Сплошные линии — точное решение, штриховые линии — приближенное решение

как и прежде равна Ж = 16凡 но теперь к = 1/^1 + У2 < 1 и, следовательно, его энергия меньше, чем энергия пары кинков, у которых R = ]/，]—卜2〉1 (рис. 14.9). При уменьшении частоты С размах колебаний кинков логарифмически возрастает и при С f 0 бризер р азв ал ив ается на свободные кинк и антикинк.

Бризер как частица. По аналогии с рассмотренными выше случаями точное решение (14.32), описывающее бризер, можно представить в виде суперпозиции бегущих волн. При этом динамическая переменная s(力)будет удовлетворять закону сохра-

нения энергии:

(Э2(Э23 =—俨ch2 71'3 =—俨ch2 71'(14.33)(14.33)

(Э2

(Э2

3 =—俨

ch2 71'

3 =—俨

ch2 71'

(14.33)

(14.33)

где введено обозначение 71 = v 1 + У2. Движение кинка относительно начала координат описывается выражением

s(t) = Vl + F2arcsh 卜+『)]=V1 + ^2x

x In —sin(I/〃\/l + 卜2)++ 卜—2 近112v 〃 J】*

(14.34)

Они совершают периодические движения частиц около неподвижного центра масс (рис. 14.8 а, б). Ширина бризера Дж на-

Рис. 14.9. Зависимость энергии частицеподобных волн от па™ раметра /с (а), и скорости (б). Бризер (1), пара кинк^кинк (2). (Жо = 16 — энергия покоящегося кинка)Рис. 14.9. Зависимость энергии частицеподобных волн от па™ раметра /с (а), и скорости (б). Бризер (1), пара кинк^кинк (2). (Жо = 16 — энергия покоящегося кинка)

Рис. 14.9. Зависимость энергии частицеподобных волн от па™ раметра /с (а), и скорости (б). Бризер (1), пара кинк^кинк (2). (Жо = 16 — энергия покоящегося кинка)

Рис. 14.9. Зависимость энергии частицеподобных волн от па™ раметра /с (а), и скорости (б). Бризер (1), пара кинк^кинк (2). (Жо = 16 — энергия покоящегося кинка)

ходится из (14.33) при условии, что в точке поворота скорость частицы равна нулю:

△力=25mах = 21П I 十'+匸 J •(14.35)

Ее зависимость от скорости показана на рис. 14.8 в.

Вырождение бризера в солитон огибающей. При малых энергиях Ж《Wq = 16, когда частота осцилляций 0^1, бризер превращается в широкий волновой пакет. В этом случае

выражение (14.32) можно разложить по степеням малого параметра £? = 1 — Если ограничиться только первым членом

разложения, то (14.32) примет следующий вид:

и(х^ t) и 2辽 ch" кх exp i(1 — £?/2)力 + к.с. = 4(//) exp it + к.с.,

(14.36) где 4(//) = 2isexp {—ie2/2) ch^1 кх — медленно меняющаяся комплексная амплитуда. Подставим (14.36) в уравнение синус- Гордона и пренебрежем второй производной 32А/д12^ так как она является малой величиной порядка £± в результате получим, что Л(ж, t) удовлетворяет нелинейному уравнению Шре

дингерадингера

дингера

дингера

Следовательно, при малых энергиях бризер вырождается в квазигармонический волновой пакет. Волны такого типа подробно рассматривались в одиннадцатой главе.

Приближенное описание взаимодействия кинков

Выше было показано, что точные решения, описывающие взаимодействие кинков, могут быть представлены в виде супер™ позиции двух волн, бегущих с переменными скоростями. Это наводит на мысль о приближенном описании взаимодействия пары кинков с помощью выражения

и(х^ t) = 4 arctg {土 exp [^^^^] } ± 4 arctg {土 exp ^^^^-] }.

(14.37) Здесь Si(t) — новые переменные, имеющие смысл расстояний каждой из волн до общего центра масс, △/ = J]—匕?——харак- терная ширина волны, a Vj — скорости невзаимодействующих волн. При этих предположениях кинки и антикинки представляют собой частицы, движущиеся с переменной скоростью "(力)= =dsj/dt. Для построения приближенной теории нелинейного взаимодействия таких волн-частиц будем предполагать выполненными условия малости их относительных скоростей.

Чтобы иметь возможность сопоставления результатов приближенного анализа с точными решениями и в то же время

не усложнять задачу, ограничимся исследованием взаимодействия одинаковых кинков, движущихся навстречу друг другу. При таком симметричном взаимодействии имеется лишь одна независимая переменная s(t)=兄⑴=—§2(力))которая равна расстоянию частицы от начала системы координат, связанной с неподвижным центром масс системы. Условие применимости приближенного описания, развитого в пп. 13.4 и 13.5., в данном случае сводится к требованию малости абсолютных значений скоростей волн. Динамическое уравнение для переменной s(t) получается из (13.42) и (13.45) после подстановки в них выражений (14.37):

^ = Квхр(—2з)(14.38)

Здесь К ——константа взаимодействия, причем К = +4 для пары кинк—кинк и К = —4 для пары кинк^антикинк.

Уравнение (14.38) имеет интеграл движения, который можно интерпретировать как закон сохранения энергии:

У+ ^Кехр(—2з) =及(14.39)

В качестве начальной энергии выберем величину Е = F/2, равную кинетической энергии свободной частицы, когда взаимодействие отсутствует. Методом разделения переменных решение уравнения (14.39) сводится к вычислению интеграла

/ % 产=±Ef (ИЛО) 丿一К exp (—2s)

so

Здесь 力о ——постоянная интегрирования, определяющая начальный момент движения частиц, б。——начальная координата частицы.

Взаимодействие двух кинков. В этом случае К = 4 и потенциал U = ； К exp (—2s) является отталкивающим. Дви™ жущиеся навстречу друг другу кинки сближаются до некоторого минимального расстояния, а затем начинают разбегаться (рис. 14.4). Введем новую переменную:

где Smin — расстояние от начала координат до точки поворота частицы,

smin = In j券=1П 2У L(14.41)

Тогда (14.40) сведется к

/= 土同(力一力0)(121?1/0 =D

/ V-2 一 1

Вычисляя его и возвращаясь к старым переменным s и t, находим пространственно-временные траектории частиц:

з") = 5min + In {ch [У(т — То)]} ,(14.42)

которые представляют собой гиперболы с асимптотами

3(力-> ±ОО)= (Smin — 1п2) 土 Vt.

После столкновения кинк получает положительное приращение координат

△ж = 2(5min — 111 2) = 1пУ^2.

Его величина совпадает с точным значением при У <С 1 (рис. 14.4 в). Сравнение точного (14.25) и приближенного (14.42) решений показывает, что приближенное выражение правильно описывает движение кинков при всех значениях времени, если У <С 1 и 3'min》1 (рис. 14.4 6).

Взаимодействие кинка с антикинком. При взаимодействии разнополярных кинков константа взаимодействия К = — 4 и потенциал U(s) является притягивающим. Здесь возможны два качественно различных случая движения частицы в зависимости от величины ее начальной энергии Е. Пусть Е > 0^ тогда уравнение (14.40) после замены переменной 2 = вхр[2(§ —с。)] (§0 = (1/2) lii(\K\/E) = 1п2У^х) сводится к вычислению интв- грала

Полагая, что в момент 力=0 происходит полное перекрытие кинков, находим:

§0 - I11 shp(力—力*)]})t < 0,

s⑴=< (14.43) so + In { ^" sh ["К(力一力*)] I ,力〉&

где sh Vt* =卜/2* Отсюда следует, что частицы совершают неограниченные движения (—оо V s V оо), а приближенное выражение (14.43) хорошо согласуется с точным решением (14.31), когда У <С 1 (рис. 14.6 б).

При 力 f 0 (момент перекрытия кинков) приближенное рв- шение имеет особенность (см. рис. 14.6 а), связанную с прибли™ женным учетом взаимодействия кинков. После взаимодействия разнополярные кинки получают сдвиги Дж = In У^2 из-за взаимного ускорения (рис. 14.6 в).

Бризер. При Е < 0 частица совершает осциллирующее дви™ жение внутри потенциальной ямы. После замены переменной 2 = exp (smax — s), где smax = In2У^Х ——амплитуда колебаний частиц около центра масс, уравнение (14.40) сводится к вычис™ лению интеграла

22=^V2E(t —力о/=^V2E(t —力о/(Ы<1)(Ы<1)(14.44)(14.44)

2

2

=^V2E(t —力о/

=^V2E(t —力о/

(Ы<1)

(Ы<1)

(14.44)

(14.44)

Из него находим, что участок траектории частиц с s > 0 описьр вается выражением

5⑴=5111ax + ln|siny(f - Г)| ,0 < f < 7r-；「(14.45)

где 力* =卜一1 arcsin (У/2). Сопоставляя (14.45) с точным решением (14.34), видим, что приближенное решение правильно описывает движение частиц при достаточно больших расстояниях между ними (рис. 14.8 б). Частота осцилляций бризера О с^ F и его ширина Дж = 25111ax = ln4F^2 совпадают с соответствующими точными выражениями при 卜《1 (рис. 14.8 в).

Исторические замечания и комментарии

Уравнение синус—Гордона. Многие из нелинейных эффектов, встречающихся в разных областях естествознания и обозначаемых разными терминами, с точки зрения теории нелинейных волн оказываются тождественными и описываются одной и той же математической моделью. Одним из ярких примеров такой универсальности служит уравнение синус—Бэра。- на (СГ) [14.2,' 14.3].

Впервые это уравнение появилось вовсе не в волновых задачах, а при изучении геометрии поверхностей с отрицательной гауссовой кривизной и записывалось в виде У屮[奘g = sin(/?, где £ =(力一力)/2 и 4 =(力 +力)/2. Для этого уравнения А. Бэклунд в 1875 г. предложил метод, впоследствии названный его именем, с помощью которого можно строить последовательность (иерархию) точных решений, отталкиваясь от простейших решений. Однако в те времена этот результат не был востребован и в течение долгих лет оставался лишь математическим «украшением» теории нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных.

Физические приложения уравнения СГ. Для физических приложений уравнение синус-Гордона было открыто Я.Ф. Френкелем и Т.М. Конторовой в 1937 г. Они пришли к этому уравнению при изучении динамики дислокаций в кристаллах и нашли его односолитонное решение, которое описывало равномерное движение дислокации в одномерном кристалле [14.2, И.З]. Одиннадцать лет спустя в 1948 году В. Доринг применил уравнение синус—Горгона для описания движения стенок Блоха в теории ферромагнетизма. Затем в 1962 г. это уравнение рассмотрели Дж. Перринг и Т.С. Скирм в связи с исследованиями в теории элементарных частиц. Они, отталкиваясь от результатов численного анализа, впервые получили явное решение уравнения СГ для двух взаимодействующих волн: кинка и антикинка.

В 1966 г. это уравнение появилось в работе И.Т. Кулика при исследовании распространения волн в тунельном переходе Джозефсона. Немного позже, в 1971 г. Г. Лэмб установил, что уравнение СГ описывает распространение ультракоротких лазерных импульсов в двухуровневой среде [14.2, 14.6].

Рассмотренная в п. 9.5 механическая модель была описана А. Скоттом в 1969 г. С ее помощью были продемонстрированы многие нелинейные волновые процессы, описываемые раз лич-

ными решениями уравнения СГ. Впервые название уравнение 《синус—Горгона》появилось в работе И. Рубинстайна в 1970 г.

Взаимодействие кинков. Исследование взаимодействий солитонов, описываемых уравнением синус—Горгона? имеет весь™ ма поучительную историю, характерную для многих научных открытий [14.4, 14.7].

В 1936 г. немецкий математик Р. Штайервальд, исследуя свойства криволинейных поверхностей, нашел ряд решений уравнения СГ, которые в современной терминологии соответ™ ствуют одиночному солитону (кинку), двум взаимодействую™ щим кинкам разных полярностей и бризеру. Но так как эти рв- шения описывали псевдосферические поверхности, то они дол™ гое время были известны лишь немногим специалистам по гео™ метрии и не оказали никакого влияния на развитие науки о солитонах [ИЛЗ].

Частицеподобные свойства взаимодействующих волн, оиисы- ваемых уравнением СГ, впервые были описаны Дж. Перрингом и Т. Скирмом в 1962 г. Они численно исследовали встречное столкновение уединенных волн и наблюдали идеальное восстановление формы и скоростей волн после взаимодействия. Самое удивительное в их исследовании то, что они угадали вид аналитического выражения tg(u/4) = V sh(7^X£c)/ch(7^xyt), описьр вающего взаимодействие двух волн, а позже установили, что это точное решение. Было ясно, что решения уравнения СГ облада™ ют весьма специфическими свойствами, но Перринг и Скирм не стали развивать далее свои исследования в этом направлении и открытие свойств солитонов как частиц задержалось до появле™ ния работы Н. Забуски и М. Крускала в 1965 г.

Использование преобразования Бэклунда для получения высших решений уравнения СГ (теперь их называют многосо литонными) началось в 1953 г. с работы А. Зигера, Н. Донха, А. Кохиндорфера. В 1971 г. Дж. Лэм сумел разработать на осно™ ве преобразования Бэклунда метод построения иерархии многосолитонных решений уравнения синус^Гордона [14.6].

Задачи и упражнения

Найдите аналитические уравнения (14.1), описывающие локализованные стационарные волны при V > 1.

Покажите, что при U(ж, t) = X(x)T(t) в уравнении (14.10) переменные разделяются и для T(t) и Х(ж) также получаются уравнения вида (14.13).

Используя соотношения (14.26), (14.30) и (14.33), выведите уравнения ньютоновского типа, описывающие движения частиц в силовом поле, которые моделируют взаимодействия кинков как частиц.

Ответ. Уравнение, описывающее взаимодействие двух кинков, имеет вид

^ =，1 - I"牲 где)= 1/，1 - IN

Взаимодействие кинк™антикинк описывается уравнением

где 7 = 1/ V1 - У2.

Динамика бризера описывается уравнением

=，］ +『2, где 71 = 1/У1 + у2,

ch 7i s

Покажите, что минимальное расстояние между сталкивающимися кинками описывается выражением (14.35).

Найдите аналитическое выражение, описывающее зависимость сдвига фаз Дж взаимодействующих кинков от их начальной скорости V.

Покажите, что энергия бризера равна Ж =

Найдите решение уравнения СГ, описывающее бегущий бризер.

Указание. Используйте решение (14.32) и условие инвариантности уравнения синус—Горгона относительно преобразований Лоренца

ПРИЛОЖЕН И Е

Эллиптические интегралы и функции

Для облегчения чтения книги ниже приводится сводка элементарных свойств эллиптических интегралов и эллиптических функций.

Эллиптические интегралы

Эллиптический интеграл первого рода определяется как

4sin夕

「. > = / 加(П1) оо

Эллиптический интеграл второго рода определяется как

夕 sin з

石(⑺《\—s?巾 d巾= /二 dt* (П2)

Оо -

Здесь 0，$，1 модуль эллиптических интегралов. Замена переменной t = sin 夕 осуществляет перевод эллиптических интегралов (П.1) и (П.2) из тригонометрической формы в алгебраическую и обратно.

Полные эллиптические интегралы (рис. П.1)

7г/2

к⑶=F 泗/ (ПЗ)

О

7г/2

Е(з)=石(夕== / J1 — F sin?⑺就 (П4) о

Для малых значений модуля s (s《1)? интегралы K(s) и E(s) имеют следующие асимптотические значения

887Г-2一一7Г-2一一21 -4+21 -4+/MV 7Г-2)一E(/MV 7Г-2)一E(281 -4281 -4

8

8

7Г-2一一

7Г-2一一

2

1 -4+

2

1 -4+

/MV 7Г-2

)一

E(

/MV 7Г-2

)一

E(

2

8

1 -4

2

8

1 -4

Для больших значений модуля s (s' = ,1 — $2《1 где sf —— дополнительный модуль),

K(s) ： in 4 е(8)-1 +1Y (пб)

Рис. П1. Зависимость полных эллиптических интегралов от параметра

Эллиптические функци

Эллиптические функции Якоби sn (г;, s) (амплитуда синуса), си (г;, 8)(амплитуда косинуса), и dn (г;, з) (дельта-амплитуда) параметра и и модуля 8 представлены преобразованием соответствующих интегралов первого рода:

sn V

0

СП VСП Vdt，(1 — /)(б/2 — б2 力 2)dt，(1 — /)(б/2 — б2 力 2)00dn v

СП V

СП V

dt

，(1 — /)(б/2 — б2 力 2)

dt

，(1 — /)(б/2 — б2 力 2)

0

0

/ , dt (П7)

丿 ,(1 — #)(#— б'?)

0

Они являются однозначными аналитическими функциями переменной г;, за исключением их полюсов, и однозначными функциями модуля 也 определенного в интервале 0 < 8 < 1. Функции

Рис. П2. Эллиптический синус при s2 = 0,0 (1), 0,8 (2), 0,99 (3), 0,9999 (4)Рис. П2. Эллиптический синус при s2 = 0,0 (1), 0,8 (2), 0,99 (3), 0,9999 (4)

Рис. П2. Эллиптический синус при s2 = 0,0 (1), 0,8 (2), 0,99 (3), 0,9999 (4)

Рис. П2. Эллиптический синус при s2 = 0,0 (1), 0,8 (2), 0,99 (3), 0,9999 (4)

сп(V)и dn(V)являются четными (см. рис. П.З-П.4), а функция

sii (г;) (рис. П.2)——нечетная функция переменной и:

сп(—簿)=—cn〃 dn(—и) = dn sn(—и) = —sntL

Для простоты системы обозначений модуль s обычно опускается.

Рис. ПЗ. Эллиптический косинус при s2 = 0,0 (1), 0,8 (2), 0,99 (3), 0,9999 (4)Рис. ПЗ. Эллиптический косинус при s2 = 0,0 (1), 0,8 (2), 0,99 (3), 0,9999 (4)Рис. П4. Дельта™амплитуда Якоби при У = 0 (1), 0,6 (2), 0,8 (3), 0,99 U), 0,9999 (5)Рис. П4. Дельта™амплитуда Якоби при У = 0 (1), 0,6 (2), 0,8 (3), 0,99 U), 0,9999 (5)

Рис. ПЗ. Эллиптический косинус при s2 = 0,0 (1), 0,8 (2), 0,99 (3), 0,9999 (4)

Рис. ПЗ. Эллиптический косинус при s2 = 0,0 (1), 0,8 (2), 0,99 (3), 0,9999 (4)

Рис. П4. Дельта™амплитуда Якоби при У = 0 (1), 0,6 (2), 0,8 (3), 0,99 U), 0,9999 (5)

Рис. П4. Дельта™амплитуда Якоби при У = 0 (1), 0,6 (2), 0,8 (3), 0,99 U), 0,9999 (5)

Периоды эллиптических функций:

sii (и + 4К) = —sii (и + 2К) = sin;,си (и + 4К) = —си (и + 2К) = си V,dn (и + 2К) = din;.

Функциональные соотношения:

sn2i; + си 2 г; = 1,dn г; + s sii и =dn2i; — s2cn 2v = sf.

Производные:

dsn 富!

-— = спи dn” dv

den 富1

-— = —snudii” dv

ddn 富2

—-—=—8 sin;сиг;. dv

Некоторые формулы интегрирования:

V

/ СП 2v dv = 3-2® —E回 8)]) о

v

J си 2vdv=s^2 \E((p^ s) — sf2v], о

v

(П8)(П8)(□9)(□9)(ПЮ)(ПЮ)(ПИ)(ПИ)J dn2vdv = E((p^ s). о

(П8)

(П8)

(□9)

(□9)

(ПЮ)

(ПЮ)

(ПИ)

(ПИ)

Дифференциальные уравнения для эллиптических функций:

樊 + (1+，2)S — 282s3 = & 祭 + (1 — 2$2)С + 2$2сЗ = & 察 + ($2 — 2)0 - 2Z)3 = 0,

(Ш2)

(П13)

(ПИ)

где используется следующая система обозначений: S = snu, С = =сиг;, and D = dnu*

Дзета-функция Якоби:

Z(〃 8)= / dll2(я, s) du —需и =石(2 8)—需и.(П15)

Это периодическая функция с периодом 2К(^).

Асимптотические разложения

При 8《1, эллиптические функции выражаются через тригонометрические:

Sill； 1 Sill V — w/ Sill и 丿 cost;,

(П16)

.s2 /1 . 2•

Clll； 1 cost； + %/ sin tn sun;,

(П17)

s2 " 9

dnu 1 1 — — sirT v.

2

(П18)

При sf =— $2《1 эллиптические функции через гиперболические функции:

выражаются

sn и t th и -半(и - sh и ch и) ch~2 г;,

(П19)

си簿 i ch~I)—岑® — chv ch V)thch^1 г;,

(П20)

din; i ch~1 и - 半(и + shu ch и) th и ch^1 v.

(П21)

Разложение в ряды Фурье:

ssin(21)费 (П22)

с11"-示工 1 + g(2九一1) 00s(2" - 1)正， (ГШ) Г оо™

1 27r 1 I 、 QTTTIV/ТТО Л \

dnu =玄 w +7 cos 1r ,(П24)

Z5 = -賢)(П25)

Где g = вхр(—тгКУ/К) и К = K(sz).

Средние значения функций:

^Гъ = (1 —Е/К"-2,(П26)

сп2г; = 1 — (1 — Е/К)$-2)(П27)

ОО 「1 2

kИ£(3)

Более детальная информация об эллиптических функциях содержится в следующих источниках:

Градштейн 〃‘。「Рыжик Н.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Физматгиз, 1962.

Янке К, Эмде Ф., Лем Ф. Специальные функции. М.: Наука, 1977.

По всему спектру вопросов, обсуждаемых в этой книге, в настоящее время еще отсутствуют обобщающие монографии и учебные пособия. Перечень книг и обзоров, посвященных отдельным вопросам теории волн и ее приложений в различных областях науки, включает сотни наименований. Приводить его здесь в полном виде не представляется ни возможным, ни целесообразным. В каждой главе мы ограничились указанием книг и обзоров, наиболее полно отражающих современное состояние рассматриваемых в ней вопросов. В список включен ряд пионерских работ, с которых начиналось развитие отдельных направлений теории волн, имеющих отношение к рассматриваемым в книге вопросам, а также работ, которые по мнению авторов оказали заметное влияние на развитие физических и математических представлений теории модулированных волн.

К главе 1

Бхатнагар П. Нелинейные волны в одномерных дисперсных системах / Пер. с англ. М.: Мир, 1983.

Виноградова МВ., Руденко О.В.^ Сухоруков А.П. Теория волн. 2-е изд. М.: Наука, 1990.

Горелик Г. С. Колебания и волны. М.: Физматгиз, 1959.

Исакович М.А. Общая акустика. М.: Наука, 1973.

Левин М.Л. Как свет побеждает тьму: У.Р. Гамильтон и понятие групповой скорости // УФН. 1978. Т. 125. С. 565-567.'

Мандельштам Л.И. Лекции по теории колебаний. М.: Наука. 1972.

Мандельштам Л.И. Лекции по оптике, теории относительности и квантовой механике. М.: Наука. 1972.

Пирс Дж. Почти все о волнах. М.: Мир, 1983.

Рабинович МЛ., Трубецков Д.И. Введение в теорию колебаний и волн. М.: Наука, 1984.

Рэлей Теория звука: в 2-х т. / Пер. с англ, под ред. С.М. Рытова. М.: Физматлит, 1956.

Рытое С. М. Некоторые теоремы о групповой скорости электромагнитных волн // ЖЭТФ. 1947. Т. 17, № 10. С. 1930.

Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны /Пер. с англ, под ред. А.Б. Шабата. М.: Мир, 1977.

К главе 2

Акустика в задачах / Под ред. С.Н. Гурбатова и О.В. Руденко. М.: Наука. Физматлит, 1996.

Артоболевский И.Ип Бобровницкий ЮН, Генкин М.Д. Введение в акустическую динамику машин. М.: Наука, 1979.*

Бреховских Л.М., Гончаров В.В. Введение в механику сплошных сред (в приложении к теории волн). М.: Наука, 1982.*

Вибрации в технике. Т. 1. Колебания линейных систем / Под ред. В.В.Болотина. М.: Машиностроение, 1978.

Виноградова МВ., Руденко О.В., Сухоруков А.П. Теория волн. 2-е изд. М.: Наука, 1990.

Гинзбург В.Л. Распространение электромагнитных волн в плазме. 2-е изд. Наука, 1967.

Григолюк Э.И.^ Селезов И. 7. Неклассические теории колебаний стержней пластин и оболочек // М.: ВИНИТИ. Итоги науки и техники. 1973. Т. 5.

Исакович М.А. Общая акустика. М.: Наука, 1973.

Кадомцев Б.Б. Коллективные явления в плазме. М.: Наука, 1988..

Красильников В.Л., Крылов В.В. Введение в физическую акустику. М.: Наука, 1985.

Ланда П. С. Линейные и нелинейные волны. М.: Наука, 1999.'

Ландау Л.Д.^ Лифшиц Е.М. Электродинамика сплошных сред. 2-в изд. М.: Наука, 1982.

Накоряков В.Б.^ Покусав в Г., Шрейбер И.Р. Волновая ди™ намика газо и парожидкостных сред. М.: Энергоиздат, 1990*

Наугольных К.А.^ Островский Л.А. Нелинейные волно вые процессы в акустике. М.: Наука, 1990.

Нигматулин Р.И. Динамика многофазных сред. Т. 2. М.: Наука, 1988.

Рэлей Теория звука: в 2-х т / Пер. с англ, под ред. С.М. Рытова. М.: Физматлит, 1956.

Сретенский Л. Д. Теория волновых движений в жидкости. М.: Наука, 1977.

Хаус X. Волны и поля в оптоэлектронике /Пер. с англ. М.: Мир, 1988.

Ле Блон Д., Майсек Л.А. Волны в океане. Т. 1. М.: Мир, 1981.

Лайтхилл Дж. Волны в жидкостях. М.: Мир, 1981.

Филлипс О.М. Динамика верхнего слоя океана. Л.: Гид™ рометеоиздат, 1980.

К главе 3

Андреев Н.Н. О некоторых величинах второго порядка в акустике. // Акустический журнал. 1995. Т. 41. N@ 5. С. 684-689.

Блохинцев Д.И. Акустика неоднородной движущейся среды. 2-в изд. Наука, 1981.

Гинзбург В.Л. Теоретическая физика и астрофизика. Гл. 12 (О тензоре энергии-импульса и силах в макроскопической электродинамике.). М.: Наука, 1975. С. 258—269.

Гинзбург В.Л. Распространение электромагнитных волн в плазме. 2-в изд. М.: Наука, 1967.

Денисов Г.Г. К вопросу об импульсе волны, радиационном давлении и других величинах в случае плоских движений идеального газа // ПММ. 1999. Т. 63, вып. 3. С. 390-402*

Зарембо Л.К., Красильников В.А. Введение в нелинейную акустику. М.: Наука, 1966.

Кадомцев Б.Б. Коллективные явления в плазме. М.: Наука, 1988.

Кадомцев Б.Б., Михайловский 4.Б., Тимофеев А.В. Волны с отрицательной энергией в диспергирующих средах // ЖЭТФ. 1964. Т. 47, вып. 6. С. 2266—2268.

Мандельштам Л.И. Лекции по оптике, теории относи- тьельности и квантовой механике. М.: Наука. 1972.

Ландау Л.Д.^ Лифишц Е.М. Гидродинамика. З-в изд. М.: Наука, 1986.

Ландау Л.Д.^ Лифшиц КМ Теория поля. 7-е изд. М.: Наука, 1989.

Ландау П.Д.)Лифшиц Е.М. Электродинамика сплошных сред. 2-в изд. М.: Наука, 1982.

〃е Блок Д., Майсек Л.А. Волны в океане. Т. 1. М.: Мир, 1981.

Летохов С.В.^ Миногин В.Г. Нелинейные движения атомов в световом поле // Нелинейные волны. Распространение и взаимодействие. М.: Наука, 1981. С. 96—103.

Мак-Интайр М.Е. Миф о «волновом импульсе» // Современная гидроднамика. Успехи и проблемы. М.: Мир. 1984. С. 454^476.

Незлин М.В. Волны с отрицательной энергией и аномальный эффект Доплера // УФН. 1976. Т. 120, вып. 4. С. 481.

Островский Л.А.^ Рыбак С.А.^ Цимриш Л.Ш. Волны отрицательной энергии в механике жидкости // УФН. 1986. Т. 50, вып. 3. С. 417—437.

Павлов В. И. К дискуссиям по проблеме пондеромоторных сил // УФН. 1978. Т. 124, вып. 2. С. 345—349.

Рабинович МН〉Трубецков Д.И. Введение в теорию колебаний и волн. М.: Наука, 1984.

Степанянц Ю.А.^ Фабрикант А.Л. Распространение волн в сдвиговых потоках. М.: Физматлит, 1996. С. 83—123*

Умов Н.А. Уравнения движения энергии в твердых телах: Избр. соч. М.-Л.: Гостехиздат, 1950. С. 151-200.

Benjamin Т.В. The threefold classification of unstable disturbances in flexible suffices bounding inviscid flows. Pt.3. //J. Fluid Meeh. 1963. V. 16. P. 436-450.

Nelson D.F. Resolution of the problem of Minkowski and Abragani // Mechanical Modelling of New Electromagnetic Materials/Ed. R.K.H. Hsieh. Elsevier. Amsterdam. 1990. P. 171-177.

Poynting J. H. Radiation pressure // Proc. Phys. Soc. of London. 1905. V. 19.

Rayleigh, Lord Strutt J. Ж. On the pressure of vibrations // Phil. Mag. 1902. V. 3, № 15. P. 338^546.

Sturrock P.A. In what sence do slow waves carry negative energy // J.Appl. Phys. 1960. V. 31. P. 2052—2056“

К главе 4

Бердичевский В.Л. Вариационные принципы механики сплошной среды. М.: Наука, 1983.

Вариационные принципы механики /Под. ред. Л.С. Полак. М.: Физматгиз. 1959.

Гельфанд И.М.^ Фомин С.В. Вариационное исчисление. М.: Физматгиз. 1961.

Ландау Л.Д.^ Лифшиц Е.М. Теория поля. 7-е изд. М.: Наука, 1989.

Лисин В.Б., Потапов А.И. Вариационный метод вывода уравнений нелинейной механики жидких кристаллов // ПММ. 1999. Т. 63, № 2. С. 340-346*

Островский Л.А.^ Пелиновский Е.Н. Метод усреднения и обобщенный вариационный принцип для несинусоидальных волн // ПММ. 1972. Т. 36. № 1. С. 71—78.

Островский Л.А.^ Рыбак С.А.^ Цимриш Л.Ш. Волны отрицательной энергии в гидродинамике // УФН. 1986. Т. 50. Вып. 3. С. 417—437.

Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны / Пер. с англ, под ред. А.Б. Шабата. М.: Мир, 1977.

Селиджер Р.Л.^ Уизем Дж. Б. Вариационные принципы в механике сплошной среды // Сб. пер. Механика. М.: Мир. 1969. № 5. С. 99-123.

Шмутцер Э. Основные принципы классической механики и классической теории поля. М.: Мир, 1976.

Bretherton F.F., Garrett С. J.R. Wavetrains in inhomogeneous moving media // Proc.Roy.Soc. London. 1968. V.A302. P. 529—554*

К главе 5

Баренблатт Г.И. Подобие, автомодельность, промежуточная асимптотика. 2-е изд. Л.: Гидрометеоиздат, 1982.

Бреховских Л.М. Волны в слоистых средах. 2-в изд. М.: Наука, 1973.

Бхатнагар П. Нелинейные волны в одномерных дисперсных системах / Пер. с англ. М.: Мир, 1983.

Вайнберг Б.Р. Асимптотические методы в уравнениях математической физики. М.: Из-в о МГУ, 1982.

Вайнштейн Л.А. Распространение импульсов // УФН. 1976. Т. 118, вып. 2. С. 339-367.

Вайнштейн Л.А.^ Бакман Д.К Разделение частот в теории колебаний и волн. М.: Наука, 1983.

Бакман Д.Е. Эволюция параметров импульса при расиро- странении с дисперсией и затуханием // Радиотехника и электроника. 1986. Вып. 3. С. 531—536.

Волосевич Д. Д., Леванов Е.И. Автомодельные решения задач газовой динамики и теплопереноса. М.: Изд-во МФТИ, 1997.

Лайтхилл Дж. Волны в жидкостях. М.: Мир, 1981.

Заславский Г.М., Мейлис В.П.^ Филоненко Н.Н. Взаимодействие волн в неоднородных средах. Новосибирск: Наука, 1982.

Маслов В.П. Теория возмущений и асимптотические мв- тоды. М.: МГУ, 1965.

Найфе А. Методы возмущений / Пер. с англ. под. ред. Ф.Л. Черноусько. М.: Мир, 1976.

Седов Л.И. Методы подобия и размерности в механике. М.: Наука, 1988.

Tay С.А. Линейные волны в средах с дисперсией // Нелинейные волны /Под ред. С. Лейбовича и А. Сибасса. М.: Мир, 1977. С. 54-90.

У из ем Дж. Линейные и нелинейные волны. М.: Мир, 1978.

Хеддиш Дж. Введение в метод фазовых интегралов. Мв- тод ВКБ. М.: Мир, 1985.

Ястребов В.П. Автомодельные задачи о распространении продольных волн в нелинейных средах // ПМТФ. 1985. № 4. С. 118428.

К главам 6 и 7

Бабич В.М.^ Булдырев В. &, Молотков И. А. Пространственно-временной лучевой метод. Линейные и нелинейные волны. Л.: Из-во ЛГУ, 1985.

Бреховских JI.М. Волны в слоистых средах. 2-в изд. М.: Наука, 1973.

Вайнштейн Л.А. Распространение импульсов // У①Н* 1976. Т. 118, вып. 2. С. 339^367.

Кравцов Ю.А.^ Орлов Ю.И. Геометрическая оптика неоднородных сред. М.: Наука, 1980.

Кравцов Ю.А^ Островский Л.А.^ Степанов Я.С. Геометрическая оптика неоднородных и нестационарных сред // ТИИЭР. 1974. Т. 62, № 11. С. 91.

Леонтович М.А. Об одном методе решения задач о рас™ пространении электромагнитных волн // Изв. АН СССР. Сер. Физич. 1944. Т. 8. Вып. 1. С. 16.

Леонтович М.А.^ Фок В.А. Решение задачи о распростра™ нении электромагнитных волн вдоль поверхности земли по методу параболического уравнения // ЖЭТФ. 1946. Т. 16. С. 557.

Островский Л.А. Дисперсионное сжатие частотно-моду- лированных волн в неоднородной плазме // Изв. ВУЗов. Радиофизика. 1969. Т. 12. С. 1333—1338.

Островский Л.А.^ Потапов А.И. Модулированные волны в линейных средах с дисперсией. Горький: Из-в о Горьковского ун-та, 1988.

Островский Л.А.^ Рабинович М.И. Нелинейные и нестационарные волны. Рязань: Из-во РТИ, 1975.

Рытое С.М. Модулированные колебания и волны // Труды ФИАН СССР. 1940. Т 11, вып. 1. С. 43^133.

Рытое С.М. О переходе от волновой к геометрической оптике // ДАН СССР. 1938. Т 18, № 2. С. 263*

К главе 8

Л верков С. И., Болдин В.П. Волны в нестационарных неоднородных средах без дисперсии // Изв. ВУЗов. Радиофизика. 1980. Т. 23, № 9. С. 1060-1066.

Аверков С.И., Островский Л.А. Распространение колебаний в системах с переменными параметрами // Изв. ВУЗов. Радиофизика. 1958. Т. 1〉№ 4. С. 46—51.

Аверков С.И.^ Степанов Р. С. Распространение волн в системах с бегущими параметрами // Изв. ВУЗов. Радиофизика. 1959. Т. 2, № 2. С. 203-212.

Аверков С.PL： Хронопуло Ю.Г. Электромагнитные волны в диспергирующих средах с переменными параметрами // Изв. ВУЗов. Радиофизика. 1960. Т. 3〉№ 5* С 818-825.

Басович А.Я.^ Таланов В.И. Адиабатическое взаимодействие волн // Нелинейные волны. Распространение и взаимодействие. М.: Наука, 1981. С. 147—166.

Кравцов Ю.А.^ Орлов Ю.И. Геометрическая оптика неоднородных сред. М.: Наука, 1980.

Кравцов Ю.А.^ Островский Л.А.^ Степанов Я.С. Геомет™ рическая оптика неоднородных и нестационарных сред // ТИИЭР. 1974. Т. 62, № 11. С. 91-112*

Островский Л.А. О приближении геометрической оптики для волн в линиях передачи с переменными параметрами // Изв. ВУЗов. Радиофизика. 1961. Т. 4. С. 293-305.

Островский Л.А.^ Степанов Я. С. Нерезонансные параметрические явления в распределенных системах // Изв. ВУЗов. Радиофизика. 1971. Т. 14. С. 489—529.

Степанов Я. С. Распространение волн в недиспергирующих системах с переменными параметрами // Изв. ВУЗов. Радиофизика. Т. 3. 1960. С. 672—682.

Armstrong J.A. and Shiren N.S. Theory of phase and amplitude bunching in travelling wave interactions // IEEE, J. Quant. Electron. 1973. V. 9, 1, Part I. P. 17-23.

Landauer R. Parametric amplification along nonlinear transmission lines // J. Appl. Phys. 1960. V. 31. P. 479—484*

Morgenthaler F.R. Velocity modulation of electromagnetic waves // IRE Trans. Microwave Theory Tech., 1958. MTT-

P* 167-172*

Ostrovsky L.A.^ Potapov A.I. Modulated waves. Theory and applications. The Johns Hopkins Univ.Press. Baltimore™ London. 1999.

Tien P.K. and Suhl H.A. Travelling wave ferromagnetic amplifier // Proc. IRE. 1958. V. 46. P. 700^706.

К главе 9

Более полную информацию о математических моделях, они- сывающих нелинейные волновые процессы в системах раз лич™ ной природы можно найти в работах:

А грав ал Г. Нелинейная волновая оптика /Пер. с англ, под ред. П.В.Малышева. М.: Мир, 1996.

Ахманов С.А.^ Хохлов Р.В. Проблемы нелинейной оптики (электромагнитные волны в нелинейных диспергирующих средах). М.: Наука, 1964.

Багдоев А.Г. Распространение волн в сплошных средах. Ереван: Из-во АН АрМ ССР, 1981.

Бреховских Л.М., Гончаров В.В. Введение в механику сплошных сред в приложении к теории волн. М.: Наука, 1982.

Вломберген М. Нелинейная оптика. М.:Мир, 1966.

Зарембо Л.К.^ Красильников В.А. Введение в нелинейную акустику. М.: Наука, 1966.

Кулаков Л.В., Румянцев А.А. Введение в физику нелинейных процессов. М.: Наука, 1988.

Львов В. С. Нелинейные спиновые волны. М.: Наука, 1987.

Наугольных К.24p Островский Л.А. Нелинейные волновые процессы в акустике. М.: Наука, 1990.

Лейбович С.)Сибасе А.Р. Примеры диссипативных и диспергирующих систем, описываемых уравнениями Бюргерса и Кортевега-де-Вриза // Нелинейные волны. М.: Мир, 1977. С.117-150.

Нелинейные волны. Распространение и взаимодействие // Под ред. А.В. Гапонова^Грехова. М.: Наука, 1981.

Островский Л.А.^ Сутин А.М. Нелинейные упругие волны в стержне // ПММ. 1977. Т. 41, № 3. С. 531^537.

Порубов 4.В., Самсонов А.М. Уточнение модели распространения продольных волн деформации в нелинейноупругом стержне // Письма в ЖТФ. 1993. Т. 19, Вып. 12. С. 26-2»

Потапов А.И. Нелинейные волны деформации в стержнях и пластинах. Горький: Изд-во ГГУ. 1985.

Руденко О.В., Солуян С.И. Теоретические основы нелинейной акустики. М.: Наука, 1975.

Селезов И. 7., Корсунский С.В. Нестационарные и нелинейные волны в электропроводящих средах. Киев: Нау ков а думка, 1991.

Скотт Э. Волны в активных и нелинейных средах в приложении к электронике. М*: Сов. радио, 1977.

К главе 10

Акустика в задачах / Под ред. С.Н. Гурбатова и О.В. Руденко.- М.: Наука. Физматлит, 1996.

Габов С.А. Введение в теорию нелинейных волн. М.: Изд- во МГУ, 1988.

Гапонов 4.В., Островский Л.А.^ Фрейдман Г.И. Удар™ ные электромагнитные волны // Изв. ВУЗов. Радиофизи™ ка. 1967. Т 10, № 9—16 С. 1376^1413.

Додд F., Эйлбек Дж.^ Гиббон Дж., Моррис X* Солитоны и нелинейные волновые уравнения / Пер. с англ, под ред. А.Б. Шабата. М.: Мир, 1988.

Зельдович Я.Б.^ Райзер Ю.П. Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамичеких явлений. М.: Наука, 1966.

Капель Г.Ж, Разоренков С.В.^ Уткин А.В.^ Фортов В.Е. Ударно-волновые явления в конденсированных средах. М.: Янус-К, 1996.

Куликовский А.Г., Свешникова Е.И. Нелинейные волны в упругих средах. М.: Московский лицей, 1998.

Накоряков В.Б., Покусаев Б.Г.^ Шрейбер И.Р. Волновая динамика газо- и парожидкостных сред. М.: Энергоиздат, 1990.

Нелинейные волны/Ред. С. Лейбович и А. Сибасе/ Пер с англ, под ред. А.В. Гапонова и Л.А. Островского. М.: Мир, 1977*

Неравновесные и резонансные процессы в плазменной радиофизике, гл. 9 / Н.С. Ерохин, М.В. Кузелев, С.С. Моисеев и др. М.: Наука, 1982.

Островский Л.А. Приближенные методы в теории нвли- нейных волн // Изв. ВУЗов. Радиофизика. 1974. Т. 17, Ж 4. С. 454-476%

Островский Л.А.^ Пелиновский Е.Н. О приближенных уравнениях для волн в средах с малыми нелинейностью и дисперсией // ПММ. 1974. Т. 38, № 1. С. 121-124.

Пелиновский Е”Н.)Фридман ВЕ)Энгельбрехт Ю.К. Нелинейные эволюционные уравнения. Таллин. Валгус, 1984.

Руденко О.В., Солуян С.И. Теоретические основы нелинейной акустики. М.: Наука, 1975.

Сборник задач по теории колебаний / Под ред. Л.В. Постникова и В.И. Королева. М.: Наука, 1978.

Энгельбрехт Ю.К.^ Нигул У.К. Нелинейные волны де™ формации. М.: Наука, 1981.

К главе 11

Абдуллаев Ф.Х, Дарманян С.А.^ Хабибулаев ПК Оптические солитоны. Ташкент. Из-во ФАН, 1987.

А г рае ал Г. Нелинейная волновая оптика /Пер. с англ, под ред. П.В. Малышева. М.: Мир, 1996.

Ахманов С.А.^ Выслоух В.4., Чиркин А. С. Оптика фем- птосекундных лазерных импульсов. М.: Наука, 1988.

Власов С.Н.^ Таланов В.И. Самофокусировка волн. Н. Новгород: ИПФ РАН, 1997.

Гапонов 4.В., Островский Л.А.^ Рабинович М.И. Одномерные волны в нелинейных системах с дисперсией // Изв. ВУЗов. Радиофизика. 1970. Т. 13, № 2. С* 163-213.

Громов Е.М., Таланов В.И. Короткие солитоны огибающей (Комбинированное нелинейное уравнение) // Изв. ВУЗов. Радиофизика. 1996. Т. 39, № 6. С. 735—756.

Громов Е.М.^ Таланов В.И. Нелинейная динамика коротких волновых пакетов в среде с дисперсией // ЖЭТФ. 1996. Т ПО, вып. 1. С. 137^149.

Гуревич Л .В., Крылов А.Л.^ Элъ Г. А. Нелинейные модулированные волны в дисперсионной гидродинамике // ЖЭТФ. 1990. Т. 98, вып. 5(11). С. 1654-1626.

Захаров В.К, Шабат А.Б. Точная теория двумерной самофокусировки и одномерной автомодуляции волн в нелинейных средах // ЖЭТФ. 1971. Т. 61, вып. 1. С. 118-134.

Карпман В.И. Нелинейные волны в диспергирующих средах. М.: Наука, 1973.

Карпман В.И.^ Крушкалъ Е. М. Модулированные волны в нелинейных диспергирующих средах // ЖЭТФ. 1968. Т. 55, Вып. 2. С 530.

Ковригин Д.4., Потапов А.И. Нелинейная волновая динамика одномерных упругих систем // Изв. ВУЗов. Прикл. нелин. динамика. 1996. Т. 4, >д 2. С. 72-102.

Литвак Л .Г., Таланов В. И. Применение параболического уравнения к расчету полей в диспергирующих нелинейных средах // Изв. ВУЗов. Радиофизика. 1967. Т. 10, № 4. С. 539.

Нелинейная теория распространения волн / Пер. с англ, под ред. Г.И. Баренблатта, М.: Мир, 1970.

Нестерова З.В., Александров И.В. Ударные волны огибающих пикосекундных световых импульсов в изотропных жидкостях // ЖЭТФ. 1985. Т. 88, вып. 1. С. 96—106.

Островский Л.А. Электромагнитные волны в нелиней™ ных средах с дисперсией // ЖТФ. 1963. Т. 33. № 8. С. 905.

Островский Л.А. Распространение волновых пакетов и пространственно-временная самофокусировка в нелинейной среде // ЖЭТФ. 1966. Т. 51, вып^. 4(10). С. 1189-1194.

Ост.ровский Л.А. Ударные волны огибающих // ЖЭТФ. 1968. Т. 54, № 4. С. 1235-1243.

Ост.ровский Л.А.^ Соуст.ов Л.В. «Самомодуляция» электромагнитных волн в нелинейных линиях передачи // Изв. ВУЗов. Радиофизика, 1972. Т 15, № 2. С. 243—247*

Ост.ровский Л.А.^ Соуст.ов Л.В. Ударные волны огибающих и релаксационная неустойчивость электромагнитных волн в нелинейной линии // Изв. ВУЗов. Радиофизика. 1975. Т 18, № 5. С. 700^706.

Питаевский Л. /7. Вихревые нити в идеальном Бозе-газе // ЖЭТФ. 1961. Т. 40, Вып. 2. С. 646—65L

Таланов В.И. О самофокусирующихся волновых пучках в нелинейной сред // Письма в ЖЭТФ. 1965. Т. 2, № 5. С. 218-222.

ТалиповаПелиновский Е.Н.)Кит К, Еитан О. Нелинейная трансформация волновых пакетов в слабо диспергирующих средах // Изв ВУЗов Радиофизика. 1999. Т. 42, № 4. С. 354—358.

Шварцбург А.Б. Геометрическая оптика в теории нелинейных волн. М.: Наука, 1976.

Юэн Г., Лэйк Б. Нелинейная динамика гравитационных волн на глубокой воде/Пер. с англ. М.: Мир, 1987.

Hasegawa /” Solitons in Optical Fibers. Berlin: Springer Verlag, 1989.

Kivchar Yu.^ Chubycalo O., Usatenko O., Grinyoft D. Bright and dark gap solitons governed by quadratic nonlinearities // Int.J. of Modern Phys. В 9, № 8； 1995* P. 875—93L

Ostrovsky L.A^ Potapov A.I. Modulated waves. Theory and applications. The Johns Hopkins Univ.Press. Baltimore- London. 1999.

Yagi T., Kawahara T* Strongly nonlinear envelope soliton in a lattice model for periodic structure // Wave Motion, 2001. V. 34. P. 97—107*

Wu J., Wheartley S.)Putterm.an S.)Rudnick L Observation of envelope solitons in solids // Phys. Rev. Lett. 1987. V. 59. N. 24. P. 2744—2747“”

К главе 12

Андронов Л .Л., Витт Л .Л., Хайкин С.Э. Теория колебаний. М.: Физматлит, 1959.

Богатырев Ю.К. Импульсные устройства с нелинейными распределенными параметрами. М.: Из-во Сов. радио, 1974.

Бхатнагар /7. Нелинейные волны в одномерных дисперсных системах / пер. с англ. М.: Мир, 1983.

Габов С.А. Введение в теорию нелинейных волн. М.: Изд- во МГУ, 1988.

Гришин ВЕ)Федянин В.К. Интегрирование модели 夕‘ в эллиптических функциях Якоби и исследование их методом фазовой плоскости // Теор. и Матем. Физика. 1984, Т. 59, № 3. С. 440-452%

Гуревич Л.В., Питаевский Л.П. Распад начального разрыва в уравнении Кортевега-де-Вриза // Письма в ЖЭТФ. 1973. Т. 17, вып. 5. С. 268—27L

Заславский Г.М. Нелинейные волны и их взаимодействие // У①Н. 1973. Т 111, вып. 3. С. 395—426.

Захаров В.Е. Устойчивость периодических волн конечной амплитуды на поверхности глубокой жидкости // ПМТФ. 1968. № 2. С 86—9丄”

Кадомцев Б.Б., Карпман В.И. Нелинейные волны // УФН. 1971. Т 103, вып. 2. С. 193^232.

Карпман В.И. Нелинейные волны в диспергирующих сре~ дах. М.: Наука, 1973.

Косевич А.М.^ Ковалев А. С. Введение в нелинейную физическую механику. Киев: Нау ков а думка, 1989.

Милосердова И.В.^ Пот.апов А.И. Нелинейные стоячие волны в стержне конечной длины // Акустичекий журнал. 1983. Т. 29, № 4. С. 515—520*””

Некрасов А.И. Точная теория волн установившегося вида на поверхности тяжелой жидкости //Собр. соч. Т. 1. М.: Физматгиз, 1961. С. 358-439.

Нелинейные волновые процессы // Сб. статей 1982— 1985 гг. / Пер. с англ, под ред. В.Н. Николаевского. М.: Мир, 1987.

Нелинейная теория распространения волн / Пер. с англ, под ред. Г.И. Баренблатта. М.: Мир, 1970.

Ост.ровский Л.А.^ Пелиновский Е.Н. Трансформация волн на поверхности жидкости переменной глубины // Изв. АН СССР ФАО. 1970. Т 6, № 9. С. 934-939：

Пелиновский Е.Н. Нелинейная динамика волн цунами. Горький: ИПФ РАН, 1982.

Потапов Л.#., Семерикова Н.П. Нелинейные продольные волны в стержне с учетом взаимодействия полей деформации и температуры // ПМТФ. 1988, № 1. С. 57—61.

Сборник задач по теории колебаний / Под ред. Л.В. Постникова и В.И. Королева. М.: Наука, 1978.

Скотт Э. Волны в активных и нелинейных средах в приложении к электронике. М.: Сов. радио, 1977.

Сретенский Л.Н. Теория волновых движений в жидкости. М.: Наука, 1977.

К главе 13

Абловиц М, Сигур X. Солитоны и метод обратной задачи // Пер. с англ, под ред. В.Е.Захарова. М.: Мир, 1987.

Весницкий Л.#., Ост.ровский Л.А.^ Папко В.В^ Шабанов В.Н. Параметрическая генерация импульсов в распределенных системах // Письма в ЖЭТФ. 1969. Т. 9. С. 274— 275.

Горшков К.А.^ Ост.ровский Л.А.^ Папко В.В. Параметрическое усиление и генерация импульсов в нелинейных распределенных системах // Изв. ВУЗов. Радиофизика. 1973. Т 16, № 8, С. 1195^1204.

Горшков К.А.^ Островский Л.А.^ Папко В.В. Взаимодействия и связанные состояния солитонов как классических частиц // ЖЭТФ. 1976.工 71, вып. 2(8). С. 585^593.

Горшков К.А.^ Ост.ровский Л.А., Пелиновский ЕН Вопросы асимптотической теории нелинейных волн // TlfflOP. 197丄 Т. 62. Вып. 11. С. 113^120.

Додд F., Эйлбек Дж.^ Гиббон Дж.^ Моррис X. Солитоны и нелинейные волновые уравнения // Пер. с англ, под ред. А.Б. Шабата. М.: Мир, 1988.

Дрейден ГИ)Островский Л.#., Самсонов Л.М, Семенова КВ., Сокуринская Е.В. Формирование и распространение солитонов деформации в нелинейно-упругом твердом теле // ЖТФ. 1988. Т. 58, № 9. С. 2040—2047.

Кажаев В.В., Потапов Л.#., Семерикова Н.П. Расщепление частицеподобных волн при встречных столкновениях // Изв. ВУЗов Радиофизика, 1995, Т. 38. № 12 С. 100^105.

Карпман В.#., Маслов Е.М. Теория возмущений для солитонов // ЖЭТФ. 1977. Т. 73, вып. 2(8). С. 537^559.

Лазариди А.Н^ Нестеренко В. Ф. Обнаружение уединенных волн нового типа в одномерной зернистой среде // ПМТФ. 1985, № 3. С. 115^118.

Л эм Дж. Введение в теорию солитонов. М.:Мир, 1983.

Нестеренко В. Ф. Распространение нелинейных импульсов сжатия в зернистой среде // ПМТФ. 1983, № 5. С. 136148.

Пелиновский Е.Н. Авторезонансные процессы при взаимодействии уединенных волн с внешними полями // Прикладная Гидромеханика. 2000. Т. 2(74). № 4. С. 67——72.

Слюняев Л .В., Пелиновский Е. Н. Динамика солитонов большой амплитуды // ЖЭТФ, 1999. Т. 116, вып. 1. С. 318-335.

Солитоны / Ред. Р. Буллаф и Ф. Кодри. М.: Мир, 1983.

Солитоны в действии / Ред. К. Лонгрен и Э. Скотт. М.: Мир, 1983.

Теория солитонов. Метод обратной задачи /Под ред. С.П.Новикова. М.: Наука, 1980.

Энгельбрехт. Ю.К.^ Нигул У.К. Нелинейные волны де™ формации. М.: Наука, 1981.

Bona J.L., Pritchard Ж. <9., Scott L.R. Solitary-wave interaction// Phys. Fluids 1980. V. 23* P. 438—44L "

Feng B.-F.^ Kawahara T. Multi-hump stationary waves for a Korteveg-de Vries equation with nonlocal perturbations // Physica D. 2000, V. 137)P. 237-246川

Gorshkov K.A.^ Ostrovsky L.A. Interaction of solitons in nonintegrable systems. Physica D. 1981, V. 3. № 1—2. P. 428-438.””

Grimshaw Е丿 Pelinovsky К, Sakov Р. Interaction of a solitary wave with an external force moving with variable speed //Stidies in Appl. Mathematics, V. 97. 1996. P. 235-276.

Kivshar Yu.S.^ Malomed B.A. Dynamics of solitons in nearly inlegrable systems //Rev. Modern of Physics. 1989, V. 61. № 4. P. 763^915.”

Keener J.R.^ McLaughlin D. Ж. Soliton under perturbation//Phys. Rev, 1977, A16, P. 777.

Lewis。七 Tjon LA. Resonant production of solitons in the RLM equation // Phys. Lett. 1979, 73A, P. 275-279.

Ostrovsky L.A.^ Gorshkov K.A. Perturbation theories for nonlinear waves//Nonlinear scince at the dawn at the XXI century/egs. P. Gristiansen, M. Soerensen. Amsterdam. Elsevier 2000.

Ostrovsky L.A.^ Potapov A.I. Modulated waves. Theory and applications. The Johns Hopkins Univ.Press. Baltimore- London. 1999.

Pelinovsky K, Talipova T., Kharif C. Nonlinear dispersive mechanism of the freak wave for-mation in shallow water //Physica D. 2000. V. 147. № 1—2* P. 83—94

Potapov Л./., Vesnitsky A.I. Interaction of solitary waves under head-on collisions. Experimental investigations //Wave Motion. 1994. V. 19. P. 29-35%

Santarelli D.R. Numerical analysis of the regularized longwave equation: inelastic collision of solitary waves, Nuovo Ci- mento 46 B, № 1, 1978, P. 179^188.”

Samsonov A.M. Strain solitons in solids and how to construct them. Chapman and Hall. CRC Press, London, Boca Raton, New York. 2001.

К главе 14

Давыдов А. С. Солитоны в молекулярных системах. Киев: Наукова думка, 1984.

Додд F., Эйлбек Дж.^ Гиббон Дж.^ Моррис X. Солитоны и нелинейные волновые уравнения /Пер. с англ, под ред. А.Б. Шабата. М.: Мир, 1988.

Захаров В.К, Тахтаджян Л.А.^ Фаддеев Л. Ф. Полное описание решений nSine-Gordonпуравнения // ДАН СССР. 1974. Т. 219, № 6. С. 1334-1337.

Косевич А.М., Иванов Б.Л., Ковалев А. С. Нелинейные волны намагниченности: Динамические и топологические солитоны. Киев: Нау ков а думка, 1983.

Косевич А.М.^ Ковалев А. С. Введение в нелинейную физическую механику. Киев: Нау ков а думка, 1989.

Лэм Дж. мл. Введение в теорию солитонов /Пер. с англ, под ред. В.Е. Захарова. М.: Мир, 1983.

Солитоны / Ред. Р. Буллаф и Ф. Кодри. М.: Мир, 1983.

Солитоны в действии / Ред. К. Лонгрен и Э. Скотт. М.: Мир, 1983.

Топологический солитон // Физическая энциклопедия. Т. 5. М. БРЭ, 1998, С. 134—142.

Eilinberger G. Solitons. Mathematical Methods for Physicists. Springer-Verlag. Berlin Heidelberg New York, 1981.

Ostrovsky L.A.^ Potapov A.I. Modulated waves. Theory and applications. The Johns Hopkins Univ.Press. Baltimore- London. 1999.

Работы, содержащие исторические сведения

Читатель, более детально интересующийся историей науки и, в частности, теории волн, может обратиться к следующим работам:

И.1. Белл Дж. Ф. Экспериментальные основы механики де~ формируемых твердых тел. Ч. 1, 2. / Пер. с англ. М.: Наука, 1984.

Книга предстпабл笈етп собой капитальный исторический обзор. В ней описаны эксперимент,алъные исследования, явивишеся ист.оками создания той или иной eemew механики т.вердого деформируемого т.ела или поворот.нъш пункт,ом в ее ист.ории. Ее содержание охватмвает. 300- лет,ний период — от первых опыт.ов Р. Гука (1678 ?.丿 и до 1972 ?. — года завершения работ,ы авт.ора над книгой.

И.2. Боголюбов Н.Н. Математики и механики: Библиографический справочник. Киев: Нау ков а думка, 1983.

Помещены сведения о жизни и научной деят.елъности свыше 1500 ученых-математ.иков и механиков прошлого и современности. Приведены хронология важнейших со быт.ий в области мат.емат.ики и механики.

И.З. Буллаф F., Кодри Ф. Солитон и его история // Солитоны / Ред.Р.Буллаф и Ф. Кодри / Пер. с англ. М.: Мир. 1983, с 77

И.4. Вариационные принципы механики / Под ред. Л.С. Полак. М.: Физматгиз, 1959.

8 этом сборнике собраны работы основоположников вариационных принципов в механике: Ферма, Моперт.юи, Эйлера, Лагранжа, Гамильтона, Якоби, Остроградского и др.

И.5. Клейн Ф. Лекции о развитии математики в XIX столетии. М.: Наука, 1989.

Это одна из лучших и ярко написанных историй матема- т.ики XIX ст.олет.ия, отражающая, в част,ноет,и^ развитее вариационных мет.одов классической механики и ма- т.емат.ической физики.

И.6. Майлс Дж. Уравнение Кортевега-де Вриза (исторический очерк) // Современная гидромеханика / Пер. с англ.М.: Мир, 1984. С. 186^208.

И.7. Меркулова Н.М История механики газа (До начала XX века). М.: Наука, 1973.

Дается историко-научный анализ развития механики га~ за и формирование ее основных направлений. Подробно обсуждается история простых волн, движущихся разрывов и ударных волн в газодинамике.

И.8. Паули В. Теория относительности. М.: Наука, 1983.

В эт.ой книге, а т.акже в приложениях к ней можно най- mw исторические сведения о возникновении т.аких поня- т,ий. как ^энергиям и «импульса в т.еории электромагнит,ных волн, т.еории от,носит,елъност,и и релятивист,- ской т.еории гравит.ации, а т.акже излагает,ся ист.ория проникновения вариационных принципов в эт.и разделы физики.

И.9. Планк М. Принцип сохранения энергии. М.-Л. 1938.

Эта книга была написана 29-летним МПланком в 1887 г. как конкурсная работ.а философского факулът.ет.а /ет- тингенского университета, условием которого было точное историческое изложение значения и применения слова «энергиям в физике. Она содержит разделы: историческое развитие закона сохранения различных видов энергии, формулировка и доказательство принципа сохранения энергии. Книга сыграла значительную роль в истории развития этого фундаментального закона природы и выдержала пять изданий на немецком языке.

И. 10. Пирс Дж. Почти все о волнах. М.: Мир, 1976.

Книга содержит, много исторического материала по теории волн. Она адресована в первую очередь молодым спе~ циалистам и предст.авляетп собой инт.ересную попыт.ку выработат.ъ у них глубокое инт.уит.ивное понимание фи~ зической сут.и волновых процессов при минимальном ис~ пользовании мат.емат.ического аппарат.а.

И.11. Погребысская Е.И. Дисперсия света. Исторический очерк. М.: Наука, 1980.

Излагает,ся ист.ория развитая предст.авлений о дисперсии свет,а, начиная с опыт.ов Нъют.она по разложению свет,а призмой в спект.р и кончая анализом проблемы в квант.овой т.еории.

И.12. Рэлей Теория звука:в 2-х т /Пер. с англ, под ред. С.М. Ры- това. М.: Физматлит, 1956.

Это первая монография (1877 2丿 в мировой научной литературе, посвященная изложению фундаментальных основ теории колебаний и волн. Содержит многочисленные исторические справки и ссылки на первоисточники по акустике^ волнам в газе, на поверхности воды, в твердых т.елах и многое другое.

ИЛЗ. Филиппов А.Т. Многоликий солитон. 2~е изд. М.: Наука, 1990. ”

В увлекат.елъной форме рассказано о широком круге явлений, кот.орые объединяет, нелинейная т.еория колебаний и волн. На примере науки о солит,онах сделана попыт.ка показат.ъ как развивает,ся наука вообще, как она в ит.оге после многих недоразумений, заблуждений и ошибок до- бирает.ся до ист,ины.

И. 14. Франкфурт У.И. Закон сохранения и превращения энергии. М.: Наука, 1978.

Прослеживается история развития закона сохранения и превращения энергии от классической механики до теории относительности и атомной физики. Приводятся очерки о Р. Майере, Г. Гельмгольце и Д. Джоуле.

И.15. Храмов Ю.А. Физика: Биографический справочник. 2~е изд. М.: Наука, 1983.

Содержит, крат,кие сведения о жизни и научной деят.елъ- ности около 1200 физиков прошлого и современности, внесших вклад в развитее физической науки. Содержит, также хронологию физики, список Лауреатов Нобелевской премии по физике.

Адиабатический инвариант 106, 111, 183

Автомодельная переменная 130, 131

Автомодельное решение 130, 131,

134, 141-145, 168

Амплитуда комплексная 18, 75, 165, 191‘‘‘

—— ——медленно меняющаяся 24, 27, 75, 165, 191'

Антикинк 348, 364

Асимптотическое поведение волны 128, 157^159

——разложение 127, 136

Бризер 359-362, 365

Бегущая волна параметра 200

Вариационное уравнение 98, 100

Вариационный принцип 96—97, 113

Гамильтона 115

Гамильтона-Остроградского 97, 116'

усредненный 104, 118 (см. также метод Уизема)

Взаимодействие обгонное 327

——кинка и антикинка 357-360, 364

—кинков 352—355, 362

——солитона с волной накачки 317

——солитонов 325-327, 336-338

Взрывная неустойчивость 306

ВКБ~приближение 135, 140, 145

ВКБ~решение 137, 139

Волна акустическая в идеальном газе 43, 217

в газе с релаксацией 44

в жидкости с пузырьками газа 46

——гармоническая 17

——де Бройля 131, 143

——квазигармоническая 14,75, 76, 165, 181, 257

——квазипериодическая несинусоидальная 14, 281-299

——кноидальная (нелинейная периодическая) 287, 289

——модулированная 13, 22, 29, 127, 131

Волна на глубокой воде 50, 128

——на мелкой воде 50, 221, 242

——на поверхности жидкости 48-50, 60, 220, 306'

—накачки 319, 320

—несущая 14, 24, 29

——огибающей 257-282

——отрицательной энергии (ВОЭ) 78, 89, 111'

——параметра несинхронная 203

синхронная 205

——Римана (см. также простая волна)

14, 149, 244, 263

——стационарная 283

—ударная 246-253

——уединенная 142

—упругая 51,52,61, 224

в стержне с переменными параметрами 195

изгибная в стержне 54

продольная в стержне 52, 226

——электромагнитная (см электромагнитная волна)

——Эйри 128

Волна-частица 143, 144

Волновое действие 106, 107

—уравнение 35, 38, 43, 57

——число локальное 147

Волновой импульс 101, 107

—пакет 23, 26

Гамильтона вариационный принцип 115

—— уравнения 98, 99, 107, 115

—формализм 117

——функция 115

Гамильтониан 96

—усредненный 108

Гамильтона-Остроградского вариа

ционный принцип 97, 116

Геометрическая оптика 160

пространственно-временная 146,

160, 180, 260

Групповая скорость 25, 72

гравитационной волны 50

Групповая скорость гравитационнокапиллярной волны 50

изгибной волны в стержне 55

продольной волны в стержне 53

—— ——электромагнитной волны в плазме 37

Групповой синхронизм 185

Давление радиационное 88

—света 83, 91

Декремент затухания волны 30

Дисперсия волны 21, 51,56, 57

——аномальная 25,43

——нормальная 25, 41, 51

—света 58—60

Дисперсионное соотношение 147

—уравнение 21, 28

акустической волны в газе с ре- лаксацией 45

—— ——гравитационно-капиллярной волны 49

гравитационной волны на глубокой воде 50, 128

капиллярной волны 50

—— ——волны отрицательной энергии (ВОЭ) 80

электромагнитной волны 37—41

нелинейное 288, 293, 294, 299

изгибной волны в стержне 55

продольной волны в стержне 53

Диссипация 77, 305

Задача Бернулли 137, 142

Задача Буссинеска 144

Закон сохранения волнового действия 106-108, 183

волнового импульса 100, 101

—— ——импульса электромагнитного поля 82, 85

энергии 65, 107

Затухание волны 30

Импульс акустического поля 87

——волновой 101, 107

——электромагнитного поля 82

в вакууме 82

в диэлектрике 85, 90

Инкремент неустойчивости ВОЭ 82

Интеграл Френеля 132

—①урье 26, 27, 75 125, 174, 255

Каустика пространственно-временная (ПВ-каустика) 150, 187

Квазиоптика 176

—пространственно-временная (ПВ- квазиоптика) 165, 191, 265

Кинк 348, 357 -364, 367

Кноидальная волна 287, 289

Корпускулярно-волновой дуализм 143, 144

Коэффициент модуляции 168

Критерий модуляционной неустойчивости Лайтхилла 262

Лангранжа уравнение 115

——формализм 94, 117

——функция 115

Лагранжиан 97, 99

—усредненный 105, 109

——электромагнитного поля в вакууме 102

в плазме 103

Материальные уравнения 35, 38, 75, 76

Метод Вентцеля-Крамерса-Бриллю- ена 135

——возмущений для солитонов 328- 332

—стационарной фазы 121, 140, 144

——Уизема (усредненного лагранжи- ана) 104,118, 299

Модуляция 14

——амплитудная 24, 155, 263, 267-270

——поверхностной волны 189

—фазовая 23

—частотная 23, 149, 270

Нелинейная оптика 229

Неоднородная среда 135, 196, 301

Неравновесная среда 78

Нестационарная среда 178, 198

Неустойчивость взрывная 306

——модуляционная 260

Огибающая амплитудная 24, 29

—частотная 149, 154,

—фазовая 158

Опрокидывание волны 150, 245

Параметрическое усиление солитона 317-322

——формирование импульса 203

Плазменная частота 37

Поток волнового действия 107—110

——импульса 100-102

Поток энергии 28, 100

акустических волн 87

волн на поверхности жидкости 68, 69, 73

—— ——электромагнитных волн в диэлектрике 66

Приближение Вентцеля-Крамерса- Бриллюена (ВКБ) 135, 140, 145

—коротковолновое 135

—одноволновое 196, 237-243

——теории дисперсии первое (групповое) 28, 164, 165

второе 166

третье 170

Принцип суперпозиции 26, 57

Пространственно-временной (ПВ) луч 148-154

ПВ-каустика 150, 187

ПВ-фокус 152

Разложение Бесселя-Фубини 246

Сила Абрагама 85, 94

—Лоренца 37

Скорость волны групповая 25, 26, 33

фазовая 21, 26, 32

—переноса энергии 72

—света в вакууме 35

Солитон 289, 314-317

——огибающей 267-270

——топологический 346, 349 (см. также кинк)

Спектр волны (фурье-спектр) 27, 28

Стационарная точка 122

Топологический заряд 349

——солитон 349

Точка поворота 140, 187

Уравнение Бенджамена-Бона-Ма- хони 345

—Буссинеска 221, 223, 289

—Бюргерса 242

——Гамильтона 99, 109

——Гамильтона-Якоби 116, 147

—Гарднера 345

—Джозефа-Эгри 345

—Клейна-Гордона 34, 103

нелинейное 228, 294

—Кортевега-де Вриза 131, 238, 253, 285, 315-317'

возмущенное 307

модифицированное 238, 315

обобщенное 337, 345

Уравнение Лагранжа 97, 115

——нелинейное эволюционное 236, 273

——параболическое Леонтовича 166

——переноса амплитуды 110

импульса 86

частоты 146

энергии 77, 101, 153, 318

—синус^Гордона 228, 235, 366

——состояния среды (см. материальные уравнения)

—Шредингера 139, 166

нелинейное 259, 362

——Эйлера 74

——Эйлера-Остроградского 98

——Эйри 139

Уравнения Максвелла 35-38

Фаза волны 18, 20

Фазовая скорость 20, 21

акустической волны в газе с релаксацией 45

гравитационной волны 50

—— ——гравитационно-капиллярной волны 49

изгибной волны в стержне 55

продольной волны в стержне 53

————электромагнитной волны в плазме 38

Фазовый портрет 268, 270, 272, 286, 296, 297, 347

Формула Рэлея 25

Функция Бесселя 138, 143

——Гамильтона 115

—Лагранжа 115

—Эйри 125, 139, 141, 143

Фурье интеграл 27, 75, 121-123, 255

Электромагнитная волна в среде с дисперсией 74

в диэлектрике 38, 179

с электронной поляризацией 212

с ориентационной поляризацией 214

в линии передачи 215

в плазме 37, 68, 179

Энергия волны на поверхности жидкости 69, 70, 74

в неравновесной среде 79

в диспергирующей среде 77

—кинка 349

——солитона 315

——электромагнитной волны 68

L.A. OSTROVSKY, A.L POTAPOV

INTRODUCTION TO THE THEORY OF MODULATEDWAVES

PHYSICS AND MATHEMATICS PUBLISHERS

International Academic Publishing Company “Nauka”Russian Academy of Sciences

Moscow, 2003, 400 pages

The linear and nonlinear waves that can, in the wide sense, be referred to the class of modulated waves are treated in the book. Examples of wave processes in electrodynamics, plasma physics, acoustics, hydrodynamics, and elasticity theory are considered. Space-time analogs of the methods of geometrical optics and «quasi-optics» are described. Modulated wave propagation in nonstationary media is analysed. Quasi-harmonic waves are investigated in media with strong dispersion and weak nonlinearity, where modulation manifests itself as slow space-time changes in amplitude and frequency. Parametric amplification of solitons in a traveling wave field as well as the effects of their interaction are discussed. The interaction of solitons as classical particles the motion of which is described by newtonian equations is addressed. Exact and approximate methods for description of their interaction are compared. Some historical information is provided and tasks for independent work are given.

The book is intended for graduate and postgraduate students. At the same time it may also be interesting to specialists in different fields.

Научное издание

ОСТРОВСКИЙ Лев АроновичПОТАПОВ Александр Иванович

ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ МОДУЛИРОВАННЫХ ВОЛН

Редактор О.В. СалецкаяОригинал-макет: О.Б. ШироковаОформление переплета: А.Ю. Алехина

ЛР № 071930 от 06.07.99. Подписано в печать 13.02.03.

Формат 60x90/16. Бумага офсетная. Печать офсетная.

Усл. печ. л. 25. Уч.-изд. л. 25. Заказ №

Издательская фирма «Физико-математическая литература»МАИК «Наука/Интерпериодика»

117997 Москва, Профсоюзная, 90

E-mail: fizmat@maik.ru

Отпечатано с диапозитивовв РГУП «Чебоксарская типография № 1».428019 Чебоксары, пр. И. Яковлева, 15

ISBN 5-9221-0370-9

преломления от частоты.

1) Волны, описываемые функцией (12.6), могут быть выражены с помо

УДК 532.59, 537.87

ББК 22.314

077

Островский Л. А., Потапов А. И. Введение в теорию модулированных волн. - М.:①ИЗМАТЛИТ, 2003. - 400 с. - ISBN 5-9221-0370-9.

В книге рассматриваются линейные и нелинейные волны, которые в широком смысле могут быть отнесены к классу модулированных волн. Обсуждаются примеры волновых процессов в электродинамике, физике плазмы, акустике, гидродинамике и теории упругости. Описываются пространственно-временные аналоги методов геометрической оптики и «квазиоптики». Рассматривается распространение модулированных волн в нестационарных средах. Исследуются квазигармонические волны в средах с сильной дисперсией и слабой нелинейностью, когда модуляция проявляется в медленных пространственно-временных изменениях амплитуды и частоты. Обсуждается параметрическое усиление солитонов в поле бегущей волны, а также эффекты их взаимодействия. Значительное внимание уделяется рассмотрению процессов взаимодействия солитонов как классических частиц, движение которых описывается уравнениями ньютоновского типа. Проводится сравнение точных и приближенных методов описания процессов их взаимодействия. Даются исторические сведения и задачи для самостоятельного решения.

Книга рассчитана на студентов, магистрантов и аспирантов университетов. Вместе с тем, она может быть интересна и для специалистов самых различных профилей.

Рецензенты:

Кафедра акустики МГУ (заведующий кафедрой член-корреспондент РАН О.В. Руденко), член-корреспондент РАН А.Г. Куликовский

Предисловие ..................................9

Введение .................................... 12