Предисловие

На моей книжной полке стоит с десяток книг о солитонах, и в каждой из них Джон Скотт Рассел скачет на лошади за движущейся по каналу «волной трансляции», как он назвал будущий солитон. Трудно удержаться в книге о солитонах, чтобы не воспроизвести поэтическое описание первооткрывателя, но вместо этого упомяну о фактах, менее известных.

1834 год был удивительно плодотворным для физики (см., например, лекцию «Одна тысяча восемьсот тридцать четвертый» в книге Д.И. Трубецкова «След вдохновений и трудов упорных...» Саратов: издательство ГосУНЦ «Колледж», 2001, с. 42-100). Он был важным и для Англии.

В этом году конкуренция между каналами и железными дорогами в Англии вступила в заключительную фазу. Перед лицом возможного краха одна шотландская судоходная компания решила выяснить, что может дать пассажирскому судоходству на каналах применение паровой тяги. Чтобы решить этот вопрос, был приглашен Джон Скотт Рассел — выдающийся молодой инженер викторианской эпохи, окончивший университеты в Глазго и Эдинбурге.

Это приглашение определило всю его дальнейшую карьеру ученого, судостроителя, одного из основателей Института корабельных архитекторов.

Когда Рассел изучал буксировку барок в каналах, то обратил внимание на удивительную быстроходность «лодок-летунов», которые построил некто В. Хьюстон, случайно сделавший замечательное открытие. Однажды его лошадь, тащившая барку, испугавшись чего-то, понесла. При достижении барки скорости более высокой, чем обычная, как заметил Хьюстон, буксирный канат ослаб и лошадь побежала гораздо легче. Хьюстон купил несколько легких суденышек длиной по 17 м и стал буксировать их по-новому: лошадей погоняли кнутами до тех пор, пока они не разгоняли лодку до скорости 14-15 км • ч-1 (обычно лодки на каналах двигались со скоростью 6-9 км • ч-1). После этого происходило чудо: лодка продолжала двигаться на гребне собственной волны и не оставляла за собой никаких волн.

Скотт Рассел исследовал этот феномен на прямолинейном участке канала длиной в полкилометра, соединявшего реки Клайд и Форт, глубиной 1,2-1,5 м. Он разгонял шеститонную барку, измерял ее скорость и усилие на канате. Оказалось, что при скорости 14 км • ч-1 усилие, необходимое для буксировки, резко падало: если при скорости 12 км • ч-1 оно составляло 225 кг, то при скорости 14 км • ч-1 — 127 кг.

Наиболее полно Скотт Рассел изложил результаты своих исследований в статье с длинным названием «Экспериментальные исследования законов гидродинамического явления, сопровождающего движение плавающих тел и не приведенного в согласие с известными законами сопротивления жидкостей» 9. В 1840 году эта работа была удостоена золотой медали Королевского общества в Эдинбурге.

О чем писал Скотт Рассел в этой работе?

Он установил, что если на одном конце длинного канала резким толчком создать повышение уровня, то возникший водяной бугор начнет двигаться вдоль канала со скоростью, зависящей только от глубины канала (у каждого канала есть «характеристическая скорость»), сохраняя свою форму. При движении по каналу судна в первые мгновения перед его носом создается передняя бегущая волна, а за кормой возникают волны, бегущие назад. Скорости и передней, и кормовой волн равны скорости судна.

Энергия, необходимая для буксировки, расходуется не только на преодоление трения, но и на поддержание системы кормовых волн. В тот момент, когда скорость движения баржи достигает «характеристической скорости» для данного канала, кормовые волны исчезают, остается только передняя ведущая волна. Судно движется вдоль канала, оседлав ее, поэтому извне требуется энергия только для компенсации трения.

Изучая творчество Скотта Рассела (см. список его трудов в книге «Солитоны»: пер. с англ. / Под. ред. Р. Буллафа, Ф. Кодри. — М.: Мир, 1983, с. 403-405), приходишь к мысли, что он принадлежал одной половиной своего инженерного дарования минувшему XVIII веку, а другой — грядущему XIX, что поразительно соответствовало некой двойственности промышленного развития Англии, где позже, чем в других странах, стали строить судоходные каналы с барками и лошадьми и раньше, чем в других — железные дороги и параходы. Скотт Рассел, оказавшись на стыке этих двух эпох в развитии английской промышленности, поспешил перекинуть мост между ними, пытаясь приложить принцип, обнаруженный им при буксировке барки в канале, к проектированию морских судов с паровой машиной. Он отождествил волну, поднимаемую носом судна, с «волной трансляции» в канале, спроектировав корпус судна с наименьшим по его мнению, волновым сопротивлением. Выяснилось, что он заблуждался. Но это совсем другая история

В существовании уединенной волны Скотта Рассела сомневались великие — Эйри и Стокс. И только в 1870-е годы в работах Буссинекса и Рэлея было найдено решение для профиля свободной поверхности

9 Russel, John Scott. Experimental researches into the laws of certain hydrodynamical phenomena that accompany the motion of floating bodies, and have not previously been reduced into conformity with the known laws of the Resistance of Fluids (1837) // Edinb. Roy. Soc. Trans. 1840. V. XIV. P. 47-109.

на воде в виде квадрата гиперболического секанса. На время проблему забыли. В 1895 году Кортевег и де Фриз вывели уравнение, носящее теперь их имя (КдВ-уравнение), которое сыграло важную роль в теории нелинейных волн. Естественно, что решение было таким же, как у Буссинеска и Рэлея, но Кортевег и де Фриз результата заранее не знали. Более того, Кортевег даже не упомянул в своей автобиографии об этой задаче, не считая ее своим достижением.

Через много лет задача об уединенной волне вновь привлекла внимание исследователей применительно к анализу цунами, вызванных подводными землетрясениями. В1946 году М. А. Лаврентьев доказал существование уединенной волны для системы полных уравнений невязкой несжимаемой жидкости {Лаврентьев М.А. До теорп довгих хвиль // 36. праць. инет, матем. АН УССР. 1946. №8. С. 13-69).

Новый всплеск интереса к уединенным волнам вызвало решение За- буски и Крускалом известной проблемы Ферми-Пасты-Улама (ФПУ). Об этом написано много. Напомню, что сначала Норман Забуски показал, что уравнения модели одномерного кристалла, которая изучалась в рамках модели ФПУ, в слабонелинейном длинноволновом приближении сводятся к уравнению КдВ. Появилась неожиданная казалось бы связь между разными областями физики. Более того, Забуски и Крускал использовали КдВ-уравнение для приближенного описания волн в плазме {Zabusky N.J., Kruskal M.D. Interaction of «soliton» in a collisionless plasma and the recurrence of initial states // Phys. Rev. Lett. 1965. V. 15, №6. P. 240-243). Пожалуй, самый важный и удивляющий результат численного эксперимента Забуски и Крускала состоял в том, что в процессе эволюции заданная в качестве начального условия гармоническая волна превращалась в последовательность волн, двигающихся со скоростью, пропорциональной амплитуде, при этом более быстрая волна, догнав более медленную, проходила сквозь нее практически не изменяя своей формы и скорости. Отсюда и появился термин «солитон», подчеркивающий частицеподобные свойства волны 9.

Работа Забуски и Крускала дала толчек к интенсивным аналитическим исследованиям, поскольку уж слишком необычными оказались свойства решений уравнения КдВ: оказалось, что это уравнение имеет бесконечное число законов сохранения, отражающих его глубокую внутреннюю симметрию. В 1967 году Гарднер, Грин, Крускал и Миура {Gardner C.S., Greene J.M., Kruskal M.D., Miura R.M. Method for solving the Korteweg-de Vris equation // Phys. Rev. Lett. 1967. V. 19. P. 1095-1097) показали, что можно получить решение уравнения КдВ, охватывающее широкий класс начальных условий, который включает профиль уединенной волны как частный случай. Идея решения очаро-

9 Забавно, что сначала Забуски и Крускал хотели назвать уединенную волну «солитроном», но такое название уже носила некая фирма, готовая отстаивать его в суде.

вывала: нелинейное уравнение КдВ сопоставлялось с решением некоторой линейной задачи, совпадающей с обратной задачей рассеяния в квантовой механике (см. Гельфанд И.М., Левитан Б.М. Об определении дифференциального уравнения по его спектральной функции // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1951. Т. 15. С. 309-360; Марченко В. А. Восстановление потенциальной энергии по фазам рассеянных волн // ДАН СССР. 1955. Т. 104. С. 695-699), что позволило найти точные многосолитонные решения, когда начальное возмущение общего вида, затухающее на бесконечности в процессе временной эволюции распадается на некоторое число солитонов (именно такой результат получили в численном эксперименте Забуски и Крускал).

В 1971 году В. Е. Захаров и Л.Д. Фаддеев показали, что уравнение КдВ можно интерпретировать как полностью интегрируемую бесконечномерную гамильтонову систему (Захаров В.Е., Фаддеев Л.Д. Уравнение Кортевега-де Фриза — вполне интегрируемая гамильтонова система // Функциональный анализ и его приложения. 1971. Т. 5, №4. С. 18-27).

Вот, пожалуй, основные вехи «романтического» периода в истории солитона.

Правда, сюда можно еще добавить солитоны огибающей нелинейного уравнения Шрёдингера, кинки уравнения синус-Гордона и многие другие. Книг о солитонах много, но все они относятся к моделям «романтического» периода — к скалярным моделям.

Эта книга целиком посвящена многополевым солитонным моделям, результаты исследования которых разбросаны по периодическим изданиям. Причем, полезное для себя найдет в ней и физик, и математик. В какой-то мере книга характеризует зрелый период в исследовании солитонов. Не вижу смысла пересказывать содержание книги, тем более что автор сделал это перед изложением основного материала. Книга трудная, и автор с самого начала, что называется, «берет быка за рога». Поэтому я счел разумным изложить в Предисловии краткую историю «солитонной жизни до появления книги».

Мне приятно представить книгу В. И. Наянова, поскольку он был моим студентом, потом дипломником, учился в аспирантуре на нашей кафедре, на моих глазах становился опытным исследователем, сочетающим искусство экспериментатора со знаниями и навыками теоретика. В книге он демонстрирует себя как квалифицированный теоретик. И чтобы удивить читателя личностью автора, скажу в заключение, что В. И. Наянов лауреат премии Правительства Российской Федерации в области науки и техники.

Д. И. ТрубецковД. И. ТрубецковЧлен-корр. РАН, профессор, зав. кафедрой электроники, колебаний и волн Саратовского государственного университета

Д. И. Трубецков

Д. И. Трубецков

От автора

Такая область фундаментальной науки, как солитонная физика, хотя и переживает период относительного затишья по сравнению с солитонным бумом 70-х годов прошлого столетия, но все же появление новых воззрений и идей в последнее время в этой сфере позволяет надеяться на то, что изучение солитонов как физического явления и связанных с ними математических исследований содержат в себе еще очень много неизведанного и интересного. Тем более, что внимание к солитонам, в частности, к оптическим солитонам несколько возросло в текущем десятилетии, что было стимулировано практическими достижениями использования солитонов в современных оптических коммуникационных системах. Как правило, реальные солитонные объекты представляют собой более сложные образования по сравнению с теми, хорошо известными, основными эталонными скалярными моделями (уравнение Кортевега-де Фриза, нелинейное уравнение Шрёдингера (НУШ), уравнение sin-Гордон), изучению которых посвящено подавляющее большинство научных работ и монографий в этой области. Накопленные научные знания о поведении солитонов с большим количеством «степеней свободы», в частности, векторных солитонов, позволяют сделать вывод о том, что многополевые динамические модели оказываются довольно часто востребованными для описания различных физических явлений, и, кроме того, могут быть рассмотрены с единых математических позиций, подобно тому как обобщенная задача Захарова-Шабата порождает иерархическую структуру, содержащую перечисленные выше скалярные солитонные уравнения. Однако, до настоящего времени, отсутствует монография, в которой был бы собран воедино и осмыслен накопленный в периодической печати материал, посвященный исследованию многополевых интегрируемых динамических систем. Поэтому, появление книги, где должно быть представлено современное состояние и определенное видение всего многообразия солитонных процессов, как в физике, так и в математике, вполне оправдано.

Цель данной монографии и заключается в том, чтобы попытаться ликвидировать указанный выше пробел, т. е. раскрыть глубину и многогранность интегрируемых динамических моделей со многими степенями свободы, как с физической, так и с математической точек зрения, рассмотреть их с единых современных позиций и «перекинуть мостики», на сколько это возможно, от абстрактных математических обобщений к реальным физическим процессам. В какой степени автору удалось решить поставленную задачу — судить читателю.

Книга разделена на две части: в первой (многополевые солитоны 6 физике) обсуждаются, в основном, многополевые интегрируемые динамические модели, появляющиеся естественным путем из рассмотрения реальных физических явлений, во второй (многополевые солитоны в математике) — рассматриваются чисто математические аспекты интегрируемых эволюционных систем со многими степенями свободы, т. е. различные их представления (пара Лакса, представление нулевой кривизны и т. д.), методы решения этих уравнений и построение иерархических структур. Поскольку книга ориентирована, главным образом, на читателя, в сфере интересов которого присутствует динамика нелинейных консервативных систем, рассмотрению солитонных явлений в различных областях физики (нелинейная оптика, квантовая электроника, физика плазмы, акустика и т. д.) посвящена значительная доля этой монографии. Что касается второй части, то автор старался представить ее так, чтобы совершенно формальные математические признаки интегрируемых моделей и построенные с помощью ли-алгеб- раического подхода иерархические системы позволяли лучше понять общие, междисциплинарные свойства солитонных явлений, и в этом смысле не следует считать обе части не связанными между собой. К этому следует добавить, что представленная в конце книги в виде таблицы «иерархическая система солитонных моделей» позволяет достаточно наглядно показать весь накопленный к настоящему времени объем знаний в этой сфере, выявить общие свойства солитонов, как скалярных, так и со многими степенями свободы, и подчеркнуть индивидуальные особенности и место каждой динамической модели в отдельности. Особенно хочется подчеркнуть, что отмеченная выше иерархическая система солитонных моделей открывает широкое поле деятельности для исследователей с точки зрения получения и анализа совершенно новых солитонных моделей, общие свойства которых из-за определенного их местоположения в таблице, заранее предопределены. Автор надеется, что книга может оказаться полезной хотя бы для узкого круга настойчивых читателей.

Базовым материалом для написания книги, послужили результаты многих авторов, изложенные в отечественной и мировой периодической печати. Кроме этого, существенную долю составляют результаты исследований, проведенных автором в течение 25-летнего опыта работы в этой области. Определенный вклад внесли также лекции, читаемые им на физическом факультете по солитонной тематике.

Автор пользуется случаем, чтобы выразить свою признательность чл-корр. РАН Д.И. Трубецкову за предложение написать эту книгу и за ту поддержку, которую он оказывал на всем протяжении работы над ней. Хочется поблагодарить проф. С. А. Смолянского, Л. А. Мельникова и В. А. Дербова за прочтение рукописи и ценные замечания.

Введение

Известно, что пик интереса ученых всего мира к солитонам, как с физической, так и с математической точек зрения, приходится на 70-е годы прошлого столетия. Уникальность солитонных процессов в нелинейных динамических системах вызвала огромный интерес у физиков и математиков всех направлений, так что эта область может уверенно претендовать на роль междисциплинарной проблемы современной математической физики. В солитоне, наконец, на макроскопическом уровне реализуется объект, в котором проявляются одновременно как волновые, так и корпускулярные свойства (принцип дуализма), т. е. то, что постулировалось до сих пор физиками-теоретиками: локальный бегущий волновой импульс, компактная когерентная структура, устойчивое решение полевого уравнения и частицеподобные свойства. За сравнительно короткий промежуток времени (два с половиной десятилетия) произошло рождение и расцвет теории солитонов. Эта теория оказала заметное влияние как на развитие физики, так и на математику. С точки зрения физика она дала обширный материал для более глубокого понимания нелинейных явлений, позволила разрешить ряд парадоксальных задач (таких, например, как проблема ФПУ), выявила большое количество нетривиальных интегрируемых моделей. Этот расцвет, прежде всего, был стимулирован потребностями фундаментальной и прикладной физики, в разных областях которой накопились проблемы взаимодействия волн конечной амплитуды. Несколько позже стало ясно, что, несмотря на различие физических ситуаций, эти задачи имеют, с формальной точки зрения, много общего как между собой, так и с хорошо известной задачей о нелинейных волнах на поверхности жидкости в гравитационном поле. Было показано, что многие физические задачи о нелинейных волнах описываются сравнительно небольшим числом универсальных математических моделей. Среди этих уравнений оказалось много хорошо известных и чрезвычайно важных для приложений уравнений, таких, как уравнение Кортевега- де Фриза, нелинейное уравнение Шрёдингера, уравнение sin-Гордона и др., которые используются при изучении слабонелинейных дисперсионных систем различных типов в различных пространственных и временных масштабах. Дисперсионные слабо затухающие или незатухающие нелинейные волны ведут себя одинаково, независимо от того, встречаются ли они при описании классических жидкостей, нелинейной акустики, квантовой оптики, плазмы или дискретных нелинейных систем. Эволюция длинных волн с одной стороны, и гармонические волновые пакеты в резонансных и далеких от резонанса системах

с другой стороны, наряду с другими нелинейными взаимодействиями — это классические явления, возникающие во многих отраслях физики и прикладной математики.

Для математика теория солитонов представляет собой переплетение классической теории линейных дифференциальных операторов, теории алгебр Ли (в том числе бесконечномерных), элементов алгебраической геометрии, алгебры Йордановых пар и многих других дисциплин. Она заметно углубила представления об интегрируемости бесконечномерных динамических систем, в силу чего значительно расширился класс полностью интегрируемых уравнений с богатым набором симметрий и законов сохранения высокого порядка.

После бума 70-х годов наступил период заметного спада интереса к трудоемким исследованиям постоянно усложняющихся аспектов теории солитонов, что мы и наблюдаем в настоящее время. Тем не менее, солитонные процессы содержат в себе еще очень много интересных сторон и фундаментальных явлений, как в теоретическом, так и в экспериментальном плане.

Итак, о чем эта книга — эта книга о солитонах и, главным образом, о солитонах со многими «степенями свободы». Исторически первой задачей, которая была решена аналитически и доведена до анализа многосолитонных взаимодействий, явилась задача о двумерной самофокусировке оптического излучения с произвольной поляризацией в кубически нелинейной среде. Это сделал С. В. Манаков в самый разгар солитонного бума (1973 г.), и именно ему удалось найти спектральную задачу (матричный оператор 3 х 3), ассоциированную векторному нелинейному уравнению Шрёдингера, и сконструировать пару Лакса для этой, как оказалось, интегрируемой модели. Кроме того, им были сформулированы и рассмотрены все этапы метода обратной задачи рассеяния применительно к двухполевому НУШ. Последствия этой фундаментальной работы трудно переоценить, поскольку, как выяснилось в дальнейшем, спектральная задача Манакова оказалась общей для целой серии (иерархии) интегрируемых векторных моделей, имеющих физическое содержание, о чем еще ниже пойдет речь. За подробностями по этим вопросам автор отсылает к гл. 1 данной книги. Здесь же необходимо добавить следующее. Во-первых, это был первый пример, наряду с рассмотрением им же трехволнового взаимодействия («трехцветные солитоны»), изучения задачи рассеяния третьего порядка, поскольку до этого рассматривались только нелинейные эволюционные уравнения, которые были связаны с операторами второго порядка, т. е. с задачей Захарова-Шабата. Во-вторых, опять же Манаковым было убедительно показано, что появление дополнительной степени свободы — поляризации — приводит к качественно новым физическим результатам, в частности, это проявилось при взаимодействии поляризованных солитонов НУШ. Образующиеся волноводные каналы (солитоны) при самофокусировке имеют постоянные поляризации, различные, вообще говоря, для разных каналов. Это приводит

к тому, что волна, имевшая на входе в нелинейную среду переменную поляризацию, разбивается в ней на пучки, поляризация излучения, в которых уже постоянна. При взаимодействии двух поляризованных солитонов (т. е. при пересечении двух каналов) их поляризации меняются. Пересечение сопровождается сдвигами осей каналов, величины которых существенно зависят от исходных поляризаций взаимодействующих солитонов. Подчеркнем, что подобные эффекты не наблюдаются у солитонов, описываемых скалярным НУШ. Все сказанное выше о двумерной стационарной самофокусировке в равной степени относится к проблеме одномерной автомодуляционной неустойчивости электромагнитных волн с произвольной поляризацией в кубически нелинейной среде.

Однако, пионерская работа Манакова, безукоризненная в математическом смысле, имеет в физической интерпретации полученных результатов определенные трудности, которые кратко можно сформулировать следующим образом. Как выяснилось впоследствии (см. гл. 2, 3), видеосолитоны с антипараллельной поляризацией испытывают между собой притяжение, а с параллельной — отталкивание. Подобное же поведение векторных видеоимпульсов НУШ (т. е. поляризованных солитонов огибающей) переносится на исходную модель, где в качестве объектов выступают уже радиоимпульсы, у которых одинаковое или противоположное направление поляризации лишено смысла. Таким образом, возникает проблема, насколько правомерно описание динамики поведения импульсов оптического излучения с несущей в кубически нелинейной среде векторным нелинейным уравнением Шрёдингера, которое фактически оперирует с функциями огибающих, т. е. с видеосолитонами. Обсуждению этой проблемы посвящен раздел 1.5.

Потребность в двухкомпонентном обобщении эволюционных дифференциальных уравнений проявилась не только при описании двумерной стационарной самофокусировки электромагнитного излучения в нелинейной среде. При рассмотрении явления самоиндуцированной прозрачности при двойном резонансе в трехуровневой среде необходимо было использование обобщенных укороченных уравнений Максвелла-Блоха (МБ) с двумя компонентами электромагнитного поля, которые (компоненты) характеризовали два перекрывающихся ультракоротких импульса оптического излучения с комплексными амплитудами огибающих Е\, Е^ и несущими частотами ш\, ш^. Такие образования получили впоследствии название «симултоны». Самым удивительным фактом в этом исследовании оказалось то, что уравнения (МБ) в такой ситуации полностью интегрируемы и в качестве спектральной задачи, ассоциированной этой модели, явилась опять задача Манакова. Кроме этого, при рассмотрении явления самоиндуцированной прозрачности в условиях вырождения резонансных энергетических уровней в двухуровневой среде и в предположении, что распространяющиеся в такой среде оптические импульсы («л-импульсы огибающей») имеют произвольную поляризацию, выяснилось, что и в этом случае необхо-

димо использование векторного уравнения М-Б, для которого задача Манакова также является вспомогательной спектральной задачей. Как и в случае векторного НУШ, здесь вновь возникают проблемы применимости полученных математических результатов к объяснению процессов взаимодействия произвольно поляризованных радиоимпульсов. Еще более запутанная ситуация возникает при изучении симултонов, поскольку здесь формальное понимание под компонентами одного вектора амплитуд огибающих двух коротких импульсов E(Ei,E2) лишено смысла, так как, например, симултоны с антипараллельными поляризациями вообще не могут быть определены. Все эти вопросы достаточно подробно рассматриваются в гл. 2. Кроме того, явление самоинду- цированной прозрачности оказалось весьма богатым на двухполевые обобщения, и в качестве примера можно еще указать на существование в таких процессах истинных (т. е. без привлечения метода медленно меняющихся амплитуд и фаз) поляризованных видеосолитонов, которые являются решениями векторного обобщения модифицированного уравнения КдФ (векторное мКдФ). Оказалось, что при взаимодействии коллинеарно поляризованных мКдФ-солитонов проявляются свойства, аналогичные квантовым свойствам фермионов.

Глава 3 посвящена уединенным волнам в плазме. Этот раздел физики попал в наше поле зрения не случайно. Оказалось, что поведение нелинейных поляризованных альфвеновских уединенных волн в электрон-позитронной плазме описывается векторным мКдФ. Таким образом, задача Манакова фигурирует еще в одном физическом явлении и мы ее вправе рассматривать, наравне с задачей Захарова- Шабата, как фундаментальную вспомогательную задачу, ассоциированную с целой серией интегрируемых моделей, составляющих следующий иерархический уровень эволюционных уравнений. Это наглядно показано в таблице «иерархическая система солитонных моделей», представленной в гл. 8. В конце третьей главы рассмотрена еще одна двухполевая интегрируемая модель, описывающая длинно-коротковолновый резонанс ленгмюровских и ионнозвуковых волн в плазме (резонансная триада Захарова-Бенни). Эта модель дает хороший пример того, почему в общем случае солитоны со многими степенями свободы называют многополевыми. Дело в том, что в данном случае в системе двух уравнений, описывающих резонансную триаду Захарова-Бенни, в качестве искомых функций выступают комплексная амплитуда огибающей волны с одной стороны, и концентрация ионов плазмы с другой. Таким образом, эти две зависимые переменные не являются компонентами одного и того же вектора и могут быть физическими величинами различной природы. Интересно отметить, что ионноакустическая часть решения системы уравнений Захарова имеет структуру КдФ-солитона, а ленгмюровская — солитона огибающей НУШ.

Ниже мы остановимся на поверхностных акустических солитонах в твердом теле. Поскольку солитоны такого рода могут возникнуть из рэлеевских волн конечной амплитуды, то возникла мысль назвать их

просто «солитонами Рэлея». Это название представляется автору достаточно удачным, так как эти уединенные волны носят поверхностный характер и обладают двухкомпонентной структурой.

Первое сообщение об экспериментальном наблюдении солитонов Рэлея относится к середине 80-х годов прошлого столетия, когда исследования по солитонной тематике во всем мире еще вызывали общий интерес. Однако, и это удивительно, должного внимания, как с теоретической, так и практической точек зрения со стороны исследователей этот физический объект так и не удостоился. Мало того, некоторые авторы в последнее время риторически ставят вопрос о самом существовании истинных поверхностных солитонов в твердом полупространстве и однозначно, по их мнению, приходят к отрицательному выводу.

В противовес этому мнению, автором излагаются в гл. 4 результаты исследований по моделированию в лабораторных условиях (на примере рэлеевских волн большой амплитуды) процессов рождения и взаимодействия высших гармоник с основной волной с последующим образованием периодических стационарных ударных волн и наблюдение за этим явлением на всех этапах его развития.

Далее рассматриваются волны Рэлея высокой интенсивности, распространяющиеся в слабодисперсной среде, поскольку любое несовершенство приповерхностного слоя твердого полупространства с глубиной способно вызвать в той или иной степени дисперсию рэлеевских волн. В этом случае появляется возможность создания конкурирующего механизма (дисперсии) нелинейному укручиванию фронта ударных поверхностных акустических волн, который мог бы привести к образованию за счет дисперсионного расплывания стационарных периодических волн солитонного типа.

Многочисленные экспериментальные результаты по исследованию динамики искажения волнового профиля волн Рэлея большой амплитуды показали, что доминирующим типом нелинейности в упругой среде является квадратичная нелинейность. Отсюда вполне логично использование для теоретического описания процессов распространения нелинейных поверхностных акустических волн в изотропной среде «пятиконстантной теории» упругости. Подобная динамическая модель является базовой для формулирования интегрируемой системы дифференциальных уравнений для солитонов Рэлея. В результате были получены уравнения, которые можно трактовать как двухполевое обобщение скалярного уравнения КдФ. Решения этой системы эволюционных уравнений, найденные методом обратной задачи рассеяния, помогли выяснить физическую структуру солитонов Рэлея. Из этого следует, что рэлеевский солитон можно представить как локализованное возмущение, движущееся по свободной поверхности твердого тела с некоторой скоростью, либо в виде уединенного возвышения над этой поверхностью с разряженной плотностью внутри этой области в случае материальной среды, где локальная скорость звука увеличивается в фазе разряжения, либо в форме впадины с уплотнением

в этой области точек материальной среды, когда локальная скорость акустической волны увеличивается в фазе сжатия.

Что касается процесса столкновений солитонов Рэлея, то они подобны взаимодействию скалярных КдФ-солитонов. Другими словами, несмотря на то, что колебательная скорость частиц материальной среды в солитонах Рэлея является векторной величиной, поляризационные эффекты, аналогичные тем, которые возникают при взаимодействии векторных мКдФ-солитонов, при рассеянии этих локализованных объектов отсутствуют. Здесь же следует подчеркнуть, что вспомогательная спектральная задача для двухкомпонентного обобщения уравнения КдФ, существенно отличается от задачи Манакова и порождает иную иерархию интегрируемых динамических моделей, и это наглядно представлено в таблице «иерархическая система солитонных моделей».

В копилке двухполевых обобщений существуют еще и двумерные интегрируемые эволюционные уравнения. На сегодняшний день известны всего две слабодвумерные двухполевые динамические модели, имеющие конкретное физическое содержание. Исторически первой является модель возбуждения среднего течения осцилляторными волнами на поверхности воды конечной глубины, описываемая уравнением Дейви-Стюардсона. Эти уравнения замечательны тем, что они полностью интегрируемы и имеют солитонные решения. Кроме этого, система уравнений Бенни-Роскеса-Дейви-Стюардсона обладает рациональными решениями, т. е. решениями типа «лампов». Что касается второй модели, то это обобщение на случай слабой двумерности двухполевого аналога уравнения КдФ, описывающее динамику солитонов Рэлея в апертурно ограниченных пучках. Фундаментальным фактом является то, что при определенных условиях полученные модельные уравнения могут быть представлены в виде двухкомпонентного аналога уравнения Кадомцева-Петвиашвили (КП), для которого найдена L, A-пара и тем самым доказана его интегрируемость. Прямым методом Хироты получено TV-солитонное решение матричного уравнения КП и на примере динамики двухсолитонного состояния проанализирована физическая сущность двумерного солитона Рэлея.

Рэлеевские волны большой амплитуды оказываются достаточно привлекательным объектом для моделирования динамики многосолитонных процессов, поскольку для них имеется возможность искусственного создания дисперсии обоих знаков, что в свою очередь позволяет предполагать существование тройного резонансного взаимодействия двумерных солитонов Рэлея и двухкомпонентных локализованных по обеим пространственным координатам состояний (в некотором смысле аналогов «лампов»). На этом заканчивается первая часть монографии, посвященная двухполевым динамическим моделям, которые применимы для описания динамики поведения нелинейных консервативных систем в различных областях физики.

Во второй части книги (гл. 6-8) затрагиваются, в основном, математические аспекты изученных выше интегрируемых эволюционных

уравнений и их многополевых обобщений. В первую очередь рассматриваются признаки и особенности условий интегрируемости предлагаемых динамических моделей. В этом ключе следует подчеркнуть полезную запись спектральных задач, ассоциированных многополевым обобщениям, в виде блочной матрицы 2 х 2, с помощью которой удается наиболее просто находить оператор эволюции в различных представлениях. Другими словами, в отличие от формы записи в представлении нулевой кривизны операторов Р и Q в виде матриц размером 3x3 так, как это было сделано в оригинальной постановке Манаковым, используется формализм матричных 4x4 операторов, которые и допускают запись в виде блочных матриц 2x2. Это связано с тем, что подобный формализм позволяет, как мы увидим в дальнейшем, с единых позиций рассматривать свойство полной интегрируемости различных многополевых динамических моделей.

Как уже указывалось, что двухполевые динамические модели имеют в качестве ассоциированных вспомогательных задач спектральные задачи с матричными операторами выше второго порядка, общая теория которых хотя и построена, но при весьма жестких условиях, невыполнимых в некоторых конкретных моделях. В частности, это касается динамической модели, описывающей солитоны Рэлея. Поэтому в гл. 7 достаточно подробно проводится анализ всех этапов метода обратной задачи рассеяния для спектрального матричного 4x4 оператора дираковского типа с матрицами-блоками 2x2, симметричными по обеим диагоналям. В случае же задачи Манакова автор отдал предпочтение изложению метода обратной задачи рассеяния в его оригинальной постановке, т. е. используется матричный оператор 3x3.

В гл. 8 реализован ли-алгебраический подход к классификации и исследованию иерархий большей части рассмотренных интегрируемых моделей, имеющих физическое наполнение. Хорошо известно, что совокупность эталонных скалярных солитонных уравнений, (НУШ, мКдФ, sin-Гордон) являются элементами АКНС-иерархии (Аболовиц- Каум-Ньюэлл-Сигур), связанной с алгеброй Ли sl(2\ Известны также различные обобщения этих скалярных интегрируемых моделей на многополевые случаи (матричные солитонные уравнения, класс Йордановых систем и т. д.). В этой связи достаточно интересно выяснить, образуют ли эти уравнения иерархии, подобные АКНС-схеме, и какая алгебра является фазовым пространством, в котором «живут» иерархические структуры многополевых интегрируемых моделей.

С помощью теоретико-групповой схемы построения вполне интегрируемых динамических моделей (гамильтонов подход) в гл. 8 показывается, к каким эволюционным уравнениям приводит выбор в качестве исходной алгебры Ли g, 3-градуированной алгебры Ли над ассоциативным кольцом Ж, т. е. множество 2x2 матриц, состоящих из элементов n-мерной унитальной алгебры А. Иначе говоря, предлагается ли-алгебраическая конструкция, позволяющая свести в единую

таблицу («иерархическая система солитонных моделей») многополевые обобщения эталонных уравнений.

Оказалось, что следующим уровнем обобщения АКНС-иерархии является совокупность векторных солитонных уравнений НУШ, мКдФ и М-Б, которую автор называет иерархией Манакова. Структура найденных из этого формализма многополевых систем нелинейных уравнений Шрёдингера и уравнений мКдФ и Максвелла-Блоха согласуется с записью этих уравнений на алгебре Йордановых пар. АКНС-иерархия действительно оказалась в этом ряду простейшей и естественным образом вписывается в свое обобщение — матричную АКНС-иерархию.

Часть I

МНОГОПОЛЕВЫЕ СОЛИТОНЫВ ФИЗИКЕ

Глава 1

ПОЛЯРИЗОВАННЫЕ И «ЦВЕТНЫЕ»ОПТИЧЕСКИЕ СОЛИТОНЫ

Общие сведения

Среди нелинейных оптических эффектов, интенсивно исследуемых на протяжении последних десятилетий прошлого века, особое место занимают эффекты самовоздействия мощных световых волн. Несомненно, на одно из первых мест следует поставить исследования по формированию, распространению, взаимодействию и усилению оптических солитонов. Здесь получено много новых физических результатов; вместе с тем имеется и все больше указаний на то, что оптические солитоны могут представлять прямой интерес для техники обработки информации, систем оптической связи. Действительно, интерес к оптическим солитонам значительно возрос в последнее время, что было стимулировано практическими достижениями использования солитонов в современных оптических коммуникационных системах [1].

Принципиальная возможность экспериментальной реализации солитонных режимов распространения пикосекундных импульсов в одномодовых волоконных световодах была указана авторами работы [2]. Первые корректные эксперименты, в которых наблюдались оптические солитоны, были выполнены в 1980 г. [3]. Последующие теоретические и экспериментальные исследования позволили не только выявить ряд тонких особенностей формирования и взаимодействия солитонов в реальных условиях, т. е. при наличии возмущающих факторов, произвольной поляризации и т. д., но и указать перспективы многочисленных технических приложений [4, 5]. Для примера можно указать на использование оптического солитона в качестве бита информации и солитонного режима в условиях самопереключения в тунельносвязанных оптических волноводах [6]. В этом смысле оптические солитонные исследования играют ведущую роль в солитонной физике.

Итак, если идеальный диэлектрик подвергается воздействию интенсивного лазерного излучения, может оказаться, что поляризация Р нелинейно зависит от напряженности электрического поля Е. Соотношение между поляризацией и электрическим полем является одним из фундаментальных соотношений, которые характеризуют материальную

среду. Для слабых полей это соотношение является линейным:

Pi = XijEj)ОО

где Пхо'II = Х^ — (линейная) восприимчивость среды. Для изотропных диэлектриков xtj сводится к скаляру. Феноменологически эффекты самовоздействия описываются нечетными членами разложения нелинейной части вектора поляризации материальной среды по полю Е. Таким образом, если представить в общем случае г-ю компоненту вектора нелинейной поляризации Р^ в виде

Pi ) = XijkEjEk + XijklEjEkEl + XijklmEjEkElEm 4"

+ XijklтпEjEkE[EmEn + ...,(1.2)

то эффекты самовоздействия описываются тензорами Xtjkb Xijkimn и т. д. В отличие от таких, хорошо известных, оптических эффектов в средах с квадратичной нелинейностью, как генерация гармоник и параметрические процессы, «цветные» солитоны (см. ниже раздел 1.4), где взаимодействуют волны на нескольких сильно отличающихся частотах, в явлениях самовоздействия волна остается квазимонохромати- ческой, а сам эффект проявляется в изменении ее амплитуды, поляризации, формы углового или частотного спектра.

Если диэлектрик обладает центром инверсии, то кубическая нелинейность является нелинейностью наинизшего порядка для подобного материала. Рассмотрим нелинейный отклик для такой среды при распространении в ней нескольких монохроматических сигналов

N

Е = - ^ Ej (г) exp + к. с.,(1.3)

з

где буквами «к. с.» обозначены комплексно-сопряженные члены. Волны

возбуждают в среде, как видно из (1.1)—(1.2), волны линейной и нелинейной поляризации

Р = ^Е Р9 W ехр СшдЬ + к. с.(1.4)

на комбинационных частотах

N

= тЗШ3 ’ mj = О, Е1.(1.5)

3 = ^

В результате процессов переизлучения в нелинейной среде возбудятся электромагнитные волны на тех же комбинационных частотах. В случае кубической нелинейности каждая из распространяющихся волн может испытывать самовоздействие, связанное с возникновением нелинейной поляризации на своей собственной частоте (одночастотное вырождение)

р(3) = рН = |^)(w. +w. -^Е^Е*.(1.6)

Это высокочастотный эффект Керра, благодаря которому диэлектрическая проницаемость зависит от интенсивности волны:

s(^j) = ео + ^(^ЕуЕр (1-7) где компоненты тензора £2 пропорциональны компонентам тензора четвертого ранга у^ (xtjki)- «Ориентационный» (или высокочастотный) эффект Керра отражает тенденцию анизотропных молекул жидкости ориентироваться вдоль напряженности сильного стороннего электрического поля. Естественно, что среда в присутствии поля приобретает анизотропию, и этот эффект в ряде случаев дает основной вклад в нелинейную часть тензора диэлектрической проницаемости £нл(|Е|2) =£2Н)Е,-Е*.

Таким образом, в нелинейной среде могут наблюдаться явления взаимодействия и самовоздействия волн, в результате которых могут измениться частотные и угловые спектры волн, иными словами, пространственно-временные законы модуляции волновых полей, заданных на входе в среду. Чтобы проанализировать развитие нелинейных электромагнитных процессов, необходимо решать при соответствующих граничных и начальных условиях уравнения Максвелла совместно с нелинейными материальными уравнениями типа (1.1)-(1.2) и (1.6)-(1.7).

Двумерная стационарная самофокусировкаэлектромагнитных волн

в видев видеПростые волноводные каналы с фиксированной поляризацией. Для простоты будем рассматривать плавное распределение центрально-симметричных атомов диэлектрика (или молекул жидкости), образующих изотропную материальную среду. Уравнения Максвелла, описывающие эволюцию поля Е, в этом случае записывается

в виде

в виде

(1.8)(1.8)(1.9)(1.9).2р _ е0 д2Е = 4тг д2Р(нл)с2 ЭС " с2 ЭС

(1.8)

(1.8)

(1.9)

(1.9)

С учетом (1.1),(1.7) это можно переписать так

,2 _ £о Э2Е = £2 д2(|Е|2Е)с dt2 с dt2

Предположим, что линейно поляризованная волна распространяется лишь вдоль оси г, и рассмотрим медленные амплитудные изменения выражения для плоской волны exp \i(kz — wf) + 5]. Введем медленные пространственные и временную переменные [7]

(1.10)(1.10)Хи = а"ж, Уп = апу, Zn = anz, Ти = oCt,

(1.10)

(1.10)

где а — малый параметр и представим Е (Е = Е\, здесь 1 — единичный вектор в направлении поляризации) в виде ряда

Е = аЕ^ + а2Е^ + ...(1.11)

Тогда, подставляя разложение (1.11) в уравнение (1.9) и рассматривая члены различного порядка по а, получаем следующую последовательность уравнений:

при а\

fv2 -^ЕАдО) =0,(1.12)

V с2 ) 9 при аг:

V2 — — — I = —2 I 4-4-I Е^

с2 dt2)\ ЭждХх 8y8Yx 8z8Zv <? 8t8Tx )’

(1.13) при а3:

(

<з2 \/<л2<л2<л2<л2\

V72 — — — ) Е^ = — 2 I 4-4-I Е^ 4-

с2 Qi2}\8x8Xi dydYi dzdZx с2 8t8Tv)

|ч4|4(1,)з1s4i2^

с2 8t2^У28Z\ г 8Т28x8X1

+ 27n)Y+l28%X-2^a&rVW- (114) uyui2 uzuZ^ с utuT2 J

Уравнение (1.12) линейно, одним из его решений будет

EW =£(X„,y„,Zn>T„)exp(^) + K.c.>(1.15)

где

9 = kz - cot + 6, и2 = k2c2/so, du/dk = с/^/Tq .(116)

Это решение представляет собой волну, распространяющуюся вдоль оси z, с медленно меняющейся скалярной функцией огибающей Е. Поскольку экспонента ехр(г9) зависит лишь от одной пространственной переменной z, первые два члена в правой части (1.13) равны нулю, что дает

£о 92 \^о / ЭЕ , с ЭЕ \

V--2гшё \ЭТ'+ 7Д эг"1)ехр^ + к'с" 7

Как и в большинстве подобных задач, члены в правой части (1.17) секулярны, и их необходимо удалить. С этой целью положим

Тогда уравнение при а3 приводится к виду

V2 -^ ) Е^ = -с2 dt2 /V2 -^ ) Е^ = -с2 dt2 /82Е Э2Е ЭЕ , 0. £0 8Е + ЭУ? ^^dZy + 2ш j ЭТ282Е Э2Е ЭЕ , 0. £0 8Е + ЭУ? ^^dZy + 2ш j ЭТ2_8Х2_8Х2ехр (г9) +ехр (г9) +

V2 -^ ) Е^ = -

с2 dt2 /

V2 -^ ) Е^ = -

с2 dt2 /

82Е Э2Е ЭЕ , 0. £0 8Е + ЭУ? ^^dZy + 2ш j ЭТ2

82Е Э2Е ЭЕ , 0. £0 8Е + ЭУ? ^^dZy + 2ш j ЭТ2

_8Х2

_8Х2

ехр (г9) +

ехр (г9) +

+ cj2£2/c2 ^9Е3 ехр (Згб) - ЗЕ2Е* ехр (г6)^ +к.с. (1.19)

Производные по £ здесь не появляются ввиду взаимного сокращения членов d^E/dZ^ и д^Е/ЭТ^. Наконец, удаление секулярных членов из последнего уравнения приводит к амплитудному уравнению для огибающей Е для стационарного случая, т. е. в предположении независимости амплитуды огибающей от времени:

(1.20)(1.20)^ + ^| + ^ £|Е|2 + 2гкЦ- = О, ЭХ? ЭУ? ео 1 1 9ZX

(1.20)

(1.20)

где ^2 = 3^2- Уравнение (1.20) получил Келли (1965) [8] и независимо Таланов (1965) [9] для описания в нелинейной среде стационарных волновых пучков. Действительно, при рассмотрении стационарной задачи форма входящего луча задается функцией Е^Х\,У\, Z\ = 0). Следовательно, (1.20) вместе с граничными условиями (Х1,У1) определяет пространственную эволюцию оптического луча при прохождении диэлектрика в направлении оси Z\. Если входящий луч промодулирован только в одном поперечном направлении, т. е. dE)d¥\ = 0, то уравнение (1.20) преобразуется к такой форме:

(1.21)(1.21).ЭЕ1 92Е

(1.21)

(1.21)

гдг2к Эх2

где а = е^/^о- Уравнение (1.21) приводится к стандартному безразмерному виду:

^S + |4 + ^l^ = °-(1-22)

ot Эх

Переменной У удобно либо придавать смысл времени в случае авто- модуляционной неустойчивости квазимонохроматической волны, о которой пойдет речь ниже, либо смысл пространственной переменной, тогда уравнение (1.22) описывает двумерную стационарную самофокусировку. Уравнение (1.22) является примером интегрируемого эволюционного уравнения, называемого нелинейным уравнением Шрёдингера (НЛШ-уравнение, или просто НУШ). Такое название ему было присвоено именно потому, что структура этого уравнения в точности совпадает со структурой квантовомеханического уравнения Шрёдингера, где |q|2 выполняет роль потенциала. НУШ (1.22) возникает в различных физических задачах. Так, еще Питаевский [10] применял это уравнение для описания вихревых нитей в бозе-газе при нулевой температуре. Задача об эволюции комплексной огибающей монохроматической волны в нелинейной диспергирующей среде, как уже говорилось, также при-

водит к уравнению (1.22), причем следует заметить, что это относится не только к нелинейной оптике, но и к процессам распространения одномерного пакета волн по поверхности достаточно глубокой воды, а также к эффектам самовоздействия магнитостатических спиновых волн в ферромагнитных средах [11].

Нелинейное уравнение Шрёдингера в силу своей полной интегрируемости при х > 0 допускает солитоны огибающей, которые описываются асимптотическими решениями (t ос) следующим образом:

q (х, tf) =q (х, tf) =(1.23)(1.23)ch [2ц(ж — жо) + S^At7]ch [2ц(ж — жо) + S^At7]ехр {—4г(А2 — ц2)^ — 2гАж + гр^

q (х, tf) =

q (х, tf) =

(1.23)

(1.23)

ch [2ц(ж — жо) + S^At7]

ch [2ц(ж — жо) + S^At7]

Рис. 1.1. Динамика распространения солитона НУШ р = 2,5; А = 0,8Рис. 1.1. Динамика распространения солитона НУШ р = 2,5; А = 0,8которых интенсивность луча прикоторых интенсивность луча приЕсли переменной t' придать смысл пространственной координаты z, то каждый «солитон» представляет собой канал (нить, волокно), наклоненный к оси z под углом = — arctg4A. Такая группировка начального профиля в «нить» (филаментация) называется самофокусировкой. Солитон (1.23) является простейшим представителем обширного семейства точных решений уравнения (1.21). В общем случае такое решение, назовем его TV-солитонным, зависит от 4N произвольных констант: Рр Хр хо, рр и при не совпадающих Xj распадается, если z —> ±оо, на отдельные солитоны. Таким образом, если q(x) быстро стремится к нулю при |ж| оо, то входящий луч, имеющий достаточную мощность, будет самофокусироваться в N солитонов, имеющих вид прямых линий (в плоскости x,z\ вдоль

Рис. 1.1. Динамика распространения солитона НУШ р = 2,5; А = 0,8

Рис. 1.1. Динамика распространения солитона НУШ р = 2,5; А = 0,8

которых интенсивность луча при

которых интенсивность луча при

z ^ оо становится постоянной. Подобные солитоны иногда называются волноводными каналами. Этот эффект именуется часто автолокализацией для того, чтобы отличать его от более сильной самофокусировки, возникающей в случае размерности (2 ± 1), т. е. тогда, когда она описывается уравнением (1.20). Следует отметить, что (1 ± 1)-мерные волноводы неустойчивы по отношению к длинным поперечным возмущениям (т. е. в направлении оси У).

В простейших случаях каналы (волноводы) однородны в направлении своего распространения (простые каналы). Интенсивность излучения в волноводе убывает экспоненциально с расстоянием от его оси. Волноводные каналы могут пересекаться; картина распределения интенсивности излучения в области пересечения может быть очень

сложна, однако затем все излучение собирается в каналы с теми же направлениями и интенсивностями, что и до пересечения.

В заключение этого раздела сделаем следующее замечание. Напомним читателю, что односолитонное решение (1.23) с чисто математической точки зрения описывает устойчивое локализованное возбуждение, представляющее собой принципиально видеоимпульс, т. е. солитон огибающей, если не обращать внимание на исходную физическую модель, которая предполагает заполнение этого импульса высокочастотной несущей. Поэтому, для того чтобы возвратиться на реальную физическую основу, необходимо правую часть решения (1.23) умножить на exp[z(A;z — cot) + 5] («быстроизменяющаяся фаза»), после чего это локализованное возбуждение превращается в радиоимпульс. Здесь сознательно не применяется термин «радиосолитон», поскольку прямой подстановкой полученного в результате умножения выражения (1.23), после того как в нем все будет приведено к одним независимым переменным, убеждаемся, что оно не удовлетворяет уравнению (1.22). Таким образом, радиоимпульс не является в истинном смысле солитонным образованием и может служить только некоторым, хотя и очень удачным, как показывает практика, его приближением. «Удачность» приближения заключается в том, что радиоимпульс распространяется действительно без изменения своей формы, что подтверждается многочисленными экспериментами, и «медленная фаза» ехр{—4г(А2 — p2)f — 2гХх + Гр^ в решении (1.23) приводит только к изменению частоты несущей в очень узком диапазоне. Иначе говоря, медленное изменение фазы означает, что частота и волновое число волнового пакета могут отходить от своего центрального значения, отличаясь от него на незначительную величину, медленно меняющуюся в пространстве и во времени. В нелинейной оптике это явление известно как «чириканье».

Что касается видеосолитона огибающей (1.23), то «медленная фаза» в этом решении приводит к существенному периодическому изменению формы сигнала в процессе его распространения. Для иллюстрации такого поведения солитона НУШ на рис. 1.1 приведены результаты расчетов по формуле (1.23) в виде картины распространения одиночного солитона в х, У-плоскости. Из приведенного рисунка следует, что форма видеосолитона (1.23) не является стационарной в процессе его распространения, тогда как радиоимпульс в этих условиях сохраняет во время движения свою форму огибающей. Таким образом, математическая модель обладает определенными свойствами, которые не имеют места в реальной физической модели. Этот факт, как будет показано в следующем разделе, приводит к определенной некорректности применения понятия огибающей для решения поставленной задачи в случае произвольно поляризованного оптического излучения.

Волноводные каналы произвольно поляризованного оптического излучения. Рассмотренный выше материал касался про-

цессов самовоздействия в нелинейной среде электромагнитных волн с фиксированной поляризацией (т. е. однополевой случай). Будем теперь считать, что в среде с кубической нелинейностью распространяются волны с произвольной поляризацией. Дополнительная «степень свободы» — поляризация — приводит, оказывается, к новым эффектам, которые заключаются в следующем.

В случае стационарной двумерной самофокусировки электромагнитного излучения образующиеся волноводные каналы имеют постоянные поляризации (различные, вообще говоря, для разных каналов). Таким образом, волна, имевшая на входе в нелинейную среду переменную поляризацию, расслаивается в ней на пучки, поляризация излучения в которых уже постоянна. В этом смысле нелинейная среда может играть роль «поляризационного фильтра».

В общем случае, при пересечении двух произвольно поляризованных каналов их поляризации меняются. Этого не происходит, если только поляризации излучения в них коллинеарны. Пересечение приводит также к сдвигам осей каналов. Величины этих сдвигов существенно зависят от поляризаций. Направления и интенсивности каналов остаются прежними, (что относится и к многоканальным пересечениям).

Итак, рассмотрим квазимонохроматическую электромагнитную волну. Представим ее поле в виде Е (г, £) = Е (г, £) ехр [-г (ut - kr)], где E(r,Z) — медленно меняющаяся векторная функция г, t. В случае двумерной стационарной самофокусировки Е от времени не зависит и удовлетворяет уравнению (см. уравнение (1.21))

2гк^- + ^ + — |£|2£ = 0. (1.24) dz Эх2

Как и раньше, уравнение (1.24) приводится к стандартному безразмерному виду относительно векторной функции огибающей радиосигнала: 2

г^ + Ц + и\Е\2Е = 0. (1.25) 8z Эх

Здесь необходимо подчеркнуть, что обобщение на векторный случай уравнений (1.21), (1.22) происходит естественным образом заменой скалярной искомой функции, характеризующей меру напряженности электрического поля, на векторную величину. Подобная простая процедура обобщения получается далеко не всегда, и в этом можно будет убедиться на примере анализа явления самоиндуцированной прозрачности в двухуровневых и в трехуровневых средах.

Представим Е в виде суммы право- и левополяризованных волн: Е = £1Сд + £2cL, где сд и с^ — единичные, вообще говоря, комплексные векторы правой и левой поляризаций. Воспользовавшись ортогональностью сд и cl, получим для Е\ и Е^ систему уравнений

(1.26)(1.26)дх

(1.26)

(1.26)

ф + ^+^1^|2 + 1^|2)Г2=0дх

Эти уравнения впервые были использованы С. В. Манаковым при рассмотрении двумерной стационарной самофокусировки произвольно поляризованных электромагнитных волн [12].

Для ясности дальнейшего изложения желательно привести необходимый минимум сведений об интегрируемости предлагаемых нелинейных эволюционных уравнений и, в частности, НУШ и его обобщения (1.26), хотя имеет смысл оговориться, что во второй части этой книги подобные вопросы будут рассмотрены достаточно подробно. С этой целью мы воспользуемся одним из критериев полной интегрируемости эволюционных уравнений, который заключается в следующем. Предлагается найти такие два оператора Р и Q (матричный спектральный оператор и оператор эволюции), которые определяют две системы линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами такого вида:

^^^ = PC4,^V(x,t,^,(1-27)

= ^хМШхЛЛУ(1-28)

где У(жД,^) — есть п — координатный вектор-столбец в некотором функциональном пространстве, а £ — спектральный параметр, не являющийся функцией х и t (здесь используются независимые переменные хДУ Если на решение У^хД,^) наложить условие совместности d^V/dtdx = d^V/dxdt, то получается следующее интегрируемое нелинейное уравнение:__

^-^+[F,Q] = °,(1.29)

at дх L J

здесь [F, Q] = PQ — QP. Уравнения (1.29) должны быть независимы от £ и получили в литературе название представление нулевой кривизны, которое является альтернативным представлению в форме Лакса (L,A-napa) [13]. В том случае, когда рассматривается скалярное нелинейное уравнение Шрёдингера, вспомогательная линейная спектральная задача, ассоциированная НУШ, и уравнение эволюции, имеют вид, соответственно

дх ’’\r(x,t) i^ удх ’’\r(x,t) i^ у^ = QV, Q =^ = QV, Q =(1.30)(1.31)(1.30)(1.31)—2ip — iqr 2£q + i^2£r — i^ ^ip-HqT

дх ’’\r(x,t) i^ у

дх ’’\r(x,t) i^ у

^ = QV, Q =

^ = QV, Q =

(1.30)

(1.31)

(1.30)

(1.31)

Очевидно, что при q = ^и(2 ф, г = — q* подстановка операторов Р и Q из (1.30) и (1.31) в (1.29) дает нелинейное уравнение Шрёдингера (1.22). Условие совместности (1.30) и (1.31), которое имеет вид (1.29), должно выполняться при всех £ и представляет собой полином третьей степени по £. Коэффициенты при степенях £, £2, £3 исчезают тождественно в силу специального выбора матриц Р и Q. Исчезновение постоянного члена, т. е. при степени ^°, эквивалентно НУШ (1.22). Вспомогательная задача на собственные значения в форме (1.30) получила название задача Захарова-Шабата/АКНС [14]. Обобщенная задача Захарова-Шабата/АКНС играет исключительно важную роль в теории солитонов и является основополагающей в решении эволюционных нелинейных уравнений (метод обратной задачи рассеяния Захарова-Шабата/АКНС). Подробнее об этом методе можно узнать в обширной литературе по данному вопросу. В нашем случае мы будем пользоваться «идеологией» этого метода для решения более сложных задач, таких, например, как уравнения (1.26) и многих других, как это будет ясно из дальнейшего изложения.

Перейдем теперь непосредственно к рассмотрению системы уравнений (1.26), описывающей двумерную стационарную самофокусировку произвольно поляризованного оптического излучения. В этом случае для спектрального оператора Р имеем

/ -г< Е' Е'\

^ = PV, Р = -Е'/ г< 0 , (1.32) Х VE? 0 г< /

где Е\ 2 = V^/^ ^й2’ ^1*2 = Vx/2 ^1*2- Что касается оператора эволюции Q, то для него имеем следующее выражение также в виде матрицы размером 3x3 [12]:

(-21^ + г(\Е'х\2 + №)(-21^ + г(\Е'х\2 + №)дЁх*дЁх*2%С -г\Е'х\2—гЕхЕ22%С -г\Е'х\2—гЕхЕ2-гЕ'/Е^-гЕ'/Е^(1.33)(1.33)

(-21^ + г(\Е'х\2 + №)

(-21^ + г(\Е'х\2 + №)

дЁх*

дЁх*

2%С -г\Е'х\2

—гЕхЕ2

2%С -г\Е'х\2

—гЕхЕ2

-гЕ'/Е^

-гЕ'/Е^

(1.33)

(1.33)

Опять можно убедиться непосредственной подстановкой (1.32) и (1.33) в представление нулевой кривизны (1.29), что условие совместности (1.29) приводит относительно искомых функций Еу^ к модельным уравнениям (1.26), если переменную t заменить на z.

Найденная задача на собственные значения в виде оператора (1.32), ассоциированная с уравнениями (1.26), является фундаментом для построения метода обратной задачи рассеяния с целью нахождения общего аналитического решения этих уравнений. Именно С. В. Манакову удалось найти эти операторы Р(хД,ф) и Q(x,t,^) в виде матричных

функций 3 х 3 и полностью исследовать двумерную стационарную самофокусировку электромагнитных волн с произвольной поляризацией в нелинейной среде с кубической нелинейностью. К изложению концептуальных моментов этих исследований мы и переходим. Более подробно математическая сторона этих вопросов будет изучена во второй части этой книги, поскольку, как мы увидим в дальнейшем, для многих физических явлений решение подобных задач совершенно идентично.

Центральную роль в теории солитонов играют частные решения системы модельных уравнений (1.26), для которых матричный элемент ац(^) имеет только один нуль £, а остальные элементы первой строки матрицы рассеяния равны нулю, т. е. равны нулю cti2(€) и ^1з(0 при любых £ (см. формулу (7.93) часть 2, раздел 7.3.1). Именно эти решения описывают простые волноводные каналы в теории самофокусировки. В соответствии со сказанным выше, вид их должен полностью определяться тремя комплексными константами: положением нуля £ в комплексной плоскости £ и величинами су^суз (см- соотношение (7.99) в том же разделе). Явное выражение для этих решений легко находится, так как система интегральных уравнений с вырожденными ядрами обратной задачи рассеяния для матриц указанного вида сводится в этом случае к системе линейных алгебраических уравнений. Следовательно, если имеется только одно собственное значение

' Н = о cexPW^x Г 4г(X — р )t]

’ ch [2ц(ж — жо + 8Ац£)] ’ ' где

c = j|j, S]=c12(0), S2 = c13(0), Жо = ^1п|8|2. (1.35)

Решения уравнения (1.25) такого вида мы будем формально называть «видеосолитонами», хотя в первоначальной физической постановке задачи считается, что данная модель должна описывать взаимодействие произвольно поляризованных уединенных возбуждений с высокочастотным заполнением. О трудностях, которые возникают на этом пути, будет сказано в разделе 1.5.

Таким образом, солитон (1.34) характеризуется двумя произвольными константами А и ту, определяющими соответственно его скорость Vs = —4А и его амплитуду; хо — есть координата солитона при t = 0, а единичный вектор с определяет его поляризацию (и фазу). В теории самофокусировки солитон имеет, как уже говорилось, смысл волноводного канала, распространяющегося под углом = — arctg4A к направлению волнового вектора исходной волны к; интегральная интенсивность излучения в канале есть 7" = | |Е'|2 с/ж = 4р.

Особая роль солитонов состоит в том, что они определяют, в некотором смысле, асимптотическое состояние (t ±оо) произвольного решения уравнения (1.25). Именно, можно показать, что для любого начального условия Ez(x,0) решение уравнения (1.25) E'(x,t) стремит-

ся к нулю на прямых х — Vst = const при \t\ —> ос, если величина — К/4 не совпадает с реальной частью какого-либо нуля ащ(£) в верхней полуплоскости £. Это означает, в частности, что определенная часть входящего в среду излучения «расслаивается» в ней на некоторое число пучков. Так же, как и для скалярной модели, т. е. для солитона с фиксированной поляризацией (1.23), можно показать, что произвольно поляризованные солитоны устойчивы в том смысле, что малое изменение начальных условий вызывает малое изменение параметров солитонов.

Пересечение каналов (взаимодействие поляризованных солитонов НУШ). Если направления двух волноводных каналов не совпадают, то рано или поздно они сближаются настолько, что становится существенным их взаимодействие. Возникает задача об определении результата подобного «столкновения» каналов. При этом заранее очевидно, что после пересечения возникнут каналы с теми же направлениями и интенсивностями, что и до пересечения, поскольку эти характеристики каналов определяются сохраняющимися во времени собственными числами оператора Р. Так как интегральные интенсивности излучения в каналах сохраняются, то можно утверждать, что все излучение после пересечения снова собирается в каналы. Таким образом, в результате пересечения могут меняться только поляризации каналов и положения их осей. Все выше сказанное относится, очевидно, и к пересечению произвольного числа каналов.

Задача об TV-солитонном столкновении может быть рассмотрена с помощью матрицы рассеяния специального вида. Напомним как выглядят выражения для односолитонной матрицы рассеяния, которые легко находятся из уравнений (7.92),(7.93), (7.97)-(7.99) (гл. 7):

= (1-36)

aik^,C^=5lk + <^c*_1Ck_v. (1.37)

Здесь с^ — компоненты единичного вектора поляризации (см. соотношения (1.35)), остальные элементы матрицы рассеяния равны нулю. В случае, когда ощ^) имеет N простых нулей ^, ^, ..., ^ в верхней полуплоскости £, величина скц(£) представляется при этом в виде

аиЮ = Пст- (1.38)

г=1

Пусть теперь для этого случая с^^) = ^ИзЮ = 0 для всех вещественных £. Подчеркнем здесь, что подобные условия могут быть выполнены только при подходящем выборе начальных условий задачи Коши для исходного дифференциального нелинейного уравнения (1.25). И в этом случае явное выражение для солитонных решений легко находится, так как при этих условиях система интегральных уравнений

обратной задачи рассеяния (система уравнений Марченко), как уже было сказано выше, сводится к системе линейных алгебраических уравнений (см. часть 2, гл. 7). Здесь уместно привести дословный текст автора работы [12] (С. В. Манаков), которая датируется 1973 годом: «Решая эту систему, можно, в принципе, найти явное выражение для TV-солитонного решения. Однако возникающие выражения сложны и трудно обозримы; по этой причине они фактически бесполезны. Относительно просто могут быть исследованы асимптотические состояния, возникающие при t —> ±оо. В этой связи отметим, что в настоящее время, при современном развитии компьютерной техники вычислений и графических возможностей представления полученных результатов в виде объемных рисунков, детальное рассмотрение процессов непосредственного взаимодействия солитонов между собой приобретает вполне определенный смысл. В доказательство сделанного выше утверждения мы приведем в разделе 1.5 результаты подобного анализа и покажем те новые стороны в процессах взаимодействия произвольно поляризованных солитонов, которые остались незамеченными при асимптотическом их рассмотрении.

Итак, если среди Re^ нет равных, то, как это легко выясняется из системы интегральных уравнений Марченко (см. выражения (7.112)-(7.113)), при t ±оо решение уравнения (1.25) представляется в виде Е = ^ Е^, где Е* определяется с учетом перенормировки £12 = y/x/2£i?2 выражением (1.34), т. е. поле распадается на отдельные солитоны.

Для простоты изложения будем считать, что имеются всего два солитона, взаимодействие которых нам необходимо изучить (при этом заметим, что исследование TV-солитонного взаимодействия также не представляет большого труда). Фиксируем параметры солитонов при —ос, т. е. для каждого солитона ^д зададим векторы S^ (см. (1.35)), полностью определяющие поляризацию огибающей электрического поля Еу^ солитонов до столкновения. Соответствующие векторы при t ± ос обозначим через S+2- Положим, для определенности, Re£i > Re^2- Тогда при t —оо солитоны расположены на оси х в порядке убывания их номера, т. е. второй солитон с меньшей скоростью находится ближе к точке взаимодействия, а первый от него отстает; при t —> ±оо порядок следования солитонов обратный — первый солитон впереди и теперь уже второй солитон от него отстает.

Для определения результата столкновения солитонов, т. е. для вычисления S^2 по данным S^» можно воспользоваться приемом Захарова и Шабата, т. е. проследить за «прохождением» функций Йоста через асимптотические состояния Е [17]. Опуская излишние в данном контексте подробности дальнейшего анализа, с которыми читатель может ознакомиться в цитируемой работе [12], запишем следующие соотношения:

Двумерная стационарная самофокусировка электромагнитных волн 31 s+ ^п^.^аЩЩг.з+Х. s+ = X(<2,0)aT(M,Sf)S-,

/«22 «2з\^'39^

\^32 С^зз у

где индекс Т означает операцию транспонирования. Формулы (1.36)(1.39) дают решение задачи о столкновении солитонов, т. е. если до столкновения имеются два солитона ^, Sy и £2, Sy (Re£i > Re^), то в результате взаимодействия возникнут солитоны с векторами S+, S^, которые и определяются из соотношений (1.39). Эти выражения явно несимметричны относительно перестановки индексов 1 и 2, что выражает инвариантность системы (1.25) относительно замены t —t, Е Е* (при этом «быстрый» солитон становится «медленным» и наоборот).

Как следует из (1.39), при рассеянии солитонов происходит изменение их поляризаций и сдвиг «координат солитонов при t = 0 >> х^. Величины последних, согласно (1.34), есть

Аж0» =In j^L.(1.40)

Обозначим |S^|/|Sy| через х* Величину х легко найти из (1.39) и вида матричных элементов а^ (см. формулы (1.36)-(1.38))

+(1Л1)

4142 1- ;2|)

Формула (1.41) определяет сдвиг Ахо для быстрого солитона: △^02 = (4^)-11пу« Его величина всегда положительна, у > 1. Прямым вычислением находим Атул = — (4z/i)— 1 In X- Таким образом, быстрый солитон при столкновении получает дополнительный сдвиг вперед на величину Ахо2, а медленный солитон сдвигается назад. При этом TyiA^oi + 772АХ02 = 0, что является следствием сохранения во времени величины | |E|2dx.

Величины сдвигов существенно зависят от поляризаций солитонов. Наиболее интенсивно взаимодействуют солитоны с одинаковыми поляризациями. Для них Ахо2 максимально и равно

(Аж02)тах = ф 1п|^У|.(1-42)

Минимальное значение Axq2 при фиксированных амплитудах и скоростях солитонов достигается в случае ортогональных поляризаций: (AxQ2)min = ( 1/2) ( Ахо2)тах-

Единичные векторы поляризаций после акта соударения следующим образом выражаются через характеристики сталкивающихся солитонов [12]:

X С1 - <2X С1 - <2(ci +(ci +<2 - G G - <Г<2 - G G - <Г(С2С1)(С2С1)с2с2р. 1 СГ " <2с 2 = - 77X <1 - <2р. 1 СГ " <2с 2 = - 77X <1 - <2С2 +С2 +С1 " СГ <2"<1С1 " СГ <2"<1(Цс2)С](Цс2)С](1.43)(1.43)

X С1 - <2

X С1 - <2

(ci +

(ci +

<2 - G G - <Г

<2 - G G - <Г

(С2С1)

(С2С1)

с2

с2

р. 1 СГ " <2

с 2 = - 77

X <1 - <2

р. 1 СГ " <2

с 2 = - 77

X <1 - <2

С2 +

С2 +

С1 " СГ <2"<1

С1 " СГ <2"<1

(Цс2)С]

(Цс2)С]

(1.43)

(1.43)

«Видно, что поляризации солитонов не меняются только в том случае, если начальные поляризации параллельны или ортогональны.» В кавычках процитирован один из выводов автора работы [12] (С. В. Манаков). Это сделано преднамеренно, чтобы в дальнейшем наглядно показать некоторую некорректность данного вывода (см. раздел 1.5).

Самомодуляция нелинейных плоских волнв диспергирующих средах с кубическойнелинейностью

Волновой пакет в линейной диспергирующей среде. Обратимся теперь к описанию явления продольной автомодуляции нелинейных плоских волн в диспергирующих средах. В диспергирующей среде скорость распространения различных частотных компонент различна. Это приводит к изменению разности фаз между составляющими спектра сигнала и к изменению его формы. Скорость распространения сигнала может существенным образом отличаться от фазовой скорости отдельных гармонических компонент, и поэтому само понятие «скорость сигнала» в диспергирующей среде нуждается в дополнительном уточнении. Таким образом, проблема распространения сигнала в диспергирующей среде с кубической нелинейностью в общем случае сводится к нахождению решения уравнения вида

V2S - 4Т -тЫ~ = Ц ГМЛ1. (1.44)

с2 9t2 с2 J v 7 v 7 с2 Э^

О

Будем сначала рассматривать дисперсионные процессы в линейной среде, а влияние нелинейности учтем позже, т. е. в основу анализа положим пока уравнение (1.44) без правой его части. Предположим далее, что в направлении оси z распространяются плоские немонохроматические волны, в силу чего поперечный лапласиан равен нулю и уравнение (1.44) в таком случае принимает вид

д2Е 1 82Е 4тг 82X.гх

ПИЕЧ~тЫг = 0.(1.45)

О

Такие волны могут возбуждаться или на границе среды (например, источником, расположенным при z = 0), или путем создания в начальный момент времени (например, при t = 0) некоторого пространственно-распределенного возмущения.

Рассмотрим для примера граничную задачу. Пусть диспергирующая среда занимает полупространство г > 0 и на ее границе задан входной сигнал

Е(^ = (М) =E^t\(1.46)

который имеет частотный спектр

F(uo) = -!- [ Eq(1) exp dt.(1-47)

Так как спектральные компоненты распространяются в линейной среде независимо друг от друга, то поведение волны, описываемое решением линеаризованного уравнения (1.45) (т. е. без правой его части), дается суперпозицией гармонических волн

E(z,t) = | Е(ш) exp [—tut + ik(uu)z\ duo.(1-48)

Здесь уместно подчеркнуть, что дисперсионные свойства материальной среды, описываемые интегральным членом в уравнении (1.45), нашли свое отражение в зависимости к^ решения (1.48). Если подставить выражение для спектра Е(ио) (1.48) в последнее соотношение, то можно выразить искомое решение через поле на границе:

E(z,t) =[ due [ Eq (tf) exp \—%ue (t - tf) + %k^z\ dt' =

= J EQ^G^.t-t^dt'. (1.49)

Здесь

G(z,t) =[ exp [—taut + ik(uo)z\ duo(1.50)

есть функция Грина. Когда нет дисперсии и к = uo/cq, легко показать что G = 5(t — z/cq) и E(z,t) = Eq(1 — z/cq). Этот результат означает, что в среде без дисперсии возмущение достигает точки наблюдения z через промежуток времени z/cq, причем это запаздывание не зависит от спектрального состава волны. В диспергирующей среде, где зависимость к(ио) не является линейной, функция Грина (1.50), как правило, не поддается точному анализу, в силу чего при рассмотрении более сложной зависимости к(ио) приходится использовать приближенные методы расчета.

Одно из таких приближений используется для описания распространения волновых пакетов, играющих важную роль при передаче сигналов. Волновой пакет — это квазимонохроматический сигнал

2 В. И. Наянов

с узким частотным спектром. Выделяя некоторую среднюю частоту сигнала ио, его можно записать в виде

ЕоЮ = £о(Л) ехр (—гш0£).ЕоЮ = £о(Л) ехр (—гш0£).(1.51)(1.51)Здесь Eq — комплексная медленно изменяющаяся функция, a tx = = pt. Медленность изменения (\dEo/dt\ <^ ooqEo) связана с наличием малого параметра р ~ Лш/шо где Асе — ширина спектра волнового пакета.Итак, для узкополосных сигналов в диспергирующей среде общие выражения (1.48), (1.49) могут быть эффективно упрощены. Такое упрощение возможно при любой зависимости к(ш), так как фактически требуется знать не полный закон дисперсии, а лишь его локальное поведение в окрестности средней частоты и = шок(ш) = к^ш^ + (—— ^°)2 + • • • • 0 -52)Подставляя (1.51) и (1.52) в (1.49) запишем выражение для поля волнового пакета в видеЗдесь Eq — комплексная медленно изменяющаяся функция, a tx = = pt. Медленность изменения (\dEo/dt\ <^ ooqEo) связана с наличием малого параметра р ~ Лш/шо где Асе — ширина спектра волнового пакета.Итак, для узкополосных сигналов в диспергирующей среде общие выражения (1.48), (1.49) могут быть эффективно упрощены. Такое упрощение возможно при любой зависимости к(ш), так как фактически требуется знать не полный закон дисперсии, а лишь его локальное поведение в окрестности средней частоты и = шок(ш) = к^ш^ + (—— ^°)2 + • • • • 0 -52)Подставляя (1.51) и (1.52) в (1.49) запишем выражение для поля волнового пакета в видеE(z, t) = E(z, t) exp (—iuot + ikoz),E(z, t) = E(z, t) exp (—iuot + ikoz),(1.53)(1.53)где огибающая пакета имеет видгде огибающая пакета имеет видEq (tf) dt' XEq (tf) dt' Xdk ■ du .dk ■ du .Учет различных членов в разложении (1.52) соответствует различным приближениям теории дисперсии. В первом приближении теории дисперсии, когда к(ш) = ко + (dk/du)^0(u — ио), внутренний интеграл в (1.54) превращается в дельта-функцию, и мы получаемУчет различных членов в разложении (1.52) соответствует различным приближениям теории дисперсии. В первом приближении теории дисперсии, когда к(ш) = ко + (dk/du)^0(u — ио), внутренний интеграл в (1.54) превращается в дельта-функцию, и мы получаем/dk \E(z,t) =Eo(t-^z] \du У/dk \E(z,t) =Eo(t-^z] \du Уexp (—iuot + ikoz\exp (—iuot + ikoz\(1.55)(1.55)Видно, что в данном случае волновой пакет распространяется без искажения с групповой скоростью щр = {dk/du)~^, отличной от его фазовой скорости. В рассматриваемом приближении, как можно убедиться прямой подстановкой, амплитуда волнового пакета удовлетворяет уравнению первого порядкаВидно, что в данном случае волновой пакет распространяется без искажения с групповой скоростью щр = {dk/du)~^, отличной от его фазовой скорости. В рассматриваемом приближении, как можно убедиться прямой подстановкой, амплитуда волнового пакета удовлетворяет уравнению первого порядкааЕ1 НЕЭгщр dtаЕ1 НЕЭгщр dt(1.56)(1.56)Высокочастотный сигнал распространяется без искажения только в первом приближении. Если же в разложении (1.52) и, соответственно,Высокочастотный сигнал распространяется без искажения только в первом приближении. Если же в разложении (1.52) и, соответственно,

ЕоЮ = £о(Л) ехр (—гш0£).

ЕоЮ = £о(Л) ехр (—гш0£).

(1.51)

(1.51)

Здесь Eq — комплексная медленно изменяющаяся функция, a tx = = pt. Медленность изменения (\dEo/dt\ <^ ooqEo) связана с наличием малого параметра р ~ Лш/шо где Асе — ширина спектра волнового пакета.

Итак, для узкополосных сигналов в диспергирующей среде общие выражения (1.48), (1.49) могут быть эффективно упрощены. Такое упрощение возможно при любой зависимости к(ш), так как фактически требуется знать не полный закон дисперсии, а лишь его локальное поведение в окрестности средней частоты и = шо

к(ш) = к^ш^ + (—— ^°)2 + • • • • 0 -52)

Подставляя (1.51) и (1.52) в (1.49) запишем выражение для поля волнового пакета в виде

Здесь Eq — комплексная медленно изменяющаяся функция, a tx = = pt. Медленность изменения (\dEo/dt\ <^ ooqEo) связана с наличием малого параметра р ~ Лш/шо где Асе — ширина спектра волнового пакета.

Итак, для узкополосных сигналов в диспергирующей среде общие выражения (1.48), (1.49) могут быть эффективно упрощены. Такое упрощение возможно при любой зависимости к(ш), так как фактически требуется знать не полный закон дисперсии, а лишь его локальное поведение в окрестности средней частоты и = шо

к(ш) = к^ш^ + (—— ^°)2 + • • • • 0 -52)

Подставляя (1.51) и (1.52) в (1.49) запишем выражение для поля волнового пакета в виде

E(z, t) = E(z, t) exp (—iuot + ikoz),

E(z, t) = E(z, t) exp (—iuot + ikoz),

(1.53)

(1.53)

где огибающая пакета имеет вид

где огибающая пакета имеет вид

Eq (tf) dt' X

Eq (tf) dt' X

dk ■ du .

dk ■ du .

Учет различных членов в разложении (1.52) соответствует различным приближениям теории дисперсии. В первом приближении теории дисперсии, когда к(ш) = ко + (dk/du)^0(u — ио), внутренний интеграл в (1.54) превращается в дельта-функцию, и мы получаем

Учет различных членов в разложении (1.52) соответствует различным приближениям теории дисперсии. В первом приближении теории дисперсии, когда к(ш) = ко + (dk/du)^0(u — ио), внутренний интеграл в (1.54) превращается в дельта-функцию, и мы получаем

/dk \

E(z,t) =Eo(t-^z] \du У

/dk \

E(z,t) =Eo(t-^z] \du У

exp (—iuot + ikoz\

exp (—iuot + ikoz\

(1.55)

(1.55)

Видно, что в данном случае волновой пакет распространяется без искажения с групповой скоростью щр = {dk/du)~^, отличной от его фазовой скорости. В рассматриваемом приближении, как можно убедиться прямой подстановкой, амплитуда волнового пакета удовлетворяет уравнению первого порядка

Видно, что в данном случае волновой пакет распространяется без искажения с групповой скоростью щр = {dk/du)~^, отличной от его фазовой скорости. В рассматриваемом приближении, как можно убедиться прямой подстановкой, амплитуда волнового пакета удовлетворяет уравнению первого порядка

аЕ1 НЕ

Эгщр dt

аЕ1 НЕ

Эгщр dt

(1.56)

(1.56)

Высокочастотный сигнал распространяется без искажения только в первом приближении. Если же в разложении (1.52) и, соответственно,

Высокочастотный сигнал распространяется без искажения только в первом приближении. Если же в разложении (1.52) и, соответственно,

в (1.54) учесть квадратичный член, то интеграл (1.54) преобразуется

К ВИДУоо

[ fo(??)exp (т-ту)2] ^,(1.57)

V-2тггуг JLJ

где т = t — z/vY?, = (d2k/du2)^. Нетрудно видеть, что общее решение (1.57) выражено через фундаментальное решение уравнения параболического типа (уравнения диффузии, теплопроводности), записанного в системе координат, движущейся с групповой скоростью. Из этого вытекает, что во втором приближении теории дисперсии амплитуда волнового пакета (1.57) удовлетворяет параболическому уравнению с мнимым коэффициентом диффузии D = — гу/2 = — (г/2) du”х /du, который характеризует дисперсию групповой скорости

(1.58)(1.58)^ _ Э2Едг 2 79т2'

(1.58)

(1.58)

Из-за мнимости коэффициента диффузии при дисперсионном расплывании волнового пакета изменяется не только амплитудный профиль |Е(^Д)|, но и фазовая модуляция импульса. Дисперсионное расплывание волнового пакета накапливается с расстоянием. Даже если дисперсия настолько слабая, а спектр волнового пакета настолько узкий, что третий член в разложении (1.52) много меньше второго, т. е. выполняется условие (d2k/du2)w0/\u <^ (dk/du)^, то, тем не менее, на некотором расстоянии от входа в среду искажение сигнала станет существенным. Расстояние, на котором еще можно не учитывать деформацию амплитуды сигнала, зависит от дисперсии групповой скорости и длительности импульса.

Нелинейная дисперсия. Будем теперь рассматривать уравнение (1.44), предполагая при этом, что линейная часть диэлектрической проницаемости не зависит от частоты, т. е. дисперсия линейной среды отсутствует и поперечный лапласиан равен нулю (приближение плоских волн), т. е. следующее уравнение:

Э2Е dz2Э2Е dz21 сГе £2 d2(\E\2E)1 сГе £2 d2(\E\2E)с2 at2с2 at2с2 at2с2 at2(1.59)(1.59)

Э2Е dz2

Э2Е dz2

1 сГе £2 d2(\E\2E)

1 сГе £2 d2(\E\2E)

с2 at2

с2 at2

с2 at2

с2 at2

(1.59)

(1.59)

Для учета возмущающих членов в волновых уравнениях можно, конечно, воспользоваться методом многих масштабов, который был использован нами при рассмотрении уравнения (1.8), но с познавательной точки зрения мы будем использовать в данном случае другую модификацию метода возмущений, а именно, метод медленно изменяющегося профиля [18]. Этот метод широко применяется для упрощения уравнений в нелинейных системах, средах с дисперсией и фактически он был использован при анализе уравнения (1.45). Без учета нелинейного члена решение (1.59) имело бы вид E(z, t) = j\(t — z/c) + j^t — z/c). Ограничимся волной, бегущей вправо: E(z,t) = j\(t — z/c), и будем

следить только за ней. Если учесть нелинейность среды, то E(z,t) будет уже зависеть не только от t — z/c, но еще и медленно от z, т. е.

Е^Л^ = /1 (£ — г/с, рЛ)-Е^Л^ = /1 (£ — г/с, рЛ)-(1.60)(1.60)

Е^Л^ = /1 (£ — г/с, рЛ)-

Е^Л^ = /1 (£ — г/с, рЛ)-

(1.60)

(1.60)

Перейдем в сопровождающую систему координат. Введем новые пе

ременныеременныет = t — zjc, z' = pz.т = t — zjc, z' = pz.(1.61)(1.61)

ременные

ременные

т = t — zjc, z' = pz.

т = t — zjc, z' = pz.

(1.61)

(1.61)

Преобразование различных членов, входящих в (1.59), приводит к результату

э2 еэ2е э2е (1 э2е 2 э2е , 2э2е\ м

Эк9т

Сохраним во всех выражениях члены не выше первой степени р, т. е. порядка р° и р\ а остальные члены отбросим. Будем считать, что нелинейная поляризация р(нл) = 5с^Хшз + шз — ^j)^^^ имеет порядок р. Поскольку среда является слабо нелинейной и на нее падают плоские монохроматические волны, то амплитуды волн будут изменяться на малую величину при прохождении волной расстояния порядка длины волны, т. е. амплитуды волн будут медленно изменяющимися функциями координат. Положим далее E(z,f) = Е (zf ,т) егк2-гш1 (см. (1.53)), что выражает медленность изменения амплитуды волнового пакета, и пренебрежем производными по т по сравнению с членами, не содержащими эти производные. Это можно сделать, поскольку амплитуда Е(/,т) — «медленная» (период осцилляций То = 2т/шо мал по сравнению с характерным временем to изменения комплексной амплитуды: Т^)^ <^ 1). Последнее неравенство эквивалентно условию узкополосности спектра сигнала /\ш)ш % ц С!. Тогда для медленно меняющейся амплитуды сигнала имеем укороченное уравнение

^^ ^£2 \c\2p ^НЛ(|Е| ) рdz 2е0 11“2е0’

и полное волновое поле можно записать в виде

Е = ^ Еоехр \i(ut - k^z)] + к. с.,(1.65)

где кнл = к(Х + внл/2во), а енл предполагается действительной величиной. Из (1.65) видно, что вследствие нелинейности действительной части диэлектрической проницаемости енл(£о), которая фактически представляет собой нелинейную добавку к частоте волны, изменилось волновое число, а, следовательно, и фазовая скорость

2~( 1 _

(1 + £нл/2£о)\ 2ео/

причем в среде с енл > О волна замедляется, а в среде енл < 0 убыстряется по сравнению со случаем линейной среды. Так как нелинейная часть диэлектрической проницаемости может зависеть от частоты по- другому, чем ее линейная часть, то при изменении амплитуды волны меняются дисперсионные свойства нелинейной среды, в силу чего это явление получило название нелинейная дисперсия.

Поскольку нелинейные и линейные дисперсионные члены входят в исходное уравнение (1.44) независимо, очевидно, что в упрощенном уравнении эти члены будут присутствовать в виде отдельных слагаемых. Иначе говоря, применение метода медленно изменяющегося профиля приведет к уравнению, являющемуся обобщением (1.58), (1.64):

(1.67)(1.67).дЕ _ _С

(1.67)

(1.67)

гдг 2 ц-г1

где, как и ранее (см. уравнение (1.21)), а = ке'ЛЧео, а к" = д^к/дЛ. Уравнение (1.67) описывает продольную автомодуляцию электромагнитной волны в нелинейной диспергирующей среде. Можно это уравнение записать в переменных t, х = z — щр£, тогда имеем

Здесь Шк — закон дисперсии, а|£|2 — нелинейная поправка к частоте волны с амплитудой £, а иУ^ = д2ш/дк2.

Уравнение (1.68), так же, как и уравнение (1.21), приводится к стандартному безразмерному виду (1.22), которое для удобства чтения приведем еще раз

+у + х^4 = °'(к69)

Поскольку, как уже говорилось выше, НУШ полностью интегрируемо и при х > О допускает солитоны огибающей, которые описываются асимптотическими решениями (t —> ос) (1.23), то для уравнения (1.68) условие х > О эквивалентно требованию аш^ < 0, при выполнении которого в нелинейной среде имеет место продольная неустойчивость квазимонохроматической волны — автомодуляция.

Произведем в уравнении (1.68) перенормировку q(x,t) = a^2E(x,t) и запишем это уравнение при ^ < 0 в удобном для математического анализа виде2

(1.71)(1.71)Если предположить, что нули функции ац(^) элемента матрицы рассеяния задачи Захарова-Шабата чисто мнимые, то односолитонное решение уравнения (1.70) записывается в таком виде (см. формулу (L23)):/2 X

(1.71)

(1.71)

д(ж, t) = и sec h (иж) exp (—w t/2),

где и — форм-фактор, определяющий амплитуду импульса и его длительность Xq/v.

Солитонные импульсы обладают значительным запасом устойчивости по отношению к регулярным и шумовым возмущениям, что подтверждается результатами теоретического и численного анализа [19, 20]. В частности, если начальные условия задачи Коши имеют вид q(x, 0) = qo sec h x,(1.72)

где qo = 1 + С —0,5 < ( < 0,5 — возмущение амплитуды, то при £ ею решение (1.70) имеет вид (1.71) с форм-фактором и = 1 + 2 ( [20].

Возможность получения солитонов из импульсов различной формы и устойчивость их по отношению к возмущениям имеют принципиальное значение для использования этих объектов в качестве носителей информации.

Другим весьма важным классом решений уравнения (1.70) являются связанные состояния солитонов, соответствующие начальным условиям (1.72) при q^ = N, где N ^ 2 — целое число. Основные свойства подобных импульсов проанализированы в работах [19, 20]. Методом обратной задачи рассеяния показано, что импульсы с огибающей TVsechx представляют собой нелинейную суперпозицию солитонов с форм-факторами ип = (2п - 1), где п = 1,2, ...,7V. При qo = N форма огибающей qN может быть найдена при произвольных х, t как результат решения линейной системы N уравнений. Кроме того, показана устойчивость решения qN по отношению к малым возмущениям амплитуды qo вида qo = N -\- (.

Важной особенностью TV-солитонных импульсов является их периодичность по t, причем величина периода, выраженная в дисперсионных длинах (длина дисперсионного расплывания волнового пакета), равна тг/2. Существенно, что при произвольном qo > 1 начальный этап распространения спектрально-ограниченного импульса соответствует самосжатию, это указывает на возможность создания волоконно-оптических компрессоров спектрально-ограниченных импульсов ближнего ИК-диапазона. На рис. 1.2 представлена трансформация огибающей в процессе распространения при N = 4. Все перечисленные особенности самовоздействия солитонных импульсов были подтверждены экспериментально [3]. На рис. 1.3 изображены полученные в эксперименте временные профили автокорреляционной функции интенсивности на выходе световода и соответствующие им расчетные профили интенсивности при N = 1,2, 3 и 4, t = тг/4.

Успешные эксперименты с оптическими солитонами, результаты которых не только качественно, но и количественно согласуются с теорией, стимулировали возникновение трех важных направлений исследований: 1) солитоны в реальных линиях связи, 2) управление огибающей и спектром пикосекундных импульсов, включая их сжатие вплоть до фемтосекундного диапазона длительностей, 3) создание солитонных

Рис. 1.2. Самосжатие Л^-солитонного импульса при N = 4 [22]Рис. 1.2. Самосжатие Л^-солитонного импульса при N = 4 [22]Рис. 1.3. Экспериментальные профили автокорреляционных функций интенсивности (а) [4] и расчетные профили интенсивности при N = 1,2, 3 и 4 (б) (слева направо)Рис. 1.3. Экспериментальные профили автокорреляционных функций интенсивности (а) [4] и расчетные профили интенсивности при N = 1,2, 3 и 4 (б) (слева направо)

Рис. 1.2. Самосжатие Л^-солитонного импульса при N = 4 [22]

Рис. 1.2. Самосжатие Л^-солитонного импульса при N = 4 [22]

Рис. 1.3. Экспериментальные профили автокорреляционных функций интенсивности (а) [4] и расчетные профили интенсивности при N = 1,2, 3 и 4 (б) (слева направо)

Рис. 1.3. Экспериментальные профили автокорреляционных функций интенсивности (а) [4] и расчетные профили интенсивности при N = 1,2, 3 и 4 (б) (слева направо)

лазеров [21]. Однако, мы не будем останавливаться на изложении этих

направлений.

Самомодуляция ультракоротких световых импульсов в нелинейных волоконных световодах. Одним из достижений последнего времени в нелинейной оптике является экспериментальная реали-

зация оптических солитонов огибающей в волоконных световодах (см., например, работу [22]). По мере уменьшения длительности исходных импульсов и увеличения входной интенсивности до уровня 1012 Вт/см2, характер нелинейных процессов существенно усложняется. Следует отметить, что в настоящее время современная нелинейная оптика и лазерная физика продвинулась в область фемтосекундных длительностей импульсов электромагнитного излучения, получены оптические импульсы длительностью порядка 0,3-0,6 фс [23]. Одним из методов получения подобных импульсов является сжатие исходного импульса с помощью различных временных компрессоров, в том числе волоконно-решеточных. Таким образом, использование современных схем синтеза позволяет получать импульсы с длительностью, соответствующей нескольким периодам оптического поля, и энергией несколько десятков микроджоулей [24].

Вполне естественно, что переход к более коротким временным масштабам и высоким энергетическим характеристикам оптических импульсов приводит к необходимости пересмотра исходных допущений, которые были справедливы в пикосекундном диапазоне длительностей (см. выражение для нелинейного источника в волновом уравнениях (1.8), (1.67)). Если скорость изменения огибающей и нелинейность достаточно велики, то для нелинейного источника в волновом уравнении следует учесть следующий порядок в разложении второй производной от нелинейной поляризации (1.6):

д2р(нЛ) 3}/2г а|Е|2Е\ rv ,,„ п

„л = ”ош()Х 1Е1 Е~— Д \exp\iW-koz)\. (1.73) Эг о \Шо /

При учете такой нестационарности эволюция огибающей импульса в световоде описывается теперь уже не уравнением (1.68), а обобщенным нелинейным уравнением Шрёдингера вида [22]

.ЭЕ ш'ь Э2Е ,|г|2с■ Э|£|2£

где параметр нестационарности g = То/тгто пропорционален отношению оптического периода колебаний То ~ 2 фс к начальной длительности импульса и имеет порядок в данном случае 10-2 Необходимость учета последнего члена уравнения (1.74) связана с тем, что величина aq 1. Произведем в последнем уравнении перенормировку и приведем его к следующему виду:

г% = 11+2^+2^0^(175)

где /3 > 0 — параметр, опять же пропорциональный отношению оптического периода к начальной длительности импульса, а ^ = ±1. Следует заметить, что для кварцевых волоконных световодов ^ = — 1, /3 < 1. По поводу обобщенного уравнения Шрёдингера необходимо сделать некоторое уточнение. Дело в том, что в литературе нет до-

стигнутой определенности относительно такого названия. В качестве примера можно привести также уравнение, полученное В. Е. Захаровым и др. [25], в котором учтены дисперсионные и соответствующие им нелинейные эффекты до четвертого порядка включительно и названное ими обобщенным нелинейным уравнением Шрёдингера (ОНУШ). Вполне естественно, что уравнение (1.75) является частным случаем полученного ОНУШ в работе [25], но здесь, все же, под обобщенным уравнением Шрёдингера будем понимать уравнение (1.75).

Оказывается, что эволюционное уравнение (1.75) вполне интегрируемо и его можно решить методом обратной задачи рассеяния [26]. Развиваемая методика основана на эквивалентности при /3 ^7 О уравнения (1.75) и, так называемого НУШ с производной (НУШП) [27]

Уравнение (1.76) впервые было получено для нелинейных (циркулярно) поляризованных альфвеновских волн в холодной газоразрядной плазме в работе (A. Rogister, 1971, [27]), в которой в качестве основополагающих уравнений электродинамики использовались кинетическое уравнение Власова с самосогласованным полем и уравнения Максвелла. Впоследствии это уравнение неоднократно переоткрывалось см., например, работы (К. Mio, 1975, [28] и т. д.). Из вида этого уравнения следует, что его линейная часть есть не что иное, как параболическое уравнение с мнимым коэффициентом диффузии (см. например (1.58)), которое соответствует второму приближению теории дисперсии. Что касается нелинейного члена, то он отличается от такового в НУШ только наличием производной. Только спустя семь лет (Каир and Newell, 1978, [29]) нашли для этого уравнения подходящую спектральную задачу, т. е. представление нулевой кривизны, и доказали тем самым полную его интегрируемость. С уравнением НУШП мы еще встретимся при анализе альфвеновских уединенных волн в магнитной гидродинамике (см. гл. 3).

Согласно работе [26], преобразование решений (1.75) в (1.76) и обратно осуществляется следующим образом:

r(x, t) = (2/3)х^2 ехр (г/3-23 — г^/З-1^ q(x — 2/3-Mt, 3), (1-77)

q(x, t) = (2/3)-1/2 exp (i^~2t - ii3f3~rx)r(x + 2/3-Mt, t). (1.78)

Следовательно, из (1.77) и (1.78) вытекает, что если НУШП интегрируемо, то, как мы уже говорили, интегрируемо и обобщенное нелинейное уравнение Шрёдингера (1.75). Действительно, интегрируемость НУШП (1.76), впервые установленная в работе [29], следует из того, что оно является условием совместности двух содержащих спектральный параметр £ систем линейных уравнений, которые имеют

вид (1.27) и (1.28), а для операторов Р и Q имеем выражения

р = ^р = ^г* (ж, t)г* (ж, t)(1.79)(1.79)

р = ^

р = ^

г* (ж, t)

г* (ж, t)

(1.79)

(1.79)

Q = W)2£Q = W)2£—2г£3 — г^гг*2£2г* + тг*2 - г ——2г£3 — г^гг*2£2г* + тг*2 - г —2Рт + т т + г — ох2г£3 + г^тт*2Рт + т т + г — ох2г£3 + г^тт*(1.80)(1.80)

Q = W)2£

Q = W)2£

—2г£3 — г^гг*2£2г* + тг*2 - г —

—2г£3 — г^гг*2£2г* + тг*2 - г —

2Рт + т т + г — ох

2г£3 + г^тт*

2Рт + т т + г — ох

2г£3 + г^тт*

(1.80)

(1.80)

Нетрудно убедиться в том, что подстановка этих матричных операторов в уравнение нулевой кривизны (1.29) и замена переменной х = —2$[3xf дает уравнение (1.76). Более подробное изложение методики получения многосолитонного решения НУШП будет проведено во второй части этой книги, а здесь мы ограничимся частным случаем N = 1.

Итак, при N = 1 элемент с^) матрицы рассеяния спектральной задачи (1.74) имеет единственный корень ( = А + гр. Введем переменные у, А е R с помощью соотношений р = A2 sin 7, А = —^A2cosy,

О < у < тг, А > 0. Тогда односолитонное решение уравнения (1.76)

ехр (40) + ехр (г^у)ехр (40) + ехр (—г^у) ’ехр (40) + ехр (г^у)ехр (40) + ехр (—г^у) ’(1.81)(1.81)имеет вид [29]

ехр (40) + ехр (г^у)ехр (40) + ехр (—г^у) ’

ехр (40) + ехр (г^у)ехр (40) + ехр (—г^у) ’

(1.81)

(1.81)

гдегдег(х А = —4г Asin ехр (2г<5) ’ехр (20) + ехр (—20 — м?7)

где

где

О = р(х - жо) + 4Xpt = A2 sin у(х - хо) - 2^А4£ sin 2у,

5 = 5q + Хх + 2(А2 - p2)t = до - ^хА2 cos у + 2tA4 cos 2у,

а параметры хо определяют координату центра солитона, до — его начальную фазу.

Нетрудно показать, что энергия солитона НУШП, определяемая как

WT =WT =rr*(x) dx = 4у,rr*(x) dx = 4у,(1.83)(1.83)

WT =

WT =

rr*(x) dx = 4у,

rr*(x) dx = 4у,

(1.83)

(1.83)

ограничена сверху значением 4тг, что не обязательно для солитонов НУШ.

Переходя с помощью преобразования (1.78) от r(z,t) к соответствующему решению уравнения (1.75), получим [26]

/ х _ 4zAsiny[/* ехр (20 + 2гд + i^f3~xx)

q Ж’ (20У/2и2Р)У (1.84)

U = ехр (40 + 8г?/3-У) + ехр (—гг?7).

Энергия солитона возмущенного НУШ (уравнение (1.75)) удовлетворяет неравенству Wq = 2у//3 < 2тг//3.

Совершенно очевидно, что приведенные здесь исследования позволяют найти многосолитонное решение уравнения (1.75), используя при

этом правило перехода от решения НУШП к решению обобщенного НУШ. Детальный анализ полученных таким образом решений мы проводить не будем, поскольку это выходит за рамки данной книги.

Здесь имеет смысл только проиллюстрировать случай эволюции фундаментального солитона НУШ q(x,0) = t/osech(x) (см. (1.72)) в качестве начального возмущения для уравнения (1.75). Исследование динамики связанных состояний солитонов в рамках модифицированного НУШ (1.75) (при Qo = 2; 3 и т. д.) показало, что наличие возмущающего члена (/3 ^ 0) приводит к неустойчивости подобного многосолитонного образования и его распаду [26]. Подчеркнем, что в рамках невозмущенного НУШ (/3 = 0) как в численных, так и в физических экспериментах с оптическими солитонами (тр >> Г), многосолитонные импульсы оказываются чрезвычайно устойчивыми и долгоживущими образованиями. При переходе в фемтосекундную область длительностей, начиная с Т/тр = 0,01, физическая картина распространения многосолитонного импульса в волоконном световоде кардинальным образом изменяется. Время жизни связанного состояния солитонов значительно уменьшается. При /3 ^7 0 нелинейная дисперсия групповых скоростей приводит к снятию вырождения по скоростям и, следовательно, к распаду многосолитонных импульсов на последовательность односолитонных. Характерное расстояние t^j = |4(^ - 0)М’ на К0Т0Р0М происходит пространственная сепарация г-го и j-ro солитонов, уменьшается по мере увеличения параметра /3. Другими словами, с ростом /3 при t ос все в более быстром темпе происходит расщепление произвольных начальных данных q(x,0) на односолитонные решения возмущенного НУШ.

Этот процесс иллюстрируется рис. 1.4, на котором изображена эволюция по t начальных данных при q^ = 2, 3 = 0,2. При t ос решение возмущенного НУШ стабилизируется к последовательности из двух солитонов, движущихся с различными скоростями, причем солитону с большей амплитудой соответствует большая величина группового запаздывания. Отметим, что процесс стабилизации носит сложный осцилляторный характер.

Следуя логике изложения, естественным образом возникает вопрос о векторном обобщении нелинейного уравнения Шрёдингера с возмущением (1.75). С формальной точки зрения, это сделать не составляет большого труда, достаточно в (1.75) скалярную величину огибающей заменить на векторную. Понятно, что при этом существенно меняется спектральная задача, ассоциированная данному дифференциальному эволюционному уравнению, если таковая существует и эта модель интегрируема. Однако, как следует из литературных источников, какие- либо исследования в этом направлении отсутствуют.

Автомодуляционная неустойчивость поляризованных монохроматических волн. Обобщение задачи об одномерной автомодуляции электромагнитной волны на случай произвольной поляризации аналогично тому, как это было сделано при описании стационарной

Рис. 1.4. Динамика распада начального возмущения на последовательность двух солитонов при q0 = 2, /3 = 2 [26]

двумерной самофокусировки произвольно поляризованного оптического излучения. Действительно, вместо уравнения (1.24) относительно вектора напряженности электрического поля Е мы в данном случае можем за основу взять уравнение (1.68) и записать его в векторной форме

^ = -f Й +С-85)

ОТ Z Ух

Это уравнение, как легко можно показать, также приводится к стандартному виду (1.25), после чего, с формальной точки зрения, весь анализ, проведенный для двумерной стационарной самофокусировки произвольно поляризованного оптического излучения, без изменения переносится на данный случай. Только теперь роль простых волноводных каналов играют стационарные волновые пакеты — солитоны огибающей. При асимптотическом рассмотрении взаимодействия подобных волновых пакетов скорости и амплитуды их не меняются, меняются только их поляризации по тем правилам, которые были описаны выше (см. формулу (1.43)).

Взаимодействие волновых пакетов в квадратичнонелинейной среде («трехцветные» солитоны)

До сих пор мы рассматривали процессы самовоздействия и взаимодействия локализованных устойчивых возбуждений в диспергирующих средах с кубической нелинейностью. Ниже речь пойдет о явлениях взаимодействия волновых пакетов с различными центральными частотами в средах с квадратичной нелинейностью.

Хорошо известно, что в сильно диспергирующей среде при взаимодействии волновых пакетов различные спектральные компоненты обмениваются энергией с неодинаковой эффективностью. В результате происходит изменение формы огибающих спектров и соответственно трансформация профилей интенсивности, а также фазовая модуляция волновых пакетов. Именно поэтому, анализ амплитудно-фазовых и спектральных характеристик составляет основную задачу теоретического рассмотрения взаимодействующих волновых пакетов.

Нестационарные эффекты, сопровождающие взаимодействие волновых пакетов, рассматриваются в различных приближениях теории дисперсии (см. раздел 1.3.1). В первом приближении, оперирующем с групповыми скоростями, учитывается расстройка групповых скоростей, а во втором — дисперсионное расплывание импульсов или, напротив, их сжатие. Для рассмотрения трехчастотного взаимодействия волновых пакетов будут использованы оба эти приближения.

Уравнения для огибающих трехволнового взаимодействия. Пусть в квадратично-нелинейной среде распространяются три волновых пакета, поле которых запишем в следующем виде

Е = ^ ^ ез^з^^ ^) ехР - ^)] + к- с-’ (1.86) где Aj — комплексные амплитуды, медленно изменяющиеся во времени и в пространстве. Пусть, далее, центральные частоты волновых пакетов связаны, как обычно, соотношением

сщ 4" с^2 = Щц (1.87)

Подставим выражения (1.86) в уравнения Максвелла (1.8) с учетом только квадратичной по полю нелинейной части поляризации среды (1.2) и, проводя обычную процедуру укорачивания уравнений, приходим в первом приближении теории дисперсии к системе уравнений [7, 30]

kJ л, ^гр 1 U

^ + — =-^^з^ЦхрЦгДАД, (1.88) oz щР2 at CTI2 v 7

OZ ЩрЗ dt СПз

где Д/с = кз — к\ — к2, Tij = д/£q (uj) — показатель преломления как функция частоты, у = 2тге1Х^2\^з — ^2)^362 = 2тге2Х^2\^з — ^1)^361 = = 2тгезх^2\^1 + ^2)6162, а х^^з^^к) ~ тензор квадратичной восприимчивости, зависящий от частоты. Последние равенства означают консервативность взаимодействия волн, т. е. когда отсутствуют эффекты диссипации и нет притока энергии в систему взаимодействующих

волн извне. Уравнения (1.88) общеизвестны как уравнения трехволнового резонанса. Может возникнуть мнение о том, что с физической точки зрения трудно удовлетворить условиям (1.87) и Nk = 0. Однако, многие динамические модели устроены так, что указанные выше условия автоматически выполняются за счет генерирования третьей «подходящей» волны. Например, лазер соответствующей частоты, действующий как насос, может индуцировать волны Стокса посредством взаимодействия Рамана, и третья волна генерируется как фононная волна в материальной среде.

Трехволновый резонанс, или феномен смешивания, очень важный эффект во всех нелинейных системах, так как он допускает обмен энергиями между модами. Проследив, как возникают эти уравнения, можно понять, что такие резонансы естественно должны обнаруживаться в широком классе физических систем, включая нелинейную оптику, электронику, теорию плазмы и гидродинамику. Существуют исчерпывающие обзоры по трехволновому взаимодействию с отражением практически всех аспектов этой теории [31, 32].

Любопытно отметить, что взаимодействие коллимированных волновых пучков без учета дифракции описывается укороченными уравнениями

дА\ , дА\ г^ш\ л . л 7 х

—А3А2 ехр(-гД^),

OZ ОХ СП\

(1.89)(1.89)^ + А^ =exp l-iAkz\

(1.89)

(1.89)

OZОХСП2

^ +^^ = Л^ехрНАЬ), OZОХСПз

в которых х — поперечная координата, Pj — угловой коэффициент наклона лучевого вектора по отношению к продольной оси z. Нетрудно видеть, что уравнения (1.88) и (1.89) математически эквивалентны, подобно тому, что мы имели в случае нелинейного уравнения Шрёдингера в форме (1.24) или (1.85), описывающего двумерную самофокусировку электромагнитного излучения в кубически нелинейной среде и автомодуляционную неустойчивость поляризованных монохроматических волн соответственно.

Как и в случае динамической модели НУШ, уравнения трехволнового резонанса (1.88) вполне интегрируемы и могут быть решены методом обратной задачи рассеяния. Впервые это удалось показать Захарову и Манакову в работе [33].

Связанные трехчастотные солитоны огибающих. Проблема интегрируемости уравнений (1.88) методом обратной вспомогательной задачи — это достаточно сложная проблема и здесь она рассматриваться не будет. В силу чего мы будем анализировать частные решения системы уравнений трехчастотного взаимодействия в виде волновых пакетов, сохраняющих свои амплитудно-фазовые профили

при распространении в диспергирующей среде благодаря компенсирующему действию нелинейных эффектов. В квадратично-нелинейной среде могут сформироваться трехчастотные, параметрически связанные солитоны («трехцветные» солитоны). Попутно заметим, что ниже, в гл. 2, будут рассмотрены двухчастотные устойчивые локализованные возбуждения, получившие в литературе название «симултоны» (двухцветные солитоны), распространяющиеся в трехуровневой квантовой среде. Таким образом, связанные многочастотные образования (многоцветные солитоны огибающих) распространяются с некоторой общей групповой скоростью Щр.с [30, стр. 394]:

Aj = (-iY"VBjc(Tc\ Tc=t- z/u^.c. (1.90)

Так как между солитонами разных частот не происходит необратимого обмена энергией, то взаимодействие носит чисто реактивный характер: проявляется коллективное самовоздействие в квадратичнонелинейной среде. В результате захвата волновых пакетов в связанные солитоны подавляется дисперсия волн. В среде с относительной дисперсией первого порядка исчезают эффекты группового запаздывания и разбегания импульсов.

Форму солитонов можно найти, если искать частные (квазистаци- онарные) решения связанных укороченных дифференциальных уравнений (1.88) при условии Afe = 0 в виде (1.90). Подстановка (1.90) в (1.88) дает следующую систему обыкновенных дифференциальных уравнений для солитонов огибающих:

dBic _7^1 р р^1с 7—-^Зс-^2с>атс СП1dBic _7^1 р р^1с 7—-^Зс-^2с>атс СП1dBic _7^2 R Rатс cri2dBic _7^2 R Rатс cri2dB^c _ _ 7^3 р рЗс йт спч BlcB2c'dB^c _ _ 7^3 р рЗс йт спч BlcB2c'(1.91)(1.91)

dBic _7^1 р р

^1с 7—-^Зс-^2с>

атс СП1

dBic _7^1 р р

^1с 7—-^Зс-^2с>

атс СП1

dBic _7^2 R R

атс cri2

dBic _7^2 R R

атс cri2

dB^c _ _ 7^3 р р

Зс йт спч BlcB2c'

dB^c _ _ 7^3 р р

Зс йт спч BlcB2c'

(1.91)

(1.91)

Одним из решений уравнений (1.91) является следующая совокупность квазистационарных профилей:

ВХс = Ещ sech(rc/Tc), В2с = Em sech(rc/Tc),

(1.92)

В3с = Ди th (тс/Тс),

причем амплитуды огибающих E^j, их длительность Тс и групповая скорость связаны соотношениями

^сЕ^ = ^ТсЕ01Е02Е0а О'=1,2,3).(1.93)

Очевидно, что скорость связанных солитонов зависит от их амплитуд. Поэтому солитоны с разными уровнями интенсивности распространяются с разными скоростями и могут сталкиваться друг с другом.

Из (1.92) следует, что параметрически связанными оказываются два светлых солитона на частотах ш\ и ш^ и один темный солитон на ча-

Рис. 1.5. Связанные трехчастотные солитоны огибающих в квадратично-нелинейной среде с дисперсией первого порядка (я) и при дисперсии второго порядка (б)

стоте из (рис. 1.5,6/, соответственно кривые 1-3\ Чтобы лучше понять структуру темного солитона, выпишем его профиль интенсивности

В^ = Ё^Чт^Т^ = < -(1.94)

Видно, что на частоте шз на фоне волны постоянной интенсивности Eq3 бежит темный солитон, имеющий такой же профиль, что и светлый, только опрокинутый относительно уровня Eq3.

Нетрудно убедиться, что возможны и другие решения уравнений (1.91), в которых темный солитон имеет частоту ш\ или и2. Таким образом, в среде с квадратичной нелинейностью и с дисперсией первого порядка образуются параметрически связанные светлые и темные солитоны, имеющие разные частоты (по оптической терминологии — «окрашенные в разные цвета»).

Как показывает точное решение уравнений для огибающих волновых пакетов (1.88), полученное методом обратной задачи теории рассеяния, произвольные сигналы распадаются в процессе трехчастотного взаимодействия при определенных условиях на совокупность связанных солитонов.

До сих пор мы рассматривали случай квадратично нелинейной среды с относительной дисперсией первого порядка (т. е. при расстройке групповых скоростей). Однако возможно формирование солитонов огибающих светлого типа на всех трех частотах, если помимо квадратичной нелинейности присутствует кубическая нелинейность или в квадратично-нелинейной среде учитывается дисперсия второго порядка. Остановимся именно на последнем типе трехчастотного взаимодействия, который описывается системой параболических уравнений для медленно изменяющихся амплитуд [30]

= -^АгА*йе"^к\

ozЭтcni

^-iD2^ = -i^XA3A*ve-^k\(1.95)

ozЭтсп2

-iD3^ = -г^А^А6"^1”,ozЭт СТ1з

где Dj = (1 /<2')д2к/Эш2 — коэффициент диффузии комплексной амплитуды волнового пакета в диспергирующей среде. Для существования солитонов необходимо, чтобы все коэффициенты диффузии были одного знака — положительными или отрицательными.

Рассмотрим частное решение этих уравнений в предположении, что выполняются условия D3 = Dx + В2 и Д/с = 0, z/rpi = z/rp2 = ^грз т. е. при согласовании фазовых и групповых скоростей [30].

Огибающие таких солитонов имеют одинаковый профиль

/\ V2

А - — ^ZMZ^iPlJXJX ) ch"2 L_ exn (-га ■ A (1 96)

Здесь qJC = ^Dj/T^ — нелинейная добавка к волновому числу (фазовой скорости). На рис. 1.5,6 представлена картина одних только светлых солитонов, рассчитанных по формуле (1.96). Кривые 1-3 соответствуют различным цветам связанного солитона (т. е. различным частотам).

Замечания о корректности применениявекторного НУШ для описания взаимодействияпроизвольно поляризованных «радиосолитонов»

В этом разделе приведены результаты исследований, проведенных автором, с целью выяснения степени корректности применения нелинейного векторного уравнения Шрёдингера для описания поведения радиоимпульсов электромагнитного излучения в диэлектрической среде с кубической нелинейностью. Причем это, естественно, касается как вопросов двумерной стационарной самофокусировки электромагнитных волн, так и автомодуляционной неустойчивости поляризованного монохроматического излучения.

Таким образом, несмотря на простоту получаемых результатов асимптотического поведения солитонов огибающей векторного НУШ, достигаемую с помощью приема Захарова-Шабата, в результате исследований в этом направлении выяснилось, что при асимптотическом рассмотрении подобных процессов ускользают очень интересные особенности непосредственного взаимодействия поляризованных солитонов, о которых ниже и пойдет речь. Для того чтобы показать эти особенности столкновений солитонов между собой, будем опять рассматривать взаимодействие двух поляризованных солитонов векторного НУШ, опираясь теперь на явное выражение двухсолитонного решения, которое было получено на основе анализа, проведенного в гл. 7 (см. раздел 7.3). Действительно, в этом случае формула для двухсолитонного состояния будет выглядеть так

2

ЕЩ,#) = У £ Щ-О/асах

х (1 + к + ^кк^к (С/3<)1 } , (1-97)

где F определяется выражением

f = 1 + /1Л + АД + (0 - Щ (А - Д) [ (уШк + t^W] +

+ |f^|2 [1 +kic^l2] мм, С-98)

а для функций Ji и /2 имеем

/1,2 = ехр \2г(1Лж + 20,2# - Д,2)],(1-99)

Здесь С12 — единичные вектора (в общем случае комплексные) первого и второго солитона, определяющие характер их поляризаций

и фаз, ^1,2 = Лц2 +^1,2 а ^12 — местоположения первого и второго солитона при t = 0 соответственно. Соотношения (1.97)-(1.99) позволяют проанализировать динамику столкновений двух произвольно поляризованных видеосолитонов векторного НУШ во всех временных фазах их взаимодействия. На рисунках 1.6 и 1.7 представлены

Рис. 1.6. Столкновение солитонов НУШ с параллельными поляризациями pi = = 2,5; р2 = 2,5; Ai = -0,8; А2 = -0,4

Рис. 1.7. Столкновение солитонов НУШ с антипараллельными поляризациями Ai = 2,5; А2 = 2,5; pi = —0,8; р2 = —0,4

картины взаимодействия двух солитонов с одинаковыми по величине амплитудами и различными поляризациями, рассчитанные по формулам (1.97)-(1.99). Интересной особенностью солитонов НУШ, как следует из этих рисунков, является их периодическая в процессе движения смена направления поляризации. На рис. 1.6 изображена картина поведения двух солитонов с параллельными поляризациями, из которой следует, что в этом случае они испытывают взаимное «далъно- действующее отталкивание», и в результате такого взаимодействия траектории их в x,t — плоскости не пересекаются и минимальное достижимое расстояние между максимумами солитонов остается больше их характерных размеров. Догоняемый солитон при этом ускоряется, а догоняющий соответственно тормозится, замедляет свою первона-

чальную скорость, превращаясь при этом в отстающего, и они как бы меняются ролями.

Наибольший интерес вызывает картина взаимодействия солитонов с антипараллельными поляризациями (рис. 1.7). Солитон и, назовем его в этом случае, «антисолитон» испытывают между собой взаимное «далънодействующее притяжение», в силу которого впереди идущий антисолитон вследствие торможения плавно теряет свою скорость, а догоняющий солитон соответственно ускоряется. В момент столкновения в точке пересечения их траекторий в х, t — плоскости возникает острый пик с заметно большей высотой по сравнению амплитудами исходных солитонов. После того, как солитон и антисолитон вышли из зоны непосредственного взаимодействия, дальнейшее развитие процесса происходит как бы в обратном порядке, т. е. в силу взаимного притяжения впереди идущий теперь уже солитон тормозится, а антисолитон ускоряется, вплоть до восстановления своих первоначально заданных скоростей на некотором расстоянии от места столкновения. Рассмотрим теперь процесс взаимодействия двух видеосолитонов векторного НУШ с взаимно ортогональными поляризациями. В этом случае, для того чтобы показать дополнительную степень свободы (произвольная поляризация), будем использовать цветное изображение.

Рис. 1.8. Столкновение солитонов НУШ с ортогональными поляризациями Ai = 2,5; А2 = 2,5; 771 = —0,8; 772 = —0,4

На рис. 1.8 такая картина представлена, здесь по оси абсцисс откладывается переменная х, вниз по оси ординат время t и цветом обозначается направление поляризации солитонов, которое можно определить по цветовой шкале, расположенной под рисунком. С помощью интенсивности цвета показывается мгновенная величина локализованного возбуждения.

Из этого рисунка следует, что солитоны с ортогональными поляризациями не испытывают дальнодействующего взаимодействия и ведут себя как «нейтральные» частицы. При непосредственном столкновении их траектории в x,t — плоскости явно не пересекаются и наблюдается упругое соударение, при котором они обмениваются импульсами, так как это происходит со скалярными солитонами. Тем не менее, как видно также из представленной картины, особенностью взаимодействия является поворот плоскостей поляризаций (в одну сторону) обоих солитонов на тг/2. Действительно, в области максимального сближения солитонов, например, для впереди идущего, наблюдается изменение цвета с желтого на оранжевый и далее на красный в одной фазе и, соответственно, фиолетового на синий, а потом на голубой в противоположной фазе. Тот же самый процесс испытывает и другой солитон. Таким образом, можно констатировать тот факт, что при ортогональной поляризации солитонов происходит их поворот на тг/2, тогда как из заключения автора работы [12] этого не следует.

Далее, теперь становится ясным, что при асимптотическом рассмотрении поведения векторных солитонов НУШ, не улавливается очень интересное явление притяжения и отталкивания этих солитонов аналогичное «диполь-дипольному взаимодействию». Подобное явление, оказывается, приводит к достаточно интересным выводам.

Итак, с формальной точки зрения, решения векторного НУШ представляет собой произвольно поляризованные видеосолитоны, т. е. импульсы без высокочастотного заполнения. В результате проведенного выше анализа выяснилось, что, например, два взаимодействующих солитона подобного типа обладают свойством отталкивания или притяжения в зависимости от взаимной ориентации их векторов поляризаций (параллельной или антипараллельной соответственно). Возвращаясь же к исходной физической модели, т. е. к поляризованным импульсам с высокочастотной несущей (выражение для полного векторного поля при этом есть Е(гД) = Е(гД) ехр[—i(ut — kr)] + к. с.) случай параллельной и антипараллельной их взаимной ориентации векторов поляризаций теряет смысл. Следовательно, при взаимодействии подобных солитонных образований между собой не будет проявляться свойство их взаимного притяжения или отталкивания.

Отсюда можно сделать вывод о том, что решение задач, в частности, задач нелинейной оптики в приближении медленно меняющихся амплитуд и фаз для случаев излучения с произвольной поляризацией, которое приводит к нелинейному векторному уравнению Шрёдингера, не является вполне адекватными исходным физическим моделям, т. е. локализованным возбуждениям с высокочастотной несущей. То есть рассмотренные выше поляризационные эффекты присущи только векторным видеосолитонам, а радиоимпульсы электромагнитного излучения можно считать в этом смысле «нейтральными» образованиями, не обладающими этими свойствами.

Глава 2

ПОЛЯРИЗОВАННЫЕ СОЛИТОНЫВ КВАНТОВОЙ ЭЛЕКТРОНИКЕ

Краткий обзор

Перейдем теперь к рассмотрению резонансного взаимодействия электромагнитных волн в диэлектрической нелинейной среде. Успехи в области генерации фемтосекундных и более коротких импульсов оптического излучения делают интересным анализ теоретических моделей, описывающих распространение таких импульсов в нелинейных диспергирующих средах. Естественной основой всех рассматриваемых теорий являются уравнения Максвелла, дополненные уравнениями, которые определяют эволюцию поляризации или токов, возникающих в среде под действием электромагнитного излучения, или уравнением Шрёдингера для электронов, взаимодействующих с внешним электромагнитным полем. Поскольку здесь редко удается получить точные аналитические результаты, часто используются различные приближения, позволяющие упростить задачу и найти общие аналитические решения. Важное и в то же время простое приближение получается в результате предположения о распространении электромагнитных волн только в одном из возможных направлений. Условие однонаправленности волн (см., например, (1.61)) понижает порядок волнового уравнения, не внося при этом ограничений на длительность импульса. Разумеется, что существуют ситуации, когда это приближение может оказаться неприемлемым (например, для волн в периодических или рассеивающих средах, также для случая предельно коротких импульсов электромагнитного поля).

Другой широкий класс приближений связан со свойствами среды. Так, газообразные среды (молекулярные газы, пары металлов), а также примеси в стеклах характеризуются дискретным спектром поглощения. Если частота монохроматического излучения совпадает с частотой атомного или молекулярного перехода или близка к ней, то взаимодействие имеет резонансный характер. Импульсы излучения не являются монохроматическими волнами, однако их можно представить квазимонохроматической волной (см. (1.53))

Е (г, t) = Е (г, t) exp (—+ гког) + компл. сопр., (2.1)

где E(r, t) — напряженность электрического поля оптической волны с волновым вектором ко, отвечающим частоте несущей монохроматической волны uq. Это представление достаточно корректно, если огибающая импульса E(r, t) является медленно меняющейся в пространстве и времени функцией, такой, что справедливы неравенства (см. условие после (1.51)) \ЭЕ(гД) )9t\ < |E(r,t)\ и |VE(r,t)\ < |k0| \Е\.

Такое представление импульса электромагнитного излучения, как мы уже знаем, называется приближением медленно меняющейся огибающей (ср. еще с методом медленно меняющегося профиля Р. В. Хохлова [1]). Условие резонанса, определенное для монохроматической волны, может быть распространено и на случай импульсного излучения, если спектральная ширина огибающей E(r,t) много меньше частоты несущей волны и разности частот переходов между энергетическими уровнями, ближайшими к резонансному. Здесь речь идет о разрешенных в дипольном приближении переходах. Часто при этом условии пренебрегают всеми прочими энергетическими уровнями, кроме связанных с условием резонанса, и используют представление резонансной среды ансамблем двухуровневых атомов. В более общем случае в качестве модели резонансной среды используется ансамбль N — уровневых атомов.

Если длительность электромагнитного импульса меньше всех времен релаксации в среде, то его распространение сопровождается только вынужденным поглощением и переизлучением. При N = 2 эти процессы в определенных условиях, налагаемых на амплитуду импульса, могут привести к самоиндуцированной прозрачности [2]. Электромагнитные импульсы, длительность которых меньше времен релаксации поляризации и населенности резонансных уровней, называют ультракороткими импульсами (УКИ). Хотя сейчас этот термин стал использоваться более широко, ради определенности будем понимать под этим термином достаточно короткие (в указанном выше смысле) импульсы, допускающие представление квазимонохроматической волной.

В приближении медленно меняющихся огибающих уравнения Максвелла или волновое уравнение Д’Аламбера редуцируются в уравнения первого порядка для Е(гД), а резонансная среда описывается уравнениями Блоха. Если электромагнитный импульс представлен суперпозицией квазимонохроматических волн с различными частотами несущих, отвечающих своей паре резонансных переходов, то необходимо использовать систему редуцированных волновых уравнений и систему уравнений Блоха, обобщенных на случай многоуровневой среды (см. ниже раздел 2.3 «симултоны» [3, 4]).

Квазигармонические сигналы чрезвычайно широко используются в теоретических исследованиях, посвященных нелинейным когерентным явлениям, и в нелинейной волоконной оптике. Однако это не единственный пример уединенной электромагнитной волны. Начиная еще с тех времен, когда были открыты явления когерентного взаимодействия электромагнитного излучения с резонансными система-

ми, сохраняется интерес к теоретическому описанию распространения столь коротких оптических импульсов, когда приближение медленно меняющийся огибающей перестает работать. Известно [5], что полные уравнения Максвелла-Блоха имеют решение, которое отвечает распространению импульса электромагнитного излучения без заполнения высокочастотной несущей. Такие импульсы позже были названы видеоимпульсами, которые в этом случае представляют собой реальные физические объекты. Численное моделирование распространения видеоимпульсов [6] показало их неустойчивость относительно столкновения друг с другом, а в [7] выявлено отсутствие у полных уравнений Максвелла-Блоха свойства Пенлеве, что указывает на несолитонный характер видеоимпульсов.

Кроме того, полные уравнения Максвелла-Блоха обладают решениями, отвечающими уединенным волнам, которые содержат небольшое число колебаний напряженностей электрического и магнитного полей. Такие волны называют предельно короткими электромагнитными импульсами. Если число колебаний велико, то эти импульсы можно приближенно описать квазигармонической волной (или суперпозицией таких волн при наличии нескольких несущих частот). В этом случае их можно называть УКИ. При этом предполагается, что длительность УКИ остается много меньшей времени необратимой релаксации поляризации.

Рассмотрение распространения как УКИ, так и видеоимпульсов обычно начинают с условий применимости для этих задач двухуровневого приближения. Для квазимонохроматической волны принимается во внимание только резонансный переход, если частота несущей волны близка к частоте атомного перехода, а полуширина спектра импульса существенно мала по сравнению с ней. Что касается видеоимпульса, то максимум его спектра должен находится на нулевой частоте, и для определения критерия, позволяющего учитывать лишь один из переходов, можно использовать только полуширину спектра видеоимпульса шр. Таким критерием будем считать условие, что спектральная полуширина видеоимпульса меньше или порядка частоты перехода из основного состояния в ближайшее (на шкале энергий) возбужденное состояние, тогда как прочие возбужденные состояния удалены по частоте от основного состояния более чем на несколько полуширин шр.

Спектры подобной структуры можно найти среди спектров ионов или атомов. (Например, для атома калия частота перехода из основного состояния 45 в состояние 4Р примерно в два раза меньше, чем частота перехода 45-5F). В таких случаях реальные атомы или ионы можно аппроксимировать двухуровневыми атомами (в описанном выше смысле). Учет вырождения энергетических уровней двухуровневых атомов приведет к обобщению уравнений Блоха, но на первом этапе можно ограничиться минимальной кратностью вырождения (см. раздел 2.4, я-импульсы огибающей).

Пусть ша — частота перехода из основного состояния в самое нижнее возбужденное состояние. Эта частота выступает как естественный масштаб времени. Когда длительность импульса тр удовлетворяет неравенству трша >> 1, то в этом случае могут возникнуть две физически различные ситуации. Первая: если импульс электромагнитного поля имеет высокочастотное заполнение, то для описания распространения подобного УКИ может быть использовано приближение медленно меняющихся огибающих. При этом предполагается, что соответствующие условия выполняются для скорости изменения огибающей УКИ. И вторая: условие ТрШа >> 1 еще выполняется, но электромагнитный импульс уже не имеет высокочастотного заполнения, и в этой модели не может быть использовано приближение медленно меняющихся огибающих. Тем не менее, этот случай характеризуется слабонелинейным взаимодействием электрического поля с двухуровневой средой и здесь можно ввести известный малый параметр а = шн!ша (см. раздел 2.2), по которому можно разложить в степенной ряд решение уравнений Блоха. Далее, оборвав этот ряд, найти поляризацию с точностью до некоторого порядка малости а и, таким образом, получить приближенное волновое уравнение для электрического поля импульса, не прибегая к приближению медленно меняющихся огибающих.

Если теперь рассмотреть условие трша = 1, то в этом случае реализуется режим взаимодействия, который предполагает возможность сильного изменения состояния среды, так что отклик не может быть представлен в виде разложения по малому параметру, т.е. а%1. Условие а ~ 1 означает, что напряженность электрического поля импульса сравнима с напряженностью «атомного» поля, так что этот случай сильно нелинейной и сильно диспергирующей среды.

Следует отметить, что уравнения Блоха упоминались здесь в связи с использованием резонансной среды в качестве примера уравнений, определяющих поведение поляризации среды. В ином случае можно использовать какие-либо другие уравнения, связанные с иной моделью нелинейной среды, например, модель ангармонического осциллятора, модель электронно-дырочной плазмы твердого тела (см. гл. 3, произвольно поляризованные альфвеновские видеосолитоны) и т. д.

Самоиндуцированная прозрачность (2тг-импульсы Мак-Колла и Хана)

Как уже отмечалось выше, резонансное взаимодействие между светом и веществом приводит к «новым» эффектам распространения, характерным для солитонов. Может быть, наиболее наглядным из этих эффектов является самоиндуцированная прозрачность. Явление самоиндуцированной прозрачности (СИП), обнаруженное и объясненное Мак-Коллом и Ханом в 1967 году [2], явилось мощным толчком в развитии нелинейной резонансной оптики для импульсов нано-

и пикосекундной длительности. Опишем кратко физическую сущность данного явления.

В простейшем случае самоиндуцированной прозрачности диэлектрик (или газовая среда) состоит из двухуровневых атомов, каждый из которых имеет основное и возбужденное состояния. Предполагается далее, что эти два состояния не имеют вырождения по моменту, а лазерное излучение имеет вполне определенную фиксированную поляризацию. Далее, пусть вначале атомы находятся в основном состоянии, т. е. среда является аттенюатором, а не усилителем. Падающее электрическое поле, настроенное на резонансную частоту, возбуждает атомы. Такой перенос энергии от электрического поля к веществу обычно необратим и, в конце концов, истощает энергетический запас электрического импульса. Другими словами, импульсы, имеющие интенсивность ниже некоторой пороговой величины, попросту затухают в этой поглощающей среде. СИП возникает тогда, когда достаточно мощный (превышающий пороговую величину) и очень короткий падающий импульс формируется во времени так, что передний фронт импульса отдает энергию (когерентно) в среду, которая запасает ее и не успевает израсходовать оную в релаксационные процессы, а затем возвращает энергию света (когерентно) назад в импульс. Взаимодействуя с таким импульсом, атомы вещества остаются в своем основном состоянии, суммарный перенос энергии от излучения к веществу равен нулю, а импульс распространяется с постоянной (на три порядка меньшей, чем фазовая скорость света) скоростью сквозь среду, которая становится как бы прозрачной. Это и есть самоиндуцированная прозрачность.

В том случае, когда среда является усилителем (в частности, в модели двухкомпонентной неравновесной среды из двухуровневых квантовых переходов с сильно различающимися частотами) возможно устойчивое сверхсветовое распространение предельно коротких (не содержащих высокочастотного заполнения) электромагнитных солитонов, бризеров и нерезонансных солитонов огибающей [8, 9]. Однако они рассматриваться не будут, поскольку сверхсветовые оптические солитоны в усиливающей (активной) среде не являются в истинном смысле «классическими» солитонами, к тому же не имеется в литературе сведений, касающихся обобщения подобных объектов на многополевой случай, а это и является основным предметом исследования в данной монографии. Что касается явления СИП во всех его проявлениях, то, как мы увидим в дальнейшем, солитонные процессы здесь носят истинно классический характер и допускают естественное обобщение на многополевой случай.

Итак, рассмотрим резонансную среду, которая содержит двухуровневые атомы с квантовыми переходами ja = 0 jb = 0 между уровнями, где ja и зь — проекции угловых моментов. Эта квантовая система описывается гамильтонианом Я0 с двумя собственными значе-

ниями энергии Еа и Еь с соответствующими собственными функциями Н = \ja = 0) и ^ = \jb = 0), так что

Н°\а) = Е^а), Н°\Ь) = ЕЬ\Ь),(2.2)

где Еа < Еь = Еа + hu^. При наличии взаимодействия данной квантовой системы с лазерным излучением гамильтониан изменится и станет равным

И = Н° + W,(2.3)

где W — вклад, связанный с дополнительной энергией взаимодействия и называемый гамильтонианом взаимодействия. Взаимодействие, которое может явно зависеть от времени, вызывает переход между двумя энергетическими состояниями невозмущенной системы. Для описания этого процесса воспользуемся уравнением Лиувилля для оператора плотности "р

г^ = ^Н,рУ(2.4)

где [Я, "р"\ есть квантовая скобка Пуассона. Для матричных элементов матрицы плотности "р двухуровневой модели, описывающей переходы между состояниями |ц) = \ja = 0) и |6) = \jb = 0), удобно ввести следующие обозначения:

рИ = Цр\аЬ Р22 = ^Цр^, рИ = Цр\Ь'), Pv2 = p*v (2.5)

Тогда уравнение (2.4) для данного случая можно формально записать в развернутом виде:

. 9

^^ (Р22 ~ Ри) = 2(Я21/912 - Я12/921),

. 9

iTl^ (PV2 + />21) = (Яп - Н22)(р\2 - />21) + (Р22 ~ Ри)(Н^2 - Я21), . 9

(Я21 - Р12) = -(Яп - Н22)^р2\ + Р12) - (Р22 ~ Ри)(Н2\ + Я12),

(2.6) где Н^, i,j = 1,2 — матричные элементы оператора полного гамильтониана Я в матричном представлении, подлежащие определению. Раскроем теперь смысл этих матричных элементов для системы двухуровневых атомов. Для атома с двумя состояниями, взаимодействующего с внешним электрическим полем, гамильтониан взаимодействия в дипольном приближении принимает вид

W = -Ed,(2.7)

где d — оператор дипольного момента, выражающийся через оператор координаты

d = —ех.(2.8)

Если |ц) и |6) — пара не зависящих от времени собственных функций оператора Я0, фазы которых выбраны так, чтобы эти функ-

ции были вещественными, то матричное представление оператора d реализуется через векторный элемент матрицы координаты Х12 = Х21 следующим образом:

d — ех\2О"х — d^c^, с^хd — ех\2О"х — d^c^, с^х0 1\i оу ’0 1\i оу ’(2.9)(2.9)

d — ех\2О"х — d^c^, с^х

d — ех\2О"х — d^c^, с^х

0 1\

i оу ’

0 1\

i оу ’

(2.9)

(2.9)

где di2 — матричный элемент вектора электрического момента дается выражением

di2 = -е(а|х|^.(2.10)

С учетом (2.7)-(2.9) матричное представление полного гамильтониана имеет вид

Н f—Е ^12 A1 П

” у-Е • d12 Еа + МУ ’(}

Тогда уравнения (2.6) принимают форму

^ = -waPy,(2.12)

^=^ + |е^12/92,(2.13)

^ = -|E.dllP„(2.14)

где введены компоненты так называемого вектора Блоха р = {px^Py^Pz) Рх = {р\2 + №1), Ру = i<Pi\ - Р\Л Pz = ^Pm-p\\Y (2.15)

К этой системе материальных уравнений необходимо добавить уравнения Максвелла, которым подчиняется электрическое поле E(r,t). В такой квазиклассической модели электрическое поле остается неквантованным, и уравнения электрического поля для среды с плотностью резонансных частиц па, соответствующей, например, газу с атомами в двух состояниях, имеют вид

(2.16)(2.16)1 Э2Е _ 4тг Э2Р _ 47rnadi2 с?р^

(2.16)

(2.16)

2 ^422 о/22^14.2 *

с ot с ot с ot

Здесь Р — макроскопическая поляризация этой системы с двумя

состояниями:

(2.17)(2.17)Р = no tr(pd) = nad12 tr (pcr^ = nodi2^.

(2.17)

(2.17)

Уравнения (2.12)-(2.14),(2.16) — эта нелинейная система уравнений, достаточно полная для того, чтобы моделировать многие физические ситуации; она называется нелинейной системой Максвелла- Блоха.

Пусть E(r, t) и P(r, t) — векторы одного и того же направления е, тогда задача сводится (по пространственным _переменным) к одномерной. Определим безразмерные величины а и E(z,t) равенствами

а = ^1ЦД =(2.18)

где EQ = тах|Е|. Далее введем новые безразмерные независимые переменные х,т с помощью соотношений х = с-1^^, т = uat. Теперь можно переписать уравнения (2.12)-(2.14),(2.16) в виде

52Ё д2Ё о / Q х

—т - —т = -20(7 ^рх - 2aEpz) , ох от

^ + р, ,-MSP,-<2 |91

от

^ = -2аЁру = 2аЁ^;

дтдт

где для краткости обозначено

^|d12|na=a7, 7 = 0(1).(2.20)

В ситуации, когда а С 1 (что равносильно предположению о малой концентрации резонансных атомов), решение этой системы дифференциальных нелинейных уравнений можно осуществить методом многомасштабных растяжений, подобно тому, как это было сделано при выводе НУШ (1.21). Определим медленные безразмерные пространственную и временную переменные равенствами

(2.21)(2.21)X = ах, Т = ат

(2.21)

(2.21)

и предположим, что для Е(х,т), рх и рг справедливы следующие асимптотические разложения:

(2.22)(2.22)членовчленов(2.23)(2.23)(2.24)(2.24)ЕХ т) = ЕоО, т, X, Т) + аЕ\ (ж, т, X, Т) + О<Х\рЛж,т) = рм(х, т,Х,Т) + арх\(х,т,Х,Т) +О(а2),р2(х,т) = р2оОх,Х,Т) + apzi(xx,X,T) +О(а2).

(2.22)

(2.22)

членов

членов

(2.23)

(2.23)

(2.24)

(2.24)

Подставляя эти разложения в уравнения (2.19), получим для порядка О(а°) уравнения

_ э2е0 _

Эх2 дт2 д Рхо_ q

От^PzQ _ Qдт ’

62

Гл. 2. Поляризованные солитоны в квантовой электронике

а для

членов порядка 0(a) следующие уравнения:

дж2 8р^\<Ы)Х 8т 8Т)

Рх\ ।। 9 9 pXQ (2.26)

+ Р^+28т8Т" 2E°Pz0’

dpz\ , dpZQ ос dpxQ

"87 + W2E°^7-

В качестве решения уравнения (2.23) выберем бегущую волну

£0 = Ке№,Т)ехрМ(ж-т)],(2.27)

а для уравнения (2.24) сделаем аналогичный выбор

pTQ = Не[С7о(7С,Т)ехргща(ж - г)].(2.28)

Подставляя эти формы решений в (2.26) и исключая секулярные члены, получим

. ( 8E 8E\ _ TT

г\8X + 8т) yU°’

-i^= EPz0,(2.29)

^ = -|№-£*C/0).

Если сделать предположение, что Е вещественное, и ввести обозна-

чения

Uo = -IP, pz0 = -TV,(2.30)

где P

и TV вещественные, то уравнения (2.29) сведутся к виду

ЭЕ , ЭЕ _ „

“'(2.31)

ЭР3N

— = EN, — = -ЕР.

ЗТ’ ЭТ

Из последних двух уравнений (2.31) следует, что д^Р^ + N^/dT = = 0, и тогда можно положить

P2 + N2=\,(2.32)

отражающее закон сохранения вероятности: суммарная вероятность того, что атом находится на верхнем или нижнем уровне, равна единице. Это соотношение наводит на мысль о параметризации следующего вида:

Р = ± sin Ф, N = ± cos Ф.

Из последнего уравнения (2.31) вытекает, что

Е(Т,Х) = ^,(2.34)

и подстановка (2.33), (2.34) в первое уравнение (2.31) дает

этэх +(2'35)

Если мы введем новые пространственную и временную переменные х и I, определенные равенствами

x = VW-^x\ t = v^T,(2.36)

то эти уравнения примут стандартную форму

а2Фа2Ф , . ж nm

—± sin Ф = О(2.37)

Эх2 dt2

(уравнения синус-Гордона (СГ)). Следует отметить, что уравнение СГ (2.37) было известно довольно давно в связи с теорией поверхностей постоянной кривизны [10]. Оно также возникает в теории дислокаций [11], в некоторых моделях теории поля [12], в теории сверхпроводимости [13], в нелинейных механических моделях распространения волн и при описании еще многих других физических явлений.

Хорошо известно, что уравнение СГ может быть представлено либо в форме Лакса, либо в представлении нулевой кривизны, подобно тому, как это было сделано для НУШ (см. (1.29)-(1.31)) [14, 15]. Оказалось, что в качестве спектральной задачи, ассоциированной уравнению СГ, опять выступает обобщенная задача Захарова-Шабата/АКНС, если в операторе Р (см. (1.30)) положить q = — г = 1/2Е. Запишем оператор эволюции Q в виде матричной функции 2x2

-1 /—7V

Q = Л (2-38)

Подставим операторы Р и Q в уравнение нулевой кривизны (1.29), после чего приходим, с очевидностью, к системе укороченных уравнений Максвелла-Блоха (2.31), а, следовательно, и к уравнению СГ, описывающему явление самоиндуцированной прозрачности. Поскольку уравнения (2.31) или уравнение СГ представимы в форме уравнения нулевой кривизны, то эти уравнения интегрируемы, и к ним можно применить метод обратной задачи рассеяния аналогично случаю стационарной самофокусировки оптического излучения для НУШ. По этому вопросу имеется обширная литература.

Здесь имеет смысл рассмотреть несколько концептуальных моментов. Огибающая электрического поля (и, следовательно, мы опять имеем

дело с видеосолитонами) для изолированного локализованного возбуждения определяется формулой

£(t,x) = 4 цseek\2р(х - xq - t/4p2)Y(2.39)

которая впервые была получена Мак-Колом и Ханом в 1967 году [2]. Здесь £ = ггр xq — координата солитона при t = 0, а 1/4?у2 — его скорость распространения. Непосредственное интегрирование немедленно дает, что «площадь» под профилем импульса вида (2.39) равна 2тг, т. е.

6(t) = J E(t, х) dx = 2тг.(2.40)

Вследствие этого солитонное решение уравнения СГ получило название в литературе «2тг-импульс». Таким образом, уравнение СГ для 2тг-импульса есть простейший пример оптического солитона при резонансном взаимодействии поля с двухуровневой невырожденной средой. В результате численного счета оказывается, что импульс с начальной площадью между тг и Зтг в результате временной эволюции превращается в солитонный 2тг-импульс. Импульсы, меньшие тг, затухают до нулевой площади, что было бы естественно ожидать для распространения импульса в «ослабителе». С другой стороны, оказывается, что импульсы, большие Зтг (но меньшие, чем 5тг), распадаются на

Рис. 2.1. Эволюция оптических импульсов разных интенсивностей в случае, близком к резонансу. Форма входного импульса показана пунктиром, выходного — сплошной линией. Слабый импульс (а) поглощается; более сильные (кривые б-г и д) демонстрируют СИП. Соответствующие результаты численного счета приведены справа

два 2тг-импульса. Относительная высота этих двух импульсов зависит от формы начального импульса. Импульсы с начальной площадью между 5тг и 7тг распадаются на три импульса и т. д. Такое распадение импульсов является характерной чертой солитонного поведения.

В работе [16] подобное поведение импульсов наблюдалось экспериментально (рис. 2.1). На этом рисунке слева показаны результаты серии экспериментов, в которых меняются интенсивности начальных импульсов. Как видно из рисунка, в случае а происходит поглощение, в — трансформация в 2тг-импульс, гид — распад на два или три 2тг-импульса. Соответствующие расчеты, о которых говорилось выше, приведены на рис. 2.1 справа, откуда следует, что, по крайней мере, на качественном уровне, модель уравнения СГ хорошо описывает явление самоиндуцированной прозрачности в двухуровневой невырожденной среде.

Самоиндуцированная прозрачность при двойномрезонансе в трехуровневой среде («симултоны»)

Естественным и наиболее элементарным обобщением модели двухуровневых атомов служит переход к трехуровневой среде [17]. Когда электромагнитное излучение представляет собой суперпозицию двух волн с несущими частотами, близкими к резонансным частотам переходов между различными парами энергетических уровней, говорят о двойном резонансе в трехуровневой системе [3, 4]. Теоретическому исследованию этого явления посвящено немало работ, из которых следует, что при определенных ограничениях на свойства и состояние среды (детали этих условий будут рассмотрены ниже) существуют два одновременных импульса (движущихся с одинаковыми скоростями и имеющих различные несущие частоты), которые проходят через резонансную поглощающую среду без искажения своей формы. Пара таких ультракоротких импульсов как единый объект (двухцветный солитон), названный в [3, 4] «симултоном» (от англ, simultaneous), служит аналогом 2тг-импульса самоиндуцированной прозрачности в модели двухуровневых атомов. Стационарный режим распространения электромагнитного импульса в этом случае соответствует определенному подбору амплитуд отдельных частотных его компонент и населенностей, участвующих во взаимодействии уровней. Последнее требование означает, что до прихода импульса в среду нужно обеспечивать вполне определенное соотношение между населенностями уровней и сохранять его до начала взаимодействия с излучением. В случае, если стационарное распространение многочастотного импульса вызывает в среде переходы на несколько верхних уровней с одного общего нижнего уровня (V-конфигурация, рис. 2.2, б), то для экспериментального наблюдения стационарного режима распространения ультракороткого импульса оптического излучения не требуется специально «готовить» исходное

|2>|2>|з)|з)1010|2>|2>|3)|3)1010Ш1Ш10)20)2|3>|2) |1)|3>|2) |1)

|2>

|2>

|з)

|з)

10

10

|2>

|2>

|3)

|3)

10

10

Ш1

Ш1

0)2

0)2

|3>

|2) |1)

|3>

|2) |1)

абв

Рис. 2.2. Схематическое изображение трехуровневых резонансных систем; а — Л-конфигурация, б — V-конфигурация, в — конфигурация типа «каскад»

состояние многоуровневой системы, а только подобрать определенные соотношения между амплитудами и длительностями отдельных его частотных компонент.

Итак, пусть в неограниченной среде в направлении д распространяются два перекрывающихся (одновременных) ультракоротких импульса электромагнитного поля с комплексными огибающими Ei и Е^ и несущими частотами шь ^2- Среда имеет показатель преломления е = е(щ1) = е(о)2) и содержит примесные атомы с концентрацией па- Следует заметить, что эксперимент Мак-Колла и Хана был проведен в рубине, в котором резонировали примесные ионы Сг+3, составляющие лишь очень небольшую часть от общего числа атомов. «Основная среда» AI2O3 является при этом не резонансной, и именно ею определяется показатель преломления. Таким образом, в задаче о самоин- дуцированной прозрачности предполагается, что резонансные диполи распределены так редко, что они, взаимодействуя с внешними полями, не взаимодействуют друг с другом и не оказывают заметного влияния на скорость распространения электромагнитной волны (при этом естественным образом выполняется предположение об однонаправленности распространения волн). Частоты ш\ и ^2 приблизительно равны частотам переходов ша и щ^. Если ша = W31, ш^ = ^32 (рис. 2.2, а\ то, следуя терминологии работ [3, 4], такую конфигурацию называют Л-конфи- гурацией. Случай ша = щ2ь = ^31 (см. также рис. 2.2, б) называется V-конфигурацией. Разрешенные переходы характеризуются матричными элементами dij оператора дипольного момента (i,j = 1,2,3) (т. е. проекциями векторов d^- на единичный вектор е, параллельный направлению электрического поля Е). Пусть длительность импульсов много меньше всех времен необратимой релаксации поляризации и населенностей резонансных состояний и нет нерезонансных потерь.

В приближении медленно (по сравнению с оптическим периодом) меняющихся в пространстве и времени комплексных амплитуд Е\, Е^ и элементов матрицы 3x3 плотности трехуровневой системы р^ эволюция ультракоротких оптических импульсов описывается обобщенными укороченными уравнениями Максвелла-Блоха

^ + -^ = -^Ы, ^=1,2, гК^=^Н,рУ (2.41) oz с atat L J

где Kv = 2ттаТиА)и1сЕ. Здесь для V-конфигурации рх = ^13/731; р2 = = №з№, Н = Н^х для Л-конфигурации pt = Щ2Р21, Р2 = ЖзРзь Н = = Н^;

/ 0М12^Н^ = №Ev Аш,\P31E2 О/ 0М12^Н^ = №Ev Аш,\P31E2 ОIP3E2ОАш2IP3E2ОАш2( 0 № = о\М31^1( 0 № = о\М31^1ОАсЩ — AcJ2^32^2ОАсЩ — AcJ2^32^2Мю^чХ ^23^*2 I ’Асщ /Мю^чХ ^23^*2 I ’Асщ /(2.42)(2.42)

/ 0М12^

Н^ = №Ev Аш,\P31E2 О

/ 0М12^

Н^ = №Ev Аш,\P31E2 О

IP3E2О

Аш2

IP3E2О

Аш2

( 0 № = о

\М31^1

( 0 № = о

\М31^1

О

АсЩ — AcJ2^32^2

О

АсЩ — AcJ2^32^2

Мю^чХ ^23^*2 I ’

Асщ /

Мю^чХ ^23^*2 I ’

Асщ /

(2.42)

(2.42)

ptj = —dij/ti\ Acji и Ас^2 — частотные расстройки от центра неоднородно уширенной линии; для Л-конфигурации Аоц = ш^х — ш\, AW2 = CJ32 — ^25 ДЛЯ V-конфигурации АсЩ = CJ21 — ^Ь Ас^2 = CJ31 — W2- Угловые скобки обозначают суммирование по всем частотным расстройкам Аоц и Ас^2 в пределах неоднородно уширенной резонансной линии. Отметим, что способ получения укороченных уравнений Максвелла-Блоха полностью соответствует методу многих масштабов, с помощью которого были выведены аналогичные уравнения для двухуровневой среды (см. раздел 2.2).

Для упрощения дальнейшего анализа будем рассматривать только случай точного резонанса и бесконечно узкой линии. Тогда в (2.41) можно перейти к действительным переменным, согласно следующим правилам: для Л-конфигурации Е\ = рз1£1, £2 = №£2, Р31 = ~ р32 = -iQ, р2\ = R, ри - РЗЗ = ^Ь р22 - рзз = ^ ДЛЯ V-КОнфигурации Е\ = р21£1, ^2 = ^31^2, Р21 = -iP, рзх = -iQ, Р32 = -R, рхх — Р22 = ^х^ рхх ~ рзз = ^2- В новых действительных переменных (Ех, Е2, Р, Q, R, П1, П2) система (2.41) для обоих типов конфигураций энергетических уровней принимает единую форму

ЭЕ = ЭЕ=_

Эх ’ Эх

^Р = Е№+Е2Н; У- = Е^^ЕхН;

(2.43)(2.43)ОТОТ

(2.43)

(2.43)

^ =-EXQ - Е^Р; ^ = -4EvP-2E2Q;

^ = -2EvP-4E2Q,

где х = г]1\, т = t — ezjc. Параметры 1Х и 1^ имеют смысл длин (или обратных коэффициентов) резонансного поглощения излучения на частотах шх и Ш2 соответственно и определяются выражениями Z”1 = (2TTia1iuv/cE) х l^^l2 (и = 1,2) для Л-конфигурации;

Ц~х = (2ттаТьшх / се) х l/i^l2, Ц4 = (27maTiU2 / се) х l/i^l2 — для V-koh- фигурации; они являются характерными пространственными масштабами изменения ультракоротких импульсов оптического излучения с соответствующими несущими частотами. При равенстве lx = Z2 естественно ожидать «синхронности» эволюции импульсов и, как будет показано ниже, при 1х = 1^ существуют стационарные решения (2.43), получившие в литературе, как было уже сказано выше, название си- мултоны. Из сравнения систем уравнений (2.31) и (2.43) хорошо видно, что дополнительная «степень свободы» в данном случае приводит к значительному усложнению задачи о самоиндуцированной прозрачности в трехуровневой резонансной среде.

Оказалось, что уравнения (2.43) являются вполне интегрируемой системой и, следовательно, представимы либо в форме Лакса, либо в форме нулевой кривизны. Кроме этого выяснилось, что в качестве спектральной задачи на собственные значения, ассоциированной этой динамической модели, опять выступает задача Манакова (см. раздел 1.2.2 выражение (1.32)). Что касается оператора эволюции Q(x, т,^), то его можно представить также в виде матричной функции 3x3

/(ni+n2)/3z/(ni+n2)/3z-Р-Q \

/(ni+n2)/3z

/(ni+n2)/3z

(п2-2т1х)/3г iR .(2.44)

iR (пх — 2n2)/3i]

Именно в такой форме операторы Р^х,т,^) и Q^t,^) впервые были найдены А. И. Маймистовым в работе [18], а уравнения Максвелла-Блоха (2.43) были представлены в виде уравнений нулевой кривизны (1.29). Таким образом, автором цитируемой работы было доказано, что и более сложная нелинейная система уравнений (2.43), описывающая явление самоиндуцированной прозрачности при двойном резонансе в трехуровневой среде полностью интегрируема, и ее можно решить методом обратной задачи рассеяния. Более того, из-за совпадения спектральных задач в данном случае и в случае двумерной стационарной самофокусировки электромагнитных волн с произвольной поляризацией все этапы решения нелинейного векторного уравнения Шрёдингера, за исключением эволюции данных рассеяния, полностью переносятся на рассматриваемый случай. Далее, автор этой работе, формально вводит вектор «поляризации» £(^1,^2), и сразу подчеркнем, что никакого отношения этот искусственно введенный вектор к поляризации реального оптического излучения не имеет. Это весьма существенный момент мы еще будем обсуждать и покажем, к каким серьезным трудностям в описании этой математической моделью реальных физических процессов приводит, казалось бы, этот весьма разумный формализм.

Интересно отметить, что в введенном таким образом векторном пространстве систему уравнений (2.43) можно представить в виде

одного интегродифференциального уравнения относительно векторной функции Е(х,т) с компонентами Е\ и Е^, т. е.

£жт-2гп0£-2 J [£(т)(£2(т'))ж + £(т,)(£Дт')£(т)) +

+ Е$ (/) (£ (/) £(т))] йт' = 0, (2.45) которое является дополнением к весьма не многочисленному перечню векторных интегрируемых эволюционных уравнений наряду с такими, как векторное НУШ, и, как будет показано ниже, векторное МКдВ. Итак, если спектральный параметр ^(«ц(0 = О, £ = гр) — чисто мнимая величина, то для односолитонного решения этого модельного эволюционного уравнения (2.45) имеем

Е(х,т) = 2рс sec Ц2р(т - то - пож/4т/)],(2.46)

где пщ = П2о = tiq — константа, а единичный вектор с(сц с^) имеет компоненты щ и С2, так что величина С1/С2 является отношением амплитуд ультракоротких импульсов оптического излучения на частотах ш\ и W2, образующих симултон. Таким образом, формально симултон, как единый объект, представляет собой видеоимпульс, который характеризуется единичным вектором «поляризации» с, местоположением то при х = 0. Скорость распространения симултона Vs определяется выражением \)VS = 1/с + пот2//ь где ts = I/277. Для V-конфигурации энергетических уровней условие пю = П20 = ^о означает, что исходные населенности возбужденных состояний одинаковы. Если трехуровневая среда приготовлена в основном состоянии, скорость симултона меньше скорости света в среде; если населенности всех уровней одинаковы, то симултоны распространяются со скоростью света. Для Л-конфигурации энергетических уровней ультракороткие импульсы света с огибающими (2.46) распространяются в среде, где начальные населенности основного и промежуточного состояний одинаковы. Таким образом, образование симултона в этом случае требует предварительного возбуждения резонансной трехуровневой среды.

Сравнение (2.46) и (2.39) показывает, что солитоны Мак-Колла и Хана и симултоны имеют одинаковую форму, и ту же самую зависимость от времени, но различную физическую сущность. В отличие от обычных 2тг-импульсов двухуровневой модели самоиндуцированной прозрачности, симултон является сложным образованием, для полной характеристики которого требуется ввести дополнительную степень свободы — «поляризацию». Это различие особенно ярко проявляется при взаимодействии двух и более симултонов. В понимании этого вопроса помогает формализм введения вектора поляризации c(ci,C2), который позволяет в рамках принятой модели использовать результаты анализа взаимодействия двух произвольно поляризованных видеосолитонов в задаче о стационарной двумерной самофокусировке

оптического излучения в нелинейной среде (см. 1.5, формулы (1.97), (1.98)). В том факте, что динамика взаимодействия солитонов Манакова и симултонов имеет формально одни и те же закономерности, нет ничего удивительного, поскольку обе эти математические модели имеют единую вспомогательную спектральную задачу (1.32). По сути, различие заключается только в том, что в рассматриваемом случае нет реальных векторов и не происходит их вращения на некоторый угол при взаимодействии двух симултонов, а просто меняется соотношение амплитуд распространяющихся с одинаковой скоростью двух перекрывающихся в пространстве ультракоротких световых импульсов до и после столкновения с другим подобным образованием. Таким образом, после столкновения образуются симултоны, не тождественные, строго говоря, исходным. В этом состоит наиболее яркое отличие их от 2тг-импульсов.

Однако не следует забывать, что формализм обратной задачи рассеяния, с помощью которой может быть решено нелинейное векторное уравнение Максвелла-Блоха (МБ) (2.45) с использованием спектральной задачи Манакова, предполагает существование двухкомпонентного векторного пространства, в котором эти искомые решения определены. Отсюда, получающиеся таким способом решения уравнения (2.45) обладают свойствами, которые проявляются при взаимодействии локализованных сгустков векторных полей (см. раздел 1.5) и не очевидно, что эти особенности присущи исходным физическим процессам. В связи с этим возникает вопрос, каким образом отделить свойства математической модели и не перенести их на реальную физическую основу, с тем, чтобы не наделить исходную физическую модель не существующими закономерностями? Поскольку, как будет показано ниже, подобная проблема возникает и в других физических явлениях, попытку выяснения этих вопросов мы отложим до конца следующего раздела.

Самоиндуцированная прозрачность в условияхвырождения резонансных энергетических уровнейХи-импульсы огибакицей)

До сих пор было рассмотрено явление самоиндуцированной прозрачности в двух- и трех уровневых средах с невырожденными резонансными уровнями. Для реальных сред свойственно вырождение энергетических уровней, что и проявляется в особенностях распространения в них поляризованных оптических импульсов. В качестве простого обобщения резонансной среды будет рассмотрен ансамбль двухуровневых атомов, для которых один из уровней вырожден.

Рассмотрим световой импульс, распространяющийся в направлении оси z в резонансной среде, которая содержит двухуровневые атомы с квантовыми переходами ja = 1 jb = 0 между уровнями, вырожден-

ными по проекциям полных угловых моментов ja и jb- Напряженность электрического поля светового импульса представлена в виде

(2.47)(2.47)Е = E exp \%^kz — щ^)] + к. с.

(2.47)

(2.47)

Несущая частота ио = кс импульса (2.47) близка к частоте coq атомного перехода между энергетическими уровнями Еа и Еь. Для медленно меняющихся комплексных амплитуд матричных элементов матрицы плотности "р, описывающей переходы между состояниями |ц, m) = \ja = 1, т = ±1) и |6) = \зь = 0, т = 0), удобно ввести следующие обозначения

№ = (а,-1|р|а,+1), ри = (а,-1|р|6),

(2.48)(2.48)№з = (а, + ФЩ Ри = (а,-1|р|а,-1),

(2.48)

(2.48)

Р22 = (а,+1|рк+Ц Рзз = WW^,

Pkl — Plk’ I, к— 1,2,3.

Эволюция комплексной огибающей импульса (2.47) в резонансном приближении описывается обобщенными укороченными уравнениями Максвелла-Блоха, которые в предположении однонаправленности волны применительно к настоящей задаче имеют вид [19]:

^+1^ = _,(^)м]3„|3).

(2.49)(2.49)(2.50)(2.50)oz с atусу

(2.49)

(2.49)

(2.50)

(2.50)

ЭЕ-х . 1 ЭЕ-х. 3 2тташ\х

= -^^Рхз + ^з(/>зз - Ри)Е^х ~ ^зрх^Е-х,

^"~|^ = -^^ШР23 + ^2з(/>зз - р^Е_\ - dxsPsiE^x,

^^^ = ^хзРз2Е^х - d^pv^E-x,

^^Рп^ Р^ = 2(di3/93i - d3xPx3^E^x + (^23/>32 - <1з2Р2з)Е_х,^^£р22Рзз^ = (^13^31 - d3xpx3)E^x + 2(^2з№ - Аз2Р2з)Е_ ь

где Eq — сферическая q — компонента вектора огибающей напряженности электрического поля световой волны (q = ±1); d^i — матричные элементы оператора дипольного момента атомного перехода ja —> зь; /\ш = (со — шо) — отстройка от частоты несущей волны со. Здесь ^13 = ^23 = ^32 = ^зр па — плотность резонансных атомов, угловые скобки означают суммирование по всем атомам с частотой перехода coq. Для того чтобы получить эту систему уравнений, необходимо было найти матричные элементы гамильтониана взаимодействия двух-

уровневой системы с вырождением и подставить их, используя при этом (2.48), в уравнения Максвелла и Лиувилля для матрицы плотности (2.4). В уравнениях (2.49), (2.50) опущены релаксационные члены, поскольку здесь рассматриваются только ультракороткие оптические импульсы, длительности которых много меньше всех характерных времен релаксации в вырожденной двухуровневой среде.

Начальное и краевое условия к уравнениям Максвелла-Блоха формулируются в таком виде

EU-oo = Pki\k^l)t=-(X) = о»

(Ри - №з)|<=-оо = (№ - №з)11=-оо = Р0’(2.51)

Ez=o = Ео^.

Здесь точка 2 = 0 соответствует точке входа в резонансную среду возбуждающего импульса, начальный профиль которого описывается функцией Eo(t) также предполагается, что населенность уровней состояния |а,т) с m = ±1 одинакова, и для поглощающей среды ро = — 1. Уместно подчеркнуть, что даже для простейших резонансных переходов 10 уравнения (2.49)-(2.50) не сводятся к уравнениям (2.31),

если только не фиксировать вектор поляризации светового импульса Е = Ес, где единичный вектор поляризации с не зависит от t и г.

Оказалось, что система уравнений Максвелла-Блоха (2.49)-(2.50) и в этом случае может быть представлена в виде уравнения нулевой кривизны (1.29) с операторами Р^х,т,^ и Q^x,t,^, соответственно [19]

е_ е+\

= 1_е*_ о ,(2.52)

\ е+0 ^ /

И

/./ Tib^+\ \

9Ц,т,0 =/ 2^ дI ^по+I ) ■(2-53)

\WV*Па_) /

Здесь т = (t — z/c)/tc, х = z/ctc, е± = tcd\^E^\l%r, пь = tcujp^, Т1ад- = tcCOp22) Tla— = tc3JpU, V.^ = tcC0p23) ^ — = tc^P\3» ^q = tcC0p\2) 3 A определяется как A = Nwtc, где t~x = 47гпа|с/1з|2^-1 — характерное для двухуровневой системы время. Нетрудно видеть, что вспомогательная спектральная задача на собственные функции и собственные значения и оператор эволюции (2.53) (сравни с (2.44)) полностью совпадают с аналогичными при рассмотрении самоиндуцированной прозрачности в трехуровневой среде. Отсюда следует, что, если положить Асе = Qx — ш^ = 0, т. е. случай точного резонанса, то система уравнений (2.52), (2.53) сводится к одному нелинейному эволюционному уравнению (2.45) относительно векторной функции Е, которое было

названо векторным уравнением Максвелла-Блоха (МБ). Это уравнение является интегрируемым и его можно решить, например, методом обратной задачи рассеяния.

Таким образом, можно заключить, что оба эти физические явления описываются, по сути, одним и тем же векторным модельным уравнением (2.45) и их можно формально рассматривать с единой математической точки зрения.

Для того чтобы оправдать терминологию к-импулъсы огибающей, присутствующую в названии этого раздела, определим «собственный момент» поляризованного видеосолитона (2.46), т. е. величину, равную интегралу с бесконечными пределами по переменной т, взятому от односолитонного решения векторного МБ:

s= | Е(х, т) дт = тгс. (2.54)

Из (2.54) видно, что собственный момент s поляризованного видеосолитона, введенный подобным способом, есть величина постоянная и равна единичному вектору поляризации с, умноженному на площадь под импульсом огибающей, которая в этом случае равна тг [34]. Таким образом, поляризованный солитон обладает дополнительной степенью свободы — собственным моментом s, в силу чего динамика взаимодействия подобных солитонов обладает, как будет показано ниже, рядом специфических свойств по сравнению с поведением, например, 2тг-импульсов Мак-Колла и Хана.

Отметим, что для ансамбля коллинеарно поляризованных солитонов проекция собственного момента s каждого солитона на выбранное определенным образом направление может принимать только два значения ±тг. Для удобства условимся называть локализованное возбуждение с положительным собственным моментом солитоном, а с отрицательным, соответственно, антисолитоном.

В том случае, когда матричный элемент матрицы рассеяния ащ(£) имеет N мнимых нулей, то для системы, состоящей только из одних коллинеарно поляризованных солитонов, как это следует из TV-солитонного решения уравнения (2.45), ее собственный момент есть величина постоянная и не зависит от динамики самой системы:

J Е(х,т)йт = (Nc-Na)s, (2.55)

где Nc — число солитонов, Na — антисолитонов [34].

Рассмотрим теперь конкретно особенности взаимодействия двух симултонов или поляризованных солитонов огибающей («тг-импульсы огибающей») в условиях вырождения резонансной среды, основываясь на решениях (1.97)-(1.98), учитывая при этом, что элемент матрицы рассеяния спектральной задачи (2.52) ащ(£) допускает чисто мнимые

нули для двухсолитонного состояния irp и гт]2, которыми определяются амплитуды и скорости распространения взаимодействующих видеосолитонов, а функции /12 для обоих случаев имеют вид

/1,2 = ехр/1,2 = ехр2^1,22^1,2(2.56)(2.56)

/1,2 = ехр

/1,2 = ехр

2^1,2

2^1,2

(2.56)

(2.56)

здесь было принято, что no = 1. Это всегда можно сделать, осуществив перенормировку переменной х.

Рис. 2.3. Столкновение солитонов с параллельными поляризациями щ = 0,65; щ = 0,8Рис. 2.3. Столкновение солитонов с параллельными поляризациями щ = 0,65; щ = 0,8Рис. 2.4. Взаимодействие солитонов с ортогональными поляризациями щ = = 0,65; Ц2 = 0,8Рис. 2.4. Взаимодействие солитонов с ортогональными поляризациями щ = = 0,65; Ц2 = 0,8

Рис. 2.3. Столкновение солитонов с параллельными поляризациями щ = 0,65; щ = 0,8

Рис. 2.3. Столкновение солитонов с параллельными поляризациями щ = 0,65; щ = 0,8

Рис. 2.4. Взаимодействие солитонов с ортогональными поляризациями щ = = 0,65; Ц2 = 0,8

Рис. 2.4. Взаимодействие солитонов с ортогональными поляризациями щ = = 0,65; Ц2 = 0,8

На рисунках 2.3, 2.4 и 2.5, представлены картины взаимодействия двух солитонов со сравнимыми по величине амплитудами и различными поляризациями, рассчитанные по формулам (1.97), (1.98), (2.56). На рис. 2.3 изображена картина поведения двух солитонов с параллельными поляризациями, из которых следует, что в этом случае они испытывают взаимное отталкивание и в результате такого взаимодей-

Рис. 2.5. Столкновение солитона и антисолитона огибающей Ai = 0,65, А2 = 0,8 ствия траектории их в х, т-плоскости не пересекаются и минимальное достижимое расстояние между максимумами солитонов остается больше их характерных размеров, подобно тому, как это происходило с поляризованными видеосолитонами НУШ (см. рис. 1.5). Догоняемый солитон с большей начальной амплитудой в результате взаимодействия ускоряется и уменьшается по высоте, а догоняющий солитон с меньшей начальной амплитудой соответственно тормозится и увеличавает- ся по высоте. Что касается направлений поляризаций солитонов, то они в результате рассеяния остаются неизменными. Из приведенной картины также следует существенное отличие солитонов векторного МБ от солитонов НУШ, заключающееся, прежде всего в том, что представленные здесь солитоны не имеют периодического в процессе распространения изменения поляризации на противоположную. Кроме этого, у солитонов векторного МБ скорость распространения зависит от амплитуды (чем больше высота солитона, тем меньше его скорость распространения), тогда как у солитонов НУШ подобная зависимость отсутствует.

На рис. 2.4 показана картина столкновения солитонов с ортогональными поляризациями. Здесь наблюдается заметное ослабление эффекта отталкивания, и в целом их поведение вписывается в динамику взаимодействия двух «нейтральных», т. е. аналогов 2тг-импульсов МакКола-Хана [2], имея при этом отличие, которое заключается в том, что у медленного солитона первоначальная поляризация меняется на противоположную, если принять концепцию, что солитоны проходят друг сквозь друга, не обмениваясь между собой импульсами. Но наиболее подходящая интерпретация этого явления, по мнению автора, следующая: солитоны испытывают между собой упругое столкновение с обменом импульсов и с поворотом в одну сторону единичных векторов поляризации на тг/2, как это следует из рис. 2.4.

Как и в случае поляризованных солитонов НУШ, особый интерес вызывает картина взаимодействия солитона с антисолитоном (рис. 2.5).

Солитон и антисолитон испытывают между собой взаимное притяжение, в силу которого впереди идущий антисолитон с большей амплитудой вследствие торможения плавно теряет свою скорость, а догоняющий солитон соответственно получает приращение к своей начальной скорости. Это приводит к тому, что солитоны к моменту их максимального сближения (т. е. когда расстояние между максимумами становиться порядка их характерных размеров) имеют уже заметно увеличенную относительную скорость. Далее начинается процесс непосредственного (короткодействующего) взаимодействия солитона и антисолитона. В момент столкновения происходит исчезновение солитона со стороны заднего фронта антисолитона и одновременное появление его на переднем фронте. Антисолитон при этом частично поглощает энергию солитона, резко замедляет свою скорость в точке пересечения их траекторий в х, t-плоскости, а солитон как бы «просачивается» с ускорением через антисолитон. После того, как солитон и антисолитон вышли из зоны непосредственного взаимодействия, дальнейшее развитие процесса повторяет начальную фазу, только теперь в обратном порядке, и в силу взаимного притяжения впереди идущий солитон тормозится, а антисолитон ускоряется, вплоть до восстановления своих первоначально заданных скоростей на достаточно большом расстоянии от места столкновения.

В результате такого взаимодействия амплитуды и линейные поляризации обоих солитонов (при t —> +оо) сохраняются, а конечные сдвиги быстрого солитона вперед на величину (2r/2)-1lny и, соответственно, медленного назад на величину (2гу)-1 Inх точно такие же, как это наблюдалось при столкновении двух солитонов с параллельными поляризациями (рис. 2.3), где х определено (1.41).

Следует отметить, что найденные поляризационные закономерности для л-импульса огибающей не зависят от степени неоднородного уширения спектральной линии и расстройки. Последние влияют только на скорость распространения поляризованного солитона огибающей, пока справедливо резонансное приближение.

В заключение этого раздела попробуем разобраться, насколько математическое описание с помощью векторного укороченного уравнения Максвелла-Блоха (2.45) адекватно исходным физическим явлениям.

Коснемся сперва явления самоиндуцированной прозрачности при распространении импульсов с высокочастотной несущей в условиях вырождения резонансных энергетических уровней. Как уже говорилось по этому поводу, л-импульсы огибающей принципиально представляют собой видеоимпульсы с отличным от нуля собственным моментом s. Отсюда, при взаимодействии подобных произвольно поляризованных локализованных возбуждений происходит между ними либо дальнодей- ствующее притяжение, либо подобное отталкивание (хотя бы частично), кроме, как мы видели, случая с ортогональными поляризациями. Вполне очевидно, что у реальных поляризованных радиоимпульсов

такие эффекты должны отсутствовать, поскольку у них собственные моменты равны нулю.

Обратимся теперь к случаю взаимодействия симултонов. Здесь ситуация еще более запутанная, поскольку симултоны с антипарал- лельными поляризациями вообще не определены (напомним читателю о том, что роль проекций вектора поляризации в данном случае формально выполняют амплитуды двух радиоимпульсов с разными частотами заполнения, которые, т. е. амплитуды, являются положительно определенными величинами). Отсюда следует, что притяжение между симултонами невозможно в силу самой постановки задачи, но в то же время дальнодействующее отталкивание между симултонами, как это следует из формального анализа, существует, если считать, что два взаимодействующих симултона имеют острый угол между единичными векторами поляризации. Это вызывает серьезное недоверие к подобному результату и, более того, совершенно непонятно, откуда возьмется механизм отталкивания, если притяжение невозможно. Другими словами, эффект дальнодействующего отталкивания в этом случае явно навязан формальным введением векторного пространства и никакого отношения к реальному поведению двух взаимодействующих симултонов не имеет.

Заметим, однако, что для того, чтобы понять, как в действительности ведут себя при взаимодействии реальные радиоимпульсы с произвольной ориентацией их плоскостей поляризации, необходимо, по-видимому, решать задачу без привлечения аппарата традиционной нелинейной оптики — метода медленно меняющихся амплитуд и фаз (ММАФ) [20].

Оптические видеосолитоны в резонансных средах

Самоиндуцированная прозрачность в двухуровневой квантовой среде при распространении предельно коротких лазерных импульсов. В разделе 2.2 уже указывалось, что явление самоиндуцированной прозрачности, обнаруженное и объясненное МакКоллом и Ханом в 1967 году [2], явилось мощным толчком в развитии нелинейной резонансной оптики для импульсов нано- и пикосекундной длительностей. В силу резонансного характера взаимодействия при теоретических исследованиях самоиндуцированной прозрачности в простейшем случае использовалось приближение двухуровневой невырожденной квантовой среды. Частота соответствующего перехода предполагалась равной или очень близкой к частоте несущей оптического импульса. Кроме того, в волновых и материальных уравнениях использовалось ставшее затем традиционным приближение медленно меняющихся амплитуд и фаз [20]. Справедливости ради еще раз отметим, что в 70-х годах прошлого столетия вышло несколько теоретических работ на эту тему, в которых отказались от приближения медленно меняющихся амплитуд и фаз (см. ниже

формулу (2.60)) [5]. Однако в то время такие работы представляли больше чисто теоретический интерес, так как не был преодолен фемтосекундный временной барьер для длительности импульсов.

Успехи, достигнутые в методах формирования световых импульсов длительностью в несколько (вплоть до одного) колебания волны и потоками мощности (109 -у 1018) вт/см2 [21], поставили совершенно новые задачи перед оптикой нелинейных сред. Аппарат традиционной нелинейной оптики — метод медленно меняющихся амплитуд и фаз для поля и материальных переменных среды [20] — становится не адекватным для описания волновых процессов столь малого пространственновременного масштаба и столь больших напряженностей полей, если даже при этом не рассматриваются эффекты произвольной поляризации. Возможности генерации в лабораторных условиях предельно коротких импульсов фемтосекундной длительности, вмещающих внутри себя порядка одного периода оптических колебаний [22], стимулировали дальнейшее теоретические исследования эффекта самоиндуцированной прозрачности без использования приближения медленно меняющихся амплитуд и фаз [20]. Так как предельно короткий импульс не является монохроматическим сигналом, для него невозможно ввести понятие огибающей, а потому применявшееся выше приближение медленно меняющихся амплитуд и фаз в этом случае нельзя использовать в принципе. Большая ширина спектра предельно короткого импульса является, однако, не единственным фактором, ограничивающим применимость метода медленно меняющихся амплитуд и фаз. В достаточно сильных полях предельно короткого импульса нарушается основное предположение традиционной нелинейной оптики о слабой нелинейности и сильно диспергирующей среде, которое позволяло ограничиться учетом небольшого конечного числа нелинейно взаимодействующих волн. Поэтому, с одной стороны, число членов разложения поляризации по степеням поля теперь становится значительным, с другой — в сильных полях условие фазового синхронизма может выполняться одновременно для всех гармоник [20-23]. Указанные обстоятельства приводят к тому, что адекватное описание волновых процессов фемтосекундного временного масштаба возможно (и оказывается удобным) лишь в терминах реального поля и реальной индуцируемой им поляризации [24, 25].

Характер взаимодействия светового импульса со средой зависит как от параметров самого импульса (спектра, напряженности поля), так и от структуры квантовых уровней вещества, и в общем случае может быть весьма сложным. Поэтому интересно рассмотреть нелинейную динамику интенсивных сверхкоротких сгустков электромагнитного поля на примере простых квантовых систем, таких, как, например, двухуровневая, которая оправдывает себя, если рассматриваемая пара уровней значительно удалена от остальных квантовых уровней среды, и, по крайней мере, качественно выявляет физику процессов взаимодействия мощного предельно короткого импульса поля со средой и в более

общем случае. Совместно с уравнениями Максвелла, уравнения взаимодействия поля со средой двухуровневых частиц образуют систему уравнений Максвелла-Блоха (см. раздел 2.2, уравнения (2.12)-(2.14) и (2.16)).

Пусть, как и ранее, E(r,t) и di2 — векторы одного и того же направления е, тогда систему уравнений (2.12)-(2.14) и (2.16) можно записать в следующем виде:

др .. 2(1x2 7—! дп 2d\2 т—। т

= гшар Р г-- Етц — =atп,at n,

222(2-5?)

Э2Е1Э2Е_4тг Э2Р

dz2сdt2с di2 *

Здесь р = 2/012 — поляризация отдельной частицы, п = р^ — р\\ — разность населенностей уровней отдельной частицы; р^ — как и ранее, элементы матрицы плотности двухуровневой системы; Е = Е • е, ^12 = di2 • е. Макроскопическая поляризация среды Р, входящая в волновое уравнение системы (2.57), связана с поляризацией р известным соотношением

Р = nad\2 Rep,(2.58)

где напомним о том, что па — есть плотность резонансных атомов. В материальных уравнениях системы (2.57) были опущены релаксационные члены в силу предположения о том, что длительности исследуемых импульсов значительно короче времен продольной и поперечной релаксации среды.

В настоящем разделе мы будем рассматривать свойства поглощающей среды, т. е. будем полагать, что до появления поля импульса (при t = —ос) все резонансные атомы среды находятся на нижнем уровне: рц(-оо) = 1, /)22(-оо) = pi2(-oo) = 0.

Для системы уравнений (2.57) можно ввести безразмерный параметр 5 (легко показать, что этот параметр связан с введенным выше параметром сх)

6 =(2.59)

характеризующий, так же, как и а, связь между полем электромагнитной волны и двухуровневой средой. При малых плотностях среды, таких, что 5 < 1, рассеиваемая назад часть поля импульса E(z,t) пренебрежимо мала, т. е. реализуется приближение однонаправленности волн (в этом случае в волновом уравнении Р <Р Е), и волновое уравнение может быть сведено к уравнению первого порядка (см. верхнее уравнение системы (2.29)).

В этом разделе будет рассмотрен случай 5^1, когда наличие отраженной волны может существенно влиять на эволюцию импульса и требует исследования полной системы. Как было уже отмечено, система уравнений (2.57) имеет точные решения в виде импульсов колоколообразной формы без высокочастотного заполнения, т. е. видео-

импульсов [5]

E(z,t) = -^-sec/J^^I,(2.60)

dl2Tp ( ТР J

где тр — параметр решения, определяющий длительность импульса, г) — скорость импульса, связанная с тр соотношением

В работах [6, 26] было проведено исследование точных решений (2.60) численными методами, а именно, осуществлен численный анализ процессов столкновения импульсов (2.60) в широком диапазоне длительностей и было установлено, что точные решения нелинейных уравнений Максвелла-Блоха (уравнений (2.57)) не являются в строгом понимании солитонами. В этом смысле целесообразней остановиться на аналитических свойствах системы уравнений (2.57) в некоторых предельных случаях. В материальных уравнениях Блоха можно выделить два параметра, характеризующих режимы взаимодействия импульсного электромагнитного поля с резонансной средой. Первый параметр представляет собой отношение характерного временного масштаба тр изменения поля импульса ко времени и”1 собственных колебаний двухуровневой системы. Будем называть импульс длинным, если трша >> 1, и, соответственно, коротким в случае трша <^ 1. Величину поля импульса удобно характеризовать параметром E/Eq, где Eq = ^7^/2(712 — напряженность насыщения двухуровневой системы (не путать с Е° = max |ЕI В (2.18)).

Обратимся к случаю взаимодействия со средой короткого импульса, трша ^ h поскольку, как мы увидим в дальнейшем, именно этот случай соответствует самоиндуцированной прозрачности предельно коротких импульсов электромагнитного поля в двухуровневой невырожденной резонансной среде. В силу того, что импульс короче времени установления отклика среды ш~х, поляризация в данный момент времени определяется значением поля во все предыдущие моменты. Кроме того, из точного решения (2.60) следует, что для короткого импульса напряженность поля в максимуме Е° значительно превышает напряженность насыщения Eq. Таким образом, в рассматриваемом случае среда является сильно нелинейной и сильно диспергирующей, и разложение по какому-либо параметру не представляется возможным. Тем не менее, однако, при условии трша <С 1 материальные уравнения Блоха могут быть решены при любой форме поля импульса Е [26]. Пренебрегая сначала в первом уравнении (2.57) членом шар по сравнению с dp/dt, находим, что

1тр = зтФ(7), п = -созФ(7), (2.62) где t

y(t) = ^ j EQQdt', (2.63)

Отсюда, согласно первому уравнению системы (2.57), для реальной части поляризации следует

t

(2.64)(2.64)Rep = —ша [ dt' sin Ф (tf).

(2.64)

(2.64)

Подставляя (2.64) в волновое уравнение (третье в системе (2.57)), получим

^ _ J_ ^ ^ _ 47табЙ2^а д . 2^12 f р / ,/\ 7,7/р П£\

с2 dt2 с2 dtsm П J

Понятно, что это уравнение может быть переписано для функции Ф(^Д) в виде

а2Ф 1 а2Ф X7^V • яг

Эг2 с2 dt2 \ с )v 7

и представляет собой уравнение СГ (сравни с уравнением (2.37)). В случае поглощающей среды (именно этот случай мы и рассматриваем) (2.66) имеет солитонные решения, простейшее из которых описывает однополярный 2тг-импульс

E(z, 7 sec hdl2TpE(z, 7 sec hdl2Tpt — zjCpTPt — zjCpTP-^ = ^(1+8^(2.67)Vp c-^ = ^(1+8^(2.67)Vp c

E(z, 7 sec hdl2Tp

E(z, 7 sec hdl2Tp

t — zjCp

TP

t — zjCp

TP

-^ = ^(1+8^(2.67)

Vp c

-^ = ^(1+8^(2.67)

Vp c

He трудно видеть, что (2.67) в пределе иоатр <^ 1 совпадает с точными частными решениями (2.60), (2.61) полной системы уравнений Максвелла-Блоха.

В результате можно прийти к выводу, что для предельно коротких импульсов, удовлетворяющих условию трша <^ 1, равновесная поглощающая среда становится нелинейно-прозрачной в том смысле, что, возбудившись передним фронтом этого импульса, атомы среды переводятся в исходное состояние его задним фронтом, отдавая всю поглощенную вначале энергию обратно полю. Несмотря на схожесть рассматриваемого процесса с механизмом возбуждения-девозбуждения среды в случае самоиндуцированной прозрачности для монохроматических резонансных импульсов (см. раздел 2.2) между ними имеются все- таки и существенные различия. Пожалуй, главное из них заключается в разности скоростей видеосолитона предельно короткого импульса и солитона огибающей монохроматического сигнала. Для достаточно широкого класса сред, не испытывающих сверхизлучательного фазового перехода, 87vd22Tia/Ti^a <^ 1. Тогда, в силу неравенства трша <^ 1 и (2.67) получаем Dp ^ с. Таким образом, скорость широкополосного предельно короткого импульса в поглощающей среде лишь незначительно меньше скорости света в вакууме. Скорость же резонансных солитонов огибающей (2тг-импульсов Мак-Колла и Хана) в 102-103 раз меньше с [2].

Оптические мКдФ-солитоны в двухуровневой невырожденной резонансной среде. До сих пор рассматривался случай, когда двухуровневая система являлась сильно нелинейной и сильно диспергирующей резонансной средой. Обратимся теперь к анализу взаимодействия со средой длинного импульса, такого что трша >> 1, но не имеющего уже высокочастотного заполнения. В этом случае из формулы (2.60) для точного решения уравнений Максвелла-Блоха следует, что при условии трша >> 1 максимальное значение поля импульса Е° £з Ъ/d^Tp <^ Eq, т. е. далеко от насыщающего, и здесь становится возможным введения малого параметра а = ujR/uca (см. раздел 2.2). Другими словами, импульс слабо взаимодействует с системой и в этом смысле находится в области прозрачности нелинейной среды. Нетрудно видеть, что материальные уравнения (2.57), при замене в них частоты перехода ша на отстройку от резонанса Асе и поля Е на огибающую волны Е, совпадают с укороченными уравнениями резонансного взаимодействия (см., например, (2.41)-(2.42)).Следовательно, рассматриваемый нами случай аналогичен режиму адиабатического взаимодействия излучения со средой, когда поляризация успевает подстроиться под мгновенное значение поля импульса.

Будем в качестве исходной системы уравнений Блоха использовать уравнения (2.12)-(2.14) и введем следующие обозначения, следуя работе [27]:

B = px + ipy, C = px — ipy, q = r = iE/E®, т = urI, (2.68) где, как и ранее, рж, ру, pz = п — компоненты вектора Блоха, ujr = d^E®/Ъ — частота Раби при Е = Е° и Е° = тах|Е|. Тогда из (2.12)-(2.14) и (2.68) следует, что

ЭВ. D QdC , . Q

д= 2си Rqpz, wR — + гшас = 2wRrpz, 8тa»Т(2.69)

= Вт - Сд.

От

Из последнего уравнения (2.69) можно формально найти, что

Рг = Pq + J (Вт - Cq) dr',(2.70)

где pq = — 1 (= +1) в поглощающей (в усиливающей) среде. Если ввести двухкомпонентные векторы-столбцы Ф = colon^C), Ф = = co1or(q,г), то первые два уравнения системы (2.69) могут быть записаны в форме одного уравнения

где матричный оператор R задан в виде

(2.72)(2.72)

(2.72)

(2.72)

Этот матричный интегродифференциальный оператор в теории солитонов называется рекурсионным оператором [28], и входящий в (2.71) интегральный оператор и с определен выражением

(2.73)(2.73)и V ИМ =ЦО -и (г') / (г') dr', V /(т).

(2.73)

(2.73)

Решение (2.71) можно записать с помощью резольвентного оператора G = ^7 + iaR^ оператора R в следующей форме:

Ф = 2ip0aG^,(2.74)

где, как и прежде, а = шк1ша, а I — единичная матрица 2x2. Учитывая, что параметр а удовлетворяет условию а ^ 1, резольвентный оператор G можно разложить в степенной ряд по малому параметру а, т. е.

G = I-iaR-a2R .(2.75)

Используя очевидные соотношения

д (q\ = / 9q/9t \ д2 (q\ = (д2ц/дт2 - 2qCqO(9 7М

\т] у—дг/дту \т)уд2г/дт2 — 2r(qr)y'

с точностью до а3 имеем

Ф = |7) = 2W. (3 -+ =а^ег?') ■ (2.77)

у С)\т + гадг/дт - а2д2г/дт2 + 2a2r(qr))

Учитывая, что для х — компоненты вектора Блоха выполняется соотношение рх = (В + С)/2 и что г = q, получаем следующее выражение для поляризации отдельного атома:

рх = 2iapo(q - a2d2q/dr2 + 2cx2q3\(2.78)

Выражение для (рх) в исходных переменных, где угловые скобки означают суммирование по всем атомам с частотой перехода ша, можно записать в виде

/ \/ 2d\2Po \ г _|_ / 2d\2Po \ 9 Е/ 4с?12Ро \ 77З/9

X /\ Нша / at\ П ша /

Теперь опять вспомним, что выполняется условие малости концентрации резонансных атомов па, в силу чего можно воспользоваться

приближением однонаправленности волн. Для этого полезно дать вывод редуцированного уравнения для электромагнитного поля световой волны Е, исходя из волнового уравнения

(2.80)(2.80)2э2еэ2е. Э2Р

(2.80)

(2.80)

С —уу = 4тг—у,dz2dt2 8t2

где Р — полная поляризация среды. Если ввести вспомогательную функцию A(z,t\ такую, что ЭА/dt = cdE/dz, то волновое уравнение можно записать в эквивалентной форме

(2.81)(2.81)ЭА ЭЕ п ЭА ЭЕ л ЭР ~8t~c~8z=^’=

(2.81)

(2.81)

Удобно представить эту систему в более симметричной форме

ал ал\_ / as dE\dz dt 7V dz dt 7^dA _ dA\, / dE dE\л dPI = 4тг—- dt"dz dt )* V dz dt Jал ал\_ / as dE\dz dt 7V dz dt 7^dA _ dA\, / dE dE\л dPI = 4тг—- dt"dz dt )* V dz dt J(2.82)(2.82)

ал ал\

_ / as dE\

dz dt 7

V dz dt 7

^dA _ dA\

, / dE dE\

л dP

I = 4тг—- dt

"dz dt )

* V dz dt J

ал ал\

_ / as dE\

dz dt 7

V dz dt 7

^dA _ dA\

, / dE dE\

л dP

I = 4тг—- dt

"dz dt )

* V dz dt J

(2.82)

(2.82)

Если вместо z и t использовать переменные 0 = t A z/cn 9 = t — z(c (уравнения 0 = const, 9 = const определяют характеристики исходного волнового уравнения), то эта система примет вид

(2.83)(2.83)ал _ дБ дБ ЭА ЭЕ _№

(2.83)

(2.83)

90 d0 ”d0 d0 ~ dt*

Пусть поляризация P(z,t) будет малой величиной (условие а < 1), тогда имеем разложение

(2.84)(2.84)P(z, Z) = аРоН + а2Рх М + - ■

(2.84)

(2.84)

Как в обычной теории возмущений, представим Лив виде ряда по степеням ас

A(z, t) = Л0(а) + аЛ1 (ОЛП--- Е^ ^ = ^о W + аЕ\ (9 ЛИ ...

(2.85)

и, подставив эти разложения в (2.83), преобразуем эту систему в уравнения, эквивалентные (2.83) с точностью до первого порядка по а.

Из второго уравнения системы (2.83) следует, что

^(Ло + аЛ1) + ^Цо + а51) = -2тга^.(2.86)

Отсюда А + Е = —2тгБо- Это выражение позволяет исключить А из первого уравнения системы (2.83) и, возвращаясь к старым переменным z и t, получить редуцированное волновое уравнение для Е

dz с dt с dt*dz с dt с dt*(2.87)(2.87)

dz с dt с dt*

dz с dt с dt*

(2.87)

(2.87)

Следует подчеркнуть, что уравнение (2.87) эквивалентно исходному волновому уравнению с точностью до первого порядка малости па-

раметра а и оно отвечает приближению однонаправленной волны, но не содержит требования медленного изменения огибающей импульса электромагнитной волны (сравни с укороченными уравнениями для огибающей (2.49)).

Теперь, если вспомнить (2.17), то волновое уравнение (2.87) можно записать в таком виде:

ЭЕ 1 ЭЕ 2ттаа12 Э{рх)™

Это уравнение описывает волну, распространяющуюся вдоль оси z в положительном направлении. Если в (2.88) подставить выражение для ^р^ из (2.79), то будет получено следующее уравнение

ЭЕ , 1 ЭЕ , ^ЭЕ , .д^Е п™ от

-т-+ - + аЕ2--+=0,(2.89)

dz v 9t 9t Эг

где

= 24тиы^/£о \ т = 4тиы^ / ро_\ 1 = 1 h _ 4тиы^ / ро_\1

а ch3VTi W/F

Уравнению (2.89) удобно придать эталонную форму модифицированного уравнения Кортевега-де Фриза (мКдФ), если перейти в сопровождающую волну систему координат, т. е. к новым переменным: х = \b\z, т = t - z/n, q(x,t) = (a/6by/2E. Тогда имеем следующее уравнение:

p0l + 6q2^ + ^ = °-(290)

С этим уравнением мы еще встретимся при рассмотрении нелинейных альфвеновских волн (см. ниже гл. 3, раздел 3.2).

Известно, что (2.90) вполне интегрируемо, и его можно решить, методом обратной задачи рассеяния [29]. В соответствии с этим односолитонное решение имеет вид

q^, т) = q0 sec h^x - poqor + Jo),(2.91)

где параметры qo и 5q определяются из начальных условий в соответствии с процедурой решения методом обратной задачи рассеяния. Очевидно, что в пределе трша >> 1 точное решение (2.60) полной системы уравнений Максвелла-Блоха (2.57) совпадает с (2.91).

Поляризованные видеосолитоны электромагнитного поля в двухуровневой вырожденной резонансной среде (векторное мКдФ). В предыдущем разделе были получены уравнения для описания эволюции предельно коротких видеоимпульсов в случае, когда электромагнитная волна может быть представлена скалярной волной. Но может случиться, что векторный характер электромагнитного поля играет существенную роль, например, в нелинейной волоконной оптике реализуются ситуации, когда описание распространения не поляризованной скалярной волны эффективно сводится к анализу поляризован-

ной. Это распространение оптического импульса в многомодовом световоде [30], распространение импульса в двухканальном световоде [31], в световоде с распределенной обратной связью [32]. Поэтому ниже будет рассмотрено поведение оптических видеоимпульсов с произвольной поляризацией в двухуровневой вырожденной резонансной среде [33].

Рассмотрим, как и ранее, предельно короткий световой импульс, распространяющийся в резонансной среде, которая содержит двухуровневые атомы с квантовыми переходами ja = 1 jb = 0 между уровнями, вырожденными по проекциям угловых моментов ja и jb- И в этом случае для элементов матрицы плотности 'р, описывающей указанные выше переходы, будем использовать те же самые обозначения, которые были приняты в (2.48) (см. раздел 2.4). Тогда обобщенная укороченная система уравнений Максвелла-Блоха в приближении однонаправленной волны (здесь опять предполагается выполненным условие а С 1) может быть записана следующим образом:

ЭЕ^х 1 ЭЕ^х (2лта\ д м,

ТГ+ сТГ = ~ (~) di^P3X +

(2.92)

ЭЕ 1 , 1 ЭЕ 1(2та\ Эп \

^^^ = ~^ар\3 + Ауз^рзз - рхх^Е^х - d23P\2E-X,

= -^aP23 + <Wl33 - P22W-1 - ^13^21^+1,

^^^ = +^13^32^+1 - Аз2р\зЕ_\,(2.93)

(ри - №) = 2(^13/931 - ^з1/91з)Е+1 + (^23/932 - ^32/92з)^-1,

. д

^^ (^22 - Рзз) = (^13/^31 - d-3\P\3)E^x + 2(^23/932 - d32p23W-\'

где Eq — сферическая q — компонента вектора напряженности электрического поля световой волны, q = ±1; d^i — это матричные элементы оператора дипольного момента атомного перехода ja = 1 jb = 0. Здесь (/1з = d23 = ^32 = ^зг В (2.92) па — плотность резонансных атомов, угловые скобки опять означают суммирование по всем атомам с частотой перехода ша. Будем следовать далее работе [33]. Введем обозначения

Вх = />13,^2 = р23.huRqx = zdi3E+i, TiujrTx = г^з1Е+ьВх = />13,^2 = р23.huRqx = zdi3E+i, TiujrTx = г^з1Е+ьСх = ^ЗЫ С2 = /932,Tt^Rq2 = id23E_x,Tlcurt^ = г^32Е-1,Сх = ^ЗЫ С2 = /932,Tt^Rq2 = id23E_x,Tlcurt^ = г^32Е-1,

Вх = />13,^2 = р23.

huRqx = zdi3E+i, TiujrTx = г^з1Е+ь

Вх = />13,^2 = р23.

huRqx = zdi3E+i, TiujrTx = г^з1Е+ь

Сх = ^ЗЫ С2 = /932,

Tt^Rq2 = id23E_x,

Tlcurt^ = г^32Е-1,

Сх = ^ЗЫ С2 = /932,

Tt^Rq2 = id23E_x,

Tlcurt^ = г^32Е-1,

Т = ioRt,

где, как и выше, ur = (|б/1зl^0/^) — частота Раби, а Е° = max|B±i|. Теперь уравнения (2.93) могут быть записаны в следующем виде:

= ^Вх + U)Rqi(pn ~ ^33) + ^RQ2PX2,

= ^аВ2 + ^Rq2(p22 ~ ^33) + ^Д^1^2Ь

(2.94) ЭСх . пх

UR~^ =- OrTxVPW - Рзз) - ^R?2P2X,

^R-^ = —^аС2 - ^r?2(P22 ~ Рзз) ~ ^r?xPX2,

^ = (51г2 - СЫ, ^ = (В2П - С192),(2.95)

-т^рРн - №з) = 2(В\Т\ - C\qi) + (В2т2 - C2q2),

9(2-96)

^ (Р22 ~ РЗЗ) = (ВхГх ~ CxQx) + ^В2Т2 - С^),

Из (2.95) и (2.96) можно формальным интегрированием найти, что

№ = I(Sir2 - C2qi), Р21 = I(S2ri - Cxq2\ (237)

kpw - to) = Pq + 2I(Bm - Cxqx) + I(B2r2 - C^),

(P22 - Рзз) = Pq + 1(^1П - Cxqx) + 2I(B2^2 - C2q2\

где использован оператор интегрирования, который выглядит обычным образом,

ЧП= j f(TW(2.99)

В (2.98) ро — исходная (при Т -ос) разность населенностей резонансных уровней. Для поглощающей среды можно положить ро = — 1, пренебрегая заселенностью вышележащих энергетических уровней. Также предполагается, что населенность уровней состояния |<z, т) с m = ±1 одинакова. Подстановка (2.97) и (2.98) в (2.94) приводит к системе уравнений для определения Вхр и Схр. Удобно ввести некоторые матрицы и операторы для записи этой системы в компактной форме. Пусть

J = diag(l, 1,-1,-1), Ф = colon(Вь Сх, В2, С2У (2 ю Ф = colon (^i, тх, q2, Т2),

и оператор R определен формулой

R=J^-A,(2.101)

где Л — матрица, образованная из интегральных операторов и, определенных выражением (2.73). В явном виде матрица Л имеет следующий вид:

/ f f291 И + 92 Щ2/ f f291 И + 92 Щ2-291-291J91J9191 ^291 ^2“91 92 — 92 91“91 92 — 92 91

/ f f291 И + 92 Щ2

/ f f291 И + 92 Щ2

-291

-291

J91

J91

91 ^2

91 ^2

“91 92 — 92 91

“91 92 — 92 91

Г1р2+^2р1-^1]92

2921^2+ 911^1-292 1 92

2г2р2—2г2 J92 — ^1 J 91^

(2.102)

Используя (2.100)-(2.101), уравнения (2.94) можно переписать в форме матричного уравнения для Ф

(Д + шЕ)Ф = % pact'S,(Д + шЕ)Ф = % pact'S,(2.103)(2.103)

(Д + шЕ)Ф = % pact'S,

(Д + шЕ)Ф = % pact'S,

(2.103)

(2.103)

где Д — единичная матрица 4x4, а а = (шн/ша\ как обычно, является малым параметром. Из (2.103) следует формальное решение аналогично тому, как это было сделано при решении матричного уравнения (2.71) в форме (2.74), т. е.

Ф = гр^а^Ц + zaR) !ф.Ф = гр^а^Ц + zaR) !ф.(2.104)(2.104)

Ф = гр^а^Ц + zaR) !ф.

Ф = гр^а^Ц + zaR) !ф.

(2.104)

(2.104)

Возникший здесь резольвентный матричный 4x4 дифференциальный оператор можно разложить в ряд по степеням а. Если ограничиться членами этого ряда до а3, то

Ф = гр^а^Ц - zaR - a2R )Ф.(2.105)

Действие оператора R подобно

рекурсионному оператору

R

(см. (2.72)), т.е.

КФ = colon (

Эп Эд2 Эт2 \

К2Ф =

- 2Г1 (q ■ г)

ЭТ2

ЭТ’ ЭТ’ ЭТ) ’

- гЧ1 (ч ■ г)

(2.106)

С точностью до а3 из (2.105) и (2.106) следует, что

(. 9qi

91

"a2^ + 2a2ql (q'r)

ф =

/ВЛ

С1

В2 \С2)

— гр^ос

. . дт\

-«2|^- + 2«2?’1 (ч-г)

,(2.107)

• 8q2

92 - га^7

-«2|^+2«292 (q-r)

. 8т2

V2 + га эт

+ 2“2r2 (q'r^

где обозначено (q • г) = q\T\ + q^. В рассматриваемом приближении (2.107) можно считать решением уравнений Блоха (2.94) относительно элементов матрицы оптической когерентности (/Цз> Т>23> 1зь №) для случая двухуровневой резонансной среды, вырожденной по проекциям угловых моментов. Итак, представим волновые уравнения (2.92) в следующем виде

(2.108)(2.108)dEgj, дЕд _ 2тта / 9Pq \

(2.108)

(2.108)

Эгс dt с \ dt /

где P+i = dp/Dx + с?з1^1, Р-1 = (/23С2 + ^3252- Используя (2.107), легко можно найти, что

2роИ1з|2 f р 2^2E+i (dT^2ро\<М2 Е 2д2Е-\—-< ti_\ — а —TlWa (ЭТ22роИ1з|2 f р 2^2E+i (dT^2ро\<М2 Е 2д2Е-\—-< ti_\ — а —TlWa (ЭТ2\TlUJa)J^И1з| / 77121 77 2 \ 771V^a)J\TlUJa)J^И1з| / 77121 77 2 \ 771V^a)J

2роИ1з|2 f р 2^2E+i (dT^

2ро\<М2 Е 2д2Е-\

—-< ti_\ — а —

TlWa (ЭТ2

2роИ1з|2 f р 2^2E+i (dT^

2ро\<М2 Е 2д2Е-\

—-< ti_\ — а —

TlWa (ЭТ2

\TlUJa)J

^И1з| / 77121 77 2 \ 771

V^a)J

\TlUJa)J

^И1з| / 77121 77 2 \ 771

V^a)J

Здесь учитывалось, чтоЗдесь учитывалось, что1^131 = №з1- Введя константы1^131 = №з1- Введя константы(2.109)(2.109)

Здесь учитывалось, что

Здесь учитывалось, что

1^131 = №з1- Введя константы

1^131 = №з1- Введя константы

(2.109)

(2.109)

_ /4тгпароИ1з|4\ 7 _ /4тгпароИ1з|2 \

а \+ 3 30\+ 3/

\ ch ша /\ chxa /

и перенормированную групповую скорость

V"1 = с-1 [1 - (4lTTlapo\d\3\2/TlWa^

и производя формально дифференцирование выражений (2.109) по переменной t, волновое уравнение (2.108) тогда можно записать так:

^Eq . 1 dEq 7 ^ Pg । 9л ^ ( Е— 011

х q' /

Перейдем в сопровождающую со скоростью v систему координат

и введем для этого безразмерные независимые переменные

х = bu^z, т = ша (^t —-^ ,(2.111)

тогда для безразмерных зависимых переменных Aq = (a/bu2y/2Eq будем иметь следующее дифференциальное уравнение:

Именно в такой форме было получено Маймистовым в работе [33] уравнение, описывающее распространение предельно коротких видеоимпульсов с произвольной поляризацией в двухуровневой резонансной среде с вырождением.

Получим теперь условие, которое является дополнением к уравнению (2.112), повышая его симметрию. Для этого решения (2.107) подставим в уравнения Блоха (2.95)-(2.96) и после интегрирования полученные результаты используем в уравнениях (2.94), из которых для В\, Ci следует соотношение

(д2, д2 \1_д (д 9А~1 д М+О

(2.113)

а для В2, С2 — соотношение

Э3Л-1 Q Э гд гД2 Д2 А] = _ д (д_ д дЛ+1\

дтз +2ут Щ1(Щ1 +А-1)]9т А-1 9т )•

(2.114)

В случае стационарных решений уравнения (2.112), (т. е. это тогда, когда выполняется условие dAq/dx = 0), уравнение (2.112) приобретает видз

=".<2 45)

Поскольку исходная система дифференциальных уравнений Максвелла-Блоха является самосогласованной, постольку соотношения (2.113)-(2.114) и (2.115) должны совпадать. Это возможно, как это не трудно видеть из сравнения полученных уравнений, только при выполнении следующего условия:

А+1^=А_1^+1.(2.116)

отот

Таким образом, мы приходим к выводу о том, что уравнение (2.112) адекватно описывает рассматриваемую модель распространения поляризованных видеоимпульсов электромагнитного поля в резонансной среде только при условии (2.116). Более того, указанное модельное эволюционное уравнение (2.112), по утверждению самого автора работы [33], не является в полной мере интегрируемым и не может быть решено методом обратной задачи рассеяния. Если же теперь принять во внимание условие (2.116), то, как нетрудно показать, уравнение (2.112)

можно записать в форме, которая является векторным обобщением эталонного скалярного уравнения мКдФ {векторное мКдФ) [34]:

|^+ ЗА2^+ ЗА Л^)+^"4 =°-(2.117)

ОХОТ\ ОТ / дТ

Здесь А(Л+1,Л_1) — вектор с безразмерными сферическими компонентами напряженности электрического поля предельно короткого оптического импульса.

Покажем теперь, что уравнения (2.117) можно, как и во всех рассмотренных выше случаях, представить в виде условия совместности системы линейных уравнений

VT = PV,(2.118)

V^QV,(2.119)

которое записывается в виде матричного нелинейного уравнения:

Px-QTp\P,Q^ =0,Px-QTp\P,Q^ =0,(2.120)(2.120)

Px-QTp\P,Q^ =0,

Px-QTp\P,Q^ =0,

(2.120)

(2.120)

здесь V — трехкомпонентный вектор-столбец, а Р и Q некоторые матричные 3x3 операторы, выбранные надлежащим образом. Итак, пусть роль оператора Р играет следующая матрица 3x3:

(2.121)(2.121)Р = г А+]С0,

(2.121)

(2.121)

V-10^ /

где £ — спектральный параметр. Оператор эволюции запишем в виде

/ЧХQ = ^iЩ,Аг^ ЭА+12 дт1 д2Л+14 9т2A_iA_ г^ ЭА_\ _2 дт_ 1 д2Л_1\4 9т2/ЧХQ = ^iЩ,Аг^ ЭА+12 дт1 д2Л+14 9т2A_iA_ г^ ЭА_\ _2 дт_ 1 д2Л_1\4 9т2А Л ш1 д2Л+,4 дт2А Л ш1 д2Л+,4 дт2_ 1 а2л 14 9?_ 1 а2л 14 9?^Л+1 Л-12^Л+1 Л-12^Л+1 Л-12^Л+1 Л-12

/

ЧХ

Q = ^i

Щ,А

г^ ЭА+1

2 дт

1 д2Л+1

4 9т2

A_iA

_ г^ ЭА_\ _

2 дт

_ 1 д2Л_1

\

4 9т2

/

ЧХ

Q = ^i

Щ,А

г^ ЭА+1

2 дт

1 д2Л+1

4 9т2

A_iA

_ г^ ЭА_\ _

2 дт

_ 1 д2Л_1

\

4 9т2

А Л ш

1 д2Л+,

4 дт2

А Л ш

1 д2Л+,

4 дт2

_ 1 а2л 1

4 9?

_ 1 а2л 1

4 9?

^Л+1 Л-1

2

^Л+1 Л-1

2

^Л+1 Л-1

2

^Л+1 Л-1

2

(2.122)

где А = £2 — Л^/2 — Л2, ^2. Нетрудно убедиться в том, что подстановка (2.121) и (2.122) в (2.120) приводит его к полиному третьей степени по £. Коэффициенты при степенях £, £2 и £3 тождественно

равны нулю в силу такого выбора матриц. Равенство нулю постоянного члена эквивалентно уравнению (2.117).

Таким образом, обобщенная укороченная система уравнений Максвелла-Блоха (2.92)-(2.93), в рамках сформулированной модели, может быть решена методом обратной задачи со спектральной задачей Манакова, а эволюция данных рассеяния определяется уравнением (2.119) с оператором эволюции (2.122).

Как уже указывалось выше, спектральная задача Манакова и все этапы метода обратной задачи рассеяния с этим оператором хорошо изучены, и здесь необходимо только подчеркнуть те особенности, которые возникают при анализе поведения поляризованных оптических видеосолитонов, распространяющихся в нелинейной среде. Для этого необходимо еще определить эволюцию данных рассеяния по переменной х, которая находится обычным способом [35] из уравнений (2.119) и (2.122):

О = оЩО,5) ехр [-4г£3ж(1к - Л)],

(2.123)

Cik(.x, О = <Щ0) ехр (8г(3ж).

Здесь введены обозначения, смысл которых подробно раскрывается в разделах 7.3.1 и 7.3.2, см. выражения (7.100). Соотношения (2.123) в совокупности с интегральными уравнениями Марченко и данными рассеяния при х = 0, определяемыми начальными условиями задачи Коши для уравнения (2.117), позволяют найти общее аналитическое решение этой задачи.

В случае, когда скц(^) имеет только один чисто мнимый нуль ( = гр, а остальные элементы первой строки матрицы рассеяния равны нулю, частное решение уравнения (2.117) можно записать в виде

А(х, т) = —2р с sec h2p(r — 4р2х — т°), (2.124)

где с = S/|S|, Si = сЩО), S2 = ci3(0), т0 = (4??)-1 In |S|2. Соотношение (2.124) описывает поляризованный оптический мКдФ-солитон, который характеризуется произвольной константой р, определяющей его скорость Va = 4т?2 в движущейся системе координат и амплитуду 2тд то — местоположение солитона при х = 0, а единичный вектор с определяет его поляризацию. Существенным отличием динамики данного солитона от солитона огибающей при автомодуляционной неустойчивости монохроматических волн является тот факт, что в настоящем случае скорость движения оптического солитона не равна нулю, если собственное значение спектральной задачи ( = гр чисто мнимая величина. Нетрудно видеть, что профиль оптического поляризованного мКдФ-солитона и форма я-импульса огибающей, а также профили симултонов в трехуровневой модели явления самоиндуцированной прозрачности (2.46) совпадают. Вполне естественно, что все перечисленные выше локализованные возбуждения обладают одним и тем же

собственным моментом s (см. определение (2.54)), а для ансамбля коллинеарно поляризованных солитонов всех трех видов выполняется закон сохранения (2.55) [34].

Взаимодействие векторных мКдФ-солитонов. Основываясь на материале, приведенном в гл. 7 (см. раздел 7.3), в случае, когда ац(^) имеет N нулей, общая формула для компонент A+i,-i TV-солитонного решения уравнения (2.117) будет выглядеть следующим образом:

N N

А^х(х,т) = 4^ 52 A cos од,n=lк=\

(2.125) N N r-n

Л_[(ж,т)=4^ X Апк % fksmak,

n=lк=\

А =5 + ли ^217112:1 + Д-22 :AxnA^nуД^2•1 + A N ДVА =5 + ли ^217112:1 + Д-22 :AxnA^nуД^2•1 + A N ДV(2.126)(2.127)(2.128)(2.126)(2.127)(2.128)где Л^1^ — элементы обратной матрицы, а прямая матрица А размерностью N х N имеет вид

А =

5 + ли ^21

7112:

1 + Д-22 :

Axn

A^n

у

Д^2•

1 + A N Д

V

А =

5 + ли ^21

7112:

1 + Д-22 :

Axn

A^n

у

Д^2•

1 + A N Д

V

(2.126)

(2.127)

(2.128)

(2.126)

(2.127)

(2.128)

А-пкА-пкРпРт COS (Дп C^m) г £РпРт COS (Дп C^m) г £гдегдеДалее, элементы этой матрицы выражаются так:

А-пк

А-пк

РпРт COS (Дп C^m) г £

РпРт COS (Дп C^m) г £

где

где

fk = exp [-2% (г - 4^ж - т^)],

а ОД — угол между единичным вектором поляризации к-го солитона и осью абсцисс прямоугольной системы координат, расположенной в поперечной плоскости к направлению распространения солитонов.

В качестве примера выберем простой случай взаимодействия коллинеарно поляризованных видеосолитонов при условии, что матричный элемент матрицы рассеяния ац(А имеет три мнимых нуля (ггр > Аз > Аз), поскольку возникающая при этом картина рассеяния еще вполне обозрима, и, в то же время, достаточно информативна.

На рис. 2.6 изображено поведение трех солитонов с параллельными собственными моментами, рассчитанное по формулам явного решения трехсолитонного состояния, из которого следует, что в этом случае они испытывают взаимное отталкивание и в результате такого взаимодействия траектории их в тод-плоскости не пересекаются, и минимальное достижимое расстояние между максимумами солитонов остается больше их характерных размеров. Догоняемые солитоны при этом получают дополнительные импульсы и ускоряются, а догоняющие

Рис. 2.6. Столкновение солитонов с параллельными поляризациями рх = 0,8; Р2 = 0,65; рз = 0,5

соответственно тормозятся, уменьшают свои первоначальные скорости, превращаясь при этом в отстающих. Из представленной картины вытекает, что обычно принимаемая интерпретация прохождения солитонов при столкновениях друг через друга без обмена скоростями между собой не подходит для описания детального характера взаимодействия солитонов с параллельными поляризациями, так что одновременное нахождение двух и более солитонов с одинаково ориентированными собственными моментами в одной точке одномерного пространства «запрещено». Из рис. 2.6 также видно, что имеют место непарные взаимодействия. Действительно, самый большой солитон испытывает только одно соударение с впереди идущим (средним) солитоном, который перед этим отдал часть импульса наименьшему солитону. В результате средний солитон испытывает соответственно три столкновения, а впереди идущий (самый маленький) — два.

Рис. 2.7. Взаимодействие двух солитонов с антисолитоном рх = 0,8; р2 = 0,65; цз = 0,5

Рассмотрим теперь динамику рассеяния трех солитонов, среди которых имеется один антисолитон (рис. 2.7). Антисолитон (т. е. средний солитон отрицательной полярности) и ближайший к нему, в силу

выбранных начальных условий, солитон испытывают между собой взаимное притяжение, из-за которого впереди идущий солитон с меньшей амплитудой вследствие торможения теряет свою скорость, а догоняющий антисолитон соответственно ускоряется и увеличивает свою амплитуду. Это приводит к тому, что солитоны к моменту их максимального сближения (т. е. когда расстояние между максимумами становиться порядка их характерных размеров) имеют уже увеличенную относительную скорость. Далее начинается ускоренный процесс непосредственного (короткодействующего) взаимодействия солитона и антисолитона. В момент столкновения происходит исчезновение солитона со стороны переднего фронта антисолитона и одновременное появление его по другую сторону. Антисолитон при этом, существенно увеличиваясь по амплитуде с одновременным уменьшением своей длительности, с ускорением проходит точку пересечения их траекторий в т, х-плоско- сти. После того как солитон и антисолитон вышли из зоны непосредственного взаимодействия, дальнейшее развитие процесса становится замедленным, и в силу взаимного притяжения впереди идущий антисолитон тормозится, а солитон, соответственно, ускоряется. Далее происходит взаимодействие солитонов с параллельными поляризациями, после чего средний солитон, получив дополнительный импульс от сзади идущего самого большого солитона, начинает догонять антисолитон. Опять же, в силу противоположной ориентации собственных моментов солитона и антисолитона, они проходят друг сквозь друга так, как это происходило при первом акте взаимодействия, только теперь их роли поменялись. Таким образом, из этой картины следует, что не более, чем двум солитонам с противоположной ориентацией их собственных моментов «разрешено» одновременно находиться в одной точке пространства. Отсюда можно сделать вывод о том, что найденные солитонные решения соответствуют новому виду устойчивых локализованных возбуждений в рассматриваемой выше физической модели, и динамика взаимодействия сгустков нелинейного векторного поля А(т,ж) демонстрирует свойства, аналогичные квантовым свойствам фермионов. Действительно, двум и более солитонам с параллельными собственными моментами запрещено пересечение их траекторий в т, ж-плоскости, а с антипаралельными находиться одновременно в одной точке пространства не более чем двум солитонам разрешено. Таким образом, для ансамбля коллинеарно поляризованных видеосолитонов выполняется как бы «аналог принципа Паули», и векторные мКдФ-солитоны ведут себя подобно Ферми-частицам. Подчеркнем, что подобным же образом ведут себя как л-импульсы огибающей, так и симултоны, но разница заключается в следующем: мКдФ-солитоны описывают реальное физическое явление — оптические видеоимпульсы, тогда как л-импульсы огибающей и симултоны этими поляризационными свойствами обладают только в рамках математической модели и лишены, в этом смысле, реальной основы.

Следует, однако, отметить, что при рассмотрении асимптотического состояния совокупности поляризованных солитонов после актов рассеяния, при х ос скорости солитонов приобретают соответственно первоначально заданные значения, причем самый большой солитон оказывается впереди, а самый маленький сзади. Поэтому, несмотря на представленные выше особенности многосолитонного взаимодействия, если не вникать в детальную картину их рассеяния, с формальной точки зрения, по-видимому, можно считать, что имеют место только парные столкновения без обмена скоростями между солитонами и с соответствующими в результате рассеяния сдвигами фаз, причем быстрый солитон приобретает сдвиг вперед, а более медленный — назад (см. формулы (1.40), (1.41)) [3].

Поговорим теперь о характере соударений солитонов, среди которых присутствуют импульсы с ортогональными поляризациями. В этом случае без использования цветовой картины, так, как это было представлено для поляризованных солитонов НУШ (рис. 1.8), уже не обойтись.

х —►X —*-

а) г? = 1,5; Т2=0; if = 4,5б) ^ = 0; Т2=0; Тз=0

Рис. 2.8. Столкновение двух солитонов с параллельными поляризациями с ортогональным солитоном щ = 0,8; 772 = 0,7; цз = 0,6

На рис. 2.8, а, показана подобная картинка взаимодействия трех солитонов, два из которых до столкновения имеют параллельные собственные моменты, а средний солитон обладает ортогональной к ним поляризацией. В силу специально подобранных начальных местоположений солитонов (rf), в непосредственное взаимодействие вступают вначале самый большой и средний солитоны, поляризации которых ортогональны. Видно, что здесь наблюдается отсутствие дальнодей- ствующего взаимодействия, и солитоны до момента столкновения дви-

жутся с постоянными скоростями и, в целом, их поведение вписывается в динамику взаимодействия «нейтральных», т. е. скалярных мКдФ-со- литонов, имея при этом отличие, которое заключается в том, что у обоих солитонов собственные моменты поворачиваются в одну сторону на угол тг/2. Самый маленький (впереди идущий) солитон, из-за большего первоначального расстояния до остальных солитонов, распространяется без видимых изменений с постоянной скоростью вплоть до того момента, пока его не нагонит средний солитон, который к этому времени стал иметь в результате поворота собственного момента на тг/2 одинаковую с впереди идущим солитоном поляризацию. В результате взаимодействия среднего солитона с маленьким, последний, получив дополнительный импульс, уходит вперед, не меняя при этом свою поляризацию. Что касается среднего солитона, то он отдал часть своего импульса при взаимодействии с впереди идущим солитоном, скорость его при этом уменьшилась, и он сталкивается с сзади идущим ортогональным солитоном. После этого акта взаимодействия их единичные векторы испытывают еще один поворот в ту же сторону на тг/2. В конечном итоге крайние солитоны оказываются с антипараллельными поляризациями, а средний меняет ее на противоположную.

Заметим, что при всех столкновениях траектории их движения в г, ж-плоскости не пересекались, и солитоны, как видно из рисунка, испытывают непарные взаимодействия. Кроме этого, по отношению к поляризациям, первоначальная ситуация после взаимодействия не восстанавливается, и в этом случае не выполняется закон сохранения (2.55).

Теперь рассмотрим случай, когда начальное расположение крайних солитонов таково, что они находятся на одинаковом расстоянии от среднего. Подобная картина представлена на рис. 2.8, б, из которого видно, что в этом случае нет четкого разграничения последовательности актов столкновений между солитонами. Они как бы начинают взаимодействовать одновременно, при этом впереди идущий солитон испытывает вращение собственного момента на некоторый угол (приблизительно тг/6), скажем, по часовой стрелке, средний солитон ведет себя подобным же образом (его угол, в результате дополнительного вращения, теперь уже составляет ^2тг/3), а у сзади идущего (самого большого), поляризация поворачивается в противоположную сторону на тг/6. Таким образом возникает ситуация, при которой большой и средний солитоны имеют тупой угол между их собственными моментами, и они теперь уже способны проходить друг сквозь друга, что мы и наблюдаем на этой картине. В результате подобного взаимодействия впереди идущий (теперь уже самый большой солитон) полностью восстанавливает свою первоначальную поляризацию, а средний и сзади идущие солитоны меняются местами с поворотом в противоположных направлениях их собственных моментов на угол тг/2 по отношению к исходному состоянию. Таким образом, после столкновений солитонов наблюдается та же самая ситуация, которая представлена на рис. 2.8, а.

Следует отметить, что в этом случае имеют место парные взаимодействия, т. е. каждый солитон испытывает по два соударения.

При произвольной ориентации поляризованных видеосолитонов основные закономерности их асимптотического поведения достаточно подробно исследованы в работах [19, 36] и здесь, в качестве иллюстрации достаточно причудливого поведения многосолитонного рассеяния этих импульсов с различными собственными моментами, приведена картина на рис. 2.9.

Рис. 2.9. Четырехсолитонное взаимодействие с произвольными поляризациями 771 = 0,85;= 0,7;= 0,65;= 0,55; г? = 0; т2° = -2; т3° = 1; т4° = -2;

Qi = 0; «2 = 0,5тг; аз = — 0,5тг; аз = 0,25тг

Таким образом, заканчивая эту главу, можно подвести некоторый итог. Основную мысль, которую хочется выделить в первую очередь это то, что, с одной стороны, совершенно различные по своей физической сути нелинейные явления в оптике и в квантовой электронике, описываемые векторными НУШ, мКдФ и МБ (двухполевые модели) имеют одинаковую вспомогательную спектральную задачу (задача Манакова), являющуюся основой для решения нелинейных модельных уравнений методом обратной задачи рассеяния. В этом смысле задача Манакова является обобщением спектральной задачи Захарова-Шаба- та/АКНС на двухполевой случай и имеет фундаментальное значение для построения теории многополевых солитонов. С другой стороны, как мы увидим в дальнейшем, задача Манакова позволяет совершенно формальным путем, аналогичным иерархии АКНС для однополевых (скалярных) солитонов [37], найти все рассмотренные выше динамические модели, полученные из основополагающих уравнений Максвелла и нелинейных материальных уравнений.

Глава 3

УЕДИНЕННЫЕ ВОЛНЫ В ПЛАЗМЕ

Нелинейные уравнения магнитнойгидродинамики

Хорошо известно, что проводящие жидкость или газ при движении в магнитном поле обнаруживают исключительно интересные коллективные явления. Эти явления связаны с тем, что при перемещении проводящих масс жидкости в них возбуждаются токи индукции, которые в свою очередь, совместно с магнитным полем оказывают самосогласованным образом воздействие на жидкость. Подходящим объектом в этом смысле может быть как газоразрядная плазма, так и твердотельная, которые могут свободно проводить ток, а, следовательно, в подобных средах могут реализовываться те явления, которые характерны для проводящих жидкостей [1]. Итак, познакомимся с тем классом нелинейных волновых явлений в плазме, который описывается в приближении магнитной гидродинамики. В этом приближении не рассматриваются процессы, характеризующиеся быстрыми временами и малыми масштабами и приводящие к нарушению квазинейтральности плазмы. Характерные времена описываемых медленных процессов должны быть, очевидно, много больше микроскопических времен — обратной плазменной частоты \)шр, периодов вращения электронов и ионов (или дырок) в магнитном поле \)и)не^ ^/^Нг^ времен рлакса- ции электронов и ионов. Пространственные масштабы соответственно должны быть много больше дебаевского и ларморовских радиусов частиц плазмы. Поскольку разговор будет касаться, в основном, солитонных явлений, постольку будем предполагать, что в среде (плазме) отсутствуют диссипативные процессы.

Обычно при выводе уравнений магнитной гидродинамики для случая газоразрядной плазмы вводится гидродинамическая скорость (скорость центра масс), которая из-за большой разницы в массах электронов и ионов полностью определяется ионами [2, 3]. В случае же твердотельной плазмы эффективные массы электронов и дырок очень часто одного порядка, а в некоторых случаях осуществляется их приблизительное равенство, а в случае электрон-позитронной плазмы это равенство выполняется всегда. Поэтому в дальнейшем при выводе

основополагающих нелинейных дифференциальных уравнений, описывающих коллективные явления в плазме, мы не будем пренебрегать массой электрона по сравнению с положительно заряженной частицей в этой среде [4].

В этих предположениях запишем уравнения непрерывности и движения для каждой из компонент плазмы (т. е. для положительных однозарядных ионов или дырок и электронов в отдельности), а также

уравнения Максвелла

^ + V ■ (n€V€) = о,(3.1)

me (^ + ve ■ v) ve = -еЕ - | (ve х В),(3.2)

^ + V ■= 0,(3.3)

mt (^ + V< ' ^) V< = бЕ + с Х В) ’(3"4)

_1 Ж 4тге /х

V х В - - — = — VriiVi - neve),(3.5)

V х Е + - J = 0,(3.6)

с at

VB = 0,(3.7)

V • E = 4тге(па - ne).(3.8)

Здесь me, ne, ve и m*, n^, vz — масса, концентрация и скорость электронов и ионов (позитронов или дырок), соответственно; Е — вектор напряженности электрического поля, а В — вектор магнитной индукции. Предположение о том, что протекающие коллективные процессы имеют характерный пространственный масштаб изменения входящих в уравнения величин, много больший радиуса Дебая, позволяет считать концентрацию электронов равной концентрации ионов или дырок, в силу чего уравнение Пуассона (3.8) превращается в уравнение Лапласа для стационарных процессов. Далее, в уравнении Максвелла (3.5) пренебрежем током смещения, считая, что все происходящие в плазме движения медленные, т. е. протекают со скоростями, значительно меньшими скорости света. Тогда записанную выше систему уравнений можно упростить:

+ V ■ (neVe) = о,(3.1')

те (^ + ve ■ ^) ve = -еЕ - - (ve X В),(3.2')

^ + V ■ (тД = 0,(3.3')

mt Щ + V» ■ V) Vi = еЕ + - Ai X в),(3.4')

\ot/с

V х Е + 1 ^ - 0.

с at

(3.5')(3.6')(3.5')(3.6')Выразим электрическое поле Е и скорость электронов ve из соответствующих уравнений (3.2х) и (3.5х).Тогда для скорости электронов имеем

(3.5')

(3.6')

(3.5')

(3.6')

ve = v^ - (с/4тге)п-1 V х В.

Подставляя это выражение в (3.2х), получим для электрического поля в плазме следующее выражение:

Е = —(1/с) (Vi х В) + (1/4776)71-* (V X В) х В - (rne/e)^ +

+ (тс/4тге2) { [(n-1V х В) • V] v^ +

^ (п-’V х В)} - (тес2/16тг2е3) [(n-’V х В) ■ V] (n-'V х В) ,

(3.9)

dvjdtdvjdt14тг(шг + те)п14тг(шг + те)п(V х В) х В +(V х В) х В +тестес4тге(шг + те)4тге(шг + те){[(n"‘VxB) -V]^ +{[(n"‘VxB) -V]^ +где d/dt есть полная производная, равная d/dt = d/dt + (v^ • V). Используя полученное выражение для электрического поля Е и подставляя его в уравнение (3.4х), имеем

dvjdt

dvjdt

1

4тг(шг + те)п

1

4тг(шг + те)п

(V х В) х В +

(V х В) х В +

тес

тес

4тге(шг + те)

4тге(шг + те)

{[(n"‘VxB) -V]^ +

{[(n"‘VxB) -V]^ +

+ 4 (n"‘v х В)14^[(n-*V х В) ■ V1 (n^V х В) .

dt '7 *(47re)2(m, + me)' JV'

(3.10)

Далее, умножим векторно уравнение (3.4х) на оператор V и подставим в полученное выражение векторное произведение V х Е из уравнения (3.6), в результате чего получим

—-Vxv;xB +Vx — = 0.(3.11)

dtе dt

Таким образом, мы получили систему трех уравнений (3.3х), (3.10) и (3.11) относительно искомых функций: п — концентрации носителей в плазме, vz — скорости ионов (дырок), В — вектора магнитной индукции. Следует заметить, что в качестве основной переменной в полученных уравнениях вместо скорости ионов может быть использована скорость электронов.

Данную систему уравнений удобно представить в безразмерной форме, для чего введем следующие характеристические величины

vi = VAVi, В = |В0|В', V = LyV', d/dt^ed/t’, п = п^п',

где Bq — постоянное магнитное поле, а по и ц - невозмущенные концентрация плазмы и характерная частота протекающих волновых процессов, соответственно. Для скорости альфвеновских волн Уд и «аналога» радиуса Дебая Ld имеем выражения

Уа= , , |Во1—, Ld =•(3.12)

у4тг(те + mi)noу 4тгпое

Следует заметить, что в формуле для радиуса Дебая (3.12) вместо тепловой скорости носителей формально фигурирует скорость альфвеновских волн, поэтому и говорится лишь об «аналоге» радиуса Дебая Ld- Далее, введем понятие циклотронных частот и чисел Рейнольдса для заряженных носителей плазмы

^ес^есе|В0| тес ’е|В0| тес ’ReReХееШ0 ’ХееШ0 ’^ic^icе|В0|ТПгС ’е|В0|ТПгС ’О ^0О ^0= /д^7= /д^7(3.13)(3.13)

^ес

^ес

е|В0| тес ’

е|В0| тес ’

Re

Re

Хее

Ш0 ’

Хее

Ш0 ’

^ic

^ic

е|В0|

ТПгС ’

е|В0|

ТПгС ’

О

^0

О

^0

= /д^7

= /д^7

(3.13)

(3.13)

Теперь можно систему уравнений (3.3'), (3.10) и (3.11) представить в безразмерных переменных, освобождаясь при этом для удобства

записи от штрихов:

^ + V.(nva=0,(3.14)

^ -n"1 (V х В) х В = at

= Д”1 { [(га”1 V х Б) ■ V] v« +^ (n"'VxB)}-

- Д"2(1+me/ma [(n-'VxB) ■ V] (n"'VxB). (3.15)

^-7х(у,хВ)+Д-'7х^ = 0.(3.16)

(J Ldu

Будем в дальнейшем рассматривать одномерные (плоские) волны, распространяющиеся вдоль оси х, для которых все гидродинамические величины зависят только от х и t. В этом случае система уравнений (3.14)-(3.16) принимает вид

+ ^)=0,(3.17)

ОХ

+=о,(3.18)

ох 2

— 1 D ^Ry 1— 1 ^Rz/о 1

dtх Эх е dt \ Эх ) ’

дВу R Эх R Эи _ Э dw9t х Эх у Эх г Эх dt ’

9BZ „ Эхи r ди __\ 9 dv

ЁР ИР

(3.20)(3.21)(3.20)(3.21)(3.22)(3.22)где и, v и w — компоненты вектора скорости ионов (или дырок) в х-, у- и ^-направлениях, соответственно. В предположении плоских волн из уравнения (3.9) следует, что Вх = const. Обозначим через (р угол между направлением постоянного магнитного поля и направлением распространения волны, тогда постоянное нормированное магнитное поле имеет компоненты (Во/|Во|)ж = Вх = cost/?, (Во/|Во|)^ = sine/;, (Во/|Во|)г = О.

(3.20)

(3.21)

(3.20)

(3.21)

(3.22)

(3.22)

Система уравнений (3.17)-(3.22) является основополагающей нелинейной системой магнитной гидродинамики, которая способна описывать различные нелинейные волновые процессы в одномерном приближении и ниже она будет использована для рассмотрения поведения альфвеновских уединенных волн.

Дальнодействующие силы между заряженными частицами приводят к возникновению своего рода упругости плазмы, благодаря которой в ней могут распространяться различного рода волны. Среди них выделяются, прежде всего, линейные волны. Амплитуда таких волн настолько мала, что они распространяются независимо друг от друга. Другими словами, произвольные колебания малой амплитуды могут быть представлены в виде суперпозиции отдельных волн — собственных колебаний данной среды. Анализ линейных волн помогает выяснить дисперсионные свойства рассматриваемой среды (плазмы), которые являются одним из конкурирующих механизмов в динамике солитонных процессов в случае волн конечной амплитуды.

Общий принцип теоретического рассмотрения линейных колебаний состоит в следующем. В рамках того или иного приближения, которому соответствует определенная система динамических уравнений, находится некоторое равновесное состояние. Затем на это состояние накладывается возмущение. В предположении малости возмущения уравнения движения линеаризуются. Полученная таким образом система линейных уравнений и описывает малые колебания.

Рассмотрим теперь самое простое равновесное состояние, предполагая, что плазма равномерно заполняет все пространство с плотностью по, а магнитное поле Bq однородно и направлено, как уже было оговорено, под углом ip к оси х декартовой системы координат (х,у,р. В плазме отсутствуют какие-либо постоянные потоки, и скорость направленного движения частиц среды в направлении оси х равна нулю (uq = 0).

Наложим на это равновесное состояние малое возмущение и, и, w, п, В, пропорциональное exp \pkx — ut)^ и подставим эти величины

в систему уравнений (3.17)-(3.22), оставляя при этом лишь те слагаемые, которые содержат малые величины в первой степени. Тогда вместо системы дифференциальных уравнений получим систему алгебраических, условием разрешимости которой является соотношение, связывающее волновое число к с частотой и, называемое дисперсионным уравнением [4],

='

р 2(1 + r;xr;4^

(1 + cos с;)2 + Icos2 р + sin2 р + 2 cos р\ R- х Re 'к2 ±

I \ Ri Re /J

^нрНёЧ^^нрНёЧ^± 4/(1 — cos р)2 + |cos2 р + sin2 р — 2 cos р

^нрНёЧ^

^нрНёЧ^

уI \ Ri Re /

(3.23)

где V^ — фазовые скорости волн. Исследование уравнения (3.23) показало, что существуют два вида волн в длинноволновом пределе, чья дисперсия стремится к нулю, т. е. фазовая скорость таких волн совпадает с групповой при к 0. В этом случае мы можем разложить (3.23) в степенной ряд по малому к

■ (3-24’

<3-25>

где V^ соответствует магнитозвуковой волне, а V” — это фазовая скорость альфвеновской волны [1]. В соответствие с дисперсионной зависимостью (3.25) фазу альфвеновских волн можно записать в таком виде

кх — ut = к(х — t cos р) + pAk3t cos р,

= 1 LRpd . 2 I (326)

Соотношение (3.26) показывает, что для альфвеновских волн в данной ситуации реализуется кубический закон дисперсии.

Уединенные волны в газовой плазме, помещенной в постоянное магнитное поле

Из всего достаточно богатого спектра волн в плазме, помещенной в постоянное магнитное поле, будем отдавать предпочтение в изучении альфвеновским волнам, поскольку, как будет показано ниже, именно

уединенные альфвеновские волны (солитоны) допускают обобщение на двухкомпонентный случай.

Рассмотрим сначала случай плоско поляризованных альфвенов- ских волн, при условии равенства нулю возмущения плотности и тех компонент скорости и магнитного поля, которые лежат в плоскости, проходящей через невозмущенное магнитное поле Bq и направление распространения волны, т. е.

п = и = х = By = 0;

й + 0; Bz^ 0.

Итак, введем малый параметр а порядка числа Маха (напомним, что число Маха порядка отношения, например, колебательной скорости заряженных частиц плазмы в волне к ее фазовой скорости распространения) и сделаем следующую замену переменных:

х = ар^х — t cos р\ т = a^pt cos р,(3.27)

где число р задается в каждом конкретном случае, исходя, из условий решаемой задачи. Далее, представим искомые функции (зависимые переменные) в виде степенных рядов по малому параметру а\

п = 1 + п = 1 + ап^ + а2тг^ + ...,

и = и = аи^ + а2и^ + ...,

и = v = аи^ + а2!)^ + ...,

w = w = с^2 (w^ + aw^ + ...),

By = sin р + By = sin р + аВ^ + а2В^ + ...,

Bz = Bz = а1/2 (В + аВ^ + ...).

Полагая, что при х —сю плазма находится в состоянии равновесия, имеем следующие граничные условия для представленных выше искомых функций:

(п(0) = 1),

uw 0 (i/0) = 0),

0,

(3.29)

0,

В^^О (г=1, 2,

Подставляя разложения (3.28) в систему уравнений магнитной гидродинамики (3.17)-(3.22) и учитывая (3.27), полагая при этом р = 1/2, а также (3.29), получим, как это нетрудно проверить, следующее уравнение для или B^V

= 0.= 0.(3.30)(3.30)дВ^ , д3В^

= 0.

= 0.

(3.30)

(3.30)

И РА о

9т г Эх3

Из уравнения (3.30) следует, что в рассматриваемой модели не «улавливается» нелинейный механизм для плоскополяризованных альфвеновских волн. С подобной особенностью столкнулись в свое время авторы работы, посвященной анализу нелинейных магнитогидродинамических волн, где было предложено рассматривать нелинейные альфвеновские волны с круговой поляризацией, к изучению которых и перейдем (Т. Какутани и др. [5]).

В этой модели предполагается, что в альфвеновской волне могут существовать и изменяться обе компоненты поперечного высокочастотного магнитного поля, jio так, чтобы модуль этого вектора оставался неизменным (By + В2 = const). Далее опять представим искомые функции (зависимые переменные) в виде степенных рядов по малому параметру а*.

п = 1 + от^ + а2п^ + • • •,и = аи^ + а2и^ + ...,

у = у(°) ++ q^^ + ...,

w = w^ + aw^ + a2w^ + ...,By= B^ + -Vo?B^ + ...,Bz = B^ ^Ыв^Ц...,

и подставим разложение (3.31) в (3.17)-(3.22). Как и ранее, осуществим замену переменных подобную (3.27), полагая при этом р = 1. Используя граничные условия (3.29), получим следующие группы уравнений для каждой степени а.

Для а0:

(3.32)(3.32)B(°)2 + B(°)2 = sin2^у(°) щ 5(0) = sin^?w(°) + в^ = о,

(3.32)

(3.32)

для а1:для а1:

для а1:

для а1:

cos ср — и^ = 0,

1 дRi Эх1 дRi ЭхЭВ^ЭхЭВ^Эх~й(В?”'*№).~й(В?”'*№).

1 д

Ri Эх

1 д

Ri Эх

ЭВ^Эх

ЭВ^Эх

~й(В?”'*№).

~й(В?”'*№).

и^ cos ср — (b^bP + bAWW,

УRe Эх

;Re дх ’

(3.33)

Д)+В(1)_В(0)п(1)1

ууRi Эх

Jl)+B(l)_S(0)n(l)=1 ^2

ггRi Эх

из которых следует

в^пх = (А__А_\э^_

УкЛг Re) Эх ’

в(°)п0) = _ (АЦ ^в^) zШ Re) дх ’

(3.34)

для а

А.

п^ cosy —= n^^u^\

ч™ со,,- - (В™ В™ + В™ В™) , ' (в™ + в®4

dv^ Эх

dBA^ _ дВР _ 1 дгвА^ -А_9_( (\)дВ)Л\

Эх9тRe Эх2Re Эх уЭх J

(3.35)

dw^ Эх

двА^ _ двА^1 pjpp _ А_9_( №8вТ\

ЭхЭтRe Эх2Re Эх уЭх J

эвр

Эх

Эу^ Эх

- AL (в^пЛА = Aik! + A /n(i)B(i)\ + Д дх Vtiy п 1 дт + дх[п ^у ) + Ri Эх2

+

+ — — (пХ8^^ - — (В^пХА

+ Ri дх ty 8х ) Эх ^у п ь

ЭВ^

Эх

dw^

Эх

где были использованы соотношения (3.32)-(3.34). Эти соотношения совместно с (3.35) образуют замкнутую систему уравнений. Отсюда можно получить уравнение относительно компонент высокочастотной составляющей магнитного поля нулевого порядка теории возмущений. Действительно,

у дт 2 дту дт 2 дт1/11 V 2 d / 1 дВ^\

у дт 2 дт

у дт 2 дт

2 \Re RJ ^Эх\В^ 9х )

1^RiRe1^RiReд^В® дх2д^В® дх2д2В^ \дх2 )д2В^ \дх2 )= 0,= 0,(3.36)(3.36)

1

^RiRe

1

^RiRe

д^В® дх2

д^В® дх2

д2В^ \дх2 )

д2В^ \дх2 )

= 0,

= 0,

(3.36)

(3.36)

где

В^ = j B^z dx.

Теперь обратим внимание на первое соотношение группы уравнений при а0 (3.32), которое отражает тот факт, что модуль высокочастотной составляющей магнитного поля нулевого приближения остается неизменным (о чем было сказано в начале данного рассмотрения). Другими словами, вектор В^0) в нелинейной альфвеновской волне может только испытывать вращение в процессе ее распространения (о физической картине происходящих в этом случае процессов будет сказано ниже). Тогда, так же, как и в случае рассмотрения теории самоиндуцирован- ной прозрачности (см. формулу (2.33)), можно ввести параметризацию следующего вида:

В^ = Bcos^, В^ = Bsin^, В2 = const = sin2 99. (3.37)

Граничные условия для угла поворота ^ формулируются самым естественным образом, т. е. при х —сю этот угол стремится к нулю. Используя новую переменную ^, уравнение (3.36) можно переписать так:

п№эв^ р№эв^у дт 2 дтп№эв^ р№эв^у дт 2 дтsin2 цз2 Rt Resin2 цз2 Rt Re. 2 Э 13/ О О О \= -/mshi(3.38)ох. 2 Э 13/ О О О \= -/mshi(3.38)ох

п№эв^ р№эв^у дт 2 дт

п№эв^ р№эв^у дт 2 дт

sin2 цз

2 Rt Re

sin2 цз

2 Rt Re

. 2 Э 13/ О О О \

= -/mshi(3.38)

ох

. 2 Э 13/ О О О \

= -/mshi(3.38)

ох

где г А определено соотношением (3.26). Дифференцируя полученное уравнение по х, получим

ЭД - мЭД - ма^\3)_ Эд_ ЭВ^)Эх/ J Эх2 дх Эха^\3)_ Эд_ ЭВ^)Эх/ J Эх2 дх Эх(3.39)(3.39)

ЭД - м

ЭД - м

а^\3)_ Эд_ ЭВ^)

Эх/ J Эх2 дх Эх

а^\3)_ Эд_ ЭВ^)

Эх/ J Эх2 дх Эх

(3.39)

(3.39)

гдегде

где

где

д$ 93Э

FW = Tr+^-

Это уравнение может быть проинтегрировано один раз по х. Таким образом, получаем следующее уравнение для ^:

— - \ v2 - - ца F + 9а—а = °’(3.40)

9т I 2 Г \ дх / I дх Эх

гдегде2 г FW I1 <99)9х^ J '2 г FW I1 <99)9х^ J '

где

где

2 г FW I

1 <99)9х^ J '

2 г FW I

1 <99)9х^ J '

Для оценки члена у2 в уравнении (3.40) воспользуемся тем, что в линейном пределе (Т —ос) переменную 9 можно представить как величину, пропорциональную ехр\_г(кх — ut)^ подставляя которую в определение у2, получим

ии2211cos (/; у рcos (/; у р

и

и

2

2

1

1

cos (/; у р

cos (/; у р

Учитывая соотношения (3.25)-(3.26), убеждаемся, что у2 = 0. Тогда для угла поворота 9 имеем уравнение

99 , 18т + 2 ^А99 , 18т + 2 ^А(3.41)(3.41)

99 , 1

8т + 2 ^А

99 , 1

8т + 2 ^А

(3.41)

(3.41)

В уравнении (3.41) вместо х введем новую независимую переменную ( = рТ^х, продифференцируем его по этой переменной один раз, и, вводя в качестве искомой зависимой переменной скорость изменения угла вращения 9, т. е. q = Х/2Э9/Э(, будем для этой величины иметь окончательно хорошо известное эталонное модельное уравнение мКдФ

Для альфвеновских волн это уравнение было впервые получено в работе (Какутани и Оно [5]) и приведенный выше анализ заимствован из цитируемой работы.

Теперь можно остановиться на физическом толковании в данной ситуации уравнения мКдФ. В пределе бесконечно длинных волн возмущения параметр ца, который характеризует дисперсионные свойства плазмы (см. линейное уравнение (3.30)), стремится к нулю, т. е. среда как бы становится совершенно однородной и масштаб порядка ларморовских радиусов является неощутимым для столь длинноволновых процессов. Тогда можно не учитывать дисперсионное слагаемое (член с третьей производной по £ в уравнении (3.42)), и из-за нелинейных эффектов (второй член уравнения мКдФ) альфвеновская волна как бы «опрокидывается» из-за перекоса магнитных силовых линий, вмороженных в плазму. Вследствие перекоса (вращения вектора высокочастотного магнитного поля) к упругому натяжению силовых линий добавляется давление из-за их сжатия, так что фазовая скорость возмущения в этом месте несколько увеличивается. В результате возму-

щения с большой амплитудой догоняют возмущения малой амплитуды, и происходит «опрокидывание». При этом образуется так называемый вращательный разрыв — аналог ударных волн для альфвеновской волны. Этот процесс укручивания и опрокидывания волн существенно связан с отсутствием дисперсии. Именно из-за отсутствия дисперсии все волны конечной амплитуды с различными волновыми числами к распространяются с одинаковой скоростью и имеют возможность длительное время взаимодействовать между собой, так что небольшая нелинейность рано или поздно должна привести к накоплению искажения (при условии, что нет затухания, которое может привести к исчезновению волн до того, как успеет проявиться нелинейность). Теперь, если предположить, что характерный масштаб возмущения выбран таким, чтобы параметр дисперсии цд был мал, но имел конечную величину, тогда необходимо учитывать третье слагаемое в (3.42), т. е. в диспергирующих средах картина существенно изменяется. Даже при малой дисперсии фазовая скорость волн с различными к все же не одинакова, и дисперсия может конкурировать с нелинейностью, в особенности вблизи точки опрокидывания, где начинают превалировать высшие гармоники основного сигнала. Такие гармоники порождаются при нелинейном искажении волны и вследствие дисперсии будут обгонять или отставать от нее, в зависимости от того, растет или убывает групповая скорость с увеличением к. Поэтому еще до опрокидывания, волна может «расползтись» на отдельные волновые пакеты (вообще говоря, нелинейные, т. е. уединенные волны), и ударная альфвеновская волна не образуется. Таким образом, чтобы проследить более детально за физикой данного процесса, необходимо проанализировать хотя бы частное (солитонное) решение модифицированного уравнения КдФ.

Прежде чем решать уравнение (3.40), необходимо отметить, что это модельное уравнение вписывается в АКНС — иерархию (Абловиц, Кауп, Ньюэлл, Сегур), и в качестве вспомогательной спектральной задачи опять выступает задача на собственные функции и собственные значения, а именно задача Захарова — Шабата (Вадати [6]). Отсюда следует, что мКдФ также представимо в виде уравнения нулевой кривизны (см. например, уравнение (1.29)), а, следовательно, оно полностью интегрируемо и имеет солитонные решения. Для удобства изложения напомним вид спектрального оператора и оператора эволюции, Р^,тЛ\ Q(CT^C) соответственно, для данного случая. Итак, для Р(СТЛ) и Q(CT’O имеем

у, = ру У=С9 р=( д^’Г\уу, = ру У=С9 р=( д^’Г\у(3.43)(3.43)

у, = ру У=С9 р=( д^’Г\у

у, = ру У=С9 р=( д^’Г\у

(3.43)

(3.43)

V -“ ^^ ^q + Жчс - q^ + 293\

Непосредственной подстановкой этих операторов в уравнение нулевой кривизны

Рт - Q^ + [Д Q] = 0 (3.45) убеждаемся, что уравнение, получающееся приравниванием коэффициентов при ^°, дает уравнение мКдФ (3.42). Идентичность спектральных задач (задача Захарова-Шабата), диктует идентичность формы солитонов, т. е. односолитонное решение уравнения (3.42) записывается в следующем виде (см. формулу (2.91))

^(С т) = 2т? sec h(2y( — 8т?3 т + туо) > (3.46) где уо — некоторая константа, характеризующая начальное положение солитона, а у соответственно его амплитуду и скорость распространения. Если возвратиться к старым независимым и зависимым переменным (х, дд/дх), то выражение (3.46) преобразуется к виду

^ = 477^^3 sec h (^ур^^х - 8т?3т + уо^ . (3.47)

Соотношение (3.47) можно проинтегрировать по х, после чего получим для первообразной выражение

(х, т) = 2 arcsin th (^ур^^х - 8т;3 т + туо^ + const. (3.48)

Следует отметить, что в математической литературе функция arcsin thx = amphx = gdx получила название гиперболическая амплитуда ^гудерманиан\ Нетрудно проверить, что функция гудерма- ниан удовлетворяет дифференциальному уравнению (3.41) и является его частным решением. Теперь, если вспомнить граничные условия для функции д (д О, ж —ос), то, исходя из свойств функции гудерманиан, видим, что это частное решение удовлетворяет данным граничным условиям только тогда, когда постоянная в (3.48) равна тг. Из этого следует, что максимуму в альфвеновском солитоне соответствует угол вращения 180°. Таким образом, альфвеновский солитон можно себе представить как локальное движущееся возмущение, в котором происходит плавное вращение поперечной составляющей магнитного поля от нуля до 180°, после чего этот вектор продолжает свое вращение и плавно приходит в исходное положение, сделав при этом полный оборот. Амплитуда солитона (см. (3.47)) характеризует, как быстро вращается на протяжении этого возмущения вектор магнитного поля. Из выражения (3.47) также следует, что чем быстрее происходит поворот магнитного поля, тем с большей скоростью распространяется это локальное возмущение.

Понятно, что здесь рассмотрен только частный случай односолитонного состояния данной модели. Хорошо известно, что возможна и другая ситуация даже для односолитонного состояния. Действительно, имеется возможность того, что нули функции скц(^) могут появляться парами, симметрично расположенными относительно мнимой

оси в плоскости £. Профиль импульса (имеется в виду Э$/Эх) имеет вид колебательного решения, модулированного огибающей, имеющей форму гиперболического секанса. Осцилляции и огибающая движутся с различными скоростями. Импульс подобного рода часто называется

бризером. На рис. 3.1 показана картина профиля альфвеновского бри- зера. Бризер является локализованным объектом, также обладающим существенной особенностью солитона, т. е. он взаимодействует упругим образом с другим бризером или солитоном типа (3.47).

Циркулярно-поляризованные альфвеновскиесолитоны в холодной газоразрядной плазме

До сих пор рассматривались нелинейные альфвеновские волны в случае, когда вектор постоянного магнитного поля составлял некоторый угол р с направлением распространения волны. Перейдем теперь к изучению уединенных волн, движущихся вдоль направления магнитного поля. Этот случай интересен, прежде всего, тем, что в данной ситуации возможны альфвеновские волны с произвольной поляризацией, хотя появляющаяся дополнительная «степень свободы» естественным образом ведет к усложнению рассматриваемой модели. Итак, пусть угол р = 0, тогда, обращаясь к выражению для дисперсионной зависимости (3.23), разложим эту функцию в ряд Тейлора по степеням волнового вектора к, после чего имеем

где

H=V-(R-v-Rp\(3.50)

Произведем замену независимых переменных подобно тому, как это было сделано в разделе 3.2 (см. (3.27)),

x = a(x — t), т = a^t.(3.51)

Действуя аналогичным способом, (см. (3.28)) разложим зависимые переменные в степенные ряды по малому параметру а, тогда

n = 1 + n = 1 + ст^ + а^тг^ + ...,и = и = аи^ + а^и^ + ...,

ц = ц = а1/2 Qu ^ + аи^ + ...),w = w = а1/2 (w^ + aw® + ...),Ву= Ву =0X46^ +аВ^ + ...СХ = Вг = сХЧвР + аВ® +

Будем считать, что граничные условия (3.29) справедливы и в этом случае и подставим разложения (3.52) в исходную систему уравнений магнитной гидродинамики (3.17)-(3.22). Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях а, получим при а3/2:

= -В^, wW = -В^,

(3.53)

2

при аг:

nW=uW, ихЦ(ВХ2 + вТВу

(3.54)

и, наконец, при

а5/2:

ЭгХ ЭВ^ = эХ^_ хэгвР

ЭхЭх9те Эх2 ’

(3.55)

диХ_ dBX = 8XL + р-1^у2

ЭхЭхдте Эх2 ’

(3.56)

ЭВ®

Эх

+

ЭВ^ Э m1

(3.57)

дБ™

Эх

+

X -X' + ^ы"в^}-к-'д‘С-

ЭхдтЭх1 Эх

(3.58)

Полученная система уравнений, как нетрудно проверить, является замкнутой и можно получить окончательно следующую систему дифференциальных эволюционных модельных уравнений относительно либо w^1^, либо Ву\ В^;

(3.59)(3.59)дВу 1 Э , 3 , R R2x , d2Bz

(3.59)

(3.59)

^ + ^ (Si + BZB^ - ц^ = о.

9т 4 Эх vЭх2

Таким образом, получены основные уравнения, описывающие нелинейные альфвеновские волны с произвольной поляризацией, распространяющиеся вдоль направления постоянного магнитного поля, пронизывающего плазму. Здесь необходимо сделать следующее замечание. Уравнения (3.59) так же, как и НУШП, впервые были получены в работе (A. Rogister [7]). Не ясно, имеют ли эти уравнения солитонные решения, т. е. можно ли проинтегрировать подобные нелинейные уравнения и найти общее аналитическое решение задачи Коши.

Для того чтобы как-то продвинуться в этом направлении, автор работы [7] предложил в свое время рассматривать альфвеновские волны не с произвольной поляризацией, а только циркулярно поляризованные, т. е.

Bl,r = Ву ± iBz, (3.60)

тогда, в этом частном случае, для каждой из этих волн имеем одно дифференциальное уравнение НУШП

^ + ^(Вд,д|Вд,д|2)±г/^^ (3.61)

Это уравнение уже встречалось при обсуждении самомодуляции ультракоротких световых импульсов в нелинейных волоконных световодах (см. раздел 1.3.3). Следует отметить, что в данной модели второе слагаемое в этом уравнении является основным нелинейным механизмом для циркулярно поляризованных альфвеновских солитонов, тогда как в явлении самомодуляции ультракоротких волновых пакетов подобное слагаемое выступает как некоторое возмущение. Если положить т = В^^/2уД1, то, как нетрудно проверить, (3.61) является условием совместности двух содержащих спектральный параметр £ систем линейных уравнений, которые имеют вид (1.27) и (1.28), а операторы Р и Q даются выражениями (1.79)-(1.80). Вполне естественно, что весь анализ, посвященный уравнению НУШП, полностью переносится на рассматриваемый случай, т. е. односолитонное решение записывается в виде выражения (1.81). Более подробное исследование НУШП можно найти в работах [8-10], а здесь только отметим что, используя выражение для солитона НУШП (1.81), можно получить для компонент

магнитного поля альфвеновского солитона Ву, Bz следующие выражения:

Ву = С^х, t) sin ^^х, t)), Bz = С(х, t) cos ^^x, t)\(3.62)

где С^хД\ ф(хД) — некоторые функции. Из выражений (3.62) следует, что магнитное поле в альфвеновских солитонах, соответствующих данной модели, действительно циркулярно поляризовано.

Альфвеновские солитоны с произвольнойполяризацией в плазме твердого тела(векторное мКдФ)

Цель настоящего раздела состоит в отыскании такой динамической модели для нелинейных альфвеновских волн, имеющих произвольную поляризацию, которую можно было бы записать либо в представлении нулевой кривизны, либо в форме Лакса и тем самым показать полную интегрируемость полученных эволюционных уравнений [11].

В результате исследований в этом направлении выяснилось, что в частном случае, при условии равенства циклотронных частот заряженных частиц плазмы utc = шес, классические уравнения магнитной гидродинамики (3.17)-(3.22) удается свести, используя метод многих масштабов, к эволюционному дифференциальному уравнению с кубическим законом дисперсии для вектора напряженности магнитного поля или для поперечной колебательной скорости заряженных частиц. Реализация подобной ситуации возможна только в электрон-позитрон- ной плазме или в плазме твердого тела, где эффективные массы электронов и дырок могут быть одинаковы. В качестве одного из примеров можно указать материал графит, где при гелиевых температурах экспериментально наблюдались альфвеновские волны, а эффективные массы электронов и дырок оказываются достаточно близкими [12]. Оказалось, что самым удивительным моментом в этой ситуации является полное совпадение полученного для альфвеновских волн нелинейного уравнения с векторным уравнением мКдФ, которое было выведено в разделе 2.5.3 для описания предельно короткого светового импульса, распространяющегося в резонансной среде, содержащей двухуровневые атомы с квантовыми переходами j^ = 1 jb = 0 между уровнями, вырожденными по проекциям угловых моментов ja и jb. Вполне естественно, что весь анализ векторного мКдФ и все выводы относительно особенностей процессов взаимодействия произвольно поляризованных оптических видеосолитонов в резонансной среде полностью переносятся на случай альфвеновских солитонов с произвольной поляризацией. Таким образом, векторное мКдФ получает как бы второе физическое содержание.

Итак, пусть, например, в плазме твердого тела распространяется плоская квазимонохроматическая альфвеновская волна большой ам-

плитуды, волновой вектор к которой совпадает с направлением постоянного магнитного поля. Предположим далее, что циклотронные частоты электронов и дырок подчиняются условию

^ес — ^hc — ^с /^

Для того чтобы не возникало сомнений о правомерности подобного рассмотрения плазмы твердого тела, напомним, что мы остаемся в рамках следующей модели [13]:

Свободные носители в твердых телах (электроны и дырки) будем рассматривать в приближении эффективной массы. Влияние окружения учитывается введением новых масс электронов и дырок (приближение эффективной массы).

В процессах, которые будут рассмотрены ниже, изменения энергии и импульса, приходящиеся на одну частицу, обычно малы, поэтому межзонные переходы не учитываются.

Предполагается, что температура твердого тела достаточно низкая (криогенные температуры), так что взаимодействие электронов и дырок с колебаниями решетки пренебрежимо мало.

Пренебрегается влиянием распределения по скоростям (или импульсам), исключаются тем самым диффузионные члены в уравнениях движения для носителей зарядов.

Предполагается далее, что вследствие ионизационных и рекомбинационных процессов изменения количества носителей не происходит.

Тогда, используя общую дисперсионную зависимость скорости альфвеновской волны от волнового вектора (3.26) и разлагая эту зависимость в ряд по волновому вектору, получим следующее выражение для фазы альфвеновской волны:

кх — = к(х - t) + pk3t, (3.63)

где /л = Д”2/2 (не путать с (3.50)), a Rc = шс)ш. Далее предположим, что длина волны возмущения много больше дебаевской длины и ларморовского радиуса вращения заряженных частиц плазмы, так что поток электронов и дырок можно рассматривать гидродинамически. Для того чтобы получить упрощенные нелинейные эволюционные уравнения из системы (3.17)-(3.22), применим, как и ранее, метод многих масштабов (метод возмущений) и введем новые переменные (3.27)

х = а^^х — t), т = a^^t, (3.64)

где а — малый параметр порядка числа Маха, т. е. порядка отношения колебательной скорости частиц плазмы к величине скорости распространения альфвеновской волны, а число р выбрали равным 1/2. Разложим искомые функции в уравнениях (3.17)-(3.22) в степенные ряды по малому параметру а в таком виде:

п = 1 + от,^ + а2!^ + ... •,и = аи^ + а2и^ + ...,у = ск1/2?/0) + аи^ + а2^ + ...,w = ск1/2^/0) + aw^ + o^w^ + ...,By = q1/2^) + aBW + о?в^ + ...,b2=qV2b^W/W^

и будем использовать граничные условия (3.29). Подставим данные разложения (3.65) в исходную систему уравнений (3.17)-(3.22) и, учитывая граничные условия (3.29), получим следующие группы уравнений для каждой степени а;

Иа'v^ = -B^\ w^ = -BP,(3.66)

при а3/2:

п№ = и№ = 1/2(S<°)2 + SW2),

vW +В^ = -КрдВР/дх,

(3.67) w(0 +в0) = RpdB^/dx,

B^BW = -B^BW,

9 при cr:

9B^/9т + u^ ЭВ^ / Эх + В^ди^/Эх + R”x92w^/Эх2 = О,ЭВ^/дт + и^ ЭВ^ / Эх + В^ди^/Эх - В^Э2^/Эх2 = О,9^/Эт - R”X92B^/Эх2 = 0, dw^/дт + R”x9В^/Эх2 = 0.

(3.68) Соотношения (3.66)-(3.68) позволяют записать окончательно для компонент магнитного поля By , BV следующие уравнения:

^ + i й 1В” + в?’в"№> += °’

(3.69)

|(В<°)3 + BWBf2) + М^Р = 0.

Полученная таким образом система уравнений (3.69) отличается от уравнений (3.59), рассмотренных в предыдущем разделе, только дисперсионными членами (там это вторые производные от искомых функций, а здесь производные третьего порядка, что вполне оправдано,

поскольку доминирующим членом в разложении дисперсионной зависимости по волновому вектору к, при условии шес = шнс, становится теперь уже член к3).

Любопытно отметить, что эта система уравнений была также получена в работе [14] при исследовании нелинейных альфвеновских волн в электрон-позитронной плазме. Приведенный выше анализ достаточно близок к тому, что изложен в [14]. В работе [14], равно как ив [15] (см. уравнения (2.115)), система уравнений (3.69) является конечным продуктом и вопрос о полной ее интегрируемости до сих пор остается не решенным (см. раздел 2.3.2). Чтобы систему уравнений (3.69) привести к векторному мКдФ, необходимо доказать соотношение, аналогичное (2.116).

Прежде всего подчеркнем, что при выводе уравнений (3.69) не было использовано соотношение В^ В^ = — В^В^ системы (3.67), поскольку система уравнений (3.66)-(3.68) является переопределенной и содержит на одно уравнение больше, чем число неизвестных. Теперь покажем, что из соотношений (3.66)-(3.68) можно получить искомое равенство В^ ЭВ^ / Эх = В^ЭВ^/Эх. Для этого, используя (3.66), систему уравнений (3.68) преобразуем в два уравнения, которые можно проинтегрировать один раз по переменной х, в результате чего получим и^В^ — ш~х9В^/Эх + u”x9w^/Эх = О, и^В^ + ш~х ЭВ^ / Эх - ш”хдх^/Эх = 0.^^

Умножим первое уравнение (3.70) на В^\ а второе на В^ и вычтем полученные результаты, тогда будем иметь соотношение

В^Э^ - х^/дх + В^Э^ - гн^/дх = 0.(3.71)

С помощью второго и третьего равенств системы (3.67) исключим величины и из (3.71) и, используя последнее соотношение (3.67), получим

2 ^дв^/Эх + В^ЭВ^/Эх) -

- (В^ЭВ^/Эх + В^ЭВ^/Эх) = 0. (3.72)

Интегрируя это уравнение в пределах ±оо и принимая во внимание граничные условия такие, что при х ±оо плазма находится в состоянии равновесия, получим

J (В^ЭВ^/Эх + В^ЭВ^/Эх) dx = 0,(3.73)

откуда вытекает

(3.74)(3.74)(В^ЭВ^/Эх + В^ЭВ^/Эх) = 0.

(3.74)

(3.74)

Из соотношения (3.74) и последнего равенства системы (3.67) сле

дует условиедует условиеВ^ЭВ^/дх = В^ЭВ^/дхВ^ЭВ^/дх = В^ЭВ^/дх(3.75)(3.75)

дует условие

дует условие

В^ЭВ^/дх = В^ЭВ^/дх

В^ЭВ^/дх = В^ЭВ^/дх

(3.75)

(3.75)

(сравни с соотношением (2.116)). Тогда уравнения (3.69) можно записать в таком виде:

ЭВУ 3Эт 8B^ + B.^IByB^, д By+ М—гЭх3dBz 3Эт + 8, ЭХ, охЭВУ 3Эт 8B^ + B.^IByB^, д By+ М—гЭх3dBz 3Эт + 8, ЭХ, ох= 0.= 0.= 0,= 0,(3.76)(3.76)

ЭВУ 3

Эт 8

B^ + B.^IByB^

, д By

+ М—г

Эх3

dBz 3

Эт + 8

, ЭХ, ох

ЭВУ 3

Эт 8

B^ + B.^IByB^

, д By

+ М—г

Эх3

dBz 3

Эт + 8

, ЭХ, ох

= 0.

= 0.

= 0,

= 0,

(3.76)

(3.76)

Если в (3.76) сделать замену переменных г/ = рт и В' = В/^/бД, то в результате получим

^ + ЗВ2^ + Зв(в^)+^ = 0. (3.77) ОТ ОХ \ ОХ ) Эх

Итак, исходная система нелинейных уравнений магнитной гидродинамики (3.17)-(3.22), в рамках сформулированной модели, сведена к векторному мКдФ (см. (2.117)) [11].

Анализ, проведенный в данном разделе, показал, что в плазме твердого тела, при обозначенных выше определенных условиях, могут существовать поляризованные альфвеновские солитоны. Этот объект становится дополнением к достаточно короткому списку многополевых солитонов. Замечательным является тот факт, что все вышеупомянутые динамические модели объединены общей для всех спектральной задачей Манакова. Таким образом, солитоны в теории самофокусировки поляризованного пучка света и автомодуляции монохроматических волн [16], симултоны в теории самоиндуцированной прозрачности в трехуровневой невырожденной среде [17], л-импульсы огибающей [18], поляризованные оптические видеосолитоны в резонансной среде [11] и, наконец, поляризованные альфвеновские солитоны в плазме твердого тела могут быть объединены в отдельную группу со схожими между собой свойствами. Кроме этого, как показано во второй части данной книги, все вышеозначенные динамические модели являются элементами иерархии векторных уравнений, порождаемой спектральной задачей Манакова.

3.5. Длинно-коротковолновый резонансленгмюровских и ионнозвуковых волн (резонанснаятриада Захарова-Бенни)

Во многих вопросах длинные и короткие волны рассматриваются как независимые, хотя обмен энергией между длинными и короткими волнами имеет важные физические следствия в ряде физических

моделей, в частности, в моделях молекулярных цепей {Давыдовская модель а-спирали) [19], при взаимодействии между ленгмюровскими осцилляциями и ионным звуком в плазме [20], а также при взаимодействии капиллярных мод с гравитационными в теории волн на воде [21] и т. д. Во всех этих случаях для того, чтобы выполнялось условие резонансного взаимодействия между этими волнами, требуется дисперсионное соотношение специального вида, так называемое двойное ветвление, т. е. необходимо рассматривать такие системы, в которых дисперсия имеет двойные ветви. Классический пример подобных систем возникает в теории газоразрядной плазмы. Обычно, т. е. без учета длинно-коротковолнового взаимодействия, ионноакустические эффекты проявляются, с одной стороны, в виде длинных ионных волн на фоне горячих (т. е. очень быстрых) электронов, рассматриваемых как заряженный газ. С другой стороны, возможно распространение ленгмюровских коротких волн плотности легких электронов на статичном фоне тяжелых ионов. Каждая из этих двух частей имеет свое дисперсионное соотношение. В безразмерном виде ленгмюровская ветвь, как известно, может быть представлена в виде (рис. 3.2)

и2 = 1 + /с2 (верхняя ветвь),(3.78)

а ионноакустическая ветвь — в виде

сс2 = /с2(1 + /с2)-1 (нижняя ветвь).(3.79)

На рис. 3.2 изображено дисперсионное соотношение с двумя ветвя

ми, вытекающее из выражений (3.78)-(3.79). Из этого рисунка следует,

что групповая скорость короткой волны сд с волновым числом к, опреде-

Рис. 3.2. Дисперсионное соотношение с двумя ветвями [23]Рис. 3.2. Дисперсионное соотношение с двумя ветвями [23]ляемая наклоном касательной к верхней кривой в точке к может оказаться равной фазовой скорости длинной волны ср с некоторым волновым числом кз (см. нижнюю кривую на этом рисунке). Если условие сд{к) = ср{кз) для этих волн выполняется, то в этом случае возникает взаимодействие между короткими и длинными волнами, которое получило в литературе специальное название длинно-коротковолновый резонанс Захарова-Бенни [20, 21]. Таким образом, взаимодействие

Рис. 3.2. Дисперсионное соотношение с двумя ветвями [23]

Рис. 3.2. Дисперсионное соотношение с двумя ветвями [23]

между ленгмюровскими осцилляциями и ионным звуком при условии {сд = ср) может быть достигнуто через механизм резонанса Захарова- Бенни.

Именно Бенни открыл в 1977 г. указанный выше вид триадного резонанса между тремя волнами с волновыми числами kx,k2 и кз и тремя частотами сщ,^ и 0)3. Первоначально идея о резонансе такого

типа была им сформулирована в связи с задачей взаимодействия капиллярных мод с гравитационными в теории волн на воде [21].

Итак, пусть выполняются условия

^1=^2 + кз,(3.80)

сщ ~,(3.81)

и будем предполагать, что к\ и к^ близки, т. е. к\ = к + ах, к^ = к — ах и кз = 2ах (к,х 0(1), а <С 1). Соотношение (3.80) для триады волновых чисел при таком выборе автоматически выполняется, но соотношение (3.81) для частотной триады будет выполняться, лишь если справедливо равенство

ш(к + ак) — ш(к — ак) = из ,(3.82)

которое в порядке 0(a) можно записать в виде

2ах^ = ш3.(3.83)

а к

Из (3.83) видно, что (3.81) удовлетворяется в порядке 0(a), если групповая скорость короткой волны (с волновым числом к) равна фазовой скорости длинной волны (с волновым числом 2ах).

Дисперсионные соотношения с двойными или вообще кратными ветвями весьма обычны в физике, так что существует множество примеров, позволяющих изучать этот вид резонанса. В самом деле, системы с двумя ветвями дают конфигурацию в (и, /^-пространстве, которая допускает возможность появления этого специального триад- ного резонанса, в то время как обычные трехволновые резонансы не могут быть получены в одномерном пространстве.

Механизм длинно-коротковолнового резонанса функционирует очень просто. Мы можем представить себе две волны с волновыми числами к + ах, к — ах как побочные волны главной волны с волновым числом к, которые в результате «биений» дают медленную осцилляцию. Математически это может быть выражено следующими соотношениями [22]

р = аехр (г6\) + аехр (#2) + к. с. = 4аcos (кх — art) cos \а(кх — Qt)].

(3.84)

Быстрая осцилляция в верхней ветви слишком быстра для того, чтобы ее почувствовала нижняя ветвь на масштабах к-1 и (пространственном и временном), но медленная осцилляция, порожденная (в результате биений) верхней ветвью, может «подкачивать» или возбуждать нижнюю ветвь. Две подсистемы, которые обычно считают независимыми, теперь оказываются связанными. Можно получить общие амплитудные уравнения для трехволнового резонанса путем согласования 0\-члена (имеется в виду представление линейного решения как р = А\ ехр (%0\) + Л2 ехр (Ю2) + A3 ехр (гОз) + к. с.) с (#2 + #з)-чле- ном. Однако проще скомбинировать метод многомасштабных растяже-

ний, с помощью которого находится медленная амплитудная осцилляция, отвечающая верхней ветви (см. раздел 1.2.1 (1.10)), и метод растяжений координат из настоящей главы (см., например, раздел 3.4), с помощью которого определяется длинная волна, отвечающая нижней ветви.

Итак, расщепим уравнения движения на две части, отвечающие верхней и нижней ветви. Запишем формально часть уравнений для верхней ветви в следующем виде:

где р) и N — зависимые переменные, отвечающие верхней и нижней ветви, a L^ — скалярный дифференциальный оператор относительно д/дх и d/dt. Запишем далее разложения

р) = ар)^ + оУр^ + ...,

(3.86) N = а^п + ...

и введем медленные переменные

X = ах, Т = at, т = a2t.(3.87)

Разлагая (3.85) в ряд Тейлора, получаем

=0,(3.88)

(3.89)

где нижние индексы 1 и 2 обозначают дифференцирование соответственно по первой и второй переменным L^. Положим

Vw = АрС.ТЩехр^О + к.с.(3.90)

Здесь необходимо связать X и Т, выбрав систему отсчета, движущуюся с групповой скоростью, с тем, чтобы убрать секулярные члены в порядке О^У Поэтому введем новую переменную g = а(х — cgt\ Используя эту переменную в порядке О^\ находим, что

(3.91)

2 [^rj

Последний член в этом уравнении возникает из квадратичных членов, связывающих р и N в (3.85). Окончательное амплитудное уравнение имеет вид

^+^=Щп,(3.92)

где /3 и у — постоянные. Как и следовало ожидать, получилось уравнение для огибающей, в левой части которого имеется оператор, соответствующий параболическому уравнению с мнимым коэффициентом

диффузии (второе приближение теории дисперсии, см. раздел 1.4.1, уравнение (1.64)). Что касается нелинейного члена, то он определяется связью зависимых переменных, отвечающих за верхнюю и нижнюю ветви.

(3.93)(3.93)Запишем теперь также формально уравнение, соответствующее нижней ветви. Модели с нижними ветвями, изображенного на рис. 3.2 вида (например, плазма), обычно описываются волновыми уравнениями, связанными с верхней ветвью нелинейным вынуждающим источником [22]

(3.93)

(3.93)

L^ = — -с2 —

“ at2 рэ$2 ’

где ср — фазовая скорость волны в нижней ветви. Заменяя переменные x,t на q,T и используя эти растянутые координаты, можно привести волновой оператор в (3.93) к виду

LW =«Чс2д-с2р1^-2асд^+а1р. (3.94)

Поскольку величина N порядка а2 (см. разложение (3.86)), единственные члены в правой части (3.93), которые могут конкурировать с О(а4), — это члены типа д2|Л|2/д^. Отсюда немедленно следует, что п пропорционально |А|2 Этот результат показывает, что нижняя ветвь будет безынерционной, поскольку она в точности будет следовать движениям верхней ветви. Опуская промежуточные выкладки и применяя резонансное условие Бенни сд = ср, окончательно получим уравнение для нижней ветви

|^ = -дА(|л|2). (3.95)

Здесь необходимо сделать следующее замечание. Еще в 1972 году, т. е. за пять лет до работы Бенни, Захаров изучал проблему длиннокоротковолнового взаимодействия ленгмюровских волн с ионноакустическими и получил в одномерном случае следующую систему дифференциальных уравнений [20]:

.ЭА , Э2А .' — + 77^7 = М dt Эх2.ЭА , Э2А .' — + 77^7 = М dt Эх2(3.96)(3.96)

.ЭА , Э2А .

' — + 77^7 = М dt Эх2

.ЭА , Э2А .

' — + 77^7 = М dt Эх2

(3.96)

(3.96)

А(Д12).

ОХ

Из второго уравнения (3.96) следует, что без учета правой части, ответственной за взаимодействие, решение этого уравнения имело бы вид п = f\(x — tcp) + /2^ + tcp). Предположим, что взаимодействие

между короткими и длинными волнами слабое, тогда ограничимся волной, бегущей вправо: n = j\(x — tcp), и будем следить только за ней. Если теперь учесть взаимодействие, то п будет зависеть не только от х — tcp, но еще и медленно от t, т. е.

^ = Л(ж _ tcp, at), (3.97)

где, как и выше, а — малый параметр порядка числа Маха. Применяя к уравнениям (3.96) метод медленного изменяющегося профиля (метод Р. В. Хохлова [23]) получим, что в переменных ( = х — tcp, f = at эти уравнения с точностью до постоянных множителей совпадают с уравнениями (3.92), (3.95). Уравнения (3.96) часто называют уравнениями Захарова [20].

Оказалось, что амплитудные уравнения (3.92) и (3.95) вместе составляют вполне интегрируемую систему, ниже это будет показано. Поскольку решение для п должно быть вещественным (концентрация ионов), оно очень похоже на КдФ-солитоны; функция же А^,т) комплексная и является огибающей волной, очень похожей на солитоны огибающей НУШ. Эти уравнения образуют мост между длинноволновыми солитонами, ассоциированными с нижней ветвью, и солитонами огибающей, ассоциированными с верхней ветвью, причем допускается обмен энергией между ними, несмотря на то, что действуют они в разных масштабах.

Покажем теперь, что соответствующим образом отмасштабирован- ная система уравнений Захарова (3.96) (или уравнения (3.92), (3.95)) интегрируемы и имеют солитонные решения (см. [24, 25]). Предположим, что коэффициенты 5 и т - положительные величины, тогда эти уравнения можно привести к следующему виду:

(3.98)(3.98)г|^| + |^f = LS,8t 8ж

(3.98)

(3.98)

где ? = ж/31/2, т = t, ^п = L и S = pv^p ^У^А. Далее сделаем еще одно преобразование

S = V2A(-x,-t/2), L = B(-x,-t/2Y(3.99)

которое приводит уравнение (3.98) к виду

ХЭА_ЭЧ

дВ_dtдВ_dt= "4^ (К)-= "4^ (К)-(3.100)(3.100)

дВ_dt

дВ_dt

= "4^ (К)-

= "4^ (К)-

(3.100)

(3.100)

Пара Лакса L и Р для задачи на собственные значения

Lip = iXip,(3.101)

с собственными функциями, зависящими от времени согласно урав-

нению

(3.102)

задается матрицами

/1 Э i ._.в \

3 Эх 3г 3

L =

0

(3.103)

2 Эх2

\ 'Эх /

/ гХ2 2(Х — г)А 2г\А\2 \

Р = -2 A*iX22(г - А) Л* .(3.104)

\ 0—2А гА2 /

Хорошо известно, что условием интегрируемости при условии постоянства спектрального параметра А является операторное уравнение Лакса [26] (заметим, что уравнение Лакса выступает как альтернативная концепция интегрируемости по отношению к уравнению в форме нулевой кривизны (1.29))

(3.105)

Нетрудно проверить прямой подстановкой матричных операторов (3.103), (3.104) в уравнение Лакса, что результатом является система уравнений (3.92), (3.95).

Односолитонное решение системы, описывающей длинно-коротковолновый резонанс, как это следует из работ [24, 25], дается формулами

В = -2b2 sech2 6,

(3.106) А = ibV2A exp (р) sech(0),

где

9 = Ьх + 4a6t + 5,

99(З.Ю7)

р = 2ах + 2г(а2 - b2) t.

Отсюда видно, что ионноакустическая часть имеет структуру КдФ — солитона, а ленгмюровская — солитона огибающей НУШ.

Таким образом, в этом разделе мы привели достаточно яркий пример двухполевого солитона, когда зависимые переменные не являются компонентами одного вектора некоторой физической величины, а имеют различное физическое содержание.

Глава 4

ПОВЕРХНОСТНЫЕ АКУСТИЧЕСКИЕСОЛИТОНЫ (СОЛИТОНЫ РЭЛЕЯ)

Общие замечания

Многообразие нелинейных волновых явлений хорошо иллюстрируется на примере поверхностных акустических волн (ПАВ) конечной амплитуды в реальном твердом теле [1-6]. Как правило, в этом случае в той или иной степени присутствуют как эффекты нелинейности и затухания за счет фонон-фононного взаимодействия, так и дисперсионные свойства поверхностных волн из-за неидеальности структуры приграничного слоя твердого тела. Высокая степень локализации энергии в волне Рэлея способствует эффективному развитию нелинейности и открывает возможность лабораторного моделирования всего спектра нелинейных волновых явлений, таких, например, как взаимодействие нескольких волн, образование ударных волн и солитонов, генерирование субгармоник и появление хаоса. Вместе с тем рэлеевские волны, в силу своего поверхностного характера, легко доступны для экспериментального исследования происходящих в них нелинейных процессов. Эта особенность привела к появлению разнообразных методов экспериментального изучения динамики спектрального состава и наблюдения трансформации профиля продольной и поперечной компонент колебательной скорости и смещений частиц материальной среды в нелинейных рэлеевских волнах [7-9]. Достаточно подробная информация о способах генерирования интенсивных волн Рэлея и методах их экспериментального изучения изложена в цитируемой выше литературе. Прежде чем перейти к изложению основных результатов, имеет смысл сделать некоторый экскурс в то положение вещей, которое сложилось к середине 70-х годов прошлого столетия в экспериментальных исследованиях нелинейных свойств поверхностных акустических волн. Самыми ранними работами в этой области следует считать работы [1, 10], а также [11], в которых впервые исследовалось поведение нелинейных волн Рэлея в LiNbOg t/z-среза и в кристаллах кварца. Было выяснено, что по мере распространения ПАВ большой амплитуды в этом кристалле из-за нелинейных эффектов происходит перераспределение акустической энергии от волны основной частоты к ее гармоникам. При этом область увеличения затухания на основной частоте соответствует росту гармоник, а область «усиления» — обратной перекачке энергии

гармоник к волне основной частоты. Поскольку лазерный зонд (именно этот способ применялся в исследованиях) не дает исчерпывающей информации о фазе гармоник, постольку не было получено сведений о профиле искаженного нелинейностью исходного сигнала, в силу чего трудно было сделать окончательные выводы, в каком направлении развивался описываемый нелинейный процесс. Здесь можно сделать предположение о том, что в результате выбранного автором работы [1] диапазона рабочих частот (1000 ч- 1500 МГц, Аак ~ 1,5 мкм) несовершенства приповерхностного слоя привели к появлению дисперсии волн Рэлея, которая и определила подобное нелинейное взаимодействие кратных гармоник и основной волны. Таким образом говорить о процессе образования слабых периодических ударных поверхностных волн в этих экспериментах, по-видимому, не имеет смысла. Да и о самом существовании таких волн на тот период времени никакой информации не существовало. Не исключена возможность того, что в описанных выше экспериментах процесс искажения волнового профиля мог приводить к образованию уединенных волн, если механизм решеточных потерь не преобладал над дисперсионным расплыванием.

Поверхностные акустические нелинейные волныв твердом теле (экспериментальные результаты)

Слабые периодические ударные волны Рэлея в кристалле ниобата лития и стекле. Для того чтобы смоделировать условия бездисперсного распространения рэлеевских волн в LiNbOg t/z-среза в описываемых экспериментах использовался более длинноволновый диапазон по сравнению с вышеупомянутым (^ 100 МГц, Аак ~ 30 мкм) [2]. В качестве базового материала ниобат лития был выбран не случайно. Этому способствовало наличие у этого кристалла совокупности необходимых для лабораторного моделирования качеств. Таковыми являются: а) наличие сильного пьезоэлектричества, что дает возможность совместить генерирование и распространение интенсивной волны Рэлея в едином звукопроводе; б) на выбранных рабочих частотах (^ 100 ч- 500 МГц) этот материал обладает малым решеточным поглощением, что позволяет наблюдать за динамикой нелинейной волны на протяжении нескольких тысяч длин акустических волн; в) и, наконец, самое главное, выбранный t/z-срез ниобата лития для поверхностной волны практически обладает свойствами изотропного твердого тела, в силу чего эту волну, с большой степенью достоверности, можно считать волной Рэлея [7]. Кроме этого, существует еще ряд положительных качеств этого кристалла, с точки зрения лабораторного моделирования, на которые будем указывать по мере изложения результатов проведенных исследований.

Обычно испытуемый образец из LiNbOg представлял собой параллелепипед, ориентированный вдоль оптической оси г кристалла,

длиной 50 ч- 60 мм и поперечным сечением 2,5 х 3,5 мм. Широкая грань этого образца, перпендикулярная оси у, механической полировкой доводилась до оптического класса чистоты. На звукопроводящей поверхности находился встречноштыревой преобразователь, способный генерировать волны Рэлея интенсивностью до 500 Вт/мм2. На рис. 4.1

Un

Рис. 4.1. Поведение амплитуд первых четырех гармоник колебательной скорости ударной волны по мере распространения ее вдоль кристалла Li Mb Оз

представлены результаты измерений, показывающие динамику поведения спектрального состава поперечной компоненты вектора колебательной скорости волны Рэлея. Измерения осуществлялись с помощью лазерного зонда, хорошо описанного в [7]. На этом рисунке изображены зависимости нормированных амплитуд кратных гармоник поверхностных волн от расстояния вдоль кристалла. Плотность потока мощности исследуемой волны у преобразователя составляла 300 Вт/мм2. Из графика видно, что сначала основная волна (первая гармоника) испытывает небольшое поглощение, в основном обусловленное перекачкой акустической энергии в высшие гармоники (х 0 4- 4 мм). Экспериментальная установка, следует отметить, позволяла регистрировать ^20 гармоник. Такое поведение на начальном этапе находится в согласии с результатами, полученными в работе [1]. При дальнейшем распространении нелинейной волны Рэлея гармоники с номерами (п = 2, 3,... ит. д.) перестают нарастать, после чего происходит резкое увеличение поглощения всех гармонических составляющих и основной волны (х ~ 6 4- 10 мм). Коэффициент поглощения всех гармоник при-

близительно одинаков и равен а ^ 7-9 дБ/см, чего не наблюдалось в [1]. Приведенные экспериментальные кривые полностью соответствуют закономерностям распространения волн сжатия большой амплитуды в жидкостях при числах Рейнольдса, Re £з 1, когда нелинейные эффекты приводят к образованию пилообразной волны ударного типа [12, 13]. Идентичность поведения поверхностной звуковой волны сложного спектрального состава с ударными волнами сжатия в жидкостях позволила однозначно сделать вывод о том, что в этих экспериментах наблюдались слабые периодические волны Рэлея ударного типа, о чем и было заявлено в работе [2]. Как показали дальнейшие исследования в этом направлении, данный вывод полностью подтвердился [8, 9]. Подобная концепция сразу объяснила аномально высокое затухание нелинейной ПАВ из-за резкого возрастания крутизны фронтов, а вместе с ним и решеточных потерь. Возрастание решеточных потерь препятствует дальнейшему искажению фронта волны, и она становится квазистационарной с более медленным затуханием всех гармонических составляющих (х ~ 12 -у 28 мм).

Рис. 4.2. Зависимость интенсивности первой гармоники ПАВ от расстояния до излучателя при четырех различных начальных интенсивностях у источника звука [2]

На рис. 4.2 представлено поведение первой гармоники (основной волны) по мере распространения ее вдоль кристалла при различных уровнях входной акустической мощности. Как выяснилось, интенсивность 300 -у 350 Вт/мм2 являлась предельной для ПАВ в LiNbOg. Дальнейшее повышение мощности волны Рэлея приводило к механическому разрушению приповерхностного слоя в области образования ударной рэлеевской волны. Характерным являлось и то, что амплиту-

да первой гармоники на некотором расстоянии от источника сигнала практически не зависит от уровня входной мощности. Это также согласуется с концепцией образования слабых периодических ударных ПАВ в твердом теле. Увеличение плотности энергии волны у источника компенсируется ее затуханием в области формирования ударного фронта. На рис. 4.3 показано изменение нормированной амплитуды

Рис. 4.3. Поведение нормированной амплитуды второй гармоники при различных уровнях входной мощности [20]

второй гармоники компоненты рэлеевской волны поперечной поляризации при различных уровнях входной мощности. Нормирование производилось на максимум второй гармоники при плотности потока мощности входного сигнала Рвх £з 300 Вт/мм2. Из приведенных на этом рисунке кривых видно, что при повышении уровня входного сигнала область стабилизации фронта волны приближается к источнику. Другими словами, при увеличении сигнала расстояние до точки разрыва уменьшается. Этот факт также находится в согласии с теоретическими и экспериментальными результатами для волн конечной амплитуды в жидкостях.

Необходимо отметить, что, и в других работах, например, в работе [14] изложены результаты аналогичных экспериментов, и были сделаны практически те же самые выводы. Эти результаты утвердительно ответили на вопрос о существовании поверхностных акустических волн ударного типа, но оставалось не ясным, во-первых, каково поведение спектрального состава компоненты колебательной скорости продольной поляризации и, во-вторых, каковы нелинейные формы профилей обеих компонент волны Рэлея в t/z-срезе ниобата лития. Для выяснения этих вопросов в работе [9] были проведены измерения продольной компоненты колебательной скорости нелинейной рэлеевской волны.

На рис. 4.4, a-в представлены осциллограммы профиля продольной компоненты поверхностной волны конечной амплитуды в точках наблюдения находящихся последовательно на расстояниях 2,5; 6; 18 мм

абв

Рис. 4.4. Профиль продольной компоненты колебательной скорости волны Рэлея на разных расстояниях от источника: а — х = 2 мм, б — х = 4 мм, в — ж = 26 мм

от излучателя. Фактически профиль сигнала наблюдался через 0,5 мм и динамика поведения была зафиксирована полностью. Здесь же приведены наиболее характерные моменты процесса формирования и распространения периодической ударной поверхностной звуковой волны. Эти результаты получены при плотности потока входной акустической мощности порядка РВх ~ 200 Вт/мм2. Осциллограммы наглядно иллюстрируют процесс формирования пилообразного профиля ПАВ большой амплитуды. После того как ударный фронт полностью сформировался (х 4 мм) наблюдалось интенсивное поглощение пилообразной волны, вызванное решеточным затуханием высших гармоник нелинейной волны Рэлея. Пилообразность формы сохраняется на протяженном участке распространения волны, что говорит о ее квазистационарном характере. Дальнейшее развитие процесса приводит к тому, что диссипативные потери «размывают» укрученный фронт (осциллограмма в), амплитуда волны уменьшается, и она опять принимает форму близкую к синусоидальной. Таким образом, на основании полученных результатов, можно заключить, что выводы, которые были сделаны в работе [2] относительно существования слабых периодических ударных волн Рэлея в t/z-срезе ниобата лития, полностью подтвердились. К сожалению, не удалось найти и разработать способ зондирования, который бы смог определить профиль поперечной компоненты колебательной скорости поверхностной волны конечной амплитуды в этом срезе LiNbOg. Этот вопрос так и остался в экспериментальном плане не выясненным.

Обратимся теперь к вопросу о том, сохраняется ли рэлеевский характер основной волны и ее гармоник в процессе нелинейного искажения исходного рэлеевского сигнала. На рис. 4.5 показана динамика спектрального состава компонент обеих поляризаций в зависимости от расстояния до излучателя, нормированных на величину х-разры- ва (представлены для сравнения экспериментальные и теоретические

Рис. 4.5. Поведение амплитуд гармонических составляющих нелинейной волны Рэлея от расстояния до излучателя

результаты компьютерного моделирования). Из этого рисунка хорошо видно, что на начальном этапе в пределах ошибки эксперимента наблюдается равенство между собой соответствующих гармоник для компонент вектора колебательной скорости, как продольной, так и поперечной поляризаций. Это означает, что на этом этапе развития нелинейного процесса как основная волна, так и ее высшие гармонические составляющие имеют структуру рэлеевских волн. Это достаточно интересный факт с точки зрения понимания физической природы образования из волны Рэлея большой амплитуды ударных волн. Таким образом, в области д < 1, кратные гармоники, амплитуды которых не достигли своего максимума, пока еще представляют собой волны Рэлея, способные независимо друг от друга существовать и распространяться вдоль звукопровода. Картина начинает меняться в области д ^ 1. Эксперимент уверенно показал, что по мере распространения нелинейной волны амплитуды соответствующих гармоник становятся неодинаковыми, и о рэлеевской структуре спектральных составляющих можно теперь говорить с определенной натяжкой. Объяснением этому, по-видимому, может служить следующее. Накапливающаяся нелинейность в граничных условиях не позволяет самостоятельно поверхностным волнам кратных частот удовлетворять этим граничным условиям. В результате волны Рэлея кратных частот образовавшиеся на начальном этапе трансформируются и в дальнейшем теряют структуру рэлеевских волн. Это продолжается до г % 5 4-6, после чего амплитуды соответствующих гармоник опять выравниваются и можно вновь говорить о квазирэлеевском их характере. Полученный экспериментальный результат имеет принципиальное значение, поскольку

в существовавших на тот период теоретических подходах к решению задачи о нелинейных волнах Рэлея, основной посылкой служило предположение о рэлеевской структуре спектральных составляющих нелинейной упругой поверхностной волны [15]. Что касается обсуждения результатов машинных расчетов, представленных на рис. 4.5 и на рис. 4.6, то это будет сделано в разделе 4.3.2.

Рис. 4.6. Профили обеих компонент колебательной скорости ударной волны Рэлея: а — продольная поляризация (осциллограмма — экспериментальные результаты в стекле, черная линия на фоне осциллограммы — расчет), б — поперечная поляризация

Рассмотрим теперь результаты экспериментальных исследований динамики нелинейых волн Рэлея, распространяющихся в изотропном твердом теле (стекло). В этом случае появляется возможность методом электродинамического зонда в постоянном магнитном поле изучить одновременно поведение спектрального состава и искажение профилей как продольной, так и поперечной компонент колебательной скорости поверхностной акустической волны большой амплитуды [8]. В этой работе впервые произведено непосредственное наблюдение формы упругой волны конечной амплитуды на поверхности изотропного твердого тела (стекла) и было убедительно показано, что рэлеевские волны достаточной интенсивности превращаются в волны ударного типа. Получены формы профилей, как поперечной, так и продольной компонент колебательной скорости поверхностной волны и было выяснено, что продольная компонента приобретает в результате действия нелинейности форму обратной пилы, а поперечная компонента становится колоколообразной. Этот результат имеет принципиальное значение, поскольку доказывает существование волн Рэлея ударного типа в изотропном твердом теле, тем самым существенно расширяя список материальных сред, в которых возможно распространение периодических ударных волн. В дополнение к сказанному, на рис. 4.6, а, б представлены результаты аналогичных экспериментов, проведенных автором, по изучению картины волновых профилей обеих компонент колебательной скорости волны Рэлея большой амплитуды. В этих исследованиях был выбран более высокий диапазон частот и возбуждались волны Рэлея с большей входной мощностью нежели в [8]. Полученные картины волновых

профилей обеих компонент колебательной скорости полностью согласуются с описанными в работе [8], разве что более ярко выражен характер нелинейных искажений волнового рельефа гармонической у излучателя рэлеевской волны.

В заключение этого раздела следует подчеркнуть факт обнаружения слабых периодических ударных поверхностных акустических волн в твердом теле. Существование этих волн, как в стекле, так и в кристалле ниобата лития позволяет сделать вывод о том, что этот тип нелинейной волны присущ любому изотропному или квазиизотропному твердому телу. То, что поверхностные акустические ударные волны, имеющие довольно сложную структуру (колебательная скорость есть вектор с двумя компонентами — продольной и поперечной ориентаций), ведут себя аналогично простым волнам, имеет под собой фундаментальную основу общности нелинейных волновых процессов, происходящих в газообразных, жидких и твердых материальных средах.

Результаты экспериментальных исследований динамики спектрального состава и трансформации волнового рельефа ударных волн Рэлея являются достаточным основанием для создания соответствующей теоретической модели, с помощью которой можно существенно углубить понимание сути нелинейных волновых процессов подобного типа.

Кноидальные волны и периодические солитоны Релея в кристаллах ниобата лития. Для проведения экспериментальных исследований в этом направлении были выбраны два способа создания искусственной дисперсии поверхностных звуковых волн в нио- бате лития t/z-среза [16]. Первый способ — это нанесение на поверхность кристалла тонкой диэлектрической пленки из моноокиси кремния. Выбор для моделирования дисперсии именно этого материала диктовался простотой вакуумного напыления подобной пленки с контролируемой толщиной на всей звукопроводящей поверхности образца. Кроме этого, пленка Si О, при тех толщинах, при которых величина дисперсии достигала необходимых значений, не приводила к заметному поглощению акустических волн. Что касается второго способа, то суть его заключается в следующем. Отбирались образцы из LiNbOg, у которых приповерхностный слой обладал высокой степенью однородности и, следовательно, в них существовали периодические ударные волны, т. е. дисперсия волн Рэлея отсутствовала. Эти образцы подвергались длительному нагреванию (3-7 час.) на воздухе при температуре 250 -у 300 °C. Оказалось, что подобные кристаллы после этого обнаруживали заметные дисперсионные свойства, что позволяло, так же как и в случае с пленкой Si О, практически моделировать волновой процесс с двумя конкурирующими механизмами — нелинейностью и дисперсией. Такое поведение образцов после длительного отжига на воздухе можно, по-видимому, объяснить возникновением у них плавного изменения с глубиной жесткости тонкого приповерхностного слоя под действием описанной выше термальной обработки кристал-

лов LiNbOg. Выяснилось, что характер дисперсии, созданный обоими способами, является идентичным, и динамика нелинейных волн в об

разцах с пленкой из моноокиси кремния и отожженных в атмосфере мало чем отличалась в обоих случаях. На рис. 4.7 представлена динамика мощной волны Рэлея, распространяющейся по кристаллу

Рис. 4.7. Динамика периодических солитонов Рэлея в LiNbOg (эксперимент, продольная поляризация)Рис. 4.7. Динамика периодических солитонов Рэлея в LiNbOg (эксперимент, продольная поляризация)с искусственно созданными дисперсионными свойствами. Наблюдение осуществлялось с помощью полоскового зонда [9]. Экспериментальные данные были заложены в компьютер, который осуществил их компоновку в виде пространственной картины, где по вертикальной оси откладываются нормированные на амплитуду гармонической у преобразователя волны значения продольной составляющей колебательной скорости, по горизонтальной оси в интервале 0-2тг — переменная (р,

Рис. 4.7. Динамика периодических солитонов Рэлея в LiNbOg (эксперимент, продольная поляризация)

Рис. 4.7. Динамика периодических солитонов Рэлея в LiNbOg (эксперимент, продольная поляризация)

а по оси, направленной вглубь рисунка — нормированное на хразр расстояние от точки наблюдения до излучателя z. Гармоническая у источника волна, как это следует из рис. 4.7, по мере своего распространения на начальном этапе (г ^ 0,8) превращается в пилообразную, имея при этом заметную асимметричность профиля (для большей наглядности ниже будут приведены осциллограммы 4.8, а-г, которые де

тально показывают формы профилей волны, соответствующие наиболее характерным этапам развития процесса. При дальнейшем распространении нелинейной волны происходит образование из пилообразного волнового рельефа трех солитонов различной амплитуды, движущихся с различными скоростями относительно друг друга (^ ~ 3,4 -у 3,6). Наибольший солитон, после того как он окончательно сформировался, фактически остается неподвижным в системе координат, движущейся влево со скоростью линейной волны Рэлея, в том случае, когда он не взаимодействует с остальными солитонами. Поэтому линия (гребень), соединяющая вершины последовательных местоположений наибольше

го солитона, которую мы определим как траекторию его движения, практически остается параллельной оси z. Видно, что траектория наименьшего солитона пересекается с траекторией максимального, в результате чего при z ~ 4,3 -У 4,4 происходит «поглощение» последним минимального солитона (см. осциллограмму 4.8, в\ Двухсолитонное состояние продолжается вплоть до (^ ~ 5,2), после чего происходит «рождение» наименьшего солитона и выхода его из нелинейного взаимодействия с максимальным. Процесс столкновения солитонов сопровождается резким изменением их местоположения, т. е. траектории каждого солитона в плоскости ((/;, z) не совпадают до и после столкно-

вг

Рис. 4.8. Профиль колебательной скорости продольной поляризации волны Рэлея: а — расстояние до излучателя 6 мм (г = 0,8), б — расстояние до излучателя 24 мм (г = 3,4), в — расстояние до излучателя 30 мм (г = 4,3), г — расстояние до излучателя 40 мм (г = 5,7)

вения. Это хорошо видно по достаточно резкому искривлению гребней, образованных совокупностью движущихся вершин обоих солитонов, в момент столкновения. Следовательно, каждый из взаимодействующих солитонов претерпевает фазовый сдвиг. Заметим далее, что максимум в области взаимодействия меньше амплитуды наибольшего солитона, что свидетельствует о невыполнении принципа суперпозиции в месте столкновения (осциллограмма 4.8, в).

Несколько слов хочется сказать о поведении периодической нелинейной волны в тех условиях, когда интенсивность этой волны у излучателя недостаточна для образования многосолитонного состояния на периоде. В этом случае наблюдается образование так называемых «кноидальных» волн, картина которых показана на рис. 4.9 [3]. Трансформация гармонической у преобразователя поверхностной акустической волны конечной амплитуды в «кноидальную» происходит в тех случаях, когда амплитуда волны, хотя и конечна, но ее величины еще не достаточно для успешного конкурирования нелинейного механизма с дисперсией, с тем чтобы могли образовываться периодические солитоны Рэлея.

Экспериментальное обнаружение периодических поверхностных акустических солитонов («солитонов Рэлея») является определенным вкладом в расширение области существования этого фундаментального явления современной физики [3]. Убедительно показано, что волны Рэлея конечной амплитуды могут в процессе конкуренции двух

Рис. 4.9. Превращение волны Рэлея конечной амплитуды в кноидальную волну (профиль продольной компоненты колебательной скорости на расстоянии 15 мм от излучателя)Рис. 4.9. Превращение волны Рэлея конечной амплитуды в кноидальную волну (профиль продольной компоненты колебательной скорости на расстоянии 15 мм от излучателя)

Рис. 4.9. Превращение волны Рэлея конечной амплитуды в кноидальную волну (профиль продольной компоненты колебательной скорости на расстоянии 15 мм от излучателя)

Рис. 4.9. Превращение волны Рэлея конечной амплитуды в кноидальную волну (профиль продольной компоненты колебательной скорости на расстоянии 15 мм от излучателя)

механизмов нелинейности и дисперсии, распадаться на совокупность уединенных волн (солитонов), взаимодействующих между собой как квазичастицы. Детальный анализ динамики солитонных процессов, изучение влияния дисперсионных свойств среды (изменение толщины пленок Si О) и степени нелинейности (варьирование входной мощности звука) на закономерности формирования и последующей динамики периодических уединенных волн позволили в дальнейшем понять математическую формулировку закона дисперсии (на основе сравнения с дисперсионной зависимостью в уравнении КдВ), которая позволила сконструировать нелинейные эволюционные модельные уравнения, описывающие солитоны Рэлея (см. раздел 4.4).

Двухполевая система эволюционных уравнений,описывающая нелинейные волны Рэлея

Существует несколько подходов к решению задачи применительно к нелинейным рэлеевским волнам [11, 15]. Так или иначе, они сводятся к решению системы п зацепляющихся обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка такого вида:

dasdxdasdxу^ ^ slm&l&m ^ slm^l^',у^ ^ slm&l&m ^ slm^l^',lVsCls •lVsCls •(4.1)(4.1)т,1 = \8=тЭ-1,1^тт,1 = \8=тЭ-1,1^тт=11=8-\-тт=11=8-\-т

dasdx

dasdx

у^ ^ slm&l&m ^ slm^l^',

у^ ^ slm&l&m ^ slm^l^',

lVsCls •

lVsCls •

(4.1)

(4.1)

т,1 = \8=тЭ-1,1^т

т,1 = \8=тЭ-1,1^т

т=11=8-\-т

т=11=8-\-т

Здесь as — амплитуда s — гармоники звука, Гмт — константа взаимодействия, vs — декремент решеточного затухания s-й гармоники. Система уравнений (4.1) в случае отсутствия дисперсии (в работе [6], используя данный метод, вводится механизм дисперсии) или какого- либо другого механизма, ограничивающего число взаимодействующих волн п, является бесконечной. Задача заключается в определении коэффициентов Г8[т и vs через параметры среды распространения волны и численном решении данной системы при соответствующих начальных условиях. Наиболее последовательным теоретическим подходом

к данной проблеме, как это следует из литературных источников, является теория, развитая В. П. Реутовым [15]. В этой работе на основе усредненного вариационного принципа, предложенного для решения нелинейных волновых задач в [16-18], приводится методика расчета коэффициентов Г8[т и vs через упругие и диссипативные параметры материальной среды и сформулирована система п зацепляющихся обыкновенных дифференциальных уравнений относительно медленно изменяющихся комплексных амплитуд а8 в форме (4.1)). Основой развиваемой в работе [15] теорией является предположение о том, что общее решение уравнений (4.2)-(4.3) и (4.5) допускает разложение по рэлеевским волнам кратных частот. Неочевидность такой посылки следует хотя бы из того, что накапливающаяся нелинейность в граничных условиях (4.5) противоречит самостоятельному существованию гармоник рэлеевского типа. Что касается суммы рэлеевских волн кратных частот, то она также не может удовлетворить нелинейным граничным условиям. Именно поэтому при экспериментальном изучении поведения спектрального состава нелинейных поверхностных акустических волн (см. рис. 4.5) было уделено особое внимание сравнению амплитуд поперечной и продольной компонент гармоник рэлеевских волн в процессе их распространения. Вывод был сделан однозначный, и это будет в дальнейшем обосновано, что на этапе распространения стационарной ударной волны гармоники не носят рэлеевского характера. Тем не менее, с помощью уравнений (4.1) численными методами были выяснены основные закономерности динамики нелинейных волн Рэлея как в изотропном твердом теле, так и в кристалле ниобата лития t/z-среза в квазиизотропном приближении [19]. Сравнение результатов численного анализа с экспериментальными данными дает качественное согласие и позволяет сделать вывод об удовлетворительном теоретическом описании процессов формирования ударного волнового рельефа поверхностных звуковых волн в поглощающей изотропной материальной среде. Следует отметить еще одну работу [20], в которой применением регулярной процедуры перехода к нормальным переменным нелинейной граничной задачи [21], получено в первом приближении (т. е. в рамках квадратичной нелинейности) интегро-дифференциальное уравнение для горизонтальной (продольной) компоненты колебательной скорости рэлеевской волны. Структура этого уравнения содержит нелинейный оператор простой волны и дополнительное нелинейное слагаемое в виде четырехкратного интеграла. Зависимая переменная определена как амплитуда колебательной скорости продольной поляризации на свободной поверхности твердого изотропного полупространства. В качестве исходных уравнений движения использовались уравнения пятиконстантной теории упругости [22]. Основной посылкой рассматриваемого теоретического подхода является, как и в указанных выше работах, предположение о рэлеевской структуре высших гармоник нелинейного сигнала. Произведено численное интегрирование полученного модельного уравнения с начальными условиями в виде рэ-

леевской волны путем решения системы зацепляющихся обыкновенных дифференциальных уравнений с ограниченным числом взаимодействующих волн (п = 100). Результаты расчетов совпадают с результатами, полученными в работе [19].

d2u2 2 А5с I AU2 = ^1at2d2u2 2 А5с I AU2 = ^1at2Теоретическое описание ударных волн Рэлея. Пусть рэлеевские волны распространяются вдоль оси хз, ось тд направлена при этом вглубь твердого полупространства, а ось хх ориентирована, соответственно, перпендикулярно волновому вектору поверхностной волны, и предположим также, что компонента смещения частиц материальной среды, направленная вдоль оси хх отсутствует (т. е. u = U2 + Ug) и отсутствует зависимость и от этой координаты. Пусть, далее, компонента вектора смещений из вдоль оси ад соответствует продольной деформации, a U2 — чисто сдвиговой. Тогда, учитывая, что продольная деформация характеризуется отсутствием поперечных компонент и поэтому для нее выполняется условие rot U3 = 0, а для сдвиговой деформации divU2 = 0, то полная система уравнений, описывающая процесс распространения возмущений в упругой бездисперсной материальной среде имеет вид:

d2u2 2 А

5с I AU2 = ^1

at2

d2u2 2 А

5с I AU2 = ^1

at2

d2U2 ди2 92из du2 д2 U2 диз qd2U2 ди2дх2 9х2 Эх2 9х3 Эх2 9х3 дх22 9х2

. />04 ^«3 Эйз ,+ (ai + 2а2) —т д— + а2. />04 ^«3 Эйз ,+ (ai + 2а2) —т д— + а2д2и3 Эйз_ дх2 Эх2д2и3 Эйз_ дх2 Эх2д2и2 дизЭж2 дхзд2и2 дизЭж2 дхз+ (2ai + сд)+ (2ai + сд)д2 из2 Аа?" " с“Лиз -д2 из2 Аа?" " с“Лиз -д2«з ди2<№ джз’(4.2)д2«з ди2<№ джз’(4.2)

. />04 ^«3 Эйз ,

+ (ai + 2а2) —т д— + а2

. />04 ^«3 Эйз ,

+ (ai + 2а2) —т д— + а2

д2и3 Эйз

_ дх2 Эх2

д2и3 Эйз

_ дх2 Эх2

д2и2 диз

Эж2 дхз

д2и2 диз

Эж2 дхз

+ (2ai + сд)

+ (2ai + сд)

д2 из2 А

а?" " с“Лиз -

д2 из2 А

а?" " с“Лиз -

д2«з ди2

<№ джз’

(4.2)

д2«з ди2

<№ джз’

(4.2)

= ах= ахд2и2 ди2 Э2и2 диз _ дЛ Эхз 8хз Эх2д2и2 ди2 Э2и2 диз _ дЛ Эхз 8хз Эх2+ ОД+ ОДд2и2 дизд2и2 ди2_д$з Эх28х2 Эхзд2и2 дизд2и2 ди2_д$з Эх28х2 Эхз

= ах

= ах

д2и2 ди2 Э2и2 диз _ дЛ Эхз 8хз Эх2

д2и2 ди2 Э2и2 диз _ дЛ Эхз 8хз Эх2

+ ОД

+ ОД

д2и2 дизд2и2 ди2

_д$з Эх28х2 Эхз

д2и2 дизд2и2 ди2

_д$з Эх28х2 Эхз

д2 из ди2д2 из диздх2 9х2дх2 9хз ’(4.3)д2 из ди2д2 из диздх2 9х2дх2 9хз ’(4.3). о Э2из диз , о д2и3 Эи2 . ,.\

д2 из ди2д2 из диз

дх2 9х2дх2 9хз ’

(4.3)

д2 из ди2д2 из диз

дх2 9х2дх2 9хз ’

(4.3)

+ 2“31М to+ ,1M»S 403 + 04'

где с । = —, сд, = —, К Д = X, у и К - соответственно модули

ро ~ Ро3

сдвиговой и объемной упругости изотропного твердого тела, ро — невозмущенная плотность частиц материальной среды, А — оператор Лапласа, а для ах, а^, аз, ад имеем выражения

ах — — (^-Р- ++ вА ; а2 — — (р + -z- + вА ;

Ро \2/ро \2/

(4.4)

1/Q\1/ X\

а3 = Ъ(3/1+^А + Л+ ЗВ +С); а4 =ЪЛ+ В +С).

/>о\27ро\27

Здесь Л, В и С — упругие константы Ландау третьего порядка.

Уравнения (4.2)-(4.3) вместе с начальными условиями описывают распространение нелинейных звуковых волн в безграничном твердом теле в рамках квадратичной нелинейности, т. е. задачу Коши. Решение для поверхностных акустических волн должно дополнительно удовлетворять условию (вообще говоря, нелинейному) отсутствия нормальной компоненты механического напряжения на свободной границе твердого полупространства с вакуумом:

ani = 0, г = 2,3, при хи = 0,(4.5)

п — нормаль к невозмущенной поверхности твердого тела.

Совместное решение уравнений (4.2)-(4.3) и граничного условия (4.5), позволяет, в принципе, описать поведение поверхностных звуковых волн конечной амплитуды в изотропной упругой среде. Как это следует из литературных источников, попытка найти аналитическое решение подобной задачи не увенчалась успехом, и здесь необходимо в той или иной мере привлекать упрощающие модели. В этом разделе и предлагается одна из таких моделей.

Будем считать, что нелинейные члены в уравнениях движения являются малыми величинами порядка а (а — число Маха) и их можно рассматривать как некоторое возмущение к линейной задаче. Для учета возмущающих членов в волновых уравнениях воспользуемся методом многих масштабов и, в частности, методом медленно изменяющегося профиля, (см., например, [23]). Такой подход значительно упрощает решение сформулированной задачи, понижая порядок дифференциального уравнения по пространственной переменной хз на единицу. Для этого ограничимся волной, бегущей в положительном направлении оси хз, и будем рассматривать только ее. Перейдем в сопровождающую рэлеевскую волну систему координат, т. е. введем новые переменные, быструю и медленные переменные вдоль направления распространения волны соответственно:

т _ t _= ах^ = Х2)(4.6)

где cr — скорость рэлеевской волны. При формулировании (4.6) были использованы соображения о том, что нелинейность среды приведет к медленным изменениям профиля волны вдоль направления распространения (жз). Запишем уравнения (4.2)-(4.3) в этих переменных, сохраняя во всех выражениях только члены не выше первой степени малого параметра а, т. е. порядка cv° и а1. Фактически, в результате этой процедуры мы остаемся в рамках квадратичной нелинейности. Объединяя члены с одинаковыми порядками малости и приравнивая нулю коэффициенты при каждой степени а, получим

,0.,0.д2И25^2д2И25^2дМ а2^. а2и3с±Gr / 9т2д$2дМ а2^. а2и3с±Gr / 9т2д$2д22/^2’Cto CR / Отд22/^2’Cto CR / От(47)(47)

,0.

,0.

д2И2

5^2

д2И2

5^2

дМ а2^. а2и3

с±Gr / 9т2д$2

дМ а2^. а2и3

с±Gr / 9т2д$2

д

22/^2’

Cto CR / От

д

22/^2’

Cto CR / От

(47)

(47)

аа2 а2п2cr дх3дт2 а2п2cr дх3дт

а

а

2 а2п2

cr дх3дт

2 а2п2

cr дх3дт

ах2С±ах2С±++(4.8)(4.8)1 d2U2 5^21 д2из ди21д2 U2диз<Jd2 U2 ди2

ах

2С±

ах

2С±

+

+

(4.8)

(4.8)

cR дт2 9х2cR дт2 9тCrдт29т Эх22 9х2

((21 + 2(22) 9211з диз (224дХ2 9X2CrC^((21 + 2(22) 9211з диз (224дХ2 9X2CrC^1 д2 из диз , 92 U2 9из

((21 + 2(22) 9211з диз (22

4дХ2 9X2CrC^

((21 + 2(22) 9211з диз (22

4дХ2 9X2CrC^

CR дт2 9х2 дх2 9т _(2(21 + 02^ 92из ди2crcI дх22 9т ’

2 д2из_ di1д2U29u292U29из

CR дхздт cLCrдт29тдх29х2 _

(22192U29изд2U2 9и22(2зд2издиз| 2(24д2изди2

cRc~crЭт29х2дх22 9т _с^с^Эт29т c^cLдт29x2

Далее запишем граничные условия (4.5) в подвижной системе координат (т. е. в переменных (4.6)), которые в линейном приближении выглядят следующим образом (обоснование использования линейных граничных условий будет приведено ниже)

9и2 _ А диз. диз _ 1 ди2 /, дХ2 CR (2/1 + А) дт ’ дХ2 Cr дт * '

С целью существенного упрощения теоретического анализа и сведения трехмерной задачи к двумерной предположим, что уравнения движения (4.2)-(4.3) определены и справедливы при Х2 = 0 и ограничимся рассмотрением волновых процессов только на свободной поверхности твердого тела. Другими словами, мы рассматриваем частный случай и формулируем нелинейную систему уравнений движения (4.8)-(4.9) на поверхности твердого полупространства, решения U2 (х2,хз,т) |Ж2=о и из (х2, хз, т) |ж2=о которой не только удовлетворяют классическим граничным условиям для рэлеевских волн (4.10), но и дополнительным условиям для вторых производных (4.7), т. е. линейным волновым уравнениям. Включение границы в область определения уравнений движения, как мы видим, хотя и переопределяет анализируемую систему, но не приводит к появлению дополнительных условий, противоречащих друг другу. Несомненно, что условие (4.7) при Х2 = 0 и само рассмотрение волновых процессов только на поверхности твердого тела накладывают определенные ограничения на общность решения поставленной задачи, но эти ограничения менее жесткие, нежели предположение о рэлеевском характере высших кратных гармоник нелинейной волны, которое обычно используется в традиционном теоретическом анализе [15, 19].

Теперь предоставляется возможность заменить в уравнениях (4.8)(4.9) первые производные от U2 и из по переменной х2, используя при этом (4.10), и вторые производные по той же переменной от этих функций, если учитывать (4.7). Тогда после указанной процедуры будем иметь

9сз дх39сз дх3_Ех Эсз е2 dv2 ~ с^3 9т + "2 ^ Ят_Ех Эсз е2 dv2 ~ с^3 9т + "2 ^ ЯтcRcRдг ’дг ’УшЭх3УшЭх3е3 ди34 9те3 ди34 9т£4 Эс22 ^3“о » CR 9т£4 Эс22 ^3“о » CR 9т(4.П)(4.П)

9сз дх3

9сз дх3

_Ех Эсз е2 dv2 ~ с^3 9т + "2 ^ Ят

_Ех Эсз е2 dv2 ~ с^3 9т + "2 ^ Ят

cR

cR

дг ’

дг ’

Уш

Эх3

Уш

Эх3

е3 ди3

4 9т

е3 ди3

4 9т

£4 Эс2

2 ^3“о » CR 9т

£4 Эс2

2 ^3“о » CR 9т

(4.П)

(4.П)

Здесь обозначено ^^ = -гр- = ^з — колебательные скорости поверхностной акустической волны продольной и поперечной поляризации соответственно при х2 = 0, si, £2, £3, £4 — коэффициенты, характеризующие нелинейные свойства среды, выражающиеся через константы Ламе, и модули упругости третьего порядка Ландау, которые имеют вид

/\ / 2\2 2

2/22 \о

(4.12)(4.12) CR\C_L —, Зед ((21 + а2)(2(21 + 0,2) .

(4.12)

(4.12)

£2~ 9 2’^ 3“ о 22’

2с~сД2сДс~су

/22 \2

_ 3(с~ — 2с_х_)ах + с~а2 / cR . \щ

~4 -244(474 ■

Из приведенного анализа становится понятным, почему мы использовали линейные граничные условия (4.10), поскольку нелинейная добавка к этим соотношениям привела бы к членам в уравнениях (4.11), более высокого порядка по сравнению с квадратичными. Таким образом, ограничиваясь рассмотрением волновых процессов только на поверхности твердого полупространства, мы добиваемся значительного упрощения исходных дифференциальных уравнений.

Включение в анализ диссипативных процессов — процедура вполне обычная, и нет смысла излишне подробно освещать эту тему. Поэтому мы приведем конечный результат, добавив к уравнениям (4.11) линейные члены со второй производной по быстрой переменной т от поперечной и продольной компонент колебательной скорости ^2 и гу:

диз£\ дез . е2 dv2 .biд21)3Эхз4 9т 4 Эт^-GrPoдт2 ’диз_ £з диз е4 ди2ь2Э2с2Эхз4 9т 4 эт^c3rPoдт2диз£\ дез . е2 dv2 .biд21)3Эхз4 9т 4 Эт^-GrPoдт2 ’диз_ £з диз е4 ди2ь2Э2с2Эхз4 9т 4 эт^c3rPoдт2(4.13)(4.13)

диз

£\ дез . е2 dv2 .

bi

д21)3

Эхз

4 9т 4 Эт

^-GrPo

дт2 ’

диз

_ £з диз е4 ди2

ь2

Э2с2

Эхз

4 9т 4 эт

^c3rPo

дт2

диз

£\ дез . е2 dv2 .

bi

д21)3

Эхз

4 9т 4 Эт

^-GrPo

дт2 ’

диз

_ £з диз е4 ди2

ь2

Э2с2

Эхз

4 9т 4 эт

^c3rPo

дт2

(4.13)

(4.13)

где для Ьх и &2 имеем, соответственно,

(4.14)(4.14)ь\ = Y U+^Y ь2 = ^1],С~ \/Cj_

(4.14)

(4.14)

а р и £ — коэффициенты сдвиговой и объемной вязкости материальной среды.

Для удобства дальнейшего анализа и численного интегрирования произведем нормировку уравнений (4.13) следующим образом:

(4.15)(4.15)4г = qq^ + ртгф 4"Мп,rz = 6rqv + хдту + Ww

(4.15)

(4.15)

^3 где q = —;'Соз_ Ь2ш .2скрО1)ОзЕх ’^3 где q = —;'Соз_ Ь2ш .2скрО1)ОзЕх ’v2—; ш = шт; z ^02v2—; ш = шт; z ^02; 6 =; 6 =ШС^Х^Ех ; 71ШС^Х^Ех ; 7122cR£4—; ^02 иcR£4—; ^02 изначения колебательной скорости волны Рэлея узначения колебательной скорости волны Рэлея уЬ\ш= ; у 2 =2сдросоз^117оз — амплитудныеизлучателя (z = 0).Ь\ш= ; у 2 =2сдросоз^117оз — амплитудныеизлучателя (z = 0).Как мы увидим в дальнейшем, система уравнений (4.15) являетсяКак мы увидим в дальнейшем, система уравнений (4.15) являетсябазисной и будет служить основой для получения уравнений, описывающих поведение нелинейных волн Рэлея в слабодисперсной материбазисной и будет служить основой для получения уравнений, описывающих поведение нелинейных волн Рэлея в слабодисперсной материальной среде.альной среде.

^3 где q = —;

'Соз

_ Ь2ш .

2скрО1)ОзЕх ’

^3 где q = —;

'Соз

_ Ь2ш .

2скрО1)ОзЕх ’

v2

—; ш = шт; z ^02

v2

—; ш = шт; z ^02

; 6 =

; 6 =

ШС^Х^Ех ; 71

ШС^Х^Ех ; 71

2

2

cR

£4

—; ^02 и

cR

£4

—; ^02 и

значения колебательной скорости волны Рэлея у

значения колебательной скорости волны Рэлея у

Ь\ш

= ; у 2 =

2сдросоз^1

17оз — амплитудные

излучателя (z = 0).

Ь\ш

= ; у 2 =

2сдросоз^1

17оз — амплитудные

излучателя (z = 0).

Как мы увидим в дальнейшем, система уравнений (4.15) является

Как мы увидим в дальнейшем, система уравнений (4.15) является

базисной и будет служить основой для получения уравнений, описывающих поведение нелинейных волн Рэлея в слабодисперсной матери

базисной и будет служить основой для получения уравнений, описывающих поведение нелинейных волн Рэлея в слабодисперсной матери

альной среде.

альной среде.

Численное интегрирование системы модельных дифференциальных уравнений с периодическими граничными условиями. Главной целью проводимых численных расчетов было желание с помощью машинного эксперимента смоделировать те реально существующие ситуации, о которых велась речь в разделе 4.2.1. Конкретно это касается изучения динамики искажения профиля гармонической у источника рэлеевской волны и зависимости поведения спектрального состава периодических ударных рэлеевских волн в процессе их распространения в среде со слабым поглощением. Для этой цели нужно завершить формулировку периодической задачи, описывающей нелинейные звуковые волны на поверхности твердого тела. Говоря математически, следует рассмотреть вопрос о нахождении решения уравнений (4.15) с периодическими (периода Т = 2тг) граничными условиями (не путать с граничными условиями (4.5) на поверхности твердого полупространства) по координате ср

q (z, ср) = q (z, ср + Т); г (z, ср) = г (z, ср + Т).(4.16)

Кроме этого систему (4.15) следует дополнить двумя начальными условиями, а именно, у источника волн z =0 должны выполняться следующие соотношения, поскольку в качестве начальных условий выбирается гармоническая рэлеевская волна:

(4.17)(4.17)qz=0 (у) = sin р; rz=0 (у) = cos р.

(4.17)

(4.17)

При произвольном соотношении коэффициентов в уравнениях (4.15), что отражает реальную на практике ситуацию, трудно

рассчитывать на успех в сфере построения общего аналитического решения поставленной задачи с периодическими граничными условиями. В силу этого производилось численное интегрирование этих уравнений псевдоспектральным методом с помощью быстрого преобразования Фурье. В качестве контроля были воспроизведены расчеты периодического солитонного решения работы Забуски и Крускала [24] и решения Р. В. Хохлова уравнения Бюргерса [25].

Численное моделирование на основе уравнений (4.15) проводилось с целью выяснения, насколько решения этих уравнений соответствуют результатам лабораторных исследований, описанных выше. Напомним, что базовыми материалами служили кристаллы ниобата лития и стекло (оптическое). Данные по модулям упругости третьего порядка для стекла на тот период времени вообще отсутствовали, а что касается ниобата лития, то значения подобных констант были приведены в работе [27], но точности их измерений (50 ч- 100%) явно не достаточно для того, чтобы ими можно было воспользоваться с целью нахождения ориентировочных значений коэффициентов /3, 5, у в модельных уравнениях (4.15). Порядок же величин 71, 72 находился из экспериментальных данных решеточного затухания поверхностных акустических волн в стекле и ниобате лития, полученных в выбранном диапазоне частот (/ ~ 100 МГц). Экспериментальные результаты (см. 4.2.1) убедительно говорили о том, что продольная компонента колебательной скорости волны Рэлея в исследуемых базовых материалах ведет себя аналогично простой волне. Этот факт навел на мысль, что коэффициент /3 должен быть меньше единицы и составлять малую ее часть (10 4-20%), поскольку только в этом случае в первом уравнении (4.15) оператор простой волны будет преобладающим. Что же касается коэффициентов 5 и х, то их значения необходимо было подбирать в ходе машинного эксперимента из условия совпадения с аналогичными результатами лабораторного исследования.

С помощью компьютерного моделирования с последовательным подбором параметров нелинейности и затухания для коэффициентов в уравнениях (4.15) в случае ниобата лития нашли следующие значения: /3 = 0,1; 5 = 0,5; х = 0,5; 71 = 0,05; 72 = 0,1. На рис. 4.5 представлены результаты проведенных расчетов зависимости амплитуд первых трех гармоник волны Рэлея от нормированного расстояния до источника первоначального сигнала при выбранных выше коэффициентах в уравнениях (4.15). На этом же рисунке также представлены экспериментальные результаты для ниобата лития, описанные в 4.2.1.

Прежде всего, нужно отметить общее количественное согласие теоретических и экспериментальных результатов по динамике спектрального состава рэлеевской волны большой амплитуды, что является убедительным фактором в пользу применимости полученной системы модельных уравнений для описания подобных физических процессов. Что же касается особенностей поведения спектральных компонент обеих поляризаций волны Рэлея, то поскольку согласие теории и экспери-

мента не вызывает сомнений, постольку все выводы, сделанные выше относительно динамики спектрального состава поверхностной волны в равной степени относятся и к представленным здесь теоретическим результатам. Подобные результаты, полученные для другого материала (оптическое стекло), говорят об аналогичном поведении спектрального состава, что и на рис. 4.5, в силу чего нет необходимости в их детальном рассмотрении.

До сих пор рассматривалось поведение нелинейных волн в процессе их распространения с точки зрения динамики спектрального состава. Обратимся теперь к анализу искажения волнового рельефа как поперечной, так и продольной составляющих компонент вектора колебательной скорости частиц материальной среды под действием поверхностной волны конечной амплитуды. На рис. 4.10, а, б пред-

Рис. 4.10. Расчет динамики искажений профилей продольной и попречной компонент гармонической у источника волны Рэлея конечной амплитуды: а — продольная компонента; б — поперечная компонентаРис. 4.10. Расчет динамики искажений профилей продольной и попречной компонент гармонической у источника волны Рэлея конечной амплитуды: а — продольная компонента; б — поперечная компонента

Рис. 4.10. Расчет динамики искажений профилей продольной и попречной компонент гармонической у источника волны Рэлея конечной амплитуды: а — продольная компонента; б — поперечная компонента

Рис. 4.10. Расчет динамики искажений профилей продольной и попречной компонент гармонической у источника волны Рэлея конечной амплитуды: а — продольная компонента; б — поперечная компонента

ставлена динамика искажения профилей этих компонент (продольной и поперечной соответственно). Рисунки выполнены в том же стиле, что и рис. 4.7 в 4.2.1. Как и следовало ожидать, продольная составляющая нелинейной рэлеевской волны по мере удаления от источника укручивается, т. е. происходит преобразование синусоидального в начале профиля волны в пилообразный, подобно тому, как, например, волна сжатия высокой интенсивности в жидкостях принимает ударный пилообразный профиль [12, 13, 27]. Последняя, как известно, описывается эталонным уравнением Бюргерса и представляет собой периодическую ударную волну с конечной толщиной фронта (определяемой конкуренцией между укручиванием профиля за счет нелинейных эффектов и диссипативного расплывания в результате решеточного поглощения волны). В области ударного фронта диссипативный член в уравнении Бюргерса (7iQ^) имеет наибольшую величину, в силу чего на расстояниях ^ = 1,5 4-3 происходит наибольшее поглощение энергии нелинейной волны. Напомним, что при /3 = 0 первое из уравнений (4.15) переходит в уравнение Бюргерса, откуда, при выбранных в расчетах параметрах нелинейности соответствующих кристаллу нио-

дата лития, неудивителен пилообразный характер профиля продольной компоненты нелинейной волны Рэлея, как это и следует из рис. 4.10, а. На рис. 4.10,6 представлена картина превращения гармонической у источника поперечной компоненты рэлеевской волны в периодическую колоколообразную ударную волну, положение выброса которой точно соответствует максимальной крутизне пилообразного профиля горизонтальной составляющей колебательной скорости поверхностной акустической волны, что полностью согласуется (черная линия на фоне осциллограммы) с мгновенной, экспериментально полученной формой профиля, представленной на рис. 4.6,6, для изотропного твердого тела (оптического стекла). Здесь уместно подчеркнуть, что второе уравнение (4.15), фактически описывающее поперечную компоненту, при малом /3 не является (или почти не является) нелинейным, и искажение профиля вертикальной составляющей колебательной скорости поверхностной волны возможно только за счет связи q и г. Объяснением этого может служить отсутствие в изотропной среде механизмов нелинейности, приводящих к непосредственному возникновению кратных гармоник рэлеевской волны поперечной поляризации.

Солитоны Рэлея

Эволюционные уравнения для волн Рэлея в слабодисперсной диссипативной упругой среде. По своей природе волны Рэлея не обладают дисперсией, но любые несовершенства приповерхностного слоя, будь то пленка из другого материала или изменения упругих свойств среды с глубиной и т. д., приводит к частотной зависимости скорости поверхностной акустической волны [29, 30]. При определенных условиях эта зависимость может быть довольно слабой (т. е. ее влияние мало сказывается на искажении формы волнового рельефа при распространении возмущения на расстояния, сравнимые с длиной волны), но ее вполне достаточно, чтобы существенно изменить форму профиля на расстояниях в несколько сотен или даже тысяч длин волн. Примером могут служить экспериментальные результаты, описанные выше в разделе 4.2.2, касающиеся поведения волн Рэлея большой амплитуды в структуре Li Nb Og-пленка Si О, когда пилообразная на начальном этапе поверхностная акустическая волна трансформируется за счет дисперсии в периодическое многосолитонное состояние [2, 4, 5]. Отношение толщины пленки h к длине Ад волны основной гармоники звука составляло при этом 0,001 -у 0,003, что говорит об относительно слабой дисперсионной зависимости. Прежде, чем переходить к теоретическому описанию поведения нелинейных волн Рэлея в таких структурах необходимо выяснить закон дисперсии, который реализуется в указанном интервале отношения толщины пленки или другого типа несовершенства приповерхностного слоя к длине волны. С этой целью воспользуемся результатами работ [28], в которых рассмотрен случай распространения рэлеевских волн в тонком

твердом слое на твердом полупространстве. В результате решения этой задачи получено дисперсионное соотношение в виде приравненного к нулю определителя шестого ранга, с помощью которого была рассчитана дисперсионная кривая для вполне конкретной системы: плавленный кварц — тонкий слой (пленка) кристалла сульфида кадмия. Гексагональная ось «С» кристалла CdS перпендикулярна граничной поверхности, вдоль которой распространяется рэлеевская волна. При такой геометрии гексагональный кристалл при расчете можно было заменить некоторой эквивалентной изотропной средой. Дисперсионная зависимость была не только рассчитана этими авторами, но измерена. На рис. 4.11 приведены экспериментальные результаты и расчетные

Рис. 4.11. Расчетная (/) и экспериментальные (2 и 5) зависимости фазовой скорости поверхностной волны от относительной толщины твердого слоя. Толщина слоя CdS: 2-5 мкм; 3-11 мкм

данные работы [28], где сплошная кривая соответствует теории, а треугольники и квадратики соответствуют экспериментам, выполненным в частотном диапазоне 4-16 МГц со слоями CdS толщиной 5-11 мкм. Как видно из этого рисунка, для отношения h/Xn 0,001 -У 0,003 наблюдается действительно очень слабая зависимость скорости волны Рэлея от частоты. Наша задача состояла в том, чтобы показать, что кривую точного закона дисперсии в интервале h/Хц 10-3 -У 10-2 можно аппроксимировать степенным законом, который для чисто дисперсионных систем должен содержать либо только четные, либо только нечетные степени ш. Поскольку диссипативный член в уравнениях (как было показано выше), описывающих бездисперсные нелинейные волны Рэлея (4.15), определяется второй производной по переменной ip и, соответственно, пропорционален щ2, то разложение функции к(ш) в ряд Тейлора будет содержать только нечетные степени ш.

Напомним читателю, что случай, когда преобладающим является квадратичный член в разложении Тейлора дисперсионной зависимости, соответствует сильной дисперсии, приводящий к параболическому

уравнению с мнимым коэффициентом диффузии в теории распространения волн и к уравнениям типа нелинейного уравнения Шрёдингера (см. гл. 1).

Прежде чем перейти к формулировке модельных эволюционных уравнений, отвечающих в результате полученному ниже закону дисперсии (4.20), необходимо кратко рассказать о теоретической работе [30], в которой сделана попытка описания поверхностных акустических солитонов. Авторы этой работы предположили, что подобные солитоны существуют, хотя они экспериментально были обнаружены позже [2], и применили к описанию динамики поведения поверхностных солитонов модельное уравнение Бенджамина-Оно [31, 32]. Структура этого скалярного дифференциального уравнения содержит нелинейный оператор простой волны и член, отвечающий за дисперсию в виде второй производной от оператора Гильберта, который выглядит следующим образом:

НЦ = - [ ^yldy, (4.18)

а само модельное уравнение имеет вид

Sz + cqst + pssT + с^Нтт [u] = 0, (4.19) где s = ит, и — смещение частиц материальной среды, со — скорость волны, ту, у — постоянные коэффициенты, характеризующие параметры материальной среды. Это уравнение можно рассматривать как некоторую модификацию известного эталонного уравнения Кортевега- де Фриза, и отличается от последнего видом закона дисперсии, хотя, как мы увидим в дальнейшем, закон дисперсии в уравнении КдВ более подходит к реальной физической ситуации для поверхностных акустических солитонов. Тем не менее, авторами этой работы было получено солитонное решение уравнения Бенджамина-Оно и проанализирована динамика солитонов в зависимости от параметра, характеризующего конкуренцию между механизмом нелинейного укручивания фронта волны и механизмом дисперсионного расплывания волнового рельефа. Ценность этой работы, по мнению автора, заключается в том, что в ней было сделано предположение о самом существовании поверхностных акустических солитонов, которое позже нашло экспериментальное подтверждение. Что касается адекватности предлагаемой этими авторами модели реальным солитонам Рэлея, то здесь вряд ли нужно подходить со строгими мерками, поскольку о существовании последних можно было в то время только догадываться.

Рассмотрим случай слабой дисперсионной зависимости рэлеевских волн, в силу чего ограничимся кубическим членом разложения закона дисперсии в ряд Тейлора, тогда

к (и) = — + да3, (4.20)

где к(ш) — волновой вектор, a g — параметр, характеризующий дисперсионные свойства системы тонкая пленка — твердое полупространство, подлежащий определению. Покажем, что дисперсионный закон (4.20) хорошо аппроксимирует точную кривую зависимости c/cr от E/Xr представленной на рис. 4.13 в области E/Xr 0,001 4- 0,003. Для этого преобразуем (4.20) к виду

—L =(4.21)

cr\XrJjp

При выводе (4.21) использовалось приближенное равенство с^ cr, что вполне оправдано для случая слабой дисперсии. Коэффициент L можно найти из условия наилучшего совпадения кривой точного закона дисперсии и его аппроксимацией соотношением (4.21). Расчеты показали, что при L « 180 4-200 кривая, заданная уравнением (4.21), с высокой степенью точности совпадает с точным законом дисперсии вплоть до E/Xr £з Ю-2 для случая плавленного кварца с пленкой CdS. Нас не будут интересовать конкретные значения коэффициентов д, важен сам факт описания дисперсии рэлеевских волн в структуре тонкая изотропная пленка — твердое полупространство полиномиальным дисперсионным уравнением вида (4.20).

Обратимся теперь к случаю возникновения дисперсии рэлеевских волн для полупространства со слабой поверхностной неоднородностью. Напомним, что этот случай реализовывался в экспериментах с кристаллом ниобата лития, когда образцы из этого материала подвергались термической обработке в атмосфере. Возникающая в результате такой процедуры поверхностная неоднородность приводила к появлению дисперсии волн Рэлея конечной амплитуды, которая проявлялась в образовании совокупности солитонов на каждом периоде из гармонической у излучателя поверхностной акустической волны. Поскольку теоретический анализ поведения волн Рэлея в среде со слабой поверхностной неоднородностью в литературе отсутствует, имеет смысл воспользоваться результатами теоретической работы И. А. Викторова [29], в которой были рассмотрены процессы распространения поверхностных волн Лява в подобной среде. Хотя волны Лява отличаются по своей структуре от рэлеевских, тем не менее, полученный для них закон дисперсии, в своей основе, будет общим и должен быть характерен для волн Рэлея. По мнению автора, не будет излишним изложение результатов работы И. А. Викторова [29], касающихся вывода закона дисперсии волн Лява в среде со слабой поверхностной неоднородностью. Следуя этой работе, запишем закон изменения с глубиной плотности и модуля сдвиговой упругости Ламе в следующем виде:

р = Ро 14 ехр; р = pQ 1,(4.22)

\ ро \ xqJJ\ цо XqJ

где х — координата, направленная вглубь полупространства, х^ — характерная глубина однородного слоя; цо и цо — соответствующие

значения р и р на большой глубине, 0 < ^р) Pq, ^р/ро ~ 1. Соответствующее уравнение движения для полупространства с поверхностной неоднородностью будет иметь тот же вид, что и для однородного твердого тела, но с модулями упругости, являющимися функциями координаты «х». Для сдвиговых волн (волн Лява), эти уравнения имеют вид2

- ц (ж) XUV - ^ ^ = 0.(4.23)

м 8tU dx Эхv 7

Поскольку неоднородности слабые, последний член этого уравнения много меньше остальных, и его можно отбросить. Решение укороченного дифференциального уравнения ищется в виде плоской гармонической волны

Uy = AF (х) ехр [г (kz -- sx],(4.24)

где А — произвольная постоянная, F(x) неизвестная функция, s = = \jк? — (к^2, к — неизвестное волновое число, к^ =р^(р^ . Далее

вводится новая переменная

£ = — Н ) exp () = ст ехр)(4.25)

\ Ро ро /\ хо 4\ xq 4

и выражение (4.24) подставляется в (4.23), в результате получается гипергеометрическое уравнение, и его решением является гипергеометрическая функция F = F (а, 0, у, £), где а = (s — к) xq, 3 = (s + к) xq, 7=1+ 2sxq. Приближенное выражение для F можно получить в следующем виде:

F = 1 + ^£ + О(£2).(4.26)

Решение (4.24) должно удовлетворять граничному условию отсутствия сдвиговых напряжений на плоскости х = 0:

<4-27’

Окончательно, производя вычисления, получаем из (4.27) дисперсионное уравнение:

kH = ^ + sw\(4.28)

где g = —Итак мы видим, что при слабой дисперсионной зависи- 2 (с?)3

мости, полиномиальный закон дисперсии вида (4.28) является общим для различных типов поверхностных волн (волны Рэлея, волны Лява и т. д.), независимо от способа конкретной реализации этой дисперсии. Еще раз подчеркнем, что этот вывод согласуется с экспериментальными результатами (см. раздел 4.2.2.), динамика периодических солитонов Рэлея была полностью идентична как для случая создания дисперсии с помощью тонкой пленки Si О, так и в случае, когда дисперсия возникала при термической обработке кристаллов ниобата лития на воздухе.

Приступим теперь к формулировке эволюционных модельных уравнений, описывающих поведение нелинейных поверхностных волн, распространяющихся в слабодиссипативных и слабодисперсных материальных средах. Хорошо известно, что дисперсионному соотношению (4.28) соответствует линеаризованное дифференциальное уравнение, которое можно получить, если вспомнить, что существует соответствие: d/dz гк; д/дт —гш, тогда имеем следующее уравнение:

(4.29)(4.29)де _ д3е

(4.29)

(4.29)

dz дт3 ‘

Если к тому же учесть нелинейные и диссипативные члены, которые входят в уравнения (4.13) независимо, то систему модельных уравнений можно записать так:Если к тому же учесть нелинейные и диссипативные члены, которые входят в уравнения (4.13) независимо, то систему модельных уравнений можно записать так:де3 дх3де3 дх3£1де3 , £2 _ де2CrdT Cr ОТ£1де3 , £2 _ де2CrdT Cr ОТbl д2ез д3ез 2crpq дт2 1 дт3bl д2ез д3ез 2crpq дт2 1 дт3де2 дхзде2 дхзS3 дез , £4 де2 . Ь2 д2е2 . д3е2 cr дт cr дт 2cRpQ дт дт3S3 дез , £4 де2 . Ь2 д2е2 . д3е2 cr дт cr дт 2cRpQ дт дт3(4.30)(4.30)

Если к тому же учесть нелинейные и диссипативные члены, которые входят в уравнения (4.13) независимо, то систему модельных уравнений можно записать так:

Если к тому же учесть нелинейные и диссипативные члены, которые входят в уравнения (4.13) независимо, то систему модельных уравнений можно записать так:

де3 дх3

де3 дх3

£1де3 , £2 _ де2

CrdT Cr ОТ

£1де3 , £2 _ де2

CrdT Cr ОТ

bl д2ез д3ез 2crpq дт2 1 дт3

bl д2ез д3ез 2crpq дт2 1 дт3

де2 дхз

де2 дхз

S3 дез , £4 де2 . Ь2 д2е2 . д3е2 cr дт cr дт 2cRpQ дт дт3

S3 дез , £4 де2 . Ь2 д2е2 . д3е2 cr дт cr дт 2cRpQ дт дт3

(4.30)

(4.30)

Фактически к уравнениям (4.13) были добавлены члены с третьей производной по т, соответствующие кубическому закону дисперсии, который, как уже указывалось выше, приближенно реализуется для волн различной природы. Удобно представить эти уравнения в безразмерной форме:

Qz = qq^ + Рттч> +

2 2где ^ =^03^12 2где ^ =^03^12 2/ _ S2^ Cr So —^03^12 2/ _ S2^ Cr So —^03^1Та =+ Х^у + 72^ W + S2TWV,

2 2

где ^ =

^03^1

2 2

где ^ =

^03^1

2 2

/ _ S2^ Cr So —

^03^1

2 2

/ _ S2^ Cr So —

^03^1

Эти уравнения являются основой для исследования численными методами процессов формирования и взаимодействия уединенных рэлеевских волн в изотропной среде.

Численное интегрирование эволюционных модельных уравнений с периодическими граничными условиями в слабодисперсной среде с поглощением. При численном интегрировании примем формулировку периодических граничных и начальных условий в форме (4.16)-(4.17), поскольку расчеты были нацелены на сравнение их результатов с соответствующими экспериментальными данными по динамике солитонов в системе Li Nb Og-пленка SiO, описанными в разделе 4.2.2.

Расчеты показали, что при значениях параметра дисперсии qf = = 0,004 наблюдается следующая картина поведения нелинейной рэлеевской волны. Для определенности проследим сначала за динамикой горизонтальной компоненты колебательной скорости, а затем отметим особенности поведения вертикальной составляющей, рис. 4.12, а, б соответственно. Эти рисунки выполнены компьютером в виде простран-

Рис. 4.12. Процесс формирования и взаимодействия периодических солитонов Рэлея (расчет): а — продольная компонента, б — поперечная компонента

ственной картины, аналогично тому, как это представлено на рис. 4.10. Гармоническая у источника волна, как это следует из рис. 4.12, а, по мере своего распространения на начальном этапе (д = 0,8) превращается в пилообразную, имея при этом весьма ощутимую несимметричность волнового профиля. Дальнейшее развитие процесса приводит к образованию из пилообразного волнового рельефа трех солитонов различной амплитуды, движущихся с различными скоростями относительно друг друга (д = 3,4-3,6). Наибольший солитон, после того как он окончательно принял свою форму, фактически остается неподвижным в системе координат, движущейся влево со скоростью линейной волны Рэлея, в том случае, когда он не взаимодействует с остальными солитонами. Поэтому линия (гребень), соединяющая вершины последовательных местоположений наибольшего солитона, которая нами была определена (см. раздел 4.2.2) как траектория его движения, практически остается параллельной оси д. Видно, что траектория наименьшего солитона пересекается с траекторией максимального, в результате чего при д = 4,3 -У 4,5 происходит «поглощение» последним минимального солитона. На каждом периоде при этом образуются по два солитона. По ходу изложения необходимо сделать следующее замечание. Здесь автор сознательно приводит практически тот же самый текст описания динамики периодических солитонов, что и выше, касающегося соответствующих экспериментальных данных, подчеркивая тем самым коррелирование теории и практики. Итак, двухсолитонное состояние продолжается вплоть до z = 5,2, после чего происходит появление наименьшего солитона и выхода его из нелинейного взаимодействия с наибольшим (^ > 5,2). Процесс столкновения солитонов сопровождается скачкообразным изменением их местоположения, т. е. траектории каждого солитона в плоскости (ip, z) не совпадают до и после столкновения. Это хорошо видно по резкому искривлению гребней, образованных совокупностью движущихся вершин обоих солитонов, в мо-

мент столкновения. Следовательно, каждый из взаимодействующих солитонов претерпевает фазовый сдвиг. Заметим далее, что максимум в области взаимодействия меньше амплитуды наибольшего солитона, что свидетельствует о невыполнении принципа суперпозиции в месте столкновения.

Рис. 4.13. Трансформация гармонической у излучателя волны Рэлея в трехсолитонное состояние на периоде (г = 3): а — расчет; б — экспериментРис. 4.13. Трансформация гармонической у излучателя волны Рэлея в трехсолитонное состояние на периоде (г = 3): а — расчет; б — экспериментlji№lji№

Рис. 4.13. Трансформация гармонической у излучателя волны Рэлея в трехсолитонное состояние на периоде (г = 3): а — расчет; б — эксперимент

Рис. 4.13. Трансформация гармонической у излучателя волны Рэлея в трехсолитонное состояние на периоде (г = 3): а — расчет; б — эксперимент

lji№

lji№

Для более детального сравнительного анализа теории и эксперимента на рис. 4.13, а, б приведены картины профилей продольной компоненты определенной фазы (^ = 3) трехсолитонного состояния, из которых нетрудно сделать вывод и об удовлетворительном количественном согласии расчетов с экспериментальными результатами (следует отметить, что при этом была выбрана фаза наилучшего совпадения теории и эксперимента).

Рассмотрим теперь картину поведения поперечной компоненты колебательной скорости волны Рэлея, которая представлена на рис. 4.12, б. Здесь также можно выделить несколько этапов формирования солитонов. На начальном этапе косинусоидальный профиль волны превращается из-за нелинейности в колоколообразную ударную волну с заметной асимметрией относительно вертикальной оси, проходящей через минимум функции t^z.^Y В той же последовательности, что и для продольной составляющей, образуется трехсолитонное состояние с последующим взаимодействием солитонов между собой с аналогичной динамикой поведения.

Для иллюстрации количественного влияния значения параметра дисперсии на динамику формирования и поведения периодических солитонов были произведены расчеты при других значениях <Y. На рисунках 4.14, а, б представлены результаты таких расчетов при q' = 0,002.

Рис. 4.14. Процесс формирования и взаимодействия пяти солитонов Рэлея на периоде (расчет): а — продольная компонента; б — поперечная компонента

Из рисунков видно, что в этом случае на одном периоде возникают уже пять солитонов с более крутыми фронтами. Динамика их дальнейшего поведения по своей сути остается такой же, что и на рисунках 4.11, а, б. Тот факт, что количество солитонов на периоде возросло, можно объяснить следующим образом. Подчеркнем еще раз, что образование солитонов — это результат конкуренции между собой двух механизмов: укручивания фронта волны за счет рождения из-за нелинейности высших кратных гармоник исходного сигнала и дисперсионного расплывания фронта в силу выхода этих гармоник из взаимодействия с основной волной, т. е. из-за нарушения синхронизма межу гармониками. Чем медленнее высшие составляющие, при меньших параметрах q', выходят из этого синхронизма, тем более благоприятные условия создаются для рождения гармоник с более высокими номерами, которые и образуют солитоны с более крутыми фронтами. Поэтому на одном периоде появляется возможность образования большего количества солитонов, что мы и наблюдаем на рисунках 4.14, а, б.

Сравнение результатов расчетов и экспериментальных данных по динамике нелинейных волн Рэлея в слабодисперсной материальной среде с поглощением показывает, что сформулированные модельные уравнения оказываются достаточно удобным инструментом для описания как ударных поверхностных акустических волн, так и солитонов Рэлея. С другой стороны, способность адекватно описывать нелинейные процессы подобного типа позволяет сделать однозначное заключение о наполненности конкретным физическим содержанием сформулированных в этом разделе модельных эволюционных уравнений, которые можно рассматривать как векторное обобщение скалярных уравнений Бюргерса и Кортевега-де Фриза. Таким образом, описанные выше модельные уравнения могут представлять и самостоятельный интерес с точки зрения их исследования при определенных условиях на полную итегрируемость и возможности нахождения истинных солитонных решений как прямым методом Хироты, так и методом обратной задачи рассеяния.

Интегрируемая модель, описывающая солитоны Рэлея. Появление новых динамических моделей достаточно интересно прежде всего с точки зрения полной интегрируемости, т. е. возможности их представления либо в форме Лакса, либо в представлении нулевой кривизны [33]. С другой стороны, не менее важным является наполнение этих динамических моделей конкретным физическим содержанием. В этой связи предлагаемая в настоящем разделе динамическая модель, описывающая солитоны Рэлея, т. е. уединенные образования, в основе которых лежат классические рэлеевские волны, представляет собой определенный интерес с точки зрения всестороннего изучения данной проблемы, поскольку до настоящего времени, как это следует из литературных источников [6], нет полной уверенности в существовании поверхностного акустического солитона. В частности, имеет смысл формулировка вспомогательной линейной задачи, ассоциированной рассматриваемым модельным уравнениям, и построение фундаментальной системы решений для быстроубывающих граничных условий (решений Поста). Такая постановка вопроса позволяет реализовать всю цепочку метода обратной задачи интегрирования нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных с целью аналитического решения задачи Коши предлагаемой динамической модели и проанализировать основные свойства такого нового объекта, как солитон Рэлея, что и будет сделано во второй части этой книги.

Итак предлагается динамическая модель, описывающая солитоны Рэлея, которая выглядит следующим образом:

qt + 2qq$ + 2/5ггж + Чзсзсзс — О,

М W ЧА(4-32)

+ (1 + и) (qr)^ + гжжж = О,

где и принимает значения 0 или 1, причем и = 0 возможно только в случае, когда и /3 = 0.

Уравнения (4.32) получаются фактически из (4.31) при условии отсутствия механизма поглощения и наложением очевидных ограничений на коэффициенты 5, %, д. Здесь функция q(x,t) = q(x,t)/2q означает нормированную на 2q продольную компоненту колебательной скорости волны Рэлея на свободной поверхности упругого тела, a i(x,t) = г (x,t)/2q соответственно, поперечную компоненту, и в качестве независимых переменных выбраны более традиционные х, t, где произведена замена переменных zq = —t, а (р = х. Уравнения (4.32) следует дополнить начальными условиями

q Ц, t)f=0 = q Ц); г(жЩ=о = г(ж)’(4-33)

где функции q(x) и г(х) предполагаются достаточно гладкими. Начальная задача (4.32)-(4.33) должна быть доформулирована граничными условиями, которые выбираются в следующем виде:

(4.34)(4.34)q(x,t)^0,i(x,t)^0, если |х| ос,

(4.34)

(4.34)

достаточно быстро. Для того чтобы определить, насколько быстро должны убывать эти функции, потребуем, чтобы они были шварцев- ского типа, т. е. q(x, t) и r(x, t) бесконечнодифференцируемые функции и при |х| ос убывают вместе со своими производными быстрее произвольной степени 1/|яф Предлагаемую систему дифференциальных уравнений можно записать в виде матричного уравнения Кортевега- де Фриза:

щ + 3 (ии)ж + ииж = 0, (4.35)

где и — есть матричная функция, определенная выражением

(4.36)(4.36)1 / q г \и = К •

(4.36)

(4.36)

3 ург uqy

Нетрудно показать, что для матричного уравнения (4.35) может быть найдена пара Лакса и сформулирована обобщенная матричная форма метода обратной задачи рассеяния. В этом случае вспомогательная линейная задача, ассоциированная интегрируемой модели (4.32), представляет собой матричное (2 х 2) уравнение Шрёдингера, и формулирование обратной задачи рассеяния для данной динамической модели является наиболее традиционным путем нахождения общего решения предлагаемых модельных уравнений (4.32). Более подробно об этом будет сказано во второй части этой книги (см. гл. 6, раздел 6.2.1).

Односолитонные решения и процесс столкновений двух солитонов. Ниже мы достаточно подробно остановимся на всех этапах решения задачи Коши для предлагаемой динамической модели (4.32) методом обратной задачи рассеяния (см. гл. 6, часть 2). В результате для безотражательных потенциалов в качестве начальных условий будет получено общее решение для N — солитонного состояния. Здесь же мы приведем выражение для односолитонного решения и проанализируем динамику взаимодействия двух солитонов.

Итак, для случая N = 1 (односолитонное состояние) задача существенно упрощается и можно получить простые выражения для элементов матричной функции и (при /3 = 1), т. е. для продольной (q) и поперечной компоненты (г) колебательной скорости солитона Рэлея соответственно:

q(x, t) = —Bqq(x, t) = —BqгЛЩ + АХА2"/2)гЛЩ + АХА2"/2)ГГ(ж, t) = —Bq(ж, t) = —Bq2 А - ыр - А2)((1 +/О2 —/з )22 А - ыр - А2)((1 +/О2 —/з )2(4.37)(4.38)(4.37)(4.38)

q(x, t) = —Bq

q(x, t) = —Bq

гЛЩ + АХА2"/2)

гЛЩ + АХА2"/2)

Г

Г

(ж, t) = —Bq

(ж, t) = —Bq

2 А - ыр - А2)

((1 +/О2 —/з )2

2 А - ыр - А2)

((1 +/О2 —/з )2

(4.37)

(4.38)

(4.37)

(4.38)

где для функций / i и /2 имеем выражения

(4.39)(4.39)/1,2 = ехр (-2т/ (ж - si,2) + 8г/Х).

(4.39)

(4.39)

Здесь параметр г] определяет амплитуду и скорость солитона, a si и §2 — некоторые фазовые сдвиги, определяемые начальными условиями. Найдем для функции r(x,t) первообразную, определяющую вертикальные смещения точек поверхности твердого тела:

г (ж, t) = [ г (ж, t) dx = 4т?^—-2.(4.40)

J+ И) ~ h

Выберем для определенности величину 2т] (si — 82) равной lnV2, тогда выражения (4.37) и (4.40) можно преобразовать к виду

/л2 1 + V2 ch [2ц (ж - s) - 8ц3£]

= -4ц2-(4.41)

j V2 + ch [2ц (х — s) — 8ц3^ |

г (x,t) = ————.(4.42)

V2 + ch [2ц (х — s) — 8ц3^

На рис. 4.15, а и 4.15,6 представлены результаты расчетов по формулам (4.41)-(4.42), где параметр 2ц = 1. Из этих рисунков видно, что как продольная компонента колебательной скорости q(x,t), так и поперечное смещение точек поверхности материальной среды ? (х, t) имеют симметричную относительно вертикальной оси колоколообраз-

Рис. 4.15. Солитон Рэлея: а — распределение плотности; б — поперечное смещение

ную форму. Что касается положения максимумов обеих функций, то оно определяется выражением х = 4ц2£ + s, где s теперь уже единственный параметр, отвечающий за конечное смещение солитона Рэлея в ж-направлении. Принимая во внимание, что продольная компонента колебательной скорости пропорциональна переменной плотности материальной среды, будем отождествлять область положительных значений этой поляризации с областью сжатия, а отрицательные — с областью разряжения. Таким образом, солитон Рэлея можно представить себе как возмущение, движущееся по свободной поверхности твердого тела со скоростью 4ц2 либо в виде уединенного возвышения над этой

поверхностью с разряженной плотностью внутри этой области в случае материальной среды, где локальная скорость звука увеличивается в фазе разряжения (например, для стекла), либо в форме впадины с уплотнением в этой области точек материальной среды, когда локальная скорость акустической волны увеличивается в фазе сжатия. Небезынтересно отметить большое сходство формы возвышения или впадины на поверхности твердого тела солитона Рэлея с КдВ — солитоном.

Рассмотрим теперь случай N = 2. Для двухсолитонного состояния имеем j = 1,2, т. е. рх, р2, и совокупность четырех функций

= exp ^-2^- (ж - s^^ + Bp^t j , % = 1,2.(4.43)

Будем для определенности считать, что р^ > рх > 0 и напомним, что при таком предположении уединенная волна р2 распространяется с большей скоростью, чем волна рх- Развитый выше формализм позволяет получить аналитические выражения и для двухсолитонного состояния, но ввиду их громоздкости приведение их в данном тексте лишено смысла. Тем не менее, используя методику анализа, взятую из работы [16], попытаемся проанализировать поведение двух солитонов до столкновения и после столкновения. Заметим здесь, что, конечно, можно было воспользоваться приемом Захарова и Шабата, т. е. проследить за «прохождением» функций Йоста через асимптотические состояния зависимых переменных для решения задачи о столкновениях солитонов, так как это было сделано в разделе 1.2.3 (см. гл. 1), но для полноты изложения покажем, как это получается с помощью методики, взятой из работы [16].

Итак, из выражений (4.37) и (4.40) следует, что максимум уединенной волны достигается, когда /1, /2 близки к единице. Тогда нетрудно показать, что общее решение, описывающее двухсолитонное состояние, близко к уединенной волне с параметром рх в областях (гг, ^-плоскости, где fx^J^ — ha f^ либо велики, либо малы. Действительно, при /2^ = 1, f^ <С 1 получаются для функций q(x,t) и ? (x,t) формулы (4.37), (4.40). В случае, когда fx^’f^ — h а /р\ f^ 7> 1, мы имеем те же по форме выражения для продольной компоненты колебательной скорости и поперечного смещения с заме» 71) 71)7(1) 7(1)

нои /| Г на /j Г J2 ’ Для которых выполняются соотношения

14 441

Выражения (4.44) показывают, что в этом случае имеет место -(О (О

уединенная волна рх, у которой параметры 3| и з^ заменены на

Ц1) Ц1) _ „(1) „(1)1 In ^2+>71V/445)

12122щ \P2-P1/

что отвечает конечному смещению солитона Рэлея в целом в х-направ- лении. Аналогичная ситуация получается тогда, когда /р\ f^ = 1, а /р\ /2^ либо велики, либо малы, так что имеем уединенную волну Т]2 со сдвигом (или без сдвига) у sp\ s^V В точках (х, ^-плоскости, где /р\ /2^ = 1 и /р\ f^ = 1 находится область взаимодействия. Аналогично тому, как это было сделано в случае одного солитона, наложим на параметры следующие условия:

2r;i (sp) - s^1^ = 2т}2 (sp) - s^2^ = In V2,(4.46)

которые позволяют проводить анализ, имея в наличии только две функции fW, /(2) и два параметра з^\ з^2\ При t —> —ос область взаимодействия, в которой f^\ f^ = 1, отсутствует, в результате чего имеется уединенная волна гц на х = s^1) + 4ту10 fW = 1, <С 1, и уединенная волна ж на х =In fщ 4тЫ, >> 1,= 1.

2ц2 V Ц2 - щ /

Подобная ситуация означает, что имеется большая уединенная волна, движущаяся со скоростью 4^, которая догоняет меньшую уединенную волну, движущуюся с более медленной скоростью 4 т?2. Рассмотрим теперь, что произойдет с этими волнами, когда t +оо. В этом случае /(О = 1, a /^ >> 1, что дает меньшую уединенную волну т]х с местоположением В (х, ^-ПЛОСКОСТИ X =In f ^2+ 4щ£, и боль-

2щ \т]2-т]14'

шую уединенную волну т]2 на х = s^2) + 4i]2t при /1 С 1 и f^ = 1. В результате проведенного анализа можно сделать вывод о том, что уединенные волны после взаимодействия не изменили свою форму, распространяются с прежними скоростями, при этом более быстрая волна находится теперь впереди. Последствием процесса столкновения 11/ Ц2 + щ \2

уединенных волн является сдвиг вперед на -— In J— у волны 2Ц2\Ц2-Щ7

1 I / Ц2 + Ж \2~

Ж и сдвиг назад на -— In -- у волны т]х. Следует подчеркнуть,

2щ \Ц2-Щ/

что динамика соударений солитонов Рэлея полностью совпадает с процессами взаимодействия солитонов Рассела.

Анализ, проведенный в данном разделе, позволяет сделать главный вывод о том, что предлагаемая динамическая модель, описывающая уединенные волны Рэлея, может быть причислена к ряду вполне интегрируемых систем нелинейных эволюционных дифференциальных уравнений, так что термин «солитон Рэлея» имеет полное право на существование. На основе формализма интегральных уравнений Гель- фанда-Левитана-Марченко, с подробностями которого можно будет познакомиться во второй части этой книги, решена задача N-солитонного состояния рассматриваемой динамической модели и проанализирована форма и физическая сущность уединенных волн Рэлея.

Глава 5

ДВУМЕРНЫЕ СОЛИТОНЫ НА ПОВЕРХНОСТИЖИДКОСТИ И ТВЕРДОГО ТЕЛА

Классическая задача нелинейных волн на воде(уравнение КдФ)

Основной целью данной главы является изучение того небольшого количества интегрируемых одно- и двухполевых динамических моделей в пространстве двух измерений (т. е. в случае размерности (2+1)), имеющих конкретное физическое содержание. Оказалось, что богатое разнообразие волновых процессов на поверхности жидкости и твердого тела позволяет смоделировать различные солитонные явления в апер- турно ограниченных волновых пучках. С солитонами на поверхности твердого тела (солитоны Рэлея) уже имели дело в предыдущей главе, и теперь не составит большого труда понять процедуру обобщения модельных уравнений движения, описывающих апертурно ограниченные нелинейные волны Рэлея. Что касается поверхностных волн в жидкой среде, то представляется уместным для удобства изложения привести вывод канонического уравнения Кортевега-де Фриза на примере длинных поверхностных волн на мелкой воде. Подобный, хорошо известный способ получения КдФ послужит базовым материалом, на который можно ориентироваться при изложении более сложных волновых движений, описываемых уравнениями Кадомцева-Петвиашвили и Дейви- Стюартсона [1, 2]. Далее будем следовать работам [3, 4].

Классическая задача о движении волн на поверхности воды заключается в определении безвихревого движения невязкой несжимаемой однородной жидкости с плотностью р под действием постоянной силы тяжести. Жидкость находится над горизонтальным непроницаемым дном, простирающимся бесконечно (г = —Н\ и имеет свободную поверхность z = ((х, у, t), на которой, вообще говоря, действует сила поверхностного натяжения Т. Ввиду несжимаемости жидкости, имеем для вектора скорости v (щ, г^, уз) в системе координат (x,y,z) уравнение

divv = 0(5.1)

и уравнение движения

/)(^+vV)v = -VP-g/9k,(5.2)

где Р — давление в жидкости, i, j, k — единичные векторы декартовой системы координат. Для безвихревого движения rotv=0, т. е. поле скоростей потенциально, следовательно, существует потенциальная функция р, такая, что v = Vp. Далее, поскольку v х rotv = 0, имеем

(v.V)v = vQ(Vy)2).(5.3)

Используя уравнение для импульса (5.3) и интегрируя, найдем, что уравнения движения (5.1) и (5.2) приобретают вид

V2y = 0,(5.4)

F - Fo =| (W)2 + д^ ,(5.5)

где Ро — атмосферное давление, действующее на поверхность жидкости. Произвольную функцию времени {В{Р)\ получающуюся при интегрировании, можно включить в р, выбрав новый потенциал р' = р — | В (t) dt, поэтому мы и записали (5.5) в такой форме. Наиболее интересным здесь является эволюция волн на поверхности жидкости. Именно движение верхней границы дает эволюционное уравнение длинных поверхностных волн. Задача состоит в том, что нужно получить эволюцию границы из заданного решения во всей жидкости. Итак, пусть поверхность раздела, описываемая уравнением

/ Ц, у, f) = z - £ Ц, у, f) = О,(5.6)

определяется условием, что частицы жидкости не пересекают ее. Поэтому компонента скорости жидкости, нормальная к поверхности раздела, должна совпадать с нормальной компонентой скорости самой поверхности раздела. Нормальная компонента скорости поверхности, определяемой уравнением (5.6), равна

—(5.7) у 1+ Су

Нормальная компонента скорости жидкости составляет

^i + a + c^

Условие равенства этих компонент дает

^ = С + «1^ + «2<у = «з-(5.9)

Соотношение (5.9) часто называют кинематическим условием на границе раздела, которое показывает, что частицы материальной среды, находящиеся на поверхности, остаются на ней. Кроме этого существует также динамическое условие. Поскольку поверхность раздела не обладает массой, силы, приложенные к обеим ее сторонам долж-

6 В. И. Наянов

ны быть равны. Отсюда получаем, что давление в воде и давление в воздухе у поверхности должны совпадать, напомним при этом, что силой поверхностного натяжения мы не пренебрегаем. Учтем далее, что плотность воздуха очень мала по сравнению с плотностью воды, тогда на этом основании можно пренебречь изменением давления воздуха, в силу чего второе граничное условие (динамическое) принимает вид Р = Pq, где Р — давление в воде, определяемое уравнением Бернулли (5.5), a Pq - постоянное значение в невозмущенном воздухе. Таким образом, два граничных условия на свободной поверхности записываются в следующем виде:

G Т фх^Х Т ^у^у =

на z = £ (X lb ^) • (5.10)

Осталось сформулировать еще одно граничное условие на неподвижном дне жидкости. На твердой непроницаемой границе нормальная компонента скорости жидкости должна обращаться в нуль, т. е.

<pz = 0 при z =—h.(5.11)

Теперь нужно решить уравнение Лапласа в жидкости и затем применить граничные условия (5.10), (5.11). С этой целью желательно перевести все переменные в безразмерную форму. Это существенно для определения доминирующих слагаемых в последующих разложениях в ряды по малым параметрам в случаях, когда длина волны возмущения велика или мала в сравнении с глубиной. Следовательно, необходимо ввести в задачу характерный пространственный (длина волны А) и временной масштабы. Временной масштаб можно получить, рассматривая фазовую скорость волн, которая получается из линеаризованного варианта уравнений (5.10). Тогда имеем

лЦ = о, 1п

> при г = 0,

W + gtpz = OJ(5.12)

<pz = 0 при z = —h.

Рассмотрим решение уравнения (5.12) с разделенными переменными в виде

ср (х, у, z,t) = A (z) exp \г ^k\x + k^y — ooty\.(5.13)

(5.14)(5.14)Подстановка этого решения в уравнение Лапласа дает для функции А^ обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка

(5.14)

(5.14)

= Pi + Щ Л.

Выберем решение линейного уравнения (5.14) с постоянными коэффициентами в виде

Л (г) = С ch [А: (г+ 5)], к2 = Ц + к^(5.15)

и, применяя граничное условие <pz = 0 при z = — h, найдем, что 5 = = h. Используя этот результат в граничных условиях на свободной поверхности z = О, получим следующее дисперсионное соотношение: ш2 = (gk + к3Т) th (kh),(5.16)

правая часть которого является четной функцией переменной к. Дисперсионное соотношение (5.16) в пренебрежении силой поверхностного натяжения Т дает выражение для фазовой скорости с волны

В длинноволновом пределе, т. е. при kh << 1, выполняется равенство с2 = Cq = gh. Это соотношение определяет масштаб времени для таких длинных волн: to = X/cq. Теперь можно вводить безразмерные независимые переменные

$ = У i=- ; z = У(5.18)

A to h’

Осталась только одна переменная, которую еще нужно преобразовать к безразмерному виду, это переменная ф Определим характерную амплитуду смещения поверхности жидкости а и нормируем на эту величину функцию ^ описывающую подвижную водную поверхность,

и = -.(5.19)

а

Здесь необходимо сделать следующее замечание. Дело в том, что в уравнении Лапласа (5.4) и в граничных условиях (5.10), (5.11) учтена зависимость от поперечной координаты у, т. е., в принципе, можно решать задачу в двух пространственных измерениях, но в этом разделе мы ограничимся анализом только одномерного случая, оставив на потом исследование двумерных уединенных волн на поверхности жидкости.

Итак, опуская зависимость от координаты у, пренебрежем влиянием силы поверхностного натяжения и будем рассматривать только движение вдоль оси х, что уместно для случая движения волновых возмущений по каналу. Следуя Кортевегу и де Фризу, введем обозначение Z = h + z, которое в нашем безразмерном случае примет вид Z = 1 + z. Теперь координата Z указывает расстояние от дна жидкости. Уравнения жидкости дают нам удобное преобразование масштаба для потенциала с/х Например, второе уравнение (5.10) теперь выглядит так:

" + (A)# + -LX(W + ('M = a <520>

\даХ/ 9t 2gah A \дх)XdZ )

Отсюда ясно, что р) удобно преобразовать так: Ф = ар/даХ. Тогда полная система уравнений в безразмерной форме выглядеть будет следующим образом:

<9Ф1/<9Ф\2 V /<9Ф\2 _ )

815p\9Z)I при z=l+z/n, (5.21)

(Эи\ (9Ф\ (Эи\ _ ЭФ [

= ^ ПРИ 0 < Z < 1 + игр(5.22)

Эх 9Z

И_

Ц = 0 при Z = 0.(5.23)

Полученная система уравнений привлекательна тем, что в нее входят безразмерные константы и и р:

v = P м=(х)-<5-24)

величины которых указывают, являются ли волны длинными или короткими в сравнении с глубиной, и малыми или большими по амплитуде. Дальнейшее продвижение в исследовании поверхностных волн в жидкости связано с решением уравнения Лапласа в виде степенного ряда по координате Z с последующим применением этого ряда в граничных условиях.

Пусть функция Ф представима в виде

Ф (ж, ^Л) = £ Zupu (ж, t).(5.25)

п=0

Подстановка в уравнение Лапласа этого ряда приводит к рекуррентному соотношению

^ + (п+1)(п + 2)рп+2 = 0. (5.26) Эх

Из граничного условия ЭФ/dZ = 0 на Z = 0 немедленно следует, что р\ = 0, и поэтому все нечетные коэффициенты рп равны нулю. Обозначим рх = р. Тогда из (5.26) можно получить общую формулу для коэффициентов p^j и после этого записать выражение для Ф в виде

Эта формула справедлива всюду в жидкости, т. е. в области 0 ^ < Z < 1 + ии. Теперь интересно, что происходит на поверхности Z = = 1 + ии, поэтому подставим (5.27) в оба граничных условия (5.9), (5.10) (кинематическое и динамическое) для свободной поверхности и соберем слагаемые по степени р. Уравнения можно упростить, если

ввести переменную ш = рх и продифференцировать первое уравнение (5.21) по х. Пара граничных условий для верхней поверхности после этого приобретает вид

Г13121

О = ит + [(1 + vu) w]^ - ц - гу^жж (1 + ^) + 2 (1 + ^u) ^^w^ +

+ О (р), (5.28)

12

О = Мж + Wj + VWW^ - -ц [(w^ + vww^x - ^^) (1 + w) +

+ ivu^ (1 + z/u) (w^ + игиги^х - z/гЩ] + О ^p^. (5.29)

В длинноволновом приближении, если пренебречь всеми членами, содержащими и и р {а << h, А >> h), от вышеописанных уравнений останется лишь соотношение n^ — Uxx = 0, т. е. линейное волновое уравнение. Для выделения из уравнений (5.28), (5.29) членов ведущего порядка в длинноволновом приближении (имеются в виду дисперсионные и нелинейные слагаемые) недостаточно взять лишь члены низшего порядка по р. Для этого, следуя процедуре, развитой, например, в разделе 3.4.1. (см. разложение (3.65)), рассмотрим следующие для и и ш разложения:

и = аи^ ++ ...,

(5.30) w = aw^ + a^w^ + ... .

Поскольку граничные условия для и и ш таковы, что u,w 0 при ж ос, то в (5.30) отсутствуют члены при а0. Дисперсионное соотношение уже было выписано (уравнение (5.16)), и для волн, длина которых много больше глубины h {kh <^ 1), разложение гиперболического тангенса даст члены, как ожидалось, при степенях к и к2 разложения для ш. Как в разделе 3.4.1 (см. выражение (3.64)), соответствующие пространственная и временная переменные имеют теперь вид

g = а1/2 {х - t), т = o?/2t.(5.31)

Подставим (5.31) и разложение (5.30) в (5.28), получим

\ отск J v7

+ а1/2 Д [(mt/1) + a2w^ + ...) + (1 + v (аи^ + a2u^ + •••))] -

- | p [1 + и + a2u^ +3 +

+ a3/2-^+ c^w^ + ...)+... = 0. (5.32)

Аналогично имеем для (5.29)

\ отoq J x;

+ otx/2^-(au^ + a2u^ +Fa^w^l2 + ...

... + ^ p [1 + и (au^ + a2u^ + ...)]2 x

x(aw^ + c^w^ ++ ... = 0. (5.33)

ЭД W отv

Очевидно, что в каждом из полученных соотношений нижний порядок по а равен 3/2, а следующий за ним равен 5/2. Для уравнения (5.32) имеем

а3/2 :-и^ + w^ = 0,

а5/2:—и^ + w^ + и^ + [w^M1)]^ - ^ pw^ = 0,

а для уравнения (5.33) —

а3/2 :-ш^ + и^ = 0,

а5/2:-w^ + и^ + w^1) + vw^w^ + | ^^ = 0.

Из соотношений (5.34) и (5.35) следует, что и^ = w^\ а приравнивание соотношений при порядке а5/2 окончательно дает уравнение и^ + | z/u^^u^ + ^ ри^. = 0,(5.36)

представляющее собой эталонное уравнение Кортевега и де Фриза. Введение переменных g и т позволяет корректно учесть в этой задаче дисперсионный член, уравновешивающий нелинейный вклад. Несмотря на малое значение р (глубина воды значительно меньше характерной длины волнового движения), дисперсионное слагаемое будет предотвращать разрушение волн, поскольку этот конкурирующий с нелинейностью механизм всегда будет становиться значительным, когда волны станут достаточно крутыми. Нет необходимости говорить здесь о роли этого уравнения в развитии и становлении теории солитонов в различных областях физики, поскольку этому вопросу посвящено огромное количество работ.

Двумерные уединенные волны на поверхности мелкой воды (уравнение Кадомцева-Петвиашвили)

Как известно, солитонные решения уравнения (5.36), представляющие собой одномерные нелинейные уединенные волны, являются вполне устойчивыми образованиями. Однако, если учесть зави-

симость волновых процессов от координаты, отсчитываемой поперек

распространения солитонов, то возможно, как показывает анализ, качественно новое поведение уединенных волн. Для иллюстрации такого развития процессов рассмотрим наглядную картину колебаний

и самофокусировки солитонов при условии, что амплитуда солитона

меняется в зависимости от поперечной координаты у. При дальнейшем изложении будем следовать работе [5].

Рассмотрим солитон, бегущий вдоль оси х на плоскости ^х,у\ так что сверху он будет выглядеть так, как показано на рис. 5.1. Если амплитуда и фаза (т. е. координата максимума скорости) солитона

Рис. 5.1. Колебания солитона в среде с отрицательной дисперсиейРис. 5.1. Колебания солитона в среде с отрицательной дисперсиейне зависели бы от у, то это был бы обычный одномерный солитон, например, бегущий по поверхности мелкого водоема.

Рис. 5.1. Колебания солитона в среде с отрицательной дисперсией

Рис. 5.1. Колебания солитона в среде с отрицательной дисперсией

изображенного на рис. 5.1, бизображенного на рис. 5.1, бПредположим теперь, что его амплитуда меняется в зависимости от у (на рис. 5.1, а заштрихованы области с повышенной амплитудой). В среде с отрицательной дисперсией (например, в воде) участки с большей амплитудой движутся быстрее и солитон искривляется, как показано на рис. 5.1, б. Но вследствие искривления возникает эффект фокусировки, и амплитуда центральной части

изображенного на рис. 5.1, б

изображенного на рис. 5.1, б

участка солитона начинает возрастать. Вследствие этого, через некоторое время центральная часть догонит периферийные области и форма

солитона восстановится, но со сместившимися по оси у областями повышенной амплитуды (рис. 5.1, в\ Отсюда видно, что солитон в среде с отрицательной дисперсией не испытывает самофокусировки — он колеблется, как натянутая струна.

Следует иметь в виду, что солитоны могут образоваться лишь в том

случае, если начальное возмущение имеет положительную амплитуду (в среде с отрицательной дисперсией). Если начальное возмущение всюду имеет отрицательную амплитуду (в случае воды вместо «горба» имеем «впадину»), то оно не может породить солитоны. В это случае возмущение эволюционирует в нелинейный волновой «хвост», который затем расплывается до малой амплитуды и становится линейным, что и наблюдается практически на поверхности мелкой воды.

Теперь рассмотрим противоположный случай — среду с положительной дисперсией. В этом случае амплитуда солитона отрицательна и участки с повышенной амплитудой несколько отстают, и к ним из-за искривления устремляются новые порции возмущения. В результате возмущение нарастает и солитон разбивается на отдельные сгустки вдоль оси у. Итак, из этих качественных рассуждений следует, что в случае отрицательной дисперсии «изгиб» солитона приводит к упругим колебаниям, в противоположном случае (положительная дисперсия) солитон неустойчив по отношению к двумерным возмущениям

типа изгиба, и он вряд ли может существовать длительное время. Таким образом, обобщение уравнения КдФ (5.36) на случай двух пространственных измерений приобретает фундаментальное значение. Вполне естественно, что учет зависимости от поперечной координаты можно осуществить путем проведения анализа, с помощью которого было получено выше уравнение КдФ. Но в данной ситуации удобно воспользоваться выводом двумерного уравнения КдФ, который был осуществлен впервые Кадомцевым и Петвиашвили (см. работу [1]).

Итак, как уже было отмечено выше, дисперсионное уравнение (5.16) в длинноволновом приближении можно представить в виде [5] w = cofc - ^.(5.37)

При наличии зависимости от переменной у значение волнового вектора к следует считать равным к = ^к^ + к2 . Ограничимся возмущениями, медленно изменяющимися вдоль оси у (поэтому еще называют этот случай слабодвумерным), т. е. будем считать кх С ку и положим

1 к2

k«kxv^(5-38)

в первом слагаемом для и в (5.37). Тогда дисперсионное уравнение можно записать в виде

*-со^ + 1со^-^^ = О.(5.39)

Переходя в систему отсчета, движущуюся вдоль оси х со скоростью со, можно устранить второе слагаемое в (5.39), т. е.

^х-^к3 = *Хк^(5.40)

2ко 2 у

Отсюда видно, что левая часть этого дисперсионного соотношения в точности соответствует производной по х от дисперсионного уравнения, соответствующего линеаризованному уравнению КдФ (5.36). Поскольку дисперсионные и нелинейные члены входят в эволюционные уравнения независимо, то используя хорошо известное соответствие гкх —> д/дх, —гш —> —d/dt, гку —> д/ду, окончательно получим

д f ди ди со д3и\ _ со д2 и

\dt + идх эЛ) "'

Это уравнение получило название уравнения Кадомцева-Петвиа- швили (КП). Для среды с положительной дисперсией знак в правой части этого уравнения должен быть изменен на противоположный. Оказывается, что для сред с положительной дисперсией уравнение (5.41) имеет локализованные как по х, так и по у решения (рациональные решения), которые представляют собой двумерные солитоны (лампыУ

Более того, уравнение КП является полностью интегрируемым и для него была Захаровым и Шабатом найдена L, Л-пара Лакса [6] и [7],

L = A+u + p8,(5.42)

Эх2дуv ’

оX

Л =++-3/3(5.43)

Эх6 \ ох ох ) J ду

Если подставить операторы L, А в уравнение Лакса

15441

то, как нетрудно проверить, результат будет совпадать с точностью до коэффициентов (масштабным преобразованием эти коэффициенты всегда можно привести к нужному виду) с уравнением КП. Следует подчеркнуть, что спектральная задача, с соответствующим оператором (5.42) отличается от обычного многомерного стационарного уравнения Шрёдингера V2v + (А + и) и = 0, для которого обратная задача рассеяния очень трудна (см., например, [8]). Нет необходимости здесь излагать методы нахождения аналитического общего решения задачи Коши для уравнения Кадомцева-Петвиашвили, поскольку они хорошо изучены [9]. Поэтому рассмотрим кратко TV-солитонное решение уравнения КП и посмотрим, к каким качественно новым результатам приводит учет двумерности в уравнении КдФ.

С этой целью запишем уравнение КП в следующем виде:

ддхддхди dtди dtдид3 идх Эх3дид3 идх Эх3д2 и п + (7—? = О, ду2д2 и п + (7—? = О, ду2ст = ±1.ст = ±1.(5.45)(5.45)

ддх

ддх

ди dt

ди dt

дид3 и

дх Эх3

дид3 и

дх Эх3

д2 и п + (7—? = О, ду2

д2 и п + (7—? = О, ду2

ст = ±1.

ст = ±1.

(5.45)

(5.45)

Понятно, что знак при коэффициенте о определяет среду с отрицательной (ст = 1) или с положительной (а = —1) дисперсией соответственно. Осуществляя замену переменных, как обычно, в виде

(5.46)(5.46)д2

(5.46)

(5.46)

и = 2^ (1п/)

и подставляя (5.46) в уравнение (5.45), получим квадратичную форму (Хирота называет уравнения такого типа билинейными [10]). На основе этой квадратичной формы Сатсума [11], воспользовавшись прямым методом, развитым Хиротой, показал, что TV-солитонное решение

имеет видимеет вид/ = Е ехрД=0,1/ = Е ехрД=0,1- NN ■^д MnMyA^j + У^ ЦгПг-l^i<jг=1.- NN ■^д MnMyA^j + У^ ЦгПг-l^i<jг=1.(5.47)(5.47)

имеет вид

имеет вид

/ = Е ехр

Д=0,1

/ = Е ехр

Д=0,1

- NN ■

^д MnMyA^j + У^ ЦгПг

-l^i<jг=1.

- NN ■

^д MnMyA^j + У^ ЦгПг

-l^i<jг=1.

(5.47)

(5.47)

гдегде

где

где

Vi = ki(x+ Piy - Cit) + тц, Ci = p + <TPi,

exp (Ay) =exp (Ay) =3(kj - kj)2 -a(pi -Pjf3 (ki + fcj)2 - a (pi - Pif3(kj - kj)2 -a(pi -Pjf3 (ki + fcj)2 - a (pi - Pif(5.48)(5.48)

exp (Ay) =

exp (Ay) =

3(kj - kj)2 -a(pi -Pjf

3 (ki + fcj)2 - a (pi - Pif

3(kj - kj)2 -a(pi -Pjf

3 (ki + fcj)2 - a (pi - Pif

(5.48)

(5.48)

Здесь kt, pi и pi — произвольные константы. Это TV-солитонное решение представляет собой набор N плоских взаимодействующих друг с другом волн.

Очень интересная ситуация возникает (Майлз [12]), когда две такие плоские волны резонансно порождают третью. Точнее говоря, он отметил, что сдвиг фаз, возникающий при взаимодействии двух солитонов, может быть произвольно большим. Идею Майлза можно легко понять на примере двухсолитонного решения уравнения (5.45) при а = +1 (отрицательная дисперсия). Отметим, что ехр(А^) = 0, если подчинить волновые векторы соотношению

V3№-^)±(pi-p2)=0.(5.49)

Тогда двухсолитонное решение принимает вид

f = 1 + ехр ту + ехр т]2 •(5.50)

Если предположить, что ki > 0, г = 1,2, то при х —сю решение может быть нетривиальным лишь в окрестности характеристик ту = = const ИЛИ Р2 = const; при этом

и ~ ysech2 ^i,(5.51)

т. е. имеются в наличии два плоских солитона. Однако при х +сю решение будет отличным от нуля лишь при ту — т]2 = const, при этом

/ ~ ехр % (1 + ехр Щ1 - %)) « (1 + ехр (771 - %)) ■(5.52)

Таким образом, в результате их взаимодействия возникает только одна плоская волна — солитон

и = у sech2(5.53) где

%=??1 -%, k3 = kv-k2, к5рз = kipi - k2p2, C3 = ^^ _ ^г •

(5.54)

Если (дисперсионное соотношение) имеет вид

(Xi = kiCi,(5.55)

то можно проверить, что из (5.49) получаем

Таким образом, кз = кх — к^ и шз = сщ — ш^, т. е. мы имеем случай тройного резонанса, и два солитона при х —> —ос порождают третий при х —> +оо. Отметим, что аналогичное резонансное взаимодействие возникает в бесстолкновительной плазме [13].

Рассмотрим теперь случай, когда ст = — 1 (положительная дисперсия) и проанализируем так называемые рациональные решения уравнения КП. Оказывается, что большинство интегрируемых эволюционных уравнений допускают в качестве решений некоторый класс функций, рациональных по пространственным переменным. В случае уравнения КП имеется частное решение, являющееся вещественной несингулярной функцией, убывающей степенным образом во всех направлениях. Это решение обладает солитонными свойствами. Подобный многомерный солитон получил название ламп. Такое солитонное решение впервые было получено Манаковым и др. [14].

Воспользуемся теперь TV-солитонным решением уравнения КП (5.47), (5.48) и обсудим только случаи N = 1,2. Тогда одно и двухсолитонные решения имеют вид

/1 = 1+ ехр гд,

(5.57) /2 = 1 + ехр 7?1 + ехр 7)2 + ехр (тр + 7)2 + А12),

где 7)j и Лу определяются (5.48). Взяв ехрт/ = — 1, ^ —> О (причем Pi = О (1), к\(к2 = О (1)), получим

(5.58)(5.59)(5.60)(5.58)(5.59)(5.60)/1 = -М1+О(Щ,

(5.58)

(5.59)

(5.60)

(5.58)

(5.59)

(5.60)

/2 = кхк2 (01У2) + , 12 х2 + о (к3) ,

-рД

гДе9

0i = x^piy - ар^, и мы воспользовались

д 1 I 12А))А)2ехрЛ12 - 1 + —

сг (pi - рД

Итак, получены следующие рациональные решения (напомним, что и определяется по формуле (5.46)):

/1 =^Ь 72=^2+512,

12(5.61)

-О]2 —

У (pi - Р-1?

Хотя решения /1 и /2 имеют в общем случае сингулярности, но существует и несингулярное решение /2, если ^ = — 1 и р2 = рр В этом случае

/2 = МГ-—(5-62)

(pi - Pi)

Положив рх = Pr-V- грь получим

u = 2-^ln (ж+рду) +рЛу) + — ОХ |_Р!

где

ж' = ж - (рд + Pj) t,у' = У + 2pRt.

Выражение (5.63) можно переписать в виде

ы = 4(- (ж' + рну')2 + Pi (у')2 + 3/р,)((ж' +рду')2 + Pi (у')2 +3/р2)2

(5.63)(5.63)(5.64)(5.64)(5.65)(5.65)Рис. 5.2. Ламп-локализованный солитон (5.65). Пространственная картина в фиксированный момент времени, pr = 0, pi = 1/8, а = — 1Рис. 5.2. Ламп-локализованный солитон (5.65). Пространственная картина в фиксированный момент времени, pr = 0, pi = 1/8, а = — 1Итак, мы имеем решение, представляющее собой двумерный солитон (ламп), убывающий как О(1/х2, 1/г/2) при |х| , \у\ ос и двигающийся СО скоростью Х)ж = Рд +Р/, ^у = —2рд (см. рис. 5.2).

(5.63)

(5.63)

(5.64)

(5.64)

(5.65)

(5.65)

Рис. 5.2. Ламп-локализованный солитон (5.65). Пространственная картина в фиксированный момент времени, pr = 0, pi = 1/8, а = — 1

Рис. 5.2. Ламп-локализованный солитон (5.65). Пространственная картина в фиксированный момент времени, pr = 0, pi = 1/8, а = — 1

В заключение этого раздела рассмотрим обычное (нерезонансное) поведение солитонов КП, которые взаимодействуют, пересекаясь под углом. Такое взаимодействие двух наклонных солитонов, являющихся в соответствующей системе координат стационарными, изображено на рис. 5.3. Этот вид взаимодействия очень напоминает океанские волны, изображенные на фотографии 5.4, которая заимствована из работы [4]. На рисунке видно, что каждая из двух волн связана с периодическими цугами волн (по-видимому, пришедшими из области глубокой воды), но каждая волна имеет столь большую длину по отношению к малой глубине воды (около полуметра), что волны можно считать уединенными. К сожалению, количественной информации, касающейся этих волн, не имеется, но все-таки сходство между этой картиной и предсказанной теоретически уравнением КП представляется достаточно правдоподобным.

Рис. 5.3. Эскиз двухсолитонного решения уравнения Кадомцева-Петвиашвили.

В этом симметричном случае kx = к^, рх = -р^ = V3 кх

Рис. 5.4. «Наклонное» взаимодействие двух волн на отмели (фотография взята из работы [4])

Рэлеевские солитоны в апертурноограниченных пучках (матричноеуравнение Кадомцева-Петвиашвили)

Интерес к данной проблеме возник еще в 80-х годах двадцатого века [15-17]. Решение широкого круга задач, связанных с нелинейным распространением ограниченных звуковых пучков в газообразных и жидких средах, позволило понять такие сложные физические явления, как образование ударного фронта, фокусировку и дефокусировку волновых пучков и т. д., которые описываются приближенным уравнением нелинейной акустики ограниченных пучков, предложен-

ным Е.А. Заболотской и Р. В. Хохловым [15]. Рассмотрение поведения апертурно ограниченных пучков в диспергирующих средах привело к обобщению эталонного солитонного уравнения КдФ (к уравнению Кадомцева — Петвиашвили, раздел 5.2) и к выявлению новых двумерных солитонов (лампов) [12]. Однако до настоящего времени отсутствует исчерпывающее описание поведения подобных процессов в упругих изотропных средах. Что касается апертурно ограниченного пучка нелинейных рэлеевских волн с дисперсией, где присутствуют две компоненты колебательной скорости частиц материальной среды, то в этом случае последовательное описание перечисленных выше явлений в настоящее время отсутствует.

Ниже будет проведено обобщение одномерных нелинейных эволюционных уравнений в слабодисперсной упругой диссипативной среде на случай ограниченного вдоль фронта пучка рэлеевских волн, т. е. рассмотрен случай слабой двумерности.

Вывод приближенных уравнений для апертурно ограниченных пучков нелинейных рэлеевских волн. Пусть апертурно ограниченный пучок рэлеевских волн распространяется вдоль оси хз, ось Х2 направлена при этом вглубь твердого полупространства, а ось х\ ориентирована, соответственно, перпендикулярно волновому вектору поверхностной волны и предположим также, что компонента смещения частиц материальной среды, направленная вдоль оси хц отсутствует (т. е. u = U2 + ug). Пусть, далее, компонента вектора смещений из вдоль оси хз соответствует продольной деформации, a U2 - чисто сдвиговой. Тогда, как и ранее, учитывая, что продольная деформация характеризуется отсутствием тангенциальных компонент и поэтому для нее выполняется условие rot U3 = 0, а для сдвиговой деформации — divU2 = 0, то полная система уравнений, описывающая процесс распространения возмущений в упругой бездисперсной материальной среде состоит из уравнений, полученных в рамках «пятиконстантной теории» упругости, которая имеет вид

- с1Ам2 = М + м', (5.66)

^ - ЦДи3 = N + N', (5.67)

где М, N — соответственно правые части уравнений движения (4.2)-(4.3), а под М' и № понимается совокупность квадратичных членов, содержащих производные от U2 и из по переменной х\, явный вид которых, как мы увидим из дальнейшего изложения, нам не потребуется. Здесь в операторе Лапласа А присутствует вторая производная по переменной х\, тогда как в уравнениях (4.2)-(4.3) мы ее, в силу предположения о неограниченности рэлеевского пучка в поперечном направлении, не учитывали.

Перейдем в сопровождающую рэлеевскую волну систему координат, т. е. введем новые переменные, быструю и медленные переменные вдоль и поперек направления распространения волны соответственно:

т _ t _ = ах^ х^ = ^2 = ж2; (5.68)

где cr — скорость рэлеевской волны. При формулировании (5.68) были использованы соображения о том, что нелинейность среды и ограниченность пучка приведут к медленным изменениям профиля волны, как вдоль направления распространения (хз), так и поперек (xi), при этом предполагалось, что изменение всех величин поперек направления распространения пучка происходит быстрее, чем вдоль, поскольку переход в область тени происходит довольно резко [18]. Запишем уравнения (5.66)-(5.67) в этих переменных, сохраняя во всех выражениях только члены не выше первой степени малого параметра (а), т. е. порядка а0 и а1. Фактически мы повторяем процедуру, которая была использована при выводе модельных уравнений для апертурно неограниченного пучка волн Рэлея (см. раздел 4.3.1). Тогда при а0, как и ранее, получим уравнения (4.7), а при а1 следующие соотношения:

(5.69)(5.70)(5.69)(5.70)2 Э2и2 _ £«2 , ?7

(5.69)

(5.70)

(5.69)

(5.70)

сд Эх^ЭтаЛ 1

2 д2и3 = д2изcr дхздтаЛ ’

где М и N — в точности правые части уравнений (4.8)-(4.9) соответственно. Заметим, что члены, обозначенные нами как М\ N' в уравнениях (5.66)-(5.67), оказались в новых переменных (5.68) членами более высокого порядка малости по сравнению с квадратичными и не вошли в уравнения (5.69)-(5.70).

Принимая во внимание все те рассуждения и действия при получении основополагающих уравнений (4.13), в этом случае будем иметь

<М = Е\ Эу3е2 dv2biд2у3crд2и3

с^дтCr^ScrPoЭт22Эх2'

2(5.71)

5^2 _ £3 дУз£45^2Ь2Э2 У2Crд2 U2

” Х^ + Х1^ ++ т

Здесь смысл всех обозначений и коэффициентов остался прежним, т. е. так, как это имеет место в уравнениях (4.13).

Возьмем производную по т от системы уравнений (5.71), с тем чтобы они были только относительно колебательных скоростей, после чего произведем нормировку полученных уравнений следующим образом [16]:

qzv = 2n (qqv + аттЛ + 5iqvw + qOT,

(5.72)

tzv = 2n ([3rqv + ^rvqy + 52twv + rOT,

Щ V2ЖзЖ) x Гд£2/^2 У

где q = r =^ = шт; г = —; у = -; 5L2 = -™ a = -I -^ I ;

ЩЩa^3£1 ХЩ/

/3 = —; 7 = —; 172 и уз — амплитудные значения колебательных скоростей у излучателя (z = 0) в центре апертурно ограниченного пучка рэлеевских волн, а — ширина пучка, Ьд = ха2 — дифракционная длина, Lp = Cr о — расстояние формирования разрыва в плоской

волне Рэлея, L^ =— длина затухания, п =— определяет

соотношение нелинейных и дифракционных эффектов.

Интересно отметить, что при стремлении а 0 первое из уравнений (5.72) превращается в уравнение, полученное в работе [19], а если еще к тому же положить 51 = 0, то (5.72) есть хорошо известное уравнение Заболотской-Хохлова [15]. В целом эту систему можно рассматривать как обобщение скалярного уравнения, описывающего поведение нелинейных апертурно ограниченных пучков акустических волн в газообразных или жидких материальных средах с диссипацией, на двухкомпонентный случай, и при наложении известных условий на коэффициенты (см. раздел 4.3.1) она может быть записана в виде аналогичного матричного уравнения

= 3n (u2)w + 6mW4> + Uyy, (5.73)

где и — матричная функция 2x2 определена выражением (4.36).

Полученная матричная форма записи нелинейных уравнений (5.72) для пучка рэлеевских волн будет полезна в дальнейшем, когда будут рассматриваться процессы распространения апертурно ограниченных волн Рэлея в диспергирующих средах.

Модельные уравнения для двумерных солитонов Рэлея. Пусть теперь пучки рэлеевских волн распространяются по границе твердого полупространства, содержащего определенный вид приповерхностной неоднородности. Как было уже сказано выше, в классическом случае волны Рэлея не обладают дисперсией, поэтому любые несовершенства приповерхностного слоя, будь то пленка из другого материала или изменение упругих свойств среды с глубиной и т. д., приводит к частотной зависимости фазовой скорости поверхностной акустической волны(см. раздел 4.3.1). Здесь следует подчеркнуть, что на акустические свойства материалов пленки и подложки не накладываются жесткие требования, поскольку имеется возможность дополнительным параметром — толщиной слоя — управлять дисперсионными свойствами рассматриваемой структуры.

Обратимся теперь к формулировке модельных уравнений, описывающих поведение нелинейных апертурно ограниченных пучков поверхностных волн в слабодиссипативных и слабодисперсных материальных средах. Совершенно очевидно, что в этом случае необходимо в уравнения (5.71) включить дисперсионные члены, так, как это было сделано при формулировании уравнений (4.30), после чего будем иметь

9х39х39х39х3£19х3 . £2 _ 9v2 .— ^^ "я1—Г 12 1”49т 4дт£19х3 . £2 _ 9v2 .— ^^ "я1—Г 12 1”49т 4дт&14«з24а> Эт2&14«з24а> Эт29x29хз9x29хз£3 _ 9хз , £49X2Cr dTCRОТ£3 _ 9хз , £49X2Cr dTCRОТЬ22сКр0Ь22сКр09^X2 .9?9^X2 .9?Cr 9^ из 93 Уз2дх\9т3CR9^293 V225ж19т3Cr 9^ из 93 Уз2дх\9т3CR9^293 V225ж19т3(574)(574)

9х3

9х3

9х3

9х3

£19х3 . £2 _ 9v2 .

— ^^ "я1—Г 12 1”

49т 4дт

£19х3 . £2 _ 9v2 .

— ^^ "я1—Г 12 1”

49т 4дт

&14«з

24а> Эт2

&14«з

24а> Эт2

9x2

9хз

9x2

9хз

£3 _ 9хз , £49X2

Cr dTCRОТ

£3 _ 9хз , £49X2

Cr dTCRОТ

Ь22сКр0

Ь22сКр0

9^X2 .

9?

9^X2 .

9?

Cr 9^ из 93 Уз2дх\9т3

CR9^293 V2

25ж19т3

Cr 9^ из 93 Уз2дх\9т3

CR9^293 V2

25ж19т3

(574)

(574)

Взяв производную от этих уравнений по т и производя нормирование их подобно тому, как это было сделано с уравнениями (5.71), получаем

(5.75)(5.75)q^p) 2п (pqp + (хттр)^ + <: qpppp + 6\qppp + qyy>rw = 2n {[Згд^ + yr^q)^ + q'xpppp + 62Tppp + r^,

(5.75)

(5.75)

где q' = q^qR • Эти двумерные уравнения носят достаточно общий характер и учитывают конкуренцию трех механизмов: нелинейного укручивания, дисперсионного расплывания и диссипации при распространении апертурно ограниченных пучков рэлеевских волн конечной амплитуды. Условия на коэффициенты, которые были сформулированы при выводе матричного уравнения (5.73), позволяют уравнения (5.75) представить в такой форме:

(5.76)(5.76)(^г 2n(qqp + атГр)5qpp qq^p^p^p — qyy^

(5.76)

(5.76)

У г - П (1 + и) (gr^ - 5rw - srwPv = Туу.

При выборе матричной функции 2x2 вида (4.36), в итоге имеем следующее:

511^ Wppp j — u^.VJ p511^ Wppp j — u^.VJ p

511^ Wppp j — u^.

VJ p

511^ Wppp j — u^.

VJ p

Нетрудно видеть, что если в (5.77) исключить члены, определяющие поглощение волн в материальной среде (т. е. положить 5 = 0), то это уравнение можно считать матричным обобщением уравнения Кадомцева-Петвиашвили. В этой связи уместно поставить вопрос о полной интегрируемости полученного матричного аналога КП, т.е. о нахождении вспомогательной линейной задачи, с помощью которой можно получить общее решение сформулированной системы модельных уравнений, например, методом обратной задачи рассеяния. Для

этого запишем матричное уравнение КП в более традиционной форме, т. е. в переменных x,y,t:

(и1 + 3(и2у + из;:Е:Еу+стиуу=0,(5.78)

где а = ±1, а ^ = —t, (р = х, q(x,y,t) = nq (х, у, t)/q, i(x,y,t) = = пт (х, у, t)/q. Ключом для понимания данной проблемы может служить матричная запись рассматриваемых модельных уравнений, которая по форме полностью совпадает с классическим уравнением Ка- домцева-Петвиашвили, в силу чего можно воспользоваться найденной в работах [6, 7] L, Л-парой и представить операторы Лакса для нашего случая в следующем виде:

£ — ТТЛ ^2 u + /3^2,

Эх2 2 ду

зх(5.79)

А = 4-^ /2 + 3- 3/3 [ Uy dx',

Эх3 \ дх дх ) J у

где матричная функция и вида (4.36) при условии, что v = 1. Подставляя (5.79) в операторное уравнение Лакса

Lt = \LsAV(5.80)

убеждаемся в том, что (5.80) есть не что иное, как матричное модельное уравнение Кадомцева-Петвиашвили (5.78), если потребовать чтобы выполнялось равенство З/З2 = а.

Взаимодействие двух солитонов Рэлея в апертурно огра- ниченом пучке поверхностных акустических волн. Нет необходимости при нахождении двумерных рэлеевских солитонных решений методом Хироты приводить подробный анализ приведения уравнения (5.78) к квадратичной форме с последующим представлением решения этого билинейного матричного уравнения в виде степенного ряда, поскольку подобная процедура формально полностью совпадает с таковой для скалярного уравнения КП. В силу вышесказанного, можно сразу записать формулу для TV-солитонного решения, подчеркнув при этом специфику двухкомпонентного обобщения уравнения КП:

/.N/ (О

Fn= £ exp £П m m ,(5.81)

где сумма по у пробегает по всем наборам щ, г = 1,2, ...,7V. Здесь матричная 2x2 функция Fn связана с матрицей и известным соотношением

(5.82)(5.82)и = 2(1117^)^,

(5.82)

(5.82)

(1,2) А

а для р^ 7 и Atj имеем

(5.83)(5.84)(5.83)(5.84)Д2) = -ki {x + piy - {к2 + стр2) t) + рр,2);

(5.83)

(5.84)

(5.83)

(5.84)

ехрАу = з^-к^-^-рЭ2

3 (кг + kj) - a(pi - Pj)

7—(1’2)

где kt, pi и р^ 1 — произвольные константы.

Рассмотрим сначала случай N = 1 (односолитонное решение) и найдем явные выражения для элементов матричной функции и (при /3 = 1)т. е. для продольной и поперечной компонент колебательной скорости двумерного солитона Рэлея. Действительно, при N = 1 из соотношения (5.81) вытекает

^1 =^1 =1 + ехрт/1)ехр р^1 + ехрт/1)ехр р^ехр р^1 + ехрт/1)ехр р^1 + ехрт/1)(5.85)(5.85)

^1 =

^1 =

1 + ехрт/1)ехр р^

1 + ехрт/1)ехр р^

ехр р^

1 + ехрт/1)

ехр р^

1 + ехрт/1)

(5.85)

(5.85)

Подставим выражение (5.85) в (5.82) и положим для определенности величину (т^1) — р^^ = In V2 , после чего для q (х, y,t) и ? (х, у, t) в апертурно ограниченном пучке нелинейных рэлеевских волн получим такие формулы:

1 + V2 ch \к (х + ру\ — к (к2 + сгр2А t + р\

q(x,y,t) = k2--1уу-^(5.86)

| V2 + ch |fe (ж + ру) - к (к2 + стр2) t + yj )

? (x,y,t) = р\щ (5.87)V2 + ch \к (х + ру) — к (к2 + ар2Н + Ц

где ? (х, у, t) обозначает поперечную компоненту смещений частиц материальной среды в рэлеевской волне. Нетрудно видеть, что в подходящей системе координат полученные решения представляют собой при а = 1 одномерные солитоны Рэлея в неограниченном по у пучке акустических поверхностных волн, так что двумерность пространственной переменной в найденном решении в некотором смысле является фиктивной.

Рассмотрим теперь случай N =2. Тогда для функции F2, следуя общему решению (5.81), имеем

Fs = Is АFs = Is АЛИЛИД2)1Д1) 72Д2)1Д1) 72+ ехр Д12+ ехр Д12М"М"/,и1 И"/,и1 И"

Fs = Is А

Fs = Is А

ЛИ

ЛИ

Д2)1

Д1) 72

Д2)1

Д1) 72

+ ехр Д12

+ ехр Д12

М"

М"

/,и1 И"

/,и1 И"

(5.88) где ff2) = ехрр^,2\ Взяв от InFs вторую производную по х, получим общее решение для двухсолитонного состояния, которое из-за его громоздкости приводить не будем, а проиллюстрируем только некоторые результаты расчетов по этим формулам. На рис. 5.5 представлена симметричная картина взаимодействия двух наклонных двумерных солитонов Рэлея в апертурно ограниченном пучке, движущихся

с одинаковыми скоростями (для конкретности выбрана поперечная компонента смещений частиц твердого тела). На этом рисунке четко

прослеживаются область слияния этих солитонов и области их раздельного существования. Вся картина движется с некоторой скоростью в направлении оси х, сохраняя при этом стационарность общей конфигурации, которая хорошо коррелирует с эскизом двухсолитонного решения уравнения Кадомцева- Петвиашвили [1].

Основной вывод, который на-

Рис. 5.5. Наклонное взаимодействие прашивается в результате прове- двух солитонов Рэлея (ki = k^ р\ = денного в данном разделе ана- = -р2 = Уз ki)лиза, заключается в обобщении

скалярных уравнений Заболтс- кой-Хохлова и Кадомцева-Петвиашвили на двухкомпонентные уравнения со слабой двумерностью, описывающие поведение нелинейных пучков поверхностных акустических волн. Рэлеевские волны большой амплитуды оказываются достаточно привлекательным объектом для

моделирования динамики многосолитонных процессов, поскольку для них имеется возможность искусственного создания дисперсии обоих знаков, что в свою очередь позволяет предполагать существование тройного резонансного взаимодействия двумерных солитонов Рэлея и двухкомпонентных локализованных по обеим пространственным координатам состояний (в некотором смысле аналогов «лампов»). Сведение полученных дифференциальных уравнений к матричной форме позволяет в случае КП найти для двухполевого аналога L, Д-пару, и на этой основе находить общее решение этих уравнений методом обратной задачи рассеяния.

Возбуждение среднего течения осцилляторнымиволнами на поверхности воды конечной глубины(уравнения Дейви-Стюартсона)

В этом разделе кратко рассмотрим еще один пример двухполевого солитона в пространстве двух измерений, т. е. интегрируемую динамическую модель, описываемую уравнениями Дейви-Стюартсона [2]. Следует отметить, что к настоящему времени это вторая и последняя по счету двухполевая двумерная модель, имеющая конкретное физическое содержание (первая — это солитоны Рэлея в апертурно ограниченных пучках, см. раздел 5.3).

Выше была сформулирована система дифференциальных уравнений (5.4), (5.10), (5.11), описывающая волновые процессы на поверхности жидкости. В случае мелкой воды (в пределе длинных волн) было получено эталонное эволюционное уравнение КдФ. Можно показать, в принципе, что на поверхности глубокой воды (противоположный случай) могут существовать одномерные волновые пакеты, описываемые НУШ. В конце этого раздела в качестве иллюстрационного экспериментального материала, демонстрирующего работоспособность НУШ для этого случая, будут приведены результаты моделирования подобных волновых пакетов на поверхности глубокой воды в лабораторных условиях.

Покажем, что в случае конечной глубины волновые пакеты (осцил- ляторные волны) возбуждают среднее течение, которое при некоторых условиях может быть локальным эффектом.

Итак, рассмотрим решение системы (5.4), (5.10), (5.11), имеющее вид совокупности квазимонохроматических, квазиодномерных волновых цугов малой амплитуды. Эти волновые пакеты движутся в направлении х с соответствующим (средним) волновым числом к = ^к\Л^У т. е. к? = к^ + к^. Пусть, как и ранее, а обозначает характерную амплитуду возмущения и 5к — характерную вариацию к. НУШ для размерности (2+1) является следствием следующих предположений [4]:

малость амплитуды

п е b « 1;(5.89а)

медленное изменение модуляций

(5.89b)

к

квазиодномерность волн (сравни с условием (5.38))

^«1;(5.89с)

к

баланс всех трех эффектов

XL

=(5.89d)

М = о(аС(5.89е)

Для того чтобы исключить предельный случай мелкой воды и длинноволновый предел, необходимо потребовать

(khf » а.(5.90)

В этом предельном случае решение линейной задачи в низшем порядке теории возмущений имеет вид

+ ~;—- Аехр (ги) + к. с. + const, (5.91)

\ ch kh / LJ

где к. с. обозначает комплексное сопряжение,

(5.92)(5.92)О = кх — и (к) t,

(5.92)

(5.92)

и ш(к) определяется формулой (5.16). Для того чтобы учесть более высокий порядок, введем в рассмотрение медленные (пространственные и временные) переменные (т. е., будем использовать метод многих масштабов, сравни с (3.87)):

(5.93)(5.93)х = ах, у = ay, t = at, т = a2t

(5.93)

(5.93)

и разложим у) и g в ряды

у ~ а (ф (ж, у, t, т) + (Ch ^) [^ (X У. т) ехр (г6>) + (*)]} +

+ О (а2), (5.94)

g = а {?ехр (гб) + (*)} + О (а2} , ? = —(5.95) 9 Гк Т

Разложение должно быть произведено до членов порядка О(а3). Независимые переменные, введенные в функцию А, отражают то обстоятельство, что рассматриваются волновые пакеты, а не однородные наборы волн, причем Ф описывает возбуждаемое пакетом среднее течение. Далее будут обсуждаться секулярные эффекты, воздействие которых на Ф и А проявляется в членах более высокого порядка. Детали обсуждения этой процедуры можно найти в работах [2, 20].

Итак, в следующем порядке аппроксимации условие секулярности требует распространения в одном направлении волнового пакета с линейной групповой скоростью:

^ + cg(fc)g = 0,(5.96)

где, как обычно, cg = du/dk. В этом масштабе времени Ф удовлетворяет неоднородному волновому уравнению

д2Ф Щ^Ф Э2ф) , д । Т,2/еп7\

где2

А = ^Sech2to +Т = —.(5.98)

1 + Т9

Решение (5.97) изменяется коренным образом в зависимости от того, выполнено или нет неравенство

gh > с2.(5.99)

Если отношение сд)^9^ интерпретировать как «число Маха» волнового пакета, то (5.99) является условием того, что поток «дозву-

ковой». Когда А ограничена в пространстве, Ф содержит слагаемое, которое является решением неоднородного уравнения. Эта компонента решения описывает вынужденное движение со скоростью сд, т. е. удовлетворяет уравнению (5.96). Амплитуда волны, соответствующая решению однородного уравнения (свободная компонента), по порядку величины равна O(t-1/2) при ? ос; она излучается из области возбуждения со скоростью ^gh. Поэтому при выполнении (5.99), когда t ос, Ф удовлетворяет как (5.96), так и

Э2Ф , Э2Ф Ы д 8 , т,21пт

/1—Т Н5- =,(5.100)

Эх2 8у2 gh8х' 1v 7

где2

р,= 9,г"Сд,(5.101)

вместе с граничными условиями Ф — 0 при (ж2 + у2) —» оо.

Эти граничные условия были сформулированы Дэви и Стюартсоном [2], они корректны в тех случаях, когда нет поверхностного натяжения.

Если поверхностное натяжение велико, то (5.99) нарушается, и поток становится «сверхзвуковым». В пределе t оо, как и прежде, Ф удовлетворяет одновременно уравнениям (5.96) и (5.100). Однако теперь соответствующими граничными условиями уравнения (5.100) является обращение Ф вместе со своими производными в нуль впереди носителя, т. е. при х оо (поскольку источник среднего течения движется с большей скоростью gh < с2); при х —оо никаких граничных условий нет. Поэтому в^общем случае нельзя ожидать сходимости интегралов, содержащих Ф, при интегрировании по всей области.

Предел t оо интересен тем, что НУШ в пространстве двух измерений возникает при устранении секулярных членов в следующем временном масштабе т (t = О (о7-2)) . Выполняя это, подставляя результат в безразмерной форме и вводя новые обозначения

(5.102)(5.102)(5.103)(5.103)( = ак (х — cgt), у = аку, т = a2 ^gk^21,А = к2 (дк)~^2 А, Ф = к2 (gk^^ Ф,

(5.102)

(5.102)

(5.103)

(5.103)

убеждаемся, что АиФ удовлетворяют уравнениям

.ЭА , хЭ2А , 92А _ , л|2 л , Л9Фг 8т^ХА + х‘АдС

У2Ф У2ф _Я 2

ял2 + я 28С ’

8( оу

_ к2(Э2ш/Эк2')_ к2(Э2ш/Эк2')где

_ к2(Э2ш/Эк2')

_ к2(Э2ш/Эк2')

ст = th kh, Л = ghcr (1 + Т)0, <х>о= дк,

= C^wjdk2^ = кс^0

= z^x Г (i^g-^+j^-^^

^Д<72-f(3-<72)

+ 8сг2 -2(1 -ст2)2(1 +Т) -

Xi = l + ^(l-a2)(l+T)>0,

ушокНд 1 v 71 + Г I

Пара связанных уравнений (5.103) описывает эволюцию комплексной огибающей волн А и возбуждаемое ими среднее течение (Х^Ф).

Рассмотрим теперь разрешимость уравнений (5.103) в различных предельных случаях. В случае глубокой воды (кН —> ос) среднее течение обращается в нуль, и (5.103) сводится к НУШ для размерности (2+ 1) (сравни с уравнением, полученным Келли и Талановым (1.20), см. раздел 1.2.1, [21, 22]):

.ЭАх д2А , Э2А |л|2.<с. тлх

^ + ^—7+7^-2- = Х<ю W А,(5.104)

°Т о( оу

где

^08сс^08ссТею —Тею —ДО 4ссДО 4сс/1 - бт - зт2 А

^0

8сс

^0

8сс

Тею —

Тею —

ДО 4сс

ДО 4сс

у 1 +т ) ’

^(l + ЗТ),4^v 7

8 + Т + 2Т2

(1 - 2Т)(1 +Т) *

Соответствующие граничные условия для локализованных начальных данных имеют вид А ^0 при (2 + ц2 сю.

Как известно, уравнение (5.104) не может быть решено при помощи метода обратной задачи рассеяния, в силу чего оно не имеет солитонных решений.

В пределе мелкой воды, т. е. когда кН 0, но а С (кН)2, ситуация совсем другая. В этом пределе после масштабных преобразований получим уравнения

.дА% 9t.дА% 9tАл t Ал _,7 . , ,.дФ— ст —у 4т- - (7 А А + А ——,Эх2 ду2ЭхАл t Ал _,7 . , ,.дФ— ст —у 4т- - (7 А А + А ——,Эх2 ду2Эхд2Ф дх2д2Ф дх2— = -2— IAI2ду2 2Эх^ 1 ’— = -2— IAI2ду2 2Эх^ 1 ’(5.105)(5.105)

.дА

% 9t

.дА

% 9t

Ал t Ал _,7 . , ,.дФ

— ст —у 4т- - (7 А А + А ——,

Эх2 ду2Эх

Ал t Ал _,7 . , ,.дФ

— ст —у 4т- - (7 А А + А ——,

Эх2 ду2Эх

д2Ф дх2

д2Ф дх2

— = -2— IAI2

ду2 2Эх^ 1 ’

— = -2— IAI2

ду2 2Эх^ 1 ’

(5.105)

(5.105)

где а = sign . Это и есть уравнения Дейви-Стюартсона. Эти уравнения замечательны тем, что они полностью интегрируемы и имеют солитонные решения [23, 24]. Мало того, как показано в работе [25], для этих уравнений были найдены рациональные решения, т. е. решения типа лампов. Мы не будем подробно далее останавливаться на анализе этих решений, поскольку эти вопросы достаточно сложные и выходят за рамки предлагаемой книги. Основной целью этого раздела является возможность продемонстрировать один из двух существующих примеров двухполевых интегрируемых динамичесих моделей в пространстве двух измерений, имеющих конкретное физическое содержание.

В заключение, для полноты изложения рассмотрим уравнения (5.103) в случае размерности (1 + 1). Как отмечено в работе [26], возможны различные способы понижения порядка в зависимости от того, в каком направлении допустима модуляция огибающей. Однако экспериментально модуляция волн наблюдалась только в направлении их распространения, и поэтому будет рассмотрен только этот случай. Если в уравнениях (5.103) д/др = 0, то второе из них может быть один раз проинтегрировано, и первое уравнение (5.103) принимает вид

гдегдеХ14Х14+ = v\Na, (5.106)

где

где

Х14

Х14

(5.107)

Начальные данные в эксперименте можно сформировать, модулируя (во времени) амплитуду осциллирующей пластинки на одном из концов одномерного бассейна. Если Хи > 0, то солитонов нет. Произвольные начальные данные гладкие и обращаются в нуль при |£| ос, порождают излучение, которое убывает как г-1/2

Солитоны огибающей возможны при условии Хи < 0. Односолитонным решением уравнения (5.106) является функция (сравни с формулой (1.23))

Л = а — sech {а (£ — 25т)} ехр ^гЬ( + гХ (а2 — 52) т} . (5.108)

На рис. 5.6 изображены результаты экспериментальных измерений таких волн в двух точках бассейна, расположенных ниже по направлению движения волн [26]. На рисунке мы совместили солитонное решение (5.108) с соответствующим пиком амплитуды в каждой точке. Заметим, что амплитуда волн во втором измерении уменьшилась, что свидетельствует о наличии эффектов, обусловленных диссипативными потерями из-за конечной вязкости воды. И все-таки, ввиду того, что характерный временной масштаб, на котором влияние затухания становится заметным, больше характерного времени эффектов, описываемых

-0,12-0,120,120,080,04о-0,04-0,08-0,120,120,080,04о-0,04-0,08-0,12Рис. 5.6. Смещение поверхности воды, показывающее эволюцию огибающей в двух отметках вдоль потока. Здесь h = 1 м, kh = 4, ш = 1 Гц, Т = 1 • 10-4, сплошной линией показано смещение поверхности в эксперименте, штриховой — теоретическая форма огибающей (5.108): а — 6 м от волнопродуктора, ка = 0,132; б — 30 м от волнопродуктора, ка = 0,116 [26]Рис. 5.6. Смещение поверхности воды, показывающее эволюцию огибающей в двух отметках вдоль потока. Здесь h = 1 м, kh = 4, ш = 1 Гц, Т = 1 • 10-4, сплошной линией показано смещение поверхности в эксперименте, штриховой — теоретическая форма огибающей (5.108): а — 6 м от волнопродуктора, ка = 0,132; б — 30 м от волнопродуктора, ка = 0,116 [26]

-0,12

-0,12

0,12

0,08

0,04

о

-0,04

-0,08

-0,12

0,12

0,08

0,04

о

-0,04

-0,08

-0,12

Рис. 5.6. Смещение поверхности воды, показывающее эволюцию огибающей в двух отметках вдоль потока. Здесь h = 1 м, kh = 4, ш = 1 Гц, Т = 1 • 10-4, сплошной линией показано смещение поверхности в эксперименте, штриховой — теоретическая форма огибающей (5.108): а — 6 м от волнопродуктора, ка = 0,132; б — 30 м от волнопродуктора, ка = 0,116 [26]

Рис. 5.6. Смещение поверхности воды, показывающее эволюцию огибающей в двух отметках вдоль потока. Здесь h = 1 м, kh = 4, ш = 1 Гц, Т = 1 • 10-4, сплошной линией показано смещение поверхности в эксперименте, штриховой — теоретическая форма огибающей (5.108): а — 6 м от волнопродуктора, ка = 0,132; б — 30 м от волнопродуктора, ка = 0,116 [26]

уравнением (5.106), волна сохраняет свою форму и локально выглядит как солитон.

Напомним, что одним из фундаментальных свойств солитонов является то, что они сохраняют свою форму независимо от взаимодействия. В работе [27] показана интересная экспериментальная демонстрация этого свойства, запечатленная на рис. 5.7. Слева изображена картина распространения солитона огибающей без изменения формы на расстоянии 9,15 м. В середине картины изображена другая волна с несколько иной частотой несущих волн. Эта волна не является солитоном, и при распространении на то же расстояние ясно наблюдается эволюция волнового пакета. Справа показано взаимодействие этих двух волновых пакетов. Несмотря на то, что взаимодействие сложно, измеренная

Рис. 5.7. Взаимодействие двух движущихся волновых пакетов. Слева: первый единичный импульс, ссо = 1,5 Гц, начальное (ка) =0,1, пакет содержит 6 периодов; в центре: второй единичный импульс, шо = 3 Гц, начальное (ка)тах = 0,2, пакет содержащий 12 периодов, распадается на два солитона; справа: взаимодействие двух волновых пакетов, [27]

форма волны является суперпозицией двух волн, зарегистрированных ранее, т. е. после взаимодействия волны снова восстанавливают свои исходные формы.

Как и (1 + 1)-мерные оптические волноводы оказываются неустойчивыми по отношению к длинным поперечным возмущениям, так и солитоны, показанные на рис. 5.6, измеренные в сравнительно узких бассейнах, которые исключают дестабилизирующее действие поперечных длинноволновых возмущений (аналогично тому, что наблюдается в световодах), оказываются неустойчивыми в бассейнах существенно большей ширины. Экспериментальное подтверждение этой неустойчивости можно видеть, сравнивая результаты измерений волн, приведенные на рис. 5.8 [28]. Начальные и прочие условия, при которых выполнялись оба эксперимента, были практически одинаковыми, за исключением того, что рис. 5.7 соответствует сравнительно узкому бассейну, в то

h = 150 см b = 244 см /о=1Гц као = 0,12h = 150 см b = 244 см /о=1Гц као = 0,12■*||*1 sec

h = 150 см b = 244 см /о=1Гц као = 0,12

h = 150 см b = 244 см /о=1Гц као = 0,12

Рис. 5.8. Эволюция волнового пакета в широком бассейне, демонстрирующаяпоперечную неустойчивость, отсутствующую на рис. 5.7 [4]

время как рис. 5.8 — более широкому (приблизительно в четыре раза). Таким образом, широкий бассейн допускает существование дестабилизирующих длинноволновых поперечных мод, которых нет в узком бассейне. Неустойчивый характер солитона огибающей ясно виден на рис. 5.8. Подчеркнем еще раз, что эволюция этих волн очень похожа на эволюцию электромагнитных волн, распространяющихся в диэлектрической среде.

Часть II

МНОГОПОЛЕВЫЕ СОЛИТОНЫВ МАТЕМАТИКЕ

Введение к части II

В первой части книги мы познакомились со сравнительно небольшим количеством двухполевых динамических моделей, которые наполнены конкретным физическим содержанием. Перечислим те основные эволюционные уравнения, которые фигурировали при рассмотрении динамики волновых (солитонных) явлений во многих областях физики. Прежде всего, нужно выделить в отдельную группу векторные обобщения эталонных солитонных уравнений. Это векторное нелинейное уравнение Шрёдингера, векторное модифицированное уравнение Кортевега-де Фриза и векторное укороченное уравнение Максвелла- Блоха, являющееся, фактически, обобщением уравнения sin-Гордон. Мы уже указывали на тот факт, что все эти уравнения, включая сюда и псевдовекторные (т. е. с псевдоевклидовой нормой [1]), связаны единой обобщенной спектральной задачей Манакова, но, как будет ясно из дальнейшего, между ними существуют и еще более глубокие математические связи, и возможны дальнейшие обобщения на многополевые случаи. Другая группа многополевых интегрируемых нелинейных уравнений имеет иную спектральную задачу, характеризующуюся симметричными по обеим диагоналям матричными элементами размером 2 х 2 в спектральном операторе дираковского типа, и они также вписываются в общий формализм, называемый матричной АКНС-иерархией, изучению которой посвящена гл. 8. В эту группу прежде всего входит система, описывающая солитоны Рэлея. Что касается остальных уравнений, входящих в эту иерархию, то применения им в описании физических явлений пока не найдено. Конечно, этими уравнениями не ограничивается список многополевых интегрируемых моделей, и в качестве дополнительного примера можно указать на нелинейную одномерную модель классической теории поля с внутренними степенями свободы [2], систему уравнений для резонансной триады Бенни-Захарова (см. часть 1, гл. 3, формулы (3.92), (3.95)), уравнения трехволнового взаимодействия и т. д. (здесь они рассматриваться не будут, поскольку эти модели не вписываются в формализм матричной АКНС-иерархии [3]).

Особое место с математической точки зрения занимают матричное уравнение Кадомцева-Петвиашвили (слабодвумерные солитоны Рэлея) и уравнения Дэви-Стюартсона, которые, как было уже сказано выше, являются единственными представителями двухполевых и одновременно двумерных эволюционных интегрируемых уравнений, имеющих приложение в описании физических явлений [4].

191191Введение к части II

191

191

Большая часть из перечисленных выше одномерных динамических моделей будет, насколько это возможно, систематизирована и рассмотрена с единых Ли-алгебраических позиций, как с точки зрения признаков их полной интегрируемости и гамильтоновой формулировки, так и со стороны возможных обобщений на многополевые случаи и построения на этой основе иерархических структур, включающих в себя, как частный случай, хорошо известную АКНС-иерархию для эталонных скалярных солитонных уравнений.

Глава 6

ОБ ИНТЕГРИРУЕМОСТИ МНОГОПОЛЕВЫХДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Вводные замечания

Интегрируемым динамическим моделям посвящено достаточное количество содержательных монографий и обзоров [5-9], поэтому здесь можно ограничиться упоминанием лишь некоторых (наиболее важных для дальнейшего изложения) аспектов этой теории, касающихся, в основном, многополевых обобщений скалярных эволюционных уравнений. Поскольку в определении интегрируемых систем в существующей литературе имеются разночтения, то в дальнейшем будем придерживаться следующих воззрений по этим вопросам.

Интегрируемой моделью будем считать такую систему нелинейных уравнений, допускающую представление Лакса (либо, в более современном смысле, представление нулевой кривизны, или представление с помощью обобщенной АКНС-техники), у которой имеется счетное число интегралов движения и для исследования динамики которой применимы метод обратной задачи рассеяния, задача Римана, 8-интегрируемость; сюда же относятся и системы, которые могут быть проинтегрированы посредством замены переменных либо посредством анзаца (С-интегрируемость), а также проинтегрированы прямыми методами Хироты.

Вполне интегрируемой динамической моделью назовем гамильтонову интегрируемую систему, для которой можно найти переменные типа действие-угол и переписать через них гамильтониан системы. Заметим, что гл. 7 и 8 будут посвящены исключительно рассмотрению гамильтоновых многополевых динамических моделей.

Представление Лакса интегрируемых уравнений

Общие положения. Пионерская работа Лакса [10] оказала существенное влияние на развитие метода обратной задачи рассеяния (МОЗР) и способствовала лучшему пониманию его математической природы. Мы начнем с краткого рассмотрения тех идей, которые легли в основу этой работы.

Пусть даны два оператора L, А, при этом предполагается, что для оператора L поставлена спектральная задача, а оператор А определяет эволюцию собственной функции V(x,t) по времени:

(6.1)(6.1)LV = XV

(6.1)

(6.1)

vt = AV.

Исторически Лакс применил свои идеи к нелинейному уравнению Кортевега-де Фриза и мы будем следовать этому рассмотрению. Хорошо известно, что с уравнением КдФ связана задача рассеяния для уравнения Шрёдингера (не путать с НУШ). Следовательно, в этом случае вид оператора L определяется выражением

L =(6-2)

ОХ

Вычисляя производную по времени от первого уравнения (6.1) и предполагая, что собственные значения оператора L не зависят от времени, т. е. А* = 0, получим следующее соотношение:

LtVxLVt = XVt.(6.3)

Подставим в это уравнение второе выражение (6.1) и в полученном соотношении учтем, что XV можно заменить на LV, после чего получаем условие, которое необходимо для совместности (6.1):

Lt + \L,A\=O,(6.4)

где [Л, Л] = LA — AL (коммутатор L и Л). Это и есть знаменитое уравнение Лакса, которое содержит нелинейное эволюционное уравнение (в данном случае КдФ), если L и А («пара Лакса») правильно выбраны. Лакс [10] указал, как по заданному L (6.2) построить такой оператор А, чтобы уравнение (6.4) было нетривиальным т. е.

Я = -4Л+ 3Ц5 + 5 Л+с.(6.5)

дх3 V Эх ЭхЛv ’

В дальнейшем этот метод им был обобщен с целью получения бесконечной иерархии уравнений типа КдФ с высшими степенями, т. е. было показано, что существует бесконечная последовательность дифференциальных по х операторов А всех нечетных порядков типа (6.5). Впоследствии оказалось, что представление нелинейных эволюционных уравнений в виде пары Лакса свойственно всем интегрируемым системам вроде КдФ, НУШ, sin-Гордон и т. д. и, как будет показано ниже, этими же свойствами обладают все рассмотренные в первой части книги двухполевые динамические модели, описывающие различные физические явления.

7 В. И. Наянов

Векторное нелинейное уравнение Шрёдингера. Итак, начнем с рассмотрения векторного нелинейного уравнения Шрёдингера, поскольку эта модель была проанализирована первой в контексте двумерной самофокусировки электромагнитного излучения в среде с кубической нелинейностью. В своей оригинальной постановке задачи Манаков нашел для этого уравнения пару Лакса, которая выглядит следующим образом [11] (см. раздел 1.2.2, часть 1):

/1 — р

L = i 0

\ о

0

1 +р

0

о \

0 1 (Г

1 +Р/

/ 0

+ ( Е\

\е2

Ex ЕА

00

00

,(6.6)

/_\М±Г£

-т2Г

1 -р

д02

ОХ

+

iEl,x

iM 1 + р

Е2Е*

1 Гр

,(6.7)

\

M_ 1 + р

\М.

1 Гр )

где и = 2/(1 -р2). Дифференциальные операторы (6.6)-(6.7), будучи подставленными в уравнение Лакса

дают векторное НУШ, которое в покомпонентной записи сводится к следующей системе уравнений (сравни с выражениями (1.26), раздел

1.2.2)

^ + ^ + ^.l2 + lWi=o,.Э^ + ЭЕ2 + X^|S1|2 + \е2\2)Е2 = 0.

Ух

Из вида спектральной задачи (верхнее уравнение (6.1)) с оператором L, который определяется соотношением (6.6), может сложиться мнение о ее неадекватности рассмотренной ранее для векторного НУШ (см. раздел 1.2.2 уравнение (1.31)). На самом деле это не так, и сейчас будет показана их эквивалентность. Для этого рассмотрим спектральную задачу для оператора L : Lip = Хер, и совершим замену [11]

Г\ = (1 + р)^2ехр f —г-Г\ = (1 + р)^2ехр f —г-а2-Р /а2-Р /(6.10)(6.10)

Г\ = (1 + р)^2ехр f —г-

Г\ = (1 + р)^2ехр f —г-

а

2

-Р /

а

2

-Р /

(6.10)

(6.10)

х /2,3-х /2,3-Уг.з = (1 -р)1/2ехр ( -г-?

х /2,3-

х /2,3-

\ V — р

Вектор-столбец VT (Уь У?, ^) удовлетворяет уравнениям

гдегде/АЭх-q\-92LV = £V,L = г-91^-92*э Эх 00эЭх/А = Хр 1-р2’•91,2 (х) = -г(1-рЗ,1/2 ^1.2-/АЭх-q\-92LV = £V,L = г-91^-92*э Эх 00эЭх/А = Хр 1-р2’•91,2 (х) = -г(1-рЗ,1/2 ^1.2-(6.11)(6.11)

где

где

/А

Эх

-q\

-92

LV = £V,

L = г

-91

^-92*

э Эх 0

0

э

Эх/

А = Хр 1-р2’

•91,2 (

х) = -

г

(1-рЗ

,1/2 ^1.2-

/А

Эх

-q\

-92

LV = £V,

L = г

-91

^-92*

э Эх 0

0

э

Эх/

А = Хр 1-р2’

•91,2 (

х) = -

г

(1-рЗ

,1/2 ^1.2-

(6.11)

(6.11)

Нетрудно видеть, что (6.11) полностью совпадает с системой уравнений (1.32), что и требовалось показать. Таким образом, некоторому эволюционному уравнению соответствует единственная спектральная задача. С другой стороны, как было показано, векторному НУШ, векторному мКдФ и, наконец, векторному уравнению МБ ассоциируется единственная задача Манакова, т. е. у нескольких динамических моделей может быть одна и та же задача на собственные значения.

Векторное модифицированное уравнение КдФ. Тогда естественно поставить вопрос о нахождении пары Лакса, соответствующей векторному мКдФ. Оказалось, что для заданного оператора L вида (6.6) не существует простой дедуктивной процедуры для нахождения операторов эволюции А (фактически, нахождение пары Лакса), соответствующих этому векторному уравнению. Тем не менее, подобный оператор эволюции можно найти, и для этой цели проделаем следующее. Представим спектральную задачу Манакова, т. е. оператор L в виде

LV = <V,LV = <V,0 s-6 ° -J0 s-6 ° -J(6.12)(6.12)

LV = <V,

LV = <V,

0 s

-6 ° -J

0 s

-6 ° -J

(6.12)

(6.12)

где теперь уже VT (Vi, V2, ^з, ^4) • Матричный оператор (6.12) представляет собой матрицу размером 4 х 4, а спектральная задача Манакова, ассоциированная уравнениям (6.9), есть не что иное, как система четырех линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами. Легко усмотреть, что первые два уравнения этой системы, как это следует из вида (6.12), одинаковые, так что независимых уравнений остается только три, и тогда спектральная задача превращается в систему трех линейных уравнений с оператором L так, как это было представлено в (6.11). Теперь появилась возмож-

ность записать эту спектральную задачу в виде блочной матрицы 2x2

£Ф = £Ф,£Ф = £Ф,L = iL = i(6.13)(6.13)

£Ф = £Ф,

£Ф = £Ф,

L = i

L = i

(6.13)

(6.13)

где блочный вектор-столбец имеет вид Ф^Ф^Ф^), Фf(Vl,V2), Ф^ (Рз, V4), I2 — единичная матрица 2x2, (п)+ означает эрмитовую сопряженность, а для матрицы и имеем

(6.14)(6.14)А 91 92А\91 92/ ‘

(6.14)

(6.14)

Запишем искомый оператор эволюции А в виде блочной матрицы 2x2

А=^, А')’(6Л5)

здесь под А, В, С, А! понимаются некоторые матрицы размером 2x2, подлежащие определению. Подстановка оператора L (6.13) и А (6.15) в уравнение Лакса дает

Аж — иС — Ви^ = О, А'х + Си + и^В = О, ut - Вх - Аи + иА' - 2г<В = 0,(6.16)

и^ + Сх + и^А - А'и+ - 2i^B = 0.

При выводе (6.16) было использовано, что

Э Э . Эи— и = и — + —ох ох ох

и, для того чтобы исключить производные от собственных функций Ф, применялось уравнение (6.13). Если выбрать матрицы А, А', В, С соответственно в виде

А = —4г£3 — 2г£ш1А — иих + ихи^,

А' = 4г£3 + 216^и - и+ихихи+, ж(6.17)

В = 4Си + 2г^их — ижж + 2w+u,

С = 4£2и+ — 2г^их — ихх + 2u+w+,

то, как нетрудно проверить, последние уравнения (6.16) при таком выборе матриц А, А'В, С приводят к системе матричных уравнений мКдФ

ди , д3и , о /ди _L , \ди\

— + —т + 3 — и^и + иг — = О, at Эх6 \охдх /

(6.18)(6.18)Эи+ <П£1 di Эх3Эи+ <П£1 di Эх3= 0.= 0.dtdt*dq2 * d / J d3qx _ n91 d^ + 92^(9192) ^Лл ’*dq2 * d / J d3qx _ n91 d^ + 92^(9192) ^Лл ’dq^dtdq^dt*dql . * d /xd3 q^ _ n92 1" 91 Ъ- (9192) + _ з — 0.2 дх 1 дх v7Эх3*dql . * d /xd3 q^ _ n92 1" 91 Ъ- (9192) + _ з — 0.2 дх 1 дх v7Эх3(6.19)(6.19)Подстановка выражения (6.14) в любое из уравнений (6.18), дает векторное мКдФ, которое в покомпонентной записи имеет вид

(6.18)

(6.18)

Эи+ <П£1 di Эх3

Эи+ <П£1 di Эх3

= 0.

= 0.

dt

dt

*dq2 * d / J d3qx _ n

91 d^ + 92^(9192) ^Лл ’

*dq2 * d / J d3qx _ n

91 d^ + 92^(9192) ^Лл ’

dq^dt

dq^dt

*dql . * d /xd3 q^ _ n

92 1" 91 Ъ- (9192) + _ з — 0.

2 дх 1 дх v7Эх3

*dql . * d /xd3 q^ _ n

92 1" 91 Ъ- (9192) + _ з — 0.

2 дх 1 дх v7Эх3

(6.19)

(6.19)

При условии q\ = q*, q2 = q^ система уравнений (6.19) идентична системе (3.76) (см. часть 1, раздел 3.4).

Эволюционные уравнения для солитонов Рэлея. Рассмотрим теперь, как выглядит представление Лакса для динамической модели, описывающей солитоны Рэлея. Как было уже показано, эта модель может быть записана в виде системы двух уравнений

Qt + 2qqx + 2аггж + qxxx = 0,

(6.20)

rt + (1 + v) (qr)x + rxxx = 0,

или в форме одного матричного уравнения КдФ

^t "Р (ш/)ж 4" иххх 0,(6.21)

где матричная размером 2x2 функция и (х, t) определена выражением (сравни с выражением (4.36), раздел 4.4.3)

/ f q^X гЦ4)\

u(x,t)=\\.(6.22)

\шдхД) vq(x,t)y

Матричная форма записи системы уравнений (6.20) наводит на мысль об идентичности структуры матричных операторов L и А скалярному случаю (см. формулы (6.2), (6.5) [12]). Действительно, если записать оператор L в виде

L =92 + ^(^Д),(6.23)

\дх у

а оператор эволюции А в форме, аналогичной дифференциальному оператору (6.5),

А=-4(А\12+зиЛ_+з9(6.24)

\дх3)дх дх

то, как нетрудно проверить прямой подстановкой этих операторов в уравнение Лакса, результатом будет матричное уравнение КдФ (6.21), а, следовательно, и динамическая модель (6.20).

Что касается представления Лакса для уравнения Захарова-Бенни и для двумерных динамических моделей, т. е. уравнения Кадомцева- Петвиашвили и его матричного обобщения, то эти вопросы были рассмотрены в первой части книги.

Связь солитонных уравнений с представлениемнулевой кривизны

Общая схема. Рассмотрим общую схему получения представления нулевой кривизны, о котором мы уже кратко упоминалось выше. Таким математикам, как Пенлеве, Гарнье и Шлезингер, работавшим в начале прошлого столетия над теорией дифференциальных уравнений, было хорошо известно, что интегрируемые нелинейные дифференциальные уравнения в частных производных возникают как условия интегрируемости, когда обыкновенные линейные дифференциальные уравнения преобразуются таким образом, чтобы сохранялись некоторые «характеристики» уравнений. Так, интегрируемые нелинейные уравнения для двух независимых переменных, которые возникают благодаря изоспектральным деформациям, получаются из уравнений вида , х

^т =роглм^ллс (6.25)

где V(x,t,£) есть n-координатный вектор-столбец в некотором функциональном пространстве, подвергаемый деформациям

9VW,0 =Q^t,СМОЛЛС (6.26)

сохраняющим спектр (d^/dt = 0, если У(хДД) есть решение), £ — спектральный параметр. Легко проверить, что условия совместности d^V/dtdx = d^Vfdxdt дают следующее интегрируемое нелинейное уравнение:

Pt = DQ, D=^-+[,P], (6.27) ox L J

Производные в (6.27) суть полные производные для матричных функций Р и Q, которые, вообще говоря, зависят от множества функций ^(x,t), г = 1,...,т} и их производных по х. Уравнения (6.27) должны быть независимы от £ и получили в литературе название представление нулевой кривизны, которое является альтернативным представлению в форме Лакса (L, Л-пара) [10]. Здесь необходимо сделать следующее замечание. Дело в том, что в отличие от представления в форме Лакса, в случае представления нулевой кривизны существует стройная процедура нахождения вида операторов эволюции для вполне конкретной задачи на собственные значения, ассоциирован-

ной интегрируемым динамическим моделям, которая будет подробно рассмотрена в гл. 8. Ниже, при рассмотрении уже известных из первой части книги двухполевых солитонных уравнений, воспользуемся результатами, полученными в упомянутой главе с помощью матричной АКНС-иерархии.

Матричное нелинейное уравнение Шрёдингера. Перейдем теперь непосредственно к рассмотрению векторных уравнений НУШ, мКдФ и МБ, поскольку им ассоциирована единая для всех спектральная задача Манакова. В отличие от формы записи в представлении нулевой кривизны операторов Р и Q в виде матриц размером 3x3, так, как это было сделано в оригинальной постановке (см. работы [11, 13, 14]), здесь будет использован формализм матричных 4x4 операторов, которые допускают запись в виде блочных матриц 2x2. Это связано с тем, что подобный формализм позволяет, как будет показано в дальнейшем, с единых позиций рассматривать свойство полной интегрируемости различных многополевых динамических моделей.

С этой целью выберем оператор Манакова Р (х, t, £) в виде блочной матрицы 2x2 (сравни с выражением (6.13))

(6.28) \г£12/

где /2 — единичная матрица 2x2, а и — матрица размером 2x2, которая имеет вид

“ " V 2■(6'29)

Если выбрать оператор эволюции Q в следующей блочной форме (подчеркнем, что вид этого оператора в гл. 8 будет получен совершенно формальным путем), т. е.

-/-2гЩ2 + —\

Q=,®,(6.30)

। , .Эи^ о ииСи

то, как нетрудно убедиться прямой подстановкой (6.28) и (6.30) в уравнение в представлении нулевой кривизны (6.27), получаем следующее матричное уравнение:

+ ии^и = 0.(6.31)

dt Эх2

Уравнение (6.31) получило в литературе название матричное НУШ. Заметим, что в общем случае в этом уравнении матрица и(яЛ) может иметь размер N х N и тогда (6.31) фактически, представляет собой N — компонентное обобщение НУШ. Подставляя выражение для матричной функции и (т. е. (6.29)) в матричное НУШ получаем урав-

нения (6.9), которые описывают двумерную самофокусировку электромагнитного излучения в кубически нелинейной оптической среде, если переменную t заменить на z.

Система двух матричных модифицированных уравнений КдФ. Ниже рассмотрим представление нулевой кривизны для системы матричных мКдФ. Для этого представим опять оператор Манакова Р, обобщенный на случай TV-компонентного пространства, в виде блочной матрицы 2x2

РОЛ^=( l^N \ wРОЛ^=( l^N \ wи \и \(6.32)(6.32)

РОЛ^=( l^N \ w

РОЛ^=( l^N \ w

и \

и \

(6.32)

(6.32)

где и и ш в общем случае — матричные функции — могут быть выбраны размером N х N, которые мы определим позже, тогда In — единичная матрица ранга N. Далее оператор эволюции выберем в следующей форме:

/ л, ди dw~, ^.^дид2 и\

—4гР - 2z£uw + —ш -4Ри + 2и/иш + 2гЕ-

q _дх дхдх Эх2

4Pw + 2wuw ——~ 4гР + 2гРш + —- и — w— t

\дхЭх2дх дх )

(6.33)

И здесь следует отметить, что без формализма матричной АКНС-иерархии практически невозможно найти правильную форму этого оператора эволюции и доказать тем самым интегрируемость матричного (в частном случае векторного) мКдФ. Этот факт является лишним свидетельством той полезности, которую скрывает в себе развиваемый в гл. 8 анализ с единых Ли-алгебраических позиций.

Подставим эти операторы в уравнение нулевой кривизны (6.27), в результате чего получим (сравни с (6.18))

(6.34)

Если теперь выбрать и и ш в виде

г и = ——V2г и = ——V2( Щ1Щ+1( Щ1Щ+1А_А_А_А_Т W = и ,Т W = и ,(6.35)(6.35)

г и = ——

V2

г и = ——

V2

( Щ1

Щ+1

( Щ1

Щ+1

А_

А_

А_

А_

Т W = и ,

Т W = и ,

(6.35)

(6.35)

то легко показать прямой подстановкой их в (6.34)), что получается следующая система модельных уравнений (см. гл. 2, уравнение (2.117)):

дЛ+1 <^4+i9t Эх3дЛ+1 <^4+i9t Эх3+ ЗА+i+ ЗА+iЭЩ1ЭхЭЩ1Эх+ ЗЛ_1+ ЗЛ_19А^\А_\Эх9А^\А_\Эх= 0,= 0,ЭА\д3Л 1 „ . дАЛ . 9А+1А-1dt Эх5ОхЭхЭА\д3Л 1 „ . дАЛ . 9А+1А-1dt Эх5ОхЭх= 0.= 0.(6.36)(6.36)

дЛ+1 <^4+i

9t Эх3

дЛ+1 <^4+i

9t Эх3

+ ЗА+i

+ ЗА+i

ЭЩ1

Эх

ЭЩ1

Эх

+ ЗЛ_1

+ ЗЛ_1

9А^\А_\Эх

9А^\А_\Эх

= 0,

= 0,

ЭА\д3Л 1 „ . дАЛ . 9А+1А-1

dt Эх5ОхЭх

ЭА\д3Л 1 „ . дАЛ . 9А+1А-1

dt Эх5ОхЭх

= 0.

= 0.

(6.36)

(6.36)

Нетрудно видеть, что (6.36) есть покомпонентная запись векторного уравнения мКдФ. Подобное исследование подтверждает тот факт, что общая система матричных уравнений мКдФ (6.34) находит реальное физическое воплощение.

Векторное укороченное уравнение Максвелла-Блоха. Обратимся теперь к системе уравнений укороченных уравнений Максвелла-Блоха ((2.43) или к уравнению (2.45), гл. 2) и покажем, что и в этом случае их можно представить в виде уравнения нулевой кривизны (6.27). Действительно, для данной модели в качестве оператора спектральной задачи выступает опять задача Манакова, т. е.

(6.37)(6.37)-teh n/2\=. pi ел

(6.37)

(6.37)

-и+и еА

Тогда оператор эволюции, если его выбрать в виде блочной матрицы 2x2z х

1 / А р \

<Ж^£) = Ж ,, ,(6.38)

s и у

где h, е, /, Ы — матричные функции 2x2 следующего содержания:

гц + п2 /1 1\_ 1 /Р Q\ р_ (Р12гQj’ J \Qгц + п2 /1 1\_ 1 /Р Q\ р_ (Р12гQj’ J \Qh' =h' =п2 — 2ni/6ziRп2 — 2ni/6ziRiRTi\ — 2п2/6гiRTi\ — 2п2/6гF\QJ ’ (6.39)F\QJ ’ (6.39)

гц + п2 /1 1\_ 1 /Р Q\ р_ (Р

12гQj’ J \Q

гц + п2 /1 1\_ 1 /Р Q\ р_ (Р

12гQj’ J \Q

h' =

h' =

п2 — 2ni/6ziR

п2 — 2ni/6ziR

iR

Ti\ — 2п2/6г

iR

Ti\ — 2п2/6г

F\

QJ ’ (6.39)

F\

QJ ’ (6.39)

то, подставляя (6.37)-(6.39) в (6.27), получим приравниванием коэффициентов при ^° векторное уравнение Максвелла-Блоха (см. (2.45))

Еж, - 2т0Е - 2 J [е (ж) (Е2 (т'^Е (/) (Еж (/) Е (ж)) +

°°+ Еж (т') (Е (/) Е (ж))] сЫ = 0, (6.40)

где Е — вектор напряженности электрического поля световой волны с компонентами Е\ и Е2.

Матричное уравнение КдФ. До сих пор рассматривались динамические модели, у которых в качестве ассоциированной задачи на собственные значения выступала одна и таже спектральная задача Манакова. Сейчас рассмотрим другую возможность выбора вспомогательной задачи на собственные значения, т. е. выберем спектральный

U \U \(6.41)(6.41)оператор Р (х, t, £) в виде

U \

U \

(6.41)

(6.41)

\ 1N

где матрица и^х, t) может иметь размер N х N, а в частном случае дается выражением (6.22). Оператор (6.41) полезно выразить через блочные матрицы, аналогичные по структуре обычным матрицам Паули

0In\/ 0—Un\(In 0 \

/tv0 J\%In 0 у\0”^/(5 42)

У+ = | (<Т1 + го^ ; <т_ = ^ (оч - га^) ■

Действительно, тогда для Р (х, t, £) имеем

Р = (<7_ + [7(т+) - г^з,(6.43)

где блочная матрица U дается выражением

U =U =и0и0ОиОи(6.44)(6.44)

U =

U =

и

0

и

0

О

и

О

и

(6.44)

(6.44)

в следующемв следующемТеперь оператор эволюции Q (х, t, £) можно записать ] виде:

в следующем

в следующем

Q (х, t, £) = ^- <т3 + %Ц (<7_ + Ua+) + ^ (Сс^ -Ua0 +

^иж<та^и<т_^(и2 Циж^<т+. (6.45)

Выражение (6.44) — это фактически другая форма записи (через блочные матрицы Паули) матричного оператора эволюции (6.33) при условиях, что w = I2, ^ = 4. Непосредственной подстановкой (6.41) и (6.45) в уравнение в представлении нулевой кривизны (6.27) убеждаемся, что оно приводит к уравнению КдФ относительно матричной размером N х N функции u(x,t) (см. уравнение (6.20)), из которого следует система модельных уравнений, описывающая солитоны Рэлея (6.21). Найденная задача на собственные значения в виде оператора (6.41), ассоциированная с модельными уравнениями (6.20), описывающими солитоны Рэлея, является фундаментом для построения метода обратной задачи рассеяния с целью нахождения общего аналитического решения этих уравнений.

Обобщенная АКНС-техника

Общая постановка задачи. Распространение идей нахождения общего аналитического решения на определенные классы нелинейных уравнений (6.27), заданных в области (—ос < х < ос), до-

стирается путем создания определенной схемы, называемой обратным преобразованием рассеяния, между неизвестной зависимой переменной эволюционного уравнения и данными рассеяния. Ассоциированную задачу на собственные значения (6.25) представим теперь в следующем виде [15]:

Vx = ^Ro + Р (х, t)) V, —ос < х < ос,(6.46)

Ro — есть постоянная диагональная матрица ранга N с нулевым следом. Пусть Ф — фундаментальное матричное решение (6.46). Тогда для действительных £ определим матрицу рассеяния А^, t) (не путать с оператором эволюции в паре Лакса A(x,t,^)) как

Ф (х = -оо, t, £) = Ф (х = оо, t, £) А (£, t).(6.47)

Начиная с известной задачи на собственные значения вида (6.46), можно найти интегрируемый класс уравнений типа (6.27) с помощью процедуры, предложенной Ньюэллом, названной обобщенной АКНС-техникой [15].

Изложим суть этой процедуры. Для этого положим в (6.46) V = Ф. Предположим далее, что Р(х, t) 0 при х —> ±сю и, следовательно, Ф ехр(хР^), х ±оо. Развиваемый ниже анализ не исключает из рассмотрения случай Р const при х ±оо, который будет рассмотрен в дальнейшем. Продифференцируем (6.46) по t и, умножая результат слева на Ф-1, имеем:

Ф^Ф^ф-ЩФ + ф-ЩДо + ЭД.(6.48)

Далее, дифференцируя равенство ФФ-1 = I по ж, разрешая его относительно Ф”1 и используя (6.46), получим

Ф^Ч = -ф-'Ф.Ф’Щ = -Ф"1 Оо + F) Ф^ (6.49)

Комбинируя (6.48) и (6.49) и интегрируя по х вдоль всей оси, получаем в результате

Фt = Ф j ф-Щфйж.(6.50)

Это равенство было получено при условии Ф^(ж±,^)0, если х —>

—сю. Действуя аналогичным образом, можно показать, что имеет место следующее равенство:

Ф$ = жД0Ф-Ф | ф-ЩЯо.^ФД/,(6.51)

где было использовано соотношение

| Ф-1х \Rq, Р] $dy = | х (Ф-1РоФ)жФ«

—L— L

Вспоминая связь фундаментальных матричных решений с матрицей рассеяния (6.47) и устремляя ж ею, получим

A"1At= J Ф"1pФdx(6.52)

И

-А^А^ | Ф"ххр0,Ррх.(6.53)

Далее можно показать, что

J Ф"1 \С,Р\Ф<1х = (Ф-’СФ),^,

если [До, С\ = 0, а С — постоянная диагональная матрица; в этом случае будем иметь

А"Х\С,А\= J Ф"1 \C,P^dx.(6.54)

DHf = ^Hf + [Hf, P]f +DHf = ^Hf + [Hf, P]f +Покажем, следуя работе [15], что эффекты умножения левых частей уравнений (6.52)-(6.54) на £ проявляются как действие на матрицы Pt, ж^о,^] и [С, Р] оператором Dr, который является интегро- дифференциальным оператором и зависит от неизвестной искомой матричной функции P(x,t\ В линейном пределе этот оператор есть просто д/дх. Если Нр — недиагональная матрица, определим ее диагональное дополнение Нр через j [Нр, P]D dy, где индексы F и D относятся к недиагональной и диагональной компонентам рассматриваемых матриц. Пусть HF = (hlm), тогда HFR = (Jiim/i(J3t - 0т)), где До = ЦРАт), так что [Rq,Hfr\ = Нр. Оператор DRHF есть DHFR. Будем понимать под оператором DHp следующий интегро- дифференциальный оператор:

DHf = ^Hf + [Hf, P]f +

DHf = ^Hf + [Hf, P]f +

^HF,P^Ddy,P = ^рн,р\ = Ьн,

Ж(6.55)

где Н = HF + Hd и рп, Д] = 0. Используя определения HF, Hq и Dr, а также D в выражении (6.55), имеем, учитывая [До, Др] = 0,

Ф"ХОНРФ = Ф"1 (ЭН/дх + ун,Р^Ф = Ф-^ЯФ + ^Ф"1 [Д0,Нд]Ф.

(6.56)

Далее можно показать, что

ФЯНрФ= (Ф-’ЯФЦ + ^Ф"1 [Д0,Нд]Ф.(6.57)

Теперь рассмотрим ряд, определенный следующим образом: пусть

Qsf = (^д-1 [^ ^])д ? Qsd = | \Qsf, Р^п^’ s = 1,2,..., т,

так что(6.58)

так ЧТ°= CQm-X + . . • •(6.59)

и Qm = QmF + QmD- Тогда, учитывая (6.56) и (6.57), запишем

j Ф-х DR \С, Р^Ф dx = J Ф~1 DQmFФdx = (Ф-Д^Ф)]^.

°°°°(6.60)

Если Q (Dr, t) =^2 шт (^Dr^ то

j ф-ЩПкХ\С,Р\^х = (ф-ДФ)]^,(6.61)

где Q = ^2 Шт W Q^* При условии Р 0 (необходимо отметить, что это условие можно ослабить и положить Р —> const), когда х —> ±оо, следовательно, Q(m) д^т и q q ^ ^ q Определим последовательности {Т^}, е>Л аналогично вышеизложенному:

TiF = №^t) R ; TiD = | \TiF, P^D ^ Tt = TiF Р TiD; ^ > 1,

(6.62)

SlF = (D£XX [До, РЩ ; SlD = | VSlF, Д] dy; (6.63)

Si = TiF + Tid; I ^ 1

и т^ =д + д_1И... + ТС-1, sw = St + st_x^ + ... + sX-v.

Используя опять (6.56) и (6.57), а также (6.50) и (6.51), получим

j ф-xG(DR,t')PtФdx = (ф-1ТФ)Цоо + в(^Л)ф-1Ф(,(6.64)

где G (Dr, ^=^9г № Fr;T = F 9г № Т^ и

j ф-xF(DR,t')x\R0,P^Фdx =

= (ф-^Ф)]^-ддг) (ф-’ф5-жФ-’д0Ф), (6.65)

где F (DR,t) = F h ^ 1-46 ® = "F fl W ®^- Полученные уравнения (6.61), (6.64) и (6.65) при стремлении х ±оо и учете (6.47) доказывают утверждение, сделанное выше, о том, что умножение левых ча-

стей уравнений (6.52)-(6.54) на функции от £ (Q (£, t) ,F(^,t^,G ^, t)) соответствует действию операторов D(DR,t), F(DrA) и G(DR,t) на матрицы Pt, [С, Р], х [Rq, Р].

Теперь можно получить основной результат — из сравнения (6.61), (6.64) и (6.65) вытекает, что эволюционные нелинейные уравнения

G (Dr, t)Pt = D (Dr, t) [C,PHF (Dr, t) X [P0> F] (6.66) эквивалентны расцепляющейся системе дифференциальных уравнений для данных рассеяния

G «, t) At + F «, t) A^ = W^A - AW_, (6.67) где определено Ф-1 (-oo) (Q + S - T) (±oo) Ф (-ос) = W±, при ж сю. В большинстве случаев W± = Q (£, t) С, тогда окончательно имеем

G (С tUt + F (С tU^ = ^ (С t) [С, А]. (6.68)

Уравнения (6.67) или (6.68) тривиально интегрируемы.

Эволюционные уравнения для солитонов Рэлея. Основываясь на вышеизложенных результатах, заимствованных из работы [15], покажем, что для существующей задачи на собственные значения, ассоциированной модельным эволюционным уравнениям для солитонов Рэлея (6.20), можно найти такие условия, при которых эти уравнения полностью интегрируемы, т. е. когда (6.20) представимы в форме (6.66). Отметим, что привлекательность обобщенной АКНС-техники заключается в том, что для решения задачи Коши этим методом не требуется явного вида эволюционного оператора Q (х, t, £).

Итак, согласно формализму, рассмотренному выше, спектральная задача для эволюционных уравнений, описывающих солитоны Рэлея, записывается в форме (6.46), а матрицы Rq и P(x,t) для рассматриваемой модели имеют вид

Ro =—ia^; Р (x,t) = (cr_ + Ua^). (6.69)

Заметим, что в матрице Ro некоторые диагональные члены совпадают, но эта трудность преодолима с помощью обобщенной АКНС-техники. Далее, из вида матричной функции P(x,t) следует, что при х ±сю, Р = const, тогда как при выводе основных соотношений АКНС-метода предполагалось Р 0 при х —> ±сю. Однако, как выяснилось, обобщенная АКНС-техника работает и в этом случае. Теперь необходимо выбрать постоянную матрицу С, которая выглядит так:

С = <;R0. (6.70)

Сейчас изложим те соображения, которые легли в основу определения функций F, Cl, G от интегро-дифференциального оператора Dr в интегрируемом уравнении (6.66), применительно к рассматриваемой модели. Из вида предлагаемых нелинейных модельных уравнений (6.20) следует, что функция F должна быть равна нулю, поскольку

коэффициенты в этих уравнениях не зависят от координаты х. Далее, в уравнениях (6.20) коэффициенты при производных от искомых функций по t равны единице, в силу чего функция G также должна быть равна единице. Что касается функции Q, то ее вид диктуется наличием третьих производных по х от q(x,t) и r(x,t) в рассматриваемой модели. Следовательно, имеет смысл выбор Ю(РдД) в виде: Q(D^,t) = DR; Щ^Д) = С3 Таким образом, учитывая все вышеизложенное, запишем уравнения эволюции данных рассеяния (6.68) и уравнения движения (6.66), соответственно,

л = е3[см(ел)

ИPt = D3R [С, F].(6.72)

Первым шагом к нахождению (6.72) в явном виде является определение Q\p

Qxf = [C,P]r = ^[R3,P]r = qP- Q\d=0.(6.73)

Далее найдем

Q2F = Dr [С, P\R = sPh$ = гХ U$a+;

Q2D = ][Q2F,P]Ddy = -^Ua3-,<6-74)

Qs = Q2F + Q2D.

где U определено выражением (6.44). Применяя интегро-дифференциальный оператор Dr к Q^f, имеем для Q3F

Qsf = №ц = -i UxxaF + | Д2ст+ + | и<7-,(6.75)

а для Q3D

Q3D = | [ОзГ, P^D ^У = | Рх^З, Q3 = Q3F + Q3D- (6.76) ж

Поскольку в нашем случае Q (Dr, t) = У^ шт (t) DR = D^, постольку Q = Q^ = Q3 + Q2C + Qi^2 + ^3- Используя выражения (6.69), (6.70) и (6.73)-(6.75), получим окончательно для матричной функции Q выражение (6.45).

Что касается нелинейного эволюционного уравнения, то оно будет выглядеть так:

Pt = DQ3F или Ut<T+ = -S-Uxra<T+ + ^(U2X<T+.(6.77)

Для большей наглядностиДля большей наглядностипредставим это уравнение в развернутом

Для большей наглядности

Для большей наглядности

виде:/0 0о о о о\о овиде:/0 0о о о о\о о/о о/о оо\°о\°о о о оо о о оа(1 + и)(дг)жОоа(1 + и)(дг)жОо(1+у)(Нж \(1+у)(Нж \(6.78)(6.78)

виде:

/0 0

о о о о

\о о

виде:

/0 0

о о о о

\о о

/о о

/о о

о

\°

о

\°

о о о о

о о о о

а(1 + и)(дг)ж

Оо

а(1 + и)(дг)ж

Оо

(1+у)(Нж \

(1+у)(Нж \

(6.78)

(6.78)

qt п \

art vqt

Оо

о0 /

Приравнивая одинаковые элементы матриц, стоящих в левой и правой частях уравнения (6.78), получаем

% +(г2)ж=0,(6.79)

Tt + |гжжж -(1 +и) (дг)ж = 0,(6.80)

vqt + F“T ~ ^ (92)ж - ^= 0.(6.81)

Здесь не выписывается четвертое уравнение, поскольку оно полностью совпадает с (6.80). При и = 1 (6.79) и (6.81) становятся идентичными, в силу чего можно рассматривать только первые два уравнения (6.79) и (6.80). Нетрудно видеть, что при g = 4 и простой заменой переменных q и г (т. е. подходящим изменением масштаба зависимых переменных) эти уравнения сводятся к модельной системе эволюционных нелинейных уравнений (6.20).

Векторное нелинейное уравнение Шрёдингера. Теперь рассмотрим случай, когда в качестве модельных уравнений выступает векторное НУШ, поскольку в этом примере роль ассоциированной задачи на собственные значения также играет задача Манакова. Поскольку задача Манакова представляет собой систему трех линейных дифференциальных уравнений первого порядка, постольку здесь будем иметь дело с матричными операторами 3x3. Поступим аналогично вышеизложенному, т. е. для определения функций РД,С основываемся опять на соображениях, диктуемых структурой векторного НУШ. Из вида предлагаемых нелинейных модельных уравнений (6.9) следует, что функция F должна быть равна нулю, поскольку и в этом случае коэффициенты в этих уравнениях не зависят от координаты х. Далее, в уравнениях (6.9) коэффициенты при производных от искомых функций по t равны единице, и, следовательно G = 1. Что касается функции Q, то ее вид диктуется наличием вторых производных по х от q(x,t) и r(x,t) в рассматриваемой модели, что влечет за собой условие В(ВкД) = В^ Q (^Д) = £2. Итак, пусть матрицы Р, С и Ro выглядят следующим образом (это диктуется видом спектральной

задачи Манакова):

/ 0qА/-10 0\/-2О0\

Р = laq* 0 0 , С = 9г О О 0 , Rq = г О 1 0 .

\рроо)\оо о/\00V

(6.82)

Далее получим уравнения эволюции данных рассеяния (6.68) и уравнения движения (6.66) соответственно

Аг = ЩС,А\(6.83)

Ио

Pt = D2R\C,P^=DQ2F.(6.84)

Поступая аналогично тому, как это было сделано в случае модельных уравнений, описывающих солитоны Рэлея, находим для Q\p следующее выражение:

(

О q А

aq* 0 0 = ЗР,(6.85)

рр О О/

для Q^f-для Q^f-Qsf = (Dr [С.Р]^,Qsf = (Dr [С.Р]^,и Q\d = 0. Теперь перейдем ко второму этапу, т. е. найдем выражение

для Q^f-

для Q^f-

Qsf = (Dr [С.Р]^,

Qsf = (Dr [С.Р]^,

Мчч0х+3(гПх 00\(6 86)

[^,^]=г о-a(qqOx -«О*Щ •

\ о-P(qHx -3(rr*)J

Используя далее структуру матрицы Rq, получим

[Q2F, PL = [Q2F, Р^ и [Q2F, P]f = 0.(6.87)

Далее имеем

A(qq*)^P(rP) 00\

Qsd = -Л0-ct(qq*) —a(q*r) j ,(6.88)

\о-P(qA) ~P(rP)/

после чего, учитывая уравнение движения (6.83), окончательно приходим к системе модельных уравнений, используемых Манаковым для описания самофокусировки электромагнитных волн в кубически нелинейной оптической среде (сравни с системой уравнений (6.9))

(6.89)(6.89)qt = г Щх - 2aq2q* - 2ArPq),i*t = г (rxx - 2aqq*r - 2Рг2Щ .

(6.89)

(6.89)

Вполне очевидно, что при помощи обобщенной АКНС-техники можно доказать интегрируемость и других динамических моделей, таких, например, как векторное уравнение мКдФ, векторное уравнение МБ, уравнения трехчастотного взаимодействия и т. д. Читателю предлагается проделать подобное в качестве упражнения.

Глава 7

МЕТОД ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ РАССЕЯНИЯИ ДВУХПОЛЕВЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ

Вводные замечания

Центральной идеей в решении задачи с начальными условиями для нелинейных эволюционных дифференциальных уравнений (задача Коши) является преобразование этих уравнений в расцепляющуюся систему обыкновенных дифференциальных уравнений, тривиально интегрируемых. Примерами могут служить использование метода Фурье для решения линейных дифференциальных уравнений или метода характеристик для гиперболических систем. В первом случае преобразование является каноническим и для консервативных систем трансформированные переменные модуль и фаза комплексного преобразования Фурье соответствуют каноническим переменным типа действие — угол. Новое нелинейное преобразование отличается от преобразования Фурье тем, что спектр, поскольку рассматриваются уравнения в частных производных на всей прямой, состоит не только из вещественных волновых векторов к, а содержит и конечное число изолированных комплексных волновых векторов, которые и порождают устойчивые локализованные возбуждения, называемые солитонами.

Исторически метод обратной задачи рассеяния (МОЗР), открытый Гарднером, Грином, Крускалом и Миурой [1], был применен с целью нахождения общего аналитического решения задачи Коши для уравнения Кортевега-де Фриза. Вторым уравнением, к которому был применен этот метод, является нелинейное уравнение Шрёдингера, а вспомогательная спектральная задача в этом случае получила название задача Захарова-Шабата/АКНС (Абловиц, Кауп, Ньюэлл, Сегур) [2, 3]. Во всех случаях, когда используется МОЗР Захарова-Шабата/АКНС, в качестве ассоциированной вспомогательной спектральной задачи на собственные функции и собственные значения выступает система двух линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами, т. е. задача, связанная с матричным оператором второго порядка дираковского типа. Вполне естественно, что рассмотренные в первой части книги многополевые динамические модели связаны с задачами рассеяния для операторов более высокого порядка. В общем случае для решения подобных нелинейных эволюционных уравнений необходимо привлекать задачи рассеяния с матричными п х п one-

раторами. Несмотря на то, что к настоящему времени общая теория МОЗР с такими операторами в основном построена [4-6], применение ее к конкретным многополевым динамическим моделям вызывает определенные затруднения, поскольку в общей постановке задачи имеют место слишком жесткие условия, которые довольно часто не выполнимы в конкретных рассматриваемых случаях. Именно поэтому, в данной главе, будет изложена и развита теория МОЗР с матричными операторами выше второго порядка, применительно к конкретным динамическим моделям (система эволюционных уравнений, описывающая солитоны Рэлея, векторное НУШ, векторное мКдФ и т. д.) [7, 8].

Метод обратной задачи рассеянияи динамическая модель, описывающаясолитоны Рэлея

Решения Йоста и матрица монодромии для быстроубы- вающих граничных условий. Рассмотрим подробнее вспомогательную задачу на собственные значения (6.25) с матричным оператором P(x,t,^ вида (6.41), ассоциированную динамической модели (6.20), описывающей поведение солитонов Рэлея, если в качестве матричной функции и(х, t) использовать выражение (6.22). Введем для выбранной таким образом спектральной задачи матрицу параллельного переноса вдоль оси х из точки у в точку х при фиксированном времени, которая называется матрицей перехода [9]:

ТО^УЛ) = ёхрДаХ^х,(7.1)

где интеграл понимается как мультипликативный [11]. Хорошо известно, что матрица перехода является решением дифференциального уравнения (6.26) и удовлетворяет следующему начальному условию

(7-2)

Здесь Д — единичная матрица 4 х 4. Из вида (7.1) вытекает следующее свойство матрицы перехода

т^,у,^ = т-Чу^ЛС(7.3)

Обратим внимание, что блочная матрица Р (х, £) содержит матрицы — блоки 2x2 симметричные по обеим диагоналям, а, следовательно, они являются перестановочными, если рассматривать случай о = 1 в уравнениях (6.20), поскольку при этом условии матрицу u(x,t) (соотношение (6.22)) можно представить также в симметричной по обеим диагоналям форме. Симметрия матричного оператора Р (х, £) определяет симметрию блоков в матрице перехода, в результате чего матрицы-блоки в Т(х,уД) перестановочны, т. е. Т^Т^ = Т^Т^. Это

свойство матриц блоков Т^, как легко показать, приводит к соотношению

(ТпТ22-Т12Т21)х = О.(7.4)

Следовательно, Т11Т22 — Т12Т21 не зависит от переменной х. Принимая во внимание начальные условия для матрицы перехода (7.2), находим, что

ТцТ22 - Т12Т21 = /2-(7.5)

Из (7.5) следует, что определитель матрицы перехода также не зависит от переменной х и в силу перестановочности матриц — блоков Tij выполняется следующее равенство

МТ О, У, 0 = M(TUT22-TV2T2V) = 1(7.6)

Согласно соотношениям (6.42), матрица Р (х, £) удовлетворяет условию инволюции

Р+И =а\Р<х,С>\.(7.7)

Здесь символ (+) означает эрмитовую сопряженность, а (*) — комплексную сопряженность. Этому же соотношению инволюции должна удовлетворять матрица перехода

Т+Цу^Щ^ТЦ.у.О,.(7-8)

Для матрицы перехода можно записать интегральные уравнения, которые по своей сути эквивалентны дифференциальной задаче (6.26), (7.2), ассоциированной модельным уравнениям (6.20) [10]

Т (ж, у,^ = ТЛх-уЛН\т (ж, № (г) Го (г - у, О (7.9) и

х

Т (ж, у, О = Го (ж - у, О +1 То (ж - О То (г) т (г, у, О (7.10)

где принято, что у < х. Матрица Pq имеет вид

Р0(х) = Ua+,(7.11)

здесь U определяется выражением (6.44), a Tq(x — y,Q — решение дифференциальной задачи (6.26), (7.2) при Ро = 0

Т0(х-уЛ) = ехр[(-г£оз + (т_)(ж-у)].(7.12)

ехр [(—^сг3 + ст_)(ж - у)] = Дсоз^ (у - ж) + -ехр [(—^сг3 + ст_)(ж - у)] = Дсоз^ (у - ж) + -Функция Т^(х — у,^) допускает разложение в степенной ряд, что приводит к соотношению

ехр [(—^сг3 + ст_)(ж - у)] = Дсоз^ (у - ж) + -

ехр [(—^сг3 + ст_)(ж - у)] = Дсоз^ (у - ж) + -

С^з -<Т-)81пЦу-ж),

(7.13)

так что матрица перехода (7.12) допускает представление

^ехргЦу-ж)0\

(1Д)/28т.Цж - у) /2 ехр гЦж - у)/''

Подставляя разложение (7.14) в (7.9), можно получить систему интегральных уравнений для матриц — блоков Тц,Т21

Т\ \ (х,у,0 = ехрг^ (у - ж) +|Тц (ж, z,^u (z) | sin£ (z - у) dz, (7.15) у

| sin^ (^ — ?/) dz,| sin^ (^ — ?/) dz,(7.16)(7.16)Г21 (ж, у, О = | sin г О - у) +1Т2] (х, z, О и (z)

| sin^ (^ — ?/) dz,

| sin^ (^ — ?/) dz,

(7.16)

(7.16)

и в (7.10) — для Т21,Т22, соответственно

Т21 (ж, у, 5) = | sin г (ж - у) + |и(г)|зш^(ж - z)T2i (z, у, 5) dz, (7.17)

Т22{х,у,О = ехР г (ж - у) + | и (z) | sin £ (ж - z) Г22 (z, у, £) dz. (7.18) у

Принимая во внимание, что элементы матрицы и^х, t) (функции q(x,t) и T^x,t^ являются функциями шварцевского типа, используя метод итераций Пикара и изменяя порядок интегрирования, получим решения этих уравнений в такой форме [11]:

2ж-т/

Гц (х, у, £) = ехрг^ (у — х) 1^ + j Г (х, у, z,) ехр г£ (2 — х) dz, (7.19)

Т21 (х, у, 0 = | sin^ (ж - у) /2 + |Т2\ (х.у,^ = |8т^(ж - у)У2 + |X^22 (ж,у,^) = ехргЦж - у)/2 + j‘ly-xТ21 (х, у, 0 = | sin^ (ж - у) /2 + |Т2\ (х.у,^ = |8т^(ж - у)У2 + |X^22 (ж,у,^) = ехргЦж - у)/2 + j‘ly-xГ (х, у, z,) sin £ (z — х) dz,Г (х, у, z,) sin £ (z — х) dz,(7.20)Г (х, у, z,) sin С (z — у) dz,(7.20)Г (х, у, z,) sin С (z — у) dz,2у-х2у-х(7.21)(7.21)Г (х, у, z,) ехр г^ (z — у) dz, (7.22)Г (х, у, z,) ехр г^ (z — у) dz, (7.22)

Т21 (х, у, 0 = | sin^ (ж - у) /2 + |

Т2\ (х.у,^ = |8т^(ж - у)У2 + |

X

^22 (ж,у,^) = ехргЦж - у)/2 + j

‘ly-x

Т21 (х, у, 0 = | sin^ (ж - у) /2 + |

Т2\ (х.у,^ = |8т^(ж - у)У2 + |

X

^22 (ж,у,^) = ехргЦж - у)/2 + j

‘ly-x

Г (х, у, z,) sin £ (z — х) dz,

Г (х, у, z,) sin £ (z — х) dz,

(7.20)

Г (х, у, z,) sin С (z — у) dz,

(7.20)

Г (х, у, z,) sin С (z — у) dz,

2у-х

2у-х

(7.21)

(7.21)

Г (х, у, z,) ехр г^ (z — у) dz, (7.22)

Г (х, у, z,) ехр г^ (z — у) dz, (7.22)

где для r(x,y,z) имеем интегральное уравнение (сравни с [12])

Xхz-\-v— y

2T(x,y,z) = | и (v) dv + j и (v) dv j Г (х, v, s) ds +

zVyz+yи

22

— у— у

+ | и (v) dv | Г (х, v, s) ds +|u (v) dv j Г (x, v, s) ds.

уz-v+yx2x-v

(7.23)

Что касается матричного ядра Г (х, у, z), то, как это нетрудно показать, для него выполняется следующее соотношение:

Г (х, у, z) = -Г (у, х, z).(7.24)

Чтобы получить (7.23), достаточно, например, подставить (7.19) в интегральные уравнения Вольтерра (7.15), поменять порядок интегрирования и приравнять члены при ехрг^х — y)Iz.

Перейдем теперь к непосредственной формулировке фундаментальной матричной системы решений рассматриваемой спектральной задачи, т. е. решений Поста. Для этого покажем, что при вещественных 7^ 0 существуют пределы

Ф(ж,О = lim Т (ж, у, 0 Фо (у, 0 ;(7.25)

у^оо

$M = lim Т(х,уЛ)Ф0(уЛ),(7.26)

у^-оо

где блочные матрицы функции Фо (у, £) = Фо (d^ С) даются выражением

Фо (ж, О = ("^ е7 ^f^ т ° - А (7.27)

Матричные функции Ф(х,£) и Ф(х,£) — суть матрицы фундаментальных решений вспомогательной линейной задачи с граничными условиями для этих функций при х ±оо в виде (7.27). Для доказательства (7.26) умножим справа на Фо(?А) интегральное уравнение (7.10), тогда

т (ж, У. О Фо (у, О = Фо (ж, О + j То (ж - z, О Ро V) Т С, у, £) Фо (у, 5) dz,

У

(7.28) где было использовано соотношение

(7.29)(7.29)То (ж, у, £) Фо (у, 5) = Фо (ж, ^).

(7.29)

(7.29)

Устремляя у —сю, в силу сделанного предположения о швар- цевском типе матричных функций q(x,t), r(x,t) и ограниченности функции Tq(x — z,^), убеждаемся, что предел Т^х^^^Фо^у,^) суще-

ствует и имеет место следующее интегральное уравнение для матрицы фундаментальных решений (матрицы решений Йоста) Ф(ж,£):

фм = ф0(ж,£) + j тох-г.^воож^о dz. а.^

Теперь приступим к доказательству (7.25). Для этого в уравнении (7.9) сделаем замену переменных х на у, а у на х, тогда имеем

у

Т (у, X, О = То (у - х, О + j т (у, z, ^Ро (г) То (z - х, О dz. (7.31)

Используя известное свойство матрицы перехода (7.3), получим отсюда

у

Т-1 (ж, у, О = То-1 (ж - у, 0 + | Т-1 (z, у, О Ро (z) То (z - ж, О dz.

х(7.32)

Умножим это интегральное уравнение слева на 2г£'1Щ (у, 5) и используем соотношение

-2^ (Т (ж, у, О Фо (у, О)’1 = (Г (ж, у, О Фо (у, Of ^2,(7.33)

где «Т» означает транспонирование, тогда получим следующее уравнение:

Т(х,уО) Фо (у, О =

= Фо (ж, О + j (а2Р0 (О То (z - X, £) сг2)ТТ (z, у, £) Фо (у, С) dz. (7.34) Ж

Устремляя в последнем выражении у ос, получаем окончательно для матрицы фундаментальных решений (решений Йоста) Ф(х,£) интегральное представление

Ф (ж, ^ = Фо (ж, О + j ОХо (О То (z - ж, ^) сг2)тФ (z, ^) dz. (7.35)

Введем следующие обозначения и раскроем вид блочных матричных решений Йоста:

; Ф(ж,О= V т )•С-36)

Ф2 Ф2/\Ф2 Ф2/

Из (7.30) и (7.35), а также из вида матриц Фо(ж,£), Tq(x — z,^) и Р0(х) имеем (см., например, [13]):

Ф2 (ж, £) = Is ехр (-г^ж) - | | sin £ (z - х) и (z) Ф2 (z, ^) dz, (7.37)

X

Ф2 (X О = ^2 ехр (г^х) - | | sin^ (z - х) и (z) Ф2 (z, £) dz,(7.38)

Ф2 (ж, £) = Is ехр (-г^х) + | I sin £ (z - x) и (z) Ф2 (X 0 dz,(7.39)

Ф2 (^, 0 = ^2 exp (г^х) + I I sin £ (z - x) и (z) Ф2 (X 0 dz.(7.40)

Здесь Ф2(ж,^) и $2^,£) — матричные 2x2 решения Йоста, аналитичные в верхней полуплоскости 1ш^ > 0 комплексной плоскости £, а Ф2 (х, Q и Ф2 (^, 0 допускают аналитическое продолжение в нижнюю полуплоскость (Im ^ < 0).__

Фундаментальные блочные матричные решения Ф(х,£) и Ф(х,^) связаны соотношением:

Ф(х,е) = ^(х,е)А«),(7.41)

где матрицу А(^) в литературе называют приведенной матрицей моно- дромии [10]_

А^(^)А(7 42)

Расписывая (7.41) покомпонентно для функций Йоста с учетом (7.42) имеем_

Ф2 = Ф2а«) + Ф2^«),(7.43)

Ф2 = Т26«) + Ф2а«).(7.44)

Пользуясь стандартными приемами, можно получить следующие интегральные представления для элементов матрицы монодромии [13]:

а^ = 12-^ | ехрС^и^Ф^^Л) dz, (7.45)

Ю = 2^ j ехр и (г) ф2 (г’ 5) dz’ <7-46)

= ^^ ^ | ехр^-г^и^Ф^^.С) dz, (7.47)

^ = -2^ I exp (j^z) и (z) Ф2 (z, 5) dz,(7.48)

которые удовлетворяют условию нормировки для вещественных £ ^ О, а^а^-Ь^Ь^^И(7.49)

Из представления (7.45) следует, что матричная функция а(^) аналитична в верхней полуплоскости £ (Im^ > 0), а из (7.47) вытекает аналитичность функции а^) в нижней полуплоскости £ (Im^ < 0).

Перейдем теперь к вопросу о «нулях» матричной функций а^), т. е. о точках дискретного спектра ^-, для которых deta(^) = 0. Если это условие выполняется, то существует ненулевой вектор с такой, что

а(0)с = 0.(7.50)

На языке решений системы алгебраических уравнений это означает, что однородная система уравнений имеет нетривиальное решение (ненулевой вектор), если детерминант матрицы коэффициентов равен нулю. Умножим соотношение (7.43) на подобный ненулевой вектор с, и, учитывая (7.50), имеем

Ф2 (ж, Cj) с = Ф2 (ж, ^) b (^) с = b (^) Ф2 (ж, ^) с ■■(7.51)

или Ф^ (ж) = b ^j) Ф2 (ж) ■

Подобная запись возможна, поскольку матрица-блок ^^хЛй и матрица Ь(^) перестановочны. Асимптотическое поведение матричных функций Поста (7.37) и (7.40) показывает, что при х —сю собственная функция Ф^ (ж) exp (—i^jx) с, а при х сю Ф^ (ж) ехР №ж) с В таком случае у системы уравнений (6.25) имеется решение, квад- ратично-интегрируемое на всей оси, при £ = ^ (Im^- > 0). Опираясь на леммы и теоремы работы [13], можно сделать вывод о том, что в случае, когда матрица u(x,t) эрмитова (это выполняется, по крайней мере, при v = 1 в выражении (6.20)), все особенности матрицы &-1(£) находятся в верхней полуплоскости Im^- > 0, вещественные нули отсутствуют, существующих нулей конечное число и все они простые, т. е. в тех точках ^-, где deta(^) = 0, функция а-Х^ имеет простой полюс. Пусть ^i,...,^w — полный набор нулей матричной функции а^, Im^ > 0, т. е. det а(^) = 0. Тогда в окрестности каждой такой точки на комплексной плоскости ^ = ixj (Xj — вещественное, положительное) для матричной функции а-1 (0 имеем [14]

+0№С(7.52)

Как будет использовано соотношение (7.52), станет ясно из дальнейшего анализа.

Таким образом, набор комплексных чисел ^j, j = 1,... N составляет дискретную часть спектра рассматриваемой задачи на собственные зна-

чения (6.25). В литературе элементы матрицы монодромии а^ и Ъ^ называют коэффициентами перехода непрерывного спектра, a b^j\ j = 1, ...N — коэффициентами перехода дискретного спектра.

Эволюция матричных коэффициентов перехода. Пусть функции q(x,t) и r(x,t) удовлетворяют уравнениям движения рассматриваемой здесь модели (6.20). Тогда, нетрудно показать, что матрица перехода Т(х,у,^) удовлетворяет следующему уравнению эволюции [16]:

^XyiiMl = q (Ж> ;) т (х, у, t,^-T(ж, у, I, О Q (у, t).(7.53)

Для этих быстроубывающих функций можно перейти к пределу у сю, х сю и получить эволюционные уравнения, определяющие поведение коэффициентов перехода во времени.

С этой целью рассмотрим предел матрицы Q(x,^) при |х| сю (см. выражение (6.45)), т. е.

Q (ж, (О = ds (<т_ - ^з) •(7.54)

Далее имеем

Фо" 1 Ц О Q 43 = X (О Фо-1 Ц, о ,(7.55)

где матрица Х(£) записывается в следующей форме:

(7.56)

Умножим уравнение (7.53) при вещественных £ справа на матрицу Фо^у,^, а слева на Ф^1 (ад £) и устремим х сю и у сю тогда, учитывая соотношения (7.54)-(7.56), получим для приведенной матрицы монодромии следующее уравнение:

tAMl = _^^A4,a-(7-57)

В последнем уравнении отсутствует зависимость от функций ^(х, t) и т^хД\ Раскрывая смысл блочной приведенной матрицы монодромии A(t,^), получаем для матричных коэффициентов перехода уравнения

= 0; ^^ = Ж3ЬXО .(7.58)

Из (7.58) следует, что при Im^ = 0 матрица а(^Д) не зависит от времени, т. е.

аМ=а(0,<).(7.59)

В силу аналитичности матричной функции а(^) это соотношение выполняется и при Im^ > 0, откуда следует, что нули ^ матрицы а(^) также не зависят от t.

Рассмотрим теперь вопрос о поведении во времени коэффициентов перехода дискретного спектра. Для этого уравнение (7.53) умножим

справа на матрицу Фо(?/А) и устремим р ±оо, тогда, учитывая, что имеет место соотношение

QMMlh^ = Mlh£)XM.(7.60)

где Х^р,^) — г^сгз, р —> ±оо, получаем для фундаментальных функций Йоста Ф(жА) и Ф(хА) уравнения

АА = q (х, о ф ц, о+ке3Ф ц, о (7з,(7.61)

АА = Q Ц, О ф Ц, о + ^3Ф (ж, О <73.(7.62)

Раскрывая смысл блочных матриц Йоста, перепишем эти уравнения /ФЛ /ФЛ для блочных столбцов I и I , соответственно

\Ф2 /\»2 )

я /ФА/ФАq/ФА

^‘ = дц,щ ‘ +ке3 * ,(7.63)

^уф2у\Ф2/\Ф2/

я /ФА/ФАо/фа

Афф3ф Г(7-64)

ОТ \ У/ 2 /\ 2 /\ 2 /

которые справедливы и при Im^ > 0, а в случае £ = А совместны с равенством (7.51) только если

АА=2^ЩЦ(7.65)

Уравнения (7.58) и (7.65) тривиально решаются, и зависимость от времени матричных 2x2 коэффициентов перехода выглядит достаточно просто [13, 16]:

Ь (С t) = Ь (£, 0) ехр 2А^3^(7.66)

Ц^Л) =Х0Л)ехр2г^У(7.67)

Обратная задача, основанная на интегральных уравнениях Гельфанда-Левитана-Марченко. Выше было изучено отображение

F: {м((ж,Й ,г (ж,Й)} (7-68) от матричной функции u(q(x,t),r(x,t)) рассматриваемой интегрируемой модели к матричным коэффициентам перехода и дискретному спектру вспомогательной линейной задачи (6.25). Подобная «замена переменных» существенным образом упрощает динамику, поскольку зависимость коэффициентов перехода непрерывного и дискретного спектров от времени становится в этом случае линейной. В этом разделе будет изучено обратное преобразование F-X (решение обратной задачи), с помощью которой возможно восстановление матричной функции

u(q(x,t),r(x,t)) по элементам матрицы монодромии и дискретному спектру.

Целью дальнейшего анализа является вывод интегрального матричного уравнения Гельфанда-Левитана-Марченко (ГЛМ). Для этого умножим соотношение (7.43) на матрицу, обратную неособенной матрице а^) при вещественных £, в результате чего получим

Ф2 Ц, £) Щ) = Ф2 Ц Д) + Ф2 Ц, О Ь (О а-1 (О .(7.69)

Левая часть равенства (7.69) аналитически продолжается в верхнюю полуплоскость £, за исключением точек £, = £>j, j = 1,2,..., N, где она имеет простые полюсы. В окрестности каждой такой точки ^ = г%з вычет матричной функции и Ъ^а-Х^ связан соотношением

lim р (0 а"1 (О (С - Щ)} = b (^) Nj.(7.70)

При ICI сю имеем асимптотику

Фг^.О^ЧОехр^ =/2 + О (72).(7.71)

Первое слагаемое Ф2Сс£) в правой части (7.69) аналитически продолжается в нижнюю полуплоскость и при |^| сю имеет там асимптотику_

^2(х,е)ехргех = 12^О\12\.(7.72)

Матричная функция Ф2(ж,^) аналитически продолжается в верхнюю полуплоскость и имеет при |^| сю асимптотику

Ф2 (х, <) ехр (-г<х) = 12 + О (12).(7.73)

Соотношение (7.69) вместе с условиями (7.70)-(7.73) представляют собой специальную задачу сопряжения. Она позволяет найти Ф2 (х,^), Ф2 (х,С) и Ф2 (х,С) с указанными свойствами аналитичности по заданной на вещественной оси матричной функции Ь^а-1^) и параметрам £р b(£>jWr 3 = L2,..., N. Задача сопряжения сводится к системе сингулярных интегральных уравнений. Для вывода этих уравнений воспользуемся интегральными представлениями для функций Поста Ф2 (х, ^), Ф2 (х, ^), Ф2 (х, £) и Ф2 (х, ^), которые имеют вид

Ф2 (х, £) = ехр (-г^х) 12 + [ Г_ (х, z) exp (-i^z) dz, (7.74)

Ф2 (х, £) = ехр (г^х) 12 + Г_ (х, z) ехр (г^) dz, (7.75)

Ф2 (х, £) = ехр (г^ж) I2 + J Г+ (х, z) ехр (г^) dz, (7.76)

(7.77)(7.77)^2 (X €) = ехР (—^ж) ^2 + Г+ (х, z) ехр (—г^) dz,

(7.77)

(7.77)

где матричная функция Г+(х, z) удовлетворяет интегральному уравнению (7.23) для ядра V(x,p,z) при х ос и замене р на х, a z на р, т. е. [13]

2Г+ (ж, у)2Г+ (ж, у)и (v) dv +и (v) dv +и (v) dvи (v) dvyA-v-x| I\(v,s)ds-\-yA-v-x| I\(v,s)ds-\-

2Г+ (ж, у)

2Г+ (ж, у)

и (v) dv +

и (v) dv +

и (v) dv

и (v) dv

yA-v-x

| I\(v,s)ds-\-

yA-v-x

| I\(v,s)ds-\-

— 00 < X < p < 00.— 00 < X < p < 00.(7.78)(7.78)

— 00 < X < p < 00.

— 00 < X < p < 00.

(7.78)

(7.78)

yA-'v — x u(v)dv | Г+ (v, s) ds, y—v+x

Точно таким же образом связана матричная функция Г_ (х, z) с интегральным уравнением для ядра Г (х, р, z), только теперь уже переменная р —оо. Подставим (7.74)-(7.77) в (7.69), вычтем из обеих частей получившегося равенства ехр(—г^х)!^ и, перейдя к преобразованию Фурье по переменной £, получим при р х следующее соотношение:

Г+ (х, р, t) + Q+ (х + р, t) + J Г+ (х, s, t) Q+ (s + р, t) ds = 0,(7.79)

X

где р^ х

П+ (ж + у, t) = Т [ b (С t) а 1 (С t) ехр (у + ж) d^ -

- г 52b (&) Nj ехР ^ (ж + у) • (7-8°)

J=1

Это и есть уравнение ГЛМ для правого конца, которое представляет собой интегральное уравнение для искомой матрицы ядра T\(x,p,t). Поступая аналогичным образом, получим уравнение ГЛМ для левого конца

х

Г_ (x,p,t) + Q_ (х + p,t) + [ Г_ (х, s, t) Q_ (s + р, t) ds = 0, (7.81)

где р < х

£l_(x + y,t) =[ Ъ^,^а 1 (С Z) ехр [-г£ (у + ж)] ^ -

Z7T J

-г^У^-^ехрМу (ж + у)]. (7.82)

Из интегрального уравнения (7.78) для ядра Г+(х,?/) при х = у сразу же следует

Гг+(х,х,1) = -ГфХ-(7.83)

ах2

Таким образом, если решение любого уравнения ГЛМ определено, то искомая матрица u(x,t) (6.22) вполне определена.

TV-солитонные решения двухкомпонентной динамической модели. Если начальные данные таковы, что коэффициенты матрицы перехода Ь^) или Ь^) равны нулю, то формализм ГЛМ дает точное решение и при этом получается TV-солитонные решения сформулированной задачи (6.20), названной нами двухкомпонентной динамической моделью, если спектр вспомогательной линейной задачи на собственные значения (6.25) с конкретно выбранными граничными условиями изначально содержал TV собственных значений. Уравнения ГЛМ (7.79) или (7.81) являются тогда уравнениями с вырожденным ядром, и их можно решить, используя технику линейной алгебры. В частном случае чисто дискретного спектра соотношение (7.80) можно записать в виде произведения [12, 16]

^+ (ж + у, Z) = /т (у) g (х, Z),(7.84)

а решение уравнения (7.79) следует искать в такой форме:

Г+ (ж, у, t) = /т (у) h (ж, Z),(7.85)

где h(x,t) — неизвестный «вектор-столбец» длины TV, каждым элементом которого является матричная функция 2x2, симметричная по обеим диагоналям, a g(x,t) и f(y) аналогичные по структуре векторы- столбцы длины TV, у которых j-e компоненты равны соответственно b ^р t) Nj exp i^jX и Is expiry. Тогда для каждой компоненты hj(x,t) уравнение Марченко, например, для правого конца (7.79) дает

j 9j Ц C fk (z) dz = 0.(7.86)j 9j Ц C fk (z) dz = 0.(7.86)N

j 9j Ц C fk (z) dz = 0.(7.86)

j 9j Ц C fk (z) dz = 0.(7.86)

hj (х, t) + pj (х, t) + У^ hk (х, t) к=\

Определим произвольный блочный элемент матричной функции размером 2TV х 2TV равенством

Ajk (ж, С) = /2 5jk + j gj (z, t) fk (z) dz,(7.87)

где Ajk(x,t) представляет собой квадратную матрицу 2 х 2. С учетом (7.87) уравнение (7.79) можно записать в виде

Г+ (х, х, t) = —fT (х) А~{ (х, t) g (х, t).(7.88)

Из (7.86) следует, что

Ajk (ж, t) = -g, (х, t) fk (ж),(7.89)

и что позволяет решение Г+ (x,x,t) представить как

Г+(ж,жУ = У У ^ ■= У М"1^! ,(7.90)

Ь1 ^ Л dx ьЛ dx ) kk

где Ajk — матрица-блок 2x2, состоящая из соответствующих алгебраических дополнений к элементам матрицы-блока 2x2 Ajk- Окончательно, решение задачи Коши для рассматриваемой модели в случае быстроубывающих граничных условий, т. е. для функций шварцевского типа, получается в следующем виде:

u(x,t) = -24г+(ж,жУ = -24 У (Л"1^ .(7.91)

v ' dx '’ dx у, I dx )kk

Таким образом, подводя некоторый итог, заключаем, что для случая быстроубывающих граничных условий сформулирована фундаментальная система решений (решения Йоста) для спектральной задачи, ассоциированной динамической модели, описывающей солитоны Рэлея, и получены эволюционные уравнения для элементов матрицы моно- дромии непрерывного и дискретного спектров. На основе формализма интегральных уравнений Гельфанда-Левитана-Марченко решена задача TV-солитонного состояния рассматриваемой динамической системы.

Задача на собственные значения Манаковаи МОЗР для векторного НУШ

Если в предыдущей модели ассоциированная задача на собственные значения была связана с матричным оператором 4 х 4, то для векторного НУШ, как это следует из работы [7], в качестве такового выступает матричный оператор 3x3. Однако, следует заметить, что формализм блочного матричного 2x2 оператора с матрицами-блоками размером 2x2, который фактически был использован выше для применения МОЗР к системе эволюционных уравнений, описывающей солитоны Рэлея, может сработать и в случае задачи Манакова (идентичность этих спектральных задач показана в разделе 6.2.3). Тем не менее, этот вывод имеет смысл воспроизвести, основываясь на другом методическом подходе [7, 17]. Кроме этого, необходимо отметить, что дальнейшее изложение будет носить достаточно сжатый характер, поскольку все этапы метода обратной вспомогательной задачи для реше-

ния нелинейных эволюционных уравнений были достаточно подробно освещены при анализе динамической модели для солитонов Рэлея (см. раздел 7.2).

Решения Йоста и матрица рассеяния для быстроубы- вающих граничных условий. Рассмотрим задачу на собственные значения для матричного оператора Р (6.11) и предположим, что ^1д(ж) достаточно быстро убывают при х ±оо. Рассмотрим далее два набора решений (6.11) ^(х, £) и у^ (х, £) (г = 1,2, 3) с асимптотиками

(4>t)fe = exp (-гД^ж), ж -оо,

(7.92) (v»)k = 5ikexp(-ilk^x), ж +оо.

Здесь 7] = 1, Is = I3 = —1. Функции фЦж, О, 'Уг^ЛС есть ни чт0 иное, как фундаментальные системы решений спектральной задачи, т. е. функции Йоста. Так как векторы ф^ и у^ образуют полный набор решений системы (6.11), то, как известно из теории обыкновенных дифференциальных уравнений, имеем соотношение, связывающее функции Йоста ф^ (х, £), Yz (X 0 , между собой

Фг (ХЛ) = 52 aik (О^к(7-93)

к=1

Соотношение (7.93) определяет матрицу рассеяния а (или, в другой терминологии, приведенную матрицу монодромии) системы (6.11) в базисе из функций Йоста.

Можно показать, что функции ф^х,^), у2Х£), ¥зХО аналитически продолжимы в верхнюю полуплоскость комплексной переменной £ при каждом х; функции ф2 (х, £), ф3 (х, £), Yi X 0 аналитичны в нижней полуплоскости £. Аналитичность функций Йоста влечет аналитичность &ц(£) в области Im^ ^ О и 022, &23> &32> ^зз в нижней полуплоскости £. Покажем, что это так. Для доказательства систему уравнений (6.11) представим в форме

= ТУ,(7.94)

где вид матриц I пТ нетрудно найти из сравнения (6.11) с (7.94). При этом очевидно, что 1^ = I, Т^ = —Т. Для любых двух решений (7.94) Vi, У2 соответственно с = ^1, ^2 имеем

(У+У,) - г - ^1) УЦУ, = 0.(7.95)

Тогда для вещественных £

^[У+(ж,е)УЦ€)] =0,(7.96)

т. е. произведение в квадратных скобках не зависит от переменной х. Если воспользоваться выражениями (7.93), то получим

О-гк^О(7.97)

52 aik (0 а1к (О = §ik-(7.98)

к=\

Рассмотрев производные от вронскианов наборов ф^, у^, можно убедиться, что det а = 1. Таким образом, матрица рассеяния а является унитарной и унимодулярной. Соотношение (7.97) позволяет, используя перечисленные выше аналитические свойства функций Йоста, аналитически продолжить ац(£) в верхнюю полуплоскость £, a ass, &23, ^32, азз — в нижнюю, что и требовалось показать.

Нули функции ац(^) в верхней полуплоскости соответствуют собственным значениям спектральной задачи (6.11) с нулевыми условиями для ^1д(ж) на бесконечности по х. При этом имеем

Ф1 (яЩ = C12V20 + «isYs («и (0=0).(7.99)

Подчеркнем, что если «потенциал» Т финитен, т. е. q^s^) обращаются в нуль вне некоторого конечного интервала, то все функции Йоста, а вместе с ними и матрица рассеяния, аналитичны во всей комплексной плоскости £. Таким образом, функции Йоста, а вместе с ними и «потенциал» 91д(^), восстанавливаются по матрице рассеяния ац^) и величинам c\s, с\з в каждом нуле ац(^). Следует заметить, что в общем случае их (нулей) может быть N и это количество определяется начальными условиями задачи Коши для исходного нелинейного уравнения Манакова.

Эволюция данных рассеяния

Для того чтобы была возможность восстановить qy^^) в любой момент времени, необходимо знать эволюцию указанных величин от времени. Эта процедура является вторым шагом в нахождении общего решения векторного НУШ методом обратной задачи рассеяния. С целью нахождения зависимости «данных рассеяния» от времени используем (6.26) и (6.30) при х ±оо и подобно тому, как это было сделано в разделе 6.2.2, получим

atk (С t) = aik (С 0) ехр Г—2г^2 (1к - 1^ t] ,

(7.100) oik W = схк (0) exp (4i<2t) (йц (0 = 0).

Задача Коши для системы нелинейных уравнений (6.9) сводится, таким образом, к последовательному исследованию линейных систем, в чем и заключается суть интегрирования методом обратной задачи. То есть во-первых, нужно найти матрицу рассеяния для системы (6.11),

подставив вместо qx^^) начальное условие ^1д(ж,0); во-вторых, найти значения а^^Л^) и с^^ в последующие моменты времени из соотношения (7.100); в-третьих, решить задачу о восстановлении потенциала Т (т. е. функций ^1д(жД)) по набору величин а^^ и сгЬ считая, для простоты, что cik(t) имеет только простые нули в точках верхней полуплоскости (х, (2, • • •, (n-

Интегральные сингулярные уравнения и общее решение векторного НУШ. Обозначим элементы матрицы, обратной к Q^ ^^ через Q75 (здесь греческие индексы принимают значения 2,3; по повторяющимся индексам производится суммирование). Соотношения унитарности и аналитичности для матрицы а дают det{a^7} = а^ (£*); таким образом, матрица Q аналитична в нижней полуплоскости £, за исключением точек ^*, £2, • • • , Cn^ рДе она имеет простые полюсы.

Рассмотрим теперь следующие кусочно-аналитические функции

Ф1 Ц7 =Ф1 Ц7 =——Ч-х—,Imf > 0,

Ф1 Ц7 =

Ф1 Ц7 =

<«и($)

(ж^)^®, Im£ < 0,(7W1)

Ф7 (ж, О =Ф7 (ж, О =у. (ж, 0 е-г^,Im£>0,

Ф7 (ж, О =

Ф7 (ж, О =

^гФгЦ.Ое-^. Im£<0.

Функции Ф1 и Ф7 имеют скачки на вещественной оси. Обозначим их соответственно через Ф1 (ж,^) и Ф7(х,^):

Ф1М = ^¥7Ц,Щ^,а11Ф1М = ^¥7Ц,Щ^,а11(7.102)(7.102)

Ф1М = ^¥7Ц,Щ^,

а11

Ф1М = ^¥7Ц,Щ^,

а11

(7.102)

(7.102)

Кроме того, Ф1(ж,^) имеет простые полюсы в точках ^, ^, • • ^; вычеты Ф1(х,^) в этих точках есть

(7.103)(7.103)с^)у7 (ж, (п) ехр «пж)аП (Сп)

(7.103)

(7.103)

Функции Ф7(ж, £) также имеют простые полюсы в точках (хЛ^ ••• . ..,^. Обозначим вычеты этих функций в точке (* через Г^. Для определения Г^ обрежем потенциал на некотором конечном радиусе. Для финитного потенциала вся матрица рассеяния аналитична в комплексной плоскости £. Поэтому Q7505 можно переписать в виде

3

^73<h = Ц ^^5г^г = V7 + ^а51 ¥1 •(7.104)

г=1

Соотношения унитарности и унимодулярности позволяют найти ^1^§а§ 1.

^«51(0 = -^®-(7105)

Устремляя теперь радиус обрезания потенциала к бесконечности, получим

Г(П) = сУ**! Д Q ехР (-Сж)п. nfi1

Введем единичные векторы е^ с компонентами V^k = 5^- Очевидно, что ПтФДх,^) = е^. Кусочно-аналитические функции ФДад £) восстанавливаются по своим граничным значениям, вычетам и скачкам на вещественной оси (заметим, что в случае безотражательных потенциалов скачки этих функций на вещественной оси равны нулю), тогда

Фг ^Л'^СФг ^Л'^С(7.107)(7.107)N рЩ)1

Фг ^Л'^С

Фг ^Л'^С

(7.107)

(7.107)

.М==. + Е7Т>7 + ^

п=1^п

Здесь ^ есть (п, если г = 1, и ^ если г = 2,3. Таким образом, имеем

V7 (ж, Сп) ехр (-г(пж) = е7 +4,

т=1 Чп Smj г; — t,n

(7.108)

¥1 Ц, U ехр (-г<„ж) = ei + Д + к——р—■

т=1 Sn Sm— Sn

°°(7.109)

Рассмотрев предельные значения Ф^(х,^) на вещественной оси, по

лучим

ЕМ f _5 + ,о ■

То (7110)

VzOPi)=P<-*W=«7+E+0 ■

Соотношения (7.102)-(7.110) представляют собой полную систему уравнений обратной задачи рассеяния. Все функции Йоста, а, следовательно, и потенциалы qx(x), ^(^), восстанавливаются по первой строке матрицы рассеяния (ан (^), ai2 (^) ,ai3 (^)) и набору величин с^, с^,

п = 1,2, ...,7V. Тогда окончательно имеем следующее выражение для q*(x,£):

д*(ж) =2г(у+[ Ф^нД С-Ш)

\п=1— (Х)/

Таким образом, с целью более глубокого понимания этих проблем мы воспроизвели здесь вариант восстановления потенциала Т по набору величин а^к ^ и сгк, предложенный Манаковым в работе [8].

Интегральные уравнения Марченко. В этом разделе мы покажем альтернативный и более традиционный подход к решению обратной задачи рассеяния, основанный на линейных интегральных уравнений ГЛМ, которые при у^х применительно к настоящей задаче имеют вид [17]

33

-Г(1) (ж, у) = У 01/? (ж + у) g(/3) + У [ Г^ (ж, г) Q^ (г + у) dz,

(7.112)

Г(/3) (ж, у) = 0^ (ж + у) g(1) + j Г(1) (ж, z) Qt^ (z + у) dz, /3 = 2,3.

Здесь Г^^ж, ?/) и Г^\х,у\ а также g^ представляют собой трехкомпонентные векторы-столбцы, причем g^ имеет г-ю компоненту д^, равную 5кг, а для ^\д(у) имеем

Z<an(O 2?г J «и (5)

(7.113)

Искомые функции ду^хЛУ выражаются через решения этих интегральных уравнений при у х + 0:

q\ (х, t) = -2 lim (х, у) = 2 lim Г?)* (х, у),

(7.114) q2 (%, t) = -2 lim Г^ (х, у) = 2 lim Г^* (^, у).

Итак, мы видим, что, решая линейные уравнения Марченко (7.112) и используя соотношения (7.114), можно восстановить функции Q\,2(x,t) и найти многосолитонное состояние данной динамической модели.

Теперь необходимо остановиться на тех особенностях применения мОЗР для векторного мКдФ и векторного нелинейного интегродиф- ференциального уравнения Максвелла-Блоха, которые имеют одну и ту же спектральную задачу Манакова. Отличием от приведенного

выше анализа в этих случаях являются другие закономерности эволюции данных рассеяния (см. выражения (7.100)), которые определяются эволюционными операторами Q. Все остальные этапы МОЗР для указанных уравнений полностью идентичны рассмотренным выше.

Задача Захарова-Шабата и нелинейноеуравнение Шрёдингера с производной

Решения Йоста и матрица рассеяния для граничных условий, имеющих компактный носитель. Пусть решение r(z,t) нелинейного уравнения Шрёдингера с производной (НУШП) (см. часть 1, выражение (1.76)) и его производная Эг (z,t)/8z абсолютно интегрируемы по z на вещественной оси —сю < z < сю. Другими словами, мы имеем случай с быстро убывающими граничными условиями. При дальнейшем изложении будем следовать работе [18]. Итак, построим по г(^Д) матричные решения Ф±(^, t, А), т. е. фундаментальные решения вспомогательной спектральной задачи с оператором (1.79) (функции Йоста), зависящие от спектрального параметра X Е R, где принято А =

дФеХт*\/^цгх

л ф’7115

Эг у г гХ у

со следующими асимптотиками:

Ф± (z, t; А) exp f ^^ .^ j при z ±оо. (7.116)

Определим зависящую от t, А, матрицу рассеяния Т соотношением

Ф_=Ф+Т,(7.117)

где для матрицы рассеяния имеем соотношение

(7.118)(7.118)гр = fct ^ХЬ[b а

(7.118)

(7.118)

а матричные элементы рассеяния связаны условием

МТ = аа(Х) -еХЬЦХ) = 1.(7.119)

Функция а(Х) аналитически продолжается по А в верхнюю полуплоскость, это же относится к первому столбцу 99^ матричной функции Ф_ и второму столбцу 99^ матрицы Ф+. При |А| сю, 1mA > 0 имеем

а (А) ехр (гб), б = | j rf (z) dz. (7.120)

Пусть {Ль ..., А^} — нули коэффициента а(А) в верхней полуплоскости (далее предполагаем, что все они простые и не принадлежат R, т. е. не лежат на действительной оси). Тогда для связанных состояний будем иметь

dP(Xj)=bjdT(7-121)

здесь 1^ j ^ N, а константы bj не зависят от %.

Эволюция данных рассеяния. Функция r(z,t) однозначно восстанавливается по совокупности данных рассеяния {а (А), b (А), А е R; bj, 1 < J < TV} . Зависимость коэффициентов рассеяния от времени дается формулой (см. соотношение (7.100))

= 0, b (A, t) = b° (A) exp (4zA2t) ,

dt(7.122)

bj (t) = b^ (0) exp (4гA2t^ ,1 < j < N.

Заметим, что интеграл 5 от t не зависит. Вместо коэффициентов bj(t), bj(O) будем в дальнейшем использовать

сДГ = МШ'9а(АГ/<9А)"1, с° = сДО).(7.123)

Приведем для сравнения аналог системы уравнения (1.118) для задачи Захарова-Шабата (НУШ)

d^Ns(-%Х -r*\faNs -bNs\

^ns, J-ns = 7-•('124)

azyrгл J\bNS^ns /

Для (НУШ), в отличие от (НУШП), соотношение между а и b имеет вид_

CtNS^NS + bNsbNS = h(7.125)

и aNs(X) —> 1 при |А| ос. Остальные определения и формулы остаются без изменений [18].

(7.126)(7.126)Построим теперь TV-солитонные решения уравнения (1.76), для которых по определению 6(A) = 0 (аналог элементов матрицы рассеяния ^12(0’ а1з(0 в задаче о поляризованных солитонах в теории двумерной самофокусировки оптического излучения в диэлектрической среде, см. часть 1, раздел 1.2.2). В этом случае

(7.126)

(7.126)

ЦХНЙ” П (А-А,) (А-А*)

гдегдет=1

где

где

N

0 < arg (Xj) < тг, 5n = tvN (s + 1) - 2 ^ arg (Aj).

T=i

Решение TN^,t) будет определено однозначно, если задать коэффициенты {с^, 1 < j < TV} и воспользоваться изложенной далее проце-

дурой, которая естественным образом основана на методе обратной задачи рассеяния.

Обратная задача, основанная на интегральных уравнениях Марченко. Пусть функции ^XvX3^ ^ ^ 3 ^ ^, удовлетворяют следующей системе линейных уравнений:

ск ехр(2г(Ат - А^) г)Хк —ск ехр(2г(Ат - А^) г)Хк —(7.127)(7.127)N.N

ск ехр(2г(Ат - А^) г)

Хк —

ск ехр(2г(Ат - А^) г)

Хк —

(7.127)

(7.127)

Е XmC™jX3i ~ EX? =Е

ку = \к = \

Хг1 - Е Х*кСмХ2 = ехр (2гХтЛ , k,j = \

где

pm = CfcCjexp(2i (Am - Х*к)

(Am — Хк) (Хк — Xj)i2g)

ск = с^ exp (4zA^t) .

Это возможно, поскольку предполагается, что интегральное уравнение Марченко имеет вырожденное ядро, другими словами мы предполагаем, что в качестве начальных условий задачи Коши выбраны безотражательные потенциалы.

ПоложимN

u=\-^CjXpxV(7.129)

J=1

Тогда TN^,t) определяется по х^ и следующим образом:

/ Nд

rN = —2г I Е OXs Щ-(7.130)

\j=l/

Выражение (7.130) представляет собой TV-солитонное состояние, описываемое нелинейным уравнением Шрёдингера с производной.

Глава 8

ИЕРАРХИИ МНОГОПОЛЕВЫХИНТЕГРИРУЕМЫХ МОДЕЛЕЙ,ПОРОЖДАЕМЫЕ АЛГЕБРАМИ ЛИ

Вводные замечания

Хорошо известно, что совокупность солитонных уравнений, таких, например, как нелинейное уравнение Шрёдингера, модифицированное уравнение Кортевега-де Фриза (мКдФ), уравнение sin-Gordon (sG) и т. д. являются элементами АКНС-иерархии, связанной с алгеброй Ли sZ(2,C) [1, 2]. Известны также различные обобщения этих скалярных интегрируемых моделей на многополевые случаи (матричные солитонные уравнения, класс Йордановых систем и т. д.) [3-9]. В этой связи достаточно интересно выяснить, образуют ли эти уравнения иерархии, подобные АКНС-схеме, и какая алгебра является фазовым пространством, в котором «живут» иерархические структуры многополевых интегрируемых моделей. Другими словами, существует ли такой матричный оператор в уравнении нулевой кривизны (задача на собственные значения ассоциированная интегрируемым многополевым моделям), с помощью которого можно получить обобщающую иерархию перечисленных выше интегрируемых систем.

Опираясь на общепринятую теоретико-групповую схему построения вполне интегрируемых динамических моделей (гамильтонов подход), покажем, к каким иерархическим структурам (эволюционным уравнениям) приводит выбор в качестве исходной алгебры Ли g 3-гра- дуированной алгебры Ли — множества 2x2 матриц, состоящих из элементов абстрактной унитальной алгебры А.

Гамильтонова формулировкаи Ли-алгебраический подход к классификацииматричных интегрируемых уравнений

3-градуированные алгебры Ли g как фазовое пространство интегрируемых динамических моделей. Пусть имеется пространство М матриц 2x2, состоящих из элементов унитальной абстрактной алгебры А. Снабдим М строением алгебры Ли, определив операцию умножения формулой

[Х,У] = XY -YX.(8.1)

Выберем в этой алгебраической по структуре базису алгебры sl(2);Выберем в этой алгебраической по структуре базису алгебры sl(2);конструкции базис, аналогичныйконструкции базис, аналогичный

Выберем в этой алгебраической по структуре базису алгебры sl(2);

Выберем в этой алгебраической по структуре базису алгебры sl(2);

конструкции базис, аналогичный

конструкции базис, аналогичный

(8.2)(8.2)/о Л г _ /о о\ fi о \

(8.2)

(8.2)

(о о/ F"V А н"\о -i)’

со стандартным наборомсо стандартным наборомкоммутационных соотношений

со стандартным набором

со стандартным набором

[Я, Е\ = Я; [Я, Е\ = 2Е; [Я, Я] = -2Я,(8.3)

где I — единичный, а 0 — нулевой элементы, принадлежащие алгебре А. Теперь произвольный матричный элемент в пространстве М можно записать в виде

h fh f= fF®hH®eE,= fF®hH®eE,(8.4)(8.4)

h f

h f

= fF®hH®eE,

= fF®hH®eE,

(8.4)

(8.4)

гдегде(8.6)(8.6)

где

где

(8.6)

(8.6)

(8.5)(8.5)/О 0\ Т _ (h ОТ — — (е 0 \\0 /у ’ = (о -h') ’ 6 = \0 Оу

(8.5)

(8.5)

а е, /, h, Ы — элементы алгебры А. Таким образом, пространство М матриц 2x2, состоящих из элементов алгебры А, снабженное умножением (8.1) и базисом (8.2), является алгеброй Ли g над ассоциативным кольцом Ж (f,h,e Е Ж) с единицей [7]. Другими словами, сконструирована 3-градуированная алгебра Ли, представляющая собой прямую сумму векторных подпространств

g = g-i ego egi,

смысл которых раскрывается соотношениями (8.2)-(8.5).

В качестве примера подобной 3-градуированной алгебры Ли g рассмотрим матричное представление абстрактной алгебры А, т.е. выберем алгебру Matn (С) квадратных матриц п х п с обычным матричным умножением. Тогда в рассматриваемой алгебре Ли g имеем базис

где 0п — матрица п х п, состоящая из одних нулей, а 1п — единичная матрица п х п. Запись произвольного элемента в этой алгебре определяется формулами (8.4), (8.5), где e,f,h,hf Е Matn(C), и пусть trh + trh/ = 0. Нетрудно видеть, что тогда в этом примере мы имеем дело с алгеброй sl(2n) бесследовых четномерных матриц 2п х 2п с генераторами

и любой элемент из алгебры sZ(2n) можно записать в эквивалентном формуле (8.4) виде

Х^Х = 52 хчМЕ®(8-9)

(i,J)^(2n,2n)

если считать, что е, /, h, h' состоят из соответствующих элементов Х^, a Etj — матричная единица.

Выбор подобной 3-градуированной алгебры Ли g над ассоциативным кольцом Ж позволяет, как мы увидим в дальнейшем, обобщить хорошо известную АКНС-иерархию на многополевые интегрируемые модели. Для этого определим алгебру токов (формальных рядов Лорана) C(g) в обычной форме

Х^хЛХ) = £ХкМХк,(8.10)

— N где__

Xk(x,t) = fkF&hkH& екЕ(8.11)

принадлежит алгебре Ли g. Для удобства дальнейшего изложения представим произвольный элемент ^(хД) е g в следующем виде:

^WWkxa («=1,2,3),(8.12)

здесь и ниже принимается соглашение о суммировании по повторяющимся индексам, ^ — элементы кольца Ж, а генераторы алгебры Ли g связаны с базисом F, Н, Е соотношениями

=Х2 = ^ДМ, Х, = Дн. (8.13)

Коммутатор в С (g) задается выражением

[^(ж,t,А),77(ж,А)] = 53 5(8-14)

— N i^j=k

Обозначим через ра,к координаты элемента р Е С* (g) в двойственном пространстве C*(g) и в соответствии с разложением (8.10) полагаем, что ра,к = 0 для достаточно больших положительных к. Ясно, что пространством C*(g), двойственным к алгебре С (g), является пространство рядов Лорана с коэффициентами, принадлежащими C*(g) g*. т.е.

(8.15)

при этом соответствующее спаривание имеет вид

Р^ = (Р* О = Е Ра^к'(8.16)

к

где сумма по к всегда конечна.

Нетрудно видеть, что алгебра токов C(g), заданная выражением (8.10), является градуированной алгеброй, поскольку выполняются следующие условия

ОД = £ gXk = £ Ck,(8.17)

— N-N

где

(8.18)

Градуировка (8.17) алгебры C(g) позволяет разложить ее в линейную сумму двух подпространств [10]:

C(g) = C+(g) + C_(g),(8.19)

оок = -\

C+(g) = £ Сь с^ = £ Ск.(8.20)

к=0—N

Для дуального к C(g) пространства C*(g) также имеем разложение

C*(g) = C:(g)+Cl(g),(8.21)

которое в терминах производящей функции pa(x,t, А) имеет вид

РОЦЛА) = ppx,t,X') +p-(x,t,X),(8.22)

гдеk=-YN

Ра = £ Ра.кХ к V, ра =^Гра,кХ к *.(8.23)

к=-оок=0

Очевидно, что подпространства CJ(g) ортогональны C±(g) в смысле спаривания (8.16).

Гамильтонова формулировка многополевых интегрируемых уравнений. Для того чтобы оператор ad* (коприсоединенное действие), задающий уравнения движения динамической системы, содержал дифференцирование по х (это необходимо для получения этого уравнения в представлении нулевой кривизны), следует произвести центральное расширение алгебры Ли С^ [11]. Далее, в соответствии с разложением С^) в линейную сумму двух подпространств, аналогичных (8.21)-(8.23), вводится новая структура алгебры Ли Co(g), и на этой основе формулируются новые скобки Пуассона [12]. В результате на дуальном к Co(g) фазовом пространстве С*^) можно рассмотреть гамильтоновы уравнения движения [13]

Pt(x, t, А) = {/(F), Р(х, t, А)}0 = dd*RVKP) * Р^ t, А),(8.24)

где { }о — скобки Ли-Пуассона в C*(g), гамильтониан f(P(x,t, А)) принадлежит I(C(g)) — алгебре функций Казимира, R — оператор, введенный при формулировании новой структуры алгебры Ли Co(g);

P(x,t,X) — функция, определенная в пространстве формальных рядов Лорана с коэффициентами в g* 0 g

P(x,t,X) =pa(x,t,X)Aa,(8.25)

ГД6А к

Aa = Kab • X\(8.26)

Kab — матричный элемент обратной матрицы К — матрица с матричными элементами Каь = ^ХаХъ\ здесь под ( , ) понимается форма Киллинга, поскольку алгебру Ли g можно считать полупростой. Коприсоединенное действие ad* алгебры Ли Co(g) на двойственном фазовом пространстве C*(g) дается формулой [13]

dd*Q(x, t, А) • Р(х, t, А) = Qx(x, t, А) + [Q(x, t, А), Р(х, t, А)],(8.27)

где функция Q(x,t, А) е Cq (g) представляется в следующем виде

Q(x, С А) = НХКР(х, С А)).(8.28)

Уравнения (8.24) и (8.27) приводят к уравнениям движения в представлении нулевой кривизны

PfQxWM =0.(8.29)

Для приложения к интегрируемым моделям необходимым фазовым пространством являются конечномерные орбиты алгебры Co(g). Учитывая этот факт, запишем функцию Р(х, t, А) в таком виде:

РЦЛА) = £ pakAaX-k-\(8.30)

k=-M

а числа М, N определяются конкретным выбором редуцированного пространства (объединение орбит).

Матричный оператор обобщенной модели нелинейного уравнения Шрёдингера. Для примера рассмотрим случай N = 0, М = 2, который соответствует, при выборе в качестве исходной алгебры Ли g алгебры sZ(2), хорошо известной АКНС-иерархии интегрируемых моделей. Тогда для оператора P(x,t,X) имеем [14]

Р(х, С А) = VaAa + XJaAa,(8.31)

где Va, Ja — динамические переменные в редуцированном фазовом пространстве Cg2(g), аналогичные динамическим переменным в случае модели НУШ. Ёсли алгебра А есть алгебра Matn (С) с обычным матричным умножением, то интересующая нас орбита выделяется следующими условиями:

J\ = J^ = 0; Уз = —п^п,(8.32)

У3 = 0; И = -шС У2 = -Ж,(8.33)

где £, g £ 3?, а ЦхА) и w(x,t) — квадратные п х п матричные функции. Нетрудно проверить, что в базисе Ха

(8.35)(8.35)Аа = -1ха.П

(8.35)

(8.35)

Подставляя выражения (8.32) и (8.33) в (8.31) и учитывая (8.35), получаем для матричного оператора 2п х 2п задачи на собственные значения, ассоциированной с интегрируемыми моделями, выражение

Р(х, t, А) = 2АХ3 + 2z(<Xi + qX2) =Р(х, t, А) = 2АХ3 + 2z(<Xi + qX2) =гАГпwгАГпwиiXInиiXIn(8.36)(8.36)

Р(х, t, А) = 2АХ3 + 2z(<Xi + qX2) =

Р(х, t, А) = 2АХ3 + 2z(<Xi + qX2) =

гАГп

w

гАГп

w

иiXIn

иiXIn

(8.36)

(8.36)

где ^ ? определяются формулами (8.34). При произвольном выборе алгебры А оператор Р^хДА^ выглядит аналогично:

Р(х, t, А) =Р(х, t, А) =-AIш-AIш(8.37)(8.37)

Р(х, t, А) =

Р(х, t, А) =

-AI

ш

-AI

ш

(8.37)

(8.37)

где и^х, t), w(x, t) е А.

Многополевая модель магнетика Гейзенберга. До сих пор рассматривалось объединение орбит, выделенное условием N = О, М = 2, т. е. редуцированное фазовое пространство Cq 2 (g). Рассмотрим теперь другое фазовое пространство, которое определяется условием N = 1, М = 0(6^0 (g)) [14]. В этом случае оператор Р(х, t, А) является эрмитовой матрицей 2 х 2 и имеет следующий вид:

qРАЛА^ =qРАЛА^ =г / S3 si — %s2A ysj 4" is2 —S3г / S3 si — %s2A ysj 4" is2 —S3(8.38)(8.38)

q

РАЛА^ =

q

РАЛА^ =

г / S3 si — %s2

A ysj 4" is2 —S3

г / S3 si — %s2

A ysj 4" is2 —S3

(8.38)

(8.38)

где Sa — динамические переменные на фазовом пространстве C^q (g), аналогичные переменным модели непрерывного изотропного магнетика Гейзенберга (модель МГ) [12]. В нашем случае эти матричные функции записываются в такой форме:

^ =^ =si0si00si0si(8.39)(8.39)

^ =

^ =

si

0

si

0

0

si

0

si

(8.39)

(8.39)

где Si Е Ж, sa(x,t) — элементы коммутативной алгебры А, а соответствующие орбиты выделяются условием

(8.40)(8.40)s2 + sj + S2 = I.

(8.40)

(8.40)

Что касается оператора эволюции Q(x,t, А) в формуле (8.29), то это матричная функция 2x2, которая выражается через Р(х, t, А) (см. соотношение (8.28)). Обозначим

\Ч21\Ч21Q12^922/ ’Q12^922/ ’(8.41)(8.41)

\Ч21

\Ч21

Q12^

922/ ’

Q12^

922/ ’

(8.41)

(8.41)

тогда уравнения движения (8.29), в случае, когда оператор Р имеет вид (8.37), можно записать поэлементно:

^t 2iA(^^2^512,ж З- ^(^22 ^11^ О,

(8.42)(8.42)Q1A,x ^^21 4" Q\2^ — О,

(8.42)

(8.42)

wt + 2zAQ2i - О21,ж + wQn - Q22W = 0;Q22,x + Q21^ - wQ12 = 0.

Подобную же запись уравнения движения в форме нулевой кривизны (8.29) можно сделать и для оператора модели изотропного магнетика (8.38), но этот случай рассматриваться не будет.

Покажем, что уравнения (8.42) при полиномиальном представлении их решений относительно А образуют иерархию многополевых эволюционных уравнений, причем АКНС-схема есть частный случай последней, если в качестве исходной алгебры выбрать алгебру Ли sl^2\

Иерархии многополевых нелинейныхэволюционных уравнений и алгебры Йордановых пар

Общая схема. Будем следовать процедуре, изложенной в работе [2], при нахождении АКНС-иерархии. Для этого представим оператор эволюции Q(x,t, А) в виде полинома степени т по параметру А, тогда

=+ Q2A™-2 + ... + Qm, (8.43)

где

QW = еР = 2eAX3 + 4^X1, Qk = ^Xa> (8.44)

см. выражения (8.12) и (8.36), е — некоторый коэффициент, введенный для удобства сопоставления с различными моделями. Непосредственной подстановкой (8.43) в (8.29), используя при этом (8.37), и приравниванием коэффициентов при одинаковых степенях А, убеждаемся что

Qo = 2еХ3,

<91Ц,<)<ЭзЦ,£)<91Ц,<)<ЭзЦ,£)/О гЛу w О у ’/О гЛу w О у ’Е / UXW — UWX4 \2wuw — wxxЕ / UXW — UWX4 \2wuw — wxx(8.45)(8.45)2шлш — uxxwxu — wux2шлш — uxxwxu — wux

<91Ц,<)

<ЭзЦ,£)

<91Ц,<)

<ЭзЦ,£)

/О гЛ

у w О у ’

/О гЛ

у w О у ’

Е / UXW — UWX

4 \2wuw — wxx

Е / UXW — UWX

4 \2wuw — wxx

(8.45)

(8.45)

2шлш — uxxwxu — wux

2шлш — uxxwxu — wux

И T. Д.

Системы типа нелинейного уравнения Шрёдингера. В начале будем интересоваться случаями, когда т = 2 и т = 3. Рассмотрим, прежде всего, случай т = 2. Тогда, подставляя найденный оператор эволюции Q^

Q^ = 2еА2Х3 + 4ieA<Xi + 2е (2^X3 - г^^) ,(8.46)

где £ е 3?,

У(8.47)

в уравнение нулевой кривизны, получаем систему нелинейных уравнений Шрёдингера в следующей форме [7]:

Ut = | (ижж - 2UWU); Wt = -^(WXX-2WUW),(8.48)

где U € g,; W € g_,

»<»•*)-(J о);о)-(8Л9)

Напомним, что и и w являются элементами унитальной абстрактной алгебры А.

Пусть множества элементов U Е g1 и W 6 g_1 (компоненты 3-гра- дуированной алгебры Ли g, см. формулу (8.6)) отождествляются соответственно с парой V = (v, v) векторных пространств с двумя трилинейными отображениями

V х V х V V, V х V х V V,(8.50)

записываемыми в виде (х, у, z) {xyz} и удовлетворяющими тождествам

{xyz} ={zyx}, {xyz}= {zyx},

{xy{yxz}} - {yx {xyz}} - {zx{xyy}} + {y {yxx}z} = 0,(8.51)

{xy {yxz}} - {yx {xyz}} - {zx {xyy}} + {y {yxx} z} = 0,

где х, у, z е V, х, у, z е V. Пусть далее ei, в2,..., е^ и ё1, е2,..., ем — базисы в пространствах V и V соответственно, тогда умножение в алгебре (V, V) определено формулой

{eje/cem} = &jkm^i’ {eje/cem} = &jkm^i’ (8.52) здесь аг^кт и а^кт структурные константы рассматриваемой алгебры со свойством симметрии относительно перестановки первого и последнего нижних индексов, вытекающим из верхнего соотношения (8.51). Известно, что подобные пары (V, V) с отображениями (8.50) и тождествами (8.51) называются Йордановыми парами (й.п.) (см., например, [17, 25]). В случае, когда в качестве й.п. выступает алгебра (gpg-i) (обозначим ее V (g) = (U, РИ)) с базисом Е и F соответственно (см. соотношения (8.2)) и законом умножения

(8.53)(8.53){xyz} = [[х, у], z], {xyz} = [[х, у], z],{EFE^ = 2Е, {FEE} = 2F,

(8.53)

(8.53)

где х, у, z Е gi, х, y,z 6 g-i, уравнения (8.48) на этой алгебре й.п. можно записать, если учесть (8.49) и (8.53), в виде

(8.54)(8.54)iUt = {UWU^ - Uxx; iWt = Wxx - {WUW^,

(8.54)

(8.54)

здесь положено в = 2. Система (8.54) соответствует многополевой модели НУШ, рассмотренной, например, в работах [4, 17], если под и Е А понимать вектор с компонентами и\ г = 1,...,п в пространстве V, а под w Е А — вектор с компонентами ш\ г = 1 ...,т (в пространстве V) т. е. в покомпонентной записи это будет выглядеть так:

(8.55)(8.55)^ = г (п^ж — 2ajklu^wku1^ , i, = 1,..., п,

(8.55)

(8.55)

и^ = —г (wxx — 2aLjkpF , i, = 1,..., т,

где для структурных констант аг^к1 и аг^к1 алгебры Йордановых пар (V,V) выполняются соотношения:

^ki = 4kF aijki=dkj-(8.56)

Пусть теперь элементами абстрактной алгебры А являются квадратные матрицы п х п (и, w Е Matn (С)), тогда U, W Е Mat2n (С), и рассматриваемые матричные 2п х 2п функции в пространстве Mat2n (С) имеют блочную структуру, аналогичную (8.49), и пусть W = U^, где U^" означает эрмитовую сопряженность. Определим трилинейные операции умножения в рассматриваемом линейном пространстве формулами

^xy^z^ = ху^ z + zy+x, ^x^yz^^ = x^yz^ Fz^yx^.(8.57)

Тогда пара V (g) = ([/,[/+) с базисом E,F, определяемым формулами (8.7), является Йордановой парой относительно операций, задава-

емых выражениями (8.57). Нетрудно видеть, что любое из уравнений системы (8.48), при условии W = [7+, представляет собой запись НУШ на алгебре й.п. ([/,[/+)

iUt = ЦШ+1р - Uxx. (8.58)

С целью иллюстрации возможности формального получения интегрируемых моделей с помощью развиваемого здесь иерархического метода приведем несколько примеров в выборе простейших Йордановых пар.

Итак, если в качестве и (q, г) и w (q, г) выбрать матричные 2x2 функции такого вида:

и подставить (8.59) в (8.49) и далее в любое из (8.54) то, как нетрудно проверить, после элементарных операций перемножения матричных функций, будем иметь

qt = i(qxx - 2aq2q* - 2prr*qY rt = i(rxx - 2aqq*r - 2Pt2t*Y (8.60)

Тот же самый результат можно получить, если использовать покомпонентную запись нелинейного уравнения Шрёдингера (8.55) на алгебре й.п. (V,V), заданной таблицей умножения базисных векторов (ei,e2,ei,e2)

V(l): {eieiei} = 2еь {eie2e2} = ei, {eieiei} = 2ёь {eie2e2} = ei,V(l): {eieiei} = 2еь {eie2e2} = ei, {eieiei} = 2ёь {eie2e2} = ei,{eie2ei} = 0, {e2eie2} = 0, {eie2ei} = 0, {e2eie2} = 0,{eie2ei} = 0, {e2eie2} = 0, {eie2ei} = 0, {e2eie2} = 0,{eieie2} = e2, {e2e2e2} = 2e2, {eieie2} = e2, {ё2е2ё2} = 2ё2,{eieie2} = e2, {e2e2e2} = 2e2, {eieie2} = e2, {ё2е2ё2} = 2ё2,(8.61)(8.61)

V(l): {eieiei} = 2еь {eie2e2} = ei, {eieiei} = 2ёь {eie2e2} = ei,

V(l): {eieiei} = 2еь {eie2e2} = ei, {eieiei} = 2ёь {eie2e2} = ei,

{eie2ei} = 0, {e2eie2} = 0, {eie2ei} = 0, {e2eie2} = 0,

{eie2ei} = 0, {e2eie2} = 0, {eie2ei} = 0, {e2eie2} = 0,

{eieie2} = e2, {e2e2e2} = 2e2, {eieie2} = e2, {ё2е2ё2} = 2ё2,

{eieie2} = e2, {e2e2e2} = 2e2, {eieie2} = e2, {ё2е2ё2} = 2ё2,

(8.61)

(8.61)

где предполагается, что = q, = r, = Pt*. Система (8.60) есть эволюционная система двух уравнений относительно скалярных комплексных функций q(x,t) и r(x,t\ описывающая распространение поляризованных световых волн в нелинейной среде. Действительно, если положить а = Р и q = qcR + tcl, где cr,cl — единичные комплексные векторы правой и левой поляризаций, то, воспользовавшись ортогональностью векторов cr,cl, получим для

вектора напряженности электрического поля оптического излучения q следующее уравнение:

^qt + q^ + ^|q|2q = 0.^qt + q^ + ^|q|2q = 0.(8.62)(8.62)

^qt + q^ + ^|q|2q = 0.

^qt + q^ + ^|q|2q = 0.

(8.62)

(8.62)

Видно, что уравнение (8.62) совпадает с уравнением, полученным С. В. Манаковым [16], которое описывают процессы двумерной стационарной самофокусировки лазерного излучения для сред с кубической нелинейностью, а также задачу одномерной автомодуляции монохроматических волн с произвольной поляризацией, которые были

достаточно подробно изучены в первой части этой книги (см. разделы 1.2, 1.3). Напомним, что спектральная задача, т. е. оператор P(x,t, А) в виде (8.36) при выборе матричной функции u(x,t) в форме (8.59) и при условии ш = п+, является задачей Манакова, концептуальному изучению которой было уделено внимание в разделе 7.3.

Следует отметить, что условие а = /3 соответствует рассмотрению евклидова пространства, т. е. в этом случае скалярное произведение двух векторов записывается в виде |q|2 = |q|2 + |r|2 . Однако, можно рассмотреть условие а = —/3, тогда мы будем иметь для скалярного произведения |q|2 = |q|2 — |r|2 , что соответствует псевдоевклидовой норме, и основное отличие в получаемых солитонных решениях уравнения (8.62) в этом случае заключается в том, что вектор поляризации принимает значения не на сфере (евклидова норма), а на гиперболоиде, и компоненты его могут быть сколь угодно велики при конечной длине. Это, несущественное, на первый взгляд, отличие, приводит к совершенно иной структуре динамической модели, описываемой уравнением (8.62). В работе [27] было получено односолитонное решение псевдовекторного НУШ (8.62) при нулевых граничных условиях, которое авторы назвали двойной каплей (2D). Решение типа двойной капли является просто двухполевой модификацией решения однокомпонентного НУШ (капли), соответствующего случаю, если речь идет о бозе-газе, притяжению его частиц. По мнению авторов этой работы, солитонные решения типа двойной капли (2D) могут претендовать на описание магнитных возбуждений над антиферромагнитным вакуумом в рамках континуального «аналога» модели Хаббарда. Более подробно эти вопросы рассмотрены в работе [27].

Далее будет показано, что обобщенная спектральная задача Манакова с помощью развиваемого здесь формализма приводит к целой серии нелинейных эволюционных уравнений, решаемых методом обратной задачи рассеяния.

Рассмотрим другую возможность в выборе простейшей й. п. (U, W\ в сравнении с изученной выше (определяемой выбором матриц и (q, г) и w (q, г) выражением (8.59)), а именно

fq(x,P r(x,P\ faq*(x,t) 8г*(х,Р\ _

Тогда процедура, с помощью которой была получена система уравнений (8.60), дает такой результат:

(8.64)(8.64)iqt + q$$ - 2а (q2 + г2) q* - 4(3rr*q = 0,irt + Ти — 2(3 (q2 + г2) г* — 4aqq*r = 0.

(8.64)

(8.64)

В соответствии с (8.64) алгебра й.п. ^V,Vj , задается следующей таблицей умножения базисных векторов (61,62,61,62):

V(2): {eieiei} = 2eh {eie2e2} = 2eh {eieiei} = 2eh {eie2e2} = 2ehV(2): {eieiei} = 2eh {eie2e2} = 2eh {eieiei} = 2eh {eie2e2} = 2eh{eie2ei} = 2e2, {e2eie2} = 2eb {eie2ei} = 2e2, {e2eie2} = 2eb{eie2ei} = 2e2, {e2eie2} = 2eb {eie2ei} = 2e2, {e2eie2} = 2eb{eieie2} = 2e2, {=,%=,) = 2e„ {eieie2} = 2e2, {e2e2e2} = 2e2.{eieie2} = 2e2, {=,%=,) = 2e„ {eieie2} = 2e2, {e2e2e2} = 2e2.

V(2): {eieiei} = 2eh {eie2e2} = 2eh {eieiei} = 2eh {eie2e2} = 2eh

V(2): {eieiei} = 2eh {eie2e2} = 2eh {eieiei} = 2eh {eie2e2} = 2eh

{eie2ei} = 2e2, {e2eie2} = 2eb {eie2ei} = 2e2, {e2eie2} = 2eb

{eie2ei} = 2e2, {e2eie2} = 2eb {eie2ei} = 2e2, {e2eie2} = 2eb

{eieie2} = 2e2, {=,%=,) = 2e„ {eieie2} = 2e2, {e2e2e2} = 2e2.

{eieie2} = 2e2, {=,%=,) = 2e„ {eieie2} = 2e2, {e2e2e2} = 2e2.

До настоящего времени неизвестно, имеет ли полученная таким образом интегрируемая система уравнений (8.64) конкретное физическое содержание.

Если в этом случае положить, как и ранее, а = Р, то система уравнений (8.64) расцепляется на два независимых скалярных НУШ. Действительно, замена переменных вида Q = q + r,R = q — г, приводит к системе уравнений

iQt + Qxx - 2|Q|2Q = 0, гД( + Лжж-2|Л|2Л = 0,(8.66)

т. е. к двум эталонным НУШ.

Система модифицированных уравнений Кортевега- де Фриза. Перейдем теперь к случаю т = 3. Для него получаются такие уравнения:

(8.67)(8.67)Ut = -I (Uxxx - 3UXWU - 3UWUXV

(8.67)

(8.67)

Wt = (И3жж - ЗИ^ЛТУ - 3TWWJ;

с соответствующим оператором эволюции Q^

Q^ = 2sA3X3 + 4zsA2<Xi + 2sA (2^X3 - г^Х2) -

где g e Ж,где g e Ж,- 2s (U - <^) X3 + гг (8^< -Xx, (8.68)

где g e Ж,

где g e Ж,

(8.69)(8.69)г /-w (A

(8.69)

(8.69)

2 у О и) *

Здесь и и w, как и ранее, являются элементами абстрактной алгебры A, a U е gi; W е g~i. Система (8.67) модифицированных уравнений Кортевега-де Фриза в такой общей постановке, по-видимому, является новой. Из вида уравнений (8.67) непосредственно следует возможность записи этой системы на алгебре й. п. (U, ТУ) с законом умножения (8.53) в следующей форме:

Ut + Uxxx - 3\UWUX^ = 0, Wt + Wxxx - 3 {WUWX^ = 0. (8.70)

Здесь предполагается, что £ = 4. Система (8.70) будет соответствовать многополевой модели модифицированных уравнений Кортевега-

де Фриза, если, как и ранее, в качестве и е А рассматривать вектор с компонентами и\% = !,...,% в пространстве V, а в качестве w Е А — вектор с компонентами w\ г = 1 ...,т (в пространстве V). Тогда систему уравнений (8.67) на алгебре й. п. (V, V) можно записать в следующем виде:

,..., п,(8.71),..., т,,..., п,(8.71),..., т,и^ + пххх - Ва^к1и^ки1ж = 0, г = 1

,..., п,

(8.71)

,..., т,

,..., п,

(8.71)

,..., т,

wt + ^ххх ~ Ваг^к1^икгш1х = 0, г = 1

где ctjkl и cijkl — структурные константы алгебры (V, V).

Рассмотрим теперь Йорданову пару ([/,[/+) с операциями умножения, определяемыми выражениями (8.57). Тогда любое из уравнений системы (8.70) можно записать на алгебре й. п. (U, Е7+) следующим образом:

Ut + U^-З^ии+и^ =0.(8.72)

На основе уравнения (8.70) рассмотрим опять два случая. В первом случае выберем матричные функции и и w в виде (8.59), другими словами, выбираем обобщенную спектральную задачу Манакова. Тогда нетрудно показать, что (8.71) при таком выборе и и w приводит к системе уравнений

qt + Чххх ~ 3aq* (g2) - 30г* (qr^ = 0,

(8.73)

Tt + гжжж - 3aq* (qry - 30т* (гЩ = 0.

Вполне естественно, что алгебра V(l) с таблицей умножения базисных векторов (8.61) соответствует системе (8.70). Подчеркнем здесь, что уравнения (8.70) и (8.72) не следуют из матричного уравнения мКдФ или из Йордановых систем мКдФ [5].

Если положить а = /3 = — 1, q = q*, г = г* то система (8.73) представляется относительно вектора q = qcR + tcl в виде одного уравнения

qt + 3 д2дж + 3q (qq^.) + q$3;:c = 0,(8.74)

которое можно рассматривать как векторный аналог модифицированного КдФ. Таким образом, выбор конкретной алгебры Йордановых пар (U,W) (см. выражение (8.59)) или алгебры V(l) (заметим, что для уравнения (8.74) можно ограничиться выбором й. п. ([/,[/+)) приводит к динамической модели, имеющей непосредственный физический интерес.

Действительно, если q отождествить с вектором напряженности переменного магнитного поля в плазме твердого тела, при условии равенства эффективных масс электронов и дырок, то на основе классических уравнений магнитной гидродинамики получается уравнение (8.74), описывающее поляризованные альфвеновские солитоны, распространя-

ющиеся вдоль направления постоянного магнитного поля (см. гл. 3, раздел 3.4).

Кроме этого, как показано в гл. 2, раздел 2.5.3, в приближении однонаправленных волн на основе обобщенных уравнений Максвелла- Блоха получено векторное уравнение мКдФ, т. е. (8.74), описывающее динамику поляризованных оптических видеосолитонов в двухуровневой резонансной среде с энергетическими уровнями, вырожденными по проекциям полного углового момента. Таким образом, векторное НУШ и векторное мКдФ связаны одной задачей рассеяния (задачей Манакова) [26].

Здесь необходимо сделать следующее замечание. Как и в случае псевдовекторного НУШ, можно рассмотреть случай, определяемый условием а = —/3 = — 1, которое задает псевдоевклидову норму (т. е. псевдоевклидово пространство). Тогда уравнение (8.74) превращается в псевдовекторное уравнение мКдФ. Какую физическую нагрузку несет это уравнение, неизвестно.

Разберем второй случай. Для этого пусть матрицы и и ш имеют вид (8.63), что соответствует другой спектральной задаче по отношению к первому случаю, тогда подстановка их в (8.49) и далее в любое из уравнений (8.70) дает систему уравнений

Qt = Чжжж ~ 6 (aqq* + 0rr*) qx - 6 (arq* + pqr*) тх,

(8.75)

Tt = тжжх - 6 (aqq* + Ртт*^ rx - 6 (arq* + Pqr*) qx, которая соответствует алгебре V(2) с таблицей умножения базисных векторов (8.65).

Имеют ли эти уравнения физическое содержание, неизвестно.

Рассмотрим редукцию, т. е. пусть W = F, a U определяется первым соотношением (8.49) (можно также положить U = Е, a W будет при этом определяться вторым соотношением (8.49)), тогда система уравнений (8.67) сводится к одному уравнению

UtEUxxx-^\UFU^ = 0.(8.76)

Уравнение (8.76) можно рассматривать, как уравнение КдФ, записанное на й. п. V (g) = (U,F) или V (g) = (E,W\ Пусть матрица и определяется соотношением

u(xX=(q^(8.77)

\ш\хД) ,uq\vx,t)yl

тогда учитывая, что г = I j qI , U = (q q 1 , из (8.76) следует при a = 0 и v = 0

Qt = — ^ {Qxxx ^QxQ\ = — ххх 8(^г)ж),(8.78)

а при а ф 0 и v = 1 соответственно

qt =О XXX^QxQ бскТТх^, тч — ^ ^J*ххх^(q^x)-(8.79)

Из (8.78) видно, что если г = —4, то эти уравнения совпадают с Йордановой системой КдФ, порожденной Йордановой алгеброй J^ (1) и J2 (2) соответственно [5]. Заметим, что система уравнений (8.79) не следует из двумерных Йордановых уравнений КдФ [5].

Уравнения (8.79) интересны тем, что они имеют конкретное физическое содержание и способны описывать динамику нелинейных поверхностных акустических волн с дисперсией в упругой среде, а именно, динамическую модель солитонов Рэлея [18]. Отметим, что в разделе 7.2 развиты все этапы интегрирования эволюционных уравнений (8.79) методом обратной задачи рассеяния и получены многосолитонные решения. Очевидно, что уравнения (8.75) являются обобщением системы (8.79) и, следовательно, есть основание надеяться на то, что им будет найдено в будущем физическое приложение.

Системы, обобщающие уравнение синус-Гордон и векторное уравнение Максвелла-Блоха. Приступим теперь к рассмотрению случая отрицательных временных потоков, т. е. отрицательных степеней в разложении оператора эволюции Q по параметру А. Пусть m = — 1, тогда

^"‘^^Q-i,(8.80)

А + д

где 5 — некоторая постоянная, смысл которой будет ясен из дальнейшего изложения.

Обозначим

Q— 1 = А -V В -V С -V D,

. fa 0А /0 0А

W” (о b) ’(8.81)

С=(° A D=(° °^(о 0Д V ОД

где Л$Л\ b(x,t), c(x,t), d^xX) являются элементами алгебры А. Совместность уравнений эволюции при m = 1 и при m = — 1 дает [2]

(8.82)

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях А, имеем следующую систему дифференциальных уравнений, которая является обобщением уравнений, соответствующих отрицательному потоку в обычной АКНС-иерархии:

Ut = 2гС, AX = UD- CW, Сх = 2г5С + UB-AU,z х

Wt = -2iD, Вх = WC - DU, Dx = -215D + WA- BW. 1 ' ’

Продифференцируем первый ряд уравнений системы (8.83) по х и проинтегрируем по этой переменной второй ряд уравнений рассматриваемой системы, в результате чего получим

Utx = 2гСх, А = A<°> + j (UD - CW) dx',

(8-84)

Wtx = -2iDx, В = В^ + j <WC - DU) dx',

где A^X и B^X — значения величин А, В при х —> -ос. Далее, можно исключить из уравнений (8.84) переменные А, В, С, D и окончательно записать эту систему относительно U Е gi, W Е g~i в следующем виде:

Utx - 2г (8Ut + UB^ - А^и) - и J (WU)t dx' - J (UW)t dx'U = 0,

(8.85)

Wtx + 2г (<Wt + ТУА^ - B^W) -

-W j (UW)tdx1 - j (WU)t dx'W = 0.

Полученная система интегро-дифференциальных уравнений наглядно демонстрирует идентичность структуры нелинейных членов в уравнениях (8.85) в сравнении с (8.48) и (8.67). Как и ранее, эта структура непосредственно указывает на возможность записи уравнений (8.85) на алгебре й. п. (U, РИ) с законом умножения (8.53) в следующей форме: Uxt - 2г (6Ut + UB^ - A^U) - j {С7(Ц (ТУ (ж') U (ж')У dx' = 0,

А(8.86)

Wxt + 2г (dWt + WA(^ -B^W) - j {ТУ(ж)([7(ж')ТУ(ж')Ус/ж' = 0,

r«eX

j VJ(xHW(x')U(x'))tW eg],

аж

j {W(x)(U(x,)W(x,))^dx,

Следуя логике изложения, интересно рассмотреть многополевую модель системы (8.85), поступая аналогично тому, как это было сдела-

но в случае, например, НУШ, т. е. на алгебре (V, V) будем иметь i4t — 21(514 — а^и^ + Ь^и^) — 2a?jkl j и?(х^ (wk (х') и1 ^xr^t dx' = О,

г=1,...,п,(8 87)

wxt + 2г ^5wlt + d^wj - b^w^ -

- 2а^к1 | uiP (х) (uk (x') wl (x4\ dx' = О, г = 1,..., m,

где, как и выше, для структурных констант а^к1 и а^к1 выполняются соотношения (8.56), а а^\ Ь^, а^, Ь^ определяются граничными условиями конкретной задачи.

Рассмотрим Йорданову пару V (g) = (U, Е7+), т. е. пространство матричных функций 2п х 2п, имеющих блочную структуру вида (8.49) с операциями умножения, определяемыми выражениями (8.57). Тогда на этой алгебре й. п. имеем

Uxt - 2г (6Ut + UB^ - A^U) - j Щ(ж) (U+ (ж') U (ж')) J dx1 = 0

(8.88)

для любого уравнения (8.86).

Теперь интересно выяснить, к какой динамической модели приведет спектральная задача Манакова в отрицательном потоке. Подставляя (8.59) в (8.49) и далее в (8.83) и предполагая при этом, что a,b,c,d е Е Mat2 (С), имеем систему дифференциальных уравнений

qt = 2гсц, rt = 2гс22,

сц,ж = rbX2 ~ q(2an - bn\ с22,х = qb\2 - т(2ахх - ^22),

(8.89)

^12,X = QC22 + гсп,(2ац - Ьп)ж = -2 (2qcxx + rc22),

(2ац - b22)x = -2 (qcxx + 2rc22),

где принято q = q*, г = г* 5 = 0. Здесь для наглядности сравнения (8.89) с аналогичными уравнениями работы [23] использовались уравнения (8.83).

Покажем, что система уравнений (8.89) описывает реальную физическую ситуацию. Действительно, если положить q = z/i3i£i, г = грз2£2» 2сц = -гсгзь 2с22 = -^32, 2^12 = гсг2ь 4ахх = газз, 2ЬХХ = гахх, 2^2 = = га22^ где p^tj — матричные элементы оператора дипольного момента разрешенных переходов, например, для Л-конфигурации энергетических уровней явления самоиндуцированной прозрачности СИП при двойном резонансе в трехуровневой среде. Далее, si, £2 — комплексные огибающие ультракоротких импульсов (УКИ) электромагнитного излу-

чения двух различных длин волн, а^ — элементы матрицы плотности трехуровневой модели. Тогда система уравнений (8.89) представляет собой обобщенные укороченные уравнения Максвелла-Блоха [23, 24]. Солитонные решения этих уравнений описывают одновременное распространение с одинаковыми скоростями импульсов излучения с различными несущими частотами, которые проходят через резонансную поглощающую среду без искажения своей формы. Пара таких УКИ, как единый объект, получила название в литературе «симултон» [21, 22], он служит аналогом 2тг-импульса Мак-Колла и Хана в модели двухуровневых атомов [19, 20].

Если же за основу взять многокомпонентную запись (8.87), то при тех же условиях и выборе алгебры V(l) с таблицей умножения базисных векторов (8.61) будем иметь одно векторное интегро-дифференциальное уравнение, эквивалентное (8.89), если формально считать огибающие УКИ si, £2 компонентами вектора q = ^сд + гс^,

q^t - 2ip0q - 2 j ^(ж) |q (ж')|, + q (ж') (qt (ж') q^)) +

+ Qt (^9 (Q (^9 q(^))] ^х' = 0, (8.90)

Я - 2«™) = < - 2„™), „™ = <,™ = «™ = = = 5

Следует отметить, что если в уравнениях (8.83) или (8.88) положить 5 ф 0, то они могут описывать также явление самоиндуцирован- ной прозрачности в условиях вырождения резонансных энергетических уровней в двухуровневой среде с неоднородным уширением спектральных линий и отстройки от частоты несущей световых импульсов [24]. Таким образом, система уравнений (8.83) или (8.88) при использовании спектральной задачи Манакова позволила совершенно формально получить интегрируемые уравнения Максвелла-Блоха (8.89) или (8.90) и найти место в данной иерархии реальному физическому явлению СИП в различных его проявлениях. Заметим, что уравнение (8.90) с одинаковым успехом можно рассматривать как псевдовекторное уравнение, если в определении скалярного произведения будем использовать псевдоевклидову норму.

Заканчивая эту главу, можно отметить, что рассмотренные в данной главе многополевые иерархические схемы включают в себя различные обобщения (в том числе и матричные) хорошо известных (8.48) и новых солитонных динамических моделей (8.67), (8.85) и формулируются с единых Ли-алгебраических позиций на основе 3-градуированной алгебры Ли g над ассоциативным кольцом. Во всех временных потоках, соответствующих скалярным моделям НУШ, мКдФ и СГ обычной АКНС-иерархии, найдены многополевые аналоги, записанные на алгебре Йордановых пар (U, W\ являющиеся многокомпонентными гамиль-

тоновыми динамическими моделями. Структура полученных из этого формализма систем НУШ (8.48) согласуется с записью этих уравнений на алгебре Йордановых пар (V, V), рассмотренных, например, в работе [17]. При выборе простейшей алгебры й.п. (U, W\ определяемой соотношением (8.59) (или алгебры V(l) с таблицей умножения (8.61)) формальным путем получаются векторные уравнения НУШ, мКдФ и векторное уравнение МБ. Подобно тому, как задача Захарова-Шабата [15] является общей для динамических моделей АКНС-иерархии, обобщенная задача Манакова (матричный 4x4 оператор Р(х, t, А) с учетом (8.59)) порождает векторные, а также и псевдовекторные обобщения этих классических солитонных уравнений. Таким образом, найдена иерархическая структура, в которой эта задача в известном смысле играет такую же фундаментальную роль, как и задача Захарова-Шабата.

В заключение имеет смысл показать в виде таблицы все иерархические структуры гамильтоновых динамических моделей. Мы ограничимся рассмотрением только тех пространств (объединений орбит), содержащих интегрируемые уравнения, которым было уделено наибольшее внимание в этой книге.

Итак, выбираем в качестве «жизненного пространства» существования динамических моделей объединение орбит, выделенное условием М = 0, N = 2, которое приводит к матричному спектральному оператору дираковского типа 2п х 2п (см. выражение (8.37)). Все возможные интегрируемые динамические модели, соответствующие этому случаю, рассмотрены нами в последней главе и здесь сведены в одну таблицу, которая представлена на следующих двух страницах.

Эта таблица, назовем ее иерархическая система солитонных моделей, собирает в единую схему большую часть изученных к настоящему времени интегрируемых систем, которые объединены в отдельные группы (потоки) по схожим между собой признакам. Эти группы состоят из элементов, принадлежащих различным уровням, в которых могут существовать определенное количество отличных друг от друга иерархий, соответствующих вполне конкретным типам вспомогательных задач на собственные значения, т. е. спектральным задачам, ассоциированным тем или иным интегрируемым моделям. Переход от верхнего уровня к следующему сопровождается увеличением числа компонент в системах дифференциальных уравнений, входящих в рассматриваемые группы. Так, например, хорошо известная АКНС-иерархия скалярных эталонных уравнений (НУШ, мКдФ, СГ) следующим уровнем своего обобщения, как выяснилось в результате исследований, проведенных автором этой монографии, имеет иерархию векторных аналогов этих интегрируемых моделей (иерархия Манакова). Оказалось, что эта иерархия, т. е. векторное НУШ, векторное мКдФ и векторное МБ, также наполнена конкретным физическим содержанием, о чем и говорилось в первой части данной книги. Формализм, развиваемый в гл. 8, позволил достаточно просто продолжить процесс обобщения

простых иерархий на верхних уровнях на более сложные, вплоть до продвижения на многополевые динамические модели, представляющие собой системы нелинейных дифференциальных уравнений со многими степенями свободы. Возможности чисто формального получения интегрируемых уравнений можно продемонстрировать на следующем примере. Векторное мКдФ было получено именно таким способом и только впоследствии оказалось, что оно способно описывать солитонные процессы как в физике плазмы, так и в квантовой оптике (поляризованные альфвеновские и оптические видеосолитоны) [26]. К этому же можно добавить, что укороченная система Максвелла- Блоха, впервые полученная в работе [23], скажем, из физических соображений, также появляется совершенно формально, если использовать описанную в гл. 8 процедуру. Попутно отметим, что принадлежность векторного уравнения МБ к отрицательному потоку проявилась только после полученных и описанных в гл. 8 результатов.

Пустые клетки в данной таблице означают, что эти конкретные интегрируемые уравнения пока неизвестны, хотя получить их указанным выше способом не представляет большого труда. Курсивом отмечены те интегрируемые уравнения, которые имеют физическое наполнение. Остальные модели ждут в этом смысле своего часа, поскольку, как выясняется, схожие признаки в математическом смысле, объединяющие интегрируемые уравнения в соответствующие группы, проявляются и в физических моделях.

Достаточно привести такой пример: уравнение СГ описывает само- индуцированную прозрачность в нелинейной квантовой среде, это же явление описывает векторное уравнение МБ, только теперь уже для оптического излучения с произвольной поляризацией.

Таким образом, представленная таблица позволяет достаточно просто показать с единых позиций тот объем накопленных знаний в очень многообразной области солитонных динамических систем и, в частности, указать конкретное место каждой интегрируемой модели.

Следует еще указать на возможность рассмотрения иных иерархических структур и, следовательно, подобных таблиц, соответствующих матричному оператору модели модели Гейзенберга (8.38), что может быть предметом самостоятельного исследования.

Пояснения к таблице: 1) номер столбцов (потоков) таблицы соответствует порядку разложения оператора эволюции Q в степенной ряд по спектральному параметру (см. с. 238, выражение (8.43)); 2) номера строк соответствуют размеру квадратных матриц в спектральном операторе Рп (см. формулу (8.36)); 3) нулевой и первый потоки — тривиальны; 4) там, где есть необходимость, в соответствующих клетках делается ссылка на литературный источник, откуда заимствована та или иная интегрируемая модель; 5) курсивом отмечены те динамические модели, которые, как это следует из литературы, имеют или могут претендовать на физическое содержание.

Уровень иерархий

иерархии

0

1

2

3

X

т

-1

-2

X

— т

потоки

^ элементы алгебры А и, w

1

X

X

X

CD X

О

<

КдФ

=х s s £ к

X х S Он х §_, & о

X eld X Е

в

спектральная задача

Шрёдингера и = q, w = 1

НУШ

мКдФ

sin-Гордон

задача Захарова-Шабата и = q, w = q*

система

НУШ

система мКдФ

задача ЗШ-АКНС и = qx, w = q2

2

X m о х X X X §

х X

X

X

векторное НУШ, [16]

векторное мКдФ, [26]

х" X X

ё II

о

X О

X

СЧ ^ зХ ®

х х х m

х X X Он

X

векторное уравнение М-Б, [23, 24]

задача Манакова (евклидова норма)

(qx 92 А(Qi qx А

и =,*

\91 92/\92 92/

псевдовек- торное НУШ, [27]

псевдовек- торное мКдФ

псевдовек- торное уравнение М-Б

(псевдоевклидова норма)

(qx qA( qx qx A

\9i 92/V-92 - 92/

двухкомпонентное НУШ, [28]

двухкомпонентное мКдФ

обобщенная задача Манакова

(qx qA(aqx ^qx\

U= 4b W =* zO *

\91 92/\Й2 Й2У

Иерархическая система солитонных моделей

Таблица

Гл. 8. Иерархии многополевых интегрируемых моделей

Уровень иерархий

иерархии

;

0

1

2

3

X

т

-1

-2

<

X

— т

<— потоки

1 элементы алгебры А и, w

2

X

си ч

о

с 3S

< <

к i х

X

X

двухполевой аналог КдФ

матричная 2x2 спектральная задача Шрёдингера и = (, ги = Ь

\aq2 qij

двухполевая модель НУШ [4]

двухполевая модель мКдФ, [30]

система матричных 2x2 уравнений М-Б

спектральная задача с симметричными по обеим диагоналям матричными элементами и, w, u=(qi A w=(aqx

\Q2 qx J ’\Й2 aqx J

X

X

СЧ о^ х £

cl<

S о

сЗ к

полная матричная 2x2 спектральная задача

и= (qx = И А

\Ф Узу\У8 97/

Таблица (продолжение)

8.3. Иерархии многополевых нелинейных эволюционных уравнений 253

Уровень иерархий

иерархии

0

1

2

3

X

т

-1

-2

<

X

— т

потоки

i элементы алгебры А и, w

3

и т. д.

П

X

X £ о, х cL £ g =S О

§ §

X X

система матричных п X п НУШ, [7]

система матричных п X п мКдФ

о ч =х X X

X х s

X <D X

X X S m Он

з£ ОнО

£ g X х х =х <

система матричных п х п уравнений М-Б

полная матричная п х п спектральная задача ип, чип — произвольные квадратные матрицы размером п х п и = ип, w = wn

т

X =х

$ 5

§ §

2 х

s о

X с£ S к

X Он

(X <D

S' X

X X

многополевая модель НУШ, [4, 17]

многополевая модель мКдФ

многополевая модель М-Б

и, w — элементы й.п. (V,V), и — вектор

с компонентами и', г = 1,..., п, w — вектор

с компонентами wz, г = 1,..., п

Таблица {окончание)

Гл. 8. Иерархии многополевых интегрируемых моделей

Список литературы

К главе 1

Майер А. А. Экспериментальное наблюдение явления самопереключения однонаправленных распределенно-связанных волн Ц УФН. 1996. Т. 166. С.1171-1196.

Hasegawa A., Tappert Г. Transmission of stationary nonlinear optical pulses in dispersive dielectric fibers. 1. Anomalous dispersion Ц Appl. Phys. Lett. 1973. V. 23. P. 142.

Mollenauer L.F., Stolen R.H., Gordon J. P. Experimental observation of picosecond pulse narnowing and solitons in optical fibers // Phys. Rev. Lett. 1980. V.45. P. 1045.

Дианов E.M., Прохоров A.M. Лазеры и волоконная оптика И УФН. 1986. Т. 148. С. 289.

Сисакян И.Н., Шварцбург А. Б. Нелинейная динамика пикосекундных импульсов в волоконно-оптических световодах Ц Квантовая электроника. 1984. Т. 11. С. 1703.

Маймистов А.И. Обратимые логические элементы — новая область применения оптических солитонов Ц Квантовая электроника. 1995. Т.22. С.1044-1048.

Додд Р., Эйлбек Дж., Гиббон Дж., Моррис X. Солитоны и нелинейные волновые уравнения. — М.: Мир, 1988. — 694 с.

Kelley P.L. Self-focusing jf optical beams Ц Phys. Rev. Lett. 1965. V. 15. P. 1005.

Таланов В. И. О самофокусировке волновых пучков в нелинейных средах Ц Письма в ЖЭТФ. 1965. Т. 2. С. 218-222.

Питаевский Л.П. Вихревые нити в неидеальном бозе-газе Ц ЖЭТФ. 1961. Т. 40. С. 646.

Звездин А.К., Попков А. Ф. К нелинейной теории магнитостатических спиновых волн Ц ЖЭТФ. 1983. Т. 84. С. 606-615.

Манаков С. В. К теории двумерной стационарной самофокусировки электромагнитных волн // ЖЭТФ. 1973. Т. 65. С. 505-516.

Lax P.D. Integrals of nonlinear equations of evolution and solitary waves Ц Comm.Pure Appl. Math. 1968. V. 21. P. 467-490.

Захаров B.E., Шабат А. Б. Точная теория двумерной самофокусировки и одномерной автомодуляции волн в нелинейных средах Ц ЖЭТФ. 1971. Т. 61. С. 118-134.

Гельфанд И.М., Левитан Б.М. Об определении дифференциального уравнения по его спектральной функции Ц Изв. АН СССР, сер. Матем. 1951. Т. 15. С. 309-360.

Марченко В. А. Восстановление потенциальной энергии по фазам рассеянных волн и ДАН СССР. 1955. Т. 104. С. 695-698.

Захаров В.Е., Шабат А. Б. О взаимодействии солитонов в устойчивой среде Ц ЖЭТФ. 1973. Т. 64. С. 1627-1639.

Хохлов Р.В. К теории ударных радиоволн в нелинейных линиях Ц Радио- техн. и электрон. 1961. Т. 6. С. 917.

Захаров В.Е., Манаков С. В., Новиков С.П., Питаевский Л.П. Теория солитонов. Метод обратной задачи. — М.: Наука, 1980.

Satsuma /., Yajima N. Initial value Problems of One-Dimensional Self-Modulation of Nonlinear Waves in Dispersiv Media // Progr. Theor. Phys. Suppl. 1974. V. 55. P. 284.

Mollenauer L.F., Stolen R.H. The soliton laser // Opt. Lett. 1984. V. 9. P. 13.

Ахманов C.A., Выслоух В. А., Чиркин А. С. Самовоздействие волновых пакетов в нелинейной среде и генерация фемтосекундных лазерных импульсов Ц УФН. 1986. Т. 149. С. 449-509.

Paul Р.М. et al. Observation of a Train of Attosecond Pulses from High Harmonic Generation // Science. 2001. V. 292. P. 1689.

Желтиков А., Сверхкороткие M. световые импульсы в полых волноводах и УФН. 2002. Т. 172. С. 743-776.

Захаров В.Е., Кузнецов Е.А. Оптические солитоны и квазисолитоны Ц ЖЭТФ. 1998. Т. 113. С. 1892-1914.

Выслоух В. А., Передник И. В. Многосолитонные составляющие решений нелинейного уравнения Шрёдингера с возмущающим членом Ц ТМФ. 1989. Т. 78. С. 35-44.

Register A. Parallel Propagation of Nonlinear Low-Frequency Waves in High - p Plasma // The Physics of Fluids. 1971. V. 14. P. 2733-2739.

Mio K., Ogino T., Minami K., Takeda S. Modified Nonlinear Schrodinger Equation for Alfven Waves Propagating along the Magnetic Field in Cold Plasmas // Journal of the Physical Society of Japan. 1976. V. 41. 265-271.

Каир D.J., Newell A.C. An exact solution for a derivative nonlinear Schrodinger equation // J. Math. Phys. 1978. V. 19. P. 798-801.

Виноградова М.Б., Руденко О.В., Сухоруков А.П. Теория волн. — М.: Наука, 1990.

Каир D.J., Reiman А.Н, Bers A. Space-time evolution of nonlinear three wave interactions I Ц Rev. Mod. Phys. 1979. V. 51. P. 275-309.

Reiman A.H. Space-time evolution of nonlinear three wave interactions II. — Rev. Mod. Phys. 1979. V. 51. P. 311-314.

К главе 2

Хохлов Р.В. К теории ударных радиоволн в нелинейных линиях Ц Радио- техн. и электрон. 1961. Т. 6. С. 917.

McCall S.L., Hahn E.L. Self-induced transparency by pulsed coherent light Ц Phys. Rev. Letts. 1967. V. 18. P. 908-911.

Konopnicki J.M., Eberly J.H. Simultaneous propagation of short different- wavelength optic pulses Ц Phys. Rev. A. 1981. V. 24. P. 2567-2583.

Konopnicki M. J., Drummond P. D. and Eberly J. H. Simultons: Simultaneous Propagation of Different-Wavelength Optical Pulses // Appl. Phys. B. 1982. V. 28. P. 103.

Bullough R.K., Ahmad F. Exact Solutions of the Self-Induced Transparency Equations // Phys. Rev. Letts. 1971. V. 27. P. 330.

Caudrey P.J., Eilbeck J. С. Numerical evidence for breakdown of soliton behaviour in solutions of the Maxwell-Bloch equations // Phys. Letts. A. 1977. V. 62. P. 65.

Goldstein P.P. Testing the Painleve property of the Maxwell-Bloch and reduced Maxwell-Bloch equations // Phys. Letts. A. 1987. V. 121. P. 11.

Ораевский A.H. Сверхсветовые волны в усиливающих средах Ц УФН. 1998. Т. 168. С. 1311-1321.

Сазонов С. В. Сверхсветовые электромагнитные солитоны в неравновесных средах Ц УФН. 2001. Т. 171. С. 663-677.

Eisenhart L.P. X Treatise on the Differential Geometry of Curves and Surfaces, Ginn and Co.; reprinted by Dover, 1909. — N.Y., 1960.

Френкель Я.И., Конторова Т.М. О теории пластической деформации и двойникования Ц Физический журнал I, 1939. С. 137-149.

Jaffe A., Taubes С. Vortices and Monopoles. — Boston: Birkhauser, 1980.

Richayzen G. Theory of superconductivity. — N. Y.: Wiley, 1965.

Тахтаджян Л. А. Точная теория распространения ультракоротких оптических импульсов в двухуровневых средах Ц ЖЭТФ. 1974. Т. 66. С. 476-489.

Ablowitz M.J., Каир D.J., Newell А. С., Segur Н. Method for solving the Sin-Gordon equations // Phys. Rev. Lett. 1973. V. 30. P. 1262-1264.

Gibbs H.M., Slusher R.E. Peak amplification and breakup of a coherent optical pulse in a simple atomic absorber // Phys. Rev. Lett. 1970. V. 24. P. 638-641.

Махвиладзе T.M., Синицин И.Г., Шелепин JI.А. Переходные процессы при распространении ультракороткого импульса в трехуровневой среде Ц Квантовая электроника. 1977. Т. 4. С. 1313.

Маймистов А.И. Строгая теория самоиндуцированной прозрачности при двойном резонансе в трехуровневой среде Ц Квантовая электроника. 1984. Т. 11. С. 567-575.

Башаров А.М., Маймистов А.И. О самоиндуцированной прозрачности в условиях вырождения резонансных энергетических уровней Ц ЖЭТФ. 1984. Т. 87. С. 1594-1605.

Ахманов С.А., Выслоух В. А., Чиркин А. С. Оптика фемтосекундных лазерных импульсов. — М.: Наука, 1988.

Ахманов С.А., Выслоух В. А., Чиркин А. С. Самовоздействие волновых пакетов в нелинейной среде и генерация фемтосекундных лазерных импульсов Ц УФН. 1986. Т. 149. С. 449-509.

Желтиков А., Сверхкороткие М. световые импульсы в полых волноводах и УФН. 2002. Т. 172. С. 743-776.

Ахманов С.А., Хохлов Р.В. Проблемы нелинейной оптики. — М.: ВИНИТИ, 1964.

Беленов Э.М., Крюков П.Г., Назаркин А. В. и др. Когерентное усиление импульсов нерезонансной двухуровневой средой Ц Письма в ЖЭТФ. 1988. Т. 47. С. 442-444.

Беленов Э.М., Назаркин А. В. О некоторых решениях уравнения нелинейной оптики без приближения медленно меняющихся амплитуд и фаз Ц Письма в ЖЭТФ. 1991. Т. 100. С. 762-775.

Беленов Э.М., Назаркин А. В. Ущаповский Динамика распространения и взаимодействия сгустков электромагнитного поля в двухуровневых средах Ц ЖЭТФ. 1984. Т. 87. С. 1594-1605.

Маймистов А. И. О распространении ультракоротких световых импульсов в нелинейной среде Ц Оптика и спектроскопия. 1994. Т. 76. С. 636-640.

Абловиц М., Сигур X. Солитоны и метод обратной задачи. — М.: Мир, 1987.

Wadati М. The modified Korteweg-de Vries equation // J. Phys. Soc. Japan. 1972. V. 32. P. 168ff.

De Sterke C.M., Sipe J.E. Coupled modes and nonlinear Schrodinger equation Ц Phys. Rev. A. 1990. V. 42. P. 550.

Андрушко Л.М., Карплюк К. С., Островский С.Б. О распространении солитонов в связанных оптических волокнах Ц Радиотехн. и электрон. 1987. Т. 32. С. 427.

Wabnitz S. Forward mode coupling in ptriodic nonlinear-optical fibers; modal dispersion cancellation and resonance solitons // Opt. Lett. 1989. V. 19. P. 1071.

Маймистов А. И. Распространение ультракоротких поляризованных световых импульсов в нелинейной среде Ц Оптика и спектроскопия. 1995. Т. 78. С. 483-487.

Наянов В. И. О диполь-дипольном типе взаимодействия произвольно поляризованных видеосолитонов Ц «Радиотехника», 2005, №3. С. 41-45.

Захаров В.Е., Манаков С. В., Новиков С.П., Питаевский Л.П. Теория солитонов. Метод обратной задачи. — М.: Наука, 1980.

Манаков С. В. К теории двумерной стационарной самофокусировки электромагнитных волн // ЖЭТФ. 1973. Т. 65. С. 505-516.

Ньюэлл А. Солитоны в математике и физике. — М.: Мир, 1989.

К главе 3

Альвен X. Космическая электродинамика. — М.: ИЛ, 1952.

Кадомцев Б. Б. Коллективные явления в плазме. — М.: Наука, 1988.

Гинзбург В. Л. Распространение электромагнитных волн в плазме. — М.: Наука, 1967.

Kakutani Т., Ono Н, Taniuti Т., Wei С. С. Reductive Perturbation Method in Nonlinear Wave Propagation II. Application to Hydromagnetic Wave in Cold Plasma Ц J. Phys. Soc. Japan 1968. V. 24. P. 1159-1166.

Kakutani T., Ono H. Weak Non-Linear Hydromagnetic Wave in a Cold Collision-Free Plasma // J. Phys. Soc. Japan 1969. V. 26. P. 1305-1318.

Wadati M. The modified Korteweg-de Vries equation // J. Phys. Soc. Japan. 1972. V. 32. P. 168ff.

Register A. Parallel Propagation of Nonlinear Low-Frequency Waves in High - /3 Plasma // The Physics of Fluids. 1971. V. 14. P. 2733-2739.

Выслоух В. А., Чередник И. В. Многосолитонные составляющие решений нелинейного уравнения Шрёдингера с возмущающим членом Ц ТМФ. 1989. Т. 78. С. 35-44.

Mio К., Ogino Г, Minami К., Takeda S. Modified Nonlinear Schrodinger Equation for Alfven Waves Propagating along the Magnetic Field in Cold Plasmas // Journal of the Physical Society of Japan. 1976. V. 41. 265-271.

Каир D.J., Newell A.C. An exact solution for a derivative nonlinear Schrodinger equation // J. Math. Phys. 1978. V. 19. P. 798-801.

Наянов В. И. Поляризованные альфвеновские и оптические видеосолитоны как решения векторного мКдФ. (в печати).

Surma М. Furdyna J.K.and Praddaude Н.С. Alfven-wave propagation in pyrolytic and single-crystal graphite // Phys. Rev. Lett. 1964. V. 13. P. 710.

Стил M., Вюраль Б. Взаимодействие волн в плазме твердого тела. — М.: Атомиздат, 1973.

Verheest Frank Solitary Alfven modes in relativistic electron-positron plasmas Ц Phys. Letts. A. 1996. V. 213. P. 177-182.

Маймистов А. И. Распространение ультракоротких поляризованных световых импульсов в нелинейной среде Ц Оптика и спектроскопия. 1995. Т. 78. С. 483-487.

Манаков С. В. К теории двумерной стационарной самофокусировки электромагнитных волн // ЖЭТФ. 1973. Т. 65. С. 505-516.

Маймистов А.И. Строгая теория самоиндуцированной прозрачности при двойном резонансе в трехуровневой среде Ц Квантовая электроника. 1984. Т. 11. С. 567-575.

Башаров А.М., Маймистов А.И. О самоиндуцированной прозрачности в условиях вырождения резонансных энергетических уровней Ц ЖЭТФ. 1984. Т. 87. С. 1594-1605.

VJ. Давыдов А. С., Кислюха Н.И. Солитоны в одномерных молекулярных цепях и ЖЭТФ. 1976. Т. 71. С. 1090.

Захаров В.Е. Коллапс ленгмюровских волн Ц ЖЭТФ. 1972. Т. 62. С.1745-1759.

Benney D.J. A general theory for interactions between long and short waves Ц Studies in Appl. Math. 1977. V. 56. P. 81-94.

Додд P., Эйлбек Дж., Гиббон Дж., Моррис X. Солитоны и нелинейные волновые уравнения. — М.: Мир, 1988. — 694 с.

Хохлов Р.В. К теории ударных радиоволн в нелинейных линиях Ц Радио- техн. и электрон. 1961. Т. 6. С. 917.

Yajima N., Oikawa М. Formation and Interaction of Sonic-Langmuir Solitons — Inverse Scattering method Ц Progress of Theor. Phys. 1976. V. 56. P. 1719-1739.

Ma Y.-C. The complete solution of the long wave-short wave resonance equations Ц Studies in Appl. Math. 1978. V. 59. P. 201-221.

Lax P.D. Integrals of nonlinear equations of evolution and solitary waves Ц Comm.Pure Appl. Math. 1968. V. 21. P. 467-490.

К главе 4

Slobodnic A. J., Jr. Nonlinear Effects in Microwave Acoustic LiNbOg SurfaceWave Delay Lines Ц J. Acoust. Soc. Am. 1970. V. 48. P. 203.

Наянов В.И., Васильев И.А. Наблюдение слабых периодических ударных поверхностных акустических волн в LiNbOg Ц ФТТ. 1983. Т. 25, №8. С.2490-2492.

Наянов В. И. Поверхностные акустические кноидальные волны и солитоны в структуре LiNbOз-плeнкa Si О Ц Письма в ЖЭТФ. 1986. Т. 44. С. 245.

Cho Y., Miyagawa N. Surface acoustic wave soliton propagating on the metallic grating waveguide Ц Appl. Phys. Lett. 1993. V. 63. P. 1188.

Kavalerov И, Kasaya N., Inoue M., Fujii T. Optical Probing of Nonlinear SAW Waveform // IEEE, Piscatawfy, NJ, 1996. P. 839.

Eckl C., Mayer A.P., Kovalev A. S. Do Surface Acoustic Solitons Exist Ц Physical Review Letters. 1998. V. 81. P. 983-986.

Фарнелл Дж. Поверхностные акустические волны / Под ред. А. Олине- ра. — М.: Мир, 1981.

Брысев А.ГЦ Красильников В. А., Подгорное А.А., Солодов И.Ю. Непосредственное наблюдение формы упругой волны конечной амплитуды на поверхности твердого тела // ФТТ. 1984. Т. 26. С. 2104-2106.

Vasilkov А. И, Nayanov V.I. Surface Acoustic shock waves investigation in LiNbOs bi strip probe Ц Proc, of GSSWAS. Novosibirsk, 1986. V. II. P. 166-168.

Красильников В. А., Лямов B.E., Солодов И.Ю. Нелинейные явления при распространении поверхностных волн в кварце Ц Вестник МГУ, Физ., Астр. 1970. Т. 11, №4. С. 470-471.

Павлов В.И., Солодов И.Ю. Нелинейные свойства упругих поверхностных волн в твердых телах Ц ФТТ. 1977. Т. 19. С. 2948-2954.

Зарембо Л.К., Красильников В.А. Введение в нелинейную акустику. — М.: Наука, 1966.

Шутилов В.А. Основы физики ультразвука. — Л.: Изд-во ЛГУ, 1980.

Балакирев М.К., Белостоцкий А. Л. Федюхин Л.А. Распространение акустических поверхностных волн большой интенсивности в ниобате лития Ц ФТТ. 1983. Т. 25. С. 339-342.

Реутов В. И. Применение усредненного вариационного принципа для описания многоволновых взаимодействий упругих поверхностных волн Ц Изв. вузов. Радиофизика. 1973. Т. 16, №11. С. 1690-1703.

Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны. — М.: Мир, 1977. — 622 с.

Энгельбрехт Ю.К. Нелинейные продольные и поперечные волны в полупространстве. Теоретична и приложив мех. 1974. Т. 5, № 3. С. 77-84.

Нелинейная теория распространения волн / Под ред. Г. И. Баренблата. — М.: Мир, 1970, 263с.

Васильев И. А. Поверхностные пьезоакустические нелинейные волны в слабодисперсной диссипативной среде. Канд. дисс.Саратов, 1987.

Соколов А. В. — НИРФИ, препринт № 225. г. Горький, 1987.

Новиков А. А., Сазонтов А.Г. В сб.: Теория океанических процессов. 1981. С.103-114.

Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория упругости. — М.: Наука, 1965. С. 203.

Хохлов Р.В. К теории ударных радиоволн в нелинейных линиях Ц Радио- техн. и электрон. 1961. Т. 6. С. 917.

Zabusky N.J., Kruskal M.D. Interaction of solitons in a collisionless plasma and the recurrence of initial states Ц Phys. Rev. Lett., 1965. V. 15. P. 240-243.

Ахманов C.A. Метод Хохлова в теории нелинейных волн Ц УФН. 1986. Т. 149. С. 363-390.

Nakagava У., Yamanonchy К., Shibayama К. Niobate lithium third order elastic constants investigation Ц Jrans. Inst. Electron. Commun. Engr. 5572.-55A. P. 377-384.

Руденко О. В., Солуян С.И. Теоретические основы нелинейной акустики. — М.: Наука, 1975.

Богданов С.В., Левин М.Д., Яковкин И.Б. О существовании поверхностной волны в системе слой-полупространство Ц Акуст. Журн. 1969. Т. 15, № 1. С. 12-16.

Викторов И.А. Звуковые поверхностные волны в твердых телах. — М.: Наука, 1981.

Ewen /., Gunshor R.L., Weston V.H. Solitons in Surface Acoustic Wave Media Ц IEEE Ultrasonics Simposium, 1981. P. 295-302.

Benjamin J.B. Internal waves of permanent form in fluids of great depth Ц J. Fluid Meeh. 1967. V. 29. № 3. P. 559-592.

Ono H. On a Modified Korteweg-de Vries Equation Ц J. Phys. Soc. Japan. 1974. V. 37. №3. P. 882-883.

Тахтаджян Л.А., Фаддеев Л.Д. Гамильтонов подход в теории солитонов. — М.: Мир, 1986. — 528 с.

Newell А. С. The general structure of integrable evolution equations Ц Proc. Roy Soc. 1979. A365. P. 283-311.

К главе 5

Кадомцев Б. Б., Петвиашвили В.И. Об устойчивости уединенных волн в слабо диспергирующих средах Ц ДАН СССР. 1970. Т. 192. С. 753-756.

Davey By A. and Stewartson К. On three-dimensional packets of surface waves Ц Proc. R. Soc. Lond. A. 1974. V. 338. P. 101-110.

Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны. — М.: Мир, 1977. — 622 с.

Абловиц М., Сигур X. Солитоны и метод обратной задачи. — М.: Мир, 1987.

Кадомцев Б. Б. Коллективные явления в плазме. — М.: Наука, 1988.

Захаров В.Е., Шабат А. Б. Схема интегрирования нелинейных уравнений математической физики методом обратной задачи рассеяния // Функц. Анализ и его прилож. 1974. Т. 8, вып. 3. С. 43-53.

Дрюма В. С. Об аналитическом решении двумерного уравнения Кортевега- де Фриза (КдВ) Ц Письма в ЖЭТФ. 1974. Т. 19. С. 753-757.

Newton R. G. A new result on the inverse scattering problem in three dimensions Ц Phys. Rev. Lett. 1979. V. 43. P. 541-542.

Zakharov V.E., Manakov S. V. Soliton theory Ц Phys. Rev. (Sov. Scient. Rev.). 1979. V. 1. P. 133-190.

Hirota R. Exact solution of the Korteweg-de Vries equation for multiple collisions of solitons Ц Phys. Rev. Lett. 1971. V. 27. P. 1192-1194.

Satsuma J. Ж-soliton solution of the two-dimensional Korteweg-de Vries equation // J. Phys. Soc. Japan. 1976. V. 40. P. 286-290.

Miles J. W. Resonantly interacting solitary waves Ц J. Fluid Meeh. 1977. V. 79. P. 171-179.

Yajima N, Oikawa M., Satsuma J. Interaction of ionacoustic solitons in three-dimensional space // J. Phys. Soc. Japan. 1978. V. 44. P. 1711-1714.

Manakov S. V., Zakharov V.E., Bordag L.A., Matveev A.B. Two-dimensional solitons of the Kadomtsev-Petviashvili equation and their interaction Ц Phys. Lett. 1977. V.63A. P. 205-206.

Заболотская E.A., Хохлов P.B. Квазиплоские волны в нелинейной акустике ограниченных пучков Ц Акустический журнал. 1969. Т. 15. С. 40.

Бахвалов НС., Жилейкин Я.М., Заболотская Е.А. Нелинейная теория звуковых пучков. — М.: Наука, 1982.

Shull D.J., Kim Е.Е., Hamilton M.F., Zabolotskaya E.A. Diffraction effects in nonlinear Rayleigh wave beams // J. Acoust.Soc.Am. 1995. V. 97. P. 2126.

Ахманов C.A., Сухоруков А.П., Хохлов P.B. К теории генерации оптических гармоник в сходящихся пучках Ц ЖЭТФ. 1966. Т. 50. С. 474.

Кузнецов В.П. Уравнения нелинейной акустики Ц Акустический журнал. 1970. Т. 16. 4. С. 548.

Наянов Ю.В., Наянов В. И. Нелинейные эволюционные уравнения для апертурно ограниченного пучка рэлеевских волн, (в печати).

Benney D. J and Roskes G.J. Wave instabilities Ц Stud. Appl. Math. 1969. V. 48. P. 377-385.

Kelley P.L. Self-focusing jf optical beams Ц Phys. Rev. Lett. 1965. V. 15. P. 1005.

Таланов В. И. О самофокусировке волновых пучков в нелинейных средах Ц Письма в ЖЭТФ. 1965. Т. 2. С. 218-222.

Ablowitz MJ., Haberman R. Nonlinear evolution equations-two and three dimensions // Phys. Rev. Lett., 1975a. V. 35. P. 1185-1188.

Anker D., Freeman N.C. On the soliton solutions of the Davey-Stewartson equation for long waves // Proc. R. Soc. Lond. A. 1978. V. 360. P. 529-540.

Satsuma J., Ablowitz MJ. Two-dimensional lumps in nonlinear dispersive systems Ц J. Math. Phys. 1979. V. 20. P. 1496ff.

Ablowitz MJ., Segur H. On the evolution of packets of water waves Ц J. Fluid Meeh. 1979. V. 92. P. 691-715.

Yuen H.C., Lake B.M. Nonlinear deep water waves theory and experiment Ц Phys. Fluids. 1975. V. 18. P. 956-960.

Hammack J.L. Private communication // 1979.

К главе 6

Маханьков В.Г., Нашаев О.К. Нелинейное уравнение Шрёдингера с некомпактной изогруппой Ц ТМФ. 1982. Т. 53. С. 55-67.

Будагов А. С., Тахтаджян Л. А. Нелинейная одномерная модель классической теории поля с внутренними степенями свободы Ц ДАН СССР. 1977. Т. 235. С. 805-808.

Ньюэлл А. Солитоны в математике и физике. — М.: Мир, 1989.

Davey By A. and Stewartson К. On three-dimensional packets of surface waves Ц Proc. R. Soc. Lond. A. 1974. V. 338. P. 101-110.

Калоджеро Ф., Дегаспирес А. Спектральные преобразования и солитоны. — М.: Мир, 1985.

Дубровин Б. А., Кричевер И.М., Новиков С.П. Итоги науки и техники. Сер. «Современные проблемы математики. Фундаментальные направления». — М.: ВИНИТИ, 1985. Т. 4. С. 179-284.

Абловиц М., Сигур X. Солитоны и метод обратной задачи. — М.: Мир, 1987.

Захаров В.Е., Манаков С. В., Новиков С.П., Питаевский Л.П. Теория солитонов. Метод обратной задачи. — М.: Наука, 1980.

Тахтаджян Л. А., Фаддеев Л.Д. Гамильтонов подход в теории солитонов Ц М.: Наука, 1986.

Лакс П.Д. Интегралы нелинейных эволюционных уравнений и уединенные волны // Математика, 13:5. С. 128-150. — М.: Мир, 1969.

Манаков С. В. К теории двумерной стационарной самофокусировки электромагнитных волн // ЖЭТФ. 1973. Т. 65. С. 505-516.

Буллаф Р., Кодри Ф. Солитоны / Под ред. С.П. Новикова. — М.: Мир, 1983.

Наянов В. И. О диполь-дипольном типе взаимодействия произвольно поляризованных видеосолитонов Ц Радиотехника. 2005. №3. С. 41-45.

Маймистов А.И. Строгая теория самоиндуцированной прозрачности при двойном резонансе в трехуровневой среде Ц Квантовая электроника. 1984. Т. 11. С. 567-575.

Newell А. С. The general structure of integrable evolution equations Ц Proc. Roy Soc. 1979. A365. P. 283-311.

К главе 7

Gardner C.S., Greene J.M., Kruskal M.D., Miura R.M. Method for solving the Korteweg-de Vries equation Ц Phys. Rev. Lett. 1967. V. 19. P. 1095-1097.

Захаров B.E., Шабат А. Б. Точная теория двумерной самофокусировки и одномерной автомодуляции волн в нелинейных средах Ц ЖЭТФ. 1971. Т. 61. С. 118-134.

Ablowitz M.J., Каир D.J., Newell А. С., Segur Н. Method for solving the Sin-Gordon equations Ц Phys. Rev. Lett. 1973. V. 30. P. 1262-1264.

Newell A. C. The general structure of integrable evolution equations Ц Proc. Roy Soc. 1979. A365. P. 283-311.

Beals R. The Invers Problems for Ordinary Differential Operators on the Line Ц Preprint of the Yale University, 1982.

Beals R., Coifman R.R. Scattering and Scattering for First Order Systems Ц Comm, on Pure and Appl. Math. 1984. V. 37. P. 39.

Манаков C.B. К теории двумерной стационарной самофокусировки электромагнитных волн // ЖЭТФ. 1973. Т. 65. С. 505-516.

Наянов В. И. Поляризованные альфвеновские волны и оптические видеосолитоны в резонансных средах Ц Вопросы прикладной физики: Межвуз. науч. сб. — Саратов: Изд-во Сарат. Ун-та. 2004. Т. 11. С. 116-123.

Тахтаджян Л. А., Фаддеев Л.Д. Гамильтонов подход в теории солитонов Ц Мл Наука, 1986.

Гандмахер Ф. Р Теория матриц. — М.: Наука, 1967.

Крейн М.Г. К теории акселерант и 5-матриц канонических дифференциальных систем Ц ДАН СССР. 1956. Т. 111. С. 1167-1170.

Додд Р., Эйлбек Дж., Гиббон Дж., Моррис X. Солитоны и нелинейные волновые уравнения. — М.: Мир, 1988. — 694 с.

Wadati М., Kamijo Т. On the exension of inverse scattering method Ц Prog.Theor. Phys. 1974. V. 52. P. 397-414.

Буллаф P., Кодри Ф. Солитоны / Под ред. С.П. Новикова. — М.: Мир, 1983.

Newell А. С. The general structure of integrable evolution equations Ц Proc. Roy Soc. 1979. V. A365. P. 283-311.

Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны. — М.: Мир, 1977. С. 567.

Башаров А.М., Маймистов А.И. О самоиндуцированной прозрачности в условиях вырождения резонансных энергетических уровней Ц ЖЭТФ. 1984. Т. 87. С. 1594-1605.

Выслоух В. А., Чередник И. В. Многосолитонные составляющие решений нелинейного уравнения Шрёдингера с возмущающим членом Ц ТМФ. 1989. Т. 78. С. 35-44.

К главе 8

Ablowitz M.J., Каир D.J., Newell А. С., Segur Н. The inverse scattering transform-Fourier analysis for nonlinear problems, Stud.Appl.Math. 1974. V. 53. P. 249-315.

Ньюэлл А. Солитоны в математике и физике. М.: Мир, 1989. С. 216.

Буллаф Р., Кодри Ф. Солитоны / Под ред. С.П. Новикова. — М.: Мир, 1983.

Fordy А.Р., Kulish P.P. Nonlinear Schrodinger equations and simple Lie algebras // Commun. Math. Phys. 1983. V. 89. P. 427-443.

Свинолупов С.П. Йордановы алгебры и интегрируемые системы Ц Функциональный анализ и его приложения. 1993. Т. 27. С. 40-53.

Дринфелъд В. Г. Соколов В.В. Алгебры Ли и уравнения типа Кортевега- де Фриза Ц Современные проблемы математики. М. ВИНИТИ. 1984. Т. 24. С.81-180.

Голубчик И.З., Соколов В. В. Интегрируемые уравнения на Z-градуирован- ных алгебрах Ли Ц ТМФ. 1997. Т. 112. С. 375-383.

Gerdjikov V.S. Generalised Fourier transforms for the soliton equations. Gauge-covariant formulation Ц Inverse Problems. 1986. V. 2. P. 51-74.

Kulish P.P., Sklyanin E.K. O(N)-invariant nonlinear schodinger eqvation — a new completelv integrable sistem Ц Phys. Lett. A. 1981. V. 84A, №7. P. 349.

Рейман А.Г., Семенав-Тян-Шанский M.A., Френкель И.Б. Градуирован- ныце алгебры Ли и вполне интегрируемые динамические системы Ц ДАН СССР. 1979. Т. 247. С. 802-804.

Рейман А.Г., Семенов-Тян-Шанский М.А. Алгебры токов и нелинейные уравнения в частных производных Ц ДАН СССР. 1980. Т. 251. С. 1310-1314.

Reyman A. G., Semenov-Tian-Shansky М.А. Reduction of Hamiltonian systems, affine Lie algebras and Lax equations. II Ц Invent. Math. 1981. V. 63. P. 423-432.

Тахтаджян Л.А., Фаддеев Л.Д. Гамильтонов подход в теории солитонов Ц М: Мир, 1986. С. 485.

Кулиш П.П., Рейман А. Г. Гамильтонова структура полиномиальных пучков Ц В кн.: Дифференциальная геометрия, группы Ли и механика. V. Зап. науч, семин. ЛОМИ. 1983. Т. 123. С. 67-76.

Захаров В.Е., Шабат А. Б. Точная теория двумерной самофокусировки и одномерной автомодуляции волн в нелинейных средах Ц ЖЭТФ. 1971. Т. 61. С. 118-134.

Манаков С. В. К теории двумерной стационарной самофокусировки электромагнитных волн // ЖЭТФ. 1973. Т. 65. С. 505-516.

Svinolupov S.I. Generalized Schrodinger equations and Jordan pairs // Comm.Math.Phys. 1992. V. 143. P. 559-575.

Наянов В. И. Поверхностные акустические кноидальные волны и солитоны в структуре LiNbOз-плeнкa Si О Ц Письма в ЖЭТФ. 1986. Т. 44. С. 245.

McCall S.L., Hahn E.L. Self-induced transparency by pulsed coherent light Ц Phys. Rev. Letts. 1967. V. 18. P. 908-911.

Lamb G.L. Phase variation in coherent-opticalpulse propagation Ц Phys.Rev.Lett. 1973. V. 31. ppl96-199.

Konopnicki M.J., Eberly LH. Simultaneous propagation of short different- wavelength optic pulses Ц Phys. Rev. A. 1981. V. 24. P. 2567.

Konopnicki M.J., Drummond P.D., Eberly J.H. Simultons: simultaneous propagation of different-wavelength optical pulses // Appl. Phys. B. 1982. V. 28. P. 103.

Маймистов А.И. Строгая теория самоиндуцированной прозрачности при двойном резонансе в трехуровневой среде Ц Квантовая электроника. 1984. Т. 11. С. 567-575.

Башаров А.М., Маймистов А.И. О самоиндуцированной прозрачности в условиях вырождения резонансных энергетических уровней Ц ЖЭТФ. 1984. Т. 87. С. 1594-1605.

Мельников О. В., Ремеслинников В.Н., Романъков В.А. и др. Общая алгебра Ц М: Наука, 1990.

Наянов В. И. Поляризованные альфвеновские и оптические видеосолитоны как решения векторного мКдФ. (в печати).

Маханъков В.Г., Пашаев О.К. Нелинейное уравнение Шрёдингера с некомпактной изогруппой Ц ТМФ. 1982. Т. 53. С. 55-67.

Абловиц М., Сигур X. Солитоны и метод обратной задачи. — М.: Мир, 1987.

Додд Р., Эйлбек Дж., Гиббон Дж., Моррис X. Солитоны и нелинейные волновые уравнения. — М.: Мир, 1988. — 694 с.

Предметный указатель

2тг-импульс огибающей 57, 64, 69, 73, 81-82

л-импульс огибающей 11, 70

асГ-коприсоединенное действие 235, 236

Алгебра Йорданова 245

Алгебра Ли 10, 15, 232-234

3-градуированная 15, 232-234, 239, 240

токов (петель) 234, 235

центрально расширенная 235

sZ(2,C) 15, 232, 238

81(2^0) 233, 234

Алгебра абстрактная унитальная

32, 239, 240

Альфвеновские

скалярные солитоны 111

поляризовонные солитоны 114, 117

циркулярно-поляризованные солитоны 112, 114

Антисолитон поляризованный 51, 73

Асимптотики решений Йоста для задачи Манакова 224

Аттенюатор 58

Безотражательные потенциалы 227

Бенджамина-Оно уравнение 147

Блоха уравнение 55-57, 60, 80, 82, 89, 90

Бризер как решение мКдФ 112

Бюргерса уравнение 143, 145

Бюргерса-КдФ уравнение 154

Взаимодействие

двух наклонных солитонов Ка- домцева-Петвиашвили 172

Рэлея 176, 178

двухсолитонное 74

Взаимодействие ленгмюровских и ионнозвуковых волн 119, 122 — коротких капилярных волн с длинными гравитационными волнами 119

Рамана 42

трехволновое 44, 45, 121

трехсолитонное 93-97

Власова кинетическое уравнение 40 Волна

кноидальная 134, 137

— Стокса 45

трасляции 4

ударная 127, 139

Волновые пакеты 32, 33, 183

Волнопродуктор 184

Волны

альфвеновские 102, 104, 106, 114, 115

— на воде 160, 183

длинные 179

ионноакустические 119

ленгмюровские 119

Вольтерры интегральные уравнения 214

Гамильтониан 235

Гамильтониан взаимодействия 59

Гамильтоновы уравнения движения 235

Гельфанда-Левитана-Марченко уравнение 29, 92, 219, 220-223, 228, 231

Граничные условия

быстроубывающие 218, 224

в смысле Шварца 223

периодические 143, 150

Давыдовская «-спираль 119

Диспергирующие волны 145, 148-150

Дисперсионное соотношение 104, 115, 119, 120, 146-150, 167

Дисперсия

линейная 35, 122

нелинейная 35, 36

отрицательная 166

положительная 166

Диссипация 142, 145

Длинноволновое приближение 165,

167

Дзви-Стюардсона уравнение 14,

178, 183

Дуальная алгебра 234, 235

Задача Коши 92,205,223,231

Захарова уравнения 122, 123

Захарова-Шабата задача рассеяния

36, 63, 98, 111, 229, 230, 249

Йорданова пара 10, 238, 240, 241,

о 243, 243, 247, 249

Йоста решения 30, 215-217, 219,

224, 227, 228

Иерархическая система солитонных моделей 249, 251-253

Иерархия

- АКНС 98, 188, 232, 234, 236

матричная 16

— Манакова 250, 251

— многополевых интегрируемых моделей 234, 238

Изоспектральные деформации 196

Инволюция 212

Интегральные представления — для матрицы монодромии 216 — решений Йоста 216, 220

Интегрируемость 190

Кадомцева-Петвиашвили уравнение

14, 160, 165, 167, 168, 172, 178

матричное 175, 176, 188

Казимира функции 235

КдФ-уравнение 5, 6, 9, 13, 14

матричное 155, 195, 200, 201, 244

модифицированное 82, 85, 97, 109-112, 195, 198

Киллинга форма 236

Кольцо ассоциативное 233, 249

Ламп 14, 168, 170

двухкомпонентный 178

Ларморовский радиус 115

Ли-Пуассона скобки 235

Лиувилля уравнение 59, 72

Магнитная гидродинамика 99, 103

Максвелла уравнения 20, 40, 55, 72, 60, 98, 100

Макк-Кола-Хана самоиндуцирован- ная прозрачность 57, 69

Манакова спектральная задача 10, 12, 14, 68, 91, 98, 118, 188, 192, 197, 208, 223, 229, 242, 243, 247

Матрица

монодромии 216, 223, 224

перехода 211, 219

плотности 59

рассеяния 224, 225, 227, 230

унимодулярная 225

унитарная 225

эрмитова 194

Метод

медленно изменяющегося профиля 35, 55, 123

многомасштабных разложений 67, 121

обратной задачи рассеяния 85, 70, 155, 183, 190, 210, 211, 223, 227-229

Методы построения солитонных решений

— прямые (Хироты) 168, 176

Модель векторная

-Максвелла-Блоха (МБ) 11, 12, 16, 56, 60, 63, 69, 70, 73, 86, 98, 188, 193, 200, 228, 248-250

- мКдФ 12, 17, 69, 91, 91, 98, 114, 117, 118, 188, 193, 211, 228, 243

- НУШ 5, 11, 17, 49, 51, 53, 69, 98, 188, 192, 193, 207, 209, 211, 226

Модель матричная

- МБ 246

— мКдФ 243

- НУШ 197, 239

Модель магнетика Гейзенберга 237

— многополевая

МБ 247

Модель многополевая мКдФ 12, 243, 243

НУШ 240

Нелинейное уравнение Шрёдингера с производной (НУШП) 40-42, 113, 229-231

Норма

— евклидова 242

— псевдоевклидова 242, 244

Обобщенная АКНС-техника 201, 202, 205

Обобщенная укороченная система уравнений Максвелла-Блоха 63, 67, 71, 72, 79, 86, 244, 248

Обобщенное нелинейное уравнение Шрёдингера 40-43

Осцилляторные волны на поверхности воды 119

Паули матрица 201

Переменные типа действие-угол 210

Поляризованный солитон 10, 18, 29, 30, 54, 75-77, 93-97

Полная интегрируемость 190

Представление

Лакса 26, 63, 114, 124, 155, 168, 178, 190

нулевой кривизны 26, 63, 114, 190, 196, 235, 236, 239

Пуассона скобка 235

квантовая 59

Радиус Дебая 100, 115

Рассела солитон 158, 159

Редукция 244

Резольвента 88

Резонансная триада Захарова-Бенни 118, 119

Рекурсионный оператор 83, 89

Решение солитонное 155, 156, 183

Рэлея

волны 13, 126-134

солитоны 13-15, 126, 134, 136, 145, 151, 154, 160, 188, 224

слабодвумерные в апертурно ограниченных пучках 172, 174, 188

Самоиндуцированная прозрачность (СИП) 57, 58, 65

Самомодуляция 32, 38

Самофокусировка светового пучка 20, 25

Световоды нелинейные волоконные 18

Свойство Пенлеве 56

Связанные состояния 230

Секулярный член 22, 121

Синус-Гордон уравнение (СГ) 7, 9, 15, 63, 64, 81

Симултоны 55, 64, 65, 69

Собственный момент поляризованного видеосолитона 73, 76, 93, 96, 97

Солитон огибающей 12, 23, 46, 75-77, 183

Структурные константы 240, 243

Теория упругости «пятиконстантная» 138

Уединенные альфвеновские волны 104, 109

Уравнение

— для модели солитонов Рэлея 154, 195, 207

— Хохлова-Заболотской 173, 174, 178

Упругие константы Ламэ 139, 140 третьего порядка Ландау 140

Усилительная оптическая среда 58

Фазовое пространство 232

Фундаментальная система решений 215

Цветной солитон 18, 19, 44

Частота циклотронная 102, 114, 115

Число Маха 105, 115, 123, 140

Число Рейнольдса 102

Эффект Керра 20

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие 3

От автора 7

Введение 9

Многополевые солитоны в физике

Глава 1. Поляризованные и «цветные» оптические солитоны. . . .18

Общие сведения 18

Двумерная стационарная самофокусировка электромагнитных волн 20

Самомодуляция нелинейных плоских волн в диспергирующих средах с кубической нелинейностью 32

Взаимодействие волновых пакетов в квадратично-нелинейной среде («трехцветные» солитоны) 44

Замечания о корректности применения векторного НУШ для описания взаимодействия произвольно поляризованных «радиосолитонов» 50

Глава 2. Поляризованные солитоны в квантовой электронике . . .54

Краткий обзор 54

Самоиндуцированная прозрачность (2тг-импульсы Мак-Колла и Хана) 57

Самоиндуцированная прозрачность при двойном резонансе в трехуровневой среде («симултоны») 65

Самоиндуцированная прозрачность в условиях вырождения резонансных энергетических уровней ^-импульсы огибающей)70

Оптические видеосолитоны в резонансных средах 77

Глава 3. Уединенные волны в плазме 99

Нелинейные уравнения магнитной гидродинамики 99

Уединенные волны в газовой плазме, помещенной в постоянное магнитное поле 104

Циркулярно-поляризованные альфвеновские солитоны в холодной газоразрядной плазме 112

Альфвеновские солитоны с произвольной поляризацией в плазме твердого тела (векторное мКдФ) 115

Длинно-коротковолновый резонанс ленгмюровских и ионнозвуковых волн (резонансная триада Захарова-Бенни) 119

Глава 4. Поверхностные акустические солитоны (солитоны Рэлея) 126

Общие замечания 126

Поверхностные акустические нелинейные волны в твердом теле (экспериментальные результаты) 127

Двухполевая система эволюционных уравнений, описывающая нелинейные волны Рэлея 137

Солитоны Рэлея 146

Глава 5. Двумерные солитоны на поверхности жидкости и твердого тела 160

Классическая задача нелинейных волн на воде (уравнение КдФ). . 160

Двумерные уединенные волны на поверхности мелкой воды (уравнение Кадомцева-Петвиашвили) 166

Рэлеевские солитоны в апертурно ограниченных пучках (матричное уравнение Кадомцева-Петвиашвили) 173

Возбуждение среднего течения осцилляторными волнами на по

верхности воды конечной глубины (уравнения Дейви-Стюартсона) 180

II. Многополевые солитоны в математике

Введение к части II 190

Глава 6. Об интегрируемости многополевых динамических систем 192

Вводные замечания 192

Представление Лакса интегрируемыхуравнений 192

Связь солитонных уравнений с представлениемнулевой кривизны 198

Обобщенная АКНС-техника 202

Глава 7. Метод обратной задачи рассеяния и двухполевые динамические модели 210

Вводные замечания 210

Метод обратной задачи рассеяния и динамическая модель, описывающая солитоны Рэлея 211

Задача на собственные значения Манакова и МОЗР для векторного НУШ 223

Эволюция данных рассеяния 225

Задача Захарова-Шабата и нелинейное уравнение Шрёдингера с производной 229

Глава 8. Иерархии многополевых интегрируемых моделей, порождаемые алгебрами Ли 232

Вводные замечания 232

Гамильтонова формулировка и Ли-алгебраический подход к классификации матричных интегрируемых уравнений 232

Иерархии многополевых нелинейных эволюционных уравнений и алгебры Йордановых пар 238

Список литературы 255

Предметный указатель 266

Научное издание

НАЯНОВ Владимир Иванович

МНОГОПОЛЕВЫЕ СОЛИТОНЫ

Редактор Е.С. АртоболевскаяОригинал-макет: Д.В. ГорбачевОформление переплета: А.Ю. Алехина

Подписано в печать 13.01.06. Формат 60x90/16. Бумага офсетная.Печать офсетная. Усл. печ. л. 17. Уч.-изд. л. 19,5. Тираж 500 экз.

Заказ №

Издательская фирма «Физико-математическая литература»МАИК «Наука/Интерпериодика»

117997, Москва, ул. Профсоюзная, 90

E-mail: fizmat@maik.ru, fmlsale@maik.ru;

http://www.fml.ru

Отпечатано с готовых диапозитивовв ППП «Типография «Наука»

121099, г. Москва, Шубинский пер., 6

ISBN 5-9221-0684-8

9785922 106849

УДК 53.51

ББК 22.37

Н37

Наянов В. И. Многополевые солитоны. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. — 272 с. - ISBN 5-9221-0684-8.

Дано современное представление о состоянии теории солитонов со многими степенями свободы. Выявлены новые интегрируемые многополевые динамические модели, связанные с прикладными задачами физики — магнитной гидродинамикой, нелинейной оптикой и квантовой электроникой, акустикой и т. д. Сделана попытка свести в единую иерархическую систему наиболее известные к настоящему времени многополевые солитонные модели и построить на этой основе формализм, с помощью которого возможно получение совершенно новых интегрируемых эволюционных уравнений с прогнозируемыми характеристиками.

Для математиков и физиков, а также аспирантов и студентов математических и физических факультетов императорских университетов.

© ФИЗМАТЛИТ, 2006© В. И. Наянов, 2006© ФИЗМАТЛИТ, 2006© В. И. Наянов, 2006Ил. 235.

© ФИЗМАТЛИТ, 2006

© В. И. Наянов, 2006

© ФИЗМАТЛИТ, 2006

© В. И. Наянов, 2006

ISBN 5-9221-0684-8