ПРЕДИСЛОВИЕ

Нелинейные эффекты в акустических полях известны давно. Истоки нелинейной акустики связаны с замечательными достижениями механики сжимаемых сред, которые принадлежат классикам XIX в. В известном смысле классическую нелинейную акустику можно рассматривать как слабонелинейный вариант газо- и гидродинамики, относящийся к волнам малой, но конечной амплитуды» когда акустическое число Маха (характеризующее отношение скорости движения частиц в волне к скорости звука) достаточно мало.

Однако исследования слабонелинейных возмущений в сжимаемой среде долгое время были, за немногими исключениями, весьма слабо связаны с классической акустикой, которая занималась звуками музыкальных инструментов, эоловыми тонами, акустическими свойствами помещений, распространением звука в воздухе и воде и другими, сугубо линейными проблемами. Резкий подъем интереса к нелинейным акустическим явлениям относится к концу 1950-х годов, и тому были веские причины. С одной стороны, появилась потребность в изучении сильных звуков, возникающих в океане, атмосфере, земной коре при взрывах, работе реактивных двигателей и тд. С другой - появились источники мощного звука и ультразвука, используемые для локации природных сред, диагностики материалов, в технологии, хирургии и других областях. При этом во многих случаях, даже при относительно небольших (по акустическому числу Маха) амачитудах поля, нелинейные искажения могут накапливаться до существенных величин, поскольку расстояния, измеряемые в длинах волн (а именно такая мера чаще всего определяет величину эффекта), оказьь ваются достаточно большими.

Все это стимулировало разнообразные исследования по нелинейной акустике, в особенности применительно к ультразвуку. В экспериментах наблюдались сильные нелинейные искажения волн в газах, жидкостях и твердых средах; были существенно продвинуты теоретические модели. Появились интересные приложения, связанные как с разработкой оригинальных технических устройств (прежде всего параметрических антенн), так и с новыми методами диагностики сред.

Начиная с 1960-х годов было издано несколько книг по различным вопросам нелинейной акустики: прежде всего следует отметить книги ЛК Зарембо, В.А. Красильникова [1966], Р. Бейера [Веуег, 1974], О.В. Руденко, СИ. Солуяна [1975].

К настоящему времени спектр задач нелинейной акустики чрезвычайно сильно расширился, и не только в количественном, но и в качественном отношении. В орбиту ее интересов вовлекаются новые среды и материалы.

которые раньше изучались в теплофизике, теории прочности и других областях. Исследуются нелинейные акустические эффекты в диспергирующих средах — в волноводах, жидкостях с пузырьками газа, структурно-неоднородных твердых средах. Были изучены и реализованы новые для акустики эффекты - самофокусировка, ''самопросветление", обращение волнового фронта и др. Все зто выходит далеко за рамки классической нелинейной акустики, в которой обычно ограничиваются квадратичным по амплитуде поля приближением (иногда с кубичными поправками), а дисперсию скорости звука не учитывают или считают малой. Задачи современной нелинейной акустики по сложности и разнообразию вполне сопоставимы с задачами физики плазмы или нелинейной оптики. Существенное развитие получили и классические разделы нелинейной акустики.

Все зто послужило одним из стимулов написания данной книги. Важную роль сыграло, однако, и другое обстоятельство. Дело в том, что развитие современной нелинейной акустики совпало по времени со становлением общей теории нелинейных волн, и можно было бы привести много примеров взаимного обогащения этих двух дисциплин； результаты, полученные в рамках нелинейной акустики, в той или иной степени используются в теории волн. В связи с этим отметим, например, книги по волновым процессам В.И. Карпмана [1973], Дж. Уизема [1977], М.И. Рабиновича, Д.И. Трубецкова [1984]. Развитые в этих работах представления, в свою очередь, способствовали решению нашей задачи — рассказать о нелинейных волнах в акустике с позиций теории колебаний и волн.

Указанные соображения и определили структуру книги. В ней обсуждаются акустические модели различных сред (жидкостей, газов, газожидкостных смесей, однородных и структурно-неоднородных твердых сред) и уравнения волн конечной амплитуды в таких средах. Качественный характер волнового процесса определяется сочетанием и конкуренцией нескольких факторов, таких, как нелинейность, диссипация, дисперсия, а в неодномерных случаях — также рефракция и дифракция, и в книге последовательно рассматривается влияние этих факторов на эволюцию и взаимодействие акустических волн. В сущности, зто — книга о поведении слабонелинейных волн в сплошных средах. Исходя из такой общеволновой трактовки мы и выбирали материал книги, который все же не исчерпывает всего содержания нелинейной акустики. В частности, мы почти везде ограничиваемся рассмотрением продольных упругих волн (т.е. собственно акустикой) и не рассматриваем злектро- и магнитоакустических процессов. При этом мы стараемся избегать сложных математических схем, используя по возможности упрощенные модели и феноменологические подходы. Заметим, что, хотя основу книги составляют вопросы теории, мы везде, где зто возможно, приводим количественные оценки и данные экспериментов > пытаясь дать4 читателю представление о параметрах и возможностях реализации рассматриваемых процессов.

В книге принята в основном двузначная нумерация формул, первая цифра соответствует номеру раздела, вторая 一 порядковому номеру формулы. В случаях ссылки на формулы других глав впереди добавляется третья цифра, означающая номер главы.

Разумеется, многие интересные аспекты нелинейных акустических волновых процессов остались незатронутыми в книге; мы отсылаем поэтому

любознательного читателя к другим публикациям, некоторые из которых приведены в списке литературы. В частности, вопросам статистической нелинейной акустики, почти не затронутым в нашей работе, посвящена отдельная монография СН. Гурбатова, СН. Малахова, А.И. Саичева [1990].

Хотелось бы надеяться, что предложенная книга окажется полезной не только специалистам-акустикам, но и более широкому кругу физиков и инженеров, чья деятельность связана с изучением нелинейных волн в различных физических системах.

Пользуемся случаем выразить признательность А.В. Гапонову-Грехову за плодотворное обсуждение материала книги, а также С.Н. Гурбатову, И.Б. Есипову, ЕН Пелиновскому, С .В. Руденко, С .А. Рыбаку и А.М. Сутину за ценные советы и замечания по различным разделам книги.

Выражаем искреннюю благодарность ЕД. Баженовой, Т.А. Дуниной и Л .А. Кошелевой за неоценимую помощь при подготовке рукописи к печати.

Глава 1

НЕЛИНЕЙНОСТЬ, ДИССИПАЦИЯ И ДИСПЕРСИЯ В АКУСТИКЕ

ОДНОРОДНЫЕ ГАЗЫ И ЖИДКОСТИ

^рактер распространения и взаимодействия волн конечной амплитуды зависит от свойств среды — степени ее нелинейности, дисперсии скорости звука, эффективности диссипативных процессов. В классической нелинейной акустике рассматривался относительно узкий диапазон этих свойств и характеризующих их параметров. Предметом ее были преимущественно нелинейные среды без дисперсии, но с диссипацией, причем, как правило, исследователи ограничивались квадратичной нелинейностью, те эффектами второго порядка по амплитуде волны. Лишь иногда учитывалось влияние релаксационных свойств среды на нелинейные эффекты.

Такие модели сред (берущие начало в газодинамике) действительно применимы к описанию нелинейных волн во многих газах, жидкостях и твердых телах. Вместе с тем хорошо известны среды с внутренней структурой —жидкость с пузырьками газа, твердые тела с дислокациями, микротрещинами, зернистой структурой и другие, свойства которых характеризуются сложной пехотной зависимостью скорости звука и потерь, а нередко и "неклассинеским” характером нелинейности, когда зависимость напряжение-деформация отнюдь не сводится к квадратичной аппрокси* мации. Различные модели таких сред давно изучаются в связи с задачами теплофизики, теории упругости, механики разрушения, диагностики дефектов и тд., но нелинейные волновые процессы в них, особенно в акустическом аспекте, изучались относительно мало.

В данной главе мы рассмотрим акустические свойства различных сред, определяющие характер процессов в интенсивных акустических полях, и некоторые типичные уравнения этих полей (большей частью в одномерном слуаде, т.е. для плоских волн). При этом там, где это возможно, даются количественные характеристики соответствующих моделей. Конечно, мы отнюдь не стремились втиснуть в эту главу все модели сред и все типы уравнений (даже одномерных), которые будут встречаться в последующих главах. Мы нео^ократно будем возвращаться к этим вопросам, здесь обсуждаются лишь сравнительно простые и достаточно типичные ситуации.

Начнем с рассмотрения классических уравнений нелинейной акустики, относящихся к газам и жидкостям, для которых справедливы уравнения механики сплошной среды с учетом вязкости [Ландау, Лифшиц, 1986]. Это уравнение движения

(11)(11)Р (册 + (v* V )v=~ vp +i?Av+^J+ ~7?j v(V • v).

(11)

(11)

уравнение непрерывности

需 + V(pv) = 0(1.2)

и уравнение состояния

p=p(p,S).(1.3)

Здесь V — скорость движения среды, р - ее плотность, р и S - давление и знтропия, "и « - коэффициенты сдвиговой и объемной вязкости.

В звуковой волне изменение состояния среды близко к адиабатическому, поэтому в качестве уравнения состояния среды можно пока принять уравнение адиабаты

Р 二 Р(Р)$ = const •( L4)

Для получения уравнений нелинейной акустики полная система (1.1)-(1.4) записывается в виде разложения по малому параметру М = =р'/ро, где р - возмущение плотности, М - акустическое число Маха. Малым предполагается и влияние вязкости, описываемое последним членом уравнения (1.1). В квадратичном приближении уравнение состояния (1.4) имеет вид

(需)(薔)М 誓)s〃2.Q.5)

Здесь pr = p - Pof pr = p - Po, ^1 = (8p/8p)圖“ Первый член разложения соответствует закону Гука, второй учитывает нелинейность среды.

Формулу (1.5) иногда записывают следующим образом:

d=4(p7P0)+ %В(р7ро)2,(1.6)

и тогда отношением В/A характеризуют степень нелинейности уравнения состояния данной среды.

Для газов уравнение адиабаты записывается в виде

р/ро =S/Po)>,(1.7)

где 7 = ср/с у — покаадтель адиабаты, равный отношению теплоемкостей при постоянном давлении и постоянном объеме. Тогда

圆=*爲)Q8)

где Po, Po - равновесные значения давления и плотности среды.

В качестве уравнения состояния жидкостей при давлениях до 2000 МПа применимо уравнение состояния Тэта:

p^Aoip/po^ - Ai,(1.9)

где Ло, Alt 7 - константы, слабо зависящие от температуры среды. Ло - А = Ро, где ро - гидростатическое давление (для воды 丁 = 7,4 ~ d300 МПа). Поэтому в случае жидкостей

Таблица 1.1. Изм^>еиные значения В/A, скорости звука с0 и е для различных фед

Вещество

Т, °C

%, м/с

В/А

е

Вода дистиллированная

0

1400

4,16

3,08

20

1497

4,96

348

40

1520

5,38

3,69

60

1550

5,67

3,84

80

1550

5,96

3,98

100

1540

6,11

4,06

Четыреххлористый углерод

30

920

11,54

6,77

Глицерин

20

1923

8,80

5,40

Ртуть

20

1453

8,33

5,17

Этиловый спирт

20

1180

10.57

6,29

Жидкий кислород

-199

1094

956

5,78

Одноатомный газ

20

0,67

1,34

Двухатомный газ

20

0,40

1,20

Печень говяжья

23

7,75

4,88

Сердце говяжье

30

68-74

35-38

Жир СВИНОЙ

—

11

6,50

Жир человека

30

9,91

5,96

Почка собаки

30

7,2

4,60

Из сопоставления формах (1.5) и (1.6) получаем

B/4=T-L(1.11)

Значения этого параметра, а также величин е = (7 + 1)/2 и скорости звука с0 для некоторых веществ приведены в табл. 1Л, в основу которой положены сведения, приведенные в книге Р. Бейера [Веуег, 1974], и использованы данные работы [Dunn et al., 1984].

Система уравнении (1.1), (1.2) и (1.6) в квадратичном приближении может быть сведена к одному уравнению. Пренебрегая сначала влиянием диссипативных эффектов и считая изменение состояния среды адиабатическим, введем энтальпию единицы объема среды согласно термодинамическому соотношению

(откуда с2 = to +(7 - l)w) и потенциал скорости 屮,так что v = V^-

Тогда уравнение непрерывности (1.2) может быть записано следукмцим образом:

Bw/Эг + V^ Vw +c2v2^s 0.(1-12)

Первый интеграл уравнения движения (1.1) в терминах з и 屮 принимает вид

W = -Э^/Эг -丛(▽5)2.

Подставляя выражения для w и с? в (1.12), получим уравнение, описы-

m))2 +变宁像)[.m))2 +变宁像)[.2_2产屮 1 a2_2产屮 1 a(1-13)(1-13)вающее распространение спабонепинейных волн в идеальной среде [Андреев, 1955; Aanansen et al., 1984]：

m))2 +变宁像)[.

m))2 +变宁像)[.

2_2产屮 1 a

2_2产屮 1 a

(1-13)

(1-13)

Если пренебречь правой частью, отражающей влияние нелинейных эффектов, получаем волновое уравнение, описывающее распространение линейных акустических волн.

Уравнение (1.13) может быть преобразовано к виду

(74)(74)

(74)

(74)

где Ф =(^ - (1/2 或)8，/8九

Для волн, распространяющихся в одном направлении, уравнение (1ЛЗ) упрощается. Принимая во внимание, что 8砸 t = —. w —丛巾屮尸=—p7Po — —纟(▽зУ и что для квадратичных членов выполняется соотношение

из (1.13) получим

(1.15а)(1.15а)现_上迎=_ _ J 8力2

(1.15а)

(1.15а)

Эх2 to а户Ро^о а尸

Для неодномерных, но почти плоских пучков Э2/Эх2 ^ V2 и это уравнение переходит в уравнение Вестервепта [Westervelt, 1963]

vv- -4 —=vv- -4 —=€ ЭУ2Ро^о а户€ ЭУ2Ро^о а户(1.156)(1.156)

vv- -4 —=

vv- -4 —=

€ ЭУ2

Ро^о а户

€ ЭУ2

Ро^о а户

(1.156)

(1.156)

которое было получено им из точного уравнения Лайтхилла [Lighthill, 1952]

瞪一'^р= 3х总，野片阿必+S一圆/)"#

в квадратичном приближении.

уравненииуравненииВлияние диссипативных эффектов приводит к появлению в (1.15а) дополнительного члена — v2 罢，「庶 b = (4/3加 + f.

уравнении

уравнении

Po 也

Запишем еще нелинейное уравнение (1.15а) в терминах избыточной плотности. В линейном приближении р‘ = р%・ Это соотношение можно использовать при преобразовании малых нелинейного и диссипативного членов, а квадратичные добавки, соответствующие уравнению (1.6) и возникающие при преобразовании линейных членов в уравнении (1.15а), взаимно уничтожаются. В результате получим в одномерном случае

(1-16)(1-16)现 _ ,2 _^ +ь £o_ аЗр'=逛 dV2 С 1 С Сс • 0_^"_ .

(1-16)

(1-16)

а户Эх' Ро Эх2дГ Ро Эх2

Перейдем теперь к бегущей координате у =х - с0^ и медленной переменной т = t, х^)актеризующей изменения в любой фиксированной точке про-

9

филя волны, даижущейся со скоростью %. Поскольку 8/8х = 8/8у, 8/8/ = =-% 8/8у + 8/8т, то, пренебрегая членом 82P7&产 (из-за медленности эволюции профиля) и интегрируя один раз noj, получим известное уравнение Бюргерса [Burgers, 1940]:

(L17)(L17)М‘ + €с0 / Эр^ =丄 а% Эт Ро р 8y 2% dj2

(L17)

(L17)

(константу интегрирования мы отбрасываем, имея в виду свободное распространение волны; ее следует оставить, если волна возбуждается распределенной внешней силой).

При решении граничных задач обышо удобнее иметь дело с переменными j = Г - x/cQ и х' = х, так что 8/8/ = d/dj, 8/8х =-育】8/8у + Э/Эх\ и из (1.16) следует (опуская штрих у х)

(118)(118)Ър € ，力—Ъ Ъгр 8х СоРо ^ 8y 2Poe^ dj2

(118)

(118)

Здесь мы учли, что в малой правой части (1.16) достаточно положить 8/8х = —Со З/dj, пренебрегая всеми производными по х.

Заметим, что если в волновом уравнении (1.16) правая часть мала по сравнению с каждым из членов в левой части, то в уравнениях (1.17) и (1.18) все члены, вообще говоря, одного порядка (если нелинейность и диссипация учитывавдтся в одном порядке малости).

Отметим, наконец, что чаще работают с уравнениями для скорости частиц и. Подставим в (1.18) р* ~ ри/с0 (поправки к этому соотношению уже можно не учитывать), получаем уравнение Бюргерса в стандартной форме:

(119)(119)Эи Эи с Э2и

(119)

(119)

где а = е/со, 5 = й/(2роСо) •

Уравнение Бюргерса — одно из основных в нелинейной акустике, как и вообще одно из наиболее изученных эволюционных уравнений теории нелинейных волн [Уизем, 1977]. Оно описывает распространение интенсивной звуковой волны с учетом влияния малых, но конечных нелинейности и диссипации. Их относительная роль характеризуется безразмерным параметром

Re = au0/(w6) = 2ер'/(зЬ), (1.20) называемым акустическим числом Рейнольдса. Эта величина определяется как свойствами среды (через параметр нелинейности € и коэффициент эффективной вязкости Ь), так и характеристиками акустического возмущения — характерной амплитудой скорости и。или давления р‘ и частотой з.

При малых значениях числа Рейнольдса в уравнении (1.19) можно пренебречь нелинейным членом. Эволюция волны в этом случае определяется диссипативными эффектами. В частности, распространение гармонической волны вида и =.u()(x)expU3(f - х/с0)] описывается решением с экспоненциально спадающей амплитудой и0 ^е'^» где а = 8 з‘.

10

Таблица 1.2. Диссипативные коэффициенты различных сред

Газ

4尸6, 10-1 3 с2/см

1 Жидкость

4яа6, 1017 с2/см

Воздух

1,85

II

Вода

23,0

Водород

3,58

Ртуть

6,0

Гелий

2,96

Глицерин

2500,0

Агат

1,35

Водород (170 К)

5,6

Кислород

1,68

Бензол

850,0

Таким образом, коэффициент 6 в правой части уравнения (1.19) есть множитель при квадрате частоты в известном выражении для коэффи- (щента поглощения малоамппитудного звука. В табл. 1.2 даны значения 5 дая некоторых сред.

Релаксирующая среда. Для волн высоких частот в жидкостях и газах могут быть существенны процессы релаксации, когда квазистатические термодинамические соотношения не выполняются точно. При этом давление р‘ может зависеть не просто от значения плотности р в данный момент, но и от значений р во все предыдущие моменты времени, от истории процесса. Тогда уравнение состояния имеет вид*

р' = с1р + X|^〉"二t G(f -力阳)df,

где G — ядро, обусловленное конкретным механизмом релаксации. Эти механизмы могут быть разными (возбуждение молекулярных степеней свободы, влияние примесей, например солей в морской воде, и многое другое). Поскольку общая тенденция такова, что реальное время памяти для состояния в данный момент обычно ограничено конечным временем т, в типичных случаях можно G представить экспонентой:

G 二(mcl/т) ехр [-(Г-^)/т],(1.22)

где m - параметр релаксации, равный (с； - с；)/с；; q - скорость звука на высокой частоте, когда среда не успевает релаксировать; величина m обычно мала. При малых m слагаемое, отвечающее (1.2), можно добавить в уравнение Бюргерса (1.19), которое теперь принимает вид [Руденко, Солуян, 1975]

сm Э f dv г ,八

丁-а。而/ hxp[-S-y)/T]dy.(1.23)

Если пренебречь нелинейностью и обычной вязкостью, то согласно (1.23) амплитуда гармонической волны изменяется с расстоянием по закону ехр [—ах], где теперь

°2с0(1 +з?产)

При малых зта * -тсо2т/ (2с0) и происходит поглощение волны по экспоненциальному закону. При сот > 1 а * »тз/(2%), т.е. вместо зату-

хания появляется добавка к скорости распространения волны, равная Ас = —т(?о/2. В промежуточном диапазоне частот влияние релаксации приводит к поглощению и дисперсии скорости волны.

Величина времени релаксации г зависит от вида процесса. Например, для морской воды есть по крайней мере два выраженных релаксационных процесса с характерными временами т * 1СГ3 и 1,5 • 1СГ5 с.

Изучение релаксационных акустических эффектов в различных средах создает возможность диагностики их молекулярной структуры.

Читатель, вероятно, уже заметил, что влияние различных малых факторов —нелинейности, потерь и др. - может учитываться добавлением соответствующих аддитивных членов в эволюционных уравнениях типа уравнения Бюргерса. Этот прием, позволяющий учитывать эти факторы независимо друг от друга, будет неоднократно использоваться и в дальнейшем.

ИЗОТРОПНЫЕ ТВЕРДЫЕ СРЕДЫ

В твердых телах, так же как и в жидкостях и газах, могут распространяться продольные звуковые волны, но наряду с этим благодаря возмож* ности возникновения сдвиговых напряжений при деформации тела существуют и поперечные волны. В дальнейшем мы ограничимся в основном рассмотрением изотропного твердого тела, поскольку для анизотропных тел (кристаллов) соответствующие выражения оказываются, как прави* ло, очень громоздкими.

Для описания упругой твердой среды чаше используют лагранжевы координаты отвечающие невозмушенным (начальным) положениям частиц.

В линейном приближении (когда эйлерово и лагранжево описания по существу тождественны) уравнение движения идеальной упругой q)e- ды (закон сохранения импульса) имеет вид

ро«/=asja冲 с,左=1,2, з).(2.1)

Здесь щ - компонента вектора смешения, р0 — равновесная плотность, S比—тензор напряжения (по повторяющимся индексам подразумеваем суммирование). Связь между 。才比 и и； осуществляется через тензор деформаций

/Эи,а耿 Эи, Эйд

跖+石成•(2Z

Из термодинамических соображений следует, что при адиабатическом изменении состояния [Ландау, Жфшиц, 1954]

°ik = (Эе/Эи^)5，(2.3)

где е — внутренняя энергия, S - энтропия.

Изменение внутренней энергии, вызванное малой деформацией тела, можно представить разложением по инвариантам тензора-деформации:

е - е。= (Х/2)吟 + “嗑，(2.4)

где X, м — постоянные Ламе, характеризующие упругие свойства среды.

Дифференцируя соотношение (2.4) в соответствии с формулой (2.3),

найдем

0/=入"〃 8 优 + 2"/比.(2.5)

Соотношение (2.5) можно представить и в несколько ином виде, выделяя деформации всестороннего сжатия, определяемые суммой диагональных элементов тензора деформации, и чистого сдвига:

。係=К"〃&比 +2“(〃沐—(1/3)%ип).(2.6)

Здесь К二入+ (2/3)д - модуль всестороннего сжатия; при этом “ называют модулем сдвига.

Таким образом, упругие свойства изотропного таердого тела в линейном приближении характеризуются двумя независимыми модулями упругости - постоянными Ламе или модулями всестороннего сжатия и сдвига. Используются и другие пары модулей упругости например модуль Юнга Е = 9^а/(ЗК +“)н модуль сдвига “ или модуль Юнга и коэффициент Пуассона о = (ЗК - 2“)/[2(ЗК + м)]. Последний характеризует связь между продольными растяжением и поперечным сжатием упругого стержня.

Рассмотрим теперь распространение возмущений в упругом изотропном теле. Подставляя выражение для 。疽 из уравнения состояния (25) в уравнение движения (2.1) и используя линеаризованное вьфажение для тензора деформации (2.2), получим

Ро«/ = (Х + м) -~-— + М 二'丁 •(2.7)

0Х/ 0Xk OXjt

В векторной форме это уравнение записывается следующим образом: рой=0< + М)V(V-u)+mAu.(2 Б)

Если представить вектор смешения и в виде суммы потенциальной (U/) и поперечной или вихревой (口工)компонент то уравнение (28) распадается на два:

uz - с/Ди7 = 0,(2.9)

& - c：Aiif = 0,(2.10)

где с产 \/^丁?4/р, Сг = \^7^- скорости распространение продольной и поперечной волн соответстаенно.

Для получения уравнений нелинейной акустики упругого тела необходимо учесть члены более высокого порядка малости. Во-первых, следует использовать полное, с учетом квадратичного члена, выражение для тензора деформации (2.2). Во-вторых, уравнение движения с учетом перехода к лагранжевой координате может быть формально записано в виде (2.1) [Терстон, 1966]:

РоЩ = 8%/Эх/,(2.11)

где рд — не симметричный тензор (Лагранжа или Пиолы-Кирхгофа), равный

Эе

р = (2.12)

， 8(8々/8七)

Таблица L3. Значения основных параметров упругих материалов

Материал

Л,10*" Па

В, 1OJO Па

С 1(Р° На

Железо армко

ПО

-158

■ " ■ ■ "

123

Стекло пирекс

42

-11,8

-13,2

Полистирол

-1

-0,83

-1,06

В квадратичном по и； приближении тензор рц выражается соотношением

Р广噫啜"(К-京増("令

X (也弧:也竺+四包)+丄k - 2"8)х

\Эх/ дхк В#] Эх； 8х比 3xf /2 \3/

(2.13)(2.13)X [(釣Z+2翁翁]+С偿)=•

(2.13)

(2.13)

Это соотношение соответствует разложению (1.6) для уравнения состояния газа или жидкости. Наряду с модулями всестороннего сжатия м сдвига в формулу (2.13) входят еше три константы: А, В, С, называемые модулями третьего порядка, или нелинейными модулями упругости, в связи с тем что они являются коэффициентами при кубичных членах разложения внутренней энергии по инвариантам тензора деформации. Таким образом, нелинейные деформации изотропного упругого тела в соответствии с формулой (2.13) характеризуются пятью параметрами (пятиконстантная теория) . Подставляя (2,13) в (2.11), получим уравнение

(2-14)(2-14)

(2-14)

(2-14)

+匹%)+(5区也 dx/Sxjt Эх； /Эх/ЭхЛ В#]+匹%)+(5区也 dx/Sxjt Эх； /Эх/ЭхЛ В#]волны в изо-(2.16)волны в изо-(2.16)

+匹%)+(5区也 dx/Sxjt Эх； /Эх/ЭхЛ В#]

+匹%)+(5区也 dx/Sxjt Эх； /Эх/ЭхЛ В#]

волны в изо-

(2.16)

волны в изо-

(2.16)

(2.15)

Для простейшего случая распространения продольной тропном твердом теле зто уравнение сводится к

а®%1 8包工 〜Э2их Эих

一，r ■、， L —— •—・，g 6 = J C. ，，— - ■ " ■" ~・，“，M c； a 产"Эх

е ч

М，109 Па

К, 1》Па

с/. 105 см/с

ср 10® см/с

-4,35

8,4

17,2

5,83*5,95

3,18 冬 3,24

1,4

2,8

3,9

5,64

3,28

-4

0,14

0,39

2,35

1,12

где величина

& = 3/2 + (/ + 38 + С)р『 с/(2.17)

играет роль нелинейного параметра для продольных волн.

При переходе к эйлеровым координатам коэффициент нелинейности будет другим, что необходимо учитывать при сопоставлении уравнения (2.16) с соотношениями гл. 1 для газов и жидкостей. Величина его обычно лежит в пределах 3—10, те близка к значениям этого параметра для жидкостей.

Для бегущей (эволюционной) волны нетрудно, как и в разд. 1, понизить порядок этого уравнения, если перейта от смешения и к относительной деформации s = Эи/Эх. Дифференцируя (2.16) пох, получаем

(2.18)(2.18)82s18% Э / 3s \

(2.18)

(2.18)

Переходя к переменным y~t — x/ci и х‘ =х, получим аналогично (1.18), вновь опуская штрих у х:

3s 句 $

-+r-=Q

Эх 2q 勿

К этому уравнению можно добавить слагаемые, описывающие потери. Если, например, учесть вязкое трение и теплопроводность, то, поскольку коэффициент потерь определяется параметром, аналогичным (1.20) [Ландау, Лифшиц, 1954], а потери входят аддитивно, то для s получается уравнение Бюргерса типа (1.19). Правда, в реальных твердых телах нередко действуют более сложные (в том числе релаксационные) механизмы потерь, которым соответстауют другие диссипативные слагаемые в (2.19).

Заметим, что вместо параметров А,瓦 С (модулей Ландау) часто используют так называемые модули Мурнагана 厶 т, п, которые связаны с ними простыми соотношениями:

/ = 5 + c,也=//2+8, k = 4(2.20)

В табл, 1.3, заимствованной из книги ЛК. Зарембо, В.А. Красильникова [1966], приведены некоторые сведения о параметрах твердых тел. Обстоятельные исследования нелинейных параметров упругих тел были выполнены Брэзилом [Breazeale, Ford, 1965].

Заметим, что для поперечных волн в квадратичном приближении нелинейных слагаемых в (2.15) вообше не появляется и остается в силе нели-

15

нейное уравнение (2.10). Лишь в следующем, третьем порядке по амплитуде поперечные волны оказываются нелинейными.

Все эти результаты относятся к изотропному твердому телу. В анизотропных средах описание нелинейных эффектов — гораздо более громоздкое дело. Уже в квадратичном порядке здесь вместо трех необходимо в самом общем случае ввести 216 нелинейных констант. Правда, при наличии симметрий зто число резко сокращается — в кубических кристаллах их не более восьми. Нелинейные свойства ряда кристаллов хорошо изучены, однако мы пока ограничимся изотропными средами.

3・ ЖИДКОСТЬ С ГАЗОВЫМИ ПУЗЫРЬКАМИ

Более сложными и разнообразными акустическими свойствами характеризуются стр^турно^неоднороднме среды, например жидкость с пузырьками газа. Присутствие пузырьков сильно изменяет условия распространения звуковых волн. Резонансный характер пульсаций пузырьков приводит к дисперсии фазовой скорости, а сильная сжимаемость газа повышает нелинейность среды. Кроме того, появляются дополнительные механизмы потерь.

Нелинейная динамика пузырька. Прежде чем изучать распространение звука в такой среде, рассмотрим вкратце колебания одиночного пузырька во внешнем поле давлений. При этом мы ограничимся пока монопольными, сферически-симметричными колебаниями, которые играют главную роль пузырьков, размеры которых малы в сравнении с длиной волны (впрочем, позже мы увидим, что и движения пузырька как целого могут играть весьма существенную роль).

Ввиду большой сжимаемости пузырька и его малых размеров окружающую жидкость можно считать несжимаемой, тогда потенциал скорости з и сама скорость радиального течения жидкости и =况)/» описываются монопольным решением уравнения Лапласа:

<p = -R2R/r, и = &2向户，(3.1)

где г — расстояние от центра пузырька, R(t) - его радаус. Подставляя эти выражения в интеграл уравнения Эйлера

Р/Ро + М/2 + a^/at = const,(3.2)

где ро — равновесная плотность жидкости, и определяя входящую в зто выражение константу из граничного условия на бесконечности (и 今 0, р **Роо), найдем распределение давления в жидкости

R2R + 2R2R R2 &4

P -Ps= Ро-Ро 7：Г •(3.3)

Полагая r = R(f)9 найдем давление на поверхности пузырька, которое должно равняться давлению газа pR внутри него. В результате получаем уравнение Рзлея [Rayleigh, 1917]:

1

ЛК + -л2 = — ® - Рос] •(3.4)

Ро

Зависимость давления р^ от объема (или радиуса) пузырька долж-

на определяться из термодинамических соображений. Если изменение состояния газа в пузырьке происходит адабатически, то

р二Ро(&/&()产，(3.5)

где & о — тдиус пузырька при давлении р0 •

Подставляя зто вы^жение в формулу (3.3), получим известное уравнение Рзлея, описывающее пульсации пузырька [Rayleigh, 1917]:

.,1 Г / Л \、

RR + —Л2 = — Ро (丁)- Ps •(3.6)

Ро \&о/

Вводя избыточный объем пузырька 0’= 0 -九=鼻 тг(&з-&：) и линеаризуя полученное выражение, можно представить уравнение пульсаций пузырька в следующей стандартной форме, до^вив еще малое диссипативное слагаемое:

V' + ^V'+fV = -p'4irR0lp0. (3.7) Здесь р =рж —Pq, f 一 некоторый линейный оператор, описывающий потери, а

Зо = [37Po/(PoRo)]"2 (3.8) 一 частота собственных коле^ний пузырька. Выражение (3.8) иногда взывают формулой Миннарта [Minnaert, 1933]. В частности, для пузырьков воздуха (7 = 1,4) в воде при атмосферном давлении из (3.8) следует, что соо^о — 20,5 м/с. Так, пузырек ртдиуса 1 мм резонирует на частоте 3,26 кГц, а при Ro = 10 мкм - на частоте 326 кГц; для пузырьков в единицы микрон необходимо учитывать поверхностное натяжение.

Диссипативная часть /О' либо определяется из анализа конкретных механизмов потерь, либо задается из феноменологических соображений; часто пишут просто fv , где / - постоянный коэффициент; однако зто лишь условная запись, поскольку f9 вообще говоря, зависит от частоты. Для гармонических колебаний на частоте з потери характеризуются либо добротностью пузырька 0 = з()/£ определяемой из закона затухания собственных коле^ний 卩'Rexp(-3()r/2Q), либо коэффициентом потерь d = 3/(3oQ) (равным отношению диссипативного члета в (3.7) к члену з^ 片).Для пузырьков воздуха в воде типичные зтачения Q порядка 10. Величина же d в этом случае определяется теплопроводностью газа в пузырьке, вязкостью жидкости и радиационными потерями, обусловленными акустическим излучением. Приближенное вы^жение для коэффициента потерь, учитывающее все эти факторы, было получено Эллером [Eller, 1969] в виде d = dT + dv + dr, где

Г X(chX + sig - 2(chX - 8sX)

т _ 36 _ [x2(chx - cosJQ + 36 - 1)X (shX - sinA)' 雜) причем Х==&о(2з/х)"2, а х - те^ературопроводность гаад в пузырьке;

dv = 4ол7/(37Ро)(3.10)

Зак. 38217

Рис. 1.1. Зависимость суммарного коэффициента потерь от частоты для резонансно* пульсирующего пузырька в воде

(方一коэффициент вязкости жидкости),

d" Ро&з2/(37РоСо).(3.11)

Зависимость суммарного коэффициента потерь от частоты для резонанснопульсирующего пузырька в воде представлена на рис. 1.1 [Devin, 1959]; как видно из рисунка, она хорошо описывает экспериментальные данные.

Из выражений (3.9)~(3.11) ясно, что диссипативное слагаемое в (3.7) фактически имеет различный вид в зависимости от механизма потерь. Покажем это на примере потерь на излучение. Чтобы их учесть, необходимо принять во внимание сжимаемость жидкости (конечность скорости звука). В этом случае потенциал ⑴ дается решением волнового уравнения: 屮二 Fg —水乱 * Определяя и=аз/а? и подставляя граничное условие и“к =&, найдем функцию F (при малом с£):

F(t-R/c0) = R2R-R3R/c0.(3.12)

С учетом этого выражения из уравнения (3.2) в линейном приближении имеем вместо (3.7), опуская в дальнейшем штрих у 匕

Р + з^Р- —р=-р‘•(3.13)

СоРо

Для гармонических колебаний отсюда сразу следует выражение (3.11) для%

Любопытно отметить, что с радиационными потерями связано паразитное решение уравнения (3.12) вида 7^ехр(с0^/Л0). быстро растущее во времени. На самом деле такое решение не имеет смысла, поскольку оно не удовлетворяет условию малости члена V по сравнению с остальными, которое использовалось при выводе выражения (3.12). Это обстоятельство аналогично известному парадоксу с радиационным трением для ускоренно движущейся частицы в электродинамике [Ландау, Лифшиц, I960]•

Если теперь учесть квадратичные нелинейные члены при разложении уравнения адиабаты (3.5) (аналогично (1.5)), то вместо (3.7) получаем [Заболотская, Солуян, 1972]

V^c^V -З^^Гу^У2 -^(IVV+^^fV^^p.(3.14)

Здесь Р= (втг^о)"1, к = 4nRQlpQ, р -р^ -р0- Заметим, что левую часть уравнения (3.14) можно в том же приближении преобразовать к стандартной линейной форме (3.7) при помощи подстановки [Лопатников, 1980]:

S Х〃％)2/5 -1, % = (4/3)тг/?^ .(3.15)

Использованное выше предположение о почти адиабатическом характере изменения газа в пузырьке может нарушиться на очень низких частотах, когда длина тепловой волны в пузырьке、не мала по сравнению с его радиусом. Тогда существенны процессы теплообмена между газом в пузырьке и окружающей жидкостью.

На низких частотах, когда з《з。，ЛОАТ < 1 Рт = V^ET^?, X — температуропроводность газа, Зо — частота пульсаций пузырька, Ro 一 его равновесный радиус), изменение состояния газа близко к изотермическому и описывается уравнением состояния [Кобелев, Островский, 1980]

2(7 - 1) dp

VP - %Р。=九 £ •(3.16)

VI。73T at

Здесь 3牙=\/56\/&； 匕 P — объем пузырька и давление в нем. Правая часть уравнения (3.17) учитывает отклонение от изотермичности.

На более высоких частотах (хотя, возможно, меньших з()), когда з<з(ь но RGpA \, получается уравнение почти адиабатических пульсаций с поправкой на теплообмен :

(3.17)(3.17)..、X 「Rg t dp dr

(3.17)

(3.17)

7Fp+ Гр= 3(7 + 1) — Fo p - До - —Z； / ；……,"….[

Используя формулы (3.16) и (3.17), можно уточнить уравнение пульсаций пузырька (3.14) или оценить границы его применимости.

Волны в газожидкостной смев. Перейдем теперь к жидкости с распределенными в ней пузырьками. Их будем характеризовать прежде всего объемным газосодержанием z — долей объема среды, занятой пузырьками. Если все пузырьки имеют одинаковый объем У, то, очевидно, z -NVt где N 一 число пузырьков в единице объема. Если же пузырьки распределены по размерам, то их характеризуют функцией распределения к(&о), так что n(R0)dR0 - число пузырьков с радиусом от Ro до Ro +dR0> и тогда

&о max

z= / 0(凡勿/"或联(3.18)

& min

В дальнейшем мы всегда будем считать, что характерная длина акустической волны 入 велика по сравнению с радиусами пузырьков и средним расстоянием между ними /. В этом случае справедливо так называемое гомогенное приближение: жидкость с пузырьками газа можно рассматривать как в среднем однородную среду с некоторыми эффективными значениями плотности, давле血я и других величин. Так, средняя плотность среды, очевидно, равна

P = pf(l -z)+pgz,(3.19)

门項 Pf, pg — плотности жидкости и газа соответственно.

Кроме того, будем далее считать, что z《1, те выполняется условие &о《/ 一 пузырьки малы по сравнению с расстоянием между ними. Тогда, Учитывая, что р&《р«, запишем отклонение плотности от равновесия в виде

Р' = Р；(1 — Zo)-PgZ‘，(3.20)

1S1S?7・ ак. 382

1S

1S

где, как и выше, нулевой индекс обозначает равновесное состояние, а штрих — возмущение.

Теперь мы можем записать у睥внения гидродинамики для указанных выше средних плотности и скорости для газожидкостной смеси. При этом мы пренебрежем нелинейностью жидкости, считая, что основную роль играет нелинейность пузырьков. Тогда

3v/dr + (l/p0)Vp =0,(3.21а)

Эр7Эг+poV-v = O.(3.216)

Здесь ро - равновесная плотность газожидкостной смеси, близкая, конечно, к плотности жидкости ро* Подставляя сюда уравнение (3.20) и полагая Pf=pf/cl9 где р - избыточное давление, получаем для плоской волны

1 a% 82d 也，

Вместе с уравнением пульсаций пузм沙ка это уравнение описывает 卩с・ пространение волн в двухфазной среде.

Рассмотрим несколько подробнее низкочастотный предел, когда ха- 卩ктерная частота поля мала по сравнению с резонансной частотой пузырька з(). J этом случае в уравнении (3.14) можно отбросить все члены с и К (в том числе диссипативный) и остается квазистатическое уравнение

37Ро 3^•)

Теперь по формулам (3.18) и (3.23) можно найти возмущение объемной концентрации пузырьков:

&отах

z'= / V'n(R0)dR0 = Ил +z^,(3.24)

где? р

4яп Атах

Z； = -—/ l^n(R0)dR0-

ZoP‘

(3.24a)

37Po &min

,2я(7 + l)p，2 Лотах(7 + 1)ZO …

z нл = "ГП—/ RlniR^dR^^—^p^(3.246)

з^ Fin2т^

пртчем

&тах

Zo = —/ Rln(R0)dR0(3.25)

^ &omin

—равновесная объемная концентрация пузырьков.

Подставляя эти вы^жения в (3.22), мы получаем у睥вненне для давления в виде

/ 1 ZoPo\ Э2Р Ъ2р 6+DpoZo а2р'2

~^'(3.26)

Отсюда видно, что в линейном приближении скорость звука в газожидкостной смеси рав^

(3.27)(3.27)

(3.27)

(3.27)

Таким образом, присутствие пузы沙ков уменьшает скорость звука. Влияние пузырьков существенно при с；<с^ или г0>г0 = 7ро/(Р^о)> что вполне совместимо с принятым выше условием z0< 1. Так, для пузырьков воздуха в воде z0=^ 6 * 10-5.

Вернемся к нелинейному случаю. Поскольку правая часть уравнения (3.26) мала, для бегущей волны снова можно понизить его порядок, переходя к переменным j = t- х/ст ,х, тогда получаем

如Эх如Эх= GP^，= GP^，G =G =Q + DpoZoCm2*忌Q + DpoZoCm2*忌(3.28)(3.28)

如

Эх

如

Эх

= GP^，

= GP^，

G =

G =

Q + DpoZoCm

2*忌

Q + DpoZoCm

2*忌

(3.28)

(3.28)

Теперь несколько ослабим ограничение, связанное с низкочастотностыо, и учтем в уравнении (3.14) член V , отбрасывая, однако, малые нелинейные члены с производными 匕 Это приведет к добавлению в правых тас- тях (3.23) и (3.24а) слагаемого с 万'(точнее, к замене р на р —万'/з?, а в (3.26) — соответственно члена с 8%/旅4. В результате уравнение бегущей волны принимает вид

Эр* Эр* 1 Э3р*

——— Gp —— _ т — = 0(3.29)

Эх by 2ст з^ 勿з

(поскольку член с V мал, все слагаемые здесь, вообще говоря, одного порядка).

Таким образом, мы пришли к известному уравнению Кортевега — де Вриза (КдВ) [1895], которое дает весьма универсальное описание волн в средах с малыми нелинейностью и дисперсией. Если подставить в (3.29) р =cmpovf то станет ясно, что роль шраметра нелинейности е для газа или жидкости здесь играет величина

е=(7 + l)PoZoc*/(272pS).(3.30)

Эта величина зависит от концентрации немонотонно: при очень малых z()E~z(), а при относительно больших (когда с；《со) е^(?+ l)/(2z0),

т.е. происходит усиление нелинейности в Zo1 раз по сравнению со случаем однородного газа. При z =z0 = 7Ро/(Ро^о) величина е достигает максимума, равного [Дружинин и др., 1975]

Стах =(7 + 1)РоСо/(87Ро)-(3.31)

Для воздушных пузырьков в воде z0 имеет уже вычисленное значение 6 * 10-5, а етах ^'4800. Если же z0《й0, то ст &% и дая этого примера 3 • 10%, т.е. при z()= 10-6 полу»йем е^ 300. Таким образом, даже при весьма малых объемных концентрациях пузырьков достигаются аномально большие по сравнению с однородными средами зтачения параметра нелинейности.

Если тастота поля не мала, а близка к з(), то нелинейность и дисперсия (но, правда, еще и потери) могут быть выражены сильнее.

В уравнении (3.29) не учитывались потери. На низких 'шстомх основную роль играют чаще всего тепловые потери, и для их описания можно пользоваться уравнениями (3.16) и (3,17). В квазиадаабатическом случае (и при z()2厶)справедливо уравнение (3.29) с добавлением релак- сахщонного члена [Кобелев, Островский, 1980]:

(3.32)(3.32)3Qy- DcmPMo % у 曳 dT

(3.32)

(3.32)

Для еще более низких частот, когда применив квазиизотермическая формула (3.17), может быть получено уравнение Бюргерса

где 6 = qszo/2po, a qs — изотермическая скорость звука, так что теперь (приг0 <z0) J =Г-x/qs.

Оба этих случая — изотермический и адиабатический — могут реализоваться в рамках приближения низких тастот (з《з(>). Граница между ними лежит в области з~з「Так, для пузырьков воздуха с радиусом &о а 10 мкм в воде попутаем 3,2" ~ 16 кГц, тогда как резонанстая тастота соо/2тг^324кГц.

Итак, даже на сравнительно низких тастотах пузырьковая среда обта- руживает сложные нелинейно-дисперсионные свойства. Если же в жидкости присутствуют резо^нсные пузырьки с широким распределением по размертм, то свойства среды существенно меняются. Кроме того, важную роль может играть возможность поступательного движения пузырьков из-за гидродинамических .(усредненных) сил, возникающих в звуковом поле; с этим движением связаны новые механизмы нелинейности. Эти вопросы будут рассмотрены в последующих главах.

УПРУГАЯ СРЕДА С ПОЛОСТЯМИ

На примере жидкости с газовыми пузырьками мы видели, что наличие микронеоднородностей ("микро” 一 в смысле их малости по сравнению с длиной волны) даже при их малом объемном содержании может при* вести к многокртному росту параметра нелинейности. Интересно рассмотреть возможности аналогичных эффектов в твердых телах.

Обсудим вкратце модель изотропной твердой среды со сферическими полостями. Основная особенность твердых сред - наличие поперечных напряжении, связанных с ненулевым модулем сдвига. Это позволяет расслитривать пустые, не заполненные газом полости, что мы и будем делать втачале. Учет газового заполнения не представляет труда.

Пульсации полости. Начнем с собственных сферически-симметричных колебаний полости. Напомним хорошо известную линейную задачу [Ландау, Лифшиц, 1954], изложив ее, однако, несколько по-иному.

В линейном приближении потенциал смещения (а не скорости!) ф, определяемый условием u = VW, где и — вектор смещении, для продольных (в том' числе радиальных) движений удовлетворяет уравнению (ср. (2.Ю))

(4.1)(4.1)Wr宀;△м

(4.1)

(4.1)

где q =v(^ + 2p)/p - скорость продольных волн,入，“一коэффициенты Ламе, р — плотность среды. Сферически-симметричное решение (4.1), исчезающее на бесконечности (запаздывающий потенциал), имеет вид

^ = -F(Z - r/c{)/r,(4.2)

где F — произвольная функция, определяемая из условия 的 границе полости:

%г(г = го)=0.(4.3)

Здесь Го ■ невозмущенный радиус полости, а。疗—радиальная компонента тензора напряжений, которая в линейном приближении представима в виде

01T =入AW+ 2"中" =pФГГ- 4以山"(4.4)

(в последнем выражении учтено волновое уравнение (4.1)). Подставляя сюда выражение (4.2) дая ф, рассмотрим малую полость, т.е. положим 匕()《1, где к — характерное волновое число излучаемой продольной волны. Тогда в ближней зоне (Jtr< 1) запаздыванием можно пренебречь (т.е. положить с「°°) и условие (4.3) дает

戸+ з^Ь=0,(4.5)

где

Зо = (2/力)х/ДТ?(4.6)

—резонансная тастота полости. Это приближение аналогично приближению несжимаемой жидкости в задаче о колебаниях пузырька. В следующем (по с^ ) приближении имеем из (4.2)

w=一歹а计+户")/q

и из (4.4) получаем

户+ з^ 尸一(Го/q)产=0.(4.7)

Поскольку смещение и = 2屮/加，то возмущение объема полости равно 0= 4яГоЭ^/Эг = 4^[F+ (力/q)/] , или с той же точностью

.

Р^ — ^У-т^с^(4.8)

47r

Подставляя это выражение в (4.7) и пренебрегая слагаемыми порядка с}, имеем

V^^V~{rQlCl)V^^(4.9)

Последнее слагаемое в (4.7) описывает потери на излучение, которые, очевидао, малы только при условии соо^о/q ^ 1> или Cf<q, или д < X (Cf 二(м/р。)"？ - скорость поперечной волны).

В противном случае пульсации среды быстро затухают. Кроме того, как мы увидим ниже, благодаря малой сдвиговой жесткости (т.е. большой сжимаемости полости) именно такие среды могут обладать высокой нелинейностью. Именно такие слабо сжимаемые среды, взываемые еще водо- или резиноподобными, мы и будем рассматривать ниже.

Заметим, что, как и для,пузырька, потери описываются радиационным

23

слагаемым К, дающим "лишнее", не справедливое здесь, растущее решение 。〜ехр(с“〃о), не удовлетворяющее условию малости последнего слагаемого в левой тасти (4.9) •

Перейдем теперь к нелинейной задаче. Будем сначала считать среду несжимаемой, что эквивалентно условию Будем снова пользоваться лагранжевой координатой г, тогда, очевидно, u=R —г, где R - фактическое положение частицы. Для несжимаемых сред пятиконстантная теория неприменима хотя бы потому, что плотность упругой энергии е зависит лишь от двух инвариантов тензора деформаций [Лурье, 1980]:

(4.10)(4.10)3尸 r23R4 产

(4.10)

(4.10)

厶=e〃: =f+ 2丁， Z2 = S ^7 = -T +2 -.

/ = 1 1 k 户…I 产 r2

Здесь ^ - относительные удлинения вдоль главных осей.Уравнение колебаний сферы может быть получено следующим образом [Лурье, 1980]. Введем переменную Л(Г)-R3 — r3 = (3/4я) Й, где V 一 изменение объема полости. Ввиду несжимаемости /(f) не зависит от г - смещения частиц таковы, что объем изменяется одинаково на любом радиусе. Скорость движения тастиц и =А = Л/32?2, а общая кинетическая энергия тастиц среды1 k= 一 2Здесь ^ - относительные удлинения вдоль главных осей.Уравнение колебаний сферы может быть получено следующим образом [Лурье, 1980]. Введем переменную Л(Г)-R3 — r3 = (3/4я) Й, где V 一 изменение объема полости. Ввиду несжимаемости /(f) не зависит от г - смещения частиц таковы, что объем изменяется одинаково на любом радиусе. Скорость движения тастиц и =А = Л/32?2, а общая кинетическая энергия тастиц среды1 k= 一 281p / i^dV---81p / i^dV---RR1818.8 dR 27r.рЛ24я / —— = pA2,.8 dR 27r.рЛ24я / —— = pA2,(4.11)(4.11)

Здесь ^ - относительные удлинения вдоль главных осей.

Уравнение колебаний сферы может быть получено следующим образом [Лурье, 1980]. Введем переменную Л(Г)-R3 — r3 = (3/4я) Й, где V 一 изменение объема полости. Ввиду несжимаемости /(f) не зависит от г - смещения частиц таковы, что объем изменяется одинаково на любом радиусе. Скорость движения тастиц и =А = Л/32?2, а общая кинетическая энергия тастиц среды

1 k= 一 2

Здесь ^ - относительные удлинения вдоль главных осей.

Уравнение колебаний сферы может быть получено следующим образом [Лурье, 1980]. Введем переменную Л(Г)-R3 — r3 = (3/4я) Й, где V 一 изменение объема полости. Ввиду несжимаемости /(f) не зависит от г - смещения частиц таковы, что объем изменяется одинаково на любом радиусе. Скорость движения тастиц и =А = Л/32?2, а общая кинетическая энергия тастиц среды

1 k= 一 2

81

p / i^dV---

81

p / i^dV---

R

R

18

18

.8 dR 27r.

рЛ24я / —— = pA2,

.8 dR 27r.

рЛ24я / —— = pA2,

(4.11)

(4.11)

где Rq (f) - переменный радиус полости, р - плотность среды.

Потенциальная же энергия деформаций в лагранжевых переменных равна

П(Л) = 4я Je{IuI2)r2dr.(4.12)

Далее можно воспользоваться уравнением для лагранжиана £=К —П:

8 Э£8 Э£泣泣ЭЛЭЛЭЛЭЛ(4.13)(4.13)

8 Э£

8 Э£

泣

泣

ЭЛ

ЭЛ

ЭЛ

ЭЛ

(4.13)

(4.13)

причем согласно (4.12)

8П оо / Эе 8厶 Эе Э/2\ 9

—=47r f (— — + ~ — I r?dr =

++（R +尸）烹.（R +尸）烹.(4.14)(4.14)

+

+

（R +尸）烹.

（R +尸）烹.

(4.14)

(4.14)

дает"- ^^7дает"- ^^7

дает"- ^^7

дает"- ^^7

В последнем выражении учтены соотношения (4.10) и равенства R = =(4 + 尸)l/3, 3R/3A = (3Л2)-1.

Подстановка выражений (4.11) и (4.14) в (

(Аж dr/ Эе

Дальнейшее зависит от вида функции 6(厶，厶)・ Для несжимаемых сред существуют различные эмпирические аппроксимации этой формулы; мы

выберем одну из наиболее употребительных - потенциал Муни [Лурье, 1980]:

е=^[(1+д)(Л-3) + (1-д)(/2-3)],(4.15)

4

где 丛 — модуль сдвига, ад- вторая константа, причем 0<д< 1. Как обычно, нас интересуют спабонелинейные колебания, когда А^г3. Тогда в квадратичном по Л приближении из (4.14а) и (4.15) попутаем

\&О6& 丿Гоз 吟\&О6& 丿Гоз 吟(4.16)(4.16)

\&О6& 丿Гоз 吟

\&О6& 丿Гоз 吟

(4.16)

(4.16)

Поскольку /?0(^) — Го(1 + Л/Зго), к>, переходя к изменениям объеш, можно записать [Островский, 1988]

»-(9 + 2Ь)з^1

"&X4-7- -?"”片尸0(4.17)

16яго 8яго

Если теперь учесть слабую сжимаемость среды, то согласно (4.9) в левой «гасти (4.17) добавляется слагаемое -(小/q) 7.

Чтобы перейти к волновым задатам^ расс\ютрим поведение полости в поле давления. Если заданы давление внутри полости р^@ и на бесконечности Рв, то в правой части уравнений (4.14) и (4.16) появляется слагаемое 3①我。-рто), а в правой части (4.17) - слагаемое (4яг0/р)—

-Рв) •

Пусть ро=0 (пустая полость), а рто задается полем достаточно длинной (с волновым числом к^г^) плоской продольной волны, определяемой потенциалом смещений

办=f(x, 0=/(rcose, Г),(4.18)

где / - заданная функция. Поскольку нас интересует лишь монопольная компонента пульсации полости, связанная с изменением ее объема, давление Рв определяется полной радиальной силой, действующей со стороны падающей волны, т.е.

4тгг2рто = -/d/s = —2"2/o；r&i6)sin6d6,(4.19)

где г - радиус произвольной сферы, окружающей полость; ds - элемент поверхности этой сферы; огг — радианьная компонента напряжений в волне. Если пренебречь нелинейностью в падающей волне, учитывая только нелинейность колебаний полости (как это делалось и для пузырька), то из (4.18) и первого выражения (4.4) получаем

о^ = (х + 2дсоб20)а^/уах?,

и тогда согласно (4.19) 2

Ро» = -(^+ -д) fxx(Хо, f) d -入/N (Хо, о(4.20)

(ввиду крупношсштабности падающего поля величину fn можно брать в центре полости, координата которой х = х0).

Итак, уравнение пульсаций полости во внешнем поле имеет вид, ана-

логичный уравнению (3.14) дня пузырька:户 + з^ У _ (Го/з)讶一 G^2 _ 0 (2У声 + 玄)=_КР8,логичный уравнению (3.14) дня пузырька:户 + з^ У _ (Го/з)讶一 G^2 _ 0 (2У声 + 玄)=_КР8,гдес (9 + 20)з^G=^—16яг?гдес (9 + 20)з^G=^—16яг?16=,87r吊16=,87r吊斬飞к Ро斬飞к РоPoo二一入黑Go力Poo二一入黑Go力(4.21)(4.21a)(4.21)(4.21a)

логичный уравнению (3.14) дня пузырька:

户 + з^ У _ (Го/з)讶一 G^2 _ 0 (2У声 + 玄)=_КР8,

логичный уравнению (3.14) дня пузырька:

户 + з^ У _ (Го/з)讶一 G^2 _ 0 (2У声 + 玄)=_КР8,

где

с (9 + 20)з^

G=^—

16яг?

где

с (9 + 20)з^

G=^—

16яг?

1

6=,

87r吊

1

6=,

87r吊

斬飞

к Ро

斬飞

к Ро

Poo二一入黑Go力

Poo二一入黑Go力

(4.21)

(4.21a)

(4.21)

(4.21a)

Волны в пористой среде* Рассмотрим тепер» распространение продольной волны в среде, содержащей полости (поры) [Островский, 1988]. Как и для пузырьков, будем считать, что среднее расстояние между полостями удовлетворяет условиям Z>r0> но kl^l5 так что применимо гомогенное приближение. Тогда продольная вол^ описывается уравнением

Э2и

р —— = Эа/дх,(4.22)

где и — продольное смещение, а = ахх — давление в плоской волне.

Деформация слоя среды толщиной dx складывается из сжатия твер~ дой фазы и изменения общего объема полостей. Изменение объема такого слоя на единицу площади равно

= + z dx,

I (X + 2д).

где z‘ — возмущение удельного объема полостей. Отсюда

Эи/Эх^аД + /.(4.23)

Рассмотрим снова квазистатические колебания полости (з<зо).Дия них иэ (4.21) следует

Р = ~Т『 + Г G(T)2(4.24)

Зо3。

Задавая функцию распределения полостей по размерам л (г0) и вычисляя интервалы, аналогичные (3.24), получим для z -zn^ z 二兀

,3 入 Zof"

«4“=з，Zm =

3 入2(9+2Z>)zo(/'')2

• ej $5«25)

где z()— равновесный удельный объем полостей. Учитывая, что /п^。/入, иэ (4.23) получаем нелинейный закон Гука для пористой среды:

(4.26)(4.26)(4.27)(4.27)о — bu/bx g2 (du/Эх)2

(4.26)

(4.26)

(4.27)

(4.27)

入 1 +gi (1 +gi>

В результате из (4.22) следует уравнение для»:

э2«э2« г 出 а〃 ’

a产эх2 I(1 +gy Эх .

где tj =q(l +gi)"1^2 — скорость распространения низкочастотных волн в линейном приближении. Поскольку у нас Х>д, величин gt согласно (4.25) может быть порядка и болыие единицы даже при малой объемной концентрации полостей z0 ・

26

Здесь удобно перейти от и к уравнению для безразмерной деформации $ = а〃/Эх. Дифференцируя (4.27) по х, получаем

22s_ 22s 2cjg2 д / ds \

—-^ — =―—Is—I.(4.28)

a产Эх2 (1+gi)Эх \ ьх/

Теперь легко перейти к бегущей волне. Полагая, как уже неоднократно делалось, s-s(y,x), где у -t — x/q, получим аналогично (3.28)

2s

g2

9s

:一=0.

(4.29)

at

(1 +gj

ay

Если же удержать в (4.21) К, считая его малым, то аналогично (3.29) мы получаем уравнение КдВ:

3sg235123s

с】———.§ — — ——- = 0,(4,30)

Эх (1 +gi)2 方2з^ 方3

Параметр нелинейности, аналогичный (3.30), здесь равен

e=gz/(l+gj. (4.31)

Для оценки его величины нужно в чибе прочих задать параметр Ъ в потенциале (4.15). Если положить d = 1 (потенциал Трелоара, см. [Лу沙е, 1980]), то gj, g2 и € полностью определяются параметрами z0 и Х/д. Величина оптимальной концентрации z0 и соответствующее ей максимальное зтачение етах (ср. (3.31)) равны

io =曲/(3入)，етах = Х/(Зд). (432)

В качестве примера оценим е для резины, параметры которой таковы, что q/(2q) ~ 193 или Х/д as 1,6 • 103 [Кошкин, Ширкевич, 1976]. В этом случае z0 ~ IO"3, a emax ~ 500. Таким образом, поры в слабосжимаемых материалах могут, как и пузырьки в жидкости, обусловливать везма сильную нелинейность.

В заключение этого раздела заметим, что аналогичные формулы для пузырьков н для полостей нетрудью объединить, рассматртвая полость заполненную газом. Для этого достаточно в правую часть уравнения колебаний полости (4.21) добавить внутреннее давление р& в соответствии с (4.17) и использовать для р& уравнение адиабаты (3.5). Тогда получим

声+3”—力 3 = Gs『 + 0(2 产户+戶)一К(Р8—Р&), (4.33) где теперь з^мз^ + з^； з^ и з^ даются соответственно формулами (3.8) и (4.6), а параметр нелинейности Gs равен сумме соответстаую- щих параметров для пузырьков и полостей:

Г ° (9 + 力)」

G$ = 0[3(7 + 1)з〃+ з^2 . (4.34)

Заметим, что в приведенном выше примере с резиной заполнение пор воздухом под давлением 1 атм мало изменяет параметр полостей [Донской, Сутин, 1984].

АНОМАЛЬНЫЕ НЕЛИНЕЙНОСТИ В УПРУГИХ СРЕДАХ

Выше мы рассматривали изотропные твердые среды, которые описываются (в приближении квадратичной нелинейности) уравнениями пятиконстантной теории упругости. Однако для многих упругих матерталов эксперименты свидетельствуют о наличии гораздо более сложных нелинейно-дисперсионных свойств. В нашу задачу не входит детальное изучение микромеханизмов, ответственных за подобные аномалии, а нередко эти механизмы и не вполне ясны. Как правило, они связаны с теми или иными нарушениями структуры материала: дислокациями, микротрещинами, зернистостью и т.д.; пористая среда, рассмотренная выше, относится, в сущности, к тому же классу.

Нелинейные свойства таких сред, как и вообще упругой среды, можно охарактеризовать связью между компонентами тензоров напряжений 。莪 и деформаций и^- Для плоской продольной волны в изотропной среде напряжение а и деформация s определяются скалярными величинами: а = ахх и s = a〃/ax, где их - компонента вектора смещения, те задан нелинейный закон Гука. Тогда для смещений справедливо волновое уравнение (4.22).

В классической теории упругости зависимость o(s) представляется в виде ряда, члены которого убывают по мере роста степени s・ Для сред же с аномальной нелинейностью эти зависимости могут быть весьма сложными и разнообразными. Более всего изучено амплитудно-зависимое трение: при воздействии на дюду достаточно сильного осциллирующего поля наблюдаются аномально высокие потери энергии, зависящие от амплитуды и частоты. Известны и проявления сильной упругой нелинейности — изменения модуля Юнга в зависимости от амплитуды деформации- При этом ввиду релаксации в материале эти параметры нередко характеризуются и сильной инерционно ст ью. Все подобные материалы в той или иной степени обнаруживают эффекты гистерезиса, связанного с необратимым движением дефектов, т.е. с микропластическими деформациями. Эффекты амплитудно-зависимого трения изучались в широком интервале частот (10°—106 Гц), температур (300-3800 К) и амплитуд деформаций (s 10~6-^10"2) [Кришгал, Головин, 1976; Работнов, 1987].

На сравнительно низких частотах такие материалы можно характеризовать гистерезисной кривой o(s), не зависящей от частоты (хотя частотная дисперсия в общем случае существенна).

В последние десятилетия был рассмотрен ряд динамических моделей микронеоднородностей среды, приводящих к таким зависимостям. Одна из наиболее известных — струнная модель Гранато-Люкке [Ультразвуковые..., 1963], основанная на рассмотрении последовательного отрыва дислокации от точек закрепления; эта модель приводит к зависимости типа изображенной на рис. 1.2,а. Более сложные модели, учитывающие беспорядочное распределение точечных дефектов вдоль дислокационных линий, приводят к следующим выражениям для коэффициентов внутреннего трения и относительного изменения модуля Юнга Е в зависимости от амплитуды гармонической во времени деформации s [Упьтря- звуковые..., 1963]:

5 〜АЕ/Е= (C0/s1/2)exp(-C1/s), (5.1)

ри с. 1.2. Зависимость напряжения от деформации

а — для струнной модели； б, в — для моделей, со отв етс тву ющих хаотическому

распределению дефектов

где Cq и Ci — постоянные, выраженные через силу связи между точечными дефектами и дислокацией и средним расстоянием между такими дефектами вдоль линии дислокации. Эти закономерности ^шли подтверждение в ряде экспериментов.

Для аналитических расчетов часто используют степенные аппроксимации для каждого участка гистерезисной кривой o(s) [Писаренко, 1970]; примеры гистерезисных кривых приведены на рис. 1.2,6. Таким образом, деформации на полупериоде могут быть либо обратимыми (как шт рис 1.2,tf), либо необратимыми (рис. 1.2,伉s). Важной с точки зрения нелинейной акустики особенностью следует считать отноаительную симметрию отклика материала на слатие и растяжение； зависимости o(s) близки к нечетным. Это согласуется, в четности, со струнной моделью (отрыв дислокаций происходит почти независимо от зтака деформации). При этом, как будет видно из дальнейшего, ^^кyбичныe^^ эффекты — генерация третьей гармоники, нелинейный сдвиг тастоты - могут даже преобладать 的口 "квадратичными", типа генерации второй гармоники, которые всегда сильнее выражены для продольных волн в рамках пятиконстантной теории упругости.

(5.2)(5.2)Отметим еще один интересный тип аномальной нелинейности, характерный для разномодульных или билинейных сред. Зависимость о($) для таких сред можно считать кусочно-линейной:

(5.2)

(5.2)

I a2s, 5 < О

где а, ид — константы (рис. 1.3). Такая зависимость озтачает, что среда оказывает различное сопротивление о дисковым по величине силам сжатия и растяжения.

Подобное рассмотрение моделей разномодульной теории упругости можно 侬йтн в книге С .А. Амбарцумян [1982]. Судя по приведенным в ней данным, разномодульность характерна для весьма широкого круга материалов - полимеров, металлов, композитных систем и др. При этом модуль сжатия £* может быть как больше, так и меньше модуля 開стяжения £，и эти отличия достигают З1йчительных величин. Например, в полиамидах, армированных стекловолокном, величин Е+/Е~ может превышать 7. По другим данным [Жуков, 1985], отношение

Рис. 1.3. Зависимость напряжения от деформации для билинейной среды

(Е$ —Е_)/Е+ не превышает нескольких процентов, но и эта величина оказывается весьма заметной в акустических процессах.

Интересно отметить, что в рамках модели (5.1) величина нелинейности не зависит от амплитуды колебаний, а только от угла излома, т.е. отношения 〃i&, которое согласно упомянутым данным может очень сильно отличаться от единицы.

Природа такой разномодульности, по-видимому, не вполне ясна. Ода- ко для ее понимания полезной представляется следующая простая модель [Антонец и др., 1986]. В упругом образце имеется дефект в виде щели, которая раскрывается при растяжении, что уменьн^ег жесткость среды при растяжении по сравнению со сжатием. Не исключено, что за разно- модульность реальных материалов ответственны микро дефекты подобного рода.

Заметим, что модели структурно-неоднородных сред могут иногда основываться ^ упрощенном представлении среды как цепочки лгасс, связанных упругими силами, или как системы контактирующих гранул (зерен). О таких моделях будет идти речь в гл. 2. Известны и более сложные модели сред, например известный континуум Коссера, где среда представляется состоящей из сферических частиц, каждая из которых характеризуется как смещением центра, так и вращением, или кинетические модели развития микротрещин, приводящие к весьма сложным упругопластическим свойствам среды [Беляев, Наймарк, 1987]. Для таких сред изучались различные процессы импульсного та гружения, но нелинейноакустические аспекты их теории пока не рассматривались.

Нужно заметить, что реальные природные среды подчас характеризу ются очень большими значениями нелинейных параметров. Так, шраметр, эквивалентный величине е, равной (7 + 1)/2 для газов и жидкостей, в различных типах почв достигает з^чений 102—104 [Nazarov et aL, 1988]. Причины столь высокой нелинейности не изучены, но можно предположить, что они связаны с теми или иными структурными неоднородностями среды.

Глава 2

ПРОСТЫЕ И УДАРНЫЕ ВОЛНЫ В АКУСТИКЕ

УСЛОВИЯ ПРОЯВЛЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ЭФФЕКТОВ

Интенсивные звуковые волны качественно отличаются от малоамплитудных возмущений, описываемых линейной акустикой. При {^спростра- нении интенсивной волны происходит постепенное изменение формы волны вследствие разницы в скоростях движения различных участков ее профиля. Точки, отвечающие большему сжатию, движутся быстрее, в результате кру・ тизна фронтов сжатия растет и возникают ударные волны. Периодические волны трансформируются в волны с пилообразным профилем, а одиночные импульсы — в возмущения треугольной формы. Эволюцию формы волны можно рассматривать как изменение ее спектрального состава: увеличение крутизны фронтов соответствует врастанию высокочастотных гармоник. Процессу нелинейного }ъсличения крутизны фронтов противодействуют диссипация энергии волны и дисперсия скорости ее ртспространения. Влияние диссипативных эффектов — вязкости и теплопроводности — приводит к сглаживанию профиля волны, уменьшению градиентов скорости и температуры, более быстрому затуханию высокочастотных компонент спектр волны. К размытию крутизны фронтов приводит и влияние дисперсии звука вследствие ,,ртзбеганиям различных гармоник, движущихся с ртз- ными скоростями. Поэтому распространение возмущения определяется конкуренцией нелинейности, диссипации и дисперсии.

Рассмотрим относительную роль этих факторов в простейшем случае плоских волн и выясним условия проявления нелинейных эффектов, приводящих к накапливающимся нелинейным искажениям профиля волны В соответствии с резулыатами первой главы будем исходить из комбинированного эволюционного уравнения (уравнение Кортевега—де Вриза- Бюргерса, или КдВБ), учитьшающего все три фактора 一 нелинейность, диссипацию и дисперсию:

ЭиЭиЭиЭи迎+ 红 勿2 7力3迎+ 红 勿2 7力3=0.=0.(11)(11)

Эи

Эи

Эи

Эи

迎+ 红 勿2 7力3

迎+ 红 勿2 7力3

=0.

=0.

(11)

(11)

Зто уравнение применимо к многочисленным физическим ситуациям [Пелиновский и др., 1984], но мы не будем здесь их конкретизировать, поскольку №с интересуют пока общие свойства его решений.

Зададим граничное условие в виде гармонического поля и (0, г)= ' VosincoZ и будем искать решение (1.1) методом возмущений, представив его в виде и = и⑴ + где

网=и0 е~ах sin(coj + рх) (1.2)

— точное решение линеаризованного (т.е. при а = 0) уравнения (1.1). Здесь а = 5з\ р = усо3. Поправка и°)считается малой. Подставляя (1.2) в (1.1) и полагая в нелинейном члене и 二 и(", получаем неоднородное линейное уравнение для ©:— точное решение линеаризованного (т.е. при а = 0) уравнения (1.1). Здесь а = 5з\ р = усо3. Поправка и°)считается малой. Подставляя (1.2) в (1.1) и полагая в нелинейном члене и 二 и(", получаем неоднородное линейное уравнение для ©:аи°) х Ми。) Э3„(2)аи°) х Ми。) Э3„(2)awo<^ ~2awo<^ ~2е~2ах sin2(3y +рх),е~2ах sin2(3y +рх),(1.3)(1.3)

— точное решение линеаризованного (т.е. при а = 0) уравнения (1.1). Здесь а = 5з\ р = усо3. Поправка и°)считается малой. Подставляя (1.2) в (1.1) и полагая в нелинейном члене и 二 и(", получаем неоднородное линейное уравнение для ©:

— точное решение линеаризованного (т.е. при а = 0) уравнения (1.1). Здесь а = 5з\ р = усо3. Поправка и°)считается малой. Подставляя (1.2) в (1.1) и полагая в нелинейном члене и 二 и(", получаем неоднородное линейное уравнение для ©:

аи°) х Ми。) Э3„(2)

аи°) х Ми。) Э3„(2)

awo<^ ~2

awo<^ ~2

е~2ах sin2(3y +рх),

е~2ах sin2(3y +рх),

(1.3)

(1.3)

решение которого в нашем случае есть

и⑵=4：，°屮 2){а[е^2ахsin2(3y + рх) - е~4ахsin2(3y + 4Pх)] +

+ р[е^2ах cos2(coy + рх) - е~4ах cos2(coy + 4рх)] | .(1.4)

Таким образом, нелинейность в этом приближении порождает малую вторую гармонику. Чтобы не выписывать громоздких общих выражений, рассмотрим два предельных случая:

д = 0 (отсутствие затухания). Тогда из (1.4) нетрудно получить

и。)= ^^у sin3 рх • sin(23y + 5Pх). (1.5) 2>з

Отсюда видно, что дисперсия подавляет нелинейные искажения — амплитуда второй гармоники 阳 обратно пропорциональна дисперсионному параметру 7. Кроме того, амплитуда 0 осщгллирует вдоль х из-за интерференции между "вынужденной' (бегущей со скоростью основной волны) и собственной волнами.

7 = 0 (отсутствие дисперсии). Тогда решение (1.4) имеет вид [Гольдберг, 1957]

"⑵=^^(е-m — е-4ах)sin23y. ■ (J.6)

В этом слу^е амплитуда второй гармоники сначала растет, достигает максимума при х - (In 2)/26со2 и затем экспоненциально затухает. Максимальное отношение амплитуд 0 и i/D равно Re/8, где акустическое число Рейнольдса Re равно аи()/(з5). Поэтому при Re < 1 зто отношение везде мало, и тогда решение (1.6) справедливо всюду: волна затухает раньше, чем в ней успеют развиться нелинейные эффекты. Если же Re > 1, то метод возмущений дает правильное решение только на небольших расстояниях а именно при ах《 ReT1. При этом (1.6) дает i/幼 二 аи()зх sin23y. Для более полного описания необходимо построение решения, учитывающего эволюцию всего спектра волны, что будет сделано ниже.

В "дисперсионном” решении (1.5) отношение амплитуд и%。равно аи°/2>з2 二 U (так называемый параметр Урселла), и если U велико, то с ростом х решение (1.5) быстро теряет применимость, и снова необхс дим более общий подход. В результате возникают нелинейные волны или уединенные импульсы-солитоны. Эти вопросы кратко рассматриваются в гл. 6.

В общем случае в зависимости от соотношения параметров д и 7 поле второй гармоники затухает, осциллируя.

На этом несложном примере видно, что происходит своего рода конкуренция между нелинейностью с одной стороны, и диссипацией и дисперсией -с другой. Сильные нелинейные искажения волны происходят в случаях, если соответствующие параметры Re н U достаточно велики: Re > 1 и С/ > 1. При этом нелинейность в локальном смысле - величина числа Маха - всегда остается малой. Именно эти случаи и будут рассматриваться далее. Мы начнем с классического уравнения Бюргерса, полученного в предыдущей главе, и рассмотрим различные случаи формирования и эволюции пилообразных и треугольных волн, особенно характерных для нелинейной акустики. Затем обсудим более сложные случаи распространения случайных сигналов, а также распространение волн в аномальных средах, характеризуемых неквадратичной нелинейностью, — в них закономерности формирования ударных волн могут быть существенно иными, чем в классических для акустики ситуациях. В последнем разделе гл. 2 рассматриваются одномерные волны в ограниченных системах — резотаторах.

ПРОСТЫЕ ВОЛНЫ И РАЗРЫВЫ

Как показано в гл. 1, распространение плоской звуковой волны в недиспергирующей среде с квадратичной нелинейностью описывается уравнением Бюргерса (см. (1.9) гл. 1)

ЭиЭи с Э2и

Эxby 勿2

Качественные особенности решении этого уравнения зависят от величины акустического числа Рейнольдса

Re = аи0/(^),(2.2)

где и。— амплитуда возмущений скорости, з — характерная частота волны, коэффициенты а и 6 характеризуют нелинейные и диссипативные свойства среды. Если Re < 1, нелинейный член в уравнении (2.1) мал и основную роль играет диссипация: вол^ затухает раньше, чем в ней успеют развиться нелинейные эффекты, так что можно оставаться в рамках линейной акустики. Если Re> 1, то по крайней мере на ^чальной стадии процесса диссипативным слагаемым в уравнении Бюргерса можно пренебречь, и остается уравнение

8и/8х = аиди/Э^,(2.3)

имеющее решение в виде простой волны (решение Римана)-

v = F(y +аих),(2.4а)

где 尸—произвольная функция, определяемая граничным условием. Это решение можно записать в виде уравнения характеристики

у + аих = Ф(и),(2.46)

гДе Ф — функция, обратная F.

Поскольку у - t - x/cOi а а = g/cq, то, как легко видеть, в исходных

(2-5)(2-5)переменных локальная скорость распространения равна с = % +еи.

(2-5)

(2-5)

Свойства решения (2.46) хорошо известны [Ландау, Лифшиц, 1986]: каждая точка профиля волны движется со своей постоянной скоростью, зависящей от з^чения и в этой точке. Поэтому задний фронт волны (где 8и/8у < 0) растягивается (волта разрежения), а передний фронт (где 8и/8у > 0) сокращается (волна сжатия), тогда как общая площадь профиля не меняется. В некоторой точке, характеризуемой значениями х^, у и*, происходит "опрокидывание", после чего профиль волны становится неоднозначным (рис. 2.1). Эта точка находится из условий Эх/Эи = 0, 8у/8и = 0 (означающих, что крутизна профиля бесконечна) и Э2х/Эи2 = 0. Э^/Эи2 = 0 (точка является точкой перегиба). В данном случае эти условия согласно (2.46) сводятся к равенствам

ах =ах =ЭФ 而ЭФ 而Э2ФЭ2Фх-х *х-х *с0, х~х *с0, х~х *(2-6)(2-6)

ах =

ах =

ЭФ 而

ЭФ 而

Э2Ф

Э2Ф

х-х *

х-х *

с0, х~х *

с0, х~х *

(2-6)

(2-6)

которые вместе с (2.46) полностью определяют зтачения х^, у^, и*. Правда, если функция F в (2.4а) не аналитична, то неоднозначность может появиться именно в неаналитических точках (например, в ^чале импульса), в этих точках второе условие (2.6) может не выполняться.

Поскольку неоднозтачность профиля в данном случае не имеет физического смысла, для х > х* уравнение (2.3) оказывается несостоятельным, и необходимо, строго говоря, решать полное уравнение Бюргерса с учетом дирсипации. Однако в случае больших Re существует и другой путь, состоящий в введении разрывных решений — ударных волн. Появление разрыва, вообще говоря, приводит к отражениям от него и, следовательно, к изменениям в непрерывной части поля — вол^ перестает быть простой. Вместе с тем в интересующих i^c случаях малой нелинейности, когда М《 1, изменения всех величин на ударном фронте и в адиабатическом решении (2.4) оказываются одинаковыми с точностью до членов третьего порядка по амплитуде волны. Поэтому и во втором приближении волна с обеих сторон разрыва остается простой, ее эволюция по-прежнему описывается решением (2.4), а роль разрыва сводится как бы к "съеданию" неоднозтачной части поля. В этом же приближении скорость скачка равна полусумме скоростей простых волн по обе его стороны:

(2.7)(2.7)% = % + (е/2)(1?! +и2)-

(2.7)

(2.7)

Отсюда без труда выводится "правило плои0дейп: разрыв так "вписы- ваетс穴‘‘ в простую волну, что общая площадь профиля не меняется (площади, заштрихованные ^ рис. 2.1, равны). Мы приводим это утверждение без вывода, поскольку он имеется во многих книгах (см., например, [Ландау, Лифшиц, 1986]).

С помощью формул (2.5) и (2.7) нетрудно дать аналитическое описание эволюции разрыва в волне заданного профиля. Для этого можно поступить следующим образом (см. [Курант, Фридрихе, 1950]). Продифференцируем уравнение (2.46) по и на траектории разрыва х = х5(у), где

Рис. 2.1. Эволюция профиля нелинейной волны

Форма волны при распространении изменяется, и происходит образование разрыва с начальной величиной скачка скорости иЛо, равной амплитуде волны v0-

согдасно (2.7) Эу/Эх = №(力 + и2)/2, после чего получим уравнение

а[и —(и】+ и2 )/2] Эх5/Эи + ах5 = ЭФ/Эи.

(2.8) Это уравнение справедливо для простых волн на обоих концах разрыва при и= щ и и = и2»те фактически имеются два уравнения (2.8). Проще., однако, рассматривать одно из них, получив соотношение между 力 и 力 следующим образом. Составим разность уравнений (2.4), отвечающих 力 и 物 в одной и той же точке х, f:

5 = [Ф(^2)- Wb )] /(U2 一 Ui ).

(2.9)(2.9)Выражая отсюда и】 через х事 и и$ и подставляя в уравнение (2.8), после интегрирования последнего найдем искомую зависимость иЛ (х).

(2.9)

(2.9)

Важный частный случай представляет собой симметричный разрыв, в котором 力=力=%. Это получается, в частности, при нечетных Ф, когда Ф(и2) = —Ф(1Ь)=①(％) (при этом с$ = с0), и из (2.9) для % следует алгебраическое уравнение

Ф(%) = ах%(2.10)

(из (2.8) получается, конечно, то же самое).

Следствия этой несложной теории мы сначала рассмотрим на примере синусоидального граничного условия — этот пример, пожалуй, наиболее характерен для акустических задач:

и(0,У)= и。sin3 九(2.11)

Уравнение (2.46) теперь принимает вид [Солуян, Хохлов, 1961]

зу = arc sin(u/u。)一 ои/и。，(2.12)

где а = асоиох — безразмерная координата. —

Это выражение удобно проанализировать графически, построив сперва по (2.12) зависимость зу(и) в пределах (—я, я) при разных а (рис. 2.2); затем, повернув рисунок на 90°, мы получим интересующие^нас зависимости и(у). Результат такого построения для различных а представлен на рис. 2.3. Видно, что с ростом о нелинейные искажения растут вплоть до возникновения отвесного участка и затем перехлеста, как это описывалось выше. Точка возникновения разрыва легко находится из соотношений (2.6)： второе из них дает равенство и* = 0 (это, впрочем, заранее ясно ввиду симметрии профиля), а первое — координату возникновения раэ-

35353-2. Зак. 382

35

35

Рис. 2.2. Графическая интерпретация решения (2-12)Рис. 2.2. Графическая интерпретация решения (2-12)Рис. 2.3. Трансформация профиля гармонической волны при распространенииПредставлены профили волны на различных расстояниях от излучателя о = х/Хи = =еМкх. В синусоидальной волне при о =0 образуется разрыв на дистанции х = LH (а = 1). Величина скачка и,。равна амплитуде волн %. При дальнейшем распростране* нии образуется пилообразная волна и разрыв уменьшается вследствие затухания 9=4), на больших дистанциях (о > 1) профиль волны вновь сглаживаетсяРис. 2.3. Трансформация профиля гармонической волны при распространенииПредставлены профили волны на различных расстояниях от излучателя о = х/Хи = =еМкх. В синусоидальной волне при о =0 образуется разрыв на дистанции х = LH (а = 1). Величина скачка и,。равна амплитуде волн %. При дальнейшем распростране* нии образуется пилообразная волна и разрыв уменьшается вследствие затухания 9=4), на больших дистанциях (о > 1) профиль волны вновь сглаживается

Рис. 2.2. Графическая интерпретация решения (2-12)

Рис. 2.2. Графическая интерпретация решения (2-12)

Рис. 2.3. Трансформация профиля гармонической волны при распространении

Представлены профили волны на различных расстояниях от излучателя о = х/Хи = =еМкх. В синусоидальной волне при о =0 образуется разрыв на дистанции х = LH (а = 1). Величина скачка и,。равна амплитуде волн %. При дальнейшем распростране* нии образуется пилообразная волна и разрыв уменьшается вследствие затухания 9=4), на больших дистанциях (о > 1) профиль волны вновь сглаживается

Рис. 2.3. Трансформация профиля гармонической волны при распространении

Представлены профили волны на различных расстояниях от излучателя о = х/Хи = =еМкх. В синусоидальной волне при о =0 образуется разрыв на дистанции х = LH (а = 1). Величина скачка и,。равна амплитуде волн %. При дальнейшем распростране* нии образуется пилообразная волна и разрыв уменьшается вследствие затухания 9=4), на больших дистанциях (о > 1) профиль волны вновь сглаживается

рыва: о* = 1,т.е.

х^=с0/(еки0),左= з/%.(2.13)

Отсюда, в частности, ясен смысл переменной а: зто расстояние, нормированное на длину образования разрыва. Приведем численную оценку: ультразвуковой излучатель с интенсивностью 10 Вт/см2 создает в воде (% = =1,5 103 м/с, е = 4) поле с амплитудой и0 = 36 см/с или акустическим числом Маха М = 2,4* 10*4. В такой волне х* = 160Х (X 一 длина волны). Так, на частоте 1 МГц (X = 1,5 мм) xs = 24 см, т.е. речь идет о весьма умеренных расстояниях.

Дальнейшая эволюция разрыва, ввиду его симметрии, описывается соотношением (2.10). В данном случае

us/u0 = sin (a us/u0 ) •(2.14)

После образования разрыва энергия волны диссипирует, хотя fvdt по-прежнему сохраняется, но /u'df уменьшается. Наглядно этот процесс можно рассматривать как результат описанного выше "съедания'' неоднозначных частей профиля. При а = 1 величина скачка растет, достигая максимума при о = я/2, когда разрыв доходит до точки профиля, отаечающей максимуму поля, после чего и$ убывает. На этом интервале "съедается” уже большая часть исходного профиля, кроме области, близкой к нулевой точке. В ее окрестности щюфиль близок к линейному, поэтому вол^ приобретает пилообразную форму с резкими фронтами и линейным сшдом. Для боль-

рис. 2.4. Профиль пилообразной волны на расстоянии 100 длин волн от излучателя

Амплитуда давления 1 МПа, частота 0,775 МГц

ших а во всей волне (на протяжении периода) ovs/vQ《1 и из (2.14) получается простая асимптотическая формула [Солуян, Хохлов, 1961; Blackstock, 1966]:

%/и0 =需/(1 +0). (2.15)

Заметим, что если начисть не с синусоиды, а сразу с пилообразной волны, у которой задана начальная амплитуда и事 0, то дальнейшая эволюция волны описывается аналогичной формулой [Ландау, Лифшиц, 1986]：

%/%о = 1/(1 +а). (2.16)

где теперь а = acoxusO.

Как видно из формул (2.15) и (2.16), нелинейная периодическая волна в отличие от синусоидальной затухает не по экспоненте. Здесь интересно явление ^сыщения: с увеличением начальной амплитуды пиковое значение % 的 пилообразной стадии растет все медленнее, асимптотически приближаясь к предельному з^чению %, вообще не зависящему от и0:

忆=я/(а^х). (2.17)

Это свойство нелинейной волны ^забывать5* о своей начальной амплитуде приводит к тому, что через заданный спой среды нельзя передать акустическую мощность выше некоторой максимальной, равной PoCoU^/З. Так, в воде на частоте 1 МГц Wmax = 40/х‘ кВт/м2, где х выражается в метрах; впрочем, для реальных жидкостей предельные уровни поля достигаются лишь при очень мощных источниках (чаще — в фокусированных волнах).

Следует подчеркнуть, что пилообраз^я асимптотика характера не только для первоначально гармонической, но и для всякой периодической волны, и в этом смысле она имеет весьма общий характер.

Описанная здесь картина перехода синусоидальной волны в пилообразную ^блюдалась экспериментально при распространении ультразвука в газах [Mendousse, 1953; Werth, 1953] и жидкостях [Буров, Красильников, 1958; Шугольных, Романенко, 195 8; Михаилов, Шутилов, 1960]. В качестве примера на рис. 2.4 приведена осциллограмма профиля первоначально синусоидальной волны частоты 05 МГц и амплитуды давления 0,1 МПа ^ расстоянии 40 см (^100\) от излучателя, полученная Е.В. Романенко [Наугольных, Романенко, 1958]. Расчетное значение расстояния до образования пилообразной волны, соответствующее величине а = тг/2, есть 上二 я/(2е^М) = 32 см.

Рассмотрим теперь этот же процесс ^ спектральном языке. Формулу 《2.121. пепеписантппп п пиде

и/и0 = sin (зу + ov/vq ), (2.18) можно рассматривать как трансцендентное уравнение относительно v/vq.

Фурье-разложение этого выражения находится способом, который можно давать методом неявного аргумента. Найдем коэффициенты спектрального разложения

2 я

Вп = — / usinn3yd(зу).

Введем переменную 与=зу + aw/w0, тогда и = и。sin 与，

зу =与 一 ou/uo, a d(3y)=成-RluJIdWdW = (1 - a cos6成， отсюда

2 я

Bn = —и。j sin [5(1 — acos0] sin [n(S - asin^)]^?*(2.19)

Это выражение можно преобразовать следующим образом:

亍％ = j sin^cos[n(S - asin^)] = — j cos ^ cos [n (^ - a sin 5)]^ 5 =

=碧 / {cos[(n + 1)5 一 nasin^] + cos[(k - 1 犬 一 nasin^J }呢.(2.20)

Воспользовавшись табличным интегралом

j cos (w 5 - k^}dV=J£k。)，(2.21)

где J— функция Бесселя, и рекуррентным соотношением

Jn_i(na)+Jn+1 (na) = (2/о)4 (no), мы легко получаем

я„ =也 8%о.(2.22)

Итак, фурье-представление перво^чально гармонической простой волны имеет вид

—=2 sinncor.(2.23)

Эта формула (вернее, ее аналог) была пол учета Бесселем при рассмотрении ^дачи Кеплера; позже Фу бини [Fubini-Giron, 1935] вывел ее независимо применительно к 招да^ам акустики. Сейтас ее принято называть решением Б есселя - Фу бини (впрочем, в виде (2.22) она была ^пис^на Блэкстоком [Blackstock, 1962]). Заметим, что формула (2.23) является частным случаем более общего соотношения, описывающего эволюцию спектра простой волны произвольной формы w(у, х) = F(y + aux). Ее спектр дается обычным выражением:

■ с(з，х)=万 J v(x,y)eiuydy.(2.24)

g'N、s:wg'N、s:w

g'N、s:w

g'N、s:w

Рис. 2.5. Зависимости от расстояния амплитуд первых гармоник интенсивной волны

рис. 2.6. Зависимость н<^змированной амплитуды второй гармоники от расстояния Сплошные кривые построены по формуле (2.23) для М = 0,001 (кривая J) и М = 0,002 (кривая 2) ; значками представлены экспериментальные данные [Blackstock, 1962]

Переходя к переменной ^=у + qux,полушм

с(з,х)= ^ 7 и⑸(1-ах 10 е‘3dux)d二

Интегрируя дважды по частям, получаем в явном виде выражение для спектра волны, заданной функцией 尸(打 при х = 0 [Кузнецов, 1970]：

"3，х)=行工？ 7 广3”》一1"3E在(2.25)

Согласно (2.23) амплитуда основной гармоники монотонно убывает, а высших — растет (при малых а - как (по)п~х) вплоть до точки а = 1, где образуется разрыв, и решение (2.23) теряет применимость. Заметим, что при а = 1 амплитуда первой гармоники уменьшается лишь ^ 20%, т.е. в высшие гармоники успевает перейти только неболышя %сть (около 10%) энергии волны.

Можно получить фурье-представление и для разрывной стадии. Для нее по-прежнему справедлив интеграл (2.19), изменяются только пределы

интегрирования. Именно, нужно исключить части, ^^cъeдeнныe^^ разрывом, т.е. интеграл берется от & до я, где £ соответствует разрыву, и со време* нем &, очевидно, растет. Интегрируя, как и в (2.20), по частям и учитывая, что разрыв находится всегда при зу = & - о sin &, получаем выражение [Blackstock, 1962]

Вп - — sin%+ - J со誌cos〃(V - osin^d J(2.26)

где значение & определяется соотношением % = и。sin& а % находится иэ уравнения (2.14). Поскольку выполняется равенство (2.21), то ясно, что при а = 1, когда & = 0, выражение (2.26) совпадает с (2.23). Анализ формулы (224) показывает, что Si продолжает монотонно убывать при а > 1, остальные же гармоники достигают максимума и затем тоже убывают (рис. 2.5). На пилообразной стадии, когда а существенно превосходит единицу, амплитуды фурье-компонент определяются простым выражением, соответствующим (2.15):

Вп = 2%/ [〃(1 + а0)].(2.27)

Если же а > 1, то все Лп,как и само пиковое значение амплитуды, не зависят от % и убывают пропорционал ьно х-1.

Эти теоретические выводы хорошо согласуются с данными экспериментов, проведенных в условиях, когда Re » 1, а х не слишком велико в том смысле, что Re еще остается большим, так что волну можно считать разрывной. Такие эксперименты проводились различными исследователями [Thuras et. al., 1935; Zankel, Hiedemann, 1958; Зарембо, Красильников, 1956]. В качестве примера ^ рис. 2.6, заимствованном иэ работы Блэкстока [Blackstock, 1962], изображены теоретические зависимости амплитуды второй гармоники, отнесенной к первой ①2/Р1), от расстояния. На этом же рисунке приведены экспериментальные данные разных авторов.

По мере затухания волны величина Re уменьшается как х"1, и реальная асимптотика волны будет другой, зависящей от вязкости.

РАСПРОСТРАНЕНИЕ ИМПУЛЬСОВ

Рассмотрим теперь поведение локализованных возмущений - импульсов. Один иэ самых типичных случаев — импульс сжатия с разрывным фронтом, среда перед которым остается невоэмущенной (рис. 2.7,д). Эволюция такого разрыва описывается уравнением (2.8) при 14 = 0 [Курант, Фридрихе, 1950]: = 2 du a

(равенство (2.9) при этом ничего не дает, поскольку разрыв при 力=0 не лежит на кривой Ф(и) ).

Уравнение (3.1) легко интегрируется:

—-/ и м du, avl о du—-/ и м du, avl о du(3.2)(3.2)

—-/ и м du, avl о du

—-/ и м du, avl о du

(3.2)

(3.2)

здесь х* — точка образования разрыва.

40

рис. 27. Профили одиночного импульса

а — возникновение разрыва на переднем фронте одиночного импульса; б — профиль знакопеременного импульса> состоящего из областей сжатия и разрежения, разделенных разрывом; в — профиль Мволны с разрьшами на переднем и заднем фронтах

Заметим сразу, что при х >х#, когда разрыв "съедает" почти весь пер- во^чальный профиль и остается лишь его линейный уадсток вблизи нулевой точки, т.е. Ф * и, из (3.2) следует, что % 〜工一'仔，а нех"1, как в пилообразной волне. Более медленный темп затухания разрывов в данном случае легко понять: образуется треугольный импульс с разрывным фронтом, длина которого непрерывно растет; скорость набегания простой волны 的 разрыв, а 31^чит, и скорость затухания энергии меньше, чем если бы дти№ импульса не менялась, как это имело место для каждого периода пилообразной периодической волны.

Из сказанного выше ясно, что треугольный профиль формируется как асимптотика любого однополярного импульса конечной длины. Если задать при Г = 0 уже треугольный импульс с амплитудой и длиной Zo (Ф(у)— линейная функция), то иэ (3.2) следует, что амплитуда % и дайна / этого импульса меняются следующим образом [KhokMov et al., 1964]:

% = Uo(l + evs0x/c0l0)~il2,(3.3)

/ = /0(1 +eysOx/co/o)1/2-(3.4)

Последнюю формулу проще всего получить из (3.3) и условия сохранения площади %/ = %山，вытекающего из упомянутого выше правила площадей (справедливого и для (2.3), и для полного уравнения Бюргерса (см. ниже)) .В данном слутае амплитуда импульса» больших расстояниях сохраняет зависимость от ^чальной, хотя эта зависимость более слабая (корневая), чем в линейном слутае.

Иэ других примеров определенный практический интерес представляет импульс с экспоненциальным спадом:

u(0,j) = yo ехр(-〃т),(3.5)

к которому близка головная волна, возникающая от взрыва в воде. Эволюция этого импульса описывается формулами [Фридман, 1980]:

% = 2%(1 + \Л1 +1еиох/QZ)尸,Ts=(T/e)[l +(e-l)VT+2ev^x/(c^)], (3.6) где Zo = %T, а 北一длительность импульса ^ уровне ех. Асимптотическая форма импульса снова треугольная, и для больших х попутаем % 芯

Если в одном направлении распространяются два разрывных импульса одной полярности, то разрыв, движущийся сзади, всегда догонит перед-

ний и останется один импульс с той же треугольной асимптотикой (но этот вывод безоговорочно справедлив, вообще говоря, лишь в разрывном приближении).

Несколько сложнее обстоит дело со знакопеременными импульсами. Рассмотрим поведение импульса, состоящего из двух треугольников разных знаков, разделенных разрывом (рис. 2.7,6):

«о_О - ^о)/Оо -У2),У2 <У<0,

(3.7)(3.7)и(о,у)=V0 + (yt - У)/(У1 -Уо),0<у《力，

(3.7)

(3.7)

■ о,У<У2, У>У1.

Пользуясь условиями (2.8) и (2.9), можно показать, что пиковые значения скорости в волне при и > 0 и v < 0 даются выражениями [Фридман, 1976]

R /1 +RSR /1 +RS§V伊 ” \/z+K)叫'fT/八z+&丿§V伊 ” \/z+K)叫'fT/八z+&丿±1/2一 1±1/2一 1(3.8)(3.8)

R /1 +RS

R /1 +RS

§V伊 ” \/z+K)叫'fT/八z+&丿

§V伊 ” \/z+K)叫'fT/八z+&丿

±1/2

一 1

±1/2

一 1

(3.8)

(3.8)

Здесь Z = xRt T± 二 I Oi,2 - Уо)1 一 начальные длины положительного и отрицательного импульсов' а

— соответственно отношения площадей и наклонов профиля импульсов в начальный момент (так что RS = TJT一, a R/S = и _ /%).

Из выражений (3.8) можно сделать заключение о выделенности случая 5=1— при этом асимптотикой служит симметричная волна, отвечающая одному периоду в пилообразном профиле; амплитуда такого разрыва при х -> °0 затухает как х-1. Если же 5 ¥： 1, то импульс с меньшей площадью всегда поглощается большим. После этого формируется треугольный импульс, уже рассмотренный выше.

Упомянем еще случаи TV-волны в виде знакопеременного импульса с нулевой общей площадью и двумя разрывами, расположенными на переднем и заднем фронтах (рис. 2.7,в). Такой импульс отвечает, в частности, звуковому удару (sonic boom), возникающему в атмосфере при сверхзвуковом движении самолета. В такой волне положительный и отрицательный импульсы ведут себя, в сущности, независимо. Площадь каждого из них сохраняется, а амплитуды и длины ^ больших расстояниях сравниваются, так что импульс приобретает симметричную TV-форму.

Итак, для импульса конечной длительности возможны (при & » 1) три различные асимптотики: треугольный однополярный импульс и два пни импульсов с нулевой площадью, один из которых сохраняет свою длину, а другой неограниченно растягивается.

Эволюция импульса проявляется и в изменении его спектра. В качестве примера рассмотрим распространение гауссова импульса и (у)= =иоехр(-62^2). Используя соотношение (2.25) для спектра простой вол-

ны, получим [Пелиновский, 1976J

с(з, х) = с(з, 0) S，弋X"囉％ ■ exp2，(3.9)

m=o w!(m + Xy^ (rn + l)4d2to

где c(0) — спектр начального профиля.

Начальная стадия процесса вблизи от источника описывается первыми членами суммы

1с(з,х)/с(з,0)| "1+ 蓍 ехр 鳥{1 —1,бехр [-品]}.

(ЗЛО)

Это решение показывает, что в области низких частот при з < з】，где з； =д2Со 181п(4/3),

выражение в фигурных скобках отрицательно, при з > з】一положительно, что отражает факт перехода энергии вверх по спектру из области низких частот.

СРЕДА С ДИССИПАЦИЕЙ.

НЕКОТОРЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ БЮРГЕРСА

Разрывное приближение, справедливое при Re -> 8, вероятно, наиболее наглядно демонстрирует особенности эволюции акустических волн конечной амплитуды. Однако для более полного описания такой эволюции необходимо вернуться к уравнению Бюргерса в его полном виде (2.1), явно учитывающем влияние диссипативных эффектов.то

Интегрируя (2Л) по у, легко видеть, что величина Л = / vdy является

интегралом движения, т.е. для любого локализованного движения (для которого Л конечно) площадь тфофиля и (у) не изменяется с расстоянием. То же самое справедливо и для периодической волны, если интеграл в / берется на периоде. Это свойство (отражающее закон сохранения импульса) часто помогает получить качественное представление о поведении вол- ны. Ее энергия, конечно, не сохраняется.

Мы уже говорили, что при малых Re уравнение Бюргерса переходит в линейное уравнение теплопроводности. Гораздо важнее, однако, то, что и в общем случае такой переход возможен, если сделать замену переменных

и = (25/а"1л^/ау(4.1)

Тогда (2.1) после однократного интегрирования принимает следующий вид：

Э2ФэрЭ2Фэр(4.2)(4.2)ЭФ

Э2Фэр

Э2Фэр

(4.2)

(4.2)

Это важное преобразование было найдено Хопфом и Коулом [Hopf, 1950； Cole, 19511. Оно дает редкую возможность точного решения нели-

нейной волновой задачи для диссипативной среды'. При этом в силу линейности уравнения (4.2) сумма решений этого уравнения также будет решением уравнения Бюргерса. Если задано граничное условие и(0, т) = Uq(t), то решение имеет вид

6(х,У)= 丁丄• / exp!-媒；)-Л J v0(y')dy'\dy'. (4.3)

Интеграл сходится, если начальное возмущение удовлетворяет условию / Уо О')dy'《const о f 8).

о

Решения уравнения Бюргерса довольно подробно рассмотрены в литературе [Карпман, 1973; Руденко, Солуян, 1975]. Здесь мы ограничимся лишь несколькими результатами, которые проясняют физическую ситуацию и используются в дальнейшем изложении. При этом вовсе не всегда удобно пользоваться преобразованием (4.1), поскольку простые граничные или начальные условия в исходном уравнении (2.1) могут привести к достаточно сложным интегралам в (4.3), и тогда лучше работать непосредственно с уравнением (2.1), что мы и будем делать ниже.

Стационарная ударная волна и периодические решения. Рассмотрим автомодельные решения уравнения Бюргерса, зависящие от некоторой заданной комбинации переменных хну. Простейшее иэ них 一 стационарная бегущая вол^ вида и = и("), где " == у + sx, s = const. Тэгда подстановка в (2.1) приводит к уравненшо в обычных производных:

5 dv/dy = (а/2)и - su,(4.4)

где s — константа интегрирования, s =Q/2)(U1 + 收).Это уравнение имеет, вообще говоря, две точки равновесия, отве^ющие постоянным э^чениям и】и и2- Решение - его называют тейлоровским [Nimmo, Crighton, 1986]— имеет вид перепада, соединяющего зти точки:

2u = (ih +и2) + (Уг -Ui)th[KO-j0)],(4.5)

где

"最(“2 - и)(4・6)

Этот перепад и есть ударная волна, которую ранее мы представляли разрывом. Ее скорость совпадает со скоростью разрыва (2.7), а зирактерная длительность т * к-1 (т.е. пространственная толщина 乙 〜“/к * 仇#%), где %ф = бе? — эффективное значение кинематической вязкости, и0 一 скачок скорости 的 ударном фронте. Приведем пример численной оценки. Толщина ударного фронта в воде (匕ф 弋 3-10"^ см/с) со скачком давления ро 二 1 МПа составляет ls » 10~ см. Ясно, что разрывное приближение имеет смысл, только если ls мало по сравнению с внешним масштабом поля — з^рактерной длиной волны 入.Например, для воды при амплитуде

давления в 0,1 МПа получим 厶—10"3 см, и, скажем, на частоте 1 МГц (X а 15 мм) профиль такой волны еще вполне можно считать разрывным.

Заметим, что отношение 入/厶 имеет порядок акустического числа Рейнольдса в волне. При этом для первоначально гармонической волны амплитуда разрыва на больших расстояниях падает, а X не меняется, так что разрывное приближение — всегда лишь промежуточная асимптотика, и оно в конце концов теряет силу: асимптотика при х -> 8 вполне описывается линейным приближением (Re < 1).

Более детальное описание эволюции периодической волны можно дать, воспользовавшись следующим решением [Khokhlov, Soluyan, 1964; Blackstock, 1964]:

и 1th3y]

—=一3了 + 7Г——- j, -7Г《зу《7Г,(4.7)

Uo 1 十。[△ J

где

a 2co6(l +a)2 八 、

н +a),(4.8) атги0 “ 窮 Re<

а о и Re связаны с и0 так же, как и выше.

Интересно, что это решение, состоящее из ударного перепада вида (4.7) (при 收=—и】)и волны разрежения с линейным профилем, оказывается точным для уравнения Бюргерса, в чем можно убедиться непосредственной подстановкой. При Re » 1 из решений (4.8) можно (уже приближенно) составить затухающую периодическую волну с периодом 2тг, которая сперва близка к пилообразной, но по мере затухания ее профиль становится сглаженным (см. рис. 2.3). Такое периодическое решение легко представить в виде ряда Фурье, при больших значениях Re оно совпадает с точным решением Фэя [Fay, 1931]:

К =(4.9)

Отсюда видно, что при Re > n(l + a) амплитуды гармоник пропорциональны гГ1 и одинаково зависят от х, что соответствует формуле (2.25), полученной для разрывной пилообразной волны. Однако из (4.9) видно, что эта формула верна лишь для ограниченного числа гармоник — до nW Re(l + а). При больших % когда Re < п(1 + а), амплитуды гармоник затухают экспоненциально, причем декремент затухания пропорционален п, а не М, как в линейном случае, а амплитуды гармоник не зависят от и0< С ростом расстояния профиль волны расплывается, и если Re < (1 + a), волна превращается в экспоненциально затухающую синусоиду (при этом (4.9) остается справедливым, но (4.8), конечно, теряет силу).

Решение (4.9) описывает асимптотическое поведение любой знакопеременной периодической волны. При Re> 1 такая волна проходит пилообразный этап, а затем превращается в затухающую синусоиду с основной частотой, причем амплитуда последней уже не зависит от начальной амшштуды — эта зависимость теряется на пилообразной стадии.

Иногда удобно ввести локальный коэффициент поглощения для амплитуды первой гармоники их(х) [Наугольных, 1958]:

X = -(l/ui)dui/dx = а，1；总 2：(4.10)

Рис. 2.8. Зависимость коэффициента поглощения от амплитуды волны, представленной в безразмерном видеПо оси абсцисс отложено число Рейнольдса Re=avo/u>a> по оси ординат — отношение коэффициента поглощения волны а к его м ал о амплитудно м у значению аРис. 2.8. Зависимость коэффициента поглощения от амплитуды волны, представленной в безразмерном видеПо оси абсцисс отложено число Рейнольдса Re=avo/u>a> по оси ординат — отношение коэффициента поглощения волны а к его м ал о амплитудно м у значению аРис. 2.9. Профиль одиночного нелинейного импульса при конечном значении числа ReРис. 2.9. Профиль одиночного нелинейного импульса при конечном значении числа ReЗдесь а — коэффициент поглощения линейной волны на основной частоте, a Re = Re/(1 + о) — текущее з^чение числа Рейнольдса ^ этой частоте. Величина а меняется по мере распространения. На пилообразной стадии, где 賃е велико, из (4.9) следует flf = д Re - эта величин существенно превыпиет % причем д/ пропорционально амплитуде. Этот результат многократно подтверждается в различных экспериментах, результаты которых представлены зечками 的 рис. 2.8. При больших х, когда вступает линейная стадия, а

Рис. 2.8. Зависимость коэффициента поглощения от амплитуды волны, представленной в безразмерном виде

По оси абсцисс отложено число Рейнольдса Re=avo/u>a> по оси ординат — отношение коэффициента поглощения волны а к его м ал о амплитудно м у значению а

Рис. 2.8. Зависимость коэффициента поглощения от амплитуды волны, представленной в безразмерном виде

По оси абсцисс отложено число Рейнольдса Re=avo/u>a> по оси ординат — отношение коэффициента поглощения волны а к его м ал о амплитудно м у значению а

Рис. 2.9. Профиль одиночного нелинейного импульса при конечном значении числа Re

Рис. 2.9. Профиль одиночного нелинейного импульса при конечном значении числа Re

Заметим еще, что стационарное решение (4.7) представляет собой асимптотику волны для граничного условия в виде перепада между постоянными значениями 办 и v2.

Эволюция локализованных импульсов сжатия произвольной формы приводит к формированию треугольного импульса с разрывным фронтом, описываемым решениями (3.3), (3.4). Воздействие диссипации размывает разрывный фронт. Возникающий при этом профиль описывается следующим решением уравнения Бюргерса [Карпман, 1973]:

и(х,у) = _и(х,у) = _尸（z）= -уч尸（z）= -учехрехрf ехр(一"2)d" + exp(@7 exp(—"2)d"]f ехр(一"2)d" + exp(@7 exp(—"2)d"](4.П)

и(х,у) = _

и(х,у) = _

尸（z）= -уч

尸（z）= -уч

ехр

ехр

f ехр(一"2)d" + exp(@7 exp(—"2)d"]

f ехр(一"2)d" + exp(@7 exp(—"2)d"]

ЛЛ/ VQiy^dy1 - ^чальная площадь импульса и0(у).

Л

Л

Толщина ударного фронта

(4.12)(4.12)《=cQ^y к sfaAx • ReT1, Re = аЛ/6,

(4.12)

(4.12)

увеличивается по мере распространения волны пропорционально ^3g но и протяженность импульса растет в той же степени (см. (3.4)).

Поэтому в коорданатах у/V аАх^ и，оЛ£ форма импульса остается неизменной (рис. 2.9). Соответственно остается неизменным отношение толщины ударного фронта к длительности импульса I = у/оАх9 равное согласно (4.12) ls/l q Re"1, так что степень нелинейности плоского импульса при распространении не уменышется в отличие, скажем, от пилообразной волны.

При достаточно больших значениях числа Рейнольдса толщин ударного фронта становится пренебрежимо малой и из (4.11) получается

(j/(ax), 0<j< «Ях：

° ~ ( 0 в остальной области,

что согласуется с разрывным решением (3.3), (3.4).

Рассмотрим решение уравнения Бюргерса, описывающее распространение TV-волны. Оно имеет следующий вид:

(4.13)(4-14)(4.15)(4.13)(4-14)(4.15)Ф = - [1 + \flfx ехр(-у2/45х)],-

(4.13)

(4-14)

(4.15)

(4.13)

(4-14)

(4.15)

где I 一 дли№ TV-волны; в терминах и [Уизем, 1977]

v= У_ <Т^ехр(-У/45х) 9c 1 + у/Т/хехр(—у2/46х)

Площадь положительной фазы профиля равна

Обозначим величину интеграла (4.15) в начальной точке х0 через Л и введем число Рейнольдса Re0 = аЛ/26, характеризующее степень нелинейности "волны. При больших значениях Re решение (4.14) имеет простую асимптотику, соответствующую случаю, когда степень размытия ударных фронтов пренебрежимо мала по сравнению с масштабом TV-волны:

J у/ох,- \/аАх <у <，а^五

i о, Ijl > у/а Ах.

Уцарные волны в релаксирующей среде, В гл. 1 мы уже видели, что диссипация может быть связана с релаксационными процессами. В связи с этим интересно рассмотреть уравнение (1.23):

获一з方i万丄歹exp(丁)0 =0.(4.16)

「Де m и т - константы. Дифференцируя по j и подставляя снова (2.13), "епсо перейти к дифференциальному уравнению второго порядка

Рассмотрим стационарные решения этого уравнения в виде ударного Перепада. Подставляя и(х, у) = и(», где 扌=у - bx, Ь 二 const, и интегрируя

47

один раз, получим [Khokhlov, Soluyan, 1964]

也=2"-n)(竺-u)

d& 2т аи + к *丄〉

где к = m + 瓦 aU],2 — положения равновесия системы, причем Ъ = =—(a/2)(ui + и2), т-е. скорость ударной волны по-прежнему равна полусумме скоростей простой волны перед и за нею.

Решение (4.18) может быть записано в неявной форме

а? = -2т1п[(и-力卢(1?2 - и)% ],(4.19)

где

。1 =-(к +«У1 )/(^2 - и】)，д2 =9% +к)/(и2 -и】).(4.20)

(Здесь мы полагаем для определенности, что и2 > 力，тогда 力 < и < и2 •)

Из этого решения (как, впрочем, и из формулы (4.18)) видно, что слу・ тай dv/d^ > 0 (фронт сжатия) реализуется, если аи + к > 0, или ввиду монотонности решения 叫 > -к, что ознатает выполнение неравен- ства

m>(a/2)(v2 一力).(4.21)

Физически это понятно: непрерывный перепад существует лишь при достаточно сильной релаксации, способной конкурировать с нелинейностью.

Если (4.21) не выполняется, то при m > 0 в решении возникает особенность (знаменатель в (4.18) обращается в нуль при некотором и = uOj лежащем между 力 и и2)- Это означает, что решение становится неоднозначным и в действительности приобретает разрывный характер. Для его сглаживания необходим учет "обычно血” вязкости. Заметим, что подобная ситуация известна в гидродинамике теплопроводящей невязкой среды， где возникает изотермический скачок [Ландау, Лифшиц» 1986].

Более подробный анализ ударных волн в релаксирующей среде (для случая и2 = -и】)содержится в книге О.В. Руденко, С.И. Солуяна [1975]. а также в работе А .Л. Поляковой и др. [1962].

РАСПРОСТРАНЕНИЕ ИНТЕНСИВНОЙ ШУМОВОЙ ВОЛНЫ

Интенсивные шумы отличаются по своим свойствам от малоамплитудных статистических полей тем, что в процессе распространения происходит эволюция профиля волны, возникают разрывы, что приводит к перераспределению энергии по спектру волны.

Выясним характерные черты процесса на примере плоской шумовой волны. Рассмотрим распространение непрерывной шумовой волны, профиль которой описывается случайной функцией времени, а спектр широкополосен, причем его максимум соответствует частоте з().

В процессе распространения волны, если ее интенсивность достаточно велика, происходит взаимодействие спектральных компонент, приводящее к нарастанию комбинационных тонов. В результате энергия распреде- ляется по спектру, распространяясь в области как более высоких, так я более низких частот. Расширение спектра в область высоких частот происходит до образования разрывов в профиле волны. Толщина возникающих

разрывов, пропорциональная вязкости и обратно пропорциональная амплитуде разрыва, определяет коротковолновую границу спектра. В примыкающей к этой границе области частот устанавливается - как будет показано ниже — универсальный закон спадания спектральной плотности интенсивности, не зависящей от вида начального спектра волны.

В низкочастотной области эволюция спектра продолжается и после образования разрывов. Oiu связана с тем, что ввиду зависимости скорости движения разрыва от амплитуда происходит постепенное поглощение мелких разрывов, что ведет к увеличению характерного масштаба процесса и соответствующей передаче энергии в область низких частот.

Перейдем к количественному описанию процесса. Пусть при х = 0в среде возбуждается плоская шумовая волна, заданная некоторой случайной функцией /(f). Выясним сначала, как в результате нелинейной эволюции волны изменяются ее статистические и энергетические характеристики, а затем рассмотрим изменения спектрального состава шумовой волны.

Нелинейная эволюция волны произвольного профиля в соответствии с выводами разд. 2 описывается решением в виде простой волны:

(5.1)(5.1)w^, j)=/O+avx),

(5.1)

(5.1)

где j = r-x/c0, 殴.

Введем одноточечную функцию распределения по скоростям, имеющую смысл плотности вероятности для скорости и. По определению

W®,x,j)=《5(и - и(х,у)〉,(5с 2)

где 5 — дельта-функция Дирака, а угловые скобки обоздачают усреднение по ансамблю случайных реализаций.

В дальнейшем мы будем рассматривать такие процессы, которые обладают свойством эргодичности — для них усреднение по ансамблю эквивалентно усреднению по времени для любой выбранной реализации. Но тогда вероятность W пропорциональна просто суммарному времени пребывания данного э^чения и во всех интервалах Q, и + Ду), а именно

加理。｛瑞T黑口63)

где Ay — длительность указанных интервалов, а сумма берется по всем этим интервалам на участке \у\ < Т. Тот же результат получается и не- посредственно из (5.2), если усреднение заменить интегрированием по времени.

Рассмотрим сперва простую волну (5.1) без разрывов. Если опять обо- зтачить ^ = у + то (см. разд. 2)

篇噥(17罷)'(S・4)

Причем величина U = 8и/共 известна из граничного условия — она раыи Производной dv/dr при х = 0. Это приравнивание отвечаёдпереходу к Лагранжеву** описанию [Гурбатов, Малахов, 1984]. Таким образом,

^(0= у s 斗詳切=% 一亍 asign 4，(S.5)

Где “ - З1йчение U при заданном и「4g

% Зак, 382

Отсюда следует, что в статистически однородной простой волне без разрывов распределение вероятностей в любой точке такое же, как и на границе. Действительно, в такой волне положительные и отрицательные значения U чередуются, и последнее слагаемое в (5.5) обращается в нуль, так что

^ х)= ^o(tO-(5 6)

Смысл этого результата ясен 一 сокращение интервалов Ау на участках с U>0 компенсируется растяжением интервалов ^у, где U<0 при том же значении и, поскольку Ау ^аи, так что Ау+ +Ау_ = const. Заметим, что если на входе задана детерминированная волна вида и = и0 sina)55 то получаем известньш результат：

11

% = = —； •；.(5.7)

7Г Uo COS 3& тг “1 —圜石'

Вместе c Wo сохраняются и все статистические моменты, которые выражаются через одноточечную функцию распределения, в частности средние з^чения любой функции от и, включая среднюю энергию, пропорциональную <и2). Таким образом, в области до образования разрыва энер- гия шумовой волны сохраняется, затухания нет, впрочем, это почти очевидный результат сохранения площади в простой волне (а любая функция от и - тоже простая волна). Однако к многоточечным функциям распределения, определяющим, в частности, спектр волны, этот результат не относится.

В общем случае данному и соответствует непрерывный спектр значений U, и суммы в (5.5) можно заменить на интегралы. Считая, что в интервале (и, и + Аи) лежит достаточно много значений U, обозначим %『(и^) = / (и, U)dU\ где 亦。-плотность вероятности скорости на оси U.

Тогда %(丁)= / W()(u, U)dU и согласно (5.5)

W(u, х,у)= / W0(vfy, U)(l^aUx)dU.(5.8)

Заметим, что в статистически однородном поле, где значения U н —U для данного и равновероятны, W。一 четная функция U, и, значит 丿 % UdU = О, тх. W= И^> что и согласуется со сказанным выше.°°

С появлением разрьшов ситуация радикально меняется, поскольку, во-первых, часть участков простой волны "съедается”, а, во-вторых, происходит, вообще говоря, слияние разрывов. Здесь интересна статистика разрывов. Оценим прежде всего среднее число разрывов, появившихся на заданном расстоянии х. Как следует из (2.6), первое условие образования разрыва имеет вид

1 -axU~0.(5.9)

Следовательно, разрьшы появляются на расстояниях 丄=(aUmax) L Пока число разрывов невелико и слияний между ними не происходит

(или они редки), средаее число разрывов на данном расстоянии х на заданном интервале времени Г равно

лг(х)=Х(1/ах),(5.10)

где 入 一 среднее число превьппений производной U над уровнем Ux = 1/ах.

В дальнейшем в результате слияния более сильные разрывы поглощают слабые и характерный масштаб поля растет. Для оценки числа разрывов на этой стадии поступим следуя работе [Tatsumi, Kida, 1972]. Если л — среднее число разрывов на единицу времени, то Ts-n~l — средний временной интервал между ними. Скорость уменьшения п из-за слияния пропорциональна самому л, отношению скорости сближения разрывов Ас$ и характерному расстоянию между ними:

dn/dx ~п^ся1тя= -n2^cs.(5.11)

Для грубой оценки велиш^ны ^cs можно поступить следующим образом. Будем считать, то характерный интервал между разрывами 口 много больше начального масштаб корреляции г, т.е. скорости соседних разрьшов некоррелированы. Тогда для оценки величины Aq можно принять просто среднеквадратичную величину скорости разрыва (точнее, нелинейной части) [Гурбатов, Саичев, 1981]. Тогда в соответствии с (2.7)

△% = (e / зa)办)/(4 - 4)，

△d = C>d 4 S(Ts-T)B0(T')dT,("2)

ХДе Bo(丁) =〈Uo(f)u()(f + 丁)〉- корреляционная функция скорости на входе. Если, как уже говорилось, масштаб корреляции поля мал, т.е.殳⑺ спадает достаточно быстро, то интеграл в (5.12) ^висит лишь от значения начального энергетического спектра на нулевой частоте go (0)=0, р именно

е ., eDT0 * тп

—/&,(т')”'=——=—^, CWO, 丁 s 0丁$丁*

△с； = е Г Г ”，、"，] 一 е ； go(3)-畸協 (5.13) 匕 L оJг2—в co2 彳

Здесь т0 — временной масштаб, те характерный период поля, а а0 - дас- персия скорости (т.е. характерная амплитуда волны) при х = 0.

Подставляя эти выражения в (5.11) и учитывая, то 〃工 丁二‘,легко находим

%(х) = то(х/Хн)2/з, 'CW0, %(х)=То(х/Хн)"2,0 = 0.( •)

Здесь %н — характерная длина проявления нелинейности. Таким образом, расстояние между разрывами растет за счет их слияния. Для сравнения напомним, то длительность одиночного треугольного импульса растет как %1/2 (т£. медленнее, чем в первой из формул (5.14), где D=^0)t а пе-

5151}4-2. Зак. 382

51

51

риод пилообразной волны (этот случай отвечает D = 0) вообще не меняется.

Теперт» нет{удно получить соответствующие выражения для плотности энергии волны. В области "развитьях" разрывов профиль волны 的 каждом участке между ними близок к линейному, причем наклоны линейных участков профиля разрьшов мало отличаются, а амплитуды и расстояния между ними 開зличны. Величины взрывов убывают как (см. разд. 2). Порядок амплитуды разрывов на этой стадии есть IqCq/x в соответствии с (2.17), а интенсивность волны пропорциональна (Zo^oA)2 ('。二“丁。一 ха^ктерная длина волны). Но (за сравнительно большое время) величина I изменяется из-за слияний в соответствии с (5.14), и, таким образом,

/=*(Хн/Х)2/3, D#0,

I=Rx"x, Z> = 0.( •)

Отсюда видно, что шумовая вол^ затухает медленнее, чем регулярная пилообразная (для которой /~х-2), опять-таки из-за движения разрывов, приводящих к увеличению шсштаба изменения поля, т.е. перекачке энергии в низкие частоты.

Заметим еще, что для шумовой волны нет полного эффекта насыщения: в формулах (5.15) сохраняется зависимость от ^чальной амплитуды — в этом случае такая волна похожа скорее 的 последовательность Мволн, длина которых изменяется вследствие того, что разрывы догоняют друг друга и сливаются.

Спектральные характерисшки нелинейного 叩ма. Значительный интерес представляет анализ трансформации спектра случайного поля. Ясно, что из-за нелинейности происходит взаимодействие спектральных компонент волны. В результате энергия перераспределяется по спектру, рас- простртняясь в области как высоких, так и низких частот. На разрывной стадии коротковолновая область спектрт определяется толщиной ударных фронтов, что приводит к установлению универеального закона спадания спектральной плотности интенсивности, не зависящей от вида начального спектрт волны. В низкоестотной же области эволюция спектра продол- яиется и после об^зования разрывов. Ввиду различия в их скоростях происходит постепенное поглощение мелких разрывов, то ведет к увеличению эйрактерного масштаба процесса и соответствующей передаче энергии в область низких частот.

Ввиду громоздкости выкладок мы приведем ряд формул без подро& ного вывода, отсылая читателя к работам [Вденко, Чиркин, 1974; Саи- чев, 1974]. При вычислении спектра процесса на стадаи простой волны можно воспользоваться формулой (2.25). Для дальнейшего необходимо задать статистические характеристики сигнала. Обычно для входного (при х =0) сигнала задается гауссова статистика. Корреляционтая функция такого процесса с нулевым средним имеет вид

Д(т,0) = Д0(т) = о3 [1 -2(т/т0)2]ехр(т/т0)2,(5.16)

где

с2 = 8(0) =尸(5.17)

— среднеквадрттичное значение колебаний скорости. Определяя спектр

интенсивности

S(3)=《с(з, х)с*(з*,х» (5.18) где с - комплексный спектр сигнала, и учитывая, что для гауссова процесса выполняется равенство《/z》= /i/2《z‘>, а для статистически однородного сигнала

《с(з)с*(з')》= 8(з-з'»(з), (5.19)

можно получить выражение ехр^/Мз?#?] 8_ _ _

S (з, х) =丁力 / [ехр(Я(т) о2 о?#? )~ 1]ехр ia^Tdr. (5.20) l^arorx2 _в

Здесь 5(т) =</(0 'f(t + т)> - корреляционная функция случайной величины /(0, заданной при х = 0; а2 =Яо(0) =v2 - среднеквадратичное значение колебательной скорости шумовой волны.

Представляя экспоненту в подынтегральном выражении в виде степенного ряда по ее аргументу, мы можем различать разные порядки нелинейных взаимодействий в спектре волны. Здесь мы, однако, ограничимся малыми зтачениями этого аргулюнта, т.е. областью малых расстояний х. Тогда (5.20) можно представить в виде

「] в

5(з, х) = 5о(з)+(азх)2 — / 52 (т) exp («сот) dr - о^ 50 (со) , (5.21)

где 5()(з) = — / 5(т)ехр(гсот)^т - спектр мощности входного сигна

ла. Заметим прежде всего, что 5(0, х) = conpt, т.е. спектральная плотность процесса на нулевой частоте не меняется. Это отражает, с одной стороны, сохранение импульса (площади) волны, а с другой — следует из известных соотношений Мэнли—Роу, ^прещающих обмен энергией с постоянной составляющей колебаний в недиссипативной среде. Что касается добавки к 5 в (5.21), то первое слагаемое в квадратных скобках описывает приток энергии к данной спектральной компоненте из-за нелинейных взаимодействий, а второе - убыль энергии из*за генерации высших гармоник (качественно это слапемое соответствует ряду Бесселя—Фу бини на ^чальном этапе).

Выражение (5.21) можно рассматривать и как низкочастотную асимптотику процесса. Если 3%《1, где т0 - эирактерное время спадания корреляционной функции, то выражение в квадратных скобках конечно npi з->0, и, следовательно, нелинейная добавка к 50 пропорциональна со2. При этом если *%(з) спадает при 3 fo быстрее, чем со2, то эта добавка превышает и первое слагаемое, и тогда 5~з‘ можно считать универсальной низко частотной асимптотикой спектра 的 стадии до образования разрывов.

Что касается высокочастотной части спектра, то из выражения (5.21) видна тенденция (на небольших х) к перекачке энергии в высшие гармоники за е™тКру?!工с，1r▼・ Е**/^*4чу，тт«г сстт，，т ▼ ис^^^(дЛСЯ

Нарастание высоко<тстотных компонент, отражающее увеличение крутизны волновых фронтов, происходит до образования разрывов в профиле волны. Возникновение разрывов вносит основной вктд в форми- 53

рование участков профиля с резким изменением величины возмущения и соответственно определяет в ысо к о ча стотную часть спектра. Непосредственное вычисление фурье-преобразования функции с разрывом, описывающей один период пилообразной волны (см. разд. 2):

и(у, х) = (1 +。)7 (—ЗоУ ± тг), 7Г&ЗоУ&—7Г,(5.22)

показьшает, что в высокочастотной области спектр спадает обратно пропорционально частоте: с(з)〜з~< В силу случайности положений раз* рывов их интерференция несущественна и для спектральной плотности интенсивности получаем [Кадомцев, Петвиашвили, 1973]

3(3)73-2.(5.23)

Этот закон, однако, справедлив лишь для не слишком высоких частот, до тех пор пока не сказывается конечность ширины разрыва.

Более общий результат можно получить, если учесть размытие разрьь ва диссипативными процессами и вместо (5.22) для описания профиля одного периода волны взять формулу (см. разд. 2)

/\ 2я

и (у, х)~ —^оУ + Trth) , △〜.(5.24)

+ a \△ / eRe

В этом случае для высокочастотной асимптотики спектра из соотношения (5.21) получим

С(з) =.(5.25)

3<)511(7ГзА/230)

Отсюда видно, то спектр, описываемый формулой (5.23), возникает лишь в области длин волн, больших по сравнению с толщиной разрьша, где (тг⑵ зА/з°《1, в то время как на более высоких частотах, где (тг/2)зА/з()> 1, из формулы (5.25) следует С(з) ^ехр (-тг/2)зА/з()), и соответственно

S (з)弋 exp (—тгзА/зо ),(5.26)

т.е. высокочастотная граница спектра формируется в результате экспоненциального спада спектральной интенсивности.

Экспериментальные исследования интенсивных статистических волн связаны в основном с измерением шумов авиационных и ракетных двигателей. В частности, в работе Морфи [Morfey, 1984] приведены данные о распространении шумов реактивного двигателя в воздухе. Установлено, то коэффициент затухания шума в спектральной полосе в области 1 кГц и выше значительно меньше, чем это дает линейная теория. Можно предположить, то этот эффект связан с перекачкой энергии в низкие частоты за счет смещения разрывов.

В лабораторных условиях исследовалось распределение шума в тру бе длиной 29,3 м, заполненной воздухом, при уровнях давления до 4 ■ 103 Па [Pestorius, Blackstock, 1974]. Профили волны вблизи источника (на расстоянии 0,3 м от него) и на расстоянии 25,9 м приведень' на рис. 2.10. Видно формирование разрывов и увеличение расстояния между ними. Видно, то по мере распространения волны возникаю^ разрьшы, а расстояние между ними растет. При этом наблюдалось расши 54

Рис. 2.10. Профили нелинейной шумовой волны вблизи источника (а) и на расстоянии 25,9 м от него (6)

рение спектра сигнала как в область низких, так и в область высоких частот.

Случайно-модулированный квазигармонический сигнал. Пусть при х = 0 задан случайно-модулированный квазигармонический сигнал

и(У)= % sin [з()Г + 0(f)],

где и0 (f) н 9 (f) — медленно меняющиеся случайные функции. Запишем снова решение в виде простой волны:

иО, х) = и0(У)sin [зоУ + ахи + ^О)].(5.27)

Здесь пренебрегается нелинейными искажениями медленно меняющихся амплитуды и фазы — ясно, что они малы на всем интервале до образования разрывов.

Аналогично можно представить и "модулированную” корреляционную функцию шума на входе: Яо (т) = о2 Л (г) cos соо т, где 力(丁) - безразмерный амплитудный коэффициент. Подставляя это выражение в формулу (5 21) и используя фурье-представление функции exp(zcos6), получаем exp") f Jo(q2A) - 1

S(3, X)二{ J ；cos +

2тг [_8 q

+ E J —cos [(з —打 3。)丁] d丁卜(5.28)

n = —8 —ooqJ

м # 1

где q = аизх, / — модифицированные функции Бесселя. Поскольку сигнал на входе квазигармонический, частоты в спектре (5.28) лежат в малой окрестности гармоник исходного сигнала. Поэтому можно положить qn~am^x.

Как известно, спектр мощности (5.28) выражается через интеграл от корреляционной функции:

18

3(з,х)二一 J <и(Г)и(Г+ r)>exp(zwr)J7.(5.29)

2тг_оо

Сопоставляя (5.29) с (5.28), получаем корреляционную функцию л-й гармоники:

eXP(f*°2) с е а

%(X, 丁) Qг~2Jn (〃打 q召/(丁)) 8V?3o了.(5.30)

55

Из (530) или непосредственно из (5.28) видно, что спектр волны представляет собой в этом приближении набор пиков конечной ширины с интегральной интенсивностью, равной

4/= —；—； exp(И flo)4/= —；—； exp(И flo)•(/0。)2•(/0。)222“ [(“О ЗУ].“ [(“О ЗУ].(5-31)(5-31)

4

/= —；—； exp(И flo)

4

/= —；—； exp(И flo)

•(/0。)2

•(/0。)2

2

2

“ [(“О ЗУ].

“ [(“О ЗУ].

(5-31)

(5-31)

44Если сопоставить это выражение со спектром Бесселя—фубини для перво^чально детерминированного сигнала той интенсивности на входе (/絆=厚)，где 守 Q 正/2, а /步 о2, то, поскольку

4

4

(5.32)

для малых расстояний (nq0《1) получается I戶[1，)=力！

Таким образом, генерация гармоник в случайном сигнале идет 侬 первом этапе более эффективно, чем в детерминированном. Этот эффект связан с наличием отдельных (пусть маловероятных) выбросов поля, которые существенно подчеркиваются на высоких гармониках.

Пользуясь формулой (5.30), можно оценить также Bpew корреляции % и, следовательно, ширину спектра гармоники &3n 石1/丁雜・ На малых расстояниях Аз雜〜〃,т.е. ширина линии растет с ростом номера гармоники. Отсюда ясно, то эти результаты справедливы для не слишком больших л, пока еще &3n《з; впрочем, для очень высоких частот невязкая теория так или иначе неприменим.

Эти результаты имеют определенное экспериментальное подтверждение в работе [Pernet, Е^упе, 1971]. Продольная волта с несущей тастотой в диапазоне 0,5-3,2 кГц и средней амплитудой 200 Па (акустическое число Маха в воздухе 1,3 ■ 10~3) распространялась в трубе длиной 75 м. Входной сигнал представлял собой узкополосный шум с шириной линии 6% от центральной частоты. В эксперименте зафиксировано увеличение ин- тенотвцости гармоник шумовой волны по сравнению с детерминированной, причем эффект возрастал с ростом номера гармоники: при л = 2 и л = 3 он соответствовал закону 〃！, но при больших п увеличение было меньшим (около 500 на 7-й гармонике). Возможно, это связано с образованием и сильной диссипацией разрывов (для воздух расстояние образования разрыва составляет около 30 м, то меньше длины трубы).

Наряду с изменением скорости врастания гармоник в случайно модулированной волне происходит дополнительное размытие гармонических спектральных компонент вследствие взаимодействия появляющейся в результате само детектирования низкочастотной волны с гармониками основной тастоты.

После образования разрывов из-за нелинейного поглощения влияние выбросов уменьшается, формируется квазипериодическая пилообразная вол1й с одинаковыми наклонами прямолинейных участков профиля, гармонический состав которого близок к спектру регулярного сигнала.

При дальнейшем распространении слутайно-модулированной пилообразной волны вследствие относительного смещения разрывов продолжается рост низко»йстотной компоненты в результате само детектирования

волны. Амплитуда низкочастотной компоненты по порядку величины определяется соотношением % * 01 з^) и.

Увеличивается нарушение периодичности разрьшов, что пртводит к дальнейшему размытию гармоник высокочастотной волны. Характерную ширтну n-й гармоники прт амплитудной модуляции излучаемой волны можно определить из простых соображений. Будем считать, что разброс амплитуды волны порядка величины ее среднеквадратичного значения а. Тогда изменение пертода волны из-за относительного смещения разрывов составит величину АТ = сох/] на да станции х. Соответствующая вариация частоты следования фронтов пилообразной волны будет Део = (dc^/dT) ДГ = cOq еахСд2, что приводах к размытию спектра n-й гармоники пилообразной волны на величину

Дсол = пз： еохс^.

При Азл>з()спектры соседних гармоник перекрываются и возникает сплошной спектр S (з) * з~?.

В заключение этого раздела обсудим кратко вьшужденную турбулентность, описываемую уравнением Бюргерса с правой частью (условия реализации такой модели — с бегущей синхронно случайной силой - могут выполняться, скажем, в околозвуковых потоках). При этом возможно установление стационарного (в статистическом смысле) процесса. Тогда если источник имеет ^ низких частотах спектр вида %ц со2, то в спектре установившегося шума 5(з ->0) -*const, а если 5ВН ^ сол, где п>2, то 5(з ->0) ->°°, те появляется особенность. Это означает, что формирование стациотарного спектра (без учета других факторов) в этом случае фактически невозможно [Руденко, 1986].

Наряду с исследованием распространения плоских шумовых волн было сделано несколько попыток построить автомодельные спектры акустической турбулентности — случайного ансамбля слабонелинейных волн, распространяющихся во всевозможных направлениях. Предполагается, что возбуждение волн происходит в области низких частот (~з()), а затем энергия в результате нелинейного взаимодействия передается к высоким частотам без потери энергии в инерционном интервале частот.

Из условия постоянства потока энергии по спектру акустической турбулентности получается следующее выражение для <щектральной плотности энергии [Захаров, Сагдеев, 1970]:

ез в a" (5.33)

Наряду с процессом перемешивания волн идет свойственный акустике процесс формирования пилообразных профилей, трактеризуемых спектром [Кадомцев, Петвиашвили, 1973]

ез*з~2. (5.34)

Одновременный учет обоих процессов показьшает [Наугольных, Рыбак, 1975], что в инерционном интервале частот акустической турбулентности можно в ыделить две области. Первая определяется спектром возникающих разрывов и описывается соотношением (5.31). Вторая — высокочастотная область - обусловлена перемешиванием пилообразных волн, она сдается формулой (5.33). Граничное значение частоты определяет-

ся выражением Зк N Зо/М.

По существу, оно определяется степенью размытия волновых фронтов пилообразных волн, обусловленных их взаимодействием с турбулентностью.

ВОЛНЫ В СРЕДАХ С АНОМАЛЬНОЙ НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ

Приведем теперь несколько примеров эволюции простых волн и раз- рьшов в средах с неквадратичной нелинейностью. Учитьшая, что аномаль- ггая нелинейность в наиболее интересных случаях сказывается гораздо сильнее, чем классическая квадратичная упругая нелинейность [Назаров, Островский, 1988], мы пренебрежем последней и учтем лишь аномальную связь между напряжением а и деформацией е 二 aU]8x (ниже речь идет об одномерных волнах). Тогда исходным будет уравнение движения

У U даЭП

Ро —Г = — + — ,(6.1)

дгЭхЭх

где ро - невозмущенггая плотность, П = Пхх - продольная- компонента вязкого тензора, а а(е) задается структурой среды. Мы пока не будем конкретизировать вид П, считая лишь, что П ~ (^Ulbx2).

При сделанных предположениях для плотности достаточно принять линейное уравнение неразрывности

(6-2)(6-2)勿‘^U

(6-2)

(6-2)

—+ Р0二 0.

ЭГЭх dr

Чтобы описать ударные волны в таких средах, будем отыскивать решение (6.1) в виде стационарной бегущей волны для одиночного скачка уплотнения, т.е. положим Uxo^l~x - cst. Тогда, интегрируя (6.1) по 工 получим

Ро^(е- ei) = (a- аО + П, (6.3)

где £ = 8"8与 一 деформация, а индексом ”1” обозггачены постоянные величины при 与в (перед фронтом волны). В <йстности, постоянные зггачения е и а при 与->«> и 与一>—g связаны граничным условием, определяющим скорость разрыва:

Г 02-^1 1 1/2

^= ——-(6-4)

L Ро(€о - ^1) J

(в соответствии со сказанным выше П ->0 npi е 二 const).

Эта формула имеет ггаглядную геометрическую интерпретацию. В ква- зистатическом приближении о есть функция е (рис. 2.11). Очевидно, что тангенс угла наклогга касательной к кривой а(е) к оси е в каждой точке пропорционален квадрату местной скорости звука (скорости простой

Рис. 2.11. Условия образования ударных волн сжатия и разрежения в среде с аномальной нелинейностью

волны) с= З'аааб中.Вместе с тем согласно (6.4) cs пропорциоггалfa- на тангенсу угла наклон секущей, соединяющей точки (。^,片)н (。2, Q) Для эволюционного разрыва снова должно выполняться условие сА< cs< < с2, обеспечивающее его устойчивость. Поэтому в случае, изображенном 5ra рис. 2,11,а, на устойчивом перепаде 勺 > 仃,а для рис. 2.11,6 €2 < ej.

При этом из уравнения (6.2) ггаходатсяхкачок плотности:

02 - Pi = —Ро(6 _ е1 )•(6・5)

Отсюда видно, что рис.2,11 ,д отведет ударной волне разрежения (р2 V р】), а рис. 2,11,6 - ударной волне сяатия (Рг >Pi)- Таким образом, здесь не обязательно верны гидродинамические теоремы о неустойчивости ударных волн разрежения, однако энтропия, конечно, всегда растет 5ra скачке (заметим, что потери на скачке определяются площадью, заключенной между кривой о(е) и упомянутой секущей, соединяющей точки 1 и 2).

Заметим, что приведенные выше рассуждения аналогичны тем, которые использовались для ударных электромагнитных волн в нелинейном шгнетике или диэлектрике, где роль кривой о(е) нг^ет зависимость между магнитным потоком и током [Гапонов-Грехов и др., 1967]. Далее мы {^осмотрим некоторые примеры.

Модифицированное уравнение Бюргерса. Рассштривая в гл. 1 твердые среды с дислокациями, мы видели, что кубичная нелинейность может быть сравнима с квадратичной и даже существенно превосходить ее. Поэтому целесообразно начать с идеализированной модели, когда а = Ео € + + 0/, где Eq м 6 — константы (будем считать для определенности, что 0〉0), причем 10" I《Eg (слабая нелинейность).

Пусть в уравнении' (6.1) П = —qb^U/bx2 = -tyde/dx (модель с заданной вязкостью) [Ландау, Лифшиц, 1954]. Тогда, переходя к переменным у = г - х/с0, х =х (с0 = 37Po产)и считая зависимость отх' медленной,- легко, как это было сделано в разд. 2, получить эволюционное уравнение. Опуская в дальнейшем штрих у х, получим модифицированное

(6.6)(6.6)уравнение Бюргера в виде д€ЭеЭ2е

(6.6)

(6.6)

~ -7^ — =g~7，

2х⑪®

где 7 = 30/с, a g = q/d.

Это уравнение встречалось уже в ряде работ и пощюбно обсуждалось, в частности, в работе [Lee-Bapty, Crighton, 1987]. Мы сперва обсудим невязкий случай, когда g = 0 и решение имеет вид простой волны

е = ФО+№х),(6.7а)

или

J = -7€2x+F(€),(6.76)

где F(e) — произвольная функция.

Здесь эволюция простой волны протекает не так, как в квадратичной среде. Условия опрокидывания, как и выше, можно получить, дифференцируя (6-76) дважды по € и полагая х€ =у€ = 0:

2 е* yx^ = F\ 2Tx = -Р'(е* ). (6.8)

В частности, для синусоидального граничного условия, когда / = =зТагс^пе/бв, получаем (учитывая, что согласно (6.8) F" = —е"1/7^))

e* =土爲/X厅，x. Н(7^\/^365)7. (6.9)

Таким образом, в этом случае разрыв образуется qmy в двух точках, на положительном и отрицательном полупериодах. Заметим, что в такой волне появляются лишь нечетные гармоники - третья, пятая и т.д.

Запишем теперь граничное условие 侬 разрыве. Если решение зависит от переменной п-у — Ъх (т.е. в исходных переменных скорость волны % = %(1 + Ьсо), то согласно (6.4) это условие таково:

b = - У +€^2 +©)• (6.10)

Из упомянутого выше условия эволюционности, гласящего, что скорость ударного фронта должна удовлетворять неравенствам ci < cs < с2, где q.2 — скорости простых волн впереди и позади разрыва, и соотношения (6.10) следует, что

е? < (1/3) (ef + е^ + е, е2)< ^. (6.11)

Как уже говорилось, это условие нарупиется после того, как точка j совпадает с точкой касания прямой, идущей из точки 2 к кривой а(е). При этом левое неравенство (6.11) превращается в равенство, из которого сразу следует, что 也 + 2仃=0 (a d =-泻)•

Это обстоятельство в з^чительной степени определяет качественную картину эволюции периодической волны. При некотором х скачок достигает предельного уровня, когда скорость ударной волны совпадает со скоростью простой волны перед ней. После этого на скачке все время сохраняется соотношение е2 = —2j, а перед ним Ci =cs — траектория скачка совпадает с одной из характеристик (6.6) • Поэтому вопрос об эволюцион-

кости такого скачка требует специального рассмотрения (см. [Crighton, Scott, 1979; Lee-Bapty, Crighton, 1987]).

Для одномерного импульса с разрывом на фронте, граничащим с невозмущенной областью, амплитуда скачка, как нетрудно показать, зату- адет как #т/з(т>е> медленнее, чем при квадратичной нелинейности).

Структура стационарной ударной волны ^ходится из (6.6) при е = е("), W=y - bx, откуда

Эе7 ,□

g丁+(e — G)b +二(e2 +€i€2 +€^) = 0,(6.12)

где и — невозмущенное значение деформации перед фронтом волны.

Приведем явное решение для j = 0 [Crighton, 1986]:

e2exp(-pS.)，…、

e= ,，与=x一%入(6.13)

[1 -exp(-2p^)] p

где p = rg/3g' (в этом случае согласно (6.10) 5 =-滔/3). Таким образом, длительность ударного фронта порядка

Q^g/7d.(6.14)

В этом и других обычных случаях асимптотика решений при € ->±<» экспоненциальная, но в упомянутом предельном случае, когда cs~c, это ?е так; как показано в работе [Crighton, 1986], в точке касания асимпто- "ика стационарного решения алгебраическая. Действительно, полагая з (6.12) е("->8)=£1 +е；, где е； мало, получаем 名决‘/加二丁&广 или /内 g/6£ib・

Таким образом, свойства решений модифицированного уравнения Бюргерса (заметим, что оно не интегрируемо) существенно иные, чем для эбькного, квадратичного, уравнения Бюргерса.

Бимодульная среда. Другой тип аномальной нелинейности, обсуждавшийся в гл. 1, — зто разномодульные среды, у которых модули упругости ^a сжатие и растяжение трактеризуются различными константами:

о = Е±е (е^О).(6.15)

Заметим, что пренебречь обычной квадратичной нелинейностью мож* ю для не слишком сильных волн, а именно когда | £+ — £_ | > £± €тах если квадратичный член в разложении а по степеням е относится к ли- 1ейному, как е). Скорость разрыва согласно (6.4) рав^

с； = (£+е2 -E.ei)/[p0(e2 - ej].(6.16)

Эта формула справедлива при любых Е+ и £_, но мы, как и везде, рао ：матриваем случаи малой нелинейности, когда |Е+-Е_|《Е土. Пусть для определенности £+ > £_, тогда на ударном фронте а и € растут, а р падает.

Рассмотрим эволюцию первоначально гармонической волны в такой ^оеде. Ясно, что в отсутствие разрывов каждый полупериод волны (поло- •ительный или отртцательный) распространялся бы линейно, не изменяя «оей формы, со скоростью cs = (Е士/的了仔.Однако ввиду различия этих жоростей в волне мгновенно образуются разрывы. Если отражением

можно пренебречь, то решение вне разрыва остается синусоидальным: е± = eosinco(r - х/с±).(6.17)

Для описания эволюции разрыва воспользуемся методом характерис

тик. Запишем (6.17) в виде

3f -左± х = arcsine± /е0,(6.18)

где к± = з/с土. Вычитая эти два уравнения (с плюсом и минусом), имеем

(6.19)(6.19)左一一左+ = arcsine+/e0 — arcsine./е0.

(6.19)

(6.19)

При слабой нелинейности, когда Fo ji £_ близки, решение приобретает довольно простой вид. Положим £± =£+ е, где Е — арифметическое среднее £+ и£_,ае< £.Тогда cz± 二 q(l 土 e/2F), где q= \/e/pq , а согласно (6.16)

в e2 + ej 1

% =引 1+ - .(6.20)

£ £2 - J」

Вернемся к уравнениям (6.7), (6.8), где, очевидно,左土*左(1 不一г：),

а к = з[ёр Ясно, что два уравнения (6.18) совместны, если в них е_ 二—е+, соГ - Ес = 0. Это означает, что скачок можно поместить в точке нулевой фазы, причем он симметричен, т.е. е2 二一G = е; при этом согласно (6.20) cs = q и происходит симметричная деформация волны, как и в обычном (квадратичном) случае. Тогда из (6.19) мы получаем явную формулу

для величины скачка е+ :

(6.21)(6.21)(h — 左+)хке

(6.21)

(6.21)

е+ ~ е0 sin=« е0 sin — х.

22Е

Таким образом, е+ сперва растет до величины £0> з затем за конечное время (и в этом отличие от классического, квадратичного, сирая) ударная волна исчезает — энергия волны полностью диссипирует на конечном расстоянии порядка 2£/左е. Однако эти результаты справедливы лишь в первом (по е) приближении (что и соответствует квадратичному приближению в обычном случае).

ВОЗБУЖДЕНИЕ И УСИЛЕНИЕ ЗВУКА ДВИЖУЩИМСЯ источником

Генерация звука движущимся распределенным источником в случае, когда скорость его движения близка к скорости звука в среде, может происходить настолько эффективно, что в возбуждаемой волне становятся заметными нелинейные эффекты. Такая ситуация возникает, например, при лазерном термооптическом возбуждении звука, а также в условиях вынужденного рассеяния Мандельштама-Б рилл юэна [Руденко, 1974; Карабутов и др., 1976].

Задача сводится к решению уравнения вида

+*е),+*е),(7-1)(7-1)дидид2и

+*е),

+*е),

(7-1)

(7-1)

—най — + 6

Эхbyby2

где 8 = е—x/W = y+qx, a q ~ (W~ со)/со 一 параметр расстройки между скоростью возбуждения Wo и с0; заметим, что |W—“|《“，игтаче нельзя ограничиться рамками приближенного уравнения Бюргерса.

Рассмотрим сперва случай больших чисел Рейнольдса, когда вязким слагаемым можно пренебречь и решать уравнение первого порядка

ЭиЭи

—=аи— +/3 +qx).(7.2)

dх办

Если перейти от х,у к переменным х, 0, то (7.2) принижет вид

ЭиЭи

— = (av~q) — +f(e).(7.3)

Это уравнение может быть решено методом характеристик. Характеристическая система, отвечающая (7.3), есть

dx= —dG/Qu-q尸 du/f,(7.4)

ее интегралы следующие:,

аи2/2 一 qu + 尸(8) = q,(7.5a)

x = 土/= • g + Q.(7.56)

7T +2а© - 尸(8‘))

Здесь 尸(8)= / f(8')d8'; cb 勺-константы.

Будем рассматривать локализованный источник, имеющий вид одиночного импульса (/>0), причем F^ = f fdO конечно. Начнем со стацио- гирных решений, зависящих только от 8, т.е. движущихся синхронно с источником. Эти решения даются просто формулой (7.5а), описывающей волну в виде ступеньки.

Определенную проблему составляет выбора константы q, в стационарном случае она может выбираться исходя из принципа причинности. При дозвуковом движении источника (q < 0) после распространяется только вперед от него, так что должно быть и(6->8)= 0. Тогда из (7.5а) следует

аи 二 7d +201(^8 —尸(8))' - lq I •(7.6a)

В сверхзвуковом случае (q>0) излучение остается позади, так что и (8 —©о)二 0. Тогда

аи = q - W - 2oF.(7.66)

Отсюда видно, что гладкое решение существует только при условии

q> 匠冗』°.(7.7)

Если же q>qo, то решение неоднозначно — в нем возникает особенность, отве^ющая разрьшу, и (7.66) теряет силу.

Более реалистичные в физическом отношении результаты получают-

ся для нестационарных процессов. Начнем с линейного приближения, когда в уравнении (7.3) можно пренебречь членом саи.

Если рассмотреть задачу для полупространства х>0 и задать нулевое граничное условие и(^,х = 0) = 0, то решение приобретает простой вид:

и= [F(0)~ F(y)]/q.(7.8)

Это решение отведет (при q W 0) положительному импульсу с разбегающимися фронтами. При q V 0 вперед убегает "свободный” фронт (со скоростью %), а сзади остается "вынужденный" (со скоростью W). Ясно, что при учете даже слабой нелинейности на переднем фронте образуется разрыв. Таким образом, при дозвуковом движении источника впереди него всегда возникает ударная волна. Если же q > 0, то свободному решению соотаетстаует остающаяся сзади вол!й разрежения. Что касается переднего, '%ьшужденного”，фронта, то, судя по стационарному случаю, он "опрокидывается" только при достаточно малых q・

Наконец,в пределеq =0 (точный синхронизм) из (7.8) следует

u = xf(G),(7-9)

т.е. в линейном приближении поле неограниченно растет.

Для нелинейного этапа необходимо пользоваться полным решением (7.5), причем в общем случае 仃二屮(q), где 屮一произвольная функция. При нулевом граничном условии имеем

х = ? / 电1；-4)2 + 2a[尸(0)-尸(0)]｝屮由'，(7.10)

8

где G(% и) = Ф[а(т;2/2 一剪)+尸(G)J, а 屮 一 функция, обратная F(6), т.е. e =屮⑺.

Для случая, когда /(0)=Л/сЬ2^, т.е.歹⑹二/小仇 интеграл в (7.10) сводится к элементарным функциям. Вычисление результата ik ЭВМ по-

к взывает, что при q<qo (как в до-, так и в сверхзвуковом режиме) образуется перехлест, а при q>qo решение остается везде непрерывным. При этом в случае 0Vq<qo поле остается локализованным вблизи источника, а в других слу^ях образуется перепад (ср. линейные решения (7.6а,б) и (7.9)). Максимальное значение аи следующее [Гусев, Руденко, 1979]:

_ J “?2 +qM- Wl, q<qo._ J “?2 +qM- Wl, q<qo.(7.11)(7.11)

_ J “?2 +qM- Wl, q<qo.

_ J “?2 +qM- Wl, q<qo.

(7.11)

(7.11)

что соотаетстаует решениям (7.6) при q<0 и q》qo, причем для 0< <q <q0 получается то же, что и для *,дозвуковой>, формулы (7.6а): происходит бифуркация - зтачение итах терпит скачок (этот режим неустойчив по отношению к небольшим возмущениям поля).

Оценки показывают, что в условиях лазерного возбуждения звука проявление акустической нелинейности вполне реально. Для этого следует использовать сильно поглощающие среды (органические растворители) с декрементом:йтухания света 修 ~ (Ю2-гЮ3) см-1.

В эксперименте по распространению светового импульса в водном растворе хлорной меди световой импульс с длиной волны 1,06 мкм имел 64

мощность 恥=28 МВт (интенсивность / около 3 МВт/см2) и длительность г0 несколько больше 10 нс. Тогда при синхронном возбуждении в среде согласно оценкам возникает акустический импульс с числом Маха М % i。— (что дает для амплитуды давления р_=3 МПа).При этом нелинейность проявляется на длине L порядка 10'1 см.

Периодический источник. Рассмотрим теперь уравнение Бюргерса (7.1) в общем виде при конечных числах Рейнольдса. С помощью замены Хоп- фа (4.1) оно сводатся к линейному

(7.12)(7.12)6—- + — 3v2266—- + — 3v226ЭФ Э2Ф аФ л

(7.12)

(7.12)

6—- + — 3v226

6—- + — 3v226

Эх

Обсудим здесь слутай синусоиддл ьного источника, бегущего синхронно с волной, а именно f-AsinQy, так что (7.12) принимает вид

ЭФЭ2Ф

—=5—— _ 5$cosQj,(7.13)

Эхdj

где 5 = a4/26Q, Будем отыскивать пертодические во времени вынужденные решения в полупространстве х > 0, удовлетворяющем нулевому граничному условию и (0, у) = 0 или Ф(0, j) = 1 (величин константы для Ф, очевидно, не влияет 出 результат).

Решение (7.13) можно найти с помощью разделения переменных [Руденко, 1974]:

Ф = ехр(-Хх)<р(л)!(7.14)

тогда для 9 получаем уравнение Матье:

^⑴份产 +(/i-2mcos20^ = O,(7.15)

где 与=£2了/2, й =4X/6Q2, д = 25/6Q. Периодические (с периодом я по 与 или 2тг/£2 по у) решения этого уравнения даются функциями Матье C?2n(L Д)> а й2л (или 入雜)-собственные значения такой задачи, зависящие от д. Тогда полное решение для и есть

5a 88

и—In Е а2пе-^агп (玄 Q.(7.16)

“銀 и=о

Коэффициенты а2п при указанном граничном условии имеют вид

я/я

g〃 = / 02П 也 4d出 5〃g,以)臂.(7.17)

0/ 0

Заметим, что, как и для всякой задачи Штурма-Лиувилля, значения 入2м возрастают с ростом л, т.е. Хо меньше всех остальных 入.Это означает, что при больших х в сумме (7.16) преобладает слагаемое с Тогда (7.16) сводится к периодическому стационарному решению

и=— — In [а0«, Д)]-(7-18)

Это решение можно было бы, конечно, 1^йти и непосредственно из (7.1), отбрасывая 8и/8х.

Зак. 382в&

Итак, на больших расстояниях решение перестает зависеть от х и вы* ходит на установившийся периодический режим. Форлга этого решения зависит от величины 〃，имеющей смысл эквивалентного числа Рейнольдса источника. При малых 从 решение близко к гармоническому, с ростом М в нем появляются крутые фронты, а пр< 从->8 появляются разрывы. Вид решения в последнем случае дается элементарной формулой

и = \/Л/assign 2^) сорg,与二(П.у/2)€(-я, я). (7.19)

Установление акустического профиля происходат на расстояниях 丄 ~|\> —入21T. Для малых 从 эта величин порядка длины затухания волны, а для больших — порядка длины нелинейности.

На основе нелинейной теории была рассчитана интенсивность мощного гиперзвука (в частности, порядка 1011* Гц), генерируемого при вы* нужденном рассеянии Манделыиггама—Бриллюэна. Так, свет с интенсивностью 108 Вт/см2 в кварцевой пластине толщиной 0,05 см может генерировать гиперзвук с максимальной интенсивностью 300 Вт/см2, тогда как' линей^я теория дала бы в 20 раз большую величину [Карабутов, 1979].

Активная среда. В заключение этого раздела кратко остановимся на усилении пилообразных волн в среде с внутренними источниками энергии. В связи с этим рассмотрим обобщенное уравнение Бюргерса в виде

ЭмЭмЭи Э2иЭи Э2и—=au — + 5 —- + 7U.dx 9j Ъу2—=au — + 5 —- + 7U.dx 9j Ъу2дхдх(7.20)(7.20)

Эм

Эм

Эи Э2и

Эи Э2и

—=au — + 5 —- + 7U.

dx 9j Ъу2

—=au — + 5 —- + 7U.

dx 9j Ъу2

дх

дх

(7.20)

(7.20)

Такая модель возникает, нал理мер, при термооптической генерации звука, но не за счет внешней модуляции источника, а из-за модуляции коэффициента поглощения света самой звуковой волной — меняя тепловыделение в среде, такая модуляция поводит к положительной обратной связи и к усилению звука [Коломенский, 1989].

При больших числах Рейнольдса, когда членом с 5 можно пренебречь, уравнение (7.20) может бьпь решено методом ^рактеристик. Уравнения характеристик имеют вид

dx == -(аи)~%у = би)%%

а их общий интеграл

и= ехр(>х)屮{у - (а/т)и(1 - ехр(—»))],(7.21)

где 屮 -произвольная функция, определяется условием 也理 х =0. В случае гармонического входного сигнала, когда v(0, у) =uosina>^,屮(与)二

=и0 sina;?- Отсюда легко найти расстояние до образования разрыва:

% = 7-11п[1+ >/(叫3)尸.(7.22)

Отсюда видно, то п国 7 >0 это расстояние меньше, чем 口陋 7 = 0 (но при 7< 0 L может обратиться в бесконечность, и тогда разрыв вообще не возникает).

Нетрудно также описать эволюцию волны на разрывной стадии. Аналогично (2.14) попутаем уравнение для амплитуды скачка

(ujuo )exp (тх) = sin {(аз/>) % (1 - exp(->х ))1.(7.23)

Отсюда, в »йстности, следует, что при х -> °° амплитуда скачка стремится к предельному конечному значению, равному

忆=тг>/(0!3).(7.24)

Таким образом, устанавливается пилообразная автовол^, в которой Водкачка энергии компенсируется диссипацией 的 разрыве. В ацетоне при температуре 20° С врастание акустической волны с частотой 200 МГц происходит, если интенсивность света I превышает пороговые значения I = 3,3 Вт/см2 [Коломенский, 1989]. Если / = 10 Вт/см2, то в стационарной волне число Маха равно 5 - 1СГ3. Не исключен также возможность во> буждения инф^звука в атмосфере за счет солнечной радиации.

Мы не рассматривали здесь случаи отрицательной вязкости, когда в (7-20) 6 < 0 (ау м 0). Эти вопросы обсуждаются уже давно в связи с моделями двумерной турбулентности; иногда исследуется и уравнение Бюргерса с 5 = 0. Однако, как можно показать, в общем случае решение этого уравнения мгновенно расходится, и поэтому, ^ ^ш взгляд, оно не адекватно реальным ситуациям.

СТОЯЧИЕ ВОЛНЫ КОНЕЧНОЙ АМПЛИТУДЫ

При возбуждении волн в ограниченных системах — резотаторах, если добротность резотатора велика, амплитуда колебаний в нем многократно превышает амплитуду осцилляций возбуждающего источника, что способствует проявлению нелинейных эффектов. С другой стороны, при отражении от стенок изменяется не только амплитуда, но и фаза поля (т.е. фактически появляется дисперсия), что может радикально изменить условия обме^ энергией между гармониками и характер развития нелинейных эффектов. Этот вопрос подробнее обсуждается в гл. 6; здесь же мы рассмотрим волиы в простейшем одномерном резотаторе, образованном двумя твердыми стенками, расположенными при х - 0 и х = Z. Основная идея, позволяющая упростить решение подобных задач, связана с тем, что в квадратичном приближении для осциллирующих волн можно пренебречь взаимодействием встречных волн, поскольку оно не имеет резонансного характера, а учитывать лишь скапливающиеся нелинейные искажения каждой из бегущих волн. При этом получается, в сущности, одна бегущая волна, которая последовательно переотражается от стенки без изменения фазы скорости, и в результате ее эволюция происходит так же, как и при распространении в безграничной системе. Сказанное относится |ишь к свободным колебаниям; при их возбуждении колеблющейся гра- рщей волна взаимодействует с ней ^ каждом пробеге туда и обратно, передача энергии полю может компенсировать потери, в том числе потери |а разрывах.

Такой подход подтверждается при использовании теории возмущений ^Эйхенвальд, 1934; Андреев, 1959]. Рассмотрим собственные колебания Озонатора, описываемые нелинейным волновым уравнением

。豆* 2标而厂(8」)

В линейном приближении решение этого уравнения отвечает табору

67672 Зак.382

67

67

собственных колебаний (мод) в виде стоячих волн. Рассмотрим одну из них:

屮I =屮。cosw^ cos wx/co,(8.2)

считая, что начальное условие дается формулой (8.2) при ^ = 0. Здесь з = =nnlQ/l (п = 1,2,...) — одна из собственных частот системы.

Для нелинейной задачи будем отыскивать поправку к (8.2) методом возмущений, полагая 屮=屮】+屮 2,⑦《屮i； тогда из (8.1) следует линеаризованное уравнение для s ■

—Со —W届 sm23f —«—cos22sm2(8.3)

a 产Эх2 eg2 СоСо J

с начальным условием 力(0,х) = Ои граничными условиями Э(р2/^1 х=0 ,= =0. Решение (8.3) получить нетрудно, и в результате выражение для поправки и2 к скорости имеет вид

_ еи^з/_ еи^з/sin23f sin ^^ . соsin23f sin ^^ . со(8-4)(8-4)

_ еи^з/

_ еи^з/

sin23f sin ^^ . со

sin23f sin ^^ . со

(8-4)

(8-4)

Таким образом, во втором приближении появляется вторая гармоника, амплитуда которой секулярно растет со временем. Этот рост соответствует начальному этапу нелинейных искажений волны.

Более общий подход связан с описанием невзаимодействующих бегущих волн, каждая из которых описывается уравнением Бюргерса или, при больших Re, соответствует простой волне или разрывному периодическому решению. В последнем случае, при синусоидальном ^чальном условии, удобно исходить из уравнений характеристик в виде [Канер и др., 1977]

ЗХ. Ui Ui

(8.5)(8.5)—=arc sin — + а — + Сои。 ％'

(8.5)

(8.5)

зх • 也・ 也 ▲ —— =arc sin —=- + а Сои。 и。

где индексы 1 и 2 относятся к вол^м, бегущим влево и вправо； а = = €VQC0t!2CQ.

Уравнение (8.5) автоматически удовлетворяет граничным условиям и = 0 при х = 0, Z. Действительно, если положить и2 = Уп то при х = 0,1 оба этих уравнения тождественны (если учесть, что при х = I частота з = =пиа/1 — собственная частота системы, a arcsin(u2/^о) = -arcsin(Uj/u0) + + 2я). Поэтому общее решение для поля внутри резотатора дается просто суперпозицией полей： и = 1」 + и2 ； профили колебаний в каждой точке легко построить графически. Результат такого сложения представлен ik рис. 2.Г2. Кривые построены через равные интервалы времени △看=Т/8 (Т = 2тг/з) при различных значениях нелинейного масштаба а. Нелинейные искажения нарастают со временем; при а = 1 (т.е. при t - ts - "(етгМ), М - числа Маха) в каждой из встречных волн возникают разрывы, и при а > я/2 поле в резотаторе имеет вид суммы пилообразных волн с амплитудой разрыва и事=яи0/(1 + о) •

Такая затухающая стоячая волна с широким спектром имеет ряд характерных особенностей. Узлы скорости, как и в линейном случае, "при-

Рис. 2.12. Стоячие волны скорости в нелинейном резонаторе при различных значениях параметра оД — а •< 1; б — а = 1; в — а = я/2. Кривые 7—5 изображают профиль волны через промежутки времени Г/8, где Г — период стоячей волныРис. 2.12. Стоячие волны скорости в нелинейном резонаторе при различных значениях параметра оД — а •< 1; б — а = 1; в — а = я/2. Кривые 7—5 изображают профиль волны через промежутки времени Г/8, где Г — период стоячей волны

Рис. 2.12. Стоячие волны скорости в нелинейном резонаторе при различных значениях параметра о

Д — а •< 1; б — а = 1; в — а = я/2. Кривые 7—5 изображают профиль волны через промежутки времени Г/8, где Г — период стоячей волны

Рис. 2.12. Стоячие волны скорости в нелинейном резонаторе при различных значениях параметра о

Д — а •< 1; б — а = 1; в — а = я/2. Кривые 7—5 изображают профиль волны через промежутки времени Г/8, где Г — период стоячей волны

вязаны” к стенкам, но узлы плотности, а также пучности скорости и плотности перемещаются по резотатору. Кроме того, в распределении скорости появляется, строго говоря, дополнительный "бегающий" узел, лежащий на разрыве. В самом же разрыве по мере распространения меняется соотношение между его положительной и отрицательной частями, так что разрыв приходит к другому узлу скорости с изменением полярности.

Заметим, что для ^чальной стадии процесса, вычисляя в каждой иэ волн вторую гармонику по формуле Бесселя—Фу бини при о《1, мы получим, как и следовало ожидать, формулу (8.4).

При учете конечности Re аналогичное описание коле(Ьний в реэотаторе достигается решением уравнений Бюргерса для двух встречных волн [Ка- нер и др., 1977]. При этом на конечном этапе пилообразная волна вновь превращается в синусоидальную на основной частоте, как и для бегущей волны. Отметим, что при этом добротность резонатора Q, определяемая как отношение полной энергии колебаний к энергии, диссипируемой за период, не постоянна. Вначале Q близко к его э^чению в линейном приближении, но по мере нелинейной эволюции поля, особенно после образования разрывов, Q реэко уменьшается иэ-эа нелинейной диссипации； однако та конечной стадии, когда нелинейность практически несущественна, Q опять возвращается к линейному значению (рис. 2.13).

Рассмотрим теперь задачу о вынужденных колебаниях столба газа в резонаторе в виде закрытой трубы длины I. Будем считать, что колебания возбуждаются поршнем, помещенным в конце трубы и совертющим гармонические колебания со скоростью

(8.6)(8.6)и = и0 sin3力

(8.6)

(8.6)

а другой конец трубы закрыт [Горьков, 1963]. Во втором приближении коле(Ьния газа описываются уравнением (8.1). В линейном приближении получаем

Uo3。2тгАзUo3。2тгАзcos 左 X,cos 左 X,(8-7)(8-7)

Uo3。

2тгАз

Uo3。

2тгАз

cos 左 X,

cos 左 X,

(8-7)

(8-7)

где Аз 二 з — 3。一 отстройка от резонанса, з° — реэо^нсная частота. Во втором приближении характер решения зависит от интенсивности ко-

нансной. Если величина расстройки Аз меньше критической величины АЗк = (2/тг)(2Еи()/зП"2, то оешение в виде непрерывной функции от-

сутствует. Возникает ударная волна, которая, отражаясь от концов резонатора, пробегает по трубе дважды за период колебаний.

Разрывное решение, удовлетворяющее уравнению (8.1) и условию постоянства массы газа в трубе, приводит к следующему выражению для амплитуды ударной волны:

一 2 /Д 产心 Аз '

Р$_ 4Poeо /———т / 1 _ .—•(8.8)

“з/Q + l) V 4(7 + l)w0 3。

При Аз = 0 (резонансный случай) получаем

4Po爲4Po爲u。u。3()/(7 + 1)3()/(7 + 1)(8.9)(8.9)

4Po爲

4Po爲

u。

u。

3()/(7 + 1)

3()/(7 + 1)

(8.9)

(8.9)

Заметим, что эта формула может быть также получена из простых энергетических соображений [Островский, 1974]. Будем считать, что в резонаторе сформировались две пилообразные волны, бегущие навстречу друг другу. Тогда затухание поля на одном пробеге туда и обратно по резонатору мало. Из формулы (2.15) следует, что

—1 ^— =g(%o),(8.10)

%о“Со

где к = з/%, з == 3。= ияс0//, % о - амплитуда разрыва при х = 0.

При граничном условии (8.6) амплитуду разрыва vsQ можно определить из условия баланса энергии для первой гармоники поля, амплитуда которой и】 для пилообразной волны однозначно связана с u$q： и】=2у^0/я. Средний поток энергии, поступающей от источника на частоте з, равен pcWiXoco. Этот поток расходуется на затухание поля на разрывах в соответствии с (8.7), а также на изменении энергии W поля, равной риП. В результате легко получаем

2/

— % +g(UiW =ХоЗ.(8.11)

Со

Решение этого уравнения имеет вид

必一 ”办 _ R %。+"^th[(f - £о)/т]

— — — v ■(О Л Z )

Со % Va7+vsoth[(f-fo)/r]

Здесь as = 26：q), %o = V^7 ? = 2зТ，2“(> + I)%'.

Отсюда видно, что время установления колебаний для n-й моды есть г м («v^oГ1 > а амплитуда разрывов в установившемся режиме ил0 Q，^0飞 соответствии с .(8.9).

Более подробный анализ задачи о возбуждении нелинейных колебаний в резонаторе (трубе) конечной длины проведен в работах Сеймора и др: (см., например, [Seymour, Mortell, 1973]). Расчет проводился ими ik основе уравнений характеристик типа (8.5) так же в пренебрежении взаимодействием встречных волн. В общем случае расчет удается провести лишь численным образом, но при больших значениях числа Re полученные результаты согласуются с (8.12). В этой работе учитывалось также влияние на характер процесса потерь, связанных с излучением из трубки через отверстие в ее задней стенке. Установлено, что уменьшение величины и事 разрыва прямо пропорционально величине потерь. Этот результат качественно подтверждается экспериментами Стертеванта, описанными в цитированной статье Сеймора [Seymour, Mortell, 1973]. В его опытах возбуждались колебания воздуха в трубке длиной / = 132,5 дюйма и внутренним диаметром 3,0 дюйма. На одном конце трубки помещался поршень, совершающий гармонические осцилляции. Другой конец трубки в одной серии экспериментов был закрыт жесткой крышкой, а в других экспериментах использовалась крышка с отверстием, размеры которого определяли величину вносимых в резонатор потерь за счет излучения звука из резотатора. Эксперимент показал, что при достаточно больших амплитудах смещения поршня (х0Д = 0,02, х0 - смещение поршня) в области умеренных потерь соотношение (8.14) хорошо выполняется. С уменьшением амплитуды колебании поршня до x0/Z — 0,01 область выполнения линейной зависимости сокращается, таблюдаются отклонения от линейного зако^.

В опытах Стертеванта подробно измерялась также резонансная кривая рассматриваемой системы. Полученные данные и их сопоставление с результатами расчета приведены в работе [Seymour, Mortell, 1973].

ЭНЕРГИЯ И ИМПУЛЬС В ПЛОСКОЙ ЗВУКОВОЙ ВОЛНЕ

При рассмотрении волновых полей их уравнения часто записывают в форме законов сохранения (уравнений переноса), что позволяет определить энергию и импульс волны, а также их потоки. Иногда уравнения переноса конструируются из линеаризованных уравнений поля. Однако получаемые таким образом квадратичные по полю величины не обязательно совпадают с действительными энергией и импульсом, связанными с волной.

С физической точки зрения под энергией волны естественно понимать разность энергии системы "среда плюс волна'* и энергии невозмуихенной среды, т.е. энергию, затраченную на возбуждение волнового поля.

Общие выражения для мгновенных з!йчеш1Й плотности энергии плоской волны £* и ее потока q приведены, например, в книге [Ландау, Лифшиц, 1986]. С учетом линейных и. квадратичных слагаемых они равны

£=+ -5— +woP, q = p'v + wop'v + wopov,(9」)

/“0

где w0 = to/(7 — 1) — энтальпия единицы объема невозмущенной среды.

Аналогично для плотности х-компоненты импульс / и ее потока П имеем

j=pov^prv, П=р +pov2.(9.2)

Обычно наибольший интерес представляют средние по времени от этих величин. В линейных задачах, когда все величины считаются гармоническими, следовало бы при усреднении отбросить все линейные слагаемые в (9」)и (9.2). Однако в действительности, как мы сей»шс увидим, средние от этих слагаемых имеют, как и остальные члены, квадратичный порядок по амплитуде и не могут быть отброшены [Андреев, 1955].

Итак, рассмотрим сначала общую процедуру усреднения для любой величины /, отвечающей одномерной прямой волне [Островский, 1968]:

f=F® = F(t-xlU), U=cQ +еи.(9.3)

Найдем среднее зтачение /по времени. Напомним, что

合 ^卜/一 扌"(94)

По определению, при фиксированном х

?fdt=与尸") = ?凡/「号尸隐)-尸2隐)](9.5)

Вместе с тем среднее по времени, как обычно, определяется выражением

—1 t+T

/ = lim 元 j vdt.(9.6)

Поскольку на этом интервале интегрирования |2 — £ = " - Z + + (ex/cW)(/i - Л) - Л а последнее слагаемое в (9.5) остается конечным при Г-> получаем, что

/，=/Е =Л(9.7)

т.е. усреднение может вестись по явному аргументу |. Заметим сразу, что среднее от функции 0・4) по х отличается от среднего по 九

Таким образом, / зависит непосредственно от вида функции F, определяемой граничным условием. Для задачи о колеблющемся поршне, коор- дшита которого задается в виде х = хп(г), а скорость и = ип =啸⑴，граничное условие для решения (93) имеет вид

歹上 - Хц«)/(% + 喲]=%").(9.8)

Если х„(0) = 0, то всегда |хп| < г|ип| тах, но в звуковой волне |ип| тах *^ 《％, поэтому в аргументе 戶 в (9.8) второе слагаемое всегда мало по сравнению с первым. Тогда из (9.8) легко приближенно найти явный вид / и записать решение (9.3) в виде

u = /(b± jx„(力冗(А(9.9)

Теперь по формуле (9.7) легко сходятся средние от и и других физиче- 72

ских величин, связанных сив простои волне соотношениями

,Р。 р =—— Со,Р。 р =—— Соu + 邑口2], p' = poC(\v+ 于経]/Со I1 /Со J

,Р。 р =—— Со

,Р。 р =—— Со

Ёсли средняя скорость поршня равна нулю, то результат имеет вид

ип —； EFF E-2不

U=Р=-р2, р = ^р2.

Со2Po2ро^о

(9.10)(9.11)(9.10)(9.11)Этот результат верен для недиссипативной среды вплоть до точки образования разрыва.

(9.10)

(9.11)

(9.10)

(9.11)

Подставляя выражения (9.11) в (9.1) и (9.2), можно найти средние энергию и импульс волны и их потоки.

CqE +CqE +2Po2Po(9.12)(9.12)Если подставить связь (9.11) между рг и и в выражения (9.1), мы получим универсальное (в смысле независимости от граничных условий) соотношение

CqE +

CqE +

2Po

2Po

(9.12)

(9.12)

Эю соотношение, конечно, справедливо и для средних по любой переменной. Усредняя выражение (9.1) с учетам (9.11), получаем

E=pov - -=—P , q =coqov •(9.13)

В частности, для идеального газа Е = pQv2(3y - 5)/4()- 1), так что для одноатомного газа Е* = 0, а для многоатомного Е* < 0, т.е. знергия слоя падает в результате возбуждения волны. Дело в том, что при возбуждении волны ее головная часть уносит массу. Действительно, возмущение массы т' на интервале между поршнем и произвольной точкой х° равно ХоР‘ < 0 и согласно (9Л1) эта величина меньше нуля. Следовательно, в головной части волны т > 0; зто следует из закона сохранения массы, но может быть показано и непосредственно.

Аналогично, используя формулы (9.2) для плотностей импульса / и потока импульса П, связанных с волной, и подставляя (9.10), получаем универсальное соотношение

ЕРо е

П - Со/ + ~2~ и .(9.14)

Для поршня, колеблющегося без среднего движения, имеем

/ =0, п = — о2 .(9.15)

Заметим, что давление такой волны гга' неподвижную стенку равно 2П, поскольку нелинейное взаимодействие встречных волн (падающей и отраженной) сказывается лишь в третьем порядке по амплитуде. Все зги выражения, в сущности, опираются на условие отсутствия среднего потока массы / в волне.

Другие результаты получаются, например, для стационарного звукового пучка конечного сечения. Для этой модели справедливы выражения, приве-

73

денные в монографии [Ландау, Лифшиц, 1986]. В данном случае, как можно ожидать, среднее давление выравнивается в поперечном сечении с давлением в окружающей пучок среде, т.е.尸 =0. После этого, используя (9.10), легко получить

и = — ^- у2, Р‘ =中(1 — е)и2 . (9.16)

Отсюда следуют и выражения для энергии и импульс, отличные от приведенных выше. Нужно, однако, иметь в виду, что для реальных пучков даже малая диссипация приводит к появлению акустических течений, гораздо более сильных, чем и из (9.16).

Обсудам еще влияние потерь 的 средние величины в плоской волне. Физическое отличие от случая идеальной жидкости наглядно проявляется для малых чисел Рейнольдса. Решение задачи о возбуждении волны синусоидально колеблющимся поршнем в этом случае легко находится методом возмущений, как зто делалось в разд. 1. Оно имеет вид и = Uj + и?, р = pi + р2 и т.д., где индексом 'Т' обоэтачено линейное приближение, а ”2” 一 малые нелинейные поправки, после чего средние значения легко вычисляются:

2F

% 入-耳戸，7 = -(9.17)

Сор。PqCq

Сравнение с (9.11) показывает, что результаты усреднения при малых и больших Re совершенно различны для всех величин, кроме и, — последняя, как уже говорилось, определяется только величиной потока массы. Соответственно вместо (9.13) получаем

万= ^Е^РоМ，7= CoPoU 2, / = 0,万= ^Е^РоМ，7= CoPoU 2, / = 0,п = о.п = о.(9.18)(9.18)

万= ^Е^РоМ，7= CoPoU 2, / = 0,

万= ^Е^РоМ，7= CoPoU 2, / = 0,

п = о.

п = о.

(9.18)

(9.18)

В последнее время было проведено детальное рассмотрение вопроса о средних величинах в плоской волне с учетом малых отражений от разрывов [Макаров, Хамзина, 1989]. При этом для средних и на пилообразной стадии получились те же формулы (9.17), (9.18).

Глава 3

НЕЛИНЕЙНАЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ АКУСТИКА

ЛУЧИ И ЛУЧЕВЫЕ ТРУБКИ

Изучив основные закономерности распространения плоских волн, можно приступить к рассмотрению волн с более сложной пространственной структурой. Прежде всего мы рассмотрим обширный класс волн, направление распространения которых меняется произвольным образом, но эти изменения происходят достаточно плавно — на масштабах, много больших характерной длины волны. В линейной теории это приближение соответствует геометрической акустике, когда геометрия волны описывается системой лучей, причем распространение происходит независимо вдоль каждой лучевой трубки. Волны конечной амплитуды могут обладать аналогичными геометрическими свойствами, и тогда говорят о нелинейной геометрической акустике (НГА). Здесь приходится анализировать подчас весьма сложную "игру5' нелинейных эффектов, с одной стороны, и эффектов расходимости волн, фокусировки, рефракции и т.д. — с другой. Отметим еще следующее обстоятельство. Методы линейной геометрической акустики и линейной геометрической оптики (изучающей распространение коротких электромагнитных волн) в общем аналогичны — они основаны чаще всего на рассмотрении гармонических или квазигармонических во времени процессов или, реже, коротких импульсов волновых пакетов. Нелинейная же геометрическая оптика и акустика развивались различными путями: если первая по-прежнему оперирует в основном с квазигармоническими волнами, то вторая имеет дело с непрерывными искажениями профиля волны, которые и в одномерном случае, как видно из предыдущей главы, не всегда просто описать.

Первой работой, имеющей отношение к НГА, можно, по-видимому, считать работу Л.Д. Ландау, который еще в 1945 г. рассмотрел сферическую и цилиндрическую волны на большом расстоянии от места взрыва с учетом одновременного действия нелинейности и сферической расходимости [Ландау, 1945]. В 60-е годы детальный анализ подобных задач был проведен С.А. Христиановичем [1956]. В этой связи следует также упомянуть работы К.А. Наугольных и др. [1963], где сферические волны рассматривались с учетом вязкости, когда использовалось обобщенное на сферический случай уравнение Бюргерса. Общая схема НГА для неоднородных сред рассматривалась К.Е. Губкиным [1958]. Однако реализации этого приближения для конкретных задач появились за редкими исключениями значительно позже.

В этой главе мы кратко обсудим основные принципы НГА и рассмотрим ряд примеров, представляющих физический или прикладной интерес.

Большинство схем линейной геометрической акустики строится для квазигармонических волновых полей вида и(г)е", где и - медленно меняющаяся амплитуда, а 屮 一 фаза (эйконал). При этом з = — 8屮/8才 н к = = ▽屮 一 медленно меняющиеся частота и волновой вектор, связанные тем же дисперсионным соотношением, что и в гармонической плоской волне (для неподвижной среды з? = k2c'). Будучи записано для фазы, оно имеет вид уравнения Гамильтота-Якоби, а соответствующие канонические уравнения определяют искомые лучи. Эту теорию можно найти во всех книгах по данному вопросу. Здесь, однако, мы воспользуемся несколько другим (конечно, лишь по форме, но не по физической сущности) подходом, удобным для описания негармонических волн и допускающим естественное обобщение на нелинейные задачи. В общем случае этот подход состоит в выделении трех этапов. Первый из них - анализ кинематики волновых фройтов и лучевых трубок, который мы проведем следуя Дж. Уизему [1977]. Второй этап — анализ эволюции волны вдоль лучевой трубки. Третий - решение, если необходимо, самосогласованной задачи о взаимном влиянии лиевой структуры и временных характеристик волны.

Геометрия лучей. Рассмотрим произвольный волновой фронт, т.е. поверхность постоянной фазы. Положение фронта в пространстве зависит от времени, так что его уравнение можно записать в виде t = а(г). Из условия а(г) - Г = 0 получаем нормальную скорость фронта в любой его точке: V = (VaT1. Линии нормалей к фронту, в каждой точке касательные к вектору V, будем взывать лучами. Рассмотрим произвольную лучевую трубку, изменение площади сечения которой будем характеризовать функцией А, так что площадь сечения элементарной трубки ds = Ads0> где ds0 - тачальная площадь; причем без ограничения общности можно считать, что в начальном положении фронта (а = а<)) величина d迎 одна и та же для всех трубок. Рассматривая Л как функцию коордшит, легко видеть, что выполняется равенство

div(loM) = O, (1.1) где 10 = Va/IVal - единичный вектор, ориентированный вдоль луга. Действительно, выбрав элементарный объем Z в виде отрезка трубки (рис. 3.1), можно записать

где п — единичный вектор нормали к поверхности трубки. Правая часть

этого равенства рав^ нулю: ^ боковых стенках 10 1 п и остается ds2/A2 - dsjA* 二 0 (по определению ds 二 AdsQ). Поэтому равна нулю и левая часть,откуда ввиду произвольности выбора объема и следует (1.1). Учитывая выражение для V, можно записать

div((PVa)//) = 0. (1.2)

Если сюда добавить связь между К и Л, то получится замкнутая система уравнений для определения зависимости а(г) и, следовательно, формы и положения фронта. Для линейных сред 0= с。, где Со(г) - невозмущенная скорость звука, и из (1.2) получаем

(▽а)? = 1 /圆，div(% (▽ а)/4) = 0. (1.3)

Первое из этих уравнений есть известное уравнение эйконала, а второе определяет изменение сечения трубки. Эти последние результаты вполне согласуются с обычной геометрической акустикой.

Для двумерных волн, когда лучи и последовательные положения фронта образуют ортогональную коордитатную сетку а, 0, получаются два кинематических уравнения

Э^ 1 ЭЛ Э^ 1 ЭК 八,、

a。 у aa，aa 4 a。， 丿

Отсюда видно, что для линейной однородной среды, когда К = с0, ^ не зависит от а, что и означает прямолинейность лучей. При этом из первого уравнения (1.4) следует линейность зависимости Л от а.

Для нелинейной среды дело обстоит сложнее: скорость V зависит от интенсивности поля, система (1.3) оказывается незамкнутой, и к ней не* обходимо добавить уравнения, определяющие изменение волны вдоль лучей.

Волны в лучевых трубках. Напомним, что для плоской линейной звуковой волны, распространяющейся в вправлении 1, все физические возмущения могут быть записаны в виде функции фазовой переменной 屮= =ql - Г, где q = lo%, 10 一 единичный вектор в вправлении распространения, причем скорость частиц v таправлета вдоль 10.

В геометроакустической ситуации все сказанное только что о плоской волне справедливо локально, в более общем же виде зависимость v от координат и времени можно представить как v = v(“，vr), где 〃 一 малый параметр, отражающий медленность изменения параметров волны, а “ = =а(『)一八 а — переменяя, определяюшя положение фронта. Восполь зуемся теперь законом сохранения энергии:

3E[8t + div I = 0,

где Е - плотность энергии, а I - плотность потока энергии звуковой волны. Поток энергии звука оправлен вдоль скорости V и, следовательно, вдоль лучей. Тогда последнее уравнение удобно переписать для каждой отдельной лучевой трубки:

况 £4)/аг + а(1л)/а/二 о. (1.5)

Дня линейной бегущей волны полагают Е = р0^2, а / 二 В средах без Дисперсии эти соотношения справедливы не только для средних, но и для

TJ

(16)(16)мгновенных значений поля, и из (1.5) получаем

(16)

(16)

*2 рА

Здесь свойства среды считаются постоянными во времени, так что при заданной системе лучей величины с, р, Л могут считаться зависящими только от 厶 причем последний член в правой части мал по сравнению с двумя предыдущими. Если сделать замену переменных /'=厶丁 =z-J(dZ/c), то получим уравнение (опуская в дальнейшем штрих)

叫+叫+(W4)/ __1м~и-°(W4)/ __1м~и-°(1.7)(1.7)

叫+

叫+

(W4)/ __1м~и-°

(W4)/ __1м~и-°

(1.7)

(1.7)

(тут уже оба слагаемых одного порядка). Если с, р, Л считаются известными функциями I (а это так, если построены лучи), то решение (1.7) имеет вид 】

и = (“4) 2 尸(т),

где 歹(丁) — произвольная функция г (появляющаяся как константа интегрирования по Z в (1.7)), которая определяется из ^чального условия. Для гармонической волны F тоже синусоидально. Отсюда видно, что вдоль лучей меняются как амплитуда волны (пропорционально ср/-»?), так и ее пространственный масштаб (пропорционально с).

НЕЛИНЕЙНАЯ ЭВОЛЮЦИЯ ВОЛН ВДОЛЬ ЛУЧЕЙ

В нелинейном приближении для плоской волны в уравнение типа (1.7) добавляется слагаемое вида Evvy/cQ, а при учете вязкости — еще и слагаемое bvyy (см. гл- 1). Поскольку эти слагаемые малы уже в плоской волне, их изменения за счет искривления геометрии — малые следующего порядка и могут в первом приближении не учитываться. По той же причине в перемешпдх /, г производные по х и могут для малых слагаемых заменяться производными по г, так как зависимость от / медленная. Таким образом, можно записать

(2.1)

Это уравнение обобщает уравнение Бюргерса на случай неоднородной среды. Будем пока рассматривать невязкую среду, в которой 5=0. Тогда, сделав замену переменных:

Q.2)Q.2)(2.3)(2.3)и= U/yJсрА^ Х = / ——d‘ /о

Q.2)

Q.2)

(2.3)

(2.3)

получим для Uуравнение

Ux-eUUT = 0,

которое имеет тот же вид, что и для однородной среды. Поэтому в "приведенных'' переменных акустическое поле изменяется вдоль трубки как

простая волна:

U = F《 + eUX*(2.4)

влияние же неоднородности среды и искривления лучей сводится в этом приближении к преобразованиям масштаба переменных. Впрочем, как мы увидим ниже, зти преобразования могут приводить к весьма зтачительным физическим следствиям.

Разумеется, можно дать более строгий и последовательный вывод уравнения типа (2-1), основанный на применении схем теории возмущений, что дает еще возможность оценить погрешность получаемых решений.

Можно обобщить полученные выше уравнения 侬 случай движущейся среды. Начнем опять с линейной плоской волны в однородной движущейся среде. Скорость такой волны V может быть представлена в виде clo + и, где и - скорость движения среды, с - скорость звука в среде, а 1<)— направление распространения волны относительно среды. Здесь существенно, что скорость частиц v по-прежнему направлена вдоль V. Действительно, если записать линеариэованное уравнение Эйлера

vf +(uV)v+ (▽「')/% =0

и подставить в него v и р‘ в виде функций переменной " = 1/V - f, где 7 — координата вдоль вправления распространения (в неподвижной системе отсчета), то получим

%(〃//УТ) + 1оР"” =0,

где 10 - единичный вектор в направлении 1, “, — проекция скорости среды на зто направление. Отсюда находим v= kp7W(P - 〃J] • Таким образом, V действительно направлено вдоль 10.

Для неплоских волн в движущейся среде снова можно ввести лучи как геометрическое место касательных к вектору V (или, что то же самое, v) и, пользуясь законом сохранения энергии, описать распространение волны вдоль такой трубки. Предварительно, одтшко, следует правильно определить выражения для энергии волны в движущейся среде [Рыжов, Шеф тер, 1962]. Получается, что закону сохранения энергии в движущейся среде удовлетворяют следующие квадратичные величины:

Е=(〃с)рМ, I = V£(2.5)

В стационарной среде, параметры которой в фиксированной точке не зависят от времени, энергия волны сохраняется, и из уравнения (1.5) нетрудно найти изменение v вдоль трубки. Действительно, подставляя вы* ражения (2.5) и перехода опять к переменным Гт, 丁 =才一 fdl/V, получим % -(q/q)u= 0, или

”叫I 親,(2.6)

где<7 = (со/ЛроУо)1/2-

Теперь обобщение 的 нелинейный случай снова не составляет труда: Достаточно в уравнении (2.6) добавить слагаемое euuz/К, т.е.

ит + evvJV - (q/q)u = 0.(2.7)

Отсюда снова получается обычное уравнение простой волны, если сделать замену

Сложнее обстоит дело для нестациотарных сред, шраметры которых зависят от времени (^пример, неоднородная среда движется как целое). В этом случае энергия волны уже не сохраняется из-за взаимодействия движущейся среды и волны.

В заключение этого раздела заметим, что используемые здесь выражения для энергии волны и ее потока не обязательно соответствуют естественному физическому определению этих величин как разности энергий среды в присутствии волны и без нее. Дело в том, что Ен/ квадратичны по амплитуде возмущений, в силу чего квадратичные поправки к решениям линейной акустики приводят к изменениям £ и / в том же порядке, что и они сами. Величин этих поправок зависит от конкретных условий задачи, постоянства массы в возмущенной области или равенства нулю среднего по времени избыточного давления [Андреев, 1955].

血я наших же целей достаточно записать любую пару величин, квадратичных по амплитуде волны и связанных законом сохранения, поэтому вопрос о соответствии этих выражений физически определенным величием в данном случае не возникает.

СФЕРИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ

Приступая к приложениям рассмотренной выше теории, начнем с относительно простых случаев, когда ход лучей заранее известен благодаря симметрии задачи. Сюда, в частности, относится случай сферически-сим* метричной волны — сходящейся или расходящейся — в однородной среде. Для нее лучевая координата I совпадает с радиусом г и, очевидно, 4 ~г2. Тогда формулы, определяющие связь приведенных переменных с истинными, дают

U = vr\[cp} X = ± ln| r/r01/(с2\/ср),

где Го 一 ^чальный радиус, выбранный достаточно далеко от центра симметрии, так что г0 много больше характерной длины волны (только тогда изменение ширины трубки 4 можно считать медленным на масштабе дли ны волны). Знак плюс здесь отвечает расходящейся, а минус — сходящейся волне. Таким образом, решение (2.4) записывается в виде

"±圖П力 (3.1)

После этого легко определить коордшиту образования разрыва, пользуясь формулами разд. 2 гл. 2, полученными для плоской волны. Для синусоидальной волны при г = г0 из (3.1) имеем

% = г。expg —) = го exp4 Zh = ~-， (32)

\ £3UNo/ \ Го / £3Uo

Рис. 3.2. Профили скорости и/с° в волне сжатия, излучаемой сферой, расширяющейся с посхоянной скоростью w, для различных значений wТочное численное решение [Taylor» 1946] ： w/c0 = М = 0,2 03 (кривая 7) ; М = 0,5 2 3 (кривая 2) ; М = 0,638 (кривая 4).Приближение нелинейной акустики [Наугольных, 1965] ： М 二 0,203 (кривая 7);М = 0,523 (кривая 2) ; М = 0,638 (кривая 5).Приближение линейной акустики: М 口 0,523 (штриховая линия). По оси абсцисс отложено безразмерное расстояние от сферыРис. 3.2. Профили скорости и/с° в волне сжатия, излучаемой сферой, расширяющейся с посхоянной скоростью w, для различных значений wТочное численное решение [Taylor» 1946] ： w/c0 = М = 0,2 03 (кривая 7) ; М = 0,5 2 3 (кривая 2) ; М = 0,638 (кривая 4).Приближение нелинейной акустики [Наугольных, 1965] ： М 二 0,203 (кривая 7);М = 0,523 (кривая 2) ; М = 0,638 (кривая 5).Приближение линейной акустики: М 口 0,523 (штриховая линия). По оси абсцисс отложено безразмерное расстояние от сферы

Рис. 3.2. Профили скорости и/с° в волне сжатия, излучаемой сферой, расширяющейся с посхоянной скоростью w, для различных значений w

Точное численное решение [Taylor» 1946] ： w/c0 = М = 0,2 03 (кривая 7) ; М = 0,5 2 3 (кривая 2) ; М = 0,638 (кривая 4).

Приближение нелинейной акустики [Наугольных, 1965] ： М 二 0,203 (кривая 7);

М = 0,523 (кривая 2) ; М = 0,638 (кривая 5).

Приближение линейной акустики: М 口 0,523 (штриховая линия). По оси абсцисс отложено безразмерное расстояние от сферы

Рис. 3.2. Профили скорости и/с° в волне сжатия, излучаемой сферой, расширяющейся с посхоянной скоростью w, для различных значений w

Точное численное решение [Taylor» 1946] ： w/c0 = М = 0,2 03 (кривая 7) ; М = 0,5 2 3 (кривая 2) ; М = 0,638 (кривая 4).

Приближение нелинейной акустики [Наугольных, 1965] ： М 二 0,203 (кривая 7);

М = 0,523 (кривая 2) ; М = 0,638 (кривая 5).

Приближение линейной акустики: М 口 0,523 (штриховая линия). По оси абсцисс отложено безразмерное расстояние от сферы

где £н - расстояние до образования разрыва в плоской волне с той же начальной амплитудой.

Отсюда видно, что в расходящейся волне разрыв всегда образуется на большем расстоянии, чем в плоской (гн - r0 > ZH), а в сходящейся - на меньшем (r0 - rH < ZH). Причина этого вполне понятна — ослабление интенсивности волны в первом случае и ее рост во втором.

Приведем еще асимптотическое выражение для амплитуды сферической волны на разрывной стадии, когда первоначально синусоидальное поле превращается в пилообразное. Из формулы (2.16) гл. 2 получаем, что амплитуда разрыва на этой стадии равна [Наугольных, 1959; Наугольных И др., 1963]

(3.3)

т.е. при г -> °° расходящаяся волна снова ^^зaбывaeт^^ о своей начальной

амплитуде и。.

Отметим, что для сходящейся волны из (3.3) следует, что и事-> 0 при г -> 0, в то время как в линейном приближении и事-> °°.

Появление разрывов приводит к немонотонному характеру изменения амплитуды сходящейся волны. Если амплитуда сходящейся линейной волны нарастает ~ 1/г с уменьшением г, то в нелинейной волне картина оказывается более сложной. Возникновение разрывов вызывает столь интенсивное поглощение пилообразной волны, что оно приводит к локальному уменьшению амплитуды сходящейся волны при ее распространении, 6. Зак. 38281

вследствие того что эффекты диссипации оказываются более сильными, чем процесс концентрации энергии в сходящейся волне [Наугольных и 口戌 1963].

Приближение нелинейной акустики оказывается весьма эффективным в задачах о расходящихся сферических волнах вследствие убывания амплитуды такой волны при распространении. В качестве подтверждения ^ рис. 3.2 приведены результаты решения задачи о волне сжатия, излучаемой сферой, расширяющейся с постоянной скоростью w. Профиль скорости течения и в излучаемой сферой волне изображен для различных скоростей расширения сферы w = Мс0, где М - число Маха. с0 一 скорость звука в среде. Кривые 1,2,4 построены на основе точного численного решения задачи [Taylor, 1946] для М 二 0,203; 0,523 и 0,638 соответственно.

Здесь же представлены результаты аналитического решения задачи в при- ближе^ши нелинейной акустики [Шугольных, 1965]. Для М - 0,203 и 0,523 они совпадают с точными решениями, для М = 0,638 соответствующее решение изображено кривой 3. Штриховая линия дает решение для М = =0,523 в приближении линейной акустики. По оси абсцисс отложено безразмерное расстояние от сферы.

При получении решения в приближении нелинейной акустики мы исходим из уравнения (2.1). Производя в нем замену и = 8(u/r)/8r и пренебрегая диссипативным членом, получим после однократного интегрирования, удерживая лишь главные в волновой зоне члены:

号t点(断J) где /(г) - произвольная функция.

Примем в качестве граничного условия, что при r = R решение уравнения (3.4) переходит в решение поставленной задачи в приближении линейной акустики

« = ^3//(1 ~ М2).

Произведя интегрирование уравнения (3.4) методом характеристик, получим выражение для распределения скорости и в волне сжатия, излучаемой расширяющейся с постоянной скоростью сферой [Наугольных, 1965]：

+/ 喝胃9+i) •

Здесь 5.二 f/cot - безразмерная координата. Графики зависимости и(^), построенные по этой формуле, приведены 的 рис. 3.2.

Обсудам теперь задачу о распространении сферического импульса — она имеет серьезное практическое значение в связи с изучением взрывных волн. Необходимо иметь в виду, что уже в линейной среде такой импульс не может быть однополярным — давление и скорость в нем обязательно меняют знак, причем f p'dt = 0. Это обстоятельство, давно замеченное о

Ландау [1945], связано с тем, что в сферическом импульсе конечной длительности потенциал вида 屮=；f(f - 〃с) должен обращаться в нуль как впереди, так и позади импульса, а р ~8屮/". Для нелинейной волны это означает, что в импульсе, строго говоря, образуется не менее двух разрывов, так что получается Mbojiik (рис. 3.3). Правда, ik далеких от центра расстояниях, где волта локально близка к плоской, распространение перед-

Ри с. 3.3. Профиль N- волны

него разрыва можно рассматривать независимо. Если, например, положительная часть импульса при г = г0 имеет треугольную форму, то, пользуясь формулами (3.3) и (3.4) гл. 2, описывающими поведение плоской волны на больших расстояниях, получим соответствующие сферические формулы для амплитуды и$ и длины / импульса [Ландау, 1945]:

ys = ^ + °оIn ~^ , / = /о(1+о()1п ^),

o0=ev0r0/l0c0. (3.5)

Эти простые формулы имеют, однако, ограниченную применимость. Прежде всего это связано с учетом диссипации хотя бы в рамках обобщенного уравнения Бюргерса (2.1). Оно уже не может быть приведено к уравнению с постоянными коэффициентами, и для него известны лишь некоторые приближенные решения. В решении (3.5) считается, что ударный фронт импульса близок к стациотарному, тогда его структура такая же, как в плоской волне (поскольку толщина фронта 5 = v/vSf где 〃 一 кинематическая вязкость среды, заведомо мала по сравнению с радиусом его кривизны). Ясно, однако, что это справедливо лишь пока акустическое число Рейнольдса Re ~ 〃5 достаточно велико. Для плоской волны в виде одиночного импульса это условие всегда выполняется (если оно выполнялось вначале). Действительно, на больших расстояниях длина такого импульса / растет как \/^ а амплитуда % падает как l/^х, т.е. 5 ~ 1/% ~ ^Vx? Поэтому Re остается постоянным, и если в начальный момент Re> 1, то ударный фронт всегда узок по сравнению с обшей длиной импульса. Поэтому волна остается нелинейной до конца процесса.

В сферической волне это не так. Рассмотрим это на примере импульсных волн. Согласно (3.5) /~ Vin«〃(>), а 5 ~〃，т.е. акустическое число Рейнольдса падает как y/l^^jlT и становится порядка единицы на расстоянии, определяемом условием 5 比厶 т.е.

/oVTGo 1П(Г1〃о)= v/vs =(邮0力)“1 +。0 1п(Г1〃о),

или

尸i/^o 二 и%/〃 二 Re.

83836—2. Зак. 382

83

83

При г > rt длительность фронта становится сравнимо血 с общей длительностью импульса, и его фронт нельзя считать стационарным. В дальнейшем Re уменышется и волна превращается в линейную. При этом говорят о переходе ударной волны в акустическую.

Однако этот переход может произойти и по другой причине [Наугольных, 1972]. Сферическая расходимость приводит к столь резкому ослаблению амплитуды, что диссипация просто не успевает размывать ударный фронт до его стацио^рной (вернее, квазистацио^рной) ширины, и, хотя he » 1, локальное число Рейнольдса на фронте волны станет малым, тогда как в стационарной ударной волне оно всегда порядка единицы.

Чтобы оценить расстояние, на котором зто произойдет, обратимся к обобщенному уравнению Бюргерса. Ясно, что фронт ударной волны может оставаться близким к стационарному только при условии, что последнее слагаемое, ответственное за сферическую расходимость, остается малым по сравнению с остальными. Поэтому полученные выше формулы теряют применимость начиная с такого радиуса г2, на котором, скажем, нелинейное слагаемое еиит/с будет порядка последнего слагаемого ис/2г: %/5 〜 f；/〃~c/2l. Отсюда, подставляя решение (3.5), получаем

式 1 +а01п^) = Ло. (3.6)

Здесь 与=々〃о, Ло = VqTqIcv = MRe(r0), где Re(r0) 一 число Рейнольдса по масштабу г0- При Ло < 1 это уравнение вообще не имеет решения в области I > 1, т.е. при 尸2 > 尸0・ Это озтачает, что с самого начала фронт ведет себя линейным образом. Если же Ло > 1, то из (3.6) определяется конечное значение г2> отвечающее переходу ударной волны в акустическую, так что при г > г2 шири^ фронта растет по закону линейной диффузии, т.е. как \/7? З^чение г2 может быть меньше т, и тогда задний фронт импульса по-прежнему описывается решением (3.1). Однако поскольку член evujc в уравнении Бюргерса в этой области меньше, чем на переднем фронте, то нелинейность не успевает проявляться и здесь, где основными слагаемыми теперь остаются си, и си/2г, так что амплитуда всей волны затухает как г-1, и, в сущности, она становится полностью линейной уже при г = г2, хотя ее фронт и остается коротким.

Приведем один пример. Пусть ^ радиусе 飞==1 м амплитуда взрывного импульса в воде равна рт = 5107 Па, а длительность г = 100 мкс (что отвечает взрыву заряда массой примерно 1 кг, см. ниже). Тогда %)= =3,3 м/с, а М = 2,2- 1(Г3. При этом Re = 2- 10s, Ло = 4,4-102, а0 = 6- 1СГ2. В результате находим, что 八=Re r0 = 2-Ю5 м, тогда как 勺 ~ 2г0Л0 = =9-102 м, т.е. линейная стадия ^ фронте вступает гораздо быстрее, чем Re становится порядка единицы во всем импульсе. Уменьшив амплитуду волны на 2 порядка, мы получим, что Ло ~ 4,4-1СГ2, и в этом случае фронт волны с самого начала будет линейным (хотя Re = 2 103 > 1).

Аналогичное рассмотрение можно было бы провести для волн с цилиндрической симметрией; простейшие формулы для этого случая столь же хорошо известны (см., например, [Наугольных и др., 1963]).

НЕЛИНЕЙНАЯ АКУСТИКА ВЗРЫВНЫХ ВОЛН

Взрыв в океане и атмосфере 一 пожалуй, наиболее распространенный источник мощных акустических импульсов. Выше уже упоминались работы Ландау, Уизема, Христиановича и других авторов, которые были посвящены ударным волнам на далеких расстояниях от места взрыва. В последующие года этот круг задач был исследован более подробно, в частности применительно к подводным взрывам, которые широко используются как источники интенсивных широкополосных акустических сигналов. Такие сигналы применяются в связи с задачами профилирования дна, морской геологии, исследования землетрясений и подводных вулканов, подводной связи, навигации и т.д.

Качественная картина, ^пример, подводного взрыва имеет следующий характер. Ударная волна детонации из взрывчатого вещества переходит в воду, распространяясь в ней в виде сферического фронта. Вслед/ за ней возбуждается более слабая переменная волна давления, связанная с пульсациями газового пузыря, образованного продуктами детонации (рис. 3.4). Здесь мы будем интересоваться главным образом головной волной, имеющей форму импульса с разрывным передним фронтом и пологим задним, близким к экспоненциальному: р = рт ехр(—t/т). Уже довольно давно были получены эмпирические формулы, определяющие параметры этого импульса в зависимости от расстояния г и от веса заряда Q [Коул, 1950]:

Pm =G1(e1/3/r)1,13. T^G^IXQ^Ir)-^2.(4.1)

Численные коэффициенты G】и G? определены из усреднения экспериментальных данных и приняты различными у разных авторов; в среднем можно принять Gi = 11107, G2 = 90 (при этом Q выражается в кг, рт - в Па, а т — в мкс).

Здесь возникает естественный вопрос: как формулы (4.1), справедливые и на таких расстояниях, где нелинейность в волне уже достаточно мала, "сшиваются" с формулами нелинейной акустики (и нельзя ли вообще первые заменить вторыми, более строгими) ? Для экспоненциального тачального импульса эти формулы приобретают вид

ртг/рm 0^0 =2 [1 +，1101110小)]7 ,

т/tq = ^-1 [1 +(/-1)(1 +2aln(r/r0))1/2].(4・2)

(Конечно, импульс теряет экспоненциальную форму, и под г теперь понимается его ширина ^ уровне от пикового зтачения.)

Из сравнения формул (4.1) и (4.2) видны трудности их "стыковки”： так, первые содержат лишь один произвольный параметр Q, тогда как во втором произвольны два параметра — Рто н 丁。，которые, таким образом, должны быть связаны параметрами взрыва. Более важно то обстоятельство, что различны законы затухания волны: соответственно г-1,13 и 尸(lw)T/2. Тем не менее, если, следуя работе [Фридман, 1980]「сшить” решения (4 11 н (4 21 на некотпппм палиусе 尸с = Е? 1(с卩、значения рт оказываются весьма близкими (с разницей не более 10%) та весьма широком (несколько порядков) интервале расстояний (рис. 3.5). Это заставляет думать, что на деле закон у-из есть лишь аппроксимация логариф-

Рис. 3.4. Профиль взрывной волны

Рис. 3.5, Зависимость амплитуды рт взрывной волны от расстояния г / — теория, 2 — эксперимент (Коул, 19501- Q — масса заряда

Рис. 3.6. Зависимость длительности т взрывной волны от расстояния г / - теория, 2 - эксперимент (Коул, 1950]. Q - масса заряда

мического (в эмпирическую формулу естественно было ^заложить** степенной закон). Хуже обстоит дело с длительностью импульса; в действительности он расширяется быстрее, чем в теории (рис. 3.6). По-видимому. для описания закона изменения импульса необходим более точный учет членов, описывающих сферическую расходамость волны [Петухов, 1983]

Возможность описать головную часть взрывного импульса с помощью формул НГА представляется ценной по ряду причин. Так, она позволяет оценить расстояния г^ 2, начиная с которых фронт волны можно считать линейным. Если подставить эмпирическую формулу (4.1) в формулы, соответствующие условию Re = 1, получим выражение для 门 (в м):

С = 10笛0,37,(4.3а)

а условие линейного расплывания фронта (3.6) дает (при о《I,/。» 1) 『2 (в м):

万=2,7 • 10"* 0。，6.(4.36)

Однако эти формулы для реального моря справедливы только для достаточно высоких частот (когда длительность импульса меньше 10 мкс). Для более низких частот затухание звука не может быть описано постоянным коэффициентом вязкости - декремент затухания пропорционален уже не со2, а з^/?. Для этого случая, например, вместо (4.36) имеем следующее выражение для『？ (в м):

г2 = 1,1103С°'47.(4.4)

Кроме того, формулы НГА можно использовать и для столь больших расстояний от места взрыва, где океан уже необходимо считать неоднородным. Так, в работе [Горский и др., 1980] рассмотрено влияние свободной поверхности моря в простейшем случае, когда отсутствуют волнение и пузырьки газа. При этом основные эффекты связаны с изменением знака давления в отраженной волне: области сжатия и разрежения меняются местами. В результате ударный фронт начинает расплываться, а спад импульса обостряться, и, если нелинейность не слишком мала, в отражен-

ной волне образуется новый разрыв. Не приводя здесь соответствующих формул, дадим одну численную оценку. Пусть заряд весом 1СГ4 кг ТНТ детонирует на глубине 10 м. Тогда согласно формулам (4.1) амплитуда ударной волны у поверхности над зарядом равна 1 атм. При таком давлении и объемном газосодержании, характерном для океана, кавитационные эффекты в отраженной волне не проявляются. В этой волне разрыв постепенно расплывается, новый же разрыв формируется ш разных расстояниях в зависимости от угла отражения; ггапример, в волне, отраженной под углом 60° к нормали, это расстояние равно 80 м по горизонтали и 27 м по глубине.

Формулы для параметров взрывной волны в однородной среде можно также использовать как исходные для расчетов распространения этой волны в плавно-неоднородном океане.

НЕОДНОРОДНАЯ СРЕДА. ПИНЕЙНО-ПУЧЕВОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ

В общем случае вы^жения типа (2.2) и (2.4), полученные в разд. 2, приходится рассштривать как неявные, поскольку параметры лучевой трубки заранее неизвестны. В предыдущем разделе лучи оставались прямыми просто из-за сферической симметрии. Однако и в более сложных слу<йях для неоднородной среды можно пренебречь нелинейными изменениями лучей, учитывая вместе с тем нелинейные искажения профиля волны [Островский, 1976]. Этот результат может быть получен при формальном построении системы, приводящей к уравнению типа (2.3), но качественные основания для него очевидны. Действительно, нелинейные деформации волны как в продольном, так и в поперечном направлениях на величину порядка длины волны происходят на расстоянии одного и того же порядка £ ~\M「i, где М — акустическое число Маха. Однако масштаб волны в продольном направлении сам порядка 入，н зти дефоршции радикально изменяют ее профиль, тогда как масштаб поперечных изменений (в рамках НГА) много больше 入，и сдвиг фронта на величину порядка 入 не отражается существенно ш общей картине лучей.

Это не значит, конечно, что эффекты само рефракции вообще несущественны: на самом деле приведенные только что рассуждения не универсальны. Эти эффекты, так же как и ограничения линейно-лучевого нрнбли~ жения, мы обсудим ниже, а сей<йс будем считать их выполненными, тогда картина лучей может быть построена из линейного приближения. Рассмотрим несколько физических примеров.

Одномерные эффекты. Волны в атмосфере. Начнем с одномерных задач. Пусть свойства среды изменяются лишь в одном направлении х (стратифицирования среда) и плоская акустическая волги распространяется именно в этом направлении. Сюда могут быть отнесены и задачи о распространении волн в трубках переменного сечения. В этом случае мы избавлены от необходимости строить лучи и можно непосредственно пользоваться формулами (2.2)-(2.4), полагая / =х. При этом сразу отметим следующий существенный момент. Если при х ->°° приведенная переменная X ->«>, а величин U остается конечной вместе с и, то, как и в однородной среде, всегда образуется разрыв и волна полностью дассипирует. Однако для неоднородной среды возможно, что подынтегральное выражение в "

быстро убывает с ростом х или убывает величина U、так что в (2.4) слагаемое UX остается конечным при х ->°°. Тогда разрыв может вообще не успеть образоваться, а если он и возникает, то в дальнейшем периодическая волна не имеет пилообразной асимптотики, а импульс сохраняет конечную длительность. Причина этого "замораживания” нелинейных искажений понятна: либо нелинейность резко падает с расстоянием (например, из-за затухания), либо растет скорость волны, так то нелинейные искажения не успевают накапливаться.

В качестве интересного физического примера рассмотрим распространение первоначально гармонической волны в изотермической атмосфере. В такой атмосфере, как известно, с 二 const, р = роехр(-х/Я), где Н = с2/-^ G — ускорение силы тяжести) — действующая высота атмосферы (для Земли Я = 8 км, для хромосферы Солнца Н- 100 км). Подставляя это в (2.2), при 4 = const мы легко получим

2M

U=uV^e-x/2M, х=(eX/2M_i)(5.1)

ivW

При Я> 0 эти формулы отвечают распространению вверх (в сторону убывания плотности); для описания распространения вниз здесь достаточно изменить знак Н.

Теперь легко получить полное описание волны. Так, если при х = 0 задана синусоида с амплитудой и。 и частотой з, то разрыв образуется при хн 二(ез%)7, или в исходных переменных при

Хн=2[Н1п(1 +А/2Я)]-1,(5.2)

где ZH = с2/(€соио) 一 расстояние образования разрыва в однородной среде с теми же начальными параметрами. Отсюда видно, то при распространении вверх всегда хн < Ан, т.е. разрыв возникает быстрее, чем в однородной среде. Это и понятно - амплитуда скорости в волне растет как рТ/2 七 е*/2Н Наоборот, при движении вниз амплитуда убывает и хн > Ан. Если же £н>2Н, то реализуется отмеченная выше возможность **замо- раживания*' — разрыв не возникает вообще.

Если разрыв образуется, то дальнейшая его зволюиия тоже определяется для переменных U н X формулами гл. 2, откуда уже нетрудно перейти к исходным переменным. При этом асимптотика периодической волны, распространяющейся вверх, следующая： i)$f 竄с]2зН、т.е. амплитуда скорости стремится к постоянной величине - рост и за счет убывания плотности компенсируется затуханием на разрыве. Разумеется, энергия волны стремится к нулю, поскольку амплитуда давления быстро убывает. Для треугольного импульса и事 ^夕比心^^外收匕 т.е. медленный рост и事 все же сохраняется.

При движении вниз, если разрыв успевает образоваться, величина U в нем остается конечной и, следовательно, vs^e~x^H, как и в линейной волне. При этом разрыв на бесконечности не исчезает.

Эти несложные формулы имеют весьма интересные гео- и астрофизические приложения. Здесь важна возможность быстрого нарастания нелинейных искажений при распространении вверх. В результате даже небольшие сейсмические и другие возмущения поверхности Земли могут

трансформироваться в разрывные волны, сильно зату?йющие в верхних слоях атмосферы. Например, для сильных волн цунами в океане характерны вертикальные смещения | водной поверхности порядка 1 м, происходящие в очаге с размерами, скажем, 100 км 验 время Т порядка нескольких секунд. Пользуясь формулой (5.2), при 10 с, з = 3 • 10"1 рад/с, Vo 二 3互=0,3 м/с, с = 330 м/с, € = 1,2, Я= 8 см получим, что координата образования разрыва хн = 8,2, Я= 66 км. Хотя приближение изотермично сти и не выполняется строго до таких высот, скорость звука изменяется не слишком сильно, и эта оценка, по-видимому, отражает реальность. На этой высоте смещение частиц равны уже ex^HlQ 二 60无=60 м, а в дальнейшем, на стадии пилообразной волны, оно достигает предельного значения около 200 м. Такие движения, происходящие уже в области F-слоя ионосферы, могут быть зарегистрированы с помощью радиолокационного зондирования.

Другой интересный пример — хромосфера Солнца. Сейчас астрофизики располагают достаточно подробными данными о ее структуре. Известно, что температура хромосферы сначала заметно падает с высотой (примерно ст 5500 до 4700 К на протяжении нескольких сот километров), а потом растет, достигая примерно 6500 К на высоте порядка 1700 км, т.е. на верхней г^ницё хромосферы. Поскольку прямых источников тепла в хромосфере нет, должны существовать какие-то "подогревающие" факторы, приходящие извне и способные поддершть ука^нный рост температуры. Качественное решение этого вопроса было предложено уже давно. Согласно современным представлениям, ниже хромосферы, в подфото сферных слоях, лежит конвективен эона. Энергия конвективных движении передается вверх в виде волн — звуковых, магнитоэвуковых и др. Распространяясь вверх, они превращаются в ударные, и их диссипация приводит к нагреву газа. Энергетические оценки подтверждают такую возможность. Однако необходим конкретный анализ диггамики этого процесса, и здесь оказьшается адекватным метод НГА.

Оценим прежде всего характерные расстояния, 5ra которых проявляется нелинейность. Считая пока хромосферу изотермической, примем для нее ускорение силы тяжести g = 2,7 • 104 см/с2, с = 10 км/с, € = 1,2, Я= 200 км. Кроме того, нужно знать ?йрактерные амплитуды и частоты возмущений, выходящих из конвективной эоны в хромосферу. Детальных данных об этих параметрах нет, но, по-видамому, эти возмущения имеют спектр с шксимумом, лежащим в области периодов Т^30；60 с. При этом условие короткоеолновости выполняется в области маквму- ма и на высокочастотной ветви спектр (Т < 30 с). Что же касается амплитуды колебаний, то можно принять % ~ 0,4+2 км/с, т.е. условие малости нелинейности выполняется по крайней мере для ггачальных значений амплитуды. Аппроксимируя (для грубых оценок) конвективный шум синусоидой с частотой со — 0,15 С"1 (Т = 40 с) и подставляя все это в формулу (5.2), получим, что при % = 1 км/с Хц=而0 км, т.е. разрывы образуются весьш быстро. Если отойти вверх еще 5ra 400 км, то вопгта будет близка к пилообразной с амплитудой % > 5 км/с.

Итак, нелинейность в хромосфере весьма существенна. Однако, чтобы судить о возможности ггагрева хромосферы, необходимо рассмотреть самосогласованную задачу; волны, переносящие энергию из конвективной 89

Рис. 3.7. Распределение температуры в хромосфере Солнца

Рис. 3.8. К расчету рефракции нелинейных волн

зоны, распространяются в неоднородной среде, параметры которой определяются дисошацией энергии этих волн. Такая задача была рассмотрена в работе С .А. Каплана и др. [1972]. Здесь мы лишь кратко опишем полученные результаты.

В отсутствие акустического возмущения изменения температуры и плотности хромосферы с высотой определяются совместным решением уравнений гидростатического равновесия и уравнения переноса тепла в той или иной форме. Вязким трением обычно можно пренебречь, однако механизмы теплопередачи в условиях хромосферы сложны, разнообразны и не вполне изучены. Можно считать, что в хромосфере преобладает лучистый перенос энергии, однако если в нижних слоях его можно описывать диффузионным уравнением типа уравнения баланса тепла с коэффициентом теплопроводности, зависящим от температуры, то в верхних слоях преобладает перенос излучения в линиях отдельных атомов (в частности, водорода), что существенно увеличивает поглощение. (Заметим, что область роста температуры вообще нельзя корректно описать в даф- фузионном приближении, поскольку здесь поток энергии направлен в сторону повышения температуры.) Поэтому приходится использовать различные уравнения для разных слоев хромосферы.

Предположим, то на нижней границе хромосферы (х = 0) генерируется гармоническая акустическая волна с параметрами з н Um・ Распространяясь вверх, она испытьшает нелинейные искажения вплоть до образования разрывов в некоторой точке х =хн. Ниже этой точки поглощение отсутствует, и звук не влияет на температурный профиль. Однако при х〉％н появляется источник тепла, происходит поглощение энергии ударных волн, и в уравнение баланса тепла добавляется соответствующее слагаемое. С другой стороны, закон эволюции разрывов тоже заранее не известен — он определяется из уравнений движения разрыва, в которые входят неизвестные параметры Т(х) и р(х).

Решение такой самосогласованной системы уравнений было проделано с помощью ЭВМ. Были рассчитаны распределения температуры и плотности в хромосфере. Из расчетов следует, что при следующем выборе параметров волны: з = 0,15 с-1, и^ = 2,5 • 105 см/с, р0 = 5 • Ю~7 г/см3. Го = 5500 К (о。н % — начальные значения р и Тнрнх =0), получает объяс-

нение эффект инверсии температуры — ее падение на начальном участке (пока разрыв не образовался) и дальнейший существенный рост (рис. 3.7).

При этом распределение плотности остается близким к экспоненциальному, а амплитуда скорости на разрыве стремится к константе. Конечно, здесь существует много невыясненных вопросов. Во-первых, требует уточнения модель теплопереноса в хромосфере. Во-вторых, акустические волны — лишь частный тип возмущений, излучаемых снизу в хромосферу. Кроме них следовало бы рассмотреть магнитозвуковые волны, альфвенов- ские, внутренние гравитационные. Анализ нелинейных искажений магнитного звука в экспоненциальной атмосфере был проведен в работе [Островский, Рубаха, 1972], где показано, что в сильном магнитном поле Н (когда с《/7(4ттр)-1/2) в медленных магнитозвуковых волггах образование раз- рьшов происходит еще быстрее, чем в немагнитном звуке. В быстрых же магнитозвуковых волнах, бегущих вверх, разрыва может и не возникнуть вообще ввиду неограниченного ускорения волны (ее скорость стремится к бесконечности при р ->0, и время ее распространения вверх в этой модели остается конечным при х ->«>). В альфвеновских волнах, как известно, разрывы не возникают вообще. Эти два последних типа волн, по-видимому, могут, слабо затухая, пройти в корону Солнца и в принципе принять участие в ее нагреве: рост температуры в короне гораздо сильнее, чем в хромосфере. Однако адекватной модели, описывающей волновой нагрев короны, построить пока не удалось.

РЕФРАКЦИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ВОЛН В ППОСКОСПОИСТОЙ ФЕДЕ

Перейдем теперь к задачам с более сложной геометрией лучей. Будем пока использовать линейно-лучевое приближение, т.е. считать, что ход лучей остается таким же, как в линейной теории. Рассмотрим плоскослоистую среду, параметры которой зависят лишь от одной координаты 2 (будем теперь называть для определенности 2 вертикальной координатой, а плоскость х, у — горизонтальной). Во многих случаях такая модель неплохо описывает реальную ситуацию для океана и атмосферы. Начнем с задач, сохраняющих плоскую симметрию.

Пусть на некоторой горизонтальной плоскости 2 = 0 все лучи направлены под одинаковым углом 6。 к оси 2. Такая геометрия реализуется, например, при наклонном падении плоской волны (в плоскости xz) из однородной среды на неоднородный слой, при этом в линейном приближении вся волновая картина перемещается вдоль ов х с фазовой скоростью и^ = Co/sin^o- То же справедливо, если при z = 0 находится ^антенна бегущей волны,\ возникающая, например, в атмосфере или океане При землетрясении в виде бегущей сейсмической волны. В данном случае лучи сохраняют параллельность везде, так что расстояние по горизонтали dx между двумя лучами сохраняется постоянным (рис. 3.8). Поэтому ширина трубки ds равна dxcosS и, следовательно, Л = ds/ds0 二 cosS/cosS。, ^де ds0 - ширина трубки на уровне z = 0, а 0 - местный угол наклона лу- ^й к нормали. Величина 6 определяется законом Снеллиуса: с0 sin0 = =c(z) sin0o • Таким образом, параметр ширины трубки равен

Л(г)= cos-Wl - Kc/co)sin6o]". (6.1)

Это позволяет свести задачу к интегрированию по вертикальной координате z. Учитывая, что d/=dz/cos仇 легко записать приведенные переменные (U, X) в виде (см. 2.2)

U = и(ср \/1 一 储戸/\/1 二鼠)"2 ,(6.2)

X = f.(6-3)

0 pV2c5/2(1_a2w2)3/4« 丿

Здесь a = sin0o; n = c/cQ — показатель преломления среды.

Предположим далее, что изменение с вдоль z может быть аппроксимИ' ровано степенным законом вида [Островский и др., 1976]

с - cQ(i±z/H)b, Ь = const.

Тогда интеграл (6.3) легко привести к виду

с/соН\/1 — a2 dn

X = ± j.(6.4)

；勿1/2*/2綬-2步(1 一42户4Х/

При этом в зависимости от знака перед интегралом верхний предел последнего может быть больше или меньше единицы, так что X всегда положительно.

Уже отсюда видно, что поведение волны может быть качественно различным в зависимости от значения Ь. Рассмотрим сперва распространение в сторону уменьшения с. При этом на конечном расстоянии z=H скорость звука обращается в нуль. Строго говоря, это нереальньш случай, но в астрофизических условиях возможно приближение к нему, когда, например, волна выходит из горячих слоев звездьт к холодным. Если пр< этом Ь > 1/3, то в точке z=H величина X расходится, что означает, как уже отмечалось, неограниченное нелинейное искажение волны и полную диссипацию ее энергии на разрыве (согласно (6.2) амплитуда скорости в этой точке стремится к бесконечности, а давление - к нулю, пр<чем энергия в гармонической волне, как легко показать, убывает как сь~2^ъ). Если же д < 1/3, то в точке 2 =Н величина X остается конечной, так что разрыв либо не образуется совсем, либо не успевает диссипировать полностью.

Перейдем к случаю, когда с растет с ростом z. Здесь в известной мере особым является случай нормального распространения (а = 0). Если при этом Ь < 1/3, то с ростом 2 неограниченно растет и X, так что волна всегда превращается в разрывную и ее энергия диссипирует. Если же д > 1/3, то разрывы либо не образуются, либо не исчезают вплоть до бесконечности из-за ускорения волны и убывания в ней амплитуды скорости.

При наклонном падении (а ^ 0) в этом случае всегда возникает точка поворота лучей — каустика; это происходит на высоте, где а = 1/а. Поведение волны вблизи каустики не описывается в рамках НГА; эта задача обсуждается в следующей главе. Отметим только одно существенное обстоятельство： исследуя поведение интеграла (6.4) вблизи каустики, легко видеть, что он остается конечным вплоть до самой каустики. Поэтому следует ожидать, что, несмотря на неограниченный (в данном приближении) рост амплитуды волны (и ^(1 - д2а2)-1/4), нелинейньте искажения остаются конечными; это позволяет в дальнейшем дать упрощен- ньш анализ поведения нелинейной волны в области каустики.

В некоторых слутаях интеграл (6.4) может быть вычислен аналитиче

ски. В резулыате легко находится, в частности, высота zs образования разрыва в первого чал ьно синусоидальной волне, когда и(0) = uosin[co(Z — 一 х/а)]. Так, при Ъ = 2/9 (т.е. Ь < 1/3) попутаем

(1 -a2)V4 +(1 -a2)V4 +2H(1 - о2 )1/42H(1 - о2 )1/4(6.5)(6.5)

(1 -a2)V4 +

(1 -a2)V4 +

2H(1 - о2 )1/4

2H(1 - о2 )1/4

(6.5)

(6.5)

Здесь Ан = со/(есоио) 一 расстояние др образования разрыва в однородной среде (знак "минус” отведет зггаку Fnioc" в (6.4), и наоборот). При уменьшении с разрыв успевает образоваться, только если b < 0,55. При увеличении с разрыв может и не возникнуть до каустики, если угол падения превытет некоторое критическое значение %, определяемое равенством

内=arcsin 手“ 1 + 产/4 一 I”?, Y = RX/H. (6.6)

Для задач подводной акустики, где относительные изменения с глубиной всегда малы, интересен случай линейной апнроквмации завидамости c(z), т.е. b = 1 при условии z《Н. При этом, подставляя в (6.4) д = 1 士bz[H, в первом приближении получим тот же результат, что и для однородной среды, а в следующем — малую поправку к нему. Исключение составляет случай скользящих углов, когда а близко к 1, и даже малые отличия а от единицы существенны. Полагая в (6.4)。二 1+q и а = 1 - s, где q, s малы, мы легко получим

Х=2”В{ s"4-(s-q)i/4} (q<s),

где Я — постоянный множитель перед интегралом в (6*4), a q, очевидно, равно z/H. При этом согласно (6.3) U= и0Vz爾*(1 — q/s)"?. Приравнивая X значению £н/<^Г! 5ййдем зггачение q& = zjH, соответствующее образованию разрыва в перво^чально гармонической волне:

Zs/H 二 S _ [s"4 - C& /(E3Uo 27/4小6)「, (6.7) откуда следует, что разрыв образуется до каустики, если разность 0 = =я/2 - б。= V^7 превышает величину

бег = (2екМН)-^3, (6.8)

где, как обычно, М = иоЛо- Это возможно (при условии 0《1) лишь для дцетаточно коротких и интенсивHbix волн, когда ^МЯ> 1. Например, для слоя океагта с изменением с в 10 м/с на 1 км (т.е. при с0 = 1,5 • 103 м/с имеем Н~ 1,5 • 105 м) из (6.8) нолу^йем, что в волне с частотой 10 кГц и амплитудой давления 1 Па (М 0,7 ■ 10-3) критический угол составляет 3 • 10~2 рад, или примерно 1,7°.

В следующей главе мы рассмотрим поведение нелинейной вопнь】 вблизи каустики с учетом дифракционных эффектов.

Точечный источник в неоднородной среде. Линейно-лучевое приближение позволяет, в сущности, решать задачи НГА во всех случаях, когда может быть пост рое гга картина лучей. Эта картина извести, например, для точечного источника в гшоскослоистой среде (см., ^пример, кни-

93

(6.9)(а = sin So, исто'шика(6.9)(а = sin So, исто'шикаry JIM. Бреховских [1973]). Будем задавать граничные условия (а 二曲) на сфере радиуса R。， окружающей источник, причем R。 должно быть велико по сравнению с длиной волны, но мало по сравнению с йрактер- ным шсштабом неоднородности, так то параметры волны одиггаковы на всей сфере. В случае линейной стратификации по скорости звука для ширины лучевой трубки полу1йется следующее выражение:

(6.9)

(а = sin So, исто'шика

(6.9)

(а = sin So, исто'шика

где приняты те же обозначения, то и в предыдущем пункте а = с/с0), причем теперь с0 соответствует точке локализации (или, что тоже самое, радиусу R。), а 6。 припишет произвольные значения. Знак "минус" в (6.9) отвечает движению луча до точки поворота, а знак "плюс" — после нее. Здесь снова можно выразить { через вертикальную координату z, но эта связь, конечно, зависит от направления (от значения 6°). Например, для вертикального луча (0О = 0) попутаем

力(Z)=(z/R2)2(i±z/H),

т.е. при движении в сторону роста с сечение лучевой трубки растет быстрее, чем в однородной среде, а в обратном направлении 一 медленнее. Заметим еще, что в точке поворота, где а =а-1 полу<йем А =Н]Е咫)， Подставляя (6.9) в выражение для приведенной координаты, получим

Х = а2& jХ = а2& j。-5/2(1 — a2a2)т/2。-5/2(1 — a2a2)т/2(6.10)(6.10)

Х = а2& j

Х = а2& j

。-5/2(1 — a2a2)т/2

。-5/2(1 — a2a2)т/2

(6.10)

(6.10)

где м =“Ro)= 1 土 (/?о/Я)，1 - о^.

Теперь нетрудно, например, гтайти точки образования разрыва в разных направлениях в первоначально гармонической или импульсной волне. Правда, в общем случае интеграл (6.10) приходится брать численно.

Точечный источник в экспоненциальной атмосфере. В заключение этого раздела рассмотрим точечный источник в среде с постоянной температурой, но с зкспоненциально убывающей вверх плотностью — в изотермшге- ской атмосфере. Эта задача имеет, кроме физического, и практический интерес, например, в связи с задачей акустического зондирования атмосферы, которое все шире применяется в последнее время.

В изотермическом газе скорость звука постоянна, поэтому лучи остаются прямыми, однако нелинейные эффекты сильно зависят от направления из-за резкого изменения р с высотой. В данном слутае р =р()ехр(—2z(H), где Н/2 - постоянггая величигга (действующая высота атмосферы). \Это весьма распространенная модель в гео- и астрофизике; действительно, в значительных слоях атмосферы плотность меняется гораздо резче, чем температура.

Решение данной задачи, как и выше, может быть легко записано в приведенных переменных, причем лучевая координата отсчитывается в радиальном направлении от источника. Задавая угол наклона луча к верти-

分，勿分，勿id /0 iid /0 i2 +/COS0Я2 +/COS0Я(6.12)(6.12)

分，勿

分，勿

id /0 i

id /0 i

2 +/COS0

Я

2 +/COS0

Я

(6.12)

(6.12)

Рис. 3.9. Высоты образования разрыва hs и слоя диссипации h^ как функции угла наблюдения

кали 0 и высоту источника 20, представим р в виде

(6.11)(6.11)p(l)= pQ exp [-(2/Я)(20 +scos0)].

(6.11)

(6.11)

Приведенную лучевую координату тогда можно представить в виде

Перейдя к безразмерным переменным, г = 1/Н, г。= s0/H, 77 = Х^у/сроАо/^, получаем

г exp(rcos0)

П= / dr,

77 二 Ez(rcos0) - £}6ocose),(6.13)

где Ej — интегральная показательная функция.

Начальные значения возмущений задаются на сфере / = /0, радиус которой, естественно, выбирается малым по сравнению с масштабом неоднородности Н, поэтому r()《1, так что функцию £/ (rocos0) можно разложить в ряд и учесть лишь два первых члена этого ряда:

77 = £z(rcos0)- 7 一 ln(rocos0),(6.14)

где 7 = 0,5772 — постоянная Эйлера.

Теперь легко найти, например, расстояние до образования разрыва в первоначально гармонической волне с амплитудой и и частотой з. Это расстояние rs или соответствующая высота hs = rscosO определяется равенством

Е〔也 s) = R + 7 + lnr0 + In (cos0).(6.15)

Здесь R =(丄н/'о)е-2"", и снова £н = с2/(соеио) — расстояние образования разрыва в плоской волне с амплитудой и。. Если 灭《 1, то мало н〃事，н из (6.15) легко получаем rs^ г0. Этот результат очевиден: при малых Rx разрыв образуется на расстояниях, где атмосферу можно считать однородной.

Более интересен случай R»L При этом высота образования разрыва зависит от угла 0, но эта зависимость слабая везде, кроме скользящих углов, близких к тг/2, — для всех остальных направлений член In cos0 мал по сравнению с R.

На рис. 3.9 показаны зависимости 〃事(8), 〃</(&)， найденные из числен-

95

ного расчета при г0 = 10”，Л = 100. Видно, что разрыв образуется практически на одной высоте вплоть до углов где-то около 85 °. Если, например, источник с частотой 300 Гц, сходящийся у поверхности Земли, создает волну с числом Маха, равным 10'4 на расстоянии / * 100 м, то & = 102, а высота образования разрыва равна 62 км.

После образования разрыва энергия волны диссипирует, причем интересно оценить толщину Zd слоя диссишции. За верхнюю границу этого слоя примем высоту hd, на которой разрыв развился до максимуш волны, при этом диссипирует около трети ее первотачальной энергии. Легко найти, что hd удовлетворяет уравнению, аналогичному (6.15):

/(〃(/)= S/2)& + 7 + in r0 + in cos0.(6.16)

Ясно, что и hd слабо зависит от 6. На рис. 3.9 отмечена и верхняя граница слоя. При ука^нных выше параметрах hd^67 км, т.е. толщина "слоя диссипациим равна всего 5 км.

Итак, в очень большом секторе энергия волны доходит почти до одинаковой высоты и затем весьш резко диссипирует. Это обстоятельство представляется важным при анализе условий акустического зондирования атмосферы.

САМОРЕФРДКЦИЯ УДАРНЫХ ВОЛН

В этом разделе мы откажемся от линейно-лучевого приближения и рассмотрим эффекты саморефракции, т.е. изменения направления лучей под действием нелинейности. Ограничимся двумерными задачами. Исходными будут уравнения лучей в виде (1.4): эк

V— = —, л 一=一-.

80 Эа Эа 80

Как уже говорилось, эта систеш незамкнута, в ней необходимо добавить связь между К и Л. Обсудим этот вопрос применительно к ударным волнам. Пусть при а = 0 задан ударный фронт с амплитудой и事 скачка, зависящей от 0, т.е. задана форма фронта боб) и зависимость М事0), где М‘ = 二 ％/“，с0 - скорость звука в невозмущенной среде. Этого, однако, недостаточно — необходимо, вообще говоря, ^дать все течение за ударным фронтом и затем рассматривать его движение, решая уравнения гидродинамики вместе с граничными условиями на разрыве.

Задача эта выглядит очень сложной. Впервые ее решения рассмотрел Дж. Уизем [1977] применительно к ударным волнам произвольной амплитуды, возбуждаемым равномерно движущимся поршнем в области, где ширина данной лучевой трубки постоянна. Тогда в случае плоского фронта волна имела бы вид ступеньки с постоянным течением за разрывом, а все изменения величины последнего связаны только с локальньи^и изменениями сечения трубки. При этом величину скачка можно найти из условий сохранения массы и импульса через сечение трубки, так что амплитуда и скорость разрыва будут функциями только локального сечения трубки А. Основываясь на соответствующем решении для канала переменного сечения, Уизем записал такую связь в случае ударной волны произвольной амплитуды в идеальном газе. Впрочем, для слабых ударных волн

такая связь очевидна: как и в линейном приближении, для двумерных волн и5 ~ т.е.

“4о= M/Mso)2,(7.2)

где М5О,Ло — некоторые начальные зшчения, причем без ограничения общности можно положить Ло = 1.

Однако с точки зрения НГА нас интересуют не бесконечные ступеньки, а короткие волны, ^пример волна в виде треугольного импульса, длина которого / мала по сравнению с характерным радиусом кривизны луча. В этом случае на величину разрыва влияют одновременно два фактора: изменение Л и эволюция квазипростой волнах за разрывом. С другой стороны, в рамках НГА достаточно ограничиться случаем малой нелинейности. При этом для замыкания системы (7.1) можно [Фридман, 1982] воспользоваться уравнением типа (2,4) для эволюции волны вдоль луча, используя приведенные переменные (2.2), которые для однородной среды имеют вид

7 dl‘

U = и/у/ёрЛ] X = сТ/2р-1/2 j _.

Тогда, в частности, уравнение для амплитуды треугольного импульса, скорость фронта которого равна с + (е/2)и$, имеет вид

益(лм?) - 24R偉)'О'"

где s = % /М$, М$ = и/%, а / - длина импульса, так что $ - его шющащ>.

Как следует из результатов гл, 2, эта величина сохраняется вдоль каждой трубки, т.е. она не зависят от о, но может зависеть от 0, если в 1ичальный момент она задана различной в разных точках фронта. Эта зависимость полностью определяется начальными условиями.

Таким образом, в общем случае мы получаем систему трех уравнении (7.1) и (7.3) для трех переменных 0, Л и М$, Одтако два упомянутых выше фактора - неоднородность трубок и нелинейная диссипация за счет < растяжения заднего фронта — могут действовать в разной степени, В частности, для достаточно длинного импульса (для больших I) правая часть j(7,3) мала и можно записать /М^ = Л0Мд0, что совпадает с квазистацио- нарным случаем (7,2). Подставляя еще Й=с(1 +2М^/2) и полагая, как и выше, Ло = 1, получим из (7.2) уравнения

ае2м；о ам$.1 ае • ем； ам$

а。м：aa ' co aa 2m?0 a”'

Эта система ^поминает обычные уравнения одномерной газодитами- ки — она квазилинейна, второго порядка. Для нее легко записать два се* мейства характеристик, по которым распространяются слабые возмущения на фоне постоянных значений М$ н 9:

呉У缙(制：限)

97977. Зак. 382

97

97

Поскольку величина с действительна, наша система является гиперболической. (Заметим, что с/с°а^^Г・) Конечно, для любого фиксированного уровня М$ можно положить М$ = М$о, однако различие этих величин удобно сохранить, поскольку (7.5) описывает также распространение простой волны с переменным М$. Чтобы найти такую волну, можно положить 6 = 6(М), и тогда из системы (7.4) находим

dS/dM尸 ±\/е/м$, 6 - 6。= ±2 (，eKi$ - “еМ$；) ,(7.6)

Соответствующее решение для М$ записывается в виде

М尸尸簞—с(М$)办(7.7)

Наконец, систему (7.4) теперь можно записать через инварианты Римана 厶=6 ± 2<й^:

住土哈)仆。・(7,8)

Весьма интересен вопрос о возможности существования разрывов з^чений 6 и М$, распространяющихся вдоль фронта "первичной” ударной волны. Ясно, что распространение по фронту простой волны (7,7) может привести к ее "опрокидыванию”，т.е. к бесконечно резким изменениям О и М$ в некоторой точке, Может ли в дальнейшем возникнуть вторичная ударная волна в виде скачка 6 и М$, т.е. излома фронта с различными значениями М$ по разные его стороны (по Уизему — **shock- shock”), т.е. разрыв на разрыве? Если постулировать существование такого вторичного скачка, то, интегрируя уравнение (7.4) по 0 в его окрестности, мы получим граничные условия

«&-%)= -М^,后一詛，门* 力急(М%』), (7.9)

где индексы 1 и 2 относятся к величием слева и справа от излома фронта, а Г — скорость движения излома вдоль фронта (Г = dBJda, где 0$ — координата излома). При малых М$ величин Г, как и должно быть, мала по сравнению с с0 (порядка с\/М/), и, значит, 6?-6产 6^7 - излом происходит на малый угол.

Исключая отсюда Г, получим связь между скачками 6 и М$ - аналог адиабаты Гюгонио в газоди^мике (тогда (7.6) можно считать аналогом адиабаты Пуассона).

Однако реальное существование таких вторичных скачков остается проблематичным, пока не выяснен возможный механизм "вязкости”, поддерживающий его структуру, — так же как обычтая вязкость необходима для существования газодинамических ударных волн. Очень вероятно, что такая вязкость может быть связан с дифракционным^ эффектами, приводящими к излучению энергии из окрестности излома, где геометрический подход неприменим. При этом в принципе может установиться стацио^рныи излом с резким, но непрерывным изменением 0 и Мя вдоль фронта. Его характерную ширину 5s можно оценить, приравнивая расстояние L, на котором скачок М$ расплывается из-за дифракции до ширины 8$ (%餐8；/%, где 8P - толщина первичного ударного

фронта), и соответствующую нелинейную длину расплывания для волны типа (7.7)(厶! в%5“2 - с) Отсюда получаем

&F^a一.(7Л0)

F(M/M并 ж

(Второе выражение соответствует случаю, когда MJ2 — Msi ^Ms ^Ms0-) Отсюда видно, что 5$ существенно больше 6р, как и должно быть при ма* лойнелинейности (М$< 1).

С помощью характеристик (7.5) удается решить ряд конкретных задач газодинамического типа, описывающих эволюцию фронта у слабой ударной волны. Приведем здесь два примера.

Устойчивость цилинщ)ического ударного фронта. Одним из очевидных решений системы (7.4) является цилиндрически-симметричное решение:

6 = 0/(%%), / = а/%, Ms = MJO Va^(7.11)

Рассмотрим поведение малых возмущений на фоне такой волны. Пусть 0 = 0/(“ао) + 0(а, 0), М, = Mjo V^J(1 + s (а, 0)),(7.12)

где 6 и s — малые добавки по углу и амплитуде. Тогда, линеартзуя урав* нения (7.4), получим

,2,C0€Ms00^2

勿=3)a，у - —丁冇-3)勺

Обозначая as = ^ и исключая из этих уравнений 0, получим

厶a = Ba-5/2务伊 Д= 1 cga5/2eMs0 .(7.13)

Решение этого уравнения можно искать в виде угловых мод, в которых &*е'т6, 「де т — целое. Тогда зависимость ^ от а выражается через цилиндрические функции.

В результате для коэффициента модуляции получим выражение

s a cT^z у (4小少修仁也此加:匕(7/4)

причем e'= (2f/aocom)(as)a.

В общем случае зто решение содержит цилиндрические функции Z первого и второго рода; оно определяется заданием начального (при a = а0) распределения s и 夕 по 0, Отсюда, в частности, можно проследить за асимптотикой возмущении при больших а для расходящейся волны и при а-*0 для сходящейся. При а-*°° аргумент функции Z в (7.14) стремится к нулю, и тогда легко видеть, что s и &' стремятся к не зави* сящему от а пределу. Если же а->0, то s,夕 ~сГ聯，Эго означает, что в сходяшейся волне возмущения растут быстрее, нежели амплитуда исход* ного симметричного ударного фронта. Таким образом, сходящаяся ударная волна оказывается неустойчивой относительно малых искривлений ее фронта (этот вывод был еще раньше сделан [Уизем, 1977] для сильных ударных волн). Эго означает, что неоднократно предпринимавшиеся усилия описать поведение сходящейся ударной волны вблизи центра симметрии до некоторой степени теряют смысл — эта симметрия должна нарушаться.

Рис. 3.11. К расчету саморефракцииРис. 3.11. К расчету саморефракции

Рис. 3.11. К расчету саморефракции

Рис. 3.11. К расчету саморефракции

Отдельного упоминания заслуживают локализованные на цилиндрическом фронте возмущения 6-типа. Они ведут себя и^че, чем рассмотренные выше угловые моды с конечным т, поскольку соответствуют асимптотике М Такие возмущения распространяются просто по характеристикам уравнения (7.13), т.е. J^ = \JSoTs^da, или

0 - 00 = ±4^&i/J С (7.15)

Отсюда, в частности, следует, что в расходящейся волне (а -><») локализованные возмущения успевают разбежаться лишь на конечный угол. Из выражения для Я легко видеть, что асимптотическое значение этого угла Ав ^A^/cqUq равно л/еМ$/2； и в рамках нелинейной акустики возмущения разбегаются слабо.

Превращение цилиндрической ударной волны в плоскую. Пусть в начальный момент а = а0 фронт ударной волны задан цилиндрическим с радиусом кривизны Ro в интервале углов |0| < 0О и плоским вне этого интервала (рис. 3.10),т-е.

0/&о, &о = 0о, при 181 С。。，

倣仪匸％)^ —б。при 0<—0о,(7.16)

、+0О при 0>0о・

Начальное значение амплитуды М(Оо) = Мо считаем постоянным вдоль фронта.

Рассмотрим вначале сходящуюся волну (качественное обсуждение этой задачи дал тоже Уизем [1977]). Тогда нас интересует область а< а0, и удобно положить % = Rq/cq, так что а = 0 отвечает точке фокусировки круговой волны в линейной задаче. О поведении решения нетрудно судить по ходу характеристик на плоскости а, 0 (рис. 3.11). В области /, соответствующей |0| >0О» эти характеристики прямые, прямыми будут и граничные характеристики. Внутри этого угла лежит область взаимодействия (ZZZ), где имеются два семейства искривленных характеристик (7.15), отвечающих круговой волне. Эти характеристики затем расходят-

ся, образуя области простых волн (Л), в которых один из инвариантов Римана постоянен. Наконец, начиная с некоторого а = а* характеристики пересекаются, образуя упомянутый выше излом. Но еще раньше, при некотором а = сер < а», область взаимодействия исчезает и остаются две расходящиеся простые волны, разделенные областью IV, т,е. новым плос* ким участком фронта.

''Критические*5 точки решения % н % теперь легко могут быть найдены. Поскольку область III ограничена характеристиками (7.15), выходящими из точек ±6q, и пересекаются они в точке % при 8 = 0, то легко получить

ар = a0(1 + 两分a5/4/4^)-4 = %(i 十两厶^^厂支 (7.17)

Отсюда видно, что при очень малых 0О 8。《\/еМ^) возмущение быстро разбегается по характеристикам (% близко к %), оставляя неболь。 шой плоский участок. Если же, напротив, Jq > \/^^ то % близко к точке фокусировки (сКр < а0), и вплоть до малой окрестности этой точки фронт сходится так же, как в отсутствие нелинейности (здесь справедпи- во линейно-лучевое приближение). Однако вблизи фокуса интенсивность резко возрастает и возмущения снова разбегаются по фронту. Поэтому всюду, в том числе в районе фокуса, интенсивность остается конечной даже без учета дифракционных эффектов, и фронт в центральной части становится плоским. Значение М$ в точке а = % ( и вообще на плоском участке) равно, очевидно, М$о (%/%)•

Дня того чтобы найти момент а* появления излома фронта, следует рассмотреть плоские характеристики (7.5) в области II с начальными условиями на кривой (7.15), о граничив ающей область III. Можно показать, что *,опрокидывание,* простой волны впервые происходит на граничных характеристиках, отделяющих область П от центральной невозмущенной области /匕 и что а* =-(3/5)ар. Отрицательное значение а* означает, что эта точка лежит за “линейным" фокусом.

Несколько слов о расходящейся волне с тем же начальным условием (7.16). Здесь возмущения тоже разбегаются по характеристикам, но гораздо слабее ввиду уменьшения амплитуды волны, Для координаты образования плоского участка теперь получаем

ар = %(1 — 6m\f^)* (7」8)

Это означает, что плоский участок образуется лишь для достаточно сильных и слаборасходящихся волн; если же % >2\/^^, то характеристики, ограничивающие область взаимодействия Ш, вообще не пересекаются и центральный участок остается цилиндрическим. В областях же простых волн II характеристики расходятся, и изломы фронта здесь не появляются вообще.

Уизем [1977] рассмотрел и ряд других задач: дифракцию ударных волн на закругленной стенке, клине, сфере, используя известные ранее газодинамические решения, и сравнил некоторые из результатов с данными экспепиментов. Однако ппя слабых упяпнму »лпн гллтплтствую- щие решения, по-видимому, работают не слишком хорошо, и мы их рассматривать не будем.

В заключение этого раздела заметим, что требование справедливости 101

разрывного приближения при описании ударных волн налагает определенные ограничения на кривизну фронта, иначе длительность ударного фронта не будет успевать подстраиваться к ее стационарному значению (аналогично рассмотренному выше переходу сферической ударной волны в акустическую). Заметим» что это требование опять эквивалентно тому, чтобы в обобщенном уравнении Бюргерса (2.1) последнее слагаемое, связанное с изменением ширины лучевой трубки, было на ударном фронте мал(^ по сравнению с остальными членами, бйланс которых и определяет структуру стационарной ударной волны. Сопоставляя его, например, с нелинейным слагаемым (е/с) UUT и учитывая, что 4J4 〜1/R, где R — радиус кривизны фронта, мы получим условие квазистационарности в виде 8P《Ам$ (% — ширина ударного фронта). Именно нарушение этого условия и переводит ударную волну в акустическую.

Глава 4

НЕЛИНЕЙНЫЕ ЗВУКОВЫЕ ПУЧКИ

УРАВНЕНИЕ ПОПЕРЕЧНОЙ ДИФФУЗИИ

В этой главе мы примем во внимание эффекты дифракции и рассмотрим их влияние на распространение звуковых волн конечной амплитуды.

Теоретическое описание подобных процессов связано с чрезвычайно большими трудностями. Даже линейная теория дифракции гармонических волн, давно ставшая классической； в свое время потребовала разработки, по существу, нового математического аппарата. Учет нелинейности в подобных задачах стал особенно актуальным в связи с развитием нелинейной оптики. Но для световых волн обычно существенна дисперсия среды, и такая волна даже при очень больших интенсивностях света остается близкой к синусоидальной, так что задача сводится к нахождению распределения в пространстве-времени двух ее параметров — амплитуды и фазы.

В акустике дело обстоит еще сложнее. Ввиду отсутствия дисперсии профиль волны непрерывно изменяется, вплоть до образования ударных волн; соответственно изменяется спектральный состав поля, и приходится исследовать дифракционные явления в таком сложно эволюционирующем поле.

Подобные задачи стали рассматриваться в акустике, пожалуй, только начиная с 1969 г,, когда Е.А, Заболотской и Р.В. Хохловым [1969] было предложено упрощенное уравнение, описывающее эволюцию нелинейных звуковых пучков с узким угловым спектром. Это уравнение послужило основой ряда дальнейших исследовании. Следует, правда, признать, что оно все еще очень сложно и для его решения приходится привлекать приближенные методы или пользоваться численными расчетами.

Из предыдущих глав уже было видно стремление везде, где зто возможно, упростить исходные уравнения акустики, воспользовавшись конкретными условиями задачи (рассматриваются волны, бегущие в одну сторону, а нелинейность и потери достаточно малы). В задачах нелинейной геометрической акустики в упрощенное модельное уравнениз входил еще член, описывающий изменение сечения лучевой трубки. Дифракцию можно рассматривать как поперечную диффузию поля по отношению к направлению распространения.

Дадим вывод соответствующего модельного уравнения. Начнем с линейного волнового уравнения для возмущений плотности р':

Ор'/。产-с^р=0.(1.1)

Это уравнение можно записать в виде

а% 2 а%' 2京-с°17 = с°а% 2 а%' 2京-с°17 = с°

а% 2 а%' 2

京-с°17 = с°

а% 2 а%' 2

京-с°17 = с°

(1-2)(1-2)или

(1-2)

(1-2)

△± = 8?/旷 + d/dz2.

Если рассматривается квазиплоская волна, распространяющаяся вдоль оси х, то р =f (f - х/to, х, у, z), где f — произвольная функция, причем быстрой является зависимость от переменной т = £—х/с(), зависимость же от координат при т = const должна быть медленной. Другими словами,

—+e0-- = F, dz Эх

где F — совокупность членов, малых по сравнению с каждым из членов в левой части.

Подставляя это в (1.2) и пренебрегая членом порядка (F)2, получим д

2~ (Рг+СоР^)=Сод1Р>(L3)

или в переменных т, х, у, z д2р', 2с0-—= ^Д±р.(1.4)

ОТ ОХ

Поскольку производная по т имеет нулевой порядок малости, то из (1.4) видно, что А丄р порядка 8р'/ах, т.е. изменение по х при постоянном т — второго порядка малости по сравнению с изменениями по поперечным координатам (если, скажем, 8/8х ~ М《1, то Э/Эу, 8/8z 〜\АГ).

Если рассмотреть гармоническую во времени волну, положив р = =р(х, у, z) ехр \ibrr ], где р — медленно меняющаяся комплексная амплитуда, то из (1.4) получаем известное параболическое уравнение квазиоптики:

=(1-5)

ox 2i3

Это уравнение впервые получено М.А. Леонтовичем [1944] и независимо Г.Д. Малюжинцем [1959].

то в ней нет нужды учитывать отличия волны от плоской и можно оставлять производные только по т: производные по остальным переменным дают вклад уже следующего порядка малости. Следовательно, приводя последнее уравнение к эволюционному виду, мы должны получить в результате преобразования Fn те же члены, что и в уравнении Бюргерса для плоской волны. Объединяя это уравнение с уравнением (1.4), получаем (ср. формулы (1.16) и (1.17) гл. 1)

a2PЭтдхa2PЭтдх(2.1)(2.1)

a2P

Этдх

a2P

Этдх

(2.1)

(2.1)

Это уравнение может быть также переписано в терминах избыточного дав ления р = clpt

ЭУЭтдхЭУЭтдх

ЭУ

Этдх

ЭУ

Этдх

Перейдем к безразмерным переменным:

u=匕= 二, ”5, 0=土 = -зp]х,6'后"I (2.2)

где po> Po, 3 - характерные амплитуды и частота возмущения, d — его характерный поперечный масштаб, ZH= (еМ^)-1 = PoCq/cc^Pq - расстояние до образования разрыва в плоской волне с параметрами р〔 и з, к = з/cq. Тогда уравнения (2.1), (2.2) запишутся в виде

(23)(23)---"-I = — N△丄"，

(23)

(23)

Э0 Ldo Э0 J 4

где N= 2/eM(^J)2 - безразмерный параметр, равный отношению характерных масштабов нелинейности £н и дифракции 丄江=kd2l2t называемый числом Хохлова. В квадратных скобках здесь стоит левая часть уравнения Бюргерса. Уравнение (2.3) и есть уравнение Хохлова-Заболотской [Заболотская, Хохлов, 1969].

Учет влияния вязкости приводит к дополнительному члену [Кузнецов, 1970]:

д Г Эм du , д2м 1

—■ — - w — — Re-1 —- = — NA丄u,(2.4)

до8俨 J 4

Это выражение называют иногда уравнением Хохлова—Заболотской- Кузнецова. Последовательный вывбд уравнении такого типа дан в работах [Островский, Пелиновский, 1974; Пелиновский и др., 1984]. Соответствующее уравнение можно получить также для звукового пучка, распространяющегося в плавно-неоднородной среде вдоль выделенного луча [Бабич, Булдырев, 1972; Пелиновский, Соустова, 1979]. В предельных случаях уравнение (2.4) переходит в уравнение Бюргерса или параболическое уравнение.

Первые решения уравнения (2.3) были получены в пренебрежении эффектами дифракции [Заболотская, Хохлов, 1969]. Они показали, что однополярный импульс сжатия с амплитудой, резко спадающей к краям

пучка, по мере распространения становится расходящимся, а аналогичный импульс разрежения фокусируется. Были рассмотрены случаи малых или, напротив, больших значений параметра ^ определяющего соотношение нелинейных и дифракционных эффектов [Руденко, Солуян, 1975; Куницьш, Руденко, 1978]. При этом чаще всего рассматриваются пучки с первоначально гауссовым распределением амплитуды по радиусу:

(2.5)(2.5)p (x = 0, г, г) = ph#户d sintor, м(0, f) = p'(O, r)/po =4©-戸/“‘Sina九

(2.5)

(2.5)

Если ^> 1, то в первом приближении можно пренебречь нелинейными эффектами, тогда невозмущенное решение имеет вид линейного расходящегося гауссова пучка:

(2.6)(2.6)…上竺+也如A+s q,

(2.6)

(2.6)

1 + О；\1 +O1/

где о】 =x/G，s = 〃d.

Далее методом возмущений отыскивается нелинейная поправка, возникающая при учете квадратичных членов.

Будем искать решение нелинейного уравнения (2.3) в виде и =〃】+ 〃2, где 〃2 — нелинейная поправка. Подставляя это выражение в (2.3), получим уравнение

("2 )е。-二("2)ss + L %= - (М1)вв =

4s2

(2.7)(2.7)exp[-2s2/(l +a?)]/%'

(2.7)

(2.7)

=A ；cos 216 - s + arctg q

1 +oi\1 +a?/

Решение этого уравнения можно получить методом разделения переменных, оно представимо в виде

,「八 \/ln2(l +а?) + 4arctg2ai

м2 = Л2ехр[-2х2/(1 +О1)] 厂―二 X

4V(1+4)

(2.8)(2.8)(2.9)(2.9)Гл , О! 11/2arctgOi \ 1

(2.8)

(2.8)

(2.9)

(2.9)

X cos 2 6 - s г + — arctg а 1 — — arctg |— 1 •

1+。； 2626 \ln(l+a?)/J

При s = 0, что соответствует оси пучка, получаем

А2 Г(1п(1+О1))2+4(arctga!)2 V2 "2 = *

4Nl+o；

Эта зависимость представлена на рис. 4.1 кривой 7. Видно, что сначала вторая гармоника нарастает, а затем перестает расти и убывает из-за ослабления волны вследствие расходимости пужа. Влияние расходимости в этом отношении можно сопоставить с влиянием диссипации, но в отличие от последней дифракция преимущественно сказывается на низких частотах и не может остановить нелинейных искажений: отношение амплитуды второй гармоники к первой монотонно растет (кривая 3), Для сравне-

Рис. 4.1. Зависимости амплитуды второй гармоники от расстояния в пучке и в плоской волне

Изменение нормированной амплитуды второй гармоники 4N〃2 (формула 2.9) на осн пучка (кривая 7), амплитуды №2 в плоской волне (кривая 2) ; нормированное отношение амплитуд второй н первой гармоник Nu2/ui в пучке (кривая 5)

Рис. 42 Профили волны на оси пучка (事=0, кривая I) и на периферии ($ = 1, кривая 2) для о = 0,25 ⑷，1 ⑹

ния на этом же рисунке дана зависимость второй гармоники от расстояния в плоской волне (кривая 2).

Рассмотрим теперь другой случай, когда N< 1 и вначале доминируют нелинейные эффекты [Руденко, Солу ян, 1975]. Ограничиваясь анализом поля вблизи оси пучка» представим решение в виде разложения по параметру s = 〃d, где г — поперечная радиальная координата, а =лс/1н, 0 = wr:

и (а,仇 s) = w0 (а, J) + — м2 (% 口)+ — 〃4 9, 口)+ ••■(2.10)

24

Подставляя это выражение в уравнение (2.3), получим систему связанных уравнении:

8 / du0 du0 \ N

а / du2a\

—I~- — («0«2)I =N〃4 ae \ ЭаЭ0/

(2Л1)

и т.д. Ввиду малости N правые части этих уравнений малы, что позволяет разомкнуть систему, положив и〃 = 0 при п > 4. Оставшуюся систему двух уравнений преобразуем, сделав замену u2 = QIN)8FI38 и затем интегрируя. Отбросив несущественную константу интегрирования, получим

du0du08 尸8 尸

~—= £ — — w0 —

da83daЭ0

(2Л2)

Соответствующая характеристическая система имеет вид

曲

~ =-«о, do

dF

(2.13)

Рис. 4.3. Профили волны в звуковом пучке квадратного излучателя

Амплитуда волны р' = 0,2 МПа, / = 150 кГц.

1 — эксперимент [Browning, 1968], 2 — теория

№тегрируя, получим

"0 =91g)+呻2 (D,尸=92倉)，与=Н + Ф10 + %m尸，

откуда, принимая во внимание граничное условие (2.5), найдем

м = Л(1 — s2)sin^ + oNA cos5, ^= 0 + оЛsin^ + (N/2)o2Acos^.(2.14)

В области, где нелинейные эффекты малы "jN《1), поле на оси пучка выражается формулой

м = Л sin (^ + oN),与=0 + оЛ sin (^ +о^2).(2.15)

Из последнего соотношения видно, что в отличие от плоской волны эволюция профиля в звуковом пучке происходит несимметрично, смещение точек профиля в области сжатия и разрежения происходит с различными скоростями. В результате положительная часть профиля сжимается, а отрицательная - растягивается, что, в свою очередь, в силу правила постоянства площади профиля (см. гл. 2), приводит к превышению амплитуды положительной фазы над амплитудой области разрежения. Этот эффект можно интерпретировать также следующим образом. Дифракционные эффекты приводят к смещению точек профиля волны, проявляющемуся как появление сдвига фазы. Величина этого сдвига оказывается разной у гармоник различной частоты, что приводит к их расфазировке, проявляющейся в несимметрии профиля волны.

В промежуточных случаях, при N%1, когда влияние нелинейных и дифракционных эффектов сопоставимо, для интегрирования уравнения (2.3) применяются численные методы. В качестве примера приведем результат расчета эволюции гауссового пучка, заданного граничным условием (2.5) [Бахвалов и др., 1982].

На рис. 4.2 представлены профили волны на различном удалении от оси пучка при значительной нелинейности (N= 1/3). При а = 0,25 разрыв образуется лишь на оси пучка, в то время как при а = 1 он возникает и на периферии. Профиль волны заметно несимметричен. Отмеченные особенности нелинейной эволюции звуковых пучков неоднократно наблюдались экспериментально.

Один из результатов представлен на рис. 4.3, кривая 7 [Browning, 1968]. Подобные данные были получены также в работах [Lucas et al., 1983; Андреев и др., 1985; Aanansen et al., 1984].

НЕЛИНЕЙНЫЕ ДИЭТАКЦИОННЫЕ ЯВЛЕНИЯ. ПОЭТАПНЫЙ ПОДХОД

Наиболее интересны те ситуации, в которых нелинейные и дифракционные эффекты одинаково существенны» Именно в этих случаях рассчитывать на получение общего аналитического решения исходных уравнений (в том числе и уравнения (2.3)) во всей области пространства обычно не приходится. Однако здесь зачастую удается воспользоваться следующим упрощающим дело обстоятельством: во многих практически важных случаях нелинейность и дифракция, хотя и играют в конечном итоге сравнимую роль, но проявляются в различных областях пространства, что позволяет описать процесс с помощью поэтапного подхода [Островский, Сутин, 1976].

Прежде чем рассматривать соответствующие примеры, обсудим общие критерии, по которым можно выделить область дифракции, в которой TV» 1, н область нелинейности, где N《 1, и непротиворечиво сшить соответствующие решения в промежуточной области, где N^ 1. Здесь приходится ввести переменную величину N [Сутин, 1980]; если речь идет о волновом пучке, то можно говорить о различных характерных параметрах N в различных сечениях пучка. Более строгий подход состоит в срав> нении нелинейного и дифракционного слагаемых в уравнении (2.3), однако в большинстве случаев, по крайней мере для наиболее интересных здесь ^пучковых** ситуаций, достаточно рассмотреть то же, что и выше, значение N:

N(x)=2，eM(kd)2, (3.1)

где в качестве М(х) и d(x) берутся характерные параметры пучка в данном сечении (х - координата вдоль пучка). По этому значению нетрудно судить о переходе от одного этапа к другому.

Более сложна проблема сшивки. В каком случае можно избежать решения задачи в промежуточной области, где ^^ 1? Для этого, очевидно, необходимо, чтобы протяженность этой области была достаточно мала в том смысле, что в ней не успевают накопиться ни нелинейные, ни дифракционные искажения волны, и тогда в ней решение либо изменяется мало, либо эволюционирует из-за действия какого-либо третьего фактора (например, геометрической расходимости пучка), результат которого нетрудно учесть. К счастью, подобных случаев оказывается достаточно много.

Что же касается нелинейного и дифракционного этапов, то соответствующие решения могут быть получены относительно просто. На первом из них справедливы формулы нелинейной геометрической акустики, полученные в предьщущей главе. В частности, для волн с плоской, цилиндрической и сферической симметриями можно пользоваться решением для простой волны, записанным в виде [Наугольных, 1968]

〃二/'(е + о〃), (3.2)

где 8 = зт; з - характерная частота; г = Z - r/cQ; f - произвольная функция, определяемая граничным условием (при r=R0); и =prrn/p0RQ - нормированное значение давления, р], Ro — начальные значения амплитуды и радиуса (для плоской волны u=p/pq =р7ро)； о определяется

следующими выражениями:

для плоских волн

о = еМАт, к = з/cq,(3,3а)

для цилиндрических волн

о = 2оо [\^7^о — 1]»(3.36)

для сферических волн

о = о01пг/7?о)(З.Зв)

Оо = eMkRg, М = р[/р储，

При наличии разрывов решение (3.2) дополняется уравнением для траектории разрыва.

На дифракционном этапе в случае пучков с узким угловым спектром поле может быть описано с помощью нестационарного интеграла Кирхгофа [Морс, Фешбах, 1958].

Этот интеграл представляет собой приближенную запись принципа Гюйгенса—Френеля для случая, когда вторичное поле задано не на всей поверхности, окружающей источник, а лишь на ее части с площадью поверхности S:

(3.4)(3.4)Р = ~- 一 ) dS 2яс0 s r ' c0 /

(3.4)

(3.4)

где r — расстояние от точки наблюдения до элемента поверхности dS; ~ акустическое давление на этом элементе. Формула (3-4) справедлива, если размеры поверхности и расстояние г велики по сравнению с длиной волны.\

Порядок описания поля при поэтапном подходе таков: определяется параметр N вблизи излучателя, и если ^•< 1, то на первом этапе можно пренебречь дифракцией, а если ^> 1, то нелинейностью. В соответствующем решении вычисляется параметр N(x), и область, где N *1, считается концом первого этапа и началом второго; как уже говорилось, это возможно, если переходная область мала по сравнению с нелинейным и дифракционным масштабами в ней. Возможно в принципе и несколько переходов от нелинейного этапа к дифракционному и обратно.

В следующих разделах мы рассмотрим некоторые примеры применения поэтапного подхода и сравним полученные приближенные решения с данными экспериментов и численных решений уравнения (2.3).

РАСХОДЯЩИЕСЯ ВОЛНЫ. ИЗЛУЧЕНИЕ

Рассмотрение эффекта нелинейной изо тропи зации начнем с задачи о гармоническом излучателе, параметры которого удовлетворяют соотношению ^ > 1. Вблизи излучателя нелинейностью можно пренебречь, так что вплоть до дальней эоны поле остается близким к гармоническому и происходит формирование диаграммы направленности обычным линейным образом [Островский, Фридман, 1972]. Если, в частности, иметь в виду плоский излучатель с характерным размером d, многократно превышающим длину волны ДО> 1), то создаваемое им поле представляет 110

собой гармонический волновой пучок, по^гги не расходящийся вплоть до расстояния L尸 kd'R. Затем формируется расходящаяся волна с углом расходимости 屮*]Jkd. При，А£Д (в волновой зоне) амплитуда поля падает как 1/，, а ширина пучка d растет пропорционально г, так что параметр N уменьшается с расстоянием по закону

^=^=2左或

^=

^=

7 = Nq eM(M)г

(4.1)(4.1)М = N(&o), dq = d(Rq),

(4.1)

(4.1)

где Nq - значениеNпри R ^ RQt

Отсюда видно, что на расстоянии

Rs^NM(4.2)

дифракционный этап сменяется нелинейным, и дальше следует пользоваться формулами (3.3). Однако для этого необходимо, чтобы переходная точка &s лежала уже в волновой зоне излучателя, где дифракцией можно пренебречь; и тогда еще на линейном этапе волна становится неоднородной сферической. Если размеры излучателя велики по сравнению с длиной волны, то этот этап описывается интегралом Кирхгофа (3.4); например, для плоского круглого излучателя радиуса d с заданной амплитудой смещения ^0 волновое поле описывается известной формулой [Ску- чик, 1976]:

P = T ср°з& —— .(4.3)

2г [ kdsuiip J

где 9 - угол между осью излучателя и направлением на точку наблюдения. формула (4.3) справедлива для волновой зоны при r>Rs. Сшивка со вторым, нелинейным, этапом должна производиться в этой зоне, пока волна не претерпела существенных искажений. При r = Rs задается неоднородная сферическая волна:

Р' = P(Rs) sin з/0(4 屮)，(4.4)

причем D - характеристика направленности (в случае (4.3) - величина, стоящая в квадратных скобках) f Для описания дальнейшей эволюции волны справедливо сферическое решение, описываемое формулами (3.2) и (3.3), но только а0 в нем теперь свое для каждого направления: а0 ^М *0. Следовательно, и темп эволюции волны различен для разных направлении. Например, координата образования разрыва равна

Rh(4 屮)=Rs exp [L„/RSD]. (4.5)

Естественно, что & минимально в направлении максимума диаграммы направленности* Обратная зависимость D-1 (%,9н) = (&。/4)比(〃&$) определяет телесный угол, внутри которого уже существует ударная волна на заданном расстоянии г.

Аналогично можно рассмотреть эволюцию разрыва. Так, координата точки, в которой он достигает максимума, согласно формуле (2.17) гл. 2 определяется формулой (4.5) с дополнительным фактором под знаком экспоненты. На больших расстояниях, когда ударная волна затухла на-

111

Рис. 4.4. Расширение диаграммы направленности излучателя интенсивного звука [Blackstock et al., 1973]

а — вид диаграммы на расстоянии г = 1.64 м от излучателя, б — г = 101 м

(4,6)(4,6)столько, что о > 1, ее амплитуда равна: ,Po(Rs) * /, г \Т

(4,6)

(4,6)

Здесь утрачивается зависимость амплитуды разрыва от направления: ее "съедает” нелинейное затухание. Это означает, что диаграмма направленности расширяется, сглаживаясь во всем диапазоне углов, где справедливо условие (4.6), Такая изотропизация диаграммы направленности захватывает по мере эволюции волны все больший телесный угол. Профиль волны в этой области становится пилообразным.

Эффект расширения диаграммы направленности наблюдался экспериментально [Blackstock et al., 1973] при опытах в озере с мощным гидроакустическим излучателем диаметром 7,6 см, работающим на частоте 450 кГц, Измерялись угловые характеристики излучателя на основной частоте и ее гармониках (напомним, что на пилообразной стадии соотношение между амплитудами гармоник сохраняется неизменным). На рис. 4.4 показана угловая зависимость поля на основной частоте на расстояниях 1,64 м (это примерно начало волновой зоны) и 101 м. Хорошо видно уширение диаграммы направленности с расстоянием. Подчеркнем, что данные явления наблюдаются лишь в условиях, когда существенно влияние нелинейного поглощения, наблюдающегося в пилообразной волне.

Между тем и при менЪших интенсивностях звука нелинейные эффекты могут привести к заметным изменениям диаграммы направленности из- 112

лучателя. Они заключаются в появлении до пол нител ьных боковых лепестков в диаграмме направленности на частотах гармоник, причем величины указанных вторичных максимумов в дальней зоне сравнимы с уровнями обычных боковых лепестков на основной частоте [HamUton, 1984].

Величина и угловые характеристики указанных дополнительных максимумов зависят от распределения амплитуды волны по поверхности излучателя, они отсутствуют, в частности, при гауссовом распределении и сильно выражены — при однородном.

Другим примером применения поэтапного подхода может служить задача о дифракции нелинейной волны на отверстии в экране. Пусть на расстоянии / от экрана с круговым отверстием радиуса а расположен излучатель гармонической волны в виде диска радиуса d. Если I < kd2/r, где к — волновое число излучаемой волны, то экран оказывается в прожекторной зоне излучателя и падающую на него волну приближенно можно считать плоской. Ее распро ст ранение описывается соотношениями (3.3), которые могут бьпьзаписаны в виде

Ps = Ро sin (зт + ops/Po ). (4,7) Здесь р% — амплитуда давления на излучателе; о = еМАх, М =Ро/Росо, х — расстояние от излучателя. При умеренной нелинейности, когда о < 1, выражение (4.7) описывает волну с укрученным профилем, характерный масштаб которой есть ^-1 = ^-1(1 — о). Подставляя формулу (4.7) в интеграл Кирхгофа, найдем рассеянное поле. Рассмотрим его характеристики в дальней зоне на расстояниях г > £д = ко1/!, В приосевой области, где kzsin^Vl, можно пренебречь запаздыванием сигналов, приходящих из различных точек в плоскости отверстия в экране, и интеграл Кирхгофа сводится к простой формуле:

(4-8)(4-8)t а1 Ъ

(4-8)

(4-8)

Следовательно, профиль дифрагированной волны определяется производной от функции, описывающей волну в конце прожекторной зоны. Пиковые значения положительных и отрицательных фаз определяются выражениями

где P'=PS^- 2ггде P'=PS^- 2гР+ =Р，(1 ~ О)'1. Р- =pz(l +а)-1, (4.9)

где P'=PS^- 2г

где P'=PS^- 2г

амплитуда дифрагированной гармонической волны.

Средняя за период интенсивность

2а22а2（7^7）厶（7^7）厶

2а2

2а2

（7^7）厶

（7^7）厶

где Д =p2l2pCQ — интенсивность гармонической волны. Таким образом, вблизи оси рассеянного пучка как пиковое давление, так и интенсивность растут с увеличением крутизны профиля дифрагирующей волны вследствие более сильной концентрации и меньшей угловой расходимости высших гармоник, возникающих при нелинейной эволюции волны. При рас-

ИЗИЗ8, Зак. 382

ИЗ

ИЗ

рис. 4.5. Дифракция слабонелинейной волны на отверстии в экране

Дифракция волны с крутыми участками профиля приводит к формированию волны несимметрнчнон 4>ормы, переходящей в пилообразную по мере дальнейшего распространения

чете поля вне прожекторной области при вычислении интеграла Кирх гофа необходимо учитывать запаздывание сигналов, приходящих от различных точек отверстия, в результате характерная длительность периодов дифрагированной волны будет определяться не параметрами падающей волны, как в приосевой области, а разницей времен хода сигналов a/cosin^. Общая картина поля представлена схематически на рис. 4.5.

Рассмотрим теперь случай о > 1, когда в процессе распространения возникает волна пилообразной формы, которая затем дифрагирует на отверстии в экране. Этот процесс удобно описать с помощью интеграла Кирхгофа (3,4) (смм например, [Харкевич, 1950]). Рассеянное поле представляет собой последовательность положительных импульсов, находящихся на отрвдательном пьедестале [Островский, Сутин, 1976]. В прожекторной зоне возникают импульсы сжатия с разрывными фронтами, их амплитуда приближенно равна 2pg, где р& - амплитуда падающей на экран пилообразной волны, и не меняется с расстоянием. Длительность импульсов равна а212сг и уменьшается с увеличением расстояния г от центра отверстия в экране.

Вне прожекторной области формируются импульсы пологой формы, характерная длительность которых n/cosin^ определяется разницей времен прихода сигналов. Если влияние диссипации незначительно, в волновой зоне снова могут развиться нелинейные эффекты. В приосевой области, где формируются отдельные импульсы, каждый из них становится треугольным. На больших расстояниях параметры такого импульса определяются его начальной площадью, величина которой не зависит от направления, в результате чего происходит сглаживание диаграммы направленности дифрагированного излучения. С течением времени импульсы расширяются и догоняют друг друга, волна становится пилообразной (рис. 4.6), ее период определяется разницей времен прихода сигналов из наиболее близкой и наиболее далекой точек отверстия в экране. Профиль импульсов о пределятеся формой рассеивающего отверстия.

Рис. 4.6. Дифракция пилообразной волны на ок верстии в экранеВозникает сигнал в виде последовательности коротких положительных импульсов, разделенных более длинными отрицательными фазамиРис. 4.6. Дифракция пилообразной волны на ок верстии в экранеВозникает сигнал в виде последовательности коротких положительных импульсов, разделенных более длинными отрицательными фазами

Рис. 4.6. Дифракция пилообразной волны на ок верстии в экране

Возникает сигнал в виде последовательности коротких положительных импульсов, разделенных более длинными отрицательными фазами

Рис. 4.6. Дифракция пилообразной волны на ок верстии в экране

Возникает сигнал в виде последовательности коротких положительных импульсов, разделенных более длинными отрицательными фазами

Рис. 4.7. К расчету концентратора звука d — размер апертуры. F — фокусное расстояние

Обсудим условия применимости изложенного поэтапного подхода на примере слабонелинейной волны, когда о< 1. Оценим изменение N с расстоянием от экрана. Подставляя в N выражение для амплитуды волны в прожекторной области, получим

^= (1 - o')Mfc?/2A

где М)- значение N в плоскости экрана. Отсюда следует, что граница дафракционного этапа определяется соотношением

Rs d (硒2)(1 -02)m.

Следовательно, изложенные выше соображения, основанные на учете нелинейных эффектов в волновой области дифрагированной волны, справедливы при % А £д = Ал?/2, или

№(1-М)/2AL

Подчеркнем, что разделение нелинейного и дифракционного этапов не всегда удается провести так определенно, как в задаче о дифракции нелинейной волны на экране. Тем не менее поэтапный подход позволяет, хотя и весьма грубо, отразить основные черты явления. В качестве примера приведем результат расчета поля излучателя в виде круглого диска радиуса d при условии £и < £дг

В этом случае нелинейные эффекты развиваются в прожекторной зоне

излучателя. Профиль волны в дальней зоне, основанный на расчете дифракции нелинейно искаженной волны, был приведен на рис. 4.3, кривая 2. Здесь же приведен зарегистрированный в воде профиль волны амплитуды 0,2 МПа, частоты 150 кГц [Browning, Mellen, 1968], см. также [Theobald et al., 1976].

ФОКУСЫ И КАУСТИКИ

Структура неоднородных полей высокой интенсивности, содержащих области фокусировки или каустики, определяется совместным влиянием нелинейных и дифракционных эффектов. При приближенном теоретическом описании их также удается применить поэтапный подход, пренебрегая влиянием нелинейности в областях фокусировки, где в силу малой протяженности области они не успевают накопиться и влияние дифракции оказывается более сильным [Островский, Сутин, 1975].

Рассмотрим в качестве примера фокусирующую звуковую систему, излучатель которой представляет собой часть сферической поверхности с углом раскрытия а, фокусным расстоянием 尸 и апертурой d — Fa (рис. 4.7).

Пусть излучается гармоническая волна частоты w = cQk. Если ее амплитуда ро достаточно велика, так что масштаб нелинейности £н = (еШ)-1 меньше дифракционного £д = kd2ll и соответственно № = %/%《1， то на начальном этапе распространение волны можно описать в гео метро- акустическом приближении решением (см. (3.2), (З.Зв)):

р = (Ро^7О sin (wZ + оо Cn F/r) ), (5.1)

где оо = еАМЕ М = ро/р^о-

Это решение описывает слабонелинейную сходящуюся сферическую волну, отражая эволюцию ее профиля. По мере распространения волны относительная роль нелинейных и дифракционных эффектов изменяется, и на расстоянии RSi где сравниваются масштабы нелинейности и дифракции, Л^(/?) =1, решение (5.1) становится неприменимым.

Принимая во внимание, что N(r) = r/[eMF(kar^2 ] = N0F/r, где Nq = =(eM(a^F)2)-1, найдем Rs =/W0.

Приближенно считая, что при r<Rs распространение волны определяется решением линейной дифракционной задачи, для амплитуды давления в фокусе получим

*QRs 把)1»рЗ (5.2) где к = ^(1 - а)-1, о = ооIn(F/Rs), ps ~PqF/Rs в соответствии с выражением (5.1), Следовательно,

pgH^/Za-o)"】. (5.3)

При о《1, когда нелинейные эффекты несущественны, находим

Р% = КрР】， (54) где Кр = o^kF? 一 коэффициент усиления линейной фокусирующей системы по амплитуде давления [Розенберг, 1940]. С ростом о коэффициент усиления системы возрастает вследствие более сильной фокусировки высокочастотных гармоник, возникающих в нелинейной волне.

116

При стремлении。今 1 формула (5.3) теряет смысл, в этом случае приближение, основанное на преобладании дифракции над нелинейностью, непригодно.

При 0Al разрывы образуются на участке r>Rs, где волна остается сферической сходящейся; возникает пилообразная сходящаяся волна. Нелинейное затухание в этом случае приводит к уменьшению коэффициента усиления фокусирующей системы [Наугольных, Романенко, 1959; Наугольных, 1968]:

К；=勺(1 + о。InKp尸，局=(2/3)(р£/р【)2, (5.5) где К] К； — коэффициенты усиления фокусирующей системы в нелинейном режиме по давлению и интенсивности, К『二 К^ — малоамплитудный коэффициент усиления по интенсивности.

На рис. 4.8 приведена зависимость коэффициента усиления концентратора (т.е. отношения значений р' н / в фокусе и на излучателе), нормированного на коэффициент усиления линейной системы, от а В области о 1 имеется максимум усиления поля, связанного с большей концентрацией энергии высших гармоник в фокусе.

Численные расчеты, приведенные в книге [Бахвалов и др., 1982], подтверждают в основных чертах изложенные выше результаты приближенной теории. Нелинейные эффекты в фокусируемых пучках рассматривались также в работах [Du, Breazeale, 1987; Hennion, 1978; Tjotta J.N., Tjotta S., 1984].

Возможность усиления поля за счет совместного действия нелинейности и дифракции может оказаться существенной для реальных акустических концентраторов, и это неоднократно отмечалось в экспериментах [Борисов, Гынкина, 1973; Smith, Beyer, 1969; Зарецкий, 1968].

Еще один пример применения поэтапного подхода представляет собой исследование рефракции волн с образованием каустик. Геометроакусги- ческая часть этой задачи обсуждалась в предыдущей главе. Прикаустиче- ская область может быть изучена в плоской постановке: рассматривается наклонное распространение плоской волны в неоднородной среде в приближении нелинейной геометрической акустики; окрестность же каустики будем описывать в линейном приближении. Действительно, на подходе к каустике, вблизи нее, в нелинейно искажающейся волне можно пренебречь изменением параметров среды риск учесть только быстрое изменение площади сечения лучевой трубки △(/), поскольку на каустике Д = 0, а вблизи нее Д ^ |ZK - /| ^2, (Z — лучевая координата, /к — ее значение на каустике). Речь идет о простой каустике, где гармоническое поле описывается функцией Эйри. Приведенная координата z, входящая в геометроакустические формулы (см. гл. 2) пропорциональна |/к - /| "4 и остается конечной вплоть до каустики. Таким образом, даже в рамках геометрической акустики неограниченное возрастание амплитуды поля в прикаустической области не сопровождается неограниченным искажением формы волны из-за нелинейности: приведенное расстояние z остается конечным. В то же время дифракционные искажения вблизи каустики очень велики, что и дает основание для применения поэтапного подхода: связь между падающей и отраженной от каустики волнами запишем в линейном приближении.

Рис. 4.8. Зависимость коэффициента усиления фокусирующей системы от степени проявления нелинейных эффектов в фокусируемой волне

Известно, что в линейной среде каустика эквивалентна фазовому преобразователю, сдвигающему фазу каждой из спектральных компонент сигнала на —я/2- Ясно, что для немонохроматического сигнала это приводит к сильным искажениям его формы [Бреховских, 1973]. Такое фазосдвигающее преобразование для пилообразных волн может быть записано в интегральной форме — в виде преобразования Гильберта:

А«/к)=上 了3 P^t\ zjctg ” f)成'，(5.6)

27r /з2

где Zk — приведенная координата каустики;厶—приведенное давление для волны, приходящей на каустику, Pt — для прошедшей ее; з — основная частота волны, предполагаемой периодической (см. гл. 2). Строго говоря, в (5.6) должна входить координата точки, лежащей вблизи каустики, но в области применения геометрического приближения ввиду конечности приведенного пути эту координату можно заменить на z* и взять пгеомет- рическое" значение 弓 в этой точке.

Под интегралом стоит неявная функция Р〔 = Р『о§1п(з£ + 2渦禺笛0), описывающая распространение простой волны. Здесь PiQ — амплитуда падающей волны, &н ~ расстояние до образования в ней разрыва. Переходя к интегрированию по переменной 扌=з£ + 2鹏倡0^, представляющей собой аргумент подынтегральной функции, получим [Островский, 1976]

Pg, ZQ =粤 Г/%(Г,幻源 + ? Ф(Г, 0源)，(5.7)

47r I 0打+纭J

где

①(EY) = sinY 1+ — cos^ ctg у [5-^+ — (sin5-sin^)],

& = 0 при Zk《&н н Wk = PizURJiq при z* > &н (последний множител?- в Ф — коэффициент преобразования от " к J?).

118

Интеграл (5.4) нетрудно найти численным образом. При слабой нелинейности (Zk < 丸 J форма падающей и прошедшей волн близка к синусоиде, а при сильных искажениях падающей волны в рефрагированной волне появляется отрицательный выброс. Для разрывной волны величина выброса формально бесконечна (появляется логарифмическая расходимость), причем для пилообразной волны (z* A Rh) с амплитудой Ps получается следующее аналитическое выражение для А：

А«/к) = %&к) |bzK + 击 ln|sin(wz/2)|| . (5.8)

Эволюция поля после каустики снова описывается геометроакустическими формулами, но начальная форма волны определяется теперь из решения линейной задачи. В первоначально непрерывной волне образуются разрывы (на отрицательных участках) и в дальнейшем развиваются несимметричные импульсы; лишь в асимптотике (если затухание не столь велико) формируется пилообразная волна. Дифракция несколько задерживает образование разрыва из-за расфазировки спектральных компонент, хотя в дальнейшем влияние каустики дает, напротив, более быстрое затухание из-за роста амплитуды волны на отрицательном полупериоде.

Глава 5

ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЗВУКА СО ЗВУКОМ 一

НЕДИСПЕРГИРУЮЩАЯ СРЕДА

ОДНОМЕРНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ

В нелинейной среде волны взаимодействуют друг с другом, порождая комбинщщонные тона. В случае слабой нелинейности наиболее эффективный обмен энергией между различными спектральными компонентами поля возникает при выполнении условий синхронизма, когда отклик среды на комбинационной частоте распространяется со скоростью собственной волны системы на этой частоте. Другими словами, должен иметь место резонанс в пространстве—времени.

При описании подобных процессов в акустике возникают определенные трудности, связанные с отсутствием дисперсии. Здесь далеко не всегда можно говорить о простых случаях двух-, трех- и четырехволнового взаимодействия, поскольку условия синхронизма выполняются сразу на многих частотах. Мы уже упоминали в первой главе, что процесс нелинейного искажения профиля первоначально гармонической волны может быть описан как взаимодействие большого числа синхронно распространяющихся гармоник; ряд Бесселя-Фубини и его обобщение на разрывную стадию как раз адекватны такому представлению.

Аналогичные, но более сложные процессы возникают при взаимодействии волн с некратными частотами. Поскольку основную роль играет квадратичная нелинейность, ^базовым** для взаимодействий можно считать триплет - тройку волн с частотами wlj2,3 и волновыми векторами к],2,з, для которых выполняются резонансные условия

31 +32 =3з, к] +к2 =к3.

(Как известно, на квантовом языке эти условия выражают закон сохранения энергии 力з н импульса 方 к при распадах и слияниях квантов — квазичастиц поля； здесь h — постоянная Планка.)

При отсутствии дисперсии, когда 抬=з『/с, резонансные соотношения выполняются только для коллинеарно распространяющихся волн, когда все % параллельны. Зато для таких волн эти равенства справедливы для тройки любых гармоник с частотами 〃з, если л одинаковы для всех волн. Кроме того, легко возникают каскадные процессы, когда, например, волна с частотой Зз порождает новую с частотой з《=Зз + з】н т.д. Все это не только усложняет задачу, но и, что важнее, изменяет физические следствия： перекачка энергии вверх по волновым числам, в мелкомасштабную часть спектра, приводит к сильному нелинейному затуханию； именно так обстоит дело в случае образования разрывов. Здесь возникают свое-

образные варианты взаимодействий, далеко выходящих за рамки класси* ческого триплета волн, периодически обменивающихся энергией.

Вместе с тем в приложениях нередко удается избавиться от потерь, связанных с высшими гармониками, введя дисперсию фазовой скорости или избирательные потери. Наконец, многие (как раз наиболее развитые в настоящее время) приложения связаны с неколлинеарными, т.е. нерезонансными взаимодействиями в ограниченной области пространства, которые, как правило, энергетически малоэффективны, но зато позволяют сформировать поле заданной частоты вне этой области (параметрическое излучение) или получить сигнал, связанный с влиянием внешнего излучения на поле в этой области (параметрический прием). Здесь тоже нередко (но не всегда) можно ограничиться случаем взаимодействий малого числа заданных волн, поскольку поля на комбинационных частотах и гармониках остаются малыми и могут рассматриваться независимо друг от друга.

В этой главе мы рассмотрим некоторые из разнообразных вариантов волновых взаимодействий в классической акустике недиспергирующих сред.

Как уже говорилось, в среде без дисперсии резонансные соотношения могут выполняться только в случае коллинеарного, ,,пoпyтнoгo,^ распространения всех взаимодействующих волн в одном и том же направлении, зато при этом они справедливы для волн любых частот, связанных условиями синхронизма. Поэтому здесь зачастую более эффективно пространственно-временное описание, основанное на уравнении Бюргерса:

ди ди д2и

-,(1.1)

где а = е/со- В качестве граничного условия задается бигармоническая волна с частотами з】из?; в процессе распространения возникают как высшие гармоники этих частот, так и комбинационные частоты. Как обычно, нас будет больше всего интересовать случай больших акустических чисел Рейнольдса (хотя в конце раздела мы кратко обсудим и противоположный случай).

При больших Re суммарное поле близко к простой волне вида [Наугольных, 1968]

"戶(V), ^-у +аих.(1.2)

Тогда задача вообще сводится к тому, чтобы, задавая поле на границе, определить из (1.2) нужную компоненту поля, например комбинационную спектральную компоненту на суммарной или разностной частотах. Рассмотрим наиболее характерные случаи.

Взаимодействие слабого сигнала с простой волной. Задача о взаимодействии слабого (линейного) сигнала с простой волной произвольной амплитуды может быть решена в общем виде на основе линеаризации одномерных уравнений газодинамики [Островский, 1963]. В рассматриваемом здесь случае попутного распространения требуется лишь провести линеаризацию решения (1.2). Положим в нем

где Vq =尸 + ox及(爲)，凡(品)—невозмущенное решение в виде простой волны, a F* — малое возмущение, задаваемое при х = 0. Очевидно, что

尸об)=尸обо + su')工尸0(无)+ axv'dF0/d^0.

В результате получим

?'=戶@0)+ 0tx$dF*d 氐,

или

u' = F@Q)/(l-sdFQ/d 无)(1.3)

(в аргументе F* можно заменить 与 на 乳 ввиду малости и').

Отсюда сразу видно, что в точкех =х#, где в основной волне образуется разрыв, величина и' расходится. Это и понятно: возмущение приводит к малому смещению профиля волны в пространстве, а для крутого профиля это означает сильные изменения поля в данной точке.

Если при х = 0 заданы гармонические волны, т.е.尺 =4】sinwlty, 尸'工 =A2 sinw2ty (At <Ai),to

, Л2 sinw25o

и = .(1.4)

1 —0x413】 cosw^o

Как уже говорилось, часто требуется определить поле, возникающее на суммарной или разностной, частотах П± = ^! + w2. Амплитуды этих компонент даются выражением

С± 4 丁+2常仅 ± sin(32 昴)sin (S2±y)z ± = ,;— dy.

Я У1 - 0X3141 8S3/q

Здесь мы опять, как и при получении ряда Бесселя—Фубини, применим метод неявного аргумента согласно выражению для 8：

火0 =力(1 - 0X314 саз1无尸，

т.е.

4土 = Jяп(<^25о) sin [П±(5o - охЯ 1 Sin w! 5o)] ^5o •(1-5)

7г±

После элементарных преобразовании получаем

Я± =± ———/ cos(y - о siny)d>,(1.6)

23] —тгз^/а土

где о = a^l±AiX.

Здесь наиболее интересны два случая.

Первый — в заимодействие низкочастотного поля с сильным высокочастотным (32《3]), приводящее к появлению боковых комбинационных тонов с частотами П±, близкими к з〔. В этом случае пределы инте-

грирования в (1.6) близки к ±я, а, как известно,

/ cos(j - х sin у) dy = 2я/1(х),

где 厶一функция Бесселя первого порядка.

Второй случай — взаимодействие волн близких частот с генерацией поля разностной частоты П_ < w2. В этом случае интеграл в (1.6) (с точностью до поправки порядка П_/с^1) равен (2тг31/£2_)厶(х).

Итак, в обоих случаях (1.6) дает одно и то же выражение:

A±=±A2Ji(an±AiX),(1.7)

справедливое вплоть до точки х* = (аз*】)-】，где в основной волне образуются разрывы. Заметим, что в случае малых П± аргумент функции Бесселя всюду мал, и амплитуда низкочастотного поля равна

(1.8)

Взаимодействие низкочастотной и высокочастотной волн. Случай w2《 《3] допускает более простое рассмотрение, справедливое и при конечных амплитудах низкочастотного сигнала [Гурбатов, Малахов, 1977]. Оно основано на том же общем выражении для поля простой волны:

и = а(Ь+Рн6), 5 = r + az(uB +и„),(1-9)

где индексы "в" и ”н” служат для обозначения волн высокой и низкой частоты соответственно. Далее FH считается (локально) константой, и, таким образом, ахин дает просто сдвиг фазы для высокочастотной волны:

% =凡(爲 +aк%)，0-Ю)

где 爲=у + ах% имеет тот же смысл, что и выше. При гармоническом граничном условии для этой функции остается в силе разложение Бесселя- Фубини:

8 2Л(ла)

%= Е 41 sin [31 (у 1+”％)],О Н)

и=1 ПО

где, как и выше,。= а314]Х. Если пренебречь нелинейными искажениями низкочастотного поля, положив ин = Л2 sinw2ys то не представляет труда получить разложение (1.11) в спектр по комбинационным частотам С(?) = 〃3] ±з?. в случае малого низкочастотного сигнала (ин 今 0) это разложение имеет вид

Л" =±A2Jn(na^')AiX)(1.12)

и для низших комбинациоиных частот £2± = з〔 土 з? полностью совпадает с (1.7). Необходимо, правда, отметить, что и здесь решение (1.12) даже при слабом сигнале не является точным, поскольку даже при малой частоте 32 функция ин(^) содержит высокочастотную компоненту в точках, где。близко к единице. Действительно, аргумент 与 зависит от высокочастотного поля ив и в этих точках меняется резко, а значит, резко меняется и ин (это хорошо видно из точного выражения (1.4)). Однако при малых З2 эти резкие изменения ин малы (они представляют собой ступеньки,

величина которых не превышает изменения функции ин (0, у) на протяжении полупериода высокой частоты з〔)； погрешность здесь того же порядка, что и при замене в (1.6) пределов интегрирования на 士 я.

Этот же подход справедлив и для разрывной стадии, если в (1.11) подставить соответствующее спектральное разложение. Для пилообразной стадии, когда амплитуды гармоники периодической накачки даются выра* жением 4^")= 2А^/па = 2/anWxX,получаем

Н)= ±4, (1-13) т.е. все комбинационные компоненты имеют одинаковые амплитуды. Это, конечно, справедливо не для всех л, а при л < Re, где Re = аЛ5/6си0> т.е. для частот, малых по сравнению с граничной частотой спектра пилообразной волны, определяемой толщиной ударного фронта. С другой стороны, чтобы линеаризация по сигналу была возможна, амплитуда /2-й гармоники накачки должна превышать Л2 ； зто приводит к условию л < < 4s/%2 Q (а<^1А2хУ1. Относительная роль этих ограничений зависит от числа Рейнольдса для возникающего сателлита Ren 之 аА2{Ь^1: если Ren мало, то ограничение связано с первым условием, а в противоположном случае — со вторым.

Из формулы (1.12) видно, что амплитуда комбинационного тона всегда меньше амплитуды низкочастотного сигнала Л2. Можно показать, что и при сравнимых частотах з】н з? в условиях отсутствия дисперсии осуществить усиление на избранной частоте невозможно (см. также [Гольдберг, 1972]). Физическая причина отсутствия усиления состоит в том, что в недиспергирующей среде энергия тратится на генерацию все новых спектральных компонент сигнала. Действительно, как видно из (1.4), с приближением к точке х* в возмущении появляются острые выбросы, и его энергия распределяется по широкому спектру частот. Поэтому если принимать на выходе все образующиеся сателлиты 一 согласно (1.13) большое их число достигает одинаковой амплитуды, — то общая энергетическая эффективность такого преобразования соответственно возрастет [Гурбатов, 1980].

Взаимодействие сильной низкочастотной и слабой высокочастотной волн с генерацией суммарной и разностной частот исследовалось экспериментально [Буров и др., 1978]. Эксперимент проводился в воде; низкочастотная волна имела частоту f2 = 1,35 МГц и амплитуду давления р?二 =10s Па, а высокочастотная — соответственно 力=11,5 МГц, р】= =1,2 -103 Па. На рис. 5.1 показана зависимость амплитуды высокочастотного сигнала от расстояния в отсутствие и при наличии низкочастотного поля. Видно, что во втором случае наблюдается дополнительное (по отношению к линейной диссипации) затухание сигнала, связанное, по-види- мому, с перекачкой энергии в боковые компоненты с частотами f± = =Л ± Л, а также осцилляции из-за взаимодействия всех этих компонент. Здесь же приведены теоретические кривые, построенные в результате анализа взаимодействия малых возмущений с низкочастотным полем, учитывающего затухание [Тагунов, 1981].

Эти результаты относятся к случаю, когда нелинейными искажениями низкочастотного поля можно пренебречь. Есть, однако, случай, когда удается построить точное решение уравнения Бюргерса, отвечающее взаимодействию произвольной нелинейной волны с волной сжатия или разре- 124

Рис. 5.1. Зависимость от расстояния амплитуды высокочастотной волны при взаимодействии ее с низкочастотной

1 — приближенное решение, 2 — численный расчет, 3 — расчет в отсутствие низкочастотного сигнала. Значками представлены экспериментальные данные Е.Я. Тагу- нова(1981]

Рис. 5.2. Взаимодействие высокочастотного сигнала с интенсивной пилообразной волной

При распространении возмущения в виде высокочастотного (ВЧ) сигнала» наложенного на интенсивную пилообразную волну (а), при увеличении крутизны пилообразной волны происходят сжатие ВЧ-сигнала на переднем фронте пилообразной волны н растяжение — на ее заднем фронте (б), приводящие к модуляции ВЧ-сигнала, наблюдаемой при разделении НЧ- и ВЧ-компонент возмущения (в)

жения, имеющей линейный по у профиль [Гурбатов и др., 1983]. Легко видеть, что решение 力=sy/(l - х/х0), где s = const, x0 = (as)-1, удовлетворяет уравнению Бюргерса. Пусть известно любое другое решение вида иг Су, х), тогда (как можно убедиться непосредственной подстановкой) решением будет также поле вида

sy 1/ у х \

片+ vx (, I .(1.14)

1 ~x/xQ 1 -x/xq \ 1 -y/yQ 1 -x/xQ /

Заметим, что в случае малого u2 это решение есть частный случай (1.4).

Отсюда видно, что линейный по у ^^пьeдecтaл^^ приводит к изменению амплитуды и пространственно-временного масштаба волны пропорционально (1 — x/xq)-i . На участках сжатия волна усиливается и сжимается (в частности, растет частота периодического сигнала), а на участках разрежения происходят уменьшение амплитуды и понижение частоты; это видно, впрочем, и из формулы (1.4).

Качественный ход процесса поясняется на рис. 5.2 [Moffett et al., 1978], где изображен входной сигнал в виде суммы высокочастотного возмущения и одного полупериода пилообразного низк оча стотно го поля (рис. 5.2,а). По мере увеличения крутизны профиля последнего высоко- 125

частотный сигнал изменяется (рис. 5.2,0, возникает его модуляция, наблюдаемая при выделении высокочастотной компоненты возмущения (рис. 5.2,в). После образования разрыва сигнал на переднем фронте "съедается" и остается в основном растянутая часть высокочастотного сигнала, постепенно затухающая.

Детектирование модулированных волн. Рассмотрим теперь вопрос о детек тиров ании, т.е. о генерации низкочастотного поля при взаимодействии волн близких частот и вообще при распространении высокочастотной волны с медленно меняющейся амплитудой, когда граничное условие имеет вид

(115)(115)и&, 0) = 4 (у) • sin зу.

(115)

(115)

Здесь удобно, как и в предыдущем пункте, представить решение в виде и = ив + ин, где ив — осциллирующая, а ин — малая низкочастотная часть, которая теперь является неизвестной, причем Uh&，。)二。・ Высокочастотная часть представляется в виде простой волны:

(L16)(L16)% =4(Rsin3& ^=y^ctx^,

(L16)

(L16)

причем, пренебрегая искажением огибающей А, положим А = А(у) (неточность здесь та же, которая обсуждалась в предыдущем пункте по отношению к %)• Низкочастотную часть можно определить методом у средне- ния: подставляя и = ив + ин в исходное уравнение (1.1) (пока при 8=0) и усредняя по высокочастотному периоду, легко получить

(1」7)

где черта обозначает усреднение по у, так что дифференцируются уже медленно меняющиеся величины.

Усреднение и： сводится к вычислению интеграла

2я2я/ sin2 (o^^jdy = —— / sin^y (1 + асиЛх coswy )dy = —

2я

2я

' 2я4я

(L18)

Заметим, что средние по и у для любой периодической простой волны равны. Таким образом, в данном приближении

(L19)(L19)ox а%?®

(L19)

(L19)

4 Эу

т.е. низкочастотное поле линейно нарастает с расстоянием.

Рассмотрим некоторые примеры.

Бигармоническое поле. Пусть первичная волна при х = 0 состоит из двух синусоид с близкими частотами: %(0) - Ах sin31y + 4 sinw2y, где 3i = 32 + £2, причем С — малая величина. При этом 齊=4i%2 cosSZf, так что

% н — (^xl^)^i^2 ^ sinCly.(1.20)

Таким образом, в этом случае низкочастотное поле синусоидально и дается такой же формулой, что и (1.8), обобщая ее на случай немалых 4? •

Синусоидальная амплитудная модуляция. Пусть ив(0) = Л(1 + + m cos S2y) sin зу, где m - коэффициент модуляции. В этом случае

ин = - — fl^2(sinn^ +cos2n_y)»(1.21)

т.е. возбуждается даухчастотное поле.

Импульсная модуляция. Если первичное поле представляет собой локальный высокочастотный импульс, то согласно (1.19) низкочастотное

поле знакопеременно, так что / vBdy = 0. Такой процесс в последнее время часто называют самодетектированием, хотя этот термин применим, в сущности, ко всем процессам, рассмотренным в этом пункте.

Все сказанное относится к области х <х#> пока в волне не образовались разрывы. При х〉х* уравнение (1.17) по-прежнему справедливо, но средние необходимо вычислять с учетом затухания энергии на разрывах, которые к тому же в разных участках модулированной волны образуются на разных расстояниях. Поскольку локально (в окрестности данной точки профиля огибающей 4 (у)) все происходит так же, как в периодической волне (эта локальность, конечно, следствие отсутствия дисперсии), то можно пользоваться соответствующими формулами гл. 1. Разрыв образуется в точке х* = (ао^хА (^))-1, а средний квадрат амплитуды изменяется при z > z* гю закону [Сутин, 1978]

与-=(1) 土 %\A-必 + 丁碎.(1-22)

Здесь и§ =不/2, о =х/х*, а % — нормированная амплитуда разрыва, определяемая соотношением % = sin о%. При этом знак плюс берется при о < я/2, а минус при о > я/2 (когда разрыв находится соответственно на переднем и заднем фронтах исходной волны). Здесь величины 脸 о, % - функции у, и ин дается производной этого выражения по у.

Для упрощения расчета можно принять, что волна пилообразна на всей разрывной стадии (х〉х*)・ Тогда, разбив Jujdx в (1.17) на два участка: о

от 0 до х*, где W постоянно, и от х* до х, где волна пилообразна, получим для х >х*

% = & [ 1 + —2(1.23)

з L о \(1 + 2о>хЛ)2/J '

Итак, |%1 монотонно растет по х и при х 今 00 стремится к асимптотическому значению [Наугольных и др., 1963]:

*4(#2)(С/з)(1.24)

(последнее выражение отвечает гармонической стопроцентной модуляции с частотой С). Отметим, что на этой стадии низкочастотное поле уже линейно, а не квадратично связано с А. Другой важный вывод: отношение %/% имеет порядок 0t[з, где С — частота модуляции. Таким образом, эффективный коэффициент полезного действия здесь порядка (С/з)‘

[Сутин, 1978]. Зшетим, что в средах с дисперсией он может достигать порядка С/з (см. гл. 6).

Необходимо заметить, что и в немодулированной, строго периодической по у нелинейной волне среднее значение и (как и других физических величин), строго говоря, отлично от нуля: однако это среднее (для неподвижной среды) имеет порядок и?/с^ и не растет с расстоянием; в формуле (1.19) оно не учитывается. Более важен вопрос об акустических течениях, т.е. среднем движении среды в неодномерном акустическом поле; ряд его аспектов обсуждается в монографии О.В. Руденко, С.И. Солуяна [1975].

Малые числа Рейнольдса. В заключение этого раздела рассмотрим простой, но нередко важный для практики случай вязкой среды, когда число Рейнольдса на высокой частоте мало. Тогда высокочастотное поле описывается линеаризованным уравнением Бюргерса, а низкочастотное — таким же уравнением с правой частью:

丁 —5 =叫 丁 . (L25) oz ду2 by

Пусть, например, при х = 0 накачка имеет вид суммы двух волн с близкими частотами. Тогда

% = Л! ехр! -5з江}sin31y +Л2ехр {—5з；х} sin32y.(1.26)

Подставив это в (1.25), можно определить поле на разностной частоте £2 = 3] — 32 [Наугольных и др., 1963]:

4n = [ехр {-5(з^ + W2)x}-exp| —5S22x }]4n = [ехр {-5(з^ + W2)x}-exp| —5S22x }]010414225(3； +з^ -，尸r010414225(3； +з^ -，尸r(127)(127)

4n = [ехр {-5(з^ + W2)x}-exp| —5S22x }]

4n = [ехр {-5(з^ + W2)x}-exp| —5S22x }]

0104142

25(3； +з^ -，尸r

0104142

25(3； +з^ -，尸r

(127)

(127)

Отсюда видно, что 4n сначала нарастает, достигая максимума в точке Хш = 5(3； + 届-R2)ln[(3； + ^г)/^2], а затем убывает (при больших х — пропорционально ехр [—5£22х]). Отношение амплитуды 厶口 в области ее максимума к характерной амплитуде высокочастотной накачки при к = 0 имеет вид

зз(1 28)(1 28)OL\JА. 1А2'

з

з

(1 28)

(1 28)

Re=—《1.

4з5

Здесь наибольший коэффициент преобразования по амплитуде много меньше значения П/w, которое достигается (согласно (1.24)) при больших числах Рейнольдса.

Мы уделили сравнительно много внимания одномерным задачам потому, что они лежат в основе пространственных задач, возникающих для параметрических излучателей и приемников, рассматриваемых ниже. Так, нелинейное детектирование лежит в основе работы параметрических излучателей, а взаимодействие слабого низкочастотного сигнала с высокочастотной накачкой (с генерацией боковых компонент) — в основе параметрических приемников.

ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ИЗЛУЧАТЕЛИ ЗВУКА

Область взаимодействия звуковых волн является источником волн на комбинационных частотах, в первую очередь суммарной и разностной. Если зта область ограничена в пространстве, то поле комбинационных частот может из нее излучаться. Это видно уже из решения одномерной задачи, рассмотренной выше: на больших расстояниях, где первичные волны затухают, поле низкой разностной частоты стремится к ненулевому постоянному значению (конечно, при учете вязкости оно затухает, но гораздо медленнее первичных волн).

Сложнее обстоит дело при взаимодействии звуковых пучков с конечными поперечными размерами. При этом взаимодействие локализовано в пространстве и возникает ''рассеяние звука на звуке", сопровождающееся излучением поля комбинационных частот.

Вопрос о возможности и эффективности такого рассеяния вызвал оживленные дискуссии в 60-е годы. В настоящее время вряд ли целесообразно излагать детали этой дискуссии, поскольку принципиальная сторона дела довольно проста.

При неколлинеарном взаимодействии, когда резонансные условия не выполняются, поле от различных участков области взаимодействия интерферирует так, что в точках вне этой области поле близко к нулю, если размеры области многократно превышают длины первичных волн. Поэтому и в случае ограниченных пучков наиболее интересен случай коллинеарного взаимодействия, когда обе первичных и вторичная волны синхронны. Тогда область взаимодействия образует как бы бестелесную антенну бегущей волны, излучающую сигнал. Особенно интересен здесь случай волн близких частот или произвольной модулированной волны, порождающих низкочастотное поле. Это параметрический излучатель звука (ПИ), который был предложен в начале 60-х годов [Westervelt, 1963]. Учитывая, что параметрические излучатели сейчас широко известны, мы ограничимся лишь обсуждением наиболее наглядных физических моделей.

Теория ПИ обычно строится на основе приближения заданной накачки, когда пренебрегается влиянием на первичные пучки низкочастотного поля, которое при этом описывается в линейном приближении.

Будем исходить из уравнений нелинейной акустики, обсуждавшихся в гл. 1. Пусть высокочастотная накачка задана в виде волнового пучка с модулированной во времени амплитудой давления Рв:

P； = /(h Г)ехр[«зГ —匕)]+к.с., (2.1)

где 仆一медленно меняющаяся амплитуда, х - координата вдоль пучка.. Зависимость Рв от времени связана со спектром накачки: для бигармони-

ческого поля она имеет вид биений, для трехчастотного — это амплитудная или фазовая модуляция, возможна и более сложная, в том числе импульсная, модуляция.

Решение исходных уравнений отыскивается в виде р'= р上 + p„, где Ри — слабая низкочастотная компонента. В нелинейные и диссипативные слагаемые будем подставлять лишь поле накачки (р1- р*), причем, поскольку волна близка к плоской, в них можно использовать соотношения р' - PqCqU = СоР > отвечающие линейной плоской волне. Наконец, считая 風 медленно меняющейся функцией, усредним уравнения (1.156) гл. 1 по времени на интервале порядка нескольких периодов накачки, как это уже делалось выше. Тогда для медленно меняющейся компоненты поля получим линейное неоднородное волновое уравнение

(2.2)(2.2)Л ,1 э2Рн_ а Э2 —

(2.2)

(2.2)

△РН一^■歹=一赢"不 厶，

где черта обозначает усреднение по быстрому времени. Правая часть уравнения (2.2) описывает распределение виртуальных источников низкочастотного поля, обусловленных детектированием высокочастотных колебаний за счет нелинейности среды.

Общее решение волнового уравнения (2.2), как известно, имеет вид

_/ _ а э2р^ (Г - г/с0)

-"' (2.3)

где интеграл берется по всему занятому источниками объему, а г — расстояние от элемента dV до точки наблюдения.

В общем случае величина р^ определяется из решения нелинейной ди- фракхщонной задачи для волны накачки (в духе задач, рассмотренных в гл. 4). При этом как нахождение 必 так и вычисление интеграла в (2.3) может оказаться достаточно сложным делом, поэтому обычно здесь принимаются дополнительные упрощающие предположения, основанные на качественном анализе поведения первичного пучка в зависимости от соотношения характерных масштабов нелинейности £н> дифракции 丄江，а также затухания

Начнем с относительно простого, но весьма реалистичного случая мало- амплитудаой накачки, когда £н А £д, т.е. в поле накачки нелинейные искажения малы, и оно может быть взято из линейной теории акустических пучков с затуханием. В свою очередь, и здесь формирование низкочастотного поля происходит по-разному, в зависимости от отношения La/L^ определяющего геометрию поля накачки. С этой точки зрения можно выделить два предельных случая.

\. Ld ^ L^ — поле первичной волны затухает уже в пределах ближней прожекторной зоны (рис. 5.3,а) и возникает параметрический излучатель бегущей волны (модель Вестервелта).

Ld » £д — главный вклад в генерацию низкочастотной волны дает взаимодействие волн накачки в дальней зоне, где первичные волны расходятся (рис. 5.3,6), и возникает “рупорный" параметрический излучатель.

рис. 5.3. К расчету параметрического излучателя звука

а — излучатель типа бегущей волны. Генерация НЧ-сигнала происходит в прожекторной зоне волны иакачки, направленность НЧ-излучения определяется длиной зоны

6 — мрупорный** излучатель. Генерация НЧ-сигнала происходит в дальней зоне волны накачки, направленность НЧ-излучения определяется апертурой излучателя накачки

— граница поля накачки, 2 — диаграмма направленности НЧ-излучения

Параметрический излучатель бегущей волны (модель Вестервелта). Начнем с первого случая, который был рассмотрен в работе Вестервелта [Westervelt, 1963]. В этом случае поле накачки представляет собой нерас- ходящийся, затухающий пучок с конечной поперечной апертурой, так что р2 =Рв(^, г)£(т)ехр [-ах], T = t~x/cOi(2.4)

где 〃 一 коэффициент затухания на несущей частоте накачки (% Q 〃")； £(т) 一 функция модуляции; множитель рв характеризует распределение поля в поперечной плоскости, причем функция р^(у, z) конечно интегрируема.

Подставим выражение (2.4) в формулу (2.3) и вычислим поле в дальней зоне пучка (на расстояниях г A £d), где, как обычно, множитель 1/г можно вынести за знак интеграла:

р4 工 Jp気y,z)dydz『——£^(t-rlcQ)^[-ax}dx.(2.5)

4тгроУ;о dr4

В случае бигармонической волны, когда Е = I sin(S2r/2)|, последний интеграл сводится к следующему:

,E2(t - r/cQ)e~axdx - sin2 *^exp |—Лпх cos^ - 2дх| dx + k.c.=

оо 2

==x 产叮 exp{№nx(l —cos0)—2ax|dx + k.c.=

о

exp [Шт]

=+ к.с.,(2.6)

2@+%(l - cos。))

где ^n = £2/cq ; J — угол между осью х и направлением на точку наблюдения.

Стоящий в (2.5) интеграл по поперечным координатам дает так называемый апертурный множитель £)(0), зависящий от распределения поля В сечении пучка накачки; например, при постоянном Рн на радиусе пучка d

получаем D = sin (Ы cos 0)/kd cos 0. Часто принимают, что kd《1 (тонкая антенна). Тогда Л — 1, и вид решения определяется просто формулой (2.6). Заметим, что излучаемое поле оказывается чисто гармоническим. Выделяя действительную часть, найдем его амплитуду:

Рн =Рн =ар 詠 Ad?ар 詠 Ad?8р（）"8р（）"々8），々8），(2.7)(2.7)

Рн =

Рн =

ар 詠 Ad?

ар 詠 Ad?

8р（）"

8р（）"

々8），

々8），

(2.7)

(2.7)

где Рр — амплитуда накачки, a Q丄一диаграмма направленности, имеющая вид

々е)= [1 +(^/a)2sin4("2)]T/2・(2.8)

В общем случае вместо (Ppd)? в (2.7) стоит 券=Jp^dydz. Видно, что максимум излучения направлен вдоль оси первичного пучка, а характерная угловая ширина диаграммы равна

Jdyf^ 〜《/产,(2.9)

где Ld = 1/〃 一 характерная длина излучателя.

Как и для всякой антенны бегущей волны, вт пропорционально

Аналогично получается решение для других законов модуляции. В частности, нетрудно записать общее выражение для поля на оси излучателя [Berktay, 1965]. Поскольку скорость движения источника £?(т) совпадает со скоростью звука, он движется вдоль оси синхронно с волной, так что в данный момент в данной точке суммируются поля от одной и той же точки профиля £(т), но с учетом затухания (множитель ехр [-ах]). Таким образом,

/ £2(т)ехр {-ax\dx = Я2(т)/ехр \-ax\dx =々尸⑺，(2.10)

оо“

и в результате из (2.5) получаем

(2-11)(2-11)_ 吟廿&)

(2-11)

(2-11)

"“ 16apoclrdr2

Для бигармонической волны отсюда, конечно, следуют формулы (2.6), (2.7) при 3=0. Если же £ = 1 + mcos£2r (синусоидальная амплитудная модуляция), то поле на оси будет бигармоническим, как и в случае, описываемом формулой (1.21).

Нередко используется также накачка в виде импульса — волнового пакета конечной длины, тогда низкочастотное излучение имеет вид видеоимпульса сложной формы. В этих случаях говорят о режиме самодетекти- рования. Заметим, что при ненулевых J форма импульса может быть иной, чем на оси излучателя.

Обсудим еще вопрос о коэффициенте полезного действия ПИ, т.е. отношении

(2.12а)(2.12а)Пн — Jpg 〜рМ"

(2.12а)

(2.12а)

Пв /p^d£ pid2

где d - диаметр пучка, Пв - мощность первичного, а Пн - вторичного пучков (интегрирование ведется по всему телесному углу X, где присутствует поле излучения). Из полученных выше формул легко найти

公 黄(2)2(^/64“〃).公 黄(2)2(^/64“〃).(2.126)(2.126)

公 黄(2)2(^/64“〃).

公 黄(2)2(^/64“〃).

(2.126)

(2.126)

Здесь 卩④=Pp/d? — среднее значение амплитуды по сечению пучка. Отсюда видно, что в этом приближении эффективность излучателя пропорциональна р^, т.е. мощности накачки. В этом смысле выгодны мощные ПИ, однако до определенных пределов, связанных с нелинейными искажениями накачки.

,,Рупорный>, параметрический излучатель. Рассмотрим теперь случай слабого затухания накачки, когда £д > £d. Тогда прожекторная волна переходит в расходящиеся пучки — неодаородную сферическую волну с углом диаграммы J порядка (kdy1. При этом в низкочастотное излучение вносит вклад как прожекторная зона (и для этой части справедливы формулы Вестервелта), так и волновая зона накачки. Если при этом вы* полняетсяусловие 6т <0Н,или

(恤)"2<(加尸，

т.е. излучение с боковой поверхности пучка (см. формулу (2.9)) не выходит за пределы угловой ширины первичного пучка, то низкочастотное излучение "вписывается” в диаграмму направленности накачки. При этом вторичные источники образуют как бы рупорную антенну (режим Берк- тея). Низкочастотное поле здесь снова можно найти так же, как это делалось в разд. 1 для плоских волн, только необходимо учесть ослабление первичного поля за счет расходимости лучевой трубки. Тогда амплитуда поля на оси на больших расстояниях, очевидно, пропорциональна

J drexp [—arlrQ], где ，q - начальный радиус (его можно взять поряд- о

ка 厶д). Если, как предполагалось, аг0《1, то этот интеграл приближенно равен 1п(ш\))т, а все поле в волновой зоне имеет вид [Berktay, Leahy,

1974]

In ("0 尸。舒),In ("0 尸。舒),(2.13)(2.13)〜ер詠а 力

In ("0 尸。舒),

In ("0 尸。舒),

(2.13)

(2.13)

Рн4Poe介

где DB(6) - диаграмма направленности первичного источника, а г0 ^ £д ^ ~ ^d2/2. Любопытно, что здесь диаграмма направленности по низкой частоте равна Dg, т.е. она даже уже, чем у первичного пучка. Другая особенность формулы (2.13) — то, что поле на оси излучателя пропорционально уже не второй, а первой производной от квадрата функции модуляции, так что, например, форма излучаемого импульса будет другой, чем в режиме Вестервелта. В этом случае КПД излучателя (для бигармонической накачки) равен

(2-14)(2-14)川^з抖/叶

(2-14)

(2-14)

Эта величина больше, чем (2.12), поскольку радиус пучка входит в нее лишь под знаком логарифма. Однако по-прежнему К^р^.

Конечно, практически интересные случаи не всегда описываются этими приближенными формулами. Для промежуточного, более сложного случая, когда Zd ~£д, существенны вклады как от ближней, так и от дальней зон первичного пучка, обычно используются те или иные аппроксимации и приближения. Суммируя поля от ближней и дальней зон первичного пучка, можно получить следующую интерполяционную формулу для давления на оси излучателя [Дудина и др.» 1976]:

2 _ ap^kd)2(knd)2 l exp[—ar]dr

Pl ]6叫, о)

объединяющую соотношения (2.7) (при 0 = 0) и (2.13). Были выполнены многочисленные расчеты в рамках уравнения Хохлова—Заболотской—Кузнецова при тех или иных дополнительных упрощениях. В последнее время этот вопрос детально исследован с помощью машинных вычислений. Интересующегося читателя мы отсылаем к книге Б .К. Новикова и др. [1980].

Режим насыщения. Разрывная накачка. Мы видели, что в случае квази- гармонической накачки эффективность ПИ растет с ее интенсивностью. Однако в сильном поле накачки успевают проявиться нелинейные искажения, и следует ожидать, что после образования разрывов нелинейные потери ограничат рост КПД.

Решение этой задачи по-прежнему может основываться на приближении заданного поля, но в этом последнем необходимо наряду с дифракцией учитывать нелинейность, скажем, по рецептам гл. 4. Мы снова рассмотрим те же крайние случаи, что и выше. Пусть сперва £н <£& <£д. Тогда волна превращается в пилообразную уже в прожекторной зоне и затем быстро затухает (так что неравенство Zd < 厶江 следует рассматривать с учетом затухания на разрывах). В этом случае длярд справедливы формула (1.22) или ее аппроксимация (1.23) из разд. 1 этой главы, которыми мы и воспользуемся. Для вычисления поля на оси нужно аналогично (2.5) взять интеграл от этого выражения, положив о пропорциональной Е(т), и прибавить к нему интеграл, отвечающий участку до образования разрыва. В результате получаем (для круглого излучателя)

Рн =Рн =Pd¥ a2f2зсм Эт2Pd¥ a2f2зсм Эт2(2.16)(2.16)

Рн =

Рн =

Pd¥ a2f

2зсм Эт2

Pd¥ a2f

2зсм Эт2

(2.16)

(2.16)

Заметим, что разрывный этап дает больший вклад, чем участок до образования разрыва.

Эта формула отличается от (2.11), во-первых, тем, что в нее не входит параметр нелинейности, и, во-вторых, тем, что Рн линейно связано с pd и £. В этом случае бигармоническая накачка дает несинусоидальное поле: дифференцируя дважды модуляционную функцию ] sin Пт/2], мы получим резкие выбросы вблизи нулей огибающей (формально имеет место даже расходимость, но вблизи нуля формула (2.14) теряет применимость - здесь накачка не может стать пилообразной). Такие выбросы наблюдались и экспериментально [WUlette et. at, 1976]. С другой стороны, синусоидально модулированная накачка дает на оси гармоническое вторичное поле.

Что касается угловой зависимости поля в режиме насыщения, то расчеты здесь относительно сложны и требуют, вообще говоря, применения ЭВМ- Однако оценка угловой ширины диаграммы (дая тонкой антенны) здесь опять может быть сделана по формуле (2.9), где в качестве длины антенны 厶 можно подставить длину нелинейного затухания накачки, т.е. величину qz*, где q — величина порядка единицы. Тогда

(2.17а)(2.17а)j 〜1_ 1 /С3т4т&х

(2.17а)

(2.17а)

т TqkaX： с。\ qka

где %тах — наибольшая амплитуда колебательной скорости сигнала. Для бигармонической накачки, например, машинный расчет [Сутин, 1978] дает q ~ 12

Здесь опять возможен альтернативный режим, когда образование разрывов и последующее быстрое затухание поля накачки происходят в волновой зоне и формируется как бы рупорный излучатель на низкой частоте. Для описания первичного поля и здесь можно использовать формулы (1.22) или (1.23), если под о понимать приведенное расстояние для сферической волны (см. гл. 3), а в качестве，q взять фраунгоферову длину 丄д 々 d?/入.Тогда, интегрируя по г, получаем следующую формулу дая поля на оси излучателя [Гурбатов и др., 1979]:

_ Pd『а£

Рu =.

Итак, а снова линейно зависит от 瓦 но пропорционально уже д^/дт, поэтому форма поля в случае негармонического £(т) будет другой.

Существенное значение имеет вопрос о КПД излучателя. Если по формуле (2.12а) оценить КПД с использованием формул (2.15) и (2.17а), то легко получим, что в первом случае Ki © (Л/з)', а во втором — К?七 弋(a/з)?, т.е. K2/Ki 七(з/a)?. Поэтому лучшим нужно считать "рупор. ныйм режим, и максимальный КПД имеет порядок [Сутин, 1978]

小々(吟汽(2.18)

Итак, лишь малая часть энергии накачки переходит в низкочастотное излучение (причины этого уже обсуждались в разд. 1 этой главы).

Более детальный анализ [Наугольных, Островский, 1982] показывает, что наибольшее значение давления на оси при узкой (с шириной порядка &в) диаграмме излучения и КПД, отвечающем (2.18), реализуется на границе рупорного режима, когда разрывы образуются на расстояниях порядка £д. При этом давление на оси приближенно равна ^id2pdl4nrQc.

О применениях параметрических излучателей. Как ясно из сказанного выше, ПИ обладает рядом уникальных достоинств； высокой направленностью и отсутствием боковых лепестков диаграммы при малых размерах излучателя накачки, а также широкополосностью - для существенного изменения частоты излучения достаточно весьма небольших изменений частоты накачки. Основной минус ПИ — малая энергетическая эффективность. Правда, величина КПД не всегда показательна; нередко важен выигрыш в поле на оси излучателя по сравнению с линейным низкочастотным излучателем.

Рис. 5.4. Расчетные (линии) и экспериментальные (значки) зависимости ширины диаграммы направленности параметрического излучателя

По оси абсцисс отложено отношение ширин диаграмм направленности первичной и вторичной волн N& = =\1^Е^з1>к по оси ординат — полуширина диаграммы направленности низкочастотного излучения, отнесенная к ее расчетному значению по формуле (2.8) : 0 = ®здВ/鑑в

7 — полуширина диаграммы направленности волны накачки； 2 — полуширина диаграммы направленности параметрического излучения, описываемая формулой (2.13); 3 — построена по формуле Вестервелта (2.8)

Сейчас ПИ имеют прочную область применения там, где важно отстраниться от реверберационных помех разного рода. В акустике океана они применяются для исследований в мелком море, рыбопойске, зондировании придонных областей, изучении звукорассеивающих слоев и т.д.

Проведены достаточно подробные исследования ПИ в воде, которые хорошо согласуются с имеющимися теориями. Некоторые результаты измерений приведены на рис. 5.4 на сводном графике, заимствованном из работы [Hobak, Westerheim, 1976]. Для представления данных разных экспериментов в единых терминах выбраны безразмерные переменные. По оси абсцисс отложен безразмерный параметр Na = х/П£й/со£д； представляющий собой отношение ширин диаграмм направленности первичной и вторичной волн в приближении тонкой антенны.

По оси ординат отложено отношение 京=&здв/3^1Б полуширины диа граммы направленности низкочастотного излучателя к ее величине, рассчитанной по формуле Вестервелта (2.8). Прямая 7 характеризует диаграмму направленности первичного излучения, прямая 2, построенная по формуле (2.13), определяет диаграмму вторичного излучения. Прямая 3 соответствует формуле Вестервелта (2.8). Значками представлены экспериментальные данные.

При лабораторных исследованиях и в системах калибровки электроакустических преобразователей (здесь достоинства ПИ связаны с их широкополо сностью) применяются обычно небольшие излучатели накачки (с диаметром в несколько сантиметров), работающих на высоких (порядка 1 МГц) частотах накачки. При этом мощность накачки порядка 10 Вт, частота излучения 1-100 кГц, амплитуда сигнала порядка 1 Па м (величина, приведенная к расстоянию 1 м от излучателя), а ширина диаграммы 6т 〜2-3°.

В морских экспериментах применяются ПИ большой мощности, до десятков киловатт. Частота накачки лежит в интервале 5—50 кГц, и частота сигнала 0,5—15 кГц, амплитуда сигнала — до 10 Па м. Более подроб- ное обсуждение рабочих характеристик ПИ можно найти в книге Б .К. Новикова и др. [1980].

ПАРАМЕТРИЧЕСКИЙ ПРИЕМ ЗВУКА

При распространении интенсивного высокочастотного звукового пучка (частоты з) в среде, возмущенной слабой низкочастотной волной (частоты С), происходит модуляция высокочастотного поля, приводящая к появлению комбинационных тонов на частотах з 土 С. При этом область взаимодействия может служить бестелесной приемной антенной, размеры которой определяют характеристику направленности.

Рассмотрим простейший вариант направленного параметрического приемника (рис. 5.5), состоящего из излучателя высокочастотного поля (накачки) и приемного преобразователя, выделяющего комбинациоиные тона [Зверев, Калачев, 1970], возбуждаемые при падении низкочастотной волны на область взаимодействия. Примем сначала, что длина трассы L меньше длины прожекторной зоны излучателя накачки, так что высокочастотную волну накачки амплитуды р】можно считать плоской:

Рв'=Р1 ехр {—i3i(t-x/co)}, 1?н=Рн/РоСо・(3.1)

Пусть под углом J к оси накачки распространяется низкочастотный сигнал

Рн=СоРн=Р2ехр {-/ш2Г+/*2xcos0-^2ysin0| , ин=Рн/РоСо. (3 2) амплитуда 历 которого мала по сравнению с амплитудой высокочастотной накачки (ось х направлена вдоль оси накачки, ось у — в перпендикулярном направлении).

Задачу о генерации волн комбинационных частот можно в пршщипе решать, подставляя сумму полей (3.1) и (3.2) в нелинейное волновое уравнение. Однако есть и более простой путь, приводящий к тому же результату. Возмущение среды, вызванное низкочастотной волной, приводит к изменению скорости распространения накачки на величину Ас = Ас】+ + Дс2, где At] = ис cos0 — изменение скорости звука, обусловленное движением среды; Дс2 = [(у- 1)/2ро]^оРс — изменение скорости звука, обусловленное изменением плотности среды. Таким образом,

у— 1 + 2cosJ

Де = р2 cos(w2^ - ^2^ cos0).(3.3)

2Poeо

Диаметр высокочастотного пучка d предполагается здесь малым по сравнению с длиной низкочастотной волны. Поэтому выражение (3.3) записано для оси пучка накачки (у = 0).

Модуляция скорости звука приводит к модуляции фазы высокочастотной волны на приемном конце, определить которую можно следующим образом. Фронт волны, покинувшей точку х = 0 в момент 八 придет в точку х = L в момент

ldxL丄

/ + J — Г + —■ — J —-dx,

о Co + AcCoо Co

а набег фазы, связанный с переменной частью скорости звука:

/ ~—^с (Г + —, x)dx(3.4)

о Сос。

(в этом приближении задержку уже можно считать равной х/с0 для всех фронтов).Подставляя сюда (3.3), после элементарных преобразований получим(в этом приближении задержку уже можно считать равной х/с0 для всех фронтов).Подставляя сюда (3.3), после элементарных преобразований получимк2Ь'△ 3== △屮q8S З2Г + (1 — COS0)к2Ь'△ 3== △屮q8S З2Г + (1 — COS0)(3.5 a)(3.5 a)гдее —2 sin2 0/2sinS△90 = P'k'L--,PqCqогдее —2 sin2 0/2sinS△90 = P'k'L--,PqCqо(3.56)(3.56)k2Lc8= -_(1 -cos0) = fc2£sin2k2Lc8= -_(1 -cos0) = fc2£sin2J2J2Поэтому высокочастотное поле накачки при х = £ можно представить в видеПоэтому высокочастотное поле накачки при х = £ можно представить в виде讣(г, Z) = Piexp讣(г, Z) = Piexp)］巳(-9fLs9о)ехР)］巳(-9fLs9о)ехР= р^ехр 卜 2«-—= р^ехр 卜 2«-—РиН_^)+РиН_^)+(3.6)

(в этом приближении задержку уже можно считать равной х/с0 для всех фронтов).

Подставляя сюда (3.3), после элементарных преобразований получим

(в этом приближении задержку уже можно считать равной х/с0 для всех фронтов).

Подставляя сюда (3.3), после элементарных преобразований получим

к2Ь'

△ 3== △屮q8S З2Г + (1 — COS0)

к2Ь'

△ 3== △屮q8S З2Г + (1 — COS0)

(3.5 a)

(3.5 a)

где

е —2 sin2 0/2sinS

△90 = P'k'L--,

PqCqо

где

е —2 sin2 0/2sinS

△90 = P'k'L--,

PqCqо

(3.56)

(3.56)

k2Lc

8= -_(1 -cos0) = fc2£sin2

k2Lc

8= -_(1 -cos0) = fc2£sin2

J

2

J

2

Поэтому высокочастотное поле накачки при х = £ можно представить в виде

Поэтому высокочастотное поле накачки при х = £ можно представить в виде

讣(г, Z) = Piexp

讣(г, Z) = Piexp

)］巳(-9fLs9о)ехР

)］巳(-9fLs9о)ехР

= р^ехр 卜 2«-—

= р^ехр 卜 2«-—

РиН_^)+

РиН_^)+

Таким образом, воздействие низкочастотной волны приводит к появлению в спектре волны накачки комбинационных частот з】± из?.

При △(/то《я, применяя приближенное выражение для J,, найдем амплитуду комбинационных тонов частоты з^ ± з?, обычно используемых при

приеме:

е — 2sin20sin 5

Р+~р_ мруо—P*P?k*L.(3.7)

PqCq5

Угловая зависимость амплитуды этого комбинационного тона дается множителем sin 5传，определяющим направленность параметрического приемника. Полуширина диаграммы направленности (по уровню 1/VT* от максимальной амплитуды) определяется при k2L А 1 величиной

^-4,7/V^(3.8)

(ср. аналогичную формулу (2.9) для излучателя в режиме Вестервелта).

Основным недостатком параметрического приемника является малость амплитуды комбинационного тона, пропорциональной малому множителю р21р0 Со . Как и для излучателя, коэффициент преобразования растет с увеличением амплитуды накачки р2- Однако при больших р2 волна накачки превращается на трассе распространения от излучателя к приемнику в пилообразную и работа параметрического приемника переходит в нелинейный режим. При этом каждая гармоника последней накачки испытывает фазовую модуляцию под действием низкочастотной волны; соответствующее решение рассматривалось выше. Принимая во внимание соотношение (1.13), для амплитуды сателлита л-й гармоники,имеющего частоту КЗ】± з?, получим

Рк=Р1 д^о =^e-2sin2 ；)p2(sinS)/S.(3.9)

Таким образом, интенсивности сателлитов первых гармоник пилообразной волны накачки, обусловленных низкочастотной модуляцией, одинаковы и определяются амплитудой низкочастотной волны [Гурбатов, 1980]. Это обстоятельство открывает возможность повысить чувствительность параметрического приемника в нелинейном режиме, выделяя с помощью гребенчатого фильтра сателлиты разных гармоник и затем суммируя их интенсивности.

Важной характеристикой параметрического приемника является его помехоустойчивость. Такой приемник в принципе собирает шумы на частотах и сигнала, и накачки (точнее, принимаемой комбинационной частоты) .Можно показать, что с учетом направленности отношение сиг- нал/помеха для него равно [McDonough, 1975]

S/N= G2 WC/(NHDH + G2NcDc) .(3.10)

Здесь G = Рк/Pi — отношение амплитуд комбинационного тона и сигнала; %1H 乂一 мощности изотропного шума в полосе приема на частотах накачки и сигнала; DHiDc — множители, определяющие направленность параметрического приема на частотах накачки и сигнала; Wc — мощность сигнала в принимаемой полосе частот. При больших коэффициентах параметрического преобразования G отношение S/N приближается к значению, соответствующему линейной антенне с той же направленностью, однако в реальных случаях G < 1 и параметрический приемник оказывается значительно менее помехоустойчивым.

(3.11)(3.11)Расходящийся и рефрагирующий пучок накачки. Рассмотрим теперь более сложный случай, когда для пучка накачки Ld〉£口，так что работает наряду с прожекторной также волновая зона пучка. Будем исходить из волнового уравнения для волны суммарной частоты з)= з】+ з?:

(3.11)

(3.11)

где Pi, Р2 - комплексные амплитуды волн накачки и сигнала;左+ = w+/c0. Это уравнение справедливо в квазиодномерном приближении, когда угол 8 между направлениями распространения волн накачки и сигнала достаточно мал. Аналогично можно было бы рассмотреть и разностную частоту (при этом в (3.11) р2 заменяется на р；).

Решение (3.11) имеет вид интеграла рассеяния：

р 二(г)р 二(г)PiP2 exp(z^j 1г-г/1)PiP2 exp(z^j 1г-г/1)4яро^о4яро^оd3d3(3.12)(3.12)

р 二(г)

р 二(г)

PiP2 exp(z^j 1г-г/1)

PiP2 exp(z^j 1г-г/1)

4яро^о

4яро^о

d3

d3

(3.12)

(3.12)

Интегрирование в (3.11) удобно разбить на два этапа: сначала выполнить интегрирование по сечению S, перпендикулярному оси пучка накачки, а затем — по координате х вдоль оси пучка：

(3.13а)(3.13а)(3.136)(3.136)+ L

(3.13а)

(3.13а)

(3.136)

(3.136)

Рк= 2 /и(х)七

♦ 2Poeо о

где L - длина области взаимодействия, а

,、泳 + , Р1Р2exp[i/i +*2)lr -г I ]

u(x) =/；——нdS

27rIr-r I

(左1,2 = 3] 2/c0). В случае, когда амплитуда и фаза сигнала мало меняются на сечении S, множитель р2exp(jfc2 1г —/I) можно считать зависящим только от координаты х. Принимая, кроме того, во внимание, что к+—кх, а точка приема расположена при х = £, где L — длина пучка, получим

Г г Pi exp [ikx lr-rrll и(х) = Р2(х)еХр^(Л-х)][-$ ―В~妇

Можно провести дальнейшее упрощение формулы (3.13) [Донской, Сутин. 1981]. Согласно принципу Гюйгенса—Френеля, интеграл в квадратных скобках для любого сечения волнового пучка (интеграл Гюйгенса— Рэлея) равен значению поля этой волны в точке наблюдения р^ = £), т.е.

(3.14)(3.14)U(X)= Р1 (Z) Р2 (х) ехр 麻2 (Z - X)].

(3.14)

(3.14)

Подставляя (3.14) в формулу (3.1 За), получим выражение для амплитуды волны комбинационной частоты:

(3.15)(3.15), jew+Pi(£) L

(3.15)

(3.15)

Рк =2/ Р2(х) ехр 餌2 (Z -X)]dx.

2росо о

Обычно источник сигнала находится достаточно далеко от приемника, так что волну сигнала можно считать плоской, а ее амплитуду — постоянной

в области взаимодействия. Будем также считать, что можно пренебречь изменением фазы сигнала в пределах характерной ширины пучка d, т.е. выполняется условие к28d《я. На самом деле вместо 2 можно взять ширину первой зоны Френеля дая пучка накачки, поскольку источники, расположенные вне этой зоны, как известно, компенсируют друг друга. Подставляя dF =，L 入;получим условие

左2、Л开灰1&《7Г・(3.16)

Тогда амплитуду волны сигнала можно представить в виде p2exp(^2xcos0) и согласно (3.15)

Рк= —；~зQ(a)exp[i*2Z-5)],(3.17)

где Z>(0) = (sin5)/5, 5 = k2L яп20/2.

Формула (3.17) обобщает соотношение (3.7), полученное для узкого (по сравнению с длиной волны сигнала) пучка на случай пучка произвольной ширины. Ширина диаграммы направленности снова определяется формулой (3.8). Таким образом, для параметрического приемника в отличие от излучателя нет существенной разницы между режимами, в которых в заимодействие происходит в ближней или дальней зоне излучателя накачки.

Формула (3.7) может быть обобщена на случай неоднородной среды, когда прием ведется на искривленном пучке накачки и даже на несколько таких лучей (в слоистом волноводе накачка может достигать точки приема и по разным лучам).

Амплитуда волны комбинационной частоты, возникающей в результате взаимодействия сигнала с волной накачки, распространяющейся по некоторому лучу s, определяется соотношением

,i£3+Pi(L$)A

Рк = Z —~3— / Р2(4)ехр \ik2[^(Ls)-山&)]} dls. s ZPqCq 0

Здесь 屮(厶)一 эйконал вдоль s-ro луча (первичное поле имеет вид р；= ==Pi (г)ехр^ф (г)), Ls - длина области взаимодействия вдоль 5-го луча, 15 — координата вдоль луча.

Экспериментальные исследования параметрических приемников проводились неоднократно, хотя, пожалуй, не столь широко, как излучателей. В качестве примера можно упомянуть работу Трачарда [Truchard, 1975], где приведены результаты экспериментального исследования параметрического приемника с базой 15 м, частота сигнала изменялась в пределах от 3 до 6 кГц. Поскольку согласно (3.7) чувствительность такого приемника растет с длиной его базы, рассматриваются возможности ее увеличения. Был создан параметрический приемник с базой 340 м [Goldsbery et. al., 1978]. Излучатель сигнала работал на частотах 40-80 Гц, частота накачки 65 кГц, амплитуда накачки 〜105 Па м. Опыты проводились на глубине 23 м. Обсуждались и возможности параметрического приема на сверхдлинной базе, до 26,5 км [McDonoudh, 1975]. Относительно низкая эффективность таких систем заставляет думать о них не как о конкурентах линейных антенн в обычной сфере их применения, а скорее

как об удобном инструменте для исследования пространственной структуры акустического поля. Например, в океаническом волноводе возможен параметрический прием на базе, искривленной вдоль луча, что позволяет осуществить весьма чувствительную селекцию звуковых лучей в неоднородном океане [Донской и др., 1983].

Нелинейная акустическая томография. К параметрическому приему в широком смысле можно отнести и методы нелинейной акустической томографии. В данном случае речь идет о восстановлении распределения нелинейного параметра е (или В/А = 2(е- 1), см. гл. 1), который связан, вообще говоря, с температурой или другими существенными характеристиками среды. Такие методы представляют особый интерес для случаев, когда заметные вариации линейного акустического импеданса отсутствуют, так что обычные методы ультразвуковой эхолокации (в том числе в томографическом варианте) неприменимы.

Метод, предложенный японскими исследователями [Ichida et al., 1983: Sato et al., 1985; и др.], основан на взаимодействии слабого зондирующего высокочастотного сигнала с относительно сильной низкочастотной накачкой (непрерывной или, чаще, видеоимпульсной), которая модулирует фазу сигнала, причем, как и выше, величина фазового сдвига △屮 пропорциональна нелинейному параметру. Рассматривались различные схемы реа лизации такого метода, когда накачка и сигнал распространяются коллинеарно, перпендикулярно или навстречу друг другу. Обсудим кратко, например, случай встречного распространения, когда непрерывный зондирующий сигнал частоты з и импульс накачки бегут в противоположных направлениях (по оси х). Фазовый сдвиг сигнала определяется выражением, аналогичным (3.4). Пусть импульс накачки входит в систему в точке х = 0 и распространяется в положительном направлении. Он изменяв! скорость звука, которая, таким образом, имеет вид Ас = Acq-x/co). Участок сигнала, который при "О находился в точке х = х0, будет в момент t находиться в точке х = х0 - cot и будет, следовательно, взаимодействовать с участком импульса накачки, в котором Ас 二 Дс[(х0 -2х)/с0]. В результате общий фазовый сдвиг этого участка сигнала, прошедшего в отрицательном направлении от точки х = £ (конец системы) к точке х = 0 (ее начало):

з丄/一2х \、

△9(X0) =Г"с( Idx(3.18)

Гоо\с0 /

(ср. с(3.4)).НовеличинуАс легкосвязать с давлением в импульсе на

качки, а именно

В/А

△с= ——Р；,(3.19)

2р()Со

и если р{ = P\f{t -x/cq), где Pi — амплитуда, а /— заданная безразмерная функция, определяющая форму импульса, то из (3.18) имеем

△屮(Хо) = -Р13『3(х)Г(J dx,(3.20)

0\Co /

гдегде

где

где

(3.21)

—параметр фазового сдвига, определяемый распределением В/A вдоль оси х; его и нужно найти.

Введем вместо /новую функцию g согласно равенству /(z)二 gQ(c()z⑵, тогда (3.20) перепишется в виде

(3.22)(3.22)L / х0 1 △^o)=-Pi^J ^(^Щ — -х 丿 dx.

(3.22)

(3.22)

Заметим, что информация о фазовом сдвиге, попадающая на выход системы в момент t = хо/со> соответствует значению Ф в точке х = х0/2.

Поскольку функция g известна заранее, а △▽ — из измерений, функция W(x) может быть найдена путем операции, обратной свертке (деконволюции) ,а именно

где F и 尸 1 обозначают соответственно прямое и обратное преобразование Фурье.

Таким образом, решена задача о восстановлении распределения нелинейного параметра вдоль направления распространения зондирующего сигнала. Сканируя зондирующий луч и накачку механическим или электронным способом в поперечном направлении у, можно восстановить двумерное распределение Ф(х, у).

Такая система была реализована [Sato et al., 1985]. Частота зондирующего сигнала равнялась 5 МГц, а накачка представляла собой импульс в виде одного периода синусоиды частоты 500 кГц. Мощности сигнала и накачки составляли 0,01 и 10 мВт/см2 соответственно. Размеры изображаемой площадки 20X20 см2, разрешение 2 мм. Кроме специально изготовленных моделей было получено in vivo изображение сечения грызуна.

Привлекательной стороной подобных методов является, на наш взгляд, и разнообразие вариантов их реализации, что открывает, по-видамому, новые возможности для нелинейной акустической диагностики.

ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ РЕГУЛЯРНОГО СИГНАЛА И ШУМА

Вернемся теперь к одномерным процессам и в продолжение материала разд. 5 гл. 2 рассмотрим вкратце нелинейную эволюцию волны, состоящей при х = 0 из синусоидального сигнала и статистически однородного шума. В процессе распространения такой волны ее спектр эволюционирует довольно сложным образом. Можно выделить две стадии процесса: на первой — профиль волны непрерывен, на второй — хотя бы в одной из взаимодействующих компонент — сигнале или шуме — образуются (без учета конечной вязкости) разрывы. Остановимся на первой стадии процесса. При больших числах Рейнольдса общее поле имеет вид простой

волны:

(4.1)(4.1)(4-2)(4-2)v(y,x) = f(y + avx)=f(^),

(4.1)

(4.1)

(4-2)

(4-2)

причем

f^ = ^)+M^,

где ^соответствует шуму, а М — сигналу.

Будем считать, что 7V - нормальный (гауссов) шум с нулевым средним значением, интенсивность которого характеризуется среднеквадратичным значением о2. Корреляционная функция шума задается выражением

&(打=(1 - 2)2?)ехр {-7殳 I,(4.3)

где у"1 — характерное время корреляции. Соответственно спектр шума на входе имеет вид

8(3,0) = 6(з,0)8 V^78(3,0) = 6(з,0)8 V^72S® 0)=ехр(-з2/4)2),2S® 0)=ехр(-з2/4)2),(4-4)(4-4)

8(3,0) = 6(з,0)

8 V^7

8(3,0) = 6(з,0)

8 V^7

2

S® 0)=ехр(-з2/4)2),

2

S® 0)=ехр(-з2/4)2),

(4-4)

(4-4)

где S - безразмерный спектр; он имеет максимум на частоте з = 2у. Сигнал задается в виде ЛГ住)=40sino?0f.

Дальнейший анализ весьма громоздок. Он сводится к вычислению корреляционной функции поля при х > 0 [Руденко, Чиркин, 1974] и достаточно подробно изложен в книге [Руденко, Солуян, 1975], поэтому мы ограничимся кратким описанием результатов для случая низкочастотного шума, спектр которого лежит значительно ниже частоты сигнала.

В регулярном сигнале сохраняется дискретная компонента на частоте 3q, которая, однако, затухает; ее амплитуда равна

- Ло”『2厶(аз/ох)] 2、

./2(х) =——exp {-(аао»о^)2'1 •(4.5)

2ok^qAqX J

Второй множитель отвечает ряду Бесселя—Фубини и отражает просто ослабление волны из*за генерации ее гармоник. Первый же множитель описывает затухание сигнала в результате его взаимодействия с шумом； заметим, что в данном случае затухание определяется полной энергией шума и не зависит от конкретного вида его спектра.

Спектр шума в области низких частот медленно расширяется. Более интересен факт появления сплошного комбинационного спектра в окрестности частоты 3q. Этот эффект можно рассматривать как результат модуляции регулярного сигнала шумовой волной. Ширина этой области, как и следовало ожидать, приблизительно равна удвоенной ширине спектра шума (идет перенос последнего как вверх, так и вниз от частоты з。)， причем высокочастотное крыло растет быстрее низкочастотного.

Вы сок очас то тный участок сплошного спектра описывается выражением

S(N)(3,x)=J\(olAq^x) f exp {(аозх)2(&- 1)} X

x sin 竺二处 d£(4.6)

3 — 3q

где R дается формулой (4.3), индекс "N" отражает модуляцию гармонической волны шумом. Приближенная оценка интеграла приводит к выражению

1 -cos[(w-w0)/71

С^)(з, х) d —片(olo^AqX) exp {—003x)2} . (4.7)

я(3 — 3q)2

После образования разрывов характер взаимодействия существенно изменяется. Влияние шума на движение разрывов в сигнале приводит к тому, что процесс затухания дискретной компоненты начинает зависеть не только от энергии, но и от формы спектра шума [Гурбатов, Саичев, 1981]. Кроме того, сплошной "пьедестал”，аналогичный рассмотренному выше вблизи частоты w0* появляется и у гармоник сигнала (на непрерывной стадии взаимодействие шума с гармониками обычно сказывается еще слабо). Этот процесс сравнительно просто описывается в случае, когда можно пренебречь нелинейными искажениями низкочастотаого шума. При этом можно считать, что шум дает лишь квази статический сдвиг фазы для сигнала, и представить решение в форме (1.10), где ин и ?в соответствуют N и М. Тогда выражение для п-й гармоники сигнала можно записать в виде

%О, x) = An(x)cos[л^оО + аМу)х)] *

а Ап(х)ап o^QxN{y) sin п ^oJ，(4・8)

где Л„ определяется эволюцией разрывной волны, а множитель N(y) показывает, что амплитуды гармоник модулируются шумом. Таким образом, в окрестности каждой гармоники появляется сплошной спектр, повторяющий спектр шума. Для пилообразной стадии, где Ап ~ (а/1з()х)т, получаем

% 3, х) ~ NO0 血几3陋(4.9)

т.е. на этой стадии (без учета конечности толщины разрыва) амплитуды всех гармоник одинаковы и полностью определяются амплитудой шумовой компоненты.

Заметим в заключение, что в противоположном случае, когда низкочастотный регулярный сигнал взаимодействует с высокочастотным шумом, происходит регулярная модуляция шума. Нелинейные искажения сигнала приводят, естественно, к изменению закона модуляции и к распльшанию спектра шума. С другой стороны, вызванные шумом флуктуации амплитуд разрывов приводят к нарушению периодичности сигнала и соответственно к расширению спектров его гармоник.

Главаб

нелине№ые АКУСТИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ

В ДИСПЕРГИРУЮЩИХ СРЕДАХ

СРЕДЫ С СЕЛЕКТИВНЫМ ПОГЛОЩЕНИЕМ

Дисперсия скорости звука препятствует перекачке энергии в высшие гармоники или другие частотные компоненты, возникающие при распространении интенсивной волны, если не выполняются специальные резонансные условия (условия синхронизма), связывающие волны различных частот. Так, возмущение на суммарной или разностной частоте, возни кающее при взаимодействии двух волн, должно совпадать с одной из собственных волн системы; тогда эта последняя возбуждается резонансным образом. Иначе говоря, для трех резонансно взаимодействующих собственных волн системы, распространяющихся коллинеарно, должны выполняться условия

31±32 = 3з, к!± к2 = к3.

Для недиспергирующей среды первое из этих соотношений автоматически влечет за собой выполнение второго, поскольку 左= з/с(ь а с0 одна и та же скорость для всех волн. Поэтому энергия начального сигнала "растекается" по широкой полосе частот, что приводит к сильному нелинейному поглощению из>за сильно затухающих высокочастотных компонент.

В диспергирующих средах условия синхронизма могут выполняться лишь для избранных троек частот, но зато для них эффективность взаимодействия будет выше, поскольку нет других волн, участвующих в энергообмене. Подобные эффекты давно используются, например, в радиофизике и оптике. В акустике они стали изучаться, в сущности, лишь в 1970-х годах.

Механизмы дисперсии звуковых волн достаточно разнообразны. Во-первых, это релаксация скорости звука, которая, впрочем, непосредственно связана с потерями. Во-вторых, резко выраженной дисперсией характеризуются среды с внутренним частотным или пространственным масштабом, как мы уже видели в гл. 1. Наконец, к тем же эффектам приводит мгео- метрическая0 дисперсия, существующая, в частности, в системах с границами —волноводах, стержнях, резонаторах. Возможно и резонансное селективное подавление отдельных компонент в спектре волн.

В этой и следующей главах мы рассмотрим разнообразные нелинейные акустические эффекты, возникающие в диспергирующих средах; здесь же используются и некоторые новые модели диспергирующих сред в акустике, не рассматривавшиеся в гл. 1.

Начнем с рассмотрения модельных ситуаций, когда можно учитывать 146

взаимодействие лишь конечного числа спектральных компонент или, наоборот, на некоторых частотах действует повышенное селективное поглощение. Пусть, например, периодическая волна описывается нелинейным икгегродифференциальным уравнением

ди ди в

——-аи— = - 2Л„Лл(г) sinncoy.(1,1)

Зх ②л = 1

Здесь

н,

Ап = ~ f и (х, у) sin nutyd(^y ) 开0

—амплитуда соответствующих гармоник, Dn — коэффициенты их затухания, имеющие порядок (丄④一длина затухания на частоте данной гармоники). Значение D„ зависит от характера диссипации. Так, очевидно, что для уравнения Бюргерса (когда правая часть (1.1) равна 石將/旷)Dn^n2. Если затуханием можно пренебречь (все Ьп ->0), то решением (1.1), очевидно, будет простая волна. Здесь нас интересуют случаи, когда для некоторых n=N значения Л„ >8, Ясно, что тогда соответствующие гармоники в спектре волны подавляются. Действительно, представим поле в ваде ряда Фурье:

и= S Вп(х)sin(1.2) и = 1

Тогда (1.1) можно представить в виде системы уравнений в обычных производных

dBn/dx + DnBn = Sn,(13)

k 8и ,,

где % 二一 / аи—7 sin〃3y dQy ) 开0"

—фурье-компонента нелинейного слагаемого, содержащая, вообще говоря, попарные произведения всехВп.

Отсюда, в частности, следует, что если некоторые коэффициенты Л„ 今°°, то за время релаксации порядка Л"1 соответствующее значение Вп равно

Вп ~ Sn 2n 今 О,

т.е., как и следовало ожидать, сильно затухающие гармоники выпадают из взаимодействия. Рассмотрим некоторые важные частные случаи.

Резонансное удвоение частоты и вырохзденное параметрическое усиление. Начнем со случая взаимодействия двух синхронно распространяющихся гармоник — на частотах з и 2з. Подставляя сумму (1.2) в уравнение (1.1), пренебрегая потерями на этих частотах и считая, что Лл 今 °° при л = 3 и выше, получим для В\ и В2 уравнения

dBidBiазазdxdxаз г--=---用.dx 2аз г--=---用.dx 2(14)(14)

dBi

dBi

аз

аз

dx

dx

аз г

--=---用.

dx 2

аз г

--=---用.

dx 2

(14)

(14)

(1.5)(1.5)147147

(1.5)

(1.5)

147

147

Отсюда, в частности, следует Bj +Bl = Bq~ const,

10-2. Зак. 382

что означает сохранение суммарного потока энергии волны в процессе распространения. После этого интеграл (1.5) записывается в виде

当 (％ о ch0x - & sh|3x)

,(1 ，6)

Bq (灰 ch0x ―当。sh0x)

где 0 =仪3笈2 о/2, % о = % (0).

Отсюда ясно, что при х—8 всегда Bi ^-0, B?f—Bo, т.е. энергия полностью перетекает во вторую гармонику (что, конечно, было бы невозможно в среде без дисперсии и потерь).

Заслуживает отдельного упоминания случай, когда в начальный момент преобладает вторая гармоника, т.е. 51 (0) < 52 (0) • Тогда на начальном этапе величину 62=620 можно считать постоянной и из (1.4) или (1.6) находим

& =6ioexp 倣).(1.7)

Это типичный процесс параметрического усиления поля субгармоники (на частоте з) волной накачки (с частотой 2з) : если 62 о > 0, то》i экспоненциально растет, а при / о <0 затухает, т.е. процесс зависит от фазы накачки. В дальнейшем 6? убывает, по модулю меняет знак и приближается к Во, a Bi9 достигнув максимальной величины50, убьшает до нуля.

Эти результаты, впервые полученные Р.В. Хохловым [1961], в свое время сыграли важную роль в развитии нелинейной оптики. Р.В. Хохлов [1961] и Н.С. Б ломбер ген [1966] рассмотрели и более общую задачу о двух- и трёхволновом взаимодействии при наличии отклонений от точного синхронизма и произвольных фазовых расстроек при х = 0 между полями разных частот. В этом случае перекачка энергии во вторую гармонику невозможна, всегда происходит частичный периодический обмен энергией между гармониками (см. также разд. 2 этой главы).

Среды с конечной диссипацией. Идеальное блокирование всех нежелательных гармоник обычно затруднительно, однако введение повышенного селективного поглощения даже на одной-двух частотах существенно улучшает условия обмена энергией между низкими спектральными компонентами [Woodsum, 1981; Moffett, 1981].

Для анализа возможности управления процессами перекачки энергии между гармониками при помощи удаления из когерентной составляющей волнового поля специально выбранных компонент спектра было рассмотрено [Руденко, 1983] феноменологическое интегродифференциальное уравнение типа (1.1), но с оставлением бюргерсовского члена в обычной форме:

~~— Re'1 = /)363(2) sin30 - Q464 sin4^.(1.8)

Здесь U = и/и0 ； 3 = ЗУ； о=х/£н = ези()х储；Re = 2еиоРо^о/^> где и0 一 амплитуда колебательной скорости волны, з — ее частота. Величины Dn равны отношениям нелинейной длины £н к характерным длинам нелинейного поглощения третьей и четвертой гармоник, Вп(о) — амплитуды этих гармоник, определяемые из (1.2) при л = 3, 4.

Рассмотрим процесс генерации второй гармоники при распростране-

Рис. 6.1. Зависимость амплитуд первой и второй гармоник от расстояния при различных величинах селективного поглощения [Руденко, 1983]

1 — слабое селективное поглощение! 2 — слабое поглощение третьей гармоники и сильное — четвертой； 3 — сильное поглощение третьей и слабое — четвертой; 4 — сильное поглощение третьей и четвертой гармоник

нии первоначально гармонической воины частоты з: U(0, J) = sin仇 Зависимость от расстояния амппитуд первой (штриховая кривая) и второй (сплошные кривые) гармоник при Re-1 =0 и различных значениях Di, полученная численным интегрированием уравнения (1.8), приведена на рис. 6.1, взятом из работы [Руденко, 1983]. Рассмотрены различные варианты: слабое селективное поглощение (D2 =D3 = 2) - кривая 7； слабое поглощение третьей гармоники (D3 = 2), сильное — четвертой (D4 = 20)— кривая 2; сильное поглощение третьей гармоники (D3 = 20) и слабое - четвертой (D4 = 2) - кривая 3; сильное поглощение третьей и четвертой гармоник (力з =。4 二 20) - кривая 4.

Как видно из рис. 6.1, ход амплитуды второй гармоники оказывается различным для разных режимов селективного поглощения. Когда преобладает поглощение третьей гармоники (кривая 3), наблюдается более быстрый рост амплитуды & и она достигает бопьших значений, чем в случае, когда поглощение велико на четвертой гармонике (кривая 2). Зато уменьшение В? с расстоянием происходит медленнее при селективном поглощении четвертой гармоники. Вообще, как и следовало ожидать, сильное поглощение на частоте третьей гармоники сказывается сильнее, чем погпощение на частоте бопее далекой четвертой.

При увеличении Re-1, что соответствует уменьшению амплитуды накачки или росту диссипации в среде, интенсивность генерации второй гармоники, конечно, уменьшается.

Численное интегрирование уравнения (1.8) с другим граничным условием

U(0, 3)= znsinJ— sin 20, (1.9)

где 加《1 - амплитуда слабого сигнала, параметрически усиливаемого накачкой частоты 2з, показывает [Андреев и др., 1985], что введение

СРПри-тыичпг'лСРПри-тыичпг'лТТ/Л t-n*A»»f Л1_£Г,1 CI 口q TKCEW сЛ та “СЕсcsec■ ссs.・с▼•»»▼〃》■•、， ▼* с QTCIVf ~. 、一 .1, К Па Ару 一一 4 “ A• if - - - —4 ““ 《＞« 。а ЦП

СРПри-тыичпг'л

СРПри-тыичпг'л

случае увеличивает энергообмен между низкочастотными компонентами спектра, что приводит к увеличению коэффициента параметрического усиления (на частоте) до величин 102-103. 149

Итак, введение селективного поглощения позволяет в принципе повысить эффективность параметрического усиления звука; заметим, что в недиспергирующей среде коэффициент параметрического усиления субгармоники даже при идеальном синхронизме не может существенно превышать единицу [Гольдберг, 1972; Руденко, Солуян, 1975]. Технически такую селекцию можно осуществить в плоском резонаторе, одна из стенок которого представляет собой пластинку конечной толщины, причем акустический импеданс пластинки сильно отличается от импеданса окружающей среды. При нормальном падении волны на резонансных частотах пластинка не отражает ее, а пропускает полностью. Это обстоятельство и можно использовать для устранения перекачки энергии в ненужные гармоники [Зарембо и др., 1980]. Использовав такую пластинку в качестве границы плоского резонатора (акустического интерферометра) и возбудив его на частоте= тгс。/加厶 мы получаем, что на пг-й

и высших гармониках частоты сол добротность резонатора Q мала (он открыт), тогда как на основной частоте и ее гармониках с номерами меньше m значение Q может быть велико, причем отражение по скорости происходит в противофазе, т.е. пластинка эквивалентна твердой стенке, и спектр частот такого резонатора остается эквидистантным.

При отсутствии селективного поглощения в резонаторе резонансным условием удовлетворяет множество гармоник и при возбуждении резонатора возникает многочастотный спектр. Для теоретического описания свойств спектра, колебаний, возникающих при гармоническом возбуждении плоского резонатора, необходимо рассмотреть процесс возбуждения комбинащюнных тонов в резонаторе с учетом их расфазировки и потерь [Гольдберг, 1983]. Исходное уравнение в терминах смещения частиц среды и можно представить в виде

Э2и d2w 8%du d2w

一曲 7礙£部，(1.Ю)

「口! * — лагРанжева координата, cub, как и ранее, характеризуют нели- нейные и диссипативные свойства среды. Полагая, что одна из стенок резонатора совершает гармонические колебания, а другая - неподвижна, запишем граничные условия следующим образом:

〃о(0, f) = /оsin(з£ + 9), 〃о(厶 f) = 0.Q.ii)

Здесь L 一 толщина резонирующего слоя.

卩рн решении задачи параметрические волны удобно группировать по семействам. Каждое семейство волн определяется частотой волны накач- кн з н наименьшей частотой з? данного семейства. В каждом семействе ® 厶волновом приближении присутствуют волны с частотами з?, Зз 二 -3 — 32, з左+2 = з + 3左+2 (左=2, 3,..., Z). Решение ищем в виде

""'+ „Л 2”「“т ⑺ cos3nl t + bm ⑺ sin3m4 Sin [3期(x-£)/Co], (1.12) где

〃 1 = 4 Ri (t)cos3f + 6i(0 sin 3f] sin*:。(x - Z) + 4 (x - /)[a sin3f +

+ (б/c。) cos3f] cos左()(x - Z). 150

Величина Л] = ^o/[sin(5Z,/co) — sh2a£] определяет амплитуду колебаний на частоте вынуждающей силы, она зависит от коэффициента потерь а = 二 Ьз,2р()с^ и степени расстройки от резонанса, задаваемой параметром 5 = §2 + 5з, представляющим собой суммарную величину отклонения частот 3m взаимодействующих волн от резонанса. Именно,3旧=зОт + 5т, з()т - собственные частоты аютемы, определяемой условием sin(coOm^/co) =0» 5m - величины расстройки по частоте. Другие величины, входящие в формулы (1.11), (1.12), выражаются соотношениями

Подстановка выражения (1.12) в уравнение поля приводит к системе 27 обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка для медленно меняющихся амплитуд, которые интегрировались численным образом для / = 3=5. Поведение решений зависит от величины частотной расстройки z = 5/с н относительной роли диссипативных и нелинейных эффектов, характеризуемой числом Рейнольдса Re = eAx^l^. Общая картина процесса сводится к следующему. Вначале развиваются непинейные искажения формы волны, рассмотренные в предыдущем разделе. Затем с ростом амплитуды волны, при достижении некоторого порогового значения числа Re, параметрически возбуждаются субгармонические компоненты, имеющие при заданной расстройке наименьший порог.

В трехволновом приближении наименьший порог возникает при совпадении частоты 32 с наименьшей собственной частотой системы. В четырехволновом приближении при любом z наименьший порог оказывается у семейства волн з? =з/2, причем величина пороговой амплитуды (и соответственно 7?) зависит от расстройки. В частности, при z = 0 z? == 52/са=0, Re = 0,61. С ростом z увеличивается Re и г2. В пятиволновом приближении при изменении |z| от нуля до единицы наименьший порог соответствует волнам, частоты которых лежат в полосе от со2 =з/2 до з? =0,35з. При ]z|〉1 наименьший порог соответствует волнам с наименьшей частотой cj2 .

ды генерация гармоник, образование разрывов и т.д. происходят так же, как в плоской волне (взаимодействие неколлинеарно распространяющихся волн — падающей и отраженной в квадратичном приближении несущественно) .В этом смысле волновод с твердыми стенками не имеет принципиальных отличий по сравнению со свободным пространством.

Пусть теперь одна из стенок (z = 0) свободная, т.е. выполняется условие р (z = 0) = 0. Тогда при отражении фаза давления изменяется на тг Ясно, что при этом участки разрежения в волне сменяются участками сжатия, и наоборот. Это означает, что накопления нелинейных эффектов при распространении по ломаной не происходит — за один цикл профиль отраженной волны в идеале возвращается к исходной форме (если в ней не образовался разрыв), или - на спектральном языке - фаза второй гармоники по отношению к первой при отражениях меняет знак, В таком волноводе переход энергии волны в высшие гармоники запрещен.

Вместе с тем синхронное взаимодействие двух волн можно осущест вить, если они распространяются под разными углами к оси волновода, так что разница в длине пути компенсируется различным числом отра жений от стенок, каждое из которых дает сдвиг фазы на я. Рассмотрим особенности процесса генерации комбинационных компонент при распространении звука в волноводе для однородного волновода.

Будем исходить из нелинейного волнового уравнения в виде

(2.1)(2.1)

(2.1)

(2.1)

где с。считается константой.

Чтобы продемонстрировать роль дисперсии, рассмотрим пока только генерацию второй гармоники. В первом приближении представим поле в виде одной моды

<^1 = Afm (z) exp {i(<^t - ктх)\ +к.с.,(2.2)

где х — продольная, z — поперечная координаты (волновод пока счита ем двумерным; случай трехмерного волновода — трубы, канала — аналогичен и будет обсуждаться ниже). Величина fm (где т — номер моды) определяется как собственная функция уравнения

0ftnBz，+编％ = 0

с соответствующими граничными условиями на стенках волновода. Величина к：т — поперечное волновое число — связана с продольным волновым числом кт уравнением

*+城=32储=必.(2.3)

Представим решение в виде 屮=中* + 屮？, ограничиваясь в нелинейных членах приближением 9 =仍，т.е.

Ml 捺等七 ^ [(▽"+ 导(*)1Q4)

Подставляя первое приближение (2.2) в уравнение (2.4), получим

X ехр ⑵(з£ — ктх)\ .(2 5)

Разложим 02 по собственным модам волновода:

6 =总 Д (2)ехР (2^0 [лл ехр (~2ikmх) + Ьп ехр (-№„х)].(2.6)

Первое слагаемое в квадратных скобках отвечает вынужденному решению, а второе — свободаому, в котором кп связано с 2з дисперсионным уравнением (2.3).

Обозначим правую часть (2.5) через iS(z)exp{2i(3f —左小工)}，умножим это выражение на fm и проинтегрируем по глубине волновода (О, Я) я

с учетом условия ортогональности /%Rdf = 3mB・ Лля вьшужденной о

части 02 получаем решение

"”=71Г S S(z)fm(z)dz.(2.7)

&-к” о

Если решается граничная задача, когда на входе волновода (х = 0) задано чисто гармоническое поле: <^(х = 0) =(^i, то Ьп = —ап и возмущение имеет вид

9=exp2(2i3f) S anfn(z)lexp(-2ikmx)~ ехр(-Л„х)|,(2.8)

И = 1

где ап определяется из (2.7). Отсюда следует, что возмущение на второй гармонике многомодово, а изменение его амплитуды на каждой моде (в том числе и на пг-й) имеет вид биений с периодом Лт„ = 2я/|2^т — кп\. Общая же картина пространственного распределения поля на частоте 2з может бьпь сложной.

Особого внимания заслуживает случай синхронизма, когда к^(2з) = =2左小(3)и, следовательно, к^=4к*. В этом случае вынужденное решение (2,7) расходится, а полное решение (2.8) остается конечным, хотя и растет в пространстве. Действительно, положим Л„ = 2Лт + △, где △ ->0. Тогда, разлагая разности экспонент в (2.8), получаем

/L(z)xн

Г” 2 =-——五”，办=/ S(z)Л1 (z) dz.(2.9)

^m0

При небольших расстройках от синхронизма эффективность нелинейного взаимодействия можно характеризовать соотношением между нелинейной длиной£н = с0 /(е^РфМ) (где к= w/c0, % - фазовая скорость моды, М = и0 /с0, Уо =左91) и дисперсионной длиной Л.

Резонансные случаи представляют специальный интерес. Возникают они или нет, зависит от дисперсионных свойств волновых мод. Ограничимся здесь элементарными примерами.

Волновод с жесткими стенками. В этом случае 弘(°，切=° и, очевид-

но, Д = \/2/后8s (ияг/Я). При этом кп=п я/Я и, как легко видеть, синхронизм (т.е. выполнение условия кп (2w) = 2кт (w)) осуществляется при м = 2加,где т — произвольное целое число. Эго вполне понятно: как показано в начале этого раздела, при первотражениях от жесткой стен ки нелинейные искажения накапливаются так же, как* в однородной сре де, а, согласно концепции Бриллюэна, т-я мода на частоте з и и-я на частоте 2з распространяются под одним и тем же углом к оси х.

Волновод со свободными стенками. Здесь (^(0, Я) = 0 и Д = = \рЦНsin (ияг/Я). В этом случае условие п = 2т снова обеспечивает синхронизм. Однако элементарное вычисление интеграла в (2.9) показывает, что а„ = 0: хотя нелинейная сила в (2.5) находится в резонансе с возмущением, ее суммарное (по всей вертикальной плоскости) воздействие равно нулю из-за ее пространственной ортогональности полю пг-й моды Это тоже понятно из сказанного выше: из-за сдвига на я фазы при отражении синхронизма волны основной частоты и ее второй гармоники не получается. Это предотвращает перекачку энергии в область высоких частот (и, значит, образование разрывов).

Аналогичное рассмотрение можно провести и для трехмерных волноводов —труб. В этом случае тоже справедливы соотношения (2.2) и (2.3), только теперь в (2.3) к2 =(加开/由)* + (ия/е/2)2, где d^ и d2 — размеры сторон волновода, тип— целые числа. Поэтому в случае генерации второй гармоники условия резонанса имеют вид

rn^/dl + «1/^2 = 4(欣/片 + «i/^2)> (2.10) где mi, «1 — номера моды на основной частоте, а т2)л2 — на второй гармонике.

Эти условия выполняются, в частности, для любой пары мод с 加2 = 2加“ 〃2 = 2«1・ Соответственно этому в волноводе с жесткими стенками оказываются резонансными все высшие гармоники сигнала, что приводит к образованию разрыва. В волноводе со свободными стенками для таких кратных мод справедливы соотношения ортогональности, так что взаимодействия не происходит. Однако (в отличие от двумерного случая) здесь есть и другие возможности. Так, условие (2.10) выполняется, если хи】=〃i = 1,加？ = 1, л2 = 3, а размеры волновода удовлетворяют условию 右/d； = 5/3. При этом изменение фазы при отражении от границ тоже компенсируется разницей в числе отражений, а ортогональность для нелинейной силы не имеет места. Таким образом, возможна резонансная перекачка энергии вверх на избранные частоты без образования разрывов (третья гармоника уже не синхронна с первой). Заметим, что здесь возможна генерация некоторых высших мод на второй гармонике (в рассматриваемом случае это, скажем, мода с т2 = 29 п2 = 6).

Волновод в виде открытого прямоугольного канала с водой. Три его границы можно считать жесткими, четвертую, верхнюю — свободной. В этом случае вместо (2.10) имеем

期 (*2 + 1)2 . /用 (2m1 + I)2 \

(и — вертикальное, am — горизонтальное числа моды). Это условие вы- 154

полняется, например, если 君/片=3/4, а 加】=2, п^ =и, пг2 = 1, н2 =0 или 君/d；==5/16,加1=% = 1,几1=加2 = 0 (но во втором случае взаимодействия нет из-за ортогональности функций, описывающих вынуждающую силу и собственные колебания системы).

Аналогично можно рассмотреть и более сложные случаи, когда взаимодействие двух волн разных частот приводит к появлению сигналов на суммарной и разностной частотах.

В 70—80-е годы был проведен ряд экспериментов по взаимодействию мод в волноводах. Приведем результат одной из работ [Hamilton, 1987] по нерезонансному взаимодействию акустических волн в заполненном воздухом волноводе с сечением diXd2 = 7X3,8 см2. В нем возбуждались две первичные волны — одна на чисто продольной моде (加1 =〃i =0) на частоте /i = 165 Гц, другая на моде с ди2 = 1, «2 = 0 на частоте 力=3200 Гц. Уровни амплитуды давления в этих модах равнялись соответственно Pi = 129,8 дБ, р2 二 120,7 дБ (или 弘=60 Па, р? =20 Па). На рис. 6.2 показаны изменения амплитуд волн на суммарной (小=3365 Гц) и разностной (f4 = 3035 Гц) частотах вдоль волновода. Сплошная линия - результаты расчета по формулам, аналогичным (2.7), но с учетом небольшого затухания в волноводе. Наблюдается хорошее согласие теории и эксперимента. Видно, что период осцилляции на разностной частоте меньше, чем на суммарной (из-за более сильного влияния дисперсии на низких частотах, находящихся ближе к критической частоте моды wKp =сок). Конечно, амплитуды сигналов на комбинационных частотах малы по сравнению с амплитудами первичных волн.

3・ ПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ УСИЛЕНИЕ Н ГЕНЕРАЦИЯ ЗВУКА

Возможность усиления звука звуком, т.е. прямого преобразования частоты акустических колебаний без участия электромагнитных полей, представляет значительный принципиальный интерес. Как уже отмечалось» эффективность такого процесса для заданных частот не может быть высокой в отсутствие дисперсии. Поэтому если, например, в радиотехнике сверхвысоких частот и оптике параметрические усилители и генераторы давно реализованы и неоднократно использовались, то в акустике преобразование частоты осуществляется, как правило, электроакустическим способом. Исключение составляют, пожалуй» лишь параметрические антенны (причем, как отмечалось, термин ^параметрические** для них не соответствует принятому в теории колебаний и радиофизике), но эффективность преобразования в них чрезвычайно мала. Вместе с тем в диспергирующих системах возможны существенное параметрическое усиление и эффективная параметрическая генерация звука.

Бегущие волны в волноводах. Мы сначала рассмотрим резонансные параметрические взаимодействия в волноводе прямоугольного сечения (ось х направлена вдоль оси волновода, у, z — в плоскости его поперечного сечения с размерами d】,d2). Будем искать решение в виде суммы в заимодействующих мод:

з

3=工 s fmn(у, z) ■ As(x, г)ехр [г(wsг - fcsx)],(3.1)

s= 1 и

где fmn - собственные функции волновода, определяемые из решения краевой задачи

^fmnlby2 + a2%”/az2 + ^fmn = о(3.2)

с соответствующими условиями на стенках волновода.

Подставляя (3.1) в нелинейное волновое уравнение (2.1), умножая, как и выше, на соответствующую собственную функцию fmn, интегрируя по сечению волновода и учитывая только резонансные члены, получим в первом приближении уравнения для амплитуд мод в виде

Ms/dt + (%)гр bAjbx = G“(33)

Здесь (и5)гр = Со(1 -СоК2/^2)^2 - групповая скорость (определяемая из уравнения (2.4)), a G偉一 нелинейные слагаемые, выражения для которых достаточно громоздки (они приводятся в статье Л.А. Островского, И.А. Папиповой [1973]). Однако общая структура Gs очевидна - это произведение амплитуд мод. Для установившихся процессов (8/8Г 二 0) выражения (3,3) имеют вид уравнений триплета:

ibA 1 / дх — —В\4 ； 4 з,『84 ? /8х 二—^2 4 ； 4 з,

idAz/bx = B3AiA2>(34)

где все Bi (i = 1,2,3) можно считать действительными.

Эта система имеет точные решения, выражаемые через эллиптические функции Якоби (см. [Бломберген, 1966]). Уравнения (3.4) имеют два

интеграла (частный случай известных соотношении Мэнли-Роу).

1^112 — ^1 О К|2 —弟0 Мз12 — Лзоч

=_,(3.5)

昆 &

где индексом "нуль” обозначены начальные значения соответствующих |величин. Характерные решения (3.5) отвечают периодическому изменению амплитуд всех волн, причем 1-я и 2-я волны изменяются синфазно, а 3-я, накачка, — в противофазе, так что суммарный поток энергии волн сохраняется.

Рассмотрим более подробно случай вырожденного взаимодействия двух мод на частотах з и 2з・ В отличие от разд. 1 учтем малую расстройку, т.е. положим 32 = 2toi + 5, ^2 = 2kl + △, где 5 < a>i, а Д 25(dk2/d3). Тогда вместо (3.4) получаем

/ЭЛ1/Эх = -Л*Л2В1 exp fz(5z- Дх)|,

/ЭЛз/Эх = Л1Л2 ехр[ i(—Sf + Дх)|,(3.6)

Если ввести действительные амплитуды и фазу, так что 4,2 二 〃i,2 exp(i&,2), то эта система примет вид

9ai/3x = тд Im(Biexp(i0)), Эа2/Эх = ai Im(В2 ехр(/0)),

Э0/дх = Д + Re(Bi exp (用))(& -说/д ),(3.7)

где 3= % - 2的一 Дх.

Как уже говорилось, решения этой системы хорошо изучены. Здесь мы ограничимся рассмотрением линейной стадаи параметрического усиления, когда амплитуду 〃2 (накачку) можно считать заданной, и рассмотрим поведение сигнала 〃〔 с заданной начальной амплитудой 〃i q《〃2 ・

Если Д = 0 (точный синхронизм), то 〃】экспоненциально растет в соответствии с формулой (1.7):

〃i = 〃i о exp q, qfkn [名 exp (z0)].(3.8)

Уравнения (3,7) совпадают по форме с (1.4) при 0 = const и Re(&exp(iJ》=0. В частности, при действительном В、максимальный инкремент достигается при J = ±я/2 и равен В\а?,

Д^]я оценки частотной полосы усиления необходимо решать систему (3,7) при Д ¥=0, Общее выражение для q〔 (г) при этом довольно громоздко. Поэтому рассмотрим случай сравнительно больших расстроек, когда △ >51^2 и в третьем уравнении (3.7) можно положить 0 = Дх + 0О • При этом а】 изменяется по закону [Ахманов, Хохлов, 1964]

/当做sin (aх.

做=а°ехр I—— • -~— ) ,(3.9)

\ 2Дл:/2/

т.е. изменяется вдоль оси х периодически с периодом Л = 4я/Д; при Д = 0 и 0= ±я/2 это выражение совпадает с (3.8).

Отсюда можно определить полосу усиления До как интервал частот, в котором коэффициент усиления по мощности падает вдвое, Если потребовать, чтобы на границах полосы усиление по х достигало максиму-

ма на длине системы 厶 т.е. я/До *L, то эта величина равна

Д0 = 251Л2/1п(^1/).(ЗЛО)

Отметим, что с приближением частоты з? к критической частоте моды, когда 斤 1 今 0, инкремент усиления растет, а полоса его сужается.

Волноводные системы обладают интересной особенностью, если речь идет об импульсном режиме. В общем случае при равенстве фазовых скоростей иф групповые скорости и^, различны и импульсы на частотах накачки и сигнала расходятся, что может привести к прекращению взаимодействия, -усиление происходит только на ограниченном расстоянии. Здесь же, как следует из дисперсионного уравнения (2.3), выполняется соотношение иф/и^ = Cq, так что равенство фазовых скоростей означает и равенство групповых, и, пока волновой пакет не расплывется из-за дисперсии, его усиление будет происходить так же, как и усиление непрерывного сигнала.

Сделаем некоторые оценки для случаев, рассмотренных в предыдущем разделе,

Дия волновода с жесткими стенками в случае взаимодействия мод с индексами 加=0, м = 1 (на частоте з) и пг =0, и = 2 (на частоте 2з) величина 51 определяется из следующего выражения:

(2<?о好/з；)61 = -乂 + 2к； + 2岩行-(у - 1)(^1 + 2к；)/4,

где кI=开％/击3, kj = 1 - k2.

Приведем оценку максимального инкремента q = & Im ® ехр ®)) в соответствии с формулой (3.8). Пусть di = 0,7 см, d2 = 2,8 см (критическая частота для моды 加=0, м = 1 — 268 кГц). Тогда при 力=300 кГц, /2 = 600 кГц (/= з/2тг) имеем к、= 0,44, Ki =0,91 и 5i = 2»8. Если интенсивность накачки 厶=5 Вт/см2 (число Маха М = 3 • 10'4), то q 二 0,84 м"1, а коэффициент усиления на расстоянии 1м К-е^ равен 2,3. Полоса усиления составляет около 0,6% от несущей частоты, Заметим, что для однородной плоской волны (нулевая мода) на расстоянии 1м К =1,3. Эта разница связана с тем, что для ненулевой моды в волноводе эффективный путь волны растет (и^ уменьшается) по сравнению со свободным пространством, что при равных интенсивностях накачки 厶〜^гр/ отвечает большей амплитуде скорости (это с избытком компенсирует ослабление взаимодействия из-за различия в поперечной структуре мод).

Волновод со свободными границами в виде прямоугольной трубы с тонкими стенками, заполненной водой и находящейся в воздухе. Как уже отмечалось, условия синхронизма выполняются для мод 加=1, и = 3 (накачка) и пг = 1, и = 1 (сигнал) при 虚/國 =5/3. При 山=0,7 см, d?= = 0,87 см и /2 = 6 Вт/см2 (т.е. М = 3 • 10~4) получаем 勺=0,44,勺=0,5, ^! = 0,83, и тогда, как показывает расчет, на дистанции 1м К = 5,7 и q = 1,74м'1. Полоса усиления порядка 2%.

Для волновода в виде открытого канала с водой получаются такие оценки. Пусть d^ = 0,7 см, d? = 0,35 мм,力=200 кГц; тогда при/2 =5 Вт/см2 (М = 3 • 10~4) получаем q = 0,28 м"1, т.е. К= 1,4 на дистанции 1 м. Строго говоря, в этой задаче нужно учитывать возможность возбуждения на поверхности капиллярных волн. Однако на высоких частотах этот эффект вряд ли играет существенную роль.

Параметрическая генерация звука в резонаторах. Из приведенных только что оценок видно, что в звуковом и ультразвуковом диапазонах частот получить большое усиление для бегущей волны трудно — величина нелинейности (по крайней мере, если не использовать аномальные среды) относительно мала. Однако коэффициент усиления обьпно гораздо больше, чем декремент затухания, и это позволяет использовать многократное взаимодействие волн, возникающее в ограниченных системах типа резонаторов с отражающими концами, причем, как уже говорилось в гл. 2, отражение обеих волн должно происходить синхронно. В подобных системах возможно не только усиление, но (благодаря обратной связи) и неустойчивость —параметрическая генерация звука.

Рассмотрим взаимодействие трех мод в волноводном резонаторе, образованном волноводом конечной длины L с отражателями на концах. Заметим, что это рассмотрение включает и случай интерферометра, если взаимодействуют нулевые (продольные) моды, отличающиеся лишь числом полуволн, укладывающихся на длине резонатора. Представим решение в виде суммы стоячих волн:

з

р'= S As(t)fs(y, z)cos(^x + ^g) + к.с.,(3.11)

где 屮$ — фазы, определяемые граничными условиями на отражателях, находящихся при х = О, L; ks — волновые числа, соответствующие генерируемым частотам, так что в резонансе ksL + 0, = nsn (и, - целые числа). Частоты взаимодействующих волн снова связаны условием 31 + 32 = Зз・

Подставляя (3.11) в уравнение (2.1) и поступая так же, как и для бегущих волн в волноводе, получим уравнения для комплексных амплитуд:

/з = — %зАзз — (Зз/зз)4/з - /()3；,

/] = —iA 1 Acoi + (61/31)42“з — §i<i,(3.12)

Л 2 = —i42 Аз? — (62/З2 )4；%3 — §2-^2 ,

где Аз$ — расстройка между з$ и ближайшей собственной частотой резонатора з$о； 8$ — декременты затухания, связанного с потерями в резонаторе; Bs — те же коэффициенты нелинейности, что и выше; 4° - заданная амплитуда смещения внешнего источника, возбуждающего резонатор, характеризующая, например, движение одного из отражателей. Благодаря наличию возбуждения уравнение для А3 оказывается теперь не- одаородным.

Переходя к действительным переменным (4$ = а$ехр(；3$)), получим четыре уравнения

3$ о /$ = 3$ о 5 sas - В5 〃尤 4 sin 9 — / о з^ sin [^з 5 ($ — 3)),

■(笈1 〃1 〃3В2〃1〃3占3〃1〃2 \ /I.Q3WCOS93 (3.13)

内=а3+ (+- ) cosJ +•

\ 3] 0。132Q〃2 Ззо〃3 /〃зЗзо

Здесь s9 к, I = 1, 2, 3, причем %, /* s; 6(s - 3) = 0 (при s = 1, 2) и 1 (при S = 3) ； 3 = 33 -32 - & .

Подобные уравнения досконально изучены в радиотехнике в связи с теорией параметрических генераторов [Каплан и др., 1966]. Они всегда имеют очевидное состояние равновесия, когда at = a2 = 0, а

备=(Л()<д>з/6з) (1 + До>з/6з) "2,(3.14)

что соответствует возбуждению линейного резонатора. Однако при достаточно сильном возбуждении, когда Aq>A^9 где пороговое значение Лравно

4th = {(31 0 32 06162)(1 + Аз；/£)(1 + А32/贫)历切不运'} "2, (3.15)

это состояние становится неустойчивым. Одновременно при значениях —/ Аз] Аз? \

Ло >Л = 4h ( "— + 1 существует другое устойчивое состояние рав

новесия, в котором все а отличны от нуля:

а； = 3] оз? оSi^2 (1 + △ <*^ 1 /51 )/В 1В2>

2<*>20^30^2^3 ( ]+ А31Аз§+ [/^З^о&В?

&В2 I6163146162<л>10^20

а3з _ ]1勺

+ —— I f, а；/匮=32&2/31&1.(3.16)

Заметим, что, как легко видеть, Аз1® = Аз/В?、Существенно, что а3 вообще не зависит от 人，т.е. параметрическая трансформация энергии в колебаниях на частотах з^2 полностью ограничивает рост колебании на частоте накачки с ростом амплитуды возбуждения. При малых расстройках значения Л и Nth совпадают ^мягкий режим), но при условии (Д<о3/63)2 > (61+ 62)/63 получается Л <А^ и в этой области существуют два устойчивых состояния равновесия (3.16) (жесткий режим) и зависимость % 2,3 от а0 имеет гистерезисный характер. Заметим еще, что в резонансной кривой аз(Азз) в случае повышения порога образуется минимум из-за отвода энергии генерируемыми колебаниями.

Рассмотрим теперь некоторые реальные ситуации.

Резонатор, заполненный жидкостью или газом и ограниченный на концах жесткими отражателями. Будем считать, что потери в системе связаны с вязкостью, тогда 63^^, а добротность резонатора Qs = (63/2^)-1 пропорциональна з；1 Если спектр резонатора (например, интерферометра) эквидистантен, т.е. 3砌=〃^2, где л — целое, а С — низшая собственная частота, то для частоты накачки з^ = з$ резонансному условию удовлетворяют различные пары частот: 31 = 3切 32=3匕，если т^п =^. При этом из (3.15) можно видеть, что порог генерации при прочих равных условиях минимален дая случая 加=1, 〃=s—1, т.е. для наиболее сильно разнесенных собственных частот. Этот вывод хорошо согласуется с результатами экспериментов А.Дж. Эллера [Eller, 1973].

Р н с. 6.3. резонансная кривая параметрического генератора звука на частоте накачки

J — до порога параметрической генерации, 2 — прн возбуждении субгармо- нмкн； значками представлены данные эксперимента [Островский, Папилова, 1973]. По оси абсцисс отложена величина отстройки от резонанса (в относительных единицах), по осн ординат - величина амплитуды волны накачки Ло, отнесенная к ее значению в резонансе

Первые эксперименты по параметрическому преобразованию звука проводились в плоских резонаторах - акустических интерферометрах, заполненных водой. В таких системах (имеющих эквидистантный набор резонансных частот) возбуждался широкий спектр из дискретных компонент [Adler, Breazeale, 1970; Korpel, Adler, 1965]. Чтобы устранить нежелательные компоненты, можно использовать интерферометр с селективно отражающими границами [Зарембо, Сердобольская, 1974]. Эта возможность и была, по-вадимому, реализована в работе Йена [Yen, 1975]. Наконец, закономерности параметрической генерации звука были подробно исследованы в волноводных резонаторах [Островский, Папи- лова, 1973]. Использовался, в частности, прямоугольный волновод с мягкими боковыми стенками и жесткими концами, заполненный водой. Размер сечения 3X2,3 см2, т.е. удовлетворялось приведенное выше условие d?/d；二 5/3. Частоты волн равнялись /\ = 42 кГц (на моде m = 1, и = 1), а 启=@4 кГц (на моде m = 1, м = 3). После превышения порога (которому отвечало число Маха М~ 5 • 10"3) устанавливался режим параметри- ческой генерации, причем наблюдалось хорошее согласие с приведенные ми выше формулами. Это проиллюстрировано на рис. 6.3, где показана резонансная кривая системы с характерным провалом.

Другой пример — кольцевой резонатор в виде металлического стержня, свернутого в кольцо. Для сравнительно низких мод такого стержня дисперсия невелика, и резонансные условия приближенно выполняются, причем добротности мод в этом диапазоне примерно одинаковы. Эксперимент проводился с алюминиевым резонатором длиной 635 мм и диаметром 12 мм, его добротность 0~ 500, а пороговое число Маха М~5 ・ 10~7» При /3 = 10 кГц, несмотря на малость дисперсии, генерировалось небольшое число частот (по-видимому, из-за резкого ограничения амплитуды накачки). Однако в других случаях (при больших 厶)генерировались и весьма широкие спектры. Любопытно, что даже для ультразвуковой накачки возникал довольно сильный звук, т.е. реализовывалось прямое преобразование энергии ультразвука в сльшшмыи звук.

Заметим еще, что для твердотельного резонатора при хорошем согласии с теорией всех относительных параметров абсолютная величина порога генерации была в эксперименте на один порядок меньше, чем в теории, что, по-видимому, свлзано с наличием аномальной нелинейности металла. 11. Зак.382 161

АКУСТИЧЕСКИЕ СОЛИТОНЫ В ЖИДКОСТЯХ С ПУЗЫРЬКАМИ ГАЗА

Рассмотрим теперь процессы другого рода, также связанные с нелинейностью и дисперсией. Речь идет о случаях, когда дисперсия мала на низких частотах, но существенно сказывается на высоких. Именно такие системы описываются уравнением Кортевега - де Вриза (КдВ), которое уже получалось в гл, 1 применительно к жидкости с пузырьками и пористым средам. Здесь мы обзудим характерные решения уравнения КдВ, в особенности уединенную нелинейную волну — солитон — в конкретных акустических системах. Кроме того, мы будем по возможности учитывать другие факторы, например малую диссипацию, что позволит связать солитоны с более общим классом решений в виде ударных волн с осциллирующим фронтом.

Начнем, однако, с уравнения КдВ

Эи/dx — оси 8и/8у - ДЭ3и/ду3 = 0,(4.1)

где а* 0 — параметры нелинейности и дисперсии (см. гл, 1).

Как известно, это уравнение имеет класс стационарных решений в ваде волн, распространяющихся с постоянной скоростью без изменения формы. При этом и =u(f), & =у + bx, у = f —x/cq (b = const) и (4.1) обращается в уравнение в обычных производных. У этого уравнения имеется семейство периодических финитных решений — кноидальных волн; аналитически они описываются эллиптическими косинусами. Кроме того, имеется уединенное решение (солитон), отвечающее замкнутой сепаратрисе, в виде

u = u0/ch2a/A),(4.2)

где

А == x/126/auQ, b = otUq/3,(4.3)

и0 — пиковое значение скорости.*，

В настоящее время известны точные нестационарные решения (4.1), в первую очередь многосолитонные, в виде набора двух и более взаимодействующих солитонов: солитоны, сближаясь из бесконечности, взаимодействуют, а затем снова расходятся, сохраняя в асимптотике исходные параметры. Это и другие свойства дают основания для глубокой аналогии между солитонами и материальными частицами. Известно также, что любой локализованный положительный импульс асимптотически распадается на конечное число солитонов плюс осциллирующий "хвост" — излучение. Солитоны наблюдались в самых различных физических ситуациях (волны на воде, в плазме, в электромагнитных линиях и др.). Приведем три примера акустических солитонов; первый из них относится к жидкости с пузырьками, второй — к твердотельным волноводам типа тонких стержней, а третий — к зернистым средам.

Солитоны в жидкости с пузырьками. Уравнение КдВ для случая, когда характерная частота волны значительно меньше резонансных частот пузырьков, было получено в гл. 1, Там же было показано, что это уравнение справедливо в области хотя и низких, но все-таки не слишком низких частот, когда сжатие пузырька происходит адиабатическим, а не изо-

термическим образом. Однако и в этом случае, строго говоря, нужно учитывать тепловую релаксацию. Если ею можно пренебречь, то существуют солитоны с параметрами

а ⑵％(7+ 1)кио,...

А , й =,(4.4)

С/+1)3 Mo.37co

у — показатель адиабаты в пузырьке, з()- резонансная частота пузырька, с0 — скорость звука.

Уравнение, учитывающее тепловую релаксацию, в полном виде не анализировалось. Рассматривались, однако, более простые феноменологические модели, их обсуждение можно найти в книге [Накоряков и др., 1983]. Простейшая модель связана с учетом вязкого слагаемого, что вместе с учетом дисперсии приводит к комбинированному уравнению Корте- вега-де Вриза-Бюргерса 0СдВБ):

ЗиЭиЭ3иЭ2и

——аи — — 0 —— = 6 —"(4.5)

dхby勿3勿2

(обозначения здесь те же, что и в гл. 1; 5 характеризует вязкие потери), Это уравнение было исследовано в работе А.В. Гуревича и Л.П. Питаев- ского [1987]. Переходя к переменной ^-х ~Ьу9 мы снова получим класс стационарных решений. Финитному решению здесь отвечает сепаратриса, соеданяющая точки равновесия. Это решение описывает ударную волну — переход между двумя постоянными значениями скорости, причем из-за дисперсии он может содержать осцилляции. При малых 5 первые осцилляции весьма близки к солитону.

В этом случае может быть построено и нестационарное решение, опи- сываюихее медленно затухающий солитон. Будем отыскивать решение в виде ^почти солитона,9 (4,2) с медленно меняющимся параметром и0 при тех же связях между А, д и и0. Методы построения подобных реше- ьшй сейчас хорошо разработаны. Зависимость и0(^) определяется из уравнения баланса энергии. Умножим исходное уравнение (4.5) на и и проинтегрируем по у на бесконечном интервале (фактически в области локализации солитона), Тогда, подставляя решение (4.2), получаем

dv0 4 (ab\ 2,4 об

dr 45 If 丿45 d

откуда

(4.6)(4.6)Уо =^оо(1 +7UooX)-1, Uoo = Uo(0).

(4.6)

(4.6)

Эта формула сходна с формулой (2Д6) гл. 2, описывающей затухание пилообразной волны; при больших х амплитуда солитона затухает как х-2 и при этом перестает зависеть от начального значения Л 0.

Итак, в зависимости от соотношения параметров пузырьков и вход- ного сигнала характер нелинейной эволюции волны может быть существенно различным. Сейчас в этой области накоплен значительный экспериментальный материал; правда, больше всего изучалось формирование сильных ударных фронтов. Расстояние до формирования ударной волны при этом оказалось много меньше, чем в чистой воде.

16316311-2. Зак. 382

163

163

рис. 6-4. Схематическое изображение эволюции профиля одиночного импульса при различных значениях о и Re

Показаны начальная форма импульса и его профиль через промежуток времени г

Ближе к акустической ситуации цикл экспериментов, описанных в работе [Накоряков и др., 1983]. Было введено два основных параметра задачи: число Рейнольдса Re = и%传 и параметр Урселла о = = 7。®?。) '' (/о — характерная длина возмущения, и° — характерная амплитуда), отражающие роль потерь и дисперсии. Из анализа стационарных решений уравнения (4.5) видно, что при a/Re > х/Т эти решения имеют вид ударных волн с монотонным профилем, а при a/Re <，^ на ударном фронте появляются осцилляции, При малых о и больших Re стационарный профиль не образуется и возникает линейный коротковолновый цуг, тогда как при очень больших о возникает лишь конечное число солитонов. Заметим, что для солитона a = 12.

□iiLS

/мксмкс

4 мкс4 мкс

р н с. 6-5. Осциллограммы профилей импульсов сжатия в жидкости с пузырьками газа [Kuznetsov et al., 1978]

а — начальная форма импульса; б—е — профили импульсов на расстоянии 1 м от источника： 6 — ударная волна» в, г — многосолнтонные возмущения» д — одиночный солитон, е — волновой пакет

Таблица 6.1. Параметры импульсов^ изображенных на осциллограммах, представленных на рнс. 6.5,а-е

Осциллограмма на рнс. 6.5Осциллограмма на рнс. 6.5Re。/Reр（）, МПа %, смRe。/Reр（）, МПа %, смХарактеристика сигналаХарактеристика сигнала

Осциллограмма на рнс. 6.5

Осциллограмма на рнс. 6.5

Re。/Reр（）, МПа %, см

Re。/Reр（）, МПа %, см

Характеристика сигнала

Характеристика сигнала

12,1

—

0,050

0,048

0,035

10

90

Излученный импульс

Уд叩 ная волна

52,8

3520

0,015

0,094

20

Многосолитонное возмущение

30,0

1500

0,021

0,048

16

Двух солитонное возмущение

U1

356

0,034

0,029

10

Одиночный солитон

3,4

48

0,071

0,003

6

Волновой пакет

Ha pic. 6.4 показан схематически характер эволюции начального возмущения в виде импульса конечной длительности при различных значениях определяющих параметров [Гасенко и др., 1977]. Эти расчеты хорошо согласуются с данными экспериментов [Kuznetsov et al., 1978], в которых изучалось распространение импульсов сжатия в водном растворе глицерина, содержащем пузырьки углекислого газа. На осциллограммах рис. 6.5 приведены начальная форма импульса и профили импульса на удалении около 1 м от источника при различных параметрах среды; их сводка дана в табл. 6.1, где указаны также начальная амплитуда импульса Pq и его длина Zo- Все эти случаи относятся к области a/Re< “2, когда, в соответствии с теорией, дисперсионные эффекты существенны. При а> 13,9 (рис. 6.5, е-d) начальный импульс (рис. 6,5,а) распадается на солитоны, а при о< 13,9 (рис. 65, е) образуется линейный волновой пакет. При o/Re = 0,05 (рис. 6.5, б) возникает ударная волна.

Заметим, что если для пузырьков углекислого газа солитоны были хорошо выражены, то для гелия их наблюдать не удавалось. Оценки показывают [Кобелев, Островский, 1980], что в этом случае велика длина тепловой волны, так что процесс сжатия пузырька близок к изотермическому и солитонные решения отсутствуют.

АКУСТИЧЕСКИЕ СОЛИТОНЫ В УПРУГИХ ТЕЛАХ

Рассмотрим теперь распространение продольных упругих волн в тонком стержне радиусом d. Как известно, скорость линейных длинных волн в таком стержне равна q = у/Е/р, где Е — модуль Юнга, р - плотность. Конечность же толщины стержня приводит к дисперсии скорости звука, которая сказывается все больше по мере укорочения длины волны. В результате возможно, в частности, существование солитонов. Эти вопросы рассматривались в ряде работ (см., например, [Молотков, Вакуленко, 1980]),

Уравнение волн конечной амплитуды можно получить на основе общих выражений, приведенных в разд. 2 гл. 1. Запишем выражение для плотности внутренней энергии с точностью до кубичных членов включительно:

入 4 e

е = 4。点 + 5 % + ^ UikUuUxl + BU%% + у 叫 (5-1)

(обозначения здесь те же, что и в гл, 1).

В тонком стержне (точнее, в продольной волне с волновым числом к, удовлетворяющим условию kd《i) продольные смещения много больше поперечных, а последние симметричны, т.е. радиальное смещение Ur зависит только от г. При малых kd можно воспользоваться приближением Лява, согласно которому это смещение пропорционально радиусу и продольной деформации

Ur - —vrbUxl^x,

где 〃 — коэффициент Пуассона (ось х направлена вдоль стержня). Интегрируя плотность энергии по поперечному сечению стержня s с учетом (5.1), легко получить (снова в лагранжевых переменных) одномерный лагран- 166

жиан (погонную плотность функции Лагранжа)жиан (погонную плотность функции Лагранжа)(5-2)(5-2)

жиан (погонную плотность функции Лагранжа)

жиан (погонную плотность функции Лагранжа)

(5-2)

(5-2)

где m = d]\fP — так называемый полярный радиус инерции, a g — параметр нелинейности:

g= 3£+24(1 - 2戸)+ 65(1 一 2" + 2产一4р3) + 2c(1 — 2p)3.(5.3)

Варьируя L по переменной Ux, получим нелинейное волновое уравнение

廿〃 ‘标〃 g 8" #U , , д2 lb2U , b2U\

声i^ 一 彳1Г哀~力/(声-寿)=0‘ 04)

где с「- скорость сдвиговых волн. Два последних слагаемых в левой части (5.4) малы.Дифференцируя (5.4) по х, снова перейдем к уравнению для деформации е 二 bUx!bx:где с「- скорость сдвиговых волн. Два последних слагаемых в левой части (5.4) малы.Дифференцируя (5.4) по х, снова перейдем к уравнению для деформации е 二 bUx!bx:

где с「- скорость сдвиговых волн. Два последних слагаемых в левой части (5.4) малы.

Дифференцируя (5.4) по х, снова перейдем к уравнению для деформации е 二 bUx!bx:

где с「- скорость сдвиговых волн. Два последних слагаемых в левой части (5.4) малы.

Дифференцируя (5.4) по х, снова перейдем к уравнению для деформации е 二 bUx!bx:

Рассматривая далее волну, бегущую в направлении положительных х, и переходя к переменным y-t — x/q и х =х, получаем (опуская в дальнейшем штрихи) уравнение КдВ для е или, что иногда удобнее, для скорости и = 3 U/bt = 一吓：

dudu8%

^勿Эу3(5.6)

где a^g/2pcf, 6 =夕疗/寸)(1 _ с〃с；).

Решение (4.2) в виде солитона теперь имеет параметры

△ d l,76wn (24p/g) "2(1 一 с；/,；)-% ь =gvo[6pc；.(5 7)

Более длинный импульс сжатия распадается на солитоны, при этом смещение в стержне изменяется ступеньками.

Возбуждение и наблюдение солитонов в подобных системах представило бы значительный интерес, но подобные эксперименты, по-видимо- му, непросты. Рассмотрим, например, волны в стальной проволоке диаметром 1 мм, при этом с产 3 • 1()3 м/с. Примем пиковое значение деформации е0 в волне равным 10~5 (это значение примерно соответствует статическому пределу текучести материала), т.е. амплитуда скорости в солитоне и0 ^0,5 м/с, длина такого солитона 70 1 см. Реальный способ возбуждения таких солитонов связан, вероятно, с лазерным возбуждением звука. В работе [Самсонов, Сокуринская, 1987] описано возбуждение продольного звукового импульса в полистироловом стержне даа- метром 1 см и длиной 5,5 см посредством фокусирования на его торце

лазерного пучка. При этом возбуждался импульс сжатия с амплитудой давления р0^ 135 МПа и длиной /0 = 0,8 см; по оценкам авторов, средняя часть импульса распространялась без деформации и по параметрам была близка к солитону.

Заметим, что знак дисперсионного параметра в уравнении (5.6) может изменяться в зависимости от свойств материала, так что при 0 > 0 существуют солитоны сжатия, а при 0 V 0 — солитоны разрежения; последнее возможно для таких материалов, у которых скорость сдвиговых волн больше, чем скорость продольных.

Определенный интерес представляет задача о распространении солитонов в стержне с плавно изменяющимся сечением s(x). В этом случае коэффициенты лагранжиана (5.2) зависят от х и в уравнении движения, получаемом вариацией Z, появляется дополнительное слагаемое, тгоопорцио- s£ ds 8U

нальное ds/dx, а именно——— (поскольку 〃 стоит лишь в малых

слагаемых и изменяется медленно, членов с Э^/Эх мы не учитываем). Соответственно вместо уравнения (5.6) получаем

ди дии

--2u — — 0 -- + — — = 0.(5.8)

Эх 8у 8俨 2s Эх

Если последнее слагаемое порядка остальных, то оно радикально изменяет характер решения. Мы отметим лишь два предельных случая.

Если неоднородность хотя и плавная, но достаточно сильная для того, чтобы зто слагаемое преобладало над двумя предыдущими (т.е, неоднородность "сильнее” нелинейности и дисперсии), то распространение происходит линейным образом, профиль волны практически не меняется, а ее амплитуда пропорциональна 户？ (при этом сохраняется поток энергии волны П 二炉).

Если же последний член в (5.8), напротив, мал по сравнению с остальными, то его влияние можно учесть с помощью теории возмущений. В частности, если граничное условие отвечает солитону, то неоднородность в первом приближении приводит к плавному изменению параметров солитона. Сходную задачу о затухании солитона мы уже рассматривали в этом разделе для пузырьков. Умножая снова (5.8) на и и интегрируя по у, легко получить

(5.9)(5.9)U = Uo (s/s0)-2/3.

(5.9)

(5.9)

Таким образом, амплитуда солитона сильнее зависит от & чем у линейной волны: хотя знергия в обоих случаях сохраняется, но длительность солитона зависит от его амплитуды, с ее ростом солитон сжимается, а с уменьшением - расширяется.

Так же можно учесть и плавную неоднородность других параметров стержня. Эти вопросы подробно рассматриваются в работах [Молотков, Вакуленко, 1980; Самсонов, Сокуринская, 1987].

Аналогичное рассмотрение можно провести и для тонкой пластинки. В ней продольные волны также описываются уравнением (5.5), где теперь (если d - толщина пластинки) с；=£/[р(1 ~^2)], а вместо и2т2

стоит сР^2/( 12(1 - 6)],

g=；^5+d"(七)卜 38g=；^5+d"(七)卜 38(5.10)(5.10)

g=；^5+d"(七)卜 38

g=；^5+d"(七)卜 38

(5.10)

(5.10)

То обстоятельство, что параметры аналогичных уравнений для волн в безграничной среде, стержне и пластинке различны, создает принципиальную возможность измерения всех трех констант третьего порядка Л, В и G

Волны в зернистых средах. Обсудим вкратце еще одну любопытную модель нелинейной среды, образованной набором соприкасающихся упру* гих шаров (гранул) (Нестеренко, 1983; Лазариди, Нестеренко, 1985]. Задача об упругом взаимодействии двух тел (контактная задача теории упругости) была решена Герцем еще в прошлом веке; ее изложение можно найти в книге Л.Д. Ландау и ЕМ, Лифшица [1986]. Если не учитывать нелинейности упругих свойств материала, то гео мет рические параметры системы и сила взаимодействия между ними (сдавливающая сила) F связаны соотношением

4 』（等:广 ®+%）一（x-W，（5з

где E — модуль Юнга для материала шаров, Ri ? - их радиусы, xlj2 'координаты их центров (для определенности х?力 *1)，Ясно, что для не- деформированных шаров 七一％】=&+&・ Закон Герца справедлив при условии, что размеры поверхности контакта много меньше радиуса частицы, а характерное время процесса много больше периода собственных радиальных колебании шара 夕比2,5氏/%, где % — скорость звука в материале шара.

Заметим, что зависимость такого же вида, т.е,尸比力#', где Л — степень сближения тел, сохраняется и для несферических тел, поэтому в качественном отношении все последующее относится и к ним.

Рассмотрим одномерную цепочку из соприкасающихся сфер одинаковых радиусов R или их трехмерную упаковку, если распространение происходит вдоль оси х, проходящей через точки контакта шаров. Пусть к концам цепочки приложена постоянная сжимающая сила Fo, которая создает некоторое начальное сближение соседних частиц, равное hQt Тогда смещение “ данной (Лй) частицы из положения равновесия с учетом выражения (5.11) для силы взаимодействия удовлетворяет уравнению

瓦=К(〃О - S + St)3/2 - К(〃о 一 S+1 + S)3/2, (5.12) где К = Е(2Я)"2/[з(] - Mm],*масса частицы.

Рассмотрим случай малой нелинейности, когда Щ±1— "|《力°, т.е. волновые деформации малы по сравнению с исходным смещением. Тогда, разлагая разности в (5.11) и удерживая члены первого и второго порядка малости, получим

E = a(S+i -2d+“_i) + 0(S+i -2S+S-i)(d-i —S+1)，(5.13) где а = (3/2)4屍化 0 = (3/8)4碍/2,

Подобные уравнения характерны для весьма широкого класса нелинейных систем с дискретными параметрами. Здесь можно прежде всего упомянуть известную задачу Ферми—Паста—Улама о нелинейной струне, послужившую важным стимулом для исследований проблем стохастиза- ции и обратимости в нелинейных распределенных системах. Проводились численные расчеты, показывающие, что в таких дискретных системах существуют солитоны, возможен распад волнового перепада на солитоны и тд. Параллельно исследовались нелинейные эффекты в электродинамических нелинейных системах (дискретных линиях передачи). Мы, однако, не будем здесь анализировать особенности дискретных систем, а перейдем к их распределенному, континуальному анализу. Для этого рассмотрим длинноволновые возмущения, масштаб которых 入 велик по равнению с расстоянием 2K = а между центрами частиц. Тогда, раскладывая разности в (5ДЗ) по координате х, мы получим нелинейное волновое уравнение

丝型Эх Эх2丝型Эх Эх2(5.14)(5.14)ь2и , а?и а**и

丝型

Эх Эх2

丝型

Эх Эх2

(5.14)

(5.14)

而=С。寿+勿。7奇一

где cl-Ahl/2,)=Cq&2/6, € = clR/hQr

Это уравнение принадлежит к тому же типу, что и, например» (5.4). Из него совершенно аналогичным образом получается уравнение КдВ вида (5.6), решением которого являются, в частности, солитоны.

В качестве эффективной скорости звука здесь служит величина %, которая может иметь гораздо меньшую величину, чем скорость продольных волн в веществе гранул, т.е. цепочка может служить своего рода за< медляющей системой. Более того, поскольку % 仪 >/^> а еа力？，скорость волны падает, а степень нелинейности системы растет с уменьшением предварительного сжатия. Поэтому интересно рассмотреть случай 60 = 0, когда (5.13) теряет применимость. В этом случае нелинейность уже не мала (хотя относительная деформация каждой частицы может быть и малой). Оставляя в силе длинноволновое приближение, из (5」4) получаем

d2U/3Эеа?э4е

8 产 12Эх8Эх4

炉(*曲)02“炉)_ W 9e/ax)3]= 2g

(1 —e)"264 (-e产 I ” яр0(1 - <x2)

Здесь £ = @0@* — деформация, которая считается отрицательной. Дело в том, что здесь нелинейность пока произвольна, a U включает в себя и начальное смещение под действием сжимающей силы, так что условие е< О означает просто, что волновая деформация не превосходит по модулю статическую —иначе в области разрежеш<я гранулы разойдутся, потеряв контакт. Конечно, при малых амплитудах волны (5Л5) переходит в (5.14).

Отыскивая стационарные решения уравнения (5.15), зависящие от

переменной 门=#-片， К= const, для переменной z = (—в)%’ получаем

a2 d2z К2 智 1Z.、

7 +Z — — Z*5 + Cz~"5 = 0(5.16) 10 d^ С；

где С - константа интегрирования.

COS4｛学(X-%)],COS4｛学(X-%)],При С = 0 это уравнение имеёт лишь знакопеременные решения, не имеющие смысла в рамках уравнения (5.14). В наиболее интересном случае имеются финитные периодические решения, а также уединенное решение типа "солитона на пьедестале" z】 (определяемое начальным сжатием), Если z2 Hzi близки, то в соответствующем приближении получаются солитоны КдВ^типа. Если же z^Vza, то в области, где z2 >z >Zi решение близко к тому, которое получается при С = 0, а именно

COS4｛学(X-%)],

COS4｛学(X-%)],

(5-17)

так что скорость солитона связана с пиковым значением деформации в нем соотношением

Г7С1-0,9|етах11/4.(5.18)

Любопытно, что в этом предельном случае длина солитона перестает зависеть от его амплитуды, а именно

厶 ％ 1,8а(5.19)

(если Ls определяется по уровню 0,5 от пикового значения). Эти зависимости, очевидно, радикально отличаются от слабонелинейных, когда справедливо уравнение КдВ. Напомним, что зто связано с существенной нелинейностью статической зависимости а(е), т.е. уравнения состояния среды. Действительно, из (5.11) следует (при одинаковыхR), что

а = ^е3/2/(3(1 - о2)),(5.20)

и локальная скорость звука (без учета дисперсии) есть

1 do Ее"* % _ р 工- 2р(1 - а2)

В ненагруженной цепочке, т.е, при е = 0, зта величина обращается в нуль. Ненагруженную систему соприкасающихся частиц можно отнести к системам с аномальной нелинейностью, рассмотренным в гл. 1.

Сделанные выводы проверялись авторами как с помощью численных расчетов, так и в экспериментах. В эксперименте использовались стальные шарики диаметром а = 4,75 мм (их количество составляло 20 и 40 в разных случаях), помещенные в кварцевую трубку. В данном случае р = 7,8 • 103 кг/м3, £* = 2 • 1011 Н/м2, о = 0,29. При ударном возбуждении на одном конце возмущение в цепочке распадалось на солитоны, параметры которых находились в хорошем количественном соответствии с приведенными выше результатами. Длительности импульсов составили 10—20 мкс, а амплитуды силы сжатия в них — 10—80 Н. Скорости частиц не превышали 10 м/с, т.е. число Маха по отношению к скорости звука в стали оставалось малым, так что в известном смысле и здесь возмущения можно считать акустическими.

ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ВОЛН В ЖИДКОСТИ С РЕЗОНАНСНЫМИ ПУЗЫРЬКАМИ

Значительной спецификой обладают диспергирующие среды, состоящие из резонансных осцилляторов; к таким средам принадлежит жидкость с пузырьками газа. До сих пор мы интересовались в основном нерезонансными низкочастотными процессами, теперь же рассмотрим некоторые резонансные эффекты.

Как было показано, распространение волн в газожидкостной смеси описывается уравнениями (3.22), (3.18), (3.14) гл. 1:

1 b2p b2p a^z

(61)

z = fV(RQ)n(RQ)dRQ,(6.2)

"+з^Р-36 + 1)0з^片 一0(2卩卢+◎)+"=-кр，(63)

(обозначения здесь те же, что и в разд. 3 гл. 1).

Дисперсионное уравнение. Начнем с линейного приближения. Пренебрегая в (6.3) нелинейными слагаемыми и отыскивая решение в виде р‘，V 〜exp "(зг - Лх) I, мы получаем из (6.3) связь между Vи р':

47tR)p'

广二 2*・八，(64)

%(з€ -^ +I3f)

а затем нз (6.1) и (6.2) - дисперсионное уравнение

(6-5)(6-5)з2 + 4 f n(Ra)RodRo+ Я ―i + i/Q

(6-5)

(6-5)

где g = (з°/з)2 -1; Q = з/f- величина, равная при з = з° добротности пузырька.

Отсюда видно, что наличие пузырьков приводит к изменению фазовой скорости волны, а также к ее затуханию. Наиболее интересны случаи малых потерь, когда мнимая часть в (6.5) мала. При этом к можно представить в виде = (з/с) - ia, где

с(з) = Со“ +с(з) = Со“ +4"或 j n(Ro)pRodRo4"或 j n(Ro)pRodRo-1/2-1/2з2(产+02)з2(产+02)(6.6а)(6.6а)

с(з) = Со“ +

с(з) = Со“ +

4"或 j n(Ro)pRodRo

4"或 j n(Ro)pRodRo

-1/2

-1/2

з2(产+02)

з2(产+02)

(6.6а)

(6.6а)

(6.66)(6.66)2тгс(з) n(RQ)RodRQ 0(3户§ .

(6.66)

(6.66)

3 J0(? +02)

Будем рассматривать два пределышх случая. —

Пузырьки одинакового радиуса Rq, т.е. и = NRod(Ro -RQ), где N - полное число пузырьков в единице объема. Если еще пренебречь потерями (т.е. положить С -►<»), то дисперсионное уравнение (6.5) примет следующий вид:

(6.7)(6.7)[14ttRqN^2

(6.7)

(6.7)

(С^c3q - со2

где cJ0 отвечает радиусу Rq.

172

Эта зависимость аналогична известной в электродинамике дисперсионной кривой для модели диэлектрика как системы одинаковых осцилляторов (модель Лорейца). Она состоит из двух ветвей — низко- и высокочастотной, разделенных зоной непропускания, где действительным з отвечают мнимые значения к. Здесь поле, проникая в среду, экспоненциально ослабляется из-за отражения его пузырьками. Эта зона расположена между з()н 3] = Зо(1 +《TrRoNcW)-'^. На низких частотах скорость звука близка к значению ст < с0, определяемому из формулы (3.27) гл. 1, а на высоких — приближается к с。.

Учтем теперь малые потери в пузырьке. В данном случае согласно (6.66) появляется затухание:'

2vc°RaN а 30(^2+02)

гдеГ= &力з2 -].

Приведенные соотношения были подтверждены экспериментально в работе [Fox, Curley, 1955].

Пузырьки с широким распределением м。радиусам, В реальных экспериментальных ситуациях пузырьки редко группируются около выделенного радиуса, гораздо чаще функция л (К。)широка в том смысле» что разброс резонансных частот превышает ширину резонансной кривой отдельного пузырька, т.е.

Rq dn 《LQn dR0Rq dn 《LQn dR0(6.9)(6.9)dn з()

Rq dn 《L

Qn dR0

Rq dn 《L

Qn dR0

(6.9)

(6.9)

《п или

В этом случае при интегрировании в формулах (6.6а) и (6.66) можно при каждом з интегрировать лишь в окрестности резонанса, положив п (К。) = const, З2 = з. В результате для декремента получаем

а = 27r2&^〃(&з),(6.10а)

&з = &о(з) — резонансный радиус пузырька на частоте з.

Примечательно, что эта величина не зависит от добротности б отдельных пузырьков. Дело в том, что с ростом Q увеличивается потребление энергии отдельным пузырьком (за счет его более сильной раскачки), но число пузырьков, взаимодействующих с гармоническим полем, уменьшается (из-за сужения резонансной кривой). В этом смысле здесь существует аналогия с ,,бесстолкновительнымм затуханием Ландау в плазме [Рютов, 1975].

Для пузырьков воздуха в воде при атмосферном давлении получаем коэффициент поглощения (в см-1):

а = 725 〃(&з限.(6.106)

Эта формула часто используется при измерении концентрации пузырьков в море и в лабораторных установках — измеряя а на различных частотах, получают зависимость п (7?0)-

Другое интересное обстоятельство состоит в том, что для широкой функции распределения n(R0) резко уменьшается вклад пузырьков в действительную часть к, т.е. в скорость звука. Действительно, полагая в (6.6а) 扌今 0, мы получим к = з/со, т.е. с = с。. Н лишь в следующем приближении,

173

полагая m(Rq) = n(RQ) + ^^-^ (&o -RQm)9 где RQm - характерное значение радиуса пузырька, мы получим, что Ас 内(dn/dR0)R 二& . Вывод о малости дисперсии фазовой скорости волн был подтвержден экспериментально [Кобелев, 1979]. Заметим, что не только потери, но и параметр нелинейности такой среды (см. ниже) существенно зависит от частоты.

Нелинейные взаимодействия волн. Мы уже рассматривали длинные нелинейные волны в газожидкостной смеси, когда спектр волны лежит в области частот з《 з(). Здесь мы откажемся от этого ограничения и рассмотрим возбуждение гармоник и комбинационных частот в жидкости с пузырьками с учетом резонансных эффектов.

Сначала кратко остановимся на пузырьках одинакового размера. Один из случаев взаимодействия в такой системе — параметрическое усиление субгармоники 一 рассматривался в работе [Заболотская, Солуян, 1967], см. также книгу [Руденко, Солуян, 1975]. При этом частота сигнала сос выбиралась равной з()/3, а частота накачки Зц = 2з()/3, так что суммарная частота приходилась на резонансную и поле на этой частоте сильно поглощалось. Кроме того, учитывались нерезонансные пузырьки малых размеров, дающие дополнительную нелинейную расстройку. Расчеты показали, что при разумных параметрах среды и накачки возможно существенное параметрическое усиление сигнала.

Мы, однако, будем уделять основное внимание более реалистическому случаю широкого распределения пузырьков по радиусам. Ограничимся здесь постановкой задачи, аналогичной той, которая использовалась для параметрических излучателей.

Начнем со случая генерации второй гармоники в плоской волне. Представим решение в виде

V-匕(г)ехр(；зГ)+ Р2(г)ехр(2»зГ) +к.с., (6Л1)

где Pi(r) - заданное решение, а | %| < | KJ . Подставляя (6.11) в уравнение колебаний пузырька (6.3) и пренебрегая в нелинейных членах возмущением %, получим

%(з^ -4з? +2；з/)-кр2 = 0%[3()+ 1)з& +з〃， (6.12) где Р2 — амплитуда возмущения р' на частоте 2з.

Подставив теперь связь между Р2Mp2 в (6.12) и затем в (6.1), получим волновое уравнение для р), которое в трехмерном случае (с заменой рхх на Ар') имеет вид

△р)+(* - &ЕзР； =*1зе2з(Р；)2， (6.13)

где к = 2з/с() (здесь пренебрегается поправкой к фазовой скорости) > а %(2з) определяется из формулы (6.10) для частоты 2з. Вид уравнения (6-13) такой же, как и для недаспергирующей среды (см. уравнение (2.2) гл. 5), но параметр нелинейности е?з определяется выражением

一 4- [3弘7+l)-32j"(Ro)dRo

При тех же предположениях, что и при выводе формулы (6.10) (кроме

того, п (RQ должно спадать достаточно быстро при RQ -* 0, °°, чтобы обес* печить сходимость интеграла (6.14)), т.е. считая и постоянным на протяжении ширины резонансной кривой, получим простое выражение

f2cu= —-гИ^гс)- (6.15)

Таким образом, в данном приближении параметр нелинейности зависит лишь от числа пузырьков с резонансной частотой 2з — пузырьки, резо- нансные на частоте з, не вносят вклада. При этом амплитуда колебаний отдельного пузырька с радиусом，з на частоте 2з много больше, чем у пузырька радиуса &23 на той же частоте. Это объясняется тем, что фазы колебаний пузырьков с радиусами вблизи &з, лежащими по разные стороны от &з，отличаются на я, а. на частоте 2з — на 27r. Таким образом, первые из них гасят поля друг друга и не дают вклада в среднее, макроскопическое поле, а вторые дают синфазный вклад. Заметим, что для пузырьков одного радиуса основной вклад давали бы пузырьки радиуса R^ [Заболотская, Солуян,1972].

(6.16)(6.16)Рассмотрим теперь генерацию поля разностной частоты С = з】一 з? заданными полями (накачкой) двух близких частот з】н з?・ Совершенно аналогично получаем волновое уравнение

(6.16)

(6.16)

где теперь

2ясо Vpo/З1. з()[3(1+))з^-(з； +з；-3132)]〃&£&0

7Ро(з^-з； +；3；/01)(3孟一з； - »з；/02)(з^ — С2-iC'/Os)

(6.17)

Ввиду близости частот Wj ИЗ? МОЖНО ПОЛОЖИТЬ И(W ! ) ^ И (w2 ) ^ 制(，з) и Qi - Qt ~ Q- Тогда в предположении о широком распределении пузырьков по радиусам из (6.17) получаем

(6.18)(6.18)2 4 [ (37-2)^^) MKQ е° _ С° [зЗ(а-；・з/01) — 02 з2

(6.18)

(6.18)

Чтобы еще упростить это выражение, предположим, что С/з《Q4, т.е. П меньше ширины резонансной кривой пузырька. Кроме того, в реальных условиях концентрация обычно падает с ростом радиуса (в типичных случаях и 〜&鼠Q, где а ~ 3+4). Тогда, пренебрегая вторым слагаемым в (6.18), получаем

电 а 3,93• IO、" (Ra)QX (6.19)

(入一длина волны на частоте з).

Из сравнения выражений (6.15) и (6.19) видно, что отношение en/e2tJ имеет порядок 500〃 (&з)/〃(&23) > 1. Это объясняется уже упомянутой расфазировкой колебаний пузырьков при удвоении частоты; при генера* Ции разностной частоты эта расфазировка отсутствует из-за малости Я

по сравнению с шириной резонансной кривой. Дня пузырьков одного радиуса, наоборот, /а》£з・

Соотношение (6.19) проверялось в эксперименте [Кобелев, Островский, 1980], в котором звуковой пучок пересекал слой пузырьков, создаваемый электролитическим способом. Концентрация пузырьков измерялась по затуханию в соответствии с формулой (6.10а) в интервале 90- 290 кГц. Дисперсия скорости звука в этом диапазоне была незначительна (△с/с0 & 10~3 ), что подтверждает справедливость предположения о доминирующем влиянии резонансных пузырьков. В поле волны, прошедшей через слой, измерялась компонента 卩％ на частоте Л и (с учетом расходи- мости пучка) определялось значение еп. При этом значение р% примерно в тысячу раз превышало то, которое получалось бы для чистой воды; так, для частоты з/2тг — 140 кГц, С/27r = 14 кГц получаем еп — 3,5 -103. Таким образом, реальная жидкость с пузырьками обеспечивает весьма высокие значения параметра нелинейности. Достаточно большие значения еп могут реализоваться и в естественных условиях, в частности в море, где пузырьки возникают благодаря насыщению воды воздухом из-за дей* ствия ветра, а также, по-видимому, из-за влияния морских организмов.

ПАРАМЕТРИЧЕСКИЙ ИЗЛУЧАТЕЛЬ ЗВУКА В ВОЛНОВОДЕ

Поле ПИ звука в волноводе приобретает своеобразные черты. Резонансные условия в этом случае выполняются для неколлинеарно распространяющихся волн, так что направление максимума излучения низкой частоты не совпадает с направлением распространения накачки и зависит от частоты первичных волн. Благодаря этому можно управлять диаграммой направленности, меняя частоту волн накачки.

Рассмотрим работу ПИ в условиях волноводного распространения звука, когда происходит возбуждение дискретного набора нормальных волн, следуя статье [Зайцев и др., 1987]. Одну из стенок волновода (z = 0) будем считать мягкой, другую (z = Я) - жесткой. Ось х направлена вдоль волновода. Случай волновода с двумя акустически мягкими стенками, соответствующий модели Пекериса (см. [Толстой, Клей, 1969]), рассматривается аналогичным образом. Под углом 0 к оси волновода, совпадающей с осью х, излучается высоконаправленный бигармонический пучок накачки с частотами з】н з? • При достаточно малом затухании пучок накачки испытывает многократные отражения от границ волновода. Генерация поля р‘ на разностной частоте описывается уравнением

Др* + к2р = - (e^pcg)pi р?.(7.1)

Здесь к = С/%; С = 31 — 32 - разностная частота; р；, р〔 一 давление в первичных волнах, задаваемых в виде

P'i11 Pi^^A-ik^ - а^],

где р, — амплитуда волны, зависящая от поперечной координаты ，丄, 与(х, z) — лучевая координата, а - коэффициент поглощения.

Поле р〔 удовлетворяющее граничным условиям на стенках волновода, будем искать в виде разложения по собственным модам волновода: р‘ =

=Ea^ (x, yWn (z), где f ^) — система ортогональных собственных функций, соответствующих волноводным модам. Для волновода с мягкой и жесткой границами

<р„ = sin(o„z),(7.2)

где。门=я(2л - 1)/2Я - вертикальное волновое число, л - номер моды.

Решение уравнения (7.1) можно выразить через функщпо Грина плоского волновода [Толстой, Клей, 1969]:

ieC? 2

Р‘ = ―^ ^工屮п(Z)"/dx'dydz'pi &)р； (~)屮£z') exp 1-瞞'-

-2 若‘}瓜2)(仆 V(x-M)"+6-y)b',(7.3)

Здесь 瓜2)— функхщя Ханкепя 2-го рода; горизонтальное волновое число кя удовлетворяет соотношению к* + о* =К‘ • Интеграл берется по области, занятой пучком накачки. Будем искать низкочастотное поле в дальней зоне (х > о-1), где его структура полностью сформировалась. Кроме того, будем считать, что пучок накачки удовлетворяет следующим условиям: его характерная ширина d(x) много меньше вертикального масштаба моды а'1; в каждом сечении пучка вертикальной плоскостью х = const изменение фазы виртуальных низкочастотных источников много меньше я и длина прожекторной зоны больше а1. Учитывая, что расходимость пучка накачки определяется апертурой d излучателя, нетрудно получить следующие условия на длину нелинейной антенны Ld = а"1 и угол наклона 0 оси НИ в вертикальной плоскости, при которых указанные приближения выполняются:

[kdH kd2 d )

"«min | —(74)

Здесь a = С/з — коэффициент преобразования частоты при параметрическом излучении.

Данное приближение аналогично условиям, при которых поле ПИ со слаборасходящимся пучком накачки в свободном пространстве описьь вается в рамках модели Вестервелта.

При выполнении условий (7.4) интеграл (7.3) можно привести к виду

.£0? /2-12, ехр{ -1кях|

Р =/ — ехр|1я/4| —W^^yff^z) ―—X

4或寸"Я n/^Г7

X М扌(x',z')]exp \ -iki； -2а^ + iKnx/cos0| dx'dz',(7.5)

где W = //(/hP；/pc)ds - мощность пучка накачки; J — угол, отсчитываемый от оси излучателя в горизонтальной плоскости; 5(^) — дельта-функхщя. Дальнейший анализ интеграла (7.5) будем проводить последовательно для трех характерных случаев: горизонтальной ориентации излучателя, малого наклона, когда отражение пучка накачки от границ волновода пренебрежимо мало, и произвольного наклона оси ПИ, когда отражениями пренебрегать нельзя.

Для горизонтально ориентированного излучателя из (7.5) для поля раз-

177177Зак. 382.

177

177

ностной частоты получаем выражение

Р =- —у / — ехр1/я/4| — WZ>pn GM (z0)―；；—(必” +2a) \

4,3 V ”ЯV^F

(7.6) где Д„ = /Г - к„ cosd — волновая расстройка между взаимодействующими волнами и модой с номером л. Из (7.6) видно, что максимум диаграммы приходится на угол 3 = 0. При слабом затухании (а《Д„) и 0 = 0 (7.6) совпадает с выражением для поля на оси, полученным в работе [Карабу- това, Новиков, 1986]. Нетрудно получить выражение для полуширины диаграммы направленности на каждой моде на уровне половинной мощности:

А% = Wy：+(4*)z-片；(7.7)

где 7„ = arctg(on/«n) — угол наклона бриллюэновских волн, соответствующих моде с номером л (здесь полагаем 7„《1). Как видно из (7.7), ширина диаграммы растет с номером моды (т.е. с ростом угла 7„). Для достаточно короткой антенны (а А у^), когда расстройка еще не сказывается, из (7.7) следует известное выражение [Наугольных и др., 1980] для полуширины диаграммы направленности в свободном пространстве: △8 = 2(а/&3. Коэффициенты возбуждения мод в направлении 3 = 0 равны an = const/ [7^/2 + (2a/k)?F几 и уменьшаются с ростом номера моды, поскольку для высших мод угол у„ возрастает и рассинхронизация увеличивается.

Рассмотрим теперь случай наклонно ориентированного ПИ, причем угол наклона его оси считаем настолько малым (0 < На), что пучок накачки успевает затухнуть, не испытав переотражения от границы волновода. Используя разложение собственной функции (7.2) по плоским волнам Бриллюэна, в результате интегрирования (7.5) получим следующее выражение для низкочастотного поЯя:

, сП? /7, 2ехр|-/к„х|

Р = - /—ехр {гя/41 —ИО： g”(z) '—■——---X

X I ехр"•(*)-左sin例0)} _ ехр Ком。+ 左sin0Zo)}]

I iAn(Tn) + 2a/cosj3 A(->”)+ 2〃cos0 J ''

где A” = k(cos0 - cos7„cos0) + ^(sin|3 - sin7„) tgj3.

Как видно из (7.8), величина коэффициента возбуждения n-设 моды определяется в заимодействием накачки с каждой из двух бриллюэновских волн, нр более эффективно идет взаимодействие с той из них, которая направлена к той же границе, что и волны накачки, поскольку величина расстройки Дп для этой волны меньше.

Поведение диаграммы в горизонтальной плоскости подобно рассмотренному ранее случаю, максимум ее по-прежнему приходится на 8 = 0.

Наиболее эффективно возбуждение моды с номером л происходит при △в = 0, что соответствует совпадению угла наклона оси первичного пучка с углом наклона бриллюэновских волн (0 = ±ул). При этом другие моды возбуждаются слабее, причем коэффициент возбуждения моды с номе- 178

ром m уменьшается в \/Т раз при А0 = 16-)М =2@曷"注,т.е. при отстройке по углу на полуширину диаграммы направленности в свободном пространстве. Следует отметить, что, оставаясь в рамках рассматриваемого приближения малого наклона, только две низшие мода можно возбудить с существенно большей амплитудой, чем все прочие. Селективно возбудить одну из высших мод, направляя антенну под углом 0 = 7„ .оказьшается невозможным. Это связано с тем, что из-за ограничения на длину антенны, налагаемого приближением 0《На, угловую чувствительность А0 нельзя сделать меньше межмодового углового расстояния 7л + 1 —7„ = п/КН. Таким образом, для выяснения возможности селективного возбуждения одной из высших мод следует рассмотреть механизм формирования мод с учетом отражении пучка накачки от грашщ волновода.

В случае многократных переотражений пучка накачки интеграл (7.5) разбивается на сумму интегралов по элементарным прямолинейным участкам длины х0. Конечный результат параметрического взаимодейстаия определяется интерференцией полей от всех таких участков, причем фазовые соотношения между вкладами в полное поле от каждого участка определяются граничными условиями на стенках волновода.

Наиболее просто такое взаимодействие рассчитывается для волновода с двумя жесткими границами, когда фазовые сдвиги при отражении от границ отсутствуют. Тогда ^п = cQS(zmr/H) и интеграл (7.5) примет вид

, сП?/5ехр{ -ZK„x|

(7-9)(7-9)"-而 ехр|Е/4} 衿g-^^h"^)'

(7-9)

(7-9)

где Q『=z {^(cos^-cos7wcosd) + ^(sm^-sin7n)tg0 | + 2a/cos0. Как видно, благодаря отсутствию фазового сдвига при отражении волн от жестких границ параметрическое взаимодействие для всех мод наиболее эффективно идет в направлении оси пучка накачки, как и в свободном пространстве. Однако амплитуды возбуждения мод зависят от вертикального угла 0 и достигают максимума при строгом синхронизме с соответствующей волной Бриллюэна: 0 = 7„. Область углов, соответствующих возбуждению, равна А0 = 2(а/К)“2, т.е. она определяется всей эффективной длиной антенны д™1. Поэтому для достаточно малой постоянной затухания при △0 < 7я+1 — 7Я появляется возможность избирательно возбуждать отдель-

ные мода, в юм числе высшие.

случаеслучае(7.10)(7.10)(7.11)(7.11)Для волновода со свободной границей ситуация иная. В этом вторичное поле определяется выражением

случае

случае

(7.10)

(7.10)

(7.11)

(7.11)

, еП2 ,/Г* 2ехр| -/кях}

р = — —- ехр {/я/41 /— — IVS^n(z) —Dn(0,fi).

4MV тг Я n

Диаграммный множитель Dn имеет теперь более сложный вид: ^п = Р\(7п )-^2(7п) — ^1 (—7п )-^2 (—Тп ),

_ 1 - ехр |-/ДяХо - 2aх()/cos 0} /△„(?„) + 2a/cos0'

^2(Тп)= [1 + ехр |-/Д„ Хо - 2ахо /cos 0}『，

где △„ =兀《30 — cos7„cos0) + 左(sin0 - sinx)tg0・

12—2. Зак. 382

Рис. 66 Амплитуды давления волн в зависимости от глубины волноводаН (частота волны накачки 3*1 МГц)

1 — расчетные значения по формуле (7.10) ； 2 — эксперимент [Зайцев н др., 1987];

5 — расчетные значения поля ПИ по формулам для свободного пространства Ширина заштрихованной полосы характеризует точность расчета

Рис. 6.7. Зависимость амплитуды возбуждения первой моды от наклона оси ПИ в вертикальной плоскости 6 = 0 [Зайцев и др., 1987]

Сплошная линия — эксперимент. Штрих пунктирная н пунктирная линии — расчет для двух частот с разнесением ±15 кГц относительно частоты заполнения импульса

В выражениях (7.11) множитель F* характеризует поле излучения отдельного участка длины х0, где пучок накачки сохраняет постоянный наклон, а множитель F2 определяется интерференцией полей таких участков. Отметим, что максимумы этих сомножителей не совпадают. Если у & главный максимум достигается при Дпх0 = я, то у 尸】максимум имеет место при △„ = 0, а при Дпх0 = я происходит спад приблизительно в 2/я раз. Это нетрудно понять, ^поскольку при слабом затухании, когда на длине антенны происходит большое число отражении (д-1 А х0), F* — ^sin(A„x0/2)/(A„x0/2). При этом угловая зависимость 尸】более плавная, чем у 尸2・ Максимум параметрического излучения определяется в этом случае главным образом видом функции F2. Анализируя ее при малых углах 0, 8《 1, можно получить следующее выражение для главных максимумов диаграммы направленности моды с номером в горизонтальной плоскости; бтах ~ 士 [2忏0/(^0 — 0 -方)']"?. Видно, что при некотором заданном угле наклона излучателя формируются различные моды, максимум излучения которых приходится на различные углы. Отметим, что максимум излучешш на моде с номером п совпадает с 8 = 0 при условии 2・7Г0/(ЛАО — © — 7„)2 = 0. В этом случае рассинхронизация между в заимодействующими волнами за счет неколлинеарности пучка накачки и бршшюзновских волн низкочастотного поля компенсируется фазовыми сдвигами при отражении от свободной границы волновода. Работа параметрического излучателя в волноводе исследовалась зкспериментально, рассмотрим некоторые результаты по данным работы [Зайцев и др., 1987].

Волновод представлял собой водный слой толщиной 40—180 мм. Удаление приемного гидрофона от излучателя составляло около 4 м. Высоко- 180

направленный бигармонический пучок накачки имел центральную частоту 3,1 МГц, разностная частота могла меняться в диапазоне 200 ±50 кГц. Анализ модовой структуры излучения ПИ проводился методом импульсной селекции за счет пространственного разделения импульсов отдельных мод из-за различия их групповых скоростей. Рис. 6.6 демонстрирует теоретические и экспериментальные зависимости уровня поля первой моды от глубины волновода для горизонтально ориентированного излучателя. Широкий разброс рассчитанных значений обусловлен неточностью в измерении мощности пучка накачки, которая является параметром теоретической модели. Из рисунка видно, что при малой глубине волновода уровень поля в нем даже меньше, чем в свободном пространстве, что связано с сильным рассогласованием пучка накачки и первой моды. С ростом глубины рассинхронизация уменьшается, поле растет и при некоторой глубине достигает максимума, превышающего уровень в свободном пространстве.

При большей глубине становится несущественным фокусирующее влияние волновода и излучение идет практически, как в безграничной среде. Некоторое превышение рассчитанного уровня поля над экспериментальным объясняется отмеченным выше влиянием конечности ширины реального пучка накачки, что особенно существенно при малых глубинах волновода.

Использование импульсной селекции нормальных волн позволило исследовать зависимость уровня поля отдельных мод от ориентации оси ПИ в вертикальной плоскости. В качестве примера на рис. 6.7 приведены экспериментальные и рассчитанные кривые для первой моды. Видно, что данная мода возбуждается при условии, что направление оси излучателя отличается как от направления оси волновоца, так и от направления волнового вектора бриллюзновской волны соответствующей моды, причем измеренные значения оптимального угла хорошо согласуются с расчетными величинами.

Глава 7

САМОВОЗДЕЙСТВИЕ И ВЫНУЖДЕННОЕ РАССЕЯНИЕ ЗВУКА

КУБИЧНАЯ НЕЛИНЕЙНОСТЬ В АКУСТИКЕ

В интенсивных звуковых полях, как и в световых, развиваются эффекты самопросветления, самофокусировки, комбинационного рассеяния, обращения волнового фронта. Эти эффекты связаны обычно не с квадратичной, а с кубичной нелиьейностью. В классической нелинейной акустике эффекты кубичной нелинейности редко играют заметную роль и до не дав него времени обсуждались мало. Рассматривалась лишь роль кубичных поправок, нарушающих нечетность поля в пилообразной волне [Руденко, Солуян, 1975]. В 80-е годы изучение эффектов самовоздействия и вынужденного рассеяния в акустике — как в теории, так и в эксперименте — стало гораздо более широким и интенсивным.

Возникает вопрос: могут ли кубичные эффекты проявиться раньше, чем в волне возникнут разрывы и она быстро затухнет? На первый взгляд, в недаспергирующей среде это невозможно, поскольку кубичные члены в уравнениях всегда много меньше, чем квадратичные, которые ответственны за нелинейные искажения профиля. Однако, как мы увидам ниже, из-за экспоненциального характера развития кубичных эффектов они могут успешно конкурировать с квадратичными.

Кроме этого, как мы уже видели, существуют среды с дисперсией или с аномальной нелинейностью — жидкости с пузырьками, твердые среды с сложной структурой, в которых кубичные эффекты могут даже преобладать над квадратичными.

В згой главе мы ограничимся обсуждением лишь простейших моделей, поскольку экспериментальный материал еще относительно скуден. Вместе с тем рассматриваемые здесь вопросы представляют значительный эвристический интерес, да и прикладные их аспекты могут быть весьма интересными.

Явления, рассматриваемые в этой главе, так или иначе связаны с влиянием нелинейности на среднюю скорость акустической волны. В квадратичном по амплитуде поля приближении такое влияние не сказывается, оно проявляется лишь, как минимум, в третьем порядке по амплитуде волны. Действительно, пусть в исходных уравнениях для звукового дав” ления р‘ присутствуют члены, пропорхщональные (р'У. Подставляя в них почти гармоническое поле

Р‘ = ； [P(h Вехр(汕f) + p*(r, f)exp(-i3f)], (1.1)

где зависимость амплитуды от Г считается медленной, мы получим слагаемые вида р3 exp(3zwr) (третья гармоника) и |р| 2pexp(zwr), т.е. отклик на основной частоте. Бели он имеет реактивный характер (т.е. не связан с потерями энергии), то им обусловлены поправки порядка |р|2 к скорости распространения волны.

Отметим сразу, что в однородных средах величина кубичной нелинейности обычно весьма мала. Действительно, имея в виду газ или жидкость, разложим уравнение состояния в ряд, удерживая кубичное слагаемое:

p' = clp'+ I 第р" + ^Р，з, (1-2а) 2 ap 6 Эр2

или для идеального газа

Р =cl р + ——р2 + —^Р ■(1-26)

2Po6%

Если М = ро/Ро - акустическое число Маха, где р〔 - амплитуда возмущения плотности, то отношение кубичного члена в (1.26) к линейному порядка (7-1)(7-2)М2 /6, но М в акустике редко превышает значение 10""3.

Заметим, что подобные эффекты могут быть связаны и с квадратичной нелинейностью, но снова в третьем порядке малости. Если в уравнениях есть члены с р\ то гармоническое поле дает возмущение в виде второй гармоники (~р2ехр(2к<я)) и постоянной составляющей (^ Iр|2). Подставляя теперь сумму основной гармоники и указанных возмущений в квадратичные слагаемые, мы снова получим члены, пропорциональные |pPexp(i3t).

Вместе с тем, если речь идет об усредненной нелинейности, проявляющейся за много периодов колебаний поля, в действие могут вступить и другие механизмы. Самый универсальный из них, по-видимому, тепловой: при наличии поглощения в среде меняется ее температура Т, что и приводит к изменению скорости звука.

Рассмотрим подробнее влияние тепловых эффектов на распространение звуковой волны.

Система уравнений, описывающая распространение звука в вязкой теплопроводящей среде, имеет вид [Ландау, Лифшиц, 1986]

—+ Ро V ■ V = 0,(1-За)

dvvd1?1 /1? \

—+——=—△▽+ —If + - J V(V -v),(136)

df Po%Po '3/

* V - K"F翁居+瑞-1%含)+ " V寸，

i,七」=1,2,3.(1.3в)

Здесь T‘ — изменение температуры среды, вызванные волной; т? и f — коэффициенты сдвиговой и объемной вязкости; к — коэффициент теплопроводности; с» — удельная теплоемкость при постоянном давлении.

В уравнениях (1.3) пренебрегается гидродинамической нелинейностью и учитываются лишь тепловые эффекты.

(1-4)(1-4)Уравнение состояния имеет вид [Заболотская, Хохлов, 1976]

(1-4)

(1-4)

p~^p~ci^pT-

Из приведенных уравнении следует, что тепловая нелинейность принципиально связана с диссипацией, поскольку температурные изменения в (1.3в) определяются диссипацией энергии вследствие вязкости и теплопроводности. Кроме того, механизм такой нелинейности обладает инерционностью во времени и нелок ап ьно стью в пространстве — в общем случае его нельзя свести к простой зависимости типа (1.2).

Будем считать, что Изменение всех искомых величин отвечает почти плоской волне, т.е. волновому пучку или импульсу:

[p(r, r)exp|f(wr-bc)| +к.с.],[p(r, r)exp|f(wr-bc)| +к.с.],(1.5)(1.5)

[p(r, r)exp|f(wr-bc)| +к.с.],

[p(r, r)exp|f(wr-bc)| +к.с.],

(1.5)

(1.5)

(16)(16)(L7)(L7)V- -[и(г, Г)ехр Ji(wr- Ьс)I +к.с.],

(16)

(16)

(L7)

(L7)

Тл = — [Т(г, Г)ехр j i(5 -匕)I + к .с.] + Т (г, Г)

(мы пока оставляем за комплексными амплитудами те же обозначения, что и у самих физических величин). В (1.7) добавлена медленно меняющаяся компонента температуры Г, ответственная за тепловое самовоз- действие волн. Уравнение для Т получается усреднением (1.3в):

(1-8)(1-8)ат ьРок2

(1-8)

(1-8)

СрРо -——кА7= —— lb-, 2

где 6= f+ 4i?/3.

Отсюда легко оценить характерное время установления теплового процесса: тг 弋 产/х，где х = &lpqCp — температуропроводность, а 7 — характерный масштаб исследуемой области (скажем, ширина пучка). Если, например, положить / = 05 см, то для бензола и глицерина [Бункин, Ляхов, 1984] получаем тг 比 260+ 270 с. Если длительность акустического импульса превышает эту величину, то можно говорить об установившемся процессе и пренебречь в (1.8) членом с 8778r. Тогда, полагая для оценок ATQ 歹产,получим

T^l2eb\vx\2l2K.(1.9)

Следовательно, отношение нелинейного слагаемого к линейному в (1.8) имеет порядок

m =(次)2b|u』2 ^~ KcQ.(1.10)

dT /

Величины c^dco/dT для различных жидкостей не слишком сильно раз-

личаются и имеют величину порядка 10~3 град"1 [Михайлов, 1949]. Например, для воды эта величина равна 1,710"3 град"1, а к = 0,6 Вт/ (м-град). Подставляя значения всех параметров, получим из (1.10), например при / = 05 см, для ультразвука с частотой 5 МГц и амплитудой давления 0,1 МПа значение т — 8,6-104М2, где М — акустическое число Маха. Эта величина весьма значительна, хотя и трудно достижима из-за большой инерционности теплового механизма. Для сравнения заметим, что соответствующая величина гидродинамической нелинейности, характеризуемая отношением кубичного члена к квадратичному в выражении (1.26), определяется отношением тг =(7— 1)(? —2)М2/6 ~ 5М5 для воды. Заметим, что для воды Jco/УТположительно, а ддя других жидкостей отрицательно.

Другой крайний случай — кратковременные импульсные возмущения с характерным временем т《тг. В этом случае в (1.8) можно пренебречь членом с ДТи вместо (1.10) получаем

TEb'UxCdcJdT

т 〜.(1.11)

КРоСоСр

Это в т/тг раз меньше, чем максимально достижимое значение (1.10). Заметим, что, хотя параметр нелинейности пропорционален вязкому коэффициенту Ь, нужно помнить, что-затухание играет двоякую роль — увеличивая локальную нелинейность, оно сокращает область проявления нелинейных эффектов, поскольку |ил|2 при больших Ъ быстро спадает с расстоянием.

Кроме теплового механизма, к аналогичным эффектам могут приводить и усредненные течения, связанные с поглощением звука. Для их учета в (1.6) необходимо добавить член»*, соответствующий течениям. Они описываются уравнением [Бункин, Ляхов, 1984]

7Г —必％ = - Г (— + ——)也1，(1-12)

где р = tiIpq — кинематическая вязкость.

В общем случае происходит и детектирование давления (появляется компонента р), но этот эффект обычно несуществен. Получим теперь уравнение для амплитуды давления в пучке. Для этого исключим из соотношений (1.3а), (1.36), (1.4) переменные и, р： а в полученное уравнение подставим выражение (1.5) для р. Тогда в приближении медленно меняющихся амплитуд получится параболическое уравнение, описывающее вместе с уравнениями (1.8), (1.12) распространение квазитшоской волны с учетом теплового и гидродинамического механизмов самовоз- действия:

Предполагается, что эффекты кубичного самовоздействия (а также

вынужденного рассеяния, рассматриваемые ниже) успевают проявиться в области, где волна остается квазигармонической, т.е. длина их развития L меньше расстояния £н 〜(е^М)-1, на котором в волне образуется разрыв благодаря обычной квадратичной нелинейности. Более подробные оценки для различных эффектов можно найти в обзоре [Бункин, Ляхов, 1984].

При описании эффектов самовоэдействия вместо уравнения (1.13) часто используются более простые модели, основанные на локальной свяж между г скоростью звука и интенсивностью волны / = р2/рс0：

<?=曲(1-6РоСо/) = М(1 — 0р2).

Здесь р - амплитуда давления, 0 = cosnt. Тогда вместо (1.13) получим замкнутое уравнение

-△,р + 2ik — +0к2 |р|2р = 0,(1.14)

где к — волновое число звуковой волны. Полученные соотношения будут использоваться далее при описании эффектов самовоэдействия.

САМОФОКУСИРОВКА ЗВУКА

Рассмотрим процесс самофокусировки на основе простейшей модели, описываемой уравнением (1.14). Пусть вдоль оси х распространяется двумерный звуковой пучок, распределение интенсивности которого по поперечной координате у имеет максимум на оси пучка.

Если dc/dl < 0, то периферийные лучи имеют тенденцию рефрагировать к оси, где скорость звука меньше (а показатель преломления и больше), и с увеличением интенсивности по мере такой фокусировки рефракция проявляется все сильнее 一 возникает самофокусировочная неустойчивость. В случае dc/dl > 0 говорят о самодефокусировке, хотя, как мы увидим ниже, такой процесс не связан с неустойчивостью.

В акустике (как, впрочем, до этого в оптике) эффект самофокусировки впервые рассматривался Г.А. Аскарьяном [1966] и позже, более детально, Е.А. Заболотской и Р.В. Хохловым [1976].

Полагая р = р(х, у), сделаем в уравнении (1.14) замену р = "、где s н 9 - действительные функции. Разделив действительную и мнимую части в (1.14), получим

(2.1)(2.2)(2.1)(2.2)

(2.1)

(2.2)

(2.1)

(2.2)

Первое иэ этих уравнении выражает закон сохранения энергии; оно может быть записано в виде

(2.3)

к — ЭхЭхк — ЭхЭх(2.4)(2.5)(2.4)(2.5)2『2"方+2…方一不卜可）=0.2『2"方+2…方一不卜可）=0.(2.7)(2-8)(2.7)(2-8)

к — Эх

Эх

к — Эх

Эх

(2.4)

(2.5)

(2.4)

(2.5)

2『2"方+2…方一不卜可）=0.

2『2"方+2…方一不卜可）=0.

(2.7)

(2-8)

(2.7)

(2-8)

Второе же уравнение определяет фазовые соотношения. Если в нем пренебречь слагаемым syyi что возможно при достаточно плавных изменениях амплитуды и фазы, то уравнения (2.1), (2.2) отвечают приближению гео метрической акустики. В этом случае удобно ввести поперечную производную волнового числа q =屮^, тогда (разделив второе уравнение на s и продиф ференцировав по у) получим

—(^)>

а« 稣2 а/

by 2 by *

гдеs' IpqCq — интенсивность звука.

Исследуем устойчивость плоской волны по отношению к малым возмущениям ее фронта. Полагая / = /0 +/'，Q = Q’，линеаризуем систему (2.4), (2.5) относительно возмущений. Положим /', q ~ ехр[—i(ax-Sy)], где а, 5 — компоненты волнового числа затравочного возмущения, тогда

а=±5偉"2)1/2.(2.6)

Если 0〉0, то (при действительном 5) величина а тоже действительна. Если, однако, 0 < 0, то а — мнимое, что означает экспоненциальный рост возмущений в пространстве [Беспалов, Таланов, 1966] s соответствующий самофокусировке. Действительно, рассмотрим зволюидю фронта, подвергнутого в начальный момент небольшому периодическому искривлению (рис. 7.1). Ясно, что в линейном приближении сходящиеся участки фронта будут фокусироваться, а интенсивность поля на них расти. Бели скорость звука с растет (т.е. показатель преломления среды падает) с ростом интенсивности 偉 > 0), то тю мере фокусировки на оси данного участка с повышается, и лучи с его периферии рефрагируют от оси. Это приводит к ослаблению интенсивности на оси и к уменьшению этой саморефрак- ции — эффект не накапливается.

Если же 0 < 0, т.е. скорость звука падает с ростом интенсивности, то, как видно из аналогичных рассуждений, лучи рефрагируют в сторону оси. Это еще увеличивает интенсивность на оси, и в результате возмущения приобретают накапливающийся характер. Возникает самофокусировоч- ная неустойчивость — сходящиеся лучи ^^cxлoш>Iвaютcя,^, и этот процесс продолжается вплоть до нарушения условий геометрической акустики или условия малости нелинейности.

Аналогичные эффекты происходят, конечно, и в трехмерном случае, когда возмущения зависят от обеих поперечных координат yt z.

Чтобы учесть дифракхщю, рассмотрим систему (2.1), (2.2) в полном виде. Ее тоже можно записать в переменных s н q = 8心歹：

М 8 _

Рн с. 7.1. Ход лучей в нелинейной среде при самофокусировке (?) н дефокусировке (2)

J-6<0, 2-6>0

Линеаризуя эту систему и отыскивая гармоническое решение для возмущений, получим вместо (2.6)

а=± (5/2)8" 5 2階)1/2. (2.9)

Отсюда видно, что даже при 0 < 0 нарастают лишь достаточно мелкомасштабные возмущения, для которых 5 < Л(—З/)1^2； в более длинноволновой ряби на фронте сильное дифракциоиное расплывание возмущений препятствует описанной выше саморефракции.

а 戸 к э / эт\ к2ь , с₽Ро 17 = 7'а 戸 к э / эт\ к2ь , с₽Ро 17 = 7'(2.Ю)(2.11)(2.Ю)(2.11)Рассмотрим теперь более реалистичный случай самофокусировки dce- симметричного пучка в условиях проявления теплового * механизма нелинейности. В этом случае удобно перейти к цилиндрическим координатам. Из уравнений (1.13) и (1.8) получим

а 戸 к э / эт\ к2ь , с₽Ро 17 = 7'

а 戸 к э / эт\ к2ь , с₽Ро 17 = 7'

(2.Ю)

(2.11)

(2.Ю)

(2.11)

где г — поперечная координата (медленной диффузией температуры вдоль пучка пренебрегается).

Вводя р =疋叱 I = s2/pqCq, q = b中田 и ограничиваясь геометроакустическим приближением, из уравнения (2.10) получим два уравнения, аналогичные (2.7), (23):

bl /8q q、

(2.12)(2.13)(2.12)(2.13)%『+ q 鼠 +/ I— + —1 +%a/=0,

(2.12)

(2.13)

(2.12)

(2.13)

8q8qк dc0 8T

k ‘ + q=——

Эхdr% 8 Т dr

где а = bk2lpQcQ — коэффициент затухания.

Подобные задачи неоднократно рассматривались в оптике [Akhmanov et al., 1968]. Приведем лишь простейшие результа™: [Заболотская, Хох лов, 1976]. Будем считать пучок гауссовым, а процесс квазистационарным (т.е. пренебрегаем членами с bT/bt в (2.11)). Тогда системе (2.11), (2.12)

гдегде2к%Idc^dT2к%Idc^dT(2.17)(2.17)

где

где

2к%

Idc^dT

2к%

Idc^dT

(2.17)

(2.17)

удовлетворяет автомодельное решение в виде гауссова пучка:

(2.14)

где /(х) — безразмерная ширина пучка; I — радиус пучка при х = 0; /0 —■ интенсивность на оси пучка при х = 0.

Решая уравнение (2.11) для Г с учетом (2.14), в стационарном случае найдем температурный градиент

ВТ аехр(-ах)п ,

(2.15)(2.15)、^-GmxpS/5T,

(2.15)

(2.15)

где Gq = G(x = 0), G= я J Irdr — мощность пучка. Бели еще разложить о

все функции по степеням г и отыскивать поле вблизи оси (безаберрацион- ное приближение), то из (2.12) получим лучевое уравнение

d2fаехр(-ах)

dx2dx2&“&“(2.16)

dx2

dx2

&“

&“

—параметр, характеризующий силу нелинейной рефракции. Изменение наклона луча, обусловленное нагревом среды, равно

(2.18)(2.18)_ dCq

(2.18)

(2.18)

6 qGq /як • dT

Заметим, что величина 6 二 ldf/dx характеризует наклон луча на расстоянии х.

Приведем еще формулу для фокального расстояния хт = 1/6 — это есть, в сущности, эффекршная длина фокусировки:

Хг =《о/с 寡/о) •(2.19)

В общем случае в коэффициент затухания а входат и теплопроводность (см. гл. 1).

В большинстве жидкостей, кроме воды, скорость звука уменьшается с ростом температуры. Поэтому в воде звуковой пучок дефокусируется, в других жидких средах имеет место самофокусировка. Что касается рас- стояния фокусировки Xq то, скажем, для ацетона (с^ =—3,8・1СГ‘ IC1) в случае звука с частотой 100 кГц и интенсивностью 70 — 0,3 Вт/см2 величина равна 1,1 104 см, что составляет около 104 入.Если же частота равна 1 МГц, то для этой интенсивности хг — 1 м. Это значительно меньше длины затухания звука Ld 弋 .

Часто оперируют с величиной критической мощности (7кр, для которой 189

нелинейная рефракция полностью компенсирует дифракционную расходимость (конечно, для нахождения (7кр необходимо решать задачу с учетом дифракции). Эту величину можно оценить уже из выражения (2.12) для инкремента неустойчивости плоской волны — она соответствует нулевому значению а. Для звукового пучка пшриной I = 12 см на частоте 1 МГц в ацетоне получается (7кр = 0,1 Вт.

Для воды звуковой пучок из-за нелинейности (как и из-за дифракции) расходится. В этом случае c^dc/dT = 1,6-10'3 К'1 и при тех же условиях (частота 100 кГц, интенсивность 03 Вт/см2) имеем хт = 2,8 м.

В рассмотренных случаях расстояние до образования разрыва больше величины что говорит о правомерности используемого приближения.

Заметим, что для газов зависимость с(Т) определяется уравнением состояния: с2 = )&7/从 3 — молекулярный вес, R — газовая постоянная). Для газов dc/dT> 0, и звуковой пучок дефокусируется.

Нужно заметить, однако, что проведенный выше анализ (он соответствует работе Е.А. Заболотской и Р.В. Хохлова [1976]) не учитывает ряда важных факторов, в частности эффектов конвекции и генерации усредненных течений (приводящих к дефокусировке). Такой учет приводит к пессимистическим выводам в отношении стационарной самофокусировки [Бункин, Ляхов, 1984]: она реальна лишь в жидкостях более вязких, чем даже глицерин. Гораздо лучше обстоит дело для импульсного режима. Здесь самофокусировка оказывается возможной в вязких жидкостях типа глицерина на частотах 1—10 МГц при длительностях импульса 1—10 с. Один из наблюдавшихся вариантов — самофокусировка на границе раздела, прогибающейся под действием радиационного давления звука. Эксперимент был сделан на частоте 15 МГц при интенсивности пучка Zo = 1 Вт/см2 и его радиусе d = 0,5 см. Поверхность воды выгибалась вверх на несколько миллиметров, образуя фокусирующий отражатель [Андреев и др., 1985]. Наблюдалась и тепловая самофокусировка [Ассман и др. 1986; Андреев и др., 1985]. Так, в работе [Ассман и др., 1986] изучалось распространение ультразвукового пучка в бензоле (вязкость i?弋 * 6,4-10'3 Пз) и глицерине (» = 14 Пз). Радиус звукового пучка с частотой / = 2 МГц был равен d = 0,75 см, поэтому согласно сказанному выше время установления тепловых эффектов ?d"f) в бензоле и глицерине равно 1^-102 с. Для используемых в эксперименте импульсов мощностью до 50 Вт и длительностью порядка 1 с процесс был нестационарным, причем длины самофокусировок составляли 12 см в бензоле и 8 см в глицерине; при этом расстояние образования разрыва из-за квадратичной нелинейности было значительно большим (15—20 см). Регистрация велась с помощью оптической визуализации звука, в экспериментах с глицерином использовали также гидрофон. В экспериментах наблюдалось существенное (以介 2 раз) сужение пучка и даже его распад на несколько пучков (нитей) что соответствует описанному выше эффекту самофокусировочной яс устойчивости.

Что касается маловязких жидкостей, то для них длина тепловой самг фокусировки может быть значительно уменьшена именно за счет образе вания разрывов. Действительно, сильное поглощение разрывной волнь может привести к разогреву среды, в результате, несмотря на затухание успевает развиться заметная саморефракция [Карабутов и др., 1988]. 190

САМОВОЗДЕЙСГВИЕ МОДУЛЮ ОВАННЫХ ВОЛН

Рассмотрим эволюцию модулированных по амплитуде и частоте волн в среде, обладающей кубичной нелинейностью и дисперсией. И дисперсия, и нелинейность приводят к искажениям формы огибающих — амплитуды и частоты. Такая ,,игра>, различных факторов обусловливает разнообразные эффекты — неустойчивость гармонической волны, формирование локализованных структур (ударных волн и солитонов огибающей) и др. Эти процессы детально изучались начиная с 60-х годов в оптике, физике плазмы и других областях физики [Веденов, 1963; Уизем, 1977]. В акустике же из-за отсутствия дисперсии и слабой кубичной нелинейности в традиционных средах им уделялось мало внимания.

Тем не менее возможны ситуации, например при распространении звука в волноводе, заполненном средой с аномальной нелинейностью, когда процессы самовоздействия акустических волн окажутся существенными.

Будем считать, что уравнение состояния среды имеет вид

p'=p'/cW+gp'3. (3.1)

Предполагается, что последнее слагаемое меньше линейного члена, но превосходит остальные нелинейные члены в уравнениях акустики. Тогда распространение звука будет описываться следующим модельным уравнением:

Решение этого уравнения для звуковой волны в волноводе прямоугольного сечения ищем в виде

р' =р(ху T)f(y, z)exp (кх - зГ) + кс,(3.3)

где т = Г - х/сгр, сгр — групповая скорость на частоте з, а зависимость р(х, т) предполагается медленной. Функция /(х, у), определяющая поперечную структуру волноводной моды, удовлетворяет граничным условиям на стенках волновода. Подстановка выражения (3.3) в уравнение (3.2) приводит после вычисления правой части к нелинейному уравнению Шредингера (НУШ):

dp b2k 82P,

2<Л — + ^ -+Npl Р=0,(3・4)

V = 3ga^2 f\f\4dydz/ f\ fl2dydzt

хорошо изученному в современной математической физике. Оно имеет, в частности, точное многосолитонное решение, получаемое с помощью метода обратной задачи теории рассеяния. Мы ограничимся лишь простейшим анализом [Островский, 1966, 1968]. Положив снова р = =s・expi0 и разделив действительные и мнимые слагаемые, получаем из (3.4)

(3.5)(3.5)

(3.5)

(3.5)

-2噂+"席7偿)卜分=0,(3.6)

где и = Л ^к/Ъо^ - дисперсионный параметр.

Эти уравнения можно привести к более наглядной, гидродинамической, форме, если ввести девиацию частоты 5 = ^3rH продафференцировать уравнение (3.6) по т (разделив его сначала на s):

3s28

* э^ +n^S ) = 0,(3-7)

/ Э6Э6\8?Э/18%\

2(^— +л6— )+3“一+и—I—\=0.(3.8)

\ охот /тЭт\sотл/

Отметим, чтопервое изэтихуравнений (внего невходат параметр не

линейности) выражает условие сохранения энергии (в отсутствие дисперсии оно означало бы просто неизменность s на каждой групповой характеристике: s = s(t).

Особенно нагляден случай достаточно плавных возмущений, когда последним слагаемым в (3 $), содержащим высокую производную s, можно пренебречь. В результате получается квазилинейная система уравнений для s' н 8 — зто аналог геометроакустического приближения. Если линеаризовать ее около постоянных значений 扇 и 60> т.е. подставить / = =70 +^\ 5 =60 +6\ где /= У, то легко найти две характеристики:

dr и[力 db / Зр к \V2 /а I”？

不=元&±3з))，不=±(~^ 底)=±6)，(3.9)

где а = 3vk/n.

Отсюда следует важный вывод (критерий Лайтхилла [Lighthill, 1965]): если д > 0, то система (3.7), (3.8) в длинноволновом пределе гапербо- лична, а при д < 0 — эллиптична. Таким образом, результат качественно зависит от соотношения знаков параметров дисперсии (и) и нелинейности (у).

В гиперболическом случае огибающие s и 6 обнаруживают гидродинамическое поведение. В частности, существуют две простые волны, которые (в исходных переменных х, Г) имеют вид

/ = ? =F(x 一 с「р [1 +3(и/Л)(д/)1/2] Г), (3.10) 6 = 60 ± 2(〃/产.

Одну из этих волн можно назвать быстрой, а другую — медленной в смысле соотношения их скоростей с линейной скоростью сгр.

Как обычно, в простой волне на конечном расстоянии возникает неоднозначность амплитуды и частоты; фактически нарушается предположение о медленности их изменения, и необходим учет отброшенного в (3.8) слагаемого с высокой производной s. Можно, конечно, вместо этого ввести постулат скачка и рассматривать разрывы — ударные волны огибающих (опять быструю и медленную) ； причем, интегрируя (3.7) и (3.8) на скачке, мы получим граничные условия — аналог ударной адиабаты. Для описа« ния структуры разрыва необходимо учесть потери, но уже типа вязкости 192

по огибающей^, связанной лишь с изменением амплитуды, а не мгновенных значений поля. Такими свойствами обладают потери релаксационного типа, например тепловая нелинейность.

В эллиптическом случае таких характеристических решений не существует (вернее, они комплексны), хотя некоторые аналитические решения известны. Но наиболее интересен вопрос об устойчивости гармонической волны с s, 8 = const (если 8 постоянно, то без ограничения общности можно положить 6 = 0, поскольку выбор постоянной несущей частоты з произволен) .Из (3.9) видно, что если отыскивать возмущения в виде exp [ i(Q『- -Кх)}, то (при 6=0)

к = ±з("№)(м))1/2а.(з.п)

При д < 0 отсюда следует, что К — мнимое, и возмущения в общем случае экспоненциально нарастают. Следовательно, возникает самомодуляция — гармоническая волна неустойчива по отношению к модулирующим возмущениям. Зависимость этого факта от знака а понятна: слабая модуляция означает появление малых боковых компонент в спектре волны. Они нелинейно взаимодействуют с основной компонентой; правда, из-за дисперсии и нелинейности имеет место рассинхронизация, однако при д < 0 эти два фактора могут компенсировать друг друга, и тогда боковые компоненты нарастают резонансным образом.

Вернемся теперь к системе (3.7), (3.8) в полном виде. Отыскивая ее частные решения в виде стационарной бегущей волны: s, 6 〜т — bx = ±, где b пропорционально поправке к групповой скорости, приходим к уравнению второго порядка

d2ssb

———(2仪$ — C*i)s + —(718 — 2 左6) = 0,(3.12)

дополненному связью

nb^bk-C^s1(3.13)

(& и C2 — постоянные интегрирования).

Здесь может быть выделен случай С2 = 0. Тогда согласно (3.13) частотная девиащш 6 постоянна и опять без ограничения общности можно считать 6 = 0, 6 = 0 - это означает просто, что волна распространяется с линейной групповой скоростью, отвечающей частоте з. При 6 = 0 характер решения уравнения (3.12) зависит опять от знака параметра д. Если д > 0 (устойчивый случай), то во всех ограниченных решениях s меняет знак; среди решений есть одиночная волна (в оптике - волна затемнения) в виде провала в огибающей гармонической волны：

s~sQ th(so(a/)軍打.(3.14)

Бели же д < 0 (неустойчивый случай), то решение представимо в виде локализованного импульса — солитона огибающей:

s = s0/ch(s0(g/)1/25) •(3.15)

Вид решений, отвечающих (3.14) и (3.15), показан на рис. 7.2.

Бели же С2 ^ 0, то при д > 0 уравнение (3.12) имеет две ненулевые точки равновесия (прямая $ = 0 на фазовой плоскости — особая, как ясно

193193Зак. 382

193

193

«Г 33s \Л/14^/«Г 33s \Л/14^/(3.16)(3.16)

«Г 33s \Л/14^/

«Г 33s \Л/14^/

(3.16)

(3.16)

Рис. 7.2. Волны огибающих в виде провала ⑷ и солитона (5)

из (3.13)), Здесь тоже возможен аналог солитона затемнения, а если добавить релаксационные потери, то возможны перепады амплитуды и частоты — ударные волны огибающей. Эти волны подробно рассмотрены применительно к нелинейной оптике.

Рассмотрим теперь вкратце специфику задачи, связанную с наличием вол

новода [Заболотская, Шварцбург, 1988]. Используя дисперсионное уравнение для моды волновода в виде кт1 = з'/с。— ?m/(7т/ — поперечное волновое число; т, I - целые числа), легко найти, что дисперсионный параметр ит/ = -偽也好 < 0, поэтому модуляционная неустойчивость (при д < 0) развивается при у > 0 или g > 0, где g - коэффициент уравнения (3.1), что отвечает увеличению скорости звука с ростом амплитуды волны. Характерный масштаб нелинейных волн (3.14) и (3.15) имеет

порядок

Для прямоугольного волновода со свободными границами / = /ИЯ /я

=sin у sin rZ, где d13 d2 - размеры сечения, выражение в скобках равно 16/9; при этом ут = я2(т2Д?1 +/2/^2). Согласно (3.1) мерой относительной нелинейности можно считать величину 6 = gc^i, тогда, например,

для квадратичного волновода @ -d2) имеем Ls Q•

Приведем лишь один пример: волновод в виде прямоугольного резинового стержня шириной d〔 = 5 см. Резина во многом ведет себя как водоподобный материал: в ней с0 Q 1,5103 м/с, а модуль сдвига мал. Поэтому возбуждение сдвиговых волн можно не учитьшать. В этом случае для частоты 10 кГц имеем 厶 а 6]屛и, например, для 6 二 10'3 (что, по-вида- мому? достижимо в пористой резине) получаем £$ Q 2 м, что составляет примерно 13 длин волн, т.е. теория применима. Для воды реальные значения 6 не превышают 10"6, а при тех же условиях Ls 60 м, и наблюдение волн огибающих затруднительно. Укажем, однако, что в жидкости с пузырьками близкие эффекты могут быть связаны с усредненным дрейфом пузырьков.

ВЫНУЖДЕННОЕ РАССЕЯНИЕ ЗВУКА

Перейдем к рассмотрению эффектов вынужденного рассеяния звука. Особенность вынужденного рассеяния по сравнению с обычными трехволновыми резонансными в заимодействиями (в том числе параметрическими) связана с участием во в эаимодействиях какой-то специфической моды колебаний, обычно низкочастотной, со своими дисперсионными свойствами. Так, в оптике наблюдается вынужденное комбинационное рассеяние (ВКР), когда такой модой служат молекулярные колебания, вынужденное рассеяние Мандельштама—Бриллюэна (В1^(Б) — на акустических (гиперэву- ковых) волнах, вынужденное температурное рассеяние — на тепловых волнах, концентрационное - на флуктуациях плотности и т.д. Процессы вынужденного рассеяния возможны и в акустике.

Дня вынужденных рассеянии характерна возможность раскачки (усиления, самовозбуждения) колебании не иэ-за обратной связи на границах, а путем самораскачки за счет эффектов кубичной нелинейности. Здесь важно, что если в квадратичной среде для эффективного вэаимодействия необходимо выполнение резонансных условий для частот и волновых чисел, то в кубичном случае зти условия могут выполняться автоматически. Действительно, рассмотрим взаимодействие трех волн с частотами з〔， 33 н З2 = 3]千 3箝 где Зз — частота указанной выше "особой" моды среды:

Р= 1 /2 [Pi (л) exp I i (А：!^ - Ш! г) J +p2(x)expli(A：2x - ш2г)| +

+ р3(х)ехр [i(k3x-cj3t)\ + к.с.],(4.1)

где Pi, Р2, Рз - амплитуды давления в соответствующих волнах, медленно зависящие от х. Будем считать волну 1 (накачку) заданной, так что Р2, Рз《Pi・ Тогда квадратичные слагаемые (~р®) в исходных уравнениях дадут на частоте з? вклады, пропорциональные р】р； (или р；рз -~ для знака "плюс”)，а на частоте з^ ~ пропорциональные р】р，(или р；Р2)・ Кубичные же слагаемые (~р‘)дадут на этих же частотах члены вида PiP；P2 и Р1Р；Рз・ То же самое получается и от квадратичных членов, но в следующем порядке по р〔，если определить квадратичные поправки к р методом возмущений и записать уравнения для амплитуд с их учетом. Поэтому уравнения для амплитуд р? нрз имеют следующую структуру:

2ik2dp2/dx = Gw； exp (i^kx) + iG3 Ip】12P2 -蒔2P2,(4.2a)

2ik3dp3/dx = G2PiP2 exp(i^kx) + fG41pj l2p3 - i60p3>(4.26)

где Gi — комплексные коэффициенты взаимодействия, определяемые иэ условий конкретной задачи, 6 — коэффициенты затухания, а △左—та же расстройка волновых чисел, что фигурировала в предыдущей главе. Бели преобладает квадратичная нелинейность, то вторые слагаемые в правых частях (4-2) по модулю меньше первых, но даже в этих случаях они могут играть основную роль, поскольку они всегда в резонансе, тогда как множитель ехр (/Дкх) при невыполнении условий синхронизма не дает накал* ливающегося эффекта. В дальнейшем мы для простоты рассмотрим именно такие случаи и пренебрежем членами с G：. Тогда уравнения (4.2а) и (4.26) становятся независимыми: связь между накачкой ①】)и рассеян*

19519513—2. Зак. 382

195

195

ной волной (р2) осуществляется непосредственно, без участия особой волны рз・ Однако для среды с квадратичной нелинейностью коэффициент G3> как мы сейчас увидим, существенно зависит от свойств волны pi. Так или иначе согласно (4.2а) амплитуда рассеянного поля изменяется экспоненциально (р2 ~exp(gx)) с показателем

(4.3)(4.3)g= (G3 Ip】俨一比)/2左2.

(4.3)

(4.3)

Если G3 > 0, то по превышении накачкой порогового значения интенсивности Ip/' > 1р1Кр12 = 玩/G имеет место усиление рассеянной волны.

Приведем некоторые конкретные примеры.

Вынужденное рассеяние звука (ВРЗ) в жидкости с газовыми пузырь ками [Заболотская, 1977, 1984]. В процессе рассеяния звука на пузырьках происходит раскачка их пульсации и интенсивность рассеяния растет. Пусть все пузырьки имеют одинаковые радиус RQ и добротность 0 вблизи резонансной частоты з()・ Этот случай аналогичен вынужденному комбинационному рассеянию света при взаимодействии с внутримолекулярными колебаниями, имеющими заданную резонансную частоту. Такая задача (в одномерной постановке) сводится к решению волнового уравнения

(4.4)(4.4)8%1》р，_82 P

(4.4)

(4.4)

(где Р— возмущение объема пузырька, N — число пузырьков в единице объема),вместе с уравнением колебании одного пузырька с учетом кубичной нелинейности, которое было получено в работах [Воробьев, Заболотская, 1974; Заболотская, Солуян, 1976]：

V + a)lV+fV-a1V2-p(yV + Vi) + n1V3+n2(V2V+V2Vy=-a2P'- (45)

Коэффициенты этого уравнения выражаются через равновесный объем пузырька Fo или его радиус RQ и показатель адиабаты газа в пузырьке:

3^ = 37Po/PoRZ, % =3我> +1)/2%, а2 =4яйо/Ро,

0=1/6%, Д1= (Т+ 1)(7+ 2)^/6^,也=2/g^, /'=3。/。，

где Q — добротность пузырька.

Подставив сумму (4.1) в правую часть уравнения (4.5) и затем в (4.4), мы получим уравнения (4.2), где

J&3 = pN<j^ х‘ е? [(з^ — з；)(з§ - з； )(з^ — з； — /з/)] 1,

iG^ = pTVcojX2 а2 [(^о — з； +，3з/)(з^ —з；)(з§ — со? )] 1 >(4.6)

X = 3(1 + 7)^оЗ — 0(з； + з； — 3]32),

Тогда максимальный (при / = з()/0) инкремент усиления (4.3) равен [Заболотская, 1984] (зз 田 з())

'2左22(3^ - 3分(3孟-3，)230A2

Напомним, что здесь со2 = з〔 一 з()< з” т.е. рассеяние происходит (согласно оптической терминологии) в стоксову компоненту. Для анти-

стоксовой компоненты (на частоте з〔 +з()) усиление не получается, волна всегда затухает.

В работе Е.А. Заболотской [1977] приведена следующая численная оценка. При объемной концентрации пузырьков NVQ = 10~5, имеющих резонансную частоту w0 /2 я = 20 кГц, и выборе частоты накачки з】= =1,5з()и, следовательно, рассеянной (стоксовой) волны з? = з】—w0 = =0,5w0 из (4.7) получим (принимая / = 0,1 w0), что пороговая интенсивность накачки в воде 厶 ~ 10~2 Вт/см2 (те акустическое число Маха порядка 1()-5) Если интенсивность накачки Ц много больше пороговой, то из (4.7) следует оценка инкремента: g » 0,3厶 см*1, если 厶 выражено в Вт/см2. Отсюда видно, что при Zi 1 Вт/см2 и более расстояние, на котором рассеянная волна существенно нарастает, оказывается- порядка сантиметров. Длина рассеянной волны в воде 入 а 15 см, так что при этих условиях формула (4.4) может служить в лучшем случае для оценки.

Оценочный характер приведенного расчета связан также и с тем, что при описании эффектов третьего порядка учитывался лишь вклад кубичных членов уравнения пульсации пузырька, представленного в виде уравнения (4.5), в то время как слагаемые такого же порядка, полученные при двукратном (в рамках метода последовательных приближений) использовании квадратичных членов, были опущены.

О других вариантах вынужденного рассеяния звука. Как уже говорилось, рассеяние на резонансных элементах — пузырьках — аналогично ВКР в оптике. Возможно, однако, и рассеяние на различных типах волн, не имеющих выраженных резонансов, но изменяющих скорость распространения звука. Такими модами могут быть в вязкой жидкости вихревые моды, тепловые волны и, наконец, гидродинамические моды — акустические течения. Все это — аналоги рассеяний рэлеевского типа в оптике.

Рассеяние на вихревых волнах изучалось уже довольно давно [Пушкина, Хохлов, 1971]. Оценки показывают, что пороги этого эффекта в жидкости получаются высокими, хотя в газах его наблюдение возможно. Температурное рассеяние в жидкостях тоже трудно наблюдать: оно требует большой вязкости (для значительного тепловыделения), но малой теплопроводности (чтобы температурные вариации не успевали сглаживаться), т.е. нужны жидкости с высоким числом Прандтля. Пороговая интенсивность накачки для этого механизма равна [Бункин и др., 1986]

几=8К3(e不-), (4.8)

где к — теплопроводность, с(Т) — скорость звука, зависящая от температуры, з — частота накачки.

Наконец, кубичная нелинейность создается за счет детектирования звука —формирования акустических течений. Порог этого вида рассеяния равен

4h = 4疗％ (4.9)

где “ — коэффициент вязкости,。一 коэффициент затухания звука.

Для этих видов ВРЗ характерны импульсные режимы, поскольку различные диффузионные процессы (теплопроводность, вязкость) сглаживают вариахщи скорости звука (за время порядка 10~3 с на частоте 1 МГц).

197

Обсуждались также концентрационные механизмы вынужденного рассеяния в химических растворах и в жидкостях со взвешенными частицами. В последнем случае порог генерации составляет всего 1 Вт/см2 при 1%-ной концентрации частиц. Отмечается, что такой эффект уже наблюдался экспериментально. Концентрационные неустойчивости возможны и для жидкости с пузырьками (см. ниже).

Мы не будем подробно рассматривать этот интересный круг задач ввиду отсутствия зкспериментальных данных. Вместе с тем отмечаются возможности приложения ВРЗ для акустической спектроскопии жидкостей [Заболотская, 1984].

ОБРАЩЕНИЕ ВОЛНОВОГО ЗОНТА В АКУСТИКЕ

Обращение волнового фронта (ОВФ) — эффект изменения направления распространения волны в каждой ее точке на противоположное с сохранением всех других ее характеристик (формы фронта, распределения амплитуды вдоль него)» Математически ОВФ соответствует изменение знака фазы или сопряжение комплексной амплитуды волны. Именно если первичное поле записать в виде

р' (г, f) = р (г) exp (i3f) = I р (г) I exp {i М (г) + 3f]}, (5,1) то обращенная волна описывается выражением

рс (г, 0 = Кр^ ехр (-йог) = |pc(r)| exp 11 [-</>(г) + соГ]|, . (5.2) где К — комплексный коэффициент обращения (общего усиления или ослабления и фазового сдвига) волны.

Если исходить из физических соображений, то понятие ОВФ можно несколько обобщить, понимая под ним не просто изменение направления волны, но и возможный поворот всей картины поля на один и тот же угол в пространстве. Тогда процесс фокусировки расходящегося поля (не обязательно в обратном направлении) можно отнести к ОВФ. Кроме того, можно говорить и об ОВФ с преобразованием частоты, если структура фронта волны удовлетворяет указанным выше условиям. Так, к ОВФ в обобщенном смысле отнесем преобразование вида

р&)ехр{/(з" —Av)} f p*&)exp{i(32f-左⑺} , (5.3)

где р&) — медленно меняющаяся функция координат.

В частности, расходящаяся сферическая волна после обращения фокусируется в точку источника. Есть, конечно, очевидные примеры обращающих устройств — зто плоские или фокусирующие зеркала, линзы и т.д., действующие в однородной среде.

Более интересны здесь, однако, случаи ОВФ в неоднородных, в том числе случайно-неоднородных средах, что открывает возможности восстановления фазовой структуры поля с неоднородностями. Поскольку последние заранее неизвестны, речь идет. об адаптивном обращении, скажем о приемной антенне, на каждом элементе которой осуществляется фазовое сопряжение принятого сигнала по отношению к излучаемому. Такие адаптивные антенны уже довольно давно используются в радиотехнике, а сейчас также и в гидроакустике, что, конечно, не имеет прямого отношения к нелинейным воинам.

Рис. 7.3. Схема четырехволнового обращения волнового фронта

р$ — волна сигнала; Р〕，％ — волны накачки； Рс — обращенная волна

В 70-е годы в нелинейной оптике были реализованы методы самооб- ращения волнового фронта, когда сопряжение реализуется за счет нелинейного взаимодействия с интенсивной волной накачки. Как видно из предыдущих разделов, в резонансных взаимодействиях как квадратичного, так и кубичного типа часто реализуется операхщя сопряжения, а следовательно, принхщпиально возможны ОВФ или эффекты, близкие к нему,

В последнее время обсуждался и оценивался ряд аналогичных механизмов ОВФ в акустике [Бункин и др” 1981]. При этом, как и в оптике, возможны и объемные эффекты, и их поверхностные аналоги, когда нелинейное взаимодействие осуществляется на границах раздела. Рассмотрим вкратце некоторые возможные механизмы ОВФ в акустике.

Четырехволновые механизмы ОВФ. Поле накачки создает пространственную неоднородность средних значении параметра (скорости звука) в среде, играющей роль "решетки", на которой рассеивается сигнал. Ясно, что для образования такой решетки бегущая волна накачки не пригодна, и используется стоячая волна, образуемая парой встречных волн накачки (рис, 7.3). Такую схему иногда трактуют как голографическую: волны Pi и р§ "записьеают" объемную голограмму, а волна р? "считывает" ее, порождая обращенную волну Рс [Бункин и др„ 1981].

В простейшем варианте такого обращения присутствуют четыре плоские волны одинаковой частоты:

р，=丄 ехр(»зГ)[piexp(—k】r)+ р2ехр(/к]Г)+р§ехр(-к2Г)+

+ рсехр (fk2r)] +к.с.(5.4)

В уравнениях среды с кубичной нелинейностью есть члены типа р^ (или эквивалентные им), при этом возникают отклики в направлении сигнала и обращенной волны.

Таким образом, уравнения для амплитуд ps и Рс при заданной накачке имеют следующую структуру (полагаем для простоты |р】| = |р?1 и в изотропной среде 后I = lhl = %)：

-2ik~— ^Gi\pi\2pa + G2piPc >(5-5)

Ърс八

2ik — = Gi\Pi\ Pc +G2P；p；,(5.6)

dx

где x — координата, отсчитываемая в направлении распространения сигна-

ла, Gi н G? — коэффициенты взаимодействия, определяемые конкретным механизмом нелинейности. Обычная постановка задачи такова. На входе (в точке х = 0) задана падающая волна сигнала р$(О)=р$о, а на внешней границе (х =£) отсутствует рассеянная волна: рс(£) = 0. При этих условиях система (5.5), (5.6) после замены ps =psехр(^х), рс = = pcexp(-fex),「neg二 Gilpil，2Z, легко приводится к уравнениям

+18120s = о, 2 専，(5・7)

Эх2В Эх

где В = G?P；/2丸

Решение этих уравнений для рассеянной волны рс, удовлетворяющее указанным выше граничным условиям, есть

рс= ®i/P；)Ps[tg(|B|£)cos(|B|x) - sin(|B|x)]exp(-fex),(5.8)

т.е. амплитуда волны осциллирует в пространстве с периодом, пропорциональным интенсивности накачки IpJ2. Величина коэффициента обращения К, фигурирующего в формуле (5.2), равна, таким образом,

|K| = tg(|B|£).(5.9)

Существенно, что модуль и фаза этого коэффициента не зависят от направления вектора к, а зависят лишь от интенсивности накачки, входящей в параметр В, Это и обеспечивает сохранение формы фронта при обращении: произвольную волну можно разложить на плоские волны, и процесс обращения не меняет соотношения их амплитуд и фаз.•

Заметим, впрочем, что косвенная зависимость |左| от направления все-таки имеет место, поскольку |左| зависит от толщины слоя Z, и, скажем, для плоского слоя фактически L =£o/cos ф} где 屮—угол падения сигнала на слой, a £q — толщина слоя, поэтому диапазон волновых векторов ограничен условием |В| £ < я. Отметим также, что при \В\£ = я/2 коэффициент усиления обращается в бесконечность — возникает генерация за счет механизма типа вьшужденного рассеяния с обратной связью через рассеянную волну.

Величина параметра В или, точнее, коэффициента G2, определяется, как уже говорилось, конкретным механизмом нелинейности. Один из таких механизмов реализуется в жидкости с пузырьками. Уравнения такой среды приведены в предыдущем разделе (см. формулы (4.4) и (4.5)).

Подставив в (4.4), (4.5) при /= 0 сумму (5.4), мы приходим к уравнениям вида (5.5), (5.6), причем

ZpqNd?l/З2、22/ 2、

Gi = с 2, 2m~ГЧТ I 7 М -小)^5(wj — 4з) —

2з弘з?)(з^ —4з?) 1Л 2/

—(а — 30з?)2з^ — 2(а — 0з2)2(з()— 4з?)] •(5.10)

Вблизи резонанса следует учесть затухание, положив |з^-з?| ~ |зд/|. Сделаем оценку расстояния £, на котором BL = я/2, т.е. произойдет значительное усиление обращенной волны. Положим радиус пузырьков равным 1,6 • 10~2 см (т.е. резонансная частота для пузырьков воздуха рав-

на примерно 300 кГц), объемную концентрацию N% равной 10~5, а интенсивность каждой из волн накачки 0,1 Вт/см2. Тогда для частоты /= 12 кГц указанное пороговое расстояние J равно 120 см. Затухание сигнала на этом расстоянии (при добротности пузырьков порядка 10) представляется не суще ств енным.

Параметрическое ОВФ. Другой механизм связан с взаимодействием полей разных частот — сигнала и обращенной волны частоты з и накачки, меняющей скорость звука с с частотой 2з. Здесь, таким образом, осуществляется параметрический резонанс. В простейшем варианте с меняется в пространстве однородно, т.е. с=с(Г). Тогда р = с1 (t)p и в линейном по всем возмущениям приближении имеем dvд

Ро — +vp =0,— (p/c2) + pov -V=O,

или

康(%)з・(511)

Если с? = Со(1 + а(Г)), где а 一 малая переменная добавка, то из (5.11) следует, что

1 М(ар‘)

Со 8产

В соответствии со сказанным выше представим давление в виде суммы полей сигнала и обращенной волны:

Р‘ = Ps⑺ехр*(зГ- к&г)} +Рс(')ехр{«зГ + кг)\ + к.с.(5.13)

(где / - снова координата вдоль вектора к), а переменный параметр в виде

а= а0cos23r = (а0/2)[ехр(2»зГ)+ ехр(—2»зГ)].(5.14)

Подставляя эти выражения в (5.1) и выделяя слагаемые с ехр{»(зГ + Л;г)|, получаем для р§ и р© уравнения

—2 ifc= — р：, 2ik= — pg,(5.15)

д/ 2д/ 2

из которых следуют уравнения (5.7), где теперь \В\ =aJ4ik. Таким образом, здесь тоже происходит ОВФ с коэффициентом усиления (5,9).

Напомним, что в четырехволновом ОВФ, рассмотренном выше, рассеяние происходит на пространственной решетке, образованной изменениями средней за период скорости звука под действием стоячей волны накачки; для реализации этого механизма нужна кубичная нелинейность, В данном же случае работает периодическое изменение мгновенных значений скорости звука. Эти изменения, как уже отмечалось, могут создаваться по-разному. Так, в работе [Бункин и др., 1986] предлагается схема с электрической накачкой. Если поместить упругую среду в конденсатор и таким образом создать в ней переменное однородное электрическое поле, то это в принципе приводит к модуляции скорости звука и в результате к ОВФ. Такие процессы, по-видимому, легче всего реализуются в твердых пьезоэлектриках, где давно наблюдались эффекты параметри-

ческого усиления, импульсного эха и др. Однако нас интересуют в первую очередь чисто акустические эффекты, когда накачкой служит акустическое поле. Здесь есть своя трудность: однородную накачку на частоте 2з в неограниченной среде создать, очевидно, нельзя.

Заметим, что рассмотренный здесь вид взаимодействия 一 это частный случай реализации параметрического резонанса. Если в (5.13) считать р§ и Рс функциями (медленными) времени, а не координаты, то вместо (5 J5) получим

2»з= — рЗ 2i3 — = — Ps-(5.16)

dr 2H 2

Решения этой системы экспоненциально растут во времени, т.е. имеет место параметрическая неустойчивость. Правда, в ограниченной системе или системе с потерями эта неустойчивость может и не реализоваться, если а0 меньше порогового значения. Поэтому реализация усиления с ОВФ без неустойчивости может быть связана с трудностями околопоро- гового режима.

Подобное устройство, обращающее волну, называют ПОФУЗ — параметрический образующий фазу усилитель звука [Брысев и др., 1984].

Рассмотренные вьпие механизмы ОВФ основаны на эффектах кубической нелинейности пузырьковой среды и, что эквивалентно, на процессах двукратного взаимодействия в квадратичной среде. Между тем явление ОВФ возможно и при однократном трехчастотном взаимодействии в пузырьковой среде, если последняя представляет собой достаточно тонкий слой в однородной жидкости [Кустов и др., 1985). Будем считать, что пузырьки распределены в жидкости в плоском слое от х = 0 до х = /. Пусть на этот слой из области х < 0 падает по нормали плоская волна накачки с частотой з】：

р； =PiexpU(3if-左и)-。/],(5.17)

где коорданата х отсчитывается от левой границы слоя,图一коэффициент поглощения на частоте з】.Кроме того, слева падает также волна сигнала с неоднородным распределением амплитуды и фазы по поперечной к оси х координате г:

Pi = p2(r)exp[i(co2r-左2Х + w(r) -ах],(5.18)

где а2 - соответствующий коэффициент затухания. Эти волны, взаимодействуя на слое, порождают комбинационную, рассеянную волну на частоте 3з = 31 —За, которая излучается в левое и в правое полупространства. Ее поле вне слоя определяется интегрированием по вторичным источникам в слое:

Рэ = — / £зЗ；р；р)*(рс4У)Техр(т%зУ - 〃/)”'，(5.19)

где £3 — параметр нелинейности на частоте 33.

В данном случае, когда р】и р? определяются формулами (5.17) и (5.18), имеем

Р1Р2*~PiP2^Pк'(^з^- 9)- «& — 后)％'-31+&)%']•(5.20)

202

Рис. 74 Зависимость ширины пучка d по уровню 0,5 от расстояния до слоя пузырьков газа для волны частоты 40 кГц

Кривая — теория, точки — данные эксперимента [Кустов и др., 1985 ]

Пусть первичные волны быстро затухают, так что а^2 > А;1>2- Тогда изменение фазы источников вдоль оси х несущественно и слой излучает как плоская апертура. Распределение амплитуды и фазы источников по слою определяется множителем р；ехр [»(з£ — 9(г))] в (5.20). Видно, что распределение фазы по координате г имеет знак, обратный к фазе сигнала, что и обеспечивает обращение. Направление рассеянных волн (0з) определяется здесь условием синхронизма вдоль плоскости слоя:

%3Sin&3 =-后 sin%, (5.21)

где 02 — угол падения волны сигнала на слой. Пренебрегая дисперсией в слое, что возможно при широком распределении пузырьков по радиусам, когда на каждой частоте откликаются резонансные пузырьки, получаем

sind3 = 3式3? - 3])Tsin他.

При этом условие векторного синхронизма k3 = kj — к2 точно не вы* полняется, однако для достаточно тонкого слоя, когда k3l^ 1, расфа* зировка в направлении х оказывается несущественной и основную роль играет поперечный синхронизм, выражаемый условием (5.21). Если сигнал имеет вид сферической волны при малых углах 伝 н %, из (5.19) и (5.20) получаются следующие выражения для поля на частоте Зз, рассеянного соответственно вперед (знак，*плюс") и назад (знак “минус”) ：

. 電 €зР\Р?В 士

Р^ 二「：门 丁/E U - ехр(—0± /)]. (5.22) 2рс3Д±(1 -Rq/Rf)

Здесь 0±=〃i + 〃2 孑〃з，5+= exp(тз2)，5_ = 1, / — толщина слоя, Ro - расстояние от точки наблюдения до слоя, Лр = созЛ2/со2 — расстояние фокусировок рассеянных волн, R2 - расстояние от источника сигнала до слоя.

Отсюда видно, что рассеянные волны фокусируются. Если при этом 032Ah то преобладает рассеяние назад, а в противоположном случае, если еще k3l^ 1, от слоя излучаются два сходящихся пучка примерно одинаковой амплитуды.

Если, в частности, coi = 2со2, т.е. 33 = 32, то получаем в3 = п±в2' Это случай ^истинного** ОВФ, когда после рассеяния волна сигнала сходится в исходную точку. Однако и в общем случае можно говорить об ОВФ: расходящаяся волна превращается в сходящуюся с преобразованием

частоты.

Эксперимент [Кустов и др., 1985] проводился в лабораторном бассейне. Путем электролиза создавался слой водородных пузырьков толщиной /= 10 см. Пучок накачки на частоте £ = 100 кГц формировался круглым излучателем диаметра 10 см, находящимся на расстоянии 2,6 м от слоя; амплитуда накачки вблизи слоя составляла pi = 3,2 • 103 Па. Сферический излучатель, расположенный на расстоянии 1 м от слоя, генерировал волну сигнала на частоте 力=60 кГц. Длительность импульсов накачки и сигнала равнялась соответственно 1 мс и 0,3 мс. Угол % составлял 10°. Направление распространения обращенной волны составляло 15° по отношению к оси излучателя накачки в соответствии с резонансным условием (5.21). Поле на разностной частоте 40 кГц образовывалось двумя сходящимися пучками, распространяющимися по обе стороны от слоя. Соответственно этому ширина пучка по мере удаления от слоя вначале убывала, а затем вновь росла (рис. 7.4). Теоретическая кривая построена по формуле (5.19), точками представлены данные эксперимента. Подчеркнем, что эффект ОВФ наблюдался при умеренной интенсивности волн, когда еще не сказывались эффекты перераспределения пузырьков в акустическом поле.

КОНЦЕНТРАЦИОННАЯ НЕЛИНЕЙНОСТЬ В ЖИДКОСТИ С ПУЗЫРЬКАМИ ГАЗА

Своеобразные и сложные эффекты самовоэдействия возникают в жидкости с пузырьками, если учесть изменение в пространстве—времени их количества н распределения по размерам. В акустическом поле пузырьки, вообще говоря, перераспределяются в пространстве, они могут рождаться (в процессе кавитации) и исчезать (за счет всплытия, растворения или слияния с другими). Все зто зачастую порождает весьма сильную нелинейность. Здесь мы вкратце обсудим эти вопросы.

Во внешнем акустическом поле пузырек совершает два основных типа движений: монопольные пульсации и поступательные (дипольные) колебательные движения. Для нас важно, что скорость последних в среднем не равна нулю: пузырек совершает усредненные движения, причем за достаточно большое (по сравнению с периодом колебаний) время смещения пузырька могут быть достаточно большими. Эта усредненная компонента движения связана с действием радиационного давления акустического поля.

Если пренебречь массой газа в пузырьке, то его средняя скорость определяется, в сущности, силой трения со стороны окружающей жидкости и усредненной компонентой движения в акустическом поле, возникающей из-за действия радиационного давления, а также из-за влияния других пузырьков.

Уравнение усредненного движения пузырька имеет вид

dU 1

—=-(F1-F2), (6.1) at т

где U - средняя скорость перемещения пузырька, т = (2/3)ря/?2 - присоединенная масса жидкости, R — радиус пузырька, F2 = 6npR\Ju — стоксова сила (р — коэффициент вязкости),尸】=р <Kva) - усредненная сила

акустического воздействия (va — акустическая скорость частиц в отсутствие пузырька, V — скорость изменения его объема 匕 угловые скобки обозначают усреднение по времени). Выражение для Fi можно интерпретировать как результат корреляции между радиальными (монопольными) и поступательными (дипольными) колебаниями пузырька: в одном направлении он движется, имея больший радиус, чем в противоположном, т.е. иначе рассеивает падающее поле и, следовательно, испытывает другое радиационное давление; поэтому пузырек испытывает в среднем за период ненулевое воздействие. Для двух пульсирующих пузырьков отсюда, в частности, следует известное выражение для силы Бьеркнеса, имеющей кулоновский характер: F〔=p《片 玄〉г%з, где г — расстояние между пузырьками. Отсюда видно, что синфазно колеблющиеся пузырьки 1фитягиваются, а противофазные — отталкиваются. Другой пример — поведение одиночного пузьфька в поле акустического пучка с ограниченной апертурой [Кобелев, 1983]. Оно оказывается зависящим от частоты поля： соотношение фаз между К и va различно для частот ниже и выше резонансной, поэтому малые пузырьки втягиваются в область поля, а большие, наоборот, выталкиваются.

Подобные усредненные эффекты сходны с теми, которые известны в электродинамике и физике плазмы для заряженных частиц, с той, однако, важной разницей, что здесь основной вклад в усредненную силу дают монопольные, а не дипольные колебания пузырьков, и поэтому соответствующие эффекты выражены в акустике особенно сильно [Соболев, 1974].

Рассмотрим теперь коллективное поведение пузырьков в квазигармо- ническом поле и их обратное влияние на поле. Если потенциал поля имеет вид

9 = Т ф (г, f)exp (icot) + к.с.,(6,2)

причем зависимость W(r) достаточно медленная, то, определяя амплитуду колебаний пузырька в линейном приближении (в этом разделе мы всюду пренебрегаем собственной нелинейностью пузырьков) и подставляя результат в выражение для F〔, мы получим из (6.1) следующее уравнение для вызванной звуком средней трансляционной скорости пузырька:

6pU= [а(ф?ф* + 屮”屮)+ i0(W*VW - ф?ф*)] и0,(6.3)

a = (l-D27l(l-?y+5T*4n, 0 = 5[(1一w2)2+a『7T= 30/3, 6 = 0-*.

Здесь мы пренебрегли еще инерцией движения пузырька (т.е. присоединенной массой), что допустимо в большинстве реальных ситуаций.

Подставляя выражение (6.2) в волновое уравнение (3.22) гл. 1 и полагая концентрацию пузырьков ^ также медленно зависящей от времени, получаем [Морс, Фешбах, 1960]

△ W = [^2 - / (а + iff)NR г, t)dr\ ф s 0,(6.4)

о

где % = з/с(), % — скорость звука в жидкости. Здесь опущено слагаемое

205

Wb/cj, которое обеспечивает волновой характер распространения огибающей в чистой жидкости. Это можно делать при условии, что влияние пузырьков проявляется на расстояниях, много меньших масштаба с&Т, где Т — характерный период модуляции.

Для замыкания системы необходимо записать уравнение для концентрации пузырьков. Это можно сделать, используя условие баланса их числа в элементе фазового объема drdR с учетом эффектов возникновения и исчезновения пузырьков данного радауса за счет возможной коагуляции. Это уравнение имеет вид [Кобелев, Островский, 1983]

8N(&o),,

,+ div[N(&o)5 = —М&о) / [М%) W(&。，Ло)-

Но

&1

-〃(&)]*；)+ / МК')М&) - W(K, R'Qf/^/R'DdR'o. (6.5) о2

Правая часть (6.5) представляет собой интеграл столкновений и состоит из двух слагаемых, первое из которых описывает уход из данного элемента фазового пространства коагулирующих пузырьков, а второе — их приход в него. Здесь W(/?o,&I) — вероятность столкновения (т.е. коагуляции), равная, согласно работам [Головин, Петров, 1970; Кобелев, 1983],

W(R0, /?^) = о(/?о, /?о)1 U(R0) - I7(/?^)| = 4^Zsgn/,(6.6)

где о — сечение соударения двух пузырьков, =俨。+甩、! /；_])(这一 1) + 6162]

/= V з/ / 1[阳-1)2+6打[宙一1) + 贫]‘"，

причем радиусы &] и К； связаны условием сохранения массы газа (результирующий пузырек имеет радиус/?0 или/?о).

В дальнейшем рассматриваются сначала одномерные волны. Кроме того, для упрощения задачи предполагается, что в начальный момент в жидкости имеются пузырьки только одного радиуса %, не слишком далекого от резонансного, поэтому коагуляция приводит только к уходу из области взаимодействия. Влиянием коагулированных пузырьков будем пренебрегать, считая, что их резонансная частота сильно отличается от частоты поля. Тогда в правой части (6.5) остается лишь первый член и уравнения (6.3)—(6.5) приводятся к виду

3N 8(М7)Н Эх3N 8(М7)Н Эх№|ф|2,№|ф|2,д2ф/дх2 + [公-(а + i0)M ф = 0,(6.7а)

3N 8(М7)

Н Эх

3N 8(М7)

Н Эх

№|ф|2,

№|ф|2,

(6.76)

(6.7в)(6.7в)WE/ aw

(6.7в)

(6.7в)

6wU= -a+ 币1w* ---ф

Эх\ Эх

Рассмотрим теперь некоторые конкретные эффекты» описываемые уравнениями (6.7) [Кобелев, Островский, 1983; Горшков, Кобелев, 1983].

Неустойчивость бегущей волны. В поле бегущей волны возможно равновесное состояние с однородным распределением пузырьков в пространстве, но равновесие оказывается неустойчивым. Это справедливо и в слу-

чае затухающей волны, однако здесь мы для простоты пренебрежем затуханием, полагая 6 = 0. Отметим, что в этом случае (6.76) соответствует бесстолкновительному приближению, когда размеры пузырьков не меняются, нелинейность же связана с их перераспределением в пространстве.

При 0 = 0 система (6.7) имеет очевидное решение в виде

w = Woexp(-Wx), N = Nq, U=0,(6.8)

где 17=，終二 аУо：

Рассмотрим устойчивость этого решения. Положим

W = Фо[1 + “(х/)]ехр(-йрО, N = Nq+nG, f),

где U, л - малые возмущения, причем их зависимость от t медленная (в масштабе периода поля). Подставляя эти выражения в (6.7), мы получим линейные уравнения для W' и л; при этом необходимо учитывать, что л действительно. Полагая еще 山'=山1+呐，нетрудно получить одно действительное уравнение, скажем для 四:

号+4/f号+4/fа*Эх2а*Эх2(6.9)(6.9)

号+4/f

号+4/f

а*

Эх2

а*

Эх2

(6.9)

(6.9)

где b = a2^l Wo|2/6mR(). Отыскивая решение в виде 办 =Фю exp Jf(J2f-

—%х)} + к .с., нетрудно получить дисперсионное уравнение вида

С = -2ibK2/(K2-4т?2).(6.10)

Неустойчивость ImC < 0 реализуется для всех возмущений, удовлетворяющих условию |К| >2|“|. Прт! |к|, близких к 2mL в (6.7) необходимо учитывать отброшенные диссипативные слагаемые; согласно (6.7а) q?= =Л;2 - (а + :J3)7VO. Тогда неустойчивость возникает при том же неравенстве |*|>2旧|, причем максимум инкремента ImC достигается при |К| = 2ml и равен d|i7|/2Imi?.

Отметим следующее существенное обстоятельство: поскольку величина л действительна, т.е. она имеет вид пехр(/(Ш — Кх)}+ к.с., то в возмущении должны одновременно присутствовать составляющие вида ехр(± zKx), т.е. волны, бегущие в противоположные стороны, и их модули должны быть одинаковы. Другими словами, возмущение концентрации должно быть "стоячим”； в наиболее неустойчивом возмущении оно имеет период тг/|"|； в возмущениях поля присутствуют волны вида ехр(—i"X)(рассеянная назад) и ехр(3йрг) (идущая вперед). Физический смысл такой неустойчивости нетрудно понять: при появлении неоднородностей концентрации возникает волна, рассеянная назад, и в поле появляется стоячая компонента. В ней группируются пузырьки, что, в свою очередь, увеличивает рассеяние и т口 К.А. Горшков, Ю.А. Кобелев [1983] обобщили этот результат на трехмерный случай, когда волна модуляции распространяется под углом к направлению волнового вектора несущей. В этом случае (с учетом потерь)

(6.11)(6.11)jmC = 2b —_l??2/f)宀

(6.11)

(6.11)

[1 - (4l7*2)COsW]2 +48$26/上釈2

где 丄о = qlSNq - масштаб затухания несущей волны.

Отсюда видно, что нарастают возмущения с волновыми векторами К>2|тН8s 仇

Заметим, что такая неустойчивость в виде саморассеяния может лежать в основе таких эффектов, как обращение волнового фронта волны: если основная волна расходится, то возмущения, возникающие в результате неустойчивости, будут сходиться. Другой возможный эффект 一 самофокусировка звука, связанная с нарастанием поперечных возмущений (0 = я/2). Однако в настоящее время зти эффекты не были специально рассмотрены.

В реальных ситуациях дело снова осложняется разбросом пузырьков по радиусам. В частности, радиационное давление приводит к различным средним скоростям их конвективного движения. Если пренебречь этим эффектом и учитывать лишь резонансные пузырьки, то для инкремента сохраняет силу выражение (6.10), где теперь

Ь = К|%|2/12б叱°,厶=2/衣訪T№(Ro),

(& — резонансный радиус).

Если же конвективное движение существенно, то одномерная неустойчивость исчезает или существенно ослабляется, хотя поперечная неустойчивость (самофокусировка) сохраняется.

Ударные волны отбающих. Взаимное влияние поля и пузырьков приводит и к возможности существования стационарных волновых решений, в которых величины N и W = | 屮产 имеют вид стационарных бегущих волн, т.е. зависят от одной переменной у ~х —cmt, где ст выражается формулой (3.27) гл. 1 [Горшков, Кобелев, 1983]. Будем опять исходить из системы (6.7), положив в ней W= %(х, r)exp(TZx), т.е. отыскивая решение в виде бегущей волны (Wo — медленно меняющаяся комплексная амплитуда). Тогда уравнение (6.7а) примет вид

Э0оЭ0оia- Р2%ia- Р2%(6.12)(6.12)

Э0о

Э0о

ia- Р

2%

ia- Р

2%

(6.12)

(6.12)

(здесь мы пренебрегли членом %*#, имеющим второй порядок малости), Представляя ф0 в виде A exp (iip), получаем из (6.12)

— JNdx,(6 Л За)

ЭФ/Эх + (0优)NW = 0, W = 4 2 •(6.136)

В первом приближении величина 屮*屮*—WW；, стоящая в (6.7в), равна —2肉％С, а членами с %* можно пренебречь из-за малости концентрации пузырьков, поэтому в остальные уравнения (6.7) входит только |%|2=“，и мы получаем замкнутую систему уравнений (6.76), (6,7в) и (6.13а), (6.136). Будем отыскивать решение в виде функций у. Тогда указанная система легко приводится к виду

Ы/Ъу + л/=0,(6,14а)

(-% + М/+2修叨d〃/dy + (l -w1-〃物)経/= 0,(6.146)

квадрант изменением знака параметровквадрант изменением знака параметров吆〃吆〃Рис. 7.5. Фазовые диаграммы решений системы уравнений (6.14)Рис. 7.5. Фазовые диаграммы решений системы уравнений (6.14)1% Зак. 3821% Зак. 382

квадрант изменением знака параметров

квадрант изменением знака параметров

吆〃

吆〃

Рис. 7.5. Фазовые диаграммы решений системы уравнений (6.14)

Рис. 7.5. Фазовые диаграммы решений системы уравнений (6.14)

1% Зак. 382

1% Зак. 382

где введены следующие безразмерные переменные:

n=N/N0, /=W/Wo, z = x/Zo, т=“「о, L0 = k/PN0,

北=3M/2%W。,%=6北2[(1 - 尸产 + 62],

% = 3@%侬w0,%=6(1 -L)/(4就0[(1 一 尸尸 + 也),

« = z-UT, w= cm - WOi

No, Фо — равновесные значения величин^и Ф.

Общее представление о решениях системы (6.14) можно получить

из рис. 7.5,а, на котором приведен ее фазовый портрет. Прямой физический смысл имеют, конечно, лишь фазовые траектории, лежащие в верхнем правом квадрате (f, п > 0). Однако соответствующие уравнения инвариантны относительно преобразований (I,v) f (―/, —v) и (л,物，S) -* -*(—小一％, —f). Поэтому фазовые траектории из любого квадранта мо

гут быть приведены в первый W2 и V, и в результате, как нетрудно видеть, рис. 7.5 ио черпьшает все решения при любом соотношении знаков этих параметров, за исключением случаев 協=0 (резонансные пузырьки) и и = 0 (отсутствие дрейфа).

Соответствующие фазовые портреты приведены на рис. 7.5, 6 (% = 0) и 7.5, в (〃 =0). Заметим, что на кривой / = 〃/(Wi + 2nW2) (штриховая линия) направление движения по каждой траектории меняет знак, хотя

209

точки равновесия отсутствуют. На этой кривой нарушается условие единственности решения.

Наибольший интерес здесь представляют стащюнарные ударные волны, которым отвечают траектории, выходящие из точки равновесия п = О, / = и/М и заканчивающиеся на оси /=0. Такая волна представляет собой перепад величины возмущения поля, полностью удаляющего пузырьки данного радиуса за счет их слияний. Скорость такой волны определяется только интенсивностью поля 厶 при {*©о, а именно и 二物厶，и и не за

висит от равновесной концентрации %. В размерных переменных эта скорость равна

%=0+我屮8/13"(1-与2)2+62]}.(6.15)

Ударные волны огибающих существуют при и>0 и любом знаке 伍， т.е. для пузырьков с радиусом как больше, так и меньше резонансного.

В резонансном случае 物=0 к уравнения (6.14) могут быть легко проинтегрированы. Для изменений Л л в ударной волне получаются выражения

(6.16)(6.16)

(6.16)

(6.16)

В случае отстройки от резонанса простых аналитических решений записать не удается; заметим, однако, что при W2< 0 (малые пузырьки) ударные волны существуют лишь при условии [Горшков, Кобелев, 1983]

"2%厶《1 -伊V0.

Поскольку 6< 1, a kL°> 1 (затухание предполагается малым на длине волны), то 11 —尸I мало, и ударная волна существует лишь вблизи резонанса; при ^2 >0 (большие пузырьки) такого ограничения нет.

Эффект просветления. Рассмотрим теперь нестащюнарные процессы, связанные с проникновением гюля в жидкость с пузырьками. Здесь удобно пользоваться уравнениями, аналогичными (6.14), но с обратной заменой Ъ!Ъу на 8/8х и добавлением в левую часть (6.146) члена 打丁 (ввиду нестационарности процесса). Кроме того, в случае нерезонансных пузырьков И^1( 2 < 1 и соответствующими слагаемыми в (6Л 46) можно пренебречь. В результате получаются простые уравнения

Ъ1/Ъх +п/= 0, Ъп/Ът + М/ = 0. (6.17)

Эти уравнения сходны с уравнениями нелинейного просветления в плазме и оптике, однако есть существенное отличие: в (6.17) стоит п2, а не л, что приводит к отсутствию стационарного решения с конечным л, ограниченного при х

Пусть на границе х = 0 полупространства с однородной начальной концентрацией No задана волна с амплитудой Wo, т.е. начальные и граничные условия имеют вид /(т, 0) = 1, п(0,х) = 1. Решение легко получается заменой п 二 , после чего из (6.17) имеем sx + 1ns = 0, откуда

/ dy/]ny =

i + т

В результате решение выражается через интегральную показательную 210

рис. 7.6. Зависимость интенсивности волны I и концентрации пузырьков л (в нормированных единицах) от расстояния в жидкости с пузырьками газа в различные моменты времени (эффект просветления)

1 - г - 0; 2-4%； 3-8%; ” 16%

функцию £|(х)：

x-Ei [1п(1 +т)] — £/(lns),(6.18)

гюсле чего 1 находится из (6.17)

Результат решения представлен на рис. 7.6, где дана зависимость 1 и п от х£0 для различных t, £0 — масштаб затухания (см. (6Л46)). Вначале волна сильно затухает, однако затем благодаря коахуляции затухание уменьшается вплоть до полного исчезновения пузырьков начального радиуса. Характерное время такого просветления среды волной имеет порядок % = 3M/2tWoM).

Для пузырькового слоя конечной толщины также можно пользоваться решением (6.18), если пренебречь отражением звука на границе слоя. Пусть, например, через слой водородных пузырьков протяженностью 20 см проходит волна с частотой 30 кГц и амплитудой давления 3,2 • 103 Па. Положим удельное газосодержание равным 3 * 10~5, а радаус пузырьков 0,7 ■ 10"2 см. Тогда величины £0 и f0> введенные выше, равны соответственно 10 см и 1 с, что для безразмерной толщины слоя дает х =2. При этом нарастание интенсивности прошедшего через слой звука от величины 0,14 до 0,55 происходит за время 4 с.

Для резонансных пузырьков существенно их поступательное движение под действием сил радиационного давления, в этом случае W2 = 0, И\ = 1/2, так что уравнение для концентрации имеет вид

пт +й/п2 +йи2/=0(6Л9)

(для простоты полагаем Wq = 0, т.е. пренебрегаем вязкостью жидкости); уравнение для I совпадает с первым уравнением (6,17).

Здесь есть различие с первым случаем и в граничном условии. Если на границу пузырькового слоя падает волна, то под действием радаа- ционного давления граница перемещается. Тем не менее эта задача имеет аналитическое решение (Кобелев, 1983]. Если интенсивность падающей волны постоянна, то это решение имеет вид

〃 =(1 + (т/2)ехр{т/2 - z}尸，

/= (1 +т/2)ехр{т/2 -z}(l + (т/2)ехр{т/2 -z})7,

причем граница движется по закону z = т/2. Отличительная особенность

М-2. Зак. 382?"

этого случая — возможность установления ударной волны огибающей; в данном случае это происходит при z = 16.

В описанных здесь моделях еще много идеализаций. Это прежде всего монорадиусность пузырьков (впрочем, в резонансном случае это имеет существенный смысл — именно резонансные пузырьки влияют сильнее всего). Кроме того, в реальных ситуациях пузырьки всплывают и поэтому непрерывно входят в область пучка и выходят из нее и т.д. Тем не менее факт существования эффекта просветления и его основные качественные особенности, предсказанные теорией, наблюдались в эксперименте [Кобелев и др., 1979]. Волна частоты 130 кГц проходила через пузырьковый слой толщиной около 10 см. При этом слабое поле (с амплитудой менее 103 Па) затухало более чем в 100 раз (на 40 дБ), а более сильное

3 * 103 Па) всего втрое (на 10 дБ). В диапазоне изменения р от 0 до 3,5 • 103 Па декремент падает от 05 до 0,1.

Исследовались и свойства инерционности эффекта — наблюдался переходный процесс просветления. Время просветления составляло в эксперименте 1 с.

Для выяснения механизма эффекта было снято распределение пузырьков по радиусам при разных интенсивностях поля накачки: оказалось, что с ростом интенсивности концентрация пузырьков падает в широком интервале радиусов. Кроме того, эксперимент показал, что эффект носит нерезонансный характер. Все это говорит о развитии процесса коагуляции пузырьков под действием акустического поля за счет усредненных сил (сил Бьеркнеса). Это имело и прямое подтверждение: для более крупных пузырьков, видимых глазом 依 > 40 мкм), наблюдалось образование пузырьковых гроздей и слияние пузырьков.

Однако детальное количественное сравнение эксперимента с теорией затруднительно. В частности, теория дает сильную зависимость времени установления от концентрации пузырьков (Гоедг), тогда как в эксперименте эта зависимость практически отсутствует. Это связано прежде всего с предположением об одинаковости радиусов пузырьков в начальном состоянии. Разброс по радиусам должен ослаблять зависимость г0 от М поскольку в резонансную область будут поступать пузырьки из-за коагуляции, здесь же коагулирующие пузырьки просто ^выходили из игры>,.

КАВИТАЦИОННАЯ САМОФОКУСИРОВКА ЗВУКА

В предьщущем разделе мы приняли во внимание движение пузырьков, но не учитывали их рождения из-за эффектов кавитации. Вместе с тем на этом основана первая идея само фо ку сиро вки звука в пузырьковой среде [Аскарьян, 1971]: поскольку число рождающихся пузырьков зависит от интенсивности звука, их концентрация будет больше в области максимума поля, что приводит к эффектам саморефракции. Для пузырьков малого (меньше резонансного) радиуса скорость звука падает с ростом концентрации и тогда возникает самофокусировка: лучи искривляются от периферии волнового пучка к его центру.

Позже эффект самофокусировки более подробно рассматривался в работе [lernetti et al., 1980] и наблюдался экспериментально [Cuiti et al.,

. Поскольку теория самофокусировки разработана в оптике, основной проблемой является установление связи между концентрацией пузырьков N (определяющей скорость звука) и интенсивностью звукового поля /. Авторы указанных работ, исходя из экспериментальных данных, считают эту зависимость линейной:

№a(/-/th), u = b(/-Ah),(7-1)

где 几 —интенсивность, отвечающая порогу кавитации, и — объемное газо со держание, а и Ь — постоянные. Для относительно низкой частоты, когда радиусы пузырьков меньше резонансного (а здесь идет речь о пузырьках с радиусами в единицы-десятки микрон), скорость звука, как уже отмечалось, определяется только величиной N

с=%(1 +со«/т)-1/2 = Co[i-Cob(I-Ith)l2y](7.2)

(мы считаем нелинейную поправку к скорости звука малой), 7 — показатель адиабаты газа в пузырьке*

После этого можно действовать так же, как в нелинейной оптике. Представим смещение частиц и' в виде

〃 = 〃(r)exp[i(3r_ кг)],(7.3)

где з и % связаны линейным дисперсионным соотношением з = с。％, а и - медленно меняющаяся комплексная амплитуда. Будем исходить из нелинейного параболического уравнения (1Л4)

^акЪи/Ъх + △丄" +"尸(1"12) = 0.(7.4)

Здесь координата х направлена вдоль пучка, △丄一лапласиан по поперечным координатам,尸—определяется нелинейной поправкой к скорости звука; в данном случае согласно (7.2)尸=(爲b/2))(f —厶卜)(легко убедиться, что при этом из (7.4) получается поправка к скорости волны, соответствующая (7.2)). Заметим, что в первом (и достаточном здесь) приближении /=а|〃|2, где а — некоторый действительный коэффициент.

Подставляя в (7.4) 〃 = sexp(i9), где s и 9 — действительные переменные, получаем два уравнения:

ds2 89 ds2 个 /廿9 1 如、

+(7・5а)

Эх dr dr \ dr г dr /

；^后偿)=景加-必)+m偿+ }9，(7.56)

где г — поперечная координата (пучок считается цилиндрически-симмет- ричным).

Будем искать приближенное решение этой системы, описывающее поле вблизи оси пучка, раскладывая s и 9 гю степеням 产:

展(户/2)8(х) + G(x), s2 = (sS/nil-rW)21.(7.6)

где В, Gtf ~ функции x.D — константа.

Очевидно, что 5=1/R, где R — радиус кривизны волнового фронта, а /у — характерная ширина пучка. Подставляя это решение в (7.56), легко видеть, что Д =5 (х)/

Граничные условия имеют вид /(0) = 1, А(0) =J?o1» т.е. начальная ширина пучка порядка D, а начальный радиус кривизны - Ro・

Из уравнения (7.5а), приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях г, получаем уравнение для f ：

1 kblo 1 с

'* 曾2 7ро 公加 '

(То = aso) > решение которого, удовлетворяющее граничным условиям* имеет вид

U = (1+x/r)2-#2,(7.7)

где

1 Г Шо 1 1

Таким образом, если R^g> 1, то ширина пучка уменьшается с расстоянием. Фокусное расстояние ху, соответствующее условию /= 0, равно х/ = ^о1(До^/^— О-

Это рассмотрение легко обобщить, используя результаты из нелиней ной геометрической оптики, и в частности записать автомодельное peaie ние уравнений (7.5) для гауссова пучка, описывающее также поле в фокусе [Таланов, 1966]. Однако для простейших оценок достаточно приведенного здесь решения.

В работе [Cuiti et al., 1980] приводятся результаты эксперимента, в котором наблюдалась тенденция кавитирующего пучка к самофокусировке. Использовался излучатель радиусом 7= 1,25 см, работающий в воде на частоте 690 кГц. Пучок визуализировался теневым оптическим методом. Наблюдение велось в волновой зоне излучателя, при х > г2/Х ~ 8 см. Объемное газосодержание и составляло примерно 8 • 10-7. Было установлено, что при наличии кавитации наблюдается схождение пучка, при этом он приобретает сложную структуру.

Авторы полагают, что именно самофокусировка является причиной того, что эффективность кавитации для фокусирующего и плоского излу чателей оказывалась примерно одинаковой (из-за нелинейной сходимос- ги пучка во втором случае).

АВТОСИНХРОНИЗАЦИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ОСЦИЛЛЯТОТОВ В АКУСТИКЕ

В заключение этой главы мы вкратце обсудим один интересный, на наш взгляд, механизм усиления или генерации акустического поля, который до недавнего времени изучали лишь в "злектромагнитных" науках — электронике, квантовой радиофизике. Речь идет о коллективном поведении нелинейных резонансных систем — осцилляторов, которые в начальном состоянии колеблются некогерентно, со случайно распределенными начальными фазами, но на некотором этапе частично синхронизм- руются за- счет нелинейной подстройки фазы, генерируя когерентное поле или усиливая когерентную затравку. Так происходит, например, "сверх излучение" Дикке, создаваемое системой возбужденных атомов [Желез

няков и др. 1986], так работают в электронике мазеры на циклотронном резонансе, нашедшие применение в технике миллиметрового и субмиллиметрового излучения [Гапонов и др., 1967]; в сущности, таков же принцип действия квантовых генераторов — мазера и лазера, только в этом случае существенны квантовые свойства осцилляторов.

Здесь мы рассмотрим систему акустических осцилляторов — монополей, в которой возможны эффекты подобного рода [Кобелев и др., 1986]. Заметим, что механические (монопольные) системы в известном смысле эффективнее электромагнитных (дипольных), поскольку у монополя связь с полем (в сопоставимых измерениях) больше, чем у диполя. Чтобы убедиться в этом, достаточно сравнить эффективность излучения сферы при изменениях его объема (пульсациях) и колебаниях как целого с той же самой амплитудой движения.

В дальнейшем в качестве монополя можно иметь в виду газовый пузырек, но это не обязательно. Важно, однако, присутствие кубичной нелинейности, поскольку она приводит к зависимости средней резонансной частоты осциллятора от его амплитуды*

Решение задачи состоит, вообще говоря, из трех этапов: анализа колебаний одного осциллятора в присутствии слабого когерентного поля, вычисления полного вклада системы осцилляторов в когерентное поле и, наконец, (если речь идет о волне) решения уравнений для поля (получения дисперсионного соотношения).

Итак, рассмотрим осциллятор с кубичной нелинейностью, описываемой уравнением Дуффинга:

ii + Ku + wo(l -向3/3) = q«), (8.1)

к, 8 — коэффициенты затухания и нелинейности, q — сила, действующая со стороны когерентного поля. Если эта сила близка к гармонической, т.е. 勿=4(r)exp(i3r)+4*(Г)ехр(—»зГ), где Л(/) — медленно меняющаяся функция, то при малых расстройках з — з()= е можно положить 2и = Уехр (»зт) + У*ехр (—»зт), где У - тоже медленная функция, т = Г — % (% — начальный момент, определяющий фазу колебаний данного осциллятора) .Тогда с помощью обычной процедуры усреднения (выделяя в и3 первую гармонику и отбрасывая ? и Y) получим уравнение для комплексной амплитуды У:

dY/dr + [к /2 + i(e + 30gl У|2 )]У= -(〃2зо)4 ехр «з%). (8.2)

Зададим начальное условие У(0) =S()exp(—汕)，тогда, как легко видеть, собственное решение (8.2) (отвечающее 4=0) имеет вид нелинейно затухающих колебаний:

% = So exp [一汕 一 о(т)], (83) где .

о(т)== кт/2 +/[ет + (т?о/к)(1 -ехр (—кт))], (8.4) причем "о = Зо!^： — нормированная начальная амплитуда.

Вынужденное решение (при 4 # 0) будем искать, считая А малым, так что возмущение у = У - %, обусловленное внешним полем, мало.

Линеаризуя (8.2) по у, получаем уравнение к.. i

У + [ — +/(б + 21сио|3|Уо1 )]^ +^о]ЗУо^* = 一4 ехр(1зГ()),(8.5)

22з()

где звездочка означает комплексное сопряжение. Фундаментальную систему решений уравнения (8.5) при А =0 образуют, как известно, производные от Уо по параметрам 尻 и 9о (это следует просто из способа получения (8.5) из (8.2)):

ЭУо、

匕=—[1 -2i(i7o/k)(1 -ехр(-кт))]ехр(кт),(8.6а)

% = а%/如о = тТо.(8.66)

После этого методом вариации постоянных нетрудно найти и общее решение неоднородного уравнения (8.5):

Зо т

y~CiYi + C2Y2 —-—匕 / ехр (кт) (Y2 A exp(z^0) + K.c.)dr -

4so о

-У2 / ехр(кт)(У；4ехр(；зГ()) + K.cJdT о

(&,2 — произвольные константы).

Следующий этап — вычисление полного когерентного отклика системы. Если осцилляторы распределены произвольным образом по резонансным частотам (например, пузырьки по их радиусам) и по временам запаздывания %, то этот отклик равен

Р= /у& %, Зо)方(зо, ГоМзо%,(8.8)

где 気(Го,3о) — заданная функция распределения, поэтому полное число осцилляторов ^ = Jndc^odto, В дальнейшем будем считать пузырьки одинаковыми, так что n w^ao'blGo — з()), где 650 — текущее значение резонансной частоты.

Далее необходимо конкретизировать задачу, задав функцию л (f0) и когерентное поле Л (0. Начнем с ситуации, близкой к рассматривав* мой в электронике. Пусть каждый осциллятор живет в течение конечного периода времени (от % до % + Г, причем ЗоГ» 1), например мгновенно входит в область взаимодействия и выходит из нее, но общее число осцилляторов N остается неизменным, так что й = TV/Г. Тогда

N T

к= — fy(r)dr.(8.9)

Т о

Подставив сюда выражение (8.7) для у, получим V 二/аехр(『зГ)+ к.с„ где

" /(&h +a丘)ехр(»З(Г- 丁))右一

-77V — (/%* /exp(KT)dT).(8-10)

ZD。/о 0

Здесь когерентное поле считается строго гармоническим (А = const), для принятых начальных условий Ci = С2 = 0.

Теперь следует рассмотреть уравнение для поля. Будем рассматривать плоскую звуковую волну, удовлетворяющую волновому уравнению

(8.11)(8.11)1

(8.11)

(8.11)

Рхх - — Ри = -/%， Со

где / — коэффициент связи между полем и осцилляторами, а К — избыточный объем пузырьков, определяемый (8.8). Будем искать решение в виде бегущей волны, так что з действительно и А =4()ехр(—iH). Подставив сюда выражение для К, получим дисперсионное уравнение

(8.12)(8.12)k2=kl[l-(lN/T)n],

(8.12)

(8.12)

где %о = Зо/с — волновое число звука в среде без осцилляторов.

Очевидно, что решение вопроса об усилении или затухании звука зависит от знака мнимой части волнового числа или (при g > 0) от знака Img, поскольку ImA: -(^0 W/2T)Img (здесыпринято, чтоNl/T< 1).

Выражение (8.10) для g (при &,2 二 0) после элементарных преобразований приводится к виду

М= — — (7?о / exp (-a)dr / exp (а)dr).(8.13)

Т So оо

В случае ненулевого затухания функция а (г) нелинейна и в общем случае (8.13) не сводится к квадратурам. Здесь мы ограничимся случаем малых потерь, когда (кТ)'« 1, т.е. амплитуда собственных колебаний осциллятора за время Г почти не меняется. При этом а =入т, где 入= к/2 + М£ + "о),илз (8.13) следует

8Эт?о8Эт?о(8.14)(8.14)"о /1 - ехр (—入7)

8

Эт?о

8

Эт?о

(8.14)

(8.14)

入(一 XT

Если затуханием пренебречь вовсе (к = 0), то

Img =Img =(1 - cos^T)-— +7?оГзт^Т ,(1 - cos^T)-— +7?оГзт^Т ,(8.15)(8.15)

Img =

Img =

(1 - cos^T)-— +7?оГзт^Т ,

(1 - cos^T)-— +7?оГзт^Т ,

(8.15)

(8.15)

где g = £ + "о — суммарная расстройка относительно частоты когерентного поля.

Зависимость Img от суммарной расстройки q при фиксированной амплитуде осцилляторов "о показана на рис. 7.7. При нулевой расстройке поле всегда затухает (Img = //2), несмотря на отсутствие (или, вернее, малость) затухания в отдельных осцилляторах из-за затраты на раскачку резонансных колебаний. В этом смысле мы получаем еще один аналог затухания Ландау в плазме (в смысле независимости коэффициента затухания от индивидуальных потерь). В отличие от другого известного аналога [Рю- тов, 1975], когда осцилляторы имеют различные резонансные частоты.

Л Im/?

рис. 7-7- Зависимость коэффициента затухания 1тм от величины расстройки q при е = 0 (”％)

Г — время жизни осциллятора

здесь расфазировка осцилляторов достигается за счет разброса их фаз (моментов Г。) относительно внешнего поля.

Общая же зависимость Img or q имеет осциллирующий характер, г.е. существуют чередующиеся зоны усиления и затухания. Наибольший инкремент в первой зоне равен (при qT =^ Зя/2)

[Im“] max d "o/炉 ~ 4"0丁汝”上 (8.16)

Нужно заметить, что добротность акустических систем (в том числе пузырьков) редко бывает очень большой, и в реалистичных оценках обычно нужно учитывать потери. Анализ влияния потерь для этой задачи проведен в работе [Бендицкая и др., 1988]. Здесь мы ограничимся двумя замечаниями. Во-первых, интеграл (8.13) легко берегся во втором крайнем случае, когда ехр(—кТ/2)《1. При этом

Img= 2к/(М +4/). (8.17)

Как и следовало ожидать, при этом поле всегда затухает. Заметим, однако, что наибольшая величина декремента здесь гораздо меньше, чем значение Т/2, получаемое при к = 0 и одинаковых других параметрах: резонансное затухание подавляет поле гораздо эффективнее, чем потери в индивидуальных осцилляторах.

Более важно го обсгоягельсгво, что вплоть до кТ~ 1 неустойчивость сохраняется с гем же по порядку величины инкрементом. Эго видно уже из уравнения (8.14), которое справедливо вплоть до кТ^1 (поскольку в о отброшены лишь члены порядка (кТ^), Решение задачи на ЭВМ показывает, что g (кТ = 1) даже несколько превышает величину Т/2.

Что касается конкретных оценок, го, скажем, для пузырьков с добротностью 0 = з()/к~ 10三 20 величина Т должна быть в оптимальных условиях такова, что сооТ 104 20. Впрочем, рассмотренная здесь постановка задачи реалистична скорее для высокочастотных систем; возможна, например, автосинхронизация тепловых фононных колебаний в твердом геле.

Рассматривались и другие варианты автосинхронизации [Кобелев, и др„ 1986]. Так, колебания осцилляторов можно поддерживать периодическими импульсными толчками, что приводит (при должном выборе периода) к усилению эффекта. Возможно использование излучения при срыве стационарных колебаний осциллятора Дуффинга под действием внешней силы с амплитудой, достаточной для появления неодно значно ст и на резонансной кривой, при этом фазы колебаний различных осцилляторов могут разбросаться естественным образом. Наконец, интересную возможность создает аналог сверхизлучения Дикке, когда случайно разбросанные по фазам в начальный момент осцилляторы, затухая, генерируют импульс когерентного излучения.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В заключение, подводя итоги изложенному, попытаемся ответить на вопрос, что же представляет собой современная нелинейная акустика, попробуем обрисовать ее контуры и наметить тенденции развития. Обычное определение, характеризующее нелинейную акустику как раздел физики нелинейных волн, посвященный изучению слабонелинейных возмущений в газах, жидкостях и твердых телах, хотя и является в принципе верным, но представляется слишком узким в настоящее время. Область исследований нелинейной акустики и ее прикладное значение непрерывно расширяются.

Можно указать на два направления развития нелинейной акустики. Первое из них охватывает исследования распространения и эволюции слабонелинейных волн, периодических и импульсных, характеризующихся возникновением и динамикой разрывов, — слабых ударных волн. Наиболее интересно эти явления протекают в неоднородных и многофазных средах — жидкостях с пузырьками газа, суспензиях, пористых средах, в волноводах и ограниченных объемах. Становится ясно, что нелинейные явления в неоднородных упругих телах, в том числе в структурно-неоднородных, могут быть выражены значительно сильнее, чем в однородных средах, что важно для ряда геофизических приложений.

Локализованные возмущения большой интенсивности — звуковые пучки и импульсы — обладают рядом специфических особенностей. Происходящие в этих случаях процессы рассеяния звука на звуке, хаотиза- ции волн и возникновения акустической турбулентности развиваются в акустических полях иначе, чем в оптических или электромагнитных полях в плазме, в силу слабого влияния дисперсии, что делает возможным формирование слабых разрывов и их взаимодействие.

В известном смысле процессы взаимодействия эволюционирующих волн, включая волны с разрывами, находятся в центре внимания нелинейной акустики. Наряду с акустическими взаимодействиями все более широко исследуются взаимодействия звука с другими видами возмущений — гидродинамическими, оптическими, электромагнитными. Можно ожидать дальнейшего развития данного направления, представляющего нелинейную акустику как раздел физики нелинейных волн.

Другое направление нелинейной акустики охватывает разнообразные акустические нелинейные явления, исследование которых в значительной степени определяется практическими потребнисгмми.

Успехи в разработке принципиально новых устройств — параметрических акустических излучателей, основанных на использовашш эффек-

тов рассеяния звука на звуке, стимулируют исследования по их совершенствованию. Выпуск этих приборов уже освоен промышленностью передовых стран. Развиваются работы по применению параметрических излучающих и приемных систем в различных условиях.

С другой стороны, изучение нелинейных взаимодействий акустических волн привело к разработке новых способов диагностики сред, основанной на измерении их нелинейных характеристик. Регистрация величины нелинейного параметра среды и его распределения (томография нелинейного параметра) позволяет получить важную дополнительную информацию о свойствах среды и ее изменчивости.

Наряду с исследованиями процессов взаимодействия акустических волн, лежащих в основе способов нелинейной акустической диагностики, внимание исследователей по-прежнему привлекают явления акустических течений, взаимодействия звука с пузырьками, радиационного давления, важные для ряда приложений в ультразвуковой технологии.

Разработка научных основ разнообразных приложений в технике и медицине также является важнейшим аспектом нелинейной акустики.

ЛИТЕРАТУРА

Введение

Гурбатов СЛ., Малахов С.Н., Саичев А.И. Статистическая нелинейная акустика. М.： Наука, 1990.

Зарембо ЛК, Красильников В.А. Введение в нелинейную акустику. М.: Наука, 1966. 519 с.

Карпман В.И. Нелинейные волны в диспергирующих средах. М.: Наука、 1973.175 с.

Рабинович М.И., Трубецков Д.И. Введение в теорию колебаний и волн. М.： Наука. 1984. 431 с.

Руденко О.В., Солуян С.И. Теоретические основы нелинейной акустики. М.: Наука, 1975. 287 с.

Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны. М.: Мир, 1977. 622 с.

Beyer R.T. Nonlinear acoustics. USA: Naval Ship Syst. Command., 1974. 405 p.

Глава 1

Амбарцумян СЛ. Разномодульная теория упругости. М.: Наука, 1982. 317 с.

Андреев НН О некоторых величинах второго лорядка в акустике // Акуст. журн. 1955. Т. 1、 вып. 1. С. 3-11.

Антонец ВЛ., Донской 瓜М・, Сутин А.М, Нелинейная вибродиагностика расслоений и непроклея в многослойных конструкциях // Механика композит, материалов. 1986. № 5. С. 934-937.

Беляев АН, Наймарк О.Б. Кинетические переходы в средах с микротрещинами и разрушение металлов в волнах напряжений // ПМТФ. 1987. №1. С. 163-171.

Донской ДМ., Сутин АМ. Нелинейное рассеяние и распространение продольных акустических волн в пористых средах 〃 Акуст. журн. 1984. Т. 30, вып. 5. С. 605-611.

Дружинин ГА., Остроумов ГЛ., Кряч- ко ВМ., Токман А.С. Нелинейные явления при распространении акустических волн в пористых средах 〃 Тез. докл. VI Междунар, симпоз. по нелинейной акустике. М.: Изд-во МГУ, 1975. С. 166-173.

Жуков АМ Модули упругости материалов при растяжении и сжатии 〃 ПМТФ. 1985. № 4. С. 128-131. Заболотская ЕЛ., Солуян С,И. Излучение гармоник и комбинационных частот воздушными пузырьками // Акуст. журн. 1972. Т. 18, вып. 3. С. 472-474.

Зарембо ЛК, Красильников ВЛ. Введение в нелинейную акустику. М.: Наука, 1966.519 с.

Кобелев ЮЛ., Островский JI.A. Модели газожидкостной системы как нелинейной диспергирующей среды // Нелинейная акустика. Горький: ИПФ АН СССР, 1980. С. 143-159.

Кошкин Н.И., Ширкевич М.Г. Справочник по элементарной физике. М.: Наука、1976. 255 с.

Криштал МЛ., Головин СЛ. Внутреннее трение и структура металлов. М.: Металлургия, 1976. 375 с.

Ландау ЛД, Лифшиц ЕМ Механика сплошных сред. М.: Гостехтеорет- издат, 1954. 796 с.

Ландау 几瓜，Лифшиц ЕМ Электродинамика сплошных cpeq. М.: Наука, 1960.532 с.

Ландау ЛЛ, Лифшиц ЕМ Гидродинамика. М.： Наука, 1986. 736 с.

Лопатников С.Л. Акустическое фазовое эхо в жидкости с пузырьками газа // Письма в ЖТФ. 1980. Т. 6, вып. 10. С. 623-626.

Лурье 4〃 Нелинейная теория упругости. М.: Наука, 1980. 512 с.

Островский Л.А. К нелинейной акустике слабосжимаемых пористых сред

// Акуст. журн. 1988. Т. 34, выл. 5. С. 908-913.

Писаренко Г.С. Колебания механических систем с учетом несовершенной упругости материала. Киев: Наук, думка, 1970. 379 с.

Работное ЮН Введение в механику разрушения. М.： Наука, 1987. 80 с.

Руденко ОН, Солуян С.И. Теоретические основы нелинейной акустики. М.： Наука, 1975. 287 с.

Терстон Р. Распространение волн в жидкостях и в твердых телах // Физическая акустика / Под ред.

У. Мэзона. М : Мир, 1966. Т. 1. С. 13-139.

Ультразвуковые методы исследования дислокаций. М.: Изд-во ин остр, лит., 1963. 375 с.

Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны. М.: Мир, 1977. 622 с.

Aanansen S.L., Barkve Т., Tjotta J., Tfotta £ Distortion and harmonic generation in the nearfield at a finite amplitude sound beam // J. Acoust. Soc. Amer. 1984. Vol. 75, N 3. P. 749-768.

Beyer R工 Nonlinear acoustics. USA: Naval Ship Syst. Command., 1974. 405 p.

Breazeale M.A., Ford /. Ultrasonic studies of the nonlinear behaviour of solids // J. Appl. Phys. 1965. Vol. 36, N5.P. 3486-3490.

Burgers LM. Application of a model system to illustrate some points of the statistical theory of free turbulence // Proc. Roy. Neth. Acad. Sci. (Amsterdam). 1940. Vol. 43. P. 2-12.

Devin C. Survey of thermal, radiation and viscous damping of pulsating air bubbles in water // J. Acoust. Soc. Amer. 1959. Vol. 31, N 12. P. 1654-1667.

Dunn E, Law W, Frizzell £. The nonlinearity parameter В/A of biological media // Proc. X Intern. Symp. Nonlinear Acoust. Kobe (Jap.), 1984. P. 221-225.

EUer A,J., Flynn HG Generation of subharmonics of order one-half by bubbles // J. Acoust. Soc. Amer. 1969. Vol. 46, N3・ P. 722-727.

Korteveg Д/, de Vries G On the change of form of long waves advancing in rectangular canal, and on a new type of long stationary waves // Philos. Mag. 1895. Vol. 39, P. 422-443.

Lighthill М/ On sound generated aero-

dynamicaUy // Proc. Roy. Soc. London A. 1952. Vol. 222. P. 564-587.'

Minnaert M On musical air-bubbles and the sound of running water // Philos Mag. 1933. Vol. 16. P. 235—248.

Nazarov 匕£, Ostrovsky L/., Soustova £4, Sutin A.M. Nonlinear acoustics of micro-inhomogeneous media // phys Earth and Planet. Inter. 1988. Vol 50 P. 67-73.'

Rayleigh O.M. On the pressure developted in a liquid during the collapse of a spherical cavity // Philos. Mag. 1917. Vol. 34 P. 94-98.

Westervelt PJ. Parametric acoustic array // J. Acoust. Soc. Amer. 1963. Vol. 35, N4. P. 935-937.

Глава 2

Андреев НН О некоторых величинах второго порядка в акустике//Аку ст. журн. 1955. Т. 1, вып. L С. 3-11.

Андреев Я.Н. О стоячих звуковых волнах большой амплитуды // Исследования по экспериментальной и теоретической физике： Памяти Г .С. Ландсберга. М.: Изд-во АН СССР» 1959. С.53-55.

Буров ВЛ., Красильников В.А. Непосредственное наблюдение искажения формы интенсивных ультразвуковых волн в жидкости 〃 ДАН СССР. 1958. Т. 118, №5. С. 920-923.

Гапонов-Грехов А.В., Островский Л.А., Фрейдман Т.И. Ударные электромаг- ниткые волны // Изв. вузов. Радиофизика. 1967. Т. 10, №9/10. С. 13761413.

Гольдберг З.А. О распространении плоских волн конечной амплитуды 〃 Акуст. журн. 1957. Т. 3, вып. 4. С. 322-326.

Гольдберг 34 Параметрическая неустойчивость нелинейных плоских стоячих волн в жидкости // Проблемы нелинейной акустики / Под ред. В.К. Кедринского. Новосибирск, 1987. Ч. 1. С. 154-158. (Тр. симпоз. по нелинейной акустике).

Горьков Л.П. Нелинейные акустические колебания столба газа в закрытой трубе // Инж. журн. 1963. Т. 3. С. 246—250.

Гурбатов СН, Малахов А.Н. Случайные волны в нелинейной акустике： Прспр. ИРЭ.№ 11 (38 3). М., 1984.48 с.

Гурбатов СМ., Саичев АМ. Вырождение

одномерной акустической турбулентности при больших числах Рейнольдса 〃 ЖЭТФ. 1981. Т. 80, вып. 2. С. 689703.

Гусев Л.Э., Руденко О.В. Нестационарные квазиодномерные акустические течения в неограниченных объемах с учетом гидродинамической нелинейности 〃 Акуст. ж урн. 1979. Т. 25, вып. 6. С. 875.

Зарембо ЛК.» Красильников АЛ. О поглощении ультразвуковых волн конечной амплитуды в жидкостях/ ДАН СССР. 195 6. Т. 109, № 4. С. 7 31-7 34.

Захаров &Е, Сагдеев Р.З. О спектре акустической турбулентности // Там же. 1970. Т. 19 2, № 2. С. 297-300.

Кадомцев Б,Б., Петвиашвили В.И. О звуковой турбулентности // Там же. 197 3. Т. 208, № 4. С. 794-796.

Канер AR, Руденко O.B,t Хохлов Р.В. К теории нелинейных колебаний в акустических резонаторах 〃 Акуст. ж урн. 1977. Т. 23, вып. 5. С. 756-765.

Карабутов АЛ. Возбуждение нелинейных волн распределенными внешними источниками в средах без дисперсии: Дис. канд. физ.-мат. наук. 01.04.0 3. М., 1979. 164 с.

Карабутов АЛ., Лапшин Е.А., Руденко ОН О взаимодействии светового излучения со звуком в условиях проявления акустической нелинейности 〃 ЖЭТФ. 1976. Т. 71, вып. 1. С. 111-121.

Карпман А〃 Нелинейные волны в диспергирующих средах.М.: Наука, 1973 175 с.

Коломенский Ал.А. Акустические автоволны в светопоглощающей среде // Акуст. журн. 1989. Т. 35, вып. 2С. 370-372.

Кузнецов ВЛ Уравнения нелинейной акустики 〃 Там же. 1970. Т. 16. вып. 4. С. 548-553.

Курант Г, Фридр^сс К Сверхзвуковое течение и ударные волны. М.: Изд-в с иностр, лит., 195Q. 427 с.

Ландау ЛЛ, Лифшиц ЕМ Гидродинамика. М.: Наука, 1986. 736 с.

Ландау 乙4, Лифшиц ЕМ Механика сплошных сред. М.: Гостехтеоретиз- дат, 1954. 796 с.

Макаров С Л., Хамзина ВС Определение средних параметров звука поля в задаче Ирншоу на основе нелиней

ной теории 〃 Акуст. журн. 1989. Т. 35, вып. 2. С. 308-312.

Михайлов И.Г., Шутилов В,А. Об искажении формы ультразвуковой волны конечной амплитуды в различных жидкостях // Там же. 1960. Т. 6, вып. 3. С. 340-346.

Назаров B.E.f Островский Л.А. Исследование аномальной акустической нелинейности в металлах // Там же. 198 8. Т. 34, вып. 3. С. 491-499.

Наугольных К,А. О поглощении звуковых волн конечной амплитуды 〃 Там же. 1958. Т. 4, вып. 2. С. 115-124.

Наугольных КА, Романенко Е.В. К вопросу о распространении волн ко- нечн ой амплитуды в жидкости // Там же. 1958. Т. 6, вып. 2. С. 200-202.

Наугольных КЛ., Рыбак СЛ. О спектре звуковой турбулентности II ЖЭТФ. 1975. Т. 68, вып. 1. С. 78-83.

Островский ЛЛ. Величины второго порядка в бегущей звуковой волне II Акуст. журн. 1968. Т. 14, вып. 1. С. 82-89.

Островский Л.А, О разрывных колебаниях в акустическом резонаторе II Там же. 1974. Т. 20, вып. 1. С. 140-142.

Пелиновский Е.Н. Спектральный анализ простых волн // Изв. вузов. Радиофизика. 1976. Т. 19, № 3. С. 37 3-383.

Пелиновский Е.Н., Фридман В.Е., Энгельбрехт Ю* Нелинейные эволюционные уравнения. Таллинн: Валгус, 1984. 154 с.

Полякова А.Л., Солуян С〃，Хохлов Р.В, К вопросу о распространении конечных возмущений в релаксирующей среде // Акуст. журн. 1962. Т. 8, вып. 1. С. 107-112.

Руденко О,В. О возможности генерации мощного гиперзвука с помощью лазерного излучения 〃 Письма в ЖЭТФ. 19 74. Т. 20, вып. 7. С. 445448.

Руденко О.В. Взаимодействие интенсивных шумовых волн // УФН. 1986. Т. 149, вып. 3. С. 413-447.

Руденко О.В., Солуян С". Теоретические основы нелинейной акустики. М.： Наука, 1975. 287 с.

Руденко О.А, Чиркин Л.С Теория нелинейного взаимодействия монохроматических и шумовых волн в слабо-

диспергирующих средах // ЖЭТФ. 1974. Т. 67, вып. 5. С. 1903-1911.

Семчев А.И. О спектрах некоторых случайных волн, распро страняющихся в нелинейных средах // Изв. вузов. Радиофизика. 1974- Т. 17,* № 7. С. 1025-1033.

Солуян С.И., Хохлов Р.В. Распространение акустических волн конечной амплитуды в диссипативной среде // Вести. МГУ. Сер. 3, Физика, астрономия. 1961. № 3. С. 52-61.

Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны. М.: Мир, 1977. 622 с.

Фридман В.Е. Об одном случае взаимодействия импульсов с разрывными фронтами 〃 Аку ст. журн. 1976. Т. 22, вып. 5. С. 780-782.

Фридман В.Е. Нелинейная акустика взрывных волн // Нелинейная акустика. Горький： ИПФ АН СССР. 1980. С. 68-97.

Эйхенвальд АЛ. Акустические волны большой амплитуды // УФН. 1934. Т. 14, вып. 5. С. 553-555.

Baines Z, Breazeale М. Nonlinear distortion of ultrasonic waves in solids: approach of a stable backward saw-tooth // J. Acoust. Soc. Amer. 1975. Vol. 57, N3. P. 745-746.

Blackstock “工 Propagation of plane sound waves of finite amplitude in nondissipative fluids // Ibid. 1962.

Vol. 34, N l.P. 9-30.

Blackstock D.T. Thermoviscous attenuation of plane, periodic, finit e*amplitude sound waves // Ibid. 1964. Vol. 34, N3. P. 534-542.

Blackstock Р.Г Connection between the Fay and Fubini solutions for plane sound waves of finite^amplitude//Ibid. 1966. Vol. 39, N 6. P. 1019-1026.

Cole J.D, On a quasi*linear porabolic equation occuring in aerodinamics// Quart. Appl. Math. 1951. Vol. 9. P. 225-236.

Cnghton DG The Teylor internal structure of week shock waves // J. Fluid Meeh. 19 86. Vol. 17, N3. P. 6 25-642.

Crighton DG, Scott J.E Asymtotic solution of model equation in nonlinear acoustics // Philos. Trans. Roy. Soc. London. A. 1979. Vol. 292. P. 101- 134.

Fay RD. Plane sound waves of finite amplitude 〃 J. Acoust. Soc. Amer. 1931. Vol. 3, N 2. P. 222-241.

Fubini-Gtron £G. Pressone di radiatione acustica e ande di grande ampiezza

// Alta freq. 1935. Vol. 4. P. 530- 581..

Hiedemann 瓦4., Zankel K.L. Simple demonstration of the presence of second harmonic in progressive ultrasonic waves of finite amplitude // J. Acoust. Soc. Amer. 195 8. Vol. 30, N 4. P. 5 82-5 83.

Hopf E The partial differential equation // Commun. Pure and Appl. Math. 1950. Vol. 3, N 3. P. 201-230.

Khokhlov RR, Soluyan ££ Propagation of acoustic waves of moderate amplitude through dis^pative and relaxing media // Acoustka. 1964. Vol. 14, N5.P. 242-247.

Khokhlov R 匕，Naugobtykh KA.t So- luyan £丄 Waves of moderate amplitudes in absorbtion media // Ibid. 1964. Vol. 14, N 5. P. 248-25 3.

Lee-Bapty 丄几 Crighton “G. Nonlinear wave motion governed by modified Burgers equation // Philos. Trans. Roy. Soc. London. A. 1987. Vol. 323. P. 173-209.

Mendousse 工 £ Nontinear disspative distortion of progressive sound waves at moderate amplitude // J. Acoust. Soc. Amer. 1953. Vol. 25, N 1. P. 51-54.

Morfey C.L. Aperiodic signal propagation at finite amplitudes: some practical applications // Proc. X Intern. Symp. Nonlinear Acoust. Kobe (Jap.), 1984. P. 199.

Nommo EC, Crighton D.G Geometrical and diffusive effects in nonlinear acoustic propagation over long ranges // Philos. Trans. Roy. Soc. London. A. 1986. Vol. 320. P. 1-35.

Pernet “E, Payne R.C. Nonlinear propagation of signals in air // J. Sound and Vib. 1971. Vol. 17, N 3. P. 383-387.

Pestonus FM, Blackstock D.£ Propagation of tinite amplitude noise//Proc. Symp. "Finite amplitude wave effects in liquids**, 1973. Copenhagen, 1974. P. 22-24.

Seymour B.R., MorteO М2 Resonant acoustic oscillations with damping: small rate theory // J. FHud Meeh. 1973. Vol. 58, N 2. P. 352-373.

Tatsumi T, Kida Sh. Statistical mechanics of Burgers model of turbulens 〃 Ibid. 1972. Vol. 55, N 4. P. 659-675.

Thuras A.L., Jenkins R.T., OWeW H.T. Extraneous frequencies generated in air carrying intence sound waves 〃 J. Acoust. Soc. Amer. 1935. Vol. 6, N 3. P. 173-180.

Werth G.C Attenuatioii of repeated shock waves in tubes // Ibid. 1953. Vol. 25, N4. P. 821.

Глава 3

Андреев H.H. О некоторых величинах второго порядка в акустике//Акуст. жури. 1955. Т. L вып. 1. С. 3-11.

Бреховских JLM Волны в слоистых средах. М.: Наука. 1973. 344 с.

Горский C3f., Петухов Н.В., Фридман BE Спектр иитеисивиого гидро~ акустического сигнала, отраженного от поверхности океана // Акуст. жури. 1980. Т. 26, вып. 1. С. 146-148.

Губкин КЕ Распростраиение разрывов в звуковых волнах // ПММ. 1958. Т. 22, вып. 4. С. 561-564.

Каплан СЛ” Островский Л.А., Петру^ хин 冏 Q Фридман BE Расчет самосогласованных моделей хромосфер солнца и звезд // Астрой, жури. 1972. Т. 49,вьш. 6. С. 1267-12 74.

Коул R Подводные взрывы. М.: Изд-во иностр, лит., 1950. 495 с.

Ландау ЛД Об ударных волнах иа далеких расстояниях от места их возни киовеиия // ПММ. 1945. Т. 9, вып. З.С. 286-292.

Наугольных К4 Равростраиенне сфери* ческих звуковых воли конечной амплитуды в вязкой теплопроводящей среде // Акуст. жури. 1959. Т. 5, вып. 1. С. 80-84.

Наугольных КЛ. Волна сжатия, излучаемая расширяющейся сферой// Там же. 1965. Т. 11, вып. 3. С. 351-35 8.

Наугольных КЛ. О переходе ударной волны в акустическую // Там же. 1972. Т. 18, вып. 4. С. 579-583.

Наугольных КХ., Солуян С"., Хохлов RA Сферические волны конечной амплитуды в вязкой теплопроводящей среде 〃 Там же. 1963. Т. 9. вып. 1. С. 54-60.

Островский ЛЛ. К теории воли в иеста- циоиариых сжимаемых ^>едах//ПММ. 1963. Т. 27, вып. 5. С. 924-929.

Островский Л.А. Ударные волны и солитоны 〃 Изв. вузов. Радиофизика. 1976. Т. 19> № 56. С. 661 -690.

Островский Л.А., Рубаха HR Нелинейный магнитный звук в гравитационном поле 〃 Изв. вузов. Радиофизика. 1972. Т. 15,№9. С. 1293-1299.'

Островский ЛЛ.» Пелиновский ЕН, Фридман BE Распространение акустических воли конечной амплитуды в неоднородной среде при наличии каустик 〃 Акуст. жури. 1976. Т. 22. вып. 6. С. 914-921.

Петухов ЮВ Импульс давления, возбуждаемый сферой, расширяющейся с постоянной скоростью // Там же. 1983. Т. 29> вып. 1.С. 88-90.

Рыжов О.С., Шефтер ГМ Об энергии звуковых воли, распространяющихся в движухцихся срезах // ПММ. 1962. Т. 26, вып. 5. С. 854-866.

Уйзем Дж. Линейные и иелииейиые волны. М.： Мир, 1977.622 с.

Фридман В.Е. Сравнение эмпирических и теоретичерких законов для взрывных воли // Изв. АН СССР. Физика атмосферы и океана. 1980. Т. 16, № 4. С. 397-402.

Фридман В.Е. Стационарные ударные волны в неоднородных средах〃Акуст. жури. 1982. Т. 28、вып. 4. С. 551-559.

Христианович С.Л. Ударная волна иа значительном расстоянии от места взрыва 〃 ПММ. 1956. Т. 20、вып. 5. С 599—605.

Taylor К/. The air wave surronding • an expanding sphere // Proc. Roy. Soc. London. A. 1946. Vol. 186. P. 273-29 2.

Глава 4

Андреев ВГ, Карабутов А.А., Руденко 。8・ Эксперимеитальное исследование распространения нелинейных звуковых пучков в свободном пространстве // Акуст. журн. 1985. Т. 31. вып. 4. С. 423-428.

Бабич ВМ» Булдырев АС Асимптотические методы в задачах дифракции коротких воли. М.: Наука, 1972. 456 с.

Бахвалов НС, Жилейкин 凡М> Заболотская 瓦4. Нелинейная теория звуковых пучков. М.: Наука, 1982. 174 с.

Борисов ЮЛ., Панкина "М Исследование эллиптических звуковых концентраторов 〃 Акуст. жури. 1973. Т. 19, выл. 4. С. 433-438.

Бреховских JTM Волны в слоистых средах. М.: Наука, 1973. 344 с.

Заболотская ЕЛ., Хохлов Р.В. Квази- плоские волны в нелинейной акустике ограниченных пучков 〃 Акуст. жури. 1969. Т. 15, вып. 1. С. 40-47.

Зарецкий АЛ, Измерение распределения звукового давления в фокусе излучателя локационным методом // Там же. 1968. Т. 14, вып. 3. С. 471-473.

Кузнецов BJL Уравнения нелинейной акустики 〃 Там же. 1970. Т. 16, вып. 4. С. 548-553.

Куницын B,E,t Руденко О.В. Генерация второй гармоники в поле поршневого излучателя // Там же. 1978. Т. 24, вып. 4. С. 549-555.

Леонтович МЛ. Об одном методе решения задач о распространении электромагнитных волн // Изв. АН СССР. Сер. физ. 1944. Т. 8, № 1. С. 8-24.

Малюжинец ГЛ Развитие представлений о явлениях дифракции // УФН. 1959. Т. 69, вып. 2. С. 321-3 34.

Морс 0M Фешбах Г. Методы теоретической физики. М.: Изд-во иностр, лит., 1958. Т. 1. 930 с.

Наугольных КЛ. Поглощение звуковых волн конечной амплитуды // Мощные ультразвуковые поля. М.; Наука, 1968.С. 5-48.

Наугольных КЛ., Романенко ЕЗ. О зависимости коэффициента усиления фокусирующей системы от интенсивности звука // Акуст. журн. 1959. Т.5,вып. 2.С. 191-195.

Островский ЛА,, Пелиновский ЕН О приближенных уравнениях для волн в средах с малыми нелинейностью и диссипацией // ПММ. 1974. Т. 38, выл. 1.С. 121-124.

Островский Пелиновский Я.Я., Фридман В.Е, Распространение акустических волн конечной амплитуды в неоднородной среде при наличии каустик // Акуст. журн. 1976. Т. 22, вып. 6. С. 914-921.

Островский ЛА., Сутин АМ Фокусировка акустических волн конечной амплитуды 〃 ДАН СССР. 1975. Т. 221, №6. С. 1300-1303.

Островский ЛЛ.» Сутин 左3/. Дифрак* ция и излучение пилообразных акустических волн // Акуст. журн. 1976. Т. 22, вып. 1. С. 93-100.

Островский Л.А., Фридман BE О направленности мощного акустического излучения // Там же. 1972. Т. 18, вып. 4. С. 584-589.

Пелиновский ЕН, Соустова И.А. Структура нелинейного звукового пучка в неоднородной среде // Там же. 1979. Т. 25, вып. 4.С. 631-633.

Пелиновский Е.Н” Фридман В,Е., Энгельбрехт Ю.К. Нелинейные эволюционные уравнения. Таллинн： Валгус, 1984.154 с.

Розенберг ЛД Звуковые фокусирующие системы. М.; Л.: Изд-во АН СССРЛ 949.112 с.

Руденко О.А, Солуян СИ. Теоретические основы нелинейной акустики. М.: Наука, 1975.287 с.

Оу^к Е. Основы акустики. М.: Мир, 1976. Т.2.542 с.

Сутин 43f. Дифракционные явления в интенсивных звуковых пучках // Нелинейная акустика. Горький: ИПФ АН СССР、1980. С. 45-67.

Харкевич 44 Неустановившиеся волновые явления. М.; Л.: Гостехтеоретиз- дат, 1950. 202 с.

Aanansen S.L, Hamilton M.F,, Tjotta JN, Trotta £ Nonlinear effects in sound beams // Proc. X Intern. Symp. Nonlinear Acoust. Kobe (Jap.), 1984. P. 45-48.

Blackstock Р.Г, Lockwood J.C.t Muir T,G. Directive harmonic generation in the radiation H&d of circular piston // J. Acoust. Soc. Amer. 1973. Vol. 53, N4. P. 1148-1153.

Browning D.G., Mellen Л.Я Finite-amplitude distortion of 150-kHz acoustic waves in water 〃 Ibid. 1968. Vol. 44, N 2. P. 644-646.

Du G., Breazeale M.A. Theoretical discription of a focused gaussian ultrasonic beam in a nonlinear medium // Ibid. 1987.VO1. 81, Nl.P. 51-77.

Hamilton ME Effects of noncoUinear interaction on parametric acoustic arrays in dispersive fliuds // Ibid. 1984. Vol. 76 N5. P. 1493-1503.

Hennion Л K. Etude de remission para- metrique en champ proche par analyse de Fourier: Application a un emetteur focalisant 〃 Proc. VIII Intern. Symp. Nonlinear Acoust. P., 1978. P. 29.

Lucas B.G., Tjotta JN, Muir T.G. Field of a parametric focusing source // J. Acoust. Soc. Amer. 1983. Vol. 74, N 6. P. 1966-1971.

Smith CW., Beyer R. Г Ultrasonic radiation field of a focusing source at finite amplitudes // Ibid. 1969. Vol. 46, N 3, pt 2. P. 806-813.

Theobald M4, Webster D.4, Blackstock D.T. The importance of finite- amplitude distortion in outdoor propagation experiments 〃 Abstr. Rap. VII

227227

227

227

15-2. Зак. 382

Intern. Symp. Nonlinear Acoust.Blades- burg (USA), 1976. P. 218-221.

Tjotta Z^, IJotta £ Sound field of parametric focusing source // J. Acoust. Soc Атет. 1984. Vol 75, N 5. P. 1392— 1394.•

Глава 5

Буров 4K, Красильников BA, Тагу- нов Я.Я. Экспериментальное исследование коллинеарного взаимодействия слабого ультразвукового сигнала с интенсивными низкочастотными возмущениями в воде 〃 Вести. МГУ. Сер. 3, Физика, астрономия. 1978. Т. 19, №4. С. 53-58.

Гольдберг ЗК. Оценка эффективности параметрического усиления акустических воли в жидкости 〃 физика. Алма-Ата: Каз. унт, 1972. Вып. 3: Прикл. и теорет. физика. С. 38-43.

Гурбатов С.Н. О взаимодействии волн в средах с высокочастотным затуханием 〃 Акуст. жури, 1980. Т. 26, вып. 3. С. 467-469.

Гурбатов С.Н., Демик И.Ю., Сутин 4M Взаи мо действие нелинейно ограниченных пучков в параметрических излучателях 〃 Там же. 1979. Т. 25, вып. 4. С. 515-520.

Гурбатов С.Н., Малахов А.Н. О статистических характеристиках случайных квазимоиохроматических воли в нелинейных средах 〃 Там же. 1977. Т. 23, вып. 4. С. 569-675.

Гурбатов С.Н., Саичев А.И. Вырождение одномерной акустической турбулентности при больших числах Рейнольдса 〃 ЖЭТФ. 1981. Т. 80, вып. 2. С. 689-703.

Гурбатов С.Н., Саичев А.И., Якушкин И.Г, Нелинейные волнй и одномерная турбулентность в средах без дисперсии // УФН. 1983. Т. 141, вып. 2. С. 221-255.

Донской Д.М., Зверев ВА, Калачев А.И. Параметрическая селекция звуковых лучей в иеоцнородных средах 〃 Акуст. жури. 1983. Т. 29, вып. 2. С. 181-186.

Донской Д.М., Сутин А.М. Параметри* ческий прием акустических сигналов в неоднородных средах 〃 Там же. 1981. Т. 27, вып. 6. С. 876-880.

Дунина ГЛ., Есипов И.В.Г Козяев Е.Ф. К теории параметрического излуче

ния 〃 Тр. VI Междунар, симпоз. по нелинейной акустике. М.: Изд-во МГУ, 1976. Т. 1. С. 296-307.

Зверев В.А., Калачев А.И. Модуляция звука звуком при пересечении акустических воли II Акуст. жури. 1970. Т. 16, вып. 2. С. 245—252.

Наугольных КЛ. Поглощение воли конечной амплитуды И Мощные ультразвуковые поля / Под ред. Л.Д. Розенберга. М.: Наука, 1968. С. 7-48.

Наугольных КХ., Островский ЛА. О нелинейных эффектах в акустике океана 〃 Акустика океана: Соврем, состояние. М.: Наука, 1982. С. 181- 195.

Наугольных К4, Солуян С〃, Хохлов Р.В. О нелинейном взаимодействии звуковых воли в поглощающей среде 〃 Акуст. жури. 1963. Т. 9, вып. 2. С. 192-197.

Новиков АК, Руденко О,В., Тимошенко В.И. Нелинейная гидроакустика. Л.: Судостроение, 1980. 264 с.

Островский 反4. К теории волн в нестационарных сжимаемых средах 〃 ПММ. 1963. Т. 27, вып. 5. С. 924- 929.

Руденко О.В., Солуян С〃 Теоретические основы иелииейиой акустики. М.; Наука, 1975. 287 с.

Руденко OJB., Чиркин А.С О распределении случайно- модулированного сигнала конечной амплитуды//Акуст. жури. 1974. Т. 20, вып. 2. С. 297—301.

Сутин /М О предельном режиме работы ультразвука 〃 Там же. 1978. Т. 24, вып. 1.С. 104-107.

Тагунов Я.Я. Исследование нелинейных взаимодействий слабых ультразвуковых сигналов с мощными низкочастотными акустическими возмущениями. М.: Изд-во МГУ, 1981.14 с.

Berktay НО Possible exploitation of nonlinear acoustics in underwater transmitting applications 〃 J. Sound and Vibr. 1965. Vol. 2, N 4. P. 435-461.

Berktay Hd Leahy DJ. Farfield performance of parametric transmitters 〃 J. Acoust. Soc. Amer. 1974. Vol. 55, N3. P. 539-546.

Goldsbery T.G., Reeves CR, Rohde DE Experimental measurments with a large aperture PARRAY 〃 J. Acoust. Soc. Amer. SuppL 1978. VoL 64, N 1. P. 125.

Hobak H, Vesterheim M Properties of the parametric acoustic array in different

parametric regions // Tp. VI Междунар, симпоз. по нелинейной акустике. M.: Изд-во МГУ, 1976. Т. 1. С. 308-319. На аигл. яз.

Ichida N., Sato 工，Linzer M Imaging of the nonlinear ultrasonic parameter of a medium // Ultrasonic Imaging. 1983. Vol. 5. P. 295-299.

McDonough RN Long-apperture parametric receiving arrays // J. Acoust Soc. Amer. 1975. Vol. 57, N5. P.1150- 1155.

Moffet M.B.r Konrad WL, Carlton L.F. Experimental demonstration of the absorbtion of sound by sound in water H Ibid. 1978. Vol. 6^ N 4. P. 1048- 1051.

Sato T, Fukusima 4, Ichida N. et al. Nonlinear parameter tomography system using counterpropagating probe and pump waves // Ultrasonic Imaging. 1985. Vol. 7.P. 49-59.

Truchard 工工 Parametric acoustic receiving array. Experiment // J. Acoust. Soc. Amer. 1975. Vol. 58, N 6. P. 1146- 1150.

Westervelt P.Z Parametric acoustic anay // Ibid. 1963. Vol. 35, N 4. P. 5 35-5 3 7.

Willete J.G, Moffett MA, Konrad WL Difference-frequence harmonics from saturatioiblimited parametric acoustic sources // Tp. VI Междунар, симпоз. no нелинейной акустике. M.: Изд-во МГУ, 1976. Т. 1. С. 272-279. На аигп. яз.

Главаб

Андреев АГ, Васильева 04, Лапшин ЕХ” Руденко О.А Процессы генерации второй гармоники и вырожденного параметрического усиления в среде с селективным поглощением II Акуст. жури. 1985. Т. 31, вьш. 1. С. 12-16.

Ахманов С4., Хохлов PR Проблемы нелинейной оптики. М.: ВИНИТИ, 1964. 295 с.

Бломберген Я. С Нелинейная оптика. М.: Мир, 1966. 424 с.

Гасенко Л.Г., Накоряков А£, Шрейбер НЕ Приближение Бюргерса- КдВ в волновой динамике газожидкостных систем // Нелинейные процессы в двухфазных средах. Ново- смбипгы- ИТ* m AW СССР} 1Q77 С 17-31.

Гольдберг 43., Гольдберг 3.4 Нелинейные плоские стоячие волны // Tp. X Всесоюз. акустич. коиф. Секция Б. М.: Акуст. ин-т, 1983. С. 12-15.

Гольдберг 3.4 Оценка эффективности параметрического усиления акустических воли в жидкости 〃 Физика. Алма-Ата: Каз. ун-т, 1972. Вып. 3: Прикл. и теорет. физика. С. 38—43.

Гуревич 4А, Питаевский ЛЛ Усред- иеииое описание воли в уравнении Кортевега-де Вриза-Бюргерса // ЖЭТФ. 1987. Т. 93, вып. 9. С. 871- 882.

Заболотская ЕЛ., Солу ян С.И. Об одной возможности усиления акустических волн // Акуст. жури. 1967. Т. 13, вып. 2. С. 296-298.

Заболотская ЕЛ.» Солуян СН Излучение гармоник и комбинационных частот воздушными пузырьками // Там же. 1972. Т. 18, вып. 1. С. 472,

Зайцев В.Ю., Островский ЛЛ,, Сутин А.М, Модовая структура поля параметрического излучения в акустическом волноводе // Там же. 1987. Т. 33, вьш. 1.С. 37-41.

ЗарембоЛ,К., Сердобольская ОМ К вопросу о параметрическом усилении и параметрической генерации акустической волны // Там же. 1974. Т. 20, вып. 5. С. 726-732.

Зарембо ЛК* Красильников В.А., Сер- добальская О.Ю. Нелинейная акустика кристаллов и некоторые ее применения 〃 Нелинейная акустика. Горький: ИПФ АН СССР, 1980. С. 189-219.

Каплан 4Е, Кравцов Ю.А., Рылов BE Параметрические генераторы и делители частоты. М.: Сов. радио, 1966. 334 с.

Карабуюва НЕ, Новиков Б.К. ^бота параметрического излучателя звука в плоском волноводе // Акуст. жури. 1986. Т. 32, вып. 1. С. 65-70.

Кобелев Ю.А., Островский Л.А. Модели газожидкостной смеси как иелн- иейиой диспергирующей среды // Нелинейная акустика. Горький: ИПФ АН СССР» 1980. С. 143-160.

Кобелев ЯХ4, Островский Л.А., Сутин А.М. Эффект самопросветлеиия для акустических воли в жидкости с пузырьками газа // Письма в ЖЭТФ. 1979. Т, 30, вып. 7. С. 423-425.

Лазариди А.И., Нестеренко В,Ф. Обиа-

ружение уединенных волн нового типа в одномерной зернистой среде // ПМТФ. 1985. Т. 3. С. 115-118.

Ландау Л.Д., Лифшиц ЕМ Гидродинамика. М.: Наука, 1986. 736 с.

Молотков И.А., Вакуленко С4 Нелинейные продольные волны в неоднородном стержне // Зап. науч, семинара ЛАМИ. 1980. Т. 99. С. 64-7 3.

Накоряков BE, Соболев В.В., Шрейбер И-Р. Распространение волн в газо- и парожидкостных средах. Новосибирск: ИТФ СО АН СССР, 1983. 237 с.

Наугольных К4, Островский J7.4, Сутин 4M Параметриче ские излучатели звука // Нелинейная акустика. Горький: ИПФ АН СССР, 1980. С. 9-30.

Нестеренко В.Ф. Распространение непи- нейных импульсов сжатия в зернистых средах 〃 ПМТФ. 1983. № 5. С. 136-148.

Островский Л.А., Папилова ".4 О нелинейном взаимодействии и параметрическом усилении волн в акустических волноводах // Акуст. журн. 1973.Т.19. вып. ЕС. 67-75.

Руденко О.В. К проблеме искусственных непинеймых сред с резонансным поглотителем // Там же. 1983. Т. 29, вып. 3. С. 398-402.

Руденко О.В,, Солуян С.И. Теоретические основы нелинейной акустики. М.: Наука, 1975. 288 с.

Рютов Д.Д. Аналог затухания Ландау в задаче о paciipoстранении звуковой волны в жидкости с пузырьками газа // Письма в ЖЭТФ. 1975. Т. 2 2, вып. 9. С. 446-449.

Самсонов А.М., Сокуринская ЕВ Уединенные продольные волны в неоднородном нелинейно-упругом стержне II ПММ. 1987. Т. 51, вып. 3. С. 483-488.

Толстой Я., Клей КС Акустика океана. М.: Мир, 1969.301 с.

Хохлов РВ Теория ударных радиоволн в нелинейных линиях // РЭ. 1961. Т. 6,вып. 6.С. 917-925.

Adler L, Breazeale МЛ. Generation of fractional harmonics in a resonant ultrasonic wave system 〃 J. Acoust Soc. Amer. 1970. Vol. 48, N 5. P. 1077-1083.

Eller A.J. Fractional-harmonic frequency pairs in nonlinear systems // Ibid. 1973. Vol. 53, N3.P. 578-765.

Fox F, Curley S. Phase velocity and ab-

sorbtion measurments in water containing air bubbles // Ibid. 1955. Vol. 27, N3.P. 534-539.

Hamilton MF, 7tw Cate J.A. Sum and difference frequency generation due to non collinear wave interaction in rectangular duct 11 Ibid. 1987. Vol. 81, N 6. P. 1703-1712.

Korpel A., Adler R. Parametric phenomena observed on ultrasonic waves in water // Appl. Phys. Lett. 1965. Vol. 7, N 4. P. 106-108.

Kuznetsov 匕匕，Nakoryakov V.E., Poku- saev B.G., Shreiber £R Propagation of pertubation in a gas-liquid mixture // J. Fluid Meeh. 1978. Vol. 85, N 1. P. 85-96.

Moffett M.B., Mellen RH On absorbtion as a means of saturation supression // J. Sound and Vibr. 1981. Vol. 76, N 2. P. 295-296.

Woodsum H.C Author's reply // Ibid. 1981. Vol. 76, N 2. P. 297-298.

Yen Nai-Chyan. Experimental investigation of subharmonic generation in an acoustic interferometer // J. Acoust. Soc. Amer. 1975. Vol. 57, N 6, pt 1. P. 1357- 1362.

Глава 7

Андреев В.Г., Карабутов A.A., Руденко О.В., Сапожников О.А. Наблюдение самофокусировки звука // Письма в ЖЭТФ. 1985. Т. 41, вып. 9. С. 381-384.

Аскаръяк Г.А. Самофокусировка и фокусировка ультра- и гиперзвука 〃 Там же. 1966. Т. 4, вып. 4. С. 144- 147.

Аскарьян Г.А. Самофокусировка мощного звука при рождении пузырьков И Там же. 1971, Т. 13, вьт* 7* С. 395-396.

Ассман В.А., Бункин Ф,В., Вернин А.В. и др. Тепловое самовоздействие зву- ковых пучков в вязких жидкостях // Акуст. журн. 1986. Т. 32, вып. 6. С. 754-761.

Бендицкая 〃М, Кобелев 故4, Островский Л.А., Соустова И.А. О влиянии потерь в осцилляторах на эффект ^классического пазера" в акустике // Там же. 1988. Т. 34, вып. 4. С. 593-597.

Беспалов В"., Таланов ВН О нитевидной структуре пучков света в нели-

иейных жидкостях // Письма в ЖЭТФ. 1966. Т. 3, вып. 12. С. 471-476.

Брысев Л./Z, Бункин Ф.В., Власов Д.В., Кравцов Ю.А. ПОФУЗ - параметрический обращающий фазу усилитель звука 〃 Исследование по гидрофизике. М.: Наука, 1984. С. 19-30. (Тр. ФИАН; Т. 156).

Бункин Ф.В., Власов Д.В., Кравцов Ю.А. К вопросу об обращении волнового фронта звука с усилением обращеи- иой волны // Квантовая электрон. 1981. Т. 8, №5. С. 1144-1145.

Бункин ФВ, Кравцов AL4., Ляхов Г.А. Акустические аналоги нелинейных оптических явлений // УФН. 1986. Т. 149, вып. З.С. 391-411.

Бункин Ф.В., Ляхов Г.А. Новые задачи нелинейной акустики жидкостей // Исследование по гидрофизике. М.: Наука, 1984. С. 3~19. (Тр. ФИ АН; Т.156).

Веденов А.А. Введение в теорию слабо турбулентной плазмы // Вопросы теории плазмы. М.: Госатомнздат, 196 3. Вып. 3. С. 203-244.

Воробьев ЕМ, Заболотская Я.Л. Само- воздействие звуковых воли в среде с пузырьками 〃 Акуст. жури. 1974. Т. 20, вып. 4. С. 6 23-6 24.

Гапонов 4А, Петелин М.И., Юлпа- гое ВК Индуцированное излучение возбужденных классических осцилляторов и его использование в высокочастотной электронике // Из в. вузов. Радиофизика. 1967. Т. 14 № 9/10. С. 1414-1453.

Головин 4М, Петров Л.Г О спектре коагулирующих пузырей в жидкости малой вязкости // Изв. АН СССР. МЖГ, 1970. №4. С. 130-136.

Горшков КА., Кобелев Ю.А. Влияние коллективного механизма самовоз- действия звука иа распространеиие акустических воли в жидкости с пузырьками газа: Препр. ИПФ АН СССР. № 84. Горький, 1983. 24 с.

Железняков ВВ, Кочаровский ЯК, Ко- чаровский Вл.В. Циклотронное сверхизлучение - классический аналог сверхизлучения Дикке // Изв. вузов. Радиофизика. 1986. Т. 29,兩 9. С. 1095-1116.

Заболотская Е.А. Два механизма само воздействия звуковых воли, распространяющихся в газожидкостной смеси 〃 Акуст. жури. 1977. Т. 23, ьып. 4. С. 591—595.

Заболотская Е.А* Нелинейные акусти

ческие комбинированные методы спектроскопии газовых пузырьков в жидкости 〃 Исследование по гидрофизике. М.: Наука, 1984. С. 31—41. (Тр. ФИАН; Т. 156).

Заболотская ЕА» Солу ян С". Об одной возможности усиления акустических воли // Акуст. жури. 1976. Т. 22, вып. 2. С. 296-298.

Заболотская £.4, Хохлов Р,В. Тепловое самовоздействие звуковых воли // Там же. 1976. Т. 22, вып. 1. С. 28-31.

Заболотская Е.А., Шварцбург А.Б. Распространение воли конечной амплитуды в волноводе // Там же. 1968. Т. 34, вып. 5. С. 85 2—856,

Карабутов 44, Руденко О.В., Сапожников ОА Теория тепловой самофокусировки с учетом формирования ударных воли и акустических течений // Там же. 1988. Т. 34, вып. 4. С. 644-650.

Кобелев Ю.А. Нелинейные дипольные колебания сферической частицы в звуковом поле 〃 Там же. 1983. Т. 29, вьш.6. С. 783-789.

Кобелев /0.4, Островский ЛЛ. Коллективное самовоздействие звука в жидкости с пузырьками газа // Письма в ЖЭТФ. 1983. Т. 37, вып. 1. С. 5-8.

Кобелев Ю.А., Островский ЛА., Соус^ това ИА. Автосинхронизация нелинейных осцилляторов в акустике // Изв. вузов. Радиофизика. 1986. Т. 29, № 3. С. 1120-1135.

Кобелев Ю.А., Островский Л.А., Сутин 4M Эффекты самопросветления для акустических воли в жидкости с пузырьками газа // Письма в ЖЭТФ. 1979. Т. 30, вып. 7. С. 423-425.

Кустов ЛЖ, Назаров BE, Сутин 4M Обращение волнового фронта акустической волны иа пузырьковом слое // Акуст. жури. 1985. Т. 31, вып. 4. С. 837-839.

Ландау 〃4, Лифшиц ЕЖ Гидродинамика. М.: Наука, 1986. 736 с.

Михайлов 风八 Распространение ультразвуковых воли в жидкостях. М.; Л.: Гостехтеоретиздат, 1949. 152 с.

Морс Ф.М., Фешбах Г. Методы теоретической физики. М.: Изд-во иностр, лит.» 1960. Т. 2. 886 с.

Островский ЛА. Распространение волновых пакетов и про странственио- временная самомодуляция в нелинейной среде // ЖЭТФ. 1966. Т“ 51, вып. 10. С. 1189-1194.

Островский Л,А. Ударные волны огибающих // ЖЭТФ. 1968. Т. 54, вып. 4. С. 1235-1243.

Пушкина НМ” Хохлов РВ О вьшуж- денном звуковом рассеянии на вихревых волнах // Акуст. журн. 1971. Т. 17, вып. 1.С. 167-169.

Руденко О.В., Солуян С.И. Теоретические основы нелинейной акустики. М・：Наука, 1975. 287 с.

Рютов Д.Д. Аналог затухания Ландау в жидкости с пузырьками газа // Письма в ЖЭТФ. 1975. Т. 22, вып. 1. С. 46-48.

Соболев В.В. Распространение и самофокусировка звука в неоднородной газожидкостной среде // Изв, АН СССР. МЖГ. 1974. Т. 1, № 5. С, 177- 180.

Таланов В.И. Автомодельные волновые пучки в нелинейном диэлектрике //

Изв. вузов. Радиофизика. 1966. Т. 9, № 2. С. 410-412.

Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны. М.: Мир, 1977. 622 с.

Akhmanov £4, Krindach DR, Migutin A. К et al. Я-12-thermal self-actions of laser beams 〃 IEEE J. Quant. Electron. 1968. Vol. 4, N 10. P. 5 68-575.

Cuiti P-, lernetti G., Sagoo MS. Optical vizualization of nonlinear acoustic propagation in cavitation liquids // Ultrasonics. 1980. Vol. 18, N 3. P. 111-114.

lernetti G., Ciuti 2, Sagoo M£ Different stages of acoustic self-focusing during cavitation // Acoustica. 1980. Vol. 46, N 2. P. 228-229.

Lighthill MJ. Contributions to 中e theory of waves in nonlinear dispersive systems Ц J. Inst. Math. Appl. 1965. Vol. 1. P. 837-839.

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ

Адиабаты показатель 7

Акустические импульсы 40

Акустические солитоны 161,166

Акустическое Рейнольдса число 10

Аномальная нелинейность в упругих телах 28

Бесселя -фубини решение 38

Возбуждение нелинейного звука движущимся источником 62

Волна взрывная 85 нелинейная 33 пилообразная 13 поперечная 36 продольная 13 стоячая 67 сферическая 78 ударная 34 шумовая 48

Вынужденное рассеяние звука 195 Вязкость объемная 7 сдвиговая 7

Геометрическая акустика 75

Граничные условия на разрыве 34

Деформация 12

Дифракция волн нелинейная 109

Добротность пузырька 17

Излучение расширяющееся сферы 82

Изотропизация излучения 110

Кавитационная самофокусировка звука 212

Коэффициент поглощения звука 11 Пуассона 13

Линейно -л учев ое приближение 87

Лучевые трубки 77

Модуль всестороннего сжатия 13 сдвига 13 третьего порядка 15 Юнга 13

№линейные шумы 5 2

Нелинейный параметр среды 8

Обращение волнового фронта 198

Параметрические излучатели звука 129 Параметрические приемники звука 137

Релаксирующие среды 11

Самовоздейстаие модулированных волн 191

Самомодуляция волн 193

Саморефракция ударных волн 96

Самофокусировка 186

Скорость звука 7

Скорость звука в жидкости с пузырьками газа 21

Случайно-модулированная волна 55

Спектр шумовой волны 52

Стационарная ударная волна 44

Турбулентность акустическая 57

Ударные волны огибающих 208

Уравнение

Бюргерса 10

Дуффинга 215

Кортевега - да Вриза 31 Лайтхилла 9

поперечной диффузии 103 Рэлея 16

Хохлова-Заболотской 104

Фокусы и каустики поля 116

◎ормула Миннарта 17

Эволюция нелинейной волны вдоль луча 79，

Энергия звуковой волны 71

СОДЕРЖАНИЕ

Предисловие 3

Глава 1. Нелинейность, диссипация и дисперсия в акустике 6

Однородные газы и жидкости 6

Изотропные твердые среды12

Жидкость с газовыми пузырьками 16

Упругая среда с полостями 22

Аномальные нелинейности в упрушх средах 28

Глава 2. Простые и ударные волны в акустике 31

Условия проявления нелинейных эффектов 31

Простые волны и разрывы 33

Распространение импульсов 40

Среда с диссипацией. Некоторые решения уравнения Бюргерса 43

. Распространение интенсивной шумовой волны 48

Волны в средах с аномальной нелинейностью 58

Возбуждение и усиление звука движущимся источником 62

Стоячие волны конечной амплитуды 67

Энергия и импульс в плоской звуковой волне 71

Глава 3- Нелинейная геометрическая акустика 75

Лучи и лучевые трубки 75

Нелинейная эволюция волн вдоль лучей 78

Сферические волны 80

Нелинейная акустика взрывных волн 85

Неоднородная среда. Линейно-лучевое приближение 87

Рефракция нелинейных волн в плоскослоистой среде 91

Саморефракция ударных волн 96

Глава 4. Нелинейные звуковые пучки103

Уравнение поперечной диффузииЮЗ

Уравнение Хохлова-Заболотской 104

Нелинейные дифракционные явления.Поэтапный подходЮ9

Расходящиеся волны. Излучение110

Фокусы и каустики 116

Глава 5- Взаимодействие звука со звуком - иедиспергарующая среда120

Одномерные взаимодействия 120

Параметрические излучатели звука129

Параметрический прием звука137

Взаимодействие регулярного сигнала и шума143

Глава 6. Нелинейные акустические волны в ди сперт рующи х средах146

Среды с селективным поглощением146

Нелинейные волны в волноводе151

Параметрическое усиление и генерация звука156

Акустические солитоны в жидкостях с пузырьками газа162

Акустические солитоны в упругих телах］価

Взаимодействие волн в жидкости с резонансными пузырьками172

Параметрический излучатель звука в волноводе176

Глава 7. Самовоздействие и вынужденное рассеяние звука182

Кубичная нелинейность в акустике182

Самофокусировка звука186

Самовоздействие модулированных волн191

Вынужденное рассеяние звука195

Обращение волнового фронта в акустике198

Концентрационная нелинейность в жидкости с пузырьками газа204

Кавитационная самофокусировка звука 212

Автосинхронизация нелинейных осцилляторов в акустике214

Заключение220

Литература222

Предметный указатель 233

CONTENTS

Preface 3

Chapt er 1. Non-linearity, dissipation and dispersion in acoustics 6

Homogeneous gases and Uquids 6

Isotropic soUds 12

Liquid with gas bubble 16

Elastic medium with cavities 22

Abnomal non-linearities in soUds 28

Chapter 2. Simple and shock waves in acoustics 31

Conditions for non-linear phenomena 31

Simple waves and breaks 33

Pulse propagation 40

Medium with finite dissipation Some solutions of Burgers equation 43

Propagation of intense sound wave 48

Waves in media with abnomal non-linearity 58

Sound exitation and amplification by a moving source 62

Standing waves of finite amplitude 67

Energy and impulse in a plane sound wave 71

Chapter 3. Non-linear geometrical acoustics 75

Rays and rays tubes- 75

Non-linear wave evolution along rays 78

Spheric waves 80

Non-linear acoustics of shock waves 85

Non-linear medium. Linear-beam approximation 87

Refraction of non-linear waver in plain-layered medium 91

Self-refraction of shook waves 96

Chapter 4. Non-Unear sound beams103

Equation of transversel diffusion103

Equation Khokhlov—Zabolotsk^a 104

Non-Unear diffraction effects. Step-by-step method109

Diverging waves. Radiation110

Focuses and kaustics116

Chapter 5. Sound interaction (non-dispersion medium)120

One-dimensional interactions120

Parametric sound sources129

Parametric sound receivers137

Interaction of reguhr signal and noise143

Chapter 6. Resonance interaction in dispersion media146

Media with selective absorbtion 146

Non-linear waves in a waveguide151

Parametric amplification and sound generation . . 156

Acoustical solutions in Uquids with gas bubbles/162

Acoustical soUtonsin soUds166

Interaction of waves in Uquid with resonance bubbles172

Parametric radiationin a waveguide 176

Chapter 7. Self-action and induced sound dispersion182

Cubic non-Unearity in acoustics 182

Self-focusing of sound186

Self-action of moduled waves191

Induced sound dispersion195

Phase conjugation in acuustics198

Collective bubble behaviour in acoustical fluid204

Cavitational self-focussing of sound212

Auto-synchronization of non-linearocciliators in acoustics214

Conclusion220

references 222

Subject index233

Научное издание

Наугольных Константин Александрович Островский Лев Аронович

НЕЛИНЕЙНЫЕ

ВОЛНОВЫЕ ПРОЦЕССЫ

В АКУСТИКЕ

Утверждено к печати

Акустическим институтом имени академика ЯЯ Андреева

Редактор Е.К. Поломарчук

Художник НН Казаков

Художественный редактор В.Ю. Яковлев Технический редактор Н.М. Бурова Корректор ГА Дубовицкая

Набор выполнен в издательстве на наборио-печатаюхцих автоматах

ИБ№ 39719

Подписано к печати 2 3,0 7.9 0. Т — 125 04

Формат 60X901/16, Бумага офсетная № 1 Гарнитура Пресс-Роман. Печать офсетная Усллечш. 15,0. Усл.кр.-отт. 154

Уч .-изд. л. 16,0. Тираж 1250 экз.

Тип. зак. 382Цеиа 3 р. 30 к.

Ордена Трудового фасного Знамени издательство **Наукам 117864 ГСП-7, Москва В-485, Профсоюзная ул” 口. 90

Офсетное производство 3-ей типографиииздательства **Наука**

Москва К-45, ул. Рождественка, д. 12/1

В ИЗДАТЕЛЬСТВЕ "НАУКА"

готовится к печати:

АКУСТИКА В ОКЕАНЕ

20 л. 4 р.

В сборник вошли статьи по акустике океана, отражающие современное состояние всех основных направлений этого раздела науки: распространение звука в слоистом и неоднородном океане и моделирование этого процесса на ЭВМ, рассеяние звука на различных неоднородностях океана и на неровностях его поверхности и дна, естественные шумы океанской среды.

Издание рассчитано на специалистов в области акустики и океанологии.

ПАМЯТНИКИ НАУКИ И ТЕХНИКИ. 1989

15 л. 2 р. 30 к.

В ежегоднике приведены подробные описания отдельных приборов и инструментов, машин и механизмов и их коллекций, инженерных сооружений и технических построек, рукописных и изобразительных материалов, история которых связана с развитием отечественного научно-технического знания и русской культуры. Помещены статьи о приборах времени в музеях СССР, о весах Д.И. Менделеева для взвешивания газов, о демонстрационных установках второй половины XIX в., принадлежащих физическому факультету МГУ, о гидротехнических сооружениях Петербурга XV1II-X1X вв.

Издание рассчитано на специалистов в области естественных наук, историков науки и техники, работников музеев.

АКАДЕМИЯ НАУК СССР НАУЧНЫЙ СО Т ПО ПРОБЛЕМЕ "АКУСТИКА” Акустический институт имени академика Н.Н. Андреева Институт прикладной физики

К. А. Наугольных 几 А.Островский

Нелинейные волновые процессы в акустике

Ответственный редактор академик А.В. ГАПОНОВ - ГРЕХОВ

强

МОСКВА "НАУКА” 1990

УДК 534.2

Наугольных К .А., Островский Л .А. Нелинейные волновые процессы в акустике / Под ред. А.В. Гапонова-Грехова. — М.: Наука, 1990.— 23 7 с. - ISBN 5-02-000682-3

В книге с позиций современной теории нелинейных волн рассматриваются процессы распространения, взаимодействия и генерации интенсивных звуковых полей. Последовательно обсуждается влияние на эти процессы эффектов диссипации, дисперсии, геометрической расходимости и дифракции. Описаны разнообразные модели нелинейных сред в акустике (жидкость с пузырьками газа, структурно-неоднородная упругая среда и др.).

Рассматриваются фокусировка, параметрическая генерация, обращение волнового фронта и другие эффекты применительно к акустике, а также такие важные в практическом отношении вопросы, как параметрическое излучение и прием звука, характеристики поля мощного акустического излучатепя и другие.

Книга предназначена для широкого круга специалистов*фиэиков и акустиков, а также аспирантов и студентов соответствующих специальностей.

Табл. 4. Ил. 55. Библиогр.: 195 назв.

Рецензент член-корреспондент АН СССР ЛЛ Питаевский

Naugol'nykh К.А., Ostrovsky L.A. Non-linear wave processes in acoustics / Ed. A.V. Gaponov-Grekhov. 一 Moscow: Nauka, 1990. - 237 p.

In the present book generation and propagation of high intensity sound waves are considered from the view point of modern theory of non-linear wave processes.

Effects of dissipation, dispersion, geometrical divergency and difraction of non-linear waves are taken into account.

Different models of non-linear media in acoustics are described (fluid with gas bubbles, structural nonhomogeneous elastic media, etc,).

Interaction of sound flelds, focusing of high intensity waves, parametric generation and amplification, stimulated scattering, process of phase conjugation and other effects in application to acoustics are discussed. Practically important problems of parametric radiating and receiving with the emphasize to its efficiency, and some features of high intensity source Held are discussed.

The book is intended for a wide Held of specialists in physics and acoustics and also for post graduate students of conesponding specialities.

„ 1604040000-274_ .H—京2(02)-90窗 *%」полугодие„ 1604040000-274_ .H—京2(02)-90窗 *%」полугодие© Издательство "Наука”，1990© Издательство "Наука”，1990

„ 1604040000-274_ .

H—京2(02)-90窗 *%」полугодие

„ 1604040000-274_ .

H—京2(02)-90窗 *%」полугодие

© Издательство "Наука”，1990

© Издательство "Наука”，1990

ISBN 5-О2-ООО682-3