ПРЕДИСЛОВИЕ

Волновая динамика двухфазных систем — новый, интенсивно развивающийся раздел механики гетерогенных систем и теплофизики. Исследования в этой области требуют привлечения современных результатов нелинейной волновой динамики, разработки новых способов учета межфазного взаимодействия, использования современных концепций волновых движений, таких как «кинематические» и «динамические волны», «многоволновые модели».

Актуальность таких исследований обусловлена тем, что двухфазные потоки являются основным рабочим телом в энергетических установках, аппаратах химической технологии, в различных элементах новой техники. Рабочие процессы в металлургической, нефтедобывающей и нефтеперерабатывающей промышленности, в криогенных аппаратах сопровождаются образованием парожидкостных систем.

Известно, что многие двухфазные системы обладают высокой сжимаемостью (т. е. скорость звука в такой системе мала), нелинейностью, и поэтому для расчета динамики таких сред, движущихся со сравнительно небольшими скоростями, необходимо применение газодинамических методов. Кроме того, движение двухфазных систем сопровождается процессами межфазного тепломассообмена, приводящими к сильной диссипации среды, а инерционные свойства газовых включений порождают зависимость скорости звука от частоты—дисперсию скорости звука. Поэтому методы традиционной газовой динамики не отвечают специфике двухфазных потоков и дают неудовлетворительные результаты при расчетах.

Задачей выполненных исследований являлось построение нестационарной газодинамики, учитывающей, хотя бы в первом приближении, перечисленные особенности двухфазных систем. Существо исследований составили создание простых волновых моделей и отвечающих им модельных канонических уравнений, решение этих уравнений, постановка принципиальных физических экспериментов, раскрывающих природу и основные закономерности гидрогазодинамических течений.

Основные результаты, вошедшие в монографию, были получены в Институте теплофизики Сибирского отделения АН СССР в период 1970—1986 гг. Инициатором развития этого направления исследований был выдающийся советский ученый- теплофизик академик С. С. Кутателадзе, памяти которого авторы посвящают монографию.

Глава первая

АКУСТИКА И УДАРНЫЕ ВОЛНЫ В ГОМОГЕННОЙ ГАЗО- И ПАРОЖИДКОСТНОЙ СМЕСИ.

Основные соотношения гомогенной модели

Гомогенная модель является достаточно наглядным и удобным способом континуального представления двухфазной среды, в частности газо- или парожидкостной смеси, находящейся в пузырьковом режиме. Смесь жидкости и газа здесь рассматривается как некая однородная среда со средней температурой Т, плотностью р и давлением р. Основным предположением этой модели является быстрый обмен импульсом, теплотой и массой между фазами. Вследствие этого температуры и скорости движения фаз равны. Считается, что давление в жидкой фазе р^ либо равно давлению в газовой фазе рг, либо отличается на значение лапласовского давления Kp = l<5jR, где R—радиус пузырьков, а—коэффициент поверхностного натяжения. (Здесь и далее индекс 1 означает жидкую фазу, 2—газ или пар.)

Если считать, что газовая фаза состоит из пузырьков одного размера, а количество пузырьков N на 1 кг массы смеси не меняется, то удельный объем газа в смеси V=4j3uR3N. Истинное объемное газосодержание ф по определению связано с Г и плотностью среды р так: ф=Гр. Иногда ср определяется по-другому: <p = 4l3KR3n, где n = Np— количество пузырьков в единице объема, в отличие от N величина п не является постоянной. Массовое газосодержание X определим через Ф и плотность газа: Х= Ир2 = фр2/р. В отличие от объемного массовое газосодержание при отсутствии фазовых переходов не меняется.

Средняя плотность смеси вводится через объемное газосодержание ф соотношением

Р = Р1(1-ф) +р2фОО

или через массовое газосодержание X*.

1/р = (1-А')/р1+У/р2 = (1-^)/р1 + И.(1.2)

Исключив р из уравнения (1.1), можно найти связь между ф и X;

'у- р2<р

Р2ф+р1(1-ф)' .

Из соотношения (1.2) можно получить полезное равенство, связывающее изменение плотности 8р с изменением объема газа 8 Г:

4

§ j// jz= ^P^ ^2^ ^ — —, (1.3)

где Ci—скорость звука в жидкости. Здесь использована акустическая связь между возмущениями плотности жидкости и давления в среде: 6pi = 6pjci.

Таким образом, смесь пузырьков с жидкостью рассматривается как некий газ, плотность которого близка к плотности жидкости, а сжимаемость этой среды, как будет показано ниже, определяется сжимаемостью газовой или паровой фазы. Определим также некоторые термодинамические характеристики этой смеси:

энтропия

энтальпия

/1=^(1 -У) + h2X.

Скорости звука

Скорость звука с в газожидкостной смеси без фазовых переходов определяется как скорость распространения малых возмущений слабых волн сжатия с1 = фр1бр\. Обратимся к соотношению (1.2). Продифференцируем его по переменной р и заменим dp/dp = c , dpi/dp = Ci ; др21др = с21. Получим

(1.4)(1.4)1 _(1-Х)р2 1 р^с1 pi ci picf

(1.4)

(1.4)

Заметим, что p/pj»(l — ф). Выразив X через ф во втором слагаемом правой части (1.4) (в первом можно X пренебречь по сравнению с единицей), получим

-7/ ФI™Ф\

(1.5)(1.5)С = Р "^2 + Т •

(1.5)

(1.5)

\ Р2С2Р1С? /

Рассчитанная по (1.5) зависимость приведена на рис. 1.1. При ф«10-3 скорость звука в смеси определяется формулой Мэллока '

(1.6)(1.6)2 _р2 Cl _ЧР

(1.6)

(1.6)

м Р1ф(1-ф) Рф’

где у—показатель адиабаты газа. Формула (1.6) указывает, что сжимаемость смеси определяется в основном сжимаемостью газовой фазы. Скорость см с увеличением р резко возрастает и при р^ЮМПа превышает скорость звука в жидкости. В этом случае формулой (1.6), естественно, пользоваться нельзя, а надо рассчитывать с исходя из формулы

5

Рис. 1.1. Зависимость скорости звука Рис. 1.2. Зависимость скорости звука с в водовоздушной смеси от газосо- с от амплитуды давления держания <р

которую можно представить как с "г = сх 2(1-ф)2 + см2 или приближенно

С2«с?с^/(с? + с^).(1.7)

Из (1.7) видно, что с ростом см общее выражение для с ограничено величиной сь а при сх^>см значение с ограничено см. На начальном участке зависимости с(р) наблюдается резкий рост с (рис. 1.2), что свидетельствует о высокой сжимаемости и нелинейности среды.

। В парожидкостной смеси, находящейся на линии насыщения, возможен другой механизм распространения возмущений—за счет изменения паросодержания при изменении давления. В отличие от описанного выше случая, когда значение Ф менялось из-за сжатия пузырька, в случае парожидкостной среды ф может меняться в результате фазовых переходов. При адиабатическом переходе из одного состояния в другое и выполнении условий термодинамической равновесности новому состоянию будет соответствовать новое паррсоде- ржание, а значит, и другая плотность смеси. Это, естественно, некий предельный случай, когда изменение плотности смеси при изменении давления происходит исключительно за счет изменения X.

В данном случае (dp/dp)s можно найти из (1.2), считая, что с изменением р меняется только X, а рх и р2 от р не зависят:

(арМ= -p2(i/P2-i/P1)(ay/aP)s,(1.8)

и задача сводится к вычислению (SXjcp)s. Для этого воспользуемся некоторыми термодинамическими соотношениями. Энтропия смеси в области влажного пара определяется двумя независимыми параметрами, вблизи линии насыщения такими параметрами можно считать массовое паросодержание X и температуру Т. Напомним, что в рамках данной модели температуры фаз равны. Тогда 6

ds=(as/aT)xdT+(8s/ax)TdX/(1.9)

Из определения энтропии следует, что

(а$/ат)х=х(а$2/ат)х+ (1 -х)(а$1/ат)х.

Для жидкости, находящейся на линии насыщения, (а$1{аТ)1с = С1(Т, а для насыщенного пара (as2/aT)x = C2/T, где Ci и С2—теплоемкости жидкости и газа соответственно. Следовательно,

(а$/ат)х=[zc2 + (1 - х) Ci ]/г= с./г,ало)

где С.—количество теплоты, необходимое для повышения температуры 1 кг смеси на 1 К при сохранении степени сухости. Рассмотрим выражение

(as/dX)T=s2-s1=L/T,(1.11)

где L—скрытая теплота парообразования.

Для адиабатического процесса, когда ds=0, из (1.9) с учетом (1.10)—(1.11) имеем

(С./Т) dT+ (L/T) dX=0.(1.12)

Давление и температура в области влажного пара связаны соотношением Клапейрона—Клаузиуса

^= (1 13)

.dT Г(1/р2 —1/Р1)"( ‘ '

Уравнение (1.12) с учетом (1.13) принимает вид

(C./L)(\/p2-\/pv)dp+(L/T)dX=0.

Отсюда

(dX/dp)s= - (С.Г/£2)(1/р2- 1/Р1).(1.14)

Разность теплоемкостей сухого пара и жидкости на линии насыщения C2-C1=dL/dT—L/T, тогда C^C^ + X/dLidT-LIT). Поскольку в области, далекой от критической, Ci«CPv, то

"С. = СР + х(^-^«С„ -Х-.(1.15)

Подставляя (1.14) в (1.8), получаем (др/др)$«р2С.Г/(р2Г2). Воспользовавшись предположением, что пар является идеальным газом, т. е. р2/р2 = ВТ, где В—удельная газовая постоянная, находим

(1.16)(1.16)д/Л -г2- р^2др Л 2 р2С.Л2Г3’

(1.16)

(1.16)

где С определяется по формуле (1.15). Заменяя приближенно P = Pi(l—<р)«Р1, С.=СР1 и р2=р, получим имеющееся в ряде учебников и монографий выражение для скорости звука

c^pLI^Vc^f ТВ),c^pLI^Vc^f ТВ),(1.17)(1.17)

c^pLI^Vc^f ТВ),

c^pLI^Vc^f ТВ),

(1.17)

(1.17)

которую иногда называют термодинамически равновесной.

Распространение малых возмущений и нелинейных волн

Уравнения гомогенной модели строятся по аналогии с уравнениями гидрогазодинамики однофазной среды [33, 286] и могут быть представлены в виде

др/дг+5(ир)/дх = 0;1

dufSt + и 8и(8х = — (1 /р) 8р(дх; J'

dhfdt+и Shjdx=^lp))8pj8tJru dpjdx).(1-19)

Здесь и, р, р, h—соответственно скорость, плотность, давление и энтальпия смеси.

Распространение малых возмущений можно изучать с учетом предположения об адиабатичности процесса на основе линеаризации системы (1.18) —(1.19):

du)8t = — (1/ро)др/дх; dpj8t = — podujdx

или

(1.20)(1.20)82pl8t2 = 82p]8x2;

(1.20)

(1.20)

dsfdt = 0.

При математическом описании динамики газожидкостной смеси, как и в газодинамике, нелинейными являются не только уравнения движения смеси (1.18), (1.19), но и уравнения состояния, т. е. источник нелинейности—зависимость скорости звука с от текущих значений возмущений скорости. Поэтому только при нелинейном анализе распространения волн в жидкости с пузырьками можно пользоваться значением с=(8р58рУ,г при р=р0, р = р0, Ф = ф0.

Из (1.20) следует, что

\ др )s St2 дх2

или

(121)(121)^Р _ (5р\ ^Р = о

(121)

(121)

St1 \ др Js дх2 '

При рассмотрении газожидкостной среды в случае, когда в процессе распространения волн массовое газосодержание X не меняется и изменение плотности происходит за счет сжимаемости пузырьков, для (8pj8p)s можно взять выражение в виде (1.5) либо (1.6) при начальных значениях параметров р—ро, Р = Ро, ф = фо:

(1.22)(1.22)_ YPodp/s Рофо’

(1.22)

(1.22)

и (121) принимает вид линейного волнового уравнения

(1.23)(1.23)6грТРо 02P_q

(1.23)

(1.23)

St2рофо Зх2 '

В другом предельном случае, когда рассматривается парожидкостная среда и при распространении волны изменение плотности происходит исключительно за счет изменения паросодер- жания X, выражение (dp/dp)s определяется по соотношению (1.16), а уравнение (1.21) принимает вид

82р pit1 82рSt1 рХСр^В1 8х2

Заметим, что расчет по (1.16) или (1.17) дает значение скорости почти на два порядка меньшее, чем расчет по (1.6): при ср» 0,05 соответственно примерно 1 и 100 м/с.

Анализ производной (dp/dp)s можно провести на основе классического метода перехода к новым термодинамическим переменным. Давление р имеет собственные переменные р и s. Перейдем к новым переменным р и X, используя свойства якобианов и условие калибровки термодинамических потенциалов:

(<V\ =^_s[=^2L^P2_^)./1 7<х

\ФЛ 5(р, $) г^р, х) а(р, s) ’'

=^8s(8X^ р .. 2^\

\ Sp)s ^Pl^P)x(8sl8X)р- (8s/dp)x(dp/8X)p*

В газожидкостной среде без фазовых переходов Х= const, и из (1.26) следует.

(5р/др)$=^р(бр^х = ур/(р<р) = с^(1.27)

Для парожидкостной среды, когда (8р(9р)х = 0, т. е. плотность изменяется только за счет изменения X, запишем

V\ _ ^sJSX^p _ p2L2 2aP)s ~(dsidP)x(dp/dx)p рКр^в2 2V\ _ ^sJSX^p _ p2L2 2aP)s ~(dsidP)x(dp/dx)p рКр^в2 2\8т)х4р \8T)xdp~Lpi\8т)х4р \8T)xdp~Lpi(1.29)(1.29)(1.28)

V\ _ ^sJSX^p _ p2L2 2

aP)s ~(dsidP)x(dp/dx)p рКр^в2 2

V\ _ ^sJSX^p _ p2L2 2

aP)s ~(dsidP)x(dp/dx)p рКр^в2 2

\8т)х4р \8T)xdp~Lpi

\8т)х4р \8T)xdp~Lpi

(1.29)

(1.29)

С 2 = См24-С22 или с21=-^^,(1.30)

См + С2

где см и с2 определяются формулами (1.27), (1.28)..

Видно, что в этом случае скорость еще меньше, чем с2. Таким образом, если при распространении волны имеет места фазовый переход (изменение X), то в рамках равновесного подхода распространение возмущения происходит со скоростью, близкой к с2. Однако экспериментально практически никому не удавалось наблюдать распространение возмущений со скоростями, близкими к с2. Одной из возможных причин этого является трудность обеспечения равновесных условий в эксперименте. Подробно этот вопрос будет рассмотрен в гл. 4.'

Анализ распространения нелинейных волн и формирования ударных волн в газожидкостной среде на основе гомогенной модели, естественно, аналогичен традиционному газодинамическому подходу, но тем не менее газожидкостная смесь обладает особенностью. Мы установили, что гомогенная газожидкостная среда—это некий газ или континуум, у которого плотность жидкости, а сжимаемость газовой фазы. Следствиями высокой сжимаемости среды являются низкие значения скорости звука и высокая нелинейность, которая возникает из-за сильной зависимости с=с(р) (см. рис. 1.2) на начальном участке роста давления.

Рассмотрим нелинейную систему уравнений для гомогенной среды (1.18), а вместо (1.19)—уравнение ds(dt=Q. Если предположить процесс распространения возмущений адиабатическим, то систему необходимо дополнить связью между р и р. В адиабатическом приближении 8p = (dp/dp)s8p. Точнее эта связь выглядит следующим образом:

P^oH^/VM^Sp + V^p/dp2)^^^...,(1.31)

ИЛИ

Р =Ро + f о8р + */2 (^с 2/др)р=Ро (р)2>032)

где с0 определяется формулой (1.5) или (1.6) при р=ро, р = р0, Ф = Фо- Продифференцировав формулу (1.5) и полагая процесс пульсаций пузырьков адиабатическим, найдем

/дсЧ _ уро ( 2 + (r+l^Hi-^oJM/ciJ^

\Ф/р=Ро Ро^о\ РоРо^о/

_-2 Г(т+1)[1— (1 — ф)2^о/с?] -2фо— с0 _-2 Г(т+1)[1— (1 — ф)2^о/с?] -2фо— с0 РофоРофо^Y+lfo^Y+lfoфо Рофо Ро

_-2 Г(т+1)[1— (1 — ф)2^о/с?] -2фо

— с0

_-2 Г(т+1)[1— (1 — ф)2^о/с?] -2фо

— с0

Рофо

Рофо

^Y+lfo

^Y+lfo

фо Ро

фо Ро

Подставим это выражение в (1.32), тогда

Р =Ро + Д8р + т^- Со (8р)2.2форо

Используя соотношение 5p = (9pj9p)5p, получим

(1.33)(1.33)22 , 2Y+1 5

(1.33)

(1.33)

с2 = с5 + с$-8р

РоФо

и найдем зависимость текущего значения скорости звука с от амплитуды возмущения:

(1.34)(1.34)Д . 1Y+1

(1.34)

(1.34)

С = С0 1 + т

\2 РоФо

Система уравнений (1.18) с учетом (1.33) замкнута. Запишем

следующим образом:

du Эи 1 / др \ др _ 77+М5- + - / / = 0; dt dx pydpkdx

(1.35)

dpдмдр

— +рЬи—=0. dt Vdxdx

Решение системы уравнения ищем в виде простой волны

ди

ди

с2/

'др^

vdu

——н

иН

— 1

dt

дх

р \

ди )

/ др''

\ди

ди

— +р

+ м|

\ ди ,

Idt р

дх

1 ди

Римана р = р(и). Подставив в систему р = р(и), имеем

(1.36)(1.36)0;

(1.36)

(1.36)

c2/ dp p \duc2/ dp p \du11= 0.= 0.Определим (dp/дм) из условия существования совместного решения■

c2/ dp p \du

c2/ dp p \du

1

1

= 0.

= 0.

Отсюда следует др/дм=±р/с, или можно считать, что 8р=±(р/с)8м.(1.37)

Подставив 9р]9и в любое из уравнений (1.36), получим одно уравнение для возмущения скорости:

(1.38)(1.38)9u/9t + ^u + c^9u[9x = 0.

(1.38)

(1.38)

Заменяя в (1.34) 8р по (1.37), Имеем с=с0 + м(у + 1)/2ф0, и (1.38) запишется так:

(1.39)(1.39)биби /у+1

(1.39)

(1.39)

^-+с0—+ и+^—иdtдх у2ф0

Это уравнение Римана, которое описывает распространение нелинейных волн в одну сторону.

Обращает на себя внимание коэффициент в третьем члене. Он состоит из двух частей: первое слагаемое—это результат нелинейности уравнений гидродинамики, а второе слагаемое появилось из уравнения состояния среды. Нетрудно заметить, что второе слагаемое вследствие стоящего в знаменателе газосодержания ф0 намного больше первого слагаемого: при Фо «0,1 превосходит его на порядок. Поэтому такая ситуация дает возможность при нелинейном анализе волновых процессов пользоваться линеаризованными уравнениями гидродинамики, а нелинейность учитывать только уравнением состояния. В этом случае (1.39) принимает вид

ди , ди , у+1 ди А ,, ,п. ^-+со— + ±—и—=0. (1.40) dt дх 2ф0 дх

Переход в систему т«(, £=х—cot и введение новой функции у = п(у+1)/2ф0 приводит (1.40) к канонической форме уравнения Римана

5v/dT+ydv/d^=0. (1.41)

Это уравнение имеет аналитическое решение, которое может быть записано в виде v = 77(^ —ут), откуда следует, что с течением времени нелинейность накапливается и имеет место опрокидывание нелинейной волны—возникновение ударной волны. В отличие от газодинамики эта ситуация из-за высокой нелинейности наступает значительно быстрее. Как' известно, образованию более крутого профиля препятствуют различные процессы, такие как диссипация, дисперсия скорости звука, и в результате могут формироваться стационарные нелинейные образования. Так, например, если допустить, что в среде имеются диссипативные процессы, то в этом случае возникают стационарные ударные волны.

Аналогично можно провести анализ нелинейных возмущений в парожидкостной среде. Рассмотрим выражение (1.31). Предполагая, как и в случае линейного анализа, что распространение волн происходит только за счет фазовых переходов, определяем

/д2р\ дс2 дс2 (дХ\м

\др /р=р0 др дХудр).

Из соотношения (1.2) найдем

вд=-р(ЙГ-р’/р2’(L43>

а из (1.15)—(1.16)

12

дс _ 8 / p2L2 X _ poL2 L

ay “ ay ( p2 (cPi - хцт^ в2 т3/Р=Ро- " р2в2т3с. сл‘

После преобразований окончательно получим

8с2 р2 L 2

-^ = ^77^02ср р С*Т

ИЛИ

8p = cg25p+ Т- ^,f02§P2.2р р С.Г

В эквивалентной записи

8р = с^8р; ci=^2+ — ^7^2—•р с»/ р

Отсюда

, 1 р2 L 8р,,

Сг — С02+ - — -^-=С()2 —0-45)

2 р С«1 р

В этом случае исходная система может быть точно так же, как и для газожидкостной среды, сведена к одному уравнению вида (1.38). Соотношение (1.45) для с можно переписать с учетом (1.37) в виде _

с = с02+^Л«,(1-46)

2 р С*Т

и окончательно получим уравнение распространения волны

бибидиди+^02 7- + dt дх+^02 7- + dt дх(1 + 1^А)V 2 р С*Т)(1 + 1^А)V 2 р С*Т)ди Аи — = и.дхди Аи — = и.дх(1.47)(1.47)

би

би

ди

ди

+^02 7- + dt дх

+^02 7- + dt дх

(1 + 1^А)

V 2 р С*Т)

(1 + 1^А)

V 2 р С*Т)

ди Аи — = и.

дх

ди Аи — = и.

дх

(1.47)

(1.47)

(1.48)(1.48)(1.49)(1.49)

(1.48)

(1.48)

(1.49)

(1.49)

Высокая нелинейность уравнения состояния парожидкостной смеси позволяет использовать при анализе волновых процессов уравнения гидродинамики в линеаризованном виде (1.20), а в качестве источника нелинейности—уравнение состояния (1.32). Из уравнений (1.20) после перекрестного дифференцирования и исключения производных и следует

a/iap\_a/iap8t\p 8t) 8х\р 8х

Введя Ф = 1пр, получим уравнение

52Ф (др\ 52Ф* д f 6р\ дФdt2 \др)$дх2 дх\др)$дх

где

22(1.51)(1.51)Подставив (1.50) в (1.49), найдем

2

2

(1.51)

(1.51)

52Ф2 ^2ф 7+1 2гл,^2Ф 7+1 2

п-Сотт--1— с^бФ^ - со dz2 Зх2 фо дх фо

Нетрудно проверить, что

д2 /Ф2\ ^52Ф /дФ\2дх2 \ 2 у дх2 \бх ) ’

поэтому уравнение (1.51) принимает каноническую форму:

(1.52)(1.52)д2Ф2д2Ф у+1 2д2Ф2

(1.52)

(1.52)

ot Ох2ф0 ох

Это уравнение написано для In p«ln [pt (1 — ф)]. Разлагая 1п(р/ро), где Ро = Р1(1-фо), в ряд, получаем

In—~—,Ро Ро СоРо

и уравнение (1.52) можно записать для возмущения давления:

(1.53)(1.53)Эгр- .г61?7+1 „2дУ_

(1.53)

(1.53)

St20 дх22уро 0 бх2

Полученное нелинейное волновое уравнение описывает распространение волн в обе стороны, и на его основе можно решать, например, такие классические задачи газовой динамики, как задачи о распаде произвольного разрыва, об отражении волн.

Ударные волны

Анализируя уравнения (1.40) и (1.53), мы придем к выводу, что из-за нелинейности волны в среде возможны «перехлест» и образование ударных волн [71]. Ударные волны в газовой динамике рассматриваются как разрывы, на границах которых выполняются определенные соотношения, являющиеся следствиями законов сохранения.

Газодинамический анализ скачков в рамках гомогенной модели в предположении, что ударные волны в жидкости с пузырьками газа существуют и являются изотермическими, был выполнен Кэмпбеллом и Питчером [210]. Они получили основные соотношения и экспериментально доказали существование ударных волн. Запишем законы сохранения массы и импульса на границе разрыва (рис. 1.3), опуская индекс «см»: 14

^иРсмг' Рсмго о о о О^иРсмг' Рсмго о о о О^ ^17 Рем 11 Рем А

^иРсмг' Рсмго о о о О

^иРсмг' Рсмго о о о О

О О О О О О

Рис. 1.3. Схема ударного разрыва в рамках гомогенной модели смеси

(1.54)(1.54)Р1«1 = р2Мг; P1 + P1U1=P2 + P2U^.

(1.54)

(1.54)

Здесь индекс 1 относится к состоянию газожидкостной смеси до разрыва, 2—после разрыва. Считая процесс сжатия пузырьков изотермическим, имеем PtVt=p2V2. Учитывая, что К=ф/р, получаем '

Р1//>2 = Ф2Р1/<Р1Р2.Р1//>2 = Ф2Р1/<Р1Р2.(1.55)(1.55)

Р1//>2 = Ф2Р1/<Р1Р2.

Р1//>2 = Ф2Р1/<Р1Р2.

(1.55)

(1.55)

Заменив и2 = р1и1(р2 и подставив в закон сохранения импульса, выразим

(1.56)(1.56)..2_^Р1-Р^Р1

(1.56)

(1.56)

1 Р1(Р2-Р1)‘

Предполагая, что жидкость несжимаема, запишем

р2-р1«Р1(ф1-ф2); “^Т^П^ГЧг O-57)

Р1ф2 (ф1/ф2 —1)

(1.58)(1.58)Из уравнения изотермичности видно, что Ф1/Ф2 = =(1 — Ф1)рг/[(1 — фг)Р1 ]• Подставив в (1.57) и приняв отношение (1 — фО/О — ф2)« 1, получим ut = (p2-p1)p2p1(YP14>2(P2-PlH- Так как 1— ф2~1; 1— Ф1~1, то, произведя замену по (1.55), найдем

(1.58)

(1.58)

М1=Р2/Ф1Р1,

где р2—полное давление за ударной волной. В случае, когда амплитуда ударной волны стремится к нулю, формула (1.58) переходит в выражение для квадрата скорости звука co = YPolРофо- Соотношение (1.58), связывающее скорость ударной волны с интенсивностью скачка, называют формулой Кэмпбелла—Питчера и часто используют при газодинамическом анализе ударных волн.

Теорию адиабатической ударной волны изложим, следуя Паркину, Гилмору и Броуду [132]. Здесь кроме (1.54) привлекается уравнение сохранения энергии, имеющее на разрыве следующий вид:

^г^ + А^^гМг+Аг.

h2-hih2-hi^TdX Р /^TdX Р /Изменение энтальпии смеси на фронте волны

h2-hi

h2-hi

^TdX Р /

^TdX Р /

(1.59)

Предполагаем, что газ внутри пузырька подчиняется закону идеального газа. В общем случае, если жидкость сжимаема, то необходимо учитывать уравнение ее состояния, например, для воды в форме Тэта: (р.+р)/ра=const (где р. = 341,8 МПа, а = 7), или в форме Pi = рю (1 А-рТку где К—модуль объемного сжатия; Рю—плотность жидкости при начальном давлении р0. Практически в диапазоне давлений до 100 МПа значение pi0 не изменяется. Если ввести массовое газосодержание X, то можно записать

Р Рю(1+р/£)’ р ’Р Рю(1+р/£)’ р ’(1.60)(1.60)

Р Рю(1+р/£)’ р ’

Р Рю(1+р/£)’ р ’

(1.60)

(1.60)

и уравнение состояния смеси примет вид

р Г11-^Т2х[р Рю(1+р/К)р Г11-^Т2х[р Рю(1+р/К)(1.61)(1.61)

р Г11-^

Т2х[р Рю(1+р/К)

р Г11-^

Т2х[р Рю(1+р/К)

(1.61)

(1.61)

Если жидкость несжимаема, то К -»оо и изменением плотности смеси за счет изменения плотности жидкости можно пренебречь. "В этом случае, если предположить, что сжатие пузырьков изотермическое (ДГ=0), то получим уравнение состояния смеси (1.55).

В случае адиабатического сжатия можно записать калорическое уравнение состояния смеси, используя теорию теплоизолированных пузырьков [132]:

Д£=УСК2Д 74- Д^ (1 - Х)/(1 + X)«ХСу2ДГ2 + А£ь (1.62)

где Д£1—изменение энергии жидкости.

При распространении возмущения в жидкости с пузырьками газа A£i определяется только работой обратимого сжатия:

р2

. Г V i \ £ Г, v+pJk 1'

Pi-Pi 2 pl-pl2p10K3 p10K2 "

Если на границе пузырек — жидкость имеет место фазовый переход, то изменение энергии в волне имеет вид

AE—kEt + XCyi^Ti + Q ,

(1.63)

где 5* —количество теплоты, выделившейся в результате фазового перехода.

Используя уравнение состояния смеси и законы сохранения, можно вычислить значение скачка температуры пузырьков в волне, если считать, что процесс пульсаций адиабатический:

ДТ,/^^/^)2-!]^/^^(1.64)

Здесь учтено, что СР2 — СУ2 = В.

Запишем выражение для скорости ударной волны аналогично (1.56)

ui_(P2-Pl)PiL _1 АТ2\"1

1 Р1(Р2 —Р1)\ PllPl-Х Т2 /

2 YP1Y-1/Y+1P2Ml ——I : РФ 2у \y-l/h2 YP1Y-1/Y+1P2Ml ——I : РФ 2у \y-l/hи, подставляя скачок температуры (1.64), получим выражение, учитывающее адиабатическую сжимаемость пузырьков:

2 YP1Y-1/Y+1P2

Ml ——I :

РФ 2у \y-l/h

2 YP1Y-1/Y+1P2

Ml ——I :

РФ 2у \y-l/h

(1.65)

или

М^^У^ + Л2y \Y— 1 Pi ~ /

Иногда выражение (1.65) называют соотношением Паркина — Гилмора-— Броуда.

Рю^юРю^ю-1/Y*) -1,(1.66)-1/Y*) -1,(1.66)В работе. Г. М. Ляхова [96] рассмотрена трехфазная среда — жидкость, газ и частицы—и получено выражение для скорости ударной волны в такой системе. Исключив третью фазу, нетрудно получить выражение для скорости, учитывающее не только адиабатичность колебания пузырьков, но и сжимаемость жидкости:

Рю^ю

Рю^ю

-1/Y*) -1

,(1.66)

-1/Y*) -1

,(1.66)

„г=гп511|_ф^)"№_(1_ф) р I \pj

где c10—скорость звука в жидкости до разрыва; у— показатель адиабаты газа в пузырьке; у*—условный показатель адиабаты, следующий из уравнения состояния жидкости, взятого в форме Тэта.

На рис. 1.4 показана зависимость скорости от давления, рассчитанная по (1.66).

Соотношения, связывающие скорости и амплитуды возникающих ударных волн, можно получить и из уравнений 2 Заказ 2980 17

dudududu— v"5—Ь^о^—*"ат| ат]— v"5—Ь^о^—*"ат| ат]у+1 d 2ф0 </цу+1 d 2ф0 </ц(1.68)(1.68)

du

du

du

du

— v"5—Ь^о^—*"ат| ат]

— v"5—Ь^о^—*"ат| ат]

у+1 d 2ф0 </ц

у+1 d 2ф0 </ц

(1.68)

(1.68)

Рис. 1.4. Зависимость скорости ударной волны от амплитуды давления

(1.53), записанных для распространения возмущений, подставив в них решения в виде

и = и^х—vt); р=р(х—vtY(1.67)

где v—скорость ударной волны.

Эти уравнения, в качестве стационарных решений содержат скачки (разрывы) давления и скорости. Подставим и = и(х — vt) = u(r\) в уравнение (1.40):

проинтегрируем по г| от — оо до + оо с условиями, что при т] —» — оо м = Дм (где Дм—скачок скорости), при т| -► оо м=0, и в итоге найдем связь между у и Ам:

(1.69)(1.69). у+1 А ,У+1 Ар

(1.69)

(1.69)

г = с0 + -— Ди = с0+-—с0—.

4фо4у р0

Здесь Ап заменили на Др по формулам для простой волны.

При у=1 у = с0 1 + z — • \2 ро )

Подставляем р=р^х—уС)=р^ в (1.53) и интегрируем по г| от —оо до + оо при тех же условиях. Считая, что имеет место скачок давления Др при т|->—оо, получаем

(1.70)(1.70)22 . 7+1 2^Р

(1.70)

(1.70)

у2 = с6 + ^-—с5—.Ъ( Ро

При у=1 г2 = с^(Ц-Др/ро) = с^р2/ро.

Обратимся к формуле Кэмпбелла — Питчера (1.58). Нетрудно показать тождественными преобразованиями, что

и2_ ЧР1 P0_C0P2_v2Рофо Ро Ро

Сравним выражения, полученные из уравнений (1.40), (1.53), и формулу (1.58). Выражение для скорости ударной волны 18

точно совпадает с адиабатой Кэмпбелла—Питчера, а (1.69) является приближением к ней при Ар/р0<1- На самом деле, .

u = c0VpTIp^ xcOy/l+Ap/po гес0 [1 + (1/2) Ар/ро]. (171)

Формула, следующая .из адиабаты и полученная разложением по Ар/ро, совпадает с выражением (1.69) при 7=1, полученным из уравнения для простых волн. Аналогично можно провести сравнение и с адиабатой Паркина — Гилмора—Броуда (1.65). Нетрудно установить точное совпадение этой адиабаты с (1.70) и приближенное совпадение при Ар/р0<1 с формулой (1.69).

Движение гомогенной двухфазной среды в каналах

Одномерные уравнения гомогенной модели двухфазной среды при движении ее в канале могут быть представлены в следующем виде:

М + £М=о-St Sx ’

(Зи8и\ ЭрП, _

pU+М=_^“Р8’

++uiwniF+qniF.

.\6t ox) St. ox

Здесь 77—периметр канала; F—площадь поперечного сечения; q—плотность теплового потока со стенки канала. Входящее в уравнение касательное напряжение т№ в гомогенных моделях в случае установившегося течения обычно выражается через динамический напор и коэффициент сопротивления ^ = ^(Re): Ьг^АЛри2-(1-73)

Для нестационарных течений коэффициент £ нельзя определить как функцию числа Re. Иногда коэффициент с, (Re) определяют по формуле для однофазной жидкости, полагая при этом Re = ReCM, где'ReCM = р0Сг0Р/ц; D = 4FIII—эквивалентный диаметр канала; ц = (1 —У) щ 4-^1121 И—динамическая вязкость. Однако такой подход к определению трения является небесспорным, так как практически всегда при движении двухфазной жидкости вблизи стенки появляется пристенный слой жидкости и, возможно, определяющим при подсчете £ будет только цР

При стационарном течении уравнения (1.72) принимают вид G — puF=const;

др

дх

G ди 1 П Y э

(1.74)

Правая часть выражения (1.74) характеризует вклад в перепад давления ускорения потока, силы тяжести и трения. Поскольку массовый расход G постоянен по длине канала, то gp G2 ^J^ L AV1 ^2Л 75А

5х pF3.8x F28x\p) 2 DF2p ^"

„1 X 1-Х

Учитывая, что -=—|, запишем

Р Р2 Р1

5 /1\ дАУр^рЛ 8р/Х8р2 (1-Х) др! дх \р/ дх \ PiP2 / 5х\р2 др р2 др

(1.76)

В двухфазном потоке массовое паросодержание является функцией двух независимых переменных, например р и h. Поэтому

(йх\Ддх\ ^ (^\ ®1л п\

\dx / \8h )рдх^\др /и8х‘

Используя соотношения (1.76) и (1.77), уравнение (1.75) можно представить в виде*

G2 dF_ 1 ^ G2 _G^ Р1-Р2 (SX\ dh dp pF3 дх 2D pF2 P£ F2 p^2 \dh )pdx 8x= /суГ/ах\ pi-p2 У dp2 (1—X)dpv

v) LX5/’A P1P2 P2 8P Pi 8P

(1.78)

Входящая в (1.78) производная (8X)dp)h легко вычисляется аналогично (1.14). Учитывая, что Н = Хкг^г(\ — X) hv, находим dh = Tds+(llp)dp. Поскольку из (1.9)—(1.11) ds=^dT+^dX, где C* = Cpl-\-X(dLldT—LjT)—теплоемкость на линии постоянной сухости, а в изоэнтальпийном процессе dh = Q, то

dT+LdX=0. (1.79)

- I v(dL L\ 1 L/Pр1‘Г \dT TfT^lp^llp.)

Отсюда -•

dX\ _ £1 dT)h~" L ’

(1.80)

где

c-=c \x(dL L\\ Llp

1₽1+ \dT т) + Т(11р2-11Р1У

(1.81)

Записав (1.80) в виде

ЭУ\ dp~ap)drЭУ\ dp~ap)dr-С\Щ-С\Щ

ЭУ\ dp~ap)dr

ЭУ\ dp~ap)dr

-С\Щ

-С\Щ

получимполучимах=_П Hl/p^l/pJ др L Lах=_П Hl/p^l/pJ др L L(1.82)(1.82)Подставляя соотношение (1.82) и (dXldh)p=\jL в (1.78), найдем выражение для перепада давления в канале переменного сечения:Подставляя соотношение (1.82) и (dXldh)p=\jL в (1.78), найдем выражение для перепада давления в канале переменного сечения:ЗрЗр9х9хG2 8F 1 £ G2 I/P2-I/P1 G1 dh "^^х""! D-pF2""98"" 2L F28x .Гптр2/! 1У.р2^р2 р2(1-ла^Г “ L L2 \р2 pj р2 др р2 ЭрG2 8F 1 £ G2 I/P2-I/P1 G1 dh "^^х""! D-pF2""98"" 2L F28x .Гптр2/! 1У.р2^р2 р2(1-ла^Г “ L L2 \р2 pj р2 др р2 ЭрОбозначив через с 2 выражение в квадратной скобке и введя число Маха М = п/с, получим*Обозначив через с 2 выражение в квадратной скобке и введя число Маха М = п/с, получим*8р (G2 8F 1 G2Эх (pF3 Эх 2D pF28р (G2 8F 1 G2Эх (pF3 Эх 2D pF2pg_l/p2 1/Р1 ^ 8h\ (1 _м2) (1 84)pg_l/p2 1/Р1 ^ 8h\ (1 _м2) (1 84)Уравнение энергии при стационарном гомогенном течении в канале представим в видеУравнение энергии при стационарном гомогенном течении в канале представим в видеG -^-(h + u2/2+gx) = nq.ОХG -^-(h + u2/2+gx) = nq.ОХ(1.85)(1.85)На основе уравнений (1.84), (1.85) можно рассмотреть ряд важных задач одномерной гидродинамики двухфазных сред. Остановимся на задаче о перепаде давления в канале постоянного сечения при течении в ней двухфазной смеси. Запишем уравнения энергии и движения: *На основе уравнений (1.84), (1.85) можно рассмотреть ряд важных задач одномерной гидродинамики двухфазных сред. Остановимся на задаче о перепаде давления в канале постоянного сечения при течении в ней двухфазной смеси. Запишем уравнения энергии и движения: *^ ^Я. р du _ dp 1 П у G .. qдчПоскольку u = G/pF, а 1/р = У/р2 + (1 — X)(pv «Х(р2 + 1/р15 то, проделав простые вычисления, приведем второе уравнение (1.86) к виду^ ^Я. р du _ dp 1 П у G .. qдчПоскольку u = G/pF, а 1/р = У/р2 + (1 — X)(pv «Х(р2 + 1/р15 то, проделав простые вычисления, приведем второе уравнение (1.86) к видуdX_F2p2 dp 1 П 1 П р2 lx ~~Gr dx~8 ~F ^8?р^dX_F2p2 dp 1 П 1 П р2 lx ~~Gr dx~8 ~F ^8?р^(1.87)(1.87)Подставляя в первое уравнение (1.86) h = CpVTA-LX и считаяСр != const, получаем-Подставляя в первое уравнение (1.86) h = CpVTA-LX и считаяСр != const, получаем-ССр1ТТ+ЬСТ=чП-(L88>р dp dx dxССр1ТТ+ЬСТ=чП-(L88>р dp dx dx

получим

получим

ах=_П Hl/p^l/pJ др L L

ах=_П Hl/p^l/pJ др L L

(1.82)

(1.82)

Подставляя соотношение (1.82) и (dXldh)p=\jL в (1.78), найдем выражение для перепада давления в канале переменного сечения:

Подставляя соотношение (1.82) и (dXldh)p=\jL в (1.78), найдем выражение для перепада давления в канале переменного сечения:

Зр

Зр

9х

9х

G2 8F 1 £ G2 I/P2-I/P1 G1 dh "^^х""! D-pF2""98"" 2L F28x .Гптр2/! 1У.р2^р2 р2(1-ла^Г “ L L2 \р2 pj р2 др р2 Эр

G2 8F 1 £ G2 I/P2-I/P1 G1 dh "^^х""! D-pF2""98"" 2L F28x .Гптр2/! 1У.р2^р2 р2(1-ла^Г “ L L2 \р2 pj р2 др р2 Эр

Обозначив через с 2 выражение в квадратной скобке и введя число Маха М = п/с, получим*

Обозначив через с 2 выражение в квадратной скобке и введя число Маха М = п/с, получим*

8р (G2 8F 1 G2

Эх (pF3 Эх 2D pF2

8р (G2 8F 1 G2

Эх (pF3 Эх 2D pF2

pg_l/p2 1/Р1 ^ 8h\ (1 _м2) (1 84)

pg_l/p2 1/Р1 ^ 8h\ (1 _м2) (1 84)

Уравнение энергии при стационарном гомогенном течении в канале представим в виде

Уравнение энергии при стационарном гомогенном течении в канале представим в виде

G -^-(h + u2/2+gx) = nq.

ОХ

G -^-(h + u2/2+gx) = nq.

ОХ

(1.85)

(1.85)

На основе уравнений (1.84), (1.85) можно рассмотреть ряд важных задач одномерной гидродинамики двухфазных сред. Остановимся на задаче о перепаде давления в канале постоянного сечения при течении в ней двухфазной смеси. Запишем уравнения энергии и движения: *

На основе уравнений (1.84), (1.85) можно рассмотреть ряд важных задач одномерной гидродинамики двухфазных сред. Остановимся на задаче о перепаде давления в канале постоянного сечения при течении в ней двухфазной смеси. Запишем уравнения энергии и движения: *

^ ^Я. р du _ dp 1 П у G .. qдч

Поскольку u = G/pF, а 1/р = У/р2 + (1 — X)(pv «Х(р2 + 1/р15 то, проделав простые вычисления, приведем второе уравнение (1.86) к виду

^ ^Я. р du _ dp 1 П у G .. qдч

Поскольку u = G/pF, а 1/р = У/р2 + (1 — X)(pv «Х(р2 + 1/р15 то, проделав простые вычисления, приведем второе уравнение (1.86) к виду

dX_F2p2 dp 1 П 1 П р2 lx ~~Gr dx~8 ~F ^8?р^

dX_F2p2 dp 1 П 1 П р2 lx ~~Gr dx~8 ~F ^8?р^

(1.87)

(1.87)

Подставляя в первое уравнение (1.86) h = CpVTA-LX и считая

Ср != const, получаем-

Подставляя в первое уравнение (1.86) h = CpVTA-LX и считая

Ср != const, получаем-

ССр1ТТ+ЬСТ=чП-(L88>

р dp dx dx

ССр1ТТ+ЬСТ=чП-(L88>

р dp dx dx

Из уравнений (1.87) и (1.88) следует одно уравнение для массового паросодержания X:

гдегдеdx 1 УС е/М2|К1/2)^р2/Р1Jx 2 1-1/М2'1-1/М2x = x/D; Q=qFIDjLG,dx 1 УС е/М2|К1/2)^р2/Р1Jx 2 1-1/М2'1-1/М2x = x/D; Q=qFIDjLG,(1.89)(1.89)а скорость звука, входящая в число Маха,а скорость звука, входящая в число Маха,формулой (1.16). Решение уравнения (1.89) имеет видформулой (1.16). Решение уравнения (1.89) имеет вид(1.90) определяется(1.90) определяется

где

где

dx 1 УС е/М2|К1/2)^р2/Р1

Jx 2 1-1/М2'1-1/М2

x = x/D; Q=qFIDjLG,

dx 1 УС е/М2|К1/2)^р2/Р1

Jx 2 1-1/М2'1-1/М2

x = x/D; Q=qFIDjLG,

(1.89)

(1.89)

а скорость звука, входящая в число Маха,

а скорость звука, входящая в число Маха,

формулой (1.16). Решение уравнения (1.89) имеет вид

формулой (1.16). Решение уравнения (1.89) имеет вид

(1.90) определяется

(1.90) определяется

_<L 1 t р2 VМ2 + 2<3р1Д_<L 1 t р2 VМ2 + 2<3р1Д/ 1. M2exp "2^/ 1. M2exp "2^

_<L 1 t р2 VМ2 + 2<3р1Д

_<L 1 t р2 VМ2 + 2<3р1Д

/ 1. M2

exp "2^

/ 1. M2

exp "2^

и искомый перепад давления по трубе

\р _ ри2 1\р _ ри2 1Дх D М2-1 2sДх D М2-1 2sPi б Л / 1,Pi б Л / 1,М2М2(1.92)(1.92)

\р _ ри2 1

\р _ ри2 1

Дх D М2-1 2s

Дх D М2-1 2s

Pi б Л / 1,

Pi б Л / 1,

М2

М2

(1.92)

(1.92)

(2.1)(2.1)можно интегрировать R до бесконечности, при r=R p=p(R), аможно интегрировать R до бесконечности, при r=R p=p(R), аИнтегрируя уравнениеИнтегрируя уравнениеuVR = dR(dt.неразрывности, имеем«1 = Г(0/г2,uVR = dR(dt.неразрывности, имеем«1 = Г(0/г2,(2.2)(2.2)(2.3)(2.3)

(2.1)

(2.1)

можно интегрировать R до бесконечности, при r=R p=p(R), а

можно интегрировать R до бесконечности, при r=R p=p(R), а

Интегрируя уравнение

Интегрируя уравнение

uVR = dR(dt.

неразрывности, имеем

«1 = Г(0/г2,

uVR = dR(dt.

неразрывности, имеем

«1 = Г(0/г2,

(2.2)

(2.2)

(2.3)

(2.3)

При М < 1 перепад давления по трубе линейно зависит от х, a dXfdx>Q. При М>1 движение в канале невозможно без дополнительных воздействий на поток.

Глава вторая

ДИНАМИКА ГАЗОВЫХ И ПАРОВЫХ ПУЗЫРЬКОВ

Динамика газового пузырька

Поведение отдельных газовых или паровых пузырьков практически определяет структуру и динамику возмущений в газожидкостной пузырьковой среде.

. В основе описания динамики газового пузырька в неограниченном объеме лежит уравнение Рэлея, связывающее изменения давления в жидкости и радиуса пузырька. Запишем уравнения гидродинамики в сферически-симметричном случае:

где F(t)— произвольная функция времени. Используя условие (2.2), определим F(t):

u1R = F(t)jR2 и F(t) = R2dRldt.

Таким образом, имеем распределение uv по г.

(2.4)(2.4)R2 dR

(2.4)

(2.4)

1 г1 dt

Интегрируя первое уравнение (2.1) с учетом (2.4), получим уравнение Рэлея

-(FR 3fdR\2 , ._х х.._ ,.

R~dF+2\di) =(P(R)~P«>)IPi’<2-5)

где р0О=р0+Др; р0—начальное давление в жидкости; ^p — возмущение давления в жидкости.-

Для определения р (R) необходимо привлечь некоторые соображения. В наиболее простом случае предполагается отсутствие проявления поверхностного натяжения и теплообмена, а также вязких эффектов на границе и тогда р(К)=рг, где р2 определяется из уравнения состояния адиабатического процесса колебания

р^=р^- p2=p0(R0IRy\(2.6)

В случае учета поверхностного натяжения

(Po-v2olR0)R^=(p2-v2clR)R3\(2.7)

где о—коэффициент поверхностного натяжения.

4 ц dR4 ц dRПри учете вязкости жидкости давления p(R) складывается из р2 и вязкой силы, возникающей на границе пузырька:

4 ц dR

4 ц dR

(2-8)

Заметим, что вязкость жидкости существенно проявляется там, где максимальны градиенты скорости. В случае роста или схлопывания пузырька градиенты скорости максимальны вблизи границы пузырек—жидкость, поэтому эффект вязкости жидкости может быть учтен через дополнительный вклад в давление p(R):

nd2R ?>(dR\2 4v dR . x,nx

R7i2+2\di) + 3R~di~^2<2,9)

Уравнение (2.9) описывает динамику пузырька с учетом потерь на вязкое трение на границе. Если пузырек пульсирует, то газ в пузырьке может нагреваться и охлаждаться. Только при очень быстрых пульсациях пузырек не будет успевать

23

охлаждаться и процесс пульсации можно считать адиабатическим. В общем случае давление в пузырьке р2 необходимо определять из уравнения энергии.

Рассмотрим систему уравнений, записанную для газа внутри пузырька [121 ]:

(2.10)(2.10)(6Т2 6Т2\ 1 д Д эбТ2\ dp22 \ St 2 dr J г2 dr у 2 dr ) dt^+^^r2p2u2)=()’ 9PilSr =<>;

(2.10)

(2.10)

Pi— ^(0? Pi~PiBT2 — (y l)CV2p2T2.

Здесь p2=p(t)— условие однородности давления, которое получается из уравнения сохранения импульса, поэтому в системе (2.10) уравнения движения нет.

Для жидкости уравнение энергии имеет вид

_ dl\ L dT\ 1 dL 2dT\

(2,11)(2,11)Сг1Р1Ьг+и1а7Г7аДХ1Г 77 Г

(2,11)

(2,11)

Краевые условия:

r = R<t\ Т\ = Т2 = Т, х/ф) = x2f^- v 12’ ^ dr )r=R 2 у dr

где Хп Х2—соответственно теплопроводность жидкости и газа. Из системы (2.10) можно получить соотношение ■

1Р1 бг2 бг1Р1 бг2 бг<гги1><гги1>=XzlKr4 8тА г2 дг\ 2 бг )=XzlKr4 8тА г2 дг\ 2 бг )dPi dt 'dPi dt '(2.12)(2.12)

1Р1 бг2 бг

1Р1 бг2 бг

<гги1>

<гги1>

=XzlKr4 8тА г2 дг\ 2 бг )

=XzlKr4 8тА г2 дг\ 2 бг )

dPi dt '

dPi dt '

(2.12)

(2.12)

Проинтегрируем уравнение (2.12) по координате от 0 до R, считая, что р и dpjdt—функции только времени:

ии21Р1 221Р1 2Г dp2Зу^2 dtГ dp2Зу^2 dtRОRО(2.13)(2.13)

и

и

21Р1 2

21Р1 2

Г dp2

Зу^2 dt

Г dp2

Зу^2 dt

R

О

R

О

(2.13)

(2.13)

При г = 0 и2 = 0 в силу симметрии, а при r = R uv = dR]dt, тогда

dPi Зур2 <//? 3(у-1) dt R dt RdPi Зур2 <//? 3(у-1) dt R dt R3(у-1) иы^—^—Qr, . (2.14)3(у-1) иы^—^—Qr, . (2.14)

dPi Зур2 <//? 3(у-1) dt R dt R

dPi Зур2 <//? 3(у-1) dt R dt R

3(у-1) иы^

—^—Qr, . (2.14)

3(у-1) иы^

—^—Qr, . (2.14)

где qR— поток теплоты через единицу площади поверхности.

Детальный анализ температурного поля внутри пузырька проведен в [124] с помощью численного интегрирования, однако из физических соображений понятно, что температура жидкости практически не меняется, а тепловой поток qR формируется исключительно термическим сопротивлением газа. Поток на границе из-за отсутствия фазовых переходов, естест- 24

венно, непрерывен. Таким образом, qR определяется из решения внутренней задачи теплообмена для пузырька

зт2 ^акат^^ц 2ат2St + r2 dt dr г1 8r\ Srзт2 ^акат^^ц 2ат2St + r2 dt dr г1 8r\ Sr(8ТЧк” Чд7(8ТЧк” Чд7Y-1 ТгY-1 Тг(Y~0 Т2 6р2Ч Pi St’1(Y~0 Т2 6р2Ч Pi St’1(2.15)(2.15)V = RУ Р1 Р2Ср2V = RУ Р1 Р2Ср2

зт2 ^акат^^ц 2ат2

St + r2 dt dr г1 8r\ Sr

зт2 ^акат^^ц 2ат2

St + r2 dt dr г1 8r\ Sr

(8Т

Чк” Чд7

(8Т

Чк” Чд7

Y-1 Тг

Y-1 Тг

(Y~0 Т2 6р2

Ч Pi St’

1

(Y~0 Т2 6р2

Ч Pi St’

1

(2.15)

(2.15)

V = RУ Р1 Р2Ср2

V = RУ Р1 Р2Ср2

Краевые условия:

Г2(г,0)=Го; Т2(Т?, О = Л; ?Г2(г,0)=Го; Т2(Т?, О = Л; ?Sr r = 0Sr r = 0= 0.= 0.(2-16)(2-16)

Г2(г,0)=Го; Т2(Т?, О = Л; ?

Г2(г,0)=Го; Т2(Т?, О = Л; ?

Sr r = 0

Sr r = 0

= 0.

= 0.

(2-16)

(2-16)

(2.16)(2.16)Решение уравнения теплопроводности при условиях можно записать в виде.

(2.16)

(2.16)

T(r Л-Т- 2R° У У^Н^

2 ’0 гкСр^^ п уДу/]^

О

х expх expа^^п2а^^п21’1’(2.17)-(2.17)-

х exp

х exp

а^^п2

а^^п2

1’

1’

(2.17)-

(2.17)-

а тепловой поток

2Я0 v 8р2^R=yrY аГехр1Л=1 JО2Я0 v 8р2^R=yrY аГехр1Л=1 JО-пг^-1^t*-пг^-1^t*dtvdtv(2.18)(2.18)

2Я0 v 8р2^R=yrY аГехр1Л=1 J

О

2Я0 v 8р2^R=yrY аГехр1Л=1 J

О

-пг^-1^t*

-пг^-1^t*

dtv

dtv

(2.18)

(2.18)

где t* = Ry}u2a2; а2 — температуропроводность газа.

Необходимо обратить внимание на то, что решение найдено в линейном приближении:

•"1 Y-1 Т2 у-1 Т20

Р2Ср2 Y Рг 1 Рю

Проводя суммирование под знаком интеграла в (2.18), получим t*

<7к=^|{е3[0, (z-zj/z*]-l) ^dt.,(2.19)

О

где 93—тэта-функция.

Интересны асимптотики функции 63(0, ^)—1, где

(2.20) (1/7л^ при ^«1.

Рис. 2.1. Функция 63 для теплового потока в пузырьке:

1—точное решение; 2, 3—аппроксимация экспонентой (2.20) и корневой зависимостью

Сравнение асимптотик 93 (0, 9 ~ 1 с точным решением для теплового потока (рис. 2.1) показывает, что начиная с <>0,1/* можно пользоваться экспоненциальной асимптотикой и тепловой поток (2.19) можно записать в виде

^r~^ [expf-^^ 1^>(2121)

Зт0 J \ то /о

где т0 = 7?„/15л2а2- -

^2 Зур2О dR St Ro dt^2 Зур2О dR St Ro dttta4idtvT0 / 6txa4idtvT0 / 6txТеперь обратимся к уравнению энергии (2.14) и запишем его с учетом (2.21) в линеаризованном виде:

^2 Зур2О dR St Ro dt

^2 Зур2О dR St Ro dt

t

t

a4idtv

T0 / 6tx

a4idtv

T0 / 6tx

(2.22)

Естественно здесь принять, что R = R0, р2=Рю в коэффициентах при производных и интеграле (2.22).

Интегрируя уравнение (2.22), можно найти зависимость Р1=Рг^ и подставить в уравнение Рэлея (2.9). Если пренебречь процессами теплообмена, уравнение (2.14) можно проинтегрировать, при этом получается адиабатический закон пульсаций пузырька.

Кроме перечисленных выше потерь на вязкое трение и тепловую диссипацию при пульсации пузырьков имеют место потери на акустическое излучение. Акустическое излучение при пульсации возникает из-за конечных значений скорости звука в чистой жидкости. Сжимаемость жидкости в пузырьках можно учесть по схемам Херинга—Флина либо Кирквуда — Бете [76]. Запишем уравнение Херинга—Флина для пульсации одиночного пузырька, являющееся аналогом уравнения Рэлея для слабосжимаемой вязкой жидкости:

nd2R l(dR\2 /4v. R dpAdR 1, x

(2.23)(2.23)*^W) +(^-^л) д"^""-)-

(2.23)

(2.23)

Для адиабатически сжимаемого пузырька 26.

, dPi_ ^РгЦвУУ* : 3yp2dR R \R ) R

и уравнение (2.23) принимает вид .

_d2R 3(dR\2 _„ dR I , x

rno r, _2vl , ЗУР2

Д П1 R2+2pxR0<

Первое решение уравнения (2.5) было получено самим Рэлеем, рассмотревшим схлопывание пустой полости, т. е. приближение p(R) = 0, Ар=р100=const, dR]dt = Q при / = 0. В этом случае уравнение Рэлея имеет вид

_d2R3(dR\2. ,

А^+5 ^ = -NP^v(2-25)

dt Zydt)

Поскольку эта задача является одной из классических задач динамики одиночного пузырька, а метод ее решения является общим и для других задач динамики полости, приведем решение этой-задачи подробно.

Обозначим — Ap/p1 = a=const. Введем новую переменную _<rR dP dP dR An_

P=dRdt, тогда -—-=—=-—-=pp точка над P означает dt2 dt dR dt

дифференцирование no R. Теперь (2.25) запишется так: ,

РРР^1гРг = а.(2.26)

Уравнение (2.26) является уравнением с разделяющимися переменными Р и R:

PdPdR .1. /3_Л

—з7-^2=-тг; 1пРС=--1п а—-Р ,а-3/2Р2 R3 \2 /

откуда

(а-3/2Р2)-1/3 = С/?.(2.27)

Используя условие dRjdt=Q при ? = 0, получаем \^a = CR0, С=Х1{Р^^^. Решая уравнение (2.27) .относительно Р, получаем

Р=^= - /|—№-1\(2-28)

dt \j 3 pi \Л3/

Разделив переменные в уравнении (2.28), интегрируем

и, введя ^ = R(R0, определим время схлопывания до радиуса R: 1

1/2*1/2*t — Rg

1/2*

1/2*

Р

Полное схлопывание полости означает Р = 0. Тогда

J [Р3/2/(1 — Р3)1/2]Ф является бета-функцией, или эйлеровым о,

интегралом 1-го рода,

(2.30)(2.30)1

(2.30)

(2.30)

В(х, y) = ^tx"4V-ty"1dt. *о

Воспользуемся связью бета-функции с гамма-функциями

п51

В данном случае х=^ ^ = 2 и

iiооГ

i

i

о

о

.(2.31)

зг

Подставляя табличные значения гамма-функций, находим (=0,914/?ох/р^Тоо—характерное время схлопывания пустой полости до исчезновения. Рэлей получил решение только при Р = 0. Интерес, конечно, представляет значение t для любых р. В качестве примера приведем значение параметра т = (// ro)VpiJPi Для различных Р:

₽т₽т00,10,5 0,99

₽

т

₽

т

0,914 0,913 0,822 0,016

Рассмотрим линейные периодические колебания пузырька на основе уравнения Рэлея (2.24) в случае, когда пузырек сжимается адиабатически:

Ро-^РРо-^Р-;(2.32)Pi-;(2.32)Pid2R 3(dRVdR Г/>0/г§т

Ро-^Р

Ро-^Р

-;(2.32)

Pi

-;(2.32)

Pi

R^+2\li +2lh^= -^зГ

-3^p0(ARIR0).

' До

Линеаризуя уравнение (2.32), получаем

(2.33)(2.33)d2R , 2ц dR Зур0 А D Ар

(2.33)

(2.33)

-у- 2 + —у—I= — ? Л = Л1

dt Rq dt ^\Rq^oPi

Уравнение (2.33) описывает колебания линейного осциллятора - с собственной частотойо0 =V^YPo/tPi^o) •Иногда

0)0 называют резонансной частотой пузырька.

Ищем решение уравнения (2.33) для импульсного возмущения в виде bR = Ae, где к определяется уравнением

А:2+^^ + ю§ = 0;(2.34)

-£± Е-^.

Ко \ Ко

Тогда

5R = Ae”TV1'ei,V^z^=^е-ч.«е№.1;

где ю^^/ю^пТ--

Часто затухающие колебания характеризуют декрементом затухания А = 2лт|1/й). В данном случае декремент Л включает потери на вязкое трение и акустическое излучение. Учитывая процесс теплообмена при колебании, можно получить значение Л,, учитывающее тепловые потери.

Впервые такой анализ был проведен Ч. Дэвином [224]. Приближенная формула для Лт была предложена в [124]:

'Лт = Зя(у-1)/УР^,(2.35).

где Ре = (2 Ао 1«1) V3YPo/pi.'

При нормальных условиях вклад тепловых потерь доминирует над остальными, однако с повышением начального давления увеличивается доля потерь на акустическое излучение.

Основные уравнения динамики и теплообмена парового пузырька

В предыдущем параграфе был рассмотрен процесс изменения радиуса пузырька вследствие изменения давления в среде с учетом вязкости жидкости, акустического излучения и теплообмена пузырек—жидкость, но без фазовых переходов. Такое поведение пузырьков, которое можно назвать инерционным, имеет место в условиях кавитации холодной жидкости при больших перепадах давления в жидкости с пузырьками пара на начальной стадии процесса их роста или схлопывания. Динамика паровой полости может определяться совместным действием инерционного и «теплового» механизмов. Под тепловым механизмом подразумевается ситуация, когда движение границы пузырька происходит за счет фазового перехода, т- е. за счет испарения либо конденсации. Интенсивность фазового перехода определяется количеством подведенной

и отведенной теплоты на границе. В некоторых случаях, например при росте .пузырьков в расплавах металлов, движение границы при фазовых переходах определяется кинетикой испарения.л

Итак, движение границы паровых пузырьков можно также описывать уравнением Рэлея (2.5) с начальными условиями R(0) = Ro; dRfdt = O. В этом случае р(1?)=р2, скорость жидкости uXr на границе связана с изменением радиуса пузырька следующим соотношением:

dRfdt = u1R+jlpv,(2.36)

а скорость пара в пузырьке—соотношением

dR^dt-u^Aj^(2.37)

где j—поток массы на границе пузырек — жидкость, определяемый выражением

. Х1 / 8ТА Х2/ 6Т2 \(

—— Т^2)/^ 92^91- (2.38)

L у or Jr=R~ L \ or= R + x '

Как и в предыдущем параграфе, для определения давления р2 необходимо использовать уравнение энергии, которое отличается от уравнения (2.14), поскольку имеет место фазовый переход, и динамику парового пузырька определяет термическое сопротивление жидкости. При r=R из (2.37), (2.38) получаем

• „2 = ^±^^~^±^L.(2.39)

dt piL dt p2L

Воспользовавшись (2.13) и учтя, что q^^qx, имеем

dt p2L ^р2 dt"V ‘ ’

Отсюдаокончательно приходим к уравнению энергии для парового пузырька в приближении qi-^qV- dpi.^dR^llPi(241)

dt + R dt PiLR^

Так как р2 = р2ВТ2, то, считая T2=const, можно (2.41) записать в виде

^р2Зур2 dR_Зу

dt R dtLR41

или

L.R dp2 , т dR

+Lp2d'(мз)

Входящий в соотношение (2.42) поток qv можно найти из решения внешней задачи о теплообмене пузырек—жидкость, зо

Уравнение для теплового поля вокруг парового пузырька и граничные условия имеют вид

CiPi I -т—+ui-t—)=-2 —( Х1Г —— 1, r>R^;(2.44)

\ ot or ) г or\ or )

r=R{t\ Т2-Тх, X^-X^^L;(2.45)

х 7or or

г=аз, Ti = T0.(2.46)

В уравнении (2.44) их можно выразить через полученное из уравнения неразрывности соотношение (2.3); при r = R ux = (dRjdt) —j/pi — F(t)/R2. Отсюда следует соотношение

Ft)=R2WHIPi\(.2.47)

подставляя которое в (2.3), получаем uv=^dR[dt-jjp^R2[r2.

Уравнение теплопроводности принимает вид

ЗТ1 R2{dRjdt-jlpx)8Tx_a1 В / 2ВТД, .„.

а/ + г2 Br "г2 Sr V 6г У V ’

При схлопывании пузырьков значение j/p2 на два порядка меньше, чем dRfdt [176], aу/pi— еще меньше. Даже в тепловом режиме величиной Црх можно пренебречь по сравнению с dRjdt. Тогда уравнение

^Ti , Я2</яат1_Д1 ^/,2^^!^ о до\ St г2 dt Sr г2 6r\ St )

и граничные условия (2.45), (2.46) замыкают систему уравнений (2.42)—(2.44) и решают полностью задачу о поведении парового пузырька в жидкости. При этом необходимо принять, что на границе г=7? всегда температура насыщения Ts=Ts(p); связь Т. и р осуществляется по уравнению Клапейрона— Клаузиуса.

Введем новые координаты т| = г—R(t), T = t, переводя уравнение (2.49) и граничные условия в движущуюся систему координат, т. е.

зт _ э2т 2 эт Г р Лая ат

Вт 01 ац2 Й1 ц+я ац +(1+л/я)2_ ат ац’

Т(т|, 0)=Го; Г(оо, т)=Г0.

При q2«:qx условие фазового перехода на границе при т|=0 имеет вид

Xx^Txl9^ = p2LdRldT.(2.51)

Рассмотрим случай плоской границы (R -* оо). Такое приближение в динамике паровых пузырьков можно использовать

при росте паровых пузырьков, если R^>R0, и даже на начальной стадии схлопывания. В этом случае уравнение (2.50) принимает более простой вид:

,?ат/ат^а2?/^2,(2.52)

а краевые условия Т^ц, 0) = Т10; Т(оо, т)=Т10; qv=Xx9Txl9i\ = = P2(T2)LdRldT при т|=0. В результате решения этой задачи находятся температурное поле в полубесконечной области с постоянной начальной температурой Г10 и зависимый от времени тестовой поток на поверхности qv Такое решение известно [176]:

‘ тх -Т10 =р2^®^!.(2.53)

Р1 Ср ^J tzcii * ^Ут txо

Оно учитывает движение плоской границы. -

Плессет и Цвик в [272] нашли распределение температуры в приближении тонкого теплового слоя и в случае подвижной сферической поверхности '

Тх-Т10 =Тх-Т10 =dtbdtb(2.54)(2.54)

Тх-Т10 =

Тх-Т10 =

dtb

dtb

(2.54)

(2.54)

L«iL«i

L«i

L«i

где (9Tj9r)r=R = qJXv.

Рост и схлопывание паровых пузырьков

Простейшую схему для расчета изменения радиуса пузырька можно построить, исйользуя уравнение теплового баланса

Umfdt=4uR2qx,(2.55)

где т = 4/3л7?3р2. Запишем уравнение энергии (2.41), пренебрегая сжимаемостью пара. Предполагаем, что в начальный момент времени температура вокруг пузырька радиуса Ro постоянна и равна Та,. В определенный момент времени температура в системе меняется скачком и на границе пузырек — жидкость становится равной Ts. На границе происходит тепломассообмен, приводящий к движению границы, т. е. росту пузырька. Изучая рост пузырька, можно предположить, что тепловой слой — область наибольшего изменения температуры около пузырька—настолько мал, что можно пренебречь кривизной поверхности пузырька. Введя координату у—нормаль к поверхности пузырька, запишем уравнение теплопроводности без учета подвижности границы:-

(2.56)(2.56)9TI9t = at92Tj9y2;

(2.56)

(2.56)

при у = 0 T=TS; при y = co Т=Т00.(2.57)

Решение этого уравнения имеет вид

(Г- Т#- Т^= 1 —erf(y/(2 V^O\(2-58)

Тепловой поток к поверхности пузырька

«^^(^=^=(^-7,).(2.59)

\5у/у = о y/nart

Таким образом, уравнение теплового баланса запишется в виде dR _к^(Тдр — Ts^,

di v^lp;( }

Интегрируя это уравнение, находим

^^к^^р^+^о(2.61)

и после преобразований.

А=1 +J_^^c'pl(r”-r?)=i +JL V^ja^ (2.62)

Ло ./л Ro Lpi/л R

, С„^Т piа к

где Ja=--—-число Якоба.

L р2

Соотношение (2.62) называется формулой Фритца—Энде. Она имеет ряд недостатков: 1) решение это справедливо для плоской границы; 2) решения (2.61), (2.62) предполагают тепловую нагрузку мгновенной, т. е. T,= T^t—t0\ где % — функция Хевисайда—реакция на возмущение типа «ступенька», а реально температура Ts (либо давление в системе) может меняться непрерывно или по какому-то закону и тогда это решение непригодно. И последнее — граница пузырька здесь считается неподвижной, в то время как на самом деле пузырек либо растет за счет испарения, либо схлопывается за счет конденсации. _

Рассматривая решение задачи (2.61) с постоянной начальной температурой Т^ и зависимым от времени потоком на границе qi = PiLdR(dt, где dRIdt и р2—известные функции времени, воспользуемся решением [176] для температуры на поверхности границы Т$:-

•t

- Т (А Т —^ ГР2 (^$)^/^1 izО (VW

Ts^ T«- . ^(^i/.J (,_Zi)i/2 dtv (2.63)0

Здесь dRjdtr можно заменить на тепловой поток qt, например, по упрощенному уравнению энергии (2.51).

3 Заказ 298033

Чаще всего задача о росте или схлопывании пузырька ставится так, что известны зависимость Ts(t) или изменение давления p^t\ которое связано с TS(Z) по уравнению Клапейрона—Клаузиуса, и требуется определить ^(z). В этом случае есть два пути. Первый — это найти тепловой поток ^i(Z) при заданном граничном условии T=Ts(t). Найденное выражение для qx^O совместно с уравнением (2.60) дает зависимость

t

R=\~dt.(2.64)

J Р2^

О

Решение задачи с переменной температурой Ts(t) хорошо известно [72], и тепловой поток qx определяется через интеграл Дюамеля

(2.65)(2.65)Xi I dTs dtyJlUly J ^ty Jt — tyо

(2.65)

(2.65)

Так, при задании Ts в виде ступеньки dT^dty = 5(t—ty) q1 = 'k1AT/y/na^t,(2.66)

т. e. аналогично (2.59). В случае, когда Ts(t)— произвольная функция, поток qv определяется по (2.65).

В основе второго пути решения этой задачи—свойство интегрального уравнения Абеля [47]. Пусть имеется уравнение

|М"7(т)</т=?(().(2.67)

О

По теореме Абеля

t

д^=$т^к g(op«-i+,(2.68)

о

где g(0) — значение функции g(t) при z = 0. Применим эту теорему к уравнению (2.63), которое можно рассматривать как интегральное уравнение относительно dRjdt. Здесь

g^PiCp^ayy'^T^-T^; g^=0;

f^-p^LdRIdv, а=1/2; ^^=^

Тогда

р2^ UR(dt =р2^ UR(dt =1, fpiC^Troi)^ ат; kJ (z —Z^1'2 StyО1, fpiC^Troi)^ ат; kJ (z —Z^1'2 StyО(2.69)(2.69)

р2^ UR(dt =

р2^ UR(dt =

1, fpiC^Troi)^ ат; kJ (z —Z^1'2 Sty

О

1, fpiC^Troi)^ ат; kJ (z —Z^1'2 Sty

О

(2.69)

(2.69)

Считая, что dR]dt= —q^pzL, из (2.69) получим

PiCpOi *8Т, dtv Jt^ J ^i Jt—ti оPiCpOi *8Т, dtv Jt^ J ^i Jt—ti оXi cTs dt\Jkui J 8h Jt-tvоXi cTs dt\Jkui J 8h Jt-tvо(2.70)(2.70)

PiCpOi *8Т, dtv Jt^ J ^i Jt—ti о

PiCpOi *8Т, dtv Jt^ J ^i Jt—ti о

Xi cTs dt\Jkui J 8h Jt-tvо

Xi cTs dt\Jkui J 8h Jt-tvо

(2.70)

(2.70)

Здесь /^внутренняя координата интегрирования. Выражение (2.65) и найденное по теореме Абеля решение для потока qv (2.70) тождественны.

Подвижность сферической границы в задаче роста пузырька можно учесть на основе решения Плессета—Цвика, полученного в приближении тонкого теплового слоя (2.54). Запишем для температурного поля

т Т -/Г77 \R2Vv^8Tl8rVRjt П7П

о {i^w^JUiJ

Введем, следуя Плессету [272], переменную

T = f7?4(y)//y.(2.72)

о

Тогда уравнение (2.71) запишем в виде

Ts-T^ = -dx.(2.73)

J jR2(x)^/t — X 0

Здесь x—уже новая внутренняя переменная, ее масштаб определяется переходом к переменной (2.72). Кроме того, при переходе от (2.71) к (2.73) использовано то обстоятельство, что \R4y)dy = ^R4y)dy-^R4y)dy.

ЦОО

Отсюда следует

~ t"11/2

J^4(y)/Zy =Ут^х.(2.74)

Если в выражении (2.73) считать Ts заданной функцией времени, а тепловой поток <7i=Xi|^| и зависимость \ or )r = R

изменения границы /?(/)— неизвестными, то (2.73) можно рассматривать как интегральное уравнение Абеля относительно 1 (8т\'

^l -т- I . Применяя формулу обращения (2.68) к (2.73), \/r=R

решаем это уравнение относительно (8T/dr)r=R:

R§ Г 3T,]8xR§ Г 3T,]8xdx=dx=Rl/ Я1Л .0Rl/ Я1Л .05T,(t x) dx (2 75)8x ./V‘5T,(t x) dx (2 75)8x ./V‘

R§ Г 3T,]8x

R§ Г 3T,]8x

dx=

dx=

Rl

/ Я1Л .

0

Rl

/ Я1Л .

0

5T,(t x) dx (2 75)8x ./V‘

5T,(t x) dx (2 75)8x ./V‘

Учитывая, что X1(8Tldr')r=R() = q1, a qll^2L=dRldt, (2.75) можно представить в виде

(2.76)(2.76)1</{Л3}_ Xi|дТ$(т—х) dx

(2.76)

(2.76)

3 dx p2Ly/a^n j dx Vxо

С помощью преобразования Лапласа уравнение (2.76) можно привести к виду, удобному для анализа. Имеем

оо(2.77)(2.77)

о

о

(2.77)

(2.77)

Теперь от переменной т (2.72) перейдем к переменной С.

^3(0=^3(0=R4dydtt + RR4dydtt + Rз оз о(2.78)(2.78)

^3(0=

^3(0=

R4dydtt + R

R4dydtt + R

з о

з о

(2.78)

(2.78)

ИЛИ-‘

'бТ5 I Гп4/ \ Л— С^-^) R4^ Гг

J 8tv \ J^}dy dl J Bk R^-fN^Wydti-

ооJ

Задав характер изменения Ts, получим интегродифференци- альное уравнение относительно R(t). Пусть температура изменяется в виде ступеньки

. ^ (о при <=0;/^ -,г,х

Т$(0-Т$о = <’(2.79)

sV ’ s0 (ДГ при />0,v 7

или

Т$(О = АТх(<-/1).

Тогда

R 3 - Rq =MR4dy.(2.80)

p2L7ain у J

Возведем это выражение в квадрат и продифференцируем по Z, получим уравнение с разделяющимися переменными 36•

dS^R d3d2^_1/ Gk^kT Vn4V< —;KqK — — — I:— I К ,

^^ 6\p2£^yavK /

Проинтегрируем его:

1 2 , R^J бХ^т у г

(2.81)(2.81)(2.82)(2.82)и из условия R(O) = Ro определим константу C=(3/2)7?q. Таким образом, функция R(t) определяется из уравненияи из условия R(O) = Ro определим константу C=(3/2)7?q. Таким образом, функция R(t) определяется из уравнения^3^3бх^г у t з d2 P2L^) 6 + 2.бх^г у t з d2 P2L^) 6 + 2.R + R§ = 0.R + R§ = 0.(2.83)(2.83)2 ^A^J 6

(2.81)

(2.81)

(2.82)

(2.82)

и из условия R(O) = Ro определим константу C=(3/2)7?q. Таким образом, функция R(t) определяется из уравнения

и из условия R(O) = Ro определим константу C=(3/2)7?q. Таким образом, функция R(t) определяется из уравнения

^3

^3

бх^г у t з d2 P2L^) 6 + 2.

бх^г у t з d2 P2L^) 6 + 2.

R + R§ = 0.

R + R§ = 0.

(2.83)

(2.83)

Обращает на себя внимание результат, следующий из (2.83) при 7?о = 0 и 7?(/)^0. В случае роста пузырька из микрозародыша

к^ТP1LjavRк^ТP1LjavR(2.84)(2.84)

к^ТP1LjavR

к^ТP1LjavR

(2.84)

(2.84)

Заметим, что решение (2.84), учитывающее сферичность и подвижность границы при изменении температуры «ступенькой», отличается от формулы Фритца — Энде (2.61) при. Ro=0 множителем ^/З) Таким образом, использование формулы Фритца—Энде с поправкой на ^/3 для обобщения плоской задачи на случай подвижной сферы возможно только для задачи роста парового пузырька от Ro=0 и неприменимо даже для начального этапа схлопывания, так как в этом случае Ro^0. В этом состоит объяснение того, что в экспериментах растущие пузырьки в" волне разрежения хорошо обобщались решением типа Фритца—Энде с поправкой на V^, а при схлопывании — без поправки.

Можно оценить ошибку, которую даст формула Фритца — Энде, если использовать поправку V^ и ПРИ ^о^О. Пусть имеем начальный пузырек радиусом Ro. Под воздействием перегрева в виде ступеньки он начинает расти. Оценим время t*, необходимое для роста пузырька до R = ^Ro [это значение 2? взято из-за структуры уравнения (2.83)]. Обозначив (XAT/p2L У^л )2 = В^, из (2.83) получим

(2.85)(2.86)(2.85)(2.86)t = \\R2+R-2R§\l6B"*и, подставив R = ^/3 Ro, найдем

(2.85)

(2.86)

(2.85)

(2.86)

(О2 \/

^ bB^Q^R^Bt

J3 //

Запишем теперь формулу Фритца—Энде через Вх и введем множитель ^/З: (R — Ко)2 = {^/Ъ -2)2Bit. Подставив R = x/^ Ro, получим

(2.87)(2.87).=(7^1)^ ~ 0 0447^2 ^1

(2.87)

(2.87)

Сравним (2.86) и (2.87):

tl«2,2tL

т. е. расчет по формуле (2.83) дает более медленный рост пузырька, чем по формуле Фритца—Энде с поправочным

коэффициентом 73.

Динамика паровой полости при непрерывном изменении давления

Выше рассматривался случай, когда в системе давление мгновенно изменялось и далее поддерживалось постоянным. На практике чаще встречается ситуация, когда происходит непрерывное изменение давления в системе и все процессы оказываются зависящими от характера такого изменения. В соответствии с уравнением Клапейрона—Клаузиуса

(2.88)(2.88)dTsldp2 = TsILp2

(2.88)

(2.88)

Ro | / dT \dp2 dxRo | / dT \dp2 dxqi = -qi = -(2.89)(2.89)изменяется непрерывно и температура насыщения на границе пузырька. Изменяющийся во времени тепловой поток qt к неподвижной границе раздела пузырек—жидкость определяется с помощью интеграла Дюамеля (2.70). Его можно записать через изменение давления Д^, используя связь (2.88):

Ro | / dT \dp2 dx

Ro | / dT \dp2 dx

qi = -

qi = -

(2.89)

(2.89)

Jitax J \ dp2 / dx ^t—x о

(2.90)(2.90)Если принять, что пар подчиняется уравнению идеального газа PilP2 = BTs, уравнение Клапейрона—Клаузиуса dTsldp2 = BTlolp2L, то соотношение (2.89) запишется в виде

(2.90)

(2.90)

Ro \ PiL х/ках J ^т x/t—x

При небольших перепадах давления (Д/>/р2<1) можно считать р2=const и соотношение (2.90) упрощается:

38

(2.91)(2.91)XlVp _1 ^1Ло 15^2 д

(2.91)

(2.91)

RoLpi ^кау ^P2 J ^t — T Stо

Приближенное уравнение dRjdt=—q1jLp1 и соотношение (2.91), в правой части которого пренебрегаем первым членом, позволяют решить задачу о поведении радиуса пузырька в полепеременногодавления

■dR*-1^0Г 1^2^(292)

dtL^piJuaxJ Jt-тот

о

Хотя уравнение (2.92) приближенное (в нем принято р2=const), оно дает качественно (а при A р(р0 < 1 и количественно) правильную зависимость R = R(t). Для ступенчатого изменения p^PsAAt-10), / = 0, решение (2.92) следующее:

R=^= X1 Т,°^” ~Р^ t1!2 + R0.(2.93)

^•KUi L P2

Заменив )р,— ps) TsolLp2 — Tx — Ts по соотношению Клапейрона—Клаузиуса, из (2.93) получим формулу Фритца—Энде (2.61).

При линейном изменении давления Sps = bt

t

dR_ XyT^b f ^т — ^iTsob 1/2ep дД)

dt L2 P2 Jt^Oa J Jt—т L2 P2 Juai

о

R=^ . X17l^t3/2 + R^p.95)

3 Z?p2 ^/ЛЙ!

t. e. изменение радиуса пузырька происходит быстрее, чем при ступенчатом изменении давления.. Поскольку объем пара пропорционален I?3, учет зависимости давления .от времени оказывается весьма важным, например, при расчетах вскипающей жидкости в соплах и потерь теплоносителя при разгерметизации трубопроводов.

Вернемся к задаче о поведении парового пузырька в поле линейного изменения температуры Ts. Это отвечает согласно уравнению Клапейрона—Клаузиуса экспоненциальному изменению давления. На самом деле,

^L^; Т$=Т$о+^\Цр1РоУ (2.96) ар pLL

Если р1р0^, то Г$(О«7;о(1+аО.

Обратимся к интегродифференциальному уравнению (2.78).

В этом случае входящий в него градиент dTsldt1 = dT^t — t1)ldtv = bv(2.97)

39

и уравнение принимает вид

^)=JM ,f (R^dydti+J^. (2.98) -р2Ь^ках J у J

° '1

Уравнение (2.98) можно решить при Rq = Q (рост пузырька из зародыша), предположив, что зависимость R = R(t) в поле линейного изменения температуры и при учете подвижности границы не изменяется, т. е., как и в случае (2.95),

(2.99)(2.99)R = At312.

(2.99)

(2.99)

Задача состоит в определении коэффициента А. Подставив (2.99) в (2.98), после некоторых преобразований получим

А— СЛ/^уу72 V£i\ (2.100)

У? р2лУлаГ J \ V// V /О

Входящий в (2.100) интеграл можно привести к бета-функции, введя новую переменную

и^Л)7; tx(t=Vvi1; dVJt^-v-^dy.

Тогда -

А==

о Выразив интеграл через гамма-функции 1

I 01/7-1)/] _ 00/2-1) лу-^СЫГ^Ы

J 1'грз/14) ’

о получим выражение для коэффициента А;

^=^1ЬГ£Ы£Ш_«2,09—,7^/7 р2ТУ^Г(23/14)’ р2/,у^Г

где при малых перепадах давления bx = Ts0blp2L, подстановки формула (2.99) примет вид

(2.101)(2.102)(2.101)(2.102)(2.103)(2.103)(2.104)и после(2.104)и после4у

(2.101)

(2.102)

(2.101)

(2.102)

(2.103)

(2.103)

(2.104)

и после

(2.104)

и после

R-X^l^bxl^Lj™^!312.(2.105)

Из сравнения с (2.95) видно, что учет подвижности границы приводит к увеличению коэффициента при (3/2—пузырек растёт быстрее. Отметим, что в [50] для обработки экспериментальных результатов был взят коэффициент л/2=1,57 вместо уТ. 40

Иногда для анализа роста пузырька в линейном поле температуры используют формулу (2.84), подставляя Ь^

вместо АТ:■

.^ = 2^/3 --^i^/2.(2.106)

Нетрудно заметить, что формула (2.106) примерно на ^3 отличается от (2.105).

Развитый подход на основе уравнения (2.98) позволяет рассмотреть общий случай степенного закона роста температуры

AT=b2tk; dTldt = b2ktk~\ R«Avtk*V11. (2.107)

Подставив (2.107) в (2.98), получим t п

Л?/3»^-^^-! MAty4k+2dydtv, (2.108) p2L J у J оtv

откуда следует

Л1/3№+1/2) =6кхЬ2кLk-1^4k + 3_t4k + гуцд^ (2.109)

оВведем Z=txlt; из соотношения (2.109) найдем1

бХ,^[z(k"1)(l-Z4k+3)1'2dz.(2.110) 'p2LV(4A:+3)a1n J V'

о

Как и в случае (2.100), интеграл в (2.110) сведем к бета- функции, обозначив

У-74К + 3. 7=уИ(4к + 3). ^7 = ^у~(4к + 2)1(4к + 3)^у ’’4Л + 3’

после чего из (2.110) получим

1

Л =^^(у-мк^КАк^^(2 Ш)

р2Т ^/Цк + ЗУкаг J о

и, выразив бета-функцию через гамма-функции, окончательно найдем

/1,=-=^^=/ о V Р'112)

'V^^+^oT РгТ г ( 14А?+9

y2(4fc + 3)/

Можно сравнить At=Ai(k) с соответствующим коэффициентом, следующим из расчетов R с неподвижной границей по 41

интегралу Дюамеля, и убедиться, что с ростом к учет движения границы пузырька меньше влияет на значение коэффициента: при ступенчатом изменении АТ он равен ^/З, при линейном—1,57, при АТ~(3 он составляет 0,96.

Специального рассмотрения требует вопрос о динамике парового пузырька в осциллирующем поле давления. Постановка этой задачи и ряд результатов содержатся в монографии [3]. Обнаружено явление «выпрямленной диффузии», появление двух резонансов у парового пузырька. С точки зрения постановки задачи, в частности определения теплового потока qx при периодическом изменении Ts, здесь есть одна особенность: совершенно очевидно, что периодическое изменение Ts отвечает значению qb не зависящему от начальных условий, т. е. имеет место установившийся процесс, который зависит от частоты наложенного поля. Тем не менее этот класс задач можно также рассмотреть на основе решения (2.65) при t-*co.

В выражение (2.65) для потока qt подставим Ts=Tsei<al. Тогда

о

Учитывая, что eie>,=coso)(+zsin(oZ, а также используя теорему о свертке

J/(/ - т) ф (т) </т = J/(t) ф (t - т) <Zt, Оо

тепловой поток можно переписать в виде ^^^[q^^)]^,(2.114)

VKai где tt

X |COSO)T , х I sin СОТ ,C(t) =—^</т; S(/) =—^-Jt.

J VTJ Vх

.о0

При <-»0 и фиксированной частоте о C(/) = S(<)-* 0, при /-»oo С (?) = 5(0 = ^/л/2о. Переходя к пределу по /-»оо, выражение для теплового потока при установившемся колебании температуры с частотой о запишем в виде

Решение (2.115) точно совпадает с решением задачи (2.58) с периодическими граничными условиями—так называемой «задачи без начальных условий» [168].

42

Рассмотренная задача о динамике парового пузырька предполагала только «тепловой» механизм роста и схлопывания. Однако очень часто при анализе динамики парового пузырька наряду с «тепловым» необходимо рассматривать и «инерционный» механизм. Для этого необходимо привлечь уравнение Рэлея

Rd2R(dt2 + 3/2 (dRIdt)2 Црг -р, (2.116) где p^Ps-loiR; ps—давление на границе пузырька при температуре на ней Ts. Опуская lajR, заметим, что с учетом уравнения Клапейрона—Клаузиуса уравнение (2.116) принимает вид

R^A^ (2Ш) и? 2у at у -*$Р1 -*$Р1

Здесь (7$0 —7Х)—начальный перегрев в жидкости; Д7—из

менение температуры во времени в процессе испарения из сферической области, описываемое формулой (2.63). Подставляя (2.63) в правую часть уравнения Рэлея, получаем интегродиф- ференциальное уравнение относительно R(t):

PiPiL2p22^ f^xPi^СрТлоГJ оL2p22^ f^xPi^СрТлоГJ оd2R 3(dR\2"\jTsO-T^Lp2^

Pi

Pi

L2p22^ f^x

Pi^СрТлоГJ о

L2p22^ f^x

Pi^СрТлоГJ о

</z2 +7 J Ts

(2.118)

Здесь тепловой поток взят практически в приближении интеграла Дюамеля (2.65). Уравнение (2.118) было положено

в основу анализа поведения парового пузырька при его росте или на начальной стадии схлопывания, т. е. когда конкурируют «тепловой» и «инерционный» механизмы. Используя безразмерные величины

(2.119)(2.118)(2.120)(2.119)(2.118)(2.120)т = (/т.; R» = R/Ro, где т. = /?0 кт^- ; Др = 7р2(700-7$0)/75, уравнение запишем в виде

(2.119)

(2.118)

(2.120)

(2.119)

(2.118)

(2.120)

р 82R. 3(8R.\2_рЯ. dTi8

* 5т2 "z\ 5т / а* 5ti у^—ТхR»

О

Здесь a=-sgn(7sO-7ao); ₽ =Здесь a=-sgn(7sO-7ao); ₽ =£7р^т?/2 s 2от?

Здесь a=-sgn(7sO-7ao); ₽ =

Здесь a=-sgn(7sO-7ao); ₽ =

= —•

РхСруТ.^ках Ro Pi^o

Рис. 2.2. Динамика паровой полости с учетом совместного влияния тепловогоРис. 2.2. Динамика паровой полости с учетом совместного влияния тепловогои «инерционных» механизмов:1—5— расчеты Флорппотца и Чао; Г—5'— расчеты по (2.120); t.R— время схлопывания рэлеевской полостиКривые 1,Г 2, 2*3, 3*4, 4*5, 5'(Г^-Т^,К 6,715,020,033,356,6Ар, кПа 22,049,054,074,092,0Яо, мм 3,62,52,31,91,7и «инерционных» механизмов:1—5— расчеты Флорппотца и Чао; Г—5'— расчеты по (2.120); t.R— время схлопывания рэлеевской полостиКривые 1,Г 2, 2*3, 3*4, 4*5, 5'(Г^-Т^,К 6,715,020,033,356,6Ар, кПа 22,049,054,074,092,0Яо, мм 3,62,52,31,91,7

Рис. 2.2. Динамика паровой полости с учетом совместного влияния теплового

Рис. 2.2. Динамика паровой полости с учетом совместного влияния теплового

и «инерционных» механизмов:

1—5— расчеты Флорппотца и Чао; Г—5'— расчеты по (2.120); t.R— время схлопывания рэлеевской полости

Кривые 1,Г 2, 2*3, 3*4, 4*5, 5'

(Г^-Т^,К 6,715,020,033,356,6

Ар, кПа 22,049,054,074,092,0

Яо, мм 3,62,52,31,91,7

и «инерционных» механизмов:

1—5— расчеты Флорппотца и Чао; Г—5'— расчеты по (2.120); t.R— время схлопывания рэлеевской полости

Кривые 1,Г 2, 2*3, 3*4, 4*5, 5'

(Г^-Т^,К 6,715,020,033,356,6

Ар, кПа 22,049,054,074,092,0

Яо, мм 3,62,52,31,91,7

Решение уравнения (2.120) сравнивалось с расчетами Флор- шютца и Чао [176], выполненными на основе уравнения Рэлея и приближенной формулы (2.71) Плессета— Цвика [272], учитывающей изменение температуры в подвижном сферическом слое в приближении тонкого теплового слоя (рис. 2.2).

Используя соотношения

(2.121)(2.121). Г 8Т\_ dR _ qv f 6Т\ _Lp2 dR

(2.121)

(2.121)

^dr У,=о = 91; ~di=Lp? \17 )r=R = l^"di,

формулу (2.71) представим в виде

Т —Т-1 s -1 сТ —Т-1 s -1 с/г2(т)</№41/2 И U/г2(т)</№41/2 И U(2.122)(2.122)ООИ4('1)Д1_0И4('1)Д1_0

Т —Т

-1 s -1 с

Т —Т

-1 s -1 с

/г2(т)</№

41/2 И U

/г2(т)</№

41/2 И U

(2.122)

(2.122)

О

О

И4('1)Д1

_0

И4('1)Д1

_0

Тогда уравнение Рэлея можно записать следующим образом:

Г„</2я з/<м\21Р‘ R^ + 2UГ„</2я з/<м\21Р‘ R^ + 2U=^Tso-T^=^Tso-T^1=р!Р1 TsCp ^ кау1=р!Р1 TsCp ^ кау

Г„</2я з/<м\21

Р‘ R^ + 2U

Г„</2я з/<м\21

Р‘ R^ + 2U

=^Tso-T^

=^Tso-T^

1=р!

Р1 TsCp ^ кау

1=р!

Р1 TsCp ^ кау

(2.123)

Это—приближенное уравнение типа Фостера—Зубера. Отметим, что при схлопывании пузырьков на последней стадии, когда тепловые слои соизмеримы с радиусом пузырьков, становятся сомнительными как приближение (2.120), так и выражения, основанные на формуле Плессета — Цвика (2.123).

Учет неравновесного испарения в задачах динамики парового пузырька

Скорость роста парового пузырька определяется в основном процессом теплообмена на границе пар—жидкость, а также инерцией жидкости. Однако в ряде задач, например в исследованиях динамики пузырька при кипении жидких металлов, требуется учет неравновесного характера фазового перехода. Высказывались предположения, что в этом случае количество испарившегося пара лимитируется процессом неравновесного испарения, т. е. поток образующейся массы пара в первом приближении определяется законом Герца — Кнудсена.

Схема роста парового пузырька приведена на рис. 2.3. Здесь Гх—температура жидкости при у -► оо; Т„—температура на границе пузырька со стороны жидкости; Т,—температура насыщенного пара на границе; Г„—77—скачок температуры.

Сначала рассмотрим способ приближенного учета процесса неравновесного испарения. С одной стороны, поток массы пара j определяется законом Герца—Кнудсена

У=Г(Те-Т,)£/Г„ (2.124) где Т=ир2/>/2л5Г$; х— коэффициент аккомодации; р2—плотность пара; L—теплота парообразования; В—удельная газовая постоянная.

Эквивалентный тепловой поток, соответствующий j,

^^W^-TA (2.125)

где ^=FL2jTs.

С другой стороны,

91=<х1(Г00 —Г„), (2.126) где а,—коэффициент теплоотдачи со стороны жидкости, который легко определить, решая внешнюю задачу теплообмена.

Исключая из (2.125) и (2.126) неизвестную температуру То, запишем

91=а2(7'00-7;),(2.127)

где а2 = (1/а1 + 1/р)-1.

Рассматривая границу пузырька как плоскую, запишем коэффициент теплоотдачи а1 = Х1/х/лд1?, где Х15 av—теплопроводность и температуропроводность жидкости. Радиус пузырька R(t) определим из уравнения теплового баланса

Рис. 2.3. Схема роста парового пузырька: слой^ЛаСТЬ неРавновесного испарения; 2—тепловой пограничный

Lp1dR!dt = a.1VTa3-TsYLp1dR!dt = a.1VTa3-TsY(2.128)(2.128)

Lp1dR!dt = a.1VTa3-TsY

Lp1dR!dt = a.1VTa3-TsY

(2.128)

(2.128)

откуда

^= афАТ^(2.129)

J LP2 о

Подстановка выражения для a2(0 в уравнение (2.129) и последующее его интегрирование дают

R =R =2X^-1?)2X^-1?)Lp^ *j л^^Lp^ *j л^^(2.130)(2.130)

R =

R =

2X^-1?)

2X^-1?)

Lp^ *j л^^

Lp^ *j л^^

(2.130)

(2.130)

Полученное решение (2.130), описывающее рост пузырька, является приближенным, поскольку температура границы—величина переменная и АТ—функция времени, которая в рамках рассмотренной постановки не может быть определена. Для точного учета влияния процессов аккомодации на динамику пузырьков необходимо решить внешнюю задачу о теплообмене пузырек—жидкость

" дТ,д(=а1д2Т)8у2 (2.131)

с краевыми условиями третьего рода:

при у = 0

-XvdTiay = ^(Ta-Ts);(2.132)

при у -юо Т^;

при / = 0, у=0 Т=ТСО.

В граничном условии Та=Т—неизвестная величина—это и определяет специфику поставленной задачи. Рассмотрим ее решение в приближении «ступенчатой»чнагрузки. Введем новую переменную

9 = (Т-Т00)/(Т$-Т00).(2.133)

Тогда уравнение (2.131) и условия (2.132) принимают вид

59/5/ = at82^l8y2;

при у-» со 9=0;(2.134)

при у>0, /=0 9 = 0; '.

(

яо\/ Т \

^= Щ^Ц^ = ₽(9-1).

Решая задачу с помощью преобразования Лапласа, получаем

9=erfc —7=—exp f^+ДД^ ) erfc (—^==+^^ \ (2.135)

2 а ал \*i ^i /\2</а1/ *i /

Отсюда находим

5»\8у Л=о5»\8у Л=о(2.136)(2.136)

5»\

8у Л=о

5»\

8у Л=о

(2.136)

(2.136)

Из (2.136) нетрудно получить выражение для теплового потока

З^-Х^дТ/ду^^р^-ТоЭегГс^УММ х

х ехр(р2Щ/Х2).(2.137)

Подстановка (2.137) в формулу для радиуса пузырька R = t

= \kqilPiL^dtx и последующее интегрирование дают о

2Х,АТ К =2Х,АТ К =. /р^Аi-expl^TT- х. /р^Аi-expl^TT- х(2.138)(2.138)

2Х,АТ К =

2Х,АТ К =

. /р^А

i-expl^TT- х

. /р^А

i-expl^TT- х

(2.138)

(2.138)

Рис. 2.4. Расчет динамиРис. 2.4. Расчет динами

Рис. 2.4. Расчет динами

Рис. 2.4. Расчет динами

Полученные формулы (2.130) и (2.138), описывающие динамику пузырька в случае «ступенчатой» нагрузки, состоят из двух частей: первая определяет рост пузырька только за счет подведенного тепла, а вторая зависит от процесса неравновесного испарения.

На рис. 2.4 приведено сравнение расчетов по полученным зависимостям с численными расчетами работы [200], где рассматривался случай роста пузырька в жидком натрии при Т=150К и />=100 кПа. Видно, что расчеты по формулам (2.130) и (2.138) дают близкие результаты, которые удовлетворительно согласуются с расчетами [200] при малых коэффициентах аккомодации х, но имеется значительное различие при х=1. Это объясняется тем, что в формулах (2.130) и (2.138) не учтено влияние на динамику пузырьков инерции жидкости, которая в рассматриваемом примере при х = 1 играет заметную роль. •

ки пузырька:

[—2~ по формуле (2.130); i~ 2,Г'ПО Формуле (2.138);

V 2 -из [200]; 1, Г, 1 -*=!; 2, 2', 2"—х=0,01

Инерционные свойства присоединенной массы жидкости учтем с помощью схемы, предложенной в [262]. Запишем систему уравнений, определяющих совместное влияние процессов теплообмена, инерции и аккомодации, в виде

(5Уч^(г-«-г-^<2|”>

11(2.140)(2.140)^^^М [Z^-T^Q]

1

1

(2.140)

(2.140)

^Lp2 x/ita^t

' Отметим, что такой учет инерционных членов, как в уравнении (2.140), возможен только при росте пузырька, когда зависимость радиуса пузырька от времени близка к линейной и в уравнении Рэлея можно пренебречь производной (PRIdt2. Уравнение (2.140) получено дифференцированием уравнения (2.130), а множитель ^/3 введен, как в уравнении для учета сферичности задачи при росте пузырька из микрозародыша (^о = 0). Воспользовавшись очевидным тождеством Т^ — Тп = = TQO — TS—(T„ — TS), разрешим (2.140) относительно Тп— Ts и результат подставим в (2.139). Полученное квадратное уравнение относительно dRfdt имеет решение '

гдегде/2 7 о \1/2А = ^^ДТ ; ДТ^-Т,;V Р1т; '00$’/2 7 о \1/2А = ^^ДТ ; ДТ^-Т,;V Р1т; '00$’Введем безразмерные переменныеВведем безразмерные переменныег+ЦА1Ву^+кУ’ R*=UlB2)R.Тогда уравнение (2.141) перепишем в видег+ЦА1Ву^+кУ’ R*=UlB2)R.Тогда уравнение (2.141) перепишем в виде(2.141)(2.142)(2.413)(2.141)(2.142)(2.413)

где

где

/2 7 о \1/2

А = ^^ДТ ; ДТ^-Т,;

V Р1т; '00$’

/2 7 о \1/2

А = ^^ДТ ; ДТ^-Т,;

V Р1т; '00$’

Введем безразмерные переменные

Введем безразмерные переменные

г+ЦА1Ву^+кУ’ R*=UlB2)R.

Тогда уравнение (2.141) перепишем в виде

г+ЦА1Ву^+кУ’ R*=UlB2)R.

Тогда уравнение (2.141) перепишем в виде

(2.141)

(2.142)

(2.413)

(2.141)

(2.142)

(2.413)

где

D = (A(B)K.

Интегрируя (2.143) с учетом / + |г=0 = Р2, имеем 48

^мм30^мм30Рис. 2.5. Неравновесное испарение пузырьков

^мм

30

^мм

30

Рис. 2.6. Профиль волны разрежения

z+ + l-VVz+ + l-VV—N,—N,(2.144)(2.144)/? + =|[(r+ +1)3/2 —;+ 3/2]+Z> r + -^+(z + + l) +

z+ + l-VV

z+ + l-VV

—N,

—N,

(2.144)

(2.144)

гдегде

где

где

N=^2 + ;)3'2+^D3-D2^/l)^+^\n^^^

т. е. имеем значение интеграла при нижнем пределе. Полученное выражение (2.144) и дает искомое решение задачи. В равновесном случае, когда Р~»оо, а К^О, соотношение (2.144) принимает известный вид уравнения, не учитывающего неравновесное испарение [262]:

(2.145)(2.145)/? + =|[(;+ + 1)3/2 —z + 3/2-l]_

(2.145)

(2.145)

На рис. 2.5 кривые 7" и 2" те же, что и на рис. 2.4, а кривые 7 и 2 получены по формуле (2.144) для коэффициентов и=1 и и = 0,01 соответственно. Кривая 3 отвечает случаю чисто теплового роста пузырька согласно асимптотической формуле Плессета—Цвика. Формулу (2.144) можно использовать для оценки скорости .роста пузырька, когда необходимо учесть процесс неравновесного испарения.

Результаты экспериментальных* исследований

Рассмотрим процесс роста парового пузырька в поле волны разрежения (рис. 2.6). Такой профиль волны всегда имеет место при сбросе давления в системе, например, при разгерметизации трубопровода. Длительность переходного периода (участок АВ) может составлять несколько миллисекунд, и на это время приходится заметная часть изменения радиуса пузырька.

4 Заказ 2980 49

Рис. 2.7. Рост пузырьков пара воды в постоянном поле давления: точки—эксперимент; /, 2—расчет по (2.93) для Ар = 9 и 12 кПаРис. 2.7. Рост пузырьков пара воды в постоянном поле давления: точки—эксперимент; /, 2—расчет по (2.93) для Ар = 9 и 12 кПа

Рис. 2.7. Рост пузырьков пара воды в постоянном поле давления: точки—эксперимент; /, 2—расчет по (2.93) для Ар = 9 и 12 кПа

Рис. 2.7. Рост пузырьков пара воды в постоянном поле давления: точки—эксперимент; /, 2—расчет по (2.93) для Ар = 9 и 12 кПа

При понижении давления в парожидкостной смеси наблюдается как рост существовавших в ней пузырьков, так и возникновение и рост новых. Опыт показывает, что их зарождение идет в течение нескольких миллисекунд после прихода волны, в том числе и правее точки В. В последнем случае рост пузырька происходит в постоянном во времени поле температуры. На рис. 2.7 приведено сравнение экспериментальных данных о росте пузырьков пара воды, родившихся в «ступеньке», с расчетом по (2.93) для перепадов давления 9 и 12 кПа.

Эксперимент выполнялся в ударной трубе, рабочий участок которой, изготовленный из фторопласта, имел внутренний диаметр 80 мм и толщину стенки 30 мм. Рабочая среда термостатировалась непосредственно в трубе с помощью внешних охранных электронагревателей. Среда всегда поддерживалась при температуре насыщения при данном статическом давлении. Контроль осуществлялся системой термопреобразователей (термопар), размещенных в жидкости равномерно по высоте трубы.

Исследовали одиночные паровые пузырьки, которые создавались вдувом насыщенного пара из парогенератора через стальной капилляр. Волны давления различных профилей и интенсивности формировались при разрыве диафрагмы, разделяющей камеры высокого и низкого давления, и регистрировались пьезокерамическими датчиками типа ЛХ, установленными непосредственно в поле наблюдения за пузырьками и перед ним. Синхронно с записью давления проводилась киносъемка процесса роста (схлопывания) пузырьков с помощью кинокамеры «Пентацет-35». Частоту киносъемки выбирали в зависимости от времени процесса. Датчик давления при прохождении мимо него акустической волны запускал одновременно развертку осциллографа и генератор импульсов. Генератор подавал импульс (с задержкой т»1 мс) на газоразрядную лампу ИФХ-120, вспышка от которой засвечивала кадр на пленке и регистрировалась с помощью фотодиода на трубке осциллографа. Одновременно на другой дифферен- 50

циальный вход осциллографа поступал сигнал от основного датчика давления, находящегося в зоне киносъемки. Так определялся на кинограмме момент падения волны на изучаемый пузырек. Погрешность определения этого момента равна времени экспозиции одного кадра.

Плоские изображения пузырьков рассматривались как проекции сечений тел вращения. В основном для обработки выбирали пузырьки, форма которых была близка к сферической или форме сплющенного эллипсоида. В первом случае диаметр пузырька находили как среднеарифметическое значение между большим и меньшим диаметрами, а во втором—рассчитывали по эквивалентному объему. Ошибка в измерении диаметра пузырька связана, главным образом, с несферичностью формы и относительно нерезкими границами пузырьков, обусловленными зернистостью фотоматериала.

В случае линейного изменения температуры границы зависимости R = R(t) имеют вид

R = Ro + A^$(4X16T/3Lp2 Ул^) Z3/2,(2.146)

что при малых перепадах давления эквивалентно

R = RO + KS (4Х, TsObp(3L2p 2) Z3'2,(2.147)

где bT = NT(M; bp = &pl&r, Ks—множитель, имеющий различное значение при разных градиентах. При Ro=0 и ступенчатом профиле давления Ks = ^3.

При повышении давления в парожидкостной смеси первоначальный радиус пузырька Ro будет уменьшаться. В этом случае в формулах (2.146), (2.147) знак перед вторым слагаемым изменится на обратный и, как будет видно из дальнейшего, изменится значение множителя Ks. Однако главное достоинство аналитических формул типа (2.146) состоит в том, что они, указывая на существование принципиально иных временных зависимостей R = R(t) в поле переменного давления, нежели в постоянном, дают возможность сравнительно простой оценки скорости изменения радиуса. В частности, при линейном изменении температуры (давления) R~t312, в то время как для постоянного перегрева имела место зависимость R~txl2.

Применение формул (2.147) ограничено линейным характером изменения давления. При изучении роста и схлопывания пузырьков в волнах произвольной формы зафиксированные на осциллограммах профили давления Ap(z) задавались в виде массивов точек, и для получения расчетных зависимостей R^ Уравнения (2.64) и (2.65) решались численно на ЭВМ. При этом переход от давления к температуре в dT(dp = TJLp1 при сравнительно больших перепадах Ар осуществлялся с.использованием аппроксимационной зависимости для кривой 51

Рис. 2.9. Рост пузырьков пара воды при Арм«с = 5,5 кПа:1—профиль давления; 2— расчет по (2.78), Ло=0,46 мм; 3—по (2.147), £>„=2,2 МПа/с; 4—по (2.61)Рис. 2.9. Рост пузырьков пара воды при Арм«с = 5,5 кПа:1—профиль давления; 2— расчет по (2.78), Ло=0,46 мм; 3—по (2.147), £>„=2,2 МПа/с; 4—по (2.61)Армакс=27 кПа, Ло=1,61 мм; 4—то жеАрмакс=27 кПа, Ло=1,61 мм; 4—то жеРис. 2.10. Расчет динамики пузырьков пара воды при ^рмахс = 1^ кПа по формуле (2.78)Рис. 2.10. Расчет динамики пузырьков пара воды при ^рмахс = 1^ кПа по формуле (2.78)

Рис. 2.9. Рост пузырьков пара воды при Арм«с = 5,5 кПа:

1—профиль давления; 2— расчет по (2.78), Ло=0,46 мм; 3—по (2.147), £>„=2,2 МПа/с; 4—по (2.61)

Рис. 2.9. Рост пузырьков пара воды при Арм«с = 5,5 кПа:

1—профиль давления; 2— расчет по (2.78), Ло=0,46 мм; 3—по (2.147), £>„=2,2 МПа/с; 4—по (2.61)

Армакс=27 кПа, Ло=1,61 мм; 4—то же

Армакс=27 кПа, Ло=1,61 мм; 4—то же

Рис. 2.10. Расчет динамики пузырьков пара воды при ^рмахс = 1^ кПа по формуле (2.78)

Рис. 2.10. Расчет динамики пузырьков пара воды при ^рмахс = 1^ кПа по формуле (2.78)

Рис. 2.8. Рост пузырьков пара воды при Армакс = 4 кПа: точки—эксперимент; /—профиль давления; 2, 3—расчет по (2.78) для Ло=0,49 и 0,65 мм

насыщения типа 1пр = Л + В/Т, где для воды А = 24,62, 5=-4886 К.

На рис. 2.8—2.11 изображены экспериментальные профили волн разрежения (штрихпунктирные линии) в диапазоне максимальных перепадов давления Др=4 4-36 кПа, а также приведено сравнение опытных данных по росту пузырьков (точки) с результатами расчетов для случая сферической границы. Характерные кинограммы динамики отдельных пузырей в различных профилях давления показаны на рис,-2.12. Удовлетворительное согласие с экспериментом свидетельствует о применимости рассмотренной расчетной методики для опре-

Рис. 2.11. Рост пузырьков пара воды: /, 2—профили давления; 3—расчет по (2.78)

Для Армакс = 36 кПа, Ло = 0,76 мм

а)г)

Рис. 2.12. Изменение радиуса пузырьков во времени в зависимости от профиля давления

деления поведения радиуса пузырьков в переменном поле давления.

Если пренебречь постепенным снижением давления во Фронте волны, а рассматривать только скачкообразное изменение давления в момент / = 0, то рост пузырька происходит по закону R^t^\ как это показано, например, линией 4 на рис. 2.9. Из сравнения кривых 2 и 4 видно заметное влияние

53

переменного поля давления во фронте волны на динамику пузырька, которое, однако, ослабевает с течением времени после стабилизации давления.

Падение давления на рис. 2.9 происходит примерно за 2,5 мс. Несмотря на то что этот участок профиля волны лишь приближенно можно описать прямой линией, расчет R(t) по формуле (2.147) с 6р = 2,2 МПа/с (линия 3) совпадает с экспериментом. Неоднократная проверка этой формулы показала, что ею можно пользоваться для описания роста пузырька в поле изменения давления, близкого к линейному.

В случае зарождения пузырька и дальнейшего его роста в линейно падающем давлении Джоунс и Зубер [50] предложили формулу

J?(O=f—\ Р2J?(O=f—\ Р2^кр + ^s^кр + ^s2X^7*2X^7*t1,2 + Kst1,2 + Ks4XtbT ^з/2 3XpQ2 ^/тГД^4XtbT ^з/2 3XpQ2 ^/тГД^(2.148)(2.148)

J?(O=f—

\ Р2

J?(O=f—

\ Р2

^кр + ^s

^кр + ^s

2X^7*

2X^7*

t1,2 + Ks

t1,2 + Ks

4XtbT ^з/2 3XpQ2 ^/тГД^

4XtbT ^з/2 3XpQ2 ^/тГД^

(2.148)

(2.148)

где р02 и Рг—плотности пара в начальном и конечном рассматриваемых состояниях; Ks = n/2; RKp—критический радиус; АТ* — начальный перегрев, необходимый для спонтанного роста пузырька данного RKp.

Применение этой формулы для расчетов представляет известную трудность, так как требуется задать одну из величин—RKp или АГ*—либо определить их, как это было сделано в прецизионных опытах Ниино, где радиус RKp отождествлялся с размером пятна сфокусированного пучка лазера, вызывающего зарождение пузырька. Перегрев АТ* также можно измерить, фиксируя профиль падающего давления и момент прихода импульса лазера. На рис. 2.13 представлен пример расчета по формуле (2.148) и расчета роста радиуса пузырька с учетом только начального перегрева АТ*. Приведенный профиль температуры можно аппроксимировать линией с 6Т=1462 К/с. Третий член в квадратной скобке (2.148) становится доминирующим для времени t>R2P!av, что и видно на приведенном графике.

При росте пузырька в переменном поле давления, как показало сравнение (рис. 2.14) эксперимента с расчетом по обычной методике, на относительно больших временах процесса первыми двумя членами в (2.148) практически можно пренебречь. Множитель (р02/Рг)1/3 ПРИ малых перегревах также несуществен.

В качестве другой рабочей жидкости при изучении процесса роста и схлопывания пузырька пара в волнах произвольной формы был выбран хладон-113, обладающий резко отличными от воды теплофизическими свойствами; например, его теплопроводность при атмосферном давлении на порядок меньше, чем воды. На рис. 2.15 приведено сравнение экспериментальных данных (точки) с численным расчетом по формуле (2.78) для 54 '

Рис. 2.13. Рост пузырька, 7?кр=2,5 мкм, АТ* = 1,5К: 1—профиль температуры; 2—расчет по (2.148); 3—по (2.84)Рис. 2.13. Рост пузырька, 7?кр=2,5 мкм, АТ* = 1,5К: 1—профиль температуры; 2—расчет по (2.148); 3—по (2.84)Рис. 2.14. Рост пузырьков пара воды: /, 2—профили давления; 3, 4—расчет по (2.147) для Армакс=27 и 36 кПа; точки—экспериментРис. 2.14. Рост пузырьков пара воды: /, 2—профили давления; 3, 4—расчет по (2.147) для Армакс=27 и 36 кПа; точки—экспериментперепада давления 22 кПа. Линией 4 показан расчет роста пузырька, если бы давление изменилось скачкообразно.

Рис. 2.13. Рост пузырька, 7?кр=2,5 мкм, АТ* = 1,5К: 1—профиль температуры; 2—расчет по (2.148); 3—по (2.84)

Рис. 2.13. Рост пузырька, 7?кр=2,5 мкм, АТ* = 1,5К: 1—профиль температуры; 2—расчет по (2.148); 3—по (2.84)

Рис. 2.14. Рост пузырьков пара воды: /, 2—профили давления; 3, 4—расчет по (2.147) для Армакс=27 и 36 кПа; точки—эксперимент

Рис. 2.14. Рост пузырьков пара воды: /, 2—профили давления; 3, 4—расчет по (2.147) для Армакс=27 и 36 кПа; точки—эксперимент

При рассмотрении «теплового» механизма скорость роста пузырьков в различных жидкостях как при одинаковых перегревах, так и при одинаковых скоростях изменения температуры пропорциональна величине ^/(.Ерг^/оД Поэтому при прочих равных условиях при атмосферном давлении пузырек в хладоне-113 растет примерно в 4,4 раза медленнее, чем в воде. К этому же результату можно прийти, изменив статическое давление в воде до 0,5 МПа. Таким образом, подбирая жидкости с соответствующими свойствами, удается моделировать процесс роста пузырька в воде при повышенных давлениях в волнах произвольной формы.

Поиски одного из возможных способов учета переменного поля давления в задаче о росте парового пузырька были

Рис. 2.15. Рост пузырьков пара хладона-113 при Д »..„,=22 кПа:

Д'2О|'Р°ФИЛЬ давления; 2, 3—расчет по (2 83) ДЛЯ ^0=®’^ и ®’^ мм> ^—расчет по

7?/7?о = 17?/7?о = 12Xq TSQ&p2Xq TSQ&p7?о(7,р2)2У^7?о(7,р2)2У^t1^t1^(2.149)(2.149)

7?/7?о = 1

7?/7?о = 1

2Xq TSQ&p

2Xq TSQ&p

7?о(7,р2)2У^

7?о(7,р2)2У^

t1^

t1^

(2.149)

(2.149)

Рис. 2.16. Схлопывание парового пузырька в заданном профиле давления:

а—профили давления: 1—экспериментальный, 2—линейная аппроксимация, 3—ступенчатый; б—тепловой поток при соответствующих профилях давления; в—изменение радиуса пузырька при Аймаке = 18 кПа: /—расчет по (2.78), Л0=1мм; 2—по (2.148), Ьр = 3,6 МПа/с; 3—по (2.149)

обусловлены значительным отличием характера расположения экспериментальных точек от кривых постоянного перегрева 4, показанных, например, на рис. 2.15 и 2.9. Аналогичная ситуация наблюдается и при рассмотрении процесса схлопывания пузырька (рис. 2.16). Здесь изображена волна сжатия в пароводяной смеси с постепенным нарастанием давления в переднем фронте (линия 7), которое в первом приближении можно аппроксимировать прямой линией с 6Р = 3,6 МПа/с (линия 2). На рис. 2.16, в нанесены точки экспериментальной зависимости R(t) и результаты расчетов при ступенчатом увеличении давления в момент Z=0 (линия 3) по формуле

при переменном давлении по (2.78) (линия 7), а кривая 2, совпадающая с 7 на участке 0—5 мс, получена по формуле (2.148) с изменением знака перед вторым слагаемым и KS=A. Видно, что кривые 7 и 2 на соответствующих интервалах верно отражают характер изменения радиуса во времени: при линейном повышении давления R~t312, а когда давление выходит на постоянный уровень, R~tli2. Показательна и раз- 56

ница во временном ходе кривых теплового потока q при линейном и ступенчатом изменениях давления: в первом случае q растет, а во втором уменьшается пропорционально /1/2 (линии 2 и 3 на рис. 2.16,6). В случае рассматриваемого сложного профиля давления изменение q показано линией 1.

На рис. 2.17 сравниваются экспериментальные данные об изменении радиуса пузырька (точки) с численными расчетами по (2.78) для максимальных перепадов давления в волнах Армакс=18-100 кПа. Здесь предполагалось, что механизм схлопывания пузырьков чисто тепловой. Об этом можно судить согласно выводам Флоршютца и Чао по значению параметра В^а^а^ВоХр^Ар)1/2. Так, схлопывание определяется теплоотдачей, если Вс 0,05, что выполняется в рассмотренных экспериментах.

Экспериментальные точки при схлопывании (рис. 2.16—2.17) группируются вокруг кривых, рассчитанных для плоской границы раздела фаз, в отличие от данных по росту пузырька. Введение в расчет множителя ^/з в случае схлопывания пузырька приводит к значительному расхождению с опытом (см. рис. 2.17, линия 2). По этому поводу необходимо отметить следующее. Во-первых, для растущего пузырька тепловой пограничный слой все время остается тонким (8сВ0). При схлопывании это положение справедливо только на начальной стадии, а по мере уменьшения радиуса происходит утолщение пограничного слоя, что приводит к замедлению скорости

Рис. 2.18. Кинограмма поведения пузырька пара (б) в интенсивной ударной волне (а): вода, Ро = 0,1 МПа; Pi/po>L4

движения границы, наблюдаемому в эксперименте. Во-вторых, в процессе схлопывания пузырька, как правило, происходит значительное искажение его формы, что может приводить к трудно учитываемому изменению теплообмена на поверхности раздела пар — жидкость. При превышении же определенного перепада давления пузырек становится неустойчивым и разваливается на части. Все это значительно усложняет рассмотрение динамики схлопывающегося пузырька.

В волнах с крутыми передними фронтами инерционные эффекты могут вызывать пульсации парового пузырька. Это в свою очередь создает значительные пульсации давления в жидкости (рис. 2.18, а). Из кинограммы поведения парового пузырька начального радиуса 7?0=1,7мм в волне сжатия ступенчатого типа интенсивностью Pilp^XA видно, что начало дробления пузырька и его последующее дожатие совпадают с возникновением мощных пульсаций давления.

Интересно сравнить поведение газового и парового пузырьков в близких условиях проведения опыта. Из кинограммы (рис. 2.19) пульсаций воздушного пузырька, свободно всплывающего в воде при падении на него сверху волны с перепадом давления во фронте 70 кПа (ро=1ООкПа, время подъема давления А(=0,25 мс), видно, что в процессе сжатия пузырек теряет симметричную форму и образует выпуклость в сторону распространения волны. Затем в фазе возвратного движения он к четвертой миллисекунде восстанавливает свою первоначальную форму. Таким образом, воздушные пузырьки радиусом порядка 1 мм не дробятся при атмосферном давлении в волнах сжатия с Ар <100 кПа.

0OOOOO00D0 ^

оо11гзУмегзУме

о

о

1

1

гзУме

гзУме

Рис. 2.19. Пульсация воздушного пузырька в воде в волне сжатия (Армакс = 70 кПа, Ло = 0,75 мм)

58.

Рис. 2.20. Развитие неустойчивости на поверхности крупного парового образования

Относительно гладкая поверхность очень крупных паровых образований (1?0>10мм) в процессе схлопывания покрывается множеством неровностей, как это отчетливо видно на рис. 2.20. Профиль давления в данном случае представлял треугольный импульс с временами нарастания и спада фронтов соответственно 1 и 2 мс и максимальным перепадом 60 кПа. При таких давлениях и длительности импульса дробление пузырька еще не происходит. Вследствие неправильной формы рассматриваемого парового образования температурное поле внутри и снаружи его при схлопывании неоднородно. Наибольший градиент температуры имеет место в районе острого выступа, где наблюдается сильная локальная конденсация с образованием углубления (четвертый кадр и далее).

Из анализа приведенных кинограмм можно сделать вывод, что на процесс дробления паровых пузырьков оказывают влияние такие факторы, как интенсивность возмущения, начальный радиус пузырька, длительность положительной фазы сжатия. В отличие от газовых пузырьков радиусом бколо 1 мм, дробление которых при атмосферном давлении начинается с перепадов Др = 200-г 300 кПа, паровые пузырьки разрушаются уже при 40 кПа. Критические условия дробления принято характеризовать числом Вебера We, представляющим собой отношение гидродинамического давления p^u^l к капиллярному lalR. Для свободно всплывающего газового пузырьков качестве определяющей скорости и берется скорость всплытия^ i, при взаимодействии пузырька с волной—либо скорость течения двухфазной смеси за волной м2, либо относительная скорость, с которой происходит встреча волны с всплывающим пузырьком, uv + u2. В случае конденсирующегося пузырька определяющим является движение стенок к центру. Поэтому если в данном случае и имеет смысл вводить критическое число Вебера, то строить его следует по скорости схлопывания u = dR(dt. Тогда обработка имеющихся экспериментальных данных позволяет сделать следующие оценки: пузырьки пара еще не дробятся, если We = Pi (dRIdt ^ROn1 <0,3, но при We > 1 наблюдается дробление.

Глава третья

ВОЛНОВЫЕ ПРОЦЕССЫ В ГАЗОЖИДКОСТНЫХ СИСТЕМАХ

Динамическая модель пузырьковой суспензии

Волновые процессы в механике двухфазных систем занимают особое место, поскольку наиболее ярко эффекты неод- нофазности проявляются при распространении волн, а с другой стороны, акустические волны в таких системах — наиболее доступный и эффективный способ изучения структуры самой двухфазной среды.

Среда, в которой скорость распространения возмущений зависит от частоты осцилляций, называется диспергирующей. Таким свойством обладают газожидкостные смеси. Простейшей содержательной моделью в данном случае является идеальная, в целом покоящаяся, неограниченная по объему жидкость с равнораспределенными в ней газовыми пузырьками, сохраняющими массу и сферическую форму. Пузырьки находятся на достаточном удалении друг от друга, так что непосредственные столкновения отсутствуют. Эффективные радиусы присоединенных масс жидкости меньше расстояния между пузырьками, и взаимодействие осуществляется только через поле давлений. Поэтому уравнения гидродинамики можно замкнуть уравнением Рэлея для осцилляций одиночного пузырька в неограниченном объеме идеальной жидкости, приняв допущение о возможности замены давления на бесконечности давлением смеси. Таким образом, система уравнений, описывающих распространение возмущений, состоит из уравнений движения смеси и уравнения осцилляций пузырьков:

(3.1)(3.1)8р / 8и 8и у+PI у+м у дх \ St 6х

(3.1)

(3.1)

^2+^=0

8t 8х :

PiPi„^R 3(dRV„^R 3(dRV=Р1-Р.=Р1-Р.(3.2)(3.2)

Pi

Pi

„^R 3(dRV

„^R 3(dRV

=Р1-Р.

=Р1-Р.

(3.2)

(3.2)

где р = (1-ф)р1 + <рр2; p1=const.

Сжимаемость смеси в этой модели определяется сжимаемостью газа, заключенного в пузырьки, а осцилляции радиуса пузырьков определяются инерцией присоединенной массы жидкости и разностью давлений ^р=р2—р1.

При достаточно большом числе пузырьков можно принять также, что их число в единице массы смеси N остается постоянным. Тогда объем газа в единице массы смеси И, 60

радиус пузырьков R, плотность смеси р, объемное газосодер-

жание ф и массовое газосодержание X связаны соотношениями (см. § 1.1)'

4

p^P-Kl-JT)^; V=^uR3N; ф=Гр; -dpldt=p2dVfdt. (3.3)

Если амплитуда осцилляций радиуса пузырька мала, что имеет место при акустических возмущениях, можно записать 8Я«Я0; 8р«р0; dV=4uR2NdR; .

dR_ ( R0 \^. BdlR_ R0 ^PH4\

dt\3форо) dt drЗфоро dr

Индексом 0 отмечаем значения параметров в невозмущенном (исходном, / = 0) состоянии.

В этом приближении обобщенное уравнение динамики пузырьков в идеальной жидкости примет вид

Ro d2p Ro Зф0 dt2 6фоРоRo d2p Ro Зф0 dt2 6фоРо(3.5)(3.5)

Ro d2p Ro Зф0 dt2 6фоРо

Ro d2p Ro Зф0 dt2 6фоРо

(3.5)

(3.5)

где bp2=p2—p0; Ьр=р—р0; Ро=Рю=Р2о—давление в невозмущенной смеси. Давление газа в пузырьке меняется по политропе

,Р2^2=Р1О^2О,(3.6)

показатель степени которой принимает значения (в зависимости от интенсивности теплообмена между пузырьком и жидкостью) от п = 'у = Ср21Су2 до л = 1. Так как термическое сопротивление жидкости много меньше термического сопротивления газа, то степень адиабатичности процесса зависит практически только от теплопроводности газа и радиуса пузырька. Обычно существенное отклонение от адиабатичности наблюдается только у пузырьков гелия. Далее примем п = у.

Для малых отклонений от начального состояния с точностью до (8У2/^2о)2 из (3-6) получаем

6p2=-W^2lV2OW5^^ + l)Po^V2iy2O)2. (3.7) Переходя от 8К2 к 8р с учетом (3.3): 8И2/И2О= — 8р/(рофо), запишем (3.7) в виде

5^=со8р+^з^(8рЛ(З-8)

^РоФо

где со=х/уро/рофо—низкочастотная скорость звука в пузырьковой среде.>

Таким образом, третий член уравнения (3.5) содержит нелинейность, существенно превышающую по' значению

гидродинамическую нелинейность в (3.1). С учетом доминирующего значения «пузырьковой» нелинейности (см.‘ гл. 1) перепишем уравнения движения (3.1) в линеаризованной форме:

(3.9)(3.10)(3.9)(3.10)du1 др др 5и_

(3.9)

(3.10)

(3.9)

(3.10)

dtр0 дх dt + Р° дх ’

а в (3.2) перейдем к плотности смеси

2р1^+с^р + ВС2(8р)2 = 8/,,

где Р! = 1?2/бф0(1-ф0); В=(у+1)/(2форо).

Исключив скорость течения смеси из уравнений (3.9):

(З.Н)(З.Н)д2р_д2р

(З.Н)

(З.Н)

dt2 дх2’

дважды продифференцировав (3.10) по времени, используя (3.11), получим

2₽,^+^B-^J>>0.(3-12)

Первый член уравнения (3.12) отражает влияние инерции жидкости и приводит к зависимости скорости звука от частоты наложенного возмущения; последний член определяет нелинейные свойства пузырьковой среды. Если дисперсионный и нелинейный эффекты малы, то в качестве первого приближения получаем известное акустическое уравнение

d2p(dt2 — Су д2р!дх2 = 0.

Волновые уравнения для среды без диссипации энергии

(3.13)(3.13)В бегущей волне давление и плотность в первом акустическом приближении связаны соотношением

(3.13)

(3.13)

Sp^Sp.

Если предположить, что в системе координат, движущейся с волной, сигнал за счет проявления эффектов дисперсии и нелинейности деформируется мало, то следует заменить в последнем нелинейном члене уравнения (3.12) 8р на Sp по (3.13) и получим уравнение

которое можно назвать нелинейным уравнением Буссинеска. Это уравнение и его аналоги являются в настоящее время наиболее эффективными моделями для описания процессов

распространения волн в средах с дисперсионными и нелинейными свойствами.■

В канонической форме оно имеет вид

82р 'г^Р 52 ,s .2 ->п 6*Р а/1 к\

-^—с„ —5—^(ор) —2В. . , - 5=0.(3.15)

5/20 5х2 дх2' Р1дх2д/2, v '

При замене в малом дисперсионном члене второй производной по t в соответствии с акустическим уравнением получается другая форма уравнения Буссинеска:

82р2 52Р D 52 /S \2 ОО 2 ^^Р А/а

8t2 С°8х2 В8х2^^^дх4^-(316)

Волновые члены этого уравнения можно переписать в виде

St2 0 5х2 8t\8t°8х)0 8x\6t°8х)"• '

Если волна распространяется в одну сторону и слабо деформируется в системе отсчета, движущейся со скоростью с0, то 5/5/= — с05/5х. Соответственно уравнение Буссинеска можно преобразовать в следующее:'

^o^+;^S^-|3./^=0(3.18)

8t °дх 2форосо *ох 1 8x28t.

или, снова воспользовавшись соотношением 5/5/= — с05/5х, привести к уравнению Кортевега—де Вриза (КдВ)

с ^+I±L ^+В с ^-0" ГЗ 191

8t2у Оро8х^^°8х2(}

В системе координат /, £ = х—с0/ уравнение (3.19) перепишется в виде

или в безразмерной формеили в безразмерной форме(3.20)(3.21)(3.20)(3.21)^Л + 1^с ^+в с ^=0дЛ 2у р0 ° 6^v °8^ °

или в безразмерной форме

или в безразмерной форме

(3.20)

(3.21)

(3.20)

(3.21)

8р , ~6р , Р1С0 82р8^Р о^ 12и0^~^

В качестве масштабов здесь приняты: /0, 8р0 — ширина и интенсивность (амплитуда) начального возмущения;

Г 7 У 4~ 1 ^Рос

— масштабная скорость.

Иногда удобно использовать уравнение (3.20), введя пере- 1

менную и=——c^pIpq. тогда запишем 2у

ди ди д3и

где Р=р!С0.

В безразмерной форме

где параметр a2 = 3Zy(y+ 1)ф08р0/(ур07? 2) отражает соотношение влияний нелинейности и дисперсии. Впервые это уравнение было получено Кортевегом и де Вризом при описании распространения волн на «мелкой воде». Запишем линейное уравнение КдВ в форме

ди би д3и.

г7+с«&+₽гР=0'(М4)

где с0=Л/ур0/р1ф0(1 —Фо) — адиабатическая скорость звука. Вычислим дисперсионное соотношение, представив решение в виде монохроматической волны

и=А expi^kx—(Щ),(3.25)

где к=2и(к—волновое число; X—длина волны; о — частота. Получим

— io + ic0k—фХ3 = 0; <й = сок—^к3.(3.26)

Фазовая и групповая скорости волны определяются формулами

c^ = tojk = c0 — РХ2; cr = dwjdk = c0 — 3^k2.(3.27)

Зависимость фазовой скорости от частоты можно записать в виде со = Сф >/(с0 — c^)/р. Она характеризует дисперсионные свойства пузырьковой среды (рис. 3.1), которые приводят к появлению интересных эффектов при распространении возмущений. В диспергирующей системе каждая из компонент Фурье произвольного начального импульса распространяется с собственной скоростью и форма сигнала меняется в процессе движения.'

Рассмотрим прогрессивную волну f=A cos(Xx—ом). Допустим, что в среде распространяются возмущения Д с волновым числом Xt=X + AX и /2 с волновым числом к2 = к—Ак, а дисперсионное соотношение имеет вид ®=W(k). Тогда

<o + A(o = (o + AX</B7JX, Аю = сАХ,(3.28)

а выражения для j\ и /2 запишутся следующим образом:

j\ = A [cos(Хх— со f)cos^к(x — ct^ —

— sin (кх—о t) sin (АХ (х—ct))];(3.29)

Рис. 3.1. Скорость звука в смеси жидкости с пузырьками газа:а—расчет: 1— без учета диссипации, 2—с учетом диссипации; б—опыты Фокса (точки); Фо=2'10“4; v^ = 0,5 м2/с; ^о = 0,11Рис. 3.1. Скорость звука в смеси жидкости с пузырьками газа:а—расчет: 1— без учета диссипации, 2—с учетом диссипации; б—опыты Фокса (точки); Фо=2'10“4; v^ = 0,5 м2/с; ^о = 0,11

Рис. 3.1. Скорость звука в смеси жидкости с пузырьками газа:

а—расчет: 1— без учета диссипации, 2—с учетом диссипации; б—опыты Фокса (точки); Фо=2'10“4; v^ = 0,5 м2/с; ^о = 0,11

Рис. 3.1. Скорость звука в смеси жидкости с пузырьками газа:

а—расчет: 1— без учета диссипации, 2—с учетом диссипации; б—опыты Фокса (точки); Фо=2'10“4; v^ = 0,5 м2/с; ^о = 0,11

f2 = A [cos ^кх — tot) cos ^к (х—ct))+

■+ sin(fcx—со/) sin (А/с (х — ci))].(3.30)

Суперпозиция этих двух решений имеет вид

J\ +f2 = 2A cos (^х—tot) cos (А/с (х — ct)).(3.31)

Начальное возмущение конечной длительности (рис. 3.2,а) в среде с дисперсией, в том числе и в пузырьковой, при достаточно больших временах распространения принимает, как правило, форму волнового пакета с сильно осциллирующей амплитудой внутри пакета (рис. 3.2, о).

Уравнение Зм/й/+Р53м/й^=0 при больших временах для начального, затухающего при £ = ± оо возмущения (см. рис. 3.2, а) имеет асимптотическое решение вида

и = и~112 У1 Vm(3PO"(m+1)/3Aim(n),(3.32)

^ — 0

UhиUhиРис. 3.2. Развитие начального линейного возмущения в среде с дисперсиейРис. 3.2. Развитие начального линейного возмущения в среде с дисперсией5 Заказ 2980655 Заказ 298065

Uhи

Uhи

Рис. 3.2. Развитие начального линейного возмущения в среде с дисперсией

Рис. 3.2. Развитие начального линейного возмущения в среде с дисперсией

5 Заказ 298065

5 Заказ 298065

гдегдеЧ=У(З^У'3; Рт= J ^н&О)^;Ч=У(З^У'3; Рт= J ^н&О)^;(3.33)(3.33)

где

где

Ч=У(З^У'3; Рт= J ^н&О)^;

Ч=У(З^У'3; Рт= J ^н&О)^;

(3.33)

(3.33)

м(^, 0) — начальное распределение; Aim(r|)— производные w-ro

порядка от функции Эйри Ai(r|) = -^ cos(w3/3 + wr]) dw. При Vя J

о

т| ^ 1 и больших t решение ограничивается первым членом ряда (т = 0)

(3.34)(3.34)и = л 1/2P0Ai(r|)/(3P/)1/3.

(3.34)

(3.34)

Общий вид решения (3.32) изображен на рис. 3.2,6.

Нелинейное уравнение (3.22) имеет некоторые интересные решения в виде стационарных волн, распространяющихся с постоянной скоростью без изменения формы.. Такое решение можно найти, вводя новую независимую переменную ^ = ^ — и предполагая, что u(£, t^u^-v-jY Значение yt должно определяться в процессе решения. После замены получим уравнение

(3.35)(3.35)(3.36)(3.36)~ d3u , х du

(3.35)

(3.35)

(3.36)

(3.36)

интегрирование которого дает

Р^ = «2/2_Г1М+С1/2

1

Умножим последнее уравнение на и и, вновь интегрируя, получим

(3.37)(3.37)W^2 = (и313 - v! и1 + Сх и + С2 )/р.

(3.37)

(3.37)

Здесь С,-—константы интегрирования. Действительные решения существуют, если полином положителен или равен нулю. В дальнейшем ограничимся рассмотрением случая Р>0. Если полином имеет три разных положительных корня bv Ь2, Ь3 и b3<b2, то имеет место осциллирующее решение

u = b3-Hb3-bydn2( ^-^^i-vtУт1/2 ),(3.38)

\ \/1*0/7*j

где m = yx-byi<bv-b3Y

Скорость волны в системе, движущейся со скоростью с0,

Vi = (6i + 62 + 63)/3,Vi = (6i + 62 + 63)/3,(3.39)(3.39)

Vi = (6i + 62 + 63)/3,

Vi = (6i + 62 + 63)/3,

(3.39)

(3.39)

так как коэффициент перед квадратичным членом в кубическом полиноме равен сумме его корней, взятой со знаком минус.

Эллиптическая функция Якоби dn2 с модулем т осциллирует между нулем и единицей с периодом К (ту где К(т)— полный эллиптический интеграл первого рода. Функции dn2 и К(т) 66

Рис. 3.3. Характерные профили волн в среде с дисперсией:

а—кноидальные волны; б—волновой пакет; в — последовательность солитонов; 0^=4

затабулированы. По своему смыслу разность (6t—62) представляет возмущение (например, рис. 3.3, а), где bv b2— верхний и нижний уровни колебаний; Ь3— величина поля при ^-*±00. В нашем случае 63 = 0. Параметр т определяет уровень нелинейности волны.

Длина волны периодического решения

X = 2[12pm/(61-Z>2)]1/2^(w);(3.40)

скорость распространения

■.г1^2Д(2-ш)/Зш.(3.41)

Здесь А=(Ь1 — Ь-^Г!— амплитуда возмущения. По отношению к неподвижной системе отсчета г = с0 + 2Л/3.

При т « 1 эллиптические функции стремятся к тригонометрическим, т. е.

м = ы1-ЬД [cos(X^1) + (l/8)mcos(2X^1) + ...].(3.42)

Значения к, v, их определяются из соотношений

(bv—b2)l3^k2 = m(\+mjT); ^v=^, — v1t = x — vt;(3.43)

r = c0 + u1 — ^k2r = c0 + u1 — ^k2, Фх-ь2у96p2A:4, Фх-ь2у96p2A:4(3-44)(3-44)

r = c0 + u1 — ^k2

r = c0 + u1 — ^k2

, Фх-ь2у

96p2A:4

, Фх-ь2у

96p2A:4

(3-44)

(3-44)

При b2 = b3 решение имеет вид уединенной волны, называемой солитоне^:.-

М = Л/сЬ2(УЖ2₽^) + 63.(3.45)

Полуширина солитона /»(12p/J )1/2, скорость распространения и = с0 + А/3 + Ь3, амплитуда А=Ьг — Ь2. Перейдя в (3.45) к действительным возмущениям давления 5р и используя соотношение «^(у+.^/^фоРоСо)]^, получим

&Р = fya/ch2 {[5рл(у +1) ф0/(4ур02?2)]1/2 х

XXх-с0х-с0(у+1)6рЛblPo /(у+1)6рЛblPo /tt(3.46)(3.46)

X

X

х-с0

х-с0

(у+1)6рЛ

blPo /

(у+1)6рЛ

blPo /

t

t

(3.46)

(3.46)

тогда полуширина солитона запишется /кдв~^о [^оУ/ ^Ра (Y + 1) Фо 11/2> скорость солитона

, v = c0 [1+(у+1)8рл/6ур0]. (3.47)

Форма солитона показана на рис. 3.4. При больших значениях параметра нелинейности т периодическое решение уравнения Кортевега—де Вриза по существу представляет собой последовательность солитонов (рис. 3.3, в).

Рассмотрим нестационарные решения уравнения (3.23) при начальном условии м = иоф(х//), где функция ф описывает начальный профиль волны. Решения уравнения определяются значением параметра а2. Существует некоторое критическое значение ст2р такое, что при о2>ОкР решения имеют солитонный характер, а при ст2<а2р — характер волновых пакетов. Количество солитонов можно оценить формулой [12]

Nc = №j6) J Уш4 (3.48)

— 00

„Численные^ешения уравнения (3.23) при начальном профиле ф(^0) = ехр( — Н) приведены на рис. 3.3 для значений параметра а= 1,9(6) и 16,5(e) [71].В первом случае начальное возмущение распадается на солитон и волновой пакрт, а во втором случае — на систему солитонов. Вершины солитонов лежат на одной прямой, так как их скорости пропорциональны их амплитудам.

При соответствующих значениях параметра а в пузырьковой среде волновые пакеты, солитоны и системы солитонов могут наблюдаться экспериментально. Одно из важнейших свойств солитонов заключается в том, что при взаимодействии их 68

о Sо SРис. 3.4. Форма солитонаРис. 3.4. Форма солитона

о S

о S

Рис. 3.4. Форма солитона

Рис. 3.4. Форма солитона

Рис. 3.5. Взаимодействие солитонов

целостность и характерные признаки сохраняются. В работах Забусского и Крускала [284] столкновения солитонов исследованы с помощью численного решения.

На рис. 3.5 показано, как солитон а с большей амплитудой догоняет солитон Ь, имеющий меньшую амплитуду. В момент времени (2 происходит слияние солитонов, а в момент времени Z4 солитон а оказывается впереди солитона Ь. Солитоны выходят из столкновения, имея ту же форму и скорость, что и до столкновения. Это свойство позволяет использовать солитоны для моделирования процесса столкновения некоторых элементарных частиц, что и сделало их важным объектом теоретической физики.

При возмущениях с близкими амплитудами полного слияния солитонов не происходит. Солитон с большей амплитудой, сливаясь с меньшим, «перекачивается» в него, и после того как амплитуда меньшего до столкновения солитона превысит амплитуду догнавшего солитона, они вновь разбегаются.

Уравнение Буссинеска (3.14) по сравнению с уравнением Кортевега—де Вриза имеет ряд особенностей. Во-первых, оно точно описывает левую ветвь дисперсионной кривой (см. рис. 3.1), следующей из общей системы уравнений пузырьковой суспензии. Напомним, что уравнение КдВ описывает только начальную часть участка левой ветви дисперсионной кривой. Уравнение Буссинеска является обобщением уравнения КдВ не только по частотам, но и по амплитудам. Это станет понятным, если проанализировать его стационарные решения. Запишем уравнение Буссинеска в каноническом виде для газожидкостной среды без диссипации:

^Р_„2 ^Р-г2ХИ —8t2 со8х2. со 2у 5х2^Р_„2 ^Р-г2ХИ —8t2 со8х2. со 2у 5х2V .РоV .Ро^ = 0. 8x28t2^ = 0. 8x28t2(3.49)(3.49)

^Р_„2 ^Р-г2ХИ —8t2 со8х2. со 2у 5х2

^Р_„2 ^Р-г2ХИ —8t2 со8х2. со 2у 5х2

V .Ро

V .Ро

^ = 0. 8x28t2

^ = 0. 8x28t2

(3.49)

(3.49)

Напомним, что оно описывает волны, идущие в обе стороны. Ищем его стационарные решения в виде р=р(х—vt)=p(£,), где г—скорость стационарной волны. Полученное после замены переменных уравнение

D2D292р92р2 ^Р 2с 2 —-— с 21°5^202 ^Р 2с 2 —-— с 21°5^20Y+1 <^2Y+1 <^2f^Xsp^21^ = 0(3.50)\Ро /счf^Xsp^21^ = 0(3.50)\Ро /сч

D2

D2

92р

92р

2 ^Р 2

с 2 —-— с 21

°5^20

2 ^Р 2

с 2 —-— с 21

°5^20

Y+1 <^2

Y+1 <^2

f^Xsp^21^ = 0(3.50)

\Ро /сч

f^Xsp^21^ = 0(3.50)

\Ро /сч

проинтегрируем дважды по £ от — оо до +оо при краевых условиях р = 9р!9^=92р19Ь,2 = 6 при Е,-» + оо, после чего оно примет вид '

^^Ц^-с^-^ЧУт-(3.51)

Решение этого уравнения ищем в виде уединенной волны p = 5p0/chW).(3.52)

Найдем производную д2р/д£2:

^__ЭХ„ sh^Z) !. ^_я„ ^№^_^^Ъз^

5£^° ch3(^//)/’ д^2 Ро I2 [_ch3^//) ch2(^/Z)Jl ■ ’

и, подставив в (3.51), получим

2piy2^[3shW)-ch2(5//)Hv2-^^

-с^^ + С^ + Сз. (3.54)

Используя условия: при ^=0 sh^//) = O, ch (£,//)—>■ 1; при ^-»±оо sh(^//)-»ch(^//)-»exp(^//)/2, запишем основные соотношения для уединенной волны уравнения Буссинеска:

VVсосо12р1Ур0 .(y+l)8/V12р1Ур0 .(y+l)8/Vv = c0v = c0। t 1 Y + 1 fyo3 Y Po ‘। t 1 Y + 1 fyo3 Y Po ‘(3.55)(3.55)

V

V

со

со

12р1Ур0 .

(y+l)8/V

12р1Ур0 .

(y+l)8/V

v = c0

v = c0

। t 1 Y + 1 fyo

3 Y Po ‘

। t 1 Y + 1 fyo

3 Y Po ‘

(3.55)

(3.55)

Нетрудно видеть, что полуширина солитона Буссинеска /Б связана с полушириной солитона /КдВ соотношением /б = /кдву/со- Связь скорости солитона с амплитудой выражается второй формулой (3.55); разлагая корень при 8р0/р0<1, получаем выражение

v = c0v = c0Y+1буY+1бу(SPoiPo)(SPoiPo)(3.56)(3.56)

v = c0

v = c0

Y+1бу

Y+1бу

(SPoiPo)

(SPoiPo)

(3.56)

(3.56)

совпадающее с выражением для скорости солитона, описываемого уравнением КдВ. Таким образом, уравнение Буссинеска является более точным приближением по амплитуде для исходной системы уравнений пузырьковой суспензии. Встречное 70

Рис. 3.6. Встречное взаимодействие солитонов на основе решения уравнения Буссинеска

взаимодействие солитонов, описываемое уравнением Буссинеска, показано на рис. 3.6.

Стационарные решения уравнения Буссинеска вида (3.16) по существу совпадают со стационарными решениями уравнения Кор-

ррО 10 20 30 4060805О 10 20 30 4060805тевега—детевега—деВриза.Вриза.В частности, форма солитонов, соответствующих описывается зависимостью

р

р

О 10 20 30 4060805

О 10 20 30 4060805

тевега—де

тевега—де

Вриза.

Вриза.

Волновые уравнения эффектами

уравнению Буссинеска, хорошо (3.45) и представлена на рис. 3.4.уравнению Буссинеска, хорошо (3.45) и представлена на рис. 3.4.для среды с диссипативнымидля среды с диссипативнымиАнализ поведения волны возмущения давления в пузырьковой среде на основе уравнений Кортевега—де Вриза и Буссинеска возможен тогда, когда в среде практически не проявляются диссипативные эффекты. В действительности реальные пузырьковые среды характеризуются существенными диссипативными потерями, основные из которых связаны с рассеянием энергии при сжатии и расширении пузырьков газа. Учет вязкостной диссипации при радиальном движении пузырьков ведет к появлению в уравнении Рэлея дополнительного члена 4<м х! R^dRjdt. Кроме того, пузырек в волне давления излучает звук, что приводит к переизлучению сжатой области смеси в окружающую невозмущенную смесь и к диссипации энергии в волне.

уравнению Буссинеска, хорошо (3.45) и представлена на рис. 3.4.

уравнению Буссинеска, хорошо (3.45) и представлена на рис. 3.4.

для среды с диссипативными

для среды с диссипативными

Эти эффекты можно учесть на основе приближения Херин- га—Флина

nd2R 3fdR\2 4vtdR R(dp\dR 1, x

(3-57)

где ct — скорость звука в жидкости.

Перейдя от радиуса пузырька к плотности смеси, получим приближенное уравнение для связи давления и плотности

+ Cq(1+B8p)8p = 8p00,+ Cq(1+B8p)8p = 8p00,(3.58)(3.58)Ro d2p 4 vt dp Rocodp Зф0 di2 3 ф0 dt cv dt

+ Cq(1+B8p)8p = 8p00,

+ Cq(1+B8p)8p = 8p00,

(3.58)

(3.58)

в котором нелинейность сохранена только в последнем члене левой части уравнения.

Введем уг=4у1/3фо—параметр, характеризующий гидродинамическую вязкость пузырьковой системы; vaK = 7?0Cp/c1— параметр, характеризующий акустические потери, и представим скорость звука в виде (1.33), тогда получим уравнение, замыкающее уравнения гидрбдинамики смеси, в виде .

2₽i § + 2уэФ ^ + ^8р + В^(5р)2 = 5р00,(3.59)

где уэф = (vr + vaK )/2— эффективная вязкость.

' Как и ранее, можно пренебречь гидродинамической нелинейностью и диссипативными членами в уравнениях гидродинамики. Тогда уравнения (3.11) и (3.59) будут исходными для построения теории волн в пузырьковой среде с диссипацией на пузырьках.

Считая, что давление в смеси и есть давление на бесконечном удалении от пузырька р^, продифференцируем дважды уравнение (3.59) по времени и, использовав-уравнение (3.11), получим

Предположив, что диссипативные, нелинейные и дисперсионные эффекты малы, заменим в нелинейном члене величину 8р через ор соотношением из линейной акустической системы 8р«Су8р. Последнее допустимо только тогда, когда вязкие и дисперсионные процессы слабо влияют на распространение волны, т. е. деформация и затухание волны малы на расстоянии порядка ее длины. Имеем

2Pi2Pi(3.61)(3.61)^+ci82p_82p+^8^ + 2v41^ = д12Эх2 0 Эх2 dt2 с у Эг2 эф 8x26t

2Pi

2Pi

(3.61)

(3.61)

Выделим подобно тому, как это было сделано в предыдущем параграфе, волну, распространяющуюся в одну сторону:

(3.62)(3.62)Лр+с 8р I в 8^2 v82p в -^-=0.

(3.62)

(3.62)

St 0 Эх 2с0 Эх э* Эх2 1 дх2Э1

Воспользовавшись еще раз заменой д jdt= — c^jdx в дисперсионном члене, получим окончательный вид уравнения для описания эволюции возмущения в пузырьковой системе с учетом диссипативных и дисперсионных эффектов:

Это уравнение называют уравнением Кортевега—де Вриза— Бюргерса (КдВБ). Введя новую переменнуюи= [(Y + 1)/2форосо] Ьр = [(у + 1)/2у] c^pjpy, (3.64) можно записать последнее уравнение в канонической форме:Это уравнение называют уравнением Кортевега—де Вриза— Бюргерса (КдВБ). Введя новую переменнуюи= [(Y + 1)/2форосо] Ьр = [(у + 1)/2у] c^pjpy, (3.64) можно записать последнее уравнение в канонической форме:Ви Ви , Ви д2и „ д3и А ч- + с0—+м-—v3+ -^ + Р1со-^ = 0. dt fix Вх ф dx dx1Ви Ви , Ви д2и „ д3и А ч- + с0—+м-—v3+ -^ + Р1со-^ = 0. dt fix Вх ф dx dx1(3.65)(3.65)Примем в качестве масштабов 8р0, /0 — амплитуду и ширину начального возмущения; Uo = (у +1) 8ро/2софоро — масштаб скорости возмущения в системе координат, движущейся с волной. То, что Uo—это действительно масштаб скорости распространения волны, ясно из приведенного ранее анализа скорости ударной волны и скорости солитона. Перейдя к системе отсчета, движущейся со скоростью с0, получим в безразмерной форме уравнениеПримем в качестве масштабов 8р0, /0 — амплитуду и ширину начального возмущения; Uo = (у +1) 8ро/2софоро — масштаб скорости возмущения в системе координат, движущейся с волной. То, что Uo—это действительно масштаб скорости распространения волны, ясно из приведенного ранее анализа скорости ударной волны и скорости солитона. Перейдя к системе отсчета, движущейся со скоростью с0, получим в безразмерной форме уравнениеВй _ ей 1 d2u 1 d3u_. dt U 8^ Re^+o2^3'Вй _ ей 1 d2u 1 d3u_. dt U 8^ Re^+o2^3'(3.66)(3.66)Здесь Re = /0 (у + 1) с08р0 /2уРо^- -В предельном случае сильной диссипации в среде и слабой дисперсии поведение волн в пузырьковой смеси подчиняется уравнению БюргерсаЗдесь Re = /0 (у + 1) с08р0 /2уРо^- -В предельном случае сильной диссипации в среде и слабой дисперсии поведение волн в пузырьковой смеси подчиняется уравнению Бюргерсади , ди , ди d2u "57 4-Сот- +u — = v^^. dt dx dx dxди , ди , ди d2u "57 4-Сот- +u — = v^^. dt dx dx dx(3.67)(3.67)В системе отсчета, движущейся со скоростью с0, Для м=(у+1)8р/(2моСоФоРо) уравнение Бюргерса принимает видВ системе отсчета, движущейся со скоростью с0, Для м=(у+1)8р/(2моСоФоРо) уравнение Бюргерса принимает виддй ~дй 1 д2й ~ ”}■ Н ~ —75ГТ. dt 8^ Re d’d,2дй ~дй 1 д2й ~ ”}■ Н ~ —75ГТ. dt 8^ Re d’d,2(3.68)(3.68)Здесь t = tuollo\ X = (x-cot)llo.Уравнение Бюргерса имеет аналитическое решение [71 ].Е. -2Если ввести новую переменную ф и принять, что и=—хЗдесь t = tuollo\ X = (x-cot)llo.Уравнение Бюргерса имеет аналитическое решение [71 ].Е. -2Если ввести новую переменную ф и принять, что и=—хх«1п(Ф& д), то уравнение для ф имеет вид уравнениях«1п(Ф& д), то уравнение для ф имеет вид уравнениятеплопроводноститеплопроводностидф_ 1 52фd7~Re dipдф_ 1 52фd7~Re dip(3.69)(3.69)При начальном условии й^, 0) = м(^) и при Г-»оо решение уравнения Бюргерса имеет видПри начальном условии й^, 0) = м(^) и при Г-»оо решение уравнения Бюргерса имеет вид(3.70)(3.70)

Это уравнение называют уравнением Кортевега—де Вриза— Бюргерса (КдВБ). Введя новую переменную

и= [(Y + 1)/2форосо] Ьр = [(у + 1)/2у] c^pjpy, (3.64) можно записать последнее уравнение в канонической форме:

Это уравнение называют уравнением Кортевега—де Вриза— Бюргерса (КдВБ). Введя новую переменную

и= [(Y + 1)/2форосо] Ьр = [(у + 1)/2у] c^pjpy, (3.64) можно записать последнее уравнение в канонической форме:

Ви Ви , Ви д2и „ д3и А ч- + с0—+м-—v3+ -^ + Р1со-^ = 0. dt fix Вх ф dx dx1

Ви Ви , Ви д2и „ д3и А ч- + с0—+м-—v3+ -^ + Р1со-^ = 0. dt fix Вх ф dx dx1

(3.65)

(3.65)

Примем в качестве масштабов 8р0, /0 — амплитуду и ширину начального возмущения; Uo = (у +1) 8ро/2софоро — масштаб скорости возмущения в системе координат, движущейся с волной. То, что Uo—это действительно масштаб скорости распространения волны, ясно из приведенного ранее анализа скорости ударной волны и скорости солитона. Перейдя к системе отсчета, движущейся со скоростью с0, получим в безразмерной форме уравнение

Примем в качестве масштабов 8р0, /0 — амплитуду и ширину начального возмущения; Uo = (у +1) 8ро/2софоро — масштаб скорости возмущения в системе координат, движущейся с волной. То, что Uo—это действительно масштаб скорости распространения волны, ясно из приведенного ранее анализа скорости ударной волны и скорости солитона. Перейдя к системе отсчета, движущейся со скоростью с0, получим в безразмерной форме уравнение

Вй _ ей 1 d2u 1 d3u_. dt U 8^ Re^+o2^3'

Вй _ ей 1 d2u 1 d3u_. dt U 8^ Re^+o2^3'

(3.66)

(3.66)

Здесь Re = /0 (у + 1) с08р0 /2уРо^- -

В предельном случае сильной диссипации в среде и слабой дисперсии поведение волн в пузырьковой смеси подчиняется уравнению Бюргерса

Здесь Re = /0 (у + 1) с08р0 /2уРо^- -

В предельном случае сильной диссипации в среде и слабой дисперсии поведение волн в пузырьковой смеси подчиняется уравнению Бюргерса

ди , ди , ди d2u "57 4-Сот- +u — = v^^. dt dx dx dx

ди , ди , ди d2u "57 4-Сот- +u — = v^^. dt dx dx dx

(3.67)

(3.67)

В системе отсчета, движущейся со скоростью с0, Для м=(у+1)8р/(2моСоФоРо) уравнение Бюргерса принимает вид

В системе отсчета, движущейся со скоростью с0, Для м=(у+1)8р/(2моСоФоРо) уравнение Бюргерса принимает вид

дй ~дй 1 д2й ~ ”}■ Н ~ —75ГТ. dt 8^ Re d’d,2

дй ~дй 1 д2й ~ ”}■ Н ~ —75ГТ. dt 8^ Re d’d,2

(3.68)

(3.68)

Здесь t = tuollo\ X = (x-cot)llo.

Уравнение Бюргерса имеет аналитическое решение [71 ].

Е. -2

Если ввести новую переменную ф и принять, что и=—х

Здесь t = tuollo\ X = (x-cot)llo.

Уравнение Бюргерса имеет аналитическое решение [71 ].

Е. -2

Если ввести новую переменную ф и принять, что и=—х

х«1п(Ф& д), то уравнение для ф имеет вид уравнения

х«1п(Ф& д), то уравнение для ф имеет вид уравнения

теплопроводности

теплопроводности

дф_ 1 52фd7~Re dip

дф_ 1 52фd7~Re dip

(3.69)

(3.69)

При начальном условии й^, 0) = м(^) и при Г-»оо решение уравнения Бюргерса имеет вид

При начальном условии й^, 0) = м(^) и при Г-»оо решение уравнения Бюргерса имеет вид

(3.70)

(3.70)

где А = ^1^4№;

х ехр( —r|2)tZr| .х ехр( —r|2)tZr| .(3.71)(3.71)

х ехр( —r|2)tZr| .

х ехр( —r|2)tZr| .

(3.71)

(3.71)

Рис. 3.7. Решение уравнения Бюргерса на больших временах:

1 — Re->oo; 2—Re=constч

Как видно, асимптотическая форма профиля волны универсальна (рис. 3.7). Единственным параметром, зависящим от начального распределения, является величина

М= J «о^^П-(3.72)

— оо

Профиль слабой стационарной ударной волны можно найти, приняв, что р=/(У не зависит от t. Тогда

.d^x d^i Re

откуда й2/2 — ^й+С! =(l/Re)d«/d^i (здесь 6V—скорость ударной волны). Если при £i-»±oo при ^i-»оо й=Ай, при ^i^—oo й=0, то

Ам Zy+1\8^°z.

(3.74)(3.74)"-=т=^КСо’

(3.74)

(3.74)

а произвольная постоянная Ci=0. Уравнение (3.73) можно переписать в виде

й(й-й1/2) =й(й-й1/2) =2 duRe^/2 duRe^/(3.75)(3.75)

й(й-й1/2) =

й(й-й1/2) =

2 duRe^/

2 duRe^/

(3.75)

(3.75)

чему соответствует

й=й0й=й0Re /» _ ~> уб-.-.Re /» _ ~> уб-.-.или в параметрах двухфазной смесиили в параметрах двухфазной смесиМРо =МРо =|1 + ехр ((у +1) СоЗроМуУэф Po^x-Cot- ^ ^ cot|1 + ехр ((у +1) СоЗроМуУэф Po^x-Cot- ^ ^ cot-1-1

й=й0

й=й0

Re /» _ ~> уб-.-.

Re /» _ ~> уб-.-.

или в параметрах двухфазной смеси

или в параметрах двухфазной смеси

МРо =

МРо =

|1 + ехр ((у +1) СоЗроМуУэф Po^x-Cot- ^ ^ cot

|1 + ехр ((у +1) СоЗроМуУэф Po^x-Cot- ^ ^ cot

-1

-1

(3.76)

Рис. 3.8. Профиль ударной волны, полученный из решения уравнения Бюргерса

Профиль ударной волны показан на рис. 3.8. Ширина фронта слабой ударной волны в пузырьковой среде

/о « 4уУэф Ро Ду +1) с0§ Ро,

№

а скорость ее распространения

г = со[1 + (т+1)]8ро/4уро-’ (3.78)

3.4. Осцилляторная ударная волна

Одним из наиболее важных результатов, полученных на основе уравнения Кортевега—де Вриза—Бюргерса, является установление существования осцилляторной ударной волны. Если искать стационарное решение уравнения КдВБ в виде и=и(^—v1t)=u(^i), то уравнение преобразуется в обыкновенное дифференциальное уравнение

Р^з уэФ

d2u du , х

^+—(„-D1)=o.

Интеграл этого уравнения при условиях d2uld^=Q, duld’£,i=Q, и=0 имеет вид

nd2u du и1

(3.79)

^1 -»оо,

(3.80)

Далее будем полагать, что также выполняется условие: ^i — оо, и-»п0. Проще всего можно установить существование осцилляторной ударной волны, исследуя асимптотику поведения решения уравнения (3.80) при ^ = —00. Из (3.80) следует, что г^Мо/2. Полагая m = m0+/CU)> где /(^1)—малая величина, и линеаризуя уравнение относительно /(^1), получаем

Rd2f df „ _

Решение этого уравнения имеет видf=A1e-k^1-\-A2ek^1;

k=v^№± (v^MP2-^/^1'2.

(3.81)

(3.82)

(3.83)

Видно, что ударная волна имеет осцилляторную структуру при v^<^/4Pv! и монотонную—при v^>^/4Pv7. Легко

Рис. 3.9. Монотонные (а) и осцилляторные (б) ударные волны (р>0)

Рис. 3.10. Экспериментальные профили монотонных (а) и осциллирующих (б) ударных волн

показать, что условие критической вязкости эквивалентно

условию критичности отношения a/Re. Для пузырьковой смеси значение

\ Зфоро Y+1

может быть велико, и тогда в эксперименте следует ожидать реализации осцилляторной (рис. 3.9,6) ударной волны, а в случае Уэф>укр реализуется монотонная стационарная ударная волна (рис. 3.9, а). Соответствующие экспериментальные профили показаны на рис. 3.10. Результаты расчетов стационарных ударных волн на основе уравнения КдВБ, выполненных В. Г. Гасенко, приведены на рис. 3.11. Численный и физичес-

Рис. 3.11. Расчет структуры ударных волн на основе стационарного уравнения КдВБ

кий эксперименты, проведенные в Институте теплофизики СО АН СССР и в НИИ механики МГУ, показывают, что времена формирования стационарных ударных волн очень велики и в реальных экспериментах наблюдаются нестационарные ударные волны.

Численное решение уравнения Кортевега—де Вриза — Бюргерса

Нестационарное уравнение КдВБ не имеет аналитических решений, и основным инструментом его исследования являются численные методы. Первые численные разностные схемы для уравнения Кортевега—де Вриза были разработаны Забусским, Березиным, Вингаардтом, разностные схемы для уравнения Кортевега—де Вриза — Бюргерса разрабатывались Березиным, • Вингаардтом, Гасенко. Результаты некоторых типичных решений уравнений КдВБ приведены на рис. 3.12—3.15.

Рис. 3.12. Образование солитонов из куполообразного возмущения: _о = 50; o/Re = 0; 1 — /=4; 2—Г=8Рис. 3.12. Образование солитонов из куполообразного возмущения: _о = 50; o/Re = 0; 1 — /=4; 2—Г=80,750,75-ю о ю Xа)-ю о ю Xа)0,25 О —0,250,25 О —0,25— 0,75— 0,75-15 -10 -50£-15 -10 -50£Рис. 3.13. Образование волнового пакета из короткого сигнала: _ о = 2; o/Re=0,l; 1 — 7=1; 2—1 = 5Рис. 3.13. Образование волнового пакета из короткого сигнала: _ о = 2; o/Re=0,l; 1 — 7=1; 2—1 = 55)5)

Рис. 3.12. Образование солитонов из куполообразного возмущения: _

о = 50; o/Re = 0; 1 — /=4; 2—Г=8

Рис. 3.12. Образование солитонов из куполообразного возмущения: _

о = 50; o/Re = 0; 1 — /=4; 2—Г=8

0,75

0,75

-ю о ю Xа)

-ю о ю Xа)

0,25 О —0,25

0,25 О —0,25

— 0,75

— 0,75

-15 -10 -50£

-15 -10 -50£

Рис. 3.13. Образование волнового пакета из короткого сигнала: _ о = 2; o/Re=0,l; 1 — 7=1; 2—1 = 5

Рис. 3.13. Образование волнового пакета из короткого сигнала: _ о = 2; o/Re=0,l; 1 — 7=1; 2—1 = 5

5)

5)

Рис. 3.14. Развитие сигнала в диспергирующей среде с большой вязкостью: 7 —Z=12; 2 — 24; 3-36; 4—48; о = 30; o/Re=l .Рис. 3.14. Развитие сигнала в диспергирующей среде с большой вязкостью: 7 —Z=12; 2 — 24; 3-36; 4—48; о = 30; o/Re=l .Рис. 3.15. Развитие волнового пакета в среде с сильной диссипацией: 7 —'=3; 2—6; 3—9; о=1; c/Re=0,5Рис. 3.15. Развитие волнового пакета в среде с сильной диссипацией: 7 —'=3; 2—6; 3—9; о=1; c/Re=0,5

Рис. 3.14. Развитие сигнала в диспергирующей среде с большой вязкостью: 7 —Z=12; 2 — 24; 3-36; 4—48; о = 30; o/Re=l .

Рис. 3.14. Развитие сигнала в диспергирующей среде с большой вязкостью: 7 —Z=12; 2 — 24; 3-36; 4—48; о = 30; o/Re=l .

Рис. 3.15. Развитие волнового пакета в среде с сильной диссипацией: 7 —'=3; 2—6; 3—9; о=1; c/Re=0,5

Рис. 3.15. Развитие волнового пакета в среде с сильной диссипацией: 7 —'=3; 2—6; 3—9; о=1; c/Re=0,5

Распад начального возмущения на солитоны при большом значении параметра о на основе решения безразмерного уравнения (3.66) показан на рис. 3.12. Из куполообразного возмущения, заданного начальным распределением ехр(—^2), в конечном итоге получается восемь солитонов и волновой пакет малой амплитуды. Вершины солитонов, как это и должно быть, лежат на одной прямой^ и расстояние между солитонами постоянно растет. Форма солитонов и их скорость соответствуют зависимостям (3.46), (3.47).

Развитие волнового пакета из «короткого» сигнала (рис. 3.13) рассчитано на основе уравнения Кортевега—де Вриза без диссипации. При достаточно больших временах волновые пакеты можно рассчитывать по соотношениям (3.34), (3.35).

Результаты численного решения уравнения КдВБ для большой вязкости (рис. 3.14) свидетельствуют, что в этом случае никаких осцилляций сигнала в процессе эволюции возмущения не возникает и оно развивается в треугольник по соотношениям, характерным для нелинейного уравнения Бюргерса. При малых значениях параметра дисперсии и большей вязкости (рис. 3.15) сигнал эволюционирует в соответствии с линейным уравнением Бюргерса. 78

Качественные результаты численных решений уравнения КдВБ приведены на схематической (рис. 3.16) и детальной (рис. 3.17) картах решений, где по вертикальной оси отложен параметр дисперсии о, а по горизонтальной—отношение чисел дисперсии и диссипации o/Re.

Прослеживая картину эволюции сигнала при изменении эффективной вязкости и больших числах Рейнольдса смеси, видим, что при малых значениях о реализуется режим волновых пакетов, который по мере увеличения о сменяется солитонным и многосолитонным режимами, переходящими в предельной ситуации больших начальных длин возмущения / в осцилляторную ударнуюv волну.

Повышение эффективной вязкости смеси, т. е. уменьшение числа Re и увеличение параметра o/Re, приводит к сглажива- 79

Заказ 2980

00,5 0,6 0,7 0,9 W123 Ч 5 6 7 8 9 10е2 C/Re

Рис. 3.17. Карта решений уравнения КдВБ

нию всех осцилляций. Ударная волна с осцилляторным хвостом превращается в обычную монотонную ударную волну, солитоны эволюционируют как треугольные образования Бюргерса, а возмущения, соответствующие волновым пакетам, при малых cr/Re расплываются согласно решениям линейного уравнения Бюргерса.

Ударные волны умеренной интенсивности

В § 3.4 мы рассмотрели структуру ударной волны слабой интенсивности на основе приближения КдВБ. Точно так же можно рассмотреть и стационарные решения уравнения Буссинеска при наличии диссипации с целью анализа ударной волны большей интенсивности.

Запишем уравнение Буссинеска (3.49) с диссипацией в виде

-213^-0.(3.85)-213^-0.(3.85)^-^^-Ltlz-Z-^V^A _9v 83р

-213^-0.(3.85)

-213^-0.(3.85)

St2 0 сх2 1ч ° 9х2\ Ро ) StSx2

Введя безразмерные параметры

(3.86)(3.86)р = 6р!5р0; т = //(0; ^ = х//0,

(3.86)

(3.86)

где t0 = l0]U0, и приняв Uo, как в (3.21), (3.22), уравнение (3.85) можно записать в виде

дт2д^2д^2^ ’

Здесь M = U0(c0, a Re = Uololv^ и g2 = IqU0^xc0 совпадают с параметрами подобия Кортевега—де Вриза — Бюргерса, введенными в § 3.3.

Рассмотрим стационарные решения (3.87), предполагая, что они описывают структуру ударной волны. Ищем решение в виде рх =рх (£ — ихт)=рх (Ci). Интегрируя (3.87) по Ci от — оо до + оо с условиями перед фронтом волны: />1 = 0, 9рх(9^=0, 92рх(9^ = 0, а за фронтом 9рх(9,СзХ = й, 9р218С,х=0, рх = 1, найдем скорость ударной волны

рЬМ^ + М-^^А^ + ^-И,(3.88)

2у \р0Y+1/^

где р2— полное давление за фронтом.

Соотношение (3.88) совпадает с адиабатой Паркина — Гилмора— Броуда (1.65), а уравнение (3.87) описывает ударные волны достаточно большой интенсивности, во всяком случае, оно пригодно для более высоких амплитуд, чем разрешает рассматривать приближение КдВБ. Из (3.87) получим уравнение для описания структуры ударной волны, введя ^ = (С —гт)о/г: 82

Рис. 3.18. Сравнение экспериментального профиля / первой осцилляции во фронте ударной волны с солитонами КдВБ // и Буссинеска /// (справа— характерный профиль давления): а—^pAjp0<\; б—\<ЬрА}р0<3; в—ЬрА1р0>3; г—крА/р0^5Ъ

(3.89)(3.89)d2Pi _ _^_ ^1 , £iLpi<11) = o

(3.89)

(3.89)

d;2 Re ^2'

Уравнение (3.89) совпадает с аналогичным стационарным уравнением, следующим из приближения КдВБ, однако входящее в координату £ значение скорости г имеет другую зависимость от 5р1р0 и переходит в (3.74) при Зр2/р0<1- Поэтому несмотря на качественное совпадение структур ударных волн, описываемых уравнениями Буссинеска и КдВБ, физические масштабы будут различны при 6р21ро^»\. Нетрудно оценить изменение ширины первой осцилляции в ударной волне. Первая осцилляция ударной волны хотя и имеет форму солитона, но движется со скоростью ударной волны. Тогда согласно соотношению /Б = /кдвй где г в ударной волне определяется адиабатой [132], полуширина первой осцилляции по уравнению Буссинеска больше, чем рассчитанная по КдВБ:

1—1 7+1 <б-<кдв^-1—1 7+1 <б-<кдв^-— + 7-1^Ро Y+1 /— + 7-1^Ро Y+1 /(3.90)(3.90)

1—1 7+1 <б-<кдв^-

1—1 7+1 <б-<кдв^-

— + 7-1^

Ро Y+1 /

— + 7-1^

Ро Y+1 /

(3.90)

(3.90)

Эксперименты, проведенные в Институте теплофизики СО АН СССР, и сравнение их с расчетами по (3.90) показали (рис. 3.18), что при Дрл/р0<1 структуру волны хорошо описывают уравнения КдВБ и Буссинеска. С увеличением интенсивности (Дрл/р0«3) уравнение КдВБ дает неудовлетворительные результаты (см. рис. 3.18), а уравнение Буссинеска правильно описывает форму первой осцилляции. Отметим, что структура волн умеренной интенсивности имеет особенность, на которую обратил внимание Декснис [48],— осцил-. ляции на фронте волны, начиная с Дрл/р0>5, заостряются.

Общие соотношения на разрыве без учета структуры ударной волны были рассмотрены в гл. 1.

Экспериментальные данные о распространении возмущений давления в жидкости с пузырьками газа

Эксперименты по исследованию распространения ударных волн в жидкости с пузырьками проводились у нас и за рубежом [25, 63, 64, 128, 171, 210, 268]. На рис. 3.19 показаны характерные осциллограммы возмущений давления в водо- глицериновом растворе с р= 1180 кг/м3, vt = 1,8 • 10-5 м2/с, насыщенном пузырьками СО2, а в табл. 3.1 приведены основные характеристики возмущений и среды.

Использование пузырьков СО2 с ^0 ^ 1 мм обеспечило выполнение условия R^^Ja^t (где J a2t—масштаб глубины проникновения теплового слоя внутрь пузырька за время /) в широком диапазоне длительностей возмущений и позволило рассматривать поведение газа в пузырьках как близкое к ади- 84

Рис. 3.19. Характерные осциллограммы возмущений в жидкости с пузырьками

СО2

Таблица 3.1

Рисунок 3.19

<3

Re

o/Re

L, м

Характеристика сигнала-

а

12

356

0,034

0

Характерный вид первоначального импульса

6

—

—

0,05

0,6

Ударная волна

в

53

3500

0,015

1,4

Многосолитонное возмущение

г

30

1500

0,02

1,4

Двухсолитонное возмущение

д

12

360

0,034

0,6

Одиночный солитон

е

3,4

48

0.071

0,6

Волновой пакет

Примечание. L — расстояние между датчиком и местом входа возмущения в среду.

абатическому. Газосодержание во всех опытах было порядка 0,01. Использование углекислого газа позволило также получить малые значения параметра o/Re во всех опытах, приведенных на рис. 3.19.

Начальное возмущение представляло собой ударную волну треугольного профиля с перепадом давления во фронте 8р0 85

и.полной шириной /о = «1<о, где i0 — время положительной фазы давления. Поскольку для всех этих данных ст/Rec 1, развитие процесса хорошо соответствует основным выводам из уравнения Кортевега—де Вриза. В зависимости от значения параметра ст начальное возмущение распадается на последовательность уединенных волн-солитонов, если о>Окр (см. рис. 3.19,в — Э), или трансформируется в волновой пакет, если о<СТкр (см. рис. 3.19,е). Для треугольного возмущения <укр= 13,9.

Количество солитонов, образующихся из начального распределения", находится по (3.48). Так, для опыта, представленного на рис. 3.19,в, ст = 53, и из (3.48) следует Wc=5, что и наблюдается в эксперименте; для случая г ст = 30 и ^ = 2 = 3. Как и следует из теоретического анализа, солитоны располагаются в порядке уменьшения их амплитуды. При о^а^ (см. рис. 3.19,6) из начального возмущения образуется одиночный солитон.

При дальнейшем уменьшении ст происходит качественная перестройка структуры возмущения. Если при ст>СТкр знакоположительное начальное возмущение трансформировалось в знакоположительные солитоны, то при стсст™ оно трансформируется в знакопеременный волновой пакет (см. рис. 3.19, е). Если начальное возмущение представляет собой ударную волну со ступенчатым профилем, что условно соответствует бесконечно большому значению параметра ст, то солитоны объединяются и в среде формируется ударная волна с осциллирующей структурой (см. рис. 3.19,6). Осцилляции давления за передним фронтом волны, как было показано ранее, обусловлены инерцией присоединенной массы газовых включений и превосходят значения давления начального возмущения.

Таким образом, экспериментально показано, что в случае ст/Re «1 солитон и волновой пакет являются элементарными образованиями в газожидкостной среде. Любое начальное возмущение в зависимости от параметра ст распадается на последовательность солитонов или волновой пакет.

Характер изменения структуры возмущения по высоте рабочего участка ударной трубы диаметром 53 мм в случае ст>сткр иллюстрируют осциллограммы давления с четырех датчиков, расположенных на различном расстоянии от верхнего уровня среды (рис. 3.20). Из приведенных осциллограмм видно, что процесс формирования солитона происходит на небольшом расстоянии от входа начального возмущения в среду. Отметим, что уменьшение начального импульса возмущения по длине рабочего участка не превышало во всех проведенных экспериментах 10%, что соответствует увеличению статического давления в среде. Следовательно, процесс формирования и наличие реальной диссипации не оказывают заметного влияния на изменение начального импульса возмущения по длине рабочего участка. 86

Рис. 3.20. Развитие начального возмущения вдоль трубы: 1—газожидкостная смесь; 2— камера высокого давления; 3—диафрагма; 4—датчики; 5—пористая вставка.

Из приведенных осциллограмм (см. рис. 3.19) видно также, что при одаокр амплитуда возмущения и его длительность мало изменяются в процессе формирования. Происходит только перестройка формы возмущения—из треугольной'она превращается в уединенную волну (см. рис. 3.19, а, Э). В случае же волнового пакета (ст<сткр) наблюдается значительное уменьшение амплитуды возмущения при увеличении его длительности. Таким образом, изменение амплитуды возмущений в зоне формирования в случае o/Re « 1 определяется соотношением между о и окр. Прямое сопоставление результатов численного решения и эксперимента дано на рис. 3.21. На рис. 3.22 приведена экспериментальная карта характеристик волновых структур.

Рис. 3.21. Сопоставление экспериментальных (справа) и теоретических профилей давления по параметру а:

а—а = 53; б—а=12; в — о = 3,4

Экспериментально определена зависимость скорости распространения сформировавшихся солитонов и волновых пакетов от амплитуды в жидкости с пузырьками С02 (рис. 3.23). В опытах измерялась средняя скорость распространения вершины возмущений на расстоянии 0,6 м от верхнего уровня среды на отрезке длиной 0,805 м. Линия 1— теоретическая зависимость для усредненной по отрезку измерения скорости солитонов.

На рис. 3.24 сопоставлена экспериментально наблюдаемая форма уединенной волны 1 с формой солитона 2, рассчитанной по (3.46). Переход от временной координаты t в опыте к пространственной х осуществляется с помощью соотношения x = v1t. Опытные данные по зависимее™ полуширины солитона от его амплитуды при фиксированных параметрах среды (точки 3) зарегистрированы на различных расстояниях от верхнего уровня среды (от 0,6 до 1,6 м) и обобщаются расчетной зависимостью (3.46) при у= 1,3. Видно, что с увеличением амплитуды солитонов их полуширина уменьшается.

Рис. 3.22. Экспериментальная карта характерных волновых режимов

Инерция присоединенной массы газовых включений, влияющая на структуру солитонов и волновых пакетов, в случае начального возмущения типа «ступеньки» приводит к формированию ударных волн с осциллирующей или монотонной структурой (рис. 3.25—3.27). Амплитуда пульсаций давления в этом случае может значительно превосходить значение избыточного давления в ударной волне при ее входе в газожидкостную среду. Частота и интенсивность осцилляций давления 89

V^M/C

110

110

120

о- I •-П

Рис. 3.23. Зависимость скорости распространения солитонов (/) и волновых пакетов ЦГ) от амплитуды:

1 — расчет

по (3.47); 2—Vi=c0

2

100100

100

100

Рис. 3.24. Сопоставление экспериментально наблюдаемого профиля давления с расчетной формой солитона:

1, 3—эксперимент; 2, 4—расчет; £=0,6 м; Ро=0,1 МПа; Я0=1,38мм; ф0 = 1,03• 10-2

определяются соотношением между параметрами среды и ин- тенсивностью ударной волны. При неизменной интенсивности ударных волн (см. рис. 3.25) с уменьшением радиуса пузырьков частота осцилляций за передним фронтом растет, а их амплитуда уменьшается.

Частота осцилляций давления увеличивается также и с повышением интенсивности ударной волны (см. рис. 3.26) при

Рис. 3.25. Экспериментальные профили давления, развивающиеся из сигнала в форме «ступеньки»:

6рл=const = 0,1 МПа; (p=const= 1,03 • 10-2; а — Ло = 0,69 мм; б — 0,48; в—0,1мм

Рис. 3.26. Экспериментальные профили давления волны, развивающиеся из «ступеньки»:

/?o=const=0,75 мм; <р=const=0,99-10'2; а—брл/ро=0,37; 6—0,8

неизменных параметрах среды. При некотором соотношении между параметрами среды и интенсивностью ударной волны осцилляции давления пропадают и ударная волна имеет монотонную структуру (см. рис. 3.27).

Эти качественные выводы о структуре ударных волн в двухфазной среде находятся в соответствии с результатами приведенного выше теоретического анализа. Частота и амплитуда пульсаций давления определяются соотношением между значениями коэффициента дисперсии среды о, эффективной вязкости среды v^ и интенсивности ударной волны 5р0- С ростом коэффициента дисперсии о, что соответствует, например, увеличению радиуса пузырьков, или с уменьшением интенсивности ударной волны частота осцилляций давления снижается при постоянном значении эффективной вязкости среды v^, а амплитуда возрастает.

Сопоставление экспериментально наблюдаемой формы ударной волны с численным расчетом по уравнению (3.65) приведено на рис. 3.28. Осциллограмма 1 получена в жидкости,

Рис. 3.27. Ударная волна с монотонной структурой:

V! =9 • 10-6 м2/с;/?о = 0,6 мм;

Фо=Ю-2

Рис. 3.28. Сопоставление экспериментального профиля ударной волны с рассчитанным по уравнению (3.65):

/ — эксперимент, /?0=1мм, ф=0,01, с0=123м/с;

2— расчет,Р = 2• 10-3 м3/с,v^ = 2,l • 10-2 м2/с;

3—профиль солитона

Рис. 3.29. Скорость ударных волн в зависимости от амплитуды: / — расчеты по (3.88), 2—по (3.74)Рис. 3.29. Скорость ударных волн в зависимости от амплитуды: / — расчеты по (3.88), 2—по (3.74)Др^кпаДр^кпа

Рис. 3.29. Скорость ударных волн в зависимости от амплитуды: / — расчеты по (3.88), 2—по (3.74)

Рис. 3.29. Скорость ударных волн в зависимости от амплитуды: / — расчеты по (3.88), 2—по (3.74)

Др^кпа

Др^кпа

Рис. 3.30. Форма пузырьков в волне; вверху—профиль давления в ударной волне:

v=9 10"6 м2/с; L= 1,35 м; Яо=1,07мм; ро=0,115 МПа, фо = О,97 1О"2

насыщенной пузырьками углекислого газа, обладающего малым коэффициентом температуропроводности. В этом случае длительность переднего фронта ударной волны мала по сравнению с характерным временем выравнивания температуры нагретого газа, что позволяет считать поведение газа в пузырьке близким к адиабатическому. Это предположение подтверждается опытными данными о скорости распространения ударных волн (рис. 3.29).

Как видно, различие между зависимостями (3.88) и (3.74) увеличивается с ростом интенсивности волны, но для значений 8р/ро^0,5 расчетные скорости ударных волн отличаются менее чем на 5%. Отметим, что указанная область давлений является фактически границей применимости приближения (3.63).

Скоростная киносъемка при распространении ударной волны показала, что форма пузырьков в волне далеко не сферична (рис. 3.30). Кадры кинограммы соответствуют участкам профиля в волне, обозначенным теми же цифрами.

Взаимодействия солитонов в жидкости с пузырьками СО2 были экспериментально исследованы в Институте теплофизики [82]. Два солитона формировались в среде путем последовательного синхронизированного по времени разрыва диафрагм двух камер высокого давления, расположенных одна за другой в верхней части ударной трубы. Подбирая параметры солитонов и среды, можно было наблюдать попутное взаимодействие этих солитонов на расстояниях 1 —2 м от входа импульсов в среду, а также встречное взаимодействие между вторым по ходу солитоном и первым, отразившимся от нижнего торца камеры низкого давления.

Процесс встречного взаимодействия иллюстрируется рис. 3.31, где показаны как стадии полного слияния начальных солитонов ^j и Б^, так и последующий разбег на два солитона — Л2 и Б2. В результате взаимодействия двух солитонов образуется некоторое возмущение, по форме не совпадающее с формой солитона, затем солитоны расходятся, приобретая первоначальную форму.

Описанный выше характер взаимодействия соответствует численным решениям За- бусского. Как уже говорилось, для попутного взаимодействия, при котором солитон

Рис. 3.31. Встречное взаимодействие солитоновРис. 3.31. Встречное взаимодействие солитоновс большей амплитудой догоняет солитон с меньшей амплитудой, характерно их нелинейное взаимодействие. Для возмущений с близкими амплитудами полного их слияния, как в случае лобового столкновения, не происходит. Возмущения сближаются до момента выравнивания их амплитуд, в дальнейшем амплитуда переднего солитона (первоначально меньшего) увеличивается, и возмущения разбегаются.

Рис. 3.31. Встречное взаимодействие солитонов

Рис. 3.31. Встречное взаимодействие солитонов

С увеличением отношения амплитуд минимальное расстояние, на которое сближаются солитоны, уменьшается и при ЬрА2/ЬрА[^ % 2,5 наступает момент, когда они практически сливаются. Это значение несколько отличается от значения 2,62, предсказанного теоретически Лэксом, так как экспериментально трудно определить точно момент полного слияния солитонов. При дальнейшем росте отношения амплитуд большой солитон догоняет меньший,

они сливаются, а затем распадаются на два солитона, имеющих, с учетом затухания, первоначальные амплитуды.

Осцилляторная структура слабых ударных волн характерна на начальной стадии эволюции возмущения типа «ступеньки» в жидкости с пузырьками газа. В дальнейшем в структуре ударной волны происходят значительные изменения, обусловленные теплообменом газового пузырька, нагретого при сжатии в переднем фронте волны, с окружающей жидкостью. Эти изменения, впервые экспериментально обнаруженные Нордзи, носят релаксационный характер и проявляются на расстояниях l>vtl2 где v — скорость ударной волны, a tlKR2la2 — характерное время выравнивания температур газа в пузырьке и окружающей жидкости.

Рис. 3.32. Эволюция структуры ударной волны по длине:

a—8pA//>o = 0,17; б—8/^/Po=0,78; 1— /=0,075 м; 2—1,35 м; 3—1,6 м; ф=1,110"2; Ro= 1,18 мм

Характер эволюции структуры ударной волны по мере распространения в жидкости, насыщенной пузырьками Не, показан на рис. 3.32. При переходе от углекислого газа к гелию интенсивность теплоотдачи от пузырька в окружающую жидкость возрастает на порядок, что приводит к уменьшению Zi, и релаксационные эффекты проявляются на меньших расстояниях, чем в случае пузырьков СО2. На начальной эволюции возмущения, когда имеется достаточно крутой передний фронт, инерция присоединенной массы газовых включений формирует ударную волну с осциллирующей структурой (рис. 3.32, а—7, б—7), форма которой качественно описывается стационарными решениями уравнения КдВБ. С увеличением / амплитуда крутого переднего фронта уменьшается и за ним следует область, в которой давление слабо осциллирует (рис. 3.32, б—2).

Характер дальнейшей эволюции формы волны определяется, как было показано теоретическими работами Р. И. Ниг- 94

матулина с сотрудниками [124—126], соотношением между некоторым критическим значением интенсивности ударной волны и текущей интенсивностью. Для ударных волн с интенсивностью меньше критической крутой передний скачок вообще исчезает и на расстоянии l>vtx формируется стационарная ударная волна с монотонным профилем (см. рис. 3.32, а—3).

Тепловые процессы в волновой динамике пузырьковых систем

Как показали Р. И. Нигматулин с сотрудниками [45, 125, 126], основную роль в выполаживании фронта ударной волны играют процессы теплообмена между газом в пузырьках и окружающей их жидкостью. Расчеты ударных волн, выполненные ими, основываются на уравнениях (3.1), (3.2), дополненных уравнением энергии для пузырька

3(у-1)^ ^{pidRnqn

dtR R dt’k ‘ ,

где ^rp—плотность теплового потока на границе пузырька.

Простейший учет тепловых эффектов при анализе динамики волн заключается в использовании уравнения Рэлея со структурным коэффициентом диссипации, который дает такой же декремент затухания пузырька, что и учет теплообмена при колебаниях [224]. При этом тепловая составляющая эффективной вязкости равна

vr«I^-^V^7.(3.92)

<2 Фо.

Для того чтобы пользоваться результатами решений уравнений Кортевега—де Вриза — Бюргерса, следует принимать везде вместо вязкости жидкости вязкость

.3(у-1)Я0 / nQlx

v^=Vi + -4—Vcoo«2.(3.93)

4^2 Фо

Так, например, вязкость в уравнении (3.65) запишется в виде

Уэф=| — + ^р^-Яо 7^7 + ^.(3.94)

Зфо 472 Фо2ci

Такой учет тепловых эффектов не является полным, так как не рассматривается возможность полного прогрева или охлаждения пузырьков в процессе, и скорее всего пригоден для расчетов осцилляционных режимов, близких к свободным колебаниям.

Численное моделирование одномерных нестационарных волн в пузырьковых средах с несжимаемой несущей жидкостью на

95

Рис. 3.33. Расчет эволюции ударной волны с учетом релаксации (исследования НИИ механики МГУ)

основе односкоростной двухтемпературной модели с использованием уравнений гидродинамики, теплообмена и баланса энергии для пузырька выполнено Р. И. Нигматулиным, И. А. Ивандаевым и А. А. Губайдуллиным. На рис. 3.33 показана полученная в результате их расчетов эволюция ударной волны в водоглицериновом растворе (1:1) с воздушными пузырьками радиусом 7?0= 1,4 мм; ро = 9ОкПа. Сразу с момента генерации возникает осцилляторная структура, которая сглаживается со временем за счет диссипации.

На рис. 3.34 представлены данные экспериментов, проведенных в Институте теплофизики, и расчетов. Взяты пузырьковые смеси воды с углекислым газом (а2= 10-5 м2/с), воздухом (а2 = 2,2 • 10-5 м2/с) и гелием (а2 = 18 • 10-5 м2/с). При одинаковой начальной интенсивности импульса вследствие разной теплопроводности газов структуры волн на одном расстоянии (/=1,6 м) от места их генерации существенно различны. В смеси с гелиевыми пузырьками волна имеет монотонную структуру.

Эволюция ударной волны сопровождается непрерывным изменением скорости распространения в связи с переходом процессов в газе пузырька от адиабатических к изотермическим в результате увеличения ширины фронта и характерных времен. Влияние тепловой релаксации при эволюции волны может быть рассмотрено и на основе модельного уравнения, аналогичного уравнению КдВБ, но модифицированного с учетом тепловых эффектов. Исходная система уравнений гидродинамики без учета малой гидродинамической нелинейности состоит из уравнений (3.2), (3.91) и (3.11). Запишем для газа уравнение теплопроводности

л 6Тг 1 d2 z х dp2 ,- о,, р2Ср —-Х2-^(гТ2) + — (3.95)

и краевые условия

96

Рис. 3.34. Сравнение экспериментальных профилей давления (справа) с расчетами по релаксационному уравнению КдВБ: а—СО2; б -воздух; в—НеРис. 3.34. Сравнение экспериментальных профилей давления (справа) с расчетами по релаксационному уравнению КдВБ: а—СО2; б -воздух; в—НеТДг, 0)=То; T^R, t^T0; 521ТДг, 0)=То; T^R, t^T0; 5218г г=о8г г=о= 0.(3.96)= 0.(3.96)

Рис. 3.34. Сравнение экспериментальных профилей давления (справа) с расчетами по релаксационному уравнению КдВБ: а—СО2; б -воздух; в—Не

Рис. 3.34. Сравнение экспериментальных профилей давления (справа) с расчетами по релаксационному уравнению КдВБ: а—СО2; б -воздух; в—Не

ТДг, 0)=То; T^R, t^T0; 521

ТДг, 0)=То; T^R, t^T0; 521

8г г=о

8г г=о

= 0.(3.96)

= 0.(3.96)

При газосодержании ф^0,5 и малой теплоемкости газа можно считать температуру жидкости постоянной во времени ' и равной начальной температуре То. Решение уравнения теплопроводности изложено в гл. 2 [см. формулы (2.17) — (2.21)].

Перейдя в уравнениях (3.2) и (2.22) от радиуса пузырьков к плотности смеси, запишем уравнение

?P_c2^P_2R 8"р8t 0 dt 1dx2dt?P_c2^P_2R 8"р8t 0 dt 1dx2dt1212^Р /Р^Ро ^ Т0^Р /Р^Ро ^ Т0ООXX

?P_c2^P_2R 8"р

8t 0 dt 1dx2dt

?P_c2^P_2R 8"р

8t 0 dt 1dx2dt

1

2

1

2

^Р /Р^Ро ^ Т0

^Р /Р^Ро ^ Т0

О

О

X

X

(3.97)(3.97)9797

(3.97)

(3.97)

97

97

x^dt1=O.dt.

7 Заказ 2980

Продифференцировав его по времени еще раз и использовав уравнение (3.11), получим

^-2^ ?R 8*Р1

8t20 8х218128х22

8с2\82 (к \2

др)р=Ро812^ Р^

у—1 8 I то 81 J о

^^=0.

То / 811

(3.98)

Считая нелинейный член и интегральный член, ответственный за тепловую релаксацию, малыми, осуществим в них замену 8р2®8/>; 8р = 8р/со- Тогда получим модифицированное уравнение Буссинеска, учитывающее тепловую релаксацию:

^Р .I^P ЗП ^Р

812°8х2Р18х2612

у—1 8 j

То 81J

о

(3.99)

Проведя обычным образом факторизацию, т. е. выделение волны, распространяющейся в одну сторону, получим модифицированное уравнение Кортевега—де Вриза:

Вр6р 1

BtВх2со

83Р

дх3

t

о

То / 811

(3.100)

Поскольку (дс2/др)р=Ро = со(у+1)/уро, коэффициент при нелинейном члене, как и в уравнении (3.19), равен (у+1)/(2рофоСо) = = [(у+1)/2у]со/ро- Уравнение (3.100) полностью описывает эффекты тепловой релаксации при распространении ударной волны в пузырьковых смесях. Для анализа влияния тепловых эффектов его удобно записать в виде уравнения для безразмерного давления. Вводя новую переменную р«(8р/р0)(у+1)/2у и учитывая эффективную вязкость, как это было сделано в § 3.3, получим релаксационное уравнение Кортевега—де Вриза — Бюргерса в виде

др /.~\8Р S2P п83Р У-1

ТЛ^^Тх-^дх^д^"^

t — h \ 8р .

То )8ti

(3.101)

При очень медленных процессах можно вынести производную из-под интеграла. Тогда получится уравнение со скоростью распространения возмущений, близкой к изотермической:

(3.102)(3.102)со ^2у1/2сиз

(3.102)

(3.102)

1 + (у—1)/2^ г+1 "

Сравнение численных решений релаксационного уравнения КдВБ с экспериментальными данными показывает их хорошее соответствие.

Учет сжимаемости жидкости. Двухволновое уравнение

До сих пор не учитывалась сжимаемость жидкости, что ограничивало область результатов характерными временами, меньшими периода резонансных колебаний пузырька. Известно, что звуковые колебания с частотой, превышающей резонансную 0)0, распространяются с более высокой скоростью, чем скорость звука в жидкости. В интервале между частотами ю0 и to0(ci/c0) теория предсказывает существование окна «непрозрачности», где звук вообще не распространяется.

Сжимаемость жидкости достаточно учесть при переходе от уравнения Рэлея к уравнению для плотности смеси. Изменение плотности жидкости очень мало и определяется приближенным выражением

Pi-Pio = c^p1-plo\(3.103)

Если возьмем за основу уравнение Рэлея в линейной форме с простейшим учетом диссипации

Dd2R 3/dRV 4vi dR 1.

то, выразив радиус через текущую плотность и приняв во внимание сжимаемость жидкости, получим уравнение

9R ( 1 ^р 02р\ , 4vV 1 йр _6А_к„ _Кп miro 2р1 I 2 я,2 я,2 |41т 1,2 5, Я, ) ®Р1 ОРа>- (3.105) \С1 Gt Gt J 3 Фо VI Ct Gt у

\

— I (8p2), где c0—скорость dP /p=Po

звука в смеси, то в первом приближении

брг^обрг^о1 +1 +м8р12<Роро Jм8р12<Роро J8р.8р.(3.106)(3.106)

брг^о

брг^о

1 +

1 +

м8р1

2<Роро J

м8р1

2<Роро J

8р.

8р.

(3.106)

(3.106)

Вновь воспользовавшись выражением д2р1д12 = дгр1дхг, продифференцируем дважды по времени уравнение (3.105) почленно, заменим в линейных членах производные от плотности

через производные от давления, в результате получим уравнение

1 St2\c2 St2 дх2 J 3 фо dz^c2 dt2 6х2

(3.107)(3.107)62Р _ 2^=ГИ „2^/g.U 6t2°6х2 2форо ° й/2

(3.107)

(3.107)

Ранее при выводе уравнения Буссинеска, не учитывающего сжимаемость жидкости, преобразование нелинейного члена проводилось по соотношению 8р«8р/со- Такое упрощение было оправданно, так как учитывалось только воздействие скорости звука с0, а нелинейность считалась малой. В последнем уравнении появилась еще одна скорость звука — в жидкости, и проводимая ранее замена не очевидна. Тем не менее она оправданна и в настоящем случае, что будет показано ниже. Воспользовавшись этим допущением, можно привести выражение (3.107) к форме, которую можно назвать двухволновым уравнением:

2Р2Р82^z282^z21 82рс2 8t21 82рс2 8t23V\л.^Р-с2^- + - — —( — -Л^дх2/8t20 дх2 3 фо 8t\c2 )дх23V\л.^Р-с2^- + - — —( — -Л^дх2/8t20 дх2 3 фо 8t\c2 )дх2

2Р

2Р

82

^z2

82

^z2

1 82р

с2 8t2

1 82р

с2 8t2

3V\л.^Р-с2^- + - — —( — -Л^дх2/8t20 дх2 3 фо 8t\c2 )дх2

3V\л.^Р-с2^- + - — —( — -Л^дх2/8t20 дх2 3 фо 8t\c2 )дх2

(3.108)(3.108)

(3.108)

(3.108)

2ур0 8t2v '

Линейное уравнение

является при мцлом Pi волновым линейным уравнением с характеристическими скоростями +с0-

Некоторую роль в процессе распространения возмущений играют волны со скоростью сь описываемые волновым оператором высшего порядка. Оказывается, что при распространении возмущения волны низшего порядка несут основной сигнал со скоростью с0, а волны высшего порядка выделяют первый сигнал — предвестник, имеющий скорость cv

Исследуем линейное уравнение. Найдем дисперсионное соотношение, представив решение в виде бегущей волны с волновым числом к, скоростью с и частотой со:

— О)2 + с^к2 4- 2PiC04/c2 — 1^vto2k2 = 0.(3.110)

Запишем это соотношение в виде •

с2 = со2/А:2 = (со —2pi(o2)/(l — 2р1со2/с2)(3.111)

или

с2/с^ = (1 -2Р!й)2/^)/(1 -2Р!й)2/с-?).(3.112)

Если использовать в качестве характерной резонансную частоту Миннаерта Шо = <?о/2Р1 = Зуро/Р1^о> то получим 100

с2/с^=(1-62)/(1-«>2с^/с?), (3.113)

где 6 = (o/coo- Видно, что при 65 —>■ 1 скорость падает с ростом частоты (см. рис. 3.1), так же как и в случае несжимаемой жидкости. При частоте, равной резонансной, каждый пузырек в системе осциллирует со своей собственной частотой и фазовая скорость равна нулю. В диапазоне частот от (о = соо ДО (о = о). = (Оо(с1/со) формула дает для скорости только чисто мнимое значение, при этом давление экспоненциально затухает. При частоте колебаний а> = 0). из (3.113) получаем бесконечно большое значение скорости. При дальнейшем увеличении частоты фазовая скорость распространения возмущения стремится к скорости в чистой жидкости.

Учет диссипации приводит к исчезновению окна непрозрачности. Экспериментальные данные приведены на рис. 3.1,6 вместе с расчетом по дисперсионному соотношению из линеаризованной системы. Дисперсионное соотношение, соответствующее уравнению с учетом диссипации, имеет вид

с2= 1-й2 / VitoCDo/fo \ Г31145 d 1-й2^/с? \1-62^/с?У ;

или

с2_ 1-й2Со 1-62Со/с2с2_ 1-й2Со 1-62Со/с2ZVitotooСо (1 —й2)ZVitotooСо (1 —й2)[л+Bi]2.[л+Bi]2.(3.115)(3.115)

с2_ 1-й2

Со 1-62Со/с2

с2_ 1-й2

Со 1-62Со/с2

ZVitotooСо (1 —й2)

ZVitotooСо (1 —й2)

[л+Bi]2.

[л+Bi]2.

(3.115)

(3.115)

Здесь Л2 = 1(— 1 ± (1 + Р2)1/2 ]—действительная часть фазовой скорости; а=(й2 —1)/[1 — &2сЦс2 ]; Р = [<о/(1 — а>2)]у1а>о/со. Для области внутри окна непрозрачности а>0 и

Л? = ^[-1 + (1 +Р2)1/2];(3.116)

для области вне окна непрозрачности а<0 и квадрат скорости (с/с0)2 = Л22=(а/2)[-1-(1 + р2)1/2].(3.117)

При Р = 0, т. е. при отсутствии диссипации, действительная часть фазовой скорости Л^О при 1 <й><(с1/с0) и

с)с0 = Л2=(- а)1/2 = [(1 - й2)/(1 - ю2Со /с2)] щ^ (3.118) Как видно, диссипация изменяет в определенной мере фазовую скорость (3.115), что особенно важно в области окна непрозрачности.

Для реальных значений vb о коэффициент дисперсии Р<1, и внутри окна непрозрачности имеем приближенную связь

Фо = A i« ^ [(й2 -1)/(1 - &с^ )с21)]1/2 ( ^2^ Viftj/c^ .(3.119)

Расчет дисперсионной кривой (см. рис. 3.1,6) совпадал с экспериментом при вязкости V]=0,5 м2/с. Такое большое значение трудно объяснимо даже с привлечением эффектов тепловой диссипации. По-видимому, главную роль в опытах Фокса сыграло то, что смесь состояла из пузырьков разного размера и происходило перекрытие полос непрозрачности.

При анализе нелинейного уравнения ограничимся бездис- сипативными процессами. Введем новые переменные

m=[(y+1)/y]—; T=?c0/V2p7; ^=^/VPiРо ,

и преобразуем уравнение (3.108) к виду

(3.120)на низ-(3.120)на низ-д2 /52м~э82й\82й82й\Х~282й2 а

(3.120)

на низ-

(3.120)

на низ-

^ Т^-у1^2 +у1 П~^2 ~чГ1-7?Г = 0’ дт2 \ 6т26^ /\ от д^ / 2 5^

где 51=С11с0. Предельный случай уравнения (3.108)

кочастотной ветви дисперсионной кривой легко получить, предположив, что основным является волновой оператор низшего порядка д2й/дт2 —д2м/6£2 = 0, т. е. в размерном виде d1p!dt1 — Co^pjdx1=0. В уравнении оставим этот оператор без изменения, в волновом операторе (3.120) высшего порядка проведем замену 62м/д^2 = 62м/дт2. Получим из (3.120) уравнение Буссинеска

(3.121) для высо-' (3.122)(3.121) для высо-' (3.122)52й 62й1 д2й2 (l/v? — 1) д4й_

(3.121) для высо-

' (3.122)

(3.121) для высо-

' (3.122)

дт2 ~2+ д$2дт2 '

Так же можно получить предельное уравнение кочастотной ветви, полагая, что в этом случае

62Й ~2д2Й

или в размерном виде d2pldt2 — с2д2р!дх2 = 0. Оставив без изменения высокочастотную часть уравнения, в низкочастотной проведем замену по (3.122). Получим уравнение Клейна — Гордона

Й - S + «0 -vT2) — 2гГ2й2 = 0,(3.123)

от ОС,

где t'^Vv

Кроме того, уравнение Буссинеска точной факторизацией сводится к уравнению КдВ, следовательно, все выводы теории КдВ при малых, но конечных амплитудах могут применяться и к модифицированному уравнению Буссинеска.

Высокочастотное приближение длинноволнового нелинейного уравнения—уравнение Клейна—Гордона (3.123)—требу- 102

ет особого анализа. В случае, если скорости с0 и с, сильно разнесены, т. е. ^»1 (для реальных газожидкостных смесей ^ = 10), нелинейностью в этом уравнении можно пренебречь:

52й 52й , ~ А

(3.124)

Решения уравнения (3.124) для некоторых видов начального возмущения были найдены Тау через интеграл Фурье с помощью метода перевала. Уравнение Клейна—Гордона получено при условии распространения сигнала со скоростью с^ т. е. d2ujdT2 = v262HI6^2. Это справедливо, если спектр сигнала лежит полностью в высокочастотной области. Для финитных сигналов, максимум спектральной плотности которых лежит в низкочастотной области, это условие не выполнимо, поэтому применимость уравнений Клейна — Гордона к таким сигналам резко ограничена.

Численные решения уравнения, выполненные В. Г. Гасенко, показали, что в соответствии с уравнением (3.124) динамика финитного сигнала вида треугольника с крутым передним

фронтом выглядит несколько по-иному, чем на основе уравнения Кортевега—де Вриза. Как следует из рис. 3.35, такой сигнал трансформируется в волновой пакет с выделением предвестника, движущегося со скоростью звука в чистой

жидкости, т. е. в нашем случае скорости распространения волнового пакета. Затухание предвестника здесь обусловлено численной вязкостью, моделирующей реальный процесс с v/0.

В случае начального импульса большей длительности вместо волнового пакета образуется солитон, а структура предвестника остается прежней. Основная волна в форме солитона движется со скоростью, близкой к скорости звука в газожидкостной среде, что соответствует левой ветви дисперсионной кривой, а предвестник —

примерно в 5 раз вышепримерно в 5 раз вышеРис. 3.35. Эволюция волны давления с начально крутым фронтом; выделение предвестника: ^=5; о = 0,7

примерно в 5 раз выше

примерно в 5 раз выше

Рис. 3.36. Эволюция начально крутого профиля треугольной формы вдоль трубы:

Фо = 6 10-3; Pijpo=L5; Ro=\»5mm

со скоростью, близкой к скорости звука в жидкости. Двухфазная среда играет, таким образом, роль фильтра, выделяющего высокие частоты. .

На рис. 3.36 показана эволюция начального возмущения треугольной формы (а) по длине трубы в водоглицериновом растворе с воздушными пузырьками. Профили давления сняты на различных расстояниях / от входа сигнала в среду. Длительность переднего фронта такого возмущения—порядка 5 мкс, что много меньше периода резонансных колебаний пузырька 2л/о)о. Динамическая релаксация, обусловленная инерцией присоединенной массы пузырьков, проявляется непосредственно при входе возмущения в среду. Вследствие несовпадения фаз полей давления внутри пузырька и в окружающей жидкости происходит разделение по времени переднего фронта возмущения 1 и его максимальной амплитуды 2. В дальнейшем 104

Рис. 3.37. Скорость распространения волн:

/, 2—предвестника; 3—основной волны; 4—звука в чистой жидкости; 5— солитона по (3.56); 6 — звука в водовоздушной среде; Ro = 0,9 мм (7) и 1,5 мм (2)

амплитуда переднего фронта быстро уменьшается и в среде формируется устойчивое для данных параметров пузырьковой среды образование—уединенная волна с. цугом знакопеременных колебаний в заднем фронте (г, Э). Заметим, что в переднем фронте еще не сформировавшейся волны возникают осцилляции с частотами, заметно превышающими (оо. Из осциллограмм отчетливо видно, что происходит разделение двух волн — предвестника и низкочастотного сигнала—вследствие существенно отличающихся скоростей их распространения в пузырьковой среде. Действительно, как показали измерения, проведенные в Институте теплофизики СО АН СССР [145] для различных газосодержаний и радиусов пузырьков (рис. 3.37), скорость распространения высокочастотного предвестника совпадает со скоростью звука в чистой жидкости (линия 4) и не зависит от газосодержания ф, т. е. определяется только сжимаемостью жидкости. '

Скорость распространения основной энергосодержащей части возмущений—низкочастотной волны, длительность которой больше 2л/(00, существенно зависит от ф0 и хорошо описывается расчетной зависимостью для адиабатической скорости звука.

Таким образом, при распространении в пузырьковой среде возмущения давления * конечной длительности с крутым передним фронтом, насыщенного компонентами с характерными частотами возмущения как меньше о0, так и больше (оо, начальное возмущение распадается на две волны. При этом высокочастотный предвестник эволюционирует в соответствии с правой ветвью дисперсионной кривой на рис. 3.1, а низкочастотная волна отвечает левой ее ветви, и эволюция такой волны может быть описана на основе приближений КдВБ.

Глава четвертая

РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН В ЖИДКОСТИ С ПУЗЫРЬКАМИ ПАРА

Равновесная модель распространения волны *

Опыт изучения волновых процессов в жидкости с пузырьками газа, методология и основные результаты обобщаются на случай, когда парожидкостная смесь находится на линии насыщения и в процессе распространения волны имеют место фазовые переходы на границе пузырек — жидкость.

Равновесная модель, рассмотренная в гл. 1, предполагает, что пар в пузырьке и жидкость находятся на линии' термодинамического равновесия и изменение давления приводит к изменению температуры насыщения среды Ts. Это мгновенно вызывает конденсацию пара в пузырьке или испарение, что приводит к изменению паросодержания (р и плотности р. Коэффициент, связывающий изменение давления Ар с изменением плотности смеси Ар,— квадрат скорости звука с2. Очевидно, что такая модель справедлива в случае низкочастотных возмущений.

С увеличением частоты основные предположения равновесной модели теряют силу: длина тепловых волн становится меньше расстояния между пузырьками, пар в пузырьке ведет себя почти адиабатически. Доминирующее влияние двухтемпературных эффектов приводит к сильному сглаживанию и растягиванйю волн давления (рис. 4.1). Однако скорость этих волн, измеренная по начальной точке повышения давления (рис. 4.2), такая же, как и скорости волн в газожидкостных смесях. Об этом свидетельствуют результаты опытов, изложенные в [139, 155]. Наряду с этим в наших экспериментах впервые было обнаружено проявление нелинейных и дисперсионных эффектов, характерных для газожидкостных суспензий.

Сформулируем основные предположения модели: граница раздела пузырек—жидкость находится в термодинамическом

1= 50 мм

Рис. 4.1. Характерные структуры волн сжатия в пароводяной среде на разных расстояниях от входа, ^p|po = Q^

Рис. 4.2. Скорость акустических волн в парожидкостной смеси ро = 0,1 МПа: 1 - расчет по формуле с=>/ур/рф; 2—данные [155]; ф, О/ А—пароводяная смесь; х—хладон-113; темные и светлые значки—соответственно волна сжатия и разрежения

равновесии при распространении волны, и на границе раздела выполняется условие Клапейрона—Клаузиуса

dpJdT=Lp2ITs,(4.1)

где ps—давление насыщения; Ts—температура насыщения. Жидкость сохраняет на достаточном расстоянии от поверхности пузырька начальную температуру; пар внутри пузырька ведет себя адиабатически; рассматриваемая смесь удовлетворяет всем уравнениям и соотношениям гомогенной пузырьковой смеси, приведенным в гл. 1, и нелинейность, возникающая при распространении волны, в основном обусловлена сжимаемостью среды, следовательно, гидродинамической нелинейностью, как и при изучении распространения волн в жидкости с пузырьками газа [4], можно пренебречь. Уравнения гидродинамики смеси сводятся к одному:

6гр)б12 = 61р)дхг.(4.2)

Уравнение динамики одиночной полости—уравнение Рэлея

dd2R 3 (dR\ г /n\ i /(л 1х

—можно переписать через изменения плотности смеси р, а давление в пузырьке р^=Рг определим из уравнения энергии для пузырька, выведенного в гл. 3,

^2 , 3?р2 ^_3(у-1)Г L-Cp2T2dmA.

dt R dt~ R Prp 4л/?2 dt\ V )

где qTp—тепловой поток на границе; dmldt=4uR2^q2—q^lL— изменение массы пара пузырьков за счет разности тепловых потоков в пар q2 и к жидкости qv Уравнение Рэлея, записанное через удельный объем пара V (на 1 кг смеси), принимает вид

107

Я^ d2/AlA 2ц d гду\

З^АЙ/Рор d?^К/+(Т+ДЙ/Р 5г \КУ

18(1+АИ/И0)4/318(1+АИ/И0)4/3<//аи\Т 5z\Tq )<//аи\Т 5z\Tq )= Я2-Роо,= Я2-Роо,(4.5)(4.5)

18(1+АИ/И0)4/3

18(1+АИ/И0)4/3

<//аи\Т 5z\Tq )

<//аи\Т 5z\Tq )

= Я2-Роо,

= Я2-Роо,

(4.5)

(4.5)

где Яо— начальный радиус пузырька; ц—коэффициент диссипации в смеси, обусловленный вязкими потерями и акустическим излучением. Уравнение энергии (4.4) запишется:

(4-6)(4-6)dpi ЧРо Уд^ЛУ-1)!" L—Cp2T2dmdt (i+Ay/r0)dt\y0; R рг₽ 4л/?2 dt

(4-6)

(4-6)

Из соотношения для плотности парожидкостной смеси 1 / р — (1 — Х)/р1+У нетрудно получить связь

-p^AVIV^bp-bpxic^-p^AVIV^bp-bpxic^(4.7)(4.7)

-p^AVIV^bp-bpxic^

-p^AVIV^bp-bpxic^

(4.7)

(4.7)

которую мы используем, считая скорость звука в жидкости с2-»<Х), для записи уравнений (4.5), (4.6) через возмущение плотности. Эти уравнения перепишем приближенно, учитывая лишь члены с точностью до е2 (где е = АК/К0), при этом коэффициенты Я0Р1/З считаем порядка е. Уравнение (4.5) с учетом (4.7) принимает вид

8р = с§8р +8р = с§8р +Я^ <Z2pЗфоро dt2Я^ <Z2pЗфоро dt24ц • dpЗр1Фо dt ’4ц • dpЗр1Фо dt ’(4.8)(4.8)

8р = с§8р +

8р = с§8р +

Я^ <Z2p

Зфоро dt2

Я^ <Z2p

Зфоро dt2

4ц • dp

Зр1Фо dt ’

4ц • dp

Зр1Фо dt ’

(4.8)

(4.8)

а уравнение (4.6) перепишем с точностью до г2 и пренебрежем тепловым потоком q2 в пузырек (приближенно \2<^\х, Va2/tii>l):

dp2 . tPi dpyp2 d / p _ ^(Pif49x

dt РоФо ^ 2(рофо)2 dr' Rp2L4v‘

В отсутствие теплового потока (^1=0)

и нелинейность, появляющаяся из-за сжимаемости среды, примерно в ф-1 раз превосходит гидродинамическую нелинейность. Возмущение давления 5р находится из (4.8), а 5р2 определяется из (4.9) при задании теплового потока qv Дифференцируя (4.9) по t, учитывая (4.2) и (4.8), получаем одно уравнение для возмущения давления

<^Р „г02? Y+* 2 52 Мя2\_

St2 0 дх2 2у °6х2ур0 у

(4.11)(4.11)= 2R S*p 4ц g3p 3уРо 841

(4.11)

(4.11)

1dz2dx2 3p^0 Szdx2 Rp2L St ’

где с0 = х/ур/рф(1 —ф)—«замороженная» скорость звука в парожидкостной пузырьковой среде. '

В уравнении (4.11) необходимо qv определить через возмущение ^p и параметры среды. В общем случае для этого необходимо найти распределение температуры вблизи пузырька, граница которого подвижна. Эта задача может быть решена в различных приближениях. Для построения модели распространения волны воспользуемся простейшим решением, дающим выражение для теплового потока в виде интеграла Дюамеля (граница пузырька неподвижна):

91 =91 =«0J ^/^(Z —т) ^То«0J ^/^(Z —т) ^То(4.12)(4.12)

91 =

91 =

«0J ^/^(Z —т) ^Т

о

«0J ^/^(Z —т) ^Т

о

(4.12)

(4.12)

Возмущение Ts—T0 с помощью уравнения (4.1) может быть заменено возмущением давления

(4.13)(4.13)в1СР1Р1Т0Л [ Ro Эр dx

(4.13)

(4.13)

LpiRo \ V^i J ^то

Но выражения (4.12), (4.13) невозможно использовать для нахождения, например, дисперсионных соотношений, когда анализируются гармонические волны. В этом случае следует использовать асимптотические значения qx при t-* — 00.

Если волны сильные и передние фронты начальных возмущений крутые, а следовательно, требуется учитывать сжимаемость жидкости, то необходимо при с^со в уравнения (4.5), (4.6) подставлять полное соотношение (4.7). Тогда получим двухволновое уравнение для распространения возмущений аналогично уравнению (3.108) для газожидкостных смесей:

S2P 152Р .^У* 62 (б2р 282р\_ ^Ро 8<h

. St2 3ох2 с2 6t2\6t21 Sx2J PiLR0 St ’

где x = c?/(c? + c§); с^^оД!+ ^0/^1)-

Дисперсионные соотношения для акустических волн

Акустические свойства парожидкостной среды, в частности зависимость скорости звука от частоты, исследовались в [3, 6, 199, 252]. В этих работах для теплового потока использовалось выражение

91— ^-191— ^-1д^е •(<»< + "/4)д^е •(<»< + "/4)(4.15)(4.15)

91— ^-1

91— ^-1

д^е •(<»< + "/4)

д^е •(<»< + "/4)

(4.15)

(4.15)

характерное для задач без начальных условий. Тепловой поток можно записать через Ар:

»i =^^ J^^~ ^^Р DI^-^O]- (416) После подстановки (4.16) в (4.11) и (4.14) найдем дисперсионные соотношения для акустических волн в жидкости:

£_ю 1—w£_ю 1—wСо _0)Со _0)1-2р1о)2/со1-2р1о)2/со(4.17)(4.17)т^2оит^2ои1/2 Г1/2 Г5 t_2M^Со5 t_2M^Со(4.18)(4.18)

£_ю 1—w

£_ю 1—w

Со _

0)

Со _

0)

1-2р1о)2/со

1-2р1о)2/со

(4.17)

(4.17)

т

^2ои

т

^2ои

1/2 Г

1/2 Г

5 t_2M^

Со

5 t_2M^

Со

(4.18)

(4.18)

Здесь m = 3ypop1cplTs/pU2; x = R^av

Дисперсионное соотношение (4.18) учитывает инерционные свойства паровых включений, но не учитывает сжимаемость жидкой фазы. В [199] при анализе дисперсии акустических волн не учитывалась инерция присоединенной массы пузырьков. Это соответствует случаю Р^О в соотношении (4.18). Учет сжимаемости жидкости [уравнение (4.14)] в случае фазовых переходов ничего нового не дает по сравнению с результатами, известными для жидкости с пузырьками газа,— появляется вторая, зарезонансная ветвь.

На рис. 4.3 показаны характерные дисперсионные соотношения для акустических волн с фазовыми переходами: сплошная линия—дисперсионная кривая при Pi=0 в соотношении (4.18); штриховая линия — расчеты [199].

Дисперсионные кривые, отвечающие (4.18), приведены на рис. 4.4. Характерно, что фазовый переход первого рода вносит

Рис. 4.3. Дисперсия скорости звука, обусловленная межфазным тепломассообменом:вода, ро = 0,1 МПа, /?о = 0,25 ммРис. 4.3. Дисперсия скорости звука, обусловленная межфазным тепломассообменом:вода, ро = 0,1 МПа, /?о = 0,25 мм

Рис. 4.3. Дисперсия скорости звука, обусловленная межфазным тепломассообменом:

вода, ро = 0,1 МПа, /?о = 0,25 мм

Рис. 4.3. Дисперсия скорости звука, обусловленная межфазным тепломассообменом:

вода, ро = 0,1 МПа, /?о = 0,25 мм

Рис. 4.4. Дисперсионные соотношения для волн в пузырьковой парожидкостной смеси, /?о = 0,1 МПа:

/—без фазовых переходов; 2— хладон-12, w = 66; 3— вода, т —320

существенный вклад .при о-»0, а резонансная частота пузырьков (00 не изменяется. Это обстоятельство открывает широкие возможности для использования резонансных методов в диагностике парожидкостных потоков, в частности в диагностике появления первых пузырей пара в теплоносителях.

Представленные на рис. 4.5 зависимости сф и а = Im [А (ю)] от частоты показывают, что фазовый переход жидкость—пар не влияет на скорость распространения волн с зарезонансными частотами, однако их затухание существенно зависит от интенсивности этого перехода.

Поскольку при (о-»О применение этой модели некорректно, так как длины тепловых волн становятся соизмеримыми с расстояниями между пузырьками, то дисперсионные кривые при со-»О, по-видимому, необходимо рассчитывать по другой модели. На самом деле, как следует из термодинамически равновесной модели, при owO сф^с$.

Рис. 4.5. Дисперсия скорости звука (а) и коэффициент затухания волн (б) с учетом сжимаемости жидкости:7 — пароводяная смесь, р0 = 8,6 МПа, (ро = 0,01, Ло=1 мм, Т$ = 573 К; 2—газожидкостная смесь, То = 293 КРис. 4.5. Дисперсия скорости звука (а) и коэффициент затухания волн (б) с учетом сжимаемости жидкости:7 — пароводяная смесь, р0 = 8,6 МПа, (ро = 0,01, Ло=1 мм, Т$ = 573 К; 2—газожидкостная смесь, То = 293 КРассмотренная двухтемпературная модель не позволяет определить равновесную скорость звука cs. Это можно понять, обратившись к исходной постановке, где предполагалось, что

Рис. 4.5. Дисперсия скорости звука (а) и коэффициент затухания волн (б) с учетом сжимаемости жидкости:

7 — пароводяная смесь, р0 = 8,6 МПа, (ро = 0,01, Ло=1 мм, Т$ = 573 К; 2—газожидкостная смесь, То = 293 К

Рис. 4.5. Дисперсия скорости звука (а) и коэффициент затухания волн (б) с учетом сжимаемости жидкости:

7 — пароводяная смесь, р0 = 8,6 МПа, (ро = 0,01, Ло=1 мм, Т$ = 573 К; 2—газожидкостная смесь, То = 293 К

при повышении давления температура Ts становится равной ТДр\ а То не меняется. В такой модели всегда имеет место неравновесность при изменении давления, что, естественно, проявляется при низких частотах, когда длины тепловых волн становятся соизмеримыми с расстояниями между пузырьками. Поэтому для супернизких частот модель можно усовершенствовать, введя возможность установления в смеси одной температуры, например, воспользовавшись ячеистой моделью.

Ячеистая модель парожидкостной среды

Каждый пузырек радиуса R окружается ячейкой радиуса ^, так что объемное паросодержание q>«R3IS83. Основным предположением такой модели является равенство нулю теплового потока на границе ячейки q13b а на границе пузырек — жидкость принимаем по-прежнему условие равенства температуры границы температуре насыщения. В этом случае справедливо уравнение (4.11) для возмущения давления

St1 °дх2 1 д?2йх2

(4.19)(4.19), 7±1 2_^_МрЛ , 3YPo ^12у °дх2у р0 у Лр24 St ’

(4.19)

(4.19)

но входящий в уравнение тепловой поток qv должен быть определен не по формуле (4.13), полученной из решения задачи об одиночном пузырьке, а найден из задачи о поле температуры вокруг пузырька, находящегося в ячейке. Считая границу неподвижной, сформулируем постановку этой задачи:

Введем функцию f(t, r) = (T—T())r/(^ — R) = (T—T())r/l и безразмерные переменные

4 = (r-R^l; T^t/l2,(4.21)

где l=($ — R)—толщина слоя жидкости.

Тогда постановка задачи (4.20) запишется следующим образом:

(4.22)(4.22)52//дт|2 = д//дт, 0^ц^1;.

(4.22)

(4.22)

/(0, ц) = 0;

Дг.О) = [7;(/)-Го]Я//; '^^-Lj^ 1)=0.

Применяя преобразования Лапласа по т к (4.22), получаем d2f/dT]2=sF; F(s, 0) = (R/M(s);.

(4.23) ^FIS^^I^F^ 1),_

•де F—изображение функции /; 6(s) — изображение функции

Ш-т0\

Решение задачи (4.23), т. е. решение в «образах», имеет вид

F(s t1) = ^q|(i\e-nV3 +/ (\2[\/$ch>/s—(//.^sh^/s]/

2[V^chx/s—(//^sh^/i] J градиент этой функции

^Л I (2[^ch^ —(//^sh^/s]

J x_\ e _ n J

\2[^ch^ —(//^sh.^/?]/J

Задача состоит в получении градиента температуры или теплового потока

J_5J_5-^ 0)-^ 0)(4.26)(4.26)

J_

5

J_

5

-^ 0)

-^ 0)

(4.26)

(4.26)

Используя выражения (4.24) и (4.25) для образов и /(т, 0), можно найти образ

где

G(s) = U y^(//^+V^)e V$rs_lJR\ (4.27)

(^ch^ —(//^sh^J

Переходя к размерным переменным в изображении (4.27), получаем

Vs/ti?-!/^,Vs/ti?-!/^,(4.28)(4.28)G / \=__Vs/ti[(w+v^

Vs/ti?-!/^,

Vs/ti?-!/^,

(4.28)

(4.28)

Js[av ch (/ Jsfa^ - (1 /^) sh (/ Jsfa^

ИЛИ 8 Заказ 2980

Jsfay + YI^Jsfay + YI^s, aY—1 (3?s, aY—1 (3?e 21 Vs/«i _ j xe 21 Vs/«i _ j x

Jsfay + YI^

Jsfay + YI^

s, aY—1 (3?

s, aY—1 (3?

e 21 Vs/«i _ j x

e 21 Vs/«i _ j x

(4.29)(4.29)«Js!av +1/^ ^ _ 2I ^575^ _|_ _Js]av — 1/^

(4.29)

(4.29)

Теперь определим тепловые потоки qv в пространстве оригиналов. Для гармонических возмущений, когда Г«Тое,ю', ^t = — X1Toeto,G(zco). При переходе к гармоническим возмущениям входящие в образы величины s заменяются в оригинале на гм—это полезное мнемоническое правило перехода от образа к оригиналу. В общем случае переход к оригиналу сложен, и мы исследуем асимптотически G(s\ __ ’

При 5—>оо (о—»оо, Z->0) G^^ — ^yTfa^—YIR^ и тепловой поток qv отвечающий этому образу, точнее, alqx = 9G(s)(—XJ, определяется интегралом Дюамеля (4.12). Таким образом, ячеистая модель дает выражение для теплового потока qv при относительно высоких частотах совпадающее с формулой (4.12). ( х

При s^O \t-*ce>, (о-»О), разлагая экспоненты (4.29) в ряд с точностью до s, получаем

З^Л + /2 /3R2 а[З^Л + /2 /3R2 а[(4.30)(4.30)

З^Л + /2 /3R2 а[

З^Л + /2 /3R2 а[

(4.30)

(4.30)

Учтя, что 7?3/^3«ф<§:1, выражение (4.30) представим в виде G^^R^qyatjs. Рассчитаем тепловой поток qv переходя от (4.30) к оригиналу:

для гармонического воздействия

qv = ^Р^ тЧте^*;(4.31)

Зф0

для произвольного возмущения

(432)(432)— CplptR ST

(432)

(432)

Зф0 St "

Воспользовавшись уравнением Клапейрона—Клаузиуса dT]dp = = TJpTL и считая амплитуду возмущений малой, а р2= const, выражения (4.31) и (4.32) можно переписать через возмущение давления:

.-^рЧ- ч^-^™?5^-(433)

^ФоР2^Зф0Р2Ь

Рис. 4.6. Дисперсия скорости звука в пароводяной среде (ячеистая модель) при со->О:

ро = 0Л МПа; <ро = О,О1; Ло=1 мм; штриховая линия — расчет по (4.18)

Выражение (4.31) можно использовать для расчета дисперсионной кривой при малых частотах. Нетрудно видеть (рис. 4.6), что в этом случае при (о-»О дисперсионная кривая Сф-»с$ (где cs— термодинамически равновесная скорость).

Обратимся к уравнению (4.11) и подставим в него

второе выражение из (4.33). Последний член преобразуется следующим образом:

ЗуРо ^i_ ^PoCplPiTsOR ^Р1ЯRp2L dt 3/?(р2/.)2ф0 6t2 ~

(4.34)(4.34)_£о d^^Co d^p , 9R cj 8*p ~ cl dt2 cj dt2 1 cl dt2dx2’

(4.34)

(4.34)

и уравнение (4.11) без учета вязкой диссипации принимает вид

д2Р_ Со д2р_у+1 Со

5t23x25t23x2(4-35)(4-35)St2 (1+со/с1)дх2 2у (1+со/с2)Х

5t23x2

5t23x2

(4-35)

(4-35)

Уравнение (4.35) описывает распространение волн в парожидкостной среде со скоростью, равной термодинамически равновесной скорости звука cs. Линейный вариант уравнения (4.35) точно совпадает с моделью парожидкостной среды, построенной в гл. 1,—уравнением (1.24).

Линейные и нелинейные волны

Получим основные критерии, определяющие волновой процесс в парожидкостной среде. Перейдем от уравнения (4.11) к уравнению для волны, распространяющейся в одну сторону, с учетом (412). Способ перехода от уравнений типа Буссинеска к эволюционным уравнениям для распространения волн достаточно подробно изложен в гл. 3. Однако в данном случае необходимо отметить, что дополнительным

требованием к корректности такого перехода является условие малости теплового потока qv на границе пузырек—жидкость. Поэтому при выделении волны, движущейся в одну сторону, априори предполагается малость теплового потока в момент факторизации / = /0, хотя, с другой стороны, понятно, что тепловой поток растет со временем. По-видимому, переход к уравнениям для волн, движущихся в одну сторону, справедлив для небольших времен.

Разбивая волновой оператор, точно так же как и в случае (3.17), переходим к волне, движущейся в одну сторону со скоростью с0:

др.дрY+1Ар дрд2рд3р

7-+с0 —+—— с0 — -—Пу^+Р1Сотч = dtдх2ур0 дхдхдх

(4.36)(4.36)'ba<1PoPiTsOCpV f Ro др^2RqPiL2 J /лД1 (z—т) 8т

(4.36)

(4.36)

о

Вводя безразмерные переменные 9=(z/z0)o; ^ = oxjl0 (где о = Р1с0//2м0) и функцию р = Ар/Ар0 (Др0—начальное возмущение давления), получаем одно уравнение для безразмерного давления

е

(4.37)(4.37)^+М-1^+о^-—^+^=-W f ^ j91 ае+ дСр8^ Red^ + d^3 J^

(4.37)

(4.37)

М3; Ре=Д-М3; Ре=Д-ООм = мо/со;м = мо/со;

М3; Ре=Д-

М3; Ре=Д-

О

О

м = мо/со;

м = мо/со;

т|/и0/0; <0 = /0/и0; /0—длина начальногот|/и0/0; <0 = /0/и0; /0—длина начальногои -1±1С Re-1 — “0 — ~ со и > ке — 2? Ро возмущения.

т|/и0/0; <0 = /0/и0; /0—длина начального

т|/и0/0; <0 = /0/и0; /0—длина начального

Таким образом, параметры М, о, Re являются характерными критериями нелинейной дисперсионной волновой динамики с диссипацией, а новый критерий W характеризует процесс массообмена в волне, обусловленный фазовым переходом первого рода.

В экспериментальных исследованиях распространения волн в парожидкостных средах в широком диапазоне измеряли характерные критерии, определяющие волновой процесс. В частности, параметр W меняли от 0,01 до 10 за счет изменения теплофизических свойств жидкости (использовались вода, хладон), а также за счет изменения статического давления.

Структуру и эволюцию возмущений давления в парожидкостной среде исследовали на установке «ударная труба»

Рис. 4.7. Схема установки «парожидкостная ударная труба»

(рис. 4.7). Рабочий участок — камера низкого давления 2—отделен от камеры высокого давления 6 узлом смены диафрагмы 4. Рабочий участок смонтирован из взаимозаменяемых блоков, представляющих собой трубы из нержавеющей стали внутренним диаметром 52 мм с толщиной стенки 8 мм. Общая длина рабочего участка может составлять 2 м. В блоках в специальных обоймах, заделанных заподлицо с внутренней поверхностью рабочего участка, расположены оптические кварцевые стекла 10.

Термостат 3, поддерживающий рабочую температуру среды, в целях удобной эксплуатации выполнен из двух частей. Внутренняя часть состоит из электрического нагревателя и асбестовой обмазки, наложенных непосредственно на внешнюю поверхность блоков рабочего участка. Внешняя часть выполнена в виде быстросъемного кожуха, изготовленного из асбоцементной трубы внутренним диаметром 140 мм с толщиной стенки 20 мм. На внутренней поверхности этого кожуха размещен электрический нагреватель. Температура стенки трубы поддерживалась равной температуре рабочей среды при данном давлении с погрешностью 0,5 К.

Паровые пузырьки создавались вдувом в жидкость пара через игольчатые капилляры диаметром 0,3 мм, расположенные

в нижней части рабочего участка, или генерировались при кипении на искусственных центрах парообразования, которыми служили те же игольчатые капилляры. Для этого снизу рабочего участка устанавливали нагреватель 7, мощность которого могли плавно изменять. Температура пара контролировалась термопарой, расположенной непосредственно под капиллярами. Диаметр пузырьков определяли с помощью фотографирования в средней части рабочего участка. Среднее объемное паросодержание ф находили по изменению верхнего уровня рабочей среды при введении в нее пузырьков пара.

Камера высокого давления внутренним диаметром 52 мм изготавливалась из нержавеющей стали. Длина камеры в экспериментах менялась от 5 до 2000 мм, что позволяло получать сигналы с различной длительностью процесса сжатия или разрежения. Быстродействующий узел смены диафрагм обеспечивал возможность замены без разгерметизации внутреннего объема рабочего участка. Диафрагмы изготовляли из алюминиевой фольги толщиной от 0,01 до 0,3 мм, благодаря чему можно было создавать начальные перепады давления между камерами в диапазоне 0,01—2 МПа. Разрыв диафрагмы осуществлялся или самопроизвольно при достижении определенного перепада давления, или при помощи пневматического ножа, приводимого в движение электромагнитным клапаном 5 при достижении заданного перепада давления. Установка рассчитана на работу при давлениях и температурах рабочей среды до 3 МПа и 180° С соответственно.

Для измерения профиля давления в волне возмущения по длине рабочего участка располагали пьезоэлектрические датчики 7, у которых диапазон рабочих частот составлял 3 Гц — 20 кГц. Сигнал с датчиков поступал на усилители 8, имеющие входное сопротивление 100 МОм и емкость 10 пФ. Использование больших входных емкостей объясняется снижением постоянной времени датчика при его эксплуатации в условиях повышенной температуры. Тарировку датчиков давления производили на ударной трубе, заполненной воздухом при температуре и давлении, равных рабочим параметрам парожидкостной среды.

С выхода усилителей 8 сигнал поступает на вход магнитофона 77, где он записывается на магнитной ленте, и одновременно контролируется на экране запоминающих осциллографов 9 С8-2 и С1-29. Время записи сигнала составляет 5 с. При использовании частотно-модулированной записи магнитофон позволяет работать при максимальной скорости движения ленты 76 см/с в области рабочих частот 0—20 кГц. Обработка записанных сигналов осуществляется на ЭВМ. Аналоговый сигнал поступает на вход аналого-цифрового преобразователя (АЦП). Скорость воспроизведения сигнала 4,75 см/с,,что дает возможность увеличить число точек выбор- 118

Рис. 4.8. Распространение импульсного возмущения в пароводяной смеси при W=l,35; ро = 0,1 МПа; ф = 0,01; Я=1,5мм; М = 0,051; а = 2,4

ки. Действительное время выборки было ограничено быстродействием АЦП и составляло (=0,2 мс. Момент начала выборки определялся сигналом от запускающего датчика (синхроимпульса). Число точек выборки по каждому сигналу, вводимому в ЭВМ, обычно равнялось 1000—2000.

В принципе возможен и непо

средственный ввод сигналов с выхода усилителей на ЭВМ. Такой способ лимитируется только быстродействием АЦП. Дальнейший анализ цифрового сигнала проводился по следующей схеме: пересчет цифровой информации в единицы давления и вывод сигналов на графопостроитель 12; расчет

скорости распространения сигнала, его импульса и энергии. Программа также предусматривала определение безразмерных параметров дисперсии о и диссипации W.

В экспериментах с пароводяной смесью при начальном давлении ро<0,2 МПа параметр диссипации Wal. Характерная эволюция сигнала в этих условиях приведена на рис. 4.8. Как уже отмечалось, при таких значениях W вклад нелинейности и дисперсии не существен, что приводит к характерному «расплыванию» начального возмущения за счет релаксационного процесса тепломассообмена на межфазной границе. Сигнал при этом сильно затухает и уже через 0,5 м практически не наблюдается.

Если параметр W несколько уменьшить путем увеличения статического давления в пароводяной смеси, то характер эволюции начального возмущения изменится—начнут проявляться нелинейные и дисперсионные эффекты. При распространении сигнала в пароводяной смеси (рис. 4.9) в зависимости от параметров о и W реализуются различные виды возмущений. При W < 1 начальное возмущение трансформируется на небольшом расстоянии от входа либо в цуг колебаний (при сг<2), либо в солитонное возмущение (о >10). Для начального возмущения в данных экспериментах критическое значение о,ра9. Распад на уединенные волны-солитоны на малых расстояниях только намечается, а на больших длинах этому процессу мешает сильная диссипация. Сигнал в этом случае трансформируется в возмущение треугольной формы с осциллирующей или монотонной структурой — в зависимости от

соотношения параметров о и W. Как отмечалось выше, релаксационный характер межфазного тепломассообмена приводит к расплыванию сигнала, причем при W < 1 более медленное расплывание переднего фронта приводит к образованию «подложки» у солитона и в конечном итоге — к образованию волны треугольной формы.

Изменение амплитуды сигналов по длине ударной трубы приведено на рис. 4.10. Здесь же штриховой линией показано затухание одиночного солитона в газожидкостной среде [134]. Отчетливо видно, что пароводяная смесь характеризуется более сильной диссипацией, чем диссипация за счет вязкости и акустического излучения.

120

Рис. 4.10. Затухание импульсов давления в парожидкостной среде:Фо«0,01; Л0«1мм; М«0,2; о«10; 7 —W%1,2; 2 — 0,4; 3 — 0,3; 4 — 0,06; 5 — 0,04Рис. 4.10. Затухание импульсов давления в парожидкостной среде:Фо«0,01; Л0«1мм; М«0,2; о«10; 7 —W%1,2; 2 — 0,4; 3 — 0,3; 4 — 0,06; 5 — 0,04Рис. 4.11. Скорость волновых пакетов (7), солитонов (2), ударных волн (3) в парожидкостной среде: /—расчет по (3.78); 77—по (4.38)Рис. 4.11. Скорость волновых пакетов (7), солитонов (2), ударных волн (3) в парожидкостной среде: /—расчет по (3.78); 77—по (4.38)

Рис. 4.10. Затухание импульсов давления в парожидкостной среде:

Фо«0,01; Л0«1мм; М«0,2; о«10; 7 —W%1,2; 2 — 0,4; 3 — 0,3; 4 — 0,06; 5 — 0,04

Рис. 4.10. Затухание импульсов давления в парожидкостной среде:

Фо«0,01; Л0«1мм; М«0,2; о«10; 7 —W%1,2; 2 — 0,4; 3 — 0,3; 4 — 0,06; 5 — 0,04

Рис. 4.11. Скорость волновых пакетов (7), солитонов (2), ударных волн (3) в парожидкостной среде: /—расчет по (3.78); 77—по (4.38)

Рис. 4.11. Скорость волновых пакетов (7), солитонов (2), ударных волн (3) в парожидкостной среде: /—расчет по (3.78); 77—по (4.38)

Данные об изменении скорости распространения осциллирующих и монотонных возмущений давления в зависимости от их амплитуды (рис. 4.11) получены в опытах, где измерялась скорость сигнала, осредненная на участке длиной 0,375 м. Расчетная зависимость скорости солитонов построена с использованием формулы [71]

и = с0и = с01+(у+1)^-1+(у+1)^-(4.38)(4.38)

и = с0

и = с0

1+(у+1)^-

1+(у+1)^-

(4.38)

(4.38)

где NpA— максимальная амплитуда волны. Для водяного пара при Г=425 К показатель адиабаты у =1,24.

Из рис. 4.11 видно, что скорость осциллирующих возмущений не зависит от интенсивности волны и близка к «замороженной» скорости звука с0.

Распространение возмущений давления в парохладоновой смеси характеризуется значениями комплекса W1. Это в свою очередь приводит согласно уравнению (4.37) к увеличению нелинейных и дисперсионных эффектов. Роль релаксационного члена в уравнении (4.37) при дальнейшем уменьшении W, например за счет увеличения статического давления, становится несущественной. Это подтверждается экспериментами, проведенными в парохладоновой смеси. Основные виды эволюции возмущений давления в такой среде с фо = 0,01 приведены на рис. 4.12. Отчетливо наблюдается зависимость вида сигналов от параметра о. Ввиду значительно меньшей диссипации затухание возмущения в такой среде гораздо меньше, чем в пароводяной. На рис. 4.10 это видно на примере уединенных волн, скорость которых зависит от амплитуды и хорошо описывается зависимостью (4.38) (см. рис. 4.11).

в)в)

в)

в)

Рис. 4.12. Эволюция волн при W«:l:

а—волновой пакет (осокр); б—солитон (о^Скр); в—распад возмущения на уединенные волны (оокр); а, б—хладон-12; в — хладон-21

Таким образом, показано, что действительно эволюция возмущений давления в парожидкостных средах существенно зависит от дисперсионного параметра а и параметра W, характеризующего вклад релаксационного процесса тепломассообмена на межфазной границе. Удобно все результаты экспериментов представить в виде карты режимов, построенной в координатах о и W (рис. 4.13). Здесь возмущение соответствует временам т%10~^103с от начала развития волны. Анализ показал, что существуют критические значения о* и W*, при переходе через которые вид образующегося 122

Рис. 4.13. Карта волновых режимов (эксперимент)

возмущения качественно изменяется. При а>о*, Wcl начальное возмущение распадается на уединенные волны. С увеличением W это разделение затрудняется, и при значениях W%1 образуется монотонная структура возмущения. При о со*, W <с 1 наблюдается осциллирующее возмущение, быстро затухающее при увеличении W. При W > 1 независимо от параметра о образуется быстро затухающее возмущение колоколообразной формы.

Интересно оценить значения параметра W для некоторых парожидкостных сред. Так, например, для кипящего натрия W=45,3 при о=10; ро=0,1 МПа; ф=1%; /?0=1,5мм, т. е. возмущение давления будет в такой среде очень сильно затухать и его характерным видом будет возмущение колоколообразной формы. В случае жидкого водорода при тех же начальных условиях W = 0,002. Это означает, что эволюция возмущения в большей степени подчиняется законам, следующим из уравнения Кортевега—де Вриза. По карте это 123

область преобладающего «инерционного» механизма формирования волн. Поэтому в криогенных жидкостях вид и динамика волн будут аналогичны таковым в пузырьковой среде без фазовых переходов. Для пароводяных потоков при высоких статических давлениях (р0>5 МПа) также характерны низкие значения параметра W. Заметим, что именно при таких параметрах работают современные энергетические аппараты.

Итак, пользуясь обобщенной картой волновых процессов, можно просто проанализировать эволюцию линейных и нелинейных волн в различных парожидкостных средах (криогенные жидкости, жидкие металлы, расплавленные органические вещества, вода и др.). .

Анализ экспериментальных результатов на основе критериальных обработок отчетливо выявил ряд областей, где волны в парожидкостной среде практически линейны. В частности, остановимся на области режимов, где значения W велики, а о малы. Назовем ее областью «тепловых» режимов. Она может быть описана линейным уравнением

е

(439)(439)^+М-1—=—W f^_^i_ае+ а^ ре1х/ё^ё?-

(439)

(439)

Представляют интерес линейные решения уравнения (4.39) для различных начальных условий. Рассмотрим решения уравнения (4.39), полуденные преобразованием Лапласа. Обозначив ^(^, s) образ решения уравнения (4.39), запишем

^М^е^М^е-M(s + WV$)^-M(s + WV$)^(4.40)(4.40)

^М^е

^М^е

-M(s + WV$)^

-M(s + WV$)^

(4.40)

(4.40)

где Cv — константа, определяемая начальными условиями.

Так, например, начальное условие, взятое в виде функции Хевисайда — «ступеньки», дает значение Ct = l/s.

На рис. 4.14 приведено решение уравнения (4.39) и сравнение с экспериментальными профилями давления Ад/ро = 0,2. Наблюдаемое отличие экспериментальных и расчетных данных обусловлено прежде всего допущением в асимптотической

Рис. 4.14. Эволюция слабых волн в кипящей воде:Ро = 0,1 МПа; фо = О,О1; /?0=1,8мм, 1 — расчет по (4.39); 2— по (4.37); 3 — экспериментРис. 4.14. Эволюция слабых волн в кипящей воде:Ро = 0,1 МПа; фо = О,О1; /?0=1,8мм, 1 — расчет по (4.39); 2— по (4.37); 3 — эксперимент

Рис. 4.14. Эволюция слабых волн в кипящей воде:

Ро = 0,1 МПа; фо = О,О1; /?0=1,8мм, 1 — расчет по (4.39); 2— по (4.37); 3 — эксперимент

Рис. 4.14. Эволюция слабых волн в кипящей воде:

Ро = 0,1 МПа; фо = О,О1; /?0=1,8мм, 1 — расчет по (4.39); 2— по (4.37); 3 — эксперимент

Рис. 4.15. Распространение акустических волн в пароводяной среде (/>о=О,1 МПа; Ло=1 мм; <р=0,01):а—Др(0, z)=l-exp(-8z), В=ЗЮ3с"*; б—Др(0, z)=exp(-Bz), 8=103с"*; I — х=0; 2—50; 3—100; 4— 300 ммРис. 4.15. Распространение акустических волн в пароводяной среде (/>о=О,1 МПа; Ло=1 мм; <р=0,01):а—Др(0, z)=l-exp(-8z), В=ЗЮ3с"*; б—Др(0, z)=exp(-Bz), 8=103с"*; I — х=0; 2—50; 3—100; 4— 300 ммРис. 4.16. Изменение ширины Дф переднего фронта волны: вода, />о = 0,19 МПа; <ро=О,О1; Я0=1,5мм; А/>о //>о=0,08 4-0,3Рис. 4.16. Изменение ширины Дф переднего фронта волны: вода, />о = 0,19 МПа; <ро=О,О1; Я0=1,5мм; А/>о //>о=0,08 4-0,3

Рис. 4.15. Распространение акустических волн в пароводяной среде (/>о=О,1 МПа; Ло=1 мм; <р=0,01):

а—Др(0, z)=l-exp(-8z), В=ЗЮ3с"*; б—Др(0, z)=exp(-Bz), 8=103с"*; I — х=0; 2—50; 3—100; 4— 300 мм

Рис. 4.15. Распространение акустических волн в пароводяной среде (/>о=О,1 МПа; Ло=1 мм; <р=0,01):

а—Др(0, z)=l-exp(-8z), В=ЗЮ3с"*; б—Др(0, z)=exp(-Bz), 8=103с"*; I — х=0; 2—50; 3—100; 4— 300 мм

Рис. 4.16. Изменение ширины Дф переднего фронта волны: вода, />о = 0,19 МПа; <ро=О,О1; Я0=1,5мм; А/>о //>о=0,08 4-0,3

Рис. 4.16. Изменение ширины Дф переднего фронта волны: вода, />о = 0,19 МПа; <ро=О,О1; Я0=1,5мм; А/>о //>о=0,08 4-0,3

модели (4.39) постоянства радиуса пузырька, что не соответствует действительному поведению парового пузырька в волне. Результаты расчета по формуле (4.39) при различных профилях начального возмущения представлены на рис. 4.15.

Как видно из приведенных экспериментов и расчетов, ширина переднего фронта Аф первоначально ударной волны по мере ее движения настолько увеличивается (рис. 4.16), что становится сравнимой с пройденным волной расстоянием. Повышение интенсивности волны в некоторых пределах не приводит к стабилизации формы, и скорость этого возмущения, определенная по началу переднего фронта, не превышает скорости звука с0, рассчитанной при отсутствии фазового перехода.

Сильное затухание волн в «тепловом» режиме, как мы уже видели (см. рис. 4.10), характерно и для волн конечной длительности. Подобная эволюция волн в этом режиме наблюдается, судя по экспериментам [218], до интенсивностей М%0,5. В жидкости с пузырьками пара в ранних экспериментах [170,256], опытах Института теплофизики СО АН СССР, Института химфизики АН СССР был обнаружен эффект усиления волн как при их отражении от твердой стенки (рис. 4.17), так и непосредственно в прямой волне (рис. 4.18). Эти эксперименты пока не описаны теоретически и приведены здесь лишь как иллюстрация предела применимости полученных критериев и модельного уравнения (4.37) для анализа динамики волн. По-видимому, необходимы новые усилия как

Рис. 4.17. Усиление волн при отражении от стенки:

7, 2— падающая и отраженная волны; вода, ро=О, 1 МПа; фо=О,О2; Ro = 1,5 мм

экспериментаторов, так и теоретиков в изучении в первую очередь механизма дробления пузырьков в таких волнах.

Остановимся еще на одном способе расчета линейных волн [131], основанном на применении дискретного преобразования Фурье и его численной реализации в вйде алгоритма быстрого преобразования Фурье (БПФ). Для расчета используется дисперсионное соотношение, отвечающее исходному уравнению. Разлагая начальное возмущение в дискретный ряд Фурье, а затем на каком-то расстоянии «собирая» гармоники обратно в сигнал, можно восстановить структуру трансформировавшегося из-за дисперсии сигнала.

. Формула разложения линейной волны в конечную сумму простых волн

L-1

Р^’ ') = Е znexp(itont-ik„x)(4.41)

п = 0

при х=0 совпадает с формулой обратного преобразования Фурье L-1

Рт= Е znexpQ2umnj ьу(4.42)

n = 0

если рт=р (0, тМА. Здесь соп = 2лл/Т; t = mM; Nt— шаг дискретизации; T=LNt—интервал времени; ш = 0,1, ...

Если известно краевое условие д(0, mAz), то коэффициенты zn в (4.41) можно определить следующим образом:

£-1

z„ = Е 7’техр(-йлтл/£).(4.43)

л = 0

Для фиксированной координаты х = х0 формула (4.41) преобразуется к виду

НЛо, 0= Е ^ехР(г“п0’^-^

л = 0

где коэффициенты разложения

Vn = znexp^-iknxoy(4.45)

A PiмпаA PiмпаРис. 4.18. Усиление волны в парожидкостной смеси: хладон-21; р0 = 0,17 МПа; фо=0,01; /?0=1,2ммРис. 4.18. Усиление волны в парожидкостной смеси: хладон-21; р0 = 0,17 МПа; фо=0,01; /?0=1,2мм66, мс

A Pi

мпа

A Pi

мпа

Рис. 4.18. Усиление волны в парожидкостной смеси: хладон-21; р0 = 0,17 МПа; фо=0,01; /?0=1,2мм

Рис. 4.18. Усиление волны в парожидкостной смеси: хладон-21; р0 = 0,17 МПа; фо=0,01; /?0=1,2мм

Подставляя в (4.45) закон дисперсии к=к (юл), можно определить коэффициенты Vn на данной координате х0 и затем выполнить процедуру обратного преобразования Фурье для получения значений функций рДх0, mkt\ При выполнении расчетов необходимо учитывать, что Тми„ = хма,с/сф. макс, Тмакс Хмакс/сфмин.

В общем случае структуру и динамику волн в парожидкостной среде необходимо рассматривать на основе численного интегрирования уравнения (4.37) или решения полной системы уравнения, как это сделано в работах НИИ механики МГУ. Уравнение (4.37) является релаксационным уравнением Кор- тевега — де Вриза—Бюргерса. Правая часть его содержит релаксационный интеграл. В отличие от релаксационного уравнения КдВБ, полученного в [39] для моделирования волн в жидкости с пузырьками газа с учетом теплообмена, интегральное ядро (4.37) «корневое», а не экспоненциальное. Экспоненциальное ядро позволяет явно выделить характерное время релаксации т0 и с помощью дифференцирования исключить интеграл, перейдя к уравнению более высокого порядка. «Корневое» ядро отвечает бесконечному времени релаксации и не позволяет перейти к дифференциальному уравнению более высокого порядка без интеграла.

Моделирование распространения волн в жидкости с пузырьками пара проводилось на основе уравнения (4.37) с помощью численного интегрирования при Re-+oo применительно к описанным выше экспериментам по несимметричной разностной схеме

-^^(«;t,-3il?tl + 3«;1,-«;)-W/?tl.„(4.46)

где W — коэффициент, стоящий перед интегралом в уравнении (4.37); т = иДт; £ = (/+1,5) Д£; /”+1,5—аппроксимация интеграла, которая, как легко показать, для сеточного представления функции й(^, т) записывается в виде

/”+1,5=^= £ ^ts-u^i.s^n-k-.Jn-k-iy

VAT k=l

В уравнении (4.46) Дт и Д£ связаны условиями устойчивости Дт^Д^а2/8 и аппроксимации 1,5Д£/Дт = М-1. Схема (4.46) реализуется как явная по т, что позволяет вычислять значения функции й(£, т) непосредственно на четырехслойном по £ массиве.

Численные решения уравнения (4.37) находили аналогичным образом. Проверка работы схемы проводилась в три этапа. На первом этапе полагали W = 0, в результате чего уравнение (4.37) переходит в уравнение Кортевега—де Вриза, численные решения которого хорошо известны [12]. На втором этапе использовалось численное решение задачи:

3м w-i^ „, f Зм/Зт, ,„ ._ .( 0 при т = 0;

—+М !—=-W/ 1 </т.; мо(0, т) = < , р ’ (4.47)

Зт 3^ JVt-Ч( 1 при т>0 v 7

о v

и сравнивалось с аналитическим решением

и(£, т)=егГс№£^\ (4.48)

Кроме того, численное решение линеаризованного уравнения (4.37) при W = 0 сравнивалось с решением методом быстрого преобразования Фурье по найденному дисперсионному уравнению. Во всех случаях погрешность не превышала 2%.

Значения коэффициентов уравнения (4.37) рассчитывались по начальным условиям экспериментов, а решение уравнения выводилось для расстояний хь отвечающих координатам датчиков.

В области малых значений W<0,l (назовем ее областью «инерционного» режима), как было показано ранее, эволюция волн конечной длительности зависит от значения критерия ст. В соответствии с выводами анализа уравнения Кортевега — де Вриза — Бюргерса (гл. 3), в которое переходит модельное уравнение (4.37) при W = 0, в парожидкостной среде могут формироваться волновые пакеты, солитоны, монотонные и ос- цилляторные ударные волны.

На рис. 4.19 результаты расчетов возмущения типа «ударная волна» сопоставляются с экспериментально наблюдаемым 128 '

Рис. 4.19. Эволюция ударной волны в парожидкостной среде: хладон-21; ро = 0,2 МПа; фо = О,О1; Я0=1,2мм; 1 — эксперимент; 2—расчетРис. 4.19. Эволюция ударной волны в парожидкостной среде: хладон-21; ро = 0,2 МПа; фо = О,О1; Я0=1,2мм; 1 — эксперимент; 2—расчетпрофилем в парожидкостной среде, а на рис. 4.20 профиль волны в хладоне-12 сравнивается с расчетом солитона по известным формулам.

Рис. 4.19. Эволюция ударной волны в парожидкостной среде: хладон-21; ро = 0,2 МПа; фо = О,О1; Я0=1,2мм; 1 — эксперимент; 2—расчет

Рис. 4.19. Эволюция ударной волны в парожидкостной среде: хладон-21; ро = 0,2 МПа; фо = О,О1; Я0=1,2мм; 1 — эксперимент; 2—расчет

Для промежуточной области 0,1 ^W<1 характерно совместное влияние «инерционного» и «теплового» механизмов формирования волн. Так, в пароводяной среде при ро = 0,5 МПа (рис. 4.21) формируется солитоноподобное образование с «подложкой», которое быстро расплывается и затухает. Численный расчет по модельному уравнению (4.37) дает такие же результаты. Аналогичное сопоставление приведено на рис. 4.22 для

первоначально треугольного возмущения, распространяющегося в пароводяной среде.

Удобно результаты расчета представить в виде таблицы- карты (рис., 4.23), координаты которой являются характерными параметрами волнового процесса в жидкости с пузырьками пара, как это сделано при описании экспериментального исследования таких волн.

Численное моделирование уравнения (4.37) и сравнение результатов расчетов с экспериментами показали, что рас

пространение волн небольшой с пузырьками пара достаточно сационным уравнением Кортеве- га—де Вриза — Бюргерса с «корневым» ядром.

В рамках этой же модели проводилось исследование волн разрежения. Слабые волны разрежения ведут себя «симметрично». На рис. 4.24, а показаны характерные профили волн разрежения, рассчитанные по уравнению

Рис. 4.20. Сопоставление формы волны (/) с формой солитона (2):

хладон-12; р0-1,ЗМПа; фо = 0,01; Л0=1мм

интенсивности в жидкости хорошо описывается релак-интенсивности в жидкости хорошо описывается релак-9 Заказ 2980

интенсивности в жидкости хорошо описывается релак-

интенсивности в жидкости хорошо описывается релак-

Рис. 4.21. Сопоставление эксперимента (7) с расчетом по модельному уравнению (2) и по полной системе уравнений [120] (3):

вода; ро=0,5 МПа; фо=О,О15; Л0=1,4мм; о=9,1; W=0,38

а на рис. 4.24,6—экспериментальный профиль слабой волны разрежения. Для слабых волн разрежения, так же как и для волн сжатия, наблюдается затухание и расплывание. Интуитивно понятно, что сильная волна разрежения вызовет бурное закипание и увеличит амплитуду волны разрежения, точно так же, как усиливается сильная волна сжатия в парожидкостной среде.

Как следует из вышеизложенного, расчет эволюции линейных волн по уравнению (4.39) расходится с результатами экспериментов для пароводяной смеси. Причину несоответствия можно понять, анализируя решения полного уравнения g2P r2 g2P , 7+1 2 Мр2\ 0 S4p - St2 0 9х2 2у 0 бх2 \Ро )1 6t2Sx2

Рис. 4.22. Эволюция волн с а>ст*:1—расчет по (4.37);Ро = 180 кПа;Ro = 1,5 мм;о=26,5; фо = 0,01; W = 0,67; М = 0,67Рис. 4.22. Эволюция волн с а>ст*:1—расчет по (4.37);Ро = 180 кПа;Ro = 1,5 мм;о=26,5; фо = 0,01; W = 0,67; М = 0,67

Рис. 4.22. Эволюция волн с а>ст*:

1—расчет по (4.37);

Ро = 180 кПа;Ro = 1,5 мм;

о=26,5; фо = 0,01; W = 0,67; М = 0,67

Рис. 4.22. Эволюция волн с а>ст*:

1—расчет по (4.37);

Ро = 180 кПа;Ro = 1,5 мм;

о=26,5; фо = 0,01; W = 0,67; М = 0,67

8 I dp dx a — I — —,dt j дт Jt — x8 I dp dx a — I — —,dt j дт Jt — x(4.49)(4.49)оо

8 I dp dx a — I — —,

dt j дт Jt — x

8 I dp dx a — I — —,

dt j дт Jt — x

(4.49)

(4.49)

о

о

где a=^^iSiPL^

К^ках^гьУ

Это уравнение имеет вид уравнения Буссинеска с интегральной правой частью и описывает распространение волн в обе стороны.

Пример численного моделирования эволюции начального возмущения, выполненного на основе уравнения (4.49) с использованием процедуры БПФ, приведен на рис. 4.25. Как видно, при достаточно интенсивном теплообмене (а = 0,02) начальный импульс не успевает разделиться на два возмущения и эволюционирует как целое.

»)»)Рис. 4.24. Эволюция волны разрежения в парожидкостной среде:

»)

»)

а—расчет; б—эксперимент

Рис. 4.25. Эволюция финитного сигнала при различной интенсивности межфазного. взаимодействия:а—ро=1"Ю5Па; 6—ро = 5 105ПаРис. 4.25. Эволюция финитного сигнала при различной интенсивности межфазного. взаимодействия:а—ро=1"Ю5Па; 6—ро = 5 105ПаВ этом случае переход к эволюционному уравнению, описывающему волну, движущуюся в одну сторону, не правомерен. Расчет распространения волн в парожидкостной среде связан с одновременным решением двух задач: распространения упругой волны и распространения тепла. Если доминирует первая задача, есть две характеристики С+ и С_ и возможен переход к волнам, движущимся в одну сторону. Если же

Рис. 4.25. Эволюция финитного сигнала при различной интенсивности межфазного. взаимодействия:

а—ро=1"Ю5Па; 6—ро = 5 105Па

Рис. 4.25. Эволюция финитного сигнала при различной интенсивности межфазного. взаимодействия:

а—ро=1"Ю5Па; 6—ро = 5 105Па

Рис. 4.26. Линейные волны в воде с пузырьками пара:а—Ро=1Ю5Па; б—5-105Па; 1—решение по (4.48); 2—результат численного расчета линейной волны по (4.49), а=0,02 с ~1/2Рис. 4.26. Линейные волны в воде с пузырьками пара:а—Ро=1Ю5Па; б—5-105Па; 1—решение по (4.48); 2—результат численного расчета линейной волны по (4.49), а=0,02 с ~1/2

Рис. 4.26. Линейные волны в воде с пузырьками пара:

а—Ро=1Ю5Па; б—5-105Па; 1—решение по (4.48); 2—результат численного расчета линейной волны по (4.49), а=0,02 с ~1/2

Рис. 4.26. Линейные волны в воде с пузырьками пара:

а—Ро=1Ю5Па; б—5-105Па; 1—решение по (4.48); 2—результат численного расчета линейной волны по (4.49), а=0,02 с ~1/2

преобладает вторая задача, существен тепловой процесс и есть только одна действительная характеристика.

Из рис. 4.26 видно, что расчет волны, выполненный по (4.49) при Pi=0, хорошо согласуется с данными экспериментов (точки).

Слабые ударные волны

Ударные волны в газодинамике имеют исключительное значение. Они образуются в результате конкуренции нелинейных и диссипативных процессов. В парожидкостной среде при распространении волн диссипативные процессы нарастают со временем, поэтому в отличие даже от динамики газожидкостных систем вопрос о существовании ударных волн вообще является, по-видимому, некорректным. Ударные волны, в том смысле, как мы их понимаем, здесь можно рассматривать только для небольших времен t*. Одной из задач теории ударных волн в жидкости с пузырьками пара является определение времени t*, когда сформировавшееся возмущение ведет себя как ударная волна: выполняется соотношение на разрывах, т. е. с увеличением амплитуды возрастает скорость распространения. Ситуация напоминает ударные волны в релаксирующей среде, когда формируются либо размытые—диспергированные—волны, либо волны со скачком.

В парожидкостной среде ударная волна образуется в результате конкуренции нелинейности среды и процессов тепломассообмена на границе пузырек—жидкость, которые препятствуют образованию ударной волны. Найдем время (*,

в течение которого нелинейность доминирует над процессами тепломассообмена. Для этого запишем уравнение распространения возмущений в жидкости с пузырьками пара

(4.50)(4.50)QvQv^ , . ^ Л+1^£^J-R г ^Р ^Ро

(4.50)

(4.50)

Qv

Qv

St 0 бх 2у ° р0 бх 1 0 бх3 2Rop2L

Предположим, что ударная которая существует в течениеПредположим, что ударная которая существует в течениеволна имеет вид «ступеньки», t*. Тогда тепловой потокволна имеет вид «ступеньки», t*. Тогда тепловой поток

Предположим, что ударная которая существует в течение

Предположим, что ударная которая существует в течение

волна имеет вид «ступеньки», t*. Тогда тепловой поток

волна имеет вид «ступеньки», t*. Тогда тепловой поток

(4.51)(4.51)это уравнение l*=Ut* (гдеэто уравнение l*=Ut* (гдек^Т _ КТДр

(4.51)

(4.51)

это уравнение l*=Ut* (где

это уравнение l*=Ut* (где

^/uavt* p1Lx/itavt*

Подставляя (4.51) в (4.50) и обезразмеривая по характерному времени t* и длине 1

и=Ц^-Ср^р!р0\ получаем

бр , с0 др _ у+1 Ар с0 „бр m , г- р

дт U д£ 2у рр UP6^27^4'

где x=t!t*\ Ti = Rpja1; m определяется, как в соотношении ^io^ ггу+1Арс0 mJt*'

При условии —-^->—^=, или при

^ р» и i7^v р

.♦VyH^ApY^14 531

\2ч U рр) m1’( ‘ '

в течение t* реализуется ударная волна, подобная наблюдаемым в газожидкостных системах.

Приведем некоторые оценки характерных длин существования ударных волн, следующие из (4.53), для Ар/ро = 0,3; ф0 — 0,01:

ВодаХладон-12

Ро, МПа 0,18,50,66

Го, К 373573298,5

/*, м 0,01213,611

Как видно, в пароводяной среде, находящейся при низких давлениях, ударные волны не возникают. Оценки по (4.53) показывают, что аналогичная ситуация наблюдается и в кипящих жидкометаллических средах. Напротив, в кипящей при высоких давлениях воде ударные волны могут формироваться.

Результаты расчета с использованием (4.53) хорошо согласуются с экспериментами. Так, в эксперименте, показанном на рис. 4.27, скачок давления не наблюдается. Здесь /* = 5 мм. Для условий эксперимента, показанного на рис. 4.28, /* = 0,38 м, а на расстояниях, больших этого значения, ударная волна 134

Рис. 4.28. Эволюция первоначально осциллирующей волны: М =5 0,35, W=0,06; хладон-21, ро=0,19 МПа, фо = 0,01, Я0=1,2ммРис. 4.28. Эволюция первоначально осциллирующей волны: М =5 0,35, W=0,06; хладон-21, ро=0,19 МПа, фо = 0,01, Я0=1,2ммРис. 4.27. Эволюция «ступеньки» при преобладающем влиянии межфазного тепломассообмена:М=0,07, W=0,72; вода, pQ=0,19 МПа, фо=0,01, Л0=1,5ммРис. 4.27. Эволюция «ступеньки» при преобладающем влиянии межфазного тепломассообмена:М=0,07, W=0,72; вода, pQ=0,19 МПа, фо=0,01, Л0=1,5ммРис. 4.29. Осцилляторная структура ударной волны:

Рис. 4.28. Эволюция первоначально осциллирующей волны: М =5 0,35, W=0,06; хладон-21, ро=0,19 МПа, фо = 0,01, Я0=1,2мм

Рис. 4.28. Эволюция первоначально осциллирующей волны: М =5 0,35, W=0,06; хладон-21, ро=0,19 МПа, фо = 0,01, Я0=1,2мм

Рис. 4.27. Эволюция «ступеньки» при преобладающем влиянии межфазного тепломассообмена:

М=0,07, W=0,72; вода, pQ=0,19 МПа, фо=0,01, Л0=1,5мм

Рис. 4.27. Эволюция «ступеньки» при преобладающем влиянии межфазного тепломассообмена:

М=0,07, W=0,72; вода, pQ=0,19 МПа, фо=0,01, Л0=1,5мм

М = 0,67, W = 0,006; хладон-12, ро-^Л МПа, Фо = 0,01, Ro =1,3 мм

вырождается. В случае, показанном на рис. 4.29, /*«20 м, и здесь параметры ударной волны сохраняются на всей длине экспериментальной установки.

Волны при снарядном режиме течения двухфазной среды

Снарядный режим течения двухфазной среды занимает промежуточное положение между пузырьковым и расслоенным режимами. Он характеризуется последовательным прохождением по каналу одиночных больших пузырей, занимающих почти все поперечное сечение, возникает при умеренных паро- и газосодержаниях и отличается ярко выраженной дискретной структурой.

При изучении распространения волн давления предлагалась, как правило, идеализированная схема снарядного режима течения (рис. 4.30). Генри и др. [244] для определения скорости 135

распространения возмущений впервые предложили следующую модель: звук в газовом снаряде распространяется со скоростью звука в газе, а в жидкой пробке—со скоростью звука в жидкости. Они получили выражение для скорости волны без учета переотражения на межфазных границах

(4.54)(4.54)фС1+(1-ф)е2‘

(4.54)

(4.54)

При рассмотрении отражения и прохождения звука через границу двух акустических сред в [61 ] получены выражения для относительного потока отраженной и прошедшей звуковой энергии:

7оТР = ^р (4.55)

где z= P2C2IP1C1 —относительный акустический импеданс. Например, для водяного пара и воды при р« 100 кПа, Т=373 К с%2-104, /пр«8Ю-4. Из (4.55) видно, что при существенном различии импедансов р2с2 и РЛ, характерном для газожидкостных систем, основная часть звуковой энергии отражается от границы, причем это справедливо как для границы газ — жидкость, так и для границы жидкость—газ. Таким образом, предвестник, идущий со скоростью (4.54), практически не распространяется, хотя в экспериментах [244] этот сигнал все же наблюдался при прохождении волны через одну элементарную ячейку «пробка + снаряд». Основная часть акустической энергии переносится сигналом, который формируется в результате многократных переотражений на межфазных границах. Однако при условиях, близких к критическим (PiCi~p2c2), или при наличии пузырьков' газа в жидкой пробке, что существенно может уменьшить значение скорости сх (при р« 100 кПа, Т=373 К, ф = 0,5 z=(p2/Pi)1/2«2,5 • 10"2, 7пр«0,1), роль предвестника будет возрастать.

Для иллюстрации трудностей, возникающих при детальном исследовании эволюции волн в «слоистой среде», рассмотрим 136

iD12;iD12;(4.56)(4.56)

iD12;

iD12;

(4.56)

(4.56)

рис. 4.31. Схема прохождения акустических волн через слои жидкости и газа

задачу о распространении акустической волны в среде с z1 = p1c1 после прохождения ее через среду, имеющую другой импеданс—z2«p2c2 (рис. 4.31). Коэффициенты отражения

Иц и прохождения Dtj волн через■

межфазную границу, т. е. отношения амплитуд отраженной и прошедшей волн к амплитуде падающей волны, легко определяются из динамических (равенство давлений) и кинематических (равенство скоростей) условий на границе [61]:

12*12*(4.57)

12*

12*

Если на границу 7—2 падает монохроматическая волна с частотой о, то на границе 2—7 амплитуда прошедшей волны, очевидно, будет складываться из суммы последовательно переотраженных волн

^DV2VV2V2VD^(4.58)

^DvlVv2V2vVv2V2vD2v

где a = todlc2. Сумма геометрической прогрессии (4.58) запишется как

Пп = Пх2П1г^-"Пп = Пх2П1г^-""1+(_])" ^2^+1)е2|«(л+1)"1+(_])" ^2^+1)е2|«(л+1)1 + К22е2‘”1 + К22е2‘”(4.59)(4.59)

Пп = Пх2П1г^-"

Пп = Пх2П1г^-"

"1+(_])" ^2^+1)е2|«(л+1)

"1+(_])" ^2^+1)е2|«(л+1)

1 + К22е2‘”

1 + К22е2‘”

(4.59)

(4.59)

где т = (о/; п=[т/2а] (и—целая часть от т/2а). Переходя к действительным величинам и считая, что на слой падает волна единичной амплитуды, получаем из выражения (4.59): для прошедшей без переотражения волны (предвестника)

7)0 = [4z/(l+z)2]sinT;(4.60)

для сформированной после и переотражений волны

_ 4z sinx-b К28т(т+2а) + (—l)"sin(T—2а(л +1))+"~(l+z)2l + K4+2K2cos2a*

+(—l)”sin(T—2ал)+(—l)”sin(T—2ал)(4.61)(4.61)

+(—l)”sin(T—2ал)

+(—l)”sin(T—2ал)

(4.61)

(4.61)

для волны после бесконечного числа переотражений

_ 4z sinx+K2sin(T+2a)°°-(l+z)2 l + K4+2K2cos2a '

(4.62)

На рис. 4.32 хорошо видна эволюция волны Dn (переход от Do к D,Y Очевидно, что при большем числе акустичес-

Рис. 4.32. Формирование синусоидаль- ^их слоев процедура расчета ной акустической волны после переот- фронта ВОЛНЫ значительно ражений D„ усложняется. Возникают принципиальные трудности учета нелинейных эффектов при изучении волн конечной амплитуды.

При исследовании интересующих нас «энергонесущих» волн будем рассматривать характерные частоты о, для которых половина длины волны звука в газе (S2) больше длины

газового снаряда, половина длины волны звука в жидкости (Si) больше длины пробки:

^=^»/ф, ^=^»/(1_ф).(4.63)

2 со2 со

Тогда можно предположить модель распространения волн [95, 260], аналогичную модели, применяемой в физике твердого тела [84] (точечная масса + пружина): безынерционные газовые снаряды передают импульс инерционным несжимаемым пробкам жидкости. Эта модель, естественно, работает при следующих условиях:

РгфСрД! —ср) (малая инерция газа);

р2с 2 (1 — ф) с р^ 2 ср (малая сжимаемость жидкости).

Далее, считая газ идеальным с показателем адиабаты у, снарядную структуру строго периодической и пренебрегая трением и межфазным тепломассообменом, можно записать уравнение движения для и-й жидкой пробки и уравнение адиабаты для и-го снаряда •

Р,/(1-<р)§=/>„-Рп-ь(4.64)

"/>„=.р(0)(1+Ц^) \(4.65)

\ 'Ф /

где ^„ = х„-и/; и/=хп(0).

Естественно, система (4.64) — (4.65) описывает колебания связанных нелинейных осцилляторов. После ряда подстановок 138

и дифференцирований из выражений (4.64) — (4.65) получим систему нелинейных уравнений, описывающих распространение волн давления, которые и представляют практический интерес:

Т^2[1-(1+Л)"1/т] = ®о(Л+1-2Л+Л-1), (4.66)

где

Ю0 = /2Ю0 = /2У^=с' P,V(i%z==c-/,2;У^=с' P,V(i%z==c-/,2;

Ю0 = /2

Ю0 = /2

У^=с' P,V(i%z==c-/,2;

У^=с' P,V(i%z==c-/,2;

l-2(xjiy1-(^//)2l-2(xjiy1-(^//)2(4-67)(4-67)

l-2(xjiy

1-(^//)2

l-2(xjiy

1-(^//)2

(4-67)

(4-67)

Видно, что сс совпадает со скоростью распространения возмущений для газожидкостной среды пузырьковой структуры с0. Это естественно, так как в модели пренебрегаем скольжением фаз. При умеренных газосодержаниях <р (что является характерным для снарядного режима) се существенно меньше скорости звука в газе и в жидкости. Например, для пароводяной смеси при р= 100 кПа, Т=373 К с2 = 500 м/с, сс = с2-2ч/р2/р1« «25 м/с. Для описания сред с дискретной микроструктурой в [84] предложена математическая модель квазиконтинуума, основные принципы которой были заложены в работах Бриллюэна, Пароди [17]. Эта модель используется для того, чтобы с единых позиций описывать процессы, происходящие в непрерывных и дискретных средах. Важно, чтобы при этом согласно принципу соответствия осуществлялся предельный переход от нелокальной (дискретная среда) к локальной (непрерывная среда) теории.

Для взаимно однозначного соответствия линейных и нелинейных операций между функциями натурального аргумента рп и аналитическими функциями р(х) непрерывного аргумента, совпадающими в узлах x = nl (pQi, 1)=рп), необходимо потребовать, чтобы фурье-образ р(х) был отличен от нуля в области значений волновых чисел —ъЦ^к^пЦ.

Тогда при малой, но конечной нелинейности получаем для р(х) интегро дифференциальное волновое уравнение

82р Y+1 д2 22ш§

St2 2у 8t2^P л

Дисперсионное волновое соотношение, соответствующее линеаризованному уравнению (4.67), имеет вид

O)2=4tooSin2(A://2).O)2=4tooSin2(A://2).(4.68)139(4.68)139

O)2=4tooSin2(A://2).

O)2=4tooSin2(A://2).

(4.68)

139

(4.68)

139

умеренных ф (что характерноумеренных ф (что характерноРис. 4.33. Дисперсионная зависимость для снарядной структуры парожидкостного потока

умеренных ф (что характерно

умеренных ф (что характерно

На рис. 4.33 приведена зависимость фазовой скорости волны от частоты сф=сс(о/[2о)оагсып((о/2о)о)]. При я снарядного режима) значения

скоростей звука с\ и с2 более чем на порядок превосходят значения скорости сс. Таким образом, при частотах, для которых длины волн, соответствующие скоростям сх и с2, являются большими,

длины волн, соответствующие скорости распространения возмущений сс, могут оказаться сравнимыми с характерным размером снарядной структуры /. Действительно, даже при частоте о = 2(о0 [предельная частота для (4.68)], соответствующей длине волны 8=2к{к0 = 21, условия адекватности модели выполнены.

Таким образом, с помощью модели квазиконтинуума можно

расширить диапазон частот исследуемых нестационарных волновых процессов по сравнению с моделью взаимопроникающих, взаимодействующих сплошных сред [120, 146], в которой используется предположение IcS.

Самостоятельный интерес представляет исследование эволюции длинноволнового по скорости се сигнала. Для этого в подынтегральном выражении (4.67) разложим функцию р(х — Xi) в ряд Тейлора по малому параметру .1(8, где 5—характерная длина возмущения:

х х ^Р . 1 32Р 2х х ^Р . 1 32Р 2(4.69)(4.69)

х х ^Р . 1 32Р 2

х х ^Р . 1 32Р 2

(4.69)

(4.69)

Оставляя первые два неисчезающих члена в разложении (4.69), после интегрирования (4.67) получим уравнение типа уравнения Буссинеска .

(4.70)(4.70)82р Y+1 61 /~2х2^2Р сП1 д^р

(4.70)

(4.70)

Для волн, идущих в одну сторону, уравнения (4.70) с точностью до членов 2-го порядка малости переходят в каноническое уравнение Кортевега—де Вриза. Если учитывать нестационарное трение о стенки канала, то уравнение движения жидкой пробки (4.64) изменится:

р1/(1-ф)ф^ + ц1/ф(1-ф)1 №J^_=p„-pn_v, (4.71)

^ J dV /^(г-т)

о

где D—диаметр канала (см. рис. 4.30).

Рассмотрим межфазный тепломассообмен. Уравнение роста парового снаряда за счет фазового перехода запишется так же, как и уравнение роста парового пузырька:

^[(^я-^-1)р2]=/(4-72)

Поток массы на границе снаряда у моделируем интегралом Дюамеля с учетом теплоотвода к межфазной поверхности, находящейся на линии насыщения, только со стороны жидкости:

2^1L2^1L(4.73)(4.73)-21! j Т2 dp„ dx

2^1L

2^1L

(4.73)

(4.73)

L J Lp2 dx JM1 (t—x)о

Ранее из системы уравнений (4.64) и (4.65) с «замороженными» трением и теплообменом с помощью математической модели квазиконтинуума было получено уравнение (4.67). Аналогично можно получить из системы (4.71)—(4.73) новое интегродифференциальное уравнение для аналитической интерполирующей функции р^х^

82р у+1 д2 22со§at2 at2^ л82р у+1 д2 22со§at2 at2^ л"i^t^/o^. 1-(^//)2"i^t^/o^. 1-(^//)2р(х_Х1)^+р(х_Х1)^+

82р у+1 д2 22со§

at2 at2^ л

82р у+1 д2 22со§

at2 at2^ л

"i^t^/o^

. 1-(^//)2

"i^t^/o^

. 1-(^//)2

р(х_Х1)^+

р(х_Х1)^+

(4.74)(4.74)«I £2 Pl СрХТ 4^/^) fа2рdx

(4.74)

(4.74)

/ф L р2 L D /J дт2 J^uy^t-x)■о

Если рассматривать асимптотическое поведение длинноволновых возмущений, распространяющихся в одном направлении, то с помощью факторизации можно с точностью до членов 2-го порядка малости получить эволюционное уравнение

Эр. ^Р + с Y+1 ^Р 8Р ■ с=/2 83Р | Д1 с2 Р1at е ах с 2у р0 ах 24 ах3 и<р l р2

(4.75)(4.75)х СруТ рр dx

(4.75)

(4.75)

L J 6х ^пау (z—т)о

Таким образом, оказалось возможным рассмотрение волновых процессов и в снарядном режиме течения двухфазных сред на основе канонических эволюционных уравнений. Результаты экспериментального исследования распространения волн в снарядном режиме течения [260] (рис. 4.34) показывают, 141

8)8)a) ^5^5

8)

8)

Рис. 4.34. Структура волн давления при снарядном режиме течения [260]: а — фо=0,2; б—0,5; в — 0,8; число снарядов 20; /о = О,1 м; Ар0 = 96 кПа

что структура волн аналогична возмущениям в пузырьковых средах.

Полученное эволюционное уравнение (4.75), описывающее распространение волн давления в снарядном и других режимах течения, с точностью до коэффициентов имеет одинаковый вид с уравнениями для пузырьковых структур течения. При решении задачи о длительности распространения импульса, что эквивалентно наличию характерной длины возмущения, для (4.75) введем безразмерные переменные и комплексы Who. Пусть ^p—начальная амплитуда возмущения; 5— характерная длина возмущения. Тогда для разных структур течения эволюционные уравнения имеют вид

(476)

5тоJ 5т

о

где ^ = x/S; р = \р)\р0.

В случае пузырьковой структуры

T = (^o/S)M; М = ^^; о2 = 6Мф(1-ф)52//?2;

2у/»о

W = - / Ux^ / ^YPo ~ — — ^р1^(4.77)

2 nc0R2 \] (у+1)Др0 L р2 L ’‘

а в случае снарядной структуры

т = (тес/5)М; М = ^-^; o2 = 24MS2//2;

2?Ро

, , (4.78)

w=- /zzzz 7 ^р» c«picpit

2 >/лсс/2ф2 ^ (у+1)Др0 L р2 L "

Критерий подобия W здесь также характеризует соотношение между интенсивностью фазового перехода жидкость — пар и нелинейными эффектами. Критерий о определяет соотношение нелинейных и дисперсионных эффектов.

142

Критерии Who для разных режимов течения различаются в основном лишь характерными структурными параметрами (радиус пузырька, длина снаряда и др.). В связи с этим результаты анализа динамики нестационарных волн при одном режиме течения носят общий характер для произвольной структуры. Детальные оценки значений критериев подобия (4.78) показывают, что для снарядного режима дисперсионные эффекты могут внести существенный вклад. Представленные в [260] эксперименты по распространению волн в снарядном режиме отвечают значениям критериев о-юо, W«0.

Глава пятая

ВОЛНОВЫЕ ПРОЦЕССЫ НА ГРАНИЦЕ РАЗДЕЛА ДВУХ СРЕД

Возмущения на поверхности раздела двух полуограни- ченных пространств, заполненных невязкими жидкостями разной плотности

Предельным случаем движения двухфазной среды является течение слоев вязких жидкостей. Специфика таких течений состоит в наличии свободной границы, на которой могут происходить развитие неустойчивости и волнообразование, а также процессы тепломассообмена и трения с газом.

Схема задачи показана на рис. 5.1. Система в среднем покоится или движется с ускорением по направлению у (направление нормали к поверхности раздела); плотность нижней жидкости рь верхней р2; координата х направлена вдоль поверхности раздела. Возникновение в такой системе возмущения на границе раздела сред называется неустойчивостью по Рэлею — Тейлору.

Для несжимаемой невязкой среды линеаризованные уравнения двумерного движения имеют вид

др,du.др,(dv=, \Su, dr.- A

я =P^ дРуИМ ^+^ = 0’<51)

Ox1 dtoyJydt Jox oy

где индексы 7=1, 2 соответствуют средам с плотностями Pi и р2.

Как обычно, представим актуальные параметры процесса через осредненные и пульсационные компоненты:

uj=<uj> + u'j; v^^v^ + vj- pj=<pj'>+pj. (5.2) В дальнейшем знак осреднения < > будем опускать. ■ Поскольку среднее течение отсутствует, то с учетом направления координаты у в сторону, противоположную вектору ускорения g.

Рис. 5.1. Схема возникновения возмущения на границе двух средРис. 5.1. Схема возникновения возмущения на границе двух средPj=PTp-gPjy, (5.3) где prp—давление на границе раздела О^О)..

Рис. 5.1. Схема возникновения возмущения на границе двух сред

Рис. 5.1. Схема возникновения возмущения на границе двух сред

Стационарное давление уменьшается вверх от границы раздела и рас

тет вниз от нее. Уравнения для возмущений скорости и давления запишутся в виде

' Г5 4) 6t pj dx ’ 8t pj 8y ’ 8x 8y **

В идеальной жидкости на границе раздела существуют только нормальные напряжения, равные по модулю; равны друг другу и нормальные компоненты скорости течения:

P'rpv=PTp2-<562S'j8x2; v'^v^dS'/dr.(5.5)

Здесь 5' — возмущение границы по оси у; З^'/Зх2—обратный радиус кривизны возмущенной границы в данной точке; о—коэффициент поверхностного натяжения на границе раздела.

При г = 5' имеем условие равенства возмущенных нормальных напряжений:

’ pi-yg^-p^S^p'i-a^S'ldx2.(5.6)

Решение ищется в форме

и j=Д Uj (у) exp [z (кх+о()];v j=Д Vj (у) exp [z (кх+о()];

Р 'j = Др,- (у ) exp [z (кх+tot)];

■8'=81ехр [/(Аэс-Ко/)].

При выбранной форме возмущения признаком потери устойчивости будет наличие в выражении для со действительной части.

Для амплитуд возмущений из (5.4) и (5.7) получаются соотношения

(ор,.Д(7,.= -^Др/ сор,.ДГ,.= -др,/ду;

ik^u'j+a^yj|ay=o.(5,8)

Уравнения, связывающие амплитуды возмущения давления и скорости с уровнем границы, запишем, используя (5.5), в виде glPi-Pi^i-ykp^kpi-Ksk2^; ДГ1 = ДУ2 = о)81.(5.9)

Исключив из (5.8) At/ и Др, получим уравнение d2^Vjldy2 — —k2^Vj = Q с решениями

ЛК1 = Аеку при у<0;

-(5.10)

АИ2 = Ле ^ при у>0.

то (5.9) перепишем в видето (5.9) перепишем в видеПоскольку из (5.8) ^pi= —УрУ^У’, J к J dy

то (5.9) перепишем в виде

то (5.9) перепишем в виде

, xs. со fd&vA , 2- о fd^V2\ /сих g(p2-pi)8i-pp1 -^ ^^-рРзН^Г .(5.11) к \ dy Jy=oк \ dy )у=о

Подставив в (5.11) решение (5.10) и учтя, что АР^—юбр получим дисперсионное соотношение <o2(p1 + p2)=g(p2 — — pv)k — ок3, откуда

о = ± V[^(p2-Pi)-^3]/(Pi + P2)-(5-12)

Таким образом, когда р2< Pi> т- е- жидкость верхнего слоя менее плотная, чем жидкость нижнего слоя, величина о чисто мнимая, и на поверхности раздела могут иметь место лишь нейтральные колебания, поверхность устойчива.

Если р2 > pt, граница раздела стабильна только тогда, когда ck^»g (p2-pv).(5.13)

В интервале волновых чисел от нуля до ^Kp = Vg(p2 —Pi)/cr граница раздела нестабильна, а при к>ккр стабильна.

В физических процессах часто большое значение имеют «волны максимального роста», т. е. волны, амплитуды которых в области гидродинамической неустойчивости растут наиболее быстро.

Вычисляя экстремальное значение по (5.12), получаем

^=^[g(p2-Pi)-3oA:2][gfc(p2-p1)-o^3] 1/2(pi + p2) 1/2;

(5.14)

^m = V^(p2-Pi)/3CT,гдект — волновое число при экстремальном значении

частоты со.

В (5.13) и (5.14) вместо g можно ввести обобщенное ускорение

g^g+dv/dt,(5.15)

где dvjdt—ускорение границы раздела.

Как видно из выражения для критического волнового числа ккр = -x/goe^ —PiW, область неустойчивости границы раздела увеличивается при движении последней с ускорением в сторону легкой фазы и уменьшается при движении с ускорением в сторону тяжелой фазы. Когда g = 0, граница раздела

10 Заказ 2980145

Рис. 5.2. Схема эксперимента Стеб- новского:1—стенки канала; 2—шнур ВВ; 3 — рас- гущий пузырь; 4 — развитие неустойчивости; 5— жидкостьРис. 5.2. Схема эксперимента Стеб- новского:1—стенки канала; 2—шнур ВВ; 3 — рас- гущий пузырь; 4 — развитие неустойчивости; 5— жидкость10,9 0,8 0,7 0,6 RoW/RqU10,9 0,8 0,7 0,6 RoW/RqUРис. 5.3. Экспериментальные зависимости амплитуды возмущения от текущего радиуса в стадии схлопывания для различных углов сектораРис. 5.3. Экспериментальные зависимости амплитуды возмущения от текущего радиуса в стадии схлопывания для различных углов сектора

Рис. 5.2. Схема эксперимента Стеб- новского:

1—стенки канала; 2—шнур ВВ; 3 — рас- гущий пузырь; 4 — развитие неустойчивости; 5— жидкость

Рис. 5.2. Схема эксперимента Стеб- новского:

1—стенки канала; 2—шнур ВВ; 3 — рас- гущий пузырь; 4 — развитие неустойчивости; 5— жидкость

10,9 0,8 0,7 0,6 RoW/RqU

10,9 0,8 0,7 0,6 RoW/RqU

Рис. 5.3. Экспериментальные зависимости амплитуды возмущения от текущего радиуса в стадии схлопывания для различных углов сектора

Рис. 5.3. Экспериментальные зависимости амплитуды возмущения от текущего радиуса в стадии схлопывания для различных углов сектора

устойчива при движении с ускорением в сторону тяжелой фазы и неустойчива в диапазоне волновых чисел

<51б>

при движении в сторону легкой фазы.

На рис. 5.2 показана схема эксперимента Стебновского по изучению устойчивости границы раздела газ—жидкость в профилированных каналах. Профилированный плоский канал шириной h со взрывающейся проволочкой помещался в бассейн с жидкостью. В результате взрыва проволоки образовывался плоский газовый пузырь, который в данном канале представлял собой нестационарное течение с подвижной границей раздела газ — жидкость. В процессе расширения, т. е. вытеснения жидкости, форма границы оставалась неискаженной до конца процесса расширения, а в процессе схлопывания, когда имеет место затекание жидкости в каналы, происходило искажение формы.

Экспериментальные зависимости амплитуды возмущения от текущего радиуса в стадии схлопывания для различных углов, сектора с прямыми границами приведены на рис. 5.3.

Возмущения на границе двух потоков невязких жидкостей

В пространстве, аналогичном рассмотренному в §5.1, несжимаемые жидкости с плотностями pt и р2 движутся горизонтально со скоростями Uv и U2. Возникающая в этом 146

случае неустойчивость границы раздела называется неустойчивостью Кельвина — Гельмгольца. Без потери общности можно положить Ut=0, U2 = ^^. Исходная линеаризованная система уравнений имеет вид

6их1 8рх 8vx1 8рх .

8tPi 6х 9 8tPi By

(5.17)

Ви28ит1 броBd-у3v21

St8хр2 8х8t8хр2 8у

Для возмущений скорости и давлений и’, и', р’ запишем

8и\1 8р\ дих1 dpi.

8tPi 8х 9 8tpi 8у 9

биЧ .тт ВиЧ1 ВрЧ.8^4.гт 8v41 ВрЧ.

St Эхр2 ЭхSt Sxр2 Sy

,^ = 0. ^i+^L£=o

Sx Sy ’ Sx Sy '

Кинематические условия запишутся в виде

'v'v = a§J[8t; v'^ab'iat-VU^'lSx.(5.19)

Условия равенства нормальных напряжений сохранятся в форме (5.5).

Для амплитуд возмущений, входящих в (5.7), из (5.18) следуют соотношения

а>р1А(71 = — к^р^, imp^Y^—S&pJSy;

ZroA^+^^At/^-—Ap2;

P2

(5.20)

i(oAK2 + ikU^ A K2 = —— ^;

P2 Sy

AUiik+d^/dy^O; A U2 ik+db V^dy=0,

а из (5.5)—соотношение

-gPi§i +gp2§i + A/>i = Ap2 + ^28r(5-21)

Из (5.20) получим

Pi® JAH/p2to p2UAd^2

Api ="tt —;— Ap2 =—-— —-—,(5.22)

ik1 dy 2 \tk2 tk ) dy

а из (5.21)

Л \x .Pi^^AH p2co d\V2 p2Ux d^У2 2 8(Р=-Р.)81+аГ^Г=аГ^Г+-»-^7+^51’ <5'23>

Далее из соотношений (5.20), (5.22) получим уравнение для амплитуд нормальных компонент скоростей

Л2 Л V

^yi-k4V,=0.(5.24)

ayJ

При y = 0 из (5.19) с учетом (5.7) находим

АК1=о)АИ2/(о) + ^(/00),(5.25)

и решения, удовлетворяющие условиям убывания возмущения на бесконечности (у^ + оо), имеют вид

A V\ = А со ехр.(&у); А И2 = А (со + kU^) exp (—ку);

(5.26)

61 = A(i; 8' = (A(i)exp [z(fcx+on)].

Подставив эти выражения в уравнение (5.23), получим связь между частотой и волновым числом

„ PikU^ Isk^g^-p^k ( U^k у .-

(О=—--+ /Р1Р2 • V-^')

(Р1 + Р2) у Р1 + Р2\Р1+Р2/

В решении вида (5.27) рост возмущений отсутствует, если функция, находящаяся под знаком корня, больше нуля, т. е. со не имеет комплексных корней.

Корни полинома П = ск2 — PiP2^M^/(Pi + p2)+?(Pi — Р2), входящего в подкоренное выражение (5:27),

^1.2 = Р1Р2^«/[2СТ(Р1 + Р2)]±

±х/Ь>1Р^1о72стО)^^(5.28)

Отсюда следует, что условие мнимости корней имеет вид ^оо^У^^УУ3^(5.29)

Это условие можно записать в форме критерия устойчивости: к=^крУр^/Уст5(р1-р2) = У2(1 + р2).(5.30)

Величина (1 + р2)1/2 характеризует вклад инерционных эффектов, и поэтому ее можно включить непосредственно в критерий устойчивости. Однако это вряд ли целесообразно, так как в более сложных конфигурациях влияние инерционного движения может выражаться иными зависимостями. Численные оценки по (5.29) показывают, что рассматриваемое движение устойчиво только при весьма малых скоростях относительного движения двух жидкостей.

Для условий невесомости (g = 0) из (5.28) следует критическое значение волнового числа

£кр=Р1Р2^/(Р1 + Р2)°-£кр=Р1Р2^/(Р1 + Р2)°-(5.31)(5.31)

£кр=Р1Р2^/(Р1 + Р2)°-

£кр=Р1Р2^/(Р1 + Р2)°-

(5.31)

(5.31)

При заданной относительной скорости U^ движение устойчиво при к>ккр (Х<Хкр) и неустойчиво при к<кч, (Х>Х,р), При 1/^ = 0 имеем соотношение ш=^/ [gX (pt — р2)+оХ3 ]/(pj + р2), описывающее дисперсию капиллярно-гравитационных волн на границе раздела двух жидкостей. При pt > р2 возможны нейтральные колебания. В этом случае фазовая скорость

сф = го/Х = [g (pi - р2) 4-стХ2 ]/(pj 4-р2) X.(5.32)

При р!»р2, что характерно для многих газожидкостных систем,

сф«У(ри+^)7рЛ(5.33)

Отсюда следует, что чисто гравитационные и чисто капиллярные волны распространяются со скоростями

cg = Jgik; c^^tsk^v,(5.34)

скорость гравитационных волн растет с их длиной, а капиллярных уменьшается. Скорость капиллярно-гравитационных волн минимальна при

.^^nV^/gpL(5.35)

Для воды на границе с воздухом Х„ = 0,0174 м, а минимальная скорость Сф. мин = 0,235 м/с.

Гравитационные волны на «мелкой воде»

Выше были рассмотрены случаи распространения волн на границе раздела полуограниченных слоев жидкостей (Хс5). Другим предельным случаем является Х»8—так называемое приближение «мелкой воды».

Рассмотрим слой жидкости толщиной 5 в бассейне с плоским горизонтальным дном (у = 0). Уравнения движения такого слоя имеют вид

дидиdu/8x+dv/dy = 0;

ди

ди

(5.36)(5.36), ди , ди 1 др (д2и д2и\Т7 + Мл—b^j-4—"a~=v 1я~2"*"я~2 )>dt dx ду р dx \дх ду )

(5.36)

(5.36)

dv dv dv 1 др / d2v d2v\7; 4" к-—Нгт—I— — 4-g —v I v-s+yj )•dt дх ду р ду \дх ду )

Предположим, что амплитуда колебаний глубины слоя жидкости Д8 в волне настолько мала по сравнению с равновесной глубиной 80, что можно пренебречь всеми нелинейными членами, а 80 в свою очередь много меньше длины волны. Тогда во втором уравнении (5.36) можно пренебречь величиной

149

82u!8x2 по сравнению с д2и18у2, а в третьем уравнении — членами, содержащими у. В результате имеем следующую упрощенную систему уравнений движения:

(5-37)(5-37)би 1 бр б2и 1 бр , _ ^7+"^=v^; я +#=0 dt р бх бу р бу

(5-37)

(5-37)

Из второго уравнения (5.37) с учетом граничного условия р=0 при у=8 находим, что p = pg(b—yy Следовательно, первое уравнение (5.37) можно переписать в форме

(5.38)(5.38)би 68 б2и

(5.38)

(5.38)

dz+ga^-v а/'

Проинтегрируем уравнение неразрывности (5.36) по координате у от 0 до 8:

8

Сди ,z хСди ,z х5

Сди ,z х

Сди ,z х

= 0.(5.39)

о

о

Для вертикальной составляющей скорости жидкости имеем два граничных условия: условие «непротекания» на дне бассейна у=0, v = 0 и кинематическое условие на свободной поверхности слоя жидкости у = 8, v = 88181. Учитывая их, уравнение (5.39) можно переписать следующим образом:

s4^u^=°-(5-40)

(X VA q

В случае, когда отсутствует вязкость, из уравнения (5.40), которое можно представить в виде

'88i8t+a(8u)iax=o(5.41)

или (после линеаризации)

(5.42) дифференцирования(5.43)(5.42) дифференцирования(5.43)88/81 + 80ди/дх = 0, и уравнения (5.38) после перекрестного следует одно волновое уравнение

(5.42) дифференцирования

(5.43)

(5.42) дифференцирования

(5.43)

d28- д28 п

д?-^од^"°-

Скорость распространения гравитационной волны Co = Vgbo-(5 44)

Влияние нестационарного трения на динамику волны учтено в работе [179], результаты которой используются далее.

Пусть теперь длина волны X больше равновесной глубины 80, но конечна (80/Х~х/е, где е—малый параметр). При 150

указанных условиях линеаризованная система уравнений движения имеет вид

(5.45)(5.45)би 1 бр б2иot р ох бу

(5.45)

(5.45)

*+l^+g=o. 5/ р5у 8

По сравнению с системой уравнений (5.37) появился дополнительный член dvfdt. Профиль вертикальной составляющей скорости жидкости, полученный при пренебрежении диссипацией и удовлетворяющий граничным условиям г(0) = 0 и v(8) = = 58/5/, хорошо известен [91]:

(5.46)(5.46)58 sh(A:y)

(5.46)

(5.46)

5/ sh(/c8)

Учет вязкости не должен существенно изменить выражение (5.46), поскольку ее влияние сказывается лишь в тонком пограничном слое у дна бассейна, где скорость жидкости близка к нулю. При разложении гиперболического синуса в ряд нужно оставить только член, пропорциональный к, так как уже квадратичный член будет в итоге давать поправки порядка (к8) . Таким образом, v = (58/5/)y/8. С помощью данного выражения из второго уравнения (5.45) имеем

y_8_^V-^+g=08 5z2 р5у g ’

(5.47)(5.48)(5.49)(5.47)(5.48)(5.49)откуда находим следующую формулу для давления:

(5.47)

(5.48)

(5.49)

(5.47)

(5.48)

(5.49)

и, подставляя в первое уравнение (5.45), получаем

5м , 58 8 at+8Sx+25м , 58 8 at+8Sx+2538 _ 52м 5/25х V 8 у2'538 _ 52м 5/25х V 8 у2'

5м , 58 8 at+8Sx+2

5м , 58 8 at+8Sx+2

538 _ 52м 5/25х V 8 у2'

538 _ 52м 5/25х V 8 у2'

Если решение искать в виде

8 (х, /) = 80 + А8 ехр (/со/—ikx);

и(х, у, t) = w(y)exp(itot—ikx),

то

■и^) = Ам{[1-((о;)2/2][1-ехр(-У/о^у)- •

-2sh(yy^)M] + ((o;y/8)2/2},(5.50)

151

где Л = 1 + exp (25 ^Jitojv); Au=gkAb/o, co* = co ^6(g — безразмерная «гравитационная» частота.

Подставив выражения (5.49) и (5.50) в уравнение (5.40), получим дисперсионное соотношение, зависящее от вязкости и инерции слоя жидкости:

k=to {g5 [1 — со*2 /3 — (1 — со*2/2)(1 —ехр( — ^/im^ - -2(1-сЬ^^)/Л)/7м<]}~1/2,(5-51)

где (Ov = (o52/v.

Если предположить, что о\:»1, то в (5.51) можно пренебречь членами, содержащими экспоненциальные функции от «£. Тогда дисперсионное соотношение значительно упрощается:

В предельном случае о* -> сс формула (5.51) сводится к хорошо известному результату co = A:x/g5/[l + (^5)2/3]. Это—дисперсионное соотношение линеаризованной системы уравнений Буссинеска. .

Выражение для фазовой скорости волн получается из формулы (5.52):

"' сф = с9^1- УЖ/со8(ф/2).(5.53)

Здесь (p = arctg [^/2®; (1 + сод /6) -1] \ а сд = сОл/1-^/3. Изменение фазовой скорости в исследуемой области частот ((Оу >20, соу < 1) при различных значениях их отношения показано на рис. 5.4. Из формулы (5.53) следует, что сф может достигать значения с0 только при ®;/®д -юо. Так, даже при (Оу/(од«103 (см. рис. 5.4, а) максимальное значение сф на 3%

Рис. 5.4. Зависимость фазовой скорости от частоты:

а — 5о = Юсм, v=10-4m2/c; б—5о = 0,1 см, v'=10-6m2/c; 1 — расчет по формуле (5.53);

2—без учета трения жидкости о дно; 3—без учета дисперсии

меньше, чем с0, а при й\/(0д«102 (см. рис. 5.4,6) имеет место значительное снижение фазовой скорости волны: max (Сф)/с0« 0,92. Сравнение кривых показывает, что учет дисперсии слоя и трения жидкости приводит к существенному изменению поведения фазовой скорости.

Рассмотрим нелинейное обобщение этой задачи. При этом будем предполагать, что нелинейность мала, т. е. отношение амплитуды колебаний глубины слоя жидкости к равновесной глубине имеет тот же порядок, что и квадрат отношения равновесной глубины к длине волны (5о/8о~е, 80/Х~ч/е), а ш’~8-2. Тогда с указанной степенью точности имеем следующую систему уравнений движения:

(5.54)(5.54)ди ди ди 1 др д2и 8t дх ду р дх ду

(5.54)

(5.54)

де Y др .

^ + -/+g=0.

8t р ду

По сравнению с системой уравнений (5.45) появились дополнительные члены иди/дх и vdu/dy.

Очевидно, Ч1о такой учет нелинейности не должен изменить выражение для профиля вертикальной составляющей скорости жидкости. Следовательно, для давления можно снова использовать формулу (5.47). В результате первое уравнение (5.54) запишется в виде

дидиди888ГZyVl 838д2и ,

-+U—+V—+g— + - 1- ^(5-55)

8tдхдудх2|_у 8 у jdt дхду

Введем среднее по толщине слоя жидкости значение скорости

<ы> = J udy/d и будем считать, что <и2> = <м)2. Последнее о„

предположение вполне оправданно, так как в исследуемой области частот профиль скорости является почти «заполненным» и поправочные члены имеют неучитываемый порядок малости. Кроме того, член vdufdy имеет тот же порядок, что и член иди/дх, только в тонком пограничном слое. Вне этого слоя величину еди/ду можно не учитывать, т. е. (уди/ду) ^(иди/дху. Теперь проинтегрируем уравнение (5.55) по координате у от 0 до 8:'

85<и> , я/ .д<и> , д§ , 82 д38■ ди '

~^+8<и>-^+£5—+ —-v—.(5.56)

dtдх дх 3 dt2dx ду у=о

Если пренебречь вязкостью жидкости, то система (5.41), (5.56) переходит в систему уравнений Буссинеска. Перепишем уравнение (5.56) с помощью (5.40) в форме

а(8<и»а<и>28t дха(8<и»а<и>28t дхх as ?а(8')2 +g80—+ ---^- ох 2 охх as ?а(8')2 +g80—+ ---^- ох 2 ох8g й383 dt2dx8g й383 dt2dxбибиV 5уV 5уу = о’у = о’(5.57)(5.57)

а(8<и»а<и>2

8t дх

а(8<и»а<и>2

8t дх

х as ?а(8')2 +g80—+ ---^- ох 2 ох

х as ?а(8')2 +g80—+ ---^- ох 2 ох

8g й38

3 dt2dx

8g й38

3 dt2dx

би

би

V 5у

V 5у

у = о’

у = о’

(5.57)

(5.57)

где 8'= 8 — §о, а члены, имеющие порядок (А8/8О)3, опущены. После дифференцирования уравнения (5.41) по времени, а уравнения (5.57) по координате их разность принимает вид нелинейного волнового уравнения, учитывающего дисперсию и диссипацию системы: •

\ (5.58)У = 0/\ (5.58)У = 0/8^8 _ 2 8^8 _g 8^(8^а2<и>2 8g 848 _ 6_(8и

\ (5.58)

У = 0/

\ (5.58)

У = 0/

8t2 С° дх2 2 дх2 0 8х23 8t28x2 V8x\8y

). (5.59)У = 0/). (5.59)У = 0/В четвертом члене уравнения (5.58), имеющем второй порядок малости, можно положить <u)=gS' (с^. Таким образом, получим

). (5.59)

У = 0/

). (5.59)

У = 0/

8^8 _ 2^_3 8^(8^ _ 8g 848 _ £/8иSt2 С° 8х22^ 8х23 6t26x2 V8x\8y

Теперь необходимо заменить правую часть, характеризующую трение жидкости о дно бассейна, на функцию глубины слоя жидкости.

Принятые выше ограничения позволяют предположить, что нелинейность не должна существенно изменить профиль горизонтальной составляющей скорости жидкости, и заменить граничное условие ди/ду при у=8 на dufdy при j=oo. Кроме того, как было показано в начале параграфа, учет длинноволновой дисперсии слоя жидкости приводит к незначительным изменениям трения жидкости о дно бассейна. Следовательно, достаточно найти решение уравнения (5.38), хотя оно уже не будет относиться к классу простых периодических функций времени и координаты х. Воспользуемся для этого методом разделения переменных, т. е. будем искать решение в виде u = w(y, 1)Дх), и применим к уравнению (5.38) преобразование Лапласа по времени:

а [W(y, ^дд -sir(у, s)/(x)/v = H(x, s)-w(y, 0)/(x)/v. (5.60)

Здесь IT (у, s) и Н(х, s) — изображения w(y, t) и V 6х

соответственно. Считаем также, что w(y, 0) = 0. Разделив обе части уравнения (5.60) на Дх), получим уравнение

-sW^y, s)/v = H(x, s)//(x),(5.61)

правая часть которого есть функция только переменной s, так как левая часть не зависит от координаты х. Таким образом, уравнение (5.61) принимает вид

- s ^( у, s)/v = G (4

Решением данного уравнения, удовлетворяющим граничным условиям W=0 при у=0 и 5В7ду=О при у = оо, является

^(ь s)=;G(s)lexP(-Т^)-"1]-

Отсюда находим формулу для градиента ^(у, s) при у=0:

^= -^G^

Оу у=о v

Применив к данному граничному условию обратное преобразование Лапласа, получим следующее выражение для градиента горизонтальной составляющей скорости жидкости на дне бассейна:

t

биfd[8(x, Z-т)] dx ,

у= -g -^-5--т=:(5.62)

оу У = 0J ох ^'имт

о

Уравнение (5.59) с учетом (5.62) принимает вид уравнения Буссинеска с релаксационным интегралом, решение которого рассматривалось в гл. 4:

t

5282д28 3 2 dyS'V 8g 8*5 _/7 д fд8 Jt

8t2 С° 8х2 2С° °дх2\80/3 6t28x2^ ^ я дх J дх Jt—x'"

о

(5.63)

При v=0 уравнение (5.63) переходит в уравнение Буссинеска

= 0,(5.64)= 0,(5.64)^8_ 2^_3 2Х 52/8'\2 8g д48 8t2 С° 8х22 С° 0 у%2 у §0 уз St 28х2

= 0,(5.64)

= 0,(5.64)

которое имеет решения в виде уединенной волны

5 = 80 + 8i sch2[(x-a0z)//0], (5.65) где 8t — амплитуда солитона; U0 = c0^/1 +8i/80—его скорость; Zo = 28otZo/V^8i—его ширина.

Иногда в уравнении (5.64) при достаточно длинных волнах в четвертой производной 82^8t2 заменяют на cgd28/dx2 и получают уравнение

(5.66)(5.66)д282д28 3 2 81 Z8'\2_8gcg №_

(5.66)

(5.66)

8t2 С° дх2 2 С° 0 дх2 \ 8о /3 Эх* ’

которое в приближении слабой дисперсии может быть сведено для волны, распространяющейся в одну сторону, к уравнению Кортевега—де Вриза

58Tt58Tt(5.67)(5.67)5838' 581 -2 538 л

58

Tt

58

Tt

(5.67)

(5.67)

+Coу + ;;Coy у + -8осОуз —0.

ox2Oq dx6ox

° Л+28О/ 1 7з(81/М'° Л+28О/ 1 7з(81/М'(5.68)(5.68)Нелинейным решением (5.67) является также уединенная волна

° Л+28О/ 1 7з(81/М'

° Л+28О/ 1 7з(81/М'

(5.68)

(5.68)

В экспериментах, выполненных в гидравлическом шестиметровом лотке, были реализованы различные виды решения уравнений (5.64) и (5.67). Возбуждая волны на поверхности слоя воды с подобранной амплитудой и протяженностью начального возмущения, наблюдали уединенные волны — солитоны, распад возмущения на последовательность солитонов и нелинейное взаимодействие между ними.

Уравнение (5.63) описывает гравитационные волны с затуханием. Если в линеаризованное уравнение (5.63) подставить решение в виде

(5.69)(5.69)§' = 81еИю'-^),

(5.69)

(5.69)

то интегральная часть уравнения перейдет в интеграл Френеля (аналогичный анализ содержится в гл. 4) и при ? -> со из (5.63) с учетом (5.69) будут следовать все результаты предыдущего линейного анализа.

Нелинейный анализ (5.63) возможен для распределений возмущений только в виде «ступенек» достаточно большой протяженности, так как в этом случае интегральный член в (5.63) может быть приближенно представлен в виде g8t y/vfnt (где 8j — начальная амплитуда возмущения). В других же случаях требуется численное интегрирование этого уравнения.

Гравитационная волна на границе раздела и свободной поверхности двухслойной жидкостной системы

Рассмотрим распространение гравитационных волн на границе раздела двух слоев несмешивающихся жидкостей различной плотности (Р1<Рг), снизу ограниченных горизонтальным дном, сверху—свободная поверхность. Предположим, что волны являются длинными и имеют малую амплитуду. Отметим, что рассматриваемая задача не только имеет важные технические приложения, но и является простейшей моделью океана, учитывающей стратификацию. Хорошо известно, что такая двухслойная модель содержит две моды колебаний — бароклинную и баротропную. Баротропная мода — быстрая, 156

соответствующая колебаниям системы как целого или синхронным колебаниям двух слоев, медленная бароклинная отвечает колебаниям слоев, сдвинутым на л. Такая задача решена, например, в [179].

Запишем уравнения неразрывности и х-компоненты уравнений движения для всей системы в целом и отдельно для нижнего слоя: д«р>8) | д««><р>§)_0. ds2 | а«М2>82)_0.

dtdxdt dx '

д«М><р>8) 6VjMyV д(<«1>82)д«р>8)_

V (5.71)V (5.71)di+ Р1 dx +Р2 dx +

V (5.71)

V (5.71)

д«м2>82) + д«ы2>82) + £Г d«p2>82)d82

3/дх р2 дх г дх

Здесь 8—общая глубина двух слоев жидкости; рг—давление на границе жидкостей; индексом 1 отмечены величины, относящиеся к верхней жидкости, а индексом 2 — к нижней. Вязкости жидкостей не учитываются. После дифференцирования уравнений (5.70) по времени, а уравнений (5.71) по координате х их разность запишем в виде

32«р>8)32«И1>81)d2«wj>82) _ д2«р>8) =

dz2 P1 дх2 Р2 дх2дх2

д2«р2>82) д/ д82 дх2 дх\ г дхд2«р2>82) д/ д82 дх2 дх\ г дх= 0.= 0.д282д2«и^>82)1

д2«р2>82) д/ д82 дх2 дх\ г дх

д2«р2>82) д/ д82 дх2 дх\ г дх

= 0.

= 0.

■ dz2 дх2 • р2

Приближение длинных волн позволяет считать, что профиль горизонтальной составляющей скорости жидкости является «заполненным», т. е. не зависит от координаты у, а профиль „„„/д8 д82\

вертикальной составляющей—линейным:t?i = — I х

\ dt dt ) у — 62 582у д62'

х — 1—-— ’ У 7 =— •

dt§2 dt

Подстановка этих выражений в ^-компоненты уравнений

движения верхней и нижнеи жидкостей — Н+я = 0; dt pi dy

dv2 1 dp2 _„

— Н±—+g = 0 вместе с граничными условиями pi=0 при

dt р2 dy

у=8 и Pi=P2=Pr при у = 82 дает возможность выразить средние значения давлений через глубины слоев аналогично тому, как это сделано в § 5.3 для одного слоя.

Вначале рассмотрим быструю моду. Малость амплитуды возмущений позволяет в квадратичных членах уравнений (5.72) 157

положить с точностью до членов второго порядка малости <и21>= [с? (8'-8'2)/8? ]2, <«22> = Ц8'2/5^)2, где 8'=8-8°, 8°-рав- новесное значение глубины, а с^— предельное длинноволновое значение скорости распространения бесконечно малых возмущений быстрой моды:

(с?)2=g8° [1 + 71-4(85/8°)(1-85/8°)Др ]/2,

Ар=1-р, p = pi/p2.

В результате уравнения (5.72) можно преобразовать к виду

S -4[(8°-Др^8+лр5?5г] - w£»+

д482Г(8?)2 (82)2 ~8?8Я д482

Хд7^"[”^ + "Т' + РТрГ

д282dz2д282dz2а2а2а2а28 Г„, 8-£у 82^-(р8 + ох |_ ох'8 Г„, 8-£у 82^-(р8 + ох |_ ох'

д282dz2

д282dz2

а2а2

а2а2

8 Г„, 8

-£у 82^-(р8 + ох |_ ох'

8 Г„, 8

-£у 82^-(р8 + ох |_ ох'

(5.73)(5.73). 818® ^(8+82) _ (8^ д482

(5.73)

(5.73)

Р 28t28x23 8t28x2

Таким образом, для быстрой моды систему уравнений гидродинамики удалось свести к двум уравнениям волнового типа, учитывающим нелинейность возмущений и инерцию слоев жидкостей. Однако ввиду сложности уравнений (5.73) найти аналитические решения данной системы не представляется возможным. В этой задаче оказывается плодотворным обобщение «простых» и «квазипростых» волн, изложенное в гл. 3, на случай системы (5.73). Традиционно понятия «простых» и «квазипростых» волн применяются к системам уравнений газовой динамики, представляющих собой дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнения (5.73) имеют более высокий порядок. Однако, следуя идеям Римана и Карпмана [71], сделаем дополнительное предположение, заключающееся в том, что между возмущениями свободной и внутренней границ существует следующая связь:

8'2 =/1(8')+/; (8').(5.74)

Здесь /1(8') — решение системы уравнений (5.73) без нелинейных и дисперсионных членов, т. е.

Л (8')=/i°8' = {1 - [80/82 — (с?)2/№)]/Ар) 8', а функция /; (8') имеет второй порядок малости, так как пропорциональна нелинейным и дисперсионным членам. Для нахождения функции /; (8') нужно подставить выражение (5.74) 158

в уравнение (5.73), пренебречь членами третьего порядка малости и считать, что д2 [/[ (8')]/d?2«(fi)2d2 [/[ (8')]/дх2. В итоге первое из уравнений (5.73) принимает вид модифицированного уравнения Буссинеска

д286t2д286t2(5.75)(5.75)^s УУ!_В 6*6 _„

д28

6t2

д28

6t2

(5.75)

(5.75)

бх2 1 дх2 18t28x2’

где коэффициенты при нелинейном и дисперсионном членах являются константами и определяются формулами

«I =g [Л° + 91 Ар(1 -/1°)]/2+ (с?)2 Ы^-Hv (I -Л°)/8?];

Р1 = 91 [(5§)2/3 + р8?б§(1+Л°)/2] +г1(8?)2(1/2+/1°)/[3(1-/10)];

91 = 1 + п; ri =g8^p (1 -/i°)/[2 (с?)2 -^8°];

Л° = 1 + №?)2/(^)-1]/р.

Рассмотрим теперь медленную моду, для которой с точностью до членов второго порядка малости <и2>= [с2(8-8'2)/8?]2, а <иЪ=(с^2^2)2. Здесь Сд = Vg^W)2 — предельное длинноволновое значение скорости распространения бесконечно малых возмущений медленной моды. Подобно тому, как это было сделано для быстрой моды, получим следующее уравнение:

^l-t^V^l-c д2(8'2)2St2 ' 2 бх2 2 бх2^l-t^V^l-c д2(8'2)2St2 ' 2 бх2 2 бх2-₽2-₽2д482dt2dx2д482dt2dx2= 0,= 0,(5.76)(5.76)

^l-t^V^l-c д2(8'2)2

St2 ' 2 бх2 2 бх2

^l-t^V^l-c д2(8'2)2

St2 ' 2 бх2 2 бх2

-₽2

-₽2

д482dt2dx2

д482dt2dx2

= 0,

= 0,

(5.76)

(5.76)

где a2=g [Zf+^2Ар(1 -/2°)]/2+ W [q2№+r2 (1 -f№ ];

₽2 = q2 IW/3 + р8?82(1 +/2)/2] + г2 (8i)2(l/2+/2)/[3 (1 -/20)];

q2 = 1 +r2; r2=g82p(l -/2°)/[2(с2)2 -g80];/2°=1+[«/(^)-1]/р.

Уравнения (5.75) и (5.76) имеют стационарные решения в виде уединенных волн [71 ].

Выпишем решения для уединенной волны медленной моды на границе раздела двухслойной жидкости:

82 = 82 + A82sch282 = 82 + A82sch22a2A82 w2a2A82 w/ x—Uit \ li/ x—Uit \ li6И a2A826И a2A82(5.77)(5.77)

82 = 82 + A82sch2

82 = 82 + A82sch2

2a2A82 w

2a2A82 w

/ x—Uit \ li

/ x—Uit \ li

6И a2A82

6И a2A82

(5.77)

(5.77)

При a2<0 и р2>0 имеет место уединенная волна типа «впадины» (8'2<0). Хорошо известно (см. гл. 3), что из уравнений (5.75) и (5.76) можно получить эволюционные уравнения, перейдя к рассмотрению волн, распространяющихся

159

Рис. 5.5. Зависимость скорости солитонов от их амплитуды (а) и форма одного из уединенных возмущений (б) при р = 0,8 и 5?/5® = 0,36:

7 — расчет по модифицированному уравнению Буссинеска (5.76); 2— по уравнению Кортевега—де Вриза (5.78)

в одну сторону. Так, для возмущения границы двухслойной жидкости из (5.76) следует эволюционное уравнение типа уравнения Кортевега—де Вриза:

<5-78) 01ОХс 2 OXОХ

Уравнение (5.78) имеет солитонные решения вида (5.77), однако ,, О «2Д6§, ГбМ Т

здесь скорость с/2 = « + ——„-, а ширина /2 = /-—г-• Таким Зс2>/ а2А82

образом, скорость солитона волнового уравнения меньше скорости уединенного возмущения эволюционного уравнения (при одних и тех же амплитудах), а ширина, наоборот, больше (см. гл. 3). Сравнение расчетов Г. А. Хабахпашева и опытных данных В. И. Букреева и Н. В. Гаврилова [181 (точки) приведено на рис. 5.5,а, б, где и2 = и21с2-, А§2 = А82/82; о2 = 82/82; х2 = х/82.

Видно, что решения волнового уравнения лучше согласуются с' экспериментальными точками, чем решение «уединенная волна», полученное из эволюционного уравнения.

Для проверки правомерности применения техники квази- простых волн к системам волновых уравнений сравним дисперсионные кривые системы линеаризованных уравнений (5.73), (5.75) и аналогичных уравнений для медленной моды. На рис. 5.6, а, б приведены результаты расчетов для р = 0,8 и 8i/82 = 0,36. Фазовые скорости cv = cvlci; c2 = c2jc2; волновые числа £1=^8?; К2 = кб2. Видно, что дисперсионные кривые практически совпадают в широком интервале длин волн. 160

Рис. 5.6. Зависимость фазовой скорости быстрой (л) и медленной (б) мод от волнового числа:-1— точное решение полной линейной задачи; 2— расчет по формулам (5.73), 3— расчет по (5.75) и (5.76); 4--расчет по (5.78)'Рис. 5.6. Зависимость фазовой скорости быстрой (л) и медленной (б) мод от волнового числа:-1— точное решение полной линейной задачи; 2— расчет по формулам (5.73), 3— расчет по (5.75) и (5.76); 4--расчет по (5.78)'

Рис. 5.6. Зависимость фазовой скорости быстрой (л) и медленной (б) мод от волнового числа:-

1— точное решение полной линейной задачи; 2— расчет по формулам (5.73), 3— расчет по (5.75) и (5.76); 4--расчет по (5.78)'

Рис. 5.6. Зависимость фазовой скорости быстрой (л) и медленной (б) мод от волнового числа:-

1— точное решение полной линейной задачи; 2— расчет по формулам (5.73), 3— расчет по (5.75) и (5.76); 4--расчет по (5.78)'

Кроме того, поведение фазовых скоростей, найденное из полученных выше уравнений, слабо отличается от точного решения полной линейной задачи.

Наличие трения жидкостей о дно приводит к тому, что в модифицированном уравнении Буссинеска появится дополнительный диссипативный член типа интеграла Дюамеля (см. § 5.3). В результате скорость распространения гравитационных волн уменьшается, а ширина солитонов увеличивается.

Кинематические волны

Волны на поверхности раздела жидкостей с разными плотностями и акустические волны относятся к классу динамических волн, так как их существование обусловлено взаимодействием инерционных сил и переноса импульса.

Большое значение в гидравлике газожидкостных систем имеют кинематические волны, называемые иногда волнами непрерывности. Они связаны с переносом вещества за счет движения и возникают всегда, когда расход вещества однозначно определяется его количеством. В качестве примера рассмотрим волны на поверхности вертикально стекающей пленки жидкости для случая, когда процессы очень медленны и можно пренебречь динамическими эффектами. Если считать, что движение безволновое, т. е. пленка жидкости толщиной 8 еще гладкая, то вес пленки уравновешивается силами трения:

(5.79)(5.79)161161д2иg + v^ = 0.

(5.79)

(5.79)

161

161

оу

11 Заказ 2980

Решая это уравнение с граничными условиями ^=8, ди(8у = 0; у = 0, и = 0,(5.80)

получаем распределение скорости и (у) в слое жидкости:

Расход жидкости в пленке, отнесенной к ее ширине,

2 = pfw<Zy=gp83/3v.(5.82)

О

Интегрируя поперек слоя 5 уравнение неразрывности ди)дх + дг/ду = 0(5.83)

с учетом кинематического условия

(5.84)

где Us—скорость на поверхности, получаем 8§ldt+8^8x=0; Q=QIPv(5.85)

Если предположить, что связь (5.82) между Q и 8 сохраняется и в медленном волновом процессе, т. е. принять гипотезу квазистационарности, то уравнение (5.83) можно записать следующим образом:

868Q\66 n -

— + — — = 0"

8t \86 ) 8x

(5.86)

или

^ + ^^=o

8t v 8x ’

(5.87)

т. е. получаем гиперболическое уравнение

58 58 п оох <й=0’ <5'88)

описывающее распространение волн в одну сторону. Так как средняя скорость течения в пленке <u) = Q/8=^82/(3v), то с=3<^и\

В линейном случае при малой амплитуде волн скорость постоянна co=g8o/3v, а организованное в начальный момент возмущение 8 (х) распространяется в виде простой волны 8 = 8(х — cot).

Нелинейные волны удобно исследовать с помощью метода характеристик, широко используемого в задачах газовой динамики. Записав полную производную от 8

(5.89)(5.89)d6_66 dx86

(5.89)

(5.89)

dt St dt 8x

Рис. 5.7. Кинематические волны. Метод характеристик

и сопоставив ее с (5.88), видим, что зависимость между х и t при заданном в начальный момент времени значении 8 является прямой линией

dx(dt = c^ или

х=х0 + с(8)(, (5.90)

на которой сохраняется значение 8, заданное при Z=0. Такие линии называются характеристиками и являются прямыми лишь в случае простейшего гиперболического уравнения типа (5.88).

Если известно начальное распределение 8 (кривая 1 на рис. 5.7,6), то, построив серию прямых (рис. 5.7, а) по уравнению (5.90), получим решение уравнения (5.87) для всей области положительных значений х, t. Легко видеть, что точки начального профиля с большими . значениями 8 распространяются с большими скоростями, что приводит к укручению передней части профиля и дальнейшему «опрокидыванию волны». Этот процесс соответствует пересечению характеристик на рис. 5.7, а, а соответствующие формы профиля (2 и 2) показаны на рис. 5.7,6.

В реальной ситуации вступает в действие диссипативный механизм и устанавливается «треугольный» профиль волны. Процесс укручения начального профиля и «опрокидывания» волны аналогичен процессу образования ударных волн в газодинамике. Если на поверхности пленки сформировать не купол, а впадину, то по пленке распространяется волна разрежения и образование волн с крутыми фронтами невозможно.

В качестве примера рассмотрим динамику волны при внезапном снижении расхода жидкости в пленке, т. е. при резком уменьшении толщины пленки. В момент г=0 толщина пленки при х=0 (см. рис. 5.7,в) уменьшилась от 82 до 8t. Форма развивающейся волны показана на рис. 5.7, в для произвольного момента времени.

Характеристики в областях I и II параллельны, и угол их наклона к оси ординат определяется скоростями Ci=g82/v и c2=g62l\L В области III характеристики расходятся веером.

Форма волны в интервале c2t>x>Cit определяется следующим образом. Уравнение (5.87) имеет автомодельное решение, если оно инвариантно к преобразованиям вида

tv = Cvt, Xt = C2x; 8! = С38. (5.91)

Легко показать, что инвариантность достигается, если выполняются условия

Сз/С1 = С33/С2 или C32 = C2/Ci. (5.92) Поскольку tllxi = CltlC2x, то Sfo/x! = 82?/х или

Ь = А^)ф. (5.93)

Подставив это значение 8 в (5.87), для области между 81 и 82 определим А и получим 8 = ^Mx(gt. Толщина пленки уменьшается по закону 8~х/х/7.

Капиллярные волны на поверхности пленки

Продолжим рассмотрение тонкого слоя вязкой жидкости, стекающего под действием собственного веса, в приближении длинных волн. Считаем, что масштабы возмущения />80, где 80—толщина пленки (80//«£). Запишем уравнения пограничного слоя:

(5.94)(5.94)(5.95)(5.95)(5.96)(5.96)дм дм дм д2м 1 др

(5.94)

(5.94)

(5.95)

(5.95)

(5.96)

(5.96)

Spjdy^O; у + у=0. Ох оу

Условия на свободной границе (у = 8): дм А дрд38

оу охох

кинематическое условие

д8 , .. дбdt дх

Первое уравнение системы (5.94) с учетом (5.95) принимает вид

(5.97)(5.97)би ди ди д2ио д38

(5.97)

(5.97)

dt дх ду дур дх

Уравнение (5.97) удобно записать в эквивалентной форме:

(5.98)(5.98)В1 и о 838 би 8 (и2) 8(uv) 8y2 p 8x3 6t 8x 8y '

(5.98)

(5.98)

Проинтегрируем это уравнение движения и уравнение неразрывности от у = 0 до у = 5 в предположении, что на границе пленки трение равно нулю:

88

8 f ,8 Г 2 ,(8и\ е о8 838

- \udy+ — \и dy=—vl —+^8+ — ^;

(5.99)(5.99)пленкипленкиy8yyy=oр Эх

(5.99)

(5.99)

пленки

пленки

080

588 f п

+ у \udy = 0.

8t дх J

о

Введем среднее значение скорости по сечению

<и> =<и> =и предположим, что <м2> = <н>2 (для полупара-

<и> =

<и> =

о

с точностью (^ = 0) с по-с точностью (^ = 0) с по-болического профиля скорости это выполняется до 20%). Оценивая трение на твердой границе мощью профиля

с точностью (^ = 0) с по-

с точностью (^ = 0) с по-

(5.100)

и опуская далее знаки осреднения, из (5.99) получаем систему одномерных уравнений гидродинамики пленки

(5.101)(5.101)5(м5) d(w28)3vm„ ст8 538

(5.101)

(5.101)

-^ + ~Т^= “ ~V +#5 + — ^at ох 8р ох

58 . 8(и8)

8t 8х ‘

Представим скорость и и толщину пленки 8 в виде u = w0 + u'; 8=50+8', где w0 и 80—осредненные по времени расходная скорость и толщина пленки; и' и 8'—возмущения. Считая возмущения малыми и проводя линеаризацию, после несложных преобразований получаем систему уравнений возмущенного движения

о 538"^ p 8x3’о 538"^ p 8x3’(5.103)(5.103)8v' dv’ _3vv'6vm08'

о 538

"^ p 8x3’

о 538

"^ p 8x3’

(5.103)

(5.103)

8tU° 8x8o 8q

88 88 „ 8u' A ^-+u0—+80 —= 0. 8t 8x 8x

Из (5.103) после перекрестного дифференцирования следует одно уравнение

pg481 g28 2и0 g28и^28 . 3vg89уцоа8_ Г5 104^

р ох4 Зо St280 6x61 80 6х2 8q 6t8о 6х '

Представляя форму поверхности пленки в виде прогрессивной (бегущей) волны

■§' = Ле.№х-ю()(5.105)

и используя ее в (5.104), получаем дисперсионное соотношение -к4-^(с-Мо)2-ik^c-3uo) = 0,(5.106)

р ОоОо

где с = (й(к — фазовая скорость поверхностной волны.

Нейтральные, т. е. незатухающие и нерастущие, колебания поверхности возможны лишь тогда, когда в (5.106) с — Змо = 0, т. е.

с = 3мо-(5.107)

Из (5.106) следует также

с = ио + ^(сг8о/р)1/2.(5.108)

Как известно [92], скорость распространения капиллярных волн на поверхности неподвижного слоя идеальной жидкости определяется формулой

cK2=^th(X8o).

Для длинных волн к60«\ и сК = к(о501рУ!2. Таким образом, (5.108) соответствует скорости капиллярной волны на поверхности идеальной жидкости, текущей со скоростью и0.

Условие существования в вязкой жидкости капиллярной волны выделяет только одну гармонику колебаний поверхности. Из (5.107) и (5.108) следует, что длина волны X и волновое число незатухающих колебаний определяются соотношением

Х = 2л/Х = 2м0(р/ст80)1/2,(5.109)

а частота колебаний поверхности (й = ск = 6ио (р/о80)1/2. Однако анализ колебаний на основе уравнения (5.104) будет неполным, если не отметить, что соотношение с = 3по справедливо не только для волн, у которых к определяется (5.109), но и для £=0, что соответствует кинематической волне, рассмотренной в предыдущем параграфе.

Случай к = 0 не является тривиальным. Он отвечает определенному классу волн, которые называют расходными или кинематическими волнами. Скорость кинематической волны Зи0- Таким образом, «выживает» капиллярная волна, движущаяся со скоростью расходной волны.

Уравнение (5.106) можно представить в виде

гдегдеРис. 5.8. Дисперсионные кривые для волн КапицыРис. 5.8. Дисперсионные кривые для волн КапицыVUoVUo1 V3 ( с-— \2 уRey2w01 V3 ( с-— \2 уRey2w0(5.110)(5.110)

где

где

Рис. 5.8. Дисперсионные кривые для волн Капицы

Рис. 5.8. Дисперсионные кривые для волн Капицы

VUo

VUo

1 V3 ( с

-— \

2 уRey2w0

1 V3 ( с

-— \

2 уRey2w0

(5.110)

(5.110)

кlu^pl^y12'

Уравнение (5.110) дает связь между кис при изменении числа Re. На рис. 5.8 показан результат решения уравнения (5.110) в зависимости от параметра Re. С ростом Re точка поворота нейтральной кривой опускается вниз и значение с стремится к 1,5м0- Отметим-, что если учесть при осреднении профиль скорости, как это будет сделано в гл. 6, то при Re-» оо скорость стремится к 1,7и0-

Волны в деформируемых трубах, заполненных жидкостью ■

Как правило, газо- и парожидкостные потоки движутся в трубах и оболочках различной конструкции. Нестационарные процессы, имеющие место при течениях двухфазных сред, вызывают деформацию труб и оболочек. Эффекты нестационарной деформации, реологические характеристики текущей в трубе среды активно влияют на формирование и динамику возникающих волн.

Рассмотрим распространение волн в трубах, заполненных вязкой жидкостью. Считая, что течение жидкости в оболочке ламинарно, запишем уравнения Навье—Стокса в виде -

, 8их1Bn/ 82их16их82их\

BtpiВх\ 6г2г8гВх2/

(5.111)

8ur _1Bp/82ur1Виг82игиг\

Btpi6гу 8r2 + гdr +fix2r2 J

где их, иг — составляющие скорости движения жидкости и. Уравнение неразрывности

— 4-div(p!w) = 0; divw = — ч- - + —;(5.112)

St8г г Вх

уравнение состояния жидкости

Pi-Рю D +(/>-/><>)/£],(5.113)

где к—модуль объемной упругости жидкости.

В широком диапазоне изменения давления, практически до р« 1000 МПа, можно пользоваться соотношением

8р = С18р!,(5.114)

где cv — скорость звука в жидкости.

Уравнение движения упругой осесимметричной оболочки, в которой движется жидкость, в приближении h«:R

. Eh,62V Eh3 д4У .,31 84У

-(5.115)

Здесь Ар— возмущение давления, действующее на стенку; Е—модуль Юнга; х— коэффициент Пуассрна; h—толщина стенки; R— невозмущенный радиус трубы; У—смещение стенки трубы; pw — плотность материала стенки трубы. Коэффициент первого члена уравнения характеризует жесткость -сжатия, второй член — инерцию стенки оболочки, третий член — жесткость на изгиб.

Граничные условия на поверхности контакта оболочки и жидкости (r = RY

u=6V,l6t; ux = 8Vxldt.(5.116)

Здесь Ух—смещение оболочки в направлении х. Нормальные усилия рх и р„ действующие на оболочку, определяются по формулам

f8ux ЗиД~ 8иг,

=+<5Л|7>

которые следуют из рассмотрения тензора напряжений скоростей деформации на границе.

Предполагая, что длины волн значительно превосходят радиус трубы R, и интегрируя уравнения (5.111) и (5.112) по 168

(5.118)(5.118)(5.119)(5.119)^P1R2^+^PvR2w>> = 0’^P1R2^+^PvR2w>> = 0’2piVРг=Р^-Ц2piVРг=Р^-Ц2pjV 8V = п——.r=R р R at2pjV 8V = п——.r=R р R at(5.120)(5.120)

(5.118)

(5.118)

(5.119)

(5.119)

^P1R2^+^PvR2w>> = 0’

^P1R2^+^PvR2w>> = 0’

2piV

Рг=Р^-Ц

2piV

Рг=Р^-Ц

2pjV 8V = п——.

r=R р R at

2pjV 8V = п——.

r=R р R at

(5.120)

(5.120)

г, можно переписать их в одномерном гидравлическом приближении. Введем средние значения по сечению трубы

Rк

Г2 Г

pi=^ Pi'^; р=-^ \p'rrdn

оо

RR

w = f м'р i г dr [ J р 1 rdr^~v,оо

и тогда получим для средних величин

dwdp , 2tw

P1 dzдх + R ’

где tw—трение на границе при течении жидкости в трубе.

Усредним соотношение (5.117), интегрируя его по формуле

и считая, что J urdr = 0, получим с использованием

-к.

граничного условия (5.116)

Необходимо отметить один принципиальный момент: в одномерной гидродинамике вязкость жидкости входит только через касательное трение т, которое в квазистационарном случае пропорционально вязкости и скорости. При наличии деформации трубы если жидкость вязкая, то на оболочку действует дополнительное давление, пропорциональное вязкости v и скорости деформации оболочки dV/dt.

С учетом дополнительного давления (5.120) уравнение осесимметричных колебаний оболочки (5.115) запишем в виде

. Eh V ,a2V 2p.vdK Eh3 84V

д'-(Г^2)^+Р.'-г?-+^-77+ж^а?- <512О

" Таким образом, уравнения (5.119) и (5.121) и уравнение состояния жидкости (5.114) описывают поставленную задачу. Чтобы закончить постановку задачи, необходимо подробно остановиться на определении tw в (5.119). Для этого иногда используют гипотезу квазистационарности [186] и tw определяют как трение в установившемся течении:

(5.122)(5.122)4ц /,

(5.122)

(5.122)

^■^^ О-

На самом деле, входящее в уравнение гидравлики напряжение трения tw зависит от профиля скорости, который в волне устанавливается за определенное время из-за инерции потока жидкости. Поэтому реально tw является функцией времени и может отражать установление профиля скорости в волне (релаксацию). Аналогичная ситуация имеет место в гравитационных волнах.

В [186] предложена модель, учитывающая это явление при распространении волны гидроудара по трубе, в которой существует установившееся течение вязкой жидкости. В случае, если жидкость до прихода волны покоилась, значение tw, зависящее от времени, можно получить из решения для нестационарного трения на пластине [92]:

t

(5.123) Vя J dzi

Рассмотрим структуру линейных волн при tw=0 и влияние на нее эффектов нестационарной деформации. Запишем линеаризованные уравнения движения жидкости в трубе:

^+-^=0; А^+^+^-О.(5.124)

ot р, ox ot\px0 Ro / ox

После перекрестного дифференцирования (5.124) имеем ^_±^_2р,УГ=0(5125)

ах* с* ai1 r at1 ’'’

где р определяется по (5.120), а уравнение осесимметричных колебаний трубы имеет вид (5.121).

Продифференцируем дважды по t и по х соотношение (5.115) и подставим в (5.125) вместо д2р18х2 и 62pj6t2, получим a2v 1 a2va2 (a2v i а2у\a fa2v i a2v\

^1 = 0,(5.126)^1 = 0,(5.126)дх2 cl at2at2 \dx2 c2 at2 /dz\dx2 c2 8t2 Г

^1 = 0,(5.126)

^1 = 0,(5.126)

6x4\6x2 c2 где

A = pw(\-x2)R2jE; B = 2p1v(l-x2)/?/(£/z);

h2R2 , 12(1—x2)’h2R2 , 12(1—x2)’2_ ^2 ._2_ Eh .

h2R2 , 12(1—x2)’

h2R2 , 12(1—x2)’

с1+сг’ 2 ^PiR’

c3—скорость гидравлического удара, впервые полученная Н. Е. Жуковским [186]. Давление, возникающее в волне гидроудара, p=p1Cз^W.

Дисперсионное соотношение, отвечающее уравнению (5.126), имеет вид 170

Рис. 5.9. Дисперсионная зависимость для уравнения (5.126): / — 5=0, tw = 0; 2—5=0, Z> = 0, tw=0Рис. 5.9. Дисперсионная зависимость для уравнения (5.126): / — 5=0, tw = 0; 2—5=0, Z> = 0, tw=0(5.127)(5.127)аю4+6(о3 + сю2 + tZco+е=0,аю4+6(о3 + сю2 + tZco+е=0,гдегдеy = pwA/c2; 6=-2zp1v/(c2l?);y = pwA/c2; 6=-2zp1v/(c2l?);_ f Eh3 к4C(12(1—x2)c2_ f Eh3 к4C(12(1—x2)c2+ pwhk2A+ pwhk2AEh(1— ¥?^C2R2Eh(1— ¥?^C2R2

Рис. 5.9. Дисперсионная зависимость для уравнения (5.126): / — 5=0, tw = 0; 2—5=0, Z> = 0, tw=0

Рис. 5.9. Дисперсионная зависимость для уравнения (5.126): / — 5=0, tw = 0; 2—5=0, Z> = 0, tw=0

(5.127)

(5.127)

аю4+6(о3 + сю2 + tZco+е=0,

аю4+6(о3 + сю2 + tZco+е=0,

где

где

y = pwA/c2; 6=-2zp1v/(c2l?);

y = pwA/c2; 6=-2zp1v/(c2l?);

_ f Eh3 к4

C(12(1—x2)c2

_ f Eh3 к4

C(12(1—x2)c2

+ pwhk2A

+ pwhk2A

Eh(1— ¥?^C2R2

Eh(1— ¥?^C2R2

iEh , 9k6 — чт-^к1.^X-x^R1iEh , 9k6 — чт-^к1.^X-x^R1.2pjV 2Eh3

iEh , 9

k6 — чт-^к1.

^X-x^R1

iEh , 9

k6 — чт-^к1.

^X-x^R1

d=i—^-k; e=——=r

R12(1—x2)

Результаты расчетов по (5.127) приведены на рис. 5.9, где с(—скорость звука в пластине.

Уравнение (5.126) указывает на многоволновой характер распространения волн в трубе, заполненной жидкостью. Из-за наличия вязкости и изгибной жесткости (£>^0, В /0) формируется единый сигнал (рис. 5.10), в котором наблюдаются осцилляции не только на гребне волны, но и перед основным энергонесущим фронтом.

Впервые такие сигналы наблюдали американские исследователи Холмбоу и Руло [186] в экспериментах по изучению

Рис. 5.10. Решение уравнения (5.126) при tw=0 для условий эксперимента Холмбоу — Руло (жидкость с малой вязкостью)Рис. 5.10. Решение уравнения (5.126) при tw=0 для условий эксперимента Холмбоу — Руло (жидкость с малой вязкостью)

Рис. 5.10. Решение уравнения (5.126) при tw=0 для условий эксперимента Холмбоу — Руло (жидкость с малой вязкостью)

Рис. 5.10. Решение уравнения (5.126) при tw=0 для условий эксперимента Холмбоу — Руло (жидкость с малой вязкостью)

Рис. 5.11. Эксперимент Холмбоу—Руло для жидкости с малой вязкостью

гидравлического удара в толстостенной трубке, возбуждаемого специальным ударным устройством. На рис. 5.11 приведены результаты их экспериментов на трубке, заполненной маслом, так как в случае воды невозможно избежать присутствия пузырьков, а это приводит к искажению результата. Здесь характерно появление предвестников в сигналах при достаточно крутых начальных импульсах.

Расчеты, представленные на рис. 5.10, выполнены для условий эксперимента Холмбоу и Руло методом дискретного фурье- преобразования с численной реализацией в виде БПФ. Методика расчета описана в гл. 4 применительно к исследованию структуры линейных волн в парожидкостной среде.

Рассмотрим линейные волны при tw/0. Уравнение (5.125) в этом случае принимает вид*

^_J_ Е^_?£1^ ^Е»/< 17о\

dx2 c25z2 R 8t2~Rdx'1'

Решения системы уравнений (5.121), (5.128) с трением tw, взятым по (5.123), приведены на рис. 5.12. Расчеты выполнены по методу БПФ, как и в случае, показанном на рис. 5.10, но для жидкости с большой вязкостью. '

На рис. 5.13 приведено решение отвечающего уравнению (5.128) дисперсионного соотношения

Ak6 + Bk4+Fk2 + D = 0,

где

^_h2R2C3 h2Rc2 /2v ,h2Rc2 /2v

1212~12

5 h2R2 с2 2В=——Ц(й ,2 с2

5)

Рис. 5.12. Сравнение решения уравнения (5.128) с экспериментом Холм- боу — Руло для жидкости с большой вязкостью: а — эксперимент; б — расчет

У „2 Р^С1-^2)^2^2,^ Сз /^v , А'з^О-^Р»-®2

3 ЕR V с» \ Е

2pwvc§(l-x2)co\ /2v .fc^ /c^/?(l-x2)pwto2

Eh ) \ co\ E

2pwvci(l-x2)to c§\ /2y)

Eh R ) \j ю у

К fpwO-X2)^2^ 4 llV C3 3

I EciJC2C1

Рассмотрим предельный случай, когда эффектами деформации трубки можно пренебречь. В указанном предположении A = B=D = 0 и исходная система уравнений (5.119) и (5.115) сводится к одному волновому уравнению для возмущения скорости

(5.129)(5.129)82w2 d2w 2 /v д Г 8w dtx

(5.129)

(5.129)

St2C1 dx2 R yj я dt J 8ttt—tv

— 00

Для получения дисперсионного соотношения, отвечающего уравнению (5.129), принимаем, что w = woel(™,-kx\ а в правой части верхний предел интеграла +оо. Используя свойства

ч321О-1ч321О-1xxOt4 0,j8 1,2 1,6 2,0 ^lck JxxOt4 0,j8 1,2 1,6 2,0 ^lck J1-й корень2-й корень3-й корень1-й корень2-й корень3-й кореньtt6w 0W 1 rvSt +C1 6x^ Ra] it6w 0W 1 rvSt +C1 6x^ Ra] itSw dtxSti >J t—txSw dtxSti >J t—tx(5.130)(5.130)

ч

3

2

1

О

-1

ч

3

2

1

О

-1

xxOt4 0,j8 1,2 1,6 2,0 ^lck J

xxOt4 0,j8 1,2 1,6 2,0 ^lck J

1-й корень

2-й корень

3-й корень

1-й корень

2-й корень

3-й корень

t

t

6w 0W 1 rv

St +C1 6x^ Ra] it

6w 0W 1 rv

St +C1 6x^ Ra] it

Sw dtx

Sti >J t—tx

Sw dtx

Sti >J t—tx

(5.130)

(5.130)

Рис. 5.13. Дисперсионные кривые для уравнения (5.128), содержащего в правой части трение tw, взятое по соотношению (5.123)

свертки, рассматриваемый интеграл сводим к интегралу Френеля

асимптотика которого при Z—>оо известна:

Л-.=о = У^-

Вычисляя таким образом интегральный член в уравнении (5.129), мы пренебрегаем небольшой переходной областью в сигнале, но, как показали эксперименты, эту область экс

периментатор не «разрешает».

Уравнение (5.129) может быть формально факторизовано, т. е. из него можно получить уравнение для волны, распространяющейся в одну сторону, как это сделано в гл. 3 при

изучении волновых процессов в жидкости с пузырьками газа:

Уравнение (5.130) для начального возмущения в виде

«ступеньки» имеет аналитическое решение:

w^x, z) = woerfcw^x, z) = woerfcх/у xki R 2.^1 —xj с vх/у xki R 2.^1 —xj с v(5.131)(5.131)

w^x, z) = woerfc

w^x, z) = woerfc

х/у xki R 2.^1 —xj с v

х/у xki R 2.^1 —xj с v

(5.131)

(5.131)

Результаты решения уравнения (5.129), полученные методом БПФ для начального сигнала, взятого в виде «ступеньки», сравниваются с решением (5.131) уравнения (5.130) на рис. 5.14 (кривые 1 и 2). Кривая 3— решение по модели Холмбоу—Руло. Для больших v кривые 2 и 3 со временем сближаются, но различаются с кривой 1. При уменьшении коэффициента вязкости v все три кривые сближаются. Аналогичная картина наблюдалась при расчете волн в парожидкостной среде.

174 •

Рис. 5.14. Сравнение решений (5.129) (7), (5.130) (2) и (5.129) п(Г модели Холм- боу — Руло (3)

' Причина расхождения решений уравнений (5.129) и (5.130) для больших значений вязкости v объясняется точно так же, как и в гл. 4, неравномерностью факторизации волнового уравнения (5.129) при больших значениях коэффициентов при интеграле. В этом случае нельзя переходить к уравнению для волн, распространяющихся в одну сторону. Уравнение (5.129) — результат решения двух задач: «гиперболической» (распространение волн) и «параболической» (диффузия импульса в волне). Поэтому, когда доминирует вязкое расплывание над разбеганием волн «вправо» и «влево», переход от (5.129) к (5.130) некорректен. Интересно, что развиваемый метод дискретного преобразования Фурье с численной реализацией в виде БПФ для расчета линейных волн по дисперсионному соотношению требует «гиперболичности» задачи.

Рассмотрим еще один предельный случай — распространение линейной волны в трубке маленького диаметра, заполненной вязкой жидкостью, когда пограничный слой в волне практически прорастает мгновенно: /?2«2v/(o или R2^vt0, где t0—характерное время нарастания сигнала. В этом случае уравнение движения вязкой жидкости (5.111) упрощается:

(5.132)R1 Г Лw=- I и“г ДЛЯо(5.133)(5.132)R1 Г Лw=- I и“г ДЛЯо(5.133)_2_^=vPj дх дг2

(5.132)

R

1 Г Лw=- I и“г ДЛЯ

о

(5.133)

(5.132)

R

1 Г Лw=- I и“г ДЛЯ

о

(5.133)

и из него следует, что средняя скорость

профиля Пуазейля п = и(г) имеет вид

R2 др w = —т-« 8р дх

Уравнение (5.133) неразрывностиУравнение (5.133) неразрывностидополним линеаризованным уравнением

Уравнение (5.133) неразрывности

Уравнение (5.133) неразрывности

(5.134)(5.134)д /Ар, 2И\ dw _— ——н— +—=о

(5.134)

(5.134)

' St \р10 Л / дх

и соотношениями (5.114) и (5.115).

Если мы пренебрегаем эффектами нестационарной деформации, то соотношение (5.115) упрощается:

Ehд"-(1^к(5Л35)

Из (5.133) и (5.135) следует, что

Заменяя Ар на \р по (5.114) и используя соотношение (5.135), из (5.134) с учетом (5.136) получаем

(5.137)(5.137)8V c^FB^V

(5.137)

(5.137)

Bt 8kv Вх1

где F^kR2— площадь сечения трубки.

Таким образом, распространение линейных возмущений в капилляре, заполненном вязкой жидкостью, описывается параболическим уравнением (5.137), которое по соотношению (5.135) может быть переписано для давления.

Импульс давления, возникший в начале капилляра, распространяется по нему подобно тепловой волне. Так, например, если в начале канала поддерживается сигнал в виде «ступеньки», то волна гидроудара будет двигаться со скоростью c4 = dxx(dtv где xv—координата центра тяжести импульса. Из теории теплопроводности хорошо известно, что %!« с3 V^//(8л), и Q = с3 Jf^Y

Модельное уравнение (5.137) было положено в основу расчета распространения импульса в капилляре, заполненном очень вязкой жидкостью. На рис. 5.15 сравниваются результаты расчета гидроудара в капилляре с экспериментальным профилем давления.

Глава шестая

ВОЛНОВОЕ ТЕЧЕНИЕ ПЛЕНОК ЖИДКОСТИ

Применение пленок жидкости в технике

Неустойчивость течения тонких слоев вязкой жидкости наступает при малых числах Рейнольдса (практически с Re^O). Возникающее новое волновое течение существует на поверх- 176'

Рис. 6.1. Области применения пленок жидкости

ности пленок до развития турбулентности, поэтому такой класс течений имеет важное значение для понимания механизма развития неустойчивости. Кроме того, волновое течение пленок имеет широкое практическое приложение.

Области применения пленок показаны на рис. 6.1. Малое термбсопротивление и большая поверхность контакта при малом объеме делают пленку жидкости весьма эффективным средством интенсификации процессов межфазного тепломассообмена. Кольцевые парожидкостные потоки — один из часто реализуемых режимов течения парожидкостной смеси в трубах при отводе теплоты от тепловыделяющих элементов энергетических установок. В ракетных двигателях пленка жидкости используется для тепловой защиты стенок камеры сгорания 12 Заказ 2980 177

и для получения гомогенной горючей смеси. Пленочные испарители являются основными элементами в установках по опреснению соленой морской воды.

Широко применяются пленки в массообменных аппаратах, таких как абсорберы, ректификационные колонны, кристаллизаторы, электролизеры. В холодильной технике пленочные теплообменники используются в качестве конденсаторов хладагентов. В химической технологии и пищевой промышленности водяные пленки служат для охлаждения серной кислоты, молочных продуктов, рассола при получении соды.

В последнее время в ряде современных технологий широко используются струйные методы обработки поверхностей металлов и пластмасс. При этом плоские или осесимметричные струи жидкости, набегая под разными углами на твердую стенку, формируют тонкую пленку жидкости, растекающуюся вдоль поверхности. Именно между этой пленкой жидкости и стенкой осуществляются процессы тепло- и массообмена. Такие методы используются, например, при закалке металлов, очистке внутренних поверхностей цистерн и труб, химическом фрезеровании крупномасштабных деталей в авиастроении.

Практически всегда течение пленок в тепломассообменных аппаратах сопровождается волновыми явлениями на границе раздела газа и жидкости. Волны существенно влияют на процессы межфазного переноса, и в тех случаях, когда это возможно, применяются различные приспособления, способствующие волнообразованию или турбулизации жидкости с целью увеличения коэффициентов переноса. Так, по сравнению с гладкой пленкой, в которой гашение волн осуществлено введением поверхностно-активных веществ (ПАВ), трехмерные и катящиеся волны увеличивают коэффициент теплоотдачи на 100%. При расчете процессов пленочной конденсации интенсификация теплообмена за счет волн учитывается введением для числа Нуссельта поправочного множителя 1,2, который получен из опытных данных.

Большинство исследований по массообмену в пленках относится к процессам абсорбции (десорбции) газа поверхностью жидкости. По данным многих авторов увеличение коэффициента массоотдачи за счет создания волн при абсорбции углекислого газа водой может достигать 100% и более. Однако лишь в отдельных экспериментальных работах было строго продемонстрировано влияние волн, контролируемых по частоте и амплитуде, на массообмен.

Интенсификация массообмена на межфазной поверхности может быть обусловлена несколькими причинами: увеличением суммарной поверхности раздела фаз из-за волнообразования, возникновением вихревых движений в газовой фазе, нелинейным вкладом повышенных скоростей жидкости на гребнях 178

волн, разрушением инертного газового слоя вблизи поверхности жидкости, препятствующего процессу абсорбции, а при турбулентном течении — вихревыми образованиями в жидкой фазе. Вблизи же стенки пульсации скорости затухают и поэтому оказывают слабое влияние на процесс массообмена между стенкой и жидкостью.

Известно, как много для волновой теории дало изучение волн на воде. С этой точки зрения большой интерес представляют и исследования волн на пленке жидкости, где явно проявляются эффекты неустойчивости, диссипации и дисперсии. Характерно то, что неустойчивость на пленке возникает при малых числах Re, и методы расчета гидродинамической неустойчивости, развитые для больших чисел Re при течении в каналах, не находят здесь полного применения. Пленка жидкости является удобным объектом для наблюдения двумерной неустойчивости, развития и образования нелинейных волн, для исследования газогидродинамической аналогии.

Динамические и кинематические волны на поверхности пленки

Визуальные наблюдения за картиной волнообразования на поверхности пленки (рис. 6.2) показывают, что волны на поверхности пленки не только имеют капиллярный характер, но и напоминают прогрессивные волны, типа периодического бора, уединенных волн и т. д. Предполагая в дальнейшем рассматривать волны, длина которых много больше толщины пленки А, исходную" систему уравнений движения вязкого слоя жидкости под действием собственного веса (см. рис. 6.2) можно записать в приближении пограничного слоя

ди , ди , ди1 др , , д2и., ..

—+м—+г—= — ^+g+v-^;(6.1)

dtдх дур дх ду

duldx+dvfdy — Q

с граничными условиями: при y = h

8и/ду = 0, р= —c82hldx2, ^-Vu^^v;(6.2)

dt дх.

при j = 0

м = 0; г = 0..

Если предположить, что профиль скорости автомодельный — (5.100) (это подтверждено прямыми экспериментами по измерению профиля скорости), то, интегрируя уравнения (6.1) по

Рис. 62. Развитие волн на пленке, Re=15

у от 0 до h с использованием условий (6.2) и профиля (5.100) и вводя средние по сечению скорости <м)=^ Jn(y)t/y, получаем усредненные по толщине пленки уравнения0 движения

d^-u1 ZL/.A^^-Lm^2 ^3^V_L<,_LCT ^

-аГ+ м <м> ^Г+0’2^"^+g+р

(6.3) ал д<«>л

д/ дх *

Представим <и> и А в виде <w> = u0 + u' и А = А0 + А' и, используя для установившегося в среднем течения соотношение g=3uov/A^, получим систему уравнений для возмущений скорости и поверхности:

8и' . . би’ 0,2wo 8h' 0,4wo ,8h', ОДио *, 8h' 6vu0 h' и -у-A y-=-T2-T—

8t ox ox n0 oxox Ao

3v , Svunfh'V 6v , h' a 83h'

Aq AohQ ho P 8x5

8K 8K , 8hr . 8u’ ,, 8u’,, .

47+«0T" + « ++ A =(6-4)

8t 8x 8x 8x 8x

Введя порядки малости возмущений поверхности е = А7А0, скорости р = м'/мо (здесь А', и' — некоторые характерные значения возмущений толщины и скорости) и отношения толщины 180

пленки к характерной длине возмущений v. = h0]X, запишем возмущения в виде

h-h0 ~ и0-и'_, ..

—-—«гп; —«ри; v.whoiK.

"О“о

Если предположить, что х~р~Е одного порядка, то система (6.4) может быть представлена в виде

53Л8х3’53Л8х3’^+l,4£^+0,2£^+0,4£2i/^=^-^-^-n+^-E2P + e2We

53Л

8х3’

53Л

8х3’

(6.5)(6.5)8т ox oxox Re Re Re -

(6.5)

(6.5)

8h 8h 8й зг8й ~ ^-+e-:+£-:+£2/z —= 0, дт 8х 8х дх

где

Re=Aono/v; We = a/(pu2A0).

Анализ и решение системы (6.5) можно проводить на основе метода многих масштабов:

6882 8.

8т 8т 08т г8т 2

^е^+е2^; «'=£«!+е2й2;(6 6)

т = т0+ет1+е2т2; х=х0+ех1+е2х2.

Подставляя (6.6) в (6.5), запишем систему с точностью до е:

8h 8h 8й' _ ^'

di! 8х0 8х0’I

-Г(о. п

8u t t Л8й' v ^8к6 Г 3

—+1,4^+0,2—=—-h——и .

9т18х08х0 еКе eRe

Решение системы (6.7) зависит от значений Re. Если Re »1, так что Re>l/s, тогда решение^ системы (6.7) можно искать в виде квазипростой волны h = K(u') + ^i(x, t), где ф(х, /) ,6й Зй' „

в (6.7)—добавка, пропорциональная —— и —-. Решение £ Re £ Re

^=^(п')—это так называемая «простая волна». В отличие от системы (5.103) в (6.7) есть член 0,2д£/5хо, появившийся в результате точного усреднения уравнений (5.94). Система (6.7) при' Re^oo допускает решение R=R(u'Y

8Й 8h /8й' \ 8К п, - ох

^+^+^ = 0;<6-8>

8т^ 8xq \^8h J 8Xq

(6.9)(6.9)f^^+l,4^^ + o,2M=o.

(6.9)

(6.9)

ч \dh у дтг \dh J дх0 дх Запишем условие разрешимости системы

11дй'~8Йдй'~8Й1+^)/1’4®)+0’2\ СП /1+^)/1’4®)+0’2\ СП /= 0.= 0.Отсюда найдем:Отсюда найдем:х Зи' \/дй' \а) 7Г ~°’7; б) Нг Р-0’3\дп jyen )и, подставив в (6.9), получим:а) ^-+1,7^ = 0; б) ^- + 0,7^- = 0.•5т tдх05т t5х0х Зи' \/дй' \а) 7Г ~°’7; б) Нг Р-0’3\дп jyen )и, подставив в (6.9), получим:а) ^-+1,7^ = 0; б) ^- + 0,7^- = 0.•5т tдх05т t5х0(6.10)(6.10)Эти уравнения описывают волну, распространяющуюся вправо со скоростью 1,7и0 и 0,7и0.Аналогично можно найти и решение нелинейной задачи с точностью до в2 по х:д h 8 К дй' r8u _ ^+^+^ + А^ = 0; 5т । 5х0 5х0 5xq(6.11)Эти уравнения описывают волну, распространяющуюся вправо со скоростью 1,7и0 и 0,7и0.Аналогично можно найти и решение нелинейной задачи с точностью до в2 по х:д h 8 К дй' r8u _ ^+^+^ + А^ = 0; 5т । 5х0 5х0 5xq(6.11)дй' , , дй' _ _ dh 8h 6 ,~ —+1.4—+0.2 —+0.4й' — = — hдй' , , дй' _ _ dh 8h 6 ,~ —+1.4—+0.2 —+0.4й' — = — hdxv ’ ' дх0 " ’ 8x0 ' ' dx0 Re Re’ Решение системы ищем в видеA = A(u') + \|/(x, t)(6.12)dxv ’ ' дх0 " ’ 8x0 ' ' dx0 Re Re’ Решение системы ищем в видеA = A(u') + \|/(x, t)(6.12)и, последовательно развивая аппарат квазипростой волны [71], из системы (6.11) получим одно уравнениеи, последовательно развивая аппарат квазипростой волны [71], из системы (6.11) получим одно уравнение^-+1,7 ^- + 2,3^=^А.5tj 5xq 5xq Re^-+1,7 ^- + 2,3^=^А.5tj 5xq 5xq Re(6.13)(6.13)Если ограничиться предположением о слабой нелинейности, то можно приближенно учесть влияние капиллярных сил в рамках решения (6.12) — учесть члены порядка х3. Из системы (6.5) после подстановки (6.6) получаем уравнениеЕсли ограничиться предположением о слабой нелинейности, то можно приближенно учесть влияние капиллярных сил в рамках решения (6.12) — учесть члены порядка х3. Из системы (6.5) после подстановки (6.6) получаем уравнение8h in8h ^^r8h „, 63h 3,9 г+ 1,7+2,3/г — + We-4 = ^/z,Ут, 6х08х0 8Xg Re8h in8h ^^r8h „, 63h 3,9 г+ 1,7+2,3/г — + We-4 = ^/z,Ут, 6х08х0 8Xg Re(6.14)(6.14)которое представляет собой уравнение Кортевега—де Вриза с низкочастотной подкачкой энергии в волновое движение за 182которое представляет собой уравнение Кортевега—де Вриза с низкочастотной подкачкой энергии в волновое движение за 182

1

1

дй'

~8Й

дй'

~8Й

1+^)/1’4®)+0’2\ СП /

1+^)/1’4®)+0’2\ СП /

= 0.

= 0.

Отсюда найдем:

Отсюда найдем:

х Зи' \/дй' \

а) 7Г ~°’7; б) Нг Р-0’3\дп jyen )

и, подставив в (6.9), получим:

а) ^-+1,7^ = 0; б) ^- + 0,7^- = 0.

•5т tдх05т t5х0

х Зи' \/дй' \

а) 7Г ~°’7; б) Нг Р-0’3\дп jyen )

и, подставив в (6.9), получим:

а) ^-+1,7^ = 0; б) ^- + 0,7^- = 0.

•5т tдх05т t5х0

(6.10)

(6.10)

Эти уравнения описывают волну, распространяющуюся вправо со скоростью 1,7и0 и 0,7и0.

Аналогично можно найти и решение нелинейной задачи с точностью до в2 по х:

д h 8 К дй' r8u _ ^+^+^ + А^ = 0; 5т । 5х0 5х0 5xq

(6.11)

Эти уравнения описывают волну, распространяющуюся вправо со скоростью 1,7и0 и 0,7и0.

Аналогично можно найти и решение нелинейной задачи с точностью до в2 по х:

д h 8 К дй' r8u _ ^+^+^ + А^ = 0; 5т । 5х0 5х0 5xq

(6.11)

дй' , , дй' _ _ dh 8h 6 ,~ —+1.4—+0.2 —+0.4й' — = — h

дй' , , дй' _ _ dh 8h 6 ,~ —+1.4—+0.2 —+0.4й' — = — h

dxv ’ ' дх0 " ’ 8x0 ' ' dx0 Re Re

’ Решение системы ищем в виде

A = A(u') + \|/(x, t)(6.12)

dxv ’ ' дх0 " ’ 8x0 ' ' dx0 Re Re

’ Решение системы ищем в виде

A = A(u') + \|/(x, t)(6.12)

и, последовательно развивая аппарат квазипростой волны [71], из системы (6.11) получим одно уравнение

и, последовательно развивая аппарат квазипростой волны [71], из системы (6.11) получим одно уравнение

^-+1,7 ^- + 2,3^=^А.

5tj 5xq 5xq Re

^-+1,7 ^- + 2,3^=^А.

5tj 5xq 5xq Re

(6.13)

(6.13)

Если ограничиться предположением о слабой нелинейности, то можно приближенно учесть влияние капиллярных сил в рамках решения (6.12) — учесть члены порядка х3. Из системы (6.5) после подстановки (6.6) получаем уравнение

Если ограничиться предположением о слабой нелинейности, то можно приближенно учесть влияние капиллярных сил в рамках решения (6.12) — учесть члены порядка х3. Из системы (6.5) после подстановки (6.6) получаем уравнение

8h in8h ^^r8h „, 63h 3,9 г

+ 1,7+2,3/г — + We-4 = ^/z,

Ут, 6х08х0 8Xg Re

8h in8h ^^r8h „, 63h 3,9 г

+ 1,7+2,3/г — + We-4 = ^/z,

Ут, 6х08х0 8Xg Re

(6.14)

(6.14)

которое представляет собой уравнение Кортевега—де Вриза с низкочастотной подкачкой энергии в волновое движение за 182

которое представляет собой уравнение Кортевега—де Вриза с низкочастотной подкачкой энергии в волновое движение за 182

счет потенциальной энергии пленки, стекающей вниз под действием собственного веса.

Уравнение (6.13) является модельным уравнением для описания структуры периодического бора или решений типа «катящиеся волны». Его правая часть дает рост амплитуды h, в чем легко убедиться, линеаризовав (6.13) и перейдя в систему отсчета, движущуюся со скоростью 1,7м0:Е, = (х0 — 1,7 т!), т = Т!. Получим уравнение

3>9 Г1 сч

(6.15) дт Re ’

решение которого имеет вид 3 g

M0(5)eReT.(6.16)

Бесконечному по времени росту А препятствует нелинейность, которая ограничивает решение. В результате конкуренции двух механизмов рождаются периодические разрывные решения. Введя автомодельную координату ^ = (х0 —^т), где cv—скорость катящейся волны, получим уравнение

~ 8R,, п8Я р8й 3,9г/£1-74

(617)

которое после замены F=2,3h запишется в виде

(6.18)(6.18)-5F, C8F 3,9

(6.18)

(6.18)

где й=1,7— cv. Согласно теореме Быховского [19] скорость катящейся волны cv определяется корнем полинома й=0 и равна 1,7. Задаваясь безразмерной длиной волны L и используя соотношения типа Ренкина — Гюгонио на разрывах [19], получаем выражение для толщины слоя на участке непрерывности функции

~1 7

Ai =^-(^о-^/2).(6.19)

Решения вида (6.19) показаны на рис. 6.3.

(6.20)(6.20)Несложно оценить влияние капиллярных сил на структуру катящихся волн. Если искать решения уравнения (6.14) в виде h = hv-Vf, где hv определяется (6.19), для малой добавки /, описывающей влияние капиллярности, получим уравнение

(6.20)

(6.20)

Л оо 3

5т|diy

Рис. 6.4. Структура волн с учетом капиллярных эффектовРис. 6.4. Структура волн с учетом капиллярных эффектов

Рис. 6.4. Структура волн с учетом капиллярных эффектов

Рис. 6.4. Структура волн с учетом капиллярных эффектов

Рис. 6.3. Разрывные периодические решения для поверхности пленки

Введя ц^ц/К^3 и Ф=д//дт|1, уравнение (6.20) запишем в виде д2Ф

^-Л1Ф = 0.(6.21)

Решением (6.21) является функция Эйри Ai(r|1)=— cosl —+ л J \ 3 \о

+ vr|l jdv, а решение (6.20) ^jAi^Jrfrip Решение h = hY+f показано на рис. 6.4—это структура катящейся волны с учетом капиллярных эффектов.

Уравнения (6.13), (6.14) непригодны для х^О. В этом случае уравнение (6.14) переходит в соотношение (3,9/Re)^=0, что возможно только при Re->oo.

Теперь рассмотрим другую предельную ситуацию, когда Re<l. Обратимся к системе (6.5). При Re~l/e, и ~г приближен ние «квазипростой волны» непригодно, так как (б/Re) К и (3/Re)u' являются главными членами (6.5). На самом деле имеется два малых параметра: £=h'lh0 и х. При х-»0 с точностью до е уравнения системы (6.5) совместны только тогда, когда (6/Re) h = (З/Re) й', что приводит к соотношению

й' = 2^+О(х).(6.22)

Это «нулевое по х» асимптотическое решение соответствует так называемой кинематической волне. С точностью до заданного £ решение системы (6.5) можно искать в виде ряда по х

-h' dh. . ,32h, 2 , S3Az чз ,

“+сй3<к) + -<6'23)

Это является практической реализацией метода многих масштабов. Неизвестные коэффициенты а, Ь, с находятся из условий совместности уравнений (6.5). Для этого^подставляем (6.23) в систему (6.5) и требуем совместности этих двух уравнений с точностью до х, х2 и т. д.

184

Ищем решение ^системы с точностью до х. Подставим (6.23) в виде й' = 2^+ад^/дх в (6.5) и, полагая 8~х, получим д^/дт + ЗдА/дх=О;(6.24)

д^/дт + l,5d^/dx+3/2 Re-1ad^/dx = 0.

Уравнения системы (6.24) совместны, когда a = Re. Система (6.24) эквивалентна системе (6.5) с точностью до £ и а и сводится к одному уравнению

д^/дт + Зд£/дх = О.(6.25)

Повышая точность, ищем решение в виде й' = 2^+ Re dA/dx + b агЯ^х2.

Определив 6»2Re2, систему (6.5) с точностью до 8 и а2 сводим к одному уравнению

д/Г/дт + 35/Г/дх= — Red2A^(6.26)

Как видно, в этом приближении появляется член — ReS^/Sx2, дающий накачку аналогично члену (3,9/Re)Я при Re»l. Найденное эволюционное уравнение, эквивалентное исходной системе с точностью 8 и х3, имеет вид

ОТ ох охох \3ОТ ох охох \3H,4Re3 И^ = 0. (6.27) / ох

ОТ ох охох \3

ОТ ох охох \3

Учет более глубокого разложения по е с точностью 82 приводит в соотношении (6.23) к дополнительному слагаемому вида уЯдЯ)дх. С точностью до 83 из условия совместности следует у = 6 и уравнение

аЯ .аЯ, ^аЯ^ аЧ. __ гаЧ т-+3 —+6h—+Re-^+l,2Re2—3 от Эх 8х Эх 8х

(6.27а)(6.27а)We Re ,3\ 84Я п

(6.27а)

(6.27а)

——+l,4Re3 —5 = 0.

3/ Ох

Уравнение (6.27а) при Red принимает вид уравнения для волн, полученного Л. Н. Мауриным [100]. Результаты его решения хорошо известны. В частности, оно содержит решение в виде уединенной волны с осциллирующим передним фронтом.

Многоволновой подход к анализу волнообразования на поверхности пленки

Запишем уравнения Навье — Стокса и граничные условия для пленки жидкости, стекающей по вертикальной стенке, в безразмерном виде:

При y = hПри y = hВй „Вй дй 31 f 82й т 62й\ot ох оу eRe eReydx оу )Вй „Вй дй 31 f 82й т 62й\ot ох оу eRe eReydx оу )Вр^ дхВр^ дх2 fBv„Bv„Bv\£ 82v£3 82vBp£ I+| = ТГ~ 7^2+^ ^2-T^>\dzBx By/Re By2Re fixBy2 fBv„Bv„Bv\£ 82v£3 82vBp£ I+| = ТГ~ 7^2+^ ^2-T^>\dzBx By/Re By2Re fixByВй BvBx ByВй BvBx ByE2E24Bh]Bx Bv\—г2^BhlBxY By4Bh]Bx Bv\—г2^BhlBxY ByВй T „ +^+e ^ = 0, 8y oxВй T „ +^+e ^ = 0, 8y ox(6.28)(6.29)(6.30)(6.31)(6.28)(6.29)(6.30)(6.31)

При y = h

При y = h

Вй „Вй дй 31 f 82й т 62й\

ot ох оу eRe eReydx оу )

Вй „Вй дй 31 f 82й т 62й\

ot ох оу eRe eReydx оу )

Вр^ дх

Вр^ дх

2 fBv„Bv„Bv\£ 82v£3 82vBp

£ I+| = ТГ~ 7^2+^ ^2-T^>

\dzBx By/Re By2Re fixBy

2 fBv„Bv„Bv\£ 82v£3 82vBp

£ I+| = ТГ~ 7^2+^ ^2-T^>

\dzBx By/Re By2Re fixBy

Вй Bv

Bx By

Вй Bv

Bx By

E2

E2

4Bh]Bx Bv

\—г2^BhlBxY By

4Bh]Bx Bv

\—г2^BhlBxY By

Вй T „ +^+e ^ = 0, 8y ox

Вй T „ +^+e ^ = 0, 8y ox

(6.28)

(6.29)

(6.30)

(6.31)

(6.28)

(6.29)

(6.30)

(6.31)

Np =Np =(6.32)(6.33)(6.32)(6.33)(3Fi)1/3s2d2£/dx2 2e 8v 1+£2(дй/5х)2

Np =

Np =

(6.32)

(6.33)

(6.32)

(6.33)

Re5'3 [1 + е2(дЛ/Зх)2]3/2"^е 8y _1—e2(dA/dx)2

~ 8h ~ 8hv = h U —:

8t 8x

при

y=0 w = 0, t> = 0, (6.34)

где w = m/m0; v={vjua)LJhQ, х=хЩ y=ylh0', t=tu0]L; P=pKpu.qY £ = Н0Щ Fi = o3/(p3gv j— пленочное число; U—безразмерная продольная компонента скорости на поверхности пленки; L—характерный продольный размер (например длина волны); h0 и и0 определяются из формул Нуссельта для гладкого ламинарного течения пленки Re = ^o/v=gA0/(3v2) = /zouo/v; q0— объемный расход жидкости на единицу ширины.

Условия (6.31), (6.32) отражают отсутствие касательных и нормальных напряжений на поверхности пленки, а условие (6.33) является обычным кинематическим условием на свободной поверхности.

Рассмотрим длинноволновой процесс (ес1), полагая Re~l/e. Выделим возмущенную часть и' продольной скорости и и положим u'~svu0, Е!~е. Тогда, оставляя в (6.28) — (6.34) члены порядка 1 и е, приходим к уравнениям типа уравнений пограничного слоя

Вй _8й _8й31 82й

— + иНи — =1х -

81 8х8у £ Re £ Re 8у2

Bx

(6.35)

8р(6у = 0;

(6.36)

8й(8х+Вб18у = 0

(6.37)

с условиями на границе y = h\

8й(8у = й;

(6.38)

(3Fi)1/3£2 B2h

ДР~Re5/38x2’

(6.39)

e2O(6-4o)e2O(6-4o)Условия (6.33) — (6.34) остаются неизменными. Используя (6.36), (6.39), перепишем (6.35) в виде

e2O(6-4o)

e2O(6-4o)

бй _бй ~дй 31 д2и (3Fi)1/3

8t"^U8x"^Uбу £Re+sRedy2+ Re5/3

При выводе (6.40) учитывалось, что для реальных жидкостей Fi1/3 является большой величиной (для воды, например, Fi1/3%104). .

Следует отметить, что при соответствующем выборе связи между в и £t конечная система уравнений (6.40), (6.38), (6.37), (6.33) и (6.34) не изменяется в диапазоне чисел Рейнольдса Re=14-l/s2, хотя более строго область применимости полученной системы уравнений нужно указывать для параметров Fi, е, Ер

В дальнейшем используем метод интегральных соотношений (метод Кармана — Польгаузена). Основное затруднение при его применении состоит в том, что мгновенный профиль скорости в пленке необходимо задавать априорным способом. Возникающую при этом возможную погрешность оценить трудно, хотя интуитивно и ясно, что в случае длинных волн она не должна быть слишком большой. Результаты экспериментов по прямому определению мгновенных профилей скорости в волновой пленке жидкости, приведенные в следующих параграфах, говорят об удовлетворительной аппроксимации профиля скорости автомодельным полиномом в случае двумерных волн умеренной амплитуды.

Перейдем от системы уравнений (6.40), (6.38), (6.37), (6.33), (6.34) к интегральным соотношениям. При этом удобно использовать размерную форму записи:

8u(8x + 8vj8y = 0;(6.42)

при y = h v=^-4-U^-, 8и/8у = 0; при ^ = 0 м = 0, t = 0.

dt дх

Проинтегрируем уравнения (6.41), (6.42) по толщине пленки:

А

, . , oh d3h ... +gl,+7fc?; ,6'43', . , oh d3h ... +gl,+7fc?; ,6'43'(ди ,1 (ди2 .( ди

, . , oh d3h ... +gl,+7fc?; ,6'43'

, . , oh d3h ... +gl,+7fc?; ,6'43'

чз^+з ^“^+ vT"dy= -v

J dt 2Jdx J бу ООО

В первом интеграле (6.43) вынесем производную за знак интеграла: hh

-fdu ,3 С 1

\—dy = — \udy—U—.

.J 5/8t J8t

оо

Произведем аналогичные преобразования в остальных интегралах (6.43), тогда, учтя граничные условия и взяв интеграл в (6.43) по частям, получим уравнения

hh

8 Г , . 5 f 2 >(8u\ , , ch 83h aan

— udy + — \u2dy=—v — +gh+—(6.44)

dr Jdxj\8y Jy=o P 5jt

оо

h*

8h 8 Г,,

TV"1"^"^0'(6-45)

Ct OX J 0

Следуя методу интегральных соотношений и опираясь на результаты собственных экспериментов, представим профиль скорости в виде м=(7/(т|), где т|=у/А. Функцию / можно аппроксимировать, например, полиномом второй степени с коэффициентами, удовлетворяющими граничным условиям (6.34), (6.38):

/(П) = 2ц-ц2.(6.46)

Выразим мгновенный расход жидкости в пленке че^ез /: q = ч1

= U^f(v^dy=Uh^f((r^dx\. Аналогично

' оо

(Ви\ Udf^ „,

1—1=— , . Используя эти выражения и вводя обозначения

уду /у=о h dT|

J/(t|)</t| = 6; J/2Cn)t/r|=Y; rf/(O)/tZr| = x; %=y/82,. представим оо

уравнения (6.44), (6.45) в виде уравнений для толщины пленки и расхода жидкости:’

Bq , - q Bq q1 Bh xv q , , , o/i B3h ,, ._ ^+2^Г""Хпг="ТП+^+-П’(6-47)

6t h Bx h 6x 6 h p 6x

dh/dt+dq/dx=O.(6.48)

Запишем q и h в виде q=qo+q'; h=h0+h'(6.49)

и подставим в уравнения (6.47), (6.48). Полагая q'^zq0, h'«Lh0 и оставляя в уравнениях члены порядка A'2, q'2, получаем

нелинейное уравнение для возмущений толщины и расхода с нелинейными членами в правой части:

oq' 2%g0 Sq* ql 8h' xv ,, ой0 d3/z'8t h0 8x h^ dx dh^ 'p 8x3

(6.50)(6.50)^3gh'2 2h' ^_ЬЯо,, W__Q- <^ЛМо, ^_.

(6.50)

(6.50)

h0hQ 8t hl8x h0 8x hlбх’

ah'iat+aq'iax=o. (6.5i)

Перейдем от системы уравнений (6.50), (6.51) к одному нестационарному уравнению для возмущения толщины. С этой целью продифференцируем (6.50) по х и заменим производную aq'fax в линейных членах через уравнение неразрывности (6.51), получим

82h* 2%q0 82h*ql 82h' w 8h'8h' ah0 84h'

^2"+-^Т-^+хНтт+7Г2^7+3^^-+— Sth0 8xdthl 8x8hl St8x p 8x

^h’ —+— — (h* ^ЛцЗМ» 8 (h' ^ V h0 8x h0 8x\ at ) hl 8x \ 8x )

(6.52)(6.52)2% 6 (n, WX 2xq0 8 ( 8h'\h0 8x\ 8x) h0 8x\ 8x)

(6.52)

(6.52)

Для того чтобы исключить q* и dq'(dt из нелинейных членов, воспользуемся следующими соображениями. Перейдем в уравнении неразрывности от переменных х, t к переменным ^, t, где ^=х—ct, с—скорость распространения волн, которую будем считать постоянной для квазистационарных волн. Как следует из эксперимента, во многих случаях рассматриваемые волны действительно можно считать слабодиспергирующими и слабонелинейными. Тогда- имеем

ah'/at-cah'ia^+aq'ia^=o.(6.53)

В квазистационарном процессе профиль волны в движущейся системе координат деформируется слабо, в результате чего вместо уравнения (6.53) получаем приближенное уравнение cah^a^dq'(8^, откуда следуют соотношения

(6.54)(6.54)(6.55)(6.55)q' = ch’;

(6.54)

(6.54)

(6.55)

(6.55)

ajat= —сд/дх.

Для стационарных волн выражения (6.54), (6.55) являются точными. Подставим (6.54) в нелинейные члены уравнения (6.52), которые при Re=l-^-l/e2 всегда имеют более высокий порядок малости, чем основные члены. Появившиеся при

этом в нелинейных членах производные вида сс]ох заменим согласно выражению (6.55). В результате приходим к нелинейному нестационарному уравнению для возмущения толщины

'88 \бЛс«Я'88 \бЛс«ЯЪ hi (д д \ (дг ЬН01,6Н*

'88 \

бЛс«Я

'88 \

бЛс«Я

hЧ-^ ^ + ^! - T + c,v- \h A-6g—h —- х v \8t дх ) \8t дх / xv дх

28, h0 8 (,, 8h'\ bch^h' _

■ (6.56)■ (6.56)-Ч-ЧЧ агЧЧ^”0'

■ (6.56)

■ (6.56)

где

Co=3qolho; c^q^-vJ^-^hQ, с2 = ?о(Х-7х2"Л

Уравнение (6.56) имеет характерную двухволновую структуру. Это означает, что волновой процесс на пленке жидкости включает в себя кинематическую волну, или волну низшего порядка, имеющую скорость с0, и волны, описываемые производными высшего порядка и распространяющиеся со скоростями cv и сг. Методика вывода и анализ подобных уравнений подробно обсуждаются в [173].

Покажем, что уравнение (6.56) может быть положено в основу анализа устойчивости стекания пленок и анализа процесса нелинейного волнообразования. Используем аппроксимацию (6.46) для профиля скорости в гравитационно стекающей вертикальной пленке жидкости и вычислим коэффициенты 5 = 2/3; х = 2; %=1,2; сх = \^ий\ с2=0,71мо; u0 = qQlh0=ghXW Подставляя их в уравнение (6.56), получаем

ot ОХ Vot ОХ Vdh' 2 h0 6 дх 15 v dtdh' 2 h0 6 дх 15 v dt^+l,69i<0^-) хdtдх^+l,69i<0^-) хdtдх

ot ОХ V

ot ОХ V

dh' 2 h0 6 дх 15 v dt

dh' 2 h0 6 дх 15 v dt

^+l,69i<0^-) х

dtдх

^+l,69i<0^-) х

dtдх

(6.57)(6.57)/4 n71884h' Л

(6.57)

(6.57)

X -+0,71uo— \h +^^ = 0\8t6x) 3pv 8x

или в безразмерном виде

(д ~ d \ dh' 2 _ d ( dh'\

<658)

3 \Lj\8t дх )\81 дх) XL J 8х

Здесь И' = НЧН0. От формы записи (6.58) всегда легко прийти к общепринятой записи -с одним масштабом h0, приняв L = h0.

Если предположить, что волна стационарна: h' = h'(x — ст), то уравнение (6.58) будет соответствовать уравнениям, полученным в [191, 192].

Рассмотрим случай h0IL«1, Re«1. Видим, что в основе волнового процесса лежит кинематическая волна dfi'ldt + + 38п'jdx = Q. Следуя Уизему [173], заменим в волне высшего

порядка производную по времени с помощью соотношения d/dF= — Зд/дх, пренебрежем вторым нелинейным членом и перейдем таким образом от (6.58) к уравнению

^+3^+6^+Re(^)^+We(^Y^=0. (6.59) ol ox ox \L) ox \L) ох

Уравнение типа (6.59) при Re<l использовалось в [100, 115, 136 и 239] как основное уравнение при анализе нелинейных волн на вертикальной пленке.

Рассмотрим уравнение (6.58) при ReA0/£»l. В основе волнового процесса будем иметь волны второго порядка. Предварительно выделим распространяющуюся вдоль потока волну 9H'l9t + Y,699h'j9x = 0. Проведем во всех остальных производных замену 9(9t=— Y,699(9x и получим .

^+1,69^+2,07^'Ct ох^+1,69^+2,07^'Ct ох^-4,018х^-4,018х£\5Lй0 / Re£\5Lй0 / Re^frk Re\й0/^frk Re\й0/

^+1,69^+2,07^'

Ct ох

^+1,69^+2,07^'

Ct ох

^-4,01

8х

^-4,01

8х

£\5L

й0 / Re

£\5L

й0 / Re

^frk Re\й0/

^frk Re\й0/

_3.o6^^Y^=o.

(6.60)(6.60)Re \ £ / йх1

(6.60)

(6.60)

Это уравнение получено впервые в [8 ] как модельное уравнение для волн на поверхности пленки при Re» 1. Таким образом, в случае длинноволнового процесса при малых числах Рейнольдса энергия из среднего течения перекачивается в кинематическую волну через волновой механизм высшего порядка. Это соответствует появлению в уравнении (6.59) члена накачки со второй производной, или, как иногда говорят, члена с «отрицательной» вязкостью.

При больших числах Re энергия в волну высшего порядка, которая условно может быть названа «инерционной», перекачивается кинематической волной, что соответствует появлению в уравнении (6.60) линейного члена «низкочастотной» накачки.

В широком диапазоне чисел Рейнольдса волны на поверхности пленки должны анализироваться на основе уравнения (6.58). Заключение о точной области применимости уравнения (6.58) и возможности перехода в нем к очень большим числам Re можно сделать только на основе сопоставления решений этого уравнения с экспериментом. Для линейных волн такое сопоставление проведено ниже.

Анализ устойчивости пленочного течения и линейных волн малой амплитуды

Линейное уравнение, соответствующее уравнению (6.58), ^+3^+^+1,69^-) (Д+0,71 ^U'+We^J=0. (6.61) 8t 8х 3 \8t' 8x)\8t8х)8х* v 7

Здесь 1 = Ш0(Н^ х-х)^.'

Выведем из (6.61) дисперсионные уравнения для временно растущих (затухающих) волн. С этой целью представим К в виде

К' = А оехр [i (кх—Q?)] = Л оехр ^ik (х — ct)] exp 01,

где к = 2кк0)Х—действительное волновое число; Q = cd + z0— комплексная частота, обезразмеренная через Ао и и0; с = с/и0 — реальная часть фазовой скорости. Подставив К’ в уравнение (6.61), разделяя действительную и мнимую части, получаем

-c+3-2/3c0Re + O,8Re0 = O;(6.62)

0 - ^ (с2 - 2,4с +1,2)+у 0 2 + We к4 = 0.(6.63)

Аналогичные уравнения ранее были получены Шкадовым непосредственно из системы уравнений (6.44), (6.45), но анализ дисперсионных соотношений не проводился.

Из (6.62) выразим комплекс

3 с-3

и, исключив с его помощью из (6.63) 0, выведем квадратное относительно (A: Re)2 уравнение

где ^ = 1,69; с2 = 0,71. Его решение есть

(^Кё)2=^;(г-г1)(с'-г2)х

хх(6.65)(6.65)27We(c-3)(c+0,6)

х

х

(6.65)

(6.65)

—VRe3(c—1,2)2(с—ct)2(c—с2)2

Результаты расчетов, выполненных на ЭВМ, приведены на рис. 6.5, 6.6.

Из (6.63) — (6.64) следует, что нейтральные волны (0 = 0) существуют при. условиях

с=3, A: = VRe/We.с=3, A: = VRe/We.(6.66)(6.66)

с=3, A: = VRe/We.

с=3, A: = VRe/We.

(6.66)

(6.66)

Волны с с>3 экспоненциально затухают, а с с<3 растут. Асимптотика дисперсионных кривых в области с>3 получается из (6.65), если принять, что подкоренное выражение равно единице:

25 We 22 Re^25 We 22 Re^

25 We 2

2 Re^

25 We 2

2 Re^

Рис. 6.5. Дисперсионные кривые для двумерных волн на вертикальной пленке жидкостиРис. 6.5. Дисперсионные кривые для двумерных волн на вертикальной пленке жидкости

Рис. 6.5. Дисперсионные кривые для двумерных волн на вертикальной пленке жидкости

Рис. 6.5. Дисперсионные кривые для двумерных волн на вертикальной пленке жидкости

Для Real и не очень малых к, что соответствует мелкой ряби, наблюдаемой впереди крупных волн, распространяющихся по тонкому остаточному слою (см. рис. 6.2, х=71 мм), имеем

с = l,2 + ^V3We/Re.с = l,2 + ^V3We/Re.(6.67)(6.67)

с = l,2 + ^V3We/Re.

с = l,2 + ^V3We/Re.

(6.67)

(6.67)

В системе координат, движущейся со скоростью 1,2п0, выражение (6.67) в точности совпадает с формулой для дисперсии капиллярных волн на «мелкой» воде.

Анализ выражения (6.64) показывает, что максимум инкремента соответствует минимуму фазовой скорости. Следовательно, линия волн максимального роста пересечет дисперсионные кривые на рис. 6.5 в точках минимума. Для точного определения характеристик волн максимального роста вернемся к уравнениям (6.63), (6.64). Перепишем (6.64) в виде -

Рис. 6.6. Временные инкременты амплитуды волн на пленке13 Заказ 2980193Рис. 6.6. Временные инкременты амплитуды волн на пленке13 Заказ 2980193

Рис. 6.6. Временные инкременты амплитуды волн на пленке

13 Заказ 2980193

Рис. 6.6. Временные инкременты амплитуды волн на пленке

13 Заказ 2980193

где Ф= 1+ 2/3 ReP^ 1. Затем подставим (6.68) в (6.63), продифференцируем полученное выражение по к и, учитывая условие экстремума дФ(8к = 0, получаем

^е = 4/^(Ф2-1).(6.69)

\] 4 We

Наконец, подставляя (6.68), (6.69) в (6.63), приходим к выражению

Ке3_Ф4(Ф2-1) З Ю3

We (Ф2-13,5)2 6,4 'V ’

Инкремент волн максимального роста

р=3/2(ф-№.(6.71)

Для того чтобы перейти от временных инкрементов р к пространственным инкрементам ( — а), которые и измеряются в эксперименте, необходимо воспользоваться известным преоб- разованиеЛ Гастера

,_а=р/^ 1 = ^(с+кдс18ку1 = ^с.(6.72)

г \ок у

Здесь учтено/ что для волн максимального роста дс/дк = О. Как показал численный счет, в рамках поставленной задачи пространственный и временной инкременты, действительно, с достаточной точностью связаны соотношением (6.72).

Таким образом, сводка формул (6.68) — (6.72) описывает все характеристики максимально растущих волн. Поскольку в дисперсионные соотношения числа Re и We входят в виде комбинации Re3/We, ее удобней преобразовать так, чтобы использовался только один расходный параметр Re: Re3/We = = 32/3(Re/Fi1/n)11/3.

Волны на наклонно стекающей пленке жидкости

Волновое течение пленки жидкости по вертикальной поверхности и при небольших ее отклонениях от вертикали отличается мало. Наиболее интересно стекание пленки по слабонаклонной (к горизонтали) поверхности, когда существенный вклад в волнообразование вносят гравитационные волны. При рассмотрении катящихся волн, представляющих собой крупноамплитудные двумерные возмущения с крутым передним и пологим задним фронтами, обычно для описания области заднего фронта используют уравнения гидравлики с привлечением эмпирических законов трения, а передний фронт рассматривают как ударную волну. Такой подход плодотворен 194

при изучении волн в реках, водосливах. Линейная устойчивость наклонно стекающих пленок была изучена впервые Бенжамином [204] и Иваниловым [58]. В большинстве теоретических работ по нелинейным волнам исследуется поведение волн вблизи нейтральной кривой без учета сил поверхностного натяжения. При этом основные уравнения принимают вид уравнений Кортевега — де Вриза (КдВ) и Бюргерса (Б).

Мы будем рассматривать вязкое течение тонких пленок жидкости с учетом поверхностного натяжения.

Вывод волнового уравнения для волн на наклонно стекающей пленке жидкости осуществляется так же, как и для случая вертикальной пленки, и поэтому приводится лишь схематично. В длинноволновом приближении (Х»/г) уравнения Навье — Стокса и неразрывности после интегрирования по толщине пленки с учетом граничных условий в двумерном случае запишутся следующим образом:

hhf . . 5 Г 2 . Ви т- udy^-^ lu dy = -v — St Jox JSyооhhf . . 5 Г 2 . Ви т- udy^-^ lu dy = -v — St Jox JSyоо+gAsm9- \-^dy;,=oJpdxо+gAsm9- \-^dy;,=oJpdxо(6.73)(6.73)

hh

f . . 5 Г 2 . Ви т- udy^-^ lu dy = -v — St Jox JSy

оо

hh

f . . 5 Г 2 . Ви т- udy^-^ lu dy = -v — St Jox JSy

оо

+gAsm9- \-^dy;

,=oJpdx

о

+gAsm9- \-^dy;

,=oJpdx

о

(6.73)

(6.73)

p=p0 — <3d2h!dx2 +gp(h—y) cos 6;(6.74)

5^/dx+dA/dz = 0,

где о — поверхностное натяжение жидкости; 9 — угол наклона поверхности к горизонту; q = ^udy—мгновенный расход жид' о

кости в пленке. Граничные условия: при у = 0 и = 0, и = 0; при y=h 9и(9у = 0, p=p0 — <392hf9x2, v = 9hl9t+U9h/9x. Подставив выражение (6.74) для давления в (6.73), получим уравнение

hh

9 I , S । 2 , du 9h -~

— \udy-y— и dy=—v — -g — Acos6 +

OZj ox Jdy y=o ox

оо

(6.75)(6.75)<xh 93h+g/zsm6H4-3,p 9x5

(6.75)

(6.75)

которое отличается от соответствующего уравнения для вертикальной пленки наличием члена gA(d/?/dx)cos9, обусловленного гидростатическим давлением жидкости. Аппроксимируя мгновенный профиль скорости в волновой пленке автомодельным полиномом второй степени

u(U=lylh-^lhy (6.76)

и подставляя его в (6.75), перейдем от скорости и к локальному расходу q. В результате получим систему двух уравнений для

195

толщины пленки h и расхода q. Представим толщину и расход в виде А = /г0 + А', q = q0A-q', где штрихом отмечено возмущение. Невозмущенные значения hQ и q0 связаны между собой и с числом Рейнольдса соотношениями Нуссельта для гладкой пленки Re = ^o/v=gAoSin6/(3v2).

В случае слабонелинейных (h' с/г0, q'^q») и квазистаци- онарных волн систему уравнений для толщины и расхода удается свести к одному нелинейному нестационарному уравнению для возмущения толщины, которое запишем в безразмерном виде с оценкой порядка величины членов:

'8 . 18\иЛе( 8 . - 8 \ ( 8 , - 8 \ и , We д^Н ту+З — )Я-|—— (т~- + <+ — 11 т^+с27^ ) НА—— -7^т+ pt 8х )3 \8t ох) \ot8х )sin6 Ох

ееRes2Wes4/sin6

,TI8H 2 _ 8 ( rr8H\ _ А д /ТТ8Н\ л ., __.

+ 6Я—-—Re^ Я-= -3ctg9— Я — =0,(6.77)

8х 15 St у 8t ) дх\ 8х)

8е Res28E28ctg6,

где t=tUQjhQ, x=x!h0; H=h'fhQ, We = a(pghy; £=h0(X«;l—параметр длинноволновости; 8 — порядок амплитуды волн;

Ct = с! lun = 1,2+^9,24 + 3 ctg 9/Re;'

,(6.78)

с2 = с2(и0 =1,2 — ^/0,24 + 3 ctg 9/Re. -

При ctg9>0 комплекс 3 ctg 9/Re связан с числом Фруда следующим соотношением: Fr = и0]^ gh^cos, 9 = 3 (ctg 9/Re) ”1/2. Формула для cv совпадает с выражением Ишихары и др. для скорости катящихся волн в наклонном канале. В данном случае сх имеет смысл минимальной скорости волн максимального роста при фиксированном значении комплекса 3 ctg 9/Re.

По сравнению со случаем вертикального стекания пленки форма уравнения существенно не изменилась. Для углов наклона 9, не очень близких к 9 или л, и при малых значениях Re основную роль играют кинематические волны, описываемые производными первого порядка, а при больших Re доминирующим является волновой процесс, описываемый производными второго порядка. -

Представление операторов второго порядка в виде произведения двух линейных операторов с коэффициентами cv с2 в уравнении (6.77) возможно только при 3 ctg 9/Re >—0,24. Если 3 ctg 9/Re < —9,24 (течение по нижней стороне наклонной пластины), то выражения (6.78) для с1; с2 теряют смысл и уравнение (6.77) необходимо записывать в более общей форме, которая справедлива для 0<9<л:

8H_ 8Н Re 52Я 8t^ 5x^3 8Р8H_ 8Н Re 52Я 8t^ 5x^3 8Рл о _ 82Н /п „ п х м 82Н We 8*Н

8H_ 8Н Re 52Я 8t^ 5x^3 8Р

8H_ 8Н Re 52Я 8t^ 5x^3 8Р

+ 0,8 Re-~—+(0,4 Re-ctgO) ^5-+—^ ^-+

Stax '' ox2 sin0 ох

= 0. (6.79)= 0. (6.79)^„8Н 2 п 8

= 0. (6.79)

= 0. (6.79)

+ 6Я——- Re^

6х 15 8t

Область применимости уравнения (6.79), которую нужно указывать в координатах Re, We, е, 9, 8, по-видимому, можно оценить только путем сопоставления его решений с численными решениями более точных уравнений и с результатами экспериментальных исследований. Что касается исходных уравнений (6.73)—(6.74), то они выведены при условии Re~ l 1/е2 для жидкостей типа воды.

Рассмотрим здесь более подробно случай малых чисел Рейнольдса (Re~l). Тогда в первом приближении по £ имеем

8H(8t+38Hi85c=o. (6.80)

Уравнение (6.80) описывает кинематическую волну, распространяющуюся вдоль течения с постоянной скоростью с=3по. Чтобы получить второй приближение по е, заменим производную по времени в членах высшего порядка уравнения (6.58) согласно приближенному соотношению 8)81= — 38)8х, следующему из (6.80). Полагая We~l/E2, 8~е и оставляя члены порядка е2, приходим к уравнению (6.59), которое описывает уже образование нелинейных нестационарных волн на вертикальной пленке. Скорость линейных волн в этом приближении по-прежнему равна Зи0.

Следующее приближение, учитывающее дисперсионные эффекты, получаем из (6.79), заменяя производную по времени в членах высшего порядка согласно соотношению 8(8t = = —38]8х—Red2/dx2—Wed4/dx4, следующему из (6.59), и оставляя члены порядка е2:

8Н ^оН ,8Н „ 62Н „, д4Я

-^+3 — + 6Я—+Re—2+We—7 +

St дх дх дх дх

(6.81)(6.81)+ 1,2 Re2 ^4+1,2 Re We ^4=0.

(6.81)

(6.81)

85с18х

При этом 8 положим порядка е2, чтобы не учитывать дополнительных нелинейных членов. Фазовая скорость линейных волн в этом приближении уже зависит от волнового числа k = luhQiX и определяется выражением с=и0 [3— l,2Re2&+1,2 Re We А:4]. Для сравнения приведем уравнение Линя, выведенное в том же приближении по £ достаточно строго:

8Н _6Н ,ТТ8Н , _ _ 82Н „, 8*Н , ^- + 3 —+6Я— +1,2 Re—2+We—г+ dt дх дх дх дх8Н _6Н ,ТТ8Н , _ _ 82Н „, 8*Н , ^- + 3 —+6Я— +1,2 Re—2+We—г+ dt дх дх дх дхя5 U + 1,43 Re We ^-5=0. дх1я5 U + 1,43 Re We ^-5=0. дх183Ндхз +(6.82)83Ндхз +(6.82)

8Н _6Н ,ТТ8Н , _ _ 82Н „, 8*Н , ^- + 3 —+6Я— +1,2 Re—2+We—г+ dt дх дх дх дх

8Н _6Н ,ТТ8Н , _ _ 82Н „, 8*Н , ^- + 3 —+6Я— +1,2 Re—2+We—г+ dt дх дх дх дх

я5 U + 1,43 Re We ^-5=0. дх1

я5 U + 1,43 Re We ^-5=0. дх1

83Н

дхз +

(6.82)

83Н

дхз +

(6.82)

Для реальных чисел Re «34-5, при которых только начинают появляться волны и еще справедливо уравнение (6.82), различие в численных коэффициентах уравнений (6.82), (6.81) является несущественным, и, таким образом, (6.81) достаточно хорошо отражает все основные эффекты волнообразования на вертикальной пленке при Re~l.

Горизонтальная пленка, 9-» 9. Прежде чем осуществить предельный переход, обезразмерим заново все величины в уравнении (6.79) через толщину Ао и скорость гравитационной волны на «мелкой воде» сг = ^ghyCos 6. Далее разделим уравнение на ctg0 и выпишем под каждым членом оценку его величины, полагая, что при малых 6 будем иметь в основе волнового процесса гравитационную волну:

I з ан з ан /а _ а \р ~а\

у] Rectg9 sF+ctg0 8хВх/ yd?^2 йх)

£(RectgO)~1/2 e/ctg6е2

cos6 ах4 ctg9 ах sat \ at / ах \ах J £4We/cos9 5e/ctg9 8е28е2

где t = tcTlh0\ x = x!h0\ c = c(ct.

Пусть 6—*0, тогда при 8^е

(6.84)(6.84)ctg6>l/£2; l/(£4ctg6)<Re«:ctg9.

(6.84)

(6.84)

(6.85)(6.85)Оставляя члены порядка £2, в случае горизонтальной пленки имеем ct = \, с2= — 1, а уравнение (6.83) принимает вид

(6.85)

(6.85)

at ах) \at ах /

Это уравнение описывает две прогрессивные гравитационные волны, распространяющиеся в противоположных направлениях с модулем скорости сг = ^gh0. Если в (6.85) оставить член, учитывающий поверхностное натяжение, то можно получить дисперсионное соотношение, которое имеет обычный для теории «мелкой воды» вид (в первом приближении)

(6.86)(6.86)

(6.86)

(6.86)

Второе приближение теории «мелкой воды» приводит, как известно, к уравнению Кортевега—де Вриза (КдВ), которое учитывает нелинейность и дисперсию как эффекты высшего порядка. Рассматривая в основе волнового процесса гравитационную волну с с=1, из (6.83) получаем во втором приближении 198

™+1.7Я^=0.2дх3Эх™+1.7Я^=0.2дх3Эх(6.87)(6.87)ан ан I з

™+1.7Я^=0.

2дх3Эх

™+1.7Я^=0.

2дх3Эх

(6.87)

(6.87)

8t+ ах+\1 4Rectg9

Для того чтобы поправочные члены были порядка е2, необходимо соблюдение условий Re~l/e, ctg6~l/e3, We~l/e, 8~е, которые согласуются с исходными условиями (6.84). Форма уравнения (6.87) может оставаться неизменной и при другом подборе параметров, удовлетворяющем условиям (6.84). По своей структуре это уравнение схоже с уравнением Кортевега—де Вриза — Бюргерса (КдВБ), однако дисперсия в (6.87) обусловлена поверхностным натяжением и имеет другой знак, а затухание происходит благодаря члену const//, а не второй производной, как в КдВБ. Интересно, что уравнение (6.87) почти точно соответствует уравнению для вертикальной пленки (6.58) при Re»l с той разницей, что вместо затухания там имеет место подкачка энергии, а в основе волнового процесса лежит не гравитационная волна, а «инерционная» со скоростью с=1,69м0.

Горизонтальная пленка, 0-»л. Этот случай соответствует течению пленки жидкости по нижней стороне пластины. Так как действие силы тяжести приводит только к росту возмущений, то в «такой ситуации гравитационные волны существовать не могут. Предельный переход к углу 6-»л совершить не удается. Однако для условий |ctg0|~l/E, Re~l на основе кинематической волны из (6.79) можно получить упрощенное уравнение типа (6.59), а для условий 0,24 Re = — 3ctg0, Re~l/e2— типа (6.60) с «инерционной» волной в основе, но при с=1,2и0. Отметим, что в первом случае для нейтральных возмущений Х = 2л ^o/(pg) и совпадает со значением X капиллярно-гравитационных волн на поверхности горизонтального слоя жидкости, имеющих минимум фазовой скорости.

Уравнения для длинных волн вблизи нейтральной кривой. Как следует из анализа устойчивости (см. ниже), нейтральные волны существуют при условиях с = 3, ctg0 = Re—We^2/sin0. Для очень длинных волн (Х-»0) имеем приближенное условие Re = ctg0 (более строго Re = |ctg0). Таким образом, в окрестности нейтральной кривой длинные волны распространяются со скоростью, близкой к 3w0. Следовательно, справедливо соотношение 8)81 = — 3d/8x, подставив которое в производные высшего порядка в (6.79), получим

хх8Н 8Н аХ8гН 8Н 6D 6(и6Н-т^+3—+(Re-ctg0) —2+6/7—--Re — IH —8t дх 7 8x ox 5 8x\ 8x

х

х

(6.88)

В случае слабонелинейных волн вблизи нейтральной кривой линейный член со второй производной и нелинейные члены малы по сравнению с основным двучленом (5/дГ+Зд/дх)Я. Для того чтобы учесть дисперсионные эффекты, вновь выразим производную по времени из (6.88):

4г= — 3^—(Re—ctg6) ^2+н. о.,

St дх х' дх2

где н. о.—нелинейный оператор, который для упрощения не выписываем в явном виде. Используя это выражение, получаем из (6.79):

^+3^+(Re-ctge)^+l,2Re(Re-ctge)^+

5t дх х' дх'* дх

(6.89)(6.89)д Н^6H—^N=Q.дх

(6.89)

(6.89)

о Re ,D t а\2 .

t Л82н:tg6 —5/ дх2дхt Л82н:tg6 —5/ дх2дхВ этом уравнении опущен член — (Re—ctgO) который пренебрежимо мал по сравнению с остальными членами при Re~l —1/Е2, Re—ctg6~ 1 —е2, а через N обозначены все нелинейные члены, которые содержат производные высшего порядка и коэффициенты Re или ctg6. За исключением добавочных нелинейных членов уравнение (6.89) с точностью до коэффициентов перед производными соответствует уравнениям Шкадова [192]

t Л82н

:tg6 —5

/ дх2

дх

t Л82н

:tg6 —5

/ дх2

дх

+ 3+yRe f^Re—ctgO+ 3+yRe f^Re—ctgO(6.90)(6.91)(6.90)(6.91)дН _дН , „ дН ^+3—+6Я—+ dt дх дх

+ 3+yRe f^Re—ctgO

+ 3+yRe f^Re—ctgO

(6.90)

(6.91)

(6.90)

(6.91)

и Джонсона [247]

дН • дН ,Т¥дН (6^ Л^Н - д3Н А -=+3—+6Я—+ -Re-ctgQ Н^-+ 3—з=0, St дх дх \ 5 / дх дх

которые выведены для случаев Re~l и Re~£ соответственно.

Дисперсионные соотношения. Рассмотрим изменяющиеся во времени возмутцения с бесконечно малой амплитудой Н~ exp [/ (кх—fif) ] = ехр [г (кх — соГ) ] ехр (Р/), где к—действительное волновое число; П=(о+/р—комплексная частота, обез- размеренная через h0 и и0. Подставляя это выражение в линеаризованное уравнение (6.79) и разделяя действительную и мнимую части, получаем дисперсионные уравнения 200

30 + 02 Re + 3We к 4/sin 9 - Re £ 2 [с2 -2,4c +1,2-3 ctg 9/Re] = 0;

(6.92)

-c+3-(2/3)cpRe + 0,8Rep = 0.(6.93)

Аналогично (6.64) — (6.65) найдем

(A:Re)2=^[c2 —2,4c +1,2 —J] x

x J1 + /1 + —(c—3)(c+0,6)')

( V s (с2 —2,4c+ 1,2+Л)2(с-1,2)2 j’I ^

3 c-3

Pr==-2^I5-<6"95>

где /1 = 3 ctg 9/Re; S=Re3sin9/We.

Уравнение (6.94) имеет две пары корней, которым соответствуют две непересекающиеся ветви дисперсионной кривой, симметричные друг другу относительно оси с =1,2. Все вышесказанное относится и к инкрементам, для которых осью симметрии является линия 0= —1,5/Re. В дальнейшем мы будем рассматривать только верхние ветви дисперсионных кривых, так как нижние соответствуют сильно затухающим возмущениям и поэтому имеют физический смысл лишь при рассмотрении начальной стадии эволюции сигнала большой амплитуды..

Согласно (6.92) — (6.93) нейтральные волны существуют при условиях

0 = 9, с = 3, Re = ctg9+We/:2/sin9. (6.96)

Возмущения с с>3 экспоненциально затухают, а с с<3 растут.

На рис. 6.7 дисперсионные кривые изображены в координатах с, Р, к при различных значениях параметров Re, 9 и Fi1/n, где пленочное число Fi = o3/(p3gv4) = 9We3 Re2/sin29 используется вместо числа We. .

Дисперсионные кривые для растущих волн (с<3) имеют точки минимума скорости, которые соответствуют максимальным значениям инкремента 0. Влияние угла наклона 9 на форму дисперсионных кривых наиболее заметно проявляется при малых углах наклона 9 и больших значениях вязкости жидкости, когда ощутимый вклад вносят гравитационные волны. Рассмотрим более подробно рис. 6.7, а, где проведены дисперсионные кривые для разных углов наклона. На дисперсионной кривой 9=1,5° можно выделить три характерных участка, которые описываются различными асимптотами (7— 777). Начальный участок описывается дисперсионным соотношением

(6.97)201(6.97)201с = 3 —1,2 Re (Re—ctg 9)/с2,

(6.97)

201

(6.97)

201

Рис. 6.7. Дисперсионные кривые (а) при Re =10, Fi1,n = 5, и инкременты амплитуды волн (б) при Filzl 1 = 9,54; 6 = 5°

которое следует из (6.92) — (6.93) при к-*0 и соответствует линеаризованному уравнению КдВ (6.89). При значениях с, заметно превышающих 3, в подкоренном выражении формулы (6.94) можно пренебречь членом, содержащим с, в результате приходим к капиллярно-гравитационной асимптоте I

с= 1,2+ УЗ (ctg 9+А 2 We/sin 9)/Re.(6.98)

Здесь слагаемое 1,2 отражает вклад осредненного течения пленки, который становится мал при высоких скоростях распространения волн.

При ctg 9» к 2 We/sin 9 (промежуточные значения А) имеем гравитационную асимптоту И:

с= 1,2 + y3ctg9/Re(6.99)

ИЛИ

с = 1,2«о + x/gho cos 9.

При ctg 9 «: к 2 We/sin 9 (высокие значения к) имеем капиллярную асимптоту III:

c = l,2+Ay3We/Resin9(6.199)

или

2л [ch^с=1,2и0+ — —.М р

Однако в области к<\ условие ctg 9 «А 2 We/sin 9 выполняется только при углах 9~л/2, и поэтому правая ветвь дисперсионной кривой для 9=1,5° не переходит в асимптоту III. Интересно отметить, что для вертикальной пленки капиллярная асимптота хорошо согласуется с экспериментом даже при к~\.

Зависимости для инкрементов 0 (рис. 6.7,6) при небольших числах Re имеют резко выраженный максимум, соответст- 202

Рис. 6.8. Инкременты амплитуды (а) и фазовая скорость (б) волн максимального ростаРис. 6.8. Инкременты амплитуды (а) и фазовая скорость (б) волн максимального роста

Рис. 6.8. Инкременты амплитуды (а) и фазовая скорость (б) волн максимального роста

Рис. 6.8. Инкременты амплитуды (а) и фазовая скорость (б) волн максимального роста

вующий волнам максимального роста. С увеличением числа Re область неустойчивости по волновым числам резко возрастает, причем в широком диапазоне частот инкремент меняется незначительно, т. е. амплитуды большого числа гармоник растут одинаково.

Волны максимального роста. Согласно линейным теориям неустойчивости волны, наблюдаемые на опыте вблизи линии волнообразования, должны соответствовать волнам максимального роста (имеющим максимальный инкремент). Учитывая условие экстремума 5$1дк = 0, из уравнений (6.92)—(6.93) получаем следующую систему формул для последовательного определения характеристик волн максимального роста (аналогично см. § 6.4):

в=гLit ,6|пп

»=( 1 + ^

& Re = [0,755 (Ф2-1)]1/4; р Re = 1,5 (Ф — 1); с= 1,2+1,8/Ф, где Ф>1—параметр, подбираемый согласно (6.101) таким образом, чтобы получить заданное значение комплекса В.

Поскольку в эксперименте наблюдаются пространственно растущие волны, то пространственный инкремент вычисляется с помощью преобразования Гастера с учетом того, что для волн максимального роста dcfdk = Q.

Зависимости для пространственного инкремента и скоростей волн максимального роста представлены на рис. 6.8 в универсальных координатах, где F=(Fi/sin9)1/H= [o3/(p3gv4sin6)]1/n. Единственным параметром является комплекс )l = 3ctg6/Re. Отрицательные значения параметра А соответствуют течению пленки по нижней стороне пластины. При прочих равных условиях с увеличением А инкременты и волновые числа уменьшаются,

а скорости растут. Наименьшей возможной скоростью линейных волн является предельное значение с =1,2. Имеется два критических значения параметра Л: 3 и —0,24. При Л^З пленка устойчива к возмущениям с любым значением к из допустимого интервала. При — 0,24<Л<3 произведение —aRe с ростом Re стремится к постоянному значению, а при Л <—0,24 — otRe-юо. Выше было также показано, что при Л<—0,24 невозможно представление уравнения (6.79) в форме двухволнового (6.77).

Экспериментальное изучение волн на поверхности вертикальной пленки

В экспериментах [7, 8] жидкость из бака постоянного уровня подавалась через распределительное устройство на наружную поверхность рабочего участка, где стекала в виде пленки. Рабочий участок представлял собой трубу из органического стекла наружным диаметром 60 мм и длиной 1 м. При измерениях мгновенного профиля скорости в пленке жидкости применялась труба из нержавеющей стали диаметром 60,8 мм, поверхность которой была отполирована до зеркального блеска. Подача жидкости на рабочий участок осуществлялась через кольцевую щель длиной 70 мм и шириной 0,5—1 мм.

Основная трудность при подготовке эксперимента заключалась в организации двумерного течения волновой пленки жидкости. С целью получения равномерного орошения рабочий участок устанавливался строго вертикально, а ширина кольцевого зазора и соосность распределительного устройства с рабочим участком тонко регулировались до тех пор, пока возникающие волны не становились двумерными (кольцевыми).

Пленка жидкости чрезвычайно чувствительна к внешним возмущениям, например к вибрациям от работающего насоса. Поэтому опыты проводили только при выключенном насосе, а жидкость в верхний бак накачивалась периодически в автоматическом режиме. В качестве рабочей жидкости использовали водоглицериновые растворы, которые обладают тем преимуществом, что они по сравнению с чистой водой гораздо меньше адсорбируют загрязнения.

В ходе эксперимента измерялись: мгновенная и средняя толщины пленки, амплитуды, скорости и длины волн, мгновенный профиль скорости в волновом режиме течения.

Толщина пленки жидкости является одним из важных параметров, характеризующих гидродинамику пленочного течения. Так как обычно толщина пленки невелика (А<1 мм) и ее свободная поверхность покрыта волнами, точное измерение толщины пленки является сложной задачей. Методы ее измерения достаточно хорошо освещены в литературе [183]. Их можно разбить на три группы: 1) методы измерения средней 204 •

толщины; 2) локализованные методы; 3) точечные (табл. 6.1). В первой группе наиболее надежным следует считать метод отсечки, который существенно точнее, например, метода электрического сопротивления. В последнем методе основную погрешность вносят волны, влияние которых на среднее (по пространству) электрическое сопротивление слоя трудно учесть.

Использование «локализованных» методов позволяет наряду со средними характеристиками исследовать и некоторые волновые параметры течения. Наибольшее распространение получил метод проводимости, так как его можно применять в сложных гидродинамических условиях. Основной его недостаток—нелинейность тарировочных характеристик для пленок с развитой волновой структурой, когда толщина пленки сильно меняется во времени. В некоторых случаях (при тонких пленках) этот метод можно отнести к точечным. Кроме него надежными и точечными методами являются теневой и флуоресцентный. Последний считается весьма перспективным методом вследствие хорошей его локальности и точности измерений, но широкое использование пока ограничено из-за его сложности.

Таблица 6.1. Методы измерения толщины пленки

Методы

Сущность метода

1. Измерения средней толщины:

отсечки♦

Быстро изолируется часть пленки и взвешивается

взвешивания

Взвешивается рабочий участок вместе с текущей пленкой

электрического сопро

Измеряется электрическое сопротивление между

тивления

двумя электродами, заделанными гладко со стенкой

2. Локализованные:

радиоактивных добавок

Измеряется интенсивность излучения от радиоактивных источников, растворенных в жидкости

у-просвечивания

Используется закон поглощения у-излучения слоем вещества толщиной h и плотностью р

измерения емкости

Измеряется емкость между поверхностью рабочего участка и пластиной, помещенной над пленкой

проводимости

Аналогичен методу электросопротивления. Расстояние между электродами выбирается в зависимости от толщины пленки

3. Точечные:

контактной иглы

Толщина пленки определяется путем касания поверхности острием иглы

поглощения света

Измеряется интенсивность света, прошедшего через слой жидкости

теневой

Фотографируется тень пленки, текущей по внешней поверхности цилиндра

флуоресцентны й

Измеряется интенсивность свечения от флуоресцирующего вещества, растворенного в рабочей жидкости

Рис. 6.9. Зависимость толщины пленки жидкости от Re: расчет: /—по Нуссельту; //—[70]; ///—[89], IV—[228]; эксперименты: / —Хопфа, 2—Фаллаша и др.; 3— Вардена; 4— Даклера и др.; 5— Теллеса; 6— Брауэра; 7— Ганчева и др; 8— Томаса и др

Почти все эти методы обладают существенным недостатком^ они не могут с хорошей точностью воспроизвести форму волны, особенно в области крутых фронтов, так как имеют ограниченную локальность. Исключением является теневой метод, который впервые был использован П. Л. Капицей и С. П. Капицей, а в последующем существенно модифицирован и развит в работах Института теплофизики СО АН СССР.

Разноречивость результатов измерений средней толщины вертикальной пленки, полученных многими авторами различными методами, наглядно иллюстрирует зависимость <A>(g/v2)1/3 от Re на Рис- 6.9. Как видно, разброс данных весьма велик, особенно в турбулентном режиме течения, и на основании этих результатов нельзя сделать определенных выводов об эффективности того или иного метода расчета (см. I—IV на рис. 6.9).

Толщина пленки в обсуждаемых здесь опытах [7, 8] измерялась с помощью теневого метода. Суть метода заключается в следующем (рис. 6.10). Мощный источник света 1 (ртутная лампа) через конденсор 2 освещает рабочий участок 3 по касательной, и пленка жидкости 4, стекающая по наружной поверхности вертикальной трубы, отбрасывает тень. Пульсации тени пленки в увеличенном виде проецируются объективом 5 на фотоэлектронный умножитель 6 и записываются в аналоговом или цифровом виде. Измерение фазовой скорости волн осуществлялось по сдвигу фазы между двумя одновремен- 206

Рис. 6.10. Схема измерений толщины пленки и профиля скорости в ней

ными записями мгновенной толщины пленки, которые соответствовали двум разным точкам вдоль трубы. При обработке сигналов (рис. 6.11, а) на ЭВМ вычислялись среднее значение толщи

ны пленки <А> = —х

N

Рис. 6.11. Измерение волновых характеристик на пленке: а — запись толщины пленки; б — взаимно корреляционная функцияРис. 6.11. Измерение волновых характеристик на пленке: а — запись толщины пленки; б — взаимно корреляционная функциях £ hb дисперсия D = Qi— (.h^VjN и взаимно корреляционная функция Rxy (т). Последняя функция строилась графически (рис. 6.11,6), по ней определяли запаздывание процесса Ат, а зная расстояние между датчиками Ах, вычисляли фазовую скорость волн с. По 7?ху(т) определяли и длину волны как Х = сТ. Погрешность измерений абсолютной толщины оценивается в 2—5%, а фазовой скорости—в 5—9%.

Рис. 6.11. Измерение волновых характеристик на пленке: а — запись толщины пленки; б — взаимно корреляционная функция

Рис. 6.11. Измерение волновых характеристик на пленке: а — запись толщины пленки; б — взаимно корреляционная функция

Чтобы получить мгновенное поле скоростей в волновой пленке жидкости, в этих опытах были использованы и синхронизированы два метода: теневой метод определения толщины и метод стробоскопической визуализации частиц для измерения скоростей. Последний метод в аналогичном виде впервые использовался Ганчевым и др. [196], Куком и Кларком только для измерения средних профилей скорости. Схема измерений мгновенного профиля скорости в волновой пленке жидкости приведена на рис. 6.10. Пленка жидкости, в которую введены в малой концентрации алюминиевые частицы диаметром 1—5 мкм, стекает по наружной поверхности трубы из нержавеющей стали, отполированной до зеркального блеска. Если проводить съемку частиц фотоаппаратом 9 при боковом импульсном освещении их лампой 10, то на кадре фотопленки зафиксируются прерывистые треки частиц, по которым, зная частоту и коэффициент увеличения, можно рассчитать скорость частиц. Частота вспышек импульсной лампы задается генератором звуковой частоты 7, который запускает стробоскоп 8.

При съемке под углом 6 к нормали к зеркальной поверхности рабочего участка (см. рис. 6.10) фотоаппарат будет регистрировать не только трек действительной частицы, но и трек ее мнимого изображения, создаваемого зеркалом (см. рис. 6.10, а—с). Из простых геометрических построений выводится формула для определения расстояния частиц от стенки где N—коэффициент увеличения, измеренный в отсутствие жидкости в плоскости, параллельной плоскости кадра фотопленки; п — показатель преломления жидкости; А—расстояние между действительным и мнимым изображениями частицы на фотопленке.

На рис. 6.10, а—с показаны характерные двойные треки частиц при числе вспышек, равном 3. Случай а соответствует гладкой пленке при наличии только продольной компоненты скорости, которая рассчитывается по формуле м = (х, + 1 — Xi)/(N/f), где х, — продольная координата изображения частицы на фотопленке при z-й вспышке; /—частота вспышек. В случае b пленка гладкая, но имеется еще и поперечная компонента скорости v = (yi+1 — y^f. Случай с соответствует волновой пленке, когда ее поверхность наклонена под некоторым углом к поверхности рабочего участка. Анализ профилей двумерных волн, наблюдаемых в эксперименте при небольших числах Re, показал, что максимальное значение угла —23° достигается только в области переднего фронта самых крупных волн. При этом дополнительная погрешность в определении у и и составляет соответственно 3 и 6,5% для случая 9 = 30°.

Для небольших волн и для крупных волн за исключением их переднего фронта можно пользоваться приведенными выше формулами. Основные погрешности измерений для абсолютных значений у составляют 7, для относительных значений у— около 2%, для продольной скорости 4—5%. Положение частицы в волне определялось с помощью одновременной записи толщины пленки, на которой фиксировались моменты вспышек импульсной лампы. В кадр фотоаппарата попадало обычно 5—10 треков, относящихся к небольшой части волны. Поле скоростей на всей длине волны строилось на основе 30—50 кадров. При этом чрезвычайно важно, чтобы волны были строго регулярными и двумерными.

Качественное описание волн на пленке жидкости

Волны на поверхности вертикально стекающих пленок жидкости возникают вследствие естественной неустойчивости течения на некотором расстоянии от входа жидкости. На рис. 6.12, а показана эволюция возникающих волн при движении их вдоль рабочего участка, а на рис. 6.12,6— формирование волнового профиля в области волнообразования (участок А). Образующиеся волны являются двумерными (кольцевыми) и синусоидальными; их амплитуда очень быстро растет с расстоянием. При амплитудах, сравнимых с толщиной пленки, начинают явно проявляться нелинейные эффекты — профиль волны искажается, передний фронт становится более крутым и волны выходят на стационарный режим.

Характерные профили двумерных стационарных и квази- стационарных волн приведены на рис. 6.13. Под квазистаци- онарными подразумеваются волны, характеристики которых незначительно меняются на расстояниях порядка длины волны. Из осциллограмм видно, что присутствуют как регулярные (6), так и нерегулярные (в, г) волны, синусоидальные (е) и с несимметричным профилем, имеющие крутой передний фронт с осцилляциями и напоминающие последовательность одиночных волн, распространяющихся по тонкому остаточному слою (а). Профиль установившихся волн зависит от частоты возникающих возмущений, расхода и свойств жидкости.

При малых Re зона двумерных волн может достигать 700 мм, но с ростом числа Re она сокращается. При Re«50 обычно наблюдаются только трехмерные возмущения.

Образование естественных волн является случайным процессом. Согласно линейным теориям неустойчивости из всего спектра случайно возникающих на поверхности пленки бесконечно малых возмущений должны развиться возмущения, обладающие наибольшими скоростями нарастания амплитуды,— волны максимального роста. Случайность процесса 14 Заказ 2980 209

Рис. 6.12. Эволюция естественно возника- Рис. 6.13. Профили стационар- ющих волн:ных и квазистационарных есте-

Re=15,3; v = 2,34-10-6 м2/с; о/р = 6• 10-5 м3/с2 ственных волн

волнообразования хорошо прослеживается на осциллограммах записи толщины пленки вблизи линии возникновения волн (рис. 6.14). Четко выделяются группы волн 1, 2 с различными амплитудами и частотами. Каждая волновая группа эволюционирует аналогично рис. 6.12,6 и выходит на стационарный режим с соответствующими волновыми параметрами, а именно, волновые группы с меньшими частотами стремятся к волновым режимам типа рис. 6.13, а, а с большими частотами—к волнам типа рис. 6.13,6 — е. В стационарном режиме волны становятся нелинейными, скорость их начинает зависеть от амплитуды. Результатом взаимодействия таких волн может быть их слияние и образование новой двумерной волны, движущейся с еще большей скоростью, либо же за счет столкновения двух волн происходит трехмерный распад.

Колебания характеристик волн в области их возникновения зависят от способа подачи жидкости на рабочий участок, от свойств и расхода жидкости и чрезвычайно сильно — от внешних возмущений. Для того чтобы получить надежные данные по развитию естественно возникающих двумерных волн, в данном эксперименте измерения проводились только тогда, когда наблюдаемые в области роста волны были сравнительно регулярными. Естественные волны, как уже отмечалось, являются двумерными только при весьма огра- 210

0 tic

Рис. 6.14. Осциллограммы волн в области их возникновения: х=60мм, Re = 20

ниченных условиях. Поэтому с целью упорядочения двумерного стационарного волнового течения и расширения области его существования на поток накладывались искусственные возмущения— пульсации расхода жидкости.

Применение наложенных колебаний радикально влияет на течение пленки. Волны образуются у распределительной щели и являются двумерными и в отличие от естественных волн (см. рис. 6.13)—регулярными на длинах пробега, сравнимых с длиной рабочего участка. При этом возбужденные волны в зависимости от частоты наложенных возмущений моделируют все возможные типы стационарных естественных волн. Влияние амплитуды наложенных колебаний в этих опытах исследовалось специально с помощью электродиффузионных датчиков трения [66]. Было показано, что она не влияет (в некоторых пределах) на картину установившихся волн, а влияет только на длину зоны установления равновесных стационарных волн.

При очень малых начальных возмущениях доминируют естественно возникающие волны. Конечные значения амплитуды наложенных колебаний необходимы для предупреждения образования естественных волн. Сам факт существования возбужденных волн говорит о том, что они являются устойчивыми по отношению к взаимодействиям с естественно возникающими бесконечно малыми возмущениями.

Таким образом, картина двумерных стационарных возбужденных волн при заданном числе Re определяется только частотой наложенных колебаний. Высоким частотам соответствуют волны малых амплитуд, близкие по форме к синусоидальным, низким частотам—крупноамплитудные длинные волны с крутым передним фронтом и осцилляциями (см. рис. 6.13,а). Естественные двумерные стационарные волны отличаются от возбужденных тем, что частота их определяется частотой возникающих естественных возмущений. В случае совпадения частот возбужденные и естественные волны оказываются тождественными друг другу, т. е. естественный волновой режим • является частным случаем стационарных возбужденных волн.

Возбужденные стационарные двумерные волны существуют в ограниченном диапазоне частот, зависящем от свойств 211

Рис. 6.15. Области существования естественных (а) и возбужденных (б) стационарных волн:

1— нейтральная кривая по (6.66); 2—линия волн максимального роста по (6.69)

и расхода жидкости. Если на поверхности пленки возбуждать слишком короткие волны, то вследствие устойчивости пленки к коротковолновым возмущениям эти волны быстро затухают, а развивается по-прежнему естественный волновой режим, никак не реагирующий на начальные возмущения. В случае слишком длинных начальных периодических возмущений в зоне формирования между основными волнами возникают промежуточные, и в результате последующего их взаимодействия происходит либо слияние волн, либо их разрушение.

Области существования естественных и возбужденных стационарных волн показаны на рис. 6.15. Линия 2—зависимость для волн максимального роста, которая является универсальной в координатах ^Re, Re/Fi.

Мгновенный профиль скорости в волновой пленке жидкости

Данные по скоростям жидкости в пленке весьма многочисленны, однако измерения мгновенных профилей скорости в волновой пленке были выполнены лишь авторами [101]. Но именно такие результаты представляют интерес для построения теории.

Как уже отмечалось, метод измерения скоростей требует строго регулярных стационарных периодических волн. Для их возбуждения на течение пленки накладывались искусственные возмущения с помощью пульсаций расхода жидкости, как это делалось в [70, 139]. Картина стационарных возбужденных волн при заданном числе Re определяется только частотой наложенных колебаний.

На рис. 6.16 представлены результаты измерений мгновенных профилей продольной скорости при Re =12,4 для двух характерных видов волн, наблюдаемых на опыте. На профилях волн указаны сечения, для каждого из которых строилось свое распределение скорости (см. обозначения точек на рисунке, соответствующие номерам сечений). Линия I—автомодельный параболический профиль, построенный по максимальным значениям толщины и скорости, линия II—профиль скорости Нуссельта для гладкой ламинарной пленки, построенный по толщине остаточного слоя.

Рис. 6.16. Мгновенные профили скорости в пленке жидкости с волнами разной формы (а, б)Рис. 6.16. Мгновенные профили скорости в пленке жидкости с волнами разной формы (а, б)

Рис. 6.16. Мгновенные профили скорости в пленке жидкости с волнами разной формы (а, б)

Рис. 6.16. Мгновенные профили скорости в пленке жидкости с волнами разной формы (а, б)

Из рисунка видно, что в области максимальных толщин пленки профиль скорости изменяется слабо, а в области минимальных значений h (сечения 7 и 9 рис. 6.16,6 и сечения 2 рис. 6.16,а) он претерпевает резкие изменения. В области остаточного слоя течение действительно чисто ламинарное. Максимальные значения скорости жидкости и в волне достигают значения фазовой скорости волн с.

Анализ результатов показал, что для данного сечения волны большим значениям координаты у соответствуют большие значения продольной скорости. Этот факт свидетельствует об отсутствии стационарного вихря даже для волн таких больших амплитуд, как на рис. 6.13, а.

Результаты измерений профилей скорости схематично изображены на рис. 6.17 в координатах yjh, u/U, где h—локальная толщина; U—локальная поверхностная скорость, рассчитанная по скорости частиц-меток, зафиксированных вблизи поверхности пленки. На рис. 6.18 показано найденное таким образом распределение скорости на поверхности волны по ее длине. Заметим, что только для волн типа «катящихся» значения безразмерной поверхностной скорости <(/)/<«) отклоняются от известного результата для гладкой пленки —1,5. Линия I на рис. 6.17 соответствует автомодельному параболическому профилю. Профили волн а и б на рис. 6.17 приближенно разбиты на области. При этом в области 7 профиль скорости описывается автомодельным параболическим законом.

Рис. 6.17. Безразмерный профиль скорости в волновой пленке жидкостиРис. 6.17. Безразмерный профиль скорости в волновой пленке жидкостиРис. 6.18. Скорость на поверхности пленки жидкостиРис. 6.18. Скорость на поверхности пленки жидкости

Рис. 6.17. Безразмерный профиль скорости в волновой пленке жидкости

Рис. 6.17. Безразмерный профиль скорости в волновой пленке жидкости

Рис. 6.18. Скорость на поверхности пленки жидкости

Рис. 6.18. Скорость на поверхности пленки жидкости

В области 2 профиль скорости менее заполнен по сравнению с параболическим и соответствует кривой II, а в области 3 профиль скорости более заполнен (кривая III). Максимальные отклонения от параболического закона достигают 15%. Области 4 являются в таких волнах особыми областями, для которых это отклонение может достигать еще больших значений.

Волны в области волнообразования

Эксперименты по исследованию естественно возникающих волн [166], проведенные на водоглицериновых и спиртовых растворах (табл. 6.2), показали, что, во-первых, растущие волны являются линейными (скорость и длина волны не зависят от их амплитуды) (рис. 6.19), во-вторых, при достижении достаточно больших амплитуд волны выходят на нелинейный стационарный режим с постоянной амплитудой.

Согласно линейным теориям неустойчивости волны, наблюдаемые на практике вблизи линии волнообразования, должны соответствовать волнам максимального роста, что частично было подтверждено в [276] для скорости и длины волн на пленках волн. Сравнение опытных данных по инкременту, скорости и длине растущих волн с теоретическими зависимостями для волн максимального роста показывает (рис. 6.20), что в области чисел Re >10 экспериментальные данные для водоглицеринового раствора (а) согласуются с данными [274]. При числах Re^l нанесены опытные данные [255] для пленок масла (см. табл. 6.2). 214

Таблица 6.2

Точки на рис. 6.20

Авторы

Жидкость

vlO6, м2/с

(o/pFlO6, м2/с2

Fi1/n

Re

1

Алексеенко, Накоря- ков, Покусаев [166] То же

Вода + глицерин

2,12

65,3

6,78

10—40 ,

2

Вода + этанол

2,12

28,5

5,42

10—27

3

»

Вода + глицерин

3,72

61

5,46

8—48

4

»

Вода + этанол + + глицерин

2,34

60,2

6,4

15—36

5

6

7

8

9

Джонз, Уитэкер Строубел, Уитэкер Кранц, Горен [255]

Кранц, Горен [255]

Портальский, Клег [274]

Вода Вода Минеральное масло Минеральное масло

Вода + глицерин

0,9

72

9,54

9,54 '

1,72

1,14

5,33

6—70

6—70

0,5—5,5

0,25—1,2

20—120

При значениях комплекса Re/Fi1/11 <0,5 экспериментальные точки хорошо описываются различными теориями: Бенжамина [204] (777), расчетами по формулам и численными (7). В диапазоне умеренных чисел Re при Re/Fi1/11 >2 опытные данные хорошо обобщаются зависимостями 7 и 77. В отличие от , зависимости 77 решение 7 выходит на асимптотическое значение, совпадающее с IV для больших чисел Re/Fi1/1V

Таким образом, из рисунка видно, что зависимость 7 несмот- • ря на простоту используемых для ее вывода уравнений достаточно хорошо описывает экспериментальные точки в широком диапазоне изменения комплекса Re/Fi1/11 и согласуется с другими теориями в областях их применимости.

На рис. 6.20, б, в приведены данные по волновому числу и скорости растущих волн для растворов глицерина и спирта, а также для пленок воды и масла. Экспериментальные точки на рис. 6.20, в имеют значительный разброс, что обусловлено трудностью измерений волновых характеристик для малоампли-к

тудных волн очень ПОЛОГОЙо,2

формы. Тем не менее наблюдается удовлетворительное согласие 0,1 между экспериментом и линейными теориями волн максималь- о ного роста. На рис. 6.20, в с(ц Рис. 6.19. Зависимость длины (а) и фазовой скорости (6) растущих волн от их 2 амплитуды: 1—эмпирические зависимости для стационар- 1 ных нелинейных волн [105]; Re = 36,4;7.

v=2,3 • Ю-6 м2/с; о/р = 6 • Ю~5 м3/с200,51,0 а/Ь0

215

Рис. 6.20. Волны в области роста:

а — пространственный инкремент амплитуды волн; б — волновое число; в — фазовая скорость; /—9— экспериментальные точки (см. 7—9 в табл. 6.2); расчеты: /—по (6.68) — (6.72); //—Пирсон, Уитэкер; III—Бенжамин; IV—Накоряков, Шрейбер; К, VI—Кранц, Горен; VII—Джонс, Уитэкер; VIII—по (6.66) при с = 3; IX- Крылов, Воротилин, Левич

нанесены зависимости для волн максимального роста, полученные Кранцем и Гореном численным расчетом для минерального масла (Г/) и воды (И). Отметим, что кривые I и V практически совпадают друг с другом, хотя и вычислены на основе разных уравнений. Нейтральные кривые VIII, IX лежат довольно далеко от экспериментальных точек.

Таким образом, для волн максимального роста в широкой области чисел Re наблюдается переход от одного типа волн к другому, при этом скорость меняется от Зи0 до 1,69и0, а инкремент сначала увеличивается с ростом числа Re, затем 216

достигает максимума и начинает падать. В области малых чисел Re кинематические волны (низшего порядка) получают подкачку энергии за счет волн высшего порядка, а в области больших Re, наоборот, доминируют волны высшего порядка, растущие уже за счет кинематических. Поверхностное натяжение существенно при малых числах Re и оказывает всегда стабилизирующее действие.

Стационарные двумерные волны

Исследования периодических стационарных волн, возбуждаемых пульсациями расхода жидкости, существенно отличаются от других опытов, в которых изучались только естественные волны без четкого выделения двумерного и трехмерного волнового течений. Наложенные колебания применялись также и в других работах [70, 255]. Однако Кранц, Горен [255] изучали лишь нестационарные волны при Re ^ 1, а в [70 ] представлены данные только для волн, близких по форме к синусоидальным.

Характерные виды возбужденных волн показаны на рис. 6.21. Доказательством того, что естественно возникающие стационарные волновые режимы можно моделировать «вынужденными» волнами, служат рис. 6.22, 6.23. Здесь сопоставлены опытные данные по зависимости фазовой скорости от амплитуды а и длины естественных (точки) и вынужденных (линии) волн. Обобщенные графики для всех жидкостей, используемых в опытах со стационарными волнами, приведены

Рис. 6.21. Профили стационарных возбужденных волн:Re = 8,05; v = 7,2 • 10"6 м2/с; о/р = 57,6 • 10"6 м3/с2Рис. 6.21. Профили стационарных возбужденных волн:Re = 8,05; v = 7,2 • 10"6 м2/с; о/р = 57,6 • 10"6 м3/с2

Рис. 6.21. Профили стационарных возбужденных волн:

Re = 8,05; v = 7,2 • 10"6 м2/с; о/р = 57,6 • 10"6 м3/с2

Рис. 6.21. Профили стационарных возбужденных волн:

Re = 8,05; v = 7,2 • 10"6 м2/с; о/р = 57,6 • 10"6 м3/с2

217217

217

217

15 Заказ 2980

Рис. 6.22. Зависимость скорости стационарных естественных волн от амплитуды (а) и длины волны (6):а—v=2,12 • 10"6 м2/с,а/р = 28,5 • 10"6 м3/с2;б—v=2,l • 10"6 м2/с;1 — а/р ==65,5 • 10-6 м3/с2; 2—4—а/р = 28,5 • 10"6 м3/с2Рис. 6.22. Зависимость скорости стационарных естественных волн от амплитуды (а) и длины волны (6):а—v=2,12 • 10"6 м2/с,а/р = 28,5 • 10"6 м3/с2;б—v=2,l • 10"6 м2/с;1 — а/р ==65,5 • 10-6 м3/с2; 2—4—а/р = 28,5 • 10"6 м3/с2Рис. 6.23. Зависимость безразмерной скорости стационарных естественных волн от амплитуды (а) и волнового числа (6) при v= 11,2 10 6 м2/с; п/р = 55,9 10"6м3/с2: /, ///—волны на рис. 6.21Рис. 6.23. Зависимость безразмерной скорости стационарных естественных волн от амплитуды (а) и волнового числа (6) при v= 11,2 10 6 м2/с; п/р = 55,9 10"6м3/с2: /, ///—волны на рис. 6.21

Рис. 6.22. Зависимость скорости стационарных естественных волн от амплитуды (а) и длины волны (6):

а—v=2,12 • 10"6 м2/с,а/р = 28,5 • 10"6 м3/с2;б—v=2,l • 10"6 м2/с;1 — а/р =

=65,5 • 10-6 м3/с2; 2—4—а/р = 28,5 • 10"6 м3/с2

Рис. 6.22. Зависимость скорости стационарных естественных волн от амплитуды (а) и длины волны (6):

а—v=2,12 • 10"6 м2/с,а/р = 28,5 • 10"6 м3/с2;б—v=2,l • 10"6 м2/с;1 — а/р =

=65,5 • 10-6 м3/с2; 2—4—а/р = 28,5 • 10"6 м3/с2

Рис. 6.23. Зависимость безразмерной скорости стационарных естественных волн от амплитуды (а) и волнового числа (6) при v= 11,2 10 6 м2/с; п/р = 55,9 10"6м3/с2: /, ///—волны на рис. 6.21

Рис. 6.23. Зависимость безразмерной скорости стационарных естественных волн от амплитуды (а) и волнового числа (6) при v= 11,2 10 6 м2/с; п/р = 55,9 10"6м3/с2: /, ///—волны на рис. 6.21

в [105], где для вычисления волновых характеристик в зависимости от свойств жидкости были предложены эмпирические зависимости: для фазовой скорости волн

ca/v= 1,98 (ga3/v2)2/3;(6.102)

(6.103)(6.103)для длины волны

(6.103)

(6.103)

[X (o/pg) 0,5 ]1/3 ~ (ga3/v2) 1/3/Re0,46.

Экспериментальные точки на рис. 6.22,6 расслаиваются по числам Re. Как видно, данные для естественных и вынужденных волн хорошо согласуются между собой.

218 .

А^мА^м0,50,5Рис. 6.24. Периодические стационарные волны при малых волновых числах: v= 11,2-10~6 м2/с; а/р = 55,9 • 10'6 м3/с2; с=0,46 м/с; / —Re=12,4, Х=28,2 мм; 2—9,85 и 42,1; 3 — 7,9 и 55Рис. 6.24. Периодические стационарные волны при малых волновых числах: v= 11,2-10~6 м2/с; а/р = 55,9 • 10'6 м3/с2; с=0,46 м/с; / —Re=12,4, Х=28,2 мм; 2—9,85 и 42,1; 3 — 7,9 и 55

А^м

А^м

0,5

0,5

Рис. 6.24. Периодические стационарные волны при малых волновых числах: v= 11,2-10~6 м2/с; а/р = 55,9 • 10'6 м3/с2; с=0,46 м/с; / —Re=12,4, Х=28,2 мм; 2—9,85 и 42,1; 3 — 7,9 и 55

Рис. 6.24. Периодические стационарные волны при малых волновых числах: v= 11,2-10~6 м2/с; а/р = 55,9 • 10'6 м3/с2; с=0,46 м/с; / —Re=12,4, Х=28,2 мм; 2—9,85 и 42,1; 3 — 7,9 и 55

Из рис. 6.23 также следует, что стационарные волны являются сильно нелинейными. Поскольку форма волн (7) отличается от синусоидальной, их амплитуды а//г0 (где « = Амане-^мин) могут быть порядка единицы и больше, а скорость волн зависит от амплитуды и может отклоняться от скорости линейных волн (волн максимального роста) в 1,5 — 2 раза.

Стационарные волны с минимальными значениями скоростей, амплитуд и длин волн (7II на рис. 6.23,а) имеют форму, близкую к синусоидальной. В диапазоне умеренных чисел Re характеристики этих волн примерно соответствуют характеристикам растущих и естественных стационарных синусоидальных волн. Волны с максимально возможными значениями скорости, амплитуды и длины волны для данного числа Re, имеющие характерную форму катящихся волн (7), можно рассматривать как уединенные волны, распространяющиеся по остаточному слою толщиной Аоет. Доказательством тому служит полная идентичность профилей волн одной амплитуды, имеющих различные длины волн и полученные при разных числах Re (рис. 6.24). Кроме того, измерения мгновенных профилей скорости (§ 6.6) показали, что в остаточном слое течение установившееся и профиль скорости нуссельтовский. Толщина остаточного слоя, как и минимальная толщина пленки, консервативна относительно амплитуды волн (рис,- 6.25). Этот результат важен с точки зрения возможного объяснения автомодельности коэффициента теплоотдачи относительно числа Re при пленочной конденсации на горизонтальных трубах.

С другой стороны, средняя толщина пленки уменьшается с ростом амплитуды волн (с увеличением длины катящихся волн) (рис. 6.26), как и следует из всех нелинейных теорий для волновой пленки. Однако экспериментально впервые это было показано в [166].

Рис. 6.26. Влияние волнового числа на среднюю толщину пленки:v = 2,06-10" 6 м2/с; о/р = 40,3 • 10-6 м3/с2Рис. 6.26. Влияние волнового числа на среднюю толщину пленки:v = 2,06-10" 6 м2/с; о/р = 40,3 • 10-6 м3/с2Рис. 6.25. Остаточные (7) и минимальные (77) толщины пленки

Рис. 6.26. Влияние волнового числа на среднюю толщину пленки:

v = 2,06-10" 6 м2/с; о/р = 40,3 • 10-6 м3/с2

Рис. 6.26. Влияние волнового числа на среднюю толщину пленки:

v = 2,06-10" 6 м2/с; о/р = 40,3 • 10-6 м3/с2

На примере волн типа катящихся хорошо прослеживаются эффекты дисперсии. Действительно, предвестник, движущийся впереди основной волны со скоростью с и имеющий вид затухающей гармонической волны (см. рис. 6.13,а), приближенно можно считать линейным. Скорость же этих осцилляций, как показали эксперименты, зависит от их волнового числа и описывается дисперсионным соотношением (6.67) для капиллярных волн на мелкой воде.

Сопоставим некоторые результаты экспериментов с выводами наиболее полной теории Шкадова для нелинейных волн, с численными решениями и анализом двухволнового стационарного нелинейного уравнения. Из большинства теорий нелинейных стационарных периодических волн следует, что при заданных свойствах и расходе жидкости существует однопараметрическое семейство вЬлновых режимов. Этот вывод согласуется с результатами экспериментов, приведенных, например, на рис. 6.24.

Поскольку в случае естественного стекания пленки при заданном числе Re наблюдается вполне определенный волновой режим (по крайней мере, с волновыми параметрами, усредненными по времени), для выделения этого режима из множества математических решений, например, Капицей и Шкадовым привлекались дополнительные гипотезы о минимуме диссипации энергии или вводилось понятие «оптимального режима» с экстремальными значениями волновых характеристик. Согласно приведенным выше результатам частота задается условиями возникновения линейных волн максимального роста, но не свойствами установившихся волновых режимов. Для вынужденных волн один волновой параметр остается свободным.

Для теоретического описания естественных стационарных волн, если не привлекать дополнительных гипотез или эм- 220

Рис. 6.27. Профили стационарных волн: .7 — эксперимент; 2— расчет по [184]; £=&(We/l,2Re)1/2; Я=(А—Ao)/[0,8Re(l,2Re/We)1/2Ao]; ^=(l,2Re/We)1/2x/A0Рис. 6.27. Профили стационарных волн: .7 — эксперимент; 2— расчет по [184]; £=&(We/l,2Re)1/2; Я=(А—Ao)/[0,8Re(l,2Re/We)1/2Ao]; ^=(l,2Re/We)1/2x/A0Рис. 6.28. Скорость «стационарных волн на пленке:1 — расчет по (6.66) — (6.71) для волн максимального роста; 2—нейтральная линия; 3—дисперсионная кривая для волн максимального роста при Re=4 (6.65); 4—численный расчет [184] уравнения (6.60) для стационарного случая; 5— расчет [189]; 4- (—)—рост4 (затухание) волнРис. 6.28. Скорость «стационарных волн на пленке:1 — расчет по (6.66) — (6.71) для волн максимального роста; 2—нейтральная линия; 3—дисперсионная кривая для волн максимального роста при Re=4 (6.65); 4—численный расчет [184] уравнения (6.60) для стационарного случая; 5— расчет [189]; 4- (—)—рост4 (затухание) волн

Рис. 6.27. Профили стационарных волн: .

7 — эксперимент; 2— расчет по [184]; £=&(We/l,2Re)1/2; Я=(А—Ao)/[0,8Re(l,2Re/We)1/2Ao]; ^=(l,2Re/We)1/2x/A0

Рис. 6.27. Профили стационарных волн: .

7 — эксперимент; 2— расчет по [184]; £=&(We/l,2Re)1/2; Я=(А—Ao)/[0,8Re(l,2Re/We)1/2Ao]; ^=(l,2Re/We)1/2x/A0

Рис. 6.28. Скорость «стационарных волн на пленке:

1 — расчет по (6.66) — (6.71) для волн максимального роста; 2—нейтральная линия; 3—дисперсионная кривая для волн максимального роста при Re=4 (6.65); 4—численный расчет [184] уравнения (6.60) для стационарного случая; 5— расчет [189]; 4- (—)—рост4 (затухание) волн

Рис. 6.28. Скорость «стационарных волн на пленке:

1 — расчет по (6.66) — (6.71) для волн максимального роста; 2—нейтральная линия; 3—дисперсионная кривая для волн максимального роста при Re=4 (6.65); 4—численный расчет [184] уравнения (6.60) для стационарного случая; 5— расчет [189]; 4- (—)—рост4 (затухание) волн

лирических данных, необходимо, по-видимому, рассматривать нелинейную эволюцию возникающих линейных волн, характеристики которых вытекают из линейных теорий неустойчивости. Результаты численного расчета, выполненного Цвело дубом [184] для стационарного периодического волнового режима при Re «4, показывают (рис. 6.27), что в зависимости от значения волнового числа к профили меняются от волн синусоидального типа (а) до волн типа «катящихся» (в). Сравнение теоретических профилей волн с наблюдаемыми в эксперименте свидетельствует, по крайней мере, о качественном их соответствии. При ^->0, полагая волновой режим типа а состоящим из одиночных солитонов, Цвелодуб [184] определил профиль стационарного одиночного «солитона», который на рис. 6.27, г сопоставлен с экспериментальным профилем.

Сравнение различных теорий с экспериментами для стационарных двумерных волн приведено на рис. 6.28. Рассчитанная по формулам для волн максимального роста линия 1 фактически обобщает опытные данные для стационарных волн синусоидального типа (заштрихованная область). Как было показано ранее, эти волны практически совпадают с волнами максимального роста. Стационарные нелинейные волны с уменьшением волнового числа к меняют свою форму, амплитуду 221

и фазовую скорость в соответствии с эмпирическими зависимостями. Результаты экспериментов для таких стационарных волн показаны точками для Re = 4. Расчеты, выполненные на основе двухволнового уравнения для Re = 4 (линия 4), свидетельствуют, что теория [184] правильно отражает зависимость фазовой скорости от к, но только в области малых значений к Re. Однако она не дает ответа на вопрос, какой волновой режим соответствует естественным волнам? Вычисления Шкадова (линия 5) близки по числу Re к условиям экспериментов, но, к сожалению, они проведены лишь в области вблизи нейтральной линии 2 и скорее отвечают ходу правой ветви дисперсионной кривой 3. Расчеты 5 в [189] доведены лишь до значений к, соответствующих «оптимальному» режиму (минимуму на кривых), и не захватывают область нелинейных и «катящихся» волн, фазовая скорость которых может быть заметно больше 3 и которые как раз и реализуются в эксперименте.

Эволюция начальных одиночных возмущений

Выше было показано, что некоторые волновые режимы можно рассматривать как последовательность уединенных волн, распространяющихся по остаточному слою. Представляется естественным попытаться понять механизм волнообразования и эволюцию волн, исследуя поведение уединенных волн различной формы и длительности, как положительных, так и отрицательных относительно начальной толщины пленки. В , опытах [8 ] возмущения создавались пульсациями расхода жидкости, строго нормированными по амплитуде и длительности. Чтобы исключить влияние естественно возникающих ' волн, устанавливались расходы жидкости с Re меньшим ReKp, где ReKp = 0,61 Fi1/11—критическое число волнообразования, которое для волновых режимов типа I на рис. 6.21 близко к значениям числа Re0CT, построенного по Аост.

Характерные осциллограммы положительных возмущений типа «ступеньки», снятые в двух точках рабочего участка, « приведены на рис. 6.29. При числах Re и Re', меньших ReKp (где Re' построено по максимальной амплитуде возмущения А'), из произвольного возмущения с пологим фронтом вследствие нелинейных эффектов формируется монотонная стационарная ступенька с более крутым фронтом (а). При Re'->ReKp наблюдаются слабые пульсации в окрестности стационарных точек подножия и вершины фронта «ступеньки» (б, в). При Re'>ReKp вследствие неустойчивости развивается волновой режим на поверхности слоя толщиной А'(г).

Теоретически распространение полубесконечных возмущений рассматривалось только для наклонного течения пленки без учета поверхностного натяжения. Результатом эволюции положи- 222~

Рис. 6.29. Эволюция положительных возмущений типа «ступеньки»: v = 7,8 1 Ю" 6 м2/с; о/р = 56,7 • 10"6 м3/с2; a—Re=0,67, Re'= 2,35; .6—Re = 2,35, Re'= 3,66; в—Re =1,02, Re'= 3,85; г—Re=l,l, Re'=9,25

тельной ступеньки является так называемая «бора» — одно из решений уравнения КдВБ. В случае же вертикально стекающей пленки жидкости стационарная ступенька образуется, очевидно, в результате конкуренции нелинейного укручения переднего фронта и диссипативного расплывания за счет поверхностного натяжения. Для

отрицательного полубесконеч- ного возмущения нелинейность приводит к расплыванию, вследствие чего отрицательная ступенька является нестационарной с очень пологим фронтом.

Результаты исследований зависимости скорости стационарных возмущений типа' «ступеньки» от их амплитуды а^Н’ — Н^ (точки 1, 2 на рис. 6.30) сравниваются с расчетом (линия Z) [8] по формуле

Рис. 6.30. Скорость одиночных возмущений:

2—положительныеступеньки

(рис. 6.29, а—в); 3, 4—волны треугольного типа (рис. 6.31, а); 5—положительные локализованные возмущения (рис. 6.31, в); 6—отрицательные возмущения (рис. 6.33); расчет: /—по (6.104); //—по (6.105);

[184]

8)8)Рис. 6.31. Эволюция начального локализованного возмущения:v=7,5-10-6 м2/с; а/р=57-10-6 м3/с2; а—йо = 0,29 мм, Re=l,5, Re' = 3,5; 6 — 0,329; 1,95; 4,5; в—0,413; 3,8; 7Рис. 6.31. Эволюция начального локализованного возмущения:v=7,5-10-6 м2/с; а/р=57-10-6 м3/с2; а—йо = 0,29 мм, Re=l,5, Re' = 3,5; 6 — 0,329; 1,95; 4,5; в—0,413; 3,8; 7

8)

8)

Рис. 6.31. Эволюция начального локализованного возмущения:

v=7,5-10-6 м2/с; а/р=57-10-6 м3/с2; а—йо = 0,29 мм, Re=l,5, Re' = 3,5; 6 — 0,329; 1,95; 4,5; в—0,413; 3,8; 7

Рис. 6.31. Эволюция начального локализованного возмущения:

v=7,5-10-6 м2/с; а/р=57-10-6 м3/с2; а—йо = 0,29 мм, Re=l,5, Re' = 3,5; 6 — 0,329; 1,95; 4,5; в—0,413; 3,8; 7

с/ио = 3 + 3а7^о> (6.104) которая прямо следует из > уравнения (6.59), если х-» + оо. Более приемлемое согласие опытов с расчетом достигается, если рассмотреть баланс расхода в волне (с—u')h' = (c—u0)h0, откуда

(6.105)(6.105)cfu0 = 3 + 3 (а'/^о) +(a’lhj2.

(6.105)

(6.105)

Рис. 6.32. Формирование уединенной волны:

V=7,8 • 10- 6 м2/с; о/р = 56,7 • 10'6 м’/с2

Как видно, формула (6.105) отличается от (6.104) нелинейным членом более высокого порядка. В качестве h' для ступенек бралась средняя толщина слоя за «скачком».

Эволюция положительных возмущений колоколообразной формы показана на рис. 6.31. При

малых числах Re, Re', построенных соответственно по Ао и А', происходит постепенное нелинейное укручение переднего фронта, волна принимает треугольный несимметричный вид. В дальнейшем ширина волны растет, а амплитуда падает с расстоянием. Скорость такой волны, определенная по амплитуде переднего фронта, примерно соответствует скорости положительной ступеньки с той же амплитудой (точки 3, 4 на рис. 6.30), а задний фронт волны движется со скоростью кинематических волн с=3ио.

При Re'>ReKp (в данном случае ReKp = 3) происходит развал начального возмущения на цуг периодических или одиночных волн (рис. 6.31,6, в). На рис. 6.31,6 развал возмущения только намечается вследствие более быстрого его расплывания. Так как Re'>ReKp и начальные возмущения достаточно длинные (50— 100 мм), то можно сделать вывод, что развал обусловлен тем же механизмом, что и волнообразование на гладкой пленке, т. е. гидродинамической неустойчивостью. Действительно, формирующиеся волны в передней части возмущения (см., например, рис. 6.31, в) эволюционируют в дальнейшем аналогично естественно возникающим волнам на гладкой пленке (волны 1, 2, 3). По мере формирования волновой группы волны становятся нелинейными и, имея различные скорости, начинают нелинейно взаимодействовать. В случае периодической последовательности одиночных волн (см. рис. 6.31, в) амплитуда волн и Аост устанавливаются в процессе формирования волнового режима.

Скорость одиночных нестационарных волн, образующихся за счет развала начального возмущения (точки 5 на рис. 6.30), хорошо согласуется с результатами соответствующих измерений для последовательности стационарных «одиночных» волн. Как видно из рис. 6.30, при равной амплитуде скорость таких волн меньше скорости «ступенек» и может быть рассчитана по соотношениям, предложенным в [184], если считать Re=const.

На рис. 6.32 показана строго локализованная уединенная волна нетреугольной формы. Аналогичная форма волны была найдена теоретически (см. рис. 6.27, г) на основе» численного решения уравнения.

Рис. 6.33. Эволюция отрицательных возмущений:-

v=7,810'6m2/c; а/р=56,7-ЦТ6 м3/с2; а—Re = 3,87; 6—3,67; в—2,51; г—1,93; д—1,6

Примеры эволюции отрицательных начальных возмущений (рис. 6.33) показывают, что для них в отличие от положительных возмущений не наблюдается формирования стационарных локализованных возмущений, а также развала на «одиночные» волны. При Re>ReKp (рис. 6.33,а) возникает естественный волновой режим, который поглощает отрицательную волну. Зависимость фазовой скорости заднего фронта отрицательных волн (скорость переднего фронта примерно Зи0) от их амплитуды приведена на рис. 6.30 (точки 6). Как видно из рисунка, скорости отрицательных возмущений всегда меньше Зи0.

6.12. Волны на границе пленки жидкости, свободно стекающей в другую жидкость

Пленка жидкости, свободно стекающая по вертикальной стенке в другую жидкость, встречается в некоторых видах экстракционного оборудования, при электрошлаковой плавке 226

Рис. 6.34. Схема течения канала; в областиРис. 6.34. Схема течения канала; в области

Рис. 6.34. Схема течения канала; в области

Рис. 6.34. Схема течения канала; в области

металлов и в других технологических процессах. Такое течение позволяет моделировать совместное движение пленки жидкости и пара при больших давлениях, когда плотности фаз сравнимы. Кроме того, оно интересно с теоретической точки зрения как пример течения, в котором существенную роль играют неустойчивости поверхностного и погран- слойного типов.

При стекании пленки жидкости (рис. 6.34) по вертикальной стенке под действием силы тяжести в другую не смешивающуюся с пленкой жидкость можно выделить три области течения. В области / течение определяется условиями на входе; в области // оно не зависит от этих условий, а пограничный слой, развивающийся во внешней жидкости, еще не достиг стенки

/// течение установившееся, не зависящее от продольной

координаты. .

Исследования устойчивости рассматриваемого течения в области III, выполненные Осиповым, Хицконсом в линейном приближении, показали, что в этой области критическое число Рейнольдса, при котором появляются незатухающие возмущения, равно нулю, а течение становится более устойчивым при увеличении межфазного (поверхностного) натяжения о и при плотности p = p2/Pi^l (здесь и далее индекс 1 относится к жидкости, образующей пленку, 2—к внешней жидкости).

Остановимся более подробно на анализе течения в области II, которая, как показывают количественные оценки, в реальных течениях простирается на десятки сантиметров. Рассмотрим линейную устойчивость в этой области, когда внешняя жидкость неограничена и неподвижна на бесконечности. Считаем, как при анализе устойчивости течений погранслойного типа, что невозмущенное течение не зависит от продольной координаты, а пограничный слой в данном сечении Оу (см. рис. 6.34) имеет конечную толщину hv Для пленки жидкости в качестве невозмущенного профиля скорости используем формулу Нуссельта (6.46), а в пограничном слое—аппроксимацию полиномом третьей степени, т. е. профилем Польга- узена, соответствующим безградиентному обтеканию пластины. В безразмерном виде, если за масштабы длины и скорости выбрать соответственно толщину пленки h0 в сечении Оу и скорость на поверхности раздела U„ они запишутся следующим образом: ’

uv=^-^y4X-xV!4 o^y^i;

«72 = [H-O—1)х/3ц]3, 1^1+6;(6.106)

J73=0,l+8^y<oo,

где 8 = A1//z0= — Зц/т; p = p2/Pt—динамическая вязкость; T = Tshol (р.!^) — трение на поверхности раздела.

Как показали эксперименты [13], синусоидальные волны, близкие к нейтральным, имеют длину Х« 10 -И 5 мм. На этой длине невозмущенное течение в окрестности поверхности раздела изменяется незначительно и, как отмечалось выше, его можно приближенно считать плоским. Поэтому линейную устойчивость рассматриваемого течения относительно плоских возмущений в виде бегущих волн можно исследовать на основе уравнений Орра—Зоммерфельда.

Вводя для возмущенных составляющих скорости функции тока Ту и представляя их в виде бегущих волн Ту=фу(у) х х ехр ^к(х — cOL имеем для ф;(у) следующую краевую задачу: ф1/ —2Х-2ф 1+^4Ф1 = ikRe [(С^ —с)(ф1—fc^) — (/"ф^, О^у^ 1;

Ф ^ - 2к 2ф 2 + £4ф2 Ц1к Re/v) [(С/2 - с )(ф " - &2ф2) - U " ф2],

1^у^1+8;(6.107)

Ф зУ — 2£2ф з + &4ф3 = — (ik Re/v) с (ф " — &2ф3),1 + 8 ^у < оо.

При у=0 ф! = ф1=0;

(6.108) приу=1Ф1 = Ф2;

U\Ф1 +(с- U.) ф i = (/'2ф2 + (с- U^ ф 2;

^1Ф1Нс-£Л)(Ф1+£2Ф1) = ц[^2,Ф2 +

+ (с-^2)(ф'2'+Гф2)];(6.109)

ik Re (с- U v) [(с- U.) ф 1 + U\Ф1] + [(ф V1 - ЗХ2Ф1) (c-Uv)-

—2k2<pvU\] — ik3Re Weф1 = pz^Re (с— t/2)[(c— 172)ф2 +

+ (/12ф2] + ц[(ф2| —ЗА:2ф2)(с—С72) —2Х2ф2(/2];

при у=1+8,■'

ф2=ф3; Ф2=фз; ф2=фз; ф2"=фз";(6.1 Ю)

при у->00

Ф3-»0; ф'3->0.(6.111)

Здесь к — волновое число; v=v2/v!—кинематическая вязкость; c=Cp + ic,—комплексная фазовая скорость возмущений; We = =^lh0Ul Pi, Re = h0UJvv Числа Re и We связаны соотношением We=^/2Fi(l —T)/Re5(l — p), где Fi = o3/pjgv4. Собствен- 228

Рис. 6.35. Нейтральные кривые и скорость нейтральных волн:а—внешняя среда — гексан; б—трансформаторное масло; 1 — теория; 2—экспериментРис. 6.35. Нейтральные кривые и скорость нейтральных волн:а—внешняя среда — гексан; б—трансформаторное масло; 1 — теория; 2—экспериментРис. 6.36. Схема экспериментального участкаРис. 6.36. Схема экспериментального участка

Рис. 6.35. Нейтральные кривые и скорость нейтральных волн:

а—внешняя среда — гексан; б—трансформаторное масло; 1 — теория; 2—эксперимент

Рис. 6.35. Нейтральные кривые и скорость нейтральных волн:

а—внешняя среда — гексан; б—трансформаторное масло; 1 — теория; 2—эксперимент

Рис. 6.36. Схема экспериментального участка

Рис. 6.36. Схема экспериментального участка

ное значение с задачи (6.106) — (6.111) при данных к. Re, Fi, т, р, р, v определим с помощью детерминантного метода. Если мнимая часть этого числа с(>0 (с,<0), то возмущение нарастает (затухает).

На рис. 6.35 представлены нейтральные кривые fcH = fcH(Re), соответствующие сг = 0, рассчитанные Бесединым и Цвелодубом при разных значениях Re и постоянных Fi, р, р, v. Видно, что течение неустойчиво при всех числах Re и становится более устойчивым (т. е. нейтральные кривые смещаются в область меньших значений к) с увеличением толщины пограничного слоя. Результаты счета при разных значениях р, Fi, р, v показали, что, как и в области III, течение становится более устойчивым при р—*1 или увеличении Fi.

Линейные и нелинейные двумерные волны на поверхности пленки жидкости, граничащей с неподвижной и не смешивающейся с ней жидкостью, исследовались экспериментально [13] на установке (рис. 6.36), представляющей собой трубу I диаметром 40 мм из органического стекла, помещенную в сосуд, наполненный другой жидкостью 3. Для получения двумерных волн, соответствующих данному волновому числу к, использовался известный метод возбуждения волн пульсациями расхода. Исследования проводились с помощью теневого метода измерения локальной толщины пленки жидкости 2 с электрической регистрацией сигнала. Этот метод позволял измерять на заданном расстоянии х от входной щели среднюю толщину пленки жидкости Ао, безразмерную амплитуду 229

Рис. 6.37. Характерные установившиеся волновые режимы в системе «пленка жидкости—другая жидкость»:

гексан: Re=40; х=80мм; а: к = 0,11; а=2,8; с =1,9; б: 0,19; 1,0; 1,8; в: 0,26; 0,08; 1,65; трансформаторное масло: Re = 12; х=80мм; г: к = 0,066; а=1,5; с= 1,78; д: 0,196; 0,49; 1,38; е; 0,3; 0,1; 1,32

<2 = [^акС-(/^шН1 + ^ин2)/2]/Л0, фазовую скорость волн и волновое число к=1кН0]к. Здесь hMaKC— максимальная толщина пленки в волне; Амин1 и hum2— минимальная толщина пленки до и после волны. Значение т определялось из формулы Нуссельта

А0=^3?Ук^Г^№(Г^ (6.112)

Измерения на разных расстояниях от входа позволяли исследовать эволюцию волн при различных амплитудах и частотах начального возмущения. На рис. 6.37 показаны осциллограммы профилей характерных линейных (в, в) и нелинейных (а, б, г, д) двумерных волн. Для получения пленки жидкости использовались водные растворы глицерина, а в качестве внешней среды—гексан (Fi = 3,43 • 108; р = 0,61; ц = 0,126; v=0,21) и трансформаторное масло (Fi — 3,18 • 106; р = 0,81; ц=4,94; v = 6,l). Опыты показали, что двумерные волны неустойчивы к трехмерным возмущениям. Поэтому они исследовались в данной работе при Re >20 (гексан) и Re >4 (масло) в области 50<х<90 мм. При этих значениях х двумерные волны еще не успевали развалиться на трехмерные, а условия на входе уже не оказывали влияния на течение. 230

Рис. 6.38. Изменение средней толщины пленки по длине:

а, б—внешняя среда—гексан; в, г— трансформаторное масло

Как свидетельствуют оценки по (6.106) и (6.112), в условиях этих опытов пограничный слой во внешней среде не достигает стенок сосуда, и, следовательно, опыты проводятся в • области II (см. рис. 6.34).

112) при т = 0] видно, что на отношение holhN незначитель112) при т = 0] видно, что на отношение holhN незначительИз приведенных на рис. 6.38 зависимостей h0(hN от х [где hN находится из (6. рассматриваемом участке течем

112) при т = 0] видно, что на отношение holhN незначитель

112) при т = 0] видно, что на отношение holhN незначитель

но превосходит единицу и монотонно уменьшается при увеличении х. Такой характер изменения толщины пленки соответствует области II. По мере увеличения толщины пограничного слоя во внешней среде трение на поверхности раздела снижа

ется;- уменьшается и толщина пленки, стремясь к значению hN. Заметим, что поскольку йо«0,4-?0,7 мм, т. е. значительно меньше радиуса трубы, невозмущенное течение в пленке жидкости и во внешней среде вблизи поверхности раздела, которое в основном и определяет процесс волнообразования, действительно можно считать двумерным.

Анализ эволюции волн показал, что волновым числам, меньшим некоторого критического &кр, зависящего от Re, Fi, р, ц, v, т, соответствуют практически установившиеся волновые режимы течения (см. рис. 6.37). Строго говоря, в области II волновые режимы течения должны зависеть от х. Однако эта зависимость очень слабая — так, в условиях опытов величина т, характеризующая невозмущенное течение, изменялась на участке 50<х^90 мм менее чем на 20%, а толщина пленки—менее чем на 3—4%.

Как и в случае свободной пленки жидкости, при значениях к, близких к ^р, амплитуда волн а«:1, а форма их близка к синусоидальной (см. рис. 6.37, в, в). При уменьшении к амплитуда и фазовая скорость волн увеличиваются (см. рис. 6.39), а форма их становится близкой к кноидальной или к форме катящихся волн (см. рис. 6.37, а, г).

На рис. 6.39 приведены амплитуды а и фазовые скорости с квазистационарных волн в зависимости от волнового числа к при данных Re и т. Видно, что и а, и с уменьшаются с увеличением к, причем при к, стремящемся к некоторому критическому значению A:Kp(Rep, т), амплитуда 5^0. Исходя из вида зависимости d(Re), можно сказать, что в этом случае

Рис. 6.39. Зависимость амплитуды и волн от волнового числа: а—1ексан, б—трансформаторное маслоРис. 6.39. Зависимость амплитуды и волн от волнового числа: а—1ексан, б—трансформаторное маслофазовой скорости квазиустановившихсяфазовой скорости квазиустановившихся

Рис. 6.39. Зависимость амплитуды и волн от волнового числа: а—1ексан, б—трансформаторное масло

Рис. 6.39. Зависимость амплитуды и волн от волнового числа: а—1ексан, б—трансформаторное масло

фазовой скорости квазиустановившихся

фазовой скорости квазиустановившихся

возбуждение является мягким, а к соответствует нейтральной кривой. На рис. 6.35 приведены зависимости ^H = ^H(Re) и соответствующие реализуемым в эксперименте значениям Fi, т, р, ц, v теоретические нейтральные кривые, которые, находясь в хорошем качественном соответствии с экспериментом, лежат в области больших чисел к. Это расхождение объясняется как приближенным заданием невозмущенного профиля скорости, так и погрешностями эксперимента. Если проэкст- раполировать кривые ^(Re) в область меньших чисел Re, то видно, что рассматриваемое течение неустойчиво при всех числах Re.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Азаматов А. Ш., Шагапов В. Ш. Распространение малых возмущений в парогазожидкостной среде // Акуст. журн. 1981. Т. 27, № 2. С. 161 —169.

Айдагулов Р. Р., Хабе ев Н. С, Шагапов В. Ш. Структура ударной волны в жидкости с пузырьками газа с учетом нестационарного межфазного теплообмена // Журн. прикл. мех. и техн, физики. 1977. № 3. С. 67—74.

Акуличев В. А., Алексеев В. Н., Буланов В. А. Периодические фазовые превращения в жидкостях. M.:s Наука, 1986.

Акуличев В. А., Алексеев В. Н. Акустические волны в жидкости с паровыми пузырьками // Нелинейные процессы в двухфазных средах. Новосибирск. 1977. С. 114—121.

Акуличев В. А., Алексеев В. Н., Наугольных К. А. О динамике паровых пузырьков в жидководородных ультразвуковых пузырьковых камерах // Акуст. журн. 1971. Т. 17, № 3. С. 356-364.

Алексеев В. Н., Юшин В. П. Особенности распространения звука в жидкости с паровыми пузырьками // Вопр. судостроения. Сер. Акустика. 1979. Вып. 12. С. 69—75.

Алексеенко С. В., Накоряков В. Е., Покусаев В. Г. Волнообразование при течении пленки жидкости на вертикальной стенке // Журн. прикл. мех. и техн, физики. 1979. № 6. С. 77—87. -

Алексеенко С. В., Накоряков В. Е., Покусаев Б. Г. Волны на поверхности вертикально стекающей пленки жидкости. Новосибирск, 1979, 51 с. (Препринт АН СССР, Сиб. отд-ние. Ин-т теплофизики № 36—79).

Аменицкий А. Н., Ринкевичус Б. С., Фабрикант В. А. Измерение распределения скоростей в пленках жидкости с помощью ОКГ // Теплофизика высоких температур. 1976. Т. 7, № 5. С. 1039—1041.

Березин Ю. А. О численных решениях уравнения Кортевега—де Вриза // Числ. методы мех. сплошн. среды. 1973. Т. 4, № 2. С. 20—31.

Березин Ю. А. Численное исследование нелинейных волн в разреженной плазме. Новосибирск: Наука, 1977.

Березин Ю. А., Карпман В. И. О нелинейной эволюции возмущений в плазме и других диспергирующих средах // Журн. эксперим. и теор. физ. 1966. Т. 51, № 5. С. 1557—1566.

Беседин С. М., Покусаев Б. Г. Стекание пленки жидкости в другую жидкость // Гидродинамические течения и ролновые процессы. Новосибирск, 1983. С. 55—62.

Боголюбский И. Л. Модифицированное уравнение нелинейной струны и неулругое взаимодействие // Письма в ЖЭТФ, 1976. Т. 24. С. 184—186.

Богуславский Ю. Я. О поглощении и дисперсии звуковых волн в двухфазной среде // Нелинейные волновые процессы в двухфазных средах. Новосибирск, 1977. С. 54—61.

Богуславский Ю. Я., Григорьев С. Б. Ударная волна в жидкости с пузырьками // Акуст. журн. 1977. Т. 23, № 24. С. 636.

Бриллюэн Л., Пароди М. Распространение волн в периодических структурах. М.: Изд-во иностр, лит., 1959.

Букреев В. И., Гаврилов Н. В. Экспериментальное исследование уединенных внутренних волн в двухслойной жидкости // Журн. прикл. мех. и техн, физики. 1983. № 5. С. 51—56.

Быховский Э. Б. Об автомодельных решениях типа распространяющейся волны одного квазилинейного уравнения и системы уравнений, описывающей течение воды в наклонном канале // Прикл. мат. и мех. 1966. Т. 30. Вып. 2. С. 303-311.

Бэтчелор Дж. Введение в динамику жидкости. М.: Мир, 1978.

Бэтчелор Дж. Волны сжатия в суспензии газовых пузырьков в жидкости // Механика, период, сб. перев. ин. статей. 1968. № 3. С. 67—84.

Вайсман М. Д. Термодинамика парожидкостных потоков. М.: Энергия, 1967.

Ван Вингаарден Л. Одномерные течения жидкости с пузырьками газа // Реология суспензий. М.: Мир, 1975. С. 68—103.-

Виглин А. И. Распространение колебаний в двухфазной системе жидкость—пар // Журн. техн. физ. 1938.

Влияние плотности газа на дробление пузырька ударными волнами /Б. Е. Гельфанд, С. А. Губин, Р. И. Нигматулин, Е. И. Тимофеев // Докл. АН СССР, 1977. Т. 235, № 2. С. 292—294.

Воинов О. В., Петров А. Г. Движение пузырей в жидкости // Итоги науки и техники. Сер. Мех. жидкости и газа. 1976. Т. 10. С. 86—147.

Воинов О. В., Петров А. Г. Об уравнениях движения жидкости с пузырьками // Прикл. мат. и мех., 1975. Т. 39, № 5. С. 845—856.

Волны давления в парожидкостной среде и поведение пузырьков в волне / А. В. Корабельников, В. Е. Накоряков, Б. Г. Покусаев и др. // Тр. 6-й Всесоюзн. конф, по тепломассообмену. Минск, 1980. Т. 4, ч. I. С. 121 —126.

Волны в жидкостях с пузырьками / Р. И. Нигматулин, А. А. Губайдуллин, А. И. Ивандаев, Н. С. Хабеев // Итоги науки и техники. Сер. мех. жидкости и газа, 1982. Т. 17. С. 160—248.

Волновые процессы в двухфазных системах: Сб. статей / Под ред. С. С. Кутателадзе. Ин-т теплофизики СО АН СССР. Новосибирск, 1975.

Вопросы теплообмена при изменении агрегатного состояния вещества: Сб. статей / Под ред. С. С. Кутателадзе. М.—Л.: Госэнергоиздат, 1953.

Вопросы физики кипения. М.: Мир, 1964.

Гарипов Р. М. Замкнутые уравнения движения жидкости с пузырьками // Журн. прикл. мех. и техн, физики, 1973. № 6. С. 3—24.

Гасан Н. А. Ламинарное течение вдоль вертикальной пластины // Прикл. механика. 1967. Т. 34, № 3. С. 8 5—87.

Гасенко В. Г. Карта решений уравнения КдВБ // Исследования по гидродинамике и теплообмену. Новосибирск, 1976. С. 81—87.

Гасенко В. Г. Нелинейные волновые процессы в газожидкостных смесях. Дис. ...канд. физ.-мат. наук. Новосибирск, 1979, 131 с.

Гасенко В. Г. Структура стационарных ударных волн в газожидкостной смеси с тепловой релаксацией // Теплофизические исследования. Новосибирск. 1977. С. 42—46.

Гасенко В. Г., Накоряков В. Е., Шрейбер И. Р. Двухволновая модель распространения возмущений в жидкости с пузырьками газа // Журн. прикл. мех. и техн, физики. 1979. № 6. С. 119—126.

Гасенко В. Г., Накоряков В. Е., Шрейбер И. Р. Нелинейные волны в жидкости с пузырьками // Акуст. журн. 1979. Т. 25, № 5. С. 681—685.

Гасенко В. Г., Накоряков В. Е., Шрейбер И. Р. Приближение Бюргерса— Кортевега — де Вриза в волновой динамике газожидкостных систем Ц Нелинейные волновые процессы в двухфазных средах. Новосибирск, 1977. С. 17—35.

Гасенко В. Г., Накоряков В. Е., Шрейбер И. Р. Усиление ударной волны в жидкости с пузырьками газа // Докл. АН СССР. 1980. Т. 253, № 6. С. 1330—1332.

Гончаров В. В., Наугольных К. А., Рыбак С. А. Стационарные возмущения в жидкости, содержащей пузырьки газа // Журн. прикл. мех. и техн, физики. 1976. № 6. С. 90—95.

Гриффитс П. Скорости роста пузыря при кипении // Вопросы физики кипения. М., 1964. С. 282—300.

Губайдуллин А. А., Ивандаев А. И., Нигматулин Р. И. Нестационарные волны в жидкости с пузырьками газа // Докл. АН СССР. 1976. Т. 226. № 6. С. 1299—1302.

Губайдуллин А. А., Ивандаев А. И., Нигматулин Р. И. Исследование нестационарных ударных волн в газожидкостных смесях пузырьковой структуры // Журн. прикл. мех. и техн, физики. 1978, № 2. С. 78—86.

Дейч М. Е., Филиппов Г. А. Газодинамика двухфазных сред. М.: Энергия. 1968. 423 с.

Деч Г. Руководство к практическому применению преобразования Лапласа. М.: Наука, 1971. 287 с.

Декснис Б. К. Распространение умеренно сильных ударных волн в двухфазной среде // Изв. АН ЛатвССР. Сер, физ. и техн. наук. 1978. № 1. С. 75—81.

Динамика парового пузырька в поле волны давления / А. В. Корабельников, В. Е. Накоряков, Б. Г. Покусаев, И. Р. Шрейбер // Теплофизика высоких температур, 1981. Т. 19, №4. С. 887—890.

Джоунс М. Л., Зубер Н. Рост пузырьков пара в потоке переменного давления // Теплопередача. 1978. Т. 17, № 3. С. 75—82.

Донцов В. Е., Кузнецов В. В., Накоряков В. Е. Ударные волны умеренной амплитуды в двухфазной среде // Акуст. журн. 1985. Т. 31. Вып. 2. С. 193—196.

Дынин Е. А. Влияние тепловых эффектов на структуру волн сжатия в газожидкостных средах // Нелинейные волновые процессы в двухфазных средах. Новосибирск, 1977. С. 106—113.

Жидкость с пузырьками газа как пример среды Кортевега—де Вриза — Бюргерса / В. В. Кузнецов, В. Е. Накоряков, Б. Г. Покусаев, И. Р. Шрейбер // Письма в ЖЭТФ. 1976. Т. 23, № 4. С. 194—198.

Забабахин Е. И. Заполнение пузырьков в вязкой жидкости // Прикл. мат. и мех. 1960. Т. 24, № 6. С. 1129—1131.

Зарембо Л. К., Красильников В. А. Введение в нелинейную акустику. М.: Наука. 1966.

Зыонг Нгок Хай, Нигматулин Р. И., Хабеев Н. С. Структура ударных волн в жидкости с паровыми пузырьками // Изв. АН СССР. Мех. жидкости и газа. 1982. № 2. С. 109—118.-

Ивандаев А. И., Нигматулин Р. И. Особенности распространения слабых возмущений в двухфазных средах с фазовыми переходами // Журн. прикл. мех. и техн, физики. 1970. № 5. С. 73—77.

Иванилов Ю. П. Катящиеся волны в наклонном канале. // Журн. вычисл. мат. и мат. физ. 1961. Т. 1, № 6. С. 1061 —1076.

Ильичев В. И., Елистратов В. П., Корец В. Л. Некоторые особенности динамики кавитационной области // Тр. Акуст. ин-та. 1969. Вып. 7. С. 20—26.

Иорданский С. В. Об уравнениях движения жидкости, содержащей пузырьки газа // Журн. прикл. мех. и техн, физики. 1960. № 6. С. 102—110.

Исакович М. А. Основы общей акустики. М.: Наука. 1973.

Исаченко В. П. Теплообмен при конденсации. М.: Энергия. 1977.

Исследование волн сжатия в смеси жидкости с пузырьками газа /Б. Е. Гельфанд, С. А. Губин, Б. С. Когарко, С. М. Когарко // Докл. АН СССР, 1973. Т. 213, № 5. С. 1043—1046.

Исследование разрушения пузырьков газа в жидкости ударной волной /Б. Е. Гельфанд, С. А. Губин, С. М. Когарко и др. // Докл. АН СССР, 1975. Т. 220, № 4. С. 802—804.

Исследование при помощи скоростной киносъемки роста пузырьков при кипении насыщенной воды в широком диапазоне изменения давлений / Д. А. Лабунцов, Б. А. Кольчугин, В. С. Головин и др. // Теплоф. высоких температур. 1964. Т. 2, № 3.

Исследование турбулентных течений двухфазных сред / В. Е. Накоряков, А. П. Бурдуков, Б. Г. Покусаев и др. Новосибирск, 1973.

Исследование гидродинамики массообмена в пленке жидкости с учетом входного участка / Л. П. Холпанов, В. Я. Шкадов, В. А. Малюсов, Н. М. Жаворонков // Теор. основы хим. технол. 1976. Т. 10, № 5. С. 659 —669.

Кадомцев Б. Б., Карпман В. И. Нелинейные волны // Успехи физ. наук. 1971. ТЮЗ. Вып. 2. С. 193—232.

Капица П. Л. Волновое течение тонких слоев вязкой жидкости // Журн. эксперим. и техн. физ. 1948. Т. 18. Вып. 1. С. 3—28.~

Капица П. Л., Капица С. П. Волновое течение тонких слоев вязкой жидкости // Журн. эксперим. и техн. физ. 1949. Т. 19. Вып. 2. С. 105—120.

Карпман В. И. Нелинейные волны в диспергирующих средах. М.: Наука. 1973.

Карслоу Г., Эгер Д. Теплопроводность гвсрдых тел. М.: Наука, 1964.

Кедринский В. К. Распространение возмущений в жидкости, содержащей пузырьки, газа // Журн. прикл. мех. и техн, физики. 1968. № 4. С. 29—34.

Кедринский В. К. Ударные волны в жидкости с пузырьками газа // Физ. горения и взрыва. 1980. № 5. С. 14—25.

Кедринский В. К., Солоухин Р. И. Сжатие сферической газовой полости в воде ударной волной // Журн. прикл. мех. и техн, физики. 1961. № 1. С. 27—29.

Кнэпп Р., Дейли Д., Хэммит Ф. Кавитация. М.: Мир, 1974.

Когарко Б. С. Движение смеси жидкости с газовыми пузырьками // Неустановившиеся течения воды с большими скоростями. М.: Наука, 1973. С. 243—246.-

Когарко Б. С. Об одной модели кавитирующей жидкости / Докл. АН СССР, 1961. Т. 137, № 6. С. 1331 — 1333.

Козорезов К. И., Нигматулин Р. И., Сопленков К. И. Гидродинамика газожидкостных потоков. Нестационарное истечение вскипающей жидкости: Отчет / Ин-т механики МГУ, № 2062, М. 1978.

К нелинейной теории волновых течений пленки жидкости / В. Я. Шкадов, Л. П. Холпанов, В. А. Малюсов, Н. М. Жаворонков // Теор. основы, хим. технол. 1970. Т. 4, № 6.-

Коул Л. Подводные взрывы. М.: Изд-во иностр, лит., 1950.

Кузнецов В. В., Накоряков В. Е., Покусаев Б. Г. Взаимодействие солитонов в жидкости с пузырьками газа // Письма в ЖЭТФ. 1978. Вып. 8. С. 520—523.

Кузнецов В. В., Покусаев Б. Г. Эволюция волн давления в жидкости с пузырьками газа // Переход ламинарного пограничного слоя в турбулентный. Двухфазные потоки. Новосибирск, 1978. С. 61—67.

Кунин И. А. Теория упругих сред с микроструктурой. М.: Наука, 1975.

Кутателадзе С. С. Анализ подобия и модели в тёрмогидродинамике газожидкостных систем // Журн. прикл. мех. и техн, физики. 1980. № 5. С. 24—33.

Кутателадзе С. С. Основы теории теплообмена.— 2-е изд. М.: Машгиз, 1957.

Кутателадзе С. С. Основы теории теплообмена.— 5-е изд. М.: Атомиз- дат. 1979.

Кутателадзе С. С. Три проблемы теории теплообмена и физической гидрогазодинамики // Инж.-физ. журн. 1980. Т. 38, № 6. С. 1115—1137.

Кутателадзе С. С., Стырикович М. А. Гидродинамика газожидкостных систем.— 2-е изд. доп. М.: Энергия, 1976.

Лабунцов Д. А., Муратова Т. М. Физические и методические основы формулировки задач тепломассообмена при фазовых превращениях // Теп- ломассоперенос. Минск. 1972. Т. 2. 4.1.

Лайтхилл Дж. Волны в жидкостях. М.: Мир, 1981.

Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Механика сплошных сред. М.: Гостех- издат, 1953.

Лапшин Р. М., Шемагин И. А. Неустойчивость ламинарного течения в пристенном слое двухфазных потоков // Нелинейные волновые процессы в двухфазных средах. Новосибирск, 1977. С. 238—243.

Левин В. Г. Физико-химическая гидродинамика. М.: Физматгиз, 1959.

Лежнин С. И., Прибатурин Н. А. Нестационарные волны давления для различных режимов течения парожидкостной среды // Изв. СО АН СССР. Сер. техн, наук, 1983. № 8. Вып. 2. С. 20—26.

Ляхов Г. М. Ударные волны в многокомпонентных средах // Изв. АН СССР, сер. Механика и машиностроение, 1959. № 1. С. 46—49.

Ляхов Г. М., Охитин В. Н. Волны в жидкости с пузырьками газа при учете объемной вязкости // Изв. АН СССР. Мех. жидкости и газа. 1980. № 1. С. 52—64.

Малых Н. В., Огородников И. А. О применении уравнения Клейна — Гордона для описания структуры импульсов сжатия в жидкости с пузырьками газа // Динамика сплошной среды. Новосибирск, 1977. Вып. 29. С. 143—148.

Маурин Л. Н., Сорокин В. С. О волновом течении тонких слоев вязкой жидкости // Журн. прикл. мех. и техн, физики. 1962. № 4. С. 186. -

Маурин Л. Н., Одишария Г. Э., Точигин А. А. Уединенные волны на стекающей пленке жидкости // Нелинейные волновые процессы в двухфазных средах. Новосибирск: Ин-т теплофизики СО АН СССР. 1977. С. 190—195.

Мгновенный профиль скорости в волновой пленке жидкости /В. Е. Накоряков, Б. Г. Покусаев, С. В. Алексеенко, В. В. Орлов // Инж.-физ. журн. 1977. Т. 33, № 3. С. 399—404.

Механика многофазных сред/А. Н. Крайко, Р. И. Нигматулин, В. Е. Старков, Л. Е. Стернин // Итоги науки и техники. Сер. гидромеханика. Т. 6. 1972. С. 175.

Мудди Ф. Максимальная скорость истечения однокомпонентной двухфазной смеси // Теплопередача. 1965. Т. 87, № 1. С. 160.

Нагиев Ф. Б., Хабеев Н. С. Эффекты теплообмена и фазовых переходов при колебании парогазовых пузырьков // Акуст. журн. 1979. Т. 25. Вып. 2. С. 271—279. ч

Накоряков В. Е., Покусаев Б. Г., Алексеенко С. В. Стационарные двумерные катящиеся волны на вертикальной пленке жидкости // Инж.-физ. журн., 1976. Т. 30, № 5. С. 780—785.

Накоряков В. Е.,' Соболев В. В., Шрейбер И. Р. Волны конечной амплитуды в двухфазных средах // Волновые процессы в двухфазных системах. Новосибирск, 1975. С. 5—58.

Накоряков В. Е., Соболев В. В., Шрейбер И. Р. Длинноволновые возмущения в газожидкостной смеси // Изв. АН СССР. Мех. жидкости и газа. 1972. № 5/ С. 71—76.

Накоряков В. Е., Шрейбер И. Р. Волны на поверхности тонкого слоя жидкости // Журн. прикл. мех. и техн, физики. 1973., № 2. С. 109—113.

Накоряков В. Е., Шрейбер И. Р. Модель распространения возмущений в парожидкостной смеси // Теплоф. высоких температур. 1979. Т. 17, № 4. С. 798—803.

ПО. Накоряков В. Е., Шрейбер И. Р. Нелинейные акустические волны в жидкости, содержащей пузырьки газа // Нелинейные задачи теории гидродинамической устойчивости. М.: МГУ, 1976. С. 41.

Некоторые вопросы гидродинамики гомогенной модели двухфазной среды / А. П. Бурдуков, В. Е. Накоряков, Б. Г. Покусаев и др. // Числ. методы мех. сплошн. среды. 1971. Т. 2, № 5. С. 72—77.

Нелинейные явления при распространении акустических волн в пористых средах / Г. А. Остроумов, Г. А. Дружинин, В. М. Крячко, А. С. Токман // Нелинейные волновые процессы в двухфазных средах. Новосибирск, 1977. С. 12—16.

Нелинейные волны / Под ред. С. Лейбовича и А. Сибасса. М.: Мир, 1977.

Нелинейные волны / Под ред. А. В. Гапонова-Грехова. М.: Наука, 1979. •

Непомнящих А. А. Устойчивость волновых движений в слое вязкой жидкости на наклонной плоскости // Нелинейные волновые процессы в двухфазных средах. Новосибирск, 1977. С. 181 —190.

Несис Е. И., Кипение жидкостей. М.: Наука, 1973.

Нещименко Ю. П., Суворов Л. Я. Слабые ударные волны в кипящей воде и газожидкостных суспензиях // Атомная энергия, 1972. Т. 33, № 1. С. 573.

Нигматулин Б. И. К гидродинамике двухфазного потока в дисперснокольцевом режиме течения // Журн. прикл. мех. и техн, физики. 1971. № 6. С. 141 — 153.

Нигматулин Р. И. Методы механики сплошной среды для описания многофазных смесей // Прикл. мат. и мех. 1970. Т. 34, № 6. С. 1097—1112.

Нигматулин Р. И. Основы механики гетерогенных сред. М.: Наука,

Нигматулин Р. И. Динамика многофазных сред. М.: Наука, 1987.

Нигматулин Р. И., Хабеев Н. С. Динамика и тепломассообмен парогазовых пузырьков с жидкостью // Некоторые вопросы механики сплошной среды. М.: МГУ, 1977. С. 229—243.

Нигматулин Р. И., Хабеев Н. С. Динамика паровых пузырьков // Изв. АН СССР. Мех. жидкости и газа. 1975. № 3. С. 59—67.

Нигматулин Р. И., Хабеев Н. С. Теплообмен газового пузырька с жидкостью // Изв. АН СССР. Мех. жидкости и газа. 1974. № 5. С. 94—100.

Нигматулин Р. И., Хабеев Н. С., Шагапов В. Ш. Об ударных волнах в жидкости с пузырьками газа // Докл. АН СССР. 1974. Т. 214, № 4. С. 779—782.

Нигматулин Р. И., Шагапов В. Ш. Структура ударных волн в жидкости, содержащей пузырьки газа // Изв. АН СССР. Мех. жидкости и газа. 1974. № 3. С. 184.

О массообмене в пленке жидкости при волнообразовании / Л. П. Холпанов, В. Я. Шкадов, В. А. Малюсов, Н. М. Жаворонков // Теор. основы хим. технол. 1967. Т. 1, № 1. С. 73.

Определение скорости распространения низкочастотных звуковых возмущений в смеси жидкости / Б. Е. Гельфанд, С. А. Губин, С. М. Когарко, Е. И. Тимофеев // Теплоф. высоких температур. 1975. Т. 13, № 4. С. 891—892.

О структуре слабой ударной волны в газожидкостной среде /С. С. Кутателадзе, А. П. Бурдуков, В. В. Кузнецов и др. // Докл. АН СССР. 1972. Т. 207, № 2. С. 313—315.

Оренбах 3. М., Шрейбер И. Р. Динамика парового пузырька в тепловом режиме // Теплофиз. высоких температур. 1985. Т. 23, № 4. С. 776—780.

Оренбах 3. М., Шрейбер И. Р. Распространение волн в жидкости с фазовыми переходами // Акуст. журн. 1986. Т. 32. Вып. 1. С. 76—80.

Паркин Б., Гилмор Ф., Броуд Г. Ударные волны в воде с пузырьками воздуха // Подводные и подземные взрывы. М.: Мир, 1972. С. 152—258.

Пахалуев В. М., Шейнкман А. Г. Исследование статистических характеристик волнового течения пленок жидкости // Инж.-физ. журнал. 1974. Т. П, № 5. С. 845—849.

Пелиновский Е. Н. О поглощении нелинейных волн в диспергирующих средах // Журн. прикл. мех. и техн, физики. 1971. №2. С. 68—71.

Перник А. Д. Проблемы кавитации. Л.: Судостроение, 1966.

Петвиашвили В. И., Цвелодуб О. Ю. Подковообразные солитоны на стекающей пленке вязкой жидкости // Докл. АН СССР. 1978. Т. 238, № 6. С. 1321.

Плессет М., Цвик С. Рост паровых пузырей в перегретых жидкостях // Вопросы физики кипения. 1964. С. 189—211.

Покусаев Б. Г. Волны давления в пузырьковых газо- и парожидкостных средах // Гидродинамика и теплообмен, в одно- и двухфазных средах. Новосибирск, 1979. С. 26—36.

Покусаев Б. Г., Алексеенко С. В. Двумерные волны на вертикальной пленке жидкости // Нелинейные волновые процессы в двухфазных средах. Новосибирск, 1977. С. 158—172.

Пухначев В. В. К теории катящихся волн // Журн. прикл. мех. и техн, физики 1975. № 5. С. 47—58.

Радовский И. С. К вопросу о расчете скорости звука в парожидкостной среде // Теплофиз. высоких температур. 1971. Т. 9, № 2. С. 310—315.

Радовский И. С. Скорость звука в двухфазных парожидкостных системах // Журн. прикл. мех. и техн, физики. 1970. № 5. С. 78—85.

Радовский И. С., Дробан Н. В. Скорость и декремент затухания звука в пароводяной смеси пузырьковой структуры // Теплофиз. высоких температур. 1978. Т. 16, № 2. С. 289—293.

Распространение возмущений в газожидкостной смеси / В. В. Кузнецов, В. Е. Накоряков, Б. Г. Покусаев, И. Р. Шрейбер // Акуст. журн. 1977. Т. 23, вып. 2. С. 273—278.

Распространение возмущений давления конечной амплитуды в пузырьковой парожидкостной среде / В. Е. Накоряков, Б. Г. Покусаев, Н. А. Приба- турин, И. Р. Шрейбер // Журн. прикл. мех. и техн, физики. 1982. № 3. С. 84—90.

Рахматулин X. А. Основы газодинамики взаимно проникающих движений сжимаемых сред // Прикл. мат. и мех. 1956. Т. 20, вып. 2. С. 184—195.

Руденко О. В., Солуян С. И. Теоретические основы нелинейной акустики. М.: Наука, 1975.

Рютов Д. Д. Аналог затухания Ландау в задаче о распространении звуковой волны в жидкости с пузырьками газа // Письма в ЖЭТФ, 1975. Т. 22, вып. 9. С. 446.

Сагдеев Р. 3. Коллективные процессы и ударные волны в разреженной плазме // Вопросы теории плазмы. Вып. 4. 1964. С. 20—80.

Сагдеев Р. 3. Физика плазмы и проблема управляемых термоядерных реакций. Т. 4. М.: Изд-во АН СССР, 1958.

Саркисов А. А., Попов И. А., Лукьянов А. А. О механизме конденсации паровых пузырьков в пароводяной смеси при воздействии ударных нагрузок // Инж.-физ. журнал. 1971. Т. 22, № 3. С. 429—434.

Себан Р., Чо С. Некоторые вопросы схлопывания парового пузырька // Теплопередача. 1969. Т. 91, №4. С. 104—111.

Себан, Фагхри. Влияние волн на перенос к падающим ламинарным жидким пленкам // Теплопередача. 1978. № 1. С. 155—160.

Седов Л. И. Механика сплошной среды. М.: Наука, 1973.

Семенов Н. И., Костерин С. И. Результаты исследования скоростей звука в движущихся газожидкостных смесях // Теплоэнергетика. 1964. № 6. С. 46—51.

Семенова И. П. Интенсификация массообмена волнами на поверхности раздела фаз при раздельном движении газожидкостной смеси: Отчет / НИИ Механики МГУ, № 2077. М., 1978. 57 с.

Скотт Э. Волны в активных и нелинейных средах в приложении к электронике / Под ред. Л. А. Островского, М. И. Рабиновича. М.: Сов. радио, 1977.

Скрипов В. П. Метастабильная жидкость. М.: Наука, 1972.

Стебновский С. В. О форме подвижной свободной границы жидкости в профилированном конфузоре // Динамика сплошной среды. Вып. 16. 1974. С. 101 — 106.

Стебновский С. В. Устойчивость свободных границ жидкого поршня, движущегося с ускорением в осесимметричном канале // Динамика сплошной среды. Вып. 15. 1973. С. 145—156.

Сычев В. В. Скорость звука в воДе и водяном паре на линии насыщения // Инж.-физ. журнал. 1961. Т. 4, №6. С. 64—69.

Тананайко Ю. М., Воронцов Е. Г. Методы расчета и исследования пленочных процессов. Киев: Техника, 1975.

Телетов С. Г. Уравнение гидродинамики двухфазных жидкостей // Докл. АН СССР. 1945. Т. 50. С. 99—102.

Теплопередача в двухфазном потоке / Под ред. Д. Баттерворса и Г. Хьюитта. М.: Энергия, 1980.

Теплофизические исследования для обеспечения надежности и безопасности ядерных реакторов водо-водяного типа: Докл. 2-го Семинара по теплофизике водо-водяных энергетических реакторов стран — членов СЭВ, 20—23 марта 1978 г. / Ред. Ласло Сабадош. Будапешт, 1978. Т. I, II.

Течение тонких пленок жидкости / В. Е. Накоряков, Б. Г. Покусаев, Е. Н. Троян, С. В. Алексеенко // Волновые процессы в двухфазных системах. Новосибирск, 1975. С. 129—206.

Трение при стекании пленки жидкости по вертикальной стенке / В. Е. Накоряков, Б. Г. Покусаев, В. В. Христофоров, С. В. Алексеенко // Инж.- физ. журнал. 1973. Т. 24. С. 824—830.

Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1966.

Ударная волна в газожидкостной среде / А. П. Бурдуков, В. В. Кузнецов, С. С. Кутателадзе и др. // Журн. ппикч. мех. и техн, физики. 1973. № 3. С. 65—69.

Усиление ударных волн в жидкостях с пузырьками пара и растворяющегося газа / А. А. Борисов, Б. Е. Гельфанд, Р. И. Нигматулин и др. // ДАН. 1982. Т. 263, № 3. С. 594—598.

Усиление удара волн в жидкости с пузырьками пара / А. А. Борисов, Б. Е. Гельфанд, А. А. Губайдуллин и др. // Нелинейные волновые процессы в двухфазных средах. Новосибирск, 1977. С. 67—73.

Уизем Дж. Вариационные методы и их приложение к волнам на воде // Нелинейная теория распространения волн. М.: Мир, 1970.

Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны. М.: Мир, 1977.

Уоллес Г. Одномерные двухфазные течения. М.: Мир, 1972.

Фисенко В. В. Критические двухфазные потоки. М.: Атомиздат. 1978.

Флоршютц Л., Чао Б. Механизм разрушения пузырьков пара // Теплопередача. 1965. Т. 87, № 3. С. 353—356.

Фостер Г., Зубер Н. Рост парового пузыря в перегретой жидкости // Вопросы физики кипения. М.: Мир, 1964. С. 212—225.

Фролов А. П. К динамике газового пузыря в вязкой несжимаемой жидкости // Прикл. мат. и мех. 1968. Т. 32, № 6. С. 1118—1121.

Хабахпашев Г. А. Торможение и затухание гравитационных волн в тонком слое вязкой жидкости // Гидродинамические течения и волновые процессы. Новосибирск, Ин-т теплофизики СО АН СССР, 1983. С. 41—55.

Хабеев Н. С. Резонансные свойства паровых пузырьков // Прикл. мат. и мех. 1981. Т. 45, №4. С. 696—703.

Хабеев Н. С. Эффекты теплообмена и фазовых переходов при колебаниях паровых пузырьков // Акуст. журн. 1975. Т. 21, № 5. С. 815—821.

Хьюитт Г., Паркер. Рост и разрушение пузырьков в жидком азоте // Теплопередача. 1968. Т. 90, № 1. С. 22—26.

Хьюитт Дж., Холл-Тейлор Н. Кольцевые двухфазные течения. М.: Энергия, 1974.

Цвелодуб О. Ю. Стационарные бегущие волны на вертикальной пленке жидкости // Волновые процессы в двухфазных средах. Новосибирск, Ин-т теплофизики СО АН СССР, 1980. С. 47.

Циклаури Г. В., Данилин В. С. Адиабатные двухфазные течения. М.: Атомиздат, 1973.

Парный И. А. Неустановившееся движение реальной жидкости в трубах. М.: Недра, 1975.<

Шагапов В. Ш. Структура ударных волн в полидисперсной смеси жидкость — пузырьки газа // Изв. АН СССР. Мех. жидкости и газа. 1976. № 6. С. 145—147.

Шагапов В. Ш. Учет нестационарного тепломассообмена в задаче о распространении малых возмущений в жидкости с пузырьками // Изв. АН СССР. Мех. жидкости и газа. 1979. № 4. С. 157—162.

Шкадов В. Я. Некоторые методы и задачи теории гидродинамической устойчивости: Отчет/Ин-т Механики МГУ, № 25. М., 1973.

Шкадов В. Я. Уединенные волны в слое вязкой жидкости // Изв. АН СССР. Мех. жидкости и газа. 1977. № 1. С. 63—66.

Шкадов В. Я. Волновые режимы течения тонкого слоя вязкой жидкости под действием силы тяжести // Изв. АН СССР. Мех. жидкости и газа. 1967. № 1. С. 43—51.

Шкадов В. Я. К теории волновых течений тонкого слоя вязкой жидкости // Изв. АН СССР. Мех. жидкости и газа. 1968. № 2. С. 20—25.

Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. М.: Наука, 1969.

Шрейбер И. Р. Многоволновые модели распространения возмущений.— В кн.: Гидродинамика и теплообмен в одно- и двухфазных средах. Новосибирск, 1979, с. 37—47..

Экспериментальное исследование течения пленки жидкости по вертикальной стенке / В. Е. Накоряков, Б. Г. Покусаев, В. В. Христофоров, С. В. Алексеенко // Инж.-физ. журнал. 1974. Т. 27, № 3, с. 397—401.

Экспериментальное исследование гидродинамики пленки жидкости, стекающей под действием силы тяжести по вертикальной поверхности / Б. Г. Ганчев, В. М- Козлов // Изв. вузов. Сер. Машиностроение. 1970. Т. 2. С. 25—80.

Экспериментальное исследование ударных волн в жидкости с пузырьками газа / В. Е. Накоряков, Б. Г. Покусаев, И. Р. Шрейбер и др. // Волновые процессы в двухфазных системах. Новосибирск, 1975. С. 54—97.

Экспериментальное исследование распространения возмущений в жидкости с пузырьками газа / В. В. Кузнецов, В. Е. Накоряков, Б. Г. Покусаев, И. Р. Шрейбер // Нелинейные волновые процессы в двухфазных средах. Новосибирск, 1977. С. 32—44.

Ardron К. N., Duffery R. В. Acoustic wave propagation in flowing liquid - vapour mixture // Int. Multiphase flow, 1978. Vol. 4. P. 303—322.

A theoretical study on bubble growth in constant and time-dependent pressure fields/Т. G. Theofanous, L. Biasil, H. Isbin, H. Fauske // Chem. Eng. Sci., 1969. Vol. 24, № 5. P. 385—897.

Bankov R. F. Heat transfer from surface of a steam bubbles in a turbulent subcooled liquids // AIChE J. 1962. Vol. 8. P. 30—37.

Benney D. Long waves on liquid films // J. Math, and Physics. 1966. Vol. 45, N 2. P. 150—155.

Berbente С. P., Ruckenstein E. Hydrodynamics of wave flow//AIChE J. 1968. Vol. 14, No 5. P. 772—782.

Benjamin T. B. Wave formation in laminar flow down an inclined plane//J. Fluid Meeh. 1957. Vol. 2. P. 554—576.

Binnie A. M. Experiments on the onset on wave formation on a film of water flowing down a vertical plane//J. Fluid Meeh. 1957. Vol. 2. P. 551.

Board S. J., Kimpton A. D. Spherical vapour bubble collapse//Chem.Eng.Sci. 1974. Vol. 29, No 2. P. 363—372.

Bosnjakovic F. Verdampfung und Flussingkeitsiiberhitzung//Techn.Mech. und Thermodynamik, 1930. Vol. 1, No 10.9.358.

Brauver H. Stromung und Warmeiibergang bei Rieselfilmen // VDI Forschungs. 1956.H.457.

Bryley D. F. Predicting vertical film flow characteristics in the entr ance region//AIChE J. 1965. Vol. 11, No 5. P. 945.

Campbell I. J., Pitcher A. S. Shock waves in a liquid containing gas bubbles//Pr6c.Roy.Soc.Ser.A, 1958. Vol. 243, No 1235. P. 534—545.

Carstensen E. L., Foldy L. L. Propagation of sound through a liquid containing bubbles//J.Acost.Soc.Amer. 1947. No 19. P. 481—501.

Chapman R. B., Plesset M. S. Thermal effects in the free oscillations of gas bubbles//Trans. ASME J. Basic.Eng., 1971. Vol. 93, No 3. P. 37.

Chu K. J., Dukler A. E. Statistical characteristics of thin films//AIChE J. 1975. Vol. 21, No 3. P. 583—593.

Cichelly M. T., Bonilla С. B. Heat transfer to liquid boiling under pressure//Transact. Am.Instit. of Chem.Eng. 1945. Vol. 41, No 6. P. 774—782.

Collingham R. E., Fizley J. C. Velocity of sound measurements in wet steam//Ing.Chem.Progress Descw develop. 1963. No 2. P. 197--202.

Couse S. W., Evans R. G. Acoustic velocity in two-phase flow dynamics. Eindhoven. Sept. 4—9, 1967. P. 585—623.

Crespo A. Sound and shock waves in liquid containing bubbles//Phys, of Fluids. 1969. Vol. 12, No 11. P. 2274—2282.

Grolmes M. A., Fauske H. K. Comparison of the propagation characteristics of compression and rarefaction pressure pulses in two phase, one component bubble flow//Trans.Am.Nucl.Soc. 1968. Vol. 11, No 2. P. 683.

Cumo M. Fundamental aspects of boiling phenomena. 1967. (RT/JNG: (67)15).

Davies A. L. The speed of Sound in mixtures of Water and Steam//Symp. on two-phase flow dynamics, Eindhoven, 1967.

Delhae T. M. Application de la thermodynamique des systems en non-equilibre aux ecoulements diphasiques liquide-vaper avec Changement de phase: Rapport CEA-R-3903, Saclay. France, 1969.

Delong V., Firey J. Effect of slip and phasechange on sound velocity in steam-water mixtures and the relation to critical flow. Ind. an Engng.Chem.Proc.design and develop. 1968. Vol. 7, No 3. P. 454—463.

Dergarabedian P. Observation on bubbles growths in various superheated liquids//J. Fluid Meeh. 1960. Vol. 9, No 1. P. 39—48.

Devin Ch. Jr. Servey of thermal, radiation and viscous damping of pulsation air bubbles in water//!. Acoust.Soc.Amer. 1959. Vol. 31, No 12. P. 1654—1667.

Dserner L. Propagation ofpressurewaves in bubble filled

liquids//J.Appl.Phys. 1973. Vol. 44, No 2. P. 680—686.

Drumheller D. S., Bedford A. A. A theory of bubbly liquids//J.Acoust.Soc.Amer. 1979. Vol. 66, No 1. P. 197—208.

Drumheller D. S., Bedford A. A. A theory of liquid with vapor bubbles//J. Acoust.Soc.Amer. 1980. Vol. 67, No 1. P. 186—200.

Dukler A. E., Bergelin О. P. Characteristics of flow falling liquid folms//Chem.Engng.Progr. 1952. Vol. 48, No 11. P. 557.

Dwyer О. E. Boiling liquid-metal heat transfer. N.Y. 1976.

Dukler A. E. Characterization, effects and modelling of the wave gas-liquid interface//Heat and Mass Transfer, Haifa, 1971. Vol. 6. P. 207—234.

Eddington R. B. Investigation of supersonic phenomena in a two-phase (liquid-gas) tunnel//AI AAJ. 1970. Vol. 8, No 1. P. 192.

Fauske H. K. Propagation of pressure disturbances in two-phase flow//Proc.University of eindborn Nitherlend, Sept. 4—9. 1967. P. 639—652.

Fauske H. K. Some ideas about the mechanisms causing two-phase critical flow//Appl.Sci.Res. 1964. A 13. P. 364.

Finch R. D., Neppiras E. A. Vapor bubble dynamic//J. Acoust.Soc.Amer. 1973. Vol. 53, No 5. P. 1402—1410.

Forster H. K., Zuber N. Dynamics of vapor bubbles and boiling heat transfer//AJChE J. 1955. Vol. 1. P. 531—536.

Fox F., Curley S., Larson G. Phase velocity and absorption measurement in water, containing air bubbles//J.Acoust.Soc.Amer. 1955. Vol. 27, No 3. P. 534.

Gibson F. Speed of sound in water, containing bubbles//J. Acoust.Soc.Amer. 1970. Vol. 48, No 5. P. 2.

Gilmore F. T. The Growth or collapse of a Spherical bubble in .a viscous compressible liquid//Proc.Heat Trans. Fluid Meeh. Inst., Stanford Univ.Press. 1952. P. 563.

Gjevic B. Occurence of Finite-amplitude surface waves on falling liquid films//Phys.Fluids. 1970. Vol. 13, No 8. P. 1918—1925.

Grolmes M. A., Fauske H. K. Comparison of propagation characteristics of compression and rare faction pressure pulses in two-phase, one-component bubble flow//Trans.Amer.Nucl.Soc. 1968. Vol. 11, No 2. P. 683.

Hamilton L. J., Schrock V. E. Propagation of rarefaction waves through two-phase, two-component media//Trans.Amer.Nucl.Soc. 1968. Vol. 11,. No 1. P. 795.

Hamilton L. J., Nyer R., Schrock V. E. Propagation of shock waves through two-phase, two-component media//Trans. Amer.Nucl.Soc. 1967. Vol. 10, No 2. P. 660.

Hsieh* D. Y. Resonances of oscillating vapor bubbles//Phys.Fluids. 1976. Vol. 19, No 4. P. 599—600.

Henry R. E., Fauske H. K. Propagation velocity of pressure waves in two-phase mixture and the dependency of flow regimes//Trans.Am.Nucl.Soc. 1968. Vol. 11, No 1. P. 364—365.

Hsien D. Y., Plesset M. S. On the propagation of sound in a liquid containing gas bubbles//Phys.Fluids. 1961. Vol. 4, No 8. P. 970—975.

Jones L. O., Whitaker S. An experimental study of falling liquid films//AIChE J. 1966. Vol. 12, No 3. P. 522—529.

Jonson R. S. A non-linear equation incorporating damping and dispersion//J.Fluid Meeh. 1970. Vol. 42, No 1. P. 49—60.

Jones L. О., Whitaker S. An experimental study of falling liquid films //AIChE J. 1966. Vol. 12, No 3. P. 522—529.

Jonson R. S. A non-linear equation incorporating damping and dispersion//J.Fluid Meeh. 1970. Vol. 42, No 1. P. 49—60.

Karpins H. B. Propagation of Pressure waves in Mixtur of water and steam//Armour perach Foundation of Illinous Inst, of Technology. 1961. Rep.ARF, 4132—12.

KarpinsH. B. The velocity of sound in liquid-gas

mixtures//Bull.Am.Phys.Soc.Ser. 1958. Vol. 3, No 7. P. 374.

Kiffer S. Sound speed in liquid gas mixtures: water-air and waterstem //J.Geoph.Res. 1977. Vol. 82, No 20.

Kosky S. Bubble growth measurements in uniformly perheated liquids //Chem.Eng.Sci. 1968. Vol. 23. P. 823.

Krantz W. B., Goren S. L. Finite-amplitude, long waves on liquid films flowing down on a plane//Ind.Engng.Chem.Fundam. 1970. Vol. 9, No 1. P. 107—113.

Krantz W. B., Goren S. L. Stability of thin liquid films flowing down a plane//Ind.Engng.Chem.Fundam. 1971. Vol. 10. P. 91 —101.

Kutateladze S. S., Nakoryakov V. E., Pokusaev B. G. Experimental investigation of wave processes in gas- and vapor liquid media//Two-phase Momentum and Heat and Mass Transfer. Hemisphere Publ. Cor., N.Y. 1979. No 1. P. 47—61.

Lin S. P. Finite amplitude side-band stability of a viscous film//J.Fluid Meeh. 1974. Vol. 63. P. 417—430.

Macedo I. C., Jang W. Acusticaly forced oscillations of gas bubbles in liquids//Japan J.Appl.Phys. 1972. Vol. 11, No 8. P. 1125—1129.

Mallock A. The damping of sound by frothy liquids// Proc.Roy.Soc.London.Ser.A. 1910. Vol. 84. P. 391-395.

Matsui G., Sugihara M., Arimoto S. Propagation characteristics of pressure wave through gas liquid plud-truin systems//Bull.JSME. 1979. Vol. 22, No 173. P. 1562—1569.

Mecredy R. E., Hamilton L. J. The effects of nonequilibring heat, mass and moment transfer on two-phase sound speed//Int.J.Heat Mass Transfer. 1972. Vol. 5. P. 61—72.

Mikic B., Rohsenow W., Griffith P. On bubble growth rates//Int.J.Heat and Mass Transfer. 1970. No 13. P. 657—666.

Minnaert M. On musical air bubbles and the soundsof runnung water//Phil. Mag. 1933. Vol. 16, No 7.

Mitchell T., Hammit F. On the effects of heat transfer upon collapsing bubbles //Nucl.Sci. and Engng. 1974. Vol. 53, No 3. P. 263—276.

Nakoryakov V. E., Pokusaev B. G., Shreiber I. R. Pressure waves in a liquid with gas or vapour bubbles//Cavitation and Inhomogenuties in Underwater Acoustics,W. 1980. P. 157—163.

Alekseenko S. V., Nakoryakov V. E., Pokusaev B. G. Wave Formation on a Vertical Falling Liquid Film.Amer.//Inst.Chemic.Engng.J., 31(a), P. 1446, 1985.

Nolting K.B.E., Neppiras E. A. Cavitation produced by ultrasonics //Proc.Phys.Soc.London, Ser.B. 195 5. Vol. 64, No 12. P. 284.

Noordzij L. Shock waves in bubble-liquid mixtures Phys.//Communications fTwent.Univ. of Technology. 1971. Vol. 3, No 11. P. 369—383.

Noordzij L., Wijngaarden L. Relaxation effects caused by relative motion on shock waves in gas-bubble fluid mixtures//J.Fluid Meeh. 1974. Vol. 66. P. 1. P. 115—143.

Pierson F. W., Whitaker S. Some theoretical and experimental observation of the wave structure of falling liquid films//Ind.Engng.Chem.Fundam. 1977. Vol. 16, No 4. P. 401—408.

Plesset M. S., Zwick S. A. A Nonsteady Heat Diffusion Problem with Spherical Symmetry//J. Applied Physics. 1952. Vol. 23, No 1. P. 95 98.

Plesset M. S., Zwick S. A. The Growth of Vapor Bubbles in Superheated Liquids//J.Applied Physics. 1954. Vol. 25, No 4. P. 493 500.

Propagation of perturbation in gas-liquid mixture/V. V. Kuznetsov, V. E. Nakoryakov, B. G. Pokusaev, I. R. Shreiber//J.Fluid Meeh. 1978. Vol. 85, P. 1. P. 85—96.

Portalski S., Clegg A. J. An experimental study of wave inception on falling liquid films//Chem.Eng.Sci. 1972. Vol. 27. P. 1257—1265.

Prosperetty A., Plesset M. S. Vapor-bubble growth in a superheated liquid//J.Fluid Meeh. 1978. Vol. 85, No 2. P. 349—368.

Strobel W. J., Whitaker S. Effect of surfactants the flow characteristics of falling liquid films //AIChE J. 1969. Vol. 15, No 4. P. 527—532.

Til. Trammell G. T. Sound waves in water containing vapor bubbles//J.Appl.Phys. 1962. Vol. 3 3, No 5. P. 1662—1670.

Yih C. S. Stability of liquid flow down an inclined plane//Phys.Fluids, 1963. Vol. 6. P. 321—334.

Wavy flow of thin liquid films/V. Penev, V. S. Krylov, Chr.Bojadjiev, V. P. Vorotilin//Int.J.Heat and Mass Transfer. 1972. Vol. 15, No 7. P. 1395.

Wijngaarden L. vqn. On the equations of motion for mixtures of liquid and gas bubbles//J.Fluid Meeh. 1968. Vol. 33. P. 465—474.

Wijngaarden L. van. On the structure of shock waves in liquid bubble mixtures//Appl.Sci.Res. 1970. Vol. 22. P. 273.

Wijngaarden L. van. Propagation of shock waves in bubbleliquid mixtures//Progress in Heat and Mass Transfer. 1972. Vol. 6. P. 834.

Wilkes J. O., Nedderman R. M. The measurement of velocities in thin films of liquid//Chem.Engng.Sci. 1962. Vol. 17. P. 177—187.

Zabusky N. J., Kruskal M. D. Interaction of solutions in a collisionless plasma and the recurrence of initial states//Phys. Rev. Lett. 1965. Vol. 15. P. 240.

Zuber N. Nucleate boiling. The region of isolated bubbles and the similarity with natural convection//Intern.J.Heat Mass Transfer. 1963. Vol. 6, No 1. P. 53—76.

Zwick S. A. Behavior of small permanent gas bubbles in a liquid//J.Math, and Phys. 1958. Vol. 37, No 3; 1959. No 4.

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие 3

Глава первая. Акустика и ударные волны в гомогенной газо- и парожидкостнойсмеси 4

Основныесоотношения гомогенной модели 4

Скоростизвука 5

Распространение малых возмущений и нелинейных волн 8

Ударныеволны 14

Движениегомогенной двухфазной средывканалах 19

Глава вторая.Динамика газовых и паровых пузырьков 22

Динамикагазового пузырька 22

Основные уравнения динамики и теплообмена парового пузырька 29

Рост и схлопывание паровых пузырьков 32

Динамика паровой полости при непрерывном изменении давления 38

Учет неравновесного испарения в задачах динамики парового пузырька 45

Результаты экспериментальных исследований 49

Глава третья. Волновые процессы в газожидкостныхсистемах 60

Динамическая модель пузырьковой суспензии 60

Волновые уравнения для среды без диссипацииэнергии 62

Волновые уравнения для среды с диссипативными эффектами71

Осцилляторная ударная волна 75

Численное решение уравнения Кортевега — деВриза —

Бюргерса 77

Ударные волны умеренной интенсивности 82

Экспериментальные данные о распространении возмущений давления в жидкости с пузырьками газа Л 84

Тепловые процессы в волновой динамике пузырьковых систем ....95

Учет сжимаемости жидкости. Двухволновое уравнение 99

245

Глава четвертая. Распространение волн в жидкости с пузырьками пара 106

Равновесная модель распространения волны 106

Дисперсионные соотношения для акустических волн 109

Ячеистая модель парожидкостной среды 112

Линейные и нелинейные волны 115

Слабые ударные волны 133

Волны при снарядном режиме течения двухфазной среды 135

Глава пятая. Волновые процессы на границе раздела двух сред ....143

Возмущения на поверхности раздела двух полуограниченных пространств, заполненных невязкими жидкостями разной плотности 143

Возмущения на границе двух потоков невязких жидкостей...146

Гравитационные волны на «мелкой воде» 149

Гравитационная волна на границе раздела и свободной поверхности двухслойной жидкостной системы 156

Кинематические волны 161

Капиллярные волны на поверхности пленки 164

Волны в деформируемых трубах, заполненных жидкостью...167

Глава шестая. Волновое течение пленок жидкости 176

Применение пленок жидкости в технике 176

Динамические и кинематические волны на поверхностипленки ...179

Многоволновой подход к анализу волнообразования на поверхности пленки 185

Анализ устойчивости пленочного течения и линейных волн малой амплитуды 191

Волны на наклонно стекающей пленке жидкости 194

Экспериментальное изучение волн на поверхности вертикальной пленки 204

Качественное описание волн на пленке жидкости 209

Мгновенный профиль скорости в волновой пленке жидкости 212

Волны в области волнообразования 214

Стационарные двумерные волны 217

Эволюция начальных одиночныхвозмущений 222

Волны на границе пленки жидкости, свободно стекающей в другую жидкость 226

Список литературы 233

Научное издание

НАКОРЯКОВ ВЛАДИМИР ЕЛИФЕРЬЕВИЧ

ПОКУСАЕВ БОРИС ГРИГОРЬЕВИЧ

ШРЕЙБЕР ИСААК РУВИМОВИЧ

ВОЛНОВАЯ ДИНАМИКА

ГАЗО- И ПАРОЖИДКОСТНЫХ СРЕД

Редактор Л. М. Берзина

Редактор издательства М. И. Кузнецова Художественный редактор В. А. Гозак-Хозак Технический редактор Г. В. Преображенская Корректор Г.А.Полонская

ИБ № 2292

Сдано в набор 17.07.89. Подписано в печать 15.03.90. Т-06796 Формат 60x88*/16- Бумага офсетная №2 Гарнитура литературная. Печать офсетная. Усл. печ. л. 15,19 Усл. кр.-отг. 15,19 Уч.-изд. л. 16,44 Тираж 1800 экз. Заказ 2980 Цена 3 р. 60 к.

Энергоатомиздат. 113114 Москва, М-114, Шлюзовая наб, 10

Ордена Октябрьской Революции и ордена Трудового Красного Знамени МПО «Первая Образцовая типография» Государственного комитета СССР по печати. 113054, Москва, Валовая, 28

«ЭНЕРГЕТИКА И ЭКОЛОГИЯ»— новая серия ЭНЕРГО АТОМ ИЗ ДАТА

Серия создана при поддержке Госкомприроды СССР и Минэнерго СССР с целью оперативной пропаганды идей специалистов, направленных на решение актуальных задач по охране окружающей среды, таких как:

— очистка уходящих газов от оксидов серы и азота;

— создание бессточных электростанций; ■

— реализация парогазовых циклов;

— борьба с воздействием шума и т. д.

Серия рассчитана на широкий круг специалистов тепловых и атомных электростанций, предприятий металлургической, химической и других отраслей промышленности, влияющих на загрязнение воздушного бассейна, земной поверхности и водоемов.

Может быть полезна работникам проектно-конструкторских и научно-исследовательских организаций.

В 1991—1992 гг. в серии «Энергетика и экология» выйдут следующие книги:-

Волк X. Я.

ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ. СЕТИ И ОХРАНА ОКРУЖАЮЩЕЙ СРЕДЫ.'

Внуков А. К.

ЗАЩИТА АТМОСФЕРЫ ОТ ВЫБРОСОВ ЭНЕРГООБЪЕКТОВ: Справочник.

Жабо В. В.

ОХРАНА ОКРУЖАЮЩЕЙ СРЕДЫ НА ТЭС И АЭС: Учебник.

Мошкарин А. В., Бускунов Р. Ш.

ИСПАРИТЕЛЬНЫЕ УСТАНОВКИ ЭЛЕКТРОСТАНЦИЙ И ПРЕДПРИЯТИЙ.

Новоселов С. С., Чмовж В. Е.

АТМОСФЕРА, КАКОЙ ЕЙ БЫТЬ?

Новоселов С. С.

СИСТЕМА УЛАВЛИВАНИЯ ТВЕРДЫХ ЧАСТИЦ ПРИ СЖИГАНИИ МАЗУТА.

Новоселов С. С., Светличный В. А., Лозовский В. А. ОЗОННО-АММИАЧНАЯ ТЕХНОЛОГИЯ ОЧИСТКИ ГАЗОВ ОТ ОКСИДОВ СЕРЫ И АЗОТА. ,

Рихтер Л. А., Тупов В. Б.

ОХРАНА ОКРУЖАЮЩЕЙ СРЕДЫ ОТ ШУМА ЭНЕРГЕТИЧЕСКОГО ОБОРУДОВАНИЯ.

ЭКОЛОГО-ЭКОНОМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ РАЗВИТИЯ ЭНЕРГЕТИКИ./Авт.: В. Н. Денисов, Н. С. Владимирова, В. В. Жабо, Н. В. Москвичева.

I — I —CqHСоОр^СоНСоО1пр = СоНСооФ. (1.50)

5“1 . „ ди1_ 1 8P. 8 („2,. \ A

6t 8r pi dr 8rx 7

Предполагая, что жидкость несжимаема и область изменения давления мала (порядка радиуса пузырька), уравнения (2.1)

по г от переменного радиуса пузырька Граничные условия: при г-»оо р=раа',

В.Е.НАКОРЯКОВ Б.Г ПОКУСАЕВ И.Р. ШРЕЙБЕР

ВОЛНОВАЯ

ДИНАМИКА газо- и парожидкостных сред

МОСКВА ЭНЕРГОАТОМИЗДАТ 1990

УДК 532.529:532.591

Накоряков В. Е., Покусаев Б. Г., Шрейбер И. Р. Волновая динамика газо- и парожидкостных сред.— М.: Энергоатомиздат, 1990.— 248 с.: ил. ISBN 5-283-OOO55-9

Излагаются модели распространения возмущений конечной амплитуды и ударных волн в двухфазных средах (в жидкости, содержащей пузырьки газа, пара). Приводятся методы и результаты экспериментальных исследований этих волн и их сравнение с расчетами, основанными на приближениях Кортевега де Вриза — Бюргерса, Буссинеска, двухволновых и релаксационных модельных уравнениях.

Большой раздел книги посвящен процессам волнообразования на поверхности тонких слоев вязкой жидкости — пленок, стекающих под действием своего веса. Здесь приводятся наряду с классическими результатами новейшие данные, полученные авторами.

Для научных работников — специалистов теплофизиков и гидромехаников, занимающихся прикладными задачами механики гетерогенных систем, аспирантов и студентов теплофизических и гидромеханических специальностей.

Табл. 3. Ил. 150. Библиогр.: 286 назв.

Рецензент М. Е. Дейч

Редактор издательства М. И. Кузнецова

1603040100-501

ISBN 5-283-00055-9ISBN 5-283-00055-9н ^цад 3-89

ISBN 5-283-00055-9

ISBN 5-283-00055-9

© Авторы, 1990