ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие ........................................5

Глава 1. Вывод и преобразование некоторых нелинейных уравнений9

Огибающая коротких импульсов в световодах. Обобщенное нелинейное уравнение Шредингера ...............10

Нелинейные продольные волны в упругом стержне. Урав

нение Кортевега - де Вриза .......................17

Длинные нелинейные гравитационные волны на поверхности жидкости переменной глубины. Уравнение Кортевега- де Вриза ....................................20

Ионно-акустические волны в сильно намагниченной плазме.

Уравнение Кортевега - де Вриза ....................25

Акустические пучки в поглощающей жидкости. Уточнен

ное уравнение Хохлова-Заболотской-Кузнецова. ........30

Глава 2. Возмущение точных решений ....................32

Интенсивные стационарные волновые пучки в неоднородной среде. Двумерный случай .....................32

Интенсивные стационарные волновые пучки в неоднородной среде. Трехмерный случай. .......................44

Солитонные импульсы в нелинейной среде в субпикосекундном диапазоне ................................51

Солитонные импульсы в фемтосекундном диапазоне. Система уравнений двухуровневого приближения ...........55

Глава 3. Возмущение точных решений. Варьирование параметров невозмущенного солитона ......................59

Варьирование параметров солитона НУШ. Поведение импульсов в фемтосекундном диапазоне. Система уравнений Захарова .................................60

Возмущенное обобщенное уравнение Кортевега - де Вриза .63

Возмущенное уравнение Гарднера ..................72

Асимптотическое и численное исследование эволюции односолитонной поверхностной гравитационной волны .......75

Глава 4. Методы возмущений при отсутствии точного решения.

Принцип Уизема. ............................84

Нелинейное уравнение Клейна-Фока-Гордона. Возмущение периодических и сосредоточенных решений .........85

Асимптотика волновых решений возмущенных нелинейных параболических уравнений .......................94

Принцип Уизема в задачах о возмущении нелинейных волн 100

Принцип Уизема в задаче о волновых пучках. Пучки в среде

с насыщающейся нелинейностью полиномиального типа . . . 103

Волновые пучки в средах с насыщающейся нелинейностью

дробного типа ................................ 109

Глава 5. Траекторные вариационные принципы ............. 115

Применение принципа Уизема, нелинейный однопараметрический принцип Ферма .......................... 116

Нелинейные вариационные принципы в трехмерных зада

чах о волновых пучках .......................... 120

Пучки в нелинейной и неоднородной среде волноводного типа122

Наклонное распространение мощных волновых пучков

в ионосфере .................................. 125

Уравнение Гельмгольца с нелокальным нелинейным членом 132

Фронты в нелинейно-диссипативной среде ............136

Уравнение диффузии с двумя нелинейными членами. Некоторые обобщения .............................. 150

Эволюция фронтов вытеснения в нелинейной задаче филь

трации .....................................155

Глава 6. Малые дистанции (времена). Анализ задач Коши. . . . . . 164

Амплитудная модуляция в нелинейном продольно неоднородном световоде .............................. 164

Солитонные импульсы в субпикосекундном диапазоне (про

должение) ...................................168

Фемтосекундная релаксация ......................170

Нелинейные акустические пучки. Вторичная ударная волна 174

Глава 7. Нелинейное взаимодействие основной и примесной уединенных волн................................ 179

Яркие и темные импульсы в оптических волокнах при длинах волн, для которых дисперсия близка к нулю ........ 180

Солитонный сигнал в магнитной цепочке при внешнем магнитном поле, близком к критическому ............... 186

Примечания......................................... 193

ПРЕДИСЛОВИЕ

Теория нелинейных волновых процессов представляет собой быст™ ро развивающуюся область физики, отраженную в огромном числе ежегодных публикаций. Результаты исследований в этой области важны как для фундаментальной науки, так и для технических приложений. Новые экспериментальные и технические возможности, связанные с нелинейными эффектами, стимулировали работы по ма™ тематическому моделированию. Важному направлению в этом моде™ лировании ——методам анализа локализованных нелинейных волн —— и посвящена настоящая монография.

Локализация, или сосредоточенность, волн (волновых решений не™ линейных задач) означает, что соответствующие решения отличны от констант лишь в малых окрестностях некоторых кривых или поверх™ ностей (подмногообразий). В основе анализа распространения сосредоточенных волн и получения явных выражений для них лежат асим™ птотические методы. На базе изучения невозмущенных уравнений формируются асимптотические разложения (анзатцы), позволяющие решать задачи для возмущенных уравнений, для уравнений, относя™ щихся к неоднородным средам либо учитывающим взаимодействие сосредоточенных волн.

Монография посвящена разработке и описанию аналитических методов в теории локализованных волновых процессов. Речь идет об асимптотических методах, позволяющих получать явные формулы для важнейших характеристик нелинейных волн в конкретных физи™ ческих задачах. Часть таких подходов широко известна. Некоторые из этих подходов являются новыми, не встречавшимися ранее в литературе. К ним относятся: 1) разработка траекторных вариационных принципов в нелинейных задачах (гл. 5), восходящих к классическим принципам Мопертюи и Ферма; 2) способы исследования деформа™ ции солитонообразных импульсов на сравнительно коротких трассах или при небольших промежутках времени (гл. 6); 3) приемы анализа нелинейного взаимодействия основной и примесной уединенных волн (мод), распространяющихся в одном направлении и с единой фазовой скоростью (гл. 7).

Применение каждого из описываемых в книге методов проиллюстрировано решением нескольких физических проблем. Спектр рассмотренных при этом физических задач весьма широк. С наибольшей подробностью освещены следующие: распространение и самовоздей™ ствие мощных волновых пучков в неоднородных средах, интенсивных акустических пучков, ультракоротких импульсов в нелинейных гради™ ентных световодах, волн в средах с внутренней структурой, длинных поверхностных гравитационных волн над жидкостью переменной глу™ бины. Несколько других проблем (§ 2, 4, 14, 26, 32) разобраны более кратко.

Монография состоит из семи глав, содержащих 32 параграфа.

Глава 1 отличается от всех остальных тем, что в ней речь идет не о методах решения нелинейных волновых задач, а о сведении послед™ них к задачам для одного стандартного эволюционного нелинейного уравнения. Здесь выводятся обобщенное нелинейное уравнение Шре™ дингера (НУШ) для огибающей коротких импульсов (§ 1), обобщенное уравнение Кортевега де Вриза (КдВ) для нелинейных продольных волн в стержнях, для гравитационных волн на поверхности жидкое™ ти переменной глубины и для ионно™акустических волн в намагни™ ченной плазме (§ 2—4) и уточненное уравнение Хохлова—Заболотской— Кузнецова (§ 5).

В главах 2 и 3 рассматриваются возмущенные нелинейные задачи, для которых в отсутствие возмущения можно указать точное реше™ ние солитонного типа. Для таких задач естествен подход, состоящий в отыскании решения возмущенной задачи с помощью анзатца, пред™ ставляющего возмущение соответствующего точного решения. При этом ряды возмущений обычно вводятся как в фазу, так и в амплитуду решения. Такому подходу и посвящена глава 2. В качестве примеров в главе рассмотрены задачи о распространении интенсивных волновых пучков (нелинейное уравнение Гельмгольца, § 6, 7) и сверхкоротких импульсов (возмущенное НУШ, § 8, 9). В обоих случаях речь идет о построении комплекснозначных сосредоточенных решений.

В главе 3, в отличие от главы 2, в основе построения решения воз™ мущенной задачи лежит варьирование постоянных параметров точ™ ного решения. Эти постоянные параметры заменяются функциями медленной эволюционной переменной. Центральный момент развива™ емого в данной главе подхода состоит в нахождении дифференциаль™ ных уравнений для указанных функций. Реализация обсуждаемого подхода осуществляется по-разному в случае возмущенных уравнений типа НУШ для комплекснозначных решений (см. § 10) и в случае возмущенных уравнений типа КдВ для вещественных решений (см. § 11, 12). Комбинирование результатов асимптотического анализа из § 11 и численных расчетов содержится в § 13.

Ситуация отсутствия точного решения исследуется в главе 4. Общий план построений здесь следующий. Пусть удалось найти вид нулевого приближения (главного слагаемого анзатца) для изучаемой

нелинейной волны. В этом приближении, как правило, остаются не™ определенными некоторые параметры решения, являющиеся функ™ циями медленных переменных. Эти параметры удается определить, обращаясь к линейной неоднородной задаче для первой поправки. Условия разрешимости такой задачи как раз и позволяют найти ио комые параметры. При этом, конечно, необходимо знать состав яд™ ра соответствующего линейного оператора. Глава содержит примеры описанных построений. В § 14, 15 строятся асимптотические решения нелинейного уравнения Клейна-Фока-Гордона и возмущенных нели™ нейных параболических уравнений при потенциале весьма общего ви™ да. В § 17, 18 вновь рассматриваются задачи об интенсивных волновых пучках, но анализируются случаи гораздо более сложной зависимости нелинейного показателя преломления от волнового поля. Существен™ ное место в этой главе и в последующих занимает принцип Уизема, или принцип усредненного лагранжиана (§ 16, 18).

Глава 5 посвящена выводу и применениям траекторных вариа™ ционных принципов. Основная трудность задач о локализованных волновых процессах в том, что для них заранее неизвестны как сами волновые решения, так и подмногообразия /, в окрестности которых решения сосредоточены. Эту трудность удается эффективно преодо™ леть путем вывода для / вариационного принципа, обобщающего принцип Ферма на случай нелинейных сред.

Вариационные принципы, определяющие осевые линии волновых пучков, строятся в § 19, 20. Физические приложения этих вариаци™ онных принципов рассмотрены в § 21, 22, а их обобщение на случай нелокальной нелинейности ——в § 23. В § 24, 25 выводятся вариационные принципы для фронтов в задачах типа реакции-диффузии. Наконец, в § 26 строятся фронты вытеснения в задачах нелинейной фильтрации.

В главе 6 рассматривается важный прием исследования деформа™ ции коротких солитонообразных импульсов на неоднородных трассах. Этот прием позволяет изучать указанные деформации лишь на срав™ нительно коротких трассах или при небольших промежутках времени, зато дает возможность преодолеть многие аналитические трудности. В главе данный подход применяется к различным задачам о распро™ странении сверхкоротких импульсов, в том числе при исследовании фемтосекундной релаксации (§27-29)* Решается задача о возникно™ вении вторичной ударной волны при распространении нелинейного акустического пучка (§ 30). Исследования фемтосекундной релаксации и вторичной акустической ударной волны, на наш взгляд, относятся к наиболее ярким результатам.

В нелинейной физике нередко рассматривается следующая ситуация: в изучаемой системе распространяется некоторая основная волна (или мода) и сравнительно слабая примесная волна (мода), причем эти две волны движутся в одном направлении и с единой фазовой скоростью. В главе 7 исследуется нелинейное взаимодействие основ™ ной и примесной волн и рассмотрены два примера. В § 31 изучено

поведение яркого и темного импульсов в окрестности точки нулевой дисперсии групповой скорости. В § 32 исследуется солитонный сигнал в магнитной цепочке. Здесь основная волна ——азимутальный кинк, а примесная ——меридиональный солитон. Следует еще отметить, что в § 31 при малых амплитудах взаимодействующих волн демонстрируй ется переход от решений НУШ к решениям уравнения КдВ.

Примечания в конце книги содержат дополнительную информа™ цию об имеющихся публикациях по обсуждаемым нелинейным про™ блемам.

Автор глубоко благодарен своим ученикам С.А. Вакуленко и М.А. Бисярину, совместно с которыми было опубликовано большое число работ, использованных при написании этой книги. Автор признателен также чл.-корр. РАН О.В. Руденко, в соавторстве с которым был исследован эффект образования поперечной ударной волны в акустических пучках.

Глава 1

ВЫВОД И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ НЕКОТОРЫХНЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

В отличие от последующих глав книги, здесь пойдет речь не о ре™ шении нелинейных волновых задач, а о сведении их к задаче для од™ ного более или менее стандартного эволюционного нелинейного урав™ нения. Это сведение происходит в рамках некоторой асимптотической процедуры. При этом наиболее типичны следующие два варианта.

Сведение сложных нелинейных уравнений или систем уравнений к задаче для одного стандартного уравнения.

Вывод нелинейного уравнения из условий разрешимости линейной неоднородной задачи, возникающей при применении подходящего анзатца.

В литературе широко представлены как первый, так и второй из этих вариантов. Далее пример варианта 1 содержится в § 2, 3, вариан™ та 2 ——в § 1. Пример своеобразной версии варианта 1 приведен также в § 4. Здесь переход от сложной нелинейной системы уравнений к стан™ дартному уравнению осуществляется через построение приближенно™ го решения исходной системы. Наконец, вывод уточненного класси™ ческого уравнения ——уравнения Хохлова—Заболотской—Кузнецова —— дан в § 5. Полученные здесь поправочные члены позволяют описать важный физический эффект. По содержанию к этой главе близок так™ же подход, изложенный в конце § 31, где описан важный для многих проблем переход от нелинейного уравнения Шредингера (НУШ) к другому классическому уравнению ——уравнению Кортевега - де Вриза (КдВ). Однако из физических соображений это преобразование при группировке материала отнесено к главе 7.

Во всех случаях вывод нелинейного уравнения связан не только с использованием некоторых асимптотических приближений, но и с вве™ дением фазовой переменной типа ж ct. В итоге уравнение, как пра™ вило, содержит эволюционную переменную (время или координату, вдоль которых происходит развитие процесса) и фазовую переменную. При этом изменение искомой функции по фазовой переменной обычно является более быстрым, чем изменение по эволюционной переменной.

Конечно, каждое преобразование нелинейного уравнения использу™ ет и дополнительные технические приемы. Приведем примеры таких приемов в данной главе.

В ряде задач (например, в задачах волноводного типа) прихо™ дится учитывать двух™ и даже трехмасштабность волнового процесса. При анализе импульсного распространения в таких задачах эволюция высокочастотного заполнения и эволюция комплексной амплитуды описываются разными фазовыми переменными, т. е. происходят с раз™ ной скоростью (см. § 1).

Для одновременного учета нескольких рассматриваемых по™ правочных эффектов целесообразно распорядиться масштабом малых параметров так, чтобы имеющиеся поправочные члены были одного порядка ——см. далее (2*6)—(2.9) и (3.9), (3.10).

Полезна часто используемая идея переноса граничных условий с неизвестной, но достаточно гладкой поверхности на некоторую фик™ сированную плоскость ——см. п. 2 в § 3.

Огибающая коротких импульсов в световодах.

Обобщенное нелинейное уравнение Шредингера

Речь идет о слабо нелинейном процессе распространения ультра™ коротких импульсов с солитонообразной огибающей и высокочастот™ ным заполнением в градиентном световоде, слабо неоднородном по продольной координате и слабо изогнутом. Для огибающей импульса будет выведено НУШ с коэффициентами, зависящими от продольной координаты.

Прежде всего отметим ряд свойств градиентных оптических вол о™ кон ——световодов с плавно изменяющимся в поперечном направлении показателем преломления сердцевины волокна. В первую очередь сюда относятся нелинейные и дисперсионные свойства.

Оптические волокна являются средой, нелинейность которой свя™ зана с целой совокупностью процессов, обусловленных нелинейным преломлением и вынужденным неупругим рассеянием света: фазовой автомодуляцией, фазовой кросс-модуляцией, четырехфотонным вза™ имодействием, вынужденным рассеянием Мандельштама-Бриллюэна и вынужденным комбинационным рассеянием [1]. Каждое из этих явлений характеризуется определенной пороговой мощностью возбуждения, однако некоторые из перечисленных нелинейных эффектов проявляются в волокнах уже при мощности лазерного излучения по™ рядка 30 мВт [181]. В типичных волоконнооптических устройствах амплитуда электромагнитного поля в распространяющемся излучении принимает значения не менее 107 В/м. Такие поля уже не могут счи™ таться пренебрежимо малыми по сравнению с внутримолекулярными, и тогда нелинейная поляризация среды [184] начинает существенно влиять на распространение электромагнитных волн в световодах.

Распространение импульсов в световодах в сильной степени подвержено влиянию дисперсии. Анализ влияния дисперсии и нелинейности среды показал, что в случае аномальной дисперсии групповой скорости возможно распространение импульсов с огибающей солитонного типа, а в случае нормальной дисперсии в волокне могут существовать так называемые темные импульсы [136]. Такие выводы относились к однородной среде. В то же время непрерывная зависимость показателя преломления волокна от радиальной координаты может обеспечить распространение солитонных импульсов даже в области нормальной дисперсии среды [140]. Эти исследования в конечном счете привели к созданию градиентных оптических волокон ——световодов с плавно изменяющимся в поперечном направлении показателем преломления сердцевины.

Многочисленные работы по оптико-электронным свойствам связи до сих пор не учитывали возможную продольную неоднородность и изогнутость реального световода. Единственная известная нам попытка учесть указанную неоднородность содержится в работе [103]. Однако авторы [103] исходили из предположения о возможности априорно разделить задачу о поперечном распределении поля и задачу о распространении импульса. Кроме того, в рамках метода [103] оказалось невозможным описать изменение солитонной формы огибающей импульса. Распространение волн в изогнутом волноводе исследовалось в [162], однако кривизна при этом предполагалась не только малой, но и постоянной.

Электромагнитные явления в диэлектриках должны описываться с помощью системы векторных уравнений Максвелла. В работе [150] исследование ведется непосредственно на основе этой системы. Однако если нелинейность мала и можно пренебречь взаимодействием поляризаций [40], а также если мала разность показателей преломления между сердечником и оболочкой [103], то можно перейти к скалярной задаче для функции и ——одной из составляющих электромагнитного поля.

Следуя [87], будем исходить из нелинейного волнового уравнения △и — f (ti2, 4 n)utt = 0,(1.1)

где △——двумерный лапласиан (рассматривается плоская задача), / ——квадрат показателя преломления материала волокна, причем переменные s, п связаны с осью 2 волновода: s — продольная, п — нормальная по отношению к оси координата точки в окрестности 2. Уравнение (1.1) отличается от уравнения, принятого за исходное в работе [87], где вместо futt пишется (fu)tt. Заметим, однако, что одним из результатов данного параграфа является установление того факта, что характеристики импульса в главном приближении не зависят от вида члена, содержащего производную по времени (futt, (f^t)t или (/〃)"), исходного уравнения (1.1).

Введем малый параметр £《1. Считаем, что амплитуда поля есть величина порядка £. Предположим также, что слабая продольная неоднородность и слабая изогнутость характеризуются с помощью s2, т. е. / зависит от переменной а = s2s, а кривизна кривой 2 равна е2к(а)(氏(<т)——заданная функция).

Уже отмечалось, что нелинейность процесса обусловливается действием различных физических явлений [9, 101], многие из которых приводят к зависимости показателя преломления от электромагнитного поля по типу закона Керра. В случае керровской нелинейности показатель преломления волокна зависит от среднего значения квадрата поля за период колебаний (и2) [101]. Далее будем считать, что

f(II2, s, п) =(几,а) {и2} + /32(п, а) + г&3Г(а), а〉0, Г > 0.

(L2)

Здесь а/2 ——коэффициент Керра. Мнимое слагаемое 2€3Г(а) включено в (1.2) формально для учета малых потерь в волокне.

Важной характеристикой градиентного световода является функция /3(几，а), описывающая распределение показателя преломления в отсутствие возмущения. При отсутствии продольной неоднородности возможно использование модели многослойного волновода [173]. В обсуждаемой здесь модели зависимость /3 от 几 считается непрерывной. Именно за счет этой зависимости и достигается сосредоточенность поля волны в окрестности оси световода.

Подставим (1.2) в уравнение (1.1) и перепишем его в координатах s, п. Волновое поле, таким образом, удовлетворяет уравнению

2/1、

£ КUss , (1、

ПП 1 +九 (1 + £2П«)2\1 + £2П«4 1 + £2П«

—Qa〈炉〉+ 声 + 辽°F)Utt = & (1-3) а также граничному условию

lim 〃 = 0,(1.4)

означающему сосредоточенность поля в окрестности осевой кривой 2.

Перейдем к выбору анзатца. Асимптотическое при £ т 0 решение задачи (1.3), (1.4) должно описывать волну, распространяющуюся вдоль 2. Для этой цели введем фазовые переменные

J = e^1Q{e2s') 一 st,心? =「IQ??(s2s) 一

；(1-5)

== 1 〉 2 〉..・〉 / == 0〉1〉. . .〉〉

Q(c), Qm (a) ——вещественные функции, определяемые в ходе решения задачи, К — число распространяющихся без затухания мод, т — номер гармоники.

При формулировке анзатца учитываем, что в процессе распространения импульса возможно возбуждение других мод и высших гармоник. Тем не менее предположим, что в главном приближении по £ решение содержит только одну моду базовой гармоники. Этот случай имеет важное практическое значение, так как возможность использования одной моды в линиях связи представляется весьма актуальной [9, 150]. Асимптотическое решение задачи (1.3), (1.4) ищем в виде

и = eU(п,仇 а, £)exp [^(s^1^ + s^2F(a))] +

+ sU(n, 0, a, s) exp [—J + s^2P(a))] +

ooК — 1

+ i ££U^)(X 理),/£)exp 函理)+ 2片？廿)儿

7n= —ooZ=U

m^O l^k при m = ±l/

(L6)

При этом。丫〃 = От и р£2г(а)=川? (с)——вещественные функции. Комплексные амплитуды в (1.6) разлагаются в ряды по степеням £

и = £/“(х 仇您=t ^圓人、Ме> (i*7)

片0片0

причем Uj T 0, u* f 0 при n f 士

Сформулированный анзатц предполагает, что мода некоторого порядка к является доминирующей, т. е. ее амплитуда представляет собой величину порядка £. Именно характеристики этой моды будут определяться в последующих пунктах. Анзатц вводит различные быстрые и средние фазы для различных гармоник и мод. Более того, для доминирующей моды эволюция высокочастотного заполнения и эволюция комплексной амплитуды описываются разными фазовыми переменными.

Таким образом, формулировка используемой далее модели содержит не только выбор уравнения (1.1) с коэффициентом (1.2), но и задание анзатца (1.6), (1.7), фиксирующего определенный тип решения.

Отметим границы применимости сформулированной модели. Прежде всего, передаваемая мощность не должна превышать определенного критического значения (106 2 107 Вт/см2), в противном случае происходит самофокусировка лазерного излучения [136, 140]. Поэтому в данной работе и рассматривается слабо нелинейная задача. Другое важное ограничение связано с длительностью импульса. Как отмечено в работе [129], при длительности импульса менее 50 фс необходим учет нелинейной релаксации показателя преломления. Поэтому в рамках предложенной модели изучаются пикосекундные импульсы.

Решаем задачу (1.3), (1.4). Для этого в первую очередь определим (〃2〉, считая импульс одномодовым. В случае гармонических волн (амплитуда постоянна) для определения {и1} естественно проинтегрировать функцию 〃2 по любому промежутку, длина которого равна периоду волны, и разделить результат на период. Тогда (и?〉= =2s2 \U\ . Для квазигармонических волн это соотношение следует дополнить поправочными слагаемыми порядка s3, вид которых обусловливается физическим механизмом керровской нелинейности и должен быть установлен экспериментально. Эти слагаемые могут быть учтены предложенным в данной работе методом. Мы, однако, для простоты будем считать, что {и2} = 2s2 |U『+ O(s4). Поправка порядка s3 исчезнет, если при определении (и2) проинтегрировать и2 по промежутку [в — 7г&, 0 + 7Г&] и разделить результат на 27rg. Получаем

/ = /32(п, а) + s2a(n, а) |U『+ г&3Г(а) + O(s4).(1.8)

В дальнейшем будем обозначать

Pg = PS), Q'S) = Q(a), 『(с) = р((т) + Q(a).

Определим поперечное распределение амплитуды и фазы быстрого процесса. Подставив анзатц в уравнение (1.3) с учетом (1.8), приравняем к нулю коэффициенты при различных экспонентах, содержащихся в (1.6), и при последовательных степенях £. Комплексная амплитуда доминирующей моды в главном приближении оказывается подчиненной задаче Штурма-Лиувилля

厶％ = UOnn + [Д2(п, с) — r2(a)]l/0 = 0,,』区 Uo = О, (L9)

в которой а и 0 играют роль параметров. Предположим, что функция /3(几，а) такова, что задача (1.9) имеет конечный набор собственных значений rf(a) и собственных функций Uoi(n, в, а), соответствующих незатухающим модам, / = 0,1,. . . , /С — 1. Таким образом, задача (1.9) определяет все моды, могущие распространяться в рассматриваемой среде. Из их числа и выбирается мода номера к —— доминирующая мода.

Из уравнения (1.9) следует, что, не ограничивая общности, Uq всегда можно представить в виде произведения:

и^п^О^а) = V^^a^F^^a)^(1.10)

в котором

j V2dn = 1.

Функция V(п, а) описывает поперечное распределение поля, медленно меняющееся вдоль световода, a F(0, а) представляет собой огибающую доминирующей моды. В дальнейшем будем называть 歹(仇 а)

огибающей импульса. Формула (1.10) в процессе решения является важным шагом, который отделяет зависимость от поперечной координаты п.

Определим фазу огибающей и поправку первого порядка к комплексной амплитуде импульса. Для определения функции Ui(n, 0, а) необходимо решить линейную неоднородную задачу

LUi = 22[声(几,о) — q(o)丁(b)]U()e,lim U\ = 0.(1.11)

Условие ее разрешимости (ортогональность правой части уравнения (1.11) к функции V) позволяет вывести явную формулу для д(а):

д(а) = г(а) + r^1(a) j V^dn.(1.12)

Введем функцию Ж(п, а) как решение уравнения

ЬЖ = [Д2(п,а) - Q(a)r(a)]V(n,a),

стремящееся к нулю при п т ±оо. Тогда решение задачи (1.11) представляется формулой

(/1(п,仇 а) = 2гЖ(п, ь)冲 + с(仇 а) V(n, а),

где с(^, а)——функция, определяемая на следующем шаге асимптотической процедуры.

Формулы (1.5) и (1.12) определяют фазу 0 огибающей импульса.

Перейдем к выводу НУШ с переменными коэффициентами для огибающей импульса.

В качестве второй поправки будем рассматривать выражение U?=

=£ VUj (п,仇 а). Для функции U2 возникает задача, аналогичная 片2

11). В правой части соответствующего уравнения сохраним поправочные члены порядка £. Условие разрешимости представляет собой уравнение для огибающей импульса 歹(仇 a):

2ir(a)Fa + g(a)F00 + j(a)F + b(a) |F|2 F =

=一£以(内冲 + /(内冲加 + C(a)|FI2 F +0(内产& + iV(a)F].

(1.13)

Коэффициенты в (1.13) выражаются формулами

g (a) = 4 j (Д2 qr) VWdn— j — q?)卜^“几)

/ (ь)=力(<т) + 2氏(с)户(с) ] nV2dn, h (а) = ] aV4dn,

4(а) = q * —亍)一4『] VW(Tdn+

厘 ОООООООО』

+ 沬 2 ] VWndn + 2r2 j nVWdn 4r2 j VWdn • j nV2dn ,

—oo—-oo—-oo—oo事

В(а)=竽—2g j VWdn — 2 j (声—q2)VWdn,

C(a) = 2 J aV^Wdn — 4ih j VWdn + 2ih (/ 一 1),

D(a) = J aV^Wdn-2ih j VWdn^ih^

Уравнение (1.13)——это возмущенное НУШ с коэффициентами, меняющимися вдоль световодной трассы. Оно аналогично более частному возмущенному НУШ, выведенному в работе [150], и переходит в него, если имеет место однородность по продольной координате и симметричность 8 по координате п. В этом случае Re j (а) = 0 и 4(°") = 0.

Возмущенное НУШ с постоянными коэффициентами изучалось в [150] с использованием результатов [151]. В случае переменных коэффициентов, так же как и в [150], слагаемое г [Im j (а) + &Г(а)] F отвечает за затухание волны. Поглощение энергии диэлектриком, характеризуемое членом Г(а), имеет место и в однородных волокнах, в то время как затухание, связанное с Imj(a) = 丁'(о)〉обусловлено продольной неоднородностью. Полученные формулы остаются справедливыми и при Г(а)〜£-1. Если поглощение еще более значительно, то необходим другой анзатц.

Вернемся к замечанию в связи с уравнением (1.1) в п. 2. В литературе наряду с (1.1) приводятся другие модельные уравнения:

△и — (fut)t = 0,△〃 — (fu)tt = 0-

Аналогичные задачи для таких уравнений и при некоторых видоизменениях зависимости / от 〃 могут быть исследованы совершенно так же, как в случае уравнения (1.1)——с помощью анзатца (1.5)(1.7). При этом полностью сохраняются все формулы, относящиеся к главному члену анзатца, в том числе левая часть (1.13). Может претерпеть изменение лишь поправочная правая часть (1.13), в частности,

могут появиться дополнительные слагаемые в формулах для С(о) и D(a). Это означает, что детальные экспериментальные исследования огибающей могут помочь уточнению физической модели процесса распространения по световоду.

Подводя итоги, отметим, что существенной особенностью процесса распространения короткого импульса в градиентном световоде со слабой продольной неоднородностью является его трехмасштабность. Эволюция быстрой фазы происходит с наибольшей, а эволюция формы огибающей импульса ——с некоторой средней скоростью, изменение же амплитуды огибающей представляет собой самый медленный процесс.

Нелинейные продольные волны в упругом стержне. Уравнение Кортевега-де Вриза

В этом параграфе обратимся к нелинейной теории упругости. В простейшем варианте упругой нелинейной среды, часто именуемой средой Мурнагана, кроме связанных с линейным описанием модулей Юнга и сдвига появляются в (изотропном случае) также три модуля Ландау [58]. Далее рассматривается простейшая задача о нелинейных продольных волнах в неоднородных стержнях кругового сечения. Наша цель ——получить уравнение, одновременно учитывающее как нелинейные эффекты, так и неоднородность стержня, а также дисперсионные эффекты, обусловленные свойствами материала и геометрией стержня. Такое уравнение оказывается возмущенным уравнением КдВ.

Известно (см. [58, 77]) выражение лагранжиана для однородного упругого стержня. Используя это выражение и учитывая дополнительно возможную зависимость упругих свойств материала от осевой координаты ж, получим уравнение Эйлера-Лагранжа

— c2Uxx — /3p~1UxUxx — 2£2Uxxtt — рТ EXUX-

-р此-2р^\Ре)хихи = 0. (2.1)

Здесь U = U(ж,力)——ж-я (вдоль оси стержня) составляющая вектора смещения; с =(石^一i)1’？——скорость распространения продольных волн в стержне (всегда меньшая по сравнению со скоростью продольных волн в безграничной среде); Е ——модуль Юнга; р —— плотность; /3 ——нелинейный параметр, выражающийся через модули упругости линейной теории и один из модулей Ландау 3-го порядка, 2 ——дисперсионный параметр, имеющий размерность длины и пропорциональный полярному радиусу инерции. Для большинства твердых материалов /3 < 0. Если площадь сечения стержня стремится к нулю, то и 2 fo. Уравнение (2.1) представляет собой обобщение известных уравнений продольных колебаний стержней. Однако оно неудобно для исследования ввиду своей громоздкости и отсутствия явных малых параметров.

Будем далее считать величины с, Е\ р, /3, 2 медленно зависящими от ж, например, будем полагать

信)，Е = Е 信)(2.2)

параметр,параметр,—некоторое значение—некоторое значениегде £ ——малый безразмерный параметра I.

параметр,

параметр,

—некоторое значение

—некоторое значение

независимые переменныенезависимые переменныех — ctT =х — ctT =(2-3)(2-3)Введем в (2.1) безразмерные

независимые переменные

независимые переменные

х — ct

T =

х — ct

T =

(2-3)

(2-3)

новую искомую функцию

V =UTJ2рс3 2“~о

пропорциональную продольной скорости частиц стержня, и рассмотрим получившееся уравнение. Параметр £ в этом уравнении не является единственным малым параметром. Амплитуда v (£, т) изучаемых нелинейных волн также предполагается малой величиной. Кроме того, изменение v (£, т) при изменении фазовой переменной т естественно считать большим, чем изменение по эволюционной переменной £. Если высказанные соображения применить к уравнению (2.1), преобразованному в результате подстановок (2.3)и (2.4), то видно, что при £ = 0 самые главные члены получившегося уравнения образуют оператор КдВ

К [и] = % + vvT + vTTT.(2.5)

Все остальные слагаемые в уравнении малы по сравнению хотя бы с одним из входящих в К [и].

Далее потребуем, чтобы слагаемые в (2.5) были одного порядка по отношению к некоторому амплитудному малому параметру 5. Для этого положим

и 〜8, ^-〜б"?, т 〜g-i/2.(2.6)

Теперь каждый член уравнения имеет определенный степенной порядок по £ и 8. Выпишем получившееся после подстановок (2.3), (2.4) уравнение, сохранив в нем кроме членов (2.5) поправочные слагаемые, имеющие порядок 0(8) по сравнению с главными, а также члены, линейные по £：

(久 + VVT + Vttt) + £# + *J+2g +

+ ； [ v^dr + 2。％ +] v^dr = 0, To = const. (2.7)

ToTO

В уравнении (2.7) члены, содержащие s, являются поправочными по сравнению с членами (2.5) лишь в том случае, когда

кКИ13/2-(2"8)

Этот случай и будет рассматриваться в дальнейшем. Введем в (2.7) малый параметр 5 явным образом. Для этого в соответствии с (2.6) и (2.8) положим

© = Sv, 丁 = б—"?匸 £ = 5一з/乞 £ =声/坛* (2.9)

Согласно (2.8) малые параметры F 乳 5 могут находиться в произвольном соотношении между собой. Подставим (2.9) в (2.7), опуская тильды в дальнейших формулах. Наконец, упростим поправочные члены в уравнении, используя тот факт, что с точностью до членов более высокого порядка малости имеем:

久=—vvT — VTTT,

После описанных преобразований уравнение приобретает вид

К®] + £必 ®] + SR2[v] + О2 = О,(2.10)

где

々м = ^© +

(2」1)

п ]3 I 31 2

尺2 =2 ^€тт + 万鏡％ — 2— ©т^тт =

=5©ттттт + 3wTTT + -^-vTvTT + 2v vT + 01,

символы О] и S обозначают величины первого и второго порядка относительно £ и 8. Уравнение (2.10) и есть искомое уравнение, описывающее нелинейные продольные волны упругой деформации в слабо неоднородном стержне. Это уравнение уточняет уравнение, полученное в работе [77].

Отметим, что во многом аналогичный вид имеют возмущенные уравнения КдВ при распространении гравитационных волн по поверхности жидкости (см. следующий параграф) и волн в газах, в которых протекают химические реакции. Для этих случаев также характерны полиномиальность возмущения по функции и и ее производным и наличие производных высокого нечетного порядка по фазовой переменной.

Длинные нелинейные гравитационные волны на поверхности жидкости переменной глубины. Уравнение Кортевега^де Вриза

Выведем уравнение КдВ, учитывающее одновременно как плавные неровности дна, так и нелинейные и дисперсионные члены до второго порядка включительно. Полученное здесь уравнение и его исследование далее в § 11 позволяют описать рост амплитуды волны цунами при накатывании ее на прибрежный шельф.

Рассматриваем гравитационные волны на свободной поверхности у = h{x,力)слоя В(х) < 夕 < Ь(ж,力)невязкой и несжимаемой жидкости. Дно у = В(ж) считаем жестким, движение жидкости —— безвихревым, невозмущенную свободную границу ——имеющей вид g = =/io = const, плотность р и ускорение g свободного падения — постоянными. После введения потенциала Ф(ж, у〉t) скорости v = ▽Ф и перехода к безразмерным переменным (масштаб длины Dg — некоторая характерная глубина, масштаб скорости vq = \/gD^ и т. д.) получаем

краевую задачу

%z + @gy=0(笈(富)V g V 九(富/)),(3.1)

①夕—Вх ^х\у=в(х)= &(3*2)

①у —自一hx ^х\у=цх^ = 0?(3*3)

屯 + I(ФХ + Фу) + - ho\y=h(x,t) = °-(3*4)

Условие (3.2) выражает отсутствие на поверхности дна нормальной к нему составляющей скорости жидкости. Условие (3.3) соответствует отсутствию сил, приложенных к свободной поверхности. Условие (3.4) — результат интегрирования уравнения Эйлера

vt +(V, V)v + ^Vp = F (3.5)

с учетом равенств F = ^Vb, р\у=цх 力)= 0 (р — давление).

В (3.1)-(3.4) уравнение дна и константу % считаем заданными, функции Ф(ж, у, t) и h(x, t) подлежат определению. При изучении эволюции поверхностных волн основной физический интерес представляет функция h(x, t). Поэтому функцию Ф(ж, у, t) будем стремиться исключить из уравнения и граничных условий.

Выделим явно малые безразмерные параметры задачи. Первый малый параметр £ связан с нелинейностью и равен отношению амплитуды поверхностной волны к характерной глубине слоя. Второй малый параметр S связан с дисперсией и равен отношению глубины

к некоторой средней длине волны А. Пусть среднее значение Dq глубины О(簿)二 Ло — В(ж) определяется равенством

。0 м ^(Omin + Отах))

где Dmin и Отах — наименьшая и наибольшая глубины рассматриваемого участка жидкости. Тогда

е 3 max \h(x,力)一hg \ ,(3.6)

6 = A)A-L(3.7)

Выше мы фактически уже выбрали Dq = 1.

Еще один малый параметр 0 характеризует изменения глубины, описываемой функцией

В(х) = Ь(0 簿))(3.8)

так что логарифмическая производная от В(ж) имеет порядок 0.

Наиболее интересный случай распространения гравитационных поверхностных волн имеет место при одинаковом порядке нелинейных и дисперсионных эффектов. Такой случай осуществляется при

6? = &* k = const(3.9)

и при выборе определенных масштабов для независимых переменных и искомой функции Ф.

Вывод уравнения для поверхностных гравитационных волн может быть осуществлен при различных соотношениях между малыми параметрами 0 и е. Однако применение асимптотических методов к этому уравнению потребует в дальнейшем выполнения неравенства

0《〜込(3.10)

Введем вместо ж, t новые независимые переменные

и новый потенциал скорости

屮=①之(3.12)

Величина。/气簿)имеет смысл скорости длинных поверхностных волн. Формулами (3.11) введено различие между вертикальным и горизонтальным масштабами. В соответствии с (3.6), (3.7) теперь характерный масштаб по оси у пропорционален амплитуде волны, по оси ж ——длине волны.

В новых переменных краевая задача (3.1) —(3.4) принимает вид

*0-1屮代 + 2g*0 —1/2屮ь + ；g*o_3/2屮g 需 + 产户%m + >o = 0,

(3.13)

出厂疗嘗(3屮-1/2 +叫)|-=0,(3.14)

^y + 62h^S2D^h^^

-£户0t/2(候^ + %也)一产户财屮儿j⑺)=0. (3.15)

一户3g + !(620一1 解 + 62^2#2 + %)+

+不1/2%北+卢(九-%儿jg)=0. (3.16)

При допущениях, сформулированных в начале этого пункта, условия (3.13)—(3.16) являются точными.

Исключим потенциал Ф из условий (3.14)-(3.16). Ищем неизвестные функции в виде рядов по степеням е:

^ = ^о + £九⑴(& 4)+⑵

3=e屮(1)(& 7g) +产3⑵(& 7g) +…

Параметр 6 считаем связанным c w соотношением (3.9). При выводе уравнения для поверхностных гравитационных волн мы не будем требовать выполнения неравенства (3.10), ограничиваясь более слабым предположением

0 w £*(3.18)

Подставим разложения (3.17) в условия (3.13)-(3.16). Граничные условия (3.15), (3.16) при у = h, разлагая в ряды

屮⑺[=W⑺]+ g九(1)屮y)卜О +产[九(2)屮у)+ ^九⑴2w以]「+一一

перенесем на невозмущенную свободную границу у = h^. В результате указанных подстановок получается система рекуррентных условий для определения 3⑴，九⑴，屮⑵，九⑵”

Преобразуем получающиеся условия, исключая функции 屮⑴, 屮⑵，...для того, чтобы получить уравнения лишь для функций 九⑴, 九⑵，... Самые первые условия из рекуррентной цепочки имеют вид

(3.19)(3.19)откуда следует, что 屮⑴ не зависит от у:屮⑴=屮⑴(& 〃) и

(3.19)

(3.19)

嘅=噎），W凯=В=0,

(3.20)

喈）1№+收=。，

(3.21)

(3.22)

Из (3.20) вытекает, что

(3.23)

*") ——неизвестная функция. После этого (3.21) с учетом удовлетворяется тождественно, а из (3.22) получаем

(3.19)

М2) = -(碍))2 + 唯.

(3.24)

На третьем шаге находим:

w^ =1/2(0一1/2w!?+ 2w1；)_ ^D^D^),

(3.25)

^\y=B = ^kD^2D^f\

(3.26)

⑶27)

九⑴(&〃)=叉"(&〃)”

На втором шаге имеем:

и уравнение, выражающее h^ через функции 屮⑶，屮⑵,屮⑴ при у =仇.Однократное интегрирование уравнения (3.25) по у с дальнейшим использованием (3.26), (3.27) и (3.22) дает соотношение, связывающее 九⑵(&力6⑴(&4)m W俨(8力В это соотношение, как и в равенство (3.24), функции 九(？)и 屮产)входят лишь в виде разности九(2) _ 叫；).Исключая эту разность, получаем уравнение для 九⑴:

K[h^] =3/2 九⑴川)=0”

l 」 之 4 "62s

(3.28)

Привлечение уравнений и граничных условий следующего шага после исключения функции 3⑷ и разности h^ —叫? (здесь 唁)(&〃) ——произвольное не зависящее от у слагаемое, возникающее

при интегрировании (3.25) и аналогичное 叫?)в (3.23)) приводит к уравнению, содержащему лишь h^ и h^:

^ра(2)+"[九⑴]=0,^ра(2)+"[九⑴]=0,(3.29)(3.29)

^ра(2)+"[九⑴]=0,

^ра(2)+"[九⑴]=0,

(3.29)

(3.29)

M[h] = 30一1九仆一!0-20,/2 + I0-5/2九2做 +

+ k ^Dh^j-J + ；07?九代 + /0_ "2九g 九代 + 彳 Q一"2 6九8代]+

+ ^^21)3/2九Egg + g/)i/2 I 九7mds + (D-，h& + ^D^1^2Dy) h^d^.

(3.30)

Еще один шаг дает уравнение, связывающее 九⑴,h^ и 九⑶,и т. д. На каждом шаге возникает одно дифференциальное уравнение по переменной у и три граничных условия ——следствия (3.13)-(3.16). Одновременно добавляются четыре неизвестные функции: h^,屮⑺ и функции 屮?)(&〃) И wf)(8〃), возникающие при интегрировании уравнения по у. Поэтому процесс нахождения условий для определения функций h^ может быть продолжен неограниченно.

Получим на основании (3.28) и (3.29) уравнение для

"(&=(九(&〃)一 =九⑴巴 4)+ £九⑵(&〃)+ …(3.31)

с точностью до членов О(е2). Поскольку К[Н] = K[h^] + еТ[九(？)] + + O(g2), то

К[Н] + еМ[Н] + О(е2) = 0.(3.32)

Уравнение (3.32) и есть искомое возмущенное уравнение КдВ для функции Н& 〃), обобщающее уравнение, полученное в работе [142]. Входящие в (3.32) операторы К и М определены равенствами (3.28) и (3J0).

При выводе уравнения (3.32) не использовано неравенство (3.10). Далее будем предполагать (3.10) выполненным и упростим оператор К подстановкой

"=|0-1/4m&4，(3.33)

Здесь, не вводя нового буквенного обозначения глубины, мы считаем D = £}(&〃)，где

а = 0(6е)т(3.34)

—малый в соответствии с (3.10) параметр. Предположение (3.10) приводит к отбрасыванию нескольких слагаемых порядка а в поправочном

операторе М. Наконец, для упрощения числовых коэффициентов положим к = 6. В результате уравнение (3.32) принимает вид

5? + 0-7/4(a 〃加% +01/2(a〃)%g + 8hw] + O(g2) + 0伯a) = 0, (3.35)

R[v] = _；0_ 3(a4)期 2% — ^0一3/4(a4)%%£一

_g0_3/4(ш?加%我一^炉勺叫加我我8 (3.36)

Уравнение (3.35)——возмущенное уравнение КдВ со слабо переменными коэффициентами. При а 〜£ это уравнение совпадает с уравнением (11.2), см. ниже. Вывод (3.35) базировался не только на стандартных допущениях, высказанных в начале п. 1, но и на двух предположениях. Первое предположение ——(3.10)——о весьма плавном локальном изменении глубины (глобальные изменения глубины при этом могут быть и значительными). Второе предположение — (3.9)— о связи малых параметров е и 6. Иначе оно означает, что параметр Эрселла U = @厂2 порядка единицы.

В том случае, когда нелинейные эффекты несколько сильнее дисперсионных, что обычно происходит при уменьшении глубины жидкости или увеличении параметра U, уравнение (3.35), (3.36) редуцируется к уравнению Гарднера с переменными коэффициентами

% + 1Л(£^иих — a(£t)uux + (3(£t)uxxx = 0,

а > 0, 0 > 0, д > 0, (см. далее § 12).

§ 4. Ионно-акустические волны в сильно намагниченной плазме. Уравнение Кортевега-де Вриза

оси Ох. Все входящие величины обезразмерены путем введения таких характеристических величин, как радиус Дебая, характерная ионная плазменная частота (4тгпое2/mi)1^2 и характерный электрический потенциал КТее 1. Другие обозначения здесь: К ——постоянная Больцмана, С ——нормированная характеристика магнитного поля:

С，47r (1 — 71)TTli

Va — альфвеновская скорость. Для ИАВ в рассматриваемых далее сильных магнитных полях Q ~ 1. Ионная скорость далее не предполагается безвихревой, отсюда следует невозможность введения потенциала скорости.

В этом параграфе рассматриваются определяемые системой уравнений (4.1) ИАВ малой амплитуды. Поэтому в системе уравнений (4.1) в действительности содержится малый параметр и к ее решению или преобразованию могут быть применены асимптотические методы. Далее для простоты полагаем задачу пространственно одномерной, а именно считаем, что волновой процесс развивается вдоль координаты ж.

Конечная цель параграфа ——построить для функций и = (v, еж), п и 9 отдельные эволюционные уравнения, в которые другие искомые функции уже не входят. В связи с этим ближайшая цель ——получить для функций п, п, g явные приближенные формулы.

Как было намечено, обращаемся к пространственно одномерному варианту системы уравнений (4.1)

П方+ u宓+ (nu)况=0,

^t + uux + 夕竄=0,(42)

xx —已"+ 1 + n = (К

Нас интересуют решения малой амплитуды для одномерных уравнений движения (4.2). Это означает, что все три искомые комплекснозначные функции u, п и 9 малы по модулю. Их амплитуды пропорциональны некоторому малому параметру е, 0 < е《1. Будем искать квазимонохроматическое решение с общей для n, n, g фазой Ф.

Высказанные соображения приводят к следующему асимптотическому анзатцу:

w = eUe^, n = eNe^, ^ = еФе^(4.3)

с общей для трех искомых величин фазой

(4Л)(4Л)屮=J + е@(仇 т), J = g + Р(т), ^ = kx — ®力Т = £力， Р^т) = р(т).

(4Л)

(4Л)

Постоянные /си®, как обычно, имеют смысл волнового числа и частоты. Функции U(^, т), N{0т), Ф(^, т), Ф(^, т) ищутся в виде рядов

u = /(仇 7) + e"(仇 7) + 一 一 N = No(仇 7) + eNi(仇 丁) +

①=①0 (仇7)+ £①1(仇丁)+「 矽=现(仇 7)+ g初1(仇 T)+ ...,

(4”5) члены которых зависят как от быстрой фазовой переменной 仇 так и от медленного времени т.

Подстановка анзатца (4.3)—(4.5) в систему уравнений (4.2) в самом старшем порядке дает дисперсионное уравнение

#2 + I =与(4.6)

и соотношения пропорциональности амплитуд

% = Q^o, No = q2①о, q 三 J(4"7)

которые, как устанавливается, не могут зависеть от 仇

Уравнения следующего порядка имеют вид

kUio — @№е + NQt = 2kqз 期 sin 仇

kUi — зN\ + pNQ = —2&q3①^ cos 仇

к?①lee — Q2^i + M — 2#2%W()e = -Фд cos ^,

12(4.8)

2屮①+炉①о%% = 5% sin仇

кФю - ®«е + UQt = кд2Ф^ sin 仇

足① 1 — ujUi + pUo = — &q2@^ cos 0.

Из системы уравнений (4.8) вытекает, что амплитуды Ид, %, Фо, связанные соотношениями (4.7), не зависят также и от т, т. е. являются постоянными.

Дальнейшие следствия этой системы уравнений для искомых функций Ф1, «, Ni, Зое являются результатом обычных преобразований. Исключая одни искомые функции, для других можно получить линейные неоднородные дифференциальные уравнения. В результате получаем

Ui = С cos J + Dp(r),Зое = G cos 0 + Нр^т).H оказываются следующими:зUi = С cos J + Dp(r),Зое = G cos 0 + Нр^т).H оказываются следующими:зФ1 = Л cos 0 + Вр(т\N\ = Е cos J + Fр[т\Постоянные Л, В, С7, О, Е, F, G,

Ui = С cos J + Dp(r),Зое = G cos 0 + Нр^т).

H оказываются следующими:

з

Ui = С cos J + Dp(r),Зое = G cos 0 + Нр^т).

H оказываются следующими:

з

с = q (d +1/6)с = q (d +1/6)Е =Е =q2 (2d — 3q2 — 1/6)q2 (2d — 3q2 — 1/6)q — 1q — 12（人产2（人产g = £①。，g = £①。，н =н =

с = q (d +1/6)

с = q (d +1/6)

Е =

Е =

q2 (2d — 3q2 — 1/6)

q2 (2d — 3q2 — 1/6)

q — 1

q — 1

2（人产

2（人产

g = £①。，

g = £①。，

н =

н =

Таким образом, после решения уравнений (4.8) главная неопределенность в решении задачи связана с тем, что пока неизвестна зависимость р(т), входящая как в общую фазу сложного волнового процесса, так и в поправки Ф], N、к амплитуде.

Далее переходим к уравнениям еще одного приближения. Не выписывая получающуюся громоздкую систему уравнений для функций Ф2, 厶, №, Wie, отметим, что из них следует постоянство функции р(т):

р(т) = р = const.

Главный физический вывод из полученных здесь формул состоит в установлении существования единой квазимонохроматической ионно-акустической волны, охватывающей синхронное изменение трех величин: акустической скорости и, электронной плотности п и потенциала электрического поля д.

К рассматриваемой задаче может быть применен и другой подход, связанный с выбором иного, отличного от (4*3)—(4*5) анзатца. При этом подходе будем считать малой эволюционную переменную t (время), поставим некоторые соответствующие постановке задачи начальные условия при 力=0 и будем решать получившуюся задачу Коши. Более детально такой подход будет развит в гл. 6. Здесь же мы ограничимся краткими замечаниями и приведением результата.

Чтобы избежать конкуренции малых параметров е и 力 в последующих уравнениях, будем вводить параметр е лишь в начальные условия. По этой же причине при формулировке анзатца не вводим медленное время 丁 = et.

Итак, будем искать решение системы уравнений (4.2) в следующей форме:

u = UiO.t)e^^^, n = N(仇力)产(仇3 9 =①(仇力)已2(仇3

3(仇力)=夕 + 力吸)(8) + . . ., 0 = X - ct,(4.9)

U(仇力)= 14⑻+力U1(J) +

где ряды для N(仇力)и Ф(仇力)аналогичны разложению для U(仇力), с ——постоянная. К уравнениям (4.2) добавляем малоамплитудные

начальные условия

U\t=Q = ей0, N\t=o = £n0,① 1方=0=£90, w1 宓=o =簿, (4.10)

в которых величины и。, no, до являются неизвестными константами.

Далее следует подстановка (4.9) в (4.2), приравнивание коэффициентов при одинаковых степенях 力 и решение получающихся рекуррентных уравнений. Не приводя соответствующих элементарных вычислений, отметим, что после удовлетворения начальным условиям (4.10) по крайней мере в старших порядках получаем для u, п и g те же формулы, что и в предыдущих пп. 2 и 3. При этом автоматически возникает медленная переменная 丁 = st. Такой результат говорит о том, что в случае малоамплитудных начальных условий (4.10) разложения (4.9) в действительности не требуют предположения о малости t.

Типичная явная итоговая формула имеет вид

и = eU ехр(£3),

U = q①о + eq(C cos 0 + Dp) + O(e2),(4.11)

屮=J + “G sin J + Hpff) + 0(d)*

Формулы для n и 夕 аналогичны.

Теперь нетрудно установить вид дифференциальных уравнений, которым удовлетворяют искомые амплитуды U, ^, Ф. При этом удобно перейти от независимых переменных 仇 丁 к независимым переменным ^ = 0 — рт = кх — Uji и т. Составив выражения для UU{ и Ug£& находим, что в старшем при е 一 0 порядке справедливо уравнение

UT + а。％ + (р + 曲① о)% 代=0.(4.12)

Это уравнение КдВ с тремя параметрами: а, р, Фо. Конкретные значения этих параметров зависят от начальных условий, которые могут быть поставлены для системы уравнений (4.2). Аналогичные стандартные уравнения КдВ получаем и для двух других искомых амплитуд: ^ и Ф, а также для @ое. Таким образом, теперь можно находить любую из трех искомых функций без определения двух ДРУГИХ.

Наконец, произведя вычисления с большей точностью, чем это сделано при выводе (4.11), можно получить вместо (4.12) уточненное уравнение КдВ

UT + aUU^ + (尸 + адФо)%代=e/?[l/],

в которое входит конкретный нелинейный оператор Я, представляющий собой полином как от функции U, так и от производных различных порядков от U по &

5. Акустические пучки в поглощающей жидкости.

Уточненное уравнение Хохлова-Заболотской-Кузнецова

Уравнения гидродинамики вязкой теплопроводящей жидкости позволяют получить [8, 84, 118] скалярное нелинейное волновое уравнение

加-с沁9 =吃[(△" + ^Ag + ^|^吊б】)

для широкого круга акустических процессов. Это уравнение описывает и нелинейные, и дифракционные, и диссипативные эффекты, его принято называть уравнением Кузнецова [55]. В (5.1)夕 ——потенциал скорости; со и ро — невозмущенные скорость звука и плотность жидкости; b ——коэффициент диссипации, выражающийся через коэффициенты теплопроводности и теплоемкостей ср, cv и вязкость; 7 = =Ср / % •

Из уравнения (5.1) может быть выведено уравнение Хохлова— Заболотской-Кузнецова (ХЗК) для описания ограниченных звуковых пучков в диссипативных жидкостях. В старшем порядке этому уравнению можно придать безразмерный вид (см. [118])

(Vx ——— z + Vzz) = 0,(5*2)

где 8 и N ——некоторые коэффициенты, а X ——координата, вдоль которой распространяется пучок.

Наша цель сейчас ——в выводе более точного по сравнению с (5.2) уравнения ХЗК.

Будем рассматривать плоские звуковые пучки, распространяющиеся вдоль оси ж, при единственной поперечной координате у. Для ограниченных пучков естественно предполагать, что потенциал скорости g зависит от переменных дж,，J7歹 и Z — ж/co, где 〃 一 малый безразмерный параметр. Введение этого параметра показывает, что волновое поле поперек пучка меняется быстрее, чем вдоль него. Величина 〃 имеет порядок отношения величины возмущений поля, обусловленных звуковой волной, к равновесным значениям [8].

Второй шаг преобразования уравнения (5.1) состоит во введении безразмерных переменных

жжс0a\с0a\и 1V =g密.管ои 1V =g密.管о

ж

ж

с0a\

с0a\

и 1

V =g密.

管о

и 1

V =g密.

管о

При этом Д =(7 + 1)/2,期0 ——некоторая характерная скорость жидкости, ® ——характерная частота, а ——характерный радиус пучка.

Сохраняя в преобразуемом уравнении лишь основные поправочные члены, приходим к безразмерному уравнению

(К —— eVW) — рУуу = (0 _ 1)(% 匕de)—

—М (Wx)0 + ^MVXX + «1 — (% VydO^ + a2^yy0 - &3匕從 (5"3)

Здесь M = vq/cqчисло Маха,

— Ьз_ Со

2/3дсоборо 5' 2^а2ш2Уо 5

Со"оЬш

ра2ш2 “ 2рроша2УороСо

Полученное уравнение (5.3) можно назвать уточненным уравнением ХЗК, поскольку оно кроме основных членов содержит и поправочные слагаемые ——правую часть. Первые три поправочных члена достаточно стандартны и пропорциональны числу Маха, четвертый член нелинеен, содержит производную Vy и описывает поперечное взаимодействие в пучке. Важная роль этого члена выясняется далее в § 30. Наконец, пятый и шестой члены пропорциональны коэффициенту диссипации Ь. Входящие в (5.3) параметры е и 夕 могут быть представлены как отношения характерных длин: е 二 /s//o, р = ls/ld^ где ls = с^/(0о;管°), la = 2cqPq/(bw2) и 〃 = 2ша2/cq — расстояния, связанные соответственно с процессами формирования ударной волны, с поглощением и дифракцией.

Глава 2

ВОЗМУЩЕНИЕ ТОЧНЫХ РЕШЕНИЙ

В этой и следующей главах рассматриваются возмущенные нелинейные задачи, для которых в отсутствие возмущения можно указать точное решение солитонного типа. Нетривиальный пример такой возмущенной задачи дает добавление к стандартному уравнению потенциального члена достаточно общего типа. Другой пример ——учет в уравнении высших дисперсионных и нелинейных слагаемых, не содержащихся в стандартном варианте рассматриваемого нелинейного уравнения. Такие уравнения часто встречаются в нелинейных задачах. Для них естествен подход, состоящий в отыскании решения возмущенной задачи с помощью анзатца, представляющего возмущение соответствующего точного решения. В нелинейных волновых задачах ряды возмущений обычно вводятся как в фазу, так и в амплитуду решения. Этому подходу и будет посвящена данная глава.

Часто перед выбором анзатца необходимо проделать некоторую подготовительную работу: найти нужное точное решение частной задачи (см. далее § 6) или привести исходную систему уравнений к одному стандартному возмущенному уравнению (§ 9).

Далее в главе будут рассмотрены задачи о распространении интенсивных волновых пучков (нелинейное уравнение Гельмгольца, § 6, 7) и сверхкоротких импульсов (возмущенное НУШ, § 8, 9). В обоих случаях речь идет о построении комплекснозначных сосредоточенных решений.

§ 6. Интенсивные стационарные волновые пучки в неоднородной среде. Двумерный случай

Будем моделировать распространение интенсивных волновых пучков с помощью нелинейного уравнения Гельмгольца, которое является классическим модельным уравнением нелинейной оптики и нелинейной теории волн в плазме [3, 40, 45]. Другая классическая модель [90, 113] описания нелинейных волновых явлений связана с НУШ, но ведет к совершенно аналогичным асимптотическим решениям для волновых пучков.

Сначала необходимо найти точное решение частной задачи. Это решение далее становится основой для выбора анзатца, относящегося уже к общему случаю.

Рассмотрим двумерное нелинейное уравнение Гельмгольца

△ 〃 + ф/ (|〃『)и = О,△ 〃 + ф/ (|〃『)и = О,а虞2十а虞2十(6.1)(6.1)

△ 〃 + ф/ (|〃『)и = О,

△ 〃 + ф/ (|〃『)и = О,

а虞2十

а虞2十

(6.1)

(6.1)

Функцию ф/ = / будем считать вещественной, она имеет смысл квадрата нелинейного показателя преломления. Будем искать комплекснозначные решения уравнения (6.1), сосредоточенные в окрестности некоторой прямой 2 на плоскости (ж, у) и имеющие смысл волн, бегущих вдоль 2工 Без ограничения общности можно положить, что произвольная прямая 2 совпадает с осью Ох. Тогда рассматриваемые решения можно искать в виде

у) = U(y)eiQM, Im U = Im Q = 0，(6.2)

где функция U(у) достаточно быстро стремится к нулю при у Т ±ос. Из (6.1) и (6.2) вытекает, что

Q'(rc) = q = const,(6.3)

а функция U(у) удовлетворяет уравнению

и〃®)+ 屮(炉®)) — Nu®) = 0"(6.4)

Уравнение (6.4) имеет интеграл

+ ①(炉)=2石=const •(6.5)

Считаем, что в (6.5) первообразная Ф выбрана так, что Ф(0) = 0. Прежде чем интегрировать (6.5), сделаем следующие предположения о потенциале Ф.

Рис. 1. Типичный вид по-Рис. 1. Типичный вид по-тенциала, соответствующе-го сосредоточенным реше-ниямтенциала, соответствующе-го сосредоточенным реше-ниямФункция Ф достаточно гладкая по отношению к своему аргументу.

Рис. 1. Типичный вид по-

Рис. 1. Типичный вид по-

тенциала, соответствующе-го сосредоточенным реше-ниям

тенциала, соответствующе-го сосредоточенным реше-ниям

(П) Разность Ф(ж) — Лж при Л > »(0) имеет хотя бы один положительный нуль, причем наименьший из таких нулей Жо(А) является простым.

Условие (II) обеспечивает (рис. 1) положительность разности XU — Ф([/2) при 0 < U <，力о(Х) и сосредоточенность

решения.

у -yG = ±у -yG = ±У ^ I/O, Уо = const.У ^ I/O, Уо = const.Положим в (6.5) Е = 0 и проинтегрируем еще раз:

у -yG = ±

у -yG = ±

У ^ I/O, Уо = const.

У ^ I/O, Уо = const.

(6*6)

Теперь (при Е = 0) подкоренное выражение имеет нуль второго порядка, равенство (6.6) определяет функцию U(у), экспоненциально убывающую при у Т в. Ясно, что верхний предел в (6.6) соответствует простому нулю разности Ф(ж)— —q2#, упоминающемуся в условии (П).

При 7/0 — 0 функция U (у) —— четная по у. Будем полагать, что Уо = 0, тогда U' и U" непре™ рывны при у = 0. Величина ^^ есть максимальное значение положительной функции U(у). Приведем еще (рис. 2) вид графиков U(у) и U'(у) при у Q.

Рис. 2. Графики решения и его Таким образом, для любой пря™ производной2 力L 2

мои 纟 на плоскости и любой коне™ танты q такой, что q? > Ф^(0) (мож™ но считать, что q > 0), может быть построено решение уравнения (6.1), сосредоточенное в окрестности 2. Это решение в выбранной координатной системе имеет вид

U®g) = U(g)edf),(67)

причем функция U(у) четная и определяется равенством

V^O

(6-8)(6-8)、 dz

(6-8)

(6-8)

Щу)

Отметим еще, что уравнение (6.1) есть модельное уравнение нелинейной теории волн в плазме, отвечающее случаю, когда нелинейная среда однородна. Решение (6.7), (6.8) интерпретируется как нелинейный стационарный пучок, а линия 2 ——как осевая линия пучка, прямолинейная ввиду однородности среды.

Обратимся к двум вариантам уравнения Гельмгольца в случае неоднородной среды:

△u + 0?<>m『(|u『，х)м = 0, о;》1,(6.9)

△и + <>m『(|u『，£Х)= 0,£ < 1.(6.10)

В обоих уравнениях функция Ф@2 положительна, х € Я2, △

Т2. Уравнение (6.9) есть уравнение с малым параметром е =公一工

при старших производных, а (6.10)——уравнение Гельмгольца для

слабо неоднородной среды. Уравнения (6.9) и (6.10) эквивалентны, так как преобразование подобия Xi = ex переводит одно из уравнений в другое. Уже отмечалось, что уравнения (6.9), (6.10) и их частные случаи являются основными модельными уравнениями в нелинейной электродинамике и нелинейной оптике. Кроме того, они весьма часто встречаются и в задачах математической и статистической физики (см., например, [81, 95]).

Для определенности рассмотрим асимптотические при х т ос решения уравнения (6.9). Будем искать комплекснозначные решения u{s^ п, ш) этого уравнения, сосредоточенные в окрестности некоторой достаточно гладкой кривой / и имеющие смысл волн, бегущих вдоль / (см. [19]).

В окрестности кривой Z введем обычную систему координат —— длину дуги 5 и расстояние по нормали п. Длину Z будем считать бесконечной, а координаты s, п ——меняющимися от —ос до оо. Положим Ф|и|2 (|п|2 , х) = /(|и|2,5, п). Возможная многозначность / по координатным переменным несущественна из-за сосредоточенности изучаемых решений, которые будем описывать с помощью приведенной (растянутой) нормали 沙=wn. Условие сосредоточенности запишем в виде

lim и = 0. (6.11)

Это условие ——нелинейный аналог условия, выделяющего нормальные волны внутреннего волновода [6, 7].

Изучаемое асимптотическое решение имеет смысл стационарного волнового пучка, кривая / ——осевой линии этого пучка. Изложенный далее асимптотический подход позволяет преодолеть существенную трудность, встречающуюся в подобных задачах: дает возможность отделить задачу об определении осевой линии I от задачи об определении сконцентрированного вблизи / поля.

Будем считать, что функция

о

удовлетворяет следующим условиям, вполне аналогичным условиям из п. 1:

Ф € С°° (по всем аргументам),

(П) Разность Лж — Ф(ж, s, 0) при всех s и при Л > /(0, s, 0) имеет хотя бы один положительный нуль, причем наименьший из таких нулей жд(А, s) —— простой.

График Л |〃『 — Ф(11£12 , s, 0) при фиксированном § по-прежнему таков, как на рис. 1. Примером функции /, для которой выполнены условия (I), (П), является функция

f(\u\2,s,n) = Q(S, п) \uf + P{s^ n), p > 0, Q(S, 0) > 0.(6.12)

Решение задачи будем искать в виде

u(s, n, g) = U(s,沙，g) exp [必Q($,沙，о;)],

u{s,u^) = e%(也沙2一小《(也沙心)=J20j(5^)w^j" 1 ⑹⑶

где Uj и Qj вещественны, все Uj экспоненциально убывают при 沙 Т Т ±оо, a Qj допускают при 沙 т ±оо не более чем степенной рост. Подставим (6.13) в (6.9) и отделим в получившемся уравнении вещественную и мнимую части:

△и +『[/(1Д 也 Е) _(▽◊)[ и = о,(б」4)

div((72VQ) = 0.(6.15)

Перейдем от (6.14) и (6.15) к рекуррентной последовательности уравнений, получающихся в результате приравнивания к нулю коэффициентов при каждой степени G. Поскольку

divUVQ) = J俨+ 1T^鳥^;，

(6.16)

(冗(6)——кривизна кривой /), то двум старшим уравнениям, следующим из (6.15), можно удовлетворить, полагая, что Qo и Qi зависят

ТОЛЬКО ОТ 5：

QojO) = I qoa(sf)dsf,о

где q()и 弘 подлежат определению.

Самое старшее уравнение, вытекающее из (6.14), имеет вид

u0人一就% + /(万,5, 0)% = 0.(6.17)

Это уравнение имеет первый интеграл

Ul = 2E(S)^ql(S)U^^UlS^)

и может быть проинтегрировано по р еще один раз:

р + h(s) = ±[2后⑶ + 届№—①(№,也 0)] I" dz, p > 0.

u0

Здесь h^ E и ^F^ ——пока произвольные функции от s, возникающие при интегрировании по и. Разность 届* _ ф^2, s, 0) кроме двукратного нуля n = 0 при

届(5)> /(0,5,0)(6.18)

имеет в соответствии с (II) простой нуль n =，#o(s) > 0. Этот нуль выберем в качестве верхнего предела интегрирования, а также положим E(s) = 0. Тогда бесконечному значению 沙 соответствует Uq = 0.

После выбора E(s) и c°(s) равенство

Ж о

沙 + b(s)二 士沙 + b(s)二 士[gg(s)z；2 - Ф(х；2, s, 0)「"2 dz,沙 > 0(6.19)

沙 + b(s)二 士

沙 + b(s)二 士

и。

определяет функцию Uq(s^ i/ ^ h\ экспоненциально убывающую при 沙 Т ±оо, так как при U° Т 0 нормаль 沙 определяется логарифмически

расходящимся интегралом.

При Л = 0 функция Uq — четная по и. Положим далее h(s) = 0, тогда %〃 и Uow непрерывны при 〃 = 0. Теперь，#o(s)二 Uo(s, 0)— максимальное значение функции Uo(s, р), изменяющейся в пределах 0 W %(也 р) W，力o(s)・ Графики Uq и [/о” при фиксированном s уже приведены на рис. 2. Отметим еще, что Uo(〃, s)=夕(〃,宛⑶,s) зависит от s и непосредственно, и через неизвестную пока функцию 宛⑶.

(6.20)(6.20)Дальнейшие уравнения, вытекающие из (6.14), имеют вид

(6.20)

(6.20)

771 = 1,2,

£ =-就 + /(^d，斗 °) + 2%%2(Ц|，5,0).

Самое старшее (члены порядка о;0) еще не использованное следствие уравнения (6.15) и формулы (6.16) имеет вид

力u沁")+ 小次⑶ Ц?) = 0*(6.21)

Интегрируя по 〃 с учетом экспоненциального убывания Uq при 沙 Т ±оо, получаем закон сохранения

9о4(9о, $) = Со = const,(6.22)

в котором

/о(до, 5)= I 宕山/= I (p2(u,qG,s)du, и уравнение

3Q2 _丄金du Uq3Q2 _丄金du Uqдо(5)j 嘴八)*(6.23)

3Q2 _丄金

du Uq

3Q2 _丄金

du Uq

Равенства (6.19) при 九=0 и (6.22) представляют собой интегралы нелинейных уравнений эйконала и переноса. Они образуют систему уравнений для определения функций Uo(〃, s) и q°(s) при условии, что кривая Z известна.

Дальнейшие следствия (6.15) аналогичны (6.21) и приводят к законам сохранения

J os、

+ ] G7n(U(b *Um—%〉Qo, * Qm—i? $, y^du = Cm, (6-24)

m = 1, 2,... и уравнениям

^11 = Hm(U0,Uu^^Q0.^^ Qg 5,沙)，m = 1, 2(6.25) для 片)& , а а м)Gi, G2,. . . , 〃2, ^3, • • • получаются явные выражения, eg, ci,. . . — постоянные.

Линейные неоднородные уравнения (6.20) при отмеченных условиях убывания при 沙 Т ±оо разрешимы лишь при условии ортогональности правой части (6.20) к соответствующим решениям однородной задачи, имеющим вид A^Uq^^s^ у) (при любом 厶⑶):

(6.26)(6.26)2qo UQUQV^^dy + FmUQvdu = 0, m = 1,2,...

(6.26)

(6.26)

При выводе (6.26) использовано (6.25), Fm аналогично Fm.

Будем предполагать, что

(6.27)

Тогда условие (6.22) при фиксированном значении константы со определяет единственную функцию qo(s). Пусть эта функция удовлетворяет неравенству (6.18). В ряде частных случаев, например в случае (6.12), это неравенство выполнено при всех 5.

Условию разрешимости (6.26) при m = 1 можно придать вид

ОО

du 卜0)/(吃 5, °) + ^/п(ж, 5,0)]出с = 0(6.28)

—оо О

илиили— (1/2) j <K(U^$,O)d沙— (1/2) j <K(U^$,O)d沙(6"29)(6"29)

или

или

— (1/2) j <K(U^$,O)d沙

— (1/2) j <K(U^$,O)d沙

(6"29)

(6"29)

Условие (6.28) задает соотношение между кривизной 尤⑶ кривой /, f(U^ 5,0) и /n(U^,5,0), обобщающее требование равенства нулю эффективной кривизны в теории линейного уравнения Гельмгольца (см. [6]). Мы приходим здесь к естественному обобщению важного в линейной теории понятия ——к нелинейной эффективной кривизне

К [s, Uo] = K(s) + Фп(^о, s,0)db> Ф(明 s,o)d"

= Ms)+ ^為 In j ^Uls,n)d^n=o

кривой /, зависящей не только от локальных свойств этой кривой и показателя преломления д/Д, но и от амплитуды волны Ug.

Условия (6.28), (6.29) не могут быть выполнены на произвольной гладкой кривой L Необходимое условие разрешимости поставленной задачи *) о построении сосредоточенного в окрестности Z решения состоит в равенстве нулю нелинейной эффективной кривизны этой кривой. Следует еще отметить, что условие (6.29) не задает естественного уравнения кривой /, так как правая часть в этом условии также зависит от выбора L

Пусть далее условие (6.28) выполнено. Тогда уравнения (6.20), (6.23)-(6.26) позволяют найти все дальнейшие члены рядов U и Q. Из (6.20) при m = 1 находится исчезающая при 沙 т ±оо функция «(s, 〃). Ее четная часть U, = q\{dU^/dq^ выражается через q°, 41, Uo, а нечетная часть U、——через произвольную функцию 4(s) (коэффициент при %〃 ——собственной функции оператора £), q° и Uq. Подстановка « в (6.24) при m = 1)при которой исчезает U； вместе с 4(б), дает уравнение

弘弘a(q。,厶)Oqoa(q。,厶)OqoCl,Cl,(6.30)(6.30)

弘

弘

a(q。,厶)Oqo

a(q。,厶)Oqo

Cl,

Cl,

(6.30)

(6.30)

определяющее согласно (6*27)弘⑶.Далее подставляем “ в (6.26) при т = 2. Четность по 沙 функции Q2(s, 〃), вытекающая из уравнения (6.23), приводит к исчезновению первого слагаемого в (6.26) (т = =2) и позволяет единственным образом при 夕 * 2 определить 4(s). Теперь функции “(也沙)и 弘(§) = Q；($) полностью определены, от™ носительно Q2(5, р) установлена только ее четность по %

Следующий шаг связан с нахождением U^Q? и происходит, в основном, аналогичным образом. Эти функции определяются из (6.20) при m = 2 и из (6.23) при m = 1, причем четная и нечетная части обладают свойствами, аналогичными свойствам U, и U[* При этом “(s,沙)содержит неизвестный коэффициент Л2(«), a Q2(s, р) определяется с точностью до неизвестной аддитивной функции B2(s). Функция 石2(5)определяется из (6.24) при m = 2, в этом равенстве не содержится 4(s), входящее в U] После этого условие (6.26) при m = 2, вообще говоря, позволяет найти 4⑶.Дальнейшие шаги, определяющие функции Um, Qm (ш = 3,4,.. .), происходят так же, как при т = 2.

Построенное в виде разложения (6.13) решение существенно отличается от решений аналогичной линейной задачи:

амплитуда в нелинейном случае оказывается сосредоточенной в более узкой окрестности / шириной О (о;—】) (вместо О (о;™1/2));

фазовая скорость волны в нелинейном случае оказывается зависящей от амплитуды Uq и содержит произвольные не целочисленные, а вещественные константы eg, ci, . . . Вошедшая в решение константа со в соответствии с (6.22) пропорциональна полной интенсивности изучаемого волнового пучка.

Если условие (6.27) не выполнено, то при данном со уравнение (6.22) может определять несколько различных функций q°(s), соответствующих различным зависимостям фазовой скорости от s. В окрестности точек слияния различных решений уравнения (6.22) для построения асимптотики решения необходим другой анзатц.

В частном случае (6.12) формулы для главных членов разложений (6.13) значительно упрощаются. Интеграл (6.19) в этом случае вычисляется, что приводит к явной формуле

“(i)=“(i)=(0 + 2)(届⑶-员也0))2q(s, 0)(0 + 2)(届⑶-员也0))2q(s, 0)(6.31)(6.31)

“(i)=

“(i)=

(0 + 2)(届⑶-员也0))2q(s, 0)

(0 + 2)(届⑶-员也0))2q(s, 0)

(6.31)

(6.31)

Обращаясь далее к (6.22), вычисляем /° и находим условие

(6.32)(6.32)宛(届—0(叽 O))2/pT/2 = 2oq2/p(5,o),

(6.32)

(6.32)

определяющее до⑶,со — произвольная постоянная, выражающаяся через со：

(2 V/P『(2/Р + 1/2)

2V¥(p + 2丿 F(2/p)鄧*

Условие (6.18) теперь принимает вид 就⑶ > Д(я, 0), и для решений уравнения (6.32) оно всегда выполнено в силу положительности q(s, 0). Зависимость qo(s) от заданных функций а(也 0), Д(я, 0) удобно представить как зависимость 0 = (/。户一1/2(翼,0) от 〃，= =雷/%(5)0)/?т(也 0)* Эта зависимость определяется уравнением 0(俨—l)2/p—1/2 =〃2/р и представлена на рис. 3. Нетрудно проверить,

что бифуркация фазовой скорости возможна лишь при р > 4 (т. е. при весьма сильной нелинейности) и только в тех точках кривой /, в которых

从⑶633)

Условие (6.33) при данном р > 4 выполняется лишь при специальном соотношении между q(s, 0) и /?(я, 0).

Наконец, условию разрешимости (6.28)——условию, наложенному на кривую /,——можно придать более конкретный вид:

(2届on(s,0) / go Лn

(6.34)

-1-1Такова должна быть связь между к, а, ап, Д и /3n на /, чтобы в окрестности / могли быть построены изучаемые решения. Для функции qi ⑶,определяющей поправку к фазовой скорости, на основании (6.30) получаем

-1

-1

弘⑶=?1%⑶(*⑶一 Д(5,0))(*⑶一 £°(呼0))

Перейдем к вопросу об определении кривой /. Начнем со случая степенной нелинейности (6.12), когда условие, которому должна быть подчинена эта кривая, имеет вид (6.34).

Перепишем (6.12) в декартовой системе координат, полагая в окрестности /

а(ж, у) = Q(5)п) > 0,6(ж, д) = Д(5, п).

Тогда вдоль любой гладкой кривой ж = Х(§), у = Y(s) на основании условия (6.22) получим равенство

40⑻[加⑶—Ь(Х,У)『/РТ/2 = Soa2/p(x, У% (6.36)

Равенство (6.36) однозначно определяет 的⑶ вдоль любой гладкой кривой независимо от функции U()(也 〃).Будем считать, что точки бифуркации, в которых выполняется равенство (6.33), на рассматриваемых кривых отсутствуют.

Далее положим, что ж = X(s), g = У(§) — уравнения кривой /. Из формулы (6.34) вытекает условие

(b^Y) + f) + I (бКУ) - 0 需Lo +

+ (1 + J^L = 3(6・37)

связывающее на / известные функции а(Х, У), 6(Х, У), qo(s) с кривизной к(з)* Коэффициент при к в (6.37) всегда положителен.

Используем элементарные равенства

m⑶=X"⑶r ⑶一x/(6)У"(力

為=心)显-X，⑶今(6.38)

X'2(s) + У'2(§) = 1

и введем функцию 歹⑶:

X(s) = J cos F^ds, ¥(s) = J sin F^ds. (6.39) о0

Формула для У (s) записана в предположении, что /п([/2, s, 0) < 0.

Если 力1(1/2)s, 0) > 0, то У(s) = — [sin F(s)ds.

о

Использование формул (6.38), (6.39) позволяет записать условие (6.37) в виде системы трех обыкновенных дифференциальных

уравнений первого порядка:

Xz(s) = cos FYf(s) = sin F(6.40)

Ff(s) = 7i(X,匕 s) sin F + 72(X, ¥, s) cos F,

где

x = X ,y = Yx = X ,y = Y1 ， ("争1 ， ("争

x = X ,y = Y

x = X ,y = Y

1 ， ("争

1 ， ("争

Добавим к уравнениям (6.40) начальные данные

Х(0) = Х°, У(0) = К,歹(0) = &*(6.41)

Задание чисел Х“ Yq, Fq означает фиксацию некоторой начальной точки и начального направления кривой /. При достаточно гладких функциях а(ж, у)^ b(c,g) функция q0(s), а также функции 71 и 72 тоже являются достаточно гладкими. Для Х(б), У (б), 歹⑶ имеют место очевидные оценки

|X(s)|W 也 YO)|W 也 产⑶I W J臂 + 臂応(0 s < ос).

о

Решение задачи Коши (6.40), (6.41) существует при 0 ^ s < ос.

Дополнительным препятствием к построению при всех рассматриваемых s кривой /, определяемой уравнениями (6.40), могут быть лишь точки самопересечения этой кривой. Можно указать ряд частных случаев среды (6.12), когда уравнения (6.40) интегрируются и кривая / строится при всех 6.

В отсутствие точек бифуркации и самопересечения для среды, описываемой равенством (6.12), полученные формулы дают асимптотическое решение поставленной задачи.

Обратимся к построению осевой линии / в общем случае функции f. Как и в предыдущем пункте, нужно определить функцию до на плоскости (ж, д) независимо от нахождения Uq{s, у}. Преобразуем для этого равенство (6.22). Во входящем в (6.22) интеграле /° перейдем от переменной интегрирования 〃 к z = U^2(s, и). Получим равенство

=Со,=Со,(6.42)(6.42)现（赤5）

=Со,

=Со,

(6.42)

(6.42)

Qo

о

обобщающее (6.36) и служащее для определения q0(s). Здесь так же, как и в условии (П), z = xq ——наименьший положительный нуль

подкоренной разности. Будем предполагать, что условие (6.42) определяет функцию до однозначно.

Преобразуем выражение для кривизны ^(s). Перейдем и в (6.29) к переменной интегрирования z. Получим формулу

аm j ^就："：［s,o）（6'43）

для кривизны осевой линии. Снова используем соотношения (6.38), (6.39). Вновь получаем систему дифференциальных уравнений (6.40), но с более сложными выражениями для функций 71, 72：

®o®o-1-1©(%, s, 0)dz©(%, s, 0)dz1 "am(%)也 o)/a 优Г ф(^, s, o)dz

®o

®o

-1

-1

©(%, s, 0)dz

©(%, s, 0)dz

京z - m(羽s)o)京z - m(羽s)o)00(7.1)(7.1)

京z - m(羽s)o)

京z - m(羽s)o)

0

0

(7.1)

(7.1)

(6.44)

Как и в случае степенной нелинейности, задача Коши(6.40),(6.41) определяет осевую линию пучка до выхода на точку бифуркации или

точку самопересечения.

7. Интенсивные стационарные волновые пучки в неоднородной среде. Трехмерный случай

Переходим к уравнениям Гельмгольца (6.1) и (6.2) в случае х Е R3. На этот раз для определенности выберем второе из этих уравнений:

Au + f(\u\2 , ЕГ)и = 0, £ < 1,/ > 0,

〃(『,£)— искомая комплекснозначная функция, / = Ф®2 — заданная функция.

Для уравнения (7.1) будем искать асимптотические при £ f 0 решения, сосредоточенные в окрестности некоторой кривой / и имеющие характер волн, бегущих вдоль этой кривой. Сосредоточенные решения, по крайней мере в старшем порядке, будем считать обладающими осевой симметрией. Как и в задаче из §6, кривая /, в окрестности которой концентрируется решение, не произвольна, а определяется по заданной функции f. Тогда асимптотическое решение уравнения (7.1)

как раз и имеет смысл стационарного волнового пучка, а кривая / —— осевой линии пучка.

Важно отметить, что изложенный асимптотический подход и в трехмерном пространстве позволяет во многих случаях разделить задачи об определении осевой линии / и об определении сконцентрированного вблизи / поля.

Пусть г = £-1R(ct) —— уравнение линии /, ст = es, s —— длина дуги вдоль /. Рассмотрим связанную с / систему координат (р,夕，а), г = g —iR(cr) + р [v(cr) cos(夕—⑦(о)) + р(сг) sin(g —⑦(сг))], у и В — еди™ ничные векторы главной нормали и бинормали к /, фг{а) — кручение /.

Для отыскания сосредоточенных в окрестности / решений уравнения (7.1) используем анзатц, аналогичный анзатцу (6.5):

〃(厶£)= U(р, а, £)exp(i£"1Q(p, а, £)),

U = Uo(. а) + eU^p,а) + ...,

(7.2)

<2 = QoS) + eQi(。)+ £2Q2(p,

Qo,i(^) = qoj(b), Imt/j = ImQj = 0 (/》0).

Для того чтобы разложение (7.2) описывало сосредоточенный пучок, наложим следующие требования: при р ^ ос все функции Uj должны экспоненциально стремиться к нулю, а все функции Qj иметь не более чем степенной рост. Поскольку поправочные члены рядов U и Q зависят от 夕)мы допускаем малые отклонения рассматриваемых пучков от осевой симметрии. Разумеется, все Uj и Qj периодичны по(^ с периодом 27r.

Отделяя в (7.1) вещественную и мнимую части, получаем

△и —2u(vq)2 + 〃и4 R⑺ + 0t丄)и = 0,

(7"3) r± = p [v cos(夕一⑦)+ B sin(夕一吵)],

div([/2VQ) = 0.(7*4)

Самое старшее уравнение, вытекающее из (7.3), имеет вид

UQpp + :%。+ [/(и^Ща)) — *(内]Uo = 0.(7.5)

Можно доказать (см. аналогичные рассуждения в [68, §2]), что при достаточно большом до(^) среди решений уравнения (7.5) существует решение, удовлетворяющее условию Uqp(Q, а) = 0, экспоненциально исчезающее при р т 土ос и не имеющее нулей при конечном р. Это решение и будем далее иметь в виду; оно зависит от Qo(a) как от параметра.

Из (7.4) следует серия законов сохранения. Старшее следствие уравнения (7.4) имеет вид

^(Qopt^o) + ^(QzppU^) + ^ (:QzqUj = о. (7*6)

Интегрируя (7.6) по р и по 夕,находим первый из законов сохранения:

Qo4(Qo, <т) = Со = const,Qo4(Qo, <т) = Со = const,/o(w) = J pU^dp.о/o(w) = J pU^dp.о(77)(77)

Qo4(Qo, <т) = Со = const,

Qo4(Qo, <т) = Со = const,

/o(w) = J pU^dp.о

/o(w) = J pU^dp.о

(77)

(77)

Равенство (7*7) позволяет находить функцию q0((t). Пусть это условие при фиксированном с。определяет до единственным образом. Итак, если осевая линия / известна, то равенства (7.5) и (7.7) полностью определяют qq и Uq, а тем самым —— главную часть 力унк・ ции 〃(г)£)*

Условие, определяющее кривую /, есть условие разрешимости линейной неоднородной задачи для “, вытекающей из (7.3). Соответствующее уравнение имеет вид

=二^；(。«0)^—+ [2/u2(Uj,R(cr))L/^ + f([/q,B(ct))] « = P opp

=Fi(l/0, go, Qi,色沙 P)，c), (7.8)

к — кривизна l. Правая часть 片 должна быть ортогональна ядру линейного оператора L. В указанное ядро входят функции Uqp cos 夕 и Uqp sin p (иначе: 9Uq/9x и 9Uq/ду). В результате приходим к двум условиям разрешимости (ортогональности), которым после учета явного вида 尸[и некоторых преобразований можно придать вид

(2届/о — К)^(а) =[夕①口立⑴加 ,

^ j 夕①(U*£r)d°^ j 夕①(U*£r)d°(7.9)

^ j 夕①(U*£r)d°

^ j 夕①(U*£r)d°

=0.

]T=eTR

Здесь К = j pUlpdp, Ф(^,г) = j /(方，『)4方，— и — ^ символы диф™ оо

ференцирования в направлениях главной нормали и бинормали к /.

Соотношения (7.9) и есть уравнения, определяющие осевую линию /. Но эти уравнения должны рассматриваться совместно с (7.5) и (7.7), определяющими поле. В общем случае функции f(\u\^ , sr) уравнение (7.5) (в отличие от плоской задачи) можно решать только численно и не удается разделить задачи об определении поля [/0 и об

определении осевой линии пучка.

В ряде частных случаев задача существенно упрощается. Пусть f (|и|2 , ег) = а(ег) \и\р + Ь(ег), а > 0, 6 > 0, р > 0.(7.10)

Тогда

UoS«) = ('Одо 阮)© (J虚一阮夕), а0(<т) = а|г , b0(a) = 6|г .

°(7.U)

Функция и(с)——положительное решение уравнения

и"⑺ + 丄 t/(c) + &P+i(c) — v(x) = 0(7.12)

co свойствами v^O) = 0, lim v = Q. Теперь входящий в условие (7.7) интеграл /° вычисляется:

=(就—b^^a^J^ J。= j xv2(x)dx = const, (7.13) 0

а само условие (7.7) принимает вид

(7.14)(7.14)Qo(Qo 一 Ьо)2/рТ = coJ^a^.

(7.14)

(7.14)

Известно (см. [44]), что Jo 弋：1,86. Удобно толковать уравнение

как уравнение, определяющее зависимость 亚⑺匕。"(ст) от

изображен на рис. 4.изображен на рис. 4.=д,. Вид этой зависимости при различных р

изображен на рис. 4.

изображен на рис. 4.

При р W 2 и при р》4 однозначно для каждого значения со определяется функция q^d^ связанная с фазовой скоростью пучка. При 2cpe 4 в точках д, = ^^(2р — 4)2/р™х(4 — р＞/2—2/р (11PH этом до = у^，р/(4 — р)) происходит бифуркация фазовой скорости. При этих же значениях р (см. [44]) имеет место неустойчивость стаци

онарных пучков относительно продольных возмущений.

Интеграл/д И /р =Интеграл/д И /р =1心(呜…)M — R 01心(呜…)M — R 0в этом случае выражается черезв этом случае выражается через=J pU^^dp. Но о=J pU^^dp. Но оможно показать, чтоможно показать, чтоУсловия (7.9) в случае (7.10) сильно упрощаются.

Интеграл

/д И /р =

Интеграл

/д И /р =

1心(呜…)M — R 0

1心(呜…)M — R 0

в этом случае выражается через

в этом случае выражается через

=J pU^^dp. Но о

=J pU^^dp. Но о

можно показать, что

можно показать, что

厶=£^、「а，к =々（就一瓦）4

В результате условия (7.9) преобразуются к виду

”0)=2 图4—)+?]乳…r(,)，”0)=2 图4—)+?]乳…r(,)，(7」5)(7」5)

”0)=2 图4—)+?]乳…r(,)，

”0)=2 图4—)+?]乳…r(,)，

(7」5)

(7」5)

g（£『）=g（£『）=In а(£『)+ In Ь(£『)"In а(£『)+ In Ь(£『)"где

g（£『）=

g（£『）=

In а(£『)+ In Ь(£『)"

In а(£『)+ In Ь(£『)"

(7.16)

Обращаясь в случае (7.10) к дальнейшим следствиям уравнений (7.3), (7.4), найдем явную формулу для 内⑺ и получим сведения о зависимости Q2(P, 6 о) и “(〃 夕，＜т) от угла 夕” Прежде всего отметим, что из (7*6) после интегрирования по р с учетом (7.7) вытекает независимость Q? от д.

Усредним уравнение (7.8) по 夕)вводя функцию

27r

S(〃b)=万 J 5(p＞屮)a)dy0

Функция Ui в случае (7.10) удовлетворяет линейному уравнению

Uipp + 万。1。+(Р + 1)«о^о ^i —(话—瓦)齿=2qoQi^o- (7.17)

Умножая (7.17) на pU^ и интегрируя по р, находим

Р«о pU^Uidp = 2q0qi/0. оР«о pU^Uidp = 2q0qi/0. о(7.18)(7.18)

Р«о pU^Uidp = 2q0qi/0. о

Р«о pU^Uidp = 2q0qi/0. о

(7.18)

(7.18)

Второе соотношение, содержащее Qi, найдем, умножая (7.17) на P2Uqpj интегрируя по р и используя уравнение (7.5):

Qo J pU^Uidp + (qq 一 bo) ] pUQUidp = qoqih.(7.19)

о0

Однако условия (7.18), (7.19) содержат два неизвестных интеграла, и из них нельзя еще определить функцию qi((r)* Необходимое третье условие получается, если привлечь уравнение, собирающее члены с е в (7.4). После интегрирования по р и 屮 это уравнение дает закон сохранения

qi/o + 2qo pUoUidp = ci,(7.20)

о

в котором константа q аналогична константе с。в (7.7). Из (7.18)(7.20) следует явная формула для qj

12 4。(届-Ь。)-(7.21)

с。Р(<?о - bo) + 2(2 - p)q0

Знаменатель в (7.21) обращается в нуль только в точках бифуркации, в окрестностях которых наши построения недействительны.

Правая часть / уравнения (7.8) всегда имеет сравнительно простую зависимость от 夕：

歹 1 = ^10(Р, b) + ^ic(p, b) cos(3 - 中(b) + ^хДр, b) sin(3 - 中(b))”

Отсюда следует, что

«(亿夕,а) = Ui(p, а) + Ulc(p, а) cos® — ^(а)) +

+ Uis(p, a) sin* — ^(а)). (7.22)

В случае (7.10)

歹io = 2qqQj Uq ,Fi с = ^^Qq pUq + 汽U()p — P(U《 а”© + b^Q^UQ,

儿=-р(^а/зо + b/3o)U(b 5(。)=裏「, а(зо(^) = |||^,

b^Q(a) и b^Q(a)——аналогичны. В формуле (7.22) Ui, Uic^ Uis — экспоненциально убывающие при 0 foe решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений. Функция Ui удовлетворяет уравнению (7.17), функция U±c — уравнению

функция U\$ ——аналогичному (7.23) уравнению с правой частью F\s. Соответствующее (7.23) однородное уравнение имеет частное решение Uop.

Таким образом, в старшем порядке при £ f 0 распределение поля пучка в окрестности / осесимметрично и имеет вид

义 exp {[+ О(£)]. (7.24)

В связи с независимостью Q2 от 夕 главная часть асимметрии пучка связана с “ и описывается формулой (7.22). Диаграмма распределения Ui — Ui по углу 夕—中(<т) имеет характер эллипса с полуосями \U1C\ и \U1S\.

В случае степенной нелинейности типа (7.10) можно указать план последовательного определения всех искомых характеристик пучка. Сначала в каждой точке интересующей нас части трехмерного пространства посредством условия

Q(£F)[q2(£F)一 Ь(£Г)『"Т = С()丿丁川勿(£Г)

определим функцию q(er). В соответствии с (7.14) на искомой кривой г = £ —1R((t) эта функция превращается в qo(a) = g(R(cr)).

Условия (7.15) с помощью формул дифференциальной геометрии (см., например, [79])

и несложных преобразований превращаются в систему дифференциальных уравнений второго порядка

R" + …(R) [(h(R)R)R/ - h(R)] = 0.(7.25)

В (7.25)歹(er) = I ]%^(4-P)+P , h(R) = V g|r=e^1R,力 унк- ция g(£『) определена формулой (7.16), функция 歹(£『)не обращается в нуль нигде, кроме указанных выше точек бифуркации.

Задав значения R(0) и R'(0) (начальная точка и начальное направление осевой линии), получаем задачу Коши для (Х((т), У (а), Z(a))= =Ж(а), которая, как показывают априорные оценки, разрешима при всех ст》0. Однако если построенная таким образом кривая / имеет точки самопересечения, то решение имеет смысл лишь до первой точки самопересечения. Наконец, после определения / формула (7.11) дает распределение амплитуды поля в нормальном к / сечении и изменение этого распределения с изменением а.

Обратимся к вопросу о соответствии между описывающими пучки решениями нелинейного уравнения Гельмгольца и решениями нелинейного параболического уравнения. При этом прежде всего должен быть установлен сам вид нелинейного параболического уравнения в случае неоднородной среды.

Чтобы получить указанное параболическое уравнение, необходимо (см. [93]) с помощью подстановки

虱=exp Q<2o(^)) V(/ ri)(7.26)

△=△=перейти в (7.1) к новой искомой функции V ——функции ослабления В.А. Фока — и пренебречь в получающемся уравнении некоторыми второстепенными членами. Разделим оператор Лапласа на операторы, связанные с дифференцированием вдоль осевой линии и поперек ее:

△=

△=

% = 1 — £к(а)р cos((p — ^(а)).

Подстановка (7.26) в (7.1) приводит к уравнению

-EeQqoKj + 必以)=△丄»+

+ [/(|V|2,^r) 一凉一 &2q^pcos3 - V7)] ^ + O(s2VY (7.27)

Это и есть нелинейное параболическое уравнение в случае неодно™ родной среды. Если среда однородна, то 窕=const, к, = ^ = 0, вместо длины дуги я = a/s естественно использовать декартову координату %. Тогда уравнение (7.27) принимает хорошо известный вид:

一2油也二△丄卜+ U(V12)一就]k

Возвращаясь к случаю неоднородной среды и к уравнению (7.27), отметим, что из (7.27) легко может быть получено амплитудное уравнение (7.5) и условия (7.7), (7.14), определяющие фазовую скорость. Однако точность уравнения (7.27) недостаточна для нахождения осевой линии пучка и определения распределения поля по углу 夕"

§ 8. Солитонные импульсы в нелинейной среде в субпикосекундном диапазоне

В параграфе исследуется воздействие высших дисперсионных и нелинейных членов модельного уравнения на свойства ультракоротких импульсов.

Речь пойдет об использовании обобщенного НУШ

12х + 九七 + 21^I2 中一箫次"+ 分)(1^I2 吵％ = 0,Д > 0, 7 > О

для комплексной амплитуды ^(ж,方)огибающей световодного импульса. Применение субпикосекундных и фемтосекундных импульсов обусловлено многочисленными дополнительными возможностями для световодных устройств и, в частности, возможностью увеличить передаваемые мощности. Однако в указанных диапазонах необходим гораздо более аккуратный учет нелинейных и дисперсионных эффектов. Имеются серьезные теоретические доводы [31, 100, 114, 135] в пользу того, что дополнительные члены с /3 и)в (8.1) позволяют описать переход в субпикосекундный диапазон. Следует отметить, что такие члены естественно появляются при последовательном асимптотическом выводе уравнения типа (8.1) в § 1. Член (|中『中)七 учитывался в работах [29, 46, 48, 60, 98, 100, 137], а член 中的 ——в [29, 98, 116]. Некоторый класс возмущений НУШ был изучен также в работе [176].

Однако полученные до сих пор результаты не полны и не дают возможности сравнить влияние указанных дополнительных членов и их воздействие на свойства импульсов. Наша цель здесь ——проанализировать влияние членов с /3 и)на уединенные решения. Далее здесь и в § 28 мы используем два асимптотических подхода. Эти подходы являются взаимно дополняющими. Первый из них связан с тем, что уравнение (8.1) при /3 = 7 = 0 имеет двухпараметрическое солитонное решение

北=ch[a(L叫 ехР 卜* —— °2) 4(&2)

Здесь параметр а описывает солитонную амплитуду и его обратную ширину, b — солитонная скорость (по отношению к общему движению с групповой скоростью). Использование этих параметров ——важный элемент дальнейших построений. Второй из упомянутых подходов применяется в гл. 6. В результате оказывается, что влияние отмеченных дополнительных членов в уравнении (8.1) весьма велико и их учет ведет к значительным изменениям структуры сигнала.

Чтобы выяснить роль дополнительных членов в уравнении (8.1), введем степенные по /3 и 7 ряды в фазу и амплитуду анзатца:

гФ

①二 Ф0(ж,力)+ Д^(ж,力)+ 7^(ж,力)+ …

Q = Qo(z,力)+ Др(ж, t) +)q(z,方)+ • . •

Предполагаем, что /3 и 7 — вещественные постоянные, а 9, §,，q — вещественные функции. Естественно положить

@0 =2力一(n— a)Qo = a(力_be)

в соответствии с формулой (8.2).

Подставляя анзатц (8.3) в уравнение (8.1), получаем две системы уравнений:

9古力 + (thQo)Ptt9古力 + (thQo)Ptt/2/2-1)丛=|a2b (1 —-1)丛=|a2b (1 —

9古力 + (thQo)Ptt

9古力 + (thQo)Ptt

/2

/2

-1)丛=|a2b (1 —

-1)丛=|a2b (1 —

厶"2峥一加2 +川（「^）,厶"2峥一加2 +川（「^）,(8Л)(&5)(8Л)(&5)

厶"2峥一加2 +川（「^）,

厶"2峥一加2 +川（「^）,

(8Л)

(&5)

(8Л)

(&5)

九 + (thQО)^ 一厶e + 2a (京一1)仇方=i^^,

Здесь £ = д/дх + b д/dt. Конечно, в уравнениях старшего порядка влияние дополнительных членов с /3 и с 7 разделяется. Система (8.4) описывает воздействие члена с /3, система (8.5)——аналогичное воздействие члена с 7.

Наиболее интересный случай решения выписанных систем соответствует условию

а》1,(8.6)

когда начальная амплитуда солитона велика.

Начнем с системы (8.5). В случае (8.6) эта система имеет простое решение:

£ = — ^ th Qo + О(а°),

q = — § (ch Qo + 31nchQo) + O(a°), которое ведет к следующей формуле для вещественной амплитуды:

*=ch[Q°+\g(Q。)]' Qo = a(I 吟(8.7)

нормированной на единицу в точке ее максимума.

Будем рассматривать поведение функции A(Qo)- Предположим, что произведение а? = а мало, несмотря на неравенство (8.6). Даже для малых значений параметра а формула (8.7) дает значительное изменение формы импульса. Амплитудный максимум сдвигается вправо, в точку Qo = 0,2а. График амплитуды (рис. 5) становится несимметричным. Правая точка перегиба (на заднем фронте импульса) смещается влево на величину —0,1а и вверх на 0,4а. Левая точка перегиба (на переднем фронте) заметно уходит вправо на величину 1,4а и тоже вверх на 0,4а. Общая ширина графика уменьшается. Крутизна графика возрастает на переднем фронте и уменьшается на заднем, что вообще характерно для действия нелинейных членов. Общее изменение нормированной амплитуды 4Qo) под действием члена 分)(|V『^)t

Рис. 5. Невозмущенный (линия 1) и возмущенный (линия 2) импульсы. Звездочками отмечены точки перегиба

весьма близко к аналогичному изменению амплитуды под влиянием некоторых типов слабых продольных неоднородностей при /3 = ) = 0 (см. [12]). По-видимому, можно указать конкретные виды продольных неоднородностей, эквивалентные по вызываемой амплитудной модуляции действию обсуждаемого дополнительного нелинейного члена.

Перейдем к случаю системы (8.4), описывающей влияние высшего дисперсионного члена 少田・ Снова предположим, что условие (8.6) выполнено. Получаем решение

9 = а(3thQo — /Qo) + О(а°),

р = |a(ch2 Qo + 3 Inch Qo) + О(а°)

системы (8.4) и амплитудную формулу

А = [ —二.(8.8)

ch[Q0 + /3p(Q0)]° 丿

Здесь по-прежнему Qo = а(力—bx).

Противоположность знаков функций 夕(Qo) и q(Qo) говорит о том, что член с /3 вызывает деформации амплитудного графика, противоположные по знаку описанным выше в связи с формулой (8.7).

Из формул (8.7), (8.8) вытекает (см. разложение (8.3) для Q) общая формула для нормированной амплитуды:

ch[Qo + Pp(Qo) + 7g(Qo)]

описывающая амплитудную модуляцию сигнала. После подстановки

p(Qo) и q(Qo) эта формула принимает вид

ch Qo +(2" § (ch2 Q + 3 In ch Q)

Видно, что при

2Д = 7(8.10)

форма огибающей сигнала, по крайней мере в старшем порядке, не изменяется. Таким образом, при условии (8.10) дополнительные члены в уравнении (8.1) компенсируют друг друга.

Солитонные импульсы в фемтосекундном диапазоне.

Система уравнений двухуровневого приближения

Сверхкороткие импульсы света представляют существенный интерес как для фундаментальных исследований (сверхбыстрые процессы в физике, химии, биологии), так и для прикладных задач, связанных с созданием волоконно-оптических систем связи. Среди методов формирования сверхкоротких импульсов света преобладают нелинейнооптические с использованием волоконных световодов (см., например, [34, 130]). В субпикосекундном и фемтосекундном диапазонах необходим гораздо более полный учет нелинейных и дисперсионных эффектов, чем в случае импульсов большей продолжительности. Имеются серьезные теоретические доводы [31, 100, 114, 135] в пользу того, что два дополнительных члена (нелинейный и дисперсионный) в НУШ позволяют описать переход в субпикосекундный диапазон. Следует отметить, что указанные дополнительные члены в НУШ естественно появляются при последовательном асимптотическом выводе уравнения для огибающей импульса (см. [70, 104], а также § 1).

В фемтосекундном диапазоне описанное усложнение НУШ является недостаточным, необходим учет взаимодействия сверхкороткого импульса с веществом. Общепринятый вариант этого учета представляет двухуровневая модель вещества. В простейшем случае такая модель приводит к системе уравнений

讪X =；次七+ n2 一分)(几中)七十(9.1)

ant + n = |^|2 — r |^|4 , a > 0, r > 0,(9.2)

в которой к НУШ добавлено феноменологическое уравнение релаксации [31, 74]. Здесь 以力，方)——комплексная амплитуда огибающей импульса,冗(с,力)——вещественная функция, определяющая степень возбуждения более высокого из двух имеющихся квантовых уровней. Для простоты, выписывая уравнение (9.1), мы пренебрегли членом, связанным с затуханием импульса в процессе распространения. Недостаток релаксационной модели (9.2) в том, что она, описываемая

уравнением первого порядка, не учитывает процесс возвращения на невозбужденный уровень. Поэтому пользоваться этой моделью можно лишь при не слишком больших значениях t.

Из всех содержащихся в (9.1) и (9.2) коэффициентов (Д, 7, г, а) коэффициент а, связанный с временем релаксации вещества в поле сверхкороткого импульса, имеет особо важное значение. Его влияние на искажение формы импульса представляет основной интерес.

Уравнение (9.2) интегрируется:

п(ж, t) = — exp [—丄(力—，)][|V(z)，)『—『I以с,力‘)广]d，，(9.3)

а рассматриваемая система уравнений может быть заменена одним интегро-дифференциальным уравнением. Однако как исходная система уравнений, так и получающееся интегро-дифференциальное уравнение слишком громоздки для аналитического исследования в общем случае. Далее будем считать все коэффициенты 仇 у г, а малыми. Нетрудно видеть, что в этом случае система уравнений (9.1), (9.2) в старшем порядке может быть заменена возмущенным НУШ

S [如三分中宓一5娱七一IWI中=+ 7^2 + Д^з + 丁h4) (9*4)

в котором

A1 = 一(@『卜沙 r2 =九

h3 =分次也 h4 = 一 I*4"

Наша цель в дальнейшем ——проанализировать влияние возмущающих членов (9.4) (и особенно релаксационного члена aRi) на деформацию уединенного импульса. В последующем анализе возможно использование различных асимптотических подходов (см. [69, 70]). Эти подходы являются взаимно дополняющими. Для них важную роль играет то, что невозмущенное уравнение 5 [^] = 0 имеет двухпараметрическое солитонное решение

В этом решении параметр а описывает солитонную амплитуду и его обратную ширину, b — солитонная скорость (по отношению к общему движению с некоторой групповой скоростью). Исследуем возмущение солитонного решения (9.5) в целом. Воздействия параметров 乱 7, а,『на возмущение солитонного решения в старшем порядке являются независимыми. Роль коэффициентов /3 и 7 уже

была выяснена в работах [69, 70]. Ниже мы рассмотрим влияние релаксационного параметра а.

Введем степенные по а ряды в фазу и амплитуду анзатца:

(9.6)

ф =仇(с,力)+(т^(ж, t) + . . .,(9.7)

Q = Qo(z,力)+(rq(z,力)+ 工…(9.8)

Функции ф и Q вещественны. В соответствии с (9.5) положим

фо =—万力 + 2 ( — а I ж, Qq = at — -abx.

Получаем систему уравнений для поправок g, q:

+ 伙七 th Qo — b⑦—2% + 2aqt ( 2= 4a3,

Veil Qo / ch Qo ,(99)b丄3厶 1п

Наиболее интересный случай решения системы(9.9) соответствует условию

а 》1)(9.10)

когда начальная амплитуда солитона велика, см. также (8.6).

При условии (9.10) в системе уравнений (9.9) следует ввести быстрые переменные

丁 =仪力)^ = аж, Qu = т - ；b£

и положить

9 = а9о(£)т) + О(а°), q = ад()(& т) + О(а°).(9.11)

Это позволяет установить, что 夕° зависит лишь от £ = а力 и

窕=^(ch2Q0 + 31nchQ0) > 0.(9.12)

Важное следствие полученных формул связано с поведением солитонной амплитуды

4Q。)= ch@ + aw(Qo)『(9 13)

Qo = Т — ；Ь&

вызванным тем, что безразмерное время релаксации вещества а > > 0. Даже при малых значениях произведения аа формула (9.13) демонстрирует существенное изменение формы импульса.

Точка амплитудного максимума для невозмущенного солитона находится при Qo = 0, а точка перегиба такова, что в ней ch Qo = V2, sh Qo = 1. Из (9.13) следует, что при а > 0 максимум %(Qo) сдвигается влево, в точку Qo ^ —0,2а<т. График амплитуды делается несимметричным. Правая точка перегиба смещается вправо на величину 0,1а(т и вниз на 0,4а(т* Левая точка перегиба заметно уходит влево на 1,4а(т и тоже вниз на 0,4а(т. Общая ширина графика уменьшается.

Исследование обсуждаемой задачи другими приемами будет продолжено в § 10 и в § 29.

Глава 3

ВОЗМУЩЕНИЕ ТОЧНЫХ РЕШЕНИЙ.

ВАРЬИРОВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ

НЕВОЗМУЩЕННОГО СОЛИТОНА

Как и в предыдущей главе, здесь рассматриваются возмущенные нелинейные задачи, для невозмущенного варианта которых существует точное решение солитонного типа. Но если в гл. 2 в основе выбора анализа для решения возмущенной задачи лежало добавление поправочных членов или некоторых разложений к амплитуде и фазе невозмущенного решения, то здесь в основу построений мы полагаем варьирование постоянных параметров точного решения. А именно: эти постоянные параметры будут заменяться функциями медленной эволюционной переменной. Центральный момент развиваемого в данной главе подхода состоит в нахождении дифференциальных уравнений для указанных функций.

Конкретная реализация обсуждаемого подхода осуществляется по- разному в случае возмущенных уравнений типа НУШ для комплекснозначных решений (см. § 10) и в случае возмущенных уравнений типа КдВ для вещественных решений (§ 11, 12). В случае НУШ вывод искомых дифференциальных уравнений для варьируемых параметров осуществляется путем элементарных манипуляций над изучаемым возмущенным дифференциальным уравнением. В случае же уравнений КдВ и Гарднера построение аналогичных дифференциальных уравнений достигается на основе нетривиального выбора подходящего анзатца. Этот анзатц содержит фазовую переменную, которая включает в себя дополнительный ряд по степеням малого параметра. Кроме того, для построений в § 11, 12 необходимо знать решения, составляющие ядро некоторого оператора, сопряженного к исходному оператору КдВ (или соответственно Гарднера).

В нелинейных эволюционных задачах с малым параметром весьма типичен рост самого малого параметра в процессе эволюции. Это приводит к тому, что наступает момент, когда описывающие процесс асимптотические формулы перестают действовать. Пример такого явления ——распространение малоамплитудных волн различной

физической природы, когда в ходе распространения амплитуда волны нарастает и начальное асимптотическое приближение перестает быть адекватным.

Естественный путь в возникшей ситуации, когда малого параметра в задаче уже нет, — дополнить асимптотический анализ численными расчетами. Иначе говоря, можно осуществить сшивание не двух аналитических выражений, широко известное в литературе [72], а сшивание аналитического результата с численным. Пример такого комбинирования асимптотики и численного расчета содержится в § 13.

Варьирование параметров солитона НУШ.

Поведение импульсов в фемтосекундном диапазоне.

Система уравнений Захарова

Рассмотрим возмущенное НУШ с одним малым параметром е

浊—；必七—|屮『屮=£&№],0 < ^ < 1.(10.1)

Точное односолитонное решение невозмущенного НУШ имеет вид

瞑=—ch瞑=—chexpexpжж(10.2)(10.2)

瞑=—

ch

瞑=—

ch

exp

exp

ж

ж

(10.2)

(10.2)

и содержит два параметра: а и Ь.

Будем считать, что в ходе эволюции, описываемой возмущенным уравнением (10.1), формула (10.2) в старшем порядке сохраняется, но параметры а и 6 в ней уже не постоянны, а являются функциями медленной переменной

X = ЕС*(10.3)

Наша ближайшая цель ——получить дифференциальные уравнения для а(Х) и Ь(Х).

Умножим уравнение (10.1) почленно на комплексно сопряженную функцию 吵* и вычтем из него комплексно сопряженное уравнение, предварительно умноженное на 沙 Результат проинтегрируем по t в бесконечных пределах. Получаем

(Ю-4)(Ю-4)

(Ю-4)

(Ю-4)

Интеграл в левой части после подстановки ф = ф8 (формула (10.2)) легко вычисляется:

dt 二 2a.

В результате уравнение для функции а(Х) имеет вид

dadaj （A［明少-/fm*侬）d九j （A［明少-/fm*侬）d九(10.5)(10.5)

da

da

j （A［明少-/fm*侬）d九

j （A［明少-/fm*侬）d九

(10.5)

(10.5)

Далее умножим уравнение (10.1) на 屛 и сложим с комплексно сопряженным уравнением, умноженным на 吵加 Результат снова проинтегрируем по f в бесконечных пределах:

г j (叭с&^ 一吋匕吵"山=£ j (兄《^ +兄*吵"4九

Можно доказать, что интеграл, стоящий в левой части, допускает следующее преобразование:

一吋匕次）血=!g I吵牌+吵*次）d九一吋匕次）血=!g I吵牌+吵*次）d九

一吋匕次）血=!g I吵牌+吵*次）d九

一吋匕次）血=!g I吵牌+吵*次）d九

Комбинируя полученные равенства и подставляя выражение (10.2), находим второе дифференциальное уравнение

需=—(R[^ + R^]^t)dt.(Ю.6)

Уравнения (10.5) и (10.6) определяют медленное изменение параметров солитона в процессе распространения возмущенного импульса.

Используя уравнения (10.5), (10.6), выясним динамику солитонных параметров а и 6 под действием возмущающих членов в (10.1). Отметим, что входящие в формулы (10.5), (10.6) интегралы

не зависят от быстрой переменной х. Поэтому в соответствующих подынтегральных функциях можно полагать ж = 0.

Применим уравнения (10.5) и (10.6) для решения задачи о взаимодействии сверхкороткого импульса с веществом, которая была сформулирована в § 9.

Начнем с исследования влияния релаксационного параметра а, полагая в (10.5) и (10.6) £ = а^ Xi = ах и R = R、= —吵(|砲？)仆 При этом оказывается, что da/dxi = 0, т. е. амплитудный параметр солитона

не изменяется с координатой ах. Уравнение (10.6) принимает вид

dbdx

[(I[(Idbdxidbdxi16 4 =15°16 4 =15°или

[(I

[(I

dbdxi

dbdxi

16 4 =15°

16 4 =15°

Таким образом,

b(®i) = b(0) + ^a4ax.(10.7)

Видно, что солитонная скорость убывает с ростом времени релаксации. Такое замедление процесса из-за релаксационных явлений представляется естественным.

Изменение параметра b в формуле (10.5) означает, что в процессе распространения к стандартному солитону ф8 добавляется слагаемое

Ца%®* = —{1 卜—— |acth 卜，一^)] }^- (10.8)

Обращаясь к влиянию малых параметров г,仇 7, устанавливаем, что для всех трех параметров правые части в формулах, аналогичных как (10.7), так и (10.8), равны нулю. Таким образом, в старшем порядке изменение параметров г, /3, 7 не ведет к изменению параметров

солитона.

Оценим влияние малых параметров г, /3, 7 с большей точностью. Уточняя формулу (9.4) на основании (9.1) и (9.2), получим

1°

分吵第一 5吵"一 1吵「吵=+ 7^2 + <r3 +『A4 +

+ arR5 + a2RQ + ayR7 + yrRs + O3, где

几=吵(I吵14)九 J =以I什/ a7 =矶以I什)川 A8 = (V#广)九

Ab 兄2, Аз и 兄4 были определены в § 9, а символ О3 обозначает члены третьего порядка.

Учет члена arR^ позволяет изучить зависимость параметров солитона а и 5 в формуле (10.2) от медленной эволюционной переменной g = гх. Используя (10.5), (10.6), находим

da db 12861286 .

衣- = —aa , b(g) =而(Ю.9)

Таким образом, и в следующем порядке зависимость параметра а от g отсутствует, а зависимость b от £ является весьма слабой.

Рассмотрим еще один пример возмущенного НУШ, а именно безразмерную систему уравнений Захарова (см., например, [42, 52, 172])

7n«-(n+|^|2)^ = 0,

iEt + Ехх ^пЕ = 0以

для ленгмюровских волн в плазме, бегущих вдоль координаты х. Здесь п — возмущение плотности плазменной среды (вещественная функция), Е ——комплексная амплитуда волнового поля, параметр 7 пропорционален отношению v^/с2, vs ——фазовая скорость ленгмюровского солитона, с — скорость звука.

Пусть 7 <С 1. Тогда возмущение плотности п можно исключить из системы уравнений (10.10). Для функции Е получаем возмущенное НУШ

^^ + ^ + |^I2^ = 7^[^],

(10.11)

后 J J 2 K J J J J。(72),

которое лишь непринципиально отличается от уравнения (10.1). Переходим в (10.11) к обозначениям п. 1 посредством замены

t t 一力, X ^ t.

Тогда для невозмущенного солитона по-прежнему справедлива формула (10.2). Для производных от параметров а и 6 находим

^ = п "Sb) = п dx ， dx -

Таким образом, для уединенного решения возмущенного уравнения (10.11) указанные параметры не зависят от медленной переменной X.

Установленное отсутствие изменений параметров соответствует известному точному решению

e = ,282(1 一済)不由金工顼exp卜[衣讲»]卜

(В = const, с = const) системы Захарова (10.10), поскольку параметр 7 не входит ни в быстро изменяющуюся фазу, ни в главную часть амплитудного множителя.

Возмущенное обобщенное уравнение Кортевега — де Вриза

В связи с необходимостью решения уравнений (2.10), (3.35) и других подобных им уравнений, рассматриваемых в физике, в этом параграфе будем заниматься асимптотическим решением возмущенного

обобщенного уравнения КдВ

ut + ирих + иххх = sR[u^ £灯) р = 1, 2,. . ., 0 < 5 <С 1.(11.1)

Уравнения вида (11.1) и при р > 1 связаны с весьма важными физическими моделями. Здесь правая часть R ——некоторый дифференциальный оператор по отношению к первому аргументу 〃(力，力) и обычная функция второго аргумента. В конце параграфа будет также рассмотрен вопрос об асимптотических решениях более общих уравнений вида

щ. + A(£t)upux + B(£t)uxxx 二 eR[u^ £诈(11.2)

Аналогичные построения применимы для уравнения Гарднера (см. § 12) и уравнения Бенджамина-Оно.

Будем изучать возмущающее действие правой части (11.1) на солитонные решения. Точнее, речь пойдет об асимптотическом решении задачи Коши со специальным начальным условием односолитонного типа. Такая задача существенно сложнее задачи ) о так называемом непосредственном возмущении солитонов, изученной в работе [75] (см. также [7, гл. 6]).

Рассматриваемую задачу о действии возмущения на солитоны можно решать двояко: 1) методами Уизема и Льюка [91, 155] или 2) модифицированным методом обратной задачи рассеяния [50, 51]. Второй подход применим только к тем уравнениям, которые в отсутствие возмущения при g = 0 интегрируются стандартным методом обратной задачи. Для уравнений (11.1) это имеет место лишь при 夕= =1 и 夕=2. Первый подход является несравненно более элементарным, однако применительно к уравнениям типа КдВ в литературе существовало убеждение, что он, определяя амплитуды солитонов, дает меньшую точность в определении координат уединенных волн. Ниже будет показано, что первый подход, как и второй, позволяет определить координаты солитонов с точностью до О(52).

Перейдем к точной постановке задачи. При 5 = 0 невозмущенное уравнение

〃t + u^Ux + u 宓宓宓=0(11.3)

имеет солитонное решение

_2

Us(z, а) = ach-z = х — ct + жо, 7 = -,(11.4)

причем а,仇 с связаны соотношениями

成=之(p + 1)(p+ 2)产 с = 7252,(U.5)

0

в которых одна из трех констант ——а, b или с ——произвольна, как произвольна и начальная фаза xq. Для ограниченности некоторых окончательных выражений будем считать, что 夕 * 4.

Добавим к уравнению (11.1) начальное условие

°с112/р(6(жо + ж))人丿

и будем искать решение задачи Коши в классе быстро убывающих при х Т ±ос функций. Условия при х Т ±ос уточним в следующем пункте в связи с характерным для уравнений типа (11.1) эффектом образования хвостов солитонов. Таким образом, наша задача есть задача о деформации солитона Us под действием возмущения.

Анзатц для решения поставленной задачи должен учитывать вид правой части (11.6) и не может поэтому быть буквальным повторением разложений, применяемых при упомянутом выше непосредственном возмущении солитонов. Используемая далее схема метода возмущений допускает увеличение числа произвольных элементов за счет представления быстрой фазы в виде разложения по степеням 5. Такое увеличение числа произвольных элементов оказывается весьма важным при решении задачи Коши. Поэтому будем искать асимптотику решения задачи (11.1), (11.6) в виде

N

2 c丁 = £九(11.7)

Главный член правой части U(z, 丁) = Us(z^ а(т)) определяется формулами (11.4), (11.5), но теперь будем полагать, что

Z =力一g - %(丁, 5),(11.8)

где q зависит от медленного времени т. Величины а, 5, с теперь зависят от т, но по-прежнему подчиняются соотношениям (11.5). Функция q учитывает изменение скорости солитона под действием возмущения. Эту функцию также будем считать разложенной в ряд по степеням 5：

д(т)5)= д0(т) + £夕1(丁) + • • •(1L9)

В целом первое слагаемое U разложения (11.7) описывает деформацию солитона Us под действием возмущения, а поправки и±^ и^^ •.. могут содержать неизбежно возникающую в общем случае несолитонную часть решения, которую как раз и принято называть хвостом солитона.

Перейдем в уравнении (11.1) от переменной х к переменной z согласно формуле (11.8) и подставим (11.5), (11.9) в (11.1). Приравнивая члены нулевого порядка по 5, получаем

с(т)=必(丁).(11-10)

3 И.А. Молотков

Чтобы завершить определение а(т), 5(т), с(т) и 亚⑺ в соответствии с (11.5), (11.10), нужно еще найти одну из этих функций, например a⑺.

Поэтому наша следующая цель ——найти а ⑺ и % ⑺,что позволит определить главную часть разложения U(z, т). Для этого следует рассмотреть члены первого порядка по 5 в (11.1) и (11.6), что приводит к линейному уравнению для функции u—z, t, т):

厶〃1 = Uit — culz + ulzzz + ^(U°〃i) = Ф,

'(1L11)

T 1 du t 屮=r口,丁]一赤+分(丁)不^

и начальному условию

ui|『 = S(11.12)

При решении уравнения (11.11), как и в предыдущем параграфе, переменные z〉3 т можно считать независимыми.

Уточним класс функций и^ среди которых ищется решение задачи Коши (11.11), (11.12). Поведение функций Uj (j》1) или, что то же, разности u — U при ж Т ±ос связано, как выше уже отмечалось, со специфическим явлением образования хвоста солитона. Причину возникновения хвоста можно понять из элементарных соображений, связанных с законами сохранения. Невозмущенному уравнению (11.3) отвечают, в частности, законы сохранения

j udx = const, I u2dx = const.(11.13)

Если же 5 7^ 0, то величины (11.13) уже не сохраняются. Из уравнения (11.11), если его проинтегрировать по z от —ос до ос, видно, что при ] Wd% * 0 величина w j U\dz> интегрально характеризующая роль поправки £&i к солитону U)линейно растет со временем 3 что и означает появление хвоста солитона. В.И. Карпман и Е.М. Маслов в работе [51] подробно исследовали этот эффект и показали, что хвост отстает от солитона и влияет на его скорость. Такие выводы были получены с помощью техники обратной задачи рассеяния, с использованием интегрального уравнения Гельфанда-Левитана-Марченко.

Наша цель состоит в учете явления образования хвоста без применения упомянутой сложной техники, более простым путем. Оказывается, что это можно сделать (см. [16, 66]), если правильно сформулировать условия на бесконечности, налагаемые на решения уравнения (11.11).

Будем искать 〃i в следующем классе функций: 〃i т 0 при z Т Т ос вместе с u±z и uizz] 〃i ограничено при z Т —ос и 力 т ос вместе

с Ui? и u±zz. Эти условия означают, что поправка к солитонной части решения обязана быстро затухать в области перед солитоном и может затухать медленно или вообще не затухать сзади солитона. Такой выбор условий вполне естествен: зона отрицательных z ——зона, уже возмущенная солитоном. В области же z》1 солитон еще не побывал.

В дальнейшем считаем, что медленное время 丁 € [0, то], где то < < ос. При этом £《у% и при g т 0 время t может принимать сколь угодно большие значения.

Для разрешимости линейной неоднородной задачи (11.11), (11.12) со сформулированными условиями при z Т ±ос необходимо выполнение некоторых условий ортогональности. К выводу этих условий и переходим.

Рассмотрим сопряженное с (11.11) однородное уравнение

£*Ж = —% + ф)Ж. — РУ??? — UPWZ = 0.(1L14)

Нас интересуют решения этого уравнения, быстро убывающие при z Т —ос и ограниченные при z т ос. Такие решения, умноженные на решение 〃i уравнения (11.11), взятое из указанного выше класса, будут составлять выражения, исчезающие как при z т ос, так и при z т —ос”

Первое нужное решение уравнения (11.14) очевидно:

Ж1 = U(z, 丁)*

Это решение экспоненциально убывает при z Т ±ос.

Второе решение ищем в виде

W2(z,t,r) = tW1(z)^g{zl(1Ы5)

зависимость Ж1 и g от переменной 丁 краткости ради опущена. Функция g(z) удовлетворяет уравнению

L^g = ^Жь(11.16)

Решение (11.16) в рассматриваемом классе заведомо существует, так как правая часть Ж1 ортогональна к функции РУ；, составляющей ядро оператора L — d/dt.

Функция g(z) имеет простой смысл. Оператор £ — несамосопряженный. По теории М.В. Келдыша, полную систему собственных функций можно получить, лишь учитывая еще и присоединенные собственные функции. Формула (11.15) и дает стандартное конструирование присоединенной собственной функции, отвечающей нулевому собственному значению.

Перейдем к построению g(z). Введем для этого новую искомую функцию %(z) = g(z)/W[{z). Из (11.16) вытекает дифференциальное уравнение для функции 九⑶,которое легко интегрируется. После интегрирования выписанного уравнения, а также уравнения, получающегося для g(z), находим явную формулу для И^- Эту формулу мы 3*

запишем чуть иначе, чем (11.15), используя возможность умножать решение на любую функцию от т. Окончательно имеем:

W2(z, f, т) = с(т)Ш(z, т) + ^^ j U(z「T)dz‘一 |zU(dT)工

Функция W2, очевидно, удовлетворяет следующим условиям по z: она экспоненциально убывает при z т — ос и ограничена при z т ос. Кроме того, все ее производные экспоненциально исчезают при z т т dzoc.

Выведем теперь искомые соотношения ортогональности. Умножим обе части (11.11) на Ж1 и проинтегрируем по z от —ос до ос. Введя скалярное произведение

〈九 g〉= I fgdz.

получаем

(Ь^1,Ж1) = (Ф,Ж1).

Интегрируем по частям по переменной z и учитываем обращение в нуль внеинтегральных членов:

((厶-仅〉=(厶* + ^)仅〉=°-

Поэтому имеем:

①小 Ж1〉= (Ф,Ж1).

Учитывая, что Ж1 не зависит от переменной 厶 последнее уравнение можно записать в виде

^^1,Ж1) = (Ф,Ж1).(Н.П)

Воспользуемся теперь условием ограниченности поправки 〃i по t (условием отсутствия секулярных по 力 членов). Это условие можно сформулировать [144] в виде

lim eu^z,舌一",т) = 0(11.18)

для любого фиксированного 丁 € [0, то], то < ос.

Интегрируя (11.17) по 力 получаем

{U1.W1) = t{^.W1)^B(T),

функция В(т) произвольна. Умножение последнего равенства на w и переход к пределу при £ т 0 с использованием (11.18) ведет

к равенству

ФЖ1(^,т)^ = 0,(11.19)

которое представляет собой первое из отыскиваемых условий ортогональности.

Выведем второе условие ортогональности. Для этого умножим обе части (11.11) на функцию W^ = W^ — с(т)力U и проинтегрируем по z от —ос до ос. Тогда

{LU1,W2) = (Ф,Ж2).(11.20)

Интегрируя в (11.17) по частям, используя поведение Ui при z т ±ос и свойства W2)находим, что

两〉+ Qb (ь* + ^)评2〉=(W, ж2) + ®b c(r)U) = (Ф,两〉а (1L21) Покажем, что входящее в (11.21) выражение〈〃], cU) равно нулю. В силу начального условия (11.12)〈〃], 1/)=0 при t = 0. Далее используем (11.17) и (11J9):

“ui«〉= S(11.22)

Значит, {ui, c(t)U} = 0 при всех t. На основании (11.21), учитывая независимость Ж2 от 力 заключаем, что d/dt〈и^ Ж2) =(Ф, Ж2). Отсюда так же, как и выше, получаем второе условие ортогональности:

^W2{z,r)dz 二 0.(11.23)

Здесь

忆(乙丁)=与^ j U(z\r)dzf - ^zU(z.t).

При выводе условия (11.23) было существенно использовано нулевое начальное условие (11.12). В более общем случае вычисления дают:

j ^W2(z,r)dz = с(т) {ui, U)\t=Q .(11-24)

Покажем, что найденные соотношения ортогональности (11.19) и (11.23) приводят к уравнениям для амплитуды солитона а(т) и поправки 41 (т) к его координате.

Используем формулу для правой части Ф уравнения (11.11). Нетрудно видеть, что

UT = af ch^1 (bz) yabfz ch^7^1(52：) sh(5^), j UUzdz = 0.

Таким образом, на основании (11.19) получаем:

從(丁) =丝)Т R[a(T)ch^0,T] ch^1 OdO.

При выводе (11.25) использована формула (11.5).

Из (11.23) вытекает уравнение для %:

4 — 0 v^T(2/p) J L」

xch-7 e'de' + (6» - о ch-7 0 j de, (n.26)

где

2 二(2 — 0『 d(l/p) v^T(l/2 + 2/p)

—(4 — p)p Г2 (1/p + 1/2)『(2/p)

Уравнение (11.25) представляет собой обыкновенное дифференциальное уравнение 1-го порядка, из которого можно определить а(т), так как в соответствии с (11.6) нам известно начальное условие а(0)= =а. Заметим, что если возмущение R[U^ т] нечетно по фазовой переменной, то правая часть (11.25) обращается в нуль и пропадает зависимость а, 5, с от т. В общем же случае через а(丁) находим:

ь(丁) = -72歩2(丁),

,2(р+1)(р+ 2) 卜

9

圻)=(р+1)(р+2)叫7)，

о

Затем, подставляя а(т) в (11.26), с учетом формул (11.5) находим gi(T) простым интегрированием, так как правая часть (11.26) не зависит от 41” Уравнения (11.25) и (11.26) при 夕 = 1; 2 ()= 2; 1) переходят в уравнения, полученные в работах [50, 51]. Отметим, что при

выводе уравнения (11.26) было существенно использовано начальное условие (11.12). При других начальных условиях уравнение для 内 также будет другим.

Обратимся к уравнению (11.2). Покажем, что это уравнение простым преобразованием может быть приведено к виду (11.1). Действительно, введем в (11.2) новую переменную г и искомую функцию v:

£力=g(€T), и = h(£T)V^, г).

Если вновь введенные функции g и h связать с коэффициентами уравнения по формулам

то уравнение (11.2) примет вид

VT + vpvx + %况虞=eRilv^r], (11.27) где

Rilv^r]=—

Таким образом, уравнение (11.2) с переменными коэффициентами в правой части сводится к уравнению (11.1) с постоянными коэффициентами. Для уравнения (11.2) существует и иной подход [37], связанный с некоторым дополнительным усложнением анзатца.

К изученному уравнению (11.1) близко уравнение (2.10), описывающее нелинейные волны в упругих стержнях. Уравнение (2.10) отличается от уравнения (11.1) не только наличием второго малого параметра, но и, что гораздо важнее, присутствием быстрой переменной г в возмущающих членах уравнения. Таким же неприятным слагаемым является член {cf/c)tvt в (2.11). Его присутствие заставляет видоизменить использованный здесь анзатц, включив в фазу главного слагаемого дополнительную зависимость от быстрой переменной.

В заключение параграфа отметим, что уравнения типа (11.1), (11.2) возникают во многих физических задачах: о нелинейных продольных волнах в слабо неоднородных стержнях [66, 77, 82, 86], о нелинейных гравитационных волнах в неглубокой жидкости [37, 49, 65, 141, 142], о волнах в газах, сопровождающихся протеканием химических реакций. Для перечисленных задач характерны полиномиальность возмущения R по функции U и ее производным, а также наличие в R производных высокого нечетного порядка по х. Разобранная в этом параграфе схема или некоторые ее модификации [66, 149] успешно действуют при решении таких задач.

Возмущенное уравнение Гарднера

Этот параграф посвящен асимптотическим решениям уравнения Гарднера с медленно меняющимися коэффициентами

ut + 〃(£力)虞一a(£t)u2ux + 83)uxxx = 0,

(12.1) £《1, д(0) = 1, а〉0, /3 > 0, д > 0.

Уравнение (12.1) близко к (11.2), но среди его главных членов есть дополнительное слагаемое, содержащее 炉〃富,которое специфично для уравнения Гарднера. Такие уравнения возникают в теории нелинейных гравитационных волн в жидкости при исследовании как внутренних [161], так и поверхностных [36] волн. Уравнение Гарднера как модельное уравнение полезно при изучении и других нелинейнодисперсионных явлений.

Как и в § 11, целью асимптотических построений будем считать исследование эволюции начального односолитонного возмущения.

Прежде всего отметим, что уравнение Гарднера с постоянными коэффициентами

ut + иих — а^их + 0иххх = 0,

(12.2) а = const > 0, /3 = const > 0

имеет семейство односолитонных решений

(12.3)(12.3)Us^X" Ао + Во ch2 [Ь0(ж — ct)]5Us^X" Ао + Во ch2 [Ь0(ж — ct)]5

(12.3)

(12.3)

Us^X" Ао + Во ch2 [Ь0(ж — ct)]5

Us^X" Ао + Во ch2 [Ь0(ж — ct)]5

с параметром с, имеющим смысл скорости и удовлетворяющим следующему условию:

0 < с < (ба)—(12.4)

Кроме солитонных решений (12.3) уравнение Гарднера имеет периодические решения, а также решения типа кинка ——бездиссипативные ударные волны.

Для уравнения (12.1) ставим задачу Коши с начальным условием

〃I±=0 = 〃s (力,。)•(12.5)

Асимптотическое решение задачи (12.1), (12.5) будем искать в виде формального разложения по степеням малого параметра е:

N

П(Ж,力 £)= U (ж, f, Г, £)+ ^2 ^ Uj{x^ f, Г, £), г = st, 亍](12.6)

u = »(丁)+ 左⑺ ch2 [ь(T)Q -曽)]};

q = Qo(r) + £内(丁)+ . . .(12.7)

Подстановка (12.6), (12.7) в (12.1) в старшем порядке по w приводит к трем связям между искомыми функциями Л(т), В(т), Ь(т),夕0(丁) и заданными функциями д(т), а(т), /3(丁了 Эти связи позволяют представить Л(т), В(т) и Ь(т) через 曲(т) и заданные функции. В результате получаем

В этих формулах величина д$(т) аналогична параметру с в (12.3) и удовлетворяет неравенству

О < 必 < /?(6q) — L(12.9)

При выходе 曲 за пределы (12.9) формулы (12.8), а вместе с ними и анзатц (12.6) перестают действовать. Пятая искомая функция qi (丁) в формулы (12.8) не входит.

В следующих порядках по £ возникают линейные неоднородные уравнения

Luj = Fj [U, и±, U2,. . . , Uj 1 ], /》1,(12. lOj)

L = _^^T^U^a^^U +0(丁)厅,

Fl = [Л + В ch2(^)]"2[^ + Bf ch2(be) + 2Bb'8 sh(bJ) ch(bJ) —

—2Bbq[ sh(bJ) ch(bJ)], J =胃一J

В уравнениях (12.1%) *) перейдем от переменных 力力 к переменным 3 J. Будем искать решения этих уравнений в классе функций, стремящихся к нулю при J т ею вместе со вторыми производными по 8 и ограниченных при J т — оо и t Т оо. В § 11 было показано, что для разрешимости неоднородных уравнений типа (12.1%) в указанном классе функций необходимо выполнение некоторых условий ортогональности. В эти условия кроме правых частей " входят быстро убывающие при J т — оо решения сопряженного к (12.1%) однородного уравнения

L*w = wt + 〃Uu?@ — aU2wo + (3wooo — QqW^ = 0.(12.11)

*) В дальнейшем при выбранное значение J.*) В дальнейшем при выбранное значение J.ссылках на формулы такого вида будет указано

*) В дальнейшем при выбранное значение J.

*) В дальнейшем при выбранное значение J.

Найдем решения уравнения (12.11), быстро убывающие при 8 т Т — оо и ограниченные при 8 т оо. Как и в случае аналогичного уравнения (11.14), поставленная задача имеет два линейно независимых решения. Первое из этих решений очевидно и имеет вид

Второе решение, как и в § 11, ищем в виде

W2 =力丁) + g(d т).(12.13)

3 =彷2（引一80庐石口^，3 =彷2（引一80庐石口^，(12.14)(12.14)Построение слагаемого g(z, г) аналогично такому же построению в § 11. В результате получаем

3 =彷2（引一80庐石口^，

3 =彷2（引一80庐石口^，

(12.14)

(12.14)

〜/、(2А + В) sh г ch г + Bz

Формулы для wi и w2 из § 11 при р = 1 и формулы (12.12), (12.14) при Л = 0 (а = 0), как и следовало ожидать, совпадают.

Обратимся к определению еще не найденных функций медленной переменной г, входящих в выражение (12.7) для ядра солитона U и функции q. Условия разрешимости линейной неоднородной задачи для 〃i имеют вид

旧宀〉=&(12.15)

(12.16)(12.16)(^1,^2)= 0,

(12.16)

(12.16)

скалярное произведение то же, что в § 11. Доказательство этих условий может быть проведено так же, как доказательство условий (11.19), (11.23).

Условие (12.15) приводит к уравнению

dx/ ' ch2 xdx

(4+ 笈 ch?囂)3 +， (A + В ch2 ж)3

2ВУb2ВУbж sh ж ch xdx — (А + В ch2 ж)3ж sh ж ch xdx — (А + В ch2 ж)3(12.17)(12.17)

2ВУb

2ВУb

ж sh ж ch xdx — (А + В ch2 ж)3

ж sh ж ch xdx — (А + В ch2 ж)3

(12.17)

(12.17)

Это уравнение ——четвертая связь (кроме трех связей (12.8)) между функциями Л(т), В(т), Ь(т), д()(т). Уравнение (12.17) удается проинтегрировать по г без вычисления входящих в него интегралов по ж,

причем результат записывается в виде

[Л(г) + D(r) ch2 ж] 2 dx = qb(T),

ci ——произвольная постоянная. Поскольку А > 0 и В > 0, то

(А + В ch2 x)~2dx =(А + В ch2 x)~2dx =24 + 石V А + В + vC4[4(4 + 6)『/2 П 7в24 + 石V А + В + vC4[4(4 + 6)『/2 П 7в1А(А + В)51А(А + В)5

(А + В ch2 x)~2dx =

(А + В ch2 x)~2dx =

24 + 石V А + В + vC4

[4(4 + 6)『/2 П 7в

24 + 石V А + В + vC4

[4(4 + 6)『/2 П 7в

1

А(А + В)5

1

А(А + В)5

(12.18)(12.18)2А + В ,4 + 6 + УД 1_

(12.18)

(12.18)

[4(4 + 6)『/2 П ?!4(4 + 石)=С1

Постоянная ci в (12.18) определяется из условия

24(0)+ 加0) g ,4(0) + 6(0) +1

[4。(4。+ 6。升3/2 n"6(О)4(。)(4(。)+ 石⑼)

в котором Л(°),石(叫 *) ——начальные (при г = 0) параметры со™ литона. После определения ci и подстановки (12.8) в (12.18) уравнение (12.19) становится обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка для функции qo(r). Из (12.5) следует, что q(0)= =q^ = 0. Это начальное условие позволяет завершить определение функций 4(т), В(т), b(丁))如(丁)*

Функция qi (丁) в условие (12.16) не вошла вследствие четности wi по z (по J) и нечетности содержащего q[ слагаемого в 歹> Эта функция входит в условие (12.16). Из-за нечетности w2 условие (12.16) принимает вид 匕(т) = 0. Но из начального условия (12.5) следует, что qi(0) = 0. Поэтому в рассматриваемой задаче

小(7)=6 (12.19)

Отметим, что при анализе более общего, чем (12.1), возмущенного уравнения

Ut + ^(т)иих — а(т)и2их + ^(т)иххх = eR [и, г] (12.20)

и при ненулевой нечетной по 8 части выражения R [п, г] в условии (12.16) появились бы дополнительные слагаемые. Тогда равенство (12.19) уже не имело бы места.

Асимптотическое и численное исследование эволюции односолитонной поверхностной гравитационной волны

Излагаемое далее исследование основывается на уравнении (3.35). Используется асимптотический подход, развитый в § 11 и усложненный здесь наличием в уравнении (3.35) двух малых параметров: а и е.

Асимптотические результаты дополняются численными, необходимыми в связи с тем, что при уменьшении глубины воды параметры а и е перестают быть малыми.

Рассматриваем задачу Коши для уравнения (3.35) с односолитонным начальным условием

%=о = 12智 ch-2仇О(13.1)

где bo — заданная постоянная.

В соответствии с § 11 решение задачи (3.35), (13.1) ищем в виде

富=〃()(£"} с, а, £)+ аиг(^ ?/, а) + еи2^, ?/, а) + О(а2 + £2), (13.2)

uq = а(а) ch~2(Ь(сг)。(£川 а, а, £)),(13.3)

& = £ —о =(13.4)

Q = Qo((t) + qQi((t) + &02(сг) + • • • ?(13.5)

где а((т), b(c), QjS) — функции, подлежащие определению. Условия, накладываемые на поправочные члены q〃i + е〃2, образующие хвост солитона, удобно сформулировать после подстановки (13.2)(13.5) в уравнение (3.35).

Указанная подстановка в старшем порядке приводит к равенству

(2abQ^ - 8疗0/2)目产 + (240/2疗—2D"7/4a2b)^^ = 0, ch 夕ch 夕

夕=b%

из которого вытекают две связи между функциями а(сг), Ь(с) и Qo(c): 矶内=з0ае内з), Ь(0)= *-1/4(内«9)]"(13.6)

Собирая после подстановки (13.2)-(13.5) в (3.35) члены, линейные по а и £, получаем линейные неоднородные уравнения

厶也屮]=①ip(13.7)

в которых

L[u] = %? +0t/气内3図* +01/2((7)%Е&(13.8)

ф1 =一從"h一 2abQluJ(13.9)

①2 = — A[〃o] — 2abQ； 3'-ch夕①2 = — A[〃o] — 2abQ； 3'-ch夕ch 夕 0 ch 夕ch 夕

①2 = — A[〃o] — 2abQ； 3'-

ch夕

①2 = — A[〃o] — 2abQ； 3'-

ch夕

(13.10)

Сравнение выражений (13.1) и (13.3) показывает, что начальные данные для и^ и гх2 при 〃 = 0 должны быть нулевыми,矶0) = 126q и b(0) = Ьо.

Уравнения (13.7) целесообразно рассматривать в переменных ?/, 0 вместо 〃，& Тогда

Как и в § 11, решения уравнений (13.7) будем искать в классе функций, стремящихся к нулю при сю вместе со вторыми производными по J. При J т — оо и при 7 т оо от решений требуется лишь ограниченность.

Далее в соответствии со схемой из § 11 нас интересуют быстро убывающие при J т — оо решения однородного сопряженного по отношению к (13.7) уравнения

—LW = % + [。7/4廿加0 — Q^W0 + D^^^Wooo = 0* (13Л1)

Уравнение (13.11) имеет два частных решения указанного типа:

Ж1= ch-2 з ж2=夕+ sh 夕^夕一2QZ% dr9

с точностью до членов порядка 0(a). Добавляя к оператору 厶 в (13.8) некоторые члены следующего порядка, можно добиться, чтобы функции Ж1 и IV2 точно удовлетворяли уравнению (13.11).

Знание частных решений Ж1, W2 приводит, как известно, к некоторым условиям ортогональности. Эти условия, в свою очередь, позволят нам определить искомые функции Qi(c), Q2S) и завершить определение функций а(сг), Ь(сг), Qo(cr)"

Не останавливаясь на выводе этих условий (см. аналогичное рас

суждение в § 11), сформулируем их:

(01,^0 = 0,(13.12)

(Ф2,Ж1) = 0,(13.13)

(ФъЖ2 + 1) = 0,(13.14)

仲Ж2 + 1) = 0, (/, g)= j fgd仇(13.15)

Легко проверить, что Ф2 и R[uq] нечетны по J (при переходе от £ к J в (3.36) дифференцирование по £ превращается в дифференцирование по J). Это обстоятельство и четность Ж1 по 8 приводят к тождественному удовлетворению (13.13) и к упрощению остальных уравнений. Для выполнения (13.12) необходимо положить 仪^匕一'=

=const. С учетом (13.6) получаем

а(сг) = 126^1)-3/4(0),

(13.16)

Ь(о) =3/2。)，

(13.17)

Qo(a) = 4记 jzr5/2(『)d/ 0

(13.18)

Условия (13.14) и (13.16) принимают вид

(Ф；, Ж+ + 1) + (Ф；,右〉=0, j = 1, 2,(13Л9)

значок + (—) соответствует переходу к четной (нечетной) части соответствующей функции. Условие (13.19) при j = 1 приводит к определению Qi：

Q16 = W(o3/2(G-I),(13.20)

а при / = 2 — к определению Q2：

Q2(a) = К 储 IT9/2(『)d『.(13.21)

о

Здесь К — положительная константа, К ^ 18.

Формулы (13.3)413.5), (13Л6Н13.18), (13.20), (13.21) полностью определяют главное слагаемое п0 решения рассматриваемой задачи Коши.

Полученные формулы определяют деформацию ядра солитона по под действием нелинейных и дисперсионных поправок в уравнении (3.35) при условии весьма плавного изменения глубины. Наши вычисления справедливы в условиях малости всех трех параметров а, * 6 при соотношениях (3.9), (3.10), (3.34), уравнение же (3.32) получено при меньших предположениях, для его справедливости не требуется выполнения (3.10).

Перейдем к обсуждению свойств деформированного ядра солитона и связанных с ним характеристик поверхностной волны. Амплитуда солитона а(сг) в рассмотренном приближении пропорциональна £>-3/4(0). Это означает (см. (3.33)), что высота волны Н 〜 〜。一 1((7了 Такой закон для высоты поверхностной гравитационной волны впервые получен в работе [76]. Он принципиально отличается от закона Грина (Н 〜。一"(о)), получающегося при пренебрежении нелинейными или дисперсионными эффектами. Следует отметить, что приведенный вывод закона Н 〜7?~1(ст) существенно отличается от вывода в [76].

Ширина солитона Ь^1(сг) меняется с глубиной по закону

b^(a) = b^D^2^).(13.22)

Для скорости солитона получается выражение

Q/ = 4/Q _5/2(0)_ ^0/2(。)0(。)+ gK质0 . 9/29)+ og2 + 产)* °(13.23)

Для определения фазовой скорости 富ф рассматриваемой поверхностной волны вернемся к исходным безразмерным переменным ж, I. Рассмотрим фазу волны, т. е. аргумент гиперболического косинуса в (13.3), как функцию старых переменных:

3=b8 =Ь00-3/2(£ — Q)=

=boQ—3/2(Qg^)J (_ Q(丁).

Поскольку форма волны при распространении меняется, будем для определенности говорить о скорости движения вершины волны. Выражая фазовую скорость как отношение частных производных А夕/况 и А夕/А/, взятое со знаком минус, получаем

富 ф =，О(с) 1 + 4s6qD~2(6t) —

^£2(К. (13.24)

Главный член 富ф, разумеется, совпадает со скоростью у О(с) распространения длинных поверхностных волн, которая получается в линейной теории. Формулы (13.23) и (13.24) определяют зависимость скорости солитона и фазовой скорости поверхностной волны от профиля дна. Выражение (13.22) дает зависимость ширины солитона от переменной глубины. Видно, что с уменьшением глубины амплитуда волны быстро растет, ширина волны еще быстрее уменьшается, а скорость волны зависит от глубины весьма сложным образом.

Выше уже отмечалось, что с уменьшением глубины жидкости происходит рост нелинейного параметра е. На некотором этапе эволюции к старшим членам модельного уравнения, образующим оператор КдВ, необходимо присоединить поправочный нелинейный член вида 富？富& содержащийся в R[v] (см. (3.36)). Возникает другое модельное уравнение —уравнение Гарднера с переменными коэффициентами. Изложенная асимптотическая схема реализуется и для уравнения Гарднера.

Полученные асимптотические формулы могут быть использованы для изучения распространения волн цунами, которые в большинстве случаев представляют собой длинные нелинейные волны. Условия

малости параметров £ и В хорошо выполняются вплоть до весьма малых глубин. Однако для применимости формул предыдущего пункта нужна еще малость параметра а, определенного формулой (3.34). Это накладывает условие /3《 产 на реальный наклон морского дна. В реальных условиях такое неравенство выполняется лишь при не слишком малых значениях параметра е, например при £ > 0,1.

Поэтому изложенная асимптотическая теория должна быть дополнена исследованием эволюции уединенной волны в том случае, когда параметр а уже не мал. В связи с этим была проведена серия расчетов на ЭВМ решений задачи для уравнения КдВ с переменными коэффициентами при различных значениях параметра а.

0(0)0(0)Рис. 6. Закон Грина и закон (13.26)Рис. 6. Закон Грина и закон (13.26)

0(0)

0(0)

Рис. 6. Закон Грина и закон (13.26)

Рис. 6. Закон Грина и закон (13.26)

Д(ж)Д(ж)На рис. 6 показаны графики зависимости высоты h уединенной волны от глубины 0(力)при различных начальных значениях параметра q = qq и постоянном наклоне дна 仇:

Д(ж)

Д(ж)

(13.25)

Видно, что при малых а。высота h изменяется по закону, близкому к асимптотическому,

(13.26)(13.26)/ф) — 0(0)

(13.26)

(13.26)

7^(0) = D(xy

полученному выше. В то же время для больших а。вплоть до сравни-

тельно малых глубин приближенно выполняется закон Грина h(x)〜D^1^(x).

Однако при любом а。высота волны растет быстрее, чем по закону Грина. Этот дополнительный рост при немалых а。существенно проявляется лишь на малых глубинах.

Численное определение функции / в (13.25) позволяет сделать дальнейшие выводы об эволюции волны. Уменьшение глубины при постоянном наклоне дна влечет за собой уменьшение параметра по закону

修 7)

Таким образом, при набегании уединенной волны на шельф происходит быстрое уменьшение параметра а и изменение характера нарастания амплитуды: от закона Грина к закону (13.26).

Как известно [78], имеются теоретические и экспериментальные данные о существовании критического значения параметра нелинейности Екр ~ 0,7 4- 0,8, после достижения которого рост волны не происходит. Эти данные подтверждает и асимптотическая теория гарднеровского этапа эволюции солитонного решения [36].

Практически важно знать предельные высоты волн для данного наклона дна 仇 и начальной характеристики волны £q. Ответ на такой

Рис. 7. Расчет максимальной амплитуды волны: 1 ——прямая (13.28), 2 —— линия (13.25), отвечающая значению параметра а。=万。^^*?

вопрос можно получить, проведя на рис. 7 прямую

(13.28)(13.28)九⑺—£кр Q(z)Х(о)=z)(o)

(13.28)

(13.28)

и найдя точку ее пересечения с кривой, отвечающей значению параметра «о =仇 €「/2.

Асимптотические результаты и собранные на рис. 6 численные данные позволяют получить приближенную формулу для высоты уединенной волны на шельфе постоянного наклона 仇.

Процесс эволюции солитонного решения сопровождается изменением текущих параметров g = h/D и а = /3(/г/О)3/"” При g《 екр эволюция описывается кривыми, изображенными на рис. 6. Напомним, что эти кривые при больших глубинах соответствуют закону Грина, а при малых ——закону (13.26). Если интересоваться изменением высоты волны, то процесс эволюции может быть аппроксимирован кусочно-гладкой кривой, две части которой взяты из семейств h/h(O) = (Z)/Z)(0))T/4 и h/hx = (。/。工)〜* где 九工乳。工——значения высоты волны и глубины в некоторой переходной точке. Численный анализ показывает, что значение параметра а = апер, соответствующее переходным точкам (0工,九工),очень слабо зависит от а。. Можно ПОЛОЖИТЬ, ЧТО Qnep ~ 0,2.

Таким образом, процесс изменения высоты уединенной волны может быть разбит на три этапа. Первый этап ——пологий участок на рис. 6 — эволюция по закону Грина. При этом а > апер. Второй этап — крутой участок на рис. 6 ——эволюция по закону (13.26). При этом а < < Qnep И £ < Екр- Третий ЭТЯП СВЯЗЯН С ДОСТИЖвНИвМ значения £ = Екр и прекращением роста волны.

Указанная кусочная аппроксимация после несложных выкладок приводит к следующей инженерной формуле для коэффициента усиления К высоты волны на шельфе постоянного наклона:

九 max 人=硒7九 max 人=硒7(£0 仇)1/5(£0 仇)1/5仆，36仆，36(13.29)(13.29)

九 max 人=硒7

九 max 人=硒7

(£0 仇)1/5

(£0 仇)1/5

仆，36

仆，36

(13.29)

(13.29)

В случае а < апер эволюция начинается со второго этапа и

К =К =1/21/2(13J0)(13J0)

К =

К =

1/2

1/2

(13J0)

(13J0)

(13.31)(13.31)Если же 仇 > а吋8爲2 ~ 0,15, то эволюция происходит все время по закону Грина и

(13.31)

(13.31)

Во всех трех случаях (13.29)-(13.31) коэффициент усиления К зависит лишь от двух параметров: начальной нелинейности £0 и наклона дна

При анализе развития волн цунами исследование крутизны)(z) этих волн имеет не меньшее значение, чем исследование высоты. Изучение динамики t(z) аналогично изложенному выше анализу динамики h(x). Приведем результат. Вместо (13.26) получаем

心)=03⑼

7(0) -

а коэффициент усиления крутизны К? = 7тах/т(0) оказывается следующим:

Учитывая, что значения параметров £0,仇,как правило, малы, и сопоставляя формулы (13.29) и (13.32), заключаем, что усиление крутизны на шельфе значительно превосходит усиление его высоты.

В целях большей полноты анализа эволюции поверхностных гравитационных волн приведем еще два следствия развиваемой теории.

Недостаток формул (13.29) и (13.32) состоит в некоторой неопределенности величины начальной нелинейности £q. Оказывается, можно получить приближенные оценки для Лтах и 7тах вблизи берега через параметры этой же волны в глубоком океане. Вдали от шельфа при глубине Dq волну естественно характеризовать периодом Тд и высотой /г。. С этими величинами можно связать значение во- Тем самым указанная неопределенность раскрывается.

Ситуация, когда наклонный участок дна переходит вблизи берега в участок постоянной глубины, моделирует типичный пришельфовый материковый склон и следующий за ним ровный участок шельфа. Такая модель легко анализируется численно, а при малых а。(например, при а。= 0,1) также и аналитически. Исследование показывает [38], что рост амплитуды волны продолжается и после прохождения наклонного участка. Окончательная амплитуда особенно велика в случае малых «о- Характерно, что край шельфа (место перехода наклонного участка дна в горизонтальный) является точкой перегиба для амплитудных кривых.

Глава 4

МЕТОДЫ ВОЗМУЩЕНИЙ ПРИ ОТСУТСТВИИ ТОЧНОГО РЕШЕНИЯ. ПРИНЦИП УИЗЕМА

Разработка подходящего анзатца является важнейшим элементом решения той или иной нелинейной волновой задачи. Наличие точного решения для частного случая существенно облегчает выбор анзатца в общем случае. Однако накопленный опыт построения анзатцев при наличии точного решения (см., например, § 11, 12), помогает и при решении задач в отсутствие точных решений, что и демонстрируется в этой главе.

Общий план построения решения следующий. Пусть удалось найти вид нулевого приближения (главного слагаемого анзатца) для изучаемой нелинейной волны. В нулевом приближении, как правило, остаются неопределенными некоторые параметры решения, являющиеся функциями медленных переменных. Эти параметры удается определить, обращаясь к линейной неоднородной задаче для первой поправки. Условия разрешимости такой задачи позволяют найти искомые параметры. Но при этом необходимо знать состав ядра соответствующего линейного оператора.

Глава содержит примеры описанных построений. В § 14 строятся асимптотические решения нелинейного уравнения Клейна-Фока- Гордона (КФГ) при потенциале весьма общего вида, найдены решения возмущенных нелинейных параболических уравнений (§ 15)——также при общих предположениях относительно поведения потенциала. В § 17, 18 вновь рассматриваются задачи об интенсивных волновых пучках, но исследуются случаи гораздо более сложной зависимости нелинейного показателя преломления от волнового поля.

Существенное место в этой главе и в последующих занимает подход, связанный с предложенным Дж. Уиземом в 1965 г. вариационным принципом, именуемым принципом Уизема или принципом усредненного лагранжиана (см., например, [7, 75, 91]).

Для использования этого подхода (см. § 16) необходимо, чтобы исследуемые уравнения, описывающие процесс распространения волн, были бы уравнениями Эйлера-Лагранжа для некоторого вариационного

принципа. Иначе говоря, нужно, чтобы был известен лагранжиан рассматриваемого процесса.

Схема применения принципа Уизема состоит в следующем. Находим упоминавшееся нулевое приближение. Подставляем его в плотность 3 лагранжиана изучаемой задачи и интегрируем 3 по быстрым переменным. Такое интегрирование в методе Уизема называется усреднением (для периодической зависимости от быстрой переменной это обычное усреднение по периоду) и приводит к функции %, содержащей лишь медленно меняющиеся параметры. Затем производим варьирование по медленным переменным. Получающиеся в результате этого варьирования уравнения Эйлера-Лагранжа и есть уравнения, описывающие зависимость волнового процесса от медленных параметров. Принцип Уизема используется далее в § 16, 17, а также в гл. 5.

§ 14. Нелинейное уравнение Клейна-Фока-Гордона.

Возмущение периодических и сосредоточенных решений

В этом параграфе пойдет речь о сосредоточенных решениях возмущенных уравнений КФГ

g2 力 一 (^U^) + ©u(% ж,力)=0,(14.1)

Utt 一(^Uxx + Фи(м, EZ, et) = 0,(14.2)

где 8《1, а = const. Уравнения (14.1), (14.2) являются возмущенными по сравнению с эталонным уравнением

"方方 - a ^жж + 巾(")=0,

в котором потенциал Ф не зависит от х и t. Уравнение (14.1) с малым параметром при производных эквивалентно уравнению (14.2), потенциал которого содержит зависимость от медленных переменных £ = =ех и т = st. Переход от (ш,力)к (^, г) преобразует (14.2) в (14.1), и наоборот. Существование подобных (14.1) и (14.2) пар уравнений характерно для нелинейных возмущенных уравнений.

Рассмотрим далее уравнение (14.1) при 8《1, без ограничения общности положим а = 1. Важный класс асимптотических решений этого уравнения может быть построен с помощью анзатца

N

匕8力)，0 =丄S(比,力).(14.3)

Самое старшее (при g —> 0) уравнение, возникающее при подстановке (14.3) в (14.1), является нелинейным относительно U(仇 ш,力)= = 〃o(J, z,力)и имеет вид

(S； — S^) Uee + Фи ш,力)=0.(14.4)

по переменной и имеет яму Умножая (14.4) на U§ ипо переменной и имеет яму Умножая (14.4) на U§ и；(/-*)^ + 巾(и« 力)=Е (2),；(/-*)^ + 巾(и« 力)=Е (2),(147)(147)

по переменной и имеет яму Умножая (14.4) на U§ и

по переменной и имеет яму Умножая (14.4) на U§ и

；(/-*)^ + 巾(и« 力)=Е (2),

；(/-*)^ + 巾(и« 力)=Е (2),

(147)

(147)

Все последующие следствия указанной подстановки представляют собой линейные уравнения

Quj (0. z, t) = Fj [U, wi,. . ., Uj^i], j 1,

川(14.5j)

Q =⑶-S^)麻 + Фади (U, 力)"

Для правых частей (14.5力 получаются явные формулы, например

£ =— 5ЖЖ) U® — 2&U卅 + 2sxU®x.(14.6)

В уравнениях (14.4), (14.5力 переменные 仇 ж, t будем считать независимыми. Если удается удовлетворить системе уравнений (14.4), (14.5/) при любом 仇 то это тем более удается при J = e^1S(x,力). Вообще смысл переменной J сущест-

венно отличен от смысла других переменных: J ——быстрая фазовая переменная, в то время как х и t описывают медленные (адиабатические) изменения решения.

Дальнейшее изложение, связанное с интегрированием уравнений (14.4), (14.5/ зависит от характера зависимости потенциала от своего первого аргумента.

Пусть потенциал Ф(〃, ж,力) при всех рассматриваемых значениях ж, t (рис. 8), т. е. локальный минимум по и. интегрируя по быстрой переменной 仇

получаем

где ш = — St, k = Sx. Равенство (14.7) — закон сохранения, оно определяет зависимость 〃о от 0.

Рассмотрим случай, когда Е(х, t) > Eq(x, t), где Eq(x, t) — значение Ф((/,冗，力)в точке рассматриваемого локального минимума. Пусть уравнение

@(U,z/) — E(x.t) = 0 (14*8)

имеет два простых корня: U = “(冗，力)и 仇(伤 力), «(伤 力)< U^x, t). Тогда [68] U(^, ж, t) — периодическая функция от 0. Не ограничивая общности рассмотрений, период функции U по 0 можно сделать равным 27r. Приходим к равенству

dUdU2 丿 J，右一0（1人拓力）52 丿 J，右一0（1人拓力）5

dU

dU

2 丿 J，右一0（1人拓力）

5

2 丿 J，右一0（1人拓力）

5

Уравнение (14.9) является дисперсионным соотношением и дает связь между функциями ш(ш,力),k(z,力)и Е(х,力).Еще одна связь очевидна:

шж + ^ = 0*(14.10)

Далее рассмотрим уравнение (14.51) с учетом (14.6). Необходимое условие разрешимости уравнения (14.51) в классе 2тг-периодических по J функций имеет вид

27r

〈玲，％〉=F3Ue(0.x^d0 = ^ j》1.(14.11,)

о

Действительно,

{Quj.Ug} = {FjUe) = {uj, QUq} = 0,

так как g = Uq ——периодическое решение однородного уравнения Qw = 0. При j = 1 условие разрешимости (условие ортогональности) (14.111) принимает вид

27r

+ 2Gl/卅 + kxUet + kxUg + 2kxU0x) UedO = 0 о

или

27r

(3 +厶)]U^ = S(14.12)

о

Равенство (14.12)——третье недостающее условие для определения функций ш^ k и Е. Преобразуем это условие, выражая 吗 из (14.7) и переходя к переменной интегрирования U вместо 仇 Получаем

(卜 + 办)V^W ]—眼Umt)dU = 0*(14.13)

Решение системы уравнений (14.9), (14.10), (14.13), если оно найдено, позволяет полностью определить функцию U(仇冗，力),в том числе зависимость S от х и t.

Допустим, что система уравнений (14.9), (14.10), (14.13) решена. Покажем, что в этом случае определяются и все дальнейшие приближения, т. е. весь формальный асимптотический ряд (14.3). Так, функция 〃工(J,z,力) находится из уравнения (14.51) с точностью до слагаемого С1(ж, t)Uo, содержащего неизвестный множитель q(冗，力). Далее, условие (14.111) дает линейное алгебраическое уравнение

с одним неизвестным q. При функции q(冗,力)в этом уравнении стоит положительный коэффициент

27r

I U^dO.(14J4)

о

поэтому уравнение (14.112) всегда разрешимо относительно с> Затем процедура повторяется, возникает новый неизвестный множитель С2(ж,力),определяемый из условия (14.11з), где в качестве коэффициента при С2 снова стоит интеграл (14.14), и т. д.

Из формальной асимптотичности построенного ряда (14.3) еще не вытекает, что правая часть (14.3) дает приближенное решение уравнения (14.1). Однако вопросы обоснования формальных асимптотических решений уравнения (14.1) нами рассматриваться не будут.

В связи с проведенными асимптотическими построениями подчеркнем, что необходимые условия (14.111) являются одновременно и достаточными для существования 2тг-периодического решения уравнений (14.51), если

Т'(Е)护 0,(14.15)

где Т(Е)——период функции U(^, ж, t) по 仇 рассматриваемый как функция от энергии Е. Действительно, w^ = Uе — второе решение однородного уравнения Qw = 0, линейно независимое с решением g = U®. В этом можно убедиться, продифференцировав (14.4) по Е и полагая, что функция U(仇冗，力)найдена из (14.7) (при этом не требуется обязательная 2тг-периодичность решения U). Но решение Uе будет непериодической функцией тогда и только тогда, когда выполнено условие (14.15). В этом и только этом случае ядро оператора Q будет состоять из одной периодической функции ⑺=Uq.

Отметим, что в линейном случае Т'(Е) = 0 и условий разрешимости два, а не одно.

Перейдем к построению асимптотических формул для сосредоточенных решений уравнения (14.1). Потенциал Ф(〃,冗，力)подчиним требованиям, сформулированным в монографии [68] и различным в случаях солитона и кинка. Сосредоточенность решений, определяемых разложениями вида (14.3), означает, что модули разностей

|wj(^, ж, t) — lim Uj{0^ ж, t)|

должны быстро убывать при 0 —> ±ос. Иначе говоря, потребуем выполнения условий

1〃7(仇伤力)一疗(z/)| w号exp (一产I例),

j = 0,1,2, •••芋〉0,片 > 0,

в которых все функции г£^(ш, t), с^(ш, t\ k^(z,力)являются гладки™ ми ). Потребуем еще, чтобы аналогичные условия сосредоточенности имели место также для производных от Uj(0^ ж, t). (Такие функции В.П. Маслов и Г.А. Омельянов рассматривали в работе [64]).

Из условий (14.16) вытекает, что вид фазовой функции S(力，ж), а вместе с ним и анзатц (14.3) можно упростить. Действительно, функция U (仇冗，力)существенно отлична от своих предельных значений 〃^(z/) лишь в малой окрестности С размером 0(g), окружающей некоторую точку J = ^о(ш,力).В силу трансляционной инвариантности решения по J можно считать, что & = 0. Если S^ 护 0, то можно положить

S(z/) = z —g(力(14.17)

В самом деле, в окрестности О

S(z,力)=S (g⑴，力)+ Sx (q(t\力)(z — g⑴)+。[(z — g(t))2],

где \х — q(t)\ < Се. Первое слагаемое правой части, не ограничивая общности, можно считать нулем, коэффициент S^ (q⑴,力)—единицей, а члены O((z —疗) можно перевести в поправку 〃工,разлагая U в ряд Тейлора.

В связи с указанными соображениями анзатц (14.3) теперь принимает вид

N

(14.18) Подстановку (14.18) в уравнение (14.1) необходимо сопроводить разложением потенциального слагаемого 巾设 в ряд не только по первому, но и по второму аргументу:

Фм(м,ш, t) = ©u(%g + 8仇力)=%(U,g/) +

+8 [M»^(U, g, t) + 〃工巾 1m(U, g, t)] + 0(£2). (14.19)

Разложения (14.18) и (14.19) приводят к некоторым изменениям системы уравнений (14.4) и (14.5). Теперь уравнение (14.4) и оператор Q имеют вид

(9/2 一 1) Ue®(仇 g,力)+ ©u(U, 5 力)=О,

=- 1)+ ^uu(U,•

Главные изменения связаны с правыми частями (14.5j), например, теперь

Fi = q"Ue + 2g'U卅 + 2(^2ивц + 2d『U「J%q(U, g,力)* (1421)

Интегрирование (14.20) ведет к равенству

I (~2 — 1) 1^ + ©(■ 5 力)=石(g⑴，力)，(14.22)

откуда зависимость энергии от q и 力 определяется однозначно с помощью предельного условия (14.16о)：

Е(5 力)=巾(^(g, t), 5 力).(14.23)

В частности, в солитонном случае 石(д,力)= Ф (0, q,力).После подстановки (14.23) в (14.22) и еще одного интегрирования по 0 определяется зависимость U (仇 q,力)от своих аргументов, остается неизвестной лишь функция д«)*

Функция g(力)определяется из аналогичного (14.111) условия разрешимости

〈邑，U®〉= F^e^O.x.t^dO = 0(14.24)

линейного неоднородного уравнения Qw =尸i (Fi задано формулой (14.21)) в классе функций, удовлетворяющих условиям (14.161). Условие (14.24) переписывается в виде

(

ОО\ОО

д' U^dO = №Uq(U@t)Ued 仇 (14.25)

После введения обозначений

d⑴=д‘⑴，M(g,g\t) =%d仇 / = 一 0Фд (U. q,t) d0

и интегрирования правой части (14.25) по частям последнее условие может быть записано в форме второго закона Ньютона

= /(14.26)

для частицы со скоростью и⑴ и переменной массой М, находящейся под действием усредненной силы /. Внеинтегральные члены при упомянутом интегрировании по частям сокращаются в силу условия равенства высоты максимумов и = 〃^. Формула (14.26) лишний раз подтверждает интерпретацию сосредоточенных волн как частиц.

Для нахождения массы М и усредненной силы / не нужно знать точный вид зависимости U от 0. Действительно, в случае кинка, используя (14.22), получаем

«+М =«+М =w+"小"二库工:，项5力）-@（u）fw+"小"二库工:，项5力）-@（u）f

«+

М =

«+

М =

w+

"小"二库工:，项5力）-@（u）f

w+

"小"二库工:，项5力）-@（u）f

(14.27)

/ =-三L I @q (U，* 力)旧(* 力)-@(U，* 切T/2 dU* (14*8)

Здесь 〃±(q,力) —— точки двух соседних локальных максимумов Ф(〃，д,力).В случае солитона формулы (14.27), (14.28) аналогичны, но содержат удвоенный интеграл от U = Q до U = t/max(g, t). Таким образом, для определения g(力)=]v(s)ds достаточно решить совместно уравнения (14.26), (14.27), (14.28) с учетом того, что функция E(q)力)определяется согласно (14.23) по потенциалу ^(u,q,t).

В случае уравнения (14.2) решения могут быть получены из построенных решений уравнения (14.1) простой заменой переменных. Возможно также и непосредственное применение анзатца

N

и(х^ 力 £)= ^2 £‘'〃/(，г), Т = £力, 夕=力 _ £-1以7), (14.29) 小=0

где 丁 — медленная переменная,夕—быстрая фазовая переменная. Подстановка (14.29) в (14.2) приводит к аналогам полученных выше уравнений. В частности, аналогичные (14.26)—(14.28) условия приводят к определению функции 以т).

Отметим еще, что необходимость и достаточность условия 〈Ue, F) = 0 для разрешимости уравнения

Qw = F(14.30)

в классе быстро приближающихся к своим пределам при 0 т ±оо функций легко проверить и непосредственно. Рассмотрим случай кинка. Однородное уравнение Qw = 0 помимо wi = Uq имеет второе решение

о

仅 2 = Uo 声(14.31)

0

линейно независимое с wi， Из условий (14.16) следует, что \Ug\ = =О [ехр (—к士 I例)]при 0 т ±оо. Поэтому w2 — экспоненциально возрастающая при 0 f ±оо функция. Далее, частное решение неоднородного уравнения (14.30) можно задать формулой Лиувилля

ео

w = U0 Uj2(&,g/)d& J FUo(02^4) ^2.(14.32)

О—oo

Если〈U®, F) = 0, то непосредственно проверяется, что решение (14.32) экспоненциально приближается к своим предельным значениям. При этом если

ь一^*日=。[exp (一f |<9|)],

то и решение (14.32) обладает таким же свойством с теми же показателями k±*

В случае солитона последние рассуждения аналогичны. Нужно лишь регуляризовать методами [27] интегралы вида (14.31) вблизи нуляи小

Пример. Рассмотрим нелинейное уравнение КФГ специального вида:

е2 (utt — ихх) + а(ж, t)u — b(叱力)a3 = 0, а > 0,6 > 0.(14.33)

Построим для (14.33) асимптотическое сосредоточенное решение, имеющее при а > 0, 6 > 0 характер кинка.

Используем анзатц (14.18). Самое старшее возникающее уравнение имеет вид

(~2 — 1) и00 + а(д,力)и — b(g,力)炉=0.(14.34)

Будем считать, что д'〉1 (при |д[ < 1 строятся солитонные решения). Для решения уравнения (14.34) удобен путь, часто используемый и далее. Простым преобразованием это уравнение приводится к стандартному уравнению

wTT + 2 (仅一w3) = 0

(г ——новая независимая переменная), не содержащему коэффициентов, зависящих от ж и f. Последнее уравнение имеет своим решением кинк w = th г. Отсюда видно, что решением (14.34) будет

=а(д<)=а(д<)

=а(д<)

=а(д<)

приме™приме™Для нахождения координаты g(力)и скорости 富=д' надо нить (14.26)-(14.28). В данном случае

приме™

приме™

* 力)=—；b(g,力)(а? —,(14.36)

(14.37)(14.37)М =( I ch~4 cdc) &3/2匕_1 (M — ])Т/2

(14.37)

(14.37)

В формуле (14.36) выбрано такое значение первообразной от Фи, которое равно нулю при 0 f ±оо тождественно по g, t. Из (14.36) следует, что

<М"“) = -3e2 _小+ I (论(炉一力

dr ch4 тdr ch4 т++(14.38)(14.38)

dr ch4 т

dr ch4 т

+

+

(14.38)

(14.38)

Остается подставить (14.37), (14.38) в (14.26) и использовать элементарную формулу

ch™27 rdr = V^『(7)『t ()+ ；)*(14.39)

уравнениеуравнениеПолучаем нелинейное обыкновенное дифференциальное

уравнение

уравнение

второго порядка

d dtd dt，富 2 一 1，富 2 一 1(14.40)(14.40)

d dt

d dt

，富 2 一 1

，富 2 一 1

(14.40)

(14.40)

относительно функции g⑴,так как g входит аргументом в функции а(д,力)и b(g, f).

Формула (14.35) и уравнение (14.40) определяют главную часть решения типа кинка уравнения (14.33). В частных случаях этот результат допускает дальнейшее упрощение. Например, при отсутствии явной зависимости произведения @3/2 6一1 от 力 функция q(t) на основании (14.40) находится в квадратурах.

Асимптотика волновых решений возмущенных нелинейных параболических уравнений

Рассмотрим возмущенные нелинейные параболические уравнения следующего вида:

/ = Е2ихх + / (〃，Ж, £力)，£《1,(15.1)

£UT = £2UXX + / (〃，叱 丁)，£《1.(15.2)

Уравнения (15.1) и (15.2) эквивалентны, связь между ними устанавливается заменой переменной st = т. Далее для определенности проведем асимптотические построения для уравнения (15.2). Как и в предыдущем параграфе, введем вещественный потенциал Ф такой, что Ф“ = /. Сделаем следующие предположения:

функция Ф ограничена сверху и является достаточно гладкой для всех значений своих аргументов;

Ф как функция от и имеет локальные невырожденные максимумы при 〃 = 〃士，Ф〃〃 (“±) < 0.

Зависимость / и Ф от 力 предполагается более медленной, чем от ж, что связано с первым порядком параболического оператора по t.

Асимптотические решения уравнения (15.2) ищем с помощью анзатца

N

(15.3)(15.3)〃 (ж, 丁, £)= £ и”八仇 * 丁), "о 三 и,7=0

(15.3)

(15.3)

<9 =仇 一 X (丁, £),% =「1 (ж - g (г)),

”4)”4)N

”4)

”4)

Выбор анзатца (15.3), (15.4) основан на тех же соображениях, что и в § 11 и 14. Главная часть 0q быстрой фазы такая же, как в § 14, однако в <9 включен фазовый сдвиг X. Если в § 11 необходимость введения фазового сдвига была продиктована начальными данными Коши, то сейчас сдвиг нужен из-за того, что параболическое уравнение (15.2) имеет лишь первый порядок дифференцирования по г.

Подставляя в (15.2) и собирая члены старшего порядка по е, получаем уравнение

U00^qfU0^f(U.q.T)=Q.(15.5)

В следующих порядках, как всегда, возникают неоднородные уравнения

оператор Q линейный и имеет вид

Q =為 + д‘ (丁)鳥 + 九(u，57)*(15*7)

В частности,

F1 = UT^ Uqqf (丁)一 /ж (U,仇丁)(。+ 步о) - U0Xq (丁).(15.8)

Граничные условия для уравнений (15.5), (15.6) определяются выбором задачи для (15.2). Будем далее изучать сосредоточенные волны, для которых имеют место условия на бесконечности по переменной О

lim 出(丛小丁)= (q ⑺)丁),j = 0,1,f ±oo.

Здесь “^ = 〃土 ——известные нам точки локальных максимумов потенциала Ф. Приведем результат из книги [68, § 6]: если одна из точек 〃 =〃士 является точкой локального минимума Ф, то решения уравнения (15.5) могут оказаться неустойчивыми. Асимптотические построения в этом случае иные, что связано с существованием бесконечного набора скоростей.

Рассмотрим уравнение (15.5) при условии (15.9о). Решение будем искать в классе функций, удовлетворяющих условию (14.16о). Такое решение существует не всегда. Более того, его существование зависит от переменных g и г, входящих в уравнение (15.5) как параметры. Как показано в [68, § 4], при выполнении условий I, II и некоторых простых неравенств, равномерных по g и г, решение задачи (15.5) и (15.9q) существует. При этом функция 富(г) = qf (г) положительна и однозначно определяется по потенциалу Ф (U, q, г). Таким образом, из (15.5), (15.9о) получаем решение U(仇 g, г), известное с точностью до фазового сдвига X (г, е). Кроме того, находим скорость 富=qf (г) как функцию от g и г. Последнее дает обыкновенное дифференциальное уравнение

д' (丁) = V (д,Т) ,(15.10)

однозначно определяющее функцию q ⑺)по крайней мере при 丁 G G [0, то] , то > 0, если известно g (0).

Рассмотрим теперь уравнения (15.6j). Можно показать, что оператор Q симметричен в пространстве £2 (и), т. е. в £2 c весом exp (0v). Кроме того, у оператора Q не пустое ядро ——в нем содержится функция 仅=U®* Свойства оператора Q те же, что и у оператора Q в § 14. Точно так же можно показать, что у оператора Q, определенного формулой (15.7), одномерное ядро, состоящее из функций вида const • Ue, и что необходимое и достаточное условие существования

решений уравнений (15.6) имеет вид〈巧，U®〉” = 0 или

Из (15.111), используя (15.8), находим

ОООООО

I LU®戶…七 J UqU0eOvd0-xo (г) ] UleOv^d0- — ОС—oo—oo

—I (O^xo)fq(U,q,T)eevU0dO = Q. (15.12)

Напомним, что входящая в (15.12) функция g (丁) уже определена. Если бы используемый анзатц не содержал фазового сдвига жд + + £力1 + . . ., то условие (15.12) не содержало бы ни одного свободного параметра и, вообще говоря, не могло бы быть выполненным. Теперь же это условие ведет к уравнению для 吗(г):

J [UT + vUq ^ (^ + ж0) /J Ueeved0

^0 (丁) = —Б5•(15.13)

j Uoeved0

Интеграл, стоящий в знаменателе, положителен. Из (15.13) функция 力о (г) находится тривиальным интегрированием. Учет функций Xj (г) 0》1) позволяет корректно строить дальнейшие приближения. Коэффициентом при 吟(т) на последующих шагах в силу условий (15.11) каждый раз оказывается положительный интеграл

j 仇(15.14)

В качестве начальных данных при интегрировании уравнения (15.13) и последующих можно взять условия Xj (0) = 0, ^》0*

Сравнивая полученный результат с результатом из § 14, отметим, что в § 14 фазовый сдвиг произволен. Если же для уравнения КФГ поставить задачу Коши со специальным начальным условием (типа условия в § 11), то функция жо (т) также будет вполне определенной.

Рассмотрим возможность упрощения выражения (15.13) путем вычисления входящих в (15.13) интегралов без нахождения явного выражения для U®. Для этого разберем отдельно два случая.

Случай 1. Скорость и 三 0 для всех g и т. Интегрируя уравнение (15.5), можно убедиться, что это тождество будет выполняться,

если равенство

①(“十,q.r) = Ф * 丁)(15.15)

выполнено для всех q и т. Равенство (15.15) имеет место, например, для четных по 〃 при всех ж, г функций Ф. Тогда 〃—=—“十. (Напомним, что предполагается выполнение условия I.) Входящие в (15.13) интегралы упрощаются, а функция U находится в квадратурах. Из (15.5) следует, что

0о"十

I U^dO = V2 j，石一@(〃)d〃,

I OfqUod0 = j Oq(UqT)d”—2-1/25^^儿

一 oo— ООк

Здесь Е = Ф+ = Ф„ = Ф (〃士, g, т). Итак, в этом случае получаем

J UТ + ^т/石—m)t/2 аи

^0 (丁) = —^•(15.16)

V2 j "石一①dU

Случай 2. Скорость и 卢 0 и равномерно ограничена снизу: и(т) > J > О, J = const. Это условие выполнено, если

|Ф (〃—)— Ф (〃+)| > <51 = const > 0(15.17)

равномерно по д, г. Пусть Ф (“十)< Ф (〃_), т. е. модуль в (15.17) можно опустить. В этом случае имеется несколько соотношений между входящими в (15.13) интегралами. Однако существенное упрощение формулы (15.13) возможно лишь при конкретных представлениях функции / = @“

Умножим (15.5) на Ugeveпроинтегрируем по частям и примем (без ограничения общности) для обеспечения сходимости интегралов, что Ф (〃+) = 0. Получим

j (f^l ^ф) ev0dO = Q.(15.18)

Это равенство ——аналог обращения лагранжиана в нуль на экстремали. Затем умножим (15.5) на OUoevO и аналогично найдем

ОООООО

富］(3几一Ф)m^加=I (g吗 + ①)evOdO = 2 J @e。力仇(15.19)

-—ос-—ос-—ос

Далее, используем тот факт, что выражение Uq является решением неоднородного уравнения

BUq = —fq (U, 9, г)—富qUe”(15.20)

Правая часть (15.20), очевидно, должна быть ортогональна к U®e鐵". Записывая это условие ортогональности и интегрируя его по частям, получаем

vq U^ev0dO-v① q(U@T)e^d8 = 6(15*1)

Аналогично функция 0Uq удовлетворяет уравнению

Q (gUq) = —"q ” 9, г) — vq0Uo — 2U0q — vUq,

Снова получаем условие ортогональности

(Ofq + vq0Ue + 2U®q + vUq) 1^。力。=0.(15.22)

Соотношения (15.18), (15.19), (15.21), (15.22) дают полезные связи между интегралами, входящими в (15.13). Однако они не позволяют существенно упростить эту формулу в общем случае. В то же время формула (15.13) с учетом положительности интеграла (15.14) дает уравнение для жо (г).

Рассмотрим частные случаи уравнения (15.2).

Пример 1. Запишем уравнение

eUt = e2Uxx + а (ж, г) — 6 (ж, т) и3^ а > 0, 6 > 0,(15.23)

похожее на (14.33), но параболическое. Анзатц имеет вид

и = U (0^ ж, 丁) + eui (<9, ж, г) + ...,

0 = £ — 1(X — q (г)) — ж0 (г)

Как и в случае (14.33), получаем решение типа кинка:

Потенциал Ф, заданный своей производной в (15.23), является четным по и. Скорость 富=д' (丁) = 0, без ограничения общности можно положить g (丁) = 0.

Явная формула для жо получается в результате подстановки (15.24) в числитель (15.16). Интеграл в знаменателе (15.16) легко

вычисляется, что приводит к выражению

窃(г) = In窃(г) = In+ ^о (0) •+ ^о (0) •「“су)。" ее„6(0,0)а"3/2 (0,0).

窃(г) = In

窃(г) = In

+ ^о (0) •

+ ^о (0) •

Поскольку g (丁) = 0, то исследуемая волна является весьма медленной: ее движение будет определяться функцией жо (г), вообще говоря, отличной от нуля.

Пример 2. Рассмотрим уравнение

(15.25)(15.25)= е2ихх + / (и. ж, t),/ = 2a2〃 (b - и)(и- а),

(15.25)

(15.25)

а = а (ж,力), Ь = Ь (ж, t), а = а (ж, t).

При постоянных а, 6, а уравнение (15.25) является упрощенной формой уравнения Фитцхью-Нагумо. Об этом уравнении см. работу [159].

Уравнение нулевого приближения имеет вид

U00 + vUe + 2a2。(b — U)(U — а) = 0.(15.26)

Для стандартного варианта этого уравнения

仅〃⑶ + vwf (г) + 2仅(1 — w) (w — а) = 0,0 < а < |(15.27)

при г; = 2а — 1 известно точное решение:

仅(％) =(15*8)

полученное Хаксли. Отметим, что уравнение (15.23) отнюдь не является частным случаем уравнения (15.25). Фазовая структура уравнения (15.27) при а < 1/2 принципиально отличается от ее аналога в примере 1.

Уравнение (15.26) можно преобразовать, полагая U = bw (丁夕).Тогда для функции w получается уравнение (15.27) и следующие связи между параметрами:

7 = ab, а = V = vy = (2а — b) а.

Последнее равенство ведет к частному случаю (15.10)——обыкновенному дифференциальному уравнению

(15.29)(15.29)J ⑴=[2a (* 力)一b (* 力)]a (* 力)

(15.29)

(15.29)

для функции g ⑴.При at = at = bt = Q переменные в (15.29) разделяются и g ⑴ находится в явном виде. Для Жд получается довольно сложное выражение, которое мы не будем выписывать в общем виде. Однако если g ⑴ найдено из уравнения (15.29), то уравнение для жо (力) приводится к линейному виду

Жо⑴=Ь1 (方)优0⑴+拉2 (方),

100 Гл. 4" Методы возмущений при отсутствии точного решения где ha?⑴一заданные комбинации функций a (g, f), b (д,力)к а (* 力). Отметим еще, что обсуждаемая асимптотика справедлива, как следует из (15.29), лишь при а/b < 1/2.

Более сложные нелинейные параболические уравнения исследуются в § 24, 25.

§ 16. Принцип Уизема в задачах о возмущении нелинейных волн

Здесь мы ограничимся применением принципа Уизема к одной задаче о возмущении сосредоточенных волн. Эта задача другим методом рассматривались выше в § 14. Далее, в следующей главе, будут приведены примеры применения принципа и к более сложным задачам. Однако некоторые важные технические детали обсуждаются именно в этом параграфе. Отметим еще, что некоторая специальная модификация обсуждаемого метода для нелинейных параболических уравнений была предложена С.А. Вакуленко в монографии [68, § 13].

Рассмотрим нелинейное возмущенное уравнение КФГ

Utt - Uxx + ①设(〃,£步,£力)=о,(16.1)

совпадающее с (14.2) при а = 1. Введем медленные переменные £ = еж, т = £九 Нулевое приближение асимптотики сосредоточенного решения имеет вид

"о = u (A g(丁)，丁)， 0 =(£ 一 g(丁))=虱丁)•(16*2)

Зависимость U от быстрой переменной 0 определяется уравнением

(j —+丁)=0,(16.3)

вытекающим из (16.1) и (16.2). Предполагается, что эта зависимость удовлетворяет условиям (14.16g). Это условие позволило аргумент £ функции Ф〃 в (16.3) заменить на q.

Ранее уравнения для искомой функции g(丁) выводились из некоторого условия ортогональности. Теперь мы найдем их другим путем. Уравнение (16.1) — это уравнение Эйлера-Лагранжа для вариационного принципа

= J I J 史dxdt = 0, 3 = 3(〃；一必)2 — @ (〃, £, т).(16.4)

Здесь для обеспечения сходимости по ж следует взять такую первообразную Ф, что Ф (〃+, £, т) = Ф £, т) = 0 (〃± — это, как обычно, предельные значения U (% д, 丁) при 0 f ±оо).

Подставим в (16.4) нулевое приближение U из (16.2). Полученное выражение для % проинтегрируем по быстрой переменной 0 (что эквивалентно интегрированию по ж). При этом интегрировании, однако, медленные переменные заморожены, т. е. £, 丁, g, qf в полученном

выражении считаются независимыми от 0. Уже отмечалось, что в силу сосредоточенности волны аргумент g в (16.4) можно заменить на q.

После интегрирования вместо лагранжевой плотности 夕 получим плотность усредненного лагранжиана

S =夕(d 必 丁)•(16.5)

Постулируем следующее утверждение.

Принцип Уизема. Уравнения Эйлера-Лагранжа для вариационного принципа

S “d『二 0(16.6)

дают правильную зависимость медленных параметров нулевого приближения от медленного времени т.

(167)(167)Покажем, что этот принцип приводит к тем же уравнениям, что и уравнения в § 14. Соответствующее (16.6) уравнение Эйлера- Лагранжа имеет вид

(167)

(167)

dq dr dq

Пусть имеется лагранжиан 厶®]= ]於(и)и宓,a) d力)гладко зави™ «о

сящий от некоторого параметра а. Пусть вариационному принципу SL = 0 соответствует семейство экстремалей и = и。(力，а), гладко зависящее от а. Обозначим

宓1

(16.8)(16.8)(16.9)(16.9)/(〃％)&)= J f(v0,v0x,a)dx.

(16.8)

(16.8)

(16.9)

(16.9)

虞0

Тогда

да да'

Xadx.Xadx.«о«оСправедливость равенства (16.9) устанавливается непосредственным вычислением левой части:

Xadx.

Xadx.

«о

«о

宓о

Здесь первое слагаемое правой части есть первая вариация 5^ [vo«], равная нулю. Второе слагаемое как раз и дает правую часть (16.9). Отметим, что усреднение в формуле (16.8) то же, что и упоминавшееся в начале параграфа. Смысл формулы (16.9) в том, что при дифференцировании усредненного лагранжиана по параметру надо учитывать только явную его зависимость от параметра.

Применим формулу (16.9) к лагранжиану (16.4). Из (16.3) и (16.2) следует, что в этом случае

力(5 片 丁)= j (д'? — 1) " — & (g, 丁)，(16.10)

где

м = 仇 ф = Ф(и^,т)ао.

Выражения М и Ф уже встречались в § 14. Далее строим уравнения (16.7), применяя формулу (16.9). Роль параметра а играет параметр Q, который входит явно лишь в выражение Ф, а неявно ——через посредство U и Ue, что можно не учитывать. В результате находим, что уравнение Эйлера-Лагранжа (16.7) сводится к уравнению Ньютона

(16.11)(16.11)d 3 М) — ¥ф

(16.11)

(16.11)

Это ——то же уравнение для определения д(т), что и в § 14. Мы убедились, что принцип Уизема даст тот же результат, что и непосредственный метод возмущений.

Каковы преимущества метода Уизема? Первое преимущество состоит в том, что не нужно знать ядро линеаризованного оператора. Второе, на наш взгляд более существенное, состоит в том, что основные уравнения сразу получаются в физически естественной форме. Примером может служить приведенный вывод уравнения (16.11).

Что касается обоснования метода Уизема, то оно связано с вопросом о законности перестановки операции замены функционала его асимптотическим разложением и операции варьирования [7]. Во всех примерах, рассмотренных в книге [7], метод Уизема дает тот же результат, что и метод возмущений. Проблема же строгого обоснования обоих методов, по-видимому, весьма непроста.

Рассмотрим еще частный случай общего уравнения КФГ и выведем из лагранжиана (16.10) результаты [64] для нелинейного уравнения sin-Гордона

产(utt — ихх) + 储)-1 sin)〃 = 0,а(ж), 7(ж) > 0, х Е R.

Зависимость нулевого приближения U (仇 д,力)(〃 =U + O(Q) от быстрой переменной 0 =「' (ж — g⑴)определяется уравнением

д/2 — ])Uee + а?)т sin)U = 0.

Обозначим U = yU и получим

Uоо + с sin I/ = 0, с = а? (1 — d) 1, д'=尊“ (16.12)

Уравнение (16.12) легко интегрируется. Получаем

^ + с (cos LJ - Е) =0.

Если ищем решение типа кинка, соединяющее точки 0 и 2тг, то значение Е = 1 и

Uo = ±2^sin (行/2) при gz < 1.(16.13)

Выбираем знак +, и решение с требуемыми свойствами определится формулой

U = 4 arctg [exp (^ (8 — &))] .(16.14)

Учитывая, что усредненный лагранжиан равен —2Ф, и вычисляя его, имеем

夕=const а(д)7~2(д)，1 —(卩产.(16.15)

Введем импульс р по формуле р = дХ/dqr и гамильтониан » с помощью преобразования Лежандра » = % — qr d9f!/dqf. Без ограничения общности можно положить const = 1. Выражая Н через р и д, получим гамильтоновы уравнения:

(16.16)(16.16)« 一也 dp2丫"

(16.16)

(16.16)

近一办‘dt dq 7力—（父十夕丿

В таком же виде уравнения получены непосредственным методом возмущений в [64].

§ 17. Принцип Уизема в задаче о волновых пучках. Пучки в среде с насыщающейся нелинейностью полиномиального типа

Результаты § 7 можно получить также и на основе принципа Уизема. В первой части параграфа, как и в § 7, рассматривается общий трехмерный случай нелинейного показателя преломления, во второй части ——важный частный случай среды с насыщением нелинейности полиномиального типа.

Для удобства сопоставления с формулами § 7 будем рассматривать уравнение Гельмгольца (7.1) в форме

г e я3.г e я3.(17.1)(17.1)△u + w2/(|w|2 , r)w = 0,+斤+万

г e я3.

г e я3.

(17.1)

(17.1)

Как и во всей главе, 〃(г,е)——искомая комплекснозначная функция, / = Ф|и『 —— заданная положительная функция.

Ищем асимптотические при g f сю решения уравнения (17.1), сосредоточенные в окрестности гладкой кривой /, имеющие характер

волн, бегущих вдоль /, и в старшем порядке осесимметрические по отношению к /.

Пусть уравнение I имеет вид г = R(s). Зададим систему координат (п, р, s), г = R(s) + nv + 夕В, 6 — длина дуги вдоль /, v и р — единичные векторы главной нормали и бинормали к этой кривой. Отыскивая сосредоточенное и близкое к осесимметрическому решение, введем быструю переменную р = ш^п1 + р2.

Будем искать решение уравнения (17.1), имеющее в старшем порядке при G f ОС вид

и = U(p, s) exp [iwQ(s)], Im U = Im Q = & lim U = 0.(17.2)

Тогда функция U в первом приближении удовлетворяет уравнению

pUpp + Up + О [f{U\ R($)) — g2(s)] и = & g(s) = Q'(s)*(17.3)

Предполагаем функцию / такой, что уравнение (17.3) имеет положительное решение, достаточно быстро убывающее при 0 Toe)для всех s. Такое решение далее и рассматриваем, его зависимость от быстрой переменной р как раз и определена уравнением (17.3).

Соответствующая уравнению (17.1) плотность функции Лагранжа равна

Nd— /0(同 г),

где Ф(ж, г) = J /(^, r)d& Используя представление (17.2), получаем о

|Vw|2 = J [q2(l + 冗氏)一2(/2 + Up],

где к(б) — кривизна /. Интегрируя по быстрой переменной, приходим к усредненному лагранжиану

ш2^(п,р, s) = р [|Vw|2 — ш2Ф(|?/|2 , г)] dp =

о

Г 2°

=/-三.* + К — g(r)j - (17.4)

Здесь

〃(s) = 。。2+幻'(.s)d〃 K(s) = I pUj(p,s)dp, °g°(17.5)

g(r)=①“22 Pdp

о

Вместе с определенным в пространстве усредненным лагранжианом ^(п,р, б) будем рассматривать лагранжиан

於о($)=力(0, 0, s) = q2I0 + К — g(R),(17.6)

заданный лишь на I.

Аналогично двумерному случаю нетрудно получить два полезных для дальнейшего интегральных тождества:

j f(U\ R)U2pdp = g2/0 + К,(177)

о

g(R) = g”5(17.8)

Из формулы (17.8) вытекает, что

3o(s) = К*(17.9)

Переходим к использованию принципа Уизема, рассматривая пока общий случай нелинейной среды. Пусть Lg ——интеграл от 几 по медленной переменной s. Варьируя 夕()по Q(s), получаем уравнение

Эйлера = 0, из которого следует интеграл движения ds "

Kg = 2с = const.(17.10)

Вычислим Kq. Ясно, что интегралы /о и К зависят от R(s) и от g(s). Чтобы найти Kq〉умножаем уравнение (17.3) на %, интегрируем это уравнение по р и используем (17.8). Это вычисление дает

Kq = 2〃5(17.11)

Вместо (17.10) получаем равенство

〃o(g,R) = с,(17.12)

по существу совпадающее с (7.7). Условие (17.12) определяет g(s) как функцию от R(s). Будем считать далее, что при фиксированном с это условие определяет g(s) единственным образом.

Далее рассматриваем функционал

L [?i(s),p(s)] = I 3d，p,s)dS,(17.13)

в котором

dS = ^(1 + пк)2 + ns + psds(17.14)

——дифференциал длины дуги гладкой кривой п =九⑶,р =夕⑶. Поскольку подынтегральная функция в (17.13) имеет вид

屮=^(n, р, $)，(1 + 冗氏)2 + 他 + 夕^

приходим к системе уравнений Эйлера

^(詳)^(^)Т=0・(".IS)

Определяющие кривую / условия получим, приравняв нулю коэффициенты при первых степенях п и р в разложении Ф. Получаем систему двух уравнений

(2д"° — К)汽⑻=g„,(R), gp(R) = 0.(17.16)

Значки пир означают дифференцирование в направлениях главной нормали и бинормали к Z. Условия (17.16) эквивалентны условиям (7.9) в такой же мере, в какой эквивалентны исходные уравнения (17.1) и (7.1). Это означает, что принцип Уизема подтверждается построением формальных асимптотических разложений.

Ниже аналогичные рассуждения будут проведены в § 19, где вместо (17.15) возникнет одно уравнение Эйлера (19.14).

В общем случае ) функции /([/2, г) уравнения (17.16) должны рассматриваться совместно с уравнениями (17.3) и (17.12), определяющими поле. В трехмерном случае для отделения задачи об осевой линии от задачи о сконцентрированном вблизи / поле нужны дополнительные предположения о степенной зависимости этой функции по первому аргументу. В двумерном же случае, как показано в § 6, разделение этих двух задач возможно при весьма общих допущениях относительно f(\u\2 , ж, у).

Далее рассмотрим важный частный случай трехмерной нелинейной среды, описываемой уравнением (17.1) при

/(|〃『，г) = а(г) |〃『+ Ь(г) — 7(г) |〃|4 , а > 0,0 < 7 < о2. (17.17)

Такая среда именуется средой с насыщением нелинейности [2]. Более общая среда с насыщением нелинейности описывается не полиномиальной, как в (17.17), а дробно-линейной зависимостью / от |w|2 (см. § 18).

Выбор нелинейного показателя преломления в соответствии с (17.17) обусловлен следующими обстоятельствами.

Если а < 0 или если о > 0, 7 > 0, но 7 сравнимо с а?, то нельзя гарантировать существование исчезающего при 0 Toe решения уравнения (7.5), участвующего во всех построениях. Если же неравенства (17.17) выполнены, то при g? > b существует монотонно убывающее при всех р > 0 и экспоненциально исчезающее при 0 foe решение уравнения (7.5).

Из численных и аналитических результатов [44] следует, что при 7，0 сосредоточенные решения уравнения (7.5) неустойчивы, а при 7 > 0 — устойчивы.

Формула (17.17) задает отрезок разложения в ряд для функции /.

В случае (17.17)

@(1〃『，г) = |«(г) hl4 + b(r) 1〃『一 |1(г) hl6 ,(17」8)

^(n.p.s) = (口—六守 一 b(D)/0 一 |о(г)/1 + ；т(г〃2 + к, (17.19)

интегралы /1 и /2 уже были введены в § 7. В силу (17.17) теперь

(17.20)(17.20)g(r) = |人研r)+ /0Ь(г) 一 ；/27(Г),

(17.20)

(17.20)

что существенно упрощает условия (17.16), так как интегралы /д, Д, /2, К зависят лишь от переменной 6. Из тождеств (17.7), (17.8) выте-

придатьпридатькают две связи между этими интегралами, которым можно следующий вид:

придать

придать

人二2人二2а。а。/° + | 小2,/° + | 小2,К = (g2 — б。)/。一 -70/2?где a()(s) = a(R), 60(«) = b(R), 7о($) = 7(ж)-Теперь условия (17.16) принимают вид氏(*) = G^(R), Gp(R) = О,К = (g2 — б。)/。一 -70/2?где a()(s) = a(R), 60(«) = b(R), 7о($) = 7(ж)-Теперь условия (17.16) принимают вид氏(*) = G^(R), Gp(R) = О,(17.21)(17.21)G（『）三用=G（『）三用=<Z — bo<Z — bo0-00-0(17.22)(17.22)

人二2

人二2

а。

а。

/° + | 小2,

/° + | 小2,

К = (g2 — б。)/。一 -70/2?

где a()(s) = a(R), 60(«) = b(R), 7о($) = 7(ж)-

Теперь условия (17.16) принимают вид

氏(*) = G^(R), Gp(R) = О,

К = (g2 — б。)/。一 -70/2?

где a()(s) = a(R), 60(«) = b(R), 7о($) = 7(ж)-

Теперь условия (17.16) принимают вид

氏(*) = G^(R), Gp(R) = О,

(17.21)

(17.21)

G（『）三用=

G（『）三用=

<Z — bo

<Z — bo

0-0

0-0

(17.22)

(17.22)

Подстановка в полученные равенства (17.22) формул дифференциальной геометрии

六(R"E ^ = «(H，R"]»「(s) = |R"(s)h

а также задание начальной точки и начального направления осевой линии / приводит к задаче Коши для функции H(s), причем задача оказывается разрешимой при всех s. Однако если построенная таким образом кривая / встречает на своем пути точки бифуркации или имеет точки самопересечения, то решение имеет смысл только до первой из точек подобного типа.

Извлечем из полученных формул асимптотику по малому параметру 7. Это придаст найденным формулам для среды с насыщением

нелинейности весьма отчетливый характер и позволит получить дополнительные физические следствия.

Подставим (17.17) в дифференциальное уравнение (17.3). Старшие (не содержащие 70) коэффициенты получившегося уравнения можно сделать не зависящими от s. Нетрудно убедиться, что это достигается подстановкой

U(亿s) = /9一九(，g2 —阮0力(17.23)

приводящей к уравнению

£($) = 70£($) = 70加算(/,s) + I"%(/,s) - u(/,s) + d(X s) - e($＞庐(伤 s) = 0, (17.24)

£($) = 70

£($) = 70

2•

Далее, считаем, что и(力，s) —— положительное решение уравнения (17.24) со свойствами 6)= 0, lim и = 0. Методика, изложенная в монографии [68, § 2], позволяет установить, что такое решение всегда существует.

Для функции v(x, s) может быть построена асимптотика по степеням £(£)：

и(力,s) = vo(^) + £(s)ui(力)+ . . .,(17.25)

причем для функций 叫(力)(j = 0,1, . . .) справедливы дифференциальные уравнения

；ЗМУ + 样- ио = 0,(17.26)

；(②壮)'+ (3若—1)力=崂"(17-27)

Используем разложение (17.25) для уточнения характеристик пучков в среде с насыщением нелинейности. Обозначим

Jj = I xVq^2-^(x)dx, Joi = I xvo(x)vi(x)dx.(17.28)

о0

Интеграл Jq уже использовался в § 6 и в работе [44], причем 办 и 1,86. Из (17.23) следует, что

厶=/ 罕若 + 0(喻(17-29)

Подставляем (17.29) в (17.12), откуда находим

g(s) =牛 42a「° о。+。(力三;.(17.30)

Вычислим отношение Joi/Jo- Между интегралами J。, Ji, 厶, Ли имеются соотношения, аналогичные соотношениям (17.21). Кроме того, численные расчеты [62] показывают, что

厶=Jo? к у 6,0.(17.31)

Умножим (17.26) и (17.27) соответственно на xvi и xvq и проинтегрируем по х. Получившиеся равенства рассмотрим совместно с аналогичными равенствами, возникающими после умножения (17.26) и (17.27) на /2* и x2Vq с последующим интегрированием. Тогда, используя (17.31), получим, что Jgi/Jo = k/З. В результате находим:

二一团飞 +0(向](17.32)

Функция q(6)полностью определяет фазовую скорость пучка.

Распределение амплитуды поля, сконцентрированного в окрестности осевой линии /, дается формулой (7.7).

Наконец, после подстановки равенства (17.30) и вытекающей из (17.31) формулы

亲 МУ)'。。。)m3)

в (17.6) определяющие линию / условия принимают вид

Gp(R) = 0,

宀…(S34) G(r)= —-——a(r) + b(r)—

0-0

Входящая в формулы (17.32), (17.34) величина А пропорциональна полной интенсивности пучка.

§ 18. Волновые пучки в средах с насыщающейся нелинейностью дробного типа

В этом параграфе будет исследован общий тип насыщающейся нелинейности. Для уравнения Гельмгольца (6.10) или уравнения

Aw + /(|w|2,6r)w = 0,/ > 0, 0 < 6 < 1(18.1)

для простоты изучим здесь плоскую задачу, г € Я2.

Рассмотренные выше случаи степенной нелинейности (6.12) и полиномиальной насыщающейся нелинейности (17.17) не позволяют

описать многие физические эффекты. При увеличении интенсивности излучения требуется учет нелинейностей более высоких степеней. С другой стороны, для почти всех реальных материалов наблюдается верхний предел роста показателя преломления при возрастании интенсивности. Оба этих свойства реальных сред учитывает модель [127, 148]

/(|〃|2qKD+ ：3："R 2：X > 0(18*2)

среды с насыщающейся нелинейностью.

При \и\ = 0 функция / равна Ь. При \и\ —> ос функция / стремится к конечному пределу 6 + а/%, что, собственно, и означает насыщение нелинейности. Отметим, что при

X hl2 = 1(18.3)

функция / достигает своего «среднеарифметического» значения 6 + + а/(2х)*

Решение задачи ищем в виде

〃 =[〃0(。,冗)+ £щ(а, п) + . . .] ехр Н(2(о,冗)+ 分Qi(o, n) + ...],

'(18.4)

где a =沁 n и s ——обычные координаты в окрестности осевой линии / (расстояние по нормали и длина дуги вдоль /), функции Uj и Qj вещественны, все Uj экспоненциально убывают при п —> ±оо, a Qj допускают при п —> ±ос не более чем степенной рост.

Легко видеть, что Qo = Q(a), т. е. зависит только от а. Для uq = =U (а, п) получается дифференциальное уравнение

Uw 一Ь 一a(18.5)

В котором g = Qf{a\ /(I/2, а, 0) = b(o) +

Если условие g2(a) > /(0, а, 0) = Ь(<т) (см. (6.18)) выполнено, то решение (18.4) локализовано в окрестности /, т. е. волновой пучок существует. Тогда

£

92€ = |/(С^,о)<(18.6)

о

где g имеет смысл квадрата максимальной амплитуды, достигаемой на оси пучка, т. е. g = U2 a 0). При этом уравнение (18.5) может быть два

раза проинтегрировано по п и, в частности, имеет первый интеграл и2

*：=『炉-[/⑵叫 0)厶=炉—Ь 炉 + 当 ln(l + Xi/2).

o

(18.7)

Кроме уравнения (18.5) подстановка (18.4) позволяет найти интеграл движения

2 = ql = Л,(18.8)

в котором / = I U2(n^ a)dn^ а постоянная А имеет смысл полной интенсивности пучка.

Следует отметить, что уравнение (18.8) вместе с (18.7) вполне аналогичны уравнению (12) вместе с (13) в работе [127], несмотря на то, что в [127] насыщающаяся нелинейность введена в уравнение Шредингера, а не в уравнение Гельмгольца. Это говорит о том, что известная мысль В.А. Фока об эквивалентности указанных уравнений справедлива и в нелинейных задачах.

Несмотря на сложность уравнения (18.5) и его первого интеграла (18.7), многие особенности поведения волновых пучков в средах с насыщающейся нелинейностью можно изучить на основании равенств (18.6), (18.8). Для этого необходимо получить приближенное представление для интеграла I. Перейдем в этом интеграле к независимой переменной z = U? и выразим Un с помощью (18.7):

(18.9)(18.9)г\fzdz

(18.9)

(18.9)

Достоинство формулы (18.9) в том, что она уже не содержит неизвестную амплитуду U(п, а).

Интеграл (18.9) имеет единственную интегрируемую особенность на верхнем пределе. Интегрирование в окрестности точки z = g дает главную часть / и приводит после преобразований к формуле

/(8 d =21/2 卜

Здесь

/ = /(£,0) = b+K °=訪

3 =念(7尸-2b，)，尸=^，=

Численное сравнение приближенной формулы (18.10) с точной (18.9) для широкого набора входящих параметров говорит об 1 % точности формулы (18.10).

Для интеграла / можно получить и второе представление, полезное для дальнейших вычислений. Выразим д? в (18.9) с помощью (18.6). Снова получим интеграл с интегрируемой особенностью на одном из пределов интегрирования, что приводит к формуле

/(18Л1)

в которой

3，Е(1 + ") — "/(1 + ") [5(1 十")[(1+ ") Е(1+

При малых 〃 имеем:

沁+爲+ 0行).

Уравнения (18.6) и (18.8), в которые подставлено выражение (18.10) или (18.11), определяют две важнейшие характеристики пучка: и q, связанные с амплитудой поля на осевой линии пучка и с фазовой скоростью, через полную интенсивность А. При этом не используется информация о распределении амплитуды U(п, сг) в поперечном сечении. Эта информация содержится в (18.5) или (18.7).

Перейдем к расчету осевых амплитуд и интенсивностей, соответствующих максимальному проявлению нелинейных эффектов. Прежде всего отметим, что в соответствии с (18.3) при

仇=& = ；(18.12)

нелинейная функция / достигает своего среднего значения по сравнению с двумя предельными.

Один из возможных вариантов выбора осевой амплитуды，^ соответствующей максимальному проявлению нелинейных эффектов или наибольшему самосжатию пучка, состоит в минимизации интеграла //£, т. е. интеграла /, в котором амплитуда в поперечном сечении пучка нормирована на ее максимальное значение. Для этого в соответствии с формулой (18.11) необходимо решить уравнение Н‘⑺)=0. Это приводит к точке

Г] = 2,14.(18.13)

Другой вариант оценки указанной осевой амплитуды получается, если потребовать наибольшего самосжатия пучка и, следовательно, наименьшего значения Unn U^1\n=Q. В соответствии с (18.5) такое

значение достигается в точке максимума /(£) — Q, что ведет к элементарному трансцендентному уравнению и точке

4 = 2,16.(18.14)

Точки (18.13) и (18.14) практически совпадают, но заметно отличаются от точки (18.12). Положение всех точек связано всего лишь с одним параметром х из числа входящих в функцию (18.2). Можно считать, что максимальному проявлению нелинейных эффектов отвечает значение ту = 4MH& = 2,15. Формула (18.6) позволяет найти фазовую скорость q пучка.

В случае (18.12)

如 I，b + 0,31V(18.15)

В случае же наибольшего самосжатия пучка

дм 7，Ь + 0,47т > д»(18.16)

Наконец, формулы (18.8), (18.11) позволяют написать выражения для интенсивностей, отвечающих 小 и 7MHз：

(18.17)

а = 5,7业(18.18)

Формулы (18.15)-(18.18) дают явные выражения для искомых фазовых скоростей и интенсивностей через параметры Ь, 7 = а/%, %, входящие в функцию (18.2).

В связи с возможной неоднозначностью решений отметим, что может идти речь о различных вариантах ветвления — по различным параметрам пучка и среды.

Перепишем (18.7) в виде

9(&q) = д/ - ]/(^,а,0)< = 0 (18.19) о

代 %代 %и начнем с проверки однозначной разрешимости системы уравнений (18.8), (18.19) относительно g и q при произвольном фиксированном 7. В точках ветвления должен равняться нулю якобиан

代 %

代 %

(18.20)

Геометрический смысл (18.20)——это условие касания кривых

9 = 0 и ^ = Л в плоскости (& q). С помощью формулы (18.10)

условие (18.20) приводится к биквадратному уравнению

2д4_(/ —《尸)『—产=(к(18.21)

Подстановка q2 из (18.19) в (18.21) приводит к трансцендентному уравнению, которое содержит параметр 7, но не имеет корней ни при каких значениях этого параметра. Это означает, что уравнения (18.8), (18.19) дают однозначные решения для £ и q при любом 7. Аналогично в рассматриваемой задаче нет какой-либо координатной неоднозначности решения, что сразу же вытекает из отсутствия особых решений уравнения (18.7).

Своеобразная бистабильность решений отмечена в работе [127], где выдвинуто дополнительное условие (в наших обозначениях)

и」24=^и[=о・(18.22)

Такое условие устанавливает дополнительную связь между само- сжатием пучка, характеризуемым его шириной, и параметром насыщения х*

Наши расчеты на основе уравнения (18.6) показали, что эффективная ширина пучка монотонно возрастает с ростом %. При х < 0,48 условие (18.22) оказывается выполненным на двух ветвях решений, соответствующих разным интенсивностям (разным £). При этом максимальное самосжатие пучка достигается при некотором промежуточном значении & При х = 0,48 эти ветви сходятся, а при х〉0,48 условие (18.22) не может быть выполнено вообще. Последнее означает, что при х > 0,48 пучок менее сжат, чем этого требует условие (18.22). Перечисленные факты согласуются с результатами расчетов [127], проведенных другим способом.

Полученные в параграфе формулы остаются приближенно справедливыми при слабой неоднородности среды.

Глава 5

ТРАЕКТОРНЫЕ ВАРИАЦИОННЫЕПРИНЦИПЫ

Глава, как и большая часть книги, посвящена нелинейным локализованным волновым процессам. Напомним, что локализация, или сосредоточенность, волн (волновых решений) означает, что соответствующие решения отличны от констант лишь в малых окрестностях некоторых подмногообразий ——кривых или поверхностей, которые мы будем обозначать буквой I. Кривые (или поверхности) / в задачах о солитонных решениях имеют смысл осевых линий узких волновых пучков, в других (о решениях типа кинка)——смысл волновых фронтов.

Особенность задач о локализованных волновых процессах в том, что для них заранее неизвестны как сами волновые решения, так и подмногообразия /, в окрестности которых решения сосредоточены. Эту трудность удается эффективно преодолеть путем вывода для / траекторного вариационного принципа. В связи с линейными задачами траекторные вариационные принципы формулировались еще в XVII и XVIII веках Ферма, Эйлером и Мопертюи. Вариационные принципы, о которых пойдет речь в этой главе, обобщают принцип Ферма на случай нелинейных сред. В отличие от классического принципа Ферма мы получаем здесь вариационные принципы, содержащие параметр, связанный с интенсивностью волнового поля. Для проведенных здесь построений примечательно, что содержащиеся в вариационных принципах функционалы могут быть построены без знания самого волнового решения. Таким образом, указанные выше две задачи удается полностью разделить.

Наконец, само построение траекторного вариационного принципа может быть осуществлено двумя путями: либо на основе подходящего анзатца, либо с помощью принципа Уизема.

В § 19, 20 строятся вариационные принципы, определяющие осевые линии волновых пучков. Далее в § 21, 22 рассмотрены физические приложения этих вариационных принципов, а в § 23 — их обобщение на случай нелокальной нелинейности. В главе значительное место уделено волновым решениям в задачах типа реакции-диффузии или,

иначе, волнам в средах с внутренней структурой. В § 24, 25 выводятся вариационные принципы для фронтов в таких задачах. Наконец, в § 26 строятся фронты вытеснения в задачах нелинейной фильтрации.

Применение принципа Уизема, нелинейный однопараметрический принцип Ферма

Этот параграф посвящен применению принципа Уизема — альтернативного по отношению к изложенному в § 6 подхода. Использование принципа Уизема ведет к выводу лишь главного члена асимптотики, зато упрощает ряд выкладок. Применительно к задаче о волновых пучках принцип Уизема позволяет получить важный новый факт, состоящий в том, что осевая линия пучка удовлетворяет некоторому однопараметрическому принципу типа принципа Ферма.

Обращаемся к поставленной в § 6 задаче о сосредоточенном вблизи гладкой кривой / решении уравнения (6.1). Для использования принципа Уизема нужно построить соответствующий усредненный лагранжиан. Для этого, в свою очередь, нужно указать вытекающий из постановки задачи характер зависимости искомого решения от быстрой переменной. В данном случае, используя связанные с кривой / координаты s, п, мы ищем решение, которое при 卫 т ос имеет вид

〃 =U(5,〃)/gQ(s), imU = ImQ = 0, “口区 ^ =。，(19.1)

причем 〃 二 шп и есть указанная быстрая переменная. Тогда функция U Uq в первом приближении удовлетворяет уже известному нам уравнению

U^ + [f(U\ s, 0)—厂(5)] и = 0, q(5)= Q'(s).(19.2)

Мы предполагаем функцию / такой, что ее первообразная Ф удовлетворяет условиям (I), (II) (см. § 6). В этом случае уравнение (19.2) имеет положительное решение, достаточно быстро убывающее при 〃 Т ±ос для всех s. Именно это решение далее и рассматривается.

Уравнению (6.1) соответствует плотность функции Лагранжа

|Vu|2 - ш2Ф(|и|2,5,п),(19.3)

в которой IVu|2 означает скалярное произведение ▽〃 на комплексно сопряженное выражение.

Вычисляем (19.3) на функциях (19.1), интегрируем по быстрой переменной и находим усредненный лагранжиан:

/力(几,6)=卫292/о + к _ g(5E)•(19*4)

+ ⑶)」

Здесь 上⑶一кривизна /,

К= 党”山/, g(s,n)= 執

интеграл /о уже был введен в связи с формулой (6.14).

Усредненный лагранжиан зависит от нескольких функций медленной переменной s, описывающих плавное изменение свойств пучка вдоль /. К их числу относится и функция n(s), определяющая кривую I.

Наряду с лагранжианом ^(n, s) будем рассматривать также лагранжиан

3o(s) = >(0, 5)= q2" + к — g(5, 0),(19.5)

заданный лишь на самой кривой I.

С целью упрощения выражения для 3。получим два полезных интегральных тождества. Во-первых, умножим уравнение (19.2) на U и проинтегрируем по 〃:

也0)[/2八=『厶+ К"(19.6)

Во-вторых, интеграл уравнения (19.2) U/ = q2U2 — Ф([/2,也0) проинтегрируем по 〃:

g(5,O) =『/o —к(19.7)

Подставив (19.7) в (19.5), получим

夕 о(5)= 2K(5)"(19.8)

Применяем принцип Уизема. Образуем интеграл Lq от % по медленной переменной s. Варьируя 0。по Q(s), получаем уравнение Эйлера

приводящее к интегралу движения

Kq = с = const.(19.9)

Вычислим Kq” В § 6 уже отмечалось, что U(s, 〃) = g(〃，q(s), s). Поэтому /о = /q(q, s) и К = K{q^ s). Чтобы найти Kg, умножим уравнение (19.2) почленно на Uq и проинтегрируем по у. Получаем

Kq = ||g(也 °)—『/函"

Подставляя в это равенство (19.7), находим, что

Kq = 〃5(19.10)

откуда следует

q/o = с.(19.11)

Интеграл (19.11) совпадает с интегралом (6.22), полученным из совсем иных соображений.

Для вывода условия, определяющего кривую /, образуем функционал вдоль любой гладкой кривой n = n(s):

£ [n(s)]=必⑺)£)，(] + гж)2 + 册厶)(19.12)

в котором

dS =+ 几斤)2 + n^ds(19.13)

—элемент длины дуги для кривой n = n(s), выражение 3 задано формулой (19.4).

Варьирование функционала (19.12) целесообразно провести следующим образом [6]. В координатах n, s рассматриваем близкие к / в метрике С1 кривые n = n(s), удовлетворяющие уравнению Эйлера

^(誹)-際=& W = 3S，s),(l + ^)2 +(19.14)

Кривая / является экстремалью, если тривиальное решение п = О удовлетворяет уравнению (19.14). Это, в свою очередь, имеет место лишь при условии равенства нулю коэффициента при первой степени п в разложении Ф. Поскольку

3 =少(0, S)+ n [上少(0)5)+ ^n(0, g)] +0(几2 + 后)，

攵(0)5)= 2K Жп(0, з) = —2斤『/0 — gn(s, 0),

то определяющее кривую / условие имеет вид

2K к(5)= 2«(s)q2/0 + gn(s,0).

Используя (19.7), преобразуем это условие к виду

Ms) = Т 龄(19.15)

идентичному (6.29).

Определяющее осевую линию / условие (19.15), как мы видели, можно превратить в задачу Коши (6.40), (6.41) для трех обыкновенных дифференциальных уравнений. Покажем, что условие (19.15) эквивалентно также некоторому однопараметрическому принципу Ферма. Формулировка этого принципа связана с построением гамильтониана Но, соответствующего усредненному лагранжиану ”, и с естественным продолжением Hq в плоскости ж, у, т. е. с переходом от Hq^s) к Я(ж,у).

Выполним намеченные построения. Лагранжиан 於о содержит единственный импульс Q'二 q. Поэтому преобразование Лежандра, связывающее Но с %, в силу (19.8) имеет вид

/ = —Зо + ^^^ = -2К + 2qKg.

Используя (19.9) и (19.7), получаем

%(s) = 2g — 2Km s) = 2g(也0卜(19.16)

Правая часть в (19.16) допускает продолжение в плоскости ж, у. Действительно, переходя в определяющем функцию g интеграле к переменной интегрирования z = Ujs, 〃), имеем

g（5,。）= Ig（5,。）= I@(з s, 0)dz@(з s, 0)dz" V^，q2z - ◎(瑞 s,0)‘ о" V^，q2z - ◎(瑞 s,0)‘ о

g（5,。）= I

g（5,。）= I

@(з s, 0)dz

@(з s, 0)dz

" V^，q2z - ◎(瑞 s,0)‘ о

" V^，q2z - ◎(瑞 s,0)‘ о

где ①о, как и в §6,——наименьший положительный нуль подкоренного выражения. Функция Ф определена на всей плоскости ж, у. Вопрос о продолжении функции q на плоскости также уже решен в § 6. В тех точках плоскости, где таким образом определены q и ж0 как функции z и у, действует формула

〃(z,g) = 2g(z,g)= f(19.17)

о

Краткости ради в (19.17) при переходе от аргументов s, п к аргументам ж, у мы не стали вводить новых обозначений для функций q и Ф. Формула (19.17) имеет смысл лишь в той части плоскости, где подкоренное выражение положительно.

В итоге определяющий кривую / однопараметрический принцип Ферма может быть сформулирован так:

З] H(x,y)dS = 0.(19.18)

Параметром в этом принципе является константа с, которая содержится в (19.17) (входит в функцию q) и имеет смысл интенсивности пучка. В зависимости положения и формы осевой линии / от интенсивности пучка проявляется нелинейность рассматриваемого явления. Вывод принципа (19.18) из принципа Уизема аналогичен получению принципа Мопертюи на основе принципа наименьшего действия [57].

Нетрудно проверить, что равенство (19.18) совпадает с условием (19.15). Для этого достаточно составить уравнения Эйлера функционала (19.18) с учетом формулы (19.13) для dS и повторить рассуждения из п. 2.

Равенства (19.18), (19.17) позволяют получить формулировку принципа Ферма для различных частных случаев нелинейных и неоднородных сред.

В качестве физически важного примера рассмотрим кубичную нелинейную среду, т. е. среду (6.12) при р=2. В этом случае основные интегралы явно выражаются через характеристики среды а (ж, у), Ь(ж, у) и функцию q:

А = 4&т，д2 一 ь> К = /аТ(д2 - Ь)”

а продолжение функции q на плоскости ж, у имеет вид

,

константа А = с/4.

В результате приходим к следующему принципу Ферма, определяющему кривую I:

ё Г 6(6 + "严 +442得)+ (4/3)42a2_

J(6 + "62+442^2) /

Для весьма интенсивных пучков (при А т ос) вариационный принцип (19.19) превращается в равенство

^^^(x.y'jdS = 0.

Нелинейные вариационные принципы в трехмерных задачах о волновых пучках

Здесь все построения аналогичны построениям из § 19 в двумерной задаче. Некоторое отличие связано с тем, что ряд необходимых далее равенств уже заготовлен в § 17.

Сначала получим определяющий осевую линию / е К? однопараметрический вариационный принцип для случая (17.1). Продолжаем преобразования, начатые в § 17, п. 2. Действуя по тому же плану, что и в § 19, находим функцию Гамильтона Н(R), связанную с усредненным лагранжианом ” преобразованием Лежандра:

//(R)=-夕。+ q，@д = —К + qKq.

Но Kq = 2q/“ т. е.

〃(R) = 2q2(R)/°(dR) — K(q,R) = 2”(R) — K©R)"

Переходя от R к г, находим продолжение гамильтониана

^(r) = 2Q2(r)/0(Q(r),r) - K(q(r))r) = 2cq(г) - K(q(r)户))(20.1)

при этом продолжение q(r) определяется равенством

Q(r)/0(Q(r),r) = С,

обобщающим (17.12).

Теперь вариационный принцип типа Ферма

j| H(Y)dS = 0(20.2)

найден. Покажем, что он полностью соответствует условиям (17.16). Рассматривая гладкие кривые, близкие в метрике С1 к данной, и повторяя уже не раз проведенные рассуждения, приходим к условиям

(к⑶凤 г) + 甯)=0, 響^ =0,(20.3)

'fl / n=p = 0I n = p=Q

следующим из (20.2).

Остается показать эквивалентность условий (20.3) и (17.16). Подставим (20.1) в (20.3). В силу (17.10) и (17.12) имеем равенства

дпдп дп дп ■

Умножая продолженное уравнение (17.3) на Un и интегрируя по р с использованием (17.8), вычисляем дК/дп и находим, что

-gn(r)・(20.4)

В выражении ^п(г) дифференцирование совершается лишь по г, входящему явно, т. е. так же, как в условиях (17.16). Аналогичная (20.4) формула получается и для производной по р. Подстановка (20.1) и (20.4) в (20.3) приводит к условиям (17.16), что и доказывает справедливость вариационного принципа (20.2).

Формула (20.2), таким образом, дает описание эффективного показателя преломления //(г) трехмерной нелинейной среды общего типа. Полученные здесь равенства, как и равенства (19.18) и (19.17), позволяют получать формулировки принципов типа Ферма для различных частных случаев нелинейных и неоднородных сред. Один из таких случаев рассматривается в следующем пункте.

Выведем принцип Ферма для среды с насыщением нелинейности из § 17. Эта задача, как мы видели, сводится к построению продолженного выражения (20.1) для гамильтониана. При пренебрежении членом с 7(г) в (17.17) получается принцип Ферма для кубичнонелинейной среды.

Продолжение g(r) достигается теперь использованием вместо общей и неявной формулы (17.12) явной формулы

q(r) = 4a(r) 1 -+,

[3 а (『)J

следующей из (17.16). Продолженное выражение для интеграла К получается из формул (17.5), (17.13), (20.1) и имеет вид

K(q(r),r) =[1 + 产隼？ 了％(г) + О(72)' •

В результате нелинейный вариационный принцип (20.2) содержит следующую функцию Гамильтона:

^)丿。“(г) +需卜-与佃3号君般髙勿+。闿

(20.5)

Предполагается, что а > 0.

В частном случае, в кубично-нелинейной среде траектория пучка описывается принципом Ферма

"(笛矶卩 + 标 dS = 0*(20.6)

Два приведенных выражения для //(г), содержащихся в (20.5) и (20.6), показывают, как осевые линии пучков зависят от интенсивности этих пучков, пропорциональной параметру А. Для весьма интенсивных пучков (при Л —> ос) вариационный принцип (20.6) приобретает совсем простой вид: 8 ] a^dS = 0. Отметим еще эффект, отсутствующий в нелинейных однородных средах: пучок не может проникнуть в области, где

42a2 < 仇(20.7)

в силу условия q2〉氏 Этот эффект существен в ряде задач, например в задаче из § 21.

Пучки в нелинейной и неоднородной среде волноводного типа

При одновременном воздействии на волновые пучки нелинейности среды и ее неоднородности возникают разнообразные эффекты. Пример таких эффектов можно найти при рассмотрении следующей нелинейной среды волноводного типа.

Пусть изучается среда (17.1) при 7 = 0. Пусть также а(г), 6(г) зависят лишь от одной координаты:

а = а (ж), b = Ь(гс).

Будем считать, что осевая линия I целиком лежит в плоскости (ж, у)〉т. е. при % = 0. Вариационный принцип (17.20) теперь имеет вид

81 h{x^ A)dS = 0, h = А2а(х) +(21.1)

параметр Л связан с полной интенсивностью пучка. Зона возможного движения пучка в соответствии с условием (17.21) определяется неравенством

(21-2)(21-2)Л2а2(ж)》6(ж).

(21-2)

(21-2)

Чтобы среда имела волноводный характер, положим, что функцияЧтобы среда имела волноводный характер, положим, что функцияЛ (ж, Л) имеет максимум ж = ^(Л) ситуация есть ситуация внутреннего волновода. Если бы функция h была обычным показателем преломления, то геометрооптический луч /о располагался бы между двумя каустиками ж = Х±) попере™ менно касаясь их в процессе распространения (рис. 10).

Чтобы среда имела волноводный характер, положим, что функция

Чтобы среда имела волноводный характер, положим, что функция

В нелинейном случае эффекты несравненно богаче. Выпишем дифференциальное уравнение для

для всех А (рис. 9). Возникающаядля всех А (рис. 9). ВозникающаяРис. 9. График гамильтонианаРис. 9. График гамильтонианаосевой линии /, разыскиваемой в виде у = у(х). Это уравнение на

для всех А (рис. 9). Возникающая

для всех А (рис. 9). Возникающая

Рис. 9. График гамильтониана

Рис. 9. График гамильтониана

1 I ，21 + 2/1 I ，21 + 2/а а2 {Ь/о2)1« 十 Д2а2 + 6а а2 {Ь/о2)1« 十 Д2а2 + 6(21.3)(21.3)основании (17.19) после преобразований принимает вид

1 I ，2

1 + 2/

1 I ，2

1 + 2/

а а2 {Ь/о2)1

« 十 Д2а2 + 6

а а2 {Ь/о2)1

« 十 Д2а2 + 6

(21.3)

(21.3)

поскольку косинус переменного угла между осью ж и нормалью к I равен yf(l + у")-1/2. Совместим начальную точку осевой линии с точкой х = ^ у = Q. Уравнение (21.3) легко интегрируется:

(21.4)(21.4)g"⑺ =Л, 户(①)1 + Л# 1 + Л, //(€)

(21.4)

(21.4)

На основании (21.4) можно заключить, что форма осевой линии существенно зависит от начального ее направления по отношению к градиенту неоднородности.

Рис. 10. Лучевая картина в линейном случаеРис. 10. Лучевая картина в линейном случае

Рис. 10. Лучевая картина в линейном случае

Рис. 10. Лучевая картина в линейном случае

Если yf(^) = 0, то решение уравнения (21.4) имеет вид g⑺=О, т. е. осевая линия совпадает с осью х. Однако параметры пучка при изменении ж будут меняться. Подобная задача о распространении пучка в неоднородной плазме параллельно градиенту неоднородности рассматривалась Н.С. Ерохиным и Р.З. Сагдеевым [40]. Задача рассматривалась и для нестационарных пучков в рамках НУШ типа (7.27). Результаты таковы. Определяющей является величина разности d —氏 В силу (17.16)

q1 — b = 4V — ь〉°"(21.5)

Если разность (21.5) убывает по ж, то пучок по мере своего продвижения вдоль этой координаты дефокусируется. Если же разность возрастает, то, наоборот, пучок фокусируется. В частности, при подходе к области Ла2 — b V 0 происходит полное расплывание пучка. Этот факт естествен, так как разность (21.5), входя в формулу Uq 〜 〜M，q2 — bp) (см. (7.11)), непосредственно связана с шириной пучка.

Возвращаемся к уравнению (21.4). Что происходит при д”)= =tg 0 卢 0? При условии

lim h{x) = 0

罔ТОО

(21.6)(21.6)возможны следующие варианты поведения осевой линии. А. Пусть величина

(21.6)

(21.6)

убывает с ростом \х — £|. Тогда дефокусировки нет. Пусть для определенности х > ^. Пучок поворачивает в направлении уменьшения координаты ж до приближения к прямой ж = ж*, такой, что у^х*)= =ос. В точке поворота

Л2а2(ж) < 6(ж). При заданном Л легко вычислить критическое значение угла 0, разделяющее два указанных варианта преобразования пучка. Пусть ж (6/а2)——функция, обратная по отношению к функции (21.6). Если ж*(Л,/3) —— корень уравнения (21.7) —— больше, чем величина ж(Л2) = ж (Ь/a2)\b^a2=A2, т. е. если выполнено неравенство

> Л2, (2L8)

то дефокусировки не будет. В противном случае пучок покинет волновод и рассеется в пространстве. В случае равенства 6(ж*) = Л2а2(ж*) получаем уравнение для определения критического начального угла 0 в зависимости от интенсивности А.

В общем случае полиномиальной среды с насыщением нелинейности (17.1), т. е. при 7 > 0, усложняется как выражение Л (ж, Л), так и неравенство (21.2), что ведет к дополнительным эффектам.

Наклонное распространение мощных волновых пучков в ионосфере

Параграф описывает одно из приложений выведенных выше траекторных вариационных принципов для интенсивных волновых пучков. Здесь пойдет речь об управляемом дополнительном расслоении ионосферного слоя F2 под действием мощного волнового пучка. Получены формулы, показывающие, как свойства пробного пучка, выпущенного в том же направлении, что и мощный, но со сдвинутой частотой, зависят от интенсивности мощного пучка и от частотного сдвига. Аналитические результаты дополнены численными оценками эффектов.

Цель состоит в моделировании воздействия на ионосферу мощного наклонно падающего волнового пучка при рабочих частотах, превышающих критическую частоту слоя F2. Имеется в виду изучение изменения параметров как самого ионосферного слоя, так и служащего для диагностики слабого пробного волнового пучка, выпускаемого в том же направлении, что и мощный пучок. Геометрооптическое рассмотрение поведения пучка в указанных условиях было предпринято в работе [110]. Расчет возмущения электронной температуры, сопровождающего процесс, описан в статье [121]. Ввиду большой сложности проблемы мы далее ограничиваемся использованием сравнительно простой модели, не учитывающей всех деталей распространения волн в ионосфере.

Будем считать, что распространение волновых пучков в нелинейной и плавно неоднородной среде описывается кубично-нелинейным уравнением Гельмгольца

Ап + ш2 [a(r) \uf + 6(r)] w = 0, ®》1) а > 0, г = (ж, у). (22.1)

Пропорциональный частоте параметр ⑺ ——безразмерный и имеющий

смысл отношения масштаба неоднородности среды к длине волны. Для простоты считаем задачу плоской, а изучаемые процессы стационарными. Приближенная модель (22.1) является классической (см., например, [3, 40]).

Имея в виду приложения к верхней ионосфере, при оценках, как и в [110], часто будем полагать

а(г) — а — const,

=Ь{у) = В ] — q2 (1 — Q,В = const.仅22)

Здесь b не зависит от горизонтальной координаты ж и монотонно убывает по у при у < ут, q ——отношение критической частоты слоя F2 к рабочей частоте, ут ——высота, соответствующая максимуму электронной плотности, Н ——полуширина слоя. Конечно, формула (22.2) для Ь(у) используется для высот, удовлетворяющих неравенству ут — — Н < у < ут + Н. Предполагается, что при у < ут — Н функция Ь(у) с возрастанием у монотонно не возрастает от значения 6(0)》

В и имеется плавный переход к формуле (22.2) при у = ут — Н. Отметим, что почти все дальнейшие результаты не связаны с конкретными формулами (22.2), а требуют лишь положительности функции а и монотонности Ь.

Как и ранее, для описания волновых пучков ищем асимптотику при у т ос комплекснозначных решений 〃(厶 ®) уравнения (22.1). Эти решения должны быть сосредоточены в узкой полосе, окружающей некоторую кривую I (т. е. существенно отличны от нуля в малой окрестности 0(®-「) этой кривой) и должны иметь характер волн, бегущих вдоль I.

Ясно, что главная трудность задачи состоит в учете самовоздей- ствия, т. е. в необходимости одновременно найти как осевую линию /, так и сосредоточенное в окрестности I нелинейное волновое поле. Однако в § 6 (см. [68, 169]) для ряда нелинейностей, включая нелинейную модель (22.1), указана возможность отделить задачу об осевой линии от задачи о волновом поле. Показано, что осевая линия I является экстремалью однопараметрического вариационного принципа (19.18) или (19.19). Входящий в вариационный принцип параметр Л имеет смысл полной интенсивности пучка.

В ионосферных условиях определяющий нелинейность коэффициент а мал, так что выполняется неравенство

Ла < В.(22.3)

При условии (22.3) упомянутый вариационный принцип принимает следующий вид:

dS — дифференциал длины дуги. Вариационный принцип (22.4) лишь поправочным подынтегральным слагаемым отличается от обычного принципа Ферма, определяющего траекторию пучка в отсутствие нелинейности.

Применяя вариационный принцип (22.4), приходим к следующим результатам. Пусть в отсутствие нелинейности восходящая ветвь осевой линии пучка описывается уравнением у = до (宮)* Для функции уо справедлив первый интеграл

，b(go)三吧竺-=\А(0) cos jo = со,(22.5)

где 7о — угол выхода пучка. Уравнение (22.5) интегрируется, однако формула для уо(х) громоздка и не очень важна для дальнейшего.

Функция уо(х) (ее график ——кривая 1 на рис. 11) определена на

Рис. 11. Осевые линии пучков: 1 ——в линейной теории, 2 ——для мощного пучка с учетом нелинейности, 3 ——для пробного пучка при совпадении частот

некотором интервале [О, 2Х], симметрична и имеет единственный экстремум —максимум при х = X.

Учет нелинейности приводит к уравнению для / в виде

g = *(£)+(书)у^х).(22.6)

Для функции у、(ж) вариационный принцип (22.4) дает линейное неоднородное уравнение

加 /Ь，(У^—炉

(227)

к которому должно быть добавлено условие %(0) = 0. Нетрудно убедиться, что функция pi⑺ также определена на [0, 2Х], неотрицательна, симметрична и имеет максимум при х = X.

Таким образом, истинная траектория (кривая 2 на рис. 11) располагается выше, чем это следовало бы из линейной теории. Легко исследуется обусловленное нелинейностью смещение точки поворота осевой линии мощного пучка. Пусть в линейном случае этот поворот происходит в точке (X, У),

*(Х) = У,= VW)cos7o.

С учетом нелинейности поворот осуществляется в точке (ж, 〃))причем

За счет нелинейности точка поворота смещается вверх, оставаясь на том же месте по горизонтали. Смещение осевой линии пучка и точки ее поворота тем больше, чем больше мощность пучка.

Квадрат эффективного показателя преломления выбранной модели среды пропорционален величине

N2 = a\uf + Ь{у)(22*9)

и зависит от поля мощного пучка. В § 6 получены формулы для такого поля в координатах (n, s), связанных с осевой линией /, где п — нормальная к I координата, вектор нормали образует острый угол с положительным направлением оси g〉s — длина дуги вдоль I. При выполнении неравенства (22.3) имеет место асимптотическая формула

(22.10) в которой 0 = 0(s) = b (д儿.Чтобы получить функцию 0(s) по функции b(g), нужно использовать связь между координатами s и ж на /, которая дается равенством

s = V1 + y,2(x)dx.

о

где yf(x) следует взять из формулы (22.6).

На основании (22.9), (22.10) получаем

№ = Ь十竺—.(22.11)

Второе слагаемое правой части (22.11) является поправочным, а в линейной теории вообще отсутствует. Однако производная по у (или по п) от этого слагаемого содержит в числителе ⑺ и может при некоторых значениях параметров конкурировать с производной от первого

слагаемого. Это говорит о дополнительном управляемом расслоении ионосферы под влиянием мощной волны, иными словами, о перераспределении электронной концентрации ионосферной плазмы.

Если интенсивность мощного излучения настолько велика, что

->в1/3(^)2/3->в1/3(^)2/3(22.12)(22.12)

->в1/3(^)2/3

->в1/3(^)2/3

(22.12)

(22.12)

то в слое F2 возникают дополнительные волновод и антиволновод. При достаточно высоких частотах условие (22.12) совместно с условием (22.3).

При условии (22.12) осевая линия возникающего волновода близка к линии Z, но расположена несколько ниже ее, что следует из монотонного убывания 6(g)* Так, ось этого волновода пересекает вертикаль х = X при

“7 4a \АашН)“7 4a \АашН)-Аа —-Аа —V2a/ \ шН JV2a/ \ шН J

“7 4a \АашН)

“7 4a \АашН)

-Аа —

-Аа —

V2a/ \ шН J

V2a/ \ шН J

выражение в квадратных скобках положительно в силу (22.12). Ось возникающего антиволновода проходит еще ниже оси волновода.

Описанное явление можно трактовать как еще один механизм, отличный от термодиффузионного механизма формирования диссипативной структуры в ионосфере [80].

Исследуем осевую линию пробного волнового пучка. Считаем, что пробный пучок выпускается под тем же углом, что и мощный, но с отличающейся частотой ®i = ® + 6. Добавка 5 может быть как положительной, так и отрицательной, но малой по абсолютной величине по сравнению с

|6|《5 (22.13)

Пробный пучок распространяется в среде с квадратом эффективного показателя преломления N：. Величина N^ отличается от N2 (см. (22.11)) заменой ⑺ на ⑺小 q и b на

qi = q (1 - ^ , Ьт = b + — b)"

Осевая линия 厶 пробного пучка близка к Z. Ее уравнение можно записать с помощью функции уо(х) и двух поправочных слагаемых, линейных по малым параметрам СаВ~' и Jw^1:

У = м)(ж) + СаВ^1у2(х) + 5ш^1у3(х). (22.14)

Вариационный принцип (22.4) для функций у?(х))дз(力)дает линейные уравнения, подобные уравнению (22.7), но отличающиеся от (22.7) видом правых частей.

5 И.А. Молотков

Функции 沙2(力)и уз(力)подобны функции yi(x) в (22.6). Они неотрицательны и имеют максимум при х — X. При 6 = 0 кривая 厶 (кривая 3 на рис. 11) располагается над кривой I. При 5 < 0 поправочные члены в (22.14) имеют противоположные знаки и могут локально компенсировать друг друга.

В общем случае для вертикальной координаты ?〃 точки поворота 厶 справедлива асимптотическая формула

(0分(1 + 6L)_里Ь(у)

+ 6Ь(У)|У(У)| Gaa )

Совпадение высот максимумов траекторий 2 и 匕 в старшем порядке имеет место при

Ь(У)(^Ь(У))・(22.16)

b +— b)ds.b +— b)ds.(22.17)(22.17)Проанализируем фазу пробной волны. Поле пробной волны удовлетворяет линейному уравнению Гельмгольца с уже упоминавшимися показателем преломления N* и частотой ⑺「Учитываем, что траектория /1 близка к /, хотя и отличается от нее. Для фазы Wi пробного пучка имеем формулу

b +— b)ds.

b +— b)ds.

(22.17)

(22.17)

Фх = (ш + 6)

о(h)

Будем вычислять фазу % с точностью до членов ОаВ~工 и В®一* пренебрегая более высокими степенями малых параметров. Дальнейшее преобразование (22.17) состоит в выделении поправочных членов, содержащих малые параметры. Можно считать, что в поправочных слагаемых интегрирование ведется по кривой /, зато в главном слагаемом должно быть учтено отличие Zi от /, исследованное в предыдущем пункте и даваемое формулой (22.14).

Получаемая формула для % кроме фазы Ф мощного пучка содержит весьма громоздкие поправочные члены, обусловленные поправками к эффективному показателю преломления N*)траекторными поправками в формуле (22.14) и поправками за счет сдвига частот. Как и в предыдущем пункте, знаки поправок таковы, что они могут частично компенсировать друг друга. Разумеется, разность фаз пробной и мощной волн сильно зависит от того, на каком горизонтальном расстоянии эта величина наблюдается.

Приведем формулу для Ф1 с указанной выше точностью для конечного сечения ж = 2Х:

Wi(2X) = W(2X) +Wi(2X) = W(2X) +(22.18)(22.18)

Wi(2X) = W(2X) +

Wi(2X) = W(2X) +

(22.18)

(22.18)

Как и в предыдущем пункте, в (22.18) видна возможность компенсирующего действия параметров Са и 5. При 6 = 0

%(2Х) < W(2X)“ (22.19)

Такое неравенство означает, что оптическая длина пути пробного пучка меньше оптической длины мощного пучка, хотя геометрический путь больше у пробного пучка. Неравенство (22.19) возникает за счет поведения эффективного показателя преломления, уменьшающегося при отходе от оси /.

Обратимся к численной оценке эффектов. В линейной теории при выборе в формуле (22.2) ут = 255 км, Н = 70 км, q = 0,36, а так™ же при 7о = 17° и 6(0) = В получаем, что высота траектории мощного пучка У у 216 км. Истинная высота 〃 этой траектории зависит от интенсивности мощного пучка. Если АаВ^1 = 0,2 (это соответствует мощности излучения в 6 МВт), то в соответствии с (22.8) 〃一 У 8 км. При АаВ^1 = 0,4 нелинейное возвышение траектории ту — У у 32 км.

Условие (22.12) образования дополнительного волновода внутри слоя F2 при указанных значениях параметров всегда выполнено. Ось этого волновода проходит чуть ниже оси мощного пучка. Траектория пробного пучка при 6 = 0 всегда выше траектории мощного пучка, хотя и весьма близка к последней.

Пусть теперь 8 R 0. Если \S\ = 50 кГц [110], то изменение 力 за счет члена с Ь/g весьма мало. Что же касается влияния такого частотного сдвига на разность фаз 3](2Х) — 3(2Х), то оно при АаВ^1 = 0,2 оказывается примерно в 100 раз большим по сравнению с вкладом слагаемого 2Аа2.

Сформулируем некоторые следствия из результатов этого параграфа.

Учет нелинейного самовоздействия мощного волнового пучка ведет по сравнению с линейной теорией к сдвигу вверх осевой линии пучка и точки поворота траектории (формулы (22.6), (22.8)).

Распространение мощного пучка в ионосферном слое приводит к дополнительному расслоению среды. Если интенсивность пучка достаточно велика (условие (22.12)), то в ионосфере возникают управляемые волновод и антиволновод.

Траектория пробного пучка при отсутствии частотного сдвига проходит чуть выше, чем траектория мощного пучка.

При наличии частотного сдвига возвышение траектории пробного пучка зависит и от интенсивности мощного пучка, и от сдвига частоты. Может быть указано (см. формулу (22.16)) соотношение этих факторов, когда они компенсируют друг друга.

От этих же факторов зависит разность фаз пробной и мощной волн (см. (22.18)). При отсутствии частотного сдвига эта разность фаз отрицательна, так как оптическая длина пути пробного пучка меньше оптической длины мощного.

Уравнение Гельмгольца с нелокальным нелинейным членом

В этом параграфе рассматриваются локализованные решения нелинейного нелокального уравнения вида

е2Aw + b(x)w + R [|w|2 , x, e] w = 0, 0 < m《(23.1) в котором искомая функция 〃(х, е), как во всех уравнениях типа НУШ, комплекснозначна, ж е AR m = 2, 3,. . ., Ь(х)——заданная гладкая функция, а интегральный оператор R имеет вид

А = г (一区■[■У」) \и(у)\2 dy.

Rm

Такое уравнение часто именуется также уравнением Хартри. Предполагается, что положительное и достаточно гладкое ядро допускает оценку вида |г(ж)| < С ехр( —с |ж|), С и с — постоянные.

Уравнение (23.1) возникает в теории распространения мощных волновых пучков с учетом эффекта Холла и тепловых эффектов. Нелокальный член с оператором R вводится в уравнения, описывающие распространение коротких и мощных импульсов в нелинейной среде, для учета вклада молекулярных колебаний в нелинейную поляризацию среды [187]. В теории квантовых жидкостей уравнение (23.1) описывает бозе-газ из притягивающихся частиц с взаимодействием 『в квазиклассическом приближении [15]. Эта интерпретация непосредственно вытекает из того, что решение и уравнения (23.1)—— экстремаль функционала

= (产〔▽〃『一b |〃『)dx — I I г (^^-) h(x)|2 |ад(у)|2 dxdy. Rm

При не малых m для описания поведения решений уравнения (23.1) эффективны численные методы. Поэтому основной интерес представляет случай е 7 0. Наша цель ——построить солитонообразные решения уравнения (23.1), сосредоточенные вблизи гладких компактных ориентируемых подмногообразий М, регулярно вложенных в Rm. Для других случаев такие решения строились в ряде работ, например в [19, 62, 64, 68, 169]. Однако нелинейные уравнения с нелокальным членом типа (23.1) в этих работах не рассматривались. Наша вторая цель —— найти вариационный принцип, определяющий подмногообразие и форму солитона в первом приближении.

Далее рассмотрим случай, когда m = 2 и dim М = р = 1, т. е. когда изучаются решения уравнения (23.1), сосредоточенные в окрестности заранее неизвестной кривой / на плоскости. В случае волновых пучков кривая I имеет смысл осевой линии пучка, в случае квантовых жидкостей ——осевой линии капилляра. Используемый подход эффективен и при более высоких размерностях т и р < т.

В окрестности / введем обычные координаты s, п, а также растянутую координату 〃 = 九^一L Предполагаем, что ядро г обладает мультипликативным свойством и четностью:

『(^7^) dS1 = 0(〃 - ％)◎⑶，p(yi- =.

Для простоты полагаем далее a(s)二 1, что не ограничивает общности рассмотрения, поскольку от коэффициента a(s) можно избавится простым масштабным преобразованием. Используем анзатц, фактически аналогичный (6.5):

w(n,印 m) = U也 £)exp [分g —1Q(〃, 6* m)L Im U = Im Q = 0,

U = 1/q(X 6)+ £(/i(^, 6)+ …， Q = Qo(^, s) + mQi('s) + • • • (23*2)

Отметим главные следствия подстановки анзатца в уравнение (23.1). Функции Qo и Qi зависят только от s. Для функции Uq получаем задачу

— X^U^ + Rq [%, s]U0 = 0, и0 “工 0,(23*3)

в которой

入⑶=q2(s) — 0(力 q(s) = Qg),。⑶=b (x)J=o ,

Яо =o(〃 一 沙 1) Uq (沙 1) d〃i"

Для определения функции Х(б) получаем закон сохранения

+ А/(А, 6)= const = 4,(23.4)

в котором / = I Uq(u^ 6)d〃, а константа Л имеет смысл интенсивности бегущей вдоль / волны.

На следующем шаге для функции Ui(〃, s) возникает уравнение

— А ⑶ 1/1 + 21/о (〃) ]/?(〃 — ^i) Uq (勿 1) 4 (〃i) d〃+

+ Ui (勿)p(y -勿i) Uq (以)d〃 = F,

F = 2qq、Uu —尤。0“ — »bn (s) Uq — 2汽q?»Uu

и соответствующая линейная неоднородная задача.

Несмотря на усложнение содержащегося здесь линейного оператора (по сравнению, например, с §6), его ядро по-прежнему состоит из функции [/о”"

Условие разрешимости возникшей задачи ведет к формуле для кривизны 尤(б) кривой /:

冗(S)(絞/ - k) = 一|断(6)人

оо(23.5)

Можно показать, что равенство (23.4) устанавливает взаимно однозначное соответствие между Xus при фиксированном А. Поэтому интегралы /, К и

= du I р(р - i/i|)l/g(I/, s^Uq^!, s)di/i

можно считать функциями только от А. На основании уравнения (23.3) могут быть установлены важные соотношения

К(Х) + А/(А) = В(А), Bf(X) = 2/(Х).(23.6)

Условие (23.5) эквивалентно некоторому вариационному принципу типа принципа Ферма:

b[ Я(А(х))(/5 = 0,(23.7)

выполняющемуся вдоль кривой / и определяющему вид этой кривой. Для подынтегральной функции Н(А) можно получить явное, хотя и достаточно громоздкое выражение.

Вариационному принципу (23.7), как и в § 19, соответствует уравнение Эйлера

尤"(23.8)

Н I п=0

Функцию Н(А) естественно искать в виде

Я(А) = (д4^/<)/(А),

где /(А) подлежит определению. Далее сопоставляем формулы (23.5) и (23.8). Переходя от дифференцирования по нормали к дифференцированию по параметру А и используя тождества (23.6), находим логарифмическую производную от /(А):

(E/八=Ag(A) К (ХУ

Последняя формула определяет логарифмическую производную от Н(А). Окончательно для подынтегральной функции в вариационном

принципе (23.7) получаем

Я(А(х)) = ехр dz, Ао = const.(23.9)

АО 石&— 2* —

Как и в § 19, 20, вариационный принцип (23.7), в отличие от обычного принципа Ферма, является однопараметрическим. Роль параметра играет интенсивность А, форма искомой кривой / зависит от этого параметра.

Громоздкое выражение (23.8) замечательно упрощается в случае, когда нелокальный нелинейный член в (23.1) оказывается локализованным, т. е. при г ((х — у)/е) = 5(х — у). В этом случае уравнение (23.3) превращается в уравнение

Uo〃" — Х(з)1/о + l/g = 0, имеющее точное решение

ch(V^〃)

Теперь функция В(А), равная в рассматриваемом частном случае интегралу

легко вычисляется. После этого вычисляется и интеграл, входящий в (23.9). В итоге мы приходим к частному случаю вариационного принципа (23.7), который был получен ранее в § 19.

Рассмотрим далее еще один важный частный случай полученных общих формул (23.3), (23.4), (23.7), (23.8). Пусть А 7 0. Согласно (23.4) А 〜VA- Поэтому такой случай отвечает пучкам с малой интенсивностью или капиллярам со слабым потоком жидкости. Решение уравнения (23.3) естественно искать в виде

仇(|〃|, А) = VX Е(Х) + Х@1(Х) + ...], X = VX\у\ .

Для функций г?о и t?i получаются некоторые дифференциальные уравнения. Функция и。пропорциональна ch™1 X и всегда положительна. Решение уравнений для и。и 力 позволяет найти разложения интегралов /, К, В по степеням Л. В свою очередь, это ведет к разложению для Н(А):

Я(А) = Я0(Л) [1 + О(А)].

Функция Hq определена формулой (23.9), т. е. совпадает с "(А) в локальном случае. Поправочное слагаемое 0(A) зависит от свойств ядра г.

§ 24. Фронты в нелинейно-диссипативной среде

В этом параграфе мы рассмотрим некоторые нелинейные сосредоточенные решения на плоскости. Метод аналогичен методу из § 19. Отличие в том, что здесь будет строиться вариационный принцип для отыскания волновых фронтов, а не для осевых линий пучков. Простые примеры из § 19 послужат основой для дальнейших обобщений.

В первой части параграфа рассмотрим уравнение

△〃 + w2/(w, z, у) = 0(24.1)

на плоскости (ж, у), А = д2/дх2 + д2/ду2〃(z, у)——неизвестная вещественнозначная функция двух переменных. Предполагается, что g —— большой параметр, g》1. Аналогично можно было бы рассмотреть уравнение

Aw + f(u, еж, еу) = 0, m《L(24.2)

Связь между (24.1) и (24.2) осуществляется заменой gу、=

=g「\ g =「1.

Для (24.1) будем искать решения специального вида ——типа кинка. Эти решения существенно изменяются в малой окрестности размером О@-1) некоторой гладкой кривой /, а вдали от нее быстро стремятся к постоянным пределам, необязательно нулевым. Кривая / ——не произвольная, она должна быть найдена в результате решения задачи.

Введем потенциал Ф равенством

ж, у) = ж, и).(24.3)

Предположим, что Ф удовлетворяет следующим условиям.

Потенциал Ф G С°°, имеет два локальных максимума г£+(ж, у), (ж, д), причем

(24.4)(24.4)Ф(^+(ж, д), ж, у) = Ф(и^(х, р), ж, у) = 0.

(24.4)

(24.4)

Существует Ь〉0 такое, что для всех (ж, у) высота всех прочих локальных максимумов Ф не больше чем ( — 6). Локальные максимумы в точках и = 〃土 равномерно невырождены:

怦2®土，旳 g)| > bi > S怦2®土，旳 g)| > bi > S(24.5)(24.5)

怦2®土，旳 g)| > bi > S

怦2®土，旳 g)| > bi > S

(24.5)

(24.5)

Роль условий (I) и (II) здесь аналогична роли одноименных условий в § 6. Заметим, что второе равенство в (24.4), по существу, не ограничивает общности. Зато первое весьма важно.

Предположим, что кривая / известна. Введем в ее окрестности координаты (и, s), как и в задачах о волновых пучках. В этих координатах уравнение (24.1) примет следующий вид:

ипи +尤〃九(1 +制尤)_1

(246)

Здесь, как и выше,尤⑶ ——кривизна кривой /. Преобразованный к новым координатам и, s коэффициент / для простоты обозначен той же буквой.

Решение (24.6) естественно искать с помощью анзатца

и = Uo(〃, 6)+ ш^и^у^ «) + ...,(24.7)

в котором введена быстрая переменная 〃 = шп.

После подстановки (24.7) в (24.6) главные члены О(ш2) дают:

4人 + "%…)=0*(24.8)

При этом учтено, что в силу сосредоточенности решения надо разложить / в ряд не только по аргументу 佐 но и по т

f(u,n,s) = /(l/o,O, S)+ ®т[九(Uo,O, з)« + %(Uo,O,3)〃] + ...

Будем искать решение (24.8), имеющее вид кинка по переменной и. Положим, что выполняются граничные условия

"(，6)“70G疗(з)，若=〃土(3 s) = ^±(^,1/)1/ •(24”9)

Функции 疗(s) при 7 2 1 заранее не заданы и должны определяться на соответствующих шагах асимптотического решения. В таком случае и(х, у) действительно будет существенно изменяться только в окрестности 0(必一】)кривой /. Теперь решение (24.8) согласно (I) и (II) определено формулой

h(S^^=[(0,з) W% <〃+(0,力(24」0)

J ，一2Ф(80,聲) и- (0,s)

Фазовый сдвиг h(s) можно фиксировать условием Uo(O, б) = =(〃+ + 〃—)/2. Для четных по 〃 потенциалов Ф (тогда 〃+ = —〃_) решение Uq будет нечетным по р и Uq^O^ s) = 0. Формула (24.10) примет вид

J2Ф(£,(М) о

Рассмотрим теперь в (24.6) члены порядка 0(g). Эти члены дают уравнение для первой поправки «:

Q« = g« + fM.O.s)^ = — а%” — 〃％(Uo,O,6)*(24.12)

Правая часть (24.12), вообще говоря, линейно растет по 勿(та же трудность возникала и в § 6), если не выполнены равенства

/n(^+(0,s),n, s)|n=0 = %3—(0, 3),% s)\n=Q = 0.

Эти равенства равносильны следующим:

加土(…Ж = 0.(24.13)

Если (24.13) не выполняются, то процедуру решения надо несколько модифицировать. Пока же будем предполагать, что условия (24.13) имеют место. Тогда правая часть (24.12)——быстро убывающая по и.

Как мы знаем, (24.12) имеет решение, удовлетворяющее (24.9) при 7 = 1, если правая часть (24.12) ортогональна в 厶2 функции Um Таким образом, имеем

(尤Uo” + 〃/n(Uo)n, s^^^UQ^du = 0,(24.14)

и, интегрируя по частям,

尤 j U^du =Фп(1/0,п, s)|n=0 du.(24.15)

Используя интеграл для уравнения (24.8), это соотношение можно также записать следующим образом:

j ①n(Uo(5,5)d〃

尤=к,(24.16)

2 ] Ф((7о, 0, s)du

или, переходя к переменной интегрирования U,

"十(九，6)

尤⑻=@5, s)=[[—①(а 6)『/2也 (24.17)

U— (n,s)

Условие (24.17), в отличие от его аналога (6.29), сразу определяет естественное уравнение кривой I. Условие (6.29) содержало еще неизвестную функцию qo(s), наличие которой связано с большей сложностью анзатца из § 6. Откладывая преобразование (24.17) до п. 3, отметим, что правая часть (24.17) вычисляется только по потенциалу Ф и нет необходимости знать функцию Uq{u^ s).

Следующие приближения строятся без труда. Пусть 力 ——частное решение (24.12). Общее решение (24.12) имеет вид

« = 5(s)Uo" + u「(24.18)

Уравнение для нахождения U2 аналогично уравнению (24.12):

QU2 = F^.U^y.sY(24.19)

Соотношение ортогональности для & приводит к уравнению для определения 〃(6). Это уравнение всегда разрешимо, так как легко убедиться, что оно имеет вид

5(б)⑶，(24.20)

где коэффициент [ U^du равномерно ограничен снизу в силу (I),

(II), а правая часть ——известная, не зависящая от q функция.

Ясно, что процесс нахождения Uj продолжается неограниченно. В самом деле, каждое Uj имеет структуру Uj = Cj{s)Uov + 匕(也 勿)，где Vj — ограниченные по 〃 функции и на каждом шаге для определения Cj получаем уравнения вида (24.20). Таким образом, для каждого М е G Z)М〉0 мы получаем в окрестности I формальное асимптотическое решение, удовлетворяющее (24.1) с точностью до 0(必一

Сделаем несколько замечаний в связи с построениями предыдущего пункта. Может показаться, что условие (I) слишком искусственно, так как локальные максимумы функции Ф общего положения не обязаны иметь равную высоту. Однако нередко потенциал Ф удовлетворяет некоторым требованиям симметрии, например четности. Такая ситуация типична, например, для задач, связанных с физикой фазовых переходов, где весьма распространенным является потенциал Ф = а(ж, у)&2 —匕(簿,沙)〃& т0Гда условие (I) выполнено: если имеется хотя бы один локальный максимум Ф при 〃 R 0, то имеются и два максимума равной высоты.

Пусть условие (I) выполнено не всюду, а только в некоторых точках (ж, у), например на гладкой кривой Г. Тогда вблизи Г, как показано в работе [92], тоже можно построить решение, и более того, строго обосновать его.

Укажем основные изменения, которые надо внести в метод в этом случае. Помимо (II) положим, что Фп{и+{п^ s), n, s)|n_0 R 0 для любо го s (п = 0 на кривой Г). Чтобы выполнить условие ортогональности типа (24.14) (которому теперь уже нельзя удовлетворить выбором кривой, ведь она уже определена условием (I)), используем фазу h(s) из (24.10). Если в интеграле / = [ ^fnUo^du заменить и。.)

на Uq{u + Л), то интеграл увеличится на НФп(и+, n, s)|n_Q. Отсюда ясно, что соотношению ортогональности для (24.12) в этом случае

всегда можно удовлетворить за счет выбора h(s). В нашем же случае подобная процедура не проходит, так как

^(U+(n,S),n.S)\n=Q = 0

в силу (I).

Рассмотрим кратко, как изменить построение решения, чтобы охватить случай, когда условие (24.13) не выполнено. Мы используем далее идеи, высказанные в работе [64] в связи с другими уравнениями. Заметим, что легко построить асимптотическое решение (24.1) вида

7=o7=o(24.21)

7=o

7=o

в котором % = 〃+(簿,g) (либо u^ (ж, у)), а последующие Vj тривиально находятся из рекуррентной системы

方（出旳g）匕=竹（出匕f旳/ 7 = 12…（2422）

При этом Fi = АУ()(ж, у). Разложение (24.21) может играть роль внешнего разложения в нашей задаче. Возьмем некоторую малую при g 7 ос окрестность Q/ кривой I. В Q применим формулы, полученные выше (внутреннее разложение), а вне Q/ — формулы (24.21), (24.22), а затем сошьем гладко оба решения с помощью разбиения единицы.

Пусть область Q/(A) = {(n, s): |n| < Дш^1}. Заменим в правой части (24.12) слагаемое у fn на gA(^)/n? где

°Н = Ь(1 + ^+

и gA^) G С°°. Тогда правая часть в (24.12) будет ограничена. Положим Л = 8^1^2М In ш. Так как согласно условию (II) имеет место оценка

Uo"(' б) = О(ехр( —р|)),

то вне Q/ функции Uq — 〃土, Uq и меньше. Далее ясно, что зто вне Q/ функции Uq — 〃土, Uq и меньше. Далее ясно, что зUqvv и т. д. имеют порядок О(ш^м) U\ = O(w™1 In ш) при всех 〃； ан а™

то вне Q/ функции Uq — 〃土, Uq и меньше. Далее ясно, что з

то вне Q/ функции Uq — 〃土, Uq и меньше. Далее ясно, что з

логичные оценки с дополнительными логарифмами имеются и для

следующих поправок 3一3 Uj、если к правым частям уравнений для них

применить такую же процедуру.

Окончательно решение (24.1), сосредоточенное вблизи кривой, определим формулой

(24.23)(24.23)〃 =иасх(х, у) + ^еш(1 一 x(3 U)),

(24.23)

(24.23)

где Х(3 и) еX = 1 в ~2(厶/2), % = 0 при (ж, у)星 П/(4), 0 ж

W 1 всюду, %ж, Ху ограничены. Знак + или — в (24.23) выбирается в зависимости от знака п(^).

Отметим еще один изящный способ преодоления трудности, связанной с ростом правой части в (24.12). Он тоже навеян идеями [64]. Пусть существует замена u Т £(% ж, у) такая, что в переменных й, ж, у пределы 〃土 уже от (ж, у) не зависят. Тогда, сделав предварительно эту замену, мы избавимся от неприятных членов в (24.12).

Пример 1. Пусть

= a(宓,(宓,?/)), a, /1>0.(24.24)

Сделав замену и = ди, мы сводим дело к случаю

f(u,x,y) = а(① g)九m),

когда 〃+, 〃— от (ж, у) не зависят. В операторе Лапласа появляются дополнительные члены. Повторяя рассуждения п. 1, находим уравнение кривой

您+ 需)1『(2425)

Тот же результат получается и непосредственно из (24.17).

Точно так же можно строить решения, имеющие по координате 〃 вид солитона (когда 〃+ = и_ = 0).

Рассмотрим теперь уравнение (24.17) для кривой /. Внешне оно аналогично уравнениям линейной теории дифракции коротких волн, где условия на кривую / возникают при построении решений линейного уравнения Гельмгольца, сосредоточенных вдоль кривой ). Выше мы также изучали уравнения аналогичного вида, только несколько более сложные. И в линейной теории, и в случае нелинейного уравнения Гельмгольца оказывается, что уравнения такого вида имеют вариационную природу. Кривые же / являются экстремалями некоторого функционала. В линейной теории это функционал Ферма, в нелинейной ——его обобщение, изученное, например, в § 19.

Здесь также нетрудно связать уравнение (24.17) с некоторым функционалом. Для этого можно воспользоваться принципом Уизема.

Возьмем лагранжиан

厶=][|(Vu)2 - ш2Ф(и,ж,?/)] da(24.26)

исходной задачи (24.1).

Проделаем стандартные вычисления с применением принципа Уизема. Подставим в (24.26) нулевое приближение из анзатца (24.7), которое является решением уравнения (24.8). С точностью до О(ш^х)

получим (Vu)2 = %〃. Учитывая еще соотношение

U^d〃 = —2 ] Ф(1/о? О? s)dz/

и интегрируя в (24.26) по быстрой переменной г/, получим усредненный лагранжиан:

£= a(0,s)ds,(24.27)

где a(n, s) определено равенством (24.17). Заметим, что на кривой п = =0. Поэтому ясно, что вариационный принцип Уизема SL = 0 для определения кривой / в данном случае эквивалентен принципу, по виду не отличающемуся от принципа Ферма в геометрической оптике.

Кривая / допустима, если она является экстремалью вариационного принципа

5 J а(ж, y)dS = 0,(24.28)

в котором

и+(х,у)

a(Xg)= y/\^{U,x,y)\dU.(24.29)

Вывод (24.17) из (24.28) совершенно такой же, как в линейной теории (см. [6]), и такой же, как в § 19. В § 26 книги [68] этот вывод проделан в весьма общей форме.

Уравнение к = —aja。можно, так же, как в гл. 2, превратить в явное уравнение для кривой I. Пусть ж = Х(б), у = У (б) — параметрические уравнения кривой /, s ——длина дуги. Используя формулы (6.30), получаем систему обыкновенных дифференциальных уравнений

Х~ - XV = -а〕Х)У) \Yfax(X, У) - Х%(Х, У)] ,(24J0)

Х'2 + у/2 = 1,(24.31)

которая полностью определяет кривую /, если добавить еще начальные условия

Xk=o = X” У|$=о = К, Х1$=о = X], y'ls=o = Не-

возможны замкнутые кривые /. Как и в § 19, если кривая / имеет точку самопересечения, то анзатц (24.7) в ее окрестности теряет силу.

Пример 2. Если функция /(п, ж, у) задана формулой (24.24), то вариационный принцип (24.28) принимает вид

b J &1/2(① р)/?/2(伤 y)dS = 0” (24.32)

Остановимся кратко на физическом смысле построенных решений. Уравнение (24.1) описывает равновесное состояние бистабильной диссипативной среды, энергия которой дана функционалом (24.26). Если по координате 〃 решение имеет вид кинка, то его можно интерпретировать как искривленную за счет неоднородности среды доменную границу. Эта граница разделяет две области, в которых среда находится в состояниях, наиболее энергетически выгодных (в них и 〃+(①,g) и и- (ж, у) соответственно). Физический смысл принципа (24.28) состоит в том, что вклад стенки в свободную энергию системы должен быть минимален.

Из результатов этого параграфа и работы [92] следует, что возможны два типа стенок. Второй тип (как в работе [92]) может существовать только в неоднородной среде, когда а(ж, у)千 const. В нашем же случае при а(ж, у) = const кривые / становятся прямыми.

Доменные стенки существуют во многих средах, например в ферромагнетиках [53, 92], в жидких кристаллах [41]. Аналогичными методами можно также изучать действие на стенки малых внешних сил.

Асимптотические решения, построенные в этом параграфе, могут быть обоснованы для случая однородной среды с помощью методов, базирующихся на идеях Э. де Джорджи (так называемая Г-сходи- мость). Этим проблемам посвящена, например, работа [178]. В работе [10] изучен случай / = Л(ж, у) sin w, когда возможны новые интересные эффекты: образование связанных состояний из доменных стенок. М. Шацман показала, что некоторые решения, описывающие пересечение доменных стенок, в действительности неустойчивы [182].

Во второй части параграфа будем изучать задачи, усложненные по сравнению с (24.1) присутствием производной по времени. Рассмотрим параболическое уравнение

Ut = Ди + ш2/(и, ж, у), (24.33)

которое при ut 三 0 сводится к уравнению (24.1). Будем вновь искать при тех же предположениях относительно /, и, ш, что и ранее, решения, сосредоточенные в малой окрестности кривой /. Однако теперь, вообще говоря, эти кривые зависят от времени. Теперь получаем движущиеся доменные границы вместо почти неподвижных.

Пусть кривая / в момент времени t определяется уравнением г = =R(s,力)，6 ——параметр длины. Введем вновь в ее окрестности координаты (п, б), теперь они зависят от времени: п = п(ж, у, t), s = s(①,y^ t).

Рассмотрим вновь анзатц:

u = l/o + ^™1^i + -- -7 Uj = Uj(ujn^ s, t), и = 3R"(24.34)

Уравнение для Uo имеет тот же вид, что и ранее, так как nt = 0(1), st = 0(1), Um = 0(1)：

/人 + "1/0,小)=6(24.35)

Решение, если потребовать выполнения граничных условий (24.9), вновь определяется формулой (24.10). Если потенциал Ф четный по и, то имеет место (24.11). Уравнение же для первой поправки U\ несколько видоизменяется. Оно имеет вид

Q U\ = Ui”” + 九,(Uo, 0, s^Ui = — к и。" — у fn(Uo-)5)|九=0 —.

(24J6)

Легко видеть, что nt = —R±n/ |n| = —R土е, где е — единичный вектор в направлении нормали п. Обозначим R±e =曾,где 鏡 ——скорость деформации (движения) кривой в направлении нормали к ней.

Соотношение ортогональности для (24.36) дает уравнение, из которого, как мы увидим ниже, можно определить кривую /. Проделывая те же преобразования, что и в предыдущем параграфе, его можно записать в виде

管=—к(£)力)一0一1(0, s)an(O, s),(24.37)

где a(n, 6)определено по формуле (24.17), к — кривизна. Уравнение (24.37) является, как мы увидим в последующем, полностью нелинейным параболическим уравнением второго порядка. Оно было подробно исследовано в ряде работ для случая а = 0, о чем мы также подробнее скажем ниже.

Следующие приближения всегда проходят, хотя явные формулы громоздки и мы не будем их приводить. Уравнение, возникающее на J-м шаге, имеет вид

Q" = ^(1/0, U儲―印力 ^*》2"(24.38)

Ha (j — 1)-м шаге при определении Uj_\ остается неопределенной константа С^_1(也力)в формуле Uj_\ = Cj^xU^ + 匕一l (Функция V}-i определена однозначно на 0 — 1)-м шаге.) Соотношение ортогональности

Cj — 11cd"力(5⑺(24.39)

всегда разрешимо и определяет С

Вернемся к равенству (24.37). Оказывается, оно обладает важным свойством. Для него, как и для (24.33), можно построить функ-

цию Ляпунова. Для (24.33) имеется функция (функционал) Ляпунова

(24.40)(24.40)Ь[Ч = И [|(Vu)2 — Ф(и, ж, у)] da.

(24.40)

(24.40)

На решениях уравнения (24.33) этот функционал не возрастает ввиду соотношения

—^ = — ^ и^2da = ^2В[и].(24.41)

Естественно, что функция Ляпунова для (24.37) является усреднением функционала L. Введем усредненный функционал L:

力=]矶几，s)|n=0 ds 二 a(X{s\Y(s))ds, (24.42)

величина а(ж, у) определена формулой (24.29). Усредним также правую часть (24.41). Если в нее подставить Uq и пренебречь членами 0(/), то получим

Вычислим производную dL/dt и приращение △工 за время △力.Это приращение связано с деформацией и движением кривой I. Пусть за время △力 кривая / сместилась в точке s в направлении нормали на величину An(s). Вариация функционала (24.42) за счет такого смещения уже вычислялась нами (см. выше). Она равна — ] (к。。+ a^Ands.

I

Величина △几(з)= —綬△九 Отсюда

* = а。)vds.

dt\ ao /

Согласно (24.37) получаем к + ац/а。=—綬 и

学 j虑《s(24.44)

Итак, действительно, функционал L, взятый по всей длине кривой, не убывает. Если £ был конечным в начальный момент, £(0) < оо, то он останется конечным и не превосходящим своего начального значения и при всех 力》0. Так будет, если, например, при 力=0 кривая / была

замкнута. Соотношение (24.44) можно записать также в виде

= —2反(24.45)

Таким образом, оно является усреднением по Уизему равенства (24.41). Уравнение (24.44) также допускает интерпретацию в рамках вариационного принципа (см. [68, § 13]). В простейших случаях эволюцию кривой / можно определить прямо из (24.45) или (24.44).

Пример 3. Пусть среда такова, что а(宓)у)三 const, а кривая / в начальный момент есть окружность с центром в начале координат. Обозначим радиус этой окружности &. Ясно, что линия / будет оставаться окружностью и при t ^ 0, но радиус ее будет зависеть от t:

А =兄⑴，Я,(0) = А*

Ясно также, что 2月 =const •2тгЯ(Я,)2- С другой стороны,工 =const х х2тгЯ, поэтому из (24.45) следует

2RRf = —с,(24.46)

откуда R =，兄^ — с%. То же соотношение (24.46) непосредственно следует также из (24.37), так как к = 1/R^ v = Я/, ои = 0.

У нас получилась концентрически сходящаяся к началу координат волна, причем зависимость радиуса R(t) является нелинейной. Подобные концентрически сходящиеся или расходящиеся волны известны. Они наблюдались экспериментально. Такие волны также можно получить в рамках подхода Курамото-Цузуки, но в этом случае они имеют совершенно другую природу и R меняется линейно по 力[153].

Если положить а = а (А), то можно получить и другие законы изменения R. Отметим также, что анзатц (24.34) неприменим при R у

Пример 4. Рассчитаем эволюцию / для неограниченной кривой. Напомним, что кривая должна быть гладкой и не иметь самопересечений. Пусть / в начальный момент задана в декартовых координатах как график функции у。：

дО⑺=贝宓,0), у =贝宓,力(24.47)

причем при достаточно больших \х\ функция уо(х) превращается в постоянную. Переписывая (24.37) в декартовых координатах, с учетом обычных формул дифференциальной геометрии (в частности, к = =/Ч/х + 1厂3/2,綬=仇(J； + ПТ/?) получим, что

Ut = Ухх(ух + 1)+ а (&хУх —旬),？/| 仁 о = Уо (ж) ■(24.48)

Уравнение (24.48) является нелинейным параболическим уравнением. Но оно обладает некоторыми преимуществами по сравнению с исходным (24.33) даже с точки зрения численных расчетов. Оно не содержит малых параметров (наличие ®? в (24.33), как известно [28],

затрудняет численные расчеты), а его пространственная размерность на единицу ниже. Кроме того, общие свойства его решений можно описать качественно.

Пусть а(ж, у) > 5 > 0 при всех (ж, у), и а(ж, у) = а* при |ж| > А. Рассмотрим функционал

3 = ] [а(①力，片 + 1 - 宓* (24.49)

Он отличается от £ тем, что для обеспечения сходимости мы вычли из подынтегрального выражения величину а*. Ясно, что "(0) < оо и что 力 1 [у(宓，力)]убывает по t. Методами [68, §7] можно показать (так как L^ — функция Ляпунова), что у(宓)力)Т у* при 力 Т оо и а(宓)у) = const, где lim у。(宓)=у*. Предел существует согласно нашим предположениям о функции 窥⑺.При а(ж, g)，const и 力 Т Т оо кривая у(宓，力)также стремится занять предельное положение, которое можно рассчитать, используя соотношения (24.17):

к + а"х(0, s)an(0, 5)= 0 О Ухх(у： + I)"1 + &一'(3赏—旬)=0.

(24.50)

В рассмотренном примере кривая / меняется так, что она все время остается графиком гладкой функции. Это следует из априорных оценок для (24.48). В более сложных ситуациях при эволюции / у нее могут появиться особенности (точки самопересечения, угловые точки, точки, вблизи которых кривизна к》1). В этом случае асимптотика (24.2) годится только на интервале, конечном по 九

В случае а 三 0 уравнение (24.33) ((24.48) в локальных координатах) описывает такую временную эволюцию /(f) кривой /, когда каждая точка кривой сдвигается по нормали к ней со скоростью, по модулю равной кривизне. Такое движение кривой / называется движением средней кривизны [134]. Аналогичный результат получается, если мы рассмотрим уравнение (24.33) с постоянными коэффициентами в RN (однородная среда, / не зависит от пространственных координат). Тогда оказывается, что существуют решения типа движущихся доменных стенок, локализованные около гиперповерхностей「⑴.Аналогично плоскому случаю ^ = 2 нормальная скорость каждой точки поверхности равна ее средней кривизне.

Движение средней кривизны было исследовано в ряде работ ([120, 125, 132, 134, 139] и др.). Предположим, что в начальный момент гиперповерхность Г(0) = Го ——гладкая и является границей открытого ограниченного множества. В этом случае, как показано в работе [134] и также в [120], для произвольных пространственных размерностей (^》2) локально существуют гладкие решения (для 力 G [0, Т) при некотором Т = Т(Г0)).

В двумерном случае, рассмотренном нами, решение существует и кривая / остается гладкой вплоть до момента, когда она сжимается в точку (см. пример 1 и [125, 132]). Тем самым в рассмотренном нами случае самопересечений и особенностей не возникает, если начальная кривая замкнута. В работе [139] то же самое показано для общего случая ^ ^ 2, когда начальная гиперповерхность Го выпукла.

До сих пор мы рассматривали задачу в предположении, что

Ф(^+,宓，?/)=①(J 宓，У)"(24.51)

Пусть теперь

ф(^+,宓，g) < @0」Ж,办(24.52)

причем выполнено условие (И) и Ф(〃_, ж, у) = 0, а все локальные максимумы Ф не больше Ф(〃+, х^у) — S^ S > 0.

Основное следствие (24.52) заключается в том, что уже нельзя задавать уравнение кривой в виде г = R(s,力).Зависимость от t должна быть быстрой. Поэтому введем быструю переменную 丁 = s力. Уравнение (24.33) сведется к виду

wuT = △〃 + w2/(u, ж, у).(24.53)

Уравнение кривой / будем искать в виде

г = R0(s, т) + w^xRi(s, т) + ...,

а решение ——в виде

и = Uq(s, т, 〃)+ (也 丁亠)十 〃 =зп>(24.54)

(n, s) — координаты в окрестности /. Мы покажем, как искать Uq, Но, Ri и U1.

Подстановка анзатца (24.54) в (24.53) дает

—о%" = Uow + /(l/o,Ro).(24.55)

Эталонное уравнение (24.55), в которое Ro входит как параметр, имеет решение (см. [68, § 4]). Это решение единственно, если потребовать выполнения граничных условий. Оно монотонно зависит от 〃, а скорость 曾о определяется однозначно. Таким образом, выполнено уравнение

Ro『e = ^o(Ro),(24.56)

которое определяет кривую / в нулевом приближении. Вектор е —— единичный вектор в направлении нормали к /, е = п/п. Если искать кривую в виде у = уо(х^ т), то (24.56) сводится к уравнению

Уот(у1х + l)T/2 = ^о(>,:力(24”57)

Рассмотрим уравнение первого приближения (члены О(ш)). Имеем:

Qo“Ui = UiUy + 綬о Ui” + fu(Uo^ R())Ui =歹

歹 1 = Uo"(Ri『e) + Vr0 /(Uq, R())(〃e + RQ —

—Vr0l/o(z/5 Ro)J^ot + к%") (24.58)

в виде 林"l/g，…)в виде 林"l/g，…)где к ——кривизна кривой I. Член ▽% “U” R())e〃 можно записать

в виде 林"l/g，…)

в виде 林"l/g，…)

• 〃, как в п. 5. Кривизна к в нулевом при- 72=0

ближении известна из уравнения для / в нулевом приближении: г = =Ro(£)丁)*

Соотношение ортогональности с весом, являющееся необходимым условием существования ограниченного решения (24.58), имеет вид

收心尸吟=J F^e^dy^Q. (24.59)

В явном виде оно дает линейное дифференциальное уравнение первого порядка в частных производных для определения Rj

~ ОО

П1те=К^ J {(VRo/(l/o,Ro)e)i/l/o, + ^<-

-VRo Uo(% RJRotUo”} L5 + Ri

ОО.

8(24.60)

К = 唸

Медленные волны из работы [92] возникают, когда в (24.58) на некоторой кривой Г с уравнением г = Rq(^) выполняется условие

^o(Ro) = о,

эквивалентное условию Ф(〃+, R。) = Ф(〃_, R。). Тогда (24.60) превращается в уравнение для определения сдвига 九⑶(Ri =九(s)e) — см. замечание в п. 2.

Отметим, что возможен также и другой подход к построению формально-асимптотических решений (24.33) в случае (24.52). Он развивался в работах В.П. Маслова и его коллег [63], В.Г. Данилова [33] и В. Казмирчака и 3. Перадзинского [175]. В этих работах главный член асимптотики разыскивался в виде Uq = Uq(ujS(ж, у, t)). Тогда для фазы S можно получить уравнение Гамильтона-Якоби S± + + 綬о(宓)g)|X7S| = 0, где скорость 綬о определяется, вместе с U" из уравнения, аналогичного (24.55).

Построения данного параграфа переносятся на случай реакционнодиффузионной системы общего вида [170] при условии, что они имеют (в одномерном случае) решения в виде бегущей волны. Последнее,

однако, не всегда имеет место: возможны решения гораздо более сложной структуры [68, 131, 185].

Важные вопросы обоснования и проблемы генерации локализованных волн обсуждены в работах [68, 112, 171].

§ 25. Уравнение диффузии с двумя нелинейными членами. Некоторые обобщения

Начнем с пространственно одномерного уравнения

ut = (k^u^x + p(u),左侬)> 0.(25.1)

Рассматриваем автомодельные решения 〃(z) этого уравнения, зависящие от аргумента г = ж —綬力)綬=const. Уравнение (25.1) сводится к обыкновенному дифференциальному уравнению

—VU = (k^uy + p(u))(25.2)

штрих обозначает производную по г. Полученное уравнение, если интерпретировать г как время, описывает некоторый нелинейный осциллятор.

Для рассматриваемого процесса введем плотность энергии Е. Если £ = 1, то очевидно, что

Е = ^(?/)2 + I p(u)du,(25.3)

о

причем для 綬〉0 имеем dE/dz < 0 (аналог ангармонического осциллятора с диссипацией). Для общего случая k(u)^ отыскивая Е в виде Е = ^(k(u)uf)j(и) + Ф(〃), нетрудно найти обобщение формулы (25.3), а именно

стоячей периодической волны. Как и в § 24, точки и = и± следует искать среди экстремумов потенциальной функции ①(и), т. е.①，(и土)= =0, иначе

Р(и士)= 0.(25.7)

Очевидно, что случай двух минимумов и = и± невозможен. Наиболее важен случай, когда точки и = и土 ——точки локальных максимумов. Тогда соответствующие решения монотонны и, как можно показать, устойчивы.

Умножая уравнение (25.2) почленно на kur и интегрируя по z в бесконечных пределах, получаем

—V к(и)(и‘)2dz = Ф®+) — Ф®_).(25.8)

Условие (25.8) показывает, что возможны отнюдь не любые значения V. Скорость V равна нулю тогда и только тогда, когда Ф(〃+)= =Ф®_), т. е. максимумы Ф имеют одинаковую высоту.

Если Ф®+)，Ф®_), то знак скорости противоположен знаку разности Ф®+) — Ф(〃_).

Исследуя в случае и * 0 асимптотику при z f ±ос монотонных решений задачи (25.2), (25.6), нетрудно установить экспоненциальное приближение u(z):

〃(z)= 〃土 + О [exp (—с土 |г|)], с±〉0(25.9)

к своим предельным значениям.

Наконец, некоторые теоремы существования решений задачи (25.2), (25.6) были получены в работах [25, 68].

Перейдем к пространственно двумерному уравнению

ut = s2div^ [Д:(гх,^) grad^ и] +р®,&),

^ = ех е Я2, 0 V £《1, k〉b〉0,"

—фактическому обобщению уравнения (24.33). Как и в § 24, речь идет о задачах, связанных с существованием волнового фронта (фронт диффузии, подвижная доменная граница, фронт химической реакции и т. п.). Такой фронт является заранее неизвестной плоской кривой /. При удалении от / по разные ее стороны и f u±(&), 〃+ * 〃_. В окрестности / располагается пограничный слой. Приближение и к и土 (см. (25.9)) происходит по экспоненциальному закону, т. е. быстрее любой степени.

Физический смысл изучаемых здесь и в § 24 волн ясен: имеется две зоны, в которых состояние среды описывается функциями 〃土. Пограничный слой, разделяющий эти зоны, сосредоточен в окрестности искомого фронта / и движется вместе с / с некоторой, также искомой скоростью V.

Используя обычные координаты (n, s) вблизи /, введем анзатц, учитывающий разную роль координат п и s в пограничном слое:

и = U(п, t, а) + с^1(п, t, а) + . . . , а =(25.11)

Для главного члена U получаем следующее одномерное параболическое уравнение:

G = “ [Ци, 0, a)Un] + р(и. О, а), (0, а) £ /,(25.12)

с двумя нелинейными членами, которое является эталонным в рассматриваемой задаче. Это уравнение только наличием параметра а отличается от уравнения (25.1).

Искомая волна (решение) существует, если существует автомодельное решение U =夕(几—и(&)力&) уравнения (25.12), удовлетворяющее предельным условиям

/J5100 ssК)= 口土(&)*(25.13)

Здесь и(&) вещественно и имеет смысл нормальной к / скорости фронта.

Можно показать (см. п. 1, а также [122, 68]), что указанное автомодельное решение существует, если и±(&) — два и только два невырожденных локальных максимума потенциала

^(и^) = p(u^k(u^du

для всех 匕” Поскольку функция к®,&) положительна, то предельные функции и土 (匕)определяются из уравнения

р(и±^^ = 0.(25.14)

Далее будем предполагать, что для и土 (&) выполнены также равенства °"®土("9 = 0, 自 =("曾)，"=n(25.15)

которые, подобно (24.13), упрощают последующие рассуждения.

Умножим уравнение (25.13) почленно на kUn и проинтегрируем по п в бесконечных пределах:

k(U0eUtUndn = Ф(^+,0,(т) — ©®「“(т)”(25.16)

Равенство (25.16) может быть удовлетворено лишь в случае разной высоты максимумов потенциала Ф. В случае

Ф(^+Л) = Ф(^Л)(25.17)

условие (25.16) не может быть выполнено. Это сигнал о необходимости в случае равенства высот максимумов заменить анзатц (25.11) на анзатц с медленным временем г = st

и = U(n^ т, а) + £^i(n, т, а) + . . .(25.18)

Теперь левая часть (25.16) заменяется нулем, а все условие (25.16) выполнено тождественно.

Перейдем к следствиям следующего порядка, вытекающим из использования анзатцев (25.11) и (25.18). Анзатц (25.11) приводит к линейной неоднородной задаче

£1/1 = %, 1/1 九^^ 0,(25.19)

в которой

LU± = U、t — (к)n — (knUnUi)n — PuU\,

F1 = K,kUn + k^Un + n ^kyUn^n + 夕“]•

Здесь к,(cr)——локальная кривизна кривой /, функции к, ки^ к〃, рад, о” зависят от аргументов (U, 0, а). Условие (25.15) гарантирует отсутствие роста / по п при n f ±ос. Ядро оператора £ состоит из функции Un. Поэтому условие разрешимости задачи (25.19) сводится к условию ортогональности F± к Un с весом k(U. О, а) на всей оси п. Это условие принимает вид

kJ = U^kUy + nkyU^dn nUnn^uvdn, (25.20)

где J = ] k2U^dn > 0.

В случае использования анзатца (25.18) получаем уравнение (25.12), где вместо 14 в левой части стоит нуль. Вместо (25.16) получаем адиабатический по отношению к быстрым переменным n, t инвариант

|(kl4)2 + 0(。)= O(u±S))=石(。)，(25.21)

имеющий смысл энергии ——см. (25.4). Вместо (25.19) возникает иная линейная неоднородная задача с оператором L — д/ dt и дополнительным членом (―。丁) в %. Наконец, условие разрешимости вместо (25.20) принимает вид

k,J =к Un UT dn —nUn^wdn.(25.22)

В случае быстрого движения фронта и(&)次 0. Отметим, что функция и©) определяется однозначно по потенциалу на основании формул (25.12) и (25.13). В частном случае для определения и имеется формула (25.8).

Уравнение движения кривой / ищем в виде

自⑴=("⑴,。⑴)=R& 力)+£R1& 力)+ …(25.23)

Для R получается обыкновенное дифференциальное уравнение

(R「en) = “R),(25.24)

в котором вектор еп есть единичный вектор нормали.

Линейное уравнение для R] может быть получено на следующем шаге из условия ортогональности, обеспечивающего существование поправки “.

Случай медленного движения фронта наиболее интересен, при этом и(&) = 0. Возможно лишь медленное движение кривой /. Используя медленное время 丁 = £力,ищем уравнение движения / вместо (25.23) в виде

匕(т) = R& т) + eRi& г) + ...

Преобразуем условие (25.22), используя интеграл (25.21) и переходя к переменной интегрирования U(п, т, &) вместо п. Получаем

紀(R「0)= *(G + ^](25.25)

——аналог уравнения (25.24), относящегося к случаю быстрого движения. Здесь

Л(р, с) = V^с) JЕ(а) — Ф(〃,沙，a)du,

и_ (〃,<7)

В(р, ст) = -^2，石(ст) — Ф®, 0, cr)d〃.

и- (0,ст)

Произведение (R「• еп) имеет смысл скорости нормальной деформации кривой I. Она учитывает как геометрическую кривизну кривой /, так и динамическую кривизну ЛД/(2Л)™1.

Уравнение движения кривой (25.25) не содержит решение U. Это уравнение требует лишь знания коэффициентов к[и^ ^) и р(и^ ^) исходной задачи. Для численного расчета движения кривой / можно превратить (25.25) в систему трех уравнений.

Можно показать, что процесс определения дальнейших членов “, ^2, • • • в разложении (25.11) может быть неограниченно продолжен,

так как на каждом шаге в качестве коэффициента при очередной искомой функции появляется положительный интеграл J. Аналогично —— для членов разложения (25.18).

Отметим также, что процесс определения фронта /, а значит, и решения U, требует для своей реализации отсутствия точек самопересечения кривой / и точек пересечения с кривой Г, на которой выполнено тождество Ф®+,&) = Ф(〃_,&). Кривая Г находится сразу при постановке задачи, в ее окрестности могут сосредоточиваться другие решения, см. [92]. Построение решений в окрестности самопересечений и пересечений с Г требует специального рассмотрения.

В заключение параграфа обратимся к весьма общей системе уравнений реакции-диффузии:

W =必+ 3(u), X е nCRl, (25.26) di > 0, г = 1, 2,. . ., m.

Единственное предположение асимптотического характера относится к начальным данным

w.(x,0) = ФДех),屯 0 < е < 1 (25.27)

для указанной системы. Условие (25.27) означает, что начальные значения для всех и。весьма плавно зависят от координат. Требуется исследовать распространение волн при сформулированных условиях.

Отсылая читателя за подробностями к работе [170], далее приведем лишь сводку получающихся результатов, ограничиваясь важнейшими из них.

Для поставленной задачи построены уравнение движения волнового фронта и общая формула для нормальной скорости этого фронта, содержащая среднюю кривизну фронта и две некоторые константы. В итоге поведение волн зависит лишь от этих допускающих численный расчет констант и не зависит от детальных свойств функции р^, определяющих нелинейность модели.

Второй важный факт состоит в том, что динамика волновых фронтов с малой кривизной полностью определяется выведенным в работе [170] выражением для свободной энергии и некоторым диссипативным функционалом. Этот факт тем более интересен, что исходная параболическая система уравнений (25.26) может не иметь отчетливой связи с энергетическими понятиями.

26. Эволюция фронтов вытеснения в нелинейной задаче фильтрации

В этом параграфе в рамках некоторой нелинейной модели фильтрации изучается начальная стадия эволюции фронта вытеснения, найдены начальные условия, при которых фронт долго сохраняет устойчивую форму. Получены профили концентрации и давления

в нормальном к фронту направлении. Оказывается, что концентрация здесь меняется сравнительно быстро, а давление ——весьма медленно.

Рассмотрим двумерную нестационарную изотермическую задачу двухкомпонентной фильтрации в однородной и изотропной пористой среде без фазовых переходов. Будем моделировать процесс вытеснения одной жидкости или газа другой жидкостью или газом.

Пусть вытесняющее вещество характеризуется парциальной плотностью 01, плотностью чистого вещества рю и вязкостью Д1， Его концентрацию в смеси обозначим q. Аналогичные характеристики вытесняемого вещества: 02, 020,从2,。2・ В практически важной ситуации Д1 < 从2, Pi >。2・ Основными искомыми величинами будем считать плотность смеси 万=01 + 02 и концентрацию вытесняемого вещества с = с2 =。2(01 + Р2)1- Полагаем, что вязкость смеси д = =д(с), изменяющаяся между значениями 从工 и д2? зависит только от концентрации с. Считаем дальше всюду, что 万(с)》0 и давление р зависит только от полной плотности р.

Для указанных искомых функций координат и времени можно записать систему уравнений

mpt = div （鶴闷万），吟=*（▽"，"）+。△以（26.1）

Входящие сюда коэффициенты: пористость m, проницаемость пористой среды к, производную давления по плотности рр и коэффициент диффузии D — естественно считать известными. Известной считается и функция д(с). Уравнения (26.1) — следствия обычных уравнений неразрывности, диффузии и закона Дарси [73, 83].

Будем далее использовать понятие фронта вытеснения (ФВ)—— замкнутой и расширяющейся со временем кривой /, в окрестности которой происходит наиболее быстрое изменение концентрации с. Такое определение ФВ оправданно, если безразмерный параметр, включающий коэффициент диффузии, мал (см. далее п. 2). Внутри / располо™ жена нагнетательная скважина, в ее окрестности р ^ рю, с ^ 0. Вне / находится добывающая скважина, здесь р ^ р2о? с 1.

Первая сложность обсуждаемой нелинейной (2+1)-мерной задачи состоит в том, что при ее решении необходимо найти не только искомые функции р? 5 но и неизвестную кривую /. Вторая сложность связана с наблюдаемой неустойчивостью ФВ, проявляющейся во вторжении вытесняющего вещества во внешнюю (нефтегазовую) зону в виде узких вязких пальцев, именуемых также пальцами Саффмана- Тейлора [179]. Главная цель параграфа ——исследование эволюции ФВ в ее начальной стадии, когда образование вязких пальцев только начинается.

Для перехода к безразмерным величинам введем некоторые средние (эффективные) значения для плотности и вязкости, а также масштабы длины £ и времени Т, к которым отнесем пространственные координаты и время, сохранив для них, а также для операций div,

V, △ прежние обозначения. Для безразмерных функций р = р/ро? с, /1(с) = д(с)/до вместо (26.1) получаем систему уравнений

4=电改4 б=刀"紀L4=电改4 б=刀"紀LVp, Vc4©Vp, Vc4©+笈△&+笈△&О Тт厶2 *О Тт厶2 *(26.2)(26.2)

4=电改4 б=

刀"紀L

4=电改4 б=

刀"紀L

Vp, Vc4©

Vp, Vc4©

+笈△&

+笈△&

О Т

т厶2 *

О Т

т厶2 *

(26.2)

(26.2)

Величина безразмерных и постоянных коэффициентов Л и В может быть оценена. В реальных условиях возможны два варианта:

1)厶=厶°, В = н2В0；

Л = еЛд, В = е2Во,

в которых Ло и Во порядка единицы, а £ 〜]0-5. Эти варианты в принципиальном плане не различаются. Будем рассматривать в дальнейшем случай 1, т. е. систему уравнений

(26.3)(26.3)Pt = ^(^р^р)./4=0 = Ро(х);

(26.3)

(26.3)

4 = /1м1(¥р, Vc), *=о = с0(х),

в которой положено Ло = 1, иначе можно было перейти к переменной 丁 = 4九 Ясно, что фильтрация в слабо неоднородной пористой среде также может быть описана в рамках системы уравнений (26.3).

Исследование таких сингулярно возмущенных систем можно провести двумя различными способами, которые дают эквивалентные результаты.

Первый способ — это подстановка анзатца типа Уизема

р = R(5^1S(x,九 b),①，力，b), с = С(ЬТ$(①，t, 5), ж, t, 5),

где S ——неизвестная фаза, b ——малый параметр, связанный с £. Для С и R возникает так называемая эталонная задача, которая часто имеет автомодельное решение (например, зависящее от ж — и力).Для S также естественным образом возникает некоторое уравнение, которое и описывает распространение фронта / волны.

Второй способ связан с идеями пограничного слоя. Вводим в окрестности кривой / безразмерные длину \п\ нормали к / и длину дуги s вдоль 2. Предполагая, что / —— замкнутая, гладкая, без самопересечений кривая, считаем, что п > 0 вне области, ограниченной кривой /, и п < 0 внутри нее. Вводим также быструю переменную 沙=8-1几.После этого также возникает (аналогичное упомянутому выше) эталонное уравнение. Далее рекуррентная процедура позволяет описать геометрические характеристики фронта / и закон его эволюции со временем.

Эта схема успешно действует в ряде важных задач, описываемых квазилинейными уравнениями второго порядка. Здесь же возникает

ряд принципиальных трудностей, которые существенно отличают систему (26.3) от рассмотренных ранее.

Из общей теории [56, 94] известно, что для доказательства существования решений системы (26.3) при всех 力〉0 достаточно вывести некоторые априорные оценки. Эти оценки, а также информацию об эволюции решений можно получить методом верхних и нижних функций [94].

Естественно считать, что начальные значения р0(х), cq(x) решений системы (26.3) удовлетворяют условиям

Р20 < Ро(х) < рю, 0 < Со(х) < 1.

Видно, что постоянные 020, 0 и рю, 1 дают нижнее и верхнее решения. Следовательно, имеем априорные оценки

Р20 < р(х,力)< рю, 0 < с(х,力)< 1, гарантирующие существование решения.

Для одномерного варианта

Pt =Q = ^{с)схрх + е2сжж (26.4)

можно получить дополнительную информацию. Предположим, что в начальный момент 力=0 функция со(ж) = с(ж, 0) монотонна, с](①)> > 0. Докажем, что аналогичное свойство имеется и при всех 力〉0. Дифференцируем второе уравнение (26.4) по ж, получаем уравнение, содержащее и = сх. Для этого уравнения и = 0 — нижнее решение. Тогда [94]

сж(ж,力)》0.(26.5)

Аналогичным образом, предполагая, что 瓜(力)< 0, приходим к неравенству

Рх(/,力)，0.

Полученные оценки для рх и сж позволяют оценить функцию р(ж,力) снизу. Оказывается, что эта функция мажорирует функцию Zi/?(①,力), удовлетворяющую уравнению Zt = /iv^Z况况.

Решения этого уравнения ведут себя примерно так же, как решения стандартного уравнения теплопроводности. В частности, их расплывание по х при возрастании t следует из равенства

Zf^^Z^dx = -^ 窗

Далее можно оценить \рх | на некотором интервале

0 < 力 < Те(26*6)

начальной эволюции ФВ, когда |сж|《 Cie™1, \схх\《 се™2. В качестве нижней функции для рх возьмем функцию —a(Z)/i(x, t). Мож『

но показать, что функция a(t) может быть выбрана в виде а⑴= =sup \р\ /1(ж, t) ехр(с2^). Здесь С2 ——постоянная, возникающая при

оценке |сжж| на интервале (26.6):

sup |сжж(жЗ)| < с2е"2.

Наконец, используя (26.5), можно построить верхнюю и нижнюю оценки для функции с(①)力)：

с(ж — At^ 力)< с(ж,力)< с(ж + 厶力 t),

/小(267)

A = sup a[t),0<t<Te

где c ——решение уравнения теплопроводности q = е2сжж, c\t=Q = =Со(ж).

Неравенства (26.7) позволяют оценить скорость движения фронта на начальном этапе процесса. Именно: на интервале (26.6) кривизна фронта может нарастать, однако скорость его перемещения не превышает постоянную Л, которая ограничивает снизу величину Дм1(с0) |Vpo|-

Полученная оценка ведет к следующей практической рекомендации. Неустойчивость ФВ тем меньше, чем меньше производная от выражения 00九/1一^(со) вдоль /, т.е. по переменной s.

На основании приведенных оценок и вычислений можно описать физический механизм образования неустойчивости формы фронта. Дальнейшие рассуждения не вполне строгие, так как они частично базируются на полученных выше оценках, доказанных лишь для одномерного случая. Однако эти оценки достаточно убедительны в случае квазиплоского фронта, т. е. фронта с малой начальной кривизной.

Итак, предположим, что в начальный момент вектор

V(x/) =「V。

меняется весьма плавно, так что |W| < 5, |V2V| V b《1. Пока величина г2 |Дс| мала, этот вектор по-прежнему слабо меняется по х и почти не изменяет с ростом t своего значения, что доказывается аналогично выводу выражения нижней функции для рх. Поэтому второе уравнение (26.3) хорошо аппроксимируется уравнением q = =V(bx, b力)Vo или, при учете предположения о квазиплоском фронте, уравнением q = V(5ж, St)cn. При начальном условии c|f=0 = cq(x) соответствующее решение имеет вид с(х,力)=cq(x + Vt). Это означает, что каждый участок фронта распространяется со своей локальной скоростью V, определяемой начальным значением ^1^р. Таким образом, здесь имеем обычную картину кинематической неустойчивости, когда разные участки фронта движутся с разной скоростью.

По мере нарастания |W| и |Vc| картина усложняется. Для описания поведения решений при временах, когда | Vc| 〜£一\ необходимо применение других методов. При дополнительном предположении о малости кривизны фронта такая работа проделана в п. 5.

Попытаемся найти автомодельное в старшем порядке решение р = A(z), с = €7(2：), z = х — vt одномерных уравнений (26.4). При этом 〃(с) = М⑺.Для краткости пусть & = р^0- Функции 凡 С должны удовлетворять граничным условиям

А(%+) = Р2, R(z^) = Р1,

(26.8) 0(%+) =) = 0,

где для задачи на бесконечном интервале z± = ±ос.

После подстановки и интегрирования имеем

—vR + Kv = RR М~\ К = const,(26.9)

—CW + 館 >fT) = FcJ(26.10)

Уравнение (26.9) после использования граничного условия дает

V M(z)dz 二 S(K)三 01 _ Q + К hl 内—£ ”(26.11)

Видно, что решение рассматриваемой задачи на бесконечном интервале изменения z отсутствует, поскольку правая часть (26.11) по модулю не меньше чем (乞十 一 z^)\v\ ^. Однако, используя (26.11), можно доказать существование решений двухточечной краевой задачи (26.8)—(26.10) на большом, но конечном интервале, когда z土 = ±8-\ b ——малый параметр.

Предположим, что функция R выражена в виде

А = R^vU^z), К), 02 < А < 01；

7(26.12)

U{z) = M{C(zf))dz\

Выражение Ri может быть найдено из уравнения vU = 0i — Ai + + Kln(0i — К) — Kln(Ai — К)* Оно является вполне непрерывным функционалом от C(z), если C(z)——непрерывная функция. Пусть

^{zj.e, К} = vKe^2 (〈而=2b>f ⑶厶

Постоянная 鏡 определена соотношением 鏡=28s(К)〈从〉一\ вытекающим из (26.11). Подстановка (26.12) в (26.10) приводит к равенству

。⑶=(С2 — С1)[ехрФ(г, 6, * К) — Е4(Е+ —石_厂工 + q = T[C](z),

c2,i =。(±6一i), E± = exp©(±6—\ J, * K)*

，(26.13)

Здесь фаза Ф ——нелинейный, вполне непрерывный функционал на множестве непрерывных на ( —J-1, функций C(z)^ таких, что ci

С с2- Согласно (26.13), Т — такой же функционал и отображает указанное множество функций в себя. Следовательно, по принципу Шаудера, решение уравнения (26.13) существует. Тогда для каждого К, такого, что S(K) > 0, существует решение краевой задачи (26.8)— (26.10) с некоторым положительным значением скорости о.

Найденное решение можно следующим образом использовать при малых 6《st В этом случае имеем

e‘( 一6一1)=0(「С产)) е’(6-1)=0(龍- 2),

*( 土 L) = 0(6)*

Следовательно, если продолжим решение за пределы интервала (―5-1, 5-1), полагая

С = ci, R = pi (z < —6一1),

С = С2) R = Р2 (z > 6一1),

то получим обобщенное решение задачи класса Ж2,1, удовлетворяющее системе уравнений с малой невязкой (невязка представляет собой функционал 厶,8 на классе функций Шварца с нормой, не превышающей 8g-2). Похожая идея была применена в работе [124].

Рассмотрим детально поведение решения C(z)^ R(z). Формула (26.13) показывает, что концентрация с резко меняется в окрестности фронта. Крутизна графика этой функции нарастает с уменьшением е. Это связано с тем, что уравнение (26.10) содержит малый параметр. В то же время плотность р и давление р{р) в окрестности ФВ изменяются сравнительно медленно, а градиент давления отличен от нуля и вдали от ФВ.

Получим критерий устойчивости фронта малой кривизны. В п. 3 был рассмотрен вопрос об эволюции фронта малой кривизны, когда |Vp| и IVc| малы и |(Vp, Vc)| много больше чем е2 |Ас|. Можно ожидать, что в результате временной эволюции формируются решения, для которых членом е%с пренебречь уже нельзя. Представляет интерес вопрос о том, как меняются при этом со временем нормальная скорость и кривизна таких фронтов. Для более простых уравнений и систем это уже выяснено ——см. [63, 152, 170, 171].

6 И.А. Молотков

В однородной среде (когда коэффициенты уравнений не зависят от / и 力)для скорости V фронта в нормальном к нему направлении имеем

鏡=—ак + 鏡 о,

где к ——кривизна фронта (в многомерном случае ——средняя кривизна), 鏡о ——постоянная, определяемая из решения эталонной задачи. Для вычисления постоянной а может быть предложена некоторая процедура.

Для уравнений из работ [170, 171] всегда а〉0. Для некоторых других систем, как показано Курамото [152], возможно а < 0. Для таких систем имеется диффузионная неустойчивость фронта: фронт, имеющий первоначально малую кривизну, вскоре может оказаться сильно изогнутым.

Главный физический эффект ——будет фронт устойчив или нет —— полностью определяется знаком а.

В рассматриваемой задаче, которая значительно сложнее изучавшихся ранее, трудно создать регулярную процедуру построения поправок. Воспользуемся иным способом, который позволит определить знак а. Можно проверить, что этот способ дает правильный ответ и в изучавшихся ранее случаях.

Пусть фронт ——плоская гладкая кривая /, без самопересечений и с очень малой кривизной к, |к| « 6《£?, где 8 ——малый параметр, использованный в п. 4. Вводя стандартные координаты (п, я), где п ——длина нормали к фронту, s ——длина дуги вдоль него, получаем систему уравнений

=(證)" (贷)(26.14)

—^^п = Рп^пД (с) + w cnn - (26-15)

Полагаем, что член с к в (26.14) носит поправочный характер в соответствии с условиями 闷《 8 и и 〜8. Поэтому функции рис могут быть определены формулами из п. 4.

Проинтегрируем уравнение (26.14) по п в пределах от —6-1 до 6一L После этого находим:

а = 2 ^dn п ^ (26.16) J М М

Здесь следует подставить р = R{n). В изученных задачах из [170, 171] внеинтегральный член всегда исчезал и знак а легко определялся из соображений монотонности р по п. Теперь же требуется определенная аккуратность, поскольку оба члена в (26.16) — одного порядка.

Используем (26.9), откуда после преобразований имеем

V / р10 + 020 а =—2-V / р10 + 020 а =—2-(R) = 2J I Rdn.(R) = 2J I Rdn.

V / р10 + 020 а =—2-

V / р10 + 020 а =—2-

(R) = 2J I Rdn.

(R) = 2J I Rdn.

Таким образом, знак а зависит от того, что больше — среднее значение R по всем п или полусумма граничных значений рю и р2о- В первом случае происходит устойчивое распространение, во втором —— распад фронта.

Для анализа величины а были проведены численные расчеты непосредственно для исходных уравнений в частных производных в пространственно-одномерном случае. Когда 0 ж L, р(0) = pi > > /?2 = р(Ь), с(0) = 0, с(厶)=1. Если бы функция р[х} была линейной, то получилось бы, что а = 0. Однако расчеты показали, что функция р(х) выпукла вверх, хотя и весьма слабо. Поэтому величина а очень мала по абсолютной величине, но отрицательна, т. е. фронт слабо устойчив. При учете неодномерности процесса неустойчивость ФВ может возникать на самой начальной стадии процесса.

Глава 6

МАЛЫЕ ДИСТАНЦИИ (ВРЕМЕНА).АНАЛИЗ ЗАДАЧ КОШИ

В этой главе рассматривается важный прием исследования деформации коротких солитонообразных импульсов на неоднородных трассах. Этот прием позволяет изучать указанные деформации лишь на сравнительно коротких трассах или при небольших промежутках времени, зато дает возможность преодолеть многие аналитические трудности. Формируются ряды по степеням малого расстояния или времени — в этом и состоит используемый здесь подход. При этом возмущающие параметры необязательно считать малыми. Обычно рассматривается модельная ситуация, когда возмущающие члены появляются лишь при /》0 (или t》0), а зона ж < 0 (t < 0) вообще не рассматривается.

После подстановки указанного степенного разложения предстоит решать задачи Коши для возникших уравнений. В этих уравнениях число независимых переменных, очевидно, уже на единицу меньше, чем в исходной задаче. Начальное условие при ж = 0 (или 力=0) выбирается на основе рассмотрения точного решения невозмущенной задачи либо на основе некоторых приближенных соотношений. Построенные на описанном пути степенные ряды по переменной ж (или по 力)имеют асимптотический характер. Обычные приемы исследования этих рядов дают оценку предельным дистанциям, для которых рассматриваемые ряды могут быть использованы. Примеры таких оценок дают формулы (29.14) в § 29 и (30.11), (30.12) в § 30.

Данный подход применяется здесь к различным задачам о распространении сверхкоротких импульсов (§27—29), в том числе при исследовании фемтосекундной релаксации (§ 29). В § 30 решается задача о возникновении вторичной ударной волны при распространении нелинейного акустического пучка.

27. Амплитудная модуляция в нелинейном продольно неоднородном световоде

Изучение влияния продольных неоднородностей будет проводиться на основе уравнения (1.13), справедливого как для однородных, так и для неоднородных световодов. Рассмотрим случай, когда коэффициенты НУШ произвольны.

Представим огибающую 尸(仇 о) в виде произведения

尸(仇 G = 〃仇沙)exp g j 盜dr) ,(27.1)

введя новую переменную

о

Экспоненциальным множителем описывается затухание импульса, обусловленное неоднородностью волокна, а также дополнительный набег фазы огибающей. Функция /(<9, у) удовлетворяет НУШ

ify^fGG^H{y)\f\2f = 0(27.3)

для огибающей импульса. Очевидно, здесь у ——переменная вдоль оси световода, а 0 — фазовая переменная. Если Н{у) = const > 0, то солитонный сигнал при распространении лишь слегка деформируется, но не разрушается и распространяется неограниченно далеко вдоль световода.

Что будет, если функция Н(у) отличается от константы? В случае

Н(у) = д2[2 — 6Ь(6у)], д = const, 0 < 6《1,(27.4)

когда это отличие является и малым, и весьма плавным, ситуация была изучена в работе [11]. Далее мы рассмотрим случай, когда функция Н(у) является достаточно гладкой,

H(y) = l^hiy + h2y2^^^(27*5)

однако, малость h± в (27.5) в отличие от (27.4) не предполагается. Предположение Н(0) = 1 в (27.5) не ограничивает общности рассмотрения.

Далее вместо комплекснозначной функции / введем две положительные функции Q и Ф:

/ = Q(仇 У)ехр[沁(仇 g)L(27.6)

Функция Q при этом должна удовлетворять условию Q ——> 0.

0Т±ОО

Перейдем к изучению деформаций решения уравнения (27.3) на сравнительно коротких трассах.

Учитывая, что уравнение (27.3) при Н(у) = 1 имеет точное решение /(<9, у)\н^=1 = V^d" ch~1(。一 2g), добавим к (27.3) начальное условие Коши

i0

Для функций Q и Ф на основании (27.3) получаем уравнения

Qm —仲У + ^Q + a(g)Q3 = о,(27.8)

Qy + ^eQe^^ooQ = ^(27.9)

или

言(号)+版

Условие (27.7) ведет к начальным условиям

Ql^o = ^|，叱(27」0)

Солитонообразное решение задачи Коши (27.8)—(27.10) естественно искать в виде степенных рядов

Q(仇 р)=总 + g\(J) + 力 Q2(J) +n

@(仇g)= +①1⑻+力④2(j)+…

Подстановка рядов (27.11) и (27.5) в (27.8)—(27.10) и приравнивание коэффициентов при одинаковых степенях переменной у дает простые условия для определения Qi, Ф1, Q2, ©2, ” * *

Приведем результаты вычислений; в первую очередь они зависят от знака 任 в разложении (27.5).

Пусть /“ > 0. Тогда

/(仇 Р)=

— v^ ie Г 8，^九"/51\,

= ch(e_2g)£ 卩—3ch2(” 2g)С — 4由2(。— 2g)丿十。(")]十

\Z2hty2 i(o+^/2)心("2川\Z2hty2 i(o+^/2)心("2川十 3坛 ch2("2g)十 3坛 ch2("2g)+0(才)+0(才)(27.12)(27.12)

\Z2hty2 i(o+^/2)

心("2川

\Z2hty2 i(o+^/2)

心("2川

十 3坛 ch2("2g)

十 3坛 ch2("2g)

+0(才)

+0(才)

(27.12)

(27.12)

При hi < 0 вид поправочных членов оказывается иным:

"仇 g)=

ch(0^2t/)ech(0^2t/)e18V^出炉十 3 ch[J— 2g)18V^出炉十 3 ch[J— 2g)++++五1任"五1任"ch3(e —2g)ch3(e —2g)£("/2)£("/2)+0M ”13)+0M ”13)

ch(0^2t/)e

ch(0^2t/)e

18V^出炉

十 3 ch[J— 2g)

18V^出炉

十 3 ch[J— 2g)

+

+

+

+

五1任"

五1任"

ch3(e —2g)

ch3(e —2g)

£("/2)

£("/2)

+0M ”13)

+0M ”13)

Существенно другими оказываются формулы при 伉=0. Например, если 九工=0 и /?2 < 0, то

Q 沁4г(0-7г/2)

"仇i+。(心(2R4)

Главная особенность формул (27.12)-(27.14) состоит в том, что в выражении для / за счет изменения функции Н(у) появляются дополнительные члены, сосредоточенные в той же точке у = 0/2, где сосредоточено главное слагаемое, но со сдвинутой фазой.

При Л1 > 0 старший поправочный член в (27.12) представляет собой импульс, приходящий в фиксированную точку волокна с запаздыванием по отношению к главному импульсу. При 伉 < 0 — наоборот, с опережением.

Общий характер полученных формул проследим на примере формулы (27.12), имеющей структуру

/(仇 д) = *(% + Ь) + £(®+"/2)九(27.15)

Вид вещественных функций /о, /1, /2 ясен из сопоставления (27.12) и (27.15) и качественно изображен на рис. 12. В целом полученные

формулы демонстрируют сильно выраженную амплитудную модуляцию импульса в нелинейном продольно неоднородном световоде.

§ 28. Солитонные импульсы в субпикосекундном диапазоне (продолжение)

В параграфе продолжается исследование воздействия высших дисперсионных и нелинейных членов модельного уравнения на свойства ультракоротких импульсов, начатое в § 8. Однако теперь для анализа используется иной асимптотический подход, характерный для данной главы.

По-прежнему речь пойдет об использовании обобщенного НУШ (нелинейного уравнения Шредингера) — см. уравнение (8.1):

+ 2 |^|2(|^|2 Ф\ = О,

/3 > 0, 7〉О*

Однако теперь будем изучать деформацию коротких импульсов на малых дистанциях при конечных / и)и рассмотрим модельную ситуацию, когда отличные от нуля коэффициенты / и)появляются лишь при /》0. Зона ж < 0 вообще не будет рассматриваться. Полагая коэффициенты / и)конечными, будем решать задачу Коши для уравнения (28.1) при однопараметрическом начальном условии

it

叽(2&2)

Условие (28.2) согласуется с формулой (8.2). Из-за конечности / и) изучение сформулированной задачи соответствует более глубокому проникновению в субпикосекундный диапазон.

Уравнение (28.1) содержит комплекснозначную огибающую

Q = Т(ж, t) ехр[?5(ж, t)].

Для положительных функций Т и S рассматриваемая задача Коши имеет вид

Те — (S况 + S^)T + 2Т3 + B(S 小 + 3s 加方 + 3s 力方方—S^T) — ?s 力 т? = и

TStt + ТЖ + 2sz + P^ststtT + 3S^T/ — тш) + 37T2Tf = 0,

7%=° ch(ai)7'

Будем искать сосредоточенные решения в виде степенных рядов по расстоянию ж:

T =-+ '71(力)+ - ■ •,

(28.3)

S =力 + z[(q2 — 1) + Si ⑴]+ ...

Здесь Qo = a(t — 2z))мы имеем дело с частным случаем 6 = 2 по сравнению с формулами из § 8.

На этом пути находим 7\ ⑴ и Si ⑴.Объединяя члены a ch^1 Qo и /Т]⑴)находим приближенную формулу для нормированной амплитуды

а ch[f(Q0,ж)],

(28*4)

f(Qo,z)=Qo +a(随2 - 3反-,

СП Ц/о

внешне подобную формулам (8.7)—(8.9). Однако здесь / и)конечны, а дистанция ж вдоль волновода не может быть протяженной.

При Qo > 0 в выражении /(Q“ ж) член, содержащий ch-1 Qo, становится несущественным. Отсюда важный вывод из сравнения формулы (28.4) с формулой (8.9): при конечных / и)исчезает эффект компенсации дополнительных членов в уравнении (28.1). Амплитудная модуляция при конечных / и)вызывается в старшем порядке лишь членом, содержащим Д.

Далее обратимся к анализу фазовых искажений.

А. Случай малых /3 и 7.

На основании формулы из § 8 при условии (8.6) получаем

Ф = Фо + «[(ЗД — |力 thQo —(Qo] + 0(3) + 0(7).(28.5)

Нарастание или убывание возмущенной фазы Ф по сравнению с невозмущенной Фо зависит от соотношения констант /3 и 7, а также от Qo = о(力一bz). При малых Qo (центральная часть импульса) и 5/〉3)имеет место дополнительное нарастание фазы. При выполнении обратного неравенства происходит убывание фазы.

При больших |Qo| (на крыльях импульса) член с 7 делается несущественным, при этом положительным Qo отвечает уменьшение фазы по сравнению с невозмущенными значениями.

Б. Случай конечных /3, 7 и малых дистанций х.

Используем формулу (28.3) для фазы 5, в которой главная возмущающая добавка обозначена через S「Для Si может быть выведена асимптотическая формула

Si(Qo) = а2(3户—)+。(。°)・(28.6)

' ch Qo /

При положительных Qo основным слагаемым в скобках является первое, а фаза S практически всегда нарастает за счет возмущения. В отличие от случая малых / и 7 конкуренция между этими коэффициентами отсутствует.

Сопоставление формул, относящихся к случаям А и Б, позволяет сделать следующий вывод. В случае малых коэффициентов /3 и 7, таких, что

имеет место эффект компенсации рассматриваемых дополнительных членов. При увеличении этих коэффициентов явление компенсации исчезает. Дополнительный нелинейный член, содержащий 7, перестает конкурировать с высшим дисперсионным членом (с коэффициентом /). Следует отметить, что главные (невозмущенные) члены фазы Фо и t + ж(а2 — 1) при двух рассмотренных подходах совпадают.

Таким образом, изложенные подходы позволяют описать появление асимметрии, изменение крутизны и другие характеристики деформации импульсов. Установлено, что при малых значениях / и 7 имеет место конкуренция дополнительных членов уравнения (28.1). При определенных соотношениях между / и 7 (см. (28.1) и (28.7)) возможна взаимная компенсация эффектов, порождаемых этими членами. При больших значениях коэффициентов / и 7 явление компенсации исчезает, а из двух дополнительных членов превалирующим оказывается член, содержащий /.

§ 29. Фемтосекундная релаксация

В этом параграфе мы завершаем исследование деформации сверхкоротких солитонообразных импульсов, начатое в § 9, 10. Далее используются обозначения из этих параграфов. Прием, фигурирующий в данной главе, позволяет изучать деформации лишь на сравнительно коротких трассах, но дает возможность рассматривать конечные значения возмущающих параметров и преодолеть многие трудности.

Имея в виду исследование роли релаксационного параметра а, рассмотрим задачу Коши для уравнений

分也一 ^tt 一 ？2渺=0,(29.1)

ant + n = l^l?(29.2)

при начальных условиях

-ibt/2

(293)

Условия (29.3), (29.4) согласуются с формулами (9.3), (9.5). В этом параграфе допускается конечность параметра а. Поэтому здесь изучение сформулированной задачи соответствует более глубокому, чем в § 9, 10, проникновению в фемтосекундный диапазон.

Уравнения (29.1), (29.2) содержат комплекснозначную функцию

= T(z/)exp[5S(z/)], Т > 0, Im 5 = 0(29.5)

и положительную функцию п(ж, t). Возникает система уравнений

T凡 + |7加一|T货+7?7 =a

Tx^^TStt^TtSt=Q,(29*6)

ant + 72 — Т? = О с начальными условиями

Далее, будем искать сосредоточенные решения в виде степенных рядов по ж:

Т = d^t + cTi ⑴ + x2T2(t) +

S = —% + c&(力)+ c2s2 ⑴ +(297)

П = /(力 a) + ЖП1 + /2九2 ⑴ + ...

Подстановка (29.7) в (29.6) позволяет в старшем порядке найти Т1 ⑴ и 5i(t). Получаем

Т(ж,力)= —)(29.8)

ch [at — (а6/2)ж + 0(")]

$(ж<)= 一；力+ g 一 勺)ж + [/(t,0) 一 f(t,a)]x + 0(ж2).(29.9)

Очевидно согласие с формулой (9.5). В этом линейном по ж порядке параметр а не влияет на амплитуду, но ведет к добавке к фазе

△ = [/亿 0) -/(方9)]修(29.10)

Уравнения следующего порядка по ж позволяют определить функции $2⑴，不⑴，ni(Z) в разложениях (29.7). Выражение для Т? содержит релаксационный параметр а. В результате преобразований находим более точную, чем (29.8), амплитудную формулу

7('")= ch[at —；ab/2岡 + 立％% J^(9 — 4cl? at) +。(川).(29.11)

Второе слагаемое в формуле (29.11) представляет собой слабый (при малых значениях произведения 金？。‘。) импульс, имеющий положительную полярность лишь при 0 < aZ ^ 0,97. Под действием этого слагаемого, учитывающего релаксационный процесс, полная амплитуда при ж > 0 снижается, образуются дополнительные минимум

и слабый максимум. В принципиальном плане второе слагаемое в (29.11) согласуется со вторым слагаемым в (10.7). Точного совпадения здесь не может быть, так как в § 10 и здесь строятся разные асимптотики изучаемого процесса. В (10.7) предполагается малость а, в (29.11)——малость ж.

Переходим к расчету искажения фазы импульса. Это искажение определяется добавкой (29.10), входящей в (29.9). Вычисляя разность f(t^ 0) — /(力 а) в старшем порядке, получаем

△ = _2(703c I(一(29.12)

Lch3at Veh2 at ch4 at JI''

Формула (29.12) явно описывает значительное уменьшение фазы при Z > 0 (в передней части импульса) и слабое ее увеличение при 力 V 0 (в задней части импульса).

Изучение разложений (29.7) для Т и S позволяет путем оценки коэффициентов рядов найти ограничение на дистанцию ж, при которой формулы (29.9)—(29.12) пригодны для приближенных расчетов. Пусть для определенности

а = 1, b = 0,L(29.13)

Тогда условие применимости формул (29.9)-(29.12) имеет вид

жа W 02(29.14)

Для количественного уточнения этих результатов было предпринято численное решение задачи Коши (29.1)-(29.4) при ж > 0. Значение такого численного решения в том, что при его реализации уже не нужны предположения о малости параметра а и координаты х. В расчетах использовалась неявная разностная схема (с весами) и метод прогонки. Во всех расчетах начальные параметры солитонного решения (9.5) выбирались в соответствии с (29.13).

Первая группа вычислений относится к описанию изменения амплитуды импульса в зависимости от расстояния ж и от релаксационного параметра а. На рис. 13 при фиксированном a = 0,5 взяты три значения координаты: ж = 2/3, 4/3 и 2. На рис. 14 при фиксированном ж = 2 изображены графики, отвечающие двум значениям параметра: a = 0,5 и 5. На обоих рисунках для сравнения приведена амплитуда начального импульса (жирная линия).

Вторая группа вычислений (рис. 15) относится к описанию фазовых искажений солитонного импульса. Здесь при a = 0,5 взяты значения ж = 2/3, 4/3 и 2. Полученные графики согласуются с формулой (29.12), предсказывающей разные знаки релаксационной добавки к фазе в зависимости от знака 力 т. е. в передней и задней частях импульса.

Анализ графиков 13—15 дает возможность сделать важные количественные выводы. Так, при ж = 2 на уровне половины максимума

Рис. 13. Амплитуда импульса для фиксированного значения ст = 0,5 и четырех значений координаты ж

Рис. 14. Амплитуда импульса при фиксированном значении ж = 2 и трех значениях параметра релаксации ст

Рис. 15. Фазовые искажения импульса при фиксированном значении ст =

=0,5 и трех значениях координаты ж

исходной амплитуды импульс расширяется при а = 0,5 в 1,2 раза и при а = 5 в 1,5 раза.

Приведенные результаты вычислений нетрудно отнести и к размерным величинам. Связь размерных и безразмерных переменных НУШ хорошо известна (см., например, [30, 74, 135]). Безразмерные а, ж связаны с размерными величинами по формулам [74]

。=丁1/丁5 ж = z/zd, zd = (29.15)

Здесь у。——длительность импульса, q ——характерное время установления, z ——реальная дистанция наблюдения, \kff\ ——коэффициент дисперсии.

Формулы (29.15) позволяют указать, каким значениям размерных величин отвечают рис. 13-15. Реалистическое значение для q (см. [30]): Т] = 6 фс. Тогда, например, а = 0,5 имеет место при т° = 12 фс. Аналогично значению ж = 2 при 丁。= 100 фс и значениях (29.13) для солитонных параметров соответствует дистанция z = 10 м, при т° = =10 фс — дистанция z = 10 см.

Подведем кратко итоги исследований в § 9, 10 и 29. Для анализа поведения солитоноподобных импульсов в фемтосекундном диапазоне были использованы три различных подхода: 1) изучение возмущения солитонного решения в целом, 2) изучение возмущения параметров солитона, 3) исследование задачи Коши с солитонными начальными данными. Общий вывод состоит в том, что результаты, полученные при использовании разных подходов, не только согласуются, но и существенно дополняют друг друга. Ввиду особого интереса к искажениям импульсов, обусловленным явлением релаксации, из всех параметров системы уравнений (9.1), (9.2) основное внимание обращалось на влияние параметра а.

Использованные подходы говорят о релаксационном уменьшении амплитуды импульса. Это уменьшение описывается формулами (9.13) и (29.11). Существенны изменения формы импульса, описанные формулой (9.13). Ширина импульса заметно увеличивается. Формула (29.11) указывает на появление дополнительного импульса, индуцированного явлением релаксации вещества. Релаксация вызывает и фазовые искажения. В соответствии с формулой (29.12) передняя часть импульса испытывает задержку (А < 0), в задней же части, наоборот, фазовая скорость возрастает. Результаты вычислений по формулам (29.15) отнесены и к реальным размерным величинам.

Нелинейные акустические пучки. Вторичная ударная волна

Сейчас наша цель — описать эффект поперечного нелинейного самовоздействия в акустических пучках. Именно этот эффект ведет к образованию вторичной ударной волны (Shock—Shocks, см. [91]).

Обращаемся к выведенному в §5 уравнению (5.3), в котором из всех поправочных членов сохраним лишь член с &i：

点(匕一”)一= Q1点(% ]%d小 (30.1)

именно этот поправочный член позволяет учесть поперечное самовоз- действие пучка. Нетрудно проверить, что роль других поправок из (5.3), не выписанных в уравнении (30.1), в ходе дальнейших вычислений весьма мала. В формуле (30.1) сохранены все обозначения из § 5.

Подобно тому, как это сделано в других параграфах данной главы, решение уравнения (30.1) ищем в виде

V(0,x,y) = %)(仇 g) + cKi(仇 g) + 川匕(仇 g) + …(30.2)

Решение (30.2) описывает эволюцию пучка при сравнительно небольших значениях дистанции х.

Старшее уравнение, возникающее в результате подстановки разложения (30.2) в (30.1), имеет вид

К (W - ИИ)0)- pVoyy = «1^(Voy j Vuyde) .(30*3)

Начальную функцию Ц)(仇 У)подчиним условию

(M№)e+p%gg=0*(30.4)

Используя невыписанные уравнения следующих по отношению к (30.3) приближений, получаем

М = «!^ ] VoydO^ 匕=；(М)Н)е + 0(吟"(30.5)

Простые вычисления показывают, что уравнение (30.3) допускает решение

М(仇 U)=胃齡匕®), 。= const > 0-

Величина амплитудного параметра а определяется начальным условием, которое должно быть задано дополнительно. Здесь Ya(y)— некоторая зависящая от параметра а специальная функция, удовлетворяющая уравнению

СЫ + ^Ы = о(30.6)

и начальным условиям 匕(0) = а,匕(0) = 0.

Легко устанавливаются свойства 乂匂).Эта функция ——четная по д, имеет максимум при у = 0. Уравнение (30.6) при у > 0 имеет первый интеграл

До своего нуля у = уо > 0 функция Ya(y) остается положительной и монотонно убывающей. В целом график 匕(д) близок к параболе Ya = а — (а3/2)у2. В дальнейшем эта функция интересует нас преимущественно на промежутке

(30.7)(30.7)Используя уравнение (30.6) и его первый интеграл, можно получить следующую приближенную оценку для у。:

(30.7)

(30.7)

Симметричный промежуток \у\，д° естественно связывать с шириной пучка. Таким образом, параметр а характеризует не только амплитуду функции 匕，но и обратную ширину пучка. Уравнение (30.6) вместе с начальными условиями определяет ряд Тейлора

Ya (у) = а (1 - +力 + ^力-(30.8)

Подстановка Vo в (30.2) и (30.5) дает приближенную формулу

УУ匕 + &1力。宀(а3 -窗)+ a1x2^^a3p204Ya (a3 -吟)

У

У

(30.9)

для поля пучка с использованием изученной специальной функции. Комбинируя формулы (30.8) и (30.9), находим:

@20e2 Г a2 @4 4 a6 6(/0外 2 ,

+ ^i^2^a8p204y2^ , (30.10)

o W g W go >

Явная приближенная формула (30.10) для поля V(ж, g, а, 8) справедлива лишь при некоторых ограничениях. Для определенности положим &1 = 10—2 и р = 1. Обычные для асимптотических рядов, но достаточно громоздкие здесь из-за присутствия большого числа параметров оценки членов разложения в (30.10) дают следующие условия применимости этой формулы:

(30.11)(30.11)иА/%%*?，37*иА/%%*?，37*(30.12)(30.12)ж w 0,39

(30.11)

(30.11)

и

А/%%*?，37*

и

А/%%*?，37*

(30.12)

(30.12)

При условиях (30.11) и (30.12) формула (30.10), хотя и является приближенной, но полностью определяет поле акустического пучка.

Она позволяет получить в приосевой зоне (30.7) важные численные оценки и следствия. Пусть далее ж = 0,1.

Сначала фиксируем 8 = 5 и рассматриваем зависимость поля V от поперечной координаты у при значениях амплитудного параметра а = 1,0; 2,4; 2,7; 3,0.

Результаты вычислений представлены на рис. 16. При а》2,4 исчезает монотонное убывание функции V по \у\. Появляются допол-

Рис. 16. Нормированное поле при ® = 5 и четырех значениях параметра аРис. 16. Нормированное поле при ® = 5 и четырех значениях параметра а

Рис. 16. Нормированное поле при ® = 5 и четырех значениях параметра а

Рис. 16. Нормированное поле при ® = 5 и четырех значениях параметра а

нительные экстремумы этой функции. Этот факт говорит о начале формирования поперечной ударной волны при

(30.13)(30.13)0 = 5, а = 2,4.

(30.13)

(30.13)

Далее фиксируем а = 2,5 и исследуем зависимость V от у при зна-

Рис. 17. Нормированное поле при а = 2,5 и трех значениях параметра ®Рис. 17. Нормированное поле при а = 2,5 и трех значениях параметра ®

Рис. 17. Нормированное поле при а = 2,5 и трех значениях параметра ®

Рис. 17. Нормированное поле при а = 2,5 и трех значениях параметра ®

чениях

О = 4,0; 4,7; 4,9; 5,0; 5,5.

Эти вычисления отражены на рис. 17. Теперь монотонное убывание V исчезает при 0》4,7 и появляется дополнительный максимум. В этом случае формирование поперечной ударной волны начинается при

(30.14)(30.14)0 = 4,7, а = 2,5.

(30.14)

(30.14)

В обоих рассмотренных случаях начальный импульс типа параболы с ветвями вниз преобразуется в почти прямоугольный импульс, а за

тем в импульс с возрастанием значений поля к краям у = 土до*

Общее описание значений параметров 8 и а, соответствующих

началу формирования вторичной (поперечной) ударной волны, может

Рис. 18. Область существования вторичной волны при ж = 0,1Рис. 18. Область существования вторичной волны при ж = 0,1быть сделано с помощью формулы (30.9). Дифференцируя обе части этой формулы по у в целях выявления немонотонности импульса, получаем связь между параметрами, соответствующую появлению изучаемого эффекта. Оказывается, что эта связь приближенно имеет вид

Рис. 18. Область существования вторичной волны при ж = 0,1

Рис. 18. Область существования вторичной волны при ж = 0,1

a2外/2 仝 5» (30.15)

Кривая (30.15) изображена на рис. 18 (нижняя кривая). Точки (30.13) и (30.14) хорошо согласуются с кривой (30.15). Возникнув в одной из точек кривой (30.15), изучаемая вто-

ричная волна далее выходит из зоны (30.7), переходя на крылья основного

импульса.

В то же время за счет условия (30.12) возникает вторая граница области существования вторичной волны (верхняя кривая на рис. 18). Так, при ж = 0,1 получаем следующее двойное неравенство:

(30.16)(30.16)59 <aw3/2 < 116-

(30.16)

(30.16)

Соответствующая криволинейная полоса заштрихована на рис. 18. Если левое неравенство (30.16) отвечает появлению вторичной волны, то правое связано с тем, что дальнейшая эволюция этой волны уже не может прослеживаться с помощью формулы (30.10).

Глава 7

НЕЛИНЕЙНОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕОСНОВНОЙ И ПРИМЕСНОЙУЕДИНЕННЫХ ВОЛН

В нелинейной физике нередко рассматривается следующая ситуация: в изучаемой системе распространяется некоторая основная волна (или мода) и сравнительно слабая примесная волна (мода), причем эти две волны движутся в одном направлении и с единой фазовой скоростью. Можно сказать, что такие две уединенные волны образуют связанную пару. В других отношениях свойства основной и примесной волн могут принципиально отличаться. Например, основная волна может иметь характер кинка, тогда как примесная волна является солитоном.

Основная и примесная волны нелинейно взаимодействуют между собой. При проведении асимптотической процедуры в самом старшем порядке определяется главная часть основной волны. В следующем порядке находится главная часть примесной волны. Еще один шаг ведет к определению поправки к основной волне, которая обусловлена нелинейным воздействием примесной волны на основную и т. д.

Далее в § 31 изучается поведение яркого и темного импульсов в окрестности точки нулевой дисперсии групповой скорости. В разных окрестностях этой точки один из двух импульсов оказывается преобладающим. При этом более слабый импульс играет роль примесной волны. В § 32 исследуется солитонный сигнал в магнитной цепочке, находящейся во внешнем магнитном поле. Здесь основная волна ——азимутальный кинк, а примесная ——меридиональный солитон. При этом исследование таких волн проводится в окрестности линии разветвления, соответствующей некоторому критическому значению внешнего магнитного поля. Следует еще отметить, что в § 31 при малых амплитудах взаимодействующих волн демонстрируется переход от решений НУШ к решениям уравнения КдВ.

Яркие и темные импульсы в оптических волокнах при длинах волн, для которых дисперсия близка к нулю

Естественный способ минимизации уширения импульсов, обусловленного групповой дисперсией, состоит в использовании длин волн, для которых групповая дисперсия близка к нулю. Поэтому поведение оптических импульсов в окрестности точки нулевой групповой дисперсии (НГД) широко обсуждалось в литературе (см., например, [1, 97, 99, 117, 135, 145, 147]). При этом наибольшее внимание уделялось случаю аномальной дисперсии волоконного вещества. Однако если интенсивность излучения существенно ниже порога самофокусировки, то солитонный режим распространения в волокне возможен и при нормальной дисперсии среды [140]. Аналогичные вопросы для спиновых волн в магнетиках рассматривались в [47, 109, 183].

Малость члена с групповой дисперсией заставляет в уравнении Шредингера учитывать дисперсионный член следующего порядка. Соответствующее уравнение Шредингера

分@€ — |ГФТТ — ^кшФТТТ + ；Т 1ф|2 Ф = 0(3°)

(обозначения стандартные: к ——волновое число, з° ——частота,卜〃 и к111 ——производные по частоте, П2 — коэффициент Керра) легко может быть приведено к безразмерной форме

iux 一 аии - ibuttt + 2 \uf = 0.(31.2)

В (31.2) будем полагать

а 0, 6^0.

Неотрицательность коэффициента а соответствует рассмотрению сред с нормальной дисперсией. С другой стороны, принятый знак коэффициента а обеспечивает отсутствие модуляционной нестабильности [97].

Вблизи точки НГД А = А。коэффициенты а и 6 в уравнении (31.2) малы. При этом возможны различные соотношения между этими малыми коэффициентами. При переходе от размерного уравнения (31.1) к безразмерному (31.2) естественно возникает конкуренция величин а и ^2/3. Поэтому целесообразно выделить две характерные области:

а > б%?(31.3)

и

а < 俨/з”(31.4)

Выполнение неравенств (31.3) или (31.4) зависит от степени близости длины волны А к длине волны НГД А。* Используя оценки [135] и продолжая их, нетрудно показать, что для одномодового волокна величины а и 接/з равны при А О,55Ао, при

А < О,55Ао(31.5)

имеем дело с неравенством (31.3), при

О,55Ло < Л < Ло(31.6)

—с неравенством (31.4). Наконец, при Л > Ло располагается не рассматриваемая нами зона аномальной дисперсии.

Уравнение (31.2) при положительных а и b допускает распространение в волокне не только ярких, но и темных солитонов. Цель дальнейшего состоит в описании связанных нелинейных структур, для чего необходимо получить явные формулы для обоих типов солитонов. Случаи (31.3) и (31.4), оказывается, требуют принципиально различных способов исследования. Для определенности мы начнем со случая (31.3).

Ищем решение уравнения (31.1) в виде комбинации яркого и темного солитонов:

〃 =「泄(© + iw)(31.7)

с фазой

ф = Е — dz,(31.8)

где с и d ——постоянные. Предполагаем, что искомые вещественные функции V и w зависят не от / и 力 в отдельности, а лишь от их комбинации

X = cd —/力，(31.9)

которую естественно назвать амплитудной фазой (АФ).

Далее разыскиваем сосредоточенные (локализованные) решения © и w. Сосредоточенность этих решений, как всегда, означает, что они отличны от констант лишь в малых окрестностях некоторых точек или кривых. В данном случае речь идет о сосредоточенности функций г; и w по переменной (31.9) в окрестности точки X = 0.

Переходя в (31.2) к дифференцированию по X, которое далее обозначается штрихом, и подставляя (31.7), получаем вещественную систему уравнений

(а + 36с) а%『+ (d — ас2 — be, v — /3wf + (2а,с + ЗЬс?) аг(/ —

-- 2 (产 + 后)© = 0, (31.10)

(а, + 36с) а%" + (d — ас2 — be?) w — 8d — (2а,с + ЗЬс?) аг/+

+Ьалуш — 2 (г;2 + w2) w = 0, (31J1)

в которой а и b являются малыми параметрами, удовлетворяющими условию (31.3).

Нетрудно установить, что единственная непротиворечивая возможность при решении системы (31.10), (31.11) состоит в следующем: при а т 0

b 〜а2, V 〜wa1^2^ Д 〜а1/2, а 〜аГ1/2.

Тогда главные члены уравнения (31.11) образуют уравнение

и и4 Q

Wo + 2w0 一 ^w = 0.

Это приводит к нечетному сосредоточенному решению

WoWo22(31.12)(31.12)

Wo

Wo

2

2

(31.12)

(31.12)

описывающему темный солитон.

Аналогично из уравнения (31.10) получаем, что

(31.13)(31.13)_ 3d b 1

(31.13)

(31.13)

"0 = 4

dbdb(31.14)(31.14)

db

db

(31.14)

(31.14)

Формула (31.13) в старшем порядке определяет вид яркого солитона.

Линеаризация уравнений (31.10) и (31.11) в окрестности найденных главных частей решений vq и wq

V = ©о + г；1, w = wo + ^1

приводит к паре линейных неоднородных уравнений для 力 и 5. Из поправок ©1 и g старшей является поправка 5. Для нее получается следующее уравнение:

4)s = TjfhX+4)s = TjfhX+(31.15)(31.15)

4)s = TjfhX+

4)s = TjfhX+

(31.15)

(31.15)

Соответствующее (31.15) однородное уравнение имеет общее решение

+ С2 (sh(2X) + 3thX + 长),

в котором требованию сосредоточенности удовлетворяет лишь первое слагаемое. Поэтому для wi получаем

1 с2V / с2 36сX

(31.16)(31.16)2162d shX

(31.16)

(31.16)

+ 8a4 V 2 ch3 X ?

ci ——произвольная постоянная.

Функция wi имеет четную и нечетную по X части. Четная часть ci ch~2 X дает малую мнимую добавку к яркому импульсу, нечетная

часть определяет поправку к темному импульсу (31.12). Формулы (31.12) и (31.13) показывают, что в рассматриваемом случае (31.3) уровень возбуждения темного импульса в а3/2/6 раз выше такого уровня для яркого импульса. Движение обоих солитонов происходит синфазно с конечной фазовой скоростью. АФ скорости этих движений гораздо больше и имеют порядок а」Последнее следует из формулы

X =X =

X =

X =

вытекающей из (31.9) и (31.14).

В целом в рассмотренном приближении построенное решение содержит произвольные коэффициенты с, d в (31.8) и других формулах, а также произвольную константу q в (31.16).

Детальное рассмотрение системы уравнений (31.10), (31.11) при условии (31.4), т.е. в непосредственной близости к точке НГД, показывает, что теперь нет возможности выделить сосредоточенные решения типа (31.12) и (31.13). С другой стороны, исследования показывают, что изучаемые импульсы в зоне (31.6) имеют весьма малые амплитуды. Это обстоятельство открывает возможность применения специального приема, связанного с построением малоамплитудных приближений. В этом параграфе такой прием и будет использован.

Далее используем анзатц [146, 147]

(31.17)(31.17)a =[uq + U(ж,力)]exp \2iuQx + 分3(算,力)],

(31.17)

(31.17)

〃o = const. Вид анзатца соответствует точному решению для невозмущенного НУШ. После подстановки в (31.2) получаем два уравнения:

Ux - 2aU力3力一a (uq + U)夕力力+ 36u力3:一bU的 + 3b (a0+ U)夕力夕力力=0,

(и。+ U)夕虞 + aUww — a ®o + U)夕;一4uqU — 6uqU^ — 2(/3 +

+b (uq + U)夕;一b (a。+ U) (fttt — 3bU"夕力一3bUt(ptt = 0.

Следующий шаг связан с введением дополнительного малого амплитудного параметра е. Введем новые независимые переменные:

丁 = £ (力一Сх), £ = е3ж, С = const(31.18)

и будем отыскивать амплитуду и фазу в виде рядов

U =£2u()(丁,g) + ^U^r^) + ...,

3=e夕0(丁飞)+ s3夕i(T,g) + ...

В самом старшем по £ порядке получаем

Q,Uq ^Qq- + С Uq = 0,

0夕0Т + 4〃0。0 = 0.

Для совместности этой системы уравнений нужно положить

С = 2〃о^*(31.19)

(31.20)(31.20)(31.21)(31.21)Отсюда также следует, что

(31.20)

(31.20)

(31.21)

(31.21)

д 0т =ya

Уравнения следующего приближения имеют вид

^1Т + 2" = ^ 險£ — 61^ +(^ + ^) и。"

Vano L。

+6\/^U()Uot — ^^OrrrJ •(31.22)

Продифференцируем (31.21) по г, используем (31.20) и получим новое условие совместности. Это условие представляет собой уравнение КдВ

Uog + 6(W—Ь V^) UoUoT — (b +《и。) Uqttt = 0.(31.23)

Выписывая точное солитонное решение уравнения (31.23) и возвращаясь к старым переменным, находим, что

% = —12声 dr 2q,

где

Q = e/6 [力一2uQ\/ax + ? (〃ob + a2/3) Д2е2ж]

_ ( 24^o n06 + а2/3

I a 4uob + °2/3 丿，

Д ——произвольный параметр, содержащийся в солитонном решении уравнения КдВ. Главная часть фазы 夕о находится согласно (31.20). Произвольный коэффициент Д можно далее включить в малый параметр е, который до сих пор был также произволен. Наконец, разлагая в ряд фазовый множитель ехр(£е夕°), получаем

V = UqV = Uqи =巒崎度(© + fw),и =巒崎度(© + fw),(31.24)(31.24)12e2no ch2 Q12e2no ch2 Q(24)V2aB2(24)V2aB21 —-1 —-thQ + 0(£2)],thQ + 0(£2)],(31.25)(31.25)W = EUoW = EUo(31.26)(31.26)

V = Uq

V = Uq

и =巒崎度(© + fw),

и =巒崎度(© + fw),

(31.24)

(31.24)

12e2no ch2 Q

12e2no ch2 Q

(24)V2aB2

(24)V2aB2

1 —-

1 —-

thQ + 0(£2)],

thQ + 0(£2)],

(31.25)

(31.25)

W = EUo

W = EUo

(31.26)

(31.26)

выражения Q и В определены выше.

Формулы (31.24)—(31.26), как и формулы (31.12)-(31.14), определяют сумму яркого и темного солитонов. Отметим основные отличия от формул (31*12)—(31.14)*

Теперь яркий солитон представляет собой главное слагаемое, а темный ——поправку к нему (примесную волну). Это подтверждает известный в литературе тезис о том, что дисперсия третьего порядка губит темные солитоны сильнее, чем яркие.

Яркий солитон (31.25) находится на пьедестале высотой к。, а。—— произвольно. Отметим, что формулы (31.24)-(31.26) не связаны явно с предположением о малости коэффициентов уравнения (31.2). Эти формулы не связаны также с обязательным требованием (31.4) или (31.6). Они справедливы как при условии (31.4), так и в том случае, когда величины а и 产/з имеют одинаковый порядок.

Наконец, при условии (31.4) выведенные здесь формулы упрощаются:

尸 I 24uob 2 1

© = — 48£2 th2 Q,ch Q

w = 4e，6〃o th Q"

Отметим некоторые выводы. Основанные на результатах работы [135] оценки коэффициента при третьей производной показывают, что влиянием дисперсии третьего порядка не следует пренебрегать уже при длинах волн более 0,67 мкм, и по мере приближения к 1,27 мкм дисперсия третьего порядка становится все более и более существенной.

В зависимости от соотношения дисперсий второго и третьего порядков существенно по-разному происходит формирование примесной структуры. В случае (31.3), когда длина волны еще значительно отстоит от длины волны нулевой дисперсии и дисперсия третьего порядка может трактоваться как возмущающий эффект, на фоне темного солитона стандартного НУШ возникает яркий импульс с амплитудой порядка Ь/〃з/2, ^ также дополнительные темные и яркие импульсы меньших амплитуд. Искажения стандартного импульса представляются в явном виде формулами (31.13) и (31.16).

Качественно иной вид имеет нелинейная динамика огибающей короткого импульса вблизи длины волны нулевой дисперсии, т. е. при условии (31.6). Под преобладающим влиянием дисперсии третьего порядка формируется нелинейная структура в виде встроенного (embedded) солитона. Отличительной особенностью этой структуры является то, что солитонный импульс (преимущественно яркий) распространяется на пьедестале конечной высоты и подчиняется уравнению Кортевега^де Вриза. Его аналитическое выражение дается

формулами (31.24)—(31.26), в частности, он имеет значительно более крутые фронты по сравнению с солитоном НУШ. И по-прежнему импульс представляет собой комбинацию двух связанных солитонов.

Солитонный сигнал в магнитной цепочке при внешнем магнитном поле, близком к критическому

Предлагаемый параграф также иллюстрирует нелинейное взаимодействие основной и примесной уединенных волн. Речь пойдет об изучении солитонного спинового сигнала в реалистической магнитной цепочке, находящейся во внешнем магнитном поле. Основная волна здесь представляет собой азимутальный кинк, примесная волна —— меридиональный солитон.

Цель исследования ——анализ поведения солитонных сигналов в изотропной реалистической магнитной цепочке (в “easy plane") при наличии магнитного поля. Исходные для нас исследования вопроса проводились в работах [119, 158, 160]. Актуальность проблемы связана с необходимостью объяснения экспериментов [102, 157] по неупругому рассеянию на ферромагнетиках.

Изучаемая проблема связана с анализом гамильтоновых уравнений движения

0t =夕zz cos 0 — 2及夕z sin 0 — sin 夕,(32.1a)

夕古=0zz cos-1 0 —(夕 J sin ^ + A sin 0 + tg 0 cos 夕(32.16)

при граничных условиях

g -^ 0, 夕 -^ 2?т, 0 -^ 0, , = % - ut.

《> eое> — ooCi cо

Здесь функции 夕 и <9 — углы сферической системы координат, характеризующие направление спинового вектора в точках рассматриваемой одномерной цепочки. Безразмерные уравнения (32.1) описывают нелинейное взаимодействие между азимутальным кинком 夕 и меридиональным солитоном 0 в присутствии внешнего магнитного поля, которое характеризуется безразмерным параметром Л™1. Подробности вывода системы уравнений (32.1) можно найти, например, в разделе 4 монографии [160].

В предстоящих вычислениях солитонная скорость и не предполагается равной нулю и вводится независимая переменная ，= % — —ut. Известно (см. [119, 160]), что полный спектр солитоноподобных возбуждений реалистической магнитной цепочки состоит из трех аналитически не проанализированных ветвей в слабых магнитных полях (солитоны sin-Гордона), редуцирующих к единственной ветви в сильных полях, превосходящих некоторое критическое значение (солитон Гейзенберга). Указанное критическое значение поля в используемых безразмерных обозначениях в простейшем случае п = 0 есть А = 3. Критическое значение при 〃卢 0 обозначим через 3 + “〃).

Далее главная задача состоит в исследовании тонкой структуры солитонного сигнала, т. е. в анализе решений уравнений (32.1) при полях, близких к критическим, и малых солитонных скоростях. В предстоящем анализе мы располагаем двумя независимыми малыми параметрами: п и Л, где Л пропорционально отклонению магнитного поля от критического значения 3 + “〃). Именно: будем полагать

丄Л丄Л13 + /1(и) + Л13 + /1(и) + Л(32.2)(32.2)

丄Л

丄Л

1

3 + /1(и) + Л

1

3 + /1(и) + Л

(32.2)

(32.2)

Здесь всегда 〃〉0. Значения Л > 0 соответствуют уменьшению внешнего поля по сравнению с критическим и диапазону солитонов sin-Гордона, Л < 0 — увеличению внешнего поля и диапазону солитонов Гейзенберга. Одновременный учет отличных от нуля параметров 〃 и А — главное отличие предлагаемого параграфа от предшествующих работ. Другой важный новый момент состоит в последовательном учете нелинейности взаимодействия азимутального кинка (АК) и меридионального солитона (МС).

Перейдем в уравнениях движения (32.1) к независимой переменной С = z — ut и подставим выражение (32.2) вместо А-1. Выделим также стационарную часть ①(，)решений уравнений движения, полагая

92 = Ф(() + а(С), 6 = «(О (32J)

Здесь

(32.4)(32.4)"Ф1

(32.4)

(32.4)

sin = ф —> 0.

2ch С Ст±оо

Новые уравнения имеют вид

7一片7一片厶 = Fi(q, Д,(, 〃)，厶2户=&(Q,乱盘 Л) (32.5)

7一片

7一片

и содержат линейные операторы 厶^ = ^ 一

.Правые части Fi, & представляют собой разложения.Правые части Fi, & представляют собой разложенияпо степеням &)/3 и их производных:по степеням &)/3 и их производных:

.Правые части Fi, & представляют собой разложения

.Правые части Fi, & представляют собой разложения

по степеням &)/3 и их производных:

по степеням &)/3 и их производных:

一W +常m+ !/声+。（"田,箇/2）,

同=農 + AG -六Q/ - I (13 -県)用 + ^^

—и ( h с /2 - о/) - gA/3 + O(q/3)Д5, а2 Д, и В* иа/З).

Здесь мы используем обозначения типа

0(/3*&3/2)= 0(/5)+ 0(Q«3) + 0(箇/2 J

В отличие от аналогичных уравнений в работах [158, 160], система уравнений (32.5) учитывает нелинейное взаимодействие АК и МС, к тому же при ненулевой солитонной скорости.

Операторы & и 厶2 имеют исчезающие при , т 土ос собственные функции Л / ch ^ и В/ ch2 , соответственно, А и В — постоянные, характеризующие уровень возбуждения АК и МС. В соответствии с этим второй шаг преобразования уравнений движения сводится к равенствам

а =+ f = ^J7 + ^(C)(32”6)

сп《ch С

V и w — новые искомые функции. Получаем уравнения

Liv = Fi(v, w, 4, В, и^ Л),(32.7а)

£2w = F2(v, w, 4, В, и, Л),(32.76)

где операторы 厶屮 по-прежнему имеют вид (32.5), а правые части 歹1,2 весьма громоздки. Подразумевается, что функции v и w должны исчезать при , т ±оо.

В формулах (32.6) неизвестны не только поправки “《),仅⑹,но и коэффициенты Л, В главных членов. Эти коэффициенты должны определяться из условий разрешимости, т. е. условий ортогональности правых частей 冃* к собственным функциям операторов 厶w Обсуждаемые условия ортогональности имеют вид

/(4 в, W Л) = О, g(4 В, 〃, Л) = 0.(32.8)

Система уравнений (32.8) определяет зависимость Л, В от параметров n, Л. Однако в общем случае эта зависимость очень сложна. Далее мы рассмотрим ситуации, когда внешнее поле близко к критическому. В этом случае система (32.8) становится вполне обозримой.

Уравнения (32.8) однозначно разрешимы относительно А и В как функций от 〃 и А, если якобиан

△三 'в(32*9)

gA gB

отличен от нуля. При

△ (tx,A) = 0(32.10)

однозначная разрешимость нарушается. Уравнение (32.10)——уравнение бифуркации ——определяет линию разветвления решений на плоскости (n,Л). Иными словами, это уравнение как раз и дает искомую

зависимость критического магнитного поля от солитонной скорости п, т. е. функцию /л(и).

Изучим зависимость (32.10) при малых п и Л. Нетрудно видеть, что при этом коэффициенты Л и В в (32.6) также малы. Порядковые соотношения между малыми Л, В, и〉Л вблизи линии разветвления (32.10) еще должны быть установлены.

Условия ортогональности (32.8) теперь принимают вид

/ = гиВ + С2ЛВ2 + с3в4 + ©4厶石2 + О^иВ3. ЛВ3,1Л 〃А8) = 0,

(32.11)

g =必〃 + d2A8 + d3B3 + O(uB2, AM?) = 0*(32.12)

Здесь Ci и di — вполне определенные числовые коэффициенты, в частности

击=7Г,^2 = Е， Мз =—-.

Уравнение (32.10) в старшем порядке принимает вид

gB = d2A + 3d3炉=0”(32」3)

Для определения линии разветвления следует исключить коэффициент В из системы уравнений (32.12) и (32.13). С учетом вида 或 это приводит к следующему результату:

从®) = —2J2t?/上(32.14)

(7万)/

Положительность 从(〃)означает, что с увеличением солитонной скорости величина критического поля уменьшается.

Рис. 19. Зависимость величины критического поля от солитонной скорости

При Л + 从(〃)> 0, иначе (см. формулу (32.2)), при А > 3 мы находимся в диапазоне sin-Гордона (рис. 19) и имеем три различных решения для коэффициента В, определяющего амплитуду МС.

А именно:

81 =81 =А + *+\(Л + д)5/2А + *+\(Л + д)5/2(32.15)(32.15)В2,з = 土，？(А + 从3))±1,66，А + 从(к) +В2,з = 土，？(А + 从3))±1,66，А + 从(к) +Л + m(“Л + m(“(32.16)(32.16)

81 =

81 =

А + *+\(Л + д)5/2

А + *+\(Л + д)5/2

(32.15)

(32.15)

В2,з = 土，？(А + 从3))±1,66，А + 从(к) +

В2,з = 土，？(А + 从3))±1,66，А + 从(к) +

Л + m(“

Л + m(“

(32.16)

(32.16)

При Л + “〃) < 0 имеем дело с диапазоном Гейзенберга (рис. 19). Здесь остается только одно решение Bi.

Уравнения (32.11) и (32.12) позволяют установить порядковые соотношения между искомыми величинами. Из уравнения (32.11) следует, что при малых п и Л коэффициент Л в (32.6) имеет порядок В2. Таким образом, в итоговых выражениях (32.3) самый старший порядок имеет стационарный кинк Ф⑹.Следующим по величине является член Д(С). Наконец, q(Q имеет порядок Д2(С).

Уравнение (32.5) при дополнительном условии lim а = 0 0Т±ОО

в старшем порядке имеет решение

В2 1 + 2 ch2 С 2 ] arctg(sh С)山 2 ch4 С 3 ch С

Функция а© должна быть подставлена в формулу (32.3), где она определяет добавку к стационарному решению Ф при 〃 = 0. В итоговую формулу

夕=①(С +1sh С — * 弋尸 (32.17)

для AK должны быть подставлены выражения (32.15) и (32.16). Это определяет три ветви АК в диапазоне sin-Гордона (рис. 20) при Л +

+ д > 0 и единственную ветвь (при В = В±) в диапазоне Гейзенберга при Л + /1 < 0.

Формула (32.17) учитывает нелинейное воздействие МС, имеющего амплитуду В, зависимость от скорости -и и от отличия величины внешнего поля Л от критического значения.

Добавка q(Q к стационарному решению в силу нелинейности процесса самовоздействия могла бы привести к изменению солитонной скорости и. В данном случае это явление отсутствует, поскольку а(0) = 0.

Производная

$L = ? + ?L = 2+iB2-iuB (32.18)

характеризует изменение формы кинка. Эта производная имеет смысл скорости перехода от одного спинового состояния к другому. Она характеризует также толщину доменной стенки. Формула (32.18) при использовании (32.15) и (32.16) дает зависимость этой толщины от -и и Л. Анализ этой зависимости говорит о том, что нелинейное

Рис. 21. Зависимость амплитуды МС от и при фиксированном Л > 0 (а) и от Л при фиксированном и (5)

взаимодействие с МС приводит к к уменьшению толщины доменной стенки АК. Эффект сужения доменной стенки особенно заметен в зоне sin-Гордона и притом для 2-й и 3-й ветвей решения. Уменьшение толщины стенки заметно возрастает с увеличением Л и гораздо слабее проявляется при росте солитонной скорости и.

Подведем итоги. Свойства меридионального солитона определяются формулой (32.6), в главный член которой В ch-2^ должны быть подставлены выражения (32.15) и (32.16).

В области sin-Гордона (Л + /1 > 0) имеем три различные ветви решения для МС (рис. 21). Поведение первой ветви определяется коэффициентом 6]. Этот коэффициент отрицателен, сравнительно мал по модулю, возрастает с ростом Л, но убывает с увеличением и. Вторая и третья ветви связаны с коэффициентами В2 и Вз, в старшем порядке противоположными по знаку. По модулю амплитуды этих ветвей существенно больше, чем амплитуды первой ветви. С ростом А и 〃 обе ветви по модулю возрастают. Опишем начальное поведение ветвей. При -и = 0: Bi = 0, &,з = ±1,66八1/2. При Л = 0: Bi = —0,95〃1/з, В2,3 = ±2,48〃1/з” '

В области Гейзенберга Л + /1 < 0 имеется единственная первая ветвь. В отличие от области sin-Гордона коэффициент 6] здесь положителен.

В целом ветвление решений и формирование тонкой структуры солитонного сигнала максимально проявляются при изучении МС. В случае АК эти эффекты маскируются стационарной частью Ф решения. Приведенные формулы (32.3), (32.6), (32.15)-(32.17) дают исчерпывающее описание поведения всех ветвей АК и МС при небольших отклонениях Л внешнего поля от критического и небольших солитонных скоростях и.

ПРИМЕЧАНИЯ

В теории нелинейных волновых процессов важнейшее место занимают асимптотические методы, восходящие к работам [35, 54, 62, 63, 68, 70, 91, 144, 151, 155] и др. Автор надеется, что предлагаемая книга явится дополнительным шагом в развитии этих методов.

К главе 1

К § 1. Анализу процесса нелинейного распространения коротких импульсов в световодах посвящены работы [1, 4, 26, 43, 61, 87, 111, 126, 128, 136, 140, 150, 174] и др. Все перечисленные работы не учитывали возможные продольную неоднородность и изгиб реального световода. Единственная попытка учесть такую неоднородность, содержащаяся в [103], связана с необоснованными предположениями и не позволяет исследовать деформацию огибающей импульса. Изогнутый волновод постоянной кривизны изучался в работе [162]. Теория распространения ультракоротких (например, пикосекундных) импульсов в градиентных световодах, слабо неоднородных по продольной координате и слабо изогнутых, изложена далее в § 8, 27, 28. Вопрос о размерах гарантированного интервала сосредоточенности огибающей импульса был изучен в работе [12].

К § 2. К рассмотренной задаче близки задача о нелинейном упругом стержне переменного сечения [86] и задача о волнах Лява конечной амплитуды в нелинейном упругом слое. Последняя задача требует использования разложения упругой энергии в ряд по инвариантам тензора деформации до членов четвертого порядка включительно.

Изложение следует работам [11, 12, 37, 38, 66, 104-106, 164, 167].

К главе 2

К § 6, 7. Теория мощных волновых пучков, имеющая применения в нелинейной оптике и физике плазмы, ранее строилась для однородной среды [2, 3, 44, 49, 59, 89, 90, 180]. Для случая неоднородных сред имеются физические работы [40, 88]. Последовательный асимптотический анализ позволили выделить ряд важных типов нелинейностей, когда уравнения для трассы мощного пучка ищутся фактически так

7 И.А. Молотков

же, как в линейной теории разыскиваются геометрооптические лучи. С этой целью для осевой линии пучка найден [17, 20, 68, 169] однопараметрический вариационный принцип, см. далее § 19, 20.

К § 8, 9. Сокращение продолжительности импульсов в нелинейных средах требует для субпикосекундного диапазона существенного усложнения модельного уравнения. Анализ решений такого модельного уравнения продолжается в § 28. Изучение аналогичных процессов для фемтосекундных импульсов, начатое в работах [5, 30, 74, 138], развивается в [71].

Изложение следует работам [13, 14, 19, 20, 67-71, 107, 108, 169].

К главе 3

Идея варьирования параметров солитона, по-видимому, широко известна.

К § 11-13. Здесь решаются уравнения, близкие к вполне интегрируемым. Метод обратной задачи рассеяния для таких уравнений впервые был предложен в [143] для нелинейного уравнения Шредингера (см. также [144]). Случай КдВ для этого метода оказался весьма непростым [50, 51]. Теория возмущений для одного солитона без применения метода обратной задачи рассеяния строилась во многих работах. Случай уравнения Гарднера изучен в [36, 38]. Применение асимптотических методов к решению задач теории поверхностных гравитационных волн существенно зависит от выбора малых параметров и анзатца. Различные варианты построения соответствующих асимптотических разложений можно найти в работах [35, 64, 65, 133]. Наш путь исследования описан в § 13, составленном на основании [37, 38].

К главе 4

Примененные в § 14, 15 способы решения близки к методам [63, 64]. Изложение в главе следует работам [21, 39, 68, 168, 169].

К главе 5

К § 19, 20, 24. Траекторные параметрические вариационные принципы были получены впервые в работах [20, 21] в связи с задачами об интенсивных стационарных волновых пучках. Аналогичные вариационные принципы для волновых фронтов в нелинейно-диссипативных средах — в [68].

В § 24 получены результаты, естественно дополняющие работу [92], в которой имеется также строгое обоснование. Следующий § 25 представляет собой естественное продолжение § 24. Уравнение из § 25 в частном случае фигурирует в [85], где, однако, рассматриваются решения иного типа. Другие результаты для нелинейных диффузионных задач см. в [25, 68, 96, 122, 123, 154, 170, 177] и др.

Изложение следует работам [18, 21, 23, 24, 68, 165, 166, 169, 170, 186].

К главе 6

Использованный в главе подход является сравнительно новым, первые публикации ——[69, 70]. Нам неизвестны более ранние работы в этом направлении.

Изложение в главе следует работам [12-14, 69, 71, 104-108, 167].

К главе 7

Ситуация распространения основной и примесной волн, нелинейно взаимодействующих между собой, является нередкой. Поиск решения таких задач начат в работе [158] и продолжен в [163]. Идея использования малоамплитудного приближения (конец § 31) восходит к работам [146, 147]. В § 32 дается ответ на вопрос, поставленный в монографии [160], изложение в параграфе следует работе [163].

7*

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Агравал Г. Нелинейная волоконная оптика/ Пер. с англ.; Под ред. П.В. Мамышева. — М.: Мир, 1996.

Ахманов С.А., Сухоруков А.П., Хохлов Р.В. О самофокусировке и са= моканализации интенсивных световых пучков // ЖЭТФ. 1966. Т. 50, №6.

Ахманов С.А., Сухоруков А.П., Хохлов Р.В. Самофокусировка и дифракция света в нелинейной среде // УФН. 1967. Т. 93, №1.

Ахманов С. А., Выслоух В. А., Чиркин А. С. Оптика фемтосекундных лазерных импульсов. — М.: Наука, 1988.

Ахмедиев Н.Н., Мельников И.А., Назаркин А.В. Распространение фемтосекундного оптического импульса в области прозрачности нелинейной среды // Краткие сообщ. по физике. 1989. №2.

Бабич В. Ж, Б у л дыр ев В. С. Асимптотические методы в задачах дифракции коротких волн. Метод эталонных задач.——М.: Наука, 1972.

Бабич В.М., Булдырев В. (7., Молотков И. А. Пространственно-временной лучевой метод.——Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1985.

Бахвалов НС, Жилейкин Я.М, Заболотская Е.А. Нелинейная теория звуковых пучков. — М.: Наука, 1975.

Беланов А. С., Головненко К4., Дианов КМ, Никонова 3. (7., Прохоров А.М., Серкин В.Н. Проблемы передачи информации оптическими солитонами // Тр. ИОФАН. Волоконная оптика.——М.: Наука, 1987. Т. 5.

Бессонов Н.М., Вакуленко С.А. Связанные состояния кинков в нелинейных неоднородных средах // Теор. и матем. физ. 1996. Т. 107, №L

Бисярин М.А., Молотков И.А. Распространение коротких импульсов в нелинейных неоднородных световодах // Проблемы теоретической физики. Т. 3. — Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1988.

Бисярин М.А., Молотков И.А. Эволюция огибающей импульса в нелинейном световоде со слабой продольной неоднородностью // Опт. и спектроскопия. 1989. Т. 67, №2.

Бисярин М.А., Молотков И.А. Влияние неоднородностей оптического волокна, а также нелинейных и дисперсионных эффектов высших

порядков на параметры солитонных импульсов // Изв. РАН, сер. физ. 2001. Т. 65, №6.

Бисярин М.А., Молотков И.А. Модовая структура и огибающая короткого импульса в градиентном световоде с продольной неоднородностью и с пространственной кривизной // Изв. вузов. Радиофизика. 2002. Т. 45, №6.

Брусов И.Н^ Попов В.Н. Сверхтекучесть и коллективные свойства жидкостей.——М.: Наука, 1988.

Вакуленко С.А. Действие возмущения на солитоны некоторых нелинейных уравнений // Записки науч, семин. Ленингр. отд. Матем. ин-та АН СССР им. В.А. Стеклова. 1979. Т. 89.

Вакуленко С.А. О вариационном принципе для нелинейных сосредоточенных волн // Прикл. матем. и мех. 1989. Т. 53, № 4.

Вакуленко С.А.^ Маслов В.П., Молотков И.А.^ Шафаревич А.И. Асимптотические решения уравнения Хартри, сосредоточенные при /г т 0 в малой окрестности кривой // ДАН. 1995. Т. 345, №6.

Вакуленко С.А., Молотков И.А. Волны в нелинейной неоднородной среде, сосредоточенные в окрестности заданной кривой // ДАН СССР. 1982. Т. 262, №3.

Вакуленко С.А., Молотков И.А. Стационарные волновые пучки в сильно нелинейной трехмерной неоднородной среде // Записки науч, семин. Ленингр. отд. Матем. ин-та АН СССР им. В.А. Стеклова. 1985. Т. 148.

Вакуленко С.А.^ Молотков И.А. Волновые пучки в нелинейной неоднородной среде с насыщением нелинейности // Тр. 9 Всес. симп. по дифракции и распространению волн. Т. 2.——Тбилиси, 1985.

Вакуленко С.А., Молотков И.А. Волновые процессы в неоднородных нелинейно-диссипативных средах // Тр. симп. «Волны и дифракция- 90^. —М., 1990. Т. 3.

Вакуленко С.А., Молотков И.А. Нелинейные волновые пучки в средах волноводного типа // Там же.

Вакуленко С.А., Молотков И.А. Начальная стадия эволюции фронтов вытеснения в нелинейной задаче фильтрации // Прикл. матем. и мех. 1997. Т. 61, №1.

Вольперт Л.И. Волновые решения параболических уравнений: Препр. Ин-та хим. физ. АН СССР.——Черноголовка, 1983.

Выслоух В.А. Эксперименты с оптическими солитонами // УФН. 1982. Т 136, №3.

Гельфанд И. М, Шилов Г.Е. Обобщенные функции и действия над ними. Т. 1.——М., 1959.

Годунов С.К^ Рябенький В. С. Разностные схемы. Введение в теорию.— М.)1977.

Громов КМ, Таланов В.И. Нелинейная динамика коротких цугов волн в диспергирующих средах // ЖЭТФ. 1996. Т. 104, №5(11).

Грудинин А.Б., Дианов КМ, Коробкин Д.В., Хайдаров Д.В. // Тр. ИОФАН. Волоконная оптика.——М.: Наука, 1990. Т. 23.

Грудинин А.Б., Меньшов В.Н., Фурса Т Я. О распространении фемтосекундных солитонов в одномодовых волоконных волноводах // ЖЭТФ. 1990. Т 97, №2.

Гуревич А.В., Питаевский Л.П. Нелинейная динамика разреженной плазмы // Проблемы теории плазмы.——М., 1980. №10,

Данилов В.Г. Асимптотические решения типа бегущих волн для полулинейных параболических уравнений с параметром // Матем. заметки. 1990. Т. 48, №2"

Дианов КМ, Карасик А.Я., Мамышев П.В. и др. // Письма в ЖЭТФ. 1985. Т 41, №3.

Доброхотов С.Ю., Маслов В.П. Конечно-зонные почти периодические решения в ВКБ приближениях // Итоги науки и техники. Современные проблемы математики.——М., 1980. Т. 15.

Егоров Ю.А. Асимптотическое решение уравнения Гарднера с переменными коэффициентами // Вести. Ленингр. ун-та. Серия Физ. Хим. 1985. №25.

Егоров Ю.А., Молотков И.А. О влиянии переменной глубины, а также нелинейных и дисперсионных членов второго порядка на распространение поверхностных гравитационных волн // Проблемы математической физики. —— Л., 1986. Вып. 11.

Егоров Ю.А.^ Молотков И.А. Распространение длинных нелинейных волн на поверхности жидкости переменной глубины // Изв. АН СССР. Физика атмосферы и океана. 1986. Т. 22, №12”

Еременко В.А.^ Молотков И.А. Особенности поведения волновых пучков в средах с насыщающейся нелинейностью // Радиотехн. и электроника. 1998. Т. 43, №6.

Ерохин Н. (7., Сагдеев Р.З. Особенности самофокусировки и поглощение энергии мощных волновых пучков в неоднородной плазме // ЖЭТФ. 1982. Т. 83, №L

де Жен П. Физика жидких кристаллов/ Пер. с англ. А.А. Веденова; Под ред. А.С. Сонина. — М., 1977.

Захаров В.Е. Коллапс ленгмюровских волн // ЖЭТФ. 1972. Т. 62.

Захаров В.Е.^ Кузнецов Е.А. Оптические солитоны и квазисолитоны // ЖЭТФ. 1998. Т. 113, №5.

Захаров В.Е^ Соболев В.В., Сынах В. С. Исследование поведения световых пучков в нелинейных средах // ЖЭТФ. 1971. Т. 60, №1.

Зейгер С.Г., Климонтович Ю.Л.У Ланда П. (7., Фрадкин Э.Е. Волновые и флуктуационные процессы в лазерах.——М., 1974.

Земсков В.Р. Эволюция огибающей фемтосекундного светового импульса в волоконном световоде // ЖТФ. 1992. Т. 62, №1L

Калиникос Б.А., Ковшиков Н.Г., Славин А.Н. // ЖЭТФ. 1988. Т. 94, №2.

Камчатное А.М. О распространении ультракоротких периодических импульсов в нелинейных волоконных световодах // ЖЭТФ. 1990. Т. 97, №1.

Карпман В.И. Нелинейные волны в диспергирующих средах.——М., 1973.

Карпман В.И., Маслов КМ. Теория возмущений для солитонов // ЖЭТФ. 1977. Т. 73, №2.

Карпман В*И” Маслов КМ Структура хвостов, образующихся под действием возмущения на солитон // ЖЭТФ. 1978. Т. 75, №2.

Кингсеп А. С. Сильная ленгмюровская турбулентность и турбулентный нагрев плазмы. // Итоги науки и техники. Физика плазмы.——М., 1983. Т. 4.

Косевич А.М., Иванов Б.А., Ковалев А. С. Нелинейные волны намагниченности. Динамические и топологические солитоны.——Киев, 1983.

Кузмак Г.Е. Асимптотическое решение нелинейных уравнений второго порядка с переменными коэффициентами // Прикл. матем. и мех. 1959. Т 23, №3.

Кузнецов В.П. // Акуст. журн. 1970. Т. 16, №4”

Ладыженская 0.4., Солонников В.А., Уральцева Н.Я. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа.——М.: Наука, 1967.

Ландау JLfl- Лифшиц КМ. Механика. — М.: Наука, 1958.

Ландау Л.Д., Лифшиц КМ Теория упругости. — М.: Наука, 1965.

Луговой В.Н.У Прохоров А.М. Теория распространения мощного лазерного излучения в нелинейной среде // УФН. 1973. Т. 11, №2.

Маймистов А.И. Эволюция уединенных волн, близких к солитонам нелинейного уравнения Шредингера // ЖЭТФ. 1993. Т. 104, №5(11).

Мамышев П.В., Черников СВ*, Дианов КМ Генерация высокочастотной последовательности солитонов и подавление ВРМБ в солитонных линиях связи // Тр. ИОФАН. Волоконная оптика.——М.: Наука, 1993. Т. 39.

Маслов В.П. Комплексный метод ВКБ в нелинейных задачах.——М., 1977.

Маслов В.П., Данилов В.Г.^ Волосов К.А. Математическое моделирование процессов тепло-массопереноса. — М.: Наука, 1987.

Маслов В.П., Омельянов Г.А. Асимптотические солитонообразные решения уравнений с малой дисперсией // УФН. 1981. Т. 36, №3剪

Маслов В.П.^ Омельянов Г.А., Цупин В.А. Поведение уединенной волны при учете малой дисперсии // Процессы возбуждения и распространения цунами/ Под ред. С.Л. Соловьева. — М., 1982.

Молотков Л.Л., Вакуленко С.А. Нелинейные продольные волны в неоднородных стержнях // Записки науч, семин. Ленингр. отд. Матем. ин-та АН СССР им. В.А. Стеклова. 1980. Т. 99.

Молотков И.А., Вакуленко С.Л. Эволюция волнового пучка в неоднородной и сильно нелинейной среде // Вести. Ленингр. ун-та. Серия Физ. Хим. 1985. №11.

Молотков И.А., Вакуленко С.А. Сосредоточенные нелинейные волны. —Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1988.

Молотков И.А., Повлсен Й.Х., Манаенкова Я.И. Особенности поведения огибающей солитонного импульса в нелинейной среде в субпикосекундном диапазоне // Изв. вузов. Радиофизика. 1998. Т. 41, №9川

Молотков И.А.^ Вакуленко С.А^ Бисярин М.А. Нелинейные локализованные волновые процессы. — М., 1999.

Молотков И.А.^ Манаенкова Я.И. Анализ поведения импульсов в фемтосекундном диапазоне на основе системы уравнений двухуровнего приближения // Радиотехн. и электроника. 2002. Т. 47, №5.

Найфэ А. Введение в методы возмущений. — М.: Мир, 1984.

Николаевский В.Н.У Бондарев <9.4., Миркин М.И. и др. Движение углеводородных смесей в пористой среде.——М.: Недра, 1968.

Никонова 3. С., Серкин В.Н. Фемтосекундные импульсы света в волоконных световодах // Тр. ИОФАН. 1990. Т. 23.

Островский Л.А. Приближенные методы в теории нелинейных волн // Изв. вузов. Радиофизика. 1974. Т. 17, №4.

Островский Л.4., Пелиновский КН. Трансформация волн на поверхности жидкости переменной глубины // Изв. АН СССР. Физика атмосферы и океана. 1970. Т. 6, №8

Островский Л.А., Сутин А.М. Нелинейные упругие волны в стержнях // Прикл. матем. и мех. 1977. Т. 41, №3.

Пелиновский ЕН Нелинейная динамика волн цунами.——Горький, 1982.

Погорелов А.В. Дифференциальная геометрия.——М., 1969.

Поляков С.В.^ Яхно В.Г. О термодиффузионном механизме генерации неоднородностей электронной концентрации в F-слое ионосферы / / Физика плазмы. 1980. Т. 6, №2.

Попов В.Н. Континуальные интегралы в квантовой теории поля и статистической физике.——М., 1976.

Потапов А.И. Нелинейные волны деформации в стержнях и пластинах. ——Горький, 1985.

Развитие исследований по теории фильтрации в СССР/ Отв. ред. П.Я. Полубаринова-Кочина.——М.: Наука, 1969.

Руденко О.В., Солуян С. Т Теоретические основы нелинейной акустики. —М.: Наука, 1975.

Самарский Л.Л., Галактионов В.Л., Курдюмов С./7., Михайлов А.П. Режимы с обострением в задачах для квазилинейных параболических уравнений.——М.: Наука, 1987.

Самсонов Л.М Эволюция солитона в нелинейно-упругом стержне переменного сечения // ДАН СССР. 1984. Т. 277, № 2.

Сисакян Ж Я., Шварцбург А. Б. Динамика интенсивных коротких импульсов в световоде // ДАН СССР. 1983. Т. 269, №L

Смирнов А.И.^ Фрайман Г.М. Интенсивные волновые пучки в плавно неоднородных нелинейных средах // ЖЭТФ. 1982. Т. 83, №4*

Сухоруков А.П. Нелинейные волновые взаимодействия в оптике и радиофизике. ——М.: Наука, 1988.

Таланов В.И. О самофокусировке электромагнитных волн в нелинейных средах // Изв. вузов. Радиофизика. 1964. Т. 7, №3剪

Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны.——М., 1977.

Файф /7., Гринли У Внутренние переходные слои для эллиптических краевых задач с малым параметром // УФН. Т. 29, №4.

Фок В.А. Проблемы дифракции и распространения электромагнитных волн. — М., 1970.

Фридман А. Уравнения с частными производными параболического типа. — М.: Мир, 1968.

Хакен Г. Синергетика.——М., 1980.

Хуберт Л. Теория доменных стенок в упорядоченных средах.——М.: Мир, 1977.'

Abdullaev FK> Darmanyan S.A.^ Bischoff £, Christiansen PL, Soerensen M.P. Modulational instability in optical fibers near zero dispersion point // Opt. Commun. 1994. Vol. 108, No. 1.

Abdullaev F.K., Darmanyan 5.Л., Bischoff 5., Soerensen MP. Modula- t-ional instability of electromagnetic waves in media with varying nonlinearity //J. Opt. Soc. Amer. 1997. Vol. B14, No. 1.

Afanasjev К К, Kivshar У.5., Menyuk C.R. Effect third-order dispersion on dark solitons. // Opt. Lett. 1996. Vol. 21, No. 24.

Anderson D., Lisak M. Nonlinear asymmetric self-phase modulation and self-steepening of pulses in long optical waveguides // Phys. Rev. A. 1983. Vol. 27, No. 3*'

Auston D.H. Picosecond nonlinear optics // Topics in Applied Physics. Vol. 18: Ultrasliort- Light Pulses. Picosecond Techniques and Applications/ Ed. S.L. Shapiro. Ch. 4.

Baehr M, Winkelmann M, Vorderwisch P. et al. // Phys. Rev. B. 1996. VoL 54, No. 18.'

Bendow B., Gianino P., Tzoar N., Jain M. Theory of nonlinear pulse propagation in optical waveguides //J. Opt. Soc. Amer. 1980. Vol. 70, No. 5.

Bisyarin МЛ., Molotkov LA. Self-action of short- pulses in nonliomoge- neous graded^index light- guides // Opt. and Quant. Electronics. 1992. Vol. 24, No. 3.

Bisyarin МЛ., Molotkov LA. Finite-amplitude pulses in light guides with quadratic profile of the refractive index // Proc. SPIE. 1996. Vol. 2943.

Bisyarin МЛ., Molotkov LA. Effects of transverse and longitudinal inhomogeneities of optical wave guide on propagation of nonlinear pulses // J. Teclin. Phys. 1996. Vol. 37, No. 3—4.

Bisyarin МЛ., Molotkov LA. Distortions of pulse shape in inhomogeneous graded-index light- guides // Proc. SPIE. 1999. Vol. 3609.

Bisyarin M.A.^ Molotkov LA. Weak-nonlinear propagation of subpicosecond pulses in graded-index light- guides with a small longitudinal inhomogeneity // Proc. SPIE. 2000. Vol. 3927.

Boardman A.D.^ Bontemps P., Wallis R.F., Xie K. Excitation and stability of bright- and dark localized spin modes in ferromagnetic chains with onsite anisotropy //J. Magn. and Magn. Matter. 2000. Vol. 210.

Bochkarev G.S., Eremenko V.A., Lobachevsky L.A., Ljannoy BE, Migulin К К, Cherkashin Yu.N. Nonlinear interaction of decametre radio waves at- close frequencies in oblique propagation //J. Atm. and Terr. Physics. 1982. Vol. 44, No. 12.'

Cohen LG、Mammel Ж.Ь., Jang S. J. Low-loss quadruple-clad single-mode lightguides with dispersion below 2 ps/(km-nm) over the L28—L65 дт wavelength range // Electron. Lett. 1982. Vol. 13, No. 24.

Chen X" Generation and propagation of interfaces for reaction^diffusion equations //J. Diff. Equations. 1992. Vol. 96. P. 116^141.

Chiao R. У., Garmire R, Townes C.H. Self-trapping of optical beams // Phys. Rev. Lett. 1964. Vol. 13, No. 15.

Christodoulides D.N., Joseph R.L Femtosecond solitary waves in optical fibres // Electron Lett. 1984. Vol. 20, No. 16.

Davidson R. C. Methods in Nonlinear Plasma Theory.——N.Y.: Acad. Press, 1972.'

Elgin J.N. Soliton propagation in an optical fiber with third-order dispersion. // Opt. Lett. 1992. Vol. 17, No. 20.

Elgin J.M, Brabec T., Kelly 5.M. J. A perturbation theory of soliton propagation in the presence of third order dispersion // Opt. Commun. 1995. Vol. 114, No. 3—4"

Enflo B.O. The sound field in the center of a nonlinear bounded beam // J. Teclin. Phys. 1996. Vol. 37, No. 3—4.

Etrich C.^ Mikeska H.-J. Non-linear excitation in a realistic ferromagnetic chain: thermodynamics and correlation functions //J. Phys. C: Solid State Phys. 1988. Vol. 21, No. 8.'

Evans L. C., Spruck J. Motion of level set by mean curvature. I // J. Diff. Geom. 1991. Vol. 33. P. 635-681.'

Field Е.С. Jr., Bloom Я..М, Kossey Р.А. Ionospheric heating with oblique high-frequency waves //J. Geopli. Res. 1990. Vol. 96, No. A12.

Fife P.5., Macleod J.B. The approach of solutions of nonlinear diffusion equation to travelling from solutions // Arch. Rational Meeh. Anal. 1977. Vol. 65, No. 4.

Fife P. C., Penrose O. Int-erfacial dynamics for t-ermodynamically consistent- phase —field models with nonconversed order parameter // Electornic J. Diff. Equat. 1995. Vol. 1995, No. 16.

Fusco G.A. Geometric Approach to the dynamics of Ut = e2uxx + / (u) for small £ // Lecture Notes in Phys.: Problems Involving Change of Type.— Berlin-Heidelberg: Springer, 1990. Vol. 359.

Gage M, Hamilton R. The shrinking of convex planecurves by the lieat- equat-ion //J. Diff. Geom. 1986. Vol. 26. P. 69—96%

Gambling Ж.Л., Matsumura Я., Ragdale С.M Mode dispersion, material dispersionand profile dispersion in graded^index single^mode fibres // Mk crowaves, Optics and Acoustics. 1979. Vol. 3, No. 6.

Gatz S., Hermann J. Soliton propagation in materials with saturable nonlinearity //J. Opt. Soc. Amer. 1991. Vol. B8, No. 11.

Georges T. Soliton interaction in dispersion-managed links //J. Opt. Soc. Am. 1998. VoL B15, No. 5.

Golovchenko E.A., Dianov E.M, Mamyshev P. V., Prokhorov A.M. Optical fibre-grating pulse compression // Opt. and Quant. Electronics. 1988. Vol. 20, No. 4.

Gordon J.P., Mollenauer L.E., Stolen R.N., Tomlinson Ж. J. // Opt. Lett. 1983" VoL 8.

Gordon. P. K, Vakulenko S.A. Periodic kinks in reaction-diffusion systems //J. Phys A: Math. Gen. 1998. VoL 31. L67—L70.

Grayson M. The heat- equation shrinks embedded plane curves to points // J. Diff. Geom. 1987, Vol. 26. P. 285—314.

Grimchaw R. Slowly warying solitary waves. I. Korteveg-de Vries equation // Proc. Roy. Soc. (bond.). 1979. Vol. A358, No. 1734.

Hamilton R.S. Three manifolds with positive Ricci Curvature // J. Diff. Geom. 1982. VoL 17. P. 255—306.

Hasegawa Л., Kodama У. Signal transmission by optical solitons in monomode fiber // Proc. IEEE. 1981. Vol. 69, No. 9. Русский перевод: Передача сигналов оптическими солитонами в одномодовом волокне // ТИИЭР. 1981. Т. 69, № 9.

Hasegawa Л., Tappert К Transmission of stationary nonlinear optical pulses in dispersive dielectric fibers // Appl. Phys. Lett. 1973. Vol. 23, No. 3-4.

Hayata K., Koshiba M. Bright-kink symbios resulting from the combined effect of self-trapping and intrapulse stimulated Raman scattering // J. Opt. Soc. Amer. 1994. Vol. Bll, No. 1.

Herrmann J., Nazarkin Л. Soliton self-frequency shift for pulses with a duration less than the period of molecular oscillations // Opt. Lett. 1994. Vol. 19, No. 24.

Huisken G. Flow by mean curvature of convex surface into surface // J. Diff. Geom. 1984? Vol. 20. P. 237-266.

Jain M, Tzoar N. Propagation of nonlinear optical pulses in dispersive dielectric fibers //J* Appl. Phys. 1978. Vol. 49, No. 9.

Johnson R.S. On the development- of a solitary wave moving over an uneven bottom // Proc. Cambr. Phys. Soc. (Math, and Phys.). 1973. Vol. 73, Part 1, No. 1.

Kakutani T. Effect of an uneven bottom on gravity waves //J. Phys. Soc. Japan. 1971. Vol. 30, No. 1.

Каир D.J. A perturbation expansion for the Zakharov-Sliabat inverse scattering transforme // SIAM J. Appl. Math. 1976. Vol. 31, No. 1.

Keener J.R.^ Maclaughlin D. Ж. Solitons under perturbations // Phys. Rev. 1977. Vol. 16, No. 2.

Kim Ж.-5., Moon H.-T. Soliton-kink interactions in a generalized nonlinear Scliroedinger system // Phys. Lett. A. 2000. Vol. 266, No. 4.

Kivshar Y.S. Perturbation-induced dynamics of small-amplitude dark optical solitons // Opt. Lett. 1990. Vol. 15, No. 22.

Kivshar Y.S. Dark optical solitons near to zero-dispersion wavelength // Opt. Lett. 1991. Vol. 16, No. 12.

Kivshar У.5., Afanasjev К V. Drift instability of dark solitons in saturable media // Opt. Lett. Vol. 21, No. 15.

Ko K", Kuehl H. H. Kort-eweg - de Vries soliton in a slowly varying medium // Phys. Rev. Lett. 1978. Vol. 40, No. 4.

Kodama К Optical solitons in a monomode fiber //J. Stat. Phys. 1985. VoL 39, No. 5-6.'

Kodama У., Ablowitz M. Perturbations of solitons and solitary waves // Stud. Appl. Math. 1981. Vol. 64, No. 3. P. 225—25生

Kuramoto К Chemical oscillations, waves and turbulence.——N.Y.: Springer, 1984.

Kuramoto У., Tsuzuki P. On the formation of dissipative structures in react-ion^diffusion systems // Progr. Tlieor. Phys. 1975. Vol. 54, No. 3.

Lacey A.A. Thermal runaway in non-local problem modelling Ohmic heating // Eur. J. Appl. Math. 1995. Vol. 6, No. 2-3.

155" Luke JC A perturbation method for nonlinear dispersive wave problems // Proc. Roy. Soc. 1966. Vol. A252, No. 1430.

Maccari A. Non-resonant interacting ion acoustic waves in a magnetized plasma //J” Phys. A: Math. Gen. 1999* Vol. 32.

Maezono R., Nagaosa N. // Phys. Rev. B. 2000. Vol. 61, No. 2.

Maqyari R, Thomas Я. Kink instability in planar ferromaenets // Phys. Rev. B. 1982. Vol. 25, No. 1.'

Me Kean H.P. Nagumo's equation. // Adv. Math. 1970. Vol. 4, No. 3.

Mikeska Я.-J., Steiner M. Solitary excitations in one^dimensional mag™ nets // Adv. Phys. 1991. Vol. 40, No. 3.

Miles J. Ж. The Kort-eveg - de Vries equation. A historical essay //J* Fluid Meeh. 1981. Vol. 106.

Miyagi M. Relationship between field shift and phase constant- change in two-dimensional three-layered dielectric or hollow waveguide due to uniform bends // Opt. and Quant. Electronics. 1989. Vol. 21, No. 1.

Molotkov LA. Soliton signal in the magnetic chain at- external magnetic field near to critical value // Soliton-Driven Photonics. — Kluver Acad. PubL, 2001.

Molotkov LA. Nonlinear ion acoustic waves in a magnetic plasma // 16t-li Intern. Symp. on Nonlin. Acoust. — Moscow, 2002.

Molotkov LA. Wave processes in inhomogeneous nonlinear-dissipative media // Studia Geoph. et- Geod. 2002. Vol. 46, No. 2.

Molotkov LA., Cherkashin Yu.N. Some nonlinear effects of wave beams propagation in the ionosphere // J. At-mospli. and Terr. Phys. 1994. Vol. 56, No. 11.'

Molotkov LA., Enflo B.O. A more precise equation for sound beams in dissipative fluids. Effect shock-shocks // 16th Intern. Symp. on Nonlin. Acoust. — Moscow, 2002.

Molotkov 丄厶丿 Eremenko КЛ., Anderson D*)Lisak M. Stationary high intensity wave beams in media with saturable nonlinearity // Phys. Scripta. 2000. Vol. 61, No. 4.

Molotkov 1.Л., Vakulenko S.A. Wave beams in an inhomogeneous medium with saturated nonlinearity // Wave Motion. 1988. Vol. 10, No. 3.

Molotkov 1.Л., Vakulenko S.A. Aut-owave propagation for general reactiondiffusion systems // Wave Motion. 1993. Vol. 17, No. 3.

De Mottoni P., Schatzman M. Evolution geomet-rique d'interphace // C.R. Acad. Sci. Ser. I. Math. 1989. Vol. 309, No. 7.

Newton P.K. Wave interaction in the singular Zakharov system //J. Math. Phys. 1991. Vol. 32, No. 2.'

Ogusu K. Analysis of non-linear multilayer waveguides with Kerr-like permittivities // Opt. and Quant. Electronics. 1989. Vol. 21, No. 1.

Okoshi 7. Optical Fibers. — N.Y., 1982.

Peradzynski Z., Kazmierczak B. Solutions to Reaction-Diffusion equations Asymptotic Analysis // Krayowa Konferenja «Zast-osowan Mat-ematyki w Biologii i Medycynie». — 1998. P. 123-128.'

Rottwitt /С, Hermann A, Povlsen J.H.y Elgin J.N. Adiabatic soliton transmission at very high bit- rates //J. Opt. Soc. Amer. 1995. Vol. B12, No. 7.'

Rubinstein J., Sternberg P., Keller J.B. Fast reaction, slow diffusion and curve shortening // SIAM J. Appl. Math. 1989. Vol. 49, No. 1.

Rubinstein J., Sternberg P., Keller J.B. Froot- interaction and nonliomoge- neous equlibria for trist-able reaction-diffusion equations // SIAM J. Appl. Math. 1993. Vol. 53. P. 1669-1685.

Saffman P. G., Taylor G. The penetration of a fluid into a porous medium of Hele-Shaw cell containing a more viscous liquid // Proc. Roy. Soc. (bond.). 1958. Vol. A245, No. 1242.'

Shvartsburg Л.В., Zuev M.A. The non-linear Scliroedinger equation and the non-stationary evolution of the intense localized wave field // Opt. and Quant. Electronics. 1980. Vol. 12, No. 2.

Stolen R.H. Nonlinearity in fiber transmission // Proc. IEEE. 1980. VoL 68, No. 10.

Schatzman M. On the stability of the scalar solution of Allen-Cahn equation // Proc. Roy. Soc. (Edinburgh). 1995. Vol. Аб. P. 1241-1275.

Shagalov A.G. Modulational instability of nonlinear waves in the range of zero dispersion // Phys. Lett. 1999. Vol. A239, No. 1-2.

Stolen Л.Я., Gordon J.P., Tomlinson Ж.J., Haus H.A. Raman response function of silica-core fibers //J. Opt. Soc. Am. 1989. Vol. B6, No. 6.

Vakulenko S.A. The oscillating wave fronts // Nonlinear Analysis TMA. 1992. Vol. 19. P. 1033-1046.'

Vakulenko 5.Л., Molotkov LA. Wliit-liam^ and Fermat's principles for the problem of evolution of wave beams in a nonlinear inhomogeneous medium // Amer. Math. Soc. Transl. 1993. Vol. 157.

Zozulya A., Diddams 5., Clement T. Investigation of nonlinear femtosecond pulse propagation with the inclusion of Raman, shock and third-order phase effects // Phys. Rev. A. 1998. Vol. 58, No. 4.

Научное издание

МОЛОТКОВ Иван Анатольевич

АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫВ ТЕОРИИ НЕЛИНЕЙНЫХ ВОЛН

Оригинал-макет: Е.Ю. МорозовОформление переплета: А.Ю. Алехина

ЛР №071930 от 06.07.99. Подписано в печать 28.10.03.

Формат 60x90/16. Бумага офсетная. Печать офсетная.

Усл. печ. л. 13. Уч.-изд. л. 15,1. Тираж 400 экз. Заказ №

Издательская фирма «Физико-математическая литература»МАИК «Наука/Интерпериодика»

117997, Москва, ул. Профсоюзная, 90

E-mail: fizmat@maik.ru

Отпечатано с готовых диапозитивов в ФГУП «Московскаятипография № 6» Министерства РФ по делам печати,телерадиовещания и средств массовых коммуникаций115088 Москва, Ж-88, Южнопортовая ул., 24

1. Рассматриваем квазимонохроматические ионно-акустические волны (ИАВ) в двухкомпонентной плазме с одинаковой плотностью электронов и ионов. Масса электрона те и температура ионов 4 предполагаются пренебрежимо малыми по сравнению с массой иона mi и температурой электронов Те: те《m^, Tg《Т©* В присутствии внешнего магнитного поля В 二 Веж уравнения движения имеют вид (см., например, [32, 115, 156], а также ссылки в этих работах)

nt + div (v — nv) = 0,

vt + (v, ▽) v + ▽夕 + С [еж x v] = 0,(4.1)

△ g =已屮一1 + n*

Е = ^(左(也)?/)2 + ①(и),①(u) = I k(u)p(u)du. (25.4) о

по-прежнему выполнено условие диссипативности

^^ =—管佐(〃)?/『=—2綬旧一①(〃)]< 0(25.5)

при 鏡 > 0. Формула для Ф(〃) дает обобщение потенциала на случай, когда коэффициент диффузии к зависит от и.

Ищем решения, удовлетворяющие граничным условиям

lim и = 〃土.(25.6)

В силу монотонности Е при 鏡，0 периодические по г решения уравнения (25.2) невозможны. Лишь при 曾=0 возможно решение типа

УДК 517.9:534.2f Г Издание осуществлено при поддержке

ББК 22.343:22.32₽ и Российского фонда фундаментальных

М 75J J исследований по проекту 03-02-30007д

Молотков И. А. Аналитические методы в теории нелинейных волн. - М.:①ИЗМАТЛИТ, 2003. - 208 с. - ISBN 5-9221-0471-3.

Монография посвящена разработке и описанию аналитических методов для важного раздела нелинейной физики — теории локализованных волновых процессов. Применение каждого из описываемых методов проиллюстрировано решением конкретных физических проблем. Спектр этих проблем весьма широк. Из них несколько проблем — распространение и самовоздей- ствие мощных волновых пучков в неоднородных средах, распространение интенсивных акустических пучков, ультракоротких импульсов в нелинейных градиентных световодах, волн в средах с внутренней структурой, длинных поверхностных гравитационных волн над жидкостью переменной глубины — освещены более подробно.

Для физиков-теоретиков, занимающихся нелинейными явлениями в радиофизике, акустике, оптике, теории плазмы, геофизике, для специалистов в области математической физики, а также для аспирантов и студентов соответствующих специальностей.

Ил. 21. Библиогр. 187 назв.

ISBN 5-9221-0471-3ISBN 5-9221-0471-3© ФИЗМАТЛИТ, 2003

ISBN 5-9221-0471-3

ISBN 5-9221-0471-3