ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА

Строгие аналитические методы решения краевых задач занимают особое место в математической физике. Хотя они и приложи* мы лишь к сравнительно узкому классу модельных задач, полученные с их помощью решения представляют большую ценность, так как могут служить надежной основой для развития численных или приближенных методов расчета.

Предлагаемая вниманию читателей книга посвящена в основном описанию и обобщению двух широко распространенных аналитических методов решения краевых задач математической фиаж- ки. Один из них ——метод факторизации ——лишь сравнительно недавно стал популярным и успешно используется для нахождения точного решения важных и интересных краевых задач электродинамики, акустики и теории упругих волн. К настоящему времени круг задач, поддающихся решению этим методом в его обычном виде, существенно исчерпан. Второй метод ——метод сшивания (или метод частичных областей), позволяющий получать решение краевых задач для сложных областей, состоящих из простых подобластей,——хотя и широко применяется, по-видимому» не полностью обоснован теоретически. В частности, до последнего времени не существовало ясных рекомендаций относительно численного решения бесконечных систем алгебраических уравнении, к которым приводит формулировка краевой задачи с помощью метода сшивания.

В книге Р. Миттры и С. Ли оба названных метода описаны весьма обстоятельно, причем особое внимание уделено выяснению «точек соприкосновения» этих методов. Особенность изложения состоит в подробном анализе нахождения решения на примере небольшого числа ключевых задач, таких, как задача о волноводном разветвлении или о периодической структуре из параллельных полуплоскостей. Решение одной и той же краевой задачи разным# методами позволяет авторам выяснить их сравнительные достоинства. Большое число поучительных, а иногда и практически интересных задач, иллюстрирующих применения описываемых методов, даны в виде приложения к основному тексту.

Рассмотрение классического функционального уравнения Винера —Хопфа и бесконечных систем алгебраических уравневиЙ,

Предисловие редактора перевода

допускающих построение строгого решения краевой задачи в аналитическом виде, служит основой для обобщения обоих методов. Прикладные задачи электродинамики, которые были решены в оригинальных работах авторов книги посредством развитых ими модифицированных методов вычетов и модифицированного метода Винера ——Хопфа, более реалистичны и интересны. Многие из них рассмотрены в книге. Следует, однако, оговориться, что основная цель, которую преследуют авторы, состоит не в решении конкретных задач, а в изучении и развитии конструктивных методов решения краевых задач электродинамики. Можно надеяться, что многие читатели не только с интересом прочтут книгу, но и найдут в ней материал для самостоятельной творческой работы.

В оригинальной части книги излагаются в основном результаты, принадлежащие авторам. Для того чтобы у читателя не сложилось одностороннего взгляда на предмет исследования и, в частности, на развитие методов, основанных на факторизации, укажем, например, на монографии Л. А. Вайнштейна [8] и Е. И. Нефедова и А. Т. Фиалковского [57]. Эти книги содержат подробную библиографию и отражают некоторые иные возможные пути разработки упомянутых методов.

Г. В. Воскресенский

ПРЕДИСЛОВИЕ

В последнее время наблюдается значительный прогресс в развитии аналитических методов решения краевых задач теории вол* поводов. В этой книге предпринята попытка рассмотреть различные аналитические методы с единой точки зрения. Книга рассчитана на хорошо подготовленного читателя, и мы надеемся, что она окажется полезной научным работникам, специализирующимся в области электродинамики и акустики. При изложении материала основное внимание уделяется развитию принципов различных математических методов, а не решению большого числа частных задач. Поэтому в примерах, иллюстрирующих применение аналитических методов решения краевых задач, рассмотрение зачастую проводится для одной и той же структуры. Такой способ изложения представляется чрезвычайно удобным как для сравнения рассматриваемых методов, так и для сопоставления различных представлений решения, получаемых с их помощью. В книгу включено большое число задач с указанием способа их решения. В этих задачах описываются физические явления, связанные с исследованием неоднородностей в волноводах, излучением и дифракцией, а также с вопросами теории антенных решеток, и каждый раз дается ссылка на первоисточник.

Книга начинается с изложения некоторых предварительных и основополагающих сведений, сосредоточенных в гл. 1. Хотя часть этих сведений можно найти в других источниках, их включение в книгу целесообразно, так как облегчает чтение последующих глав. Следует также подчеркнуть, что часть материала первой главы довольно трудно найти в достаточно удобном виде в других книгах; это, в частности, касается § 3 гл. 1, содержащего изложение условий на ребре, и § 4 гл. 1, посвященного выводу полезных асимптотических соотношений.

В гл. 2 рассматривается метод частичных областей, или метод сшивания, чаще всего используемый при формулировке краевых задач в теории волноводов. В этой главе дан способ точного решения класса задач для волноводов и периодических структур с помощью прямого обращения алгебраической системы уравнений или методом вычетов.

В гл. 2 и 3 рассматриваются задачи, допускающие точное решение; сведения, полученные в этой части книги, очень важны и образуют основу для развития более сложных и эффективных методов,

обсуждаемых в последующих главах. С помощью этих новых методов удается получить приближенное решение для гораздо более широкого класса задач, не разрешимых точно.

Третья глава содержит довольно полное изложение метода Винера ——Хопфа, основанного на использовании преобразования Фурье и теории аналитического продолжения функций комплексною переменного Во многих книгах по электродинамике метод Винера ——Хопфа излагается, как правило, очень кратко или мимоходом, хотя этот метод является мощным средством решения краевых задач для тел специального вида Изложение материала у нас несколько отличается от принятого в монографии Нобла «Метод Винера ——Хопфа», хотя в гл. 3 зачастую используются сведения из этой прекрасной книги. В гл. 3 приводятся также некоторые новые выражения для факторизуемых функций, что, по на* тему мнению, увеличивает область применения метода Винера — Хопфа. Еще одним важным моментом является установление связи между методом Винера ——Хопфа и методом сшивания.

В гл. 4 и 5 рассматриваются обобщения метода сшивания и метода Винера ——Хопфа с целью существенно расширить области их применения. Модифицированный метод вычетов, обсуждению которого посвящена гл. 4, был предложен совсем недавно, но уже неоднократно успешно применялся для анализа задач, связанных с рассмотрением неоднородностей в открытых и замкнутых волноводах, фазированных решеток и других периодических структур Этот метод становится особенно эффективным в сочетании с использовавшем обобщенной матрицы рассеяния, что также обсуждается в гл. 4. Еще один важный раздел гл. 4 посвящен обобщению метода сшивания для анализа краевых задач в открытых областях.

Заключительная, пятая глава посвящена изложеиию обобщенного метода Винера ——Хопфа, пригодного для исследования более широкого класса объектов. В частности, это обобщение может быть ирименено в случае, когда волноводы заполнены неоднородной средой; рассмотрение подобных задач с помощью обычного метода Вмнера — Хопфа ренее не проводилось.

В книгу не включены два широко используемых метода —— вариационный и квазистатический; подробное их изложение нетрудно найти во многих руководствах и справочниках.

В процессе подготовки книги авторы ощущали дружественную иоддержку многих коллег из университета в Иллинойсе. В частности были учтены ценные замечания профессоров Дешампа и Ло и особенно Т. С. Ли. В книгу включено большое число резуль* татов из статей и диссертаций выпускников Иллинойсского уни* верситета. д-ров Пейса, Карьяла, Бэйтса, Ван-Бларикума (мл), Итоха и др. Всем им авторы приносят глубокую благодарность.

Р. Миттра, С. В. Ли Урбана, Иллинойс.

ОСНОВНЫЕ ДОПУЩЕНИЯ И ОБОЗНАЧЕНИЯ

В книге используется система единиц MKS; зависимость* от времени принята в виде 28t (§ 1 2).

Символом 屮(％, z) обычно обозначается составляющая магнитного поля Ну (х, z), а символом ср (力,z)——составляющая электрического поля Еу (力,z) (§ 1.5).

Y = (a2 - 友2户2 = -z (胪一必)1/2, где а = о + м и 论= =自工 ik2 (§ 1.6).

Прямое и обратное преобразования Фурье приняты в в頂^е

4f…含4f…含屮(…)=『屮(…)=『+00

4f…含

4f…含

屮(…)=『

屮(…)=『

j屮(%, z) 63威，

j T (x, a) e-wz da

(§ 3.2).

Постоянная Эйлера С = 0,57721 . . . (§ 1.4).

. Систему ссылок на параграфы и разделы, принятую в книге, поясним следующими примерами:

1.2 означает § 2 главы 1,

разд. 3.6.1 означает раздел 1 § 6 главы 3.

При ссылках внутри главы на параграфы и разделы той же главы ее номер опускается.—Перев.]

ГЛАВА 1

ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ

ВВЕДЕНИЕ

Основная цель настоящей книги состоит в том, чтобы с единой точки зрения рассмотреть ряд аналитических методов, оказавшихся весьма эффективными при решении широкого класса краевых задач для открытых и замкнутых волноводных областей. В качестве предварительного шага в этой「лаве будут введены некоторые основные понятия и соотношения, к которым мы часто будем обращаться в последующем изложении. В § 2, 5, 6 и 7 содержится материал, известный по ряду учебников или монографий по электродинамике, и поэтому эти параграфы служат лишь для краткого напоминания материала. Обсуждение условия на ребре в § 3——4 проводится на основе оригинальных работ авторов; кроме того, изложенный в этих параграфах материал довольно трудно найти в других источниках. Хорошо подготовленный читатель может вначале полностью пропустить эту главу и обращаться к ней лишь в дальнейшем, когда появятся непосредственные ссылки на ее содержание.

УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА

Поведение электромагнитных полей в непрерывных средах, изотропных или анизотропных, однородных или неоднородных, определяется уравнениями Максвелла. В системе единиц MKS уравнения Максвелла в дифференциальной форме имеют вид

ХЕ=—饗，(1.2.1)

XH = M + J,(1.2.2)

▽ ・В = 0,(123)

♦D = p,(1.2.4)

・J=—尊，(1.2.5)

где

Е ——напряженность электрического поля (в вольтах на метр), Н — напряженность магнитного поля (в амперах на метр),

D ——электрическая индукция (в кулонах на квадратный метр), В ——магнитная индукция^ 血〃 плотность магнитного потока (в веберах на квадратный метр),

J — плотность электрического тока (в амперах на квадратный метр),

р ——плотность электрического заряда (в кулонах на кубический метр)

Нужно заметить, что пять приведенных уравнений (1.2.1)— (1.2.5) не являются независимыми Так, например, при подходящем выборе начальных условий можно, вычислив дивергенцию от (1.2.1), получить уравнение (1.2.3). Аналогичным образом, исходя из уравнения (1.2.2) и воспользовавшись соотношением (1.2.5) V подходящими начальными условиями, можно получить уравнение (1.2.4).

Во всей книге мы будем рассматривать лишь гармонически меняющиеся во времени электромагнитные поля и эту зависимость будем выражать множителем ехр (——zco%), где со ——угловая частота в радианах. При этом предположении в уравнениях Максвелла можно заменить производные по времени на коэффициент (— ш) и опустить общий для всех членов сомножитель ехр (―乙①力). В результате уравнения (1.2.1)——(1.2.5) примут вид

хЕ = %соВ,(1.2.6)

ХН=—血D + J,(1.2.7)

♦В = 0,(1.2.8)

♦D = p,(1.2.9)

▽ ・J = z(op.(1.2.10)

Заметим, что жирными^ латинскими буквами обозначены теперь комплексные векторы, зависящие лишь от пространственных координат.

Система уравнений Максвелла (1.2.6)——(1.2.10) не определяет Однозначным образом электромагнитные поля, порождаемые заданными распределениями плотностей тока и заряда. Эту систему необходимо дополнить соотношениями, устанавливающими связь между векторами напряженности полей (Е, Н), векторами индукции (D, В) и плотностью тока J. Эти соотношения определяются Свойствами материальной среды х) и обычно называются матери- алъшими уравнениями. Как правило, все среды подразделяют на две группы: изотропные и анизотропные.

Эти соотношения зависят также от системы отсчета, связанной с мате* риальной средой или с наблюдателем, в том случае, когда одна из систем движется относительно другой.

Изотропные среды. Обычно среду называют изотропной, если ее физические свойства в окрестности любой внутренней точки одинаковы по всем направлениям. Материальные уравнения для большинства изотропных сред записываются в виде

D = еЕ, В =卩 Н,J = оЕ.D = еЕ, В =卩 Н,J = оЕ.(1.2.11)(1.2.11)

D = еЕ, В =卩 Н,J = оЕ.

D = еЕ, В =卩 Н,J = оЕ.

(1.2.11)

(1.2.11)

Если величины 8,卩 и о не зависят от пространственны?: координат, среду называют однородной. Свободное пространство, или вакуум, является изотропной средой, характеризуемой следующими значениями постоянных:

(1.2.12а)(12126)(1.2.12b)(1.2.12а)(12126)(1.2.12b)Е = %* 36лX 10» "/м，

(1.2.12а)

(12126)

(1.2.12b)

(1.2.12а)

(12126)

(1.2.12b)

卩=No = 4л х 10~7 генри/м,ст = 0.

Изотропные среды, отличающиеся от вакуума, принято характеризовать безразмерными отношениями:

% 阿=告，(1.243)

жоторые называют соответственно относительной диэлектрической и магнитной проницаемостями.

Анизотропные среды. В анизотропных средах физические свой- •ства в окрестности некоторой точки различны по разным направлениям. Типичным примером анизотропной среды могут служить кристаллы, намагниченные ферриты и плазма во внешнем статическом магнитном поле. Материальные уравнения в этом случае можно представить в виде

D = еЕ, В = fiH, J = сЕ,(1.2.14)

工即 £, N, и — тензоры второго ранга, или аффиноры. Как правилу мы не будем иметь дело с анизотропными средами, за исключением нескольких примеров; в последнем случае тензоры в, g и а, характеризующие анизотропную среду, будут заданы в явном виде.

При рассмотрении волноводных задач мы обычно имеем деж £о случаем, когда физические свойства среды изменяются скачкем ла одной или нескольких поверхностях. Поведение полей ир類 ка* ▲ними таких поверхностей разрыва определяется граничными условиями, которым должны удовлетворять поля на этих поверхностях* Граничные условия можно вывести, применив уравнения Максво- аа в бесконечно малой области, примыкающей к таким поверхностям. Приведем явные выражения для граничных условий.

На границе материальных сред (разрыв е и |л; см. рис. 1.1). Если проводимости сред в областях 1 и 2 конечны, на границе

должны быть непрерывны касательные составляющие векторов электрического и магнитного полей:

пХ(&2)-Еа)) = 0,(1.2.15а)

nX(IT2)— H(D) = 0,(1.2.156)

где п — единичный вектор, нормальный к границе и направленный из области 1 в область 2.

На идеально проводящей поверхности. Если среда в области 1 на рис. 1.1 идеально проводящая (т. е. ее проводимость о бесконечно велика), то граничные условия имеют вид

iiX^2〉= 0,(1.2.16а)

HX(IF2〉一H(D) = Js,(1.2.166)

где Js ——поверхностная плотность тока.

§ 3. УСЛОВИЕ ИЗЛУЧЕНИЯ И УСЛОВИЕ НА РЕБРЕ

〜В ряде случаев, когда, например, границы рассматриваемой области уходят на бесконечность или когда граничная поверхность имеет геометрически сингулярные точки, можно получить несколько математически корректных решений уравнений Максвелла, среди которых лишь одно верно описывает исследуемое физическое явление. В таких случаях для обеспечения единственности решения оказывается необходимым ввести некоторые дополнительные физические ограничения.

При решении задачи для свободного пространства, когда все источники сосредоточены в конечной области, таким дополнительным ограничением, определяющим поведение полей на бесконечности, является условие излучения, которое можно сформулировать двумя различными способами. Если пространство заполнено поглощающей средой, следует потребовать, чтобы поля стремились к нулю на бесконечности. Для изотропной непоглощающей среды

поведение полей на бесконечности определяется условием излучения Зоммерфелъда, которое можно сформулировать следующим образом. Амплитуда поля на больших расстояниях г от источника должна убывать по крайней мере как г"1, а фаза поля должна быть такой же, как у уходящей на бесконечность волны. Или более точ~ но: любая поперечная (относительно направления г) составляющая 屮 поля должна удовлетворять условию

吧/ (票一砌=0, (1.3.1>

где 乃=з]/pie — постоянная распространения для среды, или волновое число.

Решение уравнений Максвелла не определяется однозначна также и в случае, когда рассматриваемые граничные поверхности имеют геометрические сингулярности, например острые ребра. Дополнительное физическое условие, необходимое для однозначного определения решения, в этом случае известно как условие на ребре. Оно заключается в требовании конечности энергии электромагнитного поля, запасенной в любом конечном объеме в окрестности ребра. Это равносильно требованию

J (e|E|2 + n|H 产)而f 0 (1.3.2) v

при стремлении к нулю объема V в окрестности ребра. Если ребро представляет собой гладкую кривую, то в каждой точке ее можно заменить прямой и ввести локальные цилиндрические координаты на ребре (р, ф, z); элемент объема в интеграле (1.3.2) при этом равен dv = р dp &屮 dz. Как можно показать из условия (1.3.2), в окрестности ребра ни одна составляющая электромагнитного поля (Е, Н) не может возрастать быстрее, чем р~1+т (т > 0) при р -> 0. Строго говоря, для однозначного выбора решения уравнений Максвелла не обязательно априори знать величину т, а достаточно найти лишь положительную нижнюю границу этой величины. Однако во многих случаях полезно определить точное значение т. Сейчас мы покажем, как, основываясь на уравнениях Максвелла, можно вычислить значение т для различных заданных конфигураций острого края поверхности. Метод, которому мы будем здесь следовать, основан на работе Мейкснера [47]. Для задач, решаемых в нашей книге, достаточно показать, как определяется величина т длд двумерного идеально проводящего клина, изображенного на рис. 1.2. Пусть ребро клина окружено тремя секториаль- ными областями, в каждой из которых среда характеризуется проницаемостями (卩工，％),(卩2, е2) и (网，е3) соответственно. Значения углов 屮工,屮2 и 屮з заключены между 0 и 2л. Уравнения Макс-

велла (1.2.6) — (1.2.7) и материальные уравнения (1.2.11) в цилиндрической системе координат (р, ср, z) принимают вид

1 dEz订

р 即dz z3m9，

岑-陰=13 卩(1.3.3)

^斎(P/)7 警一叩瓦，

誓一陪=一侬6%,(1.3.4)

p 即(Р%) 3 即-"3*z・

Основной интерес для нас представляет поле вблизи ребра (р = 0), поэтому все составляющие поля в различных угловых областях

Рис. 1.2. Идеально ^проводящий клин и примыкающие к нему три секториальные области.

можно представить в виде разложений в ряды по степеням р. Напомним, что, как следует из условия на ребре, составляющие поля

не могут возрастать быстрее, чем р~1+т, где т > О. Имея это в виду, можно написать

Ер = р-屮[噌+齊)Р +礎)р2 +・・・】，

£ф = р-1+ЧЬ0)+ ЬО)р + ^)р2+ ・.」，(1.3.5)

Ez = р-^ [с^) + с^р + с^)р2 + ...],

〃р = рт* [風力 + 4?)р + zg)p2 +・・・],

*ф = р - Н[少 Y)+ 3Pp + 3g)p2 +・・.],(1.3.6)

〃z = p- +[階+C?)p+朗 p2+ …],

где индексом у = 1, 2 или 3 отмечено поле в трех областях на рис. 1.2. Коэффициенты в разложениях (1.3.5), (1.3.6) зависят лишь от координат 屮 и z. Подставляя разложения (1.3.5)——(1.3.6) в уравнения Максвелла (1.3.3) — (1.3.4) и приравнивая коэффициенты при равных степенях р, получаем ряд соотношений:

cg)d—l) = O,

(1.3.7а)

齊）项） "3Е用」却…8Z，

(1.3.76)

一心6稣）=学一T國），

(1.3.7b)

0=械）-端，

(1.3.7г)

第(—1) = 0,

(1.3.8а)

(1.3.86)

(1.3.8в)

(1.3.8г)

Соотношения (1.3.7а) и (1.3.8а) справедливы, если т = 1 или eg) == Cg) = 0. В любом из этих случаев касательные составляющие поля Ez и Hz вблизи ребра конечны.

Умножим (1.3.76) на т и продифференцируем соотнот供 ние (1.3.7в) по ф, а (1.3.7г) по z; сложив полученные уравнения, получим (для з 幺 0)

号+ 工噌=0. (1.3.9)

Подставив это соотношение в (1.3.8г), найдем диффереицмаль- ное уравнение для коэффициента @g)：

@屮21 ° “0)- 0・

(1.3.10)

Общее решение для 叫)и moot вид

叫)一卩⑺ sin тер + q^ cos т(р.

(1.3Д1а)

Аналогичным образом можно получить

4g)= р°> sin т(р + Q°)cos тф.

(1.3.116)

Так как т>0, из (1.3.7) и (1.3.8) следует, что bg> = ^ cos т<р — sin тф,

(1.3.12а)

務=Р。)cos т(р—Q ⑦ sin тф,

；(1.3.126)

理)=А [-卷2, sin т(р+•，券 cos xq)J — -^i [P⑦ cos r(p—Q°%in r(p]t (1.3.12b) C?)= ^» [^^ sint<P + ^^ cos t(p] + ^^ [pd> cos тф —'由 sin t叫.

(1.3.12г)

Индекс j принимает значения 1, 2, 3, и, таким образом, формулы (1.3.11) — (1.3.12) дают 18 уравнений для неизвестных коэффициентов {a<»,m力，e®, 4終，8伊，A分，p(% *)，p⑴，Q(力}. Дополнительные 12 уравнений можно получить, «сшивая» поля 登а поверхностях раздела при 屮=0,屮曾 屮暂異 ф3. Следует потребовать обращения в нуль касательных составляющих электрического доля при ф = 0иф =(р3и непрерывности касательных состав*

лающих электрического и магнитного полей при 屮=中工 и 屮=(р2. Полученные при этом 12 уравнений и уравнения (1.3.11)——(1.3.12)

образуют полную систему линейных уравнений для определения 30 неизвестных коэффициентов {戒?), b?), . . .}. Для существования вегривиального решения необходимо, чтобы эта система уравне*

мвй была совместной. После довольно утошЕтельных, но очевидных

вшсладок, состоящих в последовательном исключении неизвестных, fomo иайдево» что система оказывается совместной при выполнение о耳нот。из двух приводимых ниже условий.

Условие А:

〃俨=理=/)=國)=0, 尸 R СО = б

(1.3.1 а> (13136》

1Д0

乙⑴=(1—墨)[sin Тф2 sin T (ф3 - ф.) ^.^^一

—[tgt(%+奇 ctgWi] X

X [cos西2sinT （中3_中2）+ 也也胆2署⑷3一砌].（L343B）

Условие Б:

А^ = В^ = С^ = с^^0, j=l, 2, 3,<1.3.Ш>

旦(т) = 0,(1.34 鋼

где

/⑴=《—年)[cos w cos "д一啕一旦坦承喝T触一a ] -

—(ctgrcpi + ^tg T(Pi) X

X [sin W2cos T (%_屮2)+ 破 c08 叩2噜分_<P2)]・(L3・43)

Относительно этих условий можно заметить следующее.

Характеристическое уравнение (1.3.13в) для т, а зваш*# и представление поля (1.3.5) допускают несколько р^гаенж** Так как нас интересует верхняя граница порядка сингулярнестй поля вблизи ребра, в качестве т следует выбрать наименьшее поло жительное решевие характеристического уравнения. Аналогичное замечание можно сделать и о решерци уравнения (1.3.14в).

При выполнении условия А из формул (1.3.13а), (1.3.5) ж (1.3.6) следует г)

(4315^(4315®(4315^(4315®Н『0(р-+),]忆，Е = О(р)j °

(4315^

(4315®

(4315^

(4315®

工)Здесь и в дальнейшем используются обоз&а^ёаея Око, шекицаесМ#* дуюпщй смысл：%

/ (%) = О (g Q)) И!» 方 f х0, если функция / (%) возрааШ? ве бвхс^еа, чем g (х) при z f 寥@, т. е. т^етз иостоданая 4, такая, во

|〃c)]《4|g⑺「при 工f %о・

f (%) = o(g(k)) при ст а。, если /(ж) рйстет м^^еннее, чем ^^ при а?-> д, т. е.'

Hm "g)/gg)[=0・АХ©

Так как t > 0, видно, что лишь касательные к ребру составляющие магнитного поля (в (1.3.15) они обозначены Н/) могут иметь сингулярность вблизи ребра; остальные составляющие поля регулярны везде. Совершенно аналогично при выполнении условия Б из (3.14а), (3.5) и (3.6) следует

Ez,印= О(р% jEz,印= О(р% j(3.16а)(3.166)(3.16а)(3.166)

Ez,印= О(р% j

Ez,印= О(р% j

(3.16а)

(3.166)

(3.16а)

(3.166)

и, таким образом, в этом случае касательные составляющие электрического поля могут иметь сингулярности вблизи ребра.

. 3. В общем случае при заданной геометрии поверхности поле вблизи ребра представляется суперпозицией полей обоих типов. Верхняя граница порядка сингулярности поля вблизи ребра определяется, очевидно, той доминирующей составляющей, которая имеет сингулярность более высокого порядка.

Изложенное выше можно представить в виде табл. 1.1.

Таблица 1.1

Условия на ребре для структур, изображенных на рис. 1.2

Поле

Группа условий 1)

величина т 2)

А

o(pD

0(рТ+°)

О(Р°)

Уравн. (1.3.13b): ^(т) = 0

Б

0（р一中）

о(рЬ

ON)

Уравн. (1.3.14b): 线⑴=0

1) Для заданной структуры порядок сингулярности поля вблизи ребра определяется тдй группой условий (А или Б), которая приводит к сингулярности более высокого порядка.

2) Величина т совпадает с наименьшим положительным значением корня уравнения (1.3.13в) или (1.3Л4в).

Применим формулы этой таблицы и выпишем условия вблизд ребра для некоторых часто встречающихся структур, изображенных на рис. 1.3. Будем рассматривать лишь диэлектрические среды; решение для случая А легко найти, положив в (1.3.13в) 讪=卩2 =卩犷 При этом получаем

旧=0 9-1+几仲3),Яг, E = O(p”s),旧=0 9-1+几仲3),Яг, E = O(p”s),} Р~>0・} Р~>0・(1.3.17а)(1.3.176)(1.3.17а)(1.3.176)

旧=0 9-1+几仲3),

Яг, E = O(p”s),

旧=0 9-1+几仲3),

Яг, E = O(p”s),

} Р~>0・

} Р~>0・

(1.3.17а)

(1.3.176)

(1.3.17а)

(1.3.176)

('|)<1вним эти решения с полученными для случая Б и выберем среди них доминирующее. Приведем окончательные результаты.

Рис. 1.3. Некоторые часто встречающиеся структуры с ребром.

Для идеально проводящего прямоугольного клина, изображенного на рис. 1.3, а, имеем

Е九 Н» = О(р』)，］(1.3.18а)

瓦=。5叽 j L(1.3.186)

Для изображенной на рис. 1.3, б — 1.3, д идеально проводящей полуплоскости, граничащей с диэлектрическими областями разного вида, получим

局= О(р-Н%(1.3.19а)

Н『О(р-〃2),р->0,(1.3.196)

反，瓦=。(pmm (1/2,(1.3.19b)

гда постоянная т в показателе степени для различных структур определяется следующим образом:

(б)

1

(1.3.20а)

(в)

2 一冗 arcsm[2；；r+4)] ПР"旣>(，

~〈 4]Г 1一81

(1.3.206)

2 3TarCSinL^WJ ПРИ 1>S>°'

(г)

т= я arcsin ( 8г^1 ),

(1.3.20b)

(д)

т=яагс81п[2(е； + 1)2]・

(1.3.20г)

Во всех приведенных случаях значения арксинуса заключены между 0 и л/2.

§ 4・ ФОРМУЛЫ ДЛЯ АСИМПТОТИЧЕСКИХ РАЗЛОЖЕНИЙ

При использовании условий на ребре в большинстве задач, рассматриваемых в последующих главах книги, необходимо исследовать асимптотику некоторых рядов и интегралов. В этом параграфе будут приведены различные формулы, чрезвычайно полезные для установления асимптотйческого поведения функций вблизи ребра.

Нус件 £(z)= S Me-吗 причем z>0, —£VpV0・ Тогда

справедлива оценкаf (z)〜Г (р+1) z-(p+D, z + + 0, где гамма-функция F (叨)о^едадена выражендямвсправедлива оценкаf (z)〜Г (р+1) z-(p+D, z + + 0, где гамма-функция F (叨)о^едадена выражендямвj 严由，Reu?>0, о

справедлива оценка

f (z)〜Г (р+1) z-(p+D, z + + 0, где гамма-функция F (叨)о^едадена выражендямв

справедлива оценка

f (z)〜Г (р+1) z-(p+D, z + + 0, где гамма-функция F (叨)о^едадена выражендямв

Г(ш) =Г(ш) =产 j 产-%*&, Re3>0 и ReA>0, о

Г(ш) =

Г(ш) =

{"及近[(1+*)ё-呐]} Т,n=i

(1.4.1)(£4.2a) (1.4.26) (匸4・2в) (1.4.2г)(1.4.1)(£4.2a) (1.4.26) (匸4・2в) (1.4.2г)^亩4+打《+*)」•n=l

(1.4.1)

(£4.2a) (1.4.26) (匸4・2в) (1.4.2г)

(1.4.1)

(£4.2a) (1.4.26) (匸4・2в) (1.4.2г)

Зд(кь степенная функция 打一工 была представлена в вида < \р [(ш — 1) In 力；С = 0,57721. . . — постоянная Эйлера }

Доказательство. Напомним формулу суммирования Эйлера — Маклорена [13]:

WN^

、gd) = j g(a)da + |>{g(” + g(N)}+j (a —[a]-^)^^da, “(243)

I де g (а) — функция, непрерывно дифференцируемая на имтерва* ле (1, 7V); символ [а] означает целую часть числа а. Воспользова^ шись этой формулой, представим / (z) в виде

f(z)= j ape-zada + ^ e^z + j (a —岡一^) (pa-1 — z) аУе-^ da.

11(1・4・4)

Рассмотрим парзое интегральное слагаемое зтого выраженж

оо8

/1=( aP^-za ^a = 2-04-1) f 力％-*或=

1

= &-S+i)[F(p+”一y(p+1, z)L где V (a, а；) — неполная гамма-функция, определимаяXу (a, %) = j 尸т] &力 Rea>0.При малых х неполную гамма-функцию можно раэложением= &-S+i)[F(p+”一y(p+1, z)L где V (a, а；) — неполная гамма-функция, определимаяXу (a, %) = j 尸т] &力 Rea>0.При малых х неполную гамма-функцию можно раэложением(34咼 интегралов(34咼 интегралов(1.4.6)(1.4.6)представитьпредставитьy3%)=M^y3%)=M^'s4r+…)，'s4r+…)，(1.4.7)(1.4.7)

= &-S+i)[F(p+”一y(p+1, z)L где V (a, а；) — неполная гамма-функция, определимая

X

у (a, %) = j 尸т] &力 Rea>0.

При малых х неполную гамма-функцию можно раэложением

= &-S+i)[F(p+”一y(p+1, z)L где V (a, а；) — неполная гамма-функция, определимая

X

у (a, %) = j 尸т] &力 Rea>0.

При малых х неполную гамма-функцию можно раэложением

(34咼 интегралов

(34咼 интегралов

(1.4.6)

(1.4.6)

представить

представить

y3%)=M^

y3%)=M^

's4r+…)，

's4r+…)，

(1.4.7)

(1.4.7)

Используя выражения (1.4.5) и (1.4.7), получим при малых z

厶〜z-(叶以(р+1)-*・(14冷

г) Можно пргаести также две схцщ晔 асимптотические формулы:

> пр sin пж 〜ciP+')F(p+l)cos (*^), п=®1

ОО

2 пр cos пж 〜£-('+')「(р+4) sin 卜二О

при 工 f 0 к —1 V Р V 0・

При оценке второго интегрального слагаемого в (1.4.4) заметим, что а ——[а]——V2 по абсолютной величине не превосходит 1/2. Отсюда следует, что для второго слагаемого справедлива оценка /2 〜о (1) при z-> +0. Подставляя (1.4.8) в (1.4.4), приходим к выражению (1.4.1), которое и требовалось доказать.

Пусть / (z)〜Azp при z -> +0, причем — 1 V р V 0・ Въедем функцию F+(a) следующим образом:

尸+ (a) = j / (z) ем 办・ '(1.4.9)

о

Тогда справедлива оценка

歹+(a)〜4Г(р + 1)( — 必)-3+D, |a|f оо, Ima>0. (1.4.10)

Этот результат следует из определения гамма-функции (1.4.2).

Пусть 尸(a) = JJ [1 + а/(ам + Ь)] е^ап, где а и Ь—постоян-

Т1==[

нне, причем Rea>0・ Асимптотическое выражение функции 尸(а) имеет вид

尸(а)〜

(Г [(&/а) + 1] / а \ -[(1/2)+(Ь/а)]

X exp {^U-c-m(*)]}，С —8

и —л < Arg a < л,(1.4.11a)

〜T/2I4®q) + 1] sin / ал Ьл\ / а\-t^-Hb/a)] *

Хехр{^[1-O-m(-^)]}'

|а]->оо и а=—|а|.(1.4.116)

Доказателъство. Получим предварительно следующее тождество:

П (1 + f )…吁結^工需粼・(1.4.12) n=l

Перепишем правую часть этого равенства с помощью определения гамма-функции (1.4.2г) в виде

j = e-qa/a)月土柒叱(1+丄)一浓.明空十步.(1.4.13) 0十6 丄丄\ 1 n /q(九+ 1)@+ь\丿

n=l

Так как

N

n e+WI^。；

n=l

можно преобразовать (1.4.13) к

N+l

N

ВИДУ

』9)黑[(N+Ш «+$n=l

N+l

e-c(a/a)Hm exp Nf 8

^ = N + i, (1.4.14)

卜

N+i

{◎；m（N+4）］}H（H

П=1

an-[-b

)е—а/ап.

(1.4.15)

Используя определение постоянной Эйлера

n—iполучим из предыдущего соотношения/=元《+記石)e一吟w=i

(1.4.16)

(1.4.17)

и таким образом равенство (1.4.12) доказано. Напомним формулу Стирлинга [1], дающую асимптотическое разложение гамма-функции:

F(z) ~ Злу/Гт^—а/г), z-> оопри — л < Arg z < л. (1.4.18)

Используя это выражение в (1.4.12), получаем

"吁2^ 偿严…』{ 一/ 口-Cf信)]}.

(1.4.19) совпадающее с требуемой оценкой (1.4.11а).

Заметим, что формула Стирлинга (1.4.18) не справедлива при z =——I z I, т. е. когда аргумент ——отрицательное действительное число. Однако в этом случае можно воспользоваться формулой отражения для гамма-функций:

F(z)I7-z)=-謁祓.(1.4.20)

В результате при а=—|а| из (1.4.12) и (1.4.20) получим

尸(a) = 一ерa/a)Г信+ i讨信+ ^+i)х

Xsin[«(^ + | + l)]r(ljL_l-l). (1.4.21)

Применяя теперь формулу Стирлинга, придем к выражению (1.4.116).

§ 5. ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ВОЛНОВОДЫИ ПЕРИОДИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ

Цилиндрическим волноводом обычно называют проводящую цилиндрическую трубу постоянного поперечного сечения.

Направление распространения волн в волноводе совпадает с осью цилиндра z・ Каждый раз, когда это не оговорено особо, будем считать, что среда, заполняющая волновод, изотропна.

Поскольку исчерпывающее обсуждение свойств з^линдричесмих волноводов можно найти во многих учебниках х), мы ограни* шмся лишь перечислением некоторых основных свойств волн в таких волноводах.

Произвольное поле в цилиндрическом волноводе всегда можно представить в виде суперпозиции поперечно-электрических (Г硝 и поперечно-магнитных (7М) волн, которые образуют полную Систему.

Компоненты электромагнитного поля волн заданного типа (ТЕ или ГМ), для которых зависимость от продольной координаты принята 石 виде ехр (土 ？z), могут быть выражшы через электрический векторный потенциал F или магнитный векторный аотевх^зал А по следужмцим формулам.

Г£-волны (или Я-волны):

f = @n九产国=±?产％叫

Hz= -e^^,(1.5.1)

E± = ± Zaz x Н»,

晶=0,

где 仆一единичный вектор в направледвм осм z н Z =叩/勿—- Шюхедавс рассматриваемой поперечйо-электрической волны.

ТЛГ-волны (или Е-волны):

А = а2Пве±7г,

&= -е土*▽¥!©,(1.5.2)

Hf =干 У & х Е$,

区=0,

Г№ У = ®8/iy — адмитанс волны поперечно-магнитного типа. Одним из важйых свойств собственных волн цилиндрического вол-

Т) См., например, [33].

Рис. 1.4. Простейшие волноводы: (@) прямоугольный волвовод;(6亍 плоский волиовод; (е) круглый волцовод.Рис. 1.4. Простейшие волноводы: (@) прямоугольный волвовод;(6亍 плоский волиовод; (е) круглый волцовод.

Рис. 1.4. Простейшие волноводы: (@) прямоугольный волвовод;

(6亍 плоский волиовод; (е) круглый волцовод.

Рис. 1.4. Простейшие волноводы: (@) прямоугольный волвовод;

(6亍 плоский волиовод; (е) круглый волцовод.

§ 5. «гм”部api^teejetu емко蹴沧修 祖 пер顾ичем昵 с吋y>g過у©*

повода является их ортогональность. Обозначим через Пп и 口足 потенциалы собственных волн типа ТЕ или ТМ^ характеризуемых

индексами пит соответственно. Свойство ортогональности состоит в том, что

IInnmds = 0, т^п, (1.5.3)

где интеграл берется по поперечному сечению S волновода. Соотно- шейие (1.5.3) позволяет упростить выражение для произвольного ноля в цилиндрическом волноводе.

Приведем явные выражения полей собственных типов волн для некоторых типичных волноводов.

Прямоугольный волновод (рис. 1.4, а).

Для ТЕтп-волн:欢

n^n = cos 匿 z) eos (券 у) e^vmn2,(1.5Л)

г» — ^^тпиг i *U^m

"—8 口募nrr _上*口統

歹一8z ，y 一葩勿dz，

国=0,反,=*(备+胪)$；

ДЛЯ ТЛГщп-ВОЛН：

(1.0)

尸—》^^тпгт — ^-тп

= dydz »дх~ ?

где Ym九=[(тпл/а)2 + (тш/Ь)?—兴卩/纟 и " = з/睜=2л/Х. Значение квадратного корня в постоянной распространения утп определяется здесь и в дальнейшем следующим образом:

=f +/普"(譬)」2 "РИ (?T+(筝)A胪，匿)2-纬)2 ПРИ匿)4傍

(1.5.6)

При таком выборе ветви корня удовлетворяются условия излучения (§ 3).

Плоский волновод (рис. 1.4, 6), Для этой простой структуры боле。удобно не вводить векторные потенциалы, а непосредственно использовать связь между составляющими поля. Можно написать для 7£тО-волн!

^ = ф = sin (嘗 ％) e±YmZ,

Н^Ц^«57)

l%=4rM

ДЛЯ ZAfтпо-ВОЛН：

Ну = ^ = COS (嘗 с) е土YmZ,

4 =為變屮，(158)

где Ym = [(тп/а)2 ——胪尸⑵

Выше, в случае 7笈-волн через ср обозначена величина Eyt а через 屮 в случае 7М-волн ——величина Н?, что позволяет нам опустить индекс у у величин Еу и Ну.

Такое обозначение оказывается особенно удобным, в частности, при рассмотрении метода Винера ——Хопфа в гл. 3, где эти величины будут обозначаться как Ф+ и Т^.

Круглый волновод (рис. 1.4, 6)・

Д.ИЯ ТЕтпгВОЛН：

綜т*现=*，晶=。，綜т*现=*，晶=。，(1.5.9)(1.5.9)%=厶(学)｛黑誤｝冉F

綜т*现=*，晶=。，

綜т*现=*，晶=。，

(1.5.9)

(1.5.9)

где Jm (x) — функция Бесселя тп-го порядка, ymn = [ (^2^)?——步]1% , E/n ——几-近 нуль функции dJm (x)/dx\

для ТМтп-волп:

u" = &（咿）僵:爲｝由呼

%7%7尹咻@p dz尹咻@p dz3託將y （爲+叫%3託將y （爲+叫%

%7

%7

尹咻@p dz

尹咻@p dz

3託將y （爲+叫%

3託將y （爲+叫%

(1.5.10)(1.5.10)

(1.5.10)

(1.5.10)

ТТ 1 8口爲 ТГ — ^тn ГТ _ n

где Ymn =[(号)2-加2]1/2, gm九—八一й нуль фунКЦИИ Jm(x).

Помимо различных волноводов, упомянутых выше, мы будем часто обсуждать системы другого типа, а именно периодические структуры. Обычно поля в периодической структуре выражаются через волны Флоке, которые определяются следующим образом. Рассмотрим периодическую вдоль оси z структуру с периодом d, равным длине одной ячейки структуры. Волна Флоке в такой структуре удовлетворяет соотношению

F 8 小 6 = F (伤弘 0)義叫 (1.5Д1а)

где функция F (修 弘 0) характеризует зависимость поля от попе* речных координат в плоскости z = 0, а ро — параметр, определяемый из решения краевой задачи для структуры. В общем случае сгграведливо представление

F Q, у, z) = Fo (瑞弘 z)評吟 (1.5.116)

где Fo (n, у, z) — периодическая no z функция

Fq (瑞弘 nd 4- z) = Fq (ж, y, z), n = 0, ±1, ±2,・・・，

(1.5.12)

которую можно разложить в ряд Фурье

瓦)(％, %z)= § 九 Q,g)ei(2M/d)z. (1.5.13) 九=_8

Подставляя (1.5.13) в (1.5.116), получим

F (优，勿 z) = 2 % 3, У)夕В吟'(1.5.14)

где

阮= Во +号.(1.5.15)

Таким образом, поле, описываемое выражением (1.5.14), представляется в виде суперпозиции бесконечного числа бегущих волн, которые обычно называются пространственными гармоникашг. Волновое число n-й гармоники ——рп, вообще говоря, может быть комплексным даже при отсутствии потерь в структуре. Важно подчеркнуть, что каждая пространственная гармоника является лишь фурье^сеставляющей поля собственной волны и не может существовать независимо; поэтому следует не путать эти гармоники е обсуждавшимися ранее собственными типами волн в цилиндрите- скмх волноводах.

§ 6・ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ПОЛЕЙ В ОТКРЫТОЙ ОБЛАСТИ

Как отмечалось r предыдущем параграфе, решения уравнений ВЙ^оедда, оцределяювд1е эдектромагнжтное поде в цилиндрических веляоаодах с цавере^щым сетещем коверного размера, мож-* 恥 предо豊твмть в вяде разложения по собственным войнам волйо-* b^l・ Для этвх волн характерен дискретный спектр собственных 魏awoK#, число которых неогранжченно велико. С ростом сечения 时值овода расстояние ме毋ду соседаими збст/вннымм значениями ушевьшается. В предельном случае неограниченной области спектр ©ветвенных значеций становится непрерывным; при этом представ* лежне для поля в виде ряда по нормальным собственным волнам принимает вид интеграла Фурье. В настоящем параграфе мы крат* ко Осудим некоторые свойства этого интегрального представления.

Так как в дальнейшем будут обсуждаться краевые задачи лишь для двумерных структур, мы ограничимся здесь рассмотрением 1теграла Фурье для представления полей, однородных, напри* мер, по у. Пусть функция 屮(％, z)——одна из составляющих элек* тромагнитного поля в декартовой системе координат; она удовлетворяет двумерному волновому уравнению

(負+ 翡 +胪)**，z) = 0・(1-6.1>

Решение уравнения (1.6.1) в области 忆 >0：моясно представите в виде

十8

(р«, z)=击 J ①(а) е-зетк^а,啰 >0,(1.6.2|

где Ф (а) — функция а, a

Y = (а? — 兴户工(163>

I (епосредственной подстановкой можно проверить, что функция (Р (力，z), определенная согласно (1.6.2), действительно удовлетворяет волновому уравнению (1.6.1). В области % V 0 можно напи* (ать аналогичное выражение для решения, но мн его не будем щесь приводить. При заданном а функцию ехр (— iaz — 丫方), описывающую зависимость от пространственных координат, можно рассматривать как двумерную плоскую волну. Функция Ф (а) имеет смысл спектральной амплитуды плоской волны с составляющими волнового вектора a к Zy соответственно по осям 5 м х Следует подчеркнуть, что, поскольку в представлении (1.6.2) a меняется от —оо до 4 оо, в разложении содержатся как однородные (у ——мнхщое), так и неоднородные (у ——действительное) плоские волны.

Заметим также, что » определенное выражением (1,6.3). является двузйачной функцией переменной а. Поэтому необходимо выбрать ветвь функции у так, чтобы представление (1.6.3) определяло решение единственным образом. Этот выбор достигается^ наложением условий излучения (см. § 3), которые выделяют уходя* щие и приходящее волны при больших р =(炉 + 纟?)】/?. Так как функция Ф (а) в (1.6.2) может быть произвольной, мы требуем, чтобы условие излучения выполнялось для каждой плоской волны непрерывного спектра. В частности, мы требуем, чтобы

Re >0,(1.6.4а)

Im y С 0.(1.6.46)

"тобы выделить ветвь функции у, удовлетворяющую этим двум I ребованиям, следует провести более детальное рассмотрение <i па литических свойств у.

Функция y = (а2 —友ер% имеет точки ветвления при а = 士 左. 11 редположим, что среда обладает небольшими потерями, т. е, 厶="i + ik^ где 力1 it А? — положительные действительные имела, причем 自》к2. Предельному случаю среды без потерь сооотег* (I вует J f 0・ Для однозначного определения у можно рассматривать комплексную плоскость a = о + 石當 Как двулиегму» поверхность^ листы которой соединяются по берегам разр^ов* На каждом лжете функция у однозначно определ^а как фуиц]^#

переменной а. При непрерывном изменении а величина у меняется непрерывно, за исключением тех случаев, когда пересекается разрез на комплексной плоскости а; при этом скачком изменяется знак Т・ Выбор разрезов на комплексной плоскости а в значительной степени произволен, однако в конкретных задачах удачный выбор разреза позволяет существенно упростить решение. Обсуждаемый ниже выбор разрезов обеспечивает удовлетворение наложенных

Рис. 1.5. Области в комплексной плоскости а, ограниченные кривыми Re v2=0 и Im y2 = 0.

на у условий (1.6.4) и, кроме того, оказывается удобным для решения всех задач, рассматриваемых в этой книге. Поэтому в дальнейшем мы будем пользоваться только этим способом выбора разрезов.

Проведем разрезы для функции у на комплексной плоскости а так, чтобы на одном из листов римановой поверхности, скажем на верхнем, выполнялось условие Re у > 0, а на нижнем листе было бы Re у V 0. Чтобы эти неравенства выполнялись, следует склеивать листы римановой поверхности вдоль кривой, заданной уравнением Re у = 0, которое и определяет требуемые линии ветвления. Попытаемся провести эти разрезы на комплексной плоскости а. Для этого запшпем величину у? в виде

犬=[(炉一书—(居一磅]+ 2i (от + 网%2).(1.6.5)

Разделим плоскость а на области кривыми, на которых либо Re у2 = 0, либо Imy2 = 0, как показано на рис. 1.5. В областях.

.uulu рпхованных горизонтальными линиями, выполняется условие Н('У"0, а в областях с вертикальйой штриховкой 1ту2>0.

I И* ьнптрихованные области отвечают условиям Re у2Vo и Im у2 V О

Для выполнения условия Rey>0 на верхнем листе римано- нои поверхности необходимо, чтобы на этом листе выполнялось

Рис. 1.6. Разрезы для функции 丫 =(必一М'рЗРис. 1.6. Разрезы для функции 丫 =(必一М'рЗ

Рис. 1.6. Разрезы для функции 丫 =(必一М'рЗ

Рис. 1.6. Разрезы для функции 丫 =(必一М'рЗ

Таблица 2・2Значения функции у в областях,изображенных на рис. 1.6Таблица 2・2Значения функции у в областях,изображенных на рис. 1.6Re уIm уВерхний十и +лист—Нижний—лист□ +Re уIm уВерхний十и +лист—Нижний—лист□ +

Таблица 2・2

Значения функции у в областях,изображенных на рис. 1.6

Таблица 2・2

Значения функции у в областях,изображенных на рис. 1.6

Re у

Im у

Верхний

十

и +

лист

—

Нижний

—

лист

□ +

Re у

Im у

Верхний

十

и +

лист

—

Нижний

—

лист

□ +

неравенство | Arg у2 1V 冗・ Отсюда в свою очередь следует, что нужно выбирать разрез по линии, определяемой уравнением Arg 丫2 =冗 или эквивалентными уравнениями Re у2 V 6 и Im 丫合=

=0. В результате мы однозначным образом определили положение разрезов, изображенных на рис. 1.6 извилис- гыми линиями. Распределение знаков действительной и мнимой частей функции у на двулистной римановой поверхности приведено в табл. 1.2; при этом области, отмеченные штриховкой, соответствуют заштрихованным областям на

рис. 1.6.

Выбрав разрезы описанным выше способом, обратимся к разложению по плоским волнам (1.6.2) и исследуем, выполняются ли условия излучения (1.6.4) для каждой из волн. Если считать, что путь интегрирования по а от —оо до +оо в (1.6.2) проходит вдоль действительной оси на верхнем листе комплексной плоскости а.

、0367

то условия излучения выполняются для любого а на пути интегрирования и интегральное представление полностью определено.

Верхний лист определенной выше римановой поверхности мы иногда будем называть «подходящим листом» в связи с тем, что положительным значениям Re у на этом листе отвечают затухающие на бесконечности волны в разложении (1.6.2). На нижнем листе римановой поверхности Re у < 0 и условия излучения не выполняются; этот лист ——«неподходящий». Заметим, что, выбрав контур интегрирования в разложении (1.6.2), как описано выше, мы можем в соответствии с теорией аналитических функций деформировать его произвольным образом на двулистной римановой поверхности.

§ 7. МЕТОД ПЕРЕВАЛА

При рассмотрении краевых задач для открытых областей решение зачастую выражается интегралом типа (1.6.2), где функция Ф (а) известна. За исключением немногих частных случаев, интеграл по а при этом точно не вычисляется. Однако поле в дальней

Рис. 1.7. Полярные координаты.

зоне, которое, как правило, и представляет наибольший интерес в задачах для открытых областей, можно выразить в более простом виде, если применить для приближенного вычисления интеграла асимптотический метод перевала. В настоящем параграфе будет дано краткое описание этого метода.

Рассмотрим интеграл (1.6.2), который перепишем в виде

+8

屮(р,( Ф (a) e-p(ia sin 0+vcosO)da, I о I < л/2.(1.7.1)

у2л J

Здесь введены полярные координаты (рис. 1.7)

况=р cos 0, z = р sin 0.况=р cos 0, z = р sin 0.(1.7.2)(1.7.2)

况=р cos 0, z = р sin 0.

况=р cos 0, z = р sin 0.

(1.7.2)

(1.7.2)

Получим основной член разложения функции 屮(р, 0), определенной интегралом (1.7.1), при fcp -> оо.

Предположим, что заданная аналитическая функция Ф (а) не имеет особенностей на двулистной поверхности, за исключением точек ветвления функции у = (а2 — А^)1". Произведем замену переменных согласно соотношению

а = к sin w = к sin (〃 + Zu);(1.7.3)

обратное преобразование при этом имеет вид

w = arcsin (а/")・(1.7.4а)

Заметим, что арксинус ——многозначная функция. Для того чтобы обеспечить однозначное соответствие отображения комплексной

а6

Рис. 1.8. Два листа римановой поверхности в комплекснойплоскости а: (а) верхний лист (Re у > 0); (6) нижний лист(Re 丫 < 0).

(1.7.46)(1.7.46)плоскости а на плоскость w、перепишем обратное преобразование в виде

(1.7.46)

(1.7.46)

и будем понимать под In z главную ветвь логарифмической функ- ции

In z = In I z I + ^ Arg z,—冗 V A喏 z V 冗・(1.7.5)

Рассмотрим более подробно отображение комплексной плос* кости а на плоскость w. Во избежание осложнений будем рассматривать случай среды с бесконечно малыми потерями, считая &2 f ~> +0. На рис. 1.8 изображены два листа римановой поверхности

функции у, причем восемь пронумерованных областей разделяются вырожденными гиперболами: ит = ^2, к2 -> +0. Соответствующие области на плоскости w нетрудно получить с помощью соотношения (1.7.46). В качестве примера рассмотрим бесконечно

удаленную точку на отрицательной действительной оси в области 3 на плоскости а. Соответствующее значение у оказывается равным

у = lim [(— 161 i I т |)2 — /『/2 =

= Hm[1o|(T 磊)+ "川，(1・7・6)

где знак квадратного корня определяется согласно условию, указанному на рис. 1.8. Подставляя это значение в (1.7.46), находим

^=^Him[ln(^^)] = _flim[ln(^_f|)] = _J + ^

(1.7.7)

Можно заметить, что соответствующая точка из области 7 (нижний лист римановой поверхности) получается изменением знака у в выражении (1.7.6) д переходит в точку w =——(л/2)——ioo комплексной плоскости w. Аналогично можно показать, что двулистная поверхность Римана отображается на плоскость w так, как это показано на рис. 1.9. Можно еще отметить, что на плоскости

ш области 6 и 8 не имеют общей границы, хотя на плоскости а у них есть общая точка а = 0. Объясняется это наличием логарифмической точки ветвления при z = 0 у функции In z, осуществляю* щей отображение (1.7.46).

Вернемся теперь к интегралу (1.7.1). Путь интегрирования, отвечающий действительной оси на плоскости а, обозначен буквой Р и изображен на рис. 1.9. На всем пути Р

、=V(к sin w)2 — ]^ = — ik cos w. (1.7.8) Подставляя (1.7.8) и (1.7.3) в (1.7.1), получаем

(р(р, 6)=击 j [к cos ip Ф (fc sin w?)] eh^(w)dw,(1.7.9a)

где

g (tp) = i cos ® + 6).(1.7.96)

J выражение (1.7.9) удобно для применения метода перевала.

Суть этого метода состоит в деформации контура Р, по которому берется интеграл (1.7.9а), в новый контур Р8 на комплексной плоскости I) w^ который выбирается так, чтобы на нем Im g (ш) ос- швалась постоянной, a Re g (ip) достигала максимума в некоторой j очке 2) w8 и монотонно убывала при удалении от шв. Точка 9. лазывается седловой точкой или точкой перевала и определяется уравнением

g'(%)=黑二"(丄7"0)

11 ри А:р -> oo основной вклад в интеграл (1.7.9) по новому контуру /\ вносит лишь малая окрестность точки wsz) вследствие экспо- шч|циального убывания подинтегрального выражения, что обу- (ловлено множителем exp [ip Reg(ip)]. Это свойство подинтеграль- пою выражения в (1.7.9) дает возможность найти явный вид для приближенного значения рассматриваемого интеграла.

Начнем с определения контура Р$. В частном случае, когда (Ьупкция g (ip) задана формулой (1.7.96), имеются следующие сед- н()вме точки: ws = пп — 0, 〃 = 0, ±1, 士2, . . . . Рассмотрим седловую точку ws = —0; при этом g (w^ = 0 + L Проведен- иы(' через w8 контуры интегрирования, на которых g (ш) постоянна, определяются уравнением

Im g (笫)=cos (u + 0) ch р = 1.(1.7.11)

I) Деформация контура проводится, конечно, в соответствии с теорией функций комплексного переменного.

』)На контуре Р8 может быть несколько точек з$・

9 При наличии нескольких седловых точек вдоль контура Ps приблвжем* нов .нтчение интеграла определяется суммой вкладов по окрестностям этих тонок

Эти контуры SDP и SAP изображены на рис. 1.10. Для произвольной точки wQ ( у： 1г$) контура SDP действительная часть Re g (ip) монотонно убывает при удалении от седловой точки, и, следовательно, этот контур является линией наибыстрейшего спуска '). Для любой точки w0 (扌 wj контура SAP справедливо неравенство Reg (力())>Re g (zrs) = 0, и, таким образом, SAP представляет собой линию наибыстрейшего возрастания. Очевидно, что

Рис. 1.10. Линия наибыстрейшего спуска в комплексной плоскости ш.

контур Р в интеграле (1.7.9) следует деформировать в контур SDP (ранее названный А), и, таким образом, основной вклад в интеграл определяется малой окрестностью АР$ седловой точки ws = =—0. Важно отметить, что деформация контура Р в контур Ps

Аналитическая функция g (”) должна обладать следующими свойствами.

На контуре Р§, определенном условием Im g (ip) = const, Re g (w) строго монотонна между соседними седловыми точками. При наличии на Ps лишь одной седловой точки Re g (w) монотонна везде.

Среди всех контуров, проходящих через заданную точку м?0, независимо от того, является ли она седловой точкой или нет, лишь те, на которых выполняется условие Im g (”) = const, являются линиями наибыстрейшего изменения Re g (w).

Для произвольной точки wQl отличной от седловой точки, имеется лишь один контур, определенный условиями Im g (w) = Im g (”()) = const.

проводится в предположении равенства нулю вклада в интеграл от лежащих на бесконечности отрезков АВ и CD. В справедливости последнего нетрудно убедиться, так как оба отрезка АВ и CD целиком лежат на верхнем листе римановой поверхности а, где подинтегральное выражение (1.7.9) экспоненциально убывает. Интеграл (1.7.9) по новому контуру Ps можно аппроксимировать выражением

р, 6)〜盡 j [к cos 1рФ (к sin w)} екрё^ dw^ "р-> 8. (1.7.12)

Так как функция Ф (" sin w) регулярна на контуре 尸$ и в его окрестности, можно воспользоваться следующей приближенной оценкой, справедливой в пределах малого отрезка ДР8:

论 cos w Ф (к sin w) ^ к cos 8①(一论 sin 0), w С ДР8. (1.7.13)

Функцию g (必)также можно аппроксимировать первыми тремя членами разложения в ряд Тейлора в седловой точке:

g 侬)=g (д) + g，(ws) (w — ws) + j Г (%) (ip —必)2 =

i + 0 + ^(-i)W + 6)z, 1Р6ДЛ,(1.7.14)

причем второй член ряда равен нулю в силу условия стационарности (1.7.10). Подстановка (1.7.13) и (1.7.14) в (1.7.12) дает

Ф (р, 0)〜-^\кcos0Ф ( — "sin8)]声р j еТ(М/2)(第+е)2dlp. (1.7.15)

Используем замену переменной wf = w -\- Q. Заметим, что контур Р§ проходит под углом Зл/4 к оси 〃 в верхней полуплоскости (г > 0) и под углом —— л/4 в нижней полуплоскости (рис. 1.10). Отсюда следует

[|zz/|e诏冗/4,и)‘ £NPs и и>0,

wf^\P8 и UV0, (1・7・16)

и, таким образом,

屮(Р，°)〜吏他 cos 8①(一论 cos 0)J e"M-5/4)】x

г

X2"p — 8,(1.7.17)

о

где Г ——малое расстояние от точки ws до любого из краев отрезка APS. Воспользовавшись следующей асимптотической оценкой

итеграла вероятности:

ггоое№)期叫 d I 山=/爵 erf(/fr)^/g,如 _ oo,е№)期叫 d I 山=/爵 erf(/fr)^/g,如 _ oo,

г

г

о

о

е№)期叫 d I 山=/爵 erf(/fr)^/g,如 _ oo,

е№)期叫 d I 山=/爵 erf(/fr)^/g,如 _ oo,

(1.7.18)

получим окончательный результат при | 61V 冗/2

Ф (р, 9)〜j/"^^e2SP—5/4)][A:cose<I>( — %sin8)b 4pf оо.

(1.7.19)

Как следует из этого выражения, пола в дальней зоне имеет вид цилиндрической волны с угловым распределением

(1.7.20)(1.7.20)Р (В) = к cos 0 Ф (—论 sin 0),

(1.7.20)

(1.7.20)

которое отличается от амплитуды плоской волны, распространяющейся в направлении, определяемом углом 0, в спектральном разложении (1.7.1) лишь множителем 归 cos 0.

Обратим внимание на выражение (1.7.19). Оно определяет главный член асимптотического разложения интеграла (1.7.1) в том случае, когда единственными особенностями подинтегральной функции Ф (а) являются точки ветвления корня у =(必—fc2)V2. В ряде краевых задач электродинамики амплитудное распределение плоских волн Ф (а) может иметь и другие особенности, например полюсы на комплексной плоскости а. В случае когда эти полюсы расположены достаточно далеко от седловой точки ”8 = 6 или а$ =—— 乃 sin 0, асимптотическое выражение (1.7.19) по-прежнему остается верным; при этом если в процессе деформации контура 尸 в контур Рв пересекаются некоторые из полюсов, в окончат тельном значении интеграла необходимо учитывать вклад от вычетов в этих полюсах. Если же хотя бы один из полюсов располо- же? вблизи седловой точки, приближенное выражение (1.7.13) теряет силу и поэтому простая асимптотическая формула (1.7.19} должна быть модифицирована. Описание более точного рассмотрения, которое следует проводить в этом случае, можно найти, например, в [33] или в [24].

ГЛАВА 2

МЕТОД СШИВАНИЯ

ВВЕДЕНИЕ

В этой главе мы обсудим метод частичных областей, или метод сшивания, наиболее распространенный при формулировке краевых задач. Этот метод удобно использовать для исследования структур сложного вида, распадающихся на две (или более) простые смежные области, для каждой из которых можно получить решение с помощью разделения переменных. Первый шаг при решении задачи методом сшивания состоит в представлении неизвестных полей в каждой из частичных областей в виде разложения по собственным функциям соответствующей области ').

Так как явный функциональный вид для взаимно ортогональных собственных функций известен, задача сводится к определению системы коэффициентов (или амплитуд) при собственных функциях в разложениях поля в каждой из частичных областей. Для полного решения задачи необходимо потребовать выполнения условий непрерывности полей на общих границах частичных областей. Это требование и использование свойств ортогональности собственных функции приводит обычно к бесконечной системе линейных алгебраических уравнений для неизвестных амплитуд собственных волн. Найти точное решение бесконечной системы уравнений в общем случае невозможно, и обычно ограничиваются получением приближенного решения с помощью методов редукции или последовательных приближений. Существует, однако, целый класс краевых задач, для которых получающиеся бесконечные системы уравнений допускают точное решение. В этой главе на основе метода сшивания будет рассмотрена формулировка задач и последующее решение результирующей системы уравнений именно для такого класса задач. В дальнейшем в гл. 4 будут рассмотрены некоторые приближенные методы, пригодные для задач, которые не могут быть решены точно.

Здесь мн ограничимся рассмотрением лишь случая, когда система собственных функций характеризуется дискретным спектром Обобщевив на случай непрерывного спектра собственных значений будет проведено в гд. 4.

РАЗВЕТВЛЕННЫЙ ВОЛНОВОД I.①ОРМУЛИРОВКА ЗАДАЧИ

Рассмотрение задач, допускающих точно е решение, начнем с задачи о рассеянии поля в плоском волноводе идеально проводящей бесконечно тонкой полуплоскостью, параллельной стенкам волновода （рис. 2.1）. Предположим, что из области Л

Область А|Область С

Рис. 2.1. Плоский разветвленный волновод.Рис. 2.1. Плоский разветвленный волновод.а 1

Рис. 2.1. Плоский разветвленный волновод.

Рис. 2.1. Плоский разветвленный волновод.

у力Область В

ладает собственная волна типа ТЕ\,『 Отличные от нуля составляющие электромагнитного поля падающей волны имеют вид

破）=屮⑴=sin （誉）e-丫好，（2.2.1a）

（2-2.16）

昆"=盡品⑴，（2.2.1B）

где %а =[（冗/а）? — "2]“2,乃=3 /pie. Задача состоит в определении рассеянного поля во всех областях А, В л С.

Поскольку рассматриваемая структура однородна в направлении у, рассеянное поле состоит лишь из волн типа ТЕ. Так же как и для падающего поля, определяемого формулами （2.2.1）, все составляющие рассеянного поля можно выразить через составляющую Еу = ср, причем функция 屮 удовлетворяет волновому уравнению'

（架+鳥+/）中：（%，z） = 0（2.2.2）

и следующим граничным условиям: ■

.屮 удовлетворяет условию излучения при | z | -> оо.

.屮=0 при 力=0, а для всех z;屮=0 при % = b, z > 0.

. Касательная составляющая полного электрического поля <pd> =（р（г> 十 屮 и касательная составляющая полного магнитного поля, пропорциональная величине+ 瞪, должны

быть непрерывны в плоскости z = 0・

.屮 должна удовлетворять условию на остром ребре при х = b, z = 0 (см. (1.3.19)):1

屮〜Р“2…碧，需〜рТ2 при р = [(% —b)2 + z2『/2f о. (2.2.3)

Условия 1 и 2 будут выполняться, если представить 屮 в каждой из областей А, В и С в виде разложения по собственным волнам, уходящим от плоскости z = 0. Мы имеем, таким образом, следующие разложения:

при z V。(область Л)

(р= 2 ^n sin (~- ^)㈠九"；(2.2.4)

n=l

при 0V%VA z>0 (область В)

屮=2 Bnsin^^ х^ e~^bz\(2.2.5)

n=i

при bV%V〃，z>0 (область C)

(p= £ Cnsin [粤(％-b)] ef cz,(2.2.6)

n^i

где {丫па}, {?nb} и {ync} — продольные волновые числа, или постоянные распространения собственных волн соответственно в областях А, В и С, определяемые формулой

Ynd = [(%n/d)2 — "2尸询 d = a, b или с.

Как уже упоминалось в § 1.5, знак квадратного корня в постоянных распространения выбирается так, чтобы при действительном "результирующее у было отрицательным мнимым числом для свободно распространяющихся волн или положительным действительным числом для запредельных волн. (Напомним, что во всей книге множитель, выражающий зависимость от времени, принят в виде e~i<dt.)

Наложение условия 3, т. е. сшивание различных разложений для поля при z = 0, приводит к следующим соотношениям:

при 0 V % V b

sin 居％) + 2 4 sin (个力)=2 反 sin (胃 ％) , (2.2.7a) п— 1n=1

ОООО

匕 a sin 佇 ％) —Е 47na sin (号％) = 2 Bnynb sin (嚳 ％), (2.2.76) n=in=l

при bV%Va

sE 信％) + 2 4sin(*%) = E &sin ^(х — Ъ)^ ,1n= 1

(2.2.8a)

Yla sin (~ ^) — 2 Лп?па Sin (-^ ^) = 2 °炉次Yla sin (~ ^) — 2 Лп?па Sin (-^ ^) = 2 °炉次sinsin(?d)).(?d)).

Yla sin (~ ^) — 2 Лп?па Sin (-^ ^) = 2 °炉次

Yla sin (~ ^) — 2 Лп?па Sin (-^ ^) = 2 °炉次

sin

sin

(?d)).

(?d)).

(2.2.86)

Воспользовавшись ортогональностью собственных функций (см. § 1.5), можно из (2.2.7) — (2.2.8) получить систему уравнений, содержащую лишь коэффициенты {Лп}. Для этого умножим уравнения (2.2.7) на sin (тп!Ъ) х и проинтегрируем по % от 0 до Ь. В результате получим

sin (л/а) Ь 脅а一嚼ibsin (л/а) Ь 脅а一嚼ibn=in=i4n din (пл/а) bУ^а—УтЬ4n din (пл/а) bУ^а—УтЬ(一w2 2m: "m(一w2 2m: "m(2.2.9a)(2.2.9a)

sin (л/а) Ь 脅а一嚼ib

sin (л/а) Ь 脅а一嚼ib

n=i

n=i

4n din (пл/а) bУ^а—УтЬ

4n din (пл/а) bУ^а—УтЬ

(一w2 2m: "m

(一w2 2m: "m

(2.2.9a)

(2.2.9a)

sin(n/a)& p An sin (пл/а) &(-分也2

n=[

При выводе полученных ранее уравнений предполагалось, что для Любых тип величина (тш/а)^ не равна (тпл/b)2, т. е. отношение Ъ/а выражается иррациональным числом. Однако уравнения (2.2.9) и последующие остаются справедливыми и в этом предельном случае.

Аналогично, умножив (2.2.8) на sin [иш (啰一b)/c] и произведя интегрирование от а до Ь, получим

黑畔 g(2.2.10а)

n^i

sin (л/а)& 三Лп sin (nn/a)b_(一皿2

(22106) n=l

Последний этап в выводе системы уравнений для коэффициентов {Лп} состоит в исключении из (2.2.9)—(2.2.10) коэффициентов {J} и &}・

< )кончательно получаем

X ―— = —,(2.2.11а)

」Упа — УтЬЪа + УтЬ9''

П=1

пг = 1, 2, 3,,

2 ^；4 = #'(22U6)

п=1

где An = Ап sin (ппЫа), 2v = sin (лЬ/а). Заметим, что система уравнений (2.2.11а) получена сшиванием полей на граничной поверхности z = 0, Ov%Vb, а система (2.2.116) — сшиванием на дополнительной поверхности z = 0, b 之化 V а. В результате система (2.2.11) представляет собой парную бесконечную систему уравнений, которые следует решать совместно. Приведем еще полезные соотношения, выражающие неизвестные амплитуды собственных волн {Вт}, {Ст} через коэффициенты {Лп}, отличные от (2.2.9) —— (2.2.10). Эти соотношения можно получить, умножая (2.2.9а) на утЪ и складывая полученное уравнение с (2.2.96); аналогичную операцию следует проделать с уравнениями (2.2.10). В результате получим

5n =(^严加(—£2 —4?-) ,(2.2.12a)

匕2yme Xyia — УтЬ ^ Упа + УтЪ)*''

тп = 1, 2, 3,・・・•

肅=亡部更(亠£ —&—) ,(2.2.126)

с^Утс 'Via — Ymc々 Yna —

n=d

Системы уравнений (2.2.11) и соотношения (2.2.12) весьма удобны для решения методом вычетов, который будет подробно обсуждаться в § 2.4.

Исходя из (2.2.7)——(2.2.8), можно получить систему для коэффициентов {方九} и {Cn}f сходную по характеру с уравнениями (2.2.11); эта новая система оказывается удобной для нахождения решения методом прямого обращения. Чтобы получить такую систему уравнений, нужно умножить (2.2.7) и (2.2.8) на sin (тпх/а) и провести интегрирование по всем х (0《力 & а). В результате получим

或"*心 n=l或"*心 n=l京珠+ 4) =

或"*心 n=l

或"*心 n=l

(2.2.13)(2.2.13)(—l)n+l(7l：TC/b)Bn Y (nn/c) Cn 1

(2.2.13)

(2.2.13)

УпЪ — Ута Г 厶 Y% —佩a」，

多 Yma (珠 一 Am)=

=sin (小)[$ Ynb(t图于)% + 2 7碇,

(2.2.14) где

m 一 [ 0 при m = О

—символ Кронекера. Исключая из (2.2.13) — (2.2.14) коэффициенты Ат, получаем требуемую систему уравнений относительно

{Вп} И {&}:

^ УпЬ — УтаУпс — Ута sm (лЬ/а)加，，，，,

П—i71=1

(2.2.15) где

笈=(一1产’3/b)斗 и С^(пп/с) Сп.

Суммируя полученные до сих пор результаты, можно сказатьг что метод сшивания приводит к трем различным бесконечным системам алгебраических уравнений: (2.2.11), (2.2.12) и (2.2.15). В дальнейшем мы рассмотрим два пути решения этих уравнений. Будет показано, что для решения одной из этих систем уравнений наиболее подходящим оказывается метод прямого обращения, а в другом случае более удобно использовать метод вычетов.

Прежде чем перейти к описанию решения полученной бесконечной системы уравнений, сделаем небольшое отступление. Обратим внимание на то, что до сих пор мы использовали лишь первые три условия, входящие в формулировку граничной задачи, а условие 4 (определяемое соотношениями (2.2.3)), связанное с поведением поля вблизи острого ребра, пока не учитывалось. Могло бы показаться, что это последнее излишне. Однако, как мы вскоре убедимся, это условие необходимо при получении единственного решения бесконечных систем уравнений. Мы увидим, что системы уравнений (2.2.11), (2.2.12) и (2.2.15) допускают произвольное число решений, каждое из которых математически корректно. Однако лишь одно из этих решений удовлетворяет условию 4 и является, таким образом, истинным решением рассматриваемой физической задачи.

Покажем, что условие (2.2.3) на ребре определяет асимптотическое поведение коэффициентов {Лп}, {Вп} и {Сп} при больших

п. Запишем выражения для составляющих рассеянного магнитного поля в области Л:

(2・2」6а>

П=1

丄^A i^x\eynaZ (2.2.166) z 侬卩 dx zcop, а п \ а I/

п=1

Заметим, что упа =。(п) при п -> оо, и предположим, что Ап = =О (几т) при п -> оо, причем постоянную т требуется определить» Полагая в (2.2.16) х = b, z ——0, получаем

碧 и 察= О(/ф)), 一 + O,(2.2.17а)

где

fe (z) - 3 M+%f|zi.(2.2.176)

n=l

Воспользовавшись оценкой (1.4.1), найдем 九(z) = О (| z 尸―〉 при I z I -> +0. В соответствии с условием (2.2.3) на ребре получим

у —|-(2 2.18)

и, следовательно,

Ап = 0 (宀2),оо.(1.2.19а)

Аналогично можно показать, что

Вп, Сп= О 仇т/2),几 _> оо.(2.2.196)

Соотношения (2.2.19) определяют асимптотическое поведение амплитуд собственных волн структуры, установленное с помощью условия на ребре. В следующем параграфе мы получим решение для неизвестных коэффициентов {/九}, {笈九} и {Сп}, удовлетворяющее этим соотношениям.

РАЗВЕТВЛЕННЫЙ ВОЛНОВОД II. РЕШЕНИЕ МЕТОДОМПРЯМОГО ОБРАЩЕНИЯ

Прежде всего мы получим решение задачи о разветвленном волноводе методом прямого обращения матрицы системы [49]; при этом будут использованы системы уравнений (2.2.11) и (2.2.15).

Обратимся сначала к парным бесконечным системам уравнений (2.2.11) относительно коэффициентов {Лп}. Решение проведем в два этапа. Вначале произведем редукцию бесконечной системы так, чтобы редуцированная система содержала Р уравнений (2.2.11а) и Q уравнений (2.2.116). Редуцированную систему уравнений решим с помощью правила Крамера. И наконец, перейдем к пределу при Р -> оо, Q -> оо таким образом, чтобы выполнялись соотношения (2.2.19).

РЕШЕНИЕ РЕДУЦИРОВАННОЙ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ

Редуцированная система уравнений (2.2.11) имеет вид

N

£ —-—4 = ——, p = l, 2, 3,・・・，P, (2.3.1a) n=l

N

2 y~二”哈 4 = y у ，0 = 1, 2, 3,・・.，Q， (2.3.16) J rnaria 十-

где N = P + Q^ а относительные величины Р и Q пока произвольны. Систему линейных уравнений (2.3.1) можно представить в матричной форме

НА = В,(2.3.2)

где Л = [Л*, 4；, . . ., 4*]т — неизвестный TV-мерный вектор (индекс Т означает транспонирование), В ——заданный вектор, определяемый правыми частями уравнений (2.3.1), Н ——квадратная матрица порядка N 乂 N, связывающая А нВ согласно уравнениям (2.3.1).

Классический метод решения матричных уравнений типа (2.3.2) состоит в применении правила Крамера, согласно которому п-й элемент 厶入 вектора Л определяется отношением А(П)/А, где Д — определитель матрицы Я, Д(П)——определитель, полученный из Д заменой n-го столбца на В. Для получения полной системы коэффициентов {Лп} нужно повторить процесс вычисления ^ раз. Рассматриваемый метод не очень удобен для численного обращения матричного уравнения. Однако, как будет показано далее, специальный вид элементов Н, А н В позволяет с помощью правила Крамера получить решение для {Ап} в замкнутой форме.

Ключом к решению уравнения (2.3.2) служит то обстоятельство,

определителя приводится ниже:

1

1

Via —Tib

1

'Y2a-Y化

1

Уза —У lb ' •

4

YNa—丫仍

Ym — Y2b '

Y2a - 丫26 '

Y3a~~ 丫2b '…

• ' YNa —Y2b

д =

]

]

4

(2.3.3)

Tia— YPb '

Y2a一 YPb'

Y3a— YPb '…

lNa-УРЪ

]

4

4

•

%a-Ylc '

丫2a — Tic '

Y3a — Yle ' * *

YNa—Yle

4

4

]

4

Ym — Yqc '

Y2a - YQc '

Y3a-YQc' •

・・'YNa—YQc

Каждый элемент определителя выражается частным от деления единицы на разность двух величин, например упа и урЬ или 丫@,・ Одна из этих величин упа изменяется при движении вдоль строк, а 丫卩6 и уде изменяются вдоль столбцов. Очевидно, что при yna т -> ута (п 耍 т) определитель А имеет нуль первого порядка. Кроме того, знаменатель определителя Д должен содержать множители (уп(1 ——Ypb) и (упа ——丫“) Для различных комбинаций индексов. Основываясь на этих соображениях, можно получить следующее полное выражение определителя:

N N-1 р Р-1

А = ( —1)” Ц Ц(Хпа — Ута) Ц Ц (丫曲一丫$匕)X n=m+l m=ia=8+l e=l

Q-lP Q

XX(2.3.4)(2.3.4)[I (Yqc-Yrc) [J П(Ypb-Yqc)

X

X

(2.3.4)

(2.3.4)

N PN Q

П П ^na~ Ъь) П П (F-Yqc)n=l p=ln=lq=l

где индекс v, равный нулю или единице, зависит от значений Р и Q и пока не определен. Вообще говоря, нет необходимости уточнять значение v, так как вычисляются не величины определителей, а лишь отношения Д(т)/А. При этом общие постоянные множителя, входящие в определители, сокращаются. Находя решение системы (2.3.2) по правилу Крамера, с учетом частного вида правой части (2.3.1) получаем

一 ~~sin (mnb/a) A ，

где символом А (ута ->—у1а) обозначено значение определителя Д, в котором ута заменено на — у1а.

Формулы (2.3.4)——(2.3.5) определяют искомое решение для {/加}・ Сокращая общие множители в числителе и знаменателе, окончательно получаем

РQN

吗鼻 n 丫卽二丫少忆 行 Yqc二了侬 Y九a +?% (2.3.6) Sin (mnb/a) u Ypb + %a U Yqc 十 Yla " Упа~Ута/

p=lq=ln=l

где индекс (m) в последнем произведении означает, что опущен множитель с п = т. Выражение (2.3.6) определяет точное решение редуцированной системы уравнений (2.3.1) относительно коэффициентов Ат.

РЕШЕНИЕ БЕСКОНЕЧНОЙ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ

Следующий этап решения, как отмечалось раньше, заключается в осуществлении предельного перехода при Р -> оо, Q-> оо. Прежде чем перейти к пределу в (2.3.6), необходимо совершить некоторые преобразования. Связано это с тем, что произведения, входящие в (2.3.6), расходятся при устремлении верхнего предела к бесконечности. Для того чтобы обойти эту трудность, заметим, что произведение вида

JJ (1!£_ j e+(wb/pn)

сходится равномерно при Р -> оо (см. задачу 2.1). С помощью тождественных преобразований представим (2.3.6) в виде

小 sin (тлЬ/а) P L \ Л1十 Y価/Y面

Q

Xexp[+R(Yma + "a)] И ^2霏倉"[十 ^ (^ 十也)]X

xn<m，^£fcexp[-^(Vmo + Tla)], n=l

где

NР

Q

(2.3.7а)

%=〃 3 }_匕 2

п=1р=1

с У

q=l

(2.3.76)

Теперь можно найти предельные значения сомножителей в (2.3.7а) при неограниченном возрастании 尸,Q и TV. Во-первых, найдем

предельное значение %, определяемого согласно (2.3.76) • Используя тождественное преобразование, можно написать

lim % = limР-»- ООPfOOQf ооQf ооlim % = limР-»- ООPfOOQf ооQf ооп=1р=1п=1р=1

lim % = lim

Р-»- ООPfOO

Qf ооQf оо

lim % = lim

Р-»- ООPfOO

Qf ооQf оо

п=1р=1

п=1р=1

Q、

(2.3.8)(2.3.8)—с(2 Т—】nQ)] + Hm f〃InN —匕InР — с 1口Ql・

(2.3.8)

(2.3.8)

Вспомнив определение постоянной Эйлера

С= lim ( > ~=0,57721(2.3.9)

М-ОО ', 7n/

7П=1

мы убеждаемся, что предел первого слагаемого, заключенного в квадратные скобки в (2.3.8), равен нулю. В результате имеем

Hm% = lim [bln (1十书)+cln (1十与)].(2.3.10) Q-> OOQf 8

Видно, что предельное значение % определяется пределом отношения P/Q при неограниченном росте Р и Q. Другими словами, бесконечная система уравнений (2.2.11) обладает относительной сходимостью, т. е. при неограниченном увеличении порядка редуцированной матрицы решение сходится к различным системам коэффициентов {Ап} при различных значениях отношения P/Q. Такое поведение решения бесконечной системы уравнений (2.2.11) не является совершенно неожиданным, так как можно было ожидать, что выбор единственного решения возможен лишь при наложении условия на ребре.

Покажем теперь, как с помощью условия на ребре определить единственным образом предельное значение отношения P/Q.

Перепишем выражение (2.3.7а) для Ат в виде

4=-盜需ехр (皿宀)EmFGmt (2.3.11)

где множители Ет, F к G^ определены следующим образом:

рQ

斤 =УТ К — Yma/YpX [4 + "а/(ЯУЬ)1 ТТ К — Y/na/Yqc] [£ + Yla/SWc)】 m —丄丄[1—Тта/(РЛ/Ь)] [1 + Yia/Ypb]丄丄 R —丫巾。/(9冗％)][1 + Ys/Yqc]" 0=1q=l

NХПNХП(向[4 + Ys/丫九а][1 — Yma/5Jt/Q)](向[4 + Ys/丫九а][1 — Yma/5Jt/Q)]n=?ln=?l[1 + Yla/(^/a)] [1 -Ута/Упа]'[1 + Yla/(^/a)] [1 -Ута/Упа]'(2.3.12)(2.3.12)

N

ХП

N

ХП

(向[4 + Ys/丫九а][1 — Yma/5Jt/Q)]

(向[4 + Ys/丫九а][1 — Yma/5Jt/Q)]

n=?l

n=?l

[1 + Yla/(^/a)] [1 -Ута/Упа]'

[1 + Yla/(^/a)] [1 -Ута/Упа]'

(2.3.12)

(2.3.12)

П (4 + "Y词/〃冗)l"

尸=N口5,(2.3.13)

II(4+*/р 冗)П a+叩価例…一叫

pQ

[I —丫小加冗/叫 П ^—Ьута/рл) ^rnalpn Ц (i~cyma/qn) e^qn к —0=1q=l

57n = -—" •

口十Ym/(响/明n d一*小冗)户ma/m

(2.3.14)

Для того чтобы воспользоваться условием на ребре в виде (2.2.19), следует сначала установить асимптотику коэффициентов {Лт} при больших т. Заметим, что Ет стремится к постоянной при неограниченном возрастании Р п Q для любого фиксированного m (см. задачу 2.1). Множитель F при Р -> оо, 。一> оо можно выразить через гамма-функции (см. (1.4.2в)):

(2.3.15)(2.3.15)p ^ ье Yja r (卸伍/冗)F (“m/冗)一~ * "л" .r ("y山冗)

(2.3.15)

(2.3.15)

и, таким образом, его предельное значение тоже константа. Остается рассмотреть множитель Gm. Воспользовавшись оценками (1.4.11), нетрудно убедиться, что асимптотическое значение Gm определяется соотношением

{訳怵就力…)小)х

X exp { 一簣[bln (|)+cln 传Н }, /и-> оо. (2.3.16)

Так как 丫小。~ (mJt/@) |1 —у [к/(тл/а)^ при т-> оо, асимптотика заключенного в скобки первого множителя в выражении (2.3.16) имеет вид О(тп-3/2), или

GmT^E^sin^Jsin^jexpf-^-[Ып (|) + + cln (£)]}$ т->8. (2.3*17)

Для асимптотики коэффициентов {4皿}冠(2.3.11), (2.3.12), (2.3.15) и (2.3.17) получаем

am = О ⑺一8/沁旧啦).ТП f 8f(2.3.18)

«де

厂阴回（累灯+ст （峰器力（,3.i9） Qf 8

Если потребовать, чтобы найденное решение (2.3.18) удовлетворяло условию на ребре, определенному согласно (2.2.17а), то отношение P/Q должно быть выбрано единственным образом:

(2.3.20)

Qf8

Воспользовавшись этим результатом, можно теперь вычислить предел выражения (2.3.7а) при Р->оои(?->оои получить окончательное решение для Ат9 удовлетворяющее всем граничнык условиям, сформулированным в § 2:

4=一毋髓eхр(加抖{[)m(e+cm 信)]V})x

v ТТ 1 —Yma/Ynb (b/nrt)(vma+vlo) 口 ‘一 Yma/Ync 夕®加)(丫柿+丫加 v * 丄丄1 十 Ym/Ynb丄丄 Rys/YrcX

n=ln=l

X n<W>e^aln^a^^ 2, 3,. (2.3.21)

1一Ута/Упа

Мы определили амплитуды собственных волн для рассеянного поля лишь в области Л. Бесконечная система уравнений относительно коэффициентов {笈九}, {Сп} определяется согласно (2.2.15); для удобства чтения напомним ее здесь:

УрЬ-Ута % 十 Z Yqc-Yma sin (mnb/c)薪， 0=1g^l

тп = 1, 2, 3,.(2.3.22)

Прежде всего обратим внимание на то, что левая часть этого уравнения при фиксированном т представляется суммой двух бесконечных рядов; индекс суммирования в одном из них —— р, а в другом — g. При решении системы уравнений методом прямого обращения и в этом случае следует провести редукцию системы, положив, например, верхний предел в сумме с индексом р равным Р, а во второй сумме ——Q. Затем нужно перейти к пределу прн Р -> оо, Q-> оо・ Предел решения оказывается зависящим от выбора величины отношения P/Q. Исходя из условия на ребре, вновь получаем единственное правильное значение lim P/Q = ~ . Реше

Р f 8, Q f ООС

ние системы (2.3.22) проводится во многом аналогично рассмот-

ренному выше решению уравнений (2.2.11). Поэтому, не вдаваясь в подробности, мы предоставляем читателю самостоятельно полупить решение в качестве упражнения (задача 2.2). Приведем лишь окончательный результат:

諾時%xp {3…)(涧} X

X exp [2 (у "а)《_；)] X

х ТТ 丄—Ymb/Yna Р(Ymb_Y[а)а你冗(丄"-Yla/Ymb) (2 —丫亿/Ymc) 乂

丄丄 1 —Yla/Ymz2-Ymb/Ymc

n=2

(4 —Yia/丫而(J Yla/Ync)(匕。-Vmb)a/^

(4 —Ymb/Ynb) (4—Ym&/?nc)'

n=l

m = l, 2, 3,・・・，(2.3.23a)

Cm = ^^exp {y@n 偿)+cln 佇)]} X

Xexp [^-(Vmc-Tia) (i-4-)jx

* TT l - Ymc/Yna /(ymС-"。)a/"冗(4-Yla/Ymb)(4-Yla/Ymc) *

丄丄 ‘一Yl"Yna4 — Утс/УтЬ

n=2

(m> 仕—Ym/Ynb) (4 — Yla/Ync) р(Т1а-Ттс)а/пл

丄丄(4 — Ymc/Ynb)(4 — Утс/Упс)'

n=l

7П=1, 2, 3,・・・・(2.3.236)

РАЗВЕТВЛЕННЫЙ ВОЛНОВОД III.

АНАЛИЗ РЕШЕНИЯ

Полезно с помощью полученного решения (2.3.21), (2.3.23) найти выражения для электромагнитного поля в разветвленном волноводе. При этом ограничимся лишь исследованием коэффициентов {%т}，так как {方т} и {Ст} анализируются сходным образом. Напомним, что вывод системы уравнений (2.2.9) был проведен в предположении иррациональности Ыа. Однако окончательный результат сохраняет общность и силу при любом значении Ъ/а, если только удается вычислить необходимые пределы. Сейчас мы приведем типичный пример такого предельного процесса.

Пусть Ыа = q/p, где р и g ——целые положительные числа. Очевидно, множитель sin (mnbla) в выражении (2.3.21) для Ат обращается в нуль, если р кратно т. Для определенности рассмот-

рим случай т = р. В этом случае можно переписать выражение для Ар в виде

AР = аР [/(卩lb/* - 3b户 - /(强)2 -(依汩 X

[~1/(р:п；с/а)2—(左。)2 —q)2 冗2 —(屁)2]4

sin (pnb/a)*< • •'

где Ар регулярно при Ыа = q/p. Переходя к пределу при Ь/а-> -> q/p, вычислим значение коэффициента при Ар по правилу Ло- питаля; предел этого множителя оказывается равным нулю. Таким образом, в рассматриваемом случае Ар тождественно равно нулю.

Еще одним аспектом при исследовании/ полученного решения является численная оценка коэффициентов<по выражениям (2.3.21) и (2.3.23). При выполнении вычислений бесконечные произведения, очевидно, должны быть заменены конечными. Поэтому интересно оценить ошибку, обусловленную редукцией. Для того чтобы это сделать, рассмотрим типичное для нашей задачи конечное произведение

PN= П)护»(2.4.2)

亠亠\УпЬ /

п=1

Определим относительную ошибку, обусловленную такой редукцией, с помощью соотношения

П (l-^)^]-!!，(2.4.3) n=^4-l

При больших N это выражение упрощается, если пренебречь членами, по порядку величины меньшими, чем。@blNQ и。(kb/Nn):

8jv^|{ П [1-(蕾)[}-"产愕I 2 备•(244) n=^4■ln=N+l

Входящую в выражение сумму можно оценить мажорантой

3专vj』d%=$・ n=^4-lN3专vj』d%=$・ n=^4-lN(2.4.5)(2.4.5)

3专vj』d%=$・ n=^4-lN

3专vj』d%=$・ n=^4-lN

(2.4.5)

(2.4.5)

В результате получаем, что ошибка е^ редукции бесконечного произведения (2.4.2) не превосходит величины | аЫп | 2^, если только I аЬ/冗 I 2/N《1.⑪ качестве примера возьмем | ab/п | = =0,5. Тогда е^ меньше 1% при N = 25. Таким образом, для не очень больших значений | ab | бесконечные произведения в вы-

ражении (2.3.21) для {4^} можно быстро и точно вычислить с помощью ЭВМ. Однако при больших значениях | ab | эти вычисления требуют большого количества машинного времени. В последнем случае более удобно преобразовать бесконечное произведение в быстро сходящийся интеграл. Детально такое преобразование будет рассмотрено в § 3.11.

Обычно в электродинамике СВЧ размеры а волновода выбираются таким образом, чтобы лишь один основной тип волны ТЕ工,0 распространялся без затухания, а все собственные волны высшего порядка в области Л затухали. Сейчас мы получим удобные замкнутые выражения для коэффициентов отражения и прохождения для случая, когда в разветвленном волноводе может распространяться лишь основная волна. При этом будут рассмотрены два возможных случая, определенных ниже.

Все типы волн 8 областях В и С затухающие. Для падающей волны единичной амплитуды коэффициент отражения R (отнесенный к плоскости z = 0) совпадает с /^ Согласно (2.3.21), после ряда упрощений можно переписать R в виде

a = eхp(2,{尹中[-”信)-絆⑴h

+ & (吃；2。)+&(3； g。)-

—丛(粤3； 1, 0)}), (2.4.6)

где функции Sn (u; v, 0) x) представляют собой ряд

Sn 3；匕 0)=』arcsin [p^ — 勺.(2.4.7)

n—N”

Как видно из (2.4.6), | Д | = 1, т. е. плоскость z = 0 является полностью отражающей; этого следовало ожидать, исходя из предположения об отсутствии распространяющихся волн в областях В л С. Разветвление волновода приводит в этом случае просто к фазовому сдвигу, равному Arg R в (2.4.6).

В области В может распространяться волна ГЕ，0, а в области С все волны затухающие, В этом случае коэффициент отражения основной волны ТЕ”, 0 в области Л равен

К = Ж±хp 传{一呼[^П 信)+тП(%] + + arctg (Jl^L) } ) ехр {2f [52 (-^^； 4，°) + 、+S2(『；％0)—S2(屮；1,0)]}・ (2.4.8)

Т) Таблицу функций SN Q； v, 0) можно найти в [46].

Коэффициент прохождения основной волны в область Д, onpm деляемый значением В*, имеет вид

7 — 而（一丄）I YIqI Wlbl （4 —I Yla 1/1 Y，bJ） / 丄+ 丨 YlaF/Y% \ 1/2

в —л sin Wb/a）\ 1 + 1 Tib |2/vb /

乂 4 + lYib|2/Y〃 l + |Ym|2/y 孔（+ | 丫紀俨/嘘『/2

X l丄丄4 +1 Yi#/脸I 4+I Y仍|2/Y蓊4 +1 Y仍口/Y説丿 人

n=2

Xexp （i {_b^lhd_01n 伐）+ cln 偿）］+

+ 2Г咽（峭a^g （喀）+

+ 2 Orctg （嘰IJ-arctg （嘿L）+arctg （曉L） 一

n=2

—arctg （墻）+arctg （樓）—arctg （嘿）］}）.⑵4.9）

Выражение для модуля Т в, определяемого этой формулой, может быть значительно упрощено. Для этого используем равенство

Р=（ПЩ^）1/2-{П^^}1/2（2-4.10） п=2п=2

и известное разложение

普=元（1一*）・（2.4.11а）

п=1

В результате получим

р=市（2.4.116）

у I （ал/Ь）［1 —（а/Ь）2］ J'丿

Преобразуя аналогичным образом второе бесконечное произведение в （2.4.9）, окончательно получаем

\ТВ\ = 1/~г .（2.4.12）

I у b 1 + 1 т1Ь|/| yia\''

С помощью выражений （2.4.8） и （2.4.12） легко убедиться, что ］ R | и I Г в I удовлетворяют соотношению

1"『 + ^ 鴇■4F = L（2.4.13）

Напомним, что мощность, отраженная в область Л, равш 〃 I Yia 1 1 & |2/2（opi, а мощность, прошедшая в область В, равна

Ь \у1Ъ \\ Тв |2/2(др,. Соотношение (2.4.13) выражает, таким образом, закон сохранения энергии.

Сделаем еще одно замечание относительно выражений (2.3.21) я (2.3.23). Если скомбинировать три бесконечных произведения, входящих, например, в (2.3.21), и опустить экспоненциальные множители, выражение для Ат упрощается:

4一黯黑eхр {足抖回[^) +cln传)]} X

14~ Yla/Ymb 4+Yla/Ymc

乂 「(丄一Yma/Ynb) d-Yzna/Ync) d+Yla/Yna) ]/9 Z л zч

x 丄丄 L4T+Wy^HM^J *；

n=l

Следует подчеркнуть, что последний множитель в (2.4.14), заключенный в скобки, следует всегда учитывать в целом, его нельзя разложить на отдельные сомножители, как например,

/ (ГП) l+?ma/Ynb \ / 鼻m 7na/ync \4 + y1a/Yna \ /9 д л

{U 1 + Yh/Y泌丿{ 114 + Yh/Ync )l-yma/yna) •

n=ln=ln=l

Как мы уже указывали ранее, отдельные бесконечные произведения в (2.4.15) расходятся, тогда как выражение (2.4.14) сходящееся.

РАЗВЕТВЛЕННЫЙ ВОЛНОВОД IV.РЕШЕНИЕ МЕТОДОМ ВЫЧЕТОВ

В этом параграфе будет рассмотрен совершенно иной метод решения бесконечной системы уравнений, описывающих задачу о разветвленном волноводе. Рассматриваемый метод основан на ис- лользовании теории функций комплексного переменного, причем решение системы уравнений производится посредством вычисления вычетов./

Ключевым моментом метода вычетов [3, 66] является сведение интеграла по контуру в комплексной плоскости от мероморфной') функции / (w) к сумме вычетов. Свойства функции / (ip) определяются, конечно, расположением ее нулей и полюсов, выбранных так, чтобы ряды вычетов совпадали с системой уравнений, которую мы хотим решить. В ходе решения оказывается возможным отождествить неизвестные в системе уравнений с вычетами функции / (ip) и тем самым выделить искомое решение. Детали описанной процедуры решения [71] бесконечной системы уравнений (2.2.11) будут изложены в дальнейшем. Для удобства воспроизведем здесь иссле-

Мероморфная функция есть отношение двух целых функций.

дуемую систему уравнений一

厶 Упа — У mb П Yla + Ymb 、

I储 1, 2, 3

厶 Yna — YmcVia 4~ Ymc '

n=l

Рассмотрим интегралы

и(2.5.1)

2л1 J w—Ymb23TL j w—утс'*

где контур С есть окружность бесконечно большого радиуса в плоскости комплексного переменного w, проходимая в направлении против часовой стрелки. Пусть функция / (w) удовлетворяет следующим четырем условиям:

/ (it) — аналитическая функция переменного w во всех точках, кроме полюсов первого порядка при w= yna (〃= 1, 2, 3,...) и 2 = — Yia・

/ 3 имеет прсотые нули в точках w — у7nb и w = ymc (m = 1, 2, 3,...).

Вычет функции / (ip) в точке ip = — 丫^，обозначаемый символом Res / (—ha)，равен А' = sin (nb/a)・

Поведение функции / (ip) на бесконечности имеет алгебраический характер. Более точно, f (w) = О (加用％)при | ip | -> оо.

В силу условия 4 подинтегральное выражение в (2.5.1) на контуре интегрирования имеет порядок малости О (ip-s/2). Выражая интегралы в виде сумм вычетов в полюсах функции / (ip) и приравнивая результаты нулю, получим

2 -V^Res/<^)^^(252а)

П=1

2 号宀〃…号L=°(2.5.26)

для т = 1, 2, 3, • • •； здесь было учтено, что, согласно условию 3, Res / (—ha) = 4'・

Сопоставляя (2.5.2) и (2.2.11), убеждаемся, что

Ап sin (ппЫсь) = Res / (丫几)(2.5.3)

Таким образом, если удастся построить функцию / (ip), неизвестные {Лп} будут без труда определены. Тем самым построение функции / (w) является ключевым моментом метода вычетов.

Четыре условия, сформулированные выше, определяют функцию / (w) единственным образом. Условия 1 и 2, определяющие расположение нулей и полюсов функции / (w), будут выполняться, если функцию представить в общем виде

n "哂百产/心fl (1Пе)产

"耽I 二 % ⑨)曰,(2.5.4)

(1 + ^/Yla) П С 必/Yna)評耽"

n=l

где /0 (w) — целая функция переменного w. Обратим внимание, что для обеспечения сходимости бесконечных произведений в них введены экспоненциальные множители (см. § 3). Из двух оставшихся условий 3 и 4 можно определить целую функцию /0 (ip), входящую в выражение (2.5.4). Для того чтобы это сделать, перепишем / (ip) в виде

[J (i-wblnn)^blnn fj (4-“с/7Ш)产加几

f^) = t WHo W) ^^-^,(2.5.5)

(( + “/Yia) [J (i — wa/пя) ^a^

где

П (1—哂nb)M/g П CiYnc)产/М [J (l — WQ/M)評a/w (⑹=^^^-，.

Ц (1 一也ТШ)МЕ fj (i-WCln^)^^ Ц (4一哂na)产/7m Tl^ln=in=l

Функция С (w) ограничена при | ip | f оо (см. задачу 2.1). Асимптотику бесконечных произведений, входящих в (2.5.5), можно оценить с помощью формулы (1.4.11). В результате при | zr | f оо получаем

t^)-W /о(^) У 詰金' exp「_ ^L in 传)一赛 In (?)],

если w^L\w\y (2.5.6a)

Xexp[ —^ln(^)—胃In (.)], если w = \w\. (2.5.66)

Так как, согласно условию^ 4, / ⑻=。(笫一®%)ПрИ | 必[> g, это соотношение будет выполнено, если доложить

% 3) j ехр 廿 m 信)+ *т (2)]・(2.5.7)

Постоянная h в этом выражении может быть определена из условия 3. В итоге получаем

/㈣= Т^ехр {卓［Мп (1)+СШ (f)］} X

Y ТТ 4—必/Ynb /w+vla)b/n« ту l—w/Ync p(w+vla)c/nrt 乂

Х i + lla/УпЬ丄丄 i + Wa/YncX

Л=1л==1

оо

X П 4土吗怖а ” 0-3+2吗(2.5.8) i — w/yna''

п=1

Воспользовавшись этим выражением, нетрудно найти искомое решение для коэффициентов {Лп} с помощью соотношения (2.5.3). Полученное решение совпадает с решением, определяемым согласно (2.3.21), и, таким образом, два совершенно разных подхода приводят к тождественным результатам.

Здесь уместно вновь обратиться к четырем условиям, определяющим функцию / (w), и рассмотреть причины, побудившие нас ввести эти условия. Расположение полюсов по условию 1 выбрано так, чтобы сумма вычетов в этих полюсах совпадала с ле^ой частью уравнений (2.2.11); в то же время требуемое, согласно условию 2, распределение нулей функции / (ip) обеспечивает отсутствие вклада в контурные интегралы (2.5.1) вычетов в полюеах w к утЬ и tv = утС подинтегрального выражения. Условие 3 определяет зависимость решения от амплитуды падающего поля и является, таким образом, условием нормировки функции / (w). Наконец, условие 4 определяет поведение поля вблизи острого ребра и требует, чтобы

4=［血(哨「Res / (yna)=。(几-3/2), n -> oo# (2.5.9a)

Как легко показать с помощью соотношений (2.5.6) (см. задачу 2.3), равенство (2.5.9а) эквивалентно требованию

/3)=0(加-3/2),1^1 f 00)(2.5.96)

выражающему условие 4.

Определив амплитуды собственных волн для рассеянного поля В области Л, получим также решения для коэффициентов {В*} и {Сп}. Если исходить из системы уравнений (2.2.15), метод вычетов, гак и метод прямого обращения, приводит к решению, совпадающему с выражениями (2.3.23). Оказывается, проще получить выражения для {5П} и {Сп}, исходя из соотношений (2.2.12) и вое* лользовавшись построенной выше функцией / (w?)・ Рассмотрим

интегралы

12m12m/ W)^ + УтЪ/ W)^ + УтЪdw,dw,12т12т必 + Ymc必 + Ymcdw, пг = 1,2,3,…，(2.5.10)dw, пг = 1,2,3,…，(2.5.10)

1

2m

1

2m

/ W)

^ + УтЪ

/ W)

^ + УтЪ

dw,

dw,

1

2т

1

2т

必 + Ymc

必 + Ymc

dw, пг = 1,2,3,…，(2.5.10)

dw, пг = 1,2,3,…，(2.5.10)

n=l「—(—4) тпл; sin(nb/a)W 02Y晔Yla-Ymcn=l「—(—4) тпл; sin(nb/a)W 02Y晔Yla-Ymcехр {巫产[Мп (^)+с1п(^)]}хехр {巫产[Мп (^)+с1п(^)]}хХПП=1ХПП=1X TT 4 + Yh/Yna P(Vwc-Vlo)(a/nrt)X И 1 + Ymc/Yna *'n=lX TT 4 + Yh/Yna P(Vwc-Vlo)(a/nrt)X И 1 + Ymc/Yna *'n=lm = 1, 2, 3, ... . (2.5.136)m = 1, 2, 3, ... . (2.5.136)

n=l

「—(—4) тпл; sin(nb/a)

W 02Y晔Yla-Ymc

n=l

「—(—4) тпл; sin(nb/a)

W 02Y晔Yla-Ymc

ехр {巫产[Мп (^)+с1п(^)]}х

ехр {巫产[Мп (^)+с1п(^)]}х

ХП

П=1

ХП

П=1

X TT 4 + Yh/Yna P(Vwc-Vlo)(a/nrt)

X И 1 + Ymc/Yna *'

n=l

X TT 4 + Yh/Yna P(Vwc-Vlo)(a/nrt)

X И 1 + Ymc/Yna *'

n=l

m = 1, 2, 3, ... . (2.5.136)

m = 1, 2, 3, ... . (2.5.136)

где функция / (ip) определена формулой (2.5.8). Выражая контурные интегралы (2.5.10) в виде суммы вычетов, получаем

2 产然一々"三乎 十八 —5)= 0,(2.5.11а)

n=l

У 工丝迎 1― £es 〃Yia) +/()"(2.5.116)

厶 Упа + Утс Yla-Ymc ' ' ' ‘丿'/

n=l

Вспоминая, что Res / (yno) = An, a Res / (—丫山)=厶'，и сопоставляя (2.5.11) и (2.2.12), получаем искомый результат

% =(書广〃 一Ymb),(2.5.12а)

Jс),(2.5.126)

Во спол ьз о в авшись соотношениями (2.5.8〉и (2.5.12), получим следующие явные выражения для искомых коэффициентов:

/ =与器户需嘰-Xp{中「Ьт信)+Сm(3]}х

v ТТ "4~Ymb/Ynb 尸(已。-YmQS/九几)TT ^ + УтЬ/Упс p(Vla-Vmb) • (с/пл)

X И i + ЪаИпЬU 1 + Yla/Ync

П=1П=1

X П如會。戶mbfa)(a/吗^ = ] , 2, 3,(2.5.13а)

丄丄 l-f-Ymb/Yna

^+утс/упь p^ia^mc^^ tt 4十Ym"y7^ e旧"-%/)"他h) 4 十 Yla/nb丄丄 1 +?1а/Тпс

n=l

Преобразуя полученные выражения, можно показать их идентичность решению в виде (2.3.23), найденному ранее методом прямого обращения.

Сравнение метода прямого обращения системы уравнений с методом вычетов показывает, что в последнем решения {Вп} и {Сп} находятся проще, так как в этом случае нет необходимости сводить задачу к бесконечной системе уравнений (2.2.15) относительно- этих коэффициентов и решать полученную систему. Однако, как уже видно из названия, метод прямого обращения основан просто на использовании классического правила Крамера. Кроме того, при решении задачи этим методом ясно, какую роль играет относительная сходимость решения, что важно как для рассмотренной задачи, так и для некоторых подобных ей краевых задач.

§ 6. ИЗЛУЧЕНИЕ ИЗ БЕСКОНЕЧНОЙ ФАЗИРОВАННОЙ РЕШЕТКИ,ОБРАЗОВАННОЙ ПОЛУОГРАНИЧЕННЫМИ ВОЛНОВОДАМИ,ПРИ ПЕРИОДИЧЕСКОМ ВОЗБУЖДЕНИИ

В § 2——5 мы подробно рассмотрели типичный пример использования метода сшивания при анализе задачи о неоднородности в волноводе. Покажем теперь, как с помощью метода сшивания можно

сформулировать краевую задачу электродинамики для открытой периодической структуры. Сделаем это на примере задачи о бесконечной фазированной решетке, образованной плоскими полуог- раниченными волноводами (рис. 2.2). Стенки волноводов считаются бесконечно тонкими, идеально проводящими; ширина волновода л. Падающее поле в каждом из волноводов имеет одинаковую амплитуду и для двух любых соседних волноводов сдвинуто по 巾азе на одинаковый угол (синфазное возбуждение). Если 0О — угол

наклона главного лепестка х) диаграммы направленности такой антенны, отсчитываемый от оси х, то фаза падающего поля в тп-м волноводе должна описываться множителем exp (imu), где и = =ка sin 0О. Считая, что падающее поле в волноводной области состоит лишь из основной волны типа ТЕМ, для тп-го волновода имеем

H^-=^=^ezhxeimu,、(2.6.1а)

啞)=кое ~^呻"，a%V0 и maVzV(^+l)a・(2.6.16)

砂=亳备屮%J(261B)

Цель поставленной задачи ——определить поле, излученное в свободное пространство и отраженное в волноводы.

Так как рассматриваемая структура однородна вдоль координаты у, отраженное поле состоит лишь из волн типа TMni 0. Таким образом, в волноводной области поле описывается функцией

屮=2 蜀 cos [賢(z— таД efn=0屮=2 蜀 cos [賢(z— таД efn=0力 V。и тпа V z V (m +1) а,(2.6.2)力 V。и тпа V z V (m +1) а,(2.6.2)

屮=2 蜀 cos [賢(z— таД ef

n=0

屮=2 蜀 cos [賢(z— таД ef

n=0

力 V。и тпа V z V (m +1) а,

(2.6.2)

力 V。и тпа V z V (m +1) а,

(2.6.2)

где Yn = [(шт/〃)2 —论2]”2. в свободном полупространстве поле вследствие периодичности структуры представляется суммой пространственных гармоник вида

屮= 2 ВрегаРхе-ТРх,力 >0,(2.6.3)

р=—ОО

где ар = (2рп + и)/а и Гр = (а| — к2)^.

Используя условие непрерывности касательных составляющих поля на поверхности 啰=0, определяющее сшивание функций 2 м d^/dx на этой поверхности, получим систему функциональных уравнений

/т〃+ 2 續cos[?(z—7na)]= 2 Вр^гаР2т (2.6.4а) п=0р=—оо

流产+ 2 Y^cos[贵伊_m")]=』(一心)/冉叫

П=0&=—8

ma<Z^<{m+i) a. (2.6.46)

Перепишем эту систему в виде

1 + 2 (A^e-imu) cos [号(Z— w)] = 2 8£ap(z-ma),(2.6.5a) ?l=0P——oo

ik+ 2 Yn (A^e~imu) cos [号(z - ma)]= ^ (~ГР) B^^^ n=0 &=—8

ma V z V (m + 1) a. (2.6.56) Если ввести обозначение z ——та = z', то из приведенных уравнений сразу следует, что амплитуды собственных волн в разных волноводах связаны простым соотношением

4* = 4胆mu (266) для п — 0, 1, 2, . . . и тп = 0, 土 1, 士2,...・ Полагая в (2.6.5) m = 0, получим

(2.6.7a) 0<z<a.(2.6.76)(2.6.7a) 0<z<a.(2.6.76)1+2 或 COS (号 z)= 2 B/apz, 71=0p=— oo

(2.6.7a) 0<z<a.

(2.6.76)

(2.6.7a) 0<z<a.

(2.6.76)

^+ 2 Y〃黑 cos (号 z)= 2 (一4)/央号, n=0P=—OO

Таким образом, задача сводится к рассмотрению лишь одного периода; в частности, уравнения (2.6.7) описывают поле на периоде m = 0.

Здесь уместно заметить, что возможен иной подход, в котором сведение общей задачи к рассмотрению лишь одного периода оеу^ ществляется на начальном этапе постановки краевой задачи. В частности, это оказывается полезным при использовании метода Винера — Хопфа, в котором не делается каких-либо прямых предположений о дискретности спектра собственных волн или пространственных гармоник. Мы вернемся к этому при более подробном рассмотрении в гл. 3.

Обратимся снова к системе уравнений (2.6.7) и получим систему алгебраических уравнений относительно коэффициентов {Ап}. Для этого умножим обе части уравнений на e-^qZ и проинтегрируем по z от 0 до а. В результате получим

2纵fi—о2纵fi—о1 — Lu т§-г|1 — Lu т§-г|g = 0, ±1, ± 2,・・・,g = 0, ±1, ± 2,・・・,(268)(268)

2纵

fi—о

2纵

fi—о

1 — Lu т§-г|

1 — Lu т§-г|

g = 0, ±1, ± 2,・・・,

g = 0, ±1, ± 2,・・・,

(268)

(268)

2 Л^п '-；U；“ 一 Y。；备 =号耳（-「力

9 = 0, ± 1, 士2,..・，(2.6.9)

5-0367

где учтено, что у。= — ik. Умножая уравнения (2.6.8) на Г^ и складывая с (2.6.9), окончательно имеем

0 1—( —1)п £-ги4 ~~0 1—( —1)п £-ги4 ~~1 —- е~гиYo +「q1 —- е~гиYo +「q(2.6.10)(2.6.10)

0 1—( —1)п £-ги

4 ~~

0 1—( —1)п £-ги

4 ~~

1 —- е~ги

Yo +「q

1 —- е~ги

Yo +「q

(2.6.10)

(2.6.10)

(2.6.11)(2.6.11)S1 — ( — 1)п е~ш % °1 — е~ги z2Q「q

(2.6.11)

(2.6.11)

1=о —— &-Y0 —% =

g = 0, 士 1, 士 2,・•・.

Полученная система уравнений аналогична системам (2.2.11)— (2.2.12), описывающим задачу о разветвленном волноводе. Системы уравнений (2.6.8) и (2.6.9) можно решать как методом прямого обращения, так и методом вычетов. Мы получим решение систем (2,6.10)——(2.6.11) лишь методом вычетов, предоставляя читателю в качестве упражнения самому найти решение с помощью прямого обращения (задача 2.4).

12ш12ш12ш12шРассмотрим контурные интегралы

1

2ш

1

2ш

1

2ш

1

2ш

(2.6.12)

(2.6.13)

где контур С — окружность бесконечно большого радиуса в ком- олексаой плоскости w> проходимая в направлении против часовой стрелки. Пусть / (и?) удовлетворяет следующим условиям:

Функция / (ш) аналитична в плоскости w всюду, кроме точек з = Yn (沦 = 0, 1, 2,・・・)st и? = —у。, где она имеет полюсы первого порядка.

Функция / (ш) имеет простые нули в точках ш = Гд (д = 0, ± 1, ± 2).

Res 〃一у。)= 1 一 e-叫

/ (ш) = О (切-3/2) ПрИ I 必］_> 8.

Вследствие условия 4 подинтегральные выражения в (2.6.12) — (2.6.13) имеют на контуре С порядок малости。(加内外),^, таким образом, оба интеграла равны нулю. Сводя эти интегралы к сумме вычетов в полюсах подинтегральной функции, получаем

w号7r则伍)-京辞=。' (2.6.14) п=0

2 l^Res/缶)一^^ + "一一)=。■(2・6.® n==0

Сопоставляя эти равенства с уравнениями (2.6.10) —— (2.6.11) приходим к соотношениям, выражающим неизвестные {Лп},团口 через функцию / (ш)

4。— Res f 仇) 刀—0 4 24。— Res f 仇) 刀—0 4 2(2.6Л6)(2.6Л6)

4。— Res f 仇) 刀—0 4 2

4。— Res f 仇) 刀—0 4 2

(2.6Л6)

(2.6Л6)

丄=鳥〃-工)，，=& ±1，±2,・(2.6.17)

Способ построения функции / (ш) совершенно аналогичен описанному в § 5 и здесь повторяться не будет. Явное выражение дад / (w) имеет вид

' '”+Yo r IJ i—”/Tg

XU注然…+询加几x m—i

1 — Ц?/Г*о ттЕ咽1 — Ц?/Г*о ттЕ咽(1l力/「m)(1 -ц?/f一m)(1 + То/Гт)(1+То/Г-т)(1l力/「m)(1 -ц?/f一m)(1 + То/Гт)(1+То/Г-т)e(w+Vo)aM«.e(w+Vo)aM«.(2.6.18)(2.6.18)

1 — Ц?/Г*о тт

Е咽

1 — Ц?/Г*о тт

Е咽

(1l力/「m)(1 -ц?/f一m)(1 + То/Гт)(1+То/Г-т)

(1l力/「m)(1 -ц?/f一m)(1 + То/Гт)(1+То/Г-т)

e(w+Vo)aM«.

e(w+Vo)aM«.

(2.6.18)

(2.6.18)

Используя 9To представление для /(歹)в выражениях (2.6.16) — (2.6.17), получаем одончатвльные выражения для искомых коэф* фициентов:

用=若exp (芈In 2)Й岩肥eт…x

хПта^^е2%0^сел 网

m=I

1 —(― 1)Пe^u FL 几 \ w / J 4 —Yn/Yo

П⑺ 1 + Yo/Tm c-仇 +Yn)a/m几，一？"「о

X U i x TFiwFT x

£—Y"「m)(‘一 Yn/P-m) 仇+Уп)аЕ 4 9 3 /ОД

X u a+Yo/Гm)d否/:□ ё'翔一*厶6(达п阿

Bq = -г-=；=；— exp In 2 X

о zQ「q YQ—Fg L 冗 J

X £TT 4 + Yo/Ym 「(Г夕_yn)a/7Ut ，+「4/「0

4 + Fq/Yo 丄丄 l + Tg/Ym1+Yo/「o]

文11m=I文11m=I

文11

m=I

文11

m=I

(l + rg/rm) (l + rg/r.m)a+Yo/Aroa+Yo/jn)

g = 0, ±1, ±2,.

(2.6.19b)

Тем самым получено точное решение задачи о рассеянном поле в фазированной решетке из полуограниченных плоских волноводов при синфазном возбуждении.

§ 7. ИЗЛУЧЕНИЕ ИЗ БЕСКОНЕЧНОЙ ФАЗИРОВАННОЙ РЕШЕТКИ, ОБРАЗОВАННОЙ ПОЛУОГРАНИЧЕННЫМИ ВОЛНОВОДАМИ, ПРИ АПЕРИОДИЧЕСКОМ ВОЗБУЖДЕНИИ

Рассмотрим теперь более общую задачу, когда падающее поле в волноводных элементах фазированной решетки не удовлетворяет

условию периодичности. В частности, интересно рассмотреть случай возбуждения лишь одного полуограниченного волновода 6ес・ конечной антенной решетки. Пусть, например, в волноводе с индексом m = 0 возбуждается основная волна типа ТЕМ (рис. 2.3),

Падающее поле можно описать магнитной составляющей Н^ = =г|)7 равной

屮力= e^“@o(z),(2.7.1)

где 0m (z) 一 характеристическая функция волновода с индексом т:

众 — при ^<Oj rna<z<(m+i)at

о в остальной области." * '

Возбужденное в каждом из волноводов поле предс тавляется супер* позицией волн типа ТМп,о и может быть записано в виде

屮=2 日m(z) { 2 匿cos [子(z-ma)]e%：}, (2.7.3)

этг=—ооп=0

где CJ1 ——неизвестные амплитуды собственных волн, возбужденных в m-м волноводе при падении волны ТЕМ в волноводе тп = 0. Напомним, что при периодическом возбуждении решетки, рассмот* ренном в предыдущем параграфе, коэффициенты разложения отраженного поля Л п отличались от коэффициентов Z尸р лишь поста янным множителем е~гри (ср. (2.6.6)). В рассматриваемом ниже случае подобных простых соотношений между коэффициентам^ не существует и необходимо искать решение для СЦ при произвольных значениях индексов тп и п. Помимо этого, возникает еще одно усложнение, связанное с тем, что рассеянное поле в свободном полупространстве нельзя представить в виде суперпозиции пространственных гармоник Флоке вследствие апериодического характера источника возбуждения. Поле в области 啰 > 0 характеризуется теперь непрерывным спектром плоских волн, а функция 屮 в этой области описывается интегралом Фурье:

屮(力，z)=-^« J В (a) e-iaze~v^ da,力 >0, (2.7.4)

где у = (a?——"2)i/2 Ветвь корня у выбирается при этом так, чтобы Re у > 0, в соответствии со сказанным в § 1.6. Неизвестную функцию В (а) в выражении (2.7.4) можно рассматривать как амплитуду спектрального разложения по плоским волнам.

Для отыскания коэффициентов {С幫} и функции В (а) необхо- димр сшить поля, определяемые в разных областях выражениями (2.7.3) и (2.7.4), в плоскости раскрыва 力 = 0. Так как неизвестная функция В (а) входит в подинтегральное выражение в (2.7.4), можно было бы ожидать значительного усложнения ^процедуры сшивания по сравнению с задачами, рассмотренными до сих пор. К счастью, оказывается возможным [18, 17, 19] выразить решение

рассматриваемой краевой задачи через известное решение подобной ей задачи с периодическим возбуждением, полученное в § 2.6*

Как видно из сравнения рис. 2.2 и 2.3 структура обеих антенных решеток идентичны. Более того, как мы это сейчас покажем, несмотря на различие в условиях возбуждения, удается связать оба источника. Выразим функцию 屮^), определяющую падающее поле при периодическом возбуждении и заданную выражением (2.6.3), через характеристические функции плоских волноводов:

時)= 2 егкхегти0т^.(2.7.5)

7И= — 8

Сравнивая это выражение с выражением (2.7.1) для функции 屮⑴, (Жределяющей падающее поле в отсутствие периодичности, нахо- Нйм, что

卡"=击 J ^du = U(^),(2.7.6)

где U ——линейный оператор, действие которого состоит в интегрировании по переменной и. Таким образом, функция 屮⑶ даш апериодического возбуждения представляет собой линейный функционал от функции ф^\ определяющей периодическое возбуждение. Из линейности уравнений Максвелла и принципа супер- давнцжи следует важный результат, что отраженное и прошедшее ра<хеянное доля^ отвечающие двум рассматриваемым видам воз- буадения, также должны быть связаны посредством линейного оператора £7, т. е.

屮 = Т/《|)р) для всех значений а и z. (2.7.7)

Так как функция 屮如 известна (см. решение в § 6), поле при аиерио- дк^еском возбуждении можно найти с помощью соотношения (2.7.7).

Найдем вначале отраженное поле в волноводной области. Коэффициенты возбуждения собственных волн С„, согласно (2.7.7), связаны с Ап соотношениями

ял'

Сп=^ J 4 頁* J ^ти du. (2.7.8) -л-л

В последнем равенстве здесь учтено свойство (2.6.6). Явное выра- жемие для Л^ дается формулой (2.6.19), и тем самым определены коэффициенты ｛鄧｝ для всех значений индексов тип. Обратим вяимамие на следующее свойство коэффициентов 厶幺厶^ (u)= = N^ (—м) для четных п и Лп (^) = — 厶^ (—м) для нечетных п. Воспользовавшись этим свойством, можно представить интеграл

в более простом виде

[/ J /： (u) cos (mu) d〃 при четных п,

图={:(2.7.9)

I g j 厶纟(u) sin (mu) du при нечетных n.

Хотя в общем случае нельзя получить замкнутое выражение для этих интегралов, удается найти асимптотическую оценку коэффициентов С优 определяющих взаимную связь между волноводами, что представляет значительный практический интерес.

Предположим, что в волноводах может свободно распростра* пяться лишь основная волна типа ТЕМ; при этом уп = + ] 丫肄 I для м > 0 или л > ка. Коэффициент отражения основной волны типа ТЕМ в центральном волноводе 4： определяется выражением (2.6.19а). При условии 0 & 〃 V 4a или эквивалентном условвд О ^ sin 0О <； 1, отвечающем сканированию лучом синфазной решетки во всем верхнем полупространстве, выражение для 4： принимает виц

4。= 料 内吗 ° &М v *а,(2.7.10)

где

%3) = 2[』⑼ arctg%3) = 2[』⑼ arctg(青)—farctg (*) 一筝 М2]. n=l

%3) = 2[』⑼ arctg

%3) = 2[』⑼ arctg

При условии 左〃 V 〃 W п или эквивалентном условии 1 V V sin Оо & (л/Ы), выполняющемся при отсутствии распространяющихся гармоник в свободном полупространстве z > 0, выраже* ние для Л® принимает вид

Ло = вЯл+гяагсгдаго)^%^)],厶@< и^л. (2.7.11)

Отметим, что функция 4： (〃) непрерывна при и = ка. Первая прсь взводная 4°, определяемая выражениями

Г2ки左一I「о I 乂

21roi 口十 |Fo|]2乃+IFol

* 2( } F(2爲+〃)]夕”叫 0^и<ка, 吋一8(2.7.12J

「2论 I 《(0)2"]

L rou 十月ГР (2з十")J 入

X 夕1(川2)+2агсШ(Л/Го)+%(〃)],*а< и^Л,

имеет особенность при и = ка, так как Го -> 0 при и ка. Покажем, что характер особенности производной 4； определяет асимптотику коэффициентов С^ при больших | т |.

Согласно (2.7.9), коэффициенты связи С} имеют вид

Лал

С# = ~^ J 厶式〃)cos (mu) d〃+ ^ J 缉(〃)cos (mu) d〃・(2.7.13) 0ka

Проведя интегрирование (2.7.13) по частям, получим

kaл

曲=一鳥 J 請sin (m〃) m —备 j 礬sin (znu) du. (2.7.14) 0ka

Заметим, что для любой ограниченной непрерывной функции / (力) справедлива оценка

(2.7.15)(2.7.15)J / (%) sin рх Ах ~ О (рТ), I р I -> 8・

(2.7.15)

(2.7.15)

Согласно этой оценке, из выражений (2.7.12) и (2.7.14) следует, что при больших I т [

kakaСо =Со =1 f 2ku sin (mu) 而 J @21 Fo l 俨十 I「°] R• 0л1 f 2ku sin (mu) 而 J @21 Fo l 俨十 I「°] R• 0л夕%(〃)du -夕%(〃)du -2к sin (mu)2к sin (mu)тп J Г()〃тп J Г()〃вг[(л/2)+2 arctg (А/Г0)+х(и)] _^_ Q (^^.(2.7.16)вг[(л/2)+2 arctg (А/Г0)+х(и)] _^_ Q (^^.(2.7.16)

ka

ka

Со =

Со =

1 f 2ku sin (mu) 而 J @21 Fo l 俨十 I「°] R

• 0

л

1 f 2ku sin (mu) 而 J @21 Fo l 俨十 I「°] R

• 0

л

夕%(〃)du -

夕%(〃)du -

2к sin (mu)

2к sin (mu)

тп J Г()〃

тп J Г()〃

вг[(л/2)+2 arctg (А/Г0)+х(и)] _^_ Q (^^.(2.7.16)

вг[(л/2)+2 arctg (А/Г0)+х(и)] _^_ Q (^^.(2.7.16)

Первое интегральное в видеПервое интегральное в видеслагаемое в этом выражении перепишемслагаемое в этом выражении перепишемka1 f 1加冗J f Го I0ka1 f 1加冗J f Го I0sin (тпи) du —sin (тпи) du —2киег^ 2Q2 3 + |Foj2) -"Г2киег^ 2Q2 3 + |Foj2) -"Г

Первое интегральное в виде

Первое интегральное в виде

слагаемое в этом выражении перепишем

слагаемое в этом выражении перепишем

ka

1 f 1

加冗J f Го I0

ka

1 f 1

加冗J f Го I0

sin (тпи) du —

sin (тпи) du —

2киег^ 2

Q2 3 + |Foj2) -"Г

2киег^ 2

Q2 3 + |Foj2) -"Г

2тла2тлаhaJ ТТЛ оhaJ ТТЛ оsin (mu) d〃・sin (mu) d〃・(2.7.17)(2.7.17)

2тла

2тла

ha

J ТТЛ о

ha

J ТТЛ о

sin (mu) d〃・

sin (mu) d〃・

(2.7.17)

(2.7.17)

Подинтегральное выражение в первом слагаемом в (2.7.17) огра- вичено при 0 V 儿 V "〃• Используя соотношение (2.7.15), получаем

/1 =

ka

——ег^ка^ (шлаJ

0

必事声Sin(m〃)阪+0(柏2).

(2.7.18)

С помощью замены переменной и = ka sin 0О перепишем это выражение в виде

л/2л/2

Ц^Л^ег%^а} Г j ezmka cos 0О d0o— j е^гтка cos 0О Й0О j + О(Ш~2). ОО

(2.7.19>

Оценивая интегралы в этом выражении обычным методом перевала. (§ 1.7), окончательно полу чаем

/丄〜}^-/1历詳@ е玖SG 0(mAa — M4)—еТ(тАак/4)],|/П [ f ОО .

(2.7.20>

Совершенно аналогично можно вычислить асимптотическое выражение второго интеграла в (2.7.16):

厶=i必 - ег^а^ f ―/ ( ——=-sin (mu) du + O〜

2 тка X д/(〃/@)2—欣'

〜磊/2 j pzy(Aa) ^г(тиЫ-л；/4) _[_ е-г(тка-л/^)^| 加 | f 8.

(2.7.21)

Используя оценки (2.7.20) — (2.7.21), получаем окончательно^ асимптотическое выражение для коэффициентов С『：

方 ~ /?("°)№(W+W4,：；麻'I ти I т а (2.7.22>

Таким образом, старшие коэффициенты связи асимптотически убывают обратно пропорционально расстоянию в степени 3/2 от возбуждающего элемента, а их фаза изменяется пропорционально постоянной распространения, равной "——волновому числу в свободном пространстве.

Рассмотрим теперь излученное поле в свободном пространства (2.7.4) в случае, когда возбуждается лишь центральный волновод^ Полагая в (2.2.4) х-> + 0, имеем

巾(％=+0, z)=击 J В (a) e~iazda. (2.7.23》

Это соотношение совпадает с преобразованием Фурье; поэтому можно написать

5(a)= j 屮(力=+0,吟夕az，dz，・(2.7.24)

С помощью соотношения (2.7.7) поле 屮(％ = -[- 0,z) в раскрыве % =十 0 можно связать с полем в раскрыве при периодическом возбуждении

屮刃(力=+°，z)= 2 4(〃)夕aqz,(2.7.25)

q= — oo

тде явное выражение Bq (〃) как функции и определяется согласно 《2.6.20). Используя соотношение (2.7.7), получаем

屮(£= +0, z) = -^ j Bq (u) вга«2du. (2.7.26)

Подставляя (2.7.26) в (2.7.24), находим

4-оо +оо (ти+1)а л

5(а) =言 工 2 j dzf J duBq{u)e^^\ (2.7.27) m= — oo q= — oo ma — л

тде интегрирование по z' при суммировании интегралов проводит- «се по раскрыву каждого волновода. Вводя замену переменных У —> (z‘ + та), перепишем последнее выражение в виде

+8 лаоо

5(а) = * 2 duBq (u) J d^e^^ 工 е^^^. (2.7.28) q=-oo —л0m=-8

Воспользовавшись определением дельта-функции

』е做(аа+〃)^ 2л6 (аа + и),(2.7.29)

т= — 8

преобразуем (2.7.28) к более простому виду

8 (а) = 2 /3— аа) j 6(2加7。)曲'.(2.7.30)

Интеграл по z' равен аб* таким образом получаем требуемый результат

В (а) = аВ0 Q — аа).(2.7.31)

Согласно этому соотношению, преобразование Фурье от поля в рас- акрыве % = 0 при апериодическом возбуждении (2.7.1) пропорционально коэффициенту прохождения основной пространственной гармоники для синфазной решетки, в выражении для которого следует произвести замену и =——аа. Зная 5 (а), можно определить ло〃е излучения для изображенной на рис. 2.3 структуры, вычисляв

обратное преобразование Фурье согласно (2.7.4):

W(%, z)=券 j 瓦3-> — аа)е-зе—х加，花>0. (2.7.32)

Получить замкнутое выражение для этого интеграла, определяю* зцего 屮(名 z), не удается. Однако наибольший интерес представляет знание диаграммы направленности или, как ее еще называют, диаграммы направленности активного элемента решетки. При больших р =(炉 + z2)1/2 можно с помощью (1.7.19) получить следующую оценку:

屮(瑞 ％)〜|/^~^^ еММ-М")论acos ЙВо (8о->6), р-> оо, (2.7.33) где 0 = arctg (彳)—угол наблюдения, отсчитываемый от нормали к решетке (см. рис. 2.3). Из выведенной формулы следует интерес- йый результат: зависимость диаграммы активного элемента решет* ки от угла наблюдения 0 с точностью до множителя сой 0 определяется коэффициентом передачи основной пространственной гармоники для синфазной решетки, вычисленным как функция угла сканирования 0О. Если ограничиться вычислением лишь модуля диаграммы активного элемента и рассматривать случай, когда в плоских волноводах возможно распространение только основной волны типа ТЕМ, выражение (2.7.33) сильно упрощается* Как нетрудно показать (применяя подход, аналогичный использованному при выводе формулы (2.4.12)), в этом случае

IB"8。-8)| =n彳爲. (2.7.34)

Эту формулу можно вывести и проще, используя закон сохранения энергии (ср. (2.4.13)) и приведенное ранее выражение (2.6.19а). Подставляя (2.7.34) в (2.7.33), получаем

闻名矶〜/备体〃)^^， p-8。 (2・7.35)

В настоящем параграфе мы показали, как можно выразить решение задачи для бесконечной фазированной решетки, образованной из плоских волноводов, при апериодическом возбуждении через решение для той же структуры с периодически расположенными источниками. В гл. 4 мы рассмотрим более общий метод, дают щий возможность получить решение непосредственно для случая апериодического источника, не используя при этом решения для случая с иериодическим возбуждением.

ЗАДАЧИ

Показать, что

N

произведение Q 侬)=]](1 — ш/уп), где 丫九=[(пл/а)2 —Zc2]1/2, п=1

сходится при 7V -> оо;

р®)=1[(1—山/Yn) ewa^nn при N f g сходится равно n—i

мерно для любого w в ограниченной замкнутой области D на комплексной плоскости ш.

Указание,

Переписать Q(ip) в виде

NN

QW)=I[黑謐rxp，m(i_ 号)]n=ln=l

и показать, что первый сомножитель сходится, а второй расходится. ~ б) Переписать Р (ip) в виде

NN

Р№)= !!田编[n (1-黑)…叫・n—i1г=1

Можно следующим образом убедиться в равномерной сходимости второго сомножителя. Бесконечное произведение fj И — ип (z)] П=1

сходится равномерно и абсолютно в ограниченной замкнутой области D, если каждая из функций удовлетворяет неравенству

丨 ип (w) I & Мп, где Мп не зависит от ip, а сумма』 Мп сходится. п=0

В рассматриваемом случае

т=2

Заметим также, что

"n ®)IV £ 石占р (^•广=(^)2 exp (Ralnn), m=2

где R ——постоянная, такая, что \ w \ ^. R для любогб w в области 力.Отсюда следует,屯то | ип ®) | & (Да/пл)2 ехр (а/л) при п > Д.

2・2・ Показать методом прямого обращения, что решение бесконечной системы уравнений (2.3.22) определяется согласно (2.3.23).

Показать, что вычет функции / (ip) (определенной согласно (2.5.8)) в точке w = ута удовлетворяет соотношению

Res /(Y/па)〜。(е~3/2) при АП f ОО.

Решить методом прямого обращения рассмотренную в § 6 задачу q6 иалучении из бесконечной решетки, образованной системой плоских полуограниченных волноводов, при периодическом возбуждении.

Рассмотрим задачу о бесконечной решетке, изображенной на рис. 2.2, при синфазном возбуждении волноводов волной типа ТЕЪ ° с единичной амплитудой. Выражение для рассеянного поля примем в виде

j 00

2 ^п sin [号(z — ma)] 6*戸\ n=l

Ey (ж, z) = j kVO и ma<z< (m +1) a, [[(2.1)

、P=-OO

'а) Показать, что метод сшивания приводит к следующей бесконечной системе уравнений:

2号箱【(-У-門面=诰^ (1 +收(2.2а)

n=l

a w，言 (一4严小一4 “4 +小1

g—ir^jz —ivn；—j，

n=l

g = 0, ± 1, ± 2,.・，・(2.26)

Найти решение системы (2.2) методом вычетов и показать, что функция / (必)определяется выражением

№) = ехрр^Ш2]编 X

П (l+Vi/Vn)^via/nit

入00X

п а_3/Yn)^咖加冗

nW

П (4*Гп)(1 — ”/Л 加冗

х «^.(2.3)

П (1 + Т1/Гп)(1 + Т1/Г-л)е-^/пл

71=1

Показать, что искомое решение имеет вид

АпАпеТ" + 47п —ГоеТ" + 47п —Гоn[1一（一1产ь2因？1 +Г0n[1一（一1产ь2因？1 +Г0ехр [ ""$?"“ In 2〕хехр [ ""$?"“ In 2〕х

Ап

Ап

еТ" + 47п —Го

еТ" + 47п —Го

n[1一（一1产ь2因？1 +Г0

n[1一（一1产ь2因？1 +Г0

ехр [ ""$?"“ In 2〕х

ехр [ ""$?"“ In 2〕х

(2.4а)(2.4а)(2.46)(2.46)v (Fn —Ум) (F-n —Yn) ут(九)(%п +Yl) (「m — Yn) (Jn —Tn) (Гп + Vl) (Г-n + Yi)丄1(Ym-Yn)Tm + %) (Jm + YD

(2.4а)

(2.4а)

(2.46)

(2.46)

斗=.exp「止4)Q. In 2] X

* 2а2Гр (Yi —Гр) Го+Vi F L лJ

乂 TT(Ym + ?i)(「тп+Гр) (F-m + Fp)丄丄(Тт + ТрХГт + Г!) (Гп. + ПП '

(Полученное решение описывает также задачу об излучении из двумерной решетки, образованной прямоугольными волноводамиг в случае Н-поляризации. См. работу By и Галиндо [16])

2・6. В плоском симметрично разветвленном волноводе (Ь = с ва рис. 2.1) из области Л набегает волна типа ТЕЪ 0. Пусть полуплоскость % = b, OVzVoo не идеально проводящая, а описывается следующими граничными условиями:

Еу (*^а — 0, z) = ZHz (手〃一0, z),

Е“ ("j 〃 +。，z) = —ZHz (Ва + О, z)，

Еу 信@ —0, z) —Еу ^а + 0, z) t

гда Z —заданный постоянный импеданс. Запишем отраженное

М прошедшие поля в.виде

в области 4в области Ягв области С,в области 4в области Ягв области С,2 4 sin (吋%)e"n

в области 4

в области Яг

в области С,

в области 4

в области Яг

в области С,

Еу =Еу =Tl=lнечетные

Еу =

Еу =

2 Bnsin (Anx) в~гл2

n=l

』Cnsin Лп (а—ж) e"rnz n=l

где Tn — V(пл/a)2—А2,1\ = 了遍一/, а [%п ^удовлетворяет характеристическому уравнению

sin (lna/2)2Zм

—ТУТ許厶 cos (統 a/2)・

(%n@/2)wpa' “ / ，

Показать, что [28]

@1=(—1尸』о計^т=1@1=(—1尸』о計^т=1Y2m-i +Y1 .「тп — Y2n-1T2m-1 — ?2n-l「m + Yl *Y2m-i +Y1 .「тп — Y2n-1T2m-1 — ?2n-l「m + Yl *

@1=(—1尸』о計^т=1

@1=(—1尸』о計^т=1

Y2m-i +Y1 .「тп — Y2n-1

T2m-1 — ?2n-l「m + Yl *

Y2m-i +Y1 .「тп — Y2n-1

T2m-1 — ?2n-l「m + Yl *

вл=сп =вл=сп =冗 Y2n-l + Yl TT 3)(?2тт + Т1) (Гщ —Yl)映n ?2п-1 + Гп 丄丄(?2т-1 + Гп) (Гт — Гп)m=i

вл=сп =

вл=сп =

Указание. Вначале следует установить соотношение ортогональности а/2

j sin Кпх sin Лтж dx = 0, т^п. о

Затем, сшивая поля при z = 0, получить бесконечную систему уравнений, которая решается методом прямого обращения:

^271-1^271-1Yi + UnYi + Unу (一中+1 Z ?2п-1 ~~ Гт

^271-1

^271-1

Yi + Un

Yi + Un

п«1

zn = 4, 2, 3,

S%n cos (A>n〃/2) Ym— ГпS%n cos (A>n〃/2) Ym— Гп■® n = "2- Y1a饱,■® n = "2- Y1a饱,

S%n cos (A>n〃/2) Ym— Гп

S%n cos (A>n〃/2) Ym— Гп

■® n = "2- Y1a饱,

■® n = "2- Y1a饱,

7. Рассмотрим задачу о распространении поверхностной вол- m типа ТМ вдоль бесконечной гофрированной поверхности, иэоб-

Рис. 2.4. Гофрированнаяповерхность.Рис. 2.4. Гофрированнаяповерхность.

Рис. 2.4. Гофрированнаяповерхность.

Рис. 2.4. Гофрированнаяповерхность.

раженной на рис. 2.4. Считаем, что зависимость от у отсутствует- Поле в свободном полупространстве ищем в виде

/=玄忆>0,

Р== —оо

где рр == р0 + (2лр/а), 丫卩=(伤一k2)^2, a p0 — постоянная распространения основной пространственной гармоники. Поле в вол* иоводной ячейке ищем в виде

反& = 2 4mcham(% + %)cos («^2), —Л<х<0 и OVzV% m=0

где ат = [（тпл/а）2 — Р]1/2. Предположим, что

” а） в волноводной ячейке может распространяться лишь волна типа ТЕМ;

отношение hl а достаточно велико, так что 2 cham （况 + 无） ^ q exp am （x + h） при zn > 0.

Показать, что po удовлетворяет дисперсионному уравнению

4九=口/" +勺m 2 - arctg 借）+

+ 2 [arcsin（舒）—arcsin（岩）—arcsin（含）]‘ m=l

где n = 0, ± 1, ± 2, ... . При 无 С 0,2 % это уравнение можно

4

1, Рис. 2.5. Сочленение

''Двух волноводов с

у _импедансными стен-

Z2

■2з工 °ками.

аппроксимировать следующим [70]:

Yo = " tg 论（无一* In 2）•

Указание. Получить методом сшивания систему уравнений:

8

2H（Г；爲圆°-灯"m = ^ am + Yp 斗阮，W = °' 2

Выразить коэффициенты {Bp} через Ло из первой системы уравнений, а затем найти самосогласованное решение для Ло из второй системы уравнений.

Рассмотрим задачу о рассеянии на стыке двух полубеско- иечных плоских волноводов с импедансными стенками （рис. 2.5） при падении волны TEnt 0 из области А. Граничные условия на стенках волноводов заданы в виде

e （_1产乌_学=0,

у 、/ сор, дх

где j = 1 при % = а, — 8VzV 8, j = 2 при 啰=0,——оо V V z V 0, 7=3 при £ = 0, 0VzV8・ Покажем вначале, что собственные типы волн в областях Л и В имеют вид

矶G = 4n [sin 碎£ + W：n cos 鶴％]卢'"，

где/ = 2 для области 4 и; = 3 для области В, а 丫夕)=Y入夕罐一胪 (九=1, 2, 3). Собственные значения 入夕)удовлетворяют уравнению

sE 焜％ + 贊)cos 福％ = ^-[cos虑％-2^Lsin /%]・

При падении волны типа TEnt 0 единичной амплитуды коэффициенты возбуждения собственных волн отраженного и прошедшего полей оказываются равными

増）（便一徳）三g 陪）+階））（嚟）一傅）

Ш咸）（丫學+ Y俨）g（啜）一喏））（憎）+YВ）'

一心時%（儕一磴））SE2第

_ *）（23-22）%卅）h ^7"丿一1 叩 ） X

/ Sin 2店2%壮2）/ 4cos2*）Q\]

1十2磴）"）十叩 1魂兀 碍

⑺喏）一丫季G■g唄一YВ

(Изображенная на рис. 2.5 схема может служить приближенной моделью для описания прохождения сверхдлинноволнового сигна* ла через береговую линию [27].)

Рассмотрим дифракцию плоской волны на изображенной на рис. 2.6 бесконечной периодической структуре, составленной из полуплоскостей, расположенных со сдвигом [66].

Падающее поле выбрано в виде

Е$)(с, z) = ехр 口 (試屮° ”+ooZ)]'

где 6 == a sec(р0 sin 0О,

♦ар == I^A2 — [(kb + 2рп)/а sec(p0]a..

Рассеянное поле в свободном полупространстве представимо суперпозицией пространственных гармоник и может быть зашюато

6-0367

в виде

/(£，%)= 2 X ехР [^ (^le62^ x^aPz) ] > zVO. (2.5)

Поле, возбужденное в m-м волноводе (исключая треугольную

Рис. 2.6. Ступенчатая ре-шетка из плоских волно-водов.

область, скажем область О АВ), может быть выражено в виде

4(%, z)= 2 Bn sin ^^ (u — тпа) J ехр [г^ (р~ та tg ф0)1,

n—i

ma<Zu<,(m + i)a и (ап + 1) a tgcpo V% (2.6) где Рп = ["2 一 (〃п/а)2]〃2 Заметим, что в силу периодичности структуры справедливы соотношения

B^e-imkb^B^Bn.

Показать, что коэффициенту {А„} удовлетворяют системе уравне- вий

8 А

』Yplm =Х+Вт~ " = 0，±1，±2,(2・7)

где kf = к cos (0о —Фо) и ур = /с cos [фо + arc cos (ар/Л)], а коэффициенты {Вп} могут быть выражены в виде

Апл[1 —(—1)яехр (ikb—iaf^n tg(p0)] 丫

X {，^" = 0, ±" ±2,. (2.8)

₽№еййе для {Лр} и {3^} получить методом вычетов.

Указание. При формулировке задачи необходимо записать в явном виде выражение для поля в треугольных областях (например, области О АВ). Сшивание полей можно осуществить, применяя вторую формулу Грина (см. (3.6.6)) к функциям Еу (啰,z) и решению однородного волнового уравнения g (%, z). Как можно пока* зать,

^寡一%爲"』。,

где контур С проходит по сторонам треугольника О АВ. Чтобы получить соотношения (2.7) и (2.8), необходимо выбрать функцию в виде (см. [66])

g(£, z)= <g(£, z)= <ДляДляДляДля(2.7),(2.8).(2.7),(2.8).

g(£, z)= <

g(£, z)= <

Для

Для

Для

Для

(2.7),

(2.8).

(2.7),

(2.8).

Рассмотрим задачу об излучении из полубесконечного цилиндрического волновода, расположенного соосно внутри

Рис. 2.7. Полубесконечная неоднородность в цилиндрическом волноводе.

цилиндрического волновода большего радиуса (рис. 2.7). Примем в качестве падающего поля в области В волну типа TMQtl (см。 выражение (1.5.10)). Рассеянное поле представим в виде

$ДЛ借р)宀Z п—1

品)(叫 z)=2 &Ji (専-р) ef 経

n=l

8

в области Л,

в области В,

С。丄户z + 2 CnZ (陪 p) e+%z в области С,

где 做} -нули функции 人（%）,

Yna = [&"*一 硝。2,Ynb = [&阀2 - "叩/2,

z（"）= Je）-徐芻匕（"），

{Чоп} — корни уравнения

J。（警Ь）爲（唔a） -J。（亭。）匕（*b） =°・

И

Ync = [（*/C）2—族]叫 ？0с=—瓜

Показать, что процедура сшивания приводит к следующим системам уравнений:

4

"Т п —b、ibJ 1 （lol） 6m,m= 1, 2, 3,...,

J Tna —

n=l

，84

у 2= 0m = 0, 1, 2,.・.，

.厶 Yna-Ymc

n=l

羣

, = Zymb^Bm, ^ = 1» 2, 3,5

一 Yna + Ymb

n=l

8

= 一2YmcCm, Wl = 0, 1, 2, . • •,

1 Yna^TYmc n=l

где

一4 = 4粤 J。（萼 ь）,вП=вп^^ （当b）,

厂 「@2 {Z [（仙九/c） @]}2 b]

c；=am 停）.

w == 2, 3,•

Показать^ что решения приведенных выше уравнений имеют вид

4 = Res/（Ума）, Вп = "^~ / （ — Tnb）, М = 2^1c /（ — Ync）,

где

/®)=昭m脸")嗡修exp {中[Мп (|) +

+ Нп (-J)+b]}il ^^逑m)(f)Х

п=2

4—0/Yrc(с/пл)(©-т1Ь)

п=1

X ТТ 1 — 0/Yna g-(a/M)/(網-У]Ь), 丄丄 1—У1Ъ/Упа n=i

причем

f (w) = 0 (w~if2) при I ш| -> оо.

Рассмотрим собственные волны плоского волновода, заполненного анизотропной холодной плазмой в постоянном магнитном поле Во = ауВ0. Можно показать [2], что для гармонически меняющихся во времени полей (е-価*) в волноводе выполняются следую^ щие материальные соотношения：

D = в()е«Е,

В = Щ・Н,

где & — тензор второго ранга, определяемый матрицей

* 810—1^2■

© = 083о,

，.电0q.

S = 1 — (сор/со)2 (1 — ®Js)2 尸，

62 =(色о/СО)2 [з/СОс — COc/со]"1,

83 = 1 —(Sp/co)2,cdc = eB0/m, 叫=Ne^lm^

где е — заряд электрона, т — масса электрона, N — среднее значение плотности электронов. Проверить следующие свойства ©о^- ственных волн в волноводе:

Волны типа ТЕ (у которых отличны от нуля составляющие Еу, Ях, ED идентичны собственным волнам волновода, заполненного изотропной средой с относительной диэяектриче* ской постоянной Ез・ Таким образом, волны типа ТЕ не взаимодействуют с анизотропной плазмой. 一

Для волн типа ТМ (у которых отличны от нуля составляющие Нуч ЕХ1 Е) магнитное поле Ну удовлетворяет волновому уравнению

(■^ + "^ +胪)"и (瑞 z) = 0, где 胪= A；^(e： — £；)/£]. Составляющие электрического поля определяются соотношениями

% =(62 "^ + 仙) %，

反=誌；(一82备+ ®卡)

Собственные волны типа ТМ в волноводе с анизотропным заполнением имеют вид [52]

Ну = 4押(%) егм + 2 A^hn ⑺ ef 公 + n=l

+ 4髙⑺ e+a+ § Anhn(x)eyna^n=i

где

Yo= +"oM — %, Tna = ^p^ ("a")—胪，

婚(%) = exp (土 瓦w/ У星)，

礎(“)= [号 cos(*)±i^sin(号叫•

Заметим, что анизотропия плазмы приводит к различной зависимости поля от поперечных координат, определяемой функциями 觴 (％) и 衍 (а), для волн, распространяющихся в положительном (+ z) и отрицательном (—— z) направлениях.

Рассмотрим задачу о разветвленном волноводе (см. рис. 2.1), заполненном анизотропной плазмой, свойства которой описаны в предыдущей задаче. Структура возбуждается волной типа ТМЪ °, падающей из области А:

H^ = h；(xf а)е~^\

Показать, что коэффициент отражения имеет вид

=小2y伍/几)(ama-blnb-clnc) 4 —(Yo/丫伍)，一(Yla/Ylb) 4 — (丫紀力以)乂 l +(Yo/Yla) 'l +(Yla/Ylb) ' l +(Ylc/Yla)

X TT [4 一(Yla/Ynb)] [1 —(Yla/Ync)] [4 +(Yla/Yna)J 丄丄 RR而a/Y汕)Hl + (Yh/Ync)】H —(Yla/Yna)「'

Указание. Как обычно, условия сшиванйя полей на поверхности z = 0 имеют вид

о v况 v Ab V% Va,о v况 v Ab V% Va,篇=浦，I

о v况 v A

b V% Va,

о v况 v A

b V% Va,

ииj7A — 口 В I

и

и

磁=丸，I

pA rpC J

*x =必X,丿

где верхний индекс у составляющих поля определяет принадлежность к соответствующей области. Можно показать, что функции из систем {hn} и {е^} не образуют ортогональной последовательности и поэтому в данном рассмотрении неприменим обычный метод Фурье для вывода уравнений, которым удовлетворяют коэффициенты собственных волн. Однако, как можно доказать, рассматривая условие непрерывности в области О V 力 V b в виде

ьь

b) + Е% 无m (%, b)] d%.b) + Е% 无m (%, b)] d%.际(况，6) +峻砾Q, Ь)] dx= J班詣^(%, оО

b) + Е% 无m (%, b)] d%.

b) + Е% 无m (%, b)] d%.

справедливо свойство биортогональности собственных волн.

Показать, что правая часть приведенного уравнения тождественно равна нулю (биортогональность). Проведя аналогичное рассмотрение на отрезке b V % V а, вывести следующие системы уравнений для коэффициентов {Лп}, описывающих амплитуды собственных волн в области Л:

^7 [储af) SE (号明 4 = n=l

(?b)，

^^ [El嗝)sin (号明 4 = 11=1

= E』MaT]sin 信 b),

2寻不;[(%-喲sin (号叨4=

-1^^^^m =，，2,3，・・・・

Получить решение этих уравнений методом вычетов или с помощью прямого обращения.

ГЛАВА 3

МЕТОД ВИНЕРА —ХОП①А 】)

ВВЕДЕНИЕ

В гл. 2 мы подробно рассмотрели формулировку краевых задач для неоднородных волноводов, основанную на сшивании полей. При этом способе формулировки задача обычно сводится к беско- увечной системе уравнений, допускающей точное решение для некоторых структур специального вида, например для разветвленного волновода. В этой главе будет рассмотрен совершенно иной метод формулировки и решения краевых задач. Разумеется, и в этом слу* чае точное решение задачи достигается лишь для структур специального вида. Эти структуры либо совпадают с теми, для которых Можно получить точное решение задачи методом сшивания (гл. 2), либо являются их частными предельными случаями. Однако рассматриваемые в этой главе способ формулировки и решение задачи совершенно отличны от используемых в методе сшивания.

Основные различия между двумя возможными подходами обусловлены различием в использовании преобразования Фурье, составляющего основу описываемого в настоящей главе метода. Преобразование Фурье можно использовать двояко. Во-первых, прм сведении краевой задачи к интегральному уравнению, которое затем преобразуется в уравнение на комплексной плоскости а, где а — переменная в преобразовании Фурье. Во-вторых, при использовании метода Джонса, где краевая задача формулируется в виде уравнения непосредственно для изображений Фурье. При этом в качестве отправного момента вычисляются изображения Фурье для полей, к которым затем применяются граничные условия непрерывности. Оба способа приводят к единственному урав* жеиию в комплексной плоскости а для двух неизвестных функций, которые необходимо ввести в процессе формулировки задачи. Обе веи^вествые функции определяются с помощью метода Винера— X血巾а, основанного на использовайии аналитического продолже- вия в плоскости комплексного переменного а.

Хотя в этой главе мы ограничимся рассмотрением лишь тех задач, которые могут быть точно решены методом Винера—Хоп- 施 математическая техника, развитая здесь, послужит нам 穹 дальнейшем (гл. 5) основой для построения некоторых приб-

!) В отечественной литературе этот метод принято называть методом Вивера—Хопфа — Фока, поскольку В. А Фоку принадлежит одна из основополагающих работ в этой области [68].—Ярил. ред.

лиженных методов. Эти методы позволяют существенно расширить класс задач, для анализа которых применим метод Винера — Хопфа

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ

При изучении метода Винера — Хопфа необходимы некоторые сведения о свойствах преобразования Фурье. Детальное обсужде* ние преобразования Фурье выходит за рамки нашего изложения; интересующийся читатель может воспользоваться рядом превоС^ ходных книг, специально посвященных этому вопросу, например [64]. Полезно, однако, начать изложение со сводки свойств преоб* разования Фурье х), которые явственно выступают при описаяиж метода Винера — Хопфа.

Преобразование Фурье функции / (z) определяется выражением

8

F(a)^F(f) = ^ J 〃z)es&z,(3.2.1)

где а пока будем считать действительным.

Наряду с обозначением F (а), принятым для преобразования Фурье функции / (z), мы будем иногда использовать также символ ?⑺•

Условия существования величины F (а), определенной согласва (3.2.1), зависят от того, в каком смысле понимается интеграл в пра* вой части приведенного выше уравнения. Для наших целей обычно достаточно понимать этот интеграл в смысле Римана 2). Таким образом, преобразование Фурье F (а) существует, если существует интеграл (3.2.1) в смысле Римана. Для несобственных интегралов СИМВОЛ

Следует заметить, что в методе Винера — Хопфа можно вместо пре* образования Фурье использовать двустороннее преобразование Лапласа.

На отрезке [а, &] определим последовательность т) как конечвуж» последовательность точек а =仅。V 仅1 之 Q2 V • • • V @n = Ь. Норму последовательностиf которую мы будем обозначать ] т) |, определим как I 寸 I = max Ан , п = 1, 2,..・,N, где Ас^ = % — q^t. функция / (工卜 вадатаая в& отрезке [а, &], интегрируема в смысле Римана тогда и только тогд学,когда существует предел

N

lim 2 f^^n = I^ an-l《工n《0П， Ц0 n=l

В случае когда предел существует, мы полагаем ь

(f(x)dx = I.

Ос., напртмер, [59, гл. 5]・

(3.2.2)(3.2.2)j g (z)血

(3.2.2)

(3.2.2)

обычно понимается как предельное значение

lim f g(z)dz,(3.2.3)

aесли предел существует. Кроме того, если g (z) неограниченно воз-растает или осциллирует при z -> Ь, то по определению полагаютЬЬ-8

fg(z)dz= lim ( g(z)dz, b>a,(3.2.4)

*w+o J

если предел существует. Преобразование Фурье, определенное таким образом, существует даже в том случае, когда / (z) имеет несчетное число точек разрыва или даже если функция | / (z) е iaz | не интегрируема в неограниченной области.

Наиболее важным соотношением, связывающим функции F (а) и / (z), является теорема обращения^ согласно которой

/(z) =斤т 仍)=/ Г 尸(a)e-3da・(3.2.5)

Обратим внимание на то, что мы ввели здесь обозначение F~r для оператора обратного преобразования Фурье, определяемого интегралом (3.2.5). Второе важное свойство преобразования Фурье, часто используемое при решении интегральных уравнений, встречающихся в теории электромагнитных волн, описывается теоремой о свертке. Эта теорема выражается соотношением

(3.2.6)(3.2.6)

(3.2.6)

(3.2.6)

Теорему о свертке можно представить и в другом виде, одним из следующих равенств:

告1"(—…合告1"(—…合j F(a)G(a)e-^da, (3.2.7)j F(a)G(a)e-^da, (3.2.7)+ 8W 卜(z)g(z)”+ 8W 卜(z)g(z)”=爲 j F^)G^^)d^ (3.2.8)=爲 j F^)G^^)d^ (3.2.8)

告1"(—…合

告1"(—…合

j F(a)G(a)e-^da, (3.2.7)

j F(a)G(a)e-^da, (3.2.7)

+ 8

W 卜(z)g(z)”

+ 8

W 卜(z)g(z)”

=爲 j F^)G^^)d^ (3.2.8)

=爲 j F^)G^^)d^ (3.2.8)

Доказательства формулы обращения и теоремы о свертке можно найти во многих руководствах по преобразованиям Фурье и здесь нами не приводите^

Интеграл, определяющий преобразование Фурье (3.2.1), часто выражают в вид£§уммы интегралов, каждый из которых определен

в полубесконечной области

На)=

耳(а) + F_ (а),

(3.2.9a)

где

оо

%(а) =

(3.2.96)

忆3)=

0 卜侈）产叁. '—8

(3.2.9b)

В зависимости от поведения функции / (z) при z -> + оо и z -> ——оо может оказаться, что для действительных а существует лишь один из интегралов 耳(а) или F_ (а). В этом легко убедиться на примере функции

/ (z) = е%

где "=右 + 矗2, причем % к2 > 0.

Для выяснения смысла интегралов F+ (а) и F_ (а) представим функцию / (z) в виде суммы двух функций 1):

/(z) = /(+)(z) + /(-)(z),

(3.2.10)

где

/( /W口ри z>0,

/(+) (z) — 1 Qпри z<0,

(3.2.11a)

J 0при z>0,

/(-) (z) — I 〃z)при zV0・

(3.2.H6)

Функции F±(a) можно рассматривать как преобразования Фурье для функций /± (z). Из теоремы обращения (2.5) получаем

尸Т （耳）={

〃z)

при z>0,

(3.2.12a)

0

при zV0・

[0

при z>0,

(32126)

尸T （尸一）=

L 〃z)

при zV0・

Обратим внимание на то, что мы обозначаем индексами (+) и (—) функции от z, равные нулю на полупрямой, соответственно в интервале (—оо, 0) или (0, + оо). Как будет показано в § 3, преобразования Фурье этих функций (обозначаемые теми же индексами без скобок) аналитичны соответственно в верхней и нийкн喷 полуплоскостях комплексной переменной а.

Заметим, что в выражениях (3.2.10)—(3.2.11) не определено явно значе- цие / (z) при z = 0. Однако, в соответствии со свойствами интеграла Римана, наличие конечного числа точек разрыва первого рода у подинтегральной функции не приводит к нарушенйю интегрируемости или к измейеяию величины интеграла

§ 3. СВОЙСТВА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕВ КОМПЛЕКСНОЙ ПЛОСКОСТИ а

В предыдущем параграфе мы определили преобразование Фурьег считая переменную интегрирования а действительной. В дальнейшем мы снимем это ограничение и установим некоторые важные свойства преобразования Фурье в комплексной области; эти свойства будут непосредственно использоваться ири развитии метода Винера — Хопфа.

Попытаемся вначале унифицировать наш язык и напомним некоторые термины, принятые в теории функций комплексного переменного. Назовем функцию аналитической 6 точке комплекс- бой плоскости, если она однозначно определена и дифференцируема в этой точке. Будем говорить, что функция аналитична в области D^ если она является айалитической в каждой точке этой области, за исключением, может быть, конечного числа точек. Эти выделенные точки назовем особыми точками, или точками сингулярности функции. Если аналитическая функция не имеет точек сингулярности в области D, говорят, что она регулярна 】)в этой области. Функция, регулярная в любой конечной области всей комплексной плоскости, называется целой функцией.

Сформулируем теперь без доказательства основную теорему, относящуюся к функциям комплексного переменного а, определенным интегралами, вида

G (а) = j / (z) h (z, а) dz.(3.3.1)

а

Частным случаем этого интеграла является и преобразование Фурье (3.2.1). Нас интересуют условия, при которых функция G (а) регулярна при а, принадлежащем области D (открытая связная область, исключая границу).

Теорема I. Функция G (а), определенная интегралом (3.3.1), регулярна 6 области D, если выполнены следующие условиям

h (z, а) — непрерывная функция двух переменных, если а Принадлежит D, а а & z & R для любого конечного Е;-

если а ^ z ^. R, h (z, а) регулярна 6 0;

если а & z & 2?, / (z) имеет конечное число разрывов первого р^да 〃 конечное число максимумов и минимумов]

если а & z & Е, / (z) ограничена всюду, за исключением ко- печного числа точек. Пусть z0 — одна мз таких точек, так что

工)Иногда используют также термин «голоморфная» или «аналитическая» ункция.

ZQ-6ZQ-6/ (z) -> оо при z -> Z。； тогда интеграл

ZQ-6

ZQ-6

G(a) = lim[ J f (z)A(z, а)&+ j /⑵五(z, a)dz]°f°0zo+6

должен существовать,"

G (а) сходится равномерно，) для любого a 6 области D.

Общая идея этой теоремы первоначально была сформулирована Копсоном [34] и Титчмаршем [65], а в приведенной выше форме дана у Нобла [58]. В задачах, которые мы будем рассматривать, функция / (z) обычно связана с решением некоторой ди@раК1^ш>耳- ной задачи и, как можно будет показать, обычно удовлетворяет условиям (в) и (г). Предположив, что сформулированные вышё^ условия выполнены, получим на оснований теоремл I некоторые важные свойства функций 耳(a), F _ (а) и F (a). Первое из этих свойств можно сформулировать в виде следующей теоремы.

Теорема II. Если / (z) 〜 4е°* При 纟一> +оо, то： функл^я

%似)=矗 j〃z)e*dz(3.3.2)

регулярна 6 полуплоскости т = Im a > т_・

Для доказательства воспользуемся теоремой I. Очевидно, что функция 为(z, a) = e^z удовлетворяет условиям (а) и (б). Остается, таким образом, показать, что условие (д) также выполнено. Для этого рассмотрим значение функции F+ (а) в фиксированной точке a = а。= о。+ /т0, где t。= 工一 + а, е > 0・ Интегра# 斗(a0) сходится, так как он отличается от ограниченной величины лишь на слагаемое

f Ae-^e^zdz, (3.3.3)

Простейшим условием равномерной сходимости интеграла являе^сЛ аналог признака Вейерштрасса равномерной сходимости ряда. Hyctb 方(г, a) — непрерывная функция z (а заключено в области D, а %》@), уд<ИН летворяющая в каждой точке области 0 условию I g G,明《М (х), хда

ОО

М — положительная функция, не зависящая от а. Тогда, еслм ] М СО &

сходится.сходится.g (z, a) dz сходится в D равномерно и абсолютно [34].

сходится.

сходится.

которое ограничено при е>0・ Введем вспомогательную функцию

g ⑺=^^ ! 〃“)eia°Z 血・

Заметим, что g(z) ограничена при всех значениях 力, F+ (а0) существует. Представим F+ (а) в (3.3.2) в виде

F+ (а) = ―f e2(a-ao)ze“z〃z) dz・

Проводя интегрирование по частям, получаем

F+ (а) = eUa-ao)zg(z)『一i (а—а0) J g (z) еМа-ао"成.

(3.3.4}

так как

(3.3.5)

(3.3.6>

о

Так как g(0) = 0, a exp [f (а—а0)] g (z) -> 0 при z -> оо и т>То, то получаем

尸 + (а) = — Z (а -%) J g (z) е«а-ао”初

(337>

при т > т0 или т > т_, если 8 fo. Заметим, что R области t > т_ подинтегральное выражение в (3.3.7) всегда меньше М, где М — верхняя граница g (z) и не зависит от а. По определению интеграл 耳(а) сходится равномерно для всех т > т_. Так как выполнены все пять условий, регуляртость функции % (а) в верхней полуплоскости т > t_ комплексной плоскости а доказана.

Теорема III. Если / (z)〜 Зе"25 При 纟― _ 8, то функции о

(3.3.8)

регулярна 6 полуплоскости т < т+.

Эта теорема доказывается совершенно аналогично предыдущей» Напомним еще pad читателю, что индексы у функций F+ (а) н F_ (а) обозначают область регулярности этих функций на ком- влексной плоскости а.

Теорема IV. Если / (z)〜/еJ при z —十^ и f (z) ^ 8夕+北 при z f ——оо, причем t+ > t_, то преобразование Фурье

歹(а) =

11/2л

十8

j / (z) e^z dz

(3.3.9)

регулярно в полосе t_ V т V т+, а обратное преобразование дается интегралом

оо+гт

/ (z) = ■ L, f 尸(а)е-ма% т_ < т С т+.(3.340)

-8 + Vt

Представим F (а) в виде F (а) = % (а) + F_ (а), тогда из теорем I и II сразу следует регулярность интеграла (3.3.9). Полагая а = и + 沃 в (3.3.9), получаем

尸(о + К) =，f [/ (z) e~TZ] егСг dz. (3.3.11)

Этот интеграл можно рассматривать как преобразование Фурье функции [/ (z) е—z] по действительной переменной о. Преобразование Фурье F (а + /т) существует, если t_ V t V 工+・ Используя теорему обращения (3.2.5), получаем равенство

f(z)e-Tz=_f F(а + it)e-^zda, t_VtV“ (3.3.12} у2л乙

которое, как можно показать с помощью простой замены перемен- дых, совпадает с выражением (3.3.10).

ФОРМУЛИРОВКА ЗАДАЧИ С ПОМОЩЬЮ ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ

Метод Винера ——Хопфа пригоден для решения краевых задач в тех случаях, когда форма тела может быть определена как сочле- нецие двух полубесконечных подобластей, принадлежащих некоторой области, являющейся координатной поверхностью в разделяющейся системе координат. С помощью функции Грина для поверхности такой формы можно получить неоднородное интегральное уравнение, определенное в полубесконечной области. Для задач дифракции электромагнитных волн, которым посвящена эта книга, интегральное уравнение имеет вид х)

sj^ j <P(z())g(z —Zo)dz()= Q(z), 0VzV8, (3.4.1)

где ядро g (z ——z。) и правая часть q (z) определяются соответственно известными функцией Грина и видом падающего поля (или источника). Неизвестным в интегральном уравнении (3.4.1) является функция ф(Z。), которая обычно описывает распределение тока.

Коэффициент 4/”2л удобно ввести здесь, чтобы избежать появления липшего множителя при используемой ниже операции обращения.

наведенного на поверхности полубесконечного рассеивающего препятствия, или распределение лоля в полубесконечном раскрыве. Уравнение (3.4.1) в литературе принято называть ийтеграль- ным уравнением Винера — Хопфа; его решение и составит основное содержание этого параграфа.

Прежде всего заметим, что интегральное уравнение (3.4.1) имело бы вид интеграла свертки (3.2.6), если бы интеграл имел бесконечные пределы, т. е. — оо <： z0 <； оо, а уравнение бы^о бы справедливо для всех z・ Так как мы имеем дело с интегралом типа свертки, можно применить для решения преобразование Фурье; 1юаультирующее уравнение в пространстве изображений будет при этом просто алгебраическим уравнением. Таким образом, первым шагом в решении является преобразование уравнения (3.4.1) к свертке. Для этого обозначим

J(p(z), z>0,屮什〉(z) = { о, zvO, (342)

где в соответствии с обозначениями § 2 индекс (+) означает, что функция равна нулю при z V 0・ Левую часть в (3.4.1) можно заменить ва

ф(+)Go) g (z — Zo) %・ (3.4.3)

Для того здобы расширить область определения уравнения (3.4.1) до всей прямой — оо <； z <； оо, проделаем аналогичную нроцедуру и для функции q (z), т・ е. определим

f a(z), z>0,

(344)

Теперь можно было бы переписать уравнение (3.4.1) в виде

_^^ J Фс+)(^о) g (z — zj d蜀=%+)(z), — 8 V z V 8.

Однако полученное уравнение некорректно: оно подразумевает ра#№ство нулю интеграла в левой части при z V z。, тогда как @计》(z) для всех отрицательных z равно нулю. Следует понимать, Что интеграл

j <pGo)g(z —zjdzo

опрвделеи для всех z, в то время как нетзвестная функция ф (z。) оаределша лишь для z@ > 0・人

В результате при попытке расширить область определения уравнения (3 4 1) до всех z мы вынуждены ввести новую неизвестную функцию, скажем b(_)(z), тождественно равную нулю для z > 0. Уравнение (3.4.1) можно теперь переписать в виде, допускающем применение преобразования Фурье:

тр^ j 屮+(Zo) g(Z — Zo) dzo = 〃(+)(z)—Ь(_)(z),—8 Vz V 8.

(3.4.5)

В процессе преобразования уравнения (3.4.5) требуется знать асимптотику входящих в него функций для того, чтобы с помощью сформулированных в § 3 теорем определить область регулярности их преобразований Фурье. Функции g (z) и q《+)(z) известны, поэтому области регулярности функций G (а)=力(g (z))，) и 4+ (а)= F (〃+) на комплексной плоскости а легко установить. Поведение пока еще не известных функций(р(+) (z) и “_> (z) при Zf 0 м(),кет быть определено априори из физических условий рассматриваемой задачи ). Таким образом, и области регулярности функции (1)+ (а) = Р (屮什))и В_ (а) = F (“_)) также можно установить. В правильно поставленной задаче функции G (а), 4+ (а), Ф+ (а) и 月一 (а) будут иметь общую полосу регулярности в комплексной плоскости а; обозначим эту полосу т_ V t V т+・ Применяя к (3 4.5) преобразование Фурье, приходим к уравнению

Ф+ (a) G (а) = А+ (а) — В. (а), j V т V ".(3.4.6)

которое обычно называется уравнением Винера — Хопфа. Из (3 4.6) очевидна цена, которую нам пришлось заплатить за то, чтобы преобразовать интегральное уравнение (3.4.1) в алгебраическое: в то время как уравнение (3.4.1) содержит лишь одно неизвестное ср(Z。)для z о > 0, в (3.4.6) две неизвестные функции —

① + (а) и В_ (а). На первый взгляд могло бы показаться, что определить два неизвестных из одного уравнения невозможно. Однако, как мы вскоре убедимся, метод Винера — Хопфа позволяет это сделать. Следует напомнить, что функции ① + (а) и В_ (а) регулярны соответственно в верхней и нижней полуплоскостях. Это обстоятельство, как будет показано, имеет исключительно важное значение при отыскании двух неизвестных из одного уравнения (3.4.6).

§ 5・ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ВИНЕРА — ХСШ①А

В этом параграфе мы опишем формальную процедуру х) решения уравнения Винера ——Хопфа, которое для удобства приведем еще раз:

Ф+ (a) G (а) = А+ (а) — В. (а), l V t V 屮 (3.5.1)

Ключевым моментом решения уравнения (3.5.1) является факторизация функции G (а), т. е. представление ее в виде произведения двух функций:

G (а) = % (а) £ (а),(3.5.2)

где % (а) регулярна в верхней полуплоскости (т > r_), a G_ (а)—— в нижней полуплоскости (т V 七+) комплексной плоскости а. Кроме этого потребуем также, чтобы функции % (а) и G_ (а) не имели нулей в областях регулярности 2). В необходимости этих дополнительных условий мы убедимся при отыскании решения.

В некоторых простых случаях факторизация (3.5.2) может быть осуществлена достаточно просто по виду функции. В произвольном случае имеется формальный способ факторизации функции G (а). Детальное рассмотрение способа факторизации произвольной функции будет дано в § 9. Сейчас предположим, что факторизация (3.5.2) проведена. Подставив (3.5.2) в уравнение (3.5.1), получим

①+ (а) % (а) G_ (а) = А+ (а) — N_ (а), т_ V т V Н. (3.5.3)

Так как GL (а) отлична от нуля в полосе, можно разделить обе части уравнения на G_ (а). В результате получим

①+Q)G+(a)=縉一g^g, LVtVj. (3.5.4)

В силу свойств функций Ф+ (а) и G+ (а) произведение ① + (а) G+ (а) регулярно в верхней полуплоскости; аналогично N_ (a)/G_ (а) регулярно в нижней полуплоскости комплексного переменного а.

Следующим важным шагом в отыскании решения является разложение неизвестной функции на сумму двух функций

=+(3.5.5)

5+ 旧丿

Эквивалентная, но несколько иная процедура решения будет описана в § 52

Как мы увидим далее, это возможно лишь в случае, когда G (а) не имеет нулей в полосе т_ < т < т+.

Обратим внимание, что если представление данной функции в виде произведения функций, регулярных в верхней и нижней полуплоскостях, мы называли факторизацией, то представление функции в виде суммы (3.5.5) можно было бы назвать разложением. Рассмотрение способа разложения заданной функции мы также отложим до § 9, а здесь лишь предположим, что функция Л+ (a)/G_ (а) может быть представлена в виде (3.5.5). Используя это разложение в (3.5.4), получаем

Ф+ 3) G+ (а) — S+ (а) = S. (а) —踹,т_<т<т+.(3.5.6)

Функция в правой части уравнения (3.5.6) регулярна в нижней полуплоскости (т V т+), а функция в левой части уравнения регулярна в верхней полуплоскости (т > т_). Обе полуплоскости пере- врываются в полосе т_ < т < т+. Как можно показать с помощью аналитического продолжения，), обе части уравнения (3.5.6) должны быть равны, целой функции Р (а). Введя функцию Р (а), мы обобщим уравнение (3.5.6) на всю комплексную плоскость а:

Р (а) = Ф+ (а) G+ (а)S+ (а) — 5_ (а) — ^ ^ при всех а. (3.5.7)

Очевидно, что для однозначного решения задачи следует определить Р (а). Напомним, что целыми функциями мы называем функции, регулярные во всей комплексной плоскости | а | < оо. Такие функции могут быть рациональными, т. е. полиномами конечной степени, или трансцендентными. В качестве примера целой трансцендентной функции можно указать ^а, sin а или любую функцию, представимую бесконечным степенным рядом, сходящимся для любого конечного значения а. Рациональные целые функции на бесконечности растут по алгебраическому закону, трансцендентные целые функции имеют на бесконечности существенно особую точку. В задачах электродинамики функции, входящие в уравнение (3.5.7), обычно при | а | -> оо растут алгебраически, а не экспоненциально. Это непосредственно связано с условием на ребре (§ 1.3, 1.4), согласно которому в окрестностях геометрических сингулярностей поверхности для поля допустим лишь алгебраический рост. Наложение условия на ребре в конкретных задачах обычно позволяет определить два положительных действительных числа р и ^, таких, что

Ф+ (a)G+ (а) — 5+ (а) = О (а~р), |а|->оо и т> т_, (3.5.8а>

—=丨 8 и т<т+. (3.5.86),

Если две функции регулярны соответственно в областях О】и D3. и совпадают Н окрестности какой-либо точки их пересечения, они равны всюду - в объединении 口 黑 ％

7号

Как следует из соотношения (3.5.7), при этих условиях Р (a) f 0, если I а I -> оо. На основании теоремы Лиувилля, согласно которой ограниченная целая функция постоянна^ функция Р (а) тождественно равна нулю } Этот результат дает возможность одновременно определить Ф+ (а) и В_ (а):

① + (а) = S+ (a)/G+ (а),(3.5.9a)

В_ (а) = S_ (а) G_ (а),(3.5.96)

и тем самым получить требуемые решения функционального уравнения Винера —— Хопфа (3.5.1). Неизвестную функцию ср (z) в исходном интегральном уравнении (3.4.1) можно теперь определить с помощью обратного преобразования Фурье функции Ф+ (а). Как видно из описанного процесса решения, уравнение Винера —Хопфа (3.5.1) может быть решено лишь в случае, когда Р (а)——целая функция. Граничные условия задачи и условия возбуждения допускают лишь определение частного решения. Для однозначного определения Р (а) требуется дополнительное физическое ограничение. В задачах электродинамики, как мы увидим из рассматриваемых ниже примеров, таким физическим критерием является условие на ребре.

РАЗВЕТВЛЕННЫЙ ВОЛНОВОД

В § 4, 5 было дано описание вывода функционального уравнения Винера — Хопфа с помощью интегрального уравнения и его решения. Теперь желательно рассмотреть какой-либо характерный пример. Вернемся снова к задаче о разветвленном волноводе, которая была решена в гл. 2 методом сшивания. Рассмотрение 3dой задачи мы разобьем на несколько этапов. Вначале сформулируем задачу с помощью метода функции Грина, а результирующее интегральное уравнение преобразуем в функциональное уравнение Винера — Хопфа в пространстве преобразований Фурье. Затем подробно проследим за процедурой нахождения решения уравнения Винера — Хопфа. Как мы увидим в рассматриваемом примере,

I) Вообще говоря, вместо (3.5.8) мы можем получить

①+Q)G+3)—S+(a) = O(a色)，|a]f 8 и т>т^.

一S_(a)—-= О(о?2), |a|f 8 и т<т+.

В этом случае можно воспользоваться следующим обобщ^мем теоремы Лиувилля. Если / (а) — целая функция и | / (а) | ^ М | а |л при | а 丨 т 8 для фиксированных подожительвых ЛГ и 九，то фзгнкция / (а) есть полином мтеимж не выше 同，где 闻一целая часть Л. В результате получаем, что р (а) в (3.5.7) есть паянном степени не выше min (1月1,[五由・

необходимые по ходу решения факторизация и разложение функ^ ций достигаются очевидным образом. Основываясь на этом про стом примере, мы опишем также общий метод факторизации про* извольной мероморфной функции ')・ Наконец проведем детальное исследование решения задачи о разветвленном волноводе.

ФОРМУЛИРОВКА ЗАДАЧИ С ПОМОЩЬЮ ФУНКЦИИ ГРИНА

На рис. 3.1 изображен плоский разветвленный волновод. Как показано на рисунке, слева на разветвление набегает собственная

х

Рис. 3.1. Разветвленный волновод и контур интегрирования в формуле Грина (3.6.6).Рис. 3.1. Разветвленный волновод и контур интегрирования в формуле Грина (3.6.6).

Рис. 3.1. Разветвленный волновод и контур интегрирования в формуле Грина (3.6.6).

Рис. 3.1. Разветвленный волновод и контур интегрирования в формуле Грина (3.6.6).

волна типа ТЕЪ 0. Единственная отличная от нуля составляющая электрического поля у этой волны равна

矶办= <p《S = sin (? %) 6一丫壮,ov^Vq, — oo<z< oo. (3.6.1)

Заметим, что при решении методом сшивания падающее поле считалось отличным от нуля лишь в области Л (см. (2.2.1)). При реше* нии задачи методом Винера — Хопфа удобно считать, что падакь* щее поле отлично от нуля во всех областях, хотя при зависимости поля от поперечной координаты sin (冗％/@), очевидно, не удовле* творяется граничное условие при 啰=b, z > 0・ Как мы убедимся в дальнейшем, конечные результаты для рассеянного поля в об- ластях В и С содержат слагаемые, которые полностью компенси* руют падающее поле в этих областях, и, таким образом, полное поле везде совпадает с полем, найденным методом сшивания. Очевидная причина различия в определении падающего поля связана с тем, что в метода сшивания используется условие непрерывностй полей 百 поперечной плоскости при z = 0, а в методе Витера — Хопфа, как мы скоро увидим, используется условие непрерывности поля в продольной плоскости при X ^ Ъ.

х) Меромор^ая функция есть отношение двух целых функции.

Задача состоит в отыскании рассеянного поля х), состоящего лишь из волн типа ТЕ и определяемого единственной составляющей Еу = ср. Скалярная функция <р удовлетворяет волновому уравнению

(鳥 + 名+ /)屮仅，z) = 0(3.6.2)

и четырем условиям, определенным ранее в гл. 2 (см. (2.2.2)). Для вывода интегрального уравнения типа (3.4.1) введем функцию Грина 2), удовлетворяющую уравнению

(熹 + 矗"+ 兴)g 位，z I 的，zo) = — ]Л瓯3 (力一的)5 (z — z°),

(3.6.3)

где 6 —— дельта-функция Дирака. Функция Грина удовлетворяет следующим граничным условиям：

g = 0 при % = 0 и % = а для всех z,(3.6.4а)

g удовлетворяет условию излучения при z = ± оо・

(3.6.46)

Введенная таким образом функция Грина зависит лишь от разности (z ——Z。), и, следовательно, можно написать:

g (%, z I &, Zo) = g (%, %о； z — Zo)・(3.6.5)

Используем далее вторую теорему Грина

,j (<pv2g-gv2(p) dxdz=^ (屮瑞一g 需)弘 (3.6.6)

где область S ограничена стенками широкого плоского волновода и полубесконечной пластиной, разделяющей волновод (см. рис. 3.1), С — граница области S, а д!дп ——оператор дифференцирования в направлении внешней нормали. Как очевидно из (3.6.2) и (3.6.3), в левой части равенства (3.6.6) стоит величина (—1)/2冗屮(力°, z。). Интеграл в правой части (3.6.6) можно разбить на несколько слагаемых:

Интегралы по С\ и Сб равны нулю, так как 屮=0 и g = 0 на этих отрезках*

工)Вследствие принятого определения падающего поля рассеянное поле ф будет отличаться от найденного в § 2.2 на величину падающего поля в областях 5 и С

2)Выбирая функцию Грина различным образом, можно получить различные результирующие интегральные уравнения (см. [58], гл. 2).

Объединяя интегралы вдоль С3 и С4 и учитывая непрерыв- |(кть 屮(才,z) на пластине, получим

j g(b, &; z —z。)j(+)(z)dz,(3.6.7)

0

де величина

M (z)-需 Lk

I ропорциональна плотности поверхностного тока, наведенного ia пластине х).

Интегралы вдоль С2, Сб й С7 обращаются в нуль, так как функции 屮 и g удовлетворяют условию излучения; проверить это ложно непосредственно, проведя интегрирование и воспользо- швшись для 屮 и g их асимптотическими выражениями. Убедиться в справедливости этого можно и другим способом, допустив нали- тие малых потерь в среде; при этом условия излучения требуют, хтобы функции ф и g убывали при z f 士 оо.

Суммируя вклады от интегралов по разным отрезкам контура, юлучим результирующее уравнение

三^，g(" %о； z —zo)九+)(z)dz= —(p(&, Zo)・ (3.6.8) P 0

□сталось еще удовлетворить граничному условию на пластине (р +屮(£) = 0, которое с учетом (3.6.1) дает

(р= — sin (^) еп% % = Ь, z >0.(3.6.9)

Подставляя это значение в (3.6.8) и заменяя переменные х на 力°, a z на Z。, окончательно получаем требуемое интегральное уравнение

:^ j九+)(zo)g(z —zo)dzo = sin (^) етз, z>0, (3.6.10) где для простоты g (х = b, xQ = b; z — z。) обозначена как g (z — Zo). Заметим, что уравнение (3.6.10) совпадает по форме с (3.4.1), причем единственное неизвестное здесь у(+) (z。). Используемая в (3.6.10) функция Грина известна, и ее явное выражение можно найти, решив задачу, описываемую формулами (3.6.3)— (3.6.4) (см. задачу 3.2). Однако для решения уравнения〈3.6.10) методом Винера ——Хопфа не требуется знать явное выражение цля g (z ——Zo). Необходимо знать лишь преобразование Фурье от g, т, е, G = F [(g (z))], которое может быть легко вычислено.

Плотность наведенного на пластине поверхностного тока равна «/①心 J(+) (z) %.

При выводе уравнения (3.6.10) были использованы все граничные условия, перечисленные в § 2.2. Таким образом, вся информация, необходимая для однозначного определения функции у(+) (z。), содержится в интегральном уравнении (3.6.10) и оставшемся условии на ребре (условие 4 в § 2.2).

ВЫВОД УРАВНЕНИЯ ВИНЕРА — ХОПФА

Слёдуя пути, намеченному в § 4, преобразуем интегральное уравнение (3.6.10) в функциональное уравнение Винера ——Хопфа. Для того чтобы иметь возможность использовать формулу для свертки (3.2.6), необходимо расширить область интегрирования в (3.6.10) до полной прямой — оо V Z。V оо・ Заметим, ито j(+)(z。) равно нулю при z。V 0. Поэтому нет необходимости вводить новое обозначение, аналогичное соотношению (3.4.2), а можно сразу написать

:р^ J J<+)(zo)S (z — z()) dzo = “什)(z) — b(_)(z),—8 Vz V 8,

(3.6.11a)

где

他+> (z)= (

%in (圖 L吗z>0, (3 6116)

〔0,zVO,

o,z>0,

仇一)(z)=

_! F・(3.6.11b)

тр= j j什〉Go) g (z — z()) dz(), z V 0.

Заметим здесь, что согласно (3.6.8)

(3.6.11г)(3.6.11г)仇.)(z)(р (/-^ 6, z), z ^^ 0.

(3.6.11г)

(3.6.11г)

Прежде чем вычислить преобразование Фурье функций (3.6.11), сделаем замечание о возможных свойствах среды.

Довольно очевидно, что любая физическая среда неизбежно должна обладать потерями. Поэтому отсутствие потерь в среде —— идеализация, часто используемая при теоретическом анализе — на самом деле является предельным случаем бесконечно малых потерь. При решении уравнения (3.6Л0) методом Винера ——Хопфа удобно предположить, что среда обладает малыми потерями; при этом следует положить

"=左J. + »施，&■》"2 >*。。

Принятое допущение помогает избежать исследования корректности некоторых предельных переходов. Решение для случая отсутствия потерь при этом всегда можно получить, просто полагая f ° в окончательном выражении.

Начнем с рассмотрения преобразования Фурье от функции а(+)(z)・ Так как а(+) (z)〜exp (―七必)при z т + оо, где т0 = = Re Уз то, согласно теореме II из § 3, функция 4十(а) = = F (〃(+)) регулярна в верхней полуплоскости (t > —— т0) комплексной плоскости а; явное выражение для Л+ (а) имеет вид

4+⑴=加也4+⑴=加也(4)1О(4)1Оетзе2az 血=етзе2az 血=Д/2л ' @ / а +叫g'0Д/2л ' @ / а +叫g'0(3.6.12)(3.6.12)

4+⑴=加也

4+⑴=加也

(4)1О

(4)1О

етзе2az 血=

етзе2az 血=

Д/2л ' @ / а +叫g'0

Д/2л ' @ / а +叫g'0

(3.6.12)

(3.6.12)

Найдем теперь преобразование Фурье от 九+)(z)・ Эта функция пока не известна, но ее можно представить в виде линейной комбинации собственных волн областей 8 皿 С '):

j《+)(z) = 3 (厶ef ® + Q^f ncz),纟 >0.(3.6ЛЗ)

n=l

Как можно показать (см. задачу 3.3),

Re Ynb^t。， Re 丫次》т。для всех п. (3.6.14)

Физический смысл этих неравенств состоит в том, что в разветвленном волноводе все собственные волны затухают не медленнее, чем основная волна типа ТЕЪ 0 в волноводе А. Вследствие этого I /(+〉(z) I & Ce~^z при z -> + сю. На основании теоремы II из § 3 можно утверждать, что J+ (а) = Р (у(+) (z)) регулярно по крайней мере в полуплоскости т > ——т0.

Найдем преобразование Фурье от функции g (z)・ Как уже отмечалось ранее, можно не определять явное выражение для функции g (%, %; z), а искать ее преобразование Фурье

G (д %; а) = F [g (%, /; z)](3.6.15)

непосредственно из уравнений (3.6.3) —— (3.6.4). Применение преобразования Фурье к уравнению (3.6.3) и подстановка %。= 0 叠) дают

(北一卡)G 8 %0； a)= - 8(n1的)，(3616)

Так как составляющие падающего поля (3.6.1) непрерывны^при *= В* приводимое выражение для 〃+) (z) не должно содержать члена, соответствующего Н^.

Преобразование Фурье от 6 (z) можно интерпретировать как иатеграл Римана. Па определению 6-функции ее преобразованием Фурье будет (2л)”4

где у = pa?—乃2； выбор ветви квадратного корня подробно обсуждался в § 1.6. Так как функция g (力,力°; z) представляет собой линейную комбинацию собственных волн волновода Л типа ТЕп> 0, то на основании теоремы IV § 3 можно утверждать, что функция G (力,%о； а) регулярна в полосе | т | < т0. Поэтому уравнение (3.6.16) справедливо для всех а в этой полосе. Решения однородного уравнения (3.6.16), удовлетворяющие граничным условиям (3.6.4а) при 力=0 и % = а, равны соответственно sh у% и sh у (а ——％). Функция 6(% —— 力°； а) удовлетворяет однородному уравнению всюду, кроме точки 力=况°; поэтому можно положить

('')[02ShY(a —%),2>%о,('')[02ShY(a —%),2>%о,(3.6.17)(3.6.17)

('')[02ShY(a —%),2>%о,

('')[02ShY(a —%),2>%о,

(3.6.17)

(3.6.17)

(3.6Л8а)(3.6.186)(3.6Л8а)(3.6.186)где Z>i и £>2 ——неизвестные функции от %。и а. Можно показать (задачу 3.1), что решение уравнения (3.6.16) с источником типа 6-функции в точке х = х^ должно удовлетворять условиям

(3.6Л8а)

(3.6.186)

(3.6Л8а)

(3.6.186)

G |х==хо+о G |*=*0—о = 0,dG I dG I ——8% |x=xq+0 8% |х=Х0—О

Эти условия позволяют легко определить Рх и Р2 в (3.6.17). Окончательно имеем

'shY(a-%o)sh丫①

G(%, g;a) = < shY」sfj(；-%)[(3.6.19)

k, X > Xq,

Заметим, что G (%,力°; a) — четная функция а, т. е.

G (%,力°; a) = G (%, %。； —a).(3.6.20)

Это свойство является следствием зависимости g (力,％。； z) лишь от модуля z (см. задачу 3.2). Оно справедливо, вообще говоря, для любой однородной и изотропной среды. Как мы увидим в дальнейшем, четность функции G (力,％。； а) имеет важное значение при осуществлении факторизации в методе Винера ——Хопфа.

Полагая в (3.6.19) х =入=Ь, получаем требуемое преобразование Фурье функции g (z):

G(a) =G(a) =sh 仲 sh усу sh yash 仲 sh усу sh ya(3.6.21)(3.6.21)

G(a) =

G(a) =

sh 仲 sh усу sh ya

sh 仲 sh усу sh ya

(3.6.21)

(3.6.21)

Полученная функция G (a) регулярна в полосе | т | < т0, как и отмечалось выше.

Нам осталось найти преобразование Фурье ют-, слагаемого "_)(z) в (3.6.11а). Как следует из (З.б.Нв),

7(+)(М g (z— Zo) &о・7(+)(М g (z— Zo) &о・

7(+)(М g (z— Zo) &о・

7(+)(М g (z— Zo) &о・

При z-^оо имеем |g(z — z0) |^J?ieTo(z~zo) и, таким образом, получаем

I “-)(z) I & 3doz J 八+)係)e-Qzo 血0 = B^z. z f — oo ・(3.6.22) о

Мы установили тем самым, что В_ (а) = F (瓦_)(z)) регулярна в нижней полуплоскости т < т0 комплексной переменной а, хотя явный вид функции b(_)(z) пока не известен.

Преобразования Фурье всех рассмотренных выше функций, входящих в .уравнение (3.6.11а), имеют общую область регулярности I т I < т0. Используя формулу свертки (3.2.6), получим из (3.6.11а)

G (a) J+ (а) = Л+ (а) 一 瓦(а), | т | < т0, (3623) где явный вид Л+ (а) и G (а) определен соответственно выражениями (3.6.12) и (3.6.21).

факторизация МЕРОМОРФНОЙ ФУНКЦИИ

В § 5 рассмотрено решение уравнения Винера ——Хопфа, запи* санного в стандартном виде (3.6.23). Первый шаг при нахождении решения состоит в факторизации функции G (а), т. е. представле

нии ее в видении ее в видеG(a) =G(a) =sh 仲 sh усysh wsh 仲 sh усysh w=% (a) G_ (a),=% (a) G_ (a),(3.6.24)(3.6.24)

нии ее в виде

нии ее в виде

G(a) =

G(a) =

sh 仲 sh усysh w

sh 仲 sh усysh w

=% (a) G_ (a),

=% (a) G_ (a),

(3.6.24)

(3.6.24)

где G* a) и CL (a) регулярны и не обращаются в нуль соответственно в верхней и нижней полуплоскостях переменной а.

Заметим, что в (3.6.24) G (а) — мероморфная функция (отношение двух целых функций). Функцию G (а) можно представить как частное от деления (sh yb sh ус) на (у sh ya) или (sh yb/y) и (sh ус/у) на (sh ya/y); оба представления приводят к одинаковому окончательному результату. Воспользуемся вторым представлением как более симметричным. Любую целую функцию К (а) можно представить в виде произведения сомножителей типа (1 ——a/an). В случае полиномов произведение имеет конечное число сомножителей, а для целой трансцендентной функции число сомножителей бесконечно. Сейчас мы сформулируем без доказательства основную теорему о представлении целой (трансцендентной) функции, имеющей бесконечное число простых нулей, в виде бесконечного произведения [65].

Теорема I. Пусть целая функция К (а)

(а) четна по а, т. е, К (а) = К (—а),

(6)имеет простые нули при а = ± 办几仇=1, 2, . . .), причем 丫几 f “九十 b при n оо.

Тогда функция К (а) может быть представлена бесконечным произведением одного из следующих видов:

[/。而(一訂)(1+前)，(3625a)

直 ©)= JН8

К⑼山1-*)…!!^+ 訂)收/叫 (3.6.256) \Tl=in=l

Для функций, встречающихся в теории электромагнитного поля, Оба условия, накладываемых на К (а), обычно выполнены. Дополнительные экспоненциальные множители в выражении (3.6.256) введены для обеспечения сходимости бесконечных произведений; этот момент уже обсуждался нами в разд. 2.3.2.

В качестве примера применим теорему I к функции Ga)(а)= = sh у а/у. Заметим, что, хотя у = 了 о^ — А2 имеет точку ветвления при а — к, функция G⑴(а) аналитична всюду. Нули функции G《d (а) расположены в точках

а = 土 iyna = ± i [(wt/a)2 —依]i/2,几=1, 2,・・・， причем 7n f nWa при тг -> оо. Согласно (3.6.25), имеем

G⑴@) = ^П(4 -爲)尸…П О + 訂)е+йха/м. (3.6.26) П=1П=1

Совершенно аналогично можно показать, что функцию Грина (3.6.24) можно представить в виде、

G (а)=

П (1_呐而l吗他哨"一呐句-"加，

/ sin fcb sin kc ,/2

у к sin ka /叵；一"；

П(1-a/iYna) е^пл -n=l-

n (1 + *而户叫з g (l + a/iVnc) e^nn

(

sin kb sin kc\x/2 九=ig=i

n仕+叫曲户а。/з -n=l-

(3.6.27)

Используя это выраткение, нетрудно осуществить требуемую факторизацию.

Заметим, что функция G (а) не имеет нулей и полюсов в полосе I т I < т0. Обратим также внимание на то, что первый сомножитель в квадратных скобках содержит все нули и полюсы функции G (а), расположенные в верхней полуплоскости т > — т0 (напомним, что Re 丫几匕 > т0, Re упС > т0 для всех п), а второй сомножитель содержит все нули и полюсы G (а), расположенные в нижней полуплоскости т < т0. Очевидно, первый сомножитель пропорционален функции GL (а), а второй — G+ @)・ В результате имеем

〃 /、 /sin kb sin kc\Vz^ z G+©) = (立亩出)Q3)〃 /、 /sin kb sin kc\Vz^ z G+©) = (立亩出)Q3)П d + a/»Ynb) jab/n冗 口 (1+a/ZYnc) /则例冗 n= 1n= 1

〃 /、 /sin kb sin kc\Vz^ z G+©) = (立亩出)Q3)

〃 /、 /sin kb sin kc\Vz^ z G+©) = (立亩出)Q3)

oo

П (l + a/%a)产a/械n=l

(3.6.28а)

G_ (a)=

/ sin kb sin kc\ V2—\ к sin ka// sin kb sin kc\ V2—\ к sin ka/n(1—呐й「5加几 n=ln(1—呐й「5加几 n=lП (1-aAYnb) e^b^^ (4 一叫出「汝加冗n=ln=l'

/ sin kb sin kc\ V2

—\ к sin ka/

/ sin kb sin kc\ V2

—\ к sin ka/

n(1—呐й「5加几 n=l

n(1—呐й「5加几 n=l

(3.6.286)

где Q (a)——целая функция, не обращающаяся в нуль во всей плоскости а. Целая функция, не имеющая нулей, всегда может быть представлена в экспоненциальной форме:

Q (а)=办2 (3.6.29>

где х (а)——также целая функция. Здесь следует подчеркнуть, что выражения (3.6.28)——(3.6.29) определяют функции G+ (a) и G_ (а) в наиболее общем виде. Лишь определив функцию %(а) х) мы проведем факторизацию G (а) единственным образом.

Для определения % (а) нам необходимо вновь обратиться к условиям на ребре. Как будет показано, условия излучения допускают лишь алгебраический рост функции /+ (а) в (3.6.23) при I а I -> оо в верхней полуплоскости. Отсюда в свою очередь следует, что G+ (а) и G_ (а) должны характеризоваться алгебраическим ростом при больших значениях а в областях регулярности этих функций.

Асимптотику функций G+ (а) и G_ (а), определенных^ выражениями (3.6.28), можно определить, используя формулу (1.4.11). Фактически в гл. 2 мы уже установили асимптотику функции / (ip), которая оказывается очень похожей 丄)на асимптотику G+ (а) или G_ (а). Сопоставляя (3.6.28) и (3.5.4) и используя (2.5.6), получаем

% (а)〜Е+ (а) е% (а) (а)~1/2 ехр { — * [bIn 偿)+ с 1л (?) ] },

|а|т8 при т> —т0,(3.6.30a)

G_(a)~W_(a)ef У)(а)Т2ехр {十壊 但口 佇)十八口 伐)]}, |а|->оо при т<т0,(3.6.306)

где функции 己+ (а) и 占一 (а) ограничены. Для того чтобы асимптотика функций % (а) и G_ (а) имела степенной характер, следует выбрать % (а) в виде

%3)=吟 О® (^) + сm (£ )] + 必(З.б.ЗОв)

где d ——произвольная постоянная. Определять d нет необходимости, так как окончательное решение уравнения Винера — Хопфа (3.6.23) не зависит от d・ Выбор d не отразится на окончательном решении. Итак, получаем

^(a)=(^S^)1/2exp{^[Mn(±) + Cln(|)]}x

n(1 + аЛ?пь)е^ъ^d(1 +哈碗)m沙门

X 厘厘，(3.6.31a)

n(4+a/%)m枷" n=l

G_(a) = %(-a)・(3.6.316)

В заключение можно заметить, что в выражениях (3.6.28) для G+ (а) и G_ (а) постоянный множитель (sin kb sin 论с)/(论sin ka) введен симметричным образом. Эта симметрия позволяет выразить функцию G_ (а) через G+ (а), с помощью соотношения (3.6.316).

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ВИНЕРА — ХОПФА

Проведя факторизацию функции G (ос) с помощью (3.G.31), перепишем уравнение Винера — Хопфа (3.6.23) в виде

J+ (a)G+ (а)=綢一^ , |т|<т0.(3.6.32)

Полного совпадения, однако, нет, как будет установлено- в § 13.

Следующим шагом в отыскании решения, согласно § 5, является разложение функции 幺十(a)/G_ (а). Как следует из выражения (3.6.12), единственной особенностью функции

(3.6.33)(3.6.33)山父=」Lsiii-」

(3.6.33)

(3.6.33)

G-9) у2л \ Q 丿 a+Ma|G_(a)

丄* sin11一bG-(a)I"石\ a / a + iylal_G_(a) G_(-iyla)］f丄* sin11一bG-(a)I"石\ a / a + iylal_G_(a) G_(-iyla)］fв нижней полуплоскости является полюс первого порядка в точке а = — Ма・ Требуемое разложение можно получить, выделяя полюс следующим образом:

丄* sin11一b

G-(a)I"石\ a / a + iylal_G_(a) G_(-iyla)］f

丄* sin11一b

G-(a)I"石\ a / a + iylal_G_(a) G_(-iyla)］f

+

+ ［合 sin (啜 5T^)鼻］=S- (a) + s+ (a).(3.6.34)

Подставляя (3.6.34) в (3.6.32), получаем

J+(a)G+(a) —S+(a) = S_(a) — ^^, gVm (3.6.35〉

Все функции, входящие в левую часть уравнения (3.6.35), регулярны в верхней полуплоскости (т > ——т0), а функции правой части уравнения регулярны в цижней полуплоскости (т V т0). Так как обе полуплоскости перекрываются, то, воспользовавшись аналитическим продолжением можно утверждать, что уравнение (3.6.35) определено в полной плоскости переменной а, причем обе части его равны некоторой целой функции Р (а).

Функцию 尸(а) можно определить, рассмотрев асимптотику всех функций, входящих в (3.6.35). Из выражений (3.6.30) и (3.6.34) получаем

при| а I -> оо в области т> —т0,при| а I -> оо в области т> —т0,(3.6.36)(3.6.36)при I а|-> оо в области TVsпри I а|-> оо в области TVs(3.6.37)(3.6.37)% (а) = 0 (a』)I S+(a) = O(a-) J

при| а I -> оо в области т> —т0,

при| а I -> оо в области т> —т0,

(3.6.36)

(3.6.36)

при I а|-> оо в области TVs

при I а|-> оо в области TVs

(3.6.37)

(3.6.37)

и

G_ (а) = 0 (а-%) I

S_ (а) = 0^2) J

Хотя явное выражение J+ (а) пока не известно, его асимптотику можно установить, используя условие на ребре, определенное соотношением (2.2.3). Согласно условию на ребре,

/(+)(z) = О (z-?2),纟 т О.(3.6.38)

Из (1.4.10) для преобразования Фурье сразу получаем

J+ (а) =。(a"1/2), I а I -> оо при т > — т0.(3.6.39)

Рассмотрим функцию В_ (а). Как следует из (3.6.11г), функция "_)(z) определяет составляющую поля Еу при % = b, z V 0・ В силу ограниченности Еу, вблизи ребра b(_)(z) = о (z~£) при z0, е -> + 0. В результате на основании (1.4.10) получаем

瓦(а) = о (а-).(3.6.40)

Из соотношений (3.6.36) —— (3.6.40) следует, что функция Р (а) ограничена и равна нулю при | а | -> оо. Следовательно, согласно теореме Лиувилля, Р (а) тождественно равна нулю везде. Уравнение (3.6.35) в этом случае дает

J^-^)^(3641)

В_ ⑺=S_gG_g(3.6.42)

для всех а. Таким образом, решение уравнения Винера — Хопфа найдено.

ВЫРАЖЕНИЯ ДЛЯ ПОЛЕЙ

Для отыскания зависимости наведенного тока /(+) (z) от координат следует вычислить обратное преобразование Фурье от выражения (3.6.41) 1):

加制=爲i鶴i姒 (3.6.43)

где явный вид функций 母(а) и S+ (а) определяется согласно (3.6.31) и (3.6.34). Подинтегральным выражением в (3.6.43) является мероморфная функция с полюсами первого порядка при а = =—»Ymb 皿 а = — »Ymc (тп = 1, 2,・・.),как показано на рис. 3.2. Полюс функции S+ (а) при а =—通。компенсируется нулем функции 1/G+ (а) в той же точке, и, следовательно, подинтегральное выражение в этой точке регулярно. При z V 0 можно, не меняя величины интеграла, замкнуть контур в (3.6.43) полуокружностью бесконечного радиуса, лежащей в верхней полуплоскости. Так как внутри этого контура интегрирования нет особых точек, получаем

J(+) (z) = 0 при z V О,(3.6.44)

как и следовало ожидать. При 2L_> 0 контур интегрирования в (3.6.43) может быть замкнут полуокружностью бесконечного радиуса в нижней полуплоскости. Интеграл при этом можно

юности к вычислению вычетов в полюсах. Для того чтобы получить решение в виде, использованном в §" 2.5, следует нек1йотд пр(ч)бразовать (3.6.43), воспользовавшись соотношением G+ (а)= G Q)/G_ (а) и подставив явное выражение для S+ (а). В результате этого получим

(什盡淞冷田立^詰齡i也z>。,

-(3:6.45)

I де CL ——контур интегрирования в нижней полуплоскости, показанный на рис. 3.2. Вклад в /(+) (z)

Рис. 3.2. Контур Интегрирования для интеграла (3.6.45) и расположение полюсов подинтегральной функции.

от каждого полюса равен произведению ——2冗力 на вычет в этом полюсе ). В результате распределение тока получаем в виде

j《+〉(z)= £ (Лпе-KbZ + QmeTmcZ), z>0,(3.6.46)

где

р = (m：n；/b)2siif(JXb/Q)G- ( — »Ymb)团5Ymb(Y4a — Y欣匕)* G_(—仙。)，

О = (mJl/c^sin (泌/а)—1 G( —"me)

Перейти к обозначениям второй главы можно, использовав очевидные равенства Рт = (—1)旭(тл/Й) Вт и Qm = (mn/c) Cm, где 3m и Ст определены выражениями (2.5.13).

Для того чтобы найти рассеянное поле в произвольной точке внутри волновода, можно использовать интеграл, входящий в (3.6.8). Однако вместо того, чтобы вычислять интеграл (3.6.8), в координатном пространстве гораздо более удобно воспользовать* ся теоремой о свертке (3.2.7) и преобразовать (3.6.8) к виду

Ф (%, z)=三L f G (%, b; a) J+ (a) e—az 加， (3647) у 2л也

где G(n, b; a) легко определяется из (3.6.19) при x0 = b:

'shYJshya: ,x<b,

GQ, ft; a)=<。J’(3.6.48)

Вычисление интеграла (3.6.47) совершенно аналогично вычислению (3.6.45) и приводит к следующему окончательному результату:

3 4sin (警力Y"，z V 0,

ф (伤 Q =ф (伤 Q =—Sin 传 ％) 6-丫壮 + 2 Bm Sin («^ %) e—mbZ, m=l

ф (伤 Q =

ф (伤 Q =

%Vb и z>0,

—sin 哼 ％)£-”+ 2 Cm Sin [嘗 Q_b)] 0-2$ m=l

%>Ь И Z>0,

(3.6.49)

где коэффициенты {4^}，{8m} и {C^} определены в § 2.5. Заметим* что первое слагаемое в выражении (3.6.49) для рассеянного поля при z > 0 взаимно уничтожается с падающим полем, определенным согласно (3.6.1).

В результате полное поле во всех областях совпадает с полем, найденным в гл. 2 методом сшивания. Сравнение метода Винера — Хопфа и метода сшивания будет проведено в § 13 настоящей главы.

§ 7. ФОРМУЛИРОВКА ЗАДАЧИ МЕТОДОМ ДЖОНСА

В атом параграфе мы рассмотрим еще один способ вывода функционального уравнения Винера — Хопфа (3.5.1). Обсуждаемый способ был предложен Джонсом [23], и преимуществом его является то, что в процессе вывода не составляется интегральное уравнение. “

Принципиальная особенность метода Джонса состоит в приме* нении преобразования Фурье непосредственно к волновому урав* нению, причем граничные условия накладываются на преобразования Фурье, а не на сами функции. В рассмотренном же нами ранее способе формулировки с помощью интегрального уравнения граничные условия накладывались до применения преобразования Фурье. Нам представляется, что для большинства задач электродинамики вывод уравнения Винера — Хопфа методом Джонса проще и быстрее приводит к цели, чем с помощью интегрального уравнения (хотя, конечно, это дело вкуса). Чтобы проиллюстрировать метод Джонса, рассмотрим вновь задачу о разветвленив плоского волновода.

Будем исходить из скалярного волнового уравнения для составляющей рассеянного поля Еу = <р:

(爲+爲 + 胪)屮(%，z)= °・<3.7 1)

Применяя к (3.7.1) преобразование Фурье, получаем

(^^ — Y?)①(%, а) = 0, |t|Vt()・(3.7*2)

Так как ср (%, z) = О 修宀⑺)ПрИ | z | -> оо (ср. (3.6.14)), фуик* ция Ф (%, а) регулярна в полосе | т | < т0 и в этой полосе справед* либо уравнение (3.7.2). Решение этого уравнения, удовлетворяющее граничным условиям при % = 0 и % = а, имеет вид

a) = 5(/,a)+S(ga) = [fm？(〃一*：

八 ‘I[0(a) shy/, 6>%>0..

(3.7.3)

Для того чтобы исключить коэффициенты С (а) и Р (а) и полу* чить функциональное уравнение Винера — Хопфа, используем следующие граничные условия при х = Ь:

①(％, а) — непрерывна при % = Ь; отсюда следует соотношение

С (a) sh ус = 0 (а) sh yb.(3.7.4)

Полное электрическое поле Е$) равно нулю на пластине, разделяющей волновод. В результате получаем

Еу(Ь, z)=屮(b, z) = — sin (4) ^71< z > 0,(3.7.5)

или для преобразований Фурье

Ф+ (А а) = — 4+ (а),(3.7.6>

где функция Л + (а) определена выражением (3.6.12).

Магнитная составляющая Hz рассеянного поля непрерывна лишь при z < 0. В результате имеем

0屮(~, z) I— 8(р (д;, z) [—Z」*^ °， /о 7

珈 1+0k=Ь一0一1 j(+)(z), z>0,

или для преобразований Фурье

一^^)|=/+©)・(3.7.8)

dx [х=Ь+0dx 1%=Ь一0 十 ' 丿\丿

Заметим, что J+ (а) регулярно в верхней полуплобкости т > ——т0.

Подставив (3.7.3) в (3.7.8), получим

J+ (а) = —у [С (а) ch ус + Q (а) ch 汕]・(3.7.9)

Соотношения (3.7.9) и (3.7.4) позволяют выразить С (а) и D (а) через J+ (а):

С Q)=磕?•/+◎)，(3.7.10a)

°Q) = q^J+(a)・(3.7.106)

Полагая в (3.7.3) % = b и используя (3.7.6) и (3.7.10), окончательно получаем

G (a) J+ (а) = А+ (а) 一 Ф_ (Ь, а),| т |> т0,(3.7.11)

гд© G (а) определена согласно (3.6.21). Полученное уравнение совладает с (3.6.23), так как В_ (а) = Ф_ (Ь, а) (ср. (3.6.11г)).

Исходя из решения (3.6.41) — (3.6.42) функционального урав- менйя Винера ——Хопфа, нетрудно определить выражение для полного поля, используя процедуру, мало отличающуюся от они- саннсй в разд. 6.5. При решении методом Джонса можно, подставив выражение (3.6.41) для 丿十(а) в (3.7.10), определить коэффициенты С (а) и 力(а); электрическое поле Еу (力，z) в любой точке (ж, у) можно найти/ вычислив обратное преобразование Фурье функции Ф (力，а), определенной в (3.7.3).

Опйсанный выше метод Джонса весьма прост. Вывод уравнения Винера ——Хопфа для типичных задач электродинамики методом Джонса более или менее стандартен х). Поэтому в оставшейся части й^стоящей главы мы будем пользоваться исключительно методом Джонса.

Заметим, однако, что метод Джонса не мойсет быть применен при рассмотрении некоторых более сложных задач, обсуждаемых в § 5.3, которые приводят к мод近杀ицврова亚ному ураЁ&ени1вб Винера4 ——Хопфа.

§ 8. ИЗЛУЧЕНИЕ БЕСКОНЕЧНОЙ ВОЛНОВОДНОЙ РЕШЕТКИ С ПЕРИОДИЧЕСКИМ ВОЗБУЖДЕНИЕМ

В этом параграфе мы применим метод Винера — Хопфа к решению задачи о периодической структуре. В качестве примера такой структуры рассмотрим бесконечную решетку, образованную из подуограничецных плоских волноводов; в гл. 2 бяла рещев^ задача для этой структуры при синфазном возбуждендж водной типа ТЕМ. Здесь мы слегка измеммм условия задач и рассмотрим

Рис. 3.3. Бесконечная решетка мз плоских полуограниченных волноводов, сиоф&вно возбуждаемая волнами тцца

случай синфазного возбуждения волной типа ТЕМ, Измен^ди^ поляризации поля, разумеется, нс отразится на ардлитиче^ких аспектах задачи.

Общий вид исследуемой волноводной решетки изображен на рнс. 3.3. i)・ Каждый из волноводов возбуждается основной волной типа ТЕ*, 0, причем сдвиг фазы поля в соседцих ячейках одреде- ляется углом наклона диаграммы направленности 90. Падающее ионе в тп-й ятейке структуры имеет вид

破)=屮⑴= sin [2 (% —тпа)] er" ”匕 ma<Zx<Z(m + i) ay

—8 < z < 8 ,(3.8©

где 丫〃 = [(〃л/а)2 — fc]1/2, и — ka sin 0O. Отметим, что определенное здесь надд^щее поле отлично от нуля для всех значений 乡.

Электрическая составляющая рассеянного поля Еу = ^ удовлетворяет скалярному волновому уравнению

(总 + 祭 + 胪)屮(％，z)= °・(3.8.2)

В силу периодичности структуры и источника возбуждения можно представить поле в виде суперпозиции гармоник Флоке. При этом мы воспользуемся не разложением (1.5.14), а более удобным для применения в методе Джонса выражением (1.5.11), или

ф (^ + та, z) = e’mu <р (a, z),(3.8.3)

согласно которому рассеянное поле 】)в (т + п)-й ячейке отличается от поля в n-й ячейке лишь множителем егти.

В результате достаточно получить решение лишь для одной ячейки структуры, например при О V % V 〃• Приведем граничные

условия для этой ячейки при % = 0 и % = а.

.屮 непрерывна при ж = 0 и а, т. е.

屮(仅 + O, z) =(p(a —0, z) ](3.8.4а)

屮( + O,z) =(p(_O,z) J ДЛЯ ВС0Х *(3.8.46)

В силу (3.8.3) этому условию можно придать вид

-е'“ Ф (0, z) = ф (a, z) для всех z・(3.8.5)

.屮 обращается в нуль на стенках волновода:

Ф (0, z) = 0, z V 0,(3.8.6)

.。屮⑴/8% = 2^" + 謂 непрерывна при % = 0 и % = а для z > 0: [魯L+。 + (勺e-叼宀机"+信)(一)fz>0.

(3.8.7)

К выписанным условиям следует, конечно, добавить условие на ребре (ср. (1.3.19)):

后产。(z-“2) Iя

HZ = O^ Р(^-^) = 0 и Zf°・ (388)

Задача состоит в отыскании рассеянного поля ф, удовлетворяюще* ГО волновому уравнению (3.8.2) и граничным условиям (3.8.5)—

(3・8.8)・

Для удобства рассмотрения предположим, что среда обладает малыми потерями, т. е. Л = Лг + ik^ к、》к?> 0. Применив преобразование Фурье к уравнению (3.8.2), получим

儘т)① 3，а) = 0・(3.8.9)

Падающее поле, а следовательно, и полное поле также удовлетворяют еоотношвнию (3.8.3).

Асимптотика рассеянного поля (см. задачу 3.3.) имеет вид

f O(e^z),十8,

中(伤 z) = (05“闾)，—oo,

где т0 = Re у】. Согласно теореме IV из § 3, функция Ф (啰,а) регулярна в полосе (—— 左2)V т V t° комплексной плоскости а. Общее решение уравнения (3.8.9) имеет вид

Ф (况，а) = Ф+ (а) + Ф. (а) = С (а) sh у号十 0 (а) ch у/,

(3.8.10)

где Ф+ (а) и Ф_ (а) согласно теоремам II и III из § 3 регулярны соответственно в верхней и нижней полуплоскостях плоскости а.

Применяя к (3.8.10) условие 1, находим

С (а)=：内£；% W 0(a)，(3.8.11)

а из условия 2 получаем

D (а)=①十(0, а).(3.8.12)

С помощвку формул (3.8.10)——(3.8.12) можно получить преобразование Фурье для производной d^dx при 忆 к +0 0 % =?； а — Q:

吗(a-0, a) + Ф1 (a-0, 3 =空；欝尸血(0働,(3.&倒

Ф；( + 0, a) + S ( + 0, а)=色寓产 2+(0, а),(3.8.14)

где

6@а) = ^*.(3.8.15)

Здесь и далее штрихом мы будем обозначать производную по х (поперечная пространственная координата). Умножая (3.8.14) на е'“ и вычитая полученное равенство из (3.8.13), а также используя уравнение (3.8.7), получаем

^^ 4^ + 几(a) = G (а) Ф+(0, а),(3.8/6)

где

G (а) = -^- (cos и — ch ya)

/»(а) = е<иФ：( + 0, а)-①二(а-0,а)=(3.8.17)

= е““ + 0, а) — е (-0, а)].

Заметим, что величина J_ (а) пропорциональна току, наведенному па полуплоскостях. Полученное уравнение (3.8.16) представляет

собой типичное уравнение Винера ——Хопфа, способ его решения подробно описан в § 5

Функция G (а), входящая в выражение (3 8 17), мероморфная и легко может быть факторизована. Согласно теореме I из § 3 6, G (а) можно выразить через комбинацию бесконечных произведений:

q 小—2A(cos〃一cos4a) /《а\ / 旦\ v

П (4 — а/Еп)(1-а/"-п)еТаа/п"又片JX

П (4~例左)「3/m

仃(4 + аЛГп) (1 + а/d)宀耽几

义 口~^ ,(3 8.18)

[J a + a/wQ/aaj" n=l

歴 以=P腸—友2, Bn ='吁“ • П^ребоврв, qgQH цоведедце функций 6+(а) и G_(—а) на бесконечности носило алгебраический характер, нетрудно црлучить окончательные выражения (ср. «разд. 6.3):

G+ @) = G_ (—а)=

=d (弋;门%…叫許)X

П (1 + аДГп) (1+аЛГ_п)产如

X —.(3.8.19)

[J (l+aAYGea/Mn—1

Используя полученные выражения в (3.8.16)、и выделяя полюс при а= — суд, перецрщ^м это уравнение в виде

—@1/加 a + *；[.G一(a) — G_ (—叩i)」十 G_ (a)—

=% (а) Ф+ (0, a)+ —_- ,(3 8.20)

где левая и пд^вая ч^оти регудярны соответственно в нижней и верхней полуплоскостях переменного а. Отсюда следует, что обе части уравнецдд должны быть равны цела# функции Р (а). Как

можно показать, исходя из выражений (3.8.19) и используя формулы (1 4.11), справедливы асимптотические оценки G+ (а) =

。(а1/2), G_ (а) =。(а1/2) при | а | -> оо. Условие на ребре (3 8.8) и соотношение (1.4 10) приводят к оценкам

J_(a) = O(a-i/2) при I а I -> оо в полуплоскости tVq, (3.8.21) <1)+ (0, а)==о(а-1) при |а|-> оо в полуплоскости т>>—А^. (3.8.22) В силу теоремы Лиувилля функция Р (а) должна тождественно равняться нулю, и, таким образом, искомое решенце уравнения Винера — Хопфа (3.8.20) имеет вид .

j_(a)=—~d&Q), (3.8.23) а У2л a + 恥 LG_(a) G_ (-叫」' "''

① + (0, а) -f Jk ・(3・8・24>

0”2л а + гТ1 6_(ту°4(а)'/

Подставив выражения (3 8 24) и (3.8.11)—"(3.8.12) в (3 84 0) и выполнив обратное преобразование Фурье, определим рассеянное поле:

8+rr

①，丸(l+外“) fsh/+sh у (〃一惠)2 d —(3£

屮(')〃G_(—恥)J (a十恥)G+(a)shy。(*'

— 8+TT oo+rt _ 4 :m (4十6屮(е?ц^1*；±эЬ у(ат：)

—2m 感.(一加 J(a+wi) 2y6^“03乂 -吮y4)

-8+vr

X G-(a)e~iazda,—饱 VtVTo・ (3.8.2^

Подинтеградьаая функция в этих выражениях мероморфна и имеет полюсы в точках а=—%也，｛一皮呑 и ｛十叩才.Поэтому иете- тралы легко вычисляется с помощью теоремы о вычетад:

г ОО

2 4 sin (詈％”Y叫z v 0,

屮(％, z) = •

I8(3.8.26>

— sin 传％"-ya+ 工 /в佈Refz,z>0.

、p=-oo

Здесь вычисления проведены для полосы 0V%Va, а явные выражения для амплитуд имеют вид

(+一吗 YR—г。№ г а+")@ in х

h4一(一(产 f] Yi + Го X?L n J X

X(l~~Yn/「n)(4—%i/Ff)⑺ (I+Yi&bQ (4 ——Yrt4F^) (Д ——R典/Г^)

(1 +м”")(1十Yi/г-п)口 一 Y浦Ym) (1 +也仔加8土亚/F-m) m=l

с冗 a + f(Fo + Fp)^= 2а2Гр(?1-Гр)(Г0+?1)с冗 a + f(Fo + Fp)^= 2а2Гр(?1-Гр)(Г0+?1)ехр["А】п2]ехр["А】п2]XXG a+Y，/Ym) (4 + I\/「m) (1 + R/Jm)

с冗 a + f(Fo + Fp)

^= 2а2Гр(?1-Гр)(Г0+?1)

с冗 a + f(Fo + Fp)

^= 2а2Гр(?1-Гр)(Г0+?1)

ехр["А】п2]

ехр["А】п2]

X

X

X 丄丄(4十Yp/Ym) (l + Y，/「m)(屮1/5 m—1

Задача о возбуждении решетки волной типа ТЕ*, 0, таким образом』 полностью решена.

ОБЩИЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ ФАКТОРИЗАЦИИ И РАЗЛОЖЕНИЯ

Как ясно видно из предшествующего обсуждения, решение задачи методом Винера — Хопфа существенно олирается на две важные операции.

Факторизация функции G (а), регулярной и не обращающейся в нуль в полосе т_ < т < т+, т. е. представление ее в виде произведения G (а) = G+ (а) G_ (а), где сомножители G+ (а) и GL (а) регулярны и не обращаются 6 нуль соответственно в верхней (т > г») и нижней (т V т+) полуплоскостях，)・

Разложение функции S (а), регулярной в полосе т_ V т V V т+, т. е. представление ее в виде суммы S (а) = S+ (а) + S. (а), где слагаемые 5+ (а) и S_ (а) регулярны соответственно в верхней (т > т_) и нижней (т V т+) полуплоскостях.

В приведенных в § 6 и § 8 примерах способ проведения этих операций был в значительной степени очевиден, так как мы имели дело с мероморфными функциями. В общем случае можно ожидать, что в уравнение войдут функции с другими особыми точками, например с точками ветвления. При этом не удается решить задачу с помощью сортировки дискретных нулей и полюсов, как было сделано В обоих рассмотренных примерах. Необходимо поэтому обобщить способ проведения факторизации и разложения для таких функций.

Небезынтересно подчеркнуть, что функция G (а) в краевых задачах для замкнутых областей всегда мероморфна), а для открытых областей обладает точками ветвления (ср. § 1.6). В частных случаях периодических открытых структур с возбуждением специального вида задача сводится к эквивалентной задаче для замкнутой области с периодическими граничными условиями. Это было показано в § 8 на примере задачи о решетке.

Отметим, что мы ослабили здесь условия убывания функций G+ (а) и G_ (а) на бесконечности. Пусть поведение найденных функций G+ (а) и G_ (а) на бесконечности не алгебраическое. Тогда можно, не нарушая факторизации, заменить G+ (а) и G_ (а) на функции G+ (а) ер^ и G_ (а)厂？。)， где целая функция Р (а) выбрана так, чтобы модифицированные сомножители убывали на бесконечности по степенному закону.

Удобно несколько изменить порядок рассмотрения и начать с вывода общей формулы для разложения фунции S (а). Тогда фак- юризацию функции G (а) можно осуществить, проведя разложе* пие для In G (а).

Начнем с общего описания процедуры разложения, которую мы собираемся разработать. Как известно, преобразование Фурье F+ (а) функции /(+) (z), тождественно равной нулю при z V 0? регулярно в верхней полуплоскости а (см. теоремы II и III ив $ 3). Представим функцию / (z), как и в § 3.2, в виде суммы

〃Z)=/(+)(z)+/g(z)・(3.9.1)

Применяя преобразование Фурье4 получаем

F (а)=尸+ (а) + F. (а).(3.9・2)

Пусть пара функций {/ (z), F (а)} представляет собой прямое и обратное преобразования Фурье, тогда функции {/<+)(矶 尸+ (а)} и {%_)(z), F_ (а)} также составляют соответствующие пары. Если в качестве исходной функции выбрана не / (z), a F (а), то можно получить выражения для F+ (а) и F_ (а) простым обраде* нием описанной процедуры; требуемый гывод сводится при этом к следующим операциям：

Применение обратного преобразования Фурье к 尸(а) И нахождение / (z).

Разложение f (z) на слагаемые /(+) (z) и /Ь) (z).

Применение преобразования Фурье к функциям /(+) (z) и /(_)(z) и нахождение 歹+ (а) и F_ (а).

Описанная процедура может быть несколько упрощена. Как будет подробно изложено ниже, комбинируя операции обратного и прямого преобразований Фурье, удается получить представления 歹+ (а) и F_ (а) в виде интегралов непосредственно от F (а).

Пусть S (а)——заданная функция переменного а, регулярная в полосе т _ V t V J・ Применим к ней обратное преобразование Фурье

оо-Нс

=[s(^e-^d^ т_<с<т+,(3.9.3)

' -c©+ic

где переменная интегрирования временно обозначена через 卩. Постоянная с может принимать любое значение, лежащее в пределах от т_ до т+ (рис. 3.4). Представим s (z) в виде суммы

s (z) = s(+)(z) + s《_)(z),(3.9.4)

где s(+> (z) и s(_)(z) определены аналогично соответствующим функциям 九+)(z) и /(_)(z) в (3.2.11). Так как S (а) регулярна

в полосе т_ V t_ V 七+, из теоремы IV § 3 следует, что функция s(+)(z) не может возрастать на бесконечности (при z -> + оо) быстрее, чем exp (t_z). Преобразование Фурье функции s(+)(外 имеет вид

008十沁

5+(а) = ^ j e^dz f S(B)e-®d§,т_<с<т+. (3.9.5)

О- оо-{-гс

Выберем значение а (см. рис. 3.4) в этом интеграле таким, чтобы выполнялось условие т = Ima > Im 0 = с. Тогда интеграл по z

Рис. 3.4. Контур интегрирования в комплексной плоскости 0.

в (3.9.5) сходится и после его вычисления имеем

8+ic

S+@)=击 j 斗吟呻，т-VcVTV". (3.9.6a) -004-ic

Сцрерденно аналогично получаем

oo+id

S^-^ j 言■呻，TWdV" (3.9.66)

Следует еще показать, что сумма S+ (а) + S_ (а) = S (а) определена для всех т в полосе т_ V т V т+・ Чтобы обеспечить это, наложим на S (а) более жесткое условие. Пусть | S (а) | О при I а I -> оо для всех т в полосе т_ V т V Н・ В этом случае 吵мму интегралов (3.9.6а) и (3.9.66) можно вычислить с помощью теоремы о вычетах, и тогда имеем

S+ (а) + $_ (а) = S (а), м_ V т V 耳・

Полученный результат можно сформулировать в виде следующей теоремы.

Теорема I. Пусть S (а)——аналитическая функция переменное^ а, регулярная 6 полосе т_ V 匸 V 七+, причем 6 этой полосе I S (а) I -> 0 равномерно при | а | -> оо. Тогда S (а) можно представить в виде суммы

S (а) = S+ (а) + S_ (а),(3.9.7a)

где функция

8+元

6+似)=嘉 J 後呻，T_<е<т<т+(3976)

—оо+гс

регулярна 6 верхней полуплоскости т>с_, а функция

8+fd

S-(a)= U j 謬呻，LVtVdVs (3.9.7b)

— 004-id

регулярна в нижней полуплоскости т V т+・

На основании установленной выше теоремы о разложении (теорема I) можно утверждать, что факторизация G (а)= =G+ (а) GL (а) возможна, если осуществимо разложение In G (а) = In G+ (а) + In G_ (а). Поэтому можно просто приравнять In G (а) к S (а) и сформулировать следующую теорему.

Теорема II. Если G (а) — аналитическая функция а, регулярная и не обращающаяся в нуль 6 полосе t_ V т V т+, причем в этой полосе G (а) -> 1 равномерно при | а | -> оо, то возможна факторизация. т. е. существует представление

G (а) - G+ (а) G_ (а),(3.9.8a)

где функция

оо-Ьгс

G+(@) = exp［击 J ^^邓］，JVcVTVK (3986) регулярна и не имеет нулей в верхней полуплоскости т > т_, 〃 функция

8+诅

G_Q) = exp［舒 J 器?)呻］, UVdVj(&9・8в)

—oo-j-id

регулярна u не имеет йулей 夕 нижней полуплоскости т < т+.

Принятое в теореме II условие G (а) -> 1 при | а | ~> оо обеспечивает возможность вертикального смещения контура интегри- ровадия в выражениях (3.9.86) (или (3.9.8в)) в полосе t_ V с V т (илй т V & V ")： вклад в интеграл по вертикальным бесконечно удаленным отрезкам равен нулю. Если | G (а) | 〜| а | р при I о I -> 8 в указанной полосе, можно применять формулы (3.9.8) к выражениям вида

Е(а) =Е(а) =G(a)G(a)(а — iR)0+q (а — ir2)~9 '(а — iR)0+q (а — ir2)~9 '(3.9.9>(3.9.9>

Е(а) =

Е(а) =

G(a)

G(a)

(а — iR)0+q (а — ir2)~9 '

(а — iR)0+q (а — ir2)~9 '

(3.9.9>

(3.9.9>

где к】& т ——0, т2 ^ т + 0, a g ——некоторая постоянная. Умножив определенные при этом функции Н* (а) и Н_ (а) соответственно на (а —沃1尸+’ и (а — ix^~q, получим искомые @+ (а) и G_ (а).

Чтобы проиллюстрировать возможности описанных выше процедур, приведем несколько примеров.

Пример 1. Проведем разложение функции

S (а) = &2：庐，где Im fc = /с2 > 0.(3.9.10)

Функция S (а) регулярна в полосе | т |V "?，a I S (а) | ~ | ст | при I а I оо. Согласно (3.9.76), имеем

8+ic

S+@)=亲 J，侬二А2；(р_а)卽，—к2<с<%. (3.9.11) -8+江

Этот интеграл легко вычисляется с помощью теоремы о вычетах, если замкнуть контур интегрирования полуокружйостью бесконечно большого радиуса в верхней или нижней полуплоскостях. Следует понимать, что расположение а в верхней полуплоскости не ограничивает нас выбором замыкающего контура лишь в верхней полуплоскости. Вычисление интеграла дает

S+@)= 2仆 + 左)*S+@)= 2仆 + 左)*(3.9.12)(3.9.12)

S+@)= 2仆 + 左)*

S+@)= 2仆 + 左)*

(3.9.12)

(3.9.12)

Аналогичным образом, используя выражение (3.9.7в), получаем

S-(°0)= *а-疗=$+1).S-(°0)= *а-疗=$+1).(3.9.13)(3.9.13)

S-(°0)= *а-疗=$+1).

S-(°0)= *а-疗=$+1).

(3.9.13)

(3.9.13)

Конечно, разложение такой простой функции, обладающей лишь дискретными полюсами, можно было просто угадать.

Пример 2. Проведем разложение функции

SQ)= " =石占F・

(3.9.14)

где Im " = Im (乃1 + ikj > 0, а ветвь функции 7 выбирается так же, как в § 1.6. Эта задача значительно сложнее предыдущей, и на ее решении мы остано-где Im " = Im (乃1 + ikj > 0, а ветвь функции 7 выбирается так же, как в § 1.6. Эта задача значительно сложнее предыдущей, и на ее решении мы остано-СогласноСогласноS-(a)=M><S-(a)=M><tVdV® (3.9.15)tVdV® (3.9.15)Деформируем путь инте-Деформируем путь инте-грирования луплоскостигрирования луплоскостив верхней по- ₽ = Pi +в верхней по- ₽ = Pi +A'A'庆庆呼呼аа占峪占峪耳耳Рис. 3.5.Рис. 3.5.Деформация контуров (3.9.15) в комплекснойДеформация контуров (3.9.15) в комплексной+0.+0.дляпл о*дляпл о*

где Im " = Im (乃1 + ikj > 0, а ветвь функции 7 выбирается так же, как в § 1.6. Эта задача значительно сложнее предыдущей, и на ее решении мы остано-

где Im " = Im (乃1 + ikj > 0, а ветвь функции 7 выбирается так же, как в § 1.6. Эта задача значительно сложнее предыдущей, и на ее решении мы остано-

Согласно

Согласно

S-(a)=M><

S-(a)=M><

tVdV® (3.9.15)

tVdV® (3.9.15)

Деформируем путь инте-

Деформируем путь инте-

грирования луплоскости

грирования луплоскости

в верхней по- ₽ = Pi +

в верхней по- ₽ = Pi +

A'

A'

庆

庆

呼

呼

а

а

占峪

占峪

耳

耳

Рис. 3.5.

Рис. 3.5.

Деформация контуров (3.9.15) в комплексной

Деформация контуров (3.9.15) в комплексной

+0.

+0.

дляпл о*

дляпл о*

вимся подробно. (3.9.7в), имеем

оо 4-id

х £1

丄d "『

+ 沛2 так, чтобы он охватывал разрез, проведенный из точки § = + К Для того чтобы подинтегральное выражение принимало только действительные значения, рассмотрим предельный случай, когда затухание отсутствует, т. е. fc2 -> + 0. Деформированный контур для этого случая изображен на рис. 3.5. Пусть вначале а расположено на верхней полуплоскости переменного 卩 вдали от разреза, как показано на рис. 3.5, а. Вычислим интеграл (3.9.15) по контуру, изображенному на рис. 3.5, а. Оценим вкладов (3.9.15) интеграла по пути А = Р； + Р；. В соответствии с данным в § 1.6 определением ветви функции у имеем

•/伊一依=+*收一仍y/2

интеграла 、，

скости Р в случае 孤

宜а интервале Р； и

М俨一兴=_ j (fc2 _ p2)i/2на интервале Р；. В результате интеграл по /\ принимает вид

/(3.9/6)

Произведя замену переменной “ =/с sin 屮，получаем л/2

Ц = — f—.(3.9.17)

л J A;sin 中一а'/

О

С помощью табличного интеграла [1]

f J屮丄 =J1r arctgjQtg (屮/2)#](3.9.18)

J bsm^ + a(@2一b2)1/2 Y一(a2_Ь2尸/2 J 、/

приведем /i к виду

匸三 口14^ (ТЙГ) -^^ ( y^F)] '(3・9'」9) где ветвь арктангенса выбирается следующим образом4):

arctgz = }ln (^^*)・(3.9.20)

Напомним, что, как было условлено ранее, под логарифмической функцией понимается ее главное значение.

Оценим теперь вклад в (3.9.15) от интеграла по контуру Р? = =Р； + Р；; он определяется

/2 = ——d阮(3.9.21)

п j VPl + Л2 02 + za s)

Заменив переменную p2 = ^ sin ср, перепишем /2 в виде

2 л J " sin 中十 а

Этот интеграл вычисляется точно с помощью формулы (3.9.18): 厶=“yL [arctg (千^)-僦逝(干为Г)] • (3.9.23) Объединяя (3.9Л9) и (3.9.23), окончательно получаем

S.(a) = -arctg Г 一:=上 In [ ?二产提]•

л"а2 —"2& L уа2„А；2 J 吋 L ? + (а + А：) J

(3.9.24)

Любая другая ветвь фуйкцмг арктангенса отличается от выбранной в (3.9.20) на пл. Величина 厶 в (3.9.19), очевидно, не зависит от выбора вбтйй.

Хотя приведенный результат получен для контура, изображенного на рис. 3.5, а, в силу непрерывности он справедлив для любой области плоскости а в нижней полуплоскости, где функция S_ (а) регулярна. Поэтому нет необходимости проводить вычисление интеграла для контура, изображенного на рис. 3.5, 6.

Интересно проверить, действительно ли функция S- (а), оир訳 деленная согласно (3.9.24), регулярна в нижней полуплоскости переменного а. Очевидно, единственной особой точкой можОт быть а =——к. Вычислим значение S_ (а) в малой окрестности этой точки. Обозначим а + fc = е, где | е | ~> + 0. С помощью формулы биномиального разложения в случае | е | -> + 0 находим

⑺=п(_“=)ёЙГ е(1 -"尸出=

=л(-г-|/2й) Уё ( 1' Ре)=亲•(3.9.25)

Результат не зависит от выбора величины )/е, и, таким образом, функция S_ (а) действительно регулярна при а = — fc.

Для нахождения функции S+ (а) можно провести вычисление интеграла (3.9.76); проще, однако, вычислить разность

S+(a) = S(a)T(a) = 7V^{Е+叫标篇；|}=

叫鹄寻］= S-(j)・(3.9.26)

Задача полностью решена

Пример 3. Проведем факторизацию функции

G(a) = erb 體(3.9.27)

так, ^тобй асимптотика множителей G+ (а) и ©_(а) при |а|->од имела алгебраический характер. Факторизацию сомножителей е^ и sh (yb)/yb проведем порознь. Факторизация экспоненты G(1) (а)= =е~^ может быть сведена к разложению функции

In G⑴(а)=-汕=［一b (а? — 论2)］ (d- /)-i/2(3.9.28)

Здесь в квадратные скобки заключена целая функция, и, таким образом, остается провести разложение лишь сомножителя (必一胪)-i/2, что было сделано в предыдущем примере： Искомоё

разложение имеет вид

m g⑷⑺=г*吁阿碧昌•卄m [芸普]},

(3.9.29) откуда следует, что

G$>(a)=G4( —а) = ехр { 一學ln[；±jg三患•]} = (3.9.30a)

= exp[+^ln(『)].(3.9.306)

Асимптотику функции G，> (а) можно определить, учитывая, что при I a I f оо в верхней полуплоскости

(+а, если Rea>0,

丫~{(3.9.31)

а, если Rea<0.' 丿

Следовательно,

G£)(a)~ exp[—筝 1“-^)],|a|->oo ит>0.(3.9.32)

Факторизацияцелой функцииG(2) (a) = sh (уЬ)/уЬбыларассмот

рена ранее в § 6. Согласно (3.6.26), имеем

6歐(a) = GP (— а) = /喏 口 (1 +*)夕也吗(3.9.33)

П=1\

где уп6 == [(пл/Ь)2 — F] /2. Асимптотику функции G翠)(а) можно установить с помощью соотношения (1.4.11). В результате для |а|->оо и т>0 получаем

G¥)(а)〜Ла~ Va^CCiba/rt)^(- iba/л)[ 1 - 1п (-гЬа/л)]^(3.9.34)

где С = 0,57721 ・・• — постоянная Эйлера. Перемножая (3.9.30] и (3.9.33), получаем

G+(a) = 8/嗜ехр[*1п(中)历(4+烏)…〃， n=l

(3.9.35) где целая функция Р (а) добавлена для обеспечения алгебраического поведения функции G+(a) на бесконечности. Для нахож* дения явного вида Р(а), положив |aj-> оо и т>0 в (3.9.35),

получим

G+ Q)〜Az』ехр {一察[1 — С + In (芻)+ 吟]+ Р (а)}

(3.9.36)

Таким образом, выбираем Р (а) в виде

Р(а)=+^Н-С + 1п(芻)+ »勺，(3.9 肋

и окончательно имеем

G+ (а) = 6_(-а) = /?1^ехр [辱(1-C + ln (芻)+»-у)] X

X exp [?1n (中力山1 +就)i吟(3.9.38) n=1

Эта функция ведет себя как 规一‘/窑 при | а | -> оо в верхней полуплоскости.

I 10, РАЗЛИЧНЫЕ ФАКТОРИЗАЦИОННЫЕ ФОРМУЛЫ

Здесь будут приведены несколько отличные от предыдущих формулы для факторизации ряда функций G (а), часто встречающихся в электродинамических задачах [5]. Новые формулы, вывод кото* рых основан на исследовании интегралов (3.9.8), удобны для численных расчетов, а также оказываются чрезвычайно полезными при получении асимптотических выражений в волноводных задачах, когда размеры волновода становятся сравнимыми или даже много большими длины волны. Сначала сформулируем и докажем следующее положение, касающееся основного вида новых формул.

Пусть G (а) — аналитическая функция переменного а, удо- (летворяющая в полосе | т | <； т+ следующим условиям:“

G (а) регулярна 6 данной полосе;

G (а) — четная не имеющая нулей функция, т. е. G (—а)= 二 GQ)喚0;

G (а)〜ВаУе~к^ при [и | г оо, где v uh ——действителъ^- “bie постоянные.

Тогда для всех а в данной полосе

G (а) = G+ (а) G. (а),(3；1ОЛ)

“％ G+ (а) и G_ (а) — функции, не имеющие нулей соот^пъст^нн^- “ верхней (т > ——т+) и нижней (т V т+) полуплоскостям перемени

Аоао а. Выражения для G+(a) и G_(a) имеют вид

G+ (а) = G_ (-а) = $硒(1 + 长旷豫 X

Хехр[4(а) +察 т(『)—警」，(3.10.2a) где

oo 4-id

4@)=击 J d^^T蹈 tvdv“(3.10.26)

尸(а)=无丫 一 w In Y — In N + In G (a),(3.10.2b)

y = ]/a2 —胪,ветвь функции у выбрана так ж% как е § 1.6, k = ki + ik2,网>0 〃 k2>т+.

Доказательство. Покажем, что выражение (3.10.2) удовлетворяет соотношению (3.10.1). Для этого перепишем выражение для 4( —а) в виде

-oo+id

4(一a)=+J謡需卽， (3/0・3)

оо 4-id

к которому можно прийти с помощью замены а-> — a, 0f —卩 в (3.10.2в) с учетом симметрии функции G (а). В результате получим

4(办4(一)=嘉 J 謊%耶， (3.Ю.4)

где контур Р = Ро + ^i + ^2 + ^з в плоскости комплексного переменного 0 = 0】+ /р2 показан на рис. 3.6. При выводе (3.10.4) учитывалось, что интегралы по отрезкам Р° и Р2 равны нулю, поскольку подинтегральная функция достаточно быстро стремится к нулю при I Р i I -> оо.

Подинтегральная функция в (3.10.4) аналитична в области, ограниченной контуром Р, всюду, за исключением полюсов 0=0 и р = а, поскольку в этой области G (а) регулярна и не имеет нулей. Вычисляя вычеты в этих полюсах, получаем

4 (a) 4 (一 a)=无Y + In [g二/爵师)•] + 施・(3・25)

Если теперь воспользоваться представлением

exp[粤In (■2^L1) ] exp [ ?In (二皆? ) ]=exp( —^), (3.10.6)

вытекающим из (3.9.30), то из (3.10.5) и (ЗЛО.2а) получим G+(a) GL(a) = G (a).

Область регулярности G+ (а) легко установить, если известна область регулярности интеграла Л+(а), определенного согласно (3.10.26). Поскольку на контуре интегрирования при ]卩工 | т оо подинтегральная функция в (3.10.26) достаточно быстро стремится к нулю, из теоремы I § 9 следует, что Л+(а) регулярна при

Рис. 3.6. Контуры интегрирования в плоскости комплексного переменного Р =仇 + 恥・

t > — j. Второе слагаемое в показателе экспоненты в (3.10.2а) регулярно в полуплоскости т > — А^, “2 > 七+ (примеры 2 и 3, § 9). Следовательно, G+(a) действительно регулярна и не имеет нулей при т > ——т+・ Таким образом, положение (I) доказано.

При использовании метода Винера ——Хопфа необходимо знать асимптотику функций G+(a) и G_(a). Для функций G (а), удовлетворяющих условиям, перечисленным в (I), оказывается возможным получить общую формулу, описывающую асимптотику сомножителей G+(a) и G_(a). Заметим, что при | а | -> оо и т > > -п eхp[粤m(中)卜 eхp [-学 1П(答)],(3.97) и, таким образом, функция Л+(а) ограничена, так как интеграл (3.10.26) сходится равномерно. В результате этого можно выска* зать следующее утверждение.

Асимптотика сомножителя G+ (а) = G_ (—а), определенного согласно (3.10.2a), имеет вид

% (а)〜а”/2 ехр [—祟 In ( *) ] (3.10.8) при I а I —> оо и т > — т+・

Основная факторизационная формула, приведенная в (I), может быть преобразована в несколько выражений, удобрых при численных расчетах. Выведем одно из таких представлений, в котором I G+ (а) I при действительных а выражается через определенные интегралы с конечными пределами.

Чтобы преобразовать выражение для G+(a), обратимся к формуле (3.10.2). Интегрируя (3.10.26) по частям, получаем

оо —idоо-id

4@)=嘉 J ь偉)占署=一 J <?(P)ln(V)^—oo-td— oo —id

(3.10.9a) где

5同 2冗(/一俨)1/2 十 2m 伊2一炉)十 2juG(P)'

建(卩)=書 G(0)・(З.Ю.96)

Заменяя р на —卩 в (3.10.9а), получаем

ехр [А+ (а)] = ехрЦ(?(-Р)1п(£±^)йр], (3.10.10)

где контур /\ показан на рис. 3.6.

Сделаем теперь дополнительные предположения о наличии у G (а) нулей и особенностей в верхней полуплоскости, т. е. при т > — "• Пусть G (а) имеет

конечное，)число простых нулей в точках а = + 三加，где Im Ем >*〈+, m = 1, 2, ‘ .7W";

конечное х) число простых полюсов в точках а = + т]п, где Im Tjn > t+, n = 1, 2, . . TV;“

не более одной точки ветвления при а = + fc, обусловленной наличием у G (а) сомножителя у = (а® —兴)力・ При этом выбор 部етви определяется условием Re (а2 —"纟尸厶〉。и проводится так же, как и в § 1.6.

Тогда функция Л+ (а) может быть представлена в виде суммы Мнтеграла по контуру Р4 (рис. 3.6) и вычетов функции ffi^lG (Р) в полюсах, лежащих в верхней полуплоскости. Эти полюсы совпадают с полюсами и нулями функции G (0). Здесь важно отметить, что деформация контура Рх в Р4 в (3.10.10) возможна, если интеграл по полуокружности бесконечного радиуса Р(» равен нулю. Последнее обусловлено выбором ветви, при котором всюду Re 了俨一依 > о (на верхнем листе римановой поверхности).

Нетрудно распространить эту формулу и на случай бесконечного числа нулей и полюсов (см., например, задачу 3.4).

Выражение (3.10.10) может быть переписано при этом в виде

ехр А (а)] = ехр [ — j (? ( — р) In (-^р-)呐 X

Р4

МN

xn(i+*e)n(i+i-r.(3.10.И) m=ln=l

Интеграл по контуру Р4 в (3.10.11) может быть еще упрощен с помощью следующего преобразования. Введем новую переменную w = ivr + 汕2 П0 формуле

IP = (F -俨)1/2 = X (俨一 "2)1/2.(3.10.12а)

Тогда § = I (炉——/с?)*/% где ветвь квадратного корня выбрана так, что (рис. 3.7; ср. § 1.6)

Re М" — 兴 > 0(3.10.126)

и интеграл принимает вид

/(а) = ехр[ — j Q( — 0)In 卜。产)呻]=(3.10.13a)

=ехр{-р(-)1п[1+Т5^^Ь(3・'°/36) где

J®)T+盛厂需■，_ (3•…

b(。)=嘉ln [G /胪-炉1 =案常二聲• (3.10.13г)

Контур Р4 охватывает разрез, проведенный в верхней полуплоскости 0 согласно условию Re (俨一М)〃2 = 0. Преобразование (3.10.12а) отображает Р4 в контур на плоскости ш, параллельный действительной оси и огибающий полюс в начале координат (рис. 3.7) и остальные полюсы, расположенные на действительной оси; направление обхода контура справа налево. Изменим направ- ненне обхода контура и обозначим его Р《,как в формуле (3.10.136) и на рис. 3.7.

Вычислим сначала вклад интеграла по дуге окружности малого радиуса е. Второе слагаемое в J (s) в формуле (3.10.13в) имеет полюс в точке ip = 0; возможно, что и третье слагаемое также имеет полюс. Введем обозначение

v0 == lim wB (ш).(3.10.14)

w-> 0

Значение интеграла по контуру Р8 при е -> + 0 найдем с помощью вычетов, оно оказывается равным

exp[|(v0—V)In (1 +专)].

С помощью замены переменной преобразуем интеграл по полупря - мой Р： от (—оо + i8) до (—0 + Хб) в интеграл по полупрямой

Рис. 3.7. Контуры интегрирования в плоскости комплексного переменного w — w1-\- iw2^

от (0 ——力3) до (оо ——Хб)・ Складывая преобразованный интеграл с интегралом по контуру Р： и устремляя 6 -> 0, получаем

/ (а) = ехр 彳 К (w) 1п[1+ у===-]也 + In (1 + 专)“0 V"? +

十达丛(吟(3.10.15a>

n

Сумма в (3.10.15а) дает вклад вычетов в полюсах функции В (ip), расположенных на действительной оси, а

K(w) =^一嘉[笈⑨)+ 3 ⑨戸力(3.10.15б>-

Входящий в (3.10.15а) интеграл 十 понимается в смысле главного

значения.

Подставляя (3.10.15) и (3.10.11) в (3.10.2а), получаем

м

G+(a) = G-(-a)=M项(1+告户2]1 (1 十言)义

m=i

Xg(l 十味厂 exp[—萼 + 粤 m(『)+g(a) + &Q)],

(3.10.16a) где

小)十①)e[i+t^小)十①)e[i+t^]dw・ (3.10Л66)

小)十①)e[i+t^

小)十①)e[i+t^

Используя соотношение G； (a) = G (a) G+ (a)/G_ (a)t можно придать формуле (3.10.16а) более симметричную форму|

%(a) = G.(i) = /硒(告片口 (若戀广X m=l

N

X 口 (呆普广exp {И^1п(^)-Т^]} 乂 n=l

X exp {仔 К (s) In [，::二#士: ] dw + & (a) - En (一 a)}

(3.10.16b)

Формулы (3.10.16) дают искомые новые выражения для G+(a) и G_ (а), если функция G (а) удовлетворяет трем сформулированным ранее условиям. В типичных задачах об излучении, в частности в задаче об открытом конце волновода, модуль функции непосредственно входит в выражение для углового распределения поля излучения в дальней зоне и мощности излучения.

Действительная часть интегралов, входящих в (3.10.16), выражается интегралом от 0 до к, если а действительно и Im /с -> О (среда без потерь). Поэтому при определении названных выше физических характеристик с помощью этих выражений для G+(a) и G_ (а) приходится вычислять интеграл в конечных пределах, ито достаточно удобно.

Проиллюстрируем использование полученных выражений на нескольких примерах. Вообще говоря, при факторизации простых функций, таких, как отношение двух целых функций, нет необходимости применять формулы (3.10.2) и (3.10.16). Однако именно на примере простых функций удобно показать полезность этих формул. Мы приведем здесь два таких примера.

Пример 1. Рассмотрим факторизацию функции

G (а)=G (а)=а2—а2а2—@2а2—а2а2—@2(3.10.17)(3.10.17)

G (а)=

G (а)=

а2—а2

а2—@2

а2—а2

а2—@2

(3.10.17)

(3.10.17)

где Im а > т-р и Im d > т+. Прежде чем воспользоваться формулами (3.10.16), заметим, что

G (а)〜1, I а I -> оо и | т | < j, (3.10.18) 工 е. в этом случае v = 0 и 无=0. Функция G (а) имеет в верхней полуплоскости полюс при а = d и обращается в нуль при а = а. Из выражения (3.10.13г) в этом случае получаем

方 W)=石 m L一”2 + 体2-d2)」=必2—(左2一”)方 W)=石 m L一”2 + 体2-d2)」=必2—(左2一”)2ш”2 一 (及2一 d2)2ш”2 一 (及2一 d2).(3.10.19).(3.10.19)

方 W)=石 m L一”2 + 体2-d2)」=必2—(左2一”)

方 W)=石 m L一”2 + 体2-d2)」=必2—(左2一”)

2ш

”2 一 (及2一 d2)

2ш

”2 一 (及2一 d2)

.(3.10.19)

.(3.10.19)

Из (3.10.14) и (3.10.156) следует, что

*о=О, К ®) = 0.(3.10.20)

Подставляя эти величины в (3.10.16а), окончательно находим

6+@)=比1)=舞符(3.Ю.21)

Правильность этих выражений ясна просто из вида функции <?(а).

Пример 2. Проведем факторизацию простой функции, имеющей сточку ветвления:

G (а) = 丫 = (а2 一 兴产，(3.10.22)

где “2 > "• В этом случае

G (а)〜а, I а | -> оо, | т | < т+

и, следовательно, v = 1 и Л = 0. Из (3.10.13г) легко также получить

3 ®)=丄

д, таким образом,

v0 = 1, К (ip) = 0.

Используя эти величины в (3.10.16а), находим

G+ (а) = G_ (—а)=(-咏尸厶(1 + а/")%(3.10.23)

м из (ЗЛ0.8) получаем

G+ (а) ~ 必居 I а I -> оо и т > — т+.(3.10.24)

Правильность этой факторизации также очевидна.

Пример 3. Более интересный пример применения полученных выражений дает факторизация функции

G(6= yshy 举飞hyd， (3.10.25) где у' = (a2 ——"'2)i/2 瓜 乃‘ =e「右. Необходимость факторизовать эту функцию возникает при решении методом Винера ——Хоп« фа задачи о возбуждении диэлектрической пластины плоским волноводом с открытым концом (см. здадачу 3.12). В этом случае факторизация в замкнутой форме невозможна, но формула (3.10.16в) позволяет получить выражение, удобное ддя численных расчетов.

Заметим, что G (а) в (3.10.25) имеет точку ветвления при а = " и не имеет особенности при а = А\ поэтому можно применить формулы (3.10.16). Как следует из (3.10.25),

G (а)〜6~^9 I a I -> оо и I t I V т+, (3.10.2&)

и, таким образом, w = 0 瓜无=d. G (а) не имеет нулей, но имеет полюсы в точках a = 士 s^, n = 1, 2, •・• , ^. Полюсы {%} определяются из уравнения

丫 sh yfd + 丫‘ ch ^d I avn = ° (3.10.27)

(фактически совпадающего с дисперсионным уравнением для поверхностных волн электрического типа, “ распространяю* щихся вдоль диэлектрической пластины, лежащей на заэем^ ленной металлической плоскости). Функцию В (必)вычислим с помощью (3.10.13г). В результате ряда стандартных алгебраических преобразований получаем

〃 ,、——” [4 +d sin ”dcos ц/а(ц>2/”一办)].

(力)— (” sin п/ d+i”' cos м/ d) (” sin ”, d — iu/ cos ”, d) 寸

IZ [”2d—cos "d sin ”d (”2/”z —”)]w

十(w sin^,d+и^, cos w'd) (w sin^d—iwl cos w1^ 十(”)2，( ’•'

где w9 = (ip2 + kf2—胪产.Как следует из (3.10.14) и (ЗЛ0.156),

Vo = O,Vo = O,К®) =К®) =d"2d - cos " d sin ” d (叫"一叫d"2d - cos " d sin ” d (叫"一叫ЛЛЛ (”2 sin2 w^-^-w'2 cos2 w'd)Л (”2 sin2 w^-^-w'2 cos2 w'd)(3.10.29)(ЗЛО-ЗО>(3.10.29)(ЗЛО-ЗО>

Vo = O,

Vo = O,

К®) =

К®) =

d"2d - cos " d sin ” d (叫"一叫

d"2d - cos " d sin ” d (叫"一叫

Л

Л

Л (”2 sin2 w^-^-w'2 cos2 w'd)

Л (”2 sin2 w^-^-w'2 cos2 w'd)

(3.10.29)

(ЗЛО-ЗО>

(3.10.29)

(ЗЛО-ЗО>

Подставляя найденные величины в (3.10.16в), получим

N

十' ''7 \—ik sin k d-^k' cos kldf A± \ 14>a/sn /

n=d

X exp ^ J {(2idy/n) In [(a — y)/fc] + yd}) x

X exp 僅 j К ®)m (當二)加].(3.10.31}

〜 ехр 1(% оа/л)」п(/а/&“，［ а〜 ехр 1(% оа/л)」п(/а/&“，［ а叫叫ра 4.ра 4.Асимптотика' функции G+(a), согласно оценке (3.10.8), имеет вид I -> оо и т > —"・(3.10.32｝ Формула (3.10.31) особенноудобна для нахождения модуля функции %(а) (а действительно) при действительных к п к1 I). Так как К (ip)— действительная функция, то действительная часть интеграла, входящего в G丄(а), выражается интегралом в конечных пределах от ip = 0 ДО IP =".

〜 ехр 1(% оа/л)」п(/а/&“，［ а

〜 ехр 1(% оа/л)」п(/а/&“，［ а

叫

叫

ра 4.

ра 4.

Пример 4. В § 9 мы рассматривали факторизацию функции

G(a) = ^^erb. (3.10.33) Покажем, что тот же результат можно получить с помощью формул (3.10.16). Однако прежде чем сделать это, выведем новое представление функции %(а), удоб

ное для использования в квазиоптических приложениях. Подстав- ляя］ (3.10.9а) в (3.10.2а) и вводя новую переменную w согласно (3.10.12), получим

G+ (а) = G. (-а) = VW) (1 + а/"У ехр ［粤依(中)一等］X Хeхp｛一1［•亲+ 费7-盥(1n1+启部］加｝, (3.10.34) где Рб ——контур, охватывающий разрез в верхней полуплоскости комплексной переменной ip, изображенный на рис. 3.8. Асимптотика функции G (а) имеет вид

G (а) ~ а"1, I а I -> оо и J т I < т+ = к2, (3.10.35) Следовательно, w = —1 и 无=0・ Таким образом^ в соответствии с (3.10.13г) имеем

3з)=协-4+齡誓•(3・1°・36)

) Последнее необходимо при определении мощности и углового распределения излучения в задаче 3.12.

Подставляя найденные величины в (3.10.34), получаем

G+ (а) = GL (— а) = (sin kb[kb产[exp (ikb/2)] [1 + 々/同一1/? x

X exp { J F(ip, b) In [1 +—2^^ dw}. (3.10.37a) где

F^ =(З.Ю.376)

Как будет показано в следующем параграфе, формула (3.10.37а) оказывается удобной при выделении главной части функции G (а) на оптических частотах, для которых справедливо условие "Ь》1・

Теперь мы продолжим рассмотрение факторизации G (а) и по* лучим более простое представление этой функции в виде произведения Обратимся к (3.10.166) и воспользуемся формулами (3.10.156), (3.10.36); в результате находим

% (а) = G_ (— а) = /«^^ ехр [/(а)],(ЗЛ0.38)

#де

м

/ (а) = lim qM (а) + 2 & (а),(3.10.39)

Mf8П=1

Мл/Ъ

ММЯм (а) =[ ln^l+—^==^^div =

М

М

"|/及2 - ”2 /\ "|/^2 — ”2 / J

Мл/Ъ

一筝I总誌他(3/0加)

•a Rn (а)——вклад вычетов в полюсах функции В (ip), расположенных на Действительной оси (см. рис. 3.8). Оба интеграла, входящие в (3.10.40), могут бытр вычислены в замкнутом виде (задача 3.5). Используя результаты этих вычислений в (3.10.39), получаем

№） = eхp［學 m（中）+攀一号］+

+肥［哈П吩一号+2】《+誌）］-（3」。・必）

71=1

Используя представление постоянной Эйлера м

с= lim 3 dm)-m〃(3.10.42)

М-*оо П—1 н предельное соотношение

Моо

lim ехр[21п( 十諡0 е竝”改]=И (1 + 若？)户研/叫(3.10.43)

8 n==ln=lП

получаем

")= {粤m(")一等+幣口+ m儡)_c+記!}Х

X П (1+ ~ "心/呼(3.10.44) П=1

Подставив (3.10.44) в (3.10.38), окончательно находим

G+(a) = G_(-a) = J/脅ехр[*1 — С + 1п 傍)+吋)卜

Xexp[*ln(『)而(1+諡)宀吟(3/0.45) n=l

Как следует из (3.10.8), G+Q)〜 а~1/2 при | а | -> оо в верхней полуплоскости. Эти результаты полностью согласуются с резуль татами, полученными на основе другого представления G+(a) в примере 3 из § 9.

Пример 5. В качестве последнего примера рассмотрим факторизацию модифицированной функции Бесселя 丄)

G (a) = % (ya),(3.10.46)

которая встречается в задачах о полубесконечном круглом волноводе (см. § 5.2). Факторизация функции G (а) обычными методами (см. § 9) рассмотрена в ряде работ [36;9;22]. Здесь мы применим для этой цели новое представление соотношения (3.10.16а).

Отметим, что при | a | f 8 и | т | < /с2

G Q)〜/嘉宀(3.10.47)

Таким образом, согласно утверждению (I),

V = —无=〃・(3.10,48^

Далее, из (3.10.13г), (3.10.14) и (3.10.156) находим,

w =為[m (号)研㈣)卜7^^，(3，。・4з

V。=匕我需u巴书露箒=。，(3」。■496)

24 nwa * J J (м?а)+У§ (wa)24 nwa * J J (м?а)+У§ (wa)—IF 十 2m L 现d (”Q)Hp (wa) J

24 nwa * J J (м?а)+У§ (wa)

24 nwa * J J (м?а)+У§ (wa)

(3.10.49b)

Подстановка этих выражений в (3.10.16а) приводит к требуемой факторизации функции G(a):

G+(a) = [-^^ (ka)y/2exp[^^ + ^ln[^)十g(a)]， (3.10.50a) где

0 (a) h N T [1 - лша ・ J式9a)+y8(加)]1"[1十 "加2「"彳]d心・ (3.10.506)

Отсюда с помощью (3.10.8) можно получить асимптотику

а|->оо при т>—卷，(3.10.51)а|->оо при т>—卷，(3.10.51)G+ Q)〜а5〃 ехp [一号 In (目],

а|->оо при т>—卷，

(3.10.51)

а|->оо при т>—卷，

(3.10.51)

что согласуется с асимптотикой функции % (а), найденной ранее.

Интеграл q (а) не вычисляется в замкнутом виде и должен находиться численно. Однако при численном анализе этого интеграла необходимо проявлять известную осторожность, поскольку подинтегральная функция содержит особенности.

11. ИЗЛУЧЕНИЕ ИЗ ОТКРЫТОГО КОНЦА ВОЛНОВОДА

Теперь, когда мы познакомились с общими методами факторизации и разложения функций, встречающихся при применении метода Винера ——Хопфа, можно перейти к рассмотрению более сложных задач. В этом параграфе будут рассмотрены некоторые стороны задачи об излучении из открытого конца плоского волно* вода. Поле излучения и отраженное поле будут найдены методом

Джонса. Затем мы остановимся на исследовании решения в случае, когда размеры волновода очень велики по сравнению с длиной волны, т. е. в квазиоптической или оптической области. В конце параграфа будет предложен метод решения задачи для открытой

Рие. 3.9. Излучение из открытого конца плоского волновода.

области (открытый конец волновода), основанный на предельном переходе от решения задачи для некоторой сходной замкнутой области (разветвленный волновод).

Плоский волновод с открытым концом изображен на рис. 3.9. Пусть падающее поле представляет собой собственную волну волновода типа TM^q имеющую вид

Н^=：^ = ^ (得卜％—Ь)е—\(3.11.1)

где у I = [(Zii/2b)2 — "2卩/2. Пусть падающее поле 屮⑴ определено в области |х|<Ьи — оо<2<；оои равно нулю вне этой области. Задача состоит в нахождении рассеянного поля 屮=屮⑴— ——屮(叫,которое удовлетворяет волновому уравнению

(爲 + 毋 + 胪)屮(%, z)=0,(3.11.2)

а также граничным условийм й условию н宮 рё^ре.

Применим преобразоваййе Фурье к уравнёнию (3.11.2):

("^2 丫2)"(%' &) =。，|t|V%2‘(3.11.3)

где 7 = (а? — "2)“2. Отметим, что при z f ——оо рассеянное поле убывает внутри волновода по крайней мере как ехр {— k2\z |) (см. задачу 3.3). Рассеянное поле вне волновода, т. е. поле излучения в дальней зоне, представляет собой расходящуюся цилиндрическую волну, асимптотика которой имеет вид

屮〜р-1/2^г(А1+гЙ2)Р9р-> оо.(3.11.4)

Это поле убывает при ] z | ~> оо по крайней мере как ехр (——"& |z|)・ Следовательно, волновое уравнение (3.11.3) в пространстве преоб- рааований Фурье справедливо по крайней мере в полосе ] t | V "&

комплексной плоскости а. Внутри этой полосы решение уравнения (3.11.3) может быть представлено в виде

，厶(а)ег%%>Ь,

4r (%, а) = 4r+ (% а) + 4r. (%, а) = < С (а) е-w + 0 (а)] % | V А

、В (а) eR%V — Ь.

(3.11.5)

Симметрия структуры и возбуждающего поля (3.11.1) позволяет установить дополнительные соотношения между коэффициентами А (а), В (а), С (а) и Z) (а), зависящие от четности индекса 2 падающей ВОЛНЫ!

В (а) = (一1)弘(а),(3.11.6a)

Р (а) = (-QQ (а).(3.11.66)

При четных I рассматриваемая задача эквивалентна задаче для структуры, изображенной на рис. 3.10, а; в этом случае в плоскости

ааМагнитная стенкаМагнитная стенка

а

а

Магнитная стенка

Магнитная стенка

Рис. 3.10. Структуры, эквивалентные изображенной на рис. 3.9 при возбуждении волной типа TMlj0; (@) 2 — четное; (б) Z — нечетное.

力=0 помещена идеально проводящая плоскость (электрическая стенка). При нечетных I структура эквивалентной задачи изображена на рис. 3.10, 6; здесь в плоскости % = 0 помещена магнитная стенка ')•

Остановимся на случае четных I (случай нечетных Z рассматривается в задачах 3.8. и 3.9), Для получения соотношений, связывающих Л (а) и С (а), проведем сшивание полей в плоскости х = Ъ. Полагая % = b в (3.11.5), получаем

4r+ (Ь 十 0$ а) + К (Ь 十 0, а) = 4 (а) ef, (3.11.7a>

У+ (Ь - 0, а) + Y_ (Ь - 0, а) = 2С (а) ch yb. (3.11.76)

) Граничное условие на магнитной стенке требует обращения в нуль касательной составляющей магнитного поля.

10-0367

Вычислим первые производные от 4f (力,a) no % с помощью (3.11.5) и положим % = Ь:

Т； (Ь + 0, aJ + ^L (6 + 0, а)=-у4(а)е-叫 (3.11.8а)

Т； (Ь-0,规)+ 屮二0 — 0, а) = 2уС (a)shYb. (3.11.86)

Воспользуемся теперь граничными условиями, согласно которым касательная составляющая рассеянного электрического поля 瓦 他 z) должна обращаться в нуль на поверхности % = b, z V 0. Это дает

义(Ь + 0, а) = 4cs - 0, а) = 0.(3.11.9)

Кроме того, составляющая Ez (况,z) должна быть непрерывна при переходе через поверхность % = 8, z V 0・ Отсюда получаем

V； (Ь + 0, а) = Ч^(Ь — 0, а) = Т； (Ь, а),(3.11.10a)

—у4 (а) e~vb = 2уС (а) sh уЬ = ^ (Ь, а).(3.11.106)

Вычитая (3.11.76) из (3.11.7а) и воспользовавшись условием

屮+(匕一0, а) + -^- j e-y^iaz dz = W+(b + O9 а), (3.11.11) получаем

声』+/—(а)=—粤© а)〒^р gv卷，(3.11.12a) где

J_ (а)=屮一 (b + 0, а)-屮-0 — 0, а),(3.11Л26)

63)="涉曙。(3.11.12b)

Уравнение (3.11.12а)——это искомое уравнение Винера — Хопфа, Факторизация входящей в него функции G (а) была проведена в примере 3 § 9 и в примере 4 § 10. В обозначениях настоящего параграфа результат факторизации записывается следую- щим образом:

G+(a) = G_(a) = /exp ｛胃［1 —C + ln (警)+ 吟］｝ х

X exp ［學 Inn (1+訂"2叫不(3.11.12г)

п—2четн

Используя эти представления в (3.11.12а), после некоторых преобразований получаем

、кa 一论)G. (a) + (汕+向G一 ( 一油)]+

Д/2л (a+^Yz)

+ J_ (a) (a ——")G_ (a)=

=奇端+而詁而也 +期"(一的，1t|V回(3“，3)、

Рассуждая обычным образом, можно показать, что обе части (3.11.13) равны нулю при всех а. Таким образом,

义(A G =々毋竺？ (а +砂G+ (а).(3・“・1绅

у2п (а+гу；)

Из (3.11.106) и (3.11.6) следует, что

4(ai(a)= ifigS^(a +舟％(а)，(3认状) 。3)=。q)=蠲费:;)X，(a + ©G+(a). (3.11.16)

Таким образом, уравнение Винера ——Хопфа полностью решено.

Для получения рассеянного поля следует подставить (3.11.15) и (3.11.16) в (3.11.5) и найти обратное преобразование Фурье» Рассмотрим сначала поле в области | % | > Ь:

十8

(х, z)=—必(油 + к) % (汕)去 J 黑篇绦 e-vl« leiaz da.

Рассмотрим явный вид функции G+(a) в (3.11.12г). Подинтегральное выражение в (3.11.17) имеет точки ветвления при а = 土 к, и поэтому интеграл нельзя вычислить аналитически. Однако, если пас интересует лишь поле в дальней зоне, можно, воспользовавшись асимптотической формулой (1.7.19), получить приближенное выражение-

屮估,z) ~ b (咕+用G+ (油)("盛^) / X

X尸畧驾尸)G+ (-3小

"pf oo; I 重 ]> ь口 I-нечетное,(3.仪48》

I до 8 = arctg (c/z)4) (см. рис. 3.9).

Отметим, что углы 6 здесь и в формуле (1.7.19) отливаются на л/2»

Для определения поля в области | % | V b подставим (3.11.16) в (3.11.5) и найдем обратное преобразование Фурье полученной функции:

屮(c,z)=-b(油+ 加)％(汕)歳 J 許备.^^chYz.e-azda =

(3.11.19a)

=一 (油 + 加)% (油爲工(。+w；；3)：1. (a)"% 同<A (3.11.196) При zVO контур интегрирования можно замкнуть в верхней полуплоскости, где подинтегральная функция имеет полюсы в точках а = { + »у2тг}・ Вычисляя вычеты в этих полюсах, получаем 中(瑞z)=(闲+用G+(i^ ((评工:)G_的#+

+ e他•諾产у с叫若B]户吗, n=2

четные

|ж|<Ь, zVO и Z —четное. (3.11.20)

При z > 0 контур интегрирования можно деформировать в нижней полуплоскости а так, чтобы он охватывал полюс a =——iy。и разрез, проведенный из точки ветвления a =——к. Как и следовало ожидать, вклад полюса точно компенсирует падающее поле (3.11.1) (см. утверждение, непосредственно за формулой (3.6.1)). Интеграл по берегам разреза точно не вычисляется.

Однако нетрудно показать, что выражение для поля в дальней зоне непрерывно переходит в выражение (3.11.18). Таким образом, ограничение | м [ > Ь в (3.11.18) может быть снято и эта формула описывает поле излучения всюду вне волновода.

ВЫЧИСЛЕНИЕ G+ (а) ПРИ fcb » 1

Решение рассматриваемой задачи, определяемое формулами (3.11.18) и (3.11.20), получено с помощью представления (3.11.12г) для функции G+(a)・ Как указывалось ранее в § 2.4, вычисление G+(a) становится чрезвычайно затруднительным при больших kb ввиду очень медленной сходимости бесконечного произведения, входящего в выражение для этой функции. Положение становится просто критическим для частот оптического или квазиоптического диапазонов, т. е. когда ширина волновода 26 превышает длину волны в несколько тысяч раз. Поэтому крайне важно найти другое представление функции G+(a), более пригодное для вычислений

при условии "Ь》1, чем выражение, содержащее бесконечное произведение. С этой целью рассмотрим интегральное представление функции G+(a) (3.10.37), которое для удобства приведем здесь еще раз:

%@)=(喏广eхр(粤)《 +专广><

Xexp { J 尸(s, 6)1!1[1 + 3+：2严]也}，(3。"・21a)

где'

f8,3=条辞丁(З.И.216)

Контур интегрирования Р5 показан на рис. 3.8. Нетрудно видеть, почему в оптическом диапазоне интегральное представление (3.11.21) предпочтительнее представления, содержащего бесконечное произведение. Удобство представления (3.11.21) для нахождения асимптотического разложения и проведения численных расчетов связано с экспоненциальным убыванием подинтегральной функции на контуре Р^ (Im w > 0). Ниже мы подробно обсудим эти вопросы [51].

}=Л/2, (3.11.22)}=Л/2, (3.11.22)Асимптотическое приближение. Рассмотрим интеграл, входящий в (3.11.21а). Его можно тождественным образом представить в виде произведения

}=Л/2, (3.11.22)

}=Л/2, (3.11.22)

dw где

Ц = exp { j 尸 W，b) [in (1 +田)一田]〃叶，(3.11.23) /z = exp[j 尸 ®, b)y^~dw\.(З.И.24)

Введем обозначение

2kb =冗(g + 6),(3.11.25)

где q ——очень большое четное，) целое число и 0 V 16 1Vl. Мы не будем рассматривать случай 6 = 0, хотя эта величина

Напомним, что в этом параграфе мы рассматриваем только симметричные типы волн.

получаемполучаем‘-exp号［缶飼謡*甸,‘-exp号［缶飼謡*甸,(3.11.27)(3.11.28)(3.11.27)(3.11.28)

получаем

получаем

‘-exp号［缶飼謡*甸,

‘-exp号［缶飼謡*甸,

(3.11.27)

(3.11.28)

(3.11.27)

(3.11.28)

может быть бесконечно малой. Поскольку g》1,

J (—流)vW если 6>0, 丫g = M (冇)-если6<0. (ЗЛ1，26)

Таким образом, собственная волна с индексом q возбуждается в непосредственной близости пороговой частоты и может быть либо распространяющейся, либо затухающей.

Рис. 3.11. Контуры интегрированияв комплексной плоскости s.

Производя в (3.11.24) замену переменной

где е = шб, а контур Р& на плоскости комплексной переменной s показан на рис. 3.11 (см. задачу 3.6). С учетом экспоненциального убывания подинтегральной функции можно при больших кЬ приближенно заменить множитель Уs t^kb на 2]Лkb exp (—Zn/4); при этом мы получаем приближенное аначение интеграла /2:

= 幾 f exp史小_^s}・ (3.11.29) 2 2 尸 I 2冗1/励 £}/s[exp (&-s)-l]丿

Иятеграл Д можно также заменить на удвоенное значение интеграла по одному из берегов разреза Р；, пренебрегая вкладом окруж- вости малого радиуса вокруг точки s = 0・ Деформируя контур

Р； в отрезок действительной оси, получаем

/2=ехр { abeС.(3.11.30)

2 口 Я у kbу7[1-Л-8] /''

Выражение для /； можно переписать в более компактном виде9 выразив интеграл в (3.11.30) через функцию Ф х) [761:

『ехрр^^ (吟丸 £)]•(3.11.31)

В теории оптических резонаторов обычно наиболее интересен слу* чай е《1・ При этом удобно использовать представление функдяж Ф в виде ряда:

④(Z, W, b)=「"；“)[in (；)『"+£ 2 €3 —加，D)怨沪 m=0

|lnz]<2jt, u*l, 2, 3, ..., ufO, —1, —2,…，(3.11.32)

где ^(u, p) — обобщенная дзета-функция, определяемая по формуле

С (и, и) = £ (и+ 〃)-“， Reu>0, и*0, —1, —2,. п—0

В частном случае ^ (u, 1) = ^ (и), где ^ (и)- дзета-функция Римана. Используя в (3.11.31) представление (3.11.32) для Ф (z, и, р), получаем главные члены разложения:

『叫^^+-^小叫)+ 0",|6!«1. (3.11.33)

Численное значение постоянной 已(^) приближенно равно — 0,824 /л.

1) Интегральное представление функции Ф имеет вид

о

Re ь〉0 沃 либо I z К1, z R 1, Re 〃〉&либо z = l. Reu>l.

Перейдем теперь к рассмотрению интеграла 71? определяемого согласно (3.11.23). Этот интеграл можно преобразовать к представлению в виде ряда так же, как это было сделано при вычислении / (а) в (3.10.38). В результате получаем (задача 3.7)

厶 = eхp［粤(宇)一号+胃+1П(1 土計/2-嗣X

Xexp{£［ln(l +肃)-爲］}•・ (3.11.34) n=2

четн

Во многих приложениях наибольший интерес представляет значение 1г для очень малых a/к (т. е. | а |《左)・ В этом случае* можно считать In (1 + 规/»丫九) q alt、n при условии, что уп не слишком малы. Таким образом, главный вклад в сумму, входящую- в (3.11.34), обусловлен несколькими членами ряда с номерами, близкими к 〃 = д, где д, как и в (3.11.26), — номер собственной волны, ближайшей к порогу. Таким образом, можно получить приближенное значение /ь оставив в сумме из (3.11.34) только один Ьлен и пренебрегая-членами порядка a/к и выше:

厶gexpR粤+】n (，+儡片倡］,同《瓦(3.11.35)

Результирующее выражение для G+(a) с учетом оценок (3.11.34)» (3.11.31) и (3.11.21а) принимает вид

/嗜exp［挚n(宁)+筝-叁+

十端3з(*打)而C+号)…，耽М・виз6) Уn=2

четн

Последнее выражение сходится гораздо быстрее, чем представление (3.11.12г). Дело в том, что основной вклад в бесконечное произведение, входящее в (3.11.36), дают несколько сомножителей с номерами, близкими к n = д.

В теории оптических резонаторов (задача 3.11) обычно выполняются условия I 6 I《 1 be I а I《 ", что позволяет еще больше упростить выражение для G+(a)・ Из (3.11.35), (3.11.33) и (3.11.21а) получаем

G+ (а) /兴4 +уЬ~) ехр ［-0,824-^^］,

泌》1, |6|《1 и |а|《"，д—четное. (3.11.37)

Применим полученное выражение (3.11.37) для определения коэффициента отражения g-й волны от открытого конца волновода, изображенного на рис. 3.9.

Согласно (3.11.20), коэффициент отражения равен

Rqq =壷闻 + ©2 G：(恥).(3.U.38)

Подставляя (3.11.26) и (3.11.37) в (3.11.38), получаемRqq « — exp [ —• 0,824 (1 — i) V 2л6], kb^> 1, |6|《1, g —четное,(3.11.39)Подставляя (3.11.26) и (3.11.37) в (3.11.38), получаемRqq « — exp [ —• 0,824 (1 — i) V 2л6], kb^> 1, |6|《1, g —четное,(3.11.39)где в соответствии с (3.11.26) значение корня 了2冗6 выбирается так, что оно равно либо + ]Л2л6, либо + i 了2冗 | 6|. Отметим,где в соответствии с (3.11.26) значение корня 了2冗6 выбирается так, что оно равно либо + ]Л2л6, либо + i 了2冗 | 6|. Отметим,что I Eqq I не зависит от g и очень близко к единице. Таким образом, мы приходим к выводу, что собственная волна, распространяющаяся в очень широком волноводе, на частоте, близкой к крвн тической, излучается слабо и почти вся ее энергия отражается обратно в волновод. Это обстоятельство очень существенно для разработки открытых резонаторов оптического диапазона (задача 3.11).что I Eqq I не зависит от g и очень близко к единице. Таким образом, мы приходим к выводу, что собственная волна, распространяющаяся в очень широком волноводе, на частоте, близкой к крвн тической, излучается слабо и почти вся ее энергия отражается обратно в волновод. Это обстоятельство очень существенно для разработки открытых резонаторов оптического диапазона (задача 3.11).i4kbi4kb$2$2€ WMA^€ WMA^РбРб

Подставляя (3.11.26) и (3.11.37) в (3.11.38), получаем

Rqq « — exp [ —• 0,824 (1 — i) V 2л6], kb^> 1, |6|《1, g —четное,

(3.11.39)

Подставляя (3.11.26) и (3.11.37) в (3.11.38), получаем

Rqq « — exp [ —• 0,824 (1 — i) V 2л6], kb^> 1, |6|《1, g —четное,

(3.11.39)

где в соответствии с (3.11.26) значение корня 了2冗6 выбирается так, что оно равно либо + ]Л2л6, либо + i 了2冗 | 6|. Отметим,

где в соответствии с (3.11.26) значение корня 了2冗6 выбирается так, что оно равно либо + ]Л2л6, либо + i 了2冗 | 6|. Отметим,

что I Eqq I не зависит от g и очень близко к единице. Таким образом, мы приходим к выводу, что собственная волна, распространяющаяся в очень широком волноводе, на частоте, близкой к крвн тической, излучается слабо и почти вся ее энергия отражается обратно в волновод. Это обстоятельство очень существенно для разработки открытых резонаторов оптического диапазона (задача 3.11).

что I Eqq I не зависит от g и очень близко к единице. Таким образом, мы приходим к выводу, что собственная волна, распространяющаяся в очень широком волноводе, на частоте, близкой к крвн тической, излучается слабо и почти вся ее энергия отражается обратно в волновод. Это обстоятельство очень существенно для разработки открытых резонаторов оптического диапазона (задача 3.11).

i4kb

i4kb

$2

$2

€ WMA^

€ WMA^

Рб

Рб

Интегральное представление. Если бесконечное произведение в (3.11.36) сходит-Интегральное представление. Если бесконечное произведение в (3.11.36) сходит-

Интегральное представление. Если бесконечное произведение в (3.11.36) сходит-

Интегральное представление. Если бесконечное произведение в (3.11.36) сходит-

Рис. 3.12. Способ проведения разреза в комплексной плоскости s, отличающийся от принятого на рис. 3.11.

ся медленно или же указан

ные в (3.11.37) условия не выполняются, можно провести числен

ное интегрирование, воспользовавшись непосредственно представлениями (3.11.21а) и (3.11.22).

Вводя замену переменной (3.11.27), получаем

』eхp ｛点!m口 +逅將爾]流三曲｝ . (3.11.40)

Контур интегрирования 尸力 показанный на рис. 3.11, переходит при этом в контур 尸6, охватывающий разрез, который в данном случае определен иначе (рис. 3.12). Следует отметить, что подин- тегральн(№ выражение в (3.11.40) экспоненциально убывает на контуре интегрирования. Таким образом, интеграл в (3.11.40) в широком диапазоне частот без труда находится численными методами.

СВЯЗЬ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ОТКРЫТОЙИ ЗАМКНУТОЙ ОБЛАСТЕЙ

Рассмотрим две структуры, изображенные на рис. 3.13. Пусть обе структуры возбуждаются ТМь о-волной вида (3.11.1) с четным 2. Естественно задаться вопросом, переходит ли решение для разветвленного волновода в решение для волновода с открытым концом в предельном случае а-> 8.

Из физических соображений следует ожидать положительного ответа на этот вопрос, поскольку в любой реальной среде имеется механизм потерь, неизбежно приводящий к затуханию поля. Полное поле в каждой точке разветвленного волновода может быть

Рис. 3.13. Открытая и соответствующая ей замкнутая структуры: ® волновод с открытым концом;(б) волновод с разветвлением.Рис. 3.13. Открытая и соответствующая ей замкнутая структуры: ® волновод с открытым концом;(б) волновод с разветвлением.

Рис. 3.13. Открытая и соответствующая ей замкнутая структуры: ® волновод с открытым концом;

(б) волновод с разветвлением.

Рис. 3.13. Открытая и соответствующая ей замкнутая структуры: ® волновод с открытым концом;

(б) волновод с разветвлением.

представлено в виде суперпозиции двух полей: поля первичной волны, которая существует и в случае волновода с открытым концом, и поля, обусловленного отражением первичной волны от верхней стенки волновода при х = а. С учетом потерь в среде амплитуда первичной волны при 力=q обращается в нуль, если Ог->со, и, таким образом, отраженное поле в этом случае отсутствует.

К этому же выводу можно прийти и с помощью строгого математического рассмотрения [6], которое будет проведено ниже. Приведем для удобства функциональное уравнение Винера ——Хопфа, возникающее в задаче об излучении из открытого конца волновода:

^^^ +九⑺一呼⑷宀，gV包(3."S)

(3.11.416)(3.11.416)G(a) = f 曙.

(3.11.416)

(3.11.416)

Можно показать х), что соответствующее уравнение в задаче о разветвленном волноводе имеет вид

+ 冗⑷=—敦(а) —U— , g V % (3.11.42a)

1/^(а+喃' '+ (涉)G(a)' I I ~'

где

ад = ^Йf-(3・儿4约

Величины J_ (а), ^+ (а) и G (а), отмеченные сверху чертой, введены здесь для того, чтобы отличить их от сходных величин в уравнении (3.11.41). Отметим, что Re у > 0 для всех а в полосе | т |< V “2 и，кроме того,

limа9 с->оо а—с=Ьlimа9 с->оо а—с=Ь* Ит £У = shY" % ст%4 —产。* Ит £У = shY" % ст%4 —产。Таким образом,Таким образом,lim G(a) = G(a) а9 с—8а-с—Ьlim G(a) = G(a) а9 с—8а-с—Ь(3.11.43)(3.11.44)(3.11.43)(3.11.44)

lim

а9 с->оо а—с=Ь

lim

а9 с->оо а—с=Ь

* Ит £У = shY" % ст%4 —产。

* Ит £У = shY" % ст%4 —产。

Таким образом,

Таким образом,

lim G(a) = G(a) а9 с—8

а-с—Ь

lim G(a) = G(a) а9 с—8

а-с—Ь

(3.11.43)

(3.11.44)

(3.11.43)

(3.11.44)

и уравнение Винера ——Хопфа (3.11.41) переходит в этом предельном случае в уравнение (3.11.42).

Решение уравнения (3.11.42) не вызывает затруднений и приводит к следующему окончательному выражению для поля:

-回汕+句£(淋)4•工®да^^x

、Xe—azd% %>b,(3.11.45a)

W3'Z)=+8 一

Хе-а^а, 0V%VA (3.11.456) где (см. (3.6.31))

П «+哈加产"M g (l + a/iYnc) ^^

X W曰• (3.11.45b)

П仕+峭5)产/次n=f

工)Эта задача для падающей волны ти&а Г^1>0 рассйатривалась в § 6 и 7.

Сравнение (3.11.45) с (3.11.17) и (3.11.19) показывает, что выражения для рассеянного поля в обеих задачах совпадают в рассматриваемом предельном случае, если выполняется равенство

lim %(а)=%(а),lim %(а)=%(а),(3.11.46)(3.11.46)

lim %(а)=%(а),

lim %(а)=%(а),

(3.11.46)

(3.11.46)

где функция %(а) определена согласно (3.11.12г). Последнее предельное соотношение можно доказать, используя результаты факторизации из § 10 (ср. также § 4.5). '

Таким образом, мы приходим к возможности нахождения решения краевых задач для открытых областей посредством предельного перехода в решении краевых задач для соответствующих замкнутых областей; последние, как правило» решаются гораздо проще. В задачах для замкнутых областей, решаемых методом Винера —— Хопфа, функций G (а) мероморфна и факторизацию ее можно легко осуществить с помощью теоремы I из § 6. С другой стороны, соответствующая функция G (а) в задачах для открытых областей имеет точки ветвления и поэтому факторизация ее сопряжена с трудностями. Следует еще отметить, что получение функции G+(a) из G+(a) с помощью предельного перехода (3.11.46) дает еще один новый способ факторизации функций в задачах для открытых областей.

Процедуру предельного перехода можно применять не только для нахождения факторизации. Фактически, полное решение краевой задачи для открытой области можно рассматривать как предел решения краевой задачи для соответствующей замкнутой области. Таким образом, процедура предельного перехода может применяться на самой последней стадии решения, т. е. после завершения решения задачи для замкнутой области. Более детально мы познакомимся с этой процедурой в § 4.5.

§ 12. ДИФРАКЦИЯ НА ОТКРЫТОМ КОНЦЕ ВОЛНОВОДА

С математической точки зрения задача о дифракции на открытом конце волновода мало отличается от рассмотренной в предыдущем параграфе задачи об излучении из полубесконечного волновода. Однако эта задача (наряду с задачей дифракции на полуплоскости, которую можно рассматривать как ее частный случай) служит одним из лучших примеров, позволяющих выяснить физические особенности явления дифракции. Таким образом, подробное рассмотрение этой задачи представляется оправданным.

Плоский полубесконечный волновод и принятые обозначения показаны на рис. 3.14. Пусть на раскрыв волновода падает плоская волна вида

8$)=屮⑴=е-谓％ sm е()-恤cos о。= e-ifepcos(0-eo). (3.12.1)

Для нахождения рассеянного поля мы можем пойти двумя путями.

Падающую волну (3.12.1) можно формально представить в виде суперпозиции четырех плоских падающих волн, показанных

на рис. 3.15, а и 6, или эквивалентной суперпозиции волн на рис. 3.15, с и а. Краевые задачи для структур, показанных ца рис. 3.15, а и 2, очень похожи на задачи, рассмотренные в § 11,

и задачу 3.9. Таким образом, искомое решение краевой задачи с возбуждением (рис. 3.14) получается простым сложением решений задач для структур, изображенных на рис. 3.15, с и 2. При таком подходе с самого начала происходит разделение поля на симметричную и антисимметричную части. Хотя такой подход требует довольно громоздких выкладок, вывод самого уравнения Винера—— Хопфа осуществляется сравнительно легко.

Мы изберем другой способ формулировки задачи, в котором не требуется с самого начала проводить разделение падающего

ноля, хотя в последней стадии решения необходимо разложение поля на симметричную и антисимметричную части.

Вывод уравнения Винера ——Хопфа в рассматриваемой задаче несколько различается в зависимости от того, принадлежит ли угол 0О диапазону 0 忌 8。V 冗/2 или же л/2 V 8。V 冗

Для 0《6。V 冗/2 рассеянное поле можно определить из соотношения

屮⑴(力，z)=屮⑴ + 屮 для всех % и z・ (3.12.2а)

Покажем теперь, что введенное таким образом рассеянное поле всюду ограничено. Это утверждение основывается на следующей совокупности фактов:

При заданном х и z^ +оо рассеянное поле представляет собой дифрагированную волну (см. (3.11.4)) и, следовательно, затухает по крайней мере как exp (——A^z).

При заданном % > b рассеянное поле состоит из отраженной и дифрагированной волн. Причем первая преобладает и, таким образом,屮(力，z) ведет себя как ехр (—"纟 cos 询 丨 z |) при z —оо к х> b.

При I % I V 匕 полное поле 屮⑴ состоит из собственных волн :и, следовательно, убывает по крайней мере как ехр (——及2 I z |) при z -> —оо (см. задачу 3.3). Так как *ф =屮⑴一《⑴，то « асимптотически ведет себя так же, как *ф⑴，т. е. убывает как ехр (— fc2 cos б。I z I) при z -> —оо и | % | 之 b.

При 力 V — Ь и z -> — оо полное поле 屮⑴ образовано только дифрагированными волнами, и, таким образом,屮〜屮⑴〜 〜ехр (——论2 COS 00 I Z I) При 2Т —— ОО h%V — b・

Из сказанного выше заключаем, что при 0《 6。V 冗/2 функция * (ж, z), определенная согласно (3.12.2а), всюду ограничена и, в частности, при фиксированных х справедливы оценки

[0(e-Mz), z-> + oo, 屮设，z) = ( 0(e_h2coseoizi), — oo.

Однако в другом случае, когда л/2 < 0О < л, функция 屮(ж, z), определенная выражением (3.12.2а), не ограничена в области —л + 0О > 0 > —叫 поскольку 2 (力,z) ведет себя как 2(力 при болыйих х или z. Можно избежать этой трудности, переопределив функцию 屮(х, z) при л/2 V 拆 V 冗 следующим образом:

f屮⑷+ 2， %>仇 , 方(з)=｛也 yЬ. (3.12.26)

Благодаря симметрии задачи достаточно рассмотреть лишь углы паде- тая в диапазоне 0 ^ 0е < л.

Различные определения функции г|)(力，z) в (3.12.2а) и (3.12.26) приводят к уравнениям Винера ——Хопфа разного вида. Хотя в дальнейшем мы проведем выкладки только для случая 0 & 8。V V 冗/2, полученное решение будет справедливо при всех 9®.

Рассеянное поле 屮(力，z), определенное согласно (3.12.2а), удовлетворяет волновому уравнению (3.11.2). Применив к этому уравнению преобразование Фурье, получаем

(鳥* —У?) ^(怎 а) = 0,—卷 VtV"2cos备・

Решение этого уравнения можно представить в виде "a (a)"吁力>仇

屮® а) = { С(а)е-" + 0(а)е",也|<仇 (3.12.3> В (а) e^,x< — b.

Теперь необходимо сшить поля при % = ± Ь・ Удобно прежде всего исключить коэффициенты Л (а) и В (а), воспользовавшись уело* вием непрерывности касательной составляющей электрического поля, а следовательно, и Л|)(х, a)/fe, на плоскостях % = ± 6. Это дает

Z (а) = С (а) - D (а)决叫(3.12.4a)

5 (а) = - С (а) е2»ь 十 0 侬).(3.12.46)

Для toro чтобы удовлетворить оставшемся граничным условиям г целесообразно выписать явные выражения для касательной составляющей поля на поверхности % = ± Ь; из выражений (3.12.3) находим

Т+ (Ь + 0, а) + Т_ (Ь + 0, а) = С (a) e^^D (а) е叫(3.12.5a)

4f+ (&-0, а) + 4L (b — O, а) = С (а) 6-汕十 D(а)^吟(3.12.56)

屮+ (— b + 0, а) + 屮一(一b + 0, а) = С (a) eYb + 0(電)е-叫(3.12.6a}

吋+(-6 — 0, а) + У_(-Ь-О, а)= -С(а)е»ь + 0(а)егь(3.12.66}

и, продифференцировав (3.12.3), получаем

呼(Ь, а) + 屮二(Ь, а) = — у [С (а) е-ь 一。(а)^-叫，(3.12.7>

呼(一b, а)十屮二(一 b, а) = - 丫 [С (а) М - о(а)е^ъ}(3.12.8>

Поскольку функция 屮(瑞 z) непрерывна при х= +Ь и z>0, то, вычитая (3.12.56) из (3.12.5а), получаем

九(ь, a)=-0(a)e叫(3.12.9)

где 2J_(b, а) = Т_ (Ь + 0, а) — 4f_(b — 0, а) — величина, про- порпдональная преобразованию Фурье тока, индуцированного на верхней стенке волновода %= +Ь. Аналогична из (3.12.6)

получаем

J_(i а)=-С(а)*ь,(3.12.10)

тде 2J_( —Ь, а) =У_( —b—0, а) —4f_(— b + О, а) —величина, пропорциональная преобразованию Фурье тока, индуцированного ва нижней стенке волновода. И наковрц, условие обращения в нуль тангенциальной компоненты полного электрического поля при % = ± Ь дает

史(土 >— 1—.(3.12.11)

у2п (а—к cos 00)

Выведем теперь с помощью соотношений (3.12.7) — (3.12.11) два уравнения s Винера — Хопфа. При этом необходимо исключить коэффициенты С (а) и D (а), выразив их через функции с известными областями регулярности (т. е.吋；(匕,а), ，—(Ь, а) и т. д.). В результате получаем

0； (a)-空巴瓦®口(紡5m备)=一2处2G (a) S- (a),(3.12.12)

у 2л (а—A: cos 90)

S； (а) + 绥吧。c°s (肋 sin В。) = -2 汕 Q)ZL(a),(3.12.13)

”2n (a —A: cos00)

тде G(a) и L (а) определены соответственно в (3.11.12в) и в задаче 3.8 и, кроме того, использованы следующие обозначения:

М(а) = У；(Ь, а)-У；(-Ь, а),(3.12.14а)

S_(a) = J_(b, a) + J_( —b, а),(3.12.146)

S； (а) = Т；(&, а) + У； (— А а),(3.12.14в)

ZL(a)=J_(b, а) —J_(-A а).(3.12.14г)

Интересно заметить, что величины D； (а) и S_(a) определяют симметричные составляющие рассеянного поля ), a S：(a) и0_(а) дают антисимметричные составляющие.

Более того, как нетрудно убедиться, уравнения (3.12.12) и (3.12.13) —— суть функциональные уравнения Винера — Хопфа, описывающие краевые задачи для конфигураций, изображенных соответственно на рис. 3.15, виг. Таким образом, несмотря на то, что мы не разделяли с самого начала симметричную и антисимметричную части падающего поля, как показано на рис. 3.15, рто разделение имеет место в результирующих уравнениях Винера— Хопфа»

Поскольку факторизация функций G (а) и Л (а) уже обсуждалась ранее, решения уравнений (3.12.12) и (3.12.13) находятся обычным образом и имеют вид

S_ (a)=S_ (a)=11ik sin Оо sin (论匕 sin Oo)

S_ (a)=

S_ (a)=

1

1

"石 b(k+k cos Oo) G+ (k cos Oo) (a —^) (a —^ cos Oo) G_ (a)'

(3.12Л5а)

р=( — 1)论 sin В。cos ® sin 8°) 乂

- "石(论十 /с COS в0尸/2 L+ (论 COS 00)

(3.12.156)(3.12.156)1

(3.12.156)

(3.12.156)

义

(a — k尸/2 (a — k cos 00)厶一 (a)

где G+ (а) и G_(a) приведены в (3.11.12г), а

4(a)

в

и L- (a)— задаче 3.8. Из '(3.12；9), (3.12.10), (3.12.146) и (З.'12.14г) имеем

С (a)=—区[S. (a) — ZL (a)] e-涉，

0 (a)=—区[S- (a) + D_ (a)] е—ь.

(3.12.16a)

(3.12.166)

Подставив (3.12.15), (3.12.16) и (3.12.4) в (3.12.3),

сеянное поле с помощью обратного преобразования Фурье:

найдем рас

8 + rr

—7=rf [S_ (a) ch yx + D- (a) sh yx] e-^b~iaz da,

—oo-f-гт

屮(%,z)=

|^|<Ь, (3.12.17)

сю-f-iT

f [5_ (a) sh yb + (sign х) • D^ (a) ch уЬ] х

у- оо+гт

X e-yg-以2加，|%|>b, (3.12.18)

где — k2Vt V 乃2 cos 0O и sign x = +1, если 力 > 0, и sign x = = ——1, если 力 V 0・ Ниже мы вычислим эти интегралы и проанализируем полученные результаты.

12.1. ДИФРАКЦИЯ НА ПОЛУПЛОСКОСТИ

Рассмотрим частный случай b -> 0. В этом случае волновод переходит в бесконечно тонкую полуплоскость (рис. 3.16). Заметим, что G (a) -> 1 и 厶(а) -> 1 при Ь -> 0. Отсюда следует, что функции G+(a), G_(a), $+(а) и £_(а) тоже стремятся к единице

11-0367

при Ь -> О х), а рассеянное поле (3.12.18) принимает вид

(—D(sign%)ksme。 С 一 尸吋3 加

，2冗(к + k cos 财产/2 —J十2((a 一/С)/ (а -к cos 00)，

，一к2Vt V 卷 cos6o・ (3.12.19)

При больших fcp интегралы такого тйпа можно оценить методом перевала. Мы обсуждали этот метод в § 1.7. Как будет показано

ниже, применение этого метода к интегралу (3.12.19) позволяет выразить его через интегралы Френеля. Введем полярные координаты 2)

% = р sin 0, z = р cos 0.(3.12.20а)

Для удобства будем считать, что угол 0 удовлетворяет неравенствам

-л < 0 < л.(3.12.206)

Заменой переменных

а = — к cx)s w, it = ~ + arcsin(3.12.21)

(свойства арксинуса обсуждались в § 1.7) интеграл (3.12.19) приводится к виду

也/”signe)f sm(eo/2)sm®/2)产pcos(w-|8|)〃明 (3.12.22)

+/Л JCOS ”+COS Во

где контур P изображен на рис. 3.17 (ср. рис. 1.9). Линия наибыстрейшего спуска Ps, проходящая через седловую точку w = =I 0 I, описывается уравнением

Im h cos (it — I 6 I)] = 1, Re [i cos (w — | 0 |)] ^ 0

(3.12.23>

и изображена на рис. 3.17. При деформации контура Р в Ps вклад

Рис. 3.17. Контур Р и линия наибыстрейшего спуска Р8 для интеграла (3.12.22).

простого полюса необходимо учитывать тогда и только тогда, когда О < (л ——0О) < I 0 |. Таким образом, деформировав контур Р в Р$, имеем

[(sign 0) e-zMcos( I е I +00)+ 屮 @, о<(л-0о)<|0|<л,

屮(■ °)= | 屮叫О<|0|<(л-0о)<л,

(3.12.24)

где

d) = zSigne С sm(eo/2)sin(0/2) е话Pcos®Т81)©办(3/2.25)

屮л JCOS U?4-COS 00

Ниже мы покажем, что интеграл 屮®)определяет дифрагированное поле.

Перейдем к вычислению ^d\ Несмотря на возможность точного выражения 屮(&)через интегралы Френеля, желательно получить простое асимптотическое выражение для этого интеграла. С этой целью воспользуемся методом Перевала. Следуя процедуре, описанной в § 1.7, получаем，)

m〜一’高Г 2弋客體叱…и |8|中（一瞅）.

(3.12.26)

Как указывалось в § 1.7, эта простая формула теряет смысл, если точка перевала ip = | 0 | лежит вблизи полюса w = я —— 0О. Существует несколько методов получения оценки интеграла в этом случае 3), но мы здесь не будем их рассматривать.

Как мы уже отмечали, интеграл 屮(d) в (3.12.25) можно выразить точно через интегралы Френеля. Отнеся подробные выкладки в задачу 3.13, приведем здесь только окончательный результат:

e-E/4■yTe-E/4■yT<р(^ = — (sign 0) 6-沮「cos (10 |]+0o) +

e-E/4

■yT

e-E/4

■yT

e-tEcos(e+8o)b[M^cos (Ц^)]_

(3.12.27)(3.12.28)(3.12.27)(3.12.28)_ e-ifepcos (0-00)^ [y2fcp cos (^ojj|?

(3.12.27)

(3.12.28)

(3.12.27)

(3.12.28)

где F (ж) — (комплексный) интеграл Френеля 4): ь(%)=j鼠㈱山.

Подставляя (3.12.27) в (3.12.24), получаем тоаное】 выражение 口ля рассеянного поля, которое можно" упростить, если воспользоваться соотношением

尸（%） +尸（一%） = /%成（冗/4）.尸（%） +尸（一%） = /%成（冗/4）.(3.12.29)(3.12.29)

尸（%） +尸（一%） = /%成（冗/4）.

尸（%） +尸（一%） = /%成（冗/4）.

(3.12.29)

(3.12.29)

')Пределы изменения 0 ограничены неравенствами (3.12.206), в противном случае функцйя sin (0/2) не является взаимно однозначной.

а) Знак 圣 означает «не очень близко к».

8) См. прим, к § 1.7.

Используя стандартные обозначения для интегралов Френеля, можно записать

1")=/{片-С (/ 口)]+" [4-s (/务)]}= =亭 /5/4) erfc (ze-®/4)).

Объединяя рассеянное поле с падающим, получаем окончательное выражение для полного поля:

Н$)(Р, 0)—屮⑴=屮⑷+屮=

=в -у- ^ {е~氾Pc^ef)耳[—MS^cos (^з^)] +

+ e-iAPcos(e+W[/2fcpcos (号叩},

—л < 0o< л, — л<0< л. (3.12.30)

Полученное выражение совпадает с классическим решением Зом- мерфельда задачи о дифракции на полуплоскости. Напомним еще раз, что выражение (3.12.30) справедливо при всех углах падения 0О, хотя оно было получено в предположении 0 < 0О < л/2. К этому же выводу можно прийти, замечая, что углы 0 и 0О входят в (3.12.30) симметричным образом.

АНАЛИЗ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ О ДИФРАКЦИИНА ПОЛУПЛОСКОСТИ

Как упоминалось ранее, решение задачи о дифракции на полу-1 плоскости (3.12.30) является хорошим иллюстративным примером для изучения свойств рассеяния на краю. Более того, асимптоти* ческое выражение (3.12.30) составляет основу для расчета дифра* гированных лучей в геометрической теории дифракции [30, 31]. Поэтому полезно более тщательно исследовать полученное решение (3.12.30).、

Рассмотрим сначала поле вблизи ребра, т. е. при "р《1. Используя разложение интеграла Френеля в ряд Тейлора

F ⑺=争 е£5/4)-х + О (力2),(3.12.31)

получаем главный член полного поля при "р-> 0:

石伊=2 |/京Т硏)sin (喲 sin (у) Vkp + O(kp). (3.12.32a)

Остальные составляющие поля имеют при этом вид1) (см. (1.5.8)) 理= /¥/^е*叫 sin 偿)sin (4)爲+。⑴，(3.12.326) 理」/手/^Wsin (岑)cos 得)^■+。0 (3.12.33)

')Отметим, что 8 с 8 sin 0 5 dz 一 °08 8P p 89 ' 8. n . cos 0 5

-г- — sin 0 H.дл 咖 p 89

Интересно отметить, что при fcp -> 0 параллельная ребру составляющая магнитного поля 民/)остается ограниченной, в то время как компоненты, перпендикулярные ребру, расходятся как (3)т/2. Этот результат согласуется с условием на ребре (см. (1.3.19) и (1.3.20)). Поверхностная плотность тока, индуцированного на полуплоскости, равна скачку гкасательной составляющей магнитного поля, т. е. разности между Я^ при 8 = +л;и8 = —冗 (ср. 1.2.166))

Jz=-4|ZAe-K«/4)sin (阴 М而+。(却)；(3.12.34)

эта величина ограничена при Ар 0.

Рассмотрим теперь поле в дальней зоне, т. е. при /ср》1. Полное поле в этом случае удобно разложить на два слагаемых:

Н$)= нун$)・(3.12.35)

Слагаемое Н^ при этом равно сумме падающего поля и вклада вычета в (3.12.24) и может быть записано в виде

‘ ”泣pcos(e-8o),в области I,

H$g)= < ^-ifepcos (0-00)-|- ^-ifepcos (0+00)? в области II, (3.12.36) 、0,в области III,

где области I, II и III определены, как на рис. 3.16. Поле X产 можно найти по простым законам геометрической оптики; его обычно называют геометрикооптическим полем. Второе слагаемое Н，) в (3.12.35) в точности совпадает с функцией 屮⑷，определенной интегралом (3.12.25); оно называется дифрагированным полем и является той частью рассеянного поля, которую нельзя получить методами геометрической оптики. Точное выражение для Н^ через интеграл Френеля приведено в (3.12.27). При 了2 Ар cos ［(0 士 00)/2)］》1 можно воспользоваться асимптотическими формулами для F (力)

尸⑺L，/ 1尸⑺L，/ 1/>0.(3.12.37) 力VO,/>0.(3.12.37) 力VO,

尸⑺L，/ 1

尸⑺L，/ 1

/>0.

(3.12.37) 力VO,

/>0.

(3.12.37) 力VO,

и получить выражение

吁"温‘2嘰窗*外。［嘉］，网…队

(3.12.38)

которое, как и следовало ожидать, совпадает с асимптотической формулой (3.12.26), полученной методом перевала. В дальней зоне поле Н^ представляет собой цилиндрическую волну, амплитуда которой является малой порядка О (1/М"р) по сравнению с амплитудой геометрикооптического поля всюду, кроме области тени ') (см. рис. 3.16). Если не рассматривать углового распределения,

Рис. 3.18. Геометрикооптическая картина дифракции на полуплоскости: (@) геометрикооптическое поле; (6) дифракционное поле^Рис. 3.18. Геометрикооптическая картина дифракции на полуплоскости: (@) геометрикооптическое поле; (6) дифракционное поле^

Рис. 3.18. Геометрикооптическая картина дифракции на полуплоскости: (@) геометрикооптическое поле; (6) дифракционное поле^

Рис. 3.18. Геометрикооптическая картина дифракции на полуплоскости: (@) геометрикооптическое поле; (6) дифракционное поле^

эта цилиндрическая волна имеет тот же вид, что и поле, создаваемое линейным магнитным источником, расположенным на краю полуплоскости (рис. 3.18, 6). Выражение для плотности индуцированного тока на больших расстояниях от края полуплоскости можно получить из (3.12.36) и (3.12.38), если считать, что угол падения не очень близок к нулю. В результате имеем

厶=2戸рзео + о (干£) , K2^psin 書)>1,(3.12.39)

что согласуется с распределением тока, найденным в приближении физической оптики ), которым иногда пользуются при расчетах рассеяния на больших хорошо проводящих телах.

Простая формула (3.12.38) перестает выполняться при 0 а 弋土 (冗 ——0О). Заметим, что угол 0 = л — 0О определяет границу тени отраженного поля, а 0 =——(л ——00)——границу тени для

падающего поля (рис. 3.18, а). Для определения поля в этой зоне необходимо прибегнуть к точной форме Ну^ в (3.12.30). Воспользовавшись тем, что

〃0)=J о〃0)=J оe^dt = ^-e^\e^dt = ^-e^\

〃0)=J о

〃0)=J о

e^dt = ^-e^\

e^dt = ^-e^\

для 6 = 土 (冗一0О) получим

eikp cos 200 + 士 eikp _|_ Q+。(合)，eikp cos 200 + 士 eikp _|_ Q+。(合)，Ht),Ht),0 = Л — 00?0 = —(Л 一 Оо) •0 = Л — 00?0 = —(Л 一 Оо) •(3.12.40)(3.12.40)

eikp cos 200 + 士 eikp _|_ Q

+。(合)，

eikp cos 200 + 士 eikp _|_ Q

+。(合)，

Ht),

Ht),

0 = Л — 00?

0 = —(Л 一 Оо) •

0 = Л — 00?

0 = —(Л 一 Оо) •

(3.12.40)

(3.12.40)

Интересно отметить, что при Ар -> оо геометрикооптическое поле при 0 = =Н (л — 0О) равно среднему а рифм етическому полей в соседних областях.

До сих пор мы рассматривали лишь поля с поперечно-магнитной (ТМ) поляризацией. Основные результаты для поляризации ТЕ суммируются в задаче 3.14.

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ О ВОЛНОВОДЕ С ОТКРЫТЫМ КОНЦОМ

Обратимся снова к задаче о волноводе с открытым концом и займемся вычислением интегралов (3.12.17) и (3.12.18), необходимых для завершения решения. Рассмотрим сначала поле, прошедшее в волновод. При z V 0 контур интегрирования в интеграле (3.12.17) можно замкнуть полуокружностью бесконечно большого радиуса, лежащей в верхней полуплоскости а. Внутри контура интегрирования лежат следующие особые точки: простые полюсы функции S_(a) в точках а = к cos 0О и а = —/уп, 〃 = 0, 2, 4,・•., и простые полюсы функции 0_(а) в точках а = 乃 cos 0О и а = = —%Yn, n = 1, 3, 5, •・・• Вычисляя вычеты, получаем

г —p-ik sin 仇％- гй cos Boz 丄 sin (左8 sin В。)-ikz i

q ( -4)2力b5加氏008(泌5e8())俨+仃П产/2 cos [(几Л/2b)(a: -b)] g7^ + j]九门(论+左 cos 00)1/2 (»Yn -论 cos 00)J(论 cos 00)"(外九)

нечетн

I 0 sin Bo sin (论匕 sin 8。) cos [(тт/2Ь) (c —匕)] VnZ

十 Z &(14-cosOo) (k-—iyn) (k cos00 —iyn) G+ (A：cos0o) GL (fyn) ， n=2 четн

]x\<b и z<0, (3.12.41) где

広(的=整|小，G1回)=^Ял

Первое слагаемое в (3.12.41), как и следовало ожидать, гасит падающее поле.

屮(%，z) = -J=r2 "2冗屮(%，z) = -J=r2 "2冗8+П8+ПРассеянное поле вне волновода можно найти, следуя способу, описанному в разд. 12.1, и получить поле в дальней зоне из выражения (3.12.18). С этой целью перепишем это выражение в виде

屮(%，z) = -J=r

2 "2冗

屮(%，z) = -J=r

2 "2冗

8+П

8+П

[D_ (a) + 5_ (a)] e-^x-b^~iazda +

12"行12"行8+江

1

2"行

1

2"行

[D_ (a) —5_ (a)[eT@+b)-iaz 加,

(3.12.42)(3.12.42)—& V т V 卷 cos 0o, % > b.

(3.12.42)

(3.12.42)

Только в первом интеграле в (3.12.42) подинтегральная функция имеет полюс при а = k cos 0О. В этом нетрудно убедиться, рассмотрев поведение функций 力_ и S_ в окрестности точки a = =к cos 0О:

5_ (а), 0_(а)〜5_ (а), 0_(а)〜e-ikb sin 0оZ *]/2л (a — к cos 00)e-ikb sin 0оZ *]/2л (a — к cos 00)

5_ (а), 0_(а)〜

5_ (а), 0_(а)〜

e-ikb sin 0о

Z *]/2л (a — к cos 00)

e-ikb sin 0о

Z *]/2л (a — к cos 00)

Введем две новые системы цилиндрических координат (р‘，0х) и (р", 8"), начала которых помещаются соответственно в точках (%=4"b, z=0) и (力=—b, z = 0) (рис. 3.14). Воспользовавшись методом перевала, получим окончательное выражение для полного поля

屮⑴(％, z)=屮(g) + 屮(d).屮⑴(％, z)=屮(g) + 屮(d).(3.12.43)(3.12.43)

屮⑴(％, z)=屮(g) + 屮(d).

屮⑴(％, z)=屮(g) + 屮(d).

(3.12.43)

(3.12.43)

o v e‘ v 几一0o r 冗一仇VI 8' *^亦 (3.12.44)o v e‘ v 几一0o r 冗一仇VI 8' *^亦 (3.12.44)电⑷〜{电⑷〜{J3P，—W4) 2isin(Bo/2)sine/2)J3P，—W4) 2isin(Bo/2)sine/2)XX1/石而cos 0o+cos 8'Гcos (励 sin В。)1/石而cos 0o+cos 8'Гcos (励 sin В。)XX2L+ (к cos 0о)厶+ (左 cos 8')2L+ (к cos 0о)厶+ (左 cos 8')++sin (kb sin 0o)sin (kb sin 0o)4访 eds (Bo/2) cos (B'/2) G+ (k cos 8。) G+ (k cos })4访 eds (Bo/2) cos (B'/2) G+ (k cos 8。) G+ (k cos })]+]+

o v e‘ v 几一0o r 冗一仇VI 8' *^亦 (3.12.44)

o v e‘ v 几一0o r 冗一仇VI 8' *^亦 (3.12.44)

电⑷〜{

电⑷〜{

J3P，—W4) 2isin(Bo/2)sine/2)

J3P，—W4) 2isin(Bo/2)sine/2)

X

X

1/石而cos 0o+cos 8'

Гcos (励 sin В。)

1/石而cos 0o+cos 8'

Гcos (励 sin В。)

X

X

2L+ (к cos 0о)厶+ (左 cos 8')

2L+ (к cos 0о)厶+ (左 cos 8')

+

+

sin (kb sin 0o)

sin (kb sin 0o)

4访 eds (Bo/2) cos (B'/2) G+ (k cos 8。) G+ (k cos })

4访 eds (Bo/2) cos (B'/2) G+ (k cos 8。) G+ (k cos })

]+

]+

Здесь 屮(名)一геометрикооптическое поле. При 0 < 0О < я

г g-ik sin 0ох - ih cos 0oz

屮(*)— I ^-ihsin Qox-ik cos 飢十 ^4-ifesin0O (x-2d)-ikcos0O^?

и состоит из падающего поля и поля, отраженного от верхней стенки волновода х = Ь. При больших Лр дифрагированное поле г|)(&> можно получить, применив к (3.12.42) оценку (1.7.19). В результате имеем

■ , е«М—/4)2% sin (瓦/2) sin (&72)]

十 I "^^ cos O0+cos 0" J X

、/「 cos (kb sin 0O) I

X L2L+ (k cos Oo) ^+ (k cos 0")

,“p-> 00.(3.12.45),“p-> 00.(3.12.45)sin (kb ^in 0O)I

,“p-> 00.

(3.12.45)

,“p-> 00.

(3.12.45)

ЛкЬ cos (0o/2) cos (072) G+ (k cos 0O) G+ (k cos 9W)

Следует отметить, что первое и второе слагаемые в (3.12.45) описывают дифрагированные волны, испускаемые соответственно острыми ребрами 力=b, z = 0, и % =——b, z = 0.

Множители в фигурных скобках для каждой дифрагированной волны имеют тот же вид, что и в случае дифракции на полуплоскости, а множители в квадратных скобках описывают взаимодействие стенок волновода друг с другом х). Выражение (3.12.45) можно несколько упростить, если воспользоваться приближенными равенствами

8’ q 8 а 8", р‘ + b sin 0 « р 笈 р" — b sin 0, (3.12.46)

справедливыми при больших кр. В результате получаем выражение, в которое углы 0 и 0О входят симметричным образом:

业⑷〜f 吟 2zSin(e0/2)sin(e/2)^

* I -p^而cosOo + cosO / 人

Г cos (论匕 sin 瓦)cos (〃b sin 8)—

X L 乙+ (论 cos e0)乙+ (论 cos 8)

sin (肋 sin 8。) sin (论匕 sin 8)"1

2kb cos (0o/2) cos (0/2) G+ (k cos 0O) G+ (k cos 0) J，

kp —> 00, 8 * л — 0o и 8>0・ (3.12.47)

При % V —Ь (3.12.18) можно переписать в виде

оо-+-гт

叭2)= "iW叭2)= "iWj [S_ (а) — D_ (а)] evbe-v(|x |+b)-taz da__

叭2)= "iW

叭2)= "iW

-8+k

oo-f-гт

L_ C [S_ (а) + D_ (a)] e-2ybeT(|xi)Taz 加.

—8 + 2T

—fc2 < т < fc2 cos 0o, b. (3.12.48)

屮(g)=屮(g)=Аналогично можно показать, что при выполнении приближенных соотношений (3.12.46) справедлива формула

屮(g)=

屮(g)=

(3.12.49)(3.12.49)О,— зх < 8 V 0о — л,

(3.12.49)

(3.12.49)

e-iksm eox-ik cos 0ozy 仇一jtV8<0,

а дифрагированное поле имеет вид

〜! /(Mf/4)2»sE(eo/2)sin(e/2) 1

W I ”5而'cosBo + cosB/ 入

[

( — 1) cos (fed sin В。)cos (肋 sin 8)

乙 + (k cos 瓦)4(儿 cos 8)一

sin (论匕 sin В。)sin (论匕 sin В)]

—2kb cos (0о/2) cos (0/2) G+ (к cos 0O) G+ (к cos 0) J，

fcp-> oo , 0 ^ 0O — л и 0<O (3.12.50)

и отличается от (3.12.47) только знаком 《минус» перед первым слагаемым в квадратных скобках. Таким образом, задача о дифракции на открытом конце волновода полностью решена.

§ 13. СОПОСТАВЛЕНИЕ МЕТОДА СШИВАНИЯИ МЕТОДА ВИНЕРА - ХОПФА

Прежде чем закончить эту главу, по-видимому, целесообразно обсудить вопрос о возможной эквивалентности метода сшивания и метода Винера —— Хопфа. Можно утверждать, что по крайней мере в закрытых областях оба метода с одинаковым успехом могут примеряться для решения краевых задач. В методе сшивания неизвестное поле разлагается по собственным волнам (или по пространственным гармоникам в случае периодических структур). Последующее сшивание полей приводит обычно к одной или нескольким системам линейных уравнений. В методе Винера ——Хопфа отправной точкой является либо интегральное уравнение, либо уравнение в частных производных, которые преобразуются обычно в функциональное уравнение в пространстве преобразований Фурье, называемое уравнением Винера ——Хопфа. Несомненно, что установление эквивалентности бесконечной системы линейных уравнений и соответствующего уравнения Винера ——Хопфа, описывающих одну краевую задачу, представляет большой интерес.

В качестве примера рассмотрим задачу о фазированной решетке, решенную ранее в § 8 (методом Винера — Хопфа) и в задаче 2.5 (методом сшивания). Приведем здесь еще раз уравнение Винера —— Хопфа (3.8Л6) для этой задачи, полученное ранее:

-^44^ + 几3)= 63心+(0,吟-Ar2<T<ReTb (3.13.1а) а V 2л а 十 с%

где

G (а)=亲;Q (cos u — ch уа) eiu.(3.13.16)

Напомним, что обычный путь решения уравнения (3.13.1) начинается с факторизации функции G(a), т. е. представления ее в виде произведения двух функций G+(a) и G_(a)・ Однако в нашем случае оказывается полезным прдвести разложение функции G (а) на два слагаемых. Так как G (а) имеет только простые полюсы при а = ｛士 咕｝, то указанное разложение G (а) заключается просто в разделении этих полюсов, в результате чего приходим к

G3)=(3.13.2)

п=1п=1

Подставляя (3.13.2) в (3.13.1а), после некоторых преобразований получаем

人3)- $号■器■①+(0, W =

П=1П

一 ^ i + eiu^ ResG(-iVn)

n=i

+ $ [①+ (0, a)一①+ (0,%)]糕等"， n=l

—fc2<T<Re 71. (3.13.3)

Следует обратить внимание на то, что левая и правая части (3.13.3) являются функциями, регулярными соответственно в нижней и верхней полуплоскостях комплексной переменной а. Пользуясь обычными в таких случаях рассуждениями, можно показать, что обе части (3.13.3) должны быть тождественно равны нулю во всей плоскости а, т. е.

2 弯缥2 ①+ (0, Wn) = j-(叫(3.13.4a)

n=ln

Ф+(°，а®а)=務磊+ $①+(0,iYn).(3.13.46)

Поскольку уравнения (3.13.4) справедливы при всех а, в (3.13.4а) можно положить а = + i Гд, а в (3.13.46) а = — /Гд. Это дает

2*聲优①+(°，的)=iJ-(明)■ n—i2*聲优①+(°，的)=iJ-(明)■ n—i(3.13.5a)(3.13.5a)Ф+(0, —“(一％)Ф+(0, —“(一％)Q "石 ％ —Y1Q "石 ％ —Y1

2*聲优①+(°，的)=iJ-(明)■ n—i

2*聲优①+(°，的)=iJ-(明)■ n—i

(3.13.5a)

(3.13.5a)

Ф+(0, —“(一％)

Ф+(0, —“(一％)

Q "石 ％ —Y1

Q "石 ％ —Y1

+ £()；)齧粤n)@+(。'仇)，° = °，±1，±2,• (3.13.56) n=i

Сравним полученные уравнения (3.13.5) с системой уравнений

полученной методом сшивания в задаче 2.5.

Остановимся сначала на (3.13.5а). Так как а = + /Гд является

нулем функции G (а), то из (3.13.1a) следует, что

/-( + %)/-( + %)л 1 +小л 1 +小e Д/2эт % + Y2e Д/2эт % + Y2(3.13.6)(3.13.6)

/-( + %)

/-( + %)

л 1 +小

л 1 +小

e Д/2эт % + Y2

e Д/2эт % + Y2

(3.13.6)

(3.13.6)

Вернемся теперь к выражению рассеянного поля Еу (х, z) (3.8.256) и перепишем его с помощью (3.8.24) в виде

8+江

F 力 一 4 i ①十(°，a)G(a) ®"sh 冲 + sh 丫(q—%)]^忆

©八力，纺 一J2ye^(cosu-chya),

где —fc2< ^< Reyi. При zVO контур интегрирования можно замкнуть полуокружностью бесконечно большого радиуса в верхней полуплоскости переменного а. Суммируя вклады вычетов в tочках 00 = { + X?n}, получаем

Еу 3, z) = t W 竄(二颦当貿Yn) sin (号力)心z. (3.13.7) n=l

следует,(3.13.8)следует,(3.13.8)Из сравнения (3.13.7) с соотношением (2.1) для задачи 2.5 что

следует,

(3.13.8)

следует,

(3.13.8)

% _ 1/石 аф+ (0,力丫八)Res G (iyn)

71Хгш[( —1严一et〃] .

Подстановка (3.13.6) и (3.13.8) в (3.13.5а) дает g占[(-1)"一門面=告(1+声)，

g = 0, ±1, ± 2,・・・• (3.13.9) Полученная система уравнений совпадает с системой (2.2а), выведенной методом сшивания. Теперь рассмотрим (3.13.56). Замечая, что G (a) = G+ (a) G_ (а), из (3.8.24) получаем

S(0, -%)G(一％) = ^器^笈Е* ・(3.13.10)

Принимая во внимание явное выражение для G_ (а) (3.8.19)， с помощью (3.13.10) можно показать, что

①+(0, _%Fq)G(-%)=—/±aelurqBq.(3.13.11)

Подставляя (3.13.11) и (3.13.8) в (3.13.56), получаем

n=l

g=0, ±1, ±2,(3.13.12)

что совпадает с (2.26). Таким образом, мы показали, что функциональное уравнение Винера — Хопфа полностью эквивалентна двум бесконечным системам линейных уравнений, полученным на основе метода сшивания.

Интересно также отметить, что ключевой момент в методе Винера ——Хопфа ——это факторизация функции Грина G (а), тогда как метод вычетов основан на построении функции / (w)・ Сравнивая G+ (а) и / (w), определенные соответственно соотношениями (3.8.19) и (3.2.3), находим

/3) 1”5=*^元言(儲•(3.13.13)

Таким образом, функции (za + у, / (za) и G+(a) фактически совпадают и отличаются только постоянным множителем. Таким образом, можно сделать вывод, что метод Винера ——Хопфа и метод вычетов тесно связаны как при формулировке задачи, так и при Нахождении решений.

ЗАДАЧИ

Показать, что если функция G удовлетворяет условиям (3.6.18), то она удовлетворяет уравнению (3.6.16) для функции Грина с точечным источником при х = х^.

Указание. Проинтегрировать обе части (3.6.16) по х от (力° ——0) до (g + 0) и воспользоваться равенством

хо+0

j ам 小 dG I dG I

J=位1『+0- 8z 1%=*0-0 %()— 0

3・2・ Показать, что функция Грина, удовлетворяющая уравнению (3.6.3) и условиям (3.6.4), имеет вид

g(N, Z®, Z°) = W^ 2 *siH(粵死)Sill(響力rmalz-矶

Пусть упа = К〃冗/а)? — fc2], где к = кг + ik2, & > О и fc2 -> + 0. Показать, что Re упа > Re у1о для 〃 = 2, 3, 4,.. a Re 丫八6 > Re у1о для всех п, если а > Ь.

Вычислить контурный интеграл для S_(a) в (3.9.15) по контуру, изображенному на рис. 3.5, б, при условии fc > а > 0. Показать, что полученный результат согласуется с (3.9.24).

Показать, что

-f r in (1 Н-尸*)—1 加=

冗《L \")/k2 - ”2 /"|/k2-"2」

idy 1—, zad ikd

-^ГЫ\—)+^Г-

Указание^ Рассмотреть функцию

Q(a, ^) = wln (1 + у^^ ) ~41п (能)—

и показать, что

。”\V〃2—加у/» —”2

Показать, что изображенный на рис. 3.8 контур Рб на плоскости w при замене переменной w = к -\- is/2k переходит в контур на плоскости s, изображенный на рис. 3.11.

Указание, Рассмотреть сначала случай fc2 -> + 0 и показать, что Re (炉-к2) = (1/4a2) {[S2 — (^кс1)^ — s： 一 (2及0产} И Im (炉一乃2)= (1/4〃2) 2sl (4fca — s?). Напомним, что разрез в плоскости w проводится согласно условию Re (ip2 ——к2) <； О и Im (炉一fc2) = 0.

Вывести (3.11.34) из (3.11.23).

Указание. Для вычисления / (а) в (3.10.38) использовать тот же метод, что и в примере 4 § 10.

Показать, что факторизация функции L (а) = &一丫，ch yb приводит к формулам

L+ (a) = L-(—a) = ycosЛ& ехР {~^~ [^1—С+ 1п (^г) + 1 т] } 乂

X ехр [粵In (『)]h (1 +肃)宀gn=lнечетн

где 丫九=[(ПЛ/2&)2 —依『/2.

В задаче об излучении из открытого конца волновода (см. рис. 3.9) рассмотреть случай падения волны типа TMitQ с единичной амплитудой и нечетным индексом Z. Показать, что отраженное поле внутри волновода дается выражением

中=2 A?u cos [舞(力_b)] g-ynZ,

нечетн

где

YП=[(〃冗/2Ь)2 一胪],,

耳尸鼻需需产У峭У),

а функция 厶+(а) приведена в задаче 3.8. Показать также, что рассеянное поле вне волновода дается выражением

@~i (咕+ ")"2厶+ (帝)(誌排"ё£(加-冗/4)X

Г sin 8 gfa 1sme I (—而 cos e + Zc)]/2 " ( —A; COS 8)]乃 _ 8

L I sin 0 I( —/с cos B + wz)f *

Показать, что выражение (3.11.39) можно получить, применяя асимптотический метод вычисления интеграла непосредственно в формуле факторизации (3.9.8) [8].

Рассмотрим простейший оптический резонатор, образованный] двумя плоскими зеркалами ширины 2% и высоты 2Ь (см.

21а

26 z

IРис. 3.19. Простейший оптический резонатор.

рис. 3.19). Размеры резонатора удовлетворяют условию Z》九 и 务》九(九一длина волны), и предполагается, что взаимодействием между обоими краями резонатора можно пренебречь. Показать, что условия резонанса имеют вид

где Rqq определены согласно (3.11.39). Решить полученное уравнение при комплексном "=瓦 + ik2, где 自 пропорционально резонансной частоте, а к2 ——малая отрицательная величина, определяющая потери [8].

Указание. (а) g-я собственная волна характеризуется наименьшими потерями и, следовательно, наиболее сильным резонансом, (б) Рассмотреть падение слева на открытый конец волновода волны с индексом q единичной амплитуды при z = + Z. Амплитуда отраженной g-й волны оказывается равной Rqq exp [yg (z —— Z)], | z | V V Z. (в) Резонанс имеет место тогда, когда амплитуда этой отраженной волны равна единице у другого края резонатора, z =——Z.

Рассмотрим возбуждение диэлектрической пластины плоским волноводом с одной полуограниченной стенкой (рис. 3.20).

Рис. 3.20. Возбуждение диэлектрической пластивы.

Показать, что при падении волны типа TEltQ уравнение Винера — Хопфа для этой задачи имеет вид

J+ (а) = - G (а) Ф, (Ь, а) - /| 般丽， где

GQ)= 3 YshWb+y 佻虺

Отметим, что факторизация функции G (а) рассматривалась в примере 3 § 10. (Полное решение задачи можно найти в работе [7].)

3・13・ Показать, что интеграл 屮⑷ в (3.12.25) выражается через

интеграл Френеля согласно соотношению (3.12.27).

Указание. Перепшпем 屮①)в виде

*)= 嘿£ j [sec (陶％-sec (巴卢力做g式吁⑼)也.

Рассмотрим интеграл

J= J sec (写曳产PCOS(wT8|)% =

PsfUl)

=» 卜 ec(9±叫+sec("Q)卜…也= Ps(0)

11

COS q (Oo —10|) cosy u?

=2 l iж~Глтг- e访P cos w dw.

J COSM?4-COS (00--I ® I) Ps(o)*

Пусть 力=]Л2 e"冗/4)sin (s/2), тогда

J=-2e^e^ J段』否阳

где т)= У 2 cos [(0— 1001)/2]・ Для вычисления J воспользуемся хорошо известным результатом

е山=/ Л.е山=/ Л.

е山=/ Л.

е山=/ Л.

Умножая обе части на exp (Z^2) и интегрируя по Е от кр до бесконечности, получаем интеграл Френеля

e'^7 ^dt^^d^^ 匸期阮

-8加

3.14. Рассмотрим задачу о цолуплоскости (рис. 3.16) при падении волны вида

破)=e-ihpcOB (0-0o)#

Показать, что

) Полное поле дается выражением

&)=&)=е-Мп/4)ysе-Мп/4)ys^е~ 访 р cos^е~ 访 р cos（8-玩）歹［一］/脚 cos（8-玩）歹［一］/脚 cos-ifep COS (0+00)P-ifep COS (0+00)P[+У2^СО8(Ц^)]},[+У2^СО8(Ц^)]},

&)=

&)=

е-Мп/4)ys

е-Мп/4)ys

^е~ 访 р cos

^е~ 访 р cos

（8-玩）歹［一］/脚 cos

（8-玩）歹［一］/脚 cos

-ifep COS (0+00)P

-ifep COS (0+00)P

[+У2^СО8(Ц^)]},

[+У2^СО8(Ц^)]},

—л < 00 < Л, — л < 0 < л.

При "р《1

破)=2 / je-i(n/4)[cos (用 cos 得)]]/而+。3p)， 础；/? /I e+，WD [cos (4) cos 腸"爲 + О ⑴, 砂=/^/Ie”w4)cos (号)sm 偿)忌+。(1).

厶=2 /^/| e-S/4)cos (%合 +0(1).

Геометрикооптическое поле имеет вид

E(8l =E(8l =области I.области II, области III.области I.области II, области III.* е—Ztp cos (8тб。)в

E(8l =

E(8l =

области I.

области II, области III.

области I.

области II, области III.

^-гйр cos (0-0о) — e-ikp cos (64-60) в

、оВ

При "p》l и 101 ^ь л — 0o дифрагированное поле [дается формулой

禺—禺—"吁n/4)-2X cos(e/2) cos (备/2)"吁n/4)-2X cos(e/2) cos (备/2)У2л^рcos 0 +cos00У2л^рcos 0 +cos00+ 0+ 0^W，^W，

禺—

禺—

"吁n/4)-2X cos(e/2) cos (备/2)

"吁n/4)-2X cos(e/2) cos (备/2)

У2л^рcos 0 +cos00

У2л^рcos 0 +cos00

+ 0

+ 0

^W，

^W，

Плотность наведенного поверхностного тока дается формулой

(=2 /今山触海…。，了脚sin (等)》1,

которая согласуется с приближением физической оптики.

Поле в переходной области имеет вид

礎礎皆戸*+°（合），皆戸*+°（合），0 = — (зт — 0о).0 = — (зт — 0о).^гkр cos 200 ^- a» eikp _|_ Q (_^^^) ,8 =Л一仇,

礎

礎

皆戸*+°（合），

皆戸*+°（合），

0 = — (зт — 0о).

0 = — (зт — 0о).

Указание. Решение можно легко получить, применяя принцип Бабине (см., например [4]).

3.15. Полагая уп= — ^ |уп|, показать с помощью (3.11.12г),|G+(-fccos 0) |2 = G()e^ cos о х2NX П (i-п=2 четн3.15. Полагая уп= — ^ |уп|, показать с помощью (3.11.12г),|G+(-fccos 0) |2 = G()e^ cos о х2NX П (i-п=2 четн〃&2N и Yn = +| yn|, 〃〉2M что〃&2N и Yn = +| yn|, 〃〉2M чток cos 0\ 2 f sin (kb sin 0)/kb sin 0[(1 — [(кЬ/тл) sin 0]2) m—1к cos 0\ 2 f sin (kb sin 0)/kb sin 0[(1 — [(кЬ/тл) sin 0]2) m—1

3.15. Полагая уп= — ^ |уп|, показать с помощью (3.11.12г),

|G+(-fccos 0) |2 = G()e^ cos о х

2N

X П (i-

п=2 четн

3.15. Полагая уп= — ^ |уп|, показать с помощью (3.11.12г),

|G+(-fccos 0) |2 = G()e^ cos о х

2N

X П (i-

п=2 четн

〃&2N и Yn = +| yn|, 〃〉2M что

〃&2N и Yn = +| yn|, 〃〉2M что

к cos 0\ 2 f sin (kb sin 0)/kb sin 0

[(1 — [(кЬ/тл) sin 0]2) m—1

к cos 0\ 2 f sin (kb sin 0)/kb sin 0

[(1 — [(кЬ/тл) sin 0]2) m—1

где б。не зависит от 0. Эта формула очень полезна при определении углового распределения излучения в дальней зоне (т. е. диаграммы направленности).

Указание, Воспользоваться формулой (2.4.11).

3.16. Пусть на открытый конец волновода (рис. 3.9) набегает волна типа TEit 0:

宀sin咸(I)]宀 Z=l, 2, 3,・・・, где 也=[(阮/2Ь)2 一依,修.

Показать, что отраженное поле имеет вид

£ Rnisi^^(x—a)^ е»м, n=lнечетн2 Rni sin [赛(％—〃)]叩 n=2£ Rnisi^^(x—a)^ е»м, n=lнечетн2 Rni sin [赛(％—〃)]叩 n=2если I нечетное,если I нечетное,если I четное,если I четное,четнчетн

£ Rnisi^^(x—a)^ е»м, n=l

нечетн

2 Rni sin [赛(％—〃)]叩 n=2

£ Rnisi^^(x—a)^ е»м, n=l

нечетн

2 Rni sin [赛(％—〃)]叩 n=2

если I нечетное,

если I нечетное,

если I четное,

если I четное,

четн

четн

где/ Пл 1л е+ (Wn)e+ (鹏) о = 宣 1а (Yn+Yi) У?ь + ^ Vm+^ nl J^ /гл M G+ (tyn) % (wi) ^^^ Yn+vz 雷где/ Пл 1л е+ (Wn)e+ (鹏) о = 宣 1а (Yn+Yi) У?ь + ^ Vm+^ nl J^ /гл M G+ (tyn) % (wi) ^^^ Yn+vz 雷если l нечетное,если l четное,если l нечетное,если l четное,а поле йзлучения в дальней зоне дается выражениямиа поле йзлучения в дальней зоне дается выражениями

где

/ Пл 1л е+ (Wn)e+ (鹏) о = 宣 1а (Yn+Yi) У?ь + ^ Vm+^ nl J^ /гл M G+ (tyn) % (wi) ^^^ Yn+vz 雷

где

/ Пл 1л е+ (Wn)e+ (鹏) о = 宣 1а (Yn+Yi) У?ь + ^ Vm+^ nl J^ /гл M G+ (tyn) % (wi) ^^^ Yn+vz 雷

если l нечетное,

если l четное,

если l нечетное,

если l четное,

а поле йзлучения в дальней зоне дается выражениями

а поле йзлучения в дальней зоне дается выражениями

屮屮(就^广心-娱)若…a I sm О I J sin 0 I X(就^广心-娱)若…a I sm О I J sin 0 I XXX乙+ “У/ 厶 + ( —kcos®)乙+ “У/ 厶 + ( —kcos®)"m + 壺 д/匸Г丽§ [ —cos04-i (yi/k)]"m + 壺 д/匸Г丽§ [ —cos04-i (yi/k)],если I нечетное,,если I нечетное,(^^户夕侬-喚)《^e-ma| sme I (—“asin 0) X% G+ (— A： cos 0)7X ?L если l четное,— kcosQ+iyi ''(^^户夕侬-喚)《^e-ma| sme I (—“asin 0) X% G+ (— A： cos 0)7X ?L если l четное,— kcosQ+iyi ''

屮

屮

(就^广心-娱)若…a I sm О I J sin 0 I X

(就^广心-娱)若…a I sm О I J sin 0 I X

X

X

乙+ “У/ 厶 + ( —kcos®)

乙+ “У/ 厶 + ( —kcos®)

"m + 壺 д/匸Г丽§ [ —cos04-i (yi/k)]

"m + 壺 д/匸Г丽§ [ —cos04-i (yi/k)]

,если I нечетное,

,если I нечетное,

(^^户夕侬-喚)《^e-ma| sme I (—“asin 0) X

% G+ (— A： cos 0)7

X ?L если l четное,

— kcosQ+iyi ''

(^^户夕侬-喚)《^e-ma| sme I (—“asin 0) X

% G+ (— A： cos 0)7

X ?L если l четное,

— kcosQ+iyi ''

где G+(a) и 厶+(a) приведены соответственно в ^(3.10.12г) м задаче 3.8.

ГЛАВА 4

ОБОБЩЕННЫЙ МЕТОД СШИВАНИЯ

ВВЕДЕНИЕ

В этой главе мы рассмотрим некоторые возможности обобщения методов, использующих сшивание решений, с целью расширения границ их применимости и для решения более сложных краевых задач.

В § 2—3 будут решены краевые задачи для замкнутых структур 1), которое можно условно назвать «структурами с модифицированной геометрией Винера ——Хопфа». Применение в этих задачах спшваййгя Приводит к бесконечной системе уравнений вида:

2 (Тп-Гт + Yn+Tm ) Ап = Yi + Гт + П^Гт » 加="2, 3、，...， П=1

(4.1.1)

где { Ап} — искомые коэффициенты. В общем случае система уравнений такого вида не может быть решена точно. В § 2—3 будут описаны два метода, которые позволяют получить либо решения системы (4.1.1) в виде ряда, либо асимптотическое выражение. Для многих практически важных задач главные члены найденного решения дают достаточно точный результат и могут считаться хорошими приближенными решениями.

В первых параграфах главы метод сшивания применяется для решения задач, в которых поля представлены суммой дискретных собственных волн или пространственных гармоник. В последующих параграфах развитый метод обобщается и для таких структур, в которых общее представление поля имеет непрерывный спектр и выражается через интегралы Фурье.

В заключительном параграфе обсуждается описание решения с помощью обобщенной матрицы рассеяния, которая может быть использована в сочетании с другими аналитическими методами, изученными в этой книге; в ряде случаев это позволяет существенно расширить область возможных приложений.

Под «замкнутыми структурами» обычно понимают структуры с ограниченными поперечными размерами. Иногда краевая задача может быть сведена к задаче для замкнуто京 структуры в силу специфики геометрии структуры и природы источника ^возбуждения.

МЕТОД РАЗЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ

Рассмотренные в гл. 2 и 3 краевые задачи показывают, что с помощью метода разложения определителя могут быть исследованы структуры со специфической геометрией Винера ——Хопфа. Эти структуры представляют собой сочленение одной или более полубесконечных подобластей, принадлежащих к некоторой области, служащей координатной поверхностью в системе координат с разделяющимися переменными.

Поля в задачах о замкнутых структурах представляются в указанных частичных областях в виде суммы собственных волн или пространственных гармоник. Как показано в гл. 2, амплитуды собственных волн или пространственных гармоник {Лп} удовлетворяют бесконечной системе уравнений

Е Yn：»4= Y二2 m= 1, 2, 3, ....(4.2.1)

n=l

Эту систему можно решйть, как будет показано в дальнейшем, с помощью прямого обращения, или же методом вычетов.

В этом и последующих параграфах нас будут интересовать такие структуры, которые могут рассматриваться как модификации описанных в гл. 2 основных видов геометрий, пригодных для исследования методом Винера ——Хопфа. В качестве примера рассмотрим некоторые возможные модификации структуры разветвленного волновода, наиболее подробно исследовавшейся в гл. 2. Среди возможных модификаций этой структуры, решение для которых можно найти описываемыми ниже методами, отметим следующие: (а) пластина конечных размеров в волноводе, изображенная на рис. 4.1, 6; (б) волновод с диэлектрическим заполнением (рис. 4.1, в); (в) скачкообразное изменение сечения волновода (уступ волновода) (рис. 4.1, с). Помимо этого мы рассмотрим также некоторые задачи, связанные со структурой, состоящей из бесконечного набора полуплоскостей (рис. 4.2, а): (а) решетка, запол- нЬнная диэлектриком (рис. 4.2, 6); (б) решетка с экранизирующей диэлектрической пластиной (рис. 4.2, 8)и (в) гофрированная структура (рис. 4.2, г). Как будет вскоре показано, применение к любой из этих задач метода сшивания приводит к бесконечной системе линейных уравнений относительно коэффициентов {Лп}:

V (—_Р加=1,2,3, ・・・. 厶 \ Tn 一Yn + Гт /Yl +「mY1 —「иг

n=l

Заметим, что при pw = 0 для всех т система уравнений (4.2.2) сводится к рассмотренной системе (4.2.1). Однако если {рт} не равны тождественно нулю, то ни один из описанных в гл. 2

62

Рис. 4.1. Структуры, получающиеся при модификации разветвленного волновода: (а) разветвленный волновод; (6) полоса конечной ширины; (в) волновод с диэлектриком; (г) ступенчатая неоднородность.

методов решения системы (4.2.1) нельзя непосредственно применить к системе (4.2.2) х). Поэтому, чтобы решить систему (4.2.2), необходим новый способ. В этом параграфе мы рассмотрим одну из двух модификаций методов решений бесконечных систем типа (4.2.2)——метод разложения определителя [38, 48].

Для иллюстрации метода рассмотрим бесконечную периодическую систему плоских волноводов с расположенной над ней диэлектрической пластиной ) (рис. 4.2, 8).

Описанный в гл. 3 метод Винера ——Хопфа также'неприменим при решении модифицированных задач. Соответствующее обобщение этого метода будет проведено в гл. 5.

Пусть все волноводы синфазно возбуждаются волной типа ТЕ*,。(см. § 2.6). Падающее поле в тп-м волноводе имеет вид

Е^ =(Р(” = sin [В (% — 771Q)] ef ZeZm〃，

тпа<%< (тп + 1)а, z<0, (4.2.3) где 丫九=[(〃冗/。2)—胪pg, и — ka sin 0О и 0О — направление излучения луча (т. е. направление излучения главной простран-

л/=-101л/=-101

л/=-101

л/=-101

в2

Рис. 4.2. Структуры, получающиеся при модификации бесконечной решетки из плоских волноводов: (а) бесконечная решетка;

бесконечная решетка с диэлектрическим заполнением； (в) решетка с диэлектрической пластиной; (а) гофрироватаая поверх

ность.

ственной гармоники в области z > с + т). Требуется найти рассеянное поле внутри волноводов и в свободном пространстве. В тп-м волноводе представим отраженное поле в виде

(Р = 2 4 sin [等(力一тпа) ] e+^nZeimu,

ma<zr < (m + l)af z < 0.(4.2.4)

Поля в свободном пространстве, согласно теореме Флоке, можно* представить в виде суперпозиции пространственных гармоник:

2[Bpe -4z+g国"]叫声，0 < z <c,

屮=屮=£ [Dpe~T，pz+ E^} e^. c < z < c + *(4.2.5)

屮=

屮=

P= — 8

O0

z〉c + %z〉c + %I 3尸joC-Me他叫

z〉c + %

z〉c + %

a& =a& =2РЛ+ "2РЛ+ "aa4 =（喝一胪产,4 =（喝一胪产,

a& =

a& =

2РЛ+ "

2РЛ+ "

a

a

4 =（喝一胪产,

4 =（喝一胪产,

F；=(用一火2产，丈=ку- = 2Л/%\

Неизвестные коэффициенты {Лп}, {В^} и т, д. должны определять оя из условий сшивания касательных составляющих полей Еу иЕх на граничных поверхностях z = 0, z = ckz = c+t. Проводя сшивание так же, как в § 2.2, получцм следующую бесконечную систему линейных уравнений относительно неизвестных:

?(■Г9 —Тп — Гд+уп)4 =('Г«+У1%—Y,)，

(4.2.6)(4.2.6)п=4

(4.2.6)

(4.2.6)

q = 0, ± 1, ± 2,・・.， где

4 =几4 [(一 1)%從一灯/(1+小)

(4.2.7)(4.2.7)Pq = e-2rqe(广T：)仆-FT),.

(4.2.7)

(4.2.7)

(%+q)2Jm_(区_；)2厂%Т

Заметим, что величина p@e2rqe определяет коэффициент отражения пространственной гармоники TEqt0 о工 поверхности диэлектрической пластины. Аналогичную систему уравнений можно получить и для амплитуд полей в области z > 0, но мы не будем здесь ее рассматривать.

Один из возможных подходов к исследованию системы (4.2.6) состоит в обобщении метода прямого обращения, рассмотренного в гл. 2. Так же, как и при прямом обращении, определение коэффициентов {Лп }, удовлетворяющих системе (4.2.6), основано на применении правила Крамера. При этом удается использовать специ-

«фический вид системы (4.2.6) и получить относительно простые выражения для определителей. Ниже мы более подробно остановимся на описании этого метода.

Выпишем в явном виде определитель основной матрицы системы <4.2.6)

1

Ро

1

Ро

Го—71

Го+Yi '

「0 - Y2

Го + ?2 ?

1

Pi_

1

Pi

д =

Го — Yi

门+ Yi '

Г 1-Y2

Г1 + ?2，•一

・(4.2.8)

1

P-i

1

p-1

Г-1 — ?!

Г-1一?2

Г-1+?2，•••

Обратим внимание на то, что каждый столбец определителя образован суммой двух слагаемых. Это позволяет представить Д в виде разложения в ряд. Для примера рассмотрим квадратную матрицу второго порядка М, которую можно представить в виде суммы двух матриц такого же порядка. Пусть

гдегде“ ®Ц + Ьц «12 + ^12м =_〃21 + ^21 “22 十 °22一“ ®Ц + Ьц «12 + ^12м =_〃21 + ^21 “22 十 °22一=^а + М Ь,=^а + М Ь,(4.2.9)(4.2.9)

где

где

“ ®Ц + Ьц «12 + ^12

м =

_〃21 + ^21 “22 十 °22一

“ ®Ц + Ьц «12 + ^12

м =

_〃21 + ^21 “22 十 °22一

=^а + М Ь,

=^а + М Ь,

(4.2.9)

(4.2.9)

Определитель матрицы М можно разложить следующим образом：

det Л =det Л =“II “12“2，“22“II “12“2，“22仇1仇2“21 “22仇1仇2“21 “22++“Н “12 b21b22“Н “12 b21b22I Ь11 仇2 b21b22I Ь11 仇2 b21b22(4.2.10)(4.2.10)Разложение (4.2.10) показывает, что М можно представить в виде суммы четырех определителей, содержащих все различные комбинации строк I) приведенных выше матриц Ма и Мъ. Это правило очевидным образом переносится на определители произвольногоРазложение (4.2.10) показывает, что М можно представить в виде суммы четырех определителей, содержащих все различные комбинации строк I) приведенных выше матриц Ма и Мъ. Это правило очевидным образом переносится на определители произвольногопорядка.Возвращаясь к системе (4.2.6), заметим, что ее матрица, назовем ее Н、также может быть выражена в виде суммы двух матриц:порядка.Возвращаясь к системе (4.2.6), заметим, что ее матрица, назовем ее Н、также может быть выражена в виде суммы двух матриц:

det Л =

det Л =

“II “12

“2，“22

“II “12

“2，“22

仇1仇2

“21 “22

仇1仇2

“21 “22

+

+

“Н “12 b21b22

“Н “12 b21b22

I Ь11 仇2 b21b22

I Ь11 仇2 b21b22

(4.2.10)

(4.2.10)

Разложение (4.2.10) показывает, что М можно представить в виде суммы четырех определителей, содержащих все различные комбинации строк I) приведенных выше матриц Ма и Мъ. Это правило очевидным образом переносится на определители произвольного

Разложение (4.2.10) показывает, что М можно представить в виде суммы четырех определителей, содержащих все различные комбинации строк I) приведенных выше матриц Ма и Мъ. Это правило очевидным образом переносится на определители произвольного

порядка.

Возвращаясь к системе (4.2.6), заметим, что ее матрица, назовем ее Н、также может быть выражена в виде суммы двух матриц:

порядка.

Возвращаясь к системе (4.2.6), заметим, что ее матрица, назовем ее Н、также может быть выражена в виде суммы двух матриц:

-1

1

"1 Г Ро

Ро

Го-Yi ?

Fo-Y2，・

…-Го-Yl ?

一n）一Y2

1

Pi

Pl

Г1-П »

Г1_Y2 ' •

if，

一Г1 一 Y2

4

_1

Рт

гT —也'门一Y2，•

二」kF1.'

-r-1 - Y2

Н =

= % + %•

1) Можно также получить разложение, основанное на различных комбинациях столбцов этих матриц.

(4.2.11)(4.2.11)

(4.2.11)

(4.2.11)

Очевидно, что первая матрица Е。совпадает с матрицей системы, полученной для структуры в отсутствие диэлектрической пластины (т. е. ег = 1 и рп = 0). Ее определитель До может быть вычислен непосредственно (см. § 2.3) и оказывается равным

=lim=limXX（一炉（一炉2М2МП (Yn-Ym) Ц(Го — Гп)(Го-Г-п) 71=1Tl=lП (Yn-Ym) Ц(Го — Гп)(Го-Г-п) 71=1Tl=l2М+1 МII И Оi Ym) (Г-п—Vm) m=l л=1.M М-12М+1 МII И Оi Ym) (Г-п—Vm) m=l л=1.M М-1П П(>-Jm) П П(rn-rm)(r.n-r.m)m=l n=lm=n4-l n=lП П(>-Jm) П П(rn-rm)(r.n-r.m)m=l n=lm=n4-l n=l2甘1口 (Го —Tm) m=l2甘1口 (Го —Tm) m=lXX(4.2.12)(4.2.12)

=lim

=lim

X

X

（一炉

（一炉

2М

2М

П (Yn-Ym) Ц(Го — Гп)(Го-Г-п) 71=1Tl=l

П (Yn-Ym) Ц(Го — Гп)(Го-Г-п) 71=1Tl=l

2М+1 М

II И Оi Ym) (Г-п—Vm) m=l л=1.

M М-1

2М+1 М

II И Оi Ym) (Г-п—Vm) m=l л=1.

M М-1

П П(>-Jm) П П(rn-rm)(r.n-r.m)

m=l n=lm=n4-l n=l

П П(>-Jm) П П(rn-rm)(r.n-r.m)

m=l n=lm=n4-l n=l

2甘1

口 (Го —Tm) m=l

2甘1

口 (Го —Tm) m=l

X

X

(4.2.12)

(4.2.12)

Нетрудно убедиться, что при замене первой строки в Яо на первую строку из Н1 определитель новой матрицы можно выра* зить с помощью следующего правила:

РоМ То f —「о) = PqA牝РоМ То f —「о) = PqA牝(4.2ЛЗ)(4.2ЛЗ)

РоМ То f —「о) = PqA牝

РоМ То f —「о) = PqA牝

(4.2ЛЗ)

(4.2ЛЗ)

Верхний индекс (0) в А《：)указывает на то, что знак Го в выражений для До изменен на обратный. По индукции можно получить следую* щее разложение для Д:

А=Ао [1+ 3 рР (А8р7Ао)+ S S р^р, ^^/\0)+...].&=—8q=P4-l Р=—8

(4.2.14)

Явные выражения для слагаемых вида (Af/A。) в U могут быть получены с помощью (4.2.12). Например, главные члены в (4.2.14) имеют вид

№)—2「о“ 用ту (1 + Г0/Гт) (14- Г 0/Г _m) (1 — Г о/ут) /4 ?( q

而_ехр (—Ы2) 11(Т^Т^)(Т^^(4215)

7И=1

F 一 P (ln2) 4—「q/「o • 4—I\/Jq •( +「q/Y|q|

-|-r(l 9 I) 1 H" ^q/^m 4 +「q/r m1— ^q/ym

g = 0, ±1, ±2, ...,(4.2.16)

^-- = ехр[ —-^(Го + r.i) In 2] х

X 中"。1 + 51 1一 JM 4一「0例 Y1-П/Го ' 1 - Г_!/Г! • l + r-i/ъ' T+Го/Yl

乂 ТТ ' +「о/「m 4 +「o/「-m l + r_j/rm 丄丄匸E二.匸FT二工.匸二T二厅/X

(4.2.17)(4.2.17)171=2

(4.2.17)

(4.2.17)

I讦「т/Jm • 1 十 F-，/Ym 7* Го/Ym '

Формула (4.2.14) дает разложение определителя Д в бесконечный ряд. Следует, однако, заметить, что, если параметр da не слишком мал, коэффициенты рд, определенные согласно (4.2.7), очень быстро убываю^ с ростом | q | из-за экспоненциальных множителей» Положим, йапример, а = 0,55厶 и с = 0,15%. Как нетрудно проверить, при таком выборе параметров порядок величин | %2/Х0 | и I Х_ 2/%0 I равен 10~3 во всей области изменения угла сканирования. Это позволяет во всех практически интересных случаях положить pq 〜0 при I g I > 2 и удерживать в рядах (4.2.14) лшпь небольшое число членов. В общем случае в бесконечных рядах (4.2.14) необходимо учитывать 222У+1слагаемых, где N определяется из условия, что как р», так и p_N будут меньше некоторой наперед заданной величины. Пренебрежение величинами {pq} для I g I > N имеет простой физический смысл. Оно эквивалентно утверждению о том, что взаимодействие с диэлектрической пластиной всех, кроме первых 2N + 1 пространственных гармоник, исчезающе мало из-за скользящего падения их на экран.

Вернемся к рассмотрению системы (4.2.6); решая ее с помощью правила Крамера, получаем

( + euxA(m_「 4+外口 Ao(Ynf— Y0] U(Yn——Yi)

n — ( —l)neiu——j пД — L(— l)ne»u— 1пД^ J U ，

(4.2.18)

где величина Uопределена в (4.2.14). Символом А(п)обозначен определитель матрицы Н, в котором n-й столбец заменен столбцом правых частей системы (4.2.6). Этот определитель можно получить из Д заменой уп на —%, как это указано в равенстве (4.2.18). Отношение До (yn f — Yi)/A0 может быть получено^ из (4.2.12) и оказывается равным

До(?п->—Ti)__rpYn /(Yn+?i)a\nl 1 —Yn/Го 1-Тп/Гп 1—Yn/Г-п v ^ — — Lexp 1 ―S — m I+Yi/fo ' l+Yi/rn l + Yi/rZn X

Y TT⑺ 4 — Уп/^Ш 1 — Yn/Г-m 1 + Yl/Ym /z 9

X U 4 + Y，/「mN 十 Y，/r-m 1-Yn/Ym *怨

Формулы (4 2.18), (4.2.14) и (4.2.19) определяют решение рассматриваемой системы уравнений для {Лп}. В отсутствие диэлектрической пластины, т. е. в предельном случае ег -> 1, мы получаем Z7 -> 1 и точные выражения для Ап даются множителем в квадратных скобках в (4.2.18)，). Таким образом, функция U описывает возмущение, вносимое диэлектрической пластиной.

Мы видим, что предлагаемый метод решения системы уравнений (4.2 2) объединяет метод прямого обращения матрицы и разложения определителей типа (4.2.9) в ряды. Решение в виде бесконечного ряда, полученное этим способом, удобно для вычисления коэффициентов отражения лишь при условии достаточно быстрого убывания {рд} с ростом | g |・ В таком случае бесконечные ряды заменяются конечными, учитывающими лишь малое число членов.

МОДИФИЦИРОВАННЫЙ МЕТОД ВЫЧЕТОВ

Как отмечалось в § 2, представление решения системы (4.2.2) в виде ряда (4.2.14) удобно лишь при условии достаточно быстрого убывания {рт} с ростом | тп |. В противном случае вкгаис^ени电 сумм таких рядов становится очень трудоемким. В этом параграфе предлагается другой метод решения, в котором снимаются ограни* чения на {pm} и тем самым существенно расширяется область его применения.

Проиллюстрируем применение этого метода, который мы назовем модифицированным методом вычетов [54], на примере задачи о разветвленном волноводе с диэлектрическим заполнением (рис. 4.1, б). Пусть из области Л набегает волна типа ТМг^ (I = 1, 2, 3, . . .) единичной амплитуды:

矶办= +(D = cos (容)Li, zvO・ (4.3.1)

Рассеянное поле представим в виде

2 4 cos (察)GM, z V О, п=0

(4.3 2)(4.3 2)士 3ncos(空)£-”，0V/V5 Z>O, n=0

(4.3 2)

(4.3 2)

£ C\cos [等(力一b)]ef cz, bv%V〃，z>0, 、n=0

Это решение, конечно, идентично полученному в § 3.8 методом Винера —Хопфа.

Где Yna = [(wJi/a)2 - Fj/2, Y标=[几冗/ь产一"勻勺Y碇=[(加硏产一/广及 и к = kYег- Производя сшивание (см. § 2.2), приходим к следующей бесконечной системе уравнений относительно коэффициентов {4}:

冗1 \?па — Ymb Тпа + Ymb/

n=l

=(—□1——^—тп = 0, 1, 2,(4.3.3а)

^kAA+ ^m=0,4,2,・・・，

兀Yna Уте Yla 十

n==l

(4.3.36)

где An = пЛn sin (nnbld) и A^ = I sin (Znfe/a); кроме того, через p^ обозначен коэффициент отражения волны типа ТМт,0 полу- бесковечной диэлек!рической пластиной, расположенной в одно родном волноводе:

рт=需讒.(4.3.4)

Следует отметить, что в данной задаче граница диэлектрика расположена в плоскости z = 0, которая совпадает также с плоскостью разветвления волновода. Выражения для коэффициентов {рт} в (4.3.4) не содержат экспоненциально малых множителей, как в случае фазированной решетки с диэлектрическим экраном (см. (4.2.7)). Фактически, асимптотическое поведение {рт} определяется формулой

Pm 〜|^牛；' т—^ оо,(4.3.5)

и, таким образом, коэффициенты {рт} асимптотически стремятся к константе i)・ Это обстоятельство указывает на то, что метод разложения определителя мало пригоден для решения этой задачи и поэтому необходима разработка другого метода.

Обратимся вновь к решению системы (4.3.3), которое, конечно, должно проводиться с учетом условия на ребре. Напомним (см. § 1.3), что в отсутствие диэлектрического заполнения поле вблизи ребра имеет сингулярность вида

~ЁХ, EZ = O (z~lf2Y 力=b и ZfO при er = 1. (4.3.6a)

Это условие приводит к требованию (см. § 2.2):

Ап = О (д-3/2), 〃-> 8 и 外=1.(4.3.66)

Величины, отмеченные чертой: Е%, Ez и Ап, относятся к случаю» S=l. В присутствии диэлектрика условие на ребре несколько изменяется и принимает вид

Ех, Ez = O(zT“2)+a), х = Ь и zt0,(4.3.7а>

где

А = ^ arcsin [(% —1)/(2/(% +1))].(4.3.7б>

Асимптотика коэффициентов {4} в этом случае выражается соот* ношением

Ап = О (п^3^^)^ п->оо.(4.3.7в)

Как показывает сравнение выражений (4.3.6) и (4.3.7), при нагрузке волновода диэлектриком уменьшается порядок сингулярности поля на ребре, что приводит к более быстрому убыванию коэффициентов {Ап}. Вскоре мы убедимся, что знание условий на ребре, выраженных в виде (4.3.6) иди (4.3.7), исключительно важно при разработке модифицированного метода вычетов.

РЕШЕНИЕ ДЛЯ СЛУЧАЯ 8=1

Прежде чем переходить к описанию модифицированного метода вычетов, полезно привести в явном виде решение упрощенной задачи для случая (ег = 1). Если ег = 1, то рт = 0 при всех тп, и система (4.3.3) сводится к следующей:

一替砾翫+2^^《 =』4，，. = 0,1,2, П=1

(4.3.8а)

粤总必+W *4 =吊口，・(4.3.86)

Обычный метод вычетов основан на рассмотрении контурных интегралов (см. § 2.5) вида

(4.3.9а)

(4.3.96)

где С ——окружность бесконечно большого радиуса в комплексной плоскости w. Функция / (zp) удовлетворяет следующим условиям:

/ (ip)—аналитическая функция w всюду, за исключением — простых ПОЛЮСОВ W = yna,九=1, 2, 3, . . ., И W= — уla-

f(w) имеет простые нули при s = Ymc， m = l, 2, 3,..・・

Resf(—yla) = Af.

f(w) имеет простые нули при w = ymb, m=i, 2, 3,....

/ [^) = 0 (w-^ при I u?|-> oo 4).

Выражая интегралы (4.3.9) в виде суммы вычетов и приравнивая эти суммы нулю, получим

孑(一的瞞+$謬嗯=鬲/)(4.3.10a)

：=1j m = 0, 1, 2,

7(— 耗)龄_ = T_4 I(4.3.106)

八 ' 々 У па~ Уте У1а+УтЪ''

Л=1丿

где учтены равенства уоь = Уос=——»论・ Сравнивая (4.3.10) с (4.3.8), получаем

Ап = п sin (плЬ/а) Ап = Res 孑缶а), 1(4.3.11)

2abi 7 才 工 /.7、 2aci 7 -7> n = 1, 2, 3,....

5Г"4 = 〃 _ 乐)=~ 论4，J(4.3.12)

Из уравнения (4.3.12) следует, что Ло = 0, т. е. что при падении ТМi；q моды с Z > 0 в рассеянном поле отсутствует волна типа ТЕМ. Кроме приведенных выше условий функция / (力) удовлетворяет добавочному условию

/ (—ik) = 0.

Построение функции / (ip), удовлетворяющей условиям 1——6, проводится так же, как в § 2.5. Результирующая функция / (ip) имеет вид )

{午 |Мп (|)+Cln (I)]} X

乂 тт (1—哂而(4 —”/Ync) (4+”а/Угш) 丄丄 a+Yb/Ynb) а + YZa/Ync) (4—”/Yna) n=t

Выражения (4.3.11) с учетом (4.3.14) полностью определяю! решение для {Лп} в предельном случае ег = 1.

МОДИФИЦИРОВАННЫЙ МЕТОД ВЫЧЕТОВ

Вернемся теперь к решению системы (4.3.3) в случае волновода с диэлектрическим заполнением. Рассмотрим два контурных интеграла

1+九，(4.3.15а)

где функция / (w) удовлетворяет следующим условиям:

/ (и?) — аналитическая функция переменного w всюду, за исключением точек w = yna, n = 1, 2, 3, ..., и ip= — Yz。，где она имеет простые полюсы.

/(ip) имеет простые нули в точках w — ymc, тп = 1, 2, 3,...

Res/( —Yza) = /‘.

/(ip) удовлетворяет уравнению

/ (Уть) 4~ pmf ( — У mb) = 0, ^ = 1,2,3,... .(4.3.16)

Из последнего уравнения следует, что нули функции / (w), назовем ИХ {Гть}, сдвинуты относительно нулей {Ymb} функции 不(м)・

/(^^^(гр-К^+Д]) при |м|-> оо. (Величина Д определена согласно (4.3.76)).

Сводя, как и ранее, интегралы (4.3.15) к суммам вычетов, получаем

["-的+p。"_初酰+£ (^^+^rf^ n=l

= (』+』)〃，(4・3」7a) 附醜+2 ^^& = ^^4'・(4.3.176)

n=l

Сравнивая системы уравнений (4.3.3) и (4.3.17), устанавливаем, что

Ап = п sin (ппЫа) Ап = Res f @Па), n = 1, 2, 3,...

(4.3.18) 13-0367

Это выражение определяет амплитуды рассеянных волн типа ТМп 0 при п > 0. Из уравнения (4.3.17), отвечающего случаю тп = 6, получаем выражение для коэффициента отражения основной волна типа ТЕМ:

4 =盡 〃Т)(4319)

и соотношение

、〃一流)+ ро〃 + ik) =二^ Л.(4.3.20)

Из соотношений (4.3.19) и (4.3.20) вытекает добавочное условие на функцию / (и?):

а/ (-烧)+ ср" (+ ik) = 0.(4.3.21)

Подчеркнем различие между (4.3.21) и (4.3.13).

Прежде чем перейти к построению функции / (и?), сделаем несколько замечаний о шести перечисленных выше условиях. Первые три условия, которым должна удовлетворять функция / (ip), совпадают с соответствующими условиями, наложенными на функцию / (ip), определяющую решение в предельном случае er = 1. Обусловлено это тем, что области 4 и С, а также падающая волна в этих двух задачах выбраны одинаково. Смысл условия 4 состоит в том, что нули {ГтЬ} модифицированной функции / (w) смещены относительно нул國 {丫他?,} функции / (ip). Это смещение должно быть таким, чтобы вклад в сумму вычетов, обусловленный членами вида [/ (Ymb) + Prnf (—Ymb)】，обращался в нуль для всех m > 0. При er = 1 уравнение (4.3Л6) переходит в / (丫他?>) = 0, а нули {ГтЬ}, как и следовало ожидать, совпадают с невозмущенными нулями. Согласно условию 5, функция / (力)должна стремиться к нулю быстрее, чем / (ip) при | it | -> оо, поскольку заполнение области В диэлектриком изменяет условие на ребре (см. (4.3.6) и (4.3.7)). Как будет показано позже, условия 4 и 5 не являются независимыми. Фактически мы воспользуемся условием 5 для нахождения асимптотики корней {ГтЬ} уравнения из условия 4.

ПОСТРОЕНИЕ ФУНКЦИИ /(1Р)

Как и в обычном методе вычетов, ключевым моментом получения решения является построение функции / (ip). С учетом описанного расположения нулей и полюсов можно представить / (s) в виде

/(-)幻㈣Р(3 [任臨而禺Й，(4・3・22)

71=1

где / (ш) определена согласно (4.3.14). Множитель в квадратных скобках в (4.3.22) введен для того, чтобы удовлетворить уело- вию нормировки 6, а бесконечное произведение описывает смещенные нули функции / (ip). Для учета других возможных различий между f (w) и f (ip) введена целая не равная нулю функция Р (w). Используя условие на ребре 5 и учитывая, что / (ш) = =。(ip-i/2)при I ip I -> оо, получаем следующие асимптотические разложения:

P(s) = Po (константа),(4.3.23)

тт ' — "/「пь 已J”仇Ь

。(5А)，I Ш l-> og.

(4.3.24)

Раскроем вначале смысл соотношения (4.3.24). Как можно показать, используя формулы (1.4.11), справедлива асимптотическая оценка

П1 一"/[(Л/b)(九 + A)] _ е / -a、

n—i

I zz;|-> oo.

(4.3.25)

Из сопоставления обоих равенств следует, что

или

ГпЬ ^ ^ (^ + Д)» п~* °°»

ГпЬ ~ Ynb +丁， Mf 8.

(4.3.26)

(4.3.27)

Таким образом, смещенные нули {ГпЬ} асимптотически отличаются от {упь} на константу nA/Ь. Априорное знание асимптотики нулей {ГпЬ} будет существенным образом использовано в последующем изложении.

Подставляя (4.3.23) и (4.3.22) в условие 3* определяем норми* ровочную константу

=4 + fyь/左1±У1a/упь

一彳干瓜而丄丄匸帀e♦

n=l

(4.3.28)

Для решения задачи нам осталось лишь определить систему смещенных нулей--{Гпь} лз условий (4.3.16) и (4.3.21).

Подставляя (4.3.22) в (4.3.16) и (4.3.21), после некоторых преобразований получаем систему уравнений

'—Ym/ob ТТ ^—УтЬ^пЬ 八2»由九冗

l+Vmb/Гоь丄丄 市麻而&=

n=l

ею

X 口 (' + Ymb/Ync) (1 — Ymb/Yna)已2丫 hb/TUt 切一n 2仏 q

Х^а-утъ/Упс)а+УтЪ/Упа)е ，加一U 丄(4.3.29)

n=l

На первый взгляд может показаться, что мы ничего не добились, поскольку задача снова свелась к решению бесконечной системы уравнений. Дело, однако, в том, что решение системы (4.3.29) сходится гораздо быстрее решения системы (4.3.3). Кроме того, из условия на ребре заранее известна асимптотика {Гт&}, что также упрощает решение системы (4.3.29).

В последующем мы рассмотрим два метода решения системы (4.3.29).

Метод последовательных приближений. Удобно сначала ввести новое обозначение А^, согласно формуле

F叫=丫* +中，ТП = 0,1,2,….(4.3.30)

Тогда система (4.3.29) может быть переписана в виде

М = (— 1)( —2莪+ "^J роехр {警 X

х[Мп(|)+с1п(^)]}^х

тт (丄 ——ik/Ync) (l + Z^/Yna)【Ynb +(冗An/b) — »及] 丄丄(1 + "左/Y碇)(丄一J^/Yna) [?nb+ (я^n/^) + ^1 ' n=l.

Am = (_ l)g Pm (Sym^ + ^y^j exp { ~^^ 乂

ХЮ"П伐)]}^X

X【一川+(冗Ao/b) +Ymb](丄+УтпЬ/Утпс)(丄 一 Ymb/Yma) 乂[—%左十(3lAo/^)~Ymb](l — Ymb/Ymc)(丄 +Ymb/Yma)

*(1 + Ymb/Ync) & — Ymb/Yna)【Ynb+(冗厶九/匕)+丫7饲

丄丄(1—Ymb/Ync)(丄+Ymb/Yna)[招ib +(nAn/b) —Ymb]'

71=1

m = l, 2,・・•，(4.3.31)

где М стремится к бесконечности в соответствии с (4.3.29). Полученные выражения для А^ достаточно сложны. Однако, как можно показать (см. задачу 4.2), асимптотическое значение А^, не зави・ сящее от индекса т,

厶山 А, т》1, (4.3.32) является решением уравнения (4.3.31). При этом величина А в соотношении (4.3.32) совпадает со значением Д, полученным из условия на ребре и определяемым согласно (4.3.76). Поэтому при расчетах бесконечную систему уравнений (4.3.31) можно заменить системой из конечного числа М уравнений.

При заданной точности требуемый порядок системы М устанавливается сравнением значения Лм, определяемого из рещения системы М уравнений, с известной величиной Д. Зачастую результат с удовлетворительной точностью можно получить уже при М = 3 или М = 4, что делает численные расчеты относительно простыми.

После замены всех A7n с номерами тп > ЛГ их асимптотическим значением Д для определения {А^}, тп = 0, 1, 2, . . ., М, из редуцированной системы (4.3.31) можно применить несколько различных методов. Остановимся сначала на итеративной процедуре определения величин А^. Возможность применения метода итераций основала на том, что в правой части уравнений (4.3.31) каждый член, зависящий от Ап, имеет вид D + Дп. Поскольку отношение ^n/D обычно мало по сравнению с единицей, мы не внесем существенной ошибки, если заменим {Ап} в правой части (4.3.31) их асимптотическим значением. Таким образом, величина А является хорошим первым приближением для Ап. Полная итерационная процедура может быть построена следующим образом.

Заменяем все {Ап} в правых частях (4.3.31) на А. Получающиеся при этом величины {Дт}, тп = 0, . . ., М, дают приближение {Ат} первого порядка.

n-е приближение для {Ат} находится заменой {Ащ} в правых частях (3.31) на {А^т)} дЛд 加 £ Л/ и на А для т > М.

Процесс повторяется до тех пор, пока результаты перестанут различаться в пределах заданной точности решения.

Для многих практически интересных задач уже небольшое число итераций дает хорошее приближение для {A7n}• Точность этих результатов всегда можно проверить подстановкой вычисленных величин {Ат} в (4.3.31), чтобы убедиться в выполнении условия 4.

С точки зрения численных расчетов итерационная процедура имеет ряд преимуществ.

Итерации, как правило, осуществляются быстро, так как для всех {Ат} известны достаточно точные начальные значения Д.

Методу внутренне присущ способ проверки сходимости результатов. Это важное свойство, поскольку во многих итерационных процедурах осуществление такого независимого контроля конечного результата невозможно, что создает трудности при установлении точности результата вычислений. Напротив, в данном методе точность вычисления {А^} можно проверить, а значение М можно выбрать на основе известной величины А.

Условие на ребре непосредственно включено в процедуру решения, что гарантирует его выполнение.

Вернемся к построению функции / (ip), которая полностью определяется заданием величин {Дт} или {ГтЬ}. Из (4.3.22) и (4.3.23) имеем:

〃。)=嘿等Ц管eхp{胃叩in⑺+С%)]}x

Y ГТ (4 —0/Fnb) (4—0/Ync)(丄+?Za/Yna)/z 9 do\

X И d+Ha/Pnb)(丄+YZa/Ync) (1-0/Yna) *k

Выражения для коэффициентов {4n}находятся с помощью (4.3.18), и, таким образом, решение задачи о разветвленном волноводе, нагруженном диэлектриком, можно считать полностью завершенным.

Здесь полезно обратить внимание читателя на возможность использования полученного решения в задаче о скачкообразном изменении сечения волновода (рис. 4.1,2). В этом случае следует для всех тп произвести замену: рт -> 1. Очевидно, при этом необходимо заново вычислить все {А^} с учетом pm = 1; в остальном ход решения остается неизменным.

а ТЕц 0(4.3.34)падения (4.3.5)). [ЛЯ этойа ТЕц 0(4.3.34)падения (4.3.5)). [ЛЯ этойЕсли в качестве падающего поля выбраны не ТМц 0-, волна, коэффициенты отражения рт принимают вид

а ТЕц 0

(4.3.34)

падения (4.3.5)). [ЛЯ этой

а ТЕц 0

(4.3.34)

падения (4.3.5)). [ЛЯ этой

с = Ymb —、inb

и стремятся к нулю при т f со (сравните со случаем ТМц о-волни, когда асимптотика A7n дается согласно Из (4.3.31) следует, что асимптотическая величина Д ;

поляризации равна нулю, что согласуется с условием на ребре. Действительно, вблизи ребра поле волн типа ТЕ имеет сингулярность вида р-% независимо от того, присутствует в волноводе диэлектрик или нет (4.3.196). Важно в то же время отметить здесь, ?то величины рт, определяемые выражениями (4.3.34), гораздо медленнее стремятся к нулю с ростом ег. В пределе при &尸一> 8 丄) (рис. 4.1, 2)в случае скачкообразного изменения сечения волновода рт = — 1 для всех т. В этом случае А снова отлично от нуля, что вполне согласуется с условием на ребре (1.3.18).

Некоторые количественные характеристики результатов, полученных модифицированным методом вычетов, рассмотрим на примере задачи о разветвленном волноводе с диэлектрическим заполнением (рис. 4.1, 8)и об уступе в волноводе (рис. 4.1, 2). Рассчитаем рассеянное поле при падении Т^ЛГ-волны из области А. Вообще говоря, система (4.3.3) применима только при рассмотрении падающих волн типа ТМц0 с Z > 0 4), но она может быть легко преобразована с учетом изменения характера падающего поля.

Таблица 4.Z

Параметры

АБВ

Разветвленный-

волновод с ди-СтупенчатаяСтупенчатая

электрикомнеоднородностьнеоднородность

b/入

0,3390,3390,700

0,1690,1690,350

2,5——

Таблица 4.2

Величины {А^} *) и их асимптотические значения А

АБВ

А?) АР

酰 А沪 毎3) А产 А? 倒 A

0,07190,4420,158—г0,217

0,06720,1460,148—»0,191

0,06690,1500,152—i0,163

0,06720,1520,170—i0,105

0,06750,1540,173т0,079

0,06790,1560,174—i0,063

0,06810,1580,174—i0,053

0,06920,1600,175—力0,046

0,07030,1630,176— 10,041

0,07160,1670,177—z0,036

0,06810,1670,166

•) Приведенные значения получены тремя итерациями.

Все численные результаты приводятся для трех наборов параметров, указанных в табл. 4.1. Отвечающие этим параметрам величины {Дщ} приведены в табл. 4.2. Величины {А^} вычислялись по

Выбирать в качестве падающего поля волну типа ТЕМ в рассмотрении, проведенном до сих пор, было нежелательно. Действительно, в разветвленном волноводе без диэлектрика ТЕМ-волна не претерпевает рассеяния и поэтому отсутствует удобная возможность сравнения обычного и моди^ци- рованного методов решения.

описанной выше схеме последовательных приближений. Каждое из приведенных значений было вычислено за три итерации. Видно, что даже для не слишком больших т величины А^ весьма близки к своим асимптотическим значениям, вычисленным по фор - муле (4.3.76).

Вычисленные значения коэффициентов отражения приведены в табл. 4.3.

Таблица 4.3

Коэффициенты отражения

м

А

Б

в

3

(0,1068; 185°,55)

(0,3936; 201°,60)

(0,5207; 182°,12)

4

(0,1068; 185°,56)

(0,3946; 201。，72)

(0,5208; 182°,07)

5

(0?Ю68; 185°,57)

(0,3951; 201°,79)

(0,5209; 482。,04)

6

(0,1069; 185°,57)

(0,3965; 201°,84)

(0,5209; 182°,02)

7

(0,Ю69; 185°, 58)

(0,3958; 201°,88)

(0,5210; 182。，00)

8

(0,1069; 185°,58)

(0,3960; 201°,91)

(0,5210; 181°,99)

9

(0,1069; 185°,58)

(0,3962; 201°,93)

(0,5211; 181 °,98)

10

(0,1069; 185°,58)

(0,3963; 201°,94)

(0,5211; 181°,98)

Следует подчеркнуть, что, как показывает расчет, коэффициент отражения основной волны мало чувствителен к ошибкам вычисления значений А^ для высоких порядков и достаточно точен уже при Л/ = 3.

Матричные методы. Хотя итеративная схема определения первых М нулей {ГтЬ} очень полезна, желательно также разработать методы, основанные на линейных алгебраических операциях, подобные матричному исчислению. С этой целью преобразуем уравнения (4.3.29) к виду

м

(—Ymb/Fob тт 4 —Ymb/Fnb =

Ymb/Гоь1 + Ymb/Гпь

n=l

=(一1) (1—g 説)Pmexp {—屮[bln (g)+cm(7)]}x

义 YZa + Ymb TT « + Ymb/Ync) & — Yznc/Yna) 乂

Yb — Ymb 丄丄(1 —УтЪ/Упс) (，+ УтЪ/Упа)л=1

X ТТ d+Y/nb/Ync) (I—Ymb/Yna) 4十丫欣/%6 丄丄(4 — УтЪ/Упс) (1 + Ymb/Yna) 〔 一 Ymb/^nb ' n=Af 4* 1

тп = О, 1, 2, ... « (4.3.35)

Выбрав достаточно большое М (зачастую значение 5 или 6 уже достаточно велико), можно заменить, с пренебрежимо малой ошибкой, все {ГпЬ} при п^> М ъ правой части (4.3.35) их асимптотическими значениями (4.3.27). Проделав это, можно выразить первые М + 1 уравнений системы (4.3.35) следующим образом:

爲|д%ь = %，m = 0J2,・.・，M(4336)

где Q (w) —— полином степени М вида

Q*U (1-^) •(4.3.37)

п=0

а {力м} известны из (4.3.35). Таким образом, задача свелась к нахождению полинома Q (w) по уравнениям (4.3.36).

Введем две различные формы представления полинома Q (w)r Во-первых, можно записать Q (ip) в виде

м+1

Q ⑨) = 1+ W 4办(4338)

П=1

Подстановка (4.3.38) в (4.3.36) приводит к системе линейных уравнений относительно коэффициентов Dn

S ТтЬ |1 — (—1)П ^m] Dn = tm一1, 7П = 0,1, 2t . • »y M# (4,3.39) n=l

Решение {Dn} может быть найдено обращением присоединенной матрицы системы (4.3.39). Численные примеры использования такого подхода можно найти в работе [44].

В ряде задач [И, 25] коэффициенты {Рп} в (4.3.39) могут принимать очень большие значения (главным образом благодаря ?%ь)・ В этих задачах удобно использовать другую форму для Q (w;):

[Мм

0吁口(一詁)口+工总a(43・4。)

n=0n=0

где второй множитель учитывает возмущение, обусловленное смещением нулей из точек {?ть} в {ГтЬ}. Подстановка выражений (4・3.40) в (4.3.36) приводит к системе линейных уравнений относительно коэффициентов {%}:

、м-

к 妝tm П (l+Ymb/ТрЬ)Ml

n=02=0p=xO

?n = 0, 4, 2,…，M. (4.3.41)

Этот способ нахождения Q (ip) обладает рядом преимуществ. Во- первых, неизвестные {Fn} являются величинами первого порядка, тогда как {少几} в (4.3.39) — величины нулевого порядка. Во-вторых, асимптотические значения величин {Fn} могут быть заранее определены, если их связать со смещениями нулей {Дп} (см. задачу 4.5). В-третьих, в задачах с двумя модифицированными областями (например, разветвленный волновод с двойной нагрузкой диэлектриком в задаче 4.6), где приходится определять два набора смещенных нулей (т. е. {утЬ} {ГтЬ} и {ттс} {Гтс}), использование (4.3.40) оказывается предпочтительнее двух предложенных ранее схем решения.

Определив полином Q (ip) из (4.3.38) или (4.3.40), нетрудно построить функцию / (ш), воспользовавшись выражениями (4.3.33) и (4.3.37):

м

X Q ®)(4—%nc)(4 + Yh/Yna)竺

0(— Y订丄丄 仕+Yb/Ync)仕一哂па)

n=l

8

乂 TT 口一”/(Ynb +冗A/b)] (1 — ”/Ync) (4+Yb/Yna)/4 r znx

x丄丄HT元研彳而研阡元万而二二丽石.； n=Af-hl

Искомое решение для {Лп} определяется при этом формулами (4.3.18).

§ 4. СШИВАНИЕ В ПРОСТРАНСТВЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ФУРЬЕ

Общая задача об излучении из квазипериодических структур, в которых изменена геометрия одной или небольшого числа ячеек, оказывается значительно более трудной, чем задача для соответствующей периодической структуры. Обусловлено это в основном тем, что локальные изменения геометрий нарушают периодичность структуры. В этом разделе мн предложим метод, пригодный для решения некоторых задач указанного типа. Частный случай периодического возбуждения периодической системы плоских волноводов рассматривался в § 2.6, а апериодическое возбуждение периодической структуры ——в § 2.7. В этом параграфе мы займемся исследованием структуры более общего вида, изображенной на рис. 4.3. Предлагаемый метод решения существенно отличается от рассмотренного в гл. 2 и основан на проведении сшивания для изображений Фурье [29]. Система уравнений, к которой сводится задача, в этом случае решается затем методом вычетов.

Структура, которую мы хотим рассмотреть, имеет периодически модулированную гребенчатую поверхность (см. рис. 4.3).

Глубины соседних ячеек структуры обозначены 九工 и 无2, а ячейка с нулевым номером представляет собой полубесконечный волно-

Рис. 4.3. Модулированная гофрированная поверхность, возбуждаемая одним волноводом.

вод I). Пусть падающее поле в нулевом (тп = 0) волноводе имеет вид

我$)=w⑴=e恤，% Vои -*VzV》 (4.4.1)

Требуется найти решение скалярного волнового уравнения для рассеянного иоля % =屮

(爲+ 备 +胪)w(~,z)=O,(442)

x) Напомним, что ранее (задача 2.7) была рассмотрела сравнительно бо лее простая задача о собствеивых волнах (без источников поля) однородно 宓 гребенчатой поверхности.

удовлетворяющее обычному граничному условию &屮/dz = O на идеально проводящих стенках структуры и условию на ребре

嚼，察= О(р萨％ pm-o, m = 0,±l,±2,・・・，(4.4.3) где

pm =炉 + (z— тпа/2)2『/2.

Наметим дальнейший ход решения. Поля при 力 V ° представимы в виде разложений по собственным волнам волноводов, образующих гофрированную поверхность. Ширина а каждого волновода считается такой, что в нем может распространяться только одна волна основного типа (т. е. волна типа ТЕМ), а все высшие типы волн затухают практически до нуля уже на меньшей из глубин ячеек 2%i или 2Д2 (см. задачу 2.7). В области 力 > 0 поля представимы в виде обратного преобразования Фурье, которое обладает непрерывным спектром (ср. § 3.6). Условия сшивания на поверхности 力=0 накладываются не на составляющие полей, а на их преобразования Фурье. В результате получается бесконечная система уравнений, которую удается решить методом вычетов.

4«1. ВЫВОД УРАВНЕНИЙ

Поля в волноводной области представим в виде разложения по собственным волнам плоских волноводов, образующих систему. Удобно занумеровать волноводы так, как показано на рис. 4.3. Следует различать три случая: т == 0, т ——четное и m ——нечетное. Для т = 0 полное поле записывается в виде

屮° ⑶ z) = e-恤 + С^ + 2 宾 sin ( * ) e3 十

нечетн

+ 2 霖 cos(*"3, m = o, (4.4.4) n=2

четные

где yn = [(пл/а)2 — /с2]1^, и, в частности, у0 = — ik соответствует единственной распространяющейся собственной волне волновода. Заметим, что сумма по нечетным 〃 включена в (4.4.4) только для более полной аналогии с последующими выражениями, так как в силу симметрии задачи С^ = 0 для всех нечетных п.

Для ячеек с нечетными номерами т полное поле можно записать в виде

”т(力，z) = C『chYo(% +加)+ 2 2。詳-%也sin (*z)chYn他+加)+ n=l нечетн

+ 2 2鄧 ef %os(?z)chYn3 +初， иг—нечетное. (4.4.5) 91=2

Для четных номеров ячеек т, заменяя hr на 无2 в (4.4.5), лолучаем

旷3，z)=片疝Y0位+砌 +22鑑LJ2siM?z)chYn3+无2)+

n=lнечетн

ОО

+ 2 2Cne^nh2cos (~z) chyn (^ + ^2), Tn—четное и тп=# 0.

71=2 четн

(4.4.6)

В дальнейших выкладках нам понадобятся значения функций 巾m (力，z) в плоскости раскрыва 力=0. Как упоминалось выше, мы введем ряд приближений. Точнее говоря, предположим, что все волны высшего порядка, за исключением основной Г^М-волны, ватухают до нуля на расстоянии, равном min (2九储 2Д2), т. е.

е-2%丝「2*1《］,八 > °.(4.4.7)

Учитывая это приближение, из выражений (4.4.4) — (4Л.6) получаем

п=2 четнп=2 четн2m(% = о, z)= Qm+ 2 C?sin(^z) + 2 c-cos(^z), (4.4.8)

п=2 четн

п=2 четн

п=1 нечетн

где

f У：，Qm={ Qchyofei, I С^сЬуоАг,f У：，Qm={ Qchyofei, I С^сЬуоАг,m — Q^m—нечетное, m— четное, m^G.m — Q^m—нечетное, m— четное, m^G.(4.4.9)(4.4.9)

f У：，

Qm={ Qchyofei, I С^сЬуоАг,

f У：，

Qm={ Qchyofei, I С^сЬуоАг,

m — Q^

m—нечетное, m— четное, m^G.

m — Q^

m—нечетное, m— четное, m^G.

(4.4.9)

(4.4.9)

Принятое приближение (4.4.7) используется при вычислении других составляющих поля в раскрыве 力=0・

Для 啰 > 0 полное поле 屮(力，z) представим в виде обратного преобразования Фурье от некоторой функции В (а):

•ф(.г, 2)= -^ j В (а) е~^хe~iazda,力>0,(4.4.10)

где у = (а?—— 乃2)1/2‘ При этом ветвь у выбирается так, что Re у > >0 (так же, как в § 1.6). Интегральное представление (4.4.10) можно рассматривать как разложение полного поля по плоским волнам. Поскольку полупространство 力 > 0 является открытой областью, спектр плоских волн непрерывен и поле представимо в виде (4.4.10).

Для того чтобы удовлетворить условиям непрерывности на плоскости раскрыва 力 = 0, вычислим преобразования Фурье по переменной z функции 屮：

(4.4.11)(4.4.11)4r (%, а)=,屮(％, z) 6侬办,—do

(4.4.11)

(4.4.11)

и производной д^/дх, а затем потребуем непрерывности полученных преобразований при % = 0・ В результате сшивания для 屮 получим

co (2m+l)a/2j? (a) = 2 j “m (0, Z)6以2 必=co (2m+l)a/2j? (a) = 2 j “m (0, Z)6以2 必=m=-8 (2m- l)a/22a sin (aa/2)丄 2a sin (aa/2)m=-8 (2m- l)a/22a sin (aa/2)丄 2a sin (aa/2)产一例 丁+ 2 (-产n=lнечетные产一例 丁+ 2 (-产n=lнечетные产一讨产一讨С什С什1 )/2 2fg cos (gg/2)1 )/2 2fg cos (gg/2)Y2 —YnY2 —YnCn +Cn +

co (2m+l)a/2

j? (a) = 2 j “m (0, Z)6以2 必=

co (2m+l)a/2

j? (a) = 2 j “m (0, Z)6以2 必=

m=-8 (2m- l)a/2

2a sin (aa/2)丄 2a sin (aa/2)

m=-8 (2m- l)a/2

2a sin (aa/2)丄 2a sin (aa/2)

产一例 丁

+ 2 (-产

n=lнечетные

产一例 丁

+ 2 (-产

n=lнечетные

产一讨

产一讨

С什

С什

1 )/2 2fg cos (gg/2)

1 )/2 2fg cos (gg/2)

Y2 —Yn

Y2 —Yn

Cn +

Cn +

I ^^(])n/2 2a sin (aa/2) ^q〔

ti=2четные

+ V ^y^^^e^C^

Wl=—coнечетные

8

j £^ —]严 T )/2 2»a cos (aa/2) ^imaa^rm +

n=l

нечетные

+ $ (一炉/2号簪小也爲]+ n=2

четные

+ 2(0)[Ch?o^2

7П=~ОО четные

Y2一時

2a sin (аа/2)

С^таф丁 [

+ 2 （一1严+1）/2丝謹睾%，睜鄧+

n==lнечетные

+ 2 一产

71=2

четные

'2 2a sin (аа/2)

Y2—Yn

eimaag界].

Для упрощения записи положим

AQ) = 2sin ⑺,

^o (а) = 2 Sin (筹)爲

F0(a) = 2sin(^)3(0)^C^

m=—8 четные

尸;(а) = 2 sin 偿)2 eimaaC^

m=-8нечетные

2i cos 得)2 (一产+"1)/2级3爲,

п

& =

2 sin传）2 （一1广汽2b,

п

Тогда (4.4.12) можно переписать в виде

b(a) A)(a) 1 %(a)

а — у2—у? 丁 Y2—Y§

I尸кa）（eY山+广Y山）,十 2（产一律） 寸

尸 0 9）（^。m + 6一Y。也）

十 2（税一诧）

* VI Fn (а)

n=l

(4.4.12)

(4.4.13a>

(4.4.136}

(4.4.13b)

(4.4.13г)

нечетное r

четное.

(4.4.13д)

(4.4.14)

Производя аналогичные действия над преобразованием Фурье производной д^/дх в раскрыве / = 0, получаем

-уВ (а) — 一丫0。0@) I Yo%(a) . УоП (а)(屮％ — е"%).

---m一喻十产一崎十2(Y2一例)十

02中*4415)

2(Y2一骑)1 二 ?2一脸 、)

Исключая В (а) из (4.4.14) и (4.4.15), приходим к соотношению

У 鱼3.=(4.4.16) 厶 Yn~Y Yo+丫/

где

б。(а) = % (a) +~| 鋒 @)加財十 ^.歹° Q)⑪九，(4.4.17a)

6九3)=少九3),几= 1,2,3, 4,..•，(4.4.176)

Ко (а) = Do (а) + ~ ^ Q) e~^h^ + ^-Fo (a) e—。九 2.(4.4.17в)

Умножая (4.4.14) на у и вычитая из него (4.4.15), получаем

胃 В©) =—*+£*•(4418)

71=0

Формулы (4.4.16) и (4.4.18) дают требуемые бесконечные системы уравнений относительно неизвестных {G^ (а)}. Решение этих уравнений проведем в следующих разделах.

МЕТОД РЕШЕНИЯ

Заметим сначала, что изображенная на рис. 4.3 структура является периодической с периодом 2a (если исключить волновод с 加 = 0). Этим свойством можно воспользоваться для вывода из (4.4.16) и (4.4.18) бесконечной системы уравнений. Из определений (4.4.13) следует, что

(4.4.19а)(4.4.196)(4.4.19b)(4.4.19г)(4.4.19а)(4.4.196)(4.4.19b)(4.4.19г)*(a +学4=(一皿。@),

(4.4.19а)

(4.4.196)

(4.4.19b)

(4.4.19г)

(4.4.19а)

(4.4.196)

(4.4.19b)

(4.4.19г)

/(a +響)=(一力喝(a), Fn (a + ^) = (—l)mFn (a) для всех 明 少；卜 +響)=(_l)W；(a), zn = 0, 土 1,±2,

и

А（а + 2） =ctg （号）°。3），（4420а）

% （& + 2） = ^ （号）Е。3），（4.4.206）

尸。（а + 2） *tg （詈）％⑷，（4.4.20b）

储（a + т） = ftg （号）尸。3）■（4.4.20г）

Для того чтобы воспользоваться перечисленными выше свойствами, введем новую переменную

产）=[k + 礬）2一"2了2, 7n = 0, ±1, 士 2,.（4.4.21）

Разрезы комплексной плоскости а показаны на рис. 4.4, и верхний

лист римановой поверхности для у^ выбран так, что Re у（т） > 0. Заметим, в частности, что

y（0）= Y =储—依]1/2（4.4.22）

определена в （4.4.10）.

Поскольку уравнения (4.4.16) и (4.4.18) справедливы при всех действительных а, положим в них а равным а + 2тл/а. С учетом соотношений (4.4.19) получаем следующие бесконечные системы уравнений:

2%皿=0, ±1, ±2,・・・，

n=0

(4.4.23)

2( - 4严y(砌(= _区o(a) I 三 Gn (a)

a + (2mW")\ 十 Q 丿 - то 一 ?(т)十乙 ?n+丫5)

n=0

zn = O, ±1, ±2f(4.4.24)

Из уравнений (4.4.23) можно выразить Gn (а) как функцию Ко (а), а затем с помощью (4.4.24) найти выражения для J? (а + 2тл/а) и, в частности, В (а). Это можно сделать методом прямого обращения, или методом вычетов. Приведем здесь только конечный результат:

Gn (a) = A〉(a) KQ (a), n = 0, 1, 2, . . ., (4.4.25)

3 (a) = A (a) К。(a),(4.4.26)

где

An = — e(2yoa/2m2 "一YО/?(艺 TT ]+Y9怖冗 x

丿1 + Yo/Y(o)丄 1 4—Yo/Ym

m=l

X П “ 丁嗽二倦二吗丫二3 e2wz/m% (4.4.27а) 丄丄 11 + Yo/Y(m)] I1 +Vo/Y( w)]''

m—i

(a) = —e(vo+vn)(aM)(in 2 - i/n)?匕 Yn/唄.*

1-Yn/Yo 1+Yo/Y(o)X

5)' + ?o/Y硏,e -(Yo+YA)a/mjt *丄丄I—Yn/Ym'

m==l

n = l, 2, 3,(4.4.276)n = l, 2, 3,(4.4.276)X ； ”Yn/产)” 丫九/D (…“ м/mt

n = l, 2, 3,(4.4.276)

n = l, 2, 3,(4.4.276)

(1 + Vo/Y<w)) (1 + Yo/k叫'

m=l

A (a) = Y(o)[Yo_Y(o)fA (a) = Y(o)[Yo_Y(o)f[1+Y(o)/Yo] [1+y0/7(o)]匕X

A (a) = Y(o)[Yo_Y(o)f

A (a) = Y(o)[Yo_Y(o)f

X П T^^e~^~^^^

~ 1+55)l + */Y(f gz。)%/响伍 4 28)

X 11 1+Yo/?(m> l+Yo/yf 6•

m—i

Поскольку Ап (а)——периодическая функция с периодом 2冗/〃, для р = 0, 土 1, ±2, ... справедливы соотношения

Дп(а + ^)=Дп(а),几=0, 1, 2,.(4.4.29)

Кроме того, так как ут [(2л/а) — а] = у^~т~^ (а), то

Ап (警— а) = Ап (а), п = 0, 1, 2,.(4.4.30)

Таким образом, Ап(а = о+»т) симметрична относительно о = л/@ для любого фиксированного т. Соотношения (4.4.29) и (4.4.30) будут использованы в дальнейшем.

Выразим далее в явном виде введенные в (4.4.13) функции Ео (ос),及(а) и т. д. через известную функцию Do (а), связанную с падающим полем в волноводе с номером т = 0・ Рассмотрим прежде всего соотношение (4.4.25) для п = 0. Используя определения входящих в него функций и учитывая (4.4.17), имеем

Eq (а) + ^> К (а) e^ + ^Fo (а) е^ =

=Ао (а)[厶(а) + ~F^ (а) e-丫山十｝瓦(а) е』可.(4.4.31)

Заменим в (4.4.31) а на а + (л/а) и воспользуемся соотношениями (4.4.20). Это приводит к

Ео (а) — »"； (а) ^оЛ1 + 扌尸о (а) е^ =

=Д； (а) [А (а) — 专 К (а) е^ + ^F. (а)宀网],(4.4.32) где Д* (а) = Ао (а ф л/а). Функции Ео(а),凡(а) и ^ (а) могут быть теперь найдены из уравнений (4.4.31) и (4.4.32).

Введем следующие обозначения:

М (а) = 4 - А。(а) е-2»。”(4.4.33a)

Mz (а) = 1 一 & (а) e-2voAi?(4.4.336)

N (а) = 1 - А。(а) i^,(4.4.33в)

Nr (а) = 1 — А； (а) е"»。饱，(4.4.33г)

L(a) = M (а) ^(а)十 ЛГ (а) N (а).(4.4-ЗЗд)

Исключая из (4.4.31) и (4.4.32) последовательно 瑞(а) и Д(а), получаем

⑨尸0 (a) 6Y。九3 =⑨尸0 (a) 6Y。九3 =方尸;(a) d他=方尸;(a) d他=Do (а) [% (а) ЛГ (а) + М (а) М (а)]-Е。(а) [JH (а)+ЛГ (а)]

⑨尸0 (a) 6Y。九3 =

⑨尸0 (a) 6Y。九3 =

方尸;(a) d他=

方尸;(a) d他=

Е(а)

(4.4.34)

% (а) [А。(а) М(а) — М (а) N (а)]-&о(а)[М(а)-%(а)]

£ (а)

(4.4.35) 14*

Из (4.4.34) и (4.4.35) можно найти коэффициенты связи основной волны типа ТЕМ в волноводной области. Это будет сделано цозднее.

При п^О из (4.4.25) вытекает соотношение

Fn (а) = А〃 (а)「А (а) + 停 К (а)广。厄 + 扌歹。(а) L。恒} (4436)

откуда, используя (4.4.34) и (4.4.35), получаем

尸 п(а) =尸 п(а) =2” (а) [А (а)-Ео (а)「2yo呵2” (а) [А (а)-Ео (а)「2yo呵〃а)〃а)Ап (а).Ап (а).(4.4.37)(4.4.37)

尸 п(а) =

尸 п(а) =

2” (а) [А (а)-Ео (а)「2yo呵

2” (а) [А (а)-Ео (а)「2yo呵

〃а)

〃а)

Ап (а).

Ап (а).

(4.4.37)

(4.4.37)

Это равенство позволяет получить выражения для коэффициентов связи для высших типов волн в волноводной области. Наконец, из (4.4.26) имеем

м(a)=二竺乌丄且⑷产丫0呵 a Q), (4.4.38)

Выражение (4.4.38) в сочетании с интегралом (4.4.10) определяет поле излученйя в открытом полупространстве, а выражения (4.4.34)——(4.4.38) содержат всю информацию, необходимую для полного решения рассматриваемой задачи. Завершение решения и обсуждение результатов будет описано ниже.

ПОВЕРХНОСТНЫЕ ВОЛНЫ

Определив спектральную амплитуду плоских волн В (а) согласно (4.4.38), можно найти поле 2：

z)=»^ j В (a)e-v^-iazda,力＞0.(4.4.39)

Вклад поверхностных волн в поле излучения определяется полюсами функции В (а) на действительной оси плоскости а (предполагается, что потери в среде отсутствуют, т. е. к2 -＞ 0). Обозначим систему этих полюсов через {ар}. Поля поверхностных волн затухают в направлении 力,и, следовательно, а「＞ А для всех р. Из выражений (4.4.38) и (4.4.28) видно, что функция А (а) не содержит лолюсов, соответствующих поверхностным волнам, так как (при данном выборе ветви) 丫(仅)обладает или положительной действительной частью, или же отрицательной мнимой частью для любого действительного а. Следовательно, единственная возможность существования полюсов, порождающих поверхностные волны, состоит в обращении в нуль функции L (а).

Напомним, что из соотношений (4.4.29) и (4.4.33) следует периодичность с периодом 2冗/а функции Ао (а) и, следовательно, иМ (а), М1 (а), N (а) и Nr (а) вдоль произвольной прямой, параллельной действительной оси в плоскости а. Функция L (а) также периодическая, но с периодом 冗/а, как следует из равенств

L[a + ^}^M^^N'^ + ^) + M' (a + i)2V(a + ^.) =

=Mf (a) N(a) + M (а) № (а) = L (а).(4.4.40)

Напомним также, что из (4.4.30) следует симметрия А。(а) относительно прямой Re а = л/а и, кроме того,

А； (“ + ?) = А。(“ +"~) = Ао (а) = А。(~ а)=

= &(2 —а)・(4.4.41)

Из последнего соотношения следует симметрия функции Л (а) относительно прямой Re а = л/2а; действительно:

乙(а) = £(а + ^)=М(а+?)М(а + 2) +

+ " (а+Т) %(а+?)传-а"，(g-а) +

+ Mf ^^a^N ^ — а) =L (^--а) .(4.4.42)

С учетом симметрии и периодичности L (а) (см. (4.4.40) и (4.4.42)) для определения положения всех полюсов, ответственных за по-

Рис. 4.5. Дисперсионная кривая для собственных волн модулированной гофрированной поверхности.

явление поверхностных волн, достаточно определить расположение нулей в области 0 & а & 冗/2а. Полное численное исследование распределения нулей можно найти в работе Карьялы и Миттры [29]. На рис. 4.5 показан общий вид зависимости действительных корней уравнения £ (а) = 0 от частоты ——так называемая диспер-

сионная кривая модулированной гребенчатой поверхности. Видно, что данному значению ка отвечает корень а0 и корни ± а0+ + пзт/а, где п = 0, ± 1, ± 2, . . . . По определению поверхностной волны точка а0 лежит всегда внутри треугольника, образованного прямыми " = аи" =——а + л.

После нахождения полюсов В (а) мы обратимся вновь к интегралу (4.4.39) и оценим вклад поверхностных волн. Путь интегрирования проходит вдоль действительной оси в плоскости а. В соответствии с рис. 4.5 при заданном к на пути интегрирования могут

т

伍-砲)_ —1 ^(-Оо -冗/G -品伍-砲)_ —1 ^(-Оо -冗/G -品位о+тг/а) (а0 -и/а)—1——*^b——1~r七。+喚位о+тг/а) (а0 -и/а)—1——*^b——1~r七。+喚

伍-砲)

_ —1 ^

(-Оо -冗/G -品

伍-砲)

_ —1 ^

(-Оо -冗/G -品

位о+тг/а) (а0 -и/а)

—1——*^b——1~r

七。+喚

位о+тг/а) (а0 -и/а)

—1——*^b——1~r

七。+喚

Рис. 4.6. Расположение полюсов, соответствующих поверхностнойволне: (а) среда без потерь; (б) среда с малыми потерями.

быть расположены полюсы подинтегральной функции. В этом случае (рис. 4.6, Q)следует деформировать контур, чтобы обойти особенности подинтегральной функции. Способ обхода полюсов, как уже говорилось в § 3.6, можно определить, считая, что среда обладает бесконечно малыми потерями, т. е. полагая к = к工 + 疚力2 f + 0 瓜 анализируя смещение полюсов. Рассмотрим, например, нуль а0, который соответствует волновому числу "工(рис. 4.5). В окрестности 自 можно считать а。аналитической функцией к и воспользоваться ее разложением в ряд Тейлора

&(瓦 + %卷)=«о 闷 + -^-[/&+•・・・(4.4.43)

Кроме того, из графика дисперсионной кривой видно, что dajdk Положительна при к = "「Поэтому мы приходим к выводу, что нри наличии малых потерь в среде полюс а0 смещается в верхнюю полуплоскость. Точно так же можно убедиться, что полюеы <х0 + 九冗/а смещаются с действительной оси вверх, а полюсы —а0 + пзт/а ——вниз, как показано на рис. 4.6, 6・ Установив способ

обхода полюсов для среды с малыми потерями и сохраняя его в предельном случае среды без потерь, приходим с окончательному виду контура интегрирования в (4.4.39), изображенному на рис. 4.7.

Для определения вклада поверхностных волн в поле при z > О замкнем контур интегрирования в нижней полуплоскости а (тот же результат можно было бы получить для z V 0, замыкая контур

т

Рис. 4.7. Контур интегрирования для интеграла (4.4.30) при наличия полюсов, соответствующих поверхностной волне.

интегрирования в верхней полуплоскости и заменяя z на ——2% Интеграл (4.4.39) по контуру, изображенному на рис. 4.7, сводится к выражению

W(a, z)= 2 (―0ResВ( —ап)егапгехр { — Va^ —Fa:) +

+ 急 2 J 8 (a) eT*Tazda, x>0 и z>0, (4.4.44) по разрезам Cb

где an = a0 + 〃冗/a, n = 0, ±1, ± 2, . . ., а контур Съ охватывает рассматриваемый разрез. Поверхностные волны в (4.4.44) затухают с ростом х. По существу они представляют собой модификацию обычных пространственных гармоник, встречающихся при описании периодических структур. Они не ортогональны в в энергетическом смысле, т. е. общая энергия, переносимая поверхностными волнами, не равна сумме энергий, переносимых отдельными слагаемыми суммы. Слагаемые в (4.4.44), содержащие интегралы по разрезам, не могут быть вычислены в замкнутом виде. Эти волны иногда называют пространственными волнами; они определяют угловое распределение поля излучения в дальней зоне.

Следует сделать замечание об однородной гребенчатой структуре, для которой 无 1 =无2・ Весь ход решения в этом случае остается прежним, но возникает некоторый вопрос относительно дисперсионной кривой. Можно было бы ожидать, что полюсы поверхностных волн должны быть расположены теперь с периодом 2л/а, а не 冗/〃* поскольку период однородной структуры вдвое меньше периода структуры с модуляцией. В то же время период функции L (а) по-прежнему равен n/а. Эта трудность, однако, разрешается, так как множитель ”(а) в числителей (а) обращается в нуль при а = =а0 + пп!а для нечетных п и, таким образом, соответствующие поверхностные волны не возбуждаются. Возможен и иной подход к рассмотрению этой задачи. Действительно, при 无】=无2 функции Nr (а) и М' (а) равны. Можно сократить общий множитель в выражении для В (а), и тогда полюсы, обусловливающие появление поверхностных волн, определяются нулями М (а), расположенными с периодом 2冗/〃・ Этот результат получен в задаче 2.7.

« ДИАГРАММА НАПРАВЛЕННОСТИ

屮(a, z)〜屮(a, z)〜Одной из интересных характеристик поля в открытом полупространстве 啰 > 0 является угловое распределение излучения в дальней зоне или диаграмма направленности. Эта характеристика может быть получена из (4.4.44), если использовать асимптотическое значение интегралов по берегам разрезов для больших р = =У %2 + #. Нетрудно видеть, что при п!а > к основной вклад в поле в дальней зоне дает участок интеграла по контуру, охватывающему разрез, непосредственно примыкающий к точке а =府， а интегралы по остальной части контура экспоненциально малы. Главная часть вклада в интеграл может быть вычислена с помощыа соотношения (1.7.19) и оказывается равной

屮(a, z)〜

屮(a, z)〜

(4.4.45)(4.4.45)V^ 2л/ср~ 6^hp~n/^ (^cos 0) В (а = — Asin0),р 00 и 101 < л/2,

(4.4.45)

(4.4.45)

где 0 = arctg (z/%) и отсчитывается от нормали к решетке (рис. 4.3).

Интересно применить выражение (4.4.45) в одном частном случае. Пусть 瓦 и 无2 стремятся к бесконечности и гофрированная структура на рис. 4.3 переходит в бесконечную систему плоских волноводов, изображенную на рис. 2.2. Полагая Л1?无2 foe и считая, что среда обладает малыми потерями, из (4.4.26) и (4.4.17в) получаем

8 (а) = О。(а) А (а).(4.4.46)

Воспользовавшись определениями (4.4.13а) и (4.4.28), для величин в правой части этого равенства нетрудно показать, что

8 (а = -/Ю sin 0) = ае^^ sme (В^е,(4.4.47)

где величина BQ определяется выражением (2.6.20) и имеет смысл коэффициента прохождения основной пространственной гармоники для бесконечной решетки из плоских волноводов с синфазным возбуждением. Экспоненциальный множитель в (4.4.47) обусловлен различием координат на рис. 4.3 и рис. 2.2. Сопоставление выражений (4.4.45) и (4.4.47) показывает, что диаграмма направленна- сти решетки из плоских волноводов с единственным возбуждаемым элементом совпадает с точностью до множителя cos 0, с зависимостью коэффициента прохождения основной пространственной гармоники от угла сканирования 0О при синфазном возбуждении» Этот результат был получен в § 2.7 другим методом.

. КОЭФФИЦИЕНТЫ СВЯЗИ

Коэффициент связи Со для волн типа ТЕМ в 〃-м волноводе можно найти из соотношений (4.4.34) и (4.4.35). Используя определения (4.4.13), можно переписать (4.4.34) в виде

产恒 m(o)c『c?m“a_ 二 Ао(а)ЛГ(а) + М(а)7И(а)

7П= —ОО четные

一丄空皆(°0q. (4.4.48)

Проинтегрируем обе части (4.4.48) по а в пределах от 0 до 2л/а. Поскольку у。(=—威)не зависит от а, интеграл в левой части равен нулю, и мы получаем следующее выражение для коэффициента связи ТЛТИ-волны в центральном (т = 0) волноводе:

2 "а

С Ао(а)М'(а) + М(а)М(а)血

JЕ (а)

q=。•丽2•(4.4.49)

f М(а) + ^ (а),

J

Это выражение можно упростить, если воспользоваться свойст^ вами симметрии входящих в интеграл функций:

2л/а

[Ао(а)"(а) + М(а)М(а)力

J厶(а)

2л/а

空 f Ао (а)М(а) + М (а)ТИ(а) - 2Voh 加

〃)厶(а)

о

Л/2

f Ao @) " (а) + 篇(а) М (а) 如

J Е7а)

——^■-而.(4.4.50)

JL_i_e-2vo^ j Ao (а) ЛГ(а) + М (а) 7И (а) 也 а 十 JL (а)

Интегралы в этом выражении должны быть найдены численно. Если вдоль структуры могут распространяться поверхностные волны, то подинтегральное выражение содержит сингулярности, обусловленные множителем L (а). На интервале 0 V а V 子 лежат самое большее два действительных корня L (а): а0 и (зт/а)——а0. В соответствии с исследованным ранее смещением полюсов для среды с малыми потерями (рис. 4.6) контур интегрирования в интегралах (4.4.50) обходит точку а = а0 снизу, а точку а =(冗/а)— — а0 —— сверху. Следовательно, мы имеем

f Ао(а)”(а) + М(а)М(а)加_

—]Ь(а)

Я/а

£ Ао (а) ” (а) + А； (а)М(а)加 + 就 А。(а) М (а) + 翫(а) М (а)

а=ао(4.4.51)а=ао(4.4.51)J厶(а)十dL (а)/da

а=ао

(4.4.51)

а=ао

(4.4.51)

о

Ао(а)”(а) + М(а)М(а) |

也(a)/da|а=5/а)-&'

где знак 十 означает, что интеграл берется в смысле главного значения I). Различие в знаках перед вычетами обусловлено различным направлением обхода полюсов. С учетом свойств симметрии выражение для J можно упростить

Ao(a) M«a) + M (a)M(a)Ao(a) M«a) + M (a)M(a)厶（a）厶（a）da +da +

Ao(a) M«a) + M (a)M(a)

Ao(a) M«a) + M (a)M(a)

厶（a）

厶（a）

da +

da +

+ 2“也竺噺^^L…)

Для получения коэффициентов связи в волноводах С『воспользуемся соотношениями (4.4.48) и (4.4.35). Умножая обе части равенства (4.4.48) на e-maa и интегрируя по а от 0 до 2n/a,

Т) Например,

Ьa-еЬ

手書附WJ變H+J書町。＜"瓦

ааа+е

получаем

2л/а

@=£e』闻f а。似)"(a)土空(4)也祖C…3也— лJL(a)

2л/а

—^e—g2M j M(2g^(°)e7naa da,八—четное и n ^ О,

о

(4.4.53)

где С® определяется согласно (4.4.50). Для вычисления Со с нечетными п можно аналогичным образом вычислить коэффициенты Фурье для (4.4.35):

2л/а

魂=〜寸山f Ao(a)M(a)一m⑷券研l^而一

冗 JL (a)

0

2n/a

—* e 一To/C； J %(? M『(也 e - 3“ d% n — нечетное^ (4<4.54) о

Интегралы, входящие в выражения для J, могут быть упрощены тем же способом, как и при получении (4.4.50). Как можно легко убедиться, в предельном случае 无】，友一> оо решения (4.4.53) и (4.4.54) сводятся к решению, полученному в § 2.7.

Коэффициенты связи для высших типов волн {С21} с п > 0 не представляют существенного интереса, если эти волны не могут распространяться. Выражения для них можно легко найти из 《4.4.36) и (4.4.37), и мы не будем здесь на этом останавливаться.

§ 5. МЕТОД СШИВАНИЯ ДЛЯ ОТКРЫТЫХ СТРУКТУР

В гл. 2 и 3 мы рассмотрели два различных способа формулировки и решения краевых задач для полубесконечных структур. Один из них, основанный на сшивании, применялся при решении задач для закрытых структур, тогда как другой, метод Винера —— Хопфа, может быть применен при исследовании как открытых, так и замкнутых структур. Основное различие между этими методами состоит в способе разбиения исследуемой структуры на частичные области иу следовательно, в способе представления полей в этих областях. Различие хорошо видно на примере разветвленного волновода, который подробно рассматривалея обоими методами.

В методе сшивания в качестве частичных областей А9 В и С выбираются три полубесконечных волновода (рис. 4.8, а), а поля представляются в виде разложений по собственным волнам соот-

ветствующих волноводов. В противоположность этому при выводе уравнения Винера—Хопфа методом Джонса структура разбивается на два волновода I и II, как 【оказано на рис. 4.8, 6. В этом случае поля представляются в виде преобразования Фурье по продольной координате z. При такой форме представления полей граничное условие на полубесконечной стенке, разделяющей волновод, не удовлетворяется, и в результате эта связь поля с собственными волнами волноводов в этом случае становится очевидной только после получения окончательного решения. Другими словами, при формулировке задачи в методе Винера ——Хопфа

Рис. 4.8. Выделение частичных областей в методе сшивания и методе Винера — Хопфа.

не используется непосредственное разложение поля по собственным волнам. В результате формулировка задачи в методе Винера— Хопфа остается в основном неизменной, даже если одна или ненесколько частичных областей имеют бесконечные поперечные размеры (вдоль координаты 力).В связи с этим возникает естественное желание задать вопрос, можно ли обобщить метод сшивания на задачи об открытых структурах. Ответ на этот вопрос утвердительный, и цель этого параграфа ——проиллюстрировать применение метода сшивания для рассмотрения открытых структур.

В качестве примера рассмотрим задачу об излучении из открытого конца волновода (см. § 3.11), изображенную схематически на рис. 4.9. В качестве падающего поля рассматривается волна типа ТЕМ, вид которой дается формулой (3.11.1). При этом, как отмечалось в п. 3.6.1, в методе сшивания предполагается, что падающее поле определено только в волноводной области | % | V Ь> z V 0； напротив, в (3.11.1) падающее поле определено для всех z. Наша задача ——определить методом сшивания поле излучения в свободном пространстве и отраженное поле внутри волновода 150].

Удобно разделить все пространство на четыре области, обозначенные на рис. 4.9, как А, В, С и D. Отраженное поле в области В

©

"?®~-26 © t—④

Рис. 4.9. Волновод с открытымконцом

можно представить разложением по нормальным волнам волновода

Ну{х. z)=屮(怎Ну{х. z)=屮(怎z) = 28ncos[^»(/—b)] n==0z) = 28ncos[^»(/—b)] n==0e%庐 в области В,e%庐 в области В,(4.5.1)(4.5.1)тде YПЬ=[(пn/b)2 -依卩/2.Вследствие симметрии структуры и поля возбуждения, в (4.5.1)тде YПЬ=[(пn/b)2 -依卩/2.Вследствие симметрии структуры и поля возбуждения, в (4.5.1)

Ну{х. z)=屮(怎

Ну{х. z)=屮(怎

z) = 28ncos[^»(/—b)] n==0

z) = 28ncos[^»(/—b)] n==0

e%庐 в области В,

e%庐 в области В,

(4.5.1)

(4.5.1)

тде YПЬ=[(пn/b)2 -依卩/2.

Вследствие симметрии структуры и поля возбуждения, в (4.5.1)

тде YПЬ=[(пn/b)2 -依卩/2.

Вследствие симметрии структуры и поля возбуждения, в (4.5.1)

Рис. 4.10. Контур интегрирова-ния для интеграла (4.5.2).

входят только симметричные по 力 волны. Поле излучения в области Л имеет непрерывный спектр и представимо следующим обра-

ЗОМ (§ 1.6)：

屮(力，z) = } J Л (a) ^-vz^-iax ^а в области 4(4.5.2)

где у = (а® —— 喲館,а контур интегрирования проходит вдоль действительной оси, как показано на рис. 4.10. С учетом условия симметрии -

2 (怎 z) =^ (—%, z),2 (怎 z) =^ (—%, z),(4.5.3)(4.5.3)

2 (怎 z) =^ (—%, z),

2 (怎 z) =^ (—%, z),

(4.5.3)

(4.5.3)

из которого в свою очередь следует, что Л (а) = Л (— а), интеграл (4.5.2) можно записать в виде

屮(％, z)= , Л (a) е~^ cos cur da в области 4(4.5.4)

b

Аналогично поля в областях С и 0 могут быть представлены выражениями

Г ОО

f С (р) erz cos Р (^ — Р) d^ в области С, (4・5.5а>

[屮位，Z)= j 8

J С (Р) e「z cos § (% + §)呻 в области D, (4・5.56> < о

где Г = (§2 — "2尸/2, а разрез в комплексной плоскости 0 проведен так же, как для функции у в плоскости a (§ 1.6). Причцда^ по которой мы пользуемся различными обозначениями переменных в формулах (4.5.4) и (4.5.5), станет ясна позднее.

Следуя обычной процедуре сшивания, потребуем непрерывности функции *ф⑴=屮⑴ + *ф и ее производной d屮⑴/dz на плоскости раскрыва z = 0・ Эти условия приводят к системе равенств:

j С (Р) cos § (% —b) d§ = J A (a) cos ах da, о-0

力 ^> ь.

(4.5.6а>

ОООО

1 + 2 ^» cos [-^" (%—b)] = j 厶(a) cos аж da, n=G0

@V4

(4.5.66)，

ооОО

f С(Р) cos 0 (% + 匕)呻=С A (a) cos ас da,

立V—6

(4・5・6в%

且

(457а>1%|<Л(4.5.7б>(457а>1%|<Л(4.5.7б>%< —Ь・(4.5.7в)%< —Ь・(4.5.7в)j ГС(Р) cos § (% — b) d§ = — j 丫4 (a) cos а/ da, оо

(457а>

1%|<Л

(4.5.7б>

(457а>

1%|<Л

(4.5.7б>

%< —Ь・

(4.5.7в)

%< —Ь・

(4.5.7в)

ik+ 2 УпъВп cos [胃(力一b)] = — j 丫4 (a) cos a% da, п=0О

J ГС (Р) cos § (% + b) d§ = — j уЛ (a) cos a% da, оо

РЕШЕНИЕ МЕТОДОМ ВЫЧЕТОВ

Требуется определить неизвестные А (а), {#〉} и С (а) из урав* нений (4.5.6) и (4.5.7). Исключим из этих уравнений переменнукх %, умножив их на М而 cos а/ и проводя интегрирование по х от 0 до + оо. В результате получаем

"2冗俨+炉)二金1/^(产一脸)2 J

-卫霽I 矍箫即=/^4(a),(4.5.8)

弩s：nab + V 颦出吧浊+ Y/^c(a)cosab —

n2冗俨+砂)^ у2л (?2-?^)' 2

-冷察I 證爲' 呻=一Y /^ " (a),(4.5.9)

где черта на знаке интеграла означает, что интеграл берется в в смысле главного значения. Исключив Л (а) из (4.5.8) и (4.5・9), получим уравнение для известных коэффициентов {Вп} и неизвестной функции С (Р):

W 缶—j咎型+ C(a)JI^ = m. (4510> n=0О

Здесь полезно отметить, что для родственной замкнутой структуры, изображенной на рис. 4.11, соответствующее уравне-

ние имеет вид

Vma — Vnb厶 Ута~ ТпГ \，元丿加冗/“V^«

n=0n=0

^ma^^nc

yma — ik 7 " = o, 1, 2,・・・， (4.5.11)

где yma =[(加冗/〃)2 — fc2]1/2, Ymc = [(mn/c)2 — fc2]1/2, {&} — амплитуды собственных волн, рассеянных в области С или D. Систему уравнений (4.5.11) можно вывести с помощью стандартной процедуры, описанной в § 2.2. По причине, которая станет ясна ниже

"岁®一- 2b ⑥®24

Рис. 4.11. Волновод с тройным разветвлением.,

в (4.5.11), специально предусмотрена возможность выполнения равенства ута = урс (т. е. тп/а = рл/с) при некоторых значениях индексов тир.

Уравнение (4.5.10) молено считать предельным случаем (4.5.11) в следующем смысле: при стремлении а и с к бесконечности так, чтобы разность а ——с = b оставалась неизменной, постоянные распространения ута и утс становятся непрерывными, и сумма по нормальным волнам переходит в интеграл 】)(см. §. 1.6). Отметим, что при рассмотрении задач об открытых структурах необходимо включить случай перекрытия спектра собственных волн для различных областей (т. е. случай а = р (в (4.5.8) и (4.5.9))). Этим объясняется включение случая ута = урс в (4.5.11).

Обращаясь к решению уравнения (4.5.10), воспользуемся некоторым обобщением метода вычетов. Рассмотрим интеграл

/[ l^Ldw.(4.5.12)

2m J y—w'/

Здесь аналитическая функция / (w) выбирается так, что

/ (ip) имеет простые полюсы при ip = + »к н ip = y^b, ти = 0, 1, 2,..

Этот предельный переход совпадает с переходом к пределу в связи с уравнениями Винера — Хопфа (3.11.41) и (3.11.42).

/ (ip) имеет точку ветвления при w =——ik9 обусловленную наличием корня (w + jfc)1/2. Разрез на комплексной плоскости w проведен, как показано на рис. 4.12 (среда без потерь, т. е. fc2 ->

+ 0), причем ветвь корня выбрана так, что (w + ffc)1/2 -> 讨产 цри ip -> + оо вдоль действительной оси Im ip = 0;

Контур интегрирования Р в (4.5.12) состоит из окружности бесконечного радиуса Pg, двух участков по берегам разреза Р， и Р2 M окружности бесконечно малого радиуса вокруг точки w =——ik, как показано на рис. 4.12. Точка w = у расположена вне замкнутого контура Р,

Функцию / (ip) можно построить с помощью указанного выше предельного перехода из функции / (ip), являющейся решением системы уравнений (4.5.11). Отложим это построение до разд. 5.2, а здесь приведем окончательный результат:

丿一吁流 w+lk 九&)ewb/nn ，a,

где

九㈣=exp (—票[i-c+m (誓)^]—

T 斤送 In (上¥巨)} ,(4.5.136)

и продолжим решение задачи-

Представим интеграл в (4.5.12) в виде суммы вычетов

±^九=V 2л1 J y — wPm=l±^九=V 2л1 J y — wPm=lRes / (уть)Res / (уть)11У — УтЪY —*У — УтЪY —*(4.5.14)(4.5.14)

±^九=V 2л1 J y — w

Pm=l

±^九=V 2л1 J y — w

Pm=l

Res / (уть)

Res / (уть)

1

1

У — УтЪY —*

У — УтЪY —*

(4.5.14)

(4.5.14)

Интеграл в левой части этого равенства можно упростить следующим образом. Во-первых, вклад интеграла по контуру Pg равен нулю в силу асимптотики / (ip)・ Во-вторых, вклад интеграла по контуру Ре при е -> 0 определяется вычетом в точке w =—威：

嘉j ^7%=嘉j ^7%=(r-l)Resf(-/)(—QRes/ (уоь)(r-l)Resf(-/)(—QRes/ (уоь)у+ ifcу+ ifcY —YobY —Yob(4.5.15)(4.5.15)

嘉j ^7%=

嘉j ^7%=

(r-l)Resf(-/)(—QRes/ (уоь)

(r-l)Resf(-/)(—QRes/ (уоь)

у+ ifc

у+ ifc

Y —Yob

Y —Yob

(4.5.15)

(4.5.15)

В-третьих, рассмотрим интегралы вдоль разреза Используя соотношение, связывающее значения на обоих берегах разреза,В-третьих, рассмотрим интегралы вдоль разреза Используя соотношение, связывающее значения на обоих берегах разреза,на рис. 4.12.функции / (ip)на рис. 4.12.функции / (ip)

В-третьих, рассмотрим интегралы вдоль разреза Используя соотношение, связывающее значения на обоих берегах разреза,

В-третьих, рассмотрим интегралы вдоль разреза Используя соотношение, связывающее значения на обоих берегах разреза,

на рис. 4.12.функции / (ip)

на рис. 4.12.функции / (ip)

"也呢门"也呢门— exP{^了庐+/m(— exP{^了庐+/m(w— "|/^2+ ^2w— "|/^2+ ^2ikik)1)1I呪PiI呪Pi_М^^Т^т(_М^^Т^т(”一京讲+族”一京讲+族ikik)工}=)工}=

"也呢门

"也呢门

— exP{^了庐+/m(

— exP{^了庐+/m(

w— "|/^2+ ^2

w— "|/^2+ ^2

ik

ik

)1

)1

I呪Pi

I呪Pi

_М^^Т^т(

_М^^Т^т(

”一京讲+族

”一京讲+族

ik

ik

)工}=

)工}=

получаемP1+P2получаемP1+P2Введем новую переменнуюВведем новую переменную3п=03п=0Res 〃Y加Res 〃Y加У—^nbУ—^nb00(—l)e叫(F)Bsm 曲(—l)e叫(F)Bsm 曲"（Y-r）"（Y-r）dp — / (у) егаЪ cos ab =dp — / (у) егаЪ cos ab =

получаем

P1+P2

получаем

P1+P2

Введем новую переменную

Введем новую переменную

3

п=0

3

п=0

Res 〃Y加

Res 〃Y加

У—^nb

У—^nb

0

0

(—l)e叫(F)Bsm 曲

(—l)e叫(F)Bsm 曲

"（Y-r）

"（Y-r）

dp — / (у) егаЪ cos ab =

dp — / (у) егаЪ cos ab =

=exp (2尻 M屮 + 济)版&, (4.5Л6)

若^ егЪ WT^ Sin (b 了/十必2) dw +

十/ (у) е2 abeosab.(4.5.17)

по формуле

(4.5.18)(4.5.18)yw2+J^=^t

(4.5.18)

(4.5.18)

Тогда (4.5.17) можно переписать в виде

嘉 J y^tdw^-^4^^pdp+7(?)^a&cosaL Pl+办0

(4.5.19)

Подставив это выражение в (4.5.14), приходим к искомому тождеству

Wr，(4520)

Сравнивая (4.5.20) с (4.5.10), получаем выражения для 日九 и С (а):

Bn = Resf{ynb),(4.5.21)

С(а)=(一)产*)smab(4.5.22)

которые определяют поля в областях В, С и D.

Для нахождения решения в области 4 воспользуемся облчно# процедурой сшивания: умножим (4.5.8) на у и вычтем полученный результат из (4.5.9). В результате имеем

У ——^『_『£Д•呻=色竺练・(4.5.23) 々 У+УтЪ y + ik J у + Г у a sin ab ''

m=D0

Интегрируя / (a?) из (4.5.13) по изображенному на рис. 4.12 контуру Р в плоскости переменного w, получим

备J帶也=3*絕+希+ "-?)•(45・財) Pn=l

Интеграл в левой части (4.5.24) можно упростить тем же способом, что и интеграл в (4.5.14). А затем с помощью (4.5.21) и (4.5.22) соотношение (4.5.24) можно переписать в виде

$*/+*T-j謂呻(4525) 7И=00

Сравнение (4,5.25) с (4.5.23) дает

A(a)^^^^Lf{^(4.5.26)

Таким образом, задача решена полностью. Это решение, конечно, совпадает с тем, которое получено методом Винера ——Хопфа в § 3.11.

5 2. ПОСТРОЕНИЕ ФУНКЦИИ /(1Р)

Остановимся теперь на построении функции / (ip), удовлетворяющей четырем условиям, перечисленным в разд. 5.1. Способ построения функции / (ip) основан на процедуре, использованной при решении краевой задачи для структуры, изображенной на рис. 4.10 (ср. разд. 3.11.2). Для решения системы уравнений (4.5.11) рассмотрим интеграл (ср. § 2.5):

嘉『^МгМ "0, 1,2,…，(4.5.27)

р

где 尸 ——окружность бесконечно большого радиуса в комплексной плоскости in, а функция / (гр) удовлетворяет следующим условиям：

1.7(^) имеет простые полюсы при w = + ik, w = ymb, m = =Q> Jj^ 2, 3, . . ., и ip = Ymc， m = 1, 2, 3,・・.;

T(ip) имеет нули при w = yma, тп = 1, 2, 3,...;—

/ (ip) стремится к нулю по крайней мере как 力彳,v > О, при I iz? I оо;

Res / (浓)=1.

Функцию, удовлетворяющую этим условиям, нетрудно построить; она имеет вид

7(w) = exp{-^[Hn(A)+Hn(A)]}_^_><

П (4一师а)ТП" П((一加/Y由产b/M Q (1 —“пс)抑/м

X П=171=1П=1

n Ла) Л五仕一哂而战冲na一呐脑产/m

П==171=1n==l

(4.5.28)

Последнее выражение можно переписать следующим образом:

. П а-m»严/咖

2 = , 工器~TV ^ X

丿 (w4-ik) (w — ik) oo,.

па一哂加产加，

n=l

X ^W-x(ife)]亨請,(4.5.29a)

где

"(昨肃卜m⑺+^传h+”3從一击+^)，

(4.5.296)

元®) = nTi—• 1元®) = nTi—• 1(4 一 ”/Yna)評2n°(4 一 ”/Yna)評2n°（1 -"/Y碇）評/而.（1 -"/Y碇）評/而.(4.5.29b)(4.5.29b)

元®) = n

Ti—• 1

元®) = n

Ti—• 1

(4 一 ”/Yna)評2n°

(4 一 ”/Yna)評2n°

（1 -"/Y碇）評/而.

（1 -"/Y碇）評/而.

(4.5.29b)

(4.5.29b)

Заметим, что в (4.5.29в) экспоненциальные множители exp (wa/nn) и exp (wc/пт1)) обсспбчиваюшиб сходимость, заменены на exp (w/yna) и ехр,血丫九с)・ Различие в этих множителях учитывается во втором слагаемом в (4.5.296). Такая замена позволяет

получить новое представление для R (w)】)：

反 W) = exp {肥击 J [1П (1 —T^)} х

X [需-霜]邓，(4.5.3。) где

Fa (Р) имеет простые полюсы при 0 = пл/а,网=3 2, 3,...;

Fc (6) имеет простые полюсы при В =几冗/力 п' = *1, 2, 3,...;

% (Р) = dFm/d^y т = а, с;一 亠

2’ 一 замкнутый контур, показанный на рис. 4.13, где е V 6 V 无2 H NZc < d < (TV + [Nb/c] + 1) (л/а); [Nb/c] обозначает целую часть величины Nb/c.

Функции Fa (Р) и Fc (Р) можно отождествить с функциями, входящими в характеристическое уравнение для поперечных волновых чисел в волноводных областях Л и С (рис. 4.11)

Fa (Р) = sin ра,(4.5.31а)

Fc (₽) = sin 卩以(4.5.316)

х) Эта форма представления приведена в § 3.10.

В тождественности выражений (4.5.29в) и (4.5.30) для функции R (ip) можно убедиться, вычислив интеграл в (4.5.30) с помощью теоремы о вычетах.

Аналогичным образом представим функцию % (zr), определенную согласно (4.5.296), в интегральной форме

^㈣=_*[ст(?)+ьт(£)] +

М^wг2ш )"供_论2 Fa (P)

+ " f;(4.5.32)

контур W" совпадает с контуром Е' на рис. 4.13, за исключением того, что теперь МЗа V d V {М + 1) (л/а); контур 2W совпадает с 2 \ за исключением того, что 庇n/c V d 之(М + 1) (л/с).

Как мы вскоре увидим, специальный вид функций R (ip) и % (ip), определенных согласно (4.5.30) и (4.5.32), оказывается весьма удобным при нахождении / (ip) с помощью предельного перехода lim f (w) = f (w),(4.5.33)

a, c->8 a—c—b

Точнее говоря, мы увидим, что в пределе при а, с^ оо, а — с = Ь 月⑻ f A W) = eхp [ _ ^- N吟 + 炉 In ( "_匕计吧)— ^~—岑]，

.(4.5.34)

%W)f %向)= ^~|"C —In (舊)一吟].(4.5.35)

Подставляя выражения (4.5.33) —(4.5.35) в (4.5.29а), получаем искомую функцию

/竺无(")TT [4 —z(k/Ynb)]eZhb/九冗. 自 5 36)

7⑺一牝+的3一同h(lk)(( 加m/砲，丿

цоследняя формула совпадает с (4.5.13).

Докажем теперь, что предельное значение функции К (и?) действительно равно функции Д (ip), определенной согласно (4.5.34). Доказательство аналогичного утверждения (4.5.35) о функции х (г^) вынесено в задачу 4.10. Разобьем интеграл, входящий в выражение (4.5.30) для Л (必)，на несколько частей:

d+诏0+?604~г(6—е)0—гбd—26

j=J+j + j +j+ J + j・(4537) £' d-гбd+гб 0*26j/0-2(6—8)О-гб

В силу нечетности подинтегрального выражения яо 0 следует, что 0+г(6-е) 0-гб

j + j =0・(4.5.38)

0+г6 О-г(б-е)

Кроме того, при

J = - ш (Res при 0 = 0) = [111(1 + 羽)—±](1 - 1) = 0 (4.5.39)

имеем d+z6

}〜伞，(4.5.40)

d —z6

поскольку подинтегральная функция убывает как Р-2 при больших Р・ Следовательно, мы имеем

Я (ip) = exp j[g(ip,自一i6)p(Bi-ib) — о

—q (ip, pi + 汕 p (pi + i6)] dpi} , (4.5.41a) где

gSB)= m(i-T^)+T^，(4・5.必6)

p(m=稿-需=儲-毋.(454旬 Функция q (吗 Ь) регулярна в полосе | Im ш | < А^ комплексной плоскости w и, следовательно, непрерывна на действительной оси. Это означает, что

lim [q (w,^i— i6) — g (ip,也 + »6)] = 0(4.5.42)

6fo

и что

lim p (Pi 干 Z5) = 士 ib,(4.5.43)

Используя эти получаемИспользуя эти получаем(4.5.44)(4.5.44)соотношения в выражениях (4.5.41) при 6-->0,

Используя эти получаем

Используя эти получаем

(4.5.44)

(4.5.44)

Интеграл из (4.5.44) вычислен в задаче 3.5. Если воспользоваться этим значением интеграла, то функция R (ш), определенная согласно (4.5.44), совпадает с выражением в (4.5.34), и, таким образом, доказательство можно считать завершенным.

5.3. КОММЕНТАРИИ К МЕТОДУ

В приведенном выше примере показано применение процедуры сшивания к краевой задаче для открытой структуры. Основным моментом является тот факт, что решение задачи для открытой структуры получается как результат предельного перехода решения задачи для сходной замкнутой структуры. В частности, при применении метода вычетов функция / (w) определяется с помощью предельного перехода из соответствующей функции / (м), построенной ранее для сходной замкнутой структуры. Эта процедура по существу эквивалентна способу нахождения функции G+ (а) в методе Винера — Хопфа (см. (3.11.46)), поскольку / (ip = ia) тесно связана с G+ (а) (см. § 3.13).

§ 6. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ОБОБЩЕННОЙ МАТРИЦЫ РАССЕЯНИЯ

В этой и предшествующих главах было исследовано значительное число аналитических методов решения краевых задач теории волноводов. В настоящем параграфе мы опишем еще один способ

Рис. 4.14. Разветвленный волновод с диэлектриком и без диэлектрика.

анализа таких задач, который можно использовать вместе с уже известными методами, что может существенно расширить их область применения. Этот способ основан на использовании понятия обобщенной матрицы рассеяния.

Обобщенная матрица рассеяния тесно связана с матрицей рассеяния, используемой в теории цепей [63] или в теории линий передач СВЧ [55]. Отличие от обычной матрицы рассеяния состоит в том, что это понятие применяется при рассмотрении не только распространяюпфхся собственных волн волновода, но может быть использовано и для затухающих волн [32, 61] при последовательном рассмотрении целого класса краевых задач теории волноводов.

Проиллюстрируем определение обобщенной матрицы рассеяния на примере подробно разобранной нами краевой задачи о разветвленном волноводе, показанном на рис. 4.14, 〃・ Пусть n-я соб-

ственная волна типа ТЕ падает из области А; в области А возникает отраженное поле, а в областях 8 и С ——прошедшее. Пусть амплитуда n-й волны, падающей из области А, нормирована на единицу; обозначим амплитуду m-й отраженной моды как 5里占(m, 〃)* а амплитуду m-й моды, прошедшей в область В, — как S^亥(mr n). Величины SAA (m, n) и SBA (m, n) являются элементами матриц рассеяния S&A и SBA. Другие матрицы рассеяния (S*b, Sbg и т. д.) могут быть определены аналогично. Обычно при определении матрицы рассеяния предполагается такая нормировка собственных волн, что энергия, переносимая каждой распространяющейся волной, равна единице. Поскольку в обобщенной матрице рассеяния учитываются и затухающие волны, такая нормировка становится неприменимой. Это приводит к асимметрии матриц рассеяния.

Использование обобщенных матриц рассеяния особенно удобно в том случае, когда рассматриваемую структуру можно представить в виде последовательности двух или более элементов, каждый из которых достаточно просто описывается с помощью обобщенной матрицы рассеяния. Следующий шаг состоит в рассмотрении многократного рассеяния на двух сходных сочленениях элементов. В результате удается формально представить точное решение задачи в виде рядов Неймана, содержащих матрицы бесконечного порядка. Во многих практически важных задачах можно получить достаточно точное решение, заменив бесконечную матрицу матрицей с конечным числом элементов.

В качестве примера рассмотрим показанный на рис. 4.14, 6 разветвленный волновод, нагруженный диэлектриком. При формулировке задачи с помощью обобщенных матриц рассеяния предположим вначале, что диэлектрик смещен в глубь области В от плоскости z = 0 на бесконечно малое расстояние 6 (т. е. 6 -> 0). В результате мы приходим к задаче для структуры, состоящей из сочленения двух рассеивающих элементов (или неоднородностей): элемент 1 — волноводное разветвление, изображенное на рис. 4.14,а, элемент 2 ——граница диэлектрика, разделяющая области В и В'. Задачи о рассеянии на каждом из этих элементов могут быть решены порознь и решение можно описать с помощью» матриц рассеяния (SAC, S^b, s”, Sgc, ^вв* и т.д.). Пусть волна типа ТЕ (или ТМ) набегает из области 4 на неоднородность 1. Эта волна полностью определяется заданием амплитуд собственных волн, входящих в падающее поле, и может быть описана вектором 屮(‘)，который удобно представить в виде столбца, причем 〃-й элемент столбца или компонента вектора <р伊 представляет собой амплитуду n-й собственной волны в падающш поле. Падающее поле рассеивается на неоднородности 1, т. е. отражается в область А, и проходит в области В и С, При этом поле, отраженное в область А, можно описать вектором 5^А 屮⑷，а поле, прошедшее

в область В,— вектором S^A 屮⑷.Прошедшее в область В поле рассеивается на неоднородности 2. Часть поля, прошедшая в область В', описывается вектором S^，B 5fА 屮⑺，а часть, отраженная в область В,— вектором SfB 熒厶屮⑷.Отраженное поле вновь падает на неоднородность 1 и опять рассеивается на ней.

Вис. 4.15. Многократное рассеяние на неоднородностях 1 и 2 в структуре, изображенной на рис. 4.14, в. Поля, прошедшие в область С, не изображены.

Этот процесс многократного рассеяния продолжается бесконечное число раз, как схематически изображено на рис. 4.15. Суммируя все вклады в области Л, обусловленные многократным рассеянием, получаем следующее выражение для вектора 屮(「), представляющего отраженное поле:

<p^ = S产屮⑴+ Sf梅聯A9⑴+ s疾判f%躋?A中⑴+…=

=S产屮⑴+ 3 Sffs矍弋sf书^B)心?АФ(2). (4.6.1) n=0

Сумму, входящую в правую часть этого выражения, следует понимать как ряд Неймана. Можно показать (см. приложение), что эти ряды сходятся. Таким образом, последнее выражение можно переписать в виде

①⑺=S尸屮⑴+ St^SlB (/宀律产厂心产中⑴，(4.6.2) где / — единичная матрица. Аналогично можно получить выражение для поля, прошедшего в область С:

(р^ = 5?%⑴ + s^sfB (/ - Звв8вв^ sba^^ (463)

и поля, прошедшего в область В:

中弹=Sg" (/ -匿%戸尸S¥屮⑴. (4.6.4)

Заметим, что формально выражения (4.6.2) — (4.6.4) определяют точное решение, если все матрицы рассеяния могут быть найдены точ^о. При практических вычислениях вместо матриц рассеяния бесконечного порядка можно ограничиться матрицами конечных размеров. К счастью, во многих прикладных задачах ряды в формулах (4.6.2) — (4.6.4) сходятся весьма быстро, что обеспечивает достаточную точность результатов вычислений при использовании матриц не слишком высокого порядка.

Для изображенного на рис. 4.14, 6 разветвленного волновода все матрицы рассеяния можно найти точно. Действительно, неоднородность 1 представляет собой плоскость разветвления, изображенного на рис. 4.14, а волновода (без диэлектрического заполни ния). Характеристики рассеяния на неоднородности 1 могут быть получены из рассмотрения следующей задачи. В качестве примера возьмем волны с поперечно-электрической поляризацией. Пусть поле, падающее из области Л (см. рис. 4.14, а), имеет вид

Е^ = ^= 2 破)sin(号%) ef aZ,(4.6.5)

Tl=l

где 丫曲=[(mt/a)2—胪『"• Рассеянное поле в областях А, В л С можно представить в виде

<р(「)= 2 2 /呐吗心也(粤力) e'maZ в области Л, (4.6.6а) n=t т—1

曬'=2 2 8mn礎)sin («^"%)尸兩 в области В, (4.6.66) n=l m—i

啥=2 2 Сип硬 sin р^Ь. (% —b)] e"cZ в области С (4.6.6в) п=1 т=1

Коэффициенты {Атп}, {5тп} и {Стп} находятся методом вычетов, лли методом Винера — Хопфа i). После этого матрицы рассеяния ва неоднородности 1 определяются следующим образом:

sf А — ^^.mn](^x^)»sf А — ^^.mn](^x^)»S1 — {^mn](^x^)» S] А = [6^九](№*№〉・(4*6.6г)

sf А — ^^.mn](^x^)»

sf А — ^^.mn](^x^)»

Порядок N матрицы определяется полным числом распространяющихся и затухающих собственных волн частичной области. Вообще говоря, в волноводе существует бесконечно много волн и поэто-

1) В частности, формулы (2.3.21) дают йвные выражения для коэффициентов {ЛтО.

му для точного решения необходимо N-> оо. Аналогично можно определить матрицы рассеяния для неоднородности 2.

Как упоминалось ранее, при практических расчетах бесконечные матрицы в соотношениях (4.6.2) — (4.6.4) должны быть заменены на матрицы конечного порядка N. Для того чтобы продемонстрировать сходимость решения при увеличении порядка N редуцированной матрицы, приведем пять результатов численного расчета.

Первый пример относится к разветвленному волноводу с диэлектриком (изображенному на рис. 4.14, 6) при падении ТЕМ- волны. Параметры волновода приведены в табл. 4.1. Коэффициенты отражения, вычисленные с помощью выражения (4.6.2) при различных значениях порядка N матрицы рассеяния, представлены в табл. 4.4. Нетрудно убедиться в прекрасном согласии значений коэффициентов отражения, приведенных в табл. 4.4, с приведен-

Таблица 4.4

Коэффициенты отражения

N

А

Б

в

1

(0,105; 185°,1)

(0,379; 198°,8)

(0,52; 184°,6)

2

(0,107; 185°,4)

(0,388; 200°,7)

(0,52; 182°,8)

3

(0,107; 185°,4)

(0,391; 201°,1)

(0,52; 182°,2)

4

(0,107; 185°,4)

(0,392; 201°,2)

(0,52; 182°,2)

5

(0,107; £85。,4)

(0,392; 201°,3)

(0,52; 182°,2)

ными в табл. 4.3 значениями этих же величин, вычисленными е помощью модифицированного метода вычетов х). Необходимо, однако, указать на то, что объем вычислений при решении модифицированным методом вычетов значительно меньше, чем при использовании обобщенных матриц рассеяния. Следовательно, последний метод разумно применять для анализа таких задач, которые не могут быть решены другими методами. Ниже мы приведем примеры нескольких задач такого рода.

Волновод с тройным разветвлением [62]. Волновод с тройным разветвлением схематически изображен на рис. 4.16, а. Для произвольных значений параметров В, с и d эту задачу нельзя точно решить известными аналитическими методами. При решении с по-

1) Как можно заметить, решение, полученное методом обобщенной матрицы рассеяния при N — i (скаляр), совпадает с решением, полученным модифицированным методом вычетов при сдвиге только одного нуля. Однако в случае произвольного N такого соответствия между решениями не наблюдается.

ъющью обобщенной матрицы рассеяния эту структуру удобно рассматривать как предельный случай структуры из двух последовательных неоднородностей (рис. 4.16, 6)при стремлении к нулю расстояния 6 между ними. Каждая из неоднородностей представляет^ разветвление волновода, рассеивающие характеристики которого могут быть найдены точно. В табл. 4.5 приведены численные

Таблица 4.5

Коэффициенты отражения

N

Коэффициенты отраженна

1

2

3

4

5

(0,500; 255。，5)

(0,470; 258°,4)

(0,470; 258°,9)

(0,470; 257°,9)

(0,470; 258°,1)

значения коэффициентов отражения в области В при падении из нее волны типа ТЕМ. Расчет проводился при следующих относительных размерах волновода: а/К = 0,4 и Ыа = с/а = 0,25. Приведенные численные результаты получены для различных значений порядка N матрицы рассеяния. Из таблицы видна быстрая сходимость результатов.

Неоднородности^ 2

Т 61xiТ 61xi0 z60 z6

Т 61

xi

Т 61

xi

0 z

6

0 z

6

Рис. 4 16. Волновод с тройным разветвлением и соответ-ствующая последовательность неоднородностей в методеобобщенной матрицы рассеяния.

Интересно отметить, что в одном частном случае возможно точное решение задачи о волноводе с тройным разветвлением. Это позволяет проверить точность результатов, найденных с помощью обобщенных матриц рассеяния. Точное решение можно получить в случае, когда полубесконечные металлические плоскости расположены симметрично относительно оси волновода х = а/2 (в этом случае Ь = d на рис. 4.16, а). Пусть структура возбуждается вол-

ной типа ТЕМ, набегающей из области В. Формально можно разбить падающее поле на четную и нечетную части, как показано на рис. 4.17, а и 6. В результате рассматриваемая задача сводится к двум эквивалентным задачам для структур, изображенных на рис. 4.17, в и г. Эти задачи допускают точное решение. Обозначим коэффициенты отражения в области N, полученные при решении этих двух задач, соответственно через Дв^ и R^- Тогда>

(- у )少⑴(- у )少⑴ческая стенкаческая стенкаМагнитная стенкаМагнитная стенкаРис. 4.17. Структуры, эквивалентные симметричному волноводу с тройным разветвлением: (а) симметричное возбуждение; {6) антисимметричное возбуждение; (а) структура, эквивалентная (а);а(г) структура, эквивалентная (6)Рис. 4.17. Структуры, эквивалентные симметричному волноводу с тройным разветвлением: (а) симметричное возбуждение; {6) антисимметричное возбуждение; (а) структура, эквивалентная (а);а(г) структура, эквивалентная (6)

(- у )少⑴

(- у )少⑴

ческая стенка

ческая стенка

Магнитная стенка

Магнитная стенка

Рис. 4.17. Структуры, эквивалентные симметричному волноводу с тройным разветвлением: (а) симметричное возбуждение; {6) антисимметричное возбуждение; (а) структура, эквивалентная (а);а(г) структура, эквивалентная (6)

Рис. 4.17. Структуры, эквивалентные симметричному волноводу с тройным разветвлением: (а) симметричное возбуждение; {6) антисимметричное возбуждение; (а) структура, эквивалентная (а);а(г) структура, эквивалентная (6)

согласно принципу суперпозиции, коэффициент отражения для волновода с тройным симметричным разветвлением равен

Дв = |[^> + ^)].(4.6.7)

Пусть, например, а/九=0,3 и Ь/九=с/К = d/九=0,1. Коэффициент отражения, вычисленный на основе точного решения по формуле (4・6・7), оказывается равным Лв = 0.646 ехр (% 229°, 0). Использование обобщенных матриц рассеяния при N = 4 приводит к значению RB — 0,643 ехр (^229°, 0), действительно близкому к точному решению.

Периодическая система плоских полубесконечных волноводов с толстыми стенками [И]. В § 2.6 и 3.8 рассматривалась задача об излучении из периодической системы плоских полубесконечных волноводов с бесконечно тонкими стенками. Однако практически стенки всегда имеют конечную толщину, и поэтому важно выяснить влияние толщины стенок на характеристики излучения такой структуры.

Толстостенная решетка с синфазным возбуждением схематически изображена на рис. 4.18, а. Эту задачу также нельзя решить

лепестоклепесток® ® ®® ® ®66Рис. 4.18. Бесконечная решетка из плоских полубесконечных волноводов с толстыми стенками.Рис. 4.18. Бесконечная решетка из плоских полубесконечных волноводов с толстыми стенками.аа

лепесток

лепесток

® ® ®

® ® ®

6

6

Рис. 4.18. Бесконечная решетка из плоских полубесконечных волноводов с толстыми стенками.

Рис. 4.18. Бесконечная решетка из плоских полубесконечных волноводов с толстыми стенками.

а

а

каким-либо аналитическим методом х). При решении с помощью обобщенных матриц рассеяния можно представить себе, что одна из сторон такой стенки продлена и выступает на бесконечно малое расстояние 6, как показано на рис. 4.18, 6; в результате оказы* вается, что неоднородный участок структуры состоит из последовательно расположенных неоднородностей: при z = 0 и z = 6. Для описания рассеяния на неоднородности 2 должна решаться задача о периодической системе с тонкими стенками, точное： решение которой приведено в § 2.6 и § 3.8. Рассеяние на неоднородности 1 описывается решением задачи о ступенчатой неоднородности в плоском волноводе; эта задача была решена модифицированным методом вычетов в § 3. Таким образом, полное решение задачи легко выражается в форме (4.6.2) и (4.6.4).

За исключением частного случая нормального падения (см. задачу 5.6).

Коэффициенты отражения

Таблица 4.6

Решетка из :

волноводов с толстыми стенками

во

Решетка из волноводов с тонки-

=0,6205, с/а= 0,0637)

ми стенками (а/*=0,6205)

^= 1

^ = 3

^^ 5

0°

(0,2561; 147°,5)

(0,2730; 149°,7)

(0,2740; 148°,6)

(0,2743; 148°,0)

10°

(0,2490; 444。,5)

(0,2656; 146е,8)

(0,2665; 445。,8)

(0,2667; 145°,2)

20°

(0,2268; 133°,9)

(0,2419; 137°,2)

(0,2427; 136°,3)

(0,2428; 135°,7)

30。

(0,1878; 109°,3)

(0,1974; 114°,9)

(0,1978; 114°,0)

(0,1977; 113°,4)

40°

(0,0525; 32°,0)

(0,0395; 51°2)

(0,0393; 49°,8)

(0,0390; 48°,9)

50。

(0,0021; 32°,4)

(0,0183; 167°,7)

(0,0182; 168°,6)

(0,0182; 169,°3)

60。

(0,0050; 32。,4)

(0,0164; 160°,6)

(0,0162; 161°,6)

(0,0162; 162°,4)

70°

(0,0298; 32°,1)

(0,0195; 73°,5)

(0,0192; 72°,1)

(0,0188; 71°,3)

80°

(0,0745; 31°,8)

(0,0608; 44°,3)

(0,0608; 43°,2)

(0,0606; 42°,4)

90°

(0,4438; 31°,7)

(0,1295; 37°,8)

(0,1298; 36°,8)

(0,1297;! 36。,1).

Пример численного расчета зависимости коэффициента отражения падающей Т£\，о-волны от угла падения 0О (см. § 2.6) представлен в табл. 4.6. Чтобы показать влияние толщины стенки, во

Рис. 4.19# Бесконечная плоская решетка из прямоугольных волноводов.

ътором столбце приведены значения коэффициента отражения для структуры из бесконечно тонких полуплоскостей (с/а = 0), полученные из результатов задачи 2.5. Следующие три столбца таблицы содержат результаты, полученные для структуры с толстыми стенками при использовании матриц рассеяния различных порядков, и показывают скорость сходимости решения.

Бесконечная плоская решетка, образованная из полу бесконечных прямоугольных волноводов [45]. Плоская антенная решетка, образованная открытыми концами прямоугольных волноводов, изобра- кена на рис. 4.19, а. Каждый из волноводов возбуждается основ-

ной волной типа ТЕ с одинаковой амплитудой; возбуждение синфазное, т. е. его фаза изменяется вдоль раскрыва структуры по линейному закону; при этом направление главного максимума излучения задается углами (0О,(р0). В частном случае, когда сканирование главным лепестком диаграммы направленности производится лишь в плоскости xz (Я-плоскость) (т. е. направление максимума излучения изменяется в пределах 0 & 8° V 冗/2, (р0 = 0),

Рис. 4.20. Дифракция на открытом конце волновода с дйэлектрическим запрлнением.Рис. 4.20. Дифракция на открытом конце волновода с дйэлектрическим запрлнением.

Рис. 4.20. Дифракция на открытом конце волновода с дйэлектрическим запрлнением.

Рис. 4.20. Дифракция на открытом конце волновода с дйэлектрическим запрлнением.

можно, не изменив распределения поля, удалить стенки волноводов, параллельные ^z-плоскости. В результате задача сводится к двумерной и может быть решена точно (см. задачу 2.5). Если направление главного максимума диаграммы излучения произвольно, задача становится очень сложной. Для ее решения можно, как показацо на рис. 4.19, 6, представить исследуемую структуру в виде последовательности двух неоднородностей: неоднородность 1 является раскрывом антенной решетки, образованной из параллельных полубесконечных пластин, а неоднородность 2 — периодическая последовательность полуограниченных полос в плоском волноводе. Задачи для неоднородностей обоих типов двумерные и допускают точное решение.

Дифракция на открытом конце волновода, заполненного диэлектриком 143]. До сих пор рассмотрение, использующее обобщенные матрицы рассеяния, применялось нами для исследования замкнутых волноводных областей или периодических структур. Однако этот метод можно использовать и при решении целого класса задач об открытых структурах. Задача о дифракции на открытом конце волновода, заполненного диэлектриком (рис. 4.20, а) может служить примером задачи такого типа. Как обычно, представим себе, что диэлектрик сдвинут на бесконечно малое расстояние 6 вглубь от раскрыва волновода (рис. 4.20, б), и воспользуемся соотношениями (4.6.2) и (4.6.4). Ниже приводятся некоторые

16—0367

результаты численных расчетов, относящиеся к задаче о дифракции на толстой идеально проводящей полуплоскости (Im 8Г -> оо) при 2кЬ = 3. Плоская электромагнитная волна с составляющей магнитного поля, параллельной оси д, падает под углом 0О = 30°

Рис. 4.21. Диаграмма направленности излучения, рассеянного толстой полуплоскостью, рассчитанная с помощью матриц порядка 7V = 4, 3, 5 и 7 (сплошная линия соответствует амплитуде Р (ср), а пунктирная ——фазе Р (ф)).

к оси z (рис. 4.19, а). На рис. 4.21 изображены угловые распределения рассеянного поля в дальней зоне в диапазоне углов ——л/2 & 8《冗/2, рассчитанные с использованием матриц рассеяния различных порядков (7V = 1, 3, 4 и 7). Отметим высокую скорость сходимости решений.

ЗАДАЧИ

Показать, что краевые задачи для структур, изображенных на рис. 4.1, биги рис. 4.2, 6 и 2, сводятся к бесконечным системам уравнений типа (4.1.1).

Показать, что одно из решений (4.3.31) для больших т имеет вид Дт 方 Д.

Указание. Заменить в (4.3.31) ymd на тл/d, и, выразив результирующее бесконечное произведение через гамма-функции, показать, что при больших т выполняется соотношение 2 sin лДт = =Рт・

Рассмотрим периодическую структуру, образованную из плоских полубесконечных волноводов, заполненных диэлектриком, изображенную на рис. 4.2, 6・ Пусть структура синфазно возбуждается волнами типа ТЕ工,0, набегающими на раскрыв из каждого волновода, и

E9)= sin [? (% —ттш)] е-а/е恤匕 тпа<； ж< (тпЦ-1) а и zVO, где ап = [(тш/а)2 —依卩/2, и = ka sin 00, 00 — Направление главного максимума излучения. Запишем отраженное поле в видё

%=』4sin [答(с —тпа)] ea"e'mu, тпа<ж<(т + 1)а и zVO- П=1

Показать, что неизвестные коэффициент^ {Лп} удовлетва* ряют системе уравнений

{ (金一缶)K-‘)3JM"

=（忌一伉）（"〃），"°，士1，±2,…，

где

Ym + 丫才

Yn = [(粵可一打/2,%=[(吟^2一&可/2.

Приведенная выше система уравнений может быть решена модифицированным методом вычетов. Показать, что функция / (zp), которую необходимо в этом случае построить, имеет вид

/ (s) = eхр卩空业In 21 口产T")x

冗」 t^+ai Го + «1

乂 ('—川/「九)(4—”/F-n) (4 + ai/an)

入(1 + ai/rn) (1 +«1/Г.п) (1 -w/an) >

n=l

где {Гп} — система смещенных нулей, определяемая из уравнения

/ (Ym) + Pm/ (—Ym) = О, 7П = 0, ±1, ±2,..

. Показать с помощью условия на ребре, что Гт т ут при j 加 I оо [44].

Рассмотрим периодическую структуру, изображенную на рис. 4.2, б. Пусть структура возбуждается волной типа ТЕ^ 0 с единичной амплитудой, набегающей из одного волновода (возбуждение в остальных волноводах отсутствует):

破）」S也（！小一丝"0破）」S也（！小一丝"00V%V〃 и zVO, в оставшейся области.0V%V〃 и zVO, в оставшейся области.

破）」S也（！小一丝"0

破）」S也（！小一丝"0

0V%V〃 и zVO, в оставшейся области.

0V%V〃 и zVO, в оставшейся области.

Показать, что поле излучения в дальней зоне определяется формулой

Еу (р,①〜/鑑 в-г(кр-л/4)cos 0 [Do (0о)]0о-е, "pf 8,

где Do (&о) -* диаграмма направлениости излучения для периодической структуры, рассмотренной в задаче 4.3. Явная зависимость Do (0d) от угла сканирования 0О дается формулой

2(9。)=禍 請"的.

Все использованные здесь обозначения определены в задаче 4.3.

Рассмотрим бесконечное произведение f типичное для модифицированного метода вычетов:

Q5b)=百(1一黑)е2『J (1-^^)也收 n—l-n—i

Перепишем его в форме, удобной для применения теории возмущений:

q(?乐頁(」督""/飞+玄^^).n=lm=I

Асимптотическое значение величин {А^}, обозначаемое через А, можно определить из условия на ребре (см. разд. 4.3.3). Показать, что при больших т справедлива асимптотическая оценка

/ ~ ^ F (1 + A) sin (М) m-(i+A)・

Указание. Используя соотношение (1.4.11), показать, что

П[1П=1П[1П=1Ypbупь + (лДп/&)Ypbупь + (лДп/&)

П[1

П=1

П[1

П=1

Ypbупь + (лДп/&)

Ypbупь + (лДп/&)

口⑺"舞）内 n=l口⑺"舞）内 n=l〜j/^^- Г (1 + Д) e(CT)r+0mpsin (рл —Азт) p-G/2)-A,

口⑺"舞）内 n=l

口⑺"舞）内 n=l

小〜/ А в(С- 1)Р+Р 1ПР у ( — 1)P+1 p1^, pf oo・

4・6・ Рассмотрим плоский разветвленный волновод, заполненный диэлектриком, как показано на рис. 4.22. Пусть из обла-

Рис. 4.22. Разветвленный волновод с двойным диэлектрическим заполнением.

сти Л (z V 0) набегает волна типа ТЕц 0:

E$)= sin (乎 %) е+%“ в области А.

Представим рассеянное поле в виде

2 4sin ( n=l

ПЛ

a

%) e+ynaz

в области

4

Eg =

2 Gn Sin 卜 n==l

ПЛ

x^ e^nbz

в области

в,

2尸九sin [• .n=l

nn

（乎S ］宀」

в области

С

где

7тш=[(〃зг/а)2—"2『/2, Tnt = К7m/匕)2 — % 胪]* Ync = [(W/C)2 —莪胪广％

Показать, что коэффициенты {Лп} удовлетворяют, следующей бесконечной системе уравнений:

0(e+工)7噌)=

m = 1,2, 3, •••,m = 1,2, 3, •••,772 — 1 у 2, 3,・・.,772 — 1 у 2, 3,・・.,观=1

m = 1,2, 3, •••,

m = 1,2, 3, •••,

772 — 1 у 2, 3,・・.,

772 — 1 у 2, 3,・・.,

n=l

\ У1а+Утс У la —Уте /\ « /

где

^ _ УтЬ + УтЬ，pm —；?^^?

Решить эту систему модифицированным методом вычетов.

Указание. При построении функции / (w) необходимо найти две последовательности смещенных нулей: {ГтЬ}, которые переходят в {уть} в предельном случае еь -> 1, и {Гтс}, которые переходят в {уте} в предельном случае % f 丄 Здесь целесообразно

Рис. 4.23. Зубчатая решетка (эшелетт).Рис. 4.23. Зубчатая решетка (эшелетт).

Рис. 4.23. Зубчатая решетка (эшелетт).

Рис. 4.23. Зубчатая решетка (эшелетт).

вместо (4.3.40) воспользоваться более общим представлением:

^^ = [П(1-^)(1-^)]х

п=0

ММ

“У d—齊加+ 2 (4 —”/Ync) I，

п—0п==0

Рассмотрим дифракцию плоской волны на решетке, изображенной на рис. 4.23 (отражательную решетку, которая получается из изображенной на рисунке в случае d = 0, в оптике обычно

называют эшелеттом). Эта решетка представляет собой видоизменение гребенчатой структуры, рассмотренной в задаче 2.9. Пусть падающее поле имеет вид

Еу^ (х, z) = exp [ik (① sin 8。+ z cos Oo)]«

Рассеянное поле в свободном полупространстве выразим в виде

e№*= 2 &eхр 口 (^^%-*)], ZV0, р=— оо

где & = a sec q)0 sin 0О и

ар = ]Л"2 —[(泌 + 2рл)/а sec ф0]2«

Рассеянное поле в тп-м волноводе (включая треугольную область) выражается в виде

ОО

Еу (х, z) = 2 ^п ехр [фп(D — та tg 屮°)] + 71=1

+ с^ ехр[( — 0 рп (и — та tg 屮о)] sin [等(u — тпа)],

ma VmV (m + 1) a,(加 + 1) a tg 屮0 V D V (m+ 1) a tg 屮o+d, где Rn =[力2 一(〃冗/。)尸/2. Показать, что коэффициенты Вп и С* удовлетворяют соотношениям 依)в^』" = вдвп,

⑹ Вп ехр [фп (a tg фо + d)] + Cn exp [ — ipn (a tg 屮。+ 砌]=0, а бесконечная система уравнений для неизвестных коэффициентов {Лп} имеет вид

好2 I Yp—Pm Yp + Pm / P论' + Pm论'一Рпг 1 '

иг = 0, ± 1, ±2,・・• ?

1 — ( — 1)7n бхр (ikb — i^m tg фо) 1 — (— l)w exp (ikb+ia^m tg q)0)1 — ( — 1)7n бхр (ikb — i^m tg фо) 1 — (— l)w exp (ikb+ia^m tg q)0)где "' = "cos (0о —屮о), 丫少=论 cos 仰q + arccos (a/")] и

1 — ( — 1)7n бхр (ikb — i^m tg фо) 1 — (— l)w exp (ikb+ia^m tg q)0)

1 — ( — 1)7n бхр (ikb — i^m tg фо) 1 — (— l)w exp (ikb+ia^m tg q)0)

pm = — exp {t2pm (a tg % + d)}

Найти решение этой системы уравнений модифицированным методом вычетов.

Указание. Получить бесконечную систему уравнений, следуя способу, предложенному ранее в задаче 2.9・ Функция / (з),

используемая в модифицированном методе вычетов, должна иметь нули {Рп}, причем при п -> оо должны удовлетворяться соотношения

inin（&一 限）~ "（&一 限）~ "10，10，если d = 0, если ds/=O,если d = 0, если ds/=O,

in

in

（&一 限）~ "

（&一 限）~ "

10，

10，

если d = 0, если ds/=O,

если d = 0, если ds/=O,

в соответствии с условием на ребре [25].

Рассмотрим апериодическую структуру, образованную волноводами, часть из которых закорочена на расстоянии h от открытого конца (рис. 4.24) [39]. Пусть в одном из незакороченных

Рис. 4.24. Апериодическая решетка из плоских волноводов.

волноводов возбуждается основная волна типа ТЕМ (единственная распространяющаяся волна в волноводах). Найти поле излучения в дальней зоне в свободном полупространстве 力 > 0 и отраженное поле внутри каждого волновода.

Указание. При формулировке этой задачи следовать схеме решения, напоминающей описанную в § 3. Однако из-за отсутствия у структуры периодичности при решении следует ограничиться конечной системой линейных уравнений, которая должна решаться численно [39].

Рассмотреть частннй случай структуры, описанной в задаче 4.8. Пусть гребенчатая структура, изображенная на рис. 4.25, возбуждается конечным числом волноводов. Такая структура может быть использована для имитации конечной фазированной сканирующей решетки, и, следовательно, эта задача имеет практический интерес.

Установить соотношение (4.5.35) [в предельном случае а, с —> оо и а — с = 6.

Указание. Из (4.5.32) имеем

мn=lмn=l4 )一 _i _Ync /2 "(ЛЬс/а)2—24 )一 _i _Ync /2 "(ЛЬс/а)2—2(Мл/а)-гб,1 Гf 4 龜(P)『2mL °久 "伊一论2 Fa(P)(Мл/а)-гб,1 Гf 4 龜(P)『2mL °久 "伊一论2 Fa(P)2 Д/”л/с)2 一磔 (Mrt/a)4-i62 Д/”л/с)2 一磔 (Mrt/a)4-i6尸&⑹1/俨一读%e)尸&⑹1/俨一读%e)那］一那］一(Мл/с)-гб(Мл/с)-гб2加L J 0-i62加L J 0-i6(Мл/с)4-гбУ 产0+i6(Мл/с)4-гбУ 产0+i6"炉一族尸c(B)"炉一族尸c(B)矶矶

м

n=l

м

n=l

4 )一 _i _

Ync /2 "(ЛЬс/а)2—2

4 )一 _i _

Ync /2 "(ЛЬс/а)2—2

(Мл/а)-гб

,1 Гf 4 龜(P)

『2mL °久 "伊一论2 Fa(P)

(Мл/а)-гб

,1 Гf 4 龜(P)

『2mL °久 "伊一论2 Fa(P)

2 Д/”л/с)2 一磔 (Mrt/a)4-i6

2 Д/”л/с)2 一磔 (Mrt/a)4-i6

尸&⑹

1/俨一读%e)

尸&⑹

1/俨一读%e)

那］一

那］一

(Мл/с)-гб

(Мл/с)-гб

2加L J 0-i6

2加L J 0-i6

(Мл/с)4-гб

У 产0+i6

(Мл/с)4-гб

У 产0+i6

"炉一族尸c(B)

"炉一族尸c(B)

矶

矶

Пусть теперь а, с и М f оо так, что М/а -> оо и М/с -> оо. С помощью соответствующих предельных переходов ib приведенном:

Рис. 4.25. Структура, имитирующая решетку конечных размеров.Рис. 4.25. Структура, имитирующая решетку конечных размеров.

Рис. 4.25. Структура, имитирующая решетку конечных размеров.

Рис. 4.25. Структура, имитирующая решетку конечных размеров.

выражении показать, что

2 備-±)=4"[ат (衅Ч-Тп(а^)]_雜(_限

Рассмотрим дифракцию плоской волны на периодической структуре, образованной из плоских волноводов с толстыми стенками, заполненных диэлектриком [И] (рис. 4.26). Используя обобщенные матрицы рассеяния, показать, что рассеянное поле в свободном пространстве задается формулой

“ =S 产屮 С)+ S 产 FS#F (/- S 产 FS 产 F尸 SfA^\

где Г ——матрица, которая описывает распространение волн между неоднородностями 1 и 2. Приведем явное выражение элемен* тов матрицы Т：

Г (тп, п) = 6™ ехр { — d [(пл/Ь)2 —胪]“?}.

Отметим, что S^“ = 士 /$ в случаях, когда граница диэлектрика заменяется стенкой из идеального проводника плц магнетика [11]. Большое число численных результатов для структуры с тонкими полуплоскостями (с = 0) можно найти в работе [73].

Рис. 4.26. Бесконечная решетка из заполненных диэлектриком плоских полубесконечных волноводов с толстыми стенками.

[*-с-*4*~бТ[*-с-*4*~бТПоказать, что решение задачи 4.11 можно использовать для рассмотрения дифракции плоской волны на бесконечной плоской решетке из тонких лент, показанной на рис. 4.27.

[*-с-*4*~бТ

[*-с-*4*~бТ

Рис. 4.27. Бесконечная плоская решетка из тонких лент*

Указание. Разложить поле на симметричную и антисимметричную части относительно плоскости z = 0. Антисимметричная часть эквивалентна случаю, когда просветы между лентами заполнены идеальным магнетиком. Если составляющая магнитного поля в падающей плоской волне параллельна оси у, то задача становится идентичной задаче для структуры, изображенной на рис. 4.27, с d = 0 и S气в — — I.

ГЛАВА 5

ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ, ОСНОВАННЫЕ НА МЕТОДЕ ВИНЕРА —XOII ① А

ВВЕДЕНИЕ

В гл. 3 мы рассматривали обычное функциональное уравнение Винера — Хопфа

G (а) Х+ (а) + К (а) + T(i) (а) = 0, т_<т<т+>(5.1.1)

к которому удается привести целый класс краевых задач электродинамики для структур, образованных комбинацией полубесконеч- ных элементов. Функции, входящие в уравнение (5.1.1), обычно имеют следующий смысл: G (а)——преобразование Фурье функции Грина, 4f(" (а)——преобразование Фурье падающего поля. Неизвестные 1) функции Х+ (а) и У_ (а) регулярны в соответствующих полуплоскостях комплексной переменной а и обычно представляют собой преобразование Фурье искомого электрического или магнитного поля в полубесконечных областях решения уравнения (5.1.1), т. е. неизвестные функции Х+ (а) и У_ (а) можно определить с помощью аналитического продолжения, как это было описано в гл. 3. Решение находится с точностью до целой функции Р (а), которая может быть однозначно определена только с помощью добавочного требования (условия на ребре) к асимптотике функции Х+ (а) м У_ (а) при больших а.

В настоящей главе рассмотрим два типа модифицированных функциональных уравнений Винера ——Хопфа, к решению которых сводятся волноводные задачи. Модифицированные уравнения Винера —— Хопфа, соответствующие несколько видоизмененным структурам, не решаются в замкнутом виде. Однако с помощью описанных ниже методов удается получить приближенное, но достаточно точное решение этих уравнений.

Модифицированное уравнение первого типа имеет следующий общий вид:

G (а) Х+ (а) + Е (а) Х+ (— а) + У. (а)十 0订(а) = 0, 、V т V “

(5.1.2)

Функции Х+ (а) и У_ (а) отмечены чертой для того, чтобы их отличить от соответствующих функций, входящих в модифицированное уравнение Винера — Хопфа, которое будет введено в дальнейшем.

где Н (а)——известная функция. Сравнивая уравнения (5.1.1) и (5.1.2), мы видим, что в последнем присутствует дополнительное слагаемое Н (а)戈+ (—а). Как правило, к уравнению (5.1.2) можно прийти при решении краевых задач для модифицированных структур, у которых один из полубесконечных элементов претерпел изменения в поперечном направлении. Примеры таких структур представлены на рис. 5.1: (а) периодическая система волноводов,

66Рис. 5.1. Структуры, модифицированные в поперечном направлении.Рис. 5.1. Структуры, модифицированные в поперечном направлении.

6

6

Рис. 5.1. Структуры, модифицированные в поперечном направлении.

Рис. 5.1. Структуры, модифицированные в поперечном направлении.

заполненных диэлектриком, (б) толстая полуплоскость, (в) волновод с бесконечным фланцем. Аналитические свойства функции Н (а) зависят от вида модифицированной области и играют важную роль при выборе метода решения уравнения (5.1.2). При модификации замкнутых областей (когда поперечные размеры области конечны), как, например, в случаях а и б на рис. 5.1, функция Н (а) обладает только полюсами, которые соответствуют дискретным собственным значениям спектра модифицированной области 】)・ В этом случае уравнение (5.1.2) можно решить с помощью метода, основанного на подборе сигнулярностей для приближенного решения [53]. Этот метод подробно описан в § 2 иЗ. При модификации открытых структур функция Н (а) обычно имеет точки ветвления.

1) То есть полюсы а = ±i [(пл/а)2 —加卩仅 на рис. 5.1, а и а = ==±i [(пл/2&)а —论叩72 на рис. 5.1, б.

Пример такой структуры — волновод с фланцем, показанный на рис. 5.1, в. Метод решения задач этого типа будет описан в § 6.

Модифицированное уравнение Винера ——Хопфа второго типа имеет вид

?_ (а) + G (а) Х[(а) + e^LY+ (а) + 0г)(а) = 0, т_ V т V “ (5.1.3)

Здесь У_ (а), X】(а) и У+ (а)——неизвестные функции. К уравнениям этого типа, как правило, сводятся краевые задачи для структур, у которых полубесконечные элементы усечены в продольном направлении до конечной длины L, Типичные примеры структур

Рис. 5.2. Структуры, модифицированные в продольном направлении.Рис. 5.2. Структуры, модифицированные в продольном направлении.

Рис. 5.2. Структуры, модифицированные в продольном направлении.

Рис. 5.2. Структуры, модифицированные в продольном направлении.

такого вида ——волноводное разветвление конечной длины (рис. 5.2, а), два волновода с открытым концом (рис. 5.2, б), полоса (рис. 5.2, с). Неизвестная функция X】(а) в (5.1.3) определяется конечным преобразованием Фурье

L

(5.1.4)(5.1.4)Х[ (а) = -^^ !屮(z) &az 血,

(5.1.4)

(5.1.4)

где функция ф (z) обычно имеет смысл электрического или магнитного поля. Заметим, что в пределе при £ -> оо функция Хх (а) переходит в Х+ (а) и exp (iaL) -> 0. При этом уравнение (5.1.3) переходит в обычное уравнение Винера — Хопфа (5.1.1). В краевых задачах для замкнутых структур (например, для структуры, изображенной на рис. 5.2, а) функция Грина G (а) в уравнении (5.1.3) обладает только особенностями типа полюсов. В задачах же для открытых областей (рис. 5.2, бис) функция G (а) имеет также и точки ветвления. В § 5 и 6 оба эти случая будут рассмат-

Рис. 5.3. По- лубесконечная штыревая антенна.Рис. 5.3. По- лубесконечная штыревая антенна.

Рис. 5.3. По- лубесконечная штыревая антенна.

Рис. 5.3. По- лубесконечная штыревая антенна.

риваться с помощью развитого Джонсом [21] метода, приводящега к интегральному уравнению специального типа. Это интегральное уравнение будет решаться как методом Джонса, так и с помощью модифицированного метода, описанного в § 2 и 3. В частности, будет показано, что в задачах для замкнутых областей модифицирован- ны近 метод приводит к системе алгебраических уравнений, допускающих асимптотическое решение с помощью условия на ребре. Оказывается, что полученное таким образом решение тождественно решению, найденному модифицированным методом вычетов (§ 4.3).

ПОЛУБЕСКОНЕЧНАЯ КРУГЛАЯШТЫРЕВАЯ АНТЕННА 工)

В этом параграфе будет рассмотрено решение физической задачи, которую можно описать уравнением (5.1.2) с мероморфной функцией Н (а). Задача состоит в расчете входного адмитанса полубесконечной штыревой антенны (или вибратора), изображенной на рис. 5.3. Предполагается, что вибратор возбуждается гипотетическим генератором с напряжением единичной амплитуды через бесконечно тонкий зазор, расположенный в плоскости z = —h. В этом случае приложенное (или падающее) электрическое поле задается в виде

笈尹(р = а + 0, z) = 6 (% + 无)，(5.2Л>

где b (z + 无)——дельта-функция. Полный ток, возбуждаемый в антенне источником (5.2.1),

удобно разложить на две составляющие:

/⑴(z) к /3)⑵ + /")(z),(5.2.2)

где 2(°°)(z) — ток, возбуждаемый источником (5.2.1) в бесконечно длинной антенне, а /")(z)——отраженный ток, возникающий при падении /(°°)(z) на торец стержня z = 0・

РЕШЕНИЕ ДЛЯ 工(8)Q) 2)

Начнем с рассмотрения бесконечно длинного вибратора. Из уравнений Максвелла следует, что источник вида (5.2.1) возбуждает вдоль бесконечной цилиндрической структуры волну типа ТМ (см. (1.5.10)). С учетом азимутальной симметрии задачи

Аналогичная задача рассматривалась в работе [37].— Прим. ред.

Читатели, больше интересующиеся деталями модифицированного метода Винера ——Хопфа, а не физическими свойствами антенн, могут пропустить этот раздел.

рассеянное поле можно выразить через вектор-потенциал А =生冲 по формулам

或8,2)=亲(熹+依)也(523a)

Ep(P，z)= ±磊，(5236)

"屮(Р/)=-謂，(5.2.3b)

где (р, ф, z) — цилиндрические координаты,афункция 屮 удовлет

воряет скалярному волновому уравнению

■^(р 謂)+ 寰+ 20・(524)

Решение уравнения (5.2.4) при р>〃 можно представить в виде

"(p/)=* j b3)"。(w)""3也 р>a, (5.2.5)

где Ко ——модифицированная функция Бесселя〔) и, как обычно, у = Q2 — fc2)1/2. Отметим, что интеграл (5.2.5) представляет собой суперпозицию цилиндрических волн (см. § 1.6). Для нахождения неизвестной функции V (а) потребуем равенства нулю тангенциальной компоненты электрического поля на поверхности вибратора:

Е^ (р, z) + Ez (р, z) = 0, для р = а + О и для всех z・(5.2.6)

Из определения (5.2.1) поля источника следует, что

Ez(a + 0, z)=-3e + 月)=_蚩 f e-ta(z+九)加.(5.2.7)

，)Приведем некоторые полезные соотношения для функций К~ (и?): Kv (U?)=(叫2)户几/2н卜(必戶/2),-以V Arg ”еЯ/2, К、")= 一(叫2)6一w几/2贝^)侬6-试/2),(一冗/2) v"《九

若 КоЗ)=-К| (叫

/(”)〜j/^農厂的 «+ 4V4『*+ ・・・)，I”|f 8 И I Arg w I < Зл/2.

См. также [1].

В то же время из выражений (5.2.5) и (5.2.3а) имеем

鬲(a + 0, z) = - *，*y 3)К。(W)^一‘3九.(528)

Сравнивая (5.2.8) и (5.2.7); получаем

Y (a) =L叫(5.2.9)

\ / 叩2Ko (w)\

Подставляя это выражение в (5.2.5), получаем решение 屮(р, z) в интегральной форме. Наведенный на вибраторе поверхностный рок оцределяется соотношением

/(8)(z) = 2m/(p = a + 0, z),(5.2.10)

откуда при учете (5.2.Зв), (5.2.5) и (5.2.9) следует

М(z)=若［綢 i(心餌(5.2.11)

где Zq 三(卩/е>/2 ——волновое сопротивление или импеданс окружающей среды. Входящий в полученное выражение интеграл вычислить аналитически нельзя. Однако обычно интересуются поведением тока только в непосредственной близости или на больших расстояниях от зазора, к которому подключен источник питания.

В каждом из этих двух практически интересных случаев интеграл можно оценить с помощью различных методов приближенных вычислений. Поскольку эти способы приближенной оценки не связаны непосредственно с модифицированным методом Винера — Хопфа, приведем здесь только окончательные результаты.

В случае тонких антенн приближенное значение интеграла (5.2.11) при малых kz, (т. е. для точек, расположенных вблизи источника) определяется формулой

［若 ［若 т(%+无 1)+

где С' = ехр С = 1,78107. . ., а С ——постоянная Эйлера. Отметим, что из-за наличия логарифмического слагаемого в (5.2.12) ток /(8)(纟)бесконечно возрастает, когда | z + fe ］ стремится

к нулю. Таким образом, емкостная часть входного адмитанса бесконечно велика. Эта трудность является следствием предположения об идеализированном точечном (дельта-образном) источнике (5.2.1). Ее можно избежать, если считать, что вибратор возбуждается источником напряжения единичной амплитуды, приложенного к зазору конечной ширины (26), и определить входной адмитанс в виде

у《8> = /(8》(z = 3 — Л).(5.2.13)

Используя приближенное выражение интеграла (5.2.11), можно получить для тока вдали от зазора следующее приближенное выражение:

产(z)〜。(z + 无)，论 I z + 无 I》1,(5.2.14a)

где

。(?)=舞Мn备-牆一縉+鵰+鍔]，(5，2m6)

Q (z) = In [2ik I z |/(「砌2].(5.2.14b)

Сравнив результаты, полученные по этим формулам, и численно оценив интеграл (5.2.11), Кунц [35] показал, что приближенные выражения (5.2.14) обеспечивают удовлетворительную точность уже при k \ z + h \, близких к единице.

2・2・ ВЫВОД МОДИФИЦИРОВАННОГОУРАВНЕНИЯ ВИНЕРА — ХОПФА

Возвратимся к рассмотрению полубесконечного вибратора, изображенного на рис. 5.3. Интересно рассчитать ток, отраженный от конца вибратора (z = 0), при набегании на него тока /(°°)(z). Предположим теперь, что расстояние h от источника до края антенны достаточно велико и, следовательно, в окрестности торца (z =0) ток /(°°)(z) можно приближенно описать функцией U (z + 无)，определенной согласно (5.2.14). Нетрудно убедиться, что амплитудный множитель, стоящий при экспоненте в выражении для функции U (z), является медленно меняющейся функцией z, особенно для малых ка. Таким образом, в качестве следующего приближения в задаче о п о луб еск онечн ом вибраторе можно допустить, что ток, соответствующий падающему полю, представим в виде

/d> (z) = U (无)声z дЛя всех z・(5245)

Здесь, как обычно, предполагается, что ток набегающей волны определен при всех z.

Рассмотрим сначала рассеянное иоле в области р > а. Применяя к уравнению (5.2.14) преобразование Фурье, получаем

務斎g曲一円3д0^0，l"V% (5.2.16)

Поскольку предполагается, что поля спадают по крайней мере как ехр (— к2 \ z |) при | z | -> оо, уравнение (5.2.16) справедливо в полосе I т I V 论2 комплексной плоскости а. Очевидно, это уравнение Бесселя и его решение может быть представлено в виде

寸(р,а) = У+(р,а) + У・(р,а) = 4(а)^, p>Q・(5.2.17)

Используя формулы (5.2.3), можно получить выражения для составляющих при р > а. В частности, при р = а 十 0 получаем г)

Е+(〃 + 0, a)+JE.(a+0, а) = -^-Л (а),(5.2.18а)

Н+ (а + 0, a) + Н. (а + 0, a) = Л (а),(5.2.186)

где Е (р, а) и £Г (р, а) — преобразования Фурье составляющих Е% (р, z) и Яф (р, z) поля.

Рассмотрим теперь поле в области р V а・ Поскольку при всех 名 V 0 поле тождественно равно нулю, применим к уравнению (5.2.4) преобразование Фурье от z = 0 до z = +оо. Заметим, что при

j 碧 ёa dz = ^TДp, a) + 奴[巾З卜3一[需 №]=。-(5.2.19) о

Из граничного условия на торце антенны

% (р, z = 0) = 0, р V 〃，(5.2.20)

следует, что последнее слагаемое в (5.2.19) равно нулю. Применение преобразования Фурье к уравнению (5.2.4), с учетом соотношений (5.2.19) и (5»2.20), дает

[^备(р*)—丫2]粤口 a)=—力吋8, z = 0), —&Vt・ (5.2.21> Для того чтобы исключить из этого уравнения неоднородную пра* вую часть, заменим в нем а на — a:

[^ 备(Р 彥)—V2J ^+(Р» —a)=+»a屮(p, z = 0), t V® (5・2.22>

Функция 4r+ (p, ——a), очевидно, регулярна в нцжней полуплоскости^ Складывая почленно уравнения (5.2.21) и (5.2.22), приходим* к уравнению Бесселя

Е斎О5靑AiX'+gaH粤(d —a)] = 0, gV® (5.2.23}

工)Жирным шрифтом обозвачены здесь ^не векторы, а преобразования. Фурье! “*

решение которого можно записать в виде

粤(Р，а) +叫(р, 一00 =叫靄，0VPV4 (5224)

где IQ(w) — модифицированная функция Бесселя，)・ Используя это решение, с помощью формул (5.2.3) можно получить следующие соотношения для преобразований Фурье составляющих поля：

五+伍一0, 00 + 团+(0一0, -a) = -^8(a),

н+(a-0,а) + н・(a-0, _a)=嗡『)5(办

Для того чтобы получить уравнение Винера ——Хопфа, зуемся оставшимися граничными условиями:

Е_(@+0, а) = 0,

团+(@+0, а) = Е+(@—0, а) = JJ+ (а, а),

8

2ла[Н+ (а+0, а)—Н+(〃一0, а)] = ：^= J /⑴(z) ©皿曲=

二и回i У2я(а+Л) *

(5.2・25a〉 (5.2.256) восполь-(5.2.26a) (5.2,266)(5.2.26b)(5.2・25a〉 (5.2.256) восполь-(5.2.26a) (5.2,266)(5.2.26b)Согласно последнему уравнению (5.2.26в), скачок касательной составляющей магнитного поля % на поверхности вибратора р = а, 0VzV8 определяется током падающей волны『&)(z). Подставив значения (5.2.26) в соотношения (5.2.18) и (5.2.25), получаем

(5.2・25a〉 (5.2.256) восполь-

(5.2.26a) (5.2,266)

(5.2.26b)

(5.2・25a〉 (5.2.256) восполь-

(5.2.26a) (5.2,266)

(5.2.26b)

4(а) =滎 Е+(〃，а),

5@) =睾ЧЕ+(。, а) + Е+(〃，一а)]

(5.2.27а)(5.2.276),(5.2.27а)(5.2.276),1) Приведем некоторые полезные формулы для функций 7V (а)：

(5.2.27а)

(5.2.276),

(5.2.27а)

(5.2.276),

Iv (") ^厂钓r2八(扇门/2),-门V Arg "《几/2,

/v 仲)=^V^J^ M~ 3 W2), — л/2 V Arg w<«,

厶仲）〜力^"厶仲）〜力^"4V2_q\—^~-h…).同f 84V2_q\—^~-h…).同f 8|Argw^Oi/2|Argw^Oi/2-^ /о (")=厶(3)，

厶仲）〜力^"

厶仲）〜力^"

4V2_q\

—^~-h…).同f 8

4V2_q\

—^~-h…).同f 8

|Argw^Oi/2

|Argw^Oi/2

€м. также [1].

и приходим к уравнению Винера — Хопфа

%(ов 石+ (q, а)ь (九)& / к I

声?0(W)Ко(W)(2л)3/2 Q (а + 舟 i Т，十

+ *4^团+(® -a)=0, gV医，(5.2.28)

где 8_ (а) = Н_ (а + 0, а) — Н+ (а — 0, — а). Для определения тока, отраженного от края вибратора, необходимо решить уравнение (5.2.28) относительно Е^ (а, а). Если Н^ (а, а) известна, отраженный ток можно найти с помощью соотношений (5.2.27а) и (5.2.186).

Полученное уравнение (5.2.18), очевидно, совпадает с модифицированным уравнением Винера — Хопфа (5.1.2), причем в данной задаче функция Н (а) имеет вид

Н(а) =(5.2.29)

и является мероморфной функцией. Метод решения модифицированного уравнения Винера —— Хопфа (5.2.28), который будет описан ниже, существенно опирается на исследование распределения полюсов функции Н (а) (42).

РЕШЕНИЕ ОБЫЧНОГО ФУНКЦИОНАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯВИНЕРА — ХОПФА

Прежде чем перейти к решению уравнения (5.2.28), полезно провести решение обычного уравнения Винера ——Хопфа, отвечающего случаю Н (а) = 0. Получающееся при этом уравнение описывает задачу о полубесконечном полом трубчатом вибраторе. Если падающая волна задается в виде (5.2.15), то, как можно убедиться с помощью стандартной процедуры, описанной в гл. 3, уравнение Винера — Хопфа для полубесконечного трубчатого вибратора имеет вид

心8石+ (а, a)■^Г/о (w) Ko(W)心8石+ (а, a)■^Г/о (w) Ko(W)|т| V 紘|т| V 紘(5.2.30)(5.2.30)

心8石+ (а, a)

■^Г/о (w) Ko(W)

心8石+ (а, a)

■^Г/о (w) Ko(W)

|т| V 紘

|т| V 紘

(5.2.30)

(5.2.30)

где J^ (а) = Н_ (а + 0, а) — Н_ (а — 0, а) пропорциональна наведенному поверхностному току в антенне ')・ Величины J5+ и Н_ здесь отмечены чертой, чтобы отличить их от соответствующих величин для сплошного вибратора. Для выделения единственного решения уравнения (5.2.30) необходимо использовать условие на ребре z = 0. Для полого вибратора условие на ребре имеет вид

Зажютим, что входящую в уравненйе (5.2.28) функцию 6一 (а) нельзя прямо отождествлять с наведенным мком.

(см. (1.3.19))

Ez (р = % Z)〜z-1/2, Z -> +о,(5.2.31)

откуда следует (см. (1.4.10))

JE* (а, а)〜а—"а,| а | -> оо при Im а > — к2.(5.2.32)

Решение уравнения Винера ——Хопфа (5.2.30) с учетом условия (5.2.32) можно найти методом, описанным в гл. 3, оно имеет вид

瓦(〃，《) = ^Д 5 (砂 5 3).(5233)

Входящая в это решение функция 厶十(а) получена в результат© факторизации функции L (а):

L (а) = /0 (?а) KQ (?а)=厶十(а) £_ (а) = £十(а) J (—а).

(5.2.34)

Для проведения факторизации запишем 厶(а) в виде

厶(а)=厶⑴(а)厶⑶(а),(5・2・35а)

где

上 ⑴(a) = /0 (w), X ⑶(a)=直 q (同.(5.2.35e

Мероморфйую функцйю !/')(&) мойсйо факторизовать с помощью теорем笈 о бесконечйом пройзведёйш из 的耽・ 3.6.3. Й результате получаем

•00

屮(а) = ЕР (-а) = VJ^k^j П(4 + 訪)©以”叫 (5・2 36a)m=i

где

Ym =[简他尸一承产，(5.2.366)

^ = 7П-Ж нуль 巾尹кЦ貪R/0(岔)■

Применение асимнтоткчеекои «щенки дает d(a) ~ амехp {警口 - e-m(翌)]},

|а]тоо пря т>—% (5-2.37)

Прн получении асимптотики (5.2.37) мы воспользовались пр* блиясенвым выражением

&т 〜(加一» 冗，тп-> оо.(5.2.38)

Факторизация функции 乙⑵(а) обсуждалась в примере 5 из

Приведем полученное там выражение для L^ (а):

L*Q)y а)=

н]^"；1'(加)]Зхр[—岑 + 胃m (^у^) +。(叫，(5.2.39а) где

q (а) = — f Г1— 7r；~6 ~Л In (1 + — “ 加.

(52396)

В соответствии с выражением (3.10.46) имеем

厶* (а)〜а-х%ехр [發In (^)], | а|-> оо, при т> —右・ (5.2.40)

Объединяя результаты (5.2.36) и (5.2.39), можно написать

厶(а)=外(а%? (а) Е£> (а),(5.2.41)

岬 экспоненциальный множитель введен для обеспечения нужного алгебраического поведения функции £+ (а) при | а | f 8 в верхней прлуплоскостц. С учетом асимптотических выражении (5.2.37) Ж (5»2.4О) функцию х(а) нужно выбрать следующим образом:

% (а) = «^ 口 一C + ln (警)+i ^] ,(5.2.42)

й в результате L+ (а)〜а"1/2 при | а | т 8 в верхней полуплоскости.

2 4. РЕШЕНИЕ МОДИФИЦИРОВАННОГО УРАВНЕНИЯВИНЕРА I ХОПФА

Обратимся теперь к функциональному уравнению (5.2.28)ж описывающему краевую задачу о полубесконечном цилиндрическом стержне. Ниже будет приведен метод решения этого уравяе* Вия, который обеспечивает быструю сходимость к точному решению ж гарантирует выполнение условия на ребре. Полученное этим Методом первое приближение решения в случае тонких антенн является достаточно точным и может быть построено в замкнутом виде. Описываемый здесь метод отличается от обычного метода Вжнера — Хопфа. Отличие состоит в том, что в данном случае функция Е+(Q, а), удовлетворяющая уравнению (5.2.28), нахо- датся из анализа сингулярностей в нижней полуплоскости пере- мерной а, тогда как в обычном методе Винера — Хопфа при

построении решения используется аналитичность Е+ (а, а) в верхней полуплоскости переменной а.

Перепшпем (5.2.28) в виде

"/、—产 瓦(@, а)I iU (五)

一8.Q) + 屣［第］滤霭扁% = 0, |T|<^ (5.2.43)

где 环)(а), ЬУ (а), £*(а) и L^^a) определены формулами (5.2.36) и (5・2・39)・ Заметим, что функция 尸(а) регулярна и тождественно равна нулю в полосе | т | < А2. Следовательно, F (а) тождественно равна нулю во всей комплексной плоскости а. В этом можно убедиться, разлагая F (а) на слагаемые 尸+ (а) и Р__ (а) и применяя обычнее аналитическое продолжение. Таким образом, уравнеиве (5.2.43) справедливо при всех а.

Поскольку функция F (а) равна нулю во всей плоскости, осо* бенности всех входящих в (5.2.43) функций должны попарно взаимно уничтожать друг друга. Как мы вскоре покажем, решений для функции JE+ (а, а) можно；постронть с помощью надлежащей группировки особенностей функций, входящих в (5.2.43), в нижней полуплоскости. С этой целью прежде всего обратим внимание ва следующее.一

Функция L^ (а) имеет только одну особенность: точку вег-* вления при а = — fc. Эта особенность не может быть скомпевси* рована за счет особейностей ни одной из входящих в (5.2.43) функ・ ций, кроме U+ (а, а). Следовательно, искомая функция 1?+ (а, а) должна содержать 厶?)(а) в качестве сомножителя.

Первый и второй члены в (5.2.43) имеют простые полюса в точке а = — к. Вклады от их вычетов должны взаимно уничтожать друг друга.

Первое и четвертое слагаемые в (5.2.43) содержат множитель {1/24b (а)} и, следовательно, имеют простые полюсы в точках а =勿n, п = 1, 2, 3, . . . . Сумма вычетов во всех этих полюсах должна быть тождественно равна нулю.

Функция 团+ (а, а) не может иметь в нижней полуплоскости а никаких других особенностей, кроме описанной в п. 1, поскольку в противном случае их нельзя было бы скомпенсировать за счет других функций, входящих в уравнение (5.2.43).

Помимо перечисленных выше четырех условий, вытекающих из вида уравнения Винера — Хопфа (5.2.43), на JE+(g, а) накладывается еще одно ограничение, отвечающей условию на ребре и обеспечивающее должное поведение Ех (a, z) в окрестности края антенны, т. е. при z = + 0. В рассматриваемой задаче о полубеско- нечном сплошном вибраторе с торцом электрическое поле должно нарастать как (z)-1/» при zf 0 (см § 1.3). Этому требованию отвечает следующее асимптотическое поведение преобразования Фурье

丑 + (а, а) 1см. (1.4.10)]:

JE^ (а, а) ~ аТ", | а | -> 8 при т >— к2,

(5.2.44)

Покажем, что приведенные пять условий определяют решение Е+ (а, а) единственным образом.

Согласно условиям 1 и 4, JE+ (а, а) можно представить в виде

团+ 3) = • ^| 厶® 屮 3) p (?) 了次)n (1 + 託)e".

П=1

(5.2.45)

Здесь Р (а) — целая функция, которая будет определена позднее с помощью условия 5 асимптотики функции _Е+ (а, а). Система постоянных {Гт} также пока не определена. Однако асимптотика величин {Гт} известна:

Г*т ~ ( т—£) ^+A, mf 8,(5.2.46)

где Д ——постоянная, меньшая ^ем 冗/е, и определяемая из условия на ребре. Асимптотическое выражение функции ^+ (а, а) можно считать известным, если Р (а)且 А однозначно определены. Для вахождения Р (а) и А представим 居 + (а, а) в виде

Е+ (q, а)=方 + (а, а)Р(а) Д |$^ ,(5.2.47)

П=1

где 瓦(а, а) — решеййе обычного урайнейия Винера — Хопфа для полого трубчатого вибратора, определяемое согласно (5.2.33). Используя асимптотические о^енкп (5.2.32) и (5.2.46), мо微но показать (см. (1.4.11)), что при больших I а|

Е+ (а, а) ^ Р(а)а-К^г)^-^^)]^ |a|f 8 при 0<arga<«.

(5.2.48)

Сравнивая это соотношений с условием на ребре (5.2.44), получаем

Р (а) = Рл (постоянная),(5.2.49)

Ак^・(5.2.50)

Звая асимптотику функции Е+ (а, а), перейдем теперь к определению {Гт}, когда т не велико.

С ат减 целью потребуем, чтобы функция F (а) удовлетворяла условию 3, к приравняем нулю вычеты в точках а = — iyp. После

ряда преобразований получаем следующую систему уравнений:

Ар = МГ +(悬七也市警縦х n=l

x Ц%_；р/(寵Am)］ -1}，P = l，2, з, ，(5.2.51) 7И=1

где Др = Гр — ур, а верхний индекс (р) у знака бесконечного произведения означает, что сомножитель ст=р опущен. Заметим, что система уравнений (5.2.51) очень похожа на систему (4.3.31), полученную при рассмотрении модифицированного метода вычетов. Поэтому для ее решения можно воспользоваться одним из быстро сходящихся методов, описанных в гл. 4.

После определения {Гт} можно найти оставшуюся неизвестйуй постоянную Ро, приравнивая нулю вычет функции ¥(а) в точке % =—"・ В результате для нормирующего постоянного множителя, связанного с током падающей волны (5.2.15), получаем

A=f［冷畿•’(5252)

m=l

С уМбм всех 口риведебных выше результатов Находим окончательное выражение для 招(。,а):

м(а, a)и瓦(a, a而［哥黜吕需］』(5.2.时)

m=i

Н然厶(賜+3)立匿檻嘱三需躋］,(52536)

где {Fm} или соответствуюЦйе им {Дт} определены формулами (5.2.50) — Х5-2.51). Интересно подчеркнуть, что, как ёидйо 宣电 (5.2.53), решейие для Сплошного полубесконечного вибратора J0+ (л, а) отливается от решения для трубчатого виб^^Ю^а 用+(& а) только множителем, представленным в виде бесконечного произведения. Первый сомножитель в этом произведении учитывает изменение масштаба относительно падающей волны. Второй сомножйтель учитывает смещение нулей {ут}функции 万+(@, а) в нули {Гт} функции Е+ (а, а) х).

х) Аналогичным образом связаны функции / (ш) и 7 (w), введенные при рассмотрении мм喊мвдрованнозю метода вычетов в онределяеше выражениями (4.3.33) и (4.3.14).

После нахождения функции Е^. (а, а) определим распределе- вие поверхностного тока на полубесконечном сплошном вибраторе. Подставляя (5.2.53) в (5.2.27) и (5.2.186), получаем выражение для преобразования Фурье рассеянного магнитного поля на поверхности вибратора. Вычисляя обратное преобразование Фурье, имеем

8+rt

%(°+°‘z)=会 J 学號 Е+(@,а)”3dM "|V 卷.

'-оо+ТГ

(5.2.54)

Распределение тока, обусловленное отражением от торца (z V 0), определяется соотношением

/6 (z) = 2ла% (а + 0, z), z V 0(5.2 55)

Используя выражения (5.2.54) и (5.2.536), получаем распределение тока для сплошного полубесконечного вибратора:

m=l

干亩 |Е^]за)кт

X j ——西丽e-m 加，zvo И |T|V&

(5.2.56)

Это выражение справедливо при всех z V 0・

Для вычисления адмитанса необходимо найти значение отраженного тока вблизи зазора вибратора (z =—力)・ При этом можно воспользоваться приближенными методами оценки интеграла, входящего в (5・2・56), При z ^ —九 деформируем контур интегрирования в (5.2.56) так, чтобы он охватывал разрез в верхней полуплоскости, тогда основной вклад в интеграл вносит окрестдость точки ветвления а = " (подицтегральное выражение экспоненциально убывает из-за наличия exp (za%))，)・ Отметим, чта в окрестности точки а = " входящие в подинтегральное выражение функция L+ (а) и бесконечное произведение меняются медленно. Поэтому /⑺(z) при z 足一h можно приближенно положить равным

оо+гт

W~^^ 型® S (矶若 上^^l飼 gvfeb(5 2.57a)

где

S 3) = □「拄黑ym %Т拱т]・(5.2.576)

丄丄 LIT■诚/гm 4一咏/Ym」\«

m=l

Как нетрудно установить из сопоставления (5.2.57) и (5.2.11), выражение в квадратных скобках в (5.2.57а) определяет распределение тока вдоль бесконечной цилиндрической антенны,, возбуждаемой при z = 0. Поэтому на больших расстояниях от торца распределение отраженного тока определяется «универсальной» функцией U (z), описываемой соотношением (5.2.14). Представим отраженный ток в виде

I讣⑦〜RU ® и⑦,ZV0 И论|z|》l・

(5.2.58)

Постоянная R в (5.2.58) имеет смысл коэффициента отражения по току от торца вибратора и оказывается равной

К = 一冬 Е： (Л?) S (Л) = RS (*),(5.2.59)

где Е — коэффициент отражения от открытого конца трубчатого вибратора, который может быть получен % помощью (5.2.33)^ В соответствии с (5.2.59) R отличается от R множителш S (fc), который описывает влияние идеально проводящего то{ща.

В случае тонкой антенны, т. е. при ka ^ 1, выражение для коэффициента отражения Е можно значительно упростить. В этом случае при вычислении {Дт}для всех т воспользуемся приближенными значениями

Дт«Д = «.(5.2.60)

Используя биномиальное разложение в выражении (5.2.576) для 5 (ft), получаем

〜 tТ(+必/»П 4-//[Ym+ (几/6Q)] 〜

〜 丄丄 匚e福r麺]4一的Ym〜

m=l

^1+$半，=1+等0土・(5・261)

Применив тождество ^ ^т ^~^ (см. [12]), окончательно имеем т=1

S(A)^l + i 寳，淑《1・(5.2.62)

Функцию 厶：(")в случае тонкого вибратора можно представить в виде разложения по обратным степеням In (Ла); при этом главный член разложения имеет вид [69]

&伯)= ^«+^£V+2,404£V)-2,初《*(5.2.63)

где Qo = — 2 In (fca) — 2C + f л и С = 0,57721

Подставив (5.2.62) — (5.2.63) в (5.2.59), найдем

Н = (1 + »將)瓦液《1,(5.2.64а)

Где выражение для коэффициента отражения от трубчатого вибратора

月=二^ (1+^Q;2 +2.404Q-p (5.2.646)

содержит только элементарные функции и, следовательно, весьма у玳3。для вы^ислш^й. Ошетим, 4то I Я I > I Я I, т. е. отраже- 立ме от торцй сплошного 倉宜братора сильнее, чем для соответе^вую- 城血 трубтотой антенны.

Подвыв ток на цолубесконечном сплошном вибраторе, возбуждаемом источником (5.2.15), представляет собой сумму двух сла- га^ых Г* (z) и 1^ (^). В резуй^ате д^я адми-Танса антейны й&лучаем

У = /(О (6 - fe) = У°° + RU (九)О (6 — 矶

(5.2.65) где 6 ——полуширина зазора, к которому подключен источник. Для тбвкого вибратора значения У00, tJ (z) nR ^адаютсй соответственно выражениями (5.2.12), (5.2.14) и (5.2.64а). 11риме直玄貝 аппарат обобщенных матриц рассеяния (см. § 4.6), можно получить выражение для адмитанса длинного вибратора конечных размеров. Этот вывод отнесен в задачу 5.1.

§ 3・ РАЗВЕТВЛЕННЫЙ ВОЛНОВОД С ДИЭЛЕКТРИЧЕСКИМЗАПОЛНЕНИЕМ

ренный пример представляет собой частный случай из целого класса структур, для исследования которых применим модифицированный метод Винера ——Хопфа, развитый в § 2. Более общий случай модификации исходной структуры (полубесконечный полый цилиндр) представляет собой волновод с открытым концом, заполненный диэлектриком. Решение задачи для этой структуры может

Рис. 5.4. Разветвленный волновод с дввпектриком.

быть найдено методом, описанным в § 2. Однако, в то время как в случае полубесконечного круглого штыря вывод функционального уравнения Винера — Хопфа удобно провести методом Джонса, для формулировки задачи о полубесконечном волноводе с неоднородно распределенным диэлектриком этот метод становится непригодным. В настоящем параграфе мы покажем, как можно обобщить метод функции Грина (ср. § 3.4), чтобы он стал пригоден для формулировки задач о структуре, в которой диэлектрическая среда претерпевает разрыв в продольном ') направлении.

Для иллюстрации сказанного рассмотрим задачу о разветвленном плоском волноводе, частично заполненном диэлектриком, как показано на рис. 5.4. Эта задача была решена в 4.3 модифицированным методом вычетов, и мы покажем, что тот же результат можно получить с помощью модифицированного метода Винера —— Хопфа. Пусть падающее поле представляет собой волну типа TElt 0, набегающую на рааветвление из области /:

瓦"= 0“ = sin (^ %) етз для всех z, (5.3.1)

1) Формулировка задачи для”структуры, содержащее две материальные среды с границей, параллельной выделенному продольному направлению, рамного легче (см., например, задачу 3.12).

2705. При6tлихе®л林ые методы

где 丫九。=[(пл/а)2 —依卩/z. Полное поле 屮⑴ определяется суммой падающего(рС> и рассеянного 屮 полей.

Рассмотрим поле в области I, т・ е. в полосе Ь < ж < а. Рассеянное поле удовлетворяет однородному волновому уравнению

[V2 + 依]ф (伤 z) = 0,(5.3.2)

где V2 = (@2/@%2)+ (@2/@z2), и граничным условиям

ср (%, z) = 0 при х = а и для всех z, (5.3.3а)

ср (%, z) + 屮<力(g z) = 0, ж = Ь + 0 и z > 0,

(5.3 36)

屮(g z) удовлетворяет условию излучения при | z | f оо

(5.3.3b)

Введем функцию Грина, удовлетворяющую уравнению

[V2 + 胪】№ (/ %； z — z^ = — 8 (х — х^ д (z ^ Zq)

(5 3.4)

и граничным условиям

『и = G при ж = Ь + 0и± = а,(5 3.5)

『D удовлетворяет условию излучения при | z | -> оо.

Такую функцию Грина можно записать в явном виде (см задачу 3.2):

『外(/圖%—喲=

8

s=^ 2 "sin [譽(的一m]sin [譬(％ —s] e-Ymclz-zol. (5 3.6)

Применяя к функциям (р и gay вторую формулу Грина, получаем

(J ^g^-g^^}dxdz^ § ((₽甯一父1> 器)或，(5 3.7)

где Р — граница области I, состоящая из отрезков Ръ Р^, Р3 и Р^ (рмс. 5.4), S —— плоская область, ограниченная кривой Р, а д/дп — производная по внешней нормали. Левая часть соотношения (5.3.7) с учетом уравнений (5.3.2) и (5.3.4) оказывается равной (—1)屮(％о, Z。). Интеграл в правой части (5.3.7) представим в вида суммы интегралов вдоль каждого из отрезков Рх . . . Р4. Инте* граи вдоль Р] равен нулю, поскольку обе функции <р и g⑴ обращаются на Р] в нуль. Интегралы вдоль Р2 и Р4 также равны нулю в силу условия излучения, так как функции <р и g《D вписывают

уходящие волны В результате получаем

一叭3,Z。)= j[$ 響]№+о&(5.3.8)

Учит^твая в зТом равенстве граничные условия (5.3.36) и взаимно заменяя (д, 2。) и (%, z), находим выражения для поля в области I:

08

屮& z)= j [ф聲]i°dz°+j [<p⑴讐]ю“ —оо0

при 0>%>b и любых z. (5・3・9>

Вывод интегрального уравнения в области II, т. е. в полосе Ь>х>0, более сложен из-за неоднородного распределения диэлектрика. Полное поле <р(±)=(рС)+(р удовлетворяет уравнений

【▼+к (z) 2](р(о = 0, Ь>х>0,(5.3.10)

где K(z) — ступенчатая функция вида

K(z)= ｛；',ЕМ

Полное поле(р<*> должно удовлетворять системе граничных условий

<рО) = 0, прв с = 0 и произвольных z, а также

при 6=匕一0 и г>0, (5.3.12а)

(р«)удовлетворяет условию излучения при z-> + oo, а рассеянное ноле 屮(а не <р«)) удовлетворяет условию излучения при ——оо,

(5.3.126)

<р«)и d^/dz непрерывны на границе диэлектрика OVzVb, z = 0.(531風

Введем функцию Грина £2)(力，％。； z — z0), удовлетворяющую уравнению

tv2 一 К (z) *2]产=一 6 (% 一入)6 (z 一 z。)，0 V / V 儿

(5.3.13)

где точечный источник расположен в области ПЛ, т・ е* при z0 < 0. Фуцкция g《2> должна удовлетворять следующим граничным уело-

ВИЯМ：ВИЯМ：

ВИЯМ：

ВИЯМ：

g《2> = о при 力= Оее% = Ь— О, (5.3.14а)

Q2)удовлетворяет условию излучения при | z | f до,

(5.3.146)

g《2)и g^ldz непрерывны при 0<ж<；Ьи2 = 0.

(5.3.14b)

Можно убедиться (задача 5.2), что для z()V 0 искомая функция Грина задается формулой

g%，的;「)=[£：产;Y，Z；：

v7[ g⑷(力，的；Z； Zo), z>0,、丿

где

g娱，砧 z,z°)=4[$ 煮sin(譬g)sin (醬%)X m—i

(5.3.156)(5.3.15b)(5.3.15г)(5.3.156)(5.3.15b)(5.3.15г)X (e・ymb]z-zo[+ pme・ymb|z+zo|)],

(5.3.156)

(5.3.15b)

(5.3.15г)

(5.3.156)

(5.3.15b)

(5.3.15г)

c 一 Ymb—Y?nbm УтЬ^УтЪ *

Y*/ (* 2_/, 14bu/(譬)2_%"2.

Явное выражение для 爪鈑 не будет использоваться при выводе и поэтому здесь не приводится.

Применяя вторую формулу Грина (5.3.7) к функциям 屮(ж, z) и gC) (%,啰°; z — z°) в области II, и, пользуясь теми же соображениями, что и при выводе (5.3.9), получаем

о

<pQ, z)= j [中饗白*=6.0d2° + 0("'z)y при OV0Vb И z<0.

(5.3.16a) где

g (z, 6 = <P⑴(“,z) + [ ф⑴[需L亠о 也 +

+ /О筹-产警К(5&166)

Рз

Отметим, что интеграл по отрезку Р3 в выражении для q (瑞 z) на обращается в нуль, поскольку ф^> не удовлетворяет условию иэлу^енря при Zf — оо. Полутом теперь выражение д (宏,z)

через значения падающего поля на раскрыве х = Ь, z <0. Ниже мы подробно проведем этот вывод.

Напомним, что 屮“)удовлетворяет однородному волновому уравнению

.(Д2 + 兴)料=о.(5.3.17)

Для того чтобы получить новое представление интеграла )回"需-产若№。，

входящего в (5.3.166), применим формулу Грина к функциям ф(^ И g(3). Сначала необходимо найти выражение для (V2 + ^2) ^> Из (5.3.156) с помощью дифференцирования можно показать, что ［y2 + "2］g《3)= —6(%—化0)6 0 —Z。)一 6(Z + Zo) X

X Гу 2 PmSin (譬g) sin (警叫，z0<0.(5.3.18)

m=l

Применяя вторую формулу Грина (5.3.7) к функциям 屮⑴ и g⑶ в области II и взаимно заменяя (的,z°) и Q, z), получаем

-0t)(/, z) - l(x, —z)= j ［9⑴ ^* -g⑶^^］汲0+

+ J ［<P(，)_S"］xo=b-odz°, “VO, (5.3.19a)

где

2(z, —z)= j ［у X pm sin (-^-^0)sin (粵£)］屮⑷(&, —z)d& = 0 m=l

=呑也(圖 e+M 2 pm^^sMFc). (5.3.196) m—1

Используя формулу (5.3.166), можно переписать (5.3.19а) в виде q@, z)= -Z(%, 一公一 j ［中⑴等］-…或。，zV0. (5.3.20) Подставляя это выражение в (5.3.16а), получаем искомое выражение для рассеянного поля в области ПА: 0оо

<p(c,z)= j ［中需L=b.o&。一］［屮⑴瑞l尺.产一2，—z), —оо0

«при0V%Vb и zV0・(5.3.21)

18-0367

Используя выражения (5.3.9) и (5.3.21), потребуем выполнения граничных условий при £ = b, z 之 0:

屮(力= b+0, z) =(p(% = b —0, z), zVO, (5.3・22> 需 一=絹一, zV0. (5Л3.23) dx jx=b+ 0дх |х=Ь— 0'

В результате получаем〔) о

，中(A Zo)[g(|z —Zo]) +无(|z + zo|)]dzo =

=j фС)(А Zo)fg(|z —z°|)+无(|z + zo|)]dzo —1( —z),z<0#

0

(5.3.24a) где

g (I z- Zo I) = { ^^ [g⑷ 3, &； Z-Z0) +

+ £Wfsin(*"°)sine—mbiz-zoi]卜鼻， (5.3.246) m=I

九(I Z + Z° J)=

={ dx dx0 [^8 驚疝(号2°)sin(^^ 久)e+v7nbiz+zoi] }, 771=1X0=b

(5.3.24b)

I-Z)=底 № T)L=4sin(啖宀z £ pm^W.

(5.3.24г)

Уравнение (5.3.24a) представляет собой искомое интегральное уравнение, определяемое в полубесконечной области. Неизвестным в этом уравнении является поле 屮(6, z) в раскрыве z V 0・

Перейдем к решению этого интегрального уравнения модифицированным методом Винера — Хопфа. Начнем с преобразования уравнения (5.3.24а) в функциональное модифицированное уравнение Винера — Хопфа. С этой целью применим к нему преобразование Фурье. Следуя способу вывода, описанному в разд. 3.6.2,

В используемом здесь способе формулировки краевой задачи условия непрерывности (5.3.22) выполняются автоматически (см. задачу 5・3).

приходим к следующему функциональному уравнению:

G (а)①-(а) — X (а) Ф_ (—- а) + J+ (а)=

=G(а)①f)(а)一Н (а)①f)(一а)—厶一(а), |т］＜Ке丫皿 (5.3.25}

Использованные здесь обозначения пояснены ниже. Выражение для G (а) — преобразования Фурье функции g(|z|), нетрудно получить, используя формулы (5.3.246) и (5.3.6):

G(a) = ^ 2 ^^，广％biz "az dz- m—i-oo

—丄 v 5冗/听［e-Mdzi ев dz = c J Ymc J

1—8

m=I

+Wc)2/ 1(5.3.26)

c 々 Уте 'a-HYmc a — гутс/''

m=l

Воспользовавшись тождеством

(5.3.27)(5.3.27)/(a) = VcthVb= $ ［学磊产+哼书打m=l

(5.3.27)

(5.3.27)

где

Вез/(Ч=^тЬ) = Ту^(-^),

представим G (a) в виде

GQ) =GQ) =Y sh yash yb sh ycY sh yash yb sh yc(5.3.28)(5.3.28)

GQ) =

GQ) =

Y sh yash yb sh yc

Y sh yash yb sh yc

(5.3.28)

(5.3.28)

Функция H (a) в уравнении (5.3.24) представляет собой преобразование Фурье функции 无(J z I) и задается формулой

"(af t"审)2(乔力-丁沿)•(5.3.29)

т—1

Функция ①f〉(a) в (5.3.24) —это преобразование Фурье падающего поля (5.3.1); она имеет вид

吧3)=爲 sinf)&・(5.3.30)

18*

Функция ①_(а) является преобразованием ①_(b, z), а о

Е_ (а) = —~= f V (一 z) e'az dz = 5-8

=爲曲也(嘴£产器.(5.3.3力

Наконец, J+ (а) в (5.3.24) — неизвестная функция, введенная при расширении области определения интегрального уравнения (5.3.24а) до полной прямой ——8Vz V 8 (см. § 3.6).

Прежде чем переходить к решению уравнения (5.3.25), полезно рассмотреть два частных случая. Если положить £尸=1 (т. е. рассматривать случай, когда диэлектрик отсутствует), то {рт} обращаются в нуль при всех т и уравнение (5.3.25) сводится к х)

G^J^-①⑴ 3)_⑪-@),(5.3.32)

т. е. совпадает с обычным уравнением Винера 一 Хопфа (3.6.23) ®). Приведем здесь решение уравнения (5.3.32), поскольку оно понадобится нам в дальнейшем:

殴 ® 一 Ф(1> (а)=［誌 sin (阴 G_ (— *)］乔而；)仁储•

(5.3.33)

Во втором частном случае предположим, что диэлектрик заменен на идеальный проводник, т. е. р^ =——1 при всех т. В этом случае все входящие в функциональное уравнение величины получаются в результате соответствующего предельного перехода, например:

lim 厶一 (а) = X

Pmf(-l)У2л(а —iVia)

m—i

=—%X —1) sin (畔)X

Д/2л (а— г via)\ Q 丿

乂「《_V(^)211 =

L 4 \ P + iymb P—^УтЬ」B=淋a /

”)•―-—・(5.3.34)

工)Функции J+ (а) и Ф_ (а) отмечены чертой для того, чтобы отличить mfor соответствующих величин при рт 耍 0.

「 2) Функция G (а), используемая здесь, равна функции 1/G (а), использо- Ено盘 в (3.6.23).

При получении окончательного выражения здесь было использовано тождество (5.3.27). Аналогичным образом получаем

lim Я (а) = у cth yb.(5.3.35)

Р?П-*(- 1)

Подставляя выражения (5.3.34) и (5.3.35) в уравнение (5.3.25), получаем

[Ф_ (а)-①⑷(а)] — у cth (汕)[①一(一а) — ①⑴(-а)] +

+」+(а)+隔 cM^)^^^, |t|<ReTla. (5.3.36)

Уравнение Винера — Хопфа (5.3.36) можно вывести также методом Джонса, описанным в разд. 2.2 (задача 5.4). Однако, как уже упоминалось ранее, метод Джонса неприменим в общем случае произвольного заполнения разветвленного волновода диэлектриком.

Вернемся теперь к уравнению (5.3.25) и обсудим детали его рещения. Перепишем уравнение в виде

G (a) X.)(а) — Н (а) Х(_)(—а) + J+ (а) + 厶_ (а) = О, 丨 т I V Re Y ia, (5.3.37)

где функция Х(_)(а) определена следующим образом:

(а) = Ф_ (а)—世"(а) <р_ @) - 爲 sin 闺石％ •

(5.3.38)

Индекс (——)у Х(_)(а) означает, что эта функция регулярна в ниж* ней полуплоскости комплексного переменного а везде, кроме точки a = ——i Yia， где она имеет полюс ')・ Отметим, что (5.3.37) несколько отличается по форме от (5.1.2) 2). Тем не менее и в этом случае можно применить метод, описанный в § 2.

Напомним, что уравнение (5.3.37) справедливо во всей комплексной плоскости а (см. § 2), т. е. можно отказаться от условия I т I <； Re 7la. Для нахождения X.) (а) необходимо согласовать особенности всех функций, входящих в (5.3.37), в верхней полу-

Это обозначение не следует путать с введенным ранее обозначением 九(z), например, в выражении (3.2.10).

Вообще говоря, рассмотрение в качестве падающего поля волны типа ТЕМ или ТМ приводит к уравнению (S.l^J^a случай падения ТЕ・волны — к (5.3.37).

плоскости. Перепишем это уравнение более подробно:

м(a)[(太黯{一帥m传)十С]п (浙}X

乂 TT (Ja/Wna) ] 乂

n=l

хГф_(а) —

!”2л (a +

n==i

X - a) + 讃+

L"2冗(a-Wia)」

X(_)(— a)

+ [禹">洛"黑駕]』0.(5.3.39)

Как теперь видно,

функция X.) (а) должна иметь нули в точках a = {+ »Ync}, поскольку в (5.3.39) отсутствуют другие члены, которые могли бы скомпенсировать полюсы G _ (а) в этих точках;

X.)(а) должна иметь нули в точках a = {+ ^「几匕}, причем вклады вычетов в точках a = + iymb у первого и второго слагаемых в уравнении (5.3.39) должны взаимно уничтожаться при всех т. Таким образом, положение смещенных нулей {ГпЬ} определяется системой уравнений

[Res G (WmbH Х(_)(iymb) +【Res Н (力丫皿前 Х^ (—iymb)=。，

m = 1, 2, 3, . . .;(5.3.40)

в силу условия на ребре ") (см. § 3.6) справедливы асимптотические оценки:

Ф(_)(а), Х(_)(а) ~ О (а-1), | а | т 8 при t > — Re Ую- (5.3.41)

Функция X.)(а) должна иметь бесконечное число полюсов (в этом можно убедиться из окончательного результата). Полюсы X.)(а) должны совпадать с нулями G(_)(а), и, таким образом, произве-

•】)Для поперечно-электрических волн поле вблизи ребра ведет себя

так же, как и в отсутствие диэлектрика.

дение G_ (а) Х(_)(а) является регулярной функцией в этих точках. Из (5.3.39) ясно, что функция Х(_) (а) имеет полюсы в точках а = {*}；

помимо указанных нулей и полюсов в верхней полуплоскости, функция Х(_)(а) в соответствии с определением (5.3.38) имеет полюс в нижней полуплоскости при а = — 咕。・ Вклады вычетов в точке а =——iyla обеих частей равенства (5.3.38) должны быть равны и, таким образом,

Res X.)( — 汕а)=帚 sin (普); (5.3.42)

вклады] вычетов функции X.)(—а) Н (а) и последнего слагаемого в (5.3.39) в точках а = iyla взаимно уничтожают друг друга. Однако последнее обстоятельство является следствием нашего способа формулировки задачи и не накладывает на X.)(а) никаких дополнительных ограничений.

Основываясь на перечисленных выше требованиях, можно построить функцию X.) (а) следующим образом. Поскольку известно распределение нулей и полюсов функции X.)(а), можно представить ее в виде

X㈠(а)=、ТТ 尸g (5.3.43)

('(а + ws) G_ (a)丄丄 1—a/iynb ' '

Это выражение отличается от решения задачи о разветвленном волноводе без диэлектрика только расположением нулей (нули {iynb} заменены на {?ГП&}) и нормировочной постоянной Ро. Эту постоянную можно найти из условия (5.3.42); она оказывается равной

Р。=^sin (喲免(一叫而 • (5.3.44) ' n=l

Для полного определения Х(_)(а) необходимо найти значения {Г1nь} из системы уравнений (5.3.40). Подставляя (5.3.43) в (5.3.40), после некоторых преобразований получаем

•^(-> (^УтЬ) + Ртп Х(_)(—%Ymb) =。，771 = 1, 2, 3, • • • •

(5.3.45)

Система уравнений (5.3.45) по виду совпадает с системой (4.3.16), которая рассматривалась в связи с модифицированным методом вычетов. Она может быть решена методом последовательных приближений или матричными методами. К郷 и ранее, с помощью условия на ребре можно получить асимптотическое решение.

В рассматриваемом случае условие на ребре не зависит от присутствия диэлектрика в структуре и, следовательно,

Fmb ~ ~^~ при тп f оо.Fmb ~ ~^~ при тп f оо.(5.3.46)(5.3.46)

Fmb ~ ~^~ при тп f оо.

Fmb ~ ~^~ при тп f оо.

(5.3.46)

(5.3.46)

Остальные детали нахождения {ГтЪ} полностью определяются способом решения, подробно описанным в § 4.3, и здесь разбираться не будут.

§ 4. ПЛОСКИЕ ВОЛНОВОДЫ, СВЯЗАННЫЕ ЩЕЛЬЮ

Краевые задачи для ряда структур, которые получаются при изменении исходной винер-хопфовской геометрии в продольном, а не в поперечном направлении, описываются модифицированным функциональным уравнением Винера — Хопфа (5.1.3).

i и I

Рис. 5.5. Плоские волноводы, связанные щелью»

В качестве примера рассмотрим задачу о двух плоских волно*- водах, связанных щелью в общей стенке (рис. 5.5 ')・ Хотя, по-ви- димому, эта задача проще решается модифицированным методам вычетов (§ 4.3), она служит хорошим примером для описания еще одного метода, развитого Джонсом [24] ).

Следуя Джонсу, решение нашей задачи можно свести к рассмотрению интегрального уравнения специального вида. Мы приведем два метода решения этого интегрального уравнения: оригинальный метод Джонса и модифицированный метод, аналогичный использованным в § 2 и 3. В частности, будет показано, что последний метод приводит к решению, тождественному с полученным модифицированным методом вычетов.

х) Геометрця этой структуры дополнительна (по Бабине) к геометрии задачи о волноводном разветвлении конечной длины.

Пусть волна типа ТЕltQ набегает слева на неоднородность в нижнем волноводе:

Е$)= ср⑴(%, z) = sinЕ$)= ср⑴(%, z) = sin倩小倩小т必 ПрИ О V % < 6 и всех z.т必 ПрИ О V % < 6 и всех z.(5.4.1)(5.4.1)

Е$)= ср⑴(%, z) = sin

Е$)= ср⑴(%, z) = sin

倩小

倩小

т必 ПрИ О V % < 6 и всех z.

т必 ПрИ О V % < 6 и всех z.

(5.4.1)

(5.4.1)

Найдем рассеянное поле в структуре, обусловленное этим падающим полем.

Рассеянное поле удовлетворяет обычному скалярному волновому уравнению. В пространстве преобразований Фурье его решение, удовлетворяющее граничным условиям при % = 0 и % = а, имеет вид

/"(a)shY(a-%), a>x>b，

(%, а) 6 @)sh ”, & > лг>0,('')

где ①(①,а) — преобразование функции % (优,z):

(5.4.3)(5.4.3)

(5.4.3)

(5.4.3)

①…)=『①…)=『①3)=伟①3)=伟(5.4.5a)(5.4.56)(5.4.5b)(5.4.5a)(5.4.56)(5.4.5b)

①…)=『

①…)=『

①3)=伟

①3)=伟

(5.4.5a)

(5.4.56)

(5.4.5b)

(5.4.5a)

(5.4.56)

(5.4.5b)

В данной задаче вместо разложения Ф (啰，а) на два слагаемых ①+(%, а) и ①_(%, а), как это делалось в гл. 3, мы представим Ф (с, а) в виде суммы трех слагаемых:

Ф (%, а)=①-(%, а) + Ф1 (х, а) + е^①十@ а),(5.4.4)

ГД©

о

j Еу (啰，Z)e»az dz,

L

J Ey(x, z) eiaz dz,о

①+ (%，a) = ± [ Ey (x, z)产zR dz =

=会阮"+2孙，

поскольку Ey (%, z) 忘 4 exp (—t0 | z |) при | z | -> oo, где r0 = =min (Re y1&, Re 丫卜)・ Функции Ф _ (%, а} и Ф+ (%, а) регулярны соответственно в нижней (т V т0) и верхней (т> ——т0) полуплоскостях комплексной переменной а. Функция Фх (%, а) определяется интегралом по конечной области z. Поскольку Еу (%, z) ограничена при О V z V £,①i (%, а) является целой функцией,

т. е. она регулярна в любой конечной части плоскости а. При I а j -> оо в верхней полуплоскости а экспонента exp (Zaz) ограничена при положительных z, а при | а | -> оо в нижней полуплоскости она имеет существенную особенность. Поэтому можно сделать вывод, что целая функция Фх (а) алгебраически ведет себя на бесконечности, только когда | а | -> оо в верхней полуплоскости. Следовательно,①】(а) может быть отнесена к «плюс)>-функци- ям. Умножая ① 1 (力,а) на ехр (—%а£), получаем

L

в-га£ф1 (%,仪)=j Еу(X, Z)廻仪一厶)或=

О

Г Еу (力，z‘ + 厶)6侬，dz'・ (5.4.6)

Видно, что произведение ехр (—%а£) Фх (力，а) можно отнести к 《минус»-巾ункциям ・

Применив условие непрерывности поля при % = Ь, из (5.4.2) имеем

Q_ (b + 0, а) + ①I (b + 0, а) + №乙①十(ft + 0, а)=

— А (а) sh ус, (5.4.7a)

⑦一 g - о, а) + ①I (b - 0, а) + " Ф+ (Ь - 0, а)=

=В (а) sh 浊 (5.4.76)

Воспользовавшись граничным условием, согласно которому рассеянное поле Еу (%, z) обращается в нуль при % = b всюду, за исключением щели 0 之 z V 厶 получаем

①i(b+0, а) —①I (Ь, а)— sh усsh ус -，①i(b+0, а) —①I (Ь, а)— sh усsh ус -，8(а) =8(а) =Ф1 (&—0, а)shwФ1 (&—0, а)shw① 1 (b, а)1 sh ?с~① 1 (b, а)1 sh ?с~(5.4.8a)[(5.4.86)(5.4.8a)[(5.4.86)

①i(b+0, а) —①I (Ь, а)

— sh усsh ус -，

①i(b+0, а) —①I (Ь, а)

— sh усsh ус -，

8(а) =

8(а) =

Ф1 (&—0, а)shw

Ф1 (&—0, а)shw

① 1 (b, а)1 sh ?с~

① 1 (b, а)1 sh ?с~

(5.4.8a)

[(5.4.86)

(5.4.8a)

[(5.4.86)

где также использовано условие непрерывности поля Еу (%, z) на раскрыве. С помощью выражений (5.4.2) вычислим производную по % от ①(力,а) и найдем ее значение при % = Ь:

①二(匕十0, а) +Ф^ (& + 0, а) + в{аЬФ^ (& 4- 0, а)= — уЛ (а) ch ус, (549a)

①二(b-О, а) + Ф； (Ь —0, а) + е€аьф；е—о, а)=уЗ (а)chy&.

(5.4.96)

Используя граничное условие непрерывности касательной составляющей Ну (力,z) полного поля на щели, приходим к соотношению

для преобразований Фурье

(D；(b + o, а)-а)；(Ь — 0, а) = «^> J ^L^eiazdz^

Ь У2л ~Yib—奴Ь У2л ~Yib—奴(5.4.10)(5.4.10)

Ь У2л ~Yib—奴

Ь У2л ~Yib—奴

(5.4.10)

(5.4.10)

Входящая в подинтегральное выражение (5.4.10) функция (р(〃)(％, z) определена согласно (5.4.1). Вычитая (5.4.96) из (5.4.9а) и используя (5.4.8) и (5.4.10), получаем

J-3)+ G(a) +eJ+з)=/声-讦丽—，gVq,

(5.4.11)

где

Л(а) = Ф1(& + 0, а)-0(Ь-О, а),

J+(a) =(D；(b + 0, а)—①二(b —0, а)% G (а) = sh yb sh ус/(у sh уа).

Уравнение (5.4.11) совпадает по форме с (5.4.3). Рассмотрим решение этого уравнения методом Джонса.

Решение проведем в два этапа. Вначале преобразуем уравнение (5.4.11) и для этого умножим его на функцию G_ (а), явное выражение которой определяется формулой (3.6.31):

J_ (a) G_ (а) 4J_ (a) G_ (а) 4① I е，а)G+ (а)① I е，а)G+ (а)inG_ (а)b Д/2й (а + 办仍)inG_ (а)b Д/2й (а + 办仍)

J_ (a) G_ (а) 4

J_ (a) G_ (а) 4

① I е，а)G+ (а)

① I е，а)G+ (а)

inG_ (а)

b Д/2й (а + 办仍)

inG_ (а)

b Д/2й (а + 办仍)

-gS-Wlp^^ + JMa)], gV“・ (5.4.12) Левая часть полученного уравнения выражена суммой двух функций> одна из которых регулярна в нижней полуплоскости, а другая ——в верхней полуплоскости. Однако слагаемые в правой части имеют особенности в обеих полуплоскостях комплексного переменного а. Поэтому в качестве следующего логического шага разложим каждое из этих двух слагаемых в правой части уравнения. Разложение первого члена легко провести, выделив полюс в точке а = — %Yib・ В результате получаем

济G- (а)_ = “.讯[G_ (а) 一 G_ ( — iyib)] +

У2л (a+iylb) Ь У2л (a + iyib)

(5.4.13)(5.4.13)"亢(а + iy^)

(5.4.13)

(5.4.13)

1) Ток, наведенный на пластине z < 0, a; = Ь, пропорционален не функции J- (а), а разности J_ (a)—①⑴'(b, a).

Второе слагаемое в правой части (5.4.12) включает неизвестную функцию J+ (а), поэтому возможно лишь формальное разложение этого слагаемого с помощью интегрального представления (3.9.7). В результате получаем

IS(矶爲⑷卜

—1G^)M^)e^L1G_(P)M(P)/凯

J 戸晔— FT J 冃咽

—оо — id—004-id

—d<T<d<r0,(5414a)

где

M^ = ^^-J^(5.4.146)

При использовании (3.9.7) в пределах интегрирования в (5.4.14а) следует положить с =——d по причинам, которые станут ясны в дальнейшем. Подставляя (5.4.13) и (5.4.14) в] (5.4.12), после некоторых преобразований представим функциональное уравнение в виде

九⑷免(а)-Е丽 @(a)-G—(T*] +

d§ =d§ =1 Т" G (P) M (P) /阿

d§ =

d§ =

2jU J0 —a

-co 4-id

Ф< (A a) % (a)Ф< (A a) % (a)00-id00-idG-(P)M(B)e2M P-aG-(P)M(B)e2M P-a配电一Mb)b ^/^(a + iYib)配电一Mb)b ^/^(a + iYib)呻,呻,ITIV %•ITIV %•(5.4.15)(5.4.15)

Ф< (A a) % (a)

Ф< (A a) % (a)

00-id

00-id

G-(P)M(B)e2M P-a

G-(P)M(B)e2M P-a

配电一Mb)b ^/^(a + iYib)

配电一Mb)b ^/^(a + iYib)

呻,

呻,

ITIV %•

ITIV %•

(5.4.15)

(5.4.15)

Все функции в левой части уравнения (5.4.15) регулярны в верхней полуплоскости а (т >— т0), а все функции в правой части регулярны при т V т0, т. е. в нижней полуплоскости. С помощью условия на ребре можно обычным способом показать, что обе части (5.4.15) должны быть тождественно равны нулю, причем функциональное уравнение справедливо для всех а. Приравнивая нулю левую часть (5.4.15), получаем одно из уравнений, которое будет использовано в дальнейшем:

(二.也)h^(a)G-(a) +

b”加(a+Мь)

8+込

(5.4Л6а)(5.4Л6а)+击 J 也鹏黑5 = 0, -dVT<g, **8+id，

(5.4Л6а)

(5.4Л6а)

где

Ma)= J-(a)-b w；；+W) *(5・4」66)

Выведем теперь уравнение, подобное (5.4.16а), но в котором функции М (а) и N (Р) меняются ролями. С этой целью умножаем (5.4.11) на ехр(—iaL)G+(a) и получаем

「*；(”) + j()% (а)=—

G_(a) 丁ь у2я(a + iYlb) + —

—e"G+ (a) N (а), [т|<т0.(5.4Л7)

Поскольку произведение ^一以厶①】(，а) регулярно в нижней полуплоскости а, левая часть уравнения (5.4.17) представлена в нужной форме. Однако, как и раньше, необходимо разложить слагаемые из правой части (5.4.17). Проделав это и применив к полученному функциональному уравнению обычный метод Винера— Хопфа, приходим к уравнению

M(a)G+(a) 一备工上卷4 呀。,

—d < t< d < т0.(5418)

Система интегральных уравнений (5.4.16а) и (5.4.18) определяет неизвестные функции ЛГ (а) и N (а). Уравнения (5.4.16а) и (5.4.18) можно преобразовать следующим образом. Заменяя 0 на ——6 в (5.4.16а) и а на —а в (5.4.18), имеем

E% (勿加 b 1/2й(а + Мь)

-备 Т %(叫仁吭丝卽=。,(5.4.19а)

oo-id

M(-a)免(a) —击 j ? °*向詮С'"那=°'(54196)

где было использовано равенство G_ (—a) = G+ (a) (cm. (3.6.31)). Складывая и вычитая почленно уравнения (5.4.19а) и (5.4.196), соответственно получаем

炫М (Мь)

Ь П§й(а+Мь)

■f- 54(a) G_ (a) 一

00rl G+(B)S(B)e-呼

2M J 必 p+a

@0 = 0,

(5.4.20а)

E% (2y母)

Ь }/2л З + Мь)

卜 D (a) G_ (а) +

1

2加

%偉）0偉）「呼Р + а

dp = O,

-d<x<d<T0, (5.4.206)

где функции S (а) и D (а) определены следующим образом:

+ [ J_ (а) — J* (— а)],+ [ J_ (а) — J* (— а)],(5.4.21a)(5.4.21a)

+ [ J_ (а) — J* (— а)],

+ [ J_ (а) — J* (— а)],

(5.4.21a)

(5.4.21a)

ImpImp

Imp

Imp

О(а)"(а) — М (-а) = -=^(—Д—十，二仍，)十

\J \ ,\/b事石、a +叩仍丁 а—МЬ丿т

+ U- (а) + /+ ( — а)].(5.4.216)

Отметим, что уравнения (5.4.20а) и (5.4.206) имеют одинаковый

Рис. 5.6. Контур интегрирования для интеграла I в (5.4.22).

вид, причем каждое из них содержит^только одну неизвестную функцию. Мы рассмотрим два метода решения уравнения (5.4.20а).

Метод Джонса. Рассмотрим интегральный член уравнения (5.4.20а):

оо-id；аг

(5.4.22)(5.4.22)-1 С G+(B)S(B)iL

(5.4.22)

(5.4.22)

Присутствие множителя ехр (—»££) позволяет замкнуть контур интегрирования полуокружностью бесконечного радиуса в нижней полуплоскости переменного § (рис. 5.6). Заключенные внутри

такого контура особенности — это полюс § = — iylb функции S (Р) (см. (5.4.21а)) и полюсы 卩={—勿九。} функции % (0> (см. (3.6.31)). По теореме о вычетах получаем

/ __ —力冗 G+(— Wib) e "b

b Т/2л a—iyib Г

00-у L

+ 2 半缥产~Res%(f a).(5.4.23)

n=l

Используя это значение интеграла, перепишем уравнение (5.4.20а) в виде

—г- д+(；мь)в：［§ G

Ь }/2л L a + 叩1ba—iyib

+ 2 S^^~-Res G+ (- iyna) = 0.(5.4.24)

n=l

Уравнение (5.4.24) выражает функцию S (a) через бесконечнун> последовательность неизвестных постоянных {S (—— iyna)}- Для получения системы алгебраических уравнений относительно этих неизвестных положим в (5.4.24) a = — iyma, m = i, 2, 3,...・ В результате имеем

8 —у L

6_(—^а№( — ^а)+ £ 亠三^^^S(TYna) = n—i

也必+= 1 2, 3,.

b ”2n L у lb —УтаYlb + Yma J 1

(5.4.25)

—Е G+(— Mb) е "bЬ Т/石a-Mb—Е G+(— Mb) е "bЬ Т/石a-MbАналитический метод решения этой системы не известен. Приближенное решение можно найти методом редукции, т. е. заменой (5.4.25) системой конечных размеров с последующим применением численных методов обращения матрицы. Если L достаточно велико и размеры волновода таковы, что уПа и 丫九匕 действительны для всех п>1, то можно найти простое приближенное решение, используя в (5.4.23) приближенное выражение для /:

—Е G+(— Mb) е "b

Ь Т/石a-Mb

—Е G+(— Mb) е "b

Ь Т/石a-Mb

"可练aa• R% % ( _ ga).

(5.4.26)

Здесь мы пренебрегли экспоненциально малыми членами, пропорциональными ехр (——ynaL) с n > 1. Физически это эквивалентно предположению, что лишь основная волна типа TElt 0 «чувствует»

второе разветвление при х = b, Z > £• Волны более высокого лорядка в плоском волноводе с высотой а сильно затухают на расстоянии порядка L и, следовательно, не взаимодействуют со вторым волноводным разветвлением. Используя приближенное выражение (5.4.26), из (5.4.24) и (5.4.25) находим:

6 q)一 ,先(二"加匸"/]

一 G_(a) I b «2冗 L а + wibа—呼仍 J 1

十 S(二識Res%(-Ma)},(5.4.27)

где

Выражение (5.4.27) дает приближенное решение, справедливое при больших L, в случае когда в волноводе высоты d распространяется лишь волна основного типа.

* Модифицированный метод. Иной метод определения функции S (а), удовлетворяющей уравнению (5.4.24), основан на методе подбора особенностей, аналогичном описанному в § 2 и 3. Уравнение (5.4.24) справедливо при всех а, поэтому особенности функций, входящих в его левую часть, должны попарно взаимно уничтожаться. Для нужного распределения особенностей полезно сначала провести решение в частном случае L -> оо, т. е. для задачи 4 разветвлении в волноводе. В этом предельном случае уравнение {5.4.24) может быть легко решено:

G= - e%(介仍)—

—配 % (Mb) / к sin ka ) Va

— b }/涼 a+Mb I sin kb sin kc /

X exp {吟[b In ⑺ + qln (?) ] } X

П (l-«/iYna)e-i<XO/n，t

X ——,(5.4.28)

n (4 一哈汕)「叫mfl (4—*碇)「3/m

加=1n=l

где явное выражение функцииG _ (а) дается в (3.6.31). Для обобщения решения на случай конечного 厶 обратимся к уравнению (5.4.24) и заметим, что

S (а) имеет полюсы в точках а = + Х%ь и а = — iylb. Вклады вычетов в этих полюсах должны взаимно уничтожаться с вкладами первого слагаемого в (5.4.24);

S (а) имеет бесконечное число нулей в точках а = {+ гГпа}< Расположение этих нулей определяется из условия взаимного уничтожения вкладов вычетов второго и третьего членов в (5.4.24) в точках а = + iyma. Это условие в явном виде записывается следующим образом:

S (Wma) Res G_ (+ Yma) + S (-^ma) 6一^豁 Res G+ (— %Yma) =

=0,/ = 1, 2, 3, •・・・(5.4.29)

Поскольку Res G_ (+ iyma) = (—1) Res G+ (— iyma), последнее соотношение можно упростить

s (%Yma) — e ”ma' S (— %Yma) = °, 7П = 1, 2, 3,.

(5.4.30)

Система уравнений (5.4.30) будет использована для определения смещенных нулей {Гпа};

поскольку условие на ребре, очевидно, не зависит от размера L, функции S (а) и S (а) должны иметь одинаковые асимптотики при I a I -> оо в нижней полуплоскости. Следовательно, S (а) имеет полюсы в точках a = {+ iynb} и a = {+ iync}, совпадающие с нулями функции G_ (a).

В соответствии с распределением нулей и полюсов функции. S (а) можно представить ее в виде

S —配 尸oG+(Mb) тт / 1 —аЛГпа \ . Pi

Постоянные P。и /\ определяются из условий согласования вычетов в полюсах a =—力丫工匕 и a = + %丫1匕 в уравнении (5.4.24), В результате имеем

2。=百4$豁，(5432)

П=1

E =(5433)

Остается определить последовательность чисел {Гпо}. Поскольку условия на ребре требуют одинаковой асимптотики функций S (а) и S (а), справедлива оценка

I\aтг->оо.(5.4.34)

1/2 19-0367

Значения нескольких первых корней {Гпа} могут быть найдены одним из методов, рассмотренных в § 4.3.

До сих пор мы рассматривали решение уравнения (5.4.20а). Совершенно аналогично можно получить и решение уравнения (5.4.206). Приближенное выражение для D (а), полученное методом Джонса, соответствующее выражению (5.4.27) для S (а), имеет вид 分〜—"f in Г G+ (i?ib) I G+( —Мь) -v1bLl

-厶含匸MesG+(-书а)} ,(5.4.35a)

где

0(一切。)

' Y ' b У2л I Tib -Via Yib+Yh 」

(5.4.356)(5.4.356)X回-％ 。) 一上出标上皿「.

(5.4.356)

(5.4.356)

Если применить модифицированный метод, решение D (а) имеет вид

D (а)=D (а)="Ylb/Yna \1+Y仍/「/丿"Ylb/Yna \1+Y仍/「/丿-配%. (Mb)тt / " 一 а/^па

D (а)=

D (а)=

"Ylb/Yna \

1+Y仍/「/丿

"Ylb/Yna \

1+Y仍/「/丿

b 1/2Н Q + Мь) G_ (a) ^~ ' 1 — a/iyna

b "|/2S (a — Zyib)b "|/2S (a — Zyib)(5.4.36)(5.4.36)

b "|/2S (a — Zyib)

b "|/2S (a — Zyib)

(5.4.36)

(5.4.36)

где по-прежнему асимптотическое значение нулей {Г/} есть

плaплaп -> оо,п -> оо,(5.4.37)(5.4.37)

плa

плa

п -> оо,

п -> оо,

(5.4.37)

(5.4.37)

а первые нули, для которых асимптотическое выражение еще не применимо, можно найти из системы уравнений

0(抄^) + 6一方宀0(一介咖)=0, Ти = 1, 2, 3, ... . (5.4.38)

Приведенные выражения полностью определяют решение системы интегральных уравнений (5.4.20). Для определения составляющих шгектромагнитного поля воспользуемся выражением функции Ф! (Ь, а) через найденные решения S (а) и О (а), выведенным мз соотношений (5.4.11) и (5.4.21):

Ф1(Ь^ а) = G (а) {扌 e，aL [S (一 а) — D (— a)]—

-44S(a) + 0(a)]}・(5.4.39)

S (а) + 0 (а)=S (а) + 0 (а)=- V^ G+ @Y仍)и(а) ~Ь(а+Мь)6_(а)~- V^ G+ @Y仍)и(а) ~Ь(а+Мь)6_(а)~S (-^ а) — 0(—а)S (-^ а) — 0(—а)—» l/Si%(Mb)P(a)—-ь(a-外加% (a) 一—» l/Si%(Mb)P(a)—-ь(a-外加% (a) 一% 1/而宀lb^ + iyib)% 1/而宀lb^ + iyib)(5.4.41a)(5.4.416)(5.4.41a)(5.4.416)Определяя с помощью выражений из (5.4.2) и (5.4.8) функцию Ф (х, а) и применяя к ней обратное преобразование Фурье, получаем рассеянное поле

S (а) + 0 (а)=

S (а) + 0 (а)=

- V^ G+ @Y仍)и(а) ~Ь(а+Мь)6_(а)~

- V^ G+ @Y仍)и(а) ~Ь(а+Мь)6_(а)~

S (-^ а) — 0(—а)

S (-^ а) — 0(—а)

—» l/Si%(Mb)P(a)

—-ь(a-外加% (a) 一

—» l/Si%(Mb)P(a)

—-ь(a-外加% (a) 一

% 1/而宀lb^ + iyib)

% 1/而宀lb^ + iyib)

(5.4.41a)

(5.4.416)

(5.4.41a)

(5.4.416)

xсо+гт*

-оо-Ьгт

力〉b, 1 т 1 < To, (5.4.40а)

①（怎z）=

оо-Ьгт

晶J必e"）辭「3丸

厶-оо4-гт

1ж< Ь, 1 т| < т0.(5.4.406)

В качестве примера воспользуемся выражениями функций S (а) и D (а), полученными модифицированным методом, для нахождения по формулам (5.4.40) коэффициента отражения от рассматриваемой волноводной неоднородности. Из (5.4.36) и (5.4.31) имеем

где

u3)=号® n=lu3)=号® n=l(1 —g/Zrna) (1+Ъъ/Упа) (1 —а/гтпа)(1 + Т1ь/Гпо)(1 —g/Zrna) (1+Ъъ/Упа) (1 —а/гтпа)(1 + Т1ь/Гпо)

u3)=号® n=l

u3)=号® n=l

(1 —g/Zrna) (1+Ъъ/Упа) (1 —а/гтпа)(1 + Т1ь/Гпо)

(1 —g/Zrna) (1+Ъъ/Упа) (1 —а/гтпа)(1 + Т1ь/Гпо)

I TT(4 — а/加；1a ) d + Ylb/Yna) ](5 4 4()

十 11 !(l-a/W(l + Ylb/r；a)「出4

n=l

у з)=4•而П=1у з)=4•而П=1(4 + а/Нпа) d + 丫化/Ymz) (l + a/WnKa + Yib/Fna)(4 + а/Нпа) d + 丫化/Ymz) (l + a/WnKa + Yib/Fna)

у з)=4•而

П=1

у з)=4•而

П=1

(4 + а/Нпа) d + 丫化/Ymz) (l + a/WnKa + Yib/Fna)

(4 + а/Нпа) d + 丫化/Ymz) (l + a/WnKa + Yib/Fna)

-U•(5.4Л1Г)

(1+а/гупа)(1 + Т1ь/Г；а) J ''

Подставив выражения (5.4.41) и (5.4.39) в (5.4.406), находим

9(%，z)=人+ /2,/< >9(%，z)=人+ /2,/< >(5.4.42a)(5.4.42a)

9(%，z)=人+ /2,/< >

9(%，z)=人+ /2,/< >

(5.4.42a)

(5.4.42a)

где

оо-Ьгт

/1 = 7W j [S(_a)_0( — a)]X '—oo+it

x"^^11?出好一")呢]т(<T0, (5.4.426)

19*

оо + тХ

厶=2，忘 j [S(a) + 0(a)]X

—оо -|* 1Т

X У^~- sh yxe-^z da,| т | < т0.(5.4.42в)

При z V 0 контур интегрирования в выражениях (5.4.426) и (5.4.42в) можно замкнуть в верхней полуплоскости а, после чего вычисление интегралов сводится к нахождению вычетов в полюсах, расположенных в области внутри контура. В результате этих вычислений получаем

九=2 专黑丁^(^[S{^na^D^na}] X

X sin ("^-力)e—na(L-z)(5.4.43a)

厶={ "IЙС^ sin 号)岱《е。巒 n。)】x

X sin (2^ %) ef i} +

十 y岂弋T吃"尸吗sin 广丫九廿.(5.4.436) 厶 ^(Ynb+Yib) Res G_ (гупЪ) ' 匕 丿'丿

n=l

В силу соотношений (5.4.30) и (5.4.38) слагаемое в фигурных скобках в /2 равно по величине и противоположно по знаку /х и, таким образом, отраженное поле определяется формулой

Ф (%, z) = £П=1Ф (%, z) = £П=1(一1严+"%(汕»u"加•/ ^Я „\ 宀bZ

Ф (%, z) = £

П=1

Ф (%, z) = £

П=1

沦(Y7zb + Y，b) Res G_(w») 81П\~^Г，

0V%Vb и zvO, (5.4.44)

где выражение для U (а) приведено в (5.4.41в). Отметим еще, что в частном случае L -> оо обе найденные последовательности нулей {Гпо} и {Гпо} совпадают с 伍。}, a U (а) -> 1. Следовательно, можно считать, что множители U (»丫几？)) в (5.4.44) описывают влияние второго волноводного разветвления при 乙之 z V оо. Как можно показать, полученный результат (5.4.44) совпадает с результатом, найденным модифицированным методом вычетов (§ 4.3).

ДИФРАКЦИЯ НА КОНЕЧНОМ ОТРЕЗКЕ ВОЛНОВОДА

Для дальнейшей иллюстрации метода решения модифицированного уравнения Винера ——Хопфа вида (5.1.3) рассмотрим задачу о дифракции на конечном отрезке плоского волновода х) (рис. 5.7). Хотя основные принципы решения этой задачи совпадают с изложенными в § 4, получение решения существенно усложняется

Рис. 5.7. Дифракция на отрезке плоского волновода конечной длины.

из-за того, что в данном случае функция Грина G (а) имеет точки ветвления; это характерно для краевых задач с открытыми структурами.

Пусть падающее поле имеет вид

Н^ =巾⑴=^-K/wcsinOo+fezcos 00)? О<0о< 冗/2,(5.5.1)

где без ограничения общности предполагается, что угол падения лежит в первом квадранте. Уравнение Винера — Хопфа нетрудно получить, если воспользоваться способом формулировки задачи, описанным в § 3.12 для полубесконечного волновода. Единственное различие состоит в том, что преобразование Фурье записывается теперь в виде трех слагаемых: У_ (%, a), 4rl (%, а) и Y+ (力，а), а не двух: 4r—(力,а) и Т+ (力,а), как в случае полубесконечной структуры.

Рассеянное поле 屮(怎 z) определяется всюду формулой 屮= =巾(t) 一 pc), в пространстве преобразований Фурье решение волнового уравнения для рассеянного поля имеет вид

，/(а)e-叫% >：a

屮@ а)={ C(a)e-w + 0(a)ew, |%|VA(552)

I 3(a)齊х< — Ь.

Решение для поля электрической поляризации (падающее поле Е，)) получено в [23], для волн магнитной поляризации — в [14].

Преобразование Фурье 4f (优，а) представляет собой сумму трех слагаемых:

▼ (%, 0) = е^^. (X, 00 + 屮1(%, 00+中+(瑞 a),(5.5.3а)

где

T_ (%, a) = —^ f 屮 3, z) eza(z+E)dz,(5.5.36)

0

4fi (瑞 a) = ■^_・ j л|)(гг, z) eiazdz,(5.5.3b)

T+ (瑞 a) = —-(屮(％, z) e以z dz.(5.5.3г)

"2冗《，

Поскольку рассеянное поле должно убывать при | z | -> оо по крайней мере как ехр (— % cos 0О | z |), функции 4f一 (％, а) и 中+ (%, а) регулярны соответственно в нижней полуплоскости а (т V 应2 cos 0О) и в верхней полуплоскости а (т > ——"纟 cos 00); Yi (х, а) — целая функция с алгебраическим ростом при | а | f f 8 в нижней полуплоскости, и, следовательно, она может быть отнесена к «минус»-функциям. Произведение exp (iaL)屮】(％, а) имеет алгебраическое поведение на бесконечности при | а | f 8 в верхней полуплоскости, следовательно,——это «плюс»-функция (§ 4)・，

Теперь необходимо сшить поля на поверхностях % = 土瓦 Следуя способу, описанному в § 3.12, можно получить искомые уравнения Винера ——Хопфа. Оставляя подробные выкладки для самостоятельных упражнений (задача 5.7), приведем здесь лишь окончательные уравнения

D\ (а) — 2ik sin 0О sin (fcb sin 0O)D\ (а) — 2ik sin 0О sin (fcb sin 0O)]e - z(a- h cos Qq^LД/2л (а — к cos 00)]e - z(a- h cos Qq^LД/2л (а — к cos 00){-e-iaLDL (а)={-e-iaLDL (а)=

D\ (а) — 2ik sin 0О sin (fcb sin 0O)

D\ (а) — 2ik sin 0О sin (fcb sin 0O)

]e - z(a- h cos Qq^LД/2л (а — к cos 00)

]e - z(a- h cos Qq^LД/2л (а — к cos 00)

{-e-iaLDL (а)=

{-e-iaLDL (а)=

=—2州2G (а) 5i (а),=—2州2G (а) 5i (а),(5.5.4a)(5.5.4a)

=—2州2G (а) 5i (а),

=—2州2G (а) 5i (а),

(5.5.4a)

(5.5.4a)

j — e~ t(a- h cos 0о)ЬД/2л (а —左 cos 0o)j — e~ t(a- h cos 0о)ЬД/2л (а —左 cos 0o)S? (а) + 2k sin 0O cos (kb sin 0O)S? (а) + 2k sin 0O cos (kb sin 0O)^e-iaLg^ ⑺=^e-iaLg^ ⑺=(5.5.5>(5.5.6)(5.5.5>(5.5.6)

j — e~ t(a- h cos 0о)ЬД/2л (а —左 cos 0o)

j — e~ t(a- h cos 0о)ЬД/2л (а —左 cos 0o)

S? (а) + 2k sin 0O cos (kb sin 0O)

S? (а) + 2k sin 0O cos (kb sin 0O)

^e-iaLg^ ⑺=

^e-iaLg^ ⑺=

(5.5.5>

(5.5.6)

(5.5.5>

(5.5.6)

=—2yL (a) Di (а), | т | < fc2 cos 0O,(5.5.46)

где G (а) и 厶(a)——преобразования функций Грина соответственно в задачах с симметричным и антисимметричным возбуждением (см. § 3.12). Приведем явные выражения этих функций:

G (a) = е^ъ (sh yb/yb), 厶(a) = e—bch yb.

(5.5.86)(5.5.9а)(5.5.96)(5.5.86)(5.5.9а)(5.5.96)

(5.5.86)

(5.5.9а)

(5.5.96)

(5.5.86)

(5.5.9а)

(5.5.96)

Входящие в уравнения (5.5.4) функции S】(а) и 力】(а) образованы линейными комбинациями функций 中】(b ± 0, а) и % (— b 土 0, а); поэтому их область регулярности на комплексной плоскости а совпадает с областью регулярности функции 4rl(£, а).

Если решения уравнений Винера — Хопфа (5.5.4) известны, рассеянные поля определяются по формулам (5.5.2) с учетом следующих соотношений: .

C(a)= —j [5i (a) —Z>i (a)]e-vb,

(5.5.7а)

0 (a) = — ^ [Si (a) + Di (a)l 叫

(5.5.76)

4 (a) = C (a) —D (a) i吟

(5.5.7b)

g (a) = —C (a) e-2yb十p (a).

(5.5.7г)

5.1, УРАВНЕНИЯ ВИНЕРА — ХОПФА

Поскольку уравнения (5.5.4а) и (5.5.46) одного вида, мы подробно рассмотрим только первое уравнение. Умножая почленно уравнение (5.5.4а) на [1/(а + 论)G+ (а)] и выделяя полюс в точке а = k cos 0О, получаем

以(а)Ро Г14I —

(а+Л) G+ (а) а —左 cos 瓦 L (а + 左)％ (а)& (4 + cos 8。) ％ (〃 cos 8°)」

"(1 + cos 备)(a —左 cos В。) ％ (&•€©« &)十[ PQe-^a~kCQB °o)L [ D 二(a)e-taL —+ (a + 左)(a —左 cos 0O) % (a)十(a + 友)G+ (a)—

=—2b(a—k)G_(a)Si(a), | т | < fc2 c°s 0O,(5.5.8a)

где Po = [2ik sin 0O sin (kb sin 8о)/]Л2л] постоянная, а явные выражения для G+(a) и G_(a) даются формулой (3.11.12г). В свою очередь, умножая уравнение (5.5.4а) на eiaL/[(a — k) G_ (a)], получаем

产必(a)P(/aL

(a — k)G_(a)(a —4) (a —左 cos 8。) G_ (a)十

.Po#c°se°EPL (g)=

十(a —左)(a —儿 cos 瓦)G_ (a)十 (a — A:) G_ (a) —

=—2b (a + 论)％ (a) [eiaLSi (a)],111V 论2 cos 0O.

M+)(a) = %(a)—^^,M+)(a) = %(a)—^^,"(-)(a) =。'-(a) —"(-)(a) =。'-(a) —p 游泣 cos QqLa —左 cos 0op 游泣 cos QqLa —左 cos 0oВведем обозначения

M+)(a) = %(a)—^^,

M+)(a) = %(a)—^^,

"(-)(a) =。'-(a) —

"(-)(a) =。'-(a) —

p 游泣 cos QqLa —左 cos 0o

p 游泣 cos QqLa —左 cos 0o

где индекс у функции М^ (а) в круглых скобках означает, что М^} (а) регулярна в верхней полуплоскости а всюду, кроме точки а = /с cos 0о, где она имеет простой полюс. Уравнения (5.5.8) можно переписать в виде

М《+)(а)(а +田 G+ (а)М《+)(а)(а +田 G+ (а)左(1 + cos 0О) (а —^ cos 0О) G+ (к cos 0О)

М《+)(а)(а +田 G+ (а)

М《+)(а)(а +田 G+ (а)

左(1 + cos 0О) (а —A： cos 0О) G+ (к cos 0О)

+ 2Ь (а-/с) G_ (а) Si (а)=+ 2Ь (а-/с) G_ (а) Si (а)=—M_(a)e-iaLQ + k)G+ (а)—M_(a)e-iaLQ + k)G+ (а)(5.5.10а)(5.5.10а)

+ 2Ь (а-/с) G_ (а) Si (а)=

+ 2Ь (а-/с) G_ (а) Si (а)=

—M_(a)e-iaLQ + k)G+ (а)

—M_(a)e-iaLQ + k)G+ (а)

(5.5.10а)

(5.5.10а)

М_(а)(а —左)G_ (а)М_(а)(а —左)G_ (а)42b (а + к) % (а)密证& (а)]=諸體42b (а + к) % (а)密证& (а)]=諸體

М_(а)(а —左)G_ (а)

М_(а)(а —左)G_ (а)

42b (а + к) % (а)密证& (а)]=諸體

42b (а + к) % (а)密证& (а)]=諸體

I 11 V “2 COS 8о・I 11 V “2 COS 8о・(5.5.106)(5.5.106)

I 11 V “2 COS 8о・

I 11 V “2 COS 8о・

(5.5.106)

(5.5.106)

Заметим, что все функции, входящие в левые части уравнений (5.5.10), регулярны или в верхней, или в нижней полуплоскости переменной а. Однако этого нельзя сказать о правых частях уравнений. Поэтому следует разложить функции, входящие в правые части уравнений (5.5.10). Это можно сделать с помощью формулы (3.9.7). В результате получаем

M-(a)「iaE_ 1(Р)е-^Ь

(a + m G+ (a) 一砌 J_jjP +田 ％(P)(B — a)

oo+id.Qr

1 j m一偉)"好l

-凉 ^d @ + k)G+(P)(P — a)

где контуры интегрирования выбраны так, чтобы т удовлетворяло неравенствам

—d V t V d V “2 cos 0О.

Аналогичное выражение получается для [Л/(+)(а) e-〃aL/(a — — fc) G_ (a)]. Подставим эти выражения в (5.5.10) и сгруппируем «плюс»-функции в одной части уравнений, а «минус》- функции —— в другой. Применяя, как обычно, процедуру аналитического продолжения, можно показать, что обе части уравнений тождественно равны нулю, а уравнения справедливы при всех а.

Приравнивая нулю сумму всех «плюс»-функций в уравнении (5.5.10а), получаем

М(+)(a) Iг

(а+к) <?+ (а) ' А: (14- cos 0q) (а — * cos 0О) ^+ (к cos 0О)

оо-id・аг

f"一小邓=°，(5.5仙)

2m J (P + fc) G+(P) (P —a)「

Аналогично равенство нулю суммы «минус)>-функций в

дает

М,(а)(а —左)G_ (а)

1

2m

oo+id

」+小一田免⑹偉-。严

(5.5.106)

(5.5.116)

Уравнения (5.5.11), справедливые для всех а, представляют собой систему двух интег ральных уравнений для неизвестных функций

М(+) (а) и М_ (а). Эти уравнения можно упростить с следующих преобразований. Заменим в (5.5.11а) 0 а в (5.5.116) а на —а:

помощью на —В，

妬+)(а)

Ро

(а + k) G+ (а) 丁 左(1 + cos 8。)(а —左 cos 6。) G+ (左 cos 瓦)

+

М,( — а)

8+td

2")・doo-f-id

1 f

М—( — В) /ве

(^-k)G_(^ ф + ^4)

М+)(В) /吃

d§ = 0,

(5.5.12a)

(a + к) G+ (а) 丁 2館_丄何(b-田现 (份偉 + a)

d§ = 0.

(5.5.126)

Образуя сумму и разность этих уравнений, получаем

U《+〉(а) IРо

(а + к) G+ (а) * fc (1 + cos 0О) (а —Л: cos 0О) G+ (к cos 0О)

1

2m

oo+id

-oo-f-id

а+〉(р)冲偉一左)G_(6(P + a)

dip = 0,

(а 十 к) G+ (а)十左(1 + cos 瓦)(а —左 cos 6。)G+ (k cos 瓦)

где функции

2加」+jd(p_©G_(p)(p + a)aP — u，

U^ (а) н М(+)(а) + 忆(一а), 匕+)(а) = М^ (а)-М.(-а)

(5.5.13a)

(5.5.136)

(5.5.13в)

(5.5.13г)

регулярны в верхней полуплоскости переменного а везде, кроме точки а = " cos 0О, где они имеют простой полюс.

5.2. РЕШЕНИЕ ПРИ БОЛЬШИХ kL

Рассмотрим решение уравнения (5.5.13а) относительно неизвестной функции Q+)(0). Преобразуем интеграл

oo-f-id

20-0367

/= 2頂

U(+)(P)/BL(P — ")G-(P)(P + a)

dp

(5.5.14)

к более удобному виду. Для этого деформируем контур интегрирования для интеграла / в новый контур Р = Ре + Рх + Р2, лежащий в верхней полуплоскости р, как показано на рис. 5.8. При указанной реформации контура пересекаются следующие сингулярности: (1) полюс функции UM (В) в точке р = fc cos 0О и (2) бесконечная последовательность нулей функции G_ (§) в точках 0 = ={+ %Yn} (явное выражение для G_ (Р) дается формулой (3.11.12г)).

Imp

Рис. 5.8. Контур интегрирования для интеграла(5.5.14).Рис. 5.8. Контур интегрирования для интеграла(5.5.14).

Рис. 5.8. Контур интегрирования для интеграла

(5.5.14).

Рис. 5.8. Контур интегрирования для интеграла

(5.5.14).

р°е 说 cos 0qLр°е 说 cos 0qLРазрез, необходимый для однозначного определения функции GL (Р), проведен здесь вдоль вертикальной прямой из точки ветвления р = fc так, что подинтегральная функция в / монотонна убывает вдоль разреза. Учитывая сказанное, можно записать

р°е 说 cos 0qL

р°е 说 cos 0qL

А： (1 — cos 8q) G_ (к cos 备)(a+A cos Oo)

+ sn=2 чета+ sn=2 четаU+ (叩 n)e-%LU+ (叩 n)e-%L(^n -左)(a + 叩n) Res G-(叩九)(^n -左)(a + 叩n) Res G-(叩九)卜/矶(5.5.15a)卜/矶(5.5.15a)

+ s

n=2 чета

+ s

n=2 чета

U+ (叩 n)e-%L

U+ (叩 n)e-%L

(^n -左)(a + 叩n) Res G-(叩九)

(^n -左)(a + 叩n) Res G-(叩九)

卜/矶(5.5.15a)

卜/矶(5.5.15a)

где

(5.5.156)(5.5.156)r —，r a+）e№ de石? J（0一"免（p）（p+a）"d

(5.5.156)

(5.5.156)

При получении первого слагаемого в (5.5.15а) мы воспользовались тем, что Res Uw (论 cos 0O) ^= — P。согласно соотношениям (5.5.13в) и (5.5.9а). Для вычисления интеграла 1В удобно преобразовать его с помощью (5.5.5) к виду

"二击［診牆号［。伟鼻計寓(5.5,6)

Вклад интеграла по окружности Ре радиуса е при е->0 равен вычету, умноженному на 2就：

*匹警簧“ L,…*匹警簧“ L,…(5.5.17)(5.5.17)

*匹警簧“ L,…

*匹警簧“ L,…

(5.5.17)

(5.5.17)

Вклады интегралов по контурам Pf и Р2 можно объединить, что дает,

%=幫您牆歎eМ 一"西^)^^^^“，咐

：丄(a+)(B)G+(^^ e^Ld^(5.5.18)

陋 J2(P + a) l/F% 产' 丿

При больших kL главный вклад в интеграл /% вносит небольшой участок контура в окрестности точки 6 = " В пределах этого малого участка контура функции G+ (^)У^ + к и U(^ (0) в (5.5.18) можно заменить их приближенными значениями. Поскол?»* ку произведение G+ (Р) J/ Р + ^ — регулярная и гладкая функ* дня в окрестности точки 0=4, можно приближенно положить G+ (В) Р 0 + 乃 ^ G+ (fc) У 2к. Функция U + ⑹ имеет полюс в точке Р = fc cos 0О, которая может лежать вблизи точки; ветвле* нвя 0 =论・ Однако этот полюс можно выделить с помощью преобразования

а+>(₽)=［^> ⑹+yr%］ ~т^ в.®

Слагаемое в квадратных скобках в (5.5.19) является гладкой функцией в окрестности ^ = к. Поэтому можно приближенна положить

a+饰)々+,(用+而』J-尸名的.(5.5.20)

Используя эти приближенные выражения в (5.5.18), имеем

/ ~备［a+>(向+林』d g+的了泓!石若戸邵一 一鲁G+的了讶JМ 卽'材》4・(氏5•2分

20*

Замена переменной вида — к) L~iu дает

£ ^ 了蚊^ ^Ь-Зл/4) [а+)的 + 砲刍涼 % ⑻ X

X j 〃二當)汇阪+ M弧胃3必哂)%的X 0

X j [U —i/c (1—cos e0) L][u — 1 (k+a) L] du*(5・5・22)

0

Интегралы в (5.5.22) могут быть выражены через функцию Куммера U (а, Ь, z) I) с помощью соотношения

厶(z) = j -^C^^-r(^ + T)zn+W о

(〃+|")> 0 и Rez>0. (5,5.23) Представим подинтегральную функцию во втором интеграле в (5.5.22) в виде разложения

\ц — ik (1 — cos 0q) L] [и — Z (“十 a) L]

-iL(a-\-k cos 0O) [ 〃一i (左+a) L u — ik (1 — cos Oo) ^ J *(5.5.24)

Теперь /% можно выразить через функции Куммера /%?«р^г 6 е*м-з〃/4)[а+)因+ й1-^]х

X G+ 6) Ет【一» 3 + a) L] + М^Г ^ е“^-з喫)。寥?加 X'Х {В—1 [ — X (" + a) Z/] — E-i [ ~-- ^ (1 — cos 0()) />]},论Z；》1.(5.5.25)

Подстановка соотношений (5.5.25) и (5.5.17) в (5.5.15а) дает окончательное выражение для интеграла /. Будем в дальнейшем предполагать, что в волноводе распространяется только основная волна типа ТЕМ, При больщих kL можно пренебречь суммой в формуле (5.5.15а), в результате чего выражение для I принимает вид

р eik cos 0оЬ

/万(1 - cos 备)(『+ k cos 瓦)G- (左 cos %) + "(+)体)左(a) + %2 3),

材》1,(5.5.26а)

丄)См. [1]. Приведем здесь полезные формулы для этих функций:

U (а, Ь, z) = z-° [1 + б> (I z f-1)], Rez-> 8,

自о (z) = l/ii —2勿 Д/石 f e~f2 dt—'y/n — ne2 "j/z erfc "|/^«

где

左 3)=整 е。" + V2kL^ ef(必 з*)% (fc) J [ 一 ％ 侬十 a) L],

(5.5.266)

%2 (а) = V可Z^e^L-3a№)GJk) А х

!史八一“左 + 凶工]」J[ — 〃k + a)〃一L^(l-cos8o)E]] X [ k(l — cos 0o)а 4- Л: cos 0OJ °

(5.5.26b)

Подставляя (5.5.26) в (5.5.13a), получаем искомое выражение Для U(+)(a):

Q+)(a) ^ (-1) (a+论)% (a)[而早麻而国二落s.瓦)G+ (kcos 8o) +

Poe、' cos 瓦乙

+ % (1 — cos 备)(а + k cos 仇)G_ (左 cos 瓦)+

+ 〃+)(")左 3) + %2 Q)], kL》1.(5.5.27)

Постоянная U{+) (fc), входящая в это выражение, определится, если положить а=к, и, следовательно, может считаться известной. Так же, как мы определили 卩(+)(а) с помощью (5.5.13а), можно из (5.5.136) найти U(+)(а)・ Приведем окончательный результат: 匕+) 3) я^ (一 1) (а + /e) % (a)[无а+伙S 瓦)(а -左：os 瓦)G+ (左 cos 瓦)— ?0产 COS 00Ь

—к (1 — cos 0о) (а + Л： cos 0О) G_ (左 cos 00)—

一匕+)(fc)启(а) —笈(а)],初》1・(5.5.28)

Подстановка решений (5.5.27) и (5.5.28) в формулы (5.5.13) и (5.5.9) дает окончательные выражения для D\ (а) и DL (а):

〃 3) ^ 不負ГМ — 3 + 用 М (а) X а —儿 vuo и。

XX尸。尸。左(4 + cos В。)(а —左 cos 0О) G+ (к cos 00)左(4 + cos В。)(а —左 cos 0О) G+ (к cos 00)a+)的一叭+)(左)a+)的一叭+)(左)22(5.5.29a)(5.5.29a)—p^ifecos 0оЬ—p^ifecos 0оЬа--左 cos Ооа--左 cos Оо+ (cc-fc) G_ (а)Х+ (cc-fc) G_ (а)ХXX—Poe* cos 瓦厶—Poe* cos 瓦厶k(i — cos б。)(а ——左 cos 0O) G_ (k cos 0O)k(i — cos б。)(а ——左 cos 0O) G_ (k cos 0O)〃+)(")+ 叭+)(◎〃+)(")+ 叭+)(◎22左(-а) + %2( —а)} 紘》1・左(-а) + %2( —а)} 紘》1・(5.5.296)(5.5.296)

X

X

尸。

尸。

左(4 + cos В。)(а —左 cos 0О) G+ (к cos 00)

左(4 + cos В。)(а —左 cos 0О) G+ (к cos 00)

a+)的一叭+)(左)

a+)的一叭+)(左)

2

2

(5.5.29a)

(5.5.29a)

—p^ifecos 0оЬ

—p^ifecos 0оЬ

а--左 cos Оо

а--左 cos Оо

+ (cc-fc) G_ (а)Х

+ (cc-fc) G_ (а)Х

X

X

—Poe* cos 瓦厶

—Poe* cos 瓦厶

k(i — cos б。)(а ——左 cos 0O) G_ (k cos 0O)

k(i — cos б。)(а ——左 cos 0O) G_ (k cos 0O)

〃+)(")+ 叭+)(◎

〃+)(")+ 叭+)(◎

2

2

左(-а) + %2( —а)} 紘》1・

左(-а) + %2( —а)} 紘》1・

(5.5.296)

(5.5.296)

До сих пор мы рассматривали только решение одного из уравнений Винера — Хопфа (5.5.4а). Другое уравнение (5 5.46) при больших kL решается совершенно аналогичным образом. Опуская детали получения решения, приведем только окончательные результаты:До сих пор мы рассматривали только решение одного из уравнений Винера — Хопфа (5.5.4а). Другое уравнение (5 5.46) при больших kL решается совершенно аналогичным образом. Опуская детали получения решения, приведем только окончательные результаты:1 Д/2左 sin (瓦/2丿(а —后 cos 6。)工_ (" cos 8。)COS 0ob ,-.5- 3)^ 7，-^謚——Va + kL+ (а)Х[—pQh cos 0o^”^S sm (Oo/2) (a —k cos 0O) E_ (k cos 8°) ++ ^Ц^^论£》L1 Д/2左 sin (瓦/2丿(а —后 cos 6。)工_ (" cos 8。)COS 0ob ,-.5- 3)^ 7，-^謚——Va + kL+ (а)Х[—pQh cos 0o^”^S sm (Oo/2) (a —k cos 0O) E_ (k cos 8°) ++ ^Ц^^论£》L(5.5.30a)(5.5.30a)(5.5.306)(5.5.306)Здесь использованы следующие обозначения:Здесь использованы следующие обозначения:P；P；Хз (а)=Хз (а)=—2左"石л—2左"石лsin 0o cos (kb sin 仇)=z夕ojctg (肋 sin 0O),sin 0o cos (kb sin 仇)=z夕ojctg (肋 sin 0O),e^-^L+ 3) &・/-%(" + &) L],e^-^L+ 3) &・/-%(" + &) L],(5.5.31a)(5.5.31a)(5.5.316)(5.5.316)

До сих пор мы рассматривали только решение одного из уравнений Винера — Хопфа (5.5.4а). Другое уравнение (5 5.46) при больших kL решается совершенно аналогичным образом. Опуская детали получения решения, приведем только окончательные результаты:

До сих пор мы рассматривали только решение одного из уравнений Винера — Хопфа (5.5.4а). Другое уравнение (5 5.46) при больших kL решается совершенно аналогичным образом. Опуская детали получения решения, приведем только окончательные результаты:

1 Д/2左 sin (瓦/2丿(а —后 cos 6。)工_ (" cos 8。)

COS 0ob ,-.

5- 3)^ 7，-^謚——Va + kL+ (а)Х

[—pQh cos 0o^

”^S sm (Oo/2) (a —k cos 0O) E_ (k cos 8°) +

+ ^Ц^^论£》L

1 Д/2左 sin (瓦/2丿(а —后 cos 6。)工_ (" cos 8。)

COS 0ob ,-.

5- 3)^ 7，-^謚——Va + kL+ (а)Х

[—pQh cos 0o^

”^S sm (Oo/2) (a —k cos 0O) E_ (k cos 8°) +

+ ^Ц^^论£》L

(5.5.30a)

(5.5.30a)

(5.5.306)

(5.5.306)

Здесь использованы следующие обозначения:

Здесь использованы следующие обозначения:

P；

P；

Хз (а)=

Хз (а)=

—2左

"石

л

—2左

"石

л

sin 0o cos (kb sin 仇)=z夕ojctg (肋 sin 0O),

sin 0o cos (kb sin 仇)=z夕ojctg (肋 sin 0O),

e^-^L+ 3) &・/-%(" + &) L],

e^-^L+ 3) &・/-%(" + &) L],

(5.5.31a)

(5.5.31a)

(5.5.316)

(5.5.316)

必(a)=。；｝LeUi-叫)"(期X

乂I 己一“一”伯+а)Е]-Ет[/(4-со§ео)3]

—fe(l —cos 00)Га + fccos 00

(5.5.31в)

Явные выражения для функций Z/十(а) и £_ (а) приведены в задаче 3.8. Входящие в формулы (5.5.30) постоянные £7(+)(fc) и 匕+)(%) I) можно определить, если положить а = к в следующих выражениях:

u%) 3) = ( - 1) /干厶(a)[语u%) 3) = ( - 1) /干厶(a)[语PiPicos (Оо/2) (а —Л： cos 00)厶+ (左 cos 90) ?,cos (Оо/2) (а —Л： cos 00)厶+ (左 cos 90) ?,

u%) 3) = ( - 1) /干厶(a)[语

u%) 3) = ( - 1) /干厶(a)[语

Pi

Pi

cos (Оо/2) (а —Л： cos 00)厶+ (左 cos 90) ?,

cos (Оо/2) (а —Л： cos 00)厶+ (左 cos 90) ?,

р；е* cos 0о^

+ V^ sin (90/2) L_ (k sin 8。) (a + k cos 00) +

+ 3+)出 Хз (a) + %4 3)],(5.5.32a)

x) Отметим, что штрихи у U+ (к) и У+ (к) не следует поиимать как знак ароизводной.

cos (Оо/2) (а — Л： cos 00)厶+ 仙 cos 00)

Pj 产 cos 00l

1/5й sin (00/2)厶—(左 sm 8。)(а + A: cos 0O)

一 W +)3)心(a) — M (a)］・(5.5.326)

Подставляя (5.5.29) и (5.5 30) в (5 5.4), можно определить искомые функции Si (а) и D工(а) и, следовательно, найти полное поле с помощью (5.5.7). Мы не станем проводить здесь эти утомительные, но очевидные вычисления.

ИЗЛУЧЕНИЕ ИЗ ВОЛНОВОДА С ФЛАНЦЕМ

В этом параграфе мы вернемся к модифицированному уравнению Винера — Хопфа типа (5.1.2) и опишем в общих чертах метод его решения в случае, когда функция Н (а) имеет точки ветвления* В качестве примера рассмотрим задачу об излучении из волновода с фланцем, показанного на рис. 5.1, в. Пусть в волноводе на его открытый конец набегает волна типа ТЕМ

Нy)=屮(2)=戸2 пpи ］/|<ь и всех z. (5.6.1)

Тогда, как можно показать (задача 5.8), такая задача описывается следующим функциональным уравнением Винера — Хопфа:

G (a) Х+ (а) + Н (а) Х+ (— а) + Y^ + где

G3) =备 出 Q)=丿(5626)

Уравнение (5.6.2) того же вида, что и (5.1.2), причем функция Н (а) имеет точки ветвления при а = ± 论・

Факторизуем функцию G (а) (см・ (3.9.38)):

G (а) = % (а) £ (а) = G+ (а) % (-a),(5.6.3a)

где

G+ (а) = /蟲 е+«/2)-^ ехр ［鲁(1 - С + 1п 偌)+ 吟］X

Х^Р［图 小+以二…м，(5636)

Упь = K〃¥/b)2 —胪『/2.(5.6.3в)

Разделив почленно (5.6.2а) на G_ (а), получим

М (а) Х+ (а) 4М (а) Х+ (а) 4Н (а) Х+ (— а)Н (а) Х+ (— а)「-3)「-3)

М (а) Х+ (а) 4

М (а) Х+ (а) 4

Н (а) Х+ (— а)

Н (а) Х+ (— а)

「-3)

「-3)

+ 1/石侬+左)［反3)-G+伍」+ "MG+伊)3 +左)=0，

|館<",(5.6.4)

где с помощью тождественного преобразования произведено также выделение полюса при а = — к. Заметим, что все слагаемые в (5.6.4), за исключением второго, являются или «плюс»- или «мину с»-функциями .Разложение второго слагаемого в (5.6.4) можно формально произвести с помощью интегральной формулы (3.9.8):

оо - id

叩(<х)Х+( — а) — 4 fН(Р)Х+( — Р)如

~ЪЕГ J & G_(p)(p — a)冲一

8+#d

-壶 ^id^^d^ f < —yydC® (565)

Подставляя (5.6.5) в (5.6.4) и применяя обычную процедуру Винера —Хопфа, можно показать, что сумма слагаемых, регулярных в верхней полуплоскости («плюс»-функций), и сумма «минус»- функций должны тождественно равняться нулю. Приравнивая нулю сумму «плюс»-функций, имеем

亲工:建黯仁?啰+ G+ 3) &⑷+

-|————=0, —d<t・ (5.6.6)

Т/2л G+ (к) (а + к)'/

Интегральное уравнение для Х+ (а) легко получить, заменяя в (5.6.6) переменную интегрирования р на — р. Это дает

% (a) Х+ (a)=-+占(夕? ^,(5.6.7)

где контур Ро изображен на рис 5.9. Как очевидно из (5.6.25), при I р I -> оо в верхней полуплоскости

〃 (_р)〜卩-L(5.6.8а)

В то же время из (3.9.38) следует

% (Р) ~ ₽-х/2,(5.6.86)

а согласно условию на ребре 】)

(5.6.8b)(5.6.8b)Х+ (Р)〜广2/3.

(5.6.8b)

(5.6.8b)

Следовательно, подинтегральная ^функция в (5.6.4) стремится к нулю как Р~13/6 при | 0 | -> оо в верхней полуплоскости. Контур

Рис. 5.9. Контуры интегрирования в комплексной плоскости 0.

интегрирования Ро, параллельный действительной оси, можно деформировать в контур по берегам разреза /\ и Р2. Введем также функций *

£>(Р) = Я (一仍辰当一五(—В)展г】=д/р：Т^ 抵а， (5・6・9) скачок которой при переходе через разрез равен Н (— 0). В результате уравнение (5.6.7) сводится к интегральному уравнению Фредгольма второго рода с гладким ядром:

G+(a)X+(a)=+［夕缥糕(空弋・(5.6.1Q)

i У2лС+ (к)(а + к)厂 ат" G+(P)(P + a) 、/

Это уравнение можно решить итерациями, например, с использованием хп редставл ения

Х+(а) = —

г 1/2л G+ (k)G+ (a) (a + Л)

-(2炉/2 G+'® G+ (a) £ 碎(В) (₽°Л； (P+a)那十(5・6」分

или другими численными методами.

1^ = 1^\^+т^т^^^ +1^ = 1^\^+т^т^^^ +

1^ = 1^\^+т^т^^^ +

1^ = 1^\^+т^т^^^ +

ЗАДАЧИ

Рассмотрим сплошной цилиндрический вибратор конечной длины, возбуждаемый идеализированным генератором вида (5.2.1) (рис. 5.10). При больших kh задачу можно решить методом обобщенных матриц рассеяния (§ 4.6). Показать, что выражение для

полного тока, полученное суммированием вкладов всех многократно отраженных волн, имеет вид

+ U(z + 〃)b(5Л)

если z расположено достаточно далеко от торцов вибратора. Использованные здесь обозначения совпадают с приведенными в § 2. Показать также, используя (5.2.65% что для тонкой антенны влияние сплошных торцов на адмитанс эквивалентно изменению эффективной длины, так что

У®^Р (无十赛)，te<l, (5.2)

где У (无〉и У (А)——адмитансы соответственно сплошной и трубчатой антенн длины 2h. Отметим, что Y (九)можно также вычислить из (5.1), если заменить Я на Д из (5.2.646). Формула для наведенного тока (5.1) была получена различными методами Хал- леном [69], Ченем и Келлером [74] и Ли и Миттрой [42]. Различные выражения для функций U (z) и 1^ (z) даны Шэнем, By и Кином в 175].

Найти функцию g(2). удовлетворяющую уравнению (5.3.13) и условиям (5.3.14).

Проверить, что если рассеянные поля представлены в виде (5.3.9) и (5.3.21), то при граничных условиях, накладываемых на g(i)и g(2)при ^ = b ± 0, условие непрерывности (5.3.22) удовлетворяется.

Рассмотрим плоский волновод, высота которого изменяется скачком (ступенчатая неоднородность, рис. 5.11). Пусть из области Л падает волна типа

(p(i) = sin (g £)e"aZ.

Полное поле запишем в виде

'ф(Ъ + ф,%〉>

gd)(%, z) = < 屮⑴+(р —sin (? %) e "i, %<Ь и z<0,

、0,%<Ьиз>0・

Следуя методу, описанному в § 1.5, показать, что задача может

Рис. 5.11. Ступенчатая неоднород-ность в волноводе#

быть сведена к решению модифицированного уравнения Винера —Хопфа (5.3.36).

Указание.

Ф+ (%, а) + Ф- (х, а) = 4 (а) sh у (а — * % > Ь,

◎、(％, а)—①-(%, — а) = 3 (а) sh ух,х <. Ь.

Используя эти соотношения, получаем

—у [Ф+ (Ь + 0, а) + Ф- (Ь + 0, а)] cth ус =①工(Ь + 0, а) +

+ ①二 S + 0, а),

у 1Ф- (& — 0, а)—①-(Ь —0, — а)] cth 丫匕=

=①L (b — 0, а)—①二｛b — 0r ot)«

Наконец, применяя граничные условия

?+仅+°'a)= ^8in(号)金,

G(b+°，&)=6- (J。，G -含通(判占，

°-(b +。，a)= S (『О, a)— ^=->s(2±)鼻，

выведем уравнение (5.3.36).

出8 五+ (а, а) (а + 左)” 厶 + (а)出8 五+ (а, а) (а + 左)” 厶 + (а)На примере уравнения (5.2.29) рассмотрим еще один метод решения модифицированного уравнения Винера ——Хопфа типа (5.1.2), когда Н (а)——мероморфная функция. Умножив рассматриваемое уравнение на (а ——к) L_ (а) и выделив во втором слагав- мом полюс в точке а = — к, получим

出8 五+ (а, а) (а + 左)” 厶 + (а)

出8 五+ (а, а) (а + 左)” 厶 + (а)

————［(a — ") L_ (a) + 2"上.( — ")］一 2ла У2я (а + к)Ц

»(九)kL_ (一左) ла Д/2л (а + 左)»(九)kL_ (一左) ла Д/2л (а + 左)(a — ") L_ (а) S_(a)=(a — ") L_ (а) S_(a)=

»(九)kL_ (一左) ла Д/2л (а + 左)

»(九)kL_ (一左) ла Д/2л (а + 左)

(a — ") L_ (а) S_(a)=

(a — ") L_ (а) S_(a)=

詐儒］似—""-®Е+(а，-а), |才＜坛 (5.3)

Заметим, что все члены уравнения в (5.3) могут быть отнесены к «плюс»- или «минус»-функциям, за исключением слагаемого, стоящего в правой части. Поскольку все особенности функции

片(a)=二^ 丹色，(5.4)

八丿 Y Zo(Y«)'丿

лежащие в нижней полуплоскости а,——это простые полюсы а = ={— %т} (см. (5.3.37a)), можно провести разбиение правой части (5.3), выделяя полюсы следующим образом:

［千矯］3-回忆(a)ма -a) =

=瓦(а)- 2 ("m + k)L-(-iym) М (а, + 勿т)空饗肃т) , (5.5) т=1

где В_ (а) — «минус»-функция, явное выражение которой нетрудно найти, хотя для дальнейших рассуждений оно не понадобится. Подставив (5.5) в (5.3), воспользовавшись обычной процедурой аналитического продолжения и приравняв сумму «плюс»-функций нулю, придем к уравнению, справедливому при всех а:

ное Е+ (a, а) _ m (九) 工一 (-左)_

(а + ^)а 工+(a) jtq Д/2эт а +而

_2 mm七％)£一(^*:吃g±zlMZ_E+(a, +%Y")・(5.6) m=l

Таким образом, искомое решение Е+ (а, а) выражается через систему неизвестных постоянных {^+ (а, + »Тт)}・ Для нахождения постоянных {Е+ (а, + iym)} положим в уравнении (5.6) а= {+ iyp} и получим бесконечную систему линейных уравнений. К сожалению, удобных аналитических методов решения этой сис-

темы пока нет и ее приходится решать численно, методом редукции. Следовательно, этот метод не так эффективен, как описанный в § 2 (см. [20]).

Описанный в задаче 5.3 метод применялся при решении большого числа задач. Вот некоторые из них: а) ступенчатая неоднородность в плоском или круглом волноводе (рис. 5.12, а, (15, 60]); б) дифракция на полубесконечном цилиндрическом стержне (рис. 5.12, б, [22]); в) излучение из решетки, образованной

/

Рис 5.12. Структуры, модифицированные в поперечном направлении.

плоскими волноводами с толстыми стенками (рис. 5.12, в, [40])； г) дифракция поверхностной волны на толстой полуплоскости с импедансдой поверхностью (рис. 5.12, а, [26]). Следует отметить, что все эти задачи могут быть эффективно решены методами, описанными в § 2 и 3. В частности, задача о ступенчатой неоднородности, изображенной на рис. 5.3, а, решена в § 5.3.

Вывести уравнение Винера — Хопфа (5.5.4) способом, описанным в § 3.12.

Рассмотрим задачу о волноводе с фланцем (рис. 5.1, б), в случае когда на открытый конец набегает волна типа

н£)= М = ек

Определим полное поле 屮⑴ Q, z)=屮内 + 屮 при | % | V b н*ф")6, z) = t|)при I x |>b・ Показать, что задачу можно свести к решению следующего уравнения Винера ——Хопфа:

甫m(b,a) + "辱(b,—a) + J—(а)十隹"^ = 0，

где J_ (а) = Т+ (Ь + 0, — а) — 4r- (Ь — 0, а). Это уравнение можво решить методом, описанным в § 6.

Указание. Выразим рассеянное поле в виде

屮十(％, а) + 4r+ (%, — а) = 4 (а) 叫 力 > А

中+ (с, а) + 屮一 (％, а) = 5 (а) ег%+ С (а) е叫 | /1V 瓦

Используя симметрию задачи, получаем В — С. Граничные условия при % = b дают

4 (а) = F lT+ © G 十 1n © — 初，

2yshYb，

откуда получается искомое уравнение Винера —— Хопфа.

Рассмотрим задачу о дифракции на ленте, изображенной на рис. 5.13, а, для падающего поля вида

^-г«(С08 0ОХ+81П 002),^-г«(С08 0ОХ+81П 002),

^-г«(С08 0ОХ+81П 002),

^-г«(С08 0ОХ+81П 002),

Представим полное поле во всем пространстве в виде 屮⑴(％, z)= =*с)+ 屮・ Следуя процедуре, описанной в § 5, показать, что задача может быть сведена к следующему функциональному уравненик> Винера — Хопфа:

叩嘅(о, а) + 叩(а) + LL叽(о, а)=

|т|<*2>|т|<*2>-—2k sip 瓦 §m [(a -左 cos 备)e]П|/2л (а —A cos 0О)

|т|<*2>

|т|<*2>

где 2Ji (а) = 4rl (+ 0, а) — 4rl (— 0, а). Рассматриваемая зада* qa является частным случаем (при Ь-> 0) задачи, обсуждав- шайен в § 5. Ее ршпение можно найти в книге Нобла [58].

Можно с самого начала (см. §3.12) разделить поле на сим~ матричную и антисимметричную части. При этом задача 5.9 сврдат- сМ к двум независимом функциональным уравнениям Винера — Хопфа. Рассмотреть задачу для структуры, изображенной ма рис. 5ЛЗ, 6, и показать, что для симметричной части поля урав-

нение Винера — Хопфа имеет вид

0^中"(0, 00 +*3)-2爲黑1显=

=_[L"壮(0, -a)+叫(-a) 一.2(，黑碼a|t|V版

где 2J】 (а) = 4rl (+ 0, а) — 4rl (— 0, а). Показать также, что

Рис. 5.13. Дифракция на полосе.

6

соответствующее уравнение Винера — Хопфа для антисимметрии- вой части имеет вид

俨嚼(。，3 +硒⑺-2(а + коз市]=

= +["暫 © -а)+^( —а)-2(у 占笳显,

где 2工(а)=亶(+ 0, а) — 干(一О, а). Оба эти уравнения Винера ——Хопфа могут быть решены методом, описанным в § 6.

Указание. Рассмотрим симметричную часть поля. Используя граничное условие

圆估，z) 1_诡sm% 谓cose

dz |z=0 —2«，

приходим к уравнению

("^ — 丫2)Q(怎 a) = — ^sin0oe-lfecos °ox, I т[ < fc2,

где

Q (ж, a) = [^i (z, a) + eiaLT+ (x, a) + Vi (r, — a)+6-2如匕(瑞—a)].

Решение Q (力,a) представим в виде

J / 3)多-^ + ?2；^：^ 备，">0, 1Q也a)= j%

<'，1 y2_|_^2 cos2 0o

Произведя сшивание полей при 况=0 и исключив коэффициенты А и В, получим искомое уравнение Винера — Хопфа.

Рассмотреть задачу о распространении поперечной волны типа ТЕМ в экранированной полосковой линии передачи, изобра

женной на рис 5.14 (структура считается однородной вдоль направления распространения волны, т. е. вдоль оси у). Если учитывать общий множитель ехр (士 iky), то часть потенциальной функции ф (力,z), описывающая зависимость от поперечных координат, должна удовлетворять уравнению Пуассона

陽+爲）屮（一）一*陽+爲）屮（一）一*(5.7)(5.7)

陽+爲）屮（一）一*

陽+爲）屮（一）一*

(5.7)

(5.7)

где функция р (/, z), описывающая распределение инрн川i, в нашем случае определяет поверхностную плотность заряда на ленте-

р (力，z) = ps (z) 6 (% — b — с),丨 z I V £•

Потенциальная функция должна удовлетворять следующей системе граничных условий на проводящих поверхностях:

(а)屮(力=0, z)=屮(/ = a, z) = О,

(б) ^{х = Ъ + с, z) = l, ]z|v"

< 丿 дх |х=(Ы-с)+О< 丿 дх |х=(Ы-с)+О组Idx |x=(&+c)-0组Idx |x=(&+c)-0Ps (z)Ps (z),|z|V 儿,|z|V 儿

< 丿 дх |х=(Ы-с)+О

< 丿 дх |х=(Ы-с)+О

组I

dx |x=(&+c)-0

组I

dx |x=(&+c)-0

Ps (z)

Ps (z)

,|z|V 儿

,|z|V 儿

Последнее условие можно вывести непосредственно из уравнения (5.7) и из условия непрерывности потенциала и нормальной составляющей потока индукции на границе диэлектрика

(г)屮(/ = b + 0, z) =(p(a = b —0, z),

0 дх 1Ab+()—「。^

Показать, что в предельном случае ст 0 задачу можно свести к уравнению Винера — Хопфа

G (a) Fi (а) = Ф4 (а)十 егаЬФ+ (а) + в - гаЬФ+ (— а),(5.8)

где

"g）=会"g）=会①+（a）=『①+（a）=『G (cc)=G (cc)=Lj p$(z)e?azdz,-Lj g(/=无，z)絞a(z-L) dz, Lsh a& sh a (a——b)Lj p$(z)e?azdz,-Lj g(/=无，z)絞a(z-L) dz, Lsh a& sh a (a——b)eoa [er sha(a—b) ch a& + cha (a—b) sh ab]，eoa [er sha(a—b) ch a& + cha (a—b) sh ab]，

"g）=会

"g）=会

①+（a）=『

①+（a）=『

G (cc)=

G (cc)=

L

j p$(z)e?azdz,

-L

j g(/=无，z)絞a(z-L) dz, L

sh a& sh a (a——b)

L

j p$(z)e?azdz,

-L

j g(/=无，z)絞a(z-L) dz, L

sh a& sh a (a——b)

eoa [er sha(a—b) ch a& + cha (a—b) sh ab]，

eoa [er sha(a—b) ch a& + cha (a—b) sh ab]，

曲3)=合\^dZ^^^

Решить это уравнение методом, описанным в § 5.4. Указание, Записать поле в виде

x>b + c, b + c> 2>， b> %>0x>b + c, b + c> 2>， b> %>0，4(a) sha(a — a),

x>b + c, b + c> 2>， b> %>0

x>b + c, b + c> 2>， b> %>0

①(力，а) =〈 В (a) sh а/ + С (a) ch ас,、D (a) sh а%,

и применить указанные выше граничные условия. 21—0367

Выразить функцию G (а) в задаче 5.11 в виде отношения бесконечных произведений и применим к (5.8) процедуру подбора особенностей. Показать, что Ф+ (а) должна иметь вид

п=1

где { 土 ап} — полюсы функции G (а). Показать, что {Лп} удовлетворяют бесконечной системе уравнений

неизвестные

』(一 Pm n=l

J2B/nL、4 — ei2^mL

(5.9a)

2 ( 4 n=l

gi2ymL、4 — ei2ymL

771 = 1, 2, «

...,(5.96)

где { ± Вт} и {士 Ym} — нули функции G (а). Систему (5.9) можно решить модифицированным методом вычетов.

Рассмотрим задачу о полосковой линии, изображенной на рис. 5.14 в предельном случае а -> оо, т. е. когда верхняя часть экрана отсутствует. Показать, что в этом случае уравнение Винера —— Хопфа также имеет вид (5.8), но с другой функцией

G ⑺=е0|а|(1 + ег cth|a|&)

Решение можно получить методом, описанным в § 6.

ПРИЛОЖЕНИЕ

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО СХОДИМОСТИ

РЯДОВ НЕЙМАНА

В приложении мы докажем сходимость рядов Неймана, входящих в формулы (4.6.1) и (4.6.2), и таким образом докажем, что

(1 -S^S^ = 1 + 5fB5fв + S?BS^BS?BS^B + ... . (П.1.1)

Покажем сначала, что сходятся ряды вида

" (/ _S产尸=/+S产十S产3产+・・.，(П.1.2)

а затем, что из сходимости рядов (П.1.2.) следует сходимость рядов (П.1.1).

Пусть ап и Ьп — амплитуды n-й падающей и отраженной собственных волн в области В (рис. 4.14, в), определенные в плоскости сочленения z = 0. Пусть вп и in — напряжение и ток, эквивалент* ные n-й собственной волне для области В, определенные в плоско* сти сочленения z = 0. Для распространяющихся волн при 匕九=О имеем у е芯=^Z*)| ап | 2, где Z^ = (Ь/2зе)储—(〃冗/匕产尸/?. Аналогично для затухающих волн при Ьп = 0 справедливо 4 е^ = (〃2) Zg) I 恥 |2, где Z俨=(Ь/2(ое)[仇向匕尸一兴了包 Величины еп и in для распространяющихся волн в общем случае

выражаются через ап и Ьп следующим образом:

еп=^ {ап + Ь^,(П.1.3)

%п = ^п ^п»(П.1.4)

Выражения еп и /п для затухающих мод имеют вид

еп= +iZ^ (ап + М，(П.1.5)

in = а^ — bn.(П.1.6)

При сделанном выборе плоскости отсчета (или входа) z = 0 для области 8 области Л и С можно рассматривать как нагрузку, подключенную к этому входу. Входные напряжения, токи, запасенная энергия и мощность, подводимая ко входу, связаны следующим соотношением [551：

У 2 0九疏=一2施(叩h一叩ё)+尸， (П.1.7) п=0

где Wh ——средняя магнитная энергия, запасенная в нагрузке, WE — средняя электрическая энергия, запасенная в нагрузке, а Р ——средняя мощность, подводимая ко входу.

Для упрощения последующего изложения предположим, что в области В распространяется только волна типа ТЕМ. Подставляя выражения (П.1.3) — (П.1.6) в (П.1.7), получаем

Z^ (a0 + 仇)(成-b^ + i J Z^ (〃П + 储)(或一Ь*)=n—i

=-&3(Wh — We) + 2A (П.1.8)

Приравнивая действительные части в (П.1.8), находим

z 俨)(1初2一| 瓦产)+方 2 Z贤(磷 bn —аП 成) = 2a(П.1.9)

71=0

Приравнивая мнимые части в (ПЛ .8), находим

Z华)(〃。 師一减0一 方 £ Zf)(1%|2一也 12)= 一4心(脸-Wr).(11H.i0) n=l

Положим b = SiBa, где а — собственный вектор матрицы 5?в, так

•что если 九一собственное значение, то

5=%,(П.1.11)

6九=九aП.(П.1.12)

Подставляя (П.1.12) в (П.1.9) и (П.1.10), имеем

Z^\a^(i-\^^i § (乃一A)Z£)|〃d = 2E (ПЛ.13) n=l

0/°|〃о|2( 乂一九)一％ W (1 -1 X I2) Z^ I an I2 = - 4f(0 (WE^WH).n=l

(П.1.14)

Соотношения (П.1.13) и (П.1.14) могут рассматриваться как дра уравнения относительно неизвестных (X* ——X) и (1 ——| X |2). Решение этих уравнений дает следующее значение (1 — | X |2):

2Р^>|аор+4со (WE-WH) J 2肾)|0九|2

I 九 12 =~——曰.(П.1.15)

3仔)|〃0|2)2十(t Z戶1〃n |2)2

n—1

Заметим, чю величины Zf и Z£)положительны и дсшстнитвль- ны, а 恥 > WH в случае волн типа ТМ, Таким образом,

|Х К 1. (п.1.16)

Необходимое и достаточное условие сходимости рядов Неймана вида / 十 М 十 М2 + • • • состоит в том, что собственные значения оператора М удовлетворяют неравенству | X | < 1. Таким образом, сходимость ряда Неймана (I + S严 )-1 доказана.

Доказательство сходимости ряда / + S严 + S" S^B +・・. в случае 7Е-волн формально совпадает с доказательством, приведенным выше для ГТИ-волн. В этом случае WH > WE, но эквивалентное напряжение еп для n-й нераспространяющейся собственной волны нормировано по-другому. В этом случае 6n = =一〃項 & + bn), Z俨 >0.

Существует еще одно необходимое и достаточное условие сходимости рядов Неймана [67]. Если а'——произвольный вектор и Ь' = Ма!то ряд Неймана сходится абсолютно, если ] Ьг | < V I 〃' I, где I а' I ——конечен. Таким образом, из доказательства сходимости ряда / + S严 + S严 5fB + •… ясно, что если b' = S?%', то I 〃 I V I 优 |・ Положим а' = S空 а". Тогда еслм 犷-S”S 产"то I 庐 I V I S 抖 ^ |.

Для S^e можно использовать тот же способ рассмотрения^ который позволяет получить (П.1.15) для 5ВВ. Однако при это может оказаться, что 力=0 и WE = WH, как в случае 5^в = = 士 /・ Следовательно, если п —— какое -либо собственное значение матрицы S^B и I т] |^1, то | S^b а" | & | а" |・ Таким обра~ эом, неравенство | b" | V I а" | показывает, что ряды Неймана I + + 5fB S吗 + S严 S严 s严 M严 + • • • сходятся и их сумма равна (/ ——5^в 5^в)~х. В случае когда возможно распространение нескольких собственных волн, доказательство по существу остается тем же.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ)

Абрамович и Стеган (Abramowitz М. and Stegun I. А.)

Handbook of mathematical functions, New York, Dover Publications, Inc., 1965.

Аллис, Бушбаум и Берс (Allis W. P., Buchsbaum S. J. and Bers A.) Waves in anisotropic plasma, Cambridge: M. I. T. Press, 1963.

Берц (Berz F.)

Reflection and refraction of microwaves at a set of parallel metallic plates, Proc. IEE (London), 98, Pt. Ill (1951), 47—55.

Борн и Вольф (Born М. and Wolf E.)

Principles of optics (2nd ed), New York: Pergamon Press, 1964. [Русский перевод: Борн M. и Вольф Э., Основы оптики, М., «Наука», 1970.] 5. Бэйтс и Миттра (Bates С. Р. and Mittra R.)

A factorization procedure for Wiener — Hopf kernels, IEEE Trans., AP17 (1969), 102-103.

& Бэйтс и Миттра (Bates С. Р. and Mittra R.)

A tecnique for solving certain Wiener — Hopf type boundary value problems, Tech. Rpt. Л^СТ?£-66-352, Urbana, Ill.: Dept. Electrical Engineering, University of Illinois, 1966.

Бэйтс и Миттра (Bates С. P. and Mittra R.)

Waveguide excitation of dielectric and plasma slabs, Radio science, 3 (1968), 251-266.

Вайнштейн JI. A.

Открытые резонаторы для лазеров, ЖЭТФ^ 44 (1963), 1050—1062. 9. Вайнштейн Л. А.

Теория симметричных волн в цилиндрическом волноводе с открытым концом, Журнал технической физики^ 18 (1948), 912—919.

10*.Вайнштейн Л. А.

Теория дифракции и метод факторизации, М., «Сов. радио», 1966.

Ван-Бларикум и Миттра (Van Blaricum G. F., Jr., and Mittra R.)

A modified residue calculus technique for solving a class of boundary value problems, Pts. I and II, IEEE Trans., MTT17 (1969), 302—319.

Ватсон (Watson G. N.)

A treatise on the theory of Bessel functions (2nd ed.), Cambridge, England: Cambrige University Press, 1958. [Русский перевод 1-го издания： Ватсон Н. Г., Теория бесселевых функций, М・，ИЛ, 1959.]

Вильф (Wilf S.)

Mathematics for the physical sciences, New York: John Wiley & Sons, 1962.

Вильямс (Williams W. E.)

Diffraction by two parallel planes of finite length, Proc. Camb. Phil. Soc., 50 (1954), 309-319.

Вильямс (Williams W. Е.)

Step discontinuities in waveguide, Tech. Rpt. EM-11, New York: Institute of Math. Sci., New York University, 1955.

By и Галиндо (Wu С. P. and Galindo V.)

Properties of a phased array of rectangular waveguides with thin walls, IEEE Trans., AP14 (1966), 163—173.

By и Галиндо (Wu С. P. and Galindo V.)

Asimptotic behavior of the coupling coefficients for an infinite array of thin-walled rectangular wave-guides, IEEE Trans., AP14 (1966), 248— 249.

By и Галиндо (Wu С. P. and Galindo V.)

The relation between the far-zone pattern of the singly excited element and the transmission coefficients of the principal lobe in an infinite array, IEEE trans., AP14 (1966), 397—398.

Дафорт (Dufort E. C.)

Finite scattering matrix for an infinite antenna array, Radio Science 2 (1967), 19—27.

Джонс (Jones D. S.)

Diffraction by a thick semi-infinite plate, Proc. Roy. Soc., A-217 (1953), 153—175.

Джонс (Jones D. S.)

Diffraction by a waveguide of finite length, Proc. Camb. Phil. Soc., 48 (1952), 118-134.

Джонс (Jones D. S.)

The scattering of a scalar wave by a semi-infinite rod of circular crosssection, Phil. Trans. Eoy. Soc., A247 (1955), 499—528.

Джонс (Jones D. S.)

A simplifying technique in the solution of a class of diffraction problems, Quart. J. Math. (2), 3 (1952), 189—196.

Джонс (Jones D. S.)

The theory of electromagnetism, New York: Macmillan, 1964.

Итох и Миттра (Itoh T. and Mittra R.)

An analytical study of echelette grating with application to open resonators, IEEE Trans. MTT17 (1969), 319—327.

Иохансен (Johansen E. L.)

Surface wave radiation from a thick, semi-infinite plane with a reactiva surface, IEEE Trans., AP16 (1968), 391—398.

Карьяла и Миттра (Karjala D. S. and Mittra R.)

Scattering at the junction of two semi-infinite parallel impedance plane waveguides, Can. J. Physics, 43 (1965), 849—854.

Карьяла и Миттра (Karjala D. S. and Mittra R.)

Scattering by a semi-infinite impedance strip in a waveguide, Appl. Sci. Ees. (Sec. B.), 12 (1965), 157—164.

Карьяла и Миттра (Karjala D- S. and Mittra R.)

Radiation from a modulated corrugated surface excited by a waveguide, Proc. IEE (London), 113 (1966), 1143—1150.

Келлер (Keller J. B.)

Diffraction by an aperture, J. Appl. Physics, 28 (1957), 426—444.

Келлер (Keller J. B.)

The geometrical theory of diffraction, J. Optical. Soc. Amer., 52 (1962), 116—130.

Кернс (Kerns D. M.)

Basis of the application of network equations to waveguide problems, J. Res. Natl. Bur. Std., 42 (1949), 515—540.

Коллин (Collin R. E.)

Field theory of guided waves, New York: McGraw-Hill, 1960.

Копсон (Copson Е. Т.)

Theory of functions of a complex variable, New York: Oxford University Press, 1935.

Кунц (Kunz K. S.)

Asymptotic behavior of the current on an infinite cylindrical antenna, J. Res. Natl. Bur. SM., 67D (1963), 417—431.

Левин л Швингер (Levine H. and Schwinger J.)

On the radiation of sound waves from an unflanged circular pipe, Phys.

Rev., 73 (1949), 383—406.

37*.Леонтович M. А. и Левин M. Л.

К теории возбуждения колебаний в вибраторах антенн, Журнал технической физики, 14 (1944), 481—490.

Ли (Lee S. W.)

Impedance matching of an infinite phased array by dielectric sheets, IFE Electronics Letters, 2 (1966), 366—368.

Ли (Lee S. W.)

Radiation from the infinite aperiodic array of parallel-plate waveguides, IEEE Trans., AP15 (1967), 598—606.

Ли (Lee S. W.)

Radiation from an infinite array of parallel-plate waveguides with thick walls, IEEE Trans., MTT15 (1967), 364—371.

Ли (Lee S. W.)

A ray theory of diffraction by open-ended waveguide, I: Field in waveguides, J. Math. Phys., 11 (1970), 2830—2850.

Ли и Миттра (Lee S. W. and Mittra R.)

Admittance of a solid cylindrical antenna, Can. J. Physics, 47 (1969), 1959—1970.

Ли и Миттра (Lee S. W. and Mittra R.)

Diffraction by thick conducting half-plane and a dielectric-loaded waveguide, IEEE Trans., AP16 (1968), 454—461.

Ли и Миттра (Lee S. W. and Mittra R.)

Radiation from dielectric-loaded array of parallel-plate waveguides, IEEE Trans., AP16 (1968), 513—519.

Ли, Вон и Тан (Lee S. W., Wong N. and Tang R.)

Analysis of infinite array of rectangular waveguides by generalized scattering matrix approach, Tech. Rpt. FR69-14-1344, Fullerton, Calif.: Hughes Aircraft Company, 1969.

Маркуритц (Marcuritz N.)

Waveguide handbook, New York: Dover Publications, 1964._

Мейкснер (Mexiner J.)一

The behavior of electromagnetic fields at edges, Tech. Rpt. EM-72, New York: Inst. Math. Sci., New York University, 1954.

Миттра (Mittra R.)

The finite range Wiener —Hopf integral equation and a boundary value problem in a waveguide, IRE Trans., AP7, Special supplement (1959), 244—254.

Миттра (Mittra R.)

Relative convergence of the solution of a doubly infinite set of equations, /. Ees. Natl. Bur. Std., 6 7D (1963), 245—254.

Миттра и Бэйтс (Mittra R. and Bates С. P.)

An alternative approach to the solution of a class of Wiener — Hopf and related problems. Electromagnetic wave theory. Ed. by J., Brown, New York: Pergamon Press (1967), 261—275.

Миттра и Бэйтс (Mittra R. and Bates С. P.)

Qiiasi-optical theory of diffraction by a semi-infinite waveguide with applications to open resonators, URSI Symposium on electromagnetic waves, Alta frequenza, Special issue, 38 (1969), 339—344.

Миттра и Ли (Milira R. and Lee S. W.) Mode matching method for anisotropic guides, Radio Science, 2 (1967), 937—942.

Миттра и Ли (Mittra R. and Lee S. W.)

On the solution to a modified Wiener — Hopf equation, J. Math. Phys., 11 (1970), 775—783.

Миттра, Ли и Ван-Бларикум (Mittra R., Lee S. W. and Van Blaricum G. F.,

Jr.)'

A modified residue calculus technique, Int. J. Eng. Science, 6 (1968), 395—408.

Монтгомери, Дике и Парселл (ред.) (Montgomery С. G., Dicke R. Н. and Purcell E. M.)

Principles of microwave circuits, MIT Radiation Lab. Series, Vol. 8.

New York: McGraw-Hill, 1948.

Мюир (Muir T.)

A treatise on the theory of determinants, New York: Dover Publications, 1960.

57*.Нефедов E. И. и Фиалковский A. T. Асимптотическая теория дифракции электромагнитных волн на конечных структурах, М・，«Наука», 1972.

Нобл (Noble В.)

Methods based on Wiener — Hopf technique, New-York: Pergamon Press, 1958. [Русский перевод: Нобл Б., Метод Винера — Хопфа,] ИЛ,

М・，1962・]-

Олмстед (Olmsted J. М. Н.)

Real variables, New York: Appleton — Century—Crofts, 1956.

Пападопулос (Papadopulos V. M.)

The scattering effect of a junction between two circular waveguides. Quart. J. Meeh. A ppi. Math., 10 (1957), 191—209.

Пэйс и Миттра (Расе J. and Mittra R.)

Generalized scattering matrix analysis of waveguide discontinuity pto- blems, Quasi-optics, XIV, New York: Polytechnic Institute of Brooklyn Press, 1964, 177—197.

Пэйс и Миттра (Pace J. and Mittra R.)

The trifurcated waveguide, Radio Science, 1 (1966), 117—121.

Сешу и Балабанян (Seshu S. and Balabanian N.)

Linear network analysis, New York: John Wiley & Sons, 1959.

Титчмарш (Titchmarsh E. C.)

Theory of Fourier integral, New York: Oxford University Press, 1937. [Русский перевод: Титчмарш Э., Введение в теорию интеграла [Фурье, М., ИЛ, 1948.]

Титчмарш (Titchmarsh Е. С.)

Theory of functions (2nd ed.), New York, Oxford University Press, 1939.

[Русский перевод: Титчмарш Э., Теория функций, М・，ИН, 1951.} 66. Уайтхед (Whitehead Е. A. N.)

The theory of parallel plate media for microwave lenses, Proc. IEEE (London), 98, Pt. Ill (1951), 133—140.

①ридман (Friedman В.) 一

Principles and techniques of applied mathematics, New York: John Wiley & Sons, 1956.

68*. Фок В. A

О некоторых интегральных уравнениях математической физики, Математический сборник, 14 (56), № 1 — 2, 1944.

Xаллен (Hallen Е.)

Electromagnetic theory, London： Chapman & Hall, 1962.

Хард (Hurd R. A.)

The propagation of an electromagnetic wave along an infinite corrugated surface, Can. J. Phys., 32 (1954), 727—734.

Хард и Грюнберг (Hurd R. A. and Gruenberg Н.)

H-plane bifurcation of rectangular waveguides, Can. J. Physics, 32 (1954), 694—701.

Харрингтон (Harrington R. F.) Time-harmonic electromagnetic fields, New York: McGraw-Hill, 1961, 127—128.

Цзен (Tseng D. Y.)

Guiding and scattering of electromagnetic fields by corrugated structures, Tech. Rpt. PZ^Mrt-1371-67, Farmingdale, N. Y.: Dept. Electrophysics, Polytechnic Institute of Brooklyn, 1967.

Чень и Келлер (Chen Y. M. and Keller J. B.)

Current on an input impedance of a cylindrical antenna, J. Res. Natl. Bur. S以.，66D (1963), 417—431.

Шэнь, By и Кин (Shen L. C., Wu T. T. and King R. W. P.)

A simple formula of current in dipole antennas, IEE Trans., AP16 (1968), 542—547.

Эрдейи (Erdelyi A.)

Higher transcendental functions, Vol. 1, New York: McGraw-Hill, 1953. [Русский перевод： Бейтмен Г. и Эрдеии А., Высшие трансцендентные функции, М., «Наука», 1965.]

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЭАТВЛЬ

Адмитанс 26

Активный элемент решетки 75

Аналитическое продолжение 99

Анизотропная среда 13

Антисимметрично е возбуждение

160, 238, 250, 311

Апериодическая решетка из плоских волноводов 248

Апериодическое возбуждение решетки 68, 244

Асимптотические формулы для символов О и о 49

———факторизации функций 152

—— ——полученные методом перевала 39

Бесконечная система линейных уравнений 66

一 一 一 —геометрия Винера — Хопфа 182

-- -- -- --一-- -- модифициро- вaнная 182

—— ——一——разветвленный волновод 45

一 —————с диэлектрическим заполнением 190

—— —— —— ——решетка из волноводов 66

——一 一 —一 一 с диэлектрической пластиной 185

Бесконечное произведение 24

——一асимптотическая формула 25

——асимптотическое приближение при больших kb 149

———компенсация экспоненциального множителя 58

———ошибка редукции 55

— — равномерная сходимость 50, 76

Биортогональность собственных волн волновода с анизотропным заполнением 87

Введение потерь в методе Винера — Хопфа 104

— — при деформации контура интегрирования 214

Векторный потенциал 26

Возбуждение диэлектрической пластины 177

Волновод с открытым концом 126, 156, 176, 180”

—_ — — дифракция ТМ-волны 156

— — — — излучение антисимметричной ГМ-волны 176

—————симметричной ТМ- волны 126

—————ТЕ-волны 180

—— —— тройным разветвлением 237

——флянцем 252, 303

Волновое уравнение 30

—число 43

Гамма-функция 22

—неполная 23

Геометрикооптическое поле 166

Геометрическая теория дифракции 165

Главный лепесток диаграммы направленности 63, 184

Гофрированная поверхность 79, 184

——периодически модулированная 203

Граничные условия 14

Двойной альтернант 48

Дельта-функция 74, 254

Дзета-функция обобщенная 151

—Римана 151

Дифракция на конечном отрезке волновода 293

Дифракция на полосе 312

— — полуплоскости 162, 178

———решение Зоммерфельда

162, 178

Изотропная среда 13

Импеданс 26

Импедансные граничные условия в плоском волноводе 80

——一—— ——разветвленном волноводе 78

Интеграл вероятности 40, 300

—Френеля 164

—— ——асимптотические выражения 165, 166

Интегральное уравнение Винера — Хопфа 97

Коэффициенты связи в решетке 72

Линия наибыстрейшего спуска 38

Магнитная стенка 145, 157, 250

Материальные уравнения 12

——一для холодной анизотропной плазмы 85

Мероморфная функция 58

Метод Винера — Хопфа 252, 253

———вывод интегрального уравнения 270

—— —— —— дифракция на конечном отрезке волновода 293

一 一 一 一 一 полосе 312

—— —— ——для волноводов, связанных щелью 280

—一 一 一 плосковой линии 312

—— —— ——описание метода 281, 293

———полубесконечная штыревая антенна 254

———разветвленный волновод с диэлектрическим заполнением 268

——一一ступенчатая неоднородность в волноводе 307

—вычетов 58

— — гофрированная поверхность 79

—— —— —— ——периодически модулированная 209

————заполненный анизотропной плазмой разветвленный волновод 86

Метод вычетов, фазированная решетка 63, 77

——эшелетт 82

—— Джонса получения уравнения Винера —Хопфа 114, 257

————решения модифицированного уравнения Винера —— Хопфа 270

——обобщенной матрицы рассеяния 323

—— —— —— ——волновод с диэлектрическим заполнением 232

——————открытым концом и диэлектрическим заполнением 241

— —————тройным разветвлением 238

———一 решетка из тонких лент 250

-- -- -- -- -- из прямоугольных волноводов 240

—一 一 —цилиндрическая антенна 306

—перевала 34, 147, 162, 168, 216

——прямого обращения для волновода с импедансными стенками 78

————разветвленного волновода 47

——сшивания в пространстве преобразований Фурье 202

———— ——треугольной области 82

——для открытых структур 219

——описание 42

Мода волновода круглого 29

——плоского 28

——прямоугольного 27

—— —— цилиндрического 26

Модифицированный метод вычетов 189

一 一 一 передающая полосковая линия 313

— — — разветвленный волновод с диэлектрическим заполнением 190, 245

———решетка из волноводов с диэлектрическим заполнением 243

————ступенчатая неоднородность в волноводе 198

———эшелетт 246

Обобщенная матрица рассеяния 232

Оптический резонатор 176

Особая точка функции 92

Относительная диэлектрическая

проницаемость 13

— сходимость 51

Поверхностная волна в гофрированной структуре 79, 212

—плотность тока 14

Полосковая линия 312

Постоянная Эйлера 23

Потери в среде 104

Представление полей асимптотическое 34

——в дальней зоне 39

—一 一 открытой области 30

Преобразование Лапласа 89

—Фурье 89

——в комплексной плоскости 92

—— —— ——полубесконечной области 91

——регулярность 93

—— ——теорема обращения 93

———свертки 94, 95

Признак сходимости Вейерштрасса 93

Разветвленный волновод 42

—— ——анализ решения 54

————решение методом Винера —— Хопфа 100

————вычетов 58

—— —— —— ——прямого обращения 47

————с диэлектрическим заполнением 198, 232, 268

—— —— ——импедансными стенками 80

—— —— ——конечной перегородкой 182

—— —— условия на ребре 43, 47, 51, 61

Разложение функции 99, 122

——общие формулы 124

Редукция системы линейных уравнений 48, 53

Решетка из прямоугольных волноводов с произвольной плоскостью сканирования 240

——тонких лент 250

Ряд Неймана 234

——сходимость 315

—Тейлора 39, 214

Свертка 90

Седловая точка 37

Синфазное возбуждение 63, 183

Сочленение двух волноводов 78

Спектральная амплитуда разложения по плоским волнам 31, 69, 206, 222

Ступенчатая неоднородность в волноводе 183, 198, 276

Тензор 13, 85

Теорема Лиувилля 100

——обращения для преобразования Фурье 90

Теорема свертки 90, 95, 97

Точка перевала 37

Трансцендентная функция 99

Угол сканирования 63

Уравнение Винера ——Хопфа 97

—— —— ——модифицированное 251

—Пуассона 312

Уравнения Максвелла 15

Условие на ребре 17, 99, 102, 118, 120, 165, 190, 197, 202, 244, 245, 261, 263, 278

Условия излучения Зоммерфельда 15

Фазированная решетка 63

————активный элемент 75

—— ——апериодическое возбуждение 68, 244

————коэффициенты связи 72

————с диэлектрическим заполнением 243

———толстыми стенками 239

Факторизация функции 98, 122, 131

—(cos м — ch 向 120

—ch уВ exp (—yR) 175

—exp (一y6) 129

——sh ya/ya 107

——sh yB/(yB exp (—yB)) 129

—— ——мероморфной 107

——стандартная формула 129

Формула Стирлинга 25

——суммирования Эйлера ——Маклорена 23

Функция Бесселя 29, 83

—— —— модифицированная 142, 255, 259, 262

—Грина 95, 251

—— ——волновода с диэлектрическим заполнением 270

———плоского 102, 105, 270

—Куммера 151

Характеристическая функция волновода 69

Целая функция 92

Цилиндрическая антенна бесконечная 254

——конечная 306

————полубесконечная полая 257

———сплошная 254

Эшелетт 82, 246

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие редактора перевода ..

Предисловие .

Основные допущения и обозначения ..

Глава 1. Предварительныесведения.

Введение .

Уравнения Максвелла .

Условие излучения и условие на ребре ..

Формулы для асимптотических разложений

«§ 5 Цилиндрические волноводы и периодические структуры

Представление полей в открытой области

Метод перевала .

Глава 2 Метод сшивания...

Введение .

Разветвленный волновод I. Формулировка задачи ...

Разветвленный волновод II. Решение методом прямого обращения ....

Решение редуцированной системы уравнении

Решение бесконечной системы уравнений

Разветвленный волновод III Анализ решения

Разветвленный волновод IV Решение методом вычетов ...

Излучение из бесконечной фазированной решетки, образованной пол у ограниченными волноводами, при периодическом возбуждении

Излучение из бесконечной фазированной решетки, образованной полуограниченными волноводами, при апериодическом возбуждении.

Задачи .......

Глава 3. Метод Винера — Хопфа

7

9

11

И И 14 22 26 2 弘

41

44 42

47 4S 5()

51 「3

(> 1

80 80 OS 8г 80 OS

12 3 4 5 12345666666

Введение

Преобразование Фурье ....

Свойства преобразования Фурье в комплексной плоскости а Формулировка задачи с помощью интегрального уравнения Решение уравнения Винера ——Хопфа Разветвленный волновод

Формулировка задачи с помощью функции Грига

Вывод уравнения Винера ——Хопфа

Факторизация мероморфной функции

Решение уравнения Винера ——Хопфа

Выражения для полей

Формулировка задачи методом Джонса

()Х 7U

8K

88 89 ()2

95

98 ICO 101 104 1()7 110 112 114

721384615814 1129134248267937222 123445566677 8 888999000111122334.1 .1 .1 4± 4± dx .1 4Х .1 dx 4± 41 .1 4Л 4± 4л -1 .1 .1 СЧ о^ пх^ пх^ О1 О1 СЧ СЧ О1721384615814 1129134248267937222 123445566677 8 888999000111122334.1 .1 .1 4± 4± dx .1 4Х .1 dx 4± 41 .1 4Л 4± 4л -1 .1 .1 СЧ о^ пх^ пх^ О1 О1 СЧ СЧ О11 14 5 75 5 5 5 52 2 2 2 21 14 5 75 5 5 5 52 2 2 2 2028035736666899900222222233028035736666899900222222233

721384615814 1129134248267937222 123445566677 8 888999000111122334

.1 .1 .1 4± 4± dx .1 4Х .1 dx 4± 41 .1 4Л 4± 4л -1 .1 .1 СЧ о^ пх^ пх^ О1 О1 СЧ СЧ О1

721384615814 1129134248267937222 123445566677 8 888999000111122334

.1 .1 .1 4± 4± dx .1 4Х .1 dx 4± 41 .1 4Л 4± 4л -1 .1 .1 СЧ о^ пх^ пх^ О1 О1 СЧ СЧ О1

1 14 5 7

5 5 5 5 5

2 2 2 2 2

1 14 5 7

5 5 5 5 5

2 2 2 2 2

028035736

666899900

222222233

028035736

666899900

222222233

Оглавление

Излучсчше бесконечной волноводной решетки с периодическим возбуждением

Обпще формулы для факторизации и разложения

Различные факторизационные формулы

Излучение из открытого конца волновода

Вычисление G+ (а) при %Ь》1

Связь краевых задач для открытой и замкнутой областей

Дифракция на Открытом конце волновода

Дифракция на полуплоскости

Анализ решения задачи о дифракции на полуплоскости

Решение задачи о волноводе с открытым концом ....

Сопоставление метода сшивания и метода Винера ——Хопфа Задачи

Глава 4. Обобщенный метод сшивания

Введение

Метод разложения определителя

Модифицированный метод вычетов

Решение для случая е「= 1

Модифицированный метод вычетов

Построение функции / (ш)

Сшивание в пространстве преобразований Фурье

Вывод уравнений

Метод решения

Поверхностные волны

Диаграмма направленности

Коэффициенты связи

Метод сшивания для открытых структур

Решение методом вычетов

Построение функции / (о?)

Комментарии к методу

Использование обобщенной матрицы рассеяния Задачи

Глава 5. Приближенные методы, основанные на методе Винера —— Хопфа

Введение

Полубесконечная круглая штыревая антенна

Решение для 1°° (z)

Вывод модифицированного уравнения Винера ——Хопфа

Решение обычного функционального уравнения Винера —— Хопфа

Решение модифицированного уравнения Винера ——Хопфа § 3. Разветвленный волновод с диэлектрическим заполнением .. § 4. Плоские волноводы, связанные щелью § 5. Дифракция на конечном отрезке волновода

Уравнения, Винера —— Хопфа

Решение при больших kL

§ 6. Излучение из волновода с фланцем Задачи

Приложение. Доказательство сходимости рядов Неймана

Список литературы

Предл1стньм1 ук.1 i;i нмн.

1) Заметим, что G (а)——преобразование Фурье функции g (z), а ^ g ('z — zj・

1) Границы области тени находятся из условия "|/2Л：р cos [(0 士 0о)/2]= =±М, где М ——настолько большое положительное число, что интеграл Френеля F (М) практически совпадает с первым слагаемым своего асимптотического разложения (3.12.37).

мы видим, что в случае ТМ-волн у нее имеется еще один нуль при w =——涼.

г миттра с.ли

АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ТЕОРИИ ВОЛНОВОДОВ

Р. МИТТРА

С. ЛИ

АНАЛИТИЧЕСКИЕ

МЕТОДЫ

ТЕОРИИ

ВОЛНОВОДОВ

Перевод с английского

А. И. ПЛИСА

Под редакцией

Г. В. ВОСКРЕСЕНСКОГО

ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»

Москва 1974

Книга посвящена разработке и обобщению методов решения краевых задач для дифференциальных уравнений математической физики прц помощи специальный образом построенных аналитических функции. Особенно мощным оказался здесь метод факторизации, с помощью которого были решены многие задачи электродинамики, теории упругости, статистической теории связи.

Приведенные в книге обобщения метода факторизации позволяют расширить круг краевых задач, поддающихся решению; описываются и другие аналитические методы. Несомненное достоинство книги — стремление авторов сравнить различные методы, выяви加 их достоинства и недостатки, наметить пути возможных обобщений.

Книга будет полезна как специалистам по математической физике, так и научным сотрудникам, работающим в различных областях физики и техники, которые получат мощный инструмент для репгения прикладных задач.

Редакция литературы по математическим наукам

© Перевод на русский язык, «Мир», 1974

20203-027

М 041(01)-74

27—74