ИЗЛУЧЕНИЕ И ШУМЫ В КВАНТОВОЙ ЭЛЕКТРОНИКЕ

В книге излагаются основы квантовой теории электромагнитного поля (при нерелятивистской рассмотрении движения электрона), а также ряд вопросов квантовой статистики и квантовой механики. Наибольшее внимание уделяется математическому аппарату теории. Книга является хорошим пособием для изучения оригинальных теоретических работ и монографий но квантовой теории излучения и квантовой электронике (вопросы когерентности и статистики излучения, взаимодействия интенсивного излучения с веществом, теории приборов квантовой электроники).

Книга будет полезна широкому кругу научных работников, преподавателей, аспирантов и студентов старших курсов физических факультетов.

ОГЛАВЛЕНИЕ

От переводчиков7

Предисловие10

Глава!

ДИРАКОВСКАЯ ФОРМУЛИРОВКА КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ

Введение15

12 Кет-векторы21

Скалярное произведение. Бра-векторы23

14 Линейные операторы29

15 Эрмитовы операторы34

Задача на собственные значения36

Наблюдаемые величины. Полнота. Разложение по собственным кет-43

векторам. 8-функпия Дирака

Матрицы52

19 Матричное представление кет- и бра-векторов и операторов53

Функции преобразования. Изменение представления58

Квантование. Пример непрерывного спектра64

Измерение наблюдаемых величин. Вероятностная интерпретация76

Принцип неопределенности Гейзенберга80

Динамическое поведение квантовой системы89

Представление Шредингера в квантовой механике93

Представление Гейзенберга94

Представление взаимодействия100

Волновая механика102

Свободная частица. Изменение во времени волнового пакета с104

минимальной неопределенностью

Глава II

ПРОСТЫЕ КВАНТОВЫЕ СИСТЕМЫ

ВведениеПО

Гармонический осциллятор112

22 Осциллятор в гейзенберговском представлении112

2.3. Задача о собственных значениях энергия осциллятора118

24 Физическая интерпретация операторов N, аи а+. Бозоны и фермионы 123

25 Функция преобразования от N-представления к q-представлению 128

Спин электрона130

Спиновый оператор Паули130

Энергия спина в магнитном поле136

Оператор спина в гейзенберговском представлении138

Электроны в электрическом и магнитном полях140

Гамильтониан электрона в электромагнитном поле140

Глава Ш

ОПЕРАТОРНАЯ АЛГЕБРА

3.1. Введение143

Произвольные операторы144

32 Некоторые теоремы об операторах144

Бозе-операторы рождения и уничтожения150

Нормальное произведение, оператор нормального упорядочения и151

нормальная форма

34 Алгебраические свойства бозе-операторов156

Решение уравнения Шредингера с помощью нормального170

упорядочения. Гармонический осциллятор с вынуждающей силой

Уравнение Шредингера для двух независимых пар бозе-операторов177

Производящая функция для собственных функций осциллятора.179

Волновой пакет с минимальной неопределенностью

Спиновые операторы Паули185

Алгебраические свойства спиновых операторов при s=l/2185

Глава IV

КВАНТОВАНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ

Введение191

42 Квантование LC-контура, возбуждаемого генератором192

Квантование линии связи, не имеющей потерь200

44 Представление классического поля излучения в полости в виде204

бесконечного набора осцилляторов

Уравнения Максвелла (204). Энергия и импульс поля (205). Разложение векторного потенциала А (г/) по собственным колебаниям полости (206). Разложение поля по плоским волнам (210). Импульс поля (214)

Квантование электромагнитного поля в вакууме215

Спектральная плотность собственных колебаний218

Коммутационные соотношения для полей в вакууме, относящиеся к 220 одному моменту времени

Коммутационные соотношения для Z) и А, относящиеся к одному моменту времени (220). Коммутационные соотношения для операторов Z) и 5,

относящиеся к одному моменту времени (224). Гейзенберговские

уравнения движения для векторов Dn В (225)

Нулевые флуктуации поля226

Классическое поле излучения при наличии источников230

Квантование поля при наличии источников233

Глава V

ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ИЗЛУЧЕНИЯ С ВЕЩЕСТВОМ

Введение237

52 Гамильтониан атома в поле излучения238

Теория возмущений, зависящих от времени240

54 Поглощение излучения атомом248

Индуцированное и спонтанное излучение возбужденного атома254

Теория естественной ширины линии излучения256

Эффект Допплера264

Распространение света в вакууме271

59 Полуклассическая теория электронного спинового резонанса277

Влияние соударений на уширение линий двухуровневой спиновой 282 системы

Спиновый резонанс в квантованном поле283

Глава VI

КВАНТОВАЯ СТАТИСТИКА

Введение292

62 Статистический оператор295

Некоторые свойства статистического оператора297

64 Уравнение движения для оператора р299

Чистое состояние302

Энтропия303

Матрица плотности для частиц со спином 1/2310

Характеристическая функция315

Распределение Пуассона317

Экспоненциальное распределение3?53

Сигнал плюс шум326

Энтропия сигналов и шумов330

Глава VII

КВАНТОВАЯ СТАТИСТИКА АТТЕНЮАТОРОВ И ЛИНЕЙНЫХ

УСИЛИТЕЛЕЙ

Введение335

72 Модель механизма потерь. Фононы337

Уравнения движения аттенюатора344

74 Характеристическая функция аттенюатора. Полуширина линии347

резонатора

Модель мазера355

Мазерные уравнения движения358

Мазерная характеристическая функция. Шумовая температура361

Стационарные решения для мазера364

Параметрический усилитель и модель для преобразователя частоты 367

Статистические свойства параметрического усилителя372

Характеристическая функция для преобразователя частоты374

Приложение А. Гамильтониан поля излучения в представлении плоских 377 волн

Приложение Б. Импульс поля в полости378

Приложение В. Свойства поперечной 8-функпин379

Приложение Г. Соотношения коммутации для DnB382

Приложение Д. Гейзенберговские уравнения движения для DnB383

Приложение Е. Вычисление соотношений коммутации для поля384

Приложение Ж. Вычисление сумм в уравнении (5.137)386

Приложение 3. Приближенное решение уравнений движения аттенюатора 389

Литература392

Предметный указатель395

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬнекоммутативных Вектор состояния 23Вероятность перехода 247в единицу времени 248Вигнера ——Вайскопфа приближение258Волновая функция 19ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬнекоммутативных Вектор состояния 23Вероятность перехода 247в единицу времени 248Вигнера ——Вайскопфа приближение258Волновая функция 19

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬнекоммутативных Вектор состояния 23

Вероятность перехода 247

в единицу времени 248

Вигнера ——Вайскопфа приближение

258

Волновая функция 19

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬнекоммутативных Вектор состояния 23

Вероятность перехода 247

в единицу времени 248

Вигнера ——Вайскопфа приближение

258

Волновая функция 19

Алгебра

операторов 65

Амплитуда вероятности 78, 79

Ансамбли статистические 220, 232

Антикоммутатор 125, 132

Аттенюатор 335

——,уравнение движения 344

——,характеристическая функция 347

Бекера — Хаусдорфа теорема 149

Блоха теорема 325

Бора магнетон 91, 136

Бозоны 123

—,операторная алгебра 98—134

Бра-вектор 26

—,длина 28

—,матричное представление 53

де-Бройля длина волны 88

Взаимодействия представление 100,

102

Вектор-потенциал 206

,разложение по нормальным

колебаниям 206, 210

,плоским волнам 210

,интерпретация вероятностная 76

,——геометрическая 19

,представление импульсное 18

Волновая функция, представление координатное 17

—— ——состояния с минимальной неопределенностью 87

Волновой пакет 88

Вырождение 105

Гамильтона уравнение 99

для осциллятора 113

Гамильтониан 112

——атома в поле излучения 238

—осциллятора 115

Гармонический осциллятор 75

в переменном электрическом

поле 170

Гауссов шум 326

Гауссово распределение 325

Гейзенберга представление 94

для осциллятора 112

операторов спина 138

——уравнение движения 94

для А 235

Dn В 225

линии связи 203

Гильбертово пространство 29, 126

Дельта-функция Дирака 29, 43

——поперечная 234

Динамические переменные 43, 64

Динамическое поведение системы 89

Дипольный момент атома 250 ,матричный элемент 250, 251

Дирака 8-функция 29, 43

Дираковская формулировка волновой механики 15, 17

Длина кет- и бра-векторов 28

Допплера эффект 264

Закон сохранения импульса 265

Законы сохранения 246, 265

при излучении фотона 265

квантовых переходах 246

Золотое правило Ферми 248

Излучение индуцированное 254

——спонтанное 254

Измерение напряженностей поля излучения 228

——энергии стационарного состояния 257

Импульс поля излучения 156, 214. 215

Интеграл движения 104

Кет-вектор 19, 21

—,длина 28

—,матричное представление 53

Квантование поля излучения 215, 233

——линии связи 200—204

Квантовые шумы 336

мазера 272

Коммутационные соотношения 65

дляDnA 220

DnB 224

Консервативная система 89

Кронекера символ 40

Кулоновская калибровка 230

Линейное векторное пространство 21

Лоренцевская форма линии 271, 276

Лэмбовский сдвиг 257

Мазер 335, 355

——,уравнения движения 357

——,,стационарные решения

364

——,характеристическая функция 361

Максвелла ——Больцмана

распределение 308, 309

Максвелла уравнение 204

Максвелла уравнение без источников 204

с источниками 230—232

Матрица 52

—обратная 52

——плотности 294

—унитарная 52, 62

——эрмитова 52

——эрмитовски сопряженная 52

Матричное представление 52

Модель резонатора 339

Момент количества движения!30,

131

,соотношения коммутации

131,132

Наблюдаемые величины 43, 44, 64

,измерение 44, 76

,среднее значение по ансамблю 77

Норма векторов 28

Нормальная форма функции

операторов 154

Нормальное произведение 151

Нулевые колебания 108, 192, 351, 354

Оператор 29

——нормального упорядочения 151

—,матричное представление 53, 126

—обратный 32

—рождения 103

—сдвига 70

——спиновый Паули 130

——статистический 294

——тождественного преобразования

30, 32, 39

—унитарный 67, 90

——уничтожения 116, 150

—числа частиц 118, 124, 157

——эрмитов 34, 64

Ортогональность 39

Осциллятор 112

——5волновые функции 128

——,гамильтониан 115

—,производящая функция 179

——,энергетические уровни 123

Осцилляторы связанные 177

Параметрический преобразователь

частоты 367

,уравнения движения 371

,характеристическая

функция 374

—усилитель 367

,статистические свойства 372

,уравнения движения 371

Планка распределение 352

Поглощение излучения 248

Поле излучения в полости 204

,импульс 156, 214

,квантование 215, 233

,энергия 205

Полнота системы собственных

функций 42, 50

Полуширина линии резонатора 347

Представление взаимодействия 100, 102

—Гейзенберга 102

——импульсное 20

——координатное 18

——матричное 52

——числа частиц 124

—Шредингера 93, 102

Преобразование подобия 63

—унитарное 63,90

Принцип неопределенности 84

——суперпозиции 22

Причинность 15, 16

Пуассона распределение 198,238, 317

—скобки 100

Свободная частица 104

Сигнал плюс шум 326

Скалярное произведение 23

След (шпур) 52

——спиновых операторов 133

Собственная функция 104

Собственные значения 36

импульса 67

координаты 67

—колебания плоскости 218

,спектральная плотность 218

Собственный вектор 36, 37

Соответствия принцип 65

Соотношение неопределенностей 84

——ортогональности 39

——ортонормировки 70

——полноты или замкнутости 42,

Состояние вакуума 354

——сминимальной

неопределенностью 353

Спиновые операторы Паули 130, 185

,базисные векторы 133

,представление Гейзенберга

138

,—Шредингера 139

,собственные значения 133

,соотношения

антикоммутации 133

,——коммутации 133

Статистический оператор 294

Статистический оператор осциллятора в тепловом равновесии 308

,уравнение движения 299——302

частиц со спином 310

чистого состояния 302

Тепловой шум 350, 354

Унитарное преобразование 63, 90

Уравнение движения 17

намагниченности 315

,представление взаимодействия 100

,—Гейзенберга 94

,—Шредингера 17

Условия нормировки 40

——ортопормировки 46

Фермионы 123

Фононы 337

Функция преобразования 58,128

—распределения вероятностей 87, 317

—характеристическая 315

аттенюатора 347

мазера 361

Функцияхарактеристическая

осциллятора в тепловом равновесии 323——325

преобразователя частоты 374

Чистое состояние 293, 302

Шварца неравенство 83

Ширина линии 256

допплеровская 269

естественная 262

,связанная со столкновениями

282

Шпур (см. след) 52

Шредингера уравнение 17

,зависящее от времени 89

,не зависящее от времени 75

,решение методом нормального

упорядочения 119

Шум тепловой 350, 354

Шумовая температура мазера 361

параметрического усилителя

374

преобразователя частоты 374

Экспоненциальное распределение

323

Электрона спин 130, 136

в магнитном поле 137

Электронный спиновый резонанс 277

,теория квантовая 283

,——полуклассическая 277

Энергия поля излучения 205

Энтропия 303

——сигналов и шумов 330—333

Эренфеста теорема 310, 315

Эрмитово сопряжение 27, 34

ОТ ПЕРЕВОДЧИКОВ

Немногим более 50 лет назад было сделано открытие', которому позднее суждено было сыграть большую роль в создании новой области науки и техники—квантовой электроники. В 1916 г. Альберт Эйнштейн, исследуя равновесие системы атом — поле излучения, показал, что помимо самопроизвольного ——спонтанного ——излучения при переходе атома из верхнего в нижнее энергетическое состояние должно возникать также индуцированное излучение, вызванное действием на атом электромагнитного поля. Роль индуцированного излучения в работе квантового генератора была выяснена вначале в радиодиапазоне, и лишь позднее представления и методы радиофизики были перенесены в оптику и привели к созданию лазеров. В этой работе очень важное значение имели исследования советских физиков Н. Г. Басова и А. М. Прохорова и американского физика Ч. Таунса. Их достижения в области квантовой электроники отмечены Нобелевской премией.

После изобретения лазера началось бурное развитие квантовой радиофизики в оптическом диапазоне. Ряд тонких вопросов теории лазеров и особенно вопросы взаимодействия лазерного излучения с веществом потребовали применения методов квантовой электродинамики, которая, из «чистой» теории превратилась в основу ряда инженерных расчетов.

Таким образом, возникла необходимость в книге, в которой излагались бы основы квантовой теории поля применительно к нуждгш квантовой электроники. Именно такой труд и представляется читателю. В первых трех главах книги излагается математический аппарат квантовой механики, причем в первой главе подробно объясняется система обозначений Дирака. Дираковский формализм широко применяется в теоретических работах ио квантовой электронике, и поэтому детальное его описание представляется

весьма полезным. Четвертая и пятая главы книги посвящены теории квантованного электромагнитного поля, а шестая и седьмая ——квантовой статистике и теории шумов. Изложение математического аппарата теории, весьма подробное и удачное в педагогическом отношении, облегчает изучение этих трудных вопросов. Вместе с тем нужно отметить, что для изучения ряда вопросов, особенно теории шумов, нужно привлекать одновременно и другие книги и статьи, так как автор не всегда достаточно разъясняет физическую сторону дела. В этой связи следует указать на ряд книг и монографий, в которых изучаются сходные вопросы. Например, статистика электромагнитного поля более подробно, чем у Люиселла, излагается в лекциях Глаубера [1] и в недавно вышедшей в русском переводе книге Клаудера и Сударшана 12]. По отношению к этим книгам труд Люиселла является введением в математический аппарат теории. Формализм матрицы плотности и его использование в квантовой электронике излагаются в книге Файна и Ханина [3] и в статьях, цитированных в этой книге. Для более глубокого изучения квантовой электродинамики можно воспользоваться книгами А. И. АхиезераиВ. Б. Берестецкого [4], Н. Н. Боголюбова и Д. В. Ширкова [5], Гайтлера 16], В. А. Фока [7], В. Б. Берестецкого, Е. М. Лифшица и Л. П. Питаевского [8,9].

Нужно также отметить, что в книге приводятся интересные и оригинальные результаты автора и Геффнера —— предлол^енный ими метод решения уравнения Шредингера —метод упорядочения операторов. Поэтому книга будет интересна также теоретикам, работающим в области физики твердого тела и в других областях физики, где используются методы квантовой теории поля.

В книге такого объема и назначения некоторые просчеты почти неизбежны. Очевидные ошибки автора, которые мы сумели заметить, исправлены в тексте без. оговорок.

Подводя итог, можно сказать, что эта книга является очень полезным пособием для изучения математического аппарата современной теоретической квантовой электроники и что тем, кто даст себе труд ее разобрать, она поможет в изучении оригинальных работ по квантовой электронике. Книга переведена и отредактировала С. Н. Столяровым —I и VII главы, В. П. Быковым — П, IV и V главы и В. М. Буймистровым — III и VI главы.

Р. Г л а у б е р, Оптическая когерентность и статистика фотонов, в сб. «Квантовая оптика и квантовая радиофизика»,《Мпр», 1966.

Дж. К л а у д е р, Э. С у д а р ш а н, Основы квантовой оптики, «Мир», 1970.

В. М. Ф а й н, Я. И. X а н и н, Квантовая радиофизика《Сов. радио», 1965.

А. И. А х и е з е р, В.Б.Берестецки й, Квантовая электродинамика, «Наука», 1969.

Н, Н. Б о г о л ю б о в, Д. В. Ш и р к о в, Введение в теорию квантованных полей, Гостехиздат 1957.

В. Г а й т л е р, Квантовая теория излучения, ИЛ, 1956.

В. А. Ф о к, Работы по квантовой теории поля, Изд~во ЛГУ, Л., 1957.

В. Б. Б е р е с т е ц к и й, Е. М. Л и ф ш и ц, Л. П. Пита- е в с к и й, Релятивистская квантовая теория, часть 1 f《Наука», 1968.

Е. М. Лифшиц. Л. П. П и т а е в с к и й, Релятивистская квантовая теория, часть 2,《Наука», 1971.

В. Буймистров, В. Быкову С. Столярив

ПРЕДИСЛОВИЕ

До последних лет интересы инженеров, работающих в области электроники, ограничивались в основном применениями основных положений классической физики. Однако после изобретения таких замечательных приборов, как транзистор и мазер (отметим только два), знание квантовой механики стало существенным для инженех^а, который хочет заниматься исследованиями или понимать основные принципы действия таких приборов. Позднее, с появлением лазеров, внимание инженеров сосредоточилось на квантовой природе света и одновременно возникла необходимость понимания определенных разделов квантовой теории поля и квантовой статистики. В последние годы было написано много прекрасных руководств по этим предметам, но они предназначены для студентов-теоретиков, которые интересуются главным образом физикой высоких энергий. В этих работах теория излагается в ре- лятивистски-ковариантпой форме, которая необходима для физики высоких энергий. К сожалению, такая трактовка математически сложна. Однако основные положения теории и математическая техника, которые были развиты в квантовой теории поля, оказались очень полезны во многих проблемах в оптике, физике твердого тела и других областях. Количество таких проблем все время возрастает. Примерами недавно возникших проблем являются эффекты спонтанной эмиссии, квантовые флуктуации и квантовые шумы, ограничивающие чувствительность приемников изл^^чения. Та же техника оказалась полезной при изучении когерентности лазерного света и играет важную роль в теории связи. Однако в этих задачах релятивистская ковариантность теории несущественна. В связи с этим представляется полезным появление книги, которая является введением в кваптовую теорию поля и ста-

тистику и не содержит математических сложностей, связанных с полной релятивистской трактовкой поля.

Книга может быть полезной для студентов, изучающих электронику и физику и интересующихся физическими принципами и математической техникой, которые лежат в основе квантовой теории поля и квантовой статистики. Теория взаимодействия излучения с веществом, развитая Дираком, излагается здесь в нерелятивистской форме. Для студентов. к（；торые в дальнейшем столкнутся с физикой высоких энергий, эта книга также может быть полезной как введение в теорию поля. Развитая в книге математическая техника применима и при ковариантной формулировке теории. Изложенные в книге сведения из операторной алгебры могут служить удобным источником справок, так как многие результаты собраны здесь в подходящей для этой цели форме.

Предполагаемся, что читатель знает шредингеровскую формулировку нерелятивистской квантовой механики и классическую электромагнитную теорию и обладает соответствующей математической подготовкой.

Дираковская формулировка квантовой механики обладает заметными преимуществами, так как использует краткие обозначения и одновременно является весьма общей. Она пшроко применяется в литературе. Поэтому нам казалось необходимым посвятить первую главу дираковской формулировке квантовой механики. Мы излагаем дираковскую формулировку, опираясь на шредингеровскую формулировку квантовой механики. Предполагается, что читатель знаком с волновыми функциями, с волновым уравнением и т. д. Мы вводим здесь важные понятия квантовой механики, такие, как бра- и кет-векторы, линейные операторы, «набл юдаемые», гильбертово пространство, представления Шредингера, Гейзенберга и иредставлекие взаимодействия, принцип неопределешюсти. Читатель, которому наше изложение покажется излишне кратким, найдет ссылки на более подробное изложение в гл. 1.

Гармонический осциллятор играет центральную роль во многих областях чоории. Он важен, например, в теории электромагвитнои} излучения и упругих колебаний в твердых темах. В связи с этим гл. II посвящена изучению квантованного одномерного гармонического осц1и!ляторг1 по Д.ираку. Осциллятор является хорошим примеров! для

иллюстрации общей теории. Рассматривая задачу об осцилляторе, можно естественным образом ввести операторы рождения и уничтожения и кванты поля (фотоны, фононы и т. д.).

Другая очень важная элементарная квантовая система —это частица со спиновым моментом ^/2, или, как обычно говорят, частица со спином 1/2. Протоны и электроны попадают в эту категорию и подчиняются статистике Ферми —— Дирака. Во второй главе вводятся спиновые операторы Паули, которые описывают эти частицы в нерелятивистском приближении, и устанавливаются некоторые полезные свойства операторов Паули.

Наконец, в конце гл. II приводится гамильтониан электрона в электромагнитном поле. Это необходимо для изучения взаимодействия вещества с полем излучения.

Операторы рождения и уничтожения, которые описывают фотоны, и спиновые операторы, которые используются для описания сшша электрона, подчиняются некоммутативной алгебре. Многие обычные алгебраические операции нельзя применять в некоммутативной алгебре. В гл. III излагается математическая техника, которая дает несколько необычный, но очень удобный метод обращения с этими операторами. Эта техника была ранее развита теоретиками, работающими в области квантовой теории поля. По существу она очень проста, но ранее была рассеяна по различным статьям и книгам. Книга могла бы быть написана и без этого материала, но тогда было бы гораздо трудней провести многие приведенные здесь расчеты.

Основные положения дираковской теории квантования поля излучения изложены в гл. IV и развиты в гл. V. Эта теория объясняет дуализм волна ——частица для света и является основой теории вторичного квантования. Теория вторичного квантования здесь опускается, так как ее введение сильно усложнило бы наше изложени.е. Глава IV начинается с квантования контура (LC-контур и линия передачи без потерь), далее устанавливается связь с квантованием поля излучения. Обсуждаются нулевые колебания поля, соотношения коммутации для поля и квантование поля излучения с источниками.

Теория взаимодействия излучения с веществом излагается в гл. V. В этой главе показывается, каким образом теория Дирака объясняет поглощение и излучение света

атомами и как спонтанное излучение объясняет естественную ширину спектральной линии, связанную с переходами между состояниями атома. В той же главе объясняется эффект Допплера и распространение света в вакууме. В конце главы излагается полуклассическая теория электронного спинового резонанса, а также изучается уширение спектральных линий, обусловленное столкновениями, и влияние квантования поля на спиновый резонанс.

Как отмечалось ранее, физики и инженеры встречаются со все большим числом задач, в которых очень полезно применять статистический оператор квантовой статистики. Гл. VI посвящена статистическому оператору, некоторым из наиболее важных его свойств и ряду его простых применений. Далее вводится понятие энтропии, которое играет существенную роль в теории связи. В квантовой статистике, как и в классической, исключительно важную роль играет характеристическая функция. Она вводится в гл. VI.

Гл. VII посвящена применению принципов, которые были изложены в преиндущих главах. В качестве примера рассматриваются мазер и аттенюатор. Модель аттенюатора полезна для фепомепологической трактовки теории релаксации, Силу методов теории поля, развитых в этой книге, можно было бы продемонстрировать и на многих других примерах. Например, па вопросе о когерентности лазер- иого света (включая опыт Хэнбери ——Брауна — Твисса), который был изучен недавно Глаубером, Манделом и Воль- фол1； или на нелинейных оптических эффектах, таких, как комбинационное рассея1ше, гетеродинирование и т. д., которые широко изучались Бломбергеном и сотр. и Франкеном и сотр. Для сокращения объема книги эти вопросы опущены.

Автор с большим удовольствием благодарит доктора Геффнера из Станфордского университета за его ободряющую и полезную критику и обсуждения при написании книги. Доктор Л. Р. Уолкер из фирмы «Лаборатории Белл Телефон» провел много часов, терпеливо обучая меня алгебре бозе-операторов, изложенной в третьей главе; я очень обязан ему. Доктор И. II. Гордон из фирмы《Ла- борэтории Белл Телефон» постоянно стимулировал мою деятельность; я весьма ему признателен. Я также обязан доктору Д. Валека из Станфордского университета за

разрешение познакомиться с его курсом квантовой электродинамики.

Рукопись книги подвергалась плодотворной и конструктивной критике многих рецензентов. Я хочу специально отметить доктора Е. Вигмана из Калифорнийского университета в Беркли, доктора К. Ф. Квейта из Стапфорд- ского университета, доктора Р. Р. Льюиса из Мичиганского университета и доктора М. Лэкса из фирмы «Лаборатории Белл Телефон».

Мисс Лин Давидсон из Стаифордского университета, миссис Э. Джешшвс и мисс Джой Катануаро из фирмы «Лаборатории Белл Телефон» провели много часов, печатая и корректируя рукопись. Их терпение и настойчивость и громадной степени облегчили написание книги.

Уильям Люиселл

Глава /

ДИРАКОВСКАЯ ФОРМУЛИРОВКА КВАНТОВОЙМЕХАНИКИ

Введение

Неудача классической механики при объяснении таких экспериментальных результатов, как устойчивость атомов и вещества,騎злу叮снео черного тела, теплоемкость твердых тол, корпускулярно-волновой дуализм света и матер!4алы1ых частиц и т. д., привела физиков г ясному пониманию того, что классических понятий, в сущности, недостаточно для описания явлений атомного масштаба. Для объяснения всех заказанных выше явлений был необходим существенный отход от многих понятий классической механики. Этот отход от классических понятий был сформулирован в виде некоторого основополагающего закона природы, принятого без доказательства и заключающегося в том, что cj ществует вполне .определен}!ая граница точности любых измерений, произв(>димых над физической системой. Иными словами, всякое измерение уже само по себе возмущает систему, и, таким образом, независимо от тщательности, мастерства и изобреталыюсти гжепе- римевтатора, всякая систем^! при измерении изменяется неконтролируемым образом. Возмущение, производимое измерением, требует, в свою очередх^, видоизменения классического понятия причинности, ибо в классике всегда существует причинная связь между системой и измерением. Все это приводитв конце концов к такой теории, в которой при измерении можно предсказать лишь вероятность получения того или иного результата, а не точное его значение, как это имеет место в классике. Эта глфоятностная интерпретация теории существенно отличается от статистической

теории в классической физике. В последней понятие вероятности необходимо лишь в силу тех практических соображений, что очень трудно, например, измерить координаты и импульсы всех 1023 газовых молекул макроскопического объема, хотя в принципе это можно было бы сделать с любой наперед заданной степенью точности. В квантовой механике из-за возмущений, вызываемых измерением, точные измерения коор/птпат и импульсов невозможны даже в принципе.

С другой стороны, если в течение определенного итттер- вала времени над физической системой не производят^ ся никакие измерения, то в течение этого промежутка времени система подчиняется причинному закону развития.

Иными словами, в отсутствие измерений состояние системы в момент времени / может быть получено из состояния системы в более ранний момент времени % вполне определенным предсказуемым и причинным образом.

Отсутствие причинности и вероятностная интерпретация квантовой механики требуют для ее описания специфической математики, во многом отличной от математики, используемой в классической механике. Изложение этой специфической математики и составляет большую часть настоящей главы.

Классическая механика должна содержаться в квантовой механике как предельный случай, ибо классическая механика справедлива лишь тогда, когда можно пренебречь возмущением, вызываемым измерением. В этом случае квантовое описание системы должно переходить в классическое описание при условии, что квантовая система имеет классический аналог. Этот принцип называется «принципом соответствия». Он ограничивает возможные формы квантовой теории.

В этой главе мы дадим упрощенное рассмотрение дираковской формулировки нерелятивистской квантовой механики.

В большинстве случаев мы будем ограничиваться рассмотрением одномерных задач, так как обобщение задач на трехмерный случай, как правило, является достаточно ясным и простым. Проблема вырождения для простоты также будет обсуждаться только вкратце. В последней части главы k будет показано, как

из более общей формулировки Дирака может быть получена шредингеровская формулировка нерелятивистской квантовой механики.

Автор ни в коей мере не претендует на математическую строгость изложения теории и ради ^простоты опускает многие тонкие и более трудные вопросы. Постулаты теории не будут полными, однако они должны быть вполне достаточными для того, чтобы читатель мог познакомиться со многими математическими методами и физическими понятиями, содержащимися в квантовой .механике. Коротко говоря, данная глава предназначается как введение в дираковскую формулировку квантовой механики; для более глубокого изучения этого предмета читатель отсылается к любой из превосходных книг по квантовой механике [1 ——7].

Дираковская формулировка содержит понятие векторов (и операторов) в пространстве конечного или бесконечного числа измерений. В качестве примера дадим простую иллюстрацию того, как такие векторы появляются в теории. Рассмотрим частицу с массой т, движущуюся в поле одномерного потенциала V (7), где q ~ координата частицы, которая может принимать любое значение от ——8 до + оо, т. е. частица может находиться в любой точке этого одномерного пространства. Согласно шредип- геровской формулировке волновой механики [4] состояние частицы в момент времени t описывается волновой функцией в координатном представлении 屮(g, t). Если над системой не производятся никакие измерения, то это состояние 屮(°, %) развивается только причинным образом из состояния с волновой функцией 屮(g,力)в момент времени % согласно волновому уравнению Шредингера, которое имеет вид

[一费詣十?9)]屮0，9 =汤叭0，力

где 方 ——постоянная Планка, деленная на 2л.

Вероятностная интерпретация функции 屮(夕，力)(необходимая при измерении положения частицы) заключается в следующем: величина |屮(夕，圳2 dq дает вероятность нахождения частицы в интервале между q и g + dg в тот момент времени 厶 когда определяется положение частицы.

Мы можем получить другую волновую функцию, если взять фурье-образ функции 立(g,方))

T "% *)= 击,f 叭公 ^ ахр (一号)dg.

Она называется волновой функцией в импульсном представлении, а величина р является импульсом частицы. При этом функция ср (р, ^) полностью определяется волновой функцией яр(7, t), которая предсгавляег состояние системы в момент времени 九 Следовательно, можно сказать, что функция ср (р, t) представляет то же самое динамическое состояние системы, что и функция 屮(q,力). Для импульсной волновой функции 屮(р, 0 вероятностная интерпретация заключается в том, что величина I ср (р, t) |2 dp дает вероятность нахождения импульса частицы в процессе измерения в интервале между р и р Т- dp.

Теория может бглть развита одинаковым образом как в координатном, так и в импульсном нредставленшт. Фактически представление играет ту ?ке самую роль, которую играет система координат в обычной геометрии. В обычной геометрии любые задачи могут быть решены с помощью векторов без использования конкретной координатной системы (и, следовательно, в более общем виде). Поэтому интересно задать вопрос: может ли и квантовая механика быть сформулирована в таком виде, который не зависел бы от вида используемого представления? В этом случае все результаты не зависели бы от вида представления. Следует все же подчеркнуть, что в такой формулировке ни в коей мере не должны быть потеряны очевидные преимущества использования копкретиого представления. При проведении конкретных вычислений всегда необходимо использовать удобное представление, подобно тому как при проведении конкретных вычислений в векторном анализе всегда может быть выбрана удобная система координат

Именно в этом и заключается основная цель дираковской формулировки квантовой механики: развить теорию, не зависящую от какого-либо определенного представления.

Для того чтобы понять, как развивается программа построения такой теории, попытаемся дать геометрическую интерпретацию волновой функции 屮（q） в момент времени 厶 восгюльзовавтись при зтом понятием вектора ）• Каг; указывалось ранее, координата q может иметь любое знаиеиие в интервале от —— 8 до 十 оо. Для каждого конкретного значения q （например,夕「 飲，6» .-.） волновая функция 屮（г/） принимает значения 屮 匂丄），ip 匂2）,屮（Уз），•・• Мы мож（'М rancj小 представить себе пространство с бесконечным числом измерении, которое имеет систему взаимно перепелдикулярш.гх осей, шпкдая из которых обозначается 0ДШ1Л1 из значений q （先，彰，Сз,…），а величины ^ （q^^ 屮（效）， ip （夕3）, ... являются проекциями некоторого вектора соответственно и а оси координат 夕工,q^ ^3,... Тогда такой вектор представляет состояние системы точно так же, как и его проекции. Так как этот вектор комплексный, то он не является обычным вектором, и поэтому мы должны ввести для него специальное обозначение, так ж о как это делается для обычного вектора. Для того чтобы отличить его от обычных векторов, Дира к использует 乂口兄 обозначения этого вектора символ |、и называй?г его кет-векгором или просто кет. В частности, вектор, ггомионенты которого равны 屮（（/J,屮（&）, …，называется кеи-вектором 屮 и обозначается J ^;. Рис. I схематически показывает вид вектора I ip' и его «проекции» на указанные выше взаимно перепей- дикулярньте оси. К с{"калспию, из всех осей могут быть пок а залы лишь три.

Двигаясь далее по пути аналогии, мы можем сказать, что если А является обычным вектором, а （胃,у, z） — де- 1^артовы координаты, то вектор Л лю;кет быть определен путем задания его проекции на эти оси: 4 =（厶工，4勿 Л z）, т. е. вектор 4 может быть «представлен» с IIO^^OIЦЫ＜） его проекций. Точно так же и кет-вектор | 屮）может быть определен с помощью его проекций на ортогональные

g-ocu: I 屮〉=[屮（％）,屮（92）, -••]• Таким образом, величина А представляет вектор точно так же, как это делают его проекции на определенные оси. Аналогичным образом вектор I 屮〉представляет состояние системы точно так же, как это делают его проекции на『оси. В последнем случае говорят, что кет-вектор задается в координатном представлении.

Вектор А может быть также задан с помощью его проекций на оси другой декартовой системы коорди

нат （汽',yf, /）, повернутой относителъно системы （寫,у, z）:нат （汽',yf, /）, повернутой относителъно системы （寫,у, z）:Рис. 2. Нагляд1!ая диаграмма кет-вектора и трех его компонент в импульсном пространстве.Рис. 2. Нагляд1!ая диаграмма кет-вектора и трех его компонент в импульсном пространстве.Рис. 1. Наглядная диаграмма кет- вектора и трех его координатных представлений.

нат （汽',yf, /）, повернутой относителъно системы （寫,у, z）:

нат （汽',yf, /）, повернутой относителъно системы （寫,у, z）:

Рис. 2. Нагляд1!ая диаграмма кет-вектора и трех его компонент в импульсном пространстве.

Рис. 2. Нагляд1!ая диаграмма кет-вектора и трех его компонент в импульсном пространстве.

I г|）〉может быть задан в другом предстаглеппи: | 屮〉— =[①（卩3 ①（卩2）,屮（Рз）,…9т。представление называется импульсным и может бьиь выражено через проекции того же самого вектора | 屮；на систему координат, оси которой повернуты по отношению к осям старой системы координат; это показано па рис. 2. При этом связь между величинами q ^ р определяется преобразованием Фурье.

Отсюда ясно, что должно существовать бесконечное число других эквивалентных представлений состояния системы, которые, очевидно, не могут быть столь наглядными, если не вводить в теорию понятие кет-векторов. Для того чтобы развивать теорию дальше, мы должны теперь более точно определить свойства кет-векторов.

Кет-векторы

Как уже упоминалось выше, Дирак называет кет- векторами векторы, обозначаемые сиа1волом | а〉，| /〉 и т. д. Кет-вектор в общем смысле обозначается символом I >, а обозначение внутри этого символа указывает па частные кет-векторы.

В связи со сказанным выше, будем с каждым состоянием изучаемой динамической системы связывать определенный кет-вектор. Поскольку мы постулируем принцип суперпозиции состояний, т. е. что линейная суперпозиция состояний системы также является одним из состояний той же системы, то пространство кет-векторов должно быть линейным векторным пространством (см., например, [8]). b

Говорят, что векторное пространство является линейным векторным пространством, если оно содер?кит вместе с кет-векторами | а> и | Ь) любую их линейную комбинацию вида

I u> = Cj I а> + С21 й>, (1.1а)

где сг и с2 —— произвольные комплексные числа. Линейность векторного пространства является выражением принципа суперпозиции, заключающегося в том, что линейная комбинация двух состояний системы также является состоянием системы.

Если кет-вектор зависит от параметра /, который может принимать любые значения из некоторого интервала Wi W q' W @2， то мы можем обобщить соотношение (1.1а) на случай непрерывного набора состояний:

I» = \ с (矿)10〉М, (Lib)

где с (鼠)является обычной (комплексной) функцией параметра д', а вектор | р> принадлежит кет-пространству. В случае приведенных выше соотношений (1.1а) и (1.1b) говорят, что кет-вектор | и> (или | и〉)линейно зависит от кет-векторов | 〃〉и | 6〉(или от |『〉)・ Если в некоторой совокупности (двух или более) кет-векторов ни один из них не может быть выражен в виде линейной комбинации

любых других кет-векторов из данного набора, то говорят, что эти векторы линейно независимы.

Хотя классический и квантовый принципы суперпозиции, как мы увидим ниже, различны, полезно отметить некоторую аналогию между ними. Например, если i, j и к являются тремя взаимно перепендикулярными единичными векторами в обычном пространстве, то любой другой вектор может быть записан в виде линейной комбинации этих трех векторов, т. е. любой другой вектор Л может быть записан в виде а = %i + c2j + c3k. С другой стороны, единичный вектор i не может быть выражен в виде линейлон комбинации других единичных вскто- ров j и к, и nooTOAiy он, как говорят, линейно незавмснм от j и к.

Если же рассматривается суперпозиция состояния с самим собой, то в результате мы не получим нового состояния, а снова получим первоначальное состояние, т. е. когда складываются величины с^ | а; и с2 | а〉, где с15 с2 — произвольные комплексные числа, то получается

Сг \ а, + с2 \ а) (q + 3)I。〉，

причем все кет-векторы q | а〉，с2 | а〉，(& + с2) I 〃〉представляют одно и то же состояние системы, за исключением случая, когда q + / = 0. Последний случай соответствует отсутствию состояния вообще. Таким образом, состояние системы целиком определяется « панр ci в лением» кет- воктора. А это означает, что кет-вскторы -j- | а) и —— | а) представляют од и о и то же состояние. Следовательно, между состоянием системы и «направлениелт» кет-вектора в пространстве кет-векторов существует взаимно однозначное соответствие. Это утверждение не имеет аналогов в классической механике. Оно показывает, что классический и квантовый принципы суперпозиции отличаются друг от Друга. '

Действительно, если в классической физике складываются два типа колебаний струны, отличающиеся друг от друга только амплитудой колебаний, то в результате образуется новый тип колебаний с другой амплитудой, т. е. в классической системе различные амплитуды соответствуют различным состояниям системы. Совершенно по-другому обстоит дело в квантовой дхеханике. Согласно сказан ному выше все три алшлитуды соответствуют о/цюму и тому

нее типу колебаний, так как в квантовой механике пет понятия, аналогичного классической амплитуде: существен ным является только направление кет-вектора. Кроме того, в квантовой механике вообще нет состояния, в котором полностью отсутствует движение (т. е. состояния с Ci + с? = 0, как это имело место в приведенном выше примере): отсутствие какого-либо движения вообще ничему пе соответствует в квантовой мехнике, в то время как в классике состояние покоя является одним из состояний системы.

Пространство кет-векторов, или «векторов состояний», может иметь конечное или бесконечное число измерений. Размерность (или число измерений) пространства определяется количеством линейно независимых кет-векторов в этом пространстве. Так как независимые состояния квантовой систелгы изображаются независимыми кет-вектора- ми, то размерность 1гространства определяется числом независимых состояний квантовой системы.

Скалярное произведепне. Бра-векторы

Мы ввели кет-векторы в абстрактном линейном векторном пространстве, утверждая, что их проекции ла данную систему ортогональных осей в бесконечномерном пространстве (т. с. в пространстве с бесконечным числом измерений) дают значение волновой функции 屮(q, Z) в момент времени t в координатном представлении. Этот формальный прием помогает нам наглядно представить процедуру введения кет-всктора. Наиболее существенный момент в определении кот-векторов состоит в том, что направление вектора в кст~простраистве и каждое состояние системы находятся во Езаилгно однозначном соответствии между собой.

На определенном этапе изучения обычного векторного анализа вводится скалярное произведение. Одпо из возможных определений скалярного произведения состоит в том, что любой паре векторов А и В сопоставляется действительное число /, Которое записывается в виде

餐(4方).

На первый взгляд это определение может показаться весьма странным. Однако после небольшого размышления видно, что это определение является более общим, чем

любая другая формула, которую мы можем привести для вычисления числа j по заданным векторам А и В. Одной из таких формул является формула / = | 4 | | В | cos^, где первые два множителя дают абсолютные значения векторов А и В, а 自 一угол между этими векторами. Однако длина любого вектора уже сама по себе определяется только через скалярное произведение вектора на самого себя, так что в действительности последняя формула нс может являться настоящим определением понятия скалярного произведения двух векторов, несмотря на то что опа бывает очень полезной на практике.

В более общем понимании скалярное произведение некоторого вектора В со всеми другими векторами 4 в пространстве может рассматриваться как способ определения самого вектора В. Действительно, если для всех векторов 4 задается некоторая совокупность чисел 『(3), то тем самым определяется и вектор 力.Например, в трехмерном пространстве в качестве таких векторов достаточно выбрать три единичных линейно независимых вектора i, j и к и определять любой вектор В с помощью задания скалярного произведения этого вектора В с каждым из этих трех векторов. Таким образом,

必= (8i), 々 = (Nj), BZ^{B^

и три числа Вх, Зу и 3? однозначно определяют вектор В в трехмерном пространстве.

В теории обычных векторов одним из постулатов является утверждение, что указанная выше функция / (В) есть линейная функция вектора В. Это означает, что если 3工 и 刃2 — два вектора, то

(4(81+生))=(4 修)+ (4马)，

(4(с8)) = с(4 8),

где с ——число. Очевидно, что совокупность чисел / (В) может рассматриваться как функция вектора В. Собствен' но говоря, здесь имеется в виду то же самое, что мы обычно понимаем при определении некоторой функции 屮(а) от яепрерывной^'переменной а: с каждым а связывается некоторое число"屮(片).

Все приведенные выше скалярные произведения определены для векторов из одного и того же пространства.

Однако в кристаллографии существует интересный пример, в котором используется понятие скалярного произведения для определения вектора в другом пространстве. Будем считать, что векторы а, & и с являются базисными векторами трансляций кристаллической решетки в обычном пространстве. Мы можем определить базисные векторы трансляций а, 6* и с* в пространстве обратной решетки путем задания скалярных произведений векторов а东，匕* м с 东 ла векторы а, ^ис. Эти скалярные произведения имеют вид

(а* а) = 1, (а* &) = 0, а с) = и,(а* а) = 1, (а* &) = 0, а с) = и,(勿* 0) — 0, (勿")=1, (6 с) - 0,(勿* 0) — 0, (勿")=1, (6 с) - 0,(с*«) = о, (с”)=0, (с* с) = 1.(с*«) = о, (с”)=0, (с* с) = 1.

(а* а) = 1, (а* &) = 0, а с) = и,

(а* а) = 1, (а* &) = 0, а с) = и,

(勿* 0) — 0, (勿")=1, (6 с) - 0,

(勿* 0) — 0, (勿")=1, (6 с) - 0,

(с*«) = о, (с”)=0, (с* с) = 1.

(с*«) = о, (с”)=0, (с* с) = 1.

Следовательно, мы определили вектор а* в другом пространстве с помощью задания скалярного произведения этого вектора с тремя независимыми векторами а, & и с в обычном пространстве.

После этого весьма длинного введения мы определим скалярное произведение кет-векторов следующим образом. Каждому кет-вектору | 〃〉 сопоставляется комплексное число 九(В приведенных выше примерах с обычными векторами числа f были действительными, но мы уже упоминали, что кет-векторы являются более общими векторами, чем векторы в обычном пространстве.) Совокупность чисел, связанных с различными кет-векторами ] а), является функцией I а〉. Эта функция должна быть линейной *). Последнее означает, что если | ах> и | а2> являются двумя кет-векторами, то комплексное число, связанное с суперпозицией состояний I а】〉и I。2〉，является суммой чисел, связанных с состояниями системы |。工〉и | а2> отдельно； а число, связанное с состоянием системы с | а〉, где с —— комплексное число, равно числу с, умноженному на комплексное число, связанное с состоянием | а), т. е.

(1.2a)(1.2a)7 ( I «1> + I ”2〉)= " I 旬〉)+ /(I «2».

(1.2a)

(1.2a)

/(С а» = c/((ai〉).

Как и в случае приведенного выше примера с обратной решеткой, мы можем представить себе числа /, связанные со всеми кет-векторами в кет-пространстве, как координаты некоторого нового вектора в другом пространстве, обозначаемого символом </ I . Дирак называет векторы, обозначаемые символом〈 I, бра-векторами ). Мы можем теперь написать скалярное произведение двух векторов </ I и I а〉в виде

7(1 а» = </ |а>.(1.3)

Если мы для кая?дого кот-вектора | а〉задаем все числа /, то мы тем самым определяем некоторый бра-вектор (/ |. Пространство бра-векторов отличается ог пространства кет-векторов так же, как пространство векторов обратной решетки отличается от пространства векторов основной решетки. Однако оиределение бра- и кет-векторов является более общим, чем определение обычных векторов, ибо числа / в выражении (1.3) могут быть и комплексными, в то время как в примере с кристаллической решеткой эти числа были действительными.

Если использовать обозначение (1.3), то (1.2а) лгожно записать в виде

</1'| 旬〉+ I «2» = </I "1〉十 </ I «2>>

</|(С|й»-С</|«，>.

Так как бра-вектор определяется с помощью его скалярного произведения на кет-вектор, то бра-вектор 〈6 | равен нулю, т. е. <Ь| = 0, если〈Ь | а〉= 0 для любого кет-вектора | а >. Аналогично, бра-вектор〈Ь/ равен бра-вектору <&2 |, т. е. 〈％ | = 〈方2丨，если 〈Ь丄 | а) 匸 =〈匕2 I а〉 для любого кет-вектора | а>.

Сумма двух бра-векторов и произведение бра-вектора па число определяются через их скалярное.произведение на кет-вектор | а), т. е.

«^11 + <М)|«> = <М “〉+ <^21。〉，

(с(Ь|)|а> = с〈6|а〉.' •)

До сих пор мы определяли бра-векторы только с помощью скалярных произведений этих векторов па кст- векторы, причем между этими бра- и кет-векторами не существовало никакой связи. Для установления такой связи мы сделаем следующее предположение: каждый кет- вектор может быть связан лишь с одпим из бра-векторов, и причем единственным способом, т. е. предполагается, что между всеми бра-乳 кет-векторами существует взаимно однозначное соответствие. Поэтому в дальнейшем имеет смысл приписывать каждому бра-вектору индекс того кет-вектора, с которым он связан. Таким образом, бра- вектор 〈〃 I связан с кет-вектором | а〉. Аналогично, с кет- вектором

I I а〉+ I Ь〉 (1.5а) связывается соответствующий бра-вектор

〈〃 I =〈а I I (1.5b) и с кет-вектором

|и〉= с I а〉， (1.6a) где с ——комплексное число, связывается бра-вектор

О I = с*〈а I, (1.6Ь)

где с* ——число, комплексно сопряженное числу с. Мы не будем детально вникать в причину использования величины с* вместо с, а для простоты примем это утверждение в качестве дополнительного предположения [4]. Удобно называть бра-вектор, связанный с соответствующим ему кет-вектором, его эрмитовски сопряженным вектором и наоборот и записывать это в виде

а I = (I U〉)+, I и〉= «и I )+, (1.7) где индекс «-]-» означает, что любой бра-вектор заменяется на соответствующий ему кет-вектор (и наоборот), а комплексно сопряженное от любого числа, входящего в те или иные соотношения с кет- или бра-вектором, определяется согласно (1.6).

В силу того, что по предположению между бра- и кет- векторами существует вполне определенное однозначное соответствие, направление бра-вектора, как и направление кет-вектора, может в равной степени представлять

состояние квантовой системы. В этом случае говорят, что эти векторы «дуальны» друг другу.

蹤 До настоящего момента мы еще не определили длину бра- и кет-векторов. Рассмотрим два кет-вектора | а〉и I 匕〉и соответствующие им бра-векторы (а | и (Ь|. Мы можем образовать из этих векторов четыре числа: 〈а | 6〉， 〈匕 I а〉, 〈а I а〉и〈b I Ь〉. В общем случае числа <а | Ь> и (b I а〉будут комплексными, поэтому мы сделаем дополнительное предположение, заключающееся в том, что эти два комплексных числа связаны друг с другом следующим соотношением:

I 力=〈匕卩а〉*・(1.8)

В силу этого предположения, если положить | 匕〉=| а〉, можно сделать вывод, что величина (а | а〉является вещественной величиной. Если мы определяем длину, или норму, кет-вектора | а> как величину, равную 〈〃 | а〉, то, очевидно, если мы хотим, чтобы векторы имели вещественную норму, существенно необходимо предположение (1.8). Сделаем для определенности дальнейшее дополнительное предположение, заключающееся в том, что длина вектора является положительной или равной нулю, т. е.

〈а I а〉> 0.(1.9)

Очевидно, что равенство выполняется только тогда, когда

I 〃〉= 0.

Предположения (1.8) и (1.9) можно пояснить на примере рассмотрения волновой функции ф (д, 0 и комплексно сопряженной ей функции 1|)* (^,力).Мы рассматриваем волновую функцию 0 (夕，/) как совокупность проекций вектора I 屮〉в кет-пространстве. Аналогично, мы можем представить волновую функцию 1|>*(7, t) как проекции вектора 〈屮 I в бра-пространстве. Очевидно, что

**(?)%(д)'=胤*(q)2 (q)l*,，「屮⑷卩歯》。.

Аналогичные соотношения справедливы для бра- и кет- векторов, так как они тесно связаны с волновыми функциями. Это и оправдывает введение предположений (1.8) и (1.9).

Когда речь идет о векторах, то очень важным является также понятие ортогональности. В случае бра- и кет- векторов векторы〈а | и | Ь〉называются ортогональными, если (а I Ь> ~ 0. В волновой механике функции 屮* (g) и %(7)ортогональны, если j“* (q) % (7) dq = 0. Введенная здесь ортогональность отличается от ортогональности двух обычных векторов Л и В* Действительно, если (48) = 0, то векторы 4 и 3 взаимно перпендикулярны. Но векторы А л В находятся в одном и том же пространстве. Векторы же <й I и I Ь> принадлежат различным пространствам. (Вспомним рассмотренный ранее пример с кристаллической решеткой.)

Тем не менее, если (а | 6〉= 0, то можно сказать, что векторы I 〃〉и |Ь〉，а также векторы〈а | и〈Ь | ортогональны. Можно также сказать, что если (а\ &) = 0, то квантовые состояния, которые представляют эти векторы, ортогональны.

Пространство называется гильбертовым пространством [8], если норма всех векторов в этом пространстве конечна. Как мы увидим позднее, теория должна включать в себя и векторы с бесконечной нормой. Пространство таких векторов образует более общее векторное пространство, которое называется пространством кет- или бра-векторов либо просто кет- или бра-пространством. Включение векторов с бесконечной нормой требует введения в дальнейшем 6-функции Дирака.

Линейные^оператопы

Понятие линейных операторов уже знакомо читателю. Например, если / ")——квадратично интегрируемая функция от непрерывной переменной 九 то такая функция принадлежит гильбертову пространству [8]. Тогда в этом пространстве можно определить линейный оператор dldt путем сопоставления функции / (方)другой функции g (%), записываемой в виде

Если в этом пространстве каждой функции / (£) мы ставим в соответствие некоторую другую функцию g (/), то тем самым мы определяем оператор dldt. Если, кроме того, мы

требуем, чтобы

4 1/1 ⑴ + 启⑵=g] © + g2 (t)， ^ С/ ⑴=Cg h где g], g2 к g —— три различные функции, соответствующие функциям/1?力曜九 а с — число, то оператор d!dt в этом случае является линейным оператором.

Аналогичным образом можно определить и другие линейные операторы, как, например, операторы иитегриро- ваштя, умножения па постоянную и многие другие операторы, и построить таким образом целую систему линейных операторов. Ясно, что для того, чтобы расширить область применимости таких операторов, необходимо и сами операторы рассматривать в векторном пространстве.

Поэтому мы должны ввести линейные операторы в пространстве кет- и бра-векторов. Если с каждым кет-вектором I а〉мы связываем другой кет-вектор | 力〉в том ;ке самом пространстве, то связь между этими векторами может быть использована для определения некоторого опера- тора D. Эту связь мы будем записывать в виде

1匕〉=0 Ia)，(1.10)

где оператор D может означать дифференцирование, интегрирование или еще что-нибудь. Обратим внимание на то, что в дальнейшем оператор всегда записывается слева от кет-вектора? па который он воздействует.

Нас интересуют только линейные операторы; это означает, что если I а,\, | а2> и | 〃〉являются ьет-векторами и величина с является числом, то оператор D должен удовлетворять следующим соотпошепиям:

D (I ^> + I &>) D \ aiy + D \ &〉，

D (с I а» = cD I о).{'

Если известно, каким образом оператор воздействует на каждый кет-вектор в пространстве кет-векторов, то оператор определяется полностью, и два оператора D】и D2 считаются равными друг другу, если 刀卫 | 〃〉=力2 I 〃〉 при любом кет-векторе | а〉. Оператор D равен нулю, если 77：|а〉= 0 для；любого кет-вектора [а >. Оператор тождественного преобразования D = I определяется для каждого кет-вектора | а〉равенством / | а〉= | а>.

Теперь мы можем построить алгебру линейных операторов. Оп})еделим сумму двух операторов D± + D2 с помощью их действия на кет-вектор | а),

(-Di +5) \ а У = Бг \а) + D2 \ а >,(1.12)

и произведение двух операторов в виде

(014) I &〉= 4 (51 а〉)・(1.13)

Из этого соотношения вытекает, что при Dr = D^ мы можем определить степени операторов и т. д.

Очевидно, имеют место соотношения

(01 +。2)Ia〉=(02 +01) I a),

КА + А) + D3] I а〉= [% + (。2 +。3)1 I а〉，(1.14)

LDi (Q + 4)1 |a〉=。n Ia〉+ Dh 1 a〉.

Алгебра TV-мерных квадратных матриц является точно такой же, как и алгебра линейных операторов.

Коммутатор двух операторов D± и D? записывается в виде [Рц Р21 и определяется с помощью соотношения

⑦ 1,。2]三 /)102 -0201，(1.15)

В общем случае D^D?丰 °2°工，nto является свойством не только операторов, по и матриц. Алгебра квантовой механики является некоммутативной алгеброй. Двумя известными некоммутирующими линейными операторами являются, например, оператор Dr 二 х (оператор умножения на х) и оператор D2 = dldx (оператор дифференцирования по а). Действительно, нетрудно проверить, что если / (х) является непрерывной и дифференцируемой функцией от х, то

Оператор умножения на постоянную является линейным и коммутирует со всеми линейными операторами.

Если два оператора £>工 и D& удовлетворяют уравнениям

4。2 二 D2Dt = Z,(1.16)

где I является тождественным оператором, то оператор £>2, если он существует, является оператором, обратным оператору Dr, Это записывается в виде

02 二。丁，D\ = D^.(1.17

Оператор, обратный произведению операторов, имеет вид

(DxD2D^ 二 D；WD：\(1.18)

Как отмечалось ранее, все эти свойства имеют место и для конечных квадратных матриц. Позднее мы представим операторы с помощью матриц.

Мы определили действие линейных операторов на кет- векторы; теперь мы должны определить, каким образом эти линейные операторы действуют на бра-векторы. Для этого рассмотрим кет-вектор

\ b> = D I а〉.

Можно найти скалярное произведение этого кет-вектора на любой бра-вектор, например 〈с |; это скалярное произведение 〈с 丨匕〉=〈с I ⑦ I а〉) линейно зависит от кет- вектора I а>, так как оператор D является линейным оператором. Поэтому скалярное произведение〈с | Ь> в силу определения бра-вектора может рассматриваться как скалярное произведение кет-вектора | а〉на некоторый бра-вектор, скажем〈d |. Тем самым каждому бра-вектору〈с | сопоставлен определенный бра-вектор〈d |. При этом бра- вектор 〈d I линейно зависит от 〈с |, так что бра-вектор 〈d ) получается из бра-вектора <с | путем применения к 〈с I некоторого линейного оператора. В сиду того, что этот неизвестный оператор определяется единственным способом через D, естественно считать, что он совпадает с оператором D1 т. е.

(d \ (с \ D. '

Условимся, что операторы, воздействующие на бра- векторы, всегда стоят справа от бра-векторов, так что из приведенных выше определений следует:

<с| (D |а» - (〈с 丨。)|а>.(1.19)

Таким образом, нет необходимости использовать в дальнейшем круглые скобки; каждая из двух частей ра-

велства (1.19) может быть записана в виде〈с ] D | а). Следовательно, оператор D может сначала действовать на бра-вектор 〈с |, а дотом уже полученный результат до/п жен скалярно умножаться на кет-вектор | а〉, а можно действовать оператором D в обратном порядке. Свойства операторов, определяемые соотношениями (1.11)— (1. 14), одинаково справедливы при применении их как к бра- векторам, так и к кет-векторам. Заметим также, что заключенное в скобки выражение ^с \ D \ а) является некоторым числом, которое, вообще говоря, может быть комплексным.

Простым примером линейного оператора, который часто встречается в квантовой теории, является оператор \а} {Ъ \ =^- Р. Этот оператор Р при действии на некоторый кет-вектор | с) дает выражение

尸丨С〉= Ia〉〈ь|с〉，

которое представляет собой произведение кет-вектора | а〉 на некоторое число〈6 | с>; а при действии Р на бра-вектор 〈с I выражение

〈с I Р =〈с 丨 а〉《 丨

является произведением бра-вектора <Ь | на число〈с | а〉. В качестве упражнения, которое мы оставляем для читателя, можно показать, что оператор Р удовлетворяет всем требованиям, которые предъявляются к линейным операторам. В обычном векторном анализе такому оператору Р соответствует диада вида ij (i, j, к ~ единичные векторы осей X. у и z). Тогда (ij-k) = 0, (i-ij) = j и т. д.

В физической интерпретации теории линейные операторы играют основную роль. Поэтому, следуя Дираку, мы предположим, что каждая величина, которая характеризует физическую систему и может быть измерена (и которая называется динамической переменной), описывается вполне определенным линейным оператором. Эти операторы вводятся в следующем разделе. Примерами динамических переменных, которые связаны с соответствующими им линейными операторами, могут быть следующие величины: координата q, импульс р, угловой момент L. энергия Я и т. д. Эти величины встречаются и в классической механике. Однако существуют и другие динамические переменные, такие, как например, спиновый угловой момент

а, не имеющие классических аналогов. В классике все переменные коммутируют друг с другом. В квантовой же ме~ ханике постулируется, что некоторые из операторов не коммутируют между собой. Тогда, с одной стороны, соотношения коммутации определяют вид алгебры, которой подчиняются эти операторы, а с другой стороны, само существование отличных от нуля коммутаторов связано с важным различием между квантовой и классической механикой.

Эрмитовы операторы

Линейные операторы, вообще говоря, являются комплексными величинами. Если мы предполагаем, что этим операторам соответствуют некоторые динамические переменные, то тогда последние также должны быть комплексными. Однако такие величины, как импульс, координата и т. д., являются физическими величинами, и поэтому при измерении они принимают действительные значения. Следовательно, на операторы, которые описывают физические величины, должны быть наложены определенные условия, обеспечивающие вещественность соответствующих физических величин. Таким образом, мы приходим к представлению об эрмитовом операторе, который вводится следующим образом.

Бра-вектор, связанный с кет-вектором | д〉вида | 夕〉= = L I р}, тдеЬ —— линейный оператор, записывается в виде

{q\ = <p\L+ =(L |р〉)+ = (|力)+

Символом £+ обозначается оператор, эрмитовски сопряженный оператору L. Иными словами, бра-вектор〈д |, который эрмитовски сопряжен кет-вектору | 夕〉，может рассматриваться как результат действия некоторого линейного оператора L+ [1] на состояние 〈, |.

Если мы в соотношении (1.8) примем, что〈а| = (р | Л+ и I а〉=厶 I р〉，то получим

〈р 历 + 丨 b〉= « |£ I 卩〉上(1.20)

Последнее равенство является весьма общим, ибо оно справедливо для любых двух кет-векторов | р> и | Ь> и для любого линейного оператора L.

В соотношении (1.20) оператор L можно заменить на L+ и получить

Если мы снова используем соотношение (1.8), в котором на этот раз примем, что \ а) = L^ \ рУ ^ <^а \ = <^р \ L, то получим

〈p |e I力=«1厶+丨p^.

Если мы сравним это выражение с предыдущим, то увидим, что

〈р Е++ |匕〉=〈р丨七а〉・

Так как последнее соотношение справедливо для любого кет-вектора | fe> и бра-вектора </? |, то отсюда следует, что

Е++ - L.

Если линейный оператор L является самосопряженным оператором, т. е.

厶=厶+,(1.21)

то говорят, что этот оператор является эрмитовым оператором. Из соотношения (1.20) следует, что если оператор L эрмитов, то любые два кет-вектора | р) и | Ь) должны удовлетворять равенству

〈р R 丨匕〉=UM ID*.(1.22)

Справедливо и обратное утверждение: любой оператор, который удовлетворяет соотношению типа (1.22) при любых I р〉н I Ь>, является эрмитовым оператором.

Для любого линейного оператора могут быть доказаны следующие соотношения:

(с£ I а〉)+ = с*〈。I 加(с — некоторое число),

[(厶+厶)I а〉]+=〈а] “； + L2 ),

(%%|а〉)+ =〈а|%"：,(1.23)

(〈а I 厶厶厶з) = L3 % 笈 I а〉，

<а I 乙也 16〉* =〈6 I К 厶：I а〉，

(|а><4)+ =2〉®

Алгебра сопряженных операторов совпадает с алгеброй конечных квадратных матриц.

Задача на собственные значения

Как уже отмечалось, бра- и кет-векторы или, точнее, направления этих векторов сопоставляются состояниям системы, а линейные эрмитовы операторы — динамическим переменным, которые описывают поведение системы. В следующем разделе будет показано, как эти общие математические представления связываются с физическими 風3f мерениями, проводимыми над системой. Однако прежде следует определить собственные значения эрмитовых операторов.

Задача о собственных значениях является известной задачей не только в классической механике, но и во всей классической физике. Один из самых простых примеров такой задачи состоит в решении уравнения вида

L u (X)=九u (%)，

где £ — d2/d/2, а функция и (х) и постоянная X неизвестны. Е ели к этому уравнению добавить граничные условия 乂 (0) = u (Z) = 0, то можно показать, что величина 九 может принимать только вполне определенный дискретный набор собственных значений, определяемых соотношением 九几 =л^/г?//, где 龍 =0, 土 1, 土 2, ... Связанные с ними собственные функции ип (/) имеют вид ип (а)= =sin (nnxll). Заметим, что действие оператора L на собственную функцию un (力)сводится к воспроизведению этой функции. Однако если оператор L действует на произвольную функцию 乂(力),то, вообще говоря, это не должно приводить к воспроизведению той же самой функции м (а).

Точно так же можно сформулировать задачу о собственных значениях в кет- (и бра-) пространстве. Пусть L является линейным оператором, |。〉——некоторый вектор. Если оператор £, действуя на'этот кет-вектор, снова дает тот же самый кет-вектор | а〉，умноженный на неко- торое число Z, то тогда кет-вектор [。〉является собственным кет-вектором оператора Л, а число I — собственным значением этого оператора. Это утверждение может быть записано в виде

£ I а〉= " а〉*

Собственно говоря, в этом и состоит задача о собственных значениях в кет-простр анстве: с помощью известного оператора L требуется найти неизвестные кет-вектор | а〉и число I так, чтобы при действии оператора L на кет-век- тор I 〃〉воспроизводился бы тот же самый кет-вектор | а). Обычно собственный кет-вектор обозначают тем же самым символом, которым обозначается и собственное значение оператора. В этом случае уравнение для задачи на собственные значения записывается в виде

£ |Z〉= % |0・(1.24)

Аналогичным образом формулируется задача на собственные значения оператора D для бра-векторов 〈d |:

(d \D =d〈 d |.(1.25)

В этой книге мы для простоты будем обычно рассматривать только такие случаи, когда каждому собственному значению соответствует единственный собственный кет- (или бра-) вектор. Если заданному собственному значению соответствует несколько собственных векторов, то говорят, что состояние системы вырождено. Случай вырождения может быть рассмотрен достаточно легко, однако он не будет рассматриваться в дальнейшем для того, чтобы избежать излишнего усложнения формул.

Если I 2〉является собственным кет-вектором оператора L, то в силу соотношения (1.24) любая постоянная с, умноженная на кет-вектор | %〉，также дает собственный кет-вектор того же самого оператора 七值 с тем же самым собственным значением I. В соответствии с нашими предположениями состояния системы, представляемые кет- векторами | %〉и с | 2〉, являются одинаковыми.

По причинам, которые станут понятными в следующем разделе, мы будем интересоваться решением задачи на собственные значения только для линейных эрмитовых операторов. Однако прежде, чем переходить к решению конкретных задач, докажем две очень важные теоремы для линейных эрмитовых операторов.

Теорема 1. Собственные значения линейных эрмитовых операторов вещественны.

Доказател ъство. Пусть L ——линейный эрмитов оператор. Собственные кет-векторы этого оператора

удовлетворяют уравнению

Если мы образуем скалярное произведение обеих сторон этого равенства на бра-вектор <Z |т то получим

{l\L\iy ^l{l\iy.(1.26)

Теперь, если мы возьмем комплексно сопряженные выра- жепия от обеих сторон этого равенства и воспользуемся соотношением (1.20), то получим 一

〈“ н "〉* =〈2 I 厶+ |2〉=产 a I z>.(1.27)

Из равенств (1.27) и (1.26) видно, что если <Z | Z> 0 и оператор L эрмитов, то 2 = Z东.Теорема доказана. Равен- ство〈％ I %〉— 0 выполняется только в том тривиальном и неинтересном для нас случае, когда ] Z) =0.

Теорема 2. Два собственных вектора линейного эрмитова оператора L, принадлежащие различным собственным значениям, ортогональны.

Доказательство, Пусть Г и %" — два собственных значения оператора L, а | Zz> и | Г) — собственные векторы, соответствующие этим собственным значениям, причем £ = £+ и Г, Г вещественны. Тогда

£ I 厂〉=，I 厂〉，(1.28)

{V \L =Z"〈 А(1.29)

Если мы образуем теперь скалярные произведения равенства (1.28) на вектор〈，‘ |, а равенства (1.29) — на вектор I Г> и вычтем одно из другого, то получим

(г 一 丁)С I，〉=о.

Так как по предположению V 力，，то〈Z" | X〉=0. Теорема доказана.

Из соотношений (1.28) и (1.29) следует, что собственные значения, соответствующие собственным кет-векторам I 2〉, являются теми же самыми, что и собственные значения для соответствующих бра-векторов 〈％ |.

Во многих случаях решение задачи на собственные значения является достаточно сложным. Для того чтобы проиллюстрировать метод решения, решим одну очень простую задачу. (В последней главе будет рассмотрена физи-

ческа я система, которая соответствует как раз этому примеру. В данный же момент мы рассмотрим этот простой случай лишь как простой математический пример.)

Рассмотрим линейный эрмитов оператор а2, который удовлетворяет дополнительному условию

о；=/,(1.30)

где / — оператор тождественного преобразования, и рс- ишм задачу на собственные значения для оператора az:

о2 I s> = s I s〉.(1.31)

В силу теоремы 1 величина s вещественна, а в силу теоремы 2 величина </ | s"〉= 0, если s'用 s".

Для того чтобы найти собственные значения и собственные векторы оператора ог, умножим обе части равенства (1.31) слева на 6?. Используя соотношения (1.30) и (1.31), получим

al I s> = I s〉— sa z I s> = s2 | s>, или

(s2 - 1) I 5 > = 0.

Если мы образуем скалярное произведение этого выражения на вектор 〈s |, то в силу того, что величина 〈s I s〉〉0, мы получим следующие собственные значения оператора а2:

s ~ zt 1 •

По предположению в системе нет никакого вырождения, м поэтому в данном случае двум собственным значениям соответствуют только два собственных кет-вектора. Поэтому мы можем записать соотношение (1.31) в виде

аг I + 1> - + 1 I + 1>, ог I - 1>= - 1 I - 1>- (1.32)

В силу теоремы 2

〈+ 1 I — 1〉= 0 =〈一1 I + 1〉.(1.33)

Последние соотношения являются как раз соотношениями ортогональности, которым подчиняются собственные векторы, принадлежащие различным собственным значениям.

Как мы уже знаем, любой собственный кет-вектор, умноженный на постоянную, также является собственным

кет-вектором, принадлежащим тому же самому собственному значению. Поэтому мы можем выбрать постоянную так, чтобы норма собственных векторов равнялась единице (ибо норма ограничена) и написать

<4- 1 I + 1>1 I - 1> = 1.(1.34)

Соотношения (1.34) являются условиями нормировки. Условие норлшровки еще не определяет достаточно точно и однозначно единственный кет-вектор. Действительно, мы все еще можем умножить состояние | + 1) на ехр (2а), причем состояние〈十 1 | будет при этом умножаться на ехр (——Ха), где а ——вещественная величина, и в результате соотношение (1.34) останется без изменения. Такой фазовый сдвиг не имеет в теории никакого физического смысла, и поэтому мы будем обычно полагать а = 0.

В любой задаче на собственные значения собственные векторы всегда могут быть нормированы на единицу при условии, что норма этих векторов конечна. В результате этого условия (1.33) и (1.34) могут быть объединены в единое условие ортонормировки:

〈仆〉=必，，,(1.35)

где 3力——символ Кронекера, который определяется такб если i =

；(1.36)

0, если z/

Как мы увидим чуть ниже, эти результаты могут быть обобщены и на тот случай, когда собственные векторы имеют бесконечную норму.

Забегая несколько вперед, мы покажем теперь, что оператор % может быть представлен в виде матрицы с двумя столбцами и двумя строками:

Г1 0

心=0 _ ] •(丄37)

Для того чтобы показать это, образуем скалярные произведения обоих уравнений (1.32) на состояния (+1 | и 〈—— 1 I соответственно. Если использовать условия (1.33) и (1.34), то получим так называемые «матричные

элементы» оператора о2:

< + 1 I о2 I + 1) = + 1,< + 1 I(тг I — 1> =0,

<—1 I о2 I + 1> =0,<— 1 l<7z| — 1> = — 1.

Теперь мы можем сгруппировать эти результаты в матрицу, подобную матрице (1.37), при условии, что элементы строки этой матрицы соответствуют одинаковым собственным бра-векторам и различным собственным кет^век- торам, а элементы столбца — одинаковым собственным кет-векторам и различным собственным бра-векторам.

После этого любой кет-вектор в пространстве кет-векторов может быть выражен через полученные нами два собственных кет-вектора | + 1> и | — 1>. В этом случае говорят, что собственные кет-векторы образуют полную систему. Здесь мы опять несколько опережаедт результаты следующих разделов.

Для того чтобы показать, что любой кет-вектор | Р > |может быть разложен по собственным кет-векторам | +1) и I — 1>, напишем тождество

.尸〉三/［0〉=}(/ + % + / 一 %)10〉=

++(1.38)

Рассмотрим теперь каждое слагаемое в (1.38) отдельно. С помощью (1.30) получим

々［4- (/ + а) I ^>］ = 1 ［4 包 + /)1 阂；

следовательно, вектор г/2 (/ + о^) | 尸〉является собственным кет-вектором оператора az с собственным значением 十 1. Это означает, что он может отличаться от собственного кет-вектора | + 1) только постоянным множителем, и поэтому можно написать

等(/十%)10〉=q| + 1),(1.39)

где & — постоянная. Аналогичным образом второе слагаемое в тождестве (1.38) можно представить в виде

4 ［告(/ - %) I 尸〉］=一 1 ［皆(/ - %) I ?〉］,

так что имеет место равенство

；(/ - %)1尸〉=&| - l)i(1.40)

где с?——другая постоянная. Таким образом, правая часть тождества (1.38) в силу (1.39) и (1.40) может быть записана в виде

|Р>| + 1> + с2|-1>,(1.41)

что и утверждалось нами ранее. Следовательно, мы доказали, что любой кет-вектор линейно зависит от собственных кет-векторов | -|- 1) и | — 1> и что система собственных кет-векторов {| + 1>, | — 1>} составляет полную систему векторов. Однако существует совсем немного задач на собственные значения, для которых доказательство полноты может быть проведено так же, как это мы сделали в приведенном выше простом случае.

На этом простом примере можно вывести так называемые соотношения полноты. Для этого умножим равенство (1.41) слева сначала на〈+ 1 |, а затем на〈——1 | и используем соотношения ортопормировки (1.33) и (1.34). В результате получим

Q =〈 + 1 I 尸〉，3 —〈 一1 I Р .(1 -42)

Если теперь подставить эти соотношения обратно в равенство (1.41), то получим соотношение

|尸)=(|+1〉(+"十 I 一1〉〈一 11)1尸).

В силу произвольности вектора | Р〉последнее соотношение будет выполняться лишь тогда, когда

I + 1/ < + 1 I I — 1〉〈一 1 I 三 /•(1.43)

Соотношение вида (1.43) называется соотношением полноты или замкнутости. Соотношение полноты для произвольных эрмитовых операторов будет обсуждаться в следующем разделе.

В приведенном выше примере с оператором о. гильбертово пространство двумерно, потому что мы рассматривали только невырожденные собственные значения.

Если мы подставим выражения (1.42) в соотношения (1.39) и (1.40) , то получим

+%)= I+1><+11,等(/—%)=丨一1〉〈一 1

(1.44) Вычитая первое равенство из второго, получим выражение для оператора о?:

а2 - I + 1> <+ 1 I - 1 - 1>< - 1 |. (1.45) Мы выразили оператор % через операторы вида | а〉〈а |, упомянутые нами ранее в конце раздела 1.4.

Наблюдаемые величины. Полнота. Разложениепо собственным кет-векторам. 6-функция Дирака

В предыдущем разделе был а решена очень простая задача о собственных значениях оператора о^. Было показано, что система собственных кет-векторов является полной системой в том смысле, что любой кет-вектор в кет- пространстве может быть разложен по собственным кет- векторам оператора о2. В настоящем разделе будет дана физическая интерпретация собственных значений. Мы обсудим также вопрос о разложении произвольного кет- вектора по собственным кет-векторам эрмитова оператора и покажем, что условие ортонормировки (1.35) может быть обобщено и на тот случай, когда собственные значения эрмитова оператора непрерывны.

С каждой динамической переменной рассматриваемой нами системы связывается вполне определенный эрмитов оператор. При измерении этой переменной мы получаем вещественное число. Поэтому вполне разумно ввести в теорию следующее физическое предположение. Если квантовая система находится в состоянии, которое является определенным собственным состоянием оператора £, например I Z>, и если мы измеряем в этом состоянии величину L, то мы с определенностью получим при таком измерении величину I. Предположим также обратное. Пусть мы измеряем в системе величину 工 и всегда с достоверностью получаем значение Z. Это означает, что система находится в собственном состоянии | %〉. Иными словами, если мы измеряем величину 厶 для большого числа тождественных

систем, приготовленных одинаковым способом, и всегда при измерении получаем значение Z для каждой системы, то тогда каждая из систем находится в состоянии | I).

Кроме того, если производится единичное измерение величины L над системой, находящейся ^произвольном состоянии, то в результате Всегда получается одно из собственных значений оператора £, соответствующего величине L. При этом измерение, производимое над системой, находящейся в произвольном состоянии, возмущает саму систему и заставляет ее переходить в одно из собственных состояний, соответствующих измеряемой величине [1]. Если же сразу после этого вторично производится измерение той же самой величины £, то при этом уже с достоверностью получается то же самое собственное значение, которое было при первом измерении.

В дальнейшем предполагается, что любое состояние системы линейно зависит от собственных состояний оператора, соответствующего величине L, т. е. эти собственные состояния величины L образуют полную и замкнутую систему состояний. Те эрмитовы операторы, собственные векторы которых образуют полную систему векторов, называются «наблюдаемыми величинами».

Доказательство полноты и, следовательно, того, что оператор является наблюдаемой величиной, в общем виде невозможно *). Пример с оператором(у2 в предыдущем разделе является лишь частным и весьма простым случаем, когда доказательство полноты системы собственных векторов оказалось возможным. Поэтому в дальнейшем мы всегда будем предполагать, что если некоторая величина может быть измерена, то это значит, что ее собственные кет-векторы образуют полную систему собственных векторов.

Предположение о полноте системы собственных векторов для реально измеряемой величины позволяет разложить произвольное состояние системы по собственным кет- векторам оператора L. В частном случае оператора oz мы получили такое разложение в формуле (1.41). Более из-

彫)Существует, однако, теорема о спектральном разложении, которая говорит о том, что каждый «разумный» эрмитов оператор может быть разложен на проекции так же, как это сделано в соотношении (1.45) (см. [2], стр. 260). Другие операторы пас не интересуют.

вестным примером полноты некоторого класса функций является пример с разложением периодических функций в ряды Фурье по синусам и косинусам. По отношению к этому классу функций ряд синусов и косинусов образует полную систему функций. Мы подробно рассмотрим этот пример несколько позднее. В случае дискретных собственных значений наблюдаемой величины система собственных кет-векторов { | %〉} является полной системой, и поэтому любой кет-вектор | 屮〉можно разложить по собственным кет-векторам:

I屮〉=乎山〉， (丄46)

где суммирование распространяется на весь интервал тех значений, которые может принимать величина 2. Этот интервал может быть конечным, как это было в случае (1.41) с оператором Oz, или бесконечным, как это имеет место в случае гармонического осциллятора, который будет рассмотрен в гл. II. С помощью соотношения ортонормировки (1.35) мы можем получить выражения для коэффициентов С/, которые могут быть, вообще говоря, комплексными числами. Для этого мы умножим обе стороны выражения (1.46) слева на собственный бра-вектор <Г | и, используя соотношение (1.35), получим

〈仆屮〉=』Q〈〃 IZ〉=』с也 г =勿. (1.47) I i

Если выражение для коэффициентов с； из последнего соотношения подставить в разложение (1.46), то получим произвольный кет-вектор | 屮〉в виде разложения

12)=』~〉〈"2〉 (1.48)

(1.49)(1.49)по собственным кет-векторам оператора L, соответствующего некоторой наблюдаемой величине L. В силу произвольности кет-вектора | 屮〉соотношение (1.48) может выполняться тогда и только тогда, когда

(1.49)

(1.49)

』|2〉〈2| = /・

Последнее выражение и хает соотношение полноты, или замкнутости, для системы с дискретным спектром собственных значений. Пример аналогичного соотношения для оператора о? был дан в предыдущем разделе (см. (1.43)).

В целях иллюстрации соотношения ортонормировки (1.35) и разложений (1.^6) и (1.48), а также для того, чтобы ввести 6-функцию Дирака, которая нам понадобится в дальнейшем, рассмотрим задачу о разложении некоторой непрерывной функции / (/) по полной системе собственных функций вида

ип (х) =е2«пх/х01〃 = о, ± 1,七 2, . ..(1.50)

Если бы любая непрерывная функция могла быть разложена в ряд по функциям {ип (х)}, то можно было бы сказать, что система функций {ип (х)} является полной системой по отношению к классу непрерывных функций. Из вида функций ип (/) мы сразу находим, что wn (^ + ^о )= =wn (%), так что каждый член ряда является периодической функцией с периодом х0. В силу этого непрерывная функция / (х) может быть разложена по функциям мп (力)только тогда, когда эта функция сама является периодической функцией с периодом xQ. Поэтому система функций {ип (%)} является полной по отношению к классу непрерывных периодических функций с периодом 况°, и, следовательно, любая такая функция / (/) может быть представлена в виде

=2 с必》1⑺.(1.51)

(Следует заметить, что в такой же ряд могут быть разложены и функции из более общего класса функций, но мы не стремимся к строгости и всеобщности наших рассуждений.) Разложение (1.51) аналогично разложению (1.46).

Соотношения ортонормировки в данном случае принимают форму

Хо

^ ^n*(N)"п (汽)&/ = ^nznj(1.52)

О

что аналогично соотношению (1.35) для кет-векторов

Для того чтобы определить коэффициенты сп в разложении (1.51), умножим обе части равенства (1.51) на и„^ (/) и проинтегрируем по х от ^ = 0 до ^ =况卜 Получим

，/（#）"；‘（/）©/= 2 %，次:'（尤）〃腌（/）&£ = 0九'・（1.53）

Оп=—8о

При этом мы использовали соотношения (1.52). Последнее равенство в (1.53) аналогично соотношению (1.47) для кет- векторов. (Предполагается, что существует интеграл для величины сп> и что в выражении (1.53) можно менять местами суммирование и интегрирование.) Если мы подставим выражение (1.53) в формулу (1.51) и снова поменяем местами суммирование и интегрирование (хотя это и не всегда законно), то получим

& 8

/(/) = 1fdM/(") £ Un {xr)un (.z). (1.54) 0 n=—ОО

Это выражение аналогично соотношению (1.48) для кет- векторов. Для получения в данном случае соотношения, аналогичного соотношению полноты (1.49) в случае дискретного спектра, необходимо ввести понятие 6-функции Дирака.

Эта функция, впервые введенная Дираком, не является функцией в обычном смысле этого слова. Дирак определил ее как функцию, которая имеет следующие свойства:

О, если 匕#% ос, если х =

Отсюда видно, что 6-функция не является обычной функцией. Однако она весьма удобна и возможность ее применения обосновывается теорией распределений ). Наше изложение не будет вполне строгим, и мы определим 6-функцию путем задания ее интегральных свойств:

f 3(7 —叫 d工(1.56)

где е — произвольное положительное число, и

j /(%)6(%一力‘)4/=/(/’).(1.57)

X'一g

Кроме того, 6 -функция четная:

3 (况)=3 (-第).(1.58)

Для 6-функции существует много интересных представлений. Одно из них, очень полезное, имеет вид

6(%) = Iim 牛.(1.59)

а->оо 汽

Выражение (1.59) действительно обладает свойствами 6-функции, ибо при х = 0 6(0) = 8 и интеграл по переменной х от правой части (1.59) в пределах от——оо до + оо равен единице. Из выражения (1.59) следует также, что

lim С &而d/ = lim ?岂「— 2nd (A).(1.60a)

a-> oo —°а—> оо

Дальнейшее изучение этой интересной функции читатель может продолжить по общеизвестным книгам по квантовой механике [1—5].

Теперь опять перейдем к обсуждению разложения функции / (х) по полной системе функций ип (第).Сравнивая выражения (1.54) и (1.57), заключаем, что

2 "：(%')"也 (%)=6(X/ - 出)，

ибо обе части равенства (1.54) должны представлять одну и ту же функцию f (况)・

Последнее соотношение и является соотношением полноты, аналогичным соотношению полноты (1.49) для дискретного спектра.

Вернемся к случаю, в котором собственные значения наблюдаемой величины Е непрерывны. Если V # Z", то и в случае непрерывного спектра мы по-прежнему имеем соотношения ортогональности〈，| %"〉= 0. Попытаемся теперь обобщить соотношение (1.46) (ибо по предположи-

нию и в этом случае собственные векторы образуют полную систему собственных кет-векторов) и разложим два произвольных кет-вектора | С> и | £>〉в интегралы (вместо рядов) по собственным кет-векторам:

|С> = ^c^^l^dl',|Z)> = J d{r)\l")dl".(1.61)

Скалярное произведение этих векторов имеет вид

〈с I 〃〉= J dl'c* (Z') J d (Г)〈Z' IZ"〉dl(1.62)

Так как〈，| X〉= 0, когда Г 方 Г, то 艮(厂)<Г #〉dl" всегда равен нулю, если скалярное произведение〈，| Z'〉 конечно, ибо подынтегральное выражение обращается в нуль везде, за исключением одной точки Г = =Г. Так как, вообще говоря, <С | D) # 0, то единственный вывод, который можно сделать отсюда, это принять, что〈，I X〉= оо. В этом случае приходит на помощь 6-функция Дирака. С ее помощью соотношение ортонормировки (1.35) для непрерывного спектра собственных значений можно обобщить в виде

〃Т 1〉= § (，_ %").(1.63)

Тогда в силу свойства (1.56) для 6-функции собственные векторы непрерывного спектра нормируются так, что

Если мы используем условие (1.63) в выражении (1.62) и предположим, что | С> = |Р>, то получим, что

<С|С> - [(Г) j с (厂)6 (Г — Г)成"=『I с (/) F 威'> 0.

'(1.64)

Интегрирование во всех выражениях распространяется на весь интервал собственных значений оператора L.

Из соотношений (1.61) и (1.63) можно вывести соотношения полноты для непрерывного спектра. Для этого образуем скалярное произведение

{l"\C)= f c(l'){l"\r)dl' с (Г) Ь(1' -I") dl' = с (Г).

''(1,65)

Это выражение аналогично соотношению (1.47) для дискретного спектра. Если теперь подставить (1.65) в разложение (1.61), то получим

|С〉= J|Z'〉出'〈/'|С〉.(1.66)

В силу произвольности кет-вектора | С〉отсюда следует соотношение полноты для непрерывного спектра собственных значений:

^\l'ydl' {l'\ = I.(1.67)

Заметим теперь, что 6-функция Дирака удобна также и при изучении преобразований Фурье. Например, разложение функции 屮(g) в интеграл Фурье определяется известной формулой

-1-00

屮 S)= Т^ j Р(Р)exp (+ W)九4.68а)

а обратное преобразование имеет вид

屮(卩)= У爲 J 2(q')exp ( 一 号3 附'•(1.68b)

Если подставить интегральное представление ср (р) в интеграл для функции 屮(д) и переменить порядок интегрирования, то получим

2(0)=上歯纯(矿)Ы?/岑eхp产f!]}. (1.69)

Последнее интегральное уравнение превращается в тождество, если

4rJ4 exP U = В (Г - 办(l-60b)

Последнее выражение с точностью до обозначений совпадает с представлением 6-функции (1.60а).

Заметим, что некоторые наблюдаемые величины обладают одновременно как дискретным, так и непрерывным спектрами. Однако обобщение соотношений ортонормировки и полноты и в данном случае является достаточно простым и ясным.

В заключение этого раздела мы очень кратко обсудим вопрос о функциях / (£) наблюдаемой величины L. Если функция / (L) может быть разложена в степенной ряд, то, применяя несколько раз уравнение для собственных значений

L \1) ^1 \1\(1.70)

получим

/(£) |Z> =/口)|»(1Л1а)

Например [1], если / (L) = L2, то £? | 2〉= / | Z>. Однако мы постулируем, что соотношение (1.71а) справедливо даже тогда, когда функция / (厶)не может быть разложена в степенной ряд. Например, если мы рассмотрим функцию / (L) = L"1, то тогда

£Т I Z> =广工 I I)

при условии, что ни одно из собственных значений не обращается в нуль. А это и есть как раз условие существования оператора L. Другим простым примером может служить функция / (L) = £%. В этом случае

Е% I Z〉= 土 £% I Z>

и появляется неопределенность в выборе знака перед 2% I 2〉. Оператор Е% существует, и его собственные значения вещественны, когда положительны собственные значения оператора L. Неопределенность же в знаке в приведенном выше равенстве может быть устранена выбором определенного знака для каждого собственного зна， чения. Обычно выбирают положительное значение корня.

Наконец, выражение, эрмитовски сопряженное выражению (1.71а), должно иметь вид

а I广⑹=/*(%)«I(i.7ib)

или для функции G (L)

а |G(E) =G«)y |.(1.71с)

Матрицы

В разделе 1.9 будут даны матричные представления кети бра-векторов и линейных операторов в кет- и бра-пространствах. Мы предполагаем, что читателю уже известны некоторые общие свойства конечных матриц, и поэтому в этом разделе мы приведем лишь несколько менее известных свойств таких матриц, а также попытаемся обобщить основные свойства конечных матриц на бесконечные матрицы.

След (или шпур) конечной квадратной матрицы определяется как сумма ее диагональных элементов. Таким образом, если Л — конечная квадратная матрица, то

Sp (4)三 $ 4雜，(1.72)

i

где Sp — сокращенное от《Spur» — «след» и А и — диагональный элемент матрицы. Нетрудно доказать, что след произведения конечных квадратных матриц инвариантен относительно циклической перестановки перемножаемых матриц:

Sp (АВС) = Sp (ВСА) = Sp (С43).(1.73)

Матрица А+, эрмитовски сопряженная матрице Л, получается из матрицы Л путем замены строк столбцами (и наоборот) и комплексным сопряжением каждого элемента. Если

Л =/+,(1.74)

то говорят, что матрица Л зрмитова, т. е.

(4+)仃=4% = Aij.

Матрица Л называется унитарной, если

Л4+ = Л+Л = /, т. е. Л+ = 4「(1.75)

1де матрица Л-1 является матрицей, обратной матрице А. Обратная матрица существует только в том случае, если определить прямой матрицы 4 отличен от нуля.

Эти и некоторые другие известные свойства конечных матриц могут быть использованы и для матриц с бесконечным числом строк и столбцов. Строки и столбцы могут

быть обозначены или дискретными индексами, или набором непрерывных индексов, лежащих в некотором интервале, или совокупностью тех и других. Например, если величины g и д' могут принимать любые значения от ——оо до +оо, то матричный элемент матрицы А можно записать в виде Ад- ^ или в эквивалентной форме Л (д;『).По аналогии с правилами умножения конечных матриц, если мы умножаем матрицу Л с элементами Aq- q- иа другую матрицу В с элементами ^； ч^ (или В (q;(/)), то можем написать

Q；a，= j A<q-q")B^-q')dq\(1.76)

Если последний интеграл сходится, то все хорошо. Аналогичным образом, след матрицы Л равен

Sp(4) = J/(矿;勿歯，.

При этом также предполагается, что этот интеграл существует. Диагональная бесконечная матрица Л записывается в виде

厶(д'; g") =Z (д'; д') 3 (д' — д〃).

Таким образом, приведенные выше соотношения обобщены на бесконечные матрицы.

Матричное представление кет- и бра-векторови операторов

Ранее уже отмечалось, что различные представления соответствуют различным системам координат в обычном векторном анализе. В этом разделе мы определим более точный смысл этих интуитивных концепций. Мы покажем, каким образом определяется представление и как определяются операторы и собственные векторы в выбранном представлении. В частности, мы покажем, что произвольные кет- и бра-векторы в векторном пространстве могут быть представлены в виде матричных столбцов и строк, а сами операторы могут быть представлены в виде обычных квадратных матриц. Формула (1.37) является простым примером такого представления. Преимущество использования определенного представления при решении конкретных

задач квантовой механики аналогично преимуществу использования определенной системы координат в обычной геометрии.

Мы будем развивать теорию представлений одновременно на примере наблюдаемой величины L, имеющей дискретный спектр собственных значений, и наблюдаемой величины д, имеющей непрерывный спектр собственных значений.

Начнем это рассмотрение с анализа уравнений для собственных значений наблюдаемых величин L и q:

L \ l> \ l\ q \qry ^qr \ /),(1.77)

где собственные значения I дискретны, а собственные значения qr непрерывны. В силу того, что величины £ и q являются наблюдаемыми, собственные кет-векторы { | 2〉} и { I 丁〉} образуют полную систему собственных кет-векторов. Следовательно, эти собственные кет-векторы должны удовлетворять условиям ортонормировки (1.35) и (1.63):

〃'I %"〉= &“ 包‘ I q"} = 3 (q‘ 一 q"),(1.78)

а в силу соотношений (1.49) и (1.67) они также удовлетворяют и соотношениям полноты

2|/〉，| = /,『不〉歯У矿|=/.(1.79)

В силу (1.79) произвольный кет-вектор | 屮〉может быть записан в виде

|2〉=』|，〉。|2)，12〉=口У〉〈9'1屮)歯，.(1.80)

Аналогично, в обычном векторном пространстве, если векторы i, j, к являются тремя единичными ортогональными векторами, то произвольный вектор 4 может быть записан в форме

4 = 4i + /j +4k(1.81)

Это разложение аналогично разложению (1.80). Аналогом же соотношений ортонормировки (1.78) являются соотношения

(ij) = (jk) =.・• = 0, (ii) = (jj) = (kk) = I.

Система векторов {i, j, к} является полной системой, так как любой вектор 4 может быть разложен по этим векторам, как это, например, сделано в (1.81). В этом случае говорят, что вектор 4 раскладывается в представлении i, j, k.

Послед1Hне векторы могут рассматриваться как базисные векторы в этом пространстве.

Точно так же система векторов { | 2〉} (или {\ “〉}) может рассматриваться как заданная система ортогональных единичных базисных векторов в смысле (1.78), а тогда можно сказать, что соотношения (1.80) как раз и дают ，азложение кет-вектора | 屮〉в Е- (или q-) представлении. Числа 〈，I *ф> (или (qf | 屮$) являются проекциями, или, как их назвал Дирак, представителями вектора | 屮〉в £- (или q-) представлении.

При представлении кет-вектора 丨屮〉мы можем в качестве базисных векторов выбрать другие собственные кет- векторы, отличные от собственных векторов для наблюдаемых величин 工(или q). Это можно проделать точно так же, как вектор N можно разложить по другой системе базисных векторов, отличной от системы i, j, к. Этот вопрос мы обсудим в следующем разделе.

Из первоначального определения скалярного произведения (см. раздел 1.3) мы знаем, что величины 〈，| 屮〉 (и〈丁 |屮〉)могут рассматриваться как функции，(или д'). Эти функции можно записать соответственно в виде 屮〃 (млн® (,')), ибо каждому значению，(или /) соответствует число ipz- (или*ф (q'))・ Эта совокупность чисел однознач- но определяет вектор | 屮〉(если точно указаны соответствующие собственные векторы) точно так же, как числа Ax,AyuAz однозначно определяют вектор 4 (если выбраны базисные векторы i, j, k).

Вектор 4 можно записать в виде некоторого матричного столбца:

4= & =4i + 4/j+ 4k, (1.82)

где строки обозначены индексами 化,у и z. Аналогичным образом, кет-вектор | 屮〉 в соотношении (1.80) можно записать в виде матрицы с одним столбцом, в которой

строки обозначаются символами Z' (ним д'):

l2〉= N〈Z'lh 卩'〉，l2〉= N〈Z'lh 卩'〉，1少〉=j歯'〈矿1屮〉1矿）.（1。83）1少〉=j歯'〈矿1屮〉1矿）.（1。83）

l2〉= N〈Z'lh 卩'〉，

l2〉= N〈Z'lh 卩'〉，

1少〉=j歯'〈矿1屮〉1矿）.（1。83）

1少〉=j歯'〈矿1屮〉1矿）.（1。83）

Существует, таким образом, способ представления произвольного кет-вектора в виде векторного столбца ). Число строк этого вектора определяется числом собственных значений, которые принимают Г (или д'). Как правило, представители〈，| 屮〉(или (/ ] *ф>) являются комплексными функциями.

Соотношения (1.83) можно пояснить с помощью простого примера, приведенного нами в разделе 1.6. В силу соотношений (1.41) и (1.42) мы имеем следующее представление произвольного кет-вектора в кет-пространстве:

〈1|尸〉］〈1|尸〉］Г1Г1［〈一1Q」［〈一1Q」ОО+ С2+ С2ГОГО11.(1.84).(1.84)

〈1|尸〉］

〈1|尸〉］

Г1

Г1

［〈一1Q」

［〈一1Q」

О

О

+ С2

+ С2

ГО

ГО

1

1

.(1.84)

.(1.84)

Из этих выражений видно, что сами базисные векторы могут быть представлены в виде некоторых матричных столбцов:

I + 1〉=I — 1〉=I + 1〉=I — 1〉=Ч+1| + 1>_<-1| + 1>一〈+1| 一 1〉一—|一〉Ч+1| + 1>_<-1| + 1>一〈+1| 一 1〉一—|一〉丁о-0 :1丁о-0 :1(1.85)(1.85)

I + 1〉=

I — 1〉=

I + 1〉=

I — 1〉=

Ч+1| + 1>_<-1| + 1>一〈+1| 一 1〉一—|一〉

Ч+1| + 1>_<-1| + 1>一〈+1| 一 1〉一—|一〉

丁о

-0 :

1

丁о

-0 :

1

(1.85)

(1.85)

Еще раньше, во введении, мы уже указывали, что выражения 〈矿 I 屮〉=屮(鼠)являются шредингеровскими волновыми функциями в координатном представлении, если q есть наблюдаемая величина, связанная с координатой частицы, движущейся в одном измерении. Все эти вопросы мы будем рассматривать более полно несколько позднее.

По аналогии с приведенными выше рассуждениями мы можем произвольный бра-вектор〈屮 | представить в виде матрицы с одной строчкой и со столбцами, обозначенными

символом Г (или 〃)：

V巾1二2〈屮[/'〉e，〈屮| =卜5矿〉歯'31.(1-86)

Согласно общему свойству (1.8) мы имеем

〈屮 I，〉=〈?'1屮〉* 三%(1.87)

〈屮I g'〉=匂'1屮〉*三屮* (丁)■

Поэтому вектор, эрмитовски сопряженный матричному столбцу, является строчным вектором, в котором соответствующие элементы комплексно сопряжены элементам векторного столбца.

Далее мы рассмотрим вопрос о записи любого линейного оператора Л в виде матрицы в L- (или q-) представлении. Для этого, применив дважды соотношения полноты (1.79), запишем оператор Л в виде

л= 2 \ i'ni'\A\i"ni"\

или

А = ^dq'dq"\qr^q'\A\q^<,q"\.(1.88)

Числа {V \А \ Г'〉(или 〈д' \ А | д"〉) являются функциями величин Г и Г (или д' и q) (см. определение линейного оператора, приведенное в разделе 1.4). Число {V \А | Z"〉мы можем записать в виде матрицы в L-представлепии:

и |4|『〉=4"(1.89)

а число〈鼠 IЛ I ,"〉一 в виде матрицы в ^-представлении (непрерывном):

</МЮ =4 (q'；q")・(1.90)

В частности, если А — L (или q), то последние матричные элементы в силу соотношений (1.77) и (1.78) приводятся к следующим выражениям:

«'Ml l"> = Z&r, </|?Ю = /6 (д' — д〃)，(1.91) так что величины £ (или д) диагональны в собственном

представлении. Таким образом, соотношения (1.89) определяют оператор А в представлении, в котором матрица 工 диагональна, а соотношевил (1.90) определяют оператор Л в представлении, в котором диагональна матрица q. Если снова возвратиться к примеру из раздела 1.6, то увидим, что соотношение (1.37) является специальным случаем соотнонтения (Г.91), т. е.

I 1 1> <ц-1 |сз2| —1> ri о°"]一1|"卜1〉〈_W 川三[0 — "(LJZ)

и матрица [о/ диагональна. Последнее представление называется о 2-представлением.

Ранее уже несколько раз указывалось, что алгебра one раторов совпадает с алгеброй матриц, и поэтому неудивительно, что операторы могут быть представлены матрицами. Аналогично этому алгебра кет- и бра-векторов оказывается той же самой, что и алгебра одпостолбцовых или однострочных матриц.

Мы ввели систему базисных векторов с помощью собственных векторов определенного оператора L (или д). Однако последнее совершенно не обязательно, ибо система базисных векторов может быть введена произвольным образом; при любом выборе базиса кет-векторы выражаются с помощью матричных столбцов, а операторы — с помощью квадратных матриц. При этом базисные векторы всегда выбираются ортонормированными в смысле (1.78). В сне- дующем разделе мы покажем, каким образом происходит переход от одной системы базисных векторов к другой.

Функции преобразования. Изменениепредставления

Выбор наблюдаемой величины для определения базисных векторов, как правило, не является единственным. Для примера можно привести систему с частицей, движущейся в одном измерении, для которой подходящей наблюдаемой величиной для представления состояния векторов и операторов в матричной форме мог бы служить или импульс частицы р, или ее координата q. При вычислениях в некоторых случаях одно представление может оказаться более удобным, чем другое. В этом разделе мы рассмотрим,

как изменяются векторы состояний и операторы при замене одного представления другим. В следующем разделе мы подробно рассмотрим соответствующий пример.

Задача о переходе от одного представления к другому целиком аналогична задаче о повороте координатных осей в обычной геометрии. Покажем это на примере двумерного поворота. Пусть оси 力 и ^ составляют прямоугольную систему координат, а оси 胃'и『一 систему координат, повернутую относительно системы z, у против часовой стрелки на угол 9. Тогда мы имеем следующие уравнения преобразования осей координат:

а/ = cos 8•花十 sin f ・у, у'= — sin 9・/+ cos 9・у (1.93) или, в матричных обозначениях,

(1.94)(1.94)cos 令 sin »]

(1.94)

(1.94)

—sin 办 cos 今 J

Детерминант матрицы преобразования - cos 9§

K= . „„(1.95)

—v cos 杼

равен единице , а произведение матрицы К на транспонированную матрицу R равно единичной матрице:

КК = КК = 1КК = КК = 11 ОО 11 ОО 1(1.96)(1.96)

КК = КК = 1

КК = КК = 1

1 О

О 1

1 О

О 1

(1.96)

(1.96)

(транспонированной называется такая матрица, в которой строки и столбцы переставлены местами).

Из равенства (1.96) можно заключить, что

(1-97)(1-97)R - К—

(1-97)

(1-97)

где матрица К^1 является матрицей, обратной по отношению к матрице К.

Если К = К~，и det К =1,то преобразование координат от У, у' к 况,у является преобразованием вращения. Для того чтобы перейти к преобразованию, обратному преобразованию (1.94), мы воспользуемся соотношением (1.97) и в результате получим

cos 9 — sin 仆cos 9 — sin 仆sin 仆 cos 9sin 仆 cos 9(1.98)(1.98)

cos 9 — sin 仆

cos 9 — sin 仆

sin 仆 cos 9

sin 仆 cos 9

(1.98)

(1.98)

Аналогично, компоненты произвольного вектора 4 в системе координат ◎', уг связаны с компонентами этого вектора в системе координат 出,у, с помощью соотношения

илиили4先 讶4 _| L 4竄一4先 讶4 _| L 4竄一(1.99)(1.100)(1.99)(1.100)

или

или

4先 讶

4 _| L 4竄一

4先 讶

4 _| L 4竄一

(1.99)

(1.100)

(1.99)

(1.100)

Рис. 3. Компопенты лектора в двух системах координат, повернутых отпосптельзю друг друга.Рис. 3. Компопенты лектора в двух системах координат, повернутых отпосптельзю друг друга.

Рис. 3. Компопенты лектора в двух системах координат, повернутых отпосптельзю друг друга.

Рис. 3. Компопенты лектора в двух системах координат, повернутых отпосптельзю друг друга.

Эти компоненты показаны на рис. 3.

Переход от одного представления к другому в кет, (или бра-) пространстве в принципе ничуть не сложнее- чем преобразование ком-

ионент вектора от одной системы координат к другой в приведенном выше примере. Предположим, что мы имеем две наблюдаемые величины L и М, которые удовлетворяют следующим уравнениям для собственных значений:

<V\L =Z' 〃'I,{т'\М = т <^1.(1」°D

Величины ，и т одновременно могут пробегать или дискретный, или непрерывный ряд значений, либо набор величин Г имеет дискретный ряд значений, а набор т —— непрерывный (и наоборот). Возможна также ситуация, когда спектр величины『или т! в некотором интервале дискретный, а в другом ——непрерывный. Для простоты в этом разделе мы будем предполагать, что величины Г и тп‘ пробегают дискретный ряд значений, хотя исследование вопроса о преобразовании представлений можно проводить аналогичным образом для любой из указанных выше возможностей. Для наблюдаемых L и М имеют место соотношения

« I Z"〉= М",〈川 I 加'〉=Вт，т”, (1.102)

и в силу полноты систем собственных векторов имеем

"〉6 = /, 2m〉〈m = /・(1-юз)

Следовательно, можно разложить любой бра-вектор〈，| по системе собственных бра-векторов {〈п/|} и, наоборот, любой бра-вектор〈т/| — по системе собственных бра- векторов {〈，|} и в силу (1.103) получить

〈，1 = 2«1加〉〈加1，5]=261，〉е|. (1.Ю4)

Мы можем рассматривать числа

〈门"〉三 S^，(1.105)

как элементы матрицы со строками, обозначенными символом X, и столбцами, обозначенными символом mf. Эти числа образуют функцию преобразования, а соответствующая им матрица S называется матрицей преобразования, ибо числа Sr^n，делают возможным переход от представления, в котором диагональна матрица оператора, соответствующего величине М, к представлению, в котором диагональна матрица оператора, соответствующего величине £. Числа Sum играют роль элементов матрицы К в выражении (1.95). В силу (1.8) и (1.105) получаем, что

S,，7n，三〈Z‘ I12'〉* = Sm“‘・(1.106)

Если имеется произвольный кет-вектор |屮〉，то мы можем образовать скалярное произведение этого вектора па векторы (1.104) и получить

〃'丨 2〉н 2 S，m，〈历 I 屮〉，〈?n' I 2〉= 2 Sm"，〈/' | 屮〉.

(1.107)

Согласно предыдущему разделу величина〈，| р〉является представителем кет-вектора | 屮〉в ^-представлении, а величина (тг\^У — представителем |屮〉в M-представлении. В предыдущем разделе эти величины изображались в виде матричных столбцов, так что мы видим, что соотношения (1.107) являются полными аналогами соотношений

(1.99) и (1.100). В случае поворота системы координат в обычном векторном пространстве матрица преобразования удовлетворяет условиям К = К" и det К = i. Теперь покажем, что матрица S преобразования кет-векторов из одного представления в другое удовлетворяет условиям

S+S = SS+ = /,(1.108)

так что

$т = S+.(1.109)

Иными словами, покажем, что преобразование от М-пред- ставления к L-представлению является скорее унитарным преобразованием, чем преобразованием чистого поворота. Для этого мы напишем (используя определение матричного элемента произведения двух матриц)

〈從 IS+S |^> = 3〈历 I 〃〉〈〃 I 加〉=бет，，,

(1.110)

“155+1 〃〉一』m 加〉〈w〉= 6“，，.

При этом были использованы соотношения полиоты (1.103) и ортонормировки (1.102), Таким образом, матрица S унитарна. Если матричные элементы матрицы S^m， были бы вещественными, то S+ = S, а тогда соотношение (1.109) означало бы, что преобразование от Л-представления к М-представлению является чистым поворотом (сравните с равенством (1.97)). На самом деле преобразование, определяемое матрицей S в комплексном бра-(или кет-) пространстве, является лишь аналогом поворота.

В итоге можно сказать, что функция преобразования S = ((Г\ т)) необходима для того, чтобы' определять компоненты произвольного кет-вектора | 屮〉в (| Г>)- представлении по известным компонентам этого вектора в (I 7пл»-представлении и наоборот. Отметим также, что совокупность чисел < iz 11|)> является функцией я|)(Г) величины ，，т. е.〈，丨屮〉= 屮(，)(см. определение скалярного произведения в разделе 1.3), а совокупность чисел 〈??/|屮〉 является другой функцией я|)(и/) от величины тп* т. е. 〈從 I 屮〉=屮(〃)• Несколько позднее мы будем рассмат-

ривать эти функции как волновые функции в двух различных представлениях.

Перейдем теперь к преобразованию операторов при переходе от одного представления к другому. Рассмотрим для этого матричные элементы, представляющие оператор Л в //-представлении, 〈，|厶|，"〉= 厶『广. Если мы дважды используем соотношение полноты (1.103) для вектора |w/〉, то получим

〈Z[4|Z〃〉= 2 <Г {m'y^m'\А\т")(т"\1"). (1.111)

Здесь величины 4排，卅"=〈相‘ |4| пг"〉являются матричными элементами (или представителями) оператора Л в Л7-представлении. Если мы используем соотношения (1.105) и (1.106), то выражение (1.111) запишется в виде

4[俨=^^ ^Pm''-^т'т"1^Vm11(1.112)

или в виде матриц

Al = SAMS+ = SAMS-\(1.113)

В этом случае, когда операторы преобразуются по формуле (1.113), говорят, что они подвергаются преобразованию подобия. Если теперь обе части равенства (1.113) умножить слева на $т, а справа на S, то с помощью выражения (1.108) можно получить

Ам = S^Al S = S~^~AlS.(1.114)

Отсюда можно сделать вывод, что когда кет- (или бра-) векторы подвергаются унитарному преобразованию, операторы в кет- (или бра-) пространстве претерпевают преобразование подобия.

Мы разработали законченную схему для преобразования векторов и операторов в кет- (или бра-) пространстве при переходе от одного представления в этом пространстве к другому. В следующем разделе мы поясним эту схему на простом примере.

Квантование. Пример непрерывного спектра

Когда производится однократное измерение некоторой наблюдаемой величины, то в результате этого измерения получается одно из собственных значений этой величины. Поэтому для того, чтобы связать теорию с экспериментом, весьма важно уметь решать задачи на собственные значения. До настоящего момента мы решили только одну такую задачу в разделе 1.G, где оператор наблюдаемой величины удовлетворял алгебраическому уравнению 桟=/. В этом случае гильбертово пространство состояло только из двух собственных векторов и спектр собственных значений имел только два дискретных значения: +1 и —1. В данном разделе мы решим еще одну такую задачу на собственные значения, спектр которых является непрерывным. В этом простом примере будет рассматриваться такая кваитовомеханическая система, которая имеет классический аналог.

Рассмотрим снова частицу массы т, движущуюся в одном измерении в поле внешних сил. В классической механике эта система может быть полностью описана путем задания координаты и импульса частицы в каждой точке пространства и в каждый момент времени. Если мы точно определим координату и импульс частицы в определенный момент времени, то мы точно определим классическое состояние этой системы в данный момент времени.

При рассмотрении этой системы с точки зрения квантовой механики мы, согласно развитым нами представлениям, связываем с каждой из динамических переменных (в силу того, что они являются наблюдаемыми величинами) некоторый линейный эрмитов оператор; для координаты и импульса частицы будем обозначать эрмитовы операторы соответственно и р. Эти операторы, как операторы наблюдаемых величин, удовлетворяют условию .

р = р+, q = 7+. (1.115)

Классический гамильтониан системы Н также является наблюдаемой величиной, и поэтому ему соответствует в квантовой механике эрмитов оператор:

〃=^р2 + мд)= *+， (1Л16)

который выражается через операторы р и ^.

После перечисления всех операторов, необходимых для описания физической системы, следует установить вид алгебры, которой подчиняются эти операторы. Установление вида алгебры требует введения в теорию дополнительного постулата в виде коммутационных соотношений, которым подчиняются соответствующие операторы. Для операторов pug эти соотношения постулируются в виде

[% q\ = 0, [р, р]二 О,

(1.117) [д, р] = (др — рд)工 ih

(Й——постоянная Планка, деленная на 2л). Так как в классике величины дир коммутируют, то квантовая и классическая системы отличаются друг от друга соотношениями коммутации для этих величин. Отсюда следует, что когда операторы наблюдаемых величин дир удовлетворяют соотношениям коммутации (1.117), соответствующая классическая система «квантуется».

Оправданием для введения квантового постулата в виде соотношений коммутации типа (1.117) является замечательное согласие между теорией и экспериментом. По- видимому, указанный выше постулат является наиболее глубоким и фундаментальным постулатом теории.

Классическая механика содержится в квантовой механике в виде предельного случая при Й -> 0, ибо при этом величины ^ и р коммутируют. Это утверждение называется принципом соответствия.

В том случае, когда операторы ^ и р подчиняются условиям (1.117), говорят, что они подчиняются некоммутативной алгебре.

Прежде чем переходить к дальнейшему изложению теории, выведем несколько полезных соотношений для некоммутирующих операторов. Если Z ——целое число, то из соотношений (1.117) с помощью математической итздукции следует, что

[д,加]=力猊必т三访 ^ р‘， (1.118)

[p, W =-访wT三一,力詣9'

(см. задачу 1.1 в конце главы).

Отсюда видно, что если F (р) и G (^) являются функциями, которые могут быть разложены в степенные ряды соответственно но р и д, то тогда

[д,歹(р)]三簿 |^, (1.119а)

[р,6(g)]三一访芻. (l.H9b)

Мы постулируем, что эти соотношения справедливы даже в том случае, когда функции F и G не могут быть разложены в степенные ряды.

Если идти еще дальше, то можно обобщить все эти коммутационные соотношения и на тот случай, когда функция 尸 является функцией операторов р и ^ одно- временно, т. е. F(p, g). Тогда получим)

【g,F(p,g)]三访許， (1.120а)

[亿歹(P，G1三一次瑞。 (l.120b)

При использовании соотношений (1.120) нужно быть крайне осторожным, ибо величины р и не коммутируют друг с другом. Например, если F (р, g) = pqp, то это не значит, что F (р, 7)二：р2g. Применение в даннолг случае соотношений (1.120) дает

[g, pqp]=流裁 pop =競 3g 十 gp)・

Другими словами, при использовании соотношений (1.120) всегда должен сохраняться порядок сомножителей в функции 尸 е, q).

Теперь мы вполне подготовлены к тому, чтобы решить две задачи на собственные значения)

р|р'〉= “|р'〉， gb'〉二 g'kz'〉’(1.121)

для импульса р и координаты q. Необходимо найти собственные значения и собственные векторы соответствующих операторов. Для решения этих задач мы введем два оператора Дирака, называемые операторами сдвига. Происхождение их названия станет ясно позднее.

Рассмотрим оператор [2]

Q(? = exp (—磐)，(1.122)

где Е — произвольный параметр. В силу эрмитовости оператора р

Q+(E) = exp(4^) = QT®,(1.123)

так что если параметр 自 веществен, то оператор Q унитарен. Если мы используем теперь соотношение (1.119а), то получим

Q]=熊需 &Q,

откуда следует:

qQ = Qq*WQ・(1.124)

Теперь, если мы умножим обе стороны этого равенства справа на собственный кет-вектор оператора q с собственным значением д', то с помовдъю уравнений (1.121) получим

д ｛Qb〉｝ - 5 + 曰依炉〉｝・(1.125)

Это уравнение говорит о том, что если вектор 炉〉является собственным кет-вектором оператора q с собственным значением д', то вектор Q\qfy также является собственным кет-вектором того же оператора д, но с собственным значением д' 4* Е・ Однако в силу теоремы 1 раздела 1.6 все собственные значения оператора q должны быть веще-

ственны, так как оператор q эрмитов. Поэтому число 自 является вещественным числом, что уже и было предположено при выводе равенства (1.123); в остальном это число пока совершенно произвольно. Это значит, что собственное значение д'十 Е может принимать любое значение от —— оо до 一卜 оо. Иными словами, это означает, что собственные значения qr оператора q образуют непрерывный спектр.

Высказанные выше соображения, а также соотношение (1.125) оправдывают название оператора Q как оператора сдвига, ибо действие этого оператора на состояние |д'〉с собственным значением qr переводит последнее в состояние с собственным значением д' + J. Если мы умножим обе части равенства (1.124) слева на оператор，* то получим равенство

qt gQ = д + £(1.126)

которое показывает, что оператор Q смещает оператор q на величину g.

Норма вектора Q^} в силу условия (1.123) равна

〈g'IQ+Q|g'〉=〈g'k'〉，(1.127)

так что вектор Q|g'〉может быть равен нулю только в том случае, если вектор |д'〉= 0. Этот случай тривиален.

В силу непрерывности чисел qf мы можем нормировать собственные кет-векторы таким образом, чтобы они удовлетворяли соотношению ортонормировки (1.78):

<УМ'〉= Ь0'—9"),(1.128)

а так как величина д, кроме того, является наблюдаемой величиной, то имеет место соотношение полноты (1.79):

+ 8.

J 历'〉歯'“'1=/•(1.129)

Таким образом, мы показали, что вектор Q 但)|д'〉 является собственным кет-вектором оператора наблюдаемой величины q с собственным значением д'+ |. Это значит, что

Q(9lg'〉= c|g' + Ь,

где с ——постоянная, которая может зависеть как от д', так и от |. Однако мы знаем, что

S'IQ+Qk〉= с* (д',占)с (д", 9 </!/>■

В этом равенстве в силу соотношений (1.128) и (1.123) обе стороны обращаются в нуль, если 夕‘扌 д". Отсюда мы заключаем, что когда qr = g", то \с (д', §产=1, т. е. абсолютное значение постоянной с равно единице. Однако постоянная с может зависеть еще от произвольной фазы, не имеющей физического смысла. Мы выберем эту фазу так, чтобы с — \. Тогда

ехр (-第 I『〉=Q (日 I『〉= 1^ + Е〉・(1.130)

В частности, если мы положим в последнем равенстве qr = =0, то получим

Q ⑴ |0〉q=店〉，

где индекс q показывает, что вектор |0> q является собственным кет-вектором оператора q с собственным значением, равным нулю. Если мы теперь в последнем соотношении положим число 占=д', то соотношение примет вид

ехр (-明 I 0〉《=Q ⑺ I 0〉尸 I />.(1.131)

Мы видим, что состояние с собственным значением д' может быть получено из состояния с собственным значением д' = 0 с помощью оператора сдвига Q (д').

Легко найти выражение, комплексно сопряженное выражению (1.130):

S' IQ+⑹=〈『I ехр (礬)=е + 自 I， (1.132)

откуда

£O|Q+(g')=(1.133)

Таким образом, все собственные кет-векторы (или собственные бра-векторы) могут быть получены из одного собственного кет-вектора (или собственного бра-вектора). Этого вполне достаточно для определения всех свойств собственных кет- (или бра-) векторов, необходимых для построения теории.

Введем теперь другой унитарный оператор сдвига：

Р(Е) = ехр 蹲.(1.134)

Нетрудно показать, что собственные значения оператора импульса р могут принимать любые значения от —оо до + °о- Кроме того, можно показать, что

尸(E)|P'〉= |P' + G,(1.135)

Р (/)| 0>р 三 exp (竿)10% = I />(1.136)

или

P<01 p+ (") = p<01 exp (二穿)=5, |.(1.137)

Аналогично (1.126), имеем

рт pP = р + &•(1.138)

Собственные кет-векторы |р'〉оператора наблюдаемой величины р удовлетворяют соотпошепиям ортонормировки и полноты:

+ 8

〈Р'|Р"〉= 6(Р'-Р"), J |p'〉dp'〈p'| = /. (1.139)

Таким образом, мы решили задачу на собственные значения как для оператора q, так и для оператора р. Обе совокупности кет-векторов |д'〉и |р'〉являются полными и ортонормированными системами, и поэтому любая из этих систем собственных кет-векторов может быть использована в качестве системы базисных векторов для представления любого состояния системы в кет-прострапстве.

Как ясно из предыдущего раздела, для того чтобы перейти от одного представления к другому, необходимо знать функцию преобразования вида

^(p, /) = <^1^> = <94/>*. (1.140)

В данном случае эта функция может быть очень просто вычислена с помощью операторов сдвига Q и Р.В силу (1.131) имеем

(1.141)(1.141)〈川 丁〉= （Х I GXP （一凳）丨 0〉g,

(1.141)

(1.141)

но согласно (1.71)

5‘1斤(？)=尸(加)〈"|,(1.142^

так что

@”〉= ехр(—罕)》|0〉q.(1.143)

Благодаря соотношению (1.137) и тому, что (см. формулу (1-71))

歹(g)Q〉=歹(д')}'〉，(1.144)

соотношение (1.143) может быть записано в виде

518〉= ехр (-学^)р〈0| ехр (一嘗)|0% =

=ехр (—罕)р〈01 0〉《三 </| Р'〉*・(1.145)

Но величина р<0|0>д есть постоянная, которую можно найти следующим образом: с помощью соотношений ортонормировки для векторов |р'〉(см. (1.139)) и соотношений полноты для векторов |,，〉(см. (1.129)) можно получить

『3\q'>dq'®'\p"〉= “p' — р").(1-146)

Если выражение (1.145) подставить в последнее соотношение, то найдем, что

+ 8

I р<010〉q I2 \ ехр [" S /Р)]讶=6 К - р").

При соответствующем изменении обозначений с помощью (1.60Ь) находим, что интеграл в последнем соотношении равен 2冗方5 ("——р"), так что постоянная | Р<0|0)ч|2 оказывается равной

Iр〈。I0〉qI2Iр〈。I0〉qI2—2лЛ *—2лЛ *(1.147)(1.147)

Iр〈。I0〉qI2

Iр〈。I0〉qI2

—2лЛ *

—2лЛ *

(1.147)

(1.147)

Фазу величины @〈0|0〉《 молено выбрать так, чтобы

s (Р‘,矿)=〈"I 矿〉=-р= ехр (一嘗)=s，IУ>*. (1.148)

Мы получили в явном виде функцию преобразования, которая рассматривалась в разделе 1.10.

В предыдущем разделе было показано, что опера工ор преобразуется из одного представления в другое с помощью соотношения (1.111). Для того чтобы применить эту формулу к оператору Авр- или ^-представ лении, будем считать, что операторам L 皿 М с собственными значениями 厂(или Z") и т/ (или т") соответствуют операторы дир с собственными значениями q‘ (или qr) и р，(или р"). Так как в данном случае собственные значения операторов q и р непрерывны, то суммирование в (1.111) нужно заменить интегрированием. В результате получим

十8

В I 4 I g"〉= J dp'dp'\q'\ "〉<У I Л I “〉51 矿》

Если теперь воспользоваться соотношением (1.148), то последнее выражение можно преобразовать к виду

<9Z I -4 2'〉=鳥 \ 办/dp" exp『S"' L ' '] <P'\A\ P">-

°0(1.149)

Рассмотрим теперь конкретный случай А = р, В силу условий (1.139) и (1.121) имеем

"|р，〉= р'Ь(1.150)

Если подставить формулу (1.150) в соотнэшение (1.149) и использовать для вычисления интеграла по р" выражение (1.57), то нетрудно получить

<(1'\Р\(1"> = ^ 如 Р'ехр 产夕戸纟2]=

4-оо

ex叫Й ]ap -

(1.151)(1.151)+ 8

(1.151)

(1.151)

i dq" 2ЛЙ ) exp [ Й J ap •

Предполагается, что интегралы по q и q можно дифференцировать под знаком интеграла.

Благодаря условию (1.60b) последнее выражение можно записать в виде

〈а」р I а"〉=告詣 з (矿一д")=—『詣§ а - Q)(1」52)

Однако в силу соотношения (1.128) равенство (1.152) может быть записано также в другом виде:

S' IIg"〉= 4寻《心=一^■击《' 矿'〉• (1.153)

Эта формула показывает, каким образом преобразуется оператор р при переходе из /^-представления к ^-представлению.

Этот результат можно легко обобщить на случай функции F от оператора р. В этом случае соотношение (1.153) заменяется следующим:

匂'丨歹(Р) I 矿'〉=F(；霜⑺ 0，〉.(1.154)

Если рассматривается произвольная функция V от оператора д, то в силу соотношения (1.144) имеем

“'卜⑷啜〉=^ (/)</|/>.(1.155)

Совершенно аналогично можно показать, каким образом преобразуется оператор q при переходе к р~предста- влению. В этом случае имеет место формула, аналогичная формуле (1.153):

<рл IIр"> = - 4а7 <pz I^> = + 4^<^лI^>-(1Л56)

В качестве другого примера применения приведенной выше теории покажем, каким образом связаны между собой представители произвольного вектора состояния |屮〉 в двух различных представлениях. Эта связь определяется соотношением (1.107). Положив, как и раньше, £ = g и М ~ р, в силу непрерывности спектра собственных значений операторов р и g мы должны в формуле (1.107) заменить суммирование интегрированием. Тогда получим

выражения

屮(0')三S' I屮〉=J〈矿I心 办'〈"I屮〉=

+ 8

hfbr! dp，^P^)^!^'d」57)

+ 8

屮(p‘)三〈炉|屮〉=y|^\ 齒'exp(—*)〈g'|W〉，(1.158)

в которых мы использовали функцию преобразования (1.148). Мы знаем, что величины〈д' | 屮〉=屮(д') и〈夕]屮〉= ^ Ф (р‘) являются функциями соответственно q и р‘. Из со- отношений (1.157) и (1.158) следует, что функции 屮(д') и Ф (р‘)связаны преобразованием Фурье. В соответствии с приведенными ранее основными положениями функции 屮(鼠)и ср (р) изображают один и тот же вектор состояния |屮\ в двух различных представлениях. Эти функции называются также шредингеровскими волновыми функциями.

Соотношения (1.154) и (1.155) мох;но обобщить следующим образом: умножим (1.154) справа на〈д" |屮〉и проинтегрируем по q" от ——оо до +оо. Если мы используем к тому же соотношение полноты, то равенство (1.154) приведется к виду

3 Iр(p)I屮〉=歹(二故)m中〉=7件謂)中⑺,(1.159)

где кет-вектор |屮〉является произвольным вектором состояния. Аналогичная процедура, примененная к соотношению (1.155), показывает, что

“'I 卩(g) №> =卩(д')〈д' I屮〉=V ⑺ 1Hд'). (1.160)

Полученные формулы будут весьма полезными в дальнейшем.

Для рассматриваемой нами системы, состоящей из частицы, движущейся в одном измерении, существует еще одна важная наблюдаемая величина: гамильтониан системы, собственные значения которого мы еще не знаем. Эта наблюдаемая удовлетворяет следующему уравнению для

собственных значений:

Я|£> = ^|2?> = [^- + 7(?)]|2?>. (1.161)

Очевидно, что до тех пор, пока мы не укажем явный вид функции V(7), мы не в состоянии решить такую задачу на собственные значения. Заметим, что собственные векторы и собственные значения наблюдаемых величин р и q не зависят от вида потенциала V (д). Вторая глава данной книги будет посвя]цена как раз исследованию уравнения (1.161) в случае, когда V (д)工 2/2 к(^、где к ——постоянная. Этот потенциал соответствует гармоническому осциллятору. Более простым примером является случай свободной частицы, когда V (д) = 0. В этом случае задача о собственных значениях оператора Н крайне проста, но мы отложим ее решение до раздела 1.19.

Мы можем сформулировать задачу на собственные значения энергии в формуле (1.161) в координатнодг представлении. (Собственные кет-векторы 也〉задают энергетическое представление.) Для этого умножим обе части равенства (1.161) на собственный бра-вектор ве^гичины 7, т. е. на〈д]. Тогда

⑺陽 Т'Р(д)]|Е〉= Е〈МЕ〉・

Если теперь воспользоваться соотношениями (1.159) и (1.160), в которых положить I屮〉= \Е} (ибо кет-вектор в этих соотношениях был произволен), то последнее уравнение можно написать в виде

[一羔券十卩(0')гд' I е〉=e 匂' IE〉.(1.162)

Решение этого уравнения определяет функцию преобразования 〈д' |笈〉от энергетического к координатному представлению. Эта функция является также собственной функцией энергии Н в ^/-представлении или собственной функцией координаты 7 в энергетическом представлении. Уравнение (1.162) называется волновым уравнением Шредингера, не зависящим от времени. Функция {qr \Е} является шредингеровской волновой функцией, которая

записывается в виде

(7 )三〈〃£〉•

Уравнение (1.162) выведено на основе сформулированных нами постулатов, без привлечения дополнительных постулатов. Весь проведенный нами анализ предполагает, что мы рассматриваем систему в некоторый определенный момент времени. Для того чтобы указать, каким образом система развивается во времени в отсутствие возмущений, нам потребуется еще один постулат в теории (см. по этому поводу раздел 1.14).

Поскольку гамильтониан системы также является наблюдаемой величиной, то мы можем заключить, что собственные кет-векторы \ЕУ будут образовывать полную систему и будут удовлетворять условиям ортонормировки. До того, как мы определим явный вид потециала V (д), мы не можем сказать, будут ли собственные значения гамильтониана дискретными, непрерывными или теми и другими в различных областях спектра и будет ли иметь место какое-либо вырождение системы. Прежде чем переходить к решению уравнения (1.162) для какого-либо конкретного потенциала V (д'), мы перейдем к физической интерпретации тех состояний системы, которые не являются собственными состояниями наблюдаемой величины. Рассмотрение таких состояний потребует включения в теорию вероятностной интерпретации, о которой уже упоминалось во введении.

Измерение наблюдаемых величин.Вероятностная интерпретация

В предыдущих разделах была дана физическая интерпретация собственных состояний наблюдаемых величин. Предполагалось, что если система находится б собственном состоянии |2〉наблюдаемой величины L, то при измерении величины L с определенностью будет получаться значение Z. Предполагалось также, что если над системой, находящейся в произвольном состоянии |屮〉,производится однократное измерение величины £, то в результате получится одно из собственных значений этой величины. При этом вызываемое измерением возмущение будет заставлять систему «перескакивать» неконтролируемым образом в одно

из ее собственных состояний. Так как возмущение, вызываемое взаимодействием физической системы с устройством, используемым для наблюдения, будет нарушать ту причинную связь между измеряемой величиной и состоянием системы, которая имела место до измерения, то мы ие можем точно предсказать, какое из собственных значений будет получено в результате такого измерения. Поэтому мы введем еще одно предположение, которое позволяет найти некоторую вероятность получения определенного собственного значения величины L в процессе измерения, производимого над системой, находящейся в произвольном СОСТОЯНИИ 2〉.

Мы будем предполагать, что если наблюдаемая величина L измеряется бесконечное число раз (в действительности— большое число раз) для системы, которая каждый раз при измерении находится в одном и том же состоянии ]屮〉，и результаты измерений усредняются, то получаемое нами среднее значение〈£〉величины L равно

"〉=• 口聞)

Предположение (1.163) можно обобщить на случай, когда нужно определить среднее значение некоторой функции / наблюдаемой величины L. Соответствующая формула принимает вид

〈/3)〉=吗需也 (1-164)

Квантовые средние значения соответствующих величин, приведенные в формулах (1.163) и (1.164), являются некоторыми ансамблями средних значений, т. е. предполагается, что существует бесконечное число тождественных невзаимодействующих квантовых систем, которые приготовлены одинаковым образом. Каждая такая система называется элементом ансамбля. Величины L или / (£) измеряются на каждом элементе ансамбля, и полученные результаты измерений усредняются. Средние значения при этом определяются по формулам (1.163) и (1.164). Необходимо все время помнить, что квантовое среднее является средним по ансамблю элементов каждый из которых находится в состоянии ]®〉・

Если собственные кет-векторы |/> наблюдаемой величины L образуют полную ортонормированную систему, то в случае дискретного спектра имеем

/ = 2|z〉ai・

Если умножить обе стороны этого равенства на / (Е) слева, то получим

〃Z)k2/(Z)|Z〉"〉.(1.165)

Если мы при этом выберем такую функцию / (Z), что /(Z) = 6〃，，то последнее равенство будет приведено к виду

/(z)= w〉ai.(1.166)

Уравнение (1.45) является как раз примером разложения вида (1.165).

Согласно соотношению (1.164) среднее значение функции /(Л), определенной в (1.166), равно вероятности 尸， найти значение Г величины L при проведении измерения над системой, находящейся в состоянии |屮〉.Поэтому благодаря соотношениям (1.166) и (1.8) имеем

Pv 〈屮炉(七)№〉=〈屮卩‘〉〈2'心 二 К门屮>汽(1.167)

где предполагается, что〈屮 | 屮〉=1« Волновая функция 〈厂 |屮〉= 屮(Г) в L-представленииназывается амплитудой вероятности, а величина |屮(？)产 равна вероятности получения величины Z' при однократном измерении величины £, производимом над системой, находящейся в произвольном состоянии I 屮〉.

Рассмотрим теперь по аналогии с приведенным выше примером случай, когда L — q. Этот оператор имеет непрерывный спектр собственных значений от ——оо до + оо. Так как g|g'〉=『風〉и

〈g'lg”〉= 6 S — g"),(1.168а)

/ = \ I q"> dq" <q" I，(1.168b)

то последнее равенство можно умножить слева на оператор / (д) и получить выражение

V(g〃)|g〃〉MSI，(i<69)

аналогичное соотношению (1.165). В частности, определим функцию / (д“)следующим образом:

/ 0") = 1, если qr < q < ^' + %

f (g") = 0 в остальных случаях. (1.170)

Тогда оператор / (д) имеет вид

qr-vdqf

/⑷=，\q">dq'\q"\.(1.171)

Вероятность Р^ dq того, что при измерении наблюдаемой величины q для системы, находящейся в состоянии I屮〉，будут получаться собственные значения между “ и q* + dq . равна среднему значению функции / (夕)，приведенной в соотношении (1.171),

q'十對"

%歯'=〈屮1/(0)1屮〉=，〈屮|矿'〉歯"W1屮〉=

=1〈矿 I 屮〉|2 纾. (1.172)

И в этом случае волновая функция ^q |屮〉= 屮(д') в 夕 ( представлении есть амплитуда вероятности, а величина I® (夕')|2讶 есть вероятность того, что измерение величины 7, когда система находится в состоянии |屮〉，даст собственное значение, заключенное между q и д' + dq .

Для функции 〈Г|тп'〉=〈ттт/|Г〉*, осуществляющей преобразование от Z-представления к Af-представлению, можно ввести два вероятностных истолкования. Для простоты будем предполагать, что системы собственных значений Г и тп' дискретны. Тогда, с одной стороны, величина I〈厂 |^>|2 определяет вероятность получения значения 1Г при измерении величины Z, производимом над системой, находящейся в состоянии |加‘〉.С другой стороны, та же величина определяет вероятность получения значения т‘

при измерении величины М, производимой! над системой, находящейся в состоянии |Z'\. Эти вероятности равны. Величина (Г |^> может быть названа волновой функцией для наблюдаемой величины М в ^-представлении, а может быть также названа волновой функцией для наблюдаемой величины L в М-представлении.

Теория измерений играет важную роль в приложениях квантовой механики к измерению электромагнитных полей или детектированию сигналов в различных системах связи. Более детально мы будем обсуждать эти проблемы в следующих главах, а для более полного изучения теории измерений отошлем читателя к книгам Неймана [9] и Бома [5]. Кроме того, все эти вопросы тесно связаны с принципом неопределенности Гейзенберга, который мы рассмотрим в следующем разделе.

Принцип неопределенности Гейзенберга

Пусть имеется ансамбль тождественных не взаилюдей- ствующих между собой квантовых систем, находящихся в одном и том же состоянии | 屮〉.В одной половине ансамбля мы измеряем только одну наблюдаемую величину Л, а в другой половине ансамбля ——другую наблюдаемую величину В. Каждая половина ансамбля имеет бесконечное число элементов. В этом случае измерение наблюдаемых величин Л и 5 называется одновременным, ибо перед началом измерений состояние каждого элемента ансамбля было одинаковым.

Измерения наблюдаемой величины Л на одном из элементов ансамбля дает одно собственное значение этой наблюдаемой величины, равное, например, а; после такого измерения этот элемент ансамбля «перескакивает» из состояния I屮〉в состояние |а〉. Аналогично этому измерение наблюдаемой величины В на другом элементе ансамбле дает собственное значение этой величины, равное, например, Ь, и этот элемент ансамбля «перескакивает» в состояние |&). Вероятность того, что при однократном измерении величины Л на одном элементе ансамбля, находящемся в состоянии I屮〉，мы получим величину с, будет равна l〈c I屮〉产，а вероятность того, что при таком измерении величины В на другом элементе ансамбля мы получим величину Ь, будет равна |〈少 |屮〉Е・

Квантовое среднее (среднее по ансамблю) значение величин А и В для большого числа таких измерений равно 〈4〉=〈屮 \А I屮〉，<В> —〈屮 \В I屮〉，(1.173) где〈屮 I屮〉= 1. Вообще говоря, при таком измерении величин А и В всегда имеются отклонения от средних значений этих величин. Однако не надо думать, что эти флуктуации являются обычными флуктуациями, обусловленными несовершенством измеряющего прибора. Считается, что такой тип флуктуаций отсутствует. Пусть

<л2> = (4?依2|屮)，@2)_〈屮彦心.(1.174)

Тогда среднеквадратичные отклонения, или флуктуации, при измерении величин А и В, имеющие квантовую природу, равны

<(АЛ)2> = <42> 一〈/〉2,〈08)2〉=〈加〉一》〉2.

(1.175)

Эти флуктуал,ии будут равны нулю в том и только в том случае, когда состояние систеаты является собственный! состоянием величины Л или величины В или обеих вместе. Фактически именно этим способом и можно определять собственное состояние какой-либо наблюдаемой величины: в собственном состоянии системы каждое измерение соответствующей величины всегда дает одно и то же собственное значение этой величины без каких бы то ни было флуктуаций.

Теперь мы допустим, что операторы наблюдаемых величин А и В не коммутируют друг с другом, и удовлетворяют условию коммутации

[4, В] "&(1.176)

где С ——постоянная или оператор.

Можно показать, что в этом случае обе наблюдаемые величины Л и В не могут быть одновременно измерены с любой степенью точности (т. е. без каких бы то ни было флуктуаций) и что их среднеквадратичные отклонения удовлетворяют неравенству

^^^В^У>±-\{С^,(1.177)

где

g =〈屮 |С| 屮〉.(1.178)

Неравенство (1.177) является математическим выражением принципа неопределенности Гейзенберга.

Прежде чем переходить к доказательству этого соотношения, обсудим вкратце значение этого принципа. Если при измерении наблюдаемой величины Л мы получаем точное ее значение (т. е. без каких бы то ни было флуктуаций), то вектор I屮〉является собственным вектором наблюдаемой величины А. По аналогии, если при измерении наблюдаемой величины В в состоянии | 屮〉мы получаем точное значение этой величины, то вектор |屮〉является также и собственным вектором наблюдаемой величины В. Отсюда следует, что если мы при одновременном измерении величин А и В получаелг для них обеих точные значения (т. е. для обеих получаем собствснмые значения), то рассматриваемое состояние должно быть собственным состоянием одновременно для Л и В*). Последнее означает, что〈(А/)?〉= <(ДВ)2> — 0, откуда благодаря принципу неопределенности (см. (1.177)) следует, что |〈С〉| = 0. Это возможно только в том случае, когда С = 0, а в силу соотношений (1.176) это означает, что операторы А и Б коммутируют друг с другом. Таким образом, если операторы двух наблюдаемых величин коммутируют, то эти две наблюдаемые величины могут быть одновременно измерены с любой степенью точности.

Если операторы Л и В не коммутируют, а удовлетворяют равенству (1.176), то среднеквадратичные флуктуации, называемые иногда неопределенностью измерения, удовлетворяют условию (1.177).

Для того чтобы доказать неравенство (1.177), введем новые переменные а и 0:

а = Д —〈/〉， р = 8 —〈8〉.(1.179)

*) Вообще говоря, может существовать несколько состояний I *ф>, в которых〈屮]С I *ф> = 0. В каждом из этих состояний величины / и 力 могут быть одновременно измерены, хотя [Л, В]= =iC # 0. Один из таких случаев встретится нам в дальнейшем при изучении углового момента. Действительно, если £抬,Lv и Ez —— компоненты углового момента 厶,то они удовлетворяют соотношению [Lx, £J = ihLz. В то же время все эти три компоненты коммутируют с оператором квадрата полного момента L2. Тогда для состояния, в котором Lz\^y ~ 0, величины Lx | -ф> и Ly | “〉отличны от нуля и могут быть одновременно измерены.

Так как величины〈4〉и〈5〉являются обыкновенными числами, то из (1.176) следует, что операторы а и § удовлетворяют условию коммутации

[а, R】=С(1.180)

Поскольку〈а〉=〈8〉= 0, то в силу (1.179) имеем

<(Аа)2> = <(А4)2> = <а2>,<(Ар)2> = <(АВ)2> =〈俨〉・

(1.181) Произведение этих величин равно

<(Да)3><(Др)2> =〈屮 |а? I屮〉〈屮們屮〉.(1.182)

Теперь воспользуемся неравенством Шварца, которое имеет вид

1<ф 1х>12 < <Ф 1<Р> <Х 1х>>(1.183)

где |(р) и I%〉—— два произвольных кет-вектора, причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда

1学〉К е 氏〉，(1-184)

где с — постоянная (см. задачу 1.4 в конце главы). Так как величины Л и В являются наблюдаемыми величинами, то из этого следует, что а 二二 а+ и В 二二 0+. Если в соотношении (1.183) принять |х)к § I屮〉 и |(р)> = а |屮〉， то выра?кение (1.182) примет вид неравенства

<(Аа)2><(ДР)2>》|\屮 |сф |屮〉产.(1.185)

С помощью соотношения (1.180) мы можем написать

邓= 等(，в + в(х)+ -у- ЗВ — Р<х)= 等 зв + 昵)+ 等 С.

Если подставить это выражение в неравенство (1.185), то получится

<(Да)а><(Д[3)2>》｝ I〈叫(邓 + 昵)I 叩〉+ /屮 |С| 屮〉I2.

(1.186)

Операторы оф + ^a и С эрмитовы ), а поэтому числа 〈屮 |(ctP + Ра) 2〉 и <С> =〈屮 \С I中〉 вещественны.

Учитывая это и используя (1.181), выражение (1.186) можно записать в виде

<(Да)2> <(Д[3)2> = <(ДЛ)2><(ДВ)2>》｝ I © |2.

Это и есть принцип неопределенности (1.177).

В силу соотношений (1.184) и (1.186) знак равенства в соотношении неопределенностей (1.177) имеет место только тогда, когда

а I屮〉=cP I屮〉，(1.187а)

〈屮 |(сф + 6а) I屮〉=О,(1Л87Ь)

где с — постоянная.

Если кет-вектор |屮〉удовлетворяет условиям (1.187), то произведение неопределенностей Д4 АВ = 1/2 |<С>| оказывается минимальным.

В качестве специального примера применения полученных формул мы рассмотрим частицу в одном измерении и положим А = q и6 = 〃. В силу формул (1.117) коммутатор [7, р]=访，и поэтому соотношение (1.177) принимает в этом случае вид

Др ^q^ — h.(1.188)

Если мы, например, измеряем импульс р систелты, находящейся в собственном состоянии р, т. е. | 屮〉= |р'〉， то тогда <р2> =〈р〉2 и <(Др)2> = 0. В этом случае неравенство (1.188) означает, что среднеквадратичная флуктуация, возникающая при измерении одновременно с импульсом р и координаты 夕，оказывается бесконечной. Иными словами, если мы несколько раз подряд измеряем у частицы илшульс р и всегда получаем одно и то же его значение р\ то мы при таком измерении ничего не знаем о координате q этой частицы. Аналогичный вывод получается и в том случае, когда | 屮〉工 | 夕‘〉，т. е. когда мы проводим измерение над частицей, находящейся в состоянии с определенным значением координаты q. В этом случае Ад = =0 и в силу (1.188) Ар = оо.

Эти предельные случаи, когда кет-вектор | 屮〉является собственным кет-вектором для операторов р и д, согласуются с вероятностной интерпретацией теории, рассмот-

ренной в предыдущем разделе. Если известно, что при измерении тшульса частицы р мы всегда получаем точное его значение, равное р\ то вероятность того, что при таком измерении мы получила значения величины 夕，находящиеся в интервале от q до q + dq\ будет равна

^^ = [(/!/>I2^ = ^-, (1.189) где для вычисления величины〈夕‘ | //〉была использована функция (1.148). Эта величина не зависит от д', и поэтому частица может с одинаковой вероятностью находиться в любой точке от ——8 до + а. Иными словами, в согласии с принципом неопределенности, если Др = 0, то Ад = =

Точно так же, когда известно, что измерение координаты q дает точное ее значение 夕‘，то вероятность того, что при таком измерении значение импульса р окажется в интервале от р' до р' + dp', в силу (1.148) равна

%吻'=丨 ％'/〉『*' =磊. (1.190)

Снова, если мы знаем координату частицы, то мы ничего не можем сказать о величине импульса частицы. Точное измерение координаты частицы q вызывает такое глубокое возмущение системы, что уже ничего не может быть известно об импульсе частицы.

В итоге мы можем сказать, что если система находится в состоянии I 屮〉и над ней производится однократное измерение величины р, то в результате мы получаем одно из собственных значений р\ и в этом случае система переходит в состояние | //〉. Это дает нам способ создания систем в состоянии ! //〉. Если система находится в состоянии I 屮〉，то вероятность получить значение р при измерении величины р равна |〈// | 屮〉|2 dpf. В общем случае система не будет находиться ни в собственном состоянии оператора р, ни в собственном состоянии оператора q, и поэтому величины Ар и Ад будут конечными и отличными от нуля. Однако интересно выяснить, в каком состоянии системы произведение неопределенностей (Ар Ад) минимально. Это состояние системы соответствует минимальной степени локализации частицы в импульсном пространстве, когда ее координата находится в интервале

Ад координатного пространства. Для того чтобы найти это состояние, мы должны решить уравнения (1.187).

Если подставить уравнение (1.187а) и ему комплексно сопряженное в уравнение (1.187b), то получим

(с + с*)〈屮 I 伏 I 屮〉=0.

Так как при этом〈俨〉=〈(Ар)” # 0 (вектор | 屮〉не является собственным кет-вектором оператора р), то для того, чтобы выполнялось последнее равенство, необходимо, чтобы постоянная с была чисто мнимой. Мы запишем ее в виде с ■二一的，где 自—вещественная величина.

Для a g g 一〈办 и р = р — <р> уравнение (1.187а) принимает вид

(0 —<??) I ^> = — «^ (т7 — <Р» I 屮〉.

Если умножить обе части этого уравнения скалярно па собственный бра-вектор (/1 и воспользоваться соотношениями (1.159) и (1.160), то получим

J (qf — (^>)屮(g')=(亠备 •〈卩〉)屮 0，

где 屮(？)= </ I 屮〉.

Это простое дифференциальное уравнение первого порядка относительно волновой функции 屮(д') имеет решение вида

屮(д') = Q ехр [2 <р> д'—壶(д' — С?»2] .(1.191)

где с2 — постоянная интегрирования.

Две неизвестные постоянные ^ и с2 определяем, во- первых, из условия нормировки

+ 8,+8

0Н屮〉=$(屮1?'〉歯'〈『|屮〉=，|屮(『)产歯'三1 (1.192)

(здесь использована полнота системы) и, во-вторых, из требования, чтобы среднеквадратичная флуктуация величины q была

+ 8

((аg)" = "9 —(办)2〉= ^ 屮⑺ 12(矿—〈办)2 歯'• (1.193)

Если мы используем известные выражения для интегралов

+ 8 +8

\ £-6债"七=]/g，\ x^r^dx ~等寻，(1.194)

то, подставив в (1.192) и (1.193) выражение (1.191) для функции 屮(『)，получим

I С2 产 у■砒=1,|са |2 ]/元(陶3/2 = 2〈(Ag)2〉.

Отсюда нетрудно показать, что Й^ = 2〈(Ад)?〉и \с^^ = =[2л 〈(Ад)?,] %・ Если выбрать фазу величины с? так, чтобы она оказалась вещественной, то выражение для 屮(『)примет окончательный вид:

"(。')=①屮〉=而k亦exp [牛一篇總]• (1.195)

Это так называемая волновая функция с минимальной неопределенностью в координатном представлении. Повторные измерения величины q для системы в таком состоянии дают нам средние значения <夕〉со среднеквадратичньш отклонением <(А^)2>, а повторные измерения величины р дают среднее значение <р>. Среднеквадратичная флуктуация величины р определяется через заданную среднеквадратичную флуктуацию〈(Ад)?〉величины q и равна ((Ар)2)—无2/4〈(Ад)?〉. Заметим, что так как величины (р>, <д> и <(А^)2> произвольны, то существует тройная бесконечность состояний с минимальной неопределенностью. Эти состояния будут играть сухцественную роль в дальнейших обсуждениях вопроса об измерении электромагнитного поля.

Согласно вероятностной интерпретации квантовой теории вероятность того, что частица локализована между д' и qf + d『，равна

W(g') 12 d(1.196)

j 工 / 2л <(Дд)3>[力]、 J

Это известная гауссова функция распределения вероятности с центром в точке д'=〈夕〉со среднеквадратичным (или нормальным) отклонениелг ]/ <(Д^)2),

Уравнение (1.195) описывает в координатном пространстве состояние частицы с минимальной неопределенностью. Для того чтобы описать это состояние в илшульс- ном пространстве, воспользуемся соотношениями (1.158) и (1.195). В результате получим

屮(р') =〈р'丨屮〉=

=3〈(；评〉产exp卜-T⑷(?' 一 5〉)一案蒜務] (1.197)

Это выражение является импульсным представлением того же самого состояния с минимальной неопределенностью. Величина | 屮(р?) |а снова является гауссовой функцией в импульсной! пространстве с центром в точке // =<р〉 и с нормальным отклонением /<(МЪ = й/2УЖЖ>- Функция 屮(д') определяется однозначным образом через Ф (X) с помощью (1.68а).

С помощью выражения (1.157) мы можем ясно представить себе функцию 屮(qr) в виде суперпозиции плоских волн exp (tpr(f!K) с длиной волны

九=号_ = *. (1.198)

Это и есть как раз длина волны де Бройля, которая связана с данной частицей. С помощью волн де Бройля объясняется волновая природа частиц в дифракционных опытах.

В формуле (1.157) функция 屮(р‘)давала амплитуду каждой из интерферирующих плоских волн. В случае состояния с минимальной неопределенностью эти волны усиливаются при интерференции в области порядка Ар в импульсном пространстве так, чтобы для величины I 屮(夕‘)产 получилось большое значение как раз в соответствующей области А/ Вне этой области плоские волны заметно ослабляют друг друга при интерференции, так что величина I 屮(『)『 становится незначительной. Таким образом, функция 屮(д') представляет собой волновой пакет и соотнотвение (1.195) определяет волновой пакет с минимальной неопределенностью в фиксированный момент времени. С помощью волнового пакета можно локализовать частицу в ограниченных областях импульсного

ДИНАМИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ КВАНТОВОЙ СИСТЕМЫ 89 и координатного пространства, так что в результате совокупность волн с различными амплитудами и частотами проявляет свойства, подобные свойствам частицы.

Следует отметить, что полученные в этом разделе соотношения не зависят от того, в каком силовом поле находится частица.

1Л4. Динамическое поведение квантовой системы

Формулировка квантовой механики еще не является достаточно законченной, ибо мы не определили динамическое поведение системы, т. е* ие установили, каким образом состояние системы изменяется во времени. До настоящего момента теория была развита лишь для некоторого фиксированного момента времени.

В отсутствие возмущений, обусловленных каким-либо измерением, производимым над системой, развитие системы во времени носит всецело причинный характер. Причинное развитие системы во времени может быть нарушено только благодаря возмущениям, которые вызываются взаимодействием измерительного прибора с этой системой.

Для того чтобы определить, каким образом происходит развитие квантовой системы во времени, мы постулируем наличие у системы гамильтониана Я и требуем, чтобы произвольный кет-вектор состояния системы I 屮(£)〉 подчинялся уравнению Шредингера

ifi^r^^ =Н^^^ (1-199)

где оператор Н рассматривается как оператор некоторой наблюдаелюй величины в нашей системе и, следовательно, должен быть эрмитовым.

При этом могут иметь место два случая. В первом случае система консервативна и оператор Н не зависит явно от времени. Тогда мы можем формально проинтегрировать уравнение (1.199) и получить

丨屮 «)〉= 〃«,幻 I 屮偽» (1.200) где

t7^^ = exp[-^^], (1.201)

а вектор | 屮(幻〉изображает состояние системы в момент времени /0. Полученное решение можно проверить прямым дифференцированием равенства (1.200) с последующей подстановкой в исходное уравнение (1.199). Производная оператора U (厶 力°) по 力 определяется точно так же, как и производная от обычных функций.

Из выражения (1.201) следует, что оператор U удовлетворяет следующему уравнению:

汤黑=ни.(1.202)

Согласно же равепству (1.200) оператор U должен удовлетворять следующему начальному условию:

U (6 幻=丄(1.203)

Так как оператор Н эрмитов, то из выражения (1.201) следует, что имеет место соотношение

и+«,£°) = ехр[%Т = ит«，з， (1.204)

которое показывает, что оператор U является п унитарным оператором. Следовательно, можно утверждать, что состояние системы в момент времени Z получается вполне причинным образом из состояния системы в момент времени tQ с помощью некоторого унитарного преобразования. Основываясь на геометрическом представлении векторов состояний, мы можем представить преобразование (1.200) в виде некоторого обобщенного непрерывного поворота вектора состояния в кет-пространстве от некоторого начального направления в момент времени tQ к конечному направлению, соответствующему состоянию системы в момент времени t. Так как U~' = U+, то норма вектора I 屮(£)〉равна.

〈屮⑴I屮(9〉=〈屮(幻 W+ 4,幻U (i,зI屮(幻〉= =(屮(幻 I 屮(幻〉(1-205)

и не изменяется со временем.

Во втором случае гамильтониан системы явно зависит от времени. Теперь система псконсервативна и находится под воздействием некоторой внешней силы, зависящей от времени. Однако и в этом случае гамильтониан является

наблюдаемой величиной, а следовательно, он эрмитов. Мы постулируем, что остается справедливым уравнение Шредингера (1.199), но с гамильтонианом Н = Н (%), а также и то, что решение этого уравнения имеет вид (1.200) с операторов! U, удовлетворяющим соотношениям (1.202) и (1.203). Однако соотношение (1.201) уже несправедливо, и поэтому мы пока не можем утверждать, что оператор U унитарен. Докажем, что если справедливо соотношение (1.203), то оператор U унитарен. Доказательство будем вести следующим образом. Запишем соотношение, комплексно сопряженное соотношению (1.202) (при условии, что Н = Е+):

-说響=U+H. (1.206)

Если мы теперь улшожим обе части уравнения (1.202) слева на U+, а обе части (1.206) — справа па U и вычтем одно из другого, то получим

ih亲U+ 0 = th综^ U+访0+雾=°・

Отсюда видно, что величина U+ U остается постоянной с течением времени. Для того чтобы удовлетворить начальному условию (1.203), мы положим эту постоянную равной единице:

U+(力 幻 U (力 幻=1. (1.207)

С другой стороны, если мн умножим обе части уравнения (1.202) справа на U+, а обе части (1.206) — слева на [7 и вычтем одно из другого, то получим

т^ии+ = [И, ии+\. (1.208)

Вообще говоря, величина d (UU^)ldt отлична от нуля. Однако так как в силу соотношения (1.203) U (%,幻= —1, а значит, и U+ (/0, /0) — 1, то в момент времени 峥 —力о，Ut7+ = 1. Отсюда следует, что при последовательном интегрировании обеих сторон уравнения (1.208) методом последовательных приближений люжно показать, что UU+ = 1 для любого момента времени 九 Таким образом, оператор U унитарен, если он удовлетворяет условию (1.203).

Читатель, который незнаком с операторами, может предположить, что решение уравнения Шредингера для неконсервативной системы может быть записано по аналогии с решением (1.201) в виде

U (力幻=exp [—厶 Я (力')dt'/h^ .(1.209)

To, что это не так, следует уже из того факта, что интеграл по времени от оператора Н (力)，вообще говоря, не коммутирует с оператором Я (%) (см. задачи 1.5 и 1.6 в конце главы), хотя оператор Н (方)коммутирует сам с собой в один и тот же момент времени.

Для того чтобы показать, что выражение (1.209) не является правильным решением, получим формально выражение для оператора U (力 方°) интегрированием уравнения (1.199) с помощью метода последовательных приближений (метод итераций). Если мы умножим уравнение (1.199) на »У и проинтегрируем от tQ до 力 то получим интегральное уравнение.

I 屮⑴〉=I 屮仇)〉一К H &) I 屮⑺〉dt'. (1.210)

Подставим теперь в подынтегральное выражение величину 丨2(力')〉,полученную заменой t на f в уравнении (1.210), т. е. выражение вида

I屮(y))= I叭切〉一*，修&) I屮⑺〉或".

Тогда получим

I屮⑴〉=I屮储)〉_*、h&)dt'\屮仇))+

+ (^)2$Я &) dt' g H &) dt"\ 屮(产)〉.

Если повторить эту процедуру бесконечное число раз, то

приходим к следующему выражению:

I 屮⑴〉=[1 - / \ e(/)弘 + (TIh "(')成'\ Н G)" +

十…]I Ip (%)〉三〃(力力0)I 屮(^o)X (1.211)

Выражение (1.211) дает формальное решение для функции U (厶 ％), которое, как нетрудно видеть, не согласуется с двумя первыми членами разложения выражения (1.209), ибо в общем случае

4г [~4$я &)州丫 手у\н ⑺ / \ я(*)df.

В дальнейшем для некоторых консервативных систем специального вида мы разработаем другие методы решения уравнения для оператора U.

Представление Шредингерав квантовой механике

До сих пор квантовая механика была развита нами в так называемом представлении Шредингера. Рассмотрим в этом представлении движение одномерной частицы. Ранее мы связали с наблюдаемыми величинами (рг g и Н) соответствующие эрмитовы операторы, которые не зависели от времени. Индекс S у оператора или вектора будет указывать теперь на то, что эти операторы или векторы рассматриваются в представлении Шредингера, так что мы запишем р$, qs и 丸. Собственные векторы этих операторов записываются в виде |//〉s, I 0‘〉s, |£")s- Для представления операторов или векторов состояния в качестве стационарных (не зависящих от времени) базисных векторов могут быть выбраны любые из этих собственных векторов. В шредингеровской картине собственные векторы состояний фактически стационарны и ведут себя аналогично базисным векторам фиксированной координатной системы в обычной геометрии. В некоторый определенный момент времени любое состояние системы изображается в виде линейной суперпозиции системы стационарных базисных векторов.

В шредингеровском представлении операторы подчиняются соотношениям коммутации вида [夕$, р$] == X方 и 侬，塞】=Ips, ps】—0.

Вектор состояния | 屮s （/）＞ описывает динамическое поведение системы с течением времени в представлении Шредингера. В соответствии с полученным выше решением уравнения Шредингера вектор состояния с течением врэмени непрерывно поворачивается от начального направления | 屮（幻〉в кет-пространстве к конечному направлению | 屮s （%）$ в момент времени t*

Если функция / （卩s, gs） зависит от операторов ps и q$, то ее квантовое среднее （по ансамблю） значение в момент времени 力 равно

〈"Ps,女）〉=〈*（力）|/（小，庚）丨业"）〉. （1.212）

Если система в момент времени % находится в состоянии |屮（С。）〉，то в силу （1.200） состояние этой системы в момент времени t определяется вектором | 屮s （力）〉= 工 U （八 力°） I 屮（％）〉・ Вероятность того, что в некоторый момент времени t* система будет находиться в некотором состоянии〈以 I, равна

10 1心（幻〉|2 = I Q I u（& 编丨屮（幻）产.（1.213）

Это описание, в котором базисные векторы стационарны, а вектор | 屮$ （办〉динамического состояния системы поворачивается с течением времени в кет-пространстве, и называется шредингеровским представлением квантовой механики. Именно эта картина и использовалась до сих пор.

Представление Гейзенберга

В представлении Шредингера базисные векторы （т. е. любые собственные кет-векторы наблюдаемых величин） изображаются в виде фиксированной стационарной системы векторов, а вектор динамического состояния системы движется. Однако, как и в классической механике, эта же система может описываться таким образом, что ее базисные векторы поворачиваются с течением времени, а вектор динамического состояния системы остается без изменения. Этот способ формулировки квантовой механики, физически эквивалентный представлению Шредингера,

называется представлением Гейзенберга. Очевидно, что если в шредингеровском представлении операторы не зависят от времени, то для того, чтобы эти два описания были физически эквивалентны друг другу, необходимо, чтобы в гейзенберговском представлении эти операторы уже зависели бы от времени.

Согласно приведенному выше определению векторы состояний системы в этих двух представлениях связаны между собой соотношением (1.200):

|必⑴)=U (力%)1叩Н%))，(1.214)

где индекс Н означает, что данная величина рассматривается в представлении Гейзенберга. Вектор | 屮н «())〉 стационарен (т. е. неподвижен в кет-прострапстве), а вектор I屮s (力)〉является переменным вектором (т. е. движется в кет-пространстве). Так как

и (力о，力о) ~ 1,

то в момент времени % = % векторы состояний в обоих представлениях совпадают друг с другом.

Используя соотношения (1.214) и комплексно-сопряженное ему, нетрудно получить выражение для среднего значения оператора 4s (сравните с (1.212))：

〈/〉=〈屮s«) I 厶I 屮s(%)〉h <^'н (^o) I。十 4卩 I 屮н (%)〉•(1.215)

Оператор в представлении Гейзенберга можно определить следующим образом:

4H ⑴=。+ 亿幻 4s U (力幻. (1.216)

Из этого определения мы видим, что операторы, которые стационарны в представлении Шредингера, в представлении Гейзенберга оказываются зависящими от времени. Преобразование (1.216) называется преобразование ем подобия, когда U+ =歹工.По определению средние значения операторов Л в момент времени t могут быть записаны в виде

〈4〉= #н (幻 I 4н ⑴ I грн (幻〉•(1.217)

Закон преобразования операторов (1.216) необходим для того, чтобы среднее значение оператора А оставалось

одинаковым в обоих представлениях. В этом случае оба представления оказываются физически эквивалентными ДРУГ другу.

Уравнение движения для наблюдаемой величины в представлении Гейзенберга может быть получено из соотношения (1.216), Следует отметить, что соотношение (1.216) справедливо даже тогда, когда оператор Л явно зависит от време1ги. Если продифференцировать обе части (1.216) по t и использовать соотношения (1.202), (1.206), а также условия унитарности Z7+U к UU^ — 1, то получим

гй -^ 二 АяНи 一 U+ HASU 十 iKU+ —U =

=u+ AsUU* 〃U - u+ HUU^ ASU + ihU+ 寸 U =

三 Мн,〃н]十解寸，(L218)

где Ян — гамильтониан в представлении Гейзенберга,

Ян(0 = 〃+(f"o) 〃s (，) и О(1.219)

Т =S亿幻 ^U«&).(1.220)

Уравнение (1.218) называется уравнением движения Гейзенберга для наблюдаемой величины. Если

d4H / d£ = 0，

то в этом случае величина 4H называется интегралом движения.

В качестве специального примера рассмотрим уравнение (1.218) в случае, когда As — 7^s・ .Если система консервативна, то dH^ldt = 0 и оператор U (力 ％) определяется соотношением (1.201). Так как в этом случае [Н^, U] ~ 0, то в силу определения (1.219) Ян = Hs. В результате из соотношения (1.218) мы получим урав- ненпе

(1.221)(1.221)寸=°，

(1.221)

(1.221)

которое показывает, что величина Н в данном случае является интегралом движения.

Если оператор 4 s не зависит явно от времени и система консервативна, то уравнение (1.218) приводится к уравнению вида

寸= %[4н,〃].(1-222)

Если оператор 4H коммутирует с гамильтонианолг, то оператор Лн является интегралом движения.

В представлении Гейзенберга вектор динамического состояния системы фиксирован, а базисные векторы движутся и состояние системы рассматривается с точки зрения движущейся системы координат. В представлении Шредингера, когда величина 4 $ является наблюдаемой, мы имеем соотношение

4s Ss =优 gs,(1.223)

в котором базисные собственные кет-векторы | а'〉$ стационарны.

Однако поскольку собственные значения а! являются физически наблюдаемыми и измеряемыми величинами, то они не должны зависеть от того, измеряются ли они в системе координат со стационарными базисными векторами, соответствующей представлению Шредингера, или в системе координат с вращающимися базисными векторами, соответствующей представлению Гейзенберга. Поэтому, так как U+ = то

4s = UA^IJ^,

Если мы используем последнее соотношение, то соотношение (1.223) принимает вид

UAh U+ |优为=优|优〉s,

или, умножая слева на U+, получим

4H (力)[U+ (厶 ％) I 优为]-af[U^(t,t0) | a%]・(1.224)

Так как собственные значения а' должны быть одинаковыми в обоих представлениях, то собственные кет-векторы в продет ав лении Гейзенберга изменяются в

соответствии со следующим законом:

|а'"〉н = U+(h%)|a',%〉s・(1.225)

Идыми словами, базисные векторы изменяются в представлении Гейзенберга и стационарны в представлении Шредингера. (При этом мы поместили 力 и % внутри кет- векторов, для того чтобы указать их зависимость от i и %.)

Другое важное утверждение состоит в том, что соотношения коммутации имеют одинаковый вид в обоих представлениях. Очевидно, это должно выполняться для того, чтобы оба представления были физически эквивалентны друг другу. Для примера положим, что величины Л s, Bs и Cs являются тремя наблюдаемыми величинами, записанными в представлении Шредингера, а их операторы удовлетворяют соотношению коммутации вида

lAs,Bs]^iCs.(1.226)

Если умножить обе части этого равенства слева на оператор J7+, а справа на оператор Ut то получил!

U+ AsBsU - U+ BsAsU =刃+ CSU

или, вставляя между операторами 4 s и 8$ тождественный оператор UU+ = 1, получим равенство

(и+ 4。)(U+ В^и)—(и+ 国。)(и+ А3и)= iU^CsU, которое в силу определения (1.216) принимает вид

[<н (小耳н«)] =%Сн«)・(1,227)

Последнее соотношение имеет ту же самую форму, что и соотношение (1.226). Коротко говоря, представление Гейзенберга и представление Шредингера физически эквивалентны друг другу.'

Если величина 4H является интегралом движения, то оператор этой величины коммутирует с гамильтонианом. Собственные значения этого оператора одинаковы в представлении Гейзенберга и в представлении Шредингера. В этом случае часто говорят, что эти собственные значения являются «хорошими» квантовыми числами.

Представление Гейзенберга весьма полезно для наглядной иллюстрации формальной аналогии между квантовой системой и ее классическим аналогом. Мы снова рассмотрим пример с частицей, движущейся в одном измерении, и покажем, что в этом случае уравнение движения для гейзенберговского оператора совпадает по форме с классическим уравнением движения Гамильтона. Для систем, имеющих классический аналог, это соответствие позволяет дополнительно проверить справедливость теории.

Рассмотрим гамильтониан (1.116), являющийся функцией от операторов импульса 卩 п координаты д. Так как с помощью соотношения (1.227) можно показать, что формулы (1.120а) и (1.120b) справедливы и в представлении Гейзенберга, то уравнения движения (1.218) для операторов 4H — Он или 4н =卩н имеют вид

=丽 9н, 〃н 0н)]=丽，

(1.228)

d ртт 4дНтт

h =丽[Рн,〃нЗн,дн)]=

так как

совпадают с классиче-совпадают с классиче-dq^/dt = 0 = dps/dt.

совпадают с классиче-

совпадают с классиче-

Уравнения (1.228) по форме скими уравнениялш Гамильтона

(1.229)(1.229)dq — дН dp — дНdt — ар， dt — dq

(1.229)

(1.229)

Если не касаться вопроса о порядке операторов в уравнениях (1.228), то эти уравнения совпадают с соответствующими классическими уравнениями (1.229).

В классической механике величина А, являющаяся функцией р, q nt, удовлетворяет уравнению движения

dAdtdAdtдА dq ] дА Мр 丄 д А —

dAdt

dAdt

dq dt др dt dt ―

=出些—呂如 m

dq др 如 ag十投'' 丿

в котором Определим видав котором Определим видаиспользованы классическиеиспользованы классическиеуравнения Гамильтона (1.229). скобки Пуассона соотношением

в котором Определим вида

в котором Определим вида

использованы классические

использованы классические

{4〃} =冇万-丽丽•(1・231)

Тогда уравнение (1.230) примет вид

筹= {4〃} +禁.(1.232)

Сравнивая соотношения (1.232) и (1.218), мы видим, что можно перейти от уравнений движения в классической механике к соответствующим уравнениям движения в квантовой механике путем замены скобок Пуассона коммутатором по формуле

{А,В}-^^1А,В].(1.233)

Можно показать, что алгебра коммутаторов и алгебра скобок Пуассона одинаковы (см. в конце главы задачу 1.8). Все это дает основание к введению в теорию квантовых постулатов (1.117). Если же система не имеет никакого классического аналога, то правила квантования вида (1.117) являются практически делом чистой интуиции. Единственный способ проверки состоит в сравнении результатов теории с экспериментом (как это всегда и бывает).

Представление взаимодействия

Кроме разобранных выше двух представлений существует еще одно представление, которое оказывается особенно удобным в том случае, когда гамильтониан системы может быть записан в виде суммы двух слагаемых в форме)

я8 = Яо + Я1.(1.234)

Это представление называется представлением взаимодействия, и оно получается из представления Шредингера с помощью некоторого унитарного преобразования

№(£)〉= U扌亿 幻丨屮s«)〉，(1.235)

где индекс I означает, что данная величина рассматривается в представлении взаимодействия. Оператор Uq (厶 £()) удовлетворяет уравнению

力无嘗= 〃^〃o(1.236)

и начальному условию

%(%,%) = /(L237)

(где I ——оператор тождественного преобразования). Отсюда следует, что оператор UQ (方,力°) является унитарным (см. стр. 91):

Ut (力幻=『1(厶幻.

Операторы Я® и Я^, как операторы наблюдаемых величин, по-прежнему являются эрмитовыми.

При переходе от представления Шредингера к представлению взаимодействия операторы преобразуются по формуле

4 (方)=U? (/,幻 Ns。о (厶力о)・(1.238)

Легко показать, что эта формула приводит к следующему уравнению движения для оператора 4工(力)：

该播 = [4,Н：]十洗塌，(1.239)

где

凡=疗〃必，T 二時(丄240)

Читателю предоставляется возможность в качестве упражнения показать, что векторы динамических состояний системы удовлетворяют уравнению

访"4嘗=〃力屮К)〉，(1-241)

где

(1.242)

Мы предоставляем читателю также доказательство физической эквивалентности представления Шредингера и представления взаимодействия. Последнее является промежуточным между представлениями Гейзенберга и Шредингера. В этом представлении изменяются одновременно и базисные векторы, и векторы динамического состояния системы.

Следует отметить, что аналогичным образом можно ввести и другие физически эквивалентные представления, если только определить соответствующий унитарный оператор U. С другим таким представлением мы познакомимся в одной из следующих глав этой книги.

Волновая механика

Мы уже достаточно много говорили о волновой функции и о волновой механике вообще. Поэтому в данном разделе мы только бегло напомним основные понятия волновой механики. Волновая механика есть квантовая механика в шредингеровской картине ) в координатном представлении. Приведем теперь основные полученные результаты для одномерной частицы.

Координатное представление (шредингеровское) определяется известными уравнениями для собственных значений:

g|q'〉= д'Н〉・ (1.243)

Соотношение ортонормировки

—д") (1.244)

может рассматриваться как координатная волновая функция в координатном представлении. Левая часть равенства (1.244) является также представителем собственного кет- вектора I /> в ^-представлении. При этом система

собственных кет-векторов является полной, так что

+ 8

(1.245)(1.245)〈 ]矿〉弱'⑺=/•

(1.245)

(1.245)

Векторы состояния | 屮(£)〉удовлетворяют уравнению движения

"4■毋⑴〉=〃〔屮⑴〉=[器 +u(g)] I屮(》.(1.246)

山（矿，9三（鼠1屮⑴〉•山（矿，9三（鼠1屮⑴〉•(1.247)(1.247)Представитель состояния | 屮 «)〉в ^-представлении имеет вид

山（矿，9三（鼠1屮⑴〉•

山（矿，9三（鼠1屮⑴〉•

(1.247)

(1.247)

Это как раз и есть шредингеровская волновая функция состояния I 屮 «)〉в момент времени t. Если мы возьмем скалярное произведение уравнения (1.246) на бра-вектор 〈矿 I, то, используя соотношения (1.247), (1.159) и (1.160), получим волновое уравнение Шредингера, зависящее от времени:

"方备屮= [— ~^Г *^2 + 卩(У)]屮 С")* (1.248)

Мы использовали равенство

■屮(矿")=⑺屮⑴〉,

которое справедливо, потому что собственный вектор 〈q‘ I в представлении Шредингера не зависит от времени.

Благодаря равенству (1.215) среднее значение функции F (р, д) в момент времени t равно

〈歹(p, g)〉= 3 В) I 歹(p，g) I 屮《)〉=

=〈屮(川 g'〉&?' S' I 歹(p, g) I q"> I 屮⑴〉

(1.249)

Здесь мы дважды использовали соотношение полноты (1.245), а также соотношения (1.154), (1.155) и 1.247).

Собственный кет-вектор ]//〉оператора р в q-иред- ставлении согласно равенству (1.148) имеет вид

⑺ Р'〉=』хр(/)・(1.250)

Это выражение является собственной функцией оператора импульса в координатном представлении. С помощью этой функции преобразования мы можем переходить в шредин- геровской картине от импульсного представления к координатному и обратно.

Свободная частица. Изменение во времени волнового пакета с минимальной неопределенностью

В этом разделе мы рассмотрим свободную частицу, для которой потенциал V (夕)二 0. Тогда гамильтониан системы принимает вид

…琮….(1-251)

Так как система консервативна, то величина Н является интегралом движения. А так как, кроме того,

[р,Н] - 0,(1.252)

то величина р также является интегралом движения для свободной частицы.

Оператор р удовлетворяет уравнению для собственных значений

尸丨心(1.253)

где ——оо V р‘ V + 8・ Если мы теперь подействуем оператором Н слева на обе стороны равенства (1.253), то в силу коммутативности операторов Нир получим

Нр\//〉= pH I /> = РГН\ р》 (1.254)

Отсюда следует, что и вектор Н\ Х> также является собственным кет-вектором оператора р с собственным значением р'. Поэтому кет-вектор Н\ рг) может отличаться от кет-вектора | р'〉только постоянным множителем, который обозначим через Е. Тогда можно написать

Я| / > - £|/>.(1.255)

Последнее уравнение и является как раз уравнением задачи на собственные значения энергии. Благодаря коммутативности операторов р и Н собственный кет-вектор оператора р одновременно является и собственным кет- вектором оператора Н, Поэтому мы можем записать уравнение (1.255) в виде

Я|/, Е) = Е|/Т, Е).(1.256)

С помощью (1.254) и уравнения (1.253) мы можем| получить

爲 |р'，Е〉= 1^Р'，Е"Е/,Е〉，(1.257)

откуда собственные значения оператора Н равны

Е = ^.(1.258)

Они непрерывны и принимают любое значение от 0 до + оо. Таким образом, решение задачи на собственные значения энергии для свободной частицы оказывается весьма простым. Следует отметить только, что два различных собственных значения импульса +р‘ и —р‘ дают одно и то же собственное значение энергии Е, т. е. состояния | + р「，Е) и I ——р‘, 笈〉, соответствующие1 движению частицы направо и налево, имеют одинаковые значения энергии. Это первый встретившийся нам пример вырождения в квантовой системе.

Решение уравнения Шредингера

篤吗"=系1屮《)〉(丄259)

благодаря соотношению (1.201) имеет вид

I 屮⑴〉= ехр (—鴉)№(0)\.(1.260)

В координатном представлении волновая функция, зависящая от времени, имеет вид

9 =〈д' I 屮 «)〉=〈У I ехр (— 鶉)I 屮(0)〉. (1.261)

С помощью соотношения полноты для собственных векторов I р'〉 последнее равенство можно записать в виде

2 S'，£)= J(нeхр (一瑞)〉'〉办'〈Т/|屮(0)〉=

- ,2

=)exp(—^)<y|p'〉dp'(p(p',O) =

=з4йХех₽ (-銹exp (^-^ Ф(/, O)dpr, (1.262) где мы использовали выражение (1.148) для величины </ I Х> и приняли, что

⑺屮(0)〉=屮(/, 0).(1.263)

Формула (1.262) дает выражение для волновой функции 屮(/, t) в координатном представлении через начальную волновую функцию ф (р\ 0) в импульсном представлении.

Рассмотрим специальный случай волновой функции с минимальной неопределенностью. Тогда в начальный момент времени функция 屮(р「 0) имеет вид (1.197). Изменение такого волнового пакета с течением времени определяется формулой (1.262):

屮=м而[2л «Ар)2〉『4 乂

X f exp Г—М〈力("一〈Р〉)—(纟

J гj4〈(Ap)2〉j 广

(1.264)

Для простоты будем считать, что {p)t=Q —〈«〉£=()= 0. Если заменить У((Д/?)2)/=о на 忘/2 У((Д72>^0, то, выполняя интегрирование, получим

屮(九方)=

一 (2 冗)%(m匹讨5 十削/2zn m〈(аg)?〉声"pхр[4«Aд)2〉十2/"m )f

(1.265)

где

《八g)2〉= 1〈屮(0)|42件(0))『=J q'^^^^dq'.

Если теперь вычислить среднее значение величины 〈q〉t в любой момент времени Z, то с помощью формул (1.249) и (1.265) получим

"〉，= J |屮(4'/)『4'歯'=0.(1.266)

Иными словами, частица в среднем все время остается в точке q‘ = 0. Однако среднеквадратичное отклонение частицы от точки『в момент времени Z равно е» =]|屮а,力2dd«' =〈a/羚』十而八宮；j，

(1.267) т. е. в момент времени / оно оказывается больше, чем среднеквадратичное отклонение от положения 矿=0 в начальный момент времени 力=0. Волновой пакет с течением времени расплывается в координатном пространстве. Причем чем меньше флуктуация ^^(Д^)2) в начальный момент времени 力=0, тем быстрее происходит расплывание такого волнового пакета с течением времени.

Из полученных нами выше формул (1.249) и (1.265) можно видеть также, что среднее значение импульса такой частицы в любой момент времени 方 равно нулю:

5〉，= 1 屮* (д'") / -^Э 對'=0. (1.268)

В то же время среднеквадратичное отклонение импульса от р‘ = 0 в момент времени t остается без изменения и равно начальному с р едне кв ад р атичн ому отклонению:

〈p2〉，= 一 浒/屮"(丁,f)薪屮(g，,t)d?，= 4 髙2〉閱=

=〈p2，=o・(1.269)

Следовательно, произведение неопределенностей в момент времени t равно

Таким образом, произведение неопределенностей, кото- рое было минимальным в начальный момент, с течением времени увеличивается. В дальнейшем мы свяжем расплывание волнового пакета с нулевыми флуктуациями электромагнитного поля.

ЗАДАЧИ

С поыощью метода математической индукции вывести соотношения коммутации (1.118).

Вычислить следующие коммутаторы:

a) m, sin (p2g)], б)【g, sin (pgp)], c) [g, sin ①加〃，

е( лп операторы р н g удоилетворяют соотношению [仏 р] — гЛ.

Решить задачу о собственных значениях ouepazopa р, р \ pf > = pf \ рг в координатном представлении. (Указание: использовать соотношение (1.159)).

Даны два произвольных кет-вектора | ф > и | / >. Показать, что они удовлетворяют неравенству Шварца

I < ф I х > Г < < <р I ф > < х I х >•

Показать, что равенство выполняется в том и только в том сл$- чае, когда | 屮〉=с | %〉，где с — постоянное число.

Показать, что любая функция от эрмитова оператора вида

Н 9 = р sin(oZ + q cos S力

коммутирует с II (力，по не коммутирует с J 8 (У)源，т. е. о

J И (iz) dt\ 衣(力)|片0, если операторы gup даны в представлении Шредингера и удовлетворяют условию коммутации [д, р]= =i方.Можете ли вы решить уравнение Шредингера вида

「8[w⑺〉]

ih ^ = (р sin 8力 + g cos st) | 屮(i)> ?

Показать, что [J H (У)成H (力]=0, если li (力二二4

十 g) / ⑶，где / (力)一любая непрерывная функция времени, а операторы g н р эрмитовы и удовлетворяют соотношению [у, р] = th.

Сопоставьте этот результат с результатом задачи 1.5 и решите

уравнение Шредингера (р 十 д) / (0 | 屮(/)> =流［3 | 屮(*)〉/ 仇】・

、1.7. Пусть Л s, В$ Cs и D§ ——наблюдаемые величины в представлении Шредингера, удовлетворяющие уравнению

公 Н与8&+厶"

Преобразовать это уравнение к гейзенберговской картине.

Доказать, что как для скобок Пуассона, так и для коммутаторов справедливы следующие свойства:

{и, г} — — {% и},

{и, с} = 0, где с ——постоянная,

3 + w2,叫={и и} + {g,吟

{u, %+廟={m，%}十似，％},

{w1 й2，叫-{m1，叫 m2 + 以{出，ь},

{u, vx %} = {% %}内+% {% %}，

似 紡}}+{〃 {必，и}} + {г^, {и, и}}=0.

Здесь операторы и^ v a w являются функциями операторов р и д.

Доказать, что соотношения коммутации имеют одинаковый brr в представлении Гейзенберга и в представлении взаимодействия.

Рассмотрим две некоммутирующие наблюдаемые величины q и N. Собственные значения величины q непрерывны и пробегают все значения от ——оо до 4- оо, в то время как собственными значениями величины N являются все положительные целые числа и нуль. Очевидно, имеем g |『〉=『I д'〉 и N \ пу = п \ п>. Разложим формально некоторые из собственных кет-векторов |『〉по полной системе {| 冷〉}, а некоторые собственные кет-векторы | “〉一 по полной системе { | 丁〉|・ Показать, что функция преобразования между этими двумя представлениями является унитарной функцией.

Вычислить след операторов |(р> <(р | и | %><% |, сели ］中〉 н I X〉——два кет-вектора с конечной нормой. Показать, что след (О), где О является произвольным оператором, не зависит от типа используемого представления.

Пусть Л есть эрмитов оператор, удовлетворяющий уравнению

/ (4) = (Л —旬)(力—-«2)И — ”з) — 0,

где о】，“2，"з — нещсствсш］ыс числа и никакие два из них не равны друг другу. Показать, что величина Л является ггаблюдаемой величиной. Найти собственные значения оператора Л и выразить произвольный кет-вектор в виде линейной суперпозиции собственных векторов этого оператора (действовать так же, как и при выводе формулы (1.38)). Выразить кет-вектор | 屮〉，оператор Л и собственные кет-векторы этого оператора в виде матриц в Л-представлении.

Рассмотрим электронный пучок с энергией в 100 з* движущийся в направлении х. Положение этого пучка в направлении оси у измеряется при его прохождении через щель, имеющую ширину в направлении оси у, равную 0,01 м, С помощью принципа неопределенностей определить ширину, которую пучок будет иметь после прохождения щели на расстоянии в 1 м и в 100 м от щели.

Пусть Л и В — два некоммутир5тющих оператора. Показать, что Sp (4К) — Sp (ВА) при условии, что следы существуют.

Глава II

ПРОСТЫЕ КВАНТОВЫЕ СИСТЕМЫ

Введение

Гармонический осциллятор занимает центральное положение в квантовой теории электромагнитных полей. Квантовые свойства электромагнитных волн стали особенно важными в связи с созданием усилителей в оптической области (оптических мазеров). Осциллятор играет большую роль в квантовой теории колебаний кристаллической решетки твердых тел (фононов), а также в квантовой электродинамике. В первую очередь мы рассмотрим электромагнитное поле, а в дальнейшем при изучении модели аттенюатора мы воспользуемся квантовой теорией колебаний кристаллической решетки (фононов). В силу того, что осциллятор является простым примером динамической системы с классическим аналогом, иллюстрирующим изложенную в предыдущей главе общую теорию, его изучению будет посвящена первая часть этой главы.

Другая простая динамическая система ——спиновый момент электрона ——не имеет классического аналога. Его изучению будет посвящена вторая часть настоящей главы. Спин электрона играет важнейшую роль во многих областях физики, однако нашей основной целью является его описание в более или менее феноменологической модели мазера. Анализ спиновой системы позволит также показать, как строится квантовая теория системы, пе имеющей классического аналога. Строгое рассмотрение электронного спина основано на релятивистской квантовой механике Дирака [1, 4]. Мы же ограничимся лишь нерелятивистской теорией Паули.

Третья часть настоящей главы посвящается взаимодействию электрона с электромагнитным полем. Гл. V

содержит более детальное обсуждение взаимодействия излучения с атомами в случае квантованного электромагнитного поля.

Изучение осциллятора мы начнем с гейзенберговской картины. Как показано в разделе 1.16, гейзенберговские уравнения движения тождественны по форме классическим уравнениям движения, так что гейзенберговская картина дает формальную аналогию между классическим и квантовым осцилляторами. Эта картина дает также возможность очень просто ввести удобные для расчетов операторы рождения и уничтожения. Эти операторы используются в разделе 2.3 для решения задачи о собственных значениях энергии и собственных векторах осциллятора в энергетическом представлении. Эти операторы играют также решающую роль в теории квантованного поля излучения.

В разделе 2.4 мы даем физическую интерпретацию операторов рождения и уничтожения, хотя для более точной их интерпретации нужно знать свойства симметрии волновых функций, описывающих систему осцилляторов и бозонов. Ради простоты мы изложим упрощенный вариант теории, а за более строгим изложением теории отсылаем читателя к более полным и подробным учебникам [1, 4, 10]. В том же разделе мы введем операторы, описывающие фермионы. В этом случае строгая интерпретация теории содержит в себе и вопросы вторичного квантования [1, 4, 10], которых мы не будем касаться в данной книге. Однако, как будет показано во второй части настоящей главы, операторы, описывающие спин электрона, можно представить в форме, аналогичной форме фермионных операторов. Поэтому краткое изложение этих вопросов будет весьма полезным.

В разделе 1.11 были введены собственные значения и собственные векторы координат и импульсов одномерной частицы, которые не зависели от вида потенциала V (q). Следовательно, нам уже известны собственные векторы координаты и импульса осциллятора. В последнем разделе первой части мы дадим примеры полученных в разделе 2.3 энергетических базисных векторов в координатном представлении. На языке волновой механики они называются энергетическими собственными функциями осциллятора.

В разделе 1.19 мы рассмотрели развитие во времени волнового пакета с минимальной неопределенностью для свободной частицы. В гл. III нами будут развиты значительно более мощные математические методы оперирования с волновыми пакетами. Волновые пакеты с минимальной неопределенностью для осциллятора будут играть очень важную роль при дальнейшем рассмотрении электромагнитных полей в линиях связи. Эти вопросы мы будем изучать несколько позднее в других главах.

Во второй части данной главы мы введем эрмитовы операторы, описывающие спин электрона. Нерелятивистская теория спина основывается главным образом на интуиции (в отличие от релятивистской дираковской теории [1, 4], в которой спин появляется автоматически). В целях обоснования введения спина в нерелятивистской теории мы очень кратко изложим квантовую теорию углового момента, Коммутационные соотношения для оператора углового момента будут использоваться нами и для спина. Но для согласования теоретических значений спина с экспериментальными потребуются дополнительные ограничения. Мы дадим также физическую интерпретацию оператора спина на основе операторов рождения и уничтожения фермионов.

В последнем разделе второй части мы рассмотрим поведение электронного спина в постоянном магнитном поле и обсудим роль оператора спина в гейзенберговском представлении. Последнее будет полезно для дальнейшего.

В третьей части будет рассмотрен нерелятивистский гамильтониан электрона в неквантованном электромагнитном поле.

ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР

Осциллятор в гейзенберговском представлении

Рассмотрим классический одномерный гармонический осциллятор единичной массы, описываемый координатой q и импульсом р. Его функция гамильтона имеет вид

〃=4~(р2 +哂 2), (2.1)

где константа ①？ связана с упругой силой, действующей на частицу. Как известно (см. (1.229)), классические

уравнения движенияуравнения движенияв гамильтоновской форме имеют вид

уравнения движения

уравнения движения

生~di生~didq — дН dt — 8рdq — дН dt — 8ранан=Р，=Р，(2.2а)(2.2а)一得.一得.(2.2b)(2.2b)Обычно эти уравнения сводятся к одному уравнению второго порядка. Для этого обе части соотношения (2.2а) дифференцируют по ^ и затем с помощью равенства (2.2b) исключают член с Upldt. Таким образом получается уравнениеОбычно эти уравнения сводятся к одному уравнению второго порядка. Для этого обе части соотношения (2.2а) дифференцируют по ^ и затем с помощью равенства (2.2b) исключают член с Upldt. Таким образом получается уравнениеd2g赤К一 ^J'd2g赤К一 ^J'(2.3)имеющее решениеq (t) = A cos со i + Б sin ①厶(2.4a)где А ^ Б —— постоянные. Подставляя это решение в (2.2а), получимр (/) — —(о / sin со/ + s 5 cos s九(2.4b)(2.3)имеющее решениеq (t) = A cos со i + Б sin ①厶(2.4a)где А ^ Б —— постоянные. Подставляя это решение в (2.2а), получимр (/) — —(о / sin со/ + s 5 cos s九(2.4b)Если при £ = 0, q равно q (0) и р равно р (0), то можно выразить Л и Б через 夕(0) и р (0) и получить следующие выражения для р (t) ^ q (力)：Если при £ = 0, q равно q (0) и р равно р (0), то можно выразить Л и Б через 夕(0) и р (0) и получить следующие выражения для р (t) ^ q (力)：q(t) ■= q (0) cos sf + ^^ sin co厶P «)=——cog (0) sin S力 + p (0) cos s/.q(t) ■= q (0) cos sf + ^^ sin co厶P «)=——cog (0) sin S力 + p (0) cos s/.(2.5)(2.5)Широко известен другой способ решения системы (2.2а), (2.2b) (см. [И, 12]). —Умножим обе части уравнения (2.2а) на ]/о>/2, а обе части уравнения (2.2b) на土 i (U初Т и сложим полученные выражения. В результате получим два сопряженных уравнения:Широко известен другой способ решения системы (2.2а), (2.2b) (см. [И, 12]). —Умножим обе части уравнения (2.2а) на ]/о>/2, а обе части уравнения (2.2b) на土 i (U初Т и сложим полученные выражения. В результате получим два сопряженных уравнения:da.NT = — zsa,da.NT = — zsa,dtdt=г(оа\=г(оа\(2.6a)(2.6b)(2.6a)(2.6b)

生~di

生~di

dq — дН dt — 8р

dq — дН dt — 8р

ан

ан

=Р，

=Р，

(2.2а)

(2.2а)

一得.

一得.

(2.2b)

(2.2b)

Обычно эти уравнения сводятся к одному уравнению второго порядка. Для этого обе части соотношения (2.2а) дифференцируют по ^ и затем с помощью равенства (2.2b) исключают член с Upldt. Таким образом получается уравнение

Обычно эти уравнения сводятся к одному уравнению второго порядка. Для этого обе части соотношения (2.2а) дифференцируют по ^ и затем с помощью равенства (2.2b) исключают член с Upldt. Таким образом получается уравнение

d2g

赤К一 ^J'

d2g

赤К一 ^J'

(2.3)

имеющее решение

q (t) = A cos со i + Б sin ①厶(2.4a)

где А ^ Б —— постоянные. Подставляя это решение в (2.2а), получим

р (/) — —(о / sin со/ + s 5 cos s九(2.4b)

(2.3)

имеющее решение

q (t) = A cos со i + Б sin ①厶(2.4a)

где А ^ Б —— постоянные. Подставляя это решение в (2.2а), получим

р (/) — —(о / sin со/ + s 5 cos s九(2.4b)

Если при £ = 0, q равно q (0) и р равно р (0), то можно выразить Л и Б через 夕(0) и р (0) и получить следующие выражения для р (t) ^ q (力)：

Если при £ = 0, q равно q (0) и р равно р (0), то можно выразить Л и Б через 夕(0) и р (0) и получить следующие выражения для р (t) ^ q (力)：

q(t) ■= q (0) cos sf + ^^ sin co厶

P «)=——cog (0) sin S力 + p (0) cos s/.

q(t) ■= q (0) cos sf + ^^ sin co厶

P «)=——cog (0) sin S力 + p (0) cos s/.

(2.5)

(2.5)

Широко известен другой способ решения системы (2.2а), (2.2b) (см. [И, 12]). —

Умножим обе части уравнения (2.2а) на ]/о>/2, а обе части уравнения (2.2b) на土 i (U初Т и сложим полученные выражения. В результате получим два сопряженных уравнения:

Широко известен другой способ решения системы (2.2а), (2.2b) (см. [И, 12]). —

Умножим обе части уравнения (2.2а) на ]/о>/2, а обе части уравнения (2.2b) на土 i (U初Т и сложим полученные выражения. В результате получим два сопряженных уравнения:

da.

NT = — zsa,

da.

NT = — zsa,

dt

dt

=г(оа\

=г(оа\

(2.6a)

(2.6b)

(2.6a)

(2.6b)

где введены обозначения:

44

а =а =词®g + ip),相二方的一5).(2.7a)

а =

а =

Таким образом, а и а* — комплексно сопряженные величины. Соотношения (2.7a) легко разрешаются относительно р и 7：

"=金⑷+办p=厂/子（。*一叫"=金⑷+办p=厂/子（。*一叫(2.7b)(2.7b)

"=金⑷+办p=厂/子（。*一叫

"=金⑷+办p=厂/子（。*一叫

(2.7b)

(2.7b)

Решения уравнений (2.6а) и (2.6b) имеют вид

а ⑴=а (0)…三 у=- [з?⑼ + ip (0)] e-叫

(2.8)

а* (^) = а* (0) eivsi = —^=[^q (0) — ip (0)] e之叫

Введение переменных а и а* упрощает и без того простое решение уравнений.

Функцию Гамильтона (2.1) с помощью (2.7) можно выразить через величины а и а*. После небольших преобразований для функции Гамильтона получим следующее выражение:

(2.9)(2.9)Н = з а*а,

(2.9)

(2.9)

которое выглядит еще проще, чем в переменных р и q.

Формально уравнения (2.6) можно получить непосредственно из гамильтониана (2.9), если уравнения движения в гамильтоновой форме взять в виде

(2.10)(2.10).da* дН •*

(2.10)

(2.10)

"NF = -前=- за・

Изучаемый осциллятор имеет одну степень свободы и один нормальный тип колебаний. Пирс называет переменную а (или а*) амплитудой нормального типа колебаний [см. 11, 12]. Вернемся к квантовой трактовке осцилля- тора в гейзенберговской картине. Согласно общей теории, изложенной в гл. I, с переменными q, р т Н связаны эрмитовы операторы. При этом постулировалось, что one-

раторы дир удовлетворяют коммутационным соотношениям (1.117):

[?, р]=擋.(2.11)

Гамильтониан осциллятора имеет вид

Н =；(р2 + 32g2) = я+.(2.12)

Все эти операторы рассматриваются в шредингеров- ском представлении и, следовательно, не зависят явно от времени. Шредингеровское уравнение движения (1.199) имеет вид

(=⑴)，(2.13)

и, в соответствии с (1.200) и (1.201), его решением будет

I 屮s (” = и (/, 0)1 如(0)> = ехр (一 喲 I Wh(o)>, (2.14)

где U ——унитарный оператор. Векторы состояний в шре- дингеровском и гейзенберговском пр едет явлениях связаны между собой законом преобразования (1.214). Операторы в обоих представлениях связаны между собой преобразованием подобия (1.216), так что

0н«) = U+ (Z, 0) qsU (力 0),рн(£) = U+(厶 0)ps。(Л 0).

(2.15)

Как было показано в разделе 1.16, для консервативной системы гамильтониан имеет один и тот же вид в обоих представлениях, т. е.

H^^^tp^^ + ^t)].(2.16)

Следовательно, гейзенберговские уравнения движения согласно (1.228) имеют вид

% dt

(2.17а)

办Н dt

——' ч=—①Мн・

(2.17b)

Единственная разница между этими уравнениями и классическими уравнениями (2.2)——это операторный характер переменных ^н и р$ которые удовлетворяют равенству

Wh(£),卩н(£)1 "九(2.18)

Решение системы (2.17), в соответствии с (2.5), имеет вид

7н (£) U+ (力。)Cs〃 (%，()) = 7s cos g)Z + 告 sin ①力

(2.19)

月н (方)=U+ (^, 0) psU (力 0) = —(o«s sin зЕ + р$ cossE,

где 瓷 и 决一операторы в шредингеровском представлении при 方= 0. Начальные условия в классическом смысле, которые были использованы в соотношениях (2.5), теперь уже не имеют места. Так какоператор U (Z, 0)= =ехр [一z(pl + ①2忌)〃2力],Tо соотношения (2.19) показывают как влияет перестановка U относительно ^s и р$. В следующей главе мы дадим другие методы вычисления U^qU и U+pU.

По аналогии с соотношением (2.7) мы теперь можем ввести два удобных неэрмитовых оператора а и а+, определяемых соотношениями

а = -?^^С1+2 g (2・20а)

ИЛИ

q = ^会(〃+ 十 а), р = % J粤(，+ — 〃)• (2.20b)

По причинам, которые станут ясными впоследствии, оператор а называют оператором уничтожения, а оператор а+ — оператором рождения.

Операторы а и а+, подобно операторам g и р, не коммутируют друг с другом. Если соотношения (2.20а) подставить в формулы (2.11) и использовать то обстоятельство, что всякий оператор коммутирует сам с собой, то получим правило коммутации операторов а и а+:

[а, а+] = 1.(2.21)

Подставляя формулы (2.20а) в выражение (2.12) для гамильтониана и используя правило коммутации, получаем следующее выражение для гамильтониана:

Н =岑(аа~^ + о+а)=方,з (а+а + 呑)，(2.22)

Это выражение отличается от (2.9), так как операторы л и а+, в отличие от своих классических аналогов, теперь не коммутируют друг с другом. Член 无① / 2 называется нулевой энергией осциллятора.

В дальнейшем нам понадобятся следующие правила коммутации:

[а, а+а] — а, [а+, а+а] = — а+,(2.23)

которые легко вывести из соотношений коммутации (2.21).

Гейзенберговские уравнения (1.218) применимы как к эрмитовым, так и к неэрмитовым операторам. Поэтому уравнения движения для ан (力)и 诘(力)принимают вид dajj ]

工 而[ан, ^н]——必〃н,

da 古.г(2.24)

~dT = lh ["击 〃н] = + 心〃н・

При выводе этих уравнений мы использовали соотношения (2.22) и (2.23), которые одинаково справедливы в шредин- геровском и гейзенберговском представлениях. Решениями уравнений (2.24) являются выражения

&н(%) = U+ (Z, 0) a^U (力 0)=仪耳6一叫

(2.25) a 吉 Q) = U+ (t, 0) afU (t, 0) = afe^1,

для получения которых следует воспользоваться формулами (1.216). Оператор U 亿 0) определяется соотношением

U (/, 0) = ехр (—心打扌〃s) exp (—亭)， (2.26)

где as и as"——операторы уничтожения и рождения в шре- дингеровском представлении. В дальнейшем будем использовать для любого оператора О обозначение 0(%) для

его гейзенберговского представления и обозначение О для его шредингеровского представления вместо индексов Н и S.

Эрмитов оператор а+а встречается столь часто, что следует ввести специальное обозначение:

W -百％ = N+・(2.27)

Этот оператор называют оператором числа частиц. Происхождение этого названия будет понятно из дальнейшего. С помощью оператора N соотношения (2.23) можно записать в виде

Na= a(N - 1),(2.28а)

%仆= 公(N + 1).(2.28b)

Оператор N и гамильтониан H связаны соотношением

N =(2.29)

Эти результаты указывают на глубокую аналогию между классической и квантовой теориями осциллятора.

23 Задача о собственных значениях энергииосциллятора

Согласно физической интерпретации квантовой механики собственные значения энергии являются теми величинами, которые получаются в экспериментах по измерению энергии. Таким образом, для сравнения теории с экспериментом необходимо решить уравнение

Н \Е}= Е \ ЕЬ(2.30)

и определить собственные значения Е оператора Н. Ввиду простой связи N мН、выражаемой соотношением (2.29), эта задача полностью эквивалентна задаче о собственных значениях оператора N:

N \пг)= пг \ пл>.(2.31)

Так как величины Н 且 N являются наблюдаемыми, то собственные векторы { | nz)} образуют полную ортогональную систему базисных векторов в TV-представлении.

Для решения уравнения (2.31) напомним кратко решение задачи о собственных значениях операторов координаты и импульса, изложенное в разделе 1.11. Там был введен оператор смещения, который, действуя на известный собственный кет-вектор { | пл>}, образует другой собственный кет-вектор. Покажем, что операторы а и а+ образуют новые собственные кет-векторы из известного собственного кет-вектора, подобно тому как оператор смещения преобразует собственные кет-векторы р и д.

Будем предполагать, что кет-вектор | пл> есть известный собственный кет-вектор оператора N с собственным значением ?/, который удовлетворяет уравнению (2.31). Пусть теперь обе стороны операторного равенства (2.28а) действуют на кет-вектор | пл>. Тогда с помощью уравнения (2.31) нетрудно получить, что

N {а I пг>} = ("' — 1) {а I 公〉}•

Аналогично этому из равенства (2.28b) получается соотношение

N {а+ I 冷'〉}=(球 + 1) {zz+ I %'〉}•

Эти равенства показывают, что если кет-вектор | пл> является собственным кет~вектором оператора N с собственным значением пл, то кет-вектор а | "'〉также является собственным кет-вектором того же оператора N, но с собственным значением (пл — 1), а кет-вектор а+ |nz>—собственным кет-вектором оператора N с собственным значением (пл + 1). Таким образом, из собственного кет-вектора |nz> мы можем образовать еще два собственных кет-вектора.

Этот процесс можно повторить дальше. Для этого достаточно применить операторное равенство (2.28а) к кет- вектору а | пг> и, используя предыдущий результат, образовать новый кет-вектор а? | пл> с собственным значением (nz ——2). Аналогично, применяя (2.28b) к кет- вектору а+ | пл), можно образовать кет-вектор а+ 2 | nz> с собственным значением (пл + 2). Очевидно, этот процесс можно продолжать до бесконечности. В результате мы можем из одного-единственного кет-вектора образовать бесконечную систему кет-векторов и собственных

значений. Ее можно записать в виде

1几‘〉，〃1公〉，叫疗〉，…，

(2.32а) 7?',— 1, м — 2,

I"'〉，a+| 疗〉，a十2|几，)，…，

(2.32b) 72‘， ПГ + 1? "'+2,

Заметим, что в этих последовательностях соседние собственные значения отличаются на единицу.

Теперь мы покажем, что величина п может быть лишь целым положительным числом или нулем.

Так как оператор 7V эрмитов, то из общей теории первой главы следует, что величина £ действительна и норма любого вектора состояния больше нуля или равна нулю- Если норма равна нулю, то и сам вектор равен нулю. Таким образом, для любого кет-вектора | 几

si 心 > о,

ибо равенство | 几'〉—0 тривиально. Умножим скалярно уравнение (2.31) на " |:

〈т/ I N I т/〉=〈т/| а+ а | пл> =几'〈т/ | 公〉.(2.33)

Но это есть не что иное, как норма вектора а | пл>, которая должна быть больше нуля или равна нулю. Так как 〈孔‘丨鼠〉〉0 и I а+а | 九‘〉》0, то из (2.33) следует, что т/》0. Таким образом, собственные значения оператора N действительны и неотрицательны.Если т?/ = 0, то

а I 0〉=0,(2.34)

ибо согласно (2.33) норма этого вектора равна нулю.

Если nz #0, то норма вектора а | пл> определяется соотношением (2.33). Однако если 鼠 не есть целое число, то собственные значения последовательности (2.32а) могут стать отрицательными, так же как и нормы соответствующих векторов состояний. А этого не должно быть. Единственный способ избежать этого —— разрешить числам 川 принимать только целые положительные или равные нулю значения. Таким образом, собственные значения оператора N могут быть целыми положительными числами или равными нулю.

С помощью условия (2.21) для нормы вектора а+ j %〉 получаем следующее выражение:

〈〃 I аа+ I ^) — <^ I (1 + 〃+〃) I 孔〉=(2 + n)<n I n).

(2.35)

Отсюда следует, что вектор а+| %〉никогда не обращается в нуль, так как п > 0 и (п | п> ^> 0.

До сих пор кет-векторы, образованные последовательным применением операторов а и а+, не были еще нормированы. Это можно сделать следующим образом. Так как вектор а | п) есть кет-вектор оператора 7V с собственным значением (п — 1), то можно предположить, что вектор а I %〉отличается от вектора | п — 1> лишь на постоянный множитель:

a I n> = cn I и — 1).(2.36)

Согласно условию (2.33) норма вектора а | п> равна

<n I а+〃 I n> = n <n I п> = |%|2〈孔——1 I n — 1>.

Если (n — 1 I n — 1> равно единице, то (п | 打〉также будет равно единице. Это возможно только в том случае, если положить I cn I = Уп. Фаза сп произвольна, и ее можно положить равной нулю. В результате уравнение (2.36) принимает следующий вид:

а\п) — У п\п — 1).(2.37)

В этом равенстве мы ограничиваемся значениями п большими пуля, ибо состояние | — 1> не имеет смысла. Если же п = 0, то уравнения (2.37) приводит к равенству (2.34).

Аналогично, исходя из соотношения (2.35), можно написать

а+ I 八〉=М^+ 11 汽 + 1〉.(2.38)

Следовательно, если величина (0 | 0> равна единице, то и все остальные состояния будут нормированы на единицу.

Приводим сводку этих важных результатов:

N \ пу — п\пу, а 10〉= 0,

_ (2.39)

а\п) — Уп\п — i)t а+ j + 1J и + !>•

Если п раз применить оператор а+ к состоянию | 0>, то, используя (2.38), получим очень важный результат:

|«> = ^4|0>.(2.40)

В дальнейшем эта формула будет нами неоднократно использована.

Из общей теории следуют ортонормированность состояний

"门展〉—6n^n«(2.41)

и соотношение полноты

Wl"〉3 = /・(2.42)

п=0

Так как эти векторы имеют конечную норму, то они образуют полный набор базисных векторов в гильбертовом пространстве.

Для того чтобы получить матричные элементы операторов а, а+ и 7V в TV-представлении, воспользуемся соотношениями (2.39) и (2.41). Легко видеть, что они приводят к равенствам

〈八'I а I 0〉= 0,〈т/| а I 九”〉=了展 Bn，

(2.43)

6 I а+ I n"y = /^Tl “,n〃+i,〈九‘ IN I ""〉= "'%〃，.

Собственные значения энергии равны

еП =方①(几十专卜(2.44)

где n = 0, 1, 2,...

В классической механике при измерениях энергии можно получить для нее любое положительное значение. В квантовой же механике эти значения энергии могут быть дискретны. При больших п (/г называется квантовым числом) дискретный характер энергии (2.44) становится незаметным и квантовые соотношения переходят в классические.

Физическая интерпретация операторов W,а и а+. Бозоны и фермионы

Операторы q, р п Н имеют простой физический смысл, а именно: они являются соответственно операторами положения, импульса и энергии. Операторы а, а+ и а+ а определялись через операторы ,, р и Н, но прямого физического смысла они не имеют.

На рис. 4 показана схема энергетических уровней квантованного осциллятора. Каждому уровню соответ-

Рис. 4. Диаграмма энергетических уровней квантованного гармонического осциллятора.

ствует собственное состояние оператора N. Если энергетическое состояние осциллятора описывается кет-векто- ром I 九〉，то оно обозначается кружочком на уровне (п + 1/2) 7гсо. Состояние осциллятора в этом случае определяется величиной п и расстоянием между уровнями 方со.

Не приводит к противоречию и другая интерпретация состояния I п> осциллятора. Можно считать, что гамильтониан описывает систему из п тождественных невзаимодействующих квантов, причем все они находятся в одинаковых динамических состояниях с энергией 方①.Таким образом, состояние | п) можно интерпретировать как состояние с п квантами. Тогда состояние | 0> не содержит квантов и называется состоянием вакуума.

Строгое обоснование такой интерпретации было дано Дираком [1]. Поэтому мы не будем обсуждать его в этой книге. Эта интерпретация представляет собой одно из фундаментальнейших следствий квантовой теории, ибо она позволяет объединить волновые и корпускулярные свойства света. В последнем случае кванты называются фотонами. Значительную часть этой книги мы посвятим изучению квантовых свойств света, особенно дуализму волна ——частица.

Оператор N называется оператором числа частиц, поскольку измерение N дает одно из его собственных значений 0, 1,..., оо, каждое из которых рассматривается как число квантов в волне. Согласно этой интерпретации, в одном и том же динамическом состоянии может находиться произвольное число квантов. Частицы, обладающие таким свойством, называются бозонами. Кванты света (фотоны), кванты упругих колебаний в кристалле (фононы), а-частицы и некоторые другие частицы являются бозонами.

Теперь легко видеть, почему операторы 〃+ и а могут рассматриваться, соответственно, как операторы рождения и уничтожения. Согласно соотношению (2.38), если на осциллятор, находящийся в состоянии | n> с п квантами, подействовать оператором а+, то получится состояние I п + 1> с п + 1 квантами. Это видно из рис. 4. Следовательно, 〃+ является оператором рождения (или оператором, увеличивающим число частиц). Аналогично, согласно соотношению (2.37), если оператор а действует на состояние | п>, то возникает состояние | п — 1> с п — 1 квантами, и поэтому а называется оператором уничтожения (или оператором, уменьшающим число частиц) .

Так как собственные значения оператора N следуют непосредственно из коммутационного соотношения [а, 〃+] = —1, то частицы, подчиняющиеся этому соотношению, являются бозонами.

В природе существует другой класс частиц, которые называются фермионами и которые обладают тем свойством, что никакие две из них не могут находиться в одинаковом динамическом состоянии. Примерами фермионов являются электроны, протоны и нейтроны. Фермионы подчиняются принципу Паули, который гласит: две оди-

наковые частицы не могут находиться в одном и том же динамическом состоянии. Следовательно, фундаментальное утверждение квантовой механики [а, а十]=1 непригодно для фермионов. Хотя полная теория фермионов включает в себя теорию вторичного квантования, можно дать сверхупрощенный вариант этой теории, в котором квантование производится способом, впервые предложенным Иорданом и Вигнером [4]. Этот способ устраняет трудность, связанную с наличием многократно занятых состояний.

В теории вторичного квантования систем с единственным динамическим состоянием также имеются операторы b и b+, рассматриваемые как операторы уничтожения и рождения фермионов. Однако, в отличие от а и а+ в случае бозонов, эти операторы никак не связаны с импульсом или координатой фермиона. Су^дествует также оператор N — &+& = 7V+, рассматриваемый как оператор числа фермионов и связанный с гамильтонианом фермионов соотношением

Eb+b,(2.45а)

где Е — собственное значение энергии одного динамического состояния системы. Иордан и Вигнер постулируют, что & и 6+ подчиняются соотношениям антикоммутации

也切=0,{b+,b+} = 0,(2.45b)

也什} = 1,(2.46)

а не соотношениям коммутации. Антикоммутатором one- раторов Л и 5 называется оператор

{Л, В}~АВ + ВА.(2.47)

Таким образом, согласно условиям (2.45) имеем

&2 = Ь+2 = 0.(2.48)

Н айдем собственные значения оператора N. Из вьь ражений (2.46) и (2.48) следует, что

%2 _ ь+bb+b = b+ (1 — b+b) b =什5 = N. (2.49)

Этого простого алгебраического соотношения достаточно для определения собственных значений 7V. Действительно, если

N I тг〉= n I п>,(2.50)

то согласно соотношению (2.49) получаем уравнение вида

п2 \ п) = N2 \ пУ = N \ п) = п I п),(2.51)

откуда следует, что

几2 = п, или п = 1; 0.(2.52)

Так как мьт предполагаем, что в системе отсутствует вырождение, то гильбертово пространство будет образовано только двумя векторами, которые мы обозначим |0〉m

В соответствии с общей теорией собственные кет-векторы оператора N удовлетворяют соотношениям ортонормировки и полноты, которые принимают в нашем случае вид

〈1 I 1〉=〈0 I 0〉= 1, 〈1 I 0〉=〈0 丨 1〉= 0,(2.53)

I 1><1 I + |0〉〈0| = /, где

N I 1〉=丨 1〉，N I 0〉= 0.(2.54)

Отсюда можно вывести матричные элементы оператора N:

(2.55)(2.55)Г<1|^|1>〈l|N|0〉] = Г1 0-“ =〈0|N|l〉<0| 7V|0>J = [о 0

(2.55)

(2.55)

Из соотношений (2.53) и (2.54) следует также, что

N = I 1><1 |.(2.56)

Так как собственные значения N равны 1 или 0, то состояние может быть или занято одной частицей, или быть пустым. Последнее утврр'т<дение согласуется с известным принципом Паули. Таким образом, предположение Иордана и Вигнера оказывается вполне достаточным для того, чтобы обеспечить требование, что каждое динамическое состояние может быть занято только одной частицей.

Теперь мы должны показать, что операторы Ь+ и b действуют как операторы рождения и уничтож(5ния. Иными словами, если мы действуем на состояние | 0> оператором Ь+, то получаем состояние | 1>, и, следовательно, оператор 6+ действительно является оператором рождения. Согласно условию (2.48) &+2 = 0, и поэтому из наших рассмотрений автоматически исключаются состояния

时2 I о〉с появлением одновременно двух частиц. Аналогично, выражение Ь | 1> дает состояние | 0> с отсутствием частиц вообще, и, следовательно, b является оператором уничтожения; соответственно Ь? | 1〉= 0・

Для доказательства этих утверждений воспользуемся коммутационными соотношениями между операторами Ь, Ь+ и N = b+b:

[A N] - b, [b^t ^l --什.(2.57)

Их можно вывести из соотношений (2.46) и (2.48). По форме они похожи на соотношения (2.28) для бозонов.

Как и в случае бозонов, покажем, что оператор Ь, действуя на состояние | п),

6 I n> = cn I 1 — п>,(2.58а)

порождает собственный кет-вектор оператора 7V с собственным значением 1 — п. В противоположность случаю с бозонами, ряд на этом обрывается, так как &2 | п> =0 в силу соотношения (2.48). Норма этого состояния равна <П I &+ & I П> = П <П I п> = |сп|2<1 — и I 1 — п>.

Таким образом, если тг = 0, то

b I 0〉= 0,(2.58b)

если же n = 1, то в силу〈0 | 0〉= 1 =〈1 | 1>

lG 产=1.

Следовательно, при тг = 1

(2.58с)(2.58с)川 1〉= Ю>,

(2.58с)

(2.58с)

если величину。丄 считать действительной. Аналогично можно показать, что

Ь+|0〉= |1〉，Ь+|1〉= 0.(2.59)

Из соотношений (2.53), (2.58b), (2.58с) и (2.59) можно найти матричные элементы операторов Ъ и &+ в TV-пред ставлении;

r<i|Ni> <1Р|о>] го от

<0|6|l> <0|&|0>J ~ L1 0」’(2.60а)

Г<1|&+|1> <1|&+|0> ] ГО 11

&+= [<0|&+|1> <0|&+|0> J = [О о] • (2・6。6

Векторы состояний могут быть представлены матрицами

I 0> =I 0> =「01「011'〉= [〈0|1〉] = [о1'〉= [〈0|1〉] = [о(2.61)(2.61)

I 0> =

I 0> =

「0

1

「0

1

1'〉= [〈0|1〉] = [о

1'〉= [〈0|1〉] = [о

(2.61)

(2.61)

Во второй части данной главы мы покажем, каким образом операторы спина можно представить как опера- то])ы уничтожения и рождения фермионов.

Функция преобразования от ЗГ-представленияк ^-представлению

Задача о собственных значениях энергии осциллятора в разделе 2.3 была решена нами в TV-представлении. В некоторых случаях полезно использовать координатное представление. Для этого необходимо получить функцию преобразования 〈『| п>, являющуюся энергетической волновой функцией осциллятора. Такие функции преобразования являются представителями собственных кет- векторов I п) энергии в координатном представлении.

Функцию преобразования

% (д')三 </ I 兀〉(2.62)

можно найти двумя способами. Первый состоит в том, что задача о собственных значениях энергии записывается в виде

吃(p2 + 叫2)I n> =方S(тг + 手)I 几〉.(2.63)

Если теперь уравнение (2.63) умножить скалярно на </1 и использовать соотношения (1.159) и (1.160), то получим

(-号詣 +号d) "^⑺=方3 (儿+4) "n⑺•(2.64)

Таким образом, функция преобразования является решением уравнения Шредингера (2.64). При этом предполагается, что полученное решение имеет конечную форму, т. е. что интеграл J | ип (qf) ^dqf существует. Решение уравнения (2.64) можно найти в книге Шиффа [4].

Другой метод определения функции ип (/) состоит в том, нто мы исходим из соотношения (2.34)

а I 0〉= О

и заменяем в нем оператор а на его выражение через операторы р и q с помощью формул (2.20а). Тогда получаем соотношение

(sq + ф)丨 0〉= 0.

Далее, умножая обе части этого равенства скалярно на бра-вектор </| и используя соотношения (1.159) и (1.160), получим

(80，+方言)"0 (丁)= 0.

Решение этого уравнения с условием нормировки

J |«0(/)|М/ = 1(2.65)

принимает вид

旬⑺三⑺。〉=(詛% eхp(一需).(2.66)

Это и есть координатное представление состояния вакуума, называемое другими словами волновой функцией основного состояния осциллятора.

Далее, в силу формул (2.38) и (2.20а) мы можем получить

ии(2.66),(2.66),SI&+ |0〉=у= <7z|(o? — ip|o> = <gz |1>.

и

и

(2.66),

(2.66),

Отсюда, используя соотношения (1.159), (1.160) нетрудно получить формулу для 〃】(/):

%S）三0'丨1〉= -у^^'-% 显卜。（г）=%S）三0'丨1〉= -у^^'-% 显卜。（г）=(2.67)(2.67)

%S）三0'丨1〉= -у^^'-% 显卜。（г）=

%S）三0'丨1〉= -у^^'-% 显卜。（г）=

(2.67)

(2.67)

十8

Легко проверить, что J |их ^dq' — 1.

Аналогичным образом можно получить последовательно выражения для функций 〃2, 〃з，・・・ Окончательное выражение для функции un (/) принимает тогда вид

ё“〉=Хд’)=(病费了/的'"1" W ("68) где —

= ]Л а)/Й

и Ип^х)——полином Зрмита порядка п. Это и есть собственные кет-векторы | п> в координатном представлении. После того, как в следующей главе мы глубже разработаем технику обращения с операторами, мы выведем производящую функцию для ип (/).

СПИН ЭЛЕКТРОНА

Спиновый оператор Паули

Согласно общей формулировке квантовой механики, изложенной в первой главе, с каждой наблюдаемой величиной некоторой физической системы связан линейный эрмитов оператор. Алгебра таких операторов, содержащая правила коммутации или аптикоммутации, строится так, чтобы все результаты согласовывались с экспериментом. В тех случаях, когда система не имеет классического аналога, выбор соответствующих постулатов в значительной мере является интуитивным.

Спиновый момент электрона (протона, нейтрона и др.) является экспериментально наблюдаемой величиной, которая не имеет классического аналога. Все попытки объяснить спин классически потерпели неудачу. В настоящем разделе будет изложена нерелятивистская теория спина, принадлежащая Паули.

Электрон обладает спиновым моментом s, которому соответствует эрмитов оператор 8. Однако более удобным является оператор а, определяемый соотношением

8 =4.(2.69)

Спин и оператор ь имеют три компоненты: пх, пу и а2. Мы будем обозначать 瑞 у, z индексами 1, 2, 3 *).

Следующий шаг в квантовомеханическом описании спина состоит в постулировании коммутационных соотношений для операторов s(Z 二 1, 2, 3). Для того чтобы каким-то образом обосновать введение и свойства этих операторов, рассмотрим кратко с классической и квантово- механической точек зрения орбитальный угловой момент частицы.

Если г — радиус-вектор частицы относительно некоторого начала координат, а р — ее импульс, то классический угловой момент частицы определяется соотношением

Z = [тр](2.70а)

или, в проекциях, в виде

21 =g2p3 一03p2,22 —g3p1 一01p3，"3 = %p2 —02巧，

(2.70b) где г = Si, 02, 9з) и 2> = 3, Р^, Рз)・

Если частица массы иг песет заряд | е|, то с зтнм зарядом связан орбитальный магнитный момент [13]

"8 ="8 =2m2m(2.71)(2.71)

"8 =

"8 =

2m

2m

(2.71)

(2.71)

в единицах МКС.

До сих пор мы рассматривали частицы, движущиеся в одном измерении, но обобщение на трехмерный случай очевидно. Для квантования трехмерного движения частицы постулируем (см. (1.117)) следующие коммутационные соотношения:

【矶，力1 = 0, 出，pj 二 0, Wi, Pj] ― ih^ij, (2.72)

где X, / — 1,2 или 3. Таким образом, в квантовой механике, как и в классической, каждая степень свободы независима от других; только сопряженные переменные qi и pi, относящиеся к одной и той же степени свободы, не коммутируют между собой.

Коммутационные соотношения (2.72) дают возможность рассмотреть квантовомеханическое поведение оператора Z. Из условий』(2.72) и определения (2.70) следует, что компоненты эрмитова оператора 厶,% и % удовлетворяют следующим коммутационным соотношениям:

回 3 =访％, 口2, U =间工，[l31 ZJ = M2 (2.73a)

или

[〃，Ijl —应几(2.73Ь)

где индексы i, j и k получаются из индексов 1,2,3. Циклической перестановкой эти коммутационные соотношения вместе с определением полного углового момента 拄=百十虑+直(2.74)

определяют квантовые свойства углового момента [4]. Мы не будем производить полный анализ. Заметим только, что компоненты оператора Z имеют собственные значения, равные целому или полуцелому числу И. Так как из экспериментов известно, что собственные значения электронного спина равны + Й/2 или ——Й/2, то можно предположить, что компоненты оператора s также удовлетворяют коммутационным соотношениям (2.73). Если оператор s выразить через оператор ст, то эти соотношения примут следующий вид:

0, Oj] = 2必，(2.75)

где индексы г, j, к получаются из 1, 2, 3 четной перестановкой. Однако этого предположения недостаточно для того, чтобы оператор 久 имел только два собственных значения +1 или —1, как этого требует эксперимент (s；= =土 方/2). Ниже мы покажем, что оператор п2 будет иметь два собственных значения +1 только в том случае, когда дополнительно к условиям (2.75) мы подчиним его следующим антикоммутационным соотношениям:

©, Cj}=26”.(2.76)

Перед этим мы сначала выведем из соотношений (2.75) и (2.76) некоторые полезные алгебраические свойства операторов д. Если i = j, то согласно (2.76) имеем

dj ~ Z, » = 1，2, 3.(2.77)

Следовательно, оператор, равный квадрату каждой компоненты оператора о, является тождественным оператором.

Сложив выражения (2.75) и (2.76), получим (при Z 力 /)

6(У/ =\ Хо\,(2.78)

где индексы 厶 j и 乃 получаются из 1, 2, 3 четной циклической перестановкой.

Они подчиняются следующим коммутационным и мутационным соотношениям:Они подчиняются следующим коммутационным и мутационным соотношениям:± .5 一十аз,0,0,/,±0,/,0,°'-==---=--==-± .5 一十аз,0,0,/,±0,/,0,°'-==---=--==-

Они подчиняются следующим коммутационным и мутационным соотношениям:

Они подчиняются следующим коммутационным и мутационным соотношениям:

± .5 一十аз,0,0,/,±0,/,0,°'

-==---=--==-

± .5 一十аз,0,0,/,±0,/,0,°'

-==---=--==-

Введем теперь новые операторы % и

0土 =(01 士 Ю， 外=0二 0一 = 4，(2.79)

антиком-

(2.80а) (2.80Ь) (2.80с) (2.80d) (2.80е) (2.80f) (2.80g) (2.80h) (2.80i) (2.80j) (2.80k) (2.801)

Из условий (2.80k) и (2.801) мы заключаем, что 4^0, 卫=0.(2.81)

Заметим, что все эти соотношения следуют из интуитивных предположений (2.75) и (2.76) и определения (2.79).

Теперь вернемся к задаче о собственных значениях операторов д. Так как согласно (2.77) af = /, то задача сводится к задаче, уже решенной нами в разделе 1.6. Полученные там собственные значения были равны 4-1 и —1. Таким образом, собственные значения операторов о\, 0*2 и а? равны +1. Каки было обещано нами ранее, это утверждение получено из предположения (2.76). Теперь нужно выбрать удобное представление. Так как операторы (Гц(?2 и(?з не коммутируют друг с другом, то опи не могут быть диагональными в одном и том же представлении. Поэтому мы выберем представление, в котором оператор (У3 диагоналей. Как было указано в разделе 1.6 (см. соотношения (1.32)), базисные векторы этого

представления имеют вид | + 1〉и | — 1〉м

% 丨 1〉= I 1〉，Сз I —1〉~ —1 I ■ 1〉・(2.82)

Кроме того, согласно соотношениям (1.37) матрица для оператора % имеет вид

「10]

Оз = q I •(2.83)

Соотношения полиоты и ортонормировки (см. (1.43), (1.33), (1.34)) имеют вид

丨 + 1〉〈+ 1 丨 + I — 1〉〈一 1 I = /,〈+ 1 I + 1〉=〈一 1 I 一 1〉= 1,

<+ 1 I 一1〉= <-l I + 1〉= 0・(2.84)

Найдем теперь операторы (г1 и (У2 в представлении, в котором оператор а? диагоналей. Наиболее просто это сделать с помощью операторов а+ и(Г_. Из соотношений

(2.80с) и (2.80i) следует, что

(7+(?3 — озС-j. ：== — 2(Т+,(2.85н)

办％ + qo*+ = О,(2.85Ь)

01% — п3о*_ —(2.85с)

+ Ao•一 = 0.(2.85d)

Если мы сложим равенства (2.85а) и (2.85b), то получим

%Оз = — 4・(2.86)

Пусть обе стороны этого соотношения действуют на кет- вектор I + 1>. Тогда с учетом (2.82) мы можем получить равенство

М I + 1〉= 一 ％.丨 + 1〉，

которое может быть выполнено только в случае, если

п+ I + 1> = 0.(2.87)

Аналогично, если мы сложим равенства (2.85с) и (2.85d) и подействуем полученным операторным равенством на кет-вектор | — 1〉，то с учетом (2.82) получим

ol I —1) = 0.(2.88)

Подействуем теперь обеими частями равенства (2.85а) на кет-вектор | —1〉. Тогда с помощью (2.82) мы получим

% & 丨 一 1〉} = + 1 {% I — 1>-(2.89)

Отсюда следует, что(г+ | —— 1〉является собственным кет- вектором оператора %, соответствующим собственному значению +1, т. е. можно написать

% I -1> - а I +1〉，(2.90)

где сх — некоторая константа. Подобным же образом из (2.85с) можно получить, что

6/十2〉= 31一1〉，(2.91)

где с2 — также константа. Теперь мы займемся определением постоянных & и

Для этого сложим равенства (2.80d) и (2.80j). Получим

2 =子(1 + ^).(2.92)

Если мы умножим это равенство справа па | + 1>, а слева на ( + 1 I, то придем к соотношению

<+ 1 |。十。一| + 1〉=等〈+ 11(1 + &)丨 + 1〉= 1，(2.93)

в котором были учтены соотношения (2.82) и (2.84). Так как п+ н о±, то норма вектора о一 | + 1), равная согласно (2.91)匕2 I2, должна равняться 1. Таким образом, уравнение (2.91) можно переписать в виде

о*.丨 + 1〉= * 丨 一 1>,

где а ——действительное число. Эту фазу мы положим равной нулю. Тогда

。一 I + 1> - I - 1>.(2.94)

Далее, если мы вычтем из равенства (2.80(1) равенство (2.80j), то получим

0乌=击(1一0)，(2.95)

действуя, как в предыдущем случае, найдем, что |^|2 = 1, так что

0+ 丨 一1〉= I + 1>.(2.96)

Выпишем эти результаты (соотношения (2.87), (2.88), (2.94) и (2.96))：

% 1 十 1〉= 0, 匸 I + 1〉= I - 1>,

J 丨 一 1〉= I + 1〉，。一 I 一 1〉= 0・(2.97)

Воспользовавшись соотношениями ортонормировки (2.84), можно найти матричную форму операторов * и о一 в представлении <73:

ОО11ГО 0]ГО 0]ОООО1 0 '1 0 '(2.98)(2.98)

О

О

1

1

ГО 0]

ГО 0]

О

О

О

О

1 0 '

1 0 '

(2.98)

(2.98)

Отсюда и из определения (2.79) операторов о士 следует матричная форма операторов 0丄 и g в представлении а3:

'011 ГО -Я

5 = 1 о * % = %° ‘(2.99)

и соотношения^1 + 1> = |-1>,S 丨 一 1〉=丨 + D,и соотношения^1 + 1> = |-1>,S 丨 一 1〉=丨 + D,s I + D = i I -1>,。2 丨 一 1〉= J) I + О-(2.100)s I + D = i I -1>,。2 丨 一 1〉= J) I + О-(2.100)

и соотношения

^1 + 1> = |-1>,

S 丨 一 1〉=丨 + D,

и соотношения

^1 + 1> = |-1>,

S 丨 一 1〉=丨 + D,

s I + D = i I -1>,

。2 丨 一 1〉= J) I + О-

(2.100)

s I + D = i I -1>,

。2 丨 一 1〉= J) I + О-

(2.100)

Базисные векторы можно представить также в виде

Г1 1「0]

1 + 1〉= 0，| —1〉= 1 •(2.101)

Энергия спина в магнитном поле

Как уже указывалось (см. (2.71)), частица массы т, несущая заряд ——| е | и обладающая орбитальным угловым моментом Z, имеет также и магнитный орбитальный момент ш, связанный с I. Спиновый момент электрона 8 связан с магнитным моментом ц соотношением

(2.102)(2.102)

(2.102)

(2.102)

где р — магнетон Бора. При одинаковых заряде | е | и массе т спиновый магнитный момент вдвое больше орбитального магнитного момента. В релятивистской теории

электрона Дирака этот результат получается автоматически. Мы же примем этот результат как некоторый экспериментальный факт. В 1925 г. Гаудсмит и Уленбек выдвинули это предположение для объяснения экспериментально наблюдаемого расщепления спектральных линий в спектрах атомов щелочных металлов, подвергнутых действию магнитного поля.

Если электрон помещен в магнитное поле Н, то энергия магнитного момента ц определяется формулой

X =-(科我)=р (оН).X =-(科我)=р (оН).(2.103)(2.103)

X =-(科我)=р (оН).

X =-(科我)=р (оН).

(2.103)

(2.103)

Если магнитное поле 比。постоянно и направлено вдоль оси z, то

(2.104)(2.104)

(2.104)

(2.104)

так как оператор q можно заменить с помощью соотношения (2.92). Поскольку собственные значения оператора п3 равны +1, собственные значения энергии равны + рЯ0. Таким образом, спин имеет два энергетических уровня, разность энергий которых равна 2^HQ. Эти два состояния соответствуют спиновому магнитному моменту, ориентированному параллельно и антипараллельно магнитному полю. Это свойство и отличает его от классического магнитного момента, который может быть ориентирован относительно поля HQ произвольным образом.

Формально электронный спин в магнитном поле, аналогично гармоническому осциллятору, допускает и другую интерпретацию. Согласно (2.80) и (2.81) операторы 詳 и (У_ удовлетворяют соотношениям

9+，С—} = /, 溫=£ = 0. (2.105)

Как было показано в разделе 2.4, операторы рождения и уничтожения фермионов (2.46) и (2.48) удовлетворяют тем же самым соотношениям

步+, 6} = I, b+2 = &2 = 0. (2.106)

Поэтому формально оператор % можно рассматривать как оператор рождения, а п_ — как оператор уничтожения фермионов, обладающих единственным динамическим состоянием с энергией 20%. Так как собственные значения

оператора б+в_ равны 1 или 0, то это состояние, в соответствии с принципом Паули, может быть занятым или пустым. Следует подчеркнуть, что обоснование такой интерпретации нерелятивистской теории спина можно получить лишь в теории вторичного квантования [1, 4, 10]. Но в данной книге предложенная нами интерпретация пе приводит к каким-либо трудностям.

Поведение электрона определяется не только его слипом. Необходимо учесть также его координаты и импульс. Спин коммутирует как с координатами электрона, так и с проекциями импульса, так что возможно такое представление, в котором одновременно диагональны онера- торы, %? 02，0з 證 内,а базисные векторы имеют вид 加血或 о；〉，где q[ и о； — собственные значения соответствующих операторов. Значения q； могут быть любыми от——оо до +оо, а собственные значения о； равны только +1 или —— 1. В дальнейшем мы будем интересоваться лишь спиновыми свойствами электрона ——в этом случае координаты электрона можно пе рассматривать.

2.8. Оператор спина2.8. Оператор спинав гейзенберговскомв гейзенберговском

2.8. Оператор спина

2.8. Оператор спина

в гейзенберговском

в гейзенберговском

представлении

Рассмотрим поведение спина электрона в постоянном магнитном поле, направленном вдоль оси z. Гамильтониан такой системы согласно соотношению (2.104) имеет вид

(2.107)(2.107)н =e80%.

(2.107)

(2.107)

Гейзенберговские уравнения движения (1.218) для операторов о%, % м °"- принимают в этом случае вид

而z⑴dt

=о,

(2.108)(2.108)岛组=-4- 5(f),砌=г人用6+⑴，

(2.108)

(2.108)

曲 _(£)1 г 小 m. 2BHo /м

~dt - = b 匝(力 H】=7“ #)•

Последние соотношения можно получить, используя выражение (2.107) и коммутационные соотношения (2.80с). Согласно формулам (1.216) решения уравнений (2.108)

имеют вид

⑵ 109)

где частота определяется разностью энергетических уровнен

方 s =20〃о・(2.110)

Для получения равенств (2.109) мы использовали (1.216), где положили

(2.111)(2.111)

(2.111)

(2.111)

В соотношениях (2.109) операторы ez (力)，о■+ (/) и 吃(Е) даны в гейзенберговском представлении, а операторы 仃第 。+ и OL ——в представлении Шредингера.

Кет-воктор произвольного состояния в момент времени 才 имеет вид

I 叭/)〉=「(0)〉.Q.“2)

Начальное состояние в силу соотношения полноты (2.84) можно записать в виде

I 屮(0)> = I + 1〉〈 + I I 屮(0)> + I -1><-1 I 屮(0)〉三 三 q 1 + 1〉+e2 丨一 1〉，(2.113)

где с】и。2 — произвольные постоянные. Отсюда следует, что вектор состояния | 屮(力)〉в момент времени t имеет вид

I屮(力=с Л + 1>+с2е~|-1>.(2・"а)

По условиям нормировки〈屮 ⑺ I 2 (%)〉=〈2 (0) I 屮(0)〉= 1. Поэтому постоянные 。工 и с2 должны удовлетворять соотношению

I J卩十丨3 Е = 1.I J卩十丨3 Е = 1.(2.115)(2.115)

I J卩十丨3 Е = 1.

I J卩十丨3 Е = 1.

(2.115)

(2.115)

В качестве упражнения читателю предлагается показать, что средние значения операторов огг и(Т+ в состоянии | ^ «)〉 равны

〈％〉=〈屮(О I 8 I 屮(0> = G |2 一 I & |2，

〈0+〉- С；&球叫 <0х> = С；与ёw，+ 4姦此叫(2.116)

〈о一〉= с^е^^, 〈％〉= — %с；&е*з* 十 &с；е~5

Таким образом,〈。兀〉и <(ту> прецессируют вокруг оси z с частотой(о, а <огг> остается неизменным. Такое поведение характерно и для классического магнитного момента во внешнем магнитном поле.

ЭЛЕКТРОНЫ В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ И МАГНИТНОМ ПОЛЯХ

В четвертой главе мы рассмотрим квантовую теорию взаимодействия квантованного излучения с веществом. Здесь же мы дадим краткий обзор такого взаимодействия для неквантованных полей.

2・9. Гамильтониан электрона в электромагнитном поле

Рассмотрим электрон с зарядом е, массой т и спином « в магнитном поле Н. Пусть А является векторным потенциалом, определяемым соотношением

В — rot 4 =卩0江，(2.117)

где 卩° ——проницаемость вакуума. Тогда гамильтониан такой системы имеет вад

н ^-^-{р-е^ + ^Н),(2.118)

где [3 ——магнетон Бора и р ——импульс электрона *). Этот гамильтониан представляет собой нерелятивистское приближение для энергии электрона в магнитном поле. Векторный потенциал и магнитное поле Л соответствуют той точке пространства, где в данный момент находится электрон.

*) Обобщенный канонический импульс электрона определяется соотношением р 工 mV 十 еА, где т п V 一 соответственно масса и скорость электрона.

141141ЗАДАЧИ

141

141

Если магнитное поле постоянно и направлено вдоль оси z, то решение задачи о собственных значениях гамильтониана (2.118) весьма красиво и очевидно. Оно приводит к квантованному циклотронному движению электрона. Так как у нас не будет потребности в этом решении, то мы его опустим.

Если электрон находится к тому же в поле протона с зарядом +^, то гамильтониан примет вид

н ^^^P-e^-^ + ^^a Н), (2.119)

где г ——расстояние между электроном и протоном. Если А = Н = Q^ то этот гамильтониан описывает атом водорода в предположении, что протон бесконечно тяжел. В одной из следующих глав мы рассмотрим те видоизменения, которые необходимы для учета движения протона.

ЗАДАЧИ

Напишите матричные элементы операторов р н g для гармонического осциллятора в ^-пpeдcтaвлeнии.

в видев видеa2gl汨 VW3na2gl汨 VW3nПокажите, что энергетическая собственная функция осциллятора в координатном представлении может быть записана

в виде

в виде

a2gl

汨 VW3n

a2gl

汨 VW3n

где a = У①/加

Пусть пит — целые числа, а а н а+ ——операторы уничтожения и рождения бозонов. Покажите, что

°叫"〉=J/ 仇二:)! I " 一 加〉=而U；)「a+Е I 0>

4_m I а+S+m)/ (л 十⑺!

@ J 孔〉=—у2— j 0> = J/ ^i I w + ^>>

где a^a, | n) = n | n>.

G помощью разложения в ряд покажите, что

庐。［0〉=|0〉，e^+10> = У I n>,

含力！

где Е — некоторый параметр и [а, а+] — 1. Если <0 | 0> = 1, то чему равна норма вектора охр 隽口十)| 0>?

Пусть [а, а+] = 1 и а+а | 孔〉=北 | 汽〉.Покажите, что оператор ехр (自а+а), где g — некоторый параметр, можно представить В ВИДО

ехр (匕а+а)= 2 庐"]л〉<n I.

п—0

Докажите, что полный орбитальный угловой момент (2.74) удовлство])яет следующим соотношениям коммутации:

[Z2,印—0,г -— 1, 2, 3.

Найдите матричные элементы операторов 仃十 и и一 (соотношения (2.79)) в том представлении, в котором оператор о% диагоналей.

Выведите соотношения (2.80).

Определите средние значения операторов ох и сти в состоянии (2.114).'

Глава III

ОПЕРАТОРНАЯ АЛГЕБРА

Введение

В четвертой главе мы рассмотрим квантовую теорию электромагнитного поля и покажем, что поле излучения эквивалентно бесконечной совокупности гармонических осцилляторов. Поэтому неудивительно, что и теории квантованного электромагнитного поля операторы рождения и уничтожения играют центральную роль. Они удовлетворяют некоммутативной алгебре. Поэтому для нашей дальнейшей работы необходимо развить аппарат, который позволил бы более свободно пользоваться этими операторами [14, 15] ).

Необходимость более осторожного обращения с бозе- операторами рождения и уничтожения можно показать на простом примере

где Е, и 1] — параметры. Таким образом, простейшие правила обычной алгебры неприменимы при работе с этими операторами. Мы будем в дальнейшем решать уравнения Шредингера, в которых гамильтониан выражается через бозе-операто^ия. Техника работы с операторами, которую мы разовьем в этой главе, позволит довольно просто решать такие задачи. В то же время решение этих задач без подобной операторной техники было бы довольно трудно или почти безнадежно. Операторная техника, которую мы разовьем, будет применена и к спиновым операторам, введепным в гл. II.

В первой части мы выведем несколько теорем, которые справедливы для всех некоммутирующих операторов.

Во второй части детально изучаются бозе-операторы и вводится важное представление о нормальной форме этих операторов. С помощью этого понятия можно относительно просто решать уравнение Шредингера, уравнение для статистического оператора, вычислять матричные элементы и т. д. В разделах 3.5 и 3.6 мы подробно покажем, как можно использовать эту технику для решения уравнений Шредингера, описывающих некоторые системы. В качестве простого применения некоторых теорем о бозонах мы выведем производящую функцию для волновых функций гармонического осциллятора и обсудим развитие во времени осцилляторного волнового пакета с минимальной неопределенностью.

В третьей части мы выведем несколько теорем для операторов частиц со спином 1/2, которые рассматривались в гл. II. В дальнейшем они окажутся полезными в гл. V, а также в гл. VII при рассмотрении простой модели мазера. Для иллюстрации различных математических методов вычислений некоторые теоремы доказываются здесь разными способами. В ряде случаев имеются другие, еще более простые доказательства, по желательно владеть несколькими методами, для того чтобы по мере надобности при решении каждой задачи выбирать наиболее удобный способ.

Мы не уточняли условий справедливости сформулированных в настоящей главе теорем. На самом деле некоторые из приведенных ниже теорем справедливы и при более общих условиях. Однако данная книга не является математической книгой, а наша цель состоит в том, чтобы научиться решать задачи, не уделяя излишне много внимания вопросам строгого обоснования.

ПРОИЗВОЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

Некоторые теоремы об операторах

В этом разделе мы выведем несколько полезных теорем о свойствах двух некоммутирующих операторов Л и В. В дальнейшем мы будем оперировать с функциями от Л или 8； при этом будем предполагать, не оговаривая этого

при формулировке каждой теоремы, что функции могут быть разложены в степенной ряд. Таким образом, любая функция от В может быть разложена в ряд вида

(3.1)

п=0

где сп ——постоянные коэффициенты. Эти постоянные называются с-числами. Приведенное выше разложение не является наиболее общим, но оно оказывается достаточным для наших целей. На самом деле некоторые теоремы будут справедливы и для функций более общего вида, но мы опять-таки не будем касаться этого вопроса.

Кроме того, для того чтобы функция (3.1) имела смысл и в том случае, когда она применяется к собственным векторам оператора В, ряд

仆)=£g (3.2) n=0

где Ь ——собственное значение оператора 5, являющееся в общем случае комплексным числом, должен сходиться и функция F (6) должна быть определена и для комплексных значений Ъ. Если оператор В эрмитов, то тогда функция F (6) может быть определена только для вещественных значений 6. Во всех этих случаях не будем касаться вопросов строгого математического обоснования.

В дальнейшем мы часто будем использовать параметры, которые являются с-числами (не операторами). Мы не будем уточнять, когда эти параметры являются действительными, чисто мнимыми или комплексными. Будем предполагать, что они могут быть комплексными и что все другие связанные с ними величины вводятся соответствующим образом. Например, если & ——комплексное число и F (Л) = ехр (^Л), то мы молчаливо предполагаем, что F (z) является функцией, которая определена при комплексных (z).

Теорема 1. Пусть Л и В — некоммутирующие операторы, а В 一 параметр. Тогда, если п — целое, то

决&5%Т& =(欧&5еТА厂 (3.3)

И

葬AF (В) e-J = F (技厶6сТ今.(3.4)

Когда тг = 1, соотношение (3.3) превращается в тождество.

Доказательство. Для доказательства соотношений (3.3) и (3.4) отметим, что

е^^^А =工(3.5)

Теперь, используя это равенство, правую часть соотношения (3.3) можно записать в виде произведения п сомножителей:

^аве-Ы^Ве-^.£ё厶36-匕厶,

что и доказывает соотношение (3.3).

Для доказательства соотношения (3.4) воспользуемся разложением (3.1) для функции F (3). Тогда, учитывая доказанное соотношение (3.3), полуяим

e^AF (В) е-5 = 2。"2笈％-5 二』％ (е^Ве^1.

П71

Если теперь в соотношение (3.1) подставить в качестве аргумента величину ^В(Г^А и сравнить полученную формулу с написанной выше последней суммой, то мы получим доказательство соотношения (3.4).

Рассмотрим применение этой теоремы для случая, когда Л = Хр/%, В = F (q), где [g, р] = ih. Тогда в силу соотношения (3.4) имеем

ехР 偿)歹⑷ ехр(—%=—

二网exp (學)gexp (一学(3.6)

Если 自——действительное число, то тогда из формул (1.122), (1.123) и (1.126) следует, что

exp(¥-)gexp(—¥")=g + E.(3.7)

Поэтому выражение (3.6) превращается в следующее:

/ & Р, 9)= ехр (督)歹(g) exp (―嘗)=P(7 + &)• (3.8)

Существует другое интересное доказательство соотношения (3.8). Если мы возьмем частную производную по Е от выражения для функции / (Е, р, д) в равенстве (3.8) и воспользуемся соотношением (L120), то получим

柴=±通八=露，(39)

Последнее равенство представляет собой дифференциальное уравнение в частных производных относительно функции /.

Очепмдно, что любая функция, которая имеет вид

/ (自，p, g) = g (g + 三)，(340)

является решением уравнения (3.9). Для того чтобы найти вид функции g, мы положим Е = 0 в формулах (3.8) и (3.10). Тогда получим

/ (0, p,q) = F (g) = g (g).

Отсюда сразу следует соотношение (3.8). Мы будем часто пользоваться этой техникой для доказательства следующих теорем этой главы.

Теорема 2. Если Л и В — два некоммутирующих оператора и существует оператор А^1, то тогда

АВп 4т = (АВ/т义(3.11)

где и ——целое число, и

AF (5)/т = F (АВА-1).(3.12)

Доказательство. Эта теорема доказывается так же, как теорема 1. В теореме 1 операторы ехр (土к) всегда существуют, в то время как в теореме 2 можно использовать только такие операторы Л, для которых существуют обратные операторы Л"1. В частном случае, когда F (В)= =ехр (Б), соотношение (3.12) принимает вид

АевА^ = ехр Ц5Л"1).(3.13)

Теорема 3. Если Л и В — два заданных некоммутирующих оператора и 自一параметр, то тогда

е^Ве-^ =笈十义4, В] + 击 ^[А,[А, Б]] +

十 击守 J,[4, [4,所]]十… (3.14)

Доказательство. Положим

/低)=*4用e-S,/ (0)=用

и разложим функцию / (己)в ряд Маклорена по степеням параметра 占.Рассмотрим производные функции / (占)：

备=[4/(即赍|『=[4以，

备=[4 聲]=М, М,/(Е)]], »^=[Л[ДВП.

Продолжая этот процесс, получаем формулу (3,14).

Применим эту теорему для случая, когда Л = ip保, 5 = g, и допустим, что 占 —— действительное число. Тогда, если [р, д] = — гй, то из соотношения (3.14) мы получим

eхp (毕)?ехр (一礬)=9 十E产，g] = g + E,(3/5)

ибо все остальные коммутаторы в соотношении (3.14) обращаются в нуль. Это и есть как раз формула (3.6), которая была выведена ранее другим способом.

Рассмотрим еще одно применение этой теоремы. Положим Л д2/2 н 8』dldq, где q — переменная. Легко показать, что

[4 3J =£m,^^"] = - g(346)

(при этом мы молчаливо предполагаем, что обе части равенства (3.16) действуют на некоторую функцию 歹(д))・ Кро^ ме того,

[4[/,切]=4■炉,一д] =0,

и поэтому ряд (3.14) обрывается на втором члене и приобретает вид

备i』(备一7g )•(3.17)

Здесь снова молчаливо предполагается, что мы применяем левую и правую части этого операторного равенства к некоторой функции от 7, например к функции F (q).

Из равепства (3.17) и теоремы 2 (формула (3.11)) мы также находим, что

е""2 今 i* (窑 一 ^『，(3.18)

где п ——целое число.■

Теорема 4. Если А и В ——два некоммутирующих оператора, которые удовлетворяют условиям

U, [Л, В]] - 1В, [Л, В]] = 0,(3.19)

то тогда

£&+£ = еАев^^-А^ в〕= е^е厶с+〔/式厶，в〕.(3.20)

Эта теорема является частным случаем теоремы Бекера —— Хаусдорфа из теории групп. Для читателя, интересующегося более тонкими вопросами операторного формализма, могут быть интересны работы [16—19]. Приведенное здесь доказательство этой теоремы было предложено Глаубером (см. [2], т. 1).

Любые два оператора, коммутатор которых есть с-чис- ло, например [7, р] = X虎 и [а, а+1 = 1, удовлетворяют условиям теоремы. Поэтому неудивительно, что эта теорема имеет много применений.

Доказательство. Для того чтобы доказать эту теорему, рассмотрим операторную функцию

/(У&ЕВ,(3.21)

где(?-число Е является параметром. Если мы продифференцируем функцию (3.21) по Е, то получим

取=Ле^^в + е^в£ =(厶 + 法厶笈^-匕厶)/ (§, (3.22)

ибо exp (^Л) exp (—— 三厶)=/. Для того чтобы упростить второй член в круглых скобках, мы можем использовать теорему 3 (формулу (3.14)). В силу равенства (3.19) все члены в выражении (3.14), кроме первых двух, обращаются в нуль. Тогда мы получаем

С%笈е-s = з + Е [4 3].(3.23)

В результате уравнение (3.22) может быть записано в виде

^ = {(A + B) + UA,B]}f^.(3.24)

Из соотношения (3.19) следует, что величина А -{- В ком” мутирует с [Л, 3], н поэтому можно рассматривать эти две величины как обычные коммутирующие переменные и интегрировать уравнение (3.24) при начальном условии (см. (3.21))

/(0) = 1.(3.25)

Решение уравнения (3.24), >'довлетворяющее условию (3.25), имеет вид

/⑸=鼠 A+E)W/£2[/,E] = е(4 田)Q%“[A,冋.(3.26)

Последнее равенство в (3.26) следует из того, что Л + £ коммутирует с [Л, В]. Если мы теперь приравняем (3.21) и (3.26), положив ^ = 1, и умножим обе части полученного равенства справа на ехр (—%【4 方】)，т° придем к фор- муле (3.20). Доказательство второго равенства в (3.20) предоставляем читателю в качестве упражнения.

Применим формулу (3.20) в частном случае, когда 4 =九р, 5 二二卩g, где [g, р]=力方 и 九，卩一параметры. Тогда согласно (3.20) получим

e?、p+Nq — Q?eNq ехр 卜号•？ ).(3.27)

2. БОЗЕ-ОПЕРАТОРЫ РОЖДЕНИЯ И УНИЧТОЖЕНИЯ

В шестой и седьмой главах мы встретимся с решением квантовых задач, в которых используются операторы рождения и уничтожения бозонов. Это, например, задача о расчете средних значений операторов, которые являются функциями от а и 〃+. Знание таких средних значений операторов позволяет проводить сравнение теории и эксперимента. Кроме того, в дальнейшем возникнет необходимость решать уравнения Шредингера, содержащие бозе- операторы.

Одним из примеров является осциллятор, находящийся под действием внешней вынуждающей силы, гамильтониан которого имеет вид

77 =方①(а+а + %) + 勾(力)(а + а+).(3.28)

Здесь функция / (力)определяется внешней вынуждающей

силой. Так как гамильтониан зависит от времени, то описываемая этим гамильтонианом система неконсервативна. В данный момент единственный метод, который имеется в нашем распоряжении для решения даже такой простой задачи,— это решение с помощью громоздкой итерационной формулы (1.211). Наша цель заключается в том, чтобы развить для решения таких задач гораздо более сильную операторную технику. Эта техника основана на понятиях о нормальном упорядочении операторов и о нормальной форме функции от операторов. Эти понятия мы введем в следующем разделе. Далее мы докажем ряд важных теорем о бозе-операторах. Эти теоремы окажутся очень полезными в шестой и седьмой главах.

Нормальное произведение, оператор нормальногоупорядочения и нормальная форма

Бозе-операторы а и а+ удовлетворяют соотношениию коммутации

[а, д+] = 1.(3.29)

Нас снова интересуют такие функции от операторов а и а+, которые можно записать в нескольких эквивалентных формах, используя (3.29). Например, функция

/1(% а+) = аа+(3.30а)

и функция

/3 (а, а+)二 а+а Т • 1(3.30 Ь)

раины между собой в силу соотношения (3.29), но они имеют разные формы. Поэтому две функции могут быть равны как операторные, ио не тождественно равны по форме.

В любом выражении, содержащем произведение операторов рождения и уничтожения, подобном, например, выражениям /〔 или /2, произведение называется нормальным, если все операторы уничтожения находятся справа от всех операторов рождения. Так, произведение /г = аа+ не является нормальным произведением, в то время как произведение /? — 1 = а+а является нормальным произведением. Вообще по определению, если /ит — целые числа, то произведение а+г ат является нормальным произведсни-

ем, а произведение awa+г не является нормальным произведением.

Определим далее оператор нормального упорядочения N), который применяется к любой функции / (а,。+), следующим образом.

Предположим, что а и а+ — обычные коммутирующие переменные (с-числа). Отметим этот факт черточкой над величинами а и а+. В результате величины R н @+ становятся двумя различными с-числами и коммутируют друг с другом. Выберем функцию / (反,а+) в форме произвольного степенного ряда от двух переменных, в котором коэффициенты разложения являются с-числами. Определим оператор нормального упорядочения с помощью следующих соотношений:

^ {а^а^1} = а^1ат,(3.31а)

^ {с/ 他,亙+)} = cN {/ (а, &+)},(3.31Ь)

N {/1伍,g+) + /2伍,公)} = %仇位，/)} + N仇(巨,巨十)},

(3.31c)

N{c}^cI9(3.31d)

где l и m ——целые числа, с ——произвольное комплексное число, а I ——единичный тождественный оператор.

Из определения оператора N следует, что в скобках после символа N все операторы рассматриваются как с-числа. В каждом члене разложения в степенной ряд все операторы рождения перемещаются налево, а все операторы уничтожения ——направо; в результате получается некоторый новый оператор. (Ясно, что можно определить и обратный оператор ТУГ)

Для того чтобы понять, как выглядит действие оператора N на практике, применим этот оператор к нескольким функциям от а и а+.

Пример 1. Положим

/ (а, а+) = а.

Тогда из (3.31а) следует, что

N {/ 伍，巨十)} = N {а } а = f (а, а+).

В этом случае N {/} тождественно равно /; при этом N {/} имеет ту же самую функциональную форму, что и

П р и м е р 2. Положим

/1 (а, а+) = аа+, /2 (а, а+) = а+а.

В этом случае из (3.31а) следует, что

^ {/1 伍,〃+)} — ^ {巨巨+} = а+а 手九(а, а+),

^ 仇伍,巨十)} = N {а+а} = а+а = /а (а, а+).

Мы видим, что хотя /1 # 储 но N {/1} = 7V {为}三 /2- Снова используем символ тождества для того, чтобы отметить то обстоятельство, что две величины не только равны как операторы, но и имеют одинаковую форму.

Пример 3. Положим

九 ^= аа+, /2 = а+а + 1.

Из соотношения коммутации следует;

/1 — /2,

но функции /i и/2 ие тождественно равны, так как их функциональные формы различны. Если мы применим оператор N к функциям /г и /2 и используем соотношения (3.31а) и (3.31d), то найдем, что

N {“} = ^ {йа+} = а+а # /п

N {/2} = N {а+а + 1} = а+а 十 4 三 ％•

В этом случае

N (/1} # N {/2}三储 хотя 九=%•

Пример 4. Положим

% = аа+а, У2 — а2а+ — а, % = а+〃2 十 ©

Используя условие (3.29), можно легко показать, что /1 — /2 = /з， но никакая пара этих величин не имеет

одинаковой функциональной формы. Далее получаем

N {/J = N {2巨+巨} = а+@2 方 ％,

N {/2} = N {a2%十—R} = a 亍必—a 取 ％,

N {/3} = N {a+a2 十码=肝* + a 三 %.

Как видим, опять N 仇}方 Лг{/2} / N {/3} =/3, хотя /日2=/3.

П p и м e p 5. Положим

/1 = aa+a, /2 = a%+, /3 二二值+口?.

В этом случае 厶# %/з，но

N {厶} = n优} = n仇}三/3.

П р и м е р 6. Если 况 параметр, то

M{expM+0} = N{玄智}=£

Из этих примеров видно, как оператор N применяется иа практике.

Рассмотрим теперь некоторую функцию / （叫 a+）. Если для этой функции

N {/（n）伍，a+）}三 /⑺他，a十），（3.32）

то по определению эта функция задана в нормальной форме и она обозначается в этом случае как /5）（а, а+）. Таким образом, если после применения оператора N форма функции остается неизменной, то функция задана в нормальной форме. Индекс （汽）означает, что функция /5）（а, а+） представляет собой сумму членов, каждый из которых является нормальным произведением операторов а и а+. Рассмотрим снова предыдущие примеры. В примере 1 функция / — а задана в нормальной форме, так как N {f} = f. Поэтому можно записать, что /（"）= а. В примере 2 N{f2}三/2，и поэтому /貝 = а+а. В примере 3 /z（n）— а+а + 1 = /> Таким образом, можно использовать один и тот же символ /г ~ /2 = / и записать

/ = aa Ь = /（п）三 a+a 十 1.

Ио функции / и /5)имеют различные функциональные формы. В примере 4 / = “ = % = /з 三 /" Но только функция /3 тождественна /⑺)и поэтому представлена в нормальной форме; функции 九 и /2 не представлены в нормальной форме, хотя они равны нормальной форме, В примере 5 имеем f^ 三 肝炉=/3. Пример 6 мы обсудим в лемме, которая следует за теоремой 10.

Мы условились, что функция задана в нормальной форме в том случае, когда применение оператора N не изменяет ее. К сожалению, когда функция не задана заранее в нормальной форме, это определение не помогает преобразовать ее к нормальной форме. Большая часть следую^ щего раздела будет посвящена методам преобразования функции /(а,а+) к нормальной форме. Очевидно, что нормальная форма /5)равна /, т. е.

/ (а, а+) = /(п)(% а+)三 N {/⑺伍，卄)}，

но в общем случае функциональные формы / и /(п)различны.

Проиллюстрируем процесс приведения функции к нормальной форме методами, которые имеются сейчас в нашем распоряжении.

Пример 7. Положим / — а а+. Из соотношения (3.29) видно, что

/ = аа+ = а+а + 1 三 f(n).

Таким образом, функция / приведена к нормальной форме. Нормальная форма, конечно, отличается от функции, которая получается при применении оператора N к「 Действительно,

N {/}/*).

Пример 8. Положим / = аа+2a. Чтобы привести это выражение к нормальной форме, нужно переместить оператор а+? налево, используя условие (3.29). В результате получаем

/ = аа+2a =(。十。+ 1)。+。工 a+aa+a + a+a =

=a+ (1 + a+〃) a + 〃+a = 2a+a 十 a+2az 三 /(»),

Таким образом, выражение / преобразовано к нормальной фор в

К сожалению, этот процесс практически невозможен для сложных функций.

Рассмотрим встречающийся на практике пример, когда применение этого метода совершенно безнадежно.

Пример 9. Положим

/ (°,仪十)=©аа+а =]/ (°,仪十)=©аа+а =]ат (仅+仅)7nат (仅+仅)7n

/ (°,仪十)=©аа+а =]

/ (°,仪十)=©аа+а =]

ат (仅+仅)7n

ат (仅+仅)7n

Это степенное разложение функции ехр (а а+а). Таким образом, возникает проблема приведения к нормальной форме члена

(@+〃)т = (а+а • а+а ・ а+а ・• • а+〃)

с помощью соотношения (3,29). Это в лучшем случае очень утомительный процесс. Поэтому в дальнейшем для решения этой задачи мы разработаем некоторые косвенные методы. С другой стороны, как было показано выше, вычисление N {ехр аа+а} является тривиальной задачей.

Алгебраические свойства бозе-операторов

Расчет средних значений любых функций от операторов а и а+ значительно упрощается, если эти функции предварительно представлены в нормальной форме. В этом разделе мы выведем несколько теорем, которые упрощают приведение функций к нормальной форме.

Теорема 5. Если I — целое число, то тогда [а, а+叮=历+«т)= у^-, [а+,歩]=—历㈠=—^.

(3.33)

Эти формулы аналогичны формулам (1.118). Их можно вывести методом математической индукции из соотношения (3.29). Доказательство предоставляем читателю.

Определим более точно, как понимать символы д/да и d/da+, когда величины а и а+ являются операторами. Не будет ошибкой, если мы определим дифференцирование как формальный процесс, который задан формулами (3.33). Чтобы быть более точными, мы можем заменить операторы & или а+ операторами а + ^ или а+ + х, где х есть с-числот

и записать

Нт 备(а+ 十 2y =

—lim I (a+ + 彳ут = /@+ ат) — ^―-, (3.34а)

и аналогично

^ = lim ^ 3 + 况У*(3.34b)

Т е о р ема 6. Пусть х есть с-число и/ (а, а+) — функция, которая может быть разложена в степенной ряд по а и а+・ Тогда

exaf (а, а+) е~ха = / (а, а++况)，(3.35a)

©га + /(а, 〃十)尹а+ = / (а 十花，а+).(3.35Ь)

Доказательство. Для того чтобы доказать эту теорему, воспользуемся равенством ехр (况а) ехр (——/а) = 1 и тем, что / можно разложить в степенной ряд. Тогда получаем для (3.35а)

С^а/ (@, а+) е-ха __ /(6*&座_化%^ха^+^-ха) = / (〃, gxa^+^-xa^

(3.36)

Эта формула доказывается таким же методом, каким была доказана теорема 1. С помощью теоремы 3 и соотношений (3.14) и (3.29) можно убедиться в том, что

ехаа+е-ха = а+ 十第[а, а+] = а+ 十力. (3.37)

Все остальные коммутаторы обращаются в нуль. Из формул (3.36) и (3.37) следует уравнение (3.35а). Аналогичным образом доказывается формула (3.35b). Отметим, что эта теорема справедлива также и в том случае, когда функция / представлена в нормальной форме; при этом функции exaj^ (а, а+) и /⑴)(а, а+) еха+ не будут в нормальной форме. Однако из (3.35) получаем

exaf^ (а, а+) = f(n)(а, а+ + 虞)6吗

/3)(а, а+) е*。+ =央。+ f^ (а + 力，а+).(3.38a)

Правые части этих уравнений представлены в нормальной форме, и, следовательно, с помощью формул (3.22) их можно записать и виде

exaf(n) (а> 百| ) = N {exp (况а) /⑺他，巨 + + ж)},

/<п)(а, а+)尹。+ 二二 N {exp (ха+) f^ (a -|- x,巨+)}.(3.38b)

Этот результат показывает, как представить выражения типа и /(喙気°十 в нормальной форме.'

Теорема 7. Пусть / (а, а+)——функция от а и а+, которая может быть разложена в степенной ряд но а и а+. Тогда

[а, / (а, а+)]=券，(3.39a)

[а+, / (а, а+)]=—祭.(3.39b)

Доказательство. Приведем простое доказательство формулы (3.39а). Рассмотрим функцию

F (ж) = е*吁(а, а+) е—。= / (а, а+ + 篤).(3.40)

Очевидно, что

尸(0) = / @ 肝)，(3.41)

и с помощью (3.40) получаем

^- = [а,尸⑵]=亲 〃а, а+ + ж).

Если теперь перейти к пределу при 冕 f 0 в обеих частях этого равенства и воспользоваться формулой (3.41), то получим

И-п °飞： + ”)= [。，/ (а, а+)]=鲁，(3.42) ЮохдаР

ибо в силу равенства (3.34а) левая часть равенства (3.42) как раз и является частной производной от функции / (а, а+) по оператору о+. Аналогично доказывается формула (3.39b). Нужно подчеркнуть, что, когда используются формулы (3.39), всегда должен строго сохраняться порядок сомножителей в функции /. Применим формулу (3.39а) к функции / = а+аа+2. Тогда получим, что

[〃，〃+&о+ 2] = —1r (〃+〃〃+ 2)= 2а+аа+ + 〃〃十2.

Дадим теперь другое доказательство формулы (3.39а). Предположим, что каким-то образом функция / приведена к нормальной форме. Тогда / = /(")(это не тождество) и разложение /(")и степенной ряд имеет вид

/ (а, а+) = /3)(а, а+)三』2 力巾肝疗，(3.43)

где коэффицтгоиты разло/кения fim суть с-числа. Затем получаем

川)(а, а+)]=》』力“ [а, а+%叫.

Если мы используем результат задачи 1.8,f) и теорему 5 (уравнения (3.33)), то получим

[а,产(а, а+)]—』flm [а, а+/] ат = 2 fimla+(l^ ат- I, тI, т

Сравтгпвая этот результат с формулой (3.43), мы видим, что

[а,川)(а, а+)]=嘗.

Так как / — /5), то отсюда следует формула (3.39а). Если же функция / не представлена в нормальной форме, то можно получить сколько угодно эквивалентных разложений функции / в степенной ряд и доказательство становится гораздо более трудным. Эта теорема справедлива независимо от того, представлена ли функция / в нормальной форме или пет. Важно только помнить, что при применении теоремы необходимо сохранять порядок сомножителей.

Мы можем использовать эту теорему при приведении к нормальной форме выражений af^ и /3)а+. Если функция /(")записана в нормальной форме, то ясно, что о/3)и /(п)а+ ие приведены к нормальной форме. Однако, используя (3.39), мы получаем выражения

a/5) ~ /6)a+ 半下, /(п)。+=a+/⑴)+ %^, (3.44a)

правые части которых представляют собой нормальные формы. Поэтому с помощью (3.32) мы можем записать

эти выражения в виде а/(п)= %｛(% + /3)а+ = N ｛卜+ + 割 /⑺伍，a+)J.(3.44b)

Таким образом, дан простой метод приведения выражений вида а/3)и/(切 а+ к нормальной форме. Снова отметим, что под знаком оператора N величины а и а+ становятся с-числами. Поскольку правая часть равенства (3.44а) уже была приведена к нормальной форме, то применение к ней оператора N в соответствии с (3.32) оставляет ее неизменной.

Теорема 8. Если функция /п (а, а+) представлена в нормальной форме, то

〃m/m)(〃, 〃+)n ｛仔 +

/⑺(a, а+) a+m = N ｛卜++ 今J /⑺伍，卄)｝ , (3.45)

где т — целое число.

С помощью этой теоремы можно представлять в нормальной форме выражения вида amf^ и /⑴)a+m. Ее легко можно доказать с помощью метода математической индукции. Это мы предоставляем сделать читателю.

Т е о р е м а 9. Если / (а, а+) можно разложить в степенной ряд по а и а+, то тогда

ска+а/@a+) ста+a й / (aе7, a+變).(3.46)

В частности, еха+аае-ха+а = ае~х ^■(3.47а)

е*а+а а+е-ха+а — а+е*.(3.47b)

Доказательство. Формулы (3.47) можно доказать с помощью соотношения (3.14). Однако мы используем ниже более простой метод. Обозначим

F (亡)=gxa+a ae-ка+а, р (0)—以

Тогда

gva+aаe-ка+аgva+aаe-ка+а=一ь⑺,=一ь⑺,与=尹а+а [а+〃，а] ета+а

gva+aаe-ка+а

gva+aаe-ка+а

=一ь⑺,

=一ь⑺,

где использовано соотношение [а+а, а] — —а. Решение этого уравнения имеет вид

F (花)=F (0) е-“ = ае",

и соотношение (3.47а) доказано. Аналогично доказывается формула (3.47b). Здесь функция F (我 по существу, оператор а ⑺ в гейзенберговском представлении, если в гамильтониане Н =方 з (а+а 十 1/2) положить 况 ~ 必九

Для доказательства равенства (3.46) левую его часть представим в виде

е%а+а〃а, а+) е-ха+а =： / (е^а+а 磴-ха+а, ^ха+а^+^-ха+ а)

и воспользуемся соотношениями (3.47).

Хотя формула (3.46) справедлива в том случае, когда функция /⑺ задана в нормальной форме, эта формула не дает никакого метода приведения выражений £笈°+。/3) и /⑴)е*а+а к нормальной форме. Мы предлагаем читателю выяснить причины этого.

Лемм а. Если | 0> — состояние вакуума, так что а I 0> = 0, и л： и г/ — параметры, то тогда

еха+аеуа+ | Q) = ехр (步％+) | 0>.(3.48)

Доказательство 1. С помощью (3.46) получаем

еха±аеуа+ ехр (//£%+)严。+生(3.49)

Пусть / (а+а)——любая функция от а+а. Тогда

/f (п) \ м>,(3.50)

ибо а+а \ п) = п \ п). Отсюда следует, что

ека+а|0〉= |0〉，(3.51)

и мы получим формулу (3.48), если применим обе стороны операторного равенства (3.49) к состоянию вакуума | 0>.

Следующий метод доказательства этой леммы называется экспоненциальным методом. Он оказывается очень полезным при решении задач операторной алгебры. Этот метод основан на некотором предположении, правильность которого легко проверяется после того, как получено решение задачи. В сущности, этот метод состоит в угадывании того, какую форму имеет ответ в задачах типа (3.48). Таким же образом с помощью простых пробных функций решаются дифференциальные уравнения.

Доказательство 2. Предположим, что левая часть (3.48) может быть записана в форме

еха+аеуа+ | °〉= eG(x, у, а+) | °〉，(3.52)

где G — простой степенной ряд по

G (伤 у, а+) = 4 (z, у) + 5 (z, у) а+ 十 С (怎 у) а+ 2 十...

(3.53) и А, В, С, . . . суть с-числа, которые подлежат определению. Если мы положим / = 0, то из равенств (3.52) и (3.53) следует, что G должно удовлетворять тождеству G (0, у, а+) = уа+ 三/ (0, у) + 笈(0, у)а^ + С (0, у) а+ 2+，..,

(3.54) из которого вытекает, что

力(0, У)= 0 = С (0, У)=。(0, У)=・• •，В (0, у) = у.

(3.55)

Из принятой выше формы для функции G ясно, что 口 削=0.(3.56)

Поэтому, если мы продифференцируем обе части (3.52) по % и умножим слева на e~G, то получим

味%+a叫0)=需 |0〉.(3.57)

Так как функция G по предположению является функцией только от а+, то ехр (—G) коммутирует с а+. Тогда равенство (3.57) сводится к

a+e-%eG |0> = ^- |0>.(3.58)

С помощью теоремы 3 (см. (3.14)) получаем

e-GaeG ] 0> - {а + & G1 + [к, Gl, G1 + ...} | 0>. (3.59)

Первый член в выражении (3.59) исчезает, так как а I 0> = 0. Далее, из формулы (3.39а) теоремы 7 следует, нто [a, G] = @G/@a+, и, следовательно, этот коммутатор является функцией только от а+. Поэтому все коммутаторы высших порядков в выражении (3.59) равны нулю. Отсюда следует, что

e-W? 10〉= (° 十簪)10〉=詳 10〉，(3.60)

и равенство (3.58) приобретает вид

a+e-%eG 10〉= а+詳 I 0〉三芻 I 0〉.(3.61)

Используя соотношение (3.53), приводим выражение (3.61) к виду

а+ (В + 2С〃+ + …)[0〉三摻十需 а+ + 票■ а+ 2十I 0〉.

(3.62)

Приравняв в обеих частях равенства (3.62) коэффициенты при одинаковых степенях а+ и воспользовавшись соотношением (3.55), получим

罢=0 т 4 (况,у) = 0,

芻=5т 3(瑞у)=产

^^ = 2c —> С = 0 = D =

Отсюда следует, что G (%, у, а+) = уе%+, и лемма доказана. Таким образом, показано, что форма решения выбрана правильно.

Доказательство 3. Кроме приведенных выше двух доказательств существует еще другое, более простое доказательство леммы с помощью разложения в степенной ряд.

Воспользовавшись соотношением (2.40), можно записать

^ха+%уа+ I 0〉=

=е^+а 2 ^^ |0> = а+а』一^ | ГО>. (3.63) П=0'771=0 У '加

равенства (3.50) получаемравенства (3.50) получаемДалее, с помощью

равенства (3.50) получаем

равенства (3.50) получаем

exa+aeya^ | 0〉=

7n m х十 m

二 S 今〒丨加〉=2 (e%)"1 F~ I °〉= exp(e”a+)| 0>.

m=0 У w,m=o

Здесь снова было использовано соотношение (2.40), а последнее равенство получено путем суммирования ряда.

Теорема 10. Если / — любая функция оператора а+а, то ее нормальная форма имеет вид

г=0г=0 з=о

(3.64) где А г/(0) есть r-я конечная разность:

ДО/(0)^/(0),

А/(0)三"1)一〃0),

△2/(0)三〃2)一2〃1)+/(0),

△大0)三工 占?s! 〃r _s).

s=0

С помощью этой теоремы любая функция от а+а может быть очень просто приведена к нормальной форме.

Доказательство, Рассмотрим разложение функции от @+а, которая задана в нормальной форме, в следующий степенной ряд:

/5)(а+а) = 2 &а+ гаг.г=о

Задача состоит в том, чтобы найти коэффициенты разложения Сг. Мы можем записать функцию f^ в виде разложения (3.65), а не в общей форме (3.43), именно потому, что / специальным образом зависит от аргументов а и а+, точнее, только от комбинации а+а.

Прежде всего покажем, что выражение а+З можно записать в виде

а+ " = &+а(优+战—()(什伉—2). . . (а+а —『+ i). (3.66)

Формула (3.66) доказывается методом математической индукции. Предположим, что эта формула справедлива при г = г\ Если умножить обе стороны равенства (3.66) справа на (а+а — /), то левая часть (3.66) приобретает вид

a+ %Г'依"—产)匸a十产优“十a—r%+ *〃.(3.67)

С помощью формул (3.33) получаем

Поэтому равенство (3.67) преобразуется следующим об- разом*

а+ Z" (а+а —产)=а+「’(а+а" + г'а"т)а — г'а+「％「'=

=а+ 产+1俱产+1 = а+а (а+а — 1)... (а+а — г').

Отсюда следует, что если (3.66) справедливо для г', то оно также справедливо и для 产 + 1. Так как выражение (3.66) справедливо для г' = 1, то оно справедливо для всех /. Таким образом, теорема доказана.

Докажем теперь равенство (3.64). Из соотношений (3.65) и (3.66) мы получаем

戶”)(а+а) = 2 с^а+а (а+а — 1) (а+а — 2)... (а+а — г + 1). Г=о

Поэтому, если мы применим этот оператор к кет-вектору I т), для которого а+а \ т} = т \ /п>, то получим

/5)(а+а)|/п〉= /(т)|тп> = 2 С命 5? — i)...^n—r+\)\my r=0

Так как ряд обрывается при г〉т, где т — целое число, то суммирование по г проводится только до г — т. Следовательно, имеем

/(m)|m> = 2 Cr lm>,r=O ''

eДeД• SD2) ,/( /к ( 2 / / /• SD2) ,/( /к ( 2 / / /Co + 2a + 2! GCo + 2a + 2! G

e

Д

e

Д

• SD2) ,/( /к ( 2 / / /

• SD2) ,/( /к ( 2 / / /

Co + 2a + 2! G

Co + 2a + 2! G

Отсюда определяется постоянная Со. Первые разности равны

/ (I) - / (0) = G = А/ (0),

/⑵ 一 f ⑴=С. + 2c2д/ (1),

Отсюда определяем постоянную 0工.Вторые разности равны

/ ⑵ 一 2/ ⑴ + / (0) = 2c2 = AV (0),

/(3) - 2/ ⑵ +/(!)== 2& + 3!Сз = Д2/ (1),

Из них мы получаем С2. Если мы продолжим эту процедуру, то найдем, что

& = ； А'〃°)三;』-(—^j! S!(- 1" (г - s)，s=0

и, таким образом, теорема доказана.

Частный случай этой теоремы, который часто встречается в дальнейшем, рассмотрен в следующей лемме.

Лемма. Если 力 一 параметр, то нормальная форма функции ехр (方а+@) имеет вид

/5)他+a,况)=

—产+а =》<*—；!)а+ r<f ~ N {ехр [俨一1) 2十矶}. Г=0

Прежде всего следует специально подчеркнуть, что N {ехр (況+巨)}不 N {exp [(e* — l)a+d]}.(3.69)

На это мы указывали и ранее.

Доказательство 1. Первое доказательство состоит в прямом применении теоремы 10. Так как

/ (а+а) — е#а+а, то

f (r — s)=力(1)

и (3.64) приобретает вид

8Г

货)=&а+а)⑺=』扌』(- iye-^a+^. г=о*=0

Легко видеть, что сумма по s равна

г

(4 —L)』W ~~^ (—7.

так что

/(п)(а+а) = №+а = 2 е т/‘ а+ 3三

=N {ехр [(е“ 一 1) а+а]}, (3.70)

и лемма доказана. Последнее равенство следует из определения оператора N. Очевидно, что справедливо также разложение

ОО

№ =』£(а+а『，(3.71)

которое равно (3.70), но имеет другую форму.

Доказательство 2. Приведем функцию

/⑺= 6。+“(3.72)

к нормальной форме с помощью вспомогательного дифференциального уравнения и техники нормального упорядочения операторов, которая очень полезна для решения некоторых задач.

(3.73)(3.73)Продифференцируем обе стороны равенства (3.72) по 力 и получим

(3.73)

(3.73)

Обычное правило дифференцирования справедливо, потому что [а+а, / (х)] = 0. Предположим теперь, что мы привели / к нормальной форме и, как всегда, выполняется равенство

/ = *),/ = *),(3.74)

/ = *),

/ = *),

хотя формы левой и правой частей различны. Если /⑺ 一 нормальная форма оператора, то д]^> /дх — также нормальная форма, но функция a^~af^ не приведена к нормальной форме. Мы можем теперь использовать соотношение (3.39а), чтобы привести правую часть (3.73) к нормальной форме. В результате мы получим

а+к，а+^]-а+к，а+^]-(3.75)(3.75)

а+к，а+^]-

а+к，а+^]-

(3.75)

(3.75)

Теперь обе части равенства представлены в нормальной форме. Из определения (3.32) функции gS* где g^ —— функция от а и а+ в нормальной форме, мы знаем, что

^ ｛g(m 伍，卄)｝三 g5)(а, а+),(3.76)

и мы можем записать обе части (3.75) в виде

n｛猬｝ =Mа+G +盘)产｝•OR)

Преимущество равенства (3.77) заключается в том, что под знаком оператора N величины а и а+ становятся обычными коммутирующими переменными (^-числами). Поэтому (3.77) — дифференциальное уравнение в частных производных по обычным переменным, и его решение позволяет получить нормальную форму /①).Для удобства мы временно опустим символ оператора N и решим уравнение

(3.78)(3.78)

(3.78)

(3.78)

где 方，亙+, л ——обычные переменные. Затем применим оператор N к решению:.

/⑺(爲 а+а) = ^ {/}.(3.79)

Это и есть искомая нормальная форма 产.

Легко решить уравнение (3.78), если сделать следующую замену переменных. Положим

% + In %+ =自， % =彳(自 + n)，

z — In 〃+ =刀，〃+ = е%(2т).(3.80)

С помощью обычных правил дифференцирования получаем 一而.(3力4)

В новых переменных уравнение (3.78) приводится к виду 2 為=ае'/2 (f.

После интегрирования получаем

2 In / = - 2切％(I)+ g R),(3.82)

где g (g)——произвольная функция интегрирования, которую можно найти следующим образом. Из равенств (3.80) видно, что если / = 0, то 刀=——|. Если в формуле (3.72) положить 方 = 0, то тогда / (0, а+а) = 1, и из равенства (3.82) для функции g (Е) получается следующее выражение:

g (三) = 2且决.

Если мы подставим это выражение в (3.82) и найдем из него функцию /, перейдя при этом снова к переменным 方 и R+, то получим

/ = ехр [(尹一1) а+а].

Поэтому, в соответствии с равенством (3.79), нормальная форма функции / принимает вид

gxa+a 亠 /3)三 N {exp [(e* — 1) %+〃]},(3.83)

что согласуется с нашим предыдущим результатом. Мы можем записать выражение (3.83) также следующим образом:

е^а+а = 2 — (а+а严=』(「一 1严 а+тат. (3.84) и т!т=о "!

Следует снова отметить, что

{exp (zca+a)} = 2 R。+州尸(3.85)

и это разложение не равно ехр (方а+а).

Разработанная здесь техника нормального упорядочения оказывается полезной в дальнейшем при решении уравнения Шредингера ) и уравнения для статистического оператора (гл. VI), когда гамильтониан является функцией от а и а+. Она полезна также и в том случае, когда гамильтониан является явной функцией времени.

Решение уравнения Шредингера с помощьюнормального упорядочения. Гармоническийосциллятор с вынуждающей силой

В разделе 1.14 мы показали, как можно решить уравнение Шредингера для неконсервативной системы с помощью техники последовательных приближений (см. (1.211)). В квантовой электронике имеется ряд простых задач, таких, как гармонический осциллятор с вынуждающей силой (см. (3.28)), в которых более удобна техника нормального упорядочения, развитая в двух предыдущих разделах.

Уравнение Шредингера

7/1屮(少=汤(3.86)

имеет решение в форме

1屮⑴〉=fZ Q, %) I 屮偽»(3.87)

(3.88)(3.89)(3.90)(3.88)(3.89)(3.90)где [7 удовлетворяет уравнению

(3.88)

(3.89)

(3.90)

(3.88)

(3.89)

(3.90)

при начальном условии

U (方о,力о) = I*

Пусть гамильтониан задан в виде

Н = "⑺ @ a+,力),

т. е. предполагается, что гамильтониан приведен к нормальной форме. На практике обычно это очень легко сделать. В соответствии с (3.43) запишем этот гамильтониан в виде

н(^ = 2 hlm[t)a+lam,(3.91)

где коэффициенты разложения him(t) являются ^-числами.

Предположим, что функция U приведена к нормальной форме. Как всегда,

U - W).(3.92)

Уравнение (3.88) можно записать теперь следующим образом:

论 如2= 3 hlm(t)a+^amU^. (3.93)

Левая часть этого уравнения записана в нормальной форме, а правая часть не приведена к нормальной форме. Для приведения выражения amU^ к нормальной форме мы можем использовать теорему 8 (см. (3.45)). Тогда уравнение (3.93) принимает вид

N ｛次嗒｝= 3 hlm (0а+г^｛(а +

=N0 htm (f) ^+l^ + aa. f j

где последнее равенство справедливо потому, что функция в правой части задана в нормальной форме. Для того чтобы

просуммировать ряд (3.94), можно использовать выражение (3.91). Таким образом,

%#% 曙} = 2{"⑺(&+, % + 告，£)U(n[. (3.95)

Это по-прежнему ураснеиие Шредингера (3.88), но теперь это уже дифференциальное уравнение в обычных переменных (с -числах)厶 〃+, а. Мы свели операторное уравнение (3.88) к обычному уравнению. Оно отличается от (3.88) тем, что в нем в нормальной форме гамильтониана а+ заменено на d+ и а ——на а + 0/0亙+. Таким образом, нужно решить уравнение

洗禦="⑺卜+, a+ 等，口 S (3.96)

Тогда решение уравнения (3.95) U^ получается следующим образом:

兴)=N {U},(3.97)

где U ——решение уравнения (3.96), которое удовлетворяет условию (3.89). Результат автоматически представлен в нормальной форме.

Этот же метод нормального упорядочения может быть использован для решения уравнения Шредингера в представлении взаимодействия. Предположим, что гамильтониан может быть записан в форме (см. (1.234))

Н = % + %,(3.98)

где для простоты мы предположим, что HQ ие зависит от времени, а Н1 зависит от времени. Снова предполагаем, что гамильтониан уже приведен к нормальной форме. Из соотношения (1.235) следует, что

№«)〉= % (小°)【6(9〉， .(3.99)

где в рассматриваемом нами случае

Uo (力 ％) = exp [-沮。C/当.(3.100)

Уравнение Шредингера (1.241) приобретает вид

力冇 4" №(£)〉= %,】№(£)〉，(З.Ю1)

где согласно (1.242)

%,1 =時н2%,(3.102)

причем по-прежнему предполагается, что гамильтониан 方 1, I задан в нормальной форме. Решение уравнения (3.101) можно записать в виде

№⑴〉-叩亿埼I屮[(")〉(з.юз)

при условии, что функция W удовлетворяет ^уравнению

1得=%,№(3.104)

где

W(tQ,分)=/.(3.105)

Уравнение (3.104) выводится так же, как и уравнение (3.88). В результате получается

N｛访 零｝= "黑兽卜+, d+^,t)呼叫.(3.106)

Чтобы проиллюстрировать рассмотренную выше технику, решим уравнение Шредингера для гармонического осциллятора с вынуждающей силой в представлении взаи^ модействия. Гамильтониан задан формулой (3.28). Введем обозначения:

川?s =方 за+仪，"[% =勾传)(а + а+),

Н =无 за+а + 勾(£)(优 + а+).(3.107)

Для простоты мы опустили энергию нулевых колебаний в (3.28), хотя ее легко можно было бы учесть в нашем рассмотрении.

Из формулы (3.100) получаем

и0 (力幻-e-必(I。) а+а(3.1 08)

и с помощью выражения (3.102) находим

方1, I (e)=方 d3(I。)а+а (а+ a+) e-必(I。)а+а] / (/)—

=方[ae~i<a(I。)+ а+^з(「厶斗〃》(3.Ю9)

где последнее равенство следует из теоремы 9 (соотношения (3.47)). Отметим, что последняя форма для гамильтониана Н^ I (^) в (3.109) является нормальной. Уравнение (3.106) для функции 叩(孔)приобретает вид

=N {君(t)卜+еi3 (I。)+ e-b (I。)卜+凳)]麻⑺} . (3.110)

Для простоты мы опустим оператор N до тех пор, пока не решим уравнение (3.110), а затем снова введем этот оператор и представим с его помощью решение уравнения. Итак, нужно решить уравнение

»禁=b*⑴科十 g⑴依+言)]忆 (3-1H) где введено обозначение

g (£) = 〃£) g—io) (Io).(3.112)

Уравнение (3.111) легко решается, если произвести замену неизвестной функции

W = exp [G (力 а, 〃+)],(ЗЛ13)

где G ——степенное разложение по переменным а и а+. В простом примере, который мы сейчас рассматриваем, пробная функция G выбирается в виде

G (力 d,卄)=4 (力)+ 5(力)& + С (£) d+.(3.114)

В данном случае нет необходимости учитывать члены более высокого порядка, в чем читатель легко может убедиться сам. Если мы подставим выражение (3.114) в формулу (3.113), а потом выражение (3.113)「в уравнение (3.111), то после несложных алгебраических преобразований получим

；"^ — g* ⑴亙+ + g (£)卜 + ^:^(3.115a)

или

.dA . . dB _. dC —

l-dr+l^ra + l^ra+ =

=g*⑴d+ + g(t)d+g (i)C(f). (3.115b)

Приравняем теперь коэффициенты при одинаковых степенях 〃 и 亙+ в обеих частях равенства (3.115b) и найдем, что неизвестные функции At В и С должны удовлетворять следующим уравнениям:

i* = g(t)C, i^ = g(f)，嗜= g*(/)・(3.116)

Для того чтобы выполнялось условие W (/0, /0) = /, начальные значения для Л, 5 и С должны быть выбраны следующим образом:

4 (力о) = В (2 — С 隔)=0.

Теперь можно записать решения уравнений (3.116), которые удовлетворяют этим начальным условиям:

/(£)= - ^dt'g(tr)^dt"g\t"),

5(£) = — i jg(t，)或'，(3.117)

c(t) = -i^ g" (Г) dt' = — 5* 心).

to

Тогда функция W^ (厶 /0) приобретает вид

W^ (/, /0) = еА ⑴N {ехр [В (力)а] exp [С (£) 〃+]}=

三《4⑴灰(t)a+l⑴气(3.118)

Очевидно, что это решение представлено в нормальной форме. Если объединить это выражение с функцией Uq, то получим решение уравнения Шредингера для гармонического осциллятора с вынуждающей силой в следующем виде:

丨屮s (£)〉= U (厶方 °) I 屮(")〉， где

и (力幻=e-询(I。) “+%с (О а+©В ⑴ аеА ⑴.(3.119)

Отметим, что хотя W^ задано в нормальной форме, но это не относится к функции U. Функцию U легко привести к нормальной форме с помощью формулы (3.46)

теоремы 9. Из этой теоремы следует, что

С-icoНа^С (/) а+

=ехр [С (£) с-*01 «-%)〃+] ©тз(口。)а+а ,(3.120)

так что (3.119) можно записать следующим образом:

U (力 ％) = С工⑴ехр [С (^) 6-必(1%+] e~i^ (/-io) а+а gB ⑴ а. (3.121)

Наконец, с помощью (3.68) представим U в нормальной форме:

文)传,力)=

=eл а)N {ехp {c ⑴ e心(1。历+ -{- в (t) a + [6й3(…q — ] ] a+硏}.

(3.122)

Очевидно, что с помощью формул (3.119), (3.121) и (3.122) одно и то же решение получено в различных формах. Если бы мы решили эту задачу прямо, используя уравнение (3.95) и экспоненциальное преобразование (3.113), то пробную функцию следовало бы выбрать в виде

G 伍,а+) = 0(力)+ £ (力)〃 -{- F (t)a^ К «) %+〃，(3.123) и тогда мы сразу получили бы функцию U в нормальной форме.

Другая, более общая техника, предложенная Фейнманом [20] для решения уравнения Шредингера в случае неконсервативных систем, использует представление об упорядочении во времени. Она очень полезна в квантовой электродинамике. Однако для решения тех задач, которые мы рассмотрим в дальнейшем, техника нормального упорядочения оказывается вполне достаточной. Действительно, для доказательства некоторых наших теорем можно было бы использовать теорему Вика [21, -22], которая устанавливает соотношение между упорядочением во времени и нормальным упорядочением. К сожалению, мы не будем обсуждать эти вопросы подробнее, потому что аппарат, который используется для их рассмотрения, довольно сложен.

Простота решения уравнения Шредингера для гармонического осциллятора с вынуждающей силой дает читателю некоторое представление об области применимости

и полезности развитого нами метода нормального упорядочения. Когда в последней главе будут рассчитываться средние значения операторов, преимущества представления операторов в нормальной форме станут более очевидными.

Уравнение Шредингера для двух независимыхпар бозе-операторов

Если бы наши интересы были ограничены одним гармоническим осциллятором, то развитый нами математический аппарат был бы вполне достаточным для такой простой задачи. Однако далее (гл. VII) мы будем интересоваться также системой связанных гармонических осцилляторов, которая является квантовой моделью аттенюатора. Нами также будет рассмотрена модель параметрического усилителя, в которой используются два связанных гармонических осциллятора. В настоящем разделе мы рассмотрим математический аппарат для решения задай такого типа.

Рассмотрим два независимых гармонических осциллятора. Пусть операторы а и @+ описывают осциллятор с частотой «! и операторы 6 и 6+ описывают другой осциллятор с частотой(о2- Эти операторы удовлетворяют соотношениям коммутации для бозонов

[а,а+] = 1, 也 6+] = 1.(3.124)

Все остальные коммутаторы равны нулю: [а, 6+] = =1а+, 6] = . . . = 0. В силу независимости систем осцилляторов каждый из операторов а, а+ коммутирует с каждым из операторов Ь, Ь+. Мы обобщим теперь метод нормального упорядочения операторов таким образом, чтобы можно было решить уравнение Шредингера для двух связанных гармонических осцилляторов.

Запишем гамильтониан для двух слабо связанных осцилляторов. Он имеет вид [11]

h = ЙСоха+а + 方 32ь+6 + 方а(a+ь+ +aь)，(3.125)

где к — коэффициент связи. В этом случае формальное решение для функции U (力 /0) имеет вид

%,%) = ехр [— 逑(丁 “,(3.126)

ибо гамильтониан Н не зависит от времени. Однако, как мы увидим в дальнейшем, эта форма решения очень неудобна для расчета средних значений операторов. Гораздо более полезна нормальная форма для функции U* Поэтому задача состоит в том, чтобы привести функцию U к нормальной форме так, чтобы можно было представить ее в виде разложения по нормальным произве- дениям^

U(®= 2 Ulmpq it)^b+Pa^b^U(®= 2 Ulmpq it)^b+Pa^b^，,m, р, q，,m, р, q(3.127)(3.127)

U(®= 2 Ulmpq it)^b+Pa^b^

U(®= 2 Ulmpq it)^b+Pa^b^

，,m, р, q

，,m, р, q

(3.127)

(3.127)

Здесь в каждом члене операторы рождения расположены левее операторов уничтожения.

Обобщая очевидным образом результаты предыдущего раздела, можно записать уравнение для [7(也)в виде

(3.129)(3.129)Решение этого уравнения будем искать в виде U = exp {G (力 а, а+, Ь, Ь+)},

(3.129)

(3.129)

где G выбирается в виде разложения в степенной ряд

G -= A(t) + B(t)d + C(t)d+ + D(“В + E(t)b+... (3.130)

Мы предоставляем читателю в виде упражнения найти нормальную форму функции U в случае двух связанных осцилляторов. Эта задача упрощается в представлении в з аимодействия.

Возможно, следует отметить, что

尹 一 / a2Gас ае '

Это соотношение обычно возникает в таких задачах.

Производящая функция для собственных функцийосциллятора. Волновой пакет с минимальнойнеопределенностью

Мы применим некоторые развитые ранее методы для того, чтобы получить производящую функцию для собственных кет-векторов | п〉гармонического осциллятора в координатном представлении. Затем мы покажем, что эта производящая функция представляет собой волновой пакет с минимальной неопределенностью. Мы изучим развитие такого осцилляторного пакета во времени и сравним его с волновым пакетом для свободной частицы (см. раздел 1.19).

Вначале заметим, что, поскольку собственные кет-векторы {| тг)} образуют полную систему, мы можем разложить произвольный вектор состояния | 屮〉в фиксированный момент времени (например,力 = 0) следующим образом:

I 屮〉=2 %[%〉，(3.131)

П—Q

где коэффициенты разложения сп являются ^-числами. Для того чтобы найти искомую производящую функцию, выберем определенное состояние | 屮〉，для которого коэффициенты сп заданы следующей формулой:

% = -^е+/2.(3.132)

Мы предположим, что х ——вещественный параметр, хотя возможны и комплексные значения /. Вектор состояния I 屮〉，который задан коэффициентами спч с помощью формулы (2.40) можно представить в виде

I屮〉=…玄供卜"川工吟|0〉=

П=0 У Ml71=0

=6一支'/2产。+10〉, (3.133)

где I 0> — состояние вакуума. В последнем равенстве проведено суммирование по индексу м. Нетрудно видеть, что

<i|)11|)> = е-»2 <0 I е^е^ 10> = 1.(3.134)

Действительно, представим оператор ехр (右а) ехр (况а+) в нормальной форме с помощью формулы (3.20) теоремы 4, Пусть Л =右。л _В = га+; тогда

(3.135)(3.135)^ха^ха+ —_ ^ха+^ха^х

(3.135)

(3.135)

ибо к, 〃+] = 1. Отсюда получаем

〈屮仲〉=〈0 产。+产10〉.(3Л36)

Функция от операторов представлена теперь в нормальной форме. Преимущество такого представления очевидно благодаря равенствам

e^|0) = |0),〈0]0切+ =〈0|(3.137)

(см. задачу 2.4), и, следовательно,〈屮 | 屮〉=〈0 | 0〉= 1.

Если мы выразим вектор состояния в координатном представлении с помощью формулы (3.133), то получим

2(矿)三〈,[2〉= e-炉 №〈g]尹"+10),(3.138)

где〈鼠 I — бра-вектор с собственным значением 小

Теперь мы покажем, что 屮(『)является производящей функцией для собственных функций оператора энергии осциллятора в координатном представлении. Последние записываются в виде

% (矿)三 S'l %〉•(3.139)

Выражение (3.133) можно записать в виде

屮(0',2)= 0-m/2s-^〈丁]70,(3.140)

так что если мы найдем функцию 屮(丁，右)и разложим в степенной ряд по 况，то коэффициенты при 算％ (胃乳//??!) дадут прямо ип (д'). Поэтому 屮(д',企)——производящая функция для ип (д)

Теперь мы вычислим функцию 屮(鼠)из (3.138). С помощью (2.20а) выразим оператор а+ через переменные р и q. Тогда выражение (3.138) приобретет вид

2 С) = еЗ/2《[ ехр『%/У ] 0〉.(3.141)

Если мы теперь используем формулу (3.20) из теоремы 4 и положим 4 =况(2方<0)一也30 л 3 = — Z花(2%о))-%р, то в силу равенства — 1/2 [4, В]=—炉/4 выражение (3.141) принимает вид 屮(9') = етх2/4х

X〈夕]exp р (费)%] exp [— xi (2%(o尸厶夕]10>.(3.142)

С помощью формулы (1.160) последнее выражение можно записать в виде 屮0=

=e-3xV4 еХр [力(费 Jg] Fl exp [— ix (2%(o)~%?] 10>. (3.143)

Согласно (1.130) получаем

〃卜 xp(f-) =〈r+q.(3.144)

Если положить

%(3.145)

то формула (3.143) преобразуется к виду

屮а)= е*/4ехр卜隘)％]〈</ —”)/ 嘉 |0〉. (3.146)

Но из формулы (2.66) имеемНо из формулы (2.66) имеем(3.147)(3.147)(3.148)(3.148)

Но из формулы (2.66) имеем

Но из формулы (2.66) имеем

(3.147)

(3.147)

(3.148)

(3.148)

Таким образом, выражение (3.146) приобретает следующий вид:

"0=(計Z"xp卜忘广门X

X exp [—皿上栾匣迅](3.149)

Это и есть искомая производящая функция для〈,，| и).

Вектор состояния |屮〉，который был использован для получения производящей функции, в то же время представляет собой волновой пакет с минимальной неопределенностью. Для того чтобы убедиться в этом, покажем, что

△р Ад = ~2*~,

гдегде(Ар)2 =〈3 I р2 I 屮〉一〈3 I 卩 I 冲〉2, (Ag)2 =〈屮 I g2 I 3〉一〈屮 I g I ^>2

где

где

(3.150)(3.150)(3.151)(3.151)и I 屮〉определяется формулой (3.133).

(3.150)

(3.150)

(3.151)

(3.151)

I 屮〉=e-xWxa+ I 0).I 屮〉=e-xWxa+ I 0).(3.152)(3.152)Воспользуемся соотношением (3.133):

I 屮〉=e-xWxa+ I 0).

I 屮〉=e-xWxa+ I 0).

(3.152)

(3.152)

В дальнейшем нам понадобятся средние значения некоторых операторов в состоянии | 屮〉(предполагаем, что х вещественно):

<a+> =叫<a+> =叫<a+a> =吟<a+a> =吟<а2> =企 ％<а+2> —炉，<аа+> =炉十].<а2> =企 ％<а+2> —炉，<аа+> =炉十].(3.153)(3.153)

<a+> =叫

<a+> =叫

<a+a> =吟

<a+a> =吟

<а2> =企 ％

<а+2> —炉，

<аа+> =炉十].

<а2> =企 ％

<а+2> —炉，

<аа+> =炉十].

(3.153)

(3.153)

Чтобы доказать (3.153), воспользуемся следующим соотношением:

〈仪〉=〈屮 I а I 屮〉=е-^2 <0 {ехаае^ 10> =

=е-炉〈01 еха (е^а+а + 森算。+) I 0>,(3.154)

где для получения последнего равенства использовано соотношение (3.39а). Так как а | 0) = 0, то последнее выражение с помощью соотношения (3.134) приводится к виду

〈。〉=сет?〈0 I ехаеха^~ I 0) — I г|)> = х.

Аналогично, применяя дважды формулу (3.39а))можно показать, что <а2> 仁 х2. Подобным же образом получаем

(a+> =〈屮 I。I 屮〉* =〈屮 I a+1 屮)=胃， 〈a+2〉=〈a2)* 口炉.

Для того чтобы определить величину〈a+仪〉，выпишем соотношение

〈仪+a〉= e-炉〈0 I е^а+ае^ 10>.

Как мы показали выше (см. (3.154)), вектор аехо^\ 0> можно представить в виде

аеха+1 0> = хеха+|0>.

Следовательно, норма этого вектора равна

〈0 I е^а+а尹а+ 10) = д;2 (0 | ехаеха^ 10)=化%炉.

Последнее равенство возможно в силу соотношения (3.134). Итак,

<а+а> =炉.

Так как аа+ = 1 + а+а, то <аа+> = 1 +〈口+。〉= 1 + 炉・

Таким образом, соотношения (3.153) доказаны.

Из определений операторов а и а+(см. (2.20b)) следует, что

g = /亲(a+ + 吟 g2 =煮(a+2 + 炉 + аа+ + а+а),

(3.155)

p=-X j/^筝(a十一a),加=一岑(a+2a2 一陷+一a+a).

Из соотношений (3.153) и (3.155) следует, что

〈力万瑞 〈p〉=0,

(3.156)

"〉=备(4炉+ 1),〈?2〉=十裟.

Отсюда мы получаем

(Ag)2=^,(Ар)2 = ^_,(3.157)

и, следовательно, справедливость соотношения (3.150) доказана. Итак, вектор состояния | 屮 «)〉представляет собой волновой пакет с минимальной неопределенностью. Он

задан формулой (3.149) в координатном представлении. Средняя энергия пакета, в соответствии с (3.156), имеет вид

(я) = 4-〈(炉 + 叫2)〉=方3 h2 + 扌).(3.158)

При выводе этой формулы использовано известное выражение для гамильтониана осциллятора

ЬГ = }(加 + 32g2)=庁з (〃+а + 等).(3.159)

Таким образом, мы определили физический смысл параметра 企? Он представляет собой среднее значение от оператора а+а, т. е. среднее число квантов в волновом пакете.

Теперь рассмотрим, как этот волновой пакет изменяется во времени. Решение уравнения Шредингера имеет вид

(3.160)(3.160)I 屮(力)〉=e-fsf (a+a+力)卜р (0)>.

(3.160)

(3.160)

Если в качестве | 屮(0)> мы выберем волновой пакет с минимальной неопределенностью (3.133), то получим

(3.161)(3.161)］屮估)〉=e-i^tl2e~i^ta^ae-х2/2 £ -^^-| 汽〉.

(3.161)

(3.161)

так как / (a+a)丨整〉=/ (几)1 几〉，то 8

毋传)〉=：e-iw^/2e-X2/2 2— I 几〉—

=eseF? 2(y+)n 10> = о 1■

=e-i^t/2e-x^/2 exp (企£-心％+) I 0),(3.462)

где промежуточные выкладки очевидны. Таким образом, показано, как развивается во времени осцилляторный волновой пакет с минимальной неопределенностью. С помощью техники, только что использованной для £ = 0, легко показать, что для состояния | 屮(X)〉 имеют место

соотношения

⑺=%/^ COS 叫"2)=(力2+击，

(3.163)

<р> = z ]/2无з sin 叫 <p2> = <p>2 + 粤, так что

&p&q = * .(3,164)

Таким образом, если в начальный момент времени волновой пакет для гармонического осциллятора обладал минимальной неопределенностью, то и для всех других моментов времени произведение неопределенностей Лр Ад останется неизменным и равным минимальному значению — Й/2, т. е. в этом случае волновой пакет не расплывается в отличие от волнового пакета для свободной частицы, который был рассмотрен в гл. I.

Как видно из выражения (3.163), центр волнового пакета совершает простые гармонические колебания точно так же, как классический осциллятор. Квадраты модулей волновых функций в координатном и импульсном представлениях 一 I %’ |屮(Z)> I2 и I〈p'| 屮(/)> I2 一 являются гауссовскими распределениями вероятностей с центрами в〈力 и〈р〉соответственно, в чем читатель может убедиться самостоятельно. Среднеквадратичные отклонения, соответствующие этим двум распределениям, связаны соотношением (3.164).

3・ СПИНОВЫЕ ОПЕРАТОРЫ ПАУЛИ

Алгебраические свойства спиновых операторовпри s = 1/2

В разделе 2.6 мы ввели спиновые операторы Паули. Эти операторы подчиняются совершенно иной алгебре, чем бозе-операторы, и в данном разделе мы выясним некоторые их свойства. Хотя на самом деле спин равен s =方ь/2, но мы и в дальнейшем ради удобства будем называть ь спиновым оператором.

Теорема 11. Если п — положительное целое число, то

(%o_)n = o+J.(3.165)

Доказателъство. Мы можем легко доказать эту теорему с помощью соотношений (2.80j) и (2.81):

0+0一 +0.0+ = 1,0：==0与=0.(3.166)

Таким образом, получаем

(o+L) 2 =。十。—％。一 = % (1 _ о+(т_) о一 = %о一 и теорему легко доказать методом математической индукции.

Теорема 12. Если / (а+(т_) — любая функция от (т+(т_, которую можно разложить в степенной ряд по (0十0)то тогда

/ (%。一)= / (0) + [/ ⑴一/(0)1。+%.(3.167)

Доказательство. Для доказательства мы разложим функцию / в степенной ряд и используем соотношение (3.165). Тогда получим

/ S+G-) = 2 /п (^+^_)п = /о + 2 /пб+5_ =

п=оп=1

ОО

= /(о)+ [2/п-/(о)]。+。一 = /(о)+ 炉⑴ 一 /(о)1 n=0

Проиллюстрируем эту теорему следующим примером:

/ (б+б_)=产。-=1 + (еС - 1)б+б_,(3.168)

где В — параметр.

Теорема 13. Если 己一параметр, то

е^а^е-^12 = 6+^,(3.169а)

е^а_е~^ = 0_е-5.. (3.169b)

Мы докажем эту теорему двумя способами и укажем идею еще одного доказательства.

Доказательство 1. Для этого доказательства мы используем равенство (3.168). С помощью соотношения (2.92) получаем

jo— = ™- (1 + 邑)・(3.170)

Подставляя это выражение в формулу (3.168), мы видим, что

е「落/2 =等 еС/2 (1 + &) + 4-西 2 (1 - &)• (3.171)

В то же время из соотношений (2.86) и (2.85b) видно, что

=—斗=—о«+・(3.172)

Если мы умножим выражение (3.171) одновременно слева и справа на % и примем во внимание (3.172), то найдем, что

J葭刊4 =济出+,(3.173а)

e-^z% = е-^(3.173b)

Если мы умножим обе части равенства (3.173b) на ехр 占 и воспользуемся равенством (3.173а), то получим

а+^а^ =阳2 j = е^^а+.(3.174)

Наконец, если мы умножим обе части последнего выражения слева на ехр (^crz/2), то получим (3.169а). Аналогично доказывается формула (3.169Ь), которая по существу является эрмитово сопряженной формуле (3.169а).

Доказательство 2. Определим % (Е) следующим образом:

0+⑶=户丿》".(3.175)

Так как любая функция от。乞 коммутирует с az, то мы можем также определить оператор о?(占)с помощью соотношения

“(Е) = ^^<3^^ 三 “•(3.176)

Используя (2.80с), получаем отсюда, что

[Oz(S，о+(Е)] = 2о+(Е)・(3.177)

Если мы затем продифференцируем выражение (3.175) по параметру | и используем формулы (3.176) и (3.177), то получим

^^ =争耳阳一耳⑸¥=^.[Oz⑹,4 (引=a(§.

Так как % (0) = %, как это следует из формулы (3.175), то, интегрируя приведенное выше уравнение, получаем формулу (3.169а). Аналогично доказывается формула (3.169b).

Доказательство 3. Можно также доказать эту теорему, разлагая левые части равенств (3.169а) и (3.169b) с помощью соотношения (3.14) (теорема 3) и используя соотношения коммутации (2.80).

Теорема 14. Если Е л п — параметры, то тогда

^Z^x = (2<5+сг_-1)4-П (а+Ц-а.) _

=*，戸可+嘴哥L(典+修).(3.178)

Доказательство этой и следующей теорем предоставляем читателю в качестве упражнения.

Теорема 15. Если 三 並 刀一параметры, то

西++加一=血u玩+当整工00+ + 2) (3.179)

В обеих теоремах параметры 5 и Я являются с-числами.

Т е о р е м а 16. Если 仇 и а； соответственно г-я и /-я компоненты спинового оператора, то тогда

Sp (oRj) = 26订，(3.180а)

Sp (仇)=0.(3.180b)

Доказателъство. Из формулы (2.76) при i # / имеем OjOj = — СГуСГ|.

Вычислим следы левой и правой частей этого равенства:

Sp (CTiCTj) = —Sp (<TjS)= —Sp (o-jO-j) = 0 (£ # j).

Последнее равенство следует из (1.73). Если i = j. то из (2.77) получаем, что•

Sp (0乃 Sp ⑺=2.

Таким образом завершается доказательство (3.180а).

Для того чтобы доказать (3.180b), воспользуемся формулой (2.78). Тогда получим

Sp (仇“)=22 Sp (oQ = 0,

так как j и к различны.

ЗАДАЧИ

Показать, что если 4 и 石 ——некоммутирующие операторы, то имеет место соотношение

еАеве~А = ехр (еАВе~А).

Показать, что если А — ху + //(。① ^^) и g — вещественная переменная, которая коммутирует с ① и у, то справедливы следующие формулы:

е^АхеГ^А = % ch 匕十 i sh 己 論，

^Ау^л = у ch 己 + i sh 匕 ^ .

Показать, что если ^ и Т)— параметры, не зависящие от у, то справедлива следующая формула:

eхp 值(詣 一 “?)] = €好/2庐3/0必一切/2 = ^г^D^Цд^ .

# 3.4, Привести функцию от бозе-операторов вида

/ (a, a+)=尸a+2對+

к нормальной форме. Найти N {/ (а,互+)} и сравнить с нормальной формой /(п). Вычислить коммутатор [а, / (о, а+)].

Вычислить коммутаторы [о,川 и [а, /驴],если а н а+— бозе- операторы и

& =「а+а, 燈)=N {expgL — 1) а+а^

Заметим, что /х = %п). Показать, что [a, /J = [а, /^].

Доказать следующие соотношения коммутации для бозе- операторов:

[а+а, a+勺=пга'^т, [а+а, ат] = — тат->

где т — целое число.

/ 3.7. Показать, что если | 0> — состояние вакуума бозонов и х — параметр, то справедливо следующее равенство:

03/(a+)]0>=〃a++明 0〉，

при условии, что функцию / (а+) можно разложить в степенной ряд по бозе-операторам а+.

« 3.8. Показать, что для бозе-операторов имеет место равенство

产+а/ ®+) I 0〉= / (а+е力 0>.

Показать, что если х ——параметр и т ——целое число, то имеют место следующие соотношения:

ехаа^т = (а+ 十 х)т 产。=N {(а+ 十 х)т ехр (①江)}, еха+ат = (а-工严 е*#.

Доказать теоремы 14 и 15.

Показать дифференцированием, что выражение (3.118) является решением уравнения (3.104).

С помощью техники нормального упорядочения решить уравнение Шредингера для двух связанных осцилляторов с гамильтонианом (3.125). Представить унитарный оператор U (才,0) в нормальной форме.

Показать, что оператор U (i,力°) в формуле (3.119) унитарен для всех моментов времени.

3*14. Показать, что функция А (0 из формулы (3.117) удовлетворяет следующему соотношению:

(*)+ / (%) = - I J g (*)成[.

Найти нормальную форму оператора

если ^ и т] — параметры и величины (а, а+) и (b, b+)— две независимые пары бозе-операторов.

Показать, что если подействовать оператором / из задачи 3.15 на состояние вакуума ] 0>а | 0〉匕三]0, 0>, где а | 0, 0> = =b I 0, 0> = 0, то получим

Н О' 0〉=不F ехр (匸丽丿 I 0, 0>.

Глава IV

КВАНТОВАНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ

Введение

В опытах по интерференции и дифракции световых лучей проявляются волновые свойства света, в то время как при поглощении и испускании атомами свет проявляет корпускулярные свойства. Теория излучения может считаться удовлетворительной лишь в том случае, если она единым образом объясняет оба этих противоречивых свойства света. Впервые такую теорию создал Дирак.

В настоящей книге мы не будем углубляться в фундаментальные понятия квантовой теории поля или квантовой электродинамики. Мы интересуемся скорее применением теории квантованного электромагнитного поля к задачам квантовой электроники. Тем не менее читателю необходимо иметь некоторые фундаментальные сведения для того, чтобы понимать, как квантование поля приводит к объединению волновых и корпускулярных свойств излучения. Изложению этих вопросов и будут посвящены настоящая и следующая главы этой книги.

Для наших целей достаточна нековариантная (нерелятивистская) формулировка дираковской теории излучения, изложенная в соответствии с идеями классической работы Ферми [24] и книги Гайтлера [25]. Мы не будем квантовать заряды и токи, являющиеся источниками излучения. Это нужно только в том случае, когда необходимо принимать во внимание реакцию излучения на источник. Квантование зарядов и токов приводит к квантовой электродинамике и вторичному квантованию. В квантовой электронике при ее различных приложениях оказывается возможным пренебречь реакцией излучения и рассматривать заряды и токи классически. Однако в следующей главе мы все же изложим теорию естественной ширины

линии атома и рассмотрим реакцию поля на излучающий атом.

Так как нас интересует феноменологическое использование теории квантованного излучения, то мы начнем с изучения классического LC-контура, возбуждаемого генератором и не обладающего потерями. По аналогии с гармоническим осциллятором мы покажем, как такой контур можно рассматривать квантовомеханически. Потом мы покажем, как нужно квантовать классическую линию связи, не имеющую потерь. После этих вводных примеров мы начнем более общее систематическое изучение задачи о квантовании электромагнитного поля в полости. В разделе 4.4 мы покажем, что классическое поле излучения в вакууме эквивалентно бесконечному набору несвязанных гармонических осцилляторов. Это означает, что квантование поля излучения может быть выполнено аналогично квантованию гармонического осциллятора. Само квантование будет проведено в разделе 4.5. Плотность типов колебаний в полости определена в разделе 4.6.

В разделе 4.7 приведены коммутационные соотношения для нолей в вакууме, тесно связанные с теорией измерения и принципом неопределенности. В разделе 4.8 обсуждаются нулевые колебания поля, являющиеся причиной естественного уширения спектральных линий атомов, лэм- бовского сдвига и квантовых шумов.

В последних двух разделах будет дано упрощенное рассмотрение взаимодействия поля излучения с зарядами и токами. Это дает читателю возможность донять, как следует рассматривать эмпирические модели квантовой электроники с точки зрения квантовой механики. Весьма общее и строгое изложение феноменологической квантовой электродинамики дано Я ухом и Ватсоном [26].

В работах [10], [27] дается более строгое рассмотрение некоторых вопросов, затрагиваемых в настоящей главе.

Квантование ЕО-контура, возбуждаемогогенератором

С классической точки зрения между колебаниями в LC- контуре, возбуждаемыми внешним генератором, и колебаниями гармонического осциллятора, возбуждаемыми внешним источником, существует большая аналогия. Мы ис-

пользуем эту аналогию для того, чтобы обрисовать метод квантования поля излучения в многомодовой полости без потерь, который будет изложен в разделе 4.4. Генератор квантовать мы не будем, так как и в классической, ив квантовой теориях пренебрегается реакцией контура на генератор.

Классическое «уравнение движения» LC-контура в отсутствие потерь с последовательно включенным генератором напряжения е ⑴ имеет вид

祭"+ 喻=}е«),(44)

где q — заряд и со： = (ZC)-1 — резонансная частота контура. Ток р (办 в контуре равен

專= ”).(4.2а)

Используя это соотношение, уравнение (4.1) можно напи

сать в виде

警=—со初 十 Л- е^,(4.2b)

Уравнение (4.1) и пара уравнений (4.2а) и (4.2b) являются эквивалентными способами записи законов Кирхгофа для ЕС-контура с генератором. Если считать, что заряд q (力 соответствует координате, а ток р ⑴一импульсу, то уравнения (4.1) и (4.2) одинаково описывают гармонический осциллятор, возбуждаемый внешним источником. Мы используем эту аналогию и будем считать, что уравнения (4.2) представляют собой уравнения движения LC-контура в форме Гамильтона. Если предположить, что г амил ь- тониаи имеет вид

H(t) = ±^ + ^-^-e(t)q,(4.3)

и использовать классические уравнения движения (1.229), то получим уравнения

dq дН可 =万

(4.4) dpдН2 I 1

77= __3国十三0(*)，

которые совпадают с уравнениями (4.2). Совпадение уравнений (4.4) и (4.2) оправдывает выбор гамильтониана в виде (4.3). Заметим, что гамильтониан и энергия не всегда одно и то же.

Для квантования колебаний в контуре мы и дальше будем придерживаться аналогии его с осциллятором. Заряду и току мы сопоставим некоторые э]»митовы операторы и потребуем, чтобы они удовлетворяли коммутационному соотношению

.Е 卩]访.(4.5а)

Тем самым колебания в контуре можно считать прокванто- ванными.

Можно ввести также неэрмитовы операторы а и а+, которые с помощью соотношения (2.20) выражаются через токи и заряды. Для них коммутационное соотношение имеет вид

[а, а+] = 1.(4.5Ь)

Легко видеть, что гамильтониан выражается через операторы а и а十 следующим образом:

Н (£)二-方а% ( а'а + -^-)у~^Ц^—(。十 + а). (4.6)

Если положить

/(')=—厂爲' (47)

то выражение (4.6) совпадет с гамильтонианом гармонического осциллятора, возбуждаемого внешней силой (3.107). Так как уравнение Шредингера для этого случая уже решалось раньше (см. гл. III, (3.119)), то мы этим решением можем воспользоваться. Хотя формализм одинаковый, физический смысл операторов различен. Оператор числа квантов а'。в осцилляторе становится оператором числа фотонов в 厶С-контуре, а операторы а и а+ — операторами уничтожения и рождения фотонов соответственно. Точно так же величины р и g теперь не импульс и координата, а ток и заряд. Таким образом, согласно соотношениям (3.119) состояние контура в момент вре-

мени t и его состояние в момент Zo — 0 связаны соотношением

I 屮(9〉= </ 〃)£—加о (а+а) feC ⑴ a+gg U)。| 屮(0)).(4.8)

Согласно соотношениям (4.7), (3.112) и (3.117) функции Л (Z), В ⑺ и С (Z), выраженные через е (£), имеют вид

4传)=-jdус* ⑺ J 〃"c(sос

в^ = -сг а),(4.9)

C(f) = i (厶 /2^7)-! е (f) e+i^'df. О

Как следует из задачи 3.14, имеет место полезное соотношение

Л (方)+ A^(t)^-\C (Z) I2.(4.10)

Рассмотрим специальный случай, когда исходным состоянием контура является так называемое состояние вакуума I 屮(0)〉= I 0〉，когда а |0> = 0.

Так как

^ <')^| 0> - |0>,(4.11)

то равенство (4.8) принимает вид

I 屮(f)> = 6厶 <.ne~i^ta+aeC (0 а+ | °〉.(4.12)

Это выражение можно несколько преобразовать. Так как имеет место равенство

〃а+а) I 0> = / (0) I 0>,

ТО

|0) =鼠3。д+"0),

и, следовательно, выражение (4.12) можно записать в виде

J 屮(£)〉— g4 (£)«-£з()£а+аеС (£) ct"^-^iw^a '( о. j Q \

Преобразовав это соотношение в соответствии с (3.3) (см. теорему 1 в гл. III), получим

I 屮 «)〉= еА ⑴ exp [е~^，а^аС(^) &+е必。価+勺 10>.

С помощью соотношения (3.47b), в котором положено х = — 必0厶 легко получить

I 屮(%)〉= еА ⑴ exp [С (£) е~^а^\ | 0>.(4.13)

В разделе 3.7 (соотношение (3.133)) мы показали, что состояние вида

I 屮〉=е-"/2ена+I 0〉(4.14)

соответствует волновому пакету с минимальной неопреде* ленностью. При этом мы предполагали, что х — действительная величина. Теперь мы покажем, что функция (4.13) также соответствует волновому пакету с минимальной неопределенностью в переменных q ——заряд и р ——ток.

Сначала покажем, что норма кет-вектора |屮(%)〉равна единице, т. е.〈屮⑴ | 屮(力〉=1. Для этого с помощью формул (4.10) и (4.13) для нормы |屮 «)〉получим следующее выражение:

〈屮(力)I 屮(*)〉= еТ с«)Iй (0 j е%2*а+ 10),(4.15)

где

= С (力)e-必向(4.16)

Используя соотношение (3.20) (см. теорему 4 в гл. III) и коммутационное соотношение [а, а4] = 1, мы можем преобразовать выражение (4.15) к виду

e⑴I屮⑴)=e-1 С⑴电I z |2〈0 I外%+产j 0>.

Если заметить теперь, что

eza|0〉= |0〉，<0|ег，а+ = <0|,(4.17)

и учесть формулу (4.16), то можно привести выражение (4.15) к единице.

В качестве упражнения для читателя предлагаем показать (см. соотношения (3.153)), что для состояния

I 巾(£)〉 вида (4ЛЗ) имеют место соотношения

〈。〉=3（川仪丨屮（力）〉=z*,〈。〉=3（川仪丨屮（力）〉=z*,<а+> = z,<а+> = z,〈a2〉= 2* *

〈。〉=3（川仪丨屮（力）〉=z*,

〈。〉=3（川仪丨屮（力）〉=z*,

<а+> = z,

<а+> = z,

〈"2〉= 22,

〈砌十〉=：1 + I z у, (4.18)

<Р><Р>e〉= /^(z+z)

<Р>

<Р>

(аp)2=嘤，。疗=费

Отсюда следует, что

(4.19)(4.19)А”р = 4",

(4.19)

(4.19)

и поэтому (4.13) представляет собой волновой пакет в переменных заряд —— ток с минимальной неопределенностью, причем соотношение (4.19) справедливо в любой момент времени. Таким образом, в противоположность классическому случаю в квантованном ЕС-контуре ток и заряд не могут быть точно измерены одновременно. Измерение q с точностью Ад дает в р неопределенность Ар —方/2Ад.

Легко видеть, как может возникнуть подобного рода состояние с минимальной неопределенностью. Это происходит в том случае, когда напряжение генератора возбуждает контур, находящийся в вакуумном состоянии. При этом состояние с минимальной неопределенностью возникает независимо от формы внешнего сигнала е (力).

Состояние с минимальной неопределенностью можно рассматривать также и другим способом. В соответствии с общей теорией, развитой в первой главе, вероятность того, что при измерении величины а+а в момент £ будут получены т фотонов, если точно известно, что в момент 方 = 0 фотонов не было, равна просто

Л», о (£) = ] 51 屮 G)〉F = еТ z F] 6] ez*a+ ]0>|2, (4.20)

где величины | 屮(/)> и 2* определяются формулами (4.13) и (4.16). Если экспоненциальный оператор разложить в ряд, то, используя соотношения (2.40) и (2.41), можно получить

(т I с二*" I 0> 工

,У 2!V

Если мы подставим (4.21) в формулу (4.20) и снова используем соотпошение (4.16), то получим

Pm, 0«) = еТ с «)I2 UC 胃吁".(4.22)

Эта функция распределения вероятности называется пуассоновским распределением фотонов по энергетическим собственным состояниям. Сумма вероятностей по всем состояниям все время остается равной единице:

$ ZV。⑴=ет с ⑴ F 2 卫岑"=1.〈4.23а)

Пуассоновское распределение возникает под влиянием напряжения генератора.

Среднее число фотонов в контуре в момент t равно

^У= 2 тРт, о (0 = I С «) I2.(4.23Ь)

т=о

Сравнивая эту формулу с соответствующей формулой (4.18), видим, что т (力)=〈。十&〉= | С (^) |2. Таким образом, для среднего числа фотонов мы получили один и тот же результат двумя различными способами. Средний квадрат числа фотонов равен

ОО'

б2(七) = 2 加2Pm, 0(力)=加⑴ 1加(/) + lb (4.23с) m=0

Последняя формула характерна для пуассоновского распределения. Дисперсия для волнового пакета в состоянии с минимальной неопределенностью равна

(А/п)2 = т2 «)— [т (^)]2 = т (Z).(4.23d)

В дальнейшем состояние | 屮(£)〉мы будем называть состоянием с минимальной неопределенностью или пуассоновским состоянием. Как мы только что видели, оно получается при возбуждении генератором контура, находящегося первоначально в состоянии вакуума. Еще раз уместно напомнить, что волновой пакет в переменных заряд —— ток не то же самое, что в переменных координата — импульс.

Мы подробно обсудили состояние контура и момент Л Теперь нужно более подробно исследовать свойства предполагаемого исходного состояния вакуума. Мы обсудим нулевую энергию и нулевые флуктуации заряда и тока в момент / = 0. До включения генератора гамильтониан системы имел вид

反=扌(卢 + 圖2) = Йю0 (а+а + -^ .(4.24)

Если задано состояние | 屮(0)> вида | 屮(0)〉彳 | 0), то из формул (4.18) легко получить средние значения заряда, тока и энергии в момент 方=0 (z (0) = 0 = С (0)):

<7> = <0 I 7 I 0> = 0,<Р> = <0 I р I 0> = 0,

"2〉=嘉，〈犷〉=等，<a+a) = 0, (4.25)

(反〉=萼，(Ag)2 Н备， (A02

Как мы видим, в состоянии вакуума средние значения заряда и тока равны нулю, в то время как их средние квадраты не равны нулю. Таким образом, заряд испытывает нулевые флуктуации, определяемые^ равенством (Ад)? =^/2соо. Ток также испытывает нулевые флуктуации, определяемые равенством (Др)2 = Й(оо/2. Энергия этих флуктуаций равна 勿з"?. Если бы величины <^2> и 〈卩2〉для невозбужденного контура равнялись нулю, как это имеет место в классическом случае, то принцип неопределенности был бы нарушен. Как известно, соотношение Ад Ар Л/2 есть прямое следствие коммутационного соотношения [</, pl —方/2* Поэтому нулевые флуктуации величин q л р возникают как следствие квантования кон- тура.

Теперь рассмотрим энергию нулевых колебаний йсо0/2. Она также возникает вследствие некоммутативности операторов дир. Однако так как энергия не абсолютна, то ее можно отсчитывать как раз от уровня нулевых колебаний. Это значит, что гамильтониан (4.24) можно переопределить следующим образом:

N = -^-(р2 +(о 節 2)——^!=疡ga+a.(4.26)

Тогда для состояния | 0> мы по-прежнему имеем

<р> =〈о I р I о〉= о, 〈а〉=〈о I а I о〉= о,

(4.27)

а средняя энергия равна 方со。〈а十а〉= 0. Энергия нулевых колебаний исчезла в результате переопре* деления гамильтониана, а нулевые флуктуации заряда 〈д2〉и тока (р2) остались. Они присутствуют всегда, указывая на то, что принцип неопределенности не нарушен. Так как энергия нулевых флуктуаций может быть удалена таким тривиальным образом, то мы в дальнейшем будем ею пренебрегать.

Квантование линии связи, не имеющей потерь

Другим простым примером контура, легко поддающегося квантовомеханическому рассмотрению, является линия связи в отсутствие потерь. Ее классические «уравнения движения» имеют вид

dv 歹 а/ а/ с а?dv 歹 а/ а/ с а?(4.28)(4.28)

dv 歹 а/ а/ с а?

dv 歹 а/ а/ с а?

(4.28)

(4.28)

где V (z, %) — напряжение, I (z, %) — ток, a Z и C — индуктивность и емкость на единицу длины. Эти уравнения тривиальным образом сводятся к одному. Напряжение V и ток I удовлетворяют волновым уравнениям

5з3 — са » ' &2 — с2 dt2

где с — скорость распространения волн, определяемая

соотношением

с2 = "^^.(4,30)

Хорошо известно, что волновые уравнения (4.29) имеют решениями волны, распространяющиеся как в прямом, так и в обратном направлении. В зависимости от граничных условий получаются стоячие или бегущие волны. Так как в следующем разделе волновое уравнение исследуется очень подробно, то здесь мы рассмотрим только одно решение уравнений (4.29) в виде плоских волн, распространяющихся в прямом направлении. Это решение мы запишем в виде

7(2, 9 = /缺(ае-，3,+з +a％沁1圖=/与 /伉场 '(4.31)

где zQ ——длина рассматриваемой линии, величина а и сопряженная ей величина а* ——произвольные постоянные. Множитель Уh^l2CzQ введен для нормировки. Постоянная распространения 力 для этих волн равна

厶=?=8]/成=岑(4.32)

(/W = Z。 ——характеристический импеданс линии,九 —— длина волны).

Частоту со будем считать заданной и длину z。положим равной целому числу длин волн:

Z0= %%=罕加，(4.33)

где т — фиксированное целое число. Тем самым мы ограничились одним типом колебаний, т. е. волной, бегущей в прямом направлении вдоль оси z.

С помощью соотношений (4.31) и (4.33) мы легко получим, что энергия, накопленная в линии такой длины, равна

Zo2km/к

"=3 \ [Ф(Z,力)+ LP (z,川威=\ СК2 (z, t) dz. (4.34)

ОО

Подставляя теперь (4.31) в формулу (4.34), получим

Н 力 соа*〃.(4.35)

В этом классическом результате множитель「9 получился из-за шгециальной нормировки величин V и I. Это значит, что мы энергию просто выразили в единицах 方®.

Определим теперь значение тюстоянимх а и а*. Определив их, мы с помощью (4.31) полностью определим тип колебаний. В силу этого величины а и а* можно считать паралгетрами, описывающими состояние ( истемы. Их можно выразить через две новые действител ьиые величины q и р с помощью обычных соотношений:

так что энергия, запасенная в линии, согласно (4.35) и (4.36) имеет вид

h =手(加+稣力(4.37)

Таким образом, мы показали, что в классическом случае одиомодовая линия связи длиной, равной т длинам волн, полностью эквивалентна гармоническому осциллятору. Тип колебаний определяется заданными выше параметрами а и а* (или g и р)・ Они указывают на состояние возбуждения данного типа колебаний.

Теперь легко видеть, как проквантовать линию связи. Будем считать величины р и g эрмитовыми операторами, связанными с неэрмитовыми операторами а и а+ соотношениями (4.36). В соответствии с этим напряжение н ток становятся операторами. Наложим квантовые условия

【q, р] = X方，[а, а+] = 1.(4.38)

Тогда все остальное становится очевидным. В гейзенберговской картине операторы а (%) и а+ (%) имеют вид

а (力)=giw；a+a ае-Ша^-а = a

(4.39)

0十(/) — gfsfa+a a+^-iw^a+a __ 口必泣, а гамильтониан (без энергии нулевых флуктуаций) равен

Я = lisa+a。(4.40)

Операторы напряжения и тока в гейзенберговскоИ картине с помощью соотношений (4.31) и (4.39) могут быть представлены в виде

Vh (z") = 联二[〃《)戸2 十 а+«)е-м ] = J，^~/h(z,胃). (4.41)

Очевидно, что напряжение и ток, соответствующие одной iT той же моде, коммутируют между собой.

Выведем гейзенберговские операторные ураглюпия ;(тт；!<ения для Ун (z, Z)и，н (z,力 Они имеют вид

=【『н,Ен],%%-5rНт 曰н],(4.42)

где гамильтониан, согласно гейзенберговской картине, имеет вид

(4.4.3)(4.44)it (4.43),(4.45а)(4.45Ь)(4.4.3)(4.44)it (4.43),(4.45а)(4.45Ь)Н\л 力⑴呻а” ~ h^a~^a.

(4.4.3)

(4.44)

it (4.43)

,(4.45а)

(4.45Ь)

(4.4.3)

(4.44)

it (4.43)

,(4.45а)

(4.45Ь)

Так как имеют шгто соотношения коммут;“[ии

[а, а+〃] = а, ]。+,(/ + а]二二 一 а,

то уравнения (4.42) с помощью соотпошешш (4.41) ПРИВОДЯТСЯ К 1Я1МУ

切竽h力d V ^a⑴询z一"+ G) e』?]=一^"

^H访

TUT'

Эти уравнения совпадают с классическими уравнениями (4.28). Таким об])'：юм, мы вновь показали формальную эквивалентность между классическими уравнениями движения и гейзенберговскими операторными уравнениями движения.

Состояние сисчч'мы (одномодовой линии связи) в лп!мент / определяется соотношением

I 屮(/)> = е-ш^+« |ф (0)>,(4.46)

где J屮(0)) — начальное состояние возбуждения, а а+а — оператор числа фотонов для числа фотонов на всей длине линии.

Так как эрмитовы операторы Гн и 7H Для данного типа колебаний коммутируют, то они могут быть измерены одновременно. Однако легко показать, что VH (z, t) и ^"倣 не коммутируют.

Представление классического поля излучения в полости в виде бесконечного набора осцилляторов

В этом разделе мы кратко рассмотрим классическую теорию излучения в полости, не содержащей источников поля. Мы придадим теории каноническую форму и покажем, что поле в полости эквивалентно бесконечному набору гармонических осцилляторов. В следующем разделе мы проведем квантование этого поля, квантуя эти осцилляторы так, как это делалось в предыдущих двух разделах.

Мы будем везде использовать систему единиц МКС. Мы не будем дополнительно определять некоторые символы, которые стали традиционными, считая их и без того известными читателю.

Уравнения Максвелла. Если источники отсутствуют, то электромагнитное поле подчиняется уравнениям Максвелла вида

div _В = 0,

(4.47)

rot—亓，

(4.48)

div -D — 0,

(4.49)

(4.50)

где

b —阿h，D = %石

(4.51)

и Мо£()= с~2, а величины 卩。и 80 характеризуют свободное пространство.

Уравнению (4.47) можно удовлетворить тождественно, если положить

(4.52)(4.52)В = rot 4.

(4.52)

(4.52)

Точно так же, если

В =-芻一grad匕(4.53)

где 4 и У ——векторный и скалярный потенциалы, то уравнение (4.48) превращается в тождество.

Так как уравнения Максвелла градиентно инвариант- ны, то легко показать, что в отсутствие источников можно использовать кулоновскую калибровку потенциалов, которая имеет вид

div 4 = 0, V - 0.(4.54)

Тогда величины В ^ Е определяются только векторным потенциалом 4. В этом случае выражения для полей имеют вид

В = rot 4 —卩div 4 = 0,

(4.55)

Подставляя эти соотношения в уравнение (4.50) и используя (4.51), получим уравнение

屮厶三A4 = g窮••(4.56)

Иными словами, векторный потенциал А (г, /) удовлетворяет обычному волновому уравнению. Таким образом, при кулоновской калибровке поле в вакууме определяется волновым уравнением (4.56).

Энергия и импульс поля. Энергия электромагнитного поля, возбужденного в полости, равна

=\ R。陽У + 击（г。，4H 办，（457）

где dt — dx dy dz ——элемент объема полости, а интегрирование производится по всему ее объему. На основании теоремы Пойнтинга полю в полости можно приписать импульс

G = ~^[E H}dx = - е0 J[^-rot A] dr. (4.58)

В последнем выражении величины Е и 〃 были заменены с помощью формул (4.55).

Разложение векторного пот巳напала А (г, 土) по собственным колебания VI полости. Как уже говорилось, при кулоновской калибровке электрическое и магнитное поля в любой точке (х, у, z) в вакууме определяются значениями Ах,Ау,А2л этой точке в момент времени 厶 Если мы в качестве переменных, описывающих поле, возьмем величины А ж, А у, A z, то увидим, чти число таких переменных оказывается бесконечным. Поэтому мы изложим ниже способ, который позволит описывать поле с помощью бесконечного, ио счетного набора переменных.

Пусть поле заключено в полость с идеально проводящими стенками. Для простоты будем считать, что это есть куб с объемом т = Л3. Излагаемый метод не зависит от формы полости. Если нас будет интересовать поле в свободном пространстве, то после всех вычислений для куба мы можем положить т —> оо и перейти к результатам, справедливым для свободного пространства. При наличии граничных условий “лх ноля решение волнового уравнения представляет собой бесконечный дискретный набор собственных колебшта. Эти собственные колебания ортогональны и составляют полную систему в том емзеие, что произь(»л ьнос поле в полости может быть представлено суммой собственных колебаний с подходящими алшлиту- дами. /ишлитуны этих собственных колебаний мы и будем использовать как переменные, описывающие поле, вместо переменных Ах, Ау и Az. Поскольку собственные колебания дискретны и их счетное множество, то их амплитуды (новые переменные поля) также образуют счетное множество. Граничные условия порождают дискретный набор собственных колебаний, а это в свою очередь позволяет ввести для описания поля счетное число переменных.

С помощью известного способа разделения, переменных можно получить решение волнового уравнения (4.56) в виде

4(乙‘)=方NsG)?办(尸)， (459)

где множитель £ °' введен для нормировки.

Подставляя разложение (4.59) в волновое уравнение (4.56), получим для каждого индекса / следующие уравнения;

▽2?а(?・)+*”[(尸) = 0,(4.60)

箒+ з浊0,(4.61)

где ①; —— постоянные, позникаюгцие в люто де разделетгия перомр]；ных.

Б'ели потребовать, чтобы тангенциальная компонента электрического поля Е и нормальная компонента магнитной индукции 8 на стенках полости объема тис поверхностью S обращались в нуль, то получится решение в виде стоячих волн. Согласно (4.55) и (4.59) получаем, что на стенках полости

?‘〃 |tan = 0, I*ct 〃t I norm 。*(4.62)

Согласно (4.54)

div U] (r) = 0(4.63)

везде внутри полости.

Решение уравнения (4.60), удовлетворяющее граничным условиям (4.62), представляет собой дискретную систему собственных колебаний. Они ортогональны и нормированы на единицу, т. е. имеет место соотноитепие

，(?“(尸)(产))dt — “m.(4.64)

Для того чтобы векторный потешщал А был вещественным, необходимо, что5ы функции 的(г) и 内(z) также были вещественными.

Для полости кубической формы функции Ui (г) имеют вид sin ^i.r) или cos (左匕 г). При другой геометрии полости функции и^т) будут представлены другой системой функций. Таким образом, граничные условия и форма полости определяют типы колебаний, различающиеся индексом 2. Обычно колебания описывают с помощью трех

или четырех различных индексов. В данном случае индекс 厶 как будет видно дальше, является сокращенным обозначением полного набора этих индексов,

Условие нормировки (4.64) ограничивает свободу при получении выражений для амплитуд 〃入 В дальнейшем функции щ (г) будут считаться полностью известными.

Для описания любой конкретной конфигурации поля необходимо знать амплитуды q( (t) всех собственных колебаний. Если величины g (t) заданы, то полностью определено и поле в полости, ибо в этом случае при известных qi (力 определены компоненты Лж, Ау и Az в любой точке пространства и в момент времени 厶 Поэтому мы будем считать переменные % новыми переменными, описывающими поле.

Амплитуды 7Z (/) удовлетворяют уравнению (4.61) — уравнению гармонического осциллятора. Поэтому с каждым собственным колебанием полости можно связать электромагнитный осциллятор частоты ①广 Мы покажем ниже, что полная энергия поля в точности равна энергии бесконечного набора несвязанных электромагнитных осцилляторов.

Подставляя разложение (4.59) в формулу (4.57) для энергии электромагнитного поля в полости, мы получим для нее следующее выражение:

Я = -|-2 力放 、 ("，(尸)Mm 6) dT +

+ ?2 qiqm，(rot щ rob um) dr. (4.65)

Первую двойную сумму в выражении (4.65) можно привести с помощью условий (4.64) к одинарной сумме вида 1/2 2 ,?• Второй интеграл в (4.65) с помощью векторного

тождества

(rot тrot t(m)=^(umrot rot 〃i) + div [umrot иг] (4.66)

и теоремы Гаусса приводится к виду

J (wm rot rot и^ dr + J (t^m rot ui] dS), (4.67)

где dS ——элемент площади стенки полости. В силу граничных условий (4.62) поверхностный интеграл обращается

в нуль. Первый интеграл в (4.67) с помощью соотношений (4.60) и (4.64) и хорошо известного тождества векторного анализа преобразуется к виду

grad div ?〃) — V2 g｝击=善 \ (?旬 Um)袤=^ Mm・

e(4.68)

Подставляя формулу (4.68) в выра-кение (4.65), мы получим следующее выражение для гамильтопиана поля:

"丁^』(疗十若而三£&.(4.69)

Так как величина Hi является энергией гармонического осциллятора с частотой со；, то, следовательно, электромагнитное поле в полости эквивалентно бесконечному набору Tie связанных между собой электромагнитных осцилляторов.

Гамильтоновы уравнения движения для Z-fo осциллятора имеют вид

ЭЯ, ・2 吗.

丽= 班=9(470)

Таким образом, величины pz и 勿 представляют собой канонически сопряженные переменные.

Теперь мы можем, как и раньше, для каждого собственного колебания ввести две комплексно сопряженные переменные 。七 и at по известным формулам:

Эти переменные подчиняются уравнениям

daj (i).,d# (£)

= 一 心网(%——— — iw^a^ (右)，(4.72)

которые имеют следующие решения:

а,(力)=ad's’'， at (Е) = aJJ，“(4.73)

В переменных。纟 и。十 гамильтониан (4.69) выглядит следующим образом:

Я > ХЗ ®，("л词)(4.74)

В этом чисто классппеском рассмот|)('Ш1П переменные а( и а/, конечно, коммутируют между собой.

Таким способом мы подготовили классическую систему к квантовомеханическому рассмотрению, которое проведено в следующем разделе. В конечном итоге оказалось, что электромагнитное поле Рнутри полости можно представить в виде системы стоячих волн. При этом величины A, JE и Н принимают вид

— —Д=-Vp； (^) Hi (г),(4.75)

н = 口0-у募 2 伙(0 rul e〃 6・

Разложение поля по плоским волнам. Электромагнитное поле иногда удобнее выразить через бегущие, а не через стоячие волны.

Для этого мы представим векторный потенциал в виде суперпозиции плоских волн:

4 (尸/) = 2 £ J1^ з。{Se exp 口的，•-硒]+

+ 砧 exp [― i 佈〃 •一 co*)]}. (4.76)

Векторы е% и числа 矶 и а^ — константы. Вектор kt является постоянной распространения, причем если

绳=^，(477)

то каждый член ряда (4.76) удовлетворяет известному волновому уравнению.

Из условия кулоновской калибровки div 4 = 0 следует, что

(е^/% = 0.(4.78)

Это условие называется условием поперечности электромагнитных волн. Направление распространения плоской волны определяется £скто「ом А\. Так как электрическое поле Е —— дА/дц то в итсутстьпг источников из соотно- Д1ений (4.76) н (4.78) следует, что векторы Е и 4 перпендикулярны паправлепшо распространения. Это вспомогательное условие является следствием кулоновской калибровки электромагнитного поля.

Единичные векторы е/х и ei2 указывают на поляризацию плоской волны. Так как обе поляризации независимы, то полное поле (4.76) является суммой нолей с обеими поляризациями. Для удобства векторы еи и ei2 выберем перпендикулярными:

Gi*2)0・(4.79)

Вместо вектора 他 часто бывает удобно использовать единичный вектор того ;кб направления

» 需I •(4.80)

Тогда соотношения (4.78) и (4.79) могут быть записаны в виде

(€兀€修)=6。心％』= 1,2,(k(e；a) = 0.(4.81)

Часто бывает удобно вместо обычных граничных условий ввести так называемые периодические граничные условия. Если i, j и к — единичные векторы, параллельные ребрам куба, то радиус-вектор и волновой вектор имеют вид

炉=Ti + yj 4- zk,ki =厶以i + 任 j + 瓦k.

Периодические граничные условия требуют, чтобы имели место следующие равенства:

4 (г + Li, t) = А (г + Лj, t) =^ А (г 十 Лк, t)= А (г, t).

Эти равенства будут справедливы в том случае, если 似= ^(" + ^ + %к),(4.82)

где А，Z2 и ^з ——целые числа из интервала от — ос до + g.

Таким образом, периодические граничные условия приводят к дискретному набору значений постоянной распространения.

Каждой тройке целых чисел (厶，厶，2：J соответствуют две бегущие волны —— по одной для каждой поляризации. Последнее следует из соотношения (4.76). Если от тройки чисел (乙，/2, /3) перейти к тройке чисел (—/「一& 一%з) (для краткости будем писать / —» ——Z), то согласно формуле (4.82) получим, что

左_z =—他，(4.83)

а согласно соотношению (4.77)

со_/ 三①卜(4.84)

Таким образом, числа I и ——Z соответствуют двум бегущим волнам, распространяющимся в противоположных направлениях. И те и другие волны содержатся в выражении (4.76).

Сумму 2 следует, таким образом, понимать как сокращенное обозначение выражения вида

2三 £ £ Е •(4・85)

I%1=—ОО Zz=—8 Za=—ОО

Набор из четырех чисел (匕，%，％з，о) соответствует бегущей волне с данной поляризацией.

Легко показать, что векторный потенциал действителен.

Покажем теперь, что векторный потенциал А (г, ；) и влоктрическое поле 石工一dAldt могут быть выражены через канонически сопряженные переменные. С этой целью введем обозначения

&。⑴=%, a+ ⑴=血"，*(4.86)

и функции

^я(г)=^я(г)=е,。ехр (ik^)е,。ехр (ik^)' 丿17T' 丿17T(4.87)(4.87)

^я(г)=

^я(г)=

е,。ехр (ik^)

е,。ехр (ik^)

' 丿17T

' 丿17T

(4.87)

(4.87)

удовлетворяющие соотношению ортонормировки вида

(4.8S)(4.8S)〃% (у) ъц^ (г)) dx=^iVb^.

(4.8S)

(4.8S)

Вместо канонически сопряженных переменных 。⑺ и а^ можно ввести также действительные переменные р^ и ,匕。по формулам

4

(4.89)(4.89)< = yh^l(lla-ipi^< = yh^l(lla-ipi^a，。= j/~2 航7~ ®疚"+ 5h),

(4.89)

(4.89)

< = yh^l(lla-ipi^

< = yh^l(lla-ipi^

Используя тождество

rot [eg ехр (+ 泳"*)] = Н-: 〃©匕回]ехр (士 淞#)=

三 千 Х干 同。кн ехр (土 面戸)

и соотношения (4.76) и (4.86), мы можем получить для электрического и магнитного полей следующие выражения:

砌小一整=峪/爵

X {句0 (力)eхр0他戸)一吟⑴ exp (—访产)},(4.90a)

H訂』p/^[egkc] X

X a。(方)exp(z①尸)-靖 G) exp(一面,力，(4.90b)

где I 丸[I = ®i〔c и k, I 他 I =他.

Гамильтониан для ноля в полости имеет вид

〃 =J (%也2 + mH?) dt = 4" £ r^i (ai.^a + %g。)=

=T2(吒十%寃)•($9i)

厶a

Вывод этого соотношения дан в приложении А. Хотя в классической теории множители (Г и а коммутируют мс/кду собой, мы сохранили все же их порядок в формуле (4.91), для того, ^тобы эта формула была пригодна и в том случае, когда множители 〃' и а будут рассматриваться нами как некоммутирующие операторы.

Как и при исследовании стоячих волн (4.74), каждому собственному электромагнитному колебанию полости можно сопоставить осциллятор, для которого переменные 卩加 и gm являются канонически сопряженными. Полная энергия поля равна сумме энерги t отдельных собственны?; колебаний.

П силу фо])л1ул (4.91) канонические гамильтоновы уравнения движения для поля принимают вид

ан •ан *2/ /

= ^iq^^(4.32)

Как и следовало обкидать, они совпадают с уравнениями движения осциллятора.

Множитель 优/2®8f)T；)/ в соотн)шении (4.76) был выбран так, чтобы гамильтониан Н измерялся в единицах 力3t.

Ичпульс поля. Выражение для импульса поля

[Е H]dx(4.93)

выводится в прпло51；ении Б. Оно имеет следующий вид:

G = ；』】.％ (海唠十哂％).(4.94)

Единицы измерения снова подбираются так, чтобы импульс измерялся в единицах ,4 А^, хотя наш анализ все еще остается классическим.

Квантование электромагнитного поля в вак ууме

После всего изложенного выше становится очевидным способ квантования электромагнитного поля. Для этого классическим переменным 歹山 и g匕 сопоставляем эрмитовы операторы. Так как из экспериментов известно, что фотоны являются бозонами, то мы постулируем, что операторы qh и рь удовлетворяют бозонным к оммутациоиным соотношениям. Для веэрмитовых операторов 仪力 и 〃古 эти соотношения имеют вид

[а/а,а力]匚 ^1Г 8ааг>(4.95)

伍期 Wed =[砧,國 J = о.(4.96)

Таким образом, в силу независимости осцилляторов поля операторы 〃必 и а£，, соответствующие разным осцилляторам, коммутируют между собой, но операторы, соответствующие одному и тому же осциллятору, подчиняются соотношению (4.95).

Как уже указывалось ранее, уровень начала отсчета энергии поля может быть выбран так, чтобы в гамильтониане поля отсутствовала энергия нулевых колебаний. Тогда гамильтониан принимает вид

Я = 2方①仰加х・(4.97)

Импульс поля в этом случае согласно формулам (4.94) и (4.95) равен

G =』龙乃‘("吉0。+ 4") •

Однако так как &_» =—电 то сумма 2 %⑨=0, и тогда

I выражение для импульса принимает вид

G = 2 hkia^aia.(4.98)

Теперь нам следует использовать все выведенные ранее соотношения для бозонов. Некоторое обобщение заключается в т)м, что теперь имеется бесконечный набор неза-

висимых осцилляторов поля, в то время как раньше мы рассматривали один осциллятор. Операторы 仪匕 и at будем интерпретировать соответственно как операторы уничтожения и р)ждения фотона частоты со,, движущегося в направлении кг с поляризацией а. Оператор N《 — 砧口打 представляет собой оператор числа фотонов, соответствующих собственному колебанию типа (厶 о). Собственные значения Ng равны Az^a - 0, 1, 2, . . . Согласно соотношению (4.97) энергия фотона к состоянии (/, о) равпа 方叫，и при этом фотон согласно (4.98) имеет импульс 方儿.Таким образом, фотон оказывается подобным частице, движущейся со скоростью с.

Так как собственные колебания полости независимы, то полный вектор состояния может быть записан как произведение векторов состояния каждого собственного колебания, т. е. вектор состояния электромагнитного поля в полости может быть записан в виде

I 码〉I 孔2〉••丨孔Е〉= I 巧.，"2, •・•，k〉，(4.99)

где каждый индекс 1, 2, . . . заменяет собой четверку целых чисел (厶,厶，%，о)・

Вектор состояния системы невзаимодействующих бозонов должен быть симметричен относительно перестановки любых двух бозонов. Можно показать [10, 23], что, приписывая каждому состоянию определенное число бозонов, мы получим волновую функцию с правильной симметрией, так что соотношение (4.99) будет правильно описывать систему невзаимодействующих бозонов. Мы не будем рассматривать детали этого вопроса, хотя именно такого рода исследование и оправдывает введение операторов 〃切 и 〃石 как операторов уничтожения и рождения бозонов [23].

Действие операторов а^ и a力 на векторы состояния (4.99) описывается соотношениями

a古 j • • •» "lo,V电о + 1 I • • • ? ^Za + 1, ♦ • ♦〉，

a® I • • • 5 "zc, ♦…〉У勿о j • • ч "к

矶！ •…0 ・• •〉= 0,(4.100)

N,о I • ♦ ., "%a, . . •〉=次о j • • ■,"《О, • • •〉？

При выполнении соотношений (4.100) соответствующие векторы состояний оказываются нормированными на единицу.

Как и в случае одного осциллятора, все эти операторы рассматриваются пока в шредингеровском представлении. Однако легко можно перейти и к гейзенберговскому пред- ставлению или представлению взаимодействия для этих операторов. Так, например, гейзенберговские уравнения движения для а^ (力 имеют вид

汲竺客=3。«)，〃н1 = — i^iai. (J(4.101)

Уравнение Шредингера имеет вид

洗纟学也=%也«)〉.(4.102)

Если Hs для бесконечного шсла невзаимодействующих осцилляторов определяется соотношением (4.97), то

I 屮s (С> 二 ехр (— Z』а加初# I 屮(О)〉.(4.103)

Произвольное начальное состояние системы можно представить в виде

I 屮(°)〉=3。(旬，『б, •…几8,。)I "i, %，…，北8〉，(4.104)

ng 2,…，n8

где вместо пары индексов Z, о мы употребляем один индекс Z. Тогда соотношение (4.103) принимает вид

I 屮(*)〉= 2i (^1» "2’ • • о)х ^1, П^...^

X exр (一力不及g儿)儿2,…,九8〉■(4.105)

Для собственных кет-векторов выполняются также соотношения полноты и ортонормированности

^^ I "1，汽2，• • • J 也OQ〉〈旬，"2，， 。 ，，汽8 I / 9

篦d , 71%...,n8

,,,,(4.106)

〈72],几8 及工,孔2，。 . •，权оо)6，6，...

Рис. 5. Диаграмма нормальных колебаний в полостп. Каждая тройка целых чисел (А，厶，％з) соответствует колебанию определенной поляризации.Рис. 5. Диаграмма нормальных колебаний в полостп. Каждая тройка целых чисел (А，厶，％з) соответствует колебанию определенной поляризации.Спектральная плотность собственных колебаний

Рис. 5. Диаграмма нормальных колебаний в полостп. Каждая тройка целых чисел (А，厶，％з) соответствует колебанию определенной поляризации.

Рис. 5. Диаграмма нормальных колебаний в полостп. Каждая тройка целых чисел (А，厶，％з) соответствует колебанию определенной поляризации.

В дальнейшем нам будет необходимо знать число собственных колебал ий пол если объелюм т, приходящихся на заданный частотней интервал. Информация об этом содержится в формуле (4.82):

Отт

他=令(幻+ ^ + 2肃).(4.107)

Каждому набору цел ых чисел (/17 /2, /3) соответствуют две бегущие волны с дву?>1я различными поляризациями. Каждое собственное колебание с заданной поляризацией можно представить, как это покапано на рис. 5, точкой в трехмерном пространстве. В элементе объема этого пространства содержится dN собственных колебаний:

dN 二二 2%叽力з. (4.108)

Используя формулу (4.107), Л1Ы получим, что, с другой стороны,

dN - 2 ^-^-^ dkxdky dkz, 」(4.109)

Так как при оо (т. е. при переходе к свободному про

странству) вс/тчиьы /丿£, IjL и IJL становятся практически непрерывными переменными, то суммирование по дискретным значениям / (乙,/2, %) мокию заменить интегри- рованием:'

%2(匸T_^m0(%他.(4.Н0)

Переходя от прямоугольных координат (右丫, 〃©, /j) к сферическим, будем иметь

к = к {sin 0 cos ф； sin 6 sin ср; cos б},(4.111)

и, следовательно, элемент объема в ^-пространстве будет равен

dkxdkydkz — k2dk sin 0 dQ d^ 三 /dG dQ, (4.112)

где dQ — элемент телесного угла в направлении к.

Таким образом, формулу (4.109) можно переписать в виде

d%= ;依林源.(4.113)

Общее число собственных колебаний равно

N = \ dN — 2N = \ dN — 24兀k^dk〈dQ т ex .4兀k^dk〈dQ т ex .(4.114)(4.114)оо

N = \ dN — 2

N = \ dN — 2

4兀

k^dk〈dQ т ex .

4兀

k^dk〈dQ т ex .

(4.114)

(4.114)

о

о

В соотношении (4.113) dN равно числу собственных колебаний в объеме Л3, приходящихся на телесный угол dQ около вектора распространения /Ь, модуль которого находится в интервале от к до к -\- dk. Так как (о2 — с2к2, то можно найти ..число собственных колебаний, приходящихся на частотный интервал от со до ⑴ + d(o. Поскольку

犷林=今d(0,(4.115)

то

dN = 2 味 J co2 dco dQ = 2 件/v2 dv 眼，(4.［的

где ① = 2nv. Таким образом, число осцилляторов в единице объема, приходящихся на телесный угол &Q и на частотный интервал от ① до ① 十"со, равно

g^d^^-^d^,(4.117)

где функция g((o) называется спектральной плотностью собственных колебаний.

Коммутационные соотношения для полгив вакууме, относящиеся к одному моменту времени

В разделе 1.13 мы видели, что колитутационные соотношения для наблюдаемых величин тесно связаны с проблемой измерения этих величин. Для электромагнитного поля физически наблюдаемыми величинами являются Р = е^Е и 丑=圆江.В силу сопряженности операторов а志 и а« и согласно выражениям (4.90) векторы электромагнитного поля представляются эрмитовыми операторами. Воспользовавшись коммутационными соотношениями для операторов а” и а^, можно найти коммутационные соотношения для физически наблюдаемых величин Е и Н. Это позволит выяснить квантовомеханические ограничения на измерение этих величин, обусловленные принципом неопределенности. Подобные вопросы играют важную роль в квантовой электронике.

Согласно выражению (4.76) векторный потенциал также представляется эрмитовым оператором, хотя в классической теории он не является физически наблюдаемой величиной. Это обстоятельство оказывается очень полезным для теории, и поэтому данный раздел мы начнем с вывода коммутационных соотношений для векторов 刀 и 4.

Коммутационные соотношения для D и J., относящиеся к одному моченту времени. Если условиться, что оператор 仰。(%) соответствует оператору в гейзенберговском представлении, а оператор а” 三 а?。(0) соответствует оператору в шредингеровском представлении в момент 匕=0, то согласно соотношению (4.76) векторный потенциал в шредингеровском представлении будет иметь вид

4s ", °) = N / 2з,[т 电。Зо ехр (//) +

+ а古 еXр (-方①尸)]. (4.118а)

Хотя в шредингеровском представлении фиксированный момент времени 用 может быть произвольным, его без потери общности можно положить равным нулю.

Согласно соотношению (4.90а) оператор электрической индукции D=%E в шредингеровском представлении

имеет вид

刀s(，‘，0)=

=?/"^^%, [atooxp(ifcp-)— a^exp(—ifc；r)]. (4.118b)

Пусть 4 ⑺ есть i-я компонента вектора 厶(г, 0), а 少了 一 /-я компонента вектора Ds (г, 0). Поскольку как в гейзенберговском, так и в шредингеровском представлениях операторы а1а и 威 подчиняются коммутационным соотношениям (4.95) и (4.96), то для коммутатора операторов Ai (г) и Dj (“) мы получим

14m,。(沙工

=—2(e”)t (陶八exp (i%p) + exp (— ik;p)],(4.119)

где

p =竽—r\(4.120)

Теперь можно выполнить суммирование по поляризационному индексу а. Как мы знаем, векторы кг, ег1 и е；2 составляют тройку взаимно перпендикулярных единичных векторов. Величина (立工卜 есть 力-я компонента вектора ег1 в декартовой системе координат, т. е. просто направляющий косинус этого вектора, или косинус угла между вектором 句 1 и осью 勺. Аналогично этому, величины (ег2)； и (к) равны косинусам углов, которые эти векторы образуют с осью а” Как известно, направляющие косинусы связаны соотношением

(ezi)； (еи)/ + (e/2)i (e/2); + (k)(畐力=6订， или

3 ®及(eQj = % — (％)i (k0j 三 6” 一吗也.(4.121)

Подставляя это соотношение в коммутатор (4.119), получим коммутационное соотношение между полями в полости в оцин и тот же момент времени:

14 (尸),勿咆=一号菱画一(心(k)1产尸.(4.122)

В силу того, что к」= — k+i и сумма берется по всем целым положительным и отрицательным Z, ехр (―力4举)и ехр (+ 力他р) удалось объединить в одну экспоненту.

Таким образом, коммутационное соотношение между полями At (г) и Dj (г') в полости выглядит несколько необычно. Для того чтобы перейти к свободному пространству, необходимо объем полости устремить к бесконечности (Z? = tToo). При этом согласно условию (4.110) суммы в правой части выражения (4.122) следует заменить интегралами. В результате для свободного пространства получим

⑷⑺，口 (尸')]=一訪腸(r 一 м),(4.123)

где

+8

忌(Р)= Д^г ^)dk ехр Мр) (% — 1“к力(4.124)

и dk — dkxdkydkz —— элементарный объем в 在-пространстве. Введенная согласно равенству (4.124) функция 6专 называется поперечной 6-функцией и не является обычной дираковой 6-функцией, для которой имеет место соотношение

8(Р)== -^)з-^ dk ехр (гйр) = 6 (pj б (pw) д (рг). (4.125)

В приложении В будет выведено несколько полезных соотношений для поперечной 6-функции. В частности, там будет показано (см. (В .6)), что

2=1'2=1'(4.126)

2=1'

2=1'

где р = г ——rz и xD х2, х3 — компоненты г.

Беря дивергенцию от обеих частей равенства (4.123) с учетом соотношения (4.126), мы получим

[-V叫⑺

)2*(#)] = - x% N 0-

(4.127)

Так как 刀）（戸）用 0, то

Это соотношение соответствует условию кулоновской калибровки. Поэтому соотношение (4.123) справедливо только при такой калибровке электромагнитного поля.

Так как коммутационные соотношения одинаковы в гейзенберговском -и птредингеровском представлениях, то согласно (4.123) мы можем записать равенство

[留(“"),唠1 (У/)] = - ih^ (?• — М), (4.128)

где t — один и тот же момент времени для 4 f и

Следует еще раз подчеркнуть, что хотя коммутационные соотношения между At и Z)j необходимы в теории, величина Л ； не является физически наблюдаемой величиной ни в классической, ни в квантовой теории.

Покажем теперь, что

〔4",必/『(/,М = 0. (4.129)

Для этого используем шредингеровское представление оператора. Согласно выражению (4.118а) и коммутационным соотношениям (4.95) и (4.96) имеем

【4(?Л)]=

=戸父矗г (ei0)i (e；3)j [exp (Z俏р) — exp (- 〃勺p)|, где p = у —尸'.Для суммирования по индексу о используем соотношение (4.121). Тогда получим следующее коммутационное соотношение:

【4(尸)，4(")] = ^-^i(k0yl sin(fc/P). (4.130)

Так как ® 二-с | 他 | и 4」= —电 то функция з~% [fi.j ——(к%} (k/)J ——четная относительно замены (—Z) на Z, а функция sin (記*) — нечетная. Поэтому вся сумма в соотношении (4.130) обращается в нуль. Следовательно, соотношение (4.129) оказывается справедливым как в шре- дингеровском, так и в гейзенберговском представлениях.

Коммутационные соотношения для операторов D и В, относящиеся к одному моменту времени. Величины D и В (или Е и Н) являются физически наблюдаемыми величинами. Поэтому очень важно знать коммутационные соотношения между их значениями в один и тот же момент времени. Так же, как мы доказывали справедливость равенства (4.129), легко показать, что

[，(尸，NDjQJ 力]=0,(4.131а)

归》(宀加 BjQJ t)] = 0,(4.131b)

где компоненты 5力 в шредингеровском представлении определяются из соотношения

Bs(r, 0) = -iS]/"^4色。瓦]х

X [а^ехр (诚/) — а£ exp (—〃С"・)].(4.132)

Для доказательства условия (4.131b) необходимо доказать соотношение

2 1色/小[е/小=2 (ezo)i ©办 (4.133)

которое является следствием условия (4.121). Это легко показать, если предположить, что векторы eZ1, ©风 и к】 образуют правую тройку. Тогда

(©Еа, е,а) = 5дал? %。1, 2,

(峭 К)=0,(4.134)

[统1收2]=瓦.

Отсюда следует, что【е〃,欠 J = —е/2 и [32右 J = Wu и доказательство (4.133) очевидно.

Согласно общей теории раздела 1.13 соотношения (4.131) означают, что любые две компоненты вектора D (или Е) могут быть одновременно измерены без какой- либо взаимной интерференции. То же самое относится к любым двум компонентам вектора В (или Н).

коммута-коммута-В Приложении Г будут выведены следующие ционные соотношения:

коммута-

коммута-

屮《')，田(尸'，切=0, i == 1, 2, 3,(4.135)

[&（，，t）,修（，•'"）] =[&（，，t）,修（，•'"）] =一防'訂3（*+ 访方% 6 （p）.一防'訂3（*+ 访方% 6 （p）.(4.136a)(4.136a)(4.136b)(4.136b)

[&（，，t）,修（，•'"）] =

[&（，，t）,修（，•'"）] =

一防'訂3（*

+ 访方% 6 （p）.

一防'訂3（*

+ 访方% 6 （p）.

(4.136a)

(4.136a)

(4.136b)

(4.136b)

где соотношение (4.136а) справедливо, если индексы Z, j л к получены циклической перестановкой индексов 1, 2, 3; если индексы i, у, % образованы циклической перестановкой индексов 1, 3, 2, то справедливо соотношение (4.136b).

Из соотношения (4.135) следует, что параллельные компоненты векторов D и JB могут быть одновременно измерены, в то время как согласно соотношениям (4.136) взаимно перпендикулярные компоненты этих векторов не могут быть одновременно измерены.

Гейзенберговские уравнения движения для векторов D и В, Так как векторы D、В^ ЕпН являются операторами, то они удовлетворяют гейзенберговским уравнениям движения. Гамильтониан электромагнитного поля может быть записан в виде

н = 4-^4-Л2(г，^)+Т7В2(/＜，'г)?т，- &137)

Этот гамильтониан представляет собой в данном случае эрмитов оператор в гейзенберговском представлении. В Приложении Д будет показано, что

2% 小 =[刀н，Н] = i^rot Нн, (4.138а)

访 е：н,, — [Вн, 〃] = — № rot Ен・(4.138b)

Это и есть гейзенберговские уравнения движения для операторов D, -В, Н, Е в гейзенберговском представлении. Однако по форме эти уравнения идентичны классическим уравнениям движения Максвелла. Таким образом, мы построили самосогласованную квантовую теорию, которая

переходит в классическую при h 一令 0. Согласно соотноше^ ниям (4.136) при 方一> 0 операторы коммутируют между собой и ведут себя подобно классическим переменным.

Два других уравнения Максвелла также оказываются справедливыми. Действительно, так как (е/ок/) = 0, то из выражения (4.118b) следует, что div 刀 = 0; аналогично, так как ([е九к〃А^) = 0, то из выражения (4.132) следует, что div 8 к 0・

Нулевые флуктуации поля

В разделе 4.2 мы рассматривали нулевую энергию и нулевые флуктуации в LC-контуре. В настоящем разделе мы рассмотрим нулевые флуктуации электромагнитных полей в полости.

Согласно (4.118b) для /-й компоненты вектора электрической индукции Dj (г, t) в гейзенберговском представлении можно написать следующее выражение:

4 (尸")=о"仕")+ 必一)(г, 0，(4.139)

где

(e)=皆 ®我a历(i)产厂， /140)

t^^^r, i))+.'

Выражение для компоненты D^ содержит только операторы уничтожения 〃匕,а сопряженное ему выражение D]' содержит только операторы рождения а^・

Среднее значение компоненты D； определяется, как известно, выражением вида

〈力〉=(屮(0) 1々(宀 z)丨屮(0)),(4.141)

где I 屮(0)〉— состояние поля в момент t = 0.

Согласно выражению (4.104) произвольное состояние поля I 屮(0)> может быть разложено по полной системе собственных кет-векторов оператора энергии (или оператора числа фотонов). Для простоты будем считать, что поле в начальный момент 力=0 представляет собой чистое собственное состояние оператора энергии, в котором имеется 孔卜 квантов, соответствующих типу колебаний

(7б), т. е.

I 州(0)> 二 I 勺，п^ . . ., ?гь ..几8〉，(4.142)

где мы сократили набор индексов (夕)до Z, так что типы колебаний различаются индексами 1, 2, . . ., g. Используя соотношение (4.100) и соотношения ортонормированности (4.106), нетрудно показать, что среднее значение оператора 力j в состоянии (4.142) равно нулю:

〈力〉=0.(4.143)

Аналогично можно доказать, что в том же самом состоя- нии (4.142)

〈В〉= 0,(4.144)

Эти результаты соответствуют классическому утверждению о том, что для гармонических колебаний средние по времени значения величин D (г, t) и В (г, t) равны нулю.

Теперь мы вычислим ожидаемое значение величины О? в состоянии I 屮(0)). Согласно соотношению (4.139) имеем

D^ = 0尹2 +。尸2 + 加「)玄+)十 d^D^.(4.145)

После несложных алгебраических преобразований с использованием соотношений (4.100), (4.106), (4.95), (4.96) и (4.140) мы получим, что

": (，")〉=S考2(5肃(也。+ 4) •(4・伍6)

Так как, кроме того,

刀2=2必(4.147)

то

3

〈刀2〉= 4~》％%3с 隔 +4") S ©肃.(4.148)

l, C6=1

Величины (eg)/ являются направляющими косинусами вектора 用。в декартовой системе координат. Поэтому 2 (е儿疗=1. Отсюда среднее значение квадрата поля D2

равно

〈少〉=學尹例[nla + 4).(4.149)

Если ©о = 0 (вакуумное состояние), то

。"*等.(4.150)

Это состояние электромагнитного поля называется состоянием с нулевыми флуктуациями поля. Каждый тип колебаний поля в этом состоянии дает в выражение (4.150) вклад, равный h^i!2. Так как число типов колебаний поля в полости бесконечно, то энергия нулевых флуктуаций поля также бесконечна.

Эта бесконечность оказывается несущественной, ибо мы не указали способа, с помощью которого следует измерять поле в данном состоянии. По терминологии радиоинженеров полоса пропускания любого измерительного инструмента конечна, и поэтому он пе зафиксирует бесконечно больших пулевых флуктуаций поля. В частности, в качестве измерительного инструмента можно взять электрический заряд, взаимодействующий с полем. Этот заряд займет в пространстве некоторый объем АТЛ Для того чтобы поле оказало на заряд некоторое измеримое действие, потребуется время Ах. Отсюда следует, что физический смысл имеют средние по пространству и времени значения величин

4(А匕 М三爲"\dt \近蔚(%力 (4"51)

Отсюда среднее значение 方;в состоянии вакуума равно 〈0|万0%砌2|0〉=(4.452)

=寻丽 $ dxdx'dtdt' <0|П；(г, 0 £>;(^,Г)|0>.

ЛУЛ/

Согласно разложению (4.140) мы имеем 〈0|卩3") 2•⑴r)|0)=

=』^^(印肃 exp {i [fc( (r — M) — o)； (t — У)]}.(4.153)

Суммируя выражение (4.152) по /, чтобы получить пол-з

ное поле, и учитывая, что £ (е,。)； = 1, получим

<01S bЛ配&小 10> = 2 舟(硏 X

小*^，沿exp{W，—,(—)】}, (4,54) где p =竽一尸'• Выполняя интегрирование по dt и df и заменяя суммирование по I интегрированием по А; с помощью соотношения (4.110), получаем

〈0|g ГЖЖМ1210" Е靠⑪)吋 X

X，『左嘗:exp (ifcp)4sin2 (岑 At), (4.155) где(аг^ с \ k\ = ck. Пока Ain ДУ конечны, среднее значение квадрата поля в измеряемой области остается конечным. Только при АР -> 0 и А^-> 0 это среднее значение становится бесконечным. При измерении такое ограничение конечными объемами и конечными интервалами времени соответствует ограничению определенной частотной полосой пропускания измерительных инструментов.

Следует отметить, что нулевые флуктуации поля могут давать измеримый эффект, например, в квантовой механике. В частности, они ответственны за лэмбов- ское смещение 2Р% ——2s% уровней водородного атома, где нулевые флуктуации поля взаимодействуют с электроном. Образно говоря, они «индуцируют» спонтанное излучение электрона при переходе из состояния 2Ру2 в состояние 2Si/「 Кроме того, нулевые флуктуации вызывают спонтанное излучение в мазерах, параметрических усилителях, аттенюаторах ит. п. В свою очередь это спонтанное излучение и является источником квантовых шумов. Можно также сказать, что нулевые флуктуации ответственны и за естественную ширину линий излучения атомов. Ниже, после изучения взаимодействия электромагнитного поля с веществом, мы более подробно обсудим все эти вопросы.

Классическое поле излучения при наличииисточников

Рассмотрим теперь электромагнитное поле, взаимодей' ствующее с заданным распределением зарядов и токов. Это будет полевым обобщением квантовой теории ЛС-кон- тура с подключенным к нему генератором напряжения. В квантовой электронике интереснее рассматривать поля с помощью некоторых эмпирических моделей, чем рассматривать фундаментальные понятия поля. В этом и следующем разделах мы приведем один из способов рассмотрения задач квантования полей.

Уравнения Максвелла с источниками в системе единиц МКС имеют вид

div В = 0, (4.156) rotE = —嘗， (4.157) div D = р, (4.158)

TOtH =~^.J, (4.159)

где

В = МоН, Л = е0Е.(4.160)

Заряды и токи должны удовлетворять уравнению непрерывности

div/十号=О,div/十号=О,(4.161)(4.161)

div/十号=О,

div/十号=О,

(4.161)

(4.161)

где J и р — функции г и Л Уравнение непрерывности легко получить из уравнений Максвелла, если взять дивергенцию от обеих частей соотношения (4.159) и в полученное равенство подставить (4.158). Как и при отсутствии источников, уравнения (4.156) и (4.157) обращаются в тождества, если ввести векторный А и скалярный V потенциалы по формулам

В 工 rot А,(4.162а)

Е =—絹一grad V. (4.162b)

В силу градиентной инвариантности уравнений Максвелла мы примем кулоновскую калибровку потенциалов

поля:

div Л = 0.(4.163)

Эту калибровку мы использовали и для поля в отсутствие источников. Однако теперь, когда р и J не равны нулю, мы уже не можем считать, что скалярный потенциал V

Если соотношения (4.162а) и (4.162b) подставить в уравнение (4.159) и воспользоваться равенством (4.163), то мы получим вместо волнового уравнения (4.56) уравнение вида

~-阿/ +V 仔需)• (4164)

Если подставить (4.162b) в уравнение (4.158) и воспользоваться соотношениями (4.160) и (4.163), то для потенциала V получим уравнение Пуассона

严=-р/е0.(4.165)

Мы считаем р и J заданными функциями координат и времени. Тогда потенциал V определяется хорошо известным соотношением

-iSl^VT^- (4」66)

где &т‘ = d^dy'dz.

Из векторного анализа известно, что любой вектор 4 может быть разложен на две компоненты:

4 = /Т 十 /L.(4.167)

Мы назовем их соответственно поперечной и продольной компонентами, так что

div&T = 0, rot Al = 0.(4.168)

Поскольку div 4 = 0，то согласно выражениям (4.167) и (4,168) мы имеем, что

div 厶工=0.(4.169)

Если для произвольного вектора О одновременно div 0 = 0 и rot 0 = 0, то можно считать (7=0. Поэтому при

(4Л70)(4Л70)кулоновской калибровке

(4Л70)

(4Л70)

/L = О

и векторный потенциал А является чисто поперечным.

На такие же компоненты можно разложить плотность тока

J = /Т 十 JL

(4.171)

где

div/Т = 0,

(4.172a)

rot/L = 0.

(4.172b)

Тогда

из уравнения непрерывности (4.161)

следует, что

div产二一警，

(4.173)

т. е. производная dpldt вызывает только продольные токи.

Соотношение (4.172b) будет выполнено тождественно, если положить

jL=v“，(4.174)

где 屮一произвольная скалярная функция, ибо rot grad 屮 三 м 0. Подставляя (4.174) в (4.173), мы получим

炉州=一需.(4.175)

Это уравнение Пуассона, решение которого в каждый данный момент времени имеет вид

屮(4.176)

Согласно (4.175) и (4.167) мы имеем

户(4,77)

Если соотношения (4.167) и (4.171) подставить в (4.164)

и воспользоваться (4.177), то получим уравнение

ь堂一备禁=一"。尸， (4.178)

которому должен удовлетворять вектор Ат, если потенциал задан соотношением (4.166). Таким образом, при кулоновской калибровке потенциалов классические поля должны удовлетворять уравнениям (4.165) и}(4.178).

Квантование поля при наличии источников

Для того чтобы проквантовать поле, мы должны подобрать такой гамильтониан, который сводил^бы гейзенберговские уравнения движения для переменных поля, рассматриваемых как операторы, к уравнениям Максвелла. В общем случае гамильтониан не обязательно должен совпадать с оператором энергии. При исследовании эмпирических моделей для нахождения гамильтониана можно воспользоваться методом «проб и ошибок». При этом гамильтониан должен быть таким, чтобы для систем, имеющих классический аналог, гейзенберговские уравнения движения имели такой вид, как классические уравнения движения.

Так как потенциал V определяется заданным распределением зарядов (4.166), то его нельзя рассматривать как независимую переменную поля. Поэтому в квантовой теории V не является оператором поля. Операторами в квантовой теории будут векторный потенциал 4, а также векторы Н, D, Е.

Выберем гамильтониан в следующем виде:

一初，4册+鳥N Р，‘之中)(4/79)

Критерием справедливости этого гамильтониана будет правильность уравнений движения, выведенных из него. Дополнительным соображением в пользу такого вида гамильтониана может служить тот факт, что первый член этого гамильтониана представляет энергию поля в отсутствие токов и зарядов, второй член ——энергию взаимодействия поля с токами, а третий член —— энергию кулоновского взаимодействия зарядов между собой.

Опираясь на результаты, полученные для полей без источников (раздел 4.7), мы постулируем следующие коммутационные соотношения в шредингеровском

представлении:

(4.180)(4.180)[/(，)，，俨')1 = 一洗凉(?•一”)，

(4.180)

(4.180)

ММ?) 4(尸')】=[^(H> Di ^'>} = °>

где 6T ——поперечная 6-функция.

Мы должны теперь показать, что эти коммутационные соотношения вместе с гамильтонианом (4.179) приводят к правильным уравнениям движения.

Как известно, векторы D и JL связаны соотношением

£『刀=—* — grad V.£『刀=—* — grad V.(4.181)(4.181)

£『刀=—* — grad V.

£『刀=—* — grad V.

(4.181)

(4.181)

Так как потенциал V является в пашей картине с-чис- лом, то с-числом будет и функция grad V, а поэтому

[“•(，•)，，(尸')]=—%[46, 4 (О+叱；[=

=—配[А (г), 4，)] = — ш1(г- >').(4.182)

Так как grad V есть с-число, то коммутационные соотношения для поля без источников совпадают с коммутационными соотношениями для поля с источниками. Поэтому при наличии источников мы можем пользоваться выведенными ранее разложениями для операторов 4 и 4 в шредингеровском представлении для случая, когда источники поля отсутствовали. Таким образом, согласно (4.118а) мы имеем

4sm о)4sm о)洞S + ate~ikir].洞S + ate~ikir].(4.183)(4.183)

4sm о)

4sm о)

洞S + ate~ikir].

洞S + ate~ikir].

(4.183)

(4.183)

Производная /s (，0) равна —刀s (尸，O)/eo, т. e.

4 (г, 0) = — % N|//"乐^ ⑸。[〃必产尸 一 a力(4.184)

(см. (4.118b)). При наличии источников величина D определяется соотношением (4.181), а величина Jis ——по- прежнему соотношением (4.184).

Так как коммутационные соотношения одинаковы в гейзенберговском и шредингеровском представлениях, то легко вывести гейзенберговские уравнения движения для оператора 4 (尸,％). Для Ак (г,力 имеем

(4.185)(4.185)

(4.185)

(4.185)

В гамильтониане (4.179) все компоненты / коммутируют с кулоновским членом, так как р является с-числом. Аналогично, так как J также есть с-число, то все компоненты 4 коммутируют с членом, представляющим взаимодействие поля с током в гамильтониане (4.179). Так как компоненты А коммутируют с пространственными производными rot А, то они коммутируют с членом (rot 4产 в (4.179). Итак, они не коммутируют лишь с членом, пропорциональным (/i)2 в (4.179). В приложении Е будет по

казано, что

ihA^ =ihA^ =蒞孤.蒞孤.(4.186)(4.186)

ihA^ =

ihA^ =

蒞孤.

蒞孤.

(4.186)

(4.186)

Отсюда можно заключить, что продольная компонента /l = 0, а поперечная компонента 4T тождественно удовлетворяет соотношению (4.186). Такой вывод вполне соответствует классическому результату (4.170).

Остальные гейзенберговские уравнения движения можно написать в виде

说 6 (4.187)

Легко видеть, что Ак коммутируют со всеми членами гамильтониана (4.179), за исключением двух слагаемых, которые пропорциональны rot 4 и (J, 4). В качестве упражнения предлагаем показать, что

'，费[го""')Н'，费[го""')Н1Йс27М^ (г),1Йс27М^ (г),(4.188)(4.188)[& ⑺，\ (J (М), 4 (М)) *] = — ^ /：⑺.(4.189)[& ⑺，\ (J (М), 4 (М)) *] = — ^ /：⑺.(4.189)

'，费[го""')Н

'，费[го""')Н

1Йс27М^ (г),

1Йс27М^ (г),

(4.188)

(4.188)

[& ⑺，\ (J (М), 4 (М)) *] = — ^ /：⑺.(4.189)

[& ⑺，\ (J (М), 4 (М)) *] = — ^ /：⑺.(4.189)

Во всех этих соотношениях подразумевается, что все величины рассматриваются в один и тот же момент времени. Подставляя соотношения (4.188) и (4.189) в уравнение

(4,187), мы получим правильное уравнение для поля в виде (4.178). Тем самым доказана правильность выбора гамильтониана (4.179).

Если разложения полей (4.183) и (4.184) подставить в гамильтониан (4.179), то он примет следующий вид:

+ «Й \ ®。, J {r^lkirdT}. (4.190)

Первый член есть уже знакомая нам энергия поля, свободного от источников. Второй член дает энергию кулоновского взаимодействия. Последние два слагаемых дают энергию взаимодействия поля с током. Гамильтониан (4.190) зависит от времени через ри/, которые явно зависят от времени. Операторы же &%◎区 口吉 в шредингеровском представлении от времени не зависят.

ЗАДАЧИ

Покажите, что при кулоновской калибровке и в отсутствие источников поля определяются исключительно векторным потенциалом.

Используя (4.60) и (4.62), покажите, что нормальные типы колебаний в полости ортогональны. Обсудите случай вырождения собственных колебаний.

Проверьте соотношение (4.138b).

Вычислите коммутатор

Мн (九 明 By (г； У)], где 方# У.

Докажите соотношения (4.18).

Вычислите коммутатор [VH (z‘，力，分/口 (z‘，9/Az[, где VH и ZH определяются соотношением. (4*41).

Используя обозначения (4.139) и (4.140), найдите N {D2}, где N есть нормал ыю-упорядочивающпй оператор. Найдите <0 I N {£)2}| 0>, где I 0>—вакуумное состояние поля. Полученный результат сравните с (4.150).

Выведите коммутационные соотношения (4.188) и (4.189).

Глава V

ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ИЗЛУЧЕНИЯ С ВЕЩЕСТВОМ

Введение

В дираковской теории излучения атом и взаимодействующее с ним поле рассматриваются как единая система, энергия которой состоит из трех частей: 1) энергия атома, 2) энергия поля излучения и 3) небольшая энергия взаимодействия между атомом и полем.

Если атом и поле излучения взаимодействуют друг с другом, то, очевидно, необходимо учитывать энергию этого взаимодействия. Это взаимодействие можно проиллюстрировать на очень простой модели, предложенной Ферми [24]. Рассмотрим маятник с резонансной частотой со。, соответствующий атому, и струну, колеблющуюся с частотой со/, соответствующую полю излучения. Когда они не связаны между собой, то они колеблются независимо, и полная энергия такой системы равна сумме энергий маятника и струны. Если маятник и струну соединить упругой невесомой нитью, то энергия будет передаваться от одной части системы к другой. Пусть в момент 力= О струна колеблется, а маятник покоится. Тогда через время t часть энергии колебаний струны будет ^передана маятнику. Если частоты ①。и ①^ совпадают, то будет иметь место полный обмен энергией. Это соответствует поглощению излучения атомом.

В обратном случае, когда первоначально возбужден маятник, а струна покоится и частоты их совпадают, передача энергии струне соответствует излучению энергии атомом.

В разделе 5*2 мы приведем нерелятивистский гамильтониан одноэлектронного атома в присутствии поля излучения. В этом случае невозможно точное решение уравнения Шредингера, и поэтому для получения приближен-

238 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ИЗЛУЧЕНИЯ С ВЕЩЕСТВОМ [ГЛ. "V ного решения следует обратиться к теории возмущений, зависящих от времени. Эта теория рассмотрена в разделе 5.3. В разделах 5.4 и 5.5 мье рассмотрим теорию поглощения и испускания излучения атомом в том случае, когда поле излучения оказывается квантованным. При этом в теорию автоматически оказывается включенным спонтанное излучение атома, находящегося в возбужденном состоянии. В то же время без квантования поля объяснить появление спонтанного излучения весьма затруднительно.

Спонтанное излучение действует подобно затуханию в колебательной системе, и оно же дает возможность объяснить естественную ширину спектральных линий атомов. В разделе 5.6 эта теория будет применена к простому случаю двухуровневого атома. Спонтанное излучение, являющееся источником квантовых шумов, будет обсуждаться также в гл. VII.

Эффект Допплера, состоящий в изменении частоты света, излучаемого движущимся источником, очень просто объясняется волновой теорией света. В разделе 5.7 мы покажем, что в квантовой теории эффект Допплера объясняется на основе законов сохранения энергии и импульса системы атом — фотон. В разделе 5.8 мы дадим квантовое объяснение такого типично волнового явления, как распространение света в вакууме.

В разделе 5.9 мы рассмотрим полуклассическую теорию экспериментов по спиновому резонансу в двухуровневой системе. В разделе 5.10 будет рассмотрено влияние соударений на ширину резонансной линии. В последнем разделе мы снова вернемся к экспериментам по резонансу в спиновой системе и учтем квантовую структуру поля. Такая формулировка явится в дальнейшем основой простой модели мазера, которую мы будем использовать в гл. VII при обсуждении квантовых шумов в мазерном усилителе. '

Гамильтониан атома в поле излучения

Согласно Дираку, атом и взаимодействующее с ним поле рассматриваются как единая система. Для простоты считается, что атом имеет один электрон с зарядом е и массой т. Потенциал поля ядра равен V (г), где г ——ра-

диус-вектор электрона. Импульс электрона равен р. Энергией спина мы пренебрегаем и, кроме того, будем считать энергию электрона достаточно малой для того, чтобы не учитывать релятивистские поправки.

При кулоновской градиентной инвариантности (div А = =0) поле излучения молено описывать только векторным потенциалом 4 (г, %). Для простоты мы не будем рассматривать источники поля излучения (заряды и токи).

Нерелятивистский гамильтониан атома в поле излучения в системе единиц МКС имеет вид (сравните с (2.19))

"=*(# —'"У+ 屮(')(5Л)

где Нг — энергия поля излучения в отсутствие атома.

Так как div 4 = 0, то выражение (5.1) можно записать в виде

H=^+eV^ + Hr-^^P}+^-(5・2)

Первые два члена этого выражения соответствуют энергии свободного атома:

忆=寨+屮(尸).(5.3)

Член Нг дает энергию свободного от источников квантованного поля излучения в отсутствие атома:

нТ -n%3!(a古аs4-» "(5.4)

Она известна из гл. IV. Оба гамильтониана мы объединим в один гамильтониан Н。вида

Но = На 〃т,(5.5)

который будем рассматривать как гамильтониан невозмущенной системы.

Член первого порядка по константе взаимодействия е в гамильтониане (5.2) обозначим

"1=一亲(4 分)•(5.6)

Этот член мал по сравнению с На и Яг и описывает взаимодействие электрона р с полем излучения 4.

В тех случаях, которые мы будем обсуждать в дальнейшем, только этот член имеет значение, он велик по сравнению с последним членом второго порядка по ^ в выражении (5.2):

% = —•(5・7)

Этот последний член представляет энергию взаимодействия различных осцилляторов поля излучения друг с другом через их взаимодействие с электроном.

Поскольку гамильтониан Л в (5.2) задан в шрединге- ровском представлении, то в членах % и Я2 мы также должны использовать разложение векторного потенциала (4.118а) в шредипгеровском представлении, т. е.

& О')=』/工言三-е” [аго ехр (iktr) + / ехр (—汲,у)].

(5-8)

Здесь операторы а« и 増 подчиняются бозонным коммутационным соотношениям, и мы предполагаем, что атом и поле находятся внутри полости с объемом т.

Таким образом, уравнение Шредингера

认^^ =砌屮(方)〉(5.9)

совместно с гамильтонианом Л вида (5.2) и векторным потенциалом (5.8) дают полную формулировку нерелятивистской дираковской теории излучения при взаимодействии одноэлектроиного атома с квантованным электромагнитным полем. Теперь достаточно только решить уравнение (5.9). Так как точно этого сделать нельзя, то следует воспользоваться: теорией возмущений.

Теория возмущений, зависящих от времени

В этом разделе мы рассмотрим обычную теорию возмущений. В дальнейшем мы будем часто использовать ее.

Запишем гамильтониан системы в виде

Н = % + %,(5」0)

где % — малая поправка к %.

Для наших целей членом второго порядка в (5.2) можно пренебречь. Он играет важную роль в теории дисперсии и комптоновского рассеяния. Однако в данной книге мы не будем рассматривать эти эффекты.

Полное уравнение Шредингера с гамильтонианом (5.10) имеет вид

访考"=(女。+ 耳挑屮(£)〉■(5-И)

Сначала мы рассмотрим уравнение Шредингера для невозмущенной задачи:

汤^^ = "。|屮传)).(5.12)

Так как по предположению гамильтониан Яо не зависит от времени, то решение этого уравнения можно записать в виде

"(£))二 eXр (一+%屮 T ⑼〉.(5.13)

Обозначим полную систему ортонормированных векторов состояния невозмущенной системы через { | п>}, где | п> —— собственные векторы оператора %:

% I "〉= En I /г>,〈" I zn〉= 6n心(5.14)

Числа Еп суть собственные значения оператора %. Начальное состояние I ср (0)> можно разложить по полной системе векторов { I п>}:

I 屮(0)〉= N，n(0)|"〉・(5.15)

Согласно формулам (5.14)

ехР (— 4" “。屮 ％〉= ехр (— 4"笈")I

Отсюда и в силу соотношения (5.15) сейчас же следует, что наиболее общее решение уравнения (5.12) имеет вид

丨屮(£)〉=』Сп(0)ехр(-^Еп屮九〉.(5.16)

Согласно общей теории гл. I вероятность обнаружить при измерении состояние | "〉равна |сп (0) |2 = I〈汽 | 中(%)〉Е Величины сп (0) называются амплитудами вероятности. Если состояние | 屮(力〉нормировано на единицу, т. е.

<T (力 I 屮(力〉=1, то

Skn(O) |2 = 1,(5.17)

ибо система обязательно находится в одном из возможных состояний.

Возвращаясь к уравнению Шредингера вида (5.11), мы можем решение | *ф (力〉разложить по полной системе невозмущенных решений:

I 屮传)〉= еС〃е)ехр (一春E/卄九〉，(5.18)

где амплитуда вероятности сп (%) уже зависит от времени. Сделаем предварительно два важных заметания.

Вектор состояний | п) является собственным вектором оператора %. Это означает, что в системе, описываемой гамильтонианом %, состояние, возникшее в какой-то момент времени, не изменяется до тех пор, пока на него не воздействует какая-либо внешняя сила. Поэтому амплитуда вероятности сп (0) состояния | ср(£)〉системы с гамильтонианом Яоне зависит от времени. Под действием внешней силы, например Н^ состояние системы Н^ будет изменяться. Внешнее воздействие % вызывает переходы между состояниями певозмущенной системы. В результате этого амплитуды вероятностей состояний оказываются зависящими от времени.

Несмотря на то, что разложение (5.18) справедливо при произвольном значении гамильтониана %, оно оказывается весьма неудобпьш при значениях "「сравнимых с Яо, ибо в этом случае ряд (5.18) слишком медленно сходится, поэтому его очень трудно использовать на практике.

Теперь определим коэффициенты сп (х). Для этого подставим разложение (5.18) в уравнение (5.11). Учитывая соотношения (5.14), получим

況 2"ехр' |/n〉= y%|s〉e " cs(f).

Умво/кая обе стороны этого равенства слева на <п | и используя ортонормированность состояний, получим, что коэффициенты разложения (5.18) доляхны удовлетворять системе связанных уравнений

汤* = ?⑺"Js〉e'“cs(% (5.19) где

Е —Е

0>ns =亠• (5.20)

Уравнения (5.19) являются точными уравнениями. Они образуют бесконечную систему связанных уравнений для амплитуд вероятностей сп (%). Эта система эквивалентна исходному уравнению (5.11). Матричные элементы 〈汽 I Нг I s〉характеризуют энергию возмущения. Они вычисляются с помощью собственных векторов состояний невозмущенного гамильтониана.

Для решения этих уравнений необходимо использовать приближенный способ. Обычно при таком способе решения встречаются два случая. Их можно описать следующим образом. Пусть член в заимодействия пропорционален некоторой константе взаимодействия, которую мы обозначим через к. Когда мы имеем дело с взаимодействием электрона с полем (5.6), то эта константа пропорциональна заряду электрона е. Внешнее воздействие возмущения может осуществляться в течение интервала времени t, малого по сравнению с временем l/厶.В этом случае бывает весьма удобным разложение решений в ряд теории возмущений по степеням величины 〃力.В другом случае, когда внешнее воздействие возмущения длится в течение интервала времени, большого по сравнению с Ик, ряд по степеням величины 〃看 сходится слишком медленно. В этом случае используется другой способ приближенного решения, который называется приближением Вигнера ——Вайскоп- фа и который мы рассмотрим в одном из следующих разделов [28].

Если время взаимодействия мало по сравнению с временем 1/6, то коэффициенты c$(z) в (5.19) могут быть разложены в степенной ряд по величине к:

%(/)=成勺)十得)(£)十療)(£)十...， (5.21)

где 療)(£)по величине оказывается порядка 4, с^ ⑵一порядка ^2 и т. д. Подставляя разложение (5.21) в систему (5.19) и приравнивая между собой члены одного порядка по к, мы получим систему приближенных уравнений:

说 ^ir-=』® I /Q s〉e%s&。)(t),(5.23)

de ⑵

^ = 2〈时%同产"燈%)(5.24)

и т, r. Если в гамильтониане имеется член Я2 порядка &2, то его следует включить в уравнение (5.24).

Будем последовательно решать эти уравнения. Согласно уравнению (5.22) в нулевом порядке по величине 6 мы имеем

或)(%) = const.(5.25)

Это соответствует тому обстоятельству, что при отсутствии взаимодействия (А = 0) состояние системы не меняется с течением времени. В большинстве интересных случаев система начинает взаимодействовать с внешним возмущением, находясь в определеннэм собственном состоянии гамильтониана Яо, например в состоянии | »〉• Тогда (5.25) переходит в

с册(%) = 6ni =〈『21 >(5.26)

При таком выборе начального состояния системы сумма в уравнениях первого порядка (5.23) сводится к одному члену, и мы получаем

№ 骂* =〈" I•(5.27)

В тех случаях, когда гамильтониан Нг не зависит от времени, уравнения (5.27) можно проинтегрировать и получить в результате следующее выражение:

制D(t) = G|Hi|2〉•/皆(5.28)

где состояние (/ | есть конечное состояние системы. При этом согласно (5.26), если начальное и конечное состояния системы различны, то вели【ина 卅(0) = 0. Иначе говоря, предполагается, что в начальный момент времени ^ ~ 0 конечное состояние оказывается свободным.

Вероятность нахождения системы в состоянии | /> в момент времени & если в начальный момент времени 力=0 она находилась в состоянии | Z>, приближенно определяется соотношением

I歹(竹=备IIX〉|2黄®也•(5.29)

Вероятность перехода из состояния | X〉в состояние | /> оказывается порядка А2. Обычно говорят, что возмущение И* индуцирует в системе переходы из состояния | Z〉в состояние I /).

Возникает вопрос: что такое | ⑶ «) |2 в этом приближении? Для того чтобы ответить на этот вопрос, рассмотрим опять соотношение (5.27) для случая, когда | п) 三 |i〉. Так как согласно (5.20) со” = 0 и, кроме того, во многих случаях

<И^1 I %〉三 О, то из (5.27) следует, что

療)(%)=const.

Согласно соотношениям (5.21) и (5.26) и условию нормировки (5.17) эта постоянняя должна быть равна нулю. Фактически это означает, что выбранное приближение с точностью до членов порядка А2 справедливо лишь для достаточно коротких промежутков времени, т. е. до тех пор, пока исходное и конечное состояния не изменятся слишком сильно. Иными словами, время жизни исходного состояния предполагается достаточно большим.

То же самое можно показать другим способом. Множитель

sin2(%s#t)/喘(5.30)

в соотношении (5.29), рассматриваемый как функция з”, имеет очень острый максимум при з^ = 0. В максимуме

его значение равно 户/4 и стремится очень быстро к нулю при ①/"〉2л. Таким образом, в случае со* у 0 выражение (5.29) оказывается пропорциональным 胪产，и, как и предполагалось, разложение (5.21) является разложением по степеням 厶力 быстро сходящимся лишь при kt <^ 1. Это означает, что время взаимодействия должно быть мало по сравнению с М Это обстоятельство следует учитывать при использовании полученных результатов.

Как следует из (5.29), вероятность того, что возмущение % индуцирует переход между исходным и конечным состояниями, практически равна нулю, за исключением случая, когда ①* ^ 0. Согласно (5.20) это значит, что

Ef =瓦. (5.31)

Это закон сохранения энергии. Он указывает на то, что переходы между двумя состояниями возможны лишь в тех случаях, когда их энергии примерно одинаковы. При этом сами состояния могут быть различными. Этот закон сохранения не был введен в теорию в качестве исходного постулата, а явился ее следствием.

Рассмотрим теперь пример, когда начальное и конечное состояния различны (| %〉#= | /〉)，в то время как их энергии одинаковы (Е； = Е) (этот пример понадобится нам в следующем разделе). Рассмотрим атом, имеющий два дискретных энергетических уровня, например |。〉и | Ь), с энергиями Еа и Еъ соответственно, и фотон с энергией 无①.Начальное состояние системы пусть состоит из одного фотона поля излучения и атома в нижнем состоянии | 6〉. Это начальное состояние описывается кет-вектором | i> и энергией Ei вида

I»)=丨"1)， Et = Eb +方①.

Конечным состоянием пусть будет атом в верхнем состоянии I а〉в отсутствие фотона. Тогда кет-вектор конечного состояния и его энергия имеют вид

I /> = I а, 0>, 吊=Еа.

Состояния I г) и | /) не одинаковы. Энергии же этих состояний равны, если

方3 = еа —月匕.

Как показывает этот пример, в большинстве случаев нас будут интересовать переходы не между двумя дискретными состояниями, а между дискретным исходным состоянием и группой близко расположенных, почти совпадающих по энергии конечных состояний или между группой близко расположенных начальных состояний и дискретным конечным состоянием. В этих случаях начальное и конечное состояния практически рассматриваются как непрерывные состояния. В предыдущем разделе был рассмотрен пример, когда падающая электромагнитная волна имеет некоторое частотное распределение и при этом нас интересует полная вероятность переходов, вызванных квантами с частотами, почти равными (Еа —— E^/h.

Рассмотрим теперь случай, когда исходное состояние дискретно, а конечное состояние представляет собой группу близко расположенных, почти совпадающих между собой по энергии состояний. Полную вероятность перехода мы получим, суммируя (5.29) по группе конечных состояний, т. е.

F夕《)?=彳爲II 0产空号也.(5.32)

Мы неявно предположили, что система находится в большой кубической полости объема Л3, на границах которой система удовлетворяет периодическим граничным условиям. Если теперь перейти к пределу £ —> оо так, как это указано в разделе 4.6, то вместо (5.32) получим W I 才)《) |2』/ V弓р (当)I ⑺％ I %〉产 SE""/电,(5.33)

где р (Ej) dEf ——число конечных состояний с энергиями между 留 и £『+ dEf. Так как согласно (5.20) Е扌一Е» = =方з〃， a Ei дискретно, то

d£/ Й(5.34)

Так как подынтегральное выражение в (5.33) имеет острый максимум при ①外=0, то пределы интегрирования можно расширить на всю действительную ось от ——оо до 十 g. Тогда получим

S IУ 的№ 阳)|</Ml о 户竺号'W). (5.35)

/-83/i

Обычно матричные элементы | </ | % | i>|2 и плотность состояний являются медленно меняющимися функциями сок и могут быть вынесены за знак интеграла. Так как

§ 吧空1&Z =等力(5.36)

то приближенно из (5.35) следует:

^\cr(t)\^t^\<f\H1\iy\^(El).

Полная вероятность перехода за единицу времени равна

，第=备2d)(疗二爷〈"ь山〉1*(即・(5・37)

Это соотношение называется золотым правилом Ферми. Оно дает вероятность перехода системы из начального дискретного состояния | i) в группу близко расположенных (по энергии или частоте) конечных состояний, для которых Ef Et. Функция р (Е) есть плотность числа конечных состояний в интервале dEf около Ef. Соотношение (5.37)——одно из полезнейших в теории возмущений, зависящих от времени.

Поглощение излучения атомом

Применим полученные в предыдущем разделе результаты к поглощению фотона атомом. Согласно (5.5) невозмущенный гамильтониан равен

Яо =，。+ Яг,(5.38)

где На — невозмущенный гамильтониан атома (5.3) и Нг — гамильтониан свободного квантованного поля излучения (5.4).

Энергетические собственные состояния свободного атома удовлетворяют уравнению

〃а |s〉=及 |s〉，(5.39)

где Е3 — энергия атома в состоянии | s>. Собственные состояния поля излучения с поляризацией о, импульсом

方力,и энергией Лсог удовлетворяют уравнению

方gа吉0打1也。〉=方3网。 I也。〉.(5.40)

В тех случаях, когда это ие может привести к недоразумениям, мы заменим пго просто на ?“. Невозмущенное состояние гамильтониана Но может быть записано в виде

I S,几и п2, . .п；, . . . > ™ I S> I I и2> . . . I пг> ...

(5.41) с собственным значением

Es + 方(О]72工 + %0)2孔2 + • • • + 无3用】+ . • •(5.42)

Члены 1厶方①(в соотношении (5.4), представляющие энергию нулевых колебаний, можно отбросить, если изменить уровень, от которого отсчитывается энергия. Эти члены можно было бы и сохранить, но это лишь усложнило бы формулу. Возмущение первого порядка Нг дается соотно' тлениями (5.6) и (5.8):

&=-*?/ Й^{"мехр(%>) +

+。古 ехр (— ik^)} (e；ap). (5.43)

(He следует путать e — заряд электрона и 用。一вектор поляризации фотона.)

Нам понадобятся матричные элементы возмущения Нъ соответствующие двум невозмущенным собственным состояниям, подобным (5.41). Если воспользоваться соотношениями (4.100) и ортонормированностыо, то получим

〈S；汽工，九2,…，勺,…I H1 I S‘；几工,九2,…,九1 ± 1,…〉=

_ еI /«z + 1 (e；n <s I eikir p | 5Z>),

Верхнее выражение относится к состоянию (пг + 1), нижнее ——К СОСТОЯНИЮ (汽I — 1).

Воспользуемся теперь предположением, что длина волны излучения много больше размеров атома. В этом случае экспоненциальный множитель ехр (土 iky) можно считать постоянным в матричном элементе

(5.45)(5.45)〈S I ехр (土 诙①方 I s'〉，

(5.45)

(5.45)

и он может быть вынесен за знак интеграла в (5.45). Это предположение не является существенным, но оно сильно облегчает вычисление (5.45). Для вычисления (5.45) рассмотрим гейзенберговские уравнения движения для радиуса-вектора 况，t. ё.

访/]=卜点十e『⑺](5.46)

(см. задачу 5.1). Так как 况 коммутирует с V (х), то, используя (1.119):

画,鸿]=访Zp尸6力,(5.47)

получим, что (5.46) переходит в следующее уравнение:

競曾=访± =й，/1・(5・48)

Вектор 况=> имеет компоненты 勺(％ = 1, 2, 3), которые играют роль q в соотношении (1.119). Коммутационные соотношения (1.117) обобщены на случай трех измерений, так что 【％, Pj] = ?Й6^, [g,分]=[pt, pj] = 0. Таким образом, координаты и импульсы, соответствующие разным степеням свободы, коммутируют друг с другом. Если вычислить матричные элементы обеих частей (5.48), то с учетом (5.39) получим

•^〈s I 川『〉=(瓦,_ 区)〈s I 究 I />.(5.49)

Подставляя это в (5.44), получим искомые матричные элементы

〈S； 72工,725 ,.. J Нi|$；九 1，*♦ •，孔【~~1, «• *〉—

—历(纥一纥,)/ 无[У% + lexp^ikir) (ега^),

方 !/ 2①步"y~ exp (一力ее)⑹◎况s:

(5.50) где

况s『н〈s I 况丨 $'〉•(5.51)

Величина еоь^ называется электрическим дипольнылт моментом атома, соответствующим переходу между состояниями I £〉и |М〉, а величина exSf называется дипольным моментом состояния | s>.

Так как собственные энергии начального и конечного состояний согласно (5.50) равны

Es + 汽 1%о)1 + . . . + "龙(0七 + ..

(5.52)

£$，+ 72】力3] + . . . + (72； -^― 1)方СО% + . .

то для выполнения закона сохранения энергии следует положить

Es — Е$，土 充3卜(5.53)

Эти предварительные результаты можно применить к теории поглощения фотона атомом, которую мы рассмотрим ниже, и к теории излучения, которая будет рассмотрена в следующем разделе.

ЕГЕап16^1ЕГЕап16^1夕夕仇*方你夕夕仇*方你

ЕГЕап16^1

ЕГЕап16^1

夕夕仇*方你

夕夕仇*方你

0勿

Рис. 6. Схематическое представление однофотониого поглощенияатомом.

Пусть атом, обладающий двумя энергетическими состояниями, первоначально находится в нижнем состоянии I Ь).

Предположим также, что на этот атом падают п^ квантов с поляризацией <у, импульсом 充左£ и энергией 方①八 Если один квант поглотится, то атом перейдет в возбужденное состояние I о〉. Эти состояния, начальное и ко- нАчное, схематически показаны на рис. 6.

Матричный элемент (5.50) для процесса поглощения определяется соотношением

I <71^110 12 =綜止 е?丨 ©° 乙订『，(5.54)

где мы использовали закон сохранения энергии (5.53) и положили £з — X.

В общем случае пучок фотонов может не быть строго монохроматическим. Он может иметь некоторое частотное распределение. Нас интересует полная вероятность поглощения падающих фотонов за секунду, если их частота лежит в интервале между(ог и(ог + В связи с этим в (5.37) мы должны подставлять р (已)，а не р (^) (см. задачу 5.2), где р (豆)dEi — число падающих фотонов с энергией между Ех 皿 笈上 + &笈匕 поляризацией ст и в телесном угле dQ вблизи направления А?【. Так как

Ei =方 3七=hcki,

то согласно (4.116) получаем

р (^)dEi = dN = dE, dQ ^ = -~г«?й®г dQ, (5.55) и, следовательно,

^E^l^^d^(5方6)

Золотое правило (5.37) утверждает, что полная вероятность поглощения за секунду фотона с поляризацией о, энергией в интервале между 无①z и 方(g 十 dg) в телесном угле dQ вблизи направления кг оказывается равной

w = ^\<f\H1\i> |2Р (现=备善 I ®° дь) |2 ^3- ,(5.57)

если учесть соотношения (5.54) и (5.56). Последний множитель может быть выражен через интенсивность падающего излучения следующим образом.

Число типов колебаний в рассматриваемой полости, приходящихся на телесный угол dQ, определяется соотношением (5.55). Плотность энергии данного типа колебаний, т. е. плотность энергии фотонов, приходящаяся на один тип колебаний, из (5.55) равна

方 з^ 孔 2c знерги:#(5 5#

7? объем/тип колебания ”I ‘'

Эта энергия распространяется со скоростью с, так что через единицу площади в секунду в частотном интервале d(^i

проходит энергия

/0 (юг) d^ = ^^ с dN = J^5dQ d^.(5.59)

Подставляя это в (5.57), получим для вероятности поглощения за секунду фотона с заданной поляризацией и т. д. следующее выражение:

須=强/豈 ‘21 ®° хаЬ) |2/0 (叫).(5.60)

Поглощаемая мощность оказывается равной

尸=方3” =备/^-^|(е；а Жаь)|2<ог/О(иг). (5.61)

Так как обычно падающее излучение бывает не поляризовано, то выражения (5.60) и (5.61) следует усреднить по всем направлениям поляризации относительно дипольного момента атома 冗.ь. Если хаъ направить вдоль оси z, то

I(£s%ab) |2 = 1 况ab 12 cos2』

\〈 cos2 0 sin 0 d9

=1 力ab I2^=,(5.62)

где 0 ——угол между 範аь 口 осью е^. Соответственно средняя по всем поляризациям поглощаемая мощность равна

吃zb I3飞 g/o ®2)—方①州abs・吃zb I3飞 g/o ®2)—方①州abs・(5.63)(5.63)

吃zb I3

飞 g/o ®2)—方①州abs・

吃zb I3

飞 g/o ®2)—方①州abs・

(5.63)

(5.63)

Для ТОГО чтобы ВЫЧИСЛИТЬ 况ab, нужно знать волновые функции атома в состояниях | 。〉皿 | &> (см. задачу 5.3).

Таким образом, в этом разделе мы показали, что из теории квантованных полей следует теория поглощения фотонов.

Индуцированное и спонтанное излучениевозбужденного атома

Атом, первоначально находившийся в возбужденном состоянии I о〉，может спонтанно совершить переход в более низкое состояние | 办，испустив фотон с энергией

方g — Е& 一 Еь.

Этот фотон может иметь любую поляризацию о и произвольную частоту в интервале от со, до (ог + dco,. Кроме того, если возбужденный атом подвергается облучению светом частоты(0/, приближенно равной (Еа—£匕)/加 то падающий свет может индуцировать переход атома

屮马+""方4Ef吒力（%fg

Рис. 7. Схематическое представление однофотонного излученияатома в возбужденном состоянии.

из состояния I о〉в состояние | 方〉 с испусканием фотона. Как индуцированное, так и спонтанное излучения автоматически следуют из теории, если поле излучения про- квантовано.

На рис. 7 схематически показаны начальное и конечное состояния возбужденного атома в поле излучения.

Мы хотим вычислить полную вероятность излучения кванта в секунду.

Матричные элементы взаимодействия (5.50) для переходов между начальным и конечным состояниями, показанными на рис. 7, равны

|</|^1Ю|2 =―I (еь ~b) I2-(5.64)

Рассмотрим множитель (孔竺 + 1). В нем слагаемое 孔广 связывают с индуцированным излучением, так как его при-

сутствие обусловлено взаимодействием атома с полем излучения. Когда ща = 0, т. е. поле излучения отсутствует, переходы между двумя состояниями все еще могут происходить, а возникающее при

Рис. 8. Удобный выбор координат для расчета общего спонтанного излучения атома.Рис. 8. Удобный выбор координат для расчета общего спонтанного излучения атома.этом излучение называется спонтанным.

Рис. 8. Удобный выбор координат для расчета общего спонтанного излучения атома.

Рис. 8. Удобный выбор координат для расчета общего спонтанного излучения атома.

Для того чтобы вычислить вероятность перехода за секунду с помощью золотого правила (5.37), члены с индуцированным и спонтанным излучением должны быть рассмотрены отдельно и различно. Причина этого очевидна. В случае индуцированного излучения в падающем свете имеется некоторое распределение по частоте и ус-

реднение можно производить точно так, как это делалось в случае поглощения в предыдущем разделе. Результат вычислений будет тем же самым, т. е. согласно (5.60)

имеем

=崇 /體叫 ®° gj 产 A (g)・(5.65)

Таким образом, вероятности поглощения и индухщрован- ного излучения оказываются равными.

Член, соответствующий спонтанному излучению, никак не связан с падающей волной. Поэтому мы должны усреднять по набору конечных состояний, так как фотон может быть испущен с произвольной поляризацией и любой энергией в интервале от (о； до ①工 + 2з? в телесном угле dQ. Поэтому нужно просуммировать по всему телесному углу 4n. Согласно золотому правилу (когда 汽竺=0 в (5.64))

^sp = ^1(/|^|0(2 p(马)=

=^V 黑 |(%д卄源J(5.66)

где р (£\) определяется соотношением типа (5.55). Для того чтобы получить полную вероятность спонтанного излучения в секунду, это выражение необходимо усреднить по всем направлениям поляризации и проинтегрировать по всему телесному углу вокруг излучающего атома. Для этих расчетов оси координат расположим, как на рис. 8. В этой координатной системе имеем

ХаЬ = I 况ab I (sin О COS Ф, sin 0 sin 屮，cos 0),

e!1 = [1,0,0], ei2 = [0,1,0], k^tO.O.lJ. (5'67a)

Суммировать (5、66) no всем поляризациям очень просто:

2

2 К«Л)|2 = |^b|2sin20(5.67b)

(сравните с (5.G2)). Подставляя это выражение в (5.66) и выполняя суммирование ио всем углам, получим

忆2 粤 (5・68)

Это полная вероятность перехода возбужденного атома в секунду с испусканием фотона любой поляризации и энергии вблизи Еа ——刃匕.Полная мощность излучения равна

Psp =力S”sp =魚 е2 1gb 卩 /^ ；(5.69)

Следует заметить, что единица в формуле (5.64) возникает из-за некоммутативности операторов аго и。古： [«ь0, а$Л — 1. Если поле не квантовано, она не появляется.

Таким образом, дираковская теория впервые объяснила спонтанное излучение возбужденных атомов.

Теория естественной ширины линии излучения

В теории излучения и поглощения света, изложенной в разделах 5.4 и 5.5, мы предполагали, что атомные энергетические уровни бесконечно узки, в то время как из эксперимента мы знаем, что наблюдаемые линии излучения и поглощения обладают конечной шириной. Имеется много

ТЕОРИЯ ЕСТЕСТВЕННОЙ ШИРИНЫ ЛИНИИ ИЗЛУЧЕНИЯ 257 причин, из-за которых атомные уровни не являются бесконечно узкими, но наиболее фундаментальной причиной является обратное влияние на атом излучаемого электромагнитного поля. Это приводит к уширению спектральной линии излучения. Ширина линии, обусловленная этим эффектом, называется естественной шириной спектральной линии. Та же причина приводит к лэмбовскому сдвигу атомных уровней и появлению квантовых шумов.

Уширение резонансной линии можно видеть и на классических примерах. Рассмотрим два высокодобротиых резонансных контура, не связанных между собой и настроенных на одну и ту же частоту. Если эти контуры слабо связать между собой, то они будут иметь два нормальных типа колебаний, причем частота одного из этих типов будет немного больше частоты несвязанных контуров, а частота другого — немного меньше частоты несвязанных контуров. Если связать между собой много таких контуров, то резонансные частоты распределятся в полосе вблизи резонансной частоты несвязанных контуров. В случае атома и поля излучения атомный резонанс оказывается слабо связанным со многими электромагнитными осцилляторами, частоты которых приближенно равны атомной частоте. В результате этого атомный резонанс расширяется в полосу. В этом случае говорят, что спектральная линия атома имеет некоторую конечную ширину или что она однородно уширена.

Наличие естественной ширины линии можно доказать, исходя из соотношения неопределенностей

АЕ А力弋方. (5.70)

Это соотношение утверждает, что для измерения энергии атома с точностью до ЬЕ необходимо время А/. Возбужденный атом спонтанно излучает энергию и переходит в нижнее состояние. Для измерения энергии нужно, чтобы атом сделал переход в нижнее состояние, и поэтому, если в среднем атом до излучения остается в верхнем состоянии в течение времени т (эта величина называется временем жизни), то для измерения энергии необходимо время не меньше т. Таким образом, согласно (5.70) энергия может быть измерена с точностью до величины

А笈〜?， (5.71)

которая и является естественной шириной линии. Ниже мы покажем, что величина 1/т примерно равна вероятности перехода в секунду при спонтанном излучении.

В разделе 5.3 мы указывали, что теория возмущений, зависящих от времени, справедлива лишь при достаточно малых временах, когда начальное состояние мало изменяется в процессе взаимодействия. С другой стороны, если мы измеряем расстояние между уровнями первоначально возбужденного атома, то для такого измерения состояние атома должно измениться. Иными словами, мы должны ждать столько времени, чтобы состояние атома изменилось значительно. Отсюда мы делаем вывод, что теория возмущений к данному случаю не подходит, и предлагаем! другой приближенный метод решения уравнений (5.19). Этот метод называется приближением Вигнера — Вайскопфа [28].

Бесконечная система уравнений (5.19) является точной и эквивалентна уравнению Шредингера в представлении взаимодействия. Согласно Вигнеру и Вайскопфу, мы должны сделать упрощающее предположение, состоящее в том, что при матричном умножении па правую часть уравнений (5.19) следует принимать во внимание лишь два состояния: начальное состояние | %〉二二 | а, 0), которое содержит атом в возбужденном состоянии и не содержит фотонов, и конечное состояние | /〉= | b, 1), которое содержит атом в невозбуждешюм состоянии и один фотон. Эти состояния в виде диаграммы представлены на рис. 7. Так как излученный фотон может иметь набор частот, а также различные направления распространения и поляризации, то система (5.19) при указанных предположениях принимает следующий вид:

^^- = <f\H1\i>ci(t)eiu>fit,(5.72а)

访甘=2«\H6f〉q©e-呵"(5.72b)

гдег

方①"=豆匕+方电-еa =方(g - So),

Еа и Еъ ——энергии состояний атома,方①工 ——энергия излученного фотона. Пренебрежение не равными нулю ма-

тричными элементами, связанными с другими состояниями, не может быть обосновано па данном этапе. Мы знаем, что при слабой связи атома с полем излучения не следует ожидать рождения нескольких фотонов, но это не обосновывает указанного пренебрежения. По существу, лишь согласие с экспериментом является обоснованием уравнений (5.72).

Так как начальное состояние имеет конечное время жизни, то в качестве исходного нельзя брать состояние при t ———8, так как в этом случае трудно ждать полезной информации при 力=0. Вслед за Вигнером и Вайс- копфом предположим, что взаимодействие атома с полем излучения может быть включено при 力=0, когда система находится в определенном состоянии, т. е. мы предполагаем, что при 力=0

q (0) к 1, q (0) = 0 для всех /. (5.73)

Уравнения (5.72) описывают переходные процессы, вызванные «включением» взаимодействия при t 二 0, которые очень чувствительны к выбору начальных условий (5.73). Поэтому решения, полученные при начальных условиях (5.73), будут описывать реальный процесс лишь после того, как эти переходные процессы затухнут.

Найдем решение системы (5.72) при условиях (5.73). Проинтегрируем (5.72а) и подставим полученное уравнение в (5.72b). В результате получим

t

Q «)=扌⑺瓦 I »〉卜№) ^'dt\ (5.74a) о

-^ =—菱2!⑺ ％ I i〉|《e"g)Q (У)毗(5.74b) f 0

(Мы воспользовались соотношением < i | Ях | /> = =〈/ 丨女工 I i>* из гл. I, которое справедливо в силу эрмитовости 攵「)Уравнение (5.74b) является интегро-дифференциальным уравнением относительно q (%) и может быть решено с помощью преобразований Лапласа. Пусть

q (s) = $ е-匕(t) dt^L {&«)}. (5.75) о

Отсюда в силу условий (5.73) следует, что

§ Z {1"Е Ci (t^dt'^dt^

О о

=\ Ci^dt'^e^^dte^' = $ *： . (5.77)

Подставляя эти соотношения в (5.74), получим

% ⑸=.(抗78)

$ +而2j s +面儿

Для того чтобы найти & (%), нужно совершить обратное преобразование Лапласа над соотношением (5.78). Из теории преобразований Лапласа известно, что такое преобразование определяется следующим интегралом [29]:

&（£）=盡 j&（£）=盡 jI〈/ I Hl I i> 产S +庙儿I〈/ I Hl I i> 产S +庙儿(5.79)(5.79)

&（£）=盡 j

&（£）=盡 j

I〈/ I Hl I i> 产S +庙儿

I〈/ I Hl I i> 产S +庙儿

(5.79)

(5.79)

где переменная s считается комплексной в подынтегральном выражении, а е ——малое действительное положительное число; путь интегрирования считается параллельным мнимой оси. Так как вычислить точно этот интеграл не удается, то следует сделать некоторые приближения.

Прежде всего заметим, что в отсутствие взаимодействия атома с полем излучения (反^ = 0) Q (%) имеет вид

1 С estds

Подынтегральное выражение имеет простой полюс при s = 0. Интеграл вычисляется с помощью теории вычетов, и в результате получаем q «) = 1. Таким образом, в от-

сутствие взаимодействия начальное состояние системы не меняется.

Прежде чем сделать приближенные предположения, заменим переменную интегрирования. Пусть

5 二 £ +力勿

Тогда (5.79) принимает видТогда (5.79) принимает вид4 0)4 0)У _ 庐 2 y+(o —沁У _ 庐 2 y+(o —沁(5.80)(5.80)

Тогда (5.79) принимает вид

Тогда (5.79) принимает вид

4 0)

4 0)

У _ 庐 2 y+(o —沁

У _ 庐 2 y+(o —沁

(5.80)

(5.80)

Рассмотрим теперь член, описывающий взаимодействие, в знаменателе подынтегрального выражения. Если конечные состояния распределены с плотностью р ((o/)d(o『， то суммирование можно заменить интегрированием. В результате получим

/ =一F—(5.81а)

ГД6 ^fl =①/ — Sj н s?—①8 и

Гн = ^|</|Я1|г>|ар(й/).(5.81b)

Пределы интегрирования оказалось возможным расширить до бесконечности потому, что подынтегральное выражение имеет острый максимум при д = д ——у. При этом функция Г/г предполагается медленно меняющейся функцией (о/. (Величина е считается малой и положительной.) Из теории комплексных интегралов известно [25], что если / (%) — регулярная функция, не имеющая полюсов при х ~ а, то

t结=乎k 州｝ +叨⑷，(5.82) —00ОО

где 砂 означает главную часть интеграла в смысле Коши и определяется соотношением

+8а—卩оо

I )仁 一 @ J u->o L *' / - a ]t - a J

-8-0о出

при условии, что предел с правой стороны существует.

Используя эти результаты и учитывая произвольность е, выражение (5.81а) можно привести к виду

/ =—砂{ § ；*； } — МГ垃(3/ = g - у), (5.81с)

если, конечно, функция Г/； регулярна (иногда это бывает не так) •

Если действительная и мнимая части I малы, то у можно заменить величиной is, которая может быть сколь угодно близкой к нулю. Это является следующим приближением к Ci (%). Если теперь ввести обозначения

^ = ^1〈Н%А2рЮ*з4，(5.83)

До =До =p®，ia]Hiii〉|2&o)fp®，ia]Hiii〉|2&o)f方2( ®/ 一①方2( ®/ 一①(5.84)(5.84)

До =

До =

p®，ia]Hiii〉|2&o)f

p®，ia]Hiii〉|2&o)f

方2( ®/ 一①

方2( ®/ 一①

(5.84)

(5.84)

то в первом приближении (8 т 0) для выражения (5.80)

получаем

С 传)弋 J ? + £?；(酒=ехр (― ^ —必叫.(5.85)

Теперь мы видим, какое предположение необходимо сделать для того, чтобы перейти от выражения (5.80) к выражению (5.85). Мы знаем, что величина

(5.86)(5.86)&『(£)『=宀

(5.86)

(5.86)

равна вероятности найти атом в его исходном состоянии через промежуток времени 九 Поэтому величина 丫一工 является временем жизни атома в исходном состоянии. Из физических соображений ясно, что должно выполняться условие

Е —Е,

丫 у^А,(5.87)

т. е. время жизни атома в возбужденном состоянии должно быть велико по сравнению с периодом обращения электрона в атоме на его орбите. Более того, согласно (5.83) величина у имеет смысл лишь при ①了弋①入 Следовательно,

на самом деле предполагается, что

D 仃Е 一 Е,

丫=备⑺％1〃『Р(5)|з尸吗У 亠—sg, (5.88)

где 回一частота испускаемого фотона. При таком предположении полюс в выражении (5.80) будет очень близок к значению у = Q.

При сравнении выражений (5.88) и (5.37) можно видеть, что величина у в точности равна полной вероятности перехода системы в одно из совокупности ее конечных состояний в единицу времени. При этом величина т = 1/у определяет время жизни исходного состояния.

Величина Асо в выражении (5.85) физически соответствует сдвигу частоты излучения и определяет так называемое лэмбовское смещение частоты излучения. Вычисление величины Д(о по формуле (5.84) представляет собой трудную задачу, которой мы не будем касаться.

Для промежутков времени, когда справедливо выбранное нами приближение (т. е. когда переходные процессы закончились), можно вычислить амплитуду вероятности конечного состояния. Для этого следует выражение (5.85) подставить в формулу (5.74а); получим

С/ ~" f—〉, “6 {*3户-Аз)1，/2 _ ]} (5 89)

Для моментов времени, удовлетворяющих неравенству yz W 1, вероятность обнаружения атома в нижнем состоянии после испускания одного фотона равна

.41⑺/厶怜I? q.2 @拉一 а①)方

[(吗i一А①产十什分月 2 '

Если это выражение просуммировать по конечным состояниям (см. переход от (5.33) к (5.37) и (5.55)), то полная вероятность излучения одного фотона в телесный угол dQ окажется равной

£1令(川2н2而山冬包潦^崂М，(5.90)

где Й(0/ = Еа — Еь — Асо — энергия испускаемого фото^ на. Этот результат почти в точности совпадает с тем,

который получается из теориивозмущений первого порядка, зависящих от времени, за исключением смещения частоты Асо. В течение некоторого малого времени (?Z<C 1) вероятность того, что система остается в исходном состоянии I 力〉,согласно (5.86) практически равна единице. Спектральный состав излучения, испущенного в это время, зависит от того, когда производится измерение этого излучения, и, очевидно, не определяет истинной формы спектральной линии.

Для того чтобы получить уверенные результаты измерения энергии электрона, следует подождать достаточно долго (yZ А 1), чтобы быть уверенным, что переход уже произошел. В этом случае согласно (5.89) имеем

_ a①产+(Т/2)2] ' 3. 丄) где

力— Ea — Eь — ha)i h (o)c — sj. (5.92) Частота излученного фотона не имеет определенного значения, и спектральная линия имеет естественную ширину у. В то же самое время центр спектральной линии смещен на величину А(о. Про спектральные линии, имеющие такую форму, говорят, что они обладают лоренцевским уширением.

Как уширение лишш, так и сдвиг частоты возникают вследствие обратного действия излученного поля на атом. Эти эффекты являются следствием нулевых флуктуаций поля. При любом процессе, когда одна система слабо связана с большим числом других систем, будет возникать уширение спектральной линии и смещение частоты. Примеры таких процессов будут рассмотрены в гл. VII при изучении модели мазера и аттенюатора. Там снова понадобится использовать приближение Вигнера —— Вайскопфа.

Эффект Допплера [24]

Хорошо известно, что при движении источника частота излучаемого 】ш электромагнитного поля изменяется. Этот факт объясняется волновой теорией света. Его можно очень просто объяснить также и с помощью квантовой теории, в которой он является следствием законов сохранения энергии и импульса.

Когда атом, первоначально находящийся в покое в состоянии I а〉, переходит в состояние | 方〉,то он излучает квант света с частотой

и импульсом 方加工方зк/с.

Теперь предположим, что атом массы т, находящийся в возбужденном состоянии | а〉, движется с нерелятивистской скоростью V. Начальная энергия равна

几+等^&2.(5.94)

В некоторый момент времени атом переходит в состояние I Ь〉, излучая квант с частотой о/. При этом атом испытывает отдачу, что приводит к изменению его скорости. Теперь энергия атома оказывается равной Еъ 4-万加岁”. Согласно закону сохранения энергии имеем

方о/ = [Еа+-^- mv^ —(矶 + 4" w«，2j =

=方① + 万 ?n(02 - ^，2). (5.95)

Излученный квант имеет импульс 方％'= 方s'k7c Если импульс системы сохраняется, то

7nty = mv — ^- k\(5.96)

Возводя равенство (5.96) в квадрат и пренебрегая членами порядка 1/с2, получим

~2~ — —方оз cos 分，(5.97)

где 令一угол между v и направлением движения излученного кванта. Подставляя это соотношение в выражение (5.95) и разрешая полученное уравнение относительно о/, находим

о/ = з (1 + 子 cos 可.(5.98)

Это выражение совпадает с нерелятивистским выражением для эффекта Допплера, полученным на основе волновой теории света.

В гл. IV было показано, что в свободном пространстве кванты света ведут себя подобно частицам, обладающим энергией 力(о и импульсом 无①/с. Однако возникает вопрос: имеют ли место законы сохранения энергии и импульса, когда поле взаимодействует с атомом? Для ответа на этот вопрос рассмотрим водородный атом, состоящий из протона с зарядом + е, массой тр и координатами хр и электрона с зарядом ——е, массой те и координатами хе. Согласно формуле (5.2) нерелятивистский гамильтониан атома и поля излучения имеет вид

Н = 十磊 + е卩(I / - g D +

+ £ h^iOi^aio — —- (4 (хр) м) + — (4 (記J 〃2)・(5.99) Га Р е

Очевидно, что в гамильтониан (5.99) входят два значения векторного потенциала, соответствующие положению протона и положению электрона. Нам необходимо рассмотреть главным образом атомное ядро, так как в основном оно и испытывает отдачу. Эта отдача и позволит объяснить эффект Допплера.

(5.100)(5.100)Введем новые переменные. Пусть

(5.100)

(5.100)

-тр + те "

— координаты центра масс атома и

р =(宓р —(5.101)

—относительные координаты двух частиц. Обобщенные импульсы, сопряженные переменным | и р, будут в данном случае выражениями вида

^ = >1£ = М奇-岩卜(5」02)

где М тр Т те — полная масса атома и 卩= =7&тт1р/М— приведенная масса.

Как обычно, предположим, что длина волны излучения велика по сравнению с размерами атома. Тогда в гамильтониане в члене, описывающем взаимодействие, переменные хр и хе можно заменить на 自,т. е. считать поле в атоме постоянным и равным полю в центре масс атома. В этих переменных гамильтониан (5.99) примет вид

〃 =% + %,(5.103)

где

Н。=舞 + 卷 + eV (Р) + 2 力3激％(5.104)

〃1=一^(4(自)勿乱(5.105)

Первый член в HQ описывает свободную частицу с массой М и импульсом р^, точнее, движение ее центра тяжести. Если мы пользуемся нормировкой по объему полости (см. [4], стр. 66), то собственные функции этого гамильтониана имеют вид

L ®ехр (彳侬三))，(5.106)

где 淡一собственные значения оператора импульса. Эти собственные значения дискретны, так как волновые функции должны удовлетворять периодическим граничным условиям на противоположных стенках полости. Собственное значение энергии для этого состояния равно р^/ 2М.

Следующие два члена в выражении (5.104) описывают движение электрона относительно протона. Энергетические собственные функции для этих членов являются не чем иным, как водородными волновыми функциями. Мы обозначим их через | 汽〉,при этом энергия каждого состояния равна Еп. Последний член в гамильтониане (5.104) определяет энергию свободного поля излучения. Собственное состояние поля, соответствующее энергии 冷1 方oh + + щК^1 十..., обозначим | 汽「 咒2，・・・，咒，，•••〉. Таким образом, собственное состояние гамильтониана Но можно обозначить

丨 п, п2,...>,(5.107)

причем этому состоянию соответствует собственное значение энергии

ъ(5.108)

W" Н- Er +7?1 力(01 + ... + 721五81 + ."•

В этом случае уравнения движения для амплитуд вероятностей (5.19) принимают вид

. de ,

"无1 力7 (#已，% %，•••，&,♦•♦)=

=2〈"；，九，勺，…，仰，…|%1匹，m,""，…，叫，…)X

X e (网,m, mъ皿，…)或%Ь， (5.109)

где

方зaь = (_^^ + "n -卜 72]方0)1 ++ nfi^i +

-+ 区"+ " 1方co1+++ …)，(5.110)

а взаимодействие описывается гамильтонианом

+ a^ exp (— ik^)] (e(a pp). (5.111)

В результате нетрудно вывести закон сохранения импульса, если вычислить матричные элементы

〈网I Hi丨网〉〜3 -W*e*p[((^-观±位2 +全闻自)]，

(5.112)

Очевидно, что эти матричные элементы равны нулю всегда, за исключением случая, когда

Р；-р^±Пк1.(5.113)

Это равенство и дает как раз закон сохранения импульса системы, состоящей из фотона и атома. Если матричные

элементы Н^ равны нулю, то переходы невозможны. Следовательно, для разрешенных переходов выполняется закон сохранения импульса. Таким образом, закон сохранения импульса содержится и в квантовой теории поля.

После этих рассуждений отличные от нуля матричные элементы гамильтониана Н* можно записать в виде

\PV », /гп пь ••• 1-^11 ^ —方他，加，勺，…，吃 + 1,…〉=

= --^1/片gU©。勿wm)，(5・114a)

〈勿匕，孔，鹿и …，W，• •，IН11 〃匕 + hk(、ЛЬ, 71 j, ..•,几11,...〉=

=-J2^ (e，。少pnm), (5.1Mb) где согласно (5.49)

鈺 nm =〈因弘|冷=牛(Е" —%)⑺ p|^〉(5.115) (обозначения несколько изменены).

Закон сохранения энергии в такого рода процессах следует как из теории возмущений, так и из приближения Витера ——Вайскопфа, которое мы использовали в теории естественной ширины линии. Таким образом, объяснение эффекта Допплера содержится и в квантовой теории излучения.

Допплеровское смещение частоты излучения движущегося атома приводит к дополнительному уширению спектральной линии. Это дополнительное уширение можно объяснить следующим образом. Импульсы молекул подчиняются распределению Максвелла. Если газ имеет температуру 7, то вероятность того, что молекула имеет импульс в интервале от до 轡£равна

ехР (—鳶г) &网.(5.116)

Когда такая молекула излучает фотон с частотой со；, энергия и импульс системы должны сохраняться. Это налагает определенные ограничения на возможные

значения 第"Согласно (5.95) имеем

备（覆一网2）=无（9,-3）（5.117）

другой сто- и пренебре-другой сто- и пренебре-(обозначения (5.95) несколько изменены). С роны, возводя в квадрат соотношение (5.96) гая членами порядка 1 / с* получил!

другой сто- и пренебре-

другой сто- и пренебре-

击（纶一峭。甯网，（5.М8）

где 0k — компонента импульса 啰£ в направлении излучения. Сравнивая соотношения (5.117) и (5.118), легко видеть, что для того, чтобы определить интенсивность излучения с заданной частотой о7, компоненту импульса @£ вдоль направления излучения следует считать постоянной. При этом компоненты импульса @£, нормальные направлению излучения к, могут принимать любые значения от ——оо до + оо. Таким образом, интенсивность излучения на частоте о/ пропорциональна выражению

d®； ехр (-2^-) = ехрd®； ехр (-2^-) = ехрMd (①；一働产], ,4Q.

d®； ехр (-2^-) = ехр

d®； ехр (-2^-) = ехр

2кТ ^2 成°厶(5.119)

где 方со。— Еп —— Em и s； —— частота излучаемых квантов. Это означает, что форма спектральной линии при допплеровском уширении описывается гауссовым распределением.

Интенсивность излучения также пропорциональна вероятности перехода в единицу времени из начального состояния, состоящего из атома с импульсом ^, находящегося в возбужденном состоянии | п), в отсутствие квантов, в конечное состояние, когда атом с импульсом 轡匕 находится в состоянии | т> и в системе присутствует один квант. Так как матричные элементы (5.114) не содержат импульса, то интегрирование (5.116) по компонентам импульса 锻е， перпендикулярным направлению излучения, несущественно.

Ширина линии, описываемой выражением (5.119), определенная по половине максимальной интенсивности,

равпа

6 = 3。/彌 In 2. (5.120)

Несмотря на то, что кТ « Мс2, допплеровское уширение оказывается гораздо более сильным, чем естественное уширение линии. Однако при частотах ①‘，далеких от резонансной частоты ①。,линия имеет лоренцевскую форму, соответствующую естественному уширению, в то время как допплеровское уширение при этих частотах несущественно. Это обусловлено более быстрым убыванием иа больших расстояниях экспоненты типа е~^ по сравнению с функцией вида (1 + а:2)-1.

Распространение света в вакууме [24]

В этом разделе мы покажем, как можно применить квантовую теорию к расчету интенсивности света, распространяющегося в свободном пространстве. Кроме того, квантовая теория излучения позволяет показать, и это мы также сделаем в настоящем разделе, каким образом фазовые соотношения между компонентами поля излучения приводят к конечной скорости распространения сигнала в вакууме. Эта задача связана с проблемой передачи и приема в радиосвязи и служит основой для изучения квантовых шумов в соответствующих технических устройствах.

Передатчик мы будем представлять в виде некоторого отдельного атома А, расположенного в начале координат. Пусть в момент времени t = 0 атом А находится в возбужденном состоянии. Через некоторый промежуток времени t атом Л переходит в основное состояние, излучая фотон. Приемником является другой атом В, расположенный по оси z на расстоянии г от начала координат (рис. 9). Пусть атом В находится сначала в основном состоянии. Фотон, излученный атомом Л, может провзаимодейство- вать с атомом В и перевести последний в возбужденное состояние. Так как излученный фотон распространяется со скоростью с, то поглощение его атомом В может состояться лишь через промежуток времени, равный г/с. Ниже мы покажем, как эти результаты получаются из квантовой теории излучения.

Рис. 9. Атом 4 возбужден и излучает; атом В поглощает излученный фотон после того, как пройдет время / > г/с.Рис. 9. Атом 4 возбужден и излучает; атом В поглощает излученный фотон после того, как пройдет время / > г/с.

Рис. 9. Атом 4 возбужден и излучает; атом В поглощает излученный фотон после того, как пройдет время / > г/с.

Рис. 9. Атом 4 возбужден и излучает; атом В поглощает излученный фотон после того, как пройдет время / > г/с.

Для упрощения анализа предположим, что среднее время жизни атома Л в возбужденном состоянии очень мало, так что можно сказать, что атом Л излучает фотон в некоторый определенный момент времени. В зтом случае, если l/丫厶 есть среднее время жизни атома Л в возбужденном состоянии, то

величина 丫厶 велика, и, согласно теории спонтанного излучения, приведенной в разделе 5.5, атом Л имеет широкий практически непрерывный спектр излучения. С другой сто- 夕 роны, мы будем считать,

что время жизни атома В в возбужденном состоянии достаточно велико(ув очень мало), так что атом В поглощает фотоны в очень узком спектральном диапазоне. Для наших целей

существенным является то обстоятельство, что, поглотив фотон, атом В сразу оказывается в возбужденном состоянии.

Мы предположим также, что длина волны излучения атома Л велика по сравнению с размерами обоих атомов. Это предположение позволит нам применять к обоим атомам соотношения (5.45) и (5.49).

Для простоты будем считать, что дипольные моменты атомов Л и В, соответствующие переходам между основным и возбужденным состояниями, параллельны оси 况.

Невозмущенпый гамильтониан атомов А л В и поля

излучения равен

НО^НА + НВ+НГ.(5.121)

Собственное состояние этого гамильтониана можно записать в виде

I Ео〉= I 孔；疗；几К〉・(5.122)

Эта запись означает, что атом Л находится в состоянии I 几〉,атом В находится в состоянии | м'〉и имеется 冷卜 квантов с импульсом 充历工，энергией 九со? и поляризацией а，

Состоянию I Е^ соответствует энергия

Eq — Еп + Enf + 方 g&a.(5.123)

Если I 几〉и I s) — состояния атома 4, а | 球〉且 | s'〉—— состояния атома В、то

方①ns ~ Еп — Е§,й(оп*8* — Епг —瓦j(5.124)

В наших новых обозначениях, используя соотношение (5.49), для атомов 4 и 笈 получим

电 I 轡4 15〉= Езп$%® 〈加 I рв I /> = im(dn^ 况п@, (5.125)

где рА и рв — импульсы атомов Л и 5, a m — масса электрона.

Галтильтониан взаимодействия атомов А и В с полем излучения имеет вид

% = —*(& (0) @4)一 普(4 (г к) 0в).(5.126)

Потенциал А для атома Л берется в начале координат, а для атома В ——на расстоянии г от начала координат по оси z. В этом случае потенциал 4(尹)описывается выра- л^ением (5.8). Теперь нетрудно вычислить необходимые для уравнений (5.19) отличные от нуля матричные элементы гамильтониана 方里，соответствующие переходу между двумя состояниями гамильтониана 反。.

Систему связанных уравнений (5.19) можно несколько преобразовать с помощью выражений (5.126). Для этого сначала вычислим отличные от нуля матричные элементы гамильтониана Н\:

〈九；加；nt^H^s; s’; 也。+ 1〉=

=-* m^Й? m/^^e” (⑺少a1s)例 1父〉+

+〈加| 尹广 cos 豆 рв IС <« I s〉)， (5.127)

5；加；&。I I s； s，； &。— 1> =

=試声不 J ^e^^n\PA\s><nr\s') +

+ SI L"，cos П Рв I S'〉51S〉)，(5.128)

где 0| ——угол между % и осью %• Так как мы предполагаем, что размеры атомов малы по сравнению с длиной волны, то множитель ехр (土 ikircos 0г) можно вынести из- под знака интеграла, и тогда, используя соотношения (5.125), для матричных элементов люжно получить следующие выражения:

〈九；九‘；九S \H1\s; X; nZa 土 1〉=

=—je=—jeV ^ztWz, aV ^ztWz, ae,0 (①ns况ns^Ti's，+e,0 (①ns况ns^Ti's，+

=—je

=—je

V ^ztW

z, a

V ^ztW

z, a

e,0 (①ns况ns^Ti's，+

e,0 (①ns况ns^Ti's，+

+卢m3支艮,况叫心)(5.129)

Первый член в этой сумме соответствует излучению (или поглощению) фотона атомом Л при условии, что атом В остается в прежнем состоянии. Второй член соответствует излучению или поглощению фотона атомом В при условии, что атом А остается в прежнем состоянии.

Используя матричные элементы (5.129), перепишем теперь систему связанных уравнений (5.19) в виде

=—” 2J е л/ 2EgL*石[У&а + 1 Sns ®G 宓 П8)X

x 6"3Х叫"e (s；九；nZo；+ 1, i) +

+ У/ ®ns(eZo3ens) e%3 c (s； 〃‘； &。一 1, f)]—

X [р^7ТГз；，，，е"к『с°^+з,„，广吁 X

X C(n; s'； nla 4- 1; f) + /〃卜 з；” X

X L叩c°se「3，n，s，-吁c (叫 s，；：&° 一 1, t)].(5.130)

Для простоты ocuoRHbie состояния атомов А и В обозначим индексом 1, а единственные принимаемые нами во

внимание возбужденные состояния этих атомов обозначим индексом 2 и введем новые обозначения:

—3]2 =二 ①21— 0),—① 12 === ~Н &21— CD ,

,,,(5.131)

比 21 '-比 12 =^ 宓，比 12 ==宓 21 ,-'比•

Напомним также прежнее предположение, что векторы 况 и 宓'направлены вдоль оси х. В момент X = 0 начальное состояние системы описывается кет-вектором I 2; I; 0; 土 = 0〉, и, следовательно,

с(2；1；0； £=0) = 1,(5.132)

а остальные коэффициенты с равны нулю. Задача состоит в тол1, чтобы найти вероятность того, что состояние системы в момент времени X будет описываться кет-вектором I 1; 2; 0; О- При переходе в это состояние атом Л должен излучить фотон, а атом В должен этот фотон поглотить. Как известно, эта вероятность имеет вид

I с (1; 2; 0; z) |2.(5.133)

Так как атом _В находится далеко от атома Л и его влияние па спонтанное излучение атома Л пренебрежимо мало, то для описания этого спонтанного излучения мы можем использовать результаты раздела 5.6. Предположим, что начальное состояние системы (5.132) распадается по закону

e(2； 1;0")=广以‘/2,(5.134)

где 1/ул — среднее время жизни атома Л. Если пренебречь присутствием атома В, то согласно разделу 5.6 решение уравнения (5.130) для с (1; 1; l；a; х) —— имеет вид С(1； 1； 1г°； ^) = 了謚声 j^：®。尤)一i(q_：)+ j/2

(5.135)

для промежутков времени, значительно больших времени, необходимого атому 4 для того, чтобы с полной определенностью перейти в основное состояние.

Для перехода из состояния | 1; 1; 1打〉в конечное состояние I 1; 2; 0 ) матричные элементы 况“ равны

нулю, и поэтому (5.130) переходит в следующее уравнение: 厶(勺幫；± = - VX

或g М2眺(J? у/

X e^ir^Qi+^^c(l; 1; I%。；力).(5.136) Остальные члены обращаются в нуль, так как предполагается, что у атомов имеется лишь по. два уровня. Если приближенное выражение (5.135) подставить в (5.136) и проинтегрировать по времени, то получим

c(l； 2； 0; /)2••尸e洋eJ x

X [1 — exp (— Z(g — W)£)b (5.137)

где использовано следующее начальное условие: при i = 0 с (1; 2; 0; 0) — 0. Сумму в выражении (5.137) можно оценить, если перейти к интегралу. Это преобразование длинно и неинтересно. Оно проделано в приложении Ж [24], где показано, что

опри力< 善，

с(1; 2; 0; £) =.

г 4冗龙"2(з—a/) + 丫厶/2]'/ с *

(5.138)

Таким образом, вероятность найти атом 5 в возбужденном состоянии в любой момент времени Z < г / с, меньший времени, необходимого фотону для того, чтобы достичь атома 5, равна нулю. Для 力〉r/с имеем

I ⑷ G u,矶一戸 I 4林 丿(① _ s，)2 +(j/2)2 -

(5.139) Эта вероятность обратно пропорциональна квадрату расстояния г.

В результате можно сделать вывод, что изложенная теория правильно предсказывает скорость распространения света и дает правильный закон убывания интенсивности света с расстоянием от источника.

Как и раньше, мы видим, что линия излучения имеет характерную лоренцевскую форму.

Полуклассическая теория электронногоспинового резонанса

Теория электронного и ядерного спиновых резонансов имеет много общего с теорией двухуровневого мазера, так как в обоих этих случаях исследуется взаимодействие излучения с двухуровневой квантовой системой. Мы довольно полно исследуем взаимодействие магнитного дипольного момента (спин 1/2), находящегося в постоянном магнитном поле, с высокочастотным магнитным полем, так как это взаимодействие играет важную роль в современных исследованиях. Случай взаимодействия электрического дипольного момента (важный для аммиачного мазера) с высокочастотным электрическим полем формально ничем не отличается от случая взаимодействия магнитного диполя с высокочастотным магнитным полем и может быть описан в рамках той же теории.

В настоящем разделе высокочастотное магнитное поле будет рассматриваться классически. Это означает, что мы пренебрежем обратным влиянием спина на поле [30]. В разделе 5.11 мы проквантуем поле излучения и учтем влияние спина на ноле. Эта простая проблема может быть решена полностью.

Гамильтониан магнитного диполя N, находящегося в магнитном поле 7Г, имеет вид

Н = — 3 Н),(5.140)

Для электрона со спиновым моментом 1/2 方 магнитный момент равен

2=——^~б(5.141)

где у ——гиромагнитное отношение, а ах, av, az ——спиновые операторы, введенные в разделах 2.6 и 3.8. Выберем магнитное поле Н в виде

Н 二(％cos(o厶 HiSins%, Яо), (5.142)

где Н^ —— постоянное магнитное поле, направленное вдоль оси z, и Н± ——высокочастотное циркулярно поляризованное поле. Тогда, используя соотношения (5.140) и (5.141),

приходим к гамильтониану вида

[Яобг + Нг (бж cos wf 5У sin ^)]. (5.143)

Если о* и g выразить через % и о一 (см. (2.79)), то гамильтониан Н можно привести к виду

Н =吟[Яобг + Ях (*тз, + 匸鎖].(5.144)

Уравнение Шредингера

нI屮⑴〉=力方叫犷••(5.145)

с таким гамильтонианом может быть решено точно. Если Н\ = 0, то согласно разделу 2.6 собственные значения оператора 仇 равны ± 1 и соответствуют стационарным состояниям I 土 1〉・ Таким образом, собственные значения энергии невозмущенного гамильтониана равны

Е± = 土胃(5.146) где

So =(5.147)

Общее решение уравнения (5.145) при Ях = 0 согласно разделу 2.8 имеет следующий вид:

I 屮(£)〉— Qe-'3°t/2 J + [〉+ с^^^ I — 1),(5.148)

где I сг I3 ——вероятность того, что величина az находится в состоянии I + 1), и I с2 |2 ——вероятность того, что эта величина находится в состоянии | ——1>. Условие нормировки на единицу требует, чтобы выполнялось равенство

Е = 1.(5.149)

Используя соотношения (2.97), (2.100) и соотношения ортогональности, можно показать, что для | 呻 ⑺〉，определяемого формулой (5.148), имеют место равенства

〈%〉= - % (匕力及。^ 一 %盛73吗， 〈邑〉=1?产一岡 2,(5.150)

〈斗〉=乩2战*

Таким образом, ожидаемое значение ог постоянно, а ах и % прецессируют вокруг оси z и при этом < ах>2 +〈 а„>2 = =4|q I 2& 艮

Если Нг 用 0, то Н] мы можем рассматривать как возмущение, вызывающее переходы между состояниями I + 1〉и I — 1〉. Однако с помощью простого преобразования можно прямо получить решение уравнения (5.144). Пусть

I 屮 «)〉=『з%/2|%(“.(5.151)

Это преобразование пе является преобразованием к представлению взаимодействия. Подставляя формулу (5.151) в уравнение (5.145), в котором Н определяется с помощью (5.144), получим следующее уравнение для | %«)〉：

i 0 艺"-4 {(05。一饿)兔 + 丫%[eй3& «) + 礙3匕一⑼} X

Х|х(0>>(5.152)

где

<5土 0) = /3%%土е-зг%/2.(5.153)

Согласно теореме 13 гл. III (см. (3.169)) при 自=力①% имеем

о土(力)=о土е 土 S(5.154)

Подставляя это соотношение в уравнение (5.152), приходим к уравнению, не содержащему явной зависимости от времени:

i ^1^ = 4 [® — з) J + 丫"1 9+ + б-)] I % «)〉• (5.155)

В этом уравнении операторы о土 и а2 соответствуют шре- дингеровскому представлению. Если бы мы воспользовались представлением взаимодействия, то гамильтониан зависел бы от времени явно. Теперь можно сразу найти решение уравнения (5.155). Для этого введем обозначения

Й cos 0 (оо ■— со, Й sin 0 = уН^ (5.156)

где

Q2 = (з、一①_о)2 +(¥%)2,

и воспользуемся соотношением (2.79). Тогда формальное решение уравнения (5.155) имеет вид

|%«)〉= ехр (— -^-(cos0з2 4- sinQojJ I 4)(0)>.(5.157)

Воспользуемся теоремой 14 гл. III (см. (3.178)), в которой положим Е = —%XQ%cos8 и 刀=—х/2/Й^ sin 9. Тогда для I 巾(力〉получим выражение

I 屮(力)〉="[с。，号is»11 岑-(cos8邑 +

+ sin 8 %)] I 屮(0)〉三 U (力 0)| 屮(0)3 (5.158)

Это выражение определяет полное решение уравнения Шредингера с гамильтонианом (5.144).

Так как состояния | + 1〉и | ——1) представляют собой полную систему., то функцию | 巾(£)〉можно разложить по этой полной системе функций точно так же, как это было сделано в (5.148). Однако теперь коэффициенты q и с? будут функциями Л Таким образом, величины

I q ⑵「=丨(+ 1 I 巾⑵〉I2, 1 & (力 I2 - I <-1 1^(0)!3

(5.159)

дают вероятности обнаружения спина в момент £ соответственно в состояниях I +1> и I —1>.

Пусть, например, первоначально система находится в состоянии I 屮(0)> = I +1〉. Воспользовавшись соотношениями (2.97), (2.100) и (5.158), легко получаем

I & (012 sin2 9 sin2 -^- .(5.160)

Эта величина дает вероятность того, что спин, находившийся при 力=0 в состоянии 1+1〉，будет в момент времени i в состоянии I —1>. Подставляя вместо 0 и Й их значения (5.156), получим

I С2 (£) |2= ®К儁* Sin? (4 U Л 也)2).

(5.161)

Вероятность | q(%) |2 определяется из условия нормировки I (г) I2 = 1 - I & (г) I2.(5-162)

Если первоначально система находилась в состоянии I ——1), то вероятность обнаружить систему в момент времени X в состоянии | +1> также дается выражением (5.161). Поэтому вероятности излучения и поглощения фотонов равны друг другу.

Вероятность перехода (5.161) приближается к единице лишь вблизи резонанса, т. е. в том случае, когда частота приложенного поля равна s =①。=丫笈。. Вдали от резонанса вероятность перехода, вызванного высокочастотным полем, пренебрежимо мала.

Прежде чем закончить этот раздел, рассмотрим временную зависимость о七(£)и Oz(小 Для зтих операторов можно написать гейзенберговские уравнения или воспользоваться соотношениями

0¥⑴=/1(f,0)(5步《,0),

(5.163)

где U (^, 0)——унитарный оператор, определяемый ср отношением (5.158). Используя результаты раздела 2.8, можно получить эти операторы в гейзенберговском представлении. В порядке упражнения покажите, что

Oz(D = (cos29 十 sin29 cos Q^)^z + (sin 0 sin ^f)ay +

+ (sin 20 sin2 Qi / 2)o%. (5.164)

Если при £ = 0 I 巾(0)> = I +1>, то согласно (5.158), (2.97) и (2.100) имеем

I 屮(力)〉=с""1 (cos — t sin cos 9)I + 1〉一

• 3土C

ie 2 sin-^sin9| -1>. (5.165)

Таким образом, ожидаемые значения операторов о土 (£) и %«) равны соответственно

〈屮(川 I 屮(/)) -干 ie^1 sin-^-sin 9 (cos 号-土

±/sin-^-cos9),

(5.166)

〈屮(£) I 0z I 屮(*)〉H cos2 ~^~ 4- sin2 -^- cos 20.

При резонансе, когда s = со。， 9 — л/2, Q = уН^ из (5.166) следует, что

〈0н〉= sin 3()力 sin (?女亚)，

〈厶〉=—cos co。/sin (?%，，(5.167)

〈Oz〉= cos(Y%z).

Таким образом,〈о*〉и <(yy> прецессируют вокруг % с частотой й)0» а <(у2> колеблется с частотой уН\. В соответствии с принципом Эренфеста эти результаты согласуются с классическим поведением магнитного момента в постоянном магнитном поле и перпендикулярном ему высокочастотном циркулярно поляризованном магнитном поле. Если Нг <^ Яо, то спин может совершить много оборотов вокруг направления поля Н^^ прежде чем значительно изменится величина〈о〉

Влияние соударений на уширение линий

• двухуровневой спиновой системы

В предыдущем разделе мы предполагали, что взаимодействие спина с полем продолжается бесконечно долго. В газе при отличной от абсолютного нуля температуре имеют место хаотические соударения между молекулами, которые прерывают взаимодействие спина с полем. Этот эффект оказывается весьма важным в газовых оптических квантовых генераторах, ибо он приводит к уширению спектральной линии. Мы уже изучили два механизма уширения спектральной линии: естественное уширение линии и допплеровское уширение. Теперь рассмотрим соударения.

Если соударений нет, то между спинами и полем имеет место обмен энергией. Мгновенное значение потока мощности при таком обмене равно

0u)=无5亲心(川2,(5.168)

где I 夕2(力)I2 определяется соотношением (5.161).

Предположим теперь, что имеют место соударения. Тогда вероятность того, что за время £ не произойдет соударение, равна ехр(—//Т2), где 北 一 среднее время

между соударениями. Вероятность же того, что послед- пее соударение произошло в интервале времени от t до £ + d厶 равна

赍 e-m.

Таким образом, средняя мощность переноса энергии от поля к спинам или обратно равна

乃=晒^足&(川5屮咨3о

или согласно (5.161)

『2 (o - coo)2 + (^H^ 4- (l/r2)3 '丿

Таким образом, в результате уширения из-за столкновений линия спинового резонанса приобретает лорениев- скую форму.

Спиновый резонанс в квантованном поле [30]

В разделе 5.9 мы рассмотрели поведение частицы со спином 1/2, взаимодействующей с классическим полем излучения, при условии, что обратным действием частицы на поле пренебрегается.

Сейчас мы рассмотрим ту же проблему, но при условии, что поле является квантованным и учитывается обратное влияние спина на поле.

Рассмотрим небольшой образец, содержащий частицы со спином 1/2 и расположенный в таком месте резонансной полости, где магнитное поле данного типа колебаний имеет лишь одну компоненту, а именно направлено вдоль оси 力.

Как показано в гл. IV, энергия этого типа колебаний поля равна

Япем = Й(оа+а?(5.170)

где (о ——частота данного типа колебаний.

Согласно формулам (5.140) и (5.141) энергия взаимодействия имеет вид

Mnt = \ 岑 9H)dT = YE。呉+ 吟読也d%(5.171)

тт

где Но ——величина постоянного магнитного поля, направленного вдоль оси z, Н х — высокочастотное поле в образце, т ——объем образца. Если воспользоваться соотношениями (4.55) и (4.76) и считать образец малым, то из выражения (5.171) следует, что

Hint =賢-邑十方店(〃+ 〃+)%,(5.172)

где 场 ——малая величина, в которую вошли все множители перед оператором ах в выражении (5.171), которых нет в формуле (5.172).

Так как в силу (2.79) 0%= а+ + о_, то мы можем сложить выражения (5470) и (5.172) и записать полный гамильтониан в виде

Я = Йсоа+а + 方｝ °z + 无&(а +。+)(% + L)・(5.173)

Этот гамильтониан можно упростить следующим об - разом. Когда 场=0, т. е. когда отсутствует высокочастотное поле, то временная зависимость гейзенберговских операторов имеет следующий вид:

а (/) = а (0) е~ы, j (t) =。+ (0)如吟 (5.174) a+ (i) = a+ (0) ^叫 0一(方)—0-⑼e"。匚

Следовательно, вблизи резонанса (①仁働)члены @о+ и а+о_ в выражении (5.173) остаются практически все время постоянными, в то время как члены а。一 и а+о七 быстро меняются с частотами 土 (з + s())・ Для не очень больших интервалов времени, которые нас только и интересуют, быстро осциллирующие члены можно в среднем приравнять нулю. Тогда гамильтониан (5.173) с

хорошим приближением оказывается равным

Н =加0〃+@ + 1/2屯①、о% + 万乃(а+о_ + а%). (5.175)

Как известно, линейно поляризованное высокочастотное поле можно разложить на две "— право- и левоциркулярно поляризованные ——компоненты. Приближение (5.175) эквивалентно учету лишь той компоненты, которая вращается в ту же сторону, что и спин. При небольших амплитудах высокочастотных полей ошибка оказывается незначительной.

Гамильтониан (5.175) эрмитов и учитывает как влияние спина на поле, так и влияние поля на спин.

Теперь задача заключается в решении уравнения Шредингера с гамильтонианом вида (5.175). Здесь мы приводим решение, принадлежащее Джейнсу и Каммингсу [30].

Для удобства вычислений введем два новых оператора:

S+ 二 耳优， S_ = о,+.(5.176)

В порядке упражнения предлагается, исходя из коммутационных соотношений (2.80) и [а, а+] = 1, доказать справедливость следующих коммутационных соотношений для операторов 用土：

m+a, S土] = + S土，[gz, S±] = 土 2s±，

俗+, 6」= 峙 久 + а+а&.(5.177)

В дальнейшем будет показано, что гейзенберговские уравнения движения для этих операторов оказываются нелинейными. Два первых интеграла этих уравнений можно найти, не решая их. Проверкой можно убедиться, что операторы

C^oja+a+^j, G = 6(S+ + S_) —霊“，(5.178)

где As= s— со。, коммутируют с гамильтонианом (5.175) и потому являются интегралами движения. Из выражений (5.178), (5.176) и (5.175) следует, что

Н ―方(С\ + С2).(5.179)

Таким образом, С1 и С3 не зависят от Н. Используя соотношения коммутации (5.177), можно показать, что

【％, С2] - 0,(5.180)

и, следовательно, операторы Сх и С2 по отношению друг к другу можно считать с-числами.

Если взаимодействие спинов и поля излучения отсутствует, то имеется полная система базисных векторов： состояния поля излучения | п), удовлетворяющие условию а+а |孔〉=孔 I 孔〉,и состояния спина | 土 1〉, для которых % J 士1〉= 士 I ±1〉・ Эту систему векторов можно использовать в качестве базисной системы для разложения вектора состояния в интересующей нас задаче. Нетрудно видеть, что

Л 九，土1)三 s (我+a + %0?)| 7b 土 1)=

=co 仇士 1/2) I n, 土 1>.(5.181)

Таким образом, оператор С\ имеет собственные значения (о(^ + х/2) и собственные векторы | п, 土 1>, и, следовательно, этот оператор диагоналей в этом представлении. Оператор С2 не диагоналей в этом представлении. Но в силу коммутативности операторов С工 и С2 можно найти такое представление, в котором оба оператора диагональные (см.⑵).Для этого в качестве базисных векторов следует взять некоторые линейные комбинации собственных векторов оператора С\. Если операторы Сх и С2 будут приведены к диагональному виду, то согласно формуле (5.179) гамильтониан Н будет также представлен в диагональном виде, и поэтому соответствующее представление можно назвать энергетическим. Если гамильтониандиаго- нализован, то тем самым решено и уравнение Шредингера.

Хотя мы можем взять произвольную линейную комбинацию собственных векторов оператора Q, мы выберем некоторую специальную простую линейную комбинацию и проверим, может ли она быть собственным вектором оператора С2 (или оператора Я). Рассмотрим для этого следующие векторы состояний:

I Ф (九，1)> = cos 0n I п + 1,—1> + sin 0n I п,+1>,

1 屮仇，2)> = —sin 0„ 1 и + 1,—1> + cos 0„ I п,+1>, (5.182)

где состояние | п +1, ——1〉соответствует наличию п + 1 квантов поля и спину, ориентированному вниз, а состояние I 孔,-卜1〉 соответствует наличию п квантов поля и спину, ориентированному вверх. При этом одно из состояний системы, I 0,——1), оказывается не включенным в выбранный нами набор состояний — это состояние, в котором отсутствуют кванты, а спин ориентирован вниз. Это состояние мы рассмотрим отдельно и будем называть его основным состоянием, '『гол f九 представляет собой свободный параметр, выбираемый так, чтобы векторы I 屮(汽,1)> и I ср (几，2)〉 были собственными векторами оператора С2- Lbicao п изменяется от 0 до в.

Предварительно заметим, что

<Ф 5, 1) I 9 (% 2)> = 0,(5 伤3)

〈ср (% 1) I ф(п, 1)> = <q> (п, 2) I <р (% 2)> = 1.

Оба состояния (5.182) ортох^ональны основному ^состоя- нию I 0, —1). Кроме того, в соответствии с соотношениями (5.181) имеем

G I 屮(",1)) = 3 (n + ) I T (九,1)),

Ci I <P («, 2)> == 3 (九 + 72) I ф (& 2)>,(5.184)

Ci|0,-l> = -^-|0,-l>,

так что при любом выборе параметра 0rt состояния I(p(n, 1)) и I (р (тг, 2)〉 представляют собой вырожденные состояния оператора Сг *).

Подействуем теперь оператором. С2 на векторы

I 屮(儿，1)> И I 中(九，2)>.

Легко получить следующие соотношения:

С2 I 屮仇 1)> = (кУ^+1 sin0пЧ-^Д(о cos0П)| тг+1,—1>-Ь

+ (Л]Лn + 1 cos 0П — Х/2Д(о sin 0rt) I n, +1〉，(5.185)

C2 I 屮仇，2)> =体]/^+l cos 8冷一％As sin 0n) | 孔十1,—1〉一 -(4/^M sin 0n + V2A cos £) I n, +1>.(5.186)

При выводе (5.185) и (5.186) мы воспользовались равенствами

I —十 1|"，十 1),

S+|% + 1〉= 0,(5.187)

S_ |孔 + 1, •l〉= 0,

S」〃,+1〉= f^T+T |м + 1,- 1).

Для того чтобы векторы | ср (/г, 1)> и | ср (几,2)> были собственными векторами оператора С2, нужно, чтобы

С2 丨屮⑺，1)> - Ч I 屮仇，1)>,(5.188)

с2 I <Р («, 2)> = Г I <р (", 2)>.

Сопоставляя выражения (5.185), (5.186) и соотношения (5.188), можно видеть, что при

tg&£^ jи % = + MQ/2A9)2 + 庐 5 十 1)

П(5.189)

векторы I ср (几,1)> и I 屮(办，2)> будут собственными векторами для оператора С2 с собственными значениями 土 入".

Иными словами,九； 二 一 入几.Тогда с помощью простых тригонометрических преобразований можно получить

и для основного состояния

才|0, 一1〉=-贈 |0,-1〉.(5.192b)

Интересно, что собственные состояния гамильтониана Н являются линейными комбинациями собственных состояний невозмущенпого гамильтониана IIQ.

Полезно иметь выражения состояний | тг, ±1〉певоз- мущелного гамильтониана Н° через состояния | 屮(咒,1)> и I <р (п, 2)>. Из соотношений (5.182) и (5.183) следует, что

I П + 1, —1> 匸 COS 9" I ф (% 1)> — Sin 9n I 屮(n, 2)>,

(5.193)

I M +1> = sin 9n I 屮仇，1)> + cos 9n I ф (n, 2)> и

〈孔 +1, —1 I ф (n, 1)> = cos 0n = <n, +1 I Ф (n, 2)>,

(5.194)

+1 I <p (电 1)> = sin 九=—5 +1, —1 I Ф (^, 2)> (n — 0, 1, 2,…,8).

Вычислим теперь вероятность перехода между начальным состоянием (| п, +1〉), в котором имеется п квантов и спин, ориентированный вверх, и конечным состоянием (I п Ц-l, ——1)), в котором имеется п + 1 квантов, а спин ориентирован вниз, и сравним результаты с результатами раздела 5.9.

Так как гамильтониан (5.175) явно не содержит времени, то решение уравнения Шредингера можно записать в виде

I 屮⑴〉=eхp (一學)I 屮(0)>,(5.195)

где в рассматриваемом случае | 屮(0)> = | n, +1〉. Вероятность обнаружить в момент ^ n + 1 квантов и спин, ориентированный вниз, равна | <п + 1» —1 | 巾(%)〉I 2- Используя (5.192а), (5.189) и (5.190), получаем для этой вероятности выражение

|5 + 1, — 1|ехР(—-^)ln> + 1>|2 = sin2 20nsin2M = =(厶裁爲患fsin2(等"△3)2十4依陋十1)).(5.196)

С другой стороны, эта вероятность равна вероятности перехода из состояния | 〃 + 1, —1) в состояние | /z, +1〉.

Сравнивая этот результат с выражениел! (5.161) для случая неквантованного поля, видим, что обе вероятности очень похожи. Квадрат амплитуды высокочастотного поля Н? в формуле (5.161) пропорционален числу квантов поля п. Разница состоит в том, что выражение (5.196) содержит спонтанное излучение. Его учет привел к тому, что везде п заменялось па (п 十 1). Таким образом, даже если 孔=U, спин может опрокинуться и излучить квант, который потом может быть снова поглощен. Джейнс и Каммингс [30] показали, что если при полуклассическом рассмотрении учесть обратное влияние спина на поле излучения, то спонтанное излучение возникает и в полу- классической теории.

ЗАДАЧИ

Гамильтониан электрона в кулоновском поле в одпоэлокт- ронном атоме имеет вид

где использованы обычные обозначения. Напишите гейзенберговские уравнения движения для рн (/) и азн(£). Предположите, что жир подчиняются коммутационным соотношениям вида [久韜 pj] — X应6行 (厶 j = 4, 2, 3).

Выведите золотое правило Ферми в том случае, когда конечное состояние дискретно, а начальные состояния образуют непрерывный спектр.

Оцените индуцированный дипольный момент (5.51) атомного водорода, соответствующий переходам между 1$- и 25-состояниями и между 1s- и 2р-состояниями. Волновые функции можно найти в любой книге по квантовой механике.

Полная интенсивность излучения изотропного источника может быть получена интегрированием выражения (5.59) по всем телесным углам и умножением полученного выражения на 2. Таким образом, получаем /0 = nh^/^c2, где п ——среднее число излучен- ных квантов. Вычислите отношение u?abs в (5.63) к и、р в (5.69). При каких условиях это отношение может равняться еди1шце?

Если система двухуровневых атомов с энергиями Еа и Еъ находится в тепловом равновесии с тепловым резервуаром при температуре Т, то число атомов в состоянии |。〉 пропорционально ехр (——EaJkT), а число атомов в состоянии | 6〉пропорционально ехр (——Е^/кТ\ где к — больцмановская постоянная. Покажите, что если атомы находятся в тепловом равновесии с излучением, то

среднее число квантов определяется планковским распределениемй = [ехр (拼)-1]：

где 九①=Eq — Е& Указание: воспользуйтесь результатами задачи 5.4.

Вычислите естественную ширину спектральной линии атомарного водорода, соответствующую переходу 2P — 4s. Сравните результат с наблюдаемой шириной линии.

Вычислите допплеровскую ширииу спектральной линии атомарного водорода, соответствующую переходу 2P — 4s. Водород находится при комнатной текшературе.

Решите гейзенберговские уравнения движеиия для операторов спина о% (力)и о? (/), пользуясь гамильтонианом (5*244)* Выразите полученный результат через операторы 小十(0) и <з2 (0). У к а- з а н и е: сделайте подстановку <5十(£) = S±7$) ехр (土 i(o/).

Проверьте соотношение (57180).

Найдите гейзенберговские уравнения движения для операторов 。+。, nz и 5+,используя гамильтониан (5.175). Из этих уравнений выведите два интеграла движения (5.178). Исключите из этих уравнений операторы а+ а и 5十 и получите уравнение только для о%. Один пз интегралов этого уравнения очевиден. На основе этого интеграла покажите, что оператор о% содержит эллиптические функции.

Глава VI

КВАНТОВАЯ СТАТИСТИКА

Введение

Необходимость применения статистических методов возникает в квантовой механике по тем же причинам, что и в классической механике, а именно из-за недостатка информации об изучаемой системе. Обычно система имеет так много степеней свободы, что физически невозможно проделать необходимое число измерений для того, чтобы полностью определить состояние системы. Для предсказания результатов измерений, производимых над системой, о которой известно очень мало, должны быть ио пользованы статистические методы, требующие введения понятия ансамбля. Ансамбль ——это совокупность систем, тождественных по своим свойствам с изучаемой системой. Если задана некоторая информация о системе, например ее средняя энергия, то тогда каждая система ансамбля будет иметь точно такую же среднюю энергию. Остальные, неизвестные, параметры этой системы отыскиваются для различных систем этого ансамбля с помощью некото^ рого метода, который будет обсужден позднее. Понятие ансамбля является полезным потому, что средние значения физических величин по ансамблю равны истинному значению рассматриваемой физической величины для изучаемой системы.

Как мы уже видели ранее, вероятностная интерпретация волновой функции приводит к появлению дополнительных статистических свойств в квантовой механике. Даже в том случае, когда известно, что система находится в состоянии I 6〉, в силу достаточно большого числа измерений, проделанных над системой для определения состояния ［屮〉,мы все же можем говорить тодако о то а/, что

некоторое измерение величины А будет давать величину а с вероятностью | (а | 屮〉产，где А | а> = а | а>. В этом случае необходимость в статистическом описании системы возникает не в силу некоторого недостатка информации о состоянии системы, а скорее из-за фундаментальной природы возмущения, вызванного самим процессом измерения. Такие статистические свойства отсутствуют в классических системах.

Мы уже могли убедиться в полезности введения ансамблей в квантовой механике. Если состояние изучаемой системы описывается волновой функцией или, что то же самое, вектором состояния | 屮〉，то по определению система находится в данном случае в чистом состоянии. Это означает, что мы обладаем полной информацией о системе, которая допускается квантовой механикой. Если оператор 4 представляет наблюдаемую величину, то среднее значение оператора А равно

Для получения этого среднего значения мы берем большое число одинаковых систем, каждая из которых приготовлена одинаковым образом в состоянии | 巾、,ес измеряем величину А для каждой системы ансамбля. Эти измерения усредняются и должны совпадать с выражением (6.1). Следовательно, мы уже имели дело с ансамблялти, ибо все квантовые средние значения ——это средние значения по некоторым ансамблям. Если система находится в чистом состоянии (оно изображается вполне определенной волновой функцией или вектором состояния), то каждый элемент статистического ансамбля находится в том же состоянии.

С другой стороны, если не было проведено необходимого количества измерений для установления того факта, что система находится в состоянии | 巾〉,то тогда имеется недостаток информации о состоянии системы, которую можно было бы в принципе получить. В связи с этими соображениями, если состояние системы не известно с достаточной полнотой и определенностью, то система, по определению, находится в смешанном состоянии. В этом случае должен быть сформирован ансамбль из таких систем, которые находятся в различных возможных

состояниях, «взвешенных» в соответствии с той частичной информацией о состоянии системы, которую мы в состоянии получить. Если известно, что р@ ——вероятность того, что система находится в состоянии | 少〉，то тогда среднее значение оператора А равно

〈4〉= 2р巾〈4〉中Н2p屮〈屮14|屮〉， (6.2) ф ф

где мы положили〈屮 | 屮〉=^二 2. Сумма вычисляется по всем возможным состояниям I 屮〉системы. Величины рФ являются вероятностями, или весовыми факторами, и поэтому удовлетворяют соотношению

$ 网=1, (6.3) ф

Напомним, что когда состояние системы известно не полностью (смешанное состояние), то ансамбль формируется так же, как и в случае, когда состояние системы задано полностью (чистое состояние); просто в первом случае различные члены ансамбля «взвешены» в соответствии с некоторым распределением вероятностей. Метод определения весовых факторов будет обсужден позднее.

Для облегчения вычислений средних по некоторому ансамблю фон Нейманом [31, 32, 9] была введена матрица плотности, или статистический оператор. Этот же вопрос детально обсуждается и в книге Толмена [33]. В последние годы во многих областях физики наметились новые важные применения матрицы плотности. Обзоры Фано [34] и Тер-Хаара [35] дают некоторое представление о том, как широка область применения статистического оператора. В данной главе мы дадим краткое введение в этот вопрос и некоторые применения статистического оператора.

В следующих двух разделах мы определим статистический оператор и установим некоторые его свойства. В разделе 6.4 мы выведем уравнение движения для этого оператора; оно описывает эволюцию статистической «смеси» с течением времени в отсутствие возмущений, вызываемых измерением. В разделе 6.5 будут обсуждаться чистые и смешанные состояния квантовых систем, а связь между матрицей плотности и энтропией будет ус-

тановлена в разделе 6.6. Это позволит нам дать метод определения статистического оператора, исходя из данной информации о системе. В разделе 6.7 мы вычислим матрицу плотности для ансамбля частиц со спином 1/2. В этом случае мы будем считать каждую частицу одним элементом ансамбля, что обычно принято делать, когда имеют дело с большим числом одинаковых частиц. В следующем разделе мы определим квантовую характеристическую функцию для ансамбля систем и покажем, каким образом эта функция может быть использована для изучения статистических свойств квантовых систем, находящихся как в чистых, так и в смешанных состояниях.

Разделы 6.9 и 6.11 будут посвящены изучению некоторых свойств электромагнитных полей, имеющих пуассоновское и экспоненциальное (или гауссово) распределение вероятностей нахождения фотонов по заданным разрешенным для них состояниям.

В гл. IV мы уже видели, что сигнал генератора образует распределение Пуассона по модам резонатора. Здесь мы снова обсудим этот вопрос. Эти результаты полезны для изучения квантовых шумов в линейных усилителях. В разделе 6.12 мы рассчитаем энтропию некоторых ансамблей.

Статистический оператор

Для описания системы, вероятность нахождения которой в состоянии I 屮〉равна р^, вводится оператор

р = 2а〉а〈"Н (б・4)

Такой ансамбль описывает статистическую《смесь», в которой информация об определенном состоянии системы является не совсем полной. Состояние | 屮〉 является одним из возможных состояний системы, а величина р屮 определяет вероятность того, что система находится в любом из состояний I 巾〉.Для удобства мы предположим, что 〈2 I 2〉= 1, но различные состояния | 屮〉,вообще говоря, не являются ортогональными. Поскольку величины р^ определяют вероятности различных состояний | 巾〉，то

очевидно, что они должны удовлетворять условию

Рф > 0,2网=2，(6.5)

Ф

Величина р, определяемая равенством (6.4), называется статистическим оператором; она описывает ансамбль квантовых систем.

Поскольку величина р является оператором, то этот оператор всегда можно задать в лтатричлом представлении. Рассмотрим в качестве простого примера ансамбль гармонических осцилляторов. Мы можем выбрать в качестве базисных векторов собственные состояния оператора энергии { I ?г>} и записать оператор (6.4) в этом представлении:

51Plzг，〉=25| 屮〉网(а 心.(6.6)

Обычно эту величину и называют матрицей плотности.

Рассмотрим свойства статистического оператора р. Во- первых, заметим, что след оператора р равен единице, т. е.

Spp — 1.(6.7)

Это следует из определения (6.4) и условия (6.5). Действительно, если мы возьмем след от обеих частей равенства (6.4) и воспользуемся соотношением (6.5), то получим

spp = sp t I屮)网(明三2西〈5屮〉=1,

ибо〈巾 I 屮〉=1- При этом мы воспользовались соотношением

Sp|w)31 三』51屮〉〈叫兀〉=2〈叫儿〉513〉= 3|屮〉， nn

(6.8)

которое вытекает из того, что след может быть вычислен в любом представлении, если выбранная система базисных векторов состояния {| п)} является полной.

Далее покажем, что если Л ——наблюдаемая величина, то ее среднее значение равно

<4〉= Sp рЛ.(6.9)

Для этого используем соотношения (6.4) и (6.9) и получим, что

〈4〉= Sp(21屮〉网〈屮|4)=』p"〈屮1川屮〉.

Это выражение в точности совпадает с определением (6.2). При доказательстве было использовано соотношение (6.8) с (Ф I =〈屮 I / . В силу этого мы можем с помощью статистического оператора (6.4) рассчитывать не только средние по ансамблю от наблюдаемых, но и средние значения от функции наблюдаемых, т. е.

"(▲)〉= Sppf (4).(6.10)

В одном из следующих разделов будет рассмотрен статистический оператор для чистого состояния.

Некоторые свойства статистического оператора

Статистический оператор р, определенный формулой (6.4), является эрмитовым положительно определенным оператором, а его след равен единице. Для того чтобы показать это, образуем оператор, эрмитово сопряженный оператору (6.4). В силу вещественности и положительности статистических весов р^ получим, что

p+ =(2现1屮〉〈屮|广=2?屮1屮〉〈w|=p.(6」1) фф

Следовательно, оператор р эрмитов. Раньше мы уже показали, что Spp = 1. Для того чтобы показать, что оператор р является пложительно определенным оператором, рассмотрим произвольный кет-вектор | %〉. С помощью формулы (6.4) мы можем образовать следующее выражение:

<х|р|х> =』/4〈％|屮〉3丨％〉= 2рфК^1х>|2>0. (6.12) ф中

Неравенство (6.12) следует из того, что вероятности р^ являются вещественными и положительными величинами. Так как след оператора р равен единице, то все диагональные матричные элемены этого оператора в любом представлении должны быть вещественными числами и находиться в интервале между нулем и единицей.

Можно также показать, что любой положительно определенный эрмитов оператор, след которого равен единице, можно рассматривать как статистический оператор, представляющий некоторый ансамбль. При этом такой оператор всегда можно записать в виде (6.4).

Прежде чем переходить к доказательству этого утверждения, выведем ряд соотношений. Из общей теории матриц известно, что любой эрмитов оператор моя^ет быть диагонализован (т. е. приведен к диагональному виду) с помощью некоторого унитарного преобразования. Т?а- ким образом, если 5 есть матрица преобразования от одного представления к другому (см. раздел 1.10) и при этом

S+ - S-*(6.13)

то тогда S можно выбрать так, чтобы удовлетворялось уравнение

SpS+ =(6.14)

где р' — искомая диагональная матрица. Если мы вычислим след от обеих частей равенства (6.14), то получим

Sp SpS+ — SppSS+= Sp р = 1 = SppL (6.15)

Здесь мы использовали равенство (6.13), а также тот факт, что если след существует, то Sp АВС — Sp ВС А. Следовательно, след является инвариантом относительно любого унитарного преобразования. В диагональном представлении диагональные матричные злементы оператора р' равны р；. Они вещественны и удовлетворяют следующим условиям:

£p； = l, omp^wi.(6.16)

п

Эти числа являются собственными значениями статистического оператора.

Б силу этого, если р'——положительно определенный эрмитов оператор, след которого равен единице, то этот оператор в диагональном представлении (при | п > = =S I 巾〉)имеет вид

р'= £р；1"〉〈兀|，(6.17)

п

где р‘ ——исвырожденные собственные значения. Векторы состояния {I 北〉} образуют полную ортогональную систему. Так как след оператора р равен единице, то

W р；=丄

п

Поскольку собственные значения оператора р вещественны и положительны, то они ограничены неравенством

Таким образом, величины р„ подчиняются тем же условиям, которым должны удовлетворять статистические веса, а это значит, что оператор р‘ можно рассматривать как статистический оператор, описывающий смесь состояний I п>, каждое из которых обладает весом р/- Именно это мы и хотели доказать.

Следующее свойство статистического оператора определяется соотношением

Spp2《1.(6.18)

Действительно, в силу того, что след является инвариантом унитарного преобразования, мы можем записать

sp р2 = sp р/2 = 2 pn2 V (3 рп) = (sp р'户 ~ 1’пп

и неравенство (6.18) доказано. В процессе доказательства мы использовали соотношения (6.16).

Уравнение движения для оператора р

Если известно, что в момент времени t — tQ состояние квантовой системы описывается вектором | 巾(М)〉, то в момент t оно определяется следующим образом (см. (1.200)):

I 屮(%)〉= U 亿 牖 12(幻〉(6.19)

при условии, что в течение интервала времени t ——tQ система не возмущается измерением. При этом оператор U удовлетворяет уравнению (1.202):

iTl 凜=HU,(6.20)

и условию (1.203):

/о)二丄 (6.21)

Теперь предположим, что мы не имеем полной информации о состоянии системы в момент времени t0. Рассмотрим ансамбль систем. Как отмечалось ранее, элементы ансамбля взвешены с вероятностями р@. Эти вероятности не изменяются с течением времени, так как за время Z 一 /0 над ансамблем не производятся никакие измерения и, следовательно, не приобретается никакая новая информация о системе. В силу этого статистический оператор р в момент /, в соответствии с законом причинности, будет определяться развитием во времени его значения в начальный момент времени /0:

р(*)= Е мI 屮(*)〉〈屮(о I ~ р%и (厶力о)I 屮 «о)〉x

X〈屮(^о) I。+ (力力о) = 〃 (£‘ ％) Р (%) U* (厶力°), (6.22) где р(力°)——начальное значение статистического оператора:

Р (%) = Е Р屮 I 屮(％)〉〈屮(％)卜 (6.23) Ф

Для получения (6.23) мы использовали выражение (6.19) и сопряженное ему, а также соотношение унитарности U+ = {J-'. Из выражения (6.22) видно, что развитие во времени оператора р для статистической смеси состояний описывается унитарным преобразованием.

Для того чтобы вывести уравнение движения для оператора р«), продифференцируем обе части выражения (6.22) и используем уравнение (6.20) и ему сопряженное. Тогда получим, что

ih^=[H,p(t)]. (6.24)

Следует отметить, что мы работаем в представлении Шредингера. В зтом^предст88ленми оператор р(力)зависит от времени в отличие от большинства других наблюдаемых величин, которые в представлении Шредингера не зависят от времени.

Теперь можно легко получить среднее по ансамблю значение наблюдаемой величины А в любой момент времени 厶 ибо зависимость от времени этого среднего значения определяется зависимостью от времени оператора р⑺.В шредингеровском представлении среднее значение наблюдаемой 4 s (力)в момент времени t есть

〈4s «)〉+ £ % <ts ⑺丨 4s (%) I 屮s ⑴〉=Sp Ps(')4s(4)，

(6.25) где индекс S означает, что все величины даны в представлении Шредингера. Выражение (6.25) можно записать также с помощью (6.22) в представлении Гейзенберга следующим образом:

<л> = Sp р «) Л (м)二 SpUp (t^U+A (幻=Sp рн (力。)4H (力)，

(6.26) где индекс Н означает, что все величины даны в представлении Гейзенберга, и

4H (%) = 〃+ G,幻 4 (如 U (小。). (6.27) Это равенство соответствует обычному закону преобразования операторов от одного представления к другому. Особенно следует подчеркнуть различие между выражениями (6.27) и (6.22). При выводе формулы (6.26) мы использовали соотношение Sp/3 = Sp 月/, предполагая, что соответствующие следы существуют.

Из выражения (6.26) видно, что средние по ансамблю могут быть вычислены как в шредингеровском, так и в гейзенберговском представлениях. Однако результат, естественно, не зависит от вида представления, в котором проводились вычисления. В некоторых случаях при вычислениях значительно удобнее использовать одно представление вместо другого. В дальнейшем во многих случаях представление Гейзенберга окажется более удобным, чем все другие представления.

В качестве примера, заслуживающего упоминания, мы рассмотрим один очень простой частный случай, когда гамильтониан Н не зависит явно от времени. В этом случае оператор U 亿 ％) имеет вид

и (力%) = ехр 产夕如]•

В энергетическом представлении, когда

Н\Еп)^Еп\ Еп>, статистический оператор записывается в виде 〈马 IР (01EQ =

и <Х I ехр [必「•] р 闯 ехр [-阻忆? I 矶，〉=

=ехр 严 丁『。)]〈еп I р 闯 I %〉. (6.28)

Очевидно, что в использованном выше энергетическом представлении развитие оператора p(i) с течением времени сводится только к изменению фазы.

Чистое состояние

До сих пор мы рассматривали главным образом статистические смеси. Они описывают такое состояние квантовой системы, о котором мы не имеем полной информации, совместимой с квантовыми ограничениями. Если состояние системы известно точно, то тогда система находится в чистом состоянии, например состоянии | ч[)>. В этом случае можно с полной определенностью сказать, что р% = 1, а для всех других состояний [屮‘〉вероятности pj равны нулю. Следовательно, статистический оператор (6.4) для чистого состояния приводится к виду

Pw=IW〉〈2l・(6.29)

Отсюда сразу вытекает, что

РФ = РФ，(6.30)

ибо 〈巾 I 屮〉=1. Кроме того,

Sp р% =〈屮 I 屮〉=1, Sp рф = 1.(6.31)

В разделе 6.3 мы показали, что для смешанного состояния Sp р? < 1.

Можно также доказать обратное: если р = I 屮〉〈屮 L то оператор р описывает чистое состояние.

Таким образом, необходимым и достаточным условием того, чтобы статистический оператор описывал чистое

состояние, является условие

Sp р2 = 1.(6.32)

Отсюда следует, что оператор р является эрмитовым и положительно определенным оператором и что Sp р — 1. Доказательство этого утверждения оставляем читателю в качестве упражнения.

Среднее значение Л для случая ансал1бля, представляющего чистые состояния, оказывается равным

〈力)= Sp p力 = 2 рb〈w' I 4 I 屮'〉=〈屮 14 I 屮〉，(6.33)

так как р^ = 6屮，屮.Таким образом, в том случае, когда известно, что система находится в определенном состоянии I *ф>, среднее по ансамблю сводится к обычному среднему по квантовому ансамблю. Именно поэтому статистический оператор оказывается полезным при вычислении средних по ансамблю и в случае, когда имеется полная информация о системе, и в том случае, когда информация не является полной. Следует снова подчеркнуть, что квантовые средние — это средние по ансамблю.

Энтропия

В классической статистической механике энтропия ансамбля систем определяется с помощью соотношения вида

S = — А： 2 “ In “，(6；34а)

г

где к ——постоянная Больцмана и pi — вероятность того, что система находится в состоянии I. Величины pt удовлетворяют условиям

2” = 1,0 V”& К Р? =「；•(6.35а)

叟р呷？ески знтропии) мо尹но препставитв себе как ме- ру недостатка ин^Емац近 1ГБ~ё£6т^й^ Если мы знает57~^?Б система находится в определенном состоянии г, то тогда R — бл，и мн ввдим из формулы (6.34а), что энтропия

равна нулю. В этом случае мы обладаем полной информацией о системе, а состояние системы полностью определено.

С другой стороны, если мы ничего нс знаем о системе, то это означает, что мы можем с одинаковой вероятностью обнаружить любое ее возможное состояние, необходимо только, чтобы выполнялось условие 2 ^z 1* Мы покажем, что в этом случае энтропия максимальна. Для этого найдем максимум функции S при условии, что 2歹！ = 1. Этот максимум мы будем искать методом не- определенных множителей Лагранжа. Для этого про- варьируем энтропию S по pt：

6S = — А:』(1 + In ”) b〃( = 0,(6.34b)

и из условия 6s = 0 найдем максимум. Одновременно с этим проварьируем дополнительное условие ^Pi ~ i

I и получим

』6历=0.(6.35b)

Воспользуемся методом неопределенных множителей Лагранжа: умножим равенство (6.35b) на неопределенный параметр 九 и сложим с равенством (6.34b). Тогда получим

2(1十山亿十九)6自==0.

Теперь каждая из вариаций 6Pl независима, и последнее уравнение будет удовлетворено тогда и только тогда, когда каждый член равен нулю, т. е.

叫=-(1 + 九).

Отсюда следует, что величина р( не зависит от состояния системы /, т. е. систему с одинаковой вероятностью можно найти в любом из ее состояний. В этом случае мы ие обладаем никакой информацией о состоянии системн.

Именно поэтому энтропия является мерой недостатка информации о состояниях элементов системы, как это и было определено выше. Это положение является исходным пунктом теории связи Шэннона [36].В свое время Джейнс [37, 381 предложил использовать понятие энтропии как фундаментальный постулат статистической механики.

В квантовой статистике энтропия определяется через матрицу плотности следующим образом:

6 = —ZcSp р In р(6.36а)

при дополнительном условии

Sp р = 1.(6.37)

Для определения энтропии необходимо вычислить след оператора pin р. Пусть совокупность векторов состояний { |汽〉} является полной и ортонормированной. Тогда выражение (6.36а) приобретает вид

S = — к 2 <^|р|^> </тг|1пр|?г>.(6.36b)

n, m

Если мы перейдем с помощью некоторого унитарного преобразования (см. формулу (6.14), в которой матрицу преобразования 6 не следует путать с энтропией) от представления { I п>} к представлению { | а>}, в котором р диагонально, то тогда выражение (6.36b) приводится к виду

S = — % £ра 1 口 Ра,(6.36с)

а

где /7а — <а I р ] а>.

Теперь возникает вопрос: каким образом на近тн матрицу плотности, которая так детально обсуждалась нами ранее? Мы знаем, что и в квантовом случае энтропия (6.36) — это мера недостатка информации о состояниях элементов ансамбля. Если мы, как и в классическом случае, вычислим максимум S при дополнительном условии (6.37), то найдем, что

2 (1 + In Р + ^) 6р - 0,(6.38)

ЦЛЛ

р = const.

Это означает, что энтропия максимальна в том случае, когда одинаковы вероятности найти систему в любом из ее возможных состояний. С другой стороны, если система находится в чистом состоянии | 屮〉,то S = 0, так как Рф* 6屮屮

Предположим теперь, что мы кое-что знаем о системе, например ее среднюю энергию

〈后〉=Sp рЯ,(6.39)

где Н ——гамильтониан системы. Эти сведения о системе должны быть отражены в выборе статистического оператора, описывающего данный ансамбль. Мы можем рассматривать их как дополнительное условие и выбрать р так, чтобы энтропия была опять максимальна, но уже при дополнительных условиях (6.37) и (6.39) одновременно. Тогда, если мы проварьируем по р выражения (6.36а), (6.37) и (6.39), то получим

Sp(l + In р)ёр — 0, Sp3p = 0, SpHbp = 0.

Если мы теперь умножим соответственно второе и третье уравнения на неопределенные множители % m 0 н сложим с первым, то получим

Sp(l + X + Inp + рН)6р = 0.

Так как бр произвольно и все вариации теперь независимы, то это уравнение будет удовлетворяться только в том случае, когда

In p = — 1—九一吃， или

р =«-&+入)(6.40)

Мы можем определить X следующим образом. Возьмем след от обеих частей выражения (6.40) и с помощью (6.37) иайдем

仪+入=Sp е~^н 三 Z.

Тогда выражение (6.40) приобретет вид е-вн 『вн Р Spe-вн 一 Z ，

где величина Z называется статистической суммой. Для того чтобы определить параметр 0, мы используем условие (6.39). Тогда получим

〈Е〉=〈Е〉=Sp “внSpe-阳Sp “внSpe-阳аа三一弗三一弗InZ.InZ.(6.42)(6.42)

〈Е〉=

〈Е〉=

Sp “внSpe-阳

Sp “внSpe-阳

а

а

三一弗

三一弗

InZ.

InZ.

(6.42)

(6.42)

Отсюда мы можем, в принципе, определить параметр 卩 через среднюю энергию системы.

В качестве специального примера рассмотрим полость, заполненную электромагнитным излучением, находящимся в тепловом равновесии со стенками, температура которых равна Г.

Средняя энергия, которая содержится в одной моде резонатора при частоте со, равна Я^со, где к ——среднее число квантов частоты s внутри полости. Так как гамильтониан для этой моды равен

Н —无 за+а,

то из формулы (6.42) получим, что

龙co ? <п ] а~^ах~а ■ I п>

亢11з —〈Е〉— —^5,(6.43)

m=o где

x = exp 偉无s)(6.44)

и а+а I w) — n I м〉. Mu записали следы в формуле (6.42) в { I п> }-представлении.

Вычисление сумм в выражении (6.43) нетрудно довести до конца. Для среднего числа квантов в моде получается следующее выражение:

°° 一 ％ — 1 — ехр (力о)В) — 1Лш ** 丿

т=0

Отсюда можно найти 0 через й. Однако из принципа соответствия известно, что при 方f 0 энергия Е должна

переходить в среднюю классическую энергию, содержащуюся в выбранной моде резонатора, т. е. при О Е т кТ, так как из классической теоремы о равномерном распределении энергии по степеням свободы мы получаем % кТ на каждую степень свободы. Поэтому в пределе при 力 f 0 из выражения (6.45) мы получаем

так нто

(6.46)

Статистический оператор (6.41), который максимизирует энтропию при дополнительных условиях (6.37) и (6.39), т. а при Sp р = 1 и SppH =〈Е〉=乃7\ имеет поэтому вид

— ехp (~ 我/叮)Р — Sp ехр (— Н/кТ)

Можно считать, что этот статистический оператор описывает ансамбль гармонических осцилляторов, который находится в термодинамическом равновесии с тепловым резервуаром при температуре Т. Так как оператор р зависит только от Н, то, следовательно, [Н, р(Н)] = 0, и в силу (6.24) оператор р не зависит явно от времени в состоянии теплового равновесия.

В энергетическом представлении, когда Н | £n> = =Еп I 斗〉，матричные элементы оператора р вида (6.47) определяются следующим образом:

〈£九| рI eq = -… 恋必• (6.48)

Вероятность найти систему в состоянии Ет (или найти один элемент ансамбля в состоянии £优)равна поэтому

心心(6.49)(6.49)

心

心

(6.49)

(6.49)

(Это есть не что иное, как диагональный матричный

элемент оператора р в энергетическом представлении.) Распределение (6.49) соответствует распределению вероятностей по Максвеллу ——Больцману. Таким образом, в энергетическом представлении мы можем записать статистический оператор р следующим образом:

Р = 2 I EQ рт〈Em I，Р = 2 I EQ рт〈Em I，(6.50)(6.50)

Р = 2 I EQ рт〈Em I，

Р = 2 I EQ рт〈Em I，

(6.50)

(6.50)

где величина рт определяется формулой (6.49). Видно, что

Spp2 = 2 殷力 1，(6.51)

так что данный ансамбль описывает смешанное состояние. Иными словами, информации только о средней энергии системы еще недостаточно для полного определения ее состояния.

Максимальная энтропия для ансамбля (6.50) равна

5 max =—左 Sp p In p —

=—»Sp(~^-卜 n~^ = ^ + 61nZ,(6.52)

где

Z = Sp е-вн _ 2 e~°々n(6.53)

——статистическая сумма, a

E产/

〈E〉= Sp pH = £ 宀一.(6.54)

Статистическая сумма Z определяет термодинамические свойства системы.

Мы хотим снова подчеркнуть, что когда известна только средняя энергия, то ансамбль все равно может состоять из большого числа элементов, каждый из которых находится в одном из состояний, например состоянии I Em〉，статистический вес которого рт определяется формулой (6.49).

310310КВАНТОВАЯ СТАТИСТИКАКВАНТОВАЯ СТАТИСТИКА[ГЛ, VI[ГЛ, VI

310

310

КВАНТОВАЯ СТАТИСТИКА

КВАНТОВАЯ СТАТИСТИКА

[ГЛ, VI

[ГЛ, VI

Матрица плотности для частиц со спином 1/2 [39]

В некоторых^случаях, когда для описания ^экспериментов достаточно только нескольких параметров системы, матрица плотности может быть выражена прямо через измеренные значения этих параметров [34, 35, 39]. В принципе это можно сделать всегда, но практически — только тогда, когда система описывается лишь несколькими степенями свободы. Одни из таких случаев — это вопрос о поляризации пучка электронов или электронов в твердом теле, когда для эксперимента основной интерес представляет только значение спина, а не характеристики пространственного движения электрона.

В гл. II и III мы ввели спиновые операторы Паули для частиц со спином 1/2. Было найдено, что полная система базисных векторов состояний может быть получена из собственных векторов оператора пг. В этом разделе мы прежде всего покажем, как статистический оператор для частиц со спином 1/2 может быть выражен через измеренные средние значения компонент спина. Мы используем статистический оператор для того, чтобы рассчитать эти ожидаемые значения спина, находящегося в магнитном поле. Будут получены уравнения движения для спиновых операторов, которые окажутся связанными с классическими уравнениями для намагниченности магнитного образца. Таким образом, мы еще на одном примере продемонстрируем применение теоремы Эренфеста.

Рассмотрим ансамбль частиц со спином 1/2. Ожидаемые значения трех компонент спина (т. е. средние по а самблю) определяются следующим образом (см. (6.26)):

8 =〈吟=Sp [ps(0 %] = Sp {pH (%) "н(')}， (6.55)

где а = %, Оу, % — компоненты оператора спина, а р — матрица плотности, описывающая ансамбль спинов *), В выражении (6.55) мы можем использовать либо представление Гейзенберга, либо представление Шредингера.

Все спины могут находиться в определенном известном состоянии. В этом случае состояние системы спинов является чистым и каждый элемент ансамбля находится в

этом состоянии. Если же состояние спинов неизвестно, то ансамбль спинов находится в смешанном состоянии.

Покажем теперь, что измерения величин s%, s^, sz вполне достаточно для полного определения состояния системы, т. е. мы можем выразить р через эти компоненты; а это значит, что полученное состояние будет соответствовать чистому состоянию, когда известны sx, sy и 52.

Так как спин 1/2 имеет две проекции на выделенное направление, то система таких спинов может быть описана двухрядной матрицей плотности. В то же время любая двухрядная матрица может быть представлена с помощью трех матриц Паули 仇 и одной двухрядной единичной матрицы I. Следовательно, матрица плотности для ансамбля частиц со спином 1/2 всегда может быть записана в следующей форме:

р = с0/ + &。工 + С2Су + caGz,(6.56)

1 О'О 11 О'О 1где I ——четырехкомпонентная единичная матрица:

1 О'

О 1

1 О'

О 1

(6.57)

а спиновые матрицы Паули в и 2-представлении имеют вид

О 11 Г О -Я Г1 01О 11 Г О -Я Г1 01

О 11 Г О -Я Г1 01

О 11 Г О -Я Г1 01

Постоянные с0, R, & и Q определяются следующим образом. Мы знаем, что если р —— матрица плотности, то Sp р = 1. Вычислив след от обеих частей равенства (6.56), получим

Sp р = ] = 2с о,

так как Sp s = 0. Отсюда следует, что с。二工 1/2. Умножим теперь обе части равенства (6.56) справа на % и вычислим след обеих частей полученного выражения. Как мы знаем из гл. II и III, Sp с^сг/ = 26订(方，/ = 1, 2, 3). Поэтому

$х = Sp рстх = 2c「

Таким образом, q = l/2sXJ где sx — среднее по ансамблю от о籌.Аналогичным образом, если мы умножим последо-

вательно обе части выражения (6.56) на пу и аг и вычислим след, то получим

Если подставить эти выражения для с1? с2 и с3 в (6.56) и использовать для матриц Паули представление (6.58), то получим матрицу плотности в виде

1 1 + s? sx — isvР一可&+电1 - sz

Следовательно, если известны все три компоненты спинов системы s%, sy и sz, то матрица плотности определена полностью. Тер-Хаар [35] назвал такой подход к матрице плотности операционным подходом в противоположность статистическому подходу, использованному ранее в этой главе.

Запишем теперь оператор р в произвольном представлении. Для этого подставим в выражение (6.56) вычисленные ранее величины с.Тогда получим, что

Рассмотрим теперь простой частный случай. Предположим, что все спины находятся в чистом состоянии, например в состоянии | 十1〉，по определению

力 I + 1〉= +1 I +1>-(6.61)

Согласно (6.4) оператор р для этого чистого состояния имеет вид

Р - I +1Х+1 I ,(6.62)

и на основе условий ортогональности и нормировки (см. гл. II и III)

< + 1 I +1> - <-1 I -1> - 1,(6.63)

< + 1 I -1> -〈一1 I +1〉= О

его можно представить в следующем виде:

「1 0]

Р= 0 0 ■(6.64)

Это выражение полностью согласуется с представлением (6.59), так как для состояния | +1> средние значения компонент спина соответственно равны

〈о%〉= “ = < + 1 丨 ％ I + 1〉=0,

〈％〉= Sy = < + 1 I % I +1> = 0,(6.65)

〈力〉=$z = < + l I % I +1> = 1*

Действительно, подставляя эти значения в (6.59), получим (6.64).

Если I 屮〉一любое чистое состояние, то его всегда можно записать в виде разложения по состояниям ] +1> и I -1>：

I 屮)=厶丨+1〉+ 统1一1)，(6.66)

(из условия нормировки I di I 2 + I ©2 产=1) в пред- ставлении, в котором ez диагонально, т. е. в представлении (6.58); тогда для выражения (6.59) получаем

—I必『©id；而2 |d2,2.

Легко показать, что Sp р2 — 1, как и должно быть для любого чистого состояния.

Теперь рассмотрим поведение спина в магнитном поле H(t). Как мы уже знаем, в этом случае гамильтониан имеет вид

Е = ^(иН(»(6.68)

Среднее значение магнитного момента М (Е) равно

М =〈м〉= Sp р (力)м = — Sp р (力)о\(6.69)

так как

“=-岑о.(6.70)

В силу (6.68) уравнение движения для матрицы плотности р (/) имеет вид

В представлении Шредингера матрица плотности р (%) определяется с помощью выражения (6.60) следующим образом:

р«) = ^ [/ + "£«))]・(6.72)

Отсюда получаем, что

艙警=^(。芻，(6・73)

Таким образом, с помощью формул (6.72) и (6.73) уравнение (6.71) принимает вид

等(0需)=学[(0五)，(。3)]■(6.74)

Коммутатор в правой части этого уравнения можно записать в виде

[(а Н), (ors)] = (от Н) (as) — (a«) (a H)=

33

=25 Н/?・(о何一as). (6.75)

Мы использовали тот факт, что величина s является средним значением оператора С и, следовательно, есть с-число. Магнитное поле также является с-числом, так как в нашей трактовке оно не квантовано.

Из формулы (6.75) очевидно, что в двойной сумме исчезают все члены, для которых Z = /• Если же i * j, то мы можем записать выражение (6.75) с помощью (2.75) в другом виде:

[(a Н), (ae)] = 2i 3 Н/尹忙=2i ([Hs]叫 (6.76) И, У,盯'

где Z, /, к образуют четную перестановку чисел 1, 2, 3. С помощью формул (6.76) и (6.69) уравнение (6.74) можно записать следующим образом:

(学0r) = 一丫([mh]6。(学0r) = 一丫([mh]6。(6.77)(6.77)

(学0r) = 一丫([mh]6。

(学0r) = 一丫([mh]6。

(6.77)

(6.77)

Это уравнение легко решить относительно dMIdt, если умножить обе его части справа на 6 и вычислить след от обеих частей полученного выражения. Так как Spot。,= =26ij, то три компоненты намагниченности удовлетворяют следующему уравнению движения:

需=—Т["Н]. (6.78)

Это классическое уравнение движения магнитного момента в магнитном поле, и оно представляет собой еще один пример применения теоремы Эренфеста. По форме это уравнение идентично гейзенберговским уравнениям движения для от：

翁=—丫 [от Н]. (6.79)

Если можно решить гейзенберговские уравнения движения, то можно решить классические уравнения, и наоборот.

Характеристическая функция

Характеристическая функция весьма полезна и удобна при описании статистических свойств ансамблей, находящихся как в чистом, так и в смешанном состоянии. Эта функция является производящей функцией для моментов высших порядков, которая обычно используется в классической статистике.

Мы рассмотрим оператор ехр (г^Л), где 己一вещественный параметр и А — наблюдаемая величина. Среднее по ансамблю от ехр (力三/) определяется с помощью формулы (6.10):

«3〉三 СА ◎二 Sp р(0 摻4 (6.80)

где р и Д взяты в шредингеровском представлении, а функция 鱼工 g) называется квантовой характеристи 森 653贵 ф^кцйё!§Г^£ё|)ат5^К N Г~ЭТй~^中ути而ш действительно является производящей^функцией для моментов высших порядков, так как если по определению Z-й момент от величины 4 равен

〈4'〉= Sp р ⑴屈， (6.81)

то из формулы (6.80) сразу же следует, что

(6.82)

Следовательно, если известна характеристическая функция для величины А, то все остальные моменты этой величины могут быть получены простым дифференцированием.

Характеристическую функцию можно представить в другой форме, из которой видно, как можно использовать эту функцию, чтобы получить статистические свойства ансамбля. Для этого запишем выражение (6.80) с помощью формулы (6.4) в виде

Са (Е)=为 /М屮⑴ I е死& I 屮⑴〉三 Sp р (f) e&. (6.83)

Пусть оператор Л имеет непрерывный спектр собственных значений от — оо до 十 оо, а собственные векторы образуют полную ортонормированную систему. Тогда мы имеем

A\Af) = Af\ 4、 J 14〉dA\Ar\ = /,(6.84)

〈4 14) = 5 (4-4)

Теперь с помощью этих соотношений можно записать выражение (6.83) следующим образом:

以(占)=』海1 1 ^^A'^dA' {Ar\e^\A"}dA" X 少一8 ОО•

+ °°

X〈4"|2(t)〉=2pw J |3(t)|4'〉|2e3'd4. (6.85)

Мы видим, что в формулу (6.85) входит величина I〈屮⑴ |/，〉产d/T, которая представляет собой вероятность того, что измерение величины Л для системы в состоянии 〈屮(力 I даст для Л значение между Аг и/' + d4‘. Для

смешанного состояния усреднение по ансамблю дает

Р (Л") йА' = 2 Рф I <1р I Af) I2 dA'. (6.86) ф

Это выражение определяет функцию распределения вероятностей для переменной Аг в данном ансамбле. Если мы используем определение (6.86) в формуле (6.85), то увидим, что характеристическая функция является не чем иным, как компонентой Фурье от функции распределения вероятностей состояний системы по данному ансамблю Р(А'). Поэтому мы можем выполнить обратное преобразование и получить

Р (4‘)=芸 М е~^'СА. (1) ^. (6.87)

Таким образом, характеристическая функция С^ (±) однозначно определяет функцию распределения вероятностей Р(А'). Однако существуют некоторые особые случаи, для которых приведенное выше доказательство не является справедливым. Мы не будем их касаться.

Часто бывает более удобно вычислять характеристическую функцию в представлении Гейзенберга. В этом случае она имеет следующий вид:

C4(E) = Sp%(t°)e3H?. (6.88)

Таким образом, для того чтобы изучить статистические свойства различных ансамблей, мы будем в дальнейшем вычислять характеристические функции этих ансамблей.

Распределение Пуассона

В этом разделе мы получим характеристические функции для импульса р и координаты g в момент времени t для ансамбля гармонических осцилляторов в том случае, когда в момент времени £ = 0 этот ансамбль находится в чистом состоянии, соответствующем распределению Пуассона по состояниям фотонов с определенной энергией. В разделе 3.7 мы показали, что такое распределение Пуассона соответствует волновому пакету с минимальной

неопределенностью. В разделе 4.2 мы снова столкнулись с таким распределением. Там было показано, что для создания такого состояния поля излучения можно использовать классический генератор.

В последнем разделе этой главы мы кратко рассмотрим пример, в котором распределение Пуассона будет использовано также для описания смешанного состояния.

Как известно, гамильтониан гармонического осциллятора имеет вид

Н =方

В этом случае решение уравнения Шредингера можно записать в виде

I屮(%)〉= 必以+a I 屮(0)〉=

~ e-ista+a』Сп|П> E= 2 %«一血伍 | 几〉• (6・89) n=0n=0

Если положить

I/亜評，一叫(6.90)

где 亢一постоянная, а 屮一произвольная фаза, то начальное состояние одного осциллятора станет линейной комбинацией собственных состояний а+а. В этом случае распределение вероятностей | сп | 2 называется распределением Пуассона по начальным состояниям.

Нетрудно видеть, что при таком выборе начального состояния состояние | 屮(*)〉системы в момент времени t можно представить с помощью соотношений (6.89) и (3.162) следующим образом:

屮(£)〉= exp (——^)财。+|0〉,.(6.91)

где—

笫* = 了费-"3+0(6.92)

и I 0> — вакуумное состояние. Легко показать, что 《屮(«)I屮⑴〉=1.

С помощью полученных формул рассчитаем теперь характеристические функции для величин р л д. Обе эти

функции можно рассчитать, если ввести величину

Л аа + а*а+,(6.93)

где согласно определению (2.20b) А = р, если положить

а = otp = — i "|/^^^ ,(6.94a)

и 力=g, если выбрать

а = ag = М& .(6.94b)

Характеристическую функцию величины 4 для рассматриваемого ансамбля осцилляторов мы можем теперь получить, воспользовавшись определением (6.80):

CA^ = Spp(t)e^.(6.95)

В том случае, когда осцилляторы находятся в чистом состоянии, заданном формулой (6.91), статистический оператор (6.4) сводится к следующему выражению:

p ⑴=I 屮⑴〉〈屮(c I = ехр (一亢)ew*o+)0> <0) e叫(6.96)

(Отметим, что Sp р3 = 1, так что р описывает ансамбль, который находится в чистом состоянии.) Если мы подставим это выражение для р (%) и выражение (6.93) для Л в формулу (6.95), то получим

СА (Е) = ехр (―亢)<0| 兴咽匕(aa+a%+) ew*a+ | 0>.(6.97)

Теперь мы используем теорему 4 из гл. III (см. (3.20)) и запишем выражение (6.97) следующим образом:

点(&) = £三〈0 I ewaei^cta^i^a*a+gw*a+ | 0〉ехр ($ j『)三

三 CXp (— 方 + 六 f 国2)〈0] gw优a)%W*+iSa+|0〉.(6.98)

Это выражение можно упростить с помощью теоремы 6 из гл. III (см. (3.38а)). Тогда мы получим

Са ⑸=ехр (—兀 + ~|~ ¥ ] U F)〈0 丨 e(w*+i^a*)(a++w+i^a) | °〉，

так как ехр (Ха) | 0> — | 0>. После дальнейших упрощений получаем

СА (Е) = ехр (-^-^|а|2) е优(“s+a叫(6.99)

так как из (6.92) \ w \ 2 = п и <0 | ехр (Аа+) | 0〉= 1. Это и есть характеристическая функция для ансамбля осцилляторов в чистом состоянии, который характеризуется распределением Пуассона по собственным состояниям фотонов \п). Из выражений (6.99) и (6.96) видно, что форма характеристической функции и форма матрицы плотности не меняются с течением времени.

Следует подчеркнуть, что распределение Пуассона по состояниям I 汽〉соответствует гауссову распределению вероятностей по собственным состояниям импульса р и по собственным состояниям координаты q. Фактически мы уже показали это в разделе 3.7 (см. (3.149)). Интересно получить тот же результат с помощью фурье-преобразования характеристической функции (см. (6.87)). С помощью (6.99) имеем

尸(4')=嘉 \ ехр ^-^\a^ + il^A)^A^

(6.100) Согласно (6.99) два первых момента для 4 имеют вид

〈4〉=I3(晦)|е=о

疋)2 1ё=0I } j

Это не что иное, как квантовые средние (по ансамблю) от Л и А2. Нетрудно выполнить теперь интегрирование в (6.100) и получить

=(6」°2)

где мы обозначили

(6.103)(6.103)(А/)2 =〈/2〉一〈4〉2 = I a I 2.

(6.103)

(6.103)

Распределение (6,102) является гауссовым распределением вероятностей для переменной 4‘，которая равна р или q.

В случае, когда 4’ =д‘，это распределение может быть записано в более привычной форме:

рю = WS, О I2 = К2«)丨鼠〉I2-(6.104)

Отсюда следует, что распределение Пуассона по собственным состояниям оператора а+а, соответствующее волновому пакету с минимальной неопределенностью, является одновременно с этим гауссовым распределением по собственным состояниям величин pug. Это согласуется с результатами раздела 3.7.

В разделе 4.2 было показано, что генератор когерентного сигнала, связанный с некоторой модой резонатора, будет генерировать распределение Пуассона по собственным состояниям фотонов в том случае, когда резонатор первоначально находится в вакуумном состоянии. Поэтому сигнал в полости можно представить с помощью рассмотренного нами распределения Пуассона.

Как известно, если информация о состоянии квантовой системы в момент времени 方=0 не является полной, то в этом случае ансамбль находится в смешанном состоянии. Определенный интерес представляет тот случай, когда состояние системы описывается распренелендем Пуассона, но со случайной “азой. Это означает, что любые^ значенияГфазы в выражении (6.96) равновероятны.

Рассмотрим теперь состояние одного элемента из этого ансамбля. Его можно представить в виде

I 2 ⑴〉=ехр (一个)2(个：二：尸 I n> (6.105) 储v z/n=o

Статистический оператор (6.4) для такого ансамбля со случайной фазой имеет вид

Р % d屮е ¥ &屮 J^m^nx

p«) = exp (f) g \ 京^ MF* X

X (V«e-iMf)n[n> ⑺ |(了元卢‘)叱(6.106)

Интегралы по <рп и 屮^ обращаются в нуль для всех значений (рп 中(pm. Это значит, что оператор р диагоналей в

рассматриваемом представлении, и согласно (6.106) он приобретает вид

00 n】

р«) = ехр (—方)』4rgs|.(6.107)；

Диагональные элементы оператора р в этом представлении имеют вид

<n I р I п> = /?п = exp^Z期 в(6.108)

и представляют собой вероятности, которые распределены по Пуассону. Хотя Spp = £рп = 1, но мы видим, что о

Sp р2 =』成力 L Это означает, как известно, что ансамбль о

находится в смешанном состоянии. Между прочим, так как величина

〈口+口〉Sp ра+а = 2 ехр (—— 亢)<« | а+а ] zz〉= n=o

00

~ exp(一亢)2兀导=亢(6.109) О .

является постоянной, то оператор р в (6.107) не зависит от времени.

В качестве упражнения мы предлагаем читателю доказать, что характеристическая функция величины Л вида (6.93) для ансамбля гармонических осцилляторов, который описывается статистическим оператором (6.107), имеет вид.

Са (В) = ехр (_ 等守 I а |2”о (2Е I а I /й),(6.110)

где 几 一 функция Бесселя нулевого порядка [40]. В выражении (6.107) отсутствуют недиагональные элементы, в то время как в (6.96) они есть, и это привело к существенному изменению характеристической функции. Диа^ гональные же элементы одинаковы в обоих случаях.

Таким образом, мы видим, что выражение (6.96) имеет определенный физический смысл, а именно, оно описывает сигнал с определенной фазой. Бэннет [40] показал, что характеристическая функция вида (6.110) соответствует синусоидальной волне, которая сопровождается гауссовым шумом. В разделе 6.11 мы получим статистический оператор, который описывает сигнал в присутствии гауссова шума.

Экспоненциальное распределение

Другое распределение, которое часто появляется в теории шумов,——это экспоненциальное распределение по состояниям фотонов I гг〉. Его можно использовать для описания ансамбля гармонических осцилляторов, который находится в тепловом равновесии с тепловым резервуаром при температуре Т. С помощью выражений (6.49) и (6.50) в том случае, когда Н =力за+ака+а \п} = п \ п), можно получить, что

р = (1 — /入)』e~Xn I n> <n I，(6.111)

п—о

где % = §力з 三无со / А：7. Нетрудно видеть, что Sp р® / 1; таким образом, рассматриваемый нами ансамбль находится в смешанном состоянии. Естественно, что это распределение называется экспоненциальным.

Вычислим теперь характеристическую функцию для величины 4 = аа + а'а+ в том случае, когда ансамбль описывается формулой (6.111). В этом случае имеем

СА (I) = Sp [р ⑴ е优(аа+а”+)]=

8

=(1 — е-Х)』е~^п〈ZZ I 挪(аа+а%+) | 孔〉—

п=0

=(1 _e一入)6-守""a』/入发(也1搭a'a+目蝕a1几〉，(6.112) n=o

где мы использовали теорему 4 (см. (3.20)) пз гл. III. Чтобы рассчитать матричные элементы в (6.112), запишем состояние I 兀〉в виде | 兀〉=(а+п /]ЛП) | 0>. Используем

теперь теорему 6 гл. III (см. (3.38а)) и равенство ехр (Mz) I 0〉= I 0>.

Тогда СА (g) преобразуется к следующему виду:

禽低)= (1 —入)е* 2““'X

X 2 %〈0 I (а + 严(а+ + 3产 I 0>.

Так как

(公+3严|。〉= 士占三^⑺，

〈。|…吁£評詳Ri，

где мы снова заменили (a+m//ra!) I 0> = I m>, то выражение для Ca (E) приобретает вид

2低)=(i入)e一出‘£ 2 干雰客•(6.113) n—0 7П—0

Здесь было использовано соотношение ортогональности 〈2 I т〉— 617n.

Вычислим сумму в формуле (6.113). Для этого заменим индексы суммирования

"—т ~ Ц гг = г.

Тогда выражение (6.113) приобретет вид

Са ® = (1 - е* е「^ ?“，£• (6-114)

г=о 1=о

Так как

£•7^^- = %⑺，(6，15)

4=0、・

где 厶(/) — полином Лагерра, а

00xz/(z-D

$22,(%)=*r,(6.116)

r=0

то суммы в (6.114) приводятся к следующему виду: сa^) = екр ［一 手 孑8m(］_［；戸)］三£ 万 ^\ (6.117) где

卩=оса' (1，Z-入)=aaz cth -^-.(6.118)

С помощью характеристической функции (6.117) доказывается теорема, предложенная Блохом. При определенном выборе а и af можно записать / = а。+ а'а+ в виде линейной комбинации величин р и 外 Теорема Блоха утверждает, что закон распределения вероятностей любой линейной комбинации величин р и g имеет вид распределения Гаусса. Таким образом, если в соответствии с (6.94) 优 = а* = а& или аа? то выражение (6.117) сводится к следующим:

гдегдеCp^ = e-^,a低)=£告即0Cp^ = e-^,a低)=£告即0(6.119)(6.119)

где

где

Cp^ = e-^,a低)=£告即0

Cp^ = e-^,a低)=£告即0

(6.119)

(6.119)

(6.120)(6.120)卩P = TCth/, "g = /7Cth 務帀，

(6.120)

(6.120)

так как для осцилляторов, которые находятся в тепловом равновесии с резервуаром тепла,九 = 方① / кТ. G помощью этих характеристических функций можно получить следующие соотношения:

3=0,〈Р〉n0,3=0,〈Р〉n0,(6.121)(6.121)

3=0,〈Р〉n0,

3=0,〈Р〉n0,

(6.121)

(6.121)

〈0?〉=卩q,〈Г?〉Нр*

В результате среднее значение энергии Е равно

e=貝"〉十炉〈力)=掾cth翳.(6.122)

рели велд^цна п равна среднему знанению оператора

а+а, то среднее число квантов осциллятора для такого ансамбля определяется из соотношения

%9= Е =偿 cth 翳，

ИЛИ

力=ехр 丽кТ) — £ •(6.123)

Это есть не что иное, как известная формула Планка, которая согласуется с (6.45). Поэтому ансамбль с зкспо- нен“瓜альньш радп卩е口слекием вида (6.111) описывает гауссов шум. Мы оставляем читателю в качестве упражнения расчет энтропии этого ансамбля.

Если мы теперь вычислим фурье-образы выражений (6.119), то согласно соотношению (6.87) получим функции распределения вероятностей в д- и р- представлениях. Они имеют вид

丿屮⑺|2 =丿屮⑺|2 =1w(矿)产=*、 eУ。£扌"д吃=导=萨'…(6.124а)

丿屮⑺|2 =

丿屮⑺|2 =

(6.124b)

Эти квадраты модулей волновых функций в q- и р-пред- ставлениях являются гауссовыми р аспределениями с центрами при p'=q'=O и со среднеквадратичными отклонениями от центра, равными соответственно 卩§ и 因・

Сигнал плюс шум

В разделе 6.6 мы показали, что знтропия системы д^лхетсл мерой не^оста^^Л丄формации об элементах ^^^^^7~Ей!й^мы максимизируем энтропшо' при^до^ полнительных условиях, соответствующих нашим знаниям о системе, то тогда мы получим статистический оператор, описывающий систему в рамках используемых ограничений и дополнительных условий.

Рассмотрим энтропию, которая определяется соотношением

S = — ESp р In р,S = — ESp р In р,(6.125)(6.125)

S = — ESp р In р,

S = — ESp р In р,

(6.125)

(6.125)

при дополнительных условиях [401

Sp Р =

1,

(6.126а)

〈Н〉=

Sp pH,

(6.126b)

5〉=

Sp рр,

(6.126с)

〈？〉=

Sp pg.

(6.126d)

В этом случае для ансамбля известны среднее значение энергии и средние значения импульса (р> и координаты 〈寸〉.Если мы, используя метод неопределенных множителей Лагранжа, максимизируем энтропию S при дополнительных условиях (6.126), то получим, что

Sp(l + Inp + Р^ + Xi + Л^ + 九 з0)Вр = 0, где р и Х1>2,3 определяются из условий (6.126). Так как величина 8P является произвольной вариацией, то записанное выше уравнение удовлетворяется в том случае, когда выражение в круглых скобках обращается в нуль. Это дает для р

р g—(l+^i)g—^Н—Xzp—XaQ

Постоянная нормировки ехр [— (1 + Xi)] определяется из уравнения (6.126а), так что

р =х .(6.127)

Отметим, что каждый раз, когда приобретается новая информация о системе, заново вычисляется статистический оператор.

Прямой расчет постоянных р, Х2 и Х3 с помощью (6.126b), (6.126с) и (6.126d) затруднен, и поэтому мы используем некоторый косвенный метод. Так как величины р и q являются линейными комбинациями операторов а и：а+ и так как Н —方(0。+。, то мы можем переписать выражение (6.127) следующим образом:

р = (1 — е~入)广入9 - в乂aL/).(6.128)

Здесь мы положим X =方(о§,九必=—У力/2з (Х3 — Хаэ%) и 九и?* = — 了力/2 n入з+必九2), где %2 и Х3 предполагаются

действительными числами; 入, w и 力* — неопределенные параметры. Как мы увидим в дальнейшем, чле- (1 —— 6一入)ехр (—— 4tpl 2) необходим для того, чтобы выполнялось условие Spp = 1.

Прежде чем переходить к вычислению параметров X и w через среднюю энергию и средние значения^ электрического и магнитного полей, введем два новых оператора: с+ — а+ — w^ с = о —公， (6.129) где tp и tp* есть с-числа. Нетрудно видеть, что операторы с, с+ удовлетворяют тем же соотношениям коммутации, что и операторы。и а+. В силу этого мы можем ввести совокупность новых базисных векторов { | 汽〉J с помощью следующих соотношений:

с+с |п>с == п| п>с, е|«>с = У«|«— 1>с,(6.130)

с+ I П>с = У 〃十 1 I п + 1>с.

Характеристическая функция для оператора

/ = оса 十 а*а+ = ас + а*с+ + aw* + ос% (6.131)

имеет вид

Ca(y = Spp$EA =

=е花(аад*+афм?) 口 .6~•入)gp [廿-入с+с&Е(ас+а*с+)],

где мы выразили оператор р из (6.128) через с и с+. Теперь мы можем рассчитать след в представлении, в котором оператор с+с диагоналей. В результате мы получим, что

СА (Е) = et“aw*+a*s)ехр (— 4" FI a |2) X

X (1 _ е-入)£「％ с<« II л>с =产М汕,

71=0

где(6.132)

卩=|ос『cth等.(6.133)

Здесь мы использовали результаты (6.112) и (6.117), так как собственные состояния оператора с+с ведут себя так же, как и собственные состояния оператора a+a.

С помощью характеристической функции (6.132) легко получить средние значения электрического и магнитного полей:

5〉= X ]/^ (纱一炉)，⑷=]/~負(w+H- (6.134)

Из этих соотношений множители Лагранжа w и w* можно выразить теперь через измеримые значения〈р〉и〈д〉электрического и магнитного полей соответственно.

Вторые моменты этих полей равны

〈р2〉=〈Р〉2 + 卩 р 三 <Р>2 +,

Z 2(6.135)

<?2> = “У + 阿三〈q〉2 + ^г 汕等.

Мы определим 九 из средней энергии поля, отсчитанной относительно энергии нулевых колебаний поля, а именно:

〈段=扌(ЗУ + 炉 <?2>) 一粤=W" (〈「У + 屮⑺2) +

+ 陰(c'h-^1)=方&方 + 粤(cth-^1) , (6.136)

где 亢=I w |2 ——среднее число квантов сигнала. Первый член представляет собой среднюю энергию сигнала, а второй ——среднюю энергию шумов. Решив уравнение (6.136) относительно X, получим

--=〈百〉一力со这

Если мы положим X = hm^f и перейдем к пределу при 尢 f 0, то тогда〈Е〉f кТ. где Т — равновесная температура. В то же время величина 九 sH стремится к своему классическому значению, так что выписанное выше равенство превращается в следующее:

-^- = кт--方cо方.

Мы можем теперь определить эффективную температуру 7’ с помощью соотношения

Отсюда следует, что 九=Кт1кТг и благодаря присутствию сигнала эффективная температура становится меньше, чем действительная температура Т теплового резервуара. Следовательно, статистический оператор (6.128) описывает сигнал в присутствии гауссова шума.

Энтропия сигналов и шумов

Как мы показали ранее, для ансамбля, который описывается статистическим оператором (6.96):

р = ехр (— Я)产а+ I 0〉〈0 I ewa,(6.137)

выполняется условие Sp р2 = 1 (| и; | 2 — /г), так что система находится в чистом состоянии. В данном случае о системе известна вся информация, которая допускается квантовой механикой. Поэтому энтропия такой системы должна быть равна нулю. Проверим этот общий вывод на примере вычисления энтропии для одного специального случая.

Предварительно заметим, что оператор | 0〉〈0 | можно записать следующим образом *):

|0> <0| = Пт ета+。=lim N {ехр (е~£ — 1)а+ а}, (6.138) е-*с©>со

где N ——оператор нормального упорядочения, который был введен в гл. III. Для того чтобы показать это, рассмотрим матричные элементы операторов в левой и правой частях равенства (6.138). Матричный элемент оператора I 0><0 I равен 6n06m0l в то время как в правой части получаем

lim <n I £-Еа+а I ?п> = Нт e~£m8nmе—» оое —* со

7W# 0,7W# 0,И ВИДИМ, что

7W# 0,

7W# 0,

[ 1, пъ —Поэтому правая часть равна 6nm6mO = 6побто7 и утверждение доказано.*) Эта форма записи проекционного оператора была рекомендована автору Геффнером,[ 1, пъ —Поэтому правая часть равна 6nm6mO = 6побто7 и утверждение доказано.*) Эта форма записи проекционного оператора была рекомендована автору Геффнером,lime-Em =

[ 1, пъ —

Поэтому правая часть равна 6nm6mO = 6побто7 и утверждение доказано.

*) Эта форма записи проекционного оператора была рекомендована автору Геффнером,

[ 1, пъ —

Поэтому правая часть равна 6nm6mO = 6побто7 и утверждение доказано.

*) Эта форма записи проекционного оператора была рекомендована автору Геффнером,

Вторая форма выражения (6.138) уже рассматривалась нами ранее в гл. III.

С помощью выражения (6.138) мы можем представить теперь оператор плотности (6.137) в виде

р — lim exp (—方)兴*计 N {exp (L — 1) a+。} ewa =

=lim expl—^—)N X£—8 r\ e — 1 /

X {exp [(e-е — 1) g+ + e-二 j ("十 e； 1)]卜(6」39)

Последняя форма p следует из того, что предыдущее выражение для р уже приведено к нормальной форме. А тогда под знаком оператора N можно образовать полный квадрат.

Если мы сравним статистический оператор (6.139) для ансамбля в чистом пуассоновском состоянии со статистическим оператором (6.128), который описывает ансамбль в смешанном состоянии, то мы увидим, что они имеют одинаковую форму, если заменить величину X в (6.128) на 1 — е-с, а величину w в (6.128) на 血(1 — е~е). Тогда (6.128) и (6.139) будут отличаться лишь оператором нормального упорядочения.

Отсюда видно, каким образом можно найти представление, в котором матрица плотности р в (6.139) диаго- нальна. Для этого положим

с+ = а+—(6.140)

1 一ё 1 —e

Тогда выражение (6.139) приобретает видТогда выражение (6.139) приобретает вид(6441)(6441)

Тогда выражение (6.139) приобретает вид

Тогда выражение (6.139) приобретает вид

(6441)

(6441)

Здесь мы уже перешли к выражению, не приведенному к нормальной форме. В силу того, что

lim exp —一 8e£-llim exp —一 8e£-l=1,=1,

lim exp —

一 8e£-l

lim exp —

一 8e£-l

=1,

=1,

мы можем записать р в виде

р = lim е-ес+с.(6.142)

Теперь очень легко рассчитать энтропию в представлении, в котором оператор с+с диагоналей. Еслис+с | п>с = =汽 I п>с, то

6= -&Spplnp= - limА 2 c<n|e-£c+clne_£c+c|n>c =

JOO 見=0

= lim As 3 n (^-e)n = lim Ae ■0.

Таким образом, путем прямых вычислений мы показали, что энтропия рассматриваемой системы, находящейся в чистом состоянии, равна нулю.

Сравнивая выражения (6.138) и (6.142), можно отметить, что для чистого пуассоновского состояния матрицу плотности р можно записать также следующим образом:

Р = 10〉с с<0 I = ехр (— п)央*а+ 10〉а а<0 | с吗(6.143)

где I 0〉с 一 вакуумное состояние для операторов с и с+. Независимо от проведенного выше анализа можно пока

зать, чтозать, что|0>с = ехр(-4)Ха+|0>а|0>с = ехр(-4)Ха+|0>а(6.144)(6.144)

зать, что

зать, что

|0>с = ехр(-4)Ха+|0>а

|0>с = ехр(-4)Ха+|0>а

(6.144)

(6.144)

(см. задачу 6.9).

Энтропию для состояния (6.128), в котором одновременно с сигналом имеется некоторый шум, можно очень просто рассчитать в использованном нами с-представле- нии. В этом случае мы получим

S = -^_ 一 & е(1 一 * =

=Г (ехр (Па/кТ1) -1]~— ” 1П [' — ехр (—端)]，(6.145)

где, как и в предыдущем разделе, мы положили 九= =hm/kT1 и kTf —〈力〉一龙co涼

Легко также показать, что энтропия состояния, которое представляет собой только экспоненциальный шум вида (6.111), равна

S = 斤7—1口卜一 exp f.

T [exp伍①伍J) - 1]L丿」

Если мы предположим, что средняя энергия для ансамблей, которые описываются статистическими операторами (6.128) и (6.111), одинакова, то Т = Т —伍со亢/© 之 Т, так что информация о сигнале〈р〉и <q> в (6.128) уменьшила энтропию.

ЗАДАЧИ

В представлении взаимодействия найти выражение для статистического оператора в том случае, когда гамильтониан имеет вид Н — Hq * Н‘. Предположить, что Н не зависит от времени.

Доказать, что Sp | и> <и | = <р | и〉, если | и> и | v> — два любых кет-вектора.

Выразить статистический оператор (6.4) через полную ортогональную систему векторов состояний { / ^>}, где

』I fc><* i =

Вывести характеристическую функцию (6.110). При этом кроме выражения (6.115) необходимо использовать также следующую формулу:

2 土 4 ⑺=發J0(2 У*,п=0

где /0 —— функция Бесселя нулевого порядка. С помощью этой характеристической функции показать, что 〈/〉= 0 и <Ла> = =I а |2 (2疹 + 1).

Для ансамблей, которые описываются статистическими операторами (6.96), (6.107), (6.111) и (6.128), вычислить величину <ехр (ga^"«)>, где 白 —— параметр. Здесь роль величины Л играет выражение ga+a.

Рассмотреть два связанных осциллятора с частотами ①工 и <0纟,которые описываются гамильтонианом

Н =充да+а十huy^b +方似曲十十a+b), причем каждый из операторов а коммутирует с каждым из операторов Ь, но [а, а+] = [6, h+] = 1. Здесь к —— малая константа связи. Рассчитать статистический оператор в нормальной форме в момент времени 力 если при 力=0 он задан следующим образом:

р (0) =(1 — £—入 1) (1 一 6一建)6-入№十—в) (af *)g-入zb+b.

Указание: предположить, что оператор р (土)задан в нормальной форме, и, используя результаты гл. III, привести правую часть уравнения

ih 驾/ = [Яр(п) — ^Н]

к нормальной форме.

Доказать, что необходимым и достаточным условием того, что эрмитов положительно определенный оператор р, след которого равен единице, описывает ансамбль в чистом состоянии, является условие Sp р2 = 1.

Найти статистический оператор для ансамбля частиц со спином 1/2, максимизируя энтропию при следующих дополнительных условиях: Sp р = 1 и <6> = s = Sp рб. Выразить множители Лагранжа через s и показать, что результат согласуется с выражением (6.60). В ходе доказательства показать, что

где Xi ——множители Лагранжа.

Показать, что для операторов с и с+ и векторов состояний I п >с, которые определены формулами (6.129) и (6.130), имеют место следующие соотношения:

|а<0 I 0>сI2 = ехр (— % I w|2),

a<re|0>c = («；*"//^|a<0|0>c I2,

|0>c = la<° I 0〉c I2 exp ®*a+) I 0>a.

Вектор состояния с индексом а является собственным вектором оператора a+a, а индексом с отмечаются собственные векторы оператора с+с.

Глава VII

КВАНТОВАЯ СТАТИСТИКА АТТЕНЮАТОРОВИ ЛИНЕЙНЫХ УСИЛИТЕЛЕЙ

Введение

Атом с двумя энергетическими уровнями может переходить на более низкий энергетический уровень с одновременным испусканием фотона как за счет стимулированного (индуцированного), так и за счет спонтанного излучения. Он может также поглотить фотон из поля падающего излучения и перейти на верхний энергетический уровень. В гл. V мы видели, что вероятность инду- циров анного излучения совпадает с вероятностью поглощения. Тогда, если на некоторое время пренебречь спонтанным излучением и предположить, что большинство атомов в поле излучения находится в нижнем энергетическом состоянии, то из падающего на атомную систему излучения будет поглощено больше фотонов, чем испущено возбужденными атомами. В этом случае мы имеем дело с процессом поглощения излучения, проходящего через систему атомов. Этот процесс является обычным процессом поглощения в случае, когда атомы находятся в тепловом равновесии при температуре 7, так как в этом случае распределение атомов по возможным состояниям описывается распределением Больцмана. При этом на нижних уровнях находится большее количество атомов, чем на верхнем энергетическом уровне. G другой стороны, если сделать так, что на верхнем энергетическом уровне находится большее количество атомов, чем на нижнем, то излучаться будет большее число квантов, чем поглощаться, В этом случае будет происходить усиление падающего излучения. Такова простейшая теория работы мазера [42].

Состояние вещества, когда большая часть атомов находится в верхнем возбужденном состоянии, получило название инверсной населенности. Процесс создания такого состояния получил название «накачки».

Усиление излучения в системе обусловливается индуцированными переходами атомов в нижнее энергетическое состояние. Это индуцированное излучение когерентно с падающим излучением. Одновременно, как мы уже знаем, происходит спонтанная эмиссия излучения возбужденными атомами. Это излучение носит случайный характер по отношению к входному сигналу и дает дополнительный вклад в величину шума усиливаемого сигнала. Так как спонтанное излучение имеет квантовую природу, то оно называется обычно квантовым шумом. В данной главе наибольший интерес для нас представляют те эффекты спонтанного излучения, которые ограничивают предельную чувствительность мазера [43——65]. Мы не будем здесь рассматривать влияние накачки, ибо спонтанное излучение не зависит от того, как атомы переходят в возбужденное состояние.

Спонтанное излучение тесно связано с шириной линии излучения. При изучении естественной ширины было показано, что возбужденный атом, связанный с полем излучения, самопроизвольно распадается за конечное время, называемое временем жизни. Это явление самопроизвольного распада называется спонтанным излучением, и именно оно ответственно за естественную ширину линии излучения атома. Процесс распада можно представить себе как такой процесс, при котором одна квантовая система (атом) связывается с большим числом гармонических осцилляторов (осцилляторами поля). При этом в процессе распада энергия атома переходит к этим осцилляторам, так что система осцилляторов по отношению к атому играет роль некоторого поглотителя энергии.

Нас будет интересовать эмпирическая модель мазера, которая описывает и спонтанное излучение. Такая модель позволит нам количественно изучить влияние спонтанного излучения на процесс усиления. Процесс усиления, как мы знаем, включает в себя и некоторый механизм потерь. Поэтому данная глава и начинается с описания определенной феноменологической модели механизма потерь. Механизм потерь мы свяжем с релаксацией состояний

одиночного атома в поле излучения, т. е. с процессом, изученным в гл. V. В разделах 7.2—7.4 мы будем детально обсуждать эту модель, а также некоторые ее статистические свойства. Далее, в разделах 7.5—7.7, мы обсудим простую модель мазера и выведем для нее характеристическую функцию. В разделе 7.8 мы определим ширину полосы мазера для того, чтобы с ее помощью обсудить характеристики стационарного состояния мазера резонаторного типа. В последних разделах главы мы рассмотрим квантовую теорию параметрического усилителя и преобразователя частоты [И].

Задачи, которые мы рассмотрим в настоящей главе, имеют отношение не только к теории мазеров. В других случаях с их помощью можно изучать теорию броуновского движения, процессы релаксации спинов в решетке, флуктуации давления в газах, лэмбовский сдвиг и многое другое.

|7.2. Модель механизма потерь. Фононы

Рассматриваемая нами ниже модель механизма потерь основана на модели, используемой в теории естественной ширины линии излучения атомов. Последняя была также использована в расчетах Синитски [51].

Гамильтониан одной моды поля излучения в резонаторе имеет вид Н =方①о+о. Решение уравнения движения для оператора а (г) в представлении Гейзенберга имеет в этом случае вид a (t) — а ехр (——ico t). Попытаемся теперь по аналогии с сопротивлением в обычных электрических цепях феноменологически ввести в уравнения движения для операторов член, связанный с потерями в резонаторе. Тогда затухающие решения для соответствующих уравнений движения можно записать в форме

“ Q) = ае-'з，-(丫/2" , 。+ ⑺=а+е^-^.

Эти решения могут быть получены просто путем замены частоты з в решениях без потерь на величину со 十 X (у/2). Если мы теперь при наличии потерь вычислим коммутатор операторов а и а+, то получим

[а(£), а+⑼=L,

так как коммутатор операторов о и а+ равен [а, а+] = 1- Мы видим, что для моментов времени 厶 для которых у i<^ 1, коммутатор операторов а（£）и а十（%） равен единице, и мы по-прежнему можем считать их коммутирующими операторами, как это и должно быть в квантовой теории. Однако для моментов времени Z, для которых уг^> 1, этот коммутатор стремится к нулю, а это в свою очередь приводит к нарушению принципа неопределенности. Формально это связано с тем, что обычный член, характеризующий затухание, недостаточен для феноменологического описания механизма потерь в уравнениях Гейзенберга для операторов, которые совпадают по внешнему виду с классическими уравнениями движения. Трудность состоит в том, что модель с обычным затухающим членом учитывает потери в резонаторе с квантованным полем, но не учитывает влияния источника потерь на поле в резонаторе.

Когда время жизни атома в возбужденном состоянии достаточно велико, процессы испускания и поглощения излучения можно учитывать с помощью первого порядка теории возмущений и можно пренебрегать обратным влиянием поля излучения на атомную систему. Однако когда время жизни атома в возбужденном состоянии становится малым, то следует принимать во внимание обратное влияние поля излучения на атомную систему. Последнее и приводит к появлению естественной ширины линии излучения атома. Этот процесс можно представить себе наглядно следующим образом. Атом является простой системой, связанной с полем излучения. В свою очередь поле излучения состоит из большого числа гармонических осцилляторов, частоты которых приблизительно равны энергетическому расстоянию между атомными уровнями, деленному на постоянную Планка. Слабая связь между этими системами, частоты которых приблизительно одинаковы, вызывает уширение каждого уровня в целую полосу, ширина которой определяет естественную ширину линии излучения атома. При этом можно проследить и за энергией атома, которая переходит от него к осцилляторам поля излучения. Естественно, что необходимо длительное время для того, чтобы эта энергия перешла от осцилляторов поля обратно к рассматриваемому нами атому. Поэтому, если мы не будем ждать достаточно долго ? то ока-

жется, что атом потерял свою энергию, передав ее осцилляторам поля.

Аналогичное явление имеет место и в классической физике. Действительно, если мы устанавливаем слабую связь между двумя классическими осцилляторами одинаковой частоты, то в результате мы получим два осциллятора с новыми частотами (так называемые «нормальные» частоты в системе двух связанных осцилляторов), одна из которых будет немного больше первоначальной частоты осцилляторов, а другая — немного меньше. При этом, если первоначально вся энергия находилась в одном из осцилляторов, то в конце концов за достаточно большой промежуток времени вся энергия переходит в другой осциллятор в силу интерференции колебаний на этих двух новых различных частотах. Если теперь связь между осцилляторами убрать прежде, чем эта энергия вернется обратно к первому осциллятору, то по отношению к нему дело обстоит так, как если бы имелся некоторый механизм потерь.

Если теперь устанавливается связь между М осцилляторами, имеющими в отсутствие связи одинаковую резонансную частоту, то в такой связанной системе появятся М новых резонансных частот, лежащих в узкой полосе вблизи первоначальной частоты. Энергия, находившаяся первоначально в одном из осцилляторов, за счет взаимодействия между осцилляторами начнет распределяться между всеми другими осцилляторами. Если до того момента, когда эта энергия возвратится обратно, удалить связь, то в этом случае указанный осциллятор потеряет в таком процессе часть своей энергии. Этим процессом определяется некоторый механизм потерь. Нарисованная нами картина физически вполне эквивалентна квантовой системе, состоящей из отдельного атома и взаимодействующих с ним осцилляторов поля излучения.

Для описания потерь в резонаторе будем считать, что одна из мод резонатора играет роль атома в приведенных выше рассуждениях, и рассмотрим связь этой моды с упругими колебаниями в диэлектрике. Эти упругие колебания можно разложить по нормальным типам колебаний кристалла и показать, что их энергия эквивалентна энергии большого числа «упругих» осцилляторов. Эти упругие

колебания могут быть проквантованы точно так же, как квантуются электромагнитные колебания. Кванты упругих колебаний называются фононами и подчиняются статистике Бозе ——Эйнштейна. Поэтому гамильтониан для фононов мы можем написать в виде

Яь = 2 h^bfbj, (7.1)

где операторы Ь/иЬ扌 подчиняются обычным соотношениям коммутации:

[%, bt]=心力[%, b^]=[疗，砧]=0. (7・2)

В результате мы можем по аналогии с электромагнитным полем в резонаторе записать энергию упругих волн в кристалле и рассматривать амплитуды этих волн как операторы, которые удовлетворяют соотношениям коммутации (7.2).

Обычно в твердом теле имеется в единице объема около 1023 атомов, которые первоначально все имеют одну и ту же частоту упругих колебаний.

Однако когда в твердом теле между этими атомами устанавливается некоторая связь, то все эти одинаковые частоты упругих колебаний изменяются и превращаются в целую полосу различных частот со； вблизи первоначальной частоты. Сумма по всем таким различным частотам дм указана в выражении (7.1), причем индекс ; пробегает в пределах одной полосы интервал целочисленных значений от 1 до 1023. Если все эти частоты расположены очень близко друг к другу с плотностью р®『)), то суммы по индексу /, когда это удобно, могут быть заменены интегралами.

Если твердое тело находится в тепловом равновесии с окружающими телами при положительной температуре 7, то распределение упругих типов колебаний по возбужденным состояниям будет подчиняться распределению Больцмана. Тогда ансамбль затухающих осцилляторов будет описываться в момент времени г — 0 известным

оператором плотности:

(7.3)(7.3)ехp (一附丿= eхр (一尸明中力

(7.3)

(7.3)

— Sp[exp(T&)] — sp[exp (-芋吟中,]'

где尸工кТ.

Так как операторы bjr 好 коммутируют, если / # к, т. е. 电，殖]=0, то мы можем преобразовать соотношение (7.3) и записать

PL(O) = IIpj(O),(7.4)

где N — число атомов, а

р；(0) = (1—е-")еб时 ％(7.5)

%•=方.(7・6)

Таким образом, фононы эквивалентны ансамблю гармонических осцилляторов, находящихся в тепловом равновесии с некоторым резервуаром тепла темпера- туры Т.

Предположим теперь, что твердое тело находится в электромагнитном поле резонатора, которое имеет вид одной моды резонатора с частотой о), близкой к частотам 8〃 т. е.① 弋 ①户 Перед тем, как ввести связь между этими двумя квантовыми системами, т. е. между ансамблем упругих колебаний (фононы) и модой электромагнитного колебания резонатора (фотон), запишем гамильтониан невзаимодействующих систем. Он имеет вид

HQ =方 sa+a + 2 尤①对％，(7.7)

где [a, a+] = 1, [a, a] = [a+, a+] = 0 и все операторы a коммутируют co всеми операторами b. Причем здесь операторы bj и bj~ являются операторами соответственно уничтожения и рождения фонона частоты со；. Этот гамильтониан описывает состояние системы, когда мода

резонатора (электромагнитное поле) и моды колебаний решетки (упругое поле) не связаны друг с другом. Мы будем считать, что совокупность гармонических осцилляторов поля излучения описывается в момент времени X = О оператором плотности р? (0), а совокупность упругих колебаний в тот же момент времени описывается, как мы уже видели, оператором плотности pL (0). Явный вид оператора р『(0) будет установлен нами несколько позднее.

Для того чтобы между электромагнитным полем и упругими колебаниями решетки происходил обмен энергией, необходимо в гамильтониан системы добавить член, учитывающий связь между этими двумя подсистемами. Для ионного кристалла такая связь может возникать за счет взаимодействия заряженных ионов с электромагнитным полем. Очевидно, что существуют и другие механизмы, которые могут быть ответственны за установление такой связи (например, кристалл может иметь различные диполи, которые также взаимодействуют с электромагнитным полем). Простейший гамильтониан взаимодействия, который сохраняет полную энергию системы, можно записать в виде

Ях = 2 (分+ 居ab力. (7.8)

Коэффициенты связи А； считаются малыми по сравнению с частотами(о и со； и зависят от параметров тех физических процессов, которые реально ответственны за механизм связи. Такими параметрами могут быть, например, заряд иона или дипольные моменты атомов кристалла. Кроме того, введенные выше феноменологически члены, ответственные за связь между двумя подсистемами, имеют резонансный характер, т. е. они очень сильно связывают только те фононы, частоты со； которых близки к частоте о) рассматриваемой моды резонатора. Физически это условие достаточно очевидно, если исходить из той картины взаимодействия осцилляторов, которая была обрисована выше.

Приведенный выше гамильтониан % эрмитов. Однако возникает вполне естественный вопрос: почему члены вида

%a+廿 + 后。%, (7.9)

которые также эрмитовы и имеют ту же самую величину связи, что и члены в (7.8), не были включены в гамильтониан взаимодействия (7.8)? Вообще говоря, эти члены могут быть включены в гамильтониан %. Но можно показать, что вклад от них в реальное взаимодействие между двумя подсистемами будем малым. Действительно, если между двумя подсистемами нет никакой связи, то из выражений (7.7) следует, что в отсутствие связи a Q) = ^^-^^% (力)=Ь$е~* 吋.

Когда включается связь, то величины а и &； в правых частях этих равенств становятся функциями времени. Однако если величина связи мала, т. е. kj У со： ~ со, то a s bj будут медленно меняющимися функциями времени. В силу этого такой член в гамильтониане взаимодействия, как а十(f) &+ (г), будет пропорционален ехр [i (со + со；) d^ 仁 ехр (2»3戸)，а член вида 〃Ь^—пропорционален

ехр [% ®j — co)%] а 1.

Это значит, что члены в выражении (7.8) с течением времени остаются приблизительно постоянными, а члены вида (7.9) очень быстро осциллируют. В связи с тем, что взаимодействие между двумя подсистемами происходит в течение большого числа периодов колебаний с частотой 3力 члены вида (7.9) будут при усреднении давать нуль. Поэтому мы для простоты будем пренебрегать в гамильтониане взаимодействия Нг членами вида (7.9). Следует, однако, заметить, что, когда связь становится достаточно сильной, пренебрежение членами вид;а (7.9) не всеща щляётся^о пр|ивда®^^7и®^приси л ьно й связи решения, которые Приводят в (7.9) к ехр (2心“)，могут отсутствовать вообще).

В результате этих обсуждений мы можем перейти к математической постановке задачи. Пусть взаимодействие включается в момент времени Z = 0, а гамильтониан для одной моды резонатора, взаимодействующей со многими о сцил л ято р ами потерь (фононами), имеет вид

—%&〃％ + 2 方叫时％ +2 无(抬а"% + k*abf). (7.10)

Этот гамильтониан описывает влияние поля излучения на осцилляторы потерь, а также и обратное влияние осцилляторов потерь (фононов) на поле излучения. Формально такое взаимодействие аналогично взаимодействию двухуровневого атома с полем излучения, которое уже обсуждалось в гл. V. Поэтому мы надеемся, что такое взаимодействие будет достаточно хорошо описывать механизм потерь для моды резонатора и в то же время будет достаточно удовлетворительно объяснять ширину линии резонатора.

Уравнения движения аттенюатора

Полученный нами гамильтониан (7.10) описывает систему связанных гармонических осцилляторов, в которой только один осциллятор, который характеризует моду поля резонатора (фотон), связывается с другими осцилляторами (фононами). Мы же будем интересоваться статистическими свойствами целой совокупности таких систем. В частности, нас интересуют в основном статистические свойства поля излучения, а не поведение осцилляторов потерь. Именно поэтому мы будем в дальнейшем вычислять характеристическую функцию для электрических и магнитных полей в резонаторе. Однако такие вычисления гораздо более удобно производить в представлении Гейзенберга. Поэтому мы должны знать решения уравнений для операторов а(£)и а+(X)в форме Гейзенберга.

Можно получить эти уравнения, если исходить из полученного нами гамильтониана и воспользоваться при этом соответствующими соотношениями коммутации. Нетрудно видеть, что эти уравнения движения для операторов a (i) и bj (г) имеют вид

穿 n 击[® "I = _- " Z 面仿,

4'(7.11)

do. — 1*

号=次[%，H] = — i&jb} — i%a.

Эту бесконечную систему связанных уравнений невозможно решить точно, и мы для ее решения воспользуемся в дальнейшем приближением Вигнера—Вайскопфа, рассмотренным нами в гл, V.

Однако прежде чем переходить к решению этой системы, мы получим некоторые полезные свойства этих решений. Так как нас интересует характеристическая функция, описывающая поле излучения для некоторой моды резонатора, то мы не будем детально исследовать операторы bj (%) и b扌(z), описывающие поведение осцилляторов потерь (фононов). Очевидно, что в этом случае нам необходимо вычислять характеристическую функцию для выражений вида

Л «) = аа (х) + а*а+ (х).

Кроме того, так как уравнения (7.11) линейны по операторам а и %, то решение этой системы для оператора а (г) в общем случае должно иметь вид

а «)= 〃(%)а 十 2 р;-(力)％, (7.12)

где а и bj являются операторами в представлении Шредингера, ибо они не зависят явно от времени. Решение вида (7.12) логически вытекает из системы уравнений (7.11), если последнюю записать в матричной форме. Введем для этого матрицы вида

「а⑴-

s к* & . • •

4(£)=

仇(f)

,к =

及①1 0

.(7.13)

园⑵

海 о ®2 ...

Тогда систему (7.11) можно записать в следующей форме уравнения для матриц:

dAdtdAdt——iKA,——iKA,(7.М)(7.М)

dAdt

dAdt

——iKA,

——iKA,

(7.М)

(7.М)

которое имеет формальное решение вида

4 «) = e-iKf 4 (0),4 «) = e-iKf 4 (0),(7.15)(7.15)

4 «) = e-iKf 4 (0),

4 «) = e-iKf 4 (0),

(7.15)

(7.15)

ибо матрица К не зависит от времени. Из последнего выражения следует, что оператор а (0 принимает вид (7.12).

Далее, поскольку соотношение коммутации для операторов a (力)и а十(力，

[а(Z), а+ (/)] = 1,(7.16)

должно выполняться для любого момента времени, то отсюда и из выражения (7.12) вытекает, что функции и (/) и 学 ⑵ должны быть связаны между собой соотношением

1〃(*)f+ 2旧(川2 = 1,(7.17)

ибо [а, %] = 0, [а, bjl = 0 и т. п.

Соотношение (7.17) окажется впоследствии весьма полезным при упрощении некоторых результатов.

В принципе мы могли бы получить вид функций и (г) и Vj (х) путем разложения в степенной ряд равенства (7.15). Это разложение было бы эквивалентно ряду теории возмущений по постоянной связи 后六 К сожалению, эти ряды обладают очень плохой сходимостью для того, чтобы их можно было плодотворно использовать в конкретных расчетах. Поэтому мы используем для нахождения функций и (%) и Vj «) метод Вигнера—Вайскопфа. Детали вычислений по этому методу формально аналогичны тем вычислениям, которые были проделаны в гл. V при расчете естественной ширины линии излучения. Поэтому за конкретными вычислениями в данном случае мы отсылаем читателя к приложению 3, где найдено, что

①厂①+"丫/2)①厂①+"丫/2)(7.18)(7.19)(7.18)(7.19)

①厂①+"丫/2)

①厂①+"丫/2)

(7.18)

(7.19)

(7.18)

(7.19)

где 7 ——параметр потерь, определяемый соотношением

? = 2Л胪(3) p (а),? = 2Л胪(3) p (а),(7.20)(7.20)

? = 2Л胪(3) p (а),

? = 2Л胪(3) p (а),

(7.20)

(7.20)

(7.21)(7.21)о/ = з + Аз.

(7.21)

(7.21)

Здесь малый частотный сдвиг Асо определяется по формуле

(乎—символ главного значения интеграла), а множитель р (со) учитывает форму линии для осцилляторов потерь (его не следует путать с оператором плотности).

В качестве упражнения предлагаем читателю проверить, что эти приближенные выражения для и (i) и %(£) удовлетворяют условию (7.17). Это в то же время будет и дополнительной проверкой внутренней согласованности (непротиворечивости) тех приближений, которые используются в Приложении 3 при выводе формул (7.18) и (7.19). Очевидно, что в рамках сделанных приближений соотношение (7.17) должно выполняться в течение того интервала времени, пока не нарушаются соотношения неопределенностей.

Из выражений (7.18) и (7.19) нетрудно увидеть, что, когда величина \и (^) |2 уменьшается с течением времени, осцилляторы потерь (фононы) возвращают эту энергию обратно в эту моду излучения резонатора. При этом автоматически в каждый момент времени выполняются соотношения коммутации. Как отмечалось ранее, соотношения коммутации нарушались, если частота (о просто заменялась на+ Z (?/2)・

X арактеристическ а я функция аттенюатора.Полуширина линии резонатора

В гл. VI мы видели, что статистические свойства излучения в резонаторе с потерями могут быть получены с помощью вычисления характеристической функции для совокупности систем, представленных в момент времени Z = 0 оператором плотности р (0). Этот оператор плотности описывает состояние аттенюатора в начальный момент времени Z = 0. Вычислим характеристическую функцию для оператора 4 ") в представлении Гейзенберга. Этот оператор имеет вид

Л (力)=аа «) + сс*а+ ⑺. (7.23)

При этом, если а = а@ = 了方/2д то оператор 4(Z)= = g (%) соответствует магнитному полю, а если а — ар = =—V方 з/2, то оператор Л (%) = ?(%) соответствует электрическому полю внутри резонатора.

Характеристическая функция для оператора Л в представлении Гейзенберга в соответствии с результатами гл. VI имеет вид

Са (Е) = Sp (р (0) ехр {比[аа (力 + а*а+ «)]}). (7.24)

Оператор плотности р (0) в момент времени Е = 0 можно записать в виде обычного произведения оператора р/ (0), описывающего начальное состояние поля в резонаторе, и оператора р^ (0), описывающего начальное состояние осцилляторов потерь и определяемого формулой (7.4), т. е.

р (0) = р『(0脩L (0).(7.25)

Это возможно сделать потому, что до момента t = 0 между осцилляторами поля излучения в резонаторе и осцилляторами потерь не было никакого взаимодействия —связь между ними включается в вюмент времени 看=0.

Если использовать выражение (7.12) и ему комплексно сопряженное, то экспоненту в формуле (7.24) можно записать в виде

ехр {话[аа (i) + £а十 «)]}=

=ехр [^(ада + аи а^)] f Jехр [»Е(а%・％ +а*и；б/~)], (7.26)

ибо все операторы а и & в правой части равенства, которые являются операторами :в представлении Шредингера в момент времени £ = 0, коммутируют между собой. Для сокращения записи в (7.26) величины и (» и у；(£) записываются в виде и и V).

Если теперь воспользоваться формулами (7.25) и (7.26), то можно записать характеристическую функцию в виде произведения двух сомножителей:

Са(Е) = FL(7.27)

где

歹=Sp 卩, (0) ехр [ig (a"а-卜 /a*0十)],

£ = П 厶三 口 sp pj(o)exp 底 ^jbj + h沙”办]. 'a)

В первый сомножитель F входят операторы поля в резонаторе (хотя влияние потерь учитывается обычной функцией и (z)), а во второй сомножитель L входят только операторы потерь &；.

Сначала мы рассмотрим величины £力 ибо они уже были рнчислены в гл. VI. Для этого используем выражение

и вычислим след оператора р； в выражении для Lj в представлении, в котором оператор Ь,6『 диагоналей. Тогда получим

乙.=(1 -小)X

X S е X，n，<«； I exP (^ ^Vjbj + av^bf)] I ny>, (7.29) 巧=0

где ^~j~bj\nj〉= njn； >. По внешнему виду это выражение совпадает с выражением (6.112), если только в последнем заменить операторы а, а+ на операторы Ь, &+, а также произвести замену Л -> Л；, а -> а%・，а‘ f а*у； и п f п. Тогда результат вычислений определяется формулами (6.117) и (6.118) и в новых обозначениях будет иметь вид

= 辱乜(7.30)

где

出(%) = I a 卩 I 内(0 I2 cth % 从，从=-~ •(7.31)

В результате выражение для Z = П厶принимает вид 厶=И4 = exp % |a|42Sl 力⑴ i2cth%%•] . (7.32)

Для суммы, стоящей в экспоненте, можно получить приближенное выражение. Из формулы (7.19) видно, что величина \vj (川2 имеет заметный максимум при з『~ о/, ибо параметр потерь у является малой величиной. Так как при этом cth (方з)/2А7) является медленно меняющейся функцией частоты со；, то его можно вынести из-под знака суммы, заменяя при этом частоты 3丁 на частоту з'. В результате, если используем соотношение (7.17), получим

2 旧(£) I2 cth^" у cth磊 3 I % (£)『 =

= cth瑞[1一|〃 (川2].(7.33)

Подставив в (7.33) приближенное выражение (7.18) для функции и (г), получим

厶 у ехр [― I а『守(1 一 L)仔 + £Т , (7.34) где

九=ШкТ.(7.35)

Для того, чтобы получить явный вид функции F, необходимо точно задать состояние поля излучения в резонаторе в начальный момент времени Z = 0, т. е. задать конкретный вид оператора плотности р『(0). Ниже мы рассмотрим несколько частных случаев.

Состояние вакуума. Тепловой шум. Предположим, что с помощью некоторого количества измерений было установлено, что состояние поля излучения в резонаторе в момент времени Е = 0 является состоянием вакуума. Это означает, что в момент времени г — 0 поле излучения в резонаторе находится в чистом состоянии | 0 ). В этом случае оператор плотности для совокупности таких систем равен

р『(0)= |0〉〈0|.(7.36)

Тогда множитель F в выражении (7.28) примет вид

歹=〈0 I С这(а〃а+а*〃*а+〉| Q^

=ехр (— % I a J I м У 資〈° I «侬”а+е2Еааа | 0> =

=ехр [—% |а 円 “(f)限2].(7.37)

При вычислении величины F оператор ехр [i^ (аиа + + аиа^)\ записывается в нормальной форме. Если мы теперь используем приближенное выражение (7.18) для функции и(£), то можем привести функцию F к виду

F=exp(-(7.38)

Заметим, что функция F, так же как и функция £, квадратично зависит от параметра &.

Используя выражения (7.34) для величины L и

для функции F, мы можем получить для характеристической функции Сл (Ю j следующее окончательное

выражение:

ca (Ю = eхp {— % F I a 仔 卜r + (1 -门‘)

(7.39)

Первое слагаемое в экспоненте, уменьшающееся со временем, соответствует переходу энергии от поля излучения в резонаторе к осцилляторам потерь. Второе слагаемое, растущее со временем, соответствует обратному потоку энергии от осцилляторов потерь к моде излучения резонатора.

При абсолютном нуле температуры (九-> 8) характеристическая функция существенно упрощается:

Са (ю = ехр {—力F I а |2 [ef + (1 - е-")]}=

=ехр(—%F|a『). (7.40)

Именно эта характеристическая функция и учитывает влияние нулевых колебаний поля внутри резонатора.

Мы намного лучше поймем смысл и значение характеристической функции, если вычислим с помощью функции (7.39) моменты операторов р и ^. Если а = а, или а = а「 то путем простого дифференцирования мы можем получить

•〈Р〉= <?> = 0.(7.41)

Это значит, что среднее значение поля в резонаторе в любой момент времени t равно нулю. В начальный момент времени £ = 0 внутри резонатора не было никакого поля (состояние вакуума). Тепловая энергия от осцилляторов потерь с течением времени переходит в поле излучения резонатора. Однако при этом средние значения поля в любой момент времени t все равно остаются равными нулю при любой температуре осцилляторов потерь.

С помощью вторых моментов операторов р и q мы можем вычислить среднюю энергию поля в резонаторе:

〈Е〉=方 3 (〈。+。〉+ %) = % (〈p2〉+ 32(炉〉)=〈Е〉=方 3 (〈。+。〉+ %) = % (〈p2〉+ 32(炉〉)=

〈Е〉=方 3 (〈。+。〉+ %) = % (〈p2〉+ 32(炉〉)=

〈Е〉=方 3 (〈。+。〉+ %) = % (〈p2〉+ 32(炉〉)=

Из второго выражения для〈£〉видно, что для того, чтобы энергия нулевого поля все время оставалась постоянной и равной 无（о/2, необходимо, чтобы в любой момент време- ни 看 имел место баланс между энергией, втекающей в резонатор, и энергией, вытекающей из него. При абсолютном нуле температуры （厶-> 8）средняя энергия〈Е〉стремится к нулевой энергии поля в резонаторе, равной 方（о/2.

Хотя средние значения 〈р〉=〈д〉— 0, средние значения квадратов амплитуд поля〈р?〉и <^2> отличны от нуля. Как мы видели раньше, эти среднеквадратичные флуктуации называются нулевыми колебаниями поля.

В силу соотношения （7.42） среднее число квантов в резонаторе в момент времени t равно

方 —〈g+a〉=7=一-厂-/力.（7.43）

'/exp （龙s/kT） — 1exp （龙со/儿『）—1 х /

Иными словами, если поле излучения в резонаторе из состояния вакуума в момент времени £ = 0 постепенно переходит к тепловому равновесию с осцилляторами потерь, то распределение излучения внутри резонатора переходит в распределение Планка для излучения абсолютно черного тела. Приведенные выше расчеты показывают, что это стремление во времени к равновесному распределению Планка осуществляется по экспоненциальному закону.

Для того чтобы подчеркнуть этот момент, мы подведем итог всем полученным результатам и нарисуем качественную картину развития процесса во времени. В начальный момент времени внутри резонатора нет никакого поля. Мы имеем в этот момент состояние вакуума, но с отличными от нуля нулевыми колебаниями. Далее, при Х〉0 устанавливается некоторая связь между этим резонатором и системой упругих колеблющихся осцилляторов （осцилляторы потерь）, находящихся в тепловом равновесии при температуре Т. Осцилляторы начинают передавать часть энергии в поле излучения внутри резонатора, а оттуда она частично возвращается обратно к упругим осцилляторам. Этот процесс продолжается до тех пор, пока поле излучения внутри резонатора не приходит в тепловое равновесие с системой упругих осцилляторов. Совпадение распределения равновесного излучения с рас-

пределением Планка еще раз подтверждает справедли- еость многих приближений, сделанных при расчетах. Энергия, запасенная таким образом внутри резонатора, называется тепловым шумом. Источником такого теплового тума внутри резонатора является спонтанное излучение фононов в решетке.

2. Состояние с минимальной неопределенностью. В качестве следующего простейшего примера рассмотрим возбуждение одной моды резонатора сигналом в момент времени / — 0. При этом мы предполагаем, что состояние поля внутри резонатора в момент времени X = 0 описывается оператором плотности чистого состояния, приведенным в формуле (6.96),

Р/(0) = ехр(—方)心*。+10〉<0|^а,(7.44)

где п есть среднее число квантов р резонаторе в момент времени £ = 0, средние электрические и магнитные поля в момент времени £ = 0 определяются выражениями

〈р〉= t /■岑(w* — w),

⑺=/萼(炉+勿)

И

w — У ne'^.(7.46)

Распределение вида (7.44) с максимальной точностью, допускаемой принципом неопределенности, определяет электрическое и магнитное поля внутри резонатора. Мы же интересуемся теперь поведением этих полей во времени, начиная с того момента, когда устанавливается связь между модой: резонатора и упругими осцилляторами потерь (фононами).

В пашем случае множитель F в формуле (7.27) принимает вид

F — е~п (01 ewa ехр ［疋(аид + ос*〃*а+)］醉七+ ］ о>. (7.47)

По внешнему виду это выражение совпадает с выражением (6.97), если мы в последнем произведем замену а -> а〃 и а* -> а*〃*. Поэтому в силу соотношения (6.99) для

величины F можно получить следующее выражение:

F = ехр [ —%Е21al2財2 + 斉(a*我*u? + auw*)\. (7.48)

Если 五 f 0, то ip-> 0, и состояние (7.44) переходит в состояние вакуума. В этом случае выражение (7.48) автоматически переходит в формулу (7.37). Наличие мнояш- теля 自2 в приведенных выше выражениях все еще обусловливается влиянием на процесс флуктуаций нулевого поля. Естественно, что этот множитель не зависит от величины сигнала внутри резонатора.

Явный вид характеристической функции при наличии в системе одновременно сигнала и гауссова шума можно получить из формулы (7.27), если в нее подставить выражения (7.34) и (7.48):

СА (Е) = ехр [疋(aZ*s + 仪辽⑺一-^ F | а | "乂仔一

— F|“|2(i _£%)(； + £)>(7/9)

Отсюда можно обычным способом получить выражения для нескольких первых моментов операторов р и д. Например,

〈0〉= J等 ©W cos (a/£ + <p),

(7.50) 〈p〉= — |/2方co疗 e"M sin (a)7 + ср).

При вычислении этих выражений мы использовали соотношения (7.18) и (7.46). Кроме того, можно получить формулы и для вторых моментов:

〈р” _ <р>2 = й®[4-+.

=со2 [<72> — <7>2].(7.51)

Следовательно, начальный сигнал распадается за то же самое время, в течение которого развивается внутри резонатора тепловой шум. Формулы (7.50) показывают, что врелгя жизни сигнала в одной моде резонатора равно ?т. Если мы теперь разложим (7.50) в интеграл Фурье,

то получим, что

g (®0)= /赛贵添+А — В> •(7・52)

Отсюда следует, что интенсивность поля внутри резонатора / (①о), пропорциональная величине 卜(①仙，имеет вид

®)2 е(3。)卩=譏(wo - £0-)2 + (т/2)2 '(7.53)

т. е. линия излучения имеет типичную лоренцеву форму с полушириной

Б = у.(7.54)

Мы видим, что осцилляторы потерь объясняют квантовомеханически ширину полосы линии моды резонатора. С помощью приведенных в конце этой главы задач 7.1 и 7.2 можно показать, каким образом обеспечивается непрерывная подача сигнала в моду резонатора и как получаются условия для стационарного состояния. Результаты этих задач согласуются с формулой (7.53), которая является типичной классической формулой.

7.5. Модель мазера

Во введении к этой главе было дапо краткое теоретическое объяснение принципа работы мазера. В сущности, для создания мазера необходима соответствующая квантовая система с двумя энергетическими уровнями, которая будет связываться с полем внутри резонатора. Если в верхнем состоянии находится большее число таких квантовых систем, чем в нижнем состоянии, то сигнал будет усиливаться. Ниже мы рассмотрим очень простую модель мазера с требуемыми характеристиками.

Предположим, что резонатор работает на одном типе колебаний, имеющем частоту ①.Гамильтониан такой системы имеет вид

Hf = Й(оа+а. (7.55)

Состояние поля в резонаторе в начальный момент времени / = 0 описывается оператором плотности р/ (0). Предположим также, что в небольшом объеме резонатора имеется вещество, состоящее из большого числа N частиц со

спином 1/2, которые до того, как начинают взаимодействовать с полем излучения, находятся в тепловом равновесии при температуре Г и распределены по состояниям согласно распределению Больцмана. Если температура системы спинов положительна, то спины будут в основном поглощать излучение, тогда как если температура системы спинов отрицательна, то они будут дополнительно излучать энергию в поле излучения [42]. Будем предполагать, что система спинов находится во внешнем постоянном магнитном поле Яо, направленном вдоль оси z. Тогда, как мы видели в гл. V, гамильтониан системы спинов до начала взаимодействия с полем резонатора имеет вид

% =告工巾•(7.56)

Здесь oj ——спиновый оператор Паули для /-го спина. Резонансная частота о)； j-ro спина системы зависит от постоянного магнитного поля, в котором находится j-й спин и которое может меняться от спина к спину в силу наличия локальных полей.

Систему спинов можно рассматривать как систему, находящуюся в тепловом равновесии при температуре М и описываемую оператором плотности р§(0) системы невзаимодействующих частиц:

Ре(О) = Пр?(О),(7.57)

где

ехр (— У%%) Sp [ехр (—1/2%%)] и

М -.(7.a9)

Температура Т& может быть как положительной, так и отрицательной.

Интересно теперь вычислить ожидаемое среднее значение оператора а； в момент времени £ = 0. Оно имеет вид

©〉= Sp р； (0) а；.(7.60)

Вычислим этот след в представлении, в котором матрица 右 диагональна, т. е. когда о力土 1〉= + 11+1 >• Тогда мы получим

〈勺〉н —%F 丄也勺=—th •（7・61）

Если температура Г8 отрицательна, то величина〈о；〉положительна.

Отношение количества спинов в верхнем состоянии к количеству спинов в нижнем состоянии имеет вид

<-11 吮 I - 1>

（一11力一"叫_1〉

Отсюда видно, что если температура Ts отрицательна, то в верхнем состоянии будет находиться больше спинов, чем в нижнем состоянии.

Для того чтобы получить инверсию населенности （и отрицательную температуру Zg）t достаточно включить в нашу схему некоторый механизм накачки [42]. Как отмечалось ранее, это совсем нетрудно и поэтому не представляет особого интереса в нашей задаче.

После всего этого предположим, что в момент времени £ = 0 поле излучения начинает взаимодействовать со спинами, т. е. между ними возникает некоторая связь. Согласно гл. V член взаимодействия можно записать в виде

〃i = W hkj （寸а + о，а+）・

Здесь величина ks является постоянной связи для /-го спина, а оj — операторы Паули для /~го спина.

В результате полный гамильтониан для мазера имеет вид

h = h^a^a +;2方叫岁+ 2 砲（0扬+8а+）.（7.63）

При этом мы считаем, что связь между полем излучения и сцинами является слабо#.

Мазерные уравнения движения

Следующим шагом в нашем изучении статистических свойств мазера является решение уравнений движения в представлении Гейзенберга. В силу коммутативности операторов спина и бозона нетрудно получить эти уравнения обычным способом. При гамильтониане вида (7.63) они имеют вид

da

—?(oa — i〉： kj©j,

(7.64a)

生= dt

—zcojSy tkjCjd,

(7.64b)

芍 dt

—2〃刃(o：a + £a+),

(7.64c)

dt 一

十23户：一ikj^a+,

(7.64d)

dt

:心肝+ Z 2面o；.

(7.64e)

Эти уравнения оказываются существенно более сложными, чем уравнения (7.11) для аттенюатора, ибо в правой части появляются нелинейные члены вида о；% о, q+ и т. п. Однако если мы хотим рассматривать модель, описывающую линейный усилитель, то мы должны сделать линейное приближение.

Это линейное приближение состоит в следующем. Пусть в рассматриваемом образце имеется большое число спинов. Для того чтобы выделить энергию из образца, необходимо пэревести спины из верхнего состояния в нижнее с одновременным испусканием фотона (при этом из- меняется величина и；). Однако, для того чтобы достигнуть необходимой величины усиления в такой системе, достаточно перевести из верхнего состояния в нижнее лишь небольшое число спинов из общего количества ). Поэтому, если процесс взаимодействия спинов с полем

излучения ие будет продолжаться достаточно долго и если величина связи между спинами и полем мала (к)У @)а н з), то начальное равновесное тепловое распределение спинов, задаваемое оператором плотности в формулах (7.57) и (7.58), не будет заметно изменяться в течение процесса усиления. Поэтому в уравнениях движения (7.64) операторы о； можно заменить на их равновесные значения (7.61).

В соответствии с уравнением (7.64с) изменение во времени величины о； пропорционально величине 小). Отсюда следует, что член вида к^а в уравнении (7.64b) оказывается порядка 4/ ). Поэтому в линейном приближении мы можем заменить величину о； на (а；). Такой метод эквивалентен получению приближенного решения уравнения в виде разложения в ряд по степеням коэффициента связи kj. В этом случае пары уравнений (7.64а), (7.64b) и (7.64d), (7.64е) оказываются расцепленными между собой, и в результате получается бесконечная система уравнений вида

da.. р _

2y = 一 — z 2 历勺，

，(7.65)

d耳2

血 == —ZtDjOj —I- ikj〈о；〉g.

Поскольку уравнения линейны, то решение для оператора а (Е) ищем в виде

а (£)=我(力)а + 2 内(£) о；,(7.66)

где операторы ало? не зависят явно от времени и соответствуют значениям операторов в представлении Шредингера при £ = 0.

Из коммутационных соотношений следует, что

[а(<), а+ (i)l = l = |u(t)|2-为 I力(力2 吟(7.67)

ибо [о：, о,] = о：・ Если теперь в соответствии с линейным приближением заменить в соотношении (7.67) оператор о； его ожидаемым значением, то получим

1"(川2-w|。№)产《分=1.(7.68)

Теперь уравнения (7.65) можно решить с помощью приближения Вигнера—Вайскопфа точно так же, как это делается в Приложении 3 при решении уравнений (7.11). Детали вычислений мы оставляем в качестве упражнения для читателя. Результат же такого решения имеет вид

и (£) бхр (— ZwZ 十一^―〈％〉力)，

(7.69)

%/血' {1 - exp 口(电一叫2+(T/2)"丿〃}

J"-丽一心)一『(T/2) <%>，

где

Т = 2冗依(g/)p(o/).(7.70a)

Величина p (о/) есть плотность спиновых состояний, а ①'=з + А① 〈Oz〉， где малый частотный сдвиг определяется выражением

审警5(7.70b)

а величина〈“〉равна

〈〃〉=一机盘=V@儿尸3.(7.71)

Решения (7.69) для системы частиц со спином 1/2 и решения (7.18) и (7.19) для системы осцилляторов потерь формально очень схожи между собой. Главное отличие состоит в появлении в формулах (7.69) дополнитель-

ного члена <az>. Этот член определяется соотношением (7.71) и является функцией температуры с лиловой системы. Мы видим, что при положительных температурах функция и") в выражениях (7.69) будет экспоненциально уменьшаться с течением времени из-за отрицательности величины (az>. Если же температура спиновой системы 7\ окажется отрицательной, то решения будут экспоненциально нарастать с течением времени. Поэтому в зависимости от знака температуры 7s настоящая модель может описывать как аттенюатор, так и усилитель.

Мазерная характеристическая функция.Шумовая температура

Для получения статистической информации о поле излучения в резонаторе вычислим характеристическую функцию

Сл (Е) = Sp {Р/ (0) р8 (0)两。啲+”。+叫.

Если воспользоваться выражением (7.66) и ему комплексно сопряженным, то выражение для。厶(己)приводится к виду

Сл = F$(7.72)

где

歹工 Sp [р/ (0) е近(аиа+а”а+]

(7.73)

S = E[Sp [Pj (0)产叫•。戸"。；叭.

Как и раньше для случая аттенюатора, мы записали характеристическую функцию для мазерной системы в виде простого произведения сомножителей, включающих в себя отдельно операторы поля и отдельно операторы спина.

Для того чтобы вычислить функцию S, мы можем использовать теорему 15 из гл. III (см. (3.179)) и, изменив обозначения, написать

S = Л Sp { Р/ (0) gos (I с®/ Е) +

疋sin(I £内|e)_*丄

H丽]一—(父汴(7.74)

Мы знаем, однако, что

Spp? (0) = 1(7.75)

и в то же время можно показать, что

Sp р;- (О)а^ = 0.(7.76)

Поэтому выражение (7.74) приводится к виду

S = II cos (I avj IЕ) Q ехр [——^》| q ⑴『| а 产守].(7.77)

Последняя форма записи величины S в выражении (7.77) следует из того, что в силу соотношений (7.69) величина |uj (DP является малой величиной порядка AJ. Поэтому разложение в степенной ряд косинуса и экспоненты дает одинаковую степень приближения в выражении для S.

В дальнейшем с помощью соотношений (7.68) выражение для S можно упростить. Действительно, поскольку величина у мала, то из формул (7.69) следует, что функция Е ⑴卩 имеет заметный максимум вблизи (о^ ^(о. Так как величины <а；) ? являются медленно меняющимися функциями G)у, ТО МОЖНО ПОЛОЖИТЬ В НИХ (0/ = з л после этого вынести их из-под знака суммы в соотношении (7.67). Тогда выражение (7.68) с помощью соотношений (7.69) приводится к виду

"…安=吧**1.(7.78)

В результате выражение для функции S приводится К виду

S р ехp {一 f I a (2[1 一 ёхр (丫〈邑〉力)1 (% + 旳他3蔦)口)} "(7.79)

Для получения (7.79) была использована формула (7.74).

Последнее выражение по внешнему виду тождественно совпадает с формулой (7.34) для величины L — оператора потерь. Более того, так как множитель F в виде (7.73) для характеристической функции совпадает по форме с выражением (7.28) для аттенюатора, то отсюда следует, что статистические свойства усилителя одинаковы со

статистическими свойствами аттенюатора. В частности, когда начальное состояние поля является состоянием вакуума, то среднее количество квантов шума в момент времени £ равно

<а+а> = °片：田、.,(7.80)

где мы положили

G = ехр (у〈Oz〉%),(7.81)

а величина (а2> определяется формулой (7.71). Если температура 7\ положительна, то величина <а2> отрицательна и временной множитель уменьшается с течением времени по экспоненциальному закону. При этом формула (7.80) для усилителя совпадает при ехр (力(о/А;7\)〉1 с формулой (7.43) для аттенюатора. Если же температура отрицательна, то количество квантов шума увеличивается экспоненциально с течением времени. В этом случае формулы описывают начало процесса возбуждения колебаний в резонаторе. В следующем разделе мы обсудим стационарные решения процесса генерации колебаний внутри резонатора.

Энергию квантового шума усилителя можно связать с эквивалентной ей шумовой температурой входного сопротивления усилителя. Мощность выходного шума для свободно-шумящего усилителя равна

где Tg ——температура входного сопротивления, В — ширина полосы, а величина G определяет усиление по мощности. Если мы приравняем (7.82) действительной выходной мощности шума N&~、которую с помощью формулы (7.80) можно определить соотношением вида

^act =方с0而⑴=1——吗2 T ,(7.83)

1 — exp (― %①//с II)'' 丿

где n (力一среднее число квантов выходной мощности, а 力§ — спиновая (отрицательная) температура в мазере, то, разрешив полученное уравнение относительно 7加, получим

Ты = ^ Jin [g^T(2 - ехр ^Г?|)]} 1 •(7・84)

Для больших значений усиления, G* 1, и для идеального усилителя, \TS\ —> 0 (в этом случае Есе спшш находятся в верхнем состоянии), предельное значение Те оказывается равным

3 鴿. (7.85)

В области микроволновых частот эта величина составляет доли градуса, но на оптических частотах она оказывается порядка 104 °К. Это значит, что на оптических частотах основной вклад в увеличение шумовой температуры прибора дает квантовый шум, который будет существенно больше всех других шумов.

Следует еще раз подчеркнуть, что физической причиной квантового шума является спонтанное излучение, которое возникает одновременно с индуцированным излучением при переходе спинов из верхнего состояния в нижнее. Так как спонтанный переход носит случайный, хаотический характер, то в результате такого перехода к основному сигналу совершенно хаотическим образом добавляется дополнительная энергия, которая и называется квантовым шумом.

Стационарные решения для мазера

Для того чтобы перейти к более реальной модели мазерного усилителя, нам нужно к механизму усиления добавить некоторый механизм потерь, который всегда присутствует в реальной системе. Кроме того, мы должны обеспечить непрерывный подвод энергии сигнала к резонатору.

Мазер резонаторного типа работает как прибор с отрицательным сопротивлением. Если такой прибор работает в усилительном режиме вблизи порога генерации, то, как известно из общей теории усилителей с отрицательным сопротивлением, в этом случае можно получить очень большое усиление на единицу длины резонатора.

После такого вступления напишем гамильтониан для рассматриваемой нами модели. Он имеет вид

" = / + ?+ 斤？ (7.86)

где

HQ =方(оa+" + 2方3｝疗® + ｝』方①储，

(7.87)

Н'=九£財(b扌a + b^) + 无〉]К」(с5：а + o；a+),

Выбранная нами расчетная модель должна быть ясна из вида гамильтониана и из основного содержания предыдущих глав. Действительно, мы имеем одну моду резонатора частоты (о, связанную с большим числом осцилляторов потерь (частоты з))必 с большим числом частиц со спином 1/2 (частоты з；‘). Помимо этого мы имеем сигнал е «) от внешнего генератора, связанный с модой резонатора. Все эти предположения аналогичны тем предположениям, которые были сделаны нами для моделей аттенюатора и мазера. Кроме того, мы пренебрегаем какой бы то ни было прямой связью спиновой системы с осцилляторами потерь.

В этом случае уравнения движения могут быть линеаризованы путем замены оператора az на его ожидаемое значение, а затем могут быть решены точно так же, как мы это уже делали в приложении 3. Тогда мы получим следующее выражение для характеристической функции:

以但)=ехр｛-｝р|а|2 +

+ 话 l"ca*g* ⑴-泳ag (切｝ FLS, (7.88) где

g (£) = § е (£) и (t —尸)d£「 о

F = Sp [pz (0) exp (i^u*a+) exp (i^aua)],

(7.89) 厶=Sp [ Pl (0) exp (疋a* ± °沖)exp (疋a』。也)]，

s = Sp [p8 (0) exp (侬* 2 r；b) exp 卜^a 2 г；о；)]

ии勿⑴=_勿⑴=_u (力 w ехp (—心_1/2n)力泳; exp (- f碣7) ｛1 - exp [ - / (to - 3;)一%⑺ 土｝i (①从①?)+ %nu (力 w ехp (—心_1/2n)力泳; exp (- f碣7) ｛1 - exp [ - / (to - 3;)一%⑺ 土｝i (①从①?)+ %nгз W =—гз W =—(7.90)q exp (-心，力｛1 — exp [ — Ё (co —%)一%叫 口(7.90)q exp (-心，力｛1 — exp [ — Ё (co —%)一%叫 口i (co — s,) + %i]i (co — s,) + %i]

и

и

勿⑴=_

勿⑴=_

u (力 w ехp (—心_1/2n)力

泳; exp (- f碣7) ｛1 - exp [ - / (to - 3;)一%⑺ 土｝i (①从①?)+ %n

u (力 w ехp (—心_1/2n)力

泳; exp (- f碣7) ｛1 - exp [ - / (to - 3;)一%⑺ 土｝i (①从①?)+ %n

гз W =—

гз W =—

(7.90)

q exp (-心，力｛1 — exp [ — Ё (co —%)一%叫 口

(7.90)

q exp (-心，力｛1 — exp [ — Ё (co —%)一%叫 口

i (co — s,) + %i]

i (co — s,) + %i]

П = 丫匸一YG <az>.

Здесь величины ?l и、g определяются точно так же, как и в модели аттенюатора и в модели мазера. В зависимости от спиновой температуры величина п может быть положительной, отрицательной или равной нулю. В этих расчетах мы пренебрегали малыми сдвигами частоты типа (7.70b), обусловленными связью.

Если предположить, что осцилляторы потерь и спины находятся в тепловом равновесии при температуре соответственно 7Y и Г3, что внешний сигнал имеет вид

(7.91)(7.91)e (力)=е^^

(7.91)

(7.91)

и первоначальное состояние поля в резонаторе является состоянием вакуума, то можно показать, что средние значения электрического и магнитного полей в стационарном состоянии пропорциональны величинам

/ 、 7 т/龙①「 cos cojZ 4- 2 (со — con) sin coof ]

(7.92)

/ 、 7 「 2 (го — coo) cos (Ooi — Л sin(ooi 1

Эти формулы находятся в полном согласии с аналогичными результатами для классического усилителя, так что они дают еще один пример применения теоремы Эрен- феста.

Для того чтобы затухли неустановившиеся процессы и было достигнуто стационарное состояние для усиления, предполагается, что потери больше, чем усиление.

Среднее число квантов внутри резонатора в момент времени t равно

5(»)〉=鳥["2+d3經 +

+ 2^(£+^)/],(7.93)

где

“ =ехр 阁，Q = ехр (—咼).(7.94)

Первые два члена в выражении (7.93) зависят от внешнего сигнала, в то время как последние слагаемые дают в итоге спонтанное излучение и ответственны за квантовый шум в усилителе.

Мы оставляем все эти вычисления в качестве самостоятельного упражнения для читателя. Подробные детали вычислений можно посмотреть, например, в работе [65].

Параметрический усилитель и модельдля преобразователя частоты

Основная идея параметрического усилителя весьма проста [11]. Пусть имеется обычная радиотехническая LC- цепь, в которой возбуждены колебания. Теперь, если раздвигать пластины конденсатора каждый раз тогда, когда на них появляются заряды (т. е. два раза в течение периода колебаний в LC-цепи), то над зарядами совершается извне работа, и в результате этого в LC-цепь втекает дополнительная энергия. Если пластины сдвигаются обратно в тот момент, когда на них нет зарядов (это также происходит два раза за период колебаний в цепи), то при этом не совершается никакой работы. Таким способом в LC-цепь все время накачивается некоторая дополнительная энергия с удвоенной резонансной частотой (т. е. с частотой в два раза большей, чем частота основных колебаний), и колебания в цепи начинают возрастать.

Если имеются две слабо связанные резонансные АС-це- пи с частотами соответственно ①】и(о2, то дополнительная энергия может подаваться в них подобным же образом

на частоте (0 = (0!+ S2・ Такая система способна усиливать сигнал, поданный на ее вход.

Для квантовомеханического изучения такой системы рассмотрим две моды резонатора с частотами соответственно (0л и со?. Гамильтониан такой системы имеет ви[

На = S а+旬+龙网喈出， (7.95) где операторы а^ и。广 удовлетворяют следующим условиям коммутации:

[а5, а+] = 5V,[仰,玲]=[力,а力=0. (7.96)

Кроме членов (7.95) в гамильтониане необходимо предусмотреть член, описывающий взаимодействие внешнего источника энергии с модами резонатора(о1 и w2. Этот член взаимодействия будет обеспечивать подкачку энергии на частоте

со = (о】+ (о? (7.97) в указанные выше моды резонатора. Предположим, что этот член имеет вид

% = — 紘[疗碍е-“з+б + ад/з+б], (7.98) где к — постоянная связи. Отметим, что выражение для гамильтониана взаимодействия типа (7.98) можно получить в приведенном выше классическом примере АС-цепи с помощью изменения емкости или индуктивности. Обоснованием для такого вида гамильтониана взаимодействия является тот факт, что оператор Н* во-первых, эрмитов, а во-вторых, приводит к таким уравнениям движения Гейзенберга, которые согласуются с классическими уравнениями движения параметрического усилителя. Это соответствие является следствием теоремы Эренфеста. В работе [52] была сделана попытка вывести формулу (7.98) для гамильтониана взаимодействия Н1 из основных принципов квантовой теории, но эта попытка привела к некоторому несоответствию с уравнениями Максвелла. Точпо такое же несоответствие имеет место и в классической теории. Однако ошибка, возникающая из-за такого несоответствия, оказывается незначительной, и принятая модель хорошо согласуется с экспериментом.

三王三三一三王三三一Рис. 10. Энергетические уровни гармонических осцилляторов с частотами СО], (о2 и о — сох -|- «2* Процесс (а)-за1гпсывается как а；, 。2，。+迈 соответствует уничтожению квантов o-l и со2 и рождению кванта с частотой со =仰 斗 吗， Процесс (6) записывается как а+ 喈 а и соответствует рождению квантов ① 1 и ш2 и уничтожению кванта s.Рис. 10. Энергетические уровни гармонических осцилляторов с частотами СО], (о2 и о — сох -|- «2* Процесс (а)-за1гпсывается как а；, 。2，。+迈 соответствует уничтожению квантов o-l и со2 и рождению кванта с частотой со =仰 斗 吗， Процесс (6) записывается как а+ 喈 а и соответствует рождению квантов ① 1 и ш2 и уничтожению кванта s.

三王三三一

三王三三一

Рис. 10. Энергетические уровни гармонических осцилляторов с частотами СО], (о2 и о — сох -|- «2* Процесс (а)-за1гпсывается как а；, 。2，。+迈 соответствует уничтожению квантов o-l и со2 и рождению кванта с частотой со =仰 斗 吗， Процесс (6) записывается как а+ 喈 а и соответствует рождению квантов ① 1 и ш2 и уничтожению кванта s.

Рис. 10. Энергетические уровни гармонических осцилляторов с частотами СО], (о2 и о — сох -|- «2* Процесс (а)-за1гпсывается как а；, 。2，。+迈 соответствует уничтожению квантов o-l и со2 и рождению кванта с частотой со =仰 斗 吗， Процесс (6) записывается как а+ 喈 а и соответствует рождению квантов ① 1 и ш2 и уничтожению кванта s.

Запись гамильтониана взаимодействия в форме (7.98) можно понять также, исходя из закона сохранения энергии. На рис. 10 показаны энергетические уровни гармонических осцилляторов с частотами со?丛 s = °h + ①2・ Для сохранения энергии в такой системе необходимо, чтобы каждый раз, когда уничтожаются кванты с частотами % и(о2, накачка от внешнего источника создавала квант частоты (о (на рисунке этот процесс обозначен через (а)). Этот процесс на языке операторов рождения и уничтожения можно записать в виде а^а^. Здесь операторы а】 и 仪2 являются операторами уничтожения квантов частоты % и (о2 соответственно, а оператор 仪十 создает квант частоты (о. Наоборот, если создаются кванты частоты 卽 и о)2, то должен быть уничтожен квант накачки частоты со = со】+ со? (на рисунке — процесс (6)). Этот процесс на языке операторов рождения и уничтожения можно записать в виде а+ а+ а.

Теперь мы напомним, что когда моды не связаны друг с другом, то операторы g (%) и а (%) имеют вид 旬(力=出 ехр (—必拥，a (t) = a exp (一加/) (j ~1,2).

Если накачка осуществляется на высокие уровни возбуждения (большое квантовое число), то в этом случае в силу принципа соответствия квантовой механики система ведет себя классическим образом. Тогда оператор 。(力)，соответствующий накачке, можно заменить на коммутирующую (классическую) переменную а (%) вида а (方)=а ехр [ — X (з£ + ф)]. В результате этого получаем, что два процесса (а) и (6) на рис. 10 соответствуют двум слагаемым в формуле (7.98).

Заметим, что во всех классических теориях параметрического усилителя всегда предполагается, что возбуждение от накачки значительно больше величины сигнала. А это значит, что и при квантовомеханическом описании системы накачки ее можно рассматривать классически.

Кроме гамильтониана взаимодействия вида (7.98) можно в принципе использовать другой —— трехфотонный эрмитов гамильтониан взаимодействия вида

Я2 = hk [aiatei(-at^ + /%/№+叫.(7.99)

В согласии с приведенным выше энергетическим рассмотрением этот гамильтониан соответствует уничтожению двух квантов частоты(о2 и(о и рождению нового кванта частоты а>х (или наоборот). Однако при этом сразу видно, что будет нарушаться закон сохранения энергии, ибо 方о)2 + 方① 中 方公1，если частота s = ①工 十 ^2- Кроме того, если мы включим в реальную картину взаимодействия гамильтониан 反2，то окажется, что при со = ①】 十 ①？ величина Н2 будет быстро осциллировать со временем и в среднем будет давать нуль, тогда как величина Н* будет оставаться постоянной. Это видно из того, что при малой константе связи к (左父①工，(о2) величина 旬 «) будет изменяться со временем приблизительно пропорционально ехр (——力①丿), а величина 仪扌(i)——пропорционально ехр (Хй)2%)* Очевидно, что все эти соображения являются серьезным аргументом против включения в процесс параметрического усиления гамильтониана взаимодействия вида (7.99).

С другой стороны, если принять

(о = (О] — о)2,(7.100)

то гамильтониан взаимодействия типа Н2 будет удовлетворять закону сохранения энергии, а гамильтониан Яг не будет удовлетворять ему. Как мы увидим ниже, последний случай выбора вида частоты ① будет соответствовать случаю параметрического преобразования частоты.

После этого обсуждения возьмем для параметрического усилителя гамильтониан полной системы в виде

яа = Яо + Я\(7.101)

и примем со =⑴工 + о)2 (Яо и Яг определяются соотношениями (7.95) и (7.98)). В силу соотношений коммутации

уравнения движения Гейзенберга для операторов параметрического усилителя принимают вид

2警①1g1 一 卄*3‘+6彦，

(7.102)

I — — 0)2g扌 +力屡3f+中)g1.

Мы видим, что гамильтониан взаимодействия Нг связывает операторы 仪工 и at- Поскольку уравнения (7.102) имеют тот же вид, что и уравнения для классического параметрического усилителя [11], то, следовательно, в силу теоремы Эренфеста гамильтониан взаимодействия Н1 имеет правильный вид в пределах тех приближений, которые принимаются в классической теории параметрического усилителя.

Для преобразователя частоты полный гамильтониан будет иметь соответственно вид

& =瓦 + Я2(7.103)

и w —(о1 —(о2 (Но и Я2 определяются выражениями (7.95) и (7.99)). Уравнения движения Гейзенберга принимают в этом случае вид

2禦=①工〃1 +

(7.104) 方警 р ①2@2 + ке^^а^

и мы видим, что гамильтониан взаимодействия Н2 связывает операторы 仪工 и а2. Так как уравнения (7.104) совпадают по внешнему виду с классическими уравнениями для параметрического преобразователя частоты, то это означает, что вид гамильтониана взаимодействия 〃2 выбран правильно.

Нетрудно получить и решения систем уравнений (7.102) и (7.104). Они имеют вид:

для параметрического усилителя

旬(%)二(旬 ch kt + 1е~г^а^ sh 就)，

(7.105)

。2 (力)=©тз" (% ch 浪 + ie~^at sh kt);

для параметрического преобразователя частоты

旬 Q) =& cos kt — 1e-^а。sin 次Е),

-(7.106)

〃2 (力)=еТз/ & cos 后力一ie^a^ sin kt).

Как обычно, операторы(^ «) соответствуют операторам в представлении Гейзенберга, а операторы 仪纟,не зависящие от времени,——операторам в представлении Шредингера.

Полученные нами решения будут необходимы при изучении статистических свойств различных приборов. Из полученных решений видно, что в случае параметрического усилителя решения экспоненциально пара、 стают с течением времени, а для преобразователя частоты энергия непрерывно переходит от одной моды с частотой 公1 к другой моде с частотой о>2.

Статистические свойства параметрическогоусилителя

Различные моды резонатора с частотами ①工 и ①2 физически эквивалентны друг другу. Поэтому мы будем изучать характеристическую функцию электрических и магнитных полей только для одной моды усилителя с частотой (ог. На практике обычно на такую моду с частотой о>1 ссылаются как на сигнальную моду; тогда моду частоты го2 при этом называют холостой модой.

Мы предполагаем, что накачка включается только в момент времени £ = 0, так что состояние поля в обеих мо^ дах описывается простым произведением операторов плотности

р (0) =Р1(О)Р2(О),(7.107)

где оператор плотности р】(0) описывает систему из осцилляторов на частоте(о1? а оператор плотности р2(0)— систему осцилляторов на частоте(о2- Если мы, как обычно, положим, что

4 =出仰(力)+ &；# (0?(7.108)

то характеристическая функция для системы частиц, которая описывает свойства поля на частоте «!, принимает вид

СА^ - Sp [% ⑼ ％ (0)穽厶⑴]・(7.109)

С помощью соотношений (7.105) величину Аг (£) можно записать в виде

4 С)=仪1厂3辻(ch kt) а】+ ct^^ (chW) a： +

+ &6一"3"6 (sh 而Ё)点一Лх；ей3"6 (sh 就)a2 三

三m传)a1+m* (%)a± + 少 (力)a2 +D* (%)片. (7.110)

Функции и (t) л V (%) определяются из этих равенств. Из соотношений коммутации следует, что характеристическую функцию можно представить в виде произведения двух сомножителей:

Са, (Е) = Sp m(0)产(n%+“*由]Sp [p2 (0)产g+。*力].(7.111)

Как и в случае аттенюатора и мазера, мы сумели записать характеристическую функцию в виде произведения двух сомножителей, каждый из которых включает в себя операторы только одного осциллятора. Форма этих сомножителей совпадает с той формой, которая встречалась нам раньше много раз. Поэтому вычисление сомножителей в формуле (7.111) для случая, когда на частоте 卽 в момент времени 力=0 имеется сигнал плюс гауссов шум, а на частоте (о2 — шум, мы оставляем читателю в качестве самостоятельного упражнения. В этом случае, как мы знаем из шестой главы, шум описывается операторами плотности

Р1 (0) = (1 — e-入，) e-%(at-s)Qe),

P2 (0) = (1 -味儿)計不@.

Если в начальный момент моды находятся в состоянии вакуума, то оператор плотности имеет вид

р (0)= |0>! 10>21<0| 2<0|.

Тогда характеристическая функция с помощью выражения (7.110) приводится к виду

点,⑹=ехр [一扌F a 〃⑴『+ I ° ©『)]=

=exp [— 手守 I 出 I2 (ch2 kt 十 sh2")] . (7.112)

Отсюда среднее число квантов в моде резонатора частоты со】в момент времени 方 равно

〈а 扌旬〉=sh2 kt.(7.113)

Это есть среднее число квантов в момент времени 力 в том случае, когда в начальный момент времени % = 0 число квантов равно нулю. Выходная мощность, обусловленная этими спонтанно испущенными квантами, и носит название квантового шума. В качестве упражнения мы предлагаем читателю показать, что эффективная шумовая температура в этом случае равна.

北"М福-(74m)

行

Она оказывается точно такой же, как и для идеального мазера. Отметим, что в данном случае при получении выражения для этой шумовой температуры нам не было необходимости предполагать очень большое усиление.

Характеристическая функциядля преобразователя частоты

Если для преобразователя частоты использовать решение (7.106), то для оператора /工(/) получим

Ах ⑺=и (方)仰 + и* ⑺а± + v (力)做 + у* (t)at, (7.115) где

и (£) = а^е-гсо1/ cog 林，и 传)—Za；或3'+⑺ sin kt. (7.116)

Характеристическая функция для величины Аг имеет вид

二 SP [P1 (0)产(皿+"*°力]Sp [pa (0) /a°@+”*°力].(7.117)

По внешнему виду (7.117) совпадает с характеристической функцией усилителя. Однако между ними имеется существенное физическое различие. Для выявления этого различия рассмотрим случай чистого состояния системы, при котором обе моды находятся в состоянии вакуума. Тогда характеристическая функция примет вид c.4,您)=eхp[- 3g|2(|u|2 十 I 汴)]=eXp(一号1%e).

Оказывается, что среднее число квантов в момент времени 力 в моде частоты со工 равно нулю, т. е. когда на входе преобразователя частот отсутствует какой-либо входной сигнал, то и на выходе преобразователя частот нет никакого сигнала. Иными словами, преобразователь частот не обладает никаким квантовым шумом и поэтому его шумовая температура равна нулю.

ЗАДАЧИ

Если генератор напряжений начинает взаимодействовать с резонансной полостью, содержащей осцилляторы потерь, то в этом случае к гамильтониану (7.10) добавляется некоторый член взаимодействия вида

h"=龙仔⑺。+ +产(Z) a].

Показать, как этот дополнительный гамильтониан Нг, видоизменяет уравнения движения (7.11). Решить эти уравнения для величин a (i). (Воспользоваться методом анализа, приведенным в приложении 3.)

Пусть функция / (力)в задаче 7.1 имеет вид

/«) = /ое-'з。，.

Найти характеристическую функцию для величин р и g в том случае, когда осцилляторы потерь описываются матрицей плотности (7.4), а начальное состояние поля является состоянием вакуума. Найти стационарные значения величин 〈卩〉и <д>.

Показать, что приближенные решения, приведенные в формулах (7.18) и(7.19), удовлетворяют соотношениям коммутации (7.17). Сделать приближения, согласующиеся с приближениями, сделанными в приложении 3.

Решить мазерные уравнения движения (7.65) с помощью метода, приведенного в приложении 3.

Показать, что решения (7.69) удовлетворяют уравнению (7.68).

Проверить формулу (7.76).

Вычислить характеристическую функцию для модели двухуровневого мазера, если в начальный момент времени в резонаторе имеется гауссов шум и синусоидальный сигнал со случайной фазой. Найти среднее число квантов доля в момент времени 力 после появления взаимодействия.

Вычислить среднее число квантов на частоте 8工 параметрического усилителя в момент времени & если в начальный момент времени i — 0 (см. формулу (7.111))

р； (0) = ехр (一瓦)е"% I。〉〈 0 I е%% (i = 1, 2)

376376КВАНТОВАЯ СТАТИСТИКА АТТЕНЮАТОРОВ [ГЛ. VII

376

376

q= VX© * (Л, 2).

Решить задачу 7.8 в том случае, когда

Рг (0) = I М〉g IРг (0) = I М〉g I(i = 1, 2).(i = 1, 2).

Рг (0) = I М〉g I

Рг (0) = I М〉g I

(i = 1, 2).

(i = 1, 2).

Для параметрического преобразователя частоты вычислить среднее число квантов в моде частоты ①工 в момент времени t, если в момент времени i — О

Pi (°) = I /〉Sf 卜；

Для параметрического усилителя вычислить кет-вектор состояния в момент времени & если в момент времени £ = 0 было состояние I п1( п2>. (Замечание: вычислять в представлении взаимодействия .)

Определить вероятность того, что в момент времени 力 усилитель находится в состоянии 刃“,m2>, если в момент времена / ~ 0 он находился в состоянии 几」,п2>.

Показать, что для параметрического усилителя оператор плотности в момент времени t может быть записан в виде

гдегде

где

где

Но =龙gajai + 龙①2。才。2,Hf =—克4 (口扌。扌е"单十 aia2.ei:p),

a p (0) есть оператор плотности в начальный момент времени t = 0.

Приложение Л

ГАМИЛЬТОНИАН ПОЛЯ ИЗЛУЧЕНИЯ В ПРЕДСТАВЛЕНИИПЛОСКИХ ВОЛН

Выведем гамильтониан (4.91) энергии поля излучения в кубической полости в представлении плоских волн. Подставим В и £Г (формулу (4.90)) б (4.91) и после несложных алгебраических преобразований полутом

—2 2 Y^l^U {(^а®；^) +([eiakzl ^Vo1, kZfI)} 乂

XJ d”〃6 ⑺ exp (工电!■) — а力(i) exp (— ik^)] x

по ПОЛОСТИ

X Sj« (0 exp {ikvr)—。力(t) exp (—泳")J・(A.l)

Так как

.fc±i = +— (3 + 甸 + Zsk)(A• 2)

(это следует из (4.82)), мы видим, что

~ g dr схр [+ i (Л； + к^ г] — 6г, -ь по полости

Се(А.З)

} di exp [+ t (电一К.) г]= 6匕1.

по полости

Если мы подставим эти формулы в (А.1), проведем суммирование по Г и учтем, что ©/ 三 то получим

九吗_!_丄

Н = 2 ^а1а %^+ 力％)【(々а е,。,) + 他匕勺]网°,kJ)]—

—(々М-М +。加九)【®а е_а)十(旧占][jw к—])]}.(А.4)

С помощью обычных правил векторного анализа проводим следующие преобразования;

([ега к/] [егоЛ/])^([его[к； ezJ]kz) = [(eZa егу) к/ — (eZakz) еь，]к/ =

=(% 勿『)=%，,(А.5)

где использовано, что (е/ак；) = 0 и кг к^ = 1. С помощью аналогичных преобразований получаем

(【©出 к。[е_м к*]) =(6打 6_露(К к」)=—(е/о e~h，)，(А・6)

где использовано, что к_г == —— к/. Из (А.6) следует, что последний член в (А.4) тождественно обращается в нуль, в то время как из (А.5) следует, что первый член сводится к 26aa,, и, таким образом,

"=2 ~2~(“U力 + 時％/，

что согласуется с (4.91).

Приложение Б

ИМПУЛЬС ПОЛЯ в полости

В этом приложении мы рассчитаем классический импульс, связанный с полем излучения в полости. Если мы подставим В и jff из (4.90) в (4.93), то получим

G = —2 2 了吗①Г 旧。&，II X

I, a 匕

X —-\ dr [% W exp (昧产)—a+ &) exp (— ikf r)} X

по полости

义[。厂* (i) exp (iklfr)—。力,⑴ exp (一 ik^},(Б.1)

Этот интеграл совпадает с'интегралом, рассчитанным в приложении А. Если мы используем этот результат, то увидим, что G преобразуется следующим образом:'

G = 2{(。М方 +時%，)0/%，k/l 一

一(〃g+ 時。工，)©° [e_；a, k_,]]}.(Б.2)

Для простоты мн опустили явную зависимость от времени.

Используя хорошо известное векторное тождество, получаем 【跟[e；0, kJ] = д° е；а,） к,=亀“勺， 闻同历上川=一（跟6—g,）玩，（В.3）

так как

（% к/） = 0 и к_, = — &.

Таким образом, （Б.2） сводится к следующему выражению:

G = en力勺（%時+atai^ +

+ 二_ 2 Лк1 ^U^-ia' + ^-la'｝（eZOe-Id-）＞ （E・4） 2

так как 的=①/к"с. Теперь покажем, что последняя сумма по 厶 о, о' тождественно равна нулю. Так как к/ =——к_【,а о' м о — индексы суммирования, мы можем записать первую сумму по Z, о и и' следующим образом:

£ 2=

= 4~S方“” ｛（% e_g,） —（е% e_M,）｝ = 0.

Таким же способом можно показать, что член с。十а+ обращается в нуль. Поэтому из （Б.4） получается формула （4.94）, приведенная в тексте.

Приложение В

СВОЙСТВА ПОПЕРЕЧНОЙ 6-ФУНКЦИИ*）

Поперечная 6-функция определяется следующим образом:

б? （р） = ту 2 tsw ^ih^^ехр ^к1 р） （в.1）

или

明（2:戸 J dA:（%j --^"卜冲0砌，（b .2）

где к = fck, к2 = \ к |2, dk 三 dkxdkydkz.

Теперь мы выведем некоторые полезные свойства 明 (р).

碣(p)= 6^(p).

Эти свойства сразу следуют из определения (В. 2), так как

豬(P)= 6g(-P).

(В.З)(В.З)(В. 4)(В. 4)Если в (В.2) мы заменим кт — Л, то dk -* — dk и из (В.2) получаем

(В.З)

(В.З)

(В. 4)

(В. 4)

6手(р) = — J j J &Е(6仙—_^i■卜хр (—ifcp) =

3.3.SS福福а%а%=0・=0・(В. 5)(В. 5)•^1) ехр (―话р)=碣(一р).

3.

3.

S

S

福

福

а%

а%

=0・

=0・

(В. 5)

(В. 5)

Из (В.2) после дифференцирования по 灯 и суммирования по / получаем

НоНоа%® —а%® —十8十8так кактак как4.4.蟲岁JJJ〃№ exp(ikp(6蟲岁JJJ〃№ exp(ikp(62 一2 一2 修％ = "2.2 修％ = "2.Это сразу следует изЭто сразу следует из5.5.掘掘гдегде))11 -11 -勺У 7的勺У 7的a%(p)_na%(p)_nа%а%(В.З) и (В.5).(В.З) и (В.5).%(Р)= 5济(?) -+%(Р)= 5济(?) -+11т0,т0,(В. 6)(В. 6)114ла工渺 j)p)4ла工渺 j)p)(В. 7)(В. 7)6 (г)=6 (г)=11(2л)з(2л)з十8j f f с?Л ехр (ikr) = 5 (^) 6 ®) 6 (z)十8j f f с?Л ехр (ikr) = 5 (^) 6 ®) 6 (z)(В. 8)(В. 8)

Но

Но

а%® —

а%® —

十8

十8

так как

так как

4.

4.

蟲岁JJJ〃№ exp(ikp(6

蟲岁JJJ〃№ exp(ikp(6

2 一

2 一

2 修％ = "2.

2 修％ = "2.

Это сразу следует из

Это сразу следует из

5.

5.

掘

掘

где

где

)

)

11 -

11 -

勺У 7的

勺У 7的

a%(p)_n

a%(p)_n

а%

а%

(В.З) и (В.5).

(В.З) и (В.5).

%(Р)= 5济(?) -+

%(Р)= 5济(?) -+

1

1

т0,

т0,

(В. 6)

(В. 6)

1

1

4ла工渺 j)p)

4ла工渺 j)p)

(В. 7)

(В. 7)

6 (г)=

6 (г)=

1

1

(2л)з

(2л)з

十8

j f f с?Л ехр (ikr) = 5 (^) 6 ®) 6 (z)

十8

j f f с?Л ехр (ikr) = 5 (^) 6 ®) 6 (z)

(В. 8)

(В. 8)

—обычная трехмерная d-функция Дирака, так как

J dk^^'(В .9)

Чтобы доказать (В.7), используем (В.2) и (В.8):

時(Р)= 6# (р) ■—(2冗戸 j d加―；/ exp (泳 р)・ (В. 10)

Но

А 8 ； ^& ехр (ik р)+( /%ехр 件р)“ 炉彳八 JI

I/ —ОО—8

Поэтому (13.10) можно записать следующим образом:

6%) =動(p)+飞蟲广(磊工 也響处.(b/2)

заряда езаряда еПоследний интеграл можно рассчитать косвенным методом, в«；спо ль-

заряда е

заряда е

зовавшись представлениями электростатики. Потенциал равен

'一 4nr *Этот потенциал удовлетворяет уравнению Пуассона СР= 一 еб (г).'一 4nr *Этот потенциал удовлетворяет уравнению Пуассона СР= 一 еб (г).(В.13)(В.13)Отсюда находим, что炉-JL = - 4г6 (r)Отсюда находим, что炉-JL = - 4г6 (r)(В.14)(В.14)-~ j № ехр {ikr).-~ j № ехр {ikr).(В .15)(В .15)где использовано (В.8). Отсюда легко получить, чтоI 4 f dk ехр (ikr)где использовано (В.8). Отсюда легко получить, чтоI 4 f dk ехр (ikr)4пг — (2п)з4пг — (2п)з(В.46)(В.46)Если мы подействуем оператором V2 на левую и правуюЕсли мы подействуем оператором V2 на левую и правуючасти ра-части ра-венства (В.16), то получим формулу (В,15). Затем подставляем (В.16) в (В.12), и формула (В.7) доказана.венства (В.16), то получим формулу (В,15). Затем подставляем (В.16) в (В.12), и формула (В.7) доказана.G.G.a%® 诚®a%® 诚®(В.17)(В.17)

'一 4nr *

Этот потенциал удовлетворяет уравнению Пуассона СР= 一 еб (г).

'一 4nr *

Этот потенциал удовлетворяет уравнению Пуассона СР= 一 еб (г).

(В.13)

(В.13)

Отсюда находим, что

炉-JL = - 4г6 (r)

Отсюда находим, что

炉-JL = - 4г6 (r)

(В.14)

(В.14)

-~ j № ехр {ikr).

-~ j № ехр {ikr).

(В .15)

(В .15)

где использовано (В.8). Отсюда легко получить, чтоI 4 f dk ехр (ikr)

где использовано (В.8). Отсюда легко получить, чтоI 4 f dk ехр (ikr)

4пг — (2п)з

4пг — (2п)з

(В.46)

(В.46)

Если мы подействуем оператором V2 на левую и правую

Если мы подействуем оператором V2 на левую и правую

части ра-

части ра-

венства (В.16), то получим формулу (В,15). Затем подставляем (В.16) в (В.12), и формула (В.7) доказана.

венства (В.16), то получим формулу (В,15). Затем подставляем (В.16) в (В.12), и формула (В.7) доказана.

G.

G.

a%® 诚®

a%® 诚®

(В.17)

(В.17)

если р = г — г\ Эту формулу легко получить, дифференцируя

(В.2) по冲и冗工

Приложение Г

СООТНОШЕНИЯ КОММУТАЦИИ ДЛЯ D и в

В этом приложении мы выведем соотношения коммутации (4.135) и (4.136) из основного текста.

Так как В = rot4, то в представлении Шредингера получаем

г(М) 84 (М)[

[5 ⑺，В1 (")] = [А (г), ур— — —^7—J 三 д8

三两[5⑺，4(n)]一而[5⑺，4(吗].(以)

Из (4.(23) и свойств симметрии (В.З) и (В.4) следует, что

8 тд т

[Di (г),瓦(〃)]=；后砂 6^ (р)-гй^б^ (р),(Г.2)

где р = т* ——т'. Из (В.2) приложения В

诚ат诚ат+ 8+ 8Л1〃3〃2Л1〃3〃2схр (ifcp),схр (ifcp),

诚

ат

诚

ат

+ 8

+ 8

Л1〃3〃2

Л1〃3〃2

схр (ifcp),

схр (ifcp),

(Г.З)(Г.З)

(Г.З)

(Г.З)

+ 8

Г f ki /С2^3

dxfdxf再7)林一^ехр (源Р).

dxf

dxf

Если мы подставим эти уравнения в (Г.2), то увидим, что [Z)i (г), В* (г')] = 0 в представлении Шредингера, откуда следует формула (4.135) основного текста в представлении Гейзенберга (аналогичное доказательство справедливо для [Z)2f 82] и [力з, 83])•

Далее рассмотрим коммутатор двух перпендикулярных компонент, например D± и В2. Получаем

[01(7), в2 (h] = [01 ⑴),(一疗一一=

=-37 [Qi (父)，/1 ①')]-凉 \Di (r), /3 (е)]=

=汤备6^ （р）-力九备6：з（Р）, （F百）

где мы использовали соотношения коммутации (4.123).

Из формул (В.2) и (В.8) приложения В получаем

д тF 限

而 бп(Р)=肃 ° (Р)+ 砌"\ — ехр Мр) dk,

к1кзк1

ехр (庇р) dk.

(Г.5)

Подстановка этих выражений в (Г.4) дает

[Qi (г), Bz (гл)] = + 力无备 G (р)三一访备。(р),(Г.6)

так как р = г — г\ Аналогично доказываются формулы для [D^ В^] и [1)з, 8J, и, таким образом, формула (4.136а) доказана. Совершенно так же доказывается формула (4.136b).

Приложение Д

ГЕЙЗЕНБЕРГОВСКИЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ДЛЯ РИВ

Выведем гейзенберговские уравнения движения (уравнения (4-138)). Гамильтониан задан формулой (4.137). Поскольку, как зто видно из (4.131а), все компоненты D коммутируют, мы с помощью формулы (4.137) выводим для z-компонепты D следующее выражение:

"无 也*= "^7、&т' [6 ㈠方 BYM, 0],(Д-1)

где В2 ~ В^ + 成 + В；. Из (4.135) следует, что [乌，母J = 0, так что (Д.1) сводится к следующему выражению:

汤 吵器)=击"i {WМ人)瑞("")]+ D①，t)，馮 俨，«)]}•

(Д.2)

В задаче 1.8, f) было показано, что

[A,鹏]=[人项员 + 8； (A,砲，(Д.3)

где использовано обозначение 8'三 JB (r\ i). С помощью (4.136) уравнение (Д.З) преобразуется следующим образом:

【5, В‘2】=—2力无耳石6 (р),(Д.4)

так как (@/@z) 6 (р) есть с-число и коммутирует с 8；.

Аналогично

队鹏]=+2喇备 6(р).(Д.5)

Если мы подставим (Д.4) и (Д.5) п (Д.2), полутом

‘％ ^" = ~^Г [+，呪'"(М, г) 6 (р)—今口厘& (",力)6 (R)] . (Д.6)

Но из определения 6-функции следует, что

+ 8

(Д-7)(Д-7)(Д・8)(Д・8)，ddf (г) 6 ①—N) = / (г),

(Д-7)

(Д-7)

(Д・8)

(Д・8)

так что (Д.6) сводится к следующему выражспшо:

dDi (г,力) ih「аВз (г, Z) 5Вз (г, Z)]di —百 L一笏一-一」■

Но В = NoH и выражение в скобках представляет собой ^-компоненту rot 8.

Аналогично выводятся уравнения для у- и г-компонент Р, и, таким образом, уравнения (4.138а) выведены. Вывод уравнений (4.138b) предоставляется читателю.

Приложение Е

ВЫЧИСЛЕНИЕ СООТНОШЕНИЙ КОММУТАЦИИ ДЛЯ ПОЛЯ

Покажем, что

рк (г, «),,号(Л (“"))2 dt]=访/£ ⑴,Z).(E.l)

Так как r' — переменная интегрирования, мы можем записать левую часть (Е.1) в виде

dx' [Л/с (г), Ai(rr) Ai(rr)] = ihdx' [Л/с (г), Ai(rr) Ai(rr)] = ih—")，(Е.2)—")，(Е.2)

dx' [Л/с (г), Ai(rr) Ai(rr)] = ih

dx' [Л/с (г), Ai(rr) Ai(rr)] = ih

—")，(Е.2)

—")，(Е.2)

где использовано тождество

[Л, ВС] = [А, В] С + В [А, С](Е.З)

и соотношения коммутации (4.180).

Прежде всего необходимо установить еще одно свойство поперечной 6-функции. Рассмотрим разложение произпольлого вектора

В(" =备』£%е,°ехр(—死产)，.(Е.4)

Z 0=1

(七,5).(七,5).где е1а (о = 1, 2, 3) — три взаимно перпендикулярных единичных вектора и В^ ——коэффициенты разложения. Можно записать В как сумму компонент, одна из которых параллельна kj (продольная) и две перпендикулярны 鹿匕(поперечные). Таким образом,

(七,5).

(七,5).

В (г) = ^Т + BL.

ВЫЧИСЛЕНИЕ СООТНОШЕНИЙ КОММУТАЦИИ для поля 385

Если мыЕсли мыположим е/эположим е/это из формулы (Е.4) получимто из формулы (Е.4) получим

Если мы

Если мы

положим е/э

положим е/э

то из формулы (Е.4) получим

то из формулы (Е.4) получим

(Е.6)(Е.7)(Е.8)(Е.6)(Е.7)(Е.8)^т К)=备 2 S Bgeg exp (- ikLr),I 0=1

(Е.6)

(Е.7)

(Е.8)

(Е.6)

(Е.7)

(Е.8)

"⑺=击2/% exp (一/書)，

где div jBt = 0 и rot 5丄=0.

Рассмотрим теперь интеграл

^ = 2 5 drBi⑺叫m一力

1=1

Покажем, что

/ = В： ("),

т. е. * поперечная 6-функция выделяет поперечную компоненту вектора.

Если мы подставим (Е.4) и (В.1) в (Е.7), то получим

. з з

3 S 2 协 exp (—ik^) (eZa) . X

i—1 L a=l

X exp (-的r)N万exp [加r3一M)] (6订一勺,品,).(e.9)

\ Если мы заметим, что

芸、deexp 口(勺，一电)* =诟，, 0

и вспомним, что

Од；

к1^^{1Л + 1п +/зк).

(Е.10)

(Е.11)

а также просуммируем в (Е.9) по У, то выражение (Е.9) преобразуется следуюпщм образом:

з

в1а ехр (—麻Г) 2 (е, J (幅一 &%).(Е.12)

I о=1i=i

Легко показать, что

—f (ем)й если 3 = 1,2

』(％) В订 一&凡)={(Е.13)

ГI 0,если 6 = 3.

Используя это, получаем из (Е.12)

Twt в% ехр (—麻产)(е；》・.I а=1

Теперь, используя выражение (Е.6), легко показать, что соотношение (Е.8) справедливо. Если мы вспомним, что 5寺=5g, то увидим, что (Е.1) получается из (Е.2) с помощью формул (Е.7) и (Е.8).

Приложение 次

ВЫЧИСЛЕНИЕ СУММ В УРАВНЕНИИ (5.137)

В этом приложении мы рассчитаем сумму в уравнении (5.137) основного текста [24].

Рассмотрим сумму по поляризациям о. На рис. 11 показано расположение волнового вектора и дипольного момента атома (обозначены вектора к/, а, 徹'и углы 6上 и ф/). Для простоты мы

Рис. И. Расположение волнового вектора и атомного дипольнргомомента.

предположим, что а; и а/ имеют только х-компоненты. Волновой вектор имеет компоненты

к/ = (sin O/Costp/, sin 0； sin ф；, cosO；).(Ж.1)

Единичные ортогональные векторы поляризации могут быть записаны в виде

ег1 = (— cos 0^ cos ф/, — cos 0/ sin ф/, sinO；),

% =(用口屮厶一cosw, 0).(Ж.2)

Атомные дипольные моменты имеют следующие компоненты^

ж = I я? I [1, о, 0],必=I 心 I [1, о, 0].(Ж.З)

При таком выборе векторов поляризации сумма по а в (5.137) равна 2

> (气。力)®#‘)= 1ЖI I жл I (cos3 4 cos 恥 + sin2 %).(Ж.4)

Используя соотношения (4.110) и (4.116), можно заменить сумму по I в (5.137) интегралом

87t2K

2 T爲^ 3部,卜in о,m叫，(Ж.5)

Zо о0

так что (5.137) приобретает вид

с(1； 2;0; £)=с(1； 2;0; £)=е2 I я; I I а;' I зз, ?3[働[1 —е" 3「з，) q *

с(1； 2;0; £)=

с(1； 2;0; £)=

2无Ео (2пс)з j j [Z (co — co, -J- 丫厶/2](3( — з')

о

sin 4加(\ a% (sin2 фг + cos2 В, cos3 (р) е也「Cos 匕(Ж.6) о

Интегралы по ф/ и ① легко вычисляются:

(Ж.7)(Ж.7)\ sin2 ^jd^t = \ со® %&(р( = п.

(Ж.7)

(Ж.7)

оо

Если мы положим у = cosfil， то получим

方 1ik г” Г sin к】т cos k,r sin k.rl

я \ dy(i+y^e г =4п[—^―十丽戸一《^卜 (ж-8)

Пусть 厶“声 1. Тогда в (Ж.8) необходимо сохранить только первый член, так что формула (Ж.6) сводится к следующей:

выражению:它叫sin图口一 J©厂叫3吗一3，выражению:它叫sin图口一 J©厂叫3吗一3，Предположим, что 〃丫厶一половина времени жизни атома Л — очень коротко, так что излучение можно рассматривать как переход в непрерывном спектре. Так как подынтегральное выражение в (Ж.9) имеет острый максимум при <»/。з\ аюжно вынести множитель h (s —— Sj) 十 丫厶/?]-】из-под знака интеграла и заменить о? на ①二 По той же причине можно, не внося большой погрешности, заменить нижний предел интегрирования по о； на — сю. В этом случае (Ж.9) сводится к следующему с (4; 2： 0; ±)z

выражению:

它叫sin图口一 J©厂叫

3吗一3，

выражению:

它叫sin图口一 J©厂叫

3吗一3，

1 е? I 力 11azl зз'ро~ — г 4л 峭"i(s — о/) + Т&/2)

(ЖЛО)

Чтобы рассчитать интеграл, мы положим

(Ж.11)(Ж.11)2畸=02 一 (0\

(Ж.11)

(Ж.11)

Тогда интеграл можно записать следующим образом:

-у- sin・(2戒+ 3')d-efma)-у- sin・(2戒+ 3')d-efma)(1——cos 2n任)——(1——cos 2n任)——

-у- sin・(2戒+ 3')d-efma)

-у- sin・(2戒+ 3')d-efma)

(1——cos 2n任)——

(1——cos 2n任)——

-icos V 鲁 sin 苧 sin2"化 +

+ оо

^r, 2лг5 /

+ cos — \ 7- sin —-— (1 — cos 2储E)一

-sin警T等sin2nf沁s产-sin警T等sin2nf沁s产.(Ж.12).(Ж.12)

-sin警T等sin2nf沁s产

-sin警T等sin2nf沁s产

.(Ж.12)

.(Ж.12)

Первые два интеграла равны пулю, так как подынтегральные выражения являются нечетными функциями 自.Последние два интеграла сводятся к следующим:

Этот интеграл можно гычислть с моьющью преобразования Лапласа.

+ оо

(P>g)'(ж.14)

也 R〔° (pVq)・

тот интеграл вычисляется c no配(丿:щью тождества

1

sin рх cos qx = ~2~ [sin (p + 7)4* sin (p — q) x]

и интеграла (Ж.13).

Если использовать (Ж.13) и (Ж.14), то (Ж. 11) приобретает вид

{

Опри t V г/с,

,(Ж.15)

+ me" "с ИрИ 上〉г/с.

Поэтому (Ж. 10) равно

「 0при Z < г/с,

с (1; 2; 0; Z) — <1 е3 ] х I I I за/卩ое+2 侬”’

(一 г 4лЙг [i (w — оУ)+т"2] П^И

(ЖЛ6)

Это как раз тот результат, который мы хотели получить.

Приложение 3

ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙДВИЖЕНИЯ АТТЕНЮАТОРА

Мы получим приближенное решение уравнений движения аттенюатора (7.11) с помощью метода Вигнера ——Вайскопфа, который изложен в гл. V. Введем преобразования Лапласа:

a (s) = \ e~sf a (z) dt~L{a (i)},

%.(S)= \ e-sM#)也三£{%«)}.(3.1)

Отсюда следует, что

(3.2)(3.2)厶图=S近(s) — а, £ {罄 j = sg (s) — %,

(3.2)

(3.2)

где а и bj —— операторы в шредингеровской картине при t = 0.

(3.3)(3.4)(3.3)(3.4)a 一a 一互(s)=S +心互(s)=S +心у s +吗+ J2lL令 s+i^у s +吗+ J2lL令 s+i^(3.5)(3.5)

(3.3)

(3.4)

(3.3)

(3.4)

a 一

a 一

互(s)=

S +心

互(s)=

S +心

у s +吗

+ J2lL

令 s+i^

у s +吗

+ J2lL

令 s+i^

(3.5)

(3.5)

С помощью этих соотношений получаем преобразование Лапласа формул (7.11):

(5 + i(o) a (s) —(Z — i S 后丹⑹，

(s + i(0j)% ⑶ ^^ bj — i% ti (s).

Если мы решим уравнение (3.4) для bj (s) и подставим это решение в уравнение (3.3), то после несложных алгебраических преобразований получим формулу

которую мы можем записать формально следующим образом:

(3.6)(3.6)a (s) = й (s) о 4- 2 ^- (-s) bj-

(3.6)

(3.6)

Обратное преобразование формулы (3.5) имеет вид

a 一I4 5十而ja 一I4 5十而j(3.7)(3.7)

a 一I4 5十而j

a 一I4 5十而j

(3.7)

(3.7)

(3.8)(3.8)где e = малое положительное число. Произведем замену переменной:

(3.8)

(3.8)

S = Е + iy.

Тогда формула (3.7) приобретает вид

〃（'）=而〃（'）=而V四两%ё（a一? %篇 讫V四两%ё（a一? %篇 讫什si—f J：i什si—f J：i(3.9)(3.9)

〃（'）=而

〃（'）=而

V四两%ё（a一? %篇 讫

V四两%ё（a一? %篇 讫

什si—f J：i

什si—f J：i

(3.9)

(3.9)

Снова заменим суммирование интегрированием в знаменателе и получим

R 1丨踪产P（%）叫_心

В у 十吗一氾 一一 J КД^Г7Г = /・（з<°）

Если

8 —* О,

a у заменено на — s, то

(3.11)(3.11)гдегдеА(о =-仔А(о =-仔Y°1底12 P(3/a叫Y°1底12 P(3/a叫%一3%一3(3.12)(3.12)

(3.11)

(3.11)

где

где

А(о =-仔

А(о =-仔

Y°1底12 P(3/a叫

Y°1底12 P(3/a叫

%一3

%一3

(3.12)

(3.12)

Z a As — i ~2~ ,

(3.13)(3.13)КогдаКогдае -> О,е -> О,приближенное выражениеприближенное выражениедля (3.9) имеет виддля (3.9) имеет вид+ oo+ oody е'“dy е'“у k3bj a一3 + %.у k3bj a一3 + %.у -р со + аз - »t/2у -р со + аз - »t/2

(3.13)

(3.13)

Когда

Когда

е -> О,

е -> О,

приближенное выражение

приближенное выражение

для (3.9) имеет вид

для (3.9) имеет вид

+ oo

+ oo

dy е'“

dy е'“

у k3bj a一3 + %.

у k3bj a一3 + %.

у -р со + аз - »t/2

у -р со + аз - »t/2

T/2 =冗 I 跟户 p ((о*) 13K=з・

s —co；十 A(o —疗/2 Xs —co；十 A(o —疗/2 Xа ехр (— i (s + А(о) t —专-)—2

s —co；十 A(o —疗/2 X

s —co；十 A(o —疗/2 X

X , — exp [i (s’ 一з — As) t — -^-]| = u (i)a+2 %• (C %• (3.14)

223'/^^^3'/^^^7.8..9.10.И.12.13.14.15.16.17.18.49.20.21.22.23.7.8..9.10.И.12.13.14.15.16.17.18.49.20.21.22.23.

2

2

3'/^^^

3'/^^^

7.

8.

.9.

10.

И.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

49.

20.

21.

22.

23.

7.

8.

.9.

10.

И.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

49.

20.

21.

22.

23.

П. А. М. Дира к, Принципы квантовой механики, Физматгиз^ 1960.

А. М е s s i a h, Quantum Mechanics, Inlerscience Publishers, Inc., New York, 1961.

M e г z b a c h e r, Quantum Mechanics, John Wiley a. Sons, IncM New York, 1961.

Л. Ill и ф ф, Квантовая механика, ИЛ, 1957.

Д. Б о м, Квантовая теория, Физматгиз, 1961.

Н. D i с k е, I. Р. W i t t к % Introduction to Quantum Mechanics, Addison-Wesley Publishing Company, Inc., Reading, Mass., 1960.

P a u 1 i n g, E. B. W i 1 s о n. Introduction to Quantum Mechanics, McGrow-Hill Book Company, New York, 1935.

С т о у h, Линейные преобразования в гильбертовом пространстве.

Иоганн фон II е й м а н. Математические основы квантовой механики,《Наука», 1964.

С. Ш в е б е р, Введение в релятивистскую квантовую теорпю поля, ИЛ, 1963.

У. Л ю и с е л л, Связанные и параметрические колебания в электронике, ИЛ, 1963.

W. Н. Louisell, J. Appl. Phys. 33, 2435 (1962).

Г. Голдстейн, Классическая механика, Гостехиздат, 1957.

R. К u b о, J. Phys. Soc. (Japan) 7, 1100 (1962).

С о e s t e г, H. К u m m e 1, Nucl. Phys. 17, 477 (I960).

We i ss, A. Maradudin, J. Math. Phys. 3, 771 (1962).

W. M a g n u s, Commun. Pure Appl. Math. 7, 649 (1954).

W i c h m a n, J. Math. Phys. 2, 876 (1961).

Finkelstein, Commun. Pure Appl. Math. 8, 245 (1955).

R. P. F e у n m a n, Phys. Rev. 84, 108 (1951).

G. C. W i c k, Phys. Rev. 80, 268 (1950).

F. D у s о n, Phys. Rev. 75, 486, 1736 (1949).

P. A. M. D i г a c, Proc. Roy. Soc. (London), Ser. A, 114, 243 (1927).

24.25.26.27.28.29.30.31.32.33.24.25.26.27.28.29.30.31.32.33.Fermi, Rev. Mod. Phys. 4, 87 (1932).

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

31.

32.

33.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

31.

32.

33.

В. Г а й т л е р, Квантовая теория излучения, ИЛ, 1956.

J・ М. J а и с h, К. М. W a t s о n, Phys. Rev. 74, 950, 1485 (1948); 75, 4 249 (1949).

А. И. А х ие з е р, В. Б. Бсрестсцкпй, Квантовая электродинамика, изд-во 《Наука», 1969.

V. F. W е i s s к о р f, Е. Wigner, Z. Physik 63, 54 (1930).

R. V. С h и г с h i 1 1, Modern Operational Mathematics in Engineering, McGrow-Hill Book Company, New York, 1944.

E. T. J a у n e s, F. W. C u m m i n g s, Proc. IRE 51, 89 (1963).

J. von Neumann, Gesellschaft der Wissenschaften zu Got- tinger Math. Phys. Nachrichten, 245—272 (1927).

P. A. M. D i r a c, Proc. Cambr. Phil. Soc. 25, 62 (19 29); 26, 37 6 (1930)； 27, 240 (1930).

R. S. T о 1 m a n, The Principles of Statistical Mechanics, Clarendon Press, Oxford, 1938.

V. F a n o, Rev. Mod. Phys. 29, 74 (1957).

36.36.ter H a a r, Report. Progr. Phys. 24, 304 (1961).

36.

36.

37.38.39.40.41.37.38.39.40.41.С. E. S h a n n о n, W. W e a v e r, The Mathematical Theory of Communication, The University of Illinois Press, Uibame, Illinois, 1949.

37.

38.

39.

40.

41.

37.

38.

39.

40.

41.

E. T. J a у n e s, Phys. Rev. 106, G20 (1957).

T. J a у n e s, Phys. Rev. 108, 171 (1957).

A. T о 1 li о e k, S. R. de G г о о t, Physica 15, 833 (1951)

W. R. В e n n e t, Proc. IRE 44, 609 (1956).

42.43.44.45.46.47.48.49.42.43.44.45.46.47.48.49.R. G о r d о nt in «Proceedings of Third International Conference on Quantum Electronic» (cd. N. Bloembergen), Columbia University Press, New York, and Dunod Cie., Paris, 1963.

42.

43.

44.

45.

46.

47.

48.

49.

42.

43.

44.

45.

46.

47.

48.

49.

A. E. S i e у m a n, Microwave Solid-state Masers, McGrow- Hill Book Company, New York, 1964.

H. В. C a 1 1 e n, T. A. W e I t о n, Phys. Rev. 83, 34 (1951).

J. Weber, Phys. Rev. 90, 977 (1953).

M. W. M u 1 1 e r, Phys. Rev. 106, 8 (1957).

R.V. Pound, Ann. Phys (N.Y.) 1, 24 (1957).

M. W. P. S t r a n d b e r g, Phys. Rev. 106, 617 (1957).

K. S h i m о da, H. Takahas i, С. II. T о wn c s, J. Phys. Soc. Japan 12, 686 (1957).

R. S e r b e г, С. H. T о w n e s, in «Quantum Electronics Symposium» (ed. С. H. Townes), Columbia University Press, New York, I960, p. 233.

о 12-3 45-65 5 5 5.5 5 5о 12-3 45-65 5 5 5.5 5 5A. E. S i e g m a n, Proc. IRE 49, 633 (19G1).

о 12-3 45-6

5 5 5 5.5 5 5

о 12-3 45-6

5 5 5 5.5 5 5

LR.Senitzky, Phvs. Rev. 115, 227 (1959); 111, 3 (1958).

W. H. L о u i s e 1 1, Л. Y a r i v, A・ E. S i e g m a n, Phys. Rev. 124, 1646 (1961).

E. К a n a i, Progr. Thror. Phys. (Kyoto) 3, 4,40 (1948).

W. E. В г i t t i n, Phys. Rev. 77, 396 (1950).

V. M. M у e r s, Am. J. Phys. 27, 507 (1959).

E. H. Kerner, Can. J. Phys. 36, 371 (1958).

W. К. Н. S t е v е n s, Proc. Phys. Soc. (London) 72, 1027 (1958), • 58. I. R. S e n i t z к y, Phys. Rev. 119, 670, 1807 (I960).

F. L. V e r n о n, Jr., The Theory of a General Quantum System Interacting with a Linear Dissipative System, Thesis, California Institute of Technology, Pasadena, California, 1959 (unpublished).

-60. I. R. S e n i t z к y, Phys. Rev. 123, 1 525 (1961).

J.Schwinger, J. Math. Phys. 2, 407 (1961).

W. H. W e 1 1 s, Ann. Phys. (N, Y.) 12, 1 (1961).

H. E к st e i n, X. Rostoker, Phys. Rev. 100, 1023 (1955).

64・ J. P. Gordon, L. R. W a 1 к e r, W. H. L о u i s e 11, Phys. Rev. 129, 481 (1963); 130, 807 (1963).

65・ W. H. L о u i s e 11, Quantum Statistics of Maser with Bandwidth, «International Conference on Quantum Electronics» (ed. N. Bloembergen), Columbia University Press, New York, and Dunod Cie., Paris, 1963.

Алгебра некоммутативных операторов 65

Амплитуда вероятности 78, 79

Ансамбли статистические 220, 232

Антикоммутатор 125, 132

Аттенюатор 335

—,уравнение движения 344

—,характеристическая функция 347

Бекера — Хаусдорфа теорема 149

Блоха теорема 325

Бора магнетон 91, 136

Бозоны 123

—,операторная алгебра 98— 134

Ера-вектор 26

—,длина 28

—,матричное представление 53

де-Бройля длина волны 88

Взаимодействия представление

102

Вектор-потенциал 206

—— ——,разложение по нормальным колебаниям 206, 210

——,—— ——плоским волнам 210

Вектор состояния 23

Вероятность перехода 247

—— —— в единицу времени 248

Вигнера ——Вайскопфа приближение 258

Волновая функция 19

——,интерпретация вероятностная 76

，— геометрическая 19

,представление импульсное 18

Волновая функция, представление координатное 17

.состояния с минимальной неопределенностью 87

Волновой пакет 88

Вырождение 105

Гамильтона уравнение 99

для осциллятора 113

Г амильтониан 112

—атома в поле излучения 238

——осциллятора 115

Гармонический осциллятор 75

——в переменном электрическом поле 170

Гауссов шум 326

Гауссово распределение 325

Гейзенберга представление 94

для осциллятора 112

операторов спина 138

—уравнение движения 94

———для Z 235

2) и В 225

линии связи 203

Гильбертово пространство 29,

126

Дельта-функция Дирака 29, 43

—поперечная 234

Динамические переменные 43, 64

Динамическое поведение системы 89

Дипольный момент атома 250

,матричный элемент

250, 251

Дирака 6-функция 29, 43

Дираковская формулировка вол

новой механики 15, 17

Длина кет- и бра-векторов 28

Допплера эффект 264

для D а А 220Р и В 224К онсе рв ативн ая система 89Кронекера символ 40Кулоновская калибровка 230для D а А 220Р и В 224К онсе рв ативн ая система 89Кронекера символ 40Кулоновская калибровка 230

для D а А 220

Р и В 224

К онсе рв ативн ая система 89

Кронекера символ 40

Кулоновская калибровка 230

для D а А 220

Р и В 224

К онсе рв ативн ая система 89

Кронекера символ 40

Кулоновская калибровка 230

Закон сохранения импульса 265 Законы сохранения 246, 265 при излучении фотона 265 квантовых переходах

246

Золотое правило Ферми 248

Излучение индуцированное 254

— спонтанное 254

Измерение напряженностей поля излучения 228

—энергии стационарного состояния 257

Импульс поля излучения 156, 214, 215

Интеграл движения 104

Кет-вектор 19, 21

—,длина 28

—,матричное представление 53

Квантование поля излучения 215, 233

—линии связи 200—204

Квантовые шумы 336

■— — мазера 272

Коммутационные соотношения 65

Линейное векторное пространство 21

Лоренцевская форма линии 271, 276

Лэмбовский сдвиг 257

Мазер 335, 355

уравнения движения 357

一,——,стационарные решения 364

——，характеристическаяфунк

ция 361

Максвелла ——Больцмана распределение 308, 309

Максвелла уравнение 204

Максвелла уравнение без ио точников 204

с источниками 230—232

Матрица 52

—обратная 52

—плотности 294

—унитарная 52, 62

—эрмитова 52

—эрмитовски сопряженная 52

Матричное представление 52

Модель резонатора 339

Момент количества движения! 30, 131

,соотношения коммутации 131, 132

Наблюдаемые величины 43, 44, 64

— —,измерение 44, 76

,среднее значение по ансамблю 77

Норма векторов 28

Нормальная форма функции операторов 154

Нормальное произведение 151

Нулевые колебания 108, 192, 351, 354

Оператор 29

——нормального упорядочения 151

——,матричное представление 53, 126

—— обратный 32

—рождения 103

—сдвига 70

—спиновый Паули 130

——статистический 294

— тождественного преобразования 30, 32, 39

——унитарный 67, 90

—— уничтожения .116, 150

—числа частиц 118, 124, 157

—эрмитов 34, 64

Ортогональность 39

Осциллятор 112

—,волновые функции 128

—,гамильтониан 115

—,производящая функция 179

—,энергетические уровни 123

Осцилляторы связанные 177

П араметрическии преобразователь частоты 367

,уравнения движения 371

,характеристическая функция 374

——усилитель 367

,статистические свойства 372

,уравнения движения 371

Планка распределение 352

Поглощение излучения 248

Поле излучения в полости 204

,импульс 156, 214

,квантование 215, 233

,энергия 205

Полнота системы собственных

функций 42, 50

Полуширина линии резонатора 347

Представление взаимодействия 100, 102

—Гейзенберга 102

— импульсное 20

—координатное 18

—матричное 52

— числа частиц 124

—Шредингера 93, 102

Преобразование подобия 63

—унитарное 63, 90

Принцип неопределенности 84

—суперпозиции 22

Причинность 15, 16

Пуассона распределение 198,238, 317

—скобки 100

Свободная частица 104

Сигнал плюс шум 326

Скалярное произведение 23

След (шпур) 52

—спиновых операторов 133

Собственная функция 104

Собственные значения 36

импульса 67

координаты 67

—колебания плоскости 218

,спектральная плотность 218

Собственный вектор 36, 37

Соответствия принцип 65

Соотношение неопределенностей 84

—ортогональности 39

—ортонормировки 70

— полноты или замкнутости 42,

Состояние вакуума 354

——с минимальной неопределенностью 353

Спиновые операторы Паули 130,

, базисные векторы 133

,представление Гейзен

берга 138

,— Шредингера 139

,собственные значения

133

,соотношения антикоммутации 133

一 一 一，—коммутации 133

Статистический оператор 294

осциллятора в тепловом равновесии 308

,уравнение движения 299—

302 一

частиц со спином 310

чистого состояния 302

Тепловой шум 350, 354

Унитарное преобразование 63, 90

Уравнение движения 17 намагниченности 315 ,представление взаимодействия 100

,—Гейзенберга 94

, — Шредингера 17

Условия нормировки 40

—ортонормировки 46

Фермионы 123

Фононы 337

Функция преобразования 58,128

——распределения вероятностей

87, 317

—характеристическая 315

аттенюатора 347

——мазера 361

Функция характеристическая осциллятора в тепловом равновесии 323—325

преобразователя частоты 374

Чистое состояние 293, 302

Шварца неравенство 83

Ширина линии 256

допплеровская 269

естественная 262

,связанная со столкновениями 282

Шпур (см. след) 52

Шредингера уравнение 17

——,зависящее от времени 89

,не зависящее от времени 75

,решение методом нормального упорядочения 119

Шум тепловой 350, 354

Шумовая температура мазера 361

параметрического усилителя 374

преобразователя частоты 374

Экспоненциальное распределение 323

Электрона спин 130, 136

в магнитном поле 137

Электронный спиновый резонанс 277

,теория квантовая 283

,一 полуклассическая 277

Энергия поля излучения 205

Энтропия 303

——сигналов и шумов 330—333

Эренфеста теорема 310, 315

Эрмитово сопряжение 27, 34

От переводчиков 7

Предисловие 10

Глава /

ДИРАКОВСКАЯ ФОРМУЛИРОВКА КВАНТОВОЙМЕХАНИКИ

Введение 15

Кет-векторы 21

Скалярное произведение. Бра-векторы 23

Липепиьтс операторы 29

Эрмитовы операторы 34

Задача на собственные значения 36

Наблюдаемые величины. Пол пота. Разложение по

собственным кет-векторам. 6-функция Дирака43

Матрицы 52

Матричное представление кет- и бра-векторов и операторов 53

①ункцшт преобразования. Изменение представления 58

Квантование. Пример непрерывного спектра . . .64

Измерение наблюдаемых величии. Вероятностная интерпретация 76

Принцип неопределенности Гейзенберга 80

Динамическое поведеппс квантовой системы 89

Представление Шредиигера в квантовой механике 93

Представление Гейзепберга 94

Представление взаимодействия 100

Волновая механика 102

Свободная частица. Изменение во времени волнового пакета с мииимальпой пеопродслснностыо 104

Глава II

ПРОСТЫЕ КВАНТОВЫЕ СИСТЕМЫ

Введение 110

Гармо яический оециплятор 112

Осциллятор в гейзенберговском представлении . .112

Задача о собственных значениях энергии осциллятора 118

23^30303638^^4Х 4Х ^х лх di 4А di 4Х23^30303638^^4Х 4Х ^х лх di 4А di 4Х3 4 4 0^ м 4 53 4 4 0^ м 4 5о 77 71 1о 77 71 1^ ^ ^^ ^ ^°42°42

23^30303638^^

4Х 4Х ^х лх di 4А di 4Х

23^30303638^^

4Х 4Х ^х лх di 4А di 4Х

3 4 4 0

^ м 4 5

3 4 4 0

^ м 4 5

о 7

7 7

1 1

о 7

7 7

1 1

^ ^ ^

^ ^ ^

°4

2

°4

2

Физическая интерпретация операторов N、а и а+. Бозоны и фермионы

Функция преобразования от TV-представлсния к д- представлению

Спин электрона ...

Спиновый оператор Паули

Энергия спина в магнитном поле

Оператор спина в гейзенберговски'! представлении

Электроны в электрическом и магнитном полях ....

9. Гамильтониан электрона в электромагнитном поле

Глава III

ОПЕРАТОРНАЯ АЛГЕБРА

Введение

Произвольные операторы

Некоторые теоремы об операторах

Бозе-операторы рождения и уничтожения

Нормальное произведение, оператор нормального упорядочения и нормальная форма

Алгебраические свойства бозе-операторов

Решение уравнения Шредингера с помощью нормального упорядочения. Гармонический осциллятор с вынуждающей силой

Уравнение Шредингера для двух независимых пар бозе-операторов

Производящая функция для собствепшях функций осциллятора. Волновой пакет с минимальной неопределенностью

Спиновые операторы Паули

Алгебраические свойства спиновых операторов при s = 1/2

Глава IV

КВАНТОВАНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ

Введение

Квантование £С-контура, возбуждаемого генератором 4.3. Квантование линии связи, не имеющей потерь .... 4.4* Представление классического поля излучения в полости в виде бесконечного набора осцилляторов ....

Уравнения Максвелла (204). Энергия и импульс поля (205). Разложение векторного потенциала Л(г,力 по собственным колебаниям полости (206). Разложение поля по плоским волнам (210). Импульс поля (2(4).

1518202 2 21518202 2 26 0 32 3 32 2 26 0 32 3 32 2 27 8 083 3 4 42 2 2 27 8 083 3 4 42 2 2 2»4 6 4 1 7»5 56 7 72 2 2 2 2»4 6 4 1 7»5 56 7 72 2 2 2 22 38 82 22 38 82 2257923057360999900111223222233333333257923057360999900111223222233333333

151820

2 2 2

151820

2 2 2

6 0 3

2 3 3

2 2 2

6 0 3

2 3 3

2 2 2

7 8 08

3 3 4 4

2 2 2 2

7 8 08

3 3 4 4

2 2 2 2

»4 6 4 1 7»

5 56 7 7

2 2 2 2 2

»4 6 4 1 7»

5 56 7 7

2 2 2 2 2

2 3

8 8

2 2

2 3

8 8

2 2

257923057360

999900111223

222233333333

257923057360

999900111223

222233333333

Квантование электромагнитного поля в вакууме ... 4.6. Спектральная плотность собственных колебаний ... 4.7. Коммутационные соотношения для полей в вакууме, относящиеся к одному моменту времени

Коммутационные соотношения для £> м 4, относящиеся к одному моменту времени (220). Коммутапдоннне соотношения для операторов £> и В, относящиеся к одному моменту времени (224). Гейзенберговские уравнения движения для векторов D и В (225).

Нулевые флуктуации поля

Классическое поле излучения при наличии источников 4.10. Квантование поля прп наличии источников ....

Глава V

ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ИЗЛУЧЕНИЯ С ВЕЩЕСТВОМ

Введение

Гамильтониан атома в поле излучения

Теория возмущений, зависящих от времени ....

Поглощение излучения атомом

Индуцированное и спонтанное излучение возбужденного атома

Теория естественной ширины линии излучения ...

Эффект Допплера

Распространение света в вакууме

Полуклассическая теория электронного спинового резонанса

5Л0. Влияние соударений на уширение линий двухуровневой спиновой системы

Спиновый резонанс в квантованном поле

Глава VI

КВАНТОВАЯ СТАТИСТИКА

Введение

Статистический оператор

Некоторые свойства статистического оператора .,.

Уравнение движения для оператора р

Чистое состояние

Энтропия

Матрица плотности для частиц со спином 1/2.

Xарактеристическая функция

Распределение Пуассона

Экспоненциальное распределение

Сигнал плюс шум

Энтропия сигналов и шумов

^ 758 1 4 72 4 s^3435353636363737^ 758 1 4 72 4 s^3435353636363737^м^^2^м^^23 4 6 9 9 2 53838383839393 4 6 9 9 2 5383838383939

^ 758 1 4 72 4 s^3435353636363737

^ 758 1 4 72 4 s^3435353636363737

^м^^2

^м^^2

3 4 6 9 9 2 5383838383939

3 4 6 9 9 2 5383838383939

Глава VIIКВАНТОВАЯ СТАТИСТИКА АТТЕНЮАТОРОВИ ЛИНЕЙНЫХ УСИЛИТЕЛЕЙ

Введение

Модель механизма потерь. Фононы

Уравнения движения аттенюатора

Характеристическая функция аттенюатора. Полуширина линии резонатора

Модель мазера

Мазерные уравнения движения

Мазерная характеристическая функция. Шумовая температура

Стационарные решения для мазера

Параметрический усилитель и модель для преобразователя частоты

Статистические свойства параметрического усилителя

Характеристическая функция для преобразователя частоты

Приложение А. Гамильтониан поля излучения в представлении плоских волн Приложение 方.Импульс /ноля в полости Приложение В. Свойства поперечной 6-функцпп Приложение Г. Соотношения коммутации для D и В ... Приложение Д. Гейзенберговские уравнения движения для

Он*

Приложение Е. Вычисление соотношений коммутации для поля

Приложение 笈.Вычисление сумм в уравнении (5.137)... Приложение 3. Приблпжеппое решение уравнений двпжоттпя аттенюатора

Литература

Предметный указатель

& 乙 — tg2 0nAw\ 丿

Для основного состояния I 0, —1> имеем 旬0,-1〉=粤10, 一 1〉，(5.191)

и, следовательно, оно также является собственным состоянием оператора С2.

Таким образом, мы нашли собственные значения гамильтониана 〃，ибо согласно выражениям (5.179), (5.184) и (5.188) имеем

才 I 屮(тг, 1)> = Й1ю(п + 1/2) + 儿J I ф 仇，1)〉，

Н I <р (% 2)> = Н(о(тг + 1/2) - XJ I(р(% 2)>(5」92а)

1 / Q I w I 33, С Sin (з“/с) [1 — е]

Уильям Люиселл