НЕЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ

Nonlinear waves

Нелинейные волны

Под редакциейС. Лейбовича и А. СибассаПод редакциейС. Лейбовича и А. Сибасса

Под редакциейС. Лейбовича и А. Сибасса

Под редакциейС. Лейбовича и А. Сибасса

Edited bySidney Leibovkh and A. Richard Seebass

Cornell University PressIthaca and London1974Cornell University PressIthaca and London1974Перевод с английскогопод редакциейакад. А. В. Гапоновав д-ра физ.-мат. наук Л. А. Островского

Cornell University PressIthaca and London

1974

Cornell University PressIthaca and London

1974

ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР>

МОСКВА 1977

УДК 530.182

Книга представляет собой сборннк статей, написанных известными зарубежными физиками и математиками по материалам семинаров, проведенных в Корнеллском университете (США). Статьи содержат доступное изложение идей, лежащих в основе ряда новых направлений в теории нелинейных волн, которая яривлекает сейчас большое внимание специалистов самого различного профиля. Большинство глав сборника написаны инициаторами или активными участниками соответствующих исследований, в число которых входят видные американские ученые. Вместе с тем первые главы носят вводный характер, что помогает неподготовленному читателю войти в мир идей, обсуждаемых в книге.

Полезна широкому кругу специалистов по гидродинамике, физике плазмы, радиофизике и другим разделам физических наук, а также аспирантам и студентам старших курсов физико-математических специальностей.

Редакция литературы по физике

20407-072Copyright © 1974 by Cornell University

041(01)-77© Перевод на русский язык, «Мир», 1977

Предисловиередакторов перевода

Во всякой быстро развивающейся области науки рано или поздно наступает «время обобщать》，когда необходимо подвести первые итоги, определить наиболее интересные направления и, наконец, ознакомить с новыми достижениями более широкий круг студентов и молодых научных сотрудников. Именно такой момент переживает современная теория нелинейных волн, возникшая на стыке нелинейной теории колебаний, линейной теории распространения волн, математической теории квазилинейных уравнений гиперболического типа, а также из результатов прикладных исследований в газодинамике, теории волн на воде, радиофизике, физике плазмы и т. д. Мы пока не беремся четко определить ту синтетическую теорию нелинейных волн, которая возникает из всего этого, но наиболее характерным ее признаком—как и вообще теории колебаний ——можно, пожалуй, считать выработку системы универсальных понятий, чего-то вроде общего языка, которым могли бы пользоваться физики и математики различного профиля.

Именно такую цель преследовали организаторы дискуссий и семинаров по нелинейным волнам, проведенных за рубежом в 1967 и 1969 гг., а также школ по колебаниям и волнам в нелинейных распределенных системах, состоявшихся в нашей стране в 1972, 1973 и 1975 гг. (в 1977 г. была проведена уже четвертая такая школа). Однако число участников подобных школ п семинаров ограниченно, а интерес к ним велик, поэтому возникает закономерная тенденция к публикации соответствующих материалов. Это действительно было сделано едва ли не во всех случаях [1—3].

Предлагаемая вниманию советского читателя книга «Нелинейные волны» также принадлежит к этой категории. Она основана на серии лекций и семинаров, организованных при Корнеллском университете в США в 1969 г., но при написании дополнена новыми материалами и даже новыми главами (книга пьшгла в конце 1974 г.).

Эта книга, пока одна из очень немногих на русском языке» специально посвященных нелинейным волнам, обладает рядом несомненных достоинств. Среди ее авторов — такие крупные американские теоретики, как Лэке, Уизем, Филлипс и другие. В соответствии с целью составителей настоящего сборника — сделать его доступным для молодых инженеров — в него включены вводные главы, посвященные основным понятиям теории линейных волн и их связи с теорией колебаний дискретных систем; отметим, в частности, подробное изложение вопросов, ввязанных с расплыванием волнового фронта в средах с дисперсией. Специальная глава посвящена классической теории квазилинейных гипер.болических уравнений и некоторым ее современным проблемам, связанным с однозначным введением разрывов. Вместе с тем основная часть книги позволяет судить почти обо всех новых направлениях исследований американских ученых, посвященных нелинейным волнам в средах с дисперсией. Здесь и модельные уравнения для нелинейных волн, и точные методы их решения (в первую очередь, конечно, весьма популярный сейчас метод обратной задачи теории рассеяния), и приближенные (асимптотические) методы «двух времен» в различных вариантах, и исследование волновых взаимодействий, и некоторые более специальные вопросы, касающиеся, например, особенностей асимптотического приближения волн конечной амплитуды к стационарному состоянию или свойств внутренних гравитационных волн в стратифицированной среде. Важно, что большинство сведении читатель получает, так сказать, из первых рук, т. е. от инициаторов или активных участников соответствующих исследований.

Вместе с тем следует отметить, что, как и всякий сборник (в нем приняли участие 11 авторов), книга неоднородна по стилю (а иногда и по качеству) изложения, хотя, по-видимому,, редакторы американского издания небезуспешно пытались сгладить эту иеоднородность. Заметим также, что, за немногими исключениями (к которым принадлежит, например, гл. VII, написанная О. Филлипсом), жанр этой книги близок к «прикладной математике» в том ее понимании, когда ударение делается на втором слове. Конкретным физическим приложениям уделяется значительно меньше внимания. Особенно это заметно в гл. IX и X, которые хотя и имеют весьма «прикладные» названия, но на самом деле относятся к наиболее «математическим»; впрочем, это отчасти оправдано в книге, посвященной математическим методам теории нелинейных волн.

Понятно, что этот сборник не может удовлетворять требованиям полноты охвата материала (в частности, в нем почти не отражены исследования советских ученых). Нет смысла пытаться в русском издании как-тс существенно восполнить этот про-

务工 бел, тем более что это не соответствовало бы задачам книги. Мы лишь добавили несколько обзоров, книг и статей последних лет

*(3—13], чтобы дать возможность интересующемуся читателю

； получить представление о последующих успехах в развитии 工 тех разделов теории нелинейных волн, которые здесь обсуж- 5 даются.

? Потребность в обобщающей литературе по нелинейным вол- £ нам сейчас чувствуется очень остро, и данный сборник можно рассматривать как один из необходимых шагов в этом направлении. Можно ожидать, что он окажется полезным пособием для студентов и молодых специалистов ——математиков, физиков-теоретиков и лиц, работающих в различных областях прикладной физики.

Перевод выполнили: В. В. Зильберберг (гл. I, П), А. И. Дятлов (гл. Ш, VI, IX, X), Е. Н. Пелиновский (гл. IV, V), Г. М. Фрайман (гл. VIL VIII, XI).

А. В. Гапонов,

Л. А. Островский

ЛИТЕРАТУРА I)

Нелинейная теория распространения волн, под ред. Г. И. Баренблатл изд-во «Мир», 1970. Материалы дискуссии по нелинейным волнам, организованной М. Лайтхнллом в 1967 г.

Изв. вузов, Радиофизика, 17, № 4 (1974). Труды второй научной школы по нелинейным колебаниям и волнам в распределенных системах (Горький, 1973).

Изв. вузов, Радиофизика, 19, № 5—6 (1976). Труды третьей научной школы по нелинейным колебаииям и волнам в распределенных системах (Горький, 1975).*

Кунин И. Л., Теория упругих сред с микроструктурой (гл. 4 и 5), изд-во «Наука», 1975.

Сагдеев Р. 3., Коллективные процессы и ударные волны в разреженной плазме, сб. Вопросы теории плазмы, 20, вып. 4, Атомиздат, 1964.

Карпман В. 〃., Нелинейные волны в диспергирующих средах, изд-во «Наука», 1973.

I) Этот список содержит лишь некоторые монографии и обзоры на русском языке, которые имеют непосредственное отношение к рассматриваемом в книге проблемам. Несколько дополнительных ссылок дано в примечаниях редакторов перевода.

Гапонов А. 6., Ос?роьски" 刀.Д , Рабинович 財.〃.，Одномерные волны в нелинейных системах с дисперсией, Изв, вузов, Рад;юфизика, 13, 164 (1970).

Скотт 乱，Волны в активных и нелинейных средах в приложении к электронике, изд-во «Сов. радио», 1977.

Заславский Г. М., Нелинейные волны и их взаимодействие, УФН, 111, 395 (1973).

Г орелик 匚 С.» Колебания и волны, ГИФМЛ, 1959.

Найфе Л., Методы возмущений, изд-во «Мир», 1976.

Руденко О. В., Солуян С. И., Теоретические основы нелинейной акустики, изд-во《Наука》，1975

Уизем Д. 6., Линейные и нелинейные аолны, изд-во «А1нр》, 1977.

Предисловиередакторов американского издания

Существование «волн» как одной из форм, в которой проявляется движение, принадлежит к наиболее привычным свойствам физического мира; их описание дает нам одну из нитей, связывающих воедино различные разделы физики. Однако в математической теории волн до сих пор имеются серьезные пробелы. Только волны, описываемые (как правило, приближенно) линейными или гиперболическими квазилинейными дифференциальными уравнениями, исследованы, пожалуй, достаточно хорошо.

В последние годы мы были свидетелями быстрого и далеко идущего развития теории нелинейных волн. Стремясь ознакомить с успехами в этой области выпускников и преподавателей высших учебных заведений инженерных и физических специальностей, редакторы настоящего сборника организовали в 1969 г. (при поддержке Центра прикладной математики и Технического колледжа) специальную серию семинаров, посвященных вопросам распространения нелинейных волн. Эти семинары, на которых заслушивались вступительные сообщения преподавателей Корнеллского университета и лекции крупных физиков и математиков из других университетов, легли в основу данной книги. Она состоит из разделов, написанных лекторами, а также некоторыми другими учеными, приглашенными участвовать в издании.

Имеются все основания полагать, что издание трудов упомянутых семинаров будет иметь значительную ценность. В литературе отсутствует последовательное изложение этого предмета, хотя сейчас, несомненно, имеется более чем достаточно аргументов за то, чтобы собрать соответствующие идеи воедино. В этой книге сведены вместе фундаментальные идеи, которые лежали в основе недавних работ и, вероятно, еще будут определять плодотворные направления предстоящих исследований.

Поскольку целью семинаров было получение реального учебного результата, мы пытались сделать лекции доступными для выпускников, начинающих работать в инженерных областях науки. Мы ci ремились к ясному и педагогически обоснованному

изложению предмета и, хотелось бы думать, добились этого. Такой же подход требовался от авторов данной книги.

Общепринятой классификации нелинейных волн пока не существует. Однако можно провести грубое разделение на недисперсионные процессы (которые чаще всего описываются квазилинейными гиперболическими уравнениями в частных производных) и дисперсионные процессы. Большинство достижений последнего времени относится к волнам с дисперсией !)«

Значительная часть новейших исследований может быть разделена (правда, с известной долей произвола) на два класса. Первый класс задач связан с применением специфических для данных задач схем возмущений или методов усреднения с целью построения равномерно пригодных решений; при этом требуется, например, либо скорректировать решение линеаризованной задачи так, чтобы учесть накапливающееся влияние слабых нелинейностей, либо модифицировать нелинейное решение с учетом малых отклонений от периодичности, либо описать модуляцию какого-то другого типа. Во второй группе задач исследуются точные решения модельных уравнений, которые появляются обычно в результате приближенного описания более сложных систем.

Перечислим вкратце основные вопросы, рассматриваемые в отдельных главах. Вводная глава, написанная Уоллесом Хейесом, иллюстрирует большую часть понятий, используемых в дальнейшем. Подробному рассмотрению двух упомянутых выше новых классов задач предпослано тщательное обсуждение теории линейных волн с дисперсией (Стефен Тау, гл. И) и теории квазилинейных систем гиперболического типа (Константин Да- фермос, гл. Ш). Следует подчеркнуть, что гиперболические системы продолжают играть ведущую роль и в теории нелинейных систем с дисперсией, поскольку распространение (перенос) таких величин, как частота и волновое число, во многих случаях описывается гиперболическими уравнениями. Изучение слабонелинейных волн начинается с гл. IV, где кратко описан метод «двух времен» (нескольких масштабов), а затем этот вариант метода возмущений используется для вывода уравнений Бюргерса и Кортевега ——де Вриза. Здесь же содержится сводка решений и особенностей указанных уравнений, часть из которых используется в последующих разделах книги.

В гл. V Джералд Уизем излагает разработанный им метод усредненных вариационных принципов. Этот подход стимулировал исследования нелинейных волн с дисперсией, и сейчас он

【)Термины типа «dispersive processes» для краткости переводятся как «дисперсионные процессы» вместо выражений типа «процессы в средах с дисперсией», хотя второе более правильно. По той же причине выражение «dispersive waves» иногда переводится как «волны с дисперсией». - Прим. ред.

составляет солидную долю работ по второму из упомянутых выше классов задач. В гл. VI концепции и результаты Уизема рассматриваются Хейесом с несколько иной точки зрения, когда на первый план выступает фундаментальная роль «волнового действия». Оуэн Филлипс в гл. VII вводит понятие резонансных волновых взаимодействий в слабонелинейных системах и в общих чертах метод расчета таких взаимодействий. Глава VIII. написанная Робертом Миурой, состоит из двух частей. Первая посвящена преобразованию, которое было найдено Гарднером, Грином, Крускалом и Миурой; это преобразование позволяет заменить нелинейное уравнение Кортевега ——де Вриза некоторым линейным интегральным уравнением и таким образом получить его точные решения в явном виде. Во второй части главы к уравнению Кортевега ——де Вриза применяется метод возмущений (напоминающий метод В КБ), основанный на введении двух временных масштабов, и делается попытка описать поведение решения в предельном случае исчезающе малой дисперсии.

Хотя во многих случаях асимптотическая схема нескольких масштабов может применяться стандартным образом, возможны и более сложные ситуации. Так, в гл. IX Ричард Мейер обсуждает способ нахождения решений с двойным пределом. При этом используются идеи, выдвинутые Каплуном для проблемы пограничного слоя; можно полагать, что в будущем под известные сейчас специфические методы возмущений будет подведена общая математическая база. Богатые возможности для развития теории волновых процессов открыло исследование стратифицированных (слоистых) сред. В гл. X Йи Чиа-шун рассматривает вопросы распространения волн как исчезающе малой, так н конечной амплитуды в таких средах; кроме линейных решений изучен также важный класс стационарных нелинейных волн. Последняя глава, написанная Питером Лэксом, посвящена более строгому анализу нелинейных модельных уравнений. Здесь главное внимание уделяется выяснению математических оснований для большой эффективности преобразования, найденного Гарднером с соавторами для уравнения Кортевега — де*Вриза; это позволяет прийти к аналогичным результатам для других уравнений. Возможно, что идеи, описанные в этой главе, послужат отправной точкой для весьма важных направлений исследования.

Гл. V, некоторые фигуры из гл. VII и значительная часть гл. XI были воспроизведены с любезного разрешения Американского математического общества, Лондонского королевского общества и издательства Токийского университета.

Мы чрезвычайно признательны всем авторам за их труд. Хотя некоторые наши просьбы могли показаться скучными и обременительными, авторы всегда шли нам навстречу и это облегчило Hainy задачу. Мы в полгу перед нашими женами за то

терпение, с которым они сносили наше отсутствие в течение, увы, многих вечеров и уикэндов, и мы благодарны им за это. Благодарим также Барбару Стивенс за помощь при редактировании книги, Барбару Бенедикт и Мэри Джейрс за помощь в перепечатке рукописей и Кэрол Уайслер за выполнение рисунков. Наконец, мы признательны Центру прикладной математики и Техническому колледжу в Корнелле, а также Национальному научному фонду за материальную поддержку, сделавшую возможным проведение цикла семинаров, а следовательно, и выпуск этой книги.

Итака, шт. Нью-Пор к Сидней Лейбович,

Ричард Сибасе

Введениев теорию распространения волн *)

Уоллес Д. Хейес

Колебательные движения

Большинство волновых движений представляют собой, по существу, колебания, распространяющиеся в пространстве. Для их описания необходимо использовать в качестве независимых переменных время / и по крайней мере одну пространственную координату х. Так как уравнения, описывающие распространение волны, содержат по меньшей мере две независимые переменные, они являются обычно уравнениями в частных производных. 1

Многие из свойств распространяющихся волн присущи также простым колебательным системам, описываемым обыкновенными дифференциальными уравнениями, где независимой переменной является время. Эти свойства волн (кроме, конечно, распространения в пространстве) могут быть проиллюстрированы при исследовании простого линейного осциллятора.

1а. Линейный осциллятор

Простейший осциллятор состоит из тела массой "2, которое может двигаться в некотором направлении. Оно удерживается линейной пружиной с упругой постоянной К. Обозначим через у смещение массы относительно положения равновесия (фиг. I. 1). Тогда сила ——Ку, действующая на массу, равна производной по времени от импульса: d{myt)/dt = rnytt. Нижние индексы здесь и далее обозначают дифференцирование по независимым переменным.

Собственная частота осциллятора so определяется выражением

')Настоящая глава основана на цикле лекций, прочитанных автором по программе «Новая техника для директоров» в Вашингтонском университете летом 1967 г. Автор чрезвычайно признателен за разрешение использовать этот материал здесь.

Тогда основное уравнение осциллятора имеет вид

% + 脸Н°，(2)

а его общее решение

у = у【cos ©о/ + % sin s/ =物 cos (s" — a),(3)

где yp у» У()=(У： + У^)% н a — постоянные. Введем переменную 0, которую назовем фазой:

0 = а — <о(/.(4)

Решение (3) есть синусоидальная функция фазы, фаза же линейно зависит от времени.

В линейных задачах с решениями, синусоидальными по фазовой переменной, удобно вводить комплексную функцию, действительная часть которой дает интересующее нас решение. Тогда выражение (3) можно записать в виде

g = Re {® + ly^ e-庙叫=Re {у^ю}.(5)

Обычно решение записывают в комплексной форме без выделения действительной части. Однако прежде чем вычислить энергию любого вида, необходимо взять действительную часть решения.

Кинетическая энергия осциллятора определяется выражением

Т = } ту] = У m%yl sin2 в — ~Ку^ sin2 0.

Потенциальная энергия, запасенная в пружине, может быть за* писана в виде

^ = у К夕=^ 长锵 cos'2 6.

Потенциальная энергия для невозмущенной системы всегда выбирается равной нулю. Полная энергия определяется суммой кинетической и потенциальной энергий:

£ =「+嗅；К*.

Эта величина постоянна, и, следовательно, энергия сохраняется.

Обозначим через 7 и Г средние значения Т и V на протяжении периода, когда 0 уменьшается на 2л (360°). Средние значения каждой из функций sin2 0 и cos2 0 равны V2. Поэтому можно записать

= 7 =— К% =万£

Этот результат показывает, что 6 среднем энергия осциллятора наполовину кинетическая, наполовину потенциальная. Назовем это свойство равномерным распределением энергии. Если ввести лагранжиан L — T — V, то, очевидно, £ = 0.

Если осциллятор обладает затуханием, то кроме упругой силы имеется еще сила, действующая в направлении, противоположном скорости 勿.Простейшим является случай линейного затухания, когда тормозящая сила пропорциональна скорости. Определим параметр затухания В так, чтобы сила сопротивления равнялась —2呻弘 Тогда основное уравнение записывается следующим образом:

ytt + 2P 次 + 喇=0.E)

Его общее решение имеет вид

у = Уо?—* cos (st — а), где

= (% 一片产.

Эта запись справедлива при условии, что В V а)о. Мы не рассматриваем случай «сверхзатухания», когда В ^ ©о-

В данном случае полная энергия не постоянна, а убывает. Обладающая этим свойством система называется диссипативной. Грубо говоря, энергия убывает как e~2Bf； точный закон несколько более сложен. Если(p/so)《1, то система называется слабо диссипативной. В этом случае частота ① очень близка к so, средние энергии Г и V еще могут быть разумно определены, и равномерное распределение энергии практически еще имеет место.

/6. Маятник и нелинейность

Простым примером нелинейного осциллятора служит маятник. Рассмотрим тело массой т, подвешенное на невесомой нити длиной I и сс'вершающее движение в некоторой плоскости

относительно цен-относительно цен-(фиг. I. 2). Момент инерции 卜тра вращения (точки подвеса) равен ml2. Ко-

относительно цен-

относительно цен-

\гда тело отклоняется на угол р, возвращаю-

\щий момент равен mgl sin ^. В результате по-

\лучаем основное уравнение в виде

\九+ %sin“ = 0,(7)

\где

V(8)

\снова определяет собственную частоту.

\Если максимальное значение ^ = ^о мало,

\мы можем приближенно заменить sin^на«•

Тогда уравнение (7) выглядит так же, как * ^\уравнение (2) для линейного осциллятора.

^^Полагая у = / sin ^ Q /外 мы, в сущности, мо-

^^ Ш жем считать горизонтальное движениеподвезушейного тела таким же, как в случае, если бы

Iтело было прикреплено к пружине с упругой

屮 постоянной к = т唸=tngR.

тд При отказе от упрощающего предположе- Фиг. /.2. Маятник, ния sin ^ = ^ основное уравнение (7) становится нелинейным (оставаясь недиссипативным). Его решение выражается через эллиптические интегралы: мы не будем вдаваться в детали этого решения, так как это увело бы нас слишком далеко от изучения волн. В этом случае энергия по-прежнему сохраняется, однако уже нет равномерного распределения между кинетической и потенциальной энергиями. Если энергия меньше чем 2mg/, то движение остается колебательным, но его частота теперь зависит от энергии. Движение больше нельзя считать синусоидальным (при Е > 2mgl оно становится вращательным).

Энергия системы Е равна mgl( \ — cos%), и один из приближенных подходов связан с разложением энергии в ряд по степеням «о. При этом необходимо принять во внимание изменение частоты (используя, например, метод Пуанкаре.[1]). Приведем здесь зависимость частоты от %:

Рассмотрим далее (в линейном приближении, когда sin ^ ==

тот же маятник, который теперь может двигаться в двух направлениях. Задавая снова эквивалентную упругую постоянную К = mgll и пользуясь для со： выражениями (1) или (8),

получаем уравнения движения в виде %f + 喻=0, z” + Ф = 0.

Первое из них совпадает с уравнением (2), равно как и второе, если заменить у на z.

Теперь имеются две зависимые переменные, которые представляют собой компоненты некоторого вектора в двумерном евклидовом пространстве. Эти уравнения не связаны в том смысле, что N не входит в первое из них, а у — во второе. Это означает, что уравнения могут быть решены независимо, причем каждое описывает линейный осциллятор. Такая система называется вырожденной, так как частоты двух линейных осцилляторов совпадают. Другими словами, возможны два независимых типа движения с равными частотами.

Здесь мы впервые сталкиваемся с явлением поляризации. Колебание с у = 0 поляризовано в направлении N, колебание с n = 0 поляризовано в направлении у, а колебание с z = у или z = —у поляризовано под углом 45° к обеим осям. Выражения

У =先 COS (®0/ — а),z=r/osin(G)o/ —а)

определяют колебание, поляризованное по кругу [тело описывает окружность в плоскости (у, 2) в направлении против часовой стрелки]. Аналогичное решение со сменой знака г также соответствует колебанию, поляризованному по кругу, однако движение происходит по часовой стрелке.

Такие же результаты получаются для тела, изображенного на фиг. I. 1, если допустить движение в плоскости и добавить еще одну пружину с той же упругой постоянной К, расположенную под прямым углом к первой.

Если уравнения маятника нелинейны, они, вообще говоря, становятся связанными. В качестве примера можно указать уравнения, описывающие сферический маятник без предположения о линеаризации. В этом случае, как и для плоского маятника, частота колебаний зависит от амплитуды.

/в. Сводка основных свойств простых осцилляторов

В заключение перечислим те характерные свойства простых осцилляторов, которые представляют интерес и для теории волн. Заметим, что в случае синусоидальных волн фаза 0 является функцией координат и вр'емёни. В' одномерном случае она

линейно изменяется с %, поэтому вместо выражения (4) следует положить

8 =也月-血+ a.(9)

Величина 也 называется волновым числом. Она равна 2лЛт, где К — длина синусоидальной волны.

Характерные свойства линейных недиссипативных осцилляторов, за исключением специальных случаев, сводятся к следующему：

зависимые переменные являются синусоидальными функциями фазы 0, которая линейно изменяется во времени;

частота со = —Об/df определяется соотношением, характеризующим данную систему, и не зависит от вида конкретного частного решения;

полная энергия сохраняется;

в среднем энергия делится поровну между кинетической и потенциальной;

если две зависимые переменные, не связанные между собой, описывают компоненты вектора на плоскости, а система вырождена относительно этих переменных, то решения могу г различаться по типу поляризации;

если система слабо диссипативна, то амплитуды и полная энергия убывают, хотя и медленно, но экспоненциально, а перечисленные выше свойства существенно не меняются;

если диссипация велика (даже без «сверхзатухания»), то высказанные выше утверждения нарушаются или существенно изменяются;

если система нелинейна, но не обладает потерями, то полная энергия сохраняется; другие свойства, указанные для линейных недиссипативных систем, не имеют места.

Линейные волны, распространяющиеся без затухания

Рассмотрим далее общие свойства волн, распространяющихся в одномерном пространстве. В этом случае независимыми переменными являются / их. Волновая система может описываться идной или более зависимыми переменными; рассмотрим пока одну переменную и обозначим ее у. Нелинейность или сильная диссипация сразу же нарушает простые общие свойства, перечисленные выше. Влияние слабой диссипации можно учесть с помощью множителя 。一口‘ в амплитудах или「т — в энергиях; мы обсудим это позже. Таким образом, здесь мы ограничимся случаем распространения линейных недиссипативных волн. Кон* кретные физические примеры обсуждаются в п. 4. Здесь будут рассмотрены некоторые характерные черты, присущие всем ли* нейным недиссипативным волновым системам.

2a Фаза и фазовая скорость

После сказанного выше естественно рассмотреть волновое изменение некоторой зависимой переменной ^(х, ?) в виде, аяало- гичном формуле (5):

у =如 Re{決 6} = % cos 8,(Ю)

где 0 ——фаза. Последняя линейна по независимым переменным, т. е.

0 = йх — ш/ + а*(11)

Здесь просто переписано выражение (9). Фаза будет оставаться постоянной для наблюдателя, который движется со скоростью

dx (о

Н = Т = с・

(12)(12)Эта фазовая скорость определяет скорость индивидуального гребня (9 = 2л/п), впадины (0 = л + 2л/п) или узла (0 = =л/2 + л/и) волны, описываемой функцией у; здесь m ——произвольное целое число. Действительно,

(12)

(12)

d8 — d8 ] dx d8 n

если dx/dt определяется выражением (12).

26. Дисперсия

По аналогии со свойством 2 линейных осцилляторов для распространяющихся волн существует функциональное соотношение f(s,々)=0, связывающее частоту и волновое число. Обычно это соотношение имеет вид зависимости частоты от волнового вектора Е:

8=取(矶 (13)

Тогда фазовая скорость с также зависит от волнового числа: e(价=君=『呼(粉. ,

Особый интерес представляет специальный случай, когда величина c(k) постоянна, т. е. фазовая скорость не зависит от волнового числа (или от частоты). В этом случае говорят о волне без дисперсии, и функция W имеет простой вид:

取(々)=A. (14)

Если фазовая скорость не постоянна, то говорят, что распространяющаяся волна обладает дисперсией. Соотношение типа (13) обычно называется дисперсионным соотношением (уравнением) или, в определенном контексте, уравнением эйконала.

При бездисперсионном распространении волны свойство снну- соида^ьности, аналогичное свойству 1 линейных осцилляторов, становится несущественным. Предположим, что вее волны движутся с фазовой скоростью с, и пусть задано распределение 4(%, 0) при f = 0. Если это начальное распределение не синусоидально, то его можно представить с помощью интеграла Фурье как суперпозицию синусоидальных функций. Поскольку система предполагается линейной, каждая из этих синусоидальных компонент изменяется в соответствии с уравнениями (10) и (11), а их частота определяется выражением (14). Полное решение в любой последующий момент времени t может быть получено путем обратного преобразования Фурье..

В бездисперсионном случае этот процесс вновь приводит к начальному распределению, смещенному на расстояние ct. Иными словами, решение можно выразить в виде

У(М t) = y(x — ct, 0).

Другая интерпретация заключается в том, что синусоидальное решение у0 cos 0 может быть заменено более общим выражением 4 = f (6) = f (々％ —皿 + а) = 4 (% — % 0),

т. е. произвольной функцией фазы, определяемой с помощью некоторых 《опорных》значений fe и со. Величину х — ct можно рассматривать как фазу, соответствующую параметрам 6=1, s=& Здесь фаза важна только как независимая переменная, через которую выражается сигнал неизменной формы.

Если же волна распространяется с дисперсией, то приведенные рассуждения теряют силу. В этом случае каждая компонента Фурье распространяется со своей скоростью.

2в. Групповая скорость

Рассмотрим теперь очень важное с физической точки зрения явление, связанное с дисперсией. Заметим, что производная от правой части дисперсионного соотношения (13)

c他)=需=旷(15)

имеет размерность скорости; она называется групповой скоростью. Выберем некоторое значение 々 и соответствующее ему значение(i)= W(k) как исходные величины и допустим, что к волновому числу добавляется малое возмущение Afe. Соответствующее возмущенное значение частоты может быть аппроксимировано первыми двумя членами ряда Тейлора:

со 十 Део = 1)7 (介 + АА)+ С AG.

Тогда фаза 0+, соответствующая этому возмущенному значению волнового числа (при неизменном а), определяется выражением

6+ =(后 + A々)% — (s + Aco) Z + a = 6 + a々(% - Cf),

где 0 — невозмущенная фаза, определяемая формулой (11). Если теперь 々 не возрастает, а уменьшается до значения k — Afe, то соответствующая фаза (также при постоянном а) определяется выражением

8— = 6 — Afe (х — Cf).

Решение y+, соответствующее волновому числу k + Afe, имеет вид

У+ = yQ cos 0+ — уо [cos 0 cos Afe (% — Ct) — sin 0 sin Afe (x — C/)].

Решение y_ записывается в виде yo cos 0_ с такой же амплитудой, как и у+・ Суперпозиция двух решений дает

у = у+~}~ у_ = z/o(cos0+ + cos 0_) = 2у0 cos 0 cos Afe (x — Ct).

Это решение (при t = 0) изображено на фиг. 1.3. Его можно рассматривать как волну с исходными волновым числом и частотой, модулированную по амплитуде множителем cos \k(x — Cl). Другими словами, происходят биения, соответствующие медленным изменениям амплитуды. Колебания ограничены двумя кри* вы ми

у = ± 2yo cos А月(х — Ct),(16)

которые являются огибающими решения или, более строго, семейства решений, получаемых изменением а.

Огибающая, или ограничивающая кривая (16) движется в пространстве со скоростью С. Каждый участок огибающей длиной n/А力 можно интерпретировать как группу (пакет) волн, а скорость С — как скорость этой группы. В бездисперсионном случае из (14) и (15) получаем.

С = с.(17}

Таким образом, в отсутствие дисперсии групповая скорость равна фазовой — результат, согласующийся с нашим представлением о бездисперсионном распространении как о передаче произвольного сигнала без изменения его формы. В дисперсионном случае групповая скорость отличается от фазовой и может быть как больше, так и меньше фазовой скорости (и даже иметь обратный знак).

Наши результаты и их интерпретации, относящиеся к понятию групповой скорости, применимы не только к частной форме

огибающей, определяемой выражением (16) и фиг. L 3. Они пригодны и в общем случае волновых пакетов с достаточно плавной огибающей при условии, что размер пакета велик по сравнению с длиной волны 纟冗论-1 исходного сигнала. •

2a. Сохранение и равномерное распределение энергии '

На данном этапе мы имеем дело только с решением вида (10) и дисперсионным соотношением (13) и не можем получить из них каких-либо выражений для энергии волны. В большинстве физических задач о распространении волн энергия определяется через ее плотность на единицу длины, т. е. обычно Е = Г 十 V, где Е, Т и V ——плотности полной, кинетической и потенциальной энергий соответственно.

Закон сохранения энергии выражается соотношением

萼 + 毕=0,(18)

dt 1 дх *

|

где S поток энергии. Из этого соотношения следует, что пол- .ная энергия волнового пакета \ Edx в случае ее конечной ве- л личины постоянна.

Усреднение за период, использованное нами при рассмотре- * нии осциллятора, интерпретируется здесь как усреднение по %， фазе (на интервале 2л). В большинстве случаев по-прежнему 質 имеет место равномерное распределение энергии, т. е. 7 = V. * Если дисперсия отсутствует, а все волны принадлежат к одному ? семейству (в частности, нет волн, распространяющихся в про- тивоположном направлении), то можно доказать более сильное ,утверждение о равномерном распределении локальных значений & энергии: Т = V.

二f\Для волн одного семейства поток энергии S обычно может

"I? ' быть записан в виде ЕС. В более общем случае можно считать '霹 средний поток S равным ЁС, Однако необходимо заметить, что ；* если к S или S добавить произвольную постоянную, то соотно- £ шение (18) не меняется. Хотя отождествление S с ЕС естествен- ' но, оно не определяет S однозначно, и существуют задачи, в которых такое представление нельзя применить непосредственно. Однако в большинстве случаев мы можем представить себе, что плотность энергии движется с групповой скоростью (см. гл. V).

4 В некоторых случаях энергия невозмущенной среды бесконечна, и тогда невозможно определить сохраняющуюся энергию возмущений. Обычно в этих случаях энергия заменяется сохра

няющимся волновым действием, а плотность энергии ——плотностью волнового действия (см. гл. V и VI).

В слабодиссипативных системах амплитуда убывает во времени пропорционально е'* а плотность энергии — как е~2^. В первом приближении группа (или пакет) волн все еще движется с групповой скоростью. При этом для наблюдателя, движущегося с этой скоростью, волновой пакет остается неподвижным, но его огибающая затухает во времени указанным образом.

2д. Изотропия и анизотропия

(19)(19)Здесь мы несколько отвлечемся, чтобы посмотреть, как применяются изложенные выше понятия, если физическое пространство имеет не одно, а три (или два) измерения. Пусть %i, хг, %з—координаты в трехмерном евклидовом пространстве, ах — радиус-вектор. Тогда фаза определяется не выражением (11), а соотношением

(19)

(19)

0 = к * х — со/ + а =瓦修 + 岛尤2 + 卮%з —血 + а.

В этом случае волновое число есть векторная величина, нормальная к поверхностям постоянной фазы 0. Скорость (в данном случае фазовая скорость) не является наиболее естественным параметром для описания движения поверхности в пространстве, хотя ее часто используют именно так. Вместо этого удобнее ввести вектор медленности, или обратной фазовой скорости, определяемый выражением

которое заменяет формулу (12). Вектор s обладает тем свойством, что производная d^/dt равна нулю для наблюдателя, движущегося с такой скоростью dx/d厶 что s-dx/dt = 1； т. е. для наблюдателя, который остается на одном и том же волновом фронте, фаза не меняется.

Дисперсионное соотношение (13) принимает вид s = № (к).

Волновое движение называется бездисперсионным, если вектор медленности s = k/№(k) является функцией только направления волнового вектора, но не зависит от величины к. Если к = fen, где п ——единичный вектор в направлении к, то для без- дисперсионных волн W = kcn(n)t где сп — величина, обратная модулю s.

Изотропия означает «одинаковость во всех направлениях». Дисперсионное соотношение изотропно, если оно имеет вид

①=№ (竹(20)

независимо от направления вектора п. Формально уравнение (20) выглядит так же, как и (13). Однако существует и отличие, о котором будет сказано ниже.

Групповая скорость С вместо (15) определяется выражением

(3(1<)=叭=兀呼，⑵)

и имеет компоненты

fdw }

{5 = 1丽，丽，丽卜

Траектория точки, движущейся со скоростью

называется лучом. Условие отсутствия дисперсии (17) теперь выглядит так:

C-s = l.(22)

В этом частном случае фаза постоянна на каждом луче.

第+ v.s = o,第+ v.s = o,Закон сохранения энергии (18) обобщается следующим образом:

第+ v.s = o,

第+ v.s = o,

(23)

и теперь поток энергии S ——векторная величина. Здесь к S можно добавить не только произвольную постоянную, но и произвольное соленоидальное поле.

2е. Стоячие волны

Вернемся к одномерному случаю и зададимся вопросом: что остается в этом случае от понятия анизотропии, или, другими словами, в чем различие между изотропным уравнением (20) и одномерным соотношением (13)? Величина k в (20) является модулем вектора к и всегда положительна, тогда как в (13) k может иметь любой знак. Одномерное волновое движение изотропно, если

W{-々)=取信)，

т. е. если W ——четная функция k. Это условие, в сущности, означает, что волны, движущиеся влево, подчиняются тому же закону дисперсии, что и волны, движущиеся вправо, и что задача в некотором смысле инвариантна относительно «отражения» оси х. Далее мы рассмотрим только случаи, в которых подобная изотропия имеет место. Необходимо отметить, что переход в движущуюся систему координат (преобразование Галилея) нарушает свойство изотропии.

Вследствие свойства изотропии для каждого решения вида у = yQ cos (kx — со/ + а)

найдется решение вида

у = Уо cos (kx + 竝 + а).

Суперпозиция этих решений дает.

у = 2yo cos о/ cos(kx + а).(24)

Эго решение имеет фиксированные узлы, расположенные в точках 也％ + а= (л/2) +л/п. Такие волны не распространяются (средний поток энергии равен нулю) и называются стоячими волнами; их можно интерпретировать просто как колебания с частотой со, происходящие синфазно (но с разными амплитудами) во всех точках пространства.

При суперпозиции двух волн различных семейств, в частности образующих стоячие волны, плотности энергий не складываются. Причина заключается в том, что плотности энергий

пропорциональны квадратам амплитуд. Однако средние плотности энергий аддитивны, так как члены, описывающие взаимодействие, в среднем обращаются в нуль. Правда, может понадобиться несколько изменить определение среднего.

2ж、Нераспространяющиеся и конвективные волны

Групповая скорость, определяемая соотношением (15) или (21), в некоторых специальных случаях может обращаться в нуль. В этих случаях волны называются нераспространяющи- мися. При этом средний поток энергии ЕС = S равен нулю, и группа волн не движется. Для распространяющейся волны такую ситуацию всегда можно создать тривиальным образом посредством перехода в систему координат, движущуюся с групповой скоростью. Однако, как правило, удобнее использовать другую, более естественную систему координат (обычно такую, в которой среда изотропна).

Так, в типичных задачах о волнах в волноводах возникает дисперсионное соотношение вида

(a — W(k) — (g)c + а%?)%,(25)

где сое и а ——постоянные. В этом случае групповая скорость определяется выражением

В пределе fe ->0 групповая скорость стремится к нулю, и волна становится нераспространяющейся. При этом со —* сос, и з© называется частотой отсечки, поскольку не существует распространяющихся волн с частотами, меньшими <ос. В данном случае, когда групповая скорость стремится к нулю, фазовая скорость с = со/々 стремится к бесконечности. Как легко видеть, эти две скорости связаны соотношением с • С = а2. В таком случае система волн становится бездисперсионной в пределе Л -> оо, когда с = С — а. (Частота отсечки подробнее обсуждается в гл. II, п. Зг.)

Рассмотрим далее случай, когда можно представить некоторую переменную не зависящим от времени выражением

у (х, /) = % cos(fex + а),(26)

с произвольным fe. Рассмотрим выражение (26), как если бы оно описывало волну. Дисперсионное соотношение имеет простой вид со= №(々)吕 0. Волна имеет нулевые фазовую и групповую скорости, она является изотропной, нераспространяющейся и не облапает дисперсией. Очевидно, необходимо существенно расши-

；］рить понятие《волна», чтобы применять его к такой тривиальной Системе.

Если, однако, перейти в систему координат х\ движущуюся влево со скоростью и, то выражение (26) примет вид

у = % cos (feV — kvt + а).

Это выражение уже выглядит как формула для распространяю- шейся волны с линейным (т. е. «бездисперсионным») законом дисперсии 犷=feu, так что с = С = и. Конечно, это «распространение» уже не изотропно. Такая 《волна» может быть названа конвективной волной. Ее необходимо рассматривать именно как конвективную (переносимую средой со скоростью и), а не распространяющуюся. Условие сохранения энергии, вообще говоря, не применимо к конвективным волнам. Концепция распространения включает в себя движение волны относительно среды в определенном физическом смысле, тогда как в данном случае такого движения нет.

Конвективные волны встречаются во многих интересных с точки эрения физики примерах, где некоторый сигнал переносится потоком. Особый интерес представляют случаи, когда какой-либо нелинейный эффект в корне изменяет решение, без этого совершенно тривиальное. Один из важных физических примеров связан с работой электронных приборов типа клистрона.

^Частота скольжения» и дисперсия

Предыдущее обсуждение дисперсии волн было весьма ограниченным. Термин «бездисперсионньгй» использовался для обозначения соответствующего свойства дисперсионного соотношения во всем диапазоне волновых чисел. Фактически же дисперсионное соотношение может обладать этим свойством при одних значениях волнового числа и не обладать при других.

Частота ⑴丁 периодической волны относительно галилеевской системы координат, движущейся со скоростью U, равна

тd8d8 ・ 1 тса ・ т

=—= —U - V6 = <o — k - U.

at ot

Эта формула определяет величину допплеровского сдвига частоты. Для наблюдателя, движущегося с групповой скоростью С, эта частота называется частотой скольжения и определяется выражением

©г (С) = о — к • С = со (1 — s • С).

Выполнение свойства бездисперсионности (22) при всех значениях к для дисперсионного соотношения означает, что частота

скольжения равна нулю. В общем случае, когда соотношение (22) справедливо лишь при некотором частном значении волнового числа к, такие волны можно назвать непроскальзывающи- ми. Наблюдатель, привязанный к определенному гребню или фронту волны, мог бы перемещаться с групповой скоростью и при этом сохранять свое положение относительно фронта только в том случае, если это свойство выполняется. .

Термин «дисперсия» относится к способности волнового пакета или группы расплываться (диспергировать) и является следствием непостоянства групповой скорости C(k) или С(к). Это свойство, которое приводит к изменению общей формы волнового пакета, характеризуется производной от групповой скорости по волновому числу. Для одномерного распространения дисперсия определяется через функцию (13) как

В полностью бездисперсионном случае, когда справедливо соотношение (14), эта величина равна нулю. Если W = 0 для частных значений fe, то для волн, соответствующих этим значениям fe, также можно говорить об отсутствии дисперсии.

В трехмерном случае производная от С по к представляет собой симметричный тензор дисперсии

叭к = ”У普(k) = YkC(k).

При анизотропном распространении волны этот тензор, вообще говоря, не равен нулю даже для процессов такого типа, которые мы считаем бездисперсионными [альфвеновские волны представляют собой исключение (см. и. 4г)]. Поскольку этот тензор симметричен, то существует декартова система координат, в которой он диагоналей, причем диагональные элементы представляют собой три действительных собственных значения тензора. Тензор может быть вырожденным, когда одно или два (но не три) собственных значения равны нулю, но сам тензор в. нуль не обращается.

В частном случае, когда

lT(k) = 6f(^),

дисперсия отсутствует для всех к в том смысле, что тензор дисперсии вырожден. В этом случае свойство «непроскальзывания» (22) также имеет место. Вообще говоря, эти два свойства (без- дисперсионность и непроскальзывание) непосредственно не связаны. Для изотропного случая, пользуясь соотношением (20), можно показать, что тензор дисперсии в системе координат, свя-

二，，занной с к состоит из следующих компонент:

WkkооWkkооооооОООО

Wkkоо

Wkkоо

о

о

о

о

О

О

О

О

В изотропном случае (без учета нераспространяющихся волн) распространение волны называется бездисперсионным при данном значении 々 в том и только том случае, если Wkk 工 0.

Два отличных от нуля диагональных члена k^Wk в этом тензоре представляют геометрическую дисперсию, которая, таким образом, оказывается неизбежным эффектом в изотропном случае. Эти члены описывают изменение направления вектора групповой скорости в зависимости от изменения направления к. Указанному эффекту соответствует расходимость лучей от источника или виртуального фокуса или сходимость лучей в фокусе.

2и. Кинематические волны

Тип движения, называемый кинематическим волновым движением, возникает в том случае, когда имеется определенное функциональное соотношение, связывающее плотность и поток некоторой сохраняющейся физической величины [2]. Кинематическими можно приближенно считать волны, обусловленные подъемом воды в реках, а также явления в потоке транспорта; в этих случаях сохраняется соответственно количество воды и число автомобилей. Кинематические волны не являются волнами в смысле, используемом в этой книге. Для нас, однако, представляет интерес аналогия между кинематическими волнами и волнами, обсуждаемыми во всех остальных разделах этой главы.

Для одномерного движения с плотностью сохраняющейся величины р и ее потоком Q закон сохранения можно записать в виде _

曳+吆=0

df 十 дх

Допустим, что плотность и поток связаны известным функциональным соотношением

Q = Q(p), которое аналогично выражению (13). Тогда уравнение, выражающее сохранение р, можно переписать в виде

Отсюда следует, что величина р постоянна на траекториях (характеристиках) точек, движущихся с «групповой скоростью»

dh . dsdt 十 дхdh . dsdt 十 дхQ'(p). Аналогия становится полной, если заметить, что в случае распространения обычной волны также выполняется «уравнение сохранения»

dh . ds

dt 十 дх

dh . ds

dt 十 дх

=0,

соответствующее сохранению фазы или числа гребней,

В трехмерном случае такая аналогия теряет силу. Поток Q теперь является вектором, а уравнение сохранения скалярно:

害 + V • Q = 0.

Вместе с тем аналогичное уравнение для частоты и волнового числа теперь является векторным:“

*^ + Vs = 0.

Теория кинематических волн может быть распространена на трехмерный случай, если соответствующее функциональное соотношение имеет вид

Q = Q(p)

[но не р = p(Q)]- В этом случае роль «групповой скорости» играет Q，= dQ/dp.

Одномерное волновое уравнение

В этом разделе мы исследуем простейшее линейное волновое уравнение, взяв в качестве независимых переменных время f и одну пространственную координату х. Примеры физических задач, приводящих к такому уравнению, обсуждаются в разд. 4.

Рассматриваемое уравнение в частных производных (второго порядка по обеим переменным) имеет вид

Ун — ^Ухх ~ °・(27)

Величина а постоянна и имеет размерность скорости. Это уравнение—гиперболического типа, и, следовательно, с ним связаны особые линии в пространстве (х, /), называемые характеристиками. Более подробное обсуждение многих вопросов, затронутых в настоящем разделе, можно найти в гл. Ш.

Эффективный общий подход к исследованию некоторого линейного уравнения, которое предположительно имеет решение в виде распространяющейся волны, состоит в том, чтобы подставить решение в таком виде и искать соответствующее дисперсионное соотношение. Подставим в (27) у = у©4 используя операцию взятия действительной части в (10) и считая, что фаза б

определяется выражением (11). В результате получим .У08 (— ф2 + 娥必)=0.

Выражение в скобках должно быть равно нулю, откуда ©2 = a2fe2.

Это и есть искомое дисперсионное соотношение. Его можно записать в виде (13)

W (fe) = 土 ak.

Знаки 《土》обозначают существование двух семейств волн; заметим, что данная система изотропна. Она также не обладает Дисперсией, причем фазовая и групповая скорости постоянны и равны

с = С = 土 а.

За. Общее решение

Поскольку данная волновая система не обладает дисперсией, то предположение о синусоидальном характере решения несущественно. Решением будет произвольная функция вида у = 匸尸(％ — af), так же как и произвольная функция от 力土 @力 Их суперпозиция дает

y = F(x — at) + G(x + 硝.(28)

Функции 尸 н G должны быть дважды дифференцируемы, а в остальном они могут быть совершенно произвольны.

Выражение (28) является общим решением уравнения (27). Это утверждение означает, что любое решение уравнения (27) может быть представлено в виде (28). Такое представление не вполне однозначно, поскольку к F можно добавить произвольную постоянную и вычесть ее же из G, не изменяя решения (28). Чтобы показать, что (28) является общим решением, получим его непосредственно. Введем вместо х и t новые координаты

^ = х —а/, x\=x + at>(29)

Тогда уравнение (27) примет вид

—4 對印=0.(30)

Интегрируя это уравнение по % получаем

% =尸©(31)

Произвольная 《постоянная》, возникающая при интегрировании по т], в действительности является произвольной функцией §,

которую мы обозначили через 尸，(自).Интегрируя затем (31) no Е, получаем

т. е. имеем решение в виде, идентичном выражению (28).

36. Характеристики

Для дифференциального уравнения в частных производных с двумя независимыми переменными характеристика является траекторией или линией на плоскости этих переменных, вдоль которой данное уравнение эквивалентно уравнению в обыкновенных производных более низкого порядка. Характеристики важны, например, для нелинейных проблем газодинамики. Для уравнения (27) характеристики представляют собой два семейства линий В = const и п = const. Характеристики Е = const называются «обращенными вперед», или «обращенными вправо», так как на них х возрастает со временем. Соответственно характеристики п = const называются «обращенными назад», или «обращенными влево». Те и другие характеристики изображены на фиг. I. 4. Координаты, которые остаются постоянными на характеристиках, называются характеристическими координатами.

Соответствующий анализ, по существу, уже был проделан выше при выводе общего решения. Рассмотрим теперь величины 2а% = аух — yt, 2ау^ = аух + yt(32)

как различньге зависимые переменные. Для обращенньгх вправо характеристик из (29) получим

d| = dx — adt — Q.(33)

Из (30) следует, что 2ау匕 не зависит от 刀，т. е.

d(2a%) = 0, при g = const.(34)

Уравнение (34) — это дифференциальное уравнение в обыкновенных производных, эквивалентное дифференциальному уравнению в частных производных на характеристике, определенной выражением (33). Аналогичным образом для обращенной влево характеристики можно написать

d (2ау^) = 0 при n = oonst.

Полученные результаты дают меньше информации, чем можно получить из общего решения. Однако этот подход важен тем, что он может быть применен к ряду задач, для которых в нашем распоряжении нет подходящих общих решений. В таких задачах выражения, аналогичные (33) и (34), могут быть использованы

хак основа для построения схемы численного счета. Например, этот подход может быть применен непосредственно к нелинейным уравнениям (48) и (49) без каких-либо дальнейших упрощающих предположений.

3s. Инвариантные преобразования

Так как (27) представляет собой однородное линейное уравнение, то оно инвариантно по отношению к умножению зависимой переменной на произвольную постоянную. Это уравнение инвариантно также по отношению ко многим преобразованиям независимых переменных. Наиболее общее из таких преобразований получается при замене переменных Е н “ в уравнении (30) иа монотонно дифференцируемые функции от ^ и т]. Это преобразование включает в себя трансляции по осям х и /, однородное растяжение обеих осей и преобразование Лоренца.

Преобразование Лоренца можно записать в виде

П

'1 — му%

T+aTj

1 + м〕％

или в переменных % н f

0(1 — MB%，

at + M^(1 - M2M

(35)

где M — безразмерная постоянная (число Маха). Первое из уравнений (35) описывает преобразование, обобщающее преобразование Галилея и соответствующее переходу в движущуюся систему координат; второе уравнение определяет изменение времени. неооходимое для того, чтобы сохранить (27) инвариантным.

2 Зак МТ

Классическое преобразование Лоренца играет важную роль в специальной теории относительности и в теории электромагнитных волн, где а представляет собой скорость света. Если перейти к пределу М-*0, а -> оо так, чтобы скорость системы координат Ма оставалась постоянной, то преобразование Лоренца перейдет в преобразование Галилея.

Основное уравнение (27) инвариантно и по отношению к другим преобразованиям, в частности, по отношению к дифференцированию по / или х. Действительно, величины yt и у#, .а также производные высшего порядка удовлетворяют уравнению (27), если ему удовлетворяет у. Любая линейная комбинация у и ее производных удовлетворяет тому же уравнению. В частности, линейные комбинации yt и у*, определяемые выражениями (32) для у* и ‘巾 удовлетворяют, конечно, дифференциальным уравнениям первого порядка в частных производных. При соблюдении соответствующих условий на бесконечности основное уравнение инвариантно также относительно интегрирования вдоль любой фиксированной прямой в пространстве (х, /). Например, при у(х,—оо) = 0 величина \ у (х, /*) dt* удовлетворяет уравнению (27), если ему удовлетворяет у.

За. Законы сохранения

В пространстве одного (или более) измерения плюс время закон сохранения выражается соотношением типа (18) [или (23)]. Впрочем, уравнение (27) и само описывает закон сохранения, так как оно может быть представлено в виде

~дГ + —訴=0-

Для любой функции у(х, /) существуют тривиальные законы сохранения, простейший из которых

也+ ?Г)=оdf十 дх и・

Важный тип законов сохранения представляют «энергетические» законы, которые содержат величины, равные или аналогичные по смыслу плотности энергии и потоку в физике. Два простейших закона такого типа для уравнения (27) выглядят следующим образом:

(36)(36)■^■(T^ + Td代)+ 言(一出％%) = °>3 (-弘％) + ^Г (^依 + } ^Ух) = °-

(36)

(36)

Следует помнить о возможности получения новых решений посредством дифференцирования или интегрирования, так как это позволяет получать и новые законы сохранения.

Во многих физических задачах при соответствующем выборе переменной у выражение (36) оказывается, по существу, уравнением сохранения энергии (18). Чтобы определить роль, которую играет уравнение (18) или другие законы сохранения, рассмотрим, как меняется во времени интеграл от Е по х. Он имеет вид

甘(/)=，Edx.

Предположим, что пределы интегрирования не зависят от f・ Дифференцируя 歩 по времени, получаем

需=j 筹"* = _(竊dx = -Si：：==-S(xJ + S3).

Во многих задачах S либо исчезает на границах конечного интервала, либо стремится к нулю на бесконечности. В таких задачах величина & постоянна. Законы сохранения и сохраняющиеся величины используются для различных целей. Часто законы сохранения непосредственно используются для формулировки исходных уравнений, описывающих физическую задачу. Однако они также могут быть связаны с некоторой приближенной процедурой, как это описано, например, в гл. V, VI и VIII.

Зд. Начальные и граничные условия

В типичной задаче с начальными условиями требуется найти решение основного уравнения для / > 0, если заданы у(%, 0) и yt(xt 0). Используя решение в общем виде (28), можно записать у(招 0) = F(» + G(x),(37)

yt (尤，0)=——a尸‘(X)+ aGf (x).(38)

Чтобы получить решение, необходимо определить обе функции F и G, а для этого нужно знать два начальных условия. Интегрируя (38), получаем

—尸(%) + G (尤)=а" \ yt (х, 0) dx.(39)

Произвольная постоянная интегрирования не влияет на решение. Из уравнений (37) и (39) можно выразить функции 尸 н G:

F (х) = ^ у (х, 0) — а-1 { yt (х, 0) dx,

11 г(40)

G&) = е 贝％ °)+ 彳М(% °)dx-

Если интервал изменения х бесконечен, то выражения (40) определяют функции 尸 н G на всем интервале % и полностью задают решение. Если же интервал изменения х ограничен, то необходимо задать граничные условия. В качестве примера рассмотрим случай, когда х принимает положительные значения %牙6 и имеется одна граничная точка х = 0 (полубесконечная среда). В этом случае F и G определяются выражениями (40) только при положительных значениях их аргументов. При / > 0 аргумент G всегда положителен, поэтому функция G полностью определена. С другой стороны, аргумент функции 尸 отрицателен при f > 0 в некотором интервале х и поэтому F ие определяется выражением (40). Недостающая информация получается заданием 协 yt или ух как функций времени иа границе х =₽ 0. Полагая, что задана функция у (0, /)» получаем

F (―山)=У (0, D — G 3). (41) Это соотношение определяет 尸 для отрицательного аргумента через известные функции, и, таким образом, получается полное решение. В случае когда g(0, f)曰 0, т. е. граничное условие од- иородйо, решение имеет вид

у (%, /) = G (х + а/) — G (at — %) (42) для х V at.

Если интервал изменения х ограничен как сверху, так и снизу, необходимо ввести второе граничное условие. Для интервала О £ % & / функции 尸 н G определены только при значениях их аргументов, лежащих в этом интервале. Граничное условие при х — 0 позволяет определить 尸 для отрицательного аргумента с помощью соотношения типа (41). Если же задана функция у(1, f), то соотношение

G(l + ai) = y(l, 9一尸(/一山) (43) позволяет определить G для значений ее аргумента, больших чем /. Если y(t) обращается в нуль как при % = 0, так и при х = /, то из (41) и (43) следует, что

G(! + o/) = —F(1 — qD = G (—【+ &)・

В этом случае функции F и G периодичны с периодом 2/, а все движение периодично во времени с периодом 2@一". Соответствующая круговая частота со。равна

©о = яаГ~х. (44)

Зв* Нормальные моды

Исследуем теперь решение, полученное выше для однородных граничных условий вида у = 0 при х == 0 и х = /. Так как функция G периодична с периодом 2/, ее можно разложить в ряд

谕Урье：

塞(* + #)=4" £ AnSin*(x + af)-

m—1

oo

一 } Bo — } 2 £ COS ^~ (% + Qf)・

Тогда решение (42) примет вид

у(к, 0— ^ sin -E2L(лтcos тсо(/ + Bmsinma^)9 (45)

где so определяется соотношением (44).

В этом виде решение можно интерпретировать двумя способами. Во-первых, решение представляет собой суперпозицию стоячих воли, каждая из которых имеет вид (24), ио выбирается так, чтобы оиа обращалась в нуль иа обеих границах. Во-вторых, данная система эквивалеитиа бесконечному числу простых линейных осцилляторов с частотами /поо, где m = 1, 2, ..., каждый из которых описывается решением типа (3). В этой интерпретации переменная у, определяемая из (3), для каждого значения m является множителем при sin (птхН) в выражении (45). Эти синусоидальные по х компоненты решения называются нормальными модами. Частота ©о называется фундаментальной частотой системы. Она соответствует волнам длиной 2/, т. е. длина системы составляет половину фундаментальной длины волны.

Если однородные граничные условия имеют вид 坟е = 0 при % = 0 н х = Z, то результаты, по существу, те же самые, только синусы аргумента nmxlr^ заменяются косинусами. Действительно, если у определяется выражением (45), то ух как раз является решением этого второго типа, поскольку удовлетворяет условию (ух)х = 0 на границах. Единственное отличие заключается в том, что теперь допускается дополнительный, постоянный относительно х член вида Ло + Во公 соответствующий нулевой частоте. Этот член, однако, исчезает, если наложить условие

у dx — 0.

о

Существует еще один вариант однородных граничных условий, когда 4 = 0 при х = 0 и ^ж = 0 при х = /. В этом случае решение определяется выражениями, аналогичными (44) и (45), ио / заменяется иа 2/, а /и принимает лишь нечетные значения. Фундаментальная частота соо теперь соответствует волне длиной 41, т. е. I составляет четверть основной длины волны.

Физические примеры

4a. Натянутая струна

Основное уравнение (27) появляется в теории колебаний натянутой струны, если использовать обычные упрощающие предположения, связанные с линеаризацией задачи. Предположим, что натяжение струны 尸 постоянно. Обозначим поперечное смещение струны через д, а координату вдоль струны — через х. Угол отклонения струны предполагается малым настолько, .что его косинус можно аппроксимировать единицей, а синус — тангенсом, равным ух. Струна всегда находится в равновесии в направлении х, поэтому рассматривается ее движение только в направлении у. Струна характеризуется не зависящей от х массой на единицу длины (погонной плотностью) р. Поперечная компонента силы натяжения равна Fyx. Тогда поперечная сила, действующая на малый элемент струны длиной dx (фиг. J. 5), приблизительно равна

尸(Ух + Ухх dx) — Fyx = Fyxx dx

и, следовательно, пропорциональна кривизне струны. Если приравнять эту силу массе элемента струны pd%, умноженной на его поперечное ускорение уи, то получим уравнение (27)

9“ — С^Ухх = О, где волновая скорость а определяется выражением

。= (£)"•(46)

Волны в натянутой струне являются поперечными, так как смещения происходят под прямым углом к оси %. Возможно также движение в направлении z, и смещения в направлении z подчиняются тому же уравнению с той же волновой скоростью. Следовательно, данная система вырождена в том смысле, что существуют две различные моды, характеризуемые одним и тем же дисперсионным соотношением. Как и в случае линейных - колебаний сферического маятника, волновое движение может быть поляризовано; оно поляризовано в направлении у, если z w О, или под углом 45°, если у z. В случае

у+ iz = у^

имеет место круговая поляризация синусоидальной волны. Поляризация является общим свойством многих типов поперечных волн.

В случае движения только в направлении у плотность кинетической энергии равна

7 А昇g%

Потенциальную энергию можно представить как умноженное на 尸 удлинение струны. Так как длина струны представляет собой интеграл от (1 + g^)% dx, то ее увеличение на единицу расстояния х равно (1 + 必)％ — la%磋.Следовательно, плотность потенциальной энергии равна

T尸找.

Поток энергии через некоторую точку струны равен поперечной силе ——尸у*, умноженной на поперечную скорость yt：

S =-尸4纷公

Закон сохранения энергии определяется уравнением (36), умноженным на р. Аналогичные результаты имеют место для движения в направлении z в случае, если отсутствует взаимодействие с движением по у..

Наиболее привычным примером колеблющихся натянутых струн может служить работа струнных музыкальных инструментов. В подобных случаях граничные условия имеют вид у == О при % = 6, х = I. Обычно используют разложение решения на нормальные моды, причем основной моде соответствует частота (|)о=ла/~1, а последующим ——ее высшие гармоники: 2з% Зсоо,.... Каждую моду можно рассматривать как независимый линейный осциллятор, имеющий свои начальные условия, поляризацию, энергию и т. д.

В музыкальных инструментах струны могут приводиться в движение тремя способами: ударом (пианино), щипком (гитара,

клавикорды) или смычком (скрипка). Так как смычок производит продолжительное возбуждение, то для описания движения необходима модификация нашей теории. Удар и щипок могут рассматриваться как создание определенных начальных условий. Во всех случаях движение струны передается через один из закрепленных концов акустической системе, которая излучает звуковые волны. Так как этот процесс отбирает энергию от колеблющейся струны, то движение последней затухает. В общем случае, чем ближе к одному нз концов струны находится точка удара, щнпка или воздействия смычка, тем интенсивнее возбуждаются гармоники, более высокие по отношению к основной. Высшие гармоники сильнее возбуждаются ударом, чем щипком; в пианино этот эффект нейтрализуется за счет использования мягко бьющих молоточков, так как они обладают способностью гасить высшие гармоники в процессе удара.

Более сложная система — натянутая мембрана — может совершать двумерное волновое движение, скажем, в плоскости (х, 2); при этом отклонение от плоскости у = 6 описывается функцией у(х, z, t). Если рассматривать- движения, не зависящие от 2 (уя =а= 0) г и положить, что р — плотность мембраны на единицу площади, a F — ее натяжение в направлении х на единицу длины, то мы получим то же самое уравнение, что и для натянутой струны. Плотность энергии теперь берется на единицу площади; движение также поперечное, однако вырождение, связанное с различными поляризациями, отсутствует.

46. Акустические волны е трубах

Рассмотрим движение газа в трубе с площадью поперечного сечения А (х), предположив, что скорость газа и в направлении х, а также его термодинамические функции постоянны в данном сечении трубы и зависят лишь от х и Л Пренебрежем всеми эффектами вязкости; другие упрощающие предположения будут сделаны в процессе изложения. Изменение со временем. массы pAdx в участке трубы длиной dx происходит со скоростью ptAdx, где р — плотность газа. Это изменение равно со знаком минус потоку массы, вытекающей из того же участка, т. е. {риА +： + (puA)xdx] — р«Л. В результате получаем уравнение непрерывности

Ре + "Рх + Р (〃* + 〃4一乂*) а 0・ (47)

Первые два члена в этом выражении представляют собой временную производную от р, которую измерил бы наблюдатель, движущийся со скоростью и, т. е. вместе с частицами среды. Для такого наблюдателя (в отсутствие диссипации) изменения давления связаны с изменениями плотности соотношением dp^a^dpt

К

Ке д2 — квадрат скорости звука в газе. Поэтому уравнение непрерывности (47) можно переписать в виде

Pf + 〃Р* + pa%* + pa% (In Л)х = 0.(48)

Сила, действующая на часть газа, заключенную в отрезке 醤рубы длиной d%, равна —Apxdx. Ускорение газа равно произ- Едной по времени от скорости, измеренной наблюдателем, даи- [(г^ущимся вместе с газом, т. е. 〃》+ 〃〃£• Приравнивая силу массе 窜Nd% элемента газа, умноженной на это ускорение, получаем следующее уравнение:

Р («< + ««*) + Р* = 0・(49)

Рассмотрим теперь движение в виде малого возмущения газа, первоначально находившегося в покое при постоянном давлении. Возмущение скорости равно и, а изменение давления обозначим через Ар. Величины р и а обозначают неаозмущенные значения плотности и скорости звука. Опуская члены более высокого порядка, получаем следующие линеаризованные уравнения для акустических волн в трубе:

Ар< + ра^их + pa2 (In Л)х и = 0,

р〃, + Ар* = 0.

Уравнения (50) содержат две зависимые переменные и и Др. Любую из них можно исключить, получив при этом одно уравнение для другой переменной. Если исключить А", то получим уравнение для и:

"” —Р_| [ра2«х + pa2 (In Л)хи]х = 0,(51)

а исключая и, получим для Ар

Ар« — «2 [Ар,* + (In Л — In р)х ^px] = 0.(52)

В некоторых случаях удобно ввести новую зависимую переменную g, определяемую соотношением

〃 = &・*

Величину & можно интерпретировать как смещение частицы в направлении х. Возмущение давления выражается через эту переменную [которая также удовлетворяет уравнению (51)] следующим образом:

Ар = —р@2 厩+ (1п 用词.

Можно ввести также другую зависимую переменную, так называемый потенциал потока массы 屮，определяемый соотношением

а" =一屮工

Скорость выражается через 4r следующим образом: 〃 =р"屮х・

Переменная 屮,так же как и Ар, удовлетворяет уравнению (52).Плотность кинетической энергии на единицу длины равна

T = ^At^.(53)

Акустическая потенциальная энергия на единицу длины может быть определена как

(54)(54)р =力(Ар)?у ~ 2ра2

(54)

(54)

Плотности энергий удовлетворяют закону сохранения (18) в виде

а (Т + У)а (Т + У)дАи АрдхдАи Ардх=0.=0.(55)(55)

а (Т + У)

а (Т + У)

дАи Ардх

дАи Ардх

=0.

=0.

(55)

(55)

Это соотношение можно получить и непосредственно из уравнений (50). Член АиЛр описывает работу, совершаемую в единицу времени при движении, перпендикулярном плоскости х = const.

В простейшем случае р(х), а(х) и А (х) постоянны, т. е. газ однороден, а сечение трубы неизменно. В этом случае формула (51) переходит в основное уравнение (27)

и скорость волны равна скорости звука. Переменные A", g и Т удовлетворяют такому же уравнению. Вследствие постоянства р(х) величина

(D = p-i 屮

является просто потенциалом скорости, т. е. и=Фх. Рассмотрим далее только случай р == const, а вместо 屮 используем Ф. Акустические волны, описываемые уравнением (27) [или (51), или (52)], продольны, движение частиц происходит в направлении оси х. Здесь отсутствуют как вырождение, так и какие-либо поляризационные явления.

Энергетическое уравнение (65) принимает вид общего закона сохранения (36) только при использовании переменной | или Ф. В этих случаях уравнения (55) и (36) отличаются лишь постоянным множителем, равным р/ при использовании | и рАа~2 — ПрИ ИСПОЛЬЗОВЙНИИ Ф.

Один из случаев, в котором встречаются такие линеаризованные волны в трубах, снова связан с музыкальными инструментами. Простейший пример ——органная труба, в которой колеблется столб воздуха. Воздушный столб возбуждается на одном конце струей воздуха, падающей на острый край. На этом конце гра-

ничное условие приближенно имеет вид Др = О, Ф = 0, их = О или 自工=0. Если противоположный конец трубы открыт, то там имеет место то же граничное условие и основная частота определяется выражением (44). Если же на другом конце труба закрыта, то граничное условие на этом конце имеет вид и = 0, Е = 0, Ар* = 0 или фх = 0. В этом случае основная частота равна половине частоты, определяемой выражением (44), а генерироваться могут лишь нечетные гармоники. Четырехфутоаая закрытая труба и восьмифутоаая открытая труба имеют одну и ту же основную частоту, которая соответствует длине волны, равной шестнадцати футам. '

Плоские волны в безграничном однородном газе соответствуют, по существу, рассмотренному выше случаю, если считать А постоянной, а х выбрать в направлении, перпендикулярном волновому фронту. Для произвольной (не обязательно плоской) волны можно показать, что в линейном приближении исходное уравнение имеет следующий вид:

Gt 一 出(①* + Ф„ + ①〃)=0. (66)

Соответствующие плотности энергий относятся к единичному объему и определяются выражениями (53) и (54) с заменой и2 на и2 + ^2 + "• Поток энергии равен произведению Ар на вектор скорости. …

4s. Упругие волны

Изотропное упругое вещество характеризуется несколькими параметрами — модулями упругости. Наиболее известными из них являются модуль упругости стержня £ и модуль сдвига G, которые связаны между еобой безразмерным коэффициентом Пуассона о:

Модуль упругости стержня £ ——это отношение напряжения к деформации в стержне, который в поперечном направлении не ограничен и у которого поперечные нормальнее напряжения равны нулю. В образцах, закрепленных так, что поперечные деформации равны нулю, соответствующий модуль упругости Е‘ отличается от £ (и больше, чем £). Наконец, существует еще модуль изотропного сжатия К, равный отношению между изотропным давлением и изменением объема. Эти модули связаны между собой следующим образом:

£ 3 (1 +ст)(1 -2ст) ? ' 3(1 -2ст) •

В изотропной упругой среде могут существовать волны различных типов. Если среда безгранична, то возможны плоские

продольные волны, которые описываются основным уравнением (27) с,

出=d=条・(57)

Эти волны очень похожи на акустические н также характеризуются изменениями плотности. Кроме того, существуют плоские поперечные сдвиговые волны, удовлетворяющие уравнению (27), причем

(58)(58)£

(58)

(58)

Г

Эти волны не производят изменений плотности, они поперечны и обладают свойством поляризации. Возможны также движения более общего вида, описываемые уравнением (56), где а? определяется выражением (57) или (58).

Если среда не безгранична, то волновые явления вблизи границ могут быть весьма сложными. Однако продольные волны в очень тонком стержне снова оказываются простыми. В однородном тонком стержне существуют одномерные продольные волны, описываемые уравнением (27) с

В этих волнах происходит и поперечное движение, определяемое структурой моды. При этом необходимо выполнение условия kh《1, где Л ——диаметр стержня, поскольку такие волны не об’ ладают дисперсией только в пределе 也力一aO.

Упругая среда становится жидкой в предельном случае, когда о->'/2, G -> 0,尸-> О, Е'-> К. В этом пределе остаются лишь продольные волны со скоростью, определяемой выражением (57). Последняя и представляет собой скорость звука в жидкой среде.

4е. Электромагнитные и альфвеновские волны

При наличии электрического и магнитного полей возможно существование гораздо более разнообразных типов волн. Рассмотрим здесь кратко два из них. Уравнения Максвелла для вакуума имеют вид

(59)(59)(60)(61)(62)(60)(61)(62)VХe =-脸，V X В = Мю€о 弯",

(59)

(59)

(60)

(61)

(62)

(60)

(61)

(62)

V-E = 0,

У ・в = о,

где 卩о и €о — универсальные постоянные (магнитная н диэлектрическая проницаемости среды). Рассмотрим плоские волны, описываемые этими уравнениями, в случае, когда Б имеет лишь z-компоненту, а В — только ^-компоненту. При этом условии уравнения (61) н (62) удовлетворяются автоматически, если эти компоненты зависят только от л и t Тогда уравнения (59) и (60) принимают вид

дЕг дВудх ~ f

-дГ = ^~дГ-

(Здесь индексы обозначают компоненты, а не дифференцирование.) Исключая В打 снова приходим к уравнению (27):

需一巒卷П0,綱)

где с—скорость света, которая определяется через постоянные цо и €о выражением (

，с =(Мо€о) "•

Величина Ву, как и Е?, удовлетворяет уравнению (63). Энергия в единичном объеме сохраняется и является наполовину электрической, наполовину магнитной. Компоненты Е“ н Bz удовлетворяют тем же соотношениям, что н Ez н Ву. Электромагнитные волны являются поперечными и вырожденными и обладают поляризацией.

Другой тип волн, которые мы здесь рассмотрим, — это альф- веноаские волны, возникающие в жидкости с бесконечной проводимостью (т. е. с нулевым сопротивлением). Невозмущенная жидкость находится в покое в однородном магнитном поле В = Bi, направленном вдоль оси х. В системе координат, в которой жидкость покоится, все электрические поля равны нулю. Предполагая, что членом dE/dt (током смещения) можно пренебречь, получаем вместо уравнения (60) следующее выражение:*

У 义 В = Но，

где J——плотность тока. Магнитное поле действует на единичный объем токонесущей среды с силой, равной J X В.

Следствием предположения о бесконечной проводимости является то, что силовые линии магнитного поля в жидкости замораживаются. Это означает, что если среда смещается в поперечном направлении и это поперечное смещение изменяется в зависимости от х, то силовые линии магнитного поля, направленные вначале по %, отклоняются, и такой процесс порождает поперечную компоненту магнитного поля.

Рассматривая плоские волны, предположим, что частицы среды смещаются на малую величину б в направлении оси у; при этом б зависит только от х и /. Возмущение магнитного поля имеет только ^-компоненту, равную

В = В —%° дх '

Тогда уравнение движения имеет вид

а2д 1 двив2 а2д

dt2pm дхрцо d炉.

Итак, вновь получилось уравнение вида (27) с

Предположение о том, что членом dE/dt в уравнении для У X В можно пренебречь, справедливо при условии а2《с2, т. е. альф- веновская скорость должна быть мала по сравнению со скоростью света.

Альфаеновские волны поперечны и обладают поляризационным вырождением. Концепция альфвеноаских волн возвращает нас к примеру с натянутой струной. Можно представить себе магнитные силовые линии как распределение «натянутых струн» в пространстве. Натяжение равно 卩「В2 на единицу площади поперечного сечения. Плотность на единицу площади поперечного сечения равна р. Тогда приведенная выше формула для скорости альфвеновских волн совпадает с формулой (46) для натянутой струны.

Ограничение, что функция б зависит только от х и f, несущественно. Она может быть произвольной функцией от х + а/ и г, а если скорость звука в среде пренебрежимо мала по сравнению с альфаеновской скоростью (холодная плазма), то и произвольной функцией от х ± at, у и z. В любом случае тензор дисперсии W^, приведенный выше в п. 2з, оказывается по крайней мере дважды вырожденным (ранга 1); в пренебрежении скоростью звука этот тензор равен нулю. Это необычное свойство отсутствия какой-либо геометрической дисперсии согласуется с представлением о наборе независимых натянутых струн, когда волйы распространяются только вдоль струн.

Другие примеры одномерных волн

Кроме волновых движений, описываемых уравнением (27), существует много других видов одномерного волнового движения. Некоторые из них описываются уравнениями, близкими к (27). Другие обладают сильной дисперсией и описываются со- вершенно иными уравнениями.

5a. Одномерное волновое уравнение с затуханием

Волновое движение может быть затухающим, но во всех других отношениях подобным волнам, описываемым ураэиеиием (27). Затухание (диссипацию) можно ввести несколькими способами. Простейший пример, аналогичный затухающему линейному осциллятору (6), описывается следующим уравнением:

Уп + 2 也л — ®у“ = 0.

Хотя это уравнение не позволяет получить непосредственно действительное дисперсионное соотношение, оно с помощью преобразования

y = e^Y (х, /) приводится к виду

& _ 6丁一a2，* = 0.(64)

Из этого уравнения получается уже действительное дисперсионное соотношение

0)2 =出必一俨.(65)

На первый взгляд это соотношение имеет несколько аномалий. Одна из них заключается в обрезании волнового числа снизу при значении k^= kc = о-^, ниже которого решение не осциллирует во времени и волны не распространяются. Другая аномалия состоит в том, что формально определенная групповая скорость равна Wk心,т. е. величине, большей чем а. Принципиальный вывод, который отсюда следует, состоит в том, что если не выполняется условие 0《口々,то волна распространяется с сильным затуханием н понятие групповой скорости теряет смысл (см. гл. П, п. 5).

Если же р《ak, то диссипация слаба, и членами 俨 в (65) и —俨У в (64) можно пренебречь. Тогда свойства волны, в сущности, те же, что и у соответствующей недиссипативной системы (27), за исключением экспоненциального затухания. Это затухание определяется множителем е~₽/ для зависимой переменной у и множителем ef для энергии.

Акустические волны в трубах переменного сечения

Рассмотрим теперь линеаризованные уравнения для волн э п)убах с постоянными р(х) и а(х), но с меняющейся функцией А(х). В качестве исходного используем уравнение (52), однако запишем его для потенциала скорости Ф:

(1)хх + (1ч 4)х ①х —。-2①"=о.(66)

Преобразование

фн”-'*%, /)

приводит к уравнению

歹хх — В歹 一歹川=0,(67)

где

8(吁专-亲=费[令L

Уравнение (67) имеет решения в виде плоских гармонических волн и соответствующее ему дисперсионное соотношение только в случае, если функция В(х) либо постоянна, либо приближенно может считаться постоянной.

Представляет интерес специальный случай, в котором функция В(х) тождественно равна нулю, в этом случае сечение трубы Л пропорционально квадрату линейной функции от %; выберем в качестве этой функции просто 炉，т. е. положим

/ =炉.

Этот случай соответствует волнам в трехмерном пространстве со сферической симметрией относительно некоторой точки. Такое движение вследствие его сферической симметрии ведет себя локально так, как если бы оно было возбуждено в конусе, охватывающем сколь угодно малый телесный угол с вершиной в центральной точке. Площадь поперечного сечения такого конуса равна телесному углу, умноженному на г2, где г ——радиальная координата в сферической системе координат. Наша координа- та х и является этой радиальной координатой.

Так как уравнение (67) при В = 6 совпадает с уравнением (27), то его общее решение известно. Следовательно, общее решение уравнения (66) можно записать в виде

Ф =[-Р (х — а/) + G (х 4-叫.

За исключением указанных случаев, когда 5 либо равна нулю, либо постоянна, простое волновое решение можно получить только, если член с 8 пренебрежимо мал. Будем искать решение в виде бегущей волны, полагая

无 Т|В|«1.(68)

Тогда из уравнения (67) следует 《безднсперснонное» дисперсионное уравнение

(о2 = а?必.

Здесь применимо общее решение (28), однако с тем ограничением, что волновые числа в спектре Фурье функций 尸 н G удо-

влетворяют условию (68), При этом предположении приближенное решение имеет вид

Ф == A-v,[F(x — at) + G(x + а/)].

Это приближение является типичным представителем целого семейства приближений, часто используемых в задачах о распространении волн и основанных на предположении, что рассматриваемые волновые числа достаточно велики, т. е. что длины волн достаточно малы. Приближение Лиувилля — Грина (см. гл. 4 в [3], а также [4]), часто ошибочно называемое приближением ВКБ, принадлежит к этому семейству и приводит в волновых задачах к известным приближениям геометрической оптики и геометрической акустики.

Волны с сильной дисперсией

Линейные волны, которые рассматривались ранее, описывались либо простым волновым уравнением (27), либо уравнением, отличающимся от него только наличием членов с производными более низкого порядка. Во всех этих случаях существует характерная скорость а, которая и является действительной скоростью распространения, по крайней мере в некотором предельном случае. Существуют, однако, различные типы волн с сильной дисперсией, удовлетворяющие уравнениям, совершенно отличным от (27). Вероятно, наиболее широко изученным- примером являются волны на глубокой эоде. Они даже не могут быть описаны дифференциальными уравнениями в частных производных относительно переменных х и Л Займемся рассмотрением некоторых других примеров таких эолн.

6а. Балка на упругой опоре

Рассмотрим бесконечную балку с погонной плотностью р и жесткостью на изгиб £7, упруго поддерживаемую сбоку распределенной пружиной с упругой постоянной на единицу длины, равной К. Предположим, что балка находится под действием продольной сжимающей нагрузки Р. Эта нагрузка стремится согнуть балку (см. фиг. I. 6).

Обозначим через ‘(％,») поперечное смещение балки. Поперечное ускорение у”，умноженное на массу pd% участка балки, равно поперечной силе, действующей на этот участок. Эта поперечная сила (на единицу длины) состоит из трех компонент. Одна из них, равная —Ку, создается упругой опорой. Другая, похожая на ту, которая встречалась в теории натянутой струны (конечно, с обратным знаком), равна —Рухх^ Третья может быть

Фуг. /. £ Балка на упругой опоре.

получена из стандартной теории балок и равна ——Е1ухххх, Комбинируя, получаем дифференциальное уравнение

Р4н + Ку + Рухх + EIyxxxx~Q

и связанное с ним дисперсионное соотношение

Отметим сначала частные случаи, в которых существует только одна возвращающая сила. Если Р = 0 и £/ = 0, то частота постоянна и равна величине шо, входящей в выражение (1) Для линейного осциллятора; при этом волны не распространяются. Если К = 0, Е/ = 0, а величина Р отрицательна, то получаются уравнения (27) и (46) для натянутой струны с F ^ =—Р Если, наконец, К = 0 н Р = 0, то получаются волны в простой ненагруженной балке. Они характеризуются соотношением С = 2c

Если Р достаточно велико, то величина d может оказаться отрицательной на некотором интервале значений k. Чтобы этого не случилось, необходимо выполнение следующего условия:

Р《2(КЕ/)%.(69)

С его учетом дисперсионное соотношение изображается кривой, показанной на фиг. I. 7. Волны не распространяются при й == 0, Где со = о)о = (К/p)%. Другая точка, в которой распространение отсутствует (групповая скорость равна нулю), расположена при

*=就=易，

2 2K 尸 9P2

〃j? 0 < ^ < ^i групповая скорость имеет знак, противоположный знаку фазовой скорости. Для ои V 3 V соо существуют две моды с положительной фазовой скоростью: одна с положительной, а другая с отрицательной групповой скоростью. Для заданной положительной достаточно малой групповой скорости суще-

ствуют три возможные моды: одна с положительной и две с отрицательной фазовой скоростью.

Если неравенство (69) не выполняется, то бесконечно длинная балка будет неограниченно прогибаться. Если балка (которую теперь правильнее считать колонной) конечна и удовлетворяет граничным условиям у = 0 при х = 0, х == /, то такой неограниченный прогиб происходит, когда со2 <С 0 при k = ^я/"1 для некоторого целого ш. Может случиться, что данная балка или колонна устойчива по отношению к прогибу, в то время как несколько более короткая колонна будет неустойчива. Таким образом, в этой задаче дисперсионное соотношение содержит не только информацию о распространении волны, но также информацию об устойчивости по отношению к упругому изгибу.

66. Мембранный волновод ，

В качестве следующего примера рассмотрим мембрану. Если 尸—однородное и изотропное поверхностное натяжение мембраны, ар ——ее поверхностная плотность, то характеристическая скорость а определяется выражением (46): а2 = Г/р. Если 2(х, у,,) — отклонение мембраны, то оно описывается уравнением

zxx + zyy - 保-0・

Аналогия мембраны с натянутой струной прослеживается в случае, если рассмотреть решение, в котором 2 не зависит от у. С точки зрения физики здесь возникает задача о поведении бесконечной ленты шириной Л с граничными условиями 2 = 0 на линиях у = 0 и у =儿

Метод разделения переменных приводит к решениям, синусоидальным по у. Соответствующее решение, удовлетворяющее граничным условиям, имеет вид

где m ——целое положительное число. Эти решения представляют собой нормальные моды, а т —— порядок моды. Определим частоту отсечки для т・"моды следующим образом:

тла

Подставляя решение в уравнение мембраны, получаем m-е дисперсионное соотношение

Мы уже упоминали о таком дисперсионном соотношении [выражение (25)] и обсуждали некоторые связанные с ним особенности. Групповая скорость С всегда меньше, чем а, и лишь стремится к а, когда 也一＞8. Волны не распространяются, если ①=й)т. Если граничные условия заменить на 2? = 0, то появляются те же частоты и вдобавок бездисперсионная мода, соот' ветствующая m = 0. “

Такое поведение волн характерно для волноводных задач, включая задачи об электромагнитных волноводах. В электромагнитном случае модовая структура более сложна, но каждая мода в отдельности дает дисперсионное соотношение вида (25). Мембранный волновод представляет собой простейшую модель для изучения волн такого типа. Единственная черта более общих волноводов, которая не встречается в данном примере, — это возможность вырождения мод.

* 68. Волны де Бройля

Общим правилом при изучении дисперсионных волн является то, что с точки зрения физики групповая скорость гораздо важнее, чем фазовая (или «вектор медленности»). Одним из примеров яркого проявления этого служат волны де Бройля, т. е. решения уравнения Шредингера для свободной частицы.

Нестационарное уравнение Шредингера для частицы имеет вид

где 4r ——комплексная волновая функция, а 2冗方一постоянная Планка. Если потенциальная энергия V постоянна, то справедливо решение в виде плоской волны 'Р = 4roe步 с фазой 0, опре-

деляемой выражением (19). Получаемое в результате дисперсионное соотношение имеет вид

ЙСО = -ДИ V2/п 1

а соответствующая групповая скорость равна

Лкm

Согласно принципу соответствия, величина 方s должна интерпретироваться как полная энергия,方'左〃2/« ——как кинетическая энергия,方к—как импульс частицы и, следовательно, групповая скорость — как классическая скорость частицы. Таким образом, групповая скорость имеет здесь вполне определенную физическую интерпретацию.

Энергия произвольна в том смысле, что ко всем потенциальным и полным энергиям может быть добавлена произвольная постоянная без изменения физического состояния. Поэтому в дисперсионном соотношении частота произвольна в том же смысле, и эта произвольность распространяется также на «вектор медленности» s = k/s или на любое изменение фазовой скорости. Однако произвол а выборе групповой скорости отсутствует. Произвольность фазовой скорости означает, что она не имеет сколь- нибудь ценной физической интерпретации.

ЛИТЕРАТУРА

Cole J. D., Perturbation Method in Applied Mathematics, Blaisdell, Waltham, Mass., 1968 (см. перевод: Дж. Коул, Методы возмущений в прикладной математике, изд-во «Мир», 1972).

Lighthill М. J., Whitham G・ В., Proc. Roy. Soc., A229, 281 (1955).

On kinematic waves: I. Flood movement in long waves. IL Theory of traffic flow along crowded roads.

ErdGlyi A, Asymptotic Expansions, Dover, New York, 1956 (см. перевод: А. Эрдейи, Асимптотические разложения, ГИФМЛ, М., 1962).

Froman М, Froman Р. О., JWKB Approximation, North Holland Publishing Co., Amsterdam, 1965 (см. перевод: H. Фрёман, П. Фрёман, В КБ-приближение, изд-во «Мир», 1967).

Линейные волныв средах с дисперсией

Стефен А, Тау

Введение в теорию распространения волн часто начинается с классического волнового уравнения

先f一喇\« = 0， (1)

в котором с0 имеет размерность скорости, а 屮 есть некоторая физическая переменная, которая описывает волну, проходящую через среду. Хорошо известными примерами процессов, описываемых уравнением (1),)могут служить поперечные волны вдоль упругой струны, продольные волны в тонком упругом стержне, плоские звуковые волны в безграничной сжимаемой среде, плоские приливные волны на мелкой воде и электромагнитные водные в линиях передачи с пренебрежимо малым сопротивлением.

Общее решение уравнения (1) (см. гл. I, п. За)

В = f(X — СоО + g(X + СоО ⑵ показывает, что 窈一это скорость, с которой профили f (х) и ^f(x) распространяются соответственно в положительном и отрицательном направлениях оси х, причем эти профили движутся без изменения формы. Таким образом, по физическому смыслу с0 вполне соответствует понятию скорости волны.

С другой стороны, волновое уравнение описывает относительно небольшое число процессов, а в некоторых случаях оно дает только первое приближение, которое часто необходимо улучшать. Это относится и к упомянутым выше волнам в стержнях, на воде и к электромагнитным волнам. Как было показано в гл. I, для большого класса волновых движений, известных как дисперсионные, распространение волй описывается более сложными, чем (1), уравнениями, и решения в виде (2) не имеют места. Даже в рамках линейных уравнений для распространяющихся в одном направлении волн в однородной среде, одним иа примеров которых является (1), известно, что в общем случае форма профиля волны подвержена заметным изменениям. Обычно начальный профиль волны расплывается, а высота ее уменьшается, и в конечном счете волна превращается в осциллирую-

щую последовательность гребней и впадин, похожую на синусоидальный цуг. Кроме того, для сред с дисперсией понятие скорости волны становится более сложным и требует дополнительных определений. При исследовании воли с дисперсией оказывается необходимым ввести понятия фазовой скорости, групповой скорости, скорости сигнала, скорости распространения энергии и скорости фронта, которые и будут обсуждаться в этой главе.

Примеры волн с дисперсией.Фазовая и групповая скорости

Длинный список дисперсионных волновых движений включает много хорошо известных и важных физических явлений. Привычными, хотя и математически сложными примерами являются световые волны в преломляющей среде, сейсмические волны в земной коре и звуковые волны в океане. Два других примера, которые описываются более простыми уравнениями, мы приведем ниже (в безразмерной форме). Они будут использованы ниже в этой главе для иллюстрации теории дисперсионных волн.“

L Поперечные волны, распространяющиеся вдоль натянутой

упруго закрепленной струны, описываются уравнением

Фа — ^хх + ^ == 0-(3)

Это уравнение, известное под названием уравнения Клейна——Гордона, встречается также в квантовой механике.

Продольные волны в тонком упругом стержне с учетом эффектов поперечной инерции описываются уравнением

3拉——6芯工——Фххa - 0.(4)

Уравнение (4) известно также для волн на мелкой воде как линейное уравнение Буссинеска. Аналогичное уравнение было получено Лявом в его《Трактате математической теории упругости» (1927 г.), и для волн в стержнях оно известно как уравнение Лява..

Обзор теории волн с дисперсией начнем с частного волнового решения, а именно с гармонической волны

中=A exp [i (йх —血)]+ В exp [i (йх + М)],(5)

которая удовлетворяет любому линейному уравнению движения с постоянными коэффициентами в (х, /)-пространстве, если выбраны подходящие значения(о н 瓦 Однако отличительная черта волн с дисперсией заключается в том, что частота (о является действительной нелинейной функцией 坦 волнового числа k (для действительных 々).Это свойство и определяет линейные уравнения для волн в одномерном пространстве. Более общее

рассмотрение дисперсионных волн проводилось в гл. I, разд, 2. Напомним здесь некоторые из положений гл. I применительно к частному случаю одномерного распространения.

В любой данной задаче соотношение между W и kt так называемое дисперсионное соотношение для этой задачи, определяется непосредственной подстановкой одной нз гармонических эолн вида (5) в исходные уравнения. В приведенных выше примерах дисперсионные соотношения имеют вид

听=(胪+1)% н 听,月丿 (А2 + 1)V«

Заметим, что (5) удовлетворяет и волновому уравнению (1), но с линейным дисперсионным соотношением W =尼&. Значит, согласно определению, приведенному в гл. I, волновое уравнение бездисперсионно. Другой пример — уравнение теплопроводности

Фхх — % = О,

для которого W будет чисто мнимой функцией 尼；по этой причине оно также не описывает дисперсионное волновое движение.

Для гармонической волны с амплитудой А, входящей в (5), значение показателя экспоненты, или фазы, будет фиксировано, если двигаться в положительном направлении по % с фазовой скоростью (см. гл. I, разд 2):

(6)

Аналогично волна с амплитудой В движется в противоположном направлении с той же самой фазовой скоростью. Для волнового уравнения (1) с = с0 не зависит от 瓦 Однако для дисперсионных волн соотношение (6) означает, что гармонические волны с разными частотами распространяются с разными скоростями. Поскольку волна произвольной формы может быть представлена как суперпозиция гармонических компонент, то становится -понятным, почему дисперсионные волны при движении изменяют свою форму: различные гармонические компоненты, составляющие профиль волны а данный момент времени, распространяясь с разными скоростями в любой более поздний момент времени складываются с другими фазами, и их комбинация дает другой волновой профиль. Фактически изменение формы волны обусловлено определенными физическими или геометрическими свойствами среды, в которой волна генерируется и распространяется. Следовательно, вместо «волн с дисперсией», возможно, более правильно было бы говорить о среде с дисперсией или (там, где только геометрические свойства обусловливают дисперсию) о дисперсионной геометрии (см. гл. I, п. 2з). Однако, какова бы

ни была терминология, смысл явления определяется выражением (6).

Другая скорость, связанная с гармоническими волнами (5) в среде с дисперсией,——это групповая скорость С, определенная в гл. I как

e (吁需. ⑺

Она также зависит от волнового числа 瓦 В действительности групповая скорость ——это наиболее важная скорость, связанная с дисперсионными волнами, так как она определяет не только скорость данной группы колебаний в некоторой волне, но также совпадает со скоростью распространения энергии, переносимой этой группой. Более того, как будет показано позже, в среде с дисперсией любое начальное возмущение в конце концов разбивается на такие группы.

Применяя формулы (6) и (7) к дисперсионным соотношениям из предыдущих примеров, получаем следующие выражения для фазовых и групповых скоростей:

°D С=(必 + 1)% ' С U (后2 + 1)% '

Ранее говорилось, что частота простых гармонических волн в идеальной среде с дисперсией может быть действительной, откуда следует, что энергия волны сохраняется. Однако в любой реальной системе всегда в какой-то мере присутствуют механизмы диссипации. Математически потери за счет диссипации проявляются в том, что из дисперсионного соотношения получаются комплексные или чисто мнимые значения W, соответствующие действительным значениям 尼.Тогда амплитуда гармонической волны экспоненциально убывает со временем. В случае комплексной частоты с ненулевой действительной частью фазовая и групповая скорости асе еще могут быть определены через действительные величины, однако, например, групповая скорость может потерять свой физический смысл, если диссипация (т. е. мнимая часть 犷)перестает быть малой. Тогда теория волн в средах с дисперсией потребует модификации. Этот вопрос мы обсудим в разд. 5.

С другой стороны, комплексные значения 財 соответствующие действительным частотам, могут встречаться и в консервативных системах с дисперсией. Один класс таких задач включает в себя распространение нескольких типов волн (мод), которые могут обмениваться между собой энергией. В этом случае мода с комплексным волновым числом будет отдавать свою энергию

другим модам (или отбирать ее из других мод) в такой пропорции, чтобы сохранить суммарную энергию волн. Эта ситуация встречается при распространении определенных типов волн в упругих пластинах.

Кроме того, в консервативной системе, в которой существует частота отсечки, возможны чисто мнимые волновые числа при действительных частотах. В примере I, приведенном выше, k становится мнимым для частот ниже(о = 1, в то время как в примере II k —— мнимое число для частот выше s = 1. Такие частоты называются частотами отсечки потому, что при мнимом k гармонические волны (5) исчезают, а появляются нераспростра- няющиеся волны, амплитуда которых экспоненциально убывает с расстоянием. Физически же квазигармоническое возмущение с частотой, которой соответствует мнимое значение fe, будет превращаться в расходящиеся группы волн с частотами, на которых распространение возможно. Апериодическое возмущение (например, ступенька) будет расплываться аналогичным образом. Однако гармоническое возмущение с частотой, лежащей в диапазоне, где k — действительное число, передается через среду без такого быстрого расплывания с собственной групповой скоростью. Эти результаты иллюстрируются в разд. 3. Во всех консервативных случаях одиночные гребни, которые образуют определенные группы волн, движутся внутри группы с фазовой скоростью, в то время как энергия, переносимая этой группой, распространяется с групповой скоростью.

Гармонические волны в средах с дисперсией

Простейшей иллюстрацией группы, или пакета, колебаний, которая движется со скоростью, отличной от скорости отдельных компонент, составляющих группу, может служить пример, предложенный Стоксом в 1876 г. Группа состоит из двух гармонических волн, движущихся в некотором направлении с мало разнящимися волновыми числами и частотами. Обозначая эти разности через 2△月 и 2А(о соответственно, такие волны можно представить в виде (см. гл. I, п. 2в)

* = 4 exp{i [(fe + А月)х — (со + Део) /]} +

+ A exp {/ [(fe — А月)х — (со — А(о) /]}, или

6 = 24 cos (Afex — Acof) exp [i (kx — co/)]. (8)

Это выражение описывает гармоническую волну с волновым числом k и частотой(о, но с амплитудой, модулированной косинусоидой. Поскольку по предположению величины А月/月 и Aco/s малы, ясно, что амплитуда представляет собой медленно меняю-

щуюся как по х, так и по / функцию, огибающую быстро осциллирующие пульсации. Из графика действительной части выражения (8), приведенного на фиг. I. 3, очевидно, что волновой пакет может быть определен как совокупность осцилляций, содержащихся между двумя последовательными узлами огибающей. Эти осцилляции распространяются с фазовой скоростью ®]h, в то время как скорость огибающей равна групповой скорости С = А(о/△月.При А局一＞ 0 выражение для С совпадает с выражением (7) для групповой скорости. Однако в том же самом пределе расстояние между последовательными узлами огибающей становится бесконечным, другими словами, группы волн исчезают и получается простая гармоническая волна. Тем не менее эту волну можно рассматривать как бесконечную группу осцилляций, имеющих групповую скорость dW/dk.

Суперпозиция более чем двух гармонических волн с близкими волновыми числами и частотами более сложна для математического анализа, однако можно показать, что групповая скорость по-прежнему имеет смысл [1]. Рассмотрим, например, бесконечное число таких цугов, распространяющихся в положительном направлении вдоль оси х со средним волновым числом 行 и средней частотой W = W(k), В этом случае 6 можно представить в виде

6 = £ , Л (fe) exp [г (kx — W (fe) /)] dk,⑼

五一A在

где амплитуда А считается медленно меняющейся функцией 月, а множитель (△月)一】вводится так, чтобы ф не обращалась в нуль, когда △月0.

Этот интеграл можно приближенно вычислить, разлагая W в ряд по fe и оставляя только первые два члена, т. е.

步^册+(月一石)3,

где 2 = С(后)一групповая скорость, соответствующая среднему значению волнового числа. Тогда, обозначая k — И через 乂 и заменяя А (月)приближенным значением 4 (后)=才；получаем £)

В 比"^exp [I (kx — IFO] , exp [ix (尤一CO] dx =

一А在

=2彳 sE 此 & 二^)exp [i(kx -历川.(10) A月(x — Cf)

I) В общем случае для получения огибающей, распространяющейся с групповой скоростью, не обязательно считать А постоянной величиной в некотором интервале 2A左；нужно лишь, чтобы величина А(左)убывала достаточно быстро с ростом А月.一Прим. ред.

Как и в примере Стокса, в результате опять получился волновой цуг со средним (по составляющим его гармоническим волнам) волновым числом и с амплитудой, модулированной медленно меняющейся огибающей, которая формирует систему волновых пакетов. Пакеты распространяются с групповой скоростью С, в то время как составляющие их осцилляции распространяются с фазовой скоростью IF/后.

В этом примере амплитуда модуляции представляет собой ^функцию, которая для фиксированного момента времени обратно пропорциональна х. Таким образом, существует одна главная группа с центром в точке х = Ct, ампитуда которой равна 2瓦 График функции (10) представлен на фиг. IL 1.

Спустя большой промежуток времени выражение (10) становится неприменимо из-за тех членов в разложении W, которыми пренебрегли выше. Хотя они и пропорциональны (Д^)2, но их вклад оказывается не малым ввиду умножения на /. После этого интеграл в (9) можно вычислить другим способом, известным как метод стационарной фазы и обсуждаемым в разд. 3. Этот метод показывает, что серия волновых пакетов, соответствующих выражению (10), будет расплываться (диспергировать), образуя более сложную систему групп волн, амплитуды которых уменьшаются по величине пропорционально но с одним исключением. Как и следовало ожидать, исключение составляет группа, расположенная при х = Cf: ее амплитуда оказывается пропорциональной

Переходные волновые процессы в средах с дисперсией

Распространение гармонических волн фактически не иллюстрирует полностью явление дисперсии. Как простые гармониче- ские волны (5), так и квазигармонические волновые пакеты типа (8), составленные из конечного числа различных компонент, распространяются через среду без изменения формы. Это стационарные отклики на набор гармонических источников, которые были «включены» при t = —оо, так что переходный сигнал, обусловленный «включением», уже исчез к моменту наблюдения. С другой стороны, как будет показано в дальнейшем, суперпозиция бесконечного числа гармоник типа (9) связана с заданием начального негармонического возмущения при f = 0. Для небольших интервалов времени это начальное распределение диспергирует, превращаясь в волновые пакеты (10), в то время как при больших временах [как уже отмечалось после формулы (10)] эти пакеты в свою очередь будут превращаться в более сложные группы колебаний с убывающей амплитудой.

В этом разделе мы более детально рассмотрим дисперсию произвольного начального распределения волн. В связи с этим мы обсудим также начальную задачу о волновом движении, генерируемом источником, который начинает действовать при / = 0 в невозмущенной среде. Рассматривая случай гармонического во времени (при f > 0) источника, мы покажем, как в действительности развивается стационарная волна вслед за нестационарным предвестником в среде с дисперсией. Методы, используемые здесь для анализа дисперсионных волновых задач, включают преобразование Фурье, преобразование Лапласа и комбинированный кинематико-энергетический подход, развитый Уиземом (см. гл. V). Преобразования Фурье и Лапласа приводят к интегральным представлениям решения, которое затем находится с помощью асимптотического метода стационарной фазы или метода «наискорейшего спуска»; с другой стороны, кинематико-энергетический подход позволяет получить, по существу, те же результаты непосредственно из двух простых уравнений сохранения. *

За. Преобразование Фурье и метод стационарной фазы

Рассмотрим распространение начального возмущения в среде с дисперсией, занимающей все пространство：——8 V % V оо. Общее решение, описывающее произвольное волновое движение, может быть представлено в виде суперпозиции простых гармонических волн (5) со всеми возможными волновыми числами

© (х, f) =，{/1 (fe) exp [f (kx — ©0) + В (fe) exp [i(kx + co/)]} dkt (11)

где частота (о — известная из дисперсионного соотношения для данной среды функция W(k), а амплитуды Л и В можно определить из начальных условий

6 (х, 0) = f (х) и 也(х, 0) = g (х).

Обозначим фурье-сопряженные начальному распределению функции через f (月)и g (月)соответственно, где

f (月)н f(x)exp(—ikx)dx(12)

[аналогичное выражение определяет g (月)]• Тогда начальные условия можно записать с помощью обратных преобразований Фурье:

3(元，0)=击，f (左)exp(ifcr)d电(13a)

%(居 0)== J，g (k) exp (ikx) dk.(136)

Полагая в (11) / = 0 и сравнивая результат с (13а), получаем А -\- В = f/2n. Аналогично, дифференцируя (11) по времени, полагая / = 0 и используя (136), находим, что В——Л = ^/2л/(о. Следовательно,

4лД = f——£ н 4n;B = f + &・

что после подстановки в (11) завершает формальное решение задачи.

При дальнейшем обсуждении решения начальное значение Bt принимается равным нулю, так что g = 0, и ^ имеет вид

^(х, ») = 士 \ f (^) {exp[t (fex —血)]+ exp [i (kx + co/)]} dk, (14)

Если 6 удовлетворяет волновому уравнению, то со = he、а интеграл (14) представляет собой сумму двух обратных преобразований Фурье от『/2 с аргументами х — ct и х -]- ct соответственно. Следовательно,

6(», t) =-^[f(X — Ct) + f(X + Ct)],

что совпадает с известным решением (2) волнового уравнения, удовлетворяющим данным начальным условиям.

Если среда обладает дисперсией, то(о является нелинейной функцией 月；при этом интеграл, приведенный выше, как правило, не может быть точно вычислен. Однако для больших значений времени можно получить асимптотическое приближение для *, используя метод стационарной фазы. Этот метод был развит Кельвином в 1887 г. как раз для интеграла вида (14); он позволяет детально описать структуру «полностью расплывшейся» волны.

Основная идея Кельвина заключается в том, что главный вклад в интеграл дают малые интервалы вблизи таких значений 电 для которых фазы экспонент постоянны. Когда / велико, действительные и мнимые части экспонент являются быстро скциллирующими функциями k везде, за исключением тех значений А, для которых фаза постоянна или почти постоянна, что и происходит вблизи стационарных точек. Действительно, в большей части области интегрирования, где гребни и впадины расположены близко друг к другу, положительный и отрицательный вклады в интеграл почти полностью взаимно компенсируются. С другой стороны, в областях, где фаза стационарна, колебания происходят гораздо медленнее и поэтому полный эффект гораздо более существен. С другой точки зрения, интеграл Фурье представляет собой суперпозицию бесконечного числа гармонических волн, составляющих в начальный момент времени функцию f (х). Через короткий промежуток времени эти волны изменяют свое положение относительно друг друга, так как каждая распространяется с собственной скоростью. Из физических соображений можно ожидать, что вначале большинство составляющих сохраняет еще взаимный сдвиг фаз настолько, чтобы воспроизвести движущийся волновой пакет, похожий на f(х), но по прошествии длительного времени фазы в большинстве точек х становятся почти совершенно несвязанными. По существу, имеется одинаковое число волн, находящихся в фазе и противофазе друг с другом, так что их сумма близка к нулю. Повторим, однако, что существуют тем не менее исключения — при некоторых х преобладают волны с близкими фазами, и они, складываясь, производят довольно существенное возмущение. ЗтО и происходит в тех местах, где фазы экспонент стационарны.

Предыдущие эвристические аргументы могут быть подтверждены математически, поскольку было строго показано, что метод стационарной фазы дает главный член асимптотического разложения интегралов Фурье для больших / (см., например, [2]). Далее мы кратко изложим способ получения главного члена в разложении обобщенного интеграла Фурье

/ (0 = V (Л) exp [i/T (fe)] dk (15)

для больших положительных значений t. Предположим, что амплитудная функция V конечна и дифференцируема на всем интервале интегрирования.

Вначале рассмотрим случай, когда точки стационарной фазы отсутствуют, т. е. dW/dk 耍 0 для —а V 月 V Ь・ Интегрируя уравнение (15) по частям, получаем

/⑴=^ [ 一 и ® exp (〃W) ta + ! и，(同 exp (〃Ч0 如],

где штрихи обозначают d/dk, a U = V/4r. Абсолютное значение выражения в квадратных скобках конечно, следовательно, |/(Z) I есть величина порядка 1//. Этот результат известен как лемма Римана. Он остается в силе, когда а и & становятся бесконечно большими, как это имеет место в (14), если предположить, что 4r не обращается в нуль ни при каких конечных значениях 幺 а также при 々->±8. Это означает, что W(k) является монотонно нарастающей или монотонно убывающей функцией, которая стремится соответственно к 土 8 или к 干8, когда k -> ±оо. Однако в такой ситуации |/| становится много меньше, чем 1"; это можно показать с помощью замены переменной интегрирования в (15) на %, где % =屮(左)• Тогда получим

/(/)=，и(А)ехр("%)丸

где функция U(Z) = U(^(2.)) конечна для действительных 入, причем |U|->0, когда |Z|-> оо (чтобы интеграл сходился). Согласно лемме Жордана и формуле Коши, функция /(/) может быть найдена как сумма вычетов, взятых в полюсах функции U、 лежащих в верхней полуплоскости комплексной Z-плоскости, плюс сумма интегралов вдоль линий разреза, которые идут от точек ветвления U в верхней полуплоскости. Далее, при f А 1 основной вклад дает сингулярность, ближайшая к действительной оси интегрирования; обозначим эту точку %=Хо = а + фс р > 0. Если эта сингулярность представляет собой простой полюс, то / определяется выражением

/⑴〜2л, ехр [(Са — Р) /] lim [(尢一Ао) U (A)J. (16a) 入->%0

Если 九о ——точка ветвления с U (九)=(九一儿)一6启(九)，где функция R аналитична в точке Хо и 0 < б < 1, то интеграл по берегам разреза сводится к

/⑴〜2球&)希 exp[(fa _ в)Г +%. (166)

Таким образом, в любом случае |/(/) | порядка e-阳. Более детальное обсуждение этих вопросов можно найти в книге Карриера, Крука и Пирсона [3].

Рассмотрим теперь интеграл (15) для случая, когда 4r(月)=0 при некотором k ж 麻 где —а V 月о V Ь. Разобьем интервал интегрирования на три участка следующим образом: от —а до ^0— с; от 々о— G до feo + € и от 月о + е до Ь, где постоянная G выбирается малой по сравнению с b 斗 а, но достаточно большой для тоi^o, чтобы с2/ была 0(/). Тогда из леммы Эдмана следует» что вклад в интеграл от первого и третьего участков интегрирования есть 0(1"), т. е.

/(/)^7(0 + О (у)， где

〃/)=，V exp (Z/V) dk. (17) 払一£

Интеграл /(f) можно вычислить для больших /, разлагая V и Т вблизи 自).Тогда получим следующее асимптотическое приближение:

〃/)〜У()e"w。] exp(£ ^ 屮也?) d%

где разность 々一自 заменена на х,卩0 =丿 伍)屮，)==屮⑺(％) и мы полагаем 屮/，0. Напомним, что М = 0. Далее, обозначая /1 Vq7 I х2 = 2р и заменяя wf% на 8 в пределах интегрирования по р, получаем

так кактак как/⑴ ~ (т#тУ 九ехр р (^ ± И)，(18)

так как

так как

,ехр (士 ф2) dp «= л% ехр (士 #■) • *

Знаки《土》относятся к Wq >9иЧ^<0 соответственно.

Выражение (18) и определяет вклад, связанный со стационарной фазой. Заметим, что эта величина имеет порядок /% и, значит, является главным членом в асимптотическом разложении /(/) для больших /. Можно строго показать, что ошибки, появляющиеся при выводе формулы (18) из (17) путем замены V на %, а屮на屮队？ и замены пределов интегрирования по р на ±8, оказываются порядка 1/L

3 Зак. 547

На основании предшествующего анализа ясно, что если 4f' = 0 в нескольких точках интервала интегрирования, то вклад от каждой из точек стационарной фазы имеет вид (18). Далее, если точка стационарной фазы совпадает с одним из пределов интегрирования, то соответствующий вклад равен половине выражения (18). Наконец, когда в точке 々о величина 屮〃 также равна нулю, то приведенный выше анализ неприменим и выражением (18) пользоваться нельзя. Детали получения асимптотического решения в этом случае будут вкратце приведены ниже применительно к волновому решению (14).

Применим сначала полученные выше результаты к примеру из разд. 2, в котором рассматривалась суперпозиция бесконечного числа гармонических волн со средним значением1 волнового числа 后[(см. (9)]. Для небольших значений времени, когда величина (A^)2f мала, в результате получается набор волновых пакетов (10). Однако для того, чтобы определить $ при больших f, необходимо использовать метод стационарной фазы. Стационарным точкам соответствуют значения 电 удовлетворяющие уравнению

忆他)g(), или, что то же само%

С 伊) = + •

Итак, мы показали, что главный волновой пакет расположен вблизи точки 片==Ct, где 已=С伐)(фиг. IL 1). Действительно, отсюда для 尤〃 = С имеем h = R, что попадает в область интегрирования (9). Поэтому асимптотическое значение интеграла (9) имеет вид

中〜强(71?7)"eXр卩(以一配士子)], (19)

где использовано соотношение 4r” = —Wu =。，так что знаки 《土》относятся к 呼〃 < 0 и W/r > 0 соответственно.

Интересно сравнить результат, полученный выше для больших f, с выражением (10), полученным ранее для умеренных значений 厶 Волна с волновым числом 后 и частотой W7 все еще является доминирующим возмущением, однако ее амплитуда теперь убывает пропорционально а фаза сдвигается на 土冗/4. Более того, если взять 尤= 2/土 Ах вместо % = С/, то при Ax V Cf\kt точки стационарной фазы будут еще находиться внутри интервала интегрирования (между 后——Ak н 后 + А左),причем ясно, что с ростом t соответствующая величина Дх становится большой. Другими словами, по прошествии значительного времени точка стационарной фазы существует для любого фик*

Сированного значения Дх, так как уравнение С == (х ± Дх)Л будет иметь корень 財 близкий к 良 Таким образом, в конце концов волновые пакеты (10) полностью исчезнут, а на их месте будет наблюдаться волна (19) с почти постоянным волновым числом 后 н постоянной частотой 呼(后).Тем не менее для любого фиксированного f, сколь угодно большого, выражение (19) все еще описывает конечную группу колебаний, расположенную от х = =已f —(1/2) 6,А应 до % в 已/ +(1/2)已'А用厶 Для значений 尤，лежащих вне этого интервала, выражение (9) не имеет точек стационарной фазы, поэтому в них 力 порядка i/f.

Аналогично можно интерпретировать поведение при больших t общего решения (14) для волны с произвольным начальным возмущением , = ,(%), имеющим фурье-образ『(々). Вначале отметим, что поскольку функция 6(%, 0) действительна, то Н8 (13а) следует, что 7(A) = r{—k). Более того, в отсутствие диссипации(о ——действительная функция R; тогда, замечая, что ,(%,/) действительна, и рассматривая выражение, комплексно сопряженное (14), мн видим, что 步 должна быть либо четной, либо нечетной функцией А. Отсюда следует, что уравнение (14) можно переписать в виде

* —張 Re，f (Л) {exp [Z (kx — ©01 + exp \i(kx + co/)]} dk, (20) 0

開@『一четная функция, a Re означает действительную часть.

В выражении (20) примем 尤 > 0, обозначим m « x/f и предположим, что

Wf(k)=^C(k) — tn

при 々 = ko(zn)>O. Допустим также, что С положительна для положительных k (случай отрицательной групповой скорости обсуждается ниже). Тогда для первой экспоненты точка стационарной фазы расположена при 月о, в то время как для второй экспоненты такая точка вообще отсутствует. Таким образом, в любом случае метод стационарной фазы приводит к выражению 3 X ‘)~ 々Ji 寄产。S (М -价‘ ± 7),⑵)

где, как и ранее, знаки《土》относятся к С；五 0 соответственно.

Формула (21) выражает замечательный результат. Он заключается в том, что волна любой начальной формы в конечном счете превращается в квазигармоническую волну, у которой волновое число Ro и частота(оо =呼(Rq) зависят от отношения 尤〃. Амплитуда этой волны также зависит от x/t и затухает пропорционально 卜％. Однако вблизи данного значения 尤 и при фикси-

рованном значении времени Z величины 々°, (о0 и амплитудный множитель %/|С屮можно считать постоянными. В этом можно убедиться, дифференцируя любую из этих функций по х, например “

岩 t备П。(；)■, (22)

Следовательно, эти величины не изменяются существенно на расстояниях, малых по сравнению с Со/.

Вообще говоря, решение (21), полученное с помощью метода стационарной фазы, не описывает четко очерченных волновых пакетов, которые обсуждались в разд. 2. Тем не менее ..для удобства интерпретации решения (21) можно произвольно определить группу волн как число гребней, расположенных на интервале от х до х + Дх. Длина интервала Дх должна быть достаточно большой, чтобы включать по крайней мере несколько максимумов, но она должна быть мала по сравнению с х. Тогда на основании (22) можно утверждать, что такая группа состоит, по существу, из однородных гармонических волн. Как и прежде, группа движется с групповой скоростью Со, а гребни ——со скоростью со"月о. Через время Af амплитуда группы уменьшается на множитель (1+Af/f)-%. Если бы наблюдатель попытался проследовать за определенным гребнем с его фазовой скоростью, то он вскоре покинул бы данную группу и обнаружил бы, что следит за волнами с другими волновым числом, частотой и амплитудой. С другой стороны, если бы он перемещался со скоростью Со, то продолжал бы наблюдать волну (21)； значит, фиксированные значения частоты и волнового числа будут распространяться с груповой скоростью Со. В гл. V, разд. 2, показано, что энергия, связанная с волной (21), также распространяется с групповой скоростью.

иПервоначально профиль волны f(x) представляет собой линейную комбинацию гармонических волн со всеми волновыми числами. Волна с волновым числом 月°, имеющая амплитуду F(M /2л, при / = 0 ничуть не важнее других волн, особенно если функция f постоянна или близка к постоянной. Однако спустя большой промежуток времени / эта волна оказывается доминирующим возмущением в точке х = Со/. Согласно (21), ее амплитуда изменяется, а фаза сдвигается. Но главное заключается в том, что Со ——точное значение групповой скорости волны с волновым числом 月о. Значит, эта волна, рассматриваемая как бесконечно длинная группа колебаний, двигаясь с групповой скоростью, начиная с момента f == 0, всегда будет находиться в точке х = Cof Отсюда также следует, что н@ существует гармонического возмущения, которое могло бы двигаться быстрее, чем с максимальным значением групповой скорости, допускаемым

данным дисперсионным соотношением. Сигнал впереди точки ，х= Смаке，либо тождественно равен нулю, либо экспоненциально мал.

Специального обсуждения требуют точки с максимальной или минимальной групповой скоростью (каустика); в этих точках %= — С〔 = 0,н, как уже упоминалось ранее, в такой ситуации решение (21), получаемое с помощью метода стационарной фазы, становится некорректным. Допустим, что С имеет максимум См в точке k = few. Значит, по крайней мере вблизи kM нет точек стационарной фазы, в которых /н(=尤〃)> См- Разложим опять фазовую функцию Ф = km — W(k) около точки 月妝，чтобы оценить асимптотическое поведение интеграла (20), но теперь мы должны учесть кубический член. Кроме того, чтобы определить характер решения при х, близких к CMt9 а также при х = = CMt, положим т = См + б, так что

б=(х-адд,(23)

а величина |6| мала. Тогда получим

W = mku — ам +6(fe—feM) —уС^ (/г —/гм)3 + О[(/г — %>].

Здесь учтено, что 1Гм = См и Wm = См = 0.

Проведя дальнейший анализ так же, как и выше, мы придем к следующему результату:

е ~ ^^ c°s(%* — ЗмО \ cos 卜(6% - ^ *叫]d%где разность k ——kM заменена на х. Далее сделаем подстановку

и положим ef% -> оо в пределах интегрирования по р. Тогда получим*

6 ~~^7 f (々м) Ai(o"%) cos (б” — 3凉)，(24)

где Ai (г)—функция Эйри, которая определяется интегральным представлением

Ai(z) =击,cos (zp + 犷)dp.

Напомним, что мы полагали См < 0. Если же исследуется точка, где С минимальна, то См > 0 и аргумент функции Эйри (24)

становится отрицательным. В остальном результат остается тот же.

Функция Эйри хорошо известна в прикладной математике (см., например, [4]) 1). Для положительного аргумента она ведет себя как экспоненциально убывающая функция, а при отрицательных значениях аргумента осциллирует. Эти свойства выражаются следующими асимптотическими формулами:

А'⑵ ~ 2 (л%)" с'。(— “(25а)

A"-К〜誌…i)，(256)

где 匕= 2/т% a z->оо. В начале координат

Ai =0,355;

丄I /3丿

таким образом, в окрестности точки х = CMt возмущения имеют порядок L%, что превышает вклад обычных точек стационарной фазы. Такие возмущения иногда называют «волнами Эйри».

Для значений х > СМ (6 > 0) из (25а) следует, что возмущения должны быть экспоненциально малы; это согласуется с предыдущим результатом для случая, когда в выражении (20) отсутствуют точки стационарной фазы. С другой стороны, для х <С Cyit функция Эйри в (24) имеет вид косинуса (256) и описывает волну, движущуюся со скоростью См и с волновым quo иом, пропорциональным L%. В этом можно убедиться, если подставить величину 6, определяемую выражением (23), в формулу (24). Другими словами, функция Эйри описывает медленно осциллирующую амплитудную модуляцию волны' (24), которая движется со скоростью См- Это аналогично случаю, когда две волны, складываясь, формируют стоксовы волновые пакеты (8), что фактически и происходит, так как в окрестности k ^= kM имеются две близкие точки стационарной фазы, соответствующие значениям т, меньшим, чем максимальная групповая скорость См, а значит, существуют две волны вида (21) с волновыми числами, мало отличающимися от 々w, которые должны налагаться друг на друга.

Фактические волны Эйри можно строго связать с асимптотическим решением для возмущений непосредственно впереди или сзади них. Эта связь будет проиллюстрирована на специальном примере в п. Зв. Однако сначала мы обсудим метод преобразования Лапласа, позволяющий анализировать переходные, волновые процессы в средах с дисперсией.

*) См. также [10]. — Прим. ред.

Преобразование Лапласаи метод наискорейшего спуска

Преобразование Лапласа для функции (оригинала) P(f), заданной в точке х = 0 среды с диотерсней, определяется выражением

戸⑻ g，р (/) exp (— sf)必，о

где s — комплексное число с положительной действительной частью, a P(s) может рассматриваться как аналитическое продолжение интеграла на всю плоскость s. Предполагается, что P(f)= 0 для f 之 0 н что начальные возмущения в среде отсутствуют. Тогда в любой последующий момент времени волны в точке х > 0 могут быть представлены с помощью обратного преобразования Лапласа 一

扒*，f)==嘉，户(s)exp[3 — Y®冃ds=a

0 嘉 '戶⑺ °xp [xh ®] ds,(26)

где L ——вертикальная линия, лежащая справа от всех особенностей Р и у, причем интегрирование распространяется от —loo до loo. Функция y(s) может быть определена из дисперсионного соотношения для данной среды: а> ^ W(k). Полагая ® = is и разрешая дисперсионное соотношение относительно А ™ &(i$), определим у в виде

Y ⑻一士 ik (й),

где знак выбирается так, чтобы действительная часть была положительной, если s —— действительное положительное вдело» Функция h(s) определяется выражением

无⑻一亲一yG). .

Например, в случае I, рассмотренном в разд. L

М«—(胪 + 1)% и тогда у ® — (s2^ Q，、

а в елучае II

*吊冲otкУДа Y⑻Н吊m

Аналогичные результаты можно получить, применяя преобразование Лапласа непосредственно к исходному уравнению, описы-

вающему волновое движение, и решая получаемое в результате обыкновенное дифференциальное уравнение для R удовлетворяющее в точке х = 0 граничному условию ф = P(s).

Так же как и в случае интеграла Фурье (14), интегрирование выражения (26) обычно не может быть выполнено точно; но для больших значений хи/ можно получить асимптотическое приближение. Однако в денном случае интегрирование ведется вдоль кривой на комплексной плоскости, и экспонента имеет комплексный аргумент; следовательно, метод стационарной фазы неприменим. Вместо этого мы будем использовать более общую процедуру, известную под названием метода наискорейшего спуска, или метода седловой точки. ‘

В этом методе мы все еще интересуемся, хотя и по другой причине, точками, в которых аргумент экспоненты имеет равную нулю производную. Прежде всего попытаемся найти другой контур интегрирования L\ удовлетворяющий следующим условиям: 1) U проходит через точку s0, где производная h(s) равна нулю, т. е. y'(s) = 1/俏；

вдоль всей кривой £/ мнимая часть h(s) постоянна и равна мнимой части h(s0) = Ло；

на кривой £/ действительная часть h(s) достигает абсолютного максимума в точке s& и, наконец,

интеграл по L' эквивалентен интегралу по L или отличается от него лишь вкладом от конечного числа вычетов.

Далее будем считать, что h(s)——аналитическая функция s, равная 以 + iu. Из условий Коши ——Римана известно, что если и достигает максимума в точке So, то /J(so) должна равняться нулю. Однако в действительности существуют два контура с постоянными и, проходящие через So- Они взаимно ортогональны в точке So, а 〃加= u(s0)] оказывается максимальной на одном из них и минимальной на другом. Таким образом, s0 — седловая точка для и. Докажем эти результаты, определяя уравнения касательных к проходящим через So кривым, на которых и = и0-

Введем обозначение s — So = р exp(z0); вблизи р = 0 можно написать

Л (s) — Л (s0)«\ Лор2ехр (2/0);(27)

тогда, полагая 场/ =——Y? = | А/1 е® и и = и。, получаем уравнение

sin (20 + 卩)=0,

которое имеет два различных решения в s-плоскости:

B = t)i= —^ и 8 — 02 = —^+款

Зто и есть углы наклона касательных. Действительная часть выражения (27), определенная вдоль этих линий, имеет вид

以-Uo = ± -^-1 ло I р2

(знаки 《士》относятся к 0i(2 соответственно). Поэтому вдоль линии с 0 = 02 значение Uo является максимумом, а вдоль линии с 0 = 01 ——минимумом действительной части h(s).

Определив кривую I/, можно теперь показать, что главный вклад в интеграл (26) вдоль £/ дают точки, близкие к s0; другими словами, интегрирование в (26) можно заменить интегрированием вдоль касательной к Lz в точке s0 от s。——(до s0 + g. Это оказывается возможным потому, что действительная часть h убывает вдоль £/ по экспоненциальному закону в любом направлении от So, Далее, так как мнимая часть h постоянна, то не происходит взаимного уничтожения, связанного с быстрыми осцилляциями подынтегрального выражения. Следовательно, вклад от интегрирования по оставшейся части траектории экспоненциально мал по сравнению с вкладом от интегрирования в окрестности s0-

Строгое математическое доказательство справедливости этого метода приведено в [2], где применяются термины 《метод седловой точки» в случае, когда используется касательная в точке So, и 《метод наискорейшего спуска》，когда используется вся кривая /Л Мы займемся здесь вычислением главного члена в асимптотическом разложении волны (26) для больших х и t Поступим так же, как и при использовании метода стационарной фазы. Вначале разложим функции P(s) и h(s) вблизи So, оставляя в первой члены порядка единицы, а во второй ——порядка (S ——So) 2. Тогда

6〜考萨"ехр (叫),ехр [^-Ло(« —s0)2] ds;

как указывалось выше, интегрирование выполняется здесь вдоль касательной с 0 = 02, а, значит с ——комплексное число, равное I cjexp [z(n——ц)/2], где | б|—малая величина. Далее заменим переменную интегрирования s на действительную переменную 九 по формуле

九=(专两 I)" (s - s。) exp 口 m -掰2].

Так как х велико, то пределы интегрирования по X положим равными 士 оо. Тогда 3 примет вид

輯居 ° ~ &：葡"・ ехр 卜"-Y (%) х-^].(28)

где использованы формулы

，ехр (——АЛ) d九=it%,

xh (s) ==« sf — 丫 (s) x.

Этим завершается вывод разложения вблизи седловой точки. Можно получить и весь асимптотический ряд по обратным степеням х, если удержать все члены в разложении Р н h около s0. Детали такого разложения иллюстрируются в книге [2] на нескольких примерах.

В следующих двух разделах мы покажем, как используется этот метод при анализе конкретных задач о дисперсионном волновом движении. Если величина т такова, что существуют действительные точки стационарной фазы, удовлетворяющие соотношению m = C(fe), то решение (28) становится эквивалентным результату (21), полученному методом стационарной фазы. С другой стороны, и это ——главное преимущество метода седловой точки, в случаях, когда в уравнении C(k)= т нет действительных корней, выражение (28) непосредственно дает экспоненциально убывающий сигнал, о котором уже упоминалось ранее. Это выражение нелегко было бы получить в явном виде из интеграла Фурье (20).

Зв. Дисперсия дельта-импулъса 8 упругом стержне

Уравнение движения, описывающее распространение продольной волны в тонком упругом стержне с учетом эффектов поперечной инерции, было приведено в разд. 1 в качестве примера II. Дисперсионное соотношение и групповая скорость, соответствующие этому уравнению, определяются как

/ ==—, С =丁.(29)

(1+讶)%(l + 讶产J '

Отсюда видно, что при 々=0 групповая скорость достигает своего максимального значения, См = 1. Значит, при m = х//> 1 следует ожидать экспоненциально малого сигнала, а в окрестности /п «■ 1 должны существовать волны Эйри с амплитудой порядка L%. Следом за ними будут распространяться гармонические волны вида (21) с амплитудой, пропорциональной L%.

Получим соответствующее решение для случая бесконечного стержня (——оо V 尤 V 8)с начальным возмущением

6(爲 0) = б(х), %(居 0) = 0,где 6(х)——дельта-функция Дирака. Полученные результаты бу-дут справедливы и для гравитационных волн на поверхности

мелкой воды, рассматриваемых в рамках приближения Буссинеска.

Из соображений симметрии ясно, что достаточно рассмотреть только правую половину стержня 尤 > 0. Полагая С = т, чтобы определить волновые числа для доминирующего в точке х 'возмущения, получаем из (29)

月=瓦=(团~"_D"， так что

(0^(1 _m!T и cZ = -3/n%(l-/n% 产.

Как и следовало ожидать, величина 々о действительна только для m V L Тогда подстановка приведенных выше соотношений в выражение (21) (с / = 1) для m V 1 приводит к формуле "盡就三可cos (v 2+力

=期厶:；可С叩"一科%一丹(30)

Когда tn ->См = 1, это выражение становится несправедливым н вместо него нужно использовать решение в виде волны Эйри (24). Однако поскольку в данной задаче это происходит в точке 走=0, которая является пределом интегрирования в формуле (20), то необходимо взять половину решения (24). Таким образом, ДЛЯ /П = 1 + 6 получим

6 以 (备)Ai ［(岑■卢］(81)

(так как при m = 1 имеем С/ = — 3, а &о =» о。：《 0).

Чтобы завершить решение, необходимо знать асимптотическое поведение волны при /п > 1. Проще всего это сделать с помощью преобразования Лапласа и метода наискорейшего спуска.

Применяя преобразование Лапласа к выражению (20), получаем

中(居sfRe沁)需果办，О

или, для нашей задачи,

,(*, s) T Re j 麻(1心；+/ exp (优*) dk =

О

=融+更-%exp［_(］；］渺］нрн *А0

Im ($)

8 - плоскость8 - плоскостьRe (s)Re (s)

8 - плоскость

8 - плоскость

Re (s)

Re (s)

0〃з. //. 2. Контур ннтегрнровання, соответствующий преобразованию Лапласа для случая распространения импульса в упругом стержне

Значит, эквивалентное представление решения дается обратным преобразованием Лапласа

以居。=*J(1 + 的т'eхр [sf -石瓷帝]曲.

Чтобы сделать функцию (I + 磔)％ однозначной, производится разрез в s-нлоскости между точками ветвления 土乙 как показано на фиг. IL 2. Далее найдем, что в точках

S = 士 §0 = 土(/П用—1)" расположены седла, которые лежат на действительной оси при /и> 1. Траектория £/ наискорейшего спуска, проходящая через So, показана на фиг. II. 2. Касательная к £/ в точке So вертикальна, и интеграл по U эквивалентен интегралу по L. Следовательно, к интегрированию по L^ можно применить метод седловой точки. Тогда из формулы (28) получим * 2(6e為：一产 exp f-(^]«

』而后可 ехр~(М—)%](32)

для т > 1.

фиг. ZZ. 3. Расплывание волны в соответствии с выражениями (30)~(32) для f= 10е, начиная с m — 0,71475.

Решения для /п V 1 (30) и /и > 1 (32) могут быть связаны с волнами Эйри (31) вблизи /п = 1. Полагая в формулах (32) и (30) соответственно т = 1 ± 161 и разлагая получающиеся выражения вблизи 6 = 0, получаем для главных членов

Bf 2"(3|6|)i(M)f cos[(Jh6|)"/-；] (б < 0), (33а)

^^2-，/,(36Г，/,(лО-，/2ехр[- (|б)7г t\ (б > 0). (336)

Эти выражения в точности совпадают с асим птотическими разложениями функции (31) для случаев f%・6-►土 8 соответственно. Это может быть показано с помощью выражения (25).

На фиг. II. 3 графически представлен результат численного расчета для «полностью диспергированной» волны, определяемой выражениями (30)——(32) при / = 106 для значений т, меняющихся от 0,71475 до 1,00038. Вспомним, ^тб элементарная теория волн в стержне опирается на волновое уравнение (1), которое определяет волну неизменной формы с 3 = 1/26(尤——f), движущуюся в положительном направлении вдоль оси 尤 с единичной скоростью. Здесь с учетом дисперсии результат существенно иной. Для всех 尤 V 彳 существует синусоидальная волна конечной амплитуды, уменьшающейся по мере распространения на большое расстояние. Максимальное возмущение находится вблизи х = / и распространяется с единичной скоростью. Перед ним распространяется экспоненциально затухающий предвестник.

Зг. Генерация гармонических волн в струне с дисперсией

Другой пример нестационарного волнового движения в среде с дисперсией будет здесь представлен линейным уравнением Клейна ——Гордона (3) [см. случай 1 в разд. 1], которое описы- вает распространение волн в упруго закрепленной струне. Рассмотрим полубесконечную струну (х > 0), которая вначале находится в покое, а затем подвергается непрекращающемуся синусоидальному воздействию при 尤=0:

屮(0, f) = ехр (，Qf) при 0《九

Применим к уравнению (3) преобразование Лапласа с учетом приведенного выше граничного условия. Тогда для @ нетрудно получить решение в виде

*(X，')= i■卜хр [st - s + 1)% х] ^^, (84)

где однозначность подынтегрального выражения достигается е помощью разреза от ——i до +i в левой половине s-плоскости. Полюс при /й может быть расположен как выше (фиг. II. 4k так и ниже точки s = i; для определенности будем считать d положительной.

•нз・ //・4・ Контур интегрирования для преобразования Лаплаеа в елуча< гармонических волн в струне с дисперсией.

Прежде чем произвести обратное преобразование Лапласа по формуле (34), исследуем дисперсионное соотношение и групповую скорость, соответствующие уравнению движения (3). Мы уже нашли для них следующие выражения:

呼=(1 +部产 н C = U^，(35)

или, через з, С =(炉一l)%/s. Отсюда видно, что групповая скорость становится мнимой для частот, меньших частоты отсечки со = 1, и это, как будет показано в дальнейшем, оказывает существенное влияние на решение. Далее отметим, что максимальное значение групповой скорости См равно 1. В предыдущей задаче решение было экспоненциально мало для х > См* в то время как здесь мы покажем, что х = CMt определяет резкий фронт волны, перед которым возмущение отсутствует вообще. Положим в (34) % > f и замкнем путь интегрирования L полуокружностью радиуса R->8 в правой полуплоскости, как показано на фиг. II. 4. На этой полуокружности (s2 + 1)%-> s, и внутри за- мкнутогсг контура подынтегральное выражение не имеет особенностей. Поэтому можно применить лемму Жордана, из которой следует, что 小=0 при х> t. Тот же результат можно было бы получить и непосредственно из выражения (2) с помощью метода характеристик (обсуждаемого в гл. III).

Чтобы определить возмущение непосредственно за фронтом волны, обозначим t — х = т и возьмем т-> 0+. Тогда член, дающий главный вклад в интеграл (34), можно найти путем разложения подынтегрального выражения для больших з и последовательного интегрирования каждого члена. Удерживая члены вплоть до порядка 5~2 включительно, получаем интеграл

輯…)〜言■、(？ +勺)exP (st-热)等， 雜

который может быть вычислен точно. Вначале рассмотрим следующий интеграл:•

中(％ Тx击)咖如_/)学

и введем новую переменную р по формуле зт — #/2s = (2工尤)％". Тогда

S d (*)% [р + (Р? + 1)%]'

銀® для # эыбран тот корень, который лри |s|f 8 равен р. > качестве контура интегрирования в р-плоскости снова можнЬ

взять вертикальную линию L, лежащую справа от мнимой оси. Тогда

屮=lb"，(户 + l)f exp [(2тх)% p] dp 匸 /()[(2тх)%],

поскольку (1 + s2)f% отвечает преобразованию Лапласа от функции Бесселя Jo(O. Теперь 小 можно найти из (36) с помощью теоремы свертки:

т

6 〜屮 + iQ ,屮(х, т') di = Чг + »Q (^ ) % 厶[(2тх)%].(37)

о

Это выражение справедливо для всех х ^ 0 при т -> 0+. Если величина t% мала, то функции Бесселя могут быть аппроксимированы главными членами их разложений в степенные ряды. Это дает 6^ 1 + ZQt, что совпадает с главными членами в разложении оригинала при х = 0. Иначе говоря, при фиксированном х вблизи фронта волна сохраняет форму входного сигнала. Однако спустя много времени, когда волновой фронт (х = /) пройдет столь большое расстояние, что tx》1, возмущение за фронтом будет расплываться, формируя обычные гармонические колебания.

Решение на произвольных расстояниях позади фронта волны для больших х и t может быть определено методом наискорейшего спуска. Полагая в формуле (34) m = х/^ < 1 и

矶 S)= * —(S?+1)%,(38)

мы находим, что седловые точки расположены при

士 凤=土曰帝.(39)

Две линии наискорейшего спуска, проходящие через эти седловые точки (они обе дают вклад одного порядка), изображены на фиг. II. 4. Верхняя линия пересекает мнимую ось S-плоскости в точках So(> 1) и l/so(V 1), причем наклон касательной в точке So равен Зл/4. Нижняя линия представляет собой зеркальное отражение верхней. Заметим, что в случае, когда l/s0 <Z й С s0, исходная линия L и две линии L士 вместе взятые не охватывают полюс при (Q, но если s0 V Q, то необходимо учитывать вклад от вычета в этом полюсе. Аналогично, когда Й V 1/so, вклад от вычета также существует, но он экспоненциально мал. Таким образом, с учетом выражения (28) мнимая часть интеграла (34)

имеет вид

«〜// (Q — Sq) sin [Qf — (Q2 — 1)" %] +

+ H (s厂一□) sin QZ exp [— (1 — 0)" %]—

Q （行）1 一 Q2 （1 一 疗）CosQ （行）1 一 Q2 （1 一 疗）Cos(5/ -岛% + 勺,(40)(5/ -岛% + 勺,(40)

Q （行）1 一 Q2 （1 一 疗）Cos

Q （行）1 一 Q2 （1 一 疗）Cos

(5/ -岛% + 勺,(40)

(5/ -岛% + 勺,(40)

этим решением, так какэтим решением, так какгде 〃(у) равна единице или нулю для у > 0 н у V 0 соответ-

этим решением, так как

этим решением, так как

ственно. Случай Q = So не описывается полюс и седло в точке is0 совпадают, обращая в бесконечность

последний член в формуле (40). В (40) введены обозначения ^0 — т/(1 — /и?)% и(о0 = 1/(1 — п?)%, где, как и выше, fe0 является положительным корнем уравнения С(左) = /и, а со。= =W(ko). Групповая скорость для данного случая определена выражением (35).

времяЧтобыи вос-времяЧтобыи вос-Первый член в приведенном выше асимптотическом решении представляет собой просто гармоническую волну с частотой Q и волновым числом 左(◎), определяемым соотношением (35). Так как ее амплитуда равна единице, когда й > So, то она превосходит все другие члены и вследствие этого может быть названа

времяЧтобыи вос-

времяЧтобыи вос-

«стационарным сигналом» или просто 《сигналом», в то как другие члены описывают нестационарный отклик, определить скорость фронта сигнала, положим Q = s。 пользуемся соотношением (39). Тогда получим

х (5 - 1)%

т = 7=―q—，

скоро-скоро-что в точности совпадает с выражением для групповой

скоро-

скоро-

сти С, которая соответствует, скажем, входной частоте и меньше, чем максимальное значение групповой скорости См = 1- Следовательно, сигнал также распространяется со своей групповой скоростью, несмотря на то, что гребни его перемещаются вперед с фазовой скоростью Q/(Q2——1)1/2, которая превышает С.

Второй член в (40) отличен от нуля только при ◎ V 1； в этом случае сигнал «выключается», так как s0 > 1. Это нерас- пространяющаяся волна, экспоненциально затухающая с расстоянием от начала координат и простирающаяся от х = 0 до х = (1 —02)%/ (последнее значение х определяется из условия Q = 1/so). Таким образом, в случаях Q > 1 или Q V 1 соответственно первый или второй член в выражении (40) будет правильно воспроизводить в точке % = 0 входной сигнал, т. е. sin R/. Это получается вследствие предположения о наличии при х = 0 непрерывно действующего источника. Вместе с тем различие в характере отклика для случаев Q > 1 и Q < 1 чрезвычайно велико.

Последний член в (40) представляет уже знакомые нам расплывающиеся группы волн с амплитудой порядка L%. Для больших х и / в случае Q V 1 они оказываются доминирующими возмущениями; когда же Q > 1, они уступают по амплитуде сигналу и будут наблюдаться только как нестационарный предвестник, занимающий постоянно удлиняющийся интервал (1 — C)t. Вблизи х = t этот предвестник может быть обычным образом связан с мнимой частью более точного «фронтального» решения (37).

Чтобы завершить асимптотическое решение для 尤》1, рассмотрим случай Q-> Зо. Это позволит определить поведение искомой функции на фронте стационарной волны. [Детали этого анализа чрезвычайно громоздки и будут опущены. Они включают более точное разложение подынтегрального выражения в формуле (34) вблизи седла, так как оно, по существу, совпадает с полюсом при »◎.] Конечный результат содержит как《сигналь- нм询》член, так и член, пропорциональный интегралу Френеля. На фронте сигнала (й = зо) сумма этих членов имеет вид

6 (х, /)〜3 sin [Q/ — (Q? — 1)厶 х].

Амплитуда этой группы колебаний равна в точности половине полной амплитуды стационарного сигнала.

Зд. Отрицательная групповая скорость

В заключение этого раздела сделаем несколько замечаний относительно случая отрицательной групповой скорости, когда dW/dk отрицательна для положительных значений k. В такой ситуации в первой экспоненте формулы (20) не может быть точек стационарной фазы, в то время как во второй экспоненте должна быть по крайней мере одна такая точка. Таким образом, если m = x/t > 0 п С(йо)=—-团，выражение для волны имеет вместо (21) следующий асимптотический вид:

6 〜"(2」擀冲 C0S (焉“ +± f) •

Гребни в этой группе фактически движутся в направлении, противоположном направлению движения самой группы, группа же (а значит, и энергия, которую она переносит) движется в положительном направлении вдоль оси % от источника, расположенного в начале координат. Положение группы в любой момент времени определяется координатой х =——Cot, где Со отрицательна.

В физике процессы с отрицательными групповыми скоростями были исследованы экспериментально [5] и теоретически [6] в

связи с волнами во вращающейся жидкости 9- Кроме того, вид дисперсионных кривых для волн в упругих пластинах ясно указывает на возможность отрицательных групповых скоростей для многих высокочастотных мод.

В то время как в одномерном случае групповая и фазовая скорости направлены либо в одном, либо в противоположных направлениях, для дву- и трехмерных волн в анизотропной среде групповая и фазовая скорости могут быть направлены под произвольным углом друг к другу [7, 8]. Тем не менее вектор групповой скорости по-прежнему определяет направление передачи энергии.

Кинематико-энергетическое описание волнв системах с дисперсией

Как теперь ясно, вне зависимости от того, задано ли начальное возмущение или изменение во времени функции источника, главной характерной особенностью последующего волнового движения будет существование квазипериодической волны. Более того, группа, состоящая из гребней с одинаковыми или почти одинаковыми волновыми числами» будет распространяться с групповой скоростью, соответствующей этому волновому числу. Итак, мы снова видим, что k остается постоянным в точках, определяемых соотношением х = C(h)t. Математически это выражается так:

dk = kxdx -\- kt dt = 0, когда 诉 С,

или, в более компактной записи,

kt + Ckx ==0.(41)

Уравнение (41) имеет другую интересную интерпретацию. На участке длиной Ах расположено йАх/2л гребней. На этот участок приходит(о/2л, а уходит (з + со笈А%)/2冗 гребней в единицу врв* мени. Следовательно, в отсутствие источника (или стока), который может порождать (или уничтожать) гребнй, должно выполняться уравнение баланса для скорости изменения числа гребней

自 +(0х=0.(42)

Но зависимость со от % может быть выражена через зависимость Л от х с помощью дисперсионного соотношения, а именно со* = н Сйх, поэтому уравнения (41) и (42) эквивалентны. Итак, если исходить из решения для больших х и / в виде квазигармониче-

】)Значительно раньше такие «обратные волны» изучались в электронике. —Прим. ред.

ской волныской волны

ской волны

ской волны

(43)(43)«〜а (%, /) cos (Ах — со/ + 卩),

(43)

(43)

где 卩 ——фазовая постоянная, то, пользуясь «законом сохранения гребней» (42), мы приходим к кинематическому толкованию групповой скорости. Значение А для данных х и f сразу определяется из уравнения х = Cf, а затем со вычисляется из дисперсионного соотношения.

Амплитуда волны (43) может быть определена из второго закона сохранения——закона сохранения энергии. Пусть энергия на участке от х до х + Ах равна

А£ = а2 Дх.

Будем считать, что в точке х = Ct находятся волны с волновым числом 左0，Тогда в точке х + Ах будут находиться волны с волновым числом Ао + ДА, где Ай = Дх/Со^. Можно показать, что первоначально энергия, содержащаяся в волнах < волновыми числами от Ао до 左。+ ДА, была равна

где f(k)——пространственный спектр (фурье-компонента) начального профиля волны f(x). Таким образом, если использовать тот результат (полученный ниже в гл. V), что энергия распространяется с групповой скоростью, то два приведенных выше выражения для ДЕ должны быть эквивалентны и мы получим

а =а =ОС|/)%・ОС|/)%・(44)(44)

а =

а =

ОС|/)%・

ОС|/)%・

(44)

(44)

Комбинируя формулы (41), (43) и (44), получаем окончательный «кинематико-энергетический» результат

* = • (21tle，(；》/)% cos 优°х — со" + ц),(43')

где Ао ——функция т, определяемая уравнением C(k0) = хЦ 工 т. За исключением того факта, что фаза 卩 произвольна, это выражение совпадает с результатом, полученным с помощью метода стационарной фазы. Таким образом, основные результаты, относящиеся к дисперсионному волновому движению, можно получить, не прибегая к сложному асимптотическому разложению решения, представленного в виде интеграла Фурье.

С другой стороны, так как исходным пунктом кинематического приближения является гармоническая волна (43), то оно

не может быть использовано для описания решения на каустиках, или «волновых фронтах». Трудность заключается в том, что на каустике гармоническая волна быстро меняет свою форму на относительно коротком интервале точно так же, как и в пограничном слое. Например, волны Эйри осуществляют переход от периодического движения к экспоненциально затухающему предвестнику, а впереди резкого фронта движение вообще отсутствует.

Имеется, однако, возможность избежать непосредственного обращения к интегралу Фурье при определении решения на фронте волны. Здесь напрашивается идея о решении такого же типа, как для пограничного слоя, которое затем можно связать с регулярным решением (43‘) и таким образом определить все неизвестные постоянные.

С. Лейбович (частное сообщение) предложил следующий метод возмущений, позволяющий найти волну Эйри в решении уравнения Лява (или Буссинеска), которое было рассмотрено выше в п. Зв.

Кинематико-энергетическая теория дает и полученное ранее решение (30) при т = х/t < 1. Однако фаза л/4 заменяется на произвольную фазу ц. При /п-> 1 это решение теряет силу (заметим, что фазовый угол р. = л/4 остается неопределенным). Для m-> 1, т. е. при 尤——/ -> 0, необходимо найти другое решение, которое сшивалось бы с решениями в областях /п > 1 и /п V L

Наше решение должно быть справедливо для х, /->8. Поэтому введем параметр % характеризующий масштаб величин L, L, и новую временную координату

Т = 0

На каустике разность 尤——t мала по сравнению с х и ^ по отдельности (т. е. по сравнению с с-1); выразим это формально введением координаты «пограничного слоя»

X = £a(%_f)

Тогда в переходной области координата Х*нмеет порядок (т——1)£0-丄,и величина а должна быть выбрана так, чтобы она была порядка единицы, откуда следует, что 0 < а V L С учетом этих предварительных соображений уравнение (4) принимает следующий вид:

€"аоTт - 2ехT - 3-纯XxXX + 2心中хх"一和十a竹Т"=0.

Чтобы описать детальную структуру фронта волны (30), положим в этом уравнении G = 0, зафиксировав сначала а в интервале 0 V а 之 1 таким образом, чтобы нашелся нр крайней мере еще один член, компенсирующий 2«хт・ Это оказывается возмож-

ным, только когда а = 7в, и в результате получим 中хт0 — $巾хххх・

Кроме того^ ф должна стремиться к нулю при Х-> 8, так как перед точкой х = t периодические волны отсутствуют. Тогда после разделения переменных и суперпозиции решений с различными константами разделения можно получить следующее реше^ ние предыдущего уравнения:

6 = * j 4(Р，9ехр{“(!■)" Хр +£рз]}^_

у^Г $ 5(ы> *)003 [(^-)1 Хи-\-^ и3] du,

где 8(〃，е)=4 (〃/7%, €)— неизвестный коэффициент, который должен быть найден путем сшивания. Попробуем выбрать 8 (〃,€)=■ 8 (е) так, что

『齐矶(前/斗

Выражая X через исходные переменные, получаем Ai [后)声].

Основной член разложения этого выражения в ряд при w->0 ■ фиксированной разности % — f имеет для 尤 V f следующий вид<

，〜6) (М)% е% 16 1%叫(2号ут],

где, как и прежде, 5Am— 1 = (х — f)/f. Это выражение необходимо сшить с кинематико-энергетическим выражением (48‘)， которое для даной задачи (mf 1) принимает вид

Заметим, что в переменных X, Т имеем m = 1 Ц- ^XfT. Если подставить это равенство в кинематико-энергетическое решение, разложить его в ряд для малых е, оставив только один ведущий член, и, наконец, вернуться к переменным х и ^, то мы обнаружим, что результирующее выражение совпадает с приведенным вьипе результатом разложения решения для пограничного слоя.

если только 卩=п/4HB = (е/12)%. Это и есть сшивка в смысле согласованных асимптотических разложений [9]; она дает возможность определить недостающий в кинематико-энергетическом решении фазовый угол; кроме того, это обеспечивает разумный переход через каустику.

Диссипативные эффекты

В реальной физической системе определенная часть энергии вегда поглощается. Поэтому для того, чтобы теория волн в консервативных системах с дисперсией имела серьезное применение, ее результаты должны быть близки к реальности в случае, когда потери энергии достаточно малы. Как правило, для линейной системы с линейным механизмом потерь это действительно так. Рассмотрим в качестве иллюстрации известный случай вязкого затухания, при котором сила трения пропорциональна скорости материальной частицы. В этом случае линейное уравнение Клейна——Гордона (3) для волн в струне с упругой связью принимает вид

%t — & +。+ 2", = о,(45)

если движение струны затухает из-за трения о воздух. Параметр о — безразмерный коэффициент затухания. Подстановка

6(%, 0 = ехр (~ аО W (х, /)

приводит уравнение (45) к

—弘 x + (l-N 屮=0.

Последнее представляет собой обычное уравнение Клейна —— Гордона для струны, но упругая постоянная теперь зависит от о. Ясно, что при о V 1 решения для 4r могут быть найдены с помощью изложенной выше теории волн с дисперсией, причем групповая скорость определяется выражением

(胪 + 1 — J)% " *

Очевидно, что полное решение для 力 состоит из экспоненциально затухающих групп волн. Заметим далее, что, когда о->0, групповая скорость с точностью до членов порядка и? равна своему значению в системе без затухания, а полное решение отличается от решения для такой системы множителем ехр(——of). С другой стороны, при о > 1 групповая скорость либо мнима, либо превышает единицу, которой равна реальная скорость волнового фронта, как можно видеть из уравнения (45). Следовательно, в этом случае теория консервативных волн неприменима. Любопытен случай о=1, когда получаются волны без дисперсии,

описываемые волновым уравнением и экспоненциально убывающие по величине.

Другой подход к определению групповой скорости для уравнения (45) состоит в том, чтобы представить решение в виде

6 (居 /) = exp [i(kx ——①力--aх].

Подстановка его в (45) дает

а =哈 и (о = (居+ 1—(?)%,

или

^ = k{^H^il2-(46а)

скорости(466)скорости(466)Тогда соответствующее выражение для групповой имеет вид

скорости

(466)

скорости

(466)

论4 + 2出也2 +62

c =必石万"他2 + ] )%

и представляет собой действительную величину. Однако, когда 2左2 >(5%——1)о2, групповая скорость вновь превышает единичную скорость фронта волны (для подходящих значений о > 1).

На основании этих расчетов невозможно понять, какую роль играет групповая скорость в случае, когда о > 1, если она вообще играет какую-нибудь роль в этом случае. Для выяснения этого вопроса удобно взять частное значение а = V^ • Используя метод преобразования Лапласа, решим уравнение (45) для полубесконечной струны (О V %) с граничным условием

6(0, /) = ехр(/Й/),

т. е. при синусоидальном входном воздействии с частотой Q. Нетрудно показать непосредственно, что решение может быть выражено через обратное преобразование Лапласа

в(X")=嘉,exp [st - S + 20S + 1)% х]若^",

откуда после замены р == $ + и получаем при о2 = 2

°(X，Q = £ ехр (- В) , ехр [川-(р2 - 1)% х]不-備碇•(47)

На фиг. II. 5 представлена соответствующая ситуация на комплексной p-плоскости. При /п =尤/f V 1 седла для экспоненты» стоящей под интегралом, находятся в точках

Р=±Ро=±(1 —症厂％.

Фиг. 1L 5. Контур интегрирования при решении уравнения Клейна — Гордона с диссипацией (45) методом преобразования Лапласа.

(Заметим, что для т > 1 получаем 小=0; это следует из тех же соображений, что и в п. Зг. Поэтому х = t определяет положение фронта волны.) Правильный контур наискорейшего спуска проходит через точку р = ро и представляет собой эллипс

(1 一卽2)(仅2〃2 + 02) - 7n2,(48)

где р = и iv.单

Если этот эллипс охватывает полюс, находящийся при р = =о + tQ, то при переходе от контура L к 厶‘ вычет в этом полюсе вклада в интеграл не вносит. Вклад ж® седловой точки оказывается экспоненциально малым, порядка ехр {——f [а ——(1 —— ——m2)1^]}. Это можно показать, если взять главный член в разложении экспоненты, входящий в (47), в окрестности точки "о. Отклик представляет собой нестационарный предвестник главного сигнала, но, поскольку он не состоит из периодических волн, в действительности его нельзя описать с помощью групповой скорости.

С другой стороны, когда полюс лежит вне эллипса, мы получаем стационарный сигнал, который определяется вычетом

3(х, /)~exp{i [Q — (£У — 2юй — 1)厶尤]}•

Поэтому можно принять за скорость сигнала значение, получаемое для т в случае, когда полюс точно попадает на эллипс» т. е. когда в (48) подставлены значения « = о и v = Q. В результате (при о2 = 2) получается выражение

2/и =［您 + 6Q2 + 1)% + 1 _ q2『4,

которое меньше скорости фронта волны для всех значений Q. Более того, оно не совпадает с выражением для групповой скорости (466), в котором значение A = A(Q) взято из (46а).

Как уже указывалось в гл. I, п. 5а, основной вывод, который здесь должен быть сделан, заключается в том, что если диссипация не мала, то понятие групповой скорости теряет смысл.

ЛИТЕРАТУРА

L Havelock Г. Н., The Propagation of Disturbances in Dispersive Media Cambridge University Press, Cambridge, 1914. (Republished in 1964 by Ste- chert-Hafner Service Agency, New York).

Copson E Z, Asymptotic Expansions, Cambridge University Press, Cambridge, 1965 (см. перевод: 3 Konco% Асимптотические разложения, изд-во «Мир》，1966).

Carrier G.尸.，Krook AL, Pearson C £., Functions of a Complex Variable. McGraw-Hill, New York, 1966.

Abramowitz M, Stegun /. 4, Handbook of Mathematical Functions. Dover, New York, 1965.

Ibbetson 4, Phillips "., Tellus, 19, 81 (1967).

Some laboratory experiments on Rossby waves in a rotating annulus

Longuet-Higgins M. S., Journ. Fluid Meeh., 31, 417 (1968).

On the trapping of waves along a discontinuity of depth in a rotating ocean.

Lighthill M.丄，Phil Trans. Roy. Soc., A252, 397 (I960), Studies on magnetohydrodynamic waves and other anisotropic wave mo tions.

Whitham G. 8., Comm. Pure Appl. Math., 14, 675 (1961).

Group velocity and energy propagation for three-dimensional waves

Van Dyke M, Perturbation Methods in Fluid Mechanics, Academic Press, New York, 1964 (см. перевод: M. Ван-Дайк, Методы возмущений в механике жидкости, нзд-во «Мир》，1967).

10*. Гридштвйн ". С., Рыжик //, М., Таблниы ннтеграпов, сумм^ рядов н про* изведеиий, М., «Наука», 1971.

ГЛАВА Ш

Квазилинейные гиперболические системы,вытекающие из законов сохранения

Константин Н. Дафермос

Теория сплошных сред основывается на системе законов сохранения и системе определяющих уравнений. Первые отражают физическую природу процесса (например, механическую, термодинамическую, электромагнитную), тогда как вторые характеризуют свойства среды (например, упругое твердое тело, вязкая жидкость). Законы сохранения первоначально возникают в интегральной форме, так как прямой физический смысл имеет функция множества, а не точки. Однако в классе гладких функций интегральная форма эквивалентна дифференциальным уравнениям поля. При определенных исходных предположениях эта система уравнений поля является гиперболической.

Отличительным свойством гиперболических систем является существование особых поверхностей в пространстве-времени, которые в физических приложениях проявляют себя как распространяющиеся волны. Изучение последующих глав этой книги показывает, что гиперболические системы уравнений поля никоим образом не охватывают всех волновых явлений, существующих в природе. Вместе с тем в широком классе задач, которые не описываются гиперболическими уравнениями поля, ни допускают волновые явления, уравнения для некоторых усредненных величин, например для «энергии», оказываются гиперболическими. Следовательно, гиперболические системы уравнений нмеюб фундаментальное значение при изучении- распространения волн (см., например, гл. V).

Геометрические свойства решений гиперболических систем были изучены давно, и соответствующая теория достаточно полна. С другой стороны, аналитическое исследование проблемы встретило серьезные трудности и еще находится в стадии развития. Главный источник этих трудностей связан со следующим специфическим свойством нелинейных гиперболических систем: в общем случае задача с начальными условиями не имеет решения, даже если эти условия достаточно гладкие. Необходимо расширить понятие решения, включив в него обобщенные реше ния——'разрывные поля, которые удовлетворяют законам сохрк

нения в их первоначальной интегральной форме. Но поскольку класс решений расширен, теряется единственность, и приходится применять специальные критерии, чтобы выделить истинные решения. В связи с этим важную роль играют понятия «энтропия» и «необратимость», возникшие в термодинамике.

Нашей целью является не изложение общей теории гиперболических систем, а лишь введение в этот предмет для студентов, интересующихся им в связи с приложениями к теории нелинейного распространения волн. Поэтому выделены только те стороны теории, которые имеют применение в физике сплошных сред; при этом мы избегаем пользоваться специализированным языком, который применяют математики.

Законы сохранения и уравнения поля

Пусть х = Хь ..., хп обозначает точку в «пространстве» (в физических приложениях п = 1, 2 или 3), a f — «временную» переменную. Закон сохранения представляет собой уравнение вида1)

J Р<(X, о I dx + , § А (х, /) • V dS 出 + , \ g(X, /) dx 山=0, (1)

которое справедливо для любого интервала времени (/ь /2) и любой области пространства Q с гладкой границей d6. Здесь р и g — векторные поля размерности /и; А — матричное поле размерности m X Л1 v——единичный вектор, нормальный к поверхности 0Q Уравнение (1) утверждает, что изменение функции множества

乡(Q, D =，Р (х, /) dx

на интервале времени от 介 до /2 уравновешено потоком величины А через 0« и действием «источников» g(x, t) в области Q в течение того же времени. В законах сохранения, лежащих в основе физики сплошных сред, типичные компоненты функции 夕一это масса, импульс, момент импульса, энергия, электрический заряд и т. д.

Законы сохранения дополняются исходными предположениями, которые определяют природу среды. Состояние системы описывается вектором состояния u = «ь ..., 〃т, так что величины р, g и А зависят от и через известные дифференцируемые

')Здесь и далее dx обозначает 办，…，dxn, а запись ； (х. f) |；： обозначает разность f (х, %) — f (% /1).

определяющие уравнения

Р=6(и, х,/), g=?(u, х, f), А = A (u, X, /)•⑵

Основная задача состоит в том, чтобы найти векторное поле u(x, f), которое удовлетворяет уравнению (1) для любых Q,八，办 вместе с соответствующими начальными и граничными условиями.

Для дифференцируемого поля 11(%, f), применив теорему о дивергенции, уравнение (1) можно записать в виде

,^(Р/ + div А + g) dx 力=0.

Это уравнение выполняется для произвольной области Q Х(^ь %) тогда и только тогда, когда

⑶⑶p/4-divA + g = 0

⑶

⑶

в каждой точке (х, f). Более полный обзор законов сохранения, определяющих уравнений и уравнений поля в различных областях физики сплошных сред можно найти в книгах Трусделла и Тупика [1] и Трусделла и Нолла [2].

Гиперболические системы

Используя определяющие уравнения (2), можно привести уравнение поля (3) к виду

в • Uf + Е су • UX/ + d = 0,(4)

где В, С1, …，Сп — матричные функции размерности mX т, a d ——векторное поле размерности т, зависящее от и, х и t.

Квазилинейную систему (4) называют гиперболической, если для любых фиксированных и, х, / и произвольного единичного n-вектора v задача на собственные значения

(一九B + ! е包)(一九B + ! е包)V п 0V п 0(б)(б)

(一九B + ! е包)

(一九B + ! е包)

V п 0

V п 0

(б)

(б)

имеет т действительных собственных значений (не обязательно различных) и соответственно систему m линейно независимых собственных векторов. В частности, если для всех u, х, f, v все собственные значения различны, то система называется строго гиперболической.

В следующих трех разделах рассматриваются некоторые фундаментальные свойства гиперболических систем, которые оправдывают данные определения.

2a. Плоские волны

Рассмотрим простейший случай, когда d к 0, а матрицы В, С1, ..., Сп не зависят от и, х,九 Выберем единичный вектор V, произвольно ориентированный в пространстве, и будем искать решение системы (4) в виде плоской волны, распространяющейся в направлении v, т. е.

и (х, /) = V exp {/А(V • х —九f)}(б)

с действительными k и К. Легко убедиться в том, что (6) является решением (4) тогда и только тогда, когда X и v удовлетворяют системе (5). Иными словами, в рассматриваемом случае линейной однородной системы эта система гиперболична тогда и только тогда, когда в каждом направлении в пространстве могут распространяться т независимых плоских волн.

Слабые разрывы

Пусть g ——гладкая поверхность в пространстве-времени, определяемая уравнением f(х, 0 = 0. Предположим, что и(х,/) — непрерывное m-векторное поле со следующими свойствами: в каждой точке, не принадлежащей 9, поле и непрерывно дифференцируемо и удовлетворяет системе (4); кроме того, существуют пределы пространственно-временных градиентов и на 歹， однако эти пределы различны по разные стороны от 9, так что первые производные от и претерпевают конечный скачок при переходе через поверхность 夕

Ясно, что 夕 может быть задана однопараметрическим семейством поверхностей в обычном пространстве. Поэтому в физических приложениях поверхность 9 отвечает распространяющейся волне, которую мы назовем слабым разрывом, чтобы отличить от более сильных воли, рассматриваемых в п. 36.

Для каждого фиксированного t единичная нормаль v к фронту волны [т. е. к поверхности f(x, /) = 0] имеет компоненты

-/СТ⑺

(если знаменатель обращается в нуль, необходима специальная inricj?i：peTambi $i36 匸山〉依工).

Если У ——скорость распространения поверхности 9 в направлении нормали V, то полная производная

^r=L + g 霜 в

обращается в нуль на траектории dxjldt = Kv>. Таким образом,

Рассматривая скачки величин, стоящих в левой части (4), на поверхности 夕 и пользуясь тем, что В, С1, ..., Сп и d не зависят от производных и и, следовательно, непрерывны, получаем

п

в • [lif] + £ Cz • %] q 0,(9)

где скобки обозначают скачок заключенной в них величины на поверхности В. Поскольку функция и непрерывна на 9, то непрерывна и ее касательная производная. Из этого следует, что только нормальная производная и имеет скачок на 9. Так как вектор (fXp ...» fXn, ft) направлен по нормали к 9, то, согласно (7) и (8)?вектор %i,vn, —V) также нормален к ней. Таким образом, если v обозначает скачок нормальной производной и на поверхности 9, то

[U^] = V/V, [叫=—W(10)

Подстановка (10) в (9) дает

(-UB + * V/C0 • v=0.(11)

Сравнивая (11) с (5), мы приходим к следующему заключению: система (4) — гиперболическая, если в каждом направлении е пространстве могут распространяться m независимых слабых разрывов. Собственные значения, определяемые из (5), дают скорость распространения, а собственные векторы определяют (с точностью до масштабного множителя) амплитуду волн.

Пример распространения слабого разрыва приведен в п. Зг.

2s. Характеристики

Математический анализ физического явления в еплошной среде, описываемого уравнениями поля (4), обычно приводит к задаче Коши; ищется решение уравнений (4) с заданными

значениями на некоторой гладкой поверхности 俨 в пространстве- времени. Можно показать, что корректность постановки задачи Коши тесно связана со следующим вопросом. Пусть u(x, f)——решение системы (4). Определяет ли значение и на ^ (т. е. значение и при стремлении аргумента к точкам на поверхности В) величину пространственно-временного градиента и на 9? (Примеры корректно поставленных краевых задач с начальными условиям для волнового уравнения даны в гл. I, п. Зг.)

Пусть поверхность 9 задана уравнением f (х, f) = 0, и имеется криволинейная система координат (у* ..., уп, /), в которой 0——координатная поверхность. Используя цепное правило, можно записать (4) в новых координатах:

(〃в + £丿打 а) • Uf +

+ £ М?в + К %а) •屮 + d = о. (12)

Здесь иуа — тангенциальные производные, и, следовательно, они определены значением и на 9. Таким образом, полный градиент и определен, если из (12) можно вычисилить и力 иными словами, если матрица

"В +1 fXjCf

невырожденная. Если же в каждой точке 9 эта матрица вырождена, т. е. / удовлетворяет дифференциальному уравнению

det{"B + £f*/C/} = 0,(13)

то 9 называют характеристикой.

Сравнение (13) с (5) показывает, что существование характеристик принципиально связано с гиперболичностью системы (4). Кроме того, сравнивая (13) с (11) и учитывая (7) и (8), получаем, что любой слабый разрыв распространяется вдоль характеристики. Собственные значения задачи (5) называют характеристическими скоростями системы (4).

В случае одной пространственной переменной (п — 1) характеристики являются интегральными кривыми обыкновенного дифференциального уравнения

где 九——характеристическая скорость.

Геометрическая теория характеристик хорошо развита и имеет множество приложений; мы надеемся, что приведенные ниже примеры подтвердят ее важность. Подробный разбор понятий, введенных в этом разделе, содержится в книге Куранта и Гильберта [3].

2г. Примеры

Уравнение с одной пространственной переменной %+ 6(矶=о(15)

появляется фактически в каждой математической модели волновых явлений и может служить прототипом для построения общей теории. В этом случае задача о собственных значениях (5) имеет действительное решение 九= “，(〃)，т. е. уравнение (13) относится к гиперболическому типу.

Уравнение характеристик (14) принимает вид

穿=“(〃)•(16)

С другой стороны, из (15) следует соотношение —щ/их ^ 匸=*(〃)，которое показывает, что w постоянна на характеристиках. Вместе с (16) это означает, что характеристики — прямые линии.

В качестве второго примера рассмотрим систему

…(17)

которая встречается в механике жидкости, нелинейной теории упругости и других областях механики сплошных сред. Она эквивалентна (при v = wti u = wx) волновому уравнению второго порядка

wit = и (吗)

В этом случае В — единичная матрица, а

откуда получаем собственные значения 两―+ “&'&), М = у — V(/ (〃)м соответственно собственные векторы (—“£ (公,1) и (+ Vo7(«У，1).

Таким образом, система является гиперболической, если (/(〃)> 0. Два семейства характеристик даются интегральными кривыми уравнений

翁=土"^砌.(18)

4 Зак. &47

Теперь, вообще говоря, нельзя утверждать, что характеристики являются прямыми линиями и что и и V остаются на них постоянными. Однако можно построить некоторый аналог последнего условия. Определим функции

г = W +，〃『⑹應，s = v — j “(/ 位)dg・

D0

Используя (17), получаем соотношения

r* Vx+ Vu (u)ux

St立 _ V『&)4 /-ГГТ

S*vx —Vaz (u)ux

которые вследствие соотношения (18) означают, что г постоянна на каждой характеристике, соответствующей распространению в положительном направлении, a s — на характеристиках, соответствующих отрицательным направлениям распространения. Функции г и s называют инвариантами Римана для системы (17). Общее определение инвариантов Римана можно найти в книге Лэкса [4], а их применение в газовой динамике рассмотрено в книге Куранта и Фридрихса [5].

Обобщенные решения

За. Несуществование решения

Попытаемся теперь построить решение уравнения (15) с заданными начальными условиями 〃(％, 0)= 〃。(尤).Как мы видели в предыдущем разделе, характеристика, проходящая через любую точку х оси ох, — это прямая линия с наклоном ^(и0(х)), следовательно, она может быть построена сразу. В любой точке этой характеристики 〃 будет равна ио(х). Если при этом для каждой пары точек (хь х2) выполняется условие

8 -х2){* Qo (/))-中' ("0 闯)} >О,(19)

то семейство характеристик заполняет всю полуплоскость f 力 0 и приводит к решению задачи с начальным условием, которое будет по крайней мере таким же гладким, как и 〃。(尤).

Предположим, однако, что условие (19) нарушено для некоторой пары точек (хь х2). Тогда характеристики, проходящие через точки 尤i и хг, пересекутся в точке

彳*2' 他Q (尤2))-x20' (〃Q (尤 1))

— 夕("оЮУ 二3 ®o(3J) •

Если решение начальной задачи существует, то его значение в точке (х, Z) должно одновременно равняться 〃d(Xi) и и0(х2), что, конечно, невозможно. Таким образом, если условие (19) нарушено, не существует гладкого всюду решения начальной эадачи.

В линейном случае производная * постоянна, так что характеристики являются параллельными прямыми и решение существует при произвольных начальных данных. Если, однако, функция ф(и) нелинейна, то лишь для очень ограниченного класса начальных условий неравенство (19) не нарушается. Иными словами, отсутствие решения начальной задачи для уравнения (15) скорее правило, чем исключение. Это не особенность уравнения (15), а типичное свойство нелинейных гиперболических систем общего вида. Отсутствие глобального решения системы (17) было установлено в работе [6].

Решения с разрывами и условия на скачке

Отсутствие глобального решения начальной задачи для дифференциального уравнения (3) не обязательно означает, что соответствующая физическая задача некорректно поставлена. В действительности прямой физический смысл имеет закон сохранения (1), который может, очевидно, допускать решения в классе разрывных функций, не удовлетворяющих уравнению (3). По историческим причинам (дифференциальные уравнения поля были получены различными методами раньше, чем интегральные) каждое решение уравнения (1) называют обобщенным решением уравнения (3). Чтобы подчеркнуть различие, обычное решение уравнения (3) называют классическим.

Класс решений со слабыми разрывами, рассмотренный в п. 26, представляет собой пример обобщенного решения, не являющегося классическим. Однако этот класс недостаточно широк, чтобы включать все обобщенные решения. Мы рассмотрим здесь другой класс, который, хотя и не исчерпывающим образом, демонстрирует как математические, так и физические следствия существования обобщенных решений.

Пусть 俨一гладкая поверхность в пространстве-времени, а и — некоторое обобщенное решение уравнения (3), непрерывно дифференцируемое в каждой точке, не принадлежащей ^. Кроме того, на 歹 существуют односторонние пределы функции и, но они не равны между собой, так что и терпит конечный скачок на 夕.Как и в п. 26, 9 может быть интерпретирована как распространяющаяся поверхность в пространстве, которую назовем разрывом, или ударной волной.

Поступая так же, как в разд. 1, видим, что уравнение поля (3) удовлетворяется в каждой точке пространства-времени, не

лежащей на поверхности 0. Зафиксируем теперь некоторую точку (х, f) на 夕.Пусть Q — малая окрестность х, а (Л, /2)— малая окрестность /, так что поверхность 夕 делит цилиндр й X(Л, ^2)на две части 歹一 и 歹 + (фиг. III. 1). Проинтегрируем уравнение (3) отдельно по объемам 片一 и F+, а затем сложим результат. После интегрирования по частям получим

№ ：+, \а・vdS d/ + J J g dx 必 +

Q 3 力(9Qfi Q

+ @ ([p] cos 0 + [A] • v sin 0) d? = 0,

где 皆一часть поверхности 夕 внутри цилиндра Q X(^ь ^2), а 0 — угол между нормалью к поверхности 夕 и осью / (см. фиг. III. 1). Как и в п. 2б} скобки означают скачок заключенной в них величины (с соответствующим знаком) при переходе через поверхность 次 Так как и — обобщенное решение уравнения (3), то сумма первых трех интегралов равна нулю. Кроме

того, выражение под знаком интеграла по 皆 непрерывно на 夕, так что, сжимая & около точки (х, f), получаем

[р] cos 0 + [А] • V sin0 = 0.

Пусть поверхность 夕 задана уравнением / (х, f)==0; тогда (0,fxn, Л) — нормаль к £^, а (0, ...» 0, ^) и (fxe fXn, 0) — ортогональные проекции этой нормали соответственно на ось времени и пространство (см. фиг. III. 1). Таким образом,

ctg0ctg09— У,9— У,

ctg0

ctg0

9— У,

9— У,

где использовано соотношение (8). Отсюда следует, что в каждой точке поверхности 9

— V[p] + [A]7no.— V[p] + [A]7no.(20)(20)

— V[p] + [A]7no.

— V[p] + [A]7no.

(20)

(20)

Наоборот, легко доказать, что если m-мерное векторное поле и кусочно гладко и удовлетворяет уравнению (3) в каждой точке, в которой оно гладко, и соотношению (20) на поверхности разрыва, то и — обобщенное решение уравнения (3). Уравнение (20) называют условием Ренкина — Гюгоньо, или условием на скачке.

Следует заметить, что различные законы сохранения могут приводить к одному и тому же уравнению поля. Например, как закон сохранения

炉必-=0, (21)

г? dx + -^ \ u3 dt^Oг? dx + -^ \ u3 dt^O(22)(23)(22)(23)так и закон сохранения

г? dx + -^ \ u3 dt^O

г? dx + -^ \ u3 dt^O

(22)

(23)

(22)

(23)

приводят к уравнению

+ иих 0.

Однако соответствующие условия Ренкина — Гюгоньо на скачке

--V[u]+y[u2]^0,(24)

一р储]+乱炉]匸0(25)

различны. Таким образом, хотя классы гладких решений уравнений (21), (22) совпадают, классы обобщенных решений раз-

личны, и уравнения (21) и (22) не эквивалентны. Мы вернемся к этому обстоятельству при обсуждении понятия «энтропия» (п. 4а).

Подробное изучение особых поверхностей в физике сплошных сред можно найти в книгах [1, 2]. Для систематического отыскания всех законов сохранения, приводящих к определенному уравнению поля, см. [7] и указанные там ссылки.

Зв. Контактные разрывы и истинная нелинейность

В линейном случае определяющие уравнения (2) записываются в виде

Р = в • U, А • v = 2 v/C/ • u,

где матрицы В, С1, ..., Сп, введенные в разд. 2, не зависят от и. Таким образом, условие Ренкина — Гюгоньо имеет вид

(一 UB + £v/C° [u] = 0.

Сравнивая его с (5), приходим к заключению, что в линейных гиперболических системах разрывы распространяются вдоль характеристик.

Этот результат, вообще говоря, не переносится на нелинейные системы. Однако и здесь может случиться, что разрыв находится на характеристике, по крайней мере относительно состояния по одну сторону от него. Разрыв, обладающий таким свойством, называют контактным разрывом. Так как в линейном случае каждый разрыв является контактным, естественно назвать системы, в которых контактные разрывы невозможны, истинно нелинейными.

Тогда очевидно, чю гиперболическая система (4) является истинно нелинейной, если характеристики одного и того же семейства пересекаются; это должно происходить, если

V • gradu А 耍 0

для каждого собственного значения А и соответствующего собственного вектора v задачи (5).

Простой расчет показывает, что уравнение (15) и система (17) истинно нелинейны, если 力“啖 0 и о" * 0 соответственно.

Структура решений истинно нелинейных гиперболических систем значительно проще, и по этой причине внимание исследователей было сосредоточено на таких системах. Однако следует подчеркнуть, что этот класс не включает многих систем» возникающих в приложениях. Например, в приложениях системы (17) к задачам нелинейной теории упругости типичная

Фиг. 〃/.2. «Истинный» разрыв.

функция а (кривая напряжения — деформации) не является ни выпуклой, ни вогнутой. Система уравнений газовой динамики, представленная в гл. IV, также не является истинно нелинейной.

Обсуждение контактных разрывов читатель найдет в статье Лэкса [8J, который вводит понятие истинной нелинейности и изучает ее связь со структурой решения.

За. Неединственность обобщенного решения

При расширении класса решений системы (3) за счет включения в него обобщенных решений единственность решения начальной задачи, вообще говоря, теряется. Это демонстрирует следующий простой пример. Рассмотрим закон сохранения (21), который приводит к уравнению поля (23) и условиям Ренкина —— Гюгоньо (24) при начальных условиях

「1, х<0,u(xj) = to, х>0.(26)

Условие (19) нарушается при 尤】W 0 V х2, так что гладкого решения не существует. Однако функция *

f 1, х<//2,

(27)

удовлетворяет уравнению (23) для 尤声 f/2, а также условию (24) на линии 2х — f 工 0; следовательно, она является обобщенным решением уравнения (23) (фиг. III.2).

Рассмотрим теперь тот же закон сохранения, но с начальным условием

f 0, х < О,

.心。，

Фиг. Ш.З. Недопустимый разрыв (а) и центрированная простая волна (6).Фиг. Ш.З. Недопустимый разрыв (а) и центрированная простая волна (6).

Фиг. Ш.З. Недопустимый разрыв (а) и центрированная простая волна (6).

Фиг. Ш.З. Недопустимый разрыв (а) и центрированная простая волна (6).

которое получается из (26) изменением знака времени. Поэтому (27) сразу дает следующее решение:

и (х, f)и (х, f)0,1,0,1,х < 〃2, х>//2х < 〃2, х>//2(29)(29)

и (х, f)

и (х, f)

0,

1,

0,

1,

х < 〃2, х>//2

х < 〃2, х>//2

(29)

(29)

(см. фиг. Ш.З,а).

Заметим, однако, что функция

‘0,х<0,

(30)(30)и (х, /) = < х/г, 0 <х <tt

(30)

(30)

.1,х^О

также является решением (23), (28), которое непрерывно везде (кроме точки х = / = 0). Решение вида (30) в секторе 0 < х < < / называют центрированной простой волной. Заметим, что линии х = 0 и х ——/ = 0, которые ограничивают центрированную простую волну, — это слабые разрывы, которые, как ожидается, распространяются вдоль характеристик, что и показано на фиг. Ш.З, б.

Итак, неединственность решения установлена. Действительно, сочетание (29) с (30) дает бесконечное множество решений уравнения (23) с начальным условием (28).

Критерии истинности для обобщенных решений

Было предложено множество критериев для выделения «истинного» решения из множества обобщенных решений начальной задачи, поставленной для заданного закона сохранения. Некоторые из этих критериев по своей природе являются математическими, будучи связаны со свойствами гладкости или устойчивости решения; другие отражают требование, чтобы «ис-

тинные» решения имели разумную интерпретацию в рамках той физической теории, из которой они получены. В идеальном случае различные критерии должны быть эквивалентными.

4а. Критерий энтропии

«Энтропийное» условие, связанное с законом сохранения (1), — это неравенство

Л (х, /)| dx+\ §Q(x, f)・ wdS力 + ,,力(х, f)dxd/>0, (31)

которое должно удовлетворяться любым «истинным» решением уравнения (1) для любого интервала времени (厶，f?) и любой гладкой области Q в пространстве. Энтропия 刀,производство энтропии 力 и поток энтропии Q определяются вектором и через известные дифференцируемые определяющие уравнения

Т]=由(и, х,/), /i = E(u, х,/), Q = Q(u, х, о. (32)

аналогичные по характеру уравнениям (2).

Повторение анализа, проведенного в разд. 1 и п. 36, показывает, что в классе кусочно гладких полей и (с ударными волнами) неравенство (31) эквивалентно дифференциальному неравенству

% + div Q + /г》0,(33)

которое должно быть справедливо в каждой области гладкости, и условию на скачке

-V[t]] + [Q]-v>0(34)

на каждом разрыве.

Обычно определяющие соотношения (32) выбираются такими, что (33) автоматически выполняется всюду, где справедливо (3). Однако, как мы видели в п. 36, это не обязательно означает, что (34) также удовлетворяется. Энтропийное неравенство, известное в газовой динамике и общей термодинамике сплошных сред, послужило образцом при формулировке «энтропийного» критерия.

В случае уравнения (15) соответствующие определяющие уравнения для «энтропийного» условия имеют вид

ооП = — , 9Q = — \ 9 倡)6’ (В)虚，力=0,(35)

о

о

о

где q(g)—некоторая возрастающая функция. При таком выборе неравенство (33) запишется в форме —g(〃)〃t —

—— 夕(〃)“(〃)依^0 и, следовательно, будет автоматически удовлетворено (как равенство), если только справедливо (15). На разрыве же (если 〃- и 〃+ — пределы и слева и справа соответственно) условие (34) дает

^ \ 4也)雄一\ 9阳"(日源>0, (36)

где V =[力][江『L Легко показать, что если 力 ——строго выпуклая (строго вогнутая) функция, то условие (36) обращается в равенство при 〃-> 〃+ (〃-<〃+). Таким образом, решение (27) уравнения (23) «истинно», а (29) нет. Подробный анализ энтропийного критерия можно найти в работе Лэкса [4] и в цитируемых им статьях.

К сожалению, для систем, не являющихся истинно нелинейными, энтропийный критерий недостаточно эффективен, чтобы исключить все неприемлемые решения. Поэтому Лейбович и автор главы предложили альтернативный критерий скорости роста энтропии. Допустим, что 刀(0, х, /) = 0. Рассмотрим некоторое обобщенное решение u(x, f) уравнения (3), которое при |х| -► -> оо достаточно быстро спадает к нулю. Тогда полная энтропия

〃u(t)== \ Г|(U (х, /), X, /)dx

конечна и, согласно (31), возрастает со временем f. Назовем решение u(x, /) «истинным», если при каждом т скорость роста энтропии £)+儿⑴，т. е. производная от 儿 справа при / = т, больше или равна той же величине для любого другого обобщенного решения u(x, /) системы (3), совпадающего с и в цилиндре ©Х[0,讣 Грубо говоря, мы требуем, чтобы для «истинного» решения энтропия возрастала с максимальной возможной скоростью. Можно показать, что при выборе выражения (35) для энтропии 刀 этот критерий выделяет единственное «истинное» решение задачи с начальными условиями для (15), даже если ф не является ни выпуклой, ни вогнутой. Этот критерий был успешно применен также к системе (17), давая тем самым веские основания думать, что он имеет более общий характер.

Энтропийное неравенство в газодинамике и общей механике сплошных сред подробно рассмотрено Курантом и Фридрих- сом [5], а также Трусделлом и Тупином [1].

Критерий гладкости

Согласно этому критерию, любое классическое (непрерывное) решение является 《истинным». Разрывное обобщенное решение «истинно» только в том случае, если оно может быть аппроксимировано в соответствующем смысле последовательностью классических решений.

4& Критерий истинности разрывов

Этот критерий применим только к истинно нелинейным, строго гиперболическим системам (правда, недавно были предложены его модификации, применимые к несколько более широкому классу систем). Обобщенное решение с разрывами называют истинным, если каждый разрыв, распространяющийся, например, в направлении v со скоростью V и соединяющий состояния и~ и и*, удовлетворяет следующему условию: в интервале между 1 и п существует такой номер 瓦 что

九”1他一)VY VM(u-),統(u+) VY V^+】(u+),

где 九1 V 九2 V ... V 九兔 ——характеристические скорости системы (4). В частности, для (15) со строго выпуклой (строго вогнутой) функцией 力 разрыв является истинным, если и~ >

> 江+(〃- V 江+), что находится также в согласии с энтропийным условием. Критерий истинности разрывов был введен и изучен Лэксом, который обосновал этот критерий с помощью теории свободной границы [8], а в работе [4] установил эквивалентность этого критерия энтропийному в общем случае.

4г. Критерий согласованияданной физической модели с более полной теорией

В гл. IV обсуждается задача о движении поршня в газе и устанавливается, что при определенных предположениях (нормированная) скорость газа и удовлетворяет * параболическому уравнению 】)

ut + uux^^uxxi (37)

где параметр б, пропорциональный продольной вязкости, положителен и обычно очень мал. Если газ невязкий, то (37) переходит в (23). Можно показать, что,задача с начальными дан-

Это уравнение называется уравнением Бюргерса (подробнее см. гл. IV). — Прим. ред.

ными для (37) всегда имеет единственное решение, которое является гладким. Для того чтобы теория невязкого газа надлежащим образом «укладывалась» в теорию газа с вязкостью, должно выполняться следующее условие: если и ——истинное решение (23), а иб — решение (37) с теми же начальными данными, то u6->и при 6->0 (в соответствующем смысле). Предельное поведение решения уравнения (37) при 6fo было изучено Хопфом [9]. Было доказано, что решение (23) истинно согласно этому критерию, если оно истинно согласно энтропийному критерию (см., например, [4]).

В приведенном выше примере одна континуальная теория включена в другую, более полную континуальную теорию. В других задачах теория сплошной среды рассматривается как предельный случай теории дискретной системы, описываемой разностными или дифференциально-разностными уравнениями. Тогда «истинное» решение гиперболической системы должно быть пределом решений некоторой последовательности систем разностных или дифференциально-разностных уравнений.

Подробное обсуждение материала этого раздела дано в гл. IV, а его обобщение на системы двух уравнений изучено в работе [10].

Задача Римана

Рассмотрим однородную гиперболическую систему с одной пространственной переменной

uf + С (и) • их = 0(38)

при начальных условиях

(39)(39)u(*，°)= {u+, х>0,

(39)

(39)

где и- и и+ — постоянные векторы.

Изучение такой задачи с начальными условиями, которая называется задачей Римана, проясняет понятие истинной нелинейности. Кроме того, ее решение служит «строительным блоком» при построении решений системы (38), соответствующих более общим начальным условиям. Очевидно, если u(x, /) является (обобщенным) решением задачи (38), (39), а а — произвольная положительная константа, то функция u(a%, af) — также решение. Если предположить, что имеется единственное «истинное» решение и что его «истинность» сохраняется при любом однородном растяжении масштабов координат (без отражений), то отсюда следует, что u(x, t) = u(ах, at); иными словами, u(х, /) есть функция единственной переменной х/Л

Решение задачи Римана для уравнения (23) дано в п. Зг. «Истинное» решение состоит из двух состояний покоя, соеди-

ненных либо разрывом [в случае начальных условий (26)], либо центрированной простой волной [в случае начальных условий (28)]. Легко видеть, что решения такого же типа имеет задача Римана для более общего уравнения (15) при строго выпуклой или строго вогнутой О

Понятие центрированной простой волны можно расширить на общие системы вида (38); при этом было получено следующее обобщение предыдущего результата: если система п уравнений (38) истинно нелинейна, а состояние и+ дс. гаточно близко к и~, то решение задачи Римана существует и состоит из 几+ 1 состояний покоя, соединенных либо простыми волнами, либо «истинными» разрывами [8]. Для системы двух уравнений требование близости состояний и+ и и~ не является необходимым [11].

Для систем, не являющихся истинно нелинейными, задача более сложна и имеются только частные результаты. Для уравнения (15) задача Римана решена без предположений о выпуклости функции В，причем решение вновь состоит из двух состояний покоя, теперь, однако, соединенных ударным «веером» (последовательностью смежных разрывов й простых волн). Недавно были найдены аналогичные решения задачи Римана для системы (17) без каких-либо предположений о выпуклости [12], а также для системы уравнений газовой динамики [13].

Существование, единственность и вычислениеобобщенных решений

Для одного уравнения

Wf + Е ^/ (а, х,仇/ + g (и, х, f) == Q (聞

в настоящее время имеется четкая теория существования и единственности. Для начальных условий в классе ограниченных измеримых функций имеется единственное «истинное» решение 〃(х, /), такое, что для каждого фиксированного f, "(х, f)——ограниченная измеримая функция в пространстве Еп, непрерывно зависящая от начальных данных (в соответствующем смысле). Кроме того, если начальные условия имеют ограниченную вариацию в смысле Тонелли ——Чезари !), то u(x, t) также имеет

1) В несколько упрощенной форме это означает, что функция и (尤)непрерывна по Липшицу в среднем, т. е. \ | 〃(尤)一〃(尤一6) | dx《К (Qj | 6 |. Подробнее( м. в работах [16] и [17], —Прим, ped.

ограниченную вариацию в том же смысле. С точки зрения применений к физике сплошных сред класс сред с ограниченной вариацией наиболее уместен, так как в его рамках разрывы могут быть определены и изучены естественным образом.

Приведенные выше результаты были получены независимо методом исчезающей вязкости [14, 15], методом регуляризации, связанным с критерием гладкости (см. п. 46) [16], и методом конечных разностей [17], который к тому же дает схему построения численного решения.

Уравнение (15), представляющее собой одномерную форму уравнения (40), было изучено давно. Для него было предложено несколько сходящихся разностных схем (см., например, [18]). Его решения были также построены методом потенциала [7] и методом полигональных аппроксимаций [19]. Если 力"не меняет знак, то может быть получено решение в явном виде [8].

Напротив, теория существования для систем, состоящих из более чем одного уравнения, развита относительно слабо. Наиболее общая из известных теорем устанавливает существование обобщенного решения для истинно нелинейных систем вида (38) при начальных условиях с достаточно малыми осцилляциями и общей вариацией [20]. Для системы двух уравнений эти предположения были ослаблены, так что общая вариация начальных данных не обязана быть малой или даже ограниченной [21]. Было также установлено существование решений для истинно нелинейных (а также несколько более общих) систем при начальных условиях, которые не обязаны иметь малые осцилляции, но вместо этого должны удовлетворять довольно строгим условиям монотонности [22, 23]. При тех же ограничениях в [24] было изучено взаимодействие различных комбинаций волн.

Насколько известно автору, единственная приемлемая теорема существования для систем с общими начальными условиями относится к системе (17) в специальном случае о(〃) = =—а/и [25]. Для систем, не являющихся истинно нелинейными, теорем существования пока нет, хотя получено огромное количество частных решений ——прежде всего для уравнений газовой динамики.

Теоремы единственности в классе кусочно гладких функций известны для довольно общих систем [7]. Однако этот класс функций недостаточно широк, чтобы включать все обобщенные решения (например, он исключает решения с центрированными простыми волнами). Теорема единственности в достаточно широком классе функций была доказана только для системы (17) (а также для ее обобщения на случай нескольких пространственных переменных) в предположении, что функция о выпуклая или вогнутая [26, 27].

ЛИТЕРАТУРА

Truesdell С. 4, Toupin R. 4, в книге: Encyclopedia of Physics, vol. Ш/1, Ed. S. Fliigge, Springer-Verlag, Berlin, 1960, p. 226.

Truesdell C. 4, Noil Ж, в книге: Encyclopedia of Physics, vol. III/3, Ed. S. Flugge, Springer-Verlag, Berlin, 1965.

Courant R・,Hilbert D, Methods of Mathematical Physics, vol. II, Interscience, New York, 1962 (см. перевод: P. Курант, Уравнения с частными производными, изд-во《Мир》，1964).

Lax Р. D, в книге: Contributions to Nonlinear Functional Analysis, ed. E- H. Zarantonello, Academic Press, New York, 1971, p. 603.

Courant R., Friedrichs K. 0., Supersonic Flow and Shock Waves, Interscien- ce, New York, 1948 (см. перевод: P. Курант, К. Фридрихе, Сверхзвуковое течение и ударные волны, ИЛ, 1950).

MacCamy R. С, Mizel К Л, Arch. Rat. Meeh. Analysis, 2B, 299 (1967). Existence and nonexistence in the large of solutions of quasilinear wave equations.

Рождественский В. 〃.，УМН, 15, 6, 59 (I960).

Разрыв решений гиперболических систем квазилинейных уравнений.

Lax Р・ D, Comm. Pure Appl. Math., 10, 537 (1957).

Hyperbolic systems of conservation laws II.

Hopf E., Comm. Pure Appl. Math., 3, 201 (1950).

The partial differential equation 〃t + 〃〃工=Цихх.

Conley С. C., Smaller 丄 A., Comm. Pure Appl. Math., 23, 867 (1970). Viscosity matrices for two-dimensional nonlinear hyperbolic systems.

IL Smaller J. 4, Mich. Math. Journ., 16, 201 (1969).

On the solution of the Riemann problem with general step data for an extended class of hyperbolic systems.

Leibovich L, Journ. Math. Anal, and Applications, 45, I, 81 (1973).

Solutions of the Riemann problem for hyperbolic systems of quasilinear equations without convexity conditions.

Wendroff B, Journ. Math. Anal, and Applications, 38, 454—640 (1972).

he Riemann problem for materials with nonconvex equation of state. Part I: isentropic flow. Part II: General flow.

Вольперт 4 И., Матем. сб., 75 (115), № 2 (1967).

Пространства BV и квазилинейные уравнения.

Кружков С. Н., Матем. сб., 81 (123), № 2 (1970).

Квазилинейные уравнения первого порядка нескольких независимых переменных.

Кузнецов Н. 〃.，Матем. заметки, 2, № 4, 401 (1967).

О слабом решении задачи Коши для многомерного квазилинейного уравнения.

Conway £., Smaller /. 4, Comm. Pure Appl. Math., 19,.95 (1966).

Global solutions of the Cauchy problem for quasi-linear first order equations in several space variables.

Олейник О. А., УМН, 12, 3, 3 (1957).

Разрывные решения нелинейных дифференциальных уравнений.

Dafermos С. М, Journ. Math. Anal, and Applications, 38, 33 (1972).

Polygonal approximations of solutions of the initial value problem for a conservation law.

GUmm Comm. Pure Appl. Math., 18, 697 (1965).

Solutions in the large for nonlinear hyperbolic systems of equations.

Glimm /., Lax P. D, Memoirs of the Amer. Math. Society, No. 101, 1970. Providence: American Mathematical Society.

Decay of solutions of systems of nonlinear hyperbolic conservation laws.

Zhang Tong, Yu-Fa Gwo, Acta Math. Sinica, 15, 386 (1965) (see translation: Chinese Math., 7, 90).

A class of initial-value problems for systems of aerodynamic equations.

Johnson /. L・，Smaller /. 4, Journ. Math. Meeh., 17, 561 (1967).

Global solutions for certain systems of quasilinear hyperbolic equations.

Greenberg J. M., Arch. Rat. Meeh. Analysis, 37, 136 (1970).

On the interaction of shocks and simple waves of the same family.

Nishida Г., Proc. Japan. Acad., 44, 642 (1968).

Global solution for an initial boundary value problem of a quasilinear hyperbolic system.

Олейник О. 4, У MH, 12, 6, 169 (1957).

О единственности обобщенного решения задачи Коши для одной нелинейной системы уравнений, встречающейся в механике.

Hurd А. Е, Pacific Journ. Math., 28, 415 (1969).

A uniqueness theorem for weak solutions of symmetric quasilinear hyperbolic systems.

Примеры диссипативных и диспергирующих систем,описываемых уравнениями Бюргерсаи Кортевега — де Вриза

Сидней Лейбович и А Ричард Сибасе

Одним из наиболее характерных свойств волновых движений является то, что они продолжают существовать и после устранения причин, их вызывающих. Волны обычно сохраняются в течение длительного времени и могут передавать возмущения на оиен» большие расстояния. В действительности, волны приобретают наиболее характерную для них форму именно после распространения на 《большое» расстояние от области, в которой они зародились. Одна из важных и трудных математических проблем связана с описанием поведения волн малой амплитуды, испытывающих слабую диссипацию на больших ' интервалах времени. Эти ограничения не такие уж специальные, как может показаться на первый взгляд. Поскольку, как следует из наблюдений. волны действительно способны долго существовать вне источников, ограничения, связанные с предположением о малой диссипации и больших интервалах времени, являются вполне естественными. Условие малости амплитуды позволяет нам начать с рассмотрения линейных задач. К счастью, данное предположение обычно имеет физический смысл, поскольку если подождать достаточно долго, то все свободные волны будут затухать; неодномерные волны к тому же ослабляются из-за геометрической расходимости.

В настоящей главе мы рассмотрим математические методы исследования типичных физических систем в рамках сделанных выше ограничений и применим эти методы к двум примерам. В первом из них, взятом из газовой динамики, имеется слабая диссипация, характеризуемая безразмерным параметром 】) Re-1; во втором примере, относящемся к волнам на мелкой воде, потерь нет, но имеется слабая дисперсия, характеризуемая некоторым параметром 6. В обоих случаях величина амплитуды € мала, но конечна. Как мы увидим ниже, в случаях, представляющих наибольший интерес, соответствующие нелинейные уравнения следует рассматривать на интервалах времени порядка

Здесь Re — число Рейнольдса.——Прим. ред.

G. Оба уравнения можно объединить в одно модельное уравнение

% + euux = Re-】ихх + Suxxx.

При 6 = 0, е > 0, Re"1 > 0 отсюда получаем уравнение Бюргерса, в то время как при Re"1 = 0, £ * О, 6 * 6 имеем уравнение Кортевега — де Вриза. В любом случае нелинейные эффекты являются значительными, только если начальное возмущение достаточно велико, так что е сравнимо с Re"1 или б. («Начальным» может быть любой момент времени, от которого хотят приступить к вычислению последующего процесса.) Хотя два указанных уравнения выведены для конкретных случаев, следует подчеркнуть, что они возникают в самых различных физических ситуациях (см. гл. VIII, в которой можно иайти другие примеры), так что в известном смысле они вообще типичны для нелинейных диссипативных и диспергирующих систем.

Метод возмущений

«Метод многих масштабов», который мы используем для вывода уравнений, предполагается асимптотически правильным для больших значений времени, когда е, Re-1 и б ->0. Этот метод широко используется, но, подобно многим асимптотическим теориям, он не имеет строгого математического обоснования. В данном случае ограничиваются предположением, что «если метод работает, то он правилен». Метод многих масштабов мы используем здесь для систематического сведения системы уравнений, зависящих от нескольких малых параметров, к уравнению для одной неизвестной функции. Используемый нами метод представляет собой модификацию схемы Таниути и Вея [1] н основан на идеях, изложенных в работах Кеворкяна [2], Коула [3] и Лика [4] (см. также статью Лика [5]).

1а. Метод двух масштабов:

Прежде чем вводить нашу модельную систему уравнений, проиллюстрируем вкратце необходимость применения нескольких временных масштабов на более простом примере одного уравнения

〃/ + £〃 = сМи,(1)

где L — линейный оператор, содержащий только преобразования по координате х, М ——некоторый другой, возможно нелинейный, оператор и € ——малый параметр.

Для простоты рассмотрим начальную задачу, когда иа действительной оси ——8V%Voo задана функция и(х, 0) = f(x),

причем существует преобразование Фурье f(k) = , f (х) e~ikx dx.

Будем предполагать, что фурье-образом для L〃 является йо(&)〃«;/), где й — фурье-образ функции и(х, /). Это выполняется, например, в случаях, когда L ——дифференциальный оператор или интегральный оператор типа свертки.

Пытаясь решить уравнение (1) с помощью обычного метода теории возмущений, представим и в виде ряда

«(х, /； С) = £ е% (х, 0，(2а)

П=0

которому соответствует фурье-образ

五(/;局 е)=玄 ％(/; Е).(26)

П=0

Следовательно, применяя к уравнению (1) преобразование Фурье, получаем—

必 + 心(^) й = Ел 山.(3)

Подставляя (26) в (3) и приравнивая нулю коэффициенты при различных степенях €, получаем, что первыми двумя уравнениями из бесконечной последовательности уравнений являются 初+心的厶=。(4)

и_

〃U + is (田讪=Muq.(5)

Предположим, что выполняется равенство

Мй0 = im (k) йо,(6)

которое справедливо, например, для линейных* операторов того же класса, что и L, или (после некоторого обобщенного определения преобразования Фурье) при выполнении условий «нелинейного резонанса», обсуждаемых в гл. VII.

Решение уравнения (4), удовлетворяющее начальному условию, записывается в виде

厶=f (用心他也

Подставляя й0 в (5), получаем следующее уравнение:

% +心3) ai = ifm (田e-加尼)£;

оно имеет решение

щ =百m的5g(可(7)

при нахождении которого мы использовали начальное условие 场(0；紛=0.

Таким образом, когда используются первые два члена в разложении (26), решение записывается в виде

u = f (1г)е~^Ч\ +ietm(k)+ ...],(8)

и, следовательно, относительная погрешность, вносимая при отбрасывании второго члена, имеет порядок О(с/). В полном решении (2а) для широкого класса функций m(k) это приводит к той же самой относительной погрешности. Погрешности такого же порядка нередко можно ожидать и при пренебрежении членами более высоких порядков.

Если /= 0(£一1), то для фиксированного е произведение €/ уже не является малым и решение в виде ряда (2) более несправедливо. Запись решения в виде (8) означает, что и зависит не только от переменной 玄 которую мы теперь будем называть быстрым временем, а также от величины е/, которую обозначим через т и назовем медленным временем. Сущность метода многих масштабов состоит в том, что формально вводится медленное время и 〃 предполагается функцией трех независимых переменных: %, f н т = ", т. е. координаты х и двух временных переменных:

〃(修 /; £)= U“，z, т; е).

Рассматриваемый метод《работает》，когда соответствующим выбором зависимости U от т может быть найден регулярный ряд по € для U, причем разложение справедливо на временах порядка €-1. Таким образом, предполагается, что функция V (х, f, т; €)представима в виде ряда (2а), причем ее фурье-образ

0(/, т; fe； €)= S eZ“(f, Т； k).(9)

Заметим, что производные по времени имеют вид

厶=z+ £(.(Ю)

Подставляя ряд для U(tt т; k; €)в уравнение (3) и учитывая (10), находим уравнения для первых двух коэффициентов:

U% + i(a(k)UQ — 0

н

几+心(盼区=im他)UQ - %

Решение для UQt удовлетворяющее начальному условию, имеет ВИД

UQ = f(k)AQ(x;盼

Оно совпадает с прежним решением, за исключением того, что теперь появился коэффициент Л0(т;归).Если не считать ограничения 4о(О；左)= 1, налагаемого начальным условием, этот коэффициент является пока произвольной функцией от т. Используя эту неопределенность, можно сделать решение справедливым вплоть до t = О(€-1)- Правая часть уравнения для 0】, приводящая к указанному выше затруднению, записывается теперь в виде

fi^e-^^lim^Ao^]献一A)J.

Она обращается в нуль, если

4 =m々)级E(曾，

и, чтобы удовлетворить начальным условиям, мы должны выбрать b(k) = 1. Тогда ряд (9) принимает вид

[J — f ^ехр {— z [Z® (々)—тги(^)] } + 毛4 (т；盼？一江8闵 + ….(11)

Во многих случаях такой процесс может быть продолжен неограниченно, а если это так, то ряд (9) справедлив в любой момент времени. Выполняя эту процедуру, мы определим Лп(т; k) из уравнения для 0^+】и т. д.

Заменяя т на €/ и считая ef малой величиной, можно показать, что первый член в (И) сводится к первым двум членам ряда (8) с той, однако, существенной разницей, что разложение (11) справедливо при / =。(€一1), тогда как ряд (8) на таких интервалах времени расходится.

16. Преобразование систем уравнений

Рассмотрим теперь такие системы нелинейных уравнений, зависящих от одного или более малых параметров, которые при обращении в нуль всех этих параметров допускают решения в виде незатухающих и нерасплывающихся волн. Как и в предыдущем разделе, независимыми переменными являются время t и единственная пространственная координата х. Предположим, Что систему уравнений можно записать в виде

m

U/ + С (и) • Ux = Л lift®* (и, X, 0,(⑵

где и — вектор-столбец

а С ——матрица порядка NXN, зависящая только от и, коэффициенты 模在一малые параметры, а ©^ — некоторые векторные операторы, действующие (не показано в явном виде) на и и зависящие от и, х и 力 Например, S^ может быть равен I • (d2u/5x)2, где I — единичная матрица.

Предположим, что волновое движение представляет собой небольшое возмущение некоторого состояния ис, определяемое параметром с [следовательно, ис считается решением, так что Фй(ис, х, t) = 0]; попытаемся найти разложение и вблизи ис по малому параметру в виде

u = Uc + e{uo + eui+ ... + Е H/U/+1 + •••}；(13)

здесь опущены члены, пропорциональные квадрату и более высоким степеням е и 模坛(Во избежание вычислительных затруднений обычно рассчитываются только члены, выписанные в явном виде.) Подставляя выражение (13) в уравнения (12) и пренебрегая членами высших порядков, находим

и” + С (uj • и% = 0.(14)

Будем считать, что при е ->0 система уравнений (12) допускает решение в виде волн, и предположим, что матрица С разложима в ряд:

С (ис + € {и0 + ...}) = Со + €С] (и0,吗 +

где С。= С(ис)—матрица с постоянными коэффициентами, имеющая ^ действительных и различных собственных значений 九 1,...,九n； другими словами, можно написать следующее равенство:

Со • 4f = хг4/,(15)

где 4f — собственные векторы-столбцы, соответствующие 九爾 Решение уравнения (14) записывается 'в виде

此=%U (х —九 М),(16)

где 4/ и X/ удовлетворяют /15); это можно проверить подстановкой решения (16) в ураякение (14), которая дает

[-儿乙+ e0•力]=0;

здесь Xi — x ——AN. В силу равенства (15) решение (16) содержит произвольные функции U(X。； в частности, при N = 2 оно представляет собой общеизвестное элементарное решение линеаризованного волнового уравнения. Приступая к рассмотрению приближения более высокого порядка, мы сосредоточим свое внимание только на одном из N решений (16). В дальнейшем предполагается, что выбрано одно решение, и мы будем опускать индексы у выделенной пары (X, 4). Имея сразу ^ собственных значений, мы должны ограничиться либо асимптотическим поведением единственной моды по истечении длительного интервала времени, либо решением с начальными условиями, соответствующими одной бегущей волне (16). В последнем случае начальные данные должны обеспечивать зависимость решений в нулевом приближении только от х — X/, и чаще всего методы многих масштабов применяются при решении уравнений в частных производных в рамках этого ограничения. Для решения общей начальной задачи требуются все ^ собственных значений. Подход, приводящий к решению, равномерно пригодному во времени для произвольных начальных условий, рассматривается в работе Чиквенду и Кеворкяна [6]. Граничные условия также могут потребовать использования более чем одной моды. Лессер и Сибасе [7] и Ханг и Сибасе [8] решали две такие задачи с помощью связанных асимптотических рядов; однако для решения подобных задач более естественным представляется метод многих масштабов.

Уравнения, содержащие члены более высокого порядка, получают подстановкой ряда Q3) в (12) и приравниванием коэффициентов перед & Ni, • ♦・，卩?冷 Поскольку ©* (uc； % 0 = О, предположим, что 毓 обладает следующим свойством: ©ft(uc + eu0, х, t)= eDZl(uc, u0, x, f)+ ... . При этом условии искомые уравнения записываются в виде

и” + С。•叽=—Cjfuo, “)• u% (17a) и

u〃 + С。■ U/x — D/_] (tic u0> X, /), j==2, ... а /и + 1. (176)

По-видимому, каждое из векторных уравнений (17) можно разрешить относительно N входящих в него неизвестных функций. Однако без введения многих временных масштабов в (16) решение пригодно только на интервале времени /《模一1 где 卩=max {& 模1, •••,模m}. Чтобы пояснить это утверждение, рассмотрим уравнение для uj. Поскольку u()= 4U(x — W), удобно преобразовать координаты следующим образом:

(18)(18)X — х--九/;

(18)

(18)

тогда уравнение (17а) принимает вид

и” + (Со 一 入I) • u1% = — Ci(u(), uj ■ u0%,

где I — единичная матрица. Если это уравнение умножить слева на собственный вектор-строку /, соответствующий собственному значению X, т. е. на вектор, который удовлетворяет уравнению

/ ' (Со — XI) = 0,

то получим следующее уравнение:

Вообще говоря, / • Ci • u0% =/= 0, и, поскольку правая часть зависит от X,

/ • U = -" • G •叭，

как и для рассмотренного выше неравномерно сходящегося ряда (8).

Любое из уравнений (17) может привести к такому же затруднению. Однако теперь мы знаем, как преодолеть это затруднение. Для каждого малого параметра введем медленное время

,厶 1(19а)

а быстрое время обозначим через то = /, так что после преобразования координат (18) получаем*

备=备+ ё备+£也託； (196)

Произвольная функция U не зависит явно от то, но теперь может зависеть от т；, / ^ 1. Уравнения (17), записанные для переменных (X, to, th 3+1)， где 6=1, ..., т, преобразуются к виду

ич< + (С。_ 砌• ％х = _ q • %х _ %,

И

%+к + (С。- X) • %+Dx = DM", %, х, 0- %+；

Умножение на вектор-строку / приводит к тем же трудностям, что и прежде, если правая часть не ортогональна вектору /, т. е. если не выполняются условия

/ • С • aUx + / • %U叫=0

И(20)

/ • D/г •々и”*] = 0, fe = 1, ..., m;

здесь для и。мы использовали выражение (16). Поскольку функция U(X, ть ..., Тт) произвольна, можно удовлетворить условиям ортогональности (20), если потребовать, чтобы функция U определялась из (20). Поскольку величины т丸 связаны с /, зачастую удобнее «реконструировать» одно уравнение, описывающее поведение функции U во времени. Используя равенство (196), получаем следующее уравнение:

Li

Его решение обеспечивает применимость u0 на интервале вре” мени порядка О(€一】+ 卩「〔 + • • • + Ц"1) (предполагается, что все величины, линейные относительно параметров с или 卩门 больше чем любые их квадратичные комбинации относительно этих параметров).

/в. Уравнения Бюргерса и Кортевега — де Вриза

Уравнения газовой динамики для диссипативных сред, а также уравнения, используемые в теории волн на мелкой воде, записываются в виде уравнений (12) с операторами, которые удовлетворяют определенным условиям, рассмотренным в п. 16. Например, для газовой динамики

\ о о\ о о

\ о о

\ о о

(здесь у — отношение удельных теплоемкостей, которое является константой для данного газа). Собственные значения матрицы Со равны +1, —I и 0, а векторы, полученные *транспонирова- нием собственных векторов системы, записываются как (1, 1, 0), (1, —1, 0) и (—1, 0, 1). Собственные значения ±1 соответствуют скорости звука в невозмущенной среде, а третье (нулевое) собственное значение ——переносу энтропийных возмущений. Нас интересует распространение звука. Выбирая направление распространения звука в сторону увеличения %, т. е. полагая X = 1, имеем соответствующий собственный вектор-строку / = (1, 1, 1). В плоском случае помимо параметра с имеется только один малый параметр 卩，который в соответствии с принятым в механике сплошных сред обозначением равен 怏]= Rb* т. е. величине, обратной числу Рейнольдса. Оператор D] записывается

следующим образом:

ООО

D,(u) =

4

о y + v. 0

JU 。書

здесь число Прандтля Рг и отношение v# сдвигового и объемного коэффициентов вязкости предполагаются постоянными. Поскольку

'、Di = (4" + v.+ ^Д) Uxx，，4 = 2, (/ • С, • 4)= (у + 1)(/,

то уравнения (20) принимают вид

^Ti + у (у + 1) UUX = 0 и

几=4■传 + V. + *^) Uxx・

Таким образом, «реконструированное» уравнение представляет собой уравнение Бюргерса

Ut + € ^^ UUx = J G + V* + "^Д) Re-Uxx・

Как будет показано ниже, волны на мелкой воде описываются системой двух уравнений (в приближении Буссинеска), для которых

Cl(： I)' G(u) = (；2 小

Эти уравнения зависят от € и от единственного малого параметра 卩 1, характеризующего условия распространения; при этом оператор D】имеет вид

】(吁c

Собственные значения матрицы Со равны 入 в 1,入=—1； им соответствуют транспонированные векторы-столбцы (1, 1) и (1, —1) и собственные векторы-строки (I, 1) и (1, —1). Таким образом, выбирая Z = I, причем …=2, 宀• J = — (厶大大,

/ • Ci • 4 = 317, соответствующие уравнения (20) можно- записать в виде

^, + |^х = 0

И

^т2 + у Uxxx = 0,*

а реконструированное уравнение представляет собой уравнение Кортевега — де Вриза

Диссипативные эффекты в газовой динамикеи уравнение Бюргерса

Уравнения газовой динамики представляют собой систему квазилинейных гиперболических уравнений. Такие системы обсуждались в предыдущей главе. При этом нестационарные уравнения механики невязкой сплошной среды были должным образом включены в более полные уравнения вязкой среды. Одно из замечательных уравнений механики сплошной среды — уравнение Бюргерса — дает прекрасную иллюстрацию такого вклю~ чения. Это уравнение описывает движение слабо нелинейных волн в газах, когда необходимо учесть эффекты диссипации в первом приближении. В пределе исчезающе малой диссипации оно обеспечивает правильную интерпретацию решения в случае невязкой среды. Это уравнение имеет богатую историю, обсуждать которую, у нас здесь нет возможности. Оно было предложено Бюргерсом [9] как модельное уравнение для описания одномерной турбулентности. Лайтхилл [10] показал, что при правильной интерпретации это уравнение пригодно для описания распространения плоских волн небольшой амплитуды.

Ниже мы выведем уравнение Бюргерса для одномерных не- установившихся движений газа с плоской, цилиндрической и сферической симметрией. Пространственную координату обозначим через г. Нас интересуют движения с малой амплитудой, характеризуемой параметром е; плотность 0, скорость ® (в направлении оси г) и энтропия § являются безразмерными и определяются следующим образом:

0 = Р*(1 + ер), V = ea^v, § = s^ + есра.

Индекс « указывает невозмущеиные значения, которые будем считать постоянными, а — скорость звука, а Ср — удельная теплоемкость при постоянном давлении. Соответствующие безразмерные независимые переменные определяются так» что рассюя-

ние измеряется в единицах характерной длины волны /, а время—в единицах характерного периода времени, за которое волна распространяется на расстояние /:

r = xl, 丄力

Соответствующей мерой величины / служит отношение / ==« =vmhkc/ (5v/5r)MaKc, которое характеризует максимальный наклон профиля скорости. (Синусоидальная волна имеет длину 2л/.) В этих обозначениях нестационарные уравнения Навье — Стокса записываются в виде

uz + С (и) • Ux « Re-1 [D! (и) + О (х;2и, *”与，eu^)] + x~>D2(u, х),

(21)

где и — вектор-столбец, составляющими которого являются искомые переменные, a D?——вектор-столбец, определяемый геометрией задачи:

0

% /[1 +€P]v\

*D2(u) = —° 丿;

здесь / = 0, 1, 2 для движений с плоской, цилиндрической и сферической симметрией соответственно, а матрицы С н D】имеют вид

1

€V

1 + €р

0

с (u) = 1

1 + ет

1 + €р

«V

1 +日

1 1

0

0

ev

1

0

0

0

Di(u)==

0

0

明

1

Y-1

Рг

0

告

Входящая в матрицу С безразмерная температура Т связана сайр соотношением

exp (т)匸а I .

Наряду с малым параметром €, характеризующим амплитуду волны, мы имеем и другие малые параметры: параметр х~5 =〃盡, определяемый начальным движением, которое может быть обусловлено, например, движением поршня по закону rp(t) [при-

чем 乙 «)《&], а также параметр Re-1 =模Jp*aJ, где 模* — вязкость, так что Re-1 есть отношение вязких сил к инерционным. В воздухе при нормальных условиях (на уровне моря) число Рейнольдса Re。2-107/, где / измеряется в метрах. Другие параметры, входящие в (21), — отношение удельных теплоемкостей у, отношение сдвиговой и объемной вязкостей v* и число Прандтля Рг — величины порядка единицы. Для воздуха при довольно широко изменяющихся условиях у = 1,4 и Рг = 0,72, тогда как параметр %, который учитывает в многоатомных газах потери вследствие перехода энергии трансляционного движения к колебательному движению молекул, заметно меняется в зависимости от концентрации водяного пара. Мы не выписали здесь полностью правую часть уравнения (21), поскольку в нашем приближении мы пренебрегаем членами третьего порядка малости.

2а. Уравнение Вюраерса

Наша цель состоит в изучении поведения и структуры волновых движений, описываемых уравнением (21). Здесь мы ограничимся рассмотрением наиболее простой формы волнового движения, отражающей все основные свойства уравнения (21), т. е. влияние нелинейного члена C(U)-Ux и очень малой величины его правой части. Таким образом, рассмотрим следующую модельную задачу. Пусть плоский, цилиндрический или сферический поршень, расположенный в начальный момент времени в точке г =厂卩》/, совершает колебательное движение с небольшой амплитудой £rp(t). Малый параметр %]', входящий в уравнение (21), равен 1/гр. Это движение порождает волновое возмущение, которое в первом приближении удаляется от поршня со скоростью звука в невозмущенной окружающей среде. Вопрос состоит в следующем: как ведет себя волна во все последующие моменты времени?

При ^! — Re-1 и 模2 = %,‘ система уравнений (21) соответствует уравнениям (12). Используя прием, изложенный в разд. 2, находим, что uo = U(х ——W) 4. Для Со имеются три различных собственных значения: ±1 и 0; им соответствуют собственные векторы-столбцы (транспонированные) (1, ±1, 0) и (—1, 0, 1), которые в нулевом приближении описывают две звуковые и одну энтропийную моды. Для нашей модельной задачи собственной модой является звуковая волна, распространяющаяся в положительном направлении. Таким образом, полагая X = +1, имеем

(v) = U(x —/)(1 } (22)

здесь функция U определяется движением поршня. Результирующее движение представляет собой плоскую волну, распространяющуюся со скоростью звука в невозмущенной среде и не искажающуюся .вследствие нелинейных эффектов или вязкости. Естественно, нельзя надеяться, что такой результат справедлив и в точках пространства, удаленных от поршня； мы знаем, что в этих точках амплитуда должна существенно зависеть от геометрии движения, и, как указывалось выше, нелинейные эффекты высшего порядка окажут в конце концов заметное влияние уже в первом приближении. Это приведет к обострению профиля волны и в результате к увеличению роли вязкой диссипации.

Прежде чем приступить к применению формального подхода, изложенного в разд. 1, заметим, что окончательный результат — уравнение Бюргерса — почти немедленно следует из уравнений (21), если ввести новые координаты | = х — / и т = е/. Тогда при X = 4-1 система уравнений (21) принимает вид

(С (и) — I) • ug + €ux = Re~1 [Dj (u) + О(е2 -^г. с_,抬)]+

+ %丁 2(11, В (23)

Поскольку оператор Со ——I сингулярен, то система уравнений в приближении низшего порядка, получаемая из (23), т. е.

—р^ +v^ = O(e, Re-1),р&-幾 + 恥= 0(3 Rl】)，

—a^ = O(Re-1),

является переопределенной. Из первых двух уравнений следует, что р = V, и переопределенность исключается суммированием всех трех уравнений. Результирующая сумма правых частей при р = V образует следующее уравнение для р и v：

+ 41V貝 + ^ = "^传+% + ^^卜我.(24)

Это и есть обобщенное уравнение Бюргерса, применяемое для описания движений с цилиндрической и сферической симметрией.

Возвращаясь к общей схеме, введем медленные времена в соответствии с выражениями (19а). Учитывая, что х = X + ^ — =X + %「тз, и замечая, что

/.& y = (y + 1)U(X),/ ・D尸 © + % +、「)0(Х)хх,

/川2= —/[q + x/X厂 и / • 4 = 2,

получаем следующие три уравнения:

4 + IWx = 0,

4一T Uxx =。

и

^+4^-=о,

(25а)(256)(25в)(25а)(256)(25в)где мы ввели обозначения Г = (у + 1)/2 hx = ~ + v* + (y — 1)/Рг и пренебрегли величиной х~]Х по сравнению с т3.

(25а)

(256)

(25в)

(25а)

(256)

(25в)

Таким образом, мы получили систему трех уравнений для U, последовательно описывающих зависимость U от различных временных масштабов, определяемых тремя параметрами т Физические масштабы времени даются выражениями

причем они соответствуют: 1) времени, в течение которого волна распространяется на расстояние / с максимальной скоростью возмущения； 2) времени, в течение которого волна расплывается в пространстве на расстоянии порядка /)； 3) времени распространения волны на расстояние гр. Реконструированное уравнение, соответствующее системе (25), записывается в виде

Uf + ^rUUx ^~- U = ^-Re~lUXXf(26)

что при % = et эквивалентно уравнению (24).

26. Эволюция профиля волны

Характер изменения формы волны зависит от соотношения между временами 九,査 и ^з- Если время f? значительно меньше, чем ?ь то волна достаточно быстро затухает и нелинейные эффекты вообще несущественны. К затуханию волны, обусловленному вязкостью, будет добавляться ослабление, связанное с геометрической расходимостью волны. При этом асимптотическое поведение волны определяется обоими временами f? и f§ независимо от того, какое из них меньше. Из второго и третьего уравнений (25), беря их в любом порядке, находим

Uh(r)T/2 f (x,r)j(27)

здесь функция / удовлетворяет уравнению (256). В этом частном случае решение (27) уравнений (256) и (25в) тождественно решению реконструированного линейного уравнения

也+二业(28)

Of 十 / 2f "匕 2 ОН •№丿

Заметим, что в этом уравнении геометрические и диссипативные эффекты существенно разделяются, что иллюстрируется естественным образом выражением (27), полученным с помощью процедуры использования нескольких масштабов времени.

Наша основная цель состоит в изучении нелинейных волновых явлений. Как уже отмечалось, если f?《G, то решение дается выражением (27) и нелинейные эффекты проявляются как эффекты высших порядков. Однако если 厶 W f2> то нелинейные эффекты существенны почти для всех моментов времени и, как мы увидим ниже, правильный временной масштаб для диссипативных эффектов больше не равен f2, а зависит от Л.

В соответствии с уравнениями (25) можно ожидать, что геометрические и нелинейные эффекты также разделяются и решение первых двух уравнений в любом порядке дает один и тот же результат. Например, при ?3《fi из уравнения (25в) находим

и(х, % %) =『/2尸(X, %).

При этом первое уравнение (25а) сводится к уравнению

4 +『2Г"х = о,

которое имеет общее решение (в неявном виде)

F = ^(X-IT 卜『/2 dtj,

где 歹—произвольная функция своего аргумента. Это решение получается непосредственно с помощью метода характеристик для уравнений первого порядка и может быть проверено прямой подстановкой. На рассматриваемом большом временном интервале необходимо учесть непостоянство времени тз- Наоборот, если &《Ез, то из (25а) имеем

и(х, %, R)=-g(x —r\ud…з),

где g — произвольная функция своего аргумента, a U、как мы и ожидали, зависит от тз- Поскольку мы интересуемся временными масштабами, сравнимыми с тз, то интеграл по ri не равен Ur, так как нужно учесть зависимость т» от ть Из уравнения

(25в) следует, что u£‘ не зависит от тз- Таким образом, U = g= x-i^h(X - Риту、吋№dt J .

Следовательно, во всех случаях на интервалах времени, сравнимых с наибольшим из 匕 и 厶，решение имеет вид

и(X, 0 = (—)"2^[x-eVUt112и(X, 0 = (—)"2^[x-eVUt112(29)(29)

и(X, 0 = (—)"2^[x-eVUt112

и(X, 0 = (—)"2^[x-eVUt112

(29)

(29)

где 歹 определяется начальным (при f=fo) условием: U(X, £()) =А(Х). Конечно, такое же решение дает комбинированное уравнение

而+ /所+ ьu»-0,而+ /所+ ьu»-0,(30)(30)

而+ /所+ ьu»-0,

而+ /所+ ьu»-0,

(30)

(30)

которое описывает волновое движение при f3,九《^2, когда f3 и G сравнимы друг с другом.

Масштабы координат X и t мы выберем так, что X измеряется в единицах максимального градиента величины U. Тогда в соответствии с (29) U должна стать многозначной по прошествии такого времени, за которое CUt32\t~”dt станет порядка единицы (при фиксированном 。〃倒)，или когда

j = 0, / = 1, / = 2.j = 0, / = 1, / = 2.eL⑶[1п/]/(/~!)/2 = О(1), если, конечно, этому процессу (увеличению крутизны фронта) не препятствует диссипация за счет вязкости, учитываемая вторым из уравнений (25). Следовательно, это уравнение справедливо на временном интервале £；, определяемом выражением

j = 0, / = 1, / = 2.

j = 0, / = 1, / = 2.

〔筛 exp (；),〔筛 exp (；),1，

〔筛 exp (；),

〔筛 exp (；),

Этот временной интервал более точно отражает то время, на котором нелинейные и, следовательно, диссипативные эффекты существенно влияют на уменьшение амплитуды наряду с эффектами геометрической расходимости. При € = 0,1 времена, в течение которых фронт волны становится круче, равны соответственно f], 10 3 и 2-103 九；для е = 0,01 они равны fb 100 & и 2,7-1041 厶.Таким образом, диссипативные эффекты выступают на передний план за время, наименьшее из 为 н £；• Однако если *2》f\ то из уравнения (26) следует, что необходимо учесть

б Зак. 547

вязкость только в небольшой области около крутого участка волнового фронта.

На временах, сравнимых с наибольшим из £» £； и £з, должны учитываться все уравнения (25), если только не выполнено условие 厶《%,——случай, который мы рассмотрим первым. Таким образом, при ?2 ^ h волны должны описываться уравнением (26). Обозначая £ = т/еГ и 6 = х/(с Re), уравнение (26) можно представить в виде

и 什公 U + UUxTUxx.(31)

В пределе б->0 решение (31) дается выражением, эквивалентным (29):

т*и (X, т)=尸(х — Ut〃2 !「//2 d).(32)

Многозначность решения (32) устраняется введением разрывов, т. е. ударных волн. Для любого 5 > 0 эти разрывы должны иметь непрерывную структуру, определяемую балансом между членами с производными по X в уравнении (31). Очевидно, что безразмерная толщина разрыва представляет собой величину порядка 0(5). Таким образом, введение разрывов приводит к физически правильному описанию решения с помощью (32) при 6 — + 0, и уравнение (30) при г = сП должным образом включается в более полное уравнение (31). (См. гл. III, п. 4г.) Изменения (скачки) физических переменных при переходе через разрывы можно определить, решая уравнение (31) и переходя в решении к пределу 60.

Другой возможный подход, исследуемый здесь, связан с предельным гиперболическим уравнением, поичучаеглым из (31) при 6 = 0. При этом мы должны допустить, что соответствующие законы сохранения совместны с законами сохранения, получаемыми из полного уравнения, если предельное уравнение должным. образом включается в более полную модель. Для возмущений, исчезающих достаточно быстро при \Х\ -> оо, закон сохранения может быть найден интегрированием (31) по всем значениям X. В результате имеем

т〃2 \ у(^( r)dX = const.(33)

Таким образом, если в начальный момент времени задана форма волны 尸(&), то ее искажение в последующие моменты времени описывается выражением (32), как показано на фиг. IV. 1.

Фиг. /У. / Искажение начальной формы волны вследствие нелинейных эффектов.

Однозначность в решении достигается введением таких разрывов, которые сохраняют площадь под кривой в соответствии с формулой (33).

Структура слабых ударных волн

Структура разрывов, или ударных волн, может быть определена в системе отсчета, движущейся вместе с разрывом (с его заранее неизвестной скоростью), до тех пор пока его толщина остается малой по сравнению с масштабами, характеризующими градиенты потока впереди и позади разрыва. Таким образом, введем координату W =(X ——、俨dt)/6, которая «движется» с неизвестной скоростью ударной волны В и растягивает масштаб X так, чтобы он соответствовал масштабу структуры ударной волны. Это позволяет записать (31) в виде

-夕 q + Ua 一扌 %L 6 口+差 0],

откуда видно, что в первом приближении структура ударной волны не зависит от т. Предполагая, что значение U равно нулю перед фронтом ударной волны (g -> оо) и стремится к значению Us (изменяющемуся со временем) позади ударной волны (С + ——оо), после однократного интегрирования получаем, чт<： 少==U3/2. Вторичное интегрирование дает

U = q【l+exp(UQ]T=；a|，_th 毕].(34)

Это выражение описывает в исходных переменных структуру волны, движущейся со скоростью a* + (F/2) vs, где va— скорость

б*

потока за фронтом волны, с характерной толщиной области «максимального наклона》А = $5，(@0/6г)макс, определяемой равенством

R池厶=陪 =4以 (35)

Для воздуха на уровне моря эта толщина изменяется примерно в пределах (5 4- 50) (а*/%) • 10-7 м. Формула (34) была впервые получена Тейлором [11].

2г. Асимптотическое поведение волны

До тех пор пока толщина ударной волны остается много меньше, чем расстояние, на котором поток вне ударной волны заметно изменяется, фронт волны можно рассматривать как разрыв. Отсюда следует, что волна будет искажаться так, как показано на фиг IV. 1, и, после того как неоднозначность устраняется введением ударных волн, превращается в пилообразную или, как в указанном здесь случае, в волну, имеющую форму буквы N (N-волна). Последующее поведение такой пилообразной или N-волны определяется простым геометрическим построением до тех пор, пока волна не затухнет настолько, что станет существенной структура ударной волны. Таким образом, на значительном этапе своей эволюции волна искажается так, как показано на фиг. IV. 2. Волна будет состоять из треугольных элементов, аналогичных элемснгу, показанному при т = тз В любой последующий момент времени т такой элеменч удлиняется, но при этом остается трехзначным треугольным импульсом с той же самой амплитудой. Разрыв вводится так, что функция F = =工力2〃 превращается в однозначный треугольный импульс длиной но с меньшей а?лплитудой. Заметим, что в соответствии с условием (33) площади треугольников 丄о尸о,/2 и 厶尸/2 должны быть одинаковыми; из геометрии решения ясно, что 尸(；：(丄^ 十 + 尸о \ 厂"2 由)=尸：L и, следовательно,

*=(次 i=[l+屮

Для больших т и до тех пор, пока толщина ударной волны мала по сравнению с L, имеем

齐〜"％т/4(]пт)Т(/т)“ и 去〜т%-〃4(1пт)/(/т)/± (33)

Таким образом, амплитуда ударной волны уменьшается как 「％, г""% и【1(1111；)-%, в то время как общая длина волны увеличивается как т1/2, хк и (In т)1/2 для / = 0, 1 и 2 соответственно.

Во всех случаях, за исключением одномерного движения только с положительной полярностью (U^O), ударная волна в конце концов расплывается так, что толщина разрыва сравняется с длиной Л, связанной с величиной (vr)MaKc, позади фронта ударной волны. На этом этапе все члены в уравнении (31) играют одинаковую роль, а формулы (36) более не применимы. В дальнейшем нелинейные члены уже несущественны, и асимптотическую формулу для затухания на заключительном этапе получаем из уравнения (28):

" ~ (-) 灰■丁хр (飞^) ； (37)

здесь 4 —площадь, равная ) U (X, т*Х. При этом мы ирсд- 0

положили, что начальные условия приводят уа нелипейном этапе к симметричной N-волне.

Поведение волны описывается решением (37) вместо (36) тогда, когда длина волны сравнима с толщиной разрыва, т. е. когда число Рейнольдса, связанное со скоростью позади разрыва и длиной волны, сравнимо с числом R6v$ /^4乂, определяемым выражением (35). Для произвольного импульса удобно ввести «локальное» число Рейнольдса R:

欠=七卜亿 f)dr = eRe § U(X, т)(/Х;

здесь г^ 『2 ——координаты соседних нулей функции v, а Ль X?—— координаты соседних нулей функции U(x, т). Интегрируя (31) в пределах между последовательными нулями, находим

4-(R/2)=优 т 1%(%，т) — Ux (乂，廟・ (38)

Для импульса только с одной полярностью, для которого всюду U》0 (или U & 0), имеем Uх(Х\% т) = 0 и /? ^ тг^/2. В этом случае (при / = 0) мы видим, что R——постоянная величина и в поведении волны здесь нет никакого перехода к линейной акустике вязких сред, описываемой выражением (37). Когда импульс с ударным фронтом движется в невозмущенной среде, мы имеем Ux(%2, т) = 0, и из фиг. IV. 2 можно видеть, что на интервалах времени т》5

—Т~ —1

4(Х，Т)= %(Х，^)^2 1 + %(Х，TJ 嗜，广〃 2 力.

здесь tn ——момент времени, при котором волна имеет показанную на фигуре треугольную форму (как бы половина N-волны). Подставляя этот результат в выражение (38), можно определить значение R в последующие моменты времени； в случае т》в для 7? 3> 1 находим

(39)(39)

(39)

(39)

здесь Rn — локальное число Рейнольдса, соответствующее т = =tn. В соответствии с выражениями (39) локальное число Рейнольдса уменьшается от значения Rn до тех пор, пока условие R》1 не перестанет выполняться. В конечном счете решение описывается формулой линейной акустики вязкой среды, и, используя выражение (37) для Ux(Xi,t) в (38), мы находим, что t»2r = const + 乂匸一％. Из линейного решения следует, что константа должна быть равна нулю; отсюда окончательно получаем

(40)(40)/ Тс、Н+/)；2

(40)

(40)

Как показали численные расчеты [12], для случаев / == I и / = 2 формула (39), основанная на предположении R》1, оказывается справедливой при уменьшении R до единицы или меньшего значения.

2д. Преобразование Хопфа — Коула

фа ——Коула 4)= expf-y \фа ——Коула 4)= expf-y \Проведенное нами изучение одномерных волн небольшой амплитуды дает довольно полную картину их поведения в любой момент времени, исключая этап перехода от волны, описываемой формулой (36) с умеренным значением числа Рейнольдса, к волне с малым значением числа Рейнольдса, которой соответствует выражение (37). К счастью, для одномерного случая можно выяснить и эти детали, применяя преобразование Хоп- U dx), благодаря которому при / = О

фа ——Коула 4)= expf-y \

фа ——Коула 4)= expf-y \

уравнение (31) сводится к уравнению теплопроводности для $1). Таким образом, можно решить начальную задачу, и ее решение записывается в виде

ООООU(X,T)= WU(X,T)= Wе“ {^ [、° (弘 °)з -е“ {^ [、° (弘 °)з -(X — g)22т(X — g)22т］卜］卜8/「8\ exp ]^[\ U (y, 0) dy —8/「8\ exp ]^[\ U (y, 0) dy —(Х—&)2(Х—&)22т2т

ОО

ОО

U(X,T)= W

U(X,T)= W

е“ {^ [、° (弘 °)з -

е“ {^ [、° (弘 °)з -

(X — g)22т

(X — g)22т

］卜

］卜

8/「8

\ exp ]^[\ U (y, 0) dy —

8/「8

\ exp ]^[\ U (y, 0) dy —

(Х—&)2

(Х—&)2

2т

2т

волны в любой МО- ЧИСЛО Рейнольдса, дается формулойволны в любой МО- ЧИСЛО Рейнольдса, дается формулойЭто решение полностью описывает структуру мент времени. Найдено [10], что локальное соответствующее выражениям (39) и (40),

волны в любой МО- ЧИСЛО Рейнольдса, дается формулой

волны в любой МО- ЧИСЛО Рейнольдса, дается формулой

R{ 1 + (?У [ехр (粤)一 1]卜

которая подтверждает правильность выражений (39) и (40) в соответствующих случаях, однако добавочных деталей мы не могли бы почерпнуть без полного решения (31). Это решение оправдывает все наши результаты (для / = 0) и дает замечательно точное описание сложного нелинейного физического явления. Некоторые математические сложности, возникающие для неплоских движений, хорошо видны после следующей замены

1) При /3。соответствующнй результат записывается в виде

переменных: V = UP" и Г = J x~^2dx. С учетом этой замены уравнение (31) принимает вид

Vr + VVx = ^g(T)Vxx,

где g(Г) = Т/2 для / = 1 и g(T) — exp Г для / = 2. Последнее уравнение может служить в качестве другого возможного инструмента при получении результатов для j = 1 или / = 2, но при этом физический смысл уравнения не столь ясен, как в случае (25в).

Волны на мелкой водеи уравнение Кортевега — де Вриза

В задачах о волнах на воде обычно исходят из класса уравнений эллиптического типа, которые вообще считаются не совместимыми с явлениями распространения волн. Распространение волн на воде ——это поверхностное явление, которое связано не с природой гидродинамических уравнений, а обусловлено граничными условиями. Движение жидкости в отсутствие вязкости и сил, вызывающих вращение, при условии, что начальное возмущение безвихревое, описывается уравнением Лапласа. При таких допущениях, а также в предположении, что движение является двумерным, уравнения, которые нам нужно рассмотреть,—это уравнение Лапласа

①①勿=0(41)

и уравнение Бернулли

ф^ + y (①;+ %)+ "^ + gy =尸 e)；(42)

последнее уравнение связывает потенциал скорости Ф, давление р (деленное на плотность р) и ускорение свободного падения g, направленное.в сторону отрицательных у. Пусть невозмущенная свободная поверхность —оо V % V оо расположена на высоте у — h над твердым дном у = 0. В уравнении (42) функция F(t) произвольна и может быть исключена переопределением Ф. Для вектора скорости имеем (u, v) = grad Ф.

Соответствующее граничное условие в отсутствие вязкости и поверхностного натяжения записывается в виде

①八招 0, £) = 0(43)

(нет потока жидкости через дно); при этом на свободной поверхности у = у" (х, /) должны выполняться условия постоянства давления и, кроме того, кинематическое условие, которое требует, чтобы частицы, расположенные на поверхности ж и а- кости, всегда оставались на ней. Последние два условия можно

записать в виде уравнений

p (修 У* (修 0, 0 = 0

勿+炉么=吃

где звездочкой обозначены функции, найденные при у =乡*(х, £)• Если мы сперва вычисляем давление на свободной поверхности и затем дифференцируем по х, то получается выражение, отличающееся множителем от производной вдоль свободной поверхности, которая должна обращаться в нуль.

Полагая в уравнении Бернулли р/р = 0 при у =，\ получаем условие

Ф： + |(u*2 + v*2) + g/ = 0.(44)

За. Волны бесконечно малой амплитуды

Предположим, что свободная поверхность испытывает очень небольшое возмущение, т. е.

/ (х, /) = й[1 + €п (х,处

причем е->0. Отсюда очевидно, что Ф = 0(e) и, следовательно, удобно положить Ф = сф. Любую гидродинамическую переменную (скажем, f) на свободной поверхности можно представить в виде разложения в ряд Тейлора около ее значения на невозмущенной свободной поверхности “ = 0; невозмущенные значения обозначим индексом 0. Таким образом,

f (招 у\ /) = f (修瓦 D + fy (x，瓦 z) €询 + • •. = A) + (fjo /n + …•・

Разделив уравнение (41) на е, получим уравнение для потенциала

Фхх + М = 0，

а кинематическое условие и условие для давления записываются соответственно в виде

询t —(仇)о — / [(^уу)о П —(力#)0 Лх] + ° (d)(45)

и

(%)о + g力n — 一 € [(」"^」也 + 力n(%土) J +0停)，(46)

Волны бесконечно малой амплитуды описываются уравне ниями, которые получаются из уравнений (42). (45) и (46), есл ■

в них положить с = 0. Эти уравнения записываются следующимв них положить с = 0. Эти уравнения записываются следующимобразом:

в них положить с = 0. Эти уравнения записываются следующим

в них положить с = 0. Эти уравнения записываются следующим

勿％ + 脇=0,(47а)

”Лт]# — фу U> Л, /) = 0,(476)

%(х, Л, /) + ghx\ = 0,(47в)

丸(％ 0, /) = 0.(47г)

Разделяя в этих уравнениях переменные и записывая нх в виде n=n0(*A®f),，==%(“)糜出-砒}, получаем следующее решение:

% = 0ch ky,

% =瑞 Dch%

где D — произвольная (комплексная) константа, удовлетворяющая уравнению

шЛ Ash^Л\/т]оА•

igh о ch АЛ / L D)— °*

Решение существует, только если детерминант, составленный нз элементов матрицы, равен нулю, что приводит к дисперсионному соотношению

®2 == gk th АЛ.(48)

Следовательно, волны на воде обладают дисперсией.

36. Длинноволновое приближение

Задачи о волнах на мелкой воде соответствуют случаю, когда длина исследуемой волны / велика по сравнению с глубиной воды 瓦 или 良//《1. Поскольку 2 = 2冗/方，то условие мелкой воды записывается как 左九《1. При этих условиях дисперсионное соотношение (48) хорошо аппроксимируется несколькими членами его разложения в ряд Тейлора:

02 == gh^ [ 1 - }(九同2 + 0 [信九丹]

Поскольку kh -► 0, фазовые скорости с = ®]h определяются вы- пажинием

с = ± “ g%

и, следовательно, представляют скорости распространения очень длинных волн. В этом приближении дисперсионное соотношение имеет вид <о2 = ghk^, т. е. в данном предельном случае диспер-

сия отсутствует. Однако если учесть члены с малым, но конечным kh, то для фазовых скоростей получим

с = *==士“g%{l — -g-(左九)2 + О [(左九 У]}.

Отсюда мы видим, что если пренебречь в разложении функции (о(й) членами порядка (左九)％ то дисперсионному соотношению соответствует (см. гл. V, стр. 152) дифференциальное уравнение

也 士 “恥{ Wx + 4- ^ххх } = О,

которое представляет собой линеаризованное уравнение Кортевега ——де Вриза.

Основная идея теперь состоит в том, чтобы учесть ненулевую амплитуду(€ =/= 0), а также ненулевое волновое число (kh #= 0), используя нечто вроде разложения вблизи решения, соответствующего е = 0 н 々九=0. Это впервые было сделано Кортеве- гом и де Вризом [13]. При этом удобно перейти к безразмерным величинам, используя «естественные» физические масштабы, соответствующие линейному случаю. Определим следующие величины:

У =九У, X п Z, |Х =—

и разложим Ф в ряд по степеням 快：

①=〃 “証00 (У)尸0 & т) +快部2 (У)尸2怎т) +

+ Л(П尸重，T)+。(圜}.

Уравнение Лапласа в безразмерных координатах записывается в виде

①"+快uh-0.#

Подставляя сюда разложение ①,можно показать, что решение для 力2п(У), удовлетворяющее граничному условию Фу(х, 0, f)= =0, записывается в виде

а 尸2n удовлетворяет соотношению

2" 0書

Определяя функцию 卜(自,七)三戶°* н используя граничные условия (45) и (46), получаем уравнения

% + 几 + е "唳=^■卩2几诂 + О(€|?)(49а)

и

乙+以+ €ь人=4■n2几坛+0(€快2),(496)

которые соответствуют приближению Буссинеска [14] для мелкой воды.

Для решения уравнений (49) применим метод, изложенный в разд. 2 (при этом обозначим 快i = 快?/2):

Собственные значения матрицы Со равны 九=士1. Выберем Л = 1 и рассмотрим волну, бегущую вправо, обозначая

Х = з — т.

Это позволяет записать вектор и в виде

где скалярная функция U должна удовлетворять следующим условиям разрешимости:

& = — у UU х(50а)

и

А = — $ Uххх •(506)

«Реконструированное» отсюда уравнение Кортевега — де Вриза записывается в виде

S + ^"4 +*4хх = 0・(51)

Если 9е 《 卩2, то поведение функции U во времени определяете^ уравнением (506), причем преобладает зависимость У от медленного времени т2. Линейное уравнение (506) описывает волны с дисперсией, поэтому U уменьшается со временем по мере того, как возмуидение расплывается. Следовательно, нелинейный член представляет собой всегда лишь небольшую по-

правку в уравнении (51), которое с хорошей точностью можно заменить уравнением (506) для всех значений времени.

Однако если 9е》ц2, то нельзя получить правильного описания процесса для всех значений времени с помощью только одного из двух уравнений (50). В этом случае вначале U изменяется во времени в соответствии с (50а), т. е. преобладает изменение, связанное с медленным временем ть В зависимости от ^начального» возмущения величины U, рассматриваемой как функция от X и Т], величина U либо будет представлять собой семейство расплывающихся простых волн, либо иметь участки с нарастающей крутизной и стремиться стать неоднозначной. В последнем случае, который, в частности, имеет место для любого начального возмущения величины U、стремящегося к нулю при |Х|->8, получаемое таким образом решение справедливо только на конечном интервале времени. Ясно, что по мере увеличения крутизны волны производные по X значительно возрастают и в конечном счете член FU小 должен стать сравнимым с С\「 Для таких интервалов времени мы должны использовать полное уравнение (51). Если многозначность решений уравнения (50а) должна устраняться с помощью ударных волн, как это было показано в разд. 2, то из (51) должны вытекать соответствующие законы сохранения, связывающие величины по обе стороны от разрыва. Это означает, что уравнение (50а) следует рассматривать как частный случай более общего уравнения (51).

Тогда возникает вопрос: допускает ли включение уравнения (50а) в (51) образование ударных волн? Чтобы ответить на такой вопрос, перепишем уравнение (51), положив

В результате получаем следующее уравнение:

[7丁 + UU х —七 U ххх・(52)

В случае, представляющем интерес, 16|《1, н』ш хотим выяснить, стремятся ли решения уравнения (52) при 6 #= 0 к ударным волнам, которые являются решениями предельного уравнения (6 = 0) при 6 -> 0. Мы рассмотрим этот вопрос в п. Зг.

Зв. Стационарные волновые решения уравненияКортевега — де Вриза

Стационарные волны — это волны, которые распространяются с постоянной скоростью без искажения формы. Такие волны можно найти с помощью замены

Х = Х — ВТ,

0"а. IV. 5 Кубический полином 尸(L/), определяющий характер стационарных волн.

詈е S^—неизвестная скорость волны, подлежащая определению. Делая такую замену в уравнении Кортевега — де Вриза (52)* мы получаем обыкновенное дифференциальное уравнение ，

W = (〃_?)%(53)

где штрих обозначает дифференцирование по ».

Интегрирование этого уравнения дает

6u7屮一如小1；

зпесь Ci — произвольная постоянная интегрирования. Умножая последнее уравнение на U，и снова интегрируя, находим

(О)=尸长 U「夕炉 + cQ 十 3] •(54)

Действительные решения существуют только для таких U, для которых'

6一力(U) = 6-[%03 — ?炉 + cj + з]》0.

Полином P(U) может иметь один или гри действительных корня. В случае только одного корня никаких ограниченных решений не существует. Предположим поэтому, что Р имеет три действительных корня U\ & U? w Ug, т. е. можно записать что 尸=%(。一 Ui) (U—U2) (U 一 “)• На фиг IV. 3 построен график полинома 尸(U) для трех возможных случаев: в случае А все корни различны, в случае В совпадают U2 и t/3, а в слу* чае С совпадают U\ и U?、

В предположении, что 6 > 0 (ниже мы укажем, какие требуются изменения, если 6 < 0, как в случае волн на воде), решение может существовать для тех участков кривых А, В, С, для которых P(U) неотрицательно. Двойные корни Р на фигуре соответствуют значениям U либо на «начальной», либо на «конечной» точках интегральной кривой (54). В таких точках U'= О, U" == 0, и из (53) следует, что все производные от U равны нулю. Следовательно, постоянное значение U, соответствующее двукратно вырожденному корню, равно точному значению интеграла уравнения (53). Отсюда следует, что непостоянное решение стремится к значению двукратно вырожденного корня только асимптотически при Х->8 или при »-► — оо.

Рассмотрим точку, скажем /, вблизи простого нуля на кривой А и будем считать, что Uf(Up) > 0 (см. фнг. IV. 3). Поскольку (/'> 0 е области (Up, U^, то U будет увеличиваться с ростом X, но, так как Р имеет конечный отрицательный наклон в этой части кривой, то U" V 0 и поэтому U' должна уменьшаться. В точке 〃2 производная Uf уменьшается до нуля, но U" остается отрицательной. Следовательно, с увеличением ¥ величина U' становится отрицательной, и решение «отражается» от точки 〃2, возвращаясь по тому же пути на кривой А. Таким образом, положительная часть кривой А, расположенная между двумя точками, в которых Р принимает нулевые значения и наклон кривой отличен от нуля, представляет собой решение для и(»), осциллирующее между двумя значениями Ui и U&

Осциллирующие решения можно найти в явном виде через эллиптическую функцию Якоби сп z следующим образом:

и =厶 一 (4 - Ui) cn2(«^^N I m);(55)

здесь параметр /и дается выражением

Определение функции сп (и\т) можно найти # в справочнике ([15], §§ 6.1 и 7.2) !)- Функция сц2(〃|/и) является оциллирую- щей между нулем и единицей с периодом 2К(т), где К(т)—— полный эллиптический интеграл первого рода (см. [15], § 17.3).

Периодическая волна (55) называется «кноидальной»; ее длина волны равна 2 V 12d/(L73 ~U}) К (/и). Для частных значений /и = 0 и т — 1 функция сп(и\т) и, следовательно, решение (55) описываются более простыми функциями, а именно: еп(и|0) = cos и и сп (и| I) = sch и. Амплитуда й колебаний от-

На русском языке имеется обширная литература по эллиптическил; функциям (см., например, [22*]).——Прим. ред.

носительно среднего значения и = (。1 + 弘)/2 равна а — =(〃2——Ui)/2. Для волн малой амплитуды колебания становятся синусоидальными, так как при m О

и 〜U - & cos(2% " и/|)

Рассматривая кривую В на фиг. IV. 3, мы видим, что при 斤一> —оо возможно решение, стремящееся к U3. При движении вдоль кривой В оно уменьшается до U、、причем в этой точке решение снова «отражается» и при »f оо возвращается вдоль В к значению “. График зависимости такого решения от » выглядит как простая симметричная яма (или, если 6 < 0, как горб). Эта волна имеет неограниченную длину и называется «уединенной» волной 3). Можно показать, что уединенная волна дается выражением

U = 5 — — UJ sch2 (jf 4^g)

[для данного случая U2 = U3, и интегрирование выражения (54) производится элементарно]. Этот результат также можно получить из (55), если U2 стремится к U3, так что m -> 1 и, следовательно, cn (/z|/n)-*sch и. Поскольку ^(m)-> оо при т + 1, то длина кноидальной волны в предельном случае, когда она становится уединенной волной, стремится к бесконечности, как уже было отмечено. При этом величина а = U3——U\ представляет собой амплитуду уединенной волны, т. е. высоту горба (или глубину впадины) относительно U°.

Кноида^ьные и уединенные волны лучше всего, по-видимому, изучены в случае волн на мелкой воде. Всесторонний обзор теории таких волн с разъяснением их физического смысла дан Бенджаменом и Лайтхиллом в работе [16].

Остается обсудить случай, соответствующий кривой С на фиг. IV. 3. В этом случае, как иногда говорят, возникает «гидравлический прыжок». Гидравлический прыжок——аналог ударной волны на воде — представляет собой разрывное возмущение, соединяющее две полу безграничные области, в которых U принимает различные значения. Как видно из фиг. IV. 3, в случае С два сопряженных таким образом значения 0 равны U{ и У3. Од на ко последнее значение не является возможным решением, так как здесь U"，0. Единственным решением в случае С является только одно постоянное значение U = U「Действительно, даже

')Такую во门н\ ceii'uic приня 1 о набивать солиiоном (см. гл. VIII настоящей KiiiiiH). — HptiM. рсд.

если уравнение (53) допускает разрывные решения, то полином P(U) принесет, по-видимому, мало пользы при их описании, таП как этот полином получился после двух интегрирований, в которых не приняты в расчет неизбежные разрывы в производных Uf и

Следовательно, имеются только два решения (в виде непрерывных волн), не равные всюду константе, — это кноидальные волны в случае А и уединенные волны в случае В. Скорость волны 夕 связана с корнями U】，U2 H / выражением

俨=4(s+&+uj

(здесь мы учли, что коэффициент перед квадратичным членом в кубическом полиноме равен сумме его корней, взятой со знаком минус).

Подставляя выражение для » и обобщая на случай как положительных, так и отрицательных 6, запишем окончательные формулы для кноидальных и уединенных волн:

и =

=t/ +-|4|-^{1 - сп2[д/^5Т(х-р + щ^^а1]7')|/п]} (56)

И

0 = 4-瑞 sch2〔\/WEx +[貝鳥-闻 Т)]・(57)

В выражении (56) три независимых параметра U], U2 и °з, которые до сих пор характеризовали кноидальные волны, заме- иены другими тремя эквивалентными произвольными параметрами: U (средний уровень колебаний), о」 (амплитуда, определяемая как полусумма отклонений вверх и вниз) и m (параметр, принимающий значения от нуля до единицы) Аналогично, в решении (57) для уединенной волны два различных параметра Ui и 弘 заменены одним невозмущенным значением, обозначенным геперь через Uq.

Выражения (56) и (57) показывают, что как скорость, так и форма волны зависят от амплитуды возмущения и параметров невозмущенного состояния, на фоне которого распространяется BOJH3. Появление зависимости от амплитуды — это, очевидно, особенность, обусловленная нелинейностью. В отличие от обсуждавшейся в гл I и II строго линейной (частотной) дисперсии, связанной с длиной волны, зависимость скорости от амплитуды названа «амплитудной дисперсией». Конечно, необходимо помнить, что нелинейные волны, вообще говоря, не подчиняются npitHUHIiy CyHCpnO3UWUL

За. Допускает 力〃 уравнение Кортевега ——де Вризаударную волну при 6 -> О?

В гл. III и разд. 2 настоящей главы мы показали, что уравнение

UT + UUX = 0(58)

имеет решения с разрывами. Такие решения могут представлять предел гладких решений более общего уравнения [например, уравнения Бюргерса (31)], когда некоторый малый параметр стремится к нулю. Так, при соответствующем использовании законов сохранения получают, что решения предельного уравнения (58) представляют собой предел решений, например, уравнения Бюргерса. Кроме того, разрыв в решениях уравнения (58) можно заменить гладким переходом, таким, как решение (34).

Уравнение (58) является предельным также для уравнения Кортевега — де Вриза, когда дисперсионный параметр 6 стремится к нулю. Поскольку решения предельного уравнения должны содержать ударные волны, если они сохраняют смысл после первого пересечения характеристик, то интересно знать, являются ли такие решения пределами решений уравнения Кортевега —— де Вриза. Иными словами, выполняется ли равенство lim U(X, Т； 8)~ U(X, Г; 0)? В связи с этим возникает также во- прос о том, может ли переход к уравнению Кортевега — де Вриза заменить разрыв гладким переходом. Согласно эвристическому рассмотрению, которое мы проведем ниже, решения уравнения Кортевега ——де Вриза при 6->0 не стремятся к решениям, описывающим ударные волны в обычном смысле. Поведение этих решений при таком предельном переходе еще не очень хороша понято, и мь^отсылаем читателя к гл. VIII, стр. 240, где обсуж* даются некоторые из возникающих возможностей. В этой связи представляет интерес также модельное уравнение, исследованное Яджимой и др. [17].

Обратимся снова к законам сохранения. Если рассмотреть начальное условие U (X, 0) = /(Х), такое, что интегралы

Мо=，UQ(X)dX

£о= \ ^厌(X)dX

являются конечными, то, интегрируя уравнение (52), нетрудно показать, что, подобно уравнению Бюргерса, в уравнении Корте-

вега — де Вриза сохраняется «импульс», поскольку

方,U(X, 7)dX = 0 или Mm , U(X, T)dX^M0.

Однако в отличие от уравнения Бюргерса, если" умножить уравнение (52) на U н затем его проинтегрировать, то мы видим, что в уравнении Кортевега ——де Вриза сохраняется также «энергия» £:

Заметим, что уравнение Кортевега — де Вриза является особым в том смысле, что ему в действительности соответствует бесконечное число законов сохранения (см. гл. VIII), но для наших целей достаточно первых двух.

Предельное уравнение (58) может обеспечить сохранение импульса или энергии, но не обеих этих величин сразу. Посему оно связано с уравнением Бюргерса, а не с уравнением Кортевега —де Вриза. Чтобы в этом убедиться, предположим, что для решения уравнения (58) требуется ввести ударную волну. Для простоты будем считать, что нужен только один разрыв, распространяющийся со скоростью ^ = Х8(Т). Интегрируя уравнение (58) в пределах от —оо до оо и изменяя порядок интегрирования [с учетом существования разрыва в точке Х§(Т)], находим 察十口[5= [U?],

где [f] = f(X8 +)——f(X$——)—скачок функции f при переходе через разрыв. Поступая аналогичным образом с уравнением, получающимся после умножения уравнения (58) на U, получаем 罢+外％吗=4"].

В физических задачах (например, в газовой динамике) М обычно соответствует импульсу, который сохраняется, в то время как Е соответствует кинетической энергии, которая не обязана сохраняться- Положив dM/dT = 0, мы гем самым определяем скорость ударной волны, равную (в данном случае)

夕=夕=工=4 w•工=4 w•欧］欧］

夕=

夕=

工=4 w•

工=4 w•

欧］

欧］

筹Н±[53,筹Н±[53,

筹Н±[53,

筹Н±[53,

Подставляя 夕 в уравнение для энергии, получаем скорость уменьшения энергии

которая обязательно должна быть отрицательной.

То, что dE/dT = 0 для всех 6，0, но имеет конечное отрицательное значение при 6 = 0, показывает, что решение, получаемое в пределе д -> 0, не стремится к решениям предельного уравнения и, в частности, не содержит ударных волн.

Другой возможный подход (см. [18]) состоит в том, что можно попытаться заменить разрыв гладкой функцией, определяемой уравнением Кортевега —- де Вриза. В этом случае мы предполагаем существование гладкого перехода между двумя различными состояниями, толщина которого стремится к нулю с уменьшением 6. Толщину такой переходной области будем обозначать через А(6), причем А->0 при 6fo. Перейдем от координат X, Т к «растянутым» координатам, движущимся с ударной волной, положив

— (Т)

где Х$(Т)——(неизвестная) траектория движения ударной волны. Тогда для функции U(^, Т) уравнение Кортевега ——де Вриза (умноженное на А) принимает вид

必-24〃_0_夕)ut = \uT.

При 6fo правая часть этого уравнения обращается в нуль. Нетривиальным является только такой выбор А, когда А = = 0(6%), поэтому без потери общности можно положить А = =6% и перейти к пределу 6 fo. Переменная Т теперь входит только как параметр в функцию 夕(Т), и предельное удивление записывается в виде

八其一(U —9) и* = 0.

Это уравнение есть не что иное, как стационарное уравнение Кортевега — де Вриза (53). Граничные условия в растянутых координатах записываются следующим образом: U U^ при 匚一> оо и U f U? при ^ ->—оо. Однако решениями уравнения (53) являются только кноидальные и уединенные волны, и- нег никаких решегшй, которые могли бы удовлетворить граничным условиям, необходимым для существования ударного фронта. Следовательно, уравнение Кортевега — де Вриза не способно обеспечить существование ударной волны, и его решения не содержат решений предельного уравнения (58).

Зд. Сравнение Кортевега — Ое Вриза — Бюргерса

В физических задачах встречается несколько обобщений уравнения Кортевега — де Вриза. Упомянем только одно из них, а именно уравнение Кортевега—де Вриза — Бюргерса:

〃т 十 UUх = 6Qxx + 4Uххх* (69)

Мей [19] и Джонсон [20] вывели уравнение (59) для различных физических ситуаций. Его стационарные решения удобно рассматривать на фазовой плоскости (после интегрирования по X), но окончательное решение теперь нельзя записать в квадратурах. Эти решения подробно обсуждаются в обзоре Джеффри и Какутани [21], где можно также найти много дополнительных сведений об уравнении Кортевега — де Вриза и других уравнениях для волн с дисперсией.

ЛИТЕРАТУРА)

Taniuti Г., Wei C.-С., Journ. Phys. Soc. Japan, 24, 941 (1968).

Reductive perturbation method in nonlinear wave propagation. I.

Kevorkian Л, Lectures in Applied Mathematics, 7, Space Mathematics III, Providence, R. I.: Amer. Math. Soc., 1966, pp. 206—275.

The two variable expansion procedure for the approximate solution of certain nonlinear differential equations.

Cole 丄 D, Perturbation Method in Applied Mathematics, Waltham, Mass: Blasdell, 1968 (см. перевод: Дж. Коул, Методы возмущений в прикладной математике, изд-во《Мир», 1971).

Lick W.y SIAM Journ. Appl. Math., 17, 815 (1969).

Two-variable expansions and singular perturbation problems.

Б. Lick 吃，Annual Review of Fluid Mechanics, 2 (eds. M. Van Dyke et al.), Palo Alto: Annual Reviews, 1970, pp. 113—136.

Nonlinear wave propagation in fluids.

Chikwendu S. C., Kevorkian J., SIAM Journ. Appl. Math., 22, 235 (1972).

A perturbation method for hyperbolic equations with small nonlinearities.

Lesser M. B., Seebass R., Journ. Fluid Meeh., 31, 501 (1968).

The structure of a weak shock wave undergoing reflection from a wall.

Hung С.-Л1., Seebass R. (в печати), 1973.

Reflection of a weak shock wave with vibrational relaxation.

Burgers J Adv. Appl. Meeh., 1, 171 (1948).

A mathematical model illustrating the theory of turbulence (см. перевод в сб. «Проблемы механики», ИЛ, 1955, стр 422).

Ю. Lighthill М. Л, Viscosity in waves of finite amplitude, в книге «Surveys in Mechanics» (eds. G. Batchelor and R M. Davies), Cambridge, Cambridge University Press, 1956, pp. 250—351.

Taylor G. Proc. Roy. Soc., A84, 371 (1910).

The conditions necessary for discontinuous motion in gases.

Sachdev P. L., Seebass R., Journ. Fluid Meeh., 58, 197 (1973).

Propagation of spherical and cylindrical N-waves. *

Korteweg D.丄，de Vries G., Phil. Mag., 39, 422 (1895).

On the change of form of long waves advancing in a rectangular canal, and on a new type of long stationary waves.

Boussinesq 丄，Journ. Math. Pares Appl., 17 (series 2), 55 (1872).

Theorie des ondes et des remous qui se propagent le long d'un canal rectan- qulaire horisontal, en communiquant au liquide contenu dans ce canal des vitesses sensiblement pareilles de la surface au fond.

Abramowitz M., Stegua /. 4, Handbook of Mathematical Functions, New 'York： Dover, 1965, Also available as AMS 55 (1964) from Superintendent of Documents, U. S. Govt. Printing Office, Washington, D. C

Benjamin Т. 8r Lighthill Л1. /., Proc. Roy. Soc., A224, 448 "954).

On cnoidal waves and bores.

Yajima M, Outi Д., Taniuti T., Progr. Theor. Phys., 35, 1142 (1966).

A model of the dispersive nonlinear equation.

Гельфанд И. M., Успехи матем、наук, 14, 87 (1959).

Mel С. С., Journ. Math, and Phys., 45, 266 (1966).

Nonlinear gravity waves in a thin sheet of viscous fluid.

Johnson R. £, Journ. Fluid Meeh., 42, 49 (1970).

A nonlinear equation incorporating damping and dispersion.

Jeffrey Д., Kakutani Г., SIAM Review, 14, 582 (1972).

Weak nonlinear dispersive waves: a discussion centered around the Korte- weg — de Vries equation.

22* Градштейн И. С., Рыжик И М., Таблицы ин1е1ралов, сумм, рядов и произведений, «Наука», М., 1971.

ГЛАВ А V

Волны с дисперсиейи вариационные принципы')

Джералд Б. Уизем

Волновые движения можно разделить на два основных класса. Первый из них называется «гиперболическим», поскольку он описывается уравнениями в частных производных гиперболического типа, а второй ——«дисперсионным», так как в простейших случаях ему соответствует превращение локального возмущения в расплывающийся волновой пакет. Вообще говоря, волны с дисперсией не описываются гиперболическими уравнениями, и довольно сложно найти связь между математической структурой соответствующих уравнений и характерными свойствами этих волн. Рассматриваемые два класса волн не всегда имеют хорошо выраженную границу. У студентов иногда создается впечатление, что математическая теория гиперболических уравнений дает очень сложное описание волнового движения и охватывает все случаи, тогда как использование синусоидальных решений вида

с последующим суммированием фурье-компонент или без него представляет собой элементарный подход к решению того же вопроса. Возникновение недоразумения связано с тем, что простое волновое уравнение можно решить, используя оба подхода. Однако каждый из этих способов соответствует различным классам волнового движения. Кроме того, хотя с решением гиперболических уравнений связаны многие волновые задачи, по-види- мому, можно утверждать, что они не составляют большинства. Так, в известном примере волн на воде (рассматриваемом в гл. IV) исходным является уравнение Лапласа с необычными граничными условиями на свободной поверхности.

Настоящая глава отражает основное содержание курса лекций, прочитанных в Корнельском университете в 1969 г. Первоначально она была написана как статья для седьмого тома книги «Studies in Mathematics», изданной Американским математическим обществом в 1971 г. Автор выражает благодарность за разрешение воспроизвести эту статью в данной книге.

Работа финансирова.лась Управлением морских исследований ВМФ США.

Теория гиперболических уравнений с присущим ей исследованием характеристик, образования ударных волн в нелинейных задачах, слабых разрывов и т. п. хорошо разработана. Но даже для волн в линейных диспергирующих средах вопрос об общей форме уравнений и основных особенностях их решений оказывается гораздо более сложным. В случае нелинейных волн в диспергирующих средах такие вопросы почти не рассматривались. Однако за последние несколько лет степень изученности как линейных, так и нелинейных волн в диспергирующих средах значительно возросла. Это привело к частичной унификации различных точек зрения и методов вычислений. В настоящей главе даемся обзор некоторых достижений в этой области и в первую очередь тех из ннх, которые способствовали такой унификации и возможному обобщению на нелинейные задачи. Новым элементом в математическом описании волн является применение вариационных принципов.

L Волны в средах с дисперсией

Изучение волн с дисперсией начнем с бегущих периодических волн, которые в линейной теории являются синусоидальными и могут быть представлены в комплексной форме:

и (%, /) = a然3一叫(1)

I де а,电 со ——действительные постоянные. Здесь а ——амплитуда, k — волновое число (имело колебаний на пространственном интервале 2л), а со — частота (число колебаний на временном интервале 2冗).Фазовая скорость волны с = 3限 Частота s и волновое число k связаны дисперсионным соотношением

G®, /?) = 0,(2)

где функция G определяется из исходных уравнений задачи. В качестве примеров приведем уравнение балки

〃“ + Y ① хххх = о,(3)

для которого

G (со, h)т8 一 Y2佗4 = q

Линейное уравнение Кортевега ~ де Вриза записывается следующим образом:

〃士 + аих + В〃к*# = 0,(4)

при этом

0 (со, к)三з - a内 + 0欠-0.

Ни одно из этих дифференциальных уравнений не относится к гиперболическому типу. Более того, решения в виде волн могут

допускать также интегральные уравнения. Например,

以+ \ К(% — Е)瓏& 0^ = 0,(5)

G(s, 々)м со\ /<©2-‘麻或=0,(6)

или

〃"一，К1(х —Е) 〃迂 & f)由=0,(7)

фазовая скорость ^(x) и, обратно,фазовая скорость ^(x) и, обратно,с 伍)представ- ядро К (%) яв-с 伍)представ- ядро К (%) яв-G(co, ^) = о2 — ' \ K](+e-^d； = 0・(8)

фазовая скорость ^(x) и, обратно,

фазовая скорость ^(x) и, обратно,

с 伍)представ- ядро К (%) яв-

с 伍)представ- ядро К (%) яв-

Следует заметить, что в (6) ляет собой фурье-образ ядра ляется фурье-образом с(佗)：

К(х) = *，с 曲户 dh.К(х) = *，с 曲户 dh.(9)(9)

К(х) = *，с 曲户 dh.

К(х) = *，с 曲户 dh.

(9)

(9)

Аналогично, ядро Ki(x) в уравнении (7) есть фурье-образ величины с?(尼).Эти свойства полезны при составлении дифференциальных уравнений, которые будут приводить к данному дисперсионному соотношению; соответствующие ядра К или К\ определяются по данной функции c(k) и используются в уравнениях (5) или (7). Если c(k) описывается полиномом, как в случае уравнений (3) и (4), то ядра Л и ^l содержат 6-функцин и (5) и (7) сводятся к соответствующим дифференциальным уравнениям.

В линейной теории волн на воде имеются элементарные решения, которые приводят к выражению (1) для высоты поверх* ности воды относительно невозмущенного уро^я; при этом дисперсионное соотношение записывается в виде

G (со,尼)ws? — gk th kh == 0, (10) где h — глубина невозмущенной жидкости, a g ——ускорение свободного падения. В исходные уравнения наряду с координатами х и f входит вертикальная координата р, однако зависимость от у не носит волнового характера. Соответствующая линейная задача для волн на воде сформулирована в гл. IV, разд. 3.

Такое разнообразие уравнений, описывающих волновое движение, показывает, что их общим свойством является скорее виj. дисперсионно! о соотношения, чем тип уравнения. В линейных за-

дачах дифференциальные уравнения можно, пожалуй, рассматривать просто как «источники» соответствующего дисперсионного соотношения, отводя дифференциальным уравн-ениям второстепенную роль. Как отмечалось выше, по дисперсионному соотношению всегда можно восстановить связанное с ним дифференциальное уравнение. Для линейных уравнений в частных производных вида

р(^，言)

[см., например, уравнения (3) и (4)] дисперсионное соотношение имеет простой вид:

Р(—沁，ik) = О

с очевидным соответствием

между этими уравнениями. Ясно, что если в дифференциальных уравнениях Р — полином, то мы всегда имеем полиномиальные дисперсионные соотношения. Уравнение (10) является трансцендентным вследствие того, что зависимость от у не описывает волнового движения. Вывод интегрального уравнения (5) с помощью (9) и (10) был выполнен Уиземом [I] и Селиджером [2].

Обобщение на двух- и трехмерные случаи осуществляется непосредственно подстановкой в уравнения (1) и (2) волнового вектора к, что дает

u = aelG®, к) = 0. (11)

Фазовая скорость равна по величине с = ф/| к| и имеет направление вдоль волнового вектора к.

В линейных задачах более общие решения получают с помощью суперпозиции решений (1) или (11) с различными волновыми числами к и соответствующими частотами со(к), удовлетворяющими дисперсионному соотношению. В тех случаях, когда фазовая скорость не одинакова для всех значений к, мы имеем дело с «дисперсией». При этом спектральные компоненты, составляющие любое заданное возмущение, будут распространяться с различными скоростями, и возмущение расплывается («диспергирует»). Условие наличия у волн дисперсии удобно также определить с помощью корней s(k) дисперсионного соотношения (слегка изменив при этом определение). Будем считать, что линейные волны обладают дисперсией, если

Dei J 叫内 J，。・ (12)

В одномерном случае условие (12) записывается в виде со"他)*0. (13)

Разумеется, эти величины могут обращаться в нуль для отдельных значений к или предельных значений к -► 0 и к -> оо. Условие (13) почти эквивалентно неравенству cf (k) #= 0t за исключением случая, когда s = a^ + 6，для которого s" = 0, но с'力 0. Впрочем, этот специальный случай не подлежит рассмотрению, поскольку в нем отсутствует какая-либо реальная дисперсия. Следует отметить также, что обычное волновое уравнение, для которого s = 土а&, не содержит волн с дисперсией. Спектральный подход, использующий гармонические решения уравнения (1) и последующую суперпозицию таких волн, дает правильные результаты, но дисперсия при этом отсутствует. Свойства волн в более общих случаях, когда со"(左)力 0, мы рассмотрим в следующем разделе.

Дисперсионное соотношение, используемое при получении общих решений методом Фурье и, как мы увидим ниже, в более непосредственных асимптотических методах, позволяет провести общее исследование линейных задач. Однако этого явно недостаточно для решения нелинейных задач. Можно сформулировать задачу о волнах с дисперсией, исходя из существования периодических волн, аналогичных (I), но суперпозицию фурье- компонент нельзя использовать для последующих операций.

Вероятно, впервые нелинейные волны с дисперсией были рассмотрены Стоксом в 1847 г. в связи с его исследованиями волн на воде. Для этих волн он нашел решение нелинейной задачи, используя разложение всех величин в ряд по степеням амплитуды, причем равномерная сходимость рядов обеспечивалась тем, что частота считалась зависящей от амплитуды. (Впоследствии этот метод стал известен как метод Пуанкаре!) В случае волн на глубокой воде соответствующие разложения для возвышения поверхности и частоты имеют вид

П = a cos (々х — со/) + -у 佗а? cos 2 (佗х ——со/) +

+ *^ 耻а cos 3 (kx —(о/) + ..., (14) (о2 = ^й + gk'c? + …一

(Здесь т] отличается множителем е/i от значений ”， использованных в гл. IV.) Основная идея исследования Стокса состоит в том, что дисперсионное соотношение учитывает амплитуду, т. е. фазовая скорость зависит как от волнового числа, так и от амплитуды. Ниже мы рассмотрим простейшие примеры, в которых результаты, соответствующие разложению (14), выражены в замкнутой форме. Уравнение Кортевега ——де Вриза (см. гл. IV

И VIII), которое приближенно описывает волны на мелкой воде, является одним из наиболее важных примеров такого рода. Его преимущество связано с тем, что можно исключить вертикальную координату и получить в результате простое уравнение для возвышения поверхности:

山 + (& + 叩)％ + 削 е = 0, (15) где с0 = V^» а = 3z?o/2/i, р= с0/г2/6. Решения для периодических волн имеют вид

П = т1 (0), В = ^х —①九 (16) Подстановка выражений (16) в (15) приводит к обыкновенному дифференциальному уравнению. После двукратного его интегрирования получаем

I 睞2 ("У = 4 + Bn + 4■(鴿 一 Со) * - ^ an3； (17) здесь А и В ——постоянные интегрирования. Решение можно записать через эллиптическую функцию Якоби сп 0; соответствующие этому решению волны Кортевег и де Вриз назвали «кноидаль- ннми》.В предельном случае [когда кубический полином в правой части уравнения (17) имеет двукратно вырожденный нулевой корень] получаем уединенную волну. (Эти волны были рассмотрены подробно в гл. IV, п. Зв.) Для периодических волн соотыошеиие между амплитудой (или модулем эллиптической функции) и параметрами ①，々 определяется дисперсионным уравнением

G(co, k, a) = 0. (18)

Можно сделать общее заключение, которое состоит в том, что признаком нелинейных волн с дисперсией является существование решения в виде периодических волн

〃 =U (0), Q = kx —叫 (19) где U——периодическая функция фазы 0; решение для U содержит в качестве параметра амплитуду а, и оно удовлетворяет дисперсионному соотношению вида (18). При этом оказывается, qto как U, так и G могут содержать и другие важные параметры.

Простейшим примером, который приобрел интерес в последнее время, может служить нелинейное обобщение уравнения Клейна ——Гордона:

〃力土 — ихх + V’ (〃) = 0. (20)

Это уравнение относится к гиперболическому типу, но нас интересует дисперсионное поведение волны вдали от ее фронта.

(Появление в одном п том же уравнении как «гиперболического», так и «дисперсионного^ поведения решений еще раз демонстрирует сложность проблемы классификации.) Периодические решения удовлетворяют уравнению

^-k^U^ + V^U^Q, (21)

первый интеграл которого записывается в виде

(22)

Постоянную интегрирования 4 можно использовать как параметр, эквивалентный амплитуде а. Уравнение (22) можно решить, причем для функции U (0) получим решение в неявной форме:

TTRHMw (23)

л/A-V (U)л/A-V (U)Период 0 будем считать равным 2л, тогда 々 н (о по-прежнему будут определять число осцилляций на интервале 2n по координате и времени. Таким образом, из (23) следует, что

л/A-V (U)

л/A-V (U)

(24)

здесь § означает интегрирование по периоду. Это и есть дисперсионное соотношение, определяющее связь между as, k А.

Следующий шаг состоит в том, чтобы использовать такие периодические волны для получения более общих (нестационарных) решений. Очевидно, что в линейных задачах общее решение находят методом суперпозиции спектральных компонент, т. е. используя фурье-синтез. Этот метод мы изучим в следующем разделе, прежде чем вернемся к рассмотрению нелинейных задач.

Фурье-синтез и асимптотическое поведение

Формально общее решение получают из pen/ения (1) с учетом дисперсионного соотношения (2) следующим образом:

Ц= ( F{k}el^wt}dk-,Ц= ( F{k}el^wt}dk-,(25)(25)

Ц= ( F{k}el^wt}dk-,

Ц= ( F{k}el^wt}dk-,

(25)

(25)

здесь (о — W(k)——некоторое частное решение дисперсионного уравнения (2). Полное решение представляет собой сумму членов, подобных (25), с одним интегралом для каждого из решений со= W(k) уравнения (2). Произвольные функции 尸(佗)определяются из соответствующих начальных или граничных ус-

ловий. Эти фурье-интегралы дают точные решения, но обычно довольно трудно выяснить их физическое содержание, и для последующего обобщения на нелинейные задачи мы попытаемся найти другие пути.

Чтобы понять основные свойства волн с дисперсией, начнем с рассмотрения асимптотического поведения решений при больших хи/. Для этого изложим здесь некоторые из результатов, полученных в гл. II. Нас интересуют бегущие волновые возмущения, зависящие от х — с/, при различных с. Таким образом, рассмотрим асимптотическое поведение решения (25), когда t-> со, но отношение хЦ остается постоянным. Запишем решение (25) в виде

J F(k)e~wdk,(26)

где

%® Н旷伐)一6?(27)

В нашем случае 无/f является фиксированным параметром и имеется только зависимость величины % от k. Интеграл в (26) можно исследовать, применяя метод стационарной фазы; в сущности, мы имеем здесь ту же задачу, для которой Кельвин и развил этот метод. Он доказал, что для больших значений / основной вклад в интеграл дает окрестность стационарных точек 左=А。，определяемых уравнением

/(fe0) =^(^)-^ = 0.(28)

Вне этой окрестности подынтегральная функция быстро осциллирует и дает лишь незначительный вклад в интеграл. Метод стационарной фазы и связанный с ним метод наискорейшего спуска, который проще использовать для построения полного асимптотического разложения, теперь являются стандартными. Первый член в асимптотическом решении имеет вид

" (X, f)〜尸(fe) « /1 j：盼 J exp [一枕(田 f - i * sign y"(左)]=

=尸(右)7 /1 U^(mT exP [/% - iK (改)f 一， T_ sig"取"(期]• ( 29)

В данном выражении k следует считать функцией й(х, /), определяемой из (28), причем мы опустили нижний индекс 0.

Выражение (29) играет важную роль, поскольку его можно записать так же, как и решение (1), в виде

u^aeiQ(30)

с тем существенным отличием, что величина а, а также 0Х и 8± теперь не являются постоянными. Действительно, поскольку

8 =々%一取他)厶

из уравнения (28) имеем

% =々 + {% — W (k)t}kx = k (х» 0，(31)

一仇=К ⑷一 {% 一 IT (k)t}kt = W 但).(32)

Таким образом, 9Х и ——0t имеют по-прежнему смысл волнового числа и частоты, но они не являются больше постоянными. В любой точке (х, /) они дают «локальное» волновое число и «локальную» частоту. Они по-прежнему связаны дисперсионным соотношением, а их изменения по х и / определяются формулой (28). Ясное истолкование этой формулы связано с вопросом: как должен двигаться наблюдатель, если он хочет следить только за одним конкретным значением 々】локального волнового числа? Ответ состоит в том, что ему следует придерживаться траектории

% =旷(自)九

Таким образом, наблюдатель должен двигаться с постоянной скоростью 取'(々1); это и есть групповая скорость. Полученный важный результат можно сформулировать в виде утверждения, что локальные волновые числа распространяются с групповой скоростью. Напротив, для того чтобы некоторая фаза 仇，например положение гребня, оставалась постоянной для наблюдателя, он должен двигаться с фазовой скоростью W(k)/k, где 々 определяется из равенства

仇=々尤一m(盼厶

и 今та фазовая скорость не является постоянной. Различие межд7 групповой и фазовой скоростями весьма существенно, и первая из них играет основную роль.

Комплексная амплитуда в выражении (30) записывается в виде

a = F(/), /|讃(粉[ exp [_勺 sign к"(同.(33)

Величина |al2 связана с плотностью энергии, а из выражения (33) следует важный вывод о сохранении этой величины. Рассмотрим функцию

Q(f)= ^ I аМх = 2л方啰跟#dx.(34)

i；l

В последнем интеграле k(x, /) определяется выражением (28). Поскольку подынтегральная функция зависит явно от 々，а от % явной зависимости нет, то естественно ввести k в качестве новой переменной интегрирования с помощью преобразования

x = Wf(k)t.

в случае 呼"(々)>0 мы имеем

Q(f) = 2n，尸(々)尸*(粉d依

здесь k\ и 々2 определяются формулами

为=旷(財"，x^W^k^t.(35)

Если Wff (k) V 0, то пределы интегрирования меняются местами. Таким образом, если величины k\ и 々2 поддерживаются постоянными, то с течением времени Q (/) сохраняется. В соответствии с выражениями (35) точки ли и № при этом движутся с соответствующими групповыми скоростями. Следовательно, мы показали, что полная величина |а|2, заключенная между точками, движущимися с групповыми скоростями, остается неизменной. В этом смысле ^энергия» распространяется с групповой скоростью. Расстояние между точками х】и х2 [см. (35)] растет пропорционально f; следовательно, \а\ убывает как 广包 Соотношение между I。12 M истинной плотностью энергии мы рассмотрим ниже.

Замечательно, что полученные здесь важные результаты зависят только от дисперсионного соотношения <о=呼(右)и в особенности от выражения W' (k) для групповой скорости. Ясно, что спектральный анализ здесь ни при чем, и можно надеяться, что аналогичные результаты можно получить и в нелинейных задачах. Вернемся теперь к обсуждению этих вопросов.

Основная предпосылка при интерпретации полученных выше асимптотических решений состоит в осознании того факта, что они соответствуют 《медленно меняющимся» волновым пакетам. Асимптотическое решение (30) совпадает с выражением для периодической волны (1), но параметры а,々=8関 н s =——仇 в выражении (30) не являются больше постоянными. Однако они медленно меняются в том смысле, что их относительные изменения на одной длине волны или одном периоде малы. Это нетрудно показать с помощью выражений (28) и (33). Из (28) следует, что

kt ir(a 1 軌—11

(аналогичные формулы получаются для ю), а из (33) имеем % — S) kW/f, (k) 1 kt 1

IJ T

(аналогичное выражение получается для ах/а); поскольку асимптотическое разложение справедливо при /-> оо и фиксированном x[t = IV (々), то эти величины малы.

Учитывая сказанное, рассмотрим медленно меняющиеся волновые пакеты с более общей точки зрения. Идея состоит в том, чтобы, исходя нз периодической волны, будь она линейной или нелинейной, обобщить это решение так, чтобы параметры ш,玄 а и возможные любые другие параметры могли медленно меняться, и найти способ непосредственного получения уравнений для этих медленно меняющихся параметров. Под «медленными вариациями» мы подразумеваем, что относительные изменения на одной длине волны и одном периоде малы. Медленные вариации могут быть введены иначе, чем в обсуждавшемся выше асимптотическом решении. В частности, представляет интерес рассмотреть задачу о волнах от источника квазипериодических (медленно модулированных) колебаний или задачу о распространении волны в неоднородной среде, свойства которой медленно меняются в пространстве или времени. В этих случаях малый параметр е, характеризующий медленность изменений, связан с граничными условиями или параметрами уравнений, тогда как в случае, обсуждавшемся выше, малым параметром было отношение характерного периода колебаний к времени t.

В дальнейшем изложении мы вначале воспользуемся эвристическим подходом, позволяющим развить соответствующие методы и получить конкретные результаты. В разд. 8 мы рассмотрим обоснование этого подхода с помощью формальной теории возмущений.

Простой вывод выражений для групповой скоростив линейных задачах

Известно (см. разд. 2), что групповая скорость имеет два различных смысла. С одной стороны, она определяет распространение волнового числа и частоты, с другой ——изменения амплитуды. В асимптотическом решении (30) первое связано с определением 0, а второе ——с определением а.

Чтобы описать медленно меняющийся волновой пакет, нужно Ввести фазовую функцию 0(х, /). Локальное волновое число (х, 0 и частота ю(х, f) определяются через 9 следующим образом:

6(%з(х, =(36)

Считая, что величины й и ю являются медленно меняющимися, естественно предположить, что они по-прежнему удовлетворяют дисперсионному соотношению, которое для линейной задачи записывается в виде

G(co, 3==0・(37)

Уравнения (36) и (37) дают нелинейное дифференциальное уравнение в частных производных для 9. Величины 々 н з удобно определить из (37) и уравнения совместности [получаемого исключением 0 из (36)]

雾+誥Н。・(38)

Если о = К(А) есть решение уравнения (37), то из (38) находим

*+ c的矍=0, e® 匸73).(39)

Отсюда сразу следует, что k принимает постоянные значения вдоль характеристических кривых, определяемых на плоскости (х, f) уравнением

器=e优).

Поскольку вдоль любой такой кривой 友 неизменно, то эти кривые представляют собой прямые линии, каждая из которых имеет наклон С(^), соответствующий значению 々 для данной кривой. Решение, соответствующее начальному распределению 々=/ (%) при f = 0, имеет вид

k = f (g), х = ^ + С(й)/.(40)

С физической точки зрения это означает, что 々 распространяется со скоростью, равной соответствующему значению групповой скорости С(归).Если возмущение первоначально сконцентрировано около начала координат, то 々 можно найти из выражения

х = С(左)Е.(41)

Это аналогично случаю, описываемому формулой (28), а именно, при больших х и t начальное возмущение можно считать локализованным около начала координат. В таком (и только в таком) случае

B = kx~W(k)t.

Таким образом, в нашем распоряжении имеется очень простой и вместе с тем достаточно общий метод анализа кинематики волн.

Второй смысл групповой скорости связан с определением амплитуды а, т. е. с динамикой волн. Дифференциальное урав-

нение для а связано с уравнением (39) для 々.Его нетрудно найти несколькими способами. Один из способов состоит в привлечении уравнений (34) и (35). Мы видим, что

%2#2

需=等 \ 1a12或=\ 否 a12dx + | 叫e(初一1a|；c(也) = 0. XiXi

При x2 — +0 в пределе имеем

^■|аР + ^{с®|аР} = 0.(42)

Кроме того, из решения конкретных задач хорошо известно, что плотность и поток энергии пропорциональны соответственно |а|2 и C(k) |а|2. Это фактически еще один известный аргумент в пользу того, что энергия распространяется с групповой скоростью. Уравнение (42) выражает соответствующий закон сохранения энергии. Существует много способов, использующих этот аргумент, которые приводят к уравнению (42); но до последнего времени все они страдали тем недостатком, что уравнение (42) выводилось отдельно из исходных, уравнений для каждой конкретной задачи. Почему результат всегда один и тог же, когда его выражают через групповую скорость? Теперь это стало понятно на основе общего подхода, использующего вариационные принципы. В то же время оказалось, что уравнение (42), по существу, выражает не закон сохранения энергии, а закон сохранения «волнового действия》， которое в простых случаях пропорционально энергии.

Для нелинейных задач введение переменных 0 и й — 0Х, (о =——0( по-прежнему остается в силе. Однако дисперсионное соотношение теперь включает а:

G((o,々，а) = 0.

Таким образом, два уравнения, соответствующие (38) и (42), становятся взаимосвязанными. Вариационный м^тод дает также простой вывод соответствующих уравнений. Прежде чем перейти к изучению этого метода в разд. 5, в следующем разделе мы рассмотрим распространение линейных волн в неодномерном случае — обобщение, которое можно провести, как и в разд. 2, методом стационарной фазы для многомерных интегралов Фурье, а также обобщение на неоднородную среду, которая не может быть изучена с помощью этих интегралов. Кроме того, приведем несколько примеров, демонстрирующих эффективность рассмотренных простых методов и показывающих ценность та- 股го интуитивного подхода даже в тех случаях, когда известно точное решение, выраженное через интегралы Фурье.

Обобщения и примеры

В неодномерном случае фаза 0(х, /) является функцией положения точки х и времени Л Волновой вектор к и частота з даются выражениями

自=京7，3 = 一а，自=京7，3 = 一а，(43)(43)

自=京7，3 = 一а，

自=京7，3 = 一а，

(43)

(43)

В линейной теории для однородной среды дисперсионное соотношение имеет вид G(s, к) = 0, причем в него входят параметры среды. В случае неоднородной среды ее параметры являются медленно меняющимися функциями х и /, и дисперсионное соотношение принимает вид

G®, к;力 х) = 0.(44)

Мы по-прежнему будем использовать его вместе с выражениями (43). Исключая 0 из выражений (43) с помощью перекрестного дифференцирования, получаем

(45)(45)dkiSodkidkj

(45)

(45)

dt + dx{—' 訴^дх{

Если взять одно из решений уравнения (44) в виде з =步(к;力 х), то первое из уравнений (45) записывается следующим образом:

dki dW dkj dW万+友7瓦=一垣； (46)

здесь подразумевается суммирование по повторяющимся индексам. Введем далее вектор групповой скорости, составляющие которого даются выражением

「 dW

(47)(47)С严丽，

(47)

(47)

а из второго уравнения (45) получаем, что производную dkj/dxi можно заменить на dkildxj. Тогда

dki . г。財 dWdki . г。財 dW(48)(48)

dki . г。財 dW

dki . г。財 dW

(48)

(48)

Это уравнение можно написать в характеристической форме:

(49)(49)

(49)

(49)

Полученные уравнения (49) являются уравнениями Гамильтона, в которых роль обобщенных импульсов играют 々厶 а роль га*

мильтониана — частота W. Такой дуализм хорошо известен в квантовой теории. Уравнение для 0 записывается в виде

оно представляет собой уравнение Гамильтона ——Якоби.

В однородной среде волновой вектор к по-прежнему распространяется с групповой скоростью С(к), причем значение его не меняется. В неоднородных средах волновой вектор распространяется с той же скоростью, но его значения изменяются, причем скорость изменения равна ——dW/dx. Для однородной среды общее решение, соответствующее выражениям (40), имеет вид 財= ff(D & = &： + &(k)/・

В случае локализованного начального возмущения волновой вектор к дается выражением

= С/ (к) /.(50)

[Это выражение соответствует формуле (28), определяющей положение стационарной точки в многомерном интеграле Фурье.] Приведем несколько типичных и интересных примеров, взятых из теории волн на воде.

4a. Зыбь, возбуждаемая штормом в океане

Для волн на глубокой воде дисперсионное соотношение (10) можно заменить его предельным выражением со = д/g», соответствующим kh оо, которое в двумерном случае принимает вид

(51)(51)①=呼(к) = д/g/?, /г = I к I

(51)

(51)

Для описания волновых возмущений на больших расстояниях от области шторма можно использовать выражение (50). Волновая картина будет симметричной, поскольку W(k) зависит только от модуля волнового вектора к и не зависит от его направления. Групповая скорость дается выражениями

Следовательно, из (50) имеем

г = |х|=^“3 /；

отсюда находим

々一r，3 =分•

Последние формулы были применены для описания волн, вызванных штормом в южной части Тихого океана [3]. Было найдено, что на расстояниях порядка 3700 км частота меняется линейно с и по коэффициенту пропорциональности удалось очень точно определить расстояние до области шторма.

Корабельные волны

Волновую картину за кораблем (или за другим движущимся объектом), который перемещается с постоянной скоростью U в направлении отрицательных 打 по поверхности глубокой воды, легче всего исследовать, решая задачу об обтекании корабля установившимся потоком жидкости. В этом случае ①=0, но две компоненты волнового числа feb k2 по-прежнему связаны дисперсионным соотношением» а геометрия волн определяется в соответствии с (45) из уравнения

=0.(52)

дх2 Ох〕

Дисперсионное соотношение получается нз (51) преобразованием к движущейся системе координат:

Uk\ + V ё^ =3 々 = “々1 +疋.(53)

Приводя уравнение (52) к характеристической форме, мы видим. что фиксированные значения k\ и fe2 распределены вдоль линий

где 々2 = /(々1) определяется из (53). Нетрудно убедиться, что для всех значений k\ правая часть в (54) имеет минимум, рав- ный 2 д/2 • Следовательно, волновое поле образуется позади корабля и занимает область, имеющую форму^клина, половина угла при вершине которого равна arc ctg(2 д/2)= 19,5° (знаменитый результат Кельвина). При этом можно описать полную волновую картину; в статье [4] приведены результаты, следующие из данного подхода.

4в. Волны s стратифицированной жидкости

Дисперсионное соотношение в приближении Буссинеска для внутренних волн в стратифицированной (слоистой) жидкости имеет вид

й上，% +©

где плотность ро изменяется от слоя к слою в направлении 汇厶 причем'

0)2 =——£.妲

0 Ро dx2

Во-первых, очевидно, что существование волн возможно, только если со < со。. Во-вторых, групповая скорость

e = ( в£ 叫岛电 )

перпендикулярна волновому вектору к. Следовательно, групповая скорость направлена по нормали к вектору фазовой скорости. Это служит ярким примером различия между групповой н фазовой скоростями. В-третьих, если волны вызваны источником, колеблющимся с постоянной частотой со, то анализ, аналогичный проведенному выше для корабельных волн, показывает, что волны локализованы на границах клинообразной области, образующей с горизонталью угол arcsin(3/(Dg). В работе [5] дано подробное исследование этого вопроса и приведены впечатляющие экспериментальные фотографии, демонстрирующие все особенности.

Вариационные принципы

Вернемся теперь к общему обсуждению проблемы и продолжим анализ, начатый в разд. 3. Как отмечалось там, для решения общей задачи можно использовать вариационный принцип. Эффективность метода очевидна: он позволяет обращаться с нелинейными задачами так же просто, как с линейными! Для иллюстрации основных идей мы используем нелинейное уравнение Клейна — Гордона (20). Наконец, все, что нам потребуется,— это соответствующий лагранжиан, так чтобы в общем случае результаты можно было отнести к произвольному лагранжиану.

Уравнение (20) можно вывести из вариационного принципа

К 厶(％,以，и)由 dx = О, .(55)

где

厶=^*-$磺一了 (")•(56)

Периодическое решение имеет вид п = ^(9), где величины 0Х = й и 仇=—① являются постоянными. Действительное решение для U(0) содержит еще одну постоянную Л, которая эквивалентна амплитуде. Рассмотрим теперь функпнн, которые удовлетворяют такому решению. Соответствующий лагранжиан записывается в виде

L⑺=上(-3仏九AU(), U).(57)

Вариация величины L(°)по U должна приводить к уравнению, описывающему периодические решения. Например, для уравнения Клейна ——Гордона

厶⑼—(58)

и уравнение (21), действительно, следует из вариационного уравнения

Однако наша цель состоит в том, чтобы найти уравнения для величин(о, й и 4, которые могут изменяться. Опишем соответствующую процедуру на основании интуитивных аргументов; ее формальное обоснование будет сделано ниже. Для периодической волны вычислим «усредненный» лагранжиан

2л

2®,々，/) = * ］厶(一3。8, kUe, U)dQ, (60) о

зависящий от постоянных параметров т, k п А. (Здесь имеется одна тонкость, к которой мы вскоре вернемся.) Предположим, что при обобщении на квазипериодическую волну медленно ме- нянэщнеся функции з,々 н 4 будут удовлетворять вариационным уравнениям, полученным с помощью «усредненного» вариационного принципа

6,，В(з,电 /)dxd/ = o.(61)

В последнем случае со и й не могут изменяться независимо, поскольку они связаны между собой через 0:

со = — 9^, ^ = 0Х.

Вариационные уравнения, соответствующие вариациям 6А и 69 а (61), имеют вид

64 Cl 0(62)

и

бв： %% —^5^ = 0.(63)

После того как уравнение (63) получено, удобно решать задачу с помощью со и й и замкнуть систему очевидным уравнением совместности

(64)(64)d左丄dco с方Г十石Г ни.

(64)

(64)

Вот и вся теория! Уравнение (62), которое связывает со, й и 4, следовательно, должно быть дисперсионным соотношением. Уравнение (63) должно быть искомым дифференциальным уравнением для амплитуды. Рассмотрим теперь применение вариационного принципа более подробно.

5a. Линейные задачи

В любой линейной задаче лагранжиан должен быть квадратичным по и и ее производным. Периодическое решение можно представить в виде*

U = а cos 0.(65)

Следовательно, если подставить решение (65) в выражение (60), то усредненный лагранжиан должен быть пропорционален «2:

Z = G (со,々)а2.(66)

При этом уравнение (62) принимает вид

G (ш, k) = 0.(67)

Отсюда, не входя в подробности вычислений, мы видим, что функция G в (66) должна быть той же самой, что и в линейном дисперсионном соотношении. Интересно отметить, что для стационарной волны В = 0. В тех случаях, когда лагранжиан 然 равен разности между кинетической и потенциальной энергиями, последнее равенство указывает на то, что эти энергии равны друг другу. Ясно также, что при подстановке периодической функции (65) в лагранжиан нельзя использовать дисперсионное соотношение. Это дало бы 發=0, т. е. сразу экстремальное значение, и мы не имели бы достаточной свободы в применении вариационных принципов.

Уравнение для амплитуды (63) принимает вид

■^■(G/) — £ (Gg = 0.(68)

Если решение уравнения (67) записывается Как о)=闪(々),то G(忆々)=0 н

W(6 + Q = 0・

Следовательно, групповую скорость С можно представить через производные G следующим образом:

Таким образом, уравнение (68) принимает вид

备{g(6)M} +言{g(6)C 的。2} = 0.(70)

В этом уравнении можно исключить множитель g(^), поскольку его можно представить в виде

g ⑷{等+ 备Q2)} + g'® {若+ С®*}а2 = 0. (71)

В соответствии с уравнением (64) последний член равен нулю, так что мы имеем

吟+ ^{С®а2} = 0.(72)

Мы получили общий вывод уравнения (42). К интерпретации уравнения (63) и его связи с уравнением сохранения энергии мы вернемся позже после обсуждения нелинейного случая.

Уравнение Клейна — Гордона

В нелинейных задачах методы получения функции 2 являются более сложными, и, прежде чем рассматривать общий случай, полезно снова рассмотреть частный пример. В случае нелинейного уравнения Клейна ——Гордона первоначальное выражение для усредненного лагранжиана получается из (58) и (60) в виде

2л

{^^-^Ul-y^]dQ.(73)

о

Известно, что периодическое решение удовлетворяет уравнению (22). Используя его, получаем (73) в следующем виде:

Z =芸,(<D2 - й2) Uede-A =

=去卜寸一 © Uq dU~A =

=乏^" V2 (国一々2) § V4 — V (U) dU — A, (74) где § опять обозначает интеграл по полному периоду подынтегральной функции. Для окончательной формулы не требуется знать зависимость U от 0.

В соответствии с (62) дисперсионное соотношение должно иметь вид

2* = ±л/^(з2—皆 §*£(U) -1=0；

данное уравнение совпадает с дисперсионным соотношением (24). В линейном случае V = 1/2〃？ и зависимость от Л пропа-

дает. Действительно, в этом пределе уравнение (74) принимает вид

①=(«2 一必 一 [)4 поскольку Л пропорциональна а2, это согласуется с общим рассмотрением, проведенным выше.

5в. Преобразование Гамильтона

Переход от лагранжиана (73) к (74) — это не только вопрос удобства. Введение параметра Л в выражение (73) означает, что мы используем информацию о периодическом решении, содержащуюся в первом интеграле (22), однако выражение для функции U (8) должно оставаться достаточно гибким, чтобы можно было применить вариационный принцип. Например, выражение (22) неявно содержит и дисперсионное соотношение [что следует из (24)], но мы не хотим вводить его в явном виде ——оно должно получаться как следствие вариационного принципа. Это важный вопрос, который может быть полностью выяснен только в результате использования последующего формального разложения теории возмущений, описанного в разд. 8. Здесь же существенно, чтобы такое разложение было по крайней мере однозначным. Процедура состоит в следующем.

Уравнение (59), которое всегда имеет первый интеграл

описывает периодическое решение. Введем вместо U® новую переменную

и положим

"(П, и)= 4説一厶叱(77)

Это аналогично преобразованию Гамильтона в механике. Тогда интеграл (75) записывается в виде

Н(П, U) = 4(78)

Теперь из уравнения (75) следует, что

2л"л

纟=e\ 厶(0)四=*,(n/ -Qd"±§IIdU - 4 (79)

Наконец, из уравнения (78) можно определить II как функцию от U и параметров(о, fe, 4 и записать контурный интеграл как функцию.©, и Л.

5a. Системы более высокого порядка;неоднородная среда

В тех случаях, когда лагранжиан в (55) содержит более чем одну переменную и и производные выше первого порядка, теория строится аналогичным образом. Однако с увеличением числа зависимых переменных добавляется одна особенность. Некоторые дополнительные переменные — назовем их потенциалами — входят только через свои производные, которые являются физически значимыми величинами. Если такую переменную обозначить через *, то для физических величин наиболее общее периодическое решение имеет следующий вид:

力0城一у/ + Ф(0),

где Ф(0)——периодическая функция. Коэффициенты р и 丫 ——дополнительные параметры решения. При обобщении на квазипе- риодические волны с величиной рх — yf нужно обращаться гак же, как с 0 = Ах—(of; другими словами, mEi должны записать

6 =屮(* 0 + Ф(0)

и определить В н у следующим образом:

Y =—必・

Производные 屮囂 и 屮才 появятся в усредненном лагранжиане, а вариации Зр приведут к уравнению

аналогичному (63). Другие постоянные интегрирования, аналогичные константе Л, дают уравнения типа (62), которые налагают соответствующие дополнительные связи между этими константами [1, 6, 7].

Обобщение на большее число пространственных переменных делается элементарно. Волновое число становится вектором (ki = 9Х/), и вариация (61) по 0 дает уравнение

殆夂-含發4=。'

которое представляет собой обобщение уравнения (63).

Для неоднородной среды исходный лагранжиан в (55) содержит явную зависимость от х илн t через параметры, описывающие свойства среды. При вычислении периодического решения

и усредненного лагранжиана 2 эти параметры считаются фиксированными. Затем в вариационном уравнении (61) вновь допускается их изменение, т. е.

2 = Z((o, к, 4; х, /).

Дополнительная зависимость от х или f не затрагивает вариационных преобразований, и поэтому уравнения (62) и (63) сохраняют силу. Поскольку в дисперсионное соотношение входят явно х или f, то от этих переменных зависят коэффициенты уравнения (68) и в уравнениях типа (72) появятся дополнительные слагаемые.

Единая компактная форма уравнений, охватывающая все указанные возможности, как раз и является одним из достоинств рассмотренной теории.

Адиабатические инварианты,волновое действие и энергия

Отметим следующее обстоятельство, интересное как само по себе, так и в связи с выяснение?л смысла уравнения (63): данный подход можно использовать в соответствующих задачах динамики колебательных систем; его применение приводит там к новому способу получения некоторых хорошо известных ре- зультатов. В динамике колебательных систем исходными являются обыкновенные дифференциальные уравнения для функций времени /, и, чтобы использовать рассматриваемую здесь теорию. мы должны опустить зависимость от х. Тогда модуляция периодических решений может быть обусловлена только медленно меняющимся параметром, скажем 入(f), и лагранжиан, входящий в (55), принимает вид L [qti q, Х(0]- Нелинейный осциллятор с 厶= 1/2'：——V (q, X) может служить примером, который тесно связан с лагранжианом (56).

Соответствующий анализ проводится точно так же, как описывалось в разд. 5, ио на каждом этапе опускают зависимость от %. В результате получаем уравнения “

4^ = °，纟 Е = 0 (80)

И

發= ^§"dq-E; (81) здесь р представляет собой обобщенный импульс, причем зависимость р(入,Е) определяется из интеграла энергии

Н(р, q,入)=Е・ (82)

[В этом случае введенная в (76) величина П сводится к П — сор, н удобнее использовать обычный импульс р.] Из первого урав-

нения (80) следует, что величина

/& E) = S^ = £§pdq(83)

постоянна при медленных вариациях параметра; эта величина называется «адиабатическим инвариантом». Его выражение через контурный интеграл ^ р dq хорошо известно, но представление в виде Zg является новым. Конечно, энергия Е не сохраняется при изменении параметра Л. Второе соотношение в (80) дает формулу для частоты ш:

dl 1з 前=1'

которая также хорошо известна.

В волновых задачах адиабатическое уравнение превращается в закон сохранения (63)

糸％_±% = о.(84)

Здесь имеется любопытное соответствие между величинами 發侬 и %凯 Если волна является периодической по х, но параметры среды изменяются во времени I, то ^и = const; если же периодическая во времени волна входит в область, где параметры среды зависят от х, то 然丸=const. При распространении модуляции вдоль волны изменения В^ во времени компенсируются изменениями %友 в пространстве. Таким образом, мы имеем сохранение чего-то, что удобно назвать 《волновым действием»; тогда Zg и ——Sk являются соответственно плотностью и потоком волнового действия.Е

Применение уравнения (84) в динамике колебательных систем показывает, что оно существенно отличается от уравнения сохранения энергии. Это различие сохраняется и для волн. Уравнение для энергии, получаемое из соображений временной инвариантности вариационных уравнений, записывается в виде

宗(зеЗ 一生)一言(3生丘)=-S£t.(85)

Справедливость уравнения (85) можно установить непосредственно из (62) — (64), однако вывод из условия временндй инвариантности вариационных уравнений отождествляет его с уравнением сохранения энергии. Для среды, параметры которой не зависят от времени, правая часть в (85) равна нулю, и это уравнение также имеет форму закона сохранения.

В линейных задачах лагранжиан % квадратичен по а, поэтому уравнение (85) имеет вид (70), но с иной функцией g. Для однородной среды g есть функция от fe и может быть исключена, как и прежде, что приводит к уравнению (72). Таким образом,

уравнение (72) действительно имеет отношение к энергии, но волновое действие оказывается более фундаментальной и более удобной величиной при описании неоднородной среды.

Е =(о%з・ уравнение для волнового действия можно запи-Е =(о%з・ уравнение для волнового действия можно запи-Для линейных задач заслуживает внимания следующий момент. Экстремальным значением 發 является 發=0, тогд^ плотность энергии

Е =(о%з・ уравнение для волнового действия можно запи-

Е =(о%з・ уравнение для волнового действия можно запи-

备⑶+^（等）=。■备⑶+^（等）=。■(86)(86)Следовательно, сать в виде

备⑶+^（等）=。■

备⑶+^（等）=。■

(86)

(86)

В линейных задачах механики хорошо известен адиабатический инвариант в виде Е/со. Брезертон и Гарретт [8] утверждали, что имеются некоторые трудности в применении этих идей к движущейся среде, связанные с преобразованием между движущимися системами отсчета, но в действительности никаких трудностей не существует. В системе отсчета, движущейся вместе со <п)едой, наблюдатель будет использовать, скажем, лагранжиан 宓° = Go(o)o, fe)a2, в то время как наблюдатель в системе отсчета, относительно которой среда движется со скоростью V, будет иметь ^ = G((d, k)a2, причем эти лагранжианы связаны друг с другом выражениями со = а)о + V^ и G((o,々)=Go((o — V h,々). В первой системе отсчета

e)=①(①3。=С0 0%a2,

GkGk展'ЙГТ"、展'ЙГТ"、а во второй Е = s 线=coG^a2, Поскольку О ®, ^ = Gq(<h—V 右，左), то

Gk

Gk

展'ЙГТ"、

展'ЙГТ"、

—=—.

(D (О,

Таким образом, уравнение (86) по-прежнему верно, но его нэ- лезно переписать в виде•

糸(誉)+ ±[" + &)鲁卜6

Используя вариационный принцип, можно также получить уравнение сохранения импульса; выведенное из условия пространственной инвариантности оно имеет вид

一鳥优發З)+备(*發也一生)= - %#.

Справедливость последнего уравнения можно также доказать непосредственно из уравнений (62)——(64).

Нелинейная групповая скорость.Устойчивость периодических волн

В линейных задачах групповая скорость представляет собой характеристическую скорость для уравнения (64) и появляется при вычислении зависимости k (х, 0. Если же & известно, то она возникает вторично как характеристическая скорость при решении уравнения (63) [или (72)] для а(х, ^). В нелинейных задачах уравнения (63) и (64) для й и а оказываются взаимосвязанными. Если они образуют систему гиперболических уравнений, то естественно будет расширить определение групповой скорости, включив в него характеристические скорости этой системы. В нелинейных задачах обе характеристические скорости уже не равны друг другу, что приводит к существенным особенностям при распространении модуляции вдоль волны. Для нелинейных волн первоначально локализованное возмущение должно в конечном счете расщепиться на два. Было бы чрезвычайно интересно попытаться наблюдать этот эффект экспериментально.

Если уравнения (63) и (64) являются эллиптическими, то нетрудно показать, что возмущения по х растут экспоненциально со временем. Это свидетельствует о том, что периодическая волна сама по себе неустойчива. Одновременно с развитием данной теории Бенджамен [9] независимо пришел к выводу о том, что волны на глубокой воде неустойчивы в рассмотренном выше смысле. Заметив, что возбуждаемые в экспериментах периодические волны всегда оказываются неустойчивыми на расстояниях в несколько длин волн от генератора, Бенджамен убедительно объяснил такую «модуляционную» неустойчивость с помощью уравнений во втором приближении (по нелинейности) для боковых компонент в спектре волны】). Изложенный здесь метод был затем использован для исследования волн умеренной амплитуды, возникающих на поверхности воды с конечной глубиной h [10]. Было найдено, что соответствующие уравнения являются эллиптическими при kh > 1,36 и гиперболическими при kh < 1,36. Таким образом, если kh > 1,36, то волны конечной амплитуды на поверхности воды должны быть неустойчивы.

В случае когда имеются только параметры со, А н а, анализ волны конечной амплитуды весьма прост; наличие таких параметров, как Р и у, обсуждавшихся в разд. 6, услоя^яет задачу. Волны на глубокой воде зависят только от параметров о), й и 〃，но в случае конечной глубины требуются дополнительные параметры, которым срответствуют небольшие, но играющие важную роль изменений Средней глубины и среднего потока массы,

О советских работах в этой области см., например, [6, 7] из списка литературы к предисловию редакторов перевода.——Прим. ред.

вызванные волнами. Рассмотрим здесь более простой случай. В подобных задачах, когда амплитуда волны не слишком велика, связь между уравнениями (63) и (64) проявляется главным образом через зависимость со от а, определяемую дисперсионным соотношением. Если его записать (в первом порядке по а2) в виде

со = 5 (й) + со】伏)а2,(87)

то оказывается, что достаточно использовать уравнение (64)

■^" + "^" So 他)+ m1 (右)巒} = 0(88)

и оставить уравнение (72), соответствующее линейному приближению:

需+%{&(炒a2} = 0, e。 = 36 他).(89)

Простой расчет показывает, что характеристические скорости даются выражением

С = С0±ад/^ + О (а2).(90)

Если а)1Со > 0, то двукратно вырожденная в линейном случав характеристическая скорость Со расщепляется на два различных действительных значения, определяемых выражением (90) (т. е. мы имеем систему гиперболических уравнений), которое дает две нелинейные групповые скорости. Если же <о；С. < 0, то мы имеем систему эллиптических уравнений и волна оказывается неустойчивой. Для волн па глубокой воде

(1+4^2)+0(後)；

следовательно, здесь ①】=g X”右“ >。，。；=①；=一 } g "々一 “ < 0, и соответствующая волна является неустойчивой. В работах [1, 10] приводится более детальный анализ, а также связь с теорией Бенджамена.

Формальная теория возмущений

В этом заключительном разделе дано краткое объяснение того, как результаты теории, рассмотренной в разд. 5, можно формально получить, используя первый член в разложении теории возмущений. Более подробно данный вопрос изложен в работе [7].

Рассматриваемый здесь метод представляет собой интересное обобщение так называемого 《метода двух времен》， когорый

обычно применяется непосредственно при решении дифференциальных уравнений, но здесь приспособлен к вариационному принципу. В этом методе принято, что зависимые переменные изменяются в соответствии с двумя временными масштабами, один из которых определяется быстрыми осцилляциями волны, а другой — медленными вариациями параметров (о, и а. Имеются также два соответствующих масштаба длины. Функция 〃(％,/) записывается в виде

“(%, /) = С/(е, X, Т), где

=)吩(X, Т), Х = ес, 7 =

а малый параметр € характеризует отношение быстрого временного масштаба к медленному; функция U не является теперь строго периодическим решением. Для волнового числа k и частоты со имеем

<о(Х, Г) — — 0f = — @г,力(X, Т) = @г(91)

Масштабы выбраны так, что

dt дТ * дх дХ * аналогичные выражения можно записать и для 削 В результате находим

диOU [ dU d〃 * dU . dU

+詞+ F■

Если X, Т, (о,右，U—величины порядка единицы, то масштабы выбираются так, что со и k—медленно меняющиеся переменные, а функция и испытывает медленные изменения на фоне быстрых колебаний по фазе 0.

Уравнение Эйлера для (55) имеет вид券+ *"з = °，

гдегдеdL т — dL b， (3=箱.dL т — dL b， (3=箱.

где

где

dL т — dL b， (3=箱.

dL т — dL b， (3=箱.

В новых переменных отсюда получаем

-(о-(о°， I j d厶2/, d& I ,。厶2°， I j d厶2/, d& I ,。厶2(92)(92)

-(о

-(о

°， I j d厶2/, d& I ,。厶2

°， I j d厶2/, d& I ,。厶2

(92)

(92)

причем Lj представляет собой следующую функцию:

厶=厶/(—(0U9 + "丁，kUQ + е£/Xt U).(93)

Уравнение (92) является уравнением второго порядка для функции трех переменных U(0, X, Т) Искусство метода двух масштабов состоит в том, чтобы реши гь данное уравнение в предполо-

женин, что 6, X, Г — независимые переменные. Если это можно сделать, то, очевидно, U(c~i®, X, Т) представляет собой решение исходной задачи. Решение обычно находят с помощью разложения

u(Q, X, n=f^n(e. X, Т),

причем на U накладываются дополнительные условия, устраняющие секулярные по 0 члены, которые в противном случае привели бы к нарушению равномерной сходимости разложения. В низшем порядке по g имеем следующее уравнение:

备(—3“。)+ ^。)) —В = о,

где

£夕)=Lf (— (ot/oe, YUoet £/()).

Первый интеграл этого уравнения записывается в виде

(-(оЛ!0) + kL^) t/o0 - L(0) = Л (X, Т)・(94)

Сравнивая (94) с (75), мы видим, что оно совпадает с уравнением для периодического решения, но в нем имеется дополнительная зависимость от X н Т. Следовательно, в низшем порядке % имеет тот же вид, что и в строго периодическом решении, но теперь параметры со, /г и Л являются функциями от X и Т, что позволяет описывать медленные вариации решения. Затем находят уравнения для(о, ^ и Л в следующем порядке по 6. Требуемые уравнения для со, ^ и Л следуют из условия отсутствия в Ui секулярного члена, пропорционального 0.

Однако нас интересует вариационный принцип. Неожиданным является тот факт, что (92) представляет собой уравнение Эйлера для следующего вариационного принципа:

2л

W L (一叫 + ⑴工,^0 + 叫，u)dT dx de = 0, (95) 0

в котором функция U есть функция трех переменных U(8, X, Т). В уравнении (95) функция <7 и ее вариации считаются периодическими по 0, причем вариации U обращаются в нуль на границе области (X, Г). Если определить функцию

肌

Lu^T,丄(—①/ + “" kU®+ wUX, S d&

то мы имеем уже более точную форму «усредненного» вариационного принципа. Таким образом, интуитивная идея метода не только подтверждается в первом приближении, но она содер-

жлт все решение! В низшем порядке

2л

Z = 2 = e\ 厶(一3。06, kUM, U。)d8;

здесь % — периодическое решение, в котором учитывается, как и в (94). зависимость со, ^ и /1 от X и Г. Величина 幺 вычисляется в виде функции только переменных со, /г и Л (см. разд. 5). Вариационное уравнение (95) в низшем порядке теперь записывается в виде

6 j 5^(0), k, A)dXdT = Q,(96)

где

(0 = —©у, k = 0у.

Вариации по 0 и Д приводят соответственно к уравнениям

% %®—糸出卜=Q и Z< = 0・

Здесь мы показали основыые иде?! метода, использующего теорию возмущений. Существует много вопросов, связанных с данным методом, которые нуждаются в более детальном обсуждении, но это не требуется для наших целей. Такие вопросы подробно рассматриваются в работе [7].

ЛИТЕРАТУРА

Whitham G. В., Proc. Roy. Soc., А29& 6 (1967).

■'. Jiiational methods and applications to water waves (см. перевод в сб. «Нелинейная теория распространения волн》 под ред. Г. И. Баренблатта( изл-во «Мир», 1970, стр. 12).

Seliger R. L., Proc. Roy. Soc., АЗОЗ, 493 (1968).

Л note on the breaking of waves.■

Snodgrass F. E. et o/., Phil. Trans. Roy. Soc., A259, 431 (1966). Prjpagation of ocean swells across the Pacific.

Whitham G. A, Comm. Pure Appl. Math., 14, 675 (1961).

Group velocity and energy propagation for three-dimensional waves.

A^lowbray D.及，Rarity B. S. H.t Journ. Fluid Meeh., 28, 1 (1967).

A theoretical and experimental investigation of the phase configuration of internal waves of small amplitude in a density stratified fluid.

Whitham G. B„ Journ. Fluid Meeh., 22, 273 (1965).

A general approach to linear and non-linear dispersive waves using a Lang- rangian.

Whitham G. B., Journ. Fluid Meeh., 44, 373 (1970).

Two-timing, variational principles, and waves.

Bretherton F. P., Garrett С. Л R., Proc. Roy. Soc., A302, 529 (1969). Wavetrains in inhomogeneous moving media.

Benjamin Г. B., Proc. Roy. Soc., A299, 59 (1967).

Instability of periodic wave trains in nonlinear dispersive systems (см перевод в сб. «Нелинейная теория распространения волн» под ред. Г, И. Ба- ренблатта, изд-во «Мир», 1970, стр. 83).

10 Т%"?白卄，G. В., Journ. Fluid Meeh., 27, 399 (1967), Non-linear dispersion of water waves.

ГЛАВА VI

Сохранение волнового действия

Уоллес Д. Хейес

Волны, как они понимаются в настоящей главе,——это динамические колебательные процессы в сплошной среде. Они описываются решениями уравнений <динамики» в широком смысле этого слова. Эти решения соответствуют колебаниям в том смысле, что (с незначительными оговорками) они почти периодически зависят от некоторой гладкой функции независимых переменных, называемой фазой. Поскольку среда сплошная, в число независимых переменных вместе с рременем входят пространственные координаты, а динамические уравнения, которым удовлетворяют волновые решения, имеют вид дифференциальных уравнений в частных производных.

Основная задача теории распространения волн — предсказать главные свойства волнового движения в последующие моменты времени, если известны начальные условия. Для этого нужны уравнения, описывающие изменение в пространстве и времени интенсивности, частоты и волнового числа волн. В такой теории действуют два основных фактора: 1) существует некоторая фазовая переменная, временная и пространственные производные которой интепретируются как локальные частота и волновое число, 2) поведение интенсивности может быть описано уравнением в форме закона сохранения. В настоящей главе обсуждаются идеи, лежащие в основе таких законов сохранения, и аналоги этих понятий в дискретных системах.

Волны, которые здесь рассматриваются, консервативны в том смысле, что они подчиняются уравнениям, которые вытекают из вариационного принципа, содержащего лагранжиан. Из вариационного принципа можно получать уравнения и некоторых диссипативных систем, подбирая им в пару системы с отрицательной диссипацией, однако мы таких систем не рассматриваем. В некоторых случаях для обсуждаемых здесь волновых систем имеет место закон сохранения энергии, но в общем случае сохраняющуюся энергию определить нельзя. Однако некоторый закон сохранения все же выполняется, а именно закон сохранения волнового действия. Правда, понятие действия может быть строго определено только для ограниченного класса решений,

поэтому в произвольном случае нельзя записать какого-либо закона сохранения. Однако такой закон выполняется асимптотически по отношению к некоторому малому параметру, и в этом смысле действие называют адиабатическим инвариантом. Существенной особенностью понятия действия является то, что оно связано с усреднением по фазе.

Многие понятия, применяемые к волнам, используются также в теории колебаний системы с сосредоточенными параметрами. Поскольку смысл понятия действия несколько проще выяснить для систем с единственной независимой переменной ——временем, мы сначала рассмотрим сосредоточенную колебательную систему. Потребуем, чтобы она была консервативной в том же смысле, что и выше, т. е. удовлетворяла вариационному принципу.

Наш подход отличается в некоторых деталях от подхода Уизема (см. гл. V, разд. 8). Там, где Уизем усредняет по фазе, используя метод «двух времен», мы усредняем по фазовому сдвигу, который определяет некоторое семейство решений. Важно отметить, что это отличие от теории Уизема совершенно не сказывается на алгоритме решения. На практике нет различия между усреднением по фазе и по фазовому сдвигу. В нашем подходе основной закон сохранения является точным, а не адиабатическим, и асимптотический характер теории обусловлен выделением семейства решений, связанных между собой посредством фазового сдвига [1]. Наш подход позволяет также естественным образом ввести определение локальной плотности и потока действия и в тех задачах, где волны относятся к общему типу, в частности обладают поперечной структурой (см. разд. 6).

Динамические системы с сосредоточенными параметрами

В данном случае независимой переменной является только время Л Зависимые переменные обозначим через %(/), где индекс i лежит в пределах 1 т, а т — число различных зависимых переменных. По предположению нам известна функция Лагранжа (лагранжиан) £(力厶力厶 f) с размерностью энергии (здесь ^i = dфi/dt). Пространство аргументов функции L содержит 2m + 1 переменных и называется расширенным пространством. Чтобы избежать путаницы, производные, взятые в этом пространстве, будем обозначать индексами, а для производных по f на обычной временной оси будем использовать d/dt. Кроме того, чтобы не писать везде знака суммирования, мы используем правило, что по повторяющимся индексам / подразумевается суммирование.

Согласно вариационному принципу, интеграл、Ld厶 взятый между двумя фиксированными значениями времени, принимает

для истинного решения экстремальное (стационарное) значение относительно варьирования зависимых переменных. Вычисление вариаций приводит к m уравнениям Эйлера:

俳⑴

Это и есть уравнения динамики дискретных систем.

Гамильтониан Н определяют соотношением

h = L£$「l,⑵

где используется указанное выше правило суммирования по повторяющимся индексам. Пользуясь уравнением (1), получаем

Если лагранжиан L не зависит явно от времени 勿 так что производная 厶力 тождественно равна нулю, то систему называют стационарной. В этом случае величина Н — константа решения. Рассматривая гамильтониан Н как полную энергию системы, получаем отсюда закон сохранения энергии.

Рассмотрим простой частный случай: нелинейный осциллятор с изменяющейся во времени упругостью. В этом случае имеется одна зависимая переменная 力；заданы потенциальная энергия G仲，Z) и возвращающая сила (для единичной массы) g(3J) = =С#. Лагранжиан имеет вид

厶=- G,

⑷

и уравнение движения (1) записывается так: $ + g(B, /) = 0.

(5)

Гамильтониан

"=-^#2 + G

⑹

не сохраняется, если Gt 关 0.

Сохранение действия для семейства решений

Рассмотрим семейство решений 5t(f), характеризуемое действительным параметром 0. Будем считать решение 拆(L Н) периодичным по параметру 9, полагая период равным 2л. т. е.

%(力 8 + 2m)=% (力 9).(7)

Определим действие Л, связанное с этим семейством решений, формулой

4(/) = am"，吃=工3吊产23\"立7з"力(8)

где черта сверху обозначает усреднение по периоду 0 (с тем же соглашением о суммировании.) Величина Л — это функционал выбранного нами семейства решений, который для этого семейства является функцией времени /.

Прямое вычисление dA/dt с учетом (1) приводит к равенству

~ = L6 = Q.⑼

Таким образом, действие /(/) оказывается постоянным и представляет собой точный инвариант, связанный с данным семейством решений. Оно имеет размерность энергии, умноженной на время (и деленной на размерность 0, если таковая имеется).

Полученный результат в его настоящем виде мало что дает, поскольку он не содержит никакой информации о конкретных решениях. Только сумев поставить в соответствие интересующему нас отдельному решению некоторое семейство решений, мы сможем применить этот общий результат к исследованию отдельных решений.

Стационарные колебательные системы

Рассмотрим колебания систем с постоянными параметрами (L± w 0). Соответствующее решение будет периодическим, с периодом 2л по фазовой переменной О, которая линейно зависит от времени. Таким образом, решение имеет вид

外(0 =色⑼=ф, (е + 2л)(1 о)

с фазой вида

认分=-3f 一仇(11)

где со ——угловая частота колебаний, а 0 ——константа. Поскольку система стационарна, любое решение останется решением при добавлении произвольной ?;онстанты к времени. Так как решение является функцией только О, то из (11) видно, что это справедливо и при произвольном изменении 0. Таким образом, 0 (назовем его фазовым сдвигом) обладает свойствами, отмеченными в разд. 2: -в результате произвольного сдвига фазы одно периодическое решение порождает целое семейство решений.

Действие Л, вычисленное для семейства решений, можно связать с отдельным решением и считать мерой интенсивности колебаний. Можно вычислить и сохраняющийся в этом случае гамильтониан

" = "(4) = 3/ —乡(12)

где £ — L — усредненный по фазе лагранжиан для данного решения. Другой результат состоит в следующем. С помощью (1)

можно показать, что d(£鼠％)/必=£厶％ 十 £^%・ Интегрирование по одному периоду дает

气九+%% =亲§ (%次十%丸)de = o-S3)

В частном случае, когда L ——квадратичная форма переменных 孔 н •%, основные уравнения (1) становятся линейными и однородными по %. Для такой линейной системы 丄&击 + 丄旬生= =2L, и (13) означает, что £ = В = 0, а (12) — что Н 岳 со4 Если интепретировать L как разность кинетической и потенциальной энергий, то мы приходим к классическому результату о равномерном распределении энергий в линейных осцилляторах, т. е. о равенстве средних кинетической и потенциальной энергий. Формула (13) представляет собой обобщение этого результата для нелинейных колебательных систем общего вида.

Выше обсуждалось отдельное решение уравнения (1), имеющее вид (10) с определенными значениями со и Л. В общем случае это решение не изолировано, и имеются периодические решения со слегка отличными значениями со и Л. По обычной терминологии такие соседние решения относятся к одной н той же колебательной моде. Для данной моды величины со и Л, вообще говоря, взаимосвязаны, так что выполняется соотношение

(ii = W{A)t(14)

описывающее функциональную зависимость частоты от интенсивности колебаний. Для соответствующего семейства решений вместо (10) можно записать

外=包(8, Л).(15)

В методе Уизема (см. гл. V) средний лагранжиан В вычисляют из (11) и (15) как функцию £(со, 4), не требуя, чтобы ① удовлетворяла соотношению (14). Затем применяют к среднему лагранжиану вариационный принцип, рассматрйвая вариации интенсивности Л и фазы 也 При этом варьирование по А дает 纟4出，4) = 0,(16)

что эквивалентно (14). Из вариации по 9 имеем

что равносильно (9). Производную 纟① с учетом того, что частота удовлетворяет (14) или (16), можно отождествить с действием /1 для данного решения. Если Z (со, А) определяется

формулой (12), также следует.формулой (12), также следует.то сразу получаем S= Л. Из (12) и (16) что (14) можно переписать в виде

формулой (12), также следует.

формулой (12), также следует.

(ИЭ(ИЭз = К(А)=謬.

(ИЭ

(ИЭ

Вернемся к ренным в разд.Вернемся к ренным в разд.примеру с нелинейным осциллятором, рассмот- 1. Стационарность колебательного движения означает, что G/ = 0, и решение дается выражением ,

Вернемся к ренным в разд.

Вернемся к ренным в разд.

J [2 (H~G)^ '

период, равныйпериод, равныйЧастота(о равна 2л/Г, где Т —

период, равный

период, равный

[2 (// — G)]%

Действие можно вычислить из (8):

A = *§【2(H-G)]%d6

Результат (14‘) можно легко проверить. Действие А равно площади, охватываемой кривой, которая представляет решение на фазовой плоскости с декартовыми координатами 小 总 L^ == ^ = 厂[2(Н —G)]%, умноженной на 1/2л.

Сохранение действия для системс медленно меняющимися параметрами

систем сосистем соВывод о сохранении действия Л для колебательных решений строго постоянными параметрами, конечно, тривиален. Достаточно медленное изменение параметров системы во времени f можно учесть, заменяя в лагранжиане L точную зависимость от 力 на зависимость от медленного времени Г, определяемого формулой

систем со

систем со

(17)(17)где е ——малый параметр. При очень малых g система приближенно ведет себя как стационарная, а 7 можно рассматривать как постоянный независимый параметр.

(17)

(17)

Приближенное квазипериодическое решение можно искать в виде, обобщающем (15)

也⑴=自(也A, n,

(18)(18)(19)(19)где А = 4(Т),①=С(4 Т), а для О вместо (11) имеем 今=一 \ к(а, Т)山一е.

(18)

(18)

(19)

(19)

Тогда параметр фазового сдвига 0 в (19) дает требуемое для определения действия А семейство решений. Основной результат (9) означает, что dA/dT = 0 или 4(Т) = const. Теперь это дает нетривиальный закон сохранения действия для колебаний в нашей системе с медленно меняющимися параметрами, В примере с нелинейным осциллятором, упругость которого медленно меняется во времени, это означает, что интенсивность колебаний (измеряемая величиной Н или @макс) непрерывно изменяется таким образом, что величина А остается постоянной.

Это обезоруживающе простое и прямое рассуждение чревато, однако, и определенными «ловушками». Оно очевидно непригодно, если нарушаются условия существования или однозначности решения или возникают особенности в решении при некотором значении Г. Здесь мы просто должны предположить, что ничего этого нет, что периодические решения вида (18) существуют при всяком значении Т, рассматриваемом как фиксированный параметр, и могут быть отнесены к одной и той же моде. Мы предполагаем также, что приближенные решения вида (18) действительно существуют, если 7 = с/ медленно изменяется.

Более тонкие вопросы относятся к характеру сделанных приближений. Чтобы разобраться в этом, рассмотрим систему, которая при 7 V 0 стационарна и для нее известно однопараметрическое семейство точных периодических решений, рассмотренное в разд. 3, Начиная с момента Т = 0, параметры системы медленно меняются, а в момент Т = 7。система снова становится стационарной. В переходных точках Г — 0 и Г = То поведение функций, описывающих систему, не будет аналитическим, однако мы предполагаем, что эта неаналитичность достаточно слабая. При 7 ＞「о величина 4, определяемая согласно разд. 2, равна своему первоначальному значению, так как она является точным инвариантом.

Приближенный характер этого результата заключается в том, что при 7 ＞「о семейство решений, задаваемое первоначальным параметром фазового сдвига, более не выражается формулами (15) или (18). В примере с нелинейным осциллятором (4), (5) каждое решение семейства может быть периодическим и ему, согласно разд. 3, можно поставить в соответствие действие Л (6) и частоту со(8). Однако при этом А (0) и со(0) в общем случае не будут строго постоянными. Абсолютный инвариант 4, определенный для семейства решений,——это в определенном смысле среднее от А (0) по 9.

В системе с большим числом степеней свободы появляется другая трудность. Решение, строго периодическое при 7 V 0, может быть вообще не периодично при Г V То, или периодично, но с периодом, много большим того, который соответствует функции W(А, Т). В линейных системах это можно описать как по

явление другой нормальной моды («перемешивание» мод). Этим же гермином мы будем пользоваться для аналогичного явления 日 в общем нелинейном случае. Решение можно рассматривать как сумму периодического решения и некоторого малого возмущения.

Ошибки обоих этих типов будут малы, если g — малая вели- чнна. В пределе € -> 0, когда параметры системы изменяются бесконечно медленно, эти погрешности исчезают. Таким образом, выводы о сохранении периодичности решения и об инвариантности действия Л, определенного для данного семейства решений, —это результаты асимптотические, поэтому соответствую* шее действие Л называют адиабатическим инвариантом. Конкретный вид зависимости ошибки от величины € связан с харак- тером неаналитичности при 7 = 0, Т = Го. Подобные ошибки ограничивают наши возможности рассматривать решение как периодическое колебание.

Альтернативным подходом, не требующим введения понятия действия, является использование гамильтониана П, усредненного по фазе, вместо Л в качестве меры интенсивности колебаний. Уравнение (3) можно усреднить по фазе, заменив производную Lt на eLt. Тогда получим

(20)(20)dH -г

(20)

(20)

~dT=-LT-

Выражая правую часть как функцию Л и Г, из дифференциального уравнения (20) можно найти /7(7). Однако эта процедура по некоторым причинам менее убедительна, чем использование действия. Действительно, величина Л менее фундаментальна, чем А. Все асимптотические ошибки, возникающие при использовании величины Л, появляются и для 冃.В общем случае процедура с использованием Н не опирается на фундаментальный закон сохранения. Наконец, интегрирование дифференциального уравнения (9) для А сразу дает А = const.

Вообще же, какой бы метод ни использовался, сущность его применения к системам с медленно меняющимися параметрами заключается в возможности усреднять по фазе. В этих случаях решение (за исключением самой фазы) должно вести себя в известном смысле независимо от фазы, которая не должна влиять на результат. Погрешности в таких результатах и являются прямой мерой того влияния, которое фазовые соотношения оказывают на решер'ие.

Сплошные среды

В сплошной среде динамические колебания существуют в внде волн. Как и в рассмотренном выше дискретном случае, среда предполагается консервативной в том смысле, чк)пнна：

мическпс уравнения можно получить из вариационного принципа. Независимыми переменными теперь являются время / и вектор пространственных координат х. Зависимые переменные обозначаются так же, как и прежде, но имеют функциональную зависимость вида 3t(x, Z). Первыми производными функции % в физическом пространстве ее определения являются 屮^ и компоненты градиента V%.

IIНам снова нужно определить плотность лагранжиана Л(^, У%, %, х, /). Производные в физическом пространстве, как и выше, обозначаются операторами V и d/dt в отличие от производных в расширенном пространстве аргументов L, обозначаемых индексами. Вариационный принцип требует, чтобы интеграл 、、厶 d/dx был стационарным для истинного решения (,dx —— краткое обозначение для \ , , d%】d尤2 d尤3). Вычисление вариаций дает ш уравнений Эйлера, аналогичных (1):

I

I

备 k) + ℃-LL(21)

Эти дифференциальные уравнения в частных производных и служат динамическими уравнениями для сплошной среды. Заметим, что к中｛— векторная величина, и ее компонента х； равна 厶 3© JdXj.

Пользуясь (2), можно определить плотность гамильтониана.

Она подчиняется уравнению, аналогичному (3):

•^" + V •(L“/，= — 〃，(22)

где используется, конечно, обычное правило суммирования. Если L не зависит явно от времени f (стационарная система), то уравнение (22) принимает форму, которую в континуальных теориях называют уравнением (законом) сохранения. Согласно таким уравнениям, сумма производной по времени от какой-либо «плотности» и дивергенции вектора «потока》 равна нулю. Вектор Ь^ф^1 нужно' понимать как поток гамильтониана. Причина названия «уравнение сохранения» обсуждается далее в связи с понятием плотности действия.

Анализ, приведенный в разд. 2, можно непосредственно обобщить на сплошные среды. Рассмотрим семейство решений ^Дх, % 0), зависящее от параметра 0 и периодическое по 0 с периодом 2л. Плотность действия А (х, f) определяется соотношением (8) (конечно, теперь Л зависит и от х). Поток действия В (х, /) определяется выражением

В (х, /) = В IV', (х, /, 8)] = Lve#，e= £§厶丫仰也"8.(23)

Аналогом уравнения (9) является

号+ У・В = 0.(24)

Полное действие в любой момент времени дается интегралом 、/ dx от плотности действия по всей области, где поле отлично от нуля. Предполагается, что в каждый данный момент времени этот интеграл сходится, так что полное действие можно корректно определить. Предположим далее, что границы области фиксированы (неподвижны) и что на них для каждого значения индекса t либо 力？ = 0, либо п ■ Л¥ф/ = 0, где п — единичный вектор, нормальный границе. Если рассмотренная область бесконечна, то предполагается, что при |х| ->оо решение достаточно быстро стремится к нулю. Вычисляя производную по времени от интеграла действия и пользуясь уравнением (24) и теоремой о дивергенции (и, если область бесконечна, делая соответствующий предельный переход), получаем

-^-^Adx = Q.(25)

Таким образом, полное действие сохраняется. Этот вывод, основанный на «дивергентной форме» уравнения (24), оправдывает название «уравнение сохранения» для уравнений такого вида.

Волны

Волны рассматриваются здесь как колебания сплошных сред, описываемые периодическими по фазовой переменной 分 решениями уравнений динамики. Фаза 分 является функцией переменных хц и £ 《в пространстве распространениям^ которое, вообще говоря, не совпадает с физическим пространством (х, /). Мы считаем, что физическое пространство можно представить в впде произведения «пространства распространения》')и ^поперечного пространствам х丄.

Если среда стационарна и однородна, т. е. лагранжиан L не зависит явно от / и хц, то можно ожидать существования решений, строго периодических по 8 (с периодом 2冗)，где 8 имеет вид

8 = к • Хц — со/ — 8.(26)

Эти решения по форме аналогичны строго периодическим решениям вида (10), (11) для дискретных систем. Они соответствуют

】)Имеется в виду координата, вдоль которой распространяется волна. — Прим. ред.

плоским (в пространстве распространения) волнам с волновым вектором к.

В более общем случае, особенно когда параметры среды медленно изменяются (плотность лагранжиана явно зависит от Т = ct и Х = £Х||), фаза может быть более сложной функцией Хц и 力 Определим частоту(о и волновой вектор к соотношениями

з(Х, Т) = -穿. (27а)

к(Х, Т) = %6. (276)

Определенные таким образом частота и волновой вектор должны подчиняться условию совместности

零十％з = 0. (28)

По Уизему, это уравнение выражает сохранение числа гребней волны. Оно имеет вид векторного уравнения сохранения с плотностью к и потоком(о1, где I — единичный тензор.

Если поперечное пространство — точка, так что пространство распространения совпадает с физическим пространством, то волновые решения относят к локальному типу. Если поперечное пространство нетривиально, то необходимо различать два случая: 1) заданы однородные граничные условия на фиксированной границе в поперечном пространстве или соответствующие условия убывания на бесконечности, если поперечное пространство не ограничено; при этом волны относят к модовому типу; 2) такие условия либо отсутствуют совсем, либо они применимы лишь частично; в этом случае говорят о волнах общего типа.

Главное различие состоит в том, что в модовом случае возникает задача о собственных функциях и собственных значениях, подходящие решения которой существуют не при любых значениях(о, к и амплитуды. Волны локального и модового видов называют плоскими, или прогрессивными, волнами в том смысле, что они приблизительно плоские в пространстве расйро- странения.

Для волн любого типа приближенная периодичность по фазе § допускает построение семейства приближенных решений, раз- личающихся только сдвигом фазы. Можно определить плотность действия Л и его поток В в физическом пространстве (с такими же ошибками определения, как и в дискретном случае), подчиняющиеся основному закону сохранения (24).

Для стационарной однородной среды существуют решения локального и модового типов в виде строго периодических функций 力八也 х±) фазы, определяемой выражением (26). Эти решения аналогичны рассмотренным в разд. 3, и для них могут быгь

получены соответствующие результаты. Аналог обобщенного закона о равномерном распределении (13) имеет вид

，(以色+ 4八色+4幻dx丄= 0.(29)

丄

В линейном случае, когда лагранжиан квадратичен по % и их производным, это означает, что S = 、Ldx, = 0. В случае мо-

丄

довых волн для доказательства (29) нужно воспользоваться соответствующем。граничными условиями.

Другой результат:

у丄・В丄=0,(30)

немедленно следует из (24), если учесть, что Л и В не зависят ОТ ^ И Х||.

Определим плотность действия 必 и его поток 阕 в пространстве распространения следующим образом:

№= \ 4dx丄，(31а)

阁=\ В口 dx 丄.(316)

丄

Аналогом уравнения (14) здесь служит нелинейное дисперсионное соотношение

со =取(必，k),(32)

т. е. в аналоге соотношения (15) наряду с зависимостью от * появляется зависимость от к. В теории Уизема (см. гл. V) соотношение, эквивалентное (32), и тлеет вид

2总(①，加，k) = 0,

a 玄о, совпадает с №. Для систем с медленно меняющимися параметрами решения вновь считаются близкими к строго периодическим решениям уравнений однородной среды. Уравнение сохранения (24), проинтегрированное по поперечному пространству, дает основной закон сохранения в пространстве распространения:

崂+V" •例=0.(33)

Если 城 м 阕 определить из (31) для однопараметрического семейства точных решений, то уравнение (33) будет точным законом сохранения. Как и в случае дискретных систем, ошибки, появляющиеся при использовании уравнения (33), связаны в

первую очередь с представимостью решения в периодической форме. При этом 必 н 例 соответствуют плотности и потоку адиабатического инварианта для волновой системы.

По сравнению с дискретными системами в сплошных средах существует большее число разнообразных случаев «патологического» поведения. Однако во многих случаях волновое решение в бесконечном пространстве распространения имеет тенденцию при больших значениях времени делиться на волновые пакеты, каждый из которых можно описать более или менее индивидуально. Тогда определенное вначале полное действие будет при больших значениях f равно сумме действий волновых пакетов.

В нашем рассмотрении волнового действия не учитываются особенности, которые Уизем (см. гл, V) связывает с «потенциальными^ зависимыми переменными 处，т. е. с такими, которые входят в лагранжиан только через свои производные 虫 и V%. Они требуют несколько особого рассмотрения. Такие переменные могут быть важны, например, в механике сплошных сред, когда существенно взаимодействие между волнами и средними потоками в среде.

Сравнение законов сохранения действия и энергии

Может возникнуть очевидный вопрос: почему следует вводить сравнительно непривычное понятие действия, определенного TOvibfco для семейства решений, вместо более знакомого понятия энергии? Энергия сохраняется в физических системах, и ее можно определить для отдельного решения. Усредненную по фазе энергию можно использовать вместо действия во многих случаях, в частности если среда стационарна, т. е. 〃 = 0.

Наиболее наглядно ограничения применимости концепции сохранения энергии для волн проявляются в гидродинамике и физике плазмы, В этих случаях невозмущенная среда в отсутствие волн сама описывается решением уравнений движения, которые могут быть отнюдь не тривиальными. Полная энергия невозмущенной системы может быть бесконечной. Во всяком случае, волны следует рассматривать как возмущения, для которых нужно знать возмущенный лагранжиан, приводящий к соответствующим уравнениям движения для возмущений, которым эти волны удовлетворяют. Энергия или действие, используемые при изучении волн, должны характеризовать эти волны, и их следует определять как понятия, относящиеся к возмущенным величинам. Однако энергия возмущения сохраняется только тогда, когда невозмущенное решение стационарно.

Чтобы использовать закон сохранения энергии для волн, нужно усреднить плотность энергии по фазе. В сущности, раз-

личие между усреднениями по фазе и по фазовому сдвигу (0) мало, так что и задачи, и приближения для обеих процедур почти одинаковы. Нет никаких преимуществ в том, что энергию можно определить для отдельного решения вместо семейства решений.

Если произвести преобразование Галилея со скоростью U, то величины /4 и 必 не меняются, в то время как к В н % добавляются слагаемые U4 и UM. Энергия, определенная как гамильтониан, не подчиняется этому простому правилу. Такое поведение гамильтониана можно было предвидеть. Действительно, применение преобразования Галилея к стационарной среде с плавной неоднородностью, в которой энергия сохраняется, приводит, вообще говоря, к нестационарной среде, в которой энергия не сохраняется.

Уравнения движения физической системы не меняются при добавлении к лагранжиану L члена, равного производной по времени f или декартовым координатам х произвольной функции вида М(%, х, f). Такие преобразования, называемые калибровочными, допустимы, так как они не вносят реальных изменений в задачу. Плотность и поток действия являются ивариан- тами таких преобразований, а плотность и поток энергии (гамильтониана) таковыми не являются.

В соответствии с общим «философским» правилом физики и прикладной математики полезно изучать следствия различных видов преобразований и величины, остающиеся при этом инвариантными, считать более фундаментальными. Для волн это правило указывает на то, что действие является более фундаментальной величиной, чем энергия.

Теория распространения волн

При изучении распространения прогрессивных волн основная задача состоит в предсказании изменения интенсивности волны (характеризуемой величиной А или №), частоты (о и волнового вектора к. Для простоты предположим, что волны локальны, т. е. х >= хц и Д = М При этом основными уравнениями будут (28) и (24) или (28) и (33) [в зависимости от того, имеет место соотношение (32) или ①=47(4, к, х, /)], а также связь

% = %(/, к, х, /),

определенная для данной моды.

Основные уравнения (28) и (24) или (28) и (33) относятся к пространству распространения (х, /). Пространство аргументов функций 呼 н В, т. е. (Л, к, х, /), называется расширенным просгранством. Основные уравнения в этом пространстве прини-

маюг вид

絹 + % . Vk + 叭 VA =-叭， (34)

* + Bq VA + Bk： Vku-Sp(Bx). (35)

Выражения в правых частях этих уравнений представляют медленные вариации параметров среды и равны нулю для однородной среды.

Можно показать, что 咻=Ва； назовем этот вектор основной групповой скоростью. Можно также показать, что тензор Вк симметричен. В случае линейных волн W = W(kt х, /), и член 眠з в (34) исчезает. Основная групповая скорость становится обычной групповой скоростью. Уравнение (34) отделяется от (35), и его можно непосредственно решить методом характеристик. Характеристиками в этом случае являются лучи dx/dt = W^ представляющие собой стандартное понятие кинематики волн (изучаемое, например, в геометрической оптике и геометрической акустике) (см. [2] и указанные там ссылки). После того как лучи найдены и известна функция к(х, /), можно найти интенсивности волн, решив уравнение (35).

При распространении нелинейных волн уравнения (34) и (35) взаимосвязаны и не могут быть решены раздельно. Конкретные задачи выходят за рамки этой главы. Частично они рассматриваются в гл. V.

Библиографические замечания

Основной вклад в теорию, включая и ее применения к различны м волновым задачам, принадлежит Уизему [3—6]. Он также дал тщательное математическое обоснование своего метода и следующих из него результатов [7]. Подход, определяющий плотность и поток действия кан локальные средние по сдвигу фазы, описан в работе [1].

Общая формулировка уравнений для линейных волновых движений была впервые опубликована Уиземом [8]. Обзор, связанный с понятием групповой скорости, и ссылки на ранние работы можно найти в [9].

Нелинейная теория распространения волн в рамках лагранжева описания рассматривалась в цитируемых выше работах Унзема, а также в статье Лайтхилла [10] (см. также [11]).

ЛИТЕРАТУРА

Hayes W. D, Proc. Roy. Soc„ A320, 187 (1970).

Conservation of action and modal wave action.

Hayes 吃 D, Proc. Roy. Soc., A320, 209 (1970).

Kinematic wave theorv.

WTii伍am G. B„ Proc. Roy. Soc., A283, 238 (1965) Nonlinear dispersive waves.

Whitham G.立，Journ. Fluid Meeh., 22, 273 (1965).

A general approach to linear and nonlinear dispersive waves using a Lagrangian.

Whitham G. B., Journ. Fluid Meeh., 27, 399 (1967).

Nonlinear dispersion of water waves.

Whitham G. B„ Proc. Roy. Soc., A299, 6 (1967).

Variational methods and applications to water waves (см. перевод в книге: «Нелинейная теория распространения волн», под ред. Г. И. Баренблатта, изд-во «Мир», 1970).

Whitham G. В., Journ. Fluid Meeh, 44, 373 (1970).

Two-timing, variational principles, and waves.

Whitham G. B., Comm. Pure Appl. Math., 14, 675 (1961).

Group velocity and energy propagation for three-dimensional waves.

Lighthill MJ., Journ. Inst. Maths. Appl., 1( 1 (1965).

Group velocity.

Lighthill M.丄，Journ. Inst. Maths. Appl., 1, 269 (1965).

Contributions to the theory of waves in nonlinear dispersive systems.

FL Hayes 步.D, Proc. Roy. Soc., A332, 199 (1973).

Group velocity and nonlinear dispersive wave propagation.

Взаимодействие волн

Оуэн М. Филлипс

В природе волновые движения часто возникают не в виде отдельной периодической или почти периодической волны, а в гораздо менее регулярной форме. Хорошо известный пример —— волны в океане, нерегулярность которых обусловлена их возбуждением сразу на большой площади, а также неустойчивостями, присущими волновым движениям. Все же в подобных случаях можно с известным основанием считать, что отдельная фурье-компонента возмущения распространяется по поверхности воды, взаимодействуя с другими компонентами волны (и в том числе воздействуя сама на себя). Природа взаимодействий между отдельными компонентами волны (эти взаимодействия и составляют основной предмет данной главы) может быть существенно различной. Основные идеи, на которых основано описание взаимодействий, совсем просты, и их легче всего понять, если рассмотреть общие свойства волн в средах с дисперсией. Конкретные детали будут рассматриваться применительно к волнам на воде, однако следует помнить, что сами методы являются достаточно общими и применимы также для других задач.

Рассмотрим функцию р, характеризующую некоторое свойство движения, например смещение элемента жидкости от состояния равновесия или изменение давления в жидости. Тогда для многих типов волновых процессов (напримерГ звуковых волн малой амплитуды) справедливо классическое линейное волновое уравнение

Ри — с^р == О,

где с — скорость звука. Это уравнение имеет элементарные решения типа

р = q exp ik • (х 土 с/),

описывающие распространение гармонической волны с постоянной скоростью & не зависящей от длины волны. Разумеется, эти волны не обладают дисперсией, однако большинство волн,

с которыми мы встречаемся в сплошных средах, не удовлетворяет классическому волновому уравнению, и их фазовая скорость может зависеть от волнового числа. В общем случае уравнение для бесконечно малых возмущений имеет вид

①(р) = о,⑴

где S ——линейный оператор, содержащий производные по координатам и времени. Вид этого оператора определяется конкрет- ным типом рассматриваемого волнового процесса. Например, в гл. IV, разд. 4, рассматривались поверхностные волны бесконечно малой амплитуды, для которых граничное условие на поверхности приводит к уравнению

力"+ g办=。при 2 = 0,

где 。——потенциал скорости. Другой пример — внутренние гравитационные волны в стратифицированной жидкости с постоянной частотой Брента ——Вяйсяля ^ (см. гл. X, разд. 1), для которых

^2wtt + N2^w=0,(2)

где w ——вертикальная скорость жидкого элемента, a ——оператор Лапласа по горизонтальной координате. Эти линейные уравнения также допускают решения вида

中，w = a exp i (к * х 土 со/)

при условии, что(о 口々 удовлетворяют дисперсионному соотношению, которое характеризует тип волнового процесса.

Для гравитационных волн на поверхности глубокой воды дисперсионное соотношение имеет вид

W2 =酿(3)

а для внутренних гравитационных волн, описываемых уравнением (2),

(o = ^cos0,(4)

где 0 — угол между волновым вектором и горизонтальным направлением.

Решения, получаемые для волн бесконечно малой амплитуды, во многих реальных случаях являются хорошим первым приближением; самый факт их полезности означает, что в этих случаях взаимодействия и другие нелинейные эффекты оказываются слабыми. В истории механики сплошных сред, вероятно, именно исследование поверхностных волн на воде дало первый пример хорошего совпадения результатов теории с данными наблюдений. Однако все уравнения типа (1) в гидродинамике представляют собой лишь приближение по отношению к исход-

ным нелинейным уравнениям, в которых нелинейные члены считаются в определенном смысле малыми. Можно ожидать, что эффекты взаимодействия воли, которые все же возникнут из-за присутствия этих нелинейных членов, будут в большинстве случаев слабыми. Это означает, что для описания таких эффектов можно использовать уравнение вида

①(р) = е% (р), (5)

где 斤——некоторый нелинейный оператор, точный вид которого определяется конкретной волновой системой, а е ——некоторый малый параметр, характеризующий амплитуду волны. Из эвристических соображений ясно, что решения такого уравнения можно получить с помощью метода последовательных приближений, сводящегося, по существу, к разложению в ряд по степеням е. Первое приближение дается линейным решением; оно подставляется в правую часть, и решение полученного уравнения даст поправку второго приближения и т. д. Ниже мы уточним эту схему.

Резонансные условия

Чтобы понять существо дела, рассмотрим одно элементарное свойство осциллирующих систем. Линейный осциллятор, находящийся под действием малой вынуждающей силы, описывается уравнением

xit + k2x = €

где 々一собственная частота системы, a G — частота вынуждающей силы. Отклонение системы от начального состояния покоя х = 0 мало (порядка е), если 炉 не очень близко к Q2, т. е. если нет резонанса между частотой вынуждающей силы и собственной частотой системы. Если же эти частоты совпадают, то амплитуда осцилляций возрастает линейно со временем до сколь угодно большой величины. Итак, единственный способ сделать отклик системы большим — это использовать явление резонанса. •

Очень похожий эффект имеет место при взаимодействии волн. Рассмотрим две взаимодействующие волны, которые в первом приближении задаются решениями линейного уравнения (3):

a】 exp z (kj • х — со"),

〃2 exp z (к2 ■ х —巡)， (6)

где волновое число и частота каждой из волн связаны дисперсионным соотношением 例=吃(к) i = 1,2,3. Естественно ожидать, что решение полного уравнения (5) имеет в общем тог же самый вид, но амплитуды а, возможно, изменяются со

временем. Целесообразно искать решения уравнения (5), подставляя выражения типа (6) в малые нелинейные члены, стоящие в правой части. В случае когда нелинейность низшего порядка квадратична, эта подстановка приводит к выражениям типа

exp "(ki ± k2) • х — (©! 士 со2) Л-

В уравнении (5) эги члены, по существу, играют роль малой вынуждающей силы, действующей на линейную систему и приводят к возбуждению волн с волновыми числами 电土尼2 н частотами si + 32・ Можно ожидать, что отклик системы на эту вынуждающую силу будет мал (порядка е) до тех пор, пока нет резонанса, т. е. пока волновое число и частота приложенной вынуждающей силы не совпадут с волновым числом и частотой какой-либо собственной волны. Если же такое совпадение произойдет, то возникнет резонанс и в результате новая компонента возрастет за счет непрерывного потребления энергии от двух исходных волн. Если начальная амплитуда третьей компоненты равна нулю, то в условиях резонанса она растет линейно до тех пор, пока утечка энергии от других компонент не начнет уменьшать их амплитуду, а следовательно, и амплитуду вынуждающей силы. Хотя эта основная идея появляется в результате простого обобщения известных свойств линейного осциллятора, в случае волн могут возникнуть некоторые математические тонкости, особенно при рассмотрении почти, но не совсем, резонансного случая. Эти особенности обсуждал Брезертон [1].

Итак, условия, при которых три волны могут эффективно обмениваться энергией при квадратичной нелинейности, должны иметь вид

3] 土 tt>2 士 3, = 0,k! ±k2±k3 = 0,⑺

где для каждой пары волновой вектор ——частота справедливо линейное дисперсионное соотношение

3£ = %(к) i=l, 2, 3.

Если волны не удовлетворяют этим условиям, то эффект их взаимодействия мал (порядка е).

Таким образом, возможность энергетического обмена подобного типа связана с существованием решений резонансных уравнений. Последнее в свою очередь зависит от вида дисперсионного соотношения, характеризующего волновой процесс. Например, возможность существования - троек волновых векторов, удовлетворяющих условиям резонанса, в случае капиллярно- г])；1зитационных волн на поверхности глубокой воды проще

рующая существование резонансных триад капиллярно-гравитационных волн.

всего может быть продемонстрирована с помощью следующего геометрического построения [2]. »

Прежде всего рассмотрим волны, распросграняющиеся в одном направлении. По оси ординат отложим частоту, а по оси абсцисс——волновое число. Для капиллярно-гравитационных волн дисперсионное соотношение имеет вид

3 = ® +号户， (8)

где Т—коэффициент поверхностного натяжения, р — плотность воды. Эта зависимость изображена на фиг. VII. 1 сплошной кривой. При малых значениях k (область гравитационных волн) эта кривая выпукла, а при больших значениях k (капиллярная

oG.iaciь) она вогнута. Если мы возьмем произвольную ючку (со；, А[) на этой кривой и проведем вектор (1), соединяющий эту точку с началом координат, то вертикальная и горизонтальная проекции этого вектора даю г пару частота — волновое число для свободной волны. Затем перейдем к новой координатной системе с осями о/, kf и началом координат в точке (соь 也)и построим ту же самую дисперсионную кривую в этих новых координатах. На фиг. VII. 1 она показана пунктиром. Любой вектор, соединяющий точку на этой кривой с новым началом координат, снова задает пару волновое число ——частота для одной из трех волн. Если кривые пересекаются [в данном случае это происходит в точке ((оз,走з), или, что то же самое, ① 1 + S2,財 + 月2】，то три вектора, соединяющие точку пересечения с обоими началами координат и начала координат между собой, определяют триады волновых чисел и частот, удовлетворяющих (7j, причем для каждой пары этих величин отдельно выполняется соотношение (8). В рассмотренном примере

(О] + G)2 = g,々1 + % =左з・

Эти три волны способны резонансно взаимодействовать между собой. Отметим, что эти взаимодействия избирательны, так как три волновых числа, выбранных произвольно, вообще говоря, не удовлетворяют этим соотношениям. Кроме того, взаимодействия слабы из-за малой величины нелинейного члена； ниже мы увидим, что заметный обмен энергией в данном случае занимает промежуток времени порядка £一】периодов волны.

Это построение дает нам лишь уверенность, что по крайней мере некоторые распространяющиеся коллинеарно капиллярно- гравитационные волны способны к такому резонансному взаимодействию. Если же волны не коллинеарны, то к задаются векторами, расположенными в горизонтальной плоскости. Тогда геометрическое построение должно быть произведено в .трехмерном пространстве, причем дисперсионное соотношение изображается уже не кривой, а чашеобразной поверхностью, аксиально-симметричной относительно оси частот. Пересечения двух таких поверхностей определяют тройки волновых векторов, способных резонансно взаимодействовать [2], как это показано на фиг. VH. 2.

Для данного конкретного вида волнового движения резонансные тройки волн действительно существуют, но в общем случае это не всегда так. Например, для чисто гравитационных волн на поверхности глубокой воды дисперсионное уравнение имеет вид (3), и соответствующие дисперсионные кривые всюду в ы 1!\-к：｝! л. А на логичнос построение не нае「ючек пересечения, и,

фиг у〃. 2. Диаграмма на плоскости волновых чисел, показывающая типич - ную резонансную триаду для капиллярно-гравитационных волн [3J.

Во 1на с волновым вектором к| может взаимодействовать с произвольной волной, вотповой b£tod которой к2 оканчивается на указанной линии; волновой вектор % замыкает тре・ 'угольник.

таким образом, у системы резонансных уравнений при квадратичном взаимодействии отсутствуют нетривиальные решения. В этом случае анализ необходимо продолжить, рассмотрев эффекты высших порядков, и тогда оказывается, что первый резонансный эффект — это кубическое взаимодействие, охватывающее четыре отдельные волны; это усложнение будет обсуждаться позднее. Однако для многих видов волновых процессов возможен более простой случай квадратичного резонансного взаимодействия троек волн. К ним относятся внутренние гравитационные волны в стратифицированной жидкости с постоянной частотой Брента ——Вяйсяля N, характеризуемые дисперсионным соотношением (4), а также близкие им по природе инерционные волны в однородно-вращающейся жидкости.

Резонанс может иметь место и для двух различных типов одновременно существующих волн. Например, в работах [3, 4] показано, что взаимодействие двух гравитационных волн, движущихся по поверхности воды, в принципе может генерировать внутренние волны на резком подводном термоклине.

Уравнения взаимодействия

Рассмотрим теперь динамику резонансного взаимодействия трех гармонических волн. Положим

P = S 他 ®) exp [i (к厂 х — co/)] + a* ®) exp [— i (k「x — co/)] },

где i = 1, 2, 3. Отметим, что функция p должна быть действительной величиной. Амплитуды волн а могут медленно меняться во времени, и именно это изменение мы будем исследовать, подставляя решение предполагаемого вида в (5).

После такой подстановки действие линейного оператора 2 на экспоненциальные члены дает нуль, так как волновые числа и частоты удовлетворяют дисперсионному соотношению, соответствующему (1). При действии линейного оператора .на а первые производные а по времени будут порядка е, вторые — порядка е2 и т. д. В правой же части квадратичные члены будут давать суммы и разности рассматриваемых волновых чисел и частот, и если, например, выполняются резонансные соотношения

Х1 + Х2 + Хз = 0, Х» = к「х — со", (9)

то член в левой части, пропорциональный expiXi, изменяется в пространстве и времени так же, как и член в правой части, пропорциональный ехр [——f(X2 + -Хз)]. Эти члены можно выделить, умножая все уравнения на комплексно сопряженные им величины и усредняя на интервале, равном целому числу длин

волн. Гаким способом получают динамические уравнения, определяющие скорость изменения во времени трех рассматриваемых амплитуд. В низшем порядке по е для а получаем уравнения вида

6 = c产麓，

id2 = С2а*а*.(Ю)

回=Сз@；.

Это и есть уравнения взаимодействия резонансной тройки, более строго выведенные Брезертоном [1]г). В общем случае константы Ci зависят от направлений волновых векторов и от того, каков конкретный тип взаимодействующих волн. В конкретных задачах вычисление этих коэффициентов взаимодействия описанным здесь методом элементарной подстановки часто связано с весьма громоздкими алгебраическими выкладками. Намного проще, хотя и менее очевиден, способ получения коэффициентов взаимодействия с помощью усредненного лагранжиана Уизема (гл. V); пример такого вывода дан в важной работе Симмонса [2].

Уравнения взаимодействия (10) имеют два независимых интеграла. Из первых двух уравнений имеем

CY'diol = — ia；区広=C^& 成 следовательно,

a^-a2(0) 物：一分⑼ a3%一02(°)

С； = С2 = С； ，⑴)

где "(О)—начальное значение %а： и т. д. Общее решение может быть выражено через эллиптические функции Якоби [1, 3]. Однако ряд интересных и важных свойств решения можно выяснить более простым путем.

Можно считать, что интегралы (11) описьгвают перераспределение энергии между гремя взаимодействующими компонентами. Величины а^ и т. д. пропорциональны плотности энергии волны; Брезертон показал, что если величина р такова, что коэффициент пропорциональности — просто число, то коэффициенты взаимодействия пропорциональны частотам ⑴，которые удовлетворяют резонансному условию (9). Так как из (9) следует

+ 32 + g и °,

См. нап/. U()J. — Прим.

Фиг. V7/・ 3. Схема изменения распределения энергии между волнами взаимодействующей тройки волн.

Вначале энергия распределена между волнами 2 и 3; по мере роста волны 1 она отбирается от них до тех пор, пока волна 2 не иссякнет. В отсутствие диссипации этот процесс циклически повторяется.

то по крайней мере одна из частот, определяемых таким образом, должна быть отрицательна. Следовательно, по крайней мере один из коэффициентов Сь С2, С3 также должен быть отрицателен. Предположим, что это &. Тогда, если плотность энергии волны 1 в некоторый момент возрастает, то суммарная плотность энергии двух других волн должна уменьшаться. В общем случае решения для амплитуд волн оказываются периодическими, причем период равен произведению е-1 на характерный период волны. Разумеется, суммарная плотность энергии всех трех волн сохраняется. Перераспределение плотности энергии между волнами со временем показано на фиг. VII. 3. В данном примере начальная амплитуда волны 1 равна нулю, так что из (10) следует

&2 = @3 = ° При / ~ 0.

При этом компонента 1 вначале растет по линейному закону:i〃! = &а加亂

а плотность ее энергии возрастает квадратично:

да； = С；а2&аза；『・

При таких начальных условиях плотность энергии волны 1 растет за счет двух других волн до тех пор, пока энергия какой-либо из этих двух волн не будет исчерпана. На этой стадии плотность энергии первой волны перестает расти и начинает уменьшаться до тех пор, пока «истощенная» волна не восста-

навливается, после чего энергии волн возвращаются к начальным значениям.

Другое интересное следствие этих уравнений при отличных от нуля коэффициентах взаимодействия состоит в том, что если волна может участвовать в подобном резонансном взаимодействии, то она неустойчива по отношению к возмущениям в виде двух других волн из резонансной тройки. Это обстоятельство отмечалось в [4].

Примеры квадратичных взаимодействий исследовались с самых различных сторон, Мак-Голдрик показал [5], что чисто синусоидальная капиллярно-гравитационная волна конечной амплитуды с волновым числом (gp/2T)% не может распространяться в невязкой жидкости неопределенно долго, а передает энергию своей собственной второй гармонике. Решение линеаризованной задачи можно рассматривать как теоретически возможное состояние динамического равновесия, но фактически это состояние неустойчиво в следующем приближении. Такой эффект возникает при наличии минимума фазовой скорости, что н имеет место для капиллярно-гравитационных волн. Для указанного выше конкретного волнового числа вторая гармоника основной волны соответствует собственной волне, распространяющейся с той же скоростью, но обладающей волновым вектором, в два раза большим, чем у основной волны. Неустойчивость этой волны демонстрировалась в ряде очень четких экспериментов, показывающих убывание амплитуды основной волны и начальное «усиление» второй гармоники, сменяющееся затем затуханием вследствие молекулярной вязкости.

В работе [6] было рассмотрено распространение внутренних гравитационных волн в однородно-стратифицированной жидкости, в которой присутствуют слабые периодические вертикальные изменения поля горизонтальных течений. Их можно рассматривать как предельный случай внутренних гравитационных волн, когда частота волны стремится к нулю, а направление волнового вектора — к вертикальному. Если этот волновой вектор обозначить через кь то волновые векторы к? и кз (фиг. VII.4) вместе с ki образуют равнобедренный треугольник и удовлетворяют резонансным условиям

彩 + ка = кз, = ®з,

так как s = 0, а частоты волн 2 и 3 равны, поскольку равны углы их наклона к вертикали. Однако в этом случае при вычислении коэффициентов взаимодействия оказывается, что Ci = 0, а С2 = —С3, причем обмен энергией с установившимся течением вообще отсутствует. Оно лишь служит в известном смысле «катализатором», стимулирующим обмен между наклонными компонентами. Следовательно, этот профиль течения приводит

Ф『，е, VIL 4. Резонансная триада для внутренних гравитационных воли, к рассеянию внутренней волны такого рода, в то время как сам профиль не изменяется.

Другой пример, представляющий большой интерес для океанологии, исследовался экспериментально. В большой ванне с размытым термоклином могут существовать различные моды внутренних гравитационных волн; Мартин, Симмонс и Вунш [7] показали, что среди этих мод имеется много триад, для которых с хорошей точностью выполняются резонансные условия.

Взаимодействия поверхностных гравитационных волн

Как указывалось выше, для чисто гравитационных волн резонансные взаимодействия второго порядка отсутствуют. Возникает вопрос: возможны ли резонансные взаимодействия более высоких порядков?

Для поверхностных волн нелинейные члены появляются в результате разложения в ряд Тейлора условий на свободной поверхности, а эти разложения содержат члены всех порядков. В символическом виде можно записать

Квадратичные члены приводят к суммам и разностям пар волновых чисел н частот, ни одна из которых не дает резонансного вклада. С другой стороны, кубичные члены приводят к функциям (вынуждающим силам), содержащим суммы и разности трех волновых чисел и частот, и если они совпадут с естественной парой волновое число ——частота, соответствующей свобод- ной поверхностной волне, то в этом порядке возможен резонанс.

Ф〃з. VH. 5. Диаграмма на плоскости частота — волновое число, иллюстрирующая резонансную четверку волновых чисел прн взанмодействнн поверхностных гравитационных волн.

Другими словами, условия резонанса третьего порядка имеют вид♦

ki 士 к? 士 кз ± к4 — 0,

(0[ ± О)2 ± Зз ± g = 0-

Слегка изменив изложенный выше графический метод, можно показать, что решения этой системы уравнений действительно существуют. На фиг. VIL5 начало координат О выбрано так, что вектор, проведенный к любой точке на дисперсионной кривой, дает пару волновое число — частота для волн на свободной поверхности. Если мы выберем новое начало координат О', которое не лежит на этой кривой, и построим дисперсионные кривые (для всех знаков ⑴ и k) относительно этого нового на-

чала координат, то эти кривые пересекут первоначальную дисперсионную кривую в двух или более точках. Любой вектор, соединяющий это новое начало координат с новыми дисперсионными кривыми, также дает пару волновое число ——частота для свободных поверхностных волн, и если мы соединим две указанные точки пересечения кривых с началами координат О и О', то получим систему из четырех векторов, образующих замкнутый четырехугольник, причем соответствующие волновые числа и частоты удовлетворяют резонансным условиям. В данном примере

少二个， (12)

Двумерная диаграмма на фиг. VII. 5 представляет собой в действительности сечение поверхности, аксиально-симметричной относительно оси со. Частота свободных поверхностных волн зависит от длины волнового вектора к, но не зависит от его направления. Фиг. VII. 5 представляет собой сечение двух пересекающихся рупорообразных поверхностей, а полное множество волновых чисел определяется геометрическим местом возможных точек пересечения. Более компактно это показано на фиг. VII. 6, которая представляет проекцию точек пересечения на плоскость волновых векторов с фиксированным началом координат в точке О. Для каждой точки О\ выбранной достаточно близко к дисперсионной кривой, геометрическое место точек пересече- чия дается парой петель, окружающих проекции О н О' на пло-

Фчг. V//.6. Диаграмма взаимодейс гвпя на плоскости волновых чисел для поверхностных гравитационных волн.

Любые две точки на одной и той же кривой (или на сопряженной паре кривых внутри «восьмерки»' опрете. 1якуг четыре bcihqblix вектора, которые могут определять резонансное изаимоДействи'-.

скость волновых чисел. Если начало координат О' движется вертикально, то проекция линий пересечения расширяется и приобретает форму «восьмерки», когда обе поверхности касаются в средней точке между О н О', а затем превращается в один контур. Семейство кривых, представленных на фиг. VII. 6, таково, что если выбрать две произвольные точки, лежащие на одной кривой, то волновые векторы ki, кг, к3 и к4, соединяющие эти точки с О н О', образуют резонансный квартет, в котором возможен обмен энергией между его компонентами. В этом случае взаимодействия вновь избирательны: не всякий набор четырех волновых векторов, образующих замкнутый четырехугольник, способен к резонансному обмену энергией. Такой обмен ограничивается множеством, определяемым построенным семейством кривых.

Уравнения, описывающие взаимодействия в случае резонансов третьего порядка, более сложны, чем простые уравнения для резонансов второго порядка. Они могут быть найдены тем же самым способом и записаны в виде

/4 = '"1 (&91a！ + &2a2"2 + &303"3 + &4"404)+ 访 a2a3"4，

%&。==‘"2 (g2!"!"1 + * * * ) +?，%a3a4， 4а3 =(当№№： + … 2九%a*4，()

吗&4 = '"4 (g41%% + .- )+ ihu^d-yCiy

Подобные уравнения были впервые получены Бенни [8]. Члены, стоящие справа, могут быть двух типов. Первые, входящие с матричными коэффициентами g订(которые являются действительными функциями, зависящими только от конфигурации волновых векторов), связаны с фазовыми изменениями, которые видоизменяют энергетический обмен, хотя и не нарушают его. Все члены в скобках действительны, поэтому их комбинация представляет скорости изменения комплексных амплитуд а”，которые всегда отличаются по фазе на 90° от а?, следовательно, эти члены ответственны за поворот во времени комплексного вектора &高 в то время как его амплитуда остается постоянной. Другими словами, эти члены описывают изменение частоты волны в результате взаимодействия, или, что то же самое, учитывают влияние амплитуды волны на дисперсионное соотношение. В частности, диагональные члены описывают с точностью до членов третьего порядка «самовоздействие» волны, приводящее к возрастанию фазовой скорости на 〔/2 (心^力气且/走J% (без суммирования по индексу); этот эффект был открыт Стоксом в 1847 г. Недиагональные члены описывают изменения фазовых скоростей в результате взаимного влияния пар волн ——эффект, отмеченный Лонге-Хштинсом и Филлипсом [9]. Последние члены

в (13) описывают перераспределение энергии между различными компонентами. Действительный коэффициент Л, входящий во все уравнения, является сложной алгебраической функцией волновых чисел порядка k^k^k^k^.

Уравнения (13) допускают ряд простых интегралов. Три из них таковы:

矶勿山一= const,

例。3威—34a心；=const, (14) ®QiQ： + <оз^з«з = const.

Так как плотность энергии моды есть £< = i/zpgQwQ： (без суммирования по индексу), то эти интегралы определяют распределение общей энергии между четырьмя модами. Как видно из /14) и условий резонанса (12), общая энергия четырех мод постоянна. Одна пара получает энергию за счет другой. Если в некоторый момент времени энергия первой волны увеличивается, то она также увеличивается для второй волны за счет волн 3 и 4. В этом «кубичном» случае время взаимодействия будет представлять собой величину порядка (крутизна склона)-2, умноженную на характерный период волны, т. е. взаимодействия не только избирательны, но и весьма слабы.

Тем не менее отсутствие значительной вязкой диссипации создает заманчивую перспективу наблюдения подобных взаимодействий в лаборатории. Были выполнены две группы экспериментов, одна — Лонге-Хиггинсом и Смитом [10], другая — по методу Лонге-Хиггинса [11]——МакТолдриком и др. [12].

На фиг. VII. 7 показана самая удобная для эксперимента конфигурация волновых векторов, соответствующая петле-восьмерке на фиг. VII. 6. Волны с ортогональными волновыми векторами ki и к2 возбуждаются механически с помощью плунжеров, расположенных на двух смежных сторонах прямоугольной ванны (фиг. VII. 8). Волна с волновым вектором ki воздействует сама на себя и на волну kz, образуя волну с кз = 2kl ~■к2. Если частота основной волны такова, что кз лежит на петле-вось-

Фиг. V7/. 7. Резонансная петля для триад взаимодействующих гравитационных волн на глубокой воде.

СтанкаСтанкаПлиюкерПлиюкер

Станка

Станка

Плиюкер

Плиюкер

Фиг, VII. 6.Фиг, VII. 6.План ванны, используемой для исследования взаимодействия поверхностных волн.

Фиг, VII. 6.

Фиг, VII. 6.

мерке, то условия резонанса выполнены и волна с волновым вектором кз растет и распространяется по ванне, поглощаясь на ее отлогих стенках.

Для такого процесса, в котором волновой вектор ki выступает дважды, общие уравнения взаимодействия имеют вид

3也=ia{ (g円4 + g|2a2a： + 8|3а3%)+ ，力。；a2a3，

w2d2 = ia, (g^a^* + ...) + ^с7ш 河， (15)

аа3 = 'а3 (g3!a1a； + ，…)+ 4"汾Q富，

Соответствующие алгебраические выкладки приведены в работе [12]. Из (15) сразу же следуют два независимых интеграла

®ае: + 2<b2a2 区==const,

+ 2(03«3^3 const."6)

Отсюда видно, что poci компоненты с волновым вектором кз сопровождается ростом компоненты с волновым вектором к2, причем обе растут за счет компоненты с волновым вектором к】.

В экспериментах время взаимодействия равнялось всего нескольким волновым периодам и было много меньше, чем указанное выше время е~2, умноженное на период волны, поэтому амплитуда &з третьей компоненты была всегда мала по сравнению с двумя другими амплитудами. В этом случае последнее из уравнений (15) сводится к виду

%@ = ^■访竹 а；. (17)

Так как а\ и 电 можно считать постоянными на этом малом

интервале времени, то

(18а)

При этих условиях амплитуда третьей компоненты является линейной функцией времени, в течение которого происходит взаимодействие. В эксперименте амплитуда была пропорциональна расстоянию d, на которое распространяется энергия третьей волны за время взаимодействия, и, как показано в [10], решение может быть выражено в эквивалентном виде:

% = (a向产(出局)G (r, 8) d, (186)

где коэффициент взаимодействия G является функцией отношения частот исходных волн и угла их пересечения. Для конкретной конфигурации, исследуемой в эксперименте, отношение частот г составляло 1,736 и G = 0,442.

Эти выражения определяют рост третьей волны в том случае, когда резонансные условия выполнены точно. Однако, как и для всех резонансных явлений, вблизи резонансной точки существует некоторая полоса волновых чисел, которые участвуют во взаимодействии. Ширина этой полосы уменьшается, т. е. резонанс становится более резким, по мере того, как возрастает расстояние взаимодействия. Для волновых чисел, близких (но не равных точно) к резонансному,-мы имеем

ai^(aM{a2k^G{r, 6)《嚼丄|，

где 6左 характеризует расстройку на плоскости волновых чисел. Для конфигурации, изучавшейся экспериментально, 6k = =0,249 k^r. Подробный вывод этого выражения дается в работе [10].

Некоторые результаты экспериментов приведены на последующих фигурах. На фиг. VII. 9 показан спектр волн в ванне

/0 一/0 一ЮОЮОf2 6"2f2 6"2

/0 一

/0 一

ЮО

ЮО

f2 6"2

f2 6"2

zf厂般

Фуг VII. 9. Спектр волн в ванне по измерениям Лонге-Хиггинса и Смита [10].

Квадраты коэффициентов Фурье показаны в виде функции числа ①， Отношение частот 九仇 настроено в резонанс [14]

для случая, когда отношение частот исходных волн соответствует резонансу. Две самые большие компоненты относятся, конечно, к исходным волнам. Однако следующей по величине является возрастающая резонансная в третьем порядке волна, образованная в результате взаимодействия двух исходных волн. Амплитуда этой компоненты больше, чем любой другой, получаемой в результате взаимодействий, несмотря на то что это эффект третьего порядка, а расстояние взаимодействия мало. На фиг. VII. 10 показаны результаты аналогичных измерений, проведенных Мак-Голдриком и др. Форма кривых около пиков близка к характеристикам используемых фильтров, а спектр волн соответствует линиям, показанным на диаграмме. На фиг. VII. 10, и оиюшепие частот настроено в резонанс, и мы

Фиг. VII. Ю. Спектры волн в ванне, измеренные Мак-Голдриком и др. [12] в случае резонанса (а) н в его отсутствие (б).

снова видим, что компонента с частотой 2/【一％ сравнима по величине или больше любой другой компоненты второго порядка, получаемой при взаимодействии. Однако при расстройке от резонанса (фиг. VII. 10, б) это уже не наблюдается, и компоненты третьего порядка отступают на задний план.

На фиг. VIL 11 представлены результаты измерения амплитуды третьей компоненты по мере того, как отношение частот 厶/力 проходит через резонанс. Можно видеть, что ширина резонансной полосы становится уже с ростом расстояния взаимодействия. Отклонение резонансного отношения частот от теоретического значения 1,736 является следствием амплитудной дисперсии, т. е. того факта, что частота волн при заданном волновом числе слегка возрастает с увеличением крутизны склона волны.

Эксперименты Лонге-Хиггинса и Смита [10] проводились при гораздо больших углах наклона волны, чем эксперименты, опи-

санные в работе [12], и в них сдвиг резонансного отношения частот был значительно больше. На фиг. VII. 12 изображена зависимость нормированной амплитуды третьей компоненты от длины взаимодействия. Очевидно, что для обеих групп экспериментов амплитуда возрастает линейно, как и предсказывает теория, и наклон кривых, полученных из данных наблюдений,, весьма близок к теоретическому.

Вероятно, самое драматичное проявление взаимодействий такого типа для поверхностных волн состоит в неустойчивости волн Стокса, открытой Бенджаменом и Фейром [13]. Эти авторы обнаружили, что если классические волны Стокса подвергаются малому возмущению с близким к основной волне волновым числом, то амплитуда возмущения растет до тех пор, пока волна, вначале почти однородная, не превратится в ряд волновых групп. Этот эффект уже давно наблюдали в волновых ваннах, с ним была связана одна из трудностей при попытке получить установившуюся периодическую волну в длинной ванне. Достижение Бенджамена и Фейра состояло в демонстрации того факта, что это — подлинная гидродинамическая неустойчивость^

6/7

Фиг. VH. //. Амплитуда а3 волны, возникшей в результате кубичного взаимо* действия волн в ванне на расстоянии 198 см.

Светлые кружки Представляют измерения Мак-Голдрика и др. [12], темные кружки —измерения Лонге-Хиггинса и Смита [10], штриховые линии соответствуют теоретическим расчетам полосы взаимодействия. Заметим, что сдвиг резоиаисиого отношения частот, наблюдаемый Лош'е-Хиггинсом и Смитом, является следствием эффекта ампл1!тудной дисиер-

⑦из. Vil. 12. Рост амплитуды комбинационной волны а3 с расстоянием 乙 Сплошная линия соответствует теоретической скорости роста Л = 0,442 d, Темные кружки представляют измерения Лонге-Хиггинса и Смита, Светлые кружки и треугольники представляют две различные серии измерений Мак-Голдрика и др., в которых менялись также амплитуды исходных волн [14].

а не следствие, как думали ранее, несовершенств экспериментальной техники.

Это явление тесно связано с описанной выше неустойчивостью [4] при дополнительном обстоятельстве, что здесь важны эффекты амплитудной дисперсии. Такая неустойчивость может бьиъ описана с помощью приведенных выше уравнений или другим методом (гл. V, разд. 7). Если амплитуды а2 и а3 сравнимы между собой, но первоначально малы по сравнению с &卜 которая может считаться константой, то последнее из уравнений (15) в первом порядке по амплитудам возмущений приводится К виду

83"3 =""3 (g31"1"1) + 万 z力a凸.(19)

Аналогично записывается уравнение для а2- Если

% = & eхр (一依21"№："吗)， то

^ = у /〃沿:exp [~t (g2I/(o2 + g3g) 口口闷，

1(20)

吗也=y龙哦exp [— i (统心2 +统丿吗)修咽・

Если, кроме того, имеет место малое отклонение от резонанса, соответствующего бесконечно малым волнам, которое может компенсировать изменения в дисперсионном соотношении, связанные с первым членом в (19) (амплитудную дисперсию), то справа появляется еще множитель ief [1, 14]. Тогда при условии

€ = (&/吗+g31/%)aa

фазовые изменения в (20) полностью компенсируются и (20) сводится к (17). Можно записать эти результирующие уравнения через действительные амплитуды волн а, если отождествить (18а) и (186); в результате получаем

叫=(а^О2 (g/①з) G (%局)，

a2 = (a/у (g/①2)G (a3庵)■

Эти комбинированные эффекты расстройки от резонанса и амплитудной дисперсии являются существенными факторами, обусловливающими неустойчивость, найденную для волн Стокса Бенджаменом и Фейром. Как и в их анализе, связанная пара линейных уравнений для амплитуд возмущений аг и аз имеет экспоненциально нарастающие решения

% =喏С expyf,

а3 =(о^Сехру/,

где 丫 = G(为財)2(⑴2sз)%・ Оба возмущения уносят энергию из основной волны, как показывают и интегралы (16). Волна Стокса неустойчива по отношению к парам возмущений, с волновыми числами, лежащими внутри петли-восьмерки, как показано на фиг. VII. 13. Скорость роста возмущений и ширина полосы неустойчивости пропорциональны квадрату крутизны склона исходной волны. Чем круче исходная волна Стокса, тем

©我е. VII. /5. Область волновых векторов, в которой волна Стокса с волновым числом к] неустойчива.

Любой треугольник, вершина которого лежит внутри петли-восьморкп. определяет пару во」нинзх лекторов неустойчивых во/ш Эксперименты Бенджамена и ФеЙра относятся ' к одномерному случаю, в котором эта вершина лежит в направлении ki

быстрее развивается неустойчивость и шире диапазон волновых чисел, в котором она наблюдается. В опытах Бенджамена и Фейра волновые векторы возмущений были коллинеарны исходной волне; для этих возмущений существует полоса неустойчивости, лежащая по обе стороны от волнового вектора исходной волны.

Ирония истории! В начале этого века между Рэлеем и Бернсайдом возник яростный спор относительно того, возможны ли в действительности установившиеся решения, представляющие поверхностную волну с конечной амплитудой. Наконец, в 1921 г. Леви-Чивита окончательно доказал существование таких решений (см. [15], стр. 420). И вот теперь оказалось, что они неустойчивы!

ЛИТЕРАТУРА

Bretherton F. Л, Journ. Fluid Meeh., 20, 457 (1964).

Resonant interaction between waves. The case of discrete oscillations.

Simmons 取.E, Proc. Roy. Soc., A309f 551 (1969).

A variational method for weak resonant wave interactions.

McGoldrick £. Л, Journ. Fluid Meeh., 21, 305 (1965).

Resonant interactions among capillary-gravity waves.

Hasselmann X., Journ. Fluid Meeh., 30, 737 (1967).

A criterion fon non-linear wave stability.

McGoldrick L. E, Journ. Fluid Meeh., 40, 251 (1970).

An experiment on second-order capillary-gravity resonant wave interactions.

Phillips О. M, Journ. Fluid Meeh., 34, 407 (1968).

The interaction trapping of internal gravity waves.

Martin S., Simmons 呪，Wunsch C., Journ. Fluid Meeh,, 53, 17 (1972).

The excitation of resonant triads by single internal waves.

Benny D. L, Journ. Fluid Meeh., 14, 577 (1962).

Non-linear gravity wave interactions.

Longuet~Higglns M. S., Phillips О. M., Journ. Fluid Meeh., 12, 333 (1962). Phase velocity effects in tertiaiv wave interact沁ns.

Longuet-Higgins M. S., Smith N. D., Journ. Fluid Meeh., 25, 417 (1966).

An experiment on third-order resonant wave interactions.

Longuet-Higgins M. S., Journ. Fluid Meeh., 12, 321 (1962).

Resonant interactions between two trains of gravity waves.

McGoldrick L. E, Phillips О. M., Huang M E, Hodgson T. //., Journ

Fluid Meeh., 25, 437 (1966).

Measurements of third-order resonant wave interactions.

Benjamin T. B„ Feir 丄 E, Journ. Fluid Meeh., 27, 417 (1967).

The desintegration of wave trains on deep water.

Phillips О. M., Proc. Roy. Soc., A299, 104 (1967).

Theoretical and experimental studies of gravity wave interactions. (См. перевод в сб. «Нелинейная теория распространения волн» под ред. Г. И. Ба- ренблатта, «Мир», 1970.)

Lamb //., Hydrodynamics (6th Ed.). Cambridge： Cambridge University Press. Also, New York: Dover, 1932. (См. перевод: Г. Ламб, Гидродинамика, М., ГИТЛ, 1932.)

16*. Бломберген Н., Нелинейная оптика, изд-во《Мнр》, 1966.

Уравнение

Кортевега — де Вриза — модельное уравнениедля нелинейных волн в средах с дисперсией1)

Роберт М Миура

Одним из простейших модельных уравнений, используемых при изучении нелинейных волновых явлений в средах с дисперсией, служит уравнение Кортевега — де Вриза (КДВ)

以 + + ^ххх = °， (1) которое точно так же, как уравнение Бюргерса

% + иих н vuXX9 (2) является простейшим модельным уравнением при описании нелинейных диссипативных волновых процессов. Уравнение КДВ ——это нелинейное уравнение в частных производных с нелинейным членом аиих и дисперсионным членом ^иххх. В физике оно описывает эволюцию нелинейных волн малой, но конечной амплитуды на больших интервалах времени. Своим происхождением это уравнение обязано Кортевегу и де Вризу [1], изучавшим длинные волны на воде, о чем упоминалось в гл. IV. Кроме того, уравнение КДВ возникает при изучении магнитогидродинамических волн в холодной плазме [2], продольных ангармонических колебаний Дискретно нагруженной струны [3—6], ионнозвуковых волн в холодной плазме [7], волн давления в газожидкостных смесях [8], вращающегося в трубе потока жидкости [9] и продольных волн в упругих стержнях [10]. Вцвод уравнения КДВ (как и уравнения Бюргерса) для довольно общего класса уравнений был дан в работах [11, 12]. Забуский и Гэлвин [13] показали, что уравнение КДВ дает весьма точное описание поведения слабо затухающих волн на воде. В дополнение ко всем этим конкретным приложениям уравнение КДВ служит моделью, на которой проверяются новые методы решения нелинейных уравнений и определяются свойства таких уравнений и их решений.

])Эта работа была поддержана Отделом магнитной гидродинамики института нм. Куранта Нью-Йоркского университета по контракту AF OSR—71—2053 с отделом научных исследований ВВС США.

Хотя в приложениях параметры а и р в уравнении (1) принимают вполне определенные значения, простая замена переменных допускает произвольный выбор действительных аир. В большинстве математических исследований уравнения (1) полагают а = 1, 0=1. Однако в большей части данной главы удобно положить а = —6 и р = 1, тогда уравнение КДВ принимает вид

Ри = 〃f — QllUx + ^ххх == 0・ (3)

Хотя уравнение КДВ появляется в разнообразных приложениях, современный интерес к нему со стороны математиков вызван определенными свойствами этого уравнения и его решений. Это уравнение имеет стационарные решения в виде периодических (однородных) и уединенных волн. Однородные стационарные решения, называемые кноидальными волнами, могут быть выражены через эллиптические функции Якоби. Уединенные же волны имеют вид

〃的 /) = — ^ a2 sch2 [а (% — а2/)/2] ⑷

[отметим, что уединенная волна отрицательна, поскольку отрицателен коэффициент при нелинейном члене в (3)]. Решение (4) показывает, что уединенные волны распространяются вправо со скоростью 出，которая пропорциональна амплитуде, и имеют ширину, обратно пропорциональную квадратному корню из амплитуды.

Одним из наиболее интересных свойств этих решений является «линейное^ поведение уединенных волн. Известно, что решения линейных уравнений при сложении дают новое решение. Одно из следствий этого состоит в том, что две стационарные бегущие линейные волны могут проходить друг через друга, не изменяя своей формы. Суперпозиция же решений нелинейных уравнений в общем случае уже не приводит к новым решениям. Однако численные расчеты Забуского и Крускала [14] показали, что две уединенные волны с различными амплитудами взаимодействуют нелинейно, но выходят из взаимодействия неизмененными. Это сходство уединенных волн с частицами и породило название «солитоны». Рассмотрим, в частности, два достаточно разнесенных друг от друга солитона, причем больший солитон находится слева от меньшего (фиг. VIII. 1,а). Поскольку более высокий солитон имеет большую скорость, он догонит более низкий, а следовательно, и 6。- лее медленный солитон. Затем они нелинейно взаимодействуют в соответствии с уравнением КДВ, и, как это ни удивительно, после взаимодействия они остаются неизменными (фиг. VIII.1,6).

Нелинейность таких решений состоит в том, что солитоны сдвинутся по отношению к тем положениям, в которых они находились бы в отсутствие взаимодействия. Такое поведение солитонов было численно подтверждено Забуским [4] и затем доказано Лэксом [15]. Ниже будет описан метод решения уравнения КДВ, который может быть использован для доказательства соответствующего результата в случае N различных солитонов, где ^ — произвольное, но конечное число.

В более общем случае, как было показано численно [16], в дополнение к солитонам, распространяющимся вправо (или вместо них), решения могут обладать расплывающимися осциллирующими «хвостами», распространяющимися влево (фиг. VIII. 2).

〃住.1 / a

Фиг. I'/// 2. Решение, состоящее из двух солитонов и осциллирующего хвоста.

Очевидно, что распространение такого осциллирующего хвоста влево связано с отрицательной групповой скоростью линейных волн.-

Законы сохранения и нелинейное преобразованиеуравнения КД В

Из уравнения КД В следуют многочисленные законы сохранения, т. е. уравнения вида

А + х* = о,⑸

где Т есть сохраняющаяся плотность, а X называется потоком.

Рассмотрим сначала случай, когда сохраняющиеся плотности и потоки являются полиномами от 辽 я производных и по х. Очевидно, например, что уравнение КД В можно записать в виде следующего закона сохранения:

2〃 十(一3〃2 + 以*)* = 0.

Умножение уравнения КДВ на и дает другой закон сохранения: ^/2),+(-2и +иихх-а^х = 0.

Третий закон сохранения был найден Уиземом [17], а два следующих——Забуским и Крускалом [4]. Всего были найдены в явном виде полиномиальные сохраняющиеся плотности для одиннадцати законов сохранения [18, 19], и было высказано предположение, что их число неограниченно. Ранняя попытка доказать это предположение привела к явной формуле для сохраняющихся плотностей в том случае, если они существуют [19], но эта формула не могла быть использована для доказательства существования.-

Из другого уравнения, аналогичного уравнению КДВ,

Qv^vt~ 6十 vxxx = 0,(6)

также вытекают многочисленные законы сохранения [18]. Соответствующее уравнение с положительным знаком перед нелинейным членом возникает в теории ангармонических колебаний дискретно нагруженной струны [4]. Если, однако, сделать дальнейшее обобщение

叫—6“％ + wxxx = О,

то при р》3 (р — целое число) существуют только три полиномиальные сохраняющиеся плотности. (Общие результаты для класса уравнений, который включает все упомянутые уравнения, будут даны ниже.) Это привело к предположению о возможной связи между солитонами уравнения КДВ и ^-уравнения (6). Казалось безнадежным определить эту связь прямым сравнением (3) и (6), но сравнение законов сохранения привело к многочисленным условиям, из которых вытекало желаемое соотношение [20].

Теорема /. Если и удовлетворяет уравнению (6), т. е. Qu = 0, то функция 〃, определяемая соотношением '

〃三 t»2 + %,(7)

удовлетворяет уравнению КДВ, т. е. Ри ™ 0.

Доказательство дается равенством

P〃 = (%+2u)Qu.(8)

Заметим, что обратное утверждение несправедливо из-за дополнительного оператора, действующего на функцию Qv. Как мы увидим ниже, преобразование (7) приводит ко многим важным результатам.

Но вернемся к вопросу о существовании полиномиальных законов сохранения для уравнения КДВ. Гарднер (см. [20]) обобщил преобразование (7), введя некоторый формальный параметр е. Это может быть выполнено следующим образом. Уравнение КДВ инвариантно по отношению к преобразованию Галилея; иными словами, замена переменных

х-^хг — 6"', 〃f 〃' + с

оставляет неизменным вид уравнения в новых (штрихованных) координатах. С другой стороны, «v-уравнение» не инвариантно по отношению к преобразованию Галилея. Произведем следующую замену переменных:

f =/, л/三х + ^г/，〃(工,Dм公(%',/') +,

и (х, Е)三 wg (х\ У) + 1/2»;

8 Зак. 547

тогда уравнение КД В остается неизменным, но теперь преобразование (7) принимает вид

и = ш + ewx + ^W,(9)

где все штрихи опущены, и уравнения для ниш связаны соотношением (8):

О = % — 6〃〃尤 + иххх =

=(1 + £ £ + 2&沟)[叫—6(ш + €2ау2) wx + wxxx\ = LR吼(10)

Соотношения (9) и (10) обобщают соотношения (7) и (8) соответственно. Так как уравнение КДВ не содержит е, то только ш зависит от 6. Из решения (9) и (10) можно найти соответственно w и Rw в виде степенных рядов по €. Формальный степенной ряд для w имеет вид

= ^0 + €^I + Ng + •…=и — еих — (и2 ~ ихх) + ・・・，(11)

где Wi / — 0, 1, 2, ..., являются полиномами по 〃, их, 〃依,.... Так как L = 1 十 еЛ1, то

Rw =吗 + (— 3 苏——2合加 + ^xx)x = 0(12)

для всех степеней е (эта запись имеет вид законов сохранения). Таким образом, не только ш представляет сохраняющуюся плотность; прямая подстановка в Rw = 0 и приравнивание нулю коэффициентов при каждой степени е дают законы сохранения с сохраняющимися плотностями 5°, дКаждый из них является законом сохранения для уравнения КДВ. Можно, однако, показать [18], что только коэффициенты при четных степенях е приводят к нетривиальным законам.

Из (7)——(9) видно, что каждый закон сохранения для \-рав- нення КДВ дает закон сохранения для v-уравнения и закон сохранения для г^-уравнения. Следова-iсльно, существует неогра- нич^нное число законов сохранения для каждого из них.

Рассмотрим следующий общий класс уравнений:

du - р ди .л

dt * дх 1、 /

где р = 0, 1, 2,.・.и г=1, 2, 3, ... . Этот класс включает в качестве частных случаев (при разных параметрах) уравнение КДВ, и-уравненне и уравнение Бюргерса. Относительно законов сохранения для уравнения (13) можно сделать следующие выводы (подробности и доказательства см. в [21]):

Если г——четное число, то существует только один полиномиальный закон сохранения, а именно само уравнение.

2 Если г = 2g+1, 9 = 0, 1, 2,…，то существуют по крайней мере три закона сохранения с сохраняющимися плотно- стями:

Т\= и,

T2 = "2，(14)

Тз = м+2 + }(一 1)4(р + 1)(р 十2)(№/<Зх?)2.

полиое число различных

полино-

В табл. VIII. 1 содержится миальных законов сохранения, которые существуют для соответствующих уравнений, определяемых целыми числами р м q.

Таблица VIII.1

g

р》3

0

/

0

ОО

ОО

8

ОО

/

00

8

СО

3

q n2

ОО

J

J

8

Уравнения в р = 0 линейны, и легко показать, что оии имеют неограниченное число полиномиальных законов сохранения, причем сохраняющиеся плотности имеют вид (дпи]дхп)2, п = 0, 1, 2, ... . Для q = 0 можно определить новую переменную и 三〃р + 1, удовлетворяющую уравнению s + vvx = 0, для которой легко получить бесконечное число полиномиальных законов сохранения (а также законов других типов). Два других уравнения, обладающие бесконечным числом полиномиальных законов сохранения, — это уравнение КДВ и и-уравнение (6). Остальные уравнения в классе (13) обладают только тремя — ппиттаяя- пл ГИУ ПОП Т*"

полиномиальными законами сохранения, причем до сих пор ие ясно, почему уравнение КДВ и уравнение (8) являются особыми и что мешает другим уравнениям иметь большее число

полиномиальных законов сохранения.

Для класса уравнений с р = 1 имеются законы сохранения другого типа, которые вместе с 〃 н производными и по х содержат явно х и t:

(хи -勿2/2 )t + 卜"2/2 十 X 譬-務4 -

(»>] -°-

(15)

Интегрируя эго соотношение на интервале ——оо < х < оо для решений, достаточно быстро исчезающих на бесконечности, получаем

N \ xudx = 3 \ u2dx = const.

Это означает, что первый момент решения является линейно возрастающей функцией времени, т. е. «центр масс» решения движется вправо с постоянной скоростью.

Можно также получить законы сохранения, используя тео- рему Нетер (см. [22]). Законы сохранения, приводящие к трем сохраняющимся плотностям (14), соответствуют инвариантности по отношению к трансляциям по и, где и 三 ％, по х (пространство) и по / (время). Закон же сохранения (15), который явно содержит х и / в дополнение к и, 〃雙,uxx, ..., отражает инвариантность по отношению к преобразованию Галилея.

2・ Метод нахождения точного решения

Цель прикладной математики состоит в определении точного решения задачи, выраженной в виде некоторой системы уравнении. Обычно мы, однако, остаемся далеки от этой цели и довольствуемся выяснением общих свойств уравнений и их решением с помощью приближенных и качественных методов. Тем не менее этой цели удается достигнуть для частного класса решений уравнения КДВ с помощью точной линеаризации задачи при начальных условиях 〃(尤,0) = f(%), —оо < х < оо, где f(x) достаточно быстро стремится к нулю при |х|-> оо.

2а. Роль уравнения Шредингера

Ключ к методу решения дает преобразование (7)U = v2 + vx,

которое представляет собой уравнение Рикатти для и, если предположить, что и — известная функция. Для уравнения Рикатти существует стандартное линеаризующее преобразование 0三2j2,

после которого (7) принимает вид

2** — 〃2 = 0・

Это уже почти известный вид стационарного одномерного уравнения Шредингера, используемого в квантовой механике. Однако в нем еще отсутствует основной элемент ——энергетические

уровни (собственные значения). Как отмечалось выше, уравнение КДВ инвариантно по отношению к преобразованию Галилея, поэтому и можно сдвинуть на константу, а производные по х при этом не изменятся. Отсюда

叭* 一 (〃 一 А) 2 = 0,(16)

где 2 — волновая функция, и ——потенциал, а 九 соответствует энергетическому уровню. Заметим, что потенциал зависит от х и параметра t (не путать с обычной временной переменной в нестационарном уравнении Шредингера). Конечно, зависимость 〃 от f по-прежнему описывается уравнением КДВ.

Обычная задача квантовой механики состоит в определении волновых функций и энергетических уровней для заданного потенциала и. Здесь же целью является определение 弘 а не 屮 и х. В квантовой механике это называется «обратной задачей рассеяния».

26. Обратная задача рассеяния

Литература по обратной задаче рассеяния весьма обширна, и мы отсылаем читателя к работам [23——26], каждая из которых имеет прямое отношение к нашему рассмотрению 】)•

Решение обратной задачи рассеяния сводится к решению линейного интегрального уравнения, так называемого уравнения Гельфанда — Левитана

К(ху у) + В(х + у)+^ В (у + 2)К (% г) dz = 0,(17)

где В — известная функция, рассматриваемая ниже; вид ее определяется некоторыми свойствами волновых функций. Заметим, что это — линейное интегральное уравнение относительно функции двух переменных К(尤，у). Если уравнение Гельфанда — Левитана может быть разрешено относительно К(х, у), то потенциал и задается соотношением*

и(х) = — 2 ^- К (х, х).(18)

Законченная постановка проблемы Гельфанда —- Левитана требует детального определения ядра и неоднородного члена

ооN

B(x + g)= * \ b(k)etk(x+y'dk+^ спе~^х+у\ (19)

См. также [4] (гл. 5) в списке литературы к предисловию редакторов перевода. — Прим. ред.

где интеграл представляет собой вклад непрерывного спектра для оператора Шредингера, а сумма — вклад дискретного спектра

Л ■= fe2 и 入⑺===—忌，2, ..., N.(20)

Более детально величины, входящие в (19) и (20), определяются следующим образом:

Мп)— дискретные собственные значения, соответствующие собственным функциям, которые обращаются в нуль на бесконечности и квадратично интегрируемы. В квантовой механике дискретные собственные числа — * являются просто энергиями локализованных состояний (здесь и далее термин «собственное значение» будет использоваться как для ^п), так и для 乂"; смысл этого термина будет ясен в каждом конкретном случае);

сп ——нормировочные константы. Если собственная функция, соответствующая хп, нормирована на единицу:

jpO'dxul,(21)

то сп определяется асимптотическим поведением функции 2(п)： р依)〜c# exp (— х„х) при оо；(22)

b(月)——коэффициент отражения. Для непрерывного спектра волновая функция 2 дается линейной комбинацией функций ехр(± ikx), поскольку и обращается в нуль при |х|-> оо. Наложим условия

2 〜gf* + b (右)eikx, оо,(23)

巾〜a(k)e-^*,尤一► — оо.(24)

С точки зрения физики это означает, что величины справа соответствуют: плоской волне, падающей из бесконечности на область, где потенциал отличен от нуля; отраженной волне, характеризуемой b(k) (коэффициент отражения); прошедшей волне, характеризуемой коэффициентом прохождения а (А). В частности,

|аР + 1Ы2=1.

Очевидно, что для решения обратной задачи рассеяния, т. е. определения 〃，величины хп,сп и b(k) должны быть известны. Однако для определения этих величин необходимо знать и. Чтобы выйти из этого порочного круга, нужно установить связь между обратной задачей рассеяния и уравнением КДВ.

2в. Уравнение КДВ и обратная задача рассеяния

Важнейшая связь между обратной задачей рассеяния и проблемой КДВ дается параметрической зависимостью потенциала и от 力 Эта зависимость от t описывается решением уравнения КДВ. Величины ф и X также должны зависеть от t. Чтобы изучить эту зависимость, мы получим уравнение, описывающее эволюцию 屮 н 入,выразив и с помощью (16) и подставив полученное выражение в уравнение КДВ. В результате (после умножения на 崂 имеем

入冲2 +漳弘—2*现］* = 0,(25)

где

现曰屯 + 2*** — 3 (u + X)

Теорема 2 Рассмотрим задачу на собственные значения

2*尤一(〃一入)2 = 0, — оо < х < + °°-

Если 〃 удовлетворяет уравнению КДВ и достаточно быстро обращается в нуль при |х|-> оо, то дискретные собственные значения 入⑴，九(2),…九постоянны.

Доказательство. Для некоторого собственного значения 九(") соответствующая собственная функция обращается в нуль при |х|-> сю； поэтому интегрирование уравнения (25) в бесконечных пределах приводит к условию

九7 、点~ 0,

которое с учетом (21) дает Mn)= const. (Этот результат доказывается в гл. XI методом, который может быть обобщен на другие уравнения, отличные от уравнения КДВ.)

Важность этого результата очевидна: дискретные собственные значения могут быть вычислены по начальным данным для уравнения КДВ и они будут оставаться собственными значениями в процессе всей эволюции решения. Длд непрерывного спектра (иными словами, для положительных значений 九)можно считать 九 постоянной, поэтому уравнение (25) может быть проинтегрировано дважды, что дает

屯 + 也工* —3(〃 +九)2х = С2 +。％(26)

где С и D — «константы» интегрирования, вообще говоря зависящие от f. Дополнительная функция 力 является решением, линейно независимым от 屮，и задается соотношением

Для завершения постановки обратной задачи рассеяния определим оставшиеся величины.

Теорема 3. Если при |х|->оо функция и обращается в нуль достаточно быстро, то

сп(0 = спф)^,(27)

b(k, t) = b(k, 0)ешз<(28)

И

a(k, t) — a(kt 0),(29)

где сп(0), b(k, 0) и a(k, 0) определяются из начальных условий для уравнения КДВ.

Доказательство. Если »— собственная функция, то 力 возрастает экспонециально при х-> оо. Поэтому Q 三 0. Умножение (26) на 2 н интегрирование по неограниченному интервалу дают

(у *)"“+,(22/ — 2屮；一 3九状上 dx = C^2 dx.

В силу услсвия нормировки (21) С 曰 0. Для х-> оо функция 2(")удовлетворяет (22), поэтому (26) приводит к уравнению

Cnt — ^сп = 0,

решение которого имеет вид (27).

Для непрерывного спектра рассмотрим падающую из +°° плоскую волну и изучим поведение 2 при х->——оо. Подставляя (24) в (26), получаем

at + 4/3口 = Са + -у ^ e-ikx dx;

поскольку Q m 0, то

〃± + (4ik3 一 С) а = 0.

При %-> сю функция 2 удовлетворяет соотношению (23), а обращение в нуль коэффициентов при линейно независимых функциях exp (± ikx) в (26) означает, что

С = 4/з и bt — 8ik3b = 0.

Это и приводит к выражениям (28) и (29).

2г. Сводка основных элементов метода решения

Дадим теперь краткое резюме, которое поможет уяснить довольно сложную изложенную процедуру. Мы должны решить начальную задачу

ut — 6иих 十 иххх = 0,— оо < х < оо, / > 0,

«(X, 0) = f (%)•

Сначала решим задачу на собственные значения

也X — [f (х)—用 2 = о,(30)

из которой определяются хп» Сп(0) и b (左，0). Тогда (27) и (28) дадут зависящие от времени величины сп〃) и b(左，2), которые определяют В(х + у) в явном виде:

ООN°

5(% + 9； D =贵 6(耳 0)/ 晔-(*+川 dk + ^(°)° 瞬"A"'， 2I(31)

и, таким образом, уравнение Гельфанда — Левитана полностью определено. Если мы сможем решить это интегральное уравнение, то решение задачи о начальных значениях для уравнения КДВ сведется просто к формуле

〃 (х, /) = — 2 乐 к (х, х; /),(32)

причем ^ зависит от / как от параметра.

Здесь можно возразить, что мы просто заменили одну трудную задачу другой. Однако в действительности достигнуты два серьезных упрощения. Во-первых, уравнение (30) и уравнение Гельфанда ——Левитана линейны; во-вторых, t входит в задачу только как параметр. Более того, хп и сп — просто числа, а b(k)—функция, которая входит голько под знаком интеграла.

2д. Солитонные решения

Существует частный класс начальных условий, для которого могут быть получены точные решения, а именно те начальные условия, которые точно переходят только в солитоны. Мы назовем их N-солитонными решениями (или просто солитонами); N обозначает число солитонов. Для иллюстрации метода нахождения этих точных решений мы рассмотрим решение в виде уединенной волны, а также решение, состоящее из двух солитонов.

Общий вид уединенных волн дается выражением (4). Для удобства положим а = 2, тогда начальным условием будет

и (х, 0) = / (%) = — 2 sch2 х.

Соответствующая задача на собственные значения может быть решена точно [27]. Здесь имеется дискретное собственное значение Xi = 1 и соответствующая константа нормировки (?i (0)= = "2・ Кроме того, b(kf 0) = 0, следовательно, b(k, t) обращается в нуль для всех f; это означает, что уединенная волна является безотражательной — данный потенциал нельзя обнару-

жить, посылая на него из бесконечности плоскую волну и измеряя отраженную волну.

Уравнение Гельфанда — Левитана принимает вид

К(М У； 0 + 2c8fTr + 2c8f-“，К", %; t)e~z d^ = 0.

Попытка разделить переменные в видеК(尤,y；f) =

=А(х; f)exp(—у) дает уравнение

£ (х; 0 + 2?8£т + е8fL (尤；°，e-2z q? = о,

которое приводит к решению

К (х, х; 0 = — 2/(1 + е2A 8)

Тогда решением начальной задачи для уравнения КДВ является

u(x,t) — — 2~^ К (х, х; /) = — 2 sch2 (х ——4f),

что в точности совпадает с (4) (при а = 2).

Рассмотрим теперь начальное условие

и (х, 0) = — 6 sch2x.

Оно не приводит к решению типа уединенной волны, так как отношение амплитуды к ширине не соответствует формуле (4). Коэффициент отражения снова равен нулю, но теперь существуют два различных собственных значения %i = 1 и х2 — 2. Точное решение имеет вид

/ 八=_ 1 9 з + 4 ch (2% — 8f) + ch (4无一64f)

(，° —[3 ch (х - 2¥f 4- ch (Зх - 36/)]2 '

Асимптотически при f->8 возникают два солитона с амплитудами 2 и 8 соответственно.

В работе [28] было показано, что если b{k, /) = 0, то из начального распределения появляются только солитоны, т. е. решение распадается на N солитонов. Для таких решений уравнение Гельфанда ——Левитана легко сводится к конечной системе линейных алгебраических уравнений, которая всегда может быть решена в явном виде. Из этой системы видно, что ^солитонные решения можно записать в виде рациональных функций от экспонент. Анализ асимптотики точных решений при больших f показывает, что существует взаимно-однозначное соответствие между собственными числами и солитонами, образующимися из начального распределения; солитоны полностью характеры-

ауются единственным параметром (не считая фазового сдвига). Это соответствие задается соотношением

一启= *> = ^〃窑у-｝唸 п-1, 2, .... N, (33)

где 嘿н обозначает минимальное значение (амплитуду) п-го солитона, ап соответствует параметру а в выражении (4); при этом величина * равна скорости солитона.謬*

К сожалению, в настоящее время еще не получено каких- либо точных решений для более общих начальных условий, когда решение содержит как солитоны, так и осцилляторный 《хвост» (см. фиг. VIII. 2). В этих случаях коэффициент отражения не равен тождественно нулю и возникают большие математические трудности из-за наличия интегрального члена в В(х + у).

Метод ВКБ для нелинейных уравнений !)

Рассмотрим одну из форм уравнения КДВ, представляющих физический интерес и потому интенсивно изучавшихся:

以 + ИЦ* + ^иххх == 0,(34)

где 6?« 1 —малый параметр, зависящий от различных физических факторов. С помощью численных методов были получены решения этого уравнения на конечном интервале для различных значений б. Одна из практических тpvднocтeй при получении таких решений состоит в том, что, если 3? становится все меньше и меньше, пространственные осцилляции решения становятся все более короткими, и для достаточно точного описания поведения решения в пространстве возникает необходимость в увеличении числа шагов. Это в свою очередь влияет на такие факторы, как устойчивость схемы численного счета, и в результате ограничивает интервал времени, на котором может быть получено решение. Чтобы преодолеть эти трудности, Крускал и Забуский [4] использовали тот факт, что прн малых 62 решения становятся близкими к периодическим, н развили метод анализа таких нелинейных волн. (Под термином «близкий к периодическому» мы понимаем следующее: изменения амплитуды и длины волны становятся малы, порядка в на большом числе осцилляций решения; не следует путать эти решения с «почти периодическими» функциями.) Указанный метод возникает как естественное нелинейное обобщение обычного линейного ме-

тода ВКБ и аналогичен методу усреднения Уизема [29—32] (см. гл. V этой книги) и Льюка [33]. (Здесь этот метод не называется методом усреднения, поскольку, хотя усреднение и является его существенной частью, оно никоим образом не исчерпывает его содержания.) Мы будем рассматривать основные идеи метода и сформулируем лишь несколько результатов (подробнее см. [34]).

Как известно, линейный метод ВКБ позволяет получать приближенные решения, близкие к периодическим, для линейного дифференциального уравнения в обыкновенных производных:

6绅门+以(%)2 = 0, 廿《1, (35)

где V(x) мало изменяется на достаточно большом числе осцилляций решения 屮[сходство выражений (35) и (16) чисто случайное]. В методе ВКБ предполагается, что решение имеет вид

^^W(x) е 吗 е^В (х)/д, (36)

где W и В должны быть определены. Введя две функции W и В вместо 2，мы имеем свободу в выборе одного произвольного соотношения между ними.

Обобщим теперь идеи метода ВКБ на случай близких к периодическим по х решений нелинейного дифференциального уравнения в частных производных. Из-за нелинейности мы не можем ожидать, чю решение имеет простую экспоненциальную форму, и вместо этого используем представление в виде ряда 〃 (х, f; 6) ~ U (0, х, /; 6) = U^ (0, х, /) + 65)(0, х, /)+... , (37) где 0 = 0(х, t\ 6). Здесь явная зависимость U от х и t соответствует зависимости IT от х, а зависимость от 0 обобщает показательную функцию в (36). Одна важная нерешенная проблема состоит в том, чтобы установить, в каком смысле ряд [7(0, х, /; 6) в правой части выражения (37) приближенно представляет действительное решение 〃(％,/; 6).

Представление в виде ряда (37) имеет весьма общий характер, но, использовав два элемента из метода ВКБ: периодичность и одно произвольное соотношение между его параметрами, мы достигнем значительных упрощений. Предположим, что функция U строго периодична по 0, т. е. 0 — «угловая» переменная, и выберем наше свободное условие так, чтобы период по 0 был единичным, т. е.

и(仇％,/； b)= u(e+i,尤，f； 6). (38)

Не зная зависимости U от 0, мы рассматриваем 0 как дополнительную независимую переменную и позднее найдем ее зависи-

Фиг. VIII. 3. Определение и (х) из расширенного решения.

мость от х и Л Эта процедура, которую Сандри [35] назвал «методом расширения», по существу, соответствует методу многих масштабов, используемому в гл. IV и особенно в гл. V, разд. 8. Для иллюстрации на фиг. VIII. 3 показана поверхность, соответствующая решению U = U(G, х), зависящему от переменных х и 0 (для простоты зависимость U от Е здесь опущена). Одна из целей метода состоит в определении 0 — 0(%)； тогда решение исходной задачи и(х) соответствует кривой, получаемой пересечением поверхностей 0 = U(Q, х) и 0 = 0(%).

За. Формулировка метода

Чтобы применить нелинейный метод В КБ к уравнению КДВ, выберем сначала зависимость 0 от 6 таким 而разом, чтобы в первом приближении сделать как можно меньше ограничений по отношению к исходным уравнениям [36]. При этом все члены в уравнении КДВ должны оставаться одинаково существенными, в частности нелинейный и дисперсионный члены должны быть одного порядка. Поэтому мы предполагаем, что

0 == В (х,讣 6)/6, (39)

где В «я 0(1) дается формальным степенным рядом по 6. Таким ббразом, если В изменяется на конечную величину, то 0 меняется быстро. Наша цель, следовательно, состоит в том, чтобы

получить U (0, х, Z; б) и В(х, Z; в) в виде формальных степенных рядов по 6.

Для завершения формулировки этой расширенной задачи мы выведем уравнение для U. Тот факт, что в этом уравнении будут появляться только частные производные по 0, указывает на произвольность выбора начала отсчета (нуля) 9. Поэтому мы считаем

Ln В±, К 曰 Вк,专(40)

не зависящими от 0. Дифференциальные операторы теперь принимают вид

дL д . д

万万市十1F'

дК д . д

d尤6 d8十d元.

Подстановка этих новых операторов в (34) и умножение на 6/К приводит к «расширенному» уравнению КДВ:

iue + иив + №(/е0в + 6 [у (а + UUJ + з(ки)*ее] +

+ б2 榜 К*и + з (KUJ]}e + V * Uxxx = 0. (41)

Подставляя (37) в (41) и оставляя только члены нулевого порядка, мы получаем обыкновенное дифференциальное уравнение для U⑼ как функции 0

於増 + и(» 噌 + К("и% = 0,(42)

где 1^ и К(°)— основные члены в формальных разложениях функций / И К・

Важно отметить, что в пределе 6->0 мы получаем (42), а не уравнение вида щ + иих = 0, как это получается для уравнения Бюргерса и в других задачах с диссипацией, включая ударные волны. Здесь дисперсионный член оказывается членом основного порядка, что приводит к некоторым интересным результатам.

При，扭 0 получаем обыкновенные линейные дифференциальные уравнения для U^

^U^^JT{U^]\ ...» N),…，К⑴，・・)(43)

где

Заметим, что неоднородные члены содержат только известные решения низшего порядка.

Чтобы определить зависимость U^ от х и ^ мы используем условия совместности, обеспечивающие существование решений высших порядков для неоднородного уравнения (43). При i》1 эти условия сводятся к требованию ортогональности неоднородного члена ” собственным функциям, соответствующим нулевому собственному значению сопряженного оператора 2*, определяемого следующим образом:

一2』/(。)备 + [/(。)备 + №y磊. (44)

Единственные периодические решения, соответствующие нулевому собственному значению, это 1 и U®, и они приводят к двум уравнениям, усредненным по 0 и содержащим только производные по х и Л Третье линейно независимое решение не является периодическим и не используется при выводе усредненного уравнения.

36. Задача нулевого приближения

Уравнение (42) можно решить в явном виде относительно U(°)как функции 0 (здесь и далее верхний индекс будет опущен, так как мы рассматриваем задачу только в нулевом приближении). Интегрируя (42) по 0, умножая на dV/dd и снова интегрируя, приходим к уравнению

где /?2 и п ——«константы» интегрирования, зависящие от х и /. Требование периодичности L/ по 0 накладывает на величины /С, /, /?г и /г определенные ограничения, которые, однако, здесь не формулируются. После некоторых преобразований получаем U(仇 ％,力=一 / —仍 + 2m){b — (b — а)с*[2.Г(/г)(0 -0o)|fe]}, (46) где сп ——эллиптическая функция Якоби, У£——полный эллиптический интеграл 1 рода,

廖三(Ь — а)/(с — а)(47)

и, наконец, а, 6, с — корни уравнения (45) при / = 0 (см. гл. IV, п. Зв). Все величины в правой части (46) — функции Z, m и п, которые в свою очередь зависят от х и Л

Для определения зависимости U от х и t удобно ввести усредненные переменные

Pwg, Q =〈(U-P», Re-^〈(U — P)3〉—(P + QQ, (48)

где〈F〉N、F(8)d8. Два усредненных уравнения совместности о

не образуют замкнутой системы; необходимо ввести третье усредненное уравнение, дополняющее их. Это уравнение получается путем усреднения третьего закона сохранения, в котором сохраняющаяся плотность содержит w3- Мы получаем следующую замкнутую, но весьма сложную систему квазилинейных дифференциальных уравнений первого порядка в частных производных относительно усредненных переменных Р, Q н R:

Pf + PP* + ^Q* = 0,(49)

Qi + 2QP* + (Р + 2九 + 2QAq) Qx + (5 + 2Q 九 r) Rx = 0,(50)

R + (2QA + 6R) 2 + [— 3炉 一 6 (Q九 + R)%] Qx +

+ [P — 6} — 6(Q 九+ R)九 r]Rx=0,(51)

где"

九三 Р + /,(52)

я — 炉(3Q九 + 5R) + QR/2

Q — (2Q九 + 3R) (3Q九 + 5R) '2丿丿

入 一 3九(3Q九 + 5R) - Q2

儿履—3 (2Q九 + 3R) (3Q九 + 5R) *6)

Эта система инвариантна относительно смены знака х и /, а также относительно преобразования Галилея. Более того, с помощью ряда алгебраических выкладок можно показать, что эта система гиперболична. Оказывается, что условия, приводящие к гиперболичности, в точности совпадают с условиями существования трех действительных корней уравнения (45) при Uq = 0. Несомненно, это не простое совпадение, однако связь между ними остается невыясненной.

Зе. Возможность разрывов

Один из вопросов, относящихся к данной системе уравнений, состоит в том, существуют у нее разрывы или нет. Вычисление скачков величин Р, Q н R на разрыве приводит к выводу, что величина скачков равна нулю. Этот на первый взгляд негативный результат не исключает, однако, возможности непрерывного перехода от одного состояния к другому, если каждое из этих состояний характеризуется постоянными значениями усредненных величин. Как показано на фиг. VIII.4, два однородных состояния со средними Pi = 〈〃〉i н 夕2 =〈〃、2 могут быть соединены осциллирующей переходной областью. Слева от этой области переход сопровождается малыми осцилляциями, которые, по

существу, представляют собой линейные синусоидальные волны, распространяющиеся на среднем уровне Р =尸入 Справа же переход содержит большие осцилляции. Было замечено, что в численных решениях солитоны всегда появляются справа и, следовательно, осцилляцию, ограничивающую переходную область справа, в пределе 6->0 можно интерпретировать как солитон. «Усреднение» по периоду этой крайней осцилляции приводит к предельному значению Р2, так как солитон имеет бесконечный период.

Поскольку при переходе к однородным состояниям усредненные величины непрерывны, то «разрывы», интепретируемые теперь как места, в которых структура решения резко меняется, имеют нулевую величину. С другой стороны, если вся осцилля- торная переходная область отождествляется со структурой разрыва, то, как следует из численных решений, ширина разрывов всегда неограниченно возрастает со временем при сколь угодно малых 6 #= О). Следовательно, «разрыв» не может быть ограничен малой областью, как в диссипативных системах, что снова подтверждает выводы гл. II, разд. 3. Анаглогичные результаты докладывались Яджимой и др. [37] для другого нелинейного уравнения.

ЛИТЕРАТУРА)

1, Korteweg D. J., de Vries G., Phil. Mag., 39, 422 (1895).

On the change of form of long waves advancing in a rectangular canal, and on a new type of long stationary waves.

2.2.Mathematical Sc:en- hydromagnetic wa-Mathematical Sc:en- hydromagnetic wa-Gardner С. S., Morikawa G. К, Courant Institute of ces Report No. NYO-9082, 1960 (unpublished).

2.

2.

Mathematical Sc:en- hydromagnetic wa-

Mathematical Sc:en- hydromagnetic wa-

Similarity in the asymptotic behavior of collision-free ves and water waves.

Zabusky M 丄，Proc. Conf, on Mathematical Models in the Physical Sciences, University of Notre Dame, South Bend, Ind. 1962. Eds. S. Drobot and P. A. Viebrock, Englewood Cliffs, N. J., Prentice-Hall, p. 99, 1963.

Phenomena associated with the oscillations of a nonlinear model string. The problem of Fermi, Pasta, and Ulam.

Zabusky N. /., Proc. Symp. on Nonlinear Partial Differential Equations, University of Delaware, Newark, Dei. 1965. Ed W. F. Ames, Academic Press, p. 223, 1967.

A synergetic approach to problems of nonlinear dispersive wave propagation and interaction.

Zabusky M 丄，Proc. International Conference on Statistical Mechanics, 1968，Journ. Phys. Soc. Japan Supplement 26, 196 (1969).

Nonlinear lattice dynamics and energy sharing

Kruskal M. D., Proc. IBM Scientific Computing Symposium on Large-Scale Problems in Physics, Thomas J. Watson Research Centre. Yorktown Heights, N. Y., 1963, White Plains: IBM Data Precessing Division, p. 43, 1965. Asymptoiology in numerical computation: Progress and plans on the Fer- mi-Pasta-Ulam problem.

Washimi 〃.，Taniutt T., Phys. Rev. Lett.. 17, 996 (1966). Propagation of ion-acoustic solitary waves of small amplitude.

Wijngaarden L. van, Journ. Fluid Meeh., 33, 465 (1968).

On the equations of motion for mixtures of liquid and gas bubbles.

Leihovich £, Journ. Fluid Meeh . 42, 803 (1970).

Weakly nonlinear waves in rotating fluids.

Nariboli G 4, Engineering Research Institute Preprint 442, Iowa State University. 1969 (unpublished).

Nonlinear longitudinal dispersive waves in elastic rods.

Su С. H.. Gardner C. S’，Journ. Math. Phys., 10. 536 (1969).

Korteweg-de Vries equation and generalizations. Ш. Derivation of Korte- weg-deVrie^ equation and Burgers equation.

Tamuti T.. Wei C.-С., Journ. Phys. Soc. Japan. 24, 941 (1968).

Reductive perturbation method in nonlinear wave propagation.

Zabusky N. /., Galvin C. /., Journ. Fluid Meeh., 47, 811 (1971). Shallow water waves, the Korteweg-de Vries equation and solitons.

Zabusky N /., Kruskal M. D., Phys.. Rev. Lett., 15, 240 (1965).

Interaction of «solitons» in a collisionless plasma and the recurrence of initial states.

Lax P. D, Comm. Pure Appl. Math., 21, 467 (1968).

Integrals of nonlinear equations of evolution and solitary waves. (См. перевод: Математика, 13:5. 128 (1969))

Zabusky M 丄，Phys. Rev . 16& 124 (1968).

Solitons and bound states of time-independent Schrodinger equation.

Whit ham G. H, Proc. Roy. Soc、A283, 238 "965). Non-linear dispersive waves.

Miura R. Л4., Gardner C S. Kras々山 M D Journ Math Phys., 9, 1204

Korteweg-de Vries equation and generalizations. II. Existence of conservation laws and constants of motion.

KfesA〃/ M. D, Miura R, M., Gardner C. £, Zabusky N. /., Journ. Math. Phys., IL 952 (1970).

Kortewe^-de Vries equation and generalizations. V. Ufliqueness and no- nexi^tense of polynomial conservation laws.

20.20.21.21.22.22.23.23.24.24.Miura R. Л1., Journ. Math. Phys., 9, 1202 (1968).

20.

20.

21.

21.

22.

22.

23.

23.

24.

24.

Korteweg-de Vries equation and generalizations. I. A. remarkable explicit nonlinear transformation.

Kruskal M. D, Miura R. M. (в печати).

Korteweg-de Vries equation and generalizations. VII. Nonexistence of polynomial conservation laws for generalizations.

Гельфанд И. М., Фомин С. В, Вариационное исчисление, М., Физматгиз, 1961.

Гельфанд И. М., Левитан 5. М., Об определении дифференциального уравнения по его спектральной функции, ДАН СССР, 77, 557 (1951).

Кау /., New York University, Institute of Mathematical Sciences, Division of Electromagnetic Research Report No. EM-74, 1955 (Unpublished).

The inverse scattering problem.-

26.26.Kay /•, Moses H. E, Il Nuovo Cimento (Series X), 3, 276 (1956).

26.

26.

The determination of the scattering potential from the spectral measure function, 1П. Calculation of the stattering potential from the scattering operator for the one-dimensional Schrodinger equation.

26.26.Levinson M, Phys. Rev., 8§, 755 (1953).

26.

26.

27.27.Certain explicit relationships between phase chift and scattering potential. Ландау Л. “.， Лифшиц E. M., Квантовая механика. Нерелятивистская теория, М., Физматгиз, 1963, «Наука», 1974.

27.

27.

Gardner С. S” Greene 丄 М, Kruskal М. D, Miura R. М, Phys. Rev.

Lett., 19, 1095 (1967).

Method for solving the Korteweg-de Vries equation.

Whitham G. B., Journ. Fluid Meeh., 22, 273 (1965).

A general approach to linear and non-linear dispersive waves using a Lagrangian.

Whitham G. B., Journ. Fluid Meeh., 27, 399 (1967).

Non-linear dispersion of water waves.

Whitham G B.. Proc. Roy. Soc., A299, 6 (1967).

Variational methods and applications to water waves.

曾九计G. 8, Journ. Fluid Meeh., 44, 373 (1970).

Two-timing, variational principles, and waves.

Luke 丄 О, Proc. Roy. Soc., A292, 403 (1966).

A perturbation method for nonlinear dispersive wave problems.

Miura R. M., Kruskal M. D. (в печати), SIAM Journ. Appl. Math. (1973). Application of a nonlinear WKB method to the Korteweg-de Vries equation.

Sandri G.f II Nuovo Cimento (Series X), 36, 67 (1965).

A new method of expansion in mathematical physics-I.

Kruskal Л/. D, Proc. Conf, on Mathematical Models in the Physical Sciences, University of Notre Dame, South Bend. Ind 1962. Eds. S. Drobot and P, A. Viebrock, Englewood Cliffs N. J.: Prentice Hall, p. 17, 1963.

Yajima M, Outi 4, Taniuti T., Progr. Theor, Phys., 35. 1142 (1966). A model of the dispersive nonlinear equation.•

38*. Гуревич А. В., Питаевский Л. 〃.，Письма в ЖЭТФ, 17, 258 (1973).

Структурабесстолкновительных ударных волн Э

Ричард Е. Мейер

Ударная волна ——это, по существу, движущийся переход от одного равновесного состояния среды к другому. В связи с этим прежде всего возникает простой вопрос: какая пара равновесных состояний может быть связана такой волной? Хорошо известно, что ответ на этот вопрос дается системой граничных условий на скачке. Они выражают сохранение массы, импульса и других величин, зависящих от динамических свойств среды.

Исследования такого рода, начатые Ренкином, Гюгоньо, Рэлеем и другими, оказались столь успешными, что теперь редко вспоминают о том, что сами законы сохранения следуют из некоторого предположения о свойствах перехода — обычно о том, что он является стационарным (в подходящей системе координат). Но можем ли мы быть уверены, что в данной среде существует физический механизм, обеспечивающий стационарность перехода? Для обычных ударных волн в газах такой механизм в настоящее время хорошо исследован; он определяется механизмом молекулярных столкновений. Менее очевиден ответ для ударных волн в плазме, например для головной ударной волны, возникающей при обтекании магнитосферы Земли солнечным ветром (фиг. IX. 1). Экспериментальные данные о таких переходах еще очень ограниченны. Если эти переходы стационарны, то соответствующий механизм не может определяться столкновениями, так как плотность числа частиц в солнечном ветре слишком мала. С другой стороны, если они нестационарны, то рушится весь базис для соотношений на скачке, так как априори не ясно даже то, почему масса и импульс должны сохраняться.

(Если кому-либо покажется, что мы обратились к слишком «внеземной» модели для обсуждения этого вопроса, то можно заметить, что изложенный ниже анализ первоначально был свя-

В данной главе обсуждаются, по существу, некоторые математические вопросы, связанные с бесстолкновительными волнами в плазме. Физические свойства таких волн рассмотрены, например, в обзоре [5] нз литературы к предисловию редакторов перевода н в книге [12].— Прим. ред.

Фиг. IX. 1. Картина головной ударной волны, возникающей прн обтекании магнитосферы Земли солнечным ветром.

зан с обычными волнами на воде (см. гл. IV). Гарднер и Мори- кава [1] отметили аналогию между этими процессами и ударными волнами в плазме, к которым исследователи обратились после того, как было признано [2], что гидродинамические задачи даже более сложны, чем соответствующие задачи для плазмы.)

Стационарные ударные волны

Для случая ударных волн в бесстолкновительной плазме сомнения по поводу стационарности были наиболее ясно сформулированы в так называемом парадоксе Мортона для плоских разрывов. В плоской волне физические величины зависят только от одной пространственной переменной. Если волна к тому же стационарна, то она описывается обыкновенными дифференциальными уравнениями, решения которых можно полностью исследовать даже для весьма сложной модели *плазмы с помощью методов качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Это было сделано Мортоном [3] для достаточно реалистичной «двухжидкостной» модели бесстолкновительной плазмы. Если фронт ударной волны перпендикулярен направлению распространения, а магнитное поле поперечно, то множество решений можно классифицировать с помощью двух параметров: отношения р давления жидкости р/ к магнитному давлению рм и интенсивности разрыва е. Как было показано, в плоскости параметров р, е имеется такая критическая кривая е = fc(₽), что данная модель имеет стационарные переходный

Фие. IX. 2. Области существования решений стационарных уравнений состоянии для бесстолкновительной плазмы.

решения, идущие из одного равновесного состояния в другое для £ > gc, но при с V & существуют только периодические или уединенные волны (фиг. IX. 2). Последние не могут обеспечить переход из одного равновесного состояния в другое, отличное от первого, и следовательно, плоских стационарных ударных волн с достаточно малой амплитудой g не существует. Можно думать» что любая модель становится неадекватной при слишком большой интенсивности ударных волн, но несуществование слабых ударных волн ——это совершенно необычная трудность!】)

Единственное исключение составляет предел pM/Pf -> 0, который соответствует обычной газодинамике и допускает стационарные ударные волны произвольной интенсивности. Этот парадокс наиболее ярко выражен в пределе р〃рмт0, который соответствует холодной плазме, так что для его изучения, ве-

Впрочем, сам Мортон [3] дает вполне естествеииое физическое объяснение этому факту: только при £ > 既 поток за фронтом ударной волны становится дозвуковым, что, как известно, необходимо для существования устойчивой ударной волны. — Прим. ред.

роят но, достаточно воспользоваться несколько более простой моделью. Однако прежде чем обратиться к ней, полезно обсудить один более общий аспект трудностей, лежащих в основе парадокса Мортона.

Множества пределов

Поскольку не ясен вопрос о существовании стационарных бесстолкновительных ударных волн именно малой амплитуды, необходимо рассмотреть двойной предельный переход, когда амплитуда разрыва е стремится к нулю и, кроме того, /-> оо, так как вряд ли можно наблюдать хорошо выраженный скачок до тех пор, пока он не станет в какой-то степени стационарным, по крайней мере в некоторой галилеевской системе отсчета.

Такой двойной предел, конечно, вполне обычен для математической физики, где часто встречаются понятия малой амплитуды и большого времени. При этом уже выработалась стандартная процедура: сначала полагают е -> 0, что позволяет линеаризовать задачу, а затем исследуют асимптотическое поведение решения на большом интервале времени.

Однако редко обращают внимание на то, что экспериментальная физика обычно имеет дело с пределами, взятыми в обратном порядке. Например, в случае ударных волн данные наблюдений почти всегда относятся к скачкам фиксированной (пусть малой) амплитуды на таких интервалах времени, за которые они успевают в достаточной степени установиться. Таким образом, большая часть теоретических результатов основана на неявно выраженной уверенности, что эти пределы можно менять местами. Нет, пожалуй, ничего удивительного ни в том, что этот принцип хорошо служил на протяжении ряда поколений, ни в том, что мы, наконец, пришли к задачам настолько сложным, что приходится рассматривать исключения из правила.

Результат применения классической операции lim^oo lime^o получится ниже автоматически при отыскании корректного предела. К этому результату пришли независим© разные авторы с помощью как классических, так и вполне современных асимптотических методов; однако он не был опубликован ввиду его неудовлетворительности. Хуже всего то, что на первый взгляд этот результат выглядит вполне корректным и правдоподобным, но тем не менее он неверен. Это было первым указанием на то, что парадокс Мортона может быть тонкой проблемой, не поддающейся превосходным методам, изложенным в других главах этой книги.

Поскольку двойной предел должен браться в строго определенном порядке:

то мы не можем рассчитывать на линеаризацию, а для двойной нелинейной асимптотики, по-видимому, не было разработано какого-либо метода анализа. Излагаемый здесь подход [4,5] связан со следующей идеей. Требуемый двойной предел можно представить символически на плоскости переменных 1// и € (фиг. IX.3). Рассмотрим предел LJ0 при фиксированном & а затем совокупность таких пределов для последовательности фиксированных значений & убывающих до нуля. Этот двойной предел может быть рассмотрен как предел однократных пределов, представленных в плоскости t~[, е последовательностью кривых, приближающихся к началу координат все более круто, как показано на фиг. IX. 4. Любая из этих кривых могла бы представлять предел, в котором Ь->0 в некотором соотношении с G； иными словами, в котором

f = }8 ⑹

с фиксированным /е и подходящей функцией 0(e), стремящейся к бесконечности при g ->0.

Первое, что приходит в голову, — это рассмотреть в качестве 6(g) семейство всех степенных функций М с действительными k. Однако необходимо допускать также логарифмы и экспоненты (и все их комбинации), и это семейство становится весьма сложным в обращении, оставаясь тем не менее неполным. Более простой и убедительный способ поиска предельных точек для множеств пределов связан с исследованиями Каплуна [6] по обоснованию метода внутренних и внешних разложений и многих других асимптотических методов.

Пусть Q обозначает множество

Q = {〃9wC(0,l)lf(9>0, для 0<£&1}

всех положительных непрерывных функций f(е), определенных для О V € W 1 (т. е. всех возможных параметров, больших или малых). Для любой функции у(е) в Q можно определить класс эквивалентности порядка с помощью соотношения эквивалент

ности

ord у = |р,(€)е Q I lim у^ существует и не равен нулю},

и при рассмотрении предела е->0 нет необходимости различать функции внутри одного класса. Можно ввести упорядочение среди этих классов с помощью определения

ord 6 < ord у означает lim。佟=0.

1wwu Y(£)

Однако оно дает только частичное упорядочение, так как например, функция 2 + sin(l/e)^ Q, но ее класс никак нельзя соотнести с ord I.

Итак, мы видим, что множество всех классов эквивалентности порядка много больше множества действительных чисел. В нем можно ввести топологию с помощью следующих двух определений. Назовем множество S классов эквивалентности порядка выпуклым, если из того, что ord 丫 w S, ord 6 w S и ord у ■< ord ц <： ord 6, следует, что также и ord 卩三 S. Иными словами, если выпуклое множество содержит два взаимно упорядоченных класса, то оно также содержит любой класс, который можно расположить между ними, т. е. множество не имеет пробелов. Назовем множество S классов эквивалентности порядка выпукло-открытым, если оно выпукло и если при ord 卩三5 существуют такие у ⑹三 Q и 6(c)wQ, что ord ц < ord у ^S, ord 卩 > ord 6 w S. Иначе говоря, выпукло-открытое множество вместе с каждым элементом ord 卩 содержит также элементы слева и справа от него [7]. Множество называют открытым, если оно является объединением выпукло-открытых множеств. Для дальнейшего полезно добавить понятие правого множества для Y w Q

R、= {ord 卩 I ord у V ord 卩}, ► состоящего из элементов ywQ, т. е. множества всех классов эквивалентности порядка справа от ord у [4]. [В более примитивной трактовке, отраженной на фиг. IX. 4, это множество соответствует семейству всех кривых, стремящихся к началу координат более круто, чем данная кривая / = ^Y(e) •]

Рассмотрим теперь произвольную функцию F(x; е) переменной х и положительного параметра е. Чаще всего * представляет собой векторную переменную, величина которой измеряется обычной евклидовой длиной; этот случай мы и рассмотрим ниже. Функция 尸 может быть любой функцией, величина которой

определяется некоторой нормой, в частности действительной векторной функцией; интересующая нас норма появится в разд. 6 при формулировке задачи из физики плазмы.

Основная трудность при разработке современных асимптотических методов состоит в неоднородности приближения, которая возникает, когда одного предельного процесса недостаточно для построения решения во всей области х. Предположим для определенности, что х = 0 ——единственная особая точка, так что функция F(x; е) определена, скажем, для всех |х| > 0 и для О V с 忘 L Чтобы изучить окрестность точки х = 0, может оказаться необходимым рассмотреть зависимую переменную F не только как функцию х и G, но также как функцию переменных у н с, где новая переменная у — у(х, е) зависит от G. Чтобы избежать чрезмерной общности, предположим, что вблизи точки х = 0 величина F зависит главным образом от |х|, так что новую переменную достаточно взять в виде %б = %/6(€), где 6 三 Q ——параметр, зависящий только от & Точнее говоря, производится преобразование переменных от х, е, F к хб, е, G по формулам

% =尤/6 ⑹，G (хб; €)= F (х; €),

т. е. функция G имеет те же значения, что и F в соответствующих точках. Каплун [6] предложил рассматривать одновременно множество таких «преобразований растяжения» для всех 6 е Q и множество соответствующих пределов. Следуя Фройнду [8], примем следующее определение: если для всех замкнутых интервалов^, Ь] и(0, оо) предельная функцияG(x^ +0)^lim€ . 0G(%6； е) существует и достигается однородно на множестве {хб 11 ^6 I w[q, b]}, то по определению G(x6,十0)三 lim^ 尸(x, е).

Иными словами, lim6 F — это предел функции F(z6(e), е) при е ->0 с фиксированным г, а не х. Например, если 6(е)->0 при е-^0, то в предельном переходе lim^ также и х ->0, причем х/6 стремится к отличному от нуля предельному вектору. Аналогичное определение с более жестким требованием однородности было рассмотрено в работе [4]. Каплун [6] не указывает достаточно четко, каким определением он пользуется.

Мы видим, что «скорость», с которой |х| стремится к нулю при ст0 в предельном переходе lim6, зависит только от ord 6, так как (см [8]) если lim6 F = 0 и ord у = ord 6, то limY 尸= =0.

Двойные асимптотики

В формулировку задач математической физики некоторый параметр обычно входит только в немногих местах. Поэтому в каждой задаче пределы Каплуна естественно распадаются на семейства, вну【ри которых различие между разными пределами

менее существенно, чем между семействами. При этом полезно следующее определение [7]: функцию Н(х, е) назовем И(е)-приближением функции F(x, g) на выпуклом множестве S, если HmellA-i (尸一Я) II = 0 для всех ord 6 三 S・

На указанных выше определениях основана теорема Каплуна о продолжении, касающаяся принципов сращивания асимп^ тотических разложений [7, 8]. Для их применения к анализу асимптотик на больших временах требуется еще устранить неудобства обозначения, поскольку следует ожидать, что функции, которые нам встретятся, при оо скорее стремятся к более простым функциям времени, чем к определенным пределам. С другой стороны, обычное обозначение 屮(/)〜 屮(f) не годится для двойных пределов. В качестве компромисса будем использовать обозначение 4r")= Нпл£4aoe优)，если Т(0——асимптотик ческое приближение для 3(f); иными словами, ЦТ —力||->0 при f->8. (При подходящем выборе функций Т и ^ это определение включает приближение любого порядка.)

Рассмотрим теперь для простоты функцию f(f, е) двух действительных переменных и «двойной предел»

limew()lim；_>oof (厶 е).

Тогда мы можем искать асимптотическое приближение при «->0 для асимптотического приближения

lim；_>8 f (厶 е) = g (厶 £)

функции f при f-> 8. Строгое определение асимптотического Д(е)-приближения для lim；400f(厶 е) при е->0 означает функцию 力(厶 £) со следующим свойством: для любого заданного т]〉0 существуют такие положительные числа 24n и Т^ что при О V е V 4 н Т > Т” имеем

(广[似小)—12；,8*:，^<^-

Это не единственный вид приближения к двойному пределу, который можно себе представить. Хотя данное *выше определение означает, что разность между lim *f и f с ростом времени монотонно убывает для любого фиксированного е, этого не требуется от разности между А и Д Но для многих физических приложений достаточно однородной границы, убывающей монотонно с G, внутри которой находится эта разность. Действительно, чтобы характеризовать предельное (в отличие от любого переходного) поведение функций во времени для фиксированного произвольно малого е, достаточно следующего, введенного Фройндом понятия [8]: А (Л е) есть предельное A (G)-приближение для lim'-gf", w) при б —0. если для любого заданного “〉О существуют такое число /“ > 0 н такая положительная функция

Тп(€)на (О, Лп], что из условий 0 < € < Лп и / > Гп(€)следует|厶7[九(/, е)-Нт；>8『(/, «)]||<П.

Этим понятием, кроме того, часто можно пользоваться, чтобы связывать двойной предел с однократным пределом Каплуна, используя следующую теорему Фройнда [8].

Теорема. Функция h(t, е) является Д (в)-приближением для /(/,€) на правом множестве тогда и только,.тогда, когда она является предельным А-приближением для lim^^ f (/, £) при w —0.

Правое множество понимается здесь в обозначениях lime н % = f/В вместо Ишб н / = х/6 в данных выше определениях. Более узкое определение предела [2] приводит к такой же теореме с термином «асимптотическое» вместо «предельное»; при этом к тому же еще требуется, чтобы h(tt 0)曰 f (玄 0) для t > TQ [8], так что область практического применения этой теоремы представляется слишком узкой.

Итак, в изучении нелинейных двойных асимптотик достигнут некоторый прогресс, который обусловливает возрастание роли таких асимптотик в математической физике. Стало ясно, что выражение «двойной предел» всего лишь указывает путь к многим различным приближенным построениям. Средн,них с помощью простого критерия, даваемого теоремой Фройнда, можно отличить предельное приближение от переходных. Практически этого достаточно для анализа однократных пределов Каплуна. Если мы получаем приближение на правом множестве, то обеспечено предельное приближение. Если нет, то в результате можно получить лишь переходное асимптотическое приближение.

Обсуждение двойных асимптотик велось здесь для простоты только для двух скалярных переменных, однако не возникает сложностей при перенесении его на случай большего числа переменных. Кроме того, нам будет удобнее пользоваться функцией т(с)= i/9(e), тогда соответствующий критерий дается теоремой Фройнда с заменой выражения lime на limx, а правого множества на левое

L、= {ord 卩 I ord 卩 < ord 丫}・

Пример — волны в плазме 9

В дальнейшем мы будем использовать простейшую модель бесстолкновительной плазмы, в которой проявляется парадокс Мортона (см. фиг. IX. 2). Это плазма, состоящая из электронов

и Читатель, ие интересующийся физикой бесстолкновительных ударных волн, может перейти прямо к модельным уравнеиннм rfa стр. 255.

и однократно заряженных ионов, которая считается совершенно холодной, т. е. хаотические движения отсутствуют. Тогда скорости ионов и электронов образуют обычные векторные поля — соответственно и+(х, /) и и_(х, /), а сохранение числа частиц выражается уравнениями

• д^- + п+(Иуи+ = 0, D_n_

—h divu- = О,

где n+, п_ — соответствующие плотности числа частиц, а D d

万- = % + u±・grad

—конвективные производные, соответствующие системе отсчета, связанной с движущимся элементом среды. В холодной плазме отсутствует гидродинамическое давление; тогда закон сохранения импульса дается уравнениями

铝Je(E + [u+XB]),

?一當 u- =-е(Е + [*ХВ]),

где m土 и 土е — соответственно массы и заряды частиц.

Предположим также, что плазма нейтральна, т. е. п+ = 〃_ (это может выполняться для нерелятивистских движений)】). Кроме того, ограничимся рассмотрением плоских волн, в которых все физические величины зависят от времени и только от одной пространственной координаты х. Тогда, если плотность числа частиц не постоянна в пространстве, любое различие х-компонент скоростей электронов и ионов должно вести к разделению зарядов, что исключено предположением о нейтральности плазмы (так как разность 〃【+ — 〃[— должна исчезать на релятивистской шкале времени вместе с п+ — п_). Следовательно, где 〃i ——общая для электронов и ионов х-компонента скорости. Поэтому любая разность скоростей

U+ — U-*=V

Условие квазинейтральностя может быть записано в виде В2/ (4л/гт_с2)《1. Оно также соответствует отсутствию релятивистских движений частиц в нелииепной волне. — Прим. ped.

должна быть перпендикулярна направлению оси х; эта разность порождает ток

J = nev.

Удобно переписать закон сохранения импульса в переменных V и средней массовой скорости

что приводит к уравнениям

（加+ +^-）^7=^[vXB],

т+т- ^^e[tn+ + /и~）（Е + [u X В]） — @（加+ — /n-）[v X В].

Первая компонента уравнения для v определяет <поле разделения зарядов》Ei, поскольку, как мы уже видели, из зарядовой нейтральности следует, что s 三 0. Кроме того, уравнение Максвелла div В = 0 показывает, что для плоских волн Si не зависит от х.

Нас интересуют такие решения приведенных выше уравнений и уравнений Максвелла, которые описывают переход плазмы йз одного равновесного состояния в другое, отличное от первого. Поэтому без потери общности можно выбрать такую систему координат, в которой плазма покоится （т. е. и = 0） при х-> +оо. Здесь достаточно рассмотреть простейший случай нормальной, поперечной ударной волны; соответствующие результаты для общего случая приведены Олсоном в работе [9]. Термин «нормальная» здесь означает, что волна распространяется в направлении нормали к плоскости постоянной фазы. Следовательно, мы рассматриваем только такие решения, которые стремятся к стационарным во времени в системе отсчета, движущейся относительно неподвижной системы координат с постоянной скоростью U в направлении возрастания х, В этой системе отсчета состояние равновесия, находящееся впереди ударной волны, характеризуется значениями

— q % + 〃；_>（）при + оо.

Поскольку рассматривается такое решение, в котором ударный фронт переводит плазму из одного стационарного состояния в другое, то без потери общности полагаем U > 0.

Поперечной мы называем ударную волну в том смысле, что магнитное поле В^ в состоянии равновесия позади разрыва перпендикулярно направлению его распространения. В равновесии оно должно быть к тому же перпендикулярно электрическому полю. Будем считать направление этого магнитного поля совпа-

дающим с направлением оси г; тогда каждая из компонент Вь S2 и В3 стремится к нулю при х-> +°°- Отсюда получаем, что величина Bi тождественно равна нулю, так как она не зависит от х. Кроме того, из соображений симметрии следует, что в данном случае уравнения для импульсов и уравнения Максвелла

rot Е = — В., rot В = g

можно решать, полагая 〃2 三〃з 三 82 三 Ез 曰 ^з 三 0, и Олсон [9] показал, что в предельном случае малой амплитуды этим свойством должно обладать любое решение.

Таким образом, у нас остались лишь одна компонента средней скорости 〃 (в х-направлении), лишь одна компонента магнитного поля В (в z-направлении) и лишь одна компонента разности скоростей V (в у-направлении). Если предположить, что разность скоростей дважды непрерывно дифференцируема, то из уравнения rot Е =——В/ и уравнения для разности импульсов следует, что выражение vx + e(m+ + /п_)В/(m+/n_) удовлетворяет такому же уравнению сохранения, что и п. В предположении о единственности решения отсюда получаем первый интеграл [1]

…^(歩I),…^(歩I),(1)(1)

…^(歩I),

…^(歩I),

(1)

(1)

⑵⑵(3)(3)⑷⑷暫 вместе с которым уравнения 々 + (〃％ = о,

⑵

⑵

(3)

(3)

⑷

⑷

IevB

щ иих =；,

一 * m+ + m-

Bx + “/w = 0

и составляют основную систему уравнений. Граничные условия впереди ударной волны имеют вид (для всех f)

〃一> —U, у —> 0, п п^, В fBg при х->оо

I с заданными константами &, Bg. При этом константа U > О [должна быть определена таким образом, чтобы допускалось :- решение, сколь угодно близко приближающееся к стационарному и стремящееся к состоянию равновесия с В ^ В^ при 专 х ->—оо.

Растяжение

Уравнения (1)——(4) представляют собой нелинейную систе- : му, состоящую из двух уравнений сохранения и двух дополни- ； тельных уравнений; эта система вполне типична для уравнений, изучаемых в математической физике. Поэтому любой метод ' нахождения их предельных решений, близких к стационарным,

при фиксированной малой амплитуде должен оказаться полезным также во многих других задачах. Излагаемый ниже метод основан на том выводе (см. разд. 3), что достаточную информацию о двойном пределе можно получить из множества однократных пределов Каплуна, в которых амплитуда решения и скорость его изменения во времени стремятся к нулю, будучи определенным образом связанными между собой.

Можно ожидать, что большинство таких пределов будет включать определенную степень сингулярности или вырождения решения, так что для их исследования необходимо привлечь преобразования растяжения. В соответствии с этим введем весьма общее преобразование к безразмерным (штрихованным) переменным:

и (к, f) = — U +“〃'(//; £), V (х, /) = 8U『(К 匕 е), и(X, /)=九8 + 乂九8九'(К У； С), 3(х, XA + BMG」；е).

/ = ? I 卩〃 一),、广 00 m+m— /

где 6, у, 0, x и p — безразмерные положительные параметры, зависящие только от е.

Поскольку новые зависимые переменные определены как возмущения состояния равновесия впереди ударной волны, условие малой амплитуды означает, что все параметры е, 0, х и р малы. Однако мы откажемся от обычного предположения о том, что все они равны е, или являются степенями е, или вообще заданы каким-то заранее определенным способом.

Даже при столь общем преобразовании растяжения возникают некоторые ограничения, прежде всего в отношении независимых переменных. Нет никаких оснований считать априори* что единственного масштаба длины //6 должно быть достаточно для характеристики всего ударного перехода. Одного масштаба достаточно для описания разрывов в классической газодина* мике, но, как мы увидим ниже, для ударных волн в плазме это не всегда так, и в общем случае учет дисперсии приводит к задачам с многими масштабами, что видно и из большинства дру~ гих глав этой книги. Полезно попытаться исследовать эти масштабы отдельно один за другим, причем для случая слабых ударных волн в плазме нам будет вполне достаточно трудностей, связанных и с одним масштабом. Поэтому ниже мы ограничимся рассмотрением головной части волны, включающей лишь ее

передний фронт и такую область за ним, которая характеризуется одним масштабом длины.

Это означает, что граничные условия на 《хвосте》волны, определяющие равновесное состояние плазмы позади переходного слоя, в нашем анализе не могут быть, вообще говоря, удовлетворены. Оказывается, однако, что возникающая при этом неединственность не будет служить препятствием для нахождения правильного результата для головной части волны.

С другой стороны, одно общее свойство масштаба длины 〃6 = L для головной части волны можно предсказать априори. Анализ линеаризованных уравнений (1)—(4) дает такое дисперсионное соотношение [9], из которого следует, что скорость волн растет с их длиной, поэтому фронт ударной волны формируют именно длинные волны по мере того, как с ростом времени он приближается к стационарному состоянию. Таким образом, можно предполагать, что пространственный масштаб головной части волны будет расти до значения, много большего, чем /, так что 6 также будет малым параметром* и это предположение позволяет нам уменьшить объем работы.

Нельзя ожидать, что поведение всего ударного перехода можно охватить одним временным масштабом, но наше внимание будет сосредоточено на описании головной части волны на последней, почти стационарной, стадии ее развития. Поэтому входящий в (6) масштаб Т = //(Uyb) следует считать наименьшим подходящим масштабом времени, характеризующим процесс на этой стадии. Вместе с тем естественной характеристикой обычной (ни большой, ни малой) нестационарности в физике служит масштаб времени, равный отношению L/U подходящих масштабов длины и скорости. Квазистационарность означает, следовательно, что T》L/U, иными словами, что у — также малый параметр.

Итак, приведенные выше рассуждения показывают, что

р, Y, 6, 0, х, w Qo = {р 三 Q【р f 0 при е f 0}=

={р е С (0, 1] I р > 0, р -> 0 при € — 0}・(7)

Это следует из постановки задачи для всех параметров, за исключением 6, для которого соотношение (7) отчасти является предположением, основанным на свойствах дисперсионного соотношения.

Заметим, что ограничение одним масштабом времени, во обще говоря, делает невозможной постановку обычной задачи с начальными условиями. Возникающая при этом определенная степень неединственности не является непреодолимым препятствием. Фактически начальные условия для ударных волн в бесстолкновительной плазме в условиях эксперимента обычно

не могут быть определены точно и, в сущности, выходят за рамки наблюдений. (Добавим, что экспериментаторы могут сделать аналогичные замечания относительно многих физических явлений.) Подходя к тому же вопросу с другой стороны, специалисты по прикладной математике склонны считать наиболее естественными начальными условиями при отыскании переходных решений системы (1) — (4) простые ступенчатые распределения величин ut V, п и В. Однако это, конечно, прямо противоположно естественному с точки зрения физики распределению и скорее должно рассматриваться как каноническое начальное условие, основанное на неявном предположении о том, что полученное из него решение характерно и для физически наблюдаемых решений (получающихся из каких-то реальных начальных условий, которые, вероятно, существенно отличаются от ступенчатой функции). Короче говоря, использование канонических (а не измеряемых) начальных условий означает если не утверждение, то предположение о том, что главные свойства решения при больших значениях времени, которые нас интересуют в первую очередь, не зависят от вида начальных условий. Во всяком случае, самое честное, что можно сделать, — это рассматривать вопрос о том, какие решения могут возникать, не связывая их с определенными начальными условиями; этот путь мы и выберем ниже.

Итак, время входит в данную задачу только через дифференциальные операторы в законах сохранения (2), (3) и единственный смысл введения большого масштаба времени Т — =//(Uy6) состоит в том, что появится малый параметр

т(9 —也

характеризующий производные по безразмерному времени в головной части волны на интересующем нас интервале времени. Таким образом, прямые асимптотики для больших значений времени заменены асимптотиками, соответствующими той стадии, на которой решение уже достаточно близко к стационарному. В некоторых отношениях результаты, полученные ниже, оказываются достаточно детальными для того, чтобы прояснить вопрос об истинных временных асимптотиках. Однако, во всяком случае, основная физическая цель нашего анализа связана с квазистационарностью (в ссылках на временные асимптотики в разд. 2 стандартная терминология используется только ради удобства).

Отказ от использования в явном виде начальных условий также увеличивает гибкость преобразования (6), так как начало отсчета времени £' можно выбрать уже на поздней стадии развития ударной волны, когда временной масштаб Т = 〃(外6) действительно станет уже наименьшим масштабом изменения

величин в головной части волны. Добавим, что проводимый далее анализ охватывает большие интервалы времени, а именно любой конечный интервал изменения переменной /' = t/T.

Наконец, как ясно из соображений размерности, скорость распространения U должна быть связана с альфвеновской скоростью (см. гл. I, п. 4г), равной

厶=% 5+ + ①-)

В действительности отношение U/VA по определению должно быть положительным (см. разд. 4) и ограниченным, так как плазма предполагается нерелятивистской, и если бы скорость U не стремилась к определенному пределу при е ->0, то предел бесконечно малой амплитуды следовало бы считать физически недопустимым. Таким образом, можно записать

U = VA^ - мА 1>九⑹ мС[0, I]. (8)

Масштабные условия

Приведенная выше довольно длинная интерпретация преобразования растяжения (6) не так уж далеко продвигает нас в нужном направлении. Однако, прежде чем идти дальше, необходимо обсудить цель нашего анализа более подробно. Это можно сделать, обратившись к известному методу внутренних и внешних разложений, или методу «растяжения и сшивания», использующему частный вид преобразования растяжения, кото рый затем обосновывается применением сшивания. К сожалению, в действительности такое обоснование редко возможно в нетривиальных задачах, так как оно потребовало бы сшивания во всех порядках приближения, вплоть до доказательства существования решения. В задачах, описываемых нелинейными дифференциальными уравнениями в частных производных, проблема сшивания оказывается слишком сложной даже в третьем порядке, и, следовательно, программа обоснования предложенного растяжения сшиванием обычно нереальна.

В связи с этим некоторый интерес представляют методы, в которых растяжение можно определить независимо от сшивания. Такие методы можно применять также к приближениям многих масштабов, использующим растяжение без сшивания. Они особенно интересны в случаях, подобных нашему, когда правдоподобное на первый взгляд преобразование растяжения, подсказываемое нашим предшествующим опытом, ведет к результатам, которые также выглядят правдоподобными, но на самом деле некорректны.

Основная цель этого раздела — изложить метод, с помощью которого преобразование растяжения для данной задачи можно определить однозначно, независимо。丁 условий сшивания. В та-

ком доказательстве единственности можно избежать некоторых серьезных препятствий, часто затрудняющих доказательство существования и асимптотического поведения решения, и в результате разработать полезный асимптотический метод, дополняющий метод «растяжения и сшивания» и приближение многих масштабов. Пересмотр большого числа предельных процессов, неявно присутствующий в таком доказательстве единственности, также согласуется с задачей определения предельного приближения в методе двойных асимптотик (см. разд. 3).

Осуществление такой цели требует использования гибкого преобразования растяжения, имеющего весьма общее значение, и это делает целесообразной тщательную проверку как общности преобразования (6), так и связанных с ним ограничений. Следующий вопрос, однако, касается принципов, на которых может быть основано единственное определение преобразования растяжения (6). Здесь мы предположим, что эти принципы выражают лишь немногим больше, чем то, что с некоторой точностью обозначают терминами «растяжение», «упорядочение» или «физическое преобразование масштаба».

Основная цель растяжения — дать «увеличительное» (или, наоборот, уменьшительное) стекло, выбранное как раз так, чтобы снять вырождение предела для решения данной физической задачи. Например, в случае ударных волн в плазме нет оснований ожидать, что размерное магнитное поле В (х, t) имеет какой-либо предел при е -^ 0. Однако в физике широко используется предположение, что — если строго не доказано обратное——можно найти такие единицы измерения (возможно, зависящие от е), что измеряемое в них возмущение магнитного поля 〃(％', У; е) имеет определенный предел.

В связи с этим понятно, что слово «предел» содержит здесь нечто большее, чем ограниченность величины Ь'(К?;е). Некоторая физическая величина, например магнитное поле, даже при конечной амплитуде может вырождаться в том смысле, что его частота неограниченно растет. Вот почему «увеличительное стекло» применяют к единицам времени и длины так же, как и к любым другим единицам физических величин. Короче говоря, идея состоит в том, что, хотя предел исходного магнитного поля В (х, /) может быть совершенно вырожденным, можно найти такие единицы, в которых пределом bf(x\ f; €) будет обычная достаточно гладкая функция.

Одним из способов формулировки этой идеи в случае плазмы является введение множества

г"=仔 н, f; е) SE С" (Е) I lim dhf^, У; е)/。%" дР~!=со

=dkf (V, i^ ^!дхч dt，k4 е С (Е) для 0&/&々&九｝,

где Е обозначает множество всех значений л/,，(в противоположность множеству всех х, /). Иными словами, эти функции имеют предел в СП(Е), и пределы их производных совпадают с производными пределов. Тогда первое из трех масштабных условий, которые нужно принять для определения преобразований растяжения (6), можно записать следующим образом:

〃‘，『，br лежат в Г2. (I)

Следует заметить, что условие (1) просто сводится к выбору нормы, в которой, как мы предположим, существует предел малой амплитуды. Это далеко не единственно возможный выбор. Однако преобразование растяжения — это аппарат, позволяющий уменьшить потребность в использовании слабых решений, поэтому естественно начать исследование физики явления в рамках строгих решений. Но попытка интерпретировать основные уравнения (1) — (4) буквально, а не символически автоматически определяет соответствующую норму: так как (1) — (4)一 система первого порядка, то строгое решение — это то же самое, что любое решение в Г1. В действительности при выводе уравнения (1) (см. разд. 4) использовалось допущение о вторых производных, а множество Г1 было заменено на Г2 в работе [5] ради экономии усилий, но пока без какого-либо указания на существенную потерю общности.

Более важно то обстоятельство, что Г2 в (I) не представляет собой по отношению к уравнениям (1)——(4) конкретный класс функций, соответствующий конкретной норме, а определяется выбором из большого множества преобразований растяжения (6). Мы не предполагаем, что основные уравнения (1) — (4) имеют строгое решение в любом пределе нулевой амплитуды. Условие (I) постулирует только, что имеется некоторый предел нулевой амплитуды, в котором вырождение решения системы (1)——(4) снимается с помощью некоторого преобразования растяжения. Это и есть основная предпосылка анализа, проводимого в данной главе.

Масштабное условие (I) можно назвать условием регулярности, так как оно гарантирует преобразование растяжения, достаточное для устранения любого вырождения предела в рамках уже обсуждавшихся ограничений на вид преобразований (б). Оно должно быть дополнено некоторым «условием нетри- виальности», позволяющим избежать чрезмерного растяжения. Например, сколь бы сингулярным ни становилось В (х, /) при €f 0, всегда возможно выбрать масштаб § ⑹ ％ в (6) столь большим, что b'f 0 вместе с w для всех л/, f. Такой выбор, очевидно, нам не нужен. Чтобы исключить его для задачи с

плазмой, следует потребовать, чтобы

К匕匕％(II)

(I %，I + I %，I + I %，I + I %，I) не были тривиальны.

Здесь понятие тривиальной функции ，(％',，；€) означает, что supv|f|-^0 при е-^0 на любом открытом ограниченном множестве R и Е.

Тот факт, что (II) содержит условия на производные, не является неожиданным, так как «перерастяжение» независимых переменных выражалось бы в потере всех вариаций зависимых переменных. Менее очевидно то, что в (II) не содержится никаких условий на производные по х, но фактически они включены в другие условия такого рода и в условие на границе (5). С другой стороны, в отсутствие явных начальных условий едва ли можно добиться единственности преобразования растяжения без каких-либо условий на производные по времени. Это уклончивое определение тривиальности предназначено для того, чтобы избежать неопределенностей, возникающих из любых независимых пределов, которые могут встретиться в дальнейшем. Например, основное граничное условие (5) в том виде, как оно записано, в высшей степени неоднозначно, так как оно содержит такой предел. Поскольку £ по определению — надлежащим образом выбранная пространственная переменная для головной части волны, преобразование (6) позволяет дать более ясную формулировку для (5):

f 0 при /f+ оо для всех *(9)

(однородно по е).

Хотя масштабные условия (I) и (II) дают в общем полную характеристику метода масштабного преобразования (растяжения), они не всегда достаточны, чтобы определить это преобразование, поскольку растяжение само по себе обычно ведет к потере каких-либо граничных условий. Когда граничное условие на хвосте ударной волны удается последовательно применить на масштабе L, так что головная часть волны фактически может охватывать весь ударный переход, граничные условия следует взять в виде

Ь'М，； 0)->&1 = const при хЛ-> — оо для всех £ (10)

Если, однако, такое граничное условие применять нельзя, то для единственности необходимо добавить к (I) и (II) условие, гарантирующее, что головная часть ударной волны является частью, и притом существенной, большего переходного процесса. Соответствующее условие имеет вид [5]

4/ (х7, *; 0) остается ограниченным при %7 -> — оо для всех，• (III)

Переходные процессы

Сразу возникает вопрос: почему этих скудных принципов должно быть достаточно для определения преобразования растяжения? Требуется, чтобы условия (1) — (4) и (I)——(III) единственным образом определяли шесть неизвестных параметров В(с)，Y(£), 6(€), 0(€),九(с) и х(€)как функции €. Оказывается, однако, что эта трудность несколько преувеличена. Мощность изучаемого множества — это мощность множества всех классов .эквивалентности порядка (разд. 2), возведенная в шестую степень, и было бы вполне достаточно свести это огромное множество к конечному числу преобразований растяжения, так чтобы их относительные преимущества можно было выяснить индивидуально. Чтобы доказать реальность такой задачи, следовало бы провести соответсгвующее*доказательство хотя бы в одном совершенно нетривиальном случае (и плазменная задача вполне подходит для этого), но объем любого такого анализа неизбежно выходит за рамки этой главы.

В качестве компромисса мы продемонстрируем особенности этого анализа на примере только одного из основных уравнений. Подставляя (6) в закон сохранения (2) и в дальнейшем везде опуская штрихи, так как далее будут рассматриваться только новые переменные, получаем

«х — (^-) «х = Y«f + « (пи)х. (11)

Правая часть этого уравнения тривиальна в силу (I), а также потому, что у, х е Йо = {р(€)三 QI р-> 0 при € -> 0}.

Ни пх, ни их в левой части не могут быть тривиальными, поскольку, как нетрудно проверить [5, 9], если функция из множества Г1 не тривиальна и удовлетворяет граничному условию (9), то она не может иметь тривиальной производной по 尤.Поэтому должна существовать точка (х, /), в которой их-^а #= 0 при ст0, и если е/х не стремится к какому-либо пределу, то и пх не имеет определенного предела в этой точке, что противоречит (I). Но если c/xf 0, то, согласно (11), пх должна быть тривиальной. Следовательно, отношение е/и должно стремиться к ненулевому пределу, т. е. ord и = ord е, а поскольку система (1) — (5) однородна, то без потери общности можно положить х(е) = €. К другим уравнениям можно подходить так же; при этом указанная схема рассуждений повторяется вплоть до появления «асимптотического расчета》. Систематическое изложение этого вопроса впервые было дано Олсоном [9J.

Эта процедура позволила бы определить все параметры, если бы число дифференциальных уравнений не было меньше, чем число неизвестных параметров. Фактически анализ распа-

дается на две стадии, первая из которых характеризуется определением параметров. Для нормальной поперечной ударной волны в плазме таким путем определяются все амплитудные параметры, в частности р(е) = е. Таким образом, возмущения средней скорости, плотности числа частиц и магнитного поля имеют один и тот же амплитудный масштаб.

Вторая, более трудная стадия требует также решения предельных дифференциальных уравнений. Здесь имеются четыре различных случая, охватывающих возможные соотношения между параметром амплитуды е и масштабом длины б-1. В первом из них

第—> 0 при £~>0.(12)

В этом случае, согласно [5], для масштаба времени имеем т = уд = д3,

а для возмущения магнитного поля

Ь(х,/)〜九,Ai(")加 。=(等 J"(13)

а

(фиг. IX. 5), где Ai ——функция Эйри. (Во всех случаях изменения плотности числа частиц п и средней скорости и имеют ту же форму, что и изменение магнитного поля.)

Второй случай

ord д2 = ord €(14)

означает [5], что ord у 0 ord е и отношение 九/е стремится к некоторому пределу, допустим k.

Следовательно, здесь возможны два варианта. Если

ord у = ord d2 = ord 3(15)

то из основных уравнений и масштабных условий следует, что выражение

2bt + (bxx+^-kb)x

тривиально.

Это означает не столько то, что основное уравнение сводится к виду

26/ + (^ + 4&2-^)х = 0(16)

в случае (15), сколько то, что это действительно дифференциальное уравнение, удовлетворяемое предельным решением [если в случае (15) существует какое-либо решение, удовлетворяющее (I)——(III)]. Получение предельных дифференциальных уравнений, реальных в таком смысле, как раз и было целью длинных рассуждений, приведенных в разд. 5 и 6. Уравнение (16) оказывается уравнением Кортевега — де Вриза (см. гл. IV и VIII).

Во втором варианте

ord у < ord М == ord £；(17)

можно найти, что выражение

bxx + ^b2-kb(18)

тривиально, откуда следует условие 々 > 0 н выражение для уединенной волны (см. гл. IV и VIII)

b ~ k sech2 (^ 庁仆).(19)

Это выражение соответствует результату Мортона [3] для стационарных ударных переходов в холодной плазме; оно удовлетворяет условиям, сформулированным в разд. 6, но, конечно, не описывает ударной волны, поскольку при х-^—оо плазма возвращается к первоначальному равновесному состоянию (9).

То, что л-^0, во всех этих случаях означает вместе с (8), что альфвеновское число U/VA для таких волн близко к единице; иными словами, это магнитозвуковые волны. Наконец, если параметр Урселла [10]

———>0 при(20)

то, как можно показать, Нт (九/с)=右 вновь существует, так что ord 丫 = ord & а выражение

2&/ + (3& — k) bx

тривиально. Следовательно, соответствующее предельное уравнение относится к гиперболическому типу (см. гл. III). Характеристиками, на которых b = const, являются на плоскости х, / прямые линии с наклоном 2(ЗЬ —々尸.Если &(х, /) убывает с ростом % при любом фиксированном /, то за конечный интервал времени две характеристики, несущие различные значения &, должны пересечься, что противоречит условию (I). Следовательно, случай (20) возможен, только если Ь, и и п — монотонные неубывающие функции координаты 尤 при любом фиксированном / (фиг. IX. 6), и это свойство сохраняется для всех последующих значений /.

В такой форме основные уравнения и масштабные условия были использованы в [5], чтобы совершенно строго свести всю группу преобразований (6) только к трем возможным преобразованиям. Фактически каждое из них является множеством классов эквивалентности порядка, точнее, множеством классов асимптотической эквивалентности в том смысле, что все его элементы приводят в первом приближении к одному и тому же решению.

Здесь следовало бы вспомнить, что принципы, обсуждавшиеся в разд. 6, не исчерпывают всех необходимых требований. Предельное приближение к двойному пределу малой амплитуды и почти стационарности при корректном с точки зрения физики порядке пределов требует (см. разд. 3), чтобы приближение Каплуна было справедливо для т(е) = уб на левом множестве 厶以 некоторой функции ц(е)е Q. В рассмотренном выше случае (12) ord г = ord 63 > ord ^\ что характеризует правое, а не левое множество и, следовательно, (13) не может быть предельным приближением в корректном смысле. При данной произ-

вольно малой амплитуде ударной волны выражение (13) может быть справедливо лишь при степенях нестационарности порядка, большего чем с%. Если же достигнутое состояние находится еще ближе к стационарному, то больше нельзя аппроксимировать решение выражением (13), которое, следовательно, описывает только асимптотический переходный процесс.

Фактически формула (13) имеет достаточно ясный вид, чтобы исключить приближение к стационарности в пределе £-> 8. С увеличением времени волна (13) расширяется по закону /%, и соотношение (12) становится несправедливым. Следует также заметить, что случай (12) и приближение (13) соответствуют результату, полученному классическим способом: сначала полагаем gf 0, а затем применяем асимптотику больших времен к задаче с начальными условиями.

В случае (15) ord т = ord(y6) = ord с%, что вновь не может представить любое левое множество. Следовательно, уравнение Кортевега — де Вриза (16) также может описывать лишь асимптотический переходный процесс, который должен уступить место другому приближению, когда стационарность достигается более близко, чем £%. в случае (17) ord т < ord еЧ так что получающееся приближение могло бы быть справедливым на левом множестве, однако, как уже отмечалось, оно не дает ударной волны. Представляется поэтому с помощью условия на левое множество, что полная единственность в конце концов установлена, так как остался единственный случай (20). Здесь ord т = =0〕(1(丫5) V ord с%, так что это приближение может быть справедливо на левом множестве.

Предельная форма волны

По ходу дела выясняется, что квазистационарность — более расплывчатое понятие, чем предполагалось вначале (см. разд. 5), и оно частично ускользнуло от нас. Решение, соответствующее случаю (20) предыдущего раздела, приближается к стационарному локально в головной части волны, так как оно расплывается с ростом времени, и таким образом все производные постепенно убывают. Следовательно, приближение к локальной стационарности опять соответствует прямой временной асимптотике, и расплывание показывает, почему условие (20) удовлетворяется все более строго с течением времени и, следовательно, дает предельное приближение. Однако здесь нет приближения к глобальной стационарности, так как волна расплывается с постоянной скоростью (поскольку характеристики являются прямыми) и соответственно нет тенденции к сохранению скорости изменения потока массы, или потока импульса, или потока •нергии через головную часть ударной волны.

Кроме того, парадокс Мортона (см. разд. 1) в действительности н@ решен, так как условие монотонности, неявно присутствующее в случае (20), ограничивает этот случай волнами с уменьшающимися магнитным давлением и плотностью числа частиц (фиг. IX. 6). Если не считать переходных решений, наш анализ не дает ударных волн, в которых эти физические переменные возрастают.

Поэтому необходимо допустить, что случаи (12), (14), (20), рассмотренные в разд. 7, в действительности не являются исчерпывающими. Остается еще та математическая возможность, что ни е/62, ни М/с не стремятся к какому-либо пределу (как отмечено в разд. 2, вообще говоря, параметры как функции е не обязаны быть взаимно упорядоченными). В работах [5,9] был изучен этот четвертый случай и доказано, что он не совместим с основными уравнениями и масштабными условиями. Эта проверка закрыла последнюю логическую лазейку, так и не разрешив парадокса.

Затем было предпринято повторное исследование случая (17) — единственной альтернативы случая (20), которая могла бы пр加естн к предельному приближению. Так как 々＞0, то в уединенной волне (19) должно хотя бы кратковременно возрастать магнитное давление и, поскольку это ——исключительное решение (18), возникает даже вопрос, является ли само утверждение (18) достаточно точным. Оно возникает при анализе уравнения

废" + ^川一劭匸炉尸， (21)

где правая часть такова, что F — гладкая функция (е Г1), которая стремится к нулю при %f 8 для всех f и имеет тривиальную производную %. Отсюда следует (см. разд. 7), что F сама должна быть равна нулю; это и приводит к (18).

Однако, прежде чем сделать этот вывод, мы можем проинтегрировать (21) и получить

应匸 у 一 川 + 2尸b — 2G 三 C (氏 X, /, e), (22)

где Gx = bFx и G(8, /) = 0, так что G, как и 尸，тривиальна (от положительной константы k в соотношении (18) можно избавиться линейной заменой переменных). Правая часть уравнения (22) представляет собой кубичный полином по Ь, коэффициенты которого 尸,G являются медленными функциями %, и действительное решение существует для всех %, только если этот кубичный полином имеет дискриминант А (户,G) == 0. На фиг. IX. 7 показана критическая кривая А = 0 на плоскости переменных 尸,6 [11]. Начальное равновесие (9) соответствует началу координат, из которого изображающая точка (尸，G) может откло-

Фиг. /X. 8. Почти периодический волновой цуг как один из возможных квази* стационарных переходов.Фиг. /X. 8. Почти периодический волновой цуг как один из возможных квази* стационарных переходов.

Фиг. /X. 8. Почти периодический волновой цуг как один из возможных квази* стационарных переходов.

Фиг. /X. 8. Почти периодический волновой цуг как один из возможных квази* стационарных переходов.

няться только на тривиальную величину при .любом х <С оо. Можно, однако, показать [5], что из масштабных условий следует А*0 для 尤 V 8. Поэтому в случае (17) точным результатом будет не соотношение (19), а тот факт, что масштабные условия допускают только решения, для которых изображающая точка (尸,G) отклоняется в область А < 0 (фиг. IX. 7) на тривиальную величину. Однако любая точка в области А V О, сколь бы она ни была близка к кривой уединенной волны А — О, соответствует периодическим решениям (22).

Поэтому в случае (17) любое решение должно в пределе приближаться к почти периодическому цугу волн (фиг. IX. 8), в котором магнитное давление растет. Первый гребень сколь угодно мало отличается от уединенной волны (19) шириной порядка L%, а последующие гребни очень похожей формы имеют

ширину порядка €~|/з log с (5). На расстояниях многих длин волн медленное изменение параметра F может привести к существенному изменению формы волны. Однако этот вопрос выходит за рамки анализа головной части волны.

Итак, в лучшем случае могут иметься одна слабая переходная волна, сколь угодно близко приближающаяся к локально стационарной, а именно монотонная волна, соответствующая случаю (20), причем в этой волне магнитное давление убывает, и не более чем одна такая волна, в которой магнитное давление растет, а именно только что описанная волна, начинающаяся с почти периодического цуга.

Аналогичный анализ для косых ударных волн был проведен Олсоном [9], причем для ударных волн, существенно отличающихся от нормальных поперечных, получаются существенно иные результаты.

ЛИТЕРАТУРА

Gardner С. S., Morikawa G. К, Courant Institute of Mathematical Sciences Report No. NYO-9082 (не опубликовано).

Similarity in the asymptotic behavior of collision-free hydromagnetic waves and water waves.

Meyer R. E., Journ. Fluid Meeh., 28, 20 (1967).

Note on the undular jump.

Morton K. W.t Joum. Fluid Meeh., 14, 369 (1962).

Large-amplitude compression waves in an adiabatic two-fluid model of a collision-free plasma.

Meyer R. E., Journ. Inst. Maths. Applies., 3, 245 (1967).

On the approximation of double limits by single limits and the Kaplun extention theorem.

Meyer R. E, Journ. Math. Phys., 8, 1676 (1967).

Near-steady transition waves of a collisionless plasma.

Kaplun S・，Fluid mechanics and singular perturbations, Academic Press, New York, 1967.

Kaplun S., Lagerstrom P. A., Journ. Math. Meeh., 6, 585 (1957).

Asymptotic expansion of Navier-Stokes solutions for small Reynolds number.

亂 Freund D. D, Proc. Amer. Math. Soc., 35, 464 (1972).

A note on Kaplun limits and double asymptotics.

Olson L. M., Phys. Fluids, 15, 1070 (1972).

New steady oblique shock waves in a collisionless plasma.

Ursell F., Proc. Cambr. Phil. Soc., 49, 685 (1953).

The long-wave paradox in the theory of gravity waves.

Benjamin Г. B., Lighthill M. /., Proc. Roy. Soc., A224, 448 (1954).

On cnoidal waves and bores.

Tidman D. 4, Kroll H. 4, Shock waves in collisionless plasma% New York — London — Sidney — Toronto, 1971.

ГЛАВА X

Волновые движенияв слоистых жидкостях{)

0〃 Чиа-шун

I Если плотность несжимаемой жидкости в состоянии покоя убывает с высотой или если в сжимаемом газе с высотой возра- ” стает энтропия, то при вертикальном смещении частицы жидко- ' сти от исходного положения в поле тяжести на нее будет дей- 丈 ствовать возвращающая сила, благодаря которой в таких слоистых (стратифицированных) средах возможно волновое движение.

Волны могут вызываться не только колеблющимся источником или препятствием, помещенным в течение, но могут также возникать в результате тех или иных неустойчивостей. В данной главе описаны волкы в покоящейся слоистой несжимаемой жидкости, волны, создаваемые препятствием в слоистом потоке, а также волны, обусловленные неустойчивостью таких течений.

Волны малой амплитуды

Если %, у н z — декартовы координаты, причем z — направление вертикали, то в рассматриваемом случае средняя (в отсутствие волн) плотность р слоистой покоящейся жидкости зависит только от 2. Среднее давление р связано с р уравнением гидростатики

& = -g"⑴

где g — ускорение силы тяжести. Поскольку трехмерные волны бесконечно малой амплитуды могут быть получены суперпозицией двух двумерных волн, нам достаточно рассмотреть двумерное движение.

Обозначая через 〃 н 侬 компоненты скорости в направлениях х и г соответственно, запишем линеаризованные уравнения движения

网=一匹⑵

и

0 吗=—% — gP‘，⑶

Работа no составлению этой главы, а также часть исследований, легших в ее основу, финансировались Службой морских исследований посредством субсидии, переданной Мичиганскому университету.

где f — время, // и pz ~ возмущения давления и плотности соответственно. В уравнении (3) члены, содержащие 炉 н 0, исчезают после подстановки (1). Уравнение непрерывности имеет

вид

Pf + (p% +(ps)z = o,(4)

где

Р = О + Р‘

—полная плотность. Условие несжимаемости дает

где

Dд . д . д

Из соотношений

(4) и (5) получаем уравнение

ux + wz = 0,⑹

которое представляет собой более простую форму уравнения непрерывности. Так как р—функция только г, уравнение (5) можно записать в форме

р； + аур^ = О

(если пренебречь квадратичными относительно возмущений членами). Уравнения (2), (3), (6) и (7) и являются исходными в линейной теории волн малой амплитуды в слоистой несжимаемой жидкости.

Уравнение (6) позволяет использовать вместо и и w функцию тока 也 полагая

〃 =5 也.(8)

Изучая волновые движения, мы предположим, что функция 屮 пропорциональна ①厶 где (о ——«круговая частота» волны.

Исключая // и р，из (2), (3) и (7) и используя (8), получим

(®20 + gfpz) "У" + ю2 ^ (р -1г) = 0»⑼

где

Очевидно, что в данной точке уравнение (9) будет эллиптическим или гиперболическим в зависимости от того, какое неравенство справедливо,

со > —-^- или <о- <—号(10)

Если

歩＞g(-£Lc， ⑴)

то уравнение (9) является эллиптическим и волновое движение невозможно. Квадратный корень из правой части формулы (11) называется частотой Брента — Вяйсяля. Если тело колеблется в слоистой жидкости с частотой, большей, чем частота Брента — Вяйсяля, то оно не создает волн в жидкости, которая колеблется вместе с телом почти так же, как однородная жидкость без свободной поверхности. Если же выполняется второе из неравенств (10), то уравнение (9) обладает в данной точке двумя действительными характеристиками и волновое движение возможно. Конечно, в одних областях жидкости может выполняться первое неравенство (10), а в остальных — второе. В таком случае уравнение (9) принадлежит к смешанному типу, и решить его в общем виде сложно. (См. [1] и более недавнюю работу [2], где обсуждается этот вопрос.)

/а. Дифференциальное уравнение для нормальных мод

Для Двумерных волн, распространяющихся в направлении %, можно искать решение в виде

■ф = f (z)exp{/“一 с/)}.(12)

Здесь с — фазовая скорость, k — волновое число, определяемое формулой

2 л

а 九一длина волны.

Уравнения (8) и (12) дают

и = У (а)ехр [ik(x — ct)],(13)

w = — ikf (г) exp [ik (x — ct) ],(14)

где Г(^) = df/dz. Очевидно, что следует использовать действительные части выражений (13) и (14). Из уравнения (7) ясно, что р‘ имеет тот же экспоненциальный множитель, что и -ф, следовательно,

/ср'= 5 舍.(15)

Из уравнений (13)——(15) можно получить uf w и р‘, зная /(г). Чтобы получить уравнение для Д можно подставить (13) и (15) в (2) и (3) и исключить // или (что приводит к тому же) под-

ставить (12) в (9). В результате имеем

Ш +(16)

или

(/)'一兴g+鵠"н0,(⑺

где штрих обозначает дифференцирование по г.

/6. Граничные условия

Пусть глубина жидкости равна d. Если нижняя и верхняя границы — жесткие плоскости, то на них скорость w должна равняться нулю и граничные условия таковы:

f(0) = 0, f(d) = O・(18)

Если при некотором значении г плотность р изменяется скачком от ру до рц WDl, то условие на поверхности разрыва можно получить, интегрируя (1б) в окрестности разрыва в смысле интеграла Стильтьеса (т. е. допуская бесконечные значения подынтегрального выражения). Анализ уравнения (16) показывает, что 0f‘ терпит скачок вместе с 01 поскольку функция f непрерывна. Таким образом, интегрирование в окрестности разрыва (от No — € до 々工G где 备一точка скачка плотности) дает граничное условие “

(рГ)и — (pDz +崇(Pz — Р«) f = °-(19)

Заметим, что хотя функция f непрерывна в точке 2 = 20, ее производная У может таковой не быть (и действительно, ? терпит скачок). На свободной поверхности (если она имеется) ри = 0. Таким образом, если нижняя граница представляет собой жесткую плоскость, а поверхность жидкости свободна, то граничные условия имеют вид

% = 0, X(d) = *f(d)(20)

[второе из них следует из (19)].

Из (17) снова можно видеть роль неравенства (11). Чтобы выполнялось неравенство (11), функция р не должна иметь разрывов, в частности жидкость не должна иметь свободной поверхности. При этом граничные условия принимают вид (18). Умножая (17) на Д интегрируя и используя там, где это необходимо, условия (18), получаем равенство

-{pf，2dz-kz{(p+K-}f2dz = 0,

J °J V CO" / '$

00

которое никак не может выполняться, если 必》0 н справедливо (11). Следовательно, волновое движение невозможно, если его частота превышает частоту Брента ——Вяйсяля, в чем мы уже убедились, рассматривая тип уравнения (9).

/8. Доказательство того,что ш2 ——действительное число

Независимо от того, положительна ли функция 卩‘ или отрицательна, либо частично положительна, а частично отрицательна, разрывна ли плотность р или нет,(о2 представляет собой действительное число 】).Чтобы это доказать, заметим, что подстановка (12) в (9) дает

①2[(讨)一层訪一依gFf = O. (21)

Заметим прежде всего, что частота (о не может быть равна нулю, ибо в противном случае, согласно (21), f = 0, так как 0’ не равно тождественно нулю. Только после деления (21) на (о2 мы получали (17). Для доказательства того, что (о2 — действительное число, нам удобнее воспользоваться (21).

Чтобы показать, чго (о2 — действительное число в случае непрерывной плотности, умножим (21) на функцию f*, комплексно сопряженную Д и проинтегрируем, пользуясь там, где это необходимо, условиями (18); тогда получим

ооo)2J[piri2 + ^plfl2]^ + ^J J|f『dz = O. (22)

о

о

о

Из уравнения (22) следует, что(о2 — действительное число, даже если рл меняет знак на интервале 0 0 а & d. Если верхняя граница свободна, то из левой части (22) вычитается выражение p(d)(o2-||f|2 = p(d)奴 g|f 产.

Ясно, что если плотность терпит скачок (включая свободную поверхность, если она имеется), то, используя <19) [или (20) в случае свободной поверхности], необходимо лишь вычислять последний интеграл в (22) в смысле Стильтьеса. Другими словами, если имеется ^ слоев, в каждом из которых плотность меняется непрерывно, то нужно лишь заменить последний интеграл в (22) суммой

】)При действительном й2,——Прим, ред.

в которой интегрирование совершается по ^ слоям, исключая разрывы; Др ——скачок средней плотности р, а индекс п относится к м-му разрыву. Величина М равна Nt если имеется свободная граница, и N—1, если такой границы нет. Рассуждая точно так же, как и в отсутствие скачков плотности, мы приходим к выводу, что(о2 — действительное число.

Независимо от того, имеются ли скачки плотности или нет, если плотность везде убывает с ростом z (н 0% > р„ на каждом скачке, если они имеются), то(о2 > 0, как можно видеть из выражения (22), в котором при наличии скачков плотности последний интеграл берется в смысле Стильтьеса. Если плотность всюду возрастает с высотой и pu р? на всех разрывах, то из (22) следует, что (о2 V 0. Отрицательность (о2 означает, что имеются два мнимых значения(о, одно из которых дает экспоненциально нарастающую функцию времени ехр(—而f), так что жидкость неустойчива. Если р возрастает с высотой в некоторой области жидкости и убывает вне ее, то значение(о2 может быть как положительным, так и отрицательным.

1г. Существование собственных значений

В отсутствие внутренних скачков плотности теория Штурма—Лиувилля, обобщенная Бохером [3], гарантирует существование собственных значений (о2 независимо от того, свободна или нет верхняя поверхность. Действительно, следующая теорема Штурма не только устанавливает это существование, но также дает важную информацию о собственных функциях (см. [3], стр. 66, 67).

Теорема Штурма — Бохера. Рассмотрим систему 含(KX) — Gf = O, a'f (〃) 一 а『(а) = 0, ^f(b) + ^(b) = Q9

в которой К——всегда положительная величина, причем К и G — функции z и параметра Z, которые не возрастают при увеличении 九 от А] до Л2 > Ль а а, «Л р и pz —функции Z. Если р = 0 или р =/= 0, но к(Ь)В'/б ——убывающая функция Z и если к тому же

「/max G-

iimrII =亠 oo

'max К 丿 ‘一

И

/ min G \Нт», =

то система имеет бесконечное число собственных значений Хо, Хь ..., расположенных между А】и Л2 в порядке возрастания

величины. Каждая из собственных функций Д), Л, ..., являющаяся решением системы для 九=笈，九卜...,имеет на интервале a <Z z <Z b число нулей, точно равное соответствующему индексу.

Заметим, что система, состоящая из уравнений (16) и (18) или (20), или из (17) и (18) или (20), удовлетворяет всем условиям системы Штурма — Лиувилля, указанным в этой теореме, если в качестве 九 принять с-2 или w2. Отметим также, что для граничных условий (18) число нулей на интервале OW^Wd для 九=九„ равно п + 2. (Здесь а = 0, b = d.) Если же граничные условия имеют вид (20), то число нулей на 0 W z W d для X = Хп равно n + 1- Если производная 0’ всюду отрицательна, то, как легко можно проверить, при 九=с— для уравнения (16) Л2 — +°° (с? = +0), а Л1 = —оо (с2 = —0). Аналогично при 九=от-? в уравнении (17) Л2 = +°° (①？=+。)，a Ai = —оа (со2 = ■—0). Так как мы знаем, что при всюду отрицательной производной р величины с? и(о2 действительны и положительны и для любых 胪 значение(о2 (а также с?) ограничено, то все собственные значения 九 лежат между некоторым положительным числом и 十8, т. е. собственные значения(о2 или с? находятся между нулем и некоторой конечной положительной верхней границей.

Если производная р7 отрицательна всюду, где плотность р непрерывна, и на всех скачках плотности ри <；卩厶 то, как можно показать (см. [4], стр. 48—52), собственные значения с2 (или ю2) существуют. Та часть теоремы Штурма — Бохера, которая связывает индексы собственных значений с нулями собственных функций, остается справедливой, даже если р имеет разрывы Это можно показать следующим способом. Пусть сначала верхняя граница фиксирована. При X = 0 (или с2 = оо) функция f(z) возрастает с z, если f'(0)>0, как это видно из (16) или (17). Следовательно, f(d) #= 0. [Если f'(0)V0, то f(z) убывает с ростом z и мы имеем тот же результат.] Так как с? = оо, это справедливо независимо от того, имеются или нет скачки средней плотности р, что сразу видно из граничного условия (19). При увеличении 九(или уменьшении с2) f(d) обратится в нуль, когда будет достигнуто первое собственное значение М) (для фиксированной верхней границы). Известно, что это значение Хо существует (см. [4], стр. 48). При прохождении последующих собственных значений 九卜九2, • •. число внутренних нулей каждый раз возрастает на единицу. В противном случае существуют две возможности:

нули могут появляться и исчезать внутри интервала;

прохождение значения %т (для любого целого т) не увеличивает числа внутренних нулей на единицу.

Если бы осуществилась первая возможность, то, поскольку положения нулей ——непрерывные функции 九 для данных р и 々2,

существовала бы стадия, на которой два (или более) нуля сливались в некоторой точке 之=2а. Но двойной нуль для f(z) при 2 = ze означал бы, что f(z) тождественно равна нулю всюду, и поэтому первый случай не может иметь места. Если бы был возможен второй случай, то f(d) имела бы двойной нуль при 九=X1n [иначе f(dj меняла бы знак при переходе через 九团],а двойные собственные значения невозможны. Для свободной верхней границы можно показать, что『(d)/f(d) убывает от положительного значения до —оо при увеличении 九 от нуля в сторону Хо (первого собственного значения 九 в случае фиксированной верхней поверхности), так что при некотором значении 九 V 九о выполняется условие на свободной поверхности (20). Аналогично если 九冗-i означает n-е собственное значение 九 для случая фиксированной верхней границы, то при изменении 厶 от 九冗一1 до 九冗 величина『(d)/f(d) убывает от +оо до ——оо, так что условие (20) выполняется для некоторого 入，лежащего между Zn_i и 九％ Кроме того, поскольку нули собственной функции не могут ни появляться, ни исчезать внутри интервала [0, d) и каждый раз при прохождении Хт число внутренних нулей возрастает на единицу, то часть теоремы Штурма — Бохера, относящаяся к индексам собственных значений и внутренним нулям собственных функций, остается справедлива и тогда, когда имеются внутренние скачки средней плотности р, включая свободную поверхность.

Очевидно, что если производная 0’ везде положительна и pz < pu на каждом скачке плотности (если они имеются), то существование собственных значений с2 (всегда отрицательных) и соотношение между индексом собственного значения и внут- ренными нулями собственной функции, установленное теоремой Штурма — Бохера, следуют немедленно из этой теоремы и рас- суждений предыдущего пункта, если просто положить 九=——^一4 Каждому собственному значению с2 при постоянном k2 соответствует, конечно, собственное значение ①?； следовательно, нет необходимости обсуждать вопрос о существовании собственных значений со2 отдельно.

Если производная р7 положительна в некоторой части жидкости и отрицательна в остальной, то, пользуясь теоремами сравнения Штурма, излагаемыми в следующем пункте, можно показать, что существуют две бесконечные последовательности собственных значений с2, положительная и отрицательная, причем обе имеют предельную точку в нуле, и для каждой последовательности функция fn (л = 0, 1, ...), соответствующая ^п, имеет ровно п внутренних нулей. Эта ситуация не меняется и тогда, когда имеются такие скачки плотности, что для одних из них Рг<Ри, а для других pu > рР

1д. Изменение(о2 и с2 при изменении 依

Как и в случае однородной жидкости, при распространении гравитационных волн в слоистой жидкости имеет место дисперсия, т. е. скорость таких волн является функцией А. Что это должно быть так, можно видеть из уравнения (16) или (17) и из граничных условий. Не вдаваясь в детальные расчеты, которые невозможны, пока не конкретизирована средняя плотность р, можно показать, что с? всегда убывает при возрастании 々4 Для этого нам потребуется теорема сравнения Штурма.

Рассмотрим две системы (см. [2], стр. 58—63):

(К山)'一GJ】=0, f(a) = %, 『(q) = 4

(心；y 一g2% = 0, f (a) = a2, у(a) п a；

где Ki, К2, G и G2 — функции 2 (а также, возможно, и некоторого параметра), причем

Ki》К? >0, G]》G?・

Предполагается, что

1%| + |а；|*0,同 + | 叫*0,

и что ни в какой части интервала [а, Ь] не справедливы ни равенства Ki = К2 и G] = 62, ни равенства G] = 0 — G* Кроме того, предполагается, что если ai =# 0, то «2 =# 0 и

%⑷а；%⑷а；>>勺（а） а；勺（а） а；а2а2

%⑷а；

%⑷а；

>

>

勺（а） а；

勺（а） а；

а2

а2

Если ai — 0, дополнительные предположения не нужны. При этих условиях справедливы следующие теоремы сравнения Штурма:

Первая теорема сравнения Штурма. Если 厶 имеет некоторое число нулей в интервале а V 2 W 石，то % имеет по меньшей мере столько же нулей, причем, если 力，z2, 23,….一нули f1 в порядке возрастания, а ",芍,名,...—то же самое для %，то

”4

для всех значений 厶 соответствующих нулям функций 厶 и %•

Вторая теорема сравнения Штурма. Если в дополнение к сделанным выше предположениям считать, что f\(b)^=Ot，2(bj=#0, То—

% (b)f； (b)к?(ь)% ®

/1 ①)/2 (6)

при условии, что fi и『2 имеют одинаковое число нулей в интервале а V %《瓦

Теперь мы в состоянии видеть, как меняются с2 или о)2 с изменением 々2 Прежде всего рассмотрим устойчивую слоистую жидкость без внутренних скачков плотности. Если верхняя граница фиксирована, то из первой теоремы сравнения Штурма можно заключить, что для той же моды, т. е. для фиксированного числа нулей собственной функции в интервале 0 V z W d, с2 убывает с возрастанием А2. Действительно, если 勿 > 左5 и с；》^2> то

G.三解0 + 驾一 > 传0 + 骂-三G2,

и если при z — d находится n-й нуль fb то здесь не может быть 几-ro нуля %, который должен быть раеположен в z V d. Следовательно, либо ,2 не исчезает при z = d, нарушая тем самым граничное условие, либо % имеет по крайней мере на один нуль больше, чем fi в интервале 0 V z W d. Следовательно, если 汽; > 々^, мы должны иметь с； < М・ Этот результат установлен впервые Гроэном [5].

Если верхняя граница свободна, то применение второй теоремы сравнения Штурма приводит к такому же результату (см. [4], стр. 32, 33).

Если имеются разрывы плотности, но плотность нигде не возрастает (непрерывно или скачком) с ростом z, то такой же результат получается повторными применениями теорем сравнения Штурма. Однако этот метод громоздок и неудобен для изложения. Поэтому мы дадим новое, более изящное доказательство теоремы о том, что с2 убывает с ростом 灰 В частности, таким образом можно показать, что(о2 возрастает вместе с fe2. Рассмотрим (16) совместно с (18) и (19) или с (19) и (20). Пусть величина k2 увеличилась на d^2, а с2~ на 2产，и пусть соответствующее изменение / есть е. Тогда е удовлетворяет уравнению

(灰，)，一 (师 + 需)ё =(%)讨一罟(© f. (23)

Граничным условием для е будет € = 0 на жесткой границе и

—на свободной. Аналогично можно получить условия для с на поверхностях внутренних разрывов плотности. Умножим теперь (16) на & а (23)—на 力 проинтегрируем (последовательно в каждом слое, если имеются разрывы плотности) от нуля до d и воспользуемся граничными условиями для f и е.

Полученная таким образом разность двух уравнении (с последним интегралом, понимаемым в смысле Стильтьеса, если есть скачки плотности) имеет вид

dd+

0 = 3e)\讨" 一里部\ г产dz.(24)

Поскольку первый интеграл в (24) положителен, а второй отрицателен, то из (24) следует, что

靄 V 0.(25)

Заметим, что поскольку неравенство (25) получено для таких возмущений с2 и 々｛ которые не меняют моды, оно имеет место только для данной моды. В этом заключается простота подхода.

Можно также показать, что для одной и той же моды

Для этого необходимо лишь заменить价，)，一公g +需A=(^)(0 +Для этого необходимо лишь заменить价，)，一公g +需A=(^)(0 +6)36)37),<7),<(toa m(toa mанан

Для этого необходимо лишь заменить

价，)，一公g +需A=(^)(0 +

Для этого необходимо лишь заменить

价，)，一公g +需A=(^)(0 +

6)3

6)3

7),<

7),<

(toa m

(toa m

ан

ан

и заметить, что из умножения (17) на f и интегрирования следует

,（0 + 需）产"" <6

После этого повторением предыдущих рассуждений получаем (26).

Если выбрать 々 н с положительными, то частота з также положительна, а (26) и (25) можно заменить на

窮 < °，(27)

Так как d^dk — это групповая скорость С, неравенство (28) показывает, что она имеет то же направление, что и с, а из (27)

следуетследует「d3d (现)「d3d (现)7+b不7+b不< c.< c.

следует

следует

「d3d (现)

「d3d (现)

7+b不

7+b不

< c.

< c.

Для гравитационных волн в однородной жидкости неравенство С < с означает отсутствие волн, распространяющихся вверх по течению от препятствия, помещенного в однородное по

скорости течение или движущегося в покоящейся слоистой жидкости.

Мы рассмотрели лишь распространение нормальных мод в направлении %. Исследование вопроса о направлении групповой скорости при двумерном распространении волн в плоскости х, г (а не только в направлении х) приводит к некоторым неожиданным и любопытным результатам [2, 6].

Волны конечной амплитуды

Вначале мы рассмотрим двумерные гравитационные волны, которые обусловлены препятствием, помещенным в установившееся течение слоистой жидкости. Уравнения движения для установившегося двумерного течения имеют вид

р (儿厶 + wu^ =—厶，(29)

р(и^х + 觎恥)=-Р z — gp,(30)

где р — плотность, а р — давление; остальные обозначения те же, что и в разд. 1. Ввиду условия несжимаемости

«Рх + wpz = o(31)

уравнение непрерывности имеет вид (6). Если обозначить [7]

(г/,喲=“^ (ы,⑪)，

где ро — некоторая постоянная плотность, то с учетом (31) уравнения (29), (30) и (6) можно записать в виде

Ро ("械 + и")=-厶，(32)

Po(a'5； + 5‘5；) = -Pz-gP，(33)

〃〔+ 吗=6(34)

Уравнения (32) и (33) проще, чем (29) и (30), поскольку ро ——константа, тогда как в левых частях (29) и (30) стоит переменная р. Поэтому мы будем использовать (32) — (34).

Уравнение (34) позволяет ввести функцию тока 屮/ по формулам

必==屮* oyz = - 4>^j

тогда ^-компонента завихренности данного течения (с компонентами скорости и! и “)равна

М н % — ％ ■ W 必

где V2 ——двумерный лапласиан. Уравнения (32) и (33) можно записать в виде

叩霓=口 + 卽("'；山"1，(35)

РоП'屯=[р + Р“""^ "” ] + gp・(36)

Умножая (35) на дх, а (36) на dz и складывая, получаем

pQ^ d^ = d [р + ^±^\ + gpdz = dH- gz dp, (37) где

H = p+ Pg戶 2)+gpz

——функция Бернулли, которая не меняется вдоль линии тока и поэтому, как и р, является функцией только 屮'.Таким °6ра~ зом, уравнение (37) можно переписать в виде [7]

V屮+署备j(38)

Это уравнение имеет более простую форму, чем соответствующее уравнение для 屮[функции тока истинного течения, связанного с и и w соотношениями (8)]:

V储氧牛) + gI(3), (39) полученное впервые Дюбрей-Жакотен [8] и затем независимо- Лонгом [9]. Мы будем пользоваться уравнением (38) вместо (39) ввиду его простоты.

Здесь уместно отметить, что аналогичные уравнения, описывающие стационарные трехмерные возмущения конечной амплитуды в слоистой жидкости, также известны [10], но весьма трудны для решения.

2a. Воаны за. препятствием 8 слоистом^течении

Если задано распределение плотности и скорости вверх по течению, то величины р n Н в уравнении (38) можно выразить как функции я|/. В результате уравнение (38), вообще говоря, нелинейно. Однако нетрудно получить линейные формы (38), потребовав линейности d^d^ и h(^f) по г|/. Это, конечно, налагает определенные ограничения на условия в области далеко вверх по течению, при которых это справедливо. К счастью, соответствующие классы условий достаточно реалистичны, мно- 1гочисленны и пригодны для аппроксимации истинных условий

；далеко вверх но течению. Мы ограничимся обсуждением волн.

создаваемых препятствием в слоистом течении, для которого уравнение (38) имеет особенно простую линейную форму. Заметим, что такая линейная форма (38) не связана с линеаризацией и не требует поэтому, чтобы возмущения были малы.

Рассмотрим течение в области —оо ^ х ^ +°о, 0&zWd с граничными условиями

必=U'= const, р = pg ——也；б z при 尤-> —op. (40)

Если воспользоваться безразмерными переменными

屮屮Ufd 'Ufd 'то при xf——оо имеем屮=小 V24r = 0,то при xf——оо имеем屮=小 V24r = 0,dp _ Pi — Po7^ — 0ddp _ Pi — Po7^ — 0dи функция Л(ф7) должна быть пропорциональна 屮/ или 屮，т. е. (38) принимает види функция Л(ф7) должна быть пропорциональна 屮/ или 屮，т. е. (38) принимает вид屮8& +屮鹏一尸^ = 一尸2屮,屮8& +屮鹏一尸^ = 一尸2屮,(41)(41)гдегде尸==卫3E = g Po — Pi尸==卫3E = g Po — Pi

屮

屮

Ufd '

Ufd '

то при xf——оо имеем

屮=小 V24r = 0,

то при xf——оо имеем

屮=小 V24r = 0,

dp _ Pi — Po7^ — 0d

dp _ Pi — Po7^ — 0d

и функция Л(ф7) должна быть пропорциональна 屮/ или 屮，т. е. (38) принимает вид

и функция Л(ф7) должна быть пропорциональна 屮/ или 屮，т. е. (38) принимает вид

屮8& +屮鹏一尸^ = 一尸2屮,

屮8& +屮鹏一尸^ = 一尸2屮,

(41)

(41)

где

где

尸==卫3E = g Po — Pi

尸==卫3E = g Po — Pi

Если в течении имеется барьер, который вносит возмущение, и если число Фруда F достаточно мало, то за барьером будут существовать волны. Чтобы учесть влияние барьера, воспользуемся описанным ниже методом сингулярностей.

Пусть прямая х = 0 является особой для уравнения (41). Его решение для х < 0 обозначим через Y-, а решение для х > 0 ——через 4r十.Будем искать эти решения отдельно, а затем сошьем 4r— и 4r+ в х = 0, принимая во внимание особенности. Результирующее решение и описывает течение за барьером, создаваемым линией особенностей. Как мы увидим ниже, можно рассмотреть и несколько таких линий.

Принимая во внимание экспериментально наблюдаемое отсутствие волн вверх по течению от барьера (которое можно объяснить в случае бесконечно малых волн, но здесь оно будет предполагаться), имеем [11]

屮L =外 + £ Апеа^ sin зи) для ^ < 0,

屮+ => n + Е (% cos а蓝 + С" sin。為 sin mn +(42)

+ Z D^11^ sin mn для & > 0.

ЛИЧ

где

ап = I 储 л?—尸一1 ",(43)

а ^ определяется неравенствами

^V < F~- < (^ + 1)V.(44)

Заметим, что каждый член в (42) является решением уравнения (41), член п соответствует невозмущенному течению и решение для 4r一 не содержит волн. Число волновых компонент определяется соотношениями (44), а соответствующие длины волн находятся из (43).

Можно потребовать, чтобы

Т- = Ф+ при | = 0,(45)

-^1浜一 = 〃п) при В = о,(46)

где

，(П)= О для 1 >n > Q，

и f (п) определенным образом задана для nW。. Уравнение (45) означает, что на линии | = 0 нет ни источников, ни стоков, а (46) означает, что при g = 0, n W & имеется вихревой слой. Из условия (45) следует, что Ап = Dn для 〃>" и Вп = 0 для

п ^ У, а из (39) — чтоп ^ У, а из (39) — чтоап (Лп + Z)n) = 2(!]) sin плг| dr| для п> N

п ^ У, а из (39) — что

п ^ У, а из (39) — что

о

(47)(47)апСп = — 2 j f (т]) sin пят] dr] для n^^. о

(47)

(47)

Таким образом, если только задана функция f(r)), то известны все коэффициенты в (42). Уравнение (47) особенно важно, так как оно устанавливает, что коэффициенты Сп, которые являются амплитудами соответствующих компонент волн з^ препятствием, зависят только от первых ^ коэффициентов Фурье функции f(n) и не зависят от остальных. Они, так сказать, не зависят от всех деталей функции f(n) и, следовательно, от всех деталей барьера. Кроме того, выражение (42) для 4r+ показывает, что имеется N волновых компонент, поскольку Вп = 0. На фиг. X. 1 представлена картина течения при 尸=3/4л за барьером, созданным следующим распределением особенностей:

f (n) = — 10sin5mi для 0《nW 0,2,f(n) =。для 0,2Vn《L

Здесь имеется только одна волновая компонента за барьером.

Фиг. X. 1. Картина волн за барьером в слоистом течении. Одна волновая компонента.Фиг. X. 1. Картина волн за барьером в слоистом течении. Одна волновая компонента.Вместо (45) и (46) мы можем потребовать выполнения

Фиг. X. 1. Картина волн за барьером в слоистом течении. Одна волновая компонента.

Фиг. X. 1. Картина волн за барьером в слоистом течении. Одна волновая компонента.

условийусловийии0屮一一0屮+0屮一一0屮+при | = 0.при | = 0.^- — Ф+ = f (т|) при Е = 0

условий

условий

и

и

0屮一一0屮+

0屮一一0屮+

при | = 0.

при | = 0.

Линия особенностей здесь представляет собой некоторое распределение источников и стоков. Для барьеров, ограниченных замкнутым контуром, интеграл от f(r)) в пределах от нуля до 〃 должен быть равен нулю. Тогда коэффициенты в (42) даются выражениями

An= — Dn

ДЛЯ

п> N,

以=0

для

n《N,

1

4 —。“ = 2 y (n) sin win dn 0

ДЛЯ

л > ^,

1

8" = — 2 \ f(T))sinnnr] dn

ДЛЯ

n《M

о

Мы можем рассмотреть особенности при значениях Е，отличных от нуля, независимо от того, используется ли распределение вихрей, распределение источников一стоков или и то и другое. Для барьера, ограниченного замкнутым контуром, сумма интегралов по линии источников—стоков должна быть равна нулю. Решения уравнения (41) даны также в работах Лонга [9], Дрезина и Мура [12] и Майлса [13, 14]. Обсуждение этих работ в связи с влиянием барьера на течение перед ним и явлением за-

пирания можно найти в обзоре йи [6]. Здесь мы заметим только, что хотя влияние на область вверх по течению всегда имеет место, решение (41) при некоторых условиях в этой области не обязательно является бессмысленным, поскольку эти условия можно рассматривать как следствие помещения барьера в поток, первоначально отличный от того, который получается в результате. Однако решения для высоких барьеров при малых числах Фруда, дающие очень сложную картину течения с областями замкнутых линий тока, могут быть нереальными из-за возможного в этих случаях запирания, приводящего к изменениям условий вверх по течению по сравнению с теми, которые предполагались при решении.

В заключение этого раздела заметим, что известны и другие классы волн конечной амплитуды в слоистых жидкостях.

Лонг [15] исследовал уединенные волны в несжимаемой жидкости с экспоненциальным распределением плотности, а Бенджамен [16] — уединенные и кноидальные волны в слоистой несжимаемой жидкости. В этих работах амплитуда движения в вертикальном направлении считается такой же, как в периодических волнах большой длины, и преобразование растяжения (или, вернее, сжатия) горизонтальной координаты (в направлении распространения волны) дает уравнение, которое определяет форму волны после того, как динамические уравнения удовлетворяются в требуемом порядке приближения.

Известен класс решений, соответствующий теории мелкой воды для гравитационных волн в слоистой жидкости [17]. Кроме того, было показано, что решение Герстнера для волн конечной амплитуды, которое, согласно работе [18], остается справедливым для слоистой жидкости, описывает также волны за препятствием в слоистой жидкости [19].

Устойчивость

Поскольку волны могут генерироваться в результате неустойчивости слоистого течения, уместно обсудить вопрос об устойчивости последнего. Мы ограничимся здесь обсуждением результатов общего характера.

Так как вопрос об устойчивости или неустойчивости трехмерных возмущений в слоистой жидкости может быть решен с помощью рассмотрения двумерных возмущений в течении с некоторой преобразованной средней скоростью [20], мы рассмотрим только двумерные возмущения.

Для удобства будем далее везде использовать для вертикальной координаты обозначение у вместо 2, а для вертикальной компоненты скорости и вместо w. Если средняя скорость в х-направлении, обозначаемая U, есть непрерывная функция

у, а компоненты возмущений скорости в направлениях возрастания 尤 н у соответственно обозначаются через и, v и р — по- прежнему средняя плотность, то линеаризованные уравнения движения принимают вид

p(ut + Uux + U,v) = -px,(48)

p(vt + Uvx) = — py — gp,(49)

где р ——возмущение давления, р ——возмущение плотности, а штрих обозначает дифференцирование по у. Уравнение непрерывности

以+0产0

вновь позволяет воспользоваться функцией тока 屮，так что

〃=屮中 ? = - 也.(50)

Линеаризованное условие несжимаемости принимает вид

Pf + Up% + 咐=0.(51)

Если п ——вертикальное отклонение линии постоянной плотности от среднего положения, то кинематическое уравнение для этой линии имеет вид

S + и% = и = — 5・(52)

Предполагается, что возмущения всех величин имеют множитель exp {ik(x — с£)}, который полностью описывает их зависимость от х и Л Тогда (52) и (50) дают

屮=—(U — с)г], 〃 = — [(U — c}t^v = ik (U — с)%(53)

а из (48) и (51) получаем

p = 0(U —с)%', P= —О®(54)

Если 尸(у)——амплитуда ”，т. е.

п(х, У, /)=^(у)ехр {/ (х —以)},

то подстановка (53) и (54) в (49) дает

俗(U - с)2 尸 Г + p[₽g-兴(U 一 c)2]尸=0,(55)

где

峥Т>о.

Уравнение (55) и граничные условия составляют систему, позволяющую исследовать устойчивость. Собственное значение с может быть комплексным. Пусть с = Сг + iCi，Если G > 0, то течение неустойчиво. Легко проверить, что (независимо от того, свободна верхняя граница или нет, и независимо от суш.ествова- пия внутренних скачков плотности) граничные условия, как и

уравнение (55), не содержат явно мнимого числа 厶 Следовательно, если с ——собственное значение, то и комплексно сопряженное с* — тоже собственное значение. Следовательно, если с — комплексная величина, то имеется собственное значение с с положительным q и течение неустойчиво.

Вместо того чтобы пользоваться уравнением (55) для ”, можно получить уравнение для 屮，полагая

^~f(y) exp {ik (х — ct)}(56)

и пользуясь соотношениями (50), (48) и (49). Исключая р из (48) и (49), получаем

(0疗+ [曾一殊-禺■;f = 0 •(57)

Можно, конечно, использовать (56) и первое из уравнений (53), откуда следует

f(y) = -(U-c)尸(力

Подставив это в (55), снова получим (57).

Если верхняя граница фиксирована, то граничные условия для F(y) и i(y) соответственно принимают вид

尸(0) = 0 =尸(d),f(O) = O = f(d).

За. Теорема Майлса

Майлс [21] доказал теорему, что если

Яр > 4 и，2 или /(а)三需 >；(59)

всюду в течении, то оно устойчиво, т. е. q = 0. Величина, обозначенная здесь /, называется числом Ричардсона. Следующее изящное доказательство теоремы Майлса дал Хауард [22].

Записывая

W = U-c и G =吸尸，

преобразуем (55) к виду

(pWGy - [у (OU) + 必卩呼 + 限"(Ju” - g。)] G у 0. (60)

Если обе границы фиксированы, то

G (0) — 0 = G (d).

ю Зак 547

Умножая (60) на G*, интегрируя и используя граничные условия, Хауард получил равенство

d

口口呼(丨 G' |z + 俨 IG 产)+ J (pU')‘ IG F + 0

+0(； u〃 一 gв)阁]dy = 0.(61)

Если Ct 干 0, мнимая часть этого равенства имеет вид dd

卜(10r+硝6|2)弘+K(碇一4夕)阁九=0, 00

откуда очевидна справедливость теоремы Майлса. Кроме того, пользуясь неравенством | UZ |_ < с『？，Хауард получил из предыдущего уравнения следующий результат:

dd

紋，01G?dg V^max ()[/〃一如),0|<3f心/, 0i0

ИЛИ

左力? < max (； [Л? — g0)(62)

если 對* 0. Неравенство (62) дает верхнюю границу для с；. Из него также вытекает теорема Майлса.

Теорема Хауарда о полукруге

Пользуясь (58) и (55), Хауард [22] показал также, что если q 千 0, то

[分—у (а + &)] + с： V } (Ь — ар,(63)

где а——минимум, a & — максимум U. Это и есть теорема Хауарда о полукруге, которая устанавливает, что если Cf > 0, то значение с в верхней полуплоскости комплексной плоскости ° должно лежать внутри полукруга с диаметром, равным U.

Заметим, что если средняя плотность р терпит скачки, включая и скачок на верхней границе, когда она свободна, то теоремы Майлса и Хауарда остаются справедливыми при условии, что U остается непрерывной. Все, что требуется при этом сделать, — это рассматривать pz и [0(U — с)?尸['как обобщенные функции, а интегралы в (61) и других уравнениях — как интегралы в смысле Стильтьеса.

Достаточные условия устойчивости

В безразмерных переменных

f =由'e=為9=%炉= ^", £ = /, а= kd,

где V ——некоторая эталонная скорость, р° — эталонная плотность, можно записать уравнение (57) в виде (опуская крышки у переменных)

(讨')'+ (Sr - а2Р - (с 竺U)2)f = °，(64)

где штрихи обозначают дифференцирование по безразмерной переменной 协 а ^ = gd]V2. Условимся, что р — непрерывная функция, а верхняя граница фиксирована. Следовательно, граничные условия таковы:

f(O) = O = f ⑴.(65)

Система, состоящая из [64] и [65], приводит к (комплексному) секулярному уравнению

А (а, М с) = 0.(66)

Когда G = 0, а с「исключена из двух действительных уравнений, из которых состоит (66), имеем уравнение

尸2 a仞=0,

которое определяет кривую нейтральной (безразличной) устойчивости. Возможно, однако, что с ——действительная величина для всех значений а н М, и в этом случае на плоскости (a, N) вообще нет кривой нейтральной устойчивости или границы устойчивости.

В этом пункте мы предположим, что р и U ——непрерывные и аналитические функции, и всюду 0’V 0. Прежде всего отметим, что для данных р, Una, согласно теореме Майлса, течение устойчиво при достаточно больших М так как всегда можно найти такое ^, чтобы выполнялось (59). Если для некоторого значения N течение неустойчиво, то с увеличением N будет достигнуто значение ^, для которого с^ обращается в нуль. При таком ^ величина с (или с「) должна лежать внутри полукруга диаметром U, так как она достигается через неустойчивые состояния Сг, которые должны лежать внутри полукруга диаметром U, согласно теореме Хауарда о полукруге. Тогда на границе устойчивости (где с впервые становится действительной величиной) уравнение (57) имеет особенность, и мы назовем соответствующую моду особой нейтральной модой (ОНМ). Проведен-

Ю*

ное здесь рассуждение показывает, что течение не может быть неустойчивым, если нет особых нейтральных мод. Поэтому для того, чтобы найти достаточные условия устойчивости, достаточно найти условия, при которых не существуют ОНМ.

Предположим, что U——монотонная функция у. Майлс [21] показал, что особые нейтральные моды невозможны, если число Ричардсона /(у) везде больше чем %. В его доказательстве фактически установлено, что ОНМ с /(%)>% при у = %, где U = с, невозможна. Можно показать [23], что ОНМ с /(%)== % также невозможна. В этом случае два корня уравнения (57), которое имеет «регулярную» особенность при у = ус, равны, и для построения доказательства в таком особом случае необходимо лишь использовать решения, одно из которых содержит члены с множителем In® — %)• Если это последнее решение имеется, скачок напряжения Рейнольдса делает невозможной особую нейтральную моду. Если же оно отсутствует, то пригодно прежнее доказательство для / (у,) V 】/製 Мы не будем приводить деталей этого доказательства, а вместо этого разберем подробнее случай J("J V Ча-

Для этого случая Майлс [21] привел решения (64) в виде

f士匂)=匂一土，(67)

где

⑫士 = 1十4匂一%)/(1 士 U)x=(l-4/c)'/\

Jc = J (办

4 = [(1+/)端工一华+Y(1叫']",

Майлс показал также, что при /с V !Л решением для ОНМ, если оно существует, должно быть либо f+，либо f_. Мы можем проиллюстрировать наш ход рассуждений, показав невозможность решения f+. Доказательство невозможности f_ проводится аналогично.

Прежде всего отметим, что для ОНМ, которая является границей устойчивости, значение с (или &), будучи пределом при с^т 0, не может совпадать с а или &, поскольку это верно для сколь угодно малого ненулевого с» в силу того, что (63)— строгое неравенство (никогда не обращающееся в равенство). Следовательно, для нахождения достаточных условий устойчивости требуется лишь установить невозможность ОНМ при О V Ус V 1, где для ус исключены предельные значения 0 и 1. Для выполнения граничных условий требуется, чтобы w± обращались в нуль

при у = 0 н ун 1. Возможность или невозможность ОНА1 зависит от нулей функции w+, которую для краткости будем обозначать w. Это приводит нас к рассмотрению уравнения для з, которое можно получить из (64) и (67):

俗炉丫侬')'+ Z2Y [—Jcpz~2 + YP'zT + ^^7 — a2P —広竺讲]如=0,(68)

где

z^y — ye, №(1 +«)/2, а

(一赤^卅(69)

с безразмерными теперь р и С/.

Определим функцию Q формулой

и предположим, что U'、(0U')，и (1п0)〃 положительны. Так как р‘ V 0, a U' н (pU')‘ положительны, то U" > 0. Таким образом, (—р7р) больше, чем Ucz для 2 > 0. С другой стороны, (—07# меньше, чем (—pz/p)c для 2 > 0, поскольку (In p)z, > 0.Таким образом, Q V 0 в любой точке, лежащей выше, чем ур > ус, если Q V 0 для у = у卩.Но для малых 2 имеем

Q = ¥" ｛部п/-阻(70)

т. е. функция Q отрицательна для малых положительных 2； следовательно, Q и, тем более, скобка в (68) отрицательны в области выше ус. Интегрируя (68) от ус до 1, получаем

1

(71)(71)(02：2丫5a/)[ — ^ 22Y (pWz2Y + Gw2) dyt

(71)

(71)

Ус

где —G обозначает скобку в (69), так что G>0 в интервале интегрирования. Уравнение (71) ясно показывает, что &у(1) не может обращаться в нуль. Заметим, что интеграл в (71) сходится, несмотря на простой полюс функции G в точке z = 0 (один из полюсов функции Q), как можно видеть из (70). Следовательно, мы имеем [23] следующую теорему:

Теорема 1. Если р и U—непрерывные и аналитические функции, причем 0’ 之 0, U' > 0 н (0U')‘ > 0, (In 0)" > 0 всюду, то особые нейтральные моды невозможны и течение устойчиво.

Аналогично можно доказать следующую теорему:

Теорема 2. Если р и U — непрерывные и аналитические функции, причем р V 0,屮 V 0 и U〃 V 0, (In。)" V 0 всюду, то особые нейтральные моды невозможны и течение устойчиво.

Чтобы доказать теорему 2, необходимо только определить z как ус ——у и проинтегрировать уравнение для ш, соответствующее (68), от нуля до ус.

Теоремы 1 и 2 составляют естественное обобщение известной теоремы Рэлея для однородной жидкости.

Осталось заметить, что исследование нормальных мод может быть не адекватно исследованию устойчивости. Однако еще никто не нашел случаев неустойчивости, не описываемой в рамках нормальных мод, за исключением очевидного случая неустойчивости горизонтального течения, когда р возрастает с высотой.

Зг. Достаточные условия неустойчивости

Пусть В ——коэффициент при f в уравнении (64), m — минимум, а М — максимум функции 占俗 в интервале (勿,吸)причем OV^iVy2VL Для удобства изложения мы сформулируем три условия, или предположения, часть из которых или все встретятся ниже.

р и U — непрерывные и аналитические функции, 0‘VO, и в любой точке, где 0’ обращается в нуль, также обращается В нуль U", н U = Uc = const;

、 (门九)2

m> ~где м — целое;

\У2 一 У\)

М & 7-——где п — целое.

Заметим, что если выполняется предположение《а》, то функция 0〃 должна обращаться в нуль там, где обращается в нуль 0‘, поскольку не может возрастать с ростом z из-за неравенства р‘& 0. Кроме того, в случае выполнения условия《а» уравнение (64) не имеет особенностей, если с = U& н можно применять теорию Штурма — Лиувилля. С помощью этой теории нетрудно получить следующие две теоремы [2]:

Теорема о. Если выполняются предположения 《а》и «6》, то имеется по крайней мере п мод, для которых с = Uc и а = а$ (i= 1, 2, ..., n), a q возрастают с номером i. Для ьй моды имеется по крайней мере п — i внутренних нулей собственной функции 厶

Теорема 4. Если выполняются предположения «а»,《6》и «в》, то имеется точно п мод с с «= UCf а п % (力=1, 2, ..., п) и с а», возрастающими с номером I. Для /-" моды имеется точно п — i внутренних нулей собственной функции.

С помощью аргументов, аналогичных использованным Лином [24], можно показать, что если немного отклонить а от любого из значений он, аг,...,。小 упомянутых в теоремах 3 н 4, то с становится комплексным. Тогда мы имеем следующую теорему:

Теорема 5. Вблизи нейтральных мод, предусмотренных теоремой 3, имеются смежные неустойчивые моды. Другими словами, если выполняются условия «а» и 《6», течение неустойчиво.

Между прочим, теоремы 3 и 4 объясняют, почему граница устойчивости на плоскости (а, ^) может быть многозначной по а при одном и том же значении ^, как это было найдено Майлсом [25].

Зд. Неособые моды

Остается исследовать волны с действительным значением с вне радиуса U, причем минимум и максимум с по-прежнему обозначаем через а н Ь. Заменим предположение «а》 следующим:

р и U — непрерывные и аналитические функции, У W О, и напомним, что m и М, определенные в п. Зг, зависят от с Так как для значений с, лежащих вне области изменения U, уравнение (64) не имеет особенностей, вновь можно применить теорию Штурма ——Лиувилля, что дает следующие две теоремы [23]:

Теорема 6. Если условия «г» и 《6》выполняются для с = а — €, то имеется по крайней мере 几 неособых мод с с — а — е, а = af (i = 1, 2,...,几)，причем а/ возрастают с индексом L У l-й моды имеется по крайней мере 几 ——i внутренних нулей функции £ Если к тому же справедливо условие «в》，то имеется точно п таких мод, i-я из которых имеет точно п ——i внутренних нулей функции f. Если величина (pUf)f отрицательна, то п может только возрастать с уменьшением произвольной константы с.

Теорема 7. Теорема 6 остается верной, если заменить с = а ——е на с = Ь + е, а слово «отрицательно» — на слово «по- ложптельно》i)・.

ЛИТЕРАТУРА

Qortler //., Z. angew. Math. Meeh. 23, 65 (1943).

Ober eine Schwingungserscheinung in Fliissigkeiten mit stabiler Dichte- schichtung.

Mowbray D. E, Rarity B. S., Journ. Fluid Meeh., 28, 1 (1967).

A theoretical and experimental investigation of the phase configuration of internal raves of small amplitude in a density stratified fluid.

BAcher M, Lecons sur les methodes de Sturm dans la t^orie des Equations diff6rentielles linearies et leur d^veloppements modernes. Gauthier — Villars. Paris. 1017.

*) Изложение этой теоремы в [23] содержит опечатку; слово «отрицательно» следует изменить на «положительно».

4 У"】 С.-S., Dynamics of Nonhomogeneous Fluids. Macmillan, New-York, 1965.

Groen A, Contribution to the theory of internal waves. Mededelingen en Verhandelingen Serie B. Deel II, No. II. Koniklijk Nederlands Meteorolo- gisch Instituut de Bilt. Nederland. 1948.

Yih С.-S., в книге: Annual Reviews of Fluid Mechanics 1.

Eds. Sears W. R. and M. Van Dyke Palo Alto-Annual Reviews. 1969. Siratifield flows...

Yih С.-S., в книге: Proceedings of Third U. S. National Congress of Applied Mechanics. 1958.

On the flow of stratified fluid.

Dubreil-Iacotin M. L Atti Accad. Lincei, Rend. Cl. Sci. Fis. Mat. Nat 21, 344 (1935).

Complement a une note anterieure sur les ondes de type permanent dans- les liquides heterogenes.

Long R. R, Tellus, 5, 42 (1953).

Some aspects of the flow of stratified fluids. I. A. theoretical investigation.

Yih С.-S., Journ. Fluid Meeh., 29, 539 (1967).

Equation governing steady three-dimensional large amplitude motion of a stratified fluid.

Yih С.-S., Journ. Fluid Meeh., 9, 161 (I960).

Exact solutions for steady two-dimensional flow of a stratified fluid.

Drazin P. G” Moore D. IF., Journ. Fluid Meeh., 28, 353 (1967).

Steady two-dimensional flow of fluid of variable density over an obstacle.

Miles 丄取•，Journ. Fiuid Meeh., 32, 549 (1968).

Lee waves in a stratified flow: Part 1. Thin barrier.

Miles 丄 既，Journ. Fluid Mec., 33, 803 (1968).

Lee waves in a stratified flow: Part 2. Semicircular obstacle.

Long R R., Tellus, 17, 46 (1965).

On the Boussinesq approximation and its role in the theory of internal w a e s.

Beniamin T. B., Journ. Fluid Meeh., 25, 241 (1966).

internal waves of finite amplitude and permanent form.

Yi!i CJourn. Fiuid Meeh., 36, 75 (1969).

A class of solutions for steady stratified flows.

Dubreil-Jacotin M. L., Atti Acad. Lincei Rend. Cl. Sci. Fis. Mat. Nat, 15, 814 (1932).,,,

Sur les ondes de tyoe permanent dans les liquides heterogenes.

Y访 US, Journ. Fluid Meeh, 24, 765 (1966).

Note on edge waves in a stratified fluid.

Yih С.-S., Quart. Apple. Math., 12, 434 (1955).

Stability of two-dimensional parallel flows for three-dimensional distur-

Miles 上 IF., Journ. Fluid Meeh., 10, 496 (1961).

On the stability of heterogenious shear flows.

Howard L. N.t Journ. Fluid Meeh., 10, 509 (1961).

Note on a paper of John W. Miles.

Yih С.-S., в книге Proceedings of the Eighth Symposium of Naval Hydrodynamics. Pasadena. 1970.

Stability of and waves in stratified flows.

Lin C.-C. The Theory of Hydrodynamic Stability Cambridge University Press. Cambridge. 1955.

23 Miles 丄弘 Journ. Fluid Meeh., 16, 209 (1963)

On the stability of heterogeneous shear flows. Part 2.

ГЛАВА XI

Инвариантные функционалынелинейных эволюционных уравнений 】)

Питер Д. Лэке

Начнем с краткого описания некоторых аспектов спектральной теории операторов в гильбертовом пространстве, используемых в разд. 1 этой главы.

Действительное гильбертово пространство, или пространство с внутренним произведением^ есть линейное пространство над множеством действительных чисел, в котором определено внутреннее произведение (厶 g) Для каждой пары векторов. Внутреннее произведение имеет следующие свойства:

линейность: (af + bg, h) = а(Д Л) + Ь (g> Л), где а, b — скаляры, g, Л — векторы;

симметрия:(力 g) = (g, f)；

положительность： для f * 0, (f, f) > 0.

Величина (f, f)%, обозначаемая через ||f||, называется нормой функции 厶 Действительная функция /(f), определенная на пространстве, называется линейным функционалом, если

l(af + bg)^al(f) + bl(g)r

Из свойства 1 следует, что

/(/) = (Л g)

является линейным функционалом от f для произвольно выбранной функции g. Мы предполагаем, что верно и обратное, т. е. что каждый непрерывный линейный функционал имеет такой вид. Это свойство гильбертова пространства называется полнотой.

Прототипами гильбертова пространства являются пространства функций, квадратично интегрируемых на некотором интервале. В этом случае скалярное произведение двух функций f и g определяется следующим образом:

(/, g)=\f(x)g(x)dx.

Эта глава является расширенным вариантом доклада с таким же названием, опубликованного в Proceedings of the International Conference on Functional Analysis and Related Topics, 1969. Разрешение иа публикацию дано Издательством Токийского университета.

Линейный оператор Л ——это такое отображение гильбертова пространства в себя, для которого выполняется соотношение

L 3 + bg) = aLf + bLg.

Важную роль в математической физике играют дифференциальные операторы, но они определены не для любой функции 力 а только для гладкой.

Оператор L* называется сопряженным к оператору L, если

(4, g)=(f, L*g)

для всех функций f и g, для которых определены эти операторы, и если L* нельзя расширить без нарушения этого свойства (это обозначение не нужно путать с комплексным сопряжением). Оператор называется самосопряженным, если сопряженный к нему оператор совпадает с ним, и антисамосопряженным ——если оператор ——L является сопряженным к L. Если U и U~l везде определены и сопряжены друг к другу, то оператор U называется унитарным. Эти классы операторов играют ведущую роль в математической физике.

Пусть U ——унитарный оператор, тогда для любого вектора

11 Ug II2 = (Ug, Ug) = (g, U*Ug) = (g, g) = II g ||2.

Таким образом, унитарные операторы сохраняют длину. Отображение g=U百 можно рассматривать просто как введение новых координат (представления) в гильбертовом пространстве. В этом новом представлении оператор L преобразуется к виду U—LU = Li，Заметим, что если оператор 丄 самосопряженный, то и L] также самосопряженный. Операторы 厶 н £】называются унитарно эквивалентными.

Спектром оператора L называется множество таких чисел 儿 для которых оператор L —九 является необратимым. Если действие L — Z на ненулевой вектор и дает нуль, то X называется собственным значением, а и ——собственным вектором. Совокупность всех собственных значений называется точечным спектром Li. Часто спектр и точечный спектр представляют именно ту информацию об операторе, которую больше всего стремятся получить. Во многих случаях они являются физически наблюдаемыми величинами.

В разд. 1 мы будем изучать классический оператор Шредингера

厶=С? + 〃；

здесь функция и называется потенциалом. Если функции, на которые действует L, определены на конечном интервале, то самосопряженность оператора L достигается с помощью граничных условий, накладываемых на оба конца. Классический

результат состоит в том, что оператор Л, действуя на конечном интервале на функции, удовлетворяющие граничным условиям, имеет полное множество собственных векторов 九；；здесь полнота означает, что векторы п$ могут быть использованы в качестве системы координат в гильбертовом пространстве.

Точечный спектр ｛九J полностью определяется потенциалом 卫,входящим в оператор Л. Известно, что обратное утверждение неверно, т. е. два оператора с совершенно различными потенциалами и и U] могут иметь один и тот же точечный спектр. В первой части разд. 1 мы исследуем класс всех потенциалов 〃卜 для которых Li имеет тот же спектр, что и заданный оператор Л второго порядка. Основным способом для отыскания таких операторов служит утверждение, что L н L】имеют один и тот же спектр тогда и только тогда, когда они унитарно эквивалентны. Мы также будем использовать операторы, зависящие от параметра 玄 которые можно дифференцировать по f. Производная такой операторной функции определяется так же, как и обычная производная, т. е. как предел отношения приращений. При этом применимы обычные правила дифференциального исчисления, в частности правило Лейбница о дифференцировании произведений.

Для иллюстрации такого вычисления операторных функций рассмотрим однопараметрическое семейство унитарных операторов U(f), дифференцируемых по 力 Унитарность означает, что

UU* = I,

где / ——единичный оператор. Дифференцируя по / и обозначая производные по t нижним индексом имеем

UtU* + UU* = Q.

Обозначая UtU* через В, воспользуемся далее следующими простейшими правилами:

([/*)*= U, т. е* сопряженность рефлексивна для всюду определенных операторов.•

(U±) =Uf, т. е. операции дифференцирования no f н сопряжения коммутативны.

3)(尸Q)*=Q*尸*, т. е. сопряженные от произведения операторов равны произведению сопряженных к ним операторов, взятых в обратном порядке.

Применяя эти правила к В = U±U*, получаем

В* = (〃U*)* = (U*)* (〃)* = UU：・

Так как U — унитарный оператор, находим

6 + 8』0,

т. е. оператор В——антисимметричный. Это соотношение будет использовано в разд. 1.

Как указывалось в разд. 3, операторное умножение не коммутативно: его результат зависит от порядка сомножителей в произведении, однако в дальнейшем будет показано, что к этому следует относиться скорее с удовлетворением, чем с тревогой; разность операторов PQ и QP называется коммутатором операторов Р и Q и обозначается специальным символом [Р, Q].

Во второй части разд. 1 мы изучим оператор Шредингера на всей действительной оси для потенциалов, которые стремятся к нулю при |х|->оо. В этом случае существует только конечное число собственных значений (возможно, и ни одного), и все они положительны. Любое отрицательное число —k2 принадлежит к спектру оператора, но соответствующие собственные функции, т. е. решения уравнения

“+必)屮=0,

не являются квадратично интегрируемыми, и поэтому они не принадлежат гильбертову пространству. Несмотря на указанный недостаток, эти собственные функции играют важную роль для изучения свойств оператора L, который используется в конце разд. 1.

Нелинейные уравнения,связанные с линейными операторами

Известно, что спектр оператора Штурма — Лиувилля

丄= + " 0=言)⑴

не определяет потенциала и единственным образом, т. е, для данного и существует много других потенциалов 〃‘，таких, что оператор Lf D2 ^- и! унитарно эквивалентен L.

Мы начнем с незначительной части этой задачи: найдем такие однопараметрические семейства потенциалов 〃(f), для которых все члены однопараметрического семейства операторов £(/)= 02+ 卫(/) унитарно эквивалентны. Это означает, что существует такое однопараметрическое семейство унитарных операторов U(f), что произведение

U* ("⑴ 〃(/)(2)

не зависит от А Здесь U* — оператор, сопряженный к U. Дифференцируя (2) по 力 получаем

и；厶。+ и* JU + WLUt = 0.(3)

Однопараметрическое семейство унитарных операторов удовлетворяет дифференциальному уравнению вида

Ut = BU,(4)

где В = В ⑴ ——антисамосопряженный оператор:

В* = — А(б)

Выполняя над (4) операцию сопряжения, получаем

и：=и*в*= — и*в.⑹

Подставляя (4) и (6) в (3), после умножения на U слева и на U* справа, находим

—BL + Lt + LB = G,

° 'L尸 BL-LB = \B, Л].(7)

В нашем случае, когда мы либо накладываем периодические граничные условия, либо имеем дело с функциями на всей оси х, для которых граничные условия не нужны, имеем

Lf == Up(8)

Итак, чтобы решить уравнение (7), мы должны отыскать такие антисимметричные операторы В, коммутатор которых с L [определенный согласно (7)] есть оператор умножения. Таким оператором является

B = BlD・

При периодических граничных условиях операторы D н D? коммутативны, так что

{&, L] = [D, u] r 力.

Уравнение (7) принимает вид

% =(9)

и мы заключаем из общего результата (7), что genu функции 辽 удовлетворяют (9), то вид унитарно эквивалентных £ операторов (1) не изменится. Это тривиальный результат, так как решения (9) имеют вид и =^ f[x ~\-1). Изменение потенциала, согласно (9), — просто трансляция, что при периодических граничных условиях, очевидно, приводит к эквивалентному оператору. Нетривиальный результат получается при

B} = D3 + bD + Db,

где Ь ——функция, которую нужно выбрать подходящим образом. Краткое вычисление дает

[^ь Q = 3"%0? + 3uxxD + иххх — 4bxD2 — ^bxxD — bxxx + 2Ьих»

Очевидно, выбор b в виде

обращает в нуль коэффициенты при D и £>?, так что [Bi, L] является оператором умножения. Из общей теоремы мы заключаем, что если и изменяется в соответствии с уравнением

[3

Щ =彳以山+ у 〃以，(1°)

то операторы L(f) унитарно эквивалентны.

Можно обобщить этот процесс и выбрать в качестве В любой оператор Bq вида

B^D^+^^b^+D^.

Заметим, что оператор Bq автоматически получается антисимметричным; это столь же автоматически делает симметричным оператор [Bg, L].

Оператор [Bg, L] при произвольных функциях 力一дифференциальный оператор степени 2g; требование, чтобы он имел нулевую степень, накладывает q условий» которые единственным образом определяют q функций % как результат действия на “ нелинейных дифференциальных операторов. Член нулевого порядка имеет вид Kq(u), где Кд —нелинейный оператор. Отсюда мы заключаем, что если и изменяется в соответствии с уравнением

仙= Кд(%(И)

то операторы 厶(f), задаваемые выражением (1), унитарно эквивалентны.

Описанная здесь процедура имеет весьма общее значение. Например, если мы заменим скалярный оператор (1) оператором в виде матрицы второго порядка, где потенциал и дается симметричной матрицей и X п, то мы можем получить матричный аналог уравнения (11). Обобщение другого рода получается, если мы выберем в качестве L оператор четвертого порядка

L = D4 + DuD + vt(12)

тогда, выбирая В в виде

B^D^ + bD + Dbпри.3

получаем [В, L] в виде оператора второго порядка

[В, L]^DpD + q9

где

q = Q(u, v) = D3v + -| D(uv) — --uD^u — -|-DuD% — -|-D5u.

Следовательно, наша общая теорема показывает, что если изменения 〃 н и подчиняются уравнениям

Щ = Р (и, и),5 = Q 也,и),

то операторы L(f), задаваемые формулой (12), являются унитарно эквивалентными.

До сих пор этот метод не распространялся на операторы L, содержащие большее число пространственных переменных.

Теперь мы вернемся к оператору 厶，задаваемому формулой (1)； его собственные значения 九汽 являются функционалами Хп [w] от потенциала и. Из того что унитарно эквивалентные операторы имеют одни и те же собственные значения, следует, что собственные значения (8)

統同(13)

являются инвариантными функционалами, так называемыми интегралами дифференциальных уравнений (11).

Для простейшего и наиболее важного из них уравнения (10) это обнаружили совершенно другим путем Гарднер, Грин, Крускал и Миура [1], о чем говорилось в гл. VIII.

Существует несколько причин, по которым мы заинтересованы в нахождении всех интегралов эволюционного уравнения. Во-первых, эти интегралы являются сохраняющимися величинами и, следовательно, могут иметь непосредственный физический смысл. Полная масса, момент импульса, угловой момент, энергия и заряд ——прекрасные примеры физически важных сохраняющихся величин.

Во-вторых, сохраняющиеся величины являются важным инструментом в руках математиков. Они позволяют получать априорные оценки, которые лежат в основании любой теоремы существования (за исключением тех случаев, когда решение может быть записано в явном виде). Например, теория существования решений для гиперболических уравнений может быть основана исключительно на законе сохранения энергии. Следовательно, целесообразно попытаться вывести априорные оценки и из других интегралов.

Здесь мы покажем на примере уравнения (10), что, зная величины интегралов (13), можно получить интересную информацию о поведении решения и при больших |f|. Используя простое преобразование масштабов для и и х, легко привести (10) к более знакомому виду:

ut + иих + иххх = О,(14)

полученному Кортевегом и де Вризом при описании поверхностных волн на воде (см. гл. IV). Известно, что это уравнение имеет решение в виде уединенной волны, т. е. и(х, /) = $(%——以), где s(—8)= s(8)= 0. Для каждой положительной скорости такая волна существует и единственна с точностью до произвольного сдвига по х. Пользуясь этим, мы положим, что х = 0 в точке симметрии функции s = s(x； с).

Забуский и Крускал [2] сделали замечательное открытие: все решения уравнения Кортевега ——де Вриза (КДВ), определенные на всей оси и обращающиеся в нуль при х = ± 8, содержат уединенные волны, т. е. каждому такому решению соответствует конечное число скоростей с】，...,с^, которые можно назвать собственными скоростями, для и, так что

lim/->±oou(x —с；/, t) = s(x — Bf> Ci\ /= 1, 2, ..., М (15)

Смысл (15) заключается в том, что для больших |/| в окрестности точки % = Cjt функция и ведет себя как уединенная волна, распространяющаяся со скоростью q и сдвинутая по х на咛.

Скорости с? являются функционалами решения, причем ясно, что Cj [и]——инвариантный функционал.

Гарднер, Грин, Крускал и Миура [1] показали, что эти инвариантные функционалы, по существу, совпадают с теми, которые были найдены выше (13):

4Х； [и] = с； [и].

Мы представим простое доказательство одной части этого утверждения [3], а именно: если с； удовлетворяют (15), то Aj = с,/4 являются собственными значениями оператора £>? + + 〃/6 [множитель обусловлен преобразованием масштаба в уравнении (10)].

Прежде всего покажем, что X[s(c)] = с/4. Это может быть сделано с помощью прямой проверки того факта, что равенство L{s]w = -^w

выполняется при 5 (%) = д/s (х; с). Предположим теперь, что имеет место (15), тогда для больших / имеем и(х)»

q s (尤 ——ct ——8; с) в достаточно большой окрестности точки х = ct. Следовательно, равенство

L [и (/)] 5 比"^5(16)

приближенно выполняется на этом интервале при

5 (х) = “s (% — с£ — 8; с) •

Вне этого интервала левая и правая части (16) малы и быстро стремятся к нулю. Следовательно,

И L [и (0] w--^w^<s(t) ^w II,(17)

где c(f)f 0 при f-> 8. Согласно спектральной теории, из (17) следует, что в спектре оператора L[u(t)] существует такая точка 九，что

卜一兄V ё (0-

Поскольку мы уже показали, что спектр оператора £[〃(/)] не зависит от /, отсюда следует, что с/4 содержится в спектре L и, будучи положительной величиной, является точкой дискретного спектра L.

В этом доказательстве мало использовались конкретные особенности уравнения (14). Другой ряд инвариантных функционалов для (14) может быть построен из бесконечного ряда законов сохранения, которые могут быть выведены из (14). Они описаны в работе Миуры и др. [4].

Та же замена переменных, которая переводит (10) в (14), а оператор (1) в

l =小 +费，(18)

превращает оператор В в

8= — 4£)з — uD—^- ux. *(19)

Данный вывод можно использовать, чтобы выяснить более приемлемым путем, чем в гл. VIII, как собственные функции оператора L(f) меняются в зависимости от t. Обозначим через % собственную функцию оператора L(0), т. е.

厶(0) % =入%-

Поскольку U вводится так, что выражение (2) не зависит от f, мы находим (предполагая U(0)= /), что для любого /

U*@LSUQ『L (0) % = А%・

Умножая на U(/) и вводя обозначение

§(t) = u (/) %,(20)

получаем соотношение

乙(/)>(/) = %>(/),

которое показывает, что собственные функции 力(f) оператора L«) связаны с собственными функциями оператора L(0) соотношением (20). Дифференцируя (20) по / и используя дифференциальное уравнение (4), которому удовлетворяет U(/), мы приходим к уравнению

% = В,.

В нашем случае, когда В определяется выражением (19), отсюда следует, что 力 удовлетворяет уравнению

外 + ^Фххх + 〃丸 + 4■以6 ==0・(21)

Теперь 力 удовлетворяет уравнению на собственные значения

Фхх + ^U中= М>・

Дифференцируя это уравнение по х, умножая на 4 и вычитая из(21), имеем

“ +(4九 + 扌〃)丸一4"以,=0,(22)

е. для 力 получается уравнение первого порядка.

На бесконечном интервале (——оо, оо) для функции 〃, которая достаточно быстро стремится к нулю при %->±оо, оператор 厶 задаваемый формулой (18), имеет конечное число положительных собственных значений и непрерывный спектр отрицательных действительных чисел. Каждой точке ——k2 из непрерывного спектра можно поставить в соответствие две неправильные собственные функции, каждая из которых является решением уравнения

九* + 4- «^ + ^2^ = 0.(23)

Мы уже видели, что правильные собственные функции 力 оператора L(f) удовлетворяют дифференциальному уравнению (22). Нетрудно показать и обратное.

Лемма 1. Пусть 力一решение уравнения

心 + (} 〃 — 4片丿 ％ —=(24)

которое при f = 0 удовлетворяет условию

[L(0) + 硝6(0) = 0.

Тогда，удовлетворяет уравнению

[L (Z) + fe2]<^(/) = 0 для всех t.

Доказательство. Определим % следующим образом:

%=“ + 依)е.

Тогда уравнение (24) можно переписать в виде

%一坤 一4以=0,(26)

где В определяется из (19). Вычислим теперь %ь С помощью (25) получаем

% = £# + L 也 + 々縛 f = Lg + £8, + 4LQ% + h'B 中 + 4fe2 Q%・

Используя тождество . (7), в соответствии с которым Lt = =BL — LB, после группировки членов получаем

注=В仏+胪)e + 4 (乙+胪)瓜=现+ 4亿+胪)£)%.

Это уравнение можно переписать в виде

(26)(26)左 + (扌 и — 4旣)Хх + 4 %% °-

(26)

(26)

Так как по предположению %(0) = 0, а решения (26) единственным образом определяются своими начальными значениями, то %«) = 6 для любого /, как и утверждается в лемме 1.

Известно, что если и достаточно быстро стремится к нулю при |х|-> оо, то решением (23) будет линейная комбинация е^х и e~ihx. Предположим, что мы нормировали функцию ，(0) так, что она образована плоской „волной единичной амплитуды, приходящей, скажем, слева и рассеянной потенциалом 〃(°):

，（%, 0,期公;，（%, 0,期公;j gifex + Re~泣* (Teikxj gifex + Re~泣* (TeikxДЛЯ %f.— 8, ДЛЯ %f +8.ДЛЯ %f.— 8, ДЛЯ %f +8.(27)(27)

，（%, 0,期公;

，（%, 0,期公;

j gifex + Re~泣* (Teikx

j gifex + Re~泣* (Teikx

ДЛЯ %f.— 8, ДЛЯ %f +8.

ДЛЯ %f.— 8, ДЛЯ %f +8.

(27)

(27)

Величина R = R(归)называется коэффициентом отражения, а Т = T(k)—коэффициентом прохождения.

Как меняется со временем асимптотическое поведение 力 при |х|-> оо? Для больших |х| можно записать

,(х,(f) eikx + В (0 e~ikx

и пренебречь и и их в (24). Тогда получим

(4 - 4分Л4)即尤 + (吕+ 4必出)e一做=0;

отсюда следует

A(t) = e4ikitt 5(/) = 0亠4历笃.A(t) = e4ikitt 5(/) = 0亠4历笃.

A(t) = e4ikitt 5(/) = 0亠4历笃.

A(t) = e4ikitt 5(/) = 0亠4历笃.

Учитывая начальные значения (27) для 力，мы заключаем^ что функция

•ф = е*-4 优 3f 力

при любом t представляет плоскую волну единичной амплитуды^ приходящую слева и рассеиваемую потенциалом 〃(/)/6,

X —> — 8, X f + ОО.X —> — 8, X f + ОО.

X —> — 8, X f + ОО.

X —> — 8, X f + ОО.

Это асимптотическое представление *ф показывает, что коэф- фициент прохождения для оператора L(f) не зависит от f, а коэффициент отражения R меняется с t экспоненциально：

R (財/)= R (財 0)е-8聞. (28)

Дальнейшие детали могут быть найдены в работе Лэкса [б]. Впервые этот результат был получен Гарднером и др. [1]. Анализ, проведенный в гл. VIII, показывает, что для решения начальной задачи уравнения Кортевега — де Вриза (14) можно использовать следующий метод, основанный на соотношении (28).

Задавая начальное значение 〃(％, 0), можно определить точечный спектр собственных значений, а также коэффициенты отражения и прохождения для оператора L(0). Используя предыдущие результаты, мы заключаем, что L(t) имеет те же точечные собственные значения, что и L(0), и его коэффициент отражения дается выражением (28). Используя для решения обратной задачи метод Гельфанда ——Левитана, мы можем восстановить потенциал 〃(匕 £)/6, входящий в оператор L(f).

Предположим, что 〃 подчиняется линейному эволюционному уравнению

以=Аи.

Пусть 力一собственная функция оператора Л* т. е.

A*d =%6

Тогда линейный функционал r(t) = [〃(/),*] экспоненциально зависит от 2:

г (/) — r(0)eXt.

Проведенный анализ дает семейство нелинейных функционалов R[〃], которые меняются экспоненциально по t> если и удовлетво^ ряет уравнению Кортевега — де Вриза.

Нелинейные гиперболические системызаконов сохранения

Закон сохранения — это уравнение вида

%+九=0.(29)

Здесь в качестве f мы выберем некоторую нелинейную функцию u;f = f(u). Обозначая

备=a(〃)，(30)

можно переписать (29) в виде

Ut + a(u)ux = 0t(31)

откуда видно, что значение и постоянно вдоль траекторий, которые соответствуют распространению со скоростью а. По этой же причине а называется скоростью сигнала. Заметим, что вследствие предположений о нелинейности функции 力 скорость сигнала зависит от и.

Мы будем рассматривать слабые решения уравнения (29), описанные в гл. III. Для ограниченных кусочно-непрерывных решений это уравнение может быть выражено в интегральной форме

\ 〃(％, /2)応=〈以(х,厶)dx— f [u (y, /)] dt. (32} —OO~ 8f I

Здесь мы предположим, что 〃(一8, f) = 0 и

f(0) = 0,(33〉

что всегда может быть достигнуто вычитанием некоторой константы из /. Физическая интерпретация уравнения (32) заключается в следующем： изменение «количества» 〃，содержащегося в промежутке (——8,у) на временном интервале (/], /2), обусловлено потоком через граничную точку у.

Для кусочно-непрерывного решения из (32) следует условие на скачке

s [〃]/ = [Л/>(34)

где [〃匕= % —— 〃「， [Л； = fi ——/V； нижние индексы / и г указывают, что значения взяты на левой и правой сторонах разрыва соответственно, a s обозначает скорость движения линии разрыва 尤=х(/), т. е.

Чтобы обеспечить единственность решения, мы налагаем энтропийное условие, которое для кусочно-непрерывных решений состоит в том, что возмущения, возникающие вблизи точки скачка, всегда достигают этой точки. Как показано в гл. III, это условие эквивалентно неравенствам

a(ui) > s > а ⑷•

Используя определение (30) для а и (34) для s, отсюда имеем&(吟>弋三黑>3⑷.

Для выпуклой функции / это соответствует требованию

uz < ur.(35)

Известно (см. гл. III), что для выпуклой / и начальных данных, ограниченных на компактном множестве, начальная задача должным образом ставится внутри класса решений, которые удовлетворяют энтропийному условию. Обратимся теперь к исследованию асимптотического поведения этих решений при f f ОО.

Начнем с конкретного примера. Возьмем простейшую нелинейную функцию

f(u) = cu + -^-u2,

которая выпукла при 々 > 0. В этом случае дифференциальное уравнение (81) принимает вид

% + (с + 砌以 + 0.(36)

Соотношение на скачке (34) записывается как

s = c + &-^^・(37)

Нетрудно проверить, что для всех значений параметров р и g > 0 функция V = и(尤，f; р, g), определяемая выражением длях < ct — л/pt t

咐,/)= {Х^-с) ДЛЯ Ct 一 Npt < X< cf + д/或， для ci + ^ qt < x,(38)

удовлетворяе1 дифференциальному уравнению (36) всюду, где функция V непрерывна и удовлетворяет условию (37) вдоль линий разрывов

X- = с/ — «pt и %+ =或 十 'qt.

Выражение (38) определяет《乂-волну》, описанную в гл. IV〉 разд. 2. Поскольку параметры р н q, как и fe, неотрицательны, энтропийное условие (35) удовлетворяется.

Роль двухпараметрического семейства решений и, задаваемого выражением (38), состоит в том, что каждое решение 〃 уравнения (29) с ограниченными начальными значениями ведет себя при достаточно больших t как v.

Теорема /. Предположим, что / — выпуклая функция. Каждому решению уравнения (29) с ограниченными интегрируемыми начальными значениями соответствуют такие две неотрицательные константы р н д, что

1g28m(f) 一。(/; p, g)%=0,

где норма является Lj-нормой по х.

Для уравнения (36) это было доказано Хопфом [6], а для случая любой ограниченной выпуклой / ——Лэксом [7]. Для произвольного выпуклого / постоянные с н k должны быть выбраны в виде

с = У(0), 1"(0)・

Легко проверить, что для фиксированного й

1呵今8 II и (/ + h\ p,q) — v (/) % = 0.

Это показывает, что параметры р и ^, входящие в асимптотическое выражение для и, являются инвариантными функционалами и. Перейдем теперь к их определению.

Заметим, что, как следует из закона сохранения (32), для решений е厶 которые стремятся к нулю при х = ±℃, величина

/0 (и) = \ и (х, /) dx(39)

является инвариантным функционалом. Из теоремы 1 следует, что

/о(〃) = /о[и(〃 加“

Краткое вычисление дает

/о® = ^Ё^， и, следовательно,

4 一p=恤(以).

Чтобы определить отдельно q н р, нам необходим другой инвариантный функционал. Один из таких функционалов задается следующей теоремой:

Теорема 2. Для выпуклой функции / выражение

(40)(40)Л [u] = mintf \ и(х, 0 dx

(40)

(40)

является инвариантным функционалом для решений (29). Доказательство этого факта было дано в [7]. Мы приведем здесь другой вывод, справедливый для кусочно-непрерывной функции, начальные значения которой заданы на ограниченном интервале. Обозначим через 布⑺ правую часть (40), а через y(t)—точку, в которой достигается минимум. Полагая в (32) у = y(ti) и у = y(t^) и пользуясь определением минимума Л1(£), мы получаем пару неравенств

府(切《m(/1) +卜(协)出

и

Mit^M(t^+\f^dt,

из которых вытекает

I后(厶)一京(厶)|《1/1一/2尸，(41)

где

尸=sup \f(yb Z) I, I f (уъ t) |.(42)

Здесь используются сокращенные обозначения f(y, f) вместо f [〃(у, f)L а также у\ = //匕)，後=y(t^.

Лемма 2. Точка y(f),f — это точка непрерывности функции и, причем

〃匂(/), /) = 0.(43)

Доказательство. Поскольку функция y(t)— минимизирующая,

〃！(从 D&O и %(弘 f)》0.

Если не выполняется равенство щ = ит = и = 0, то это противоречит энтропийному условию (35), как и предполагалось. Поскольку

\ 〃 (х, 0 dx

является непрерывной функцией у н 厶 не зависящей 0Tx н f при больших |х|, отсюда следует, что последовательность минимизирующих точек y(f), f при t《Т является компактной. Из этого результата и леммы 2 мы легко выводим следующее:

Заключение. Множество минимизирующих точек у (t), t при /&Г находится на конечном расстоянии d(e) от любого разрыва с амплитудой, большей е = |uz ——uj.

Возьмем теперь такие значения 介，友 W「, для которых |力一f21Vd(с), а изменения u меньше e на любом интервале длины d(c) на оси f, который не содержит скачка. Из этого следует, что изменение u(£t) и 辽例,f) на интервале (九 办) меньше 2е. Поскольку, согласно (43), 〃®/)= и(у^ ^а) = 0, то lu| < 2е на этих интервалах по f, и, так как вследствие (33) /(0) = 0, мы заключаем, учитывая непрерывность 厶 что Щ < < т|(е) на таких интервалах по t, где Т)(€)->0 вместе с е. Таким образом, из (42) и (41) получаем

1府(厶)一府仇)1<修一%1"

для достаточно малых | ^ ——/а|* Из этого следует, что производная М везде равна нулю, поэтому Л? = const, что и утверждалось в теореме 2.

Простые вычисления дают

/1(。) = —р/瓦

Следовательно, из теорем 1 и 2 вытекает, что для любого 〃 р——研(〃).

Заметим, что функционалы /0 и /1 непрерывны для топологии Ль Из теоремы 1 следует, что любой другой инвариантный функционал, непрерывный в топологии Ль является функцией /о и /ь

Обратимся теперь к системам законов сохранения

■!T% +言力=a »=1，2，…，几，(44)

где 厶——нелинейные функции от ub и2, ...» ип. Мы предполагаем, что система (44) принадлежит к гиперболическому типу, т. е. матрица

"=(* =器

имеет действительные и различные собственные значения для всех и. Эти собственные значения С)= c,(〃i, ..., ип) и являются скоростями сигналов, соответствующих системе (44).

Разумно предположить, что и здесь справедлив аналог теоремы 1, где V теперь дается сум мой п пилообразных функций

вида (38), по одной для каждой из и скоростей с；(0), / = 1,2,... ...,и. Подобная теорема может быть строго доказана для и = 2 и для решений, у которых начальные значения и являются достаточно малыми, чтобы можно было использовать методы, развитые Глиммом и Лэксом [8].

Из обобщения теоремы 1 для систем должно следовать, что величины pj и 夕力 появляющиеся в асимптотическом описании решения, представляют собой инвариантные функционалы. Поскольку уравнения (44) имеют форму законов сохранения, отсюда следует, что величины /0 [и；], определяемые формулой (39) при / == 1, 2, ..., и, также являются инвариантными функционалами. Существование 2и функционалов pi и д^ указывает на то, что функционал /ь определяемый выражением (40), также имеет аналог в данном случае. И хотя было бы излишней самонадеянностью рассчитывать получить для него явную формулу, даже доказательство существования таких функционалов весьма желательно. В работе [9] можно найти более полное изложение этого вопроса.

Нелинейные волновые уравнения

Рассмотрим нелинейные волновые уравнения вида

uit — ^и + ир(\и |2) = 0,(45)

где р = p(s)——положительный потенциал. Введем обозначение 卩⑼=他.

Мы будем изучать комплексные решения этого уравнения.

Для определенного класса потенциалов известно, что все решения уравнения (45) равномерно стремятся к нулю по максимуму нормы при р|-> оо. Уравнение, которому удовлетворяют такие решения при больших |", весьма близко к линейному, а именно к уравнению

ии — Ди + ти 4 0.(46)

Моравец и Штраусс [10] показали, что при f->±8 такие решения стремятся асимптотически к паре решений линейного уравнения (46). В этом разделе мы воспроизведем очень простые аргументы Роффмана [11], который показал, что для определенных потенциалов существуют такие решения, которые не стремятся к нулю по максимуму нормы при |f| ->8 и, следовательно, не ведут себя при больших 11\ как решения линейного уравнения (46).

Теорема 3. Обозначим через 尸(s) интеграл от p(s):

^ = р (s), Pf(o)= o.(47)

Предположим, что существует такое значение 闻，что

(48)(48)尸 М) < "zs^・

(48)

(48)

Тогда уравнение (45) имеет также решения и, для которых max% I 〃 (％, f) I > 6 > О

при любом t・

Доказательство Роффмана основывается на соотношении между двумя классическими инвариантными функционалами уравнения (45): энергией Е и зарядом Q, определяемым следующим образом:

Е = ； \ {I % F + 2 丨厶『F + 尸(I 〃 F)}叁，

Q = Im \ щй dx,

где й — функция, комплексно сопряженная и.

Из (47) следует, что если

l〃l V6,(49)

то

Р(\и ^>{jn-^\u^y(50)

где Ef 0 при 6fo. Из неравенства Шварца вытекает

Q & &\ ^\и\2 dx + 2 «莅 § I 〃f I’ dx.

Используя определение E и неравенство (50), мы заключаем, что если выполняется неравенство (50), то

1

Q& V^-e/Vk Е⑸)

Рассмотрим следующие начальные данные:

' «о для|%IVR,

и(х, 0) >= - 501 хI — /? для /? < I х| < 7? + 1,(52)

、0 для /? + 1 <|х],

щ (х, 0) = — iu (х, 0).щ (х, 0) = — iu (х, 0).(53)(53)

щ (х, 0) = — iu (х, 0).

щ (х, 0) = — iu (х, 0).

(53)

(53)

Очевидно, что если выполняется неравенство (48), то для достаточно больших R

Qo>R^E。，(54)

где Qo и Ео ——заряд и энергия, соответствующие этим начальным данным. Теперь ясно, что для достаточно малых е неравен-

ство (54) противоречит (51). Так как (51) справедливо всегда, если только для всех % и достаточно малых 6 выполняется (49), то отсюда следует, что решение и при начальных данных (52), (53) не удовлетворяет (49) при достаточно малых б для любого значения t. Это и является доказательством теоремы 3.

ЛИТЕРАТУРА

1. Gardner С. 5., Greene 丄 Af, Kruskal M D, Miura R. M., Phys. Rev. Letters, 19, 1095 (1967).

Method for solving the Korteweg-de Vries equation.

2 Zabusky M 丄，Kruskal Af. D., Phys. Rev. Letters 15, 240 (1965). Interaction of «solitons> in a collisionless plasma and the recurrence of initial states.

Lax P. D, Comm. Pure Appl. Math., 21, 467 (1968).

Integrals of nonlinear equations of evolution and solitary waves.

Miura R. At, Gardner C. S., Kruskal M. D, J. Math. Phys. 9, 1204 (1968). Korteweg-de Vries equation and generalizations II. Existence of conservation laws and constants of motion.

Lax R D, Proc. International Congress of Mathematicians. Nice, 2, 831 (1968).

Nonlinear partial differential equations of evolution.

Hopf £., Comm. Pure Appl. Math., 3, 201 (1950).

The partial differential equation ut + uux = циХх-

Lax P. A, Comm. Pure Appl. Math., 10, 537 (1957).

Hyperbolic systems of conservation laws II.

Glitnm /., Lax R D., Memoirs of the Amer. Math Society. No. 101. Providence: American Mathematical Society, 1970.

Decay of solutions of systems of nonlinear hyperbolic conservation laws.

Lax P. D., Regional Conference Series in Applied Mathematics 11. Philadelphia: SIAM, 1973.

Hyperbolic systems of conservation laws and the mathematical theory of shock waves.

Morawetz C. S., Strauss W., Comm. Pure Appl. Math. 25, I (1972).

Decay and scattering of a nonlinear relativistic wave equation.

Roff man E H、、Bull. Amer. Math. Soc., 76, 70 (1970).

Localized solitons of nonlinear wave equations.

Оглавление

Предисловие редакторов перевода 5

Предисловие редакторов американского издания9

Глава Л ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ВОЛН (Уоллес Д. Хейес) 13

Колебательные движения13

Линейные волны, распространяющиеся без затухания . . . 18

Одномерное волновое уравнение . 30

Физические примеры38

Другие примеры одномерных волн46

Волны с сильной дисперсией 49

Литература 53

Глава //. ЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ В СРЕДАХ С ДИСПЕРСИЕЙ (Стефен А. Тау)54

Примеры волн с дисперсией. Фазовая и групповая скорости 55

Гармонические волныв средахсдисперсией58

Переходные волновыепроцессывсредахсдисперсией . . . 61

Кинематико-энергетическое описание волн в системах с дисперсией 83

Диссипативные эффекты87

Литература90

ВЫТЕКАЮЩИЕ 113 ЗАкбнЬв"，СОХРАНЕНИ$Г7к(?нсган- тин At Дафермос)91

Законы сохранения и уравнения поля92

Гиперболические системы= . *93

Обобщенные решения98

Критерии истииностн дляобобщенных решений104

Задача Римана108

Существование, единственность и вычисление обобщенных решении 109

Литература111

ГлаваГлаваГлаваГлаваГлаваГлаваГлаваГлаваГлаваГлаваIV. ПРИМЕРЫ ДИССИПАТИВНЫХ И ДИСПЕРГИРУЮЩИХ СИСТЕМ, ОПИСЫВАЕМЫХ УРАВНЕНИЯМИ БЮРГЕРСА И КОРТЕВЕГА — ДЕ ВРИЗА (Сидней Лейбович 〃 А. Ричард Сибасе) 113

Глава

Глава

Глава

Глава

Глава

Глава

Глава

Глава

Глава

Глава

Метод возмущений114

Диссипативные эффекты в газовой динамйке и уравнение Бюргерса 123

Волны на мелкой воде и уравнение Кортевега — де Вриза 136

Литература 149

У. ВОЛНЫ С ДИСПЕРСИЕЙ И ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ (Джералд £ Уизем)151

Волны в средах с дисперсией152

Фурье-синтез и асимптотическое поведение/157

Простой вывод выражений для групповой скорости в линейных задачах161

Обобщения ипримеры .. |64

Вариационныепринципы[67

Адиабатические инварианты, волновое действие н энергия . 173

Нелинейная групповая скорость. Устойчивость периодических волн 鷗

Формальная теория возмущений•■ • • ^7

Литература 18°

. СОХРАНЕНИЕ ВОЛНОВОГО ДЕЙСТВИЯ (Уоллес Д.

Хейес)⑻

Динамические системы с сосредоточеннымипараметрами . . 182

Сохранение действия для семействарешений]83

Стационарные колебательные системы. 184

Сохранение действия для систем с медленно меняющимися параметрами 楹

Сплошные среды図

Волны・・•

Сравнение законов сохранения действия и энергии . . . . {^

Теория распространения волн{^

Литература】95

У〃. ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ВОЛН (Оуэн М. Филлипс) . . . . 197

Резонансные условия

Уравнения взаимодействия

Взаимодействия поверхностных гравитационных волн .

Литература

9 4 8 09 0 0 212 2 29 4 8 09 0 0 212 2 2УШ. УРАВНЕНИЕ КОРТЕВЕГА —ДЕ ВРИЗА — МОДЕЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ВОЛН В СРЕДАХ С ДИСПЕРСИЕЙ (Роберт М. Миура)221

9 4 8 0

9 0 0 2

12 2 2

9 4 8 0

9 0 0 2

12 2 2

Законы сохранения и нелинейное преобразование уравнения КДВ

2，Метод нахождения точного решения

$. Метод ВКБ для нелинейных уравнений

22835412 2 2 222835412 2 2 2Литература

2283541

2 2 2 2

2283541

2 2 2 2

Глава IX. СТРУКТУРА БЕССТОЛКНОВИТЕЛЬНЫХ УДАРНЫХ ВОЛН (Ричард Е. Мейер)

Стационарные ударные волны

Множества пределов

Двойные асимптотики

Пример — волны в плазме

Растяжение

Масштабные условия

Переходные процессы

Предельная форма волны

Литература

Глава X. ВОЛНОВЫЕ ДВИЖЕНИЯ В СЛОИСТЫХ ЖИДКОСТЯХ (Ии Чиа-шун)

Волны малой амплитуды

Волны конечной амплитуды

Устойчивость

Литературал....

U Ш^НЮ^^^^7О 1 12 7 5 2 2 2 2 22'22626272727282829U Ш^НЮ^^^^7О 1 12 7 5 2 2 2 2 22'22626272727282829Глава XI. ИНВАРИАНТНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ НЕЛИНЕЙНЫХ ЭВОЛЮЦИОННЫХ УРАВНЕНИЙ (Питер Д. Лэке)297

U Ш^НЮ^^^^7О 1 12 7 5 2 2 2 2 22'22626272727282829

U Ш^НЮ^^^^7О 1 12 7 5 2 2 2 2 22'22626272727282829

УВАЖАЕМЫЙ ЧИТАТЕЛЬ!

Ваши замечания о содержании книги, ее оформлении, качестве перевода и другие просим присылать по адресу: 129820, Москва, И-110, ГСП, 1-й Рижский пер., 2, изд-во «Мир».

ИБ № 411

НЕЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ

Редакторы В. Самсонова, А. КуксенкоХудожник С. ВычковХудожественный редактор Л. НаумовТехнический редактор Н. ПанфиловаКорректор А. Шехтер

Сдано в набор 14/Ш 1977 г. Подписано к печати 26/VIII 1977 г.Бумага тип. № 2 60 X 90*/ie™t0 бум. л. 20 печ. л.

Уч.-изд. л. 18,21. Изд. № 2/9Э82

Цена 2 р. 20 к. Зак. 547

ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»

Москва, 1-й Рижский пер., ?

Ордена Трудового Красного Знамени Ленинградскаятипография № 2 имени Евгении СоколовойСоюзполиграфпроиа при Государственном комитете СоветаМинистров СССР по делам издательств, полиграфиин книжной торговли.

198052, Ленинград, Л-52, Измайловский проспект, 29.

I) О «методе ВКБ» здесь можно говорить весьма условно. Фактически ниже рассматривается один из вариантов асимптотических методов для нелинейных волн (см. также работу [2] из списка литературы к предисловию ре-

1. Нелинейные уравнения, связанные с линейными операторами 300

2. Нелинейные гиперболические системы законов сохранения . 309

3. Нелинейные волновые уравнения314

Литература 316