ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие

Введение

Глава I. Линейное приближение

Общее решение линеаризованных уравнений

Линеаризованное уравнение Кортевега—де Вриза . •.

Глава II. Примеры диспергирующих сред § 4. Гравитационные волны на поверхности жидкости ... § 5. Уравнения Буссинеска § 6. Ионно-звуковые волны в плазме без магнитного поля § 7. Нелинейные волны в плазме, находящейся в сильном магнитном поле

Нелинейные электромагнитные волны в изотропных диэлектриках

Звуковые волны с дисперсией

Глава Ш. Нелинейные стационарные волны § 10. Стационарные решения уравнений Буссинеска .... § 11. Стационарные волны, распространяющиеся поперек магнитного поля в разреженной плазме

Другие примеры стационарных волн. Нелинейные дисперсионные уравнения Гравитационные волны в глубокой воде (55). Электромагнитные волны в нелинейных диэлектриках (56).

Глава IV. Нелинейные волны в слабо диспергирующих средах

Уравнение Бюргерса

Решение уравнения Бюргерса § 15. Уравнение Кортевега — де Вриза

Законы сохранения для уравнения Кортевега — де Вриза

Общая картина эволюции начальных возмущений в слабо диспергирующих средах

Об аналитическом решении уравнения Кортевега — де Вриза

Асимптотические выражения для амплитуд солитонов и «хвостов» при больших о

*

9 19 78 9 9 09 19 78 9 9 0Автомодельное решение уравнения Кортевега — де Вриза

9 19 7

8 9 9 0

9 19 7

8 9 9 0

Квазилинейные решения уравнения Кортевега——де Вриза

Обтекание тонкого тела в диспергирующей среде .... § 23. Ударные волны в диспергирующих средах

Глава V. Волны «огибающих»

Нелинейная геометрическая оптика

Критерий неустойчивости стационарных воли Гравитационные волны в глубокой воде (115). Электромагнитные волны в нелинейном диэлектрике (115).

7 5 3 0 512 3 4 4 и 11 11 и 117 5 3 0 512 3 4 4 и 11 11 и 11Эволюция волн огибающих в гидродинамическом приближении

7 5 3 0 5

12 3 4 4 и 11 11 и 11

7 5 3 0 5

12 3 4 4 и 11 11 и 11

Нелинейное параболическое уравнение

Самомодуляция волн

Самофокусировка и самоканализация волн

Электроакустические волны в плазме

о ю 4 75 3 5 5о ю 4 75 3 5 5Приложение А. Нелинейные волны с медленно изменяющимися параметрами (адиабатическое приближение Уитэма)

о ю 4 7

5 3 5 5

о ю 4 7

5 3 5 5

А1. Вариационный принцип

А2. Адиабатические инварианты

АЗ. Нелинейная геометрическая оптика

8 8 0 7 0 2 556677 и и и 11 и и8 8 0 7 0 2 556677 и и и 11 и иПриложение Б. Эволюция электрракустических волн в плазме с отрицательной диэлектрической проницаемостью

8 8 0 7 0 2 556677 и и и 11 и и

8 8 0 7 0 2 556677 и и и 11 и и

Б1. Граничные условия

Б2. Возбуждение и эволюция электроакустических волн ..

БЗ. Решение граничной задачи

Б4- Общее решение основных уравнений

Литература

ПРЕДИСЛОВИЕ

Эта книга является переработанным и расширенным изложением курса лекций, прочитанных автором в Новосибирском гос уда рствен ном университете. Являясь введением в быстро развивающуюся область, она не претендует на исчерпывающий характер изложения.

В некоторых случаях, (особенно это относится к содержанию второй главы) выбор материала, в определенной степени, связан с интересами автора.

С другой стороны, мы стремились с достаточной полнотой отразить основные идеи и результаты. Ряд вопросов, примыкающих в той или иной степени к настоящей книге, содержится, например, в обзорах и монографиях [2—5, 8—12, 37, 116], а также в сборнике [7]. Автор отдает себе отчет, что далеко не.все интересные работы, посвященные вопросам, обсуждаемым в этой книге, нашли свое отражение в библиографии. Особенно это относится к публикациям, вышедшим после того как рукопись книги была сдана в печать.

Книга написана в ряде мест довольно сжато, однако она не требует от читателя подготовки, выходящей за пределы общих университетских курсов теоретической физики и механики сплошных сред.

Автор выражает глубокую признательность Б. Б. Кадомцеву и Р. 3. Сагдееву за плодотворные обсуждения ряда вопросов, рассмотренных в этой книге, А. Г. Куликовскому и Р. В. Хохлову, прочитавшим книгу в рукописи и сделавшим ряд ценных замечаний.

В. Карпман

§ 1. Введение

Нелинейные волновые процессы интенсивно изучаются в настоящее время в самых различных разделах физики и механики: оптике, физике плазмы, радиофизике, акустике, гидродинамике и т. д. Хотя в каждой из этих областей есть свои специфические проблемы, методы и результаты, можно указать ряд качественных закономерностей, являющихся, по существу, простыми следствиями общей теории нелинейных волн в диспергирующих средах. Несмотря на то, что такая теория еще далека от своего завершения, в ряде ее направлений уже достигнута определенная ясность; особого внимания при этом заслуживает анализ некоторых предельных случаев, когда удается получить достаточно общие результаты асимптотического характера.

Классическим примерсгч волн с дисперсией, легко доступных непосредственному наблюдению, являются гравитационные волны на поверхности воды. Если глубина жидкости мала, то, как известно, фазовая скорость колебаний равна ^lk=Ygh, т. е. дисперсия несущественна; нелинейные волны распространяются в этом случае, как и в обычной газодинамике (теория «мелкой воды») [1, 2]. Наиболее важным нелинейным эффектом при этом является увеличение крутизны фронта волны, приводящее к ее опрокидыванию. По мере увеличения глубины жидкости становится существенной дисперсия. В этом случае волны с разными k имеют различную скорость, и нелинейное укручение фронта может уравновеситься его дисперсионным расплыванием. Благодаря этому становится возможным существование так называемых стационарных волн, распространяющихся без изменения своей формы с постоянной скоростью. Ясно, что этот эффект является достаточно общим и может иметь место в любых диспергирующих средах. Поэтому не случайно, что нелинейные стационарные волны (в гидродинамике

они иногда называются «прогрессивными») впоследствии были обнаружены в плазме (где влияние дисперсии часто очень существенно), а также и в других диспергирующих средах ).

Еще сравнительно недавно доказательство существования нелинейных стационарных волн было почти единственным общим результатом теории. В последнее время центр тяжести исследований переместился в направлении изучения нестационарных волновых процессов. Один из подходов к этому кругу вопросов состоит в соотве!- ствующем обобщении некоторых представлений гидродинамики. В последней, как известно, характерные особенности нелинейных эффектов могут быть выявлены на примере так называемых простых врлн. Оказывается, что это понятие можно в определенном смысле обобщить и на случай слабо диспергирующих сред при условии, что амплитуды волн достаточно малы. Такие волны можно называть «квазипростыми». В простейшем случае обычной газодинамики с вязкостью и теплопроводностью, где дисперсия является «мнимой»* этот подход приводит к уравнению Бюргерса, решение которого хорошо описывают такие нестационарные процессы, как, например, образование ударных волн. Для сред с «действительной» дисперсией мы получаем в том же приближении уравнение Кортевега — де Вриза (КдВ).

Одним из наиболее замечательных достижений последнего времени является создание последовательной теории уравнения КдВ, позволившей установить ряд важных закономерностей нестационарных волновых процессов в слабо диспергирующих средах (здесь следует особенно выделить фундаментальную работу [6]).

Другое плодотворное направление связано с так называемой адиабатической теорией нелинейных волн [7], которая применима в принципе и к сильно диспергирующим волнам произвольной амплитуды. Основные допущения этой теории сводятся к «медленности» изменения амплитуды, волнового числа и других величин, характеризующих волну на расстояниях и за времена порядка одного периода колебания. В определенном "смысле такое приближение представляет собой обобщение теории адиабатических инвариантов в механике. Для волн малой амплитуды основные уравнения адиабатического при-

ближения могут быть получены путем нелинейного обобщения известного перехода от волновой оптики к геометрической. При этом они принимают вид уравнений гидродинамики, где, однако, квадрат скорости «звука» может быть как положительной, так и отрицательной величиной. В последнем случае соответствующие волны оказываются неустойчивыми относительно малых возмущений их огибающей. Нелинейная самофокусировка света, интенсивно изучаемая в настоящее время (см., например, обзоры [8, 9J), также относится к этому кругу явлений. Ясно, что для неустойчивых волн уравнение адиабатического приближения имеет весьма ограниченную область применимости. Для устойчивых волн это приближение перестает быть оправданным после того, как из-за нелинейного укручения формы огибающей перестают выполняться условия адиабатичности. Учет соответствующих членов с высшими производными (описывающих дисперсионное расплывание волновых пакетов и дифракционные эффекты) приводит к так называемому нелинейному параболическому уравнению, которое позволяет объяснить ряд наблюдаемых на опыте эффектов для самых различных типов волн.

Сказанное выше определяет содержание книги.

В первой главе рассматривается распространение волн с дисперсией в линейном приближении. Л1ы ограничились здесь изложением наиболее важных моментов, связанных с нелинейными обобщениями, которые обсуждаются в дальнейшем. Во второй главе рассматриваются некоторые характерные примеры диспергирующих сред и выясняются общие особенности уравнений, описывающих нелинейные волны в таких средах. Третья глава посвящена изучению стационарных волн. В четвертой главе излагается теория нелинейных волн со слабой дисперсией. Здесь выводятся и исследуются уравнения Бюргерса и Кортевега — де Вриза, которые применяются затем к ряду конкретных задач. В пятой главе рассматриваются основы адиабатической теории нелинейных волн и нелинейное параболическое уравнение. В соответствии с индуктивным характером изложения, принятым в книге, мы ограничились здесь наиболее простой формой адиабатической теории, применимой к волнам достаточно малой амплитуды. Общая формулировка основных принципов адиабатической теории дана в Приложении А.

Г лава /

ЛИНЕЙНОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ

§ 2. Общее решение линеаризованных уравнений

Ряд характерных особенностей распространения волн в диспергирующих средах можно проследить уже в линейном приближении. Предположим, что рассматриваемые колебания описываются совокупностью величин Фг (г, /), удовлетворяющих определенной системе линейных уравнений в частных производных (в дальнейшем индекс » для краткости опускается). Фундаментальные решения этой системы в линейном приближении имеют вид плоских волн

Ф(г, /)=- Фоехр {iIzr—(о (х) d},(2.1)

где закон дисперсии

со=(о (х)(2.2)

определяется системой основных уравнений.

Ограничимся для простоты одномерным случаем. Тогда общее решение основных уравнений имеет вид

Ф (х, 0 = — I x(z) exp {Z [хх — со (х) t]} dfe, (2.3) 2л <

где х(х) — фурье-компонента начального возмущения

%(к) = g 0)(2, 0)「"*&.(2.4)

Рассмотрим асимптотику выражения (2.3) при больших t. Используя метод стационарной фазы (см., например, [13]), нетрудно получить

х Re {%他)exp [方他第 一(0 停)力 一 ? sign 3"(期)]},(2.5)

где k есть положительный корень уравнения

〃优)三о/ 但)=%〃 (о/他)=dco/d用.(2.6)

Если уравнение (2.6) имеет несколько положительных корней 尼，то в (2.5) надо написать сумму по этим k,

Рассмотрим физический смысл формулы (2.5). Из нее следует, что при тех значениях х, для которых уравнение (2.6) имеет вещественные корни k(xt /), возмущение представляет собой волновой пакет с переменным волновым числом k (х, f), частотой со (х, /) (^ и со связаны между собой дисперсионным уравнением (2.2)) и амплитудой, пропорциональной |со"(々"厂‘/勿优),где %但)определяется формулой (2.4). Из (2.6) также вытекает, что локальное волновое число k (х, f) перемещается в пространстве с групповой скоростью 卫=0/ 伍)，т. е. сохраняет постоянное значение вдоль характеристики

% = 〃 (k)t.(2.7)

Плотность энергии пакета как функция %, / определяется выражением

W(x, t)= — = const - -Ml! .(2.8)

dx \^"Ш

Выражение (2.8) имеет простой физический смысл, который проще всего сформулировать, если перейти от dx к dk. При смещении на dx локальное волновое число изменится на величину dE которая, согласно (2.6), равна

dk=dk=dxо/信*dxо/信*(2.9)(2.9)

dk=

dk=

dx

о/信*

dx

о/信*

(2.9)

(2.9)

Из (2.8) и (2.9) получаем

I const-1х<,I const-1х<,(2.Ю)(2.Ю)

I const-1х<,

I const-1х<,

(2.Ю)

(2.Ю)

т. е. спектральная плотность энергии ddldk при эволюции пакета не меняется и равна спектральной плотности в начальный момент времени. Из (2.8) и (2.9) также следует, что

W (%, /) 6x^const-1/ (k) |-6й, (2.11)

где 6尤 ——интервал пакета, на котором волновое число k изменяется на 6乏.Соотношение (2.11) можно записать в другой форме. Именно, из (2.11) следует, что величина W(х, t)8x не меняется, когда концы интервала 6х перемещаются с групповой скоростью. Это означает, что плотность энергии распространяется с групповой скоростью и должна удовлетворять уравнению непрерывности

@方(z, f) ,@仇少(z，川 Сdt豆@方(z, f) ,@仇少(z，川 Сdt豆(2-12)(2-12)

@方(z, f) ,@仇少(z，川 Сdt豆

@方(z, f) ,@仇少(z，川 Сdt豆

(2-12)

(2-12)

где и— ulk(xt t)]——групповая скорость в точке х, Л

В свою очередь волновое число k(x, t), сохраняя свое значение вдоль характеристики (2.7), должно удовлетворять уравнению

dk dk+2『°・dk dk+2『°・(2.13)(2.13)

dk dk

+2『°・

dk dk

+2『°・

(2.13)

(2.13)

Подставляя в (2.13) 〃(田=dco/d財 получаем это уравнение в другой форме%

(2-14)(2-14)(2-15)(2-15)dk5(о

(2-14)

(2-14)

(2-15)

(2-15)

-—I= О, atдх

волновое число и и той же функцииволновое число и и той же функциииз которого следует, что локальное частота пакета есть производные одной

волновое число и и той же функции

волновое число и и той же функции

« = - ,=-

дхdt

При этом нетрудно убедиться, что

8(%, t)=k(xt t)x—со(x, /)/Ч-const.

(Действительно, дифференцируя функцию 0 (х, /) по х и t и учитывая (2.6), получаем (2.15).) Таким образом, выражение (2.5) может быть представлено в виде квази- стационарной волны

(2.16)(2.16)5%, Z) = Re{a(x, /)ехр [沔(%, /)]},

(2.16)

(2.16)

где амплитуда 〃(％, /) определяется предэкспоненциаль- ным множителем в (2.5), а |。产 удовлетворяет уравнению непрерывности, аналогичному (2.12).

12

Для того чтобы асимптотическое выражение (2.5), из которого вытекают все эти результаты, было достаточно точным, необходимо, чтобы k(x, /) и со(х, /), а также W (х, /) изменялись достаточно мало на расстояниях порядка длины волны 2冗/々 и за промежутки времени порядка 2л/со. Иными словами, возмущение должно быть быстроосциллирующим при достаточно больших 力 Поэтому все эти результаты можно было бы получить также методом геометрической оптики [14], представляя нашу нестационарную волну в виде (2.16), где 〃(修 f)— медленно меняющаяся амплитуда, а эйконал 0 (x, f) —— «большая» величина. Вводя волновое число и частоту с помощью (2.15) и требуя, чтобы со и 々 были связаны между собой дисперсионным уравнением (2.2), а энергия распространялась с групповой скоростью, мы придем к выражению (2.5) (с точностью до постоянного слагаемого 土冗/4 в фазе).

Такой подход можно распространить и на нелинейные волны (нелинейная геометрическая оптика или адиабатическое приближение [15, 16]). Поскольку геометрическая оптика теряет силу там, где «медленные» параметры (амплитуда, волновое число и т. д.) начинают заметно изменяться на расстояниях порядка длины вол- 、ны, она не позволяет в ряде случаев получить полную картину эволюции возмущения во всей области его существования (в частности, в области, где уравнение (2.6) не имеет вещественных решений для 左).Поэтому ее следует комбинировать (где это возможно) с другими асимптотическими методами, не основанными на допущениях о быстроосциллирующем характере возмущения.

Линеаризованное уравнение Кортевега — де Вриза

В качестве простого примера, где можно проследить и за областью, недоступной для геометрической оптики, рассмотрим волны с законом дисперсии

(9 他)Нr々—p^3.(3.1)

С общей точки зрения, выражение (3.1) можно рассматривать как первые два члена разложения частоты со(^) по степеням 々 для достаточно длинных волн в прозрачной среде. Дисперсионному уравнению (3.1) отвечает следующее дифференциальное уравнение для волновой

функции

① t+a① х+В ①

Переходя к новой координате х^х——c^t (отвечающей системе отсчета, которая движется со скоростью с。), получим

①-8①Е=0.(3.2)

Таким образом, уравнение (3.2) имеет довольно универсальное значение: оно описывает достаточно длинные волны в средах, где предел со/々 при 々f 0 имеет конечное значение (слабо диспергирующие волны). Нелинейное уравнение для слабо диспергирующих волн, которое подробно изучается в главе IV, называется уравнением Кортевега — де Вриза (КдВ). Соответственно уравнение (3.2) мы будем называть линеаризованным уравнением КдВ. Общее решение уравнения (3.2), как нетрудно проверить, имеет вид

Ф (х^ %)=

(3.3)(3.4)(3.3)(3.4)工Ai [麻]①①,0)Н, где

(3.3)

(3.4)

(3.3)

(3.4)

Аif /戸丄\

Ai(2)= —- 1 cos}- uz du

о

есть функция Эйри, имеющая следующую асимптотику [13]:

Ai (z)—Ai (z)—Zf 8 ,Zf 8 ,Z —>■ —■ ОО .Z —>■ —■ ОО .(3.5)(3.5)

Ai (z)—

Ai (z)—

Zf 8 ,

Zf 8 ,

Z —>■ —■ ОО .

Z —>■ —■ ОО .

(3.5)

(3.5)

Полезно также иметь в виду соотношение

i幽）』Ai （論广5⑺i幽）』Ai （論广5⑺(0一 0),(0一 0),(3.6)(3.6)

i幽）』Ai （論广5⑺

i幽）』Ai （論广5⑺

(0一 0),

(0一 0),

(3.6)

(3.6)

которое следует из (3.4).

Рассмотрим теперь асимптотический вид выражения (3.3) при больших /, предполагая, что начальное возму- )-1

щение достаточно быстро затухает при %—±8. Тогда можно разложить Ai (г—г') в (3.3) в ряд по степеням г ; в результате получим

①位 J) = J/2 Z (-沪(3世尸m+"3Ai(m)⑵，(3.7) m—О

где

z =Pm= ①色，0)®(3.8)

(3卩严丄

Подставляя в (3.7) асимптотические выражения для производных функций Эйри

胃二%хp (一舞/),

Ai(m)(z) = .Zf 8,(3.9)

(—l)m|z|(2mT)/%0S |^y |z|3/2 + ^ 3 - 4")]，

Zf — oo

и используя разложение в ряд фурье-компоненты начального возмущения (2.4)

оо00(— jb\m

X(fe)= ^Ф(х, 0)e-fftxdx=,(3J0)

一oom=0

получаем при zt—°° (T- e- %/0V。)

Ф (%, t)~

=13却倒iRe 卜(质Г) exp [-^(| |z|"2 - 7)] } •

(3.11)

При Nf 8 (х/р>0) имеет место

S)=”4 俸门 ехр(-#) (3」2)

Наконец, при 夂1 и достаточно больших f решение

15

описывается первым неисчезающим членом в форму* ле (3.7), например, при 次，0

① ^h7/2(3因T/3Ai(z).

Формула (3.11) есть частный случай общего асимптотического выражения (2.5) при законе дисперсии (3.1).

Локальное волновое число, согласно (2.6), имеет вид

,(3-13)

а локальная частота определяется выражением(о———РА3, так что фаза kx—со/ совпадает (с точностью до постоянного слагаемого) с аргументом в экспоненте (3.11). Таким образом, быстрые осцилляции, при которых

Рис. 3.1. Эволюция возмущения, описываемого линеаризованным уравнением Кортевега—де Вриза (3.2).

применимо приближение геометрической оптики, лежат в области %V0, если 卩>0 (в этом случае коротковолновые осцилляции отстают от длинных), и в области %>0, если Р<0 (короткие волны уходят вперед). Общий вид решения (3.3) при 卩>0 изображен на рис. 3.1.

Глава II

ПРИМЕРЫ ДИСПЕРГИРУЮЩИХ СРЕД

Гравитационные волны на поверхности жидкости

Переходя к изучению нелинейных эффектов в диспергирующих средах, рассмотрим прежде всего характерный пример из гидродинамики, имеющий в то же время и самостоятельное значение, а именно гравитационные волны на поверхности идеальной несжимаемой жидкости. Предполагая, что движение потенциальное, можно написать

r=gradO.(4.1)

Выберем систему координат так, чтобы ось г была направлена вертикально вверх, а плоскость ху совпадала с невозмущенной поверхностью жидкости. В качестве первого основного уравнения можно выбрать уравнение Бернулли

①t(V①『++ gz = 0,(4.2)

которое получится, если подставить (4.1) в уравнение Эйлера

vt + (^V) v =——

Р

и проинтегрировать последнее один раз. В (4.2) предполагается, что внешнее давление на свободную поверхность жидкости равно p0=const. Уравнение непрерывности div 匕=0 совместно с (4.1) дает

А ①=0.(4.3)

Эти уравнения нужно дополнить граничными условиями. Первое из них следует из того, что прризводауе по времени от координат точек поверхности жидкости

должны равняться скоростям этих точек. Записывая уравнение поверхности в момент времени / в виде

(居 у, 0(4.4)

и дифференцируя обе части (4.4) по / с учетом (4.1),

получаемполучаем"+刀比5+加①L①z=o(居"+刀比5+加①L①z=o(居(4・5)(4・5)

получаем

получаем

"+刀比5+加①L①z=o(居

"+刀比5+加①L①z=o(居

(4・5)

(4・5)

Это уравнение называется кинематическим граничным условием.

Применяя уравнение (4.2) к точкам, лежащим на поверхности жидкости, получаем так называемое динамическое граничное условие

①t+；(VO))2 + gT] = 0,(4.6)

г=п(^> У，О

и, наконец, поскольку нормальная составляющая скорости у дна (которое предполагается горизонтальным) должна исчезать,

где h ——глубина жидкости. Уравнения (4.1) — (4.7) представляют искомую полную систему уравнений.

Рассмотрим прежде всего волны настолько малой амплитуды, что основные уравнения можно линеаризовать (параметр малости а/А«1, где а —— амплитуда сме* щения, X ——длина волны). Линеаризованные уравнения (4.5), (4.6) принимают вид'

①,+gri = 0(z=0),(4.8)

①尸0(z=0)・(4.9)

Из (4.8), (4.9) и (4.3), (4.7) получаем дисперсионное уравнение для монохроматических волн •-

(о2=^ th kh.(4.10)

Рассмотрим два наиболее интересных предельных случая: длина волны велика по сравнению с глубиной, т. е. 左九 «1 (мелкая вода) и обратный предельный случай 18

глубокой воды—•hh》l. Из (4.10) получаем

3他)=后"酢1 一刨！+… 俸«1), (4.11)

3他)=/№3九》1).(4.12)

Таким образом, в мелкой воде (или в случае достаточно длинных волн) дисперсия является слабой: при fe/i->0 фазовая скорость стремится к постоянному значению Cq~V gh. Соответственно эволюция достаточно длинных волн в линейном приближении описывается формулами (3.3), (3.11), (3.12), где

^ = €^1^,

Уравнения Буссинеска

Линеаризованные уравнения (4.8), (4.9) содержат первые члены разложения исходных уравнений по степеням q/A или, что все равно, по степеням отношения %/& где % — амплитуда скорости частиц жидкости, а с ——фазовая скорость волны. Можно поставить вопрос о построении систематической процедуры разложения по степеням этого параметра. Мы здесь рассмотрим следующее приближение в случае мелкой воды, когда дисперсия невелика.

Таким образом, в нашем распоряжении имеются два малых параметра

Е = ?«1, 尸曳(5.1)

где / — характерный линейный масштаб возмущения, а 分 = 1/防(5.2)

есть предельная скорость распространения волн в мелкой воде. Мы будем считать, что £?〜卩，и задача состоит в получении уравнений, описывающих волны на мелкой воде с точностью до членов второго порядка по е2,卩 включительно. Эти уравнения, таким образом, будут содержать нелинейные и дисперсионные члены в первом неисчезающем приближении.

Переходя к безразмерным переменнымхуz

, z，= 丁；

一 z， получаем основные д2Ф ,

dt 2 L \ dx'丿

Разложим теперь ①'

vQl *必无'(5・3)

уравнения в виде

Q)+l J(5-5)

汕八/Г 4

—0♦(5.6)

@Z，z*=-l

по степеням z‘：

冲’(『,片,yj z) _ ( dg dzf一 \ dz，

где

中传，方‘，T)=

= Ф^\х\у1^,(-

Из (5.4) следует

3z'2 丿。'

где Д — оператор Лапласа, размерные переменные N, i А =(亠

,Z，2/@2①，、

+尺俗.7)

)+Q(5.8)

@z，/ о \ @z，Jz-o(5・9)

= -е2Д(р\(5.10)

действующий только на без- i+(£‘

Далее можно написать

Из (5.11) и (5.6) — (5.8) находим

+ е2Дф/ — М А (。①)——Д2ф' = 0* (5.12) о2\ @z' /о 6

Решая это уравнение методом последовательных приближений, получим

(巫)=一 е2Ab — — ДУ- (5.13)

\ dzf /о3

Используя (5.13), (4.5) и (5.5)——(5.10), можно написать следующую систему уравнений для величин 屮、^^ зависящих только от переменных f, х\ у:

(5.14)(5.14)生(Vq/У +^ + О(е&,心，е?卩)=0, 妍 2

(5.14)

(5.14)

^L + 卩 vq/Vrf + A屮'+ 卩可 A屮'+ dt

H厶紡 + 0(^,卩2, E?卩=O'

3

Если теперь вернуться к старым переменным и ввести двумерный потенциал скорости

ср (九 х, y)=vQl^r—ght(5.15)

и полную высоту жидкости над уровнем дна

Н (力 ％, y)^h+^ (力 х, у),(5.16)

то уравнения (5.14) принимают вид

Ф/ +7(Vф)2+gЯ=0,(5.17)

Ht + V(VфЯ)Ч- —Д2Ф =0-(5.18)

3

Иногда более удобно исходить из несколько иных уравнений, имеющих ту же степень точности, что и (5.17),

21

Если ввести новый потенциал

屮=屮+3A屮,屮=屮+3A屮,(5.19)(5.19)

屮=屮+3A屮,

屮=屮+3A屮,

(5.19)

(5.19)

то с принятой степенью точности уравнения (5.17) и (5.18) принимают вид

^ + ^{\^ + gH+^\H=G,(5.20)

"t+v (〃vW)=0(5.21)

(при получении последнего члена в (5.20) мы воспользовались соотношением А屮尸一gA〃，которое следует из линеаризованного уравнения (5.17)).

Если теперь ввести «горизонтальную скорость»

0 亿招 P)=vW (力 ％，У)(5・22)

и взять градиент от (5.20), то получатся уравнения

—4- (W) V + ?^Я+ А ?Я= 0,(5.23)

dt3

" + v(ae，)= o, dt" + v(ae，)= o, dt(5.24)(5.24)

" + v(ae，)= o, dt

" + v(ae，)= o, dt

(5.24)

(5.24)

которые мы будем называть уравнениями Буссинеска. Линеаризуя (5.23), (5.24), нетрудно получить одно уравнение

— с® —嘗 А" = о； (5.25)

которому отвечает дисперсионное соотношение (4.11) (с точностью до членов порядка 但九户 включительно, принятой при выводе уравнений (5.23) — (5.24)). Дисперсионный член 伍/02/6 в (4.11) возник из-за последнего члена в (5.23); если им пренебречь, то основные уравнения принимают вид.

—+ (©V) V —V ^ ,

at修 2(5.26)

—+div (Яг) = 0

и совпадают по форме с уравнениями газодинамики, где роль плотности играет глубина жидкости Я, а давления ——величина ^//2/2,что соответствует эффективному показателю адиабаты у=2. Соотношения (5.26) называются У уравнениями мелкой воды [1, 2]. На них автоматически ；：распространяются все результаты, справедливые для соответствующих уравнений газодинамики (инварианты 一 Римана, простые волны и т. д.). Роль скорости звука при

этом играет величина c=VgH.

Уравнения Буссинеска легко дополнить членами, учитывающими капиллярные эффекты. Будем предполагать, что кривизна поверхности не очень велика (что выполняется при достаточно больших длинах волн). Добавочное давление на жидкость, обусловленное поверхностным натяжением, определяется формулой Лапласа

6р = a (EL + ⑺，(5.27)

где а — коэффициент поверхностного натяжения жидкости, а R】，R?— главные радиусы кривизны поверхности. Если z=T] (х, у, /) — уравнение поверхности и величина 刀 достаточно мала (поверхность слабо изогнута), то можно написать ([1], § 60):

1 — Arj, = — аДц •(5.28) Ele2

Заменяя в уравнении (5.23) гидростатическое давление pg" на pgH+dp (р — плотность жидкости), получаем уравнения Буссинеска, учитывающие капиллярные эффекты

dt\ 3 р /(5.29)

—+ V(№)=0- dt

Уравнения (5.29) отличаются от (5.23), (5.24) лишь коэффициентом перед дисперсионным членом. Это приводит к изменению дисперсионного уравнения, а именно, вместо (4.11) теперь будем иметь

3 伊)=3々 1--^-^2-—^2 +... ,(5.30)

Таким образом, мы опйТЬТаким образом, мы опйТЬ^де tid-прежнему c0=V gh.^де tid-прежнему c0=V gh.приходим к выводу, что эволюция достаточно длинных

Таким образом, мы опйТЬ

Таким образом, мы опйТЬ

^де tid-прежнему c0=V gh.

^де tid-прежнему c0=V gh.

волн в линейном приближении определяется формулами (3.3), (3.11), (3.12); при этом параметр дисперсии В определяется формулой

ВВ(5.31)

В

В

Существенно, что при достаточно большом а, а именно

(5.32)(5.32)а、Pg*

(5.32)

(5.32)

3

параметр дисперсии меняет знак; это влечет за собой качественное изменение характера эволюции по сравнению со случаем, когда капиллярные эффекты невелики и В > 0. Именно, в этом случае более короткие волны имеют большую скорость, чем длинные, и поэтому обгоняют последние.

Оказывается, что уравнения Буссинеска справедливы не только для гравитационно-капиллярных волн; аналогичные уравнения можно получить и для других типов волн, в частности для волн в плазме.

Ионно-звуковые волны в плазме без магнитного поля

Здесь, а также в последующих параграфах мы будем рассматривать плазму в «двухжидкостном» приближении, т. е. будем предполагать, что ионная и электронная компоненты плазмы описываются уравнениями гидродинамики.

Если магнитное поле отсутствует, то основные уравнения принимают вид'

(^,ev)^;,е = - J- \phe - v<p, (6.1)

^+div(V,e) = 0, .(6.2)

dt

A<p=—4ле (吃一％),(6.3)

где 屮——потенциал электрического поля; индексы i, е указывают на сорт частиц (ионы, электроны, причем

Уравнения (6.1) — (6.3) написаны в предположении, что ионная и электронная компоненты плазмы слабо взаимодействуют между собой и поэтому могут иметь существенно различные температуры (и соответственно давления, поскольку р〜tiT). Такие условия реализуются в достаточно разреженной плазме. •

Кроме того, мы будем рассматривать здесь лишь «медленные» (ионные) колебания плазмы, обратные времена которых значительно меньше электронной ленгмюровской частоты

Как известно (см., например, [17]), такие колебания будут слабо затухающими *) только при выполнении условия T^Tt，В дальнейшем мы будем для простоты предполагать, что 7\=0 и, следовательно, р»=0. Что касается электронов, то мы будем считать их время релаксации настолько малым (по сравнению с периодом ионных колебаний), что электронная плотность описывается распределением Больцмана

ие=п0 ехр (е(р/Т),(6.5)

где через Т здесь и всюду в дальнейшем будет обозначаться электронная температура Те.

В силу сделанных предположений уравнения движения для ионов принимают вид

Лф = 4ле[п0ехр (е(р/Т) — п],(6.6)

号 4-div (nr) =0

(индекс i при величинах и, m, п здесь и в дальнейшем опускается).

В случае малых колебаний, когда эти уравнения можно линеаризовать, получаем дисперсионное уравнение

з = VTj^k(i + 必(6.7) здесь D — дебаевский радиус:

D2 =(6.8)

*) Имеется в виду затухание Ландау [18].

Соотношение (6.7) есть известное дисперсионное уравне ние для ионных колебаний в плазме, где 7\ = 0. В пре-Соотношение (6.7) есть известное дисперсионное уравне ние для ионных колебаний в плазме, где 7\ = 0. В пре-дельном случае длинных волн hD«l оно принимает вид (3.1), гдедельном случае длинных волн hD«l оно принимает вид (3.1), гдеС。С。1/21/2РРСоД22СоД22(6-9)(6-9)

Соотношение (6.7) есть известное дисперсионное уравне ние для ионных колебаний в плазме, где 7\ = 0. В пре-

Соотношение (6.7) есть известное дисперсионное уравне ние для ионных колебаний в плазме, где 7\ = 0. В пре-

дельном случае длинных волн hD«l оно принимает вид (3.1), где

дельном случае длинных волн hD«l оно принимает вид (3.1), где

С。

С。

1/2

1/2

Р

Р

СоД22

СоД22

(6-9)

(6-9)

и соответственно эволюция линейных нестационарных волн описывается соотношениями (3.3), (3.11), (3.12).

Рассмотрим теперь, какой вид принимают нелинейные уравнения (6.6) для достаточно длинных волн. При этом, как и в аналогичной задаче для гравитационных волн, мы будем предполагать, что отклонения от равновесных значений не слишком велики, так что можно ограничиться нелинейными членами второго порядка. Таким образом, можно ввести два малых параметра

е =——« 1,卩=〜一«1,(6.10)

%"о %

и будем удерживать лишь члены второго порядка малости относительно е,

Поскольку левая часть второго уравнения (6.6) имеет порядок е2 по отношению к другим членам, мы можем решать это уравнение относительно q методом последовательных приближений. Ограничиваясь двумя итерациями, получим

ТогдаТогда

Тогда

Тогда

(6.11)получаем(6.12)(6.11)получаем(6.12)

(6.11)

получаем

(6.12)

(6.11)

получаем

(6.12)

— V п ЧD2 V А "・ ППо

Подставляя это в первое из уравнений (6.6), основные уравнения в виде

—+ ("V) V=—, dtn

—--И div ("0)= 0,

з где а н 6 определены в (6.9). Уравнения (6.12) имеют вид, g аналогичный уравнениям Буссинеска (5.23), (5.24). Член 、со старшей производной в (6.12)——2с^\п/п()——являет- .ся дисперсионным. Если им пренебречь, то получаются уравнения гидродинамики с эффективным показателем

蜜 адиабаты ?=L

Нелинейные волны в плазме, находящейсяв сильном магнитном поле

Перейдем теперь к плазме, находящейся в магнитном поле. Рассматривая для простоты случай, когда магнитное давление значительно больше кинетического, т. е.

“~и скорости волн значительно меньше скорости

света с, мы можем принять в качестве основных следую

щие уравнения:

M = e£+2[q〃],(7.1)

dtс

乙也= — е£ —^也"],(7.2)

或С

+ divg,e %,e) =。，(7，3)

dt

rot Я =—(々2% — Пег^,(7.4)

^^ = — c rot E'(7・5)

dt

Будем также предполагать, что выполняются условия квазинейтральности

п^пе==п,(7.6)

что законно, если частоты колебаний малы по сравнению с ионной ленгмюровской частотой(00,.

Вводя «массовую» скорость плазмы

〃=(т 歩 t+m 典 ^〕т、 т=т^те (7.7)

и складывая (7.1), (7.2), а также используя (7.4), (7.6),

27

получим

—=—^― 1го1ЯЯ1-(7.8)

成 ^лпт

Из (7.1), (7.2) и (7.7) получаем

£=_丄旧"]+ 他也一叁空. (7.9) ce dt е dt

Подставляя (7.9), (7.6), (7.7) в уравнения Максвелла

(7.4), (7.5), будем иметь

rot" =(勿一续)，(7.10)

—=rot[a/7]rot1rot —-.(7.11)

d£e dt e dt

Уравнения (7.8), (7.10), (7.11) совместно с уравнением непрерывности

+ div (па) =0(7.12)

dt

образуют полную систему уравнений «холодной» плазмы в случае низкочастотных колебаний (з«3о。.

Последние два члена в уравнении (7.11) очень малы при условии

8«35= (7.13)

Если ими пренебречь, то основные уравнения переходят в уравнения магнитной гидродинамики, в которых опущен член с \р.

Если положить

"="。+瓦〃=%+九',

и пренебречь квадратами возмущений 九，п\ и, то получившиеся линейные уравнения относительно этих величин приводят к следующему закону дисперсии для линейных колебаний:

®,2 =®,2 =2/ 1+好/嗚2/ 1+好/嗚(l+cosa)2+(l+cosa)2+Qps2a 1/21+必用碌 ^Qps2a 1/21+必用碌 ^

®,2 =

®,2 =

2/ 1+好/嗚

2/ 1+好/嗚

(l+cosa)2+

(l+cosa)2+

Qps2a 1/21+必用碌 ^

Qps2a 1/21+必用碌 ^

Гс " Ь2 2

士 (1 — cos a)2 -|—

cos2 a ~11/2'|1 +必巒/魂J J ,cos2 a ~11/2'|1 +必巒/魂J J ,(7」4)(7」4)嗚

cos2 a ~11/2'|

1 +必巒/魂J J ,

cos2 a ~11/2'|

1 +必巒/魂J J ,

(7」4)

(7」4)

где а — угол между волновым вектором и магнитным полем, с ——скорость света, асА ——альфвеновская скорость:

% =尸佻二, т = те + mit (7.15)

Знаки 土 в (7.14) отвечают двум типам волн. В предельном случае длинных волн

k2c2« з統 必炉 cos2 a « з^ (1— cos a)2 (7.16) дисперсионные уравнения для этих двух ветвей принимают вид

31=以 3 g=a& cos a, (7.17) т. e. переходят в дисперсионные уравнения для быстрой магнитозвуковой и альфвеновской волн в магнитной гидродинамике (когда р ^ №/8л). Соответственно две ветви, отвечающие знакам 士 в уравнениях (7.14), мы также будем называть магнитозвуковой и альфвеновской. В дальнейшем мы ограничимся изучением лишь магнитозвуковых волн и предположим, что угол между направлением распространения и магнитным полем не слишком мал, а именно

a4沙々2炉/嗚，(7.18)

т. е. не будем рассматривать волны, распространяющиеся вдоль магнитного поля и близкие к ним (следует отметить, что в случае достаточно длинных волн (й<^ wOi/^) нижняя граница для а весьма мала).

Разлагая (7.14) для магнитозвуковой ветви с точностью до членов второго порядка по k включительно, получим

з 以々［1—； ；— ctg^a) .(7.19)

Это соотношение относится к типу (3.1), причем

со = сд, § =以—^- f — — ctg2 a\(7.20)

2(oOi '叫 /

Для волн, распространяющихся поперек магнитного поля (а=л/2), параметр § принимает вид

и дисперсионные эффекты становятся большими при

々N gjc (им соответствуют частоты co^J/ mHi^He). Величину

поперекповерх-порядок(7.23)поперекповерх-порядок(7.23)можно называть длиной дисперсии для гидромагнитных волн, распространяющихся поперек магнитного поля. У косых волн характер дисперсии существенно изменяется. В частности, при tg2 а< m//me изменяется знак дисперсии — параметр р в (7.20) становится отрицательным, т. е. такие волны качественно аналогичны капиллярным волнам на поверхности жидкости (§ 5), в то время как волны, распространяющиеся магнитного поля, аналогичны гравитационным ностным волнам в неглубокой воде.

поперекповерх-

порядок

(7.23)

поперекповерх-

порядок

(7.23)

При tg2 a<^mf/me существенно изменяется и длины дисперсии, а именно, в этом случае

a cctga О; == —7=.

/2 %

Вернемся теперь к нелинейным уравнениям (7.8)—— (7.12). Рассмотрим сначала движение плазмы поперек магнитного поля. Пусть последнее направлено параллельно оси 為 а скорость — параллельно плоскости ху, и все величины зависят только от х, у и

Если рассматривать случай достаточно длинных волн (по сравнению с длиной дисперсии (7.22)) и считать амплитуду достаточно малой, удерживая лишь члены второго порядка по (Н—儿)/方о, т. е. рассматривать такое же приближение, как при выводе уравнений Буссинеска для гравитационно-капиллярных волн (§ 5), то нетрудно прийти к следующим уравнениям:

—+ 3V) И =——V Я, (7.24) dt07n

—十 div (Яа) + 26汩。A div it = 0,(7.25)

dt.

где бе определено в (7.22). После подстановки и=VT эти уравнения принимают точно такой же вид, как и уравнения для гравитационных волн в неглубокой воде в приближении Буссинеска (см. (5.17), (5.18)). При этом

^ малые параметры е, “ (5.1) имеют здесь вид

；е=2,科=旦W区(7.26)

В Сходство основных уравнений позволяет говорить об 羣 аналогии между гравитационными волнами в жидкости & и волнами в плазме (впервые это было отмечено в '[19—20]).

Рассмотрим теперь косые волны. При этом мы будем ； считать движение одномерным, так чтобы параметр дисперсии (7.20) был постоянным. Таким образом, все величины будут функциями только х, t.,

Удобно ввести вместо % координату Лагранжа х\ которая определяется как координата частицы в какой- нибудь фиксированный момент времени /о- х—х (/, х), X (/0, X)=1% •

Тогда можно написать:

Обозначая вторую частную производную черезОбозначая вторую частную производную через(7.28)(7.28)

Обозначая вторую частную производную через

Обозначая вторую частную производную через

(7.28)

(7.28)

получаем соотношения, определяющие переход к новым независимым переменным

ШД红-県3)忠)，f "9)

Отсюда следует, что

%С + и(И = (%・亿3。)

Используя (7.28), (7.29), можно привести уравнение (7.12) к виду @(几％)/@/=0, откуда вытекает, что N=n0(xyn(x\ ^), где n0(xf) есть плотность в момент времени /0, когда х—х\ Не нарушая общности, всегда можно считать, что в момент t0 система находилась в не- возмущеппом состоянии с постоянной плотностью “°.

(7.31)(7.31)Таким образом, можно написать N=n"n(£, /).

(7.31)

(7.31)

Уравнения (7.8), (7.10), (7.11) в лагранжевых коорди

натах принимают вид

%dt%dt1 д8лпот дх1 д8лпот дх；(^ + Я^),；(^ + Я^),дии Нх д гг1 %,^mQm дх'дии Нх д гг1 %,^mQm дх'dtduzdtdtduzdt(7.32)(7.32)нх dHz 4тотнх dHz 4тотdtd (NHjdtdtd (NHjdt(7.33)(7.33)

%dt

%dt

1 д

8лпот дх

1 д

8лпот дх

；(^ + Я^),

；(^ + Я^),

дии Нх д гг1 %,^mQm дх'

дии Нх д гг1 %,^mQm дх'

dtduzdt

dtduzdt

(7.32)

(7.32)

нх dHz 4тот

нх dHz 4тот

dt

d (NHjdt

dt

d (NHjdt

(7.33)

(7.33)

dHz 昵

一 4Л"涉

с

—•（旬_%u）， 恤

(734)

4да0е

(〃Z — %z),

(7.35)

况'

mt

//x=const

(последнее вытекает из уравнения divH=0). Простыми преобразованиями из этих уравнений можно исключить все скорости; после этого будем иметь (в дальнейшем опускаем штрихи при %) с точностью до членов порядка mjnii：

粤=——(必+廷)

dt8M()7П дх

©2 (N%)dt2©2 (N%)dt2cos2a^ +дх2cos2a^ +дх2(7.37)(7.37)

©2 (N%)dt2

©2 (N%)dt2

cos2a^ +дх2

cos2a^ +дх2

(7.37)

(7.37)

/ ("忆)~~dt2/ ("忆)~~dt2++(7.38)(7.38)

/ ("忆)

~~dt2

/ ("忆)

~~dt2

+

+

(7.38)

(7.38)

где "о ——невозмущенное магнитное поле, составляющее угол а с направлением распространения волны, т. е. осью х. (При получении (7.36) мы воспользовались dN дих \

соотношением — = — • dt дх /

Рассмотрим теперь, что получается из уравнений (7.37), (7.38) в том приближении, которое приводит к уравнениям Буссинеска. Введем малые параметры

£ =乌& 1, м = &二« 1 (7.39)

и ограничимся членами второго порядка по этим величинам. В первом приближении по параметрам (7.39) мы получим линейные уравнения, приводящие к дисперсионным формулам (7.17).

В случае магнитозвуковой ветви (исследованием которой мы здесь ограничимся) нетрудно проверить, что в. первом приближении "学=0. Следовательно, Я7 ——ве

личина второго порядка по отношению к величинам (7.39) и ее можни сразу определить из (7.37), если за-личина второго порядка по отношению к величинам (7.39) и ее можни сразу определить из (7.37), если за-менить наменить на工也/或dt2工也/或dt2ОграничиваясьОграничиваясьчленамичленами

личина второго порядка по отношению к величинам (7.39) и ее можни сразу определить из (7.37), если за-

личина второго порядка по отношению к величинам (7.39) и ее можни сразу определить из (7.37), если за-

менить на

менить на

工也/或dt2

工也/或dt2

Ограничиваясь

Ограничиваясь

членами

членами

наинизшегонаинизшегоиметь(7.40)иметь(7.40)порядка малости в (7.37), будем

наинизшего

наинизшего

иметь

(7.40)

иметь

(7.40)

Нос cos а дН24лпоесд sin2 а dt

Подставляя это в (7.38), получаем

d"(NH^ 22 严笈z , 26 дН

；-d cos2 а 一/ + 一史

货2ОМ 以 дх^дГ

где Р ——параметр дисперсии, определенный формулой

(7.20).

Соотношения- (7.36), (7.41) можно рассматривать как полную систему уравнений в лагранжевых коорди-

33332 В. И. Карпман

33

33

натах с точностью до членов второго порядка по параметрам (7.39). Если перейти ит N, Н工 к соответствующим возмущениям

^=l+6^, HZ=HQ sina+h, (7.42) то система (7.36), (7.41) сводится с принятой точностью к одному уравнению [21]

(无2)" + 喪(无九比 -^ttxx

Ло/ I СА

(7.43) При а=л/2 это уравнение можно также получить из уравнений Буссинеска (7.25), если перейти в последних к лагранжевым координатам.

В линейном приближении из (7.43) следует дисперсионное уравнение (7.19).

Нелинейные электромагнитные волныв изотропных диэлектриках

В рассматриваемом случае следует исходить из уравнений Максвелла

鱼 ^會=」喳(8.1)

@)П愁+4 乳少，(8.2)

или после исключения 宛

豆卅一c2A^ + c2grad div^=0, div%'=0.(8.3)

При этом, вообще говоря, вектор поляризации 3 (г, /) зависит (нелинейным образом) от значений напряженности электрического поля ^(r, f) при всех значениях времени /V% (пр остр а нствен ной дисперсией для простоты пренебрегаем).

Будем предполагать, что электромагнитное поле является квазимонохроматическим, т. е.

急(Г, 0=4 [£(Е)е2+Е*(г,/)е叫’

2(8-4)

灵(г, /)=-| [〃(，")еТ^+〃*(г,/)е：叫，

£ где £(，，/), Я (г, /) медленно изменяются со временем t 二 (по сравнению с фазовым множителем /绚.

尸 Если при этом физические процессы, приводящие 上 к нелинейности, протекают достаточно быстро по срав- 广 нению со временем изменения амплитуд в (8.4), то не- ^ линейную часть вектора поляризации 俨电 можно представить в виде разложения по степеням электрического * поля. Первый неисчезающий член такого ряда, описывающий нелинейные эффекты на основной частоте о), имеет вид

кл(3)=力表(薪)+8 新(戀，(8.5)

где 4 и В — некоторые параметры среды (зависящие от со).

Простейшим механизмом нелинейности, приводящим к выражению (8.5), является оптический эффект Керра, заключающийся в ориентации анизотропных молекул в поле волны*). В этом случае можно показать, что между коэффициентами 4 и В в формуле (8.5) имеет место соотношение [22, 23]

В=34.(8.6)

Нетрудно убедиться, что в случае, когда имеет место (8.5), уравнениям Максвелла удовлетворяет решение вида (8.4), где

£=£””〃=〃°е 询(8.7)

и амплитуды Ео, Но не зависят от времени.

Полагая в (8.3)

纱=%^+4 冗夕 нл，(8.8)

где e(j(3)— диэлектрическая проницаемость в линейном приближении, получим

+ A(EE^)Ei+B(EE)E^Q (i=% у, г).(8.9)

*) Характерное время поворота молекул весьма мало, так что выражение (8.5) в случае эффекта Керра имеет большую область применимости.

Для линейно поляризованной волны, распространяющейся, скажем, вдоль оси z, имеем (Е~ЕХ)

^=е0(^) + (А+В) |Е|2. (8.Ю)

Таким образом, нелинейная добавка в показателе преломления n=kcl^ для линейно поляризованной волны равна

6儿严)J4七也印. (8.11)

Здесь п0=|/' 80——показатель преломления в линейном приближении^ Для волны с круговой поляризацией получаем

Ц=ео + Л|£|2, (8.12) (О

"产^彩呼. (8.13)

Таким образом, при 8声0 нелинейные эффекты приводят к различным показателям преломления для волн с линейной и круговой поляризациями. Если, в частности, нелинейность обусловлена эффектом Керра, т. е. имеет место соотношение (8.6), то отношение нелинейных добавок показателя преломления для волн с линейной и круговой поляризацией равно четырем.

Эллиптически поляризованные волны с постоянными во времени амплитудами, вообще говоря, не удовлетворяют нелинейному уравнению (8.3), т. е. эллипс поляризации должен поворачиваться. Это явление наблюдалось экспериментально (подробнее см. в [11]).

Кроме эффекта Керра существует целый ряд других процессов, приводящих к нелинейным членам в выражении для вектора поляризации g Среди них ——электрострикция (изменение плотности среды под действием сил давления электромагнитного поля), ионизация среды полем волны и т. д. Остановимся здесь подробнее на электрострикции.

В этом случае нелинейный показатель преломления не может зависеть от типа поляризации. Поэтому в выражении (8.5)

5=0. (8.14)

Стрикционные эффекты, в частности, могут играть преобладающую роль в изотропной достаточно разреженной плазме [9]. Ди^электрическая проницаемость последней определяется, как известно, выражением

8 = 1 ——7，(4=

①те

В сильном высокочастотном поле (8.4) на каждую частицу действует средняя сила, вызванная давлением волны и равная ——十① где [24, 25],

(8.16)(8.16)

(8.16)

(8.16)

Если размеры неоднородности поля E(rt /) много больше дебаевского радиуса, то вследствие (8.16)

N = %。ехр ( —= Ло ехрN = %。ехр ( —= Ло ехр(8.17)(8.17)

N = %。ехр ( —= Ло ехр

N = %。ехр ( —= Ло ехр

(8.17)

(8.17)

炉=4m© Be + 7\)

Таким образом, нелинейные стрикционные эффекты становятся большими, когда напряженность поля близка к £0- При |Е|/£0С1 получаем

8汽(н口) 4』n必『2"0川0?(北 +

Мы пренебрегали диссипативными процессами. Если последние становятся существенными, то в плазме (а также и в других средах) появляется ряд дополнительных механизмов нелинейности, рассмотренных, например, в [17, 26, 9].

Следует отметить, что если нелинейные эффекты определяются электрострикцией, справедливость выражения (8.5) весьма ограничена: им можно пользоваться только в том случае, когда изменение плотности среды и соответственно амплитуд поля происходит со скоростью, значительно меньшей скорости звука. В общем случае надо рассматривать уравнения Максвелла совместно с уравнениями гидродинамики или теории упругости. Соответствующие нелинейные волны можно называть электроакустическими.

Рассмотрим, например, общие уравнения, описывающие электроакустические волны в жидкостях. В этом случае состояние среды описывается уравнениями гидродинамики

_^ + divpg = 0,(8.19)

dt

И (иV) 0 Vp Н/е,《8.20) dtр р

где f£ — плотность сил давления электромагнитного поля, которую в соответствии с результатами работы [27] можно представить в виде

=+ 卜(罔時)-開"}, (8.21) где е=е (w, р) —диэлектрическая проницаемость жидкости. Для газов е®, р) есть линейная функция плотности, и можно написать (см., например, [28])

е(з, р) = 1+р±・ (8.22)

Выражение для силы fE принимает при этом более простой вид )

A = ^V|£|2. (8.23)

」£— 4m со2」£— 4m со2v1E 产,v1E 产,Перейдем теперь к обсуждению уравнений Максвелла, которые сводятся к уравнению (8.3) и соотношению, связывающему индукцию 纱 с на пр яженностью поля 8. Поскольку свойства среды медленно меняются со временем (как и плотность р (/)), то последнее соотношение

」£— 4m со2

」£— 4m со2

v1E 产,

v1E 产,

что согласуется с формулой (8.16).

должно иметь следующий общий вид:

® («) = <^ (0 + Т f (т, О (f -т) йт, (8.24) О

где функция /(т, f) определяет диэлектрическую проницаемость нестационарной среды е (w, /), введенную Л. П. Питаевским 127]

0(3, 9 = 1 + J' /(т. t)e~iaxdx- (8.25)

О

(При этом предполагается, что dfldt<^fld工)Как показано в цитированной выше работе [27], функция е (со, /) не совпадает, вообще говоря, с диэлектрической проницаемостью стационарной среды е®, р), в которую подставлено р=р (f). Общее соотношение между этими двумя величинами имеет вид )

ё (з, Z) = е (з, р) + 曳 (8.26)

2 Os др dt

(если, разумеется, свойства среды достаточно медленно

изменяются со временем f).

Из (8.24), (8.25) и (8.4) следует, что

+ кс,+ кс,6纱1- - T 1 F I (碇)0司-必士

+ кс,

+ кс,

dt 2 Ldt N(d 3九

-i^H + — еТз' + к・с. (8.27) dt 1

Из (8.27), (8.26), уравнений Максвелла (8.1) и гидродинамики (8.19) — (8.21) вытекает закон сохранения полной энергии среды и поля в следующей форме:

£dt£dt罔2 + |〃『罔2 + |〃『

£dt

£dt

罔2 + |〃『

罔2 + |〃『

-一 div {^ ([Е*Я] + [ЕЯ*]) +

+ v^ + p + pu+^Lp^\\(8.28)

\ 21Ьл др J ]

弯К2@0? dt2弯К2@0? dt2eo + ~~ (p — Po)eo + ~~ (p — Po)E = 0,E = 0,(8.32)(8.32)

弯К

2@0? dt2

弯К

2@0? dt2

eo + ~~ (p — Po)

eo + ~~ (p — Po)

E = 0,

E = 0,

(8.32)

(8.32)

где 〃 一 внутренняя энергия среды, приходящаяся на единицу массы ).

При исследовании электроакустических процессов в дальнейшем мы будем предполагать, что отклонение плотности р от равновесного значения р0 мало, т. е.

(Р—Ро)/Ро« 1-(8.29)

В этом случае можно написать

Е(S, Р)— е0 Н(Р 一 Ро)， % = Е ®, Ро) •(8.30)

Учитывая при этом, что

@(р 戸《з(р_р。),(8.31)

dt

мы можем получить из приведенных выше соотношений следующее приближенное уравнение для амплитуды электрического поля Е:

с2 (Л- grad div) Е + i 2哈)—-

dt

где опущены члены более высокого порядка малости, чем со?(р—ро)£/р0. Применение этого уравнения к плазме рассматривается в § 30 и в Приложении Б.

Звуковые волны с дисперсией

Одной из наиболее распространенных причин дисперсии звука в газах и жидкостях являются релаксационные процессы, возникающие в волне при отклонениях от термодинамического равновесия [301. В качестве примеров таких процессов можно привести перераспределение энергии между различными степенями свободы частиц среды, процессы диссоциации и рекомбинации, химические реакции и т. д.).

Отвлекаясь от диссипации, не связанной с релаксационными процессами, мы можем принять в качестве исходных уравнения гидродинамики

dt р

:、邮С(9.1)

f+ div ро = 0,'/

:dt

которые должны быть дополнены выражением, опреде- $ ляющим вариацию давления.

При отсутствии релаксационных процессов малое изменение давления определяется соотношением

6р=46р,(9.2)

где cs ——скорость звука при отсутствии диссипации

(S — энтропия).

Если при изменениях плотности протекает релаксационный процесс, то связь между &р и 6р становится уже нелокальной во времени, так как следует учитывать зависимость 6р (Z) от вариаций плотности в предыдущие моменты времени. Это может быть описано соотношением

м (0 = а (р, 5) 6р + ^ (р, S) J' 6р (/ 一 Г) “3 ?, (9.4) где ср (〃т)——функция, определяющая релаксационный процесс. Для удобства мы ввели некоторое эффективное время релаксации, определяющее область значений Л где запаздывание существенно (т. е. ср(//т) быстро исчезает при / > т). Для определенности нормируем функцию <Р(〃е) следующим условием:

Тф(Ю Й? = 1.(9.5)

Для выяснения физического смысла коэффициентов а и 6 применим (9.4) к двум предельным случаям: большой и малой частоты звуковой волны. В первом случае 1) интегральный член исчезает и получается 6р, так что величина а имеет смысл квадрата

40

41

Скорости высокочастотного «звука»

\6р/

В противоположном предельном случае из-под знака интеграла можно вынести медленно меняющуюся величину 6р. Учитывая при этом (9.5), получаем 6р=(а+6)8р, т. е.

\Ор/ 3L0

Ь = d^ 一丛.

Очевидно, что скорость низкочастотного «звука» с0 совпадает с величиной cs, определенной в (9.3). Итак, вместо (9.4) можно написать

6р (0 = сМбр (%) — (& —曲 J 6p (t —~• %) <p (—) — ,(9.6)

о\т / %

где & и %, разумеется, зависят от равновесных значений термодинамических величин (например, от р и S). При этом всегда

後)>点(9.7)

Это соотношение является следствием принципа Ле Ша- тел ье (см. [1], § 78).

Переходя в (9.6) к компонентам Фурье, получаем

Зр (з) = [& — (& — Cg) х (оз)] 6р (со),(9.8)

ОО

х (з) = J dE Ф (Е) ехр (必啕.(9.9)

о

Из (9.8) следует выражение для комплексной «скорости звука» при частоте ю:

巒(S)=兽霁=/ — (2 — Со) % (◎・(9.10) MW)

Формула (9.10) полностью определяет дисперсию и диссипацию «звука», обусловленные данным релаксационным процессом *). Из нее, в частности, вытекает связь

*) В случае, когда отклонение от термодинамического равновесия характеризуется одной величиной А, удовлетворяющей соотношению dA/if=—(А——3)/т, функция ф(//т), как нетрудно убедиться, имеет вид 屮(〃т)二схр(—£/т). Соответственно из (9.10) в этом случае получается известное соотношение простейшего варианта релаксационной теории k2/o)2- = (1 —г(1)т)/(^—й1^сот) (см. [1]. § 78).

между действительной и мнимой частями величины 炉(со), аналогичная дисперсионным соотношениям Кра- мерса — Кронига для диэлектрической проницаемости [28], поскольку функция %(s), согласно формуле (9.9), является аналитической в верхней полуплоскости. Далее, рассуждая так же, как и в [28] (§ 62), можно убедиться, что %(s) не принимает вещественных значений ни в какой конечной точке верхней полуплоскости, за исключением точек мнимой оси; на последней х (ю) монотонно убывает от значения % (0)=1 до %(i8)=0. Учитывая (9.7), заключаем отсюда, что на мнимой оси величина с2 (со) монотонно возрастает от 错 до 上 .Таким образом, 炉((0)耍0 в верхней полуплоскости и, следовательно, дисперсионные соотношения можно написать не только для с2 (со), но и для с((о), а также для величины 1/с(со) *).

Рассмотрим теперь подробнее случай, когда время релаксации достаточно мало по сравнению с характерным периодом волны. Тогда величину 6р (t—f) в формуле (9.4) можно разложить по степеням /. Ограничиваясь двумя членами разложения, получаем

Г ОООО

6р = Собр + (& — Со) брт ] ^Ф (Е)嘴一当^ J 的屮(В) dE оо

&=雾)■(А")

Предполагая, что величины брт/р, 6рт2/р2 являются достаточно малыми, мы можем с точностью до членов высшего порядка малости заменить 6р на 优Ар (поскольку в первом приближении 6р удовлетворяет волновому уравнению 6р—с；Ар=0) и 6р на—р div ©(согласно уравнению непрерывности). Подставляя это в (9.11) и используя (9.1), получаем с принятой степенью точности

加 I 6^о(р) V7 I р V(Vj) , 2сов . _ /с

F (?V)j =Vp 十 以•—■—■十A Vp, (9.12) 灰PPo Po

Pt+V(P?)=O,(9.13)

*) Дисперсионные соотношения для звука в общем виде, не зависящем от механизма дисперсии, получены впервые в [32]. В этой работе рассматривается функция i/c(uj).

где величины J и 0 определяются выражениями

以=的能一若)j自中(Ё)*，(9.14)

О

р = 3《/概2 j廿屮⑴恋，(9.15)

0

Сравнивая (9.12) с уравнением Навье — Стокса

F ®V)J=Vp+nh(? + ~ П)， (9.16) dtpPo3 po

где n 好 《——коэффициенты первой и второй вязкости соответственно, мы видим, что величина 以 в уравнении (9.12) имеет смысл коэффициента второй вязкости, обусловленной релаксационным процессом. Что касается члена с третьими производными в уравнении (9.12), то он, как видно из следующего ниже уравнения(9.17), определяет дисперсионную поправку к вещественной части частоты звука (в связи с этим обратим внимание на то, что по форме он совпадает с дисперсионным членом в уравнениях Буссинеска (6.12), (5.23)).

Линеаризуя уравнения (9.12), (9.13), получаем закон дисперсии для звука в следующем виде:

co=qR—0&3—i 喊 2,(9.17)

где величина

1

n=不4(9.18)

есть коэффициент релаксационного затухания звука, а В ——параметр «вещественной» дисперсии, определенный формулой (9.15).

Глава III

НЕЛИНЕЙНЫЕ СТАЦИОНАРНЫЕ ВОЛНЫ

Стационарные решения уравнений Буссинеска

Уравнения линейного приближения (без диссипативных членов), рассматривавшиеся в гл. I, всегда имеют решения в виде так называемых стационарных волн, распространяющихся с постоянной скоростью без деформации профиля. Все величины, описывающие такую волну, зависят только от %—Vt (где х — координата в направлении распространения, R=g)/R).

Нелинейные коэффициенты приводят, вообще говоря, к искажению профиля волны. В газодинамике, например, благодаря нелинейным эффектам крутизна профиля увеличивается до тех пор, пока не станут существенными диссипативные эффекты. Последние приводят к некоторому расплыванию профиля и в конечном итоге уравновешивают его нелинейное укручение.

Благодаря этому уравнения Навье — Стокса, в отличие от уравнений Эйлера, имеют непрерывные стационарные решения, где все величины зависят только от х—W. Эти решения описывают стационарные ударные волны. Для сред без диссипации, но с дисперсией ситуация в известной мере аналогична, так как зависимость фазовой скорости возмущений от длины волны также приводит к расплыванию профиля, которое может компенсировать нелинейное укручение. Таким образом, в диспергирующих средах возможно распространение нелинейных стационарных волн. Структура таких волн при отсутствии диссипативных эффектов, однако, существенно отличается от ударных, поскольку дисперсия в этом случае не приводит к каким-либо необратимым процессам. Благодаря этому нелинейные стационарные волны в случае «действительной» дисперсии могут быть либо периодическими, либо уединенными.

В качестве типичного примера рассмотрим нелинейные стационарные решения уравнений Буссинеска, опи-

сывающих, как мы видели в предыдущей главе, нелинейные волны в ряде диспергирующих сред —— плазме, на поверхности жидкости небольшой глубины и др. Резюмируя рассмотренные в §§ 5—7 примеры, запишем эти уравнения в виде

—+ (wY)。+ ^ Yp + 绚 VAp = О,

dtP P。(10.1)

3 +Y(po) = 0,

где p ——обобщенная «плотность» (для волн на поверхности жидкости ■— это глубина, для ионно-звуковых волн в плазме без магнитного поля — обычная плотность, для волн, распространяющихся поперек магнитного поля в разреженной плазме,— напряженность магнитного поля), с(р) — обобщенная скорость «звука» при плотности р в пренебрежении дисперсией. Величина Р — параметр дисперсии; закон дисперсии для достаточно длинных волн малой амплитуды, следующий из (10.1), имеет вид

(0—fo^—0£з*. . .(10.2)

Величины с0 и Р определяются в упомянутых выше случаях формулами (5.2) и (5.31), (6.9) и (7.20).

В рассмотренных в главе II случаях зависимость с(р) определялась «адиабатической» формулой Пуассона

/(0"施仇严，(Ю.3)

где ро — невозмущенная «плотность», а у — эффективный показатель «адиабаты». Формула (10.3) будет предполагаться справедливой и в дальнейшем.

Если теперь ввести в уравнения (10.1) потенциал скорости w=V(p и исключить из них плотность (это можно сделать, ограничиваясь только членами второго порядка малости, поскольку сами уравнения Буссинеска были получены с этой степенью точности), то получается следующее уравнение для потенциала:

Ф<г—^Дф+¥ф?Ф；+тАфФ；—2сорД2ф=0. (10.4) Рассмотрим теперь стационарные решения этого уравнения. Полагая ф=ф (х——W), получим

(*一喲屮"一(Y斗 1) IVS—2a阿""=0.

Скорость стационарных волн должна быть достаточно близкой к cOt если их амплитуда мала (проще всего в этом убедиться, рассматривая выражения для скорости 匕 полученные ниже). Поэтому величину V—с0 можно рассматривать как малую первого порядка. Ограничиваясь членами второго порядка малости и вводя новую независимую переменную

получим окончательно

眦”十 гш，一(V—q) t/=0.(10.5)

Для дальнейшего полезно иметь в виду, что уравнение (10.5) инвариантно относительно преобразования

u+const,Pf U+const,(10.6)

которое означает просто переход к новой системе отсчета.

Интегрируя уравнение (10.5) два раза, мы можем привести его к форме

3^u，2~(bi—й)(仇—〃)(仇—4),(10.7)

где bi (i=l,2, 3) — постоянные, являющиеся некоторыми комбинациями скорости V и двух констант интегрирования. При этом связь между скоростью V u Ы имеет вид

V = ^(b1 + b2 + b^+c0.(Ю.8)

Рассмотрим сначала случай, когда 0>О, Из условия ограниченности решения следует, что все 仇 должны быть вещественными (так что можно считать 6i>62^ 匕з), причем bzWuWb»

Если 右2=匕3, то решение уравнения (10.7) имеет вид уединенной волны (рис. 10.1), или, как мы будем говорить в дальнейшем, «солитона》：

回丽而Л 3回丽而Л 3(Ю.9)(Ю.9)

回丽而Л 3

回丽而Л 3

(Ю.9)

(Ю.9)

с амплитудой a=b1~b2t шириной порядка К 120/а (т. е.обратно пропорциональной корню из амплитуды) и

47

скоростьюскоростьюV = & + "I* + Ьз.V = & + "I* + Ьз.(10.10)(10.10)Рис. 10.1. Форма солитона при / Р>0.Рис. 10.1. Форма солитона при / Р>0.九=2学\仆九=2学\仆(10.13)(10.13)

скоростью

скоростью

V = & + "I* + Ьз.

V = & + "I* + Ьз.

(10.10)

(10.10)

Рис. 10.1. Форма солитона при / Р>0.

Рис. 10.1. Форма солитона при / Р>0.

九=2学\仆

九=2学\仆

(10.13)

(10.13)

величину поля при 己一> ±оо (согласно (10.6) всегда можно перейти к такой системе отсчета, где 匕з=0).

При Ьз</>2 решение уравнения (10.7) представляет собой периодическую волну и описывается выражением

и(Л) =-^-dn2(z; s) +&3,S

(10.11)

где dn (z, s)——эллиптическая функция Якоби с модулем s, dn2(г, s)=l—s2sn2(^, s)(sn(z, s)——эллиптический синус),

g z = ].(1。」2) 2 6] — $

Величина Ъ при этом является амплитудой волны. Поскольку функция dn眨 имеет период, равный 2K(s), где К(§)——полный эллиптический интеграл первого рода, то длина волны периодического решения (10.11) определяется соотношением

а среднее значение и=к~1 辽(g)dg и скорость выра- о

жаются следующим образом:

и = "+次牛戸+，3 (10.14)

(Е (s) ■— полный эллиптический интеграл второго рода).

Параметр s (0<s < 1) может служить мерой нелинейности волны. При s<^ 1 эллиптические функции близки 48

к тригонометрическим. Поэтому при sf。， выражение (10.11) переходит в решение линеаризованных уравнений.

Из разложения

,следует, что при s<^l. периодическое решение (10.11) принимает вид

f и(^) = и + ь cos^?+ —S2cos2^g + 0(?)(10.15)

生8J

где и ——среднее значение, b ——амплитуда, определен- ная в (10.12),々=2乳/九——волновое число, связь которого с параметром s определяется соотношением (10.13) и

: при s«l имеет вид )

$j+^] + O(s6).(10.16)

Выражение для V при s-<^l следует из (10.14), (10.16):

V工3+0一伙2 1——/+ 0(^)=

= % + 〃一伙z 1-—^ + O(a3) • (Ю.17)

При 豆=0 члены, не зависящие от амплитуды, приводят к выражению для фазовой скорости волны в линейном приближении (ср. с формулой (3.1)).

Рис. 10.4. Форма солитона прир<0«Рис. 10.4. Форма солитона прир<0«

Рис. 10.4. Форма солитона прир<0«

Рис. 10.4. Форма солитона прир<0«

В другом предельном случае, когда s~>l, имеют место соотношения [33]

K(s) — Inf ^ -^оо, dnz->」-・(10.18) 2\1 — ?/chz

Тогда из (10.13) следует, что длина волны стремится к бесконечности, а формула (10.11) переходит в (10.9).

Р ис. 10.2. Периодическая волна при значениях параметра & близких к единице.

Таким образом, при s~>l, b=const периодическая волна асимптотически приближается к последовательности солитонов (рис. 10.2) с амплитудами а=2Ь (относительно

Скорость распространения солитона всегда больше с0. Для периодических волн малой амплитуды VVc。 (при 五=0).

Укажем, наконец, что на фазовой плоскости (и, 〃') интегральные кривые уравнения (10.7) имеют вид, изображенный на рис. 10.3. Точка О является седлом,

4 — центром. Фазовая кривая, отвечающая солитону, имеет вид /, (ОВ изображает амплитуду солитона), а периодическим волнам соответствуют кривые 〃； по мере уменьшения амплитуды они приближаются к центру.

Все сказанное выше относилось к случаю, когда параметр диспер-

сии В положителен. При 0Vo в специальном исследовании нет необходимости; если в уравнении (10.5) положить

Рис. 10.3. Фазовые кривые для уравнения (10.7). Сепаратриса / отвечает солитону, а замкнутые кривые, расположенные внутри сепаратрисы — периодическим волнам.Рис. 10.3. Фазовые кривые для уравнения (10.7). Сепаратриса / отвечает солитону, а замкнутые кривые, расположенные внутри сепаратрисы — периодическим волнам.九=1/ 1|^|1п(1-?)|.九=1/ 1|^|1п(1-?)|.(10.19)(10.19)

Рис. 10.3. Фазовые кривые для уравнения (10.7). Сепаратриса / отвечает солитону, а замкнутые кривые, расположенные внутри сепаратрисы — периодическим волнам.

Рис. 10.3. Фазовые кривые для уравнения (10.7). Сепаратриса / отвечает солитону, а замкнутые кривые, расположенные внутри сепаратрисы — периодическим волнам.

九=1/ 1|^|1п(1-?)|.

九=1/ 1|^|1п(1-?)|.

(10.19)

(10.19)

уровня и=й). Расстояние между ними по порядку величины определяется формулой

Е~>—Е,и—>■—w,V—Cof1—(V一с。)，(10.20)

то оно перейдет в такое же уравнение, но с величиной 0 ' противоположного знака. Поэтому все формулы для отрицательных 0 получаются из приведенных выше, если там сделать замену (10.20). В частности, вместо положительных солитонов (рис. 10.1) в этом случае , будут отрицательные солитоны (рис. 10.4). При этом их ' скорость меньше с0> в то время как для периодических 一’волн К>Со (при й=0).

5151> Изложенная теория относилась к стационарным вол- 二 нам небольшой амплитуды, когда можно ограничиться Г нелинейными членами второго порядка. Исследование : волн большой амплитуды показывает, что общая каче- % ственная картина, рассмотренная выше, сохраняется и в этом случае. Новым важным эффектом, который нельзя получить, ограничиваясь членами второго порядка, 卞 является существование в ряде случаев критической ； амплитуды, выше которой волна не может оставаться 不 стационарной. В следующем параграфе мы рассмотрим : этот эффект на примере волн в разреженной плазме, распространяющихся поперек магнитного поля.

51

51

§ 11. Стационарные волны, распространяющиесяпоперек магнитного поля

в разреженной плазме [34—37, 3].

Будем исходить из основных уравнений § 7 в лагранжевых переменных (7.36) — (7.38). Полагав в них а=л/2, Ну=0, Hz=H (х—W), N=N (х—Vt) и интегрируя два раза, получим

m饋"加一比m饋"加一比(ПЛ)(ПЛ)N =旦=彳 炉一成N =旦=彳 炉一成(П-2)(П-2)Здесь Яо — постоянная интегрирования, имеющая смысл магнитного поля в невозмущенной плазме (где плотность п равна невозмущенному значению 价)，а М — магнитное число Маха

m饋"加一比

m饋"加一比

(ПЛ)

(ПЛ)

N =旦=彳 炉一成

N =旦=彳 炉一成

(П-2)

(П-2)

ММV4V4V 4л/г0тпV 4л/г0тп(П.З)(П.З)Уравнение (11.1) имеет наглядную механическую интерпретацию: оно описывает движение частицы (роль координаты играет Я, а времени — х), находящейся в силовом поле с потенциальной энергией

М

М

V

4

V

4

V 4л/г0тп

V 4л/г0тп

(П.З)

(П.З)

Р(Н) =Р(Н) =("一%)2 [("—Я/.4哂2•("一%)2 [("—Я/.4哂2•22(11.4)(11.4)«Интеграл энергии» уравнения (11.1) имеет вид

Р(Н) =

Р(Н) =

("一%)2 [("—Я/.

4哂2•

("一%)2 [("—Я/.

4哂2•

2

2

(11.4)

(11.4)

• 最(圖⑴・5)

Фазовые кривые этого уравнения изображены на рис. 11.1. Точки «равновесия», являющиеся корнями уравнения 尸'(")=6, определяются выражениями "о, /Л,2=—〃о(1 干М(1+8ЛД2)/2). В случае М>1 точка "о будет седловой, а Ях, Я2 — фокусамй, при этом Я2< vAoV〃i・ При М<1 седло находится в точке Яп причем Hz<Hi之 Но*

Из всех кривых, изображенных на рис. 11.1, реализуются только траектории, лежащие справа от седловой

I точки. Действительно, для остальных решений величина !■ N в (11.2), являющаяся по своему смыслу положитель- * ной, принимает отрицательные значения (в этом нетрудно I убедиться, подставляя Я=Я2 в (11.2). При этом сепа- F ратрнсн изображают солитоны, а остальные кривые — i периодические волны.

: Рассмотрим подробнее решение уравнения (11.5), :описывающее солитон с предельными значениями маг- г нитного поля 儿 при %->±8 (в этом случае М>1).

F' Обозначая максимальную величину поля в солитоне

& через "max и полагая в (11.5) const=0, Я-=Ятах, dH/dx^O, получаем соотношение между числом Маха М и амплитудой солитона

I，м = % + "тах(Ц.6)

2Ho

广

: Из (11.2) и (11.6) вытекает, что в вершине солитона ве- I личина N принимает минимальное значение N^^ »=%)/%пах=1—2(М—1)/М. Из условия М>0 получаем

следующие ограничения на скорость и амплитуду со-

I литона:

IМ<2, Яшах<ЗЯ0.(И.7)

1 При М=2 плотность плазмы на гребне волны обратилась бы в бесконечность. Таким образом, уединенные волны, распространяющиеся поперек магнитного поля в холодной плазме, имеют предельное значение числа Маха и соответственно амплитуды.

Существование предельного числа Маха для стационарных волн означает, что прн достяточно больших

амплитудах дисперсионные эффекты не могут «уравновесить» нелинейное укручение профиля волны, что приводит к ее опрокидыванию.

В случае чисел Маха, достаточно близких к единице, интегрирование общего уравнения (11.5) приводит к простым аналитическим выражениям, которые совпадают с формулами для стационарных решений уравнений Буссинеска, рассмотренных в предыдущем параграфе (с учетом того, что Н играет роль обобщенной плот- I ности р). Это естественно, поскольку, как мы видели I в § 7, волны достаточно малой амплитуды, распространяющиеся поперек магнитного поля, описываются урав- i нениями Буссинеска с показателем адиабаты у=2 ). !

Аналогичным образом могут быть рассмотрены стационарные волны, распространяющиеся под углом [38—40] и вдоль [41—43] магнитного поля. При этом оказывается, что в случае косых магнитозвуковых волн j солитоны могут быть отрицательными. Это обстоятельство связано с тем, что, согласно формуле (7.20), параметр дисперсии В у таких волн становится отрицательным при ct^aZ>me/nii (а — угол между направлением распространения и магнитным полем), что, как мы видели в § 10, приводит к изменению знака солитона (см. I рис. 10.4).}

Другие примеры стационарных воли.

Нелинейные дисперсионные уравнения

В отличие от монохроматических волн, являющихся ' стационарными решениями линеаризованных уравне- | ний, скорость нелинейных стационарных волн зависит । не только от их длины, но и от амплитуды, а также ； от некоторых других параметров, например от средних значений колеблющихся величин. Так, например, для периодических стационарных волн, рассматривавшихся ' в § 10, скорость волны в пределе малых, но конечных i амплитуд содержит член, пропорциональный а2 (см. I (10.17)). Зависимость частоты или скорости стационарной волны от волнового числа, амплитуды и других

[

параметров мы будем называть нелинейным дисперсион- ；ньш уравнением ).

В дополнение к волнам, исследовавшимся в предыдущем параграфе, рассмотрим здесь еще несколько типичных примеров нелинейных стационарных волн и определим их дисперсионные уравнения.

Гравитационные волны в глубокой воде. Основные уравнения имеют вид (4.1) — (4.6); вместо (4.7) здесь достаточно потребовать, чтобы Ф было ограниченным при всех z.

. Для стационарной волны можно считать, что

承z=n(x—S),(12.1)

tФ=<р(х—ГЛ г),(12.2)

{

где W — скорость волны. Подставляя (12.1), (12.2) в (4.5) и (4.6), получим следующие уравнения:

^X=^z^-W)9(12.3)

1^фхх+^ф2—2Г (фхфхх+ф2фхг) +

+中部；Г黑+2屮Х中2ф黑屮?中ZZ]Z=T) = S (12.4)

1 Кроме этого, ф (х, г) удовлетворяет еще линейному урав- 皀 нению Лапласа (4.3). Можно показать, что эти два урав-

В нения не имеют решения в виде уединенных волн. Периодическое решение с длиной волны 入 можно искать в виде ряда Фурье по cosnkx, sinnkx, где ^=2n/Z, а

〜 коэффициенты этого ряда как функции z определить 卜 из уравнения (4.3) и условия ограниченности при zVO. 「При этом получается выражение вида

I (р(х,г) =b sinfere^+"(q sin 2kx-[-c.2 cos 2旣)02々2十…，(12.5) ； где коэффициенты ri и т. д., а также функции 刀(%) могут 门 быть определены из (12.4) методом последовательных приближений. В первом (линейном) приближении получаем для формы свободной поверхности волны выражение

[n=^cos6(2—欣).(12.6)

Подставляя (12.5) в (12.4) и удерживая члены до третьего порядка включительно, получим, приравняв

члены при одинаковых гармониках, q=&=0,

Q^kW = Vgkll+^+...j,(12.7)

где a=b/W ——амплитуда колебаний свободной поверхности жидкости.

Можно показать, что при увеличении амплитуды волна стремится к некоторому предельному виду с заострениями на гребнях, причем углы при заострениях равны 120°; а скорости частиц на гребнях совпадают со скоростью волны W (подробнее об этом см. в [44], § 250).

Электромагнитные волны в нелинейных диэлектриках. Пусть сначала нелинейность определяется выражением (8.5). Это выражение по своему смыслу применимо лишь для высокочастотных волн, которые можно представить в виде (8.4).

Поэтому стационарные волны, удовлетвор яющ ие уравнениям (8.3), (8.5), как нетрудно убедиться, следует искать в виде

Sir, Z) =y£'oei(ft^Mf,十 к. с.,

.宛(г, z) = Аяоег (ftx-€,,)+ к. с., 2〜

где амплитуды Fo и HQ (после соответствующей перенормировки частоты) можно считать постоянными. Такие решения уже обсуждались в § 8. Нелинейное дисперсионное уравнение для них имеет вид (8.10).

В качестве примера, иллюстрирующего другие возможности, рассмотрим модель нелинейного диэлектрика, состоящего из ангармонических осцилляторов с одной и той же собственной частотой.

Уравнение, определяющее зависимости поляризации среды 7 от напряженности поля 6 будет иметь вид

=(12.8)

4л

где со。, а и со* — постоянные (такая модель обсуждалась 56

в работе [451). Уравнения Максвелла (8.1) приводятся в рассматриваемом случае к уравнению )

6〃一с2A6=—4 冗您小(12.9)

которое вместе с (12.8) образует замкнутую систему.

Рассмотрим теперь стационарные решения этой системы, считая, что би? являются функциями только от %—Wt или, что все равно, от фазы 8=&%—со/ (s=R1T). Последнюю мы нормируем условием

?(8)=^出+2冗)，6(8)=6(8+2 初(12.10)

Система (12.8), (12.9) после простых вычислений приводится к виду

Если пренебречь нелинейным членом в (12.11), то соотношения периодичности (12.10) будут выполняться только при условии обращения коэффициента при 3 в единицу. Получающееся при этом соотношение дает линейный закон дисперсии

2

必=、£0®),(12.13)

е0(S)— 1 —е0(S)— 1 —I где

е0(S)— 1 —

е0(S)— 1 —

есть линейная диэлектрическая проницаемость в рассматриваемой модел и.

В общем случае финитные решения уравнения (12.11) могут быть представлены в виде

= b sn (0; s),(12.15)

где sn (г; s) — эллиптический синус с модулем s,

В 9ToM случае, разлагаем К (s) в степенной ряд *) в соотио* шении (12.18) и используем (12.16). В результате имеем

а庐

2 不弋+

(Ор аЬ?

江二再一^?

(12.16)

(12.17)

(о2 со2 — «о + 3afe2/4 В другом предельном случае b，a/2s»l

(12.22)

(12.23)

Поскольку функция sn (z; s) имеет период 4K(s)

——полный эллиптический

0〃少〃,夕 4〃 ,严

Рис. 12.1. График зависимости (12.19).

определяемой соотношением рис. 12.1.

(K(s) интеграл первого рода), то условие периодичности (12.10) принимает вид

A = — K(s). (12.18)

Это соотношение совместно с (12.16), (12.17) дает нелинейное дисперсионное уравнение, определяющее зависимость между со, k и амплитудой колебаний Ь.

Используя (12.16), уравнение (12.18) можно представить в виде

鋒=^K2(s)s2. (12.19) 2w2 л2

Графическое изображение зависимости между & и s, (12.19), приведено на

Ж величина s близка к единице (как видно, например, из Е рис. 12.1). Тогда из (12.16), (12.17) следует

Wf с 1

2 、一1/2

(t)o — b%/

(s—1),(12.24)

где W=mlk — скорость распространения волны. Чтобы получить асимптотическую форму волны в этом предельном случае, используем соотношение [33]

sn (г; s)->th г (sf 1).

Тогда из (12.15), (12.16) и (12.24) следует

® —bth

(12.25)

Соотношение (12.25) дает представление о форме волны на участке --入/2之尤—-W7V九/2 (где %=2л/々 --длина волны); при этом условие (12.23) эквивалентно соотношению 彦>8.

*) См. примечание на стр. 49.

При s«l, т. е.

из выражения (12.15) следует

俨(8) = Ъ sin 0 Н^~- sin 30 +(12.21)

' '.32со2А2

(12.20)

0~^х—со/.

Чтобы получить нелинейное дисперсионное уравнение

Глава IVНЕЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫВ СЛАБОДИСПЕРГИРУЮЩИХ СРЕДАХГлава IVНЕЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫВ СЛАБОДИСПЕРГИРУЮЩИХ СРЕДАХ

Глава IV

НЕЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫВ СЛАБОДИСПЕРГИРУЮЩИХ СРЕДАХ

Глава IV

НЕЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫВ СЛАБОДИСПЕРГИРУЮЩИХ СРЕДАХ

гМлера

!q + ®V)^ =——Vp,(13.2)

IP

；Pt+A(p")=O,(13.3)

d(p) = 0P(P，. S), s = const. (13.4)

§ 13. Уравнение Бюргерса

Эта и последующие главы будут посвящены изучению нестационарных нелинейных волн. Мы начнем с рассмотрения слабо диспергирующих сред. Оказывается, что в этом случае можно продвинуться довольно далеко в направлении построения последовательной аналитической теории, описывающей основные качественные, а в ряде случаев и количественные закономерности эволюции нелинейных волн.

Рассмотрим сначала нелинейные волны в газах, описываемые уравнениями Навье — Стокса

"t + (皆 V)" = — —^ + — А" Н(g Ч刀)丫(V")，р р р \3 /

Pt + V (р") = О,

S£ + gVS)=^AT 十

(13.1)

(здесь S — энтропия единицы массы).

Если в системе уравнений (13.1) пренебречь диссипативными членами, то эта система превратится в уравнения

Важнейшими решениями последних являются так называемые простые волны, которые можно интерпретировать как волны, бегущие в одном направлении (см., например, [1]).

Все величины, описывающие простую волну, представляются в виде функций одной из них. Например, можно считать, что р=р(и), с=с(о). Тогда из уравнений (13.2), (13.3) следует

⑴¥=±р(。).

dv

(13.5)

Подставляя это в уравнение (13.2), получим для волны, распространяющейся в положительном направлении оси х (в этом случае в (13.5) следует взять плюс),

М + \V + c(v)]~= 0. dtдх

(13.6)

Чтобы определить функцию с (у), используем уравнение адиабатического процесса

(13.7)

где ро — невозмущенная плотность газа, а с0=с(р0)— скорость звука в линейном приближении. Из (13.5) и (13.7) следует (для волны, распространяющейся в положительном направлении)

y 一 1

С® = Q + 工 2 и.(13.8)

Подставляя это в (13.6), приходим к следующему дифференциальному уравнению для простой волны:

ot \2/ дх

Общее решение уравнения (13.6) имеет вид

V = f(x — g(v)t), g(m = %+^4^。，(13.10) где f(x) — произвольная функция, определяемая формой волны при /=0:

"元)=0(/ 0).

Если пренебречь зависимостью g от скорости течения у, т. е. положить g(v)^c^ то (13.10) переходит в решение линеаризованных уравнений Эйлера v= f(x—cot), описывающее распространение волны без изменения ее формы. Рост скорости звука с(。)при увеличении у приводит к у кручению профиля волны на участках, где скорость v больше. При достаточно больших / функция о (%) становится неоднозначной. Однако еще до этого момента решение вида (13.10) становится непригодным, поскольку при очень большой крутизне профиля отброшенные диссипативные члены существенны даже при малых диссипативных коэффициентах.

Таким образом, при описании эволюции нелинейных волн в газе при достаточно больших / следует исходить из уравнений Навье — Стокса (13.1). К сожалению, исследование нестационарных решений этих уравнений в общем случае сопряжено с большими трудностями. Решения же типа простых волн, где все величины, характеризующие возмущение, могут быть представлены в виде функций одной из них, не удовлетворяют уравнениям (13.1). Однако, как будет показано ниже, при достаточно малых (но конечных) амплитудах и малых диссипативных коэффициентах существуют рещения, которые можно рассматривать как аналог простых волн, бегущих в одну сторону. Такие волны мы будем называть квазипростыми. Основные уравнения для квазипростых волн получаются из (13.1), если ограничиться в последних нелинейными членами второго порядка и считать при этом диссипативные коэффициенты малыми первое порядка. Соответственно линейные диссипативные члены будут малыми второго порядка, а нелинейными диссипативными членами мы можем пренебречь.

Предположим, что возмущение распространяется вдоль оси х. Тогда первое и третье из уравнений (13.1)

с принятой степенью точности принимают вид

Р(。，+。％) = —Рх + ^^Т) + 0 к, (13.11)

St + vSx=~Txx.(13.12)

Р?

Из (13.12) следует, что изменение энтропии есть величина второго порядка малости.

Уравнение непрерывности удобно переписать в другой форме, выразив возмущения плотности через изменения давления и энтропии и отбросив малые третьего порядка:

где с есть адиабатическая скорость звука, определяемая соотношением (13.4). Используя общие термодинамические соотношения (см., например, [461, § 16), нетрудно убедиться, что

T Hp/s \ dS Jp \ dp ,/s 分 Cp '

где &, Cp — теплоемкости, отнесенные к единице массы.

Подставляя это в (13.13) и учитывая (13.4), получим

Pt + vpx + dp% = — (— )pxx- (13.14)

P \ 分 ер/

Уравнения (13.11), (13.12) и (13.14) составляют полную систему уравнений для одномерного течения с точностью до членов второго порядка включительно.

Чтобы получить дифференциальное уравнение для квази простой волны, положим

р(х，/)=р(и)+屮(X，9,

р(х, f) = p(S +(p(x,/),

где функции р (у) и р (и) определяются теми же

63

уравнениями, что и в простой волне, т. е.

с ⑴ у = Р (办 с (и) = & Н-—— 〃

—=c2(t；) — = с (и) р (и).(13.16)

dv dv

Что касается функций 2(%, /) и ср (%, /), то их следует искать в таком виде, чтобы соответствующее решение было как можно ближе к простой волне. Предположим, что эти функции ——второго порядка малости. (Из окончательного результата будет видно, что такое решение существует.)

Очевидно, что с точностью до членов второго порядка можно считать, что 屮(尤，/), (р(х, /) удовлетворяют линейным уравнениям

2t+co2a：=%+&屮工=0・ (13.17)

Подставляя (13.5) в (13.11) и (13.14) и учитывая (13.17) получим с указанной точностью )

/ 4、]

vt + [v + c(v)] Ух =^х + —n +S ихх , Ро\ 3/

1 Г 4 一 / 11

тр — — — q + G — x I11 —(13.18)(

L 3\ & Ср/J dx〔

(где p0 —— равновесная плотность).

Исключая 屮 из этих уравнений, приходим к следующему дифференциальному уравнению для квазипростой

ВОЛНЫ：

dt '

0u 一 дх

『и

林*(13-19)

где

1

ц =-

2р。

Ср/•

.(13.20)

Уравнение (13.19) отличается от уравнение простой волны I правой частью, описывающей диссипативные эффекты.；

Линеаризованное уравнениеЛинеаризованное уравнениеdv dv d2vdv dv d2v(13.21)(13.21)

Линеаризованное уравнение

Линеаризованное уравнение

dv dv d2v

dv dv d2v

(13.21)

(13.21)

описывает эволюцию слабо затухающей звуковой волны в линейном приближении. Ему удовлетворяют решения вида

и = %е~“"％xp[i/? (х — cot)], (13.22) отвечающие дисперсионному уравнению

со=Со 々一i卩炉. (13.23)

Отметим, что соотношения (13.20) и (13.22) совпадают с известными формулами акустики, определяющими закон затухания звука в линейном приближении (см., например, [11, § 77). '

Из результатов следующего параграфа будет видно, что уравнение (13.19) хорошо описывает и нелинейные эффекты, в частности формирование и эволюцию ударных волн.

Заметим, наконец, что если перейти к системе отсчета, движущейся со скоростью с。относительно среды, и ввести новый масштаб для возмущений скорости частиц, т. е. положить

w =力一с",工=力 品=У 2 и, (13.24) то уравнение (13.19) принимает еще более простую форму:

ди , ди д2и+ 〃~-=ц—-ди , ди д2и+ 〃~-=ц—-(13.25)(13.25)

ди , ди д2и

+ 〃~-=ц—-

ди , ди д2и

+ 〃~-=ц—-

(13.25)

(13.25)

Это уравнение впервые рассматривалось Бюргерсом j [47] и носит его имя.

§ 14. Решение уравнения Бюргерса

Замечательно, что общее решение уравнения Бюргерса можно получить в замкнутом аналитическом виде [481. Именно, если положить

口 = — 2林 ^1п(р(Е, т),口 = — 2林 ^1п(р(Е, т),(Н.1)(Н.1)

口 = — 2林 ^1п(р(Е, т),

口 = — 2林 ^1п(р(Е, т),

(Н.1)

(Н.1)

義 то для ср получается уравнение теплопроводности ；3 в, И. Кариман65

屮二=卩屮工・ Отсюда следует, что решение уравнения Бюргерса при начальном условии

〃化，о)=〃°(9(14.2)

имеет вид (14.1), где

唯z)= 8Т]

- ?Й1ёХр 卜^-孙⑺小•(14.3)

Для сходимости интеграла в (14.3) достаточно, чтобы

начальное возмущение (14.2) удовлетворяло условию

^w0(rz) dxf ^const• л： (<rf 8),(14.4)

о

которое мы будем предполагать в дальнейшем выполненным.

Рассмотрим теперь эволюцию начальных возмущений, затухающих при ^ — ±8. Будем считать, что

卜紀(Е) dg = М < оо.卜紀(Е) dg = М < оо.(14.5)(14.5)

卜紀(Е) dg = М < оо.

卜紀(Е) dg = М < оо.

(14.5)

(14.5)

(В остальном профиль начального возмущения может быть произвольным.)

Прежде всего заметим, что при любом т

§ 〃(厶 t)d^= 0〃0任)威=".(14.6)

В справедливости соотношения (14.6) проще всего убедиться, если написать уравнение Бюргерса в дивергентной форме

и проинтегрировать обе части его по 己 от ——оо до +оо. Таким образом, площадь, ограниченная функцией 〃(三，т) (которая в дальнейшем будет называться главным моментом), не меняется во времени, т. е. является интегралом движения.

При условии (14.5) решение уравнения Бюргерса имеет довольно простую асимптотику при ттоо, а именно

гдегде2 也："dr] + е 加 12 也："dr] + е 加 1(14.7)(14.7)2'2'(14.8)(14.8)

где

где

2 也：

"dr] + е 加 1

2 也：

"dr] + е 加 1

(14.7)

(14.7)

2'

2'

(14.8)

(14.8)

Этот результат интересен тем, что из него следует универсальность асимптотического вида профиля скорости 〃(^ т) при достаточно больших т. Единственной

Рис. 14.1. Асимптотический вид решения уравнения Бюргерса при начальном условии (14.5) и больших /. Кривая а изображает решение при конечном 卩，кривая 8 — при 卩一*0.Рис. 14.1. Асимптотический вид решения уравнения Бюргерса при начальном условии (14.5) и больших /. Кривая а изображает решение при конечном 卩，кривая 8 — при 卩一*0.

Рис. 14.1. Асимптотический вид решения уравнения Бюргерса при начальном условии (14.5) и больших /. Кривая а изображает решение при конечном 卩，кривая 8 — при 卩一*0.

Рис. 14.1. Асимптотический вид решения уравнения Бюргерса при начальном условии (14.5) и больших /. Кривая а изображает решение при конечном 卩，кривая 8 — при 卩一*0.

} величиной, зависящей от начального условия в (14.7), ； (14.8), является главный момент Л4; детальный же вид I начального условия оказывается несущественным.

I Если диссипативный параметр 卩 исчезает, то и?

[(14.7) и (14.8) следует (при М>0)

j停％ 0<g<p 2/Иг,

¥lim 〃隽，t)= { (14.9)

I；I 0, EVO, ^>/Ж.

t При 7И<0 соответствующее предельное выражение полу- I чается из (14.9) преобразованием 〃^w, ^己,七+т. г Асимптотический вид профиля при больших т изоб- р ражен на рис. 14.1. При 卩f 0 он имеет вид треугольника : с ударной волной в передней или задней части профиля ： (в зависимости от знака М). Величина скачка в ударной С волне равна (2Л4/Т)1/2, т. е. убывает пропорционально F корню из времени; основание профиля, наоборот, растет ；* как т1/2, так что полная его площадь не изменяется и

равна М. Эта результаты хорошо Согласук)тся с общей теорией нестационарных ударных волн. (Ср. [11, § 95.)

Заметим, наконец, что уравнение Бюргерса имеет также стационарное решение, описывающее волну, перемещающуюся без деформации с постоянной скоростью W:

〃=f(E—叭).(14.10)

Подставляя (14.10) в (13.21) и интересуясь только ограниченными решениями получившегося обыкновенного дифференциального уравнения, будем иметь

/ (g) =и0+—,(14.11)

1+ехр(Ашс/2 林)

r=w„+Au/2,(14.12)

где 以о, А〃 一 постоянные интегрирования.

Решение (14.11) представляет собой ударную волну с величиной скачка А〃 и шириной переходной области

(14.13)

которая обращается в нуль при 卜―0.

Используя общее нестационарное решение (14.1)—— (14.3), можно показать, что всякое возмущение, удовлетворяющее при т=0 условиям

"0(三)f"0(自f + 00)I .

(A心＞0), принимает при достаточно больших т стационарный асимптотический вид, определяемый формулами (14.10) — (14.12) *).

§ 15. Уравнение Кортевега ：—де Вриза

Рассмотрим теперь среды, где диссипация пренебрежимо мала, но зато имеется вещественная дисперсия (достаточно слабая), так что дисперсионное уравнение в линейном приближении имеет вид

s=Co к—沫з*(15.1)

В этом случае также можно получить уравнение для

*) Об обобщении уравнения Бюргерса для сферических волн см. [49].

} квазипростой волны, отличающееся, как и уравнениеБюргерса, от (13.9) членом со старшей производной.

'■ Пусть, например, нелинейные волны описываются

обобщенными уравнениями Буссинеска (10.1):

h包+ (wV)0 + ^3 Vp +缠 vAp = 0,(15.2)

j祖PPo

；_^ + V(pw) = 0,(15.3)

c2(P)= co(p/po)v-1-(15.4)

Предположим, что величины

"Co, (P—Po)/Po> §小

I (6=(|p(/c0) ^2 —— длина дисперсии, X ——характерная длина ： волны) являются малыми первого порядка.

:Как и в § 13, будем искать решение уравнений

I (15.2)—(15.4) в виде

!p (招 /)=p(3+9(招/)，(15.5)

где р (о) совпадает с соответствующей функцией в простой волне, т. е. определяется соотношениями (13.5), (13.8), а ф (%, 0 ——некоторая величина второго порядка малости. Имея в виду волну, распространяющуюся в положительном направлении и пренебрегая членами выше второго порядка малости, мы можем считать, что Ф (х, f) удовлетворяет уравнению

Ф(+со(рх=О(15.6а)

(ср. с (13.17)). Подставляя (15.5) в (15.2)—(15.4) и используя (13.5), (13.8), получим с принятой точностью

% — софх = ^ххх?(15.66)

vt + %(& +了 ： 1 и) + 2Вкк + ~ Фх = 0- (15.6в)

、//ро

Исключая ср из уравнений (15.6), приходим к уравнению

°"丄厶 I V +1 \ди Л

(15.7)(15.7)/ + 3+丁。)豆+ Р/ = 。,

(15.7)

(15.7)

которое описывает квазипростую волйу при наличии дисперсии. При 0=0 оно превращается в уравнение для простой волны, а в линейном приближении приводит к закону дисперсии (15.1).

Переходя к новым переменным

忆'=% — cot,廿=力 〃=宜^^ и, (15.8)

получаем уравнение (15.7) в виде

也+ М + Р空=0dt дх 8%з也+ М + Р空=0dt дх 8%з(15.9)(15.9)

也+ М + Р空=0

dt дх 8%з

也+ М + Р空=0

dt дх 8%з

(15.9)

(15.9)

(здесь и в дальнейшем штрихи при независимых переменных опускаются).

Уравнение (15.9) было впервые получено Кортеве- гом и де Вризом для волн на поверхности неглубокой воды (где дисперсионное уравнение имеет вид (5.30)) [50] и в недавнее время для ряда других случаев (волны в плазме, ангармонические колебания в решетке и т. д.) [20, 21, 51——59]. Из вышеизложенного ясно, что уравнение Кортевега — де Вриза (КдВ) имеет универсальный характер: оно справедливо во всех случаях, когда закон дисперсии имеет вид (15.1) и при 0=0 существуют простые волны.

Рассмотрим, например, плазменные волны, распространяющиеся под углом к магнитному полю, описываемые уравнением (7.43). При 0=0 это уравнение имеет решения типа простых волн, которые получаются, если считать, что производные ht и hx являются функциями только h. При Р^0, поступая как и выше, мы получим следующее уравнение для квазипростой волны [21, 51]：

鱼 + СА 牝 + = 0- (15.10)

Это уравнение имеет форму (15.7).

Уравнение КдВ в форме (15.9) удобно для задач с начальными условиями. В этом случае решение и (%," однозначно определяется начальным возмущением 〃(尤,0). Чтобы получить аналогичное уравнение для задач с граничными условиями, заметим, что в уравнении для квазипростой волны (15.7) с точностью до малых членов

второго порядка включительно можно положить

d3v 1 d%1 @и

дх Со 冲 дх с。 dt

Подставляя это в (15.7) и переходя к новым переменным

瑞 т - ^瑞 т - ^получим уравнение КдВ&Е 近 Co dr3Решение этого уравнения /(^, т)получим уравнение КдВ&Е 近 Co dr3Решение этого уравнения /(^, т)=0 •=0 •y + 12尸,y + 12尸,(15.11(15.11(15.12)(15.12)однозначнооднозначноопреде-опреде-ляется граничным условием /(0, т)^/(0, /).Наконец, заметйм, что если диссипацией нельзя пре-ляется граничным условием /(0, т)^/(0, /).Наконец, заметйм, что если диссипацией нельзя пре-небрегать и закон дисперсии имеет виднебрегать и закон дисперсии имеет видсо=cok—陇—i喊 2,то вместо (15.9) имеет место уравнение〃力 + 〃〃д;卩〃雷 к+В^ХХ^и。，со=cok—陇—i喊 2,то вместо (15.9) имеет место уравнение〃力 + 〃〃д;卩〃雷 к+В^ХХ^и。，(15.13)(15.13)(15.14) Кортевега —(15.14) Кортевега —которое мы будем называть уравнением де Вриза ——Бюргерса (оно получается, например, из уравнений (9.12), (9.13) методом, изложенным выше).Аналогичным образом можно поступать и при других законах затухания. Например, учет затухания Ландау для ионно-звуковых волн в плазме, рассматривавшихся в § 6, приводит в случае малых 々 к дисперсионному уравнению (см., например, [60])которое мы будем называть уравнением де Вриза ——Бюргерса (оно получается, например, из уравнений (9.12), (9.13) методом, изложенным выше).Аналогичным образом можно поступать и при других законах затухания. Например, учет затухания Ландау для ионно-звуковых волн в плазме, рассматривавшихся в § 6, приводит в случае малых 々 к дисперсионному уравнению (см., например, [60])①=cok—В^з— ia\k\,①=cok—В^з— ia\k\,

瑞 т - ^

瑞 т - ^

получим уравнение КдВ

&Е 近 Co dr3

Решение этого уравнения /(^, т)

получим уравнение КдВ

&Е 近 Co dr3

Решение этого уравнения /(^, т)

=0 •

=0 •

y + 1

2尸,

y + 1

2尸,

(15.11

(15.11

(15.12)

(15.12)

однозначно

однозначно

опреде-

опреде-

ляется граничным условием /(0, т)^/(0, /).

Наконец, заметйм, что если диссипацией нельзя пре-

ляется граничным условием /(0, т)^/(0, /).

Наконец, заметйм, что если диссипацией нельзя пре-

небрегать и закон дисперсии имеет вид

небрегать и закон дисперсии имеет вид

со=cok—陇—i喊 2,то вместо (15.9) имеет место уравнение〃力 + 〃〃д;卩〃雷 к+В^ХХ^и。，

со=cok—陇—i喊 2,то вместо (15.9) имеет место уравнение〃力 + 〃〃д;卩〃雷 к+В^ХХ^и。，

(15.13)

(15.13)

(15.14) Кортевега —

(15.14) Кортевега —

которое мы будем называть уравнением де Вриза ——Бюргерса (оно получается, например, из уравнений (9.12), (9.13) методом, изложенным выше).

Аналогичным образом можно поступать и при других законах затухания. Например, учет затухания Ландау для ионно-звуковых волн в плазме, рассматривавшихся в § 6, приводит в случае малых 々 к дисперсионному уравнению (см., например, [60])

которое мы будем называть уравнением де Вриза ——Бюргерса (оно получается, например, из уравнений (9.12), (9.13) методом, изложенным выше).

Аналогичным образом можно поступать и при других законах затухания. Например, учет затухания Ландау для ионно-звуковых волн в плазме, рассматривавшихся в § 6, приводит в случае малых 々 к дисперсионному уравнению (см., например, [60])

①=cok—В^з— ia\k\,

①=cok—В^з— ia\k\,

心产心产aa

心产

心产

a

a

а Со и Р определены в (6.9). Соответственно вместо (15.14) получаем

ut-\~uux-\~L 同+B〃g=0, (15.14а) где L [и]——линейный оператор, определяемый выражением

J 2л

〃(忆')eik(x~x，)dx^

Используя соотношениеИспользуя соотношение

Используя соотношение

Используя соотношение

8

"几间_P Са/hzk J z

где P ——символ главного значения, нетрудно убедиться, ЧТО [61]

8

1[и]^±р \ 丄工必色上(15.146)

Параметр дисперсии 0 в уравнениях (15.9) и (15.14) может иметь оба знака (в отличие от коэффициентов затухания, которые всегда положительны). Поскольку эти уравнения инвариантны относительно замены-

一w, %т^―-х, f—f, 『B， (15.15)

то решения уравнений (15.9) и (15.14) при 6Vo можно получить из соответствующих решений при 卩＞0 путем преобразования (15.15). Таким образом, не нарушая общности, мы можем считать параметр 0 положительным, что и будет предполагаться в дальнейшем.

Остановимся теперь на вопросе о стационарных вол нах, описываемых уравнением КдВ (для уравнения (15.14) этот вопрос рассматривается в § 23). Полагая в (15.9) u=u(x~W^, получим уравнение 眦"+〃〃，一 —М〃，=0, которое совпадает по форме с уравнением (10.5), описывающим стационарные решения уравнений Буссинеска. Таким образом, стационарные решения уравнения КдВ представляют собой солитоны и периодические волны, подробно рассмотренные в § 10 *).

§ 16. Законы сохранениядля уравнения Кортевега — де Вриза

Уравнение КдВ может быть написано в дивергентной форме

*) О затухании солитонов, обусловленном диссипативными членами в уравнениях (15.14) и (15.14а), см. [61, 62].

л

имеющей вид закона сохранения «импульса» \ w (х, t)dx.

Умножая обе части уравнения КдВ на w и w2, после несложных вычислений получим еще два закона сохранения

+ 2utUx) + В% 厶+ 2utUx) + В% 厶+ 0( иихх+ 0( иихх=0,=0,=0.=0.(16.2)(16.2)(16.3)(16.3)

+ 2utUx) + В% 厶

+ 2utUx) + В% 厶

+ 0( иихх

+ 0( иихх

=0,

=0,

=0.

=0.

(16.2)

(16.2)

(16.3)

(16.3)

Соотношение (16.2) можно интерпретировать как закон сохранения энергии. Что касается уравнения (16.3), то оно, по-видимому, не имеет достаточно простого физического истолкования (впервые на этот закон сохранения обратил внимание Уитэм [15】)・ Крускал, За- буски и Миура [55] получили ряд других независимых законов сохранения. После этого в работах [63, 64] было доказано, что уравнению КдВ отвечает бесконечное число сохраняющихся величин (инвариантов)

jIm = f Qm (^ 0 dx,(16.4)

:плотности которых Qm (x, f) удовлетворяют соотношениям вида

dQm (/，Z) , дрт (羽力 八* с е.

—■- Н——小、' = 0, m = l, 2, 3,(16.5)

■dtдх

…и являются (вместе с потоками Рт (х, £)) полиномами ；от р, w и пространственных производных 〃黑,иХХ1 иххх *). 卜 Рассмотрим коротко общую структуру плотностей * Qml^t Расположим члены в Qm[w] в порядке возраста

ния степеней параметра дисперсии 0. Тогда член, не

-содержащий 0, всегда пропорционален ит. Пользуясь 扌

Е *) Производные по времени можно исключить с помощью * Уравнения КдВ. Заметим также, что величины Qm(xt f) о пре де- ” ляются с точностью до выражений, являющихся полными производными ПО.

тем, что величины Q^Wl определяются с точностью до постоянного множителя, удобно писать этот член в виде ит/т. Далее, величина Qm^\ содержит члены, пропорциональные 0々 伍=1, 2, . . .), причем коэффициенты при РЛ имеют вид некоторых полиномов от и, и, wxx, . . ., общую структуру которых можно установить из соображений размерности. Каждое слагаемое должно иметь размерность ит\ поэтому, если общий член такого полинома имеет вид 〃Wk то показатели степеней должны удовлетворять условиям

/1+2/2+З/3+. . .=2少，1=т—厶—厶—* * -—々，(16.6) где

々=1, 2, . . tn—2.

(В частности, величины QJ以]и Q2[wl не содержат 0.) В качестве иллюстрации приведем здесь первые шесть плотностей сохраняющихся величин [55, 63, 64] *):

23

Qi [w] = 〃，Q2 也1 = ?，Оз [〃]==— ₽u^,

Qk [и]

3阿成+ Z俨成审

05同

_ 〃5

一 5 一

6陋諸+当『Ш4c_粵歴3

J35

(16.7)

О6也]

6 ，

10pu3u^ + 俨(一5或 + 18以%设)+

+『（一

Общий алгоритм вычисления численных коэффициентов при отдельных слагаемых в Qm[u], полученный в работах [63, 64], здесь рассматриваться не 6)щет. Мы укажем j только, что коэффициент в Qmlu] при члене, содержа- | щем § в первой степени, имеет довольно простой вид,;

а именно

Qm [«] = —- 0w一1)、n一2)磋产-3 +。們.(16.8)

Эту формулу можно использовать для вычисления Qm[w] в том случае, когда величина 0 является малым параметром.

Приведем также еще одно общее соотношение, а именно значение инварианта произвольного порядка

1т[и\ = ， Qm[u]dx для солитона, описываемого урав

нением КдВ. В этом случае

U = и$(X,U = и$(X,(16.9)(16.9)

U = и$(X,

U = и$(X,

(16.9)

(16.9)

(см. формулы (10.9), (10.10), где положено &3=0). В [65] было указано, что

寸』(Qm也J彰=/所2?(m ?!产淤…)/2,(16.10) J(2m — 1)!

где 睨 一 значение инварианта /т для солитона.

§ 17. Общая картина эволюции начальных возмущений в слабо диспергирующих средах

Предположим, что в слабо диспергирующей среде, где справедливы, скажем, уравнения Буссинеска (10.1), имеется некоторое одномерное начальное возмущение с амплитудой скорости и。и шириной порядка /. Если %«Со, т。возмущение можно считать слабо нелинейным и при не слишком большой величине / оно распадается на две квазипростые волны, бегущие в разные стороны СО скоростями, близкими К ±Со. Эволюцию каждой из этих волн можно исследовать с помощью уравнения КдВ (15.7) или ——в системе отсчета, движущейся со скоростью с0 относительно среды,— (15.9).

Рассмотрим теперь решение уравнения КдВ (15.9) при начальном условии

〃(招 O) = wo(p (х//),(17.1)

где (р(|)——безразмерная функция, характеризующая начальный профиль квазипростой волны.

Переходя к безразмерным переменным

П=什一，(17.2)

UqII

получаем уравнение КдВ и начальное условие (17.1) в виде 1

%+恤 + 方11g话=0，(17.3)

па, о)=Фа),(17.4)

где а —— безразмерный параметр, определяемый формулой

Из (17.3) и (17.4) следует, что решения уравнения КдВ, отвечающие начальным условиям с одинаковыми о и Ф (^), должны быть подобными между собой [67].

В частности, для всех солитонов, удовлетворяющих уравнению КдВ (см. формулу (16.9)), параметр о имеет одно и то же значение, которое мы обозначим через о$; если принять, что для солитона /=)/ 12§/а, то

(17.6)

Заметим, что величина о? определяет отношение нелинейного члена в уравнении Кортевега —— де Вриза к дисперсионному (в начальной стадии эволюции). Поэтому при малых значениях а2 дисперсионные эффекты проявляются гораздо раньше, чем нелинейные, а при больших — наоборот. Поскольку при этом для солитонов дисперсионные и нелинейные эффекты находятся в равновесии, то при

巒 «域(17.7)

возмущение будет слабо нелинейным, а цри

巒»。?(17.8)

—сильно нелинейным. Соответственно в случае (17.7) (и не слишком больших значениях f) возмущение будет приближенно описываться решением линеаризованного

г уравнения КдВ, рассмотренным в § 3. Оно имеет вид 扌 волнового пакета, изображенного на рис. 3.1 ).

:В случае (17.8) возмущение ведет себя сначала как

простая волна без дисперсии, т. е. крутизна профиля увеличивается там, где возмущение больше. При достаточно большой крутизне станет существенной дисперсия и в результате возмущение распадется на отдельные ; группы волн. Как показали численные решения урав- ；нения КдВ, проведенные в работах [66, 67, 55], и по- ； явившаяся вскоре аналитическая теория [6], эти группы в конечном итоге превращаются либо в солитоны, либо в почти линейный волновой пакет, который расплывается с течением времени.

Поскольку при этом скорости солитонов W пропорциональны их амплитудам: М=а/3 (см. (16.9)), то солитоны располагаются в порядке возрастания амплитуд, т. е. впереди будет наибольший. Быстро осциллирую- ： щий волновой пакет (или《хвост》，как мы будем называть в дальнейшем) остается сзади, так как, согласно дисперсионному уравнению линейной теории (о= =—吃 ), его групповая скорость отрицательна.

В качестве иллюстрации сказанного мы приводим рис. 17.1, где изображены численные решения уравне- ; ния КдВ, полученные в работе [67] для начального i импульса вида (р (^)=е-^2 и значений параметра а= 1,9 и(у=16,5. В первом случае возмущение распадается на один солитон и волновой пакет. Во втором — на шесть солитонов; волновой пакет при этом имеет очень ■ малую амплитуду и на рисунке не изображен. Нетрудно ： видеть, что вершины солитонов лежат примерно на одной прямой. Это связано с тем, что скорость солитона про- I- порциональна его амплитуде, поэтому расстояния, прой- I денные солитонами, будут пропорциональны их ампли- f тудам.

『 В работе [55] исследовалось «столкновение» двух I солитонов: солитон большой амплитуды, находившийся I вначале сзади, догонял солитон меньшей амплитуды. ' Возмущение, которое возникало после их наложения.

распадалось опять на два солитона, в точности совпадающих с начальными, но теперь уже расположенных в обратном порядке: больший солитон —— впереди, а меньший ——сзади. Этот результат по существу является

Рис. 17.1. Вид решений уравнения КдВ и (х, 0 при достаточно большом f для двух значений параметра подобия: п= 1,9 (слева) но=16,5, (справа).Рис. 17.1. Вид решений уравнения КдВ и (х, 0 при достаточно большом f для двух значений параметра подобия: п= 1,9 (слева) но=16,5, (справа).

Рис. 17.1. Вид решений уравнения КдВ и (х, 0 при достаточно большом f для двух значений параметра подобия: п= 1,9 (слева) но=16,5, (справа).

Рис. 17.1. Вид решений уравнения КдВ и (х, 0 при достаточно большом f для двух значений параметра подобия: п= 1,9 (слева) но=16,5, (справа).

экспериментальным доказательством устойчивости солитонов: они сохраняют свои характеристики после взаимодействия ). Аналогичные результаты —— образование солитонов и их сохранение после взаимодействия —— получены в работе [66] при начальном условии

，偌) = sinE・(17.9)

§ 18. Об аналитическом решении уравненияКортевега — де Вриза

Глубокие аналитические результаты, позволяющие понять ряд общих закономерностей эволюции возмущений, описываемых уравнением КдВ, были получены в работе [61 (см. также [68]). Оказалось, что амплитуды солитонов, образующихся из начального возмущения (17.1) (достаточно быстро затухающего*-при х-*±8), определяются собственными значениями некоторой крае-

вой задачи Штурма ——Лиувилля (или, выражаясь языком квантовой механики, уровнями энергии в некоторой потенциальной яме). Чтобы показать это, а также ряд других важных результатов, рассмотрим уравнение Шредингера

"23 爪⑴一и 住 切屮(羽 9 = °， (18.1)

где потенциальная энергия и(х, /), собственное значение Х(/) и волновая функция 屮"，/) зависят от / как от параметра, причем эта зависимость определяется тем, что v(xr t) удовлетворяет уравнению КдВ вида

S—vvx+Ухх.х=0,(18.2

и(х, 0)->0(%f ±8).(18.3)

Определяя и из уравнения (18.1) и подставляя в (18.2), получим 一儿屮2 =

=6[(屮提—屮j ["‘_3";T* + ^xxx -九中支) 三

=6 —•!( 4>— — 4>x )取一■十入)+ I. (18.4) дх дх / L 2j 丿

Если 入 принадлежит к дискретному спектру, то

J 屮2 &尤 сходится. Интегрируя обе части соотношения (18.4) по х, получим

儿=0,(18.5)

т. е. собственные числа дискретного спектра не зависят от времени. Что касается непрерывного спектра, то в этом случае можно считать, что соотношение (18.5) выполняется автоматически. Интегрируя дважды уравнение (18.4) и учитывая (18.5), получим

屮t - 4•心(u +九)+屮囂》Г "屮十石屮(18.6) 2J

где А (0 и В (/) — постоянные интегрирования. Если 屮(％) есть собственная функция дискретного спектра, то 占=0 (поскольку 3 экспоненциально затухает при

79

|x|foo). Из условия нормироЬкй J ^\2dx= Г ясно, что постоянная А также должна равняться нулю. Таким образом, зависимость собственных функций дискретного спектра от времени определяется уравнением

1

电 ■屮/и(а, ё) + 九］+ 屮Х窜黑=0.(18.7)

Рассмотрим теперь асимптотическое поведение 屮 при |х|->оо. Для собственной функции n-го уровня 屮几 получим (MV0)

屮 п (居 Е)~%«)ехр(—左几尤)(%f+8),(188)

^n(xt t)^dn (f)^(knX)(%■>—8),'

где

&=/f/6>0・(18.9)

Подставляя (18.8) в (18.7), будем иметь

薪«) = % ⑼ехр(4А^Е),

4 (0 = dn (0) exp (― 4焼力

Если 屮 принадлежит к непрерывному спектру, т. е. А〉0, то соответствующую ему собственную функцию мы выберем таким образом, чтобы она описывала волну, падающую из области х= + оо. Тогда асимптотика 、» имеет вид

(18.11)В-0,(18.12)(18.11)В-0,(18.12)W~exp (—洪尤)+ 匕(3 /) exp (ikx) (x->+oo), 屮〜a (財 /) exp (—ikx)(%f—oo).

(18.11)

В-0,

(18.12)

(18.11)

В-0,

(18.12)

Подставляя это в уравнение (18.6), получим /4= 4*3 и

a他 t)~a(kt 0),•

b® /) = Ь(А, 0)ехр (8炭3厶).

На языке теории рассеяния величины a(k, /) и имеют смысл коэффициентов прохождения и отражения соответственно. При этом они должны удовлетворять соотношению仆

旧2~Н〃?=1・(18.13)

Поскольку собственные значения дискретного спектра 九几 не зависят от времени, то ЛП( а также с^, % и коэффициенты отражения и прохождения a (A), b(k) можно в принципе вычислить, решив уравнение Шре-

дингера (18.1) при f=0, Т. ё. при потенциале, равном начальному условию для уравнения КдВ (18.2). С другой стороны, из общей теории рассеяния известно, что величины Хп, сп и b однозначно определяют потенциал в уравнении Шредингера (обратная задача теории рассеяния,— ОЗТР). Для того чтобы восстановить потенциал V по этим данным, надо составить интегральное уравнение ОЗТР для одномерного случая [69—71]

ОО

К (х, у) + В (х +у) + \ К(2, z)B(y + z) dz = 0, (18.14)

где

В(х) =— 1 b(k, t) exp (ik^ dk -h^4(0 exp (— knx);

J

(18.15)

鼠=(一儿/б)", Ц6»%

и решить его относительно К(х, у) при у》х. Тогда потенциал определится соотношением

и(/, Е) = — 12— К {х, х; Z).(18.16)

Эта процедура позволяет в принципе построить решение уравнения КдВ (18.2) по начальному условию и(х, 0). В частности, из (18.14) — (18.16) можно получить информацию относительно солитонов, образующихся из начального возмущения и(х, 0). Рассмотрим для этого асимптотику решения при ff 8 и х~8招力 где 々1 ——максимальное из чисел 龙".Из соотношений (18.9)—— (18.12) следует, что в этом случае 耳 правой части (18.15) можно пренебречь интегралом, а в сумме — удержать только главный член с 孔=1, т. е. положить

В (х, Е) с；(0)ехр (8碌一白岡・ (18.17)

Тогда асимптотическое решение уравнения (18.14) принимает вид [71]

К (名 у; Е) = — с； (0) ехр [—自(％ + у) + 8kft] X

X !1 + q (叽Xp [- 2A口 + 8碌]

I2电

Подставляя это в (18.16), будем иметь

р(х, 9 H — 12fei sech2 [fej (x — x0) — 4fei/|, (18.18) где

c； (0) = 2左]exp (2自£0)•(18.19)

Выражение (18.18) описывает солитон с амплитудой а= 12fe| и скоростью W=al3t т. е. представляет собой стационарное решение уравнения КдВ (ср. с формулой (16.9)).

Аналогичным образом можно получить асимптотический вид решения в области ff оо, %〜8々^力 В этом случае, очевидно, в качестве В (х, f) можно принять выражение (18.17), где вместо сь 財 стоят cn, kn. Соответственно решение уравнения (18.2) будет опять иметь вид солитона, параметры которого определяются числами kni сп. Таким образом, при /—8 и достаточно больших положительных х решение будет иметь вид совокупности солитонов, движущихся в положительном направлении со скоростями, пропорциональными их амплитудам

и (<т, £) = — £ 2 |Xn| sech2и (<т, £) = — £ 2 |Xn| sech2{/%{/%(£ 一 х0 一 Wnt)(£ 一 х0 一 Wnt)

и (<т, £) = — £ 2 |Xn| sech2

и (<т, £) = — £ 2 |Xn| sech2

{/%

{/%

(£ 一 х0 一 Wnt)

(£ 一 х0 一 Wnt)

Wn=/|AJ(18.20)

где 九几——собственные значения дискретного спектра уравнения Шредингера (18.1) при f=0.

Если теперь вернуться к уравнению КдВ в форме (15.9), а начальное условие писать в виде (17.1), то амплитуды образующихся солитонов ап связаны с собственными значениями уравнения Шредингера

2

炉⑴ + —[ф (I) +&12(§ = 0(18.21)

соотношениями

an = -2u0Ent ~(18.22)

где о — параметр подобия (17.5), а и0 — амплитуда начального возмущения (17.1).

Отсюда, в частности, следует, что если ф (|)<0, то солитоны не могут возникнуть, каково бы ни было о.

82

Если (р (I) удовлетворяет условию

，(p(*)dE=O, то со，(p(*)dE=O, то солитоны появляются только при достаточно большом о. Этот случай рассматривается в § 21.

，(p(*)dE=O, то со

，(p(*)dE=O, то со

S中阳成＞0, —8S中阳成＞0, —8(18.23)(18.23)Наконец, если

S中阳成＞0, —8

S中阳成＞0, —8

(18.23)

(18.23)

Г 002§屮化)朮(см. [72], § 45).Г 002§屮化)朮(см. [72], § 45).то уравнение Шредингера всегда имеет дискретный спектр; при малых о он состоит всего из одного собственного значения, которое может быть найдено по

Г 002

§屮化)朮(см. [72], § 45).

Г 002

§屮化)朮(см. [72], § 45).

02 теории возмущений —可

Соответственно при условии (18.23) всегда образуется по крайней мере один солитон, амплитуда которого при малых о приближенно равна

2 Г р2

。=等I中(日或-(18・24)

-0о

Условие применимости теории возмущений имеет при этом вид

(?«12 =。；(18.25)

где Os — значение параметра подобия для солитона (см. (17,6)).

Можно также получить достаточно простые выражения, определяющие амплитуду солитонов в другом предельном случае — при больших о. Этот вопрос мы рассмотрим в § 19.

Перейдем теперь к области малых и отрицательных значений х. Асимптотический вид решения в этой области при достаточно больших t определяется первым членом в правой части формулы (18.15). Из общего .вида этого члена и характера зависимости коэффициентов b от времени видно, что он описывает осциллирующий 《хвост», имеющий вид волнового пакета, о котором говорилось в начале этого параграфа. Детальное его исследование с помощью приведенных выше формул

затруднительно.

Хотя этот пакет и расплывается, его вклад в инварианты, в частности в «энергию» /2 и《импульс》/】остается постоянным, так что возникает вопрос об относительной величине этих вкладов. Для исследования этого вопроса будем исходить из законов сохранения /小(/)= = 4(0).

Пусть начальное возмущение распалось на N солитонов с амплитудами аг (г=1, 2, . . ., N) и волновой пакет. После того как солитоны разойдутся и сместятся на достаточно большое расстояние от волнового пакета, можно будет считать, что значение инвариантам/^(0) равно сумме соответствующих инвариантов для отдельных солитонов и волнового пакета.

Обозначая значение инварианта /т для волнового пакета через Гт и учитывая формулу (16.10), получйм законы сохранения в виде

丿呼.2m 孽-?产 У a^~l)/2+ Im = % (0), (18.26) (2лг — 1)! J

где

ЛЛ(0)=iQmEQ, 0)1姦三喀一呻％ f爲【$⑼限

(18.27) Введенная здесь величина Qm [ф (^)] есть плотность инварианта m-го порядка, в которую вместо и подставлено ф (g), а вместо р —— величина 1/а2:

0加 l，(E)]=Qw4〃]|y (口； В = 1/oZ

В частности,из формулы (16.8) вытекает соотношение 173] 僚[屮传)1 =

=— -1.(他一 1)(飽一2) ф2 吸一3 +。g-4), (18.28)

т2仆

которое является асимптотическим выражением для Qm (自)при больших <т (но не обязательно малых В) ).

:Не останавливаясь на случаях, когда f 屮(自)dg=O

” и заведомо ясно, что вклад волновых пакетов в /^ превышает или сравним с вкладом от солитонов, будем предполагать, что выполняется условие (18.23). Если :при этом а2/12 достаточно мало, то образуется всего один солитон, амплитуда которого определяется формулой (18.24). Подставляя ее в уравнение (18.26) при /п=2, получим, что энергия солитона является величиной второго порядка малости относительно п2/а|, так что основная часть энергии начального возмущения остается в «хвосте». Что касается импульса (или площади контура), то нетрудно убедиться, что импульс 'солитона вдвое превышает импульс начального возмущения, так что площадь контура «хвоста» отрицательна и равна по величине площади профиля начального возмущения.

С другой стороны, если начальное возмущение удовлетворяет условию

ф(^)>о,(р(±8)= 0,(18.29)

а величина параметра подобия о достаточно велика, то, как показывает анализ, проведенный в работах Е [73, 74], вкладом волнового пакета в инварианты 1т Р можно пренебречь.

I

Рассмотрим, например, начальное возмущение с профилем

(p(g)-sech2L(18.30)

В этом случае уравнение Шредингера (18.21) имеет простое аналитическое решение (см., например, [72], §§ 23, 25) и для амплитуд солитонов получается выражение

J年+2炉/3 -2#；(18.31)

•r = l, 2,NV°(1 +，1 +2炉/3).

I2

卜 Подставляя (18.30) и (18.31) в формулы (18.26), (18.27), J мы можем определить величины Гт11т (0), характери- * зующие относительные вклады волнового пакета в инварианты различных порядков. Результаты иллюстри-

руются следующей ниже таблицей, где приведены значения величины Гт / 1т (0) (в процентах) для первых пяти инвариантов при различных значениях параметра о. Через N обозначено число солитонов, образующихся при данном о.

50500005001223-^^^04650500005001223-^^^046—5,33 —7,16 —5,75 —3,30 —2,94 —2,09 — 1,61-1,17 —0,98 —0,80—5,33 —7,16 —5,75 —3,30 —2,94 —2,09 — 1,61-1,17 —0,98 —0,80—0,090,07-0,130,07—0,070,03—0,025,10-з-8-Ю-3МО-3-3-Ю-35-10-<—ью-3ыо-4—6・10-45-Ю-5-3，10一2-Ю-6-2・10一ыо-5—0,090,07-0,130,07—0,070,03—0,025,10-з-8-Ю-3МО-3-3-Ю-35-10-<—ью-3ыо-4—6・10-45-Ю-5-3，10一2-Ю-6-2・10一ыо-5813194311 - 25310^0000 ооооооооо «813194311 - 25310^0000 ооооооооо «9720000000ООО11111119720000000ООО1111111

5050000500

1223-^^^046

5050000500

1223-^^^046

—5,33 —7,16 —5,75 —3,30 —2,94 —2,09 — 1,61

-1,17 —0,98 —0,80

—5,33 —7,16 —5,75 —3,30 —2,94 —2,09 — 1,61

-1,17 —0,98 —0,80

—0,09

0,07

-0,13

0,07

—0,07

0,03

—0,02

5,10-з

-8-Ю-3

МО-3

-3-Ю-3

5-10-<

—ью-3

ыо-4

—6・10-4

5-Ю-5

-3，10一

2-Ю-6

-2・10一

ыо-5

—0,09

0,07

-0,13

0,07

—0,07

0,03

—0,02

5,10-з

-8-Ю-3

МО-3

-3-Ю-3

5-10-<

—ью-3

ыо-4

—6・10-4

5-Ю-5

-3，10一

2-Ю-6

-2・10一

ыо-5

813194311 - 25310^0000 ооооооооо «

813194311 - 25310^0000 ооооооооо «

9720000000

ООО1111111

9720000000

ООО1111111

о*

^mg(°)(в процентах)

m= 1

т= 2

т=3

т— 4

т=5

Из приведенных данных видно, что относительные значения инвариантов для волнового пакета убывают при увеличении а и т; при этом даже для N=2 вклад волнового пакета невелик. Эти выводы справедливы и для других типов начальных возмущений, например Для 屮(£)=ехр(—F).

§ 19. Асимптотические выражения для амплитудсолитонов и «хвостов» при больших а

При больших значениях параметра о число образующихся солитонов, вообще говоря, также велико, так что их можно характеризовать функцией распределения F (а), определяющей число солитонов dN с амплитудами в интервале (a, a+da) [65]

dN=F(a)da.(19.1)

С другой стороны, плотность числа уро&ней уравнения Шредингера (18.21) при больших о определяется квази- классической формулой (см., например, [72], § 48) 騎=[^)"2(28尸卜中偌)一初一"2竭 Ф(?)>£. (19.2)

/〃)/〃)(19.3)условием(19.4)(19.3)условием(19.4)Учитывая (18.22), получаем следующее выражение для плотности числа солитонов при больших о):

/〃)

/〃)

(19.3)

условием

(19.4)

(19.3)

условием

(19.4)

4л \3uqJ £ К2u0(p (I) — а

где область интегрирования М определяется

2иоср 化)>а・

Из (19.3), в частности, следует, что амплитуды солитонов не превышают удвоенного максимума начального возмущения (17.1)

£(а) = 0 при a>2u0 max(p(g). (19.5)

)d支强).屮⑴>0)d支强).屮⑴>0(19.6)(19.6)N = \ F (a) da =оN = \ F (a) da =оИнтегрируя (19.3), получаем асимптотическое выражение для полного числа солитонов [65, 751

)d支强).

屮⑴>0

)d支强).

屮⑴>0

(19.6)

(19.6)

N = \ F (a) da =о

N = \ F (a) da =о

Таким образом, при больших о число солитонов определяется вкладом только тех областей, где начальное возмущение положительно:屮化)>0.

Оценим теперь величину «хвоста» (волнового пакета), которая определяется значением инвариантов 〃. При больших о уравнения (18.26), (18.27), выражающие законы сохранения, принимают вид

(120)"22т；(龍 _;产 j dmT)/?歹 ® ^ + 1т =

Фта)0)彰.(19.7)

Подставляя сюда (19.3), получим [751

—\ dxiT (х, 0), тп = 1, 2,… (19.8)

и (х, 0) <0

Такйм образом, величина // при больших <т Содержит вклады только тех областей, где начальное возмущение отрицательно. Если 〃(,％ 0)>0 при всех х, то из (19.8) следует, что /二=0, так что в этом случае можно говорить (с асимптотической точностью), что возмущение полностью распадается на солитоны. Результаты чис - ленных расчетов, приведенные в предыдущем параграфе, показывают, что этот результат, а также формула (19.6) имеют хорошую точность и при сравнительно небольших о (см., например, таблицу на стр. 86).

Наконец, остановимся еще на одном аспекте изложенных в этом параграфе результатов [73]. Поскольку из определения числа о (17.5) вытекает, что предельный

Рис. 19.1. Сравнение асимптотических решений уравнений и^ии^ =0 — кривая ABDEP (a), ut-\-uux=\iuxx (ц ^0) — кривая АВС (ак и^иих-г^ихХх~0 (6^0)——сплошная кривая (6).Рис. 19.1. Сравнение асимптотических решений уравнений и^ии^ =0 — кривая ABDEP (a), ut-\-uux=\iuxx (ц ^0) — кривая АВС (ак и^иих-г^ихХх~0 (6^0)——сплошная кривая (6).

Рис. 19.1. Сравнение асимптотических решений уравнений и^ии^ =0 — кривая ABDEP (a), ut-\-uux=\iuxx (ц ^0) — кривая АВС (ак и^иих-г^ихХх~0 (6^0)——сплошная кривая (6).

Рис. 19.1. Сравнение асимптотических решений уравнений и^ии^ =0 — кривая ABDEP (a), ut-\-uux=\iuxx (ц ^0) — кривая АВС (ак и^иих-г^ихХх~0 (6^0)——сплошная кривая (6).

случай о^>1 может реализоваться при конечных п0, / и §f 0, то полученные выше формулы определяют асимптотическое решение уравнения КдВ при малых значениях параметра р.

Рассмотрим это решение при .условии ср (^)^0 и сравним его с решением уравнения для простой волны в гидродинамике (см. § 13)

Ut~\~uux=0(19.9)

при тех же начальных условиях, а также с асимптотическим решением уравнения Бюргерса (1*25) при 卩-+0 (это решение определяется формулами (14.9) и имеет треугольный профиль с ударной волной на фронте).

Решение уравнения (19.9) при достаточно больших / изображается кривой ABDEF на рис. 19.1, а; а решение уравнения Бюргерса ——кривой АВС. При одинаковых начальных условиях площади этих кривых равны, по- 88

скольку из уравнений (19.9) и (13.25) вытекает сохране-

*ОО

ние импульсание импульсаи (х,и (х,t)dx.

ние импульса

ние импульса

и (х,

и (х,

Решение уравнения КдВ при §f 0 и 屮(己)戸0 состоит, согласно сказанному выше, из ряда солитонов, число которых растет как §一％, а ширина убывает как В*. Это решение изображено на рис. 19.1, 6.

Заметим далее, что при Р^-0 инварианты уравнения КдВ принимают, согласно (16.8), вид

1т = —\и，П ^ 0 &т J1т = —\и，П ^ 0 &т J(19.10)(19.10)

1т = —\и，П ^ 0 &т J

1т = —\и，П ^ 0 &т J

(19.10)

(19.10)

и, следовательно, совпадают с инвариантами уравнения (19.9), которое имеет бесконечное число законов сохранения вида

дх\т-\- 1 /дх\т-\- 1 /(19.11)(19.11)

дх\т-\- 1 /

дх\т-\- 1 /

(19.11)

(19.11)

Таким образом, при одних и тех же начальных условиях профиль Л BDEF и профиль, изображенный на рис. 19.1,6» имеют в предельном случае §f 0 не только одинаковые площади, но и другие инварианты вида (19.10).

§ 20. Автомодельное решение уравненияКортевега — де Вриза

Уравнение КдВ (15.9) инвариантно относительно преобразования

t—＞丫九 / — «/з/ и(20.1)

Поэтому ему удовлетворяет следующее автомодельное решение [20, 21]:

mд, ё) = 0(3盟)-%W((3巾)-%办(20.2)

Подставляя (20.2) в уравнение КдВ, получим обыкновенное дифференциальное уравнение для функции 屮(z): 炉"一—2ф=0.(20.3)

Мы ограничимся здесь исследованием решений этого уравнения, которые экспоненциально затухают при 89

zfoo [211. Таким образом, при z->8 мы можем пренебречь в (20.3) нелинейным членом. Полагая при этом 屮⑶=/'(%),(20.4)

получим для /(z) уравнение Эйри

/”⑵一才⑵=0,(20.5)

решение которого, экспоненциально затухающее при zfoo, имеет вид (3.4).

Таким образом, асимптотика рассматриваемых решений уравнения (20.3) определяется выражением

叭沪，咏*丿 dz叭沪，咏*丿 dz(Zf+оо)・ (20.6)(Zf+оо)・ (20.6)

叭沪，咏

*丿 dz

叭沪，咏

*丿 dz

(Zf+оо)・ (20.6)

(Zf+оо)・ (20.6)

Поведение этих решений при небольших и отрицательных значениях z можно выяснить с помощью численного интегрирования. Соответствующие результаты

Рис. 20.1. Вид функций i|?o(z), определяющих автомодельное решение

(20.2) уравнения КвД прн различных значениях постоянной с: °< ci < Qi < С農)< qn < civ-

изображены на рис. 20.1. Если постоянная с в (20.6) по модулю меньше некоторого критического значения

С^> <с<ЬЙ>, 關〜3, 為)~ —3, (20.7) то функции 屮 R) при отрицательных г осциллируют с медленно растущей амплитудой. При с>с為 решения

2 (z) имеют особенность; можно показать, что зта особенность есть полюс вида (z—а)。，где а — некоторое отрицательное число. Такие функции мы также рассматривать не будем.

Дальнейшие свойства решений при z-?оо можно установить следующим образом. Предположим, что постоянная с в (20.6) достаточно мала. Тогда решение уравнения (20.3) будет мало отличаться от производной функции Эйри и при отрицательных z. Исходя из этого, будем искать асимптотику 屮(z) при zt—оо в следующем виде:

2 (z) q (z) cos ("I" |z|"2 + В) + & ⑶ ®п (/ 忆产 +

(z-?—оо),(20.8)

:где Ci(z), с2 (^) — медленно меняющиеся функции. Под- ■ ста нов ка выражения (20.8) в уравнение (20.3) приводит к следующему результату:

:2 (z)z1/4 a cos (_| |z『/2 + 2)+

+ Bsin(gz|3/2 + ^)]+O(zT/2), (Zf — 8)(20.9)

где а и P — некоторые постоянные. Это соотношение хорошо согласуется с численными решениями.

Итак, рассмотренные нами автомодельные решения уравнения КдВ экспоненциально затухают при г-^оо, а при 之^—оо либо осциллируют с медленно растущей амплитудой, либо имеют полюс при к| >|скр|. По своему качественному поведению решения при к| <|скр| весьма близки к соответствующим автомодельным решениям линеаризованного уравнения КдВ.

§ 21. Квазилинейные решенияуравнения Кортевега — де Вриза

Автомодельные решения, рассмотренные выше, пред- тавляют собой лишь один пример решений, качественно подобных решениям линеаризованного уравнения КдВ, В этом параграфе мы рассмотрим более общий класс таких решений [57].

Остановимсй сначала на вопросе о нелинейных поправках к решениям линеаризованного уравнения КдВ (3.2). Последние представляют собой волновые пакеты, общий вид которых изображен, например, на рис. 3.1. В коротковолновой области этих пакетов осцилляции могут рассматриваться как квазистационарные синусоидальные волны с медленно меняющимися волновым числом k и амплитудой а (см. формулы (3.11) и (3.13)).

При учете нелинейного члена в уравнении КдВ соответствующие нелинейные поправки в первом приближении будут описываться членами порядка s2 в формуле (10.15), где s2 определяется уравнением (10.16). Отсюда следует, что условие малости нелинейных членов имеет вид

收 2а/3 读 2a(21.1)

Подставляя выражения для а и ^ из (3.11), (3.13) в (21.1), получаем

s2〜e拄广/恥旧3因"，(21.2)

где х(^) ——фурье-образ начального возмущения (см. формулу (3.10)). Рассмотрим теперь движение точки с постоянной фазой колебаний, например, гребня волны в пакете. Уравнения движения этой точки имеют, согласно (3.11), следующий вид:

z = (30 力)一 зх—const.

Определяя отсюда х и подставляя в (21.2), получим зависимость величины s2 от времени / для точки с фиксированной фазой

s屮)~旷仰力户收囱，Zconst.(削尸

Учитывая (3.10), получаем, что при больших t

金(х)~0 『⑸尸)/3,(21.3)

где рг — первый отличный от нуля момент начального возмущения:

ОО

歹几=，хпи (х, 0) &г,(21.4)

071Ho при /г<г, Рг，0. В частносФи, если

•ОО

Ро =0)d%#=0,(21.5)

—8

то s->оо при /->оо, т. е. нелинейные эффекты станут существенными при достаточно больших /, каким бы ；ни было малым начальное возмущение 〃.

Если ро=О, а .ВО, то из (21.3) следует, что при Qoo величина s2^-p_1p1=const. Таким образом, в этом случае величина s2 и вместе с ней нелинейные эффекты будут малыми при всех t, если они были малыми при малых t.

Исходя из этого, можно искать решение уравнения КдВ при

8

г。 = § m(名0)姦=。(21.6)

в виде, аналогичном (3.7), а именно

ОО

〃& %) = в 幽厂2/з£(3№)г%(*(21.7)

ГД^户

z=(3M)-”N,(21.8)

а屮片⑵一некоторые функции, которые поаналогии

с(3.7)мы будем предполагать затухающими приz-^oo：

屮&(8)=0.(21.9)

Подставляя (21.7) в уравнение КдВ, получим рекуррентную систему уравнений для 屮在(г)

屮& — z^u 一 伍 + 2)屮a +，屮p屮友-p(21.10)

которая определяет любую из функций 屮&(z) через первые k——1 функций. При 左=6 из (21.10) получается уравнение (20.3), т. е. первый член разложения (21.7) представляет собой автомодельное решение уравнения КдВ.

Исследуем теперь асимптотическое поведение решений системы (21.10). Благодаря условиям (21.9), при Zf оо можно пренебречь нелинейными членами 6 системе

93

(21.10), т. е. заменить ее линейными уравнениями

Оа, bh и dh выражаются через «丸,§在 следующим образом

屮丸一z屮在一（々+ 2）屮在=0,々=0, 1, 2, • ' •

Общие решения этих уравнений имеют вид 屮丸= где /(z) удовлетворяет уравнению

叁丸+1

。丸=—器£ (ak-pap — Pfe-pPp)；

f"(2)—г/(2)= const.

Ограничиваясь, как и в § 20, решениями, экспоненциаль но затухающими при z->8, мы должны положить const=0, так что асимптотика функций ^k (z) при zfoo имеет вид

加="^ £ «а-рРр；(21.13)

8 p=o

<4 =— £ (aft_pap + pA-рРр)'

必(z) n ck

戸'Ai (z)

dzh+i

产/2)(Zf 8),

(21.11)

где cfe —— постоянные. При k~0 мы возвращаемся к соотношению (20.6). Рассуждая далее, как и в предыдущем параграфе, можно заключить, что при zt—оо асимптотика функций 以(z) имеет вид

屮在(z)|z『/2+" а& COS (母 |z『/2 + 个)+

+ Ра sin (母 I俨 + §■)] +

+ |Z|ST"2

ак sin

+ bh cos

+ 4

(zy_oo), (21.12)

где мы выписали наряду с главными члены следующего порядка по z. Коэффициенты aft и pft в (21.12) определяются начальными условиями; постоянные слагаемые в фазах добавлены из соображений удобства, а величины

94

При fe=0 формулы (21.12) и (21.13) дают, естественно выражение (20.9).

Из соображений, изложенных в начале этого параграфа, следует, что при условии (21.6) и о->0 разложение (21.7) должно переходить в (3.7). Это позволяет написать приближенные выражения для коэффициентов cft, «丸，卩丸 через моменты начального возмущения, справедливые при малых о:

% =。(。2)他二°，1，2,…)，(21.14)

! рИ 冗(左 + 1)!

+。d)； a2m+i =。(碎；

РИ л {2т + 1)!

际=。(巒)；m，=諾^ +。(巒)⑵」5)

W = 0, 1, 2, •••)•

, Что касается общего разложения (21.7) и асимптотических выражений для 屮丸 R), то они справедливы и при о~1. Хотя определить коэффициенты с^, a^. Ph в этом случае, вообще говоря, нельзя, из формул (21.7), (21.11), (21.12) можно извлечь полезную информацию I относительно общего вида асимптотики решения при {больших 尤.

Подставляя, например, соотношения (21.12) в (21.7), [ получаем следующее асимптотическое выражение для

+謊号叭⑻"式竹叫事产）-+謊号叭⑻"式竹叫事产）-(21.16)(21.16)月二同3m%,n = 0月二同3m%,n = 0

+謊号叭⑻"式竹叫事产）-

+謊号叭⑻"式竹叫事产）-

(21.16)

(21.16)

月二同3m%,

n = 0

月二同3m%,

n = 0

решения при больших отрицательных z: 〃='"{У］伍)COs(|jz|3/2 + §) +

+ 屮2 (A) sin ("I" |z『/2 + ~- ^ +

-J M 值)一钾仅)1 Sin (>!阂 3/z) 一^ M 伍)+ %同］},

где

z = (30E)-% 看(21.17)

屮2他)=0£g肝・(21：18) 0

В предельном случае 仃«1, когда имеют место соотношения (21.14), (21.15), выражения (21.18) принимают в соответствии с (3.10), (3.11) вид

4flp (什/向 Tim % (现 4f2M/j/£)TRe% (初 (21.19)

где 乂他)一фурье-образ начального возмущения и (х, 0). При о~1 соотношения (21.19) уже не имеют места. Тем не менее формула (21.16) полезна и в этом случае,, так как она содержит важную информацию относительно общего характера решения. Из нее следует, что решение при х<0, |z|》4 имеет вид синусоидальных волн, фаза которых зависит от х, f, как |z|%, а амплитудные коэффициенты главной гармоники Тх, 4f纟 зависят от х, t только через локальное волновое число А, определяемое формулой (21.17) ). При этом общая зависимость фаз и амплитуд главной гармоники от х и Этакая же, как и в решении линеаризованного уравнения КдВ. В связи

f с этим мы будем называть решения вида (21.7) квазили- t нейными решениями *).

g Оказывается, что квазилинейные решения существуют только при ova, где о。一 некоторое критическое значение числа о. Это вытекает из того, что все функции

Рнс. 21.1. Эволюция возмущений, описываемых уравнением КдВ прн начальном условии (21.21) н о=2. Кривые /, 〃，III отвечают моментам времени %=(), т2>0 и т3>т2.

4>fe (г) определяются уравнениями (21.10) через функцию 屮о ⑵，входящую в автомодельное решение. Последнее же, как следует из результатов § 20, является регуляр- I ным лишь при условии (20.7). Используя для грубой ；оценки формулу (21.14) при А=0, получаем, что из (20.7),

*) Фаза выражается через локальное волновое число та к же, как н в плоской волне с законом дисперсии з=—限；

"/3卜r"；々х—(ое.

96

4 В. И. Карпман

97

гидродинамическимигидродинамическимиБуссинеска (10.1) [57].Буссинеска (10.1) [57].уравнениямиуравнениями

гидродинамическими

гидродинамическими

Буссинеска (10.1) [57].

Буссинеска (10.1) [57].

уравнениями

уравнениями

следует pJPv7. Поскольку p^const-Z^o (〃о и / — характерные амплитуда и длина начального возмущения), то

o()«(7/const)%,(21.20)

где const〜1.

Численные расчеты показывают, что при значениях о, превышающих критическую величину о。，в головной

части решения возникает солитон (что естественно ожидать с точки зрения результатов § 18 ). Такие решения, разумеется, уже не могут иметь вида (21.7).

В качестве иллюстрации приведем результаты численных решений уравнения КдВ (полученных в работе [761) при начальном условии вида

"(瑞 0)=，黄 e-叫 (21,21) дху л

удовлетворяющем (21.6). Параметр подобия ст определен здесь как (wq/P)1^/. Соответствующие численные решения

изображены на рйс. 21.1—21.3. На первых двух рисунках представлены решения при о=2 и о=6 для трех моментов времени ^=0, т2> т3 (т3>т2>0). Мы видим, что при 0=2 (рис. 21.1) самый правый максимум неподвижен, а остальные движутся влево. При этом амплитуды

Рис. 21.3. Вид решения уравнения КдВ при начальном условии (21.21) и и=40.

всех максимумов убывают с ростом т. На рис. 21.2 (сг=6) видно, что головная волна движется вправо и при tf 8 отрывается от 《хвоста》， расплывающегося влево. При этом амплитуда этой волны при больших т перестает изменяться. Скорость движения максимума, определенная экспериментально, приближается к скорости солитона той же амплитуды, а профиль ее довольно точно совпадает с профилем солитона.

На рис. 21.3 изображен профиль численного решения при 0=40. Как видно из этого рисунка, здесь образуется не менее двух солитонов.

§ 22. Обтекание тонкого телав диспергирующей среде

Результаты предыдущего параграфа оказываются полезными при изучении обтекания тел в слабо диспергирующих средах, где течение можно описывать квази-

98

4*

99

Ограничимся Для простоты случаем плйскбпарйллёль ного потока, т. е. будем предполагать, что обтекаемое тело имеет вид цилиндра с сечением, изображенным на рис. 22.1, и образующими, параллельными оси г. При

^%^%Рис. 22.1. Поперечный разрез тела, обтекаемого потоком под некоторым углом атаки,Рис. 22.1. Поперечный разрез тела, обтекаемого потоком под некоторым углом атаки,

^%

^%

Рис. 22.1. Поперечный разрез тела, обтекаемого потоком под некоторым углом атаки,

Рис. 22.1. Поперечный разрез тела, обтекаемого потоком под некоторым углом атаки,

этом %三0. Будем также считать, что движение ста' ционарно и тело в нашей системе отсчета неподвижно- Тогда можно положить

"=几十V(p (招办(22.1)

где ф — потенциал скорости, a Vo — скорость потока вдали от тела, которую мы направим вдоль оси х. Для достаточно тонкого тела величину ф можно считать малой.

Ограничиваясь нелинейными членами второго порядка и полагая, как и в § 10, дисперсионный член малым, придем к следующему уравнению для потенциала:

^уу — (М? — 1)(рЖх{[2 + М2(¥ — 1)]屮代屮黑黑 + Со

+ 2屮*制} + — 05m=0,(22.2)

Co

где

M= V0/cQ

есть число Маха, с0 ——фазовая скороспкволн в линейном приближении при 左—0,卩一параметр дисперсии, а ? — показатель «адиабаты» соответствующей гидродинамики (см. §§ 5—7). Уравнение (22.2) при Р—0 совпадает с точностью до нелинейных членов второго порядка включительно с уравнением для потенциала скорости при двумерном стационарном обтекании (см. 11], урав-

|- Ненне (106,3)). Здесь мы будем рассматривать только I сверхзвуковое обтекание, когда 从〉1. Для того чтобы I можно было пренебрегать нелинейными членами третьего 卜 и более высокого порядка малости, необходимо потре- $ бовать, чтобы обтекаемое тело было достаточно тонким, 「а именно

/峥 М, (22.3)

где b — эффективная толщина, а / — длина тела. Кроме того, длина дисперсии 6=(р/со)1/» также должна быть малой по сравнению с 厶 Малым должен быть и угол атаки а.

В дальнейшем мы будем рассматривать уравнение (22.2) при граничном условии, состоящем в равенстве нулю нормальной составляющей скорости на поверхности обтекаемого тела, т. е.

Кфх + к)S4) /± (/〃)一屮儿=叭(М尸 0, (22.4)

где y=bf土®I)——уравнения верхней и нижней линий профиля тела соответственно (рис. 22.1).

Если бы дисперсии не было, т. е. Р=0, то для достаточно тонкого тела течения в областях у>0 и у<0 имели бы вид простых волн (с точностью до членов третьего порядка по 勺[1]), т. е. было бы 屮^=尸±(4), где

〃=%, (22.5)

а 戶土(〃)一 некоторые функции, имеющие разный вид в верхней и нижней полуплоскостях. Эти функции удовлетворяют одной и той же системе уравнений

[件2—1)+3伫一f，(u) — 2也时) ^ = 0, дх Lс0 J ду

(22.6а)

а =——[2 + М2 (у — 1)];

月3丝一电=0, (22.66) дх ду

первое из которых следует из соотношения %尸 =F'(〃)-|^-h уравнения (22.2), где положено 0=0, а второе получается из ФХГ/=Ф7Х и (22.5). Чтобы эта система имела нетривиальные решения для ди!дх и ди^у.

получаеми первогополучаеми первого旬士 /AV - 1 % ±旬士 /AV - 1 % ±UUX +UUX +(т + 1)мз 加而二I自(т + 1)мз 加而二I自(22.13)(22.13)

получаеми первого

получаеми первого

旬士 /AV - 1 % ±

旬士 /AV - 1 % ±

UUX +

UUX +

(т + 1)мз 加而二I自

(т + 1)мз 加而二I自

(22.13)

(22.13)

ёё определитель должен равняться нулю. Отсюда получается следующее уравнение для F (и):

尸2_2 (М/с。/*—(Ш/+М2—1)=0.

Решение этого уравнения с точностью до членов второго порядка по 〃 включительно имеет вид

厶仅)=土/解二1以 士醬耳状，(22.7) 4и М2 — 1с0

где верхний знак берется для полуплоскости 乡＞0, а нижний — для yVO. Подстановка (22.7) в (22.66) приводит к уравнению

иу 士 匕将二1 % 士 2,^j^- uux = 0, (22.8) решение которого описывает упомянутые выше простые волны.

Пусть теперь Р=#0. Тогда течения в верхней и нижней полуплоскостях будут иметь характер квазипростых волн (при условии (22.3) и, разумеется, при малых Р). Для вывода соответствующих уравнений можно использовать подход, описанный в §§ 13 и 15.

Ищем решение в виде

屮产尸(〃)+£g(爲 у),(22.9)

где £=р/с()Ь2«1, g(x, у)——некоторая функция порядка единицы; a 尸(〃)по-прежнему определяется формулой (22.7). Как и в аналогичных случаях в §§ 13, 15 мы можем считать, что g(x, у) удовлетворяет уравнению

士/而二Fg*+gy=0(22.10)

(ср. с соотношениями (13.17) и (15.6а)).

Еще одно уравнение для g(%, у) можно получить, если подставить (22.9) в (22.2) и воспользоваться соотношениями 屮yx = 〃y и (22.7). После элементарных вычислений получаем

—(22.11)

с»I

F± (и) их 〃〃 к—£ga・(22.12) I

Исключая gx и gy из (22.10) — (22.12), с точностью до членов второго порядка по и порядка по £ включительно

где знак при корне совпадает со знаком у. Что касается граничного условия для этого уравнения, то в качестве такового следует взять (22.4), где вместо % подставлено (22.9), а 尸(〃)м g определяются выражениями (22.7) и (22.12) соответственно, т. е.

-у (u + Vq) /± (") 土，М? - [〃土

M3(y + 1)2_ 2М4Р

—^j7^^"十;У^1"』=5 = 0・(22.14)

Поскольку нас в дальнейшем будут интересовать лишь эффекты, обусловленные нелинейными членами в уравнениях, мы заменим (22.14) приближенным граничным условием

"f +陶『明(7 )匂一±0), (22.15)

которое получится, если в (22.14) опустить члены второго и более высокого порядка малости относительно величины f](W)$ являющейся малой для достаточно тонкого тела *).

*) Поправки к (22.15) можно получить, решая (22.14) последовательными приближениями и рассматривая (22.15) как первое приближение. При этом добавку к решению, связанную со вторым приближением в граг!ичном условии, достаточно вычислять уже В пннМмом приближении.

Hl

Перейдем к новым (безразмерным) переменным:

У(Т + 1)МЧ т 一 2 (М2 - 1) Z2 '

Тогда уравнение (22.13) примет вид уравнения КдВ

с0Ы (у + 1)

(22.18)

%+"恥+8%需=°，(22.17)

где、

Уравнение (22.17) должно решаться при условиях

?(T=0, 三) = /±(一自)，(22.19)

自=8)=0.(22.20)

Одновременно мы получили следующий закон подобия: все течения, возникающие при обтекании подобных друг другу контуров (т. е. определяемых одинаковыми безразмерными функциями /± (^)), и с одинаковыми числами В подобны. Число В играет роль, аналогичную величине 1/*(22.21)

где ст ——параметр подобия, определенный в § 16. Таким образом, чем меньше величина В, тем больше степень нелинейности.

Для определения общего качественного характера течения за телом важно знание первых моментов начального условия (22.19):

Рп = \『捻(-Ю 恋 仇=о, 1).

В частности, нетрудно убедиться, что если угол атаки отличен от нуля, то ро=И=О・.。

Рассмотрим подробнее более простой случай, когда угол атаки равен нулю. В этом случае

р。 = 0, Pi = f 自了± (一自)ае Н，/± (三)d自 * °,(22.22)

где Лj, Л2 ——крайние точки тела. Таким образом, при обтекании тела под нулевым углом атаки течение опре- |

р Деляется решениями уравнения КдВ, рассмотренными 产 в предыдущем параграфе (см. формулы (21.7) и далее, ? где нужно сделать замены %Т, ^т, Р—В, В^ст-2).

Из этих результатов вытекает, что структура потока будет различной при малых и больших z=-(3St)~Vs^. Рассмотрим эти области подробнее. При этом будем предполагать, что 5>0 (переход к отрицательным В осуществляется заменой 口^—т|,三一>——三，т-^-т).

z<0, |z|》L Согласно формулам (22.16) это область, находящаяся внутри угла Маха и не слишком

Рис. 22.2. Линии равной фазы z= const при обтекании тонкого тела с углом атаки, равным нулю. I —линии Маха (z=Q), 〃 一z>U,

III — zVU, IV — солитоны.

близко примыкающая к линиям Маха (обозначенным цифрой / на рис. 22.2). Если 3>&=呜2, где величина Сто определена формулой (21.20), то течение описывается квазилинейным решением уравнения Кортевега ——де Вриза. В рассматриваемой области это решение дается формулами (21.16) — (21.18). Если пренебречь кратными гармониками, то линии равной фазы определяются уравнением z=const, или, в координатах х, у,

Z = 士у 士(22 23)

\и м2 — 1/

где с=——z (знаки 土 берутся для верхней и нижней полуплоскостей). На рис. 22.2 кривые этого семейства

обозначены цифрой//. Касательные к линиям (22.23)имеют угловой коэффициент, асимптотически приближающийся при y~^g к (М—1)%； значение параметра с возрастает в направлении от линии Маха (z=0) к оси х (z=oo).

Уравнение линий постоянного волнового числа 々=const имеет в координатах х, у вид z/=const-x, причем k возрастает от линии Маха к оси 尤(где 々=оо). Таким образом, коротковолновая область находится вдали от линий Маха, в то время как около последних волны, исходящие от обтекаемого тела, являются длинными.

Перейдем теперь к области длинных волн. Качественное представление о ней можно получить, рассматривая точки с фиксированным z&l и достаточно большими т: (3§工厂％»1. Тогда в формуле (21.7) можно ограничиться первым членом, который представляет собой автомодельное решение (20.2). Вид функции 业⑵ изображен на рис. 20.1.

Обозначим через z0 значение z, при котором G(z) имеет крайний правый максимум (будем называть его в дальнейшем первым). Из рис. 20.1 видно, что z()>0. При уменьшении параметра подобия ст (здесь а-2=В) функция G(z) стремится к соответствующему решению dA®) линеаризованного уравнения, т. е. к —£ , последнее же имеет первый экстремум при 2=0. Таким образом, zlO при уменьшении ст. Как показывают численные расчеты (см. рис. 20.1), z0 все еще очень мало даже при о->о。〜3, когда перестают существовать квазилинейные течения. Уравнение линии первого максимума (3Br)~I/«B=z=c в координатах х, у имеет вид (22.23), где с является отрицательной величиной, малой по модулю. Эта кривая изображена на рис. 22.2 пол номером /〃； она выходит за пределы угла Маха, а ее наклон при у~^8 уменьшается, приближаясь к наклону линии Маха.

При О。。(т. е. В<ст72), в профилях решения т) (В, т) появляются солитоны. Вершины последних «движутся» вдоль линий ^т)0т/3+const, f亚 т)0 ——амплитуда солитона. В координатах х, у уравнения этих линий имеют вид

■ т. е. представляют собой прямые, лежащие вне угла 『Маха (кривая /У, рис. 22.2). Их угловой коэффициент :увеличивается с амплитудой т)0； эти амплитуды не долж- 营 ны меняться после того как солитон сформировался. :Наконец, уточним область применимости всех наших

асимптотических выражений.

Соответствующее условие проще всего получить из уравнения (22.23), потребовав, чтобы второй член в правой части был значительно меньше первого. Тогда, принимая во внимание, что c~—z, получим

优一/碎二Г yy/次匸1加.(22.25)

Кроме того, условие Вт»1 (см. примечание *) на стр. 97) означает, что*

У〃》(〃6)2М-4(М2—I)1%,(22.26)

где 6=偉/&)% — длина дисперсии.

§ 23. Ударные волны в диспергирующих средах

Как мы видели в § 14, ударные волны небольшой интенсивности в газодинамике могут быть описаны с помощью уравнения Бюргерса. Чтобы выяснить влияние дисперсии на структуру ударной волны, можно исходить из уравнения Кортевега — де Вриза — Бюргерса (15.14).

Рассмотрим стационарные решения этого уравнения. Подставляя

u=u(x—Wt)(23.1)

в (15.14), получим для функции и (х) обыкновенное дифференциальное уравнение *)

眦〃一W+E (〃一取)=0.(23.2)

Интегрируя уравнение (23.2) один раз при условии **)

〃=〃' = 〃"=0 при %->оо,(23.3)

*) Напомним, что уравнение (23.2), как и (15.14), написано в системе отсчета, движущейся со скоростью & относительно среды.

**) Условие 卫(оо)=0 не нарушает общности. В соответствии с инвариантностью уравнения (23.2) относительно преобразования (10.6) оно означает фиксацию системы отсчета.

получим

时一卩以 + g "2 — "" = 6

(23.4)

При исследовании этого уравнения можно воспользоваться простой механической аналогией, основанной на том, что оно имеет вид уравнения движения частицы с массой 0 )

Р®*—掾 (23.5)

и силой трения с коэффициентом 卩,причем роль времени т играет —х. Вид Р (и) изображен на рис. 23.1. Если принять, что при т=—оо (т. е. х=оо) наша «частица» находилась в начале координат (〃=0), то при

Рис. 23.1. График эффективного потенциала (23.5): 0A=2Wt 0B=3W.Рис. 23.1. График эффективного потенциала (23.5): 0A=2Wt 0B=3W.

Рис. 23.1. График эффективного потенциала (23.5): 0A=2Wt 0B=3W.

Рис. 23.1. График эффективного потенциала (23.5): 0A=2Wt 0B=3W.

т=оо (尤=——оо) она окажется в точке / (и(—оо)=2昕), соответствующей минимальной энергии.

ww22Таким образом, решение уравнения (234) описывает ударную волну, скорость которой W (в рассматриваемой системе отсчета) связана с предельными значениями 〃(оо)=0 и 〃(一oo)=〃i соотношением

w

w

2

2

—, Au = и (—оо) — u (оо). (23.6)

2*

В системе отсчета, где среда покоится, скорость ударной волны есть А〃/2+со, а соответствующее число Маха

равно

М= 1 + А 〃/2co. (23.7)

Это выражение не зависит от дисперсии и совпадает с известной зависимостью между числом Маха и величиной скачка для слабых ударных волн.

Характер структуры ударной волны зависит от соотношения между дисперсионным и диссипативным параметрами р и р.. Если величина 卩 достаточно мала, то «частица» будет падать на дно «ямы», совершая колебания между ее стенками. В этом случае мы получаем волну с осциллирующей структурой (рис. 23⑵[77, 78L

Рис. 23.2. Структура ударной волны в диспергирующей среде при В>0.Рис. 23.2. Структура ударной волны в диспергирующей среде при В>0.

Рис. 23.2. Структура ударной волны в диспергирующей среде при В>0.

Рис. 23.2. Структура ударной волны в диспергирующей среде при В>0.

При очень малых значениях 卩 энергия частицы будет убывать достаточно медленно и первые несколько осцилляций на фронте волны будут близки к солитонам, движущимся со скоростью W:

и 3W sech2 [/號Toi)и 3W sech2 [/號Toi)(23.8)(23.8)

и 3W sech2 [/號Toi)

и 3W sech2 [/號Toi)

(23.8)

(23.8)

(можно показать, что расстояния между этими солитонами логарифмически растут при 卩->0 [77]). Если величина «коэффициента трения» 卩 больше некоторого критического значения р.кр, то движение «частицы» будет апериодическим и мы получим ударную волну с монотонной структурой, как и в обычной газодинамике.

Для определения значений диссипативного коэффициента 卩,отвечающих монотонному и осциллирующему профилям ударной волны, исследуем асимптотическое поведение решений уравнения (23.4) при 尤-^оо. Полагая в атом уравнении

(23.9)(23.9)и (尤)=«г- |-/(х)=Ли+/ (х),

(23.9)

(23.9)

(23.10) ехр (рх)9(23.11)(23.10) ехр (рх)9(23.11)Глава VВОЛНЫ ОГИБАЮЩИХГлава VВОЛНЫ ОГИБАЮЩИХ

(23.10) ехр (рх)9

(23.11)

(23.10) ехр (рх)9

(23.11)

Глава V

ВОЛНЫ ОГИБАЮЩИХ

Глава V

ВОЛНЫ ОГИБАЮЩИХ

где /(х) — малая величина, и линеаризуя его относительно /(х), получим для функции /(х) уравнение:

^Г-^f+Wf^

Решения этого уравнения пропорциональны причем

Отсюда следует, что ударная волна имеет монотонный профиль при 卩+卩кр И осцилляторный при 卩V^KP，где Р>кр=/4P 1F=]/2P А〃.(23.12)

Если 卩«卩кр，то асимптотический вид решения при х->—оо следующий:

сзади «хвоста». В этом случае нетрудно убедиться, что осциллирующий фронт ударной волны будет иметь вид, изображенный на рис. 23.3. Такой структурой обладают, например, «косые» ударные волны в замагниченной плазме, где параметр дисперсии 0 определяется формулой (7.20) (при условии ctg2 a>me/m^) [3% 40] ).

*) Оба типа осциллирующих ударных волн наблюдались экспериментально в плазме (см., например, [79]) и в нелинейных линиях передачи (электромагнитные ударные волны) [5].

Нелинейная геометрическая оптика

Методы исследования нелинейных волн, изложенные в предыдущей главе, основывались на предположениях о слабой дисперсии и одномерности колебаний. В этой главе мы изложим основы другого подхода, также связанного с рядом ограничений, но, тем не менее, имеющего большую общность и существенным образом дополняющего рассмотренную выше теорию. Основной идеей такого подхода (сформулированного в наиболее общем виде в работах Уитэма [15, 161 *)) является перенесение на нелинейную теорию методов геометрической оптики.

Как и в последней, мы будем предполагать, что параметры. характеризующие волну (амплитуда, частота, волновое число и т. д.), изменяются достаточно медленно на расстояниях порядка длины волны и за время порядка периода колебаний. Иными словами, мы будем считать, что волны мало отличаются от нелинейных стационарных волн, рассмотренных в третьей главе. Общий метод Уитэма, позволяющий получать уравнения для медленно изменяющихся параметров таких волн в первом (адиабатическом) приближении излагается в Приложении А. Здесь мы ограничимся более частным, но более простым методом, применимым для волн достаточно малой амплитуды, когда нелинейные члены можно учитывать в первом неисчезающем приближении.

。 В этом случае стационарные периодические волны мало отличаются от синусоидальных, т. е., пренебрегая кратными гармониками, их можно представить в виде

Ф = a cos 0, (24.1)

где 0 — фаза колебаний, имеющая в случае стационарной волны вид

Q=kx—①厶(24.2)

Частота стационарной волны в нелинейной теории зависит не только от 瓦 но и от амплитуды, а также, вообще говоря, других параметров, которыми в линейном приближении пренебрегают. Такую зависимость мы условились в § 12 называть нелинейным дисперсионным уравнением. Рассмотрим для простоты случай, когда частота зависит, кроме волнового числа, только от амплитуды а, так что нелинейное дисперсионное уравнение имеет вид )

0)=8 他2, а2) (24.3)

(среда предполагается изотропной). Считая амплитуду волны достаточно малой, мы можем написать уравнение (24.3) в виде

где функция ①⑹ 但2) определяет закон дисперсии в линейном приближении.

Пусть теперь волна слабо отличается от стационарной, т. е. ее можно представить в виде (24.1), где а=а(г, £) и

8(尸，/)=自尤一8()/+中(尸，/),(24.5)

3。= 3⑼(储).(24.6)

Здесь <р (г, %)——малая добавка к фазе, обусловленная ее нелинейностью и нестационарностЕю, и все величины мало изменяются на расстояниях порядка 2л/й0.

Положим теперь, как и в геометрической оптике,

з (尸,力)==(Оо — Ф(5(24.7)

dt

й(г, f)= ve(r, £)三瓦 + V(p (r, f)：(24.8)

Подставляя это в уравнение (24.4) и ограничиваясь

членами второго порядка по а, ▼$/瓦，получим

ф( + Иофх + -^ Иофх + 款(V丄屮)2 +

%=(), (24.9)О%=(), (24.9)О(24.10)(24.10)где

%=(), (24.9)

О

%=(), (24.9)

О

(24.10)

(24.10)

уравнение в видеуравнение в видеВ качестве второго уравнения мы возьмем переноса энергии, которое можно написать ^^ + div (а/) = 0.

уравнение в виде

уравнение в виде

dt

В нашем приближении для скорости переноса энергии 〃五 можно принять

〃Е (й, я2) = иЕ (й, 0) = Uo— J

т. е. считать иЕ равной групповой скорости в линейном приближении. При этом нужно учесть, кто й определяется выражением (24.8). 「В результате с принятой степенью точности получаем

(24.11)(24.11)辽 Е[| =询 + ^офх?

(24.11)

(24.11)

^Е±V丄 ф,

込+ Щ^> +不储5)+色V丄(a2V丄中)=0, (24.12) dt дхдх 鳥

где и0 и 〃； определены в (24.10).

[Система уравнений (24.9) и (24.12) полностью определяет эволюцию огибающей волны, характеризуемой величинами а (尸,f) и ф (г, £). Она, естественно, следует также из общей теории Уитэма в предельном случае волн малой, но конечной амплитуды (см. Приложение А).

Критерий неустойчивости стационарных волн

Применим уравнения (24.9), (24.12) к исследованию устойчивости нелинейных стационарных волн. При этом удобно несколько переопределить нелинейную добавку к фазе, положив

Ф (一 ^) -хр (г J t)-Ф (一 ^) -хр (г J t)-(25.1)(25.1)

Ф (一 ^) -хр (г J t)-

Ф (一 ^) -хр (г J t)-

(25.1)

(25.1)

где а。一 амплитуда-стационарной волны. Тогда вместо уравнения (24.9) будем иметь

屮f + "0屮工 +ий^х + ^ (V丄屮)2+ Q^](Y —廟)=°-

(25.2)

Замена (25.1) связана с тем, что в нелинейной стационарной волне частота, отвечающая данному значению k, отличается от соответствующей частоты в линейном приближении на величину (g^=) а^ (см. (24.4)).

Решение уравнений (24.12), (25.2), описывающее стационарную волну, имеет вид

(р==0,й^—й^^(25.3)

Рассмотрим подробнее уравнения (24.12) и (25.2) в одномерном случае. Тогда все величины зависят только от %, / и удобно перейти к новым переменным

占=х—〃/ x^u^t(25.4)

隽 —— координата в системе отсчета, движущейся с групповой скоростью линейного приближения 〃о). Уравнения' (25.2), (24.12) принимают вид

屮т + ；屮之 + 丄d —嗡=°' (25.5) 2 u0 \^ (а )/o

(a)+(出恥%=0,(25.6)

совпадающий по форме с уравнениями гидродинамики с показателем адиабаты у=2. При этом ср (^, т) играет роль потенциала скоростей, 。？——роль плотности. 114

F

Соответствен но квадрат скорости «звука» равен

* =京鳥2g7)

„ Отсюда следует, что если с^ V0, т. е.

:春施)V0，(25.8)

то рассматриваемая стационарная волна будет неустой- чивой. Этот результат был получен впервые Лайтхил-

'лом [80].

,Условие (25.8) определяет критерий неустойчивости по отношению к возмущениям, распространяющимся вдоль направления движения волны. Неустойчивость по отношению к поперечным возмущениям имеет место при

g9)

в чем легко убедиться, рассматривая решения линеаризованных относительно 屮 и 5。=。一а。уравнений (24.12), (25.2).

Замечательно, что для применения этих критериев достаточно знать только нелинейное дисперсионное уравнение..

Рассмотрим несколько примеров, о которых шла речь в §■ 12.

Гравитационные волны в глубокой воде. Нелинейное дисперсионное уравнение имеет в этом случае вид (12.7). Из него следует, что

т. е. такие волны неустойчивы относительно продольных возмущений [80] и устойчивы по отношению к поперечным возмущениям.

Электромагнитные волны в нелинейном диэлектрике. еЕслн нелинейная часть вектора поляризации определяется выражением (8.5), то дисперсионное уравнение имеет вид (8.10). Показатель преломления n=kc/m в этом случае можно написать в виде

m2(①,硝=就(①)(1 + a*,(25.10)

(25.12)(25.12)(25.11)(25.11)где а2= [Ер, а=А+В, а ио((о) — показатель преломления в линейном приближении. Используя соотношениягде а2= [Ер, а=А+В, а ио((о) — показатель преломления в линейном приближении. Используя соотношения

(25.12)

(25.12)

(25.11)

(25.11)

где а2= [Ер, а=А+В, а ио((о) — показатель преломления в линейном приближении. Используя соотношения

где а2= [Ер, а=А+В, а ио((о) — показатель преломления в линейном приближении. Используя соотношения

получаем, что стационарные волны неустойчивы относительно поперечных возмущений, если а>0, и неустойчивы относительно продольных возмущений, если a d ^1» V0 Таким образом, условие устойчивости имеет вид

а<0, ^[сопо(со)] >0- (25.13)

Аналогичным образом, исходя из уравнения (12.22), можно получить условия неустойчивости волн в модели нелинейного диэлектрика, где связь между полем и поляризацией определяется соотношением (12.8).

Остановимся на физическом смысле рассматриваемых неустойчивостей. При условии (25.9) фазовая скорость волн убывает с ростом амплитуды. Это приводит к тому, что небольшое усиление интенсивности в какой-нибудь области фронта волны приводит к его искривлению так, что он принимает вогнутую форму. Таким образом, рассматриваемое возмущение приводит к самофокусировке волны. Этот эффект для электромагнитных волн был предсказан Аскарьяном [81] и в настоящее время наблюдается экспериментально при прохождении лазерных пучков через ряд сред (см., например, обзоры [8, 91).

Что касается неустойчивости по отношению к продольным возмущениям, то ее можно толковать как само- модуляцию волны. В принципе она аналогична самофокусировке в пространстве (х, /)・

Следует отметить, что эффекты самофокусировки могут иметь место не только для почти Периодических волн, но, например, и в случае солитонов [82]. Пусть солитон движется вдоль оси х, а его амплитуда изменяется в направлении у. Если параметр дисперсии 卩 отрицателен, то участок с большей амплитудой движется медленнее и солитон принимает вогнутую форму. 116

При этом его амплитуда еще более увеличивается в области максимального искривления и мы получаем неустойчивость. При Р>0, наоборот, участок с большей амплитудой движется быстрее, амплитуда на этом участке начинает убывать, так что в этом случае вместо апериодического искривления формы солитона мы получаем малые гармонические колебания последней. Таким образом, солитон устойчив по отношению к поперечным возмущениям при Р>0.

§ 26. Эволюция волн огибающихв гидродинамическом приближении

Результаты, изложенные в предыдущем параграфе, описывают только начальную стадию эволюции очень малых возмущений плоской волны. В общем случае, когда мы имеем дело с волнами произвольной формы, надо исходить из полных уравнений (24.9), (24.12).

Оказывается, что в одномерном случае эти уравнения (которые сводятся к (25.5), (25.6)) в принципе могут быть решены аналитически [80, 83]. Мы рассмотрим здесь эти решения и вытекающие из них эффекты.

Предположим сначала, что волна устойчива относительно самомодуляции, т. е.

(26.1)(26.1)

(26.1)

(26.1)

и соответственно скорость «звука» (25.7) есть вещественная величина.

Простейшие точные решения системы (25.5), (25.6) в этом случае —— это простые волны огибающих, для которых расстройка волнового числа

乂三々一々о三<р《(26.2)

есть некоторая функция амплитуды 乂=f(a). Подставляя это в уравнения (25.5) и (25.6) (предварительно продифференцировав первое по 三)，получаем после простых вычислений

(а) = ± 2 —・

Отсюда следует, что

х = ±2с°(£_1)? (26.3)

竺 +3 纥』四=0, (26.4) дt \ 仅0 /兆

где величина с。определена формулой (25.7). Знаки 土 отвечают двум типам простых волн, распространяющихся в противоположных направлениях. Общее решение уравнения (26.4) имеет вид

а = Р^с0^1+3^^^, (26.5) где 尸(％) определяется профилем волны огибающей в начальный момент т=0.

Как и в газодинамике, возмущение, распространяющееся в невозмущенную область (и граничащее с последней) есть всегда простая волна (см., например, [1]). Поэтому, если, например, на границе среды, занимающей полупространство, имеется источник монохроматической волны с амплитудой а。и если в какой-то момент времени амплитуда на границе изменилась, то она будет распространяться в среде, как простая волна. Профиль последней, как видно из (26.5), деформируется так, что точка, где амплитуда имеет заданное значение а, перемещается со скоростью

(亲[="° + и°с° (' +3 (26-6)

(мы перешли к системе, где среда покоится, см. формулы (25.4), и взяли знак плюс перед с。，что соответствует волне, распространяющейся в положительном направлении). Из (26.6) видно, что чем больше значение а, тем больше скорость точки профиля, отвечающей этому значению амплитуды. В результате профиль возмущения будет укручаться до тех пор, пока не образуется разрыв амплитуды и соответственно волнового числа. Разумеется, здесь приближение нелинейной геометрической оптики теряет силу, так как градиенты амплитуды и волнового числа становятся большими вблизи точки опрокидывания. Поэтому дальнейший анализ эволюции возмущения может быть проведен на основе более точной тео-

рии, выходящей за пределы геометрической оптики. Эти вопросы рассматриваются в последующих параграфах.

Чтобы получить более общее решение уравнений (25.5), (25.6), описывающее не только возмущения на фоне плоской волны, но и эволюцию огибающей волнового пакета, преобразуем эти уравнения в линейные с помощью операции, аналогичной преобразованию годографа в гидродинамике.

Для этого будем считать, что величины а, 乂三屮《 являются независимыми переменными; таким образом, задача сводится к определению функций

Е=Е(а, %), т=т(а, х)(26.7)

из основных уравнений (25.5), (25.6), преобразованных к новым переменным.

Удобно ввести «потенциал» Ф:

①=汕 + т(рх — ф & т) +①=汕 + т(рх — ф & т) +(26.8)(26.8)

①=汕 + т(рх — ф & т) +

①=汕 + т(рх — ф & т) +

(26.8)

(26.8)

Предположим, что решение нам известно и потенциал Ф выражен с помощью (26.7) через а, х. Нетрудно убедиться, что

(26.10)

(26.11)

(26.12)

Эти соотношения определяют зависимости t=t (а, х)» 三=自(仪,х), если известна функция Ф(х, а). Чтобы получить уравнение для(D(k, &), воспользуемся уравнением

где

непрерывности (25.6). Учитывая формулы

а — а(% а)

——якобиан преобразования, получаем из (25.6) линейное дифференциальное уравнение для функции Ф(х, а)

5^ , 1 5Ф , @2 ①

(26.14)

которое вместе с соотношениями (26.11), (26.12) и начальными условиями определяет решение.

При а>0 (т. е. для устойчивых волн) уравнение (26.14) имеет вид волнового уравнения в цилиндрических координатах с радиальной симметрией. Положив

г=2/а а,

(26.15)

приводим его к виду

Or2 г dr Ох?

(26.16)

Пусть при т=0 задан профиль амплитуды, а расстройка волнового числа равна нулю, т. е.

T=八三)川(尤)，x=0(/=b6)(26.17)

(напомним, что переменные |, т связаны с координатой 尤 в лабораторной системе отсчета и временем / соотношениями (25.4)). Тогда из (26.11), (26.12) следует, ч1Ъ уравнение (26.16) надо решать при следующих начальных 120

условиях:

(■^Le=ur),

(26.18)

где ^(г)——функция, обратная f(E) в (26.17). Соответствующее решение можно получить, например, с помощью общего метода Римана (см., например, 185], §3.4). Оно имеет вид

Ф(х, г)=

(26.19)(26.19)

(26.19)

(26.19)

где 尸(^ , у , 1; z) — гипергеометрическая функция.

Соотношения (26.19), (26.11), (26.12) и (26.15) по зволяют в принципе определить эволюцию огибающей и момент образования «ударной волны» *) (когда рассматриваемая теория теряет силу). Качественно вся картина выглядит аналогично тому, как это было в простой волне огибающей, рассматривавшейся выше.

Иные результаты получаются для неустойчивых волн, когда а<0. В этом случае вместо (26.15) полагаем

2/=^а(26.20)

и получаем из (26.14) осесимметрическое уравнение Лапласа

遡+工四+遡 = 8(26.21)

0产 г дг 0必

} Решение этого уравнения может быть получено из (26.19), если сделать формальную замену xf—ix. В результате получим

Ф (х, г)=

=_Н 雌(р)(7)1/2唱，“•

(26.22)

При этом, однако, необходимо потребовать, чтобы функция I (р) была аналитической в некоторой области, содержащей положительную полуось р>0, и путь интегрирования должен находиться в этой области. Поэтому формула (26.22) определяет решение лишь при достаточно гладких начальных условиях.

В качестве достаточно простого интересного примера рассмотрим случай, когда при т=0 имеется симметричный волновой пакет вида

r=rof^/L^ м=0,(26.23)

/(0)=1, /⑵f 0(〜士 oo),

где /(z)——аналитическая функция в окрестности действительной оси, Го—— максимальная амплитуда, L —— длина пакета. Тогда функция |(г) имеет вид )

乳 г)=£Х%(г/%)(|>0),(26.24)

Е(г)=-£Х%(М) (|<0),

.где X (z)——функция, обратная /(z) в (26.23). Подставляя это в (26.22) и переходя к безразмерным переменным

г = ~, й = —, Ф = —,(26.25)

Г0「0го^

получим

(26.26)(26.27)(26.26)(26.27)Ф(й, r) = -y j dpX"2(p)(£x

(26.26)

(26.27)

(26.26)

(26.27)

Из (26.11), (26.20) имеем

= 2Ь±дФ£ _疝2工疝

T %戸疗'L 就r dr

Контур интегрирования в (26.26) должен проходить в области аналитичности функции 攵％(р), не пересекая

разрезов. Ясно, что функция Х〃(р) имеет точку ветвлб- ния при р=1 (^=г0). Беря в качестве разреза часть действительной оси, идущей от точки р— 1 до оо, мы можем вычислить искомое решение как при г<1 (У г а), так и при 7>1 (г>г0) (рис. 26.1) *).

Нетрудно теперь убедиться, что формулы (26.26) и (26.27) определяют при достаточно малых т непрерывные функции

=(26.29)

описывающие амплитудную и частотную модуляции волнового пакета, причем амплитуда г является четнойописывающие амплитудную и частотную модуляции волнового пакета, причем амплитуда г является четнойрис 26.1. Путь интегрирования в выражении (26.26).рис 26.1. Путь интегрирования в выражении (26.26).

описывающие амплитудную и частотную модуляции волнового пакета, причем амплитуда г является четной

описывающие амплитудную и частотную модуляции волнового пакета, причем амплитуда г является четной

рис 26.1. Путь интегрирования в выражении (26.26).

рис 26.1. Путь интегрирования в выражении (26.26).

функцией I, а добавка к волновому числу 北 ——нечетной. Оказывается, однако, что при некотором критическом значений времени т=ткр производная (£)т=т обращается в бесконечность при 1=0 (сама же функция 厂雋， ткр) остается, вообще говоря, всюду конечной) (рис. 2左2).

Чтобы определить значение ткр, достаточно заметить,

чточто(26.30)(26.30)

что

что

(26.30)

(26.30)

где А _ якобиан преобразования от переменных Е, т

к rt kidr ди дк drк rt kidr ди дк dr一 2乙2 ^2ф7 ^ф_2 ^ £ /^ ^фУго дгдх\ <?х2г ^г / ^г \ г 济丿_一 2乙2 ^2ф7 ^ф_2 ^ £ /^ ^фУго дгдх\ <?х2г ^г / ^г \ г 济丿_(26.31)(26.31)Из (26.30) видно, что особенность появляется при А=0. Для значений х—хКр и г=гкр, отвечающих этой особенности, имеем уравненияИз (26.30) видно, что особенность появляется при А=0. Для значений х—хКр и г=гкр, отвечающих этой особенности, имеем уравненияА -0,А -0,дФ . к дФ с-\=(J0% г дгдФ . к дФ с-\=(J0% г дг(26.32)(26.32)(второе из этих уравнений получается из (26.27), если положить там |=0).(второе из этих уравнений получается из (26.27), если положить там |=0).Рис. 26.2. Эволюция огибающей волнового пакета при разных / в приближении геометрической оптики (семейство верхних кривых изображает амплитуду а, нижних ——расстройку волнового числа 乂， приведенных к %) [80, 83].Рис. 26.2. Эволюция огибающей волнового пакета при разных / в приближении геометрической оптики (семейство верхних кривых изображает амплитуду а, нижних ——расстройку волнового числа 乂， приведенных к %) [80, 83].

к rt ki

dr ди дк dr

к rt ki

dr ди дк dr

一 2乙2 ^2ф7 ^ф_2 ^ £ /^ ^фУ

го дгдх\ <?х2г ^г / ^г \ г 济丿_

一 2乙2 ^2ф7 ^ф_2 ^ £ /^ ^фУ

го дгдх\ <?х2г ^г / ^г \ г 济丿_

(26.31)

(26.31)

Из (26.30) видно, что особенность появляется при А=0. Для значений х—хКр и г=гкр, отвечающих этой особенности, имеем уравнения

Из (26.30) видно, что особенность появляется при А=0. Для значений х—хКр и г=гкр, отвечающих этой особенности, имеем уравнения

А -0,

А -0,

дФ . к дФ с

-\=(J

0% г дг

дФ . к дФ с

-\=(J

0% г дг

(26.32)

(26.32)

(второе из этих уравнений получается из (26.27), если положить там |=0).

(второе из этих уравнений получается из (26.27), если положить там |=0).

Рис. 26.2. Эволюция огибающей волнового пакета при разных / в приближении геометрической оптики (семейство верхних кривых изображает амплитуду а, нижних ——расстройку волнового числа 乂， приведенных к %) [80, 83].

Рис. 26.2. Эволюция огибающей волнового пакета при разных / в приближении геометрической оптики (семейство верхних кривых изображает амплитуду а, нижних ——расстройку волнового числа 乂， приведенных к %) [80, 83].

Тогда из первого уравнения (26.27) получаем ) .ТкрConst • L/оа qq\

^кp г0 1口。]

где безразмерная величина const зависит только от формы профиля. Например, в случае, когда начальный вид

амйлитуДы определяется выражением1Лайтхилл получил [80, 83]амйлитуДы определяется выражением1Лайтхилл получил [80, 83]小小(26.34)(26.34)

амйлитуДы определяется выражением

1

Лайтхилл получил [80, 83]

амйлитуДы определяется выражением

1

Лайтхилл получил [80, 83]

小

小

(26.34)

(26.34)

const=0,69.(26.35)

На рис. 26.2 приведены численные результаты Лайт- хилла, характеризующие эволюцию волнового пакета при возрастании t.

Укажем еще, что в случае а<0, когда основные уравнения эллиптические, задача Коши, которая решалась выше, некорректна: малые изменения начальных условий приводят (вообще говоря, довольно быстро) к существенному изменению решения (что и выражается эффектом неустойчивости, о котором шла речь в § 25).

§ 27. Нелинейное параболическое уравнение

Как мы видели в предыдущем параграфе, приближение нелинейной геометрической оптики теряет силу (часто довольно быстро) из-за появления больших градиентов амплитуды и волнового числа. В этом случае основные уравнения необходимо дополнить членами со старшими производными, учитывающими отклонения от адиабатичности. Это проще всего сделать следующим образом.

Рассмотрим величину

①工屮(r.t) exp li(kQx—(aot)]t где

4r (r J)=a (r J) exp [，屮(r J)].(27.1)

Действительная часть Ф описывает рассматриваемые волны в случае достаточно малых амплитуд. В линейном приближении величина Ф удовлетворяет уравнению

[余一几向]0)=0,(27.2)

где k=—iV, (b=id/dtt a ^2=Fo(o>) — закон дисперсии в линейном приближении (т. е. функция Fq(s) обратна w(0) (fe2) в уравнении (24.4)). Если комплексная амплитуда (27.1) изменяется достаточно медленно, то можно

напнеать

"⑹①=卜。(3。)屮+ iX(3。)号一

—■尸0 (①。)exp [i (kQx -(d0^)K (27.3) где точками обозначены члены с производными третьего и более высокого порядка. Подставляя (27.3) в (27.2) и учитывая, что

а также

瓦(3。)=也，兄 ®)=也"也。),(27.4) u0口0

получаем с точностью до членов, содержащих вторые производные no / н % включительно *)

2/°(&+%屮J+耳嗚屮》+%А丄①=0・(27.5)

Подставляя сюда выражение (27.1) и беря действительную часть, получим

中t + MP* +卜。代 + -- (V丄中产 —

—ахх —A丄自=0.(27.6)

2a 2月修

Мнимая часть (27.5) в точности совпадает с (24.12).

Уравнение (27.6) отличается от (24.9) в двух отношениях. Во-первых, оно не содержит члена, пропорционального а2. Это связано с тем, что уравнение (27.6) получено из линейного уравнения (27.2). Во-вторых, оно содержит вторые производные а по координатам, которые отсутствуют в (24.9). Если бы мы исходили^как и выше, из метода геометрической оптики, подставляя выражения (24.7), (24.8) в линейное дисперсионное уравнение, то получилось бы уравнение (27.6) без вторых производных. Таким образом, из сопоставления уравнений (27.6)

и (24.9) следует, что уравнение для 屮 с учетом нелинейных членов порядка а? и членов с производными до второго порядка включительно должно иметь вид

6 + ^офх + ~

+ ТА丄а = °・(277)+ ТА丄а = °・(277)о 2а2 姬о 2а2 姬

+ ТА丄а = °・(277)

+ ТА丄а = °・(277)

о 2а2 姬

о 2а2 姬

Что касается второго уравнения, то оно, как мы видели, не отличается в рассматриваемом приближении от (24.12). Таким образом, второе уравнение имеет вид

批竣+ "。绅+旬"侬+誉V丄(0州丄中)=0. (27.8) dt дхдх «о

Уравнения (27.7) и (27.8) составляют полную систему для величин а (г, /) и ф (г, /), отличающуюся от соответствующих уравнений в приближении геометрической оптики (или в адиабатическом приближении Уитэма) наличием членов со вторыми производными ).

Систему (27.7) и (27.8) можно записать в форме одного уравнения для комплексной амплитуды, определенной соотношением (27.1), а именно

I 屮『屮=о.(27.9)

Существенно, что коэффициенты системы (27.7), (27.8) или уравнения (27.9) полностью определяются нелинейным дисперсионным уравнением (24.3). Поэтому волны различной природы можно рассматривать с

единой точки зрения, как это делается в §§ 25, 26. В частности, для электромагнитного поля в нелинейной среде с показателем преломления вида (25.10) уравнение для комплексной амплитуды электрического поля Е принимает вид

2i (£ + u0e^ 一要•俑Ex” + 誉 a丄e + 叫a 也е后 = 0,

(27.10)

где а — коэффициент при нелинейном члене в (25.10). При Et—0 это уравнение описывает дифракцию стационарного светового пучка с учетом нелинейных эффектов. Если пренебречь нелинейным членом и членом с Ехх (который имеет порядок отношения длины волны к ширине пучка), то получится так называемое параболическое уравнение приближенной теории дифракции [91]. В связи с этим мы будем называть (27.9) нелинейным параболическим уравнением. Уравнение (27.10) исследовалось в ряде работ в связи с явлением нелинейного самовоздействия света (см., например, обзоры [8, 91). Полученные при этом результаты, как видно из сказанного выше, можно распространить и на другие типы волн, которые описываются более общим уравнением (27.9). Ниже будут изложены важнейшие из этих результатов.

Рассмотрим прежде всего вопрос об устойчивости стационарной волны с точки зрения уравнения (27.9) или эквивалентной ему системы уравнений (27.7), (27.8) [92]. Решение этой системы, отвечающее плоской волне, имеет вид

Подставляя теперь в (27.7), (27”8) выражения

а = а。+ 5а,а = а。+ 5а,ср =ср =脸+屮1, о脸+屮1, о(27.11)(27.11)

а = а。+ 5а,

а = а。+ 5а,

ср =

ср =

脸+屮1, о

脸+屮1, о

(27.11)

(27.11)

где За, фг——малые возмущения, и линеаризуя получающиеся для них уравнения, придем к следующему

+ 萨 А丄 J 6а = 0.

дифференциальному уравнению для 6а：

Рассматривая решения

нальные ех

p[i(xr—QOh получим

(27.12) этого уравнения, пропорцио-

(Q — хцЧц)2

+渡

2

)・(27.13)

Из (27.13) следует, что стационарная волна неустойчива, если имеет место хотя бы одно из соотношений (25.8), (25.9). Таким образом, учет старших производных медленно меняющихся величин не меняет условий неустойчивости, полученных в приближении геометрической оптики. Изменяются лишь области значений х, отвечающие неустойчивым возмущениям (раньше неустойчивыми были возмущения при всех х, в то время как теперь — лишь при достаточно малых х).

Если при этом

>0,г4 V о,

(27.14)

ТО максимальный инкремент нарастания неустойчивости достигается при

,乂丄=0・(27.15)

о

Возмущения будут неустойчивыми в этом случае лишь при достаточно малых *丄.

Если

<0, uq< 0, о

(27.16)

5 В. и Карпман

то максимальный инкремент достигается при /=-2式禍)2，V。(27.17)

и возмущения будут неустойчивыми лишь при достаточно малых Иц.

Наконец, при

fe)o<O> ”；>°”18)

неустойчивыми могут быть возмущения, распространяющиеся под любым углом к направлению распространения волны.

При больших / линеаризованное уравнение (27.12) становится непригодным, и для исследования эволюции возмущений в этой стадии необходимо рассматривать нелинейные уравнения.

Рассмотрим, например, случай, когда (鼠)。>a №>°，(27」9)

т. е. стационарная волна устойчива. Переходя к переменным (25.4) и вводя новые поперечные координаты

получим основные уравнения в виде

Pt+V(pV屮)=0,(27.20)

ф, + -^(V(p)2+ С2(р) -^ А(Р1/2) =0, (27.21)

「 “ = " c2(P)U(措％(2722) Если пренебречь последним членом в (27.21), то уравнения (27.20), (27.21), как уже отмечалось выше, совпадают с уравнениями гидродинамики, где роль скорости играет V(p, плотности ——величина р=М, а с%(р)—— квадрат

скорости «звука» (соответствующий показатель «адиабата» у==2)・

Нелинейные эффекты приводят к укручению профиля огибающей волны; когда последний станет достаточно крутым, начнет играть существенную роль последний член в уравнении (27.21). Для выяснения эффектов, определяемых этим членом, рассмотрим сначала достаточно простой случай ——эволюцию возмущения на фоне плоской волны с амплитудой а。. Если в начальном возмущении величина р—р0 невелика по сравнению с pQ=a；, то благодаря устойчивости волны эта величина не будет возрастать и в дальнейшем, так что в первом приближении уравнение (27.21) можно написать в виде

Ф^ + ~ (V(p)2 + с2 (р) — Др н 0»(27.23)

24р0

Уравнения (27.23) и (27.20) имеют вид уравнений Буссинеска (10.1), так что мы можем использовать здесь результаты, полученные в предыдущих главах.

Например, одномерные волны огибающей, распространяющиеся в невозмущенную область исходной стационарной волны, можно считать квазипростыми и описывать уравнением Кортевега — де Вриза, которое в этом случае принимает вид (для возмущений, распространяющихся вправо)

Vt + (^о + ~ v) % + 卩也找 &(27.24)

где

丿咤，…cN (鳥)•")

Поскольку параметр дисперсии 卩 в этом случае отрицателен, возмущение распадается на ряд отрицательных солитонов и расплывающийся вправо волновой пакет. Соотношение между пакетом и солитонами определяется начальным возмущением в соответствии с результатами предыдущей главы.

Общая качественная картина эволюции, намеченная выше, сохранится, разумеется, и в том случае, когда Р—ро〜Ро・

В частности, при любых р—р0 уравнениям (27.20), (27.21) удовлетворяют решения, описывающие стацио- 5*131

нариые волны огибающей (уедииеииые и периодические). Такие решения нетрудно получить, подставляя в уравнения (27.20), (27.21) выражения вида

Р=Р(Е—Рт), ф=—с^т+(p1(g—Ут). (27.26)

В частности, выражения, описывающие солитон, имеют вид

Р = Ро — (р0 — pmin) sech2 * — ‘°,— = У(р — ро),

2 dl р

z = —f―-—(27.27) co “о — pmin /У Po

где pmy — минимальное значение величины с3 в солитоне. Мы видим, что в соответствии со сказанным выше солитон огибающей здесь представляют собой 《яму», перемещающуюся со скоростью V на фоне стационарной волны с амплитудой ао=ро** Разность фаз между точками, находящимися по обе стороны от солитона (формально между ^=оо и Е=—оо), есть

Дф = 1 ф- (5)或=一 2 arctg т/ ® - Pmm (27.28) -о»'Ро

Особый случай представляет солитон с pmin = 0. В этом случае

р=ро[1—sech2(g//0)],И=0,(27.29)

^Trfe^'7'(27-30)

Аф=—л.(27.31)

Отметим, наконец, что все вышеизложенное непосредственно переносится на задачу о нелинейной диф- ракции плоской волны на бесконечно длинной щели, перпендикулярной вектору kQ. Действительно, полагая в уравнении (27.9) d屮例=0 и считая, что отношение Длины волны к ширине щели достаточно мало, мы можем пренебречь членом с 8叩/汝汽 Тогда из (27.9) получится

吗+昜丄* "務加""Q7.32)

f Это уравнение совершенно аналогично нестационарному L параболическому уравнению; роль времени при этом г играет координата х. Соответственно уравнения для а % и ф, получающиеся из (27.32) при подстановке в него ；(27.1) и замене V丄 на д/ду, совпадают с одномерными 「уравнениями (27.20), (27.21).

j§ 28. Самомодуляция волн

Перейдем теперь к исследованию процессов нелиней- ；,но го самовоздействия волн в том случае, когда стацио- ；парные волны неустойчивы.

Рассмотрим сначала волны, неустойчивые относи- 'тельно продольных возмущений, т. е. будем предпола- ；гать, что имеют место условия (27.14). Опуская в основных уравнениях (27.7) и (27.8) производные по поперечным координатам и вводя новые переменные

Е = н —口区 т = — u^j(28.1)

получим

! <рт — — <р| + va2 += 0, (а2)т — (ф^2)^ = 0^(28.2)

'22а

:где

Рассмотрим прежде всего решения этих уравнений, описывающие стационарные волны огибающей [88, 89, 45]. Такие решения должны иметь вид

Ф = / (£ — Wt)—冠 vr, a = a^ — Кт), (28.4) где a0— произвольная постоянная, a /(g) и o(占)——некоторые ограниченные функции. Подставляя (28.4) во второе из уравнений (28.2), получнм

f (Е) = —^ («2 — «о —自3， ‘(28.5)

где 01— постоянная интегрирования, которую мы будем в дальнейшем полагать равной нулю. Подставляя (28.5) в (28.2), получим для а(Х) следующее уравнение:

d (Е) + 2va (Y — а?) + ~ (仅"一«о) = 0. (28.6)

133

Тривиальное решение этих уравнений

@2 =礁/'信)=0(28.7)

описывает стационарную волну постоянной амплитудой а0. Фазовые характеристики уравнения (28.6) при W=/=0 имеют вид, изображенный на рис. 28.1. Они отвечают

Рис 28.1. Фазовые кривые уравнения (28.6) при W^O.

осциллирующим волнам огибающей. Если амплитуда этих осцилляций достаточно мала, то уравнение (28.6) можно аппроксимировать следующим линейным уравнением для величины 6а—а—а0:

(6@)” + 4 他急 + 叩?) 6@ == 0.(28.8)

Решения этого уравнения пропорциональны exp (±ix|), где

^^(val+W^.(28.9)

Это соотношение отличается лишь формой записи от дисперсионного уравнения (27.13), еслн положить в последнем 乂丄=0, 乂и =x,Q2=x2ir：IFn Из (28.9) следует, что волновые числа 乂 всегда превышают по модулю величину иа=2аУх,(28.10)

которая, как нетрудно видеть из (27.13), имеет смысл границы области устойчивости: при |к| <х0 (и 乂丄=0) возмущения должны экспоненциально нарастать. Если 務 стремится к предельному значению х0 сверху, то W-^0.

Рассмотрим теперь стационарные решения уравнений (28.2) при 取=0. В этом случае

中=一" + С〕崙，「 (28.1i)

d值+ 2婚我储一成一/=0,

где а0 и с — постоянные интегрирования. Фазовые кривые этого уравнения при с=0 изображены на рис. 28.2・ Сепаратриса отвечает решению солитонного типа, которое

имеет вид

(28.12)(28.12)q=4 sech [AVv (自亠Wo)},

(28.12)

(28.12)

<р 1- const

2

(X«=2aJ). Фазовые траектории, расположенные внутри сепаратрисы, отвечают периодическим решениям вида j 2 d2

a^AdnlA^vd-^, s],步=3 萨~,(28.13)

где dn(z, 5)— эллиптическая функция Якоби с модулем s, Л и В — постоянные, связанные между собой соотношением A1+B1=2aJ и имеющие смысл предельных значений величины а(§

Л =max 〃， B=min 〃.(28.14)

Если В->А, то рассматриваемая волна огибающей превращается в малое возмущение синусоидальной формы,Если В->А, то рассматриваемая волна огибающей превращается в малое возмущение синусоидальной формы,Рис. 28.2. Фазовые кривые уравнения (28.11) при с=0，呼=°・Рис. 28.2. Фазовые кривые уравнения (28.11) при с=0，呼=°・

Если В->А, то рассматриваемая волна огибающей превращается в малое возмущение синусоидальной формы,

Если В->А, то рассматриваемая волна огибающей превращается в малое возмущение синусоидальной формы,

Рис. 28.2. Фазовые кривые уравнения (28.11) при с=0，呼=°・

Рис. 28.2. Фазовые кривые уравнения (28.11) при с=0，呼=°・

модулирующее стационарную волну постоянной амплитуды а=А. При этом волновое число этого возмущения имеет величину х0, лежащую на границе области устойчивости. При 8fd волна (28.13) превращается в последовательность солитонов, расстояние между которыми растет как 1п(1/В).

Наконец, периодические решения, лежащие вне сепаратрисы, имеют вид (у!?—В2=2«о)

a=4еи［，麻F成3代一电），si;a=4еи［，麻F成3代一电），si;S 一，火+一毎S 一，火+一毎Л2 — В2 = 2^о •Л2 — В2 = 2^о •(28.15)(28.15)

a=4еи［，麻F成3代一电），si;

a=4еи［，麻F成3代一电），si;

S 一，火+一毎

S 一，火+一毎

Л2 — В2 = 2^о •

Л2 — В2 = 2^о •

(28.15)

(28.15)

Они отвечают волнам огибающей, где величина а(|) проходит через нуль.“

Перейдем теперь к исследованию нестационарных модуляционных процессов, развивающихся в случае (27.14) при возмущении стационарной волны с постоянной амплитудой Qq. Для этого рассмотрим решения уравнений (28.2), имеющие вид

qp=—wq岂+%怎 т),(28.16)

0=。(>+。诡，T),

где (рг и ах описывают рассматриваемые возмущения и удовлетворяют начальным условиям

0x(1, О)=ао/(В),屮"，0)=0.(28.17)

При ЭТОМ f(E)fO при |g|fОО.

Предположим, что функция /(g) достаточно мала, так что начальную эволюцию возмущения можно проследить, исходя из уравнений (28.2), линеаризованных относительно а】и 屮> Соответствующее решение имеет вид

«(В, т) = а()+ — I(ЫА (z)cos[х| — Q(х)т], (28.18)

где

Q (”) = ^ />?_%(28.19)

А (х) =2а0 J /(g) cos (%Е)成， (28.20) 0

а величина х0 определена в (28.10) (при этом функция | /(Ю в (28.17) для простоты считается четной). Рассмотрим ! асимптотическое поведение интеграла (28.18) при больших т. Мы не будем здесь выписывать громоздкое общее выражение, а ограничимся двумя предельными случаями малых и больших | 隽这％т, |^>хот). В первом случае, применяя метод перевала, получим

«(Е, т) » а0 + const-exp (v4t) cos (^^ + б),

EW%T,(28.21) j

где величины const и 5 определяются начальными уело- 1 виями. Таким образом, в рассматриваемой области Г 136i

инкрементоминкрементомr=vaor=vao(28.22)(28.22)возмущения экспоненциально растут с максимальным

инкрементом

инкрементом

r=vao

r=vao

(28.22)

(28.22)

(волновое число в (28.21) совпадает с (27.15)) ).

При больших ^/хот асимптотику выражения (28.18) можно получить, применяя метод стационарной фазы (как это делалось в гл. I). Основной вклад в интеграл в этом случае вносят области, лежащие в окрестности значений z, удовлетворяющих условию

源 2Y — >4 _ §

/=2，3一": = ； .(28.23)

Решения уравнения (28.23) при |/иот>1 имеют вид

z = — ,(28.24)

В результате получаем асимптотическое выражениеВ результате получаем асимптотическое выражение(28.25)(28.25)

В результате получаем асимптотическое выражение

В результате получаем асимптотическое выражение

(28.25)

(28.25)

Добавка к а0 описывает модуляционные волны, распространяющиеся от центра с групповой скоростью, равной, согласно (28.23), |/т.

Итак, общая картина эволюции возмущения (28.17) в начальной стадии процесса выглядит следующим образом [94]. В центральной области (|?|<^хот) образуются крупномасштабные модуляции амплитуды с волновыми числами 乂〜Xq, качественно подобные стационарным волнам (28.13). С увеличением т линейное приближение теряет силу и экспоненциальный рост амплитуд прекращается. Однако глубина модуляций в этой области с течением времени увеличивается и волна распадается

на волновые пакеты, очень медленно движущиеся в рассматриваемой системе отсчета. Кроме того, от границ глубоко промодулировавшейся области распростра-

Рис. 28.3. Распад плоской волны иа волновые пакеты.

с увеличением 图.При достаточно больших & где справедлива асимптотика (28.25), волновые числа (28.24) становятся больше величины х0. Поэтому они лежат в устойчивой области. Модуляционные волны в промежуточной области имеют фурье-компоненты с х<х0 н поэтому неустойчивы; они дают начало новым волновым сгусткам. Таким образом, ширина области, распавшейся на пакеты, увеличивается с ростом т ).

Общий вид профиля при не очень больших т, когда ширина глубоко промодулировавшейся области еще не велика, выглядит примерно так, как это изображено на рис. 28.3.

При больших т процесс самомодуляции плоской волны исследовался в работе [96] с помощью численного интегрирования (см. также [97]). Для начального возмущения /(g) было принято выражение

〃& = Yexp(—F〃3)・ (28.26)

Вид решения при т=0,4 изображен на рис. 28.4.

Он соответствует следующим значениям параметров: 〃产1, Y=l, 2丿у“=к“=2, v=36 ). При увеличении т ширина промодулировавшейся облас也 растет.

Амплитуды пакетов стремятся к стадионарйым значениям (кроме центрального, имеющего вершину при Е=0, который заметно пульсирует). Минимумы с течением времени уменьшаются. Расстояния между пакетами очень медленно (по сравнению со скоростью расширения

Рис. 28.4. Вид численного решения а (^, т) нелинейного параболического ураииения при начальном условии (28.26) и т=0,4 (при ^<0 решение выглядит симметрично) [96J.Рис. 28.4. Вид численного решения а (^, т) нелинейного параболического ураииения при начальном условии (28.26) и т=0,4 (при ^<0 решение выглядит симметрично) [96J.области модуляции) увеличиваются. Наиболее интерес- ным фактом является то, что профили пакетов с достаточно установившимися амплитудами Л довольно хо рошо описываются выражением (28.12). Таким образом, можно заключить, что в том случае, когда исходная плоская волна неустойчива относительно продольных модуляций, малые возмущения приводят к ее распаду на солитоны. Хотя расстояния между отдельными пакетами, изображенными . на рисунке, увеличиваются весьма медленно, солитоноподобная форма отдельных пакетов устанавливается достаточно быстро (разумеется, в окрестности минимумов отклонения от формулы (28.12) становятся значительными *)).

Рис. 28.4. Вид численного решения а (^, т) нелинейного параболического ураииения при начальном условии (28.26) и т=0,4 (при ^<0 решение выглядит симметрично) [96J.

Рис. 28.4. Вид численного решения а (^, т) нелинейного параболического ураииения при начальном условии (28.26) и т=0,4 (при ^<0 решение выглядит симметрично) [96J.

Далее интересно отметить довольно четкое разделение солитонов на большие и меньшие, что видно на рис. 28.4. Амплитуды больших солитонов у нас имеют величину 4=2」，у меньших 4 = 1,7. Численное интегрирование проводилось до т= 1. При этом амплитуды сформировавшихся солитонов остаются примерно постоянными во времени, а нх число быстро возрастает за счет расширения воз мущенной области.

Фаза ф в пределах протяженности отдельных солитонов оказывается примерно постоянной (при данном т), как и должно быть согласно формуле (27.12). Однако на границе между двумя солитонами фаза довольно резко изменяется. Таким образом, при фиксированном т фазу в общем можно представить как ступенчатую функцию L

Примечательно, что при начальном возмущении вида f(E) = Ysech(E〃)(28.27)

амплитуды солитонов получаются примерно такими же, как и для (28.26). Таким образом, структура квази- стационарной области, где солитоны уже в основном сформировались, по-видимому, не зависит от детального вида начального возмущения.

§ 29. Самофокусировка и самоканализация волн

Перейдем теперь к исследованию волн, неустойчивых относительно поперечных возмущений, предполагая, что имеют место условия (27.16).

Рассмотрим вопрос о нелинейной дифракции волны в этом случае. Опуская в уравнениях (27.7), (27.8) производные по времени и предполагая, что отношение длины волны Х0=2л/^0 к характерным размерам поперечных возмущений достаточно мало, получим уравнения для этого случая в виде

々о% + ~ (Vj_ ф)2 — va2 —— Aj_ а = 0,(29.1)

2

%(炉ь+\7上("2V丄9)=0, где

v=V(試)。(29 ②

Эти уравнения эквивалентны нелинейному параболическому уравнению для комплексной волновой функции (27.1)

一2氏中£+a上4f+2田屮r屮=0.-(29.3)

В случае, когда Т изменяется только вдоль одного из поперечных направлений, скажем, вдоль оси ^(\7丄=為), уравнения (29.1) становятся совершенно аналогичными

140

нестационарным одномерным уравнениям (28.2) (с соот- ветствующим переопределением коэффициента v согласно (29.2) и заменой 屮 на ——ф, что эквивалентно комплексному сопряжению параболического уравнения).

Прежде всего здесь следует указать на однородное по отношению к х решение уравнения (29.3)【88, 891

V— 4 sech \ AVv\y — %| exp 出"也——,(29.4) 2«o

описывающее волну с солитонным профилем интенсивности |Y |а, не зависящей от х. Это решение аналогично (28.12) и описывает плоский волновой пучок, где дифракционное расплывание, определяемое членом А丄4r в (29.3) полностью компенсируется нелинейной самофокусировкой.

Поток энергии в такой волне определяется величиной

(29.5)(29.5)

(29.5)

(29.5)

т. е. мощность однородного плоскопараллельного пучка обратно пропорциональна его ширине

/=(/Mv)r.(29.6)

Пусть форма волны при 尤=0 определяется выражением 屮(0, у)=&"({//厶)，(29.7)

где f(q) — безразмерная функция, исчезающая при т]^>1 (величина и。выбрана так, чтобы шах /= 1). Если ширина L этой волны значительно превышает размеры солитона (29.4) с амплитудой А^а^ т. е.

aH》l/L(29.8)

то волна, очевидно, должна распадаться при возрастании 尤 на ряд плоскопараллельных каналов, близких по форме к солитонам (29.4), с амплитудами порядка 2ao. Этот процесс, аналогичный рассмотренной выше одно- мерной самомодуляции, можно называть самоканализа- цией.

Естественно предположить, что аналогичные, в принципе, процессы должны были бы иметь место и для цилиндрических волновых пучков. Однако в этом случае

141

ситуация осложняется из-за эффектов, обусловленных двумерной геометрией сечения пучка.

Прежде всего отметим, что здесь, как и выше, существуют стационарные по х решения волнового уравнения (29.3) вида [88, 891

屮 н а(尸丄)ехр I iy(x—x0)h(29.9)

где функция а (г丄)удовлетворяет дифференциальному уравнению

А 丄 а—2 倣()а+2 v@3=0.(29.10)

Выражение (29.9) описывает пучок с интенсивностью, не зависящей от х. Переходя к безразмерным переменным

Р=(2у%”г丄， ①=(v/y% "а,(29.11)

приводим уравнение (29.10) к виду

^!2. + А-^Ф _ф + фЗ = 0>(29.12)

Ор" Р @р

Нас интересуют ограниченные решения этого уравнения, исчезающие при р->оо. Если пренебречь членом Ф3, то (29.12) превращается в уравнение Бесселя. Таким образом, асимптотика решения, описывающего однородный пучок при р~>8, должна иметь вид

①(p)^const・K()(p);^const・，л/2P «т(P》D・ (29.13)

Решения уравнения (29.12) при условии (29.13), вообще говоря, имеют особенность при р=0. Конечные в начале координат решения получаются лишь при дискретных значениях const в (29.13);' их можно также характеризовать значениями Ф (0), которые мы будем нумеровать в порядке возрастания этих величин.

Таким образом, получаем дискретное семейство ограниченных решений уравнения (29.12) Фп(р), где Фп+1(0)> >Фп(0),几=0, 1, 2, ... Оказывается при этом, что число корней функции Фп(р) совпадает с номером* и. Решение при и—0 было получено путем численного интегрирования [89]. Высшие моды с 几>0 были исследованы в 198, 99]. При этом было найдено, что

Фо(О)=2,2,①i(0)=3,3, Ф3(0)=4, 1, Ф3(0)=4,6.

(29.14)

鑑(0)~(§У鑑(0)~(§УСоответственно амплитуды однородных пучков по порядку величины определяются выражениями

鑑(0)~(§У

鑑(0)~(§У

Фп (0).(29.15)

I Радиусы пучков R牝 согласно (29.11), пропорциональны

Е величине (1/2丫々())％, т. е. обратно пропорциональны 「амплитудам; в частности,

:Е俨〜(2уА。)-%.(29.⑹

: Из этих соотношений следует, что полная мощность

оо5 однородного пучка, определенная как

о

о

где

р =『I①(р)『р dp,о

не зависит от его ширины. Она определяется только номером соответствующей моды и, следовательно, принимает дискретный ряд значений рп. В частности, согласно [89, 98, 991

ро= h 9； pi = 12,2;р2=31,3;р3=58,6. (29.18)

Однородные волновые пучки можно рассматривать как самоподдерживающиеся волноводы, где фазовая скорость со/々 меньше, qeM вне пучка из-за зависимости последней от интенсивности волнового поля. Если схематично предположить, что интенсивность волны резко падает до нуля у границы пучка, то относительный показатель преломления двух областей ——внутренней и внешней —равен

款L9)

k^ — k (w, 0), где a — некоторое эффективное значение амплитуды поля в пучке. Учитывая (25.10) и (29.2), получаем

N =(29.20)

Лучи в таком волноводе, попадая на его границу, должны испытывать полное внутреннее отражение. Если 9 — угол между направлением луча и осью волновода, то полное внутреннее отражение имеет место при sin0< <sin0o=j/(^■2—l)/^a. Поскольку предполагается, что ^—1«1, то можно написать условие полного внутреннего отражения в виде

0<0о=(№—1),/«. (29.21)

С другой стороны, лучи отклоняются от оси волновода из-за дифракции. Для полного отражения этих лучей от границы необходимо, чтобы эффективный угол дифракции 8°〜(々R)~i не превышал максимальный угол полного внутреннего отражения: 0D<0O. Подставляя сюда выражения для этих углов, получаем

6R>const・(”一 I)-%, (29.22)

где const — некоторая безразмерная постоянная порядка единицы ). Подставляя сюда (29.20), будем иметь

(29.23)(29.23),с const

(29.23)

(29.23)

aR>~V^-

Величина 出R* определяет, согласно (29.17), мощность пучка. Таким образом, неравенство (29.23) означает, что наименьшая возможная мощность однородного волнового пучка должна иметь значение порядка 1/v, что согласуется с величиной POt следующей из (29.17), (29.18).

Из изложенного ясно, что если в среду попадает пучок с мощностью Р<Ро, то он должен дефокусироваться. Если же

то в принципе возможно образование однородных волновых пучков. •，

Общая картина, однако, существенно осложняется тем, что цилиндрические стационарные решения уравнения (29.3) неустойчивы относительно самосжатия [101——103]. Это связайо с тем, что есл» Р несколько превышает величину РОг то нелинейный член в (29.3),

определяющий сжатие пучка из-за самофокусировки, больше, чем дифракционный член А丄1F, так что пучок должен неограниченно сжиматься.

Здесь следует, однако, учесть, что при малых R и соответственно больших а приближенное выражение (29.19), представляющее собой только первые два члена разложения в ряд величины ^ по степеням а, теряет силу. Если при достаточно больших а величина k (со, а2) перестает расти (т. е. наступает ее «насыщение»), то процесс самосжатия пучка прекращается ).

Итак, общая картина эволюции пучка, попадающего в среду, где имеют место условия (27.16), должна выглядеть следующим образом. Если мощность пучка меньше критического значения /%, то он расплывается. При 夕>А исходная волна может распадаться на ряд пучков, сужающихся вплоть до наступления насыщения или других явлений, при которых уже несправедливо приближенное уравнение (29.3).

Все эти эффекты наблюдаются в оптике при прохождении интенсивных лазерных пучков через среды, дисперсионные характеристики которых удовлетворяют указанным выше условиям [8, 9).

Электроакустические волны в плазме

Изложенная выше общая картина нелинейных модуляционных эффектов может измениться, когда существенны эффекты электрострикции, т. е. изменение плотности среды под действием силы давления высокочастотного электромагнитного поля. В этом случае, как уже отмечалось в § 8, модуляционные процессы в электромагнитных волнах сопровожда юте я связанными с ними звуковыми колебаниями, так что можно говорить о распространении электроакустических волн. Такого рода эффекты становятся особенно заметными, когда групповая скорость волны близка к скорости звука %. Поскольку обычно cs<^c (с — скорость света), то групповая скорость при этом должна быть также мала по сравнению со скоростью света. Такая ситуация бывает в средах с достаточно малой диэлектрической проницаемостью и особенно характерна для плазмы.

насыщения см., например, в[8, 9,

В простейшем случае изотропной плазмы, когда диэлектрическая проницаемость определяется формулой (8.15), плотность силы давления высокочастотного электромагнитного поля имеет вид (8.23), т. е.

4тпесо4тпесо(30.1)

4тпесо

4тпесо

где S — напряженность электрического поля, a N — плотность частиц.

Из (30.1) видно, что сила fE направлена в сторону уменьшения плотности энергии поля, т. е. плотность частиц плазмы меньше там, где поле больше, и наоборот. В результате оказывается, что достаточно сильное электромагнитное поле может довольно глубоко проникать в плазму даже в том случае, когда равновесное значение диэлектрической проницаемости

2…低) = 1—*2…低) = 1—*近(30.2)近(30.2)

2

…低) = 1—*

2

…低) = 1—*

近(30.2)

近(30.2)

трицательно. Остановимся на этом подробнее ). Пусть электрическое поле волны имеет вид

^=Е(х, /)е-^,(30.3)

где Е (%, /) — комплексная амплитуда, причем со<соо> поле поперечно, т. е. Е перпендикулярно оси % и

——<1.(30.4)

co dt

Общее уравнение для Е(х, /) с учетом стрикционных эффектов (8.32) в нашем случае принимает вид 2»T亚 +W嘗—"g, 力 + 們e=0， (30.5) 说dt 武比

где 22

展=里三金, "(30.6)

GGv(z, z)=LzlPpPov(z, z)=LzlPpPo(30.7)(30.7)

G

G

v(z, z)=LzlPp

Po

v(z, z)=LzlPp

Po

(30.7)

(30.7)

——относительное изменение плотности.

Нелинейный член vE в уравнении (30.5) обусловлен электрострикцией. Если им пренебречь и считать, что амплитуда Е постоянна во времени, то решение получающегося уравнения имеет вид

гдегдеЕ(%)=Е()ехр(—卩%),Е(%)=Е()ехр(—卩%),(30.8)(30.9)(30.8)(30.9)

где

где

Е(%)=Е()ехр(—卩%),

Е(%)=Е()ехр(—卩%),

(30.8)

(30.9)

(30.8)

(30.9)

Выражение (30.8) описывает структуру скин-слоя в плазме при падении на последнюю волны с частотой со, меньшей, чем плазменная частота соо- Величина Ео= =Е (0) — поле на границе плазмы, а ц-1 — ширина скин-слоя.

Чтобы учесть нелинейные эффекты, мы должны рассматривать уравнение (30.5) совместно с уравнениями движения плазмы. Будем считать, что последняя является бесстолкновительной и неизотермической, т. е. Т法Т\. Тогда в качестве уравнений движения плазмы можно взять уравнения гидродинамики с учетом силы (30.1), т. е. уравнения (8.19), (8.20). Предполагая, что изменения плотности р——р0 невелики, мы можем линеаризовать (8.19) и (8.20) относительно величин р—р0 н и н после этого исключить скорость V. В результате получим для одномерных волн )

名一脅=(ЗО.Ю) dt2 дх2 Ед dx2

где величина v (х, /) определена в (30.7), cs — скорость ионного .«звука»

* =生=2(зо.П)

dp 他

йй(30.12)(30.12)

й

й

(30.12)

(30.12)

Рассмотрим далее структуру стационарного скин- слоя, учитывая изменение плотности, обусловленное радиационным давлением. Полагая, dE/dt=Ot dv/dt^O, а также £-> 0, v-> 0 при х->оо, получим из (30.5), (30.10) 1111]

Е (%)=2у2Ес sech [ц (%—х0)1»(30.13)

v=—2俨 sech2 [ц (%—%o)L(30.14)

где %о — постоянная интегрирования, а ц ——обратная ширина скин-слоя в линейном приближении. Считая, что поле на границе плазмы %=0 равно £0> мы получаем для %о уравнение

Ео=2у2Ес sech цх0»(30.15)

которое имеет вещественное решение только при Е0<2у2££.. Таким образом, при £0>2у2£с плазма «не выдерживает» давления поля волны, и стационарное состояние невозможно.

Рассмотрим теперь решения уравнений (30.5) и (30.10), зависящие от времени. Простейшие из них имеют вид уединенных электрозвуковых волн, распространяющихся с постоянной скоростью. Полагая в упомянутых уравнениях

Е=а(%—lF/)exp [iq)(%—Wt)]t(30.16)

v=v (%—%)，

где а и W — вещественные величины, получим (при условиях q(±8)=0, v (±оо)~0) [109, 112]

an% sech [ц(1—取/丫?炉产(％—吃)],(30.17)

-^ = —(30.18) дх ус

v=—2?2(1-取/Y2度)sech2[卩(1一取/Y%2)%(%一取力，(30.19) где скорость IF и соответствующее электрозвуковое число Маха

М=±(30.20)

связаны с амплитудой солитона а0 соотношением

碗=2Y2?言—m2)(1—М 盹/yw).(30.21)

Из этих формул вытекает, что

М<1,(30.22)

т. е» скорость электрозвукового солитона не превышает скорости звука cs и тем ближе к последней, чем меньше амплитуда солитона ). Если при этом выполняется условие

旦 «у,(30.23)

то размеры солитонов не зависят от амплитуды и имеют величину

которая совпадает с шириной скин-слоя в линейном приближении. Характерное время т изменения амплитуды поля и плотности при прохождении электрозвукового солитона через данную точку пространства определяется выражением

工=(“$)-】•(30.24)

В работе [113] было показано, что солитоны (30.17)— (30.19) устойчивы относительно малых возмущений. Оказывается, далее [ 112, 114], что если на границу плазмы падает поперечная электромагнитная волна с переменной амплитудой £0(/), то при определенных условиях от скин-слоя «отщепляются» электрозвуковые волны, которые по мере распространения внутрь плазмы трансформируются в солитоны, описываемые приведенными выше формулами. При этом генерация электро- звуковых волн происходит наиболее эффективно, если характерное время изменения амплитуды поля имеет порядок величины т в (30.24), т. е. времени прохождения звуком длины скин-слоя. Более подробное обсуждение этого круга вопросов приводится в Приложении Б.

〃рило^сение <

НЕЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ

С МЕДЛЕННО ИЗМЕНЯЮЩИМИСЯ ПАРАМЕТРАМИ(АДИАБАТИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ УИТЭМА [16])

А1. Вариационный принцип

Предположим, что общие уравнения для рассматриваемых волн могут быть получены из вариационного принципа

6 J L(V,中力中/厶必=0,6 J L(V,中力中/厶必=0,(А.1)(А.1)

6 J L(V,中力中/厶必=0,

6 J L(V,中力中/厶必=0,

(А.1)

(А.1)

где через 屮 обозначена совокупность величин, определяющих колебания

中={中⑴，中⑵，，4rg}.中={中⑴，中⑵，，4rg}.(A.2)(A.2)

中={中⑴，中⑵，，4rg}.

中={中⑴，中⑵，，4rg}.

(A.2)

(A.2)

f — время, %=｛尤i，%2,圖一совокупность пространственных координат, а под dx здесь и в дальнейшем понимается произведение dx~— d%]d%2d%3・

Тогда уравнения движения для рассматриваемых волн имеют вид

д / dL \ . д f dL \ @心“

(по повторяющимся индексам подразумевается суммирование). Чтобы избежать громоздких выражений, мы будем писать в дальнейшем соотношения (А.З) и аналогичные им без явного выписывания индексов (если это не влечет за собой недоразумений). Например, 4■(舘 + 糸(譏)一需=。(a.4)

вместо (А.З), kx вместо kaxa и т. п.

Плотность функции Лагранжа L, как правило, находится без особого труда для всех более или менее интересных случаев.

Рассмотрим, например, обобщенные уравнения Буссинеска в форме (10.1). Предполагая, как мы это делали всюду： что движение потенциальное, т. е.

方=V中，

мы можем привести эти уравнения к виду

6+^(V中)2+⑫3) + 空业 ар н 0, р；+ V (руз = 。,(a.5)

NРо

гдегде5(Р)=§ V^dp.5(Р)=§ V^dp.(А.6)(А.6)

где

где

5(Р)=§ V^dp.

5(Р)=§ V^dp.

(А.6)

(А.6)

(А.7)(А.7)Роль компонент «волнового вектора» 屮 играют здесь две величины: р и (р, т. е.

(А.7)

(А.7)

в={р,叫，

Нетрудно убедиться, что уравнения (А.5) могут быть записаны в форме (А.4), если

l=pl=p^屐）+0切8）如一曾^屐）+0切8）如一曾(А.8)(А.8)Чтобы написать в лагранжевой форме уравнение Кортевега — де Вриза (КдВ), преобразуем его сначала к двум уравнениям второго порядка. Для этого, следуя [16], определяем две функции 叭招 f)Чтобы написать в лагранжевой форме уравнение Кортевега — де Вриза (КдВ), преобразуем его сначала к двум уравнениям второго порядка. Для этого, следуя [16], определяем две функции 叭招 f)и ip (х, /) соотношениями中* = ", 屮=中方#，так что уравнение КдВ сводится к системе *)Txt+фххфх+Р^хх —。，勿* 一中и ip (х, /) соотношениями中* = ", 屮=中方#，так что уравнение КдВ сводится к системе *)Txt+фххфх+Р^хх —。，勿* 一中(А.9)(А.9)(АЛО)(АЛО)

l=p

l=p

^屐）+0切8）如一曾

^屐）+0切8）如一曾

(А.8)

(А.8)

Чтобы написать в лагранжевой форме уравнение Кортевега — де Вриза (КдВ), преобразуем его сначала к двум уравнениям второго порядка. Для этого, следуя [16], определяем две функции 叭招 f)

Чтобы написать в лагранжевой форме уравнение Кортевега — де Вриза (КдВ), преобразуем его сначала к двум уравнениям второго порядка. Для этого, следуя [16], определяем две функции 叭招 f)

и ip (х, /) соотношениями

中* = ", 屮=中方#，

так что уравнение КдВ сводится к системе *)

Txt+фххфх+Р^хх —。，勿* 一中

и ip (х, /) соотношениями

中* = ", 屮=中方#，

так что уравнение КдВ сводится к системе *)

Txt+фххфх+Р^хх —。，勿* 一中

(А.9)

(А.9)

(АЛО)

(АЛО)

(АЛ1)(АЛ1)Плотность функции Лагранжа в этом случае имеет вид L = Ф/Фх +-g-Tх +Р (屮4%+ ⑥屮2),

(АЛ1)

(АЛ1)

а волновой вектор 屮 имеет две компоненты: 屮伸，(р).а волновой вектор 屮 имеет две компоненты: 屮伸，(р).Частными стационарные сать в видеЧастными стационарные сать в видерешениями уравнений (А.4) являются, как мырешениями уравнений (А.4) являются, как мызнаем.знаем.периодические волны Т^Т^., которые можно напи-периодические волны Т^Т^., которые можно напи-屮$ (%, f)=屮(0),^—kx—①厶屮$ (%, f)=屮(0),^—kx—①厶(А. 12)(А. 12)где 0 — фазагде 0 — фазаволны, k — ее волновой вектор, а ①一частота.волны, k — ее волновой вектор, а ①一частота.По определению фазы функция 中(9) является периодической:По определению фазы функция 中(9) является периодической:

а волновой вектор 屮 имеет две компоненты: 屮伸，(р).

а волновой вектор 屮 имеет две компоненты: 屮伸，(р).

Частными стационарные сать в виде

Частными стационарные сать в виде

решениями уравнений (А.4) являются, как мы

решениями уравнений (А.4) являются, как мы

знаем.

знаем.

периодические волны Т^Т^., которые можно напи-

периодические волны Т^Т^., которые можно напи-

屮$ (%, f)=屮(0),^—kx—①厶

屮$ (%, f)=屮(0),^—kx—①厶

(А. 12)

(А. 12)

где 0 — фаза

где 0 — фаза

волны, k — ее волновой вектор, а ①一частота.

волны, k — ее волновой вектор, а ①一частота.

По определению фазы функция 中(9) является периодической:

По определению фазы функция 中(9) является периодической:

(А. 13)(А. 13)▽（8）=屮（е+2п）.

(А. 13)

(А. 13)

Это соотношение определяет длину волны %, ее временной период Г и скорость V:

а 2ла 2лT =生展上3， 向T =生展上3， 向(А.14)(А.14)

а 2л

а 2л

T =生展上

3， 向

T =生展上

3， 向

(А.14)

(А.14)

Компоненты волнового вектора 屮 в общем случае следует разделить на две группы. К первой мы отнесем те компоненты, которые входят в L только через свои производные. Будем обозначать их через ф (х, /). Остальные компоненты обозначаются через 屮(％, /).

*) В отличие от (А.8), где %={打，х2> %з}, в уравнениях (А. 10) 尤 обозначает только одну пространственную координату.

Таким образом,

£=£伸，屮4,也；屮％,屮t).(A.15)

Уравнения Лагранжа при этом можно разбить на две группы

*(磊)+备(禽)т=a(a」6)

4(^-)+i(^)=0-(A」7)

Существенная особенность уравнений (A. 17) состоит в том, что они имеют дивергентную форму (т. е. вид уравнений непрерывности). Поскольку функция Лагранжа не меняется при замене 屮(％, f)-> —► qp (х, /)+const, то величины (р(х, /) играют роль потенциалов (т. е. физический смысл имеют лишь производные 仍，％) *). Отсюда, в свою очередь, следует, что наиболее общий вид решений, описывающих стационарные периодические волны **), следующий:

5(% f)=*(e)，屮$(%, f)=a%—丫/+屮(В),(А. 18)

(A. 19)(A.20)(A. 19)(A.20)где 屮(6) и ср (0)— периодические функции фазы 8=也%—со/, а а и 丫 一 произвольные постоянные. Подставляя (А. 18) в (А. 16) и (А. 17), получаем уравнения для стационарных волн в виде

(A. 19)

(A.20)

(A. 19)

(A.20)

de一

d / dLs 、

丽，祁(8)丿=

b(屮(8),步(8),(p'(e))=厶伸，-①卡，硼'；①中‘，a+师')• (A.21)

Решения уравнений (А.19), (А.20) имеют вид

屮= 2("①，瓦Y，a;瓦，b26优)，

屮=(p(H, 0),右，Y, a;瓦，瓦，一•，6加)，(A.22)

где 匕1, Ь?, • ♦ •, bm — постоянные интегрирования.

Условие периодичности решений (А.22) накладывает определенные ограничения на эти постоянные. Чтобы их получить, заметим, что уравнения (А. 19), (А.20) могут быть получены из следующего вариационного принципа:.

2 л

可 厶仲(0), #(е),中'(e))de=o,(А.23)

о

где в качестве пробных функций берутся периодические функции в окрестности периодического решения (А.22) (о),电 у, а считаются при этом постоянными). Отсюда следует, чт(г параметры 瓦

*) В примерах, рассмотренных выше, т. е. для уравнений Бус- си неска и КдВ, величина ф есть потенциал скорости.

**) Уединенные стационарные волны (как указывалось в § 10), являются предельным случаем периодических (когда длина волны стремится к бесконечности).

в решении (А.22) должны удовлетворять экстремальным соотношениям

■^- = 0, i= 1,2,…，加，(А.24丿

где

2Л

历(①，居 а, 丫；瓦啞) = *，£$ (8) dB, (A.25) о

а £$ (В) — функция, определенная соотношением (А.21),в которую подставлены решения (А.22). Уравнения (А.24) позволяют, в принципе, выразить постоянные Ь( через о), /е, а, 丫 для периодических постоянных волн.

Рассмотрим теперь нелинейную квазистациоиарную волну с медленно меняющимися параметрами (на расстояниях порядка длины волны и за время порядка периода колебаний). Тогда ее можно приближенно описывать выражениями (А.22), справедливыми для идеально периодических воли; величины (о, /г, а» и &1,方2, • * •，&加 будут теперь медленно меняться в пространстве и во времени. Фаза 0 (х, Г) уже не является линейной функцией х и t, однако, как и в геометрической оптике, будем считать, что соотношения

^0 厶

остаются в силе. Из (А.26), в частности, вытекает следующая связь между функциями (o(f, х) и 也(厶 ％):

dh 、 八万+苏=°

(уравнение непрерывности для волнового числа).

Точно так же вместо комбинации ах—^f следует ввести функцию Х(/,尤)такую, что

Y=一 萼，a=攀.(a.28)

' dtдхI /

Для чисто стационарных волн у (Г, %) является линейной функцией своих переменных. Из (А.28) вытекает, что

^-(А.29)

Наконец, можно считать, что медленно меняющиеся функции Ь[© х) в «адиабатическом» приближении по-прежнему выражаются через величины со, h, 丫，а теми же соотношениями, что и для идеально периодических воли, т. е. формулами (А.24).

Таким образом, нам остается получить уравнения для функций 6(z, /) и х(х, 0* Для этого, следуя Уитэму, мы будем исходить из «усредненного» вариационного принципа, а именно, потребуем, чтобы величина

dxdttdxdtt(А.ЗО)

dxdtt

dxdtt

где 2 ——средняя функция Лагранжа, определенная так же, как и для идеально периодической волны, соотношением (А.25), принимала на искомых функциях стационарное значение, т. е.

3 \ \ ^dxdt =3 \ \ ^dxdt =dxdt =dx dt = 0.dxdt =dx dt = 0.[■^6w+^+-^6a+-F6vJaz оье ан аье az 矶 az 说％ ]ds "dk~dx 0y df 十 da d%」

3 \ \ ^dxdt =

3 \ \ ^dxdt =

dxdt =

dx dt = 0.

dxdt =

dx dt = 0.

(А.31)(А.32)(А.31)(А.32)Интегрируя по частям и предполагая,, что на границах области интегрирования вариации о 0 (х, Z), d/(x, /) обращаются в нуль, получим уравнения

(А.31)

(А.32)

(А.31)

(А.32)

При этом bZ следует подставить величины Ь( (о),財 а, у), определив их из уравнений (А.24). Уравнения (А.31), (А.32) совместно с (А.26), (А.28), (А.24) полностью определяют эволюцию нелинейных волн с медленно меняющимися параметрами в адиабатическом приближении.

А2. Адиабат ические инварианты

Для того чтобы лучше понять сущность изложенного выше метода, а также его связь с теорией адиабатических инвариантов в механике систем с конечным числом степеней свободы, приведем другой вывод уравнений (А.31), (А.32).

Для этого прежде всего напомним, что из уравнений (А.16), (А. 17) следует закон сохранения энергии

(А.ЗЗ)(А.ЗЗ)竺:丄空_。执十дx

(А.ЗЗ)

(А.ЗЗ)

где плотность энергии 取(％, f) и ее поток 彳(％, /) определяются известными соотношениями

呼=收隸器仆・34)

* =也裁+也器.(a.35)

Введем теперь средние значения этих величин для квазиста- ционарных волн

2 л

•哈打呼⑼加=5矗+w隸一匕(A，36)

方=*§分(0)加=S建+电贫，(A♦37)

Учитывая (А.21), мы можем написать (имея в виду, что В=—①屮'(В))

2а

az 1 f「 - a °L , A dL . dL 外'(0), 而F)[-7(0)丽一中(0)而T+研⑥F""+

2 л

謂需综判加=击J色卜脸+w制-

一關係備）嗡］一需糸偌）｝超 （A.38）

Используя уравнения (А. 19), (А.20), получаем из (А.38) соотношение

Точно так же можно убедиться, что

Сравнивая (A.36), (A.37) c (A.39), (A.40), получаем

蚀=s学—Z,(A.41)

少=—.(A・42)

Если теперь усреднить (A.33), то получим следующий закон сохранения энергии для квазипериодических волн:

(А.43)(А.43)挿丄丽а丁+林"

(А.43)

(А.43)

Подставляя сюда (А.41), (А.42), будем иметь

д (名)一色(些)]HZ ds dZds dZdf [。①丿 dx\dk)\ 十豆В dt dk дх dt

Последние три члена здесь обращаются в нуль, так как

竺—竺 Ds . 3*3h_3* 3s HZ dsdt — Os df 十 dk dt — ds di dk 板

Отсюда и следует уравнение (А.31), которое, таким образом, является непосредственным следствием усредненного закона сохранения энергии (А.43).

Если усреднить по периоду волны уравнение (А.17), также имеющее вид закона сохранения, и заметить, что в силу

(A.21), (A.25)

証丽証丽dZdZdLdLdZdZ办办@中% 一 da@中% 一 da

証丽

証丽

dZ

dZ

dL

dL

dZ

dZ

办

办

@中% 一 da

@中% 一 da

/ =/ =М 厶(0),М 厶(0),(А. 45)(А. 45)

/ =

/ =

М 厶(0),

М 厶(0),

(А. 45)

(А. 45)

то получится уравнение (А.32).

Метод усреднения, использованный выше, совершенно аналогичен используемому в теории адиабатических инвариантов. Как известно, адиабатический инвариант /, отвечающий периодическому движению с частотой со системы с конечным числом степеней свободы, имеет вид [115]

При этом

где Е — энергия системы.

Непосредственное обобщение соотношений (А.44) на случай колебаний сплошной среды имеет вид

(А.46)

где J — плотность адиабатического инварианта (/=JJd%); величины 也 ф играют при этом роль обобщенных координат. Сравнивая (А.46) и (А.39), видим, что плотность адиабатического инварианта в нашем случае равна [16]

dsds(А.47)(А.47)

ds

ds

(А.47)

(А.47)

Уравнение (А.31) имеет смысл уравнения непрерывности для плотности адиабатического инварианта, из которого следует закон сохранения полного адиабатического инварианта /=/ Jdx. При этом величина d^ldk является потоком адиабатического инварианта. Заметим еще, что соотношение (А.41) можно переписать в виде *)

(А.48)(А.48)r w + ^e

(А.48)

(А.48)

/=

аналогичном (А.45).

*) Если волновое поле линейное, то в силу теоремы вириала £=0 (так как средние значения кинетической и потенциальной энергий для гармонических колебаний равны). Тогда из (А.48) следует известное соотношение J= W/ш.

АЗ. Нелинейная геометрическая оптика

Применим изложенную выше теорию к простейшему случаю, когда усредненная функция Лагранжа (А.25) зависит, кроме о)и /г, еще только от одного параметра. В качестве последнего всегда можно выбрать амплитуду волны а. Таким образом, будем считать, что

Z=Z(s,也，а2).(А.49)

Уравнения (А.24) принимают при этом вид

^7^^7^=0.=0.(А.50)(А.50)

^7^

^7^

=0.

=0.

(А.50)

(А.50)

Зависимость между величинами ①，々 и о2, которая следует из (А.50), должна совпадать с нелинейным дисперсионным уравнением

о)= о)(/е, а2)(А.51)

для стационарных волн в рассматриваемом случае.

Предположим теперь, что амплитуда а мала. Тогда усредненную функцию Лагранжа можно разложить по степеням а2. Поскольку в линейном приближении функция Лагранжа должна быть квадратичной относительно величин У, описывающих волну, то это разложение начинается с члена, пропорционального а2, т. е.

£ =尸(叫 й) а2 + у G(w. k) а4 + ... (А.52)

Из (А.50), (А.52) тогда следует, что уравнение 尸(①，也)=0 определяет закон дисперсии в линейном приближении со—①⑺(田.В следующем приближении получаем

尸(о),々)=—G(s,々)從 (А.53)

Решив это уравнение относительно ①(с точностью до членов порядка а', мы, очевидно, получим нелинейный закон дисперсии (24.4). Подставляя (А.26) в (24.4), приходим к уравнению Гамильтона —Якоби

А。，(雳)+ (鳥)(a.54)

В случае слабо модулированной волны, фаза которой может быть представлена в виде (24.5), из (А.54) следует уравнение (24.9) для величин (Р (尸，/) и а2 (гt I). Второе уравнение, как мы сейчас увидим, вытекает из (А.31). Чтобы его получить, подставляем (А.53) в (А.52); при этом с принятой степенью точности можно считать, что G(s, h\^ G(Sg,岛),где д и kQ — «несущие» частота и волновое число, фигурирующие в (24.5). Тогда

£ = ■—^ G (о)(), ^0) а4. (А.55)

Выразим теперь 废 через 初，中为，у丄ср из (24.9) и подставим это в (А.55), а последнее — в (А.31). Выполняя дифференцирование в (А.31) с учетом (24.7), (24.8), приходим к уравнению (24.12), которое вместе с (24.9) составляет полную систему уравнений нелинейной геометр ичсск ой оптики в рассматриваемом приближении.

Приложение 5

ЭВОЛЮЦИЯ ЭЛЕКТРОАКУСТИЧЕСКИХ ВОЛН В ПЛАЗМЕС ОТРИЦАТЕЛЬНОЙ ПРОНИЦАЕМОСТЬЮ [112]

Б1. Граничные условия

Будем предполагать, что плазма заполняет по лупространство х>0 и на границу плазмы %=0 падает волна с переменной амплитудой £/ (0

df=£f(/)cos® (f—卷).df=£f(/)cos® (f—卷).(Б.1)(Б.1)

df=£f(/)cos® (f—卷).

df=£f(/)cos® (f—卷).

(Б.1)

(Б.1)

ГР~Я ДЛЯ °ТраЖеНН0Й И ПР0ШеДШеЙ в мзму волн запишем

&=eГ(f) 8S&=eГ(f) 8S目一屮《）,目一屮《）,(及2)(及2)6=a a, 0 cos [co/ — ф (x, /)].Векторы напряженности электрического и магнитного6=a a, 0 cos [co/ — ф (x, /)].Векторы напряженности электрического и магнитноговсех трех волн параллельны граничной плоскостивсех трех волн параллельны граничной плоскостиполей дляполей длянепрерывности напряженностей электрического с учетом уравнений (Б.1), (Б.2) инепрерывности напряженностей электрического с учетом уравнений (Б.1), (Б.2) и%=0. Из условий%=0. Из условийн магнитногон магнитногополейполей

&=eГ(f) 8S

&=eГ(f) 8S

目一屮《）,

目一屮《）,

(及2)

(及2)

6=a a, 0 cos [co/ — ф (x, /)].

Векторы напряженности электрического и магнитного

6=a a, 0 cos [co/ — ф (x, /)].

Векторы напряженности электрического и магнитного

всех трех волн параллельны граничной плоскости

всех трех волн параллельны граничной плоскости

полей для

полей для

непрерывности напряженностей электрического с учетом уравнений (Б.1), (Б.2) и

непрерывности напряженностей электрического с учетом уравнений (Б.1), (Б.2) и

%=0. Из условий

%=0. Из условий

н магнитного

н магнитного

полей

полей

(В・3)(В・3)получимполучимЗдесьЗдесь々[1 cos 屮(/) I =aQ «) cos фо (/),Er sin ip —a0 sin q)0,—Er sin 屮=aox cos ф0—«офох sin q)0,■^ Ej ( 1 —普 8S 屮)=仪妹 sin фо + ceqWox COS %.々[1 cos 屮(/) I =aQ «) cos фо (/),Er sin ip —a0 sin q)0,—Er sin 屮=aox cos ф0—«офох sin q)0,■^ Ej ( 1 —普 8S 屮)=仪妹 sin фо + ceqWox COS %.(Б.4)(Б.4)

(В・3)

(В・3)

получим

получим

Здесь

Здесь

々[1 cos 屮(/) I =aQ «) cos фо (/),Er sin ip —a0 sin q)0,

—Er sin 屮=aox cos ф0—«офох sin q)0,

■^ Ej ( 1 —普 8S 屮)=仪妹 sin фо + ceqWox COS %.

々[1 cos 屮(/) I =aQ «) cos фо (/),Er sin ip —a0 sin q)0,

—Er sin 屮=aox cos ф0—«офох sin q)0,

■^ Ej ( 1 —普 8S 屮)=仪妹 sin фо + ceqWox COS %.

(Б.4)

(Б.4)

询=询=°3Y°3YEi 曰 Ej (t),。(0, 0>да (x, f) IEi 曰 Ej (t),。(0, 0>да (x, f) IдхдхEr^=Er(f)9Фо = ф (0, f),3 —Er^=Er(f)9Фо = ф (0, f),3 —(及5)(及5)«=0«=0

询=

询=

°3Y

°3Y

Ei 曰 Ej (t),

。(0, 0>

да (x, f) I

Ei 曰 Ej (t),

。(0, 0>

да (x, f) I

дх

дх

Er^=Er(f)9

Фо = ф (0, f),

3 —

Er^=Er(f)9

Фо = ф (0, f),

3 —

(及5)

(及5)

«=0

«=0

Вводя коэффициент отражения

R⑴聲◎6)

и используя уравнения (Б.4), получим

/《一播)2，6.8)

或11吋粽> sЕ2=赛警К"，(及9)

Эти соотношения совместно с условиями а(х, £) -> 0(% f оо),

\ а2 (х, t) dx < оо'，

образуют полную систему граничных условий для основных уравнений (30.5) и (30.10), определяющих поле в плазме.

Вычислим теперь коэффициент отражения R (/). Для этого нужно найти величину 屮。％. Умножая уравнение (30.5) на £* и вычитая из последнего комплексно сопряженное уравнение, получим *)

2屮+読SU)

Подставляя сюда соотношения

Е (х, f)=a (х, /) exp Пу (х, /)],(5.12)

|£户=。2,E^Ex^-E^E=2i^(Б. 13)

и интегрируя по г от х=0 до х=оо, будем иметь

屮0% (/)=捺售卜 Е(%，川2 d j/| Е (0")艮 (Б.14)

Таким образом, коэффициент отражения при ①°—(o《Sq принимает вид

0D

”')=」蟲±『2')2・(6」5)

*) Здесь н всюду в дальнейшем предполагается, что у =

《1 (см. соотношение (6.19)).

В частности, если амплитуда падающей волны не зависит от времени, то R=l, т. е. в этом случае волна полностью отражается от плазмы, проникая в нее лишь на глубину скин-слоя, определенного в § 30. Если же амплитуда падающей волны изменяется во времени, то, как будет показано ниже, отражается лишь часть падающей на плазму электромагнитной энергии.

Физическая картина проникновения излучения проста: давление электромагнитного поля создает разрежение плотности в некоторой области плазмы; в этой области концентр и р уется излучение в виде стоячей волны, которое распространяется вместе с областью разрежения внутрь плазмы в виде электроакустических волн.

Приближенные решения основных уравнений (30.5) и (30.10), описывающие возникновение и эволюцию электроакустических волн, рассматриваются в следующих разделах этого Приложения.

Б2. Возбуждение и эволюция электроакустических воли

Очевидно, что характерные размеры электроакустических волн имеют порядок

L~ 尸，(Б. 16)

где величина 卩，определенная в (30.10), является обратной длиной Электроакустических солитонов. Соответственно этому характерное время электрозвуковых процессов по порядку величины равно

T~(“s)r.(Б. 17)

Далее, при условии (30.23) величину "дх можно считать достаточно малой, поскольку

中5~%/丁<1.

Таким образом, мы можем считать, что

ехр(Гф)^1.(Б. 18)

Из (30.19) также видно, что условие 1V《I，предполагавшееся выполненным при выводе уравнения (30.11) из уравнений гидродинамики, имеет вид

Все эти оценки позволяют получить простые выражения,- описывающие проникновение электромагнитного излучения в плазму.

Предположим теперь, что амплитуда падающей электромагнитной волны отлична от нуля лишь в течение ограниченного промежутка времени

Ei(f)#O (AVY"),(Б .20)

£/ (0=0(/<4, />/2).•-

Считая, что /2—£i~(“s)-i и учитывая формулы (30.23), (Б. 16)— (Б. 19), мы можем написать следующие оценки для величин, фигурирующих в формуле (Б.8):

3Е些〜上吼生=金(Б.22)

со соос

(последнее соотношение написано на основании формулы (Б. 14)). Из (В.8), (6.21) получаем

О2(0=|£(0, /)|2^4£?(0，(Б.23)

т. е. амплитуда волны внутри плазмы на ее границе равна удвоенной амплитуде поля падающей волны.

Подсчитаем теперь полную энергию, проникшую в плазму. Эта величина определяется формулой

呼")=訂 J"'E?(尸)【1-R(/')],(Б.24)

где t — произвольный момент времени, а 厶一момент включения поля на границе плазмы. Подставляя сюда выражение коэффициента отражения (Б. 15) и учитывая, что при f=& поле внутри плазмы еще равно нулю, получим

呼(')=急^山{*j|E(x")|2"}=姦 j 血 |Е(х,/)|2. (Б.25)

При /> 勾 внешнее поле равно нулю, и мы получаем

(Б.26)(Б.26)

(Б.26)

(Б.26)

Эти результаты, разумеется, ивляются простыми следствиями сохранения энергии.^В самом деле, плотность энергии электрозвуковой волны в плазме равна (109)

丄也竺У 乒(Б.27) 16л 5w 1 1 8n丄也竺У 乒(Б.27) 16л 5w 1 1 8n

丄也竺У 乒(Б.27) 16л 5w 1 1 8n

丄也竺У 乒(Б.27) 16л 5w 1 1 8n

(Малость опущенных членов следует из условия (30.23).) Таким образом, полная энергия электрозвуковой волны, образовавшейся в плазме, определяется выражением (Б.25). Заметим далее, что из соотношения (Б.22) следует, что поток энергии в плазму имеет следующий порядок величины:

(1—R喷丨召(仇分〜券IE® /)『， (Б.28)

т. е. количество энергии, проникающее в плазму в единицу времени, равно по порядку величины плотности энергии на границе плазмы, умноженной на скорость звука, в соответствии с тем, что электро-

магнитное излучение, заполняющее электрозвуковую волну, распространяется вместе с плазмой со скоростью порядка скорости звука.

(Б.29)(Б.29)Более того, если амплитуда поля достаточно мала, а именно

(Б.29)

(Б.29)

(это соотношение всюду в дальнейшем будет предполагаться выполненным), то, как будет показано ниже, скорость электрозвуко- вых волн мало отличается от скорости звука, и соотношение (Б.28) приобретает смысл приближенного равенства *). Если учесть теперь соотношение (В.23), то для полной энергии электрозвуковой волны получится следующее приближенное выражение через внешнее поле **)

ft

取(f) ” 品/串(°, /)” =券宁民(f)d' (Б.ЗО)

Предположим теперь, что электрозвуковая волна, сформировавшаяся в плазме, отошла на достаточно большое расстояние от границы. Дальнейшая эволюция этой волны определяется решением основных уравнений при начальном условии

Е (х, О)=Ео(х),

где Ео(х) — функция, достаточно быстро затухающая при х=±8 (начиная с этого момента, мы будем считать, что граница плазмы находится при х~——8 и интервал в (Б.20) лежит в отрицательной области: ^1</2<0)- Из изложенного выше следует, что функция Ео(*) удовлетворяет соотношениям

[Ео (х) |а dx=[Ео (х) |а dx=(Б.32)(Б.32)

[Ео (х) |а dx=

[Ео (х) |а dx=

(Б.32)

(Б.32)

Перейдем к безразмерным переменным

占=卩(%—%f),Тогда уравнения (30.5) и (30.11)占=卩(%—%f),Тогда уравнения (30.5) и (30.11)(6・33)(6・33)g=g=V (%, ОV (%, О(Б.34)(Б.34)примут видпримут вид_gg）尸+萌一（1+gf=0， 心2範=2規_gg）尸+萌一（1+gf=0， 心2範=2規(6.35)(6.35)

占=卩(%—%f),

Тогда уравнения (30.5) и (30.11)

占=卩(%—%f),

Тогда уравнения (30.5) и (30.11)

(6・33)

(6・33)

g=

g=

V (%, О

V (%, О

(Б.34)

(Б.34)

примут вид

примут вид

_gg）尸+萌一（1+gf=0， 心2範=2規

_gg）尸+萌一（1+gf=0， 心2範=2規

(6.35)

(6.35)

*) Для солитонов это сразу следует из выражения (30.21)・

**) Строгий вывод формулы (Б.ЗО) будет дан в разделе 63・

Если считать здесь, в соответствии со сказанным выше, что

g&t)~L尸2 區曾«1,g&t)~L尸2 區曾«1,(Б.36)(Б.36)

g&t)~L尸2 區曾«1,

g&t)~L尸2 區曾«1,

(Б.36)

(Б.36)

то эти уравнения, как легко можно усмотреть из их структуры, имеют решения, для которых

案〜电需~尸绅《电案〜电需~尸绅《电(Б.37)(Б.37)

案〜电需~尸绅《电

案〜电需~尸绅《电

(Б.37)

(Б.37)

где 屮——любая из неизвестных функций, фигурирующих в системе (Б.35). Нетрудно убедиться, что соотношения (Б.37) отвечают решениям, описывающим волны, распространяющиеся в положительном направлении оси х со скоростью, близкой к скорости звука *).

Если искать только такие решения и ограничиться главными членами в уравнениях (Б.35), то основные уравнения примут вид **)

(6.38)(Б.39)(6.38)(Б.39)"%!§ ”一U+g(&T)l 尸值，т) = 0,0g (Е, т)_ "2(h)

(6.38)

(Б.39)

(6.38)

(Б.39)

Рассмотрим прежде всего стационарные решения этой системы, описывающие уединенные волны. Полагая

(及33),(Б.40)(及33),(Б.40)F=F^-V^ g=g值一%)，

(及33),

(Б.40)

(及33),

(Б.40)

получим после перехода к исходным величинам согласно (Б.34)

Е~Ет sech 卩(尤一％М/),

g=—2乎 sech2 卩(г—c$Mf),

причем амплитуда волны Ет связана с числом Маха М соотношением

Ет^2уЕсУТ^.(Б.41)

Эти решения справедливы при 1——М«1 и с принятой степенью точности совпадают с выражениями (30.17) — (30.19).

Рассмотрим теперь общее решение уравнений (В.38), (Б.39) при произвольном начальном возмущении

尸代，0)=/囹，(5.42)

исчезающем достаточно быстро вместе со своими производными при |Е|т8. При этом начальные значения функции g определяются

*) Решения такого типа аналогичны квазипростым волнам, рассматривавшимся в гл. IV.

**) Поскольку членом, содержащим idE/dt, мы пренебрегли, то функцию 尸低，т) мы можем считать, не нарушая общности, вещественной (9#乏卩％/“)・ Разумеется, это несправедливо, если рассматриваются длины порядка 1/(р^—су/с^ц; эти длины, однако, значительно больше характерной длины (Б.16). Заметим также, что фазой (р (точнее ее производной фд.) нельзя пренебрегать в некоторых случаях, несмотря на условие (Б. 19). Например, коэффициент отражения (Б.7) отличен от единицы лишь благодаря тему, что 屮#卢0.

однозначно нз уравнения (Б.38)

尸氏怎0)

g 因 0)=磊⑥"一1-(6.43)

Здесь необходимо заметить, что если функция g 代，т) исчезает достаточно быстро при |^|—>оо, то функция 尸(Е, т), удовлетворяющая уравнению (Б.38), должна иметь следующую асимптотику при больших значениях 固：

户區 т)〜с(т)сТМ.(Б.44)

Эти соотношения должны выполняться при любом значении т, в том числе и при т=0. Таким образом, функция / (?) в (Б.42) должна иметь асимптотику

f © = const ・сТ",|В|—>оо.(Б.45)

В переменных х и / это означает, что амплитуда электрического поля в электрозвуковом импульсе должна иметь асимптотику вида

£(х, 0 ~с(/)с-кК,%一 ± 8.(Б.46)

Это выражение, естественно, совпадает с асимптотикой обычного скин-слоя в линейной теории.

В связи с изложенным возникает вопрос, может ли вообще существовать искомое решение уравнений (6.38), (В.39), т. е. может ли уравнение Шредингера

發一口+g%")]f=0(及47)

иметь не зависящее от времени т собственное значение, если его «потенциал» g (&, т) изменяется во времени согласно уравнению (Б.39).

Чтобы ответить на этот вопрос, вычислим dk/dx из уравнений (5.47)

Подставляя 尸怎t) иПодставляя 尸怎t) исюда dg/дт из (Б.39),интегрируя no Е от —сюда dg/дт из (Б.39),интегрируя no Е от —а затем умножая обе части на оо до оо, получима затем умножая обе части на оо до оо, получим

Подставляя 尸怎t) и

Подставляя 尸怎t) и

сюда dg/дт из (Б.39),интегрируя no Е от —

сюда dg/дт из (Б.39),интегрируя no Е от —

а затем умножая обе части на оо до оо, получим

а затем умножая обе части на оо до оо, получим

j户怎t)dE = O・-00j户怎t)dE = O・-00(Б.48)(Б.48)

j户怎t)dE = O・

-00

j户怎t)dE = O・

-00

(Б.48)

(Б.48)

Предполагая, что стоящий здесь интеграл сходится,* получим

Учитывая теперь соотношение (Б.43), находим

九(т)二十 L(Б.49)

Отсюда вытекает, что обсуждавшиеся выше условия, которым должно удовлетворять искомое решение, не противоречивы.

Приступим теперь к нахождению решения. Определяя функцию g 怎 т) из уравнения (Б.38) и подставляя ее в (Б.39), получим

Интегрируя и учитывая условия при |&|->8, получим

^($)= -卄・(6.50)

Введем новую функцию

u 值，T)=，严(% T)m(及51)

Тогда уравнение (Б.50) после двух интегрирований примет вид уравнения Риккати

0峥T)=炉+ 3 5 (T)и+ / (砧(及52)

где с】(t) и ca (т)——произвольные функции, появившиеся при интегрировании.

Поскольку, как видно из (Б.51),

и (т, —со)三％ (т, —8)=0,

ТО

С2 (т)=0・(6・53)

Чтобы определить функцию % (т), заметим, что, согласно соотношению (Б.26) (и с учетом того, что границу плазмы теперь следует считать находящейся при х——оо), функция F (&,т) должна удовлетворять условию

88

J户图曾龙=J产阳倉(6.54)

—8— 8

где J — постоянная, которую, согласно соотношениям (Б.27), (Б.ЗО), (Б.54), следует считать равной

盡!戌⑴弘(b55)

Полагая теперь в уравнении (Б.52) Е=8 и учитывая (Б.51), \Б.54)Г получим

Cj.(七)=^ J •Cj.(七)=^ J •(Б. 56)

Cj.(七)=^ J •

Cj.(七)=^ J •

Решение уравнения (В.52) при условиях (Б.53), (Б.56) имеет вид

。低，T)= ^{l + th(^[T+“(W)])},(Б.57)

где %(目 一 произвольиаи функция, появившаяся при интегрировании. Ее можно выразить через функцию и (£ 0). Учитывая, что

0(1，0)= J 产 О])*],(Б.58)

получим

J— § 戶(и) ^п

% а)= 41п "^•(Б.59)

S 尸 01) *1

Дифференцируя выражение (Б.57) по 自 находим

尸2 & "Н胃^2 sech2 {}"叶"⑥]} .(Б.60)

Формулы (Б.60) и (Б.59^ дают решение уравнений (6*38), (Б.39) при начальном условии (Б.42). Функция g (§, т) при этом однозначно определяется условием (Б.38).

Перейдем теперь к анализу полученного решения. Прежде всего рассмотрим общие свойства функции т0 (Е). Эта величина монотонно возрастает с ростом координты £ причем ,

т0 (一00)= — 8,т0 (оо)= 00.(Б.61)

Таким образом, координата 占 однозначно определяется величиной т:0 и наоборот. Согласно формулам (Б.59) и (Б.45) асимптотика функций т0 (§) им^т вид

“囹 ^4&J 店 т±8).・(Б.62)

Рассмотрим теперь асимптотический вид решения (Б.60) при больших значениях т. В этом случае функция 尸(Е, т) заметно отлична от нуля только при достаточно больших отрицательных значениях величины 飞 代).Поскольку в этом случае можно пользоваться асимптотическим выражением (Б.62), то мы получаем

尸(邑 т) f Q/2)%sech (Jt/4+ J"

g(E, т) f — 2sech2 (Jt/4+士) (t t 十 8).(Б.63)

Возвращаясь к исходным переменным согласно формулам (В.33)： (Б.34), получим

£ (尤，t)^~\/lyEc sech {м【%—с$(1—J/4)力},(Б.64)

V (к, £)->—2屮 seen2 {卩 ix—c^t (1一J/4)]} (/->oo).

Правые части этих соотношений описывают стационарную уединенную волну с амплитудой

Em=V『YEc(Б.65)

и числом Маха

М=1—//4.(Б.66)

Исключая отсюда J, получаем, что число Маха связано с амплитудой Ет соотношением (Б.41), а правые части соотношений (Б.64) в точности совпадают с выражениями (Б.40).

Подставляя в (Б.65) выражения (Б.54) и (Б.55), получаем

Е，当 j EK，0) dx = 2^ p.j £»•(/) dt. (Б.67)

—Вf 1

Таким образом, электрозвуковаи волна, образовавшаяся в плазме под действием внешней электромагнитной волны с амплитудой 般〃)， в конечном итоге превращается в солитон с амплитудой, определяемой формулой (Б.67).

БЗ. Решение граничной задачи

Метод, изложенный в предыдущем разделе, после небольшого видоизменения может быть использован и для непосредственного решения граничной задачи. Получающиеся при этом выражения имеют несколько меньшую точность, чем полученное выше решение задачи с начальными условиями, но зато такой подход позволяет получить прямым способом такие соотношения, как, например, (Б.30), которые были получены ранее из косвенных соображений.

(Б.68)(Б.69)(Б.70)(Б.68)(Б.69)(Б.70)Безразмерные переменные, удобные для задачи с граничными условиями, имеют вид

(Б.68)

(Б.69)

(Б.70)

(Б.68)

(Б.69)

(Б.70)

Тогда уравнения (30.5) и (30.11) принимают вид

Мы опять можем заключить, что эти уравнения имеют решения, удовлетворяющие условиям (Б.36), (Б.37) (с очевидной заменой 5—►——т), т—►У и описывающие волны, распространяющиеся в положительном направлении оси х со скоростью, близкой к скорости звука. Если ограничиться главными членами, то уравнения (Б.69),

(Б.70) принимают вид

(5.71)(6.72)(5.71)(6.72)竊一a+g(7 D)尸(％ D=o,dg_d (尸 2)况.

(5.71)

(6.72)

(5.71)

(6.72)

Рассмотрим решение этих уравнений при граничном условии

尸(昨然？m3)

имеющем вид одиночного импульса, т. е. будем предполагать, что функция f (т]) и ее производные исчезают достаточно быстро при |т]|—>оо *). Функция 尸(П, С) в рассматриваемом приближении опять удовлетворяет уравнению шредингеровского типа; поэтому, если М СП，9 исчезает при |т]|—>8, то F (т],占)должна иметь следующую асимптотику при больших |R:

尸(П，О^с © сТ川(т|т8).(6.74)

Это соотношение должно выполняться, в частности, при 占=0. Поэтому функция / (п) также должна иметь асимптотику вида

/ e)^coiist・c-间(闻т8).(Б.75)

Эти асимптотические условия имеют простой смысл. Они означают, что поле, распространяясь вместе с веществом со скоростью, близкой к скорости звука, имеет пространственную асимптотику типа (Б.46). Дальнейший ход решения системы (Б.71), (6.72) является почти дословным повторением вычислений, приведенных выше при решении системы (Б.38), (Б.39).

Если потребовать выполнения добавочного условия

j=)严(т), g)(/т)= const,(Б.76)

то решение, как нетрудно проверить, имеет вид

尸2(7 0 =m产^^ sed]2 jl j 化一昼⑺"，(6.77)

g(*)=霁*1.(578)

При этом функция 备(п) определена соотношением

Т 尸(П')М•

*(m=7后一^•(5.79)

/- ，尸⑺灯

*) Иными словами, мы считаем теперь, что &= — 8,友=+8.

В разделе Б4 найдено более общее решение системы (Б.71), (6.72), не ограниченное условием постоянства интеграла (Б.76), и показано, что, вообще говоря, этот интеграл изменяется настолько медленно, что учет его переменности является превышением точности.

Рассмотрим теперь асимптотический вид функции (Б.77) при больших значениях 占(т. е. координаты г). В этом случае функция 尸(п, 0 заметно отлична от нуля только при достаточно больших значениях величины 备(т]). Из формул (Б.79) и (6.75) вытекает, что асимптотика этой функции имеет вид

4

备=丁9(Л-► i °0)-(6.80)

Таким образом, мы получаем

F^=(jl^^ sech 优/4—т]),

g Оъ D=—2 sech2 (/S—n)(С~>8).(6.81)

Возвращаясь к исходным переменным согласно формулам (Б.68), получаем

Е (х, 0 •一> Ет sech 青(% —%М/),

v(x, /) ―> —2у2sech2 专(х—%Mf)(цх—► 8), (Б.82)

где

4

М =帀，(6.83)

^7уЕс = 2уЕс /片也(584)

Учитывая, что согласно формуле (Б.70) величина / имеет второй порядок малости, мы получаем 1-—М«1. Таким образом, формулы (Б.82) и (Б.84) с принятой степенью точности совпадают с формулами (Б.40) и (Б.41), описывающими солитон малой амплитуды.

Величина /, согласно (Б.76), (Б.73) и (Б.23), равна

(6.85)(6.85)

(6.85)

(6.85)

Подставляя это в формулу (Б.84), получим

СО8

(Б.86)(Б.86)£rn-^ С £2 (0, f)df=2&耳 ЕЗ ⑴ d£.

(Б.86)

(Б.86)

88-8

8

8

Эта формула имеет тот же смысл, что и соотношение (Б.67). Полная энергия образовавшегося солитона, вычисленная согласно формуле (Б.27), равна

冲=隸i5^沱在=应=%i賢¥"（及87）冲=隸i5^沱在=应=%i賢¥"（及87）_8_8-8-8

冲=隸i5^沱在=应=%i賢¥"（及87）

冲=隸i5^沱在=应=%i賢¥"（及87）

_8

_8

-8

-8

Таким образом, количество энергии, проникающее в плазму в единицу времени, равно плотности энергии на границе плазмы, умноженной на скорость звука (ср. с формулой (Б.ЗО)).

Б4. Общее решение основных уравнений

Рассмотрим общее решение уравнений (Б.71), (Б.72) при dj/恋*0・ Положим

гдегде户(n， D =户(n， D =(Б.88)(Б.88).1 %C = Z f(L)d匕/о L О.1 %C = Z f(L)d匕/о L О(Б.89)(Б.89)8/o=/(0)= § 尸(||)d<q#Подставляя (B.88), (Б.89) в (Б.71), (Б.72), (Б.73), получим肝—C+g)尸=0,dg=d (户)死一丁，戸(0, n)= f(П)，8/o=/(0)= § 尸(||)d<q#Подставляя (B.88), (Б.89) в (Б.71), (Б.72), (Б.73), получим肝—C+g)尸=0,dg=d (户)死一丁，戸(0, n)= f(П)，(Б.90)(Б.90)(Б.91)(Б.91)(Б.92)(Б.92)(Б.93)(Б.93)00§ 户2(7 1) di] = const = j0..00§ 户2(7 1) di] = const = j0..(Б.94)(Б.94)Таким образом, уравнения для функций R и g в переменных 已，т] сохраняют форму уравнений (6.71), (Б.72). Начальное условие и условие нормировки имеют тот же вид, что и (Б.73), (Б.76). Поэтому соответствующее решение выражается формулой (Б.77) с заменой 尸一►А С—►已 Возвращаясь к функции 尸，получаем общее решение в следующем виде:Таким образом, уравнения для функций R и g в переменных 已，т] сохраняют форму уравнений (6.71), (Б.72). Начальное условие и условие нормировки имеют тот же вид, что и (Б.73), (Б.76). Поэтому соответствующее решение выражается формулой (Б.77) с заменой 尸一►А С—►已 Возвращаясь к функции 尸，получаем общее решение в следующем виде:尸2 k ") = ^^ ^^ sech2 {^ % Z © 一 *尸2 k ") = ^^ ^^ sech2 {^ % Z © 一 *.(6.95).(6.95)Поскольку уравнения (Б.71), (Б.72) справедливы лишь для функций,удовлетворяющих условиям (Б.36), (Б.37) (где нужно заменитьПоскольку уравнения (Б.71), (Б.72) справедливы лишь для функций,удовлетворяющих условиям (Б.36), (Б.37) (где нужно заменить

где

где

户(n， D =

户(n， D =

(Б.88)

(Б.88)

.1 %

C = Z f(L)d匕

/о L О

.1 %

C = Z f(L)d匕

/о L О

(Б.89)

(Б.89)

8

/o=/(0)= § 尸(||)d<q#

Подставляя (B.88), (Б.89) в (Б.71), (Б.72), (Б.73), получим

肝—C+g)尸=0,

dg=d (户)

死一丁，

戸(0, n)= f(П)，

8

/o=/(0)= § 尸(||)d<q#

Подставляя (B.88), (Б.89) в (Б.71), (Б.72), (Б.73), получим

肝—C+g)尸=0,

dg=d (户)

死一丁，

戸(0, n)= f(П)，

(Б.90)

(Б.90)

(Б.91)

(Б.91)

(Б.92)

(Б.92)

(Б.93)

(Б.93)

00

§ 户2(7 1) di] = const = j0..

00

§ 户2(7 1) di] = const = j0..

(Б.94)

(Б.94)

Таким образом, уравнения для функций R и g в переменных 已，т] сохраняют форму уравнений (6.71), (Б.72). Начальное условие и условие нормировки имеют тот же вид, что и (Б.73), (Б.76). Поэтому соответствующее решение выражается формулой (Б.77) с заменой 尸一►А С—►已 Возвращаясь к функции 尸，получаем общее решение в следующем виде:

Таким образом, уравнения для функций R и g в переменных 已，т] сохраняют форму уравнений (6.71), (Б.72). Начальное условие и условие нормировки имеют тот же вид, что и (Б.73), (Б.76). Поэтому соответствующее решение выражается формулой (Б.77) с заменой 尸一►А С—►已 Возвращаясь к функции 尸，получаем общее решение в следующем виде:

尸2 k ") = ^^ ^^ sech2 {^ % Z © 一 *

尸2 k ") = ^^ ^^ sech2 {^ % Z © 一 *

.(6.95)

.(6.95)

Поскольку уравнения (Б.71), (Б.72) справедливы лишь для функций,удовлетворяющих условиям (Б.36), (Б.37) (где нужно заменить

Поскольку уравнения (Б.71), (Б.72) справедливы лишь для функций,удовлетворяющих условиям (Б.36), (Б.37) (где нужно заменить

&т—% т->Й， то можйо йаПИСаТЬ

響=患 § 尸(n'Ddn = O(Q)($96)

и, следовательно.

/ (D=jo+0(已尸)，(及97)

e(0=已+0(空尸).(Б.98)

Таким образом, можно считать, что g& если 已《尸一久 Но исходные уравнения (Б.71), (Б.72) также справедливы только при этом ограничении. Поэтому учитывать различие между 已 и g было бы превышением точности. Таким образом, не нарушая общности, можно считать, что решение уравнений (Б.71), (Б.72) при граничном условии (Б.73) имеет вид (Б.77) — (Б.79).

ЛИТЕРАТУРА

Л. Д. Л а н д а у, Е. М. Л и ф ш и ц, Механика сплошных сред, Гостехиздат, 1953.

Дж.Дж. Стокер, Волны на воде, ИЛ, 1959.

Р. 3. Сагдеев, Вопросы теории плазмы 4, 20, Атомиздат (1964).

R. Z. S a g d е е V, A. A. G а 1 е е V, Lectures on the nonlinear theory of plasma, Trieste, 1966.

А. В. Г а п о н о в, Л. А. О с т p о в с к и й, Г. И. Ф p e й д- м а н, Радиофизика 10, 1376 (1967); А. В. Г а п о н о в, Л. А. Островский, М. И. Рабинович, Радиофизика 13, 163 (1970).

С. S. G а г d п е г, J. М. G г е е п, М. D. К г u s k a I, R. М. М i- u г a, Phys. Rev. Lett. 19, 1095 (1967).

A Discussion on Nonlinear Theory of Wave Propagation in Dispersive Systems (Organized by M. J. Lighthill), Proc. Roy. A299, p. 1——145 (1967). Русск. перевод в сб. «Нелинейная теория распространения волн», «Мир》，1970.

С. А. А х м а н о в, А. П. С у х о р у к о в, Р. В. X о х л о в, УФН 93, 19 (1967).

В. И. Беспалов, А. Г. Литвак, В. И. Таланов, в сб. «Нелинейная оптика» (Труды 2-го Всесоюзного симпозиума по нелинейной оптике), стр. 428, «Наука», Сибирское отделение, Новосибирск, 1968.

С. А. Ахманов, Р. В. Хохлов, Проблемы нелинейной оптики, ВИНИТИ, 1964.

Н. Бломберге н, Нелинейная оптика, «Мир», 1966.

А. К- 3 аремб о, В. А. Красильников, Введение в нелинейную акустику, «Наука», 1966.

Э. К о п с о н, Асимптотические разложения, «Мир», 1966.

G. В. W h i t h а т, Сотт. Pure Appl. Math. 14, 675 (1961).

G. В. W h i t h а т, Proc. Roy. Soc. A283 (1965).

G. В. W h i t h a m, J. Fluid Meeh. 22, 273 (1965); Proc. Roy. Soc. A229, 6 (1967).~

В. Л. Гинзбург, Распространение электромагнитных волн в плазме,《Наука», 1967.

Л. Д. Л а н д а у, *ЗТФ 16, 574 (1946).

Р. 3. С а г д е е в, Вопросы магнитной гидродинамики и динамики плазмы, Рига, 1960, стр. 275.

С. S. Gardner and G. К. М о г i k a v a. Similarity in the Asumptotic behavior of Collision-Free Hydromagnetic Waves

and Water Waves, Courant Inst, of Math. Sci., Rept. NJO 9082 (I960).

Ю. А. Б e p e 3 и н, В. И. К a p п м а н, ЖЭТФ 46, 1880 (1964).

Я- Б. Зельдович, Ю. П. Райзер, Письма ЖЭТФ 3, 137 (1966).

Y. R. Shen, Phys. Lett. 20, 378 (1966).

А. В. Гапонов, M. А. Миллер, ЖЭТФ 34, 242 (1958).

H. Boot, S. Self, R. Shersby-Harvie, J. El. and Control 4, 434 (1958).

В. Л. Гинзбург, А. В. Гуревич, УФН 70, 201, 393 (I960).

2 7. Л. П. Питаевский, ЖЭТФ 39, 1450 (I960).

Л. Д. Л а н д а у, E. M. Л и ф ш и ц, Электродинамика сплошных сред, Гостехиздат, 1957.

Ю. А. К Р а в Ц о в, Н. С. С т е п а н о в, ЖЭТФ 57, 1730(1969).

Л. И. Мандельштам, М. А. Леонтович, ЖЭТФ 7, 438 (1937).

Я- Б. 3 е л ь д о в и ч, Ю. П. Р а й з е р, Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамически х явлений, «Наука», 1966.

В. Л. Гинзбург, Акустический журнал 1, 31 (1955).

Е. Янке, Ф. Э м д е, Ф. Л е ш, Специальные функции, «Наука», 1964.

J. A d 1 а т, J. А 1 1 е п, Phil. Mag. 3, 448 (1958).

L. Davis, R. L u s t, A. S c h 1 u t e г, Zs. Naturforsch. 13a, 916 (1958).

C. S. G a r d п e г, H. G о er t z e I, H.Grad,C.S.Mora- w e t z, M. H. R о s e, H. Rubin, Proc. 2d U. N. Conf, on Atomic Energy, Geneva 31, 230 (1958)'

А. А. В e д e н о в, E. П. Велихов, P. 3. С а г д e e в, Ядерный синтез 1, 82 (1961).

R. Z. S a g d e e v, Proc. Symp. on Electr. a. Fluid Dynamics of Gaseous Plasma, N. Y., 1961, p. 443.

А. П. Казанцев, ЖЭТФ 44, 1283 (1963).

В. И. К a p п м а и, ЖЭТФ 33, 959 (1963).

Р. G. S a f f m а п, J. Fluid Meeh. 11, 16, 552 (1961).

Б. А. Тверской, ЖЭТФ 42, 833 (1962).

А. Д. Пата рая, ЖЭТФ 32, 139, 584 (1962).

Г. Л а м б. Гидродинамика, Гостехиздат, 1947.

Л. А. Островский, ЖЭТФ 51, 1189 (1966).

Л. Д. Л а н д а у, Е. М. Л и ф ш и ц. Статистическая физика, «Наука», 1964.

J. М. Burgers, Proc. Acad. Sci. Amsterdam 43, 2 (1940).

E. H о p f, Comm. Pure Appl. Math. 3, 201 (1950).

К. A. H а у г о л ь н ы x, С. И. С о л у я н, P. В. X о x л о b; Акустический журнал 9, 54 (1963).

D.J.Korteweg and G. de V г i e s, Phil. Mag. 39, 442 (1895).

K. W. Mo r t о n, Phys. Fluids 7, 1801 (1964).

В. E. 3 a x a p о в, ПМТФ, № 3, 167 (1964).

C. S. Gardner, G. K- Morikawa, Comm. Pure Appl. Math. 18, 35 (1965).

Ю. А. Березин, ПМТФ, № 6, 26 (1965).

N. J. Z a b u s k у, Proc. Symposium of Nonlinear Partial Differential Equations, Academic Press, N. Y., 1967, p. 223.

56.57.58.56.57.58.59.60.61.62.63.64.65.66.67.68.69.70.71.72.73.74.75.76.77.78.79.59.60.61.62.63.64.65.66.67.68.69.70.71.72.73.74.75.76.77.78.79.H. W 厶 s h i m i and T. T a n i u t i, Phys. Rev. Lett. 17, 996 (1966).

56.

57.

58.

56.

57.

58.

59.

60.

61.

62.

63.

64.

65.

66.

67.

68.

69.

70.

71.

72.

73.

74.

75.

76.

77.

78.

79.

59.

60.

61.

62.

63.

64.

65.

66.

67.

68.

69.

70.

71.

72.

73.

74.

75.

76.

77.

78.

79.

И. К a p и м а н, *ЗТФ 52, 1657 (1967).

T. T a n i u t i> С. C. W e i, J. Phys. Soc. Japan 24, 941 (1968);

T. К a к u t a n i, H. О n о, T. T a n i u t i, С. C. W e i. J. Phys. Soc. Japan 24, 1159 (1968).

H. S u, C. S. G а г d п e r, J. Math. Phys. 10, 536 (1969).

П. С и л и и, A. A. P у x а д 3 e, Электромагнитные свойства плазмы и плазмоподобных сред, Атомиздат, 1961.

Е. О t t , R. N. S u d а п, Phys. Fluids 12, 2388 (1969).

E. О t t, R. N. S u d a n, «Damping of Solitary Waves», Preprint» Cornell University, N. Y., 1969.

R. M. M i u г a, C. S. G а г d п e г, M. D. К r u s к a 1, J. Math. Phys. 9, 1204 (1968).

M.D.Kruskal,R.M.Miura,C.S.Gardner,N.J.Za- b u s к y, J. Math. Phys. 11, 952 (1970).

V» I. К а г p m a n, Phys. Lett. 2 5A, 708 (1967).

N. J.Zabusky and M. D. К г у s к a 1, Phys. Rev. Lett. 15, 240 (1965).

Ю. А. Б e p e 3 и н, В.И. К a p п м а н, ЖЭТФ 51, 1557 (1966).

P. D. L a X, Comm. Pure Appl. Math. 21, 467 (1968).

И. M. Гельфанд, Б. M. Л e в и т а н, Изв. АН СССР, сер, матем. 15, 309 (1951).

В. А. Марченко, ДАН СССР 104, 695 (1955).

I. К а у, Н. Е. М о s е s, Nuovo Cimento 3, 276 (1956); J. Appl. Phys. 27, 1503 (1956).

Л. Д. Ландау, E. M. Л и ф m и ц, Квантовая механика, Физматгиз, 1963.

80.81.82.83.84.85.86.87.88.89.90.91.80.81.82.83.84.85.86.87.88.89.90.91.В. И. Кар п м а н,В. П. С о к о л о в, ЖЭТФ 54,1568 (1968).

80.

81.

82.

83.

84.

85.

86.

87.

88.

89.

90.

91.

80.

81.

82.

83.

84.

85.

86.

87.

88.

89.

90.

91.

N, J. Z.ab u s к у,Phys. Rev, 168, 124 (1968).

V. I. Каг р m а 口，Phys. Lett. 26А, 619 (1968).

Ю. А. Березин, ЖТФ 38, 24 (1968).

Р. 3. Сагдеев, ЖТФ 31, 1955 (1961).

М. Бел я нцев, А. В. Г ап о но в, Г.И. Фрейдман, ЖТФ 35, 677 (1965).

Р. X. Куртмуллаев, Ю. Н. Нестерихин, В. И. Пильский, Р. 3. Сагдеев, Proc. Culham Conf., Vol. 11, 367 (1965); В. Г. Еселевич, Р. X. К у ртм ул- л а е в, В. И. Пильский, Письма ЖЭТФ 5, 311 (1967). М. J. L i g h t h i 1 1, J. Inst. Math. Appl. 1)269 (1965).

Г. А. А с к a p ь я и, ЖЭТФ 42, 1567 (1962).

Б. Б. Кадомцев, В. И. Петвиашвил и, ДАН СССР 192 , 753 (1970).

М. J. Li g h t h i 1 1, Proc. Roy. Soc. A299, 28 (1967).

T. T a n i u t i, N. Yajima, J. Math. Phys. 10, 1369 (1969). Ф. T p и к о м и, Лекции по уравнениям в частных производных, ИЛ, 1957.

Е. 3 а х а р о в, ПМТФ, № 2, 86 (1968). 宀

Т. Т а п i u t i, Н. W a s h i m i, Phys. Rev. Lett. 21, 209 (1968).

В. И. Таланов, Радиофизика 7, 264 (1964)；

R. Y. Chiao, E. G a r d m i г e, С. H. Townes, Phys. Rev. Lett. 13, 479 (1964).

А. Г. Литвак, В. И. Таланов, Радиофизика 10, 539 (1967).

М. А. Л е о 11 т о в и ч, Изв. АН СССР, сер. физ. 8, 16 (1944).

В. И. Беспалов, В. И. Таланов, Письма ЖЗТФ 3, 471 (1966).

В. Е. 3 а х а р о в, *ЗТФ 53, 1935 (1967).

В. И. К а р п м а и, Письма ЖЭТФ 6, 829 (1967).

Т. В. В е п j а m i п. Proc. Roy. Soc. А299, 59 (1967); J. Е. F е - i г , Proc. Roy. Soc. A299, 54 (1967); T. B. Benjamin, J. E. F e i r, J. Fluid Meeh. 27, 417 (1967).

В. И. К a p п м а н, E. M. Крушкаль, ЖЗТФ 55, 530 (1968).

F. D. T a p p e г t, W. J. С о 1 e, R. H. H а г d i n and N. J. Z a- b u s k y, Wave kinetic equation emulation by numerical particle-in-cell simulation methods. Preprint PCP-70-29, Comp. Phys. Res. Dep. Bell Tel. Lab., 1970.

3. К. Янкаускас, Радиофизика 9, 410 (1966).

H. A. Haus, Appl. Phys. Lett. 8, 128 (1966).

А. Зоммерфельд, Электродинамика, ИЛ, 1958.

В. И. T а л а н о в, Письма ЖЭТФ 2, 222 (1965).

2. Р. L. Kelley, Phys. Rev. Lett. 15, 1005 (1965).

C. A. A x м а н о в, A. H. С у x о p у к о в, P. В. X о x л о в, ЖЭТФ 50, 1537 (1966).

А. Р i е к а г a, IEEE, J. Quantum Electronics QE-2, 249 (1966).

К. Grob, M. Wagner, Phys. Rev. Lett. 17, 819 (1966).

T. В. В о л к о в, в сб. «Физика плазмы и управляемых термоядерных реакций», Изд-во АН СССР, 1958, т. IV, стр. 98.

Л. Г. Л и т в а к, Радиофизика 9, 675 (1966).

Л. М. Горбунов, ЖЭТФ 54, 205 (1968).

В. Ц. Г у р о в и ч, В. И. К а р п м а н, ЖЭТФ 56, 1952 (1969).

Л. М. Горбунов, Гидродинамика плазмы в сильном высокочастотном поле, Препринт ФИАН № 174 (1969).

В. П. Силин, ЖЭТФ 53, 1662 (1967).

V. I.Karpman, Plasma Physics 13t 477 (1971).

В. Ц. Г у р о в и ч, В. И. К а р п м а н, Р. Н. Кауфман, ЖЭТФ 56, 1979 (1970).

В. И. К а р и м а н, Письма ЖЭТФ 9, 480 (1969).

Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, Механика, «Наука», ]964.

Б.Б.Кадомцев^.И.Карпман, УФН 103, 193 (1971).

Владимир Иосифович КарпманНелинейные волны в диспергирующих средах

М., 1973 г., 176 стр. с илл.

Редактор Л. А. РусаковТехн. ред. ". Ш. АксельродКорректор Т. С. Вайсберг

Сдано в набор 18/Х 1 972 г. Подписано к пе-чати 19/II1 1973 г. Бумага 84Х 108!/зг- Физ.печ. л. 5.5- Условн. печ. л. 9,24. Уч.-изд.л. 8,76. Тираж 4000 экз. Т-00796.

Цена киигн 75 коп. Заказ № 1994.

Издательство «Наука>

Главная редакцияфизико-математической литературы

I 17071, Москва В-71. Ленинский проспект, I 5

Ордена Трудового Красного ЗнамениПервая Образцовая типографияимени А. А. Жданова

Главполиграфпрома Государственногокомитета Совета Министров СССРпо делам издательств, полиграфии и книжнойторговли.

Москва М-54, Валовая, 28

2，

К 一 Z.G? ад 27 m

Лдллл/У

В.И.КАРПМАН

НЕЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ

В ДИСПЕРГИРУЮЩИХ СРЕДАХ

В. И. КАРПМАН

НЕЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫВ ДИСПЕРГИРУЮЩИХСРЕДАХ

ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

МОСКВА 1973

530.1

К 26

УДК 530.18

Нелинейные волны в диспергирующих средах. К а р п м а н В. И. Монография. Главная редакция физико-математической литературы изд-ва «Наука», 1973.

Книга посвящена изложению с единой точки зрения широкого круга вопросов теории нелинейных волн в средах с дисперсией и диссипацией. Эта сравнительно молодая бурно развивающаяся область нелинейной динамики вызывает в настоящее время значительный интерес у специалистов, работающих й самых различных областях. Основное внимание уделяется нестационарным процессам. Общие закономерности иллюстрируются большим числом примеров из гидродинамики, физики плазмы, радиофизики, оптики и т. д.

Рисунков 25, библиография 116 названий.

0231 — 1735042(02)-73"

116-73

ю 11 ^ п^^ ^ ^^ ^ ^525460606568^ ^ ^ ^ю 11 ^ п^^ ^ ^^ ^ ^525460606568^ ^ ^ ^

ю 11 ^ п^^ ^ ^^ ^ ^525460606568^ ^ ^ ^

ю 11 ^ п^^ ^ ^^ ^ ^525460606568^ ^ ^ ^