Книга
← К списку книгЗагрузка разделов…
активнаАктивные записи участвуют в каталоге и синках. Неактивная книга скрыта, но не удалена из базы.
Книга
УЕДИНЕННЫЕ ВОЛНЫ В МОДЕЛЯХ ГИДРОМЕХАНИКИ
Редактор И. Л. Легостаева
Оригинал-макет автора
Оформление переплета А.Ю. Алехиной
ЛР №071930 от 06.07.99. Подписано в печать 26.12.02. Формат 60x90/16.
Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл. печ. л. 16. Уч.-изд. л. 19,8.
Тираж 300 экз. Заказ №
Издательская фирмаISBN 5-9221-0360-1
« Физико-математическая литература»
МАИК «Наука/Интерпериодика»
117997 Москва, Профсоюзная, 90
E-mail: fizmat@maik.ru
Отпечатано с диапозитивов
в РГУП «Чебоксарская типография № 1».
428019 Чебоксары, пр. И. Яковлева, 159 7 8 5 9 2 2 10 3 6 0 2
Содержание
Предисловие 6
Математическое введение 13
Теорема о центральном многообразии 15
Типы бифуркаций 19
Типы квазинормальных форм 21
Теорема о приведении к квазинормальной форме....21
Простой резонанс 23
Резонанс длинной и короткой волн 24
1:1 резонанс 26
Сложный 1:1 резонанс 30
Типы солитоноподобных структур 34
Классические уединенные волны 34
Обобщенно-уединенные волны 37
Уединенные волновые пакеты 40
Обобщенно-уединенные волновые пакеты 43
Плоскопараллельные движения 44
Солитоноподобные решения эволюционныхсистем...44
Уединенные волны в эволюционных уравнениях....49
Длинноволновые модели 53
Капиллярные и изгибные волны 56
Устойчивость классических уединенных волн 60
Обобщенно-уединенные волны. Излучение резонансных волн . 65
Обобщенно-уединенные волны 65
Подсчет амплитуды периодическойсоставляющей...66
Излучение резонансных волн 69
Устойчивость излучения 71
Уединенные волновые пакеты и самофокусировка 76
Форма локальных уединенных волновыхпакетов....76
Модуляционная неустойчивость 80
Длинные волны в двухслойной жидкости 83
Вывод основных уравнений 84
Бегущие волны 91
Обобщенно-уединенные волны 93
Классические уединенные волны 96
Уединенные волны с рябью 96
Окрестность критического значения отношения глубин . . . . 101
Обсуждение104
Уединенные волны в нелинейном резонансе Фарадея . . . . 107
Вывод уравнения Шредингера с параметрической накачкой . 112
Уединенные волны, ответвляющиеся от критической кривой . 116
Случай Р < 0, /З2 + о? > у2 117
Случай /3 > 0, /З2 + о? < у2 119
Распад солитоноподобных возмущений121
Неупругое взаимодействие классических уединенных волн . . 124
Резюме129
Уединенные волны в /3-плазме131
Вывод основных уравнений 133
Линейные волновые резонансы 138
Динамическая система142
Классические уединенные волны144
Быстрые и медленные обобщенно-уединенные волны 145
Уединенные волны с рябью 150
Скачкй и их связь с уединенными волнами153
Уединенные волновые пакеты в пределе холодной плазмы . . 156
Обсуждение161
Приложение. Разностная схема165
Уединенные волны в жидкости под ледовым покровом . . . 167
Модель ледового покрова169
Основные уравнения, формулировка задачи172
Спектр и резонансы175
Уединенные волны, ответвляющиеся от состоянияпокоя . . . 178
Классические уединенные волны179
Обобщенно-уединенные и уединенные волны с рябью . 180
Уединенные волновые пакеты и темные солитоны . . . 182
Обсуждение188
Приложение. Резольвентные оценки193
Пространственные волны в идеальнойжидкости197
Вывод основного уравнения201
Сложный 1:1 резонанс. Спектры модельной и полной задач . . 205
Граничные условия Дирихле по поперечной переменной . . . . 210
Понижение порядка210
Коэффициенты квазинормальной формы212
Уединенные волны213
Случай периодичности по поперечной переменной214
Приведенная система уравнений 214
Квазинормальные формы 216
Форма волн в случае I219
Форма волн в случае II220
Простой резонанс. Волноводные решения220
Самоканализация периодических волн225
Вывод уравнений Дэви-Стюартсона225
Анализ неустойчивости227
Вторичная неустойчивость230
Обсуждение236
Приложение 1. Резольвентные оценки240
Приложение 2. Построение квазинормальной формы241
Приложение 3. Коэффициенты квазинормальной формы . . . . 244
Список литературы247
Предисловие
Уединенные волны - локализованные по пространству решения нелинейных уравнений, описывающих волновые процессы в диспергирующих и диссипативных средах, привлекают значительный интерес в качестве объектов как математического, так и физического исследований. Присутствие решений типа уединенных волн - солитонов - у сложных нелинейных уравнений стимулировало развитие разнообразных методов мощного математического формализма, в том числе знаменитого метода обратной задачи теории рассеяния - нелинейного аналога Фурье-анализа (см. Захаров и др., 1980). Солитоны представляют собой пример уединенных волн, взаимодействие которых происходит без изменения формы, и в этом смысле подобно взаимодействию частиц (название “солитон” в английской этимологии происходит от комбинации прилагательного solitary - уединенный - и названия элементарной частицы - фотон, электрон и т.п.).
Однако принятое в литературе понятие уединенной волны относится к более общему классу непериодических бегущих волн, основной характеристикой которых является убывание или выход на периодическую асимптотику на пространственной бесконечности. В целях выделения различия между этими волнами далее повсеместно будут употребляться названия: классические уединенные волны, обобщенноуединенные волны и уединенные волновые пакеты - для обозначения типов уединенных волн, отличающихся поведением в конечных областях пространства и асимптотикой на бесконечности. Для рассматриваемых в книге типов уединенных волн будет использоваться также объединяющее название - солитоноподобные структуры или солитоноподобные решения, когда речь будет идти о соответствующих решениях систем дифференциальных уравнений.
Целью настоящей монографии является рассмотрение свойств различных типов семейств солитоноподобных структур в окрестности состояния покоя в обратимых средах, т. е. в средах, моделируемых уравнениями, которые инвариантны относительно обращения времени и пространственного направления распространения волн. К таким средам относятся диспергирующие и, для статических процессов, некоторые диссипативные среды. Наряду с исследованием существова-
ния упомянутых волновых структур в различных моделях гидромеханики рассматриваются сопутствующие вопросы о характере влияния наличия этих структур в системе на специфику распада локализованных возмущений и устойчивость периодических волн. Речь пойдет об асимптотическом поведении по времени важных классов начальных данных, которое отражает свойства присутствующих в системе солитоноподобных структур.
Полная система уравнений, описывающая ту или иную модель обратимой среды, как правило, сложна для исследования нестационарных волновых процессов. По этой причине очень часто используются так называемые модельные уравнения, которые формально выводятся из полной системы методом многих масштабов. Принято считать, что модельные уравнения аппроксимируют полную систему. Строгое доказательство этого факта, однако, представляет собой сложную математическую задачу, до сих пор нерешенную.
Широкое применение для описания распространения длинных волн малой, но конечной, амплитуды в большом числе диспергирующих сред имеет уравнение Кортевега-де Вриза (КдВ) (Korteweg, de Vries, 1895). Уравнение КдВ допускает солитонные решения (Gardner et al., 1985), которые описывают классические уединенные волны, монотонно затухающие на бесконечности. При эволюции достаточно “крупных” локализованных возмущений последние при достаточно больших временах превращаются в последовательность солитонов. Примером среды, когда уравнение КдВ адекватно описывает решения типа бегущих поверхностных волн малой амплитуды, служит тяжелая идеальная несжимаемая жидкость конечной глубины без дополнительных поверхностных эффектов (Beale, 1977; Friedrichs, Hyers, 1954; Лаврентьев, 1947).
Тем не менее, для большого количества диспергирующих сред, где в малоамплитудном и длинноволновом приближении часто используется уравнение КдВ, волновые решения полной системы уравнений типа классических уединенных волн отсутствуют для определенных областей изменения физических параметров. Это происходит, например, в моделях идеальной тяжелой несжимаемой жидкости конечной глубины с поверхностным натяжением (Amick, Kirchgassner, 1989; Dias, looss, 1993; looss, Kirchgassner, 1990, 1992; Sachs, 1991; Sun, 1991); под упругой пластиной моделирующей ледовый покров, (Forbes, 1986, 1988; Il’ichev, Kirchgassner, 1998; Ильичев, 2000); непрерывно стратифицированной идеально-несжимаемой жидкости конечной глубины (Akylas, Grimshaw, 1992); двуслойной идеально-несжимаемой жидкости с конечными глубинами слоев (Amick, Turner, 1989; Bona, Sachs, 1989; Dias, Il’ichev, 2001; Mielke, 1995; Sun, Shen, 1993 b); холодной квази-нейтральной бесстолкновительной плазмы, помещенной в однородное магнитное поле (Bakholdin, Il’ichev, 1996; Il’ichev, 1996; Ильичев, 1996 а, 1996 6).
Все до сих пор цитированные работы относятся к исследованиям существования волн малой амплитуды. В настоящей книге будут рассматриваться только такие волны, так как целью ее является также обсуждение характерных нестационарных эффектов распространения волн, связанных с наличием в системе определенных типов локальных солитоноподобных решений, т. е. волн, являющихся бифуркацией из состояния покоя системы, существующих в окрестности этого состояния. Исследование вопросов существования уединенных волн большой амплитуды (так называемые глобальные теории) проливает мало света на физические процессы, связанные с эволюцией локализованных возмущений и, как правило, сопровождается использованием сложного математического аппарата, тем самым превращаясь в решение задачи о существовании специального типа решений, представляющей чисто математический интерес. Упомянем здесь некоторые работы отечественных и зарубежных авторов, где обсуждалось существование уединенных волн конечной амплитуды - глобальной ветви солитоноподобных решений.
Для поверхностных волн конечной амплитуды в тяжелой несжи- мемой жидкости конечной глубины существование уединенных волн было доказано Amick, Toland (1981а, 1981b) при помощи теории положительных операторов для интегрального уравнения Некрасова (Некрасов, 1961). Benjamin et al. (1988) доказали существование поверхностных волн, используя теорию положительных операторов в ненор- мируемых пространствах Фреше. Bona et al. (1976) получили уединенные волны как предельную конфигурацию из кноидальных внутренних волн в непрерывно стратифицированной жидкости при стремлении периода к бесконечности. Amick, Turner (1986) доказали существование глобальной ветви уединенных волн в двуслойной жидкости. В работах Karabut (1996, 1998) при помощи асимптотических методов исследуются свойства уединенных волн большой амплитуды на поверхности идеальной жидкости.
В типичной для плоскопараллельных движений ситуации классические уединенные волны возникают как бифуркации из нулевого волнового числа спектра линейных волн. Это означает, что существует такая ветвь дисперсионного соотношения, проходящая через 0, что ее график и график всех остальных ветвей лежат по одну сторону от касательной к графику этой ветви в нуле. Если же такой ветви не существует, то в случае общего положения классическая уединенная волна отсутствует. При этом в ряде случаев возможно образование нового объекта - обобщенно-уединенной волны - бегущей волны, подобной классической уединенной волне, но имеющей периодическую асимптотику на бесконечности. Еще один тип уединенной волны - уединенный волновой пакет - возникает в диспергирующих средах в результате так называемого 1 : 1 резонанса (looss, Peroueme, 1993), когда достигается равенство фазовой и групповой скоростей.
Классические уединенные волны в низшем приближении по малому параметру - амплитуде волны - имеют форму солитонов уравнения КдВ х, которые являются динамически устойчивыми. В связи с этим факт устойчивости классических уединенных волн в случае общего положения представляется вполне естественным. Таким образом, следует ожидать, что локализованные возмущения одной полярности с рассматриваемыми классическими уединенными волнами (“горб” или “яма”) будут распадаться на эти волны. С другой стороны, процессы распада локализованных возмущений, сопровождающиеся излучением периодических или почти периодических волн, а также модуляционной неустойчивости периодических волн (самофокусировки) с волновыми числами, лежащими в окрестности резонансного, оказываюся тесно связанными с наличием в рассматриваемой обратимой системе соответственно обобщенно-уединенных волн и уединенных волновых пакетов.
Ильичев (1996 6, 1997) сформулировал достаточные условия существования уединенных волн трех упомянутых типов для плоскопараллельных движений в диспергирующих средах. Экспоненциально малая оценка для амплитуды периодической составляющей обобщенно-уединенных капиллярно-гравитационных волн дана в работе Sun, Shen (1993а). Условие отсутствия периодической составляющей у обобщенно-уединенной волны в общем случае сформулировано Lombardi (1997). Однако проверка этого условия представляет конструктивные трудности в каждом конкретном случае.
Кроме уединенных волн трех рассматриваемых типов известны еще так называемые “темные солитоны” - нелокализованные бегущие волны, образованные в результате нелинейного резонанса боры с периодической волной. Свое название эти волны получили из нелинейной оптики вследствие того, что интенсивность волны (интенсивность освещения) в окрестности точки симметрии минимальна. Темные уединенные волны являются “антиподом” уединенных волновых пакетов в том смысле, что их присутствие в системе отвечает случаю, когда периодические волны в окрестности резонансного волнового числа являются модуляционно устойчивыми и самофокусировки не происходит.
В главе 1 настоящей книги приводится математический аппарат, применяемый для нахождения и исследования солитоноподобных структур. Основными результатами, используемыми в книге, является классический результат о понижении порядка конечномерной или бесконечномерной (в последнем случае сведение к конечномерному случаю) обратимой системы дифференциальных уравнений, описывающей бегущие волны. Этот результат известен под названием теоремы о центральном многообразии, которая справедлива для решений,
'В случае нелинейности, в которой присутствуют квадратичные члены.
находящихся в окрестности состояния покоя системы (Плисс, 1974; looss, Adelmeyer, 1992; Mielke, 1988; Vanderbauwhede, looss, 1991). В главе 1 приведены также основные положения построения теории квазинормальных форм (называемых так, потому что в системе присутствует малый параметр бифуркации) в духе статьи Elphick et al. (1987). Система в квазинормальной форме является простейшей системой, приближающей приведенную систему уравнений - систему на центральном многообразии - с точностью до любого алгебраического порядка по малому параметру, который управляет бифуркацией.
Глава 2 посвящена рассмотрению уединенных волн, обобщенноуединенных волн и уединенных волновых пакетов для уравнения КдВ с пятой производной по пространственной переменной, возникающего, в частности, в теории длинных гравитационно-капиллярных волн или гравитационно-изгибных волн на поверхности идеальной несжимаемой жидкости конечной глубины. Это уравнение является одним из самых простых уравнений, описывающих системы, где имеют место упомянутые нестационарные эффекты, связанные с наличием трех типов солитоноподобных структур. В связи с этим на его примере представляется возможным изучить общие свойства трех типов уединенных волн, а также проследить за связью существования каждого из этих типов с эволюцией солитоноподобных возмущений и присутствием в системе модуляционной неустойчивости.
В главе 3 рассмотрена система модельных уравнений, описывающая длинные волны в двуслойной идеальной несжимаемой жидкости конечной глубины. На примере этого уравнения показана возможность существования, вместе с классическими, обобщенно-уединенных волн в этой системе. Наряду с существованием обобщенно-уединенных волн отмечено существование семейства так называемых уединенных волн с рябью, которое получено в результате продолжения семейства обобщенно-уединенных волн по амплитуде периодической составляющей. Для малых амплитуд обобщенно-уединенных волн амплитуда их периодической составляющей является экспоненциально малой по параметру, характеризующему порядок амплитуды волнового образования. Процедура продолжения, представленная в этой главе, приводит к уединенным волнам, амплитуда периодической составляющей которых сравнима с амплитудой самой волны. Наличие уединенных волн с рябью является типичным для систем, где классические уединенные волны замещаются обобщенно-уединенными волнами. С математической точки зрения наличие таких солитоноподобных структур объясняется спецификой квазинормальной формы, отвечающей резонансу длинной и короткой волн (синхронизации).
Глава 4 посвящена рассмотрению солитоноподобных волновых структур, лежащих в окрестности кривой равновесия для явления резонанса Фарадея. Резонанс Фарадея представляет собой параметрическое возбуждение волн в длинных вертикально осциллирующих
сосудах. В системе учитывается вязкость, в связи с чем обратимыми являются волновые движения, не зависящие от времени, т. е. в качестве стационарных решений с точки зрения общей теории рассматриваются только стоячие волны. Демонстрируется влияние наличия обобщенно-уединенных волн в системе на нестационарный распад локализованных возмущений в области параметров, где имеет место неустойчивость состояния покоя системы.
Глава 5 посвящена рассмотрению классических уединенных волн, обобщенно-уединенных волн и уединенных волновых пакетов в квази- нейтральной бесстолкновительной плазме с холодными ионами и электронами постоянной температуры, описываемой в рамках гидродинамической модели двух жидкостей. Подробно рассмотрены вопросы эволюции локализованных возмущений в различных областях параметров, где существуют классические уединенные волны или где последние замещаются обобщенно-уединенными волнами. Анализ данной главы распространяется на изотермическую модель двух жидкостей (с ненулевой температурой ионов), а также может быть применен к адиабатической модели.
В главе 6 изучаются солитоноподобные структуры трех основных типов в идеальной несжимаемой жидкости конечной глубины под ледовой пластиной. Система описывается уравнениями Эйлера для плоскопараллельных течений жидкости, согласованных с уравнением изгибных колебаний геометрически нелиненой упругой пластины. Обсуждается вопрос перехода от самофокусирующих свойств среды к дефокусирующим в зависимости от глубины жидкости, что связано с замещением уединенных волновых пакетов темными солитонами при изменении глубины.
В книге рассмотрен также пример уравнения, описывающего длинные гравитационно-капиллярные и гравитационно-изгибные поверхностные волны, который иллюстрирует формирование бегущих волн, зависящих от двух пространственных координат, при увеличении пространственной размерности - явление, получившее в литературе название “спонтанное нарушение размерности” (глава 7). В результате спонтанного нарушения размерности, в частности, могут возникать неплоские волны, представляющие собой уединенные волны по одному из направлений и периодические по другому. Эти волны во многом аналогичны плоским классическим уединенным волнам, являясь, однако, в отличие от последних, объектами, как правило, неустойчивыми.
Выбор материала, представленного в книге, отражает интересы автора, в связи с чем за рамками рассмотрения остались многие проблемы, связанные с локальными солитоноподобными структурами в гидромеханике, в частности, вопросы существования уединенных волн с алгебраическим убыванием на бесконечности (см., например, Dias, looss, 1996; looss, Kirrmann, 1996), ряд важных вопросов
спонтанного нарушения размерности в гидромеханике с дисперсией (Dias, Haragus-Courcelle, 2000 ), вопросы о солитоноподобных структурах в пространственно необратимых диссипативных системах (см., например, Afendikov, Bridges, 2001). Эти и многие другие вопросы, относящиеся к существованию локальных солитоноподобных структур в дисперсионой и диссипативной гидромеханике, представляют значительный физический интерес, и их изложение, без сомнения, является предметом отдельной монографии, может быть, и не одной.
Автору приятно выразить благодарность А. Г. Куликовскому и А. А. Бармину за полезные обсуждения и поддержку, а также особую признательность И. Б. Бахолдину за сотрудничество.
Автор выражает признательность Российскому фонду фундаментальных исследований (грант 02-01-14072) за поддержку публикации этой книги.
Математическое введение
В настоящей главе с формальной точки зрения будут рассматриваться решения конечномерных и бесконечномерных динамических систем уравнений, являющихся бифуркацией из состояния покоя системы в малой окрестности этого состояния. Предполагается, что исследуемые системы уравнений в частных производных являются обратимыми^ т. е. инвариантными относительно отражения времени и динамической координаты. Обратимость - естественное свойство задач, где направление распространения волн неограничено и не имеет предпочтительной ориентации и фиксированного начала координат. Основные этапы исследования рассматриваемых задач сводятся к следующим.
Определение критического значения параметра бифуркации, т.е. значения физического параметра задачи v = vq, при малом возмущении р = и — uq которого, наряду с нулевым решением, система имеет нетривиальное решение.
Запись системы уравнений, описывающих бегущие волны, в виде конечномерной или бесконечномерной динамической системы:
w = Дw + Т^р, w), Д = Д(и0), (1.0.1)
где w - неизвестная вектор-функция, Л(и) - матрица или линейный оператор, действующий в некотором гильбертовом пространстве (в случае бесконечномерной динамической системы), а Т^р,^ - нелинейная вектор-функция своих аргументов. Точка над функцией обозначает производную по неограниченной пространственной координате, которая играет роль динамической переменной.
Определение движения собственных значений линейного оператора Л(и) в окрестности мнимой оси при изменении спектрального параметра р = v —vq. Бифуркации возникают при пересечении собственными значениями Л(и) мнимой оси. В силу обратимости системы уравнений собственные значения Д(и) выходят на мнимую ось парами при изменении параметра и и являются симметричными относительно
мнимой и вещественной осей. В параграфе 1.2 рассмотрены следующие типы бифуркаций: бифуркация, отвечающая простому резонансу или бифуркация из нулевого волнового числа, бифуркация, отвечающая резонансу длинной и короткой волн, бифуркация 1:1 резонанса, бифуркация сложного 1:1 резонанса.
Понижение порядка динамической системы. Формально понижение порядка осуществляется при помощи разбиения неизвестных функций на сумму двух слагаемых. Одно из этих слагаемых представляет собой линейную комбинацию присоединенных и собственных векторов, соответствующих центральному спектру (мнимым собственным значениям), а другое является малой следующего порядка по амплитуде волн и представляет собой определяемую функцию от первого слагаемого. Уравнения на коэффициенты упомянутой линейной комбинации являются системой пониженного порядка. В случае бесконечномерной динамической системы указанное понижение порядка возможно лишь при выполнении дополнительных условий, которым должен удовлетворять оператор A (Kirchgassner, 1982; Mielke, 1988; Vanderbauwhede, looss, 1992). В параграфе 1.1 разобрана теорема о понижении порядка для бесконечномерных динамических систем.
Исследование системы обыкновенных уравнений, полученных после понижения порядка. Проводится асимптотическими методами, в частности, приближением уравнений пониженного порядка квази- нормальными формами этих уравнений. Уравнения в квазинормаль- ной форме, отвечающие всем четырем перечисленным типам бифуркаций, являются интегрируемыми (Haragus-Courcelle, Il’ichev 1998; looss, Kirchgassner 1992; looss, Peroueme, 1993). В параграфе 1.3 даны формулировки общих результатов теории квазинормальных форм для обратимых систем, а также вывод уравнений в квазинормальной форме в рассмариваемых случаях.
Доказательство грубости решений типа уединенной волны асимптотических уравнений, т.е. доказательство того факта, что решения полной системы, приближаемые решениями асимптотических уравнений, являются также уединенными волнами соответствующих типов. Эти доказательства, как правило, сводятся к использованию теоремы о неявной функции в различных формах. Для бифуркаций, изображенных на рис. 1, такие доказательства известны для всех типов бегущих волн, кроме случая решений типа классических уединенных волн, которыми обладает система уравнений в квазинормальной форме для резонанса длинных и коротких волн: в случае общего положения эти уединенные волны соответствуют решениям типа обобщенноуединенных волн полной системы (см., например, looss, Kirchgassner, 1992). Типы локальных солитоноподобных структур - волн малой амплитуды, представляющих собой решения систем уравнений в каждом из четырех случаев основных резонансов, рассматриваются в параграфе 1.4.
Параграф 1.5 посвящен формулировке и доказательству достаточных условий существования классических уединенных, обобщенноуединенных волн и ‘уединенных волновых пакетов в обратимых системах, описывающих плоские волновые движения.
Теорема о центральном многообразии
Дифференциальные уравнения в неограниченной цилиндрической области Q = 1R х Е могут рассматриваться как динамические системы в бесконечномерном функциональном пространстве, элементы которого определены в ограниченной области Е. В настоящем параграфе будет сформулирована и прокомментирована теорема о том, что при весьма общих предположениях ограниченные решения, находящиеся в окрестности нулевого решения, лежат на подмногообразии фазового пространства, имеющем конечную размерность. Эта размерность оказывается равной размерности векторного пространства Xq, каноническим базисом которого служат собственные и присоединенные векторы, отвечающие мнимым собственным значениям оператора А.
Предположим, что оператор А : D(А) —> X является замкнутым неограниченным оператором, действующим из области его определения D (Д) в вещественное гильбертово пространство X, D (Д) С X. Пусть Т : Т х D(A) —> X - нелинейное отображение для всех и Е I, Т Е Н^ Х(р = v — vq,w) = О(р, ||w||2), где || • || обозначает норму в X. Система уравнений (1.0.1) при р = 0 обладает нулевым решением w = 0. Под редукцией будем подразумевать построение функции h(/i, wq), wq Е Xq, такой, что многообразие
МИ = {(w0,h(/z, Wo)) е X, ||w0||<e}
является инвариантным многообразием динамической системы (1.0.1) и содержит все малые (е предполагается малым) ограниченные решения этой системы. Инвариантное многообразие М^ называется центральным многообразием .
Размерность пространства Xq конечна, что эквивалентно конечности числа мнимых собственных значений (считая их кратность) оператора А. Система уравнений (1.0.1) после проекции на пространство Xq и ему дополнительное в X принимает вид
Wo = Ло Wo + ^ot/i^o + W1),
W1 = Д^1 + ^(^Wq + WX), (1-1.1)
где
w = (w0,wi) Е X = Хо х Xi, До = Л|х0, Д1 = Л|х1П1?(Д)-
Сформулированные в этом параграфе результаты означают, что до тех пор, пока сохраняется неравенство | |wo| | < £, решение w = = (wq,wi) системы уравнений (1.1.1) принадлежат М^, т.е. wi = = h(/i, wq). Следовательно, множество всех малых ограниченных решений удовлетворяет конечномерной динамической системе уравнений:
Wo = До Wo + /о(м, w0), /о(м, w0) = Хо(м, w0 + h(/i, w0)). (1.1.2)
Уравнения (1.1.2) называются приведенными уравнениями.
Дадим строгие формулировки предположениям, относящимся к (1.1.1).
Предположение 1 (П1). Подпространство Xq имеет конечную размерность. Собственные значения До являются чисто мнимыми.
Предположение 2 (П2). Обозначим ¥ = D(Ai) = D(A) ПХь Пространство ¥ также является гильбертовым. Существуют окрестности нуля U С Хо, V С У, замкнутое подпространство Z С Xi и целое число п такие, что
Т = (Х0,Х1) Е C^lxU х V,X0 х Z\
где С^ обозначает пространство непрерывных и ограниченных вместе с п производными функций. Кроме того, найдется число vq Е Т такое, что
8
^(/z, О)|м=о = ^^(/z, О)|м=о, /z = v-v0.
Комментарий 1. Бесконечномерная составляющая Z пространства значений нелинейного отображения Т для систем высокого порядка не обязана совпадать с пространством Xi значений оператора Д1 (Fischer, 1984). В приложениях, как правило, Z является пространством вектор-функций более низкой размерности, чем вектор-функции, составляющие пространство Xi (т. е. столбец Xi(/z, w) или, что то же самое, столбец X^w) имеет часть нулевых компонент).
Предположение 3 (ПЗ). Существуют положительные константы а, Ь, с такие, что для всех z Е Ф, |Rez| < с резольвента Д1 удовлетворяет неравенствам
||(Д1-^) Hxi^Xi-a’ ^1)
||(Л1. z) \\Z_,.X1 < 1 +1^|,(R2)
|| (Л1 - z) ||Z_,.X1 < + |^|2 •(R3)
В случае, когда выполняется (R2), для Z = Xi достаточно иметь только эту оценку для всех чисто мнимых z.
Комментарий 2. В приложениях удобно работать с аналогами (R1-R3) для оператора А.
Лемма. Существуют константы ко > 0 u С > О такие, что для всех к Е JR, к > ко, резольвентные оценки (R1)-(R3) эквивалентны оценкам (Z = Xq х Z)
||(Л-«)-1||м<С',(R'l)
(R'2)
||(Л-«)-2||^х<^(R'3)
соответственно.
Комментарий 3. Свойства (R1)-(R3) ((R'1)-(R'3)), которые, очевидно, являются свойствами убывания резольвенты, достаточны для возможности обращения второго из уравнений (1.1.1), т.е. существования ограниченного обратного оператора В = (дж — Л1)-1, В : С^U(1R, Xi) -4 С^ U(1R, У), где С^и обозначает пространство равномерно непрерывных и ограниченных функций, а обозначение х принято для динамической переменной. Эта возможность обеспечивает существование функции h(/i,wq) (центрального многообразия М^. Существование В вытекает из свойства оптимальной регулярности оператора A (Mielke, 1987), которое состоит в следующем.
Рассмотрим систему линейных дифференциальных уравнений
Vo - ЛоVO = 90^, v0 Е Хо, vo(O) = %,
vi - 4ivi = gT(x), vi Е ХТ.(1.1.3)
Необходимо найти такое пространство F(X) над X = Xq х Xi, чтобы для любых (%,v0,vi) Е XoxF(XoxXi) и (^o^i) € F(XoxZ) уравнения (1.1.3) были бы единственным образом разрешимы с решением, удовлетворяющим включениям: (vq,vi) Е F(Xq х Xi) и (vq,vi) Е F(Xo х Xi). Краеугольным камнем для доказательства разрешимости (1.1.3) является построение полугрупп операторов,
определяемых следующим образом (см., например, Fischer, 1984):
K+(t) = exp(Xi+t) = —Д [ ezt^z — Л1)-1^, t < О,2тгг J
г+
K_(t) = exp(Ai-t) =[ ezt^z — Л1)-1 dz, t > О,
2тгг J
г_
где Г+ - кривая, охватывающая спектр в полуплоскости Rez > О комплексного переменного z^ а Г_ - в полуплоскости Rez < 0. В общем случае спектр оператора Ai по обе стороны мнимой оси неограничен, вследствие чего кривые Г± уходят в бесконечность.
Формальное решение второго уравнения в (1.1.3) имеет вид
V1V1K(tK(ts)gi(s)ds, K(s) =s)gi(s)ds, K(s) =IRIRJ КД8\ s > 0,\-кД8), s < 0.J КД8\ s > 0,\-кД8), s < 0.
V1
V1
K(t
K(t
s)gi(s)ds, K(s) =
s)gi(s)ds, K(s) =
IR
IR
J КД8\ s > 0,\-кД8), s < 0.
J КД8\ s > 0,\-кД8), s < 0.
Основная трудность при доказательстве оптимальной регулярности заключается в том, что K(t) имеет особенность в точке t = 0. Эта трудность преодолена в работе Mielke (1988), где доказана оптимальная регулярность Д, удовлетворяющего предположениям П1 и ПЗ при F(X0 х Х^ = L№ х *1), где
\ Vp
W = U'. R^XX"-fElXX^ \\J\\LPW=U \\f\\pdt] \ J JR/
и p E (1, сю). □
Из оптимальной регулярности А следует существование центрального многообразия.
Теорема 1 (о центральном многообразии, Mielke, 1988). Пусть выполнены условия П1-ПЗ. Тогда существуют окрестности U* С С UV* С V и Т С Z. а также функция
h = h(/z = v - Vo, Wo) € C""1^' x UW)
(n из П2) имеющая следующие свойства:
множество
Мр = {(w0,h(^, w0)) е Хо X У, w0 е Е7'}
является локальным интегральным многообразием (1.1.1) для v Е Т^
любое решение (1.1.1) для v Е Т (wq(x), wi(ж)) Е U* х V* при всех х Е IR принадлежит М^
h(0,0) = 5Woh(0,0) =0;
если П = По ® Hi, По : Хо Хо, Н\ : Х^ Х^ - линейные изометрищ такие что ^(g^HoWo^HiWi) = — HjFj^, w0, wj, AjHj = — HjAj, j = 0,1, mo h(/z,7^owo) = 7^ih(/z,w0).
а)б)в)
Рис. 1.1. Динамика собственных значений оператора Л(и) на мнимой оси и приходящих на мнимую ось при изменении параметра р для бифуркации из нулевого волнового числа (а), резонанса длинной и короткой волн (б), 1:1 резонанса (в).
Типы бифуркаций
Бифуркации из нулевого волнового числа.
Единственным собственным значением оператора Л, лежащим на мнимой оси, является двукратное нулевое собственное значение. При изменении и в окрестности vq собственные значения приходят с действительной оси и расходятся по мнимой. Классические уединенные волны могут возникнуть при тех v = vq + р, р <^ 1, при которых пара собственных значений ±s, s > 0, переходящих на мнимую ось, еще лежит на действительной оси (рис. 1а). Асимптотика уединенной волны на бесконечности определяется выражением
w —> со exp(=psx),ж —> ±сю,
где со - постоянный вектор.
Бифуркация резонанса длинной и короткой волн.
Эта бифуркация соответствует линейному резонансу длинной волны и волны с конечным волновым числом, т. е. возможности распространения этих волн с одинаковыми фазовыми скоростями (см. параграф 1.5). В этом случае центральный спектр оператора А состоит из двукратного нулевого собственного значения и пары простых сопряженных мнимых собственных значений ±zq, q > 0. Движение собственных значений через ноль происходит аналогичным предыдущему случаю образом, пара мнимых собственных значений всегда остается на мнимой оси. Другая пара приходит с действительной оси и, пройдя через ноль при и = vq (р = 0), расходится по мнимой оси. Обобщенные
уединенные волны, будучи продуктом нелинейного резонанса классической уединенной и периодической волн, могут возникнуть при тех и = vq + /1, при которых на мнимой оси лежит лишь пара собственных значений (рис. 16). При этом асимптотика возникшей волны будет иметь вид
w с0 exp(=psx) + ci cos qx ± с2 sin qx^ х -4- ±оо,
где ci, с2 - постоянные векторы. Если ci = с2 = 0, то обобщенная уединенная волна представляет собой классическую уединенную волну. Ясно, однако, что равенство нулю этих постоянных величин представляет собой исключительный случай и в случае общего положения перидическая компонента присутствует в рассматриваемом решении (1.0.1). Тем не менее, в ряде задач теории упругости, например, где имеют место резонансы волн на разных ветвях дисперсионной кривой, постоянные ci^ зануляются и в системе присутствуют обычные уединенные волны в качестве продукта рассматриваемой бифуркации (см., например, Ильичев, 1997; Il’ichev, 2001).
Примечание. В приложениях, рассматриваемых в данной книге, амплитуда со классических и обобщенно-уединенных волн является величиной алгебраического порядка малости по р. Амплитуды же ci?2 периодической составляющей обобщенно-уединенной волны представляют собой экспоненциально малые величины (см. п. 1.4.2).
Бифуркация 1:1 резонанса.
Эта бифуркация соответствует резонансу, характеризующемуся совпадением фазовой и групповой скоростей волны с ненулевым волновым числом (см. параграф 1.5). В этом случае оператор А имеет две пары ненулевых кратных мнимых собственных значений. При изменении и в окрестности vq эти значения попарно приходят из комплексной плоскости на мнимую ось, а затем по ней расходятся. Уединенный волновой пакет, представляющий собой локализованную модулированную монохроматическую бегущую волну, может существовать при тех и = и о + р. при которых собственные значения ±s ± iq еще не пришли на мнимую ось (рис. 1в). Асимптотика уединенного волнового пакета имеет вид
w с0 exp(=psx) cosqx, х ±00.
Бифуркация сложного 1:1 резонанса.
Центральный спектр оператора А состоит из одной пары ненулевых простых ±zqi и двух пар ненулевых кратных мнимых собственных значений ±гг, г > 0. При изменении и в окрестности vq кратные собственные значения приходят из комплексной плоскости на мнимую ось, а затем по ней расходятся (рис. 1.2). Среди нелинейных волн, которые могут возникать в результате рассматриваемой бифуркации при тех
Рис. 1.2. Динамика мнимых собственных значений оператора AQu) при изменении параметра р для сложного 1:1 резонанса.
v = vq + р. при которых собственные значения ±s ± iq еще не пришли на мнимую ось (рис. 1.2), находятся обобщенные уединенные волновые пакеты, имеющие неубывающую периодическую асимптотику на бесконечности:
w —> eg exp(=psx) cos qx + ci cos q^x ± C2 sin q^x, x ^ zEoo.
Так же, как и в случае обобщенно-уединенных волн, амплитуды ci и с2 являются экпоненциально малыми величинами по р. □
Как будет ясно из параграфа 1.5, для плоских волн рассмотренные здесь бифуркации являются следствием наличия на дисперсионных кривых точек, где фазовая скорость совпадает с групповой. Для случая 1 этой точкой является точка, отвечающая нулевому значению волнового числа, в случае 2 к этой точке присоединяется точка с ненулевым волновым числом: фазовая скорость волны с этим волновым числом равна фазовой и групповой скорости бесконечно длинной волны, отвечающей нулевому волновому числу. В случае 3, как уже отмечалось, точкой совпадения фазовой и групповой скоростей является точка с ненулевым волновым числом. Случаи 3 и 4 соотносятся между собой аналогично случаям 1 и 2.
Типы квазинормальных форм
Теорема о приведении к квазинормальной форме
Теоретически, функция h может быть явно определена до произвольного алгебраического порядка по своим аргументам (Kirchgas- sner, 1988). Однако для нахождения решений приведенного уравнения (1.1.2) более удобным является использование теории нормальных форм для аппроксимации конечномерных динамических систем уравнений (Elphick et al., 1987; looss, Adelmeyer, 1992).
В каноническом базисе в конечномерном пространстве Xq (отождествляемым с (Dm) wq представляется вектором в комплексном пространстве Фт, где т равно числу мнимых собственных значений А.
В силу свойства обратимости число m всегда четное. Конечномерный оператор Ло в каноническом базисе представляется m х т-матрицей.
Приведенное уравнение, как и любая конечномерная динамическая система со свободными параметрами (или без них), может быть приближена единственным образом “наиболее простой” системой уравнений, при условии, что решения этой системы остаются малыми. Строгий результат формулируется следующим образом.
Теорема 2 (о приведении к квазинормальной форме). Для заданного п Е 1N из П2 параграфа 1.1, п > 2, существуют полиномиальные векторные функции Т(р = и — ио,а), JV(p = v — vq, а) степени п — 1 :
Т : т' х Хо Хо, V : Г х Хо Хо, Т(//,О)|м=о = DqT^^^^o = о, ^(^,0)^=0 = ЧтА^О)!^ = о такие^ что преобразование
w0 = а + T(/z,aO(1.3.1)
переводит (1.1.2) в уравнение
-^а = Аба Г ЛГ^а) + о((р + |а|)п-1)(1.3.2)
для р и |а|, близких к нулю (|-| - любая норма в Фт). Вектор-функция ^(p,a) удовлетворяет уравнению (здесь и далее * обозначает эрмитово сопряжение для операторов и матриц и комплексное сопряжение для векторов и скаляров)
M(p,etA°a) = etA°N*(p,a)(1.3.3)
для t Е JR. Кроме того^ R^N (рца) = —Ы^^Кба).
Обозначение Dyz, где у, z - вектор-функции, принимается для матрицы, каждая строка которой состоит из производных от соответствующей компоненты z по всем компонентам у, расположенных в строке в порядке возрастания номеров компонент у.
Квазинормальная форма приведенных уравнений (1.1.2) дается системой уравнений (1.3.2), где о((р + |а|)п-1) опускается:
= Аоа + Д(у,а)’(1.3.4)
ах
Комментарий 1. В приложениях используется формула, которая получается дифференцированием (1.3.3) по t при t = 0:
А^(р, а) - П^ЛГ(р,а)А*оа = 0.(1.3.5)
Комментарий 2. Подставляя (1.3.1) в (1.1.2) и учитывая (1.3.4), получим уравнение для определения Т:
D^T (р,а)Аба - АфТ^а) = Д(р, а) - Я(р,а).(1.3.6)
Простой резонанс
В рассматриваемом случае единственным мнимым собственным значением оператора А является двукратное нулевое собственное значение и размерность Xq (и, тем самым, размерность центрального многообразия) равняется двум. Канонический базис в Xq состоит из собственного фо и присоединенного фу векторов Д, отвечающих нулевому собственному числу: Афо = 0, Афу = фо- Далее будем рассматривать только случай Т^фо = фо- Тогда из равенства Т^Л^ц = Т^фо = —АТ^фу немедленно следует 'Кфу = — фу и, следовательно,
Оператор А*, сопряженный Д, имеет один собственный ф1 и один присоединенный ф° векторы:
Л*^1 = о, Л*ф° = ф\ {Ф^) =%,(1.3.7)
где фЯ здесь и далее обозначает скалярное произведение в некотором гильбертовом пространстве X (для конечномерных систем X = Фтф а 53 - символ Кронеккера.
При помощи векторов ф\ г = 0,1, осуществляется проекция тго на центральное многообразие:
1Wo = 7T0W = ^(w,^)^'.
j=0
Уравнение (1.1.2) в данном случае представляет собой динамическую систему второго порядка, fo(lP wq) имеет компоненты (X, ф3ф j = 0,1,
Я (а) = (М, Х2)(а), а = («о, «1)(ж).
Уравнение (1.3.5) принимает вид
(9aoNi 9aiNy\ fО_ /О 0\/хЛ
Дох2 М2Д1 оДД оДД
и, значит, ao9aTNy = 0, а также скода1Х2 = Xi. Отсюда следует, что Xi = Ny(a0)- Далее, использовав обратимость Я: Я(Ко"а) =
= —Т^о-ЛЛ получим TVi = О, N^ = Л^^о)- Таким образом, уравнение (1.3.4) в данном случае принимает вид
(ТО ^1 ,
(1.3.8)(1.3.8)«1 = Ф(^,«о),
(1.3.8)
(1.3.8)
где
2
Ф(м,«о) = ^Cj^VQ + О(|«о|3),
Cl М = Cl ц + о(^), с2 (Д = с2+о(Д, а коэффициенты Cj вычисляются из (1.3.6), где ЛГ = (О, Ф). Система уравнений (1.3.8) имеет первый интеграл
а^ - Ф(д,а0) = Яо, 2Ф = даоФ
и, следовательно, является интегрируемой.
Резонанс длинной и короткой волн
Центральная часть спектра оператора А состоит из нулевого собственного значения алгебраической кратности два и пары мнимых комплексно сопряженных собственных значений ±гд, q > 0. Канонический базис состоит из четырех векторов фо, фу, ф+, ф_ (фод - вещественные векторы, Афо = 0, Афу = фо, Аф+ = iqф+, ф- = ф^ф Будем по- прежнему полагать Ифо = фо- Легко понять, что собственные векторы ф_у. и ф_ всегда можно выбрать так, чтобы Т^ф-у. = ф_. В самом деле, применяя к равенству Аф-у- = гqф_y- оператор изометрии 'R, получим А7^ф_у- = —гдТ^ф^, откуда следует, что Ифд- = &Ф-, где a = ехр(г#) (в силу нормировки (1.3.7) при г, j = ±). Если ^ ^ 0, то в качестве ф^ выберем ф_у. = ехр(—гО) ф^. Отсюда
Собственные и присоединенные векторы сопряженного оператора А*
удовлетворяют соотношениям
Д*^1 = 0, А*'ф° = 'ф1, А*ф^ =—гдф^, ф =
и подчиняются условиям нормировки (1.3.7) для г, j = 0,1, + , —.
В рассматриваемом случае
Л/*(а) = (МЛ2Л+Л-)(«), N^a)=Nl(a), a=(a0,ay, z, z*)(x),
где «о,1 - вещественные функции. Система уравнений (1.3.5) принимает вид
рм = о,dn2 = м,DN^ = —iqN^,DN_ = iqN_,
(8.8.«о ог^Ъ“ + г^у 0061OZ(8.8.«о ог^Ъ“ + г^у 0061OZа дифференциальный оператор D имеет вид
(8.8.
«о ог^Ъ“ + г^
у 0061OZ
(8.8.
«о ог^Ъ“ + г^
у 0061OZ
D =
Аналогично случаю резонанса из п. 1.3.2 получим ^ = 0. Легко видеть, что величины
I = «о, Ко = zz\ L = «olnz + iqai
являются тремя независимыми интегралами уравнения DN = 0. Следовательно, функция, принадлежащая ядру Р, должна зависеть от этих величин. Покажем, что интеграл L, выражаемый трансцендентными функциями, выпадает из аргументов и, более того, ^(«о, «i, z, z*) = ^(L^o( гДе Ф _ некоторый полином I и Ко- Якобиан преобразования («о,^1^^*) —> (с^ьС Aq,L) равен —«о- Таким образом, можно положить локально А^2(«о^1^^*) = Ф(оц,I. KOl L\ Из РФ = 0 следует, что Ф не должно зависеть от «1. Отсюда
А^О,^,*, Л = Ф(/,К0,Т).
Имеем
ЭФ _ 8N2 г 8N2 81 дао q П Z 8ai '
8Ф _ 1 8N2
8Ко z 8z* ‘
(1.3.9)(1.3.9)8Ф _ 1 8N2
(1.3.9)
(1.3.9)
8L iq 8ai
Дифференцируя первое уравнение в (1.3.9) п раз по «о, второе - по z* а третье - по «1 и используя тот факт, что N2 - полином порядка п — 1, получим, что достаточно высокие производные Ф по /, Ко и L должны исчезнуть, т. е. Ф является полиномом от этих аргументов. Положим далее arg z = 0, «1 = 0, «о = 1- Тогда имеем
К2 — cs |z|s + cs-i |z|s 1 + ... + ao —
= йг|г|гРг(1пг) + ... + d0 = Ф,
где Р[ - некоторый полином степени I. Очевидно, должно выполняться равенство s = I. Разделим обе части (1.3.10) на |z|s и устремим \z\ —> сю. Отсюда следует, что Ps = const. Продолжая эту процедуру для cs-i и так далее, получим, что Ф не зависит от L.
Уравнение на К+ эквивалентно уравнению V{N+/z) = 0. Откуда, принимая во внимание предыдущие рассуждения, получим К+ = = zP{I ,Ко), где P^I^Kq) - полином. Под действием изометрии Ко (РоЛГ(а) = —JV(Pooi)) N^ -4 —N_. Отсюда из обратимости сразу следует, что Р = гФ, где Ф - полином своих аргументов с вещественными коэффициентами. Уравнения (1.3.4) для рассматриваемого резонанса, следовательно, имеют вид
Эжао = «1,
дж«1 = Ф(д,ао, И2),
джг = izq + г^Ф(//, а0, И2),
8$z* = — iz*q — iz*^^, «о, k|2)>(1.3.11)
где Ф и Ф - вещественные полиномы данного порядка: к
ф = У сМао + ^Ml^2 + • • •, Ф = 7оЫ + 71М«0 + 71Н2 • • • •
Постоянные с^, d, 70,1,2 вычисляются из (1.3.6). Система уравнений (1.3.11) имеет два интеграла |z|2 = Ко и а2 — Ф = Ко, даоФ = 2Ф и, следовательно, является интегрируемой.
1:1 резонанс
Центральная часть спектра оператора А состоит из двух собственных значений ±гг, г > 0, каждое из которых имеет алгебраическую кратность два, а геометрическую кратность - один. Канонический базис состоит из четырех комплексных векторов 0о, 01? Фо- Фт^ Афо = ^г0о? Афу = гтфу + фо, а Ло в этом базисе имеет вид
/ ir 100\
0 гг 00 |
0 0 —гт 1 I
\ 000 —гт /
Из равенства РАфо = ггРфо = —АРфо следует, что векторы фо и фу можно всегда выбрать так, что Рфо = Фо, Рф1 = —фу. Поэтому
/0 0 1 0\
Ро —Ро —0 0 0 -1 |
Ро —
Ро —
1 0 0 0'
\0—1 о о/
Собственные и присоединенные векторы сопряженного оператора А* удовлетворяют соотношениям
AV = —гп/?1, А*ф° = —гтф^ + *ф\
А*^* = гг^1*,А*^ = %т^* +
и подчиняются условиям нормировки (1.3.7), где индексы пробегают четыре значения: 0, 1, 2, 3; i^j = 2, 3 нумеруют комплексно сопряженные векторы ф^ 1 и -00,1*.
В рассматриваемом случае
Ж = (ад,ВД’)(«), а = (Л,В, Л*В*)(ж),
а система уравнений (1.3.5) записывается следующим образом
DNi = —irNi, DN2 = М — irN2,DN^ = irN*, DN* = TV* + irN*.
Дифференциальный оператор D имеет вид
л ( лд . Э (Э
т =+а^ + (л +,rS W
Легко видеть, что
ui = AA\ u2 = т?(АВ* - A* BY u3 = ^Y^\^A
2А гт
являются тремя независимыми интегралами уравнения DN = 0. Таким образом, функция, принадлежащая ядру Р, должна зависеть от этих величин. Кроме того, имеем
откуда следует, что Р = N^J А - первый интеграл уравнения PN = 0. Докажем, что если полином Р(А, В, А*В*), где Л, В Е (D2, удовле
творяет уравнению
РР = 0,(1.3.12)
тогда Р = у?(ДД*, ^АВ* — А*В)^ где <р - некоторый полином. Якобиан преобразования (А, В, А* В*) -4- (A, Ui, U2,1/3) равен гА/2 ^ 0. Таким образом, можно положить Р(А, В, А* В*) = ф^А^ ni, 1/2, и^. Из (1.3.12) следует, что (р не должно зависеть от А, откуда
Р(А,В, А* В*) = ф(иъи2,и3).
ИмеемИмеемЭф _ 1 ЭР В ЭР dui А ЭА* А2 ЭВ*‘Эф _ 2 ЭРЭп2 г А ЭВ*‘ЭфАЭРЭРЭи3ЭВЭВ*'Эф _ 1 ЭР В ЭР dui А ЭА* А2 ЭВ*‘Эф _ 2 ЭРЭп2 г А ЭВ*‘ЭфАЭРЭРЭи3ЭВЭВ*'(1.3.13)(1.3.13)Из первых двух уравнений (1.3.13) следуетИз первых двух уравнений (1.3.13) следуетЭпф dipЭпф dipг = 1,2,г = 1,2,
Имеем
Имеем
Эф _ 1 ЭР В ЭР dui А ЭА* А2 ЭВ*‘
Эф _ 2 ЭР
Эп2 г А ЭВ*‘
ЭфАЭРЭР
Эи3ЭВЭВ*'
Эф _ 1 ЭР В ЭР dui А ЭА* А2 ЭВ*‘
Эф _ 2 ЭР
Эп2 г А ЭВ*‘
ЭфАЭРЭР
Эи3ЭВЭВ*'
(1.3.13)
(1.3.13)
Из первых двух уравнений (1.3.13) следует
Из первых двух уравнений (1.3.13) следует
Эпф dip
Эпф dip
г = 1,2,
г = 1,2,
где п — 1 - максимальная степень полинома Р и, следовательно, функция ф является полиномом от ну и н^.
Дифференцируя последнее равенство в (1.3.13) п — 1 раз по переменной В* получим
(1.3.14)(1.3.14)эп _
(1.3.14)
(1.3.14)
Дифференцируя далее это же равенство в (1.3.13) один раз по В и п — 2 раза по переменной В* и используя (1.3.14), имеем
(1.3.15)(1.3.15)Эп"2 8_
(1.3.15)
(1.3.15)
Эи^-2Эи3 \Эи3Р °
Опять дифференцируя последнее равенство в (1.3.13) два раза по В и п — 3 раза по В* с учетом (1.3.14) и (1.3.15) получим
эп-3 ЭЭг^Т39и3эп-3 ЭЭг^Т39и3р2 \Wn3 /р2 \Wn3 /(/9 = 0.(/9 = 0.
эп-3 Э
Эг^Т39и3
эп-3 Э
Эг^Т39и3
р2 \
Wn3 /
р2 \
Wn3 /
(/9 = 0.
(/9 = 0.
Предположим, что для любого j = 1,..., m, m < п — 1,
(1.3.16)(1.3.16)Эп~3 993”1 \
(1.3.16)
(1.3.16)
— I —г I Ф = 0
Эи1^ 3 Эи3 у9и33 у
Продифференцируем последнее равенство в (1.3.13) п — (m-V-1) раз по В* и m раз по В и учтем (1.3.16):
gn-(m+l) ggn-(m+l) g— (Л = 0.Эи^1 у— (Л = 0.Эи^1 у(1.3.17)(1.3.17)
gn-(m+l) g
gn-(m+l) g
— (Л = 0.
Эи^1 у
— (Л = 0.
Эи^1 у
(1.3.17)
(1.3.17)
Полагая т = п — 1 в (1.3.17) получим, что ф - полином также и от и3.
Таким образом, функция ф имеет вид
Z(1-3.18)
где Рр - полиномы от из, a Cijimp - постоянные. Полиномиальные члены в (1.3.18), включающие степени переменных Л, В, А* и В*. возникают в результате полиномиальной зависимости ф от Ui и u2. Полином Р определяется формулой
Р = 52 dQ0SllAaB9A*5B^,(1.3.19)
где dapsp - постоянные.
Функция ф в (1.3.18) должна равняться полиному (1.3.19) для любых значений переменных Л, В, Л*, В*. Сравнивая асимптотику (1.3.18) и (1.3.19) при А —> сю, получим противоречие между полиномиальным ростом с одной стороны и логарифмическим - с другой. Таким образом, полиномы Рр являются постоянными и не зависят от из. Отсюда следует, что полином ф не зависит от из. Следовательно, имеем:
Ni(A,B,A*B*) =Аф(иъи2у
По поводу уравнения, которому удовлетворяет N-^ заметим, что <^(ui,u2) является частным решением этого уравнения. Таким образом, легко видеть, что
N2(A,B,A*B*) = Лу?1(и1,и2) + By?(ui,u2),
где фу также полином своих аргументов. Под действием изометрии Ро А -4 Л*, В -4 —В*, М -4 — ^, N2 -4 N^ откуда следует, что вследствие обратимости ф = гВ, фх = Q. где R и Q - полиномы с вещественными коэффициентами:
R(p,u,K0) = pip+p2u+p3K0 + О((|^| + |u| + |JCo|)2),Q^p^u^K^ = qip - q2u + q3K0 + O((|//| + |u| + |PC0|)2)-
Уравнения в квазинормальной форме (1.3.5), таким образом, имеют вид
дхА = irA + В + гАН^АА* ^(АВ* - А*В)^,
дхВ = irB + AQ^AА*, ^(АВ* - А*В)^ + iBR^AA*^(AB* - А*В)^.
(1.3.20)
Система уравнений (1.3.20) обладает двумя первыми интегралами
Ко = ^АВ* ~ А*В), Но = |В|2 - Я(д, |А|2,Ко),
где
Е =Е =J Q(ji,u,Ko) du, оJ Q(ji,u,Ko) du, о
Е =
Е =
J Q(ji,u,Ko) du, о
J Q(ji,u,Ko) du, о
и, следовательно, является интегрируемой.
Сложный 1:1 резонанс
Центральная часть спектра оператора А состоит из двух пар собственных значений {±гг, ±гд}, q,r > 0, где ir - двукратное (геометрическая кратность один), a iq - простое собственные значения. В базисе фо, Фь Ф-н Фо^ Ф^ Ф^- Афо = гтфо, Афт = гтфг + фо, Аф^ = iqф^ матрицы Ао и Т^о имеют вид
/ ir
0
1
ir
0
0
0
0
0
0
0
c
0
0
0
0
0
1
0
0
-1
0
Ao—
0
0
0
0
iq 0
0
—ir
0
1
0
0
, T^o —
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
—ir
0
0 -
-1
0
0
0
0
\0
0
0
0
0
-iq)
\0
0
1
0
0
0/
Собственные и присоединенные векторы сопряженного оператора А*
удовлетворяют соотношениям
А*фг = —гтффА*ф^ = ътф^фА*ф^ = —iqф+,А*фг = —гтффА*ф^ = ътф^фА*ф^ = —iqф+,А*ф° = — irф0 + ф1, А*ф° = ^ф°* Гф1*. ф- = ф^*
А*фг = —гтффА*ф^ = ътф^фА*ф^ = —iqф+,
А*фг = —гтффА*ф^ = ътф^фА*ф^ = —iqф+,
и подчиняются условиям нормировки (1.3.7), где индексы пробегают шесть значений 0,1,2,3,+,—; i,j = 2, 3 нумеруют комплексно сопряженные векторы ф^ п ф0,1*.
В рассматриваемом случае
ГЦоф = (МЛ^зЛЛЛЖ а = (А^ЛЛЖЛХЛ
а система уравнений (1.3.5) может быть представлена в виде
ГЖ = -ггМ, DN^ = irN*, VN2 = М - irN^, DN* = Л + irN*, Г N3 = -iqNs, DNI = iqN^.
Дифференциальный оператор D имеет вид
9999
У = -irA"ад + (^ ~ irB^^E "" ^^- + irA*^r; +9АЭВdzоА*
+(Л* + irB^A^+iqz^- ЭВ* dz*
Легко видеть, что
щ=АА*, и2 = %-AAB* - A*BY
2А гт
*в 1 1
U4 = ZZ , U5 = — Н1П Z
A %q
являются пятью независимыми интегралами уравнения DN = 0. Таким образом, функция, принадлежащая ядру Р, должна зависеть от этих величин. Покажем, что для иррационального отношения q/r интегралы, выражаемые трансцендентными функциями, выпадают из аргументов. Как следует из п. 1.3.4, это эквивалентно доказательству того факта, что если полином Р(А, В, z, А* В* z*), где A^B^z Е (Р, для некоторых q, г с иррациональным q/r удовлетворяет уравнению (1.3.12), то Р = ф^АА* ^(АВ* —А*В), zz*), где ф - некоторый полином своих аргументов.
Якобиан преобразования (А, В, z^ А* В* z*) -4 (A, ui, и^^ 1/3, и^, и^ равен ненулевой величине —Aj^qY Таким образом, можно положить Р(А, В, z, А* В* z*) = ф^А^ -Д1, и?, ng, и^, u^Y Из (1.3.12) следует, что ф не должно зависеть от А, то есть,
Р(А,В^ A*B*Z*) = ^(U1,U2,U3,U4,U5).
Имеем
dф _ 1 ЭР , В ЭР
М АЭА* + А5 ЭВ*’
Эф _ 2 8Р
Эп2 гА ЭВ* ’
Эф _ 1 ЭР
du4 zЭг* ’
ЭфДЭРД*ЭР. ( ЭР^ЭРХ
а- = А"аВ + А "аВ; г? 2 яг я"Т
ЭйзЭВ ЭВ* \ dzdz* J
(1.3.21)(1.3.21)Эф. / ЭР„ЭРХ
(1.3.21)
(1.3.21)
= го z— z*-— .
Эйз \ dz dz*)
Из первых трех уравнений (1.3.21) следует
г = 1,2,4,
где п — 1 - максимальная степень полинома Р и, следовательно, (р является полиномом от Ui, u^ и u^.
Дифференцируя последние два равенства в (1.3.21) п — 1 раз по переменной В* получим
эпэп
Ф = 0,ф = 0.(1.3.22)
Дифференцируя далее эти же равенства в (1.3.21) один раз по В и п — 2 раза по переменной В* и используя (1.3.22), имеем
ап-2 д / да \
0^2 “2 5^3 w«3 + Sus /’
ап-2 9 ( 99 \, х
я п-2 я ( ч + о )— 0-(1.3.23)
Эи^ ои5 \9и3 9иь/
Опять дифференцируя последние два равенства в (1.3.21) два раза по В и п — 3 раза по В* и учитывая (1.3.22) и (1.3.23), получим
9п"3 9(99 V
Эи^3 9и3 О^з + 8и5)’
9п"3 9(99 у _
9и^~3 9иь \9и3 + 9и5)°'
Предположим, что для любого j = 1,..., m, m < п — 1,
9n"j 9(98\н _
9u2-j 5м3 \9и3 + 9и5)°’
9n"j 9(99 V"1,х
Т^Чя— я”+ л—V = Q-L3"24
Эи^ 3 оиъ \ди3 Эиъу
Дифференцируя последние два равенства в (1.3.21) п — (m + 1) раз по В* и т раз по В и используя (1.3.24), приходим к соотношениям
дп-(пг+1) д / д3 \т
9u2~^m+^ ди^ \ди^ + 9и5)°’
gn_(m+i) з / эз
аг<2-^т+1) ^М5 \дмз + ди5)°"1.3.25
Из (1.3.25) следует, что при т = п — 1
_9_ (_Э__п
9и3 \9и3 + 9и3/’
9(99 Vх
я^ я^ + я^^ = 0-(L3"26)
Из (1.3.26) следует, что ф - полином от н^ + л^. Таким образом, функция ф имеет вид
^= У С,зИтт4и^^^^^^(1.3.27)
i,j, k, l,m,n,p
где Pp - полиномы от своих аргументов. Полиномиальные члены в (1.3.27), включающие степени переменных Л, В, z, Л*, В* и z*, возникают в результате полиномиальной зависимости ф от Ui, u^ и U4. Полином Р определяется формулой
Р = у dol№pVA“B0^A*5B*ilz*,'1 (1.3.28)
где da^py - постоянные. Функция ф в (1.3.27) должна равняться полиному (1.3.28) для любых значений переменных Л, В, z^ Л*, В* и z*.
Положим в (1.3.27) U3 = U5, что влечет за собой равенство
z = А^т.
Приравнивая (1.3.27) и (1.3.28), получим
У СцЫтпр^А^^^В^ A*l+nQ^TB*mPp (2^ + - In л) = г,д,к,1,т,п,р
= У da^vA^^BPA^+^B*11.(1.3.29)
Сравнивая асимптотику обеих частей (1.3.29) при А —> сю, получим противоречие между полиномиальным ростом с одной стороны и логарифмическим - с другой. Таким образом, полиномы Рр являются постоянными и не зависят от U3 + U5.
Сравнение правой и левой частей (1.3.29) при 3 = (3 and т = р, влечет за собой равенства
г + к- = a + 7-, I + п- = 5 + и-.(1.3.30)
гггг
Равенства (1.3.30) означают, что если отношение q/r является иррациональным числом, то
г = а, к = 7, I = 5, п = v.(1.3.31)
Коэффициенты при равных степенях в (1.3.29) должны быть равны. Более того, коэффициенты Cijkimnp не могут зависеть от U5 — U3.
В самом деле, если z = coAq/T где со - произвольная константа, то из (1.3.31) и (1.3.29) следует
Cijklmnp (С1) = Cijklrnnp (0), Ci = — IhCq. гд
Отсюда следует, что для иррационального отношения д/т полином (р не зависит от из и U5.
Рассуждая аналогично случаю, рассмотренному в п. 1.3.4, окончательно получим уравнения в квазинормальной форме:
джА = «rA + B + Mi?(44*^(AB* -4*В),гг*),
д,В = irB + AQ^AA*^AB* - A*B),zz*} ++ iBR^AA* TpAB* - A*B\zz*^,
Э$г = iqz + iz^^AA*^(AB* - A*В), zz*^,(1.3.32)
где R. Q и Ф полиномиальные функции обозначенных аргументов с действительными коэффициентами (вследствие обратимости):
R(p,u,Ko,Ki) = р1р+р2и+рзКо+р4К1+0((\р\ + \и\ + \К0\+К1)2), Q(p,u, Kq, Ki) = qip, — Q2w+q3A'o+Q4^i+0((|/*| + |w| + |^o|+^i)2)j ^(p,u,K0,Ki) = 71М+72м+7з-^о+74-^1+0((|/*| + Ы + |Ко|+-К1)2)-
Система уравнений (1.3.32) является интегрируемой, обладая первыми интегралами
Ку = ^(АВ* -А* В), K1=zz*, Н0 = \В\2 -E(p,\A\2,K0,Ki),
где
|А|2
Е = J Q(p,, и, Ко, К^) du.о
Типы солитоноподобных структур
Классические уединенные волны
Классические уединенные волны являются продуктом бифуркации из нулевого волнового числа (см. параграф 1.2). Матрицы Ао и Ro в этом случае приведены в п. 1.3.2.
Записывая wo = а^фо + а^фу получим из (1.1.2):
^о = ^1 + /оо-
«1 = 501 = Сцмао + с2йо + с3«2 + /о1,(1-4-1)
где коэффициент при no^i равен нулю в силу обратимости,
/оо = (/о,€) = ОМа|,|а|2),
501 = С/о,^1), /01 = о(м|а|, |а|2),
а = (ao,ai), а /о = /o(m,wo) - нелинейная вектор-функция из (1.1.2). Как следует из п. 1.3.2, приведенные уравнения (1.4.1) приближаются уравнениями (1.3.8) до любого алгебраического порядка по р и |ао|-
Производя в (1.3.8) масштабное преобразование
3|ci| д ,,х3|С1|
“° = 2 j^i^0^’=
£ = vx, v= |ci^|1/2,(1-4-2)
получим
S^o — А + О^р),
3
9^01 = sign//(sign С1/Зо + -signed) + О(р\ (1.4.3)
Уравнения (1.4.3) в низшем приближении по р имеют солитоноподобные решения следующих типов:
сверхкритические (р > 0) уединенные волны (sign ci = 1) la) signc2 = — 1 - уединенные волны возвышения:
4o=ch-2(|),(81)
б) sign с2 = 1 - уединенные волны типа “яма”:
А) = -ch"2(|),(82)
докритические (р < 0) уединенные волны (sign ci = — 1)
a) sign с2 = — 1 - уединенные волны типа “яма”;
б) sign с2 = 1 - уединенные волны возвышения.
Перечисленные солиноподобные решения уравнения (1.4.3) являются приближениями решений типа классических уединенных волн, которые удовлетворяют приведенным уравнениям (1.4.1). Иными словами, для простого резонанса при переходе от приближенной системы уравнений к приведенным уравнениям решение типа классической уединенной волны сохраняет свой тип.
Предложение 1 (looss, Kirchgassner, 1992). Пусть а = (do,di), где do, связано с решением типа уединенных волн До системы (1.4.3) по формулам (1.4.2), di = do. Тогда для достаточно малых ро > О и р Е (0, //о] существует семейство классических уединенных волн а = (do, di), удовлетворяющих приведенным уравнениям (1.4.1). Кроме того, указанные решения приведенных уравнений мало отличаются от а, а именно;
|а-а| < ср? ехр(—сг|С|),
где с > 0 - некоторая постоянная, а а < 1.
Доказательство. Без ограничения общности рассуждений рассмотрим случай 1 а. Для других возможных значений параметров предположение 1 доказывается полностью аналогично.
Обратимость уравнений (1.4.1) означает, что можно ограничиться рассмотрением лишь таких решений, у которых ао - четная функция. Полагая /оо = diPo и заменяя а^ на «1(1 +ро), запишем уравнения (1.4.1) в виде
cto = <21,
di = Cipao + с2ао + pi(/i,do,di),(1-4.4)
где pi(p,ao,ai) = o(^(p + |a|)2) - четная функция no ai (а, значит, и по х). Уравнения (1.4.4) после масштабного преобразования (1.4.2) oo,i —> ^о,1 могут быть переписаны в виде
М(Ь0) = by - b0 + |&о + рЬч Ьо, %) = 0,(1.4.5)
где штрих означает производную по £, р по-прежнему четная функция от £. Определим далее банаховы пространства
C^ j = |^о Е Cj(lR) : sup | exp(cr|^|)^om^| < сю,
j = 0,1,2; m <j; b0^) = bo(-£)}.
Очевидно, что bo = ch-2 (^/2) принадлежит Cf 2.
Пусть M : Cl-2 -4 C^o, где a < 1. Из теоремы о неявной функции будет следовать существование и единственность bo(p) Е С^? р Е (0,/хо], удовлетворяющего уравнению (1.4.5), если оператор
ЭМ -
^ = ^^MU:^,2^^0
имеет ограниченный обратный. Доказательство первой части утверждения предложения, таким образом, сводится к проверке этого факта.
Легко видеть, что
а обратимость L эквивалентна существованию и единственности решения уравнения
£w = go(1.4.6)
для любого до € С®0. Разрешимость (1.4.6) следует из следующих соображений.
Однородное уравнение Lu = 0 не имеет решений в С^. В самом деле, решение иц = bo^ - нечетная функция, а линейно независимое с ним W2 = aui + bwi J wf2(^)d^ - четная (если константы а и b выбираются из условий W2 (0) = 1, w2 = 0), но возрастающая функция. Следовательно, решение (1.4.6) единственно, если существует.
Искомое решение (1.4.6) дается формулой
Z
OC
Wigod^ + Wi у w2god^.(1-4.7)
Кроме того, из (1.4.7) следует, что ||w||c^2 < ^II^oIIc^q, где С > 0 - постоянная.
Первая часть утверждения предложения 1, таким образом, доказана. Запишем далее решение Ьо уравнения (1.4.5) в виде bo = Ьо + Ьо- Функция Ьо удовлетворяет уравнению
сЬо-п^ЬоЛЛУ
где D^ = O(/z,6q,6q2) - четная и ограниченная функция £, следовательно,
1Мс;,2 < ||r-1|H|W,WU)llc:_0,
откуда немедленно следует второе и последнее утверждение.
Обобщенно-уединенные волны
Обобщенно-уединенные волны являются продуктом бифуркации резонанса длинной и короткой волн (см. параграф 1.2). Матрицы Ло и Т^о в этом случае приведены в п. 1.3.3.
Записывая
w0 = аофо + а1ф1 + а^ф^ + а_ф_, а_ = а^ (1.4.8)
получим приведенные уравнения в виде
do = «1 + /оо,
di = #oi = cipao + с^а^ + сза^ + /оь d+ = Ч^+ + /о-н
d- = ~iqa_ + /о+^(1.4.9)
где
/оо = </о,^°> = О(м|а|, |а|2), /01 = (/о,^1) = о(м1»Ь |а|2),
/о+ = (/о,^) = О(/*|а|, |а|2), а = (а0, аь а+, а_).
Как следует из п. 1.3.2, приведенные уравнения (1.4.9) приближаются уравнениями (1.3.11) до любого алгебраического порядка по //. |do| и zz*.
Полагая в (1.3.11) % = р expzd. Ко = 0 и совершая масштабные преобразования (1.4.2) и# = ф(^^")/^, получим
3
Э^Ро = sign^(signci/30 + -signc2/3o) + ОМ,
Э^р = 0, 8^ф = q Г О(р).(1.4.10)
В нулевом приближении по р система (1.4.10) имеет решения типа уединенных волн с р = 0 в случаях, перечисленных в п. 1.4.1. Очевидно, что уравнения (1.3.11) при Ко = 0 и любом порядке 8 полиномов Ф и Ф будут по-прежнему иметь решения типа уединенных волн с % = 0, приближаемых с точностью до р? решениями, определяемыми формулами (si), (s2).
Несмотря на то, что решения типа уединенных волн сохраняются для системы, аппроксимирующей приведенные уравнения (1.4.9) с точностью до любого алгебраического порядка по р, в полной системе они могут не находиться, т. е. члены высшего порядка малости по р. чем любая степень, могут повлиять на асимптотику уединенной волны на бесконечности. Lombardi (1997) показал, что амплитуда обобщенно-уединенной волны на бесконечности пропорциональна экспоненциально малой величине по параметру р.
Не вникая в математические сложности этой работы, рассмотрим здесь причину возможности образования ненулевой асимптотики у уединенной волны при переходе к приведенным уравнениям (1.4.9) от аппроксимирующей их системы в квазинормальной форме. Эта причина обусловлена присутствием в общем случае в (1.4.9) источ- никового члена
(1.4.11)(1.4.11)fs — /о+ |а+=0 •
(1.4.11)
(1.4.11)
Преимущество замены зависимых переменных (1.4.8) состоит в представлении неизвестной вектор-функции а в виде суммы длинноволновой (do, di) и коротковолновой (ц+,ц_) частей. В связи с этим естественно сделать в (1.4.9) следующее масштабное преобразование:
«о = pb0, ат = /х|^|1/2^ь«+ =( = |м|1/2ж.
В новых переменных уравнения (1.4.9) запишутся в виде
S<^o = ^i + О (/z),
ЭСЬ1 = sign p(cib0 - с2Ьо) + О(^),
^+ = ^9^+ + itdi^o + ^2^о) + СУр)
ь*+ = -iqb^ - j(dibo + d^ + ОД, (1.4.12)
где c/i?2 - некоторые вещественные константы, не равные нулю в общем случае. Будем рассматривать только случаи такой комбинации знаков р и ci?2, когда первые два уравнения из (1.4.12) обладают солитоноподобными решениями. Без ограничения общности рассуждений положим р > 0, ci?2 > 0. Из (1.4.12) следует, что в низшем порядке по р система уравнений (1.4.9) имеет решение
3 ci \/с1р•
^о = Мй—chп di=do-(1.4.13)
2 С22
Для нахождения асиптотики на бесконечности у решения, главная часть которого дается (1.4.13), рассмотрим его локальную структуру в спектральной области. Опуская члены высшего порядка по р. перепишем последнюю пару уравнений (1.4.9) в виде
/Са+ = г/(«о), К,* а_ = -гДао), £ = ^ - iq, (1.4.14)
где f(y) = (pdiy + d^y2). Используя преобразование Фурье
й± = — j а± ехр(—ikx) dx,
получим из (1.4.14)
a^ = -fs . , а^ = ., Л . ,(1.4.15)
(k + qy Qt-qY
где
)s = (eik + e2A:3)sh —= ,
\ V^v
a ci = О(р) и 62 = 0(1) - некоторые постоянные. Для получения выражения для /5 использовалась формула
J ch~2х exp(-ikx) dx = Av'Trsh1 (тгА;/2).(1.4.16)
Будем искать решение системы (1.4.9), выражающееся четной функцией, что совместимо со свойством обратимости. Именно, рассматриваемое решение имеет главную часть (1.4.13) и одинаковую асимптотику на обеих бесконечностях. Имеем
a^-= - j a^exp(ikx) dk,(1.4.17)
г=г|иг2
где контур интегрирования Г i проходит над полюсами й± на вещественной оси, а контур Г2 - ниже этих полюсов. Контуры Гц2 дают вклад в асимптотику на минус и плюс бесконечностях, соответственно. Из (1.4.15), (1.4.17) следует, что в низшем порядке по р
Re zECехр (^^(singx, при т± эс .(1.4.18)
V л/рс^;
где С = 0(1) - некоторая константа. Точное значение постоянной С может быть определено только при анализе полной системы (1.4.9), так как члены большего порядка малости по параметру р дают равный по порядку вклад в величину С. Другими словами, вместо полинома в выражении для Д должны стоять бесконечные ряды по степеням к. Нас, однако, интересуют лишь качественные особенности поведения решения, соответствующего (1.4.13), поэтому не будем здесь определять точные выражения для констант.
Выражение (1.4.18) определяет экспоненциально малую асимптотику периодической составляющей обобщенно-уединенной волны, отвечающей (1.4.13).
Уединенные волновые пакеты
Уединенные волновые пакеты являются продуктом бифуркации 1:1 резонанса (см. параграф 1.2). Матрицы Ло и^0 в этом случае приведены в п. 1.3.4.
Записывая
WO = Афо + Вфт + А* ф^ + В* ФХ,
получим приведенные уравнения в виде
А = ггА + В + /оь
B = irB + f02,(1.4.19)
где
/01 == О^ |а|2), /от = (/о,^1) = О^ |а|2),
а = (А, В, А* В*).
Приведенные уравнения (1.4.19) приближаются системой в квазинор- мальной форме (1.3.20), где компоненты вектор-функции а из (1.3.1) обозначаются так же, как компоненты вектора а. После замены переменных
А = ро expi^rx + 0О), В = pi ехрг(тх + 0J (1.4.20) система уравнений (1.3.20) принимает вид
Ро = Pi cos 0,
Pi = Pocos©Q(pq,K0\
0 = - (^Q(p20,К0) + —)sin0,(1.4.21)
где 0 = 6i — ^о- Система (1.4.21) имеет солитоноподобные решения только при (/2 > 0, sign pqi > 0 и нулевых значениях констант Но и Ко- При Ко = poPisin© = 0, имеем без ограничения общности 0 = 0. Тогда в низшем приближении система уравнений (1.4.21) примет вид
Ро = №Ро - Q2Po-(1.4.22)
Отсюда, учитывая равенство 0 = Но = ро — P-QiPo "^ Q^Pol^^ получим солитоноподобное решение (1.4.22):
Ро = x/^Tch-1 y/q^ix.(1.4.23)
Решения (1.4.23) уравнения (1.4.22) являются приближениями решения типа уединенного волнового пакета, которые удовлетворяют приведенным уравнениям (1.4.19) (с учетом (1.4.20)). Иными словами, для 1:1 резонанса при переходе от приближенной системы уравнений к приведенным уравнениям решение типа уединенного волнового пакета сохраняет свой тип.
Предложение 2 (looss, Peroueme, 1993). Пусть а = (А, В, А* В*) - решение уравнений в квазинормалъной форме (1.4.21) в низшем приближении, которое получается из (1.4.23) при помощи замены (1.4.20). Тогда для достаточно малых ро > 0 и р G (0, //о] существует семейство уединенных волновых пакетов а = (А, В, А* В*), удовлетворяющих приведенным уравнениям (1.4.19). Кроме того, указанные решения приведенных уравнений мало отличаются от а, а именно:
|а — а| < ср ехр(—ау/рх),
где р = qip > 0, с > 0 - некоторая постоянная, а а < 1.
Доказательство. Перейдем в (1.4.19) к новым зависимым и независимым переменным:
А = vA ехр(ггж), В = v^B ехр(ггж), £ = vx^ v = ^1, после чего уравнения (1.4.19) примут вид (как и прежде штрих обозначает производную по £)
А' = В+ vSA( и, А, В, А* В* ,
В' = 1(1 + 92|1|2) AvSB(v, а, В, А* В* |),(1.4.24)
где Sa,в - функции порядка 1 по v и ограниченные по последнему аргументу. Из первого уравнения в (1.4.24) и из сопряженного ему по теореме о неявной функции имеем
В = A' + vSi(v,A,A*,^,(1.4.25)
где функция Si имеет порядок 1 по v. Комбинируя второе уравнение из (1.4.24) и уравнение (1.4.25) получим
A" =A^Aq2\A\^ AvS(v,A,A*A',A'A), (1.4.26)
где S также функция порядка 1 по v и ограниченная по ^jv.
Напомним, что, в силу обратимости, под действием изометрии Т^о А —> A*, S —> S*, т.е. Ar = R,e А Ад, А/ = 1mA -о —А/, и то же - для S. Это свойство совместимо с четностью Ar (соответственно, Sr) и нечетностью А/ (соответственно, Si) как функций от £. Разделяя (1.4.26) на вещественную и мнимую части и представляя А в виде А = А + А, получим уравнения на добавки AR р
LxAr = vSrU,A,Ar,A1AA\, LY = --q2A\ \V /a<;
£2Ai = vSi(v, A, ArAi^A), ^2 = ^-q2,(1.4.27)
где Sr - четная функция £, если AR - четная, a Az - нечетная, a Si - нечетная функция £ при тех же условиях.
Определим далее пространства CA^j = 0,1,2, гладких четных функций так же, как в п. 1.4.1, и пространства нечетных функций:
С”,- = {/ G ^(^suplexp^ieD/Wl < 00,
j = 0,1,2; m<j-, f^ = -fH)Y
Тогда £i : С^2 С^о, ^2 • С°2 "^ С^о- Существование ограниченного обратного оператора £f1 : С^ 0 —> С^ 2 доказывается полностью аналогично соответствующему доказательству в п. 1.4.1. Существование ограниченного оператора С^1 : С" 0 —> С ° 2 следует из однозначной разрешимости уравнения £2f = go G С°^ / С С^2, решение которого дается формулой
/ = - j -j^y;e^ik^dk 6 ^,2’
где "д обозначает преобразование Фурье функции д. Применение теоремы о неявной функции завершает доказательство предложения 2.
Обобщенно-уединенные волновые пакеты
Обобщенно-уединенные волновые пакеты являются продуктом бифуркации сложного 1:1 резонанса (см. параграф 1.2). Матрицы До и Т^о в этом случае приведены в п. 1.3.5.
Записывая
wq = Афо + Вф-^ + А^ф^ + А* ф^ + В*ф* + А_ф—^А~=А^, ф_ = ф*^
получим приведенные уравнения в виде
А = гтА + В + /oi,
В = гтВ + /02,
А+ = гдА+ + /оз,(1.4.28)
где
/от = (/о,<) = О(р, |а|2),/01 == О(д, |а|2),
/оз = </о,?Л = О(мИ|а|2), а = (А, В, А+, А* В* А-).
Приведенные уравнения (1.4.28) до любого алгебраического порядка приближаются системой в квазинормальной форме (1.3.32), где первая, вторая, четвертая и пятая компоненты вектор-функции а из (1.3.1) обозначаются так же, как соответствующие компоненты вектора а. Сделаем в (1.3.32) преобразование (1.4.20) и
£ = р2 схръ^дх + 6>2).
Тогда система уравнений (1.3.32) принимает вид
/о = pi cos 0,
Н = />0 COS 0Q(/)o, ^0,^1),
0 = - (—Q(po,Ko,KO + ^) sin 6,\PiРо/
(1.4.29)(1.4.29)№ = о, ё2 = *(ц,р2о,ко,ко.
(1.4.29)
(1.4.29)
По аналогии со случаем 1:1 резонанса (1.4.29) имеет солитоноподобные решения только при q^ > 0, sign p,qi > 0 и нулевых значениях констант Но и Ко и К^ = р^- Это солитонное решение также записывается в виде (1.4.23). Более того, система уравнений (1.4.29) имеет экспоненциально убывающее на бесконечности решение до произвольного алгебраического порядка по р. Тем не менее, солитоноподобные решения (1.4.29) и соответствующие им солитоноподобные решения (1.3.32) при переходе к приведенным уравнениям (1.4.28) в случае общего положения могут получать периодическую асимптотику на пространственной бесконечности аналогично обобщенно-уединенным волнам. Причиной этого также служит неравенство нулю в случае общего положения источникового члена
А = Аз|д+=о
в приведенных уравнениях (1.4.28).
Плоскопараллельные движения
Солитоноподобные решения эволюционных систем
Рассмотрим систему уравнений n-го порядка, описывающую распространение плоских волн в средах со слабой дисперсией:
/ 8 8 \/8s81 8 \
V л-’^ V + F V’^V’^7^7V =0’ S^P’ ^<р-1, (1.5.1) \8х 8t)\ 8xs8xl 8t у
РР8 £ \8х^ 8t)8 £ \8х^ 8t)где v G Нп. 8г/8хг - оператор г-ой производной по пространственной переменной ж, а 8/8t - оператор производной по времени t. Линейный оператор Т имеет вид
Р
Р
8 £ \8х^ 8t)
8 £ \8х^ 8t)
г 8хг J 8хз Qt 8Г
г=1j=l
где At, Bj и С - постоянные матрицы п х п. Вектор F нелинейно зависит от аргументов, обозначенных в (1.5.1). Кроме того, будем предполагать, что система (1.5.1) обратима, т.е. инвариантна относительно одновременной инверсии t —> — t и х —> — х.
Дисперсионное соотношение для (1.5.1) получается из уравнения
где v = cexp^i(kx — wf)}, ас- постоянный вектор. Легко видеть, что для уравнения (1.5.1) дисперсионное уравнение имеет п ветвей и может быть записано в виде
5 = П(^-№(А;)) =0.(1.5.3)
г=1
Обозначим cut = gt(k) и ct = lim Ui/k - фазовую скорость бесконечно длинных волн для г-ой ветви.
Предположение 1 (о дисперсионном соотношении). Существует фазовая скорость c^0 ^ ct для любого номера г ^ го такая, что порядок касания прямой ct0 к графика ветви (д^ при к = 0 равен 2 и эта прямая не имеет других общих точек с графиками всех ветвей дисперсионного уравнения (1.5.3).
Далее будем обозначать соответствующую скорость с^0 буквой с.
Рассмотрим решения (1.5.1) типа бегущих волн, когда неизвестная вектор-функция v зависит только от х — Vt, где V - скорость бегущей волны. Для обозначения этой зависимости будет также использоваться переменная х за исключением особо оговоренных случаев. Уравнение, описывающее бегущие волны, получается из (1.5.1) заменой 9/9t —Vd/dx.
Рассматриваемый случай слабой дисперсии характеризуется тем обстоятельством, что lim g^kHk конечен. После перехода к системе уравнений, описывающей бегущие волны и связанной с этим переходом замены d/dt, в дисперсионном соотношении (1.5.3) частота ш заменится на Vк. В силу соответствующих свойств функций gi(k) после вынесения за знак произведения в (1.5.3) общего множителя кп предел при к —> 0 выражения, оставшегося под знаком произведения, является конечным. Кроме того, если выполняется предположение 1, то это выражение при V = с, очевидно, имеет двукратный нулевой корень. Из изложенного следует, что для бегущих волн Р = dS/дх,
5 ^) = Е(^ - VB^ - vc- х 7г=1
Очевидно, однократное интегрирование (1.5.2) устраняет ноль порядка п в дисперсионном уравнении, полученном из (1.5.3) после упомянутых замен.
Предположение 2 (о нелинейности Р). Система (1.5.1) для бегущих волн может быть переписана в виде
(v’^v)l=0’ (L5"4)
( уох ox J ох у охг J J
где g(V, v) - невырожденная в окрестности v = 0 и V = с матрица п х п. Примером системы уравнений с матрицей 5, отличной от единичной, служит система (5.1.9) главы 5.
Система уравнений (1.5.4) для решений v, убывающих на бесконечности, таким образом, эквивалентна системе
Sv + f = 0.(1.5.5)
Предположение 3. Система уравнений (1.5.5) разрешима относительно старших производных в окрестности v = 0 и V = с.
Из предположения 3 немедленно следует, что система (1.5.5) переписывается в виде динамической системы (1.0.1), где А = Д(с) - постоянная матрица m х m^ р = V — с, w G 7?ш. а точка в (1.0.1) означает дифференцирование по “времени”, роль которого здесь играет пространственная переменная ж, —ею < х < сю. Нелинейность Т содержит слагаемое Д(У) — Л, так что 7(0,0) = 0и 9^(0,0)/dw = 0. Обратимость системы (1.5.1) и индуцированная обратимость отвечающей ей динамической системы (1.0.1) означает, что существует вещественная диагональная m х m матрица 7^ : IRm -4- IRm, 7^2 = 1 и 7^ антикоммутирует с левой частью (1.0.1) (см. параграф 1.1). В силу предположения 1, единственным собственным значением матрицы Д, лежащим на мнимой оси, будет ноль кратности 2. В случае общего положения матрица А имеет один собственный фо и один присоединенный ф1 векторы (см. п. 1.3.2).
Предположение 4. Имеет место равенство Т^о = Фо•
В дополнении к изложенному в п. 1.3.2 заметим, что вектор Ифо является собственным вектором Д, соответствующим собственному значению 0. В самом деле, в силу свойств матрицы 7^, АКфо = —'КАфо = = 0. Таким образом, Т^фо = афо, где a - некоторая константа. Домножив последнее равенство на 7^, получим, что a = ±1. Предположение 4 фиксирует a = 1.
Предположение 5. Для (ао, ^1), достаточно малых в разложении
#01 = M-CiQo + C2Qq + c3ai + • • •,
в уравнении (1.4.1) константы ci и С2 не равны нулю.
Проблема исследования свойств малых решений (1.0.1), таким образом, сводится к исследованию свойств малых решений системы уравнений (1.3.8), и солитоноподобные решения, соответствующие различным знакам коэффициентов и спектрального параметра р в (1.3.8), перечислены в п. 1.4.1. Из предложения 1 п. 1.4.1 следует, что приведенные уравнения (1.4.1) (а, значит, и уравнения (1.5.1)) в данном случае обладают решениями типа классических уединенных волн. Предположение 1 . Существует номер io ветви ^0(^) = #г0(&) дисперсионного уравнения (1.5.3) такой, что порядок касания прямой
а)б)в)
Рис. 1.3. Взаимное положение графиков ш = ш(к) и прямых, касательных к этим графикам в точках резонанса для простого резонанса волнового числа (а), резонанса длинной и короткой волн (б), 1:1 резонанса (в).
ск (с = с^0) графика ветви ^0(^) при к = 0 равен двум. Кроме того, прямая ск имеет при к > 0 ровно одно пересечение с графиком какой- либо ветви дисперсионного уравнения.
В силу обратимости системы при к < 0 будет также ровно одно пересечение ск И ОДНОЙ ИЗ кривых U)^k\ i = 1,
Из предположения 1 немедленно следует, что центральная часть спектра матрицы А в (1.0.1) состоит из четырех собственных значений, лежащих на мнимой оси. Этими собственными значениями являются двукратный ноль и два ненулевых чисто мнимых собственных значения ±гд, где к = q- точка пересечения прямой ск с соответствующей ветвью дисперсионного уравнения.
Из предположений 1', 2-5 следует, что центральная часть решения wq представима в форме (1.4.8), матрицы До и ^о даются формулами п. 1.3.3, приведенные уравнения и система уравнений в квазинор- мальной форме имеют вид (1.4.9) и (1.3.11) соответственно. Кроме того, солитоноподобные решения (1.4.9) (а, значит, и (1.5.1)) с точностью до любого алгебраического порядка по амплитуде волны описываются убывающими к нулю решениями квазинормальной формы (1.3.11). Эти решения в случае общего положения служат приближением для обобщенно-уединенных волн.
Из рассмотрений, проведенных в параграфе 1.4.3, следует, что решения уравнений (1.5.1) типа уединенных волновых пакетов существуют, если выполняются предположения 2 и 3, а также следующие предположения.
Предположение 1 (о дисперсионном соотношении). Существуют константа Vo и ветвь дисперсионного соотношения С такие, что прямая Vo к пересекает графики всех ветвей при к = 0, касательна к С
в точке к = т ^ 0 при к > 0 и не имеет более ни одной общей точки ни с какой дисперсионной кривой при к > 0.
Предположение 6. В разложении полинома Q в п. 1.3.4 константа Q2 строго больше нуля.
На рис. 1.3 приведены типичные графики соответствующих ветвей дисперсионных соотношений, описываемых предположениями 1, г и i".,
Предположения 1-5, 1 и 1" имеют конкретный смысл. Так, предположение 1 содержит условие того, что волна, имеющая фазовую скорость с, в линейном приближении не взаимодействует ни с какой другой волной (график ни одной ветви дисперсионного уравнения не пересекается с прямой ск). Предположение 1 содержит условие того, что в линейном приближении имеет место резонанс с периодической волной, отвечающей волновому числу к = q. где происходит пересечение прямой ск с одной из ветвей дисперсионного соотношения.
Решение полной задачи запишется тогда в виде
w = аофо + ауфу + а^ф^ + а_ф_ + O^i?Y
где фо, ф^ = ф*_ - собственные, а фу - присоединенный векторы матрицы А из (1.0.1), отвечающие центральному спектру,
do = мА—Ch 2 ———х + О^м \
Ы 2 у
Э
«1 = ^-«о + О(мТ
ОХ
а^ + а*_ = q sm(qx) + о(^), q = O^Y
для любого 8. Более того, величина q является экспоненциально малой по р, (Lombardi, 1997). Явные условия строгого неравенства нулю функции q при неравенстве нулю источникого члена (1.4.11) неизвестны. Имеют место примеры (см. ниже), когда при выполнении предположения 1 и неравенстве нулю источникого члена q обращается в ноль.
Для уравнения, рассматриваемого в следующей главе при m = 1, например, выполняется предположение 1 . Для р = V — с > 0 имеют место обобщенные уединенные волны с периодической составляющей ненулевой экспоненциально малой амплитуды. Кроме того, известно строгое доказательство факта отсутствия решений типа уединенных волн с периодической составляющей нулевой амплитуды.
Уравнение Хироты-Ито
Эи(ЭиЭ3и\/о ЭиЭ3иЭиЭ^иЭ5и\
-^т + а би— + — + b 45u2 — + 15u^-g + 1-5—+ —-у = 0, Эt\ЭхЭх6 Jу ЭхЭх6Эх Эх2Эхъ)
также подчиняющееся предположению 1 при a > 0 и b > 0, дает пример, когда при неравенстве нулю источникового члена (1.4.11) существуют настоящие уединенные волны при V > 0, что означает отсутствие периодической составляющей.
Предположение V* означает равенство фазовой и групповой скоростей при к = г. Это обстоятельство приводит к резонансу огибающей волнового пакета с его периодическим наполнением, что, в свою очередь, может приводить к образованию нелинейного продукта такого резонанса - уединенного волнового пакета, в котором огибающая и периодическое наполнение распространяются как единое целое.
Предположения 2, 3 и 5 имеют общий характер и относятся к структуре уравнений (1.5.1). Предположение 4 связано с сохранением обратимости в следующем смысле. Наличие обратимости в системе (1.0.1) означает, что ожидается существование обратимых решений w(x), часть компонент которых является четными функциями, а часть - нечетными. Формально это влечет существование диагональной матрицы К (изометрии) с компонентами ±1 на диагонали, такой, что выполняется равенство
7^w(—ж) = w(ж).(1.5.6)
Вспомним, что для малых решений w = wo + wi, компонента wi = = h(/z, wq) обладает соответствующими наследственными симметриями, так что для существования обратимых решений достаточно указать решение wo (1.1.2), удовлетворяющее (1.5.6). В соответствии с предположением 4 из (1.5.6) вытекает равенство
7£w0(—ж) = а^—х^Кфо + di(—х^фг + а^—х^Кф^ + а_(—х^ф- = = а0(-х)ф0 - аг(-х)ф1 + а^(-х)ф_ + а_(-х)ф^_ =
= w0^) = а0(х)ф0 + а1(х)ф1 + а^(х)ф^ + а_^ф_. (1.5.7)
Из (1.5.7) следует, что а^ является четной функцией, а^ - нечетной, а_^. и а_ имеют четную вещественную часть и нечетную мнимую (указанных свойств а_^. и а_ можно всегда добиться, как уже упоминалось, соответствующим выбором векторов ф^). Эти свойства коэффициентов do, di, d+, d_, очевидно, необходимы для существования четных решений, каковыми являются рассматриваемые классические уединенные и обобщенно-уединенные волны.
Уединенные волны в эволюционных уравнениях
Сформулируем аналогичные результаты для эволюционных уравнений вида
/ д \8й( 8 \( 8lvvu 8ju\
Pi д- ut^n—-^u^Pi — и+/ u, ^-7, 7-7 =0, 1.5.8) \8х J8хп\8х J\ 8t8xl 8х^)
где индекс t означает дифференцирование по времени, j < п — 1, Z + 1 < < п — 1 и
У2дп-1
^1=^0+ З^-Д-^ + ••• + Зп-1 д п V ох2охп-1
а а3 а^1, х
R-'nS+1’S? + -7-»w(1-5'9’
п - нечетное, /Зо ^ 0, 71 ^ 0, 7П ^ 0, Д, 7г - константы (Il’ichev, 1995). В выражение для Pi входят лишь четные производные, а для Р^ - нечетные. При помощи масштабных преобразований, не меняющих ориентации временной и пространственной осей, можно добиться равенств /Зо = 1, 71 = ±1.
Перейдем далее в (1.5.8) к “бегущей” переменной х -4 х — Vt. Относительно уравнения (1.5.8) будем предполагать выполненными предположение 1 (или 1 ) и предположения 2 и 5, которые сформулируем в виде одного предположения.
Предположение 7 (о нелинейности /). Предположим, что и = = и(х) является решением (1.5.8) типа бегущей волны, тогда
/(4 = ^х(Г,и(ж)),
и = (и, ЭхН^ ...^ д™~2и\ х = с2^2 + • • •, С2 ^ 0 для и в окрестности нуля и ф - четная функция для четных и.
Покажем, что в рассматриваемом случае предположения 3 и 4 выполняются автоматически и, следовательно, уравнение (1.5.8) имеет решения типа классических уединенных (обобщенно-уединенных) волн.
Дисперсионное соотношение для уравнения (1.5.8) с учетом (1.5.9) имеет вид
(1-5.10)
В длинноволновом приближении (1.5.10) приобретает форму
ш = ск + Офк3\
где с = 1, если /Зо и 71 имеют одинаковые знаки, и с = — 1 в противном случае.
Уравнение (1.5.8) для бегущих волн принимает вид
где
Q(V) =\-VPx (^ + А (^, Xi = 77^,
V/3„_i-7„L \дж/ \ЭхЛVpn-i-^n
,Э2gn—з ~у2Qn—з
Уравнение (1.5.11) переписывается в виде
Эх-1 и = Q^u + д(д, и),(1.5.12)
где д(р,и) = [2(У) - Q(c)]u + xi(^u) = ci^ + ^п2 + ••• для и в окрестности нуля, д = V — с и
_7™~ _ с2
С1 (с/Зп-1 - 7п)2 ’ С2 с/Зи-1 -"
Уравнение (1.5.12) эквивалентно следующей динамический системе
й = и-^
^п—3—^п—2,
п—3
Wn-2 = У LiUt + gGu,u).(1.5.13)
4=0
Система уравнений (1.5.13) представима в виде (1.0.1), где матрица А дается формулой:
/010...0\
Д=°°1-0 |
\0Оl2...о/
В последней строке L^ с нечетным номером равны нулю, Lq = 0 в силу выражения для скорости с, Ь2 ^ 0 в силу предположения 1 (1 ). Заметим, что правая часть (1.5.13) антикоммутирует с изометрией
U = diag{l,-l,!,...,-!}
(минус единицы чередуются с единицами). Собственный и присоединенный векторы матрицы Д, соответствующие двукратному собственному значению 0, имеют вид:
Легко видеть, что Т^о = ^о и предположение 4, таким образом, выполняется. Собственный и присоединенный векторы сопряженного оператора А* для нулевого собственного значения даются формулами
Нечетные компоненты -01 равны нулю, а четные (кроме второй и последней) - Li/L2 соответственно. Заметим, что
/ / \ С1 2 ,- — а0 +
где g = (0,0, •••,gGu,u)).
Все предположения предыдущего параграфа оказываются, таким образом, выполненными, откуда следует, что уравнения (1.5.8) обладают решениями типа классических (обобщенно-уединенных) волн при выполнении предположений 1 (соответственно В) и 7.
Длинноволновые модели
Классические уединенные и обобщенно-уединенные волны, а также уединенные волновые пакеты, находятся среди решений обобщенного уравнения КдВ, впервые полученного Kawahara (1972):
Эи Эи 93и 9^ и _ , .
-57 + и — + ^-т + т —г = О, m = ±1. (2.0.1)
Эх Эх6 Эхь
Уравнение (2.0.1) выводится в рамках асимптотической процедуры многих масштабов для описания распространения слабонелинейных длинных волн при учете дисперсии, обусловленной дополнительными факторами, и является универсальным для описание распространения длинных волн в средах с квадратичной нелинейностью, где в дисперсионном уравнении слагаемое с пятой степенью волнового числа не мало по сравнению с кубичным слагаемым и потому подлежит учету.
В качестве примеров волновых движений, где эффекты дополнительной дисперсии для длинных волн должны приниматься во внимание, перечислим распространение гравитационно-капиллярных волн на поверхности идеальной несжимаемой жидкости конечной глубины при числах Бонда b ~ 1/3 (т = 1 соответствует 5 < 1/3, a m = — 1 - условию b > 1/3) (Hunter, Scheurle, 1988), на поверхности идеальной несжимаемой жидкости конечной глубины под ледовым покровом (Марченко, 1988), в холодной квази-нейтральной бесстолкновительной плазме для углов наклона невозмущенного магнитного поля к направлению распространения волны, близких к критическому (Kakutani. Ono, 1969).
В работах Grimshaw, Joshi (1995), Hunter, Scheurle (1988), Pomeau et al. (1988) доказано существование симметричных решений типа бегущих волн для т = 1, которые стремятся к солитонам уравнения КдВ при исчезающей дополнительной дисперсии. Однако такие бегущие волны не являются классическими уединенными волнами, затухающими на пространственной бесконечности. Форма этих волн,
Рис. 2.1. Взаимное положение графиков дисперсионной кривой уравнения (2.0.1) первого и второго рода и прямых, касательных к этим графикам в точках резонанса для простого резонанса (а), резонанса длинной и короткой волн (б), 1:1 резонанса (в).
представляющих собой обобщенно-уединенные волны, определена численно в работе Boyd (1991).
Наличие уединенных волновых пакетов среди решений (2.0.1) и их связь с существованием фокусирующего интервала волновых чисел впервые продемонстрировано в статье Grimshaw et al. (1994) (см. также Bakholdin, Il’ichev, 1996).
Будем различать два случая качественно разного поведения решения уравнения (2.0.1). В случае т = — 1 (уравнение (2.0.1) первого рода) имеется семейство решений типа классических уединенных волн, ответвляющихся из состояния покоя, в том числе и для умеренных скоростей, т.е. не малых амплитуд (Buffoni et al., 1996; Ильичев, 1992; Il’ichev, Semenov, 1992). В этом случае (рис. 2.1а) график единственной дисперсионной кривой ш = —к3 — к5, к > 0, лежит по одну сторону от касательной к нему в точке к = 0 оси к, амплитуда уединенной волны положительна и бифуркация, приводящая к появлению классических уединенных волн соответствует увеличению угла наклона касательной, совпадающей с осью к.
Для случая т = 1 (уравнение (2.0.1) второго рода) кроме точки касания к = 0 для к > 0 имеется еще точка пересечения оси к с графиком в точке к = 1 (рис. 2 6). В данном случае классическая уединенная волна не существует, а вместо нее имеет место обобщенно-уединенная волна.
На дисперсионной кривой уравнения (2.0.1) второго рода существует точка касания к = г ^ 0 с прямой, проходящей через 0 (рис. 2.1 в). Это точка 1:1 резонанса, соответствующая появлению многогорбых уединенных волн - уединенных волновых пакетов при фазовых скоростях меньших, чем тангенс угла наклона касательной в данной точке. Уединенные волновые пакеты в низшем приближении по малому
параметру - амплитуде волны - описываются солитонными решениями соответствующего нелинейного уравнения Шрёдингера в малой окрестности волнового числа (к = г), где достигается равенство скорости огибающей (групповой скорости) и фазовой скорости наполнения - монохроматической волны, распространяющейся под огибающей (Grimshaw et al., 1994; Ильичев, Марченко, 1989). В обобщенноуединенных волнах уравнения (2.0.1) второго рода определенно присутствует коротковолновая составляющая с асимптотикой
u(g) = cZqtt ехрu(g) = cZqtt ехрsin д+Оsin д+Ор,ехрр,ехрg ос, (2.0.2)g ос, (2.0.2)
u(g) = cZqtt ехр
u(g) = cZqtt ехр
sin д+О
sin д+О
р,ехр
р,ехр
g ос, (2.0.2)
g ос, (2.0.2)
где g = х—Vt (Pomeau et al., 1988). Приближенное значение константы с/g (^ 119, 82) было впервые подсчитано Pomeau et al. (1988) (см. также Grimshaw, Joshi, 1995) при помощи метода сращиваемых асимптотических разложений. Значение константы do было также определено в Akylas, Yang (1995) при помощи асимптотического анализа в спектральной плоскости. Boyd (1991) подтвердил результаты Pomeau et al. (1988), используя численные методы высокой точности.
Уравнение (2.0.1) второго рода описывает случай общего положения: почти любое обратимое уравнение пятого порядка, допускающее решение типа обобщенных уединенных волн, имеет периодическую составляющую с асимптотикой типа (2.0.2) и своим do ^ 0. Лишь при дискретном множестве значений коэффициентов этих уравнений периодическая составляющая пропадает и обобщенные уединенные волны оказываются классическими (см. пример в п. 1.5.1). В этом случае эти уравнения являются интегрируемыми методом обратной задачи теории рассеяния. Решение в виде классических уединенных волн для уравнений пятого порядка с дисперсионной кривой, изображенной на рис. 2 6, таким образом, структурно неустойчиво: любое малое изменение коэффициентов уравнения приводит к возникновению периодической составляющей, а, значит, к распаду классических уединенных волн, при этом время распада существенно зависит от амплитуды уединенных волн (Benilov et al., 1993; Pomeau et al., 1988).
В параграфе 2.1 настоящей главы рассматривается вывод уравнения (2.0.1) для длинных гравитационно-капиллярных и грави- тационно-изгибных волн на поверхности идеальной несжимаемой жидкости конечной глубины. Содержание параграфов 2.2, 2.3 и 2.4 посвящено решениям уравнения (2.0.1) типа классических уединенных волн, обобщенно-уединенных волн и уединенных волновых пакетов соответственно.
Капиллярные и изгибные волны
В этом параграфе приведен вывод уравнения (2.0.1) для длинных поверхностных гравитационно-капиллярных волн, а также для длинных волн под упругой пластиной, которая при соответствующих обстоятельствах может моделировать ледовый покров (Muller, Ettema, 1984). Физические переменные и постоянные, используемые для вывода (2.0.1), для удобства помещены в приведенной ниже таблице. Уравнения Эйлера идеальной несжимаемой жидкости конечной глубины в присутствии упомянутых поверхностных эффектов имеют вид (Il’ichev , Semenov 1992; Марченко, 1988; см. также главу 6 настоящей монографии):
<^+^=0 при -H<z<T](x),
Ф^ = 0 при % = —В.
Ф1 + -(^ + Ф^ + ЭЛ — Co^i + BqK2 + Aoptt = 0,
^+^Ж^=^г при % = ^х\(2-1-1)
где
ЛххЛхх2“(1 + ^)3/2-ге%ж2“(1 + ^)3/2-ге%ж
Лхх
Лхх
2“(1 + ^)3/2-ге%ж
2“(1 + ^)3/2-ге%ж
Нижние индексы обозначают дифференцирование по соответствующим переменным.
Для жидкости под ледовым покровом
A0 = Pih/pw, Во = E0h3/\12pw0 - VqK С0 = ^ф & = h/H.
Pw
Для гравитационно-капиллярных волн
Ло — Во — ае — О, Со — Т / pw.
Дисперсионное соотношение системы (2.1.1) имеет вид
шшkth(kH)l + Aokth(kH)kth(kH)l + Aokth(kH)Vg + С0к2 + B0k4YVg + С0к2 + B0k4Y(2-1.2)(2-1.2)
ш
ш
kth(kH)
l + Aokth(kH)
kth(kH)
l + Aokth(kH)
Vg + С0к2 + B0k4Y
Vg + С0к2 + B0k4Y
(2-1.2)
(2-1.2)
Определим, далее, следующие безразмерные постоянные
и переменные
-(дЯ)1/2^,(дН)1/2^, г) , х - z
t =т, У =т—, П = -, ж = -, z = —.
АдалалН
Символ
Величина
Размерность
потенциал скорости
[L2T-1]
9
отклонение поверхности жидкости
М
X
горизонтальная координата
М
Z
вертикальные координата
М
h
толщина льда
М
н
глубина жидкости
[L]
9
ускорение свободного падения
[LT"2]
к
волновое число
[L"1]
ш
частота
[т-1]
Т
коэффициент поверхностного натяжения
[МТ"2]
Ны
начальное напряжение в пластине
[МЬ-Ч"2]
Eq
модуль Юнга
[ML"1!"2]
Vq
коэффициент Пуассона
[ ]
Pw
плотность жидкости
[ML"3]
Pi
плотность льда
[ML"3]
A
характерная длина волны
М
a
характерная амплитуда волны
М
co
VgH - фазовая скорость
М
V1
кинематическая вязкость жидкости
[L4"1]
Опуская в обозначениях штрихи и пренебрегая нелинейностями выше квадратичной, а также членами порядка О(ае), перепишем (2.1.1) в безразмерном виде
ефхх + ^ = 0 при - 1 < z < ед,
фг = 0 при z = — 1,
ЧН + |е(^ + е"1^) + ?? + 7%XXX - Рпхх = О,
I]t А-ет]жфж = е"1^ при z = e-q.(2.1.3)
Разложим, далее, потенциал (р в ряд по вертикальной координате z
^^^Фхххххх"^" ' ' ' • (2-1-4)^^^Фхххххх"^" ' ' ' • (2-1-4)ф = ф° + Zip0 + ^Z^ip0 + ^z^ ф° +
^^^Фхххххх"^" ' ' ' • (2-1-4)
^^^Фхххххх"^" ' ' ' • (2-1-4)
—Iz ф z ф____
20
Из первого из уравнений в (2.1.3) следует
чАх = -ечАсж^ Azzz =Azzzz = «^xxxxt
Ф ZZZZZ — 6 хГ Z)XXXX1 ф ZZZZZZ — 6 Фхххххх*
Используя второе уравнение в (2.1.3) и (2.1.4) и применяя метод последовательных приближений для малых б, приходим к выражению для у?9 с точностью до членов порядка б3:
— — еФхХ — Фхххх — Фхххххх*(2.1.5)
Подставляя, далее, (2.1.5) в третье уравнение в (2.1.3) и пренебрегая членами порядка ее и выше, получим (опуская индекс 0)
12 2м
T]t + Е^хфх + Е^фхх + фхх + -Ефхххх + —б фхххххх = о, 315
Pt + 2^ + Л + ТЫх - РЛхх = о.(2.1.6)
Представим неизвестные функции q и ф в следующем виде:
?? = Чо + ??1е + т?2С2 + о(е3),
у? = у?о + ^i6 + Р^Е + О(б3).(2.1.7)
Пренебрегая членами третьего порядка по б, будем искать волны, распространяющиеся в одном направлении (направо) и зависящие от медленного времени в системе отсчета, движущейся с фазовой скоростью бесконечно длинных линейных волн:
Л = >?(^т,е), ф = фХ,т,е),
q = х — Г т = ^nt, п > 0.
Длинные волны под ледовым покровом.
Положим п=1, у = 76, 3 = Зг £ = ^, гДе величины с шапкой имеют порядок 1, т.е.
Ео/[12(1 - E)Pw\ ~ дХ^Н^Ъ?, <тп ~ gpwH2/h.
В реальной среде это соответствует следующим значениям параметров:
h ~ 1 м, Eq ~ 3 х 109 н/м2, Н ~ 10 м,ои ~ 105 н/м2, А ~ 100 м, а ~ 0,1 м.
Подставляя (2.1.7) в (2.1.6), получим, сохраняя лишь члены до порядка б включительно:
--qo^ - 67/K + eqoT + eeqo^o^ + вбт/о^о^ += 0,
-фо<; - еф1<; + ефот + ^ёеф^ + Ло + «11 - /Зет?о« + Wiossss = 0.
Приравнивая члены при нулевой и первой степенях б, получим фos = Ло(2.1.8)
и следующее уравнение на 170 (используя (2.1.8)):
Лот + т^о? + Д| - 4)= 0.(2.1.9)
1133Подставляя в (2.1.9) старые размерные переменные, получим
1
1
3
3
оI 'ПОххх'С-оз доI 'ПОххх'С-оз д9ot +О) ?7ож + 2 со ^Ло Лох + 2 со9ot +О) ?7ож + 2 со ^Ло Лох + 2 соВо Q Ло ос ос ос ос ос •
оI 'ПОххх'С-о
з д
оI 'ПОххх'С-о
з д
9ot +О) ?7ож + 2 со ^Ло Лох + 2 со
9ot +О) ?7ож + 2 со ^Ло Лох + 2 со
(2.1.10)
Уравнение (2.1.10) согласуется с дисперсионным соотношением (2.1.2) вплоть до членов порядка б2:
ш = кс0 [1(^-—) А:2 + ^fc4 + О(е3) .
Длинные гравитационно-капиллярные волны. Положим
п = 2, /3 = е(1/3 — a), a = 1/3 — С^КдН2) = ае, е = ее2.
Подставляя (2.1.7) в (2.1.6) и, пренебрегая членами О(б3), приходим к следующим эволюционным уравнениям
-fjo^ - egi^ - б2^ + б2?7от + Ее^^фо^ + Е^ф^ + ^о^ + еф^ + 2 ZS€22п
+6!<;<;<;<; + J^C= 0,
-фо<; - е^К - Еф-is + Ефот + |ее2^ + Ло + «к + б2^2 - |%« -
+ае217о« = 0.
Действуя аналогично предыдущему случаю, получим
(2.1.11)(2.1.11)Wq =9о,91= ^R + ^T]Oqq,
(2.1.11)
(2.1.11)
Лот + -^ЛоЛо.; + 2а^« + ^%««? = 0.
Переходя к физическим переменным, окончательно имеем
3Н^"Н^
9Ot"VGo9Ox"V "^GoO-ETIqTIqx-VCq С1-'П0ххх^~С0 gg ЛОххххх = 0. (2.1.12)
Уравнение (2.1.12) согласуется с дисперсионным соотношением до членов порядка б2:
“ = ^[14v-2j)fc2+90t4 + O(e3>
Масштабным преобразованием уравнение (2.1.10) приводится к виду (2.0.1) с т = 1. Третье уравнение в (2.1.11) приводится к виду (2.0.1) с т = — 1, если 2 < 0, т.е. число Бонда
, _ СрдН2
больше 1/3. В противном случае т = 1.
В случае гравитационно-капиллярных волн близость числа Бонда к 1/3 влечет за собой малость характерных пространственных масштабов: глубина жидкости определяется из соотношения
Н =Н =зт\рд )зт\рд )1/21/2
Н =
Н =
зт\рд )
зт\рд )
1/2
1/2
и для реальной жидкости имеет порядок нескольких миллиметров (Zufuria, 1983). На таких масштабах необходимо учитывать влияние вязкости, в связи с чем бездиссипативная модель фактически не имеет физического смысла. Поэтому для описания гравитационнокапиллярных волн уравнение (2.0.1) имеет лишь формальный характер. Экспериментальная проверка справедливости (2.0.1) для этих волн в условиях малой гравитации, когда диссипативные эффекты ослабляются, т. е. число Рейнольдса
„ На
Re = —-с0v^ А
увеличивается, обсуждается в работе Zufuria (1983).
Устойчивость классических уединенных волн
Решения (2.0.1) для т = — 1 типа классических уединенных волн являются быстро убывающими на бесконечности решениями обыкновенного дифференциального уравнения
(2-2.1)(2-2.1)u2 cPu Ри
(2-2.1)
(2-2.1)
-ум + т + ^ + ^ = 0-
Остановимся подробнее на доказательстве локального существования двупараметрического семейства уединенных волн уравнения
изменяется в малой окрестности ну- соответствующая (1.0.1), имеет видизменяется в малой окрестности ну- соответствующая (1.0.1), имеет видй = ui^й2 = п3,й = ui^й2 = п3,пт = п2, .и2^з = ^2 + — - ри,пт = п2, .и2^з = ^2 + — - ри,(2.2.2)(2.2.2)где р = V > 0, точка в (2.2.2) означает дифференцирование по х.Матрица А в (1.0.1) в данном случае имеет видгде р = V > 0, точка в (2.2.2) означает дифференцирование по х.Матрица А в (1.0.1) в данном случае имеет видА =А =00\о00\о1 о 0\0 100 0 10 1 о/1 о 0\0 100 0 10 1 о/Бифуркация из состояния покоя здесь осуществляется как показано на рис. 1.1а, и единственным собственным значением матрицы Д, лежащим на мнимой оси, является ноль второго порядка. Соответствующие собственные и присоединенные векторы для собственного значения 0 имеют видБифуркация из состояния покоя здесь осуществляется как показано на рис. 1.1а, и единственным собственным значением матрицы Д, лежащим на мнимой оси, является ноль второго порядка. Соответствующие собственные и присоединенные векторы для собственного значения 0 имеют вид(2.2.1), скорость V которых ля. Динамическая система, (w = (u,Ki,u2,u3))
изменяется в малой окрестности ну- соответствующая (1.0.1), имеет вид
изменяется в малой окрестности ну- соответствующая (1.0.1), имеет вид
й = ui^
й2 = п3,
й = ui^
й2 = п3,
пт = п2, .и2
^з = ^2 + — - ри,
пт = п2, .и2
^з = ^2 + — - ри,
(2.2.2)
(2.2.2)
где р = V > 0, точка в (2.2.2) означает дифференцирование по х.
Матрица А в (1.0.1) в данном случае имеет вид
где р = V > 0, точка в (2.2.2) означает дифференцирование по х.
Матрица А в (1.0.1) в данном случае имеет вид
А =
А =
0
0
\о
0
0
\о
1 о 0\
0 10
0 0 1
0 1 о/
1 о 0\
0 10
0 0 1
0 1 о/
Бифуркация из состояния покоя здесь осуществляется как показано на рис. 1.1а, и единственным собственным значением матрицы Д, лежащим на мнимой оси, является ноль второго порядка. Соответствующие собственные и присоединенные векторы для собственного значения 0 имеют вид
Бифуркация из состояния покоя здесь осуществляется как показано на рис. 1.1а, и единственным собственным значением матрицы Д, лежащим на мнимой оси, является ноль второго порядка. Соответствующие собственные и присоединенные векторы для собственного значения 0 имеют вид
случае принимают формуслучае принимают формуПриведенные уравнения (1.4.1) в данном
случае принимают форму
случае принимают форму
(2.2.3)(2.2.3)«о — ^1,
(2.2.3)
(2.2.3)
«1 = р.а0 - у + о(|^а|, |а|2).
Напомним, что уравнения (2.2.3) получаются проекцией (2.2.2) на центральное многообразие, что осуществляется при помощи взятия скалярного произведения обеих частей (2.2.2) с -0° и -01. Уравнения (2.2.3) с точностью до членов порядка О(|//а|, |а|2) имеют решение
do = Зр ch 2(-^-ж).do = Зр ch 2(-^-ж).(2.2.4)(2.2.4)
do = Зр ch 2(-^-ж).
do = Зр ch 2(-^-ж).
(2.2.4)
(2.2.4)
Кроме того, справедлив результат о грубости семейства классических уединенных волн для приведенных уравнений типа (2.2.3) (см. п. 1.4.1, предложение 1), откуда следует, что решение типа классической уединенной волны приведенных уравнений (2.2.3) (или, что эквивалентно, динамической системы (2.2.2)) существует и отличается от (2.2.4) на члены порядка О(р2). Заметим, что локальное двупараметрическое
семейство (2.2.4), параметризованное амплитудой р и сдвигом координаты ж, может быть продолжено до конечных значений амплитуд, т.е. скоростей У, вплоть до значения V = 1/4.
Поведение уединенных волн с монотонной структурой в окрестности пространственной бесконечности имеет характер экспоненциального затухания. Показатели экспонент определяются корнями уравнения
(2.2.5)(2.2.5)s4 - s2 + V = 0.
(2.2.5)
(2.2.5)
Для 0 < V <1/4, когда имеет место монотонное стремление к нулю на бесконечности, уравнение (2.2.5) имеет 4 вещественных корня:
-V.-V.
-V.
-V.
Убывание классических уединенных волн на пространственной бесконечности определяется меньшими корнями 53,4, которые при р —> 0 (V —> 0) сливаются, образуя двукратное нулевое собственное значение матрицы А (см. параграф 1.2).
Уравнение (2.2.1) было численно исследовано Kawahara (1972) при помощи метода Рунге-Кутта. Для определения профиля уединенных волн Il’ichev, Semenov (1992) использовали другую процедуру. Решения уравнения (2.2.1) для различных значений скорости V последовательно определялись при помощи продолжения по параметру V для 0 < V < Vo или Vo < V < 1/4, где Vo = 36/169 отвечает решению (2.2.1), которое представляется в явном виде (Yamamoto, Takizawa, 1981):
105 и = ch169105 и = ch169
105 и = ch
169
105 и = ch
169
Пусть и (ж) является численным решением (2.2.1) для V = У,. Определим решение й(ж) для V = У + ДУ. Величина ДУ в расчетах бралась равной 0, 001 или — 0, 001. Пусть й = n + Su. Подставляя й в уравнение (2.2.1) и используя условие того, что и является его решением, получим уравнение для би:
-(Ч + ДУ)5и + ^Д±М + 5Uxx + 5Uxxxx = мдк (2.2.6)
При расчетах использовались граничные условия в форме
ди|ж=_ь = 5и|ж=£ = о, или 6и|ж=-£ = 5и|ж=£-(2.2.7)
Уравнения (2.2.6) с граничными условиями (2.2.7) решались на отрезке — L < ж < L, где L достаточно велико для того, чтобы подавить влияние граничных условий. Система (2.2.6) приближалась
конечно-разностной схемой второго порядка точности. Получающаяся в результате алгебраическая система решалась итерационным методом Ньютона с нулевым начальным условием. Полученное решение уточнялось при помощи численного интегрирования системы (2.2.2) методом Пикара. Подробно эта процедура описана в работе Il’ichev, Semenov (1992).
Интегрирование уравнения (2.2.1) и использование условий убывания на бесконечности приводит к уравнению
(2.2.8)(2.2.8)ф = 1ф, (Ти)(ж) = У Цх-y^^dy.
(2.2.8)
(2.2.8)
Образ Фурье ядра к имеет вид
к(к) = V(k4 + к2 + V)"1,
так что
k(x)dx = 1.k(x)dx = 1.
k(x)dx = 1.
k(x)dx = 1.
Ядро к вычисляется в явном виде. Для 0 < V < 1/4Ядро к вычисляется в явном виде. Для 0 < V < 1/4к(^) = |к(^) = |Vт _ 4у [gi ехр(-е2|ж|) - е2 exp(-ei |ж|)],Vт _ 4у [gi ехр(-е2|ж|) - е2 exp(-ei |ж|)],гдегде
Ядро к вычисляется в явном виде. Для 0 < V < 1/4
Ядро к вычисляется в явном виде. Для 0 < V < 1/4
к(^) = |
к(^) = |
V
т _ 4у [gi ехр(-е2|ж|) - е2 exp(-ei |ж|)],
V
т _ 4у [gi ехр(-е2|ж|) - е2 exp(-ei |ж|)],
где
где
= ^(И + V2) ехр= ^(И + V2) ехрДля V = 1/4
= ^(И + V2) ехр
= ^(И + V2) ехр
к(ж)
Аналитическое доказательство существования убывающего решения (2.2.8) сводится к отысканию неподвижной точки оператора I в подходящем функциональном пространстве убывающих функций. В силу экспоненциальной асимптотики убывающего решения этой неподвижной точкой и будет уединенная волна.
Использование классической теории индекса неподвижной точки в банаховых пространствах (см. Leray, Shauder, 1934; Amann, 1976; Granas, 1972; Красносельский, 1956) для (2.2.8) затруднено в силу того обстоятельства, что для решений с неограниченным носителем (как
уединенные волны) имеется ряд трудностей при применении стандартных теорем об индексе неподвижной точки в банаховых пространствах (см. Benjamin et al., 1988; Ильичев, 1992; Il’ichev, Semenov, 1992). Эти трудности разрешаются при применении ненормируемых пространств Фреше и теории Nagumo (1951). Неподвижная точка (2.2.8) для 0 < V < 0 существует (Ильичев, 1992; Il’ichev, Semenov, 1992). Существование, а также единственность уединенной волны (2.2.1) в указанном диапазоне скоростей доказано Buffoni et al. (1996) при помощи теории динамических систем.
Как уже отмечалось в предисловии, все локальные классические уединенные волны являются волнами типа солитонов уравнения КдВ. Поэтому вполне естественно ожидать, что эти решения обладают динамической устойчивостью, так же как и солитоны КдВ (Benjamin, 1972). Под устойчивостью в системах с трансляционной инвариантностью понимается устойчивость по форме: если фу(х) - классическая уединенная волна, uq = и(ж,0) - начальное возмущение, u(x,t) - его эволюция и в начальный момент времени величина ||^о — ^у(ж)|| мала, то остается малой величина
sup inf | |п(ж, t) — фу (х + I) 11. t>o IEIR
Здесь || • || обозначает норму в соответствующем гильбертовом пространстве функций на действительной прямой. Достаточные условия устойчивости для трансляционно инвариантных гамильтоновых систем с сохраняющимся гамильтонианом Д и имеющих еще одну сохраняющуюся вследствие инвариантности относительно пространственного сдвига величину Q, сформулированы в работе Grillakis et al. (1987).
Уравнение (2.0.1) является трансляционно инвариантной гамильтоновой системой, где
В этом уравнении для всех уединенных волн при V Е (0,1/4] выполняются достаточные условия устойчивости (Ильичев, 1990; Ильичев, Семенов, 1991; Il’ichev, Semenov, 1992), т.е. устойчивы не только локальные классические солитоноподобные структуры (V в окрестности нуля), но и все уединенные волны глобального семейства волн с монотонным убыванием на бесконечности. Факт устойчивости этих уединенных волн означает, что локализованные положительные возмущения распадаются на последовательность таких волн. Результаты численных расчетов, представленные в работе Ильичева, Марченко (1989), демонстрируют выделение уединенной волны из локализованного образования в процессе эволюции.
Обобщенно-уединенные волны. Излучение резонансных волн
Обобщенно-уединенные волны
Для т = 1 дисперсионная кривая имеет пересечение с осью к в точке к = 1 (см. рис. 2.1 в). В этом случае классические уединенные волны не существуют, а для скоростей V = /О 0 и /1 - достаточно малого существуют обобщенно-уединенные волны.
Динамическая система, описывающая решения уравнения (2.0.1) типа бегущих волн, имеет в данном случае вид
й = Ui, й1 = U2,
U2 = ^з,U2 = ^з,^3 = -^2 - — ^Г !ЛН.^3 = -^2 - — ^Г !ЛН.(2.3.1)(2.3.1)
U2 = ^з,
U2 = ^з,
^3 = -^2 - — ^Г !ЛН.
^3 = -^2 - — ^Г !ЛН.
(2.3.1)
(2.3.1)
Аналогично рассмотренному случаю с т = — 1 система (2.3.1) может быть записана в виде (1.0.1), где
/0 1 0 0\
д°°!°|
л “ 0 0 0 1'
\0 0-1 о/
Все собственные значения А - кратный ноль и ±г - лежат на мнимой оси. Собственный и присоединенные векторы фо, фу и -0° - такие же как и в случае т = — 1, а остальные имеют вид
Ф+Ф+
Ф+
Ф+
В переменных ао, ау, а+, а_ (см. п. 1.4.2) система уравнений (2.3.1)
имеет вид
«о — ^1,
^1 = ра0^1 = ра0ей , х (а+ + а_)2,
^1 = ра0
^1 = ра0
—— aoyct-v- + а_)h р\а_у. + а_
«+«+.% Г= га+ + Й.% Г= га+ + Й— /zag — p^CL-y- + d—) + 2^о + ао(^+ + d_) +— /zag — p^CL-y- + d—) + 2^о + ао(^+ + d_) +(d+ + a_y2.(d+ + a_y2.
«+
«+
.% Г
= га+ + Й
.% Г
= га+ + Й
— /zag — p^CL-y- + d—) + 2^о + ао(^+ + d_) +
— /zag — p^CL-y- + d—) + 2^о + ао(^+ + d_) +
(d+ + a_y
2.
(d+ + a_y
2.
(2.3.2)
Как следует из теории п. 1.4.2, система уравнений (2.3.2) до любого алгебраического порядка может быть приближена уравнениями
в квазинормальной форме (1.3.11), которая в данном случае имеет вид
ОЦ) = С1Ц,
«1 = Р«о - ^ + Цр, «о, |z|2),z = iz + iz^^p, a», |z|2),(2.3.3)
где АиФ- некоторые вещественные полиномы своих аргументов. Из (2.3.3) при % = 0 имеем уединенную волну, которая остается убывающей независимо от порядка полиномов в (2.3.3):
а0 =3/zch"2 (^^ +О(р2),р>0.(2.3.4)
Формулу (2.3.4) можно непосредственно получить из низшего по р приближения (2.3.2), производя масштабные преобразования, указанные в п. 1.4.2. Однако, как отмечалось в этом пункте, решение уравнений в квазинормальной форме типа (2.3.4) при переходе к приведенным уравнениям (в данном случае это - система уравнений (2.3.2)) может приобретать периодическую составляющую на бесконечности, амплитуда которой экспоненциально мала. Как уже отмечалось, эта периодическая на бесконечности волна присутствует в решении (2.3.2), приближением которого является (2.3.4). Более того, решение (2.3.1) или, что то же самое (2.3.2), типа классической уединенной волны вообще не существует (Pomeau et al., 1988). Величину амплитуды в низшем приближении по р (величину do в (2.0.2)) в данном случае можно точно подсчитать. Один из способов этого подсчета представлен в п. 2.3.2.
Подсчет амплитуды периодической составляющей
При вычислении амплитуды периодической составляющей обобщенно-уединенной волны будем следовать работе Akylas, Yang (1995). В результате замены
и = бб-г(^),( = \fex^ р = е + ^2 Pnd\
п=2
где рп - постоянные, подлежащие определению, уравнение (2.2.1) преобразуется в уравнение
о 2d?!) d4Dо .
u + Зу + 5^ + б5^ = 0,^•3"5)
где с = 1 + 52^1 Р-п^п х- Будем искать решение (2.3.5) в виде формального ряда
V = «о +6"yn’(2.3.6)
П=1
где до ~ решение уравнения (2.3.5) при б = 0:
'"о = 2 h \ 2 / "
Подставляя (2.3.6) в (2.3.5), получим
У = До + е (у^о - |^о) + О(е2),(2.3.7)
а также /ii = 1. Применяя преобразование Фурье к (2.3.7) и используя формулу (1.4.16), имеем
v = \к + -ек3 + • • • j sh1 тгА;.(2.3.8)
Все члены разложения в ряд по степеням к в (2.3.8) имеют одинаковый порядок, если к = 0(1/^), что делает естественным введение двухмасштабного разложения
у = -^=y(^)sh-17rA;, н = Vek,(2.3.9)
где У (я) представляет собой формальный степенной ряд по нечетным степеням к:
V = ^+-^3 + ....(2.3.10)
Применение преобразования Фурье к (2.3.5) дает
(е/г4 - к2 - 1)д + 3 У и^и^к - 1) dl = 0.(2.3.11)
Переходя в (2.3.11) к “растянутому” волновому числу к, получим
(к4-к2-б)У(к)+3 sh— dl = 0. (2.3.12)
Мб J shf^phf^(yo)7
—осу Vе /у Vе /
В низшем приближении по б главный вклад в интеграл в (2.3.12) дается
при к > 0 в интервале 0 < I < к, при других I (I > к, I < 0) слагаемое с интегралом в (2.3.12) стремится к нулю при е —> 0;
при к < 0 - в интервале к < I < 0 по той же причине, что ива). Уравнение (2.3.12) в низшем приближении по б имеет, таким образом, вид
к2(к2 - 1)У(к) + 6 j V(1)V(k — I ) dl = 0.(2.3.13)
О
Будем искать решение (2.3.13) в виде разложения в степенной ряд
У(к) = ^г>пк2п+1.(2.3.14)
п=0
Подставляя (2.3.14) в (2.3.13) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях ю, получим рекуррентное соотношение
^_2 -+= 0(2.3.15)
для г > 2. Как следует из (2.3.10), bo = 1, bi = 5/2. При получении (2.3.15) использовалось равенство
/(к - /)2i+1^'+1 dl =
Г v(2г + 2^+3)!’
О
доказательство которого можно провести методом индукции. В пределе при г —> сю сумма в (2.3.15) является субдоминантной и
bt К при г сю,
где К - константа, значение которой, приближенно равное —19,97, определяется из (2.3.15) численно. Начиная с некоторого номера го, остаток ряда (2.3.14) асимптотически представляется в виде
^к2<о+1 к2г
О
и функция У (я), таким образом, имеет полюсы в точках к = ±1:
К к
(2.3.16)
Из (2.3.16) и (2.3.9) следует
(2.3.17)(2.3.17)~ К ехр(-7г/Уб)
(2.3.17)
(2.3.17)
б k — l/Ve ’
Для вычисления обратного преобразования Фурье будем использовать составной контур в формуле (1.4.17). Использование этого контура дает асимптотику четного решения уравнения (2.3.5) - обобщенноуединенной волны. Для £ > 0, £ —>- оо неубывающий вклад в интеграл обратного преобразования Фурье (1.4.17) дается интегрированием по контуру IV Применяя теорему о вычетах, получим из (2.3.17)
у — ехр(—тг/Ve) sinу — ехр(—тг/Ve) sinС оо.С оо.(2.3.18)(2.3.18)
у — ехр(—тг/Ve) sin
у — ехр(—тг/Ve) sin
С оо.
С оо.
(2.3.18)
(2.3.18)
Асимптотика на минус бесконечности получается заменой £ на — ( в (2.3.18). Переходя к старым независимым и зависимым переменным, окончательно получим формулу (2.0.2).
Излучение резонансных волн
Перейдем в (2.0.1) к новым независимым переменным
т, g = х - Vt, V = ц.(2.3.19)
Уравнение (2.0.1) тогда перепишется в виде (т=1)
ЭиЭиЭиЭ3и9ъи
— -V —+и— +—+—= 0.2.3.20
ЭтЭ<;Э<;
Замена (2.3.19) позволяет выделить зависимость волнового поля от времени в системе координат, распространяющейся со скоростью V.
Для исследования свойств решения в удаленных областях |ж| —> оо предположим, что решение уравнения (2.3.20) в этих областях является эффективно линейным, представляя собой периодическую волну, пропорциональную ехргкх. Для бегущих волн получим
у = -А;2 + А:4.(2.3.21)
При заданных положительных значениях скорости V уравнение (2.3.21) имеет четыре решения для к. Два решения являются вещественными и отвечают колебательному поведению на бесконечности, а другие два - чисто мнимыми и отвечают убывающему и возрастающему поведению на бесконечности. Таким образом, для того чтобы получить бегущую волну, убывающую на бесконечности, необходимо удовлетворить трем условиям на плюс и трем условиям на минус
бесконечности, т.е. шести условиям. Уравнение (2.3.20), описывающее бегущие волны, является уравнением четвертого порядка. Следовательно, появление классических уединенных волн в данном случае представляется весьма маловероятным. Как мы видели, классические уединенные волны здесь замещаются обобщенно-уединенными волнами.
Из (2.3.21) видно, что резонансной периодической волне в области положительных волновых чисел соответствует волновое число
= ^(^ + аА + ^Y
Групповая скорость в точке резонанса кт вычисляется по формуле
Vgr = -^ + 5^ = 1 + ^1 + 4// + 5/z > /а = V. (2.3.22)
Ранее при вычислении асимптотики обобщенно-уединенных волн предполагалось, что эти волны представляют собой симметричные решения. Покажем, что по крайней мере для малых скоростей V = /а стационарные решения (2.3.20) (т.е. бегущие волны) с периодической асимптотикой не могут быть асимметричными (Benilov et al., 1993).
Будем рассматривать стационарное (не зависящее от времени т) решение уравнения (2.3.20) со следующими граничными условиями:
и -4 аехрг(кгх + ^),g —>+сю,
и -4 0, g -4 —сю,(2.3.23)
где а - амплитуда, а ^ - фаза. Положив в уравнении (2.3.20) du/дт = 0, домножив его на и* и проинтегрировав результат, получим при |^| —> сю (индекс внизу обозначает дифференцирование)
+ uu*ss - ^ + uu*sss - usu*ss + ^^ + к.с. = 2Ре, (2.3.24)
где к.с. обозначает комплексно сопряженные члены, а Ре - вещественная постоянная. Используя для определения Ре граничные условия (2.3.23), а также учитывая (2.3.22), получим с точностью до О(а3)
Ре =0,
Ре = у(-3fc2 + 5fc4 - У) = у (Удг - У).(2.3.25)
В силу (2.3.22) равенства (2.3.25) несовместимы. Это обстоятельство означает невозможность существования несимметричных обобщенноуединенных волн малой амплитуды (V = /а). Заметим, что второе выражение для Ре в (2.3.25) определяет эту постоянную как поток энергии асимптотической волны в системе отсчета, движущейся с фазовой
скоростью V. Очевидно, ядро 'уединенной волны, убывающее на обеих бесконечностях, в данном случае будет терять энергию за счет излучения резонансной волны, причем эта волна будет излучаться вперед в соответствии с (2.3.22). Заметим также, что в случае несимметричной волны с граничными условиями (2.3.23) амплитуда периодической составляющей при х —> +оо очевидным образом будет в два раза больше, чем в случае симметричной волны (2.0.2) .
^кет — ^Р* ch^кет — ^Р* chОценим, далее, скорость потери энергии ядром уединенной волны в процессе излучения. В пренебрежении периодической составляющей имеем из (2.3.20) выражение для ядра
^кет — ^Р* ch
^кет — ^Р* ch
(2.3.26)
Ре + P^S = ^о) = о,Ре + P^S = ^о) = о,Предположим далее, что параметр р в (2.3.26) зависит от времени т. Эта зависимость определяется из (2.3.20). Домножим это уравнение на и и проинтегрируем от — сю до др ^ 1:
Ре + P^S = ^о) = о,
Ре + P^S = ^о) = о,
(2.3.27)
др 2 — о о-Г" + о л/М^О71" ехР ат одр 2 — о о-Г" + о л/М^О71" ехР ат огде ре = и2 (2 - плотность энергии, а Р^у^ ^ Р( в (2.3.24), причем это равенство тем точнее, чем больше до. Подставляя (2.3.26) в (2.3.27) и учитывая (2.3.25) и (2.3.22), а также замечание в конце предыдущего абзаца, получим в низшем порядке по р
др 2 — о о
-Г" + о л/М^О71" ехР ат о
др 2 — о о
-Г" + о л/М^О71" ехР ат о
(2.3.28)
Из (2.3.28) видно, что амплитуда ядра уединенной волны убывает экспоненциально медленно. Последнее заключение верно, однако, лишь при малых амплитудах уединенной волны.
Устойчивость излучения
Из анализа, проведенного в п. 2.3.3, следует, что локализованное возмущение в форме ядра уединенной волны (2.3.26) должно излучать энергию в форме осциллирующих периодических волн. Для малых р амплитуда в низшем порядке равна удвоенной амплитуде периодической составляющей (2.0.2) симметричной обобщенно-уединенной волны, а время распада уединенной волны малой амплитуды экспоненциально велико. Когда же величина амплитуды уединенной волны
умеренна, амплитуда излучаемой волны достаточно велика, как показывают численные расчеты, результаты которых приведены в работах Bakholdin, Il’ichev (1996), Benilov et al. (1993). Следовательно, излучение существенным образом влияет на процесс распада локализованных возмущений и, в частности, возмущений в форме ядра уединенной волны (2.3.26).
Ильичев, Марченко (1989); Grimshaw et al. (1994) показали, что в приближении нелинейной геометрической оптики амплитуда Ф волны (не путать с Ф в (2.3.3)!)
и = бФ(Т, X) exp^],
где d = —catrkx, Т = et, X = ex и е - малый параметр, удовлетворяет нелинейному уравнению Шрёдингера
УО А уZ О Л
где
ш(к) = ш(к), А = А, ш(к) = —к3 + к5,
-25А;2 — 3
Л = 6fc(5fc2 - 1)(3 — 5&2)"(2.3.30)
Штрих в (2.3.29) обозначает дифференцирование по волновому числу к. Вывод уравнения (2.3.29) приводится в п. 2.4.2. Это уравнение при А = А поддерживает модуляционную неустойчивость (самофокусировку) периодических волн для к G Cl U Д,
11 = (V3/5,1/V5), /2 = (Уз71О,
Резонансная периодическая волна отвечает волновому числу к = 1 ^ Д U Д и поэтому является устойчивой. Процесс излучения периодических волн локализованным возмущением (2.3.26), таким образом, является квазистационарным (см. рис. 2.2). Из рис. 2.2 видно, что при умеренных значениях амплитуды ядра уединенной волны амплитуда излучаемой волны достаточно велика.
В общем случае обратимой системы, где классические уединенные волны замещаются обобщенно-уединенными волнами, распад локализованных возмущений на уединенные волны отсутствует и вместо этого следует ожидать, что локализованные возмущения должны излучать резонансную периодическую волну. Процесс распространения этой волны в случае малых амплитуд описывается уравнением (2.3.29) со своим ш(к) и А. При этом, если излучаемая волна неустойчива, то модуляционная неустойчивость будет влиять на процесс излучения в случае, когда упомянутая неустойчивость является абсолютной в системе отсчета, движущейся со скоростью излучающего
Рис. 2.2. Результаты численных расчетов эволюции ядра уединенной волны (2.3.26), р = 0,1.
ядра уединенной волны. Если же неустойчивость конвективна в указанной системе отсчета, то она не оказывает влияния на излучение на поздних стадиях и процесс излучения можно рассматривать как квазистационарный.
Далее будет показано, что модуляционная неустойчивость всегда является конвективной в системе отсчета, распространяющейся со скоростью излучающего ядра уединенной волны, если групповая скорость излучаемой волны конечным образом отличается от ее фазовой скорости.
Производя в (2.3.29) замену Ф —> Ф/б, получим
(2.=.3i)
Решения (2.3.31) имеют амплитуду порядка не ниже б. Рассмотрим вопрос об устойчивости однородного периодического решения (2.3.31)
Ф = cig exp [—Ad^] ,
где do - постоянная порядка не ниже е. В новых вещественных переменных Ф = aexptjcp) уравнение Шрёдингера принимает вид следующей системы (Карпман, 1973):
Эф 'МхЭф ш (к)Э2ф ш (к) Э2а 2
fc -г + У ; - —+ Да2 = о,
Эt Эх 2 Эх2 2а Эх2
^+ш\к)^+ш^Ь^(2.3.32)
otохox \ ox J
Подставляя в (2.3.32)
а = cio + 5а, ф = —Да^ + 5ф,
пренебрегая членами второго порядка и исключая 5ф, получим линейное уравнение на возмущения 5 а:
(8'/7х<9\2ши<2(к) 845а и 2 Э^ба
(2-мз)
Сделаем далее в (2.3.33) подстановку 5а = ехр(г^ж —Ш^), которая приводит к дисперсионному уравнению (записанному в системе отсчета, движущейся со скоростью V излучающего ядра)
Q(^) = (ш (к) — У)^ ± у ш" ^а^к? Н—-^4.(2.3.34)
В рассматриваемом случае самофокусировки ш"(к)/Х < 0 из (2.3.34) следует, что излучаемая ядром периодическая волна подвержена модуляционной неустойчивости или неустойчивости Бенджамина- Фейра (Benjamin, Feir, 1967). Решение задачи Коши для (2.3.33) имеет вид
5a(x,t) = j 5а(к) ехр[г(^ж — Q(^)£)] dK, (2.3.35)
где 5а(к) - преобразование Фурье начального возмущения
5а(к) = — / 5а(х, 0) ехр[—гкх^ dx.
2тг J
Оценим асимптотику интеграла в правой части (2.3.35) при больших временах t. В соответствии с методом наибыстрейшего спуска (Коп- сон, 1966), эта асимптотика определяется значением подынтегрального выражения в седловых точках ^о частоты Q(^) (dCl(fto) / dft = 0). Неустойчивость конвективна, когда Im Q(^o) < 0, и абсолютна, когда Im Q(^o) > 0. Из (2.3.34) имеем:
21 f 4с — е2 , е /—z —)
^0о |"2(1 \ ± "2(1 \ ^^^^ I ’
2 ( ш 2 (к) ш 2 (к)J
е = ш (к) — V, с = ш (к)а^.(2.3.36)
Из (2.3.36) следует, что к^ всегда положительна и, таким образом, все ^о,ь i = 1,2, 3,4, вещественны. Заметим, что константа с имеет порядок малости не ниже б2 и, следовательно,
е2.
— ^"2 ^^ + О(с ), % — 1, 2,
^OJ ="2/7 А+ ^(с3)’ 3 = 3,4,
ш 2 (к) ш 2е2
для всех е ^ 0. Когда е = 0, т. е. ш (к) = V, имеем
= ""йТЧб ’ г = 1’2’3’4-
При подстановке этой величины в (2.3.34) получим
/
^ (^0)"2(1 А ’
т.е. мнимая часть Q(^o) либо положительна, либо отрицательна. Это означает, что возмущения в системе отсчета, движущейся с групповой скоростью излучаемой резонансной волны, растут со временем и в этой системе отсчета имеет место абсолютная неустойчивость. Очевидно, что неустойчивость будет также иметь абсолютный характер в системах отсчета, движущихся со скоростями, достаточно близкими к ш (к). Ядро уединенной волны движется со скоростью, находящейся в окрестности фазовой скорости V = ш^к^к излучаемой волны. Константа е конечна в случае общего положения, так как, вообще говоря, и? (к) ^ ш(к)/к. В результате имеем:
е2
± V2)(l + 0(c)), i = 1,2,
Q^Oj) — etvQ,j zztzQ^Oj) — etvQ,j zztzk w\
Q^Oj) — etvQ,j zztz
Q^Oj) — etvQ,j zztz
j 3’4"
Следовательно, Q(^o) вещественна для всех четырех седловых точек и в системе отсчета, связанной с излучающим ядром, возмущения убывают алгебраически: главный вклад в интеграл (2.3.35) дается суммой членов, пропорциональных
^фН£ко^ . = 1 2 3 4
Vt ’’ , ’ •
Уединенные волновые пакеты и самофокусировка
Форма локальных уединенных волновых пакетов
Дисперсионная кривая уравнения (2.0.1) для т = 1 имеет точку 1 : 1 резонанса (кг = г = 1/V2), т.е. на дисперсионной кривой существует точка, в которой фазовая скорость равна групповой скорости (рис. 2.1 в). В результате соответствующей бифуркации от состояния покоя ответвляется уединенный волновой пакет, распространяющийся со скоростью У, меньшей чем резонансная скорость Vo = —1/4, когда прямая ш = Vk не пересекает дисперсионную кривую ни в одной точке к / 0.
Далее будем рассматривать бегущие волны, распространяющиеся со скоростью V = Vq+/i, при малых р. Уравнение (2.2.1) в этом случае эквивалентно динамической системе (1.0.1), где
/ 0 1 0 0\
/0\
А =
0 0 10
0 0 0 1
, .4m,w) =
0■(2.4.1)
\Го 0-1 0?
\ —п2/2 + ри /
Собственными значениями матрицы А являются два двукратных мнимых корня ±гг (случай 1 : 1 резонанса). Бифуркация происходит в результате прохождения собственных значений матрицы Л(У)
/0 0\^ о/0 0\^ оо 0\о о о о о о/о 0\о о о о о о/
/0 0
\^ о
/0 0
\^ о
о 0\
о о о о о о/
о 0\
о о о о о о/
через мнимую ось. Движение собственных значений для р в окрестности нуля изображено на рис. 1.1 в: при р < 0 две пары комплексно сопряженных собственных значений находятся по обе стороны от мнимой оси; при р = 0 обе пары собственных значений выходят на мнимую ось, попарно сливаясь; при р > 0 собственные значения расходятся по мнимой оси. Возникновение уединенных волновых пакетов возможно лишь при р < 0, когда собственные значения на мнимой оси, дающие периодическую асимптотику, отсутствуют.
Произведем в (1.0.1) замену неизвестных функций
w = Аф0 + Вф^ + А* ф^ + В*фХ + Ф(р, А, В, А\В*\(2.4.2)
где Афо = гдфо, Афг = ггф1 + ф0,
( 0 \ 1 2iq \ -3g2 /( 0 \ 1 2iq \ -3g2 /
( 0 \ 1 2iq \ -3g2 /
( 0 \ 1 2iq \ -3g2 /
Ф(0, А, В, А*, В*) — (Ф2000А2 + к.с.) + Фцоо|А|2 +
+ (Ф101()АВ + К.С.) + (Ф0110А*В + к.с.) + • • •.
Компоненты нелинейной вектор-функции Ф будем определять из условия, что уравнения на А и В имеют вид квазинормальной формы уравнений (1.0.1)+ (2.4.1), которая в случае 1 : 1 резонанса дается уравнениями (1.3.20). Далее будем полагать р < 0.
Уравнения (1.3.20) приближают искомую систему (1.0.1) + (2.4.1) с точностью до (|А|П + |В|П) для любого фиксированного п. Для нахождения коэффициентов pi, qi, ps, qs последуем методу, используемому в работе Dias, looss (1993). Коэффициенты pi, q^ легко получить, усмотрев, что собственные значения линеаризованной правой части (1.0.1)+ (2.4.1) выражаются по формуле
ст = i{q + pip) ± V<hM-
Подставляя это выражение в уравнение det |A(V) — ст!|=0, где I - единичная матрица, и разлагая результат подстановки в ряд по р, получим
11
Р1 = 4?
Продифференцируем далее (2.4.2) по ж и положим р = 0:
w = Ар0 + В^ + А>* + В>* + Ф(0, А, В, А* В*).(2.4.3)
Заменив А и В из уравнений (1.3.20) и сравнивая (1.0.1) + (2.4.1) и (2.4.3), получим выражения для р^ и q^ (Dias, looss 1993):
qs = —(^^(^o, Фиоо) + 2У(ф^ Фзооо), '01)?
4гр2 = (2^(^l, Фиоо) + 2У(ф^ Фюю) +
4-2У(фо, Фоно) + 2У(ф^ Ф2000) + 2У(фо, Фюо1)5 ф1) +
+3(2Я^о,Ф1юо) + 2Я^,Ф2ооо),0,(2.4.4)
где N(-<) - векторные коэффициенты в разложении ^(0, w) при соответствующих кубичных произведениях А, В, А* В*. Так, TV^o, Фиоо) - коэффициент при А|А|2, ^(^l,Ф2ooo) - при А2В* и т. д; (•, •) обозначает скалярное произведение в четырехмерном комплексном пространстве (Г4, А*фт = —гтф\ А*ф° = — гтф° + ф\
/ ° А \-Ш2тф)/ ° А \-Ш2тф)
/ ° А \-Ш2тф)
/ ° А \-Ш2тф)
постоянные векторы Фцоо, Фюю, Фоно, Ф1001, Ф2000 (Ф1001 = Фоно) определяются из соотношений
ЛФ2000 + ^(^о, ^о) = 2ггФ2ооо?
ЛФцоо + 27V(^o, <^о) = О,
ЛФоио + 27V(</?5 9 <^1) = Ф1100,
ЛФндо + 2N((pOl y?i) = 2ггФю1о + 2Ф2ооо, (2.4.5)
и = А + А* + Ф^ооо(А2 + А*2) + Ф^ооЩ2 + ($юю^ + к.с) +
+ (ФоцОЛ*В + к.с.) + чл. высш. пор.(2.4.6)
Верхний индекс в (2.4.6) означает первую компоненту соответствующих векторов. Из (2.4.5) следует
Ф2000 —Ф2000 —/ -2/9 \—4гг/94/9\ 8гг/9 // -2/9 \—4гг/94/9\ 8гг/9 /Фцоо —Фцоо —м\ооX о /м\ооX о /Фоно — Ф1001 —Фоно — Ф1001 —Фюю —Фюю —/—64гг/27\52/27 |80гг/27"\ 56/27 //—64гг/27\52/27 |80гг/27"\ 56/27 /(2.4.7)(2.4.7)
Ф2000 —
Ф2000 —
/ -2/9 \
—4гг/94/9\ 8гг/9 /
/ -2/9 \
—4гг/94/9\ 8гг/9 /
Фцоо —
Фцоо —
м\
о
о
X о /
м\
о
о
X о /
Фоно — Ф1001 —
Фоно — Ф1001 —
Фюю —
Фюю —
/—64гг/27\
52/27 |
80гг/27"
\ 56/27 /
/—64гг/27\
52/27 |
80гг/27"
\ 56/27 /
(2.4.7)
(2.4.7)
Подставляя (2.4.7) в (2.4.4), получим
д2 = 19/9, р2 = -383г/108.
Производя замену
А = ро ехрг(гж + #о), В = pi ехрг(гж + #1),(2.4.8)
получим из (1.3.20):
Ро = Pi,
(2.4.9)(2.4.9)Pi = poQ(p,Po,O), 9о = R(p,To,O).
(2.4.9)
(2.4.9)
Из (2.4.9) следует, что в низшем приближении по р,
Ро = ^V^PQiWr^ ch-1 (V91M^),
Pi = ^qipV2^)-1 sh(Vq^px) di"2(Vq^px),
60 = pipx + 2 — VqiP Щк91Рх)-(2.4.10)
92
V V
Рис. 2.3. Профиль уединенного волнового пакета для // = —0,005.
Характерный профиль уединенного волнового пакета, где и дается выражениями (2.4.6) и (2.4.7), а Л и В связаны с (2.4.10) по формулам (2.4.8), приведен на рис. 2.4.
В работах Buffoni et al. (1996), Champneys, Toland (1993), Zufiria (1987) на основе применения численных методов и теории динамических систем установлено, что для умеренных амплитуд уединенных волновых пакетов рассмотренного здесь семейства нарушается единственность и для одного значения скорости может существовать бесконечное множество, вообще говоря, несимметричных решений уравнения (2.0.1).
В заключение сделаем несколько замечаний о взаимодействии уединенных волновых пакетов уравнения (2.0.1). Взаимодействие этих волн малой и почти одинаковой амплитуд может быть описано при помощи асимптотической процедуры, предложенной в работе Горшкова и др. (1976). В рамках предположения о значительной удаленности взаимодействующих волн решение уравнения (2.0.1) ищется в асимптотической форме
^ж, £) = Ui (Ad) + U2 (А2) + s[Ai (Ai) + А 2 (А2) + се(ж, ^)] + О (в2),
(2.4.11)
где Ui, U2 ~ уединенные волновые пакеты, Xi = х — Jf Vi(t) dr, А2 = х — J1 V2(t) dr, т = et, е - малый параметр, характеризующий взаимодействие, a a(x,t) - излучаемый при взаимодействии волновой пакет, вкладом которого в дальнейшем пренебрегаем. В силу малости разницы амплитуд взаимодействующих волн, а также их удаленности в начале взаимодействия, с требуемой точностью можно положить А2 = Xi — I, Ui(А) = U2(X) = U(X), где I - расстояние между максимумами уединенных волновых пакетов. После подстановки (2.4.11) в уравнение (2.0.1), получающиеся в нулевом приближении по е урав-
нения удовлетворяются тождественно. В первом приближении возникает неоднородное уравнение на возмущение Ai (или Д2). Условие разрешимости этого уравнения имеет вид
^ / U2dXv=^ [ U2(Xi)U(Xi — l)dXi. (2.4.12)
Прямым следствием (2.4.12) является уравнение движения материальной точки в потенциальном поле сил, асимптотически описывающее взаимодействие уединенных волн:
d4 _ dV(l)
dp - dT’
где V(I) - потенциал взаимодействия, выражение для которого получается из (2.4.6) и (2.4.7) (см. Bakholdin, Il’ichev, 1996). Взаимодействие характеризуется тенденцией к отталкиванию волн одинаковой полярности (одинаковые знаки в выражении для ро в (2.4.10)) и притяжению волн разной полярности. Эта тенденция к притяжению может оказаться причиной формирования связанных состояний, осциллирующих вокруг общего центра. Отметим, что по крайней мере уединенные волновые пакеты понижения уровня (знак минус в выражении для ро в (2.4.10)) являются динамически устойчивыми (Dias, Kuznetsov, 2000).
В случае умеренных амплитуд Malomed, Vanden-Broeck (1996) провели численное исследование взаимодействия уединенных волн пакетов разной формы (выделено 4 типа таких волн). Было показано, что после взаимодействия некоторые из этих волн снова приобретают свою первоначальную форму, а некоторые распадаются на несколько уединенных волновых пакетов различных типов.
Модуляционная неустойчивость
Будем искать асимптотическое решение уравнения (2.0.1) в виде
и = бФ(Т, X) ехрк + б2Ф1(Т, X) ехр2к + к.с. + б2Фо(Т, X) + О(е3),
(2.4.13)
где
q = k(x-Vit), Vi=V-e\ T = et, X = ex,
е - малый параметр, Ф(Т, Х\ Ф1 (Г, X) - меделенно меняющиеся комплексные амплитуды, Фо - вещественная функция, описывающая средний поток и V - критическая скорость. Подставим (2.4.13) в (2.0.1)
и будем собирать члены, пропорциональные ехрк. В низшем порядке по б получим дисперсионное уравнение
V =
(2.4.14)(2.4.14)Приравнивая к нулю члены порядка €2, получим эф „,nxa» _., ат + ш^эх ~0^’
(2.4.14)
(2.4.14)
где (2) = Vk и штрих обозначает дифференцирование по волновому числу к. Равенство (2.4.14) указывает на целесообразность замены переменных
X X -ш'(к)Т, т = еТ,
которую будем использовать далее, сохраняя обозначение X за комбинацией X — ш'(к)Т.
Приравнивая к нулю члены при б3, получим
(ОФ„ (02Ф(02Ф~
ik— - А:2Ф + (-6А;2 + 15А;4) — + —— - А;2(Ф*Фт + ФФ0) = 0. отоХ2 оТоХ
(2.4.15)
Собирая члены при е4, приходим к уравнению для среднего потока:
(2.4.16)(2.4.16)д2Ф<92,9 „
(2.4.16)
(2.4.16)
1Ф 2 = 0.
атахах21 1
Уравнение (2.4.16) с требуемой точностью эквивалентно
-“'<‘>Й1 + ^1ф12 = 0--“'<‘>Й1 + ^1ф12 = 0-(2.4.17)(2.4.17)
-“'<‘>Й1 + ^1ф12 = 0-
-“'<‘>Й1 + ^1ф12 = 0-
(2.4.17)
(2.4.17)
так как
атах ш ах2 +
Интегрируя (2.4.17) два раза и полагая константы интегрирования равными нулю, получим выражение для среднего потока:
(2.4.18)(2.4.18)ф“=^|ф|2-
(2.4.18)
(2.4.18)
Приравнивая к нулю коэффициент при е2 ехр(2к), получим выражение для амплитуды второй гармоники:
ф2П
1 - ~Т^’
гдегде
где
где
6(1-5А;2)'
Подставляя далее (2.4.19) в (2.4.15) и используя (2.4.18), окончательно получим
.дФ 7 тг-к^ Г от.дФ 7 тг-к^ Г отш (к) 32Ф2 ах2ш (к) 32Ф2 ах2- Д|Ф|2Ф = о,- Д|Ф|2Ф = о,(2.4.20)(2.4.20)
.дФ 7 т
г-к^ Г от
.дФ 7 т
г-к^ Г от
ш (к) 32Ф
2 ах2
ш (к) 32Ф
2 ах2
- Д|Ф|2Ф = о,
- Д|Ф|2Ф = о,
(2.4.20)
(2.4.20)
где выражения для Д и ш(к) даются (2.3.30). Стационарные вещественные решения (2.4.20) удовлетворяют уравнению
ш" (к) д2Ф х ош" (к) д2Ф х о(2-4-21)(2-4-21)
ш" (к) д2Ф х о
ш" (к) д2Ф х о
(2-4-21)
(2-4-21)
Сравнивая уравнение (2.4.21) при к = г = 1/V2 с уравнением (1.4.22), получим // = —б2, Qi = —2r/cD (г), Q2 = —2Д(г)/с5 (г). Из этих формул следует, что уединенные волновые пакеты (^2 > 0) в окрестности точки 1:1 резонанса кг = г возникают как продукт модуляционной неустойчивости, которая имеет место при Д(А;)с5 (к) < 0.
В работе Grimshaw et al. (1994) выведено уравнение Шрёдингера с учетом дисперсионных и нелинейных членов более высокого порядка малости по б. Солитоноподобные решения этого уравнения даются выражением (2.4.6), где А и В определяются из (2.4.8) и (2.4.10).
Длинные волны в двухслойной жидкости
В настоящей главе будет рассматриваться гидромеханическая система, состоящая из двух несмешивающихся тяжелых идеальных несжимаемых жидкостей различной плотности с горизонтальной границей раздела. Более легкая жидкость находится сверху, нижняя жидкость ограничена снизу твердым дном, а верхняя жидкость имеет свободную поверхность. На свободной поверхности и на поверхности раздела могут распространяться два типа уединенных волн: классические уединенные волны и обобщенно-уединенные волны, причем классические уединенные волны двигаются быстрее, чем обобщенноуединенные. Возникновение обобщенно-уединенных волн в данной физической ситуации объясняется тем обстоятельством, что короткие волны могут обладать той же фазовой скоростью, что и бесконечно длинные волны. Резонансное взаимодействие между длинными и короткими волнами на нелинейном уровне и приводит к замещению уединенных волн обобщенно-уединенными.
Модель двухслойной жидкости будет рассматриваться в пределе длинных волн. Описание бегущих волн на свободной поверхности и поверхности, разделяющей жидкости, сводится к системе обыкновенных дифференциальных уравнений при помощи асимптотического метода многих масштабов (Марченко, Сибгатуллин, 1990), который в данном случае учитывает возможный резонанс между короткими и длинными волнами, отвечающими различным модам дисперсионного соотношения. Построены решения этой системы модельных уравнений, описывающие классические и обобщенно-уединенные волны, а также их естественные модификации: 'уединенные волны с рябью и фронты. Среди последних находятся фронты как с монотонной, так и с осциллирующей структурой на бесконечности.
Ранее в качестве модельных уравнений для описания длинных волн использовались уравнения КдВ, исключающие резонанс длинной и короткой волн (см., например, Абловиц, Сигур, 1987), хотя и изучались системы уравнений, описывающие распространение
длинных внутренних волн, резонансно связанных с пакетами коротких поверхностных волн, групповая (а не фазовая!) скорость которых совпадает со скоростью внутренних волн (см., например, Djordjevic, Redekopp, 1977; Ma, Redekopp, 1979). Peters, Stoker (1960) использовали классический метод возмущений для вывода уравнения КдВ из уравнений Эйлера в двухслойной жидкости со свободной поверхностью и исследовали его солитонные решения. Аналогичный подход использован Kakutani, Yamazaki (1978).
Известно, что обобщенно-уединенные волны имеют место также в непрерывно стратифицированной жидкости даже при отсутствии поверхностного натяжения. Akylas, Grimshaw (1992) получили обобщенно-уединенные волны при помощи процедуры сингулярных возмущений уравнений жидкости с непрерывной стратификацией. Vanden-Broeck, Turner (1992) использовали численные методы для изучения длинных волн в канале, ограниченном горизонтальными стенками, в жидкости, состоящей из двух слоев, разделеных областью, где плотность меняется непрерывно. Sun, Shen (1993) являются, по- видимому, первыми авторами, которые представили доказательство существования обобщенно-уединенных волн в двухслойной жидкости при отсутствии капиллярных эффектов на границе раздела. Численные результаты для полной системы уравнений представлены в работе Moni, King (1995) для классических уединенных волн и в работе Michallet, Dias (1999) для обобщенно-уединенных волн. Экспериментальное изучение внутренних уединенных волн предпринято в работах Michallet, Barthelemy (1998), Walker (1973).
Когда отношение глубин имеет критическое значение, равное единице, коэффициент при квадратичной нелинейности в уравнениях исчезает и кубическая нелинейность становится преобладающей (см. Kakutani, Yamazaki, 1978). В настоящей главе будет показано, что используемые модельные уравнения допускают решения в форме обобщенных фронтов с осциллирующей асимптотикой на бесконечности в окрестности критического значения отношения глубин.
В параграфе 3.1 настоящей главы формулируется задача и выводится модельное уравнение, в параграфе 3.2 изучаются классические и обобщенно-уединенные волны и уединенные волны с рябью, в параграфе 3.3 рассматриваются обобщенные фронты, представляющие собой в некотором смысле предельную конфигурацию для обобщенноуединенных волн, параграф 3.4 посвящен обсуждению.
Вывод основных уравнений
Рассмотрим устойчивую конфигурацию, когда слой более легкой жидкости конечной глубины находится над слоем более тяжелой жидкости. Тяжелая жидкость ограничена снизу твердым горизонтальным
Таблица 3.1. Физические параметры и их размерность
Символ
Физическая величина
Размерность
с
скорость волны
mm-1
9
гравитационное ускорение
hj
глубина слоя у
7 = 1: нижний слой, 7=2: верхний слой
Pj
плотность жидкости в слое 7
VMW3
к
волновое число
И"1
волновая частота
МГ1
у)
физические координаты
№
компоненты скорости в слое 7
mm-1
ФзМ
потенциал скорости: ^йуй^ = ^фд
mw1
41 СМ)
профиль пов. раздела
m
42 (ж, f)
профиль св. поверхности
m
А
характерная длина волны
m
a
характерная амплитуда волны
m
дном. Более легкая жидкость ограничена сверху свободной поверхностью. Все величины, относящиеся к верхнему слою жидкости, будут иметь индекс 2, а к нижнему - 1. Все физические параметры, так же как и безразмерные величины, для удобства помещены в приведенных таблицах 3.1 и 3.2. Ось ж совпадает с покоящейся поверхностью раздела. Ось у является вертикальной.
Уравнения, описывающие плоские течения в двухслойной жидкости, имеют вид
0 =
^42_
dt Эх Эх
8ф2- к
-7—, у = h-
Эу'
2+42,
0 =
Эф2 1
dt 2
/ Эф2^ \ Эх ,
2/я - \ 21
\(Эф2\
'\9у )
+ 942, У = h2+ 42
0 =
^41^1% _
di Эх Эх
9Фг - . о - ~ —, г = 1,2, у = т,
О =
а2 а2
аж2 + а^2
Фг)
г = 1, 2, -hi < у < h2 + 7)2,
1+ 5Й1+ 5Й221"2№1"2№+ (pi - P2)gm,+ (pi - P2)gm,У = Ш,У = Ш,
1
+ 5Й
1
+ 5Й
2
2
1
"2№
1
"2№
+ (pi - P2)gm,
+ (pi - P2)gm,
У = Ш,
У = Ш,
dyiЭф2
О — Pi -^7- - Р2 -777 otot
9у9у(3.1.1)
9у
9у
Дисперсионное уравнение
(1 + R th toith kh^c4 — т (th kh^ + th kh^(? +
+ ^(1 - ^) th/^ith/^ = 0 (3.1.2)
состоит из двух ветвей, отвечающих так называемым поверхностной и внутренней модам.
Заметим, что в пределе при R —> 0 дисперсионное уравнение (3.1.2) переходит в уравнение
(с2 — ythkhA (с2 — ytiakhpA = 0.
\ к ) \ к /
В безразмерной форме уравнение (3.1.2) принимает вид
(1 + RthKthКН)С4 - -l(th/C + th/Cff)C2 +
+ -Д1-Я)111ЯЙ1ЯЯ = 0. (3.1.3)
К2
Предел при К —> 0 дает соотношение на скорости бесконечно длинных волн С+ (быстрые) и С_ (медленные):
Cl - (1 + ЩС2^ + Н(1 - R) = 0.(3.1.4)
Больший корень уравнения (3.1.4), С+, удовлетворяет неравенствам С^_ > 1 и С^_ > Н, в то время как меньший корень, С_, удовлетворяет неравенствам С2! < 1 — R и С2 < Н(1 — R). Внутренняя мода, отвечающая скорости С_, находится в резонансе с поверхностной модой, соответствующей волновому числу Kresi принадлежащему ветви дисперсионного соотношения, начинающейся в С+. Таким образом, следует ожидать, что медленные уединенные волны являются обобщенно-уединенными. Michallet, Dias (1999) рассмотрели различные конфигурации для проверки возможности реализации этого резонанса для реальных физических условий.
В пределе при R —> 0 скорости принимают значения
с2 = Н, С^ = 1,
а в пределе при R —> 1:
= о, С^ = 1 + Я.
В океанических условиях (Я н- 1) резонансное волновое число Kres довольно велико, но соответствующая длина волны вполне реальна (порядка одного метра).
Таблица 3.2. Безразмерные величины.
Символ
Определение
Безразмерная величина
К
K-res
П
Я
Hj
R
С2
X
С
У (
41 СМ)
41 СМ)
42 (ж, t)
Uj
Фз
khi
kThi
hi
hj hi-\-h2 P2
ghi
I
(ж — c£)(l —/hi
To
ikgM1,2l^
hi
tn
tn hi
Ujigh^-1/2
ФАдМ"1/2/(gaX)
волновое число
резонансное волновое число волновая частота отношение глубин относительная глубина слоя j отношение плотностей квадрат числа Фруда для нижнего слоя
горизонтальная координата горизонтальная координата в движущейся системе после (3.1.12)
вертикальная координата время
профиль поверхности раздела до (3.1.12)
профиль поверхности раздела после (3.1.12)
профиль свободной поверхности до (3.1.12)
профиль свободной поверхности после (3.1.12)
горизонтальнаяскорость
в слое j после (3.1.12) потенциал
Дисперсионные кривые, соответствующие дисперсионному уравнению полной задачи и дисперсионному уравнению для полученных здесь уравнений (см. следующий параграф) показаны на рис. 3.1 для двух наборов значений параметров.
Рис. 3.1. Дисперсионные кривые (на плоскости фазовая скорость - волновое число) для полной задачи (пунктирная линия) и для рассматриваемой модели (сплошная линия) для двух наборов значений параметров. При R = 0,8, Н = 0,4, резонансное волновое число Kres = 16,8 для полной задачи и Kres = 3,1 для модели. При R = 0,1, Н = 1, соответственно, Kres = 1,4 и Kres = 1,7.
Область применимости модели обсуждается в параграфе 3.4. Следует подчеркнуть, что в рассматриваемом случае дисперсионное уравнение отличается от дисперсионного уравнения второго порядка, которое может быть получено для малых К разложением в ряд (3.1.3):
(1 + RK2H^C4 - [1 + Я - |я2(1 + Н3)^ С2 +
+(1 - R)H [1 - |я2(1 + Я2)] = 0. (3.1.5)
При К —> Too в (3.1.5) фазовые скорости удовлетворяют соотношению
RHC4 + |(1 + Я3)С2 - |(1 - Я)Я(1 + Я2) = 0.
Можно показать, что скорость С (К -т ею) верхней ветви (3.1.5) больше скорости С_ для медленных уединенных волн. Так как С монотонно убывает с ростом К для обеих ветвей (3.1.5), то это уравнение не заключает в себе резонанса между медленными уединенными и быстрыми периодическими волнами.
Уравнения (3.1.1), переписанные в безразмерных переменных, принимают вид
О =О =/ д2 д2 \\ dx2dy2 ) *‘/ д2 д2 \\ dx2dy2 ) *‘г = 1,2, — 1 < у < Н + ер2,г = 1,2, — 1 < у < Н + ер2,dt Е Эх Эхdt Е Эх Эх1 dy?2е dy ’1 dy?2е dy ’У = Н + ег)2,У = Н + ег)2,0^2£Э1 + 20^2£Э1 + 2У = Н + ЕГ)2,У = Н + ЕГ)2,9тц дтц 9<pjdt Е dx dx9тц дтц 9<pjdt Е dx dxг = 1,2, у = epi,г = 1,2, у = epi,О=^-Д^ + dt dtО=^-Д^ + dt dt+ (1-^1,+ (1-^1,eRTeRTУ = ещ,У = ещ,
О =
О =
/ д2 д2 \
\ dx2dy2 ) *‘
/ д2 д2 \
\ dx2dy2 ) *‘
г = 1,2, — 1 < у < Н + ер2,
г = 1,2, — 1 < у < Н + ер2,
dt Е Эх Эх
dt Е Эх Эх
1 dy?2
е dy ’
1 dy?2
е dy ’
У = Н + ег)2,
У = Н + ег)2,
0^2£
Э1 + 2
0^2£
Э1 + 2
У = Н + ЕГ)2,
У = Н + ЕГ)2,
9тц дтц 9<pjdt Е dx dx
9тц дтц 9<pjdt Е dx dx
г = 1,2, у = epi,
г = 1,2, у = epi,
О=^-Д^ + dt dt
О=^-Д^ + dt dt
+ (1-^1,
+ (1-^1,
eR
T
eR
T
У = ещ,
У = ещ,
(3.1.6)(3.1.6)
(3.1.6)
(3.1.6)
dyi
9у ’
где
являются стандартными малыми параметрами в длинноволновых теориях. Эти параметры соответственно отвечают за дисперсионные и нелинейные эффекты. Предполагается, что
6 С 1 .
Разумеется, эти предположения играют определяющую роль в данном анализе. Их справедливость будет обсуждаться в параграфе 3.4. В частности, будет отмечаться, что хотя волновое число krh\ периодической волны, находящейся в резонансе с длинной волной, является величиной порядка единицы (см. рис. 3.1), модель все равно имеет смысл, по крайней мере, качественно.
Для вывода модельных уравнений для длинных волн малой амплитуды используем разложение потенциалов в точке у = 0:
_ о , о , У2 о , У3 о , У4 о , У5 о ,
+ ' Уг + y{Pi,y + 2 ^буу + g ^Уууу + 24Уг,уууу 120^’УУУУУ
(3.1.7)
Здесь нижний индекс у обозначает дифференцирование по этой переменной. Из первого уравнения в (3.1.6) следуют соотношения
Фг^уу ^i^xxt ^i^yyy ^^г^ i
^i,yyyy ('Pi,xxxxi ^i,yyyyy ^ \SPi,y) хххх ? ^ 1,2.
Используя последнее уравнение в (3.1.6) (граничное условие на дне), (3.1.7) и производя разложение в ряд по б с сохранением членов до порядка б3, получим следующее выражение для у^:
(3.1.8)(3.1.8)о _ _ о _ е о
(3.1.8)
(3.1.8)
^1,уе(^1,жж "^Ухххх *
Затем, используя (3.1.7), второе уравнение в (3.1.6) и применяя аналогичную процедуру, получим для у?^ с сохранением членов порядка б, бв и б2:
^2,у = e%,t + He^iM + eetwl^ +^2,у = e%,t + He^iM + eetwl^ +€2Я2€2Я3 о
^2,у = e%,t + He^iM + eetwl^ +
^2,у = e%,t + He^iM + eetwl^ +
2 Л^^хх н з ^2,хххх *
(3.1.9)
Далее, подставляя соотношения (3.1.8) и (3.1.9) в третье, четвертое (для г = 1,2) и пятое уравнения в (3.1.6) и пренебрегая членами порядка о(б,е), получим (опуская индекс °)
б
0 = Луг + елухфух + епт,хх + ^Ухх “Ь ^^1,ХХХХ )
о = Л^Л — Л1,t + ЕТ^х^^х + ^2^2,XX + ^^2,XX — ^1,X^2,X ~
Н2Н3
—ЕЛТ^^хх + €-^-772, txx + Е-^-ф2,хххх ?
Н2Е
о = <^2,t + еНЛ2,11 + Е — ф2,1хх + 2^1,х + Л2 ,
о = Rv^t ~ <pi,t + ^(^2,ж)2 - 1(^1,ж)2 - (1 - Wh •(3.1.10)
Производя замену переменных £ = х — Ct, интегрируя первое и второе уравнения в (3.1.10) и исключая г); из последних двух уравнений, получим с точностью до членов порядка O(e,s2):
ч( с’И*1 = 3 (ггкч( с’И*1 = 3 (ггк— 1 U1 —— 1 U1 —ЗС2ЯЗС2Я1-Я1-ЯU2 -U2 -922(l-R)eCU1922(l-R)eCU1
ч( с’
И*1 = 3 (ггк
ч( с’
И*1 = 3 (ггк
— 1 U1 —
— 1 U1 —
ЗС2Я
ЗС2Я
1-Я
1-Я
U2 -
U2 -
92
2(l-R)eCU1
92
2(l-R)eCU1
^R2(1 " Я)^R2(1 " Я)2 ^1 ^22 ^1 ^232 ЗДЗе2 з
^R2(1 " Я)
^R2(1 " Я)
2 ^1 ^2
2 ^1 ^2
^^fjCR"'i+T^eC’w
-1 Г б2 ( С2 \1^2
бМ2 =^-^еСи,-
-2^£Си"Е^£Ст + 2(l^Rj^ - 2(1^)^^} ’
(3.1.11)
где точки обозначают дифференцирование по £, щ = ф^ - соответствующие скорости и
к = Н(С4 - НС2 + Я2/3) > 0.
Профили поверхности раздела и свободной поверхности с точностью до рассматриваемого порядка по е и е определяются следующим образом:
СНСе 2 еН 2
т - (1 - Я)М1 “ (1 — Д)М2 “ 2(1-Я)U1 + 2(1 - Я) “2 ’
7/2 = Сн2 - еСН (с2 - ^ й2 - |и2 .(3.1.12)
Производя в (3.1.11) замену переменных
— V(1 R^C ^п , ^г,п — £^1 , ^г^тг — ^Лг ,^ — 1, 2,
и опуская индекс “п”, окончательно получим
933
iii = —cki(67)ui + 0(2(67)1/2 — —67u|2^"^^2^^Ни±и2 Ч- 2^1 —
й2 = 7i(C)ux + ^2(С)и2 + фи2 - ^-Си2 + —U1U2 + фи2 - фи1и2,
ах(С) =-3(С2 - 1 + Я), а2(С) = -3RC2,
71(C) = - — , 72(C) = C2"W"R\ (зллз)
Далее будут использованы обозначения
афС^)=аг, уфС±)=л, г = 1,2.
Заметим, что ai(C_) > 0, 71 (С_) < 0, а^(С_) < 0, 72(6?-) < 0, в то время как ск1(67+) < 0, 71 (С+) < 0, «2(6?+) < 0, 72(67+) > 0.
Напомним, что эквивалентное (3.1.13) уравнение в физических переменных получается заменой
^г = Vghy ui х — ct = hiVl — Н$,, gi — hirji. (3.1.14)
Бегущие волны
Рассмотрим решения системы уравнений (3.1.13) типа бегущих волн для 67 = 67± + //, где р, - малое положительное число. Эта система
уравнений может быть записана в форме обратимой динамической системы (1.0.1), где w = (ni, 1/2,й1,П2), А = Л(С±),
/0010\
0001
-аДСТ,аДС)00'
\ 71(C)72(C)00/
Обратимость здесь означает, что множество решений должно содержать четные функции ну и н^.
Собственные значения а матрицы А(С) удовлетворяют дисперсионному уравнению
ст4 + (ai(C) - 7г(С))<72 - 7i(C)a2(C) - 72 (<?>(<?) = 0. (3.2.1)
Это дисперсионное уравнение отличается от дисперсионного уравнения для системы уравнений (3.1.10), причем отличие проистекает из того, что рассматриваемые здесь модельные уравнения получаются из (3.1.10) исключением тр и 772, которое производится асимптотически в длинноволновом пределе. Поэтому линейная часть (3.1.10) подвергается дальнейшим возмущениям. Та часть, которая является общей для рассматриваемой модели и (3.1.10), представляет собой “длинноволновую часть” дисперсионного уравнения (3.1.3) полной модели (с точностью до членов второго порядка по волновому числу). Сравнительное положение дисперсионных кривых (3.2.1) и (3.1.3) изображено на рис. 3.1. Разумеется, совпадение является хорошим для малых значений а = гК (см. обсуждение в параграфе 3.4).
Положив 71 «2 +72^1 равным нулю, получим уравнение (3.1.4) для С±. Коэффициент «1 — 72 при ст2 положителен при С = С_ и отрицателен при С = С^. Следовательно, когда С = С+, уравнение (3.2.1) имеет корнем на мнимой оси ноль кратности два, в то время как при С = С_ - четыре корня: двойной ноль и ±ig, q > 0.
Легко проверить, что для С = С+ + /1 с /1 > 0 имеют место два действительных собственных значения, возникающих из нуля при р = 0, а другие два собственных значения также вещественны. Для С = С_ + р и р > 0 из нуля при р = 0 также возникают два собственных значения, а другая пара остается мнимой. Следовательно, следует ожидать появления решений уравнения (3.1.13) типа классической уединенной волны в окрестности С+ и обобщенно-уединенной волны - в окрестности of С_. Уединенные и обобщенно-уединенные волны могут существовать при р > 0.
В настоящем параграфе будет рассмотрен случай, когда квадратичная нелинейность доминирует над кубичной нелинейностью, и, вследствии этого, в (3.1.13) кубичная нелинейность опускается. Будут рассматриваться также уединенные волны с рябью, которые получаются из обобщенно-уединенных волн продолжением по одному из
параметров. Амплитуда периодической составляющей этих волн на бесконечности имеет алгебраический порядок по р.
Обобщенно-уединенные волны
В настоящем пункте будет предполагаться, что фазовая скорость волны мало превосходит С_ : С = С_ + р с р > 0. Сделаем замену
w — 0-офо “h О-1Ф1 “h dyфy + Q—ф— , dy — d*_ , фу — ф*_ ,
где Афо = 0, Афт = фо, Афу = iqфy. Собственные и присоединенный векторы А даются выражениями (q2 = оц — 72)
Фо —Фо —/-72/711 0\0/-72/711 0\0/ -«1/71 \
Фо —
Фо —
/-72/71
1 0
\0
/-72/71
1 0
\0
1
-iqar/^
\ iq )
Собственные и присоединенный векторы транспонированной матри
цы А* имеют вид
^ = 492^ = 492^ = 492^ = 492МЛ«1оX 0 /МЛ«1оX 0 //719\729?71V72 //719\729?71V72 /
^ = 4
92
^ = 4
92
^ = 4
92
^ = 4
92
МЛ
«1оX 0 /
МЛ
«1оX 0 /
/719\
729?71
V72 /
/719\
729?71
V72 /
Неизвестные скорости даются следующими выражениями:
^2 — do + dy + d—^2 — do + dy + d—(3.2.2)(3.2.2)_72«1. X
^2 — do + dy + d—
^2 — do + dy + d—
(3.2.2)
(3.2.2)
Hi —do+ d_) 1
и, в низшем порядке по р,
СС1-R1-Rdo ,do ,772 = Са0 .772 = Са0 .
С
С
1-R
1-R
do ,
do ,
772 = Са0 .
772 = Са0 .
Нелинейная вектор-функция Т может быть представлена в виде
7 — J"s(do) “Ь 7^(dO) dy, d_) ,
где
/0\
о[а2(С) + 72/71 «1(C)]«о + С_[3/2Я - 9/27^7^ - 3_Й72/71]ао
\ (72(C) - 727i(C)/7i)a0 + С_/к[-3/2 - 72/71 + 1/2 7^/7!2]а^ /
и ТАсцу 0,0) = 0.
В новых зависимых переменных ao, a±, а±, уравнения (3.1.13) имеют вид
^0 — ^1 ,
«1 = Л1 + №,^1),
a^ = iqa^ + ifs2 + №,^+) ,
(3.2.3)(3.2.3)а- = —%qa_ - ifs2 + ^z^-Y
(3.2.3)
(3.2.3)
Полиномы с действительными коэффициентами /si = ^s^i)-, fs2 = = — i^s^^ имеют вид
/si — pdo^o A(Zq ,
/s2/s2С1Ц— Si HS2 «2С1Ц— Si HS2 «2"ДИ"^^ — r2(C)l ao +
/s2
/s2
С1Ц
— Si HS2 «2
С1Ц
— Si HS2 «2
2q3 ( [«2_
где
6(1-Я) СЦ1 + Н) -2H(1-R)
0 “ Cl СЦ1 + H2 + 3RH) - H(1 + Я) ’
9(1-Я) Cl + C2 (1 — 2Я) + Я2 — 1
“ 2C_ CIO + Я2 + 3RH) - Я(1 + Я) ’
n(C) = (72(O-2^1)\71/n(C) = (72(O-2^1)\71/C_81 = КC_81 = Кз?i72 A22727i / ’з?i72 A22727i / ’
n(C) = (72(O-2^1)
\71/
n(C) = (72(O-2^1)
\71/
C_
81 =
К
C_
81 =
К
з?i72 A
22727i / ’
з?i72 A
22727i / ’
r2(C) = a2(C) + ^ai(C), ^ = C_ (^-R - ^4 - ЗЯ^) .(3.2.4)
71^)
Можно показать, что коэффициент do = do(R^H) является всегда неотрицательным .
Используя масштабные преобразования в системе уравнений (3.2.3) (см. п. 1.4.2), получим, что do = O(/z), а^. = О(р?) и, следовательно, Тг имеет порядок выше, чем р?.
Скорости уединенных волн даются следующими выражениями:
271 Л2
(3.2.5)(3.2.5)3 pdo 1—2 V/^0 е 2\^2 = 2 ch+ °^ ) •
(3.2.5)
(3.2.5)
Профили уединенных волн имеют вид:
m = -|^ (^^) ch-^. + О(М2), 7?2 = |^Cch-2^^ + O(/z2).
Эти выражения для скоростей и профилей совпадают с соответствующими выражениями, полученными Peters, Stoker (1960). Выражения в физических переменных могут быть получены из (3.1.14). Поверхность раздела имеет форму ямы для Л > 0 и возвышения для Л < 0 и наоборот - для свободной поверхности.
Из (3.2.4) получим, что для малых 1 — R
9х/1+Я(1 - Я)
Л ~ -=у 1 — к •
2Ну/Н
Малые значения 1 — R являются типичными для стратифицированных жидкостей в океанах и озерах. При Н < 1, или Л2 < hi, поверхностная волна является волной возвышения уровня, а внутренняя волна - волной понижения уровня и наоборот - для Н > 1, или h-2 > hy. Как следует из (3.2.6), внутренняя уединенная волна является доминирующей по амплитуде для малых значений 1—7?, а именно: 771 = (1 — ТТ)1^^^) -
Выражения в (3.2.5) дают главную часть солитоноподобного решения (3.2.3). Учет членов высшего порядка в (3.2.3), алгебраического по //, не приводит к нарушению убывания этого решения. Однако члены порядка малости, превосходящего все алгебраические порядки, приводят к появлению неубывающих периодических волн на бесконечности в ядре уединенной волны (3.2.5) (см. п. 1.4.2). Так как «1 > 0 и 71 < 0 для медленных уединенных волн, то из (3.2.2) следует, что колебания горизонтальных скоростей вдоль поверхности раздела и свободной поверхности будут находиться в фазе на бесконечности. Осциллирующая компонента обобщенно-уединенной волны могла бы исчезать, если бы коэффициенты при ад и ад в /2s в (3.2.3) были бы равны нулю. В этом случае (ц = 0 и обобщенно-уединенная волна является классической. Численные расчеты, однако, показывают, что коэффициент при Qq в Д2 всегда отличен от нуля при R < 1 и Н > 0.
Следуя рассуждениям п. 1.4.2, получим при £ —> ±оо соответственно
Ui —> ±ttGo— exp 7iUi —> ±ttGo— exp 7isin(g£),sin(g£),
Ui —> ±ttGo— exp 7i
Ui —> ±ttGo— exp 7i
sin(g£),
sin(g£),
^2 —> TttGq exp^2 —> TttGq expsin(g£).sin(g£).
^2 —> TttGq exp
^2 —> TttGq exp
sin(g£).
sin(g£).
(3.2.7)
Асимптотические формулы (3.2.7) дают выражения для экспоненциально малых периодических составляющих уединенного пульса (3.2.5) на бесконечности. Точное выражение для постоянной Gg может быть подсчитано только из полной системы (3.2.3), так как члены высшего порядка по // также дают вклад в величину Gg (см. п. 2.3.2).
Классические уединенные волны
При С = С+ уравнение (3.2.1) имеет единственный корень, лежащий на мнимой оси - ноль второго порядка. Собственные и присоединенные векторы фо, ф1 и фо^ Ф1 матриц А и А*, отвечающие нулевому собственному значению, определены выше.
Пусть С = Су + р с р > 0. В соответствии с п. 1.4.1 имеем
w = ао^)фо + ал^фг + hdjyao^ai),
где h(/i, do, di) ~ нелинейная вектор-функция своих аргументов. Неизвестные ао и ai удовлетворяют системе уравнений
а0 = ai, di = pdao — Ка^ + o(|/za| + |а|2),(3.2.8)
где а = (a0,ai).
В рассматриваемом случае выражения для do и Л в (3.2.8) также даются (3.2.4) с заменой С_ на С+. Имея это в виду, для малых 1 — R получим
9Л,(1 - R).
Как и в предыдущем случае, профили уединенных волн определяются при помощи (3.2.6), но теперь как поверхностная, так и внутренняя волны являются волнами возвышения (Су > Н, см. также Bona, Sachs, 1989). В пределе при h^ —> 0 амплитуда внутренней волны стремится к амплитуде поверхностной волны. Решение (3.2.5) является грубым относительно любых малых обратимых возмущений (см. п. 1.4.1, предложение 1) и, таким образом, в низшем порядке по р приближает убывающее решение приведенных уравнений (3.2.8), т.е. классическую уединенную волну.
Уединенные волны с рябью
Рассмотрим снова волны со скоростями, слегка превосходящими скорости С_, как в п. 3.2.1: С = С_ + р при р > 0. Разница между анализом настоящего пункта и пункта 3.2.1 заключается в следующем. Здесь рассматриваются решения самосогласованной системы уравнений (3.2.3), где d+ имеет порядок р. В п. 3.2.1 рассматривались решения, где d+ имели порядок р2. Для более полного анализа преобразуем систему к квазинормальной форме (1.3.11).
Для удобства оставлены обозначения (3.2.3) и новые зависимые переменные «о? «ь ^ и z* в (1.3.11) по-прежнему обозначаются как do, di, d+ and a_. В рассматриваемом случае коэффициенты ci, с^ и d полинома Ф в (1.3.11) выражаются следующим образом:
ciM = lido + О(р?У с2^ = -Л + О(ц),
С
d(p) = 2"—^[«1 “ ai7i(2 + 9^) + З^кН - 3«i7i (1 + 2^Д)] + 0(/i).
(3.2.9)
Как и в п. 1.4.2, полагая а+ = pexpid, из (1.3.20) и (3.2.9) при помощи масштабных преобразований
а0=//а0(С), К0=р^к0, 6» = ^«)/УМ^,
С = УТМ^ Но = pdoho, получим
Э3ао = sign р ( а0 - 7^2 _ 7/7 + О(р),\ «о «о /
д<Р = 0, д^ = д + ^(р,ао,к^ = q + О(р).(3.2.10)
Имеются ровно две точки равновесия, которые в низшем порядке по р даются выражениями:
ао = ^ - sign Р ^А^1^4(йухк"о ,
«о = ^ + sign М ^,
где а^ обозначает седловую точку и dj - центр. Из (3.2.10) следует
^(d<ao)2 = sign р f(a0,h0,k0), где
/(«о, h0, к0) = 7q - т7«о - j-koao + h0 .z odo do
Для существования решений do необходимо, чтобы
sign р f(do,ho, ко) > 0.
Следовательно, все ограниченные решения находятся в области Q на плоскости параметров (ко, ho), которая ограничена кривыми
Г1 = Uko, ho), М) = 0}, Г2 = {(fco, h0), f^o) = 0}
и осью ко = 0, так как ко должна быть положительной.
Данный анализ ограничивается случаем р > 0, так как рассматриваются только солитоноподобные структуры, которые имеют место именно в этом диапазоне изменения р. Будут рассматриваться два
Рис. 3.2. Замкнутая область Q на плоскости параметров (ко, Но), где существуют ограниченные решения (случай 1, Л > О, d > 0). Показано поведение полинома f (do, Но, ко) на различных частях границы и внутри области Q. Уединенные волны с рябью существуют вдоль кривой Г1. Точка Oi имеет координаты (^d^dr1 Л-1, ^с/дЛ-2). Координатами точки О2 являются (0, —|c/qA2).
различных случая, когда N и d имеют одинаковый знак (случай 1) и когда X и d - разных знаков (случай 2). Оба случая возможны в обсуждаемой модели. Область Q в плоскости (ко, Но) для случая 1 показана на рис. 3.2.
Как следует из рис. 3.2, в начале координат О плоскости (ко,Но) реализуются решения, двоякоасимптотические нулю, которые отвечают обобщенно-уединенным волнам, описанным в п. 3.2.1. Двигаясь вдоль кривой, получим уединенные волны с рябью. Эти волны являются нелинейной суперпозицией обыкновенной уединенной волны с резонансной периодической волной с волновым числом q (называемой далее короткой). Амплитуда периодической компоненты измеряется параметром ко и увеличивается при увеличении ко- В противоположность этому амплитуда ядра уединенной волны уменьшается при увеличении ко- В угловой точке Oi = (^d^d-1 X-1, ^d^X-2) обе
точки равновесия сливаются и остается только короткая периодическая волна с нулевым средним значением. При движении от точки Oi вдоль кривой Г2 имеют место только короткие периодические волны с увеличивающимся средним значением.
Рис. 3.3. Четыре примера профилей свободной поверхности и поверхности раздела для физически приемлемых значений параметров при р = 0, 01.
На интервале ко = 0, ho Е (—|c/qA2,0) и внутри области Q находятся решения, являющиеся нелинейной суперпозицией длинной и короткой периодических волн. Эти волны могут быть как периодическими волнами, если отношение периодов является рациональным числом, так и квазипериодическими волнами, если отношение периодов - число иррациональное. Эти волны стремятся к обобщенно-уединенной волне при (ко, ho) —> 0. Форма периодической и квазипериодической
волн в низшем порядке по р описывается линейной комбинацией эллиптического и обычного косинусов.
Итак, при движении вдоль кривой Г1 слева направо амплитуда ряби в точке 01 максимальна и уединенная волна с рябью превращается в периодическую волну. В соответствии с (3.1.12) профили поверхности раздела и свободной поверхности выражаются следующим образом:
h R ] cig + (h R ) (d_|_ + d_)
71/ V 7i /.
772 — O—(dg + d^ + d_) +772 — O—(dg + d^ + d_) +C_H 1-RC_H 1-Rq2(a+ + a_),q2(a+ + a_),
772 — O—(dg + d^ + d_) +
772 — O—(dg + d^ + d_) +
C_H 1-R
C_H 1-R
q2(a+ + a_),
q2(a+ + a_),
где для уединенной волны с рябью
«о = ^«о«о = ^«оз (doо А 1-22^ \~/ С1з (doо А 1-22^ \~/ С12 / № 2Лй^7 £ ,2 / № 2Лй^7 £ ,
«о = ^«о
«о = ^«о
з (doо А 1-2
2^ \~/ С1
з (doо А 1-2
2^ \~/ С1
2 / № 2Лй^7 £ ,
2 / № 2Лй^7 £ ,
d+ + d_ = 2рy/ko cos qE.
Напомним, что q = V^~^T2- Параметр ко меняется между О и ^d^d-1^1.
Несколько профилей показаны на рис. 3.3 для различных значений R и Н. Значения параметров указаны сверху каждого рисунка. На рисунках с ко = 0 изображены ядра обобщенно-уединенных волн (для р = 0,01 периодическая составляющая не видна). Когда ко ^ 0, волны являются уединенными волнами с рябью. Рябь едва видна на свободной поверхности. Для всех четырех случаев значения Лис/ положительны. Аналогичное поведение демонстрируют соответствующие решения полной системы уравнений, полученные численно Michallet, Dias (1999). Как уже упоминалось, амплитуда внутренней волны сильно превосходит амплитуду поверхностной волны, когда отношение плотностей близко к единице.
Область Q на плоскости (ко, Но) для случая (Л < 0, d > 0) показана на рис. 3.4. В этом случае Q неограничена и, следовательно, переход от уединенных волн с рябью к периодическим волнам по границе области запрещен. В случаях с Л < 0, d < 0 или с Л > 0, d < 0 область 9 является подобной области, представленной на рис. 3.2 или 3.4 соответственно. Вся разница состоит в поведении полинома /(do, ко, Но), график которого надо зеркально отразить по отношению к горизонтальной оси.
Рис. 3.4. Неограниченная область 5 на плоскости параметров (ко, ho), в которой существуют ограниченные решения для случая 2 (Л < 0, d > 0). Уединенные волны с рябью существуют на границе Г1.Рис. 3.4. Неограниченная область 5 на плоскости параметров (ко, ho), в которой существуют ограниченные решения для случая 2 (Л < 0, d > 0). Уединенные волны с рябью существуют на границе Г1.
Рис. 3.4. Неограниченная область 5 на плоскости параметров (ко, ho), в которой существуют ограниченные решения для случая 2 (Л < 0, d > 0). Уединенные волны с рябью существуют на границе Г1.
Рис. 3.4. Неограниченная область 5 на плоскости параметров (ко, ho), в которой существуют ограниченные решения для случая 2 (Л < 0, d > 0). Уединенные волны с рябью существуют на границе Г1.
Окрестность критического значения отношения глубин
В этом параграфе будет рассмотрен случай, когда коэффициент Л близок к нулю, что возможно только для нижней ветви дисперсионной кривой, начинающейся в точке С_.
Для разрешения особенности Л = 0 необходимо принимать во внимание кубические члены в (3.1.13). Выражение для Дц в (3.2.3) теперь имеет вид
/si = p,da0 - Л«о + Г«о ,
где
Г = Q12 кд2Г = Q12 кд22(6/2 - Я(1 - Я))2(С?. - Я(1 - Я))4"
Г = Q1
2 кд2
Г = Q1
2 кд2
+ C^R
Выражение для Г положительно для всех значений параметров Н > 0 и R < 1. Далее, предположим, что коэффициент Л имеет порядок /Д/2
и произведем следующую замену переменных:
ao = ^^Y(O, (=Vp^o^
Уравнения (3.2.3) в новых переменных в низшем порядке по р имеют вид
У - У +QY2 - У3 =0,a^ = iqa^ + ifs2(Y\а_ = —iqa_—ifs2(Y\(3.3.1)
где
Va^oT
и штрих обозначает дифференцирование по переменной (.
Когда Q = =ЕЗ/а/2, первое уравнение в (3.3.1) допускает решение в форме фронтов, которые соединяют два сопряженных состояния:
у = ±-L(l +th 1<).(3.3.2)
Соответствующие профили для внутренних и поверхностных фронтов в низшем порядке по р даются выражениями
ГД^н2 -с сVMS' Л
И снова при океанических условиях, когда отношение плотностей R близко к единице, амплитуда внутреннего фронта гораздо больше амплитуды поверхностного.
Выражение (3.3.2) дает только главную часть решения (3.3.1). Члены высшего порядка в (3.3.1) приводят к появлению неубывающих осцилляций на фоне фронта (3.3.2). Функция fs2 имеет порядок р и, так как фронт (3.3.2) стремится к ненулевой постоянной при ( —> +оо, имеем
Лг!) цР / 0 при ( +оо ,
где постоянная Р = 0(1) может быть посчитана при помощи (3.2.4).
Оператор К, в (1.4.14) не является более обратимым, потому что функция /S2(^) не стремится к нулю на бесконечности. Для того, чтобы сделать К обратимым, продифференцируем последние два уравнения в (3.3.1) по £:
% = %q% + г^52, i* = —%qz* — igs^ z = ^+, = а_ ,
где
9s2 " ^ “ 2g3 {±M2V^T . Г1^ + aV^C\ Ch 22 +
«1— Si -IS2.^2.«1— Si -IS2.^2.+ sh|ch"3|)+ sh|ch"3|), ^3/2^0V^O
«1
— Si -IS2
.^2.
«1
— Si -IS2
.^2.
+ sh|ch"3|)
+ sh|ch"3|)
2Г
Выражения для ri и s^, i = 1, 2, даются (3.2.4). Действуя как в п. 1.4.2, получим в низшем порядке по р
92 sk^q'92 sk^q'92 sk — q192 sk — q192s = Wvhk + %hk )sh —=92s = Wvhk + %hk )sh —=
92 sk^q'
92 sk^q'
92 s
k — q1
92 s
k — q1
92s = Wvhk + %hk )sh —=
92s = Wvhk + %hk )sh —=
где Zi и Z2 _ некоторые постоянные порядка 1 по /z, зависящие от параметров R и Н.
Окончательно имеем
^-cos(g^)—/2 sin(g^) exp^-cos(g^)—/2 sin(g^) expirq^doirq^doz4-z
^-cos(g^)—/2 sin(g^) exp
^-cos(g^)—/2 sin(g^) exp
irq
^do
irq
^do
2pPci++ci_ =Нтгq
d++d_ = 7Гd++d_ = 7Гqqcos(^)+Z2 sin^) expcos(^)+Z2 sin^) expirq \VpTj ’irq \VpTj ’
d++d_ = 7Г
d++d_ = 7Г
q
q
cos(^)+Z2 sin^) exp
cos(^)+Z2 sin^) exp
irq \
VpTj ’
irq \
VpTj ’
= Ai- exp= Ai- expили, в низшем порядке по р,
= Ai- exp
= Ai- exp
= VJlBi + Ai+ exp= VJlBi + Ai+ exp-= sin(g^), £н--оо, VP-do /
= VJlBi + Ai+ exp
= VJlBi + Ai+ exp
-= sin(^), ^ H- +00,(3.3.3)
Vpdo /
где Ai_, Bi, A^, % = 1,2, - некоторые вещенственные постоянные порядка 0(1) по р. Асимптотика (3.3.3) дает экспоненциально малые осциллирующие волны на фоне фронта (3.3.2) на пространственной бесконечности. В дополнение к обобщенным фронтам можно получить формулы для фронтов с рябью, как это сделано для уединенных волн с рябью в п. 3.2.3.
В заключение этого параграфа сделаем следующее важное замечание. В работе Dias, Il’ichev (2001) высказано предположение, что уединенные волны с рябью в рассматриваемом случае не могут распространяться со скоростью С большей, чем некоторое значение Сшах. коль скоро отношение плотностей R и толщин слоев Н зафиксированы. При стремлении С к Стах уединенные волны расширяются и в пределе переходят в фронты. То же самое происходит и для системы модифицированных уравнений Кд В типа (3.3.1) и можно подсчитать максимальное значение ртах спектрального параметра р. В силу того факта, что существуют только обобщенно-уединенные волны или уединенные волны с рябью, что можно сказать об амплитуде ряби на бесконечности? Численные результаты Michallet, Dias (1999) для полной системы уравнений показали, что при увеличении С по направлению к Стах минимум амплитуды периодической составляющей обобщенно-уединенной волны растет и становится сравнимым с амплитудой ядра уединенной волны. В этом случае все меньше и меньше “места” остается для непериодической составляющей и она может вообще исчезнуть перед достижением максимальной скорости. Представляется, что только численное исследование полной системы уравнений может дать ответ на этот вопрос.
Обсуждение
Дисперсионное соотношение для двухслойной жидкости со свободной поверхностью состоит из двух ветвей, которые соответствуют модам, распространяющимся на поверхностях каждого из слоев. Вследствие этого обстоятельства дисперсионная кривая состоит из двух непересе- кающиеся кривых, характеристические скорости на которых отличаются. При этом бесконечно длинные волны на медленной ветви дисперсионной кривой находятся в линейном резонансе с модой быстрой ветви, отвечающей конечному волновому числу, т. е. обе эти волны имеют одинаковую фазовую скорость. На нелинейном уровне резонанс приводит к существованию двух типов уединенных волн: классических и обобщенно-уединенных. Для небольших амплитуд классические уединенные волны имеют большую скорость, чем обобщенно уединенные волны.
В настоящей главе мы рассмотрели модель, которая описывает длинные волны в двуслойной жидкости с горизонтальным дном и свободной поверхностью. Эта модель имеет некоторые недостатки и ее следует использовать скорее для качественной, чем количественной интерпретации результатов. Характерным ее свойством является наличие резонанса длинной и короткой волн при скоростях, немного больших чем С_, что приводит к возникновению обобщенноуединенных волн. Однако значение резонансного волнового числа Kres
может отличаться от реального, как это видно из рис. 3.1. Более того, анализ основан на предположении, что безразмерные волновые числа гораздо меньше единицы. Это предположение остается справедливым для уравнения КдВ пятого порядка (ненормированного) для гравитационно-капиллярных волн, например (см. главу 2). Из рис. 3.5, на котором изображены значения Kres для внутренних волн при различных значениях Н и R. легко усмотреть, что предположение о малости резонансного волнового числа нарушается для двухслойной жидкости. Для малых значений R существует минимальное значение Kres как функции от Н. Но уже при R = 0, 05 этот минимум, который достигается при Н = 1,5, равен 1,08 - значение, которое не является много меньшим единицы!
Рис. 3.5. Графики зависимости резонансного числа Kres от отношения толщин для различных значений отношения плотностей R. Снизу вверх, R = 0; 0, 01; 0,1; 0, 8.
В итоге можно сказать, что настоящая модель с высокой степенью точности дает главную (длинноволновую) часть солитоноподобных структур. В частности, из формул (3.2.6) следует известный факт, что внутренний солитон всегда является волной, в которой тонкий слой утолщается, т. е. отклонение поверхности направлено вниз, если верхний слой тоньше, и вверх, если тоньше нижний слой (Keulegan, 1953). Коротковолновые осцилляции, наложенные на уединенные волны, описываются на качественном уровне в рамках данной
модели. Только анализ полной системы уравнений Эйлера, как это сделано, например, для гравитационно-капиллярных волн в работе looss, Kirchgassner (1992), может дать количественное описание. Этот технически громоздкий анализ, по-видимому, до сих пор не проделан для двуслойной жидкости.
Как отмечается в книге Абловица, Сигура (1987) для сравнения теоретических результатов для внутренних волн с экспериментом необходимо учитывать влияние вязкости. Оказывается, что в отличие от случая длинных поверхностных волн, где вязкостными потерями можно пренебречь, для внутренних волн возникает дополнительный по- гранслой, который может служить причиной энергетических потерь.
В окрестности критического отношения глубин в уравнениях (3.1.11) необходимо учитывать кубические нелинейные члены. В этом случае возникает необходимость введения иных масштабов, чем в случае существования солитоноподобных структур, т. е. когда вкладом кубичных членов можно пренебречь. Возникающие при этом длинноволновые структуры типа фронтов распространяются со скоростью, близкой к С_. Как и в случае обобщенно-уединенных волн, рассматриваемая здесь модель предсказывает присутствие коротковолновой составляющей у фронта. Эта составляющая появляется в решении в результате резонанса длинной и короткой волн, который присутствует на данной ветви дисперсионного уравнения.
В заключение отметим следующее важное физическое свойство волновых процессов в двухслойной жидкости: для океанических условий (R близко к 1) отклонение свободной поверхности гораздо меньше, чем отклонение поверхности раздела. Таким образом, следует ожидать, что рябь от уединенных волн может наблюдаться только на поверхности раздела. По-видимому, уединенные волны с рябью наблюдались в лабораторных экспериментах, сообщенных в работе Walker (1973). Расчеты показывают, что уединенные волны с рябью могут быть тем легче воспроизведены в лабораторных условиях, чем тяжелее верхняя жидкость (Michallet, Dias, 1999 а).
Глава 4
Уединенные волны в нелинейном резонансе Фарадея
Экспериметальная работа Wu et al. (1984), где было сообщено о наблюдении стоячей уединенной волны на поверхности жидкости в колеблющихся прямоугольных сосудах, положила начало большому количеству работ, посвященных исследованию поверхностных волн в колеблющихся резервуарах (сосудах Фарадея) 6. Одна из наиболее известных теоретических моделей, описывающих поверхностные волны в длинном канале, вертикально колеблющемся с частотой, близкой к удвоенной естественной частоте, была сформулирована в работах Lazzara, Putterman (1984) и Miles (1984) в виде уравнения для огибающей нелинейной модулированной волны.
Если амплитуда вертикальных колебаний канала задается выражением
zq = acos2w£,(4.0.1)
где t - физическое время, то уравнение (4.0.1) имеет форму модифицированного 'уравнения Шрёдингера с параметрической накачкой (Miles, 1984):
+ Зи +± 2W2u + гаи + та* = 0,(4.0.2)
atох2
где х и t обозначают медленные пространственную и временную переменные. Уравнение (4.0.2) описывает также ряд других физических эффектов, в частности, параметрическое возбуждение солитонов в оптических волокнах (см. работу Longhi, 1997 и библиографию там) и распространение спиновых волн в ферромагнетиках (Barashenkov et al., 1991).
6Параметрическое возбуждение волн в вертикально колеблющихся резервуарах называется резонансом Фарадея или параметрическим резонансом.
Для резонанса Фарадея уравнение (4.0.2) выведено в предположении, что
, ,2, ,2_ .2
kif = е < 1, = ^(З, = s2y,
g
5 = е2оц а,/3,7 = О(1),(4.0.3)
где 770 - характерная амплитуда поверхностного отклонения,
ш2 = gkM. М = thkdo, к = тг/6,
b и do - ширина и глубина жидкости в канале, соответственно, 5 - диссипативный фактор (см. параграф 4.1). Например, для канала или длинного резервуара, имеющего глубину порядка нескольких сантиметров, амплитуда вынуждающей силы должна иметь величину порядка одного миллиметра и частоту - порядка десяти герц.
Медленные безразмерные переменные х и t выражаются через физические переменные х и t по формулам
t = E2ut, х = ^^, L =-^QVE Ыо Г\~2Ы^^(4.0.4)
Огибающая u = и^Г) в (4.0.2) находится в следующем отношении к доминантной поперечной моде в резервуаре:
Гык2
h = ^S, N =(6М6 - 5М4 + 16М2 - 9),(4.0.5)
где S - огибающая (1,1)-моды поверхностного отклонения д (см. параграф 4.1):
д = ^(^S cos кд ехр(—гш$) + к.с.) + О(е2).
Далее будет рассматриваться только модуляционно неустойчивый случай (знак + перед кубичной нелинейностью в (4.0.2)). Модуляционная неустойчивость (самофокусировка) имеет место, когда N > 0, что влечет за собой kdo > 1,022 (Miles, 1984).
Явные решения типа классических уединенных волн (4.0.2) представляют собой стоячие волны (Miles, 1984):
и = т(х) ехр(г^), т^ = р сН-1рж, р = у— Д — 7 cos 2-0, 7Г 11
= ^l^, ^1 = ^ — 2 arcsin(a/7L ^2=2 arcsin(a/7). (4.0.6)
Присутствие вынуждающей силы (слагаемое ^и* в (4.0.2)) нарушает галилееву инвариантность невозмущенного нелинейного уравнения
Шрёдингера и, следовательно, движущиеся уединенные волны не могут быть получены применением преобразования Галилея (заменой ж ж — Vt) к (4.0.6).
Miles (1984) показал, что уединенная волна ^ = ^2 является всегда неустойчивой. В работе Laedke, Spatschek (1991) изучалась устойчивость уединенных волн в различных областях изменения параметров. Там было сделано заключение, что уединенная волна (4.0.6) с ^ = -01 устойчива при /3 < 0 и о? < у2 < о? + /З2. Как понималось авторами этой работы, область устойчивости уединенной волны (4.0.6) в пространстве параметров совпадает с областью устойчивости состояния покоя, которую можно определить из следующего простого анализа.
Линеаризация (4.0.2) на фоне состояния покоя дает (u = и + zw)
(4.0.7)(4.0.7)Эс х d2w
(4.0.7)
(4.0.7)
s + № - 7)ю + ^ + о,-= о.
Предположим, что
Тогда из (4.0.7) следует Й(ЛО,ВО)Т = 0 (т означает транспонирование), где
ю _ f 3 — ^2 + 7 id — ot А
у a — id 3 — к? —*
Дисперсионное уравнение, получающееся из условия det S = 0, имеет вид
(4.0.8)(4.0.8)Ш = а ± V-^4 + 23^2 + у2 — /З2.
(4.0.8)
(4.0.8)
Состояние покоя устойчиво тогда и только тогда, когда вещественная часть правой части (4.0.8) больше нуля. Будем различать следующие два случая устойчивости состояния покоя.
Случай 1. 3 < 0.
Состояние покоя устойчиво, если либо у2 < /З2, либо у2 > /З2 и одновременно /З2 + а2 > у2.
Случай 2. 3 > 0.
Состояние покоя устойчиво, если a > 7.
Однако в соответствии с результатами статьи Barashenkov et al. (1991) все же существует подобласть области а2 < у2 < о? +/32,
Рис. 4.1. Области в плоскости (Зп) (^ фиксировано) характерного поведения состояния покоя и параметрически возбуждаемых поверхностных волн. Области I, II, IV - устойчивое состояние покоя, I - область устойчивости уединенной волны (4.0.6) с ф = -01, III - область, где не существует стоячих волн, IV - область временной неустойчивости уединенной волны (4.0.6) с ф = Ф1.
3 < 0, на границе которой имеет место бифуркация Хопфа, в результате чего появляется временная неустойчивость. Более того, при уменьшении а происходит переход к временному хаосу (см. Friedel et al., 1995). Было также показано, что при у < а не может существовать решений уравнения (4.0.2) типа стоячих волн. Области в ф,ф- плоскости (при фиксированном а) устойчивости состояния покоя и характерного поведения волн изображены на рис. 4.1.
Хаотическое поведение параметрически возбуждаемых поверхностных волн наблюдалось в эксперименте. В работе Ciliberto, Gollub (1985) экспериментально изучалось взаимодействие мод в круговом цилиндре, приводящее к наступлению хаоса. Изучение хаотического поведения мод проводилось Kambe, Umeki (1990). Бифуркации стационарных и зависящих от времени решений изучались Umeki (1991а). В последней статье существование пространственно-временных хаотических структур для конкретного диапазона изменения параметров было проиллюстрировано численно.
Численные исследования динамических уравнений, показывающие существование хаотических аттракторов, представлены в работе Umeki (1991b). Другой интересный механизм перехода к временному хаосу, когда амплитуда вертикальной силы модулирована, был описан теоретически и экспериментально в работах Chen, Wei (1994), Chen, Wei (1996). Текущие состояния теории параметрического резонанса
представлены в обзорах Miles, Henderson (1990), Friedel et al. (1995). Стоячие волны в резонансе Фарадея для низких вынуждающих частот изучались Калиниченко и др. (1994).
Несмотря на многочисленные хаотические явления, возникающие в колеблющихся сосудах, регулярные волновые процессы также представляют значительный интерес. Il’ichev (1998) установил существование новых семейств решений уравнения (4.0.2) в различных областях изменения параметров, описывающих регулярные стоячие поверхностные волны. Специальные свойства этих решений могут играть важную роль при формировании нестационарных волновых структур. В работе Bakholdin, Il’ichev (1999) предпринято изучение некоторых возможных механизмов перехода к неустойчивости локализованных возмущений в резонансе Фарадея. Barashenkov et al. (2000) показали, что уравнение (4.0.2) имеет также широкий класс решений типа бегущих классических уединенных волн, некоторые из них устойчивы. При малой вынуждающей силе (накачке) устойчивые стоячие и бегущие классические уединенные волны сосуществуют, в то время как при сильной накачке (у2 > о? + /З2) устойчивыми являются только уединенные волны, движущиеся достаточно быстро. Экспериментальные результаты Wang, Wei (1994), а также численные расчеты Wang et al. (1996) продемонстрировали, что две стоячие уединенные волны, находящиеся в поле друг друга, могут нетривиальным образом взаимодействовать, не образуя более стационарного состояния.
В настоящей главе наряду с выводом уравнения, описывающего нелинейный резонанс Фарадея (параграф 4.1), будут рассмотрены вопросы существования семейств стоячих уединенных волн разных типов, соответствующих волновым решениям уравнения (4.0.2) для различных областей параметров в окрестности критической кривой /З2 + о? = у2 (параграф 4.2). Будут также приведены результаты численных расчетов, иллюстрирующие связь между типами существующих солитоноподобных структур (классических или обобщенноуединенных волн) со специфическими особенностями перехода к неустойчивости локализованных возмущений (параграф 4.3). В качестве вопроса, вплотную примыкающего по смыслу к вопросу о существовании солитоноподобных решений, будет также рассмотрено взаимодействие двух устойчивых классических уединенных волн в тех областях параметров, где оно допускает аналитическое описание (параграф 4.4).
Вывод уравнения Шрёдингера с параметрической накачкой
Рассмотрим прямоугольный канал, имеющий бесконечную длину, ширину b и глубину do, который заполнен идеальной несжимаемой жидкостью единичной плотности. Выберем декартову систему координат так, что вертикальное сечение лежит в плоскости yz. Фиксируем на линии пересечения невозмущенной поверхности жидкости и левой стенки канала точку, совместим с ней начало координат и направим ось z вверх, ось у - вдоль невозмущенной свободной поверхности слева направо, а ось ж - вдоль неограниченного измерения канала. Канал колеблется по закону (4.0.1), где, как уже отмечалось, амплитуда накачки а предполагается величиной второго порядка малости по параметру £ <С 1.
Полная система уравнений и граничных условий, описывающих параметрически возбужденные волны на поверхности жидкости в канале имеет вид:
f э2 э2 э2\ п ,
\Эх2 + Эу2 + dz2)~о<^<4,
dgdg dipdr]dipdip
didx dxdydydz"
dip1,_ l2~
-^ + xlW|2 + gg = 0, z = g, dt2
a/=0.,, = 0.b.
dzdzdy
dz
dz
(4-1.1)
где ip - потенциал скорости, g - возвышение поверхности, V - оператор трехмерного градиента,
9 = 9+ -^- = 9 + ^д^ =9~ 4де2ч cos 2wt,
д - ускорение свободного падения, а 7 определяется из (4.0.3).
Следствием граничных условий на свободной поверхности (второе и третье уравнения в (4.1.1)) является соотношение
d2ip_dipddi2 dzdid2ip_dipddi2 dzdi1 d /dip\ 2 2d"i Vdz )1 d /dip\ 2 2d"i Vdz )z = g, (4.1.2)z = g, (4.1.2)
d2ip_dipd
di2 dzdi
d2ip_dipd
di2 dzdi
1 d /dip\ 2 2d"i Vdz )
1 d /dip\ 2 2d"i Vdz )
z = g, (4.1.2)
z = g, (4.1.2)
где V^ = (8 / 8x^8 / 8у) - оператор градиента по переменным х и у.
Разложим потенциал ф в условиях на свободной поверхности (4.1.2) и третьем уравнении в (4.1.1) в ряд Тейлора по переменной % для малых отклонений 7/ от положения равновесия % = 0, обозначая индексами t и % производные по этим переменным и индексом 0 - значение величин на поверхности % = 0:
° = Vm + 9фА о + 9 |>« + 99^] 0 + у [(^Н + о +
ЯО^М2)^ - |[(^)d0 + ч[(^|2)^]0 -ч^+
+ | [V(2)y • V<2) | W|2]0 + е2од2« + е2^ Ыо + е^д^фДо + • • •,
1772
0 = 99 + е2929 + И о + 9 М о + ^ [1^|2] 0 + у Ш о +
+ |[(IW|2M0 + ----(4-1.3)
Представим далее величины ф и т] в виде формальных рядов по малому параметру е, определив различные пространственные и временные шкалы:
П=1
9($У = ’^2,En9n($i,y,Mi,t2, • • •),(4.1.4)
71—1
где
Xi = EX, t± = Et, t^ — E^t^(4.1.5)
При переходе к новым переменным производные в (4.1.1)—(4.1.3) преобразуются следующим образом:
888882 8
дх £ 8xi' 8t^ 8t^ £ 8ti^ £ 81^'
Подставляя (4.1.4) в первое уравнение (4.1.1), (4.1.3) и используя граничные условия на стенках и на дне канала (предпоследняя пара уравнений в (4.1.1)), получим
^фтг — Fni5фп = Gni^фтг — Fni5фп = Gni—do < z < 0,^ = 0,% = о,—do < z < 0,^ = 0,% = о,
^фтг — Fni
5фп = Gni
^фтг — Fni
5фп = Gni
—do < z < 0,
^ = 0,
% = о,
—do < z < 0,
^ = 0,
% = о,
=ду’Эг'д^п = 0Эх’=ду’Эг'д^п = 0Эх’У = О,Ь,У = О,Ь,% = -d0,% = -d0,(4.1.6)(4.1.6)
=
ду’
Эг'
д^п = 0
Эх’
=
ду’
Эг'
д^п = 0
Эх’
У = О,Ь,
У = О,Ь,
% = -d0,
% = -d0,
(4.1.6)
(4.1.6)
где
„ Э2 Э2Э^ dz2 ’Гт = 0, Gi = О,„ Э2 Э2Э^ dz2 ’Гт = 0, Gi = О,д2д298i2+9dz’98i2+9dz’^1=^^2=0, F3 = -^,^1=^^2=0, F3 = -^,
„ Э2 Э2
Э^ dz2 ’
Гт = 0, Gi = О,
„ Э2 Э2
Э^ dz2 ’
Гт = 0, Gi = О,
д2
д2
98i2+9dz’
98i2+9dz’
^1=^^2=0, F3 = -^,
^1=^^2=0, F3 = -^,
g2 - -[2y>liti +riig(piz + (у?2у + ^DL
^2 = ^Iti + ^21 + 'П^йг + 2 (^1у + ^) ’
G3 = - [S^i/e2 + yititi + ^l^ + N^h + WVl^ + ^19^22 + +^2^1z + "y^lzz + (^ly + 2^1z) tj+^^ly^y + 2‘/’lz9?2z)i- + +|v(2)<ii • V(2)(|V<^i|2)+yi(^y + ^D^ + ^i^i+to^iz]-
(4-1.7)
Для n = 1 будет рассматриваться только преобладающая низшая параметрически возбужденная поперечная мода, вследствие чего решение (4.1.6) с учетом (4.1.7) запишется в виде
[iS exp(—icji) cos kg + k.c.] ,[iS exp(—icji) cos kg + k.c.] ,g ch k(z + do) ^T 2ш ch kdo
[iS exp(—icji) cos kg + k.c.] ,
[iS exp(—icji) cos kg + k.c.] ,
gi = - [S exp(—icji) cos kg + k.c.] .
В силу того обстоятельства, что поправки более высокого порядка к решениям должны содержать высшие субгармонические моды, будем разлагать фП1 gn Fn и Gn в ряды Фурье вида
fn = У ехр(-Иш1)/п1,
где f^-t = f*t.
Для разрешимости первых двух неоднородных уравнений в (4.1.6) необходимо выполнение условий совместности
Fn0 dydz =Fn0 dydz =^nO ^2/?^nO ^2/?
Fn0 dydz =
Fn0 dydz =
^nO ^2/?
^nO ^2/?
^ni^n dydz = -9^ni^n dydz = -9(4.1.8)(4.1.8)ьj Gni<Pn dy.о
^ni^n dydz = -
9
^ni^n dydz = -
9
(4.1.8)
(4.1.8)
При n = 2 из второго из условий (4.1.8) следует
4-5 = 0, Ot^
в то время как первое условие удовлетворяется автоматически. Из (4.1.6) тогда имеем
^20 = 0,(/?21 = 0,7/21 = О,
/i-м2 i + м2 \.
??2о =5 —г^ттг” C0SW , средний поток),
\ м2 М2/
ch2k(do + z) 77cos2ку ,сН2Ыоch2k(do + z) 77cos2ку ,сН2Ыо_ iwS2 Г/ 1 Л Л з \1/722 “ 32 [\М2 + ) + ( ~ М4)
ch2k(do + z) 77cos2ку ,
сН2Ыо
ch2k(do + z) 77cos2ку ,
сН2Ыо
, ,2 с* 2 Г/Q \"
(4.1.9)(4.1.9)’й2= wH" +(-1 + Mi)™2^
(4.1.9)
(4.1.9)
Для ri = 3 первое из условий совместности (4.1.8) удовлетворяется автоматически, а из второго условия и (4.1.9) следуют уравнения на амплитуду 8:
L^+pS + ^^+NS\S\2 + -yS* =0.(4.1.10)
О) ot2к2 ох^
Учет диссипативных эффектов, вызванных вязкостью жидкости в канале, в линейном приближении может быть предпринят заменой
88
8t2dt2
в (4.1.10), где а определяется из (4.0.3). Уравнение (4.1.10) преобразуется таким образом в уравнение
-^ + (3S + ^^ + NS\S\2 + iaS + 7S* = 0.(4.1.11)
(д 8t2 к2 8x{
Диссипативный фактор 5, представляющий собой отношение актуального и критического декрементов затухания свободных колебаний резонансной моды (Miles, 1984), определяется непосредственно из эксперимента. Miles (1984) произвел теоретический подсчет 5 (5 в обозначениях автора цитированной статьи) для канала со специальными стенками.
Уравнение (4.1.11) заменами (4.1.5), (4.0.4) и (4.0.5) приводится к виду (4.0.2).
Уединенные волны, ответвляющиеся от критической кривой
Будем искать решения уравнения (4.0.2) в виде
и(х) = {^(ж) + zs(x)} ехр(г-0),
где ф — постоянный параметр. Уравнение (4.0.2) тогда примет вид
dp, сусу
= Р1Т + Kis - 2r(r2 + s ),
(4.2.1)(4.2.1)d 8/ сусу
(4.2.1)
(4.2.1)
—— = ^т + p^s _ 2s(rz + sz\ dxz
где
Py = — Ф + 7 cos 2-0), ^i = a + 7 sin 2ф, ^2 = — (« — 7sin2-0), p2 = — (3 — 7 cos 2ф).
Уравнения (4.2.1) могут быть записаны в виде динамической системы
Q = р, s = А,
Р = Pie + к-18 - 2g(g2 + s2),
(4.2.2)(4.2.2)А = к2д + p2s - 2s{g2 + s2),
(4.2.2)
(4.2.2)
где точка означает дифференцирование по х. Будем рассматривать решения (4.2.1) с параметрами, лежащими в малой окрестности критической кривой у2 — /З2 = а2. Предположим, что
(4.2.3)(4.2.3)/э2 I 22 I
(4.2.3)
(4.2.3)
3 + a = 7 + РР2,
где р, принадлежит некоторой окрестности нуля. Динамическая система (4.2.2) переписывается в виде
Q = р. 8 = А,
р =g + к-is + pg- 2g(g + s ),
X = к2г + p2s - 2s(g2 + з2).(4.2.4)
Система уравнений (4.2.4) имеет форму (1.0.1), где
w = (g^ s.p. А)
и
л =л =о о«2о о«2ОО«1PiОО«1Pi1О о о1О о о/°\Оре - Me2 + з2)\ -W + s2) //°\Оре - Me2 + з2)\ -W + s2) /
л =
л =
о о
«2
о о
«2
ОО«1Pi
ОО«1Pi
1
О о о
1
О о о
/°\
О
ре - Me2 + з2)
\ -W + s2) /
/°\
О
ре - Me2 + з2)
\ -W + s2) /
Рассматриваемая система уравнений является обратимой, матрица изометрии для нее имеет вид
/1О/1ОО\0О\0о о 0\ 10 0] 0-1 оО 0 -1/о о 0\ 10 0] 0-1 оО 0 -1/
/1
О
/1
О
О
\0
О
\0
о о 0\ 10 0] 0-1 о
О 0 -1/
о о 0\ 10 0] 0-1 о
О 0 -1/
Случай 3 < О, /З2 + о? > у2
В этом случае собственные значения а матрицы А удовлетворяют уравнению
<т4 - q2 ст2 = 0, q2 = У +.(4.2.5)
\ Pi /
Из (4.2.3) следует, что q2 = —2/3 — р и для р достаточно малых эта величина является положительной. Значит, единственным корнем, лежащим на мнимой оси, является двукратный ноль. Таким образом, в данном случае имеет место простой резонанс и бифуркация из нулевого волнового числа (см. п. 1.3.2 и 1.4.1). Собственный фо и присоединенный ф1 векторы матрицы Д, соответствующие а = 0, имеют вид
/ ° о1X-^Ip^i/ ° о1X-^Ip^i/ 1 \
/ ° о
1
X-^Ip^i
/ ° о
1
X-^Ip^i
— K^jp^0\0/
Следуя теории, изложенной в п. 1.3.2 и 1.4.1, представим главную часть решения wo (см. параграф 1.1) в виде
w0 = ао^фо + а1(т)ф1
или, в компонентах,
д = do, s =do, р = di, Л =di. Р^Р^
Система уравнений (4.2.4) в базисе фо, фу примет вид системы (1.4.1) с /оо = 0. До членов порядка О(|//а|, |а|3) функция goi дается выражением
goi = A-1 La0 - 2(1 + —|)ao], ^ = -q2IP‘i1
где q определяется из (4.2.5). Приведенные уравнения имеют вид
do = ^1,
- X f1 + 4) «о + <>(Н + |а|3).(4.2.6)
Производя в (4.2.6) следующие масштабные преобразования
получим
b'o = sign(/xp2) b0-b^ + О(|^|1/2),(4.2.7)
где штрих обозначает дифференцирование по £. При sign(/zp2) > 0, как следует из введения в настоящую главу и формулы (4.2.3), состояние покоя является устойчивым (параметры лежат в области IV или I на рис. 4.1). Уравнение (4.2.7) имеет солитоноподобные решения, которые в низшем порядке по р даются формулами
(4.2.8)(4.2.8)50 = ±V2ch ^ или ao = ± |^| ch 1 |^j х
(4.2.8)
(4.2.8)
При ^2 = 0 это решение становится известной уединенной волной (4.0.6) с фиксированным ф = ф2, которая всегда неустойчива. Из результатов параграфа 4.3 будет следовать, что все это семейство классических уединенных волн, параметризованное ф, является неустойчивым. Неизвестные функции, соответствующие решению (4.2.8), в низшем порядке по р выражаются по формулам
(4.2.9)(4.2.9)~~~~~ Т ^2~
(4.2.9)
(4.2.9)
Q = а0, s =а0, р = а0, Л =а0.
р2р2
Решение (4.2.8) является грубым относительно любых малых обратимых возмущений (см. п. 1.4.1, предложение 1) и, таким образом, приближает в низшем порядке по р убывающее решение приведенных уравнений (4.2.6), т.е. классическую уединенную волну.
Случай /3 > О, (3^ + о? < у2
Собственными значениями матрицы А теперь являются кратный ноль и ±гд, где
д2д2Р2Р2К1К2Р2К1К2Р2> 0.> 0.
д2
д2
Р2
Р2
К1К2
Р2
К1К2
Р2
> 0.
> 0.
Произведем далее стандартную для резонанса длинной и короткой волн замену неизвестных функций
w = ао(х)фо + а1(т)ф1 + а^(х)ф^ + а_^ф_, а_ = а^
где фо и ф1 были приведены в п. 4.2.1, а
/ К1 \
Ф+ =Ф+ =Р2гаку\гар^ /
Ф+ =
Ф+ =
Выражение для старых неизвестных функций через новые, следовательно, имеет вид
Q = do + /^1+ CL_p 8 =do + p2\Cl^- + d_).
P2
Система уравнений (4.2.4) в новых переменных преобразуется к виду
do — ^1,
di = ^-d0 - 2Sdg + /z^(d+ + d_) - 4(^i - ^2)^o(d+ + d_) -
—2cdo(d+ + d_)2,
... r ^2^1^2/X 2dnx
d+ = tqa^ +d0 - p ^ (d+ + a_) Hd(d+ + a_) +
21
+ “(^1 - ^2)^o(«+ + d_)2 + ”^(d+ + d_)3},
d2
A = - —, К = -^р2. с^р^^кХ-(4.2.10)
P2
Будем рассматривать только случай, когда /z/А положительно, т.е. signp2 = —sign/z. Из (4.2.3) следует, что /З2 + о? < ^^ значит, рассматриваемые решения находятся в области неустойчивости состояния покоя системы.
Следуя п. 1.4.2, произведем масштабные преобразования, учитывающие малость коротковолновой составляющей d+ рассматриваемого решения по сравнению с его длинноволновой частью ао*.
«о = 1м11/2^о(€), «1 = 1м1^ь «+ = 1м13/2с(ж), С = 1м11/22.
После масштабного преобразования система уравнений (4.2.10) примет вид
Ьо = 6Ь
6'1 = ±60 - 256^ + ОМ,
С = где - ^-бо + О(/1),(4.2.11)
где штрих в первых двух уравнениях обозначает производную по (. Из (4.2.11) немедленно следует, что первая пара уравнений в (4.2.10) в низшем порядке по р будет иметь решение (4.2.8).
В частном случае ^2=0 система уравнений (4.2.10) допускает решение а_^. = 0 и (4.2.8) становится точной формулой, описывающей классическую уединенную волну полной системы уравнений (4.2.10) в области параметров, где имеет место линейный резонанс длинной и короткой волн. Это известная уединенная волна (4.0.6) с р = (р)1^2 и ф = -01, где р = — 3 + V72 — ^2 > 0 мало. Эта волна, однако, находясь в области неустойчивости состояния покоя не может быть сама устойчивой.
В невырожденном случае К2 ^ 0 решение, главная часть которого дается формулой (4.2.8), для области параметров, рассматриваемой в данном пункте, является обобщенно-уединенной волной, асимптотика которой вычисляется по правилам, изложенным в п. 1.4.2 и имеет вид (С = 0(1) - некоторая постоянная)
Q = ±^С^ехрs = p^cVVA expQ = ±^С^ехрs = p^cVVA expsinqx\l ± O(/i)], x —> ±00,
Q = ±^С^ехр
s = p^cVVA exp
Q = ±^С^ехр
s = p^cVVA exp
j sinQxfl + O(/z)], ж -4 ±сю. (4.2.12)
Квазинормальная форма системы уравнений (4.2.10) дается (1.3.11), а коэффициенты полиномов Ф и Ф, подсчитанные по формуле (1.3.6), имеют вид
С1(м) = ^, С2 = о, Сз = -25, d = -4(/>2 + к?),^1^23(^2 +
=7— ^ 71 = —, 72 =
AQq
Таким образом, квазинормальная форма уравнений (4.2.10) записывается в виде
8жао — «1,
8x^1 — д8x^1 — дoto — 2S«o Я- dKooto -|- o(^zc^O) < Kooio)^
8x^1 — д
8x^1 — д
8xz = iz8xz = iz^1^225 2 3(po+^l)(2\
8xz = iz
8xz = iz
q —/zH a0HKoPo(p, o0. Kq)
, A qq
(4.2.13)
где Ko = zz* - постоянная (первый интеграл (4.2.13)).
Полагая z = г exp id и делая масштабное преобразование (которое теперь уже не предполагает малости коротковолновой составляющей решения по сравнению с его длинноволновой частью)
V До /иV До /иvvР_ у/2А/ ’Р_ у/2А/ ’г = Н1/2Аг = Н1/2А
V До /и
V До /и
v
v
Р_ у/2
А/ ’
Р_ у/2
А/ ’
г = Н1/2А
г = Н1/2А
£ = га, Ко = \р\к, к = р2,
получим в нулевом порядке по р:
8^0 = к0о-20^ 8^р = 0, 8^ = q, £ = 1-|АФ- (4.2.14)
Все ограниченные решения уравнения (4.2.14) находятся в треугольной области Л на рис. 4.2 в плоскости параметров (k^hoY где ho - удвоенная константа интегрирования первого уравнения в (4.2.14). Эта область ограничена отрезками осей Т^ = ^к G (0,р), h = 0}, Т2 = ^к = 0, ho Е (—1/4,0)} и кривой
Г = {(^)€Г, 0-^?!^^^=^.
где т) = |Дс/|-1. Периодические и квазипериодические решения существуют на 1^2, Г и внутри области Л (подробности см. в работе Il’ichev, 1998). Уединенные волны с рябью находятся на интервалеZi. Форма этих волн описывается формулами
р = ±р = ±_^у/2ы)_^у/2ы)ch 1ch 1\/^"ж + 2I 1\/^"ж + 2I 11//2^ipcos qx + О^р)^1//2^ipcos qx + О^р)^s = =Fs = =FК2 / Р А1/2р2 \А5/К2 / Р А1/2р2 \А5/ch 1ch 1sj^-x + 2\p,\1/2p2psj^-x + 2\p,\1/2p2pcos qx + O(p).cos qx + O(p).
р = ±
р = ±
_^у/2
ы)
_^у/2
ы)
ch 1
ch 1
\/^"ж + 2I 1
\/^"ж + 2I 1
1//2^ipcos qx + О^р)^
1//2^ipcos qx + О^р)^
s = =F
s = =F
К2 / Р А1/2
р2 \А5/
К2 / Р А1/2
р2 \А5/
ch 1
ch 1
sj^-x + 2\p,\1/2p2p
sj^-x + 2\p,\1/2p2p
cos qx + O(p).
cos qx + O(p).
Точка к = 0, ho = 0 отвечает обобщенно-уединенной волне.
Распад солитоноподобных возмущений
Временная динамика уединенных волн изучалась при помощи использования следующей явной разностной схемы (далее в этом параграфе
Рис. 4.2. Вид треугольной области Л в плоскости параметров (к, ho) для р2 < 0, р > 0.Рис. 4.2. Вид треугольной области Л в плоскости параметров (к, ho) для р2 < 0, р > 0.
Рис. 4.2. Вид треугольной области Л в плоскости параметров (к, ho) для р2 < 0, р > 0.
Рис. 4.2. Вид треугольной области Л в плоскости параметров (к, ho) для р2 < 0, р > 0.
Д обозначает приращение, не путать с Д в предыдущем параграфе!)
г МДж2г МДж2= 0.= 0.
г МДж2
г МДж2
= 0.
= 0.
(4.3.1)
Здесь индексы п и п + 1 обозначают номера двух соседних временных слоев t = п • М и t = (п + 1) • Д^, а Дж - пространственный шаг. Схема (4.3.1) является обобщением схемы для численного решения линейного уравнения Шрёдингера (Самарский, 1977). Схема (4.3.1) приближает исходные уравнения с точностью первого порядка по Д^ и второго порядка по Дж. Условие устойчивости для (4.3.1) имеет вид М < с-Дж4, где с — некоторая постоянная. Численное решение также может быть интерпретировано как решение некоторого другого уравнения, отличающегося от исходного высшими четными производными по ж (Бахолдин, 1994). Дополнительные недиссипативные члены можно представить следующим образом
62i = О(Дж2г"2). ох2г
г=2
Схема (4.3.1) приближает исходное уравнение плюс добавочные члены с точностью порядка О (Дж4) (с учетом условия устойчивости схемы) и поэтому сохраняет большинство качественных свойств исходного уравнения. Эффекты, вызванные наличием в аппроксимации следующих диференциальных приближений, предсказуемы и контролируются изменением шага Дж.
Численный метод с использованием (4.3.1) был проверен в расчетах эволюции устойчивой классической уединенной волны (4.0.6) с ф = ф-v (Bakholdin, Il’ichev, 1999). Счет с использованием (4.3.1) в этом случае дает стоячую уединенную волну, совпадающую с (4.0.6). Расчеты подвергались проверке с измененем шага пространственной сетки Дж, а также привлечением других численных схем. В частности, была использована явная схема типа предиктор-корректор, имеющая второй порядок точности по временной переменной t:
+2K+1/yu"+1/2 + ia<+1/2 + 7u*n+1/2
/<+1/2-<)М/2/<+1/2-<)М/2Дж2Дж2
/<+1/2-<)
М/2
/<+1/2-<)
М/2
Дж2
Дж2
Применение этой схемы позволяет проводить расчеты с меньшими Дж, так как условие устойчивости в данном случае имеет вид Д^ ~ Дж2. При использовании этих двух схем не было выявлено никаких отличий в излагаемых здесь результатах.
Начальные данные задавались таким образом, что точка ж = 0 соответствовала вершине горба уединенной волны. На всех рисунках изображена только область ж > 0 в силу симметрии решения. Качественное поведение решений не зависит от значений а, 3 и у при условии выполнения соответствующих неравенств между этими величинами, которые определяют положение решения относительно критической кривой в пространстве параметров.
На рис. 4.3 показана зависимость от времени максимума амплитуды для начального возмущения в форме уединенной волны (4.2.8), (4.2.9) в области параметров 3 < 0, о? < у2 < 3^ + а2. Кривая 1 показывает эволюцию амплитуды уединенной волны с ф = -02, р = р = —3 + V72 — <а2 (см. (4.0.6)). При р > р (кривая 2) начальное возмущение трансформируется в устойчивую уединенную волну с ф = -01. При р < 3- амплитуда начального возмущения выходит на ноль, т. е. соответствующая уединенная волна рассасывается в результате неустойчивости. В области параметров, соответствующей неустойчивому состоянию покоя 3 < 0, 3^ + с? < ^ ^ начальное возмущение в форме уединенной волны распадается. В этом случае пространственная область ж, занятая неустойчивой волной, быстро расширяется со временем (Bakholdin, Il’ichev, 1999).
Начальная стадия развития возмущения в форме уединенной волны в области параметров 3 > 0, у2 > о? + З2 Для различных моментов времени показана на рис. 4.4. Эта область, в которой уединенные волны замещаются обобщенно-уединенными. Главная часть
Рис. 4.3. Графики max|u(t)| для случая эволюции начальных возмущений в форме уединенной волны и устойчивого состояния покоя (3 < 0, о? < у2 < /32+а2). Здесь a = 1, 3 = —0,4, 7 = 1,04, р = р (кривая 1), р = 0,12344 (кривая 2), р = 0,10344 (кривая 3).
этих волн представляет собой ядро уединенной волны (4.2.9), которое имеет асимптотику (4.2.12). Из рис. 4.4 видно, что первая стадия перехода к неустойчивости сопровождается излучением периодических волн с волновым числом, близким к q в (4.2.12). Амплитуда излучаемой волны быстро растет в результате развития неустойчивости. Этот процесс ведет к появлению устойчивых волновых состояний и волновых скачков между ними. Каждый из этих волновых скачков движется с соответствующей скоростью. При помощи изменения пространственного размера численной сетки было определено, что структура первого скачка, движущегося с наибольшей скоростью, имеет регулярный характер (Bakholdin, Il’ichev, 1999).
Неупругое взаимодействие классических уединенных волн
Итак, уравнение (4.0.2) имеет решения типа классических уединенных волн (устойчивых для у2 < 3^ + с?, 3 < 0):
п = Ро + iqo, Pq = cos 0 • pch-1px, qo = sin-0 • pch-1px,
где
. 7Г 1. Q 2
0 = — — - arcsin —, p =— 3 — 7 cos 2d.
Рис. 4.4. Первая стадия перехода к неустойчивости уединенной волны (4.2.8), (4.2.9) при а = 1, Д = 0,1, у = 1,02, р = 0,1.
Из (4.0.2) получим, что уравнения нар, д, где и = p+zQ, записываются в виде
-^7 + Вр + ^ + 2(р2 + q2)p + 7Р - ад = 0, atот2
^ + Рч+ ^4 + 2(Р2 + 92)9 -iq + ap = 0.(4.4.1)
О иО Ju
В этом параграфе рассматривается взаимодействие двух одинаковых уединенных волн в предположении, что эти уединенные волны вначале далеко разнесены по пространству и каждая находится в поле соседней волны. Именно, безразмерное расстояние I между максимумами уединенных волн должно быть достаточно велико. Для описания подобного взаимодействия будет применяться метод асимптотических разложений, родственный методу Горшкова и др. (1976).
Пусть уединенная волна, имеющая номер 1, находится в слабом поле уединенной волны, имеющей номер 2. Будем искать решение уравнения (4.4.1) в виде
Р = Pi+Р2 + e(5i + 52), pi = р0(ж - Z/2),g = 91 + 92 + с(Д1 + Д2), 91 = до (ж — 4*^-1р2=р0^ + 1/2), 5i = §i(x — 1/2), 62 = S2(x + l/2),92 = Чо(,ж + I/"2), Дх = Д1(ж — Z/2), Д2 = Д2(ж + 1/2),
предполагая, что I = 1(т), р = р(т), т = et и е <С 1 - малый параметр взаимодействия, который имеет порядок величины амплитуды хвоста уединенного пульса с номером 2 (б = О(ехр[—р/])). Функции 5г, А^ г = 1,2, представляют собой ограниченные поправки, возникающие в результате взаимодействия.
В системе координат, распространяющейся с первой уединенной волной, в старшем порядке по б получим уравнение (4.4.1), в котором вместо р и q следует писать pi и qi (аналогично для р^ и q^Y что означает, что в нулевом порядке по б уединенные волны изолированы и независимы. Это уравнение удовлетворяется автоматически. Приближение первого порядка по б для волны с номером 1, в котором уже присутствуют члены взаимодействия, имеет вид (g = X — Z/2)
- Qu + "чт -Ux = б[(/3 + 7)51 + 5^^ + (6р| + 2^)51 + Д (Ли(Ли
AA4qipi - a)Ai],
9 37 Ри —37" ~U2 = е[(/3 - з)А1 + Д^ + (6^ + 2pi)Ai + Д (Ли(Ли
+ (4pigi + a)5i],(4.4.2)
где буквенные нижние индексы обозначают дифференцирование по д,
Ui = 6р(р2 + ^р2 + 4Q1P192, и2 = 6q^q2 + 2p^q2 + 4pviVP2-
Производные по времени от 5г, Аг, г = 1,2, сами будучи малыми порядка б, еще умножаются на б, в результате не давая вклад в уравнения (4.4.2). Будем искать убывающие на бесконечности решения 5i и А^, г = 1, 2.
Система уравнений (4.4.2) может быть переписана в виде
где
с = А Нт 4qxpx - аЛ
\ 4piQi + а Н^ / ’
dl dqi 1 dl dpi
d2
Hi = /3 + 7 + ^- + 6pi + 2q2,d2
H2 = 0 — 1 + -^ + 6qi + 2p2.
Легко видеть, что вектор ф = (pi^qiq) всегда является собственным вектором оператора С, соответствующим нулевому собственному
значению. Оператор
С : L2^ х I?( R) -^ L2^ х L2^
(L2 (ДГ) - пространство квадратично интегрируемых функций на прямой) является замкнутым оператором с областью определения
D^ = Н2(Д1) х Н2(Д1)
(Н2 (1R) - пространство квадратично интегрируемых на прямой функций вместе с первой и второй обобщенными производными). Для —(3 — у/у2 — а2 > 0, что имеет место в рассматриваемом случае, нулевое собственное значение оператора С является изолированным. Это означает, что нулевое собственное значение сопряженного оператора С* будет также изолировано.
Условие разрешимости уравнений (4.4.2) в классе убывающих функций имеет вид < Н^х > = 0, где < •< > обозначает скалярное произведение в L^JR^ С*х = 0 и
С* _ ( Я1 4^1^1 + «А\4piQi - а Н2 )
Далее будет рассмотрен случай взаимодействия двух уединенных волн с а = у, где нуль-векторы оператора С* могут быть представлены в явном виде. Все полученные результаты естественным образом остаются справедливыми, когда у достаточно близко к а.
Уравнение
С*Х = 0, Х = (Х1,Хг),
в рассматриваемом случае имеет вид (pi = Qi = q):
(9 + i)Xi + Xi« + 8g2xi + (4g2 + a)%2 =0,
(Д - 7)X2 + X2« + 8g2%2 + (4g2 - a)xi =0.(4.4.3)
В результате сложения уравнений (4.4.3) получим
3(xi + Х2) + (xi + X^qq + 12q2(xi + Х2) =0.(4.4.4)
Уравнение (4.4.4) имеет два решения: Xi +Х2 = 0 и Xi+Х2 = Qq- Под
ставляя первое из этих решений в первое уравнение (4.4.3), приходим к уравнению на Xi:
0X1 + Х1« + 4д2Х1 = 0.(4.4.5)
Уравнение (4.4.5) имеет только одно нетривиальное решение, убывающее на бесконечности:
= V1 = ch 1ps.
Следовательно, первый собственный нуль-вектор сопряженного оператора С* (четный) имеет вид
Подставляя второе решение (4.4.4) в первое уравнение в (4.4.3), получим уравнение для Xi:
0X1 + Xus + 4g2Xi = ~(4g2 + a)vu.(4.4.6)
Уравнение (4.4.6) обладает единственным убывающим решением вида
Z
oc
Vifdx + Vr J v2fdx,(4.4.7)
где
«2 = — 2- [shyCK^ + <jch-1p<j], / = -(4g2 +
Из (4.4.7) следует, что
Xi = —-ch pgshpg - -gch pq.
Следовательно, второй (нечетный) нуль-вектор сопряженного оператора С* имеет вид
(2) _ / -^ch-2p? • shp? - 2? . chXx \ \ — ^ch-2p<; • shp<j + f g • ch-1p^ /
Условием совместности системы уравнений (4.4.2) является
^ = 0, y = G(p,n,(4.4.8)
G^-G^-где
G^-
G^-
ch 4g • sh g • ch 1 (g + pl) dq.
Последний интеграл можно подсчитать в явном виде:
gm —аgm —аch 2pl 5 3sh3pZ 3sh3pZch 2pl 5 3sh3pZ 3sh3pZ16pl ch pl
gm —а
gm —а
ch 2pl 5 3sh3pZ 3sh3pZ
ch 2pl 5 3sh3pZ 3sh3pZ
3 — 4 ch 2pl + ch 4pl
Из первого уравнения в (4.4.8) следует р = ^—Р- Характерная форма функции G(l) приведена на рис. 4.4. Производная dl/dt в (4.4.8) яв-
Рис. 4.5. Форма G(l) при а = 0,2, /3 = — 1.
ляется всегда отрицательной, и, следовательно, расстояние I между горбами уединенных волн убывает. Таким образом, второе уравнение в (4.4.8) описывает притяжение уединенных волн, стремящихся к конечному состоянию (I —> 0, t —> ею). Этот тип взаимодействия известен из экспериментов (Wang, Wei, 1996) и численных расчетов (Wang et al., 1996) как неупругий. Подобное взаимодействие происходит для достаточно малых значений возбуждающей энергии (достаточно малые у в (4.0.2)).
Замечание. При взаимодействии уединенных волн разной полярности G(l) меняет знак и уединенные волны отталкиваются (см. также Wang, 1999).
Резюме
В этой главе были рассмотрены уединенные волны, представляющие собой особый вид стоячих поверхностных волн в периодически колеблющихся прямоугольных резервуарах. В качестве модельного уравнения использовалось уравнение Шрёдингера с параметрической накачкой (4.0.2), впервые выведенное Miles (1984). Это уравнение получено в предположении малости амплитуды вынуждающей силы, близости вынуждающей частоты к удвоенной естественной частоте Ш1, а также малости волновой амплитуды по сравнению с шириной резервуара. Однако порядок малости волновой амплитуды ниже, чем порядок малости разницы соответствующих частот и амплитуды вынуждающей силы, следовательно, в принципе, можно ожидать, что (4.0.2) описывает волны вполне умеренной амплитуды.
Были рассмотрены следующие солитоноподобные структуры, описываемые уравнением (4.0.2) вблизи критической кривой у2 = а2 +/32:
отрицательные /3: при у2 < о? + 3^ семейство классических уединенных волн, зависящих от свободного параметра -0;
положительные 3- семейство обобщенно-уединенных волн и уединенных волн с рябью.
Для отрицательных 3 в области Д2 + а2 > у2 семейство уединенных волн содержит неустойчивые уединенные волны (4.0.6) с ф = ф^. В этой области состояние покоя является устойчивым, а все семейство рассматриваемых уединенных волн является, по-видимому, неустойчивым, и переход к неустойчивости уединенных волн происходит без излучения. Более того, существуют два различных режима перехода к неустойчивости: уединенные волны с амплитудами, превосходящими некоторое критическое значение, трансформируются с течением времени в устойчивую уединенную волну (4.0.6). Уединенные же волны, имеющие амплитуду ниже критической, убывают со временем.
Для положительных 3 семейство решений (4.0.2) вблизи критической кривой, ответвляющихся от состояния покоя, богаче, чем для 3 < 0. В частности, в области у2 > о? + З2 существует семейство обобщенно-уединенных волн. Состояние покоя системы здесь неустойчиво, а форма перехода к неустойчивости локализованных возмущений диктуется свойствами стоячих солитоноподобных структур - обобщенно-уединенных волн, замещающих в этой области классические уединенные волны. Именно, существование обобщенноуединенных волн обуславливает излучение периодических составляющих ядром уединенной волны во время первой стадии неустойчивости.
Как уже упоминалось, результаты экспериментов (Wang, Wei, 1994) и численных расчетов (Wang et al., 1996) показывают сложный характер взаимодействия двух стоячих уединенных волн. В результате численных расчетов было выявлено четыре режима взаимодействия. Для небольших 7 < 7° (7 > <а) происходит “неупругое взаимодействие” : две уединенные волны притягиваются, сливаясь в одну устойчивую волну. Для промежуточных 70 < 7 < 71 две уединенные волны сливаются в одну, которая опять распадается на две уединенные волны и процесс повторяется периодически. При 71 < 7 < ^таж две уединенных волны сближаются на короткое расстояние и затем отталкиваются. И, наконец, при 7 > ^тах взаимодействие отсутствует, и волны остаются стоячими. В настоящей главе асимптотически описывается первый тип взаимодействия. Анализ проводится для 7 = а, но результаты являются справедливыми для 7 в некоторой правой полуокрестности а.
Уединенные волны в /3-плазме
К первым работам, посвященным изучению плоскопараллельных волновых движений в гидродинамической модели изотропной бесстолкновительной квазинейтральной плазмы в однородном магнитном поле, пожалуй, следует отнести работы Montgomery (1959), Saffman (1961), Kellog (1964), Kakutani (1966), где рассматриваются частные решения уравнений переноса в пределе бесстолкновительной холодной плазмы. Попытки описать не отдельные решения, а целые классы решений уравнений холодной плазмы были предприняты на стандартном пути дальнейшего упрощения этих уравнений (которые все еще сложны для общего исследования) методом многих масштабов. При помощи использования разновидности этого метода Kakutani et al. (1968), Kakutani, Ono (1969) получили уравнение КдВ и обобщенное уравнение КдВ пятого порядка для длинных магнитозвуковых волн в окрестности состояния покоя. В результате был сделан вывод о том, что классические уединенные волны - солитоны - в холодной плазме существуют для всех значений угла наклона 0 < 9 < тг/2 невозмущенного магнитного поля к направлению распространения волны. Для 9 < 9С^ где 9с - некоторое критическое значение угла 9. солитоны соответствуют волне разрежения, а при тг/2 > 9 > 9С - волне сжатия. Исследования полной системы уравнений (Il’ichev, 1996; Ильичев, 1996 а) обнаружили, однако, что солитоны для 9 < 9С не существуют, но в этом диапазоне углов наклона замещаются обобщенно-уединенными волнами. В работе Ильичева (19966), где также анализируется полная система уравнений холодной плазмы, найдены семейства уединенных волновых пакетов, которые ответвляются от состояния покоя в результате 1:1 резонанса.
В силу того обстоятельства, что в изотермической плазме характерные времена релаксации отличаются на порядок (см., например, Трубников, 1963), в течение определенного промежутка времени возможно рассматривать плазму с различными температурами электронной и ионной жидкостей.
Для плазмы, где температуры (или давления) ионов и электронов имеют один и тот же порядок величины, магнитогидродинамические волны подвержены затуханию Ландау (Ландау, Лифшиц, 2001), кроме случаев волн, распространяющихся вдоль и поперек магнитного поля (Barnes, 1966). Однако когда электроны являются достаточно нагретыми, их тепловая скорость будет значительно превосходить скорость магнитогидродинамических мод, и резонансом между частицей и волной можно пренеберечь. Поэтому если тепловая скорость ионов равна нулю, ионное затухание Ландау отсутствует и вместо уравнений Власова могут быть использованы уравнения переноса (Barnes. 1966: Tajiri, 1967).
Среди немногих работ, посвященных рассмотрению уравнений переноса для изотропной бесстолкновительной квазинейтральной плазмы с изотермическим давлением (/3-плазмы), т. е. с постоянными температурами ионов и электронов, прежде всего следует отметить работы Kakutani et al. (1967), Kawahara (1969), где разыскиваются частные решения системы уравнений переноса с горячими электронами и холодными ионами.
При рассмотрении меняющихся амплитуд альфвеновских волн в /3-плазме Patel, Dasgupta (1987) получили нелинейное уравнение Шрёдингера, которое поддерживает модуляционную неустойчивость и имеет солитонные решения. В этой работе также обсуждались вопросы соответствия такого теоретического описания результатам наблюдений альфвеновских солитонных структур в плазме магнитосферы Земли.
Бахолдин и др. (2000), Bakholdin et al. (2002) рассмотрели семейства солитоноподобных решений уравнений /3-плазмы, которые ответвляются от состояния покоя.
Настоящая глава организована следующим образом. В параграфе 5.1 приводится вывод уравнений, описывающих плоские волны в бесстолкновительной квазинейтральной плазме с горячими электронами и холодными ионами в рамках приближения двух жидкостей. В параграфе 5.2 рассмотрены линейные резонансы длинных и коротких волн, в параграфе 5.3 получена динамическая система для бегущих волн и описаны типы бифуркаций из состояния покоя. В параграфе 5.4 рассматриваются решения типа классической уединенной волны - солитоноподобные решения, которые существуют в неограниченой области в плоскости физических параметров /3,9. В этой области эволюция локализованных возмущений сжатия приводит к образованию классических уединенных волн, в частности, возмущение, имеющее форму такой волны, не претерпевает искажений в процессе эволюции. Классические уединенные волны имеют место только для быстрой магнитозвуковой ветви дисперсионного соотношения.
В параграфе 5.5 установлено существование обобщенно-уединенных волн, которые замещают классические в ограниченой области
физических параметров для быстрой и имеют место для всех параметров для медленной магнитозвуковых ветвей. В параграфе 5.6 рас- матриваются уединенные волны с рябью для медленных и быстрых магнитозвуковых ветвей дисперсионного соотношения.
Для более полного анализа всех возможных стационарных решений в параграфе 5.7 рассматриваются типы структур бесстолкновительных ударных волн, возможные в рассматриваемой модели плазмы. В системах без диссипации встречаются решения, в которых два однородных состояния разделяются участком колебательного типа - волновой зоной. С течением времени протяженность волновой зоны растет со временем, а ее огибающая приобретает автомодельный характер. В случае плазмы такую волновую зону принято называть нестационарной структурой бесстолкновительной ударной волны (Гуревич, Питаевский, 1973). При использовании наиболее простой дисперсионной модели - уравнения КдВ, на границе волновой зоны имеется не расширяющийся со временем (локальный) переход между однородным и периодическим состоянием (или последовательностью уединенных волн) при t —> сю. Этот переход при описании явления с помощью осредненных уравнений для огибающей можно рассматривать как скачок. В этом смысле под скачками в бездиссипативных моделях будем понимать любые локальные переходы между однородными, периодическими, квазипериодическими состояниями. Бахолдин (1999 а, 19996) развил общий подход, позволяющий по виду дисперсионной кривой предсказать возможный тип скачка со стационарной структурой.
В параграфе 5.8 найдены уединенные волновые пакеты для продольных волн в пределе холодной плазмы. В параграфе 5.9 приведены краткий анализ и обсуждение результатов, а также обсуждение в рамках рассматриваемой модели примеров солитоноподобных структур в плазме с параметрами плазмы магнитосферы Земли и солнечого ветра.
5.1. Вывод основных уравнений
Уравнения модели двух жидкостей бесстолкновительной двухкомпонентной изотропной плазмы в однородном магнитном поле с холодными ионами и нагретыми электронами имеют вид:
~1 ЗЁ 4тге .. х
rotB-у = (п^ - neve),
С ot с
~15В
rotE Н- с dt
divB = О,
divЁ = 4тге(пг — пе\
+ div^vj = О, dt
mi—-т— = е{Е Г -(viX В)}, dtс
dfle~ х
+ div(^ve) = О, dt
d^ve~1~1
(5.1.1)(5.1.1)те—-т— = —е{Е + -(ve х В)} - n^^rad^g, dtс
(5.1.1)
(5.1.1)
—- = — + (v^ • grad), —— = — + (ve • grad).dt 3t V h dt dt V }
Для электронной компоненты примем уравнение состояния идеального совершенного газа (см. табл. 5.1). Температуру будем считать постоянной.
Первые четыре уравнения в (5.1.1) представляют собой уравнения Максвелла, пятое и шестое - уравнение неразрывности и импульса для ионной жидкости, а седьмое и восьмое - соответственно, уравнения неразрывности и импульса для электронной жидкости. Все обозначения приведены в табл. 5.1.
Для того, чтобы выразить уравнения (5.1.1) в безразмерной форме, необходимо ввести характерные величины L, Va^ Bq, по с размерностью длины, скорости, напряженности магнитного поля и длины в минус третьей степени соответственно (см. табл. 5.1). При переходе к безразмерным переменным операторы дифференцирования в (5.1.1) меняются следующим образом (далее сохраним те же обозначения для обезразмеренных операторов градиента, дивергенции и ротора):
grad -4 L^grad. div -4 L^diy. rot -4 L-1rot, Д =
dt 3t
d^d^dtdtd^d^dtdt
d^d^
dtdt
d^d^
dtdt
d^d^(d;
== ^°+ v^' srad
dtdt\ dt
Е— МсЕ— МсВыразим вектор напряженности электрического поля из обезразме- ренного уравнения движения электронной жидкости (восьмое уравнение в (5.1.1)):
Е— М
с
Е— М
с
(5.1.2)(5.1.2)— d Г + ие 1 —4 grad пе
(5.1.2)
(5.1.2)
СД gатCU g
После подстановки (5.1.2) в обезразмеренное четвертое уравнение в (5.1.1) получим
( Ш0\ J- / « V. \ I Ш0\ I ШЛ д- ,
nt — пе = — —div —-— — —— div (ve х В) —
сСIIIIIIII/
у (Др Jу J у (Др J у (Др J
—divп~1 gradпе.(5.1.3)
Обезразмерив первое уравнение в (5.1.1), выразим из него скорость электронов:
Ve = —Vt - (Я”1 + .R^n^rOtB + ( —) (R71 + R^1)^1^-.
Tle\c)Ot
(5.1.4)
Подставляя (5.1.4) в (5.1.3), получим
/\ 2Tle - Tit =у (Др у/\ 2Tle - Tit =у (Др у22-1 'e-1 'e8E8t8E8tK4VC /K4VC /(^ 1 + Re 1)div ^-Vj x B-(^ 1 + Re 1)div ^-Vj x B--(^ 1 + Re ^r^ xrotВ x B+-(^ 1 + Re ^r^ xrotВ x B+22_xaEe 8t_xaEe 8t^■) div (ne 1 grad ne).^■) div (ne 1 grad ne).(5.1.5)(5.1.5)div^— —vt - (^ 1 + R r)ne 1rotB+dt \_Tte
/\ 2
Tle - Tit =
у (Др у
/\ 2
Tle - Tit =
у (Др у
2
2
-1 'e
-1 'e
8E
8t
8E
8t
K4V
C /
K4V
C /
(^ 1 + Re 1)div ^-Vj x B-
(^ 1 + Re 1)div ^-Vj x B-
-(^ 1 + Re ^r^ xrotВ x B+
-(^ 1 + Re ^r^ xrotВ x B+
2
2
_xaE
e 8t
_xaE
e 8t
^■) div (ne 1 grad ne).
^■) div (ne 1 grad ne).
(5.1.5)
(5.1.5)
Сделаем далее следующие предположения:
альфвеновская скорость Va настолько меньше скорости света с, что величина (Н^1 + Д”1)(Уд/с)2 пренебрежимо мала;
характерный пространственный масштаб L много больше дебаевского радиуса Xd*,
характерная частота явления сдо много меньше лангмюровской частоты (др.
Из (5.1.5) тогда следует, что при выполнении этих трех условий плазму в дальнейшем можно считать квазинейтральной, т. е.
Таблица 5.1. Обозначения.
Обозначение
Содержание введенного обозначения
ж, t
Ё
В
Vz
Ve fit fie
Во
По
—е
mt, те
L
VA с ^о
сие
Ri, Re
Те
кь
Xd
vt
Ve В
E
ТЦ^е n
Ve
Pe
Pe
0
Pe
X, t
9
Cl), к q± V
Te
физические координата и время
вектор напряженности электрического поля
вектор напряженности магнитного поля
вектор скорости движения ионов
вектор скорости движения электронов плотность числа частиц ионов
плотность числа частиц электронов
вектор невозмущенного магнитного поля невозмущенная плотность числа частиц заряд электрона
массы иона и электрона
линейный пространственный масштаб альфвеновская скорость |Во|[4тгпо(те + mJ]-1/2 скорость света
характерная частота явления VaL1
лангмюровская частота электронов ^4тгпов2/те циклотронная частота ионов e|Bo|/(mzc) циклотронная частота электронов е|Во|/(тес) безразмерные параметры дисперсии Wi (ш^, ше (ш^ температура электронов постоянная Больцмана
дебаевский радиус ^/4^2
Vi/Va, компоненты (u, u,w)
Ve/VA
В/|ВО|, компоненты (Вж, Ву, Вz)1
Ё/Во ni)n0, ne/n0
Hi
тепловая скорость электронов у/къТе/те циклотронный радиус электрона Ve /те безразмерная тепловая скорость электронов VejVA эффективная скорость звука y/me/(mi + т^Зе давления в электронной жидкости къпеТе x/L, co^t
угол между вектором Bq и осью Ох безразмерные волновая частота и волновое число безразмерные резонансные волновые числа безразмерная скорость волны радиус Земли
а формула (5.1.4) для скорости упрощается:
ve = Vj - (^ 1 + Re 1)ni Чо! В.(5.1.6)
Выразим далее из обезразмереного шестого уравнения в (5.1.1) напряженность электрического поля:
г_Глг_Глdtdt- vt х В- vt х В(5.1.7)(5.1.7)
г_Гл
г_Гл
dt
dt
- vt х В
- vt х В
(5.1.7)
(5.1.7)
и применяя ротор к обеим частям (5.1.7), исключим из второго уравнения в (5.1.1) rot Е. Уравнение для вектора напряженности магнитного поля тогда принимает вид
дВ1 d^vt
— = -Rt ^ot —— + rot(vi x В). Cz LLLL
Складывая обезразмеренные шестое и восьмое уравнения в (5.1.1) и используя (5.1.2) и (5.1.6), получим в пределе квазинейтральной плазмы
d^Vidtd^Vidtте d^Vi тгц dtте d^Vi тгц dtd^ 1— (r^rotBHd^ 1— (r^rotBH+ЯГ1+ЯГ1WiR 1rotB) • grad]v, -WiR 1rotB) • grad]v, -
d^Vidt
d^Vidt
те d^Vi тгц dt
те d^Vi тгц dt
d^ 1
— (r^rotBH
d^ 1
— (r^rotBH
+ЯГ1
+ЯГ1
WiR 1rotB) • grad]v, -
WiR 1rotB) • grad]v, -
-(V+ Я;1) (i + —-(V+ Я;1) (i + —
-(V+ Я;1) (i + —
-(V+ Я;1) (i + —
(ni 1rotB) • grad(ni 1rotB) +
ТПе \ iTHez x
1 -II n. 1rotB x ВЙgrad In(пЛ. mt)mt
Окончательно, замкнутая система уравнений для ионной жидкости в пределе квазинейтральной плазмы имеет вид
0 =+ div
^J = /^^-(nyrotB) + ^^(nr^otB) • grad]v, -
-(Я)"1 + Я"11(717^01 В) • grad(n71rotB) +
-Hn^rotB x В —/32 grad In (nJ,
— = -R^rot F rot(vi x B).(5.1.8)
Cz LLLL
Скорость электронов и электрическое поле определяются, соответственно, из уравнений (5.1.6) и (5.1.7).
(5.1.9)(5.1.9)Для плоских волн, распространяющихся вдоль оси Ож, из (5.1.8) получим
(5.1.9)
(5.1.9)
dn dt
du
du dt
ri-1 d(By2 + Bz2) 2 ^dn
= 29l6" a,'
du dt
- „-^В- Я — In-1—'
oxdt \ox )
dw dt dB^ dt
i ЭВ^I d f ! ЭВ^
= n-1B$^+Re-1- n"1^ oxdt \ox )
- Xdxydx+ г dxdt,
dB~ dw п ^u8 du
~dF =8i"dP
£8_8_
dt8t U Эх
Для одномерных движений компонента Вх магнитного поля остается постоянной все время движения. Переменные n, u, u, w, Вх. В^ В^ в состоянии покоя имеют значения 1, 0, 0, 0, cos#, sin#, 0, соответственно.
Линейные волновые резонансы
Для дальнейшего анализа нам понадобятся некоторые свойства дисперсионного соотношения для линейных волн, которые будут перечислены в настоящем параграфе. Детальное рассмотрение распространения линейных волн в замагниченной плазме в гидродинамическом приближении может быть найдено, например, в работе Шафранова (1963).
Дисперсионное соотношение для системы уравнений (5.1.9) имеет вид
О = (ReRi + А2)2У6 - {Я|Я2 + Л2/?2 cos2 9 + ReRi\l + + cos2 9(р + 1)] А;2 + (ReRi + k2)2p2^V4 + cos2 0[Я2Я2 + +‘2R2R202 + ReRpp + 2)/32 k^V2 - R2R2 cos4 Эр2, (5.2.1)
где
Кривые w = ш(к) симметричны относительно начала координат в плоскости Окш^ в силу этого достаточно рассмотреть случай ш > 0, к > 0.
Такая симметрия имеет место как следствие инвариантности системы уравнений (5.1.9) относительно преобразований ж —> —ж, t —> — t и
(ж, t) —> (—ж, t),(п, и, v, w, Ву, В^) —> (n, — u, v, w, —Ву, —Bz).
При Р ^ 0 дисперсионное соотношение имеет три ветви, которые будем называть в соответствии с названиями длинных волн, отвечающих этим ветвям: медленная магнитозвуковая - ш8 = kV8(k), быстрая магнитозвуковая - wq = кУДк) и альфвеновская - ша = к¥а(к). Взаимное расположение этих ветвей показано на рис. 5.1.
Рис. 5.1. Взаимное расположение кривых ветвей дисперсионного соотношения ш = ш(к) уравнений (5.2.1). Кривая 1 соответствует медленной магнитозвуковой ветви, кривая 2 - альф- веновской ветви, 3 - быстрой магнитозвуковой ветви. Имеет место резонанс длинной медленной магнитозвуковой волны и моды альфвеновской ветви: прямая 4, касательная к 1, всегда пересекает 2 при к = q.
В пределе холодной плазмы Р = 0 дисперсионная кривая имеет две ветви - альфвеновскую и магнитозвуковую. Определение явных зависимостей ш = ш(к) из уравнения (5.2.1) приводит к громоздким вычислениям и несущественно для дальнейшего изложения. Необходимо заметить лишь следующее.
Из уравнения (5.2.1) видно, что при фиксированном значении фазовой скорости V прямая (д = kV при к > 0 имеет не более двух общих точек со всеми ветвями (5.2.1), поскольку при заданном V соотношение (5.2.1) является биквадратным уравнением относительно волнового числа к.
Значения ш на альфвеновской и медленной ветвях в коротковолновом пределе (к —> +оо) ограничены по модулю постоянными ш^ = Recos0^ ш^ = Rt cos 0 которые не зависят от 3- а прямые ш = иУ^ являются горизонтальными асимптотами графиков этих ветвей (рис. 5.1).
При 3 ^ ^ график быстрой магнитозвуковой ветви лежит всюду выше наклонной асимптоты ш = Зк.
Рис. 5.2. Положение кривой 3 = Зс^ разделяющей области резонанса длинной и короткой волн (I) и простого резонанса (II).
Фазовые скорости бесконечно длинных волн для альфеновской, быстрой и медленной магнитозвуковых ветвей даются, соответственно, выражениями
K(O) = cos0, УД0) = У+, ^(0) = ^-,0<V" <Va<V+,
= ^1+ (З2 ± V^+ Р2У - 4 cos2 6»/З2]/7.(5.2.2)
Кривая в пространстве параметров 3 = Зс^ (рис. 5.2)
= a/G^ + W + ^cos2#-!],
является критической в следующем смысле. При 3 > Зс^ (область II на рис. 5.2) прямая ш = V^k^ касательная к быстрой магнитозвуковой ветви в нуле, больше не пересекает дисперсионную кривую (рис. 5.3 а). При 3 < Зе (область I на рис. 5.2) существуют дополнительные точки пересечения к = ±q+, q+ > 0, этой прямой с магнитозвуковой ветвью дисперсионной кривой (рис. 5.36), что соответствует линейному резонансу длинной и короткой волн. Заметим, что при 3 — Зс зануляется
коэффициент при кубе волнового числа разложения ш при малых к, что приводит, в частности, к необходимости учитывать члены следующего порядка малости в длинноволновом разложении частоты.
Прямая ш = Vк, касательная к медленной ветви, всегда пересекает альфвеновскую ветвь в одной точке для к > 0 (рис. 5.1); таким образом, имеет место линейный резонанс длинной медленной магнитозвуковой волны и короткой моды альфвеновской ветви.
°)
Рис. 5.3. Кривая 2 - быстрая магнитозвуковая ветвь при Р > Рс (а) и Р < рс (б), стремящаяся к асимптоте (штриховая линия 3) при к —> сю. В случае б) имеется резонанс длинной магнитозвуковой волны и короткой моды магнитозвуковой ветви: прямая 1, касательная к 2 в нуле, пересекает ее при к = q^. В случае а) резонанс длинной и короткой волн отсутствует.
Для Р < Рс быстрая магнитозвуковая ветвь имеет точку (kr, Vr\ где фазовая скорость равна групповой. Геометрически это означает, что прямая ш = Vrk и кривая быстрой магнитозвуковой ветви касаются в точке (kT)VT) (1 : 1 резонанс).
Таким образом, для быстрой и медленной магнитозвуковых ветвей имеем четыре типа резонансов: простой резонанс, соответствующий бифуркации из нулевого волнового числа для быстрых магнитозвуковых волн, резонанс быстрой длинной магнитозвуковой волны и короткой моды быстрой магнитозвуковой ветви, резонанс длинной медленной магнитозвуковой волны и короткой моды альфвеновской ветви и 1 : 1 резонанс.
Динамическая система
Решения системы уравнений (5.1.9) типа бегущей волны зависят от х — Vt (далее вместо этой комбинации будем писать ж). Рассматриваются волны, движущиеся со скоростью, близкой к одной из магнитозвуковых скоростей, т. е. для V примем V = У± + р. где р - малый параметр и У^ - одна из скоростей (5.2.2). Бегущие волны описываются системой уравнений, полученных однократным интегрированием из (5.1.9). Плотность п и ж-компонента скорости выражаются через другие неизвестные функции по формулам
где
G = U3. + 2 sin Oby + B^Y bv = Bv — smO. О У ' у у
Постоянные интегрирования выбираются так, что состояние покоя удовлетворяет уравнениям для бегущих волн, а сами уравнения имеют вид
dv _ _Ri cos 6
— = -RiBz-—nw,
dxV
dw Ri cos 6л z _i
— = ———nv + Ri by + Ri sin#n(n — 1), dx V dbyRe cos 6
p = Renw + nBz—^——, dxV
(5.3.1)(5.3.1)dBz _ Re cos 6 _
(5.3.1)
(5.3.1)
dxV y
В окрестности V = V^ система (5.3.1) может быть представлена в виде (1.0.1), где w = (v,w,by,Bz3
/ 0
Ri cos 9
0
-Ri \
Л =
Ri cos 9
0
Ri
/1 sin2 9 A j
\V±2-/32 J
-0
0
Re
0
Re cos 9 v±
\ "Re
0
Re cos 9 v±
0/
а компоненты нелинейной вектор-функции
^=(^,^^3,^4), Fi = 0(m|w|,|w|2), г = 1,4,
имеют видимеют видRi cos 9 Ri cos 9
имеют вид
имеют вид
Fi =—nw H
RtcosORiCosG .
F2 = ———nu —v + Ri sin 0(1 - n), ___ Re COS 9 _ Re cos 9 _
F3 = Renw - Rew H-—rriBz^^Bz,
„ Re COS 9 7Re cos 9 7
F4 — ReHV + Re^ ^ Tiby +"^7±
Система уравнений (5.3.1) обратима, матрица изометрии для нее имеет вид F = diag(l, — 1,1, — 1). Обратимость в данном случае означает, что среди решений (5.3.1) могут находиться решения с четными и и by и нечетными w и Bz.
Характеристическое уравнение |Л(У) — сг!\ = О, I - единичная матрица, записывается в виде
sin2 9,.2 “ у2 -д2 “ ^ + 2)sin2 9,.2 “ у2 -д2 “ ^ + 2)-\-(RiRey-\-(RiReysin2 9У^-З^sin2 9У^-З^(5.3.2)(5.3.2)О = ст4 — RiRe
sin2 9,.
2 “ у2 -д2 “ ^ + 2)
sin2 9,.
2 “ у2 -д2 “ ^ + 2)
-\-(RiRey
-\-(RiRey
sin2 9
У^-З^
sin2 9
У^-З^
(5.3.2)
(5.3.2)
Резонансы при У = У^ и У = Ут^ описанные в предыдущем параграфе, обуславливают бифуркации из нулевого решения, которые в первом случае дают уединенные и обобщенно-уединенные волны, а во втором - магнитозвуковые уединенные волновые пакеты, где скорости огибающей и высокочастотного наполнения близки (Ильичев, 1996 6, 2000).
Динамика собственных значений в комлексной плоскости спектрального параметра ст при прохождении р через нуль изображена на рис. 1.1: ситуация У = У+ + р, 3 > Зс представлена на рис. 1.1а; У = У^ + р. 3 < Зе или V = У + р - на рис. 1.1 б; У = Уг + р - на рис. 1.1 в.
При У = У^ характеристическое уравнение (5.3.2) представляется в виде
ст2 |сг2 — ^^ [(^±2 — cos2 ^ — Р cos2 ^] | = 0.(5.3.3)
На мнимой оси лежат следующие корни уравнения (5.3.3):
при У = УД 3 > Зс - ноль второго порядка;
при V = УД 3 < Зс или при У = У - ноль второго порядка и два ненулевых значения ст = tiq^^ q^ > 0, где
q±2 = — ^^ (У±2 — cos2 9 — р cos2 9^.(5.3.4)
Рис. 5.4. Эволюция начальных данных типа быстрой магнитозвуковой уединенной волны при 6 > 6С, (6С = 3(33), Р = 0,05, 0 = 1, 555, З2 = 0, 5, t = 0 (тонкая линия) и t = 250 (жирная линия). Система координат движется со скоростью У+ + р.Рис. 5.4. Эволюция начальных данных типа быстрой магнитозвуковой уединенной волны при 6 > 6С, (6С = 3(33), Р = 0,05, 0 = 1, 555, З2 = 0, 5, t = 0 (тонкая линия) и t = 250 (жирная линия). Система координат движется со скоростью У+ + р.
Рис. 5.4. Эволюция начальных данных типа быстрой магнитозвуковой уединенной волны при 6 > 6С, (6С = 3(33), Р = 0,05, 0 = 1, 555, З2 = 0, 5, t = 0 (тонкая линия) и t = 250 (жирная линия). Система координат движется со скоростью У+ + р.
Рис. 5.4. Эволюция начальных данных типа быстрой магнитозвуковой уединенной волны при 6 > 6С, (6С = 3(33), Р = 0,05, 0 = 1, 555, З2 = 0, 5, t = 0 (тонкая линия) и t = 250 (жирная линия). Система координат движется со скоростью У+ + р.
Классические уединенные волны
Для V = У+ и 3 > Зс имеем бифуркацию из нулевого волнового числа. Движение собственных значений матрицы А (корней уравнения (5.3.2)), попадающих с действительной на мнимую ось при переходе р через ноль, в этом случае изображено на рис. 1.1а.
Представим главную часть решения wo (см. параграф 1.1) в виде
(5.4.1)(5.4.1)wq — аофо + а^ф^
(5.4.1)
(5.4.1)
где фо и ф1 - собственный и присоединенный нуль-векторы матрицы А даются выражениями
^0 —^0 —1\ о /1\ о /у+2^ = у+2 - cos2 еу+2^ = у+2 - cos2 е
^0 —
^0 —
1
\ о /
1
\ о /
у+2
^ = у+2 - cos2 е
у+2
^ = у+2 - cos2 е
Для достаточно малых р и а = (ao, а-3 приведенные уравнения системы (5.3.1) имеют вид (см. п. 1.4.1)
d0 = «1 + О(м|а|, |а|2),
(5.4.2)(5.4.2)di = цс^ао - с^йд + 0(^1) + о(м1аЬ 1а|2)>
(5.4.2)
(5.4.2)
гдегде+ ReRi f cos2 6 V+sin2# \
где
где
C1 =VT+3" + (У+2 — Р2У J ’
+ Де^8Ш0 / cos2 9
A+ =A+ =V+2 — cos2 9 — p cos2 9V+2 — cos2 9 — p cos2 9V+2 - cos2 9V+2 - cos2 91212У+2 sin2 9ly+^^yУ+2 sin2 9ly+^^yC2 = Д+(У+2 -£2) ^V+2~
A+ =
A+ =
V+2 — cos2 9 — p cos2 9
V+2 — cos2 9 — p cos2 9
V+2 - cos2 9
V+2 - cos2 9
1
2
1
2
У+2 sin2 9ly+^^y
У+2 sin2 9ly+^^y
Для p > 0 система уравнений (5.4.2) обладает решением
3 с+ X/ СТ Р-
«о = А<^^сЬ"2-Ц-—ж + OQu2), «1 = «о + О(/<2).(5.4.3)
22
Как доказывалось в п. 1.4.1, для малых р (5.4.3) является точным решением приведенных уравнений (5.4.2) (а, значит, и (5.3.1)), которое четно и экспоненциально убывает на обеих бесконечностях, т. е. это решение описывает классическую уединенную волну.
Выражение для главной части (низшего приближения по р) классической уединенной волны в физических переменных восстанавливается по формуле (5.4.1). На рис. 5.4 показана эволюция симметричной и антисимметричной уединенных волн (плотности и Bz-компоненты магнитного поля), формирующихся из профиля, определяемого главной частью (5.4.3). В результате эволюции образуется уединенная волна, распространяющаяся без изменения формы, ее профиль незначительно отличается от начального. Физические постоянные, которые брались в данных расчетах, соответствуют водородной плазме: Rp1 = 0,02341352 (характерная частота полагалась равной среднему геометрическому циклотронных частот).
Быстрые и медленные обобщенно-уединенные волны
В настоящем параграфе рассмотрим обобщенно-уединенные волны, которые образуются в результате бифуркаций, соответствующих резонансам длинной магнитозвуковой волны и моды быстрой же магнитозвуковой ветви, отвечающей ненулевому волновому числу, а также длинной медленной магнитозвуковой волны и короткой моды альфве- новской ветви. Иными словами, будем рассматривать волны со скоростями, находящимися в окрестности У+ при Р < Рс (случай дополнительный к рассмотренному в предыдущем параграфе), а также в окрестности V. Бифуркации, приводящие к появлению рассматриваемых волн, иллюстрируются диаграммой, приведенной на рис. 1.16.
Как уже отмечалось, в рассматриваемых случаях все корни уравнения (5.3.3) чисто мнимые: ноль второго порядка и ±гд±, q± > 0, где q± дается формулой (5.3.4). В случае, когда центральный спектр имеет такую структуру, размерность центрального многообразия равна четырем и главная часть неизвестной вектор-функции выражается по формуле (1.4.8).
В данном случае размерность всего фазового пространства равна четырем, поэтому в уравнениях (5.3.1) сделаем замену переменных
w = аофо + ауфу + а+ф+ + а_ф_, а_ = d^, ф_ = ф^_,(5.5.1)
Аф^ = гдф_^_. Векторы фо, фу и ф^ даются формулами
==q^-^Ri - ReY-^-\-г)q^-^Ri - ReY-^-\-г)Векторы сопряженного базиса имеют видВекторы сопряженного базиса имеют видфх = А 1фх = А 1ОReООReОф+ = -ф+ = -Re2»±Re2»±/1\-iq^Ri - ReY^^-iRiq^-1 [l-fl^p^)2),/1\-iq^Ri - ReY^^-iRiq^-1 [l-fl^p^)2),Компоненты вектор-функции а = (do, di, d+, d_) удовлетворяют уравнениямКомпоненты вектор-функции а = (do, di, d+, d_) удовлетворяют уравнениямdo = di + O(/z|ai|, |ai|2),di — M-Cy dg c^ dg + /1 (do, di, d_|_, d_),d+ = iq^a^ + z(/zc/±do + d^a^) + g^(cto, di, d+, d_),(5.5.2)do = di + O(/z|ai|, |ai|2),di — M-Cy dg c^ dg + /1 (do, di, d_|_, d_),d+ = iq^a^ + z(/zc/±do + d^a^) + g^(cto, di, d+, d_),(5.5.2)
=
=
q^-^Ri - ReY-^-\-г)
q^-^Ri - ReY-^-\-г)
Векторы сопряженного базиса имеют вид
Векторы сопряженного базиса имеют вид
фх = А 1
фх = А 1
ОReО
ОReО
ф+ = -
ф+ = -
Re2»±
Re2»±
/1\
-iq^Ri - ReY^
^-iRiq^-1 [l-fl^p^)2),
/1\
-iq^Ri - ReY^
^-iRiq^-1 [l-fl^p^)2),
Компоненты вектор-функции а = (do, di, d+, d_) удовлетворяют уравнениям
Компоненты вектор-функции а = (do, di, d+, d_) удовлетворяют уравнениям
do = di + O(/z|ai|, |ai|2),
di — M-Cy dg c^ dg + /1 (do, di, d_|_, d_),
d+ = iq^a^ + z(/zc/±do + d^a^) + g^(cto, di, d+, d_),(5.5.2)
do = di + O(/z|ai|, |ai|2),
di — M-Cy dg c^ dg + /1 (do, di, d_|_, d_),
d+ = iq^a^ + z(/zc/±do + d^a^) + g^(cto, di, d+, d_),(5.5.2)
гдегде± ReRt /cos2 9 У± sin2 9 \± Де^8т^ / cos2 01У±2 sin2 ОС2 = Д±(У±2 _^2) ^ у±2 + 2 + (У±2 _ /32)2± ReRt /cos2 9 У± sin2 9 \± Де^8т^ / cos2 01У±2 sin2 ОС2 = Д±(У±2 _^2) ^ у±2 + 2 + (У±2 _ /32)2. ।V±2 — cos2 9 — р cos2 9У±2 — cos2 9. ।V±2 — cos2 9 — р cos2 9У±2 — cos2 9atatЯ2 cosetRtVti - Re cos2 9)2g±2V±4Я2 cosetRtVti - Re cos2 9)2g±2V±4Re(Re — Ri) cos 9 tRi cos2 9Re(Re — Ri) cos 9 tRi cos2 929±2Г±29±2Г±у±зу±зЖУ^ sin2#\ЖУ^ sin2#\atatRe Ri(Ri — Re) cos 9 sin 9 Г cos2 9Re Ri(Ri — Re) cos 9 sin 9 Г cos2 92g±2y±(y±2 .^2)2g±2y±(y±2 .^2)У ±2У ±21212У±2 sin2 9 "(y±2 ./32)2] ’У±2 sin2 9 "(y±2 ./32)2] ’
где
где
± ReRt /cos2 9 У± sin2 9 \
± Де^8т^ / cos2 01У±2 sin2 О
С2 = Д±(У±2 _^2) ^ у±2 + 2 + (У±2 _ /32)2
± ReRt /cos2 9 У± sin2 9 \
± Де^8т^ / cos2 01У±2 sin2 О
С2 = Д±(У±2 _^2) ^ у±2 + 2 + (У±2 _ /32)2
. ।V±2 — cos2 9 — р cos2 9
У±2 — cos2 9
. ।V±2 — cos2 9 — р cos2 9
У±2 — cos2 9
at
at
Я2 cosetRtVti - Re cos2 9)2g±2V±4
Я2 cosetRtVti - Re cos2 9)2g±2V±4
Re(Re — Ri) cos 9 tRi cos2 9
Re(Re — Ri) cos 9 tRi cos2 9
29±2Г±
29±2Г±
у±з
у±з
ЖУ^ sin2#\
ЖУ^ sin2#\
at
at
Re Ri(Ri — Re) cos 9 sin 9 Г cos2 9
Re Ri(Ri — Re) cos 9 sin 9 Г cos2 9
2g±2y±(y±2 .^2)
2g±2y±(y±2 .^2)
У ±2
У ±2
1
2
1
2
У±2 sin2 9 "(y±2 ./32)2] ’
У±2 sin2 9 "(y±2 ./32)2] ’
/^(«о, «i,«+,«) - действительная, а д^(ао, «i,«+, а_) - комплексная нелинейные функции своих аргументов, причем
/1(«о, 0,0,0) = О(а2), 51(а0,0,0,0) = О(а2).
Как уже отмечалось, преимущество замены неизвестных функций (5.5.1) состоит в разбиении неизвестной вектор-функции w на длинноволновую (ao?^i) и коротковолновую сц. составляющие. Сделаем в (5.5.2) следующее масштабное преобразование:
«о = р.ьо, «1 = м|л*|1/2^1, «+ = R2b+, С = М1/2^
В новых переменных уравнения (5.5.2) запишутся в виде
b0 = bl + О(^), ьг = sign/z(c^bo - c^bo) + О(/<),
b+ = iq^z + i(atb0 + dtby) + Od/il1/2),(5.5.3)
где штрих обозначает производную по й Из (5.5.3) следует, что в низшем порядке по р, система уравнений (5.5.2) имеет решение
аг =а0.аг =а0.(5.5.4)(5.5.4)± Зс± _2Vci^
аг =а0.
аг =а0.
(5.5.4)
(5.5.4)
% =/^—ch2с22
Заметим, что в рассматриваемом случае Д+ < 0, с^ < 0 и с^ < 0, а Д- > 0, с^ < 0 и с^ > 0. Отсюда имеем, что в (5.5.4) р < 0 для быстрых и р > 0 для медленных магнитозвуковых волн.
Рис. 5.5. Эволюция начальных данных типа быстрой магнитозвуковой уединенной волны при 9 < 9С. р = —0,05, 9 = 1,535, З2 = 0,5, t = 0 (тонкая линия) и t = 250 (жирная линия). Система координат движется со скоростью У+ + р.Рис. 5.5. Эволюция начальных данных типа быстрой магнитозвуковой уединенной волны при 9 < 9С. р = —0,05, 9 = 1,535, З2 = 0,5, t = 0 (тонкая линия) и t = 250 (жирная линия). Система координат движется со скоростью У+ + р.
Рис. 5.5. Эволюция начальных данных типа быстрой магнитозвуковой уединенной волны при 9 < 9С. р = —0,05, 9 = 1,535, З2 = 0,5, t = 0 (тонкая линия) и t = 250 (жирная линия). Система координат движется со скоростью У+ + р.
Рис. 5.5. Эволюция начальных данных типа быстрой магнитозвуковой уединенной волны при 9 < 9С. р = —0,05, 9 = 1,535, З2 = 0,5, t = 0 (тонкая линия) и t = 250 (жирная линия). Система координат движется со скоростью У+ + р.
w±(+oc) = D± expw±(+oc) = D± expsin^xfl + O(p)Ysin^xfl + O(p)YАсимптотика (5.5.4) вычисляется при помощи метода, изложенного в п. 1.4.2. Формула преобразования (5.5.1) дает
w±(+oc) = D± exp
w±(+oc) = D± exp
sin^xfl + O(p)Y
sin^xfl + O(p)Y
(5.5.5)
Точное значение компонент постоянных векторов D± может быть подсчитано только с учетом членов всех порядков по р в (5.5.2). Решение, в низшем приближении по р описываемое (5.5.4) и имеющее асимптотики (5.5.5), представляет собой обобщенно-уединенную волну.
На рис. 5.5 показаны численные решения, иллюстрирующие эволюцию начальных данных типа симметричной уединенной волны (плотности) и антисимметричной уединенной волны (Bz-компоненты магнитного поля), соответствующие (5.5.4) для быстрой магнитозвуковой ветви. Происходит медленный распад ядра уединенной волны за счет коротковолнового излучения. Процесс излучения является квазиста- ционарным.
На рис. 5.6 показано, каким образом происходит эволюция начальных данных типа ядра уединенной медленной магнитозвуковой волны при достаточно малом значении р. Моды альфвеновской ветви не видны, волновое число в точке пересечения прямой ш = (У- + р)к и дисперсионной кривой приблизительно равно 63, 9. Метод расчета не позволяет рассматривать такие короткие волны; очевидно, что ам-
Рис. 5.6. Эволюция начальных данных типа медленной магнитозвуковой уединенной волны р = 0,0125, 6 = 0,5, /З2 = 0,5, t = 0 (тонкая линия) и t = 20000 (жирная линия). Система координат движется со скоростью V + р.
плитуда резонансной моды альфвеновской ветви здесь чрезвычайно мала. Ядро уединенной волны имеет экспоненциальное убывание при ж —> ±сю, этому убыванию соответствуют чисто мнимые значения к при совместном решении уравнений (5.2.1) и V = V ± р. Предельно допустимое значение р. при котором чисто мнимое значение к еще существует при данных значениях 6 и /3, приблизительно равно 0,1337; при больших значениях р прямая w = (V- ±р)к одновременно пересекает альфвеновскую и быструю магнитозвуковую ветви, поэтому все значения к - действительные. При приближении к критическому значению р значение к = q в точке пересечения с альфвеновской ветвью уменьшается и стремится к некоторому значению, приблизительно равному 0, 82, а абсолютое значение чисто мнимого к стремится к бесконечности. Возможно при этом длина резонансной моды альфвеновской ветви сопоставима с длиной ядра обобщенно-уединенной волны конечной амплитуды, если таковая существует, однако используемые формулы (5.5.4) для начальных данных не описывают ядро уединенной волны вблизи критического значения р. что выявляется уже при ^ = 0,1 (q- «55,6).
Качественно процесс эволюции начальных данных для больших и малых значений р однотипен. Разница только в характерном времени распада и относительной амплитуде излучаемых волн. Время распада при уменьшении р увеличивается, а относительная амплитуда уменьшается. Вначале идет сброс быстрой магнитозвуковой волны, движущейся влево, затем медленной, движущейся влево, затем
быстрой, движущейся вправо. Эти волны со временем убегают от начального возмущения. По существу, это исправление погрешности начальных данных, поскольку для описания уединенной волны используются асимтотические формулы (5.5.4) первого порядка точности по р. В результате остается только медленная магнитозвуковая волна слева от начального возмущения, которая и ответственна за последующее его разрушение. Заметим, что излучение волны такого типа наблюдается в аналогичном расчете для быстрой магнитозвуковой ветви, а также для обобщенного уравнения Кортевега-де Вриза (Bakholdin, Il’ichev, 1996). В расчетах в последних двух случаях длина резонансной волны в точке пересечения прямой ш = Vk сопоставима с длиной ядра уединенной волны, поэтому наблюдается еще и квази- стационарное резонансное излучение, которое имеет доминирующий вклад в распад.
Уединенные волны с рябью
Квазинормальная форма уравнений (5.5.2) дается (1.3.11), где
С1(/х) =/хе?+ О(м2), c2(/z) = с^ + O(/z2),
7о(//) = ^ + O(/z2),7i(/z) = ^ + O(/z2),
d[,±Iv“ + 2№ - л- >2 c“4 9+
+№-ft)2v±2(i + ^!^(5.6.1)
Полагая % = ^ехрг-0, при помощи масштабных преобразований
а0=^ЫС)> ^о=/*2к, ф = ^Q/v,
С, = их, v = Ic^/z,1/2, Е = /z2/io,
получим из (1.3.11), (5.6.1)
d^bo = Tsign//(&o - %&о - ^) +ci С1
Э^д = 0, (9^ = Ф(//, «о, я;2) = q^ + О(^),(5.6.2)
где знак минус перед sign/z в правой части уравнения для 6о в (5.6.2) стоит для быстрой, а знак плюс - для медленной магнитозвуковых ветвей.
Имеют место ровно два положения равновесия. В низшем порядке по р они даются формулами
4dc^4dc^
4dc^
4dc^
для седловой точки и
7 С1 • С1 к7 С1 • С1 к4dc^С14dc^С1
7 С1 • С1 к
7 С1 • С1 к
4dc^
С1
4dc^
С1
для центра. Напомним, что с^ < 0, а также заметим, что из (5.6.1) следует неравенство d < 0 как для быстрых, так и для медленных ветвей. Следовательно, произведение dc^ всегда положительно.
Далее будем рассматривать случаи sign р < 0 для быстрой и sign р > 0 для медленной магнитозвуковых ветвей, когда существуют солитоноподобные структуры. Дополнительные случаи рассматриваются аналогично.
Умножая уравнение для 6о в (5.6.2) на Э^Ьо и интегрируя его, получим
(^60)2.
—— = Kbo,K,ho), где
7 \ bo с2 .3 ^кJ(b0, к, h0) = — - -^b^ - —b0 + h0.
2Ci
Для существования ограниченных решений необходимо выполнение неравенства f(bo,K,ho) > 0. Это означает, что все ограниченные решения находятся в области Л в плоскости параметров (^, ho) с границами f(bo) = 0, f(bo) = 0 и к = 0 (напомним, что к > 0).
Форма области Л в плоскости (^, ho) для быстрой и медленной магнитозвуковых ветвей представлена на рис. 5.7. Поведение полинома f(bo,K,h) на различных частях границы Л и внутри Л показано на рис. 5.7 а для быстрой и на рис. 5.76 для медленной магнитозвуковых ветвей. Как видно из рис. 5.7 а в начале координат О на плоскости (к, ho) имеется сепаратриса нулевой точки, которая отвечает обобщенно-уединенной волне, рассмотренной в предыдущем параграфе. Двигаясь вдоль кривой f(bo) = 0 (на рисунке - OOi), получим уединенную волну с рябью
Set2ctSet2ctch 2ch 2с + ом,с + ом,
Set
2ct
Set
2ct
ch 2
ch 2
с + ом,
с + ом,
z = pV^cosq^x + o(p).
Рис. 5.7. Форма областей, где существуют ограниченные решения для а) быстрой магнитозвуковой ветви при sign ^ < 0 и б) медленной магнитозвуковой ветви при sign/z > 0. Показана форма полинома f(bo,K,ho) на различных частях границы и внутри области Л.Рис. 5.7. Форма областей, где существуют ограниченные решения для а) быстрой магнитозвуковой ветви при sign ^ < 0 и б) медленной магнитозвуковой ветви при sign/z > 0. Показана форма полинома f(bo,K,ho) на различных частях границы и внутри области Л.
Рис. 5.7. Форма областей, где существуют ограниченные решения для а) быстрой магнитозвуковой ветви при sign ^ < 0 и б) медленной магнитозвуковой ветви при sign/z > 0. Показана форма полинома f(bo,K,ho) на различных частях границы и внутри области Л.
Рис. 5.7. Форма областей, где существуют ограниченные решения для а) быстрой магнитозвуковой ветви при sign ^ < 0 и б) медленной магнитозвуковой ветви при sign/z > 0. Показана форма полинома f(bo,K,ho) на различных частях границы и внутри области Л.
Эта волна, форма которой определяется из (5.5.1), является суперпозицией ядра уединенной волны и периодической волны, отвечающей резонансным волновым числам q±. Амплитуда периодической компоненты измеряется параметром к и возрастает при росте ^, а амплитуда ядра уединенной волны при этом уменьшается. В угловой точке
01 =01 =1 с^21 С±2\
01 =
01 =
4 dc^ 24 с^2 /
две точки равновесия сливаются и в решении остается только периодическая волна с ненулевым средним значением. Двигаясь из точки Оi
вдоль кривой /(Ьо) = 0, имеем периодические волны с увеличивающимся средним значением.
На интервале к = О
ho G (О2,О),ho G (О2,О),О2 —О2 —1 с±2
ho G (О2,О),
ho G (О2,О),
О2 —
О2 —
о6с±2’
и внутри области Л находятся волны, которые являются суперпозицией длинных и коротких периодических волн, форма которых в низшем порядке по р описывается линейной комбинацией квадратов элипти- ческих косинусов (синусов) и обычных косинусов (подробности см. в работе Bakholdin et al., 2002).
Скачкй и их связь с уединенными волнами
В системах без диссипации возможно возникновение бесстолкновительных ударных волн со структурой более общего вида, чем в диссипативных системах. Для обозначения стационарной волны, занимающей переходную область между нестационарной волновой зоной и однородным состоянием, будем использовать термин скачок. Такие скачки реализуются как элементы автомодельных решений в задаче о распаде произвольного разрыва. Рассмотрение скачков позволяет полнее проанализировать свойства солитоноподобных решений динамической системы (5.3.1), в том числе и решения с конечной амплитудой возмущений.
Бесстолкновительные ударные волны - решения уравнений (5.1.9), описывающие переход из одного однородного состояния плазмы в другое однородное состояние, определялись численно в работах Бахолди- на и др. (2000), Bakholdin et al. (2002).
Численный эксперимент состоит в следующем. Берутся начальные данные для и и Ву, пропорциональные соответствующим компонентам нуль-вектора матрицы А, умноженным на функцию типа th ((ж — жо)/5), начальные данные для w и Bz - нулевые. Выделяется фрагмент решения с одним магнитозвуковым скачком, область расчета расширяется до необходимых размеров. На рис. 5.8 показана эволюция разных типов решений в зависимости от изменения 6 при фиксированном значении (3. При этом выявляются решения со всеми возможными типами скачков (а, б, в). Исследуемый на стационарность участок решения обведен штриховым прямоугольником. На рис. 5.9 схематично показано, каким образом тип решения зависит от амплитуды глобального разрыва An = п^-оо — пж^+ос и параметра 6 в области вблизи критического значения бсФУ
Наиболее простой тип скачка - скачок между последовательностью уединенных волн (при t —> 00) и однородным состоянием, представлен на рис. 5.8 а (скачок солитонного типа). Скачки такого типа
0,20,2ОО-0.2-0.240804080120 х120 хРис. 5.8. Различные типы решений с быстрым магнитозвуковым скачком, 6 = 1, 52, 1, 53, 1, 55 сверху вниз, 3 = 0, 5, t = 250.Рис. 5.8. Различные типы решений с быстрым магнитозвуковым скачком, 6 = 1, 52, 1, 53, 1, 55 сверху вниз, 3 = 0, 5, t = 250.
0,2
0,2
О
О
-0.2
-0.2
4080
4080
120 х
120 х
Рис. 5.8. Различные типы решений с быстрым магнитозвуковым скачком, 6 = 1, 52, 1, 53, 1, 55 сверху вниз, 3 = 0, 5, t = 250.
Рис. 5.8. Различные типы решений с быстрым магнитозвуковым скачком, 6 = 1, 52, 1, 53, 1, 55 сверху вниз, 3 = 0, 5, t = 250.
для уравнения КдВ рассматривались в работе Гуревича, Питаевско- го (1974). Необходимое условие существования классической уединенной волны малой амплитуды (выходящей на однородное состояние справа от скачка при х —> сю) в случае общего положения заключается в отсутствии пересечения прямой V = и/к с дисперсионной кривой для однородного состояния справа от скачка. Для существования классической уединенной волны конечной амплитуды, а именно такие уединенные волны образуют последовательность в скачках солитонного типа, нужно еще потребовать, чтобы значение к при совместном решении уравнения V = и/к и уравнения дисперсионной кривой было чисто мнимым, а не комплексным.
В рассматриваемой модели бесстолкновительной плазмы возможен еще скачок между однородным и периодическим состоянием (скачок с излучением^ представлен на рис. 5.86. В работе Бахолдина (1999) показано, что скачки с излучением и скачки с солитонной структурой являются эволюционными. И они действительно наблюдаются в численном эксперименте.
Можно было бы предположить, что возможен скачок, в котором имеется последовательность обобщенных уединенных волн в случае,
Ди А
Рис. 5.9. Диаграмма расположения областей различных типов решений с быстрым магнитозвуковым скачком в окрестности критического значения О^с) = 9СФУ в ~ скачки с солитонной структурой, б - скачки с излучением, а - скачки с нестационарной структурой.
когда для однородного состояния справа от скачка имеется пересечение прямой V = и/к с дисперсионной кривой, но численный эксперимент показывает, что такие скачки замещаются скачками с нестационарной структурой; представлен на рис. 5.8 в. По-видимому, такие скачки неэволюционны. При фиксированном значении 6 > 6С существует некоторое критическое значение Дпс(0), при котором происходит переход от скачков с нестационарной структурой к скачкам с излучением. Если Дп <С Дпс, то в области, обведенной в рамку на рис. 5.8в, решение сходно с обобщенно-уединенной волной, но амплитуда ядра уединенной волны и периодической составляющей медленно колеблется со временем. При Дп —> 0 амплитуда периодической составляющей стремится к нулю и решение становится сходным с решением со скачком солитонного типа. Наоборот, если Дп близко к Дпс, то решение приобретает хаотический характер.
Сопоставляя условия существования уединенных волн с условиями существования структур скачков, можно сделать вывод о том, что скачок солитонного типа соответствует случаю существования классической уединенной волны, скачок с нестационарной структурой - случаю замещения классической уединенной волны обобщенно- уединеной волной, а скачок с излучением - случаю, когда уединенная волна отсутствует, т.е. случаю относительно больших амплитуд.
Уединенные волновые пакеты в пределе холодной плазмы
Дисперсионная кривая в пределе холодной плазмы (3 = 0) состоит из двух ветвей - альфвеновской и быстрой магнитозвуковой (или просто магнитозвуковой):
Vf,aVf,a12(1 + Д71Д-1)12(1 + Д71Д-1)[V5T± V^L[V5T± V^LSi = (1 + cos#)2 +Si = (1 + cos#)2 +S2 = (1 - cos#)2 +S2 = (1 - cos#)2 +( Re Rt— H- Д RiRe/ ReRi— H-\ Ri Re( Re Rt— H- Д RiRe/ ReRi— H-\ Ri Recos2 9 + sin2 9 У 2 cos# R- 1Re xk\cos2 9 + sin2 9 У 2 cos# R- 1Re xk\cos2 # + sin2 # — 2 cos# Rt ^с ^k2,(5.8.1)cos2 # + sin2 # — 2 cos# Rt ^с ^k2,(5.8.1)
Vf,a
Vf,a
1
2(1 + Д71Д-1)
1
2(1 + Д71Д-1)
[V5T± V^L
[V5T± V^L
Si = (1 + cos#)2 +
Si = (1 + cos#)2 +
S2 = (1 - cos#)2 +
S2 = (1 - cos#)2 +
( Re Rt
— H- Д RiRe
/ ReRi
— H-
\ Ri Re
( Re Rt
— H- Д RiRe
/ ReRi
— H-
\ Ri Re
cos2 9 + sin2 9 У 2 cos# R- 1Re xk\
cos2 9 + sin2 9 У 2 cos# R- 1Re xk\
cos2 # + sin2 # — 2 cos# Rt ^с ^k2,
(5.8.1)
cos2 # + sin2 # — 2 cos# Rt ^с ^k2,
(5.8.1)
где знак плюс в первой формуле отвечает магнитозвуковой ветви, а минус - альфвеновской. Для малых волновых чисел к (больших длин волн) фазовые скорости Vf (к) магнитозвуковых и Vs(k) альфвеновс- кий волн имеют вид
ZlA,ilA,eZlA,ilA,eVa(k) = cos# —Va(k) = cos# —cos# 2RiRecos# 2RiRe
ZlA,ilA,e
ZlA,ilA,e
Va(k) = cos# —
Va(k) = cos# —
cos# 2RiRe
cos# 2RiRe
(5.8.2)
В пределе к -4 0 из (5.8.2) получим У/(0) = 1, 14(0) = cos#.
В настоящем параграфе будут рассмотрены вопросы существования уединенных волновых пакетов, распространяющихся со скоростью V = VT -V р.*.
4 cos2 94 cos2 9cos2 9 + sin.2 #4tg2 9с cos2 9
4 cos2 9
4 cos2 9
Скорость VT равна тангенсу угла наклона прямой, касательной к дисперсионной кривой магнитозвуковой ветви в точке
1 kR^R^^e1 kR^R^^eRiRe sin2 9RiRe sin2 9(5.8.3)(5.8.3)
1 kR^R^^e
1 kR^R^^e
RiRe sin2 9
RiRe sin2 9
(5.8.3)
(5.8.3)
где фазовая скорость волны совпадает с групповой скоростью. Подкоренное выражение в (5.8.3) положительно при 6 < 6С, что соответствует наличию точки перегиба у магнитозвуковой ветви. При 6 > 6С кривая этой ветви монотонна, и точки на ней, в которых достигается равенство фазовой и групповой скоростей (точки 1 : 1 резонанса), отсутствуют. Характерная форма графиков ветвей дисперсионного соотношения (5.8.1) изображена на рис. 5.10.
Рис. 5.10. Ветви дисперсионного соотношения ш = ш(к) в пределе холодной плазмы при 0 = 0, Ry1 = Rt = 0,0234352 (водородная плазма). График кривой 1 слева соответствует магнитозвуковой ветви. Точка касания прямой 2 ш = VTк графика магнитозвуковой ветви, имеющая координаты (г, rVr) (г = 0,999, VT = 21,39), является точкой 1:1 резонанса. График справа соответствует альфвеновской ветви.
Возникновение уединенных волновых пакетов ожидается в окрестности точек 1 : 1 резонанса (см. п. 1.4.3). По сути, это явление связано с эффектом модуляционной неустойчивости, который присутствует в системе. Нелинейным продуктом модуляционной неустойчивости для волн малой амплитуды является солитон огибающей, удовлетворяющий нелинейному уравнению Шрёдингера. Возникновение бегущих уединенных волновых пакетов имеет место в окрестности скорости VT1 когда скорость огибающей, равная групповой скорости монохроматической волны, распространяющейся под огибающей, совпадает с фазовой скоростью этой волны.
Система уравнений (5.3.1) в окрестности VT записывается в виде (1.0.1), где
( °VT 1 Rt cos 60\ "Re( °VT 1 Rt cos 60\ "ReVT 1 Ri cos 60Re0VT 1 Ri cos 60Re00-RiRi (1 — Vy2 sin2 9)00Vy1 Re cos 9-Vy^ReCOsO00-RiRi (1 — Vy2 sin2 9)00Vy1 Re cos 9-Vy^ReCOsO0
( °
VT 1 Rt cos 6
0
\ "Re
( °
VT 1 Rt cos 6
0
\ "Re
VT 1 Ri cos 60
Re0
VT 1 Ri cos 60
Re0
0-Ri
Ri (1 — Vy2 sin2 9)0
0Vy1 Re cos 9
-Vy^ReCOsO0
0-Ri
Ri (1 — Vy2 sin2 9)0
0Vy1 Re cos 9
-Vy^ReCOsO0
и вплоть до членов порядка /i|w| + |w|3 (включительно)
^(^z, w) — N + N2 + N3,
где
/V2Ri cos 9 p,w
—V^Ri cos9[iv — V^Ri sin2 9p,by
-V^Ri cos 9iiBz
\Vy2Re cos 9p,by
/—Vr-3Ri cos 9 sin 9byw
V^Ri cos 9 sin 9by-u — V^Ri sin 9L
V^Re sin 9byw + Vy3 Re cos 9 sin 9byBz\ —V^Re sin 9byV — Vy3Re cos 9 sin 9b2
—Vr 3 Ri cos 9L
N3 =N3 =(5.8.4)(5.8.4)Vy3Ri cos 9Lv + Vrr4Ri sin2 9byL
N3 =
N3 =
(5.8.4)
(5.8.4)
Vq~2 Re Lw + V0~3cos9LBz
—Vy2Lv — V~3 cos 9Lby
aL^pUB2^-Vy2 sin 9 b2.
Характеристическое уравнение (5.3.2) в данном случае принимает вид
П , Г (^ + ^1) с°82 0 9р р , Д^е81п201 2
U = О' + —2КгКе + ^ <7 +
+ (1 - У2 ) В?Х (1 - ^) ■(5.8.5)
Решением уравнения (5.8.5) при V = Vr является пара двукратных мнимых собственных значений ст = ±гг. Далее, для упрощения вычислений ограничимся рассмотрением случая 9 = 0.
Бифуркация из решения происходит в результате прохождения а через мнимую ось. Движение собственных значений для // в окрестности нуля изображено на рис. 1.1 в: при // > 0 две пары комплексно сопряженных собственных значений находятся по обе стороны от
мнимой оси, при р = 0 обе пары собственных значений выходят на мнимую ось, попарно сливаясь, при р < 0 собственные значения расходятся по мнимой оси.
Произведем в (1.0.1) замену неизвестных функций
W = Аф0 + Вфг + А*ф* + В*ФХ + Ф(м, А, В. Л* В*\(5.8.6)
Афо = ггфо, Аф1 = гтф\ + ф0, ф0 = (а, А, 7,5), фх = (0,0,р,%),
6- ад.
Ф(0, А, В, А*, В*) = (Ф2ооо^-2 + к.с.) + Фцоо|^-|2 + (Фюо1^.^ + к.с.) + + (Фо11(М*^ + К.с.) + • • •.
Компоненты нелинейной вектор-функции Ф определяются из условия, что уравнения на Аи В имеют вид квазинормальной формы (1.3.20). Далее положим р > 0.
Будем искать коэффициенты pi, qi, ps, q2 полиномов R и Q так же, как и в параграфе 2.4, следуя работе looss, Dias, (1993). Коэффициенты Pi, qi легко получить, усмотрев, что собственные значения Д(К) для V = Vr + р выражаются по формуле
СТ = i^r +Р1М) ± V51VH-
Подставляя это выражение в уравнение (5.8.5) eV = Vr + ри разлагая результат подстановки в ряд по р, получим
Qi = 2уз ^е + ^)2’ Р1 = — 4^(^е — ^)2-
Продифференцировав далее (5.8.6) по ж и положив р = 0, получим
w = Аф0 + Вфт + А*ф* + В*фХ + Ф(0, А. В. АХ В*).(5.8.7)
Выразив А и В из уравнений (1.3.20) и сравнивая (5.3.1) и (5.8.7), получим выражение для q^:
q2 = — < 2N2(<M Фноо) + 2N2(0q, Ф2000) + 3N3(^0, Фо, ФА, Ф1 >,
(5.8.8)
где < •< > обозначает скалярное произведение в (D4^ А*ф1 = —гг-01, Ф1 = Д-^аД,?,^,
а=^(Ле-^), Х = ^(Не-Н^,
^=^R"-R"Y 6 = ^-(Re+Ri)(Re-Ri)2,
■* г гр-^- г р
а постоянные векторы Фцоо, Ф2000 определяются из соотношений
ЛФ2ооо + N2(<^0, Фо) — 2ггФ2ооо, ЛФцоо + 2^(<М^) = 0.
Вектор N2 в рассматриваемом случае равен нулю, N3 дается формулой (5.8.4) с 6 = 0,
у = а(Л + Л*) + О(|Л|2 + |В|2),
№ = А(Л-Л*) + О(|Л|2 + |В|2),
by = в, = 7(Л + Л*) + р(В - В*) + 0(1 ЛI2 + |В|2),
В, = 5(Л - Л*) + х(В + в*) + О(IЛI2 + |В|2).(5.8.9)
Подставляя (5.8.9), (5.8.4) в (5.8.8), получим (Ильичев, 19966)
Я2Я? /-у4„ ,„ 2 „1\
92 = —j^+ 2У " ЗУ + 2У " 3 "
Заметим, что q2 > 0.
Произведя далее в (1.3.20) замену
Л = ро ехрг(гж + ^о), В = pi ехрг(гж + ^i)
и полагая Ко = 0, получим
Ро = Pi, к = ро<2(1«,Ро,0),
9'0 = В^р20к\(5.8.10)
Из (5.8.10) следует, что в низшем приближении по р
ро = ^\фГГГГ ^"^kVqui.xY
Pi = T9il<\/2g^sh(1/g)7<a:)ch"2(1/g)7<a:),
00 =Pipx + 2—V<hp,tkV(hp,xY(5.8.11)
92
В п. 1.4.3 доказано, что солитоноподобные решения аппроксимирующей системы (1.3.20), в низшем приближении по р дающиеся формулами (5.8.11), являются грубыми относительно обратимых возмущений высшего порядка по р. Это означает, что полная система (5.3.1) в пределе /3 = 0 также имеет экспоненциально убывающие на бесконечности решения, которые отличаются от задаваемых (5.8.11) на величины следующего порядка малости по р. Таким образом, (5.8.11) в низшем приближении по р описывает уединенные волновые пакеты.
Форма уединенных волновых пакетов для ^ир В^ В^ определяется из (5.8.9). Заметим, что для реальной плазмы у имеет величину порядка 103 и рассматриваемые здесь уединенные волновые пакеты малой амплитуды являются очень сильно быстроосциллирующими (в безразмерных переменных), а пространственная область их локализации велика.
Обсуждение
В результате трех основных резонансов, рассмотренных в данной главе, в бесстолкновительной квазинейтральной плазме с нагретыми электронами постоянной температуры и холодными ионами от состояния покоя ответвляются солитоноподобные структуры трех различных типов.
Быстрые магнитозвуковые волны.
Простой резонанс. При (3 > (Зс существует семейство классических уединенных волн, являющихся волнами сжатия (рис. 5.4). Возмущение, имеющее форму такой волны, распространяется без изменения формы. Было принято считать (см., например, Kakutani, Ono, 1969), что семейства классических уединенных волн (солитонные семейства), ответвляющиеся от состояния покоя в плазме в магнитном поле, существуют для всех углов наклона 0 < 6 < тг/2 невозмущенного магнитного поля к направлению распространения волны. Между тем, результаты, изложенные в настоящей главе, показывают, что, на самом деле, классические уединенные волны могут существовать лишь для очень узкого диапазона углов 9 при умеренных значениях параметра 3 в физически реальной плазме (табл. 5.2).
Резонанс длинной и короткой волн. Для/3 </Зс классические уединенные волны отсутствуют. При этом происходит их замещение другими солитоноподобными структурами - обобщенноуединенными волнами, являющимися результатом суперпозиции ядра уединенной волны с периодической резонансной волной. Для небольших амплитуд ядра уединенной волны амплитуда периодической волны экспоненциально мала. Обобщенно-уединенные волны являются волнами разрежения (рис. 5.5).
Замещение классических уединенных волн нелокализованными объектами - обобщенно-уединенными волнами - оказывает существенное влияние на характер распада локализованных возмущений. В этом случае, как и в холодной плазме (Bakholdin, Il’ichev, 1998), распад возмущений в форме ядра уединенной волны, например, приводит к квазистационарному процессу излучения периодической волны, период которой близок к периоду резонансной периодической составляющей. Излучение происходит тем интенсивнее, чем больше амплитуда начальной волны и чем ближе эффективная скорость звука 3 к значению Зс- В этом случае излучение уносит основную и значительную энергию начальной волны (см. рис. 5.5). Квазистационарный распад уединенных волн за счет излучения, связанный с замещением классических уединенных волн обобщенно-уединенными волнами, является типичным для волновых движений и в ряде других сред с дисперсией (см. напр. Akylas, Grimshaw, 1995; Benilov et al. 1993; Bakholdin, Il’ichev, 1996).
1:1 резонанс. В результате этого резонанса, по крайней мере в пределе холодной плазмы, от состояния покоя ответвляются уединенные волновые пакеты. Наличие солитоноподобных структур данного типа является индикатором того, что в некоторой окрестности резонансного волнового числа кг = г имеет место явление самомодуля- ции, т. е. несущая волна, отвечающая волновому числу из этой окрестности, подвергается неустойчивости Бенджамина-Фейра (Benjamin, Feir, 1967), распадаясь на волновые пакеты.
Медленные магнитозвуковые волны.
Для всех значений физических параметров 3- 6 классические уединенные волны отсутствуют, а имеют место обобщенные уединенные волны, образованные в результате нелинейного резонанса медленной магнитозвуковой волны и периодической волны с волновыми числами и частотами, лежащими на альфвеновской ветви. Так же как и в случае быстрых волн, для алгебраически малых амплитуд ядра уединенной волны амплитуда резонансной периодической составляющей экспоненциально мала. Резонансное волновое число q в этом случае значительно удалено от нуля. При численных расчетах распада медленного ядра уединенной волны излучаемые волны не выявлены (их амплитуда очень мала, причиной этому служит удаленность q от нуля). При распаде локализованного возмущения вначале происходит сброс быстрой магнитозвуковой волны, движущейся влево; затем медленной, движущейся влево; затем быстрой, движущейся вправо. Эти волны со временем убегают от ядра уединенной волны. В результате постоянно излучается только медленная магнитозвуковая волна, которая и ответственна за последующее разрушение начального возмущения (рис. 5.6). Указанный механизм распада локализованных возмущений при замещении классических уединенных волн обобщенноуединенными волнами нуждается в дальнейшем исследовании.
Таблица 5.2. Типичные значения физических параметров для плазмы солнечного ветра (Kivelson, Russel, 1995) и магнитосферы земли (Patel, Dasgupta, 1987).
Параметры плазмы
Солнечный ветер
Магнитосфера Земли
По (см-3) |В0| (гаусс) Va!c (см/с) кьТг/2,кьТе/2 (эВ)
L (см) w (с-1) ил (с-1) Ше (С-1) шР (с-1) Xd (см) /З2 pi, ре = Vi(uH,Ve(we (см)
7
7•10-6
1,9 -10-4
12
1 а.е. = 1,5 • 1013
3, 8 -10”7
0,7
1,2 ■ 103
1,4 ■ 10®
1000
0,7
5,1 • 10е
1 2•10“3 1,5 • 10“2 1000 6,6 гв = 4,2 ■ 109 0,1 20 3,5 ■ 104 5, 6 -105 2,3 • 104 0,01 1,5 • 106
9С (рад)
1,5402 % 88,25°
1,5621 % 88,7°
Во многих примерах физически реальной плазмы ионы и электроны имеют соизмеримые температуры. Рассматриваемая в данной главе гидродинамическая модель плазмы может быть формально распространена на случай плазмы, в которой ионы также имеют постоянную температуру. При этом к физическим параметрам, обозначенным в табл. 5.1, следует добавить температуру ионов 7^, тепловую скорость ионов Vi = y/kbTi/mi и безразмерную тепловую скорость ионов 3t = V^IVa. В уравнениях (5.3.1) при этом изменяется лишь эффективная скорость звука:
(3 = у (ш» + meV4mi0i + теР1У
Как следует из табл. 5.2, плазма магнитосферы Земли и солнечный ветер являются хорошими кандидатами для квазинейтральной разреженной плазмы, т.е. V^/c2 <С 1, (До/^р <( 1, Xd j L <С 1, а величина по мала. В рамках обсуждаемой в данной главе модели нетрудно оценить в плазме с такими параметрами пространственный размер солитоноподобных структур для различных значений угла 9.
Для плазмы с параметрами плазмы земной магнитосферы при 9 = 89,5° > 9С и р = 0,01, например, длина быстрой магнитозвуковой классической уединенной волны будет около 200 км. Амплитуда магнитного поля в такой волне достигает 4 нТ= 4 • 10° гаусс. Для 9 < 9С{3) имеют место обобщенно-уединенные волны и, следовательно, возмущение, имеющее форму ядра уединенной волны, будет
излучать. Длина излучаемой волны близка к длине ядра уединенной волны, если значение 9 близко к 9С. Например, для 9 = 88,5° < 9С, /а = 0,01 длина ядра уединенной волны около 100 км, а длина излучаемых волн около 60 км. Амплитуда магнитного поля в такой волне также достигает 4нТ.
По-видимому, быстрые солитоноподобные структуры, предсказываемые обсуждаемой моделью плазмы, не могут существовать в солнечном ветре кроме, может быть, случая 9 = тг/2. Причиной этого служит тот факт, что для достаточно больших значений 3 значительную роль при распространении волн играет эффект затухания Ландау (Ландау, Лифшиц, 2001). Известно, что для конечных значений 3 быстрые магнитозвуковые волны в бесстолкновительной ква- зинейтральной плазме подвержены затуханию Ландау, за исключением волн, распространяющихся поперек магнитного поля (Barnes, 1966). Декремент затухания имеет локальные максимумы при двух значениях 9 = 0^е, где затухание ассоциируется с нагревом соответственно ионов и электронов в волне. Большее значение 9 = 9е (при котором электроны активно взаимодействуют с волной) близко к тг/2, для 9 > 9е и 9 —>7г/2 декремент затухания убывает до нуля. Почти продольные медленные магнитозвуковые волны также практически не подвержены затуханию Ландау (Barnes, 1966).
Метод построения семейств решений уравнений (5.1.1), ответвляющихся от состояния покоя в плазме с уравнением состояния идеального газа для ионной и электронной жидкостей, применим и в случае, когда для ионной и электронной жидкостей используются уравнения состояния идеального совершенного газа для адиабатических процессов, которое связывает давление в ионной и электронной жидкостях с плотностью числа частиц по формулам
Рг ~ TV , ре ~ TV ,
где 7г,е - постоянные. При таком уравнении состояния изменяется только выражение для нелинейного члена во втором уравнении (5.1.9), содержащее производную от плотности числа частиц п. В силу четности функции п обратимость (5.1.9) не нарушается. Кроме того, линейная часть результирующей системы не изменяется по сравнению со случаем изотермического давления, рассмотренного в настоящей главе. Вследствие этих двух обстоятельств центральный спектр будет полностью аналогичен изотермическому случаю, а приведенные уравнения будут также приближаться интегрируемыми уравнениями в квазинормальных формах, соответствующих простому резонансу или резонансу длинной и короткой волн.
Приложение. Разностная схема.
Для удобства численных расчетов система уравнений (5.1.9) была преобразована к виду
dn dnu di Эхdn dnu di ЭхЭтги 9 dt ЭхЭтги 9 dt Эхв^в2в^в2Эпи9 (d2u-Re 1Ri + пии - ВхВу + Re 1 dtЭх VdxdtЭпи9 (d2u-Re 1Ri + пии - ВхВу + Re 1 dtЭх Vdxdtdnw д (d2w—- + — ^ -Л^Л"1—-dt дх (dxdtdnw д (d2w—- + — ^ -Л^Л"1—-dt дх (dxdtдВуdtдВуdtdBzdtdBzdtЭхЭхЭи/ди дид2,у\1)ох\дх дхЭх2) J JЭи/ди дид2,у\1)ох\дх дхЭх2) J J+ HUW — BXBZ — Re1+ HUW — BXBZ — Re1dxdxdu/du dwd2w-By-h Rt Idxydxdxdx2du/du dwd2w-By-h Rt Idxydxdxdx2dx I e г dxdtdx I e г dxdt9x I e г dxdt9x I e г dxdt+ ByU — Bxu — R^n 1i / d2 В у du dByRe+\ Эх2 Эх dx+ ByU — Bxu — R^n 1i / d2 В у du dByRe+\ Эх2 Эх dx+ Bzu — Bxw + R^n 1+ Bzu — Bxw + R^n 1ЖdxЖdxRdxRdx
dn dnu di Эх
dn dnu di Эх
Этги 9 dt Эх
Этги 9 dt Эх
в^в2
в^в2
Эпи9 (d2u
-Re 1Ri + пии - ВхВу + Re 1 dtЭх Vdxdt
Эпи9 (d2u
-Re 1Ri + пии - ВхВу + Re 1 dtЭх Vdxdt
dnw д (d2w
—- + — ^ -Л^Л"1—-
dt дх (dxdt
dnw д (d2w
—- + — ^ -Л^Л"1—-
dt дх (dxdt
дВуdt
дВуdt
dBzdt
dBzdt
Эх
Эх
Эи/ди дид2,у\1)
ох\дх дхЭх2) J J
Эи/ди дид2,у\1)
ох\дх дхЭх2) J J
+ HUW — BXBZ — Re1
+ HUW — BXBZ — Re1
dx
dx
du/du dwd2w
-By-h Rt I
dxydxdxdx2
du/du dwd2w
-By-h Rt I
dxydxdxdx2
dx I e г dxdt
dx I e г dxdt
9x I e г dxdt
9x I e г dxdt
+ ByU — Bxu — R^n 1
i / d2 В у du dBy
Re+
\ Эх2 Эх dx
+ ByU — Bxu — R^n 1
i / d2 В у du dBy
Re+
\ Эх2 Эх dx
+ Bzu — Bxw + R^n 1
+ Bzu — Bxw + R^n 1
Ж
dx
Ж
dx
R
dx
R
dx
= 0.= 0./ 92BZ9u 9BZ
= 0.
= 0.
e \ Эх*2,Эх 9x
В качестве дискретного аналога этих уравнений может использоваться трехслойная схема типа “крест” с аппроксимацией второго порядка по времени или двухслойная схема с аппроксимацией первого порядка (контрольная схема). Двухслойная схема позволяет при желании включать в исходные уравнения диссипативные члены. Сравнение результатов по этим двум схемам не выявило существенных различий из-за мелкого шага по времени, в расчетах поддерживалось условие М = со Аж3, где со - некоторая постоянная.
Будем обозначать временные слои верхним индексом, а нижним индексом - номера узлов в пространстве. Данные уравнения являются регуляризованными: в каждом уравнении содержатся временные производные только от одной переменной, за исключением переменной п, которая определяется явно. Это позволяет решать четыре неявных разностных уравнения для пи^ nw, By, Bz раздельно. Способ
аппроксимации производных первого порядка очевиден
/ж —(/г+1 — /г—1)/2/Дж,ft (/m+1 - /m"1)/2/At
Для сохранения в численном решении свойств симметрии при аппроксимации производных по ж применялись центральные разности. Ниже приводятся шаблоны для аппроксимации четных и нечетных консервативных производных высокого порядка:
(^/ж)ж ~(^/ж)ж ~12Дж212Дж2[(^г+1 + 9iXfi-\-l — /г) — (9г + 9i-lXfi - /г-1)Ь[(^г+1 + 9iXfi-\-l — /г) — (9г + 9i-lXfi - /г-1)Ь(g fxhx)x У(g fxhx)x У12Дж212Дж2V(9W + g^Uw - /г)(^г+1 - ИЗ -V(9W + g^Uw - /г)(^г+1 - ИЗ -
(^/ж)ж ~
(^/ж)ж ~
1
2Дж2
1
2Дж2
[(^г+1 + 9iXfi-\-l — /г) — (9г + 9i-lXfi - /г-1)Ь
[(^г+1 + 9iXfi-\-l — /г) — (9г + 9i-lXfi - /г-1)Ь
(g fxhx)x У
(g fxhx)x У
1
2Дж2
1
2Дж2
V(9W + g^Uw - /г)(^г+1 - ИЗ -
V(9W + g^Uw - /г)(^г+1 - ИЗ -
-(9г + 9i-lXfi ~ fi-l^hi - hi-i)^
(gf^x ^Шг + sD^t1 - Г+1) -
4g? + g?-iW+1-fr-t^-
-(дТ + д^иГ1-/^,
(gfxx)x —> 2Дж3 ^+1^^+2 + ^ — 2Д+1) — ^-1(Д_2 + fi — 2Д-1)].
Здесь /, g. h - произвольные неизвестные. Целью таких усложненных шаблонов является уменьшение влияния схемной дисперсии и обеспечение устойчивости. Величина Д^ выбиралась ~ Дж3, поскольку четыре из шести уравнений моделируемой системы аналогичны уравнениям Кортевега-де Вриза.
Для решения неявных дискретных уравнений был использован метод итераций:
fm+lj+l _ fm+lj ^F^f^1’^ £?
fm+1,0 £772 — 1
Здесь fm обозначает вектор, составленный из неизвестных функций на временном слое m, F/ - вектор, компонентами которого являются конечноразностные аппроксимации соответствующих уравнений, j - номер итерационного шага, а индекс, нумерующий пространственные ячейки, опущен. Итерационный процесс останавливался, если
|£77Z+l,j + l _ £Ш+1,J| е
где | • | обозначает норму в Hl6: е - параметр, определяющий искомую точность. Значения cj были получены в ходе численного эксперимента.
Глава 6
Уединенные волны в жидкости под ледовым покровом
Первые результаты о распространении волн под ледовым покровом, моделируемым бесконечно протяженной упругой пластиной, были опубликованы в книге Stoker, (1957), и с тех пор линейные волновые процессы в жидкости под упругой пластиной являлись предметом исследования в большом числе работ (см., например, Duffy, 1991,1996; Марченко, Семенов, 1994; Schulkes et al., 1987; Squire, 1984; Tuck 1982). Нелинейные волны под упругой пластиной изучались в работах Forbes (1986, 1988), Ильичева (2000), Il’ichev, Kirchgassner (1998), Ильичева, Марченко (1989, 1997), Марченко (1988), Марченко, Сибгатуллина (1986,1987), Parau, Dias (2001). Brevdo, Il’ichev (1998, 2000), Strathdee et al. (1991) моделировали ледовый покров при помощи однородного упругого слоя конечной толщины, что позволило учесть эффекты внутреннего деформирования, согласованные с волновыми движениями в жидкости.
В данной главе изучаются уединенные волны, ответвляющиеся от состояния покоя на поверхности идеальной несжимаемой жидкости под ледовым покровом. Ледовый покров моделируется геометрически нелинейной упругой пластиной Кирхгоффа-Лява, свободно плавающей на поверхности жидкости. Волновые процессы в жидкости описываются системой уравнений Эйлера с дополнительным поверхностным давлением, обусловленным наличием упругой пластины.
Несмотря на то, что исследуется конкретная задача, настоящий анализ обладает определенной общностью. Полученные результаты с качественной точки зрения основываются на некоторых общих свойствах целого класса обратимых задач и количественно определяются лишь небольшим числом параметров. Инвариантность относительно преобразования Галилея сводит поиск бегущих волн к решению стационарной задачи, которая описывается квазилинейной системой элиптических уравнений. В рассматриваемом случае эти уравнения
зависят от трех безразмерных параметров: А, 6 и 7, где А равняется обратному квадрату числа Фруда, b - аналог числа Бонда для капиллярных сил, и определяется напряжением в предварительно напряженном состоянии пластины, а параметр 7 характеризует жесткость пластины на изгиб.
Вековое уравнение в данном случае имеет вид
a cos ст — (А — бег2 + 7<т4) sin a = 0. (6.0.1)
Это уравнение должно решаться для a Е (С. Тот факт, что для каждого фиксированного значения параметров имеется лишь конечное число корней (6.0.1) на мнимой оси, а также то обстоятельство, что если a есть корень, то —ст - тоже корень, следуют из общих свойств основной системы уравнений.
Так как возникновение волновых структур из состояния покоя будет обусловлено бифуркацией при критических значениях параметров, когда число чисто мнимых корней (6.0.1) изменяется, то тип этих структур будет общим для круга задач, обладающих в определенном смысле общими свойствами. Эти свойства определяются типами ква- зинормальных форм, рассмотренных в пунктах 1.3.2-1.3.4. Вся разница между формой бегущих волн в таких задачах определяется количеством и значениями физических параметров задачи.
В параграфе 6.1 настоящей главы кратко излагается модель ледового покрова в рамках теории классической геометрически нелинейной пластины. В параграфе 6.2 выводится самосогласованная система уравнений, описывающих изгибные колебания упругой пластины на поверхности идеальной несжимаемой жидкости конечной глубины. В параграфе 6.3 изучаются свойства линейной части динамической системы уравнений для бегущих волн, которая в рассматриваемом случае является уже бесконечномерной. При помощи процедур, используемых в предыдущих главах, она сводится к конечномерным динамическим системам размерностей два и четыре в зависимости от линейных волновых резонансов в разных областях значений параметров. Будет показано, что в настоящем случае имеют место простой резонанс, резонанс длинной и короткой волн и 1:1 резонанс, подробно описанные в главе 1 настоящей книги. В параграфе 6.4 рассмотрены решения системы уравнений в квазинормальной форме, описывающие уединенные волны в исходной задаче.
В параграфе 6.5 приводится обсуждение результатов. В приложении дано доказательство теоремы о резольвентных оценках, выполнение которых необходимо для справедливости теоремы о центральном многообразии, которая разрешает понижение порядка в бесконечномерных динамических системах.
Модель ледового покрова
Эксперименты показывают, что ледовый покров при достаточно естественных условиях ведет себя как тонкая упругая пластина (Muller, Ettema, 1984). В связи с этим будем предполагать, что ледовый покров описывается в рамках модели упругой пластины Кирхгоффа-Лява, относительно которой приняты следующие допущения:
существует нейтральная (серединная) поверхность, деформации растяжения или сжатия которой являются наперед заданными и не изменяются при изгибе;
каждое волокно упругого слоя, которое ортогонально нейтральной поверхности в недеформированном состоянии, остается прямым и ортогональным этой поверхности после деформации;
напряженно-деформированное состояние подчиняется закону Гука, т. е. деформации малы и пластина является физически линейной.
Будем предполагать существование у пластины предварительно напряженного состояния, которое характеризуется горизонтальным напряжением сг0 (см. рис. 6.1). Это напряжение обусловлено начальным растяжением (или сжатием) серединной поверхности, которое, в связи с вышеизложенным, остается неизменным при изгибных деформациях.
Математическое описание упругой пластины формулируется в локальной криволинейной системе координат в плоских сечениях (£,£), жестко присоединенной к серединной поверхности пластины. В недеформированном состоянии эта система координат (с точностью до сдвига) совпадает с глобальной декартовой системой координат ж, z. Координата £ изменяется вдоль дуг окружностей, параллельных локальным фрагментам серединной поверхности, а £ - в ортогональном направлении к серединной поверхности (рис. 6.1) .
Упругий слой, в недеформированном состояниие имеющий толщину h^ занимает искривленную область Q (см. рис. 6.1):
п = {(60 е та2! -h<^<hV
имеющую границу
9S1 = Э^Г U ЖГ = {2< = -ft} U {2< = ft} .
Далее будем рассматривать изгиб пластины в плоскости ж, z.
Из первых двух свойств пластины Кирхгоффа-Лява следует (см. рис. 6.1)
d^=(Rm + ()dip, dx = ^~,(6.1.1)
так как на серединной поверхности длина дуги совпадает с длиной прямолинейного элемента серединной поверхности пластины, свободной от изгиба. Из (6.1.1) следует
d^ = (1 + dx.(6.1.2)
Из (6.1.2) имеем
/ Л \ 2
d£2=gndx2, gn=M+— J dx2.(6.1.3)
Из (6.1.3) получим выражение для компоненты е^ тензора деформаций
46 = 2^п - = Р—h•(6.1.4)
Далее будем предполагать h/Rm <С 1 и принимать во внимание лишь члены порядка OQijRm\ пренебрегая членами порядка O(h? / R^).
Из закона Гука следует выражение для компоненты изгибных напряжений сг^ в случае изгиба в плоскости (ж, Г):
a^ = (А + 2Д)е^ + Ае^^,(6.1.5)
где А, р, - коэффициенты Ламе.
При изгибе тонкой пластины компоненты напряжений, имеющие по крайней мере один из индексов £, значительно меньше, чем напряжения сг^ , возникающие в результате сжатий и растяжений внутри пластины (Ландау, Лифшиц, 1987). Поэтому при поиске распределения внутренних напряжений в изогнутой пластине в граничных условиях можно положить равными нулю компоненты напряжений п^ в упругом слое, т. е.
0 == (А + 2Д)е^^ + Ае^,
откуда имеем
6« = -? , „ла-(6.1.6)
А + 2р
Рис. 6.1. Фрагмент упругой пластины с локальной координатной системой (£,£). Пунктирная линия обозначает серединную поверхность. В результате внешнего растяжения в пластине возникает поле напряжений, приводящее к внутренним силам, поверхностная плотность которых имеет абсолютную величину сг0.Рис. 6.1. Фрагмент упругой пластины с локальной координатной системой (£,£). Пунктирная линия обозначает серединную поверхность. В результате внешнего растяжения в пластине возникает поле напряжений, приводящее к внутренним силам, поверхностная плотность которых имеет абсолютную величину сг0.
Рис. 6.1. Фрагмент упругой пластины с локальной координатной системой (£,£). Пунктирная линия обозначает серединную поверхность. В результате внешнего растяжения в пластине возникает поле напряжений, приводящее к внутренним силам, поверхностная плотность которых имеет абсолютную величину сг0.
Рис. 6.1. Фрагмент упругой пластины с локальной координатной системой (£,£). Пунктирная линия обозначает серединную поверхность. В результате внешнего растяжения в пластине возникает поле напряжений, приводящее к внутренним силам, поверхностная плотность которых имеет абсолютную величину сг0.
_ Ео— р /1 _2\гСт (1^о /_ Ео— р /1 _2\гСт (1^о /Подставляя (6.1.6) в (6.1.5), получим с учетом (6.1.4), что при чистом изгибе
_ Ео
— р /1 _2\
гСт (1^о /
_ Ео
— р /1 _2\
гСт (1^о /
где Ео - модуль Юнга,
„ Л ЗА + 2р,Ео = р^—
а р0 - коэффициент Пуассона льда,
А
2(Л + /z)
Изгибающий момент М связан с радиусом кривизны Rm серединной поверхности следующими соотношениями:
Л/2
м= /d=^- |6л-7)
-h/2
Основные уравнения, формулировка задачи
Изучаются плоскопараллельные потенциальные движения идеальной несжимаемой жидкости глубины Н и плотности р.
Жидкость занимает область В:
В = {(ж, z^ е 1R2 / 0 < z < t](t)Y которая имеет границу
ЭВ = ЭВ^ U ЭВ = {^ = р^ U z = 0}.
Массовую плотность пластины обозначим через р8^ поверхность раздела вода-лед задается уравнением z = р(х\ х Е JR.
Динамическое граничное условие на поверхности раздела определяется баллансом сил внутри упругого слоя
+ ^с^ес = о, ^^ес + ^сг^ + / = Ps-т^ (£, С) е Q,с^с = -Ро, сг^с = °’ (^ 0 Е 8^
<т« = -Р, ^< = о, (e,C)eaQ-,(6.2.1)
где / - плотность суммарной силы тяжести пластины и растяжения,/ — Ps9 ^о/Rm->
а р, ро - значения давления, соответственно, на поверхности раздела пластины и воды и на верхней стороне пластины (атмосферного давления).
Умножим первое уравнение в (6.2.1) на £ и проинтегрируем по £, используя граничные условия. В результате получим соотношение между перерезывающей силой N и изгибающим моментом М:
Л/2
Э^м = N = j dC
—h/2
Интегрирование второго уравнения в (6.2.1) дает уравнение балланса сил, действующих на пластину:
Р = Ро + psgh + ^ -d^xM + psh^-.(6.2.2)
Кривизна серединной поверхности выражается следующим образом (Forbes, 1986):
1 =ЭХХТ1
Rm" (1 + (^)2)3/2 -hdxxp/2-
Рассмотрим бегущую волну, которая распространяется налево вдоль оси ж со скоростью V. В системе координат, движущейся со скоростью У, вектор скорости частиц 77 = (tz, v) удовлетворяет следующему асимптотическому условию
Произведем далее следующие масштабные преобразования:
В новых безразмерных переменных, для обозначения которых будем использовать старые символы, система уравнений Эйлера для бегущих волн, с учетом (6.2.2), имеет вид
rot 77 = div 77 = 0,(ж, z) Е D;
||77|2 -V Хт] — Ък,1 + 7^2 + сдххт] = const, (ж, z) Е ЭВ^;
дхт]и — v = 0, и = О, (x,z)e8B-;
77^ (1,0), т/(ж)1, ж сю.(6.2.3)
Постоянные А, 6, 7 и с определяются соотношениями
И-/Т/2 L "oh _ J_psV2 _h
A gH/V , b рНу2, ру2н^ с р gHa, a
Функции к у з = 1,2, выражаются по формулам
8хх*п „28ххт]
Далее будем рассматривать предел тонкой пластины, т. е. отбросим члены порядка O(h/H\ полагая, таким образом, а = с = 0. По сравнению с работами looss, Kirchgassner (1990, 1992), где рассматривались капиллярно-гравитационные волны, появляется дополнительное слагаемое 7^2 в (6.2.3); кроме того, знак b может быть теперь любым.
Определим новые “полу-лагранжевы” координаты
(ж, у) е Ж X (0,1)
по формуле
-у = -0(ж, z) = Z + Ф, где ^(ж,^) обозначает функцию тока, нормированную при помощи среднего расхода Q = VH. Кроме того, произведем отображение поля скоростей
у = (п,у) = (1 + U, У)
на векторное поле w = (wi, W2) (Mielke, 1988): w^^a + ^ + v2-!}, ^2 = ^,
где U, V предполагаются малыми, а с^Ф = [7, джФ = —V. Оба этих преобразования являются обратимыми, как отображения
D -+ D = В х (0,1).
В новых переменных система уравнений (6.2.3) записывается в виде i)J = f(5,w), у = 1, Эжш = KL(w)dyW, х,у € D ,(6.2.4)
где 5 = (5,<Ч,52), f = (Л,/2,/3),
MW=6j, j = l,2, /С»^2!"1 ^У
= 1 (Mi - (1 + +3/2(w!(l) + A([g] - 1))) + P,
0
3^ + 9^15215J2J3
“1 + J2 (1 + J2)2’
Отклонение поверхности т] дается формулой
ту = 1 — [wi] + члены высшего порядка.
Определим вектор w = (J,w/ и рассмотрим его как образ при отображении В Э х —> X:
X = Ж3 х £2(0,1),
где 7Е/2(0,1) = L2(0,1) х L2(0,1), a L2(0,1) обозначает пространство квадратично интегрируемых функций на отрезке (0,1). Система (6.2.4) может быть переписана в виде
d$w = Л(A)w + 5(А, w),d$w = Л(A)w + 5(А, w),(6.2.5)(6.2.5)
d$w = Л(A)w + 5(А, w),
d$w = Л(A)w + 5(А, w),
(6.2.5)
(6.2.5)
где А = (А, 5,7). Оператор Л(А) определяется по действию на вектор- функцию w:
Л(A)w = {5i,52,7-1№ - wi(l) + A[wi]), -dyw2,dywi} ,
а нелинейная вектор-функция S(A,w) имеет вид
5(A,w) = ^(5,w),K(w)9yw^ - Л(A)w.
Область D(A) определения оператора Л(А) имеет вид (TH"1 (0,1) = = я1(од) х Я1 (О,1), Я1 (0,1) - пространство квадратично интегрируемых функций на отрезке (0,1) вместе со своими производными):
D(A) = Ж3 х И^ОД) n {w2(0) = 0,w2(l) = 5}
и не зависит от А.
Образ оператора Л(А) является линеаризацией (f(5, w), ^(^d^w) в точке w = 0 при фиксированных значениях параметров (A, b, ^ Е е Ж+ х Ж х ЖЛ. Система уравнений (6.2.4) и соответствующая ей система (6.2.5) обратимы по отношению к изометрии
7£ = diag(-l, 1,-1,1,-1).
Легко видеть, что Q отображает D(A) в гильбертово пространство Zo:
Zo = {0} х {0} х Ж х 2L2(0,l),
которое является замкнутым подпространством X.
В заключение данного параграфа приведем явный вид сопряженного оператора Л*(А):
Л*(A)w = (-wi(l), J + 5w2(l)Д1, -d^w2 + Aw2(1),^wi) , имеющего область определения
МЛД =Ж3 х ЕДлдД>=7Д1рД0)=0}.
Спектр и резонансы
Легко показать, что оператор Л(А) имеет компактную резольвенту и, следовательно, его спектр состоит из собственных значений, каждое из которых имеет конечную кратность (Като, 1972). Эти собственные значения являются корнями уравнения (6.0.1). Вследствие вещественности Д(А) и обратимости уравнений (6.2.5) спектр Л(А) симметричен относительно вещественной и мнимой осей в комплексной плоскости спектрального параметра. Из общей теории, изложенной в параграфе 1.1, и теоремы о резольвентных оценках, доказанной в параграфе 6.6, следует, что все ограниченные решения (6.2.4), лежащие
в достаточно малой окрестности нулевого решения, могут быть найдены из решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений, которые связаны с центральной частью спектра Л(А), состоящей из конечного числа мнимых собственных значений. Следовательно, множество нетривиальных решений (6.2.4) будет изменяться качественно только при тех значениях параметров, при которых изменяется упомянутая центральная часть спектра.
Для нахождения значений (А, Ь, у) в пространстве параметров (А, 6, у) е х Вх В+, при которых наступают бифуркации, необходимо определить те значения, при которых (6.0.1) имеет мнимые корни кратности больше чем 1, иными словами, происходят резонансы (см. параграф 1.2).
Положим ст = iq. тогда (6.0.1) можно переписать в виде
q cth q = А + bq2 + у^4.(6.3.1а)
Двойной корень должен удовлетворять уравнению
cthg — gsh-2 q = 2bq + 4y^3,(6.3.1b)
а корень кратности 3 - уравнению
sh-2 q(2q cth q — 1) = 2b + 12y^2.(6.3.1c)
Заметим, что если q ^ 0, то соотношения (6.3.1b,с) определяют b и у как функций от q. в то время как (6.3.1 а) фиксирует А в зависимости от q. С другой стороны, q = 0 отвечает А = 1 в силу справедливости разложения
cthg = q-1 + q/3 - (1/45)q3 + O(qb)
для q в окрестности нуля. Таким образом, для получения полной картины расположения действительных корней уравнения (6.3.1а) необходимо рассмотреть следующие три случая.
Случай I. q = 0.
При А = 1 и произвольных 6 и у соотношения (6.3.1 а,Ь) выполняются, а (6.3.1с) - нет. Необходимо также различать случаи b > 1/3 и b < 1/3. В первом случае q = 0 - единственное решение (6.3.1а), в то время как при b < 1/3 имеет место пара дополнительных простых корней ±g, q ^ 0.
Таким образом, при А = 1, 6 ^1/3, у G В^ имеем собственные значения в центральном спектре, которые имеют кратность два, и один зависимый параметр определяет бифуркацию коразмерности 1. В противоположность случаю коразмерности 1 случай А = 1, 6 = 1/3, у G В^ приводит к корню q = 0 (6.0.1) кратности 4, в результате чего возникает бифуркация коразмерности 2 (единственным свободным параметром является у).
Случай II. q ^ 0.
В результате разрешения соотношений (6.3.1 а,Ь) получим двумерную поверхность, параметризованную следующим образом:
4 yctliy q2^r2 q
_ 9 cthQ sh-2 q
b = "^q +"2 '(6-3"2)
Асимптотики параметров А и b на поверхности (6.3.2) имеют вид
A = T+ (^-+7)g4 + O(g6), b = | - (^ + 27) q2 + O(q4), q 0, \45 у3\45 у
А~794 + ^, b~-2-yq2 + ^, qH-oo.
При q ^ 0 множество коразмерности 2, на котором происходит бифуркация, представляет собой следующую кривую:
- ЗдсПзд 3q2sH-2 q Q3cthgsh-2Q
Л =+8+4’
~ 3cthg sh-2 g gcthgsh-2g
=42’
, cthg sh"2g cthgsh"2g
Асимптотики параметров A, S и 7 на кривой (6.3.3) имеют вид
А = 1 + O(g6), S=|+O(g4), 7=-^ + O(g2) q 0,
Бифуркация коразмерности 2 отвечает появлению на мнимой оси в плоскости спектрального параметра пары комплексно сопряженных собственных чисел кратности три при критических значениях параметров А, b и у, которые даются (6.3.3). Легко видеть, что эта бифуркация имееет место только при отрицательных у, и поэтому не будет здесь рассматриваться, как не имеющая физического смысла. Заметим только, что эта бифуркация является предельным случаем бифуркации коразмерности 1, которая происходит также для отрицательных 7. Именно, если 7, параметризующая поверхность (6.3.2),
Рис. 6.2. Поверхности А = 1 и (6.3.2), на которых происходит бифуркация в пространстве параметров. Расположение собственных значений, пары которых совпадают на мнимой оси на этих поверхностях, показано черными кружками по обе стороны от поверхности (6.2.3) и над плоскостью А = 1 и белыми кружками - под плоскостью А = 1.
отрицательна и находится в окрестности кривой (6.3.3), имеет место одна пара двухкратных и одна пара простых комплексно сопряженных собственных значений на мнимой оси. Эта бифуркация соответствует сложному 1:1 резонансу, описанному в пункте 1.3.5. Бифуркация этого типа играет важную роль при спонтанном нарушении размерности волновых структур (см. главу 7).
Уединенные волны, ответвляющиеся от состояния покоя
Как показано в предыдущем параграфе, для 7 > О имеются три типа бифуркаций из состояния покоя, происходящих при следующих значениях параметров:
С><ЛЛ) =Ь>| 7>0,
(А, Ь, 7) = (1, Ь, 7), Ь<^ 7^0,
(А, 6,7) удовлетворяет (6.3.2).
Поведение собственных значений оператора Л(А), приходящих на мнимую ось, показано на рис. 6.2.
Бифуркации этого типа были впервые изучены в работах looss, Kirchgassner (1990, 1992) для 6 > 0 и 7 = 0. Здесь нет ограничений на знак Ь. хотя рассмотрение случая отрицательных значений этого параметра не добавляет ничего нового к качественному поведению волн по сравнению с предыдущими работами.
Далее будем рассматривать систему уравнений (6.2.5) в окрестности критических множеств I, II и III, определяемой изменением только параметра А: А = А + //, //<(!. Обозначим
Л = Л(А), ^(/z,w) = 5((А + цЛЛУ w),
где А = (А, 5,7). Тогда система уравнений (6.2.5) запишется в виде (1.0.1).
Для понижения порядка системы уравнений (6.2.5) будет использована теорема о центральном многообразии (параграф 1.1). Для бесконечномерных динамических систем эта теорема справедлива при условии выполнения оценок убывания резольвенты оператора Л. Справедливость этих оценок установлена в параграфе 6.6.
Классические уединенные волны
В случае I собственным значением оператора А на мнимой оси является ноль кратности два. Размерность образа проекции
(6.4.1)(6.4.1)W0 = 7T0W = ^ < W, ф^ > фj
(6.4.1)
(6.4.1)
3
равна двум. Здесь < •< > обозначает скалярное произведение в X.
Афо = 0, Аф1 = фо, А* фо = Фь А*фт = 0,
0 о0 оФоФо
0 о
0 о
Фо
Фо
vH /
а = (5- 1/3)”1.
Полагая w0 = аофо + а^фу, получим систему пониженного порядка (1.4.1), где
/оо = 3do^i + O(/z2|a|, |а|3),
Ж = ?(^о - ^ + у) + О(м2|а|, |а|3), а = (а0,«1). Производя замену а0 = pPo^Y ал = pv(3i((^ £ = га, v = l/zl1/2?1/2, получим в нулевом порядке по р
9<Ро = /51,
d<& = sign //(А, - |/?о)-(6.4.2)
Уравнения (6.4.2) обладают первым интегралом
Ц3 signрЭ03 - р35(0о - 0о) = Но.
Для р > О, Но = 0 имеет место солитоноподобное решение (6.4.2):
А) = ch"2</2.
Это решение описывает классическую уединенную волну понижения уровня. Форма свободной поверхности задается формулой
р = 1 — а0(т) + О(р2) = 1 — pch-2vx/2 + О(р2).
Отметим, что зависимость от у не возникает в членах низшего порядка по р.
Обобщенно-уединенные и уединенные волны с рябью
/ zsHq \—Qshg ф^ = —ZQ2shg -ch qy \ zsh qy )/ zsHq \—Qshg ф^ = —ZQ2shg -ch qy \ zsh qy )В случае II центральная часть спектра А состоит из двукратного нулевого собственного значения и пары простых мнимых собственных значений ±гд. Размерность (6.4.1), таким образом, равняется четырем. Собственные и присоединенные векторы оператора А даются формулами
/ zsHq \
—Qshg ф^ = —ZQ2shg -ch qy \ zsh qy )
/ zsHq \
—Qshg ф^ = —ZQ2shg -ch qy \ zsh qy )
Ф- =Ф
-ф1 = а-ф1 = аг\О70\У /г\О70\У /где Аф^ = ъдф^. Собственные и присоединенные векторы сопряженного оператора А* имеют вид
-ф1 = а
-ф1 = а
г\
О
70
\У /
г\
О
70
\У /
/ о \
70Ь+(у2-1)/2\0/
/ <shg(6 + 7g2) \
^+ = г0 1 (д)^+ = г0 1 (д)ф =^+*,ф =^+*,—Q7shg
^+ = г0 1 (д)
^+ = г0 1 (д)
ф =^+*,
ф =^+*,
—Z7shg
—chgy+ shg/g
\—zshgy/
r0(g) = (b + 37g2 - l/g2)sh2 g + 1, где A*^ = —?g/>+.
Полагая wq = а^фо + а^ф^ + а^ф^ + а—ф—, получим приведенные уравнения (1.4.9), которые имеют квазинор- мальную форму (1.3.11). Непосредственные вычисления с использованием (1.3.6) дают для коэффициентов полиномов Ф и Ф в (1.3.11):
Ci(/z) =/zS + O^2),c2(/z) = -j^ + OM,
7оЫ = -Гд^^^/г,71 (р) =r(71(g)(g + sh2g) + O(/z),
d(p,)=d0\3\ = -3^1 + ^l^ +O(/z).(6.4.3)
Полагая % = ^ехрг^, при помощи масштабного преобразованияao=/z/3o«), «1 = /</31 (С), Ко = М2&о, (Ко = |z|2),6 = ^О/ц, < = га, v = |//?|1/2
и (6.4.3) получим
д2/30 + sign /z(/30 - |/3q - doko) = O(/<),
8<6 =О(ц), d^d = Ф(ц,ао,ко) = 9 +О(ц\ (6.4.4)
Система уравнений (6.4.4) имеет две точки равновесия. В низшем порядке по р, они принимают вид
До = 1/3 + |sign/z У1 - 6doko (седловая точка) и
Зо = 1/3 - sign/z ^Vl - 6doko (центр), d0 < 1/(6А0).
Умножая первое уравнение в (6.4.4) на д^Зо и интегрируя, получим (<9</30)2 = sign/i/(^o,^o^o), где
f(3o^ ho, ко) = /Зд — /Зд + 2doko3o + ho-
Для существования решений /Зо необходимо, чтобы выполнялось неравенство sign/z /(/Зо, Но, ко) > 0.
Обобщенно-уединенные волны имеют место при Ко = 0, р < 0 и являются волнами возвышения поверхности. Форма поверхности для этих волн имеет вид
rj = 1 + \р\ ch-2(ra/2) + О(р2).
При помощи соображений, изложенных в п. 1.4.2, можно убедиться, что периодическая составляющая обобщенно-уединенной волны обладает следующей асимптотикой на бесконечности:
у —> ±Сexp I^ — I singx,ж —> ±оо, (6.4.5)
\ VWW
где С - некоторая постоянная.
Возвышение поверхности для уединенных волн с рябью дается формулой
22
т] = 1 — ao Н—^sIiqcosqx + О^р ), где
ао = рЗо — И sign И л/^^б5о^осН-2[(1 — 6doko)T^4vx/2\, д = рк^2.
Уединенные волновые пакеты и темные солитоны
В случае III центральная часть спектра А состоит из пары ненулевых двукратных мнимых собственных значений ±гд10. Размерность (6.4.1), таким образом, равняется четырем.
Собственные и присоединенные векторы оператора А при а = ±гд имеют вид
/ ZQ1 til Q \
—th q
/9 J \
i + iq 1 th q
Фо —
—iqthq
-ch qy/(qchq) \ ish qy / (q ch q) /
, Ф1 =
—q — 2qthq iys^qy/^qdvq) X ydaqy/(qchq) /
10 В рассматриваемом здесь случае 1:1 резонанса абсолютная величина собственных значений на мнимой оси ранее обозначалась т. В данной главе ради единообразия за модулем этих собственных значений сохранено обозначение q.
Афо = гqфo, Аф^ = iqфl + фо-
Нелинейная вектор-функция ^(Л, w) в (1.0.1) при // = 0 дается формулой
^(О, w) = A^w, w) + ^з(w, w, w) + • • •,
где точки обозначают члены высшего порядка,
/0\
A^W, W) =A^W, W) =о-^(зИ + И)W2Wiy - 3wiW2y\ -WiWly + w2w2y /
A^W, W) =
A^W, W) =
/0\
Ng^w, w, w) =Ng^w, w, w) =0яWiW2Wiy - |w2y(wi - W2)X |(3W1 + W^Wiy + WiW2W2y /
Ng^w, w, w) =
Ng^w, w, w) =
Q~A
Я = -—52(wi(1) - A[wi]) + — (5[w®] + [wiw|]) + 35® + 955i52.
2727
Все ограниченные решения (6.2.4) записываются в виде
Wo = Афо + Вфг + А*ф* + В*ФХ + Ф(м, А. В, А\В*\(6.4.6)
где
Ф(0, Л, В, Л*, В*) = (Л2Ф2ооо + к.с.) + |Л|2Фцоо + • • •
представляет собой нелинейную вектор-функцию своих аргументов. Функция Ф в правой части (6.4.6) отвечает преобразованию от приведенных уравнений в форме (1.4.19) к уравнениям в квазинормальной форме, которые для 1:1 резонанса, комбинированного с обратимостью, имеют вид уравнений (1.3.20). Напомним, что (1.3.20) имеет два первых интеграла
К0=г- (АВ*-А*В), Н0 = \В\2 -С(ц,\Я\К0),
G^u.Ko^ = / Q(p,,s,Ko)ds.
Jo
Коэффициент qi полинома Q в (1.3.20) связан с собственными значениями линеаризованной правой части уравнения (1.3.20) по формуле
ст = iq ± V^iM- + О(р,).
В рассматриваемом случае
(2bq + 4у^3) coth q + 67Q2 + b — 1
и имеет следующие асимптотики
(4/45+ 4у)^2’
1^ ^(1>х-
Коэффициент q^ определяется из уравнения (Dias, looss, 1993)
qs —< 2^2(^o5 Фцоо) + 2N2^^ Ф2000) + ЗЫ3(ф01 ^0, Фо\Фг >? (6.4.7)
где А*фт = -iq^
^1 = т^
/ -(S + V)shQ \
—iq^ shgyshQz(—ch qy + Aq1 shg)\sh qy/
r^ =
q4 cth q
Xq ch q — bq3 ch q — Зуд5 ch q — A sh q — 37Q4 sh q
Асимптотики r(q) имеют вид
т^ = ~АГ 1 i 2 +°(1)’4(^ +?)92
r(q) ~-^техр(-д), q^oo.
Коэффициенты Фцоо и Ф2000 удовлетворяют уравнениям (Dias,
looss, 1993)
ЛФ2000 + ^2(^0, ^0) — 2г^Ф2ооо, ЛФцоо + 2^(ф(ьфц) = 0.
(6.4.8)
Для подсчета коэффициента q^ использовался пакет символьных вычислений Mathematica 2.2. Векторные функции Фцоо и Фзооо, определяемые при помощи (6.4.8), даются формулами
Ф1,“ ~ (Л-П^еЬ2^
0
0
0
q + sh 2q
0
Рис. 6.3. Форма коэффициента Q2 при 7 = 0,002 (кривая 1) и при b = 0 (кривая 2).
$2000 -22QJch q$2000 -22QJch q/ га sH2q \—2qa sh2q—4iaq^ sh2g
$2000 -22
QJch q
$2000 -22
QJch q
1 — (a — 1/2) cH2q?/\ га sh 2qij /
2(2 + ch 2q)
a— 5 — ch 2q + 6q cth q — I87 q3 sh 2q'
Асимптотики а имеют вид
3a n— ■ Q 0,18(^ +7)<74
1a——, q >x.
Коэффициент Q2 вычисляется из (6.4.7):
g2 = (Д _ дд2 + 16q2 _ 12Ach2g + +12A2 ch 2g +
16g4(A-l)ch3g
+ HAch 4q — A2 ch 4q + 14q sh 2q + 16ag sh 2q + 18Aq sh 2q — — \6aXq sh 2q + q sh 4q + 4aq sh 4q — Xq sh 4q — 4oAq sh 4q) .
1919Функция q^ является кусочно-монотонной. Асимптотики ДЛЯ q^ имеют вид при ^ О, b ^ 0:
19
19
8(55 +7>298’3”8’ 9^°°8(55 +7>298’3”8’ 9^°°92
8(55 +7>298’
3
”8’ 9^°°
8(55 +7>298’
3
”8’ 9^°°
92
при 7 = 0:
9292929292929292384758g8 ’
92
92
92
92
92
92
92
92
11
Т’ 9
при S=0:
171
2g4'
79
”132’
меняет знак. Такоеменяет знак. Такоеявляетсяявляется00Коэффициент д2 при 7
меняет знак. Такое
меняет знак. Такое
является
является
0
0
типичным не только при b = 0, но также для любого фиксированного 7 (см. рис. 6.3).
Поведение решений радикально изменяется, когда Q2 меняет знак. Более того, в вырожденном случае, когда q^ лежит в малой окрестности нуля, качественная картина малых ограниченных решений определяется коэффициентом при членах следующего порядка малости в разложении полинома Q в (1.3.20) и отличается от случая конечного q^ (Dias, looss, 1996). Здесь рассмотрим только невырожденный случай.
Следуя п. 1.4.3, сделаем в (1.3.20) следующее преобразование:
А = ро expi^qx + #о), В = р^ expi(iqx + ^i).
Вместо (1.4.21), получающихся из (1.3.20) указанной заменой, будем здесь использовать следующую форму этих уравнений (looss, Peroueme, 1993):
= 4^G^W^ + Но)—Kq},
= —Ko(^o^i) 1 (^оО(к uo, Hq) + С^рц no, Ко) + Но),
(6.4.9)
где uq = Ро, ui = Pi - Стационарные решения (6.4.9) (и, следовательно, периодические решения (1.3.20)) даются кратными корнями полинома
/ы =ио№,ио,^о)+Яо)(6.4.10)
Производя масштабные преобразования
Яо = p?ho, м0 = |д|до, Яо = |//|3/2А:о, получим
/ = 1м|39о(уо, h0, к0) + О(|^|7/2),
где
go(vo, h0, ко) = voho + sign^^i^ - уДд - к^.
Таким образом, кратные корни полинома (6.4.10) в низшем порядке по р даются кратными корнями полинома ^о(^о, ^о, ^о)- Эти корни лежат на кривых в плоскости (ко, Но), которые параметрически задаются уравнениями
ко = ±y?2«o - signal До, з
ho = 2^0 - 2 sign V 91 yo-(6.4.11)
При q^ > 0, р > 0 точка (0,0) множества (6.4.11) отвечает гомоклиническому решению:
До = —dr2 V№$ + О(|м|3/2).
92
Форма поверхности раздела вода-лед представляет собой уединенный волновой пакет
р = 1 ±/^M9i c^-i /^1XC0S qX О(|^|3/2).
На рис. 6.4 показаны формы двух уединенных волновых пакетов повышения уровня для 7 = 0 (случай гравитационно-капиллярных волн) и b = 0 (случай гравитационно-изгибных волн при отсутстви начального напряжения в ледовом покрове).
В случае q^ < 0, р < 0 в точке ко = 0, ho = —q^J^qs) множества (6.4.11) получим так называемые темные солитоны
Mo = ^th2 ПТЖ + О(М3/2)_
92 V
Рис. 6.4. Форма уединенных волновых пакетов возвышения при 7 = 0 (жирная линия) и b = 0, q = 1, р = 0, 01.
Форма поверхности раздела для случая темных солитонов имеет вид
1 ± /With а / 71 ж sin + О(|м|3/2)- q2 N q^ V 2
Сравнительная форма поверхности раздела в этом случае для двух различных значений 7 представлена на рис. 6.5.
Обсуждение
В настоящей главе было показано, что на поверхности жидкости под ледовым покровом имеют место три типа бифуркаций бегущих волн из состояния покоя; каждый из этих типов определяется своим множеством значений физических параметров. Вследствие этих бифуркаций возникают следующие типы уединенных волн, ответвляющихся от состояния покоя на поверхности раздела вод а-лед:
классические уединенные волны понижения уровня при большом положительном натяжении в ледовой пластине (Ь > 1/3);
обобщенно-уединенные волны и уединенные волны с рябью при малом положительном, нулевом и отрицательном натяжении в ледовой пластине (—ею < b < 1/3);
уединенные волновые пакеты и темные уединенные волны в случае 1:1 резонанса при малом положительном, нулевом и отрицательном натяжении в ледовой пластине (—сю < b < 1/3).
Рис. 6.5. Форма темных солитонов для 7 = 0,1, 7 = 0,2 (жирная линия), q = 3, р = —0, 01.
Первые две бифуркации происходят в плоскости А = 1, а третья - на поверхности (6.3.2). Для первых двух бифуркаций типы бегущих волн полностью аналогичны типам волн в случае капиллярногравитационных волн (7 = 0). Это обстоятельство может означать, что в данном диапазоне параметров распространение волн в этих двух средах происходит качественно аналогичным образом. Сильное основание для такого предположения доставляют также результаты Forbes (1986), где рассматривались изгибно-гравитационные волны конечной амплитуды в слое бесконечной глубины. В этой статье было обнаружено, что бесконечные ряды, приближающие неизвестные функции, начинают расходится при дискретных значениях жесткости на изгиб, что было интерпретировано как бифуркация из периодических решений. Аналогичные результаты для капиллярногравитационных волн известны с 1915: Wilton (1915) продемонстрировал, что при счетном количестве значений поверхностного натяжения ряды Стокса перестают быть асимптотическими и что это обстоятельство означает неединственность решения задачи.
Однако как было указано Zufuria (1987), при умеренных значений поверхностного натяжения пространственные масштабы для гравитационно-капиллярных волн оказываются малыми (так, для учета капиллярных сил в случае длинных волн на поверхности воды глубина ее должна иметь порядок нескольких миллиметров). При этом очевидным образом становятся существенными вязкие эффекты. Было также показано экспериментально (Benjamin, 1982), что затухание гравитационно-капиллярных волн происходит быстро. Таким
образом, сравнение теоретических и экспериментальных результатов не имеет особого смысла в этом случае.
С другой стороны, в случае гравитационно-изгибных волн пространственные масштабы существенно иные, и какие-либо ограничения на глубины жидкости отсутствуют. Амплитуда волны может иметь достаточно большие значения даже для малых отклонений скорости волны от фазовой скорости бесконечно длинных волн. Таким образом, результаты данной главы могут служить для описания волновых структур под ледовым покровом не только качественно, но и количественно. Так, например, для глубины жидкости Н=10 м и волновой скорости У=10 ± 0,1 м/сек (р и 0,02) амплитуда волны имеет величину около 0,2 метра. Такие волны (с амплитудами порядка 0,5 м) наблюдались в арктических районах. Они распространяются под сплошным ледовым покровом без видимого затухания на расстояния порядка сотен километров от края ледового покрова.
При b < 1 /3 имеют место обобщенно-уединенные волны и уединенные волны с рябью. В реальных условиях при
h=l, Ео = 5 х 109нм"2, Я = 10, и <то= 0,
например, длина волны I периодической компоненты обобщенноуединенной волны (см. (6.4.5)) имеет порядок Юми для возрастающих сто увеличивается. Такие волны подпадают под описание в рамках модели пластины Кирхгоффа-Лява, используемой в настоящей главе.
Как следует из предыдущих глав, существование обобщенноуединенных волн обычно указывает на некоторые специфические свойства нестационарных процессов в системе, а именно, на излучение коротковолновой составляющей при распаде локализованных возмущений. Период излучаемой волны равен периоду периодической составляющей обобщенно-уединенной волны. Для малых амплитуд ядра уединенной волны последняя распространяется практически без изменения формы, так как время распада в этом случае очень велико (см. главу 2). Тем не менее, при умеренных амплитудах процесс излучения играет значительную роль в динамике уединенной волны. Возникновение коротковолновых осцилляций в хвостах локализованных возмущений подтверждается экспериментальными наблюдениями в стратифицированных потоках жидкости над порогами, например (Farmer, Smith, 1980). Практическое детектирование подобного излучения представляется возможным также и в случае изгибно- гравитационных волн вследствие больших характерных масштабов явления, которые позволяют пренебрегать эффектами вязкости.
В результате бифуркации 1:1 резонанса из параметрического множества, заданного (6.3.2), возникают уединенные волновые пакеты. Существует связь между волнами огибающих нелинейного уравнения Шрёдингера и уединенными волновыми пакетами, возникающими
в результате 1:1 резонанса в некоторой системе уравнений, описывающих волновые процессы (Akylas, 1993; Grimshaw et al, 1994; Longuet- Higgins, 1993; см. также главу 2). Именно, уравнение Шрёдингера в самофокусирующей области имеет семейство нестационарных решений - солитонов огибающей, которые характеризуются двумя скорост- рями: скоростью огибающей и скоростью волнового пакета (наполнения), распространяющегося под огибающей. Солитоны огибающей представляют собой продукт модуляционной неустойчивости (самофокусировки) несущей периодической волны.
Уединенный волновой пакет является членом семейства солитонов огибающей в окрестности точки дисперсионной кривой, в которой фазовая и групповая скорости совпадают. Для тех волновых чисел, для которых коэффициент Q2 при ведущей нелинейности в квазинор- мальной форме отрицателен, периодические волны малой амплитуды устойчивы и, как следствие, система обладает темными солитонами вместо уединенных волновых пакетов. Присутствие таких волн известно на поверхности раздела двух бесконечных слоев жидкости с капиллярными эффектами (Dias, looss, 1994). Переход от уединенных волновых пакетов к темным солитонам в этом случае имеет место, когда коэффициент q2 меняет знак при R = Rc = (21 — 8д/5)/П, где R равняется отношению плотностей верхнего и нижнего слоев. При R < Rc существуют уединенные волновые пакеты, что означает, что в окрестности резонансного волнового числа q = (1 + Д)/2 имеет место самофокусировка периодических волн (Dias, looss, 1996). При R > Rc уединенный волновой пакет замещается темным солитоном - индикатором модуляционной устойчивости. Таким образом, при переходе R через Rc фокусирующая окрестность резонансного волнового числа q замещается дефокусирующей окрестностью. В случае изгибно-гравитационных волн, рассматриваемых в настоящей главе, коэффициент ^2 также меняет знак. Физический механизм перехода резонансного волнового числа в дефокусирующую область, естественно, отличается от случая двуслойной жидкости. Рассмотрим случай b = 0, т. е. когда начальное напряжение сг0 в слое льда равняется нулю. Поверхность (6.3.2) вырождается при этом в плоскую кривую (в плоскости b = 0), заданную параметрически следующим образом:
3q cth q3q cth q4 cthg7 = "Ху4 cthg7 = "Ху, 2 sh 2 9sh-2 q4q2, 2 sh 2 9sh-2 q4q2(6.5.1)(6.5.1)
3q cth q
3q cth q
4 cthg
7 = "Ху
4 cthg
7 = "Ху
, 2 sh 2 9
sh-2 q
4q2
, 2 sh 2 9
sh-2 q
4q2
(6.5.1)
(6.5.1)
Функции А и у, удовлетворяющие (6.5.1), монотонно возрастают и монотонно убывают, соответственно, подчиняясь асимптотикам
о21
А = 1 + — + O^q3\—5, q -4 0,
6
Таблица 6.1. Значения критических параметров в зависимости от h.
h, м
Vc, м сек 1
Нс. м
кс, м 1
0.01
2.23
2.15
2.69
0.1
5.28
12.12
0.48
0.4
8.88
34.28
0.17
0.8
11.52
57.65
0.1
1
12.53
68.14
0.085
с 3g .1
А7 ~ —, г/ >х.
4
Коэффициент ^2 обращается в нуль при критическом безразмерном волновом числе q = qc to 5, 79.
V = F п3.V = F п3.При волновых числах q < qc система обладает уединенными волновыми пакетами и, следовательно, в этой области имеет место самофокусировка периодической волны. При q > qc вместо уединенных волновых пакетов возникают темные солитоны и несущие периодические волны, отвечающие волновым числам из этой области, являются устойчивыми. Из определения безразмерных параметров А и 7 получим выражения для глубин и скоростей волны:
V = F п3.
V = F п3.
(6.5.2)
Из монотонности А, 7 и (6.5.2) следует, что глубина Н увеличивается при увеличении q. Таким образом, при Н > Нс. где Нс - критическое значение глубины, соответствующее q^ = 0, q > qc и уединенные волновые пакеты замещаются темными солитонами. Другими словами, окрестность каждого резонансного волнового числа q не является более фокусирующей, а становится дефокусирующей. Критические значения А = Ас ^ 4, 34 и 7 = ус to 0, 013 определяются подстановкой q = qc в (6.5.1). Резонансные волновые числа q нормированы при помощи глубины слоя жидкости Н. т. е. q = кН, где к теперь обозначает физическое волновое число. Величины критических параметров Vc, Нс и кс для некоторых значений толщины h ледового покрова приведены в табл. 6.1. Модуль Юнга Е^ и коэффициент Пуассона z/q для льда взяты равными соответственно 5 х 109нм-2 и 0,35. Если при увеличении глубины жидкости Н число q переходит через qc слева, то оно перестает быть фокусирующим волновым числом, и система не имеет более семейства уединенных волновых пакетов, а также уединенных
волн огибающих с волновыми длинами близкими к 2ttq-1. Таким образом, если фокусирующая область и существует где либо еще на дисперсионной кривой, она не содержит волновых чисел, где групповая скорость равняется фазовой. Из табл. 6.1 видно, что рассматриваемый эффект может быть наблюдаем как для экспериментальных, так и для естественных бассейнов. Для толщин ледового покрова порядка 1 см критическая глубина, скорость и длина волны могут быть смоделированы в эксперименте. Толщина льда порядка одного метра требует больших значений критических параметров, которые, тем не менее, достижимы в природных бассейнах: больших реках, озерах и морях.
При начальных напряжениях сг0 ^ О имеем дополнительный параметр в резонансном множестве (6.3.2) и критическое резонансное волновое число qc зависит от у. При этом qc увеличивается при уменьшении у. Для фиксированного у > 0 критические параметры Ас(у) и Ьс(^ задаются (6.3.2) с q = qc. Критические значения физических параметров Нс. Vc и а^с однозначно определяются (6.5.2) и равенством
_ bc Jpgh Ас7 '
Как и в случае b = 0 увеличение глубины жидкости влечет за собой увеличение резонансного волнового числа q для фиксированного у и, следовательно, имеет место аналогичный эффект смещения резонансного волнового числа в дефокусирующую область. Единственным отличием является то, что необходимо фиксировать дополнительный параметр у при увеличивающемся Н.
Приложение. Резольвентные оценки
В данном параграфе будет доказана справедливость резольвентных оценок, необходимая для выполнения теоремы о центральном многообразии (см. параграф 1.1) для системы уравнений (6.2.4).
Лемма. Рассмотрим естественную комплексификацию А оператора А в X = X + гХ, Zo = Zo + iZ0. Для каждого b 6 (—сю, сю) и у > 0 существует постоянное ^о > 0, такое что а = гк, к Е Н, |^| > ко принадлежат резольвентному множеству А. Более того, для некоторой положительной постоянной С, не зависящей от к, выполняются неравенства
HGA-Nyi^^C
(И) Ц(Д-гк)
(Ш) НИ"^) 2Hz0^ S'
Замечание. Спектр А лежит в области |Re ст| > /3 > 0. Следовательно, для каждого /3 G [0,/3) существует со(/3) такое, что выполняются неравенства для всех а с |Несг| < /3:
||(Л1-(т)-1||^^1 <с0(/3),
11 л„\—111/ со(/3)
I А -<т) ||z^Xi < ., ।,
+ И
||/ л _/-г\-2||/ СокР^
11(^1 О)>Xi — -^ _|_ |^|2 ’
где Z - замкнутое подпространство Xi и Zq (см. параграф 1.1 ).
Доказательство. Заметим, что (А — cr)w = {a, ai, «2, V}, где V = (Ут, Уз), влечет за собой
51 — аб = а,
62 — <7(31 = оа,
Ъ51 — wi(l) + A[wi] — 0-^62 = 7^2,
—w2 — awi = У,
wT — aw2 = У3(6.6.1)
и W2 (0) = 0. Из первых двух равенств получим У = а + а5^ д2 = = «1 + а а + ст2 5. Третье уравнение в (6.6.1) записывается в виде
wi(l) - A[wi] - a(b - ct27)w2(1) =
где g = —7«2 — a^ai + (b — а2^а. Далее, возводя в квадрат последние два уравнения в (6.6.1) (ст = гк, | • |о обозначает норму в £2(6,1), штрих обозначает производную по ?/), получим
|w |о + ^2|w|o “ ^^ Imwi(l)w2(l) = |У|о-(6.6.2)
Умножим третье уравнение в (6.6.1) на Wi(l) и, используя четвертое, получим
4к(Ь + 7к2) + -)wi(l)wi(l) = |wi(l)|2 - —w^(l)[H] -sw^. \к/к,
Далее используем геометрическое неравенство (с2 + с2 > 2ciC2, ci,C2 6 Н) и неравенство Гёльдера:
|1„1„,1(1М(1)| <+ *2)Ы! +
+ ^(ЩЯ + (6 + „27)2(1=+72|(12|2 + 72„,|(11|3\1
для любого положительного е. Умножим последнее уравнение в (6.6.1) на уп, Vn Е IN, проинтегрируем и снова используем неравенство Гёльдера и геометрическое неравенство:
HCOI2 2^1^ + 2^ИН° + 2^Т1№ (6-6-3)
Выберем далее п и е таким образом, что
6(1 + 2е2) = |6|(2n+ 1) “
для b ^ 0 и
6(1 + 2e2) _
7(2n+l)*
для b = 0. Заметим, что для b ^ 0 и Kq достаточно больших
1/|& + 7«2|<1/|Ь|
и, следовательно,
2K|Imwi(l)w^(l)| < Ci(n)|wi|^ + |k2|w2|o + ||V2|o + + 2^(^^ + 72|a212+
+ ^|& + k27 + A/k2|N2, где
(2n + l)n2 C1H= 2(2n — 1) " Комбинируя далее (6.6.2) и последнее неравенство, окончательно получим для b ^ 0
|w' |о + |к2 - riMllwil^ + y|w2|o < Йо + ^ 1^2Io +
+ т4ш+ 72Ы2 +72к2Ы2) + А|Ь + к27 + А2/к2||а|2.
(6.6.4) При b = 0
Ыо+(кT5~ )Ыо+(к — ^)|w2|0 <
< IKI?, +I?, ++ £ы= + 7>,?) +
+ 2? (К,7 + ^) |Q|2'
Для б^ из второго и третьего уравнений в (6.6.1), а также из (6.6.3), (6.6.4) имеем
1^2' |6/^ + 7^|1^2' |6/^ + 7^|-|«i| +7|а2| + |wi (1)| + A|[wi]|-|«i| +7|а2| + |wi (1)| + A|[wi]|
1^2' |6/^ + 7^|
1^2' |6/^ + 7^|
-|«i| +7|а2| + |wi (1)| + A|[wi]|
-|«i| +7|а2| + |wi (1)| + A|[wi]|
IbA + T^I 7О11 + 7Ы + |Ю1(1,1 + 1Ю1к) S
11\Ь/к + 7^|\Ь/к + 7^|(С^ + ОД <с.(С^ + ОД <с.
1
1
\Ь/к + 7^|
\Ь/к + 7^|
(С^ + ОД <с.
(С^ + ОД <с.
Аналогично |#i| < С/к, |J| < С/к?, откуда немедленно следует оценка (i) леммы.
Оценка (ii) следует из (i), если положить а и «1 равными нулю. В этом случае
\Ч<С/^ \51\<С/к\ |5| <С!к\
Для доказательства (iii) применим оператор (Л — г^)-1 дважды и заметим, что после второго применения в соответствии с (ii) следует, что в (6.6.4)
Мо<С7к, |а2|<С/к,|«1|<С/к2,\а\<С/к3,
откуда эта резольвентная оценка следует немедленно.
Глава 7
Пространственные волны в идеальной жидкости
Вопросы распространения волн на поверхности жидкости в присутствии эффектов дисперсии, обусловленных поверхностным натяжением или изгибными моментами в упругой пластине, привлекают значительный интерес как с теоретической, так и с практической точек зрения вследствие важности для приложений. С теоретической точки зрения изучение гравитационно-капиллярных и гравитационно- изгибных волн требует использования сложных математических методов. В отличие от гравитационно-капиллярных волн, где сравнение теоретических результатов, полученных из моделей без вязкости, с экспериментальными данными достаточно трудно провести (см., например, Benjamin, 1982), гравитационно-изгибные волны имеют большую практическую важность: насущными инженерными проблемами являются вопросы контроля напряжений в ледовом покрове в окрестности сооружений, возведенных на льду, разлом льда в прибрежных районах, сооружение ледоломов и т.д.
В настоящей главе рассматриваются модельное волновое уравнение, описывающее длинные пространственные волны на поверхности идеальной несжимаемой жидкости конечной глубины при наличии поверхностного натяжения или в присутствии упругой ледовой пластины, свободно плавающей на поверхности жидкости. Это уравнение имеет вид
дх(д^ +1)9^ + 1713^ + ^) + dyyri = 0, ш = ±1, (7.0.1) и является обобщением на случай дополнительного измерения уравнения КдВ пятого порядка (2.0.1), выведенного Haragus (1996) и Hunter, Scheurle (1988) для гравитационно-капиллярных волн и Марченко (1988) - для гравитационно-изгибных волн (см. главу 2 настоящей монографии).
В настоящей главе уравнение (7.0.1) выводится из полной системы уравнений Эйлера для жидкости конечной глубины, описываю-
щих длинные гравитационно-капиллярные волны в предположении, что число Бонда b близко к 1/3, а также для гравитационно-изгибных волн под упругой пластиной. В терминологических целях будем называть волновые решения (7.0.1) трехмерными волнами (хотя их базовая область является плоскостью 1R?\ потому что эти волны аппроксимируют трехмерное поле скоростей для системы уравнений Эйлера. В соответствии с этим волновые решения уравнения (2.0.1) будут называться двумерными волнами.
Несмотря на то, что уравнение (2.0.1) является модельным, множество его решений содержит все известные типы бегущих волн полной системы двумерных уравнений Эйлера для гравитационнокапиллярных (looss, Kirchgassner, 1992) и для гравитационно- изгибных волн (Il’ichev, Kirchgassner, 1998, см. также главу 6). Двумерные бегущие волны ответвляются от состояния покоя, которому приписана скорость V, принимающая значение либо V = 0, либо V = — 1/4 (см. главу 2). Продуктом бифуркации, представляющим собой уединенные волны, являются либо обобщенно-уединенные волны при V > 0, либо уединенные волновые пакеты при V < —1/4. Таким образом, существует промежуток —1/4 < V < 0, где отсутствуют двумерные солитоноподобные структуры, ответвляющиеся от состояния покоя.
В настоящей главе будут разыскиваться трехмерные решения уравнения (7.0.1) типа бегущих волн. В первых четырех параграфах главы изучаются в основном волны, аппроксимирующиеся убывающими решениями в направлении своего распространения (ось ж). В частности, будет показано, что промежуток —1/4 < V < 0 заполняется в результате спонтанного нарушения размерности (перехода от двумерных к трехмерным волновым структурам) трехмерными солитоноподобными структурами. Оказывается, что для трехмерной задачи каждое значение скорости при V > —1/4 является точкой бифуркации.
Как и в остальных главах настоящей монографии, для понижения порядка бесконечной динамической системы, описывающей бегущие волны, будет использоваться теорема о центральном многообразии.
Теорема о центральном многообразии перестает быть применимой, если в пространственной области изменяются две или более неограниченные координаты. В (7.0.1) базовой областью является 1П2. так что получить полную картину ограниченных волновых решений даже малой амплитуды не представляется возможным. Поэтому необходимы некоторые дополнительные предположения о поведении решения по одной из переменных. Одной из целей настоящей главы является нахождение волновых структур, скорости которых заполняют промежуток — 1/4 < V < 0 и которые локализованы в направлении х (это направление будет оставлено неограниченным), а в направлении оси у производится компактификация: будет предполагаться выполнение периодических или однородных граничных условий Дирихле.
В случае периодичности в направлении оси у диаграмма бифуркаций является сложной. Она качественно одинакова для случаев m = 1 и m = — 1, так что будет рассмотрен только случай m = 1 .
Бифуркация происходит, когда одно или более собственных значений линеаризованной задачи приходит на мнимую ось. Для фиксированного периода находится последовательность точек бифуркации — 1/4 < Бо < Б1 < ... < сю, и любое значение V > —1/4 для последовательности периодов 0 < То < 71 < ... < оо является точкой бифуркации. В настоящем анализе период будет фиксироваться, а скорость V рассматриваться как параметр бифуркации. В данной задаче бифуркация происходит всегда, когда пара комплексно сопряженных собственных значений, каждое кратности два, приходит на мнимую ось при изменении параметра скорости.
Первая бифуркация при V = Бо имеет место для низшей периодической по у моды. Процесс повторяется для каждой последующей моды. Собственные значения, которые приходят парами на вещественную ось, затем расходятся по ней. В добавление к этим собственным значениям находятся еще четыре, если V Е (—1/4, 0), и два, если V > 0. Эти собственные значения всегда остаются на мнимой оси. Их наличие является результатом бифуркации двумерных волн из Бо = —1/4 и Бо=О. Более того, для любого V ноль всегда является двукратным собственным значением в силу симметрий уравнения (7.0.1), но это собственное значение может быть исключено из рассмотрения.
Таким образом, первой бифуркации отвечает шесть чисто мнимых собственных значений, два из них кратности четыре, и четыре простых для Бо Е (—1/4,0), а также четыре собственных значения - два кратности четыре и два простых для Бо > 0.
В параграфах 7.2-7.4 будут изучены следующие случаи:
периодичность по у будет заменена граничным условием Дирихле
"I,-. = '"|,=- = °’
т. е. будут рассмотрены волновые движения в канале с нулевым возвышением поверхности на его стенках. Тогда все собственные значения, возникающие от бифуркаций двумерных волн, исчезают (этим собственным значениям отвечают собственные функции, которые являются постоянными по у^ эти постоянные должны быть равны нулю в связи с вышеуказанным граничным условием), а собственные значения кратности 4 превращаются в собственные значения кратности 2. Таким образом, в рассматриваемом случае имеем бифуркацию 1:1 резонанса. Этот случай может отвечать конкретным физически реальным задачам движения в каналах. Упомянем здесь движение жидкости под ледовым покровом в канале (реке), где ледяной покров вморожен в берег;
периодические граничные условия по у будут рассмотрены в случае V = Vo > 0. Тогда в точке бифуркации имеется пара комплексно сопряженных мнимых собственных значений кратности 4 и пара простых мнимых собственных значений. Размерность центрального многообразия, таким образом, равняется десяти. В ряде важных случаев дополнительных симметрий эту размерность удается понизить до шести, что соответствует случаю сложного 1:1 резонанса.
Заметим, что отрицательные скорости движения волны означают, что волна распространяется налево с фазовой скоростью с бесконечно длинных линейных волн, так как V представляет на самом деле разность между действительной скоростью и скоростью с.
В параграфе 7.1 уравнение (7.0.1) выводится для длинных гравитационно-изгибных волн малой амплитуды, а также для гравитационно-изгибных волн под упругой пластиной, свободно плавающей на поверхности жидкости. В параграфе 7.2 сравнивается спектр оператора А из (7.0.1) со спектром соответствующего оператора полных уравнений трехмерной задачи для гравитационнокапиллярных волн. Случай граничных условий Дирихле рассмотрен в параграфе 7.3. Система уравнений, описывающая бегущие волны, приводится в этом случае к системе обыкновенных дифференциальных уравнений, которая приближается системой (1.3.20). Показано, что коэффициент при старшей нелинейности в квазинормальной форме является положительным, что означает существование солитоноподобного решения. Аналогичным образом в параграфе 7.4 рассматривается случай периодических граничных условий. Построение квазинормальной формы в этом случае предпринято в параграфах 7.10 и 7.11.
Haragus, Kirchgassner (1995) изучали решения уравнения Кадом- цева-Петвиашвили, которые являются периодичными в направлении своего распространения, а поперечное направление выбирается неограниченным. Этот тип решений играет важную роль также для (7.0.1), и они будут подробно рассматриваться в параграфе 7.5 настоящей главы.
Одним из основных вопросов, возникающих в отношении изучаемых волновых структур, является вопрос об их устойчивости. В частности, периодические волны могут не являться физически конечным состоянием волнового процесса. Анализ линейной устойчивости приводит к экспоненциально растущим возмущениям для возмущений таких волн. Однако учет нелинейности может приводить к формированию ограниченных волновых образований, которые сильно отличаются от первичных периодических структур. В параграфе 7.6 будет рассмотрена нелинейная неустойчивость однородных периодических волн по отношению к поперечным возмущениям. Этот тип неустойчивости известен как самоканализация (см., например, книгу Карпмана, 1973) и ведет к образованию естественных волноводов - солитоноподобных
структур, рассмотренных в параграфе 7.5. В параграфе 7.6 из (7.0.1) выводятся уравнения Дэви-Стюартсона (ДС) для амплитуд огибающих периодической волны, которые и поддерживают неустойчивость волн, приводящую к самоканализации.
В параграфе 7.7 изучается линейная неустойчивость волноводов. Такая неустойчивость в терминологических целях названа вторичной неустойчивостью на том основании, что сам волновод является продуктом неустойчивости однородной периодической волны - первичной неустойчивости. Как и в параграфе 7.6, неустойчивость изучается при помощи альтернативного описания в рамках уравнений ДС для медленно меняющихся амплитуд гармонических волн. Волноводным решениям уравнения (7.0.1) соответствуют солитонные решения уравнений ДС. Анализ неустойчивости проводится методами работ Захарова, Рубенчика (1973) (см. также Kuznetsov et al., 1986) и Ablowitz, Segur (1989). В этих работах найдены четная и нечетная собственные функции, которые отвечают неустойчивым поперечным возмущениям солитонных решений нелинейного уравнения Шрёдингера (НУШ) и уравнения ДС. Для эллиптического НУШ Janssen, Rassmussen (1983) нашли пороговое значение волнового числа возмущения, за которым имеет место нормальная устойчивость солитонов. Неустойчивая часть дисперсионной кривой в этом случае построена Anderson et al. (1979) (см. также Rypdal, Rasmussen, 1989). Saffman, Yuen (1978) численно нашли пороговое значение волновых чисел неустойчивых возмущений для гиперболического НУШ, а также построили неустойчивую часть дисперсионной кривой в этом случае.
Параграф 7.8 посвящен обсуждению результатов.
Вывод основного уравнения
В этом параграфе будет выведено уравнение (7.0.1) для длинных поверхностных волн малой амплитуды в присутствии
либо упругой пластины, свободно плавающей на поверхности жидкости;
либо поверхностного натяжения.
Как и в главах 2 и 6, предполагается, что пластина подчиняется уравнениям теории тонких пластин. Изложенная здесь процедура вывода (7.0.1) во многом повторяет соответствующий вывод уравнения (2.0.1) (см. параграф 2.1), а обозначения соответствуют обозначениям, приведенным в таблице, содержащейся в параграфе 2.1.
Система уравнений Эйлера с соответствующим дополнительным поверхностным давлением имеет вид (в настоящем параграфе нижний буквенный индекс означает дифференцирование по соответствующей
переменной):
4>жж + ^УУ += 0, -Н < Z <T](x,y,O,
= 0, Z = —Н,
т+Пж^ж +Г]у(ру = ipz, Z = ri(x,y,t),
Vt + ^^+Vy+^Hgn+AoTitt+Bo^yT) - СоДжу?7 = 0,z = 7?(ж,у,<).
(7-1.1)
Здесь Джу = Э^ + дуу, р - потенциал скорости, у - отклонение поверхности жидкости от положения равновесия % = 0. Для жидкости под ледовым покровом
Ao=Pih/pw, Во = Eh3/[12рю(1 - Pq)], Со = 0,
где pi и pw - плотности льда и жидкости, h и Н - толщина льда и глубина жидкости, Е - модуль Юнга и Vo - коэффициент Пуассона льда. Для гравитационно-капиллярных волн
Ло = Во = 0, Со = Т / pw,
где Т - величина поверхностного натяжения. В (7.1.1) опущены нелинейные члены, соответствующие дополнительному давлению, вызванному либо поверхностным натяжением, либо упругой пластиной, потому что они не дадут вклада в выводимое уравнение.
Для выделения относительной малости различных слагаемых в уравнениях (7.1.1) введем следующие малые параметры:
где А - характерная длина волны, a a - характерная амплитуда. Определим следующие безразмерные переменные:
- _ (gH^^t , _ (дНУ^р , _
А ’даХ ’ а’
Тогда (7.1.1) можно записать следующим образом (опуская штрихи и пренебрегая членами О(ае)):
е(^жж + ^ии) + ^ = 0, -1 < % < гр,
крг — ^^ z — — 1,
m + ерж^ж + еруфу = e-1ipz, z = eg,
Vt + ^(^Ж +<Py + e"M) + V - /ЗДЖуЧ + 7^^ = °,^ = е11-
(7.1-2)
Разложим потенциал скорости в ряд по вертикальной координате z:Разложим потенциал скорости в ряд по вертикальной координате z:ф = ф° +гф° + ^2ф^ + ^yVzzz + ^Z4<p°zzzz +।15 0।6 0_i_ . . .ф = ф° +гф° + ^2ф^ + ^yVzzz + ^Z4<p°zzzz +।15 0।6 0_i_ . . .(7.1.3)(7.1.3)Из первого уравнения в (7.1.2) получимИз первого уравнения в (7.1.2) получим^ = "Мх + ^),^ = Л^ХХ + И W^zzzz ^ ^хххх 4" ^Фххуу + фуууу^ 1^zzzzz = 6 [(^)жжжж + ^(^z^xxyy + (^z^yyyyVi ZZZZZZ ^ \Y XXXXXX "T" ^Yxxxxyy "T" ^T xxyyyy "T" xyyyyyy^ = "Мх + ^),^ = Л^ХХ + И W^zzzz ^ ^хххх 4" ^Фххуу + фуууу^ 1^zzzzz = 6 [(^)жжжж + ^(^z^xxyy + (^z^yyyyVi ZZZZZZ ^ \Y XXXXXX "T" ^Yxxxxyy "T" ^T xxyyyy "T" xyyyyyyПри помощи (7.1.3), разложения по малым е вплоть до членов порядка б4 и использования второго равенства в (7.1.2), получим выражение для ф^\При помощи (7.1.3), разложения по малым е вплоть до членов порядка б4 и использования второго равенства в (7.1.2), получим выражение для ф^\19^ = -бДж^° - -62Д^^° - ^г^.19^ = -бДж^° - -62Д^^° - ^г^.(7-1.4)(7-1.4)Подставляя (7.1.4) в последние два уравнения (7.1.2) и пренебрегая членами порядка ее и выше, получим (опуская индекс °):Подставляя (7.1.4) в последние два уравнения (7.1.2) и пренебрегая членами порядка ее и выше, получим (опуская индекс °):12Ъ + епхфх + ет)уфу + еу/^уф + Джуу? + -^У^уФ + —б2 Д2уу? = 0,12Ъ + епхфх + ет)уфу + еу/^уф + Джуу? + -^У^уФ + —б2 Д2уу? = 0,Vt + |(7 + ф2) + г) - 0/ХЖуГ) + т^уТ] = 0.Vt + |(7 + ф2) + г) - 0/ХЖуГ) + т^уТ] = 0.(7.1.5)(7.1.5)Представим неизвестные функции в видеПредставим неизвестные функции в виде?? = % + ??ie + %е2 + О(б3), Ф = фо + фуе + ф2е2 + О(б3).?? = % + ??ie + %е2 + О(б3), Ф = фо + фуе + ф2е2 + О(б3).(7.1.6)(7.1.6)Пренебрегая членами третьего поядка малости, будем искать волны, распространяющиеся в одном наравлении (вправо), т.е. слабо зависящие от времени в координатной системе, движущейся с фазовой скоростью бесконечно длинных линейных волн:Пренебрегая членами третьего поядка малости, будем искать волны, распространяющиеся в одном наравлении (вправо), т.е. слабо зависящие от времени в координатной системе, движущейся с фазовой скоростью бесконечно длинных линейных волн:Л = П^Л,т,е), ф = ф^,(,т,е),Л = П^Л,т,е), ф = ф^,(,т,е),^ = х — t, £ = Ду, т = ent, п > 0.^ = х — t, £ = Ду, т = ent, п > 0.Длинные волныДлинные волныпод ледовым покровом.под ледовым покровом.Пусть п = 1,Пусть п = 1,
Разложим потенциал скорости в ряд по вертикальной координате z:
Разложим потенциал скорости в ряд по вертикальной координате z:
ф = ф° +гф° + ^2ф^ + ^yVzzz + ^Z4<p°zzzz +
।15 0।6 0_i_ . . .
ф = ф° +гф° + ^2ф^ + ^yVzzz + ^Z4<p°zzzz +
।15 0।6 0_i_ . . .
(7.1.3)
(7.1.3)
Из первого уравнения в (7.1.2) получим
Из первого уравнения в (7.1.2) получим
^ = "Мх + ^),^ = Л^ХХ + И W
^zzzz ^ ^хххх 4" ^Фххуу + фуууу^ 1
^zzzzz = 6 [(^)жжжж + ^(^z^xxyy + (^z^yyyyV
i ZZZZZZ ^ \Y XXXXXX "T" ^Yxxxxyy "T" ^T xxyyyy "T" xyyyyyy
^ = "Мх + ^),^ = Л^ХХ + И W
^zzzz ^ ^хххх 4" ^Фххуу + фуууу^ 1
^zzzzz = 6 [(^)жжжж + ^(^z^xxyy + (^z^yyyyV
i ZZZZZZ ^ \Y XXXXXX "T" ^Yxxxxyy "T" ^T xxyyyy "T" xyyyyyy
При помощи (7.1.3), разложения по малым е вплоть до членов порядка б4 и использования второго равенства в (7.1.2), получим выражение для ф^\
При помощи (7.1.3), разложения по малым е вплоть до членов порядка б4 и использования второго равенства в (7.1.2), получим выражение для ф^\
19
^ = -бДж^° - -62Д^^° - ^г^.
19
^ = -бДж^° - -62Д^^° - ^г^.
(7-1.4)
(7-1.4)
Подставляя (7.1.4) в последние два уравнения (7.1.2) и пренебрегая членами порядка ее и выше, получим (опуская индекс °):
Подставляя (7.1.4) в последние два уравнения (7.1.2) и пренебрегая членами порядка ее и выше, получим (опуская индекс °):
12
Ъ + епхфх + ет)уфу + еу/^уф + Джуу? + -^У^уФ + —б2 Д2уу? = 0,
12
Ъ + епхфх + ет)уфу + еу/^уф + Джуу? + -^У^уФ + —б2 Д2уу? = 0,
Vt + |(7 + ф2) + г) - 0/ХЖуГ) + т^уТ] = 0.
Vt + |(7 + ф2) + г) - 0/ХЖуГ) + т^уТ] = 0.
(7.1.5)
(7.1.5)
Представим неизвестные функции в виде
Представим неизвестные функции в виде
?? = % + ??ie + %е2 + О(б3), Ф = фо + фуе + ф2е2 + О(б3).
?? = % + ??ie + %е2 + О(б3), Ф = фо + фуе + ф2е2 + О(б3).
(7.1.6)
(7.1.6)
Пренебрегая членами третьего поядка малости, будем искать волны, распространяющиеся в одном наравлении (вправо), т.е. слабо зависящие от времени в координатной системе, движущейся с фазовой скоростью бесконечно длинных линейных волн:
Пренебрегая членами третьего поядка малости, будем искать волны, распространяющиеся в одном наравлении (вправо), т.е. слабо зависящие от времени в координатной системе, движущейся с фазовой скоростью бесконечно длинных линейных волн:
Л = П^Л,т,е), ф = ф^,(,т,е),
Л = П^Л,т,е), ф = ф^,(,т,е),
^ = х — t, £ = Ду, т = ent, п > 0.
^ = х — t, £ = Ду, т = ent, п > 0.
Длинные волны
Длинные волны
под ледовым покровом.
под ледовым покровом.
Пусть п = 1,
Пусть п = 1,
5 = 5е, 7 = 7€, /3 = 0, е = ее,
где величины с шапкой имеют порядок 1. Подставляя (7.1.6) в (7.1.5), получим, вплоть до членов порядка б2,
0 = -т]^ ~ ^ + ед^т + сеп^Ф^ + £ef)0$0^ + $о^ + ?б^0« +
+6<т + ^о^, _ о — —+ е(рот + -£бу?0^ + 7/о + 67/1 + +767/0^^.
Приравнивая члены порядка 1 и б, имеем
^ = %,(7-1.7)
и следующее уравнение на т/о, полученное с использованием (7.1.7):
^от + 2^?от?о5 + gWe + |??оеееее^ + ^о« = 0.(7.1.8)
Длинные гравитационно-капиллярные волны. Пусть 71 = 2,
3 = б(1/3 — a), a = (1/3 — 5) = ае, е = ее2,
где b = Т/pwgH2 - число Бонда. Таким образом, настоящий анализ касается случая, когда b близко к 1/3. Подставляя (7.1.6) в (7.1.5) и пренебрегая членами порядка б3, получим следующие эволюционные уравнения
о = -%е - ет?^ - б2?^ + e2%r + Ee2WM + ее2 Wo« + ^о« +
_ 2 __2 -6 -62 _2 2 -
+ёб у?о« + 6^ + б + -фо^ + y^i^ + J^6
0 = —— еФ^ — б2 ^2^ + 62(/9qt + -£б2у?о^ + 7/0 + 67/1 + б2 Т/2 —
6 _ б2 __
- у^се + ае лш-
Аналогично предыдущему случаю окончательно получим ____
m = ло, лт= фч + -т/о^
и
^Лот + -ЕЛоЛо^ + -^Sfjo^ + —7/0^^ + ^Лсс = 0.(7.1.9)
Уравнения (7.1.8), (7.1.9) могут быть приведены к виду (7.0.1) при помощи масштабных преобразований. Заметим, что когда b больше 1/3 (2 < 0), то коэффициент m в (7.0.1) равняется — 1.
Сложный 1:1 резонанс. Спектры модельной и полной задач
Решения (7.0.1) типа бегущих волн, распространяющихся со скоростью У, удовлетворяют уравнению
Э^-УЭ^ + Э^^Э^ Ут^У^ = 0.(7.2.1)
Предположим V = Vo + /1, где Уо - некоторое фиксированное значение скорости и р - малый параметр. Тогда уравнение (7.2.1) можно записать в виде (1.0.1), где
w = (4,41,42,43,44,4s), гц=дгхГ1, ? = !,...,5,
/
0
1
0
0
0 0\
/0 А
0
0
1
0
0 0
0
0
0
0
1
0 0
X0
А =
0
0
0
0
1 0
,^(ju,w) =0
0
0
0
0
0 1
0
I
0
Го
0
-8 0/
\№ - 41 - 44г/
(7.2.2)
Эта система уравнений имеет несколько симметрий. Она инвариантна относительно трансляций по у, Taw(y) = w(y + a^ относительно отражений Sw(y) = w(—у\ а также является обратимой. Выберем в качестве оператора обратимости К = S о 7^, где
(7.2.3)(7.2.3)?г = diag(l,-l, 1,-1,1,-1).
(7.2.3)
(7.2.3)
Этот выбор обоснован в приложении 2.
Будем искать решения (7.2.1), которые периодичны по у с периодом 41. Тогда спектр А состоит из собственных значений ст, удовлетворяющих
ст6 + тег4 - У0<72 = —у-(7.2.4)
для любого положительного целого к. В силу обратимости и вещественности оператора получим, что если a - собственное значение, то ст* и —а также являются собственными значениями.
Бифуркация происходит, когда одно или более собственных значений А приходит на мнимую ось. В связи с этим будем разыскивать мнимые корни (7.2.4) а = iq, q > 0:
Ноль представляет собой собственное значение для любого Vo вследствие инвариантности т] —> 77 + const, V —> V + const и является двукратным вследствие обратимости. Собственные числа приходят на мнимую ось парами (также как следствие обратимости), когда график f(q) касается горизонтальной линии ^р- (см. рис. 7.1).
Рис. 7.1. Поведение полинома f(q) для m = 1: a) Vo > 0, b) -1/4 < Vb < 0.Рис. 7.1. Поведение полинома f(q) для m = 1: a) Vo > 0, b) -1/4 < Vb < 0.
Рис. 7.1. Поведение полинома f(q) для m = 1: a) Vo > 0, b) -1/4 < Vb < 0.
Рис. 7.1. Поведение полинома f(q) для m = 1: a) Vo > 0, b) -1/4 < Vb < 0.
Замечание. Нулевое собственное значение кратности 2 увеличивает размерности центрального многообразия на 2. Однако обе эти дополнительных размерности могут быть исключены при помощи равенств
2/
/ (% + 8% + W - Vтц) dy = 0(7.2.6)
— 21
И
2/
j (щ + ST]2 + |т?2 — Vr])dy = const,(7.2.7)
-2/
когда постоянная в последнем равенстве полагается равной нулю. Эти равенства получены интегрированием (7.2.1) по периоду.
Если m = 1 и Vo < —1/4, то функция f(q) принимает отрицательные значения, и бифуркации невозможны в этом случае. То же верно, если m = — 1, Vo < 0. При m = — 1, Vo > 0 полином f(q) ведет себя
как обозначено на рис. 7.1а, а динамика собственных значений качественно аналогична случаю т = 1, Vo > 0. Поэтому ограничимся рассмотрением случая т = 1, изображенного на рис. 7.1.
Из (7.2.5) получим, что спонтанное нарушение размерности происходит, когда
Vb = 3gg — 2gg И 29g-g4=(7.2.8)
где Qo _ больший корень уравнения (7.2.8). Более того, имеем
> |, Го >
Две новых пары собственных значений приходят на мнимую ось (т. е. происходит новая бифуркация), когда график полинома f(q) впервые пересекает следующую линию А;27г2/4/2, параллельную оси q. Собственные значения затем расходятся вдоль мнимой оси. Кратность этих собственных значений зависит от граничных условий по у.
Линеаризованные уравнения, описывающие бегущие волны в полной задаче с капиллярными силами, следуют из (7.1.1):
фхх “Ь фуу "1" фгг = 0,1 < % < 0,
фг = 0, Z = — 1,
■Пх=ф^ 2 = 0,(7.2.9)
Уж + Ат; - 6ДжУт; = 0,2 = 0,
А - обратный квадрат числа Фруда, а b - число Бонда:
А =к Т
У2 ’ pwHV2"
Уравнения (7.2.9) написаны в безразмерной форме с использованием нормировочных условий
^C,y,2,^^X,y,2,pY
Система уравнений (7.2.9) имеет вид
v = Sv
(точка обозначает дифференцирование по ж), где
V = ^р^трфф, и = дхф, ф = дхгр
/01о0\
„ _—д2/ду2 — У2(Эг2 000 |
° “0001"
\о1/ьх/ъ-д2/ду2о)
В область определения линейного оператора В включим граничные условия
Ф = V^l^ce y^l^—i = 0.
Спектральная задача Bf = erf для 4/-периодичных по у функций приводит к дисперсионному уравнению
/ Q2 \
(р) coshp — (А + bp2) sinhp = 0,
V р ) где
о = 1Г’=^ = -icr-
Заметим, что, как и для модельного уравнения (7.1.1), ноль всегда является собственным значением кратности два вследствие калибровочной инвариантности р —> (р + const.
Собственные значения приходят на мнимую ось парами на кривых в плоскости (Ь, А):
sinh р2рsinh р2рQ2A cothp/Q2
sinh р2р
sinh р2р
р2- у 2р\р
cothp , 9 sinh-2 р
В пространстве параметров (Ь, А) для фиксированного I имеет место бесконечно много бифуркационных кривых для к = 0,1, 2,..., которые сгущаются к полуоси (Ь = 0, А > 0) при к —> сю.
Первая кривая для к = 0 является кривой, полученной для двумерного случая looss, Kirchgassner (1992) и не зависит от I. Если I изменяется в пределах (0, оо), то бифуркационные кривые заполняют область слева от кривой для к = 0. Другими словами, в любой точке (6, А) слева от бифуркационной кривой для двумерного случая при любом I имеет место бифуркационная кривая для трехмерной задачи, проходящая через эту точку. Расположение собственных значений, приходящих на мнимую ось, а также собственных значений, остающихся на мнимой оси, показано на рис. 7.2.
Уравнение (7.2.1) выведено в предположении, что b ~ 1/3. Значениям А > 1 отвечают Vo < 0, а А < 1 - значения Vo > 0. Напомним, что b > 1/3 соответствует m = — 1, а b < 1/3 - m = 1 в уравнении (7.2.1). Из рис. 7.2 видно, что если А < 1, то поведение критических собственных значений для (6, А), находящихся на бифуркационной кривой к = 1, отвечает динамике собственных значений, изображенной на рис. 7.1а, т.е. для случая Vo > 0, m = 1. Это также верно и для Vo > 0, m = — 1. При А > 1, b < 1/3 (т.е. —1/4 < Vo < 0,
Рис. 7.2. Переход собственных значений через мнимую ось в спектральной плоскости ст для А > 0 для линеаризованных уравнений Эйлера (7.2.9). Двукратное нулевое собственное значение опущено.
т = 1 в (7.2.1)) имеется также полное соответствие бифуркационных диаграмм, показанных на рис. 7.2 и имеющих место для модельной задачи (Haragus-Courcelle, Il’ichev, 1998). Бифуркаций не происходит, если А > 1, b > 1/3, т.е. для Vo < 0, т = — 1 в уравнении (7.2.1).
Таким образом, можно сделать заключение о том, что одни и те же бифуркации происходят для полной системы и модельного уравнения. То же самое имеет место, когда периодические граничные условия по у заменяются другими типами граничных условий: условиями Дирихле или Неймана, периодическими условиями по ж.
Первая бифуркация трехмерных структур, соответствующая спонтанному нарушению размерности, происходит вдоль бифуркационной кривой с к = 1 (см. рис. 7.2). Для этой бифуркации находим 3 пары
комплексно сопряженных чисто мнимых собственных значений, если А > 1, и две таких пары, если А < 1, не считая двукратного нулевого собственного значения. В обоих случаях только одна из этих пар появляется в результате бифуркации спонтанного нарушения размерности при k = 1. Для периодичных по у волн соответствующие собственные значения имеют кратность 4 (см. также Bridges, 1994; Loginov, Kuznetsov, 1996). Эти собственные значения появляются в результате слияния двух пар собственных значений ±si + zs2 и ±si — is^ (st E 1R^, i = 1,2), каждое из которых имеет кратность два. Другие чисто мнимые собственные значения возникают в результате предыдущей бифуркации двумерных волновых структур, и все являются простыми.
Граничные условия Дирихле по поперечной переменной
В предыдущем параграфе было найдено, что 4/-периодичные по у ограниченные решения (7.2.1) принадлежат центральному многообразию размерности 10 или 12. В этом параграфе будет рассмотрен более простой случай, когда периодические граничные условия заменяются граничными условиями типа Дирихле
= „|1=, = 0.(7.3.1)
Будет показано, что ограниченные решения (7.2.1), удовлетворяющие (7.3.1), описываются приведенной системой дифференциальных уравнений на четырехмерном центральном многообразии, которая имеет квазинормальную форму для 1:1 резонанса (1.3.20).
Добавим условия (7.3.1) в область определения линейного оператора А. В результате получим, что все собственные значения, имеющие постоянные собственные векторы (независимые от у), исключаются и кратность других собственных значений сокращается в два раза. В частности, собственные значения на мнимой оси, полученные для к = 0, т. е. собственные значения, которые возникают при пересечении графиком функции /(д) вещественной оси (см. рис. 7.1), исчезают. Таким образом, остается только пара двукратных собственных значений на вещественной оси, т.е. имеет место 1:1 резонанс с четырехмерным центральным многообразием.
Понижение порядка
Определим пространства
Xt = Н^3 х Н^3 х Яо1 х Яо/3 х Я1/3 х Я0,
и
У1= Я3/3 X Яд/3 X Яд х Я3/3 X Я1/3,
где Н8 обозначает пространство Соболева H8(—IJ) и Щ является замыканием пространства гладких функций с компактным носителем на интервале (—/,/) в H8(—IJ).
Линейный оператор А замкнут в Л/ с плотной областью У/ и, так как вложение У/ С Л/ является компактным, А имеет компактную резольвенту. Следовательно, спектр А состоит из дискретных собственных значений, не имеющих конечной точки сгущения (Като, 1972). Собственные значения а оператора А удовлетворяют (7.2.4) для к = 1,2,.... Из предыдущих результатов заключим, что для данной длины волны I существует точка первой бифуркации Vo для У, близких к Vq (У = Уо+//), а движение собственных значений в окрестности мнимой оси при изменении параметра р выглядит как на рис 1.1 в.
Собственные и присоединенные векторы матрицы Д, отвечающие критическим собственным значениям ±г^о, удовлетворяют равенствам
Афо — iqoфo^ Аф-\_ — %qoф'v + фо^
Афо* = -гдофо, АфД = -zqo^i* + фо*.
В результате простого подсчета получим
/ 0 \
1
Фо —Фо —coscos2гд0
Фо —
Фо —
cos
cos
-3^
-4^о
\ 5^ /
Эти векторы удовлетворяют также условию обратимости (см. п. 1.3.4)
Дфо = Фо, Дф^-фЬ
Неравенство
Н/уНя» < ГЦ/ЦдоЦдЦн^,
которое выполняется для любого s > 1/2, показывает, что нелинейность (7.2.2) является гладкой, как отображение Т : IR х У1 —> X].
Понижение порядка рассматриваемой системы уравнений (1.0.1), (7.2.2) возможно при условии выполнения следующей леммы о резольвентных оценках.
Лемма. Обозначим через W замыкание в Л/ области значений Т. Тогда существуют С > 0 и q > 0 такие^ что для каждого q Е 1Д
\q\ > q выполняются следующие неравенства'.
|(Л-?д) ^Iw-^, < j^p
(7.3.2)(7.3.2)КЛ-гд)-2!^^^ <
(7.3.2)
(7.3.2)
Доказательство этой леммы приведено в приложении 1.
Из теоремы о центральном многообразии из параграфа 1.1 следует, что все малые ограниченные решения (1.0.1), (7.2.2) имеют вид
w = Л^о + Вф^ + А*ф* + В*фХ + Ф(м, А, В, Д* В*),(7.3.3)
где Ф - нелинейная функция своих аргументов,
Ф(0, Д, В, Д*, В*) = (Д2Ф2ооо + к.с.) + |Д|2Фцоо + • • • •
Более того, амплитуды А и В удовлетворяют приведенным уравнениям (см. п. 1.4.3)
(7.3.4)(7.3.4)Эх А — г^оД + В + /от (щ А, В, Д* В*), 9ХВ = iq^B + /02 (/^ А^ В, Д* В*\
(7.3.4)
(7.3.4)
Коэффициенты квазинормальной формы
Квазинормальная форма приведенных уравнений (7.3.4) имеет вид (1.3.20). Коэффициент (р полинома Q находится из уравнения (см., например, параграф 5.8)
ст = zqo ±+ ^М- + O(|^|3/2).
Для рассматриваемого случая Qi < 0:
_ 1914(1-3g2)'
Коэффициент qs определяется при помощи скалярного произведения (Dias, looss, 1993)
Q2 = — < 2^2(^o, Фиоо) + 2Кз(ф^ Ф2000), Ф1 >,
где ф1 - нормированный на единицу собственный вектор сопряженного оператора Д*, А*фг = —iq^x. В результате простого подсчета получим
^1 = r(g0)^1 = r(g0)coscos/ «lo^Qo - i) \-q№ - 1)-гдо(1 - Зо)1 - «о
^1 = r(g0)
^1 = r(g0)
cos
cos
V 1/
где
Коэффициенты Фцоо и Ф2000 удовлетворяют уравнениям (6.4.8). Имеем
Фиоо — О,Фиоо — О,Ф2000 —Ф2000 —Cl ch ШУ + С2 cos2Cl ch ШУ + С2 cos2/ 1 \2iq0-4^-8<9о16?о
Фиоо — О,
Фиоо — О,
Ф2000 —
Ф2000 —
Cl ch ШУ + С2 cos2
Cl ch ШУ + С2 cos2
\ 32гдц /
ci"26g2(l - 5g2)
Сз = 12д§(1 - Ig§)(139§ _ 2)’= 2<?о
Из выражения для q^ получим
8/3(д3 + SZwtt2 — 43Z3cu3q§ — 43/(дтг2^о — 2тг2 th ujI + 4tt2Qq th ujI
Коэффициент q^ положителен, является убывающей функцией от qo и имеет асимптотики
11
43
92 ~ 13-15-96С90°0"
(Напомним, что qo > 1/V2.)
Уединенные волны
Уравнения в квазинормальной форме (1.3.20) после соответствующих преобразований приводятся к виду (6.4.9) (см. п. 6.4.3). При q^ > 0 система обладает решением
«оМ = ch"2+ O(|^|3/2).
(^y) +О(1м|3/2)-(^y) +О(1м|3/2)-Это решение отвечает решению (7.2.1) типа уединенного волнового пакета. Форма поверхности для каждого V = Vo Гр-, Vo > —1/4, р < 0:
(^y) +О(1м|3/2)-
(^y) +О(1м|3/2)-
Р(зс,у) = ±2Р(зс,у) = ±2^^^ ch 1 (VM-^30) cos(qo^) cos 92
Р(зс,у) = ±2
Р(зс,у) = ±2
Случай периодичности по поперечной переменной
В этом параграфе будем искать волновые решения (1.0.1), которые 41- периодичны по у и имеют скорость Vo > 0. В параграфе 7.2 было показано, что оператор А в точке бифуркации имеет две пары комплексно сопряженных чисто мнимых собственных значений, одно из них кратности четыре, а другое - простое. Обозначим простые собственные значения ±го,о> а кратные - ±гд0- Тогда /(qo) = тг2/472 и /(с^о) = 0, где / - функция, определенная в (7.2.5).
Обоснование редукции в настоящем случае проводится так же, как в предыдущем параграфе за единственным исключением, что пространство Л/ теперь содержит функции, которые 4/-периодичны по у.
Приведенная система уравнений
В этом параграфе будет показано, что приведенная система уравнений является двенадцатимерной и что два из этих измерений могут быть исключены, как в замечании в пункте 7.2.
Сначала подсчитаем собственные и присоединенные векторы, соответствующие чисто мнимым собственным значениям. Будем использовать обозначения
/1 \
a
для a G (Г и
( 0 \
1
Собственное значение 0 является двукратным, ему отвечают следующий собственный и присоединенный векторы
во = 5(0), Ci = Е' (0), Ле0 = 0, Лб1 = во-
Собственные значения ±га?о - простые, их собственный и присоединенный векторы (ф_ = ф^) имеют вид
^+ = Е(гш0), ф_ = Е(—гш0), Аф_^ = гсио0+, Аф- = —гш^ф-.
Собственные значения ±гд0 имеют кратность четыре, каждому их них соответствуют два собственных и два присоединенных вектора
фо = ^5(гдо)ег21 У, фг = ^Е'({qo^e1^, Фо = ^Е^К^, № = ^iq*"^, Фо = ф^-ию^^, ф^ = lE'i-iqoK^, Уо = ^-iqo)^^, ф^ = ^E'HqoV^,
где
Афо — гqoфo, Афг — iqoфl + Фо,
Афо = 1фофо- Афу = гдоФ1 + Фо,
Аф*0 = -Wo, АфХ = ^оФ1 + Фо,
Афу = ^офо, АфХ = ^офт + Фо-
В соответствии с теоремой о центральном многообразии, каждое достаточно малое ограниченное решение (7.2.1), которое является 41- периодичным по г/. имеет вид (функцию Ло не путать с постоянной Ло из параграфа 7.1!)
w — аво + bei + Аофо + Вофт + Л1920 + Вуфу + Сф^ + к.с. +
+Ф(м,а,Мо,£о,Л1,В1,С,Л*,Во^Л^^(7.4.1)
где к.с. означает комплексное сопряжение предшествующих членов, а Ф - вектор-полином не менее второго порядка от своих аргументов. Подставляя (7.4.1) в (7.2.1), получим приведенные уравнения для амплитуд а,Ь, Ао, Во, Аъ ВЪС.
Покажем, что налагая условия (7.2.6) и (7.2.7), можем записать а, b как функции от других амплитуд. Таким образом, они могут быть исключены из приведенных уравнений. Подстановка вектор-функции w, определенной (7.4.1), в (7.2.6) и (7.2.7) дает
-4lVoa^f1(^a,b,Ao,Bo,A1,B1,C,A*,B*,A*,B*,C*) = O
и
-4lVob^fMa,b,Ao,Bo,A1,B1,C,A*,B*,A*,B*,C*) = O,
где /1 и /2 нелинейны по своим аргументам. Тогда вследствие теоремы о неявной функции получим
а = Uii,a,b,Ao,Bo,A^B^C,A^B*,AX,B*,C*\
Ь = ШаДА^Во^В^С^В^А^В^^^
a fa. fb - нелинейные функции своих аргументов. Из этого следует, что можно исключить а и b и записать приведенные уравнения только для Ло, Во, Л1, Bi, С.
В силу структуры критического спектра А приведенные уравнения имеют вид
8хА0 =чоЛо + Во + ВоиЛо,Во,А1,В1,С,Аа,В*,А^В*,С*), джВ0 = чоВо + Со(/1,Ло,Во,Л1,В1,С,Ло,Во*,Л^В*,С*), 8жАг =чоА1+В1+В1(М,Ао,Во,Л1,В1,С,Аа,В*,А^В1*,С*), 8хВг ^iqoB^GMAo.Bo.A^BbC^^^^
8ХС = г(ДоС + Я(/1,Ао,Во,Л1,В1,С,А*,В*,А*,В*,С*).(7.4.2)
Квазинормальные формы
В настоящем пункте подсчитаем квазинормальную форму приведенной системы уравнений (7.4.2).
Сначала выясним, как операторы та, S и оператор обратимости Я действуют на собственные векторы и неизвестные функции. Имеем
тафо = ег^аф0, таф± = е^^фг, та(р0 = е Таф! =Таф+ = ф+,
так что наведенная симметрия принимает вид
/ Ао Во^ Ai -4 В1\с/ Ао Во^ Ai -4 В1\сег27аЛ0 \ ег5таВ0 е~г^аА1 . е-г2ТаВ1 с /
/ Ао Во^ Ai -4 В1
\с
/ Ао Во^ Ai -4 В1
\с
Найдем, что для оператора отражения S
5ф0 = (р0, 5ф1=(рг, 5ф^ = ф^,
следовательно,
/ Ло —> Ai \
Bq Bi
Ai -4- Ло
В1 -4- Во
\С /
Из обратимости следует
так кактак как
так как
так как
в,ф0 = Ф*, кф^-ф^в,ф0 = Ф*, кф^-ф^Кфо = Ф^ ^1 =^+ = Ф--Кфо = Ф^ ^1 =^+ = Ф--
в,ф0 = Ф*, кф^-ф^
в,ф0 = Ф*, кф^-ф^
Кфо = Ф^ ^1 =^+ = Ф--
Кфо = Ф^ ^1 =^+ = Ф--
Приведенные уравнения (7.4.2) инвариантны относительно действия т, S, а ее правая часть антикоммутирует с R. То же выполняется и для квазинормальной формы. В соответствии с результатами приложения 2 квазинормальная форма (7.4.2) имеет вид
Aq = ^оАо+5о+^Ао^(/1, Ui, U2, i/35'Щ, ^5, ^e^^CMl + l А| + | А* |)П),
Во = iq0B04-iB0R(p,,ui,U2,u3,U4,U5,ti6)4-A0Q(p,,ui,^
+0((Ы + |А| + |А*О
Ai = zqoAi+Si+zAiR(jp u3. U4^ tti, u^^ u^, Ug)+o((|/z| + | A| + | A* |)n),
Bi = iqoBi-\-iBiR(p,,u3,U4,ui,U2,U5^^)4-AiQ(p,,u3,U4,ui,U2,U5.u^) +0((M + |A| + |A*|n,
C = гш0С + гСФ^ги^^з,^,^^) + o((|mI + |A| + |A*|)n),
(7.4.3)
где R. Q. Ф - полиномы своих аргументов порядка п с вещественными коэффициентами, кроме коэффициентов мономов содержащих й^. Использовались обозначения
М1=Л0Л*, м2 = 1(Л0В0*-ЛаВ0), «з=Л1Л^, ^-(А^-А^ВО,
иъ=СС\ й6 = г-^АхВ*г - и3А*0В0\ А = (Ло,Во,Л1,В1,С).
Полиномы R, Q, Ф имеют вид
В(р,,и1,и2,и3,и4,и5,и6) = P1P.+P2U1 +рзи2 + P4U3 + Р5М4 + Рб«5 + +О((Ы + |А| + |А*|)2),
Q(p, Ml, U2, U3, U4, М5, М6) = Qip. — q2UX + УзМ2 + ?4Мз + Q5M4 + ^6^5 + +О((М + |А| + |А1)2),
Ф(р,М1,м2,мз,М4,м5,м6) = 71/1 + 72М1 + 73м2 + 74М3 + 75М4 + 76м5 + +О((Ы + |А| + |А*|)2),
так как Ui, и^, из, и^, и^ - квадратичны по А, А*, а йе имеет порядок четыре по А, А*.
Ограничимся анализом частных случаев (7.4.3), которые описываются теорией, развитой в п. 1.3.5 и 1.4.4.
Ai = Bi = 0. В этом случае квазинормальной формой приведенных уравнений является (1.3.32) (с точностью до замены обозначений Ао -4 A, Во -э В, С -4 z, qo -4 сто q) и
R(p,,ui,u2,u5) = Piju + р2М1 + рз«2 + Рб«5 + О((|р| + |А| + | А* |)2),
<9(р, Mi, иг, U5) = 71Р ~ Q2U1 + дзДг + 96^5 + О((|м| + |А| + |А*|)2),
Ф(//,М1,м2,м5) = 71M + 72W1 +73U2 +76^5 +О((|р| + |А| + |А*|)2).
Положим
Ао = ро ехрг(^0ж+6>0), B0=pi expi(qoxr6i), С=р2 exp г^хГО^.
Тогда (1.3.32) записывается в виде
djOr-Op) dx $2=0, dxdjOr-Op) dx $2=0, dx= 4{мо№мо,Ао,А1)+Яо] -К^,
djOr-Op) dx $2=0, dx
djOr-Op) dx $2=0, dx
^ = R^,u0,K0,K1), dx^ = R^,u0,K0,K1), dx(7.4.4)(7.4.4)Ao(momi) ^uoQ^,Wo,Ao,Ai)+G(p,m0,Ao,KQ+H^,
^ = R^,u0,K0,K1), dx
^ = R^,u0,K0,K1), dx
(7.4.4)
(7.4.4)
где mq = Po, Mi = Pi- Стационарные решения (7.4.4) содержатся в множестве, определяемом двойными корнями полинома
(7.4.5)(7.4.5)/Ы = ио№ио,Ао,.А1) + Яо]-.Ао2.
(7.4.5)
(7.4.5)
Производя масштабное преобразование
Яо = p?h0, м0 = |р|г>о, Ко = |М|3/%, Ki = |/z|fei,
получим
/ = Im|3s(wo, ho, ко, kQ + O(|/i|7/2),
где
g(v0, h0, ко, kQ = voho + (91 signp + q6kQ Uq - ^^o - ko-
Кратные корни (7.4.5) до требуемого порядка определяются кратными корнями полинома д^то, ho^ko^ki). Они лежат на кривых в плоскости (Kq, ко), которые задаются параметрически:
fco = ±V?2Wo - (sign fl qi + 9бМуо>
з
ho = ^г^о - 2(signpgi + qekQvo-
Таким образом, поведение ограниченных решений (1.3.32) в низшем порядке по р определяется коэффициентами qi, q^ и qG. более точно, знаком выражения qy sign/z + q^ky. Используя метод, изложенный в приложении 3, получим
91 = 4(1-3^) < °’92 = 96<^(3д(2 - 1)(5дд - 1) > °’
_ 2/2 (2Z2Q(qo — wq)2 + 2Z2^i(сс^о + Qo)2 + tt2(wq + Qo))
96 = (s^P^J^pqT^Ww< u’
где
Q = ((До + Qo)2[(wq + Qo)4 — (wo + Qo)2 — Vo]
и
^1 — (#0 — W0)2[(q0 — Wo)4 — (Qo — Wo)2 — VbJ.
Разумеется, результаты будут теми же и в случае Ло = Bq = 0.
Ло = Л1, Bq = By. Этот выбор возможен, так как в силу симметрии относительно отражений S уравнения для Л1, By совпадают в этом случае с уравнениями для Ло, Bq. Из (7.4.1) и точной формы собственных и присоединенных векторов 0о,1? ^0,1, получим, что решения теперь четные по у. Квазинормальная форма приведенной системы также имеет вид (1.3.32). Более того, коэффициенты qy и q^ - такие же как в предыдущем случае, а для q2 получим
«и -f^Ll? > о (7 46)
92969§(Зд§ - 1)(5д§ - 1)(13д§ - 2) > U"
Замечание. Из формул для коэффициентов 91, 92, 9б в двух частных случаях, рассмотренных выше, можно легко получить коэффициенты Qi, 92- 94 и qo для квазинормальной формы в общем случае. Коэффициенты Qi, Q2, 9б - такие же как в случае I, а для Q4 имеем
__ и _1
94 - 92 92 " 16д2(Зд2-1)(13д2-2)-
Форма волн в случае I
Рассмотрим случай sign/z Qi +Q6^i > 0, или р < 0, 0 < ку < qy/qo, когда существуют солитоноподобные решения. Все ограниченные решения находятся в области, ограниченной кривой g(v, ho, ко) = 0 в плоскости (ho, ко). Точка (0, 0) отвечает решению, двоякоасимпотическому к периодическому:
По = — сН-2(у^ж) + O(|/z|3/2), к = qyp + q^Ky, 92
С = \р\^ку ехр(гсиож) + О(р),
или
Ло = ±аch-1(V^x) exp(iqox) + O(|/i|3/2),(7.4.7)
V 92
С = |/z|1//2Aii ехр(гсиож) + О(р).(7.4.8)
Подстановка этих формул в (7.4.1) приводит к выражению для формы свободной поверхности тр
т](х, y)=±J— ch-1 (у^ж) cos+2|/z|1//2A;i cos(ci;o^)+0(/z).
V 92\/
Это - асимметричные волны, асимптотические при х —> ос к периодической волне. Если Ai = 0, они являются асимптотическими к 0 и приближают решения приведенных уравнений типа обобщенноуединенных волновых пакетов.
Форма волн в случае II
Множество решений квазинормальной формы в этом случае похоже на множество решений в случае I. Имеет также место однопараметрическое семейство решений, двоякоасимптотическое к периодическому, которые также даются формулами (7.4.7)-(7.4.8) с Q2 из (7.4.6). Однако форма поверхности т) в данном случае отличается от предыдущего случая, и волна теперь симметрична (рис. 7.3):
р(х, у) = ±2а — ch-1 (у^ж) cos q^x cos +2|/z|1//2A;i coswo^+OM,
(7.4.9)
Простой резонанс. Волноводные решения
Предположим V = VI + р, где Vi - некоторое фиксированное значение скорости, которое будет определено ниже, а р - малый параметр. Выберем у как неограниченную динамическую переменную. Тогда уравнение (7.2.1) можно записать в виде бесконечномерной динамической системы
^7 = ^ь
41 = Чд^ - sd^ - Э6ЖГ1 + м^4 - (д$4)2 - 4^4,(7-5.1)
Рис. 7.3. Форма симметричной волны возвышения (7.4.9), ку = 0. Стрелка показывает направление распространения.
где точка обозначает дифференцирование по у. Динамическая система (7.5.1) представима в виде (1.0.1), где
„ _ /0А
Л “ ( Ч^ - sd^ - д® 0 ) ’ w - ^,7?1^\JUJU /
= (о,- ОхЛ? - Л^лУ(7.5.2)
Система уравнений (1.0.1)+ (7.5.2) является обратимой с оператором изометрии 7^ = diag{l, — 1}. Заметим, что эта система имеет также две дополнительных симметрии: трансляционную та и отражательную 5,
Taw(x^ •) = w(ж + а^ •),5w(ж, •) = w(—ж, •).
Эти симметрии, однако, не используются в дальнейшем анализе.
Будем искать решение (7.2.1), которое 2/-периодично в направлении оси ж и является четным по ж. Для того, чтобы получить дисперсионное соотношение, сделаем подстановку
т] = ехр^сгу^ со$(пА;ж), к = тг/Z, п G W+, ст Е (D
(к не путать с целым к из параграфа 7.2!). Спектр оператора А состоит из собственных значений, являющихся корнями уравнения
Вследствие обратимости и вещественности оператора Л, собственные значения симметричны относительно мнимой и вещественной оси на комплексной области спектрального параметра а.
Бифуркация происходит, когда собственные значения А приходят на мнимую ось парами. Поэтому положим а = iq. Без ограничения общности рассуждений рассмотрим случай q > 0. Тогда (7.5.3) принимает вид
Kq) — ^ — Vn2k2 + mn4^ — n6k6 = g(n). (7.5.4)
Собственные значения приходят на мнимую ось, когда график f(q) касается горизонтальных линий д^п^ п G W+ (см. рис. 7.4). Первая бифуркация происходит, когда прямая р(1) касается графика f(q) в точке q = 0. Это бифуркация из нулевого волнового числа, соответствующая простому резонансу (см. п. 1.3.2). Такая бифуркация была расмотрена Haragus, Kirchgassner (1995) для уравнения Кадомцева- Петвиашвили (КП I) при m = — 1. Для КП II (m = 1) эта бифуркация отсутствует, потому что все д(п) больше нуля для любого значения скорости V, и, следовательно, имеет место бесконечно много мнимых собственных значений. В рассматриваемом здесь случае уравнения (7.0.1) такая бифуркация возможна также и для случая m = 1. Далее, как и в предыдущем параграфе, ограничимся рассмотрением этого случая.
Для m = 1 бифуркация может иметь место, если k > 1/V5- Легко также проверить, что для этих к выполнено ^(n) > gQn-V 1). Из (7.5.4) следует, что первая бифуркация происходит, когда V = Vi = — к? Г к4. Заметим, что новая пара собственных значений приходит на вещественную ось (т.е. происходит новая бифуркация), когда график полинома f(q) касается следующего “уровня” д(пГ параллельного оси q. Собственные значения затем расходятся вдоль мнимой оси. Кратность собственного значения, движущегося по мнимой оси, равна единице, так как рассматриваются только четные по х решения.
Динамика собственных значений, приходящих на мнимую ось, показана на рис. 1.1а.
Замечание. Заметим, что ноль является собственным значением для любой скорости V вследствие инвариантности д —> д + const, V —> V + const. Это собственное значение имеет кратность два вследствие обратимости и повышает размерность центрального многообразия на два. Однако оба эти измерения могут быть исключены при помощи равенств
j gi dx = 0, J д dx = const,
Рис. 7.4. Сравнительное расположение полиномов f(q) и уровней д(п) для т = 1, V < Vi.
где постоянная в последнем равенстве полагается равной нулю для уединенных волн. Эти равенства получаются интегрированием уравнения (7.2.1) по х по периоду.
Определим далее функциональные пространства
= Яе3 х Яе°, у, = Я® X Яе3,
где Н™ обозначает соболевское пространство 2/-периодичных и четных функций. Потребуем также, чтобы решения удовлетворяли равенствам в замечании.
Линейный оператор А замкнут в ^ с плотной областью Уь а так как вложение У/ С Л/ является компактным, А имеет компактную резольвенту. Следовательно, спектр А состоит только из дискретных собственных чисел, не имеющих конечных предельных точек. Из (7.5.2) следует, что Т является гладким отображением: Т JR х У i
При этих условиях теорема о центральном многообразии применима в том случае, если выполняется следующая лемма о резольвентных оценках.
Иемма. Обозначим через W замыкание в Л/ области значений Т. Тогда существует постоянная С > 0 uq > 0 такие, что для любого
q Е 1R, \q\ > q выполняются неравенства*.
||(Д-г9)-1|Ь^<£
||(Д - zg)-2||w^A’i <
Доказательство этой леммы полностью аналогично доказательству соответствующей леммы из предыдущего параграфа, приведенному в приложении 1.
Применяя теорему о центральном многообразии, получим, что все малые ограниченные решения имеют вид
w = аофо + агф1 + Ф(м, d0, di),(7.5.5)
где фо, ф1 - собственный и присоединенный векторы оператора Л, отвечающие нулевому собственному значению: Афо = 0, Афу = фо^
фо = I 1 ) COSkx, Ф1 = I о I cos КХ,
а Ф - нелинейная функция своих аргументов. Амплитуды do и di удовлетворяют приведенным уравнениям
d0 = di, di = /(/z,d0,di),(7.5.6)
где / - нелинейная функция своих аргументов.
Квазинормальная форма системы уравнений (7.5.6) имеет вид
do = di,
di = -k2pao + Pa^ + ydg + O(pao,a^),(7.5.7)
а коэффициенты 3 и 7 даются выражениями
/3 = °, 7 = -△ = ____ < о.
Локализованное решение (7.5.7) дается формулой
d0 = ±А?^/^ ch-1 k^VAy + 0(/i).(7.5.8)
Возращаясь к старым обозначениям для пространственных переменных, из (7.5.5) получим выражение для формы поверхности гр
r] = ±kj—ch 1 к^\р\У cos^kx — Vit) + 0(/z).(7.5.9)
Форма волны возвышения показана на рис. 7.5. Эта волна является до- критической волной, так как ее скорость V меньше, чем критическая скорость V1 (р < 0).
Рис. 7.5. Форма волны возвышения уровня (7.5.9). Стрелка показывает направление распростанения.Рис. 7.5. Форма волны возвышения уровня (7.5.9). Стрелка показывает направление распростанения.
Рис. 7.5. Форма волны возвышения уровня (7.5.9). Стрелка показывает направление распростанения.
Рис. 7.5. Форма волны возвышения уровня (7.5.9). Стрелка показывает направление распростанения.
Самоканализация периодических волн
Вывод уравнений Дэви—Стюартсона
Будем искать решение уравнения (7.0.1) в виде
т] = еА^Т, X, У) ехр 19 + б2Л2 (Т, X, У) ехр 2г0 + к.с. + +б2Ао(Т,Х,У) + С(б3),(7.6.1)
где
O = k(x-Vt), V = Vi-e\ T = etX = ex, У = еу,
е - малый параметр, А (не путать с Л из п. 7.3.1!) и Л2 - медленно меняющиеся амплитуды, Ло (не путать с Ло из п. 7.4.1!) - вещественная функция, описывающая средний поток, и Vi - критическая скорость. Подставим (7.6.1) в (7.0.1) и будем собирать члены, пропорциональные ехр (г#). В низшем порядке по б получим дисперсионное соотношение У1 = — к2 + к4. Во порядке б2 получим
ЭА -ЭА хЭТ+Ш ЭХ ~°(б)’ЭА -ЭА хЭТ+Ш ЭХ ~°(б)’(7.6.2)(7.6.2)
ЭА -ЭА х
ЭТ+Ш ЭХ ~°(б)’
ЭА -ЭА х
ЭТ+Ш ЭХ ~°(б)’
(7.6.2)
(7.6.2)
где ш = Vyk^ а штрих обозначает дифференцирование по волновому числу к. Равенство (7.6.2) предполагает замену переменных X —> X — и (к)Т, т = бТ, которая далее будет использоваться с сохранением обозначения X за комбинацией X — ш (к)Т. В порядке б3 имеем
^_к2АЦ-6кЧ15к4)1А+^_кЧА2АН^^
Собирая члены при б4, получим
д2Л0 , 92 I Л|2 , d^o _ nz7R.x
эхэтах2' * + эу2 °"(7"6"
Уравнение (7.6.4) до требуемого порядка эквивалентно уравнению
-Э2А0 д2 |л|2 д2Л0 п ш эх2 1 ЭХ2 1 ' ЭУ2 ” °’
так как
эхэт ш ЭХ2 +
Собирая члены, пропорциональные б2 ехр(2г#), получим
Л2 Д
Д2 =(7.6.5)
где Д < 0 для k > 1/V5- Окончательно, подставляя (7.6.5) в (7.6.3), приходим к уравнениям Дэви-Стюартсона
гАт -кА + ^-Ахх - У1|4|2 - кАА0 + Ауу = О,2кк
Аохх + 1А\хх + АОуу = 0,(7.6.6)
где индексы т, X и Y означают дифференцирование по соответствующим переменным.
Уравнения (7.6.6) имеют частное решение А = Ф(У), До = 0, где Ф(У) - вещественная функция, удовлетворяющая уравнению
Ф(У) = А;2Ф(У) + ДФ3(У),Ф(У) = А;2Ф(У) + ДФ3(У),(7.6.7)(7.6.7)
Ф(У) = А;2Ф(У) + ДФ3(У),
Ф(У) = А;2Ф(У) + ДФ3(У),
(7.6.7)
(7.6.7)
а точки обозначают дифференцирование по У. Локализованное решение (7.6.7) имеет вид
Ф(У) = ±А?уДс1Г1 кУ.(7.6.8)
Сравнивая (7.5.7), (7.5.8) и (7.6.7), (7.6.8), получим
Ф(У) = ^, е2 = -^-
Анализ неустойчивости
Определим новые действительные переменные А = a exp гф и перепишем (7.6.6) в виде
О = ат + — (2ахфх + афхх) + -(2ауфу + афууф
О = —афт — ka-V -уфхх — а-Фх) ~ ”^а3 ~ кАоа + — (ауу — а-Фу^
О = -ш Aqxx + ф^хх + АОуу.(7.6.9)
Решение (7.6.9), отвечающее плоской периодической волне, имеет вид
а = а0 = const, ф = шл = (—к —Ло = 0.
к
Это решение соответствует плоской волне, не зависящей от у. Далее, будем также называть эту волну несущей волной. Подставляя
а = а0 + ба^ ф = ф° + 5ф^ Ло = <^Л0
в (7.6.9) и полагая
5а = «1 ехрг(^цХ + k,yY — Qt), 5ф = а^ ехрг(^цХ + ку¥ — Qt), JAq = а^ exp г(^цХ + куУ — Qt),
где а^ г=1,2,3, - постоянные, получим дисперсионное соотношение для (7.6.9):
кн2^ш'к^ — к?^кн2^ш'к^ — к?^Д \ / „^2Т ( ^н + 2“Л к \11 кД \ / „^2Т ( ^н + 2“Л к \11 к1 /2 \ 2
кн2^
ш'к^ — к?^
кн2^
ш'к^ — к?^
Д \ / „^2
Т ( ^н + 2“Л к \11 к
Д \ / „^2
Т ( ^н + 2“Л к \11 к
fi2= Ч^^^ +(а0)2
4 \11 к
(7.6.10)
Заметим, что уравнение (7.6.10) описывает модуляционную неустойчивость, приводящую к самофокусировке несущей волны. Эта неустойчивость является свойством уравнения (2.0.1), которое “вкладывается” в низшей размерности в уравнение (7.0.1). Модуляционная неустойчивость приводит к распаду периодической волны на последовательность солитонов огибающей для к Е (^3/10, V^/^) (см- гла" ву 2), т.е. несущая волна для указанного диапазона волновых чисел подвержена нелинейной модуляции в результате продольных возмущений, распространяющихся параллельно направлению распространения несущей волны (ну = 0).
Здесь будут рассмотрены однородные поперечные возмущения, когда ^ц = 0, и возмущения не зависят от координаты X. Дисперсионное соотношение (7.6.10) в этом случае принимает форму
2с (а0)2 . 2
к2 к2
Волновые числа ^±, удовлетворяющие (7.6.11) и лежащие внутри сегмента [ктйЖ,ко), где к?та$ = -(а°)2Д, а к2 = -2(а°)2Д, ктах < к0, отвечают экспоненциально растущим со временем возмущениям. Значение ^о отвечает порогу неустойчивости, т. е. для всех ку > ^о несущая волна устойчива. Из (7.6.11) легко получить максимальный показатель неустойчивости: ^ктаж^ = — (ц°)2Д/А;.
Предполагая для возмущений, зависящих только от У,
5а(0, У) = а°Я(У), <5^(0, У) = 0,
где, без ограничения общности, Л (У) дается четной функцией, получим задачу с начальными данными
,0\2,0\26аТТ6аТТ- 2- 2/Хбауу + t^g-yyyy =/Хбауу + t^g-yyyy =
,0\2
,0\2
6аТТ
6аТТ
- 2
- 2
/Хбауу + t^g-yyyy =
/Хбауу + t^g-yyyy =
(7.6.12)(7.6.12)(7.6.13)(7.6.13)da^Y) = a°A(Y\ 6aT(0,Y) = 0.
(7.6.12)
(7.6.12)
(7.6.13)
(7.6.13)
Решением задачи (7.6.12) является
ба(т, У) = —- [ R(k) соз[к;У — Q(^)t] dt^2тг J
где
R^ = 2d°R^ = 2d°У Я(У) cos кУ (/у, П(к) = Л Ук2 - к?0. о
R^ = 2d°
R^ = 2d°
Для анализа асимптотического поведения (7.6.13) последуем Карп- ману (1973). Этот анализ описывает линейную стадию развития возмущений, являясь, таким образом, справедливым для ограниченного значения времени. Это значение, тем не менее, может быть достаточно большим, если рассматривать малые начальные возмущения А (У). Будем различать области различного поведения (7.6.13): У <С нут и У > куг. Другими словами, рассмотрим эволюцию возмущений в окрестности начала координат У = 0 и далеко от начала координат. В первой области, используя метод наибыстрейшего спуска, получим, что для больших т главный вклад в интеграл (7.6.13) дается модой, которая определяется условием d^/dn = 0. Это уравнение имеет корень к = ктаЖ1 и доминирующий член в асимптотике имеет вид
5а(т,У) ~ С ехр[ктажт] cos
где постоянные С и d определяются начальными данными. Следовательно, в первой области имеется экспоненциальный рост возмущений
с инкрементом ктах- Групповая скорость этих возмущений равна нулю.
При больших значениях |У/ (^от) | асимптотическое выражение для (7.6.13) может быть найдено при помощи метода стационарной фазы. Волновые числа для доминирующих мод при этом имеют вид d^K^/dK = |У/т|. Это уравнение имеет следующие корни:
k Y,1 ф2
К! - 2 7 >к°, к2-1+27^Жо.
Следовательно, для больших т (7.6.13) дается комбинацией двух мод. Эти волны устойчивы (^1,2 > ^о) и распространяются с ненулевой групповой скоростью.
Таким образом, развитие возмущений на начальной стадии неустойчивости выглядит следующим образом (общее описание см. Кар- пман, 1973, параграфы 28, 29). В центральной области имеем крупномасштабные модуляции с волновыми числами, лежащими в окрестности ктах. Эти волны близки к стационарным волнам с нулевой групповой скоростью. Для больших т линейное приближение не выполняется и экспоненциальное возрастание амплитуд подавляется нелинейностью. Глубина модуляций увеличивается со временем, и нелинейность заставляет волну распадаться на локализованные волны, описываемые (7.6.8). Ширина области неустойчивости увеличивается со временем т, в то время как волны модуляции распространяются от границы этой области со скоростями, растущими по Y. Для достаточно больших абсолютных значений Y (в области |У| ^ к^т) имеют место устойчивые волновые пакеты с волновыми числами aci^? превосходящими величину порога неустойчивости kq. Эти волны распространяются от центра с групповой скоростью, равной |У/т|.
Развитие неустойчивости несущей волны относительно поперечных возмущений характеризует также некоторые особенности эволюции слабо неоднородных начальных возмущений. В качестве примера рассмотрим начальное возмущение, имеющее форму
A(t = 0,у) = a0f , ЖПО, |€Н0, (7.6.14)
где /(£) - безразмерная функция, нормированная таким образом, что шах / = 1. Если ширина этой волны гораздо больше, чем ширина соответствующей уединенной волны (7.6.8), т.е. L ^ к-1, тогда возмущение (7.6.14) должно распадаться на последовательность параллельных уединенных волн, форма которых описывается (7.6.8).
Вторичная неустойчивость
В этом параграфе рассмотрим устойчивость волноводов (7.6.8) относительно длинноволновых продольных возмущений. Сделаем в первом уравнении (7.6.6) замену В = ^/| Д|Л (не путать с В из п. 7.3.1!). При такой замене солитонное решение (7.6.8) примет вид
Ф(У) = TV^ch"1 kY.
Положим далее В = Ф(У) + и + w, Ло = w, где и, т и w - малые вещественные функции переменных г, X, У. Тогда из (7.6.6), пренебрегая нелинейными членами, получим
^ ^^Эх + Эу + ЗФ2(У) — к2^ и — &2Ф(У)м = kdTT,
^^Э2Х + Эу + Ф2(У) — к2^ v = —кдти,
[-W ^Э2Х + Э^-ш + 1ф(У)^« = 0.(7.7.1)
Как уже упоминалось, будет рассматриваться неустойчивость волноводов относительно длинноволновых продольных возмущений. Поэтому будем искать собственные функции в (7.7.1) в виде
(7.7.2)
(7-7.1),(7-7.1),(7.7.3)(7.7.3)где функции и, гр w зависят только от У. Подставляя (7.7.2) в получим
(7-7.1),
(7-7.1),
(7.7.3)
(7.7.3)
Суи = e2su + к2Ф^^-ш + еХт,
C_V = Е28Т — eXu,
Mw = 6Ф(УХ
грd2
d2 ,
M = ^+£2c (fc)l2,
где
r 212ш"^к\2
Первые три уравнения в (7.7.3) определяют задачу на собственные значения со связью, заданной третьим уравнением. Неустойчивость имеет место, если существует собственная вектор-функция (n, ^w), удовлетворяющая (7.7.3) с А > 0. Компоненты и и v собственной функции должны стремиться к нулю на бесконечности. Компонента w также стремится к нулю при \д\ —> сю, когда оператор М - эллиптический, а в случае гиперболического Л4 имеет периодическую асимптотику на бесконечности.
Следуя методу Захарова, Рубенчика (1973) будем искать решение (7.7.3) в виде формального асимптотического разложения по амплитудам
и = Uo + EU1 + E2U2 Н, Г = Г0 + ^1 + ^2% н,
w = s^wq + • • •, А = Aq + s^Ai + • • •.(7.7.5)
Подставляя (7.7.5) в (7.7.3), в нулевом порядке по £ имеем
£+п0 = 0, £-До = 0, откуда следует, что ненулевое решение имеет вид
Йо = Ф(У),% = Ф(У).(7.7.6)
В первом порядке по е получим
£^i = Ао^о, £-^i = -Аойо.
Эта система уравнений имеет решение
£1=д0^Ц у1 = _^уФ(у), а = к\ (7.7.7) da2
Во втором порядке по £
Суи^ = A0?;i + su0 + аФ(У)д?0, C-V2 = -А0Д1 + Sty
Mw0 = 5Ф(У)(п0 + EUiY(7.7.8)
Условием разрешимости первых двух уравнений (7.7.8) в силу самосопряженности операторов £± служит условие ортогональности правых частей этих уравнений соответственно функциям йо и то из (7.7.6). Заметим, что формально в третьем уравнении (7.7.8) следовало бы писать Mo = d2/dY2 вместо М, а также опустить член, пропорциональный е в правой части этого уравнения. Однако, во- первых, верхняя грань модуля разности решений уравнений A4.fi = д и АЛо/з = 9 не есть величина порядка s2 и вообще не зависит от е.
Во-вторых, как будет следовать из дальнейшего, амплитуда /1 при д конечной и четной будет иметь порядок е~\ так что слагаемое, пропорциональное е, должно быть также оставлено в третьем уравнении в (7.7.8).
Условия разрешимости имеют вид
J по(Ао^1 + suq + аФ(У)мо) dY = О,
j ?o(-Ao^i + s^o) dY = 0.(7.7.9)
Собственные функции гф, ^о и ^ь ^1 определяются из (7.7.6) и (7.7.7), соответственно. Функция wq находится обращением оператора Л4 в (7.7.8).
Представим решение третьего уравнения в (7.7.8) в виде wq = ^о + -Vewq и рассмотрим отдельно два уравнения
М^ = 5Ф(У)п0, Mw^ = бФ^)^.(7.7.10)
Обозначим 5 [/] образ Фурье функции /:
9[/] = ^ j f exp(-wx)dx.
Применяя преобразование Фурье к обеим частям первого уравнения (7.7.10) и изменяя порядок дифференцирования по У в определенном интеграле, получим
^^(^Oz77in
При выводе (7.7.11) использована формула
g[ch (ж)] = —sh ^-) .
Применяя обратное преобразование Фурье к (7.7.11), получим выражение для функции Wq:
. „ 001 ( 7VV А
™5 ^ / ^тДУ схр(",у> '*"■,7-7-12>
При ш'(к) > 0 интеграл в (7.7.12) понимается в смысле главного значения.
Далее подробно разберем случай ш'(к) < 0, когда оператор М является эллиптическим. Подынтегральная функция в (7.7.12) имеет особенности на мнимой оси плоскости комплексного переменного и. Этими особенностями являются простые полюсы
= zEzslv^4^)I, = ±2гд/«п, п Е
Главная часть асимптотики интеграла (7.7.12) на положительной бесконечности ¥ > 0 может быть вычислена из следующих соображений. Рассмотрим составной контур на комплексной плоскости и, состоящий из действительной оси и контура С+, проходимого справа налево и лежащего выше полюса v^ (см. рис. 7.6). По теореме о вычетах имеем
Wq + J* ^[wq] exp %vYdY = 2тгг res^ Q[wq] exp %vY.(7.7.13)
c+
Пользуясь тем, что интеграл по контуру С+ стремится к нулю на плюс бесконечности быстрее, чем вычет в правой части (7.7.13), получим главную часть асимптотики
WqSv^exp(—е1у^У(^У|У),Y +сю. (7.7.14)
Асимптотика на минус бесконечности вычисляется аналогичным образом с использованием контура С-, полученного из С+ зеркальным отражением относительно вещественной оси:
(7.7.15)(7.7.15)Wq -4 — Sv^exp(—е1у^сУ(^У[У),У -4 —сю.
(7.7.15)
(7.7.15)
Легко видеть, что функция Wq является нечетной. Аналогичным образом может быть вычислена главная часть асимптотики на бесконечности четной функции w^:
WoWop2sh 2p2sh 2v2 — еЧ2ш'(к)v2 — еЧ2ш'(к)expivY du,expivY du,
Wo
Wo
p2sh 2
p2sh 2
v2 — еЧ2ш'(к)
v2 — еЧ2ш'(к)
expivY du,
expivY du,
которая является решением второго уравнения (7.7.10):
4j -l^ypTTr^^P^y^^l^ у ±00. (7.7.16) е V^lVl^ (^)l
Из (7.7.16) видно, что амплитуда Wg имеет порядок е 1 и потому необходимо учитывать слагаемое, пропорциональное uj в правой части
Рис. 7.6. Расположение контура интегрирования С+ на комплексной ПЛОСКОСТИ V.
третьего уравнения (7.7.8). В силу четности функция wj не оказывает влияния на условия совместности (7.7.9): в эти условия входит лишь нечетная часть Wg функции wq-
Для вычисления интегралов в (7.7.9) в нулевом порядке по е заметим, что Wq сходится к решению уравнения
МоС = 5Ф(У)м0(7.7.17)
в пространстве распределений D^IR) при е —> 0. Иными словами,
I (wg — 'WqoN6^ о, е о, при ip е D^BY
Из изложенного следует, что в нулевом порядке по £ вместо wq в (7.7.9) можно писать Wq0. Решением уравнения (7.7.17) является
w°0 = VSSth(VSy).(7.7.18)
Легко видеть, что (7.7.18) имеет асимптотику (7.7.14), (7.7.15) в пределе Е -4 0.
Подставляя (7.7.18) в (7.7.9), получим (возвращаясь от а к к в обозначениях)
Каждое из уравненией в (7.7.19) соответствует одному из двух типов возмущений волнового поля В. Как и в случае НУШ, рассмотренном Захаровым, Рубенчиком (1973), эти возмущения подразделяются на четные и нечетные.
Поведение возмущений, определяемое уравнениями (7.7.19), зависит от знака коэффициента s, который, в свою очередь зависит от того, какому интервалу на вещественной оси принадлежит волновое число несущей волны к.
При s > О (шм(к) > 0) имеем к G Д, где
Л = {& G Ж, ^ЗДО < к < V^FY
Из (7.7.19) видно, что возмущения с vq ^ 0 являются растущими и имеет место неустойчивость волновода относительно четных возмущений. Из (7.7.4) следует, что для любого к из полуинтервала (к > 1/V5) правая часть первого уравнения в (7.7.19) имеет положительный знак и при s > 0. Отсюда следует, что и возмущения с йо ^ 0 также являются растущими и при к Е Ii волновод неустойчив относительно обоих типов возмущений. В этом состоит отличие от случая НУШ, в котором растущим является либо четное, либо нечетное возмущение по отдельности. Уравнение ДС (7.6.6) в этом случае имеет эллиптико-эллиптический тип, т. е. дифференциальные по пространственным переменным операторы при А и Aq в (7.6.6) являются эллиптическими.
При wM(k) < 0, т.е. при к Е 1^ где
Ь = Vk € К, л/ЧЬ <к< V^F^Y растущим является только нечетное возмущение, соответствующее йо Ф 0, и волновод неустойчив относительного этих возмущений. В этом случае тип уравнения (7.6.6) - гиперболико-эллиптический, т.е. соответствующий оператор в первом уравнении имеет гиперболический тип, а во втором - эллиптический.
Собственная функция w имеет периодическую асимптотику на бесконечности, а волновод неустойчив относительно четных и нечетных возмущений при ш” > 0 и ш'(к) > 0, т.е. к Е 1з^
h = {kesi,k> УзД},
когда тип уравнения (7.6.6) - эллиптико-гиперболический. Построение собственной функции, отвечающей среднему потоку, здесь аналогично случаю эллиптического М за тем исключением, что для этой цели теперь используется составной контур Г = Fi U Г2 (см. п. 1.4.2), где контур Г1 лежит над полюсами подынтегральной функции в (7.7.12) на вещественной оси, а контур Г2 - ниже этих полюсов.
Гиперболико-гиперболический тип (7.6.6) невозможен, так как невозможно одновременное выполнение неравенств ш11 ^<^ и ш,(к)>0.
Обсуждение
В этой главе было показано, что модельное уравнение (7.0.1) имеет нетривиальные семейства пространственных волновых решений, ответвляющихся от состояния покоя. Среди этих решений находятся локализованные вдоль одного пространственного направления структуры, которые
периодичны в направлении, поперечном к направлению распространения и имеют периодическую асимптотику в направлении распространения волны;
периодичны в направлении распространения и убывают в поперечном направлении.
Последние имеют важное значение для описания динамики волновых процессов на поверхности жидкости.
Не зависящая от поперечной координаты несущая монохроматическая волна на поверхности идеальной несжимаемой жидкости конечной глубины с дополнительным поверхностным давлением, которое обусловлено присутствием гравитационно-капиллярных или гравитационно-изгибных сил, неустойчива относительно поперечных возмущений. В результате этой неустойчивости образуются волноводы - волны, периодические в направлении распространения и локализованные в поперечном направлении. Волноводы, в свою очередь, также подвержены неустойчивости. Особенности развития этой неустойчивости на нелинейной стадии определяются значением волнового числа к несущей волны.
При к Е Ii неустойчивость волновода описывается уравнением ДС эллиптико-эллиптического типа. Развитие неустойчивости относительно локализованных возмущений волновода в этом случае показано на рис. 7.7 . Неустойчивость развивается в локальный коллапс волновода, который сопровождается коллапсом среднего потока. Для сравнения на рис. 7.8 приводится картина развития неустойчивости волновода на поверхности жидкости бесконечной глубины. Эта неустойчивость описывается эллиптическим НУШ. При сравнении рис. 7.7 и рис. 7.8 выявляется отличие между характером коллапса волноводов на поверхности жидкости конечной и бесконечной глубины. В последнем случае волновод вначале распадается на волновые “сгустки” в продольном направлении, которые затем коллапсируют. Для жидкости конечной глубины наряду с коллапсом среднего потока коллапсирует только центральная часть волновода. Процесс коллапса в этом случае подвержен механизму, сходному с нелинейным резонансом между возмущениями волновода и порождаемыми ими возмущениями среднего потока, когда возмущения центральной части волновода возбуждаются средним потоком, в то время
Рис. 7.7. Коллапс амплитуды волновода и среднего потока для к G Ii.
как неустойчивость периферии волновода подавляется. Отметим, что для эллиптико-эллиптического уравнения ДС локализованные возмущения коллапсируют за конечное время (Fibich, Papanicolaou, 1999; Papanicolaou et al., 1994).
Из дисперсионного уравнения (7.6.10) следует, что имеет место также модуляционная неустойчивость - самофокусировка несущей периодической волны. Эта неустойчивость управляется “вложенным” в (7.0.1) уравнением для плоских волн (2.0.1). Самофокусировка приводит к распаду периодической волны на последовательность солитонов огибающей при к 6 7iU(V3/5,1/V5) (Grimshaw et al., 1994). Этот распад происходит под действием продольных возмущений (k_l = 0 в (7.6.10)). Из (7.6.10) также следует, что модуляционная неустойчивость несущей волны имеет место при ^ц Е (0,^1), где
<2_ 2cio(25A;2 — 3)
К1 “ -3^№^3)(5fe2^3)(5fe2^1)"
Рис. 7.8. Коллапс амплитуды волновода для жидкости бесконечной глубины.
В этой связи, несущая волна с волновым числом k Е Ii, например, заходящая со свободной поверхности под ледовый покров, подвергается по-крайней мере двум конкурирующим типам неустойчивости: неустойчивости относительно поперечных возмущений (приводящей к образованию волноводов) и модуляционной неустойчивости относительно продольных возмущений. Оба этих типа ведут к коллапсу, и в случае преобладания модуляционной неустойчивости волноводные структуры могут вообще не возникать.
Для гиперболико-эллиптического случая волновод подвергается медленной “змеевидной” неустойчивости, которая имеет качественно тот же характер, как и в случае жидкости бесконечной глубины, волновые процессы в которой описываются гиперболическим НУШ (Saffman, Yuen, 1978). Средний поток, порождаемый возмущениями волновода, распадается со временем на более мелкие структуры (рис. 7.9). В этом случае неустойчивость несущей волны относительно продольных возмущений отсутствует и, в связи с этим, возможно формирование волноводных структур как результата динамики несущей волны. Отметим, что численные расчеты эволюции полностью локализованных по пространству начальных данных в силу гиперболического НУШ для двух пространственных измерений показывают, что эти волны не подвергаются коллапсу (см., например, Sulem, Sulem, 1999). Для уравнения гиперболико-эллиптического ДС, однако, точнее для его частного случая - уравнения ДСП, возможны коллапсирующие убывающие по пространству структуры, хотя их убывание имеет алгебраический характер (Sulem, Sulem, 1999).
Для к Е Is соответствующее уравнение ДС имеет эллиптико- гиперболический тип, и, следовательно, возмущения среднего потока, порожденные локализованными возмущениями волновода, не локали-
Рис. 7.9. “Змеевидная” неустойчивость волновода и распад среднего потока при к Е 1-2.
зованы по пространству (рис. 7.10). В этом случае волны распространяются с достаточно большой скоростью и наблюдается некоторый идеализированный физический процесс, подобный эффектам распространения волн в сверхзвуковой газовой динамике или на поверхности мелкой воды. Скорость роста возмущений среднего потока в данном случае опережает скорость распада волновода. В связи с этим, результаты численного расчета, представленные на рис. 7.10, не отражают особенностей развития неустойчивости волновода, хотя можно наблюдать распад волновода на локализованные структуры, которые, как известно, для эллиптико-гиперболического ДС подвержены коллапсу (Sulem, Sulem, 1999).
В силу того обстоятельства, что для данного диапазона волновых чисел несущей волны локализованное возмущение волновода порождает средний поток во всем пространстве, физическое значение таких волноводных решений не вполне ясно.
Рис. 7.10. Развитие неустойчивости волновода и среднего потока для волновых чисел k Е Г.Рис. 7.10. Развитие неустойчивости волновода и среднего потока для волновых чисел k Е Г.
Рис. 7.10. Развитие неустойчивости волновода и среднего потока для волновых чисел k Е Г.
Рис. 7.10. Развитие неустойчивости волновода и среднего потока для волновых чисел k Е Г.
Приложение 1. Резольвентные оценки
Доказательство леммы п. 7.3.1. Выберем q > Qo- так что для любого q > q, iq принадлежит резольвентному множеству Д, т. е. существует линейный оператор (Д — iq)-1.
IWI^ <IWI^ <Предположим f Е W, f = (0, 0, 0, 0, 0, /) и т/ = (Д — iq)-1f, т/ = = (у/^1^2^3^4^5)- Покажем, что
IWI^ <
IWI^ <
(7.9.1)
для любого q > q, откуда и будут следовать резольвентные оценки (7.3.2).
Обозначим || • ||s обычную Соболевскую норму в HS(—IJ). Компоненты векторов т/ и f удовлетворяют системе уравнений
Лт — iq-q = О, r?2 - iqЛl = О,
"3 "(7.9.2)
ти ~ ЧЛз = О,
Ль - iqm = О,
-Лии + И№ - Щ - iq^b = /•
Напомним, что Л/ = Н^ х Н^ х Н^ х Н^3 х Н1^3 х Н°, так что требуется оценить нормы т] G Нъ/\ rji G Н^/3, тр 6 Н1, т/з G Н2/\ 7/4 е н1/3, т/s е я0, когда / е я0.
Из приведенных уравнений следует
-Луу - Год2?? - д4?/ + д6т? = /,
откуда
Ho<J^II/l|o, ||??||2 < С||/||о.
Используя интерполяционные неравенства в пространствах Соболева (Лионс, Мадженес, 1971), получим
1К/з<^р-, 7 = 0,-.. 6.
Из этих неравенств и (7.9.2) сразу следует (7.9.1).
Приложение 2. Построение квазинормальной формы
В этом приложении будет доказана базовая лемма, на результатах которой основано построение квазинормальной формы обыкновенного дифференциального уравнения
-^-А = ГА + 5(A)(7.10.1)
ах
с А = (Ад, Bq , Ai, Bi, С, Aq , Bq ,Ai,Bi,C*) и линейной частью
( 3 00000 \0 J0000С =0 00 0гш0 00J*00000 0003*0\0 0000-М/( 3 00000 \0 J0000С =0 00 0гш0 00J*00000 0003*0\0 0000-М/гдо 1 0 iq0гдо 1 0 iq0
( 3 0
0
0
0
0 \
0 J
0
0
0
0
С =
0 0
0 0
гш0 0
0
J*
0
0
0
0
0 0
0
0
3*
0
\0 0
0
0
0
-М/
( 3 0
0
0
0
0 \
0 J
0
0
0
0
С =
0 0
0 0
гш0 0
0
J*
0
0
0
0
0 0
0
0
3*
0
\0 0
0
0
0
-М/
гдо 1 0 iq0
гдо 1 0 iq0
Предположим, что система является инвариантной относительно действия симметрий та, S, а также антикоммутирует с оператором обратимости Р из параграфа 7.4.
Из общей теории нормальных форм (см. Elphick et al., 1987) известно, что существует замена переменных, преобразующая систему (7.10.1) в уравнение
Ла = £А + Р(А) + о(||А|п),
ах
где Р - полином степени меньшей или равной п, Р(0) = 0 и DP(0) = 0. Более того, Р удовлетворяет равенству (глава 1)
DP(A)£*A = £*Р(А)(7.10.2)
для любого А.
Положим Р = (Ро• Qo• А • Qi • До • Лп Qcc ^ • Qi • ^о) и определим дифференциальный оператор
_. . 8, .. _. х 8. . 8
D =+ (Ло - гдоВо)—— - ЧоА —- +
8Ао8Во 8А^
+(Al - iqoBO-A-к.с.
8B\ 8С
Тогда (7.10.2) эквивалентно
Гр = £*Р.
Для определения Р необходимо знать девять первых интегралов уравнения Ри = 0:
«1=АМ*, и2=г-(А0В*-А*В0), и^АгА*, и4=г-(А1В*-А*В0,
и5 = СС*, и6 = AqB^-A^Bq, и7 = А0А*1,
Во 1 ] *Во 1
и§ = —h -— In Ao, Ug = h InC.
Ao гдоAo ^0
Лемма. Пусть P является полиномом компонент А и РР=0. Если Р инвариантен относительно действия та, тогда
Р = Q(ui,U2,U3,U4,U5,26),
где Q - полином и йв = гиои^/2.
Доказательство. Из общей теории дифференциальных операторов следует, что Р = Q(ui,U2,U3, Н4,пь, Пб,и7,и§,идУ Надо показать, что Q является полиномом и не зависит от и^, ид.
Так как Q инвариантна относительно действия та, для любого а Е JR выражение
д(н1,Н2,'из,и4,и5,е2гфд(н1,Н2,'из,и4,и5,е2гфи^е^ги,Н м8,м9«ои^е^ги,Н м8,м9«о
д(н1,Н2,'из,и4,и5,е2гф
д(н1,Н2,'из,и4,и5,е2гф
и^е^ги,Н м8,м9«о
и^е^ги,Н м8,м9«о
не зависит от ф = тга/2/. Дифференцируя его по ф, найдем, что равен
ствоство9. 2^Г 909Q\2ге фм6-— +«7-5— +V ou^0U7/9. 2^Г 909Q\2ге фм6-— +«7-5— +V ou^0U7/1 эдgo 9и81 эдgo 9и8= О,= О,(7.10.3)(7.10.3)
ство
ство
9. 2^Г 909Q\
2ге фм6-— +«7-5— +
V ou^0U7/
9. 2^Г 909Q\
2ге фм6-— +«7-5— +
V ou^0U7/
1 эдgo 9и8
1 эдgo 9и8
= О,
= О,
(7.10.3)
(7.10.3)
выполняется для любого ф. В частности,
^ = 0
Эи8 ’
так что Q не зависит от н^.
Для того, чтобы показать, что Q - полином своих аргументов, будем искать соотношение между частными производными Р и Q. Получим
ЭР
ЭА*
_ Д 9Q г dQ
A°dU1 2В°ди2’
(7.10.4)
ЭР Ж
2 °ди2 ^мо Д0М’
(7.10.5)
ЭР
9В*
г . 9Q
= Ж^Р
2 OU^
(7.10.6)
ЭР "ЭАХ
= А*^ЖВ*^ хдиз + 2 1 3uV
(7.10.7)
ЭР
ЭА^
_ Д 9Q i dQ n 9QdQ
1 дм3 2 1 дм40 дмв° дмт ’
ЭР Ж
- 1 з * 9Q
2 1дм4’
(7.10.8)
ЭР
ЭВ*
г . 9Q . dQ = оЛ1Д^ + Ло^,
20U4ou^
(7.10.9)
ЭР
ЭС =
C*9Q \ 1 9Q
Энь гшоС 8us 1
ЭР
Ж
_r9Q дм5'
(7.10.10)
Из (7.10.6), (7.10.8) и (7.10.10) следует, что Q - полином по и^, щ и и$. Тогда из (7.10.4), (7.10.7) и (7.10.9) получим, что Q - полином по Hi, U3 и uq. Окончательно, из (7.10.5) следует, что Q - полином по и^.
Так как Q - полином по ng, то сравнивая асиптотическое поведение Р и Q при С —> сю, получим, что Q должен быть независимым от н^. Следовательно, Р = Q(ui, н-2, н^, н^, П5, н^, Н7У Далее, так как Q - полином по первым шести аргументам, a Uj - полином по компонентам А, при з = 1,..., 7, то Q - рациональная функция от Н7. Следовательно,
Q (1Z1, 1/2, ^3, ^4, ^5, ^6, ^7) — ^^ Qaia2Ci3a4a5a6 (^7)^1 ^2 ^3 ^4 ^5 ^6 ’
(7.10.11) где Qaia2a3a4a5a6(^7) _ рациональная функция от U7. Из определения Uj получим, ЧТО если «1«з = 0, ТО коэффициент Qaia2a3a4a5a6(^7) должен быть полиномом по U7. Если «1«з ^ 0, тогда он может иметь форму
/п1 ^ Paia2Ot3t)t4a5a6Qaia2a3a4a5a6\^7)ур7’
где 017 < тт{«1,аз}. Подстановка этого соотношения в (7.10.11) и учет (7.10.3) влечет за собой a6 = а7 = 0. Тогда в силу того факта, ЧТО U7U7 = U1U3,
qaia2a3a4a5aAu7^^^=
= Ра'1а2аза4а5атм11 м2 2м3 Зм4 4м5 5м6 7м7“7 ,
где о^ = «1 — «у > 0, «з = «з — «у > 0.□
Дальнейшие рассуждения, относящиеся к построению квазинор- мальной формы уравнений (7.10.1), основываются на результате леммы и являются во многом аналогичными соответствующим рассуждениям из п. 1.3.5. Подробности содержатся в работе Haragus-Courcelle, Il’ichev (1998).
Приложение 3. Коэффициенты квазинормаль- ной формы
Ai = Bi = 0. В этом случае любое малое ограниченное решение (1.0.1) имеет вид
^=Аоф^Воф1^Сф^А*ф*^оФиС*ф_Г^^ До, Во, С, А^В^ау (7.11.1)
где Ф содержит члены, которые по меньшей мере квадратичны по своим аргументам. Для подсчета коэффициентов Qi, Q2 и q^ последуем методу работы Dias, looss (1993).
Как и в случае 1:1 резонанса (параграф 7.3), коэффициент q^ связан с собственными числами а линейной части (1.3.32). Получим
о" = iq0 ± Vq^p + ipip + О(М3/2)-
Далее положим р = 0, так как это не влияет на окончательный результат.
Запишем уравнение (1.0.1) (с р = 0) в виде
w = Aw + A2(w, w) + A3(w, w, w),(7.11.2)
где N^ обозначает квадратичные члены нелинейной вектор-функции ^(0, •), a Ns - кубичные. Легко видеть, что для (1.0.1), (7.2.2) Ns = 0.
Имеем
Ф(0, Ao, Bq, С, До, Bq, С*) = (Ф200000Л0 + к.с.) + ФиооооЛоЛд +
+ (ФоООО2оС2 + к.с) + Фоооои сс* +
+(Ф1ооо1оХоС+к.с.) + (Фюооо1ХоС*+к.с.) +
+(Ф21ооооЛо|Ло|2+к.с) + (Фюоои Ло|С|2+к.с.) + • • •.
Продифференцировав (7.11.1) по ж, из последней формулы получим
w = (Аофо^-Воф1-\-С ф^ + к.с.) + (2Ло Л0Ф200000 + к.с.) + (AqAq +
+XqAq)$i loooo + (2ССФоооо2о + к.с.) + (С*С + С*С)Фоооои +
+ [(ЛоС + ЛоС^Фюоою + к.с.] + [(Ло<7* + ЛоС*)Ф1оооо1 + к.с.] +
+ [(2Ло|Ло|2 + AqAq^2ioooo + к.с.) + [(Ло|С|2 + АоСС* +
+ЛоСС*)Фюоои + к.с.) + • • •.(7.11.3)
Приравнивая степени Ло, Bq, С в правых частях (7.11.2) и (7.11.3), получим при соответствующих степенях компонент А:
Ло : Афо = ^о^о,
Во : Аф1 = 4шф1 + фо,
С : Аф^ = ъшоФ^г^
Ло :ЛФ200000 + N2^o, Фо) = Зг^оФзооооо,
ЛоЛд : ЛФцоооо + 2Ы2(фо, Фо) = 0,
С2 :ЛФ000020 + А2(^+,^+) = 2гсс;оФоооо2о,
С С* : ЛФ000011 + 2К2(ф^_, ф_) = 0,
AqC : ЛФюоою + 2Л^2(^о, ^+) = ^(^о + ^о)Фюоою, АоС* : ЛФ100001 + 2N2^o, ф_) = i(qo — с^о)Ф 100001, А^Л* : ЛФ210000 + 2К2(ф0, Фцоооо) + 2К2(фо, Ф200000) = = Ч0Ф210000 + гр2фо — q^o, Л0|С|2 : ЛФюоои +2^2(^+,Ф100001) + 2Ы2(ф0, Фюоою) +
Г2Ы2(фо, Фоооо11)=ЧоФюоои+^б^о+9б^1-
Беря скалярное произведение в 1?(—21,2Г) правых частей в последних двух равенствах с собственным вектором фу сопряженного оператора А* (А* фу = —%q^h < фу^ фу > = 1), получим
qs = — < 2N2(фо, Фиоооо) + 2Т\Г2(фо, Ф2ооооо), Ф1 >?
qo =< 2^2(^+, Ф100001) +2^2 (Ф-,Фюоою) + 2ЗД0,ФоОООн),^! > •
Ло = Ai,Bo = By. В этом случае все вычисления такие же. Единственным отличием является то, что теперь
w=Лo(^)o+(/?o)+So(^)l+^l)+Cf^)++к.c.+Ф(/z, Ло, Bq, С, А^, Bq , С*).
Таким образом, при вычислениях в предыдущем случае надо заменить фо на фо + фо^ а фу - на фу + фу. Тогда те же формулы выполняются для qy и
Q2 = — < 2^2(^o + фо^ Фцоооо) + 2Ы2(фо + фо, Ф200000), Фо + фу >, qe = < 2Л^2(^+, Ф100001) + 2N2(ф_, Фюоою) +
^^(фоГфо^ Фоооон), Фо + фу > .
Список литературы
АбловицМ^ СигурХ. Солитоны и метод обратной задачи.-М.: Мир, 1987.
Бахолдин И. Б. Волновые скачки в средах, описываемых модифицированным уравнением Шредингера//Изв. РАН, МЖГ. - 1994.- N-4. - С. 111-124.
Бахолдин И. Б. Структуры эволюционных скачков в бездиссипативных системах//ПММ.-1999 а. - Т. 63. - С. 52-62.
Бахолдин И. Б. Скачки, описываемые обобщенными уравнениями Кор- тевега-де Вриза//Изв. РАН, МЖГ. - 1999 6. - N- 4 - С. 95-109.
Бахолдин И. Б., Жарков А. А.Ильичев А. Т. Распад солитонов в изотропной бесстолкновительной квазинейтральной плазме с изотермическим давлением//ЖЭТФ. - 2000. - Т. 118. - С. 125-141.
Гуревич А. В., Питаевский Л. П. Нестационарная структура бесстолкновительной ударной волны//ЖЭТФ. - 1973. - Т. 65. - С. 590-604.
Горшков К. А., Островский Л. А., Панко В. В. Взаимодействия и связанные состояния солитонов как классических частиц//ЖЭТФ. - 1976. - Т. 71. С. 585-593.
Захаров В. Е., Манаков С. В., Новиков С. П., Питаевский Л.П. Теория солитонов. - М.: Наука, 1980.
Захаров В. Е., Бубенчик А. М. Неустойчивость волноводов и солитонов в нелинейных средах//ЖЭТФ. - 1973. - Т. 65. - С. 997-1004.
Ильичев А. Т. К теории нелинейных волн, описываемых эволюционными уравнениями пятого порядка//Изв. АН СССР, МЖГ. - 1990. - N- 2. - С. 99-104.
Ильичев А. Т. О существовании семейства солитоноподобных решений уравнения Кавахары//Мат. заметки. - 1992. - Т. 52. - С. 42-50.
Ильичев А. Т. Уединенные волны в холодной плазме//Мат. заметки. - 1996а. - Т. 59. - С. 719-728.
Ильичев А. Т. Уединенные волны-пакеты в холодной плазме//Изв.
РАН, МЖГ. - 19966. - № 5. - С. 154-161.
Ильичев А. Т. Уединенные и обобщенные уединенные волны в диспергирующих средах//ПММ. - 1997. - Т. 61. - С. 606-620.
Ильичев А. Т. Уединенные волны в средах с дисперсией и диссипацией (обзор)//Изв. РАН, МЖГ - 2000. - № 2. - С. 3-27.
Ильичев А. Т.. Марченко А. В. О распространении длинных нелинейных волн в тяжелой жидкости под ледяным покровом//Изв. АН СССР, МЖГ. - 1989. - № 1. - С. 88-95.
Ильичев А. Т.. Марченко А. В. Формирование нелинейных вол- но водов при резонансном взаимодействии трех поверхностных волн//ПММ. - 1997. - Т. 61. - С. 190-201.
Ильичев А. Т.. Семенов А. Ю. Орбитальная устойчивость граничных состояний в теории длинных волн с дополнительным давлени- ем//Докл. АН СССР. - 1992. - Т. 321. - С. 505-508.
Калиниченко В. А.Нестеров С. В.Секерж-Зенъкович С. Я.^ Чайковский А. В. Экспериментальное исследование поверхностных волн, возбуждаемых при резонансе Фарадея//Изв. АН СССР, МЖГ. - 1995. N- 1. - С. 122-129.
Карпман В. И. Нелинейные волны в диспергирующих средах. - М.: Наука, 1973.
Като Т. Теория возмущений линейных операторов. - М.: Мир, 1972.
КопсонЭ. Т. Асимптотические разложения. - М.: Мир, 1966.
Красносельский М. А. Топологические методы в теории нелинейных интегральных уравнений. - М.: Гостехиздат, 1956.
Лаврентьев М. А. До теорп довгих хвиль//Зб1рн. праць 1н-ту ма- тем. АН УРСР. - 1947. - № 8. - С. 13-69.
Ландау Л. Д., ЛифшицЕ. М. Теория упругости. - М.: Наука, 1987.
Ландау Л. Д., ЛифшицЕ. М. Физическая кинетика. - М.: Физматлит, 2001.
Лионе Ж.-Л. Мадженее Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения.-М.: Мир, 1971.
Марченко А. В. О длинных волнах в мелкой жидкости под ледяным покровом//ПММ. - 1988. - Т. 52. - С. 230-235.
Марченко А. В., Семенов А. Ю. Краевые волны в мелкой жидкости под ледовым покровом с трещиной//Изв. АН СССР, МЖГ. - 1994. - N- 4. - С. 185-189.
Марченко А. В.СибгатуллинН. Р. О резонансном взаимодействии волн в тяжелой жидкости, находящейся под упругой пласти- ной//Вестн.Моск.Универ., Сер. матем., мех.-1986.-N- 4.-С. 94-97.
Марченко А. В., Сибгатуллин Н. Р. Об эволюции волновых пакетов при трехволновом взаимодействии в тяжелой жидкости под ледяным покровом//Изв. АН СССР, МЖГ. - 1987. - № 6. - С. 57-64.
Марченко А. В.СибгатуллинН. Р. О резонансном возбуждении длинных волн в двухслойной жидкости переменным давлением на свободной поверхности//Изв. АН СССР, МЖГ. - 1990. - № 2. - С. 90-98.
Некрасов А. И. Собрание сочинений в 2-х томах. - М.: Физматгиз, 1961. - Т.1. - С. 358-439.
Плисе В. А. О принципе сведения в теории устойчивости движе- ния//ДАН СССР. - 1964. - Т. 15. - С. 1044-1046.
Самарский А. А. Теория разностных схем. - М: Наука, 1977.
Трубников Б. А. Столкновения частиц в полносью ионизованной плазме//В сб. “Вопросы теории плазмы”.- М.:Атомиздат, 1963. - Вып. I.- С. 98-182.
Шафранов В. Д. Электромагнитные волны в плазме//В сб. “Вопросы теории плазмы”. - М.: Госатомиздат, 1963. - Вып. 3. - С. 3-140.
Ablowitz М. Д Segur, Н. On the evolution of packets of water waves//J. Fluid Meeh. - 1979. - V. 92. - P. 691-715.
Afendikov A. L.^ Bridges T. J. Instability of the Hocking-Stewartson pulse and its implications for three-dimensional Poiseuille flow//Proc. Roy. Soc. bond. Ser. A. - 2001. - V. 457. - P. 257-272.
AkylasT.R. Envelope solitary waves with stationary crests//Phys. Fluids A. - 1993. - V. 5. - P. 789-791.
Akylas T.R., Grimshaw R. H. Solitary internal waves with oscillatory tails//J. Fluid Meeh. - 1992. - V. 242. - P. 279-298.
Akylas T. R.^ Yang T. S. On short-scale oscillatory tails of long wave disturbances//Stud. Appl. Math. - 1995. - V. 94. - P. 1-20.
Amann H. Fixed-point equations and nonlinear eigenvalue problems in ordered Banach spaces//SIAM Rev. - 1976. - V. 18. - P. 620-709.
Amick C. J., KirchgassnerK. A theory of solitary water waves in the presence of surface tension//Arch. Rat. Meeh. Anal. - 1989. - V. 105P. 1-49.
Amick C. J., Toland J. F. On solitary waves of finite amplitude//Arch. Rat. Meeh. Anal. - 1981a. - V. 76, P. 9-95.
Amick C. J.Toland J. F. On periodic water waves in the longwave limit//Phil. Trans. Roy. Soc. London A. - 1981b. - V. 303. - P. 633-673.
Amick C. J.TurnerR.E.L. К global theory of internal solitary waves in two-fluid system//Trans. Amer. Math. Soc. -1986. - V. 303. - P. 431-484.
Amick C. J.TurnerR.E.L. Small internal waves in two fluid systems//Arch. Rat. Meeh. Anal. - 1989. - V. 108. - P. 111-139.
Anderson Dn Bondeson A.LisakM. Transverse instability of soliton solutions to nonlinear Schrodinger equations//Plasma Phys. - 1979. - V. 21. - P. 259-266.
Bakholdin I., ITichev A. Radiation and modulational instability described by the fifth order Korteweg-de Vries equation//In Contemporary Mathematics.-Providence: Amer. Math. Soc., 1996. - V. 200. - P. 1-15.
Bakholdin I.ITichev A. Solitary wave decay in a cold plasma// J. Plasma Phys. - 1998. - V. 60. - P. 111-139.
Bakholdin I.ITichev A. Solitary wave decay in nonlinear Faraday resonance//Eur. Journ. Meeh. В/Fluids. - 1999. - V. 18. - P. 93-102.
Bakholdin I.ITichev A., Zharkov A. Steady magnetoacoustic waves and decay of solitonic structures in a finite-beta plasma//J. Plasma Phys. 2002. - V. 67. - P. 1-26.
Barashenkov I. К, Bogdan М.М., Korobov V.I. Stability diagram of the phase-locked solitons in the parametrically driven, damped nonlinear Schrodinger equation//Europhys. Lett. - 1991. - V. 15. - P. 113-118.
Barashenkov I. K, Zemlyanaya E. K, BarM. Travelling solitons in the parametrically driven nonlinear Schrodinger equation//IIpenpHHT ОИЯИ. - Дубна: Изд-во ОИЯИ, 2000. - N- E17-2000-147.
Barnes A. Collisionless damping of hydromagnetic waves//Phys. Fluids. - 1966. - V. 9 - P. 1483-1495.
Beale J. T. The existence of solitary water waves//Comm. Pure Appl. Math. - 1977. - V. 30. - P. 373-389.
Benjamin T. B. The stability of solitary waves//Proc. Roy. Soc. bond. Ser. A. - 1972. - V. 272. - P. 153-183.
Benjamin T. B. The solitary wave with surface tension.//Q. Appl. Maths. - 1982. - V. 40. - P. 231-234.
Benjamin T. Bn FeirJ.E. The disintegration of wave trains on deep water. Part 1//J. Fluid Meeh. - 1967. - V. 27. - P. 417-430.
Benjamin T. B., Bona J. L., BoseD.K. Solitary-wave solutions of nonlinear problems//Preprint Penn State University report series. - 1988. No. AML 30.
Benilov E. S., Grimshaw R., Kuznetsova E. P. The generation of radiating waves in a singularly perturbed Korteweg-de Vries equation//Physi- ca D. - 1993. - V. 69. - P. 270-278.
Bona J. L., Sachs R. L. The existence of internal solitary waves in a two-fluid system near the KdV limit//Geophys. Astrophys. Fluid Dynamics. - 1989. - V. 47. - P. 25-51.
Bona J. L., BoseD. K. Turner, R. E. L. Finite amplitude steady waves in stratified fluids//J. Math. Pures Appl. - 1983. - V. 62 - P. 389-440.
Boyd J. P. Weakly non-local solitons for capillary-gravity waves: fifth degree Korteweg-de Vries equation//PhysicaD.-1991.-V. 48-P. 129-146.
BrevdoL., ITichevA. Exponential neutral stability of a floating ice layer//Z. angew. Math. Phys. - 1998. - V. 49. - P. 401-419.
Brevdo L., ITichev A. Multi-modal destabilization of a floating ice layer by wind stress.//Cold Reg. Sci. Tech. - 2001. - V. 33. - P. 77-89.
Bridges T. Hamiltonian spatial structure for three-dimensional water waves in a moving frame of reference//J. Nonlinear Sci. - 1994. - V. 4. - P. 221-251.
BuffoniB., Champneys A. R., Toland J.F. Bifurcation and coalescence of a plethora of homoclinic orbits for a hamiltonian system//Journ. Dynam. Diff. Eq. - 1993. - V. 8. - P. 221-281.
Champneys A.R., Toland J.F. Bifurcation of a plethora of multi-modal homoclinic orbits for autonomous hamiltonian systems//Nonlinearity. - 1993. - V. 6. - P. 665-721.
Chen X.-N., WeiR. Dynamic behaviour of a non-propagating soliton under a periodically modulated oscillation//J.Fluid Meeh. - 1994.- V. 259. - P. 291-303.
Chen X.-N., WeiR. Chaotic motion of a non-propagating soliton through a period-doubling route// In “Nonlinear acoustics in perspective”, ed. R.J. Wei-Nanjing: Nanjing University Press, 1996. - P. 353-361.
CilibertoS., Gollub J.P. Chaotic mode competition in parametrically forced surface waves//J.Fluid Meeh. - 1985. - V. 158. - P. 381-398.
Djordjevic V. D. Redekopp L. G. On two-dimensional packets of capillary gravity waves//J. Fluid Meeh. - 1977. - V. 79. - P. 703-714.
Dias F., Haragus-Courcelle M. On the transition from two-dimensional to three-dimensional water waves//Stud. Appl. Math. - 2000. - V. 104. - P. 91-97.
DiasF., lUichevA. Interfacial waves with free-surface boundary conditions: an approach via a model equation//Physica D. - 2001. - V. 150. P. 280-301.
DiasF., LoossG. Capillary-gravity solitary waves with damped oscillations//Physica D. - 1993. - V. 65. - P. 399-323.
DiasF., loossG. Ondes solitaires “noires” a 1’interface entre deux fluides en presence de tension superficielle//C.R. Acad. Sci. Paris. - V. 319. - P. 89-93.
DiasF., loossG. Capillary-gravity interfacial waves in infinite depth//Eur. J. Meeh., В/Fluids. - 1996. - V. 15. - P. 367-393.
DiasF., Kuznetsov E. On the nonlinear stability of solitary wave solutions of the fifth-order Korteweg-de Vries equation//Physics Letters A. - 1999. - V. 263. - P. 98-104.
Duffy D. G. The response of floating ice to a moving vibrating load//Cold Reg. Sci. Tech. - 1991. - V. 20. - P. 51-64.
Duffy D. G. On the generation of internal waves beneath sea ice by a moving load//Cold Reg. Sci. Tech. - 1996. - V. 24. - P. 29-39.
Elphick C., Tirapegui M. E., Bracket P., CoulletP., loossG. A simple global characterizarion of normal forms of singular vector fields//Physi- ca D. - 1987. - V. 29. - P. 95-127.
Farmer D. M.. Smith J. D. Tidal interaction of stratified flow with a sill in Knight Inlet//Deep-Sea Res. - 1980. - V. 27A. - P. 239-254.
Fibich G., Papanicolaou, G. Self-focusing in the perturbed and unperturbed nonlinear Schrodinger equation in critical dimension//SIAM Journ. Appl. Math. - 1999. - V. 60. - P. 183-240.
Fisher G. Zentrumsmannigfaltigkeiten bei elliptischen Differential- gleichungen//Math. Nachr. - 1984. - V. 115. - P. 137-157.
Forbes L. K. Surface waves of large amplitude beneath an elastic sheet. High order series solution//J. Fluid Meeh.-1986. -V. 169.-P.409-428.
Forbes L. K. Surface waves of large amplitude beneath an elastic sheet. Galerkin solutions//J. Fluid Meeh. - 1988. - V. 188. - P. 491-508.
Friedel EL, LaedkeE. W., Spatschek К. H. Bifurcations and nonlinear dynamics of surface waves in Faraday resonance//J.Fluid Meeh. - 1995. V. 284. - P. 341-358.
Friedrichs К. О., Hyers D. Н. The existence of solitary waves//Comm. Pure Appl. Math. - 1951. - V. 7. - P. 517-550.
Gardner C. S., Greene J. M., Kruskal M. D., Miura R. M. Method for solving the Korteweg-de Vries equation//Phys. Rev. Lett. - 1967. - V. 19. P. 1095-1097.
Granas A. The Leray-Shauder index and the fixed-point theory for arbitrary ANRs//Bull. Math. Soc. France. - 1972. - V. 100. - P. 209-228.
Grillakis M., ShatahJ., Strauss W. Stability theory of solitary waves in the presence of symmetry. I//Journ. Funct. Anal. - 1987. - V. 74. - P. 160-197.
Grimshaw R., Joshi N. Weakly nonlocal solitary waves in a singularly perturbed Korteweg-de Vries equation//SIAM Journ. Appl. Math. - 1995. V. 55. - P. 124-135.
Grimshaw R., MalomedB., BenilovE. Solitary waves with damped oscillatory tails: an analysis of the fifth-order Korteweg-de Vries equation//Physica D. - 1994. - V. 77. - P. 473-485.
Haragus M. Model equations for water waves in the presence of surface tension//Eur. J. Meeh. В/Fluids. - 1996.-V. 15.-P. 471-492.
Haragus M.. Kirchgassner К Breaking the dimension of a steady wave: some examples//In “Nonlinear dynamics and pattern formation in the natural environment”. - Pitman Research Notes in Mathematics Series, A. Doelman, A.vanHarten eds. - London. :Pitman, 1995 - V. 335. - P. 119-129.
Haragus-Courcelle M.. irichevA. Three dimensional solitary waves in the presence of additional surface effects//Eur. J. Mech.B/Fluids. - 1998. V. 17. - P. 739-768.
Hunter J. K.. Scheurle J. Existence of perturbed solitary wave solutions to a model equation for water waves//Physica D. - 1988. - V. 32. - P. 253268.
irichevA. T. (1995) On the existence of solitary waves in media with weak dispersion//Bull/ Russian Acad. Sci. Phys./ Suppl.: Phys. Vibr. - 1995. - V. 59. - P. 88-97.
irichevA. Steady waves in a cold plasma//J. Plasma Phys. - 1996. - V. 55. - P. 181-194.
irichevA. Faraday resonance: asymptotic theory of surface wa- ves//Physica D. - 1998. - V. 119. - P. 327-351.
irichev A. Self-channelling of surface water waves in the presence of an additional surface pressure//Eur. J. Meeh. В/Fluids. - 1999. - V. 18. P. 501-510.
IPichevA. Stability of solitary waves in nonlinear composite me- dia//Physica D. - 2001. - V. 150. - P. 264-277.
irichev A.Kirchgassner K. Nonlinear water waves beneath an elastic ice-sheet//Bericht Uni. Stuttgart. - Sonderforschungsbereich 404. Mehr- feldprobleme in der Kontinuumsmechanik.-Stuttgart: Uni. Stuttgart, 1998, No. 18.
irichev А. Т.. Semenor A. Yu. Stability of solitary waves in dispersive media described by a fifth-order evolution equation// Theoret. Comput. Fluid Dyn. - 1992. - V. 3. - P. 307-326.
looss G.. Adelmeyer M. Topics in bifurcation theory and applications. Singapore: World Scientific, 1992.
looss G., KirchgdssnerK. Bifurcation d’ondes solitaires en presence d’une faible superficiele//C.R. Acad. Sci. Paris Ser.l. - 1990. - V. 311. - P. 265-268.
looss G.^ KirchgdssnerK. Water waves for small surface tension: an approach via normal form//Proc. Roy. Soc. Edinburgh Ser. A. - 1992- V. 122.-P. 267-299.
looss G., KirrmannP. Capillary gravity waves on the free surface of inviscid fluid of infinite depth//Arch. Rat. Meeh. Anal. - 1996. - V.136. P. 1-19.
looss G.. Peroueme M. C. Perturbed homoclinic solutions in reversible 1:1 resonance vector fields//J. Diff. Eqns. - 1993. - V. 102. - P. 62-88.
Janssen P. E. A. M.. Rasmussen J. J. Nonlinear evolution of the transverse instability of plain-envelope solitons//Phys. Fluids. - 1983. - V. 26. P. 1279-1287.
Kakutani T. Non-linear hydromagnetic waves propagating along a magnetic field in a cold collision-free plasma//J. Phys. Soc. Japan. - 1966. - V. 21. - P. 385-398.
Kakutani T.^ OnoH. Weak non-linear hydromagnetic waves in a cold collision-free plasma//Journ. Phys. Soc. Japan. - 1969. - V. 26. - P. 13051318.
Kakutani T.. Yamasaki N. Solitary waves on a two-layer fluid//J. Phys. Soc. Japan. - 1978. - V. 45. - P. 674-679.
Kakutani T.. Kawahara T.. Taniuti T. Nonlinear hydromagnetic solitary waves in a collision-free plasma with isothermal electron pressure//J. Phys. Soc. Japan. - 1967. - V. 23. - P. 1138-1149.
Kakutani T., Ono EL, Taniuti T., WeiC. Reductive perturbation method in nonlinear wave propagation. II. Application to hydromagnetic waves in cold plasma//J. Phys. Soc. Japan. - 1968. - V. 24.- P. 1159-1166.
Kambe T., Umeki M. Nonlinear dynamics of two-mode interactions in parametric excitation of surface waves//J. Fluid Meeh. - 1990. - V. 212. P. 373-393.
KarabutE. A. Asymptitic expansions in the problem of a solitary wave//J. Fluid Meeh. - 1996. - V. 319. - P. 109-124.
Karabut E. A. An approximation of the highest gravity waves on water of finite depth//J. Fluid Meeh. - 1998. - V. 372. - P. 45-79.
Kawahara T. Oblique nonlinear hydromagnetic waves in a collision free plasma with isothermal electronic pressure//J. Phys. Soc. Japan-1969. - V.27. - P. 1331-1340.
Kawahara T. Oscillatory solitary waves in dispersive media//J. Phys. Soc. Japan. - 1972. - V. 33. - P. 260-264.
Kellogg Р. G. Solitary waves in cold collisionless plasma//Phys. Fluids. 1964. - V. 7. - P. 1555-1571.
Keulegan G. H. Characteristics of internal solitary waves//J. Res., N.D.S. - 1953. - V. 51. - P. 133-140.
Kirchgassner К. Wave solutions of reversible systems and applica- tions//J. Diff. Eqns. - 1982. - V. 45. - P. 113-127.
Kirchgassner К. Nonlinearly resonant surface waves and homoclinic bifurcation//Adv. Appl. Math. - 1988. - V. 26. - P. 135-181.
KivelsonM. Gn Russel С. T. [eds.] Introduction to Space Physics. - Cambridge: Cambridge University Press, 1995.
KortewegD. J., de Vries G. On the change of form of long waves advancing in a rectangular channel and a new type of long stationary waves//Phil. Mag., (5). - 1895. - V. 39. - P. 422-443.
KuznetsovE. A., Rubenchik A. M., Zakharov V. E. Soliton stability in plasmas and hydrodynamics//Phys. Reports. -1986.-V. 142.-P. 103-165.
LaedkeE.W.. SpatschekK. H. On localized solutions in nonlinear Faraday resonance//J.Fluid Meeh. - 1991. - V. 223. - P. 589-601.
Lazzara A., PuttermanS. Theory of non-propagating surface-wave solitons//J.Fluid Meeh. - 1984. - V. 148. - P. 443-449.
LerayJ., ShauderJ. Topologic et equations fonvtionelles//Ann. Sci. Ecole Norm. Sup. - 1934. - V. 51. - P. 45-78.
Loginov В. К, Kuznetsov A. 0. Capillary-gravity waves over a flat surface//Eur. J. Meeh. В/Fluids. - 1996. - V. 15. - P. 259-280.
Lombardi E. Orbits homoclinic to exponentially small periodic orbits for a class of reversible systems//Arch. Rat. Meeh. Anal. - 1997. - V. 137. P. 227-304.
LonghiS. Perturbation of parametrically exited solitary waves//Phys. Rev. E. - 1997. - V. 55. - P. 1060-1070.
Longuet-Higgins M-S. Capillary-gravity waves of solitary type and envelope solitons on deep water//J. Fluid Meeh.-993.-V. 252.-P. 703-711.
Ma Y. C.. Redekopp L. G. Some solutions pertaining to the resonant interactions of long and short waves//Phys. Fluids. - 1979.-V. 22. - P. 1872-1876.
MalomedB., Vanden-Broeck J.-M. Solitary wave interactions for the fifth-order KdV equation//In Contemporary Mathematics. - Providence: Amer. Math. Soc., 1996. - V. 200. - P. 133-143.
Michallet H., Barthelemy E. Experimental study of interfacial solitary waves//J. Fluid Meeh. - 1998. - V. 366. - P. 159-177.
MichalletH., DiasF. Numerical study of generalized interfacial solitary waves//Phys. Fluids. - 1999. - V. 11. - P. 1502-1511.
Michallet H., DiasF. Nonlinear resonance between short and long waves//In Proceedings of the Ninth International Offshore and Polar Engineering Conference, Brest, France. - 1999 a. - P. 193-198.
Mielke A. Uber maximale Lp-Regularitat fur Differentialgleichungen in Banach- und Hilbert Raiimen// Math. Ann. -1987. -V. 277. -P. 121-133.
Mielke A. Reduction of quasilinear elliptic equations in cylindrical domains with applications//Math. Meth. Appl. Sci. - 1988. - V. 10. - P. 501-566.
Mielke A. Homoclinic and heteroclinic solutions in two-phase flow//In “Structure and dynamics of nonlinear waves in fluids”. - Adv. Series Nonl. Dynamics. - Singapore, World Scientific, 1995. -V. 7.- P. 353-362.
Miles J. Parametrically exited solitary waves//J.Fluid.Meeh. - 1984. V. 148. - P. 451-460.
Miles J., Henderson D. Parametrically forced surface waves//Ann. Rev. Fluid Meeh. - 1990. - V. 22. - P. 143-165.
Moni J. N., King A. C. Interfacial solitary waves//Q. J. Meeh. App. Math. - 1995. - V. 48. - P. 21-38.
Montgomery D. Nonlinear Alfven waves in a cold ionized gas//Phys. Fluids. - 1959. - V. 2. - P. 585-588.
Muller A. Ettema ^.Dynamic response of an icebreaker hull to ice breaking//In Proc. IAHR Ice Symp., Hamburg.-1984.-V. II.-P. 287-296.
Nagumo M. Degree of mapping in convex linear topological spaces//Amer. Journ. Math. - 1951. - V. 73. - P. 497-511.
Papanicolaou G. C.^ SulemC., SulemP. L., WangX.P. The focusing singularity of the Davey-Stewartson equations for gravity-capillary surface waves//Physica D. - 1994. - V. 72. - P. 61-86.
ParauE., DiasF. Nonlinear effects in the response of a floating ice plate to a moving load//J. Fluid. Meeh. - 2001. - V. 437. - P. 325-336.
Patel V.L., DasguptaB. (1987) Theory and observation of Alfven solitons in the finite beta magnetospheric plasma//Physica D. - 1987. V. 27. - P. 387-398.
Peters A. S., Stoker J. J. Solitary waves in liquids having non-constant density//Commun. Pure Appl. Math. - 1960. - V. 13. - P. 115-164.
Pomeau Y., RamaniA.^ Grammaticos В. Structural stability of the Korteweg-de Vries solitons under a singular perturbation//Physica D. 1988. - V. 31. - P. 127-134.
RypdalK., Rasmussen J. J. Stability of solitary structures in nonlinear Schrodinger equations//Physica Scripta. - 1989. - V. 40. - P. 192-201.
Sachs R. L. On the existence of small amplitude solitary waves with strong surface tension//J. Diff. Eqns. - 1991. - V. 90. - P. 31-51.
SaffmanP. G. On hydromagnetic waves of finite amplitude in a cold plasma//J. Fluid Meeh. - 1961. - V. 11. - P. 552-566.
SaffmanP. G., YuenH. C. Stability of a plane soliton to infinitesimal two-dimensional perturbations//Phys. Fluids. - 1978. - V. 21. - P. 1450-1451.
Schulkes R. M. S. M.. HiskingR. J., SneydA. D. Waves due to a steadily moving source on a floating ice plate: Part 2.//J. Fluid Meeh. - 1987. V. 180. - P. 297-318.
Squire V. A. On the critical angle for ocean waves entering shore fast ice//Cold Reg. Sci. Tech. - 1984. - V. 10 - 59-68.
Stoker J. J. Water waves. - New-York: Wiley-Interscience, 1957.
Strathdee J., Robinson W. H., Haines E. M. Moving loads on ice plates of finite thickness//J. Fluid Meeh. - 1991. - V. 226, P. 37-71.
SulemC., SulemP.-L. The nonlinear Schrodinger equation: Self focusing and wave collapse. - New-York: Springer, 1999.
Sun S. M. Existence of a generalized solitary wave solution for water with positive Bond number less than 1/3// J. Math. Anal. Appl. - 1991. V. 156. - P. 471-504.
SunS. M.. ShenM. C. Exponentially small estimate for the amplitude of capillary ripples of a generalized solitary wave//J. Math. Anal. Appl. 1993 a.-V. 172.-P. 533-566.
SunS.M., ShenM. C. Exact theory of generalized solitary waves in a two-layer liquid in the absence of surface tension//J. Math. Anal. Appl. 1993 b. - V. 180. -P. 245-274.
Tajiri M. Propagation of hydromagnetic waves in collisionless plasma. II. Kinetic approach//J. Phys. Soc. Japan. - 1967. - V.23. - P. 1482-1494.
TuckE. 0. An inviscid theory for sliding flexible sheets//J. Ausral. Math. Soc. - 1982. - V. B23.- P. 403-415.
Umeki M. Parametric dissipative nonlinear Schrodinger equa- tion//J. Phys. Soc. Japan. - 1991a. - V. 60. - P. 146-167.
Umeki M. Faraday resonance in rectangular geometry//J.Fluid Meeh. 1991b. - V. 227. -P. 161-192.
Vanderbauwhede A., loossG. Center manifold theory in infinite dimensions//Dynamics Reported. - 1992. - V. 1. - P. 125-163.
Vanden-Broeck J.-M. ,
TurnerR. E. L. Long periodic internal waves//Phys. Fluids A. - 1992. V. 4. - P. 1929-1935.
Walker L. R. Interfacial solitary waves in a two-fluid medium//Phys. Fluids. - 1973. - V. 16. - P. 1796-1804.
WangX. Internal dynamics of the parametrically excited bound state of double solitary-waves//Physica D. - 1999. - V. 127. - P. 13-32.
WangX., WeiR. Observations of collision behaviour of parametrically exited standing solitons//Phys. Lett. - 1994. - V. 192. - P. 1-4.
WangX., Wang J., WeiR. In “Nonlinear acoustics in perspective”, ed. R.J. Wei. - Nanjing: Nanjing University Press, 1996. - P. 439-445.
Wilton J. R. On ripples//Phil. Mag. - 1915. - V. 29. - P. 688-700.
WuJ., KeolianR., Rudnicki. Observation of non-propagating hydrodynamic soliton//Phys. Rev. Lett. - 1984. - V. 52. - P. 1421-1424.
Yamamoto Y., Takizawa E. On a solution of nonlinear time evolution equation of fifth order//J. Phys. Soc. Japan. - 1981. - V. 50. - P. 14211422.
ZufiriaJ. Symmetry breaking in periodic and solitary-gravity waves on water of finite depth//3. Fluid Meeh. - 1987. - V. 184. - P. 183-206.
УДК 532.59ББК 22.253И46УДК 532.59ББК 22.253И46Издание осуществлено при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований по проекту 02-01-14072
УДК 532.59
ББК 22.253
И46
УДК 532.59
ББК 22.253
И46
Ильичев А. Т. Уединенные волны в моделях гидромеханики. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. - 256 с. - ISBN 5-9221-0360-1.
Рассматриваются различные типы уединенных волн в окрестности состояния покоя на примере ряда моделей обратимых волновых процессов в гидромеханике: волновые движения в диспергирующих и, при отсутствии явной зависимости от времени, в некоторых диссипативных средах. Для плоскопараллельных движений основное внимание уделяется характерным для обратимых сред типам уединенных волн: классическим и обобщенноуединенным волнам, уединенным волновым пакетам. На примере пространственных поверхностных волн в идеальной несжимаемой жидкости рассматриваются волноводы, а также обобщенно-уединенные волновые пакеты — продукты нелинейного резонанса локализованных и модулированных в направлении движения волн с периодическими волнами.
Значительное внимание уделяется механической постановке задач и описанию физических особенностей волновых процессов в рассматриваемых моделях.
Для специалистов в различных областях механики сплошной среды, математической физики и прикладной математики, аспирантов и студентов старших курсов физико-математических специальностей.
Табл. 5. Ил. 40. Библиогр. 181.
Научное издание
ИЛЬИЧЕВ Андрей Теймуразович