ПРЕДИСЛОВИЕ

Аэроакустика в основном имеет дело со звуком, создаваемым аэродинамическими силами или возмущениями, которые возникают в самом потоке, а не приложенными извне силами или колебаниями, как в классической акустике Таким образом, звуки, создаваемые колебаниями струн скрипки и громкоговорителями, относятся к категории классической акустики, а звуки, создаваемые нестационарными аэродинамическими силами на воздушных винтах или турбулентными потоками, относятся к аэроакустике. В аэроакустике часто используется введенный Лайтхилло-м (который заложил основы этой области акустики) термин «аэродинамический звук».

Несмотря на несомненно большой интерес к аэродинамической генерации звука, до сих пор нет систематического учебника, специально посвященного этому предмету. Правда, некоторые вопросы аэроакустики кратко рассмотрены в книге Морза и Ингарда «Теоретическая акустика» (1968 г.).

После прочтения курса аэроакустики группе инженеров и научных работников, занимающихся шумом самолетов, в Научно-исследовательском центре им Льюиса, я пришел к выводу, что существует определенная необходимость как в учебном, так и справочном пособии по аэроакустике. Мне казалось, что такая книга должна быть умеренно сложной и предназначаться для читателя, знакомого с механикой жидкости и прикладной математикой в объеме институтского курса. Более того, я старался сделать ее достаточно полной, чтобы она могла служить справочным пособием не только для начинающих исследователей, но и для тех, кто имеет значительный опыт в этой области. И в самом деле, ограничившись лишь специфическим кругом проблем аэроакустики и связанными с ним вопросами (такими, как распространение звука в каналах, нестационарная аэродинамика и т. д.) в той мере, насколько это необходимо, мне удалось включить в книгу большую часть важных идей, развитых в этой области.

Особое внимание уделено пониманию физических механизмов, связанных с аэродинамической генерацией звука. С целью подтверждения основ теории и ее подкрепления, если она является неполной, приведены экспериментальные результаты. Таким обра-

зом, книга имеет явно математическую окраску. Однако сознательно не обходятся вниманием и некоторые приложения теории к важным инженерным объектам, таким как вентиляторы и компрессоры.

В литературе иногда заметна тенденция к разделению проблем аэроакустики на акустическую и аэродинамическую части и к рассмотрению их в отдельности. В этой книге я не пытался делать такого различия и объединил акустику и аэродинамику ввиду необходимости получения связи звукового поля с основными параметрами аэродинамических потоков.

В первой главе рассмотрены отдельные аспекты акустики движущейся среды, необходимые для понимания последующих глав. Эта глава предназначена также для ознакомления читателя с некоторыми основными понятиями классической акустики и математическим аппаратом, которые используются в остальных главах. Во второй главе вводится акустическая аналогия Лайтхилла и рассматривается ее приложение к случаю, когда твердые границы непосредственно не влияют на звуковое поле. Эта ситуация характерна для шума струи. Даются подробный анализ шума дозвуковой струи и качественное рассмотрение шума сверхзвуковой струи. Третья глава развивает акустическую аналогию, включая влияние твердых границ. Результаты применяются при рассмотрении образования звука крепежными элементами, винтами, роторами вертолетов и т. п. В четвертую главу включены эффекты однородного среднего потока, а также концепции, коотрые используются для подробного анализа различных механизмов шумообразования в вентиляторах и компрессорах. В главе пять развивается прямой метод расчета, который позволяет учитывать влияние сжимаемости среды и эффекты взаимодействия при генерации шума решеткой лопаток. Наконец, в последней главе рассмотрены эффекты неоднородного среднего потока и выведены уравнения, которые занимают промежуточное место между акустической аналогией Лайтхилла и методом прямого расчета. Эти результаты используются для расчета влияния среднего потока на шум струи.

По мере возможности предпочтение отдается оригинальным источникам. Хотя некоторые из полученных результатов и формулировок в чем-то оригинальны или являются обобщением имеющихся в литературе, опускание ссылок на некоторые работы не означает оригинальности моей работы. Я хотел бы заранее извиниться, если по невнимательности я не назвал кого-либо из авторов идей, изложенных в этой книге.

Ряд людей помогали мне в написании книги. Я особенно благодарен сэру Дж. Лайтхиллу (Кембриджский университет) за его поддержку и чрезвычайно полезные указания. Искренне благодарю профессоров Дж. Е. Фокс Вильямса (Кембриджский университет), X. С. Рибнера (университет Торонто), С. К. В. Тама (университет штата Флорида) и X. Атасси (университет Нотр Дам) за их предложения по улучшению рукописи. Я также весьма обязан некоторым моим сотрудникам из Научно-исследовательского центра:

им. Льюиса: В. А. Олсену, С. Е. Фейлеру, А. М. Карчмеру, В. Л. Хо- увсу и В. X. Брауну за предоставление экспериментальных данных и за прочтение рукописи и сделанные замечания. Д-р Томас Бальса (Центр исследований и разработок фирмы «Дженерал Электрик») оказал особенно ценную помощь, прочтя рукопись и сделав подробные замечания. И наконец, но не последняя по важности, моя благодарность относится также к сотрудникам издательского отдела Маргарет Эплби и машинописного сектора Рут Берт, которые помогли мне в подготовке рукописи, и в особенности к Флоренс Спроста за ее добросовестную работу по перепечатке рукописи.

НАИБОЛЕЕ ЧАСТО ВСТРЕЧАЮЩИЕСЯ

ОБОЗНАЧЕНИЯ

И СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕРМИНОЛОГИЯ

В — число лопастей воздушного винта или вентилятора;

С* —коэффициент конвективного усиления (=1—Mcos0);

с — длина хорды; местная скорость звука;

с0 — скорость звука в стационарной окружающей среде;

efj — тензор вязких напряжений;

F — полная сила, действующая на жесткие границы;

f — частота; (= | f |); произвольная функция;

f — сила на единицу площади, действующая на жидкость со стороны твердых границ;

/— сила, действующая на единицу объема жидкости;

G — фундаментальное решение волнового уравнения;

G0 — функция Грина для свободного пространства;

Gm — фундаментальное решение Фурье-преобразованного волнового уравнения;_

/„ — Фурье-преобразование функции I;

I — величина вектора I;

I — поток акустической энергии;

J— вектор интенсивности;

i — единичный вектор в направлении Xi или уг, j — единичный вектор в направлении х3 или уг;

ко —®/со;

к — волновое число;

к — волновой вектор;

к — единичный вектор в направлении Хз или z/3;

М— число Маха ( = G/c0);

п — единичный вектор по нормали к твердой поверхности (единичный вектор внешней нормали к области, содержащей жидкость); единичный вектор,

S5 — акустическая мощность;

р — давление;

Ро — давление стационарного окружающего потока; или постоянное исходное давление;

R =|х—у|;

R =х—у, вектор между точками наблюдения и источника;

Re = |R<I;

Re — вектор между точкой наблюдения и центром движущегося источника или области источника;

г — радиальная координата точки наблюдения в цилиндрической системе координат;

т*, Го — радиальная координата источника в цилиндрической системе координат; '

S — энтропия; функция Сирса; фиксированная поверхность;

5(т) —движущаяся поверхность;

Т — большой временной интервал (который обычно берется равным бесконечности);

Тц — тензор напряжения Лайтхилла;

Тр — период (=/“9;

Tij —напряжение Лайтхилла, выраженное через относительную скорость v';

t — время, относящееся к появлению звуковой волны в точке наблюдения;

U, и»,— средняя скорость потока;

и — неустановившаяся скорость;

V — число лопаток статора;

Vs — скорость поверхности;

V — полная скорость жидкости;'

V — скорость жидкости в движущейся системе координат, у/ = = Ui— ShU;

х — координаты точки наблюдения;

у — координаты источника;

Г = /?(/)р(/ + т) IqoCo — нормированная функция автокорреляции давления; Фурье-преобразование функции у;

у — функция источника;

б(х) — дельта-функция Дирака;

6jj—дельта-функция Кронекера (бо=1 при i = j; 6^ = 0 при

— подвижные координаты, связанные с источником;

— температура;

6 — полярная координата (полярный угол) или направление между линией, связывающей источник и точку наблюдения, и направлением движения источника;

Кщ, п — собственные значения;

X — длина волны;

т(т) — объем жидкости вне или внутри твердых границ;

р — плотность;

Qo — плотность стационарного окружающего потока; или постоянная исходная плотность;

q' = q—'Qo — флуктуация плотности;

о — приведенная частота; фазовый угол между лопатками в гл. 5;

т — время, относящееся к излучению звуковой волны; время задержки;

Ф — фаза; потенциал скорости;

<р —полярная координата (азимутальный угол);

fl — угловая скорость;

fl = |fl|; или частота источника ( = и(1—Mccos0));

и = 2л/ — угловая частота;

Нижние индексы:

D — компонента сопротивления;

Т — компонента тяги;

О — постоянное исходное значение; значение величины в стационарном окружающем потоке;

Равенство/(х) = 0(g(x)) при х->х0 означает, что отношение f(x)fg(x) остается конечным при х->х0. Оно показывает, что /(х) стремится к своему предельному значению при х=х0 по крайней мере столь не быстро, как и о-(х). Если f(x)/g(x) = 1 при х-*-х0, мы пишем f (х) ~g^.

Представление данных

Экспериментальные данные представлены в виде уровней давления или мощности в децибелах (дБ). Это означает, что ординатой графика является либо 201g(p/pr), где рг — некоторое исходное давление (обычно 2X 10~5 Н/’м2), либо 10 1g (^/^г), где ^г — некоторая исходная мощность (обычно 10-13 Вт).

Единицей частоты является герц (1 Гц=1 колебанйе/с). При измерениях звукового давления или мощности в результаты могут включаться как сигналы всех частот (эти характеристики называют «суммарными»), так и сигналы в определенной полосе частот. Ширина этих полос берется либо независящей от частоты (в этом случае полосы обычно довольно узкие), либо пропорциональной центральной частоте полосы. Первые называются узкими полосами, а последние — пропорциональными полосами. Наиболее широко используемыми пропорциональными полосами являются треть- октавные полосы. Представление звукового давления (мощности) в узких или пропорциональных полосах как функции частоты называют спектром звукового давления (мощности).

ГЛАВА 1

ОБЗОР АКУСТИКИ ДВИЖУЩЕЙСЯ

СРЕДЫ

ВВЕДЕНИЕ

Многие из понятий и методов, используемых в аэроакустике, заимствованы непосредственно из классической акустики или более нового ее раздела — акустики движущейся среды. Поэтому, чтобы сделать материал этой книги доступным для возможно более широкой аудитории, часть первой главы посвящена рассмотрению тех вопросов, которые необходимы для понимания теории аэродинамического звука. Помимо этого в главе применен в большей или меньшей степени математический аппарат, необходимый в последующих главах, посвященных теории аэродинамического звука. Предполагается, что читатель уже знаком с основами гидромеханики.

Для обозначения вектора используется жирный шрифт (А), а той же самой латинской буквой (Л) обозначается его амплитуда. Его составляющие обозначаются с помощью нижних индексов 1=1, 2, 3 (Л,). Звездочкой (*) обозначается комплексно сопряженная величина, и, если это возможно, для обозначения пар Фурье-преобразований относительно времени используются те же самые заглавные и строчные буквы. Верхней чертой (~) обозначается среднее по времени, а угловыми скобками О — среднее по пространству. Буквой Т (без нижних индексов) обозначается большой временной интервал. Другие широко используемые символы определены в списке обозначений.

ВЫВОД ОСНОВНЫХ УРАВНЕНИЙ

Все реальные жидкости обладают упругостью и инерцией. Упругость проявляется в сопротивлении жидкости сжатию, а инерция — в том, что жидкость продолжает движение после прекращения действия сил. В силу этих двух свойств флуктуации давления (или плотности), возникающие где-либо в жидкости, передаются в окружающую среду и распространяются от своего источника. Когда такие возмущения, распространяясь в воздухе, достигают уха, они вызывают колебания барабанной перепонки и через слуховой нерв передаются в мозг. Здесь они и воспринимаются как звук.

Аэроакустика почти исключительно занимается вопросами распространения звука через такие среды, которые обладают весьма малой вязкостью и теплопроводностью; в настоящей книге в основном будут рассматриваться возмущения, которые настолько слабы, что их пространственные градиенты никогда не бывают много боль-

ше самих возмущений, что, например, характерно для ударных волн. Поскольку эти малые возмущения не могут распространяться на чрезвычайно большие расстояния, эффектами вязкости и теплопроводности можно пренебречь, и движение жидкости может быть определено решениями уравнений Эйлера (уравнения сохранения количества движения для невязкого потока)

ef-^ + v-vv'^-vi+.f,(1.1)

уравнения неразрывности

-^- + v-vq+qV-v = q^(1.2)

и уравнения энтропии (или энергии)

(1.3)(1.3)dS । ел

(1.3)

(1.3)

kv- дт

где V представляет собой следующий векторный оператор:

A = iA = iт-тЗдугт-тЗдугдуг дугдуг дуг

A = i

A = i

т-тЗ

дуг

т-тЗ

дуг

дуг дуг

дуг дуг

v={yb у2, Уз)—скорость жидкости; q — ее плотность; р — давление; S — энтропия. Время обозначается буквой т; {Уь Уг, уз) — пространственные декартовы координаты; q — внешний объемный источник в жидкости и /— приложенная извне объемная сила. Предполагается, что эти члены источника не вызывают образования энтропии.

Предположим, что жидкость гомогенная и находится в состоянии локального термодинамического равновесия (т. е. эффектами релаксации можно пренебречь). Тогда, поскольку любая термодинамическая величина может быть выражена в функции любых двух других, можно принять, ЧТО

е=е(у, 5)

и, как следствие, что

=+ dS'с2 \ dS ] р=+ dS'с2 \ dS ] р(1.4)

=+ dS'

с2 \ dS ] р

=+ dS'

с2 \ dS ] р

(1.5)

поскольку можно показать, что (dp/5g)s всегда положительно. Поэтому из уравнения (1.3) следует, что

— 4-v-vq = Л- + vyV'(l-6)

Для стационарного потока со скоростью v0, давлением р0, плотностью ро, энтропией S=S(p0, Qo) и со=с(ро, Qo) уравнения (1.1) —

.3) и (1.6) принимают вид

eoVo-VVo=—7№

V ■ QoVg — И1(17)

vo.VSo = O, 2

v0-7А = соУо-Шо

при условии, что внешние силы и массовые .источники от

сутствуют.

Поскольку, как отмена- Рис. 1.1. Распространяющееся возмущение лось, звук представляет собой просто наше восприятие возмущений давления, прошедших через атмосферу, рассмотрим нестационарное возмущение с характерной длиной К распространяющееся со скоростью, типичное значение которой равно С, в среде, в которой скорость, давление и плотность определяются системой уравнений (1.7). Такое возмущение, схематично показанное на рис. 1.1, будет приводить к изменениям скорости, давления, плотности, энтропии и с2 (u = v— v0, р'=р—ро, q'^q~q0, S'=S—So, cv=c2—Co2 соответственно), когда оно доходит до неподвижного наблюдателя . Все _эти изменения происходят в масштабе времени ТР=\П, где f=C/X — характерная частота возмущения.

Амплитуда возмущения измеряется величиной флуктуаций U, р', q', S' и су. Но эти флуктуации обычно являются настолько слабыми, даже для самых громких звуков, что нужно рассматривать только те потоки, в которых выполняются не только неравенство

и\<С=ЧГ„;(1.8)

но также и условия р'^Ро), е'<$((ео), ^'^(Sq) и с2'<^(с2). Тогда амплитуда возмущений может быть описана безразмерным параметром е, удовлетворяющим условию

0<s«l,(1.9)

и

(1. 10)(1. 10)|и|/С = 0(£), Р’КРо} =6(е), е7(ео)=°(е). 57(So>=O(e), £27(С()=07).

(1. 10)

(1. 10)

Неравенство (1.8) основано на предположении (выполнение которого следует проверять в каждом конкретном случае), что скорость распространения С достаточно малого возмущения не зависит от его амплитуды, так что С не будет стремиться к нулю при е-*-0.

Примем, что |v0| того же порядка, что и С, и предположим, что f и q порядка е. Тогда, поскольку масштабы времени и длины, связанные с возмущениями, равны соответственно Тр и X и поскольку для большинства рассматриваемых сред (.Ро) <) (q0) (со), целесообразно ввести безразмерные переменные

бо— бо/ (бо) -50 — SJ (50 Л~22ХСо = Со/( Со),u=u/Ce,8' = 8'/(80) е, С2'=С27(со) е.бо— бо/ (бо) -50 — SJ (50 Л~22ХСо = Со/( Со),u=u/Ce,8' = 8'/(80) е, С2'=С27(со) е.х=т/Гр=/г,

бо— бо/ (бо) -

50 — SJ (50 Л

~22Х

Со = Со/( Со),

u=u/Ce,

8' = 8'/(80) е, С2'=С27(со) е.

бо— бо/ (бо) -

50 — SJ (50 Л

~22Х

Со = Со/( Со),

u=u/Ce,

8' = 8'/(80) е, С2'=С27(со) е.

v0 = v0/C,

,^0=(/70—</,0>)/(<е0> (Со)),

Р'=р'Кбо') (со) S, б'=б7(бо) е>

Подставляя эти переменные в уравнения (1.1) — (1.3) и (1.6) и вычитая затем (1.7), получаем

(бо + ®б') [^ + vo-vu + u-v(Vo + eu)]+e'vo.vvo== СтJ

Ъ W s/(Qo>C ’

+ v • [(Qo+ее') u+е' v~0] = ^5о±^1£ , СТ

^4-Уо-уЗ'+и-у5о + еи-у5'==О,

(со-ггс2')+Vo• vq'+»• v (во4- ®е')14-с2'v0• vq0 =

=[^4-vo-vX4-u-Wo+£X)l •

[СтJ

Тогда, поскольку обезразмеривание было специально выполнено таким образом, чтобы все безразмерные переменные были порядка 1, то, учитывая неравенство (1.9), можно пренебречь членами, имеющими сомножитель е, и получить, возвращаясь к размерным величинам, следующие уравнения:

Qo(4^4-vo-vu4-u-vv0)+64-VV0=-v// + /,

-V- + v(6o“4-e'Vo)=6o^.

(1J1:

4-v0 • v5'4-u • v^0=0,

^0 f-^r- 4- v0 • V6' 4 u • Л9о) 4-c2-Vq • V6o =+ vo • v/ 4-u • V№-

\/от

Рис. 1.2. Цилиндрические координатные •поверхности

Рис. 1.3. Средний поток с параллельным сдвигом

Эти уравнения обычно называют линеаризированными газодинамическими уравнениями. Они описывают распространение малых возмущений в стационарном потоке. Они не применимы к любой области потока, в которой возмущения и их градиенты не являются малыми.

По-видимому, простейшим нетривиальным решением уравнений (1.7) является параллельный средний поток с поперечным сдвигом, в котором

v0=?t7(r(y2, у3)), Q0 = const, pQ = const,•S'o = const. (1-12)

i означает единичный вектор в направлении у\, а зависящая от поперечных координат переменная г ^у2, у-^ является произвольной функцией координат у2 и у3, перпендикулярных направлению потока. Поверхности, на которых г, а следовательно, и средняя скорость U остаются постоянными,, можно представить себе в виде координатных поверхностей в цилиндрической системе координат вроде тех, что показаны на рис. 1.2. U изменяется только в направлении ^г, перпендикулярном этим поверхностям. Таким образом, если

r = r0= Уу^Уу^ (1.13)

то координатными поверхностями становятся круглые цилиндры и в результате г = г0 становится радиальной координатой в обычной цилиндрической системе координат с полярной осью в направлении Уь В этом случае профили скорости являются чисто радиальными. С другой стороны, если

г=У^ (1-14)

то координатными поверхностями становятся параллельные плоскости с соответствующим средним потоком, параллельным сдвиговому потоку, вроде того, который показан на рис. 1.3.

По ряду причин основное внимание в этой книге будет уделено случаям, когда наложенный поток имеет вид, описываемый соотношениями (1.12) . Первой причиной является относительная простота таких потоков. Поскольку уравнения, описывающие распространение звука в движущейся среде, вообще говоря, довольно сложны, полезно рассмотреть один из простейших случаев. Вторая причина связана с тем, что в последующих главах в основном рассматривается влияние градиентов скорости на аэродинамическое образование звука, а не влияние этих градиентов на термодинамические параметры. Поскольку задаваемое условиями (1.12) поле потока имеет только градиенты скорости, но не имеет градиентов давления или плотности, оно особенно подходит для иллюстрации влияния градиентов скорости. Наконец, оказывается, что многие потоки, представляющие интерес для аэроакустики, действительно хорошо описываются соотношениями (1.12).

Подставляя соотношения (1.12) в уравнения (1.11) и исключая из второго и последнего уравнений д', получаем

(1.15)(1.15)/ Dou । т dU \, - |

(1.15)

(1.15)

босо Dx

-5^=0,

Dx

где

Op _ _d__d_

Dx dxd tjx

ё{У^ 1/з) = И

и, поскольку у,/|уг| — единичная нормаль к координатным поверхностямг = const, то

есть возмущенная скорость в направлении, перпендикулярном к этим поверхностям. Если г определяется формулой (1.13), то Ur представляет собой радиальную скорость. Геометрический весовой коэффициент g равен единице для обеих введенных ранее поперечных систем координат. Наконец, следует заметить, что здесь опущен знак (') у р, так что этот символ теперь означает флуктуирующее давление. Это будет делаться всякий раз, когда не будет опасности запутаться в обозначениях.

Оператор Dq)Dx выражает скорость изменения во времени, кажущуюся наблюдателю, движущемуся со средним потоком. Следовательно, третье уравнение системы (1.15) показывает, что для та-

кого наблюдателя энтропия не меняется со временем. Таким образом, энтропия будет постоянной в любом месте потока, если она -однородна и стационарна далеко выше по потоку. Из формулы (1.4) тогда следует, что

<7Q =dp, с-

а пятое из уравнений (1.10) сводится к

С2 = с2 + ()(е),

Но поскольку Со2 постоянно, то, интегрируя предыдущее уравнение, •от исходного состояния, получаем

(1-16)(1-16)——2^~—^=5- для 5 = const. -@0С0@000

(1-16)

(1-16)

Величина, стоящая в правой части, называется конденсацией.

Поскольку

Z)qU Do , dU ди м •—— = — v-uHg ,

Dr Отdr дух

то, применяя оператор дивергенции к первому уравнению системы (1.15), а оператор D^Dt ко второму и вычитая их друг из друга, получаем

^Р--г со^Р--г со(1.17)(1.17)02dUдиDq

^Р--г со

^Р--г со

(1.17)

(1.17)

Dr2drдухDr

Поскольку это уравнение содержит две независимые переменные, оно не может быть решено отдельно, чтобы определить поле возмущений. Однако в частном случае, когда средняя скорость U постоянна, последний член в левой части исчезает, и уравнение принимает вид

21vP ~ — с021vP ~ — с01=7-/-QuDt21=7-/-QuDt2StSt(1.18)(1.18)

21

vP ~ — с0

21

vP ~ — с0

1=7-/-Qu

Dt2

1=7-/-Qu

Dt2

St

St

(1.18)

(1.18)

Это уравнение (вместе с соответствующими начальными и граничными условиями) может быть решено, т. е. однозначно определено флуктуирующее давление р. После того, как определено р, из первого уравнения системы (1.15) может быть определена и акустическая колебательная скорость и. Уравнение (1.18) представляет собой неоднородное волновое уравнение для равномерно движущейся среды. Смысл этой терминологии будет ясен из дальнейшего рассмотрения.

Уравнения (1.16) и (1.18) показывают, что, если энтропия везде постоянна, то флуктуации плотности также удовлетворяют неоднородному волновому уравнению

Wг е 7при 5 = const.(1.19)

С о Dt2Cq \Dr )

Наконец, если U=0, то уравнение (1.18) сводится к неоднородному волновому уравнению для неподвижной среды, или просто неоднородному волновому уравнению

Vp-— -ЛCq дт2Vp-— -ЛCq дт2дд дхдд дх(1.20)(1.20)

Vp-— -Л

Cq дт2

Vp-— -Л

Cq дт2

дд дх

дд дх

(1.20)

(1.20)

которое является основным уравнением классической акустики

Вернемся теперь к более общему уравнению (1.17) Оно весьма сходно с волновым уравнением (1.18), но имеет дополнительный член в левой части, включающий скорость, который нужно исключить, чтобы получить одно дифференциальное уравнение для давления. Для этой цели, беря скалярное произведение количества движения [из системы (1.15)] на единичный вектор v'Z/vd и дифференцируя его по yi, получим

Do d“rDx духDo d“rDx духdip , ^/Гдгдух дух ’dip , ^/Гдгдух дух ’(1-21)(1-21)

Do d“r

Dx дух

Do d“r

Dx дух

dip , ^/Гдгдух дух ’

dip , ^/Гдгдух дух ’

(1-21)

(1-21)

где /г, конечно, означает составляющую f-^r Ivd вектора / в направлении, перпендикулярном координатным поверхностям с постоянным г, а

д \г

dr(vr|2

означает производную в этом направлении . Тогда, применяя оператор DoiDt к уравнению (1.17) и подставляя выражение (1 21) в

этот результат, получаем

Dq I\Dg\(tU Q2p

—- I v Р5Р —2 g2 —~ =

Dx \CqDr2/drdrdyx

(1.22)(1.22)n2

(1.22)

(1.22)

о'7 Y-

Dr2

Таким образом, в общем случае параллельного среднего потока с поперечным сдвигом волновое уравнение имеет более высокий порядок (для двух переменных), чем для равномерно движущейся среды. В дальнейшем будет показано, что члены, стоящие в правой части, в некоторых случаях ведут себя подобно источникам звука. Из них первые два могут быть связаны с генерацией звука объемной силой /, а последний член может быть связан со звуком, генерируемым объемным расходом жидкости q.

Решение (1.12) системы (1.7) для стационарного потока может быть обобщено путем включения эффектов поперечных градиентов плотности и энтропии. Легко проверить, что

u0 = it/ (г(у2, у3)), Qo = Qo(r (у2,Уз)), SQ = SQ(,r(y2l у3)), а const (1.23)

является решением системы (1.7). Методом, почти совершенно идентичным использованному при выводе уравнения (1.22), можно показать, что обобщением этого уравнения, учитывающим поперечные градиенты плотности и энтропии, является уравнение

DoОтDoОт1 QoV-—УТ So1 QoV-—УТ So17)q j2 ^ 2 ^P

Do

От

Do

От

1 QoV-—УТ So

1 QoV-—УТ So

Cq Dt2 P) dr drdyx

(1.24)(1.24)dU^fr D2

(1.24)

(1.24)

-2 — g-Qo —q= — Y-drдухDtP

Заметим, однако, что это уравнение фактически не зависит от средней энтропии So (г).

Поскольку ро постоянно, с0 может быть выражено через go (или наоборот), если задано уравнение состояния для сплошной среды. Таким образом, давление и плотность в идеальном газе связаны (через газовую постоянную 5?) с абсолютной температурой в соотношением p = Q^?0, и, если энтропия сохраняется постоянной, они связаны друг с другом соотношением dplp = KdQlQ, где к — отношение удельных теплоемкостей. Из соотношения (1.5) имеем

(1.25)(1.25)к.^=|/к^е0.

(1.25)

(1.25)

Qo

Это соотношение можно использовать для того, чтобы исклю

чить плотность, стоящую в скобках первого члена левой части уравнения (1.24); в результате получим

CoY-CoY-Dq /2 DoP \ or2 dU 2 №р

CoY-

CoY-

—- V-CoVP—2соg —— От \Dri / dr дгдух

РЕШЕНИЯ ВОЛНОВЫХ УРАВНЕНИЙ

В принципе, все акустические явления, происходящие в потоке с поперечным сдвигом, могут анализироваться на основе решения волнового уравнения (1-24). В этом разделе рассмотрим некоторые из решений, необходимых для изучения процессов аэродинамического шумообразования. Для простоты ограничимся рассмотрением случая, когда средние градиенты термодинамических параметров и распределения источников, стоящих в правой части уравнений (1.22) и (1.24), равны нулю.

Во-первых, предположим, что р либо стационарно во времени, либо стремится к нулю при т-> ±оо. Тогда, выполняя преобразование Фурье уравнения (1.22) и используя табл. 1.1 приложения ТАД, получаем

-I po + zM— V2^ + k + 'M— Р ”2 — S —Г-=0’ (L26) V дух/ L \ дух) J dr дгдух

где M.= U/c0— число Маха среднего потока, к0=ю1с0 и Р— Фурье- преобразование р. Этот результат применим и к случаю, когда р периодично во времени, конечно, при условии, что Р интерпретируется как п-й коэффициент Фурье, а о) — как п-я гармоника его основной частоты. В последующем такие величины, как Р, которые могут представлять собой либо коэффициенты Фурье, либо преобразования Фурье, просто будут называться компонентами. Фурье.

Решения уравнения (1.22) (с нулевой правой частью) получаются путем подстановки решения уравнения (1.26) в соответствующие формулы для преобразования Фурье (см. приложение 1.А). Конечно, когда р представляет собой простую гармоническую функцию времени, решения этих двух уравнений связаны соотношением p=Pe-ilsT.

Простые волны в неподвижной среде

Многие из волновых свойств решений уравнения (1.22) проявляются даже в случае неподвижной среды, и в этом случае такие свойства, по-видимому, лучше всего понятны. Если число Маха М среды равно нулю, то уравнение (1.26) сводится к уравнению Гельмгольца

^Г^Р = 0,(1.27)

которое, конечно, может быть также получено путем Фурье-преобразования уравнения (1.20). Для простоты примем, что ю^О. Тогда уравнение (1.27) имеет решение в виде

Р = Ле'к»'У,

где

|kol = ^o = -

Со

и А — константа. Следовательно, если член источника у равен нулю, то уравнение (1.20) имеет решение в виде

^=ЛеФ«-У-^>, [к0] = —,(1.28).

со

называемое плоской волной. Постоянная А называется комплексной амплитудой волны, O0=arg A = arctg (Im A/Re А) называется фазовой постоянной, а

Ф = к0.у —шт + Ф0(1-29)

называется мгновенной фазой или просто фазой.

Если решение определяется этим соотношением, то давление является простой гармонической функцией времени в каждой фикси

Рис. 1.4. Распространение плоской волны за время, равное 1/4 периода:7—положение волны в момент времени 7; 2—положение волны через 1 /4 периодаРис. 1.4. Распространение плоской волны за время, равное 1/4 периода:7—положение волны в момент времени 7; 2—положение волны через 1 /4 периода

Рис. 1.4. Распространение плоской волны за время, равное 1/4 периода:

7—положение волны в момент времени 7; 2—положение волны через 1 /4 периода

Рис. 1.4. Распространение плоской волны за время, равное 1/4 периода:

7—положение волны в момент времени 7; 2—положение волны через 1 /4 периода

Рис. 1.5. Движение фазовых поверхностей для плоской волны: 7—фазовая поверхность; 2—волна

рованной точке у. Круговая частота этого колебания есть со; его частота f равна со/2л, а его период Тр равен 1/f. Вектор к0 называется волновым вектором.

Хотя колебания давления имеют одинаковые частоту и амплитуду |Л| в каждой точке, колебания в разных точках обычно будут не в фазе. Действительно, разность фаз в любых двух точках, скажем, уц и У2, равна k0- (yt—у2) и будет сохраняться постоянной во времени. Это также означает, что фаза постоянна на любой плоскости, перпендикулярной направлению к0. Поскольку тригонометрические функции являются периодическими с периодом 2л, то флуктуации давления в любых двух точках будут в фазе, если составляющая в направлении к0 отрезка, соединяющего эти точки, (ко/^о) • (У1—Уг) равна

2л2лс0 Ср™

" .Т* рсо-

ко“/'

Эта длина, обозначаемая через X, называется длиной волны. Таким образом, в любой момент времени / = /0 давление будет изменяться вдоль направления к0 так, как показано сплошной кривой на рис. 1.4, и будет оставаться постоянным на каждой плоскости, перпендикулярной этому направлению. В более поздний момент времени, через 1/4 периода, волна сместится в положение, по-- казанное пунктирной кривой. Следовательно, колебания давления в каждой точке передаются в соседние точки с определенным фазовым соотношением, которое соответствует распространению их в виде волны неизменной формы. Поверхность постоянной фазы Ф [определяемой соотношением (1.29)], называемая фазовой поверхностью, должна быть перпендикулярна направлению к0 и двигаться вместе с волной, как схематично показано на рис. 1.5. Аналогичные свойства будут иметь место, когда о) меньше нуля, но в этом случае |й0| будет равно минус со/to и волна будет распространяться в направлении минус ко.

Из соотношения (1.29) можно видеть, что общая скорость фазовой поверхности и возмущения равна с0, которая обычно называется скоростью звука . Таким образом, цоказано (по крайней мере, в этом частном случае), что используемое при выводе основного волнового уравнения исходное предположение (о том, что скорость распространения малого возмущения не зависит от амплитуды этого возмущения) действительно выполняется. Оно не выполняется в случае, когда возмущения слишком велики, чтобы они могли -описываться линеаризированными уравнениями. Более того, такие нелинейные свойства могут иметь и слабые возмущения, если они распространяются на достаточно длинные расстояния.

Поскольку уравнение (1.20) линейно, легко видеть, что при у = 0 любая линейная комбинация решений в виде плоских волн [формула (1.28)] также должна быть решением этого уравнения. Следовательно, решение может быть записано в виде р = J J Л (к0) е' ($<о-у-^т) ^orfW)(]. зо)

где ю=соко

и к0 означает единичный вектор ко/|ко|. Если рассматриваемая область занимает все пространство, то это фактически будет самым общим решением этого уравнения. Однако твердые границы, играющие большую роль в большинстве физических задач, осложняют решение, так как неизвестно распределение источников.

Волны в движущейся среде

Свойства волновых решений в общем случае. Решение (1.30) в виде плоских волн удовлетворяет только волновому уравнению для неподвижной среды (1.20) (при у = 0), но не подходит для обычного случая, когда звуковое поле имеет внешние границы. В самом деле, общим решением уравнения (1.22) (при у = 0) будет не суперпозиция плоских волн, а суперпозиция ряда «собственных функций», назовем их Ра, которые определяются соотношением (1.26), а также рассматриваемой областью и которые обычно называют модами (см. разд. 1.С.2 приложения 1.С). Таким образом, решение уравнения (1.22) обычно может быть представлено суммой или интегралом (или, может быть, и тем и другим) ряда простых гармонических решений Р„ (у) е'™', которые, если Р„ выражается в комплексной полярной форме, могут быть записаны в виде д (у) e'i*os(y)—шт1,

где кй=<й[сй и S и Д — действительные числа.'

В качестве аналога мгновенной фазы, введенной в предыдущем разделе при рассмотрении решений в виде плоских волн, можно взять величину Ф = й0[5(у)—сот]. В любой заданный момент времени Ф будет постоянной на любой поверхности, на которой 5(у)=

= const. Эти поверхности постоянной фазы называются волновыми фронтами или волновыми поверхностями, а функция S(y) называется эйконалом. Однако амплитуда волны А (у) не обязательно постоянна на волновых фронтах, как в случае плоских волн. Важнее, однако, то, что А может затухать с расстоянием таким образом, что решения не обязательно соответствуют распространяющимся волнам или распространяющимся возмущениям любого типа.

Теперь волновая поверхность

Ао [S (у) —сот] = Ф —const=C!

будет, вообще говоря, перемещаться во времени. Таким образом, точка у на Ф = С) в момент т переместится в точку у + бу в момент т + бт, при этом

^о [^ (У) - сот] = Z:o [S (у + 8у) - с0 (т+ 8т)] =

=kQ [S (У)+vs • ay - СО (Т4-ат)]+О (|вУР).

Это показывает, что с точностью до первого порядка 6т

у5’-8у=с08т.

Следовательно, в пределе при 6т—>0

=Со.(1.31)

\ аТ /Ф—const

Поскольку VS/|VS| есть единичная нормаль к волновому фронту

Ф = С) (рис. 1.6) и ((/у/'rft)® const есть скорость изменения во времени положения точки, которая движется вместе с этой поверхностью, то

р IvS, \ dT 'ф-с.

есть скорость по нормали к этому волновому фронту. Она называется фазовой скоростью и, поскольку соотношение (1.31) показывает, что она связана с | VS] формулой

Рис. 1.6. Фронты волнРис. 1.6. Фронты волнV =-^->0, то фазовая поверхность будет всегда двигаться в положительном направлении VS.

Рис. 1.6. Фронты волн

Рис. 1.6. Фронты волн

Равномерно движущаяся среда. Предположим теперь, что скорость среды U постоянна, т. е. движение волн описывается уравнением (1.18). Это уравнение весьма напоминает уравнение (1.20) для неподвижной среды. Действительно-, предположим, что анализ производится в исходной системе

координат, которая движется со скоростью U. Тогда среда должна казаться неподвижной, а распространение звука должно описываться волновым уравнением (1.20) для непдовижной среды. В самом деле, легко видеть, что замена переменных

y' = y i(/r, тЛ т(1.33)

преобразует уравнение (1.18) в волновое уравнение для неподвижной среды

IVг" —ут l = V -/-бо —’О-34)

\. Су 9т' /дт'

где V7 означает оператор

7 т] 7 + К 7 .

дуг ду2 дуа

Следовательно, решения волнового уравнения (1.18) для движущейся среды могут быть получены просто путем обратного преобразования решений волнового уравнения (1.34) в неподвижной системе координат. Таким образом, преобразуя решение в виде плоской волны

;р = е^к-у,—& = |k| = — ^>0

волнового уравнения (1.34) (без стоящего в правой части члена источника) обратно в неподвижную систему координат с помощью соотношений (1.33), получим

р—~_ Cz^*y (w'+k’UjT],

где U = C7i. Эта формула представляет собой выражение для плоской волны в неподвижной (или лабораторной) системе координат с частотой

• и = ш' -j-k• U =о)' (1 -фМ cos 6),

где № = Ulcg — число Маха среднего потока и, если Mcos0^ —1, 9 — угол между направлением распространения к[к и направлением среднего потока 1 (рис. 1.7). (При Mcos9< —1 волна будет распространяться в направлении минус к]к относительно неподвижной системы координат. Отметим, что это будет иметь место только тогда, когда М>1, т. е. при сверхзвуковых скоростях потока.)

Фазовая скорость сигнала равна

V р = -™ = 11 д-М cos 6|c0 = jc0-|-Or cos 6|.

Это показывает, что волна распространяется со скоростью, которая равна сумме ее скорости распространения с0 относительно среды и скорости U cos 9 среды в направлении ее распространения (или в обратном направлении, если —U cos9>c0). При дозвуковых скоростях потока частота в неподвижной системе координат увеличива-

Рис. 1.7. Распространение плоской волны в среде с постоянной скоростьюРис. 1.7. Распространение плоской волны в среде с постоянной скоростью(1.37)(1.37)

Рис. 1.7. Распространение плоской волны в среде с постоянной скоростью

Рис. 1.7. Распространение плоской волны в среде с постоянной скоростью

(1.37)

(1.37)

ется, если среда имеет составляющую скорости в направлении движения волны, и уменьшается, если она имеет составляющую в противоположном направлении. Однако эта волна имеет одну и ту же длину k=2n/k в обеих системах координат. Это является просто следствием того, что движущаяся волновая структура должна выглядеть одинаковой как для неподвижного, так и для движущегося наблюдателей.

Распространение волн через область с переменной скоростью. Рассмотрим плоскую волну

^'(к-у-шт), (о^О,

распространяющуюся через область v с однородной дозвуковой скоростью it/oo и падающей на границу, по другую сторону которой скорость iC7(z/2) уменьшается до нуля (рис. 1.8). Результаты предыдущего раздела показывают, что частота и и волновое число k= = | к | этой волны должны быть связаны соотношением

^0= — =cos 9;),(1.35)

Со

где Моо = [Zoo/Cq^ 1 —число Маха среднего потока в области V и

(1.36)(1.36)6z = arccos —

(1.36)

(1.36)

есть угол между направлением распространения и осью ух. Ампли

туда акустического давления Р = pQ‘^

'определяется уравнением (1.26), в котором r = z/2 и ^=1. Анализ этого результата показывает, что решение рассматриваемой задачи должно иметь вид

./D = ez*^-F(z/2).(1.38)

Часть падающей волны пройдет через границу, и как только она 'пройдет достаточно большое расстояние, то снова будет вести себя подобно плоской волне. Следовательно,

-А(у2)~ А+е'*2 5/2 при z/2-»co.(1.39)

Для того чтобы это выражение удовлетворяло волновому уравнению для неподвижной среды, примем

С0

Таким образом, из формул (1.35) и (1.36) следует, что угол 0г, который составляет направление распространения прошедшей волны с направлением среднего потока, определяется соотношениями

„0 АACOS 9/,.

cos6,=——=;= .(1.40)

A+ к (1 + Mro cos 6/) 1+M^cosO;'

Зависимость этого угла от 0г показана на рис. 1.9. Поскольку эта зависимость показывает, что 0г всегда больше угла падения, можно сделать вывод, что падающая волна, проходя через границу, будет отклоняться от границы всякий раз, когда она первоначально имеет составляющую своего движения в направлении среднего потока; прошедшая волна будет всегда поворачиваться к границе, если падающая волна противоположна направлению среднего потока. Это свойство называется рефракцией.

Заметим, что существует наименьший угол 0г, который прошедшая волна может иметь с осью ух. Он получается в том случае, когда падающая волна строго тангенциальна к границе, и называется критическим, углом 0с. Поскольку в этом случае cos 0г- равен единице, то из формулы (1.40) следует, что

6 =arccos!.(1-41)

1 +Мте

Область 0<9г<9с (показанная на рис. 1.10) недоступна для плоских волн, исходящих из области v-, и может рассматриваться как акустическая «зона тени», называемая часто «зоной тишины».

Полученные до сих пор результаты являются чисто кинематическими. Чтобы получить дальнейшую информацию, необходимо возвратиться к дифференциальному уравнению (1.26). Подстановка выражения (1.38) в уравнение (1.26), в котором £=1 и г =уг, показывает, что F определяется уравнением

(1 - М£)2 [-^^ F']' + ^1 ~ М&)2 - V = °-(1 •42)

Угол падения волны 6^ градусУгол падения волны 6^ градусРис. 1.9. Углы прошедшей волны для чисел Маха на бесконечности М,,, равных 0, 0,5 и 1,0Рис. 1.9. Углы прошедшей волны для чисел Маха на бесконечности М,,, равных 0, 0,5 и 1,0Рис. 1.10. Зона тишиныРис. 1.10. Зона тишины

Угол падения волны 6^ градус

Угол падения волны 6^ градус

Рис. 1.9. Углы прошедшей волны для чисел Маха на бесконечности М,,, равных 0, 0,5 и 1,0

Рис. 1.9. Углы прошедшей волны для чисел Маха на бесконечности М,,, равных 0, 0,5 и 1,0

Рис. 1.10. Зона тишины

Рис. 1.10. Зона тишины

в котором индекс (') означает дифференцирование по у^ и в соответствии с выражениями (1.35) и (1.40) fe=fei/fe0= — cosOt. Хотя обычно это уравнение необходимо решать численным методом, все же возможно получить некоторую полезную информацию аналити-

чески, рассмотрев случай, когда расстояние б, на котором происходит изменение средней скорости, значительно меньше длины падающей волны 2л/&. С учетом соотношения (1.35) это означает, что ^8«1-(1-43)

Первый член уравнения (1.42) вблизи границы будет иметь порядок величины ]F|/62, а второй — порядок величины &о2|^|, Поэтому неравенство (1.43) показывает, что в этой области вкладом последнего члена в (1.42) можно пренебречь; следовательно,

Г!F'T=o.

1(1— М*)2 J

Это уравнение может быть непосредственно проинтегрировано, откуда получается, что

———=const=O (1),(1-44)

(1-МА)2VV

а второе интегрирование дает

8/2

F ^-|~, т^ — F^—^-, rj=const (1 — IM^dy^.

— 8/2

Таким образом, из теоремы о среднем значении следует, что изменение величины F при переходе через границу имеет порядок 6 и, следовательно, пренебрежимо мало по сравнению с масштабом

Рис. 1.11. Эквивалентная волнообразная поверхность, разделяющая области средней скоростиРис. 1.11. Эквивалентная волнообразная поверхность, разделяющая области средней скорости

Рис. 1.11. Эквивалентная волнообразная поверхность, разделяющая области средней скорости

Рис. 1.11. Эквивалентная волнообразная поверхность, разделяющая области средней скорости

длины волны. Тогда выражения (1.37) и (1.38) показывают, что р^У\, 6/2, т) =p(z/i, —6/2, т). Или, поскольку давление на внешней стороне границы меняется на масштабе длины волны, можно пренебречь разницей между у2 = ±6/2 и z/2 = 0 и записать

P+=P-t(1-45)

где р+ — предельное значение р ^У\, уг, т) при у2-> +0; р- определяется аналогично. Более того, поскольку выше границы М = 0, а ниже М = Мео, из соотношений (1.37), (1.38) и (1.44) следует, что

дуг дуг

Это уравнение, учитывая функциональную зависимость ротт и Ух, выражаемую соотношениями (1.37) и (1.38), можно записать в виде

.(1.46)

\ дт дух / ду2 дт2 дуг

Уравнения (1.45) и (1.46) представляют собой систему «скачкообразных» условий, которым должно удовлетворять акустическое давление в любой области, где скорость меняется очень быстро на масштабе, равном длине волны. Хотя они были выведены для плоских волн, они применимы к любому акустическому сигналу, падающему на такую область. В сочетании с уже полученными результатами они являются достаточными для определения амплитуды Л+ прошедшей волны (1.39) и, как следствие, полного решения в области v+. Чтобы понять суть этих условий, рассмотрим волнообразную поверхность, разделяющую две области потока, как показано на рис. 1.11. Предположим, что средняя скорость ниже этой поверхности равна Поо, а выше ее равна нулю. Уравнение этой поверхности может быть записано следующим образом:

/(z/i, уг, Т^уг — Цух, т)=0,

так что, согласно цепному правилу ^+^-v/-o, от dt

если у находится на границе. Но поскольку (см. с. 23) dyldtX XV//|Vf| представляет собой скорость поверхности, перпендику-

лярную ей самой, для обеспечения условия непротекания следует положить это выражение равным составляющей скорости жидкости v по нормали к граничной поверхности. Следовательно, два предыдущих уравнения означают, что

(1.47) дт дух

где v теперь представляет собой скорость жидкости либо непосредственно над, либо под граничной поверхностью.

Рассмотрим теперь случай, когда нестационарные колебания малы. Тогда, если v = u+ над границей и v = iZ7oo + u~ под границей, то можно принять, что и+, и, а также вертикальное смещение 1г поверхности представляют собой малые величины. Подставляя эти соотношения в уравнение (1.47) и пренебрегая квадратами малых величин, получаем

дт

непосредственно над границей и

/ д , ,, д \ ..

I ;—I — Иг

\ дтдух]

непосредственно под границей. Поскольку смещение границы должно быть одинаковым по обе стороны, то А может быть исключено из этих двух уравнений, что дает .

Но использование составляющей по у2 первого из уравнений (1.15) с /, dUjd г=0) для исключения и2- приводит к уравнению, которое идентично уравнению (1.46). С другой стороны, ясно, что можно возвратиться к условию (1.45), потребовав просто, чтобы давление было непрерывным при пешеходе через поверхность Уъ = 1г(ух, т). Эти результаты означают, что область изменения скорости, показанная на рис. 1.8, с точки зрения акустики может быть заменена фиктивным скачком скорости или «вихревой дорожкой», которая: 1) не поддерживается поперечной силой и 2) следует местным колебаниям жидкости.

РЕШЕНИЯ ВОЛНОВЫХ УРАВНЕНИЙ

В ВИДЕ СУПЕРПОЗИЦИИ

ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ИСТОЧНИКОВ

В подразд. 1.3.1 было показано, как можно получить решения волнового уравнения для движущейся среды путем суперпозиции нескольких его элементарных волновых решений. В этом разделе покажем, как можно представить общие решения соответствующего неоднородного уравнения путем суперпозиции акустических полей, соответствующих некоторым типам элементарных концентрированных источников. Попутно будут получены некоторые интеграль-

Рис. 1.1'2. Пульсирующая сфераРис. 1.1'2. Пульсирующая сфераные формулы, которые в последующих главах позволят разработать единый подход к проблеме аэродинамического шума. Для достижения этого результата, который является обобщением формул Грина для классического волнового уравнения,, необходимо расширить обычные методы функций Грина за рамки классической акустики. Это расширение

Рис. 1.1'2. Пульсирующая сфера

Рис. 1.1'2. Пульсирующая сфера

потребует некоторого усложнения.

Однако прежде необходимо понять акустику некоторых простых

типов концентрированных источников звука.

Излучение от малой пульсирующей сферы

Рассмотрим малую равномерно пульсирующую сферу радиуса а(т) с центром в точке х в неподвижной среде (рис. 1.12). Предположим, что

а^^ТрС^(1.48а).

где Тр — характерный период пульсации, и что амплитуда 6а(т) колебаний столь мала по сравнению с а(т), что

-^-<1.(1.486)

Тогда возмущения давления, создаваемые этими колебаниями, будут достаточно малы, поэтому они могут быть определены из классического волнового уравнения (1.20) (при у = 0). Решение данной задачи проще всего получить, выражая это уравнение в сферической полярной системе координат с центром в точке источника х. Тогда, вследствие симметрии граничных условий, акустическое поле будет зависеть только от радиальной координаты Р=|у—х| и времени т. При этом уравнение (1.20) принимает вид

JL ^Р —о

R2 dR \. dR / Cq дт2 '

Общее решение этого уравнения может быть записано в виде р=р+^р_,(1.49)

где

R \ co

ir f± представляют собой произвольные функции указанных аргументов. Для интерпретации этого результата заметим, что Rp+ представляет собой константу вдоль каждой линии сот—7? = const в плоскости R—т, показанной на рис. 1.13. Следовательно, оно

Рис. 1.13. Распространение сферических волнРис. 1.13. Распространение сферических волн

Рис. 1.13. Распространение сферических волн

Рис. 1.13. Распространение сферических волн

представляет собой произвольный импульс, распространяющийся от источника в радиальном направлении без изменения своей формы. Скорость распространения опять же равна скорости звука с0. Следовательно, р+ представляет собой распространяющийся от источника импульс давления, амплитуда которого уменьшается как 1//?, а форма остается неизменной. Аналогично р_ представляет собой волну, распространяющуюся к источнику. Поскольку предполагается, что твердые границы, которые бы отражали генерируемый сферой звук, отсутствуют и нет других акустических источников, все волны должны уходить в бесконечность. Поэтому следует положить f—=0. Это выполняется путем наложения граничного условия при R = oo, называемого условием излучения. Эту задачу можно решить альтернативным методом, наложив начальное условие, требующее тождественного равенства звукового поля нулю до некоторого заданного момента времени, когда сфера начинает колебаться. Но это снова приведет к требованию, чтобы f_=0. С другой стороны, можно наложить более общее ограничение, заключающееся в том, что звуковое поле будет ограничено некоторой конечной областью пространства в момент, когда сфера начнет пульсировать. Тогда влияние этого начального условия будет постепенно ослабевать, и (при условии, что сфера продолжает колебаться) акустическое поле снова будет содержать только уходящую волну /+•

Функциональная форма/+ определяется условиями на границе сферы. Таким образом, первое из уравнений (1.15) (при [7=/ = 0) показывает, что давление связано с радиальной скоростью частиц среды ин соотношением

Но на поверхности сферы, где R = a^, uR должно быть равно скорости . этой поверхности, которая, в свою очередь, равна Q (т)/4ла2 (т), где Q— номинальный объемный расход через любую малую сферическую поверхность фиксированного радиуса, которая окружает сферу. Следовательно, подстановка условий (1.49) и (1.50) в уравнение (1.51) (при р_ = 0) дает

во MQ^da\ п\ 1f Lа ),1 df*а

4ла2 \ at duа /а^ \с^ ) с^а он \ср

Тогда неравенство (1.48 6) показывает, что второй из двух членов, стоящих в левой части этого уравнения, пренебрежимо мал по сравнению с первым, и поскольку изменения во времени имеют порядок Т13, то из неравенства (1.48 а) аналогично следует, что второй из двух членов, стоящих в правой части, мал по сравнению с первым. Поскольку неравенство (1.48 а) показывает также, что аргумент функции /+ не будет значительно отличаться от т, то для выполнения этого граничного условия иа поверхности сферы достаточно положить

/+(Т)= е° (1.52) 4л du

Таким образом, акустическое давление на расстоянии R от малой пульсирующей сферы связано с соответствующим объемным расходом Q(t) соотношением

P(R, т)=-^- Aq^-^Y (1.53)

Поскольку радиус сферы а(т) мал, то сфера, в сущности, сконцентрирована в одной точке. Следовательно, ее можно рассматривать как «точечный источник» звука. С другой стороны, слово «источник» также использовалось при рассмотрении неоднородных членов, которые стояли в правых частях акустических волновых уравнений. Чтобы понять связь между двумя значениями этого термина, заметим, что выражение (1.49) [где р+ определяется формулой (1.50)] удовлетворяет акустическому волновому уравнению (1.20) с членом источника у, равным нулю во всех точках, кроме у = х, в которой он становится бесконечным и, следовательно, неопределенным в обычном смысле. Его свойства в этой точке можно интерпретировать с помощью теоремы о дивергенции, которая гласит, что

V At/y = Jn-А</5 (1-54)

для любого вектора А, определенного в произвольном объеме v, ограниченном поверхностью S с внешней нормалью и. Таким образом, если за v взять сферу фиксированного радиуса Ro с центром в точке у = х и если d& означает элемент телесного угла (т. е. dS = = /?о2^Н), то в результате получим

4 \ SR )r=r<4 \ SR )r=r<аг —аг —Roс0 дт2 J 34т: 0Roс0 дт2 J 34т: 0

4 \ SR )r=r<

4 \ SR )r=r<

аг —

аг —

Ro

с0 дт2 J 34т: 0

Ro

с0 дт2 J 34т: 0

гдегде1 д2р± с q дт21 д2р± с q дт2

где

где

1 д2р± с q дт2

1 д2р± с q дт2

Но, поскольку из соотношения (1.50) следует, что

то второй член может быть проинтегрирован по частям и сложен с первым, что дает

I-4л lim Rp = —4л/± (т).

Следовательно, у± = 0 везде, где у=^х, а ее интеграл по любой области, содержащей х, равен 4л/±(т). Однако и дельта-функция Дирака б(х—у) также равна нулю при х^у, а ее интеграл по любой области, содержащей х, равен единице. Следовательно, р+ действительно удовлетворяет неоднородному волновому уравнению

VP± - 4г -^^ = ¥±=-4л/±(т)8(х-у),(1.55)

член источника которого концентрируется в точке х=у. Таким образом, из выражения (1.52) следует, что решение (1.53) действительно удовлетворяет уравнению

v,,-iS=-e"£eiT)s(x-y)'

Сравнивая этот результат с уравнением (1.20), мы обнаруживаем, что пульсирующая сфера оказывает то же самое акустическое действие, что и источник с объемным расходом q, который концентрируется 6 точке у =х таким образом, что суммарный объемный расход Q (т) = j q (у, т) dy остается конечным (рис. 1.14). Это подтверждает возможность использования термина «источник» по отношению к неоднородным членам, стоящим в правых частях акустических уравнений.

Таким образом, решение р+, выражаемое формулой (1.50), соответствует распространяющемуся импульсу, излученному от акустического источника, расположенного в точке х. Поскольку этот импульс проходит расстояние R за время R/c0, то новая временная переменная т—URRo), которая входит в выражение (1.50), должна представлять собой время, в которое сигнал, достигающий точки у, был излучен из точки х; она называется временем запаздывания.

Решение р_ несколько труднее поддается физической интерпретации. Тем не менее оно, по крайней мере для двух специальных видов произвольной функции /-, оказывается даже более полезным, чем р^. Первая из них представляет собой дельта-функцию (1—4л) б (т—/), а вторая — гармоническую функцию (1'4л)е'“т. По причинам, которые станут ясными в дальнейшем, результирующие выражения для р_ называются функциями Грина для свободного пространства *, и, ввиду их важности для дальнейшего рассмотрения, введем для них специальные обозначения G0 и О-(е !ш\ Таким образом,

Рис. 1.14. Процесс ограничения для концентрированного источника. Q (т)—суммарный объемный расход, создаваемый источником и равной площади под кривой

О0 (у, t|x, ^)=—X

174 л/?

Х8(т-/+—(1.56)

\Со )

G°(y|x)= — eitoRic% (1.57)

и уравнение (1.55) показывает, что G° определяется уравнением

^-^^--«(t-Wy-x).^-^^--«(t-Wy-x).(1-58)(1-58)Эти функции по своему виду близки к паре преобразований Фурье. Действительно, легко видеть, что они связаны соотношением

^-^^--«(t-Wy-x).

^-^^--«(t-Wy-x).

(1-58)

(1-58)

(1.59)(1.59)О° = — \ e-^'-^G^dw.

(1.59)

(1.59)

2л J

Более того, поскольку G° обладает симметрией

О°(х, — /1 у, — r)=Go(y, т|х, t),(1.60)

она должна также удовлетворять уравнению (1.58), в котором у заменено на х и t иа т. Но в этих переменных она представляет собой уходящую-волну. Наконец, заметим, что, поскольку R всегда положительно, G0 (и все ее производные) будут тождественно равны нулю при /<т.

Обобщенная формула Грина

Теперь покажем, каким образом можно скомбинировать некоторые обобщения решений для точечного источника, выведенных в предыдущем подразделе для получения общей формулы, которая связывает решение неоднородного волнового уравнения для равномерно движущейся среды

1'

(L61)

с распределением источника у и значениями р на границе. Результатом будет обобщение обычной формулы Грина, используемой в классической акустике.

Итак, пусть и (у, т|х, /) есть решение неоднородного волнового уравнения для равномерно движущейся среды

(L62>

в некоторой пространственной области v(t), которая ограничена (изнутри или снаружи) поверхностью S(r) (которая, вообще говоря, является подвижной). Функция G называется фундаментальным решением волнового уравнения. Далее, потребуем, чтобы G удовлетворяла условию

G=-5^-G=0 при t<"x.(1.63)

Dx

Эта величина является, очевидно, обобщением функции Грина в выражении (1.56) для приходящей волны в свободном пространстве. Если область v(t) представляет собой не все пространство, то имеется много функций, которые удовлетворяют этим условиям. Однако если v есть все пространство, то существует всего лишь одна такая функция, которая в случае неподвижной среды определяется выражением (1.56).

В задачах об аэродинамическом звуке обычно рассматриваются лишь стационарные во времени процессы (приложение 1.А, подразд. 1.А.З). Поэтому ограничимся рассмотрением этого случая. Итак, пусть Т — некоторый очень большой, но конечный интервал времени, Vs и п — скорость и единичная нормаль (внешняя по отношению к v) к поверхности 5(т), окружающей область v(t), и и; = (у4.-?^).й(1.64)

есть скорость этой поверхности по нормали к самой себе в исходной системе координат, движущейся со скоростью XU. Тогда, как показано в приложении 1.В, акустическое давление в произвольной точке х и момент времени t связано с распределением у источников в области v и с распределением давления и его производных на границе v обобщенной формулой Грина тт

f ^Т J у (у, т) G (у, т|х, /) </y+ J dx х

— Тv(t)— Т

X J к(у, Т|х, Г)(А.Д ^\р(у, х)-р(у,X

।, Sp(x, Г, если хв м

xG(y, т/х, /) US(y) = r v_(1.6о)

J[0, если х не в v (/).

Область v(r) в этом соотношении может находиться либо внутри, либо снаружи замкнутой поверхности (или поверхностей) S(t). Однако в последнем случае следует потребовать, чтобы интеграл по этой поверхности был равен нулю, если интегрирование выполняется по большой сфере, граница которой расширяется до бесконечности. Это будет иметь место всякий раз, когда р(у, т) ведет себя подобно уходящей волне на больших расстояниях от источника. При использовании соотношения (1.65) необходимо следить за тем, чтобы направление внешней нормали п к S всегда бралось от области v к области на противоположной стороне S.

Требование, используемое для получения этого соотношения, сохраняется и в том случае, когда поверхность S(t) отсутствует. Следовательно, соотношение (1.65) (без поверхностного интеграла) будет применимо и в том случае, когда область v занимает собой все пространство. Однако, как отмечалось ранее, в этом случае существует только одно возможное решение уравнения (1.62), которое удовлетворяет условию (1.63) и обращается в нуль на бесконечности. Если U=0, то это есть функция G0, определенная формулой (1.56), При этом соотношение (1.65) принимает вид •

т

Р (X, t) = ^ J у (у, т)О°(у, т | х, t)dydx.(1.66)

Эта формула может быть использована для расчета акустического давления, создаваемого любым локализованным распределением источника у, поле излучения которого не подвержено влиянию твердых границ.

С другой стороны, предположим, что ограничивающая поверхность S неподвижна и скорость среды U равна нулю или тангенциальна к этой поверхности (т. е. п-1 = 0). Тогда относительная скорость поверхности по нормали V„' становится скоростью поверхности по нормали

V„=Vrn,(1.67)

и выражение (1.65) сводится к классической формуле Грина тт

. , Г IдР(р(х, t\ если х в v (/)

\dx\yGdy-\-\dx\\G -г- —р— \dS = \ v

J JJ J \ dn dn)(О, если x не в v (/).

-r v-r sv

Конечно, если U = 0, то р и G должны удовлетворять неоднородным волновым уравнениям для неподвижной среды

^-^ ^=“‘^(у’г);(1-69)

v2G-4^.= __8(/_T)8(x-y).(1.70)

Cq ОХ^

Граничные условия: функция Грина

До сих пор для простоты не учитывалось влияние твердых границ, которые на практике накладывают некоторые ограничения (т. е. граничные условия) на допустимые решения волнового уравнения.

Для колебаний с малыми амплитудами, соответствующих акустическому приближению, граничные условия обычно являются линейными, т. е. они представляют собой линейные соотношения между р и его производными (или, может быть, интегралами), которые заданы на границе области, в которой отыскивается решение.

Такие условия могут возникнуть, например, из требования, чтобы при U=0 акустическая скорость по нормали un обращалась в нуль на любой неподвижной поверхности, которая непроницаема для потока; в этом случае из первого уравнения системы (1.15) (при /=0) следует, что -^ = n-v/? = 0 для у на фиксированной поверхности. Это является условием, которому должно удовлетворять на границе решение р волнового уравнения.

Поскольку давление и его производная по нормали не могут быть заданы независимо в поверхностном интеграле соотношения (1.65) и поскольку априори не известно истинное соотношение между ними, этот результат сам по себе не может быть использован для вычисления решений неоднородного волнового уравнения (1.61). Однако если решения уравнения (1.61) удовлетворяют линейным граничным условиям, то, в принципе, эта трудность может быть устранена путем наложения дополнительных ограничений на фундаментальное решение G. Получающаяся при этом функция называется функцией Грина.'

Ограничим наше внимание случаем, когда граничные поверхности неподвижны * и средний поток, если он существует, почти тангенциален этим поверхностям. Тогда уравнение (1.65) сводится к уравнению (1.68). Функция Грина для области v определяется как решение G(y, т|х, Г) неоднородного волнового уравнения для равномерно движущейся среды (1.62), которое удовлетворяет линейным однородным не зависящим от времени граничным условиям на поверхности S, а также причинному условию (1.63). Если область v находится вне S, то дополнительно потребуем, чтобы G стремилась к нулю как у-^при у-^оо. Тогда функция G0, определенная формулой (1.56), является функцией Грина для случая, когда область v представляет собой все пространство и средний поток равен нулю, что соответствует ее названию — функция Грина для свободного пространства.

Если средний поток равен нулю, то функция Грина удовлетворяет соотношению взаимности

О(у, т|х, /)=G(x, — /|у, —т),

которое является обобщением формулы (1.60). Подставляя это соотношение в уравнение (1.70), получаем

VxG(y, т/х, t)-^ 12—Е-^1=-§(^-Т)8(х-у),

где

2 _ di . did2

^x dx^ dx^ dx^

‘Можно рассматривать поверхность, совершающую колебания малой амплитуды, как неподвижную, а ее колебания учесть через -граничные условия, накла дываемые на ее среднее положение.

Таким образом, G(y, т|х, /) также удовлетворяет волновому уравнению в переменных хи/. Но поскольку условие (1.63) показывает, что G обращается в нуль при /<т, то можно теперь рассматривать эту функцию как выражающую давление в точке х в момент времени /, вызываемое импульсивным источником, расположенным в точке у и действующим в момент т. Причинное условие (1.63) при этом указывает, что события будут развиваться во времени. Функция Грина для движущейся среды может интерпретироваться аналогичным образом. '

Предположим, что требуется найти решение неоднородного волнового уравнения (1.61) с одним из линейных граничных условий

для у на S,для у на S,(1.71)(1.71)случай А: — А-ЬкУ^Р—а (у, т) дп

для у на S,

для у на S,

(1.71)

(1.71)

или

случай В; р=а (у, т)

где b может быть любой функцией от у и а — любой функцией от у и т. Предположим также, что можно найти функцию Грина, которая удовлетворяет однородным граничным условиям

случай А;случай А;-^1Ы2^ + й(у)0(у, т|х, /)=0-^1Ы2^ + й(у)0(у, т|х, /)=0для у на S’.для у на S’.

случай А;

случай А;

-^1Ы2^ + й(у)0(у, т|х, /)=0

-^1Ы2^ + й(у)0(у, т|х, /)=0

для у на S’.

для у на S’.

(1.72)(1.72)случай В; G(y, т | х, /) = 0

(1.72)

(1.72)

Тогда подстановка соответствующих пар граничных условий из условий (1.71) и (1.72) в поверхностный интеграл соотношения (1.68) дает для х в области v

случайслучайА:А:X, 0 у(У, T)ti?y4-X, 0 у(У, T)ti?y4-

случай

случай

А:

А:

X, 0 у(У, T)ti?y4-

X, 0 у(У, T)ti?y4-

! (1.73)! (1.73)О(у, т | х, /)л (у, t)^S(y),

! (1.73)

! (1.73)

т

случай В: р (х, /) = J dx J О (у, т [ х, /)у(у, x)dy —

га(у, т) dS(y\

,1On

—Т S

Таким образом, как только будет найдена соответствующая функция Грина, так можно будет вычислить любое решение волнового уравнения (1.61), удовлетворяющее одному из линейных граничных условий (1.71), по распределению объемных источников у и заданным граничным значениям а (у, т), используя формулы (1.73). Если твердые границы отсутствуют, то это может быть сделано с использованием формулы (1.66).

Поскольку функция Грина описывает звуковое поле, создаваемое импульсивным точечным источником, расположенным в точке у и действующим в момент т, то формула (173) показывает, что любое акустическое поле можно представить в виде суперпозиции таких полей, создаваемых распределением у (у, т) объемных источников и распределением а(у, т) граничных источников.

Существуют два довольно общих метода нахождения функций Грина, называемых методом отражений и методом собственных функций. Они описаны в приложении 1.С, в котором общие методы иллюстрируются на некоторых примерах, а их результаты использованы в гл. 3 и 4.

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ИСТОЧНИКОВ В НЕОГРАНИЧЕННЫХ ОБЛАСТЯХ

Интерпретация решения: теорема Кирхгофа

Результаты предыдущего раздела выглядят особенно просто, если средний поток является нулевым и твердые границы отсутствуют. Звуковое поле, создаваемое локализованным распределением источников у, в этом случае определяется формулой (1.66). Подставляя выражение (1.56) функции Грина для свободного пространства в это выражение и выполняя интегрирование по т, получаем

^(х, /) = — ( Y(У- ^R^dy, (1.74) 1 к ; 4л J R }

где, как обычно,

Я = |х-у|.

При этом, конечно, предполагается, что у достаточно быстро стремится к нулю при |у|->оо, чтобы этот интеграл сходился. Сравнение формулы (1.74) с соотношениями (1.50) и (1.55) показывает, что элемент объема dy излучает элементарную волну

(1.75)(1.75)поверхности и т.п.поверхности и т.п.Рнс. 1.15. Излучение из ограниченной области источникаРнс. 1.15. Излучение из ограниченной области источникаУ (у. t-RRa)

(1.75)

(1.75)

поверхности и т.п.

поверхности и т.п.

Рнс. 1.15. Излучение из ограниченной области источника

Рнс. 1.15. Излучение из ограниченной области источника

4л R ’

которая является точно такой же, что и волна, излучаемая акустическим источником с интенсивностью у, и получающееся поле акустического давления является суперпозицией этих волн.

В более общем случае, когда кроме акустических источников имеются твердые границы, которые отражают, поглощают или даже излучают звук, все же можно представить результирующее

поле акустического давления распределением источников этого типа. Итак, рассмотрим такой случай, когда все источники, создающие звуковое поле, и все твердые границы, которые взаимодействуют с этим звуком, находятся в ограниченной области пространства, как показано на рис. 1.15, и пусть S — воображаемая поверхность, внутри которой находятся эти -источники и поверхности. Тогда, если в качестве G взять функцию Грина для свободного пространства С°, то формула (1.68) показывает, что

р (х,\ dt 1G° — — р ^2Л dS,

.) J \ дп дп ) —т s

если точка наблюдения х находится вне S.

Пусть теперь р0 обозначает решение однородного волнового уравнения

в области v0 внутри S, которое имеет те же самые значения на поверхности S, что и внешнее решение р. Это фиктивное давление может быть вычислено математически путем решения описанной ранее задачи о граничных значениях; но, поскольку внутри имеются твердые поверхности и источники, оно не обязательно совпадет с действительным давлением в этой области. Положив в формуле (1.68) G равной G° и подставляя результат в это решение, получаем

( dx\b^-p^\dS=o

J J ( дп дп / -т s

для случая, когда точка наблюдения х находится снаружи S (т. е. вне vo).

Следует иметь в виду, что направления нормали в первой и во второй формулах противоположны и, в результате, производная по нормали д]дп в первом выражении соответствует отрицательной д]дп в последнем. Разность этих двух уравнений показывает, что т

Р (х, /) = |[ °°Y (У, т) dS (у),

—Т s

где

у (у,= — для у на S.

х ! дп дп J

Подставляя в этот результат выражение- (1.56) и выполняя интегрирование по т, получаем

р^х,-^Y (у, t)</S(y).(1.76)

Этот результат, который известен как теорема Кирхгофа, показывает, что, если начальными условиями можно пренебречь, то акустическое давление, создаваемое произвольной системой источников и взаимодействующих поверхностей, может быть представлено соответствующим распределением поверхностных источников типа (1.75). Однако в отличие от предыдущего случая, в котором имелись лишь заданные источники, интенсивность поверхностных источников обычно будет неизвестной и должна быть найдена путем решения соответствующей акустической задачи. Поэтому формула (1.76) важна главным образом с точки зрения ее приложения для определения качественных свойств звуковых полей. Таким образом, поскольку показано, что внешнее поле давления, создаваемое любой системой источников и взаимодействующих поверхностей, может быть задано соответствующим распределением фиктивных поверхностных источников, то это позволяет сделать вывод, что из информации, полученной из акустического поля вне области источника, невозможно определить истинный характер распределения источников, которые действительно генерируют звук.

Мультипольное разложение

Разлагая подынтегральное выражение в формуле (1.74) в ряд Тейлора (по параметру R = x—у) в окрестности точки R = x и рассматривая переменную у в качестве постоянной, получаем

у(у, t-R/сфх

х —d222L„ v(y- '=

L <?/?{^7?3Z4 л/?JR x

^4 дх1фх3дх3j\k\l\4 л a-

Следовательно, формула (1.74) принимает вид

(1.77)

где

называется мгновенным мультипольным моментом, а /, к, 1-п член разложения (1.77) называется мультиполем порядка 2i+k+i. Конечно, чтобы обеспечить сходимость ряда, предполагается, что распределение источников достаточно быстро уменьшается в бесконечно-

сти. Поскольку, как показано в подразд. 1.4.1, каждый член

-7— mjM-7— mjMXСоXСо

-7— mjM

-7— mjM

X

Со

X

Со

является решением однородного волнового уравнения, если х отличен от нуля, и поскольку, что можно легко проверить, производная решения также является решением, то каждый член мультипольно- го разложения (1.77) сам должен быть решением этого уравнения.

Интегрированием по частям легко показать , что

zny.fcZ(/) = 0 при j -Vk-\-l<.N,

если существуют 3^ функций фг,, i„...,i , которые удовлетворяют соотношению

¥(У,V(1.78)

ди. ду, ,..., dqix,

ДаД’ ~ 1

и которые вместе с их первыми N частными производными достаточно быстро стремятся к нулю при у-^-оо. Мультиполь наинизшего порядка, который входит в мультипольное разложение, будет тогда порядка 2^. Таким образом, видим, например, что член источника, обусловленный приложенной объемной силой /, всегда будет иметь вид [см. уравнение (1.20)]

Следовательно, мультиполи наинизшего порядка, имеющиеся в этом мультипольном разложении решения, будут порядка 2.

Мультипольная структура источника, представленная формулой (1.77), становится особенно простой для малых областей источника, которые расположены на больших расстояниях от точки наблюдения. Таким образом, поскольку

—— = 0(х"2) при X —>со

дх; х

и

— /U—дх( \ с0 /— /U—дх( \ с0 /с^х di \с08/с^х di \с08/

— /U—

дх( \ с0 /

— /U—

дх( \ с0 /

с^х di \с08/

с^х di \с08/

для любой функции ^t—х/с0), разложение (1.77) для больших значений х дает

А Vд v

4^х\ с0 dt )

X nt,kl U — —) при x—>oo.(1-79)

Предположим теперь, что распределение источников у заключено в основном в области, размер которой порядка L. Тогда ^Лы = °(<У) L3+k+l"3}, где (у) означает среднее значение у по области источника. Следовательно, /, к, 1-й член в формуле (1.73) будет порядка

La <^Li'~y+^+Z<у) /' у+^+^ £з

х \ТрС0)х \ /. )’_

где Тр — характерный период колебаний источника (так что Х = = с0Тр — характерная длина волны звукового поля).

Этот результат показывает, что лишь мультиполи наинизшего порядка в мультипольном разложении будут вносить вклад в дальнее звуковое поле, генерируемое областью источника, которая очень мала по сравнению с длиной волны. Распределение источника, удовлетворяющее этому условию, называется компактным. Только мультиполи порядка 2^ где N — наибольшее целое число, для которого компактное распределение источника у может быть выражено в форме (1.78), будут вносить вклад в звуковое поле на больших расстояниях. В последующем любая область источника, которая может быть выражена в форме (1.78), называется мульти- польным источником порядка 2^. Тем не менее только в том случае, когда источник компактный, порядок мультиполя имеет какое-либо реальное значение. Величину, выражаемую 3^ функциями^-,,, v которая входит в формулу (1.78), обычно называют интенсивностью источника. Необходимо иметь в виду, что мультипольные моменты более низкого порядка не будут стремиться к нулю или не могут даже существовать, если Ф;,,/^..., iN не будет стремиться к нулю достаточно быстро при у-э-оо.

Ясно, что компактные мультипольные источники ' высокого порядка являются гораздо менее эффективными излучателями звука по сравнению с источниками более низкого порядка. Однако формула (1.77) показывает, что количество энергии, содержащейся в области вблизи источника (часто называемой ближним полем}, будет приблизительно одинаковым для всех источников равной интенсивности, независимо от их порядка. Следовательно, должно существовать некоторого рода «фазовое взаимное уничтожение» на больших расстояниях от источников более высокого порядка, которое препятствует излучению этой энергии в виде звука.

Если N=0 (т. е. если у не может быть выражено в виде производной, которая обращается в нуль на бесконечности или на границе области источника), то источник называется монополем, или простым источником. Если 77=1, то источник называется диполем, а если N=2, — квадруполем. Отметим, что каждый мультипольный источник имеет свою собственную характеристику направленности излучения.

Соотношения (1.50) и (1.55) показывают, что монопольный член ^о,о,о(^—х/с0)/4лх в формуле (1.79) создает такое же звуковое поле, как и точечный источник с интенсивностью т0д0^т} = ) у (у, т)б?у.

Таким образом, компактный монопольный источник действует так, как если бы вся его интенсивность была сконцентрирована в одной точке (которую для удобства будем брать за начало). Этот результат мог бы быть также получен путем пренебрежения изменениями времени запаздывания по области источника в разложении формулы (1.76) для дальнего поля (больших х) (см. разд. 1.6). Если, однако, монопольный момент ) у (у, t)dy обращается в нуль, то такая процедура могла бы привести к сильной переоценке звукового поля и неправильной картине его излучения, если прямо не учитывать обращение в нуль этого члена. Отметим, что тем не менее можно было бы пренебрегать изменениями времени запаздывания в области источника в формуле (1.74) при условии, что Тр^>Цсй, т. е. когда источник является компактным. Однако предыдущие замечания показывают, что прежде, чем пренебрегать изменениями времени запаздывания, важно представить решение в форме, которая позволит выразить его истинную мультипольную структуру.

■ Поскольку, согласно теореме о среднем значении,

з,

У(У~Н^ T)-Y(y, т) = ^-^- + °(№т) пРи I^HO,

где фг-=уд;, то можно всегда рассматривать дипольный источник как составленный из двух монополей равной интенсивности, связанных между собой так, что произведение убг их интенсивностей на расстояние между ними постоянно. Аналогично, всегда можно рассматривать квадрупольный источник составленным из двух диполей, которые имеют равную интенсивность противоположных знаков.

Таким образом, нестационарные объемные силы акустически всегда ведут себя подобно дипольному звуковому источнику. Далее, нестационарные напряжения, которые могут быть представлены двумя равными, но противоположными по направлению объемными силами, должны действовать подобно квадрупольному источнику.

ПОЛЕ ИЗЛУЧЕНИЯ

Поскольку коэффициенты Шд й, ;/х в формуле (1.79) зависят только от ориентации вектора х и не зависят от его длины, и поскольку эта ориентация может быть охарактеризована двумя полярными координатами 6 и <р, показанными на рис. 1.16, легко видеть, что флуктуации давления, происходящие на больших расстояниях от произвольного распределения объемных источников, должны вести себя как

р(х, /)— gU— ,6,•(1.80)

4лх \ Со /

Не так уж удивительно [учитывая сходство между формулами (1.74) и (1.76)], что это свойство проявляется также и на больших расстояниях от любой области, содержащей как источники, так и взаимодействующие твердые поверхности. Если |х| значительно

больше наибольшего размера поверхности S, то

^=Ул2 -2х-у + |у|2= х X

при х-*-оо, если у находится внутри S. Но поскольку х-у/л: зависят только от ориентации вектора х и не зависит от его длины, можно подставить это разложение в формулу (1.76), чтобы показать, пренебрегая членами более высокого порядка по сравнению с х-1, что

Рпс. 1.16. Полярные координаты точки наблюденияРпс. 1.16. Полярные координаты точки наблюденияфлуктуирующее давление на больфлуктуирующее давление на больших расстояниях от любой области, содержащей как источники, так и взаимодействующие поверхности, в самом деле является функцией вида (1.80).

Рпс. 1.16. Полярные координаты точки наблюдения

Рпс. 1.16. Полярные координаты точки наблюдения

флуктуирующее давление на боль

флуктуирующее давление на боль

Поле излучения, или дальнее поле, определяется как такая об

ласть пространства, которая достаточно удалена от источников и взаимодействующих предметов (как по сравнению с длиной волны, так и по сравнению с размером источника), чтобы флуктуации давления могли характеризоваться соотношением (1.80).

В идеале, система источников может иметь поле излучения только в том случае, когда она находится в однородной среде бесконечной протяженности. На практике, особенно в авиационных приложениях, обычно существует область на некотором расстоянии от системы источников, в которой нет существенного излучения от отражающих предметов, расположенных вдали от системы источников, и поэтому в ней сохраняются свойства поля излучения.

ЧхРЧхР4ях дх \4ях дх \— , 9, ср) при хСо /— , 9, ср) при хСо /Пусть ух означает оператор градиента i (д(дх^-Ц^д/дл2)+к(ддхд по переменной х. Тогда, поскольку cp=arctg ^Mj) и 9 = arccos (х3/л), легко видеть, что ух9 и уху стремятся к нулю как х-1 при л- >со Таким образом, из выражения (1.80) следует, что

ЧхР

ЧхР

4ях дх \

4ях дх \

— , 9, ср) при х

Со /

— , 9, ср) при х

Со /

где п = ухх—единичный вектор в направлении х, показанный на рис. 1.16. Подстановка этого результата в уравнение количества движения (1.15) (записанное в переменных х и t вместо унт) с учетом того, что dgldx = —^dgjdx^cQ, дает '

д /1и \ п

ир ~0,

dt \Сссо х /

откуда u(x, /)!—np(x, t).(1.81)

Qoco_

Это соотношение показывает, что скорость и = гшд является чисто радиальной и что ее величина связана с давлением соотношением uR=-^-.(1.82)

Qoco

Следовательно, наибольшее давление в поле излучения будет в тех областях, где колебания среды имеют наибольшую скорость. В действительности давление и скорость в дальнем поле будут всегда в фазе, если звуковое поле имеет гармоническую зависимость от времени.

Отношение давления к скорости в поле излучения, равное Qo, с0, называется характеристическим акустическим импедансом среды. Для воздуха при температуре 0° С и давлении 1 атм он равен 429 Н-с/м3.

ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ

Основные определения

В этом разделе определим плотность акустической энергии Е и соответствующий вектор потока акустической энергии I для некоторых типов потоков, которые описываются линеаризированными уравнениями газодинамики (1.11). По-видимому, наиболее очевидная процедура, которая приходит на ум, когда пытаются ввести подходящие определения для этих величин, заключается в вычитании плотности энергии и вектора потока энергии среднего наложенного потока из соответствующих суммарных величин действительного потока. Однако такой подход имеет некоторые недостатки. При этом, главным образом, будем иметь дело не с самим I, а со средним по времени потоком акустической энергии I (или акустической интенсивностью'). Но если поток энергии, связанный со стационарным наложенным потоком, вычитается из этой величины, то остающиеся члены обычно будут второго порядка . Более того, некоторые из них не будут просто произведениями двух членов Первого порядка и, следовательно, не могут быть получены из решений линейных газодинамических уравнений (1.11). Чтобы получить полезные определения для Е и I, необходимо потребовать, чтобы эти величины полностью определялись решениями системы (1.11).

С другой стороны, если отказаться от этой процедуры, акустическая интенсивность, вообще говоря, не будет истинной мерой потока средней энергии, создаваемого акустическим возмущением. Тем не менее (по причинам, которые будут указаны в дальней

шем), понятие акустической энергии все же остается полезным в потоках, в которых она сохраняется, т. е. в движущихся средах, в которых общий поток акустической энергии через любую поверхность S, окружающую свободную от источников область v, равен скорости изменения энергии во времени в v. Таким образом, можно утверждать, что

—^- Jfrfy=^ Int/S.(1.83)

Vs

Однако, воспользовавшись теоремой о дивергенции (1.54), чтобы избавиться от поверхностного интеграла, и, учитывая, что это соотношение должно сохраняться в любом свободном от источников объеме v, можно сделать вывод, что в любой такой области Е и I также должны удовлетворять закону сохранения (или уравнению энергии)

J£j_v.I=O.(1.84)

дт

Следовательно, любые приемлемые определения акустической энергии и потока акустической энергии должны удовлетворять, по крайней мере, следующим требованиям.

Они должны удовлетворять закону сохранения (1.84) в любой свободной от источников области пространства.

Они должны быть представимы в виде суммы членов, каждый из которых есть произведение максимум двух величин первого порядка на величину, которая зависит только от среднего потока.

Они должны сводиться к соответствующим классическим определениям в случае, когда постоянный поток является нулевым и средние термодинамические параметры постоянны. Эти величины, если они могут быть найдены, будут действительно удовлетворять соотношению (1.83) в произвольной свободной от источников области v. Осреднение этого соотношения по интервалу времени Т2—Тх дает

= С I", n d.S,(1.85)

т2—тх J

где, с учетом условия (2),

^(т)— ^(у, О^У

должно быть суммой членов, каждый из которых включает произведение не более чем двух акустических величин. Если непостоянный поток является периодическим, то эта функция будет периодической во времени. Следовательно, принимая интервал времени в формуле (1.85) равным соответствующему периоду, получаем для любой поверхности S, окружающей свободную от источников область пространства,

[f.SrfS = O.(1.86)

С другой стороны, поскольку 8 (т) остается конечной при т->-со, если акустические параметры являются стационарными случайными функциями времени, можно положить интервал Тг—Тх равным бесконечности, так что левая часть формулы (1.85) снова обратится в нуль и снова будет выполняться условие (1.86).

Акустическая энергия, проходящая через поверхность S (замкнутую или открытую) определяется следующим образом:

S3 = ( Ln dS.

s

Следовательно, полная акустическая энергия, проходящая через произвольную поверхность, которая полностью охватывает акустические источники, будет равна полной акустической энергии, проходящей через любую другую такую поверхность. Тогда, если область источников локализована в пространстве, можно всегда принять, что одна из этих поверхностей находится в поле излучения. Следовательно, полная акустическая энергия, излучаемая источниками, в этом случае может быть получена из измерений, проведенных только в дальнем поле. Эти свойства показывают полезность понятий акустической энергии и акустической интенсивности.

Определение акустической интенсивности для изэнтропийных безвихревых потоков

Покажем теперь, как можно определить величины £ и I. Составляя скалярное произведение первого из уравнений системы (1. 11) с J = и + (е7бо) vo и складывая его с произведением второго уравнения этой системы на Ж = (р'/Qi) + U"vo и, наконец, применяя векторное тождество U-vV-[-V-vU4-U х vX V-|-V х vxU = v(U• V) к первому уравнению (1.7) для упрощения результатов, получаем

v • I = Г— • (д'va> ~ р* VQo) +

dtL Со

+ "—(б —р' —У|+и4уоХ(дз«|'—g'^J-HJ'/H-goS^'^ (1-87)

2@q *(/ТОТ / J

где

£=+,(1.88)

2q0T

+u-vo'keou+e'vo)(1.89)

\ Qo/

и io' = yxu и w0 = vxv0 —векторы возмущенной и постоянной завихренности. При й/ = (оо = 0 поток называют безвихревым. Второй член в правой части уравнения (1.87) для таких потоков явно обращается в нуль. С другой стороны, уравнение (1.4) показывает, что Vgo = Vpo/co2 в любом изэнтропийном потоке, и в результате из уравнения (1.16) следует, что первый член, стоящий в скобках в правой части уравнения (1.87), обращается в нуль для потоков

(1.91)(1.91)этого типа. Следовательно, определения (1.88) и (1.89) удовлетворяют закону сохранения (1.84) в любой свободной от источников области изэнтропийного безвихревого потока. Легко также видеть, что они удовлетворяют условию (2) и что при vo = O они сводятся к !=/ц, (1.90)

(1.91)

(1.91)

2QqCq “Г 2

что есть не что иное, как определения I и Е, которые используются в классической акустике. Таким образом, выражения (1.88) и (1.89) могут являться приемлемыми определениями Е и I для любого изэнтропийного безвихревого потока. Эти соотношения были впервые использованы для таких потоков Черновым [6]. Однако Блохинцев [1] еще раньше показал, что специальный случай определения (1.89) . может привести к соответствующему уравнению средней энергии, если длина акустической волны мала по сравнению с масштабом, на котором происходят изменения скорости.

Чтобы дать интерпретацию первого члена в выражении (1.88), заметим, что в изэнтропийных потоках работа на единицу массы, производимая в окружающей среде акустическим давлением р', равна

р’, ,

\ р'd. — — — С - р dp—=-(-члены третьего порядка.

6 оq2co 2qoco

Следовательно, работа на единицу объема равна

1-члены третьего порядка.

29о^

Первый член р'р72ео = р'2/2доСо2 в выражении для Е поэтому может быть интерпретирован как связанная с акустическим полем потенциальная энергия на единицу объема.

С другой стороны, кинетическая энергия на единицу объема равна половине абсолютного значения квадрата плотности количества движения, деленной на плотность. Тогда, поскольку плотность количества движения в акустической волне равна

Q V — Qo V^goU^-lf У0-(-ЧЛ5НЫ второго порядка,

то кинетическая энергия на единицу объема равна

|Оп U + о' Vol2 ОпИ2 I , I Q'2vo I

д'u.]^--1-члены третьего порядка.

2о22qo

Следовательно, второй член в выражении (1.88) представляет собой часть кинетической энергии в единице объема, переносимую волной.

Соотношения для поля излучения

Вообще говоря, можно предположить, что соотношения (1.90) и (1.91) будут выполняться и в поле излучения. Тогда, поскольку скорость и давление в этой области связаны соотношением (1.81), из выражения (1.90) следует, что поток энергии имеет радиальное направление и и равен

1=п/,

где

Сосо

Соответствующее осреднение по времени дает

7 = -^.(1.92)

Qoco

Таким образом, акустическая интенсивность в поле излучения пропорциональна среднему квадрату звукового давления. В настоящее время микрофоны в большинстве случаев измеряют среднеквадратичное звуковое давление, тогда как считается, что величиной, лучше всего связанной с ощущением громкости, является среднеквадратичное давление в ухе. Но, поскольку формула (1.92) выполняется только при специальных условиях, акустическая интенсивность не всегда служит мерой сигнала, воспринимаемого ухом или микрофоном. Более того, ухо и, как правило, микрофон, которые в принципе представляют собой диафрагму, помещенную в отражающем корпусе (в голове или в корпусе микрофона), не могут воспринимать того давления, которое существовало бы, если бы не было корпуса (если размеры корпуса не являются малыми по сравнению с длиной волны) главным образом из-за увеличения давления, вызываемого отраженным звуком.

Выражения (1.80) и (1.92) означают, что

7=!^U—-, 9, ф

16л2х2д0с0\ с0

Как показано в приложении 1.А, для периодических и для стационарных процессов это среднее значение не зависит от переноса времени, поэтому

7=!g2^, 6, ср).

16k2q0c0x2

Следовательно, средняя интенсивность в поле излучения пропорциональна х-2.

Если звуковое поле является периодическим, т .е.

то выражения (1.92) и (1.А.7) показывают, что

Поэтому величина

7 _ l^l^1 п~ „7 _ l^l^1 п~ „Qo^oQo^o

7 _ l^l^

1 п~ „

7 _ l^l^

1 п~ „

Qo^o

Qo^o

может рассматриваться как средний поток акустической энергии, создаваемой n-й гармоникой звукового поля; он называется спектром интенсивности. Выражение (1.А.6) показывает, что он связан с нормированной автокорреляционной функцией давления Г (т) соотношением

Г (т) = pWpUEt')Г (т) = pWpUEt')QocoQoco(1.93)(1.93)

Г (т) = pWpUEt')

Г (т) = pWpUEt')

Qoco

Qoco

(1.93)

(1.93)

Если звуковое поле стационарно, то соотношения (1.92) и (1.А.22) дают

/= 1 5’11(ш)й?«,

Qoco J

где Зц(со) есть Фурье-преобразование автокорреляционной функции давления р (/) р (/+т). Следовательно, величина Im — Ап (m)/Qoco может интерпретироваться как средний поток акустической энергии на единицу частоты, поэтому он также называется спектром интенсивности. Выражение (1.А.21) показывает, что он связан с нормированной автокорреляционной функцией давления Г(т) соотношением

Г (Т)/?(0/^ + т)Г (Т)/?(0/^ + т)8осо8осо7m е 'Zt0T d®.7m е 'Zt0T d®.(1.94)(1.94)

Г (Т)/?(0/^ + т)

Г (Т)/?(0/^ + т)

8осо

8осо

7m е 'Zt0T d®.

7m е 'Zt0T d®.

(1.94)

(1.94)

Эти соотношения выполняются только в поле излучения и, вообще говоря, для точек вблизи области источника не применимы.

Определения интенсивности и энергии в движущихся невязких нетеплопроводных средах

Если поток неизэнтропийный и вихревой, то невозможно найти выражения для Е и I, которые удовлетворяли бы указанным в подразд. 1.7.1 требованиям и в то же время зависели бы только от физических переменных и, р, р' и т. п. Однако Меринг [4] показал, что эти величины всегда могут быть определены путем введения вспомогательной системы переменных, называемых потенциалами Клеб- ша. Получающиеся выражения для энергии и интенсивности сво-

дятся к приведенным ранее, если поток является безвихревым и из- энтропийным, и в общем случае содержат дополнительные члены, которые учитывают энергию, связанную с круговыми движениями потока и потока энтропии. Однако эти выражения являются довольно сложными и не будут использоваться в дальнейшем. Для наших целей достаточно заметить, что получающиеся выражения для Е зависят от вихревых и энтропийных движений, которые, как будет показано в гл. 5, обычно не считаются частью акустического поля.

ДВИЖУЩИЕСЯ ИСТОЧНИКИ ЗВУКА

Акустическое излучение от любого реального движущегося источника обычно осложняется такими эффектами, как взаимодействие акустического поля с потоком (обычно турбулентным) вокруг тела или даже обратная реакция потока на источник звука. Тем не менее основные свойства этого процесса можно проиллюстрировать на примере рассмотрения акустического излучения от идеального точечного источника, движущегося в неподвижной среде, в которой невозможны подобные реакции потока. Ограничимся рассмотрением случая, когда источник движется равномерно (эффекты ускорения будут рассмотрены в гл. 2).

Решения уравнений

Рассмотрим точечный объемный источник, движущийся со скоростью Vo в бесконечной среде, которая до этого находилась в состоянии покоя . В этом случае плотность объемного источника q (у, т) = ?о(т)б(у—Vot), и волновое уравнение (120) для звукового давления принимает вид

^РТ "^" = — ®0~^" ^°^Т^^У — V°T^'

со т1

Удобно следующим образом ввести потенциал скорости ф:

Тогда

V24-L_ = -Qo^o(T)8(y-Vor).

С2 Щ2

Сравнивая это уравнение с уравнением (1.69) и используя формулы (1.56) и (1.66), получим

Ф(Х, /) = _бо_ С=

4л J J R \ с0 )

4л J |x — Vot| (с0 /

Последний интеграл можно вычислить, воспользовавшись следующим тождеством (которое справедливо для любых функций f и g от т, имеющих простые корни):

(1-97)(1.98)(1-97)(1.98)\ / (т) 8 1g (т)] dx = V ~,

(1-97)

(1.98)

(1-97)

(1.98)

Дdg {*е)

d те где те^ — г-й действительный корень уравнения g(^)=0.

Поскольку

dx. с0 [х — Vqt|

если

lx — Уот]

со

то тождество (1.97) означает, что формула (1.96) может быть переписана в виде

ф(х, /)ф(х, /)бо ^4л 2цбо ^4л 2ц(1.99)(1.99)

ф(х, /)

ф(х, /)

бо ^

4л 2ц

бо ^

4л 2ц

(1.99)

(1.99)

где Те’ — t-е действительное решение уравнения

|х — Уоте|Со|х — Уоте|СоVxe-t = O.Vxe-t = O.(1. 100).(1. 100).

|х — Уоте|

Со

|х — Уоте|

Со

Vxe-t = O.

Vxe-t = O.

(1. 100).

(1. 100).

Мо = -^ соМо = -^ соПоскольку это последнее уравнение является квадратным относительно те, оно может иметь максимум два корня, которые мы обозначим через Те*. Соответственно в решении уравнения (1.99) будут два члена, которые обозначим ф*. Вводя в формулу (1.99) число*. Маха

Мо = -^ со

Мо = -^ со

(I. 101).

(1. 102)(1. 102)и вектор расстояния Не — X VgTe ,

(1. 102)

(1. 102)

чполучим

ч!>± (х,4лч!>± (х,4лео9о(-с?)ео9о(-с?)/?± |1 — Mq cos 6±|/?± |1 — Mq cos 6±|(1. 103)(1. 103)

ч!>± (х,

4л

ч!>± (х,

4л

ео9о(-с?)

ео9о(-с?)

/?± |1 — Mq cos 6±|

/?± |1 — Mq cos 6±|

(1. 103)

(1. 103)

где

■cos 9±■cos 9±м0 . R?Mo R=м0 . R?Mo R=(1. 104)(1. 104)

■cos 9±

■cos 9±

м0 . R?

Mo R=

м0 . R?

Mo R=

(1. 104)

(1. 104)

есть косинус угла между векторами Rr и Мо. Более того, уравнение (1.100), которое определяет те, может быть переписано в виде

Те =tТе =tхеСохеСо(1. 105)(1. 105)

Те =t

Те =t

хе

Со

хе

Со

(1. 105)

(1. 105)

Рис. 1.17. Положение источника и наблюдателяРис. 1.17. Положение источника и наблюдателя

Рис. 1.17. Положение источника и наблюдателя

Рис. 1.17. Положение источника и наблюдателя

Интерпретация решения

Формула (1.102) показывает, что Re есть вектор между точкой ■наблюдения х и положением источника в момент времени те (рис. 1.17). Но формула (1.105) требует, чтобы длина Re этого вектора была в точности равна расстоянию, которое звуковая волна должна пройти за интервал времени t—те, чтобы достичь точки наблюдения х в момент времени t. Следовательно, Re есть расстояние между точкой наблюдения и точкой источника в момент излучения звуковой волны, а те есть время, в которое была излучена звуковая волна, достигшая точки х в момент t, т. е. бремя запаздывания.

Подставляя формулу (1.105) в (1.102) и возводя обе части в квадрат, получаем уравнение

^£^2^.(х„у^)(/_т±) + /<

сосо\^ /

решая которое, получаем

Мо-(х-\М±К[Мо4х-^^

(1. 106)(1. 106)1-М02

(1. 106)

(1. 106)

Если Мо меньше единицы, то корень будет всегда больше другого члена, стоящего в числителе этого выражения, и, чтобы Re было положительным, можно использовать только знак +. Следовательно, может существовать только одна точка излучения акустического импульса, достигающего любой фиксированной точки пространства в любой заданный момент времени.

С другой стороны, Re^ и Rr

Рис. 1.18. Положение точки наблюдения относительно конуса’ Маха:

/—точка наблюдения; 2—положение источника в момент времени /

оба будут положительны, если Мо больше единицы. Но в этом случае корень будет мнимым числом (т. е. решений для Re не будет существовать), если .не выполняется условие

К(М=— 1) |х у0<|

Mq |Мо/Мо-(х — VqOI

Это условие эквивалентно требованию, чтобы угол Маха

Км’-1.1 л

a^arccos —^-=arcsm

был больше угла

,Мо/Мо’(х — Vnt)

8 = a rc cos —-———,

lx —V0^J

показанного на рис. 1.18. Таким образом, решения не будут существовать, если точка наблюдения не лежит внутри конуса, вершина которого находится в источнике, а полуугол раскрытия равен углу Маха. Он называется конусом Маха.

Чтобы понять эти результаты, рассмотрим окружности, показанные на рис. 1.19 и 1.20. Они соответствуют поверхностям, которые- «содержат» звук, излученный источником в некоторые фиксированные моменты времени, скажем / = 0, tx, t2 и т. д. На рис. 1.19 изображен случай, когда скорость источника меньше скорости звука. Он показывает, что только одна из этих поверхностей может проходить через любую заданную точку наблюдения. Таким образом, например, звук на поверхности, проходящей через точку О, был излучен источником в момент t = t2, когда он находился в точке xs = Vj2- ■

Заметим, что эти поверхности сближаются в переднем направлении (и расходятся в обратном направлении) по сравнению с теми,, которые существовали бы, если бы источник был неподвижным. Та-

■Рис. 1.19. Дозвуковое движение источника (во времени 0. Число Маха источника Мо = 2/3:

/—положение источника во время излучения фронта волны; 2—точка наблюдения О; 3— звук, излученный в момент t—tv, 4— звук, излученный в момент /=0

ким образом, в любой заданный интервал времени через наблюдателя, который находится впереди источника, будет проходить больше этих поверхностей, чем через наблюдателя, находящегося позади источника. Поскольку вся энергия, излученная за это время, переносится между первой и последней из этих поверхностей, видно, ■что интенсивность звука (поток энергии в единицу времени), получаемая передним наблюдателем, будет больше интенсивности, получаемой задним наблюдателем.

Совершенно иная ситуация существует в случае, когда источник движется быстрее скорости звука ,(т. е. при сверхзвуковом движении источника). В этом случае источник обгоняет звук, который он излучает, и поверхности, «содержащие» звук, складываются в такую конфигурацию, которая показана на рис. 1.20. Все они теперь касаются конуса Маха, и в любой момент времени будут две такие поверхности, проходящие через любую фиксированную точку наблюдения, которая лежит внутри конуса Маха. Звук, достигающий этих поверхностей, будет излучен источником, когда он находится в двух различных положениях. (На этом рисунке звук был излучен 56

Рис. 1.20. Сверхзвуковое движение источника (во времени ^гРис. 1.20. Сверхзвуковое движение источника (во времени ^г/—положение источника во время излучения фронта волны; 2—конус Маха; 3—угол Маха; а; 4—звук, излученный в момент 1=1^; 5—звук, излученный в момент /—/2; 6—точка наблюдения О; 7—звук, излученный в момент /=^; S—звук, излученный в момент /=0/—положение источника во время излучения фронта волны; 2—конус Маха; 3—угол Маха; а; 4—звук, излученный в момент 1=1^; 5—звук, излученный в момент /—/2; 6—точка наблюдения О; 7—звук, излученный в момент /=^; S—звук, излученный в момент /=0

Рис. 1.20. Сверхзвуковое движение источника (во времени ^г

Рис. 1.20. Сверхзвуковое движение источника (во времени ^г

/—положение источника во время излучения фронта волны; 2—конус Маха; 3—угол Маха; а; 4—звук, излученный в момент 1=1^; 5—звук, излученный в момент /—/2; 6—точка наблюдения О; 7—звук, излученный в момент /=^; S—звук, излученный в момент /=0

/—положение источника во время излучения фронта волны; 2—конус Маха; 3—угол Маха; а; 4—звук, излученный в момент 1=1^; 5—звук, излученный в момент /—/2; 6—точка наблюдения О; 7—звук, излученный в момент /=^; S—звук, излученный в момент /=0

в моменты времени t\ и t^, когда источник был в точках xt — V^ и x7=V0^ соответственно). Наблюдатель, находящийся вне конуса Маха, не будет слышать никакого звука в момент времени L Таким образом, неподвижный наблюдатель не будет слышать никакого звука, пока через него не пройдет конус Маха. После этого он услышит в некоторый момент времени звук, приходящий от двух различных точек. Акустическое поле будет особенно интенсивным в момент прохождения конуса Маха, поскольку вдоль этой поверхности соединяются все сферы.

Выражение для поля давления

Чтобы получить выражение для флуктуаций давления, заметим, что из формул (1.101), (1.102), (1.104) и (1.105) следует соотношение

-/?^(1-M(,cos9=)=(x-V0A-M0~ (1~- М';/?Г,(1. 107)

продифференцировав которое и используя формулу (1.106), можно показать, что

(.1. 108)(.1. 108)(1. 109)(1. 109)—[/?± (1 - Мо cos 8±)] =г

(.1. 108)

(.1. 108)

(1. 109)

(1. 109)

Со di1 — MLo cos g±

следовательно, 1 ^Д^Мо COS е±

с0 411—Мосозв*

——= i Qodt°——= i Qodt°q’^t-Rtic^4лЯ±(1 — Mo cos6±)2q’^t-Rtic^4лЯ±(1 — Mo cos6±)2Теперь, подставляя выражение (1.103) в формулу (1.95), получаем

——= i Qodt°

——= i Qodt°

q’^t-Rtic^

4лЯ±(1 — Mo cos6±)2

q’^t-Rtic^

4лЯ±(1 — Mo cos6±)2

4л/?±" (1 — Mo cos б)3

(1.110)

где

0 V c0 ) \ dt jt^-t-^lco)

При сверхзвуковых скоростях источника давление становится бесконечным для 0±=arccos (1/М0), что, как легко показать*, происходит тогда, когда наблюдатель находится на конусе Маха. С другой стороны, если источник движется с дозвуковой скоростью, на больших расстояниях от источника вторым членом можно пренебречь, и формула будет весьма напоминать решение для неподвижного точечного источника. Основное различие связано с конвективным коэффициентом (1—Mocos9±)-^, который входит в формулу (1.110) и обуславливает повышение давления в переднем направлении и понижение в обратном направлении.

Простой гармонический источник

Если источник имеет простую гармоническую зависимость от времени, т. е. q^—A eriat, то формула (1.110) принимает вид

Р- =Р- =± Qo^o^l± Qo^o^l4п/?± (1 — Мо cos 6±)24п/?± (1 — Мо cos 6±)2. Q— I — со. Q— I — соMp(cos б1 — Мр)^(l-MpCosB1)Mp(cos б1 — Мр)^(l-MpCosB1)e-i»\t-^ ! с^хe-i»\t-^ ! с^х

Р- =

Р- =

± Qo^o^l

± Qo^o^l

4п/?± (1 — Мо cos 6±)2

4п/?± (1 — Мо cos 6±)2

. Q

— I — со

. Q

— I — со

Mp(cos б1 — Мр)

^(l-MpCosB1)

Mp(cos б1 — Мр)

^(l-MpCosB1)

e-i»\t-^ ! с^х

e-i»\t-^ ! с^х

(1-111)

Ясно, что, ввиду временной зависимости 8± и Rf, это выражение не является периодическим. Однако, если наблюдатель находится достаточно далеко как от источника, так и от конуса Маха, эти величины будут ненамного меняться за период наблюдения. Давление в этом случае будет приблизительно периодическим с медленно меняющимися амплитудой и фазой; в этом случае еще имеет смысл говорить о частоте звукового поля.

Чтобы показать это, разложим Rf и Rf ^Rf (1 — Мо cos 8±) в ряд Тейлора в окрестности некоторого фиксированного времени to;

Re VR = Re 4o)H” (<—<ol T-"

dto2 dt^

Rf (0=Rf^t-toH--.

Затем, подставляя соотношение

1 d2R±M2sin2 6±

с2 dR Rt (1-M0cos6±)3

и соотношения (1.108) и (1.109) в эти разложения, получаем

Rt ^

tt- zo)

Со

Co

t—to

\!Mo2sin2 0±Co(<_<o)'

1 — Mg cos 0 J

_2 (l-M0cosO±)2 R±(t0)'

Mq(M0— COS0-),

Ri' ^)=Ri (<o)

4°—— co<t-toH-

Rf Vo) (1 — Mocos0o±)2_

где 6О± = 6±(/О). Но поскольку t—to за один период будет меняться на величину 2л/й, то за этот интервал времени вторые члены в квадратных скобках будут пренебрежимо малы, если

Re (^ »■

2(1 —Мд 0050^)2

Таким образом, если наблюдатель во время излучения находится от источника на расстоянии, равном большому числу длин волн (и не слишком близко к конусу Маха, если скорость источника сверхзвуковая), то формула (1.111) приближенно записывается в виде-

г2д0Л ехрг2д0Л ехрiQtiQt- I е х р < г 2. 1 Mg COS 0± у |- I е х р < г 2. 1 Mg COS 0± у |R^o) ( MgCOS0±+аУ——со у 1 — Мо cos 0*R^o) ( MgCOS0±+аУ——со у 1 — Мо cos 0*

г2д0Л ехр

г2д0Л ехр

iQt

iQt

- I е х р < г 2

. 1 Mg COS 0± у |

- I е х р < г 2

. 1 Mg COS 0± у |

R^o) ( MgCOS0±

+аУ——

со у 1 — Мо cos 0*

R^o) ( MgCOS0±

+аУ——

со у 1 — Мо cos 0*

(1.112)(1.112)4л Я± (<0)(1 — M0cos 0±)2

(1.112)

(1.112)

который показывает, что давление является почти периодическим. Однако частота теперь равна не частоте источника Q, а

2

О) = .

— Mg COS О*

Это хорошо известный доплеровский сдвиг частоты. При изменении 8* от 0 до л частота го меняется от Q/(l—Мо) до Q/(1+Mo). Следовательно, частота увеличивается, если источник в момент излучения движется к наблюдателю, и уменьшается, если он удаляется от наблюдателя.

Если движение источника является дозвуковым, то можно использовать только знак плюс. Следовательно, частота звука будет выше, чем частота источника, если источник приближается к наблюдателю, и будет ниже, если он удаляется.

С другой стороны, если скорость источника сверхзвуковая, то наблюдатель не будет слышать никакого звука, пока источник не

пройдет мимо него, а после этого он будет слышать в любой заданный момент времени звук, приходящий от двух различных точек излучения. В точке, соответствующей знаку плюс в формуле (1.112), .источник во время излучения будет двигаться от наблюдателя, а в точке, соответствующей знаку минус, он будет двигаться к наблюдателю. Интересно отметить, что звуковые волны от этих двух различных точек излучения могут иметь различные фазы и поэтому могут интерферировать друг с другом.

Мультипольные источники

Результаты, полученные в предыдущем подразделе, могут быть распространены на мультипольные источники. Положив

дУцдУи---, ду^

4л 6х дх^,,.,, дх t4л 6х дх^,,.,, дх tR^ | 1 — Мо cos 0±|R^ | 1 — Мо cos 0±|(1.113)(1.113)в уравнении

4л 6х дх^,,.,, дх t

4л 6х дх^,,.,, дх t

R^ | 1 — Мо cos 0±|

R^ | 1 — Мо cos 0±|

(1.113)

(1.113)

Эта формула применима также и к монопольным источникам, если считать, что при N=0 не нужно брать производной. Дифференцирование ведет к увеличению показателя «конвективного коэффициента» (1—Мо cos О*), который стоитв знаменателе. Если значение Мо близко к единице, то эта величина сильно зависит от 0*, и, если она входит в высокой степени в выражение для давления, она может создать сильно направленную структуру излучения в дальнем поле. Следовательно, акустическое излучение от мультипольных источников высокого порядка при больших дозвуковых конвективных скоростях будет концентрироваться в относительно малом секторе впереди источника, или, другими словами, излучение будет «концентрироваться» в направлении движения источника. В дальнем поле давление от квадрупольного источника будет соответствовать квадрупольному члену в формуле (1.79), умноженному на (1 — —MqCOsO*)-3. Следовательно, среднеквадратичный сигнал давления от такого источника будет иметь конвективный коэффициент (1—Мо costi*)”.

ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ

В этой главе изложены два сравнительно недавно полученных результата: обобщенная формула Грина и акустические уравнения для параллельных средних потоков с поперечным сдвигом. Однако

до сих пор они использовались только для того, чтобы вновь получить более или менее классические результаты, которые могли быть получены из обычных формул классической акустики. Тем не менее они являются существенными составными частями многих аэроакустических теорий, развитых в последующих главах, в особенности более новых теорий. Это оправдывает дополнительные сложности, связанные с их введением.

Приложение 1.А

ФУРЬЕ-РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ

. Периодические функции

Всякая достаточно гладкая периодическая функция времени f(0 с периодом Тр может быть представлена рядом Фурье в виде суперпозиции простых гармонических функций

У(0= 2 Cne-inisit,(1.А.1)

где to=2niTp называется основной круговой частотой, f—u>l‘2n — основной частотой, а члены с я^=0 называются гармониками. Каждый коэффициент Фурье определяется фопмулой

С„ = -—/(Ое'^Л.. (LA.2)

Тр о

Абсолютная величина этого .коэффициента |С„| называется амплитудой п-й гармоники, а его аргумент называется фазой. Иногда и сам коэффициент С„ называют (комплексной) амплитудой n-й гармоники. Если функция f(t) является действительной, то коэффициенты Фурье удовлетворяют соотношению

(1.А.З)(1.А.З)С—п — С* при п = 0, 1,2,3...

(1.А.З)

(1.А.З)

Колебания, которые могут быть представлены таким рядом, являются основой всех музыкальных звуков. Колебания духовых и струнных музыкальных инструментов могут быть представлены таким образом, и «качество звучания» их звуков определяется относительными величинами амплитуд различных гармоник, которые представлены в звуке. Следовательно, представление периодической функции в виде ряда Фурье не только является способом представления сложных функций через более простые функции, но и в определенной степени соответствует тому, как мы слышим и различаем звуки.

Периодическая функция взаимной корреляции

/1(0/2(^ + т)-— ...1 Р/1(0/2(^ + т)-— ...1 Р^ /1(0/2(^ + т)ЛО^ /1(0/2(^ + т)ЛО(1.А.4)(1.А.4)

/1(0/2(^ + т)-— ...

1 Р

/1(0/2(^ + т)-— ...

1 Р

^ /1(0/2(^ + т)Л

О

^ /1(0/2(^ + т)Л

О

(1.А.4)

(1.А.4)

двух периодических функций

/1(0= 2

М) = 2 Bne-™mi

удовлетворяет соотношению

/1(0/2(< + т)= 2 А^Впе—‘ш11х,

(LA.5)'.

которое показывает, что А„*Вп есть Фурье-коэффициент функции взаимной корреляции. Следовательно, автокорреляционная функция удовлетворяет, в частности, соотношению '

/1(0/1(<+т)= 2 « = — 00

(1.А.6)

а величина квадрата | ft (0 |2 функции f t (f) удовлетворяет соотношению

i/i(Oi2= 2 i^'2-

Взаимная корреляция не зависит от сдвига времени, т. е.

/* И + ^о) /2 (< + tti + т) = /* (О /2 V + т)

(1.А.7)

(1.А.8)

для любого /о.

1.А.2. Апериодические функции, которые обращаются в нуль на бесконечности

Периодический звук повторяется непрерывно в течение всего времени. С другой стороны, можно показать, что любая достаточно гладкая функция f(t), которая достаточно быстро обращается в нуль при /=±оо, может быть представлена интегралом Фурье

/(0 = J Р(ы)е~!ш‘ do,

(LA.9)

в котором Фурье-преобразование Д(со) функции /(О определяется формулой

(1.А.10)

Этот результат показывает, что любая функция, которая достаточно быстро обращается в нуль на бесконечности, может быть представлена в виде суперпози- зии гармонических функций всевозможных частот <о/2л.

Величина |A(w)|2 называется спектральной плотностью функции f(t) на частоте со/2л. Для малых Асо электронный фильтр, который обрезает все частоты, кроме заключенных между со/2л и (св + Асо)/2 л, мог бы дать измеряемую мощность, пропорциональную произведению |А(со)|2 на ширину полосы Асо/2л, пропускаемую фильтром.

Достаточным условием существования интеграла Фурье для функции /(/) является условие интегрируемости квадрата этой функции, которое записывается в виде

J |/(012^ <“■ (LA.11)

Функция взаимной корреляции

7* (0 /2 V + т) = ]' /* (О /2 V + т) dt

(LA.12)

любых двух функций с интегрируемыми квадратами

Щ^- J F^e^1 d^,

№ = J Л2(Ш)е-''ш^Ш

(1.А.13)(1.А.13)существует и удовлетворяет соотношению

(1.А.13)

(1.А.13)

/1(0 /2С + Т) = 2 л J F\ (со) F^ (со) е'*1™" dw,

которое показывает, что взаимный спектр мощности F\* (to)F2(to) является Фурье-преобразованием функции взаимной -корреляции. Следовательно," спектр мощности 1/4(0)!2 представляет собой преобразование Фурье автокорреляционной функции fi*(р/1(/+т). В табл. 1.1 представлены некоторые свойства преобразования Фурье, которые полезно з-нать.

Функция, / (/)

Преобразование Фурье, F (о>)

dt4

(—/to)" F (со)

/ t \

/ — + »

\ а/

|а| e~iabm F (а»)

6 (г) (дельта-функция Дирака)

1

2л

J /(ОбЩ — t) dt

F (со) Q (со)

Некоторые свойства преобразования Фурье

Таблица 1.1

Полезно также рассмотреть преобразования Фурье относительно пространственных переменных. Однако в этом случае предыдущие результаты нужно распространить на трехмерный случай. Таким образом, можно обобщить формулу П.А.9) и показать, что функция f(y) может быть представлена интегралом Фурье

/(y)HA(k)eZk'yrfk,(1.А.14)

где теперь интегрирование проводится по трехмерному пространству (64, й2, ^з) и Фурье-преобразование А (к) функции /(у) определяется формулой F^^^^W^^dy.(1-А.15)

Отметим, что здесь знак показателя в подынтегральном выражении противоположен тому, который стоит в формуле Ф урье-преобразования по времени.

.А.З. Апериодические стационарные функции

Часто приходится иметь дело с функциями, которые не являются периодическими и к ним нельзя применить преобразование Фурье. Эти функции, называемые стационарными функциями, вместо того, чтобы удовлетворять условию

(1.А.11) (которое обеспечивало бы существование преобразования Фурье), удовлетворяют лишь требованию конечности средней величины *

т

|7W=lim f \fWdt.(1.А.16)

Т—*-оо Z1 ^

Для таких функций Фурье-преобразование limFfm, 7), где

F^,T) = -^— \йШ‘dt,(1.А.17)

—т вообще говоря, может и не существовать. Однако для любых двух таких функций f4(/) и /2(0 функция взаимной спектральной плотности мощности

. F*(co, 7)F2 (со, 7)

S]2(<•>)= lint л,(1.А.18)

Т^-о=Т

где т

Fj(to,T) = —— \/}(f)e‘m,dt для /=1,2, 2л J

существует и оказывается равной Фурье-лгреобразованию функции взаимной корреляции Т

/1(0/2^+ т)= Пт "7" ^ /1(0/2^+ т)<М.(1.А.19)

” —т

Следовательно,

/1 W /г « + т) = J S12 (со) е-;шт d-».(1. А 20)

Эта автокорреляционная функция Л*(ОА(^+г) удовлетворяет соотношению

AVWx^t-VT^ J Sut^e-'^cZo,,(1.А.21)

а средняя величина |fi(0l2 удовлетворяет соотношению"

177W = J З^^Зйш,(1.А.22)

где 5ц(со) называется функцией спектральной плотности мощности. Соотношения (1.А.18) и (1.А.20) интересно сравнить с соотношением (1.А, 13).

Соотношение (1.А.19) показывает, что/ j (t + ^о) /2 U + t0 + т) =

= /i(0/2(^+ т). Следовательно, взаимная корреляция стационарных функций не зависит от сдвига времени.

Поскольку интеграл (1.А.17) существует при конечном 7, можно использовать теорию преобразований Фурье применительно к стационарным функциям, вводя «разграничительную» функцию■

(О I Л > 7

^2d/(0b4<7-

* Согласно определению периодические функции всегда стационарны.

Тогда F(t, Т) и f(t, Т) будут парой Фурье-преобразований и могут рассматриваться с использованием теории преобразований Фурье. В конце этого анализа функция спектральной плотности мощности может быть рассчитана путем перехода к пределу при Т->оо, указанному в формуле (1 .А. 18).

Этот прием, заключающийся в анализе f(0 за интервал 2Т, связан с действительным процессом измерения. Таким образом, временной интервал, требуемый для фильтрации с целью выделения составляющих в полосе До/2л, тем длиннее, чем уже ширина полосы. Хотя единственным путем, который позволяет получить полное представление о спектральной плотности, является осреднение по бесконечному 'интервалу времени, он является практически неосуществимым.

Стационарными функциями, встречающимися на практике, обычно являются случайные величины. Из-за сложности этих функций происходит потеря информации, поскольку рассматривают только автокорреляционные функции и спектры мощности, которые обычно малоинтересны.

Эти идеи могут быть распространены на стационарные функции трехмерной пространственной переменной у. Функция взаимной корреляции двух функций fi(y) и /г (у) определяется соотношением

<Ху(У) ХгЧУ + Ч)> = Ит Щ /1(У)/г(У + ^d^»

-LV->ооJJ

ди

где ДУ->оо означает, что элемент объема возрастает, заполняя все пространство. Она связана с взаимной спектральной плотностью мощности

(к, ДУ) Рг(к, ДУ)

S12(k)= Пт (2л)з,(1.А.23)

ДУ^ооДУ

где

А;(к, ДУ)^^/Ду^'^у для J = l,2,(1.А.24)

ДИ

интегралом Фурье

</1(У)/2(У +Ч)> = HJS12(k)e;k'”rfk.(1.А.25)

Здесь свертка в преобразовании Фурье снова имеет обратный знак.

Приложение 1.В

ВЫВОД ОБОБЩЕННОЙ ФОРМУЛЫ ГРИНА

Пусть v(t) означает произвольную область пространства, ограниченную (изнутри или снаружи) поверхностью S(t) (которая, вообще говоря, движется), и пусть А — произвольный вектор, определенный в v(t). Тогда, согласно теореме о дивергенции, имеем

(l.B.l)(l.B.l)J A-nrfS(y) = f y-Arfy, 5(т)Дт)

(l.B.l)

(l.B.l)

при условии, что эти интегралы существуют. Если Vs(y, т) обозначает скорость в любой точке у поверхности S(t), то правило Лейбница для случая трехмерного пространства показывает, что

d гГ ~

(1.B.2)(1.B.2)6$6$—" Vrrfy = \ — rfy + \ V,.n TrfS(y) dr JJ дт J

(1.B.2)

(1.B.2)

6$

6$

'(t)v(t)S(t)

31525

(1.В.З)(1.В.З)для любой функции Ф (у, т), определенной в v(t). Наконец, прямым следствием теоремы о дивергенции является то, что теорема Грина

(1.В.З)

(1.В.З)

S(T)^>

выполняется для любых двух функций Фиф, определенных в V. В этом соотношении используется д^У/ап вместо nW.

интервалинтервалчто даетчто даетПрименим эти результаты для вывода интегральной формулы, которая может быть использована для того, чтобы связать любое решение р волнового уравнения (1.61) с соответствующим фундаментальным решением и уравнения (1.62). Для этой цели применим теорему Грина к р и G и проинтегрируем результат по т в пределах от —Т до +7 (где 7 — некоторый большой времени),

интервал

интервал

что дает

что дает

GG-т s^-т s^др дпдр дпdG \r Cp—;—I dSdx = \ \ (Gy2p — py2 Q) ^ у ^x = on jJ JdG \r Cp—;—I dSdx = \ \ (Gy2p — py2 Q) ^ у ^x = on jJ JTTD^ Do \ хр~рЪ^аПДт-D^ Do \ хр~рЪ^аПДт-тт

G

G

-т s^

-т s^

др дп

др дп

dG \r C

p—;—I dSdx = \ \ (Gy2p — py2 Q) ^ у ^x = on jJ J

dG \r C

p—;—I dSdx = \ \ (Gy2p — py2 Q) ^ у ^x = on jJ J

T

T

D^ Do \ хр~рЪ^аПДт-

D^ Do \ хр~рЪ^аПДт-

т

т

(1.В.4)(1.В.4)0-Б^р-рЪУ°0-Б^р-рЪУ°_L (G ^дт \ От_L (G ^дт \ ОтD°°\ dD°pp + U — G ——St /дух \StD°°\ dD°pp + U — G ——St /дух \StDqG\DqG\то, применяя правило Лейбница к второму, получаемто, применяя правило Лейбница к второму, получаемпервому члену и теорему о дивергенции копервому члену и теорему о дивергенции коD^D^DlQDlQDx2 Р Р ГХ2Dx2 Р Р ГХ2ddy =J dxddy =J dxDqP DqG \— Р I д у +Dx р Dx ) 3DqP DqG \— Р I д у +Dx р Dx ) 3

(1.В.4)

(1.В.4)

0-Б^р-рЪУ°

0-Б^р-рЪУ°

_L (G ^дт \ От

_L (G ^дт \ От

D°°\ dD°p

p + U — G ——

St /дух \St

D°°\ dD°p

p + U — G ——

St /дух \St

DqG\

DqG\

то, применяя правило Лейбница к второму, получаем

то, применяя правило Лейбница к второму, получаем

первому члену и теорему о дивергенции ко

первому члену и теорему о дивергенции ко

D^

D^

DlQ

DlQ

Dx2 Р Р ГХ2

Dx2 Р Р ГХ2

d

dy =

J dx

d

dy =

J dx

DqP DqG \

— Р I д у +

Dx р Dx ) 3

DqP DqG \

— Р I д у +

Dx р Dx ) 3

— Ь(/—т)Ь(У— х) р] d у dx. Но поскольку

гDqP DqG

»(r)

Следовательно,

тт>2>2ПгО \p-p”5^)d^dT==ПгО \p-p”5^)d^dT==Dop DqG \Dop DqG \к-Гк-ГттРоР DxРоР DxD0G \ р "W-p5(y)^,D0G \ р "W-p5(y)^,(1.В.5)(1.В.5)-TS^где Vn определяется соотношением (1.64).Проинтегрированный член-TS^где Vn определяется соотношением (1.64).Проинтегрированный член

т

т

>2

>2

ПгО \p-p”5^)d^dT==

ПгО \p-p”5^)d^dT==

Dop DqG \

Dop DqG \

к-Г

к-Г

т

т

РоР Dx

РоР Dx

D0G \ р "W-p5(y)^,

D0G \ р "W-p5(y)^,

(1.В.5)

(1.В.5)

-TS^

где Vn определяется соотношением (1.64).

Проинтегрированный член

-TS^

где Vn определяется соотношением (1.64).

Проинтегрированный член

(1.В.6)(1.В.6)S0G\ p — d У H Dx ) 5

(1.В.6)

(1.В.6)

l(«)

обращается в нуль на верхней границе (т=7) вследствие причинного условия (1.63), а на нижней границе (т= —7) он выражает влияние начальных условий в отдаленном прошлом (см. работу [2], с. 837). Но поскольку анализ ограничен

рассмотрением стационарных во времени звуковых полей, то такие эффекты также будут вносить малый -вклад и можно целиком пренебречь членом (1 В 6) .

Тогда формула (1.В.5) принимает вид

Пт2Пт23£Р Dt23£Р Dt2d У t/T =d У t/T =С С , / Dqp DqG\С С , / Dqp DqG\

Пт2

Пт2

3£

Р Dt2

3£

Р Dt2

d У t/T =

d У t/T =

С С , / Dqp DqG\

С С , / Dqp DqG\

и справедливость формулы (1.65) можно доказать путем подстановки этого результата в формулу (1.В.4) и интегрирования дельта-функций.

Приложение LC

РАСЧЕТ ФУНКЦИЙ ГРИНА

1.С.1. Метод отражений

Поскольку функция Грина G(y, т[х, /) имеет особенность только тогда, когда у=х и т=£, то она должна иметь вид

О (у, т j х, <)"= G0(y, т| х, ^) + Л(у, т| х, t), где G0— функция Грина для свободного пространства (формула (1.56) и h— решение однородного волнового уравнения, которое удовлетворяет условию (1.63) и не имеет особенностей в области V, в которой определена G. Детали этого метода лучше всего проиллюстрировать, рассмотрев конкретный пример.

Итак, предположим, что средний поток отсутствует, и пусть V есть область Уг^О (показанная на рис. 1.21). Будем искать функцию Грииа, нормальная производная которой на границе уг=О обращается в нуль. Поскольку

/R \

Go (у, -с | х, t) = —— 6 г — t + —

4л/< \Cq /

Рис. 1.21. Система координат для функции Грина в полупространствеРис. 1.21. Система координат для функции Грина в полупространстве

Рис. 1.21. Система координат для функции Грина в полупространстве

Рис. 1.21. Система координат для функции Грина в полупространстве

есть решение однородного волнового уравнения для уэ^х и это уравнение инвариантно по отношению к преобразованию у2 ->- —уг, то функция ho = (l/4n/?')6(r — Z-f- R/c0), где R' = [х— у'| иу' = i ух — j у2 + к у3, также должна быть решением этого уравнения. Тогда, поскольку у' не находится в V, то' Иц не имеет особенностей в этой области и, следовательно, удовлетворяет условию, наложенному на к. Следовательно,

О (у, т | х, <) = — 6 | т — < + — I + * ’4л/? \ с0 )4л/?О (у, т | х, <) = — 6 | т — < + — I + * ’4л/? \ с0 )4л/?6 I т — t -4~6 I т — t -4~R’СоR’Со(1.С.1)(1.С.1)

О (у, т | х, <) = — 6 | т — < + — I + * ’4л/? \ с0 )4л/?

О (у, т | х, <) = — 6 | т — < + — I + * ’4л/? \ с0 )4л/?

6 I т — t -4~

6 I т — t -4~

R’

Со

R’

Со

(1.С.1)

(1.С.1)

удовлетворяет волновому уравнению (1.70) в области V. Более того, теперь просто проверить, что она удовлетворяет также и граничному условию

да

= 0 при «2 = 0, dyi

т. е. является искомой функцией Грина.

1.С.2. Метод собственных функций

Обратимся теперь к методу собственных функций. Поскольку формула (1.62) показывает, что G зависит только от разности т—t, то, производя Фурье-преобразование по т этого соотношения с учетом граничных условий (1.72) и вводя функцию Gm(y|x), которая связана с Фурье-преобразованием ^ш(у|х, /)

функции G соотношением

би(у1х)=2пе;'“^:,

получаем (после выполнения комплексного сопряжения)

/д2до\

/V2-M2-—2/М^о—— +^\G (у |х)= — 6(х —у)

\дуХ°У1/

(1.С.2)

(1.С.З)

да

случай Л: 2- + ЬО = 0,„

дп™для у на 5.

случай В: 0^=0

(1.С.4)

Здесь, как и раньше, k0=tolc0 и М= U!c6 — число Маха среднего потока Тогда из соотношения (1.С.2) следует, что зависящая от времени функция Грина G может быть определена из решения G^ следующим образом:

(1.С.5)(1.С.5)G =—-— Г е 1ю(< О (у|х)</ш.

(1.С.5)

(1.С.5)

2л Jш

(Этот результат является обобщением формулы (1.59).)

Зачастую оказывается возможным решить задачу, описываемую системами (1.С.З) и (1.С.4), путем разложения ее решений в ряд по соответствующей системе «собственных функций». Однако следует быть осторожным с. интегралом в формуле (LC.5), поскольку Ощ обычно может иметь особенности на оси со; в этом случае необходимо изменить контур интегрирования, используя причинное условие (1.63).

Эти идеи опять же лучше всего проиллюстрировать, рассмотрев конкретный пример. Итак, предположим, что область v представляет собой внутреннюю часть бесконечного прямого канала с жесткими стенками (показанную на рис. 1.22),

Рис. 1.22. Геометрия канала, используемая при нахождении функции Грина

площадь поперечного сечения которого равна А, ось совпадает с направлением У1. Чтобы построить функцию Грина Gm, которая удовлетворяет граничному условию

™ = 0 для у на 3,(1.С.6)

on

удобно сначала рассмотреть функции Т, которые удовлетворяют двухмерному уравнению Гельмгольца

/5252 \

/+—— iv + ^ir^o(1.С.7)

\ ду^dyl I

в сечении А, а также граничному условию

<ГГ

—— = 0 на границе D сечения А.(1.С.8)

on

Можно показать , что такие решения существуют только для дискретного множества действительных значений постоянной й, например, й„ при п—О, 1, 2 называемых собственными значениями. Соответствующие им решения Y, называются собственными функциями; они удовлетворяют условию ортогональности

{

0, если m =£ п

(1.С.9)

Гп, если ш = п, где

Г„= \\^n\2dy2dy3.(1.С.10)

А

Попытаемся разложить решение уравнения (1.77) по этим функциям:

Уз)- п

В этом случае граничное условие (1.С.6) на поверхности цилиндра автоматически выполняется. Подставляя это разложение в уравнение (1.С.З), умножая результат на Ym* и интегрируя по площади поперечного сечения А с использованием соотношений (1.С.7), (1.С.9) и (1.С.Ю), можно теперь показать, что коэффициенты этого разложения fm удовлетворяют уравнению

_ 2, М 60 — +-

,Дтш

CqJS кпCqJS кпАешАеш

CqJS кп

CqJS кп

Аеш

Аеш

Рис. 1.23. Контур интегрирования для обращения функции Грина: /—путь интегрирования; 2—область, вырезаемая для квадратного корня

где

р = / 1 _ М2.

Следовательно (см. приложение 6 В),

/^l*2, ^^ . ji [ММ</1~ ^1)+£т1-Г1 —У1|П

2ЙЛ ехр1?2V

где

тт— у ^о Р— у ^о Р2Л2Л22(1.С.11)(1.С.11)

т

т

— у ^о Р

— у ^о Р

2Л

2Л

2

2

(1.С.11)

(1.С.11)

Для того чтобы коэффициент f™ оставался ограниченным при больших значениях |х,—z/i|, следует выбрать ту ветвь квадратного корня (1.С.11), которая имеет положительную мнимую часть, если ^д<Р2А^. Тогда

G (у х)=— у,ехр^к

^2 ^ *ЛЧ?2/

”(1.С.12)

Наконец, подставляя это выражение в формулу обращения (1.С.5), получаем

Z VI 1F«(K2, №)'F*(x2, х3)-

«(у.^.О-^iCX п

Г ГМkn11

” exp / Мт—0 + -(У1 ---*1) + ~ [У1 — Xil В X V L1?Р J dto. (1. С. 13)

.)кп

Контур интегрирования в комплексной плоскости со, который обеспечивает выполнение условия (1.63), показан на рис. 1.23.

Имеется ряд важных случаев *, в которых удобно выражать индекс п через двойное бесконечное множество индексов, например, т и п. В этом случае собственные значения обозначаются через кт, п, собственные’ функции — через Vr!j п и формула (1..С.13) принимает вид

О (у, т| х, 0 =О (у, т| х, 0 =

О (у, т| х, 0 =

О (у, т| х, 0 =

f . Г z к . Mi» ,, , kfl m"I)

(1.СЛ4)(1.СЛ4)~ exp I «(r-OH— (У1 — x,) + ———1У1 —^11} X \ " </to.

(1.СЛ4)

(1.СЛ4)

Предположим, например, что область v находится внутри круглого канала радиуса г 4. Тогда, используя в уравнении (1.С.7) полярные координаты

г' = V & + Уз, у = arctg-—-, легко показать, что собственные функции Т„ „ представляют собой

^т,„ = 7т(йт,„г')е-;^,(1.С.15)

где /т — функция Бесселя порядка т, а йт, п — n-й корень системы уравнений

т =о,(1.С.1.6)

ах V Rm.Mrd

^m,n~n(rti 2 А ^т (^ги, nrrf)(1.С.17)

\/

и т = 0, ±1, ± 2,...; л = 1, 2

Список литературы

Блохинцев Д. И. Акустика неоднородной движущейся среды. М.—Л.: Гос- техиздат, 1946.•

Morse Р. М., Feshbach Н. Methods of Theoretical Physics, Part 1, McGraw- Hill N. Y. 1953 (см- перевод: Ф. M. Морс., Г. Фешбах. Методы теоретической физики, т. I, ИЛ,’1958)."

Doak Р. Е. Ап introduction to Sound Radiation and Its Sources. In Noise and Acoustic Fatique in Aeronautics, E. J. Richards and D. J. Mead (eds). John Wiley & Sons, N. Y., 1968.

Mohring W. Energy Flux in Duct Flow, J. Sound Vibr., 18, 1, 101—109, Sept. 1971.

Keenan J. H. Thermodynamics. John Willey & Sons, N. Y., 1941.

Чернов Л. А. Поток и плотность акустической энергии в движущейся среде. — ЖТФ, т. 16, 1946, № 6, с. 733—736.

ГЛАВА 2

АЭРОДИНАМИЧЕСКИЙ ЗВУК

ВВЕДЕНИЕ

В нестационарном потоке возникают пульсации давления, которые стремятся уравновесить имеющиеся в потоке пульсации количества движения. Как было показано в разд. 1.2, такие пульсации будут распространяться от источника и, достигая наблюдателя, будут восприниматься им как звук.

При достаточно малых числах Маха сжимаемость среды не оказывает существенного влияния на изменение давления в окрестности более или менее локализированного потока, и в этом случае при известном поле скоростей давление можно определить на основании уравнения Пуассона

V2P=Y,

в котором член источника у — известная функция мгновенной скорости. Более того, из закона Био—Савара следует, что и поле скоростей можно рассматривать так, как будто оно создается известным полем завихренности. Однако из теоремы Кельвина о сохранении циркуляции следует, что в невязкой среде завихренность просто конвектируется потоком и, как следствие этого, любая первоначально локализированная область завихренности будет оставаться такой же по прошествии некоторого времени. Таким образом, многие потоки можно рассматривать как относительно сконцентрированные области завихренности, которая генерирует пульсации давления не только в непосредственной близости от себя, но и на больших расстояниях.

Хотя исследованию локализированных пульсаций давления (иногда называемых псевдозвуком) уделялось достаточно большое внимание, теория аэродинамического звука в основном относится к пульсациям, наблюдаемым вдали от источника, где амплитуда пульсаций мала и эффекты, связанные со сжимаемостью среды и конечной скоростью распространения возмущения, приобретают существенное значение. Таким образом, в этой области, которую мы будем называть акустическим полем, пульсации давления (и плотности) малы и описываются акустическим волновым уравнением ;

Начало исследований таких акустических волн, генерируемых потоком, по всей вероятности, следует отнести к теории шума воздушного винта, которая была создана Гутиным [1] в 1937 г. Однако общая теория аэродинамического шума практически не развивалась до 1952 г., когда Лайтхилл [2, 3] разработал акустическую аналогию, относящуюся к проблеме шума струи. Высказанные Лайт- хиллом положения впоследствии были развиты в работах Керла [4], Пауэлла [5], а также Фокса Вильямса и Холла [6] с учетом влияния твердых границ. Эти исследования включили в себя и анализ Гутина и действительно позволили создать завершенную теорию шума, генерируемого аэродинамическим потоком, которую можно использовать для расчета как шума лопаток, так и шума струи.

Фундаментальное уравнение, на котором основывается акустическая аналогия, будет выведено в следующем разделе. Для получения решения, справедливого для потока в отсутствии твердых границ, используются методы классической акустики (рассмотренные в гл. 1). Влияние твердых границ будет рассматриваться в гл. 3 и 4. Эти результаты применимы для высокоскоростных дозвуковых струй, для которых получены достаточно подробные выводы. Анализ, относящийся к сверхзвуковым и низкоскоростным дозвуковым струям, носит скорее качественный нежели количественный характер. ■

В аналогии Лайтхилла некоторые величины, связанные с распространением звука, относятся к источнику. На практике это накладывает некоторые ограничения на общность теории. Другие подходы, развитые с целью преодоления этих ограничений, рассматриваются в гл. 6.

АКУСТИЧЕСКАЯ АНАЛОГИЯ ЛАЙТХИЛЛА

В этом разделе будет рассматриваться основанный на акустической аналогии подход, который был предложен Лайтхиллом [2, 3] для расчета акустического излучения, генерируемого занимающим относительно небольшую область турбулентным потоком, помещенным в неограниченную однородную среду, в которой скорость звука «о и плотность Qo сохраняются постоянными. Предполагая, что пульсации плотности Q^Q—Qo на больших расстояниях от области, занятой турбулентностью, должны вести себя подобно акустическим волнам, Лайтхилл на основании точных уравнений неразрывности и количества движения получил для области, отстоящей на большом расстоянии от турбулентного потока, однородное волновое уравнение * '

Вывод уравнения Лайтхилла

Для вывода уравнения Лайтхилла воспользуемся уравнениями неразрывности и сохранения количества движения

др . дп

Н—Q^-O, дтду) '

/ dtp ।д\

0 4- V; Т), =

к дт 11 ду,1)

(2. 1)

_ др । дер

dyi 1 бу, ’

где ер—(i, j) -я составляющая тензора вязких напряжений. Для газа Стокса эту величину можно выразить через градиенты скорости

/ d«i । dvj2 . dvk \

(2-2)(2-2)et, = u. — 2.— 8,, —2-

(2-2)

(2-2)

V ду5 dyi3 dy^ )

где p — вязкость газа.

Умножая уравнение неразрывности (2 1) на Up складывая результат с уравнением движения и объединяя подобные члены, получим

ру. = _(р^.у 4. § р - еи\

ОТОУ]

Добавление и вычитание величины сй2д^]ду1 приводит к уравнению

(2.3)(2.3)(2-4)(2-4)дои-, । 2 dQдТи

(2.3)

(2.3)

(2-4)

(2-4)

k С 0 = , du dyidyt

где.

Ti у=Q-Uj-Uj 4- 8,v [(р - р^ — Со (Q — Qo)] — ер

— тензор турбулентных напряжений Лайтхилла. Теперь можно продифференцировать уравнение (2.1) по т, применить операцию дивергенции к уравнению (2.3), вычесть из одного соотношения другое н получить в результате уравнение Лайтхилла

д^’<Эт2д^’<Эт22 о / cwp2 о / cwpд^Тр dytdyj 'д^Тр dytdyj '(2-5)(2-5)

д^’

<Эт2

д^’

<Эт2

2 о / cwp

2 о / cwp

д^Тр dytdyj '

д^Тр dytdyj '

(2-5)

(2-5)

Интерпретация уравнения Лайтхилла

Очевидно, что уравнение (2.5) имеет такую же форму, как волновое уравнение, описывающее акустическое поле, генерируемое квадрупольным источником d2Tpjdyidyj в неподвижной среде (см. подразд. 1.5.2). Таким образом, из этого уравнения следует, что существует точная аналогия между пульсациями плотности, которые имеют место в любом реальном потоке, и пульсациями плотности

малой амплитуды, которые определяются распределением квадрупольных источников (интенсивности Т^ в некоторой воображаемой (неподвижной) акустической среде, скорость звука в которой равна с0. Далее будет показано, что источники такого типа отсутствуют в области, лежащей за пределами некоторого типа турбулентных потоков, так что в такой области уравнение (2.5) в действительности переходит в однородное волновое уравнение.

Важным моментом в теории Лайтхилла является то, что член источника рассматривается как в некотором смысле заранее известная величина. Однако этот член зависит от пульсаций плотности, и поэтому его невозможно определить до тех пор, пока уравнение (2.5) не решено. Действительно, так как уравнение Лайтхилла непосредственно следует из законов сохранения массы и количества движения, оно должно удовлетворяться во всех реальных потоках, большинство из которых, безусловно, не похожи на звуковые волны. Но даже для потоков, подобных звуковым волнам, член (PT^idyyjy. должен учитывать все эффекты, которые имеют место при взаимодействии акустической волны с движущимися потоками (конвекция, рефракция и т. д.) и которые не могут быть определены при отсутствии некоторой информации об акустическом поле. Таким образом, определение Тц, по существу, эквивалентно решению системы нелинейных уравнений газовой динамики, которое для большинства представляющих интерес потоков невозможно получить. Тем не менее недостаточно высокая чувствительность уха как приемника звука избавляет от необходимости расчета акустических полей с высокой точностью, и обычно ограничиваются приближенным расчетом акустического поля и его зависимости от параметров, которые обычно известны конструктору. Более того, далее будет показано, что для некоторых типов потоков часто можно получить достаточно точные оценки величины Тц, а следовательно, решив уравнение (2.5), достаточно хорошо определить акустическое поле. Если при этом учесть, что подход, основанный на акустической аналогии, позволяет воспользоваться мощным аппаратом классической акустики, то становится ясным, почему такая методика служит основой при решении большинства задач, относящихся к аэродинамическому шуму.

Важно отметить, что в уравнении (2.5) явно проявляется квадрупольная природа источника, поскольку, как будет показано впоследствии, очень часто представляющие практический интерес источники аэродинамического звука являются акустически компактными. Следовательно, решение этого уравнения для дальнего поля автоматически будет учитывать крайне малую эффективность таких источников (см. подраз. 1.5.2) и поэтому дает приемлемые оценки акустического поля даже в том случае, когда Ti:j определено не очень точно.

В этой главе ограничимся рассмотрением случая, когда твердые границы, которые могут присутствовать в потоке, не оказывают существенного влияния на звуковое поле. Полученные результаты могут найти важное применение для шума струи. (В действительности

теория Лайтхилла была разработана для решения именно этой задачи.) В гл. 3 будет показано, как изменится решение в присутствии твердых границ, и будут даны примеры применения теории при решении ряда конкретных задач.

Приближенная оценка тензора напряжений Лайтхилла

Уравнение Лайтхилла может служить отправной точкой при решении задачи излучения аэродинамического шума, если его правую часть интерпретировать как известный член источника, который становится равным нулю на больших расстояниях от потока. Покажем, что по крайней мере в некоторых случаях такое предположение может быть приемлемым.

Для этого рассмотрим дозвуковой турбулентный воздушный поток (или любой другой нестационарный дозвуковой поток при высоких числах Рейнольдса) относительно небольшой пространственной протяженности (такой, как струя), помещенный в однородную стационарную среду. Для обозначения постоянных значений термодинамических параметров в этой стационарной среде будем использовать индекс 0. Принимается, что вязкие напряжения ец в потоке вносят существенно меньший вклад в Т^, чем напряжения Рейнольдса qv^v,. Из исследований турбулентности хорошо известно, что отношение членов, определяемых этими величинами, имеет порядок числа Рейнольдса qUL/ii, которое практически во всех приложениях теории аэродинамического шума достаточно велико.

В области вне потока (или по крайней мере на больших расстояниях от потока) будет справедливо акустическое приближение, и, следовательно, скорость V, будет мала. В этом случае квадратичным членом, определяемым напряжением Рейнольдса рп^д можно пренебречь. Более того, считается, что влияние вязкости и теплопроводности в этой области будет таким же, как и в любом другом акустическом поле. Это означает (как показал Кирхгоф, см. работу [8]), что эти эффекты приводят только к небольшому затуханию, обусловленному переходом акустической энергии в тепло, и имеют существенное значение только при очень больших расстояниях. Таким образом, величиной е»,- можно полностью пренебречь.

Теперь, если поток истекает из области, температура в которой равна температуре окружающей среды, эффекты, обусловленные теплопроводностью, должны иметь такой же порядок величин, как и эффекты, связанные с вязкостью (при условии, что число Прандтля порядка единицы, что имеет место для большинства жидкостей) . Следовательно, теплопроводность в потоке тоже будет иметь относительно малое значение. Тогда изменение энтропии будет определяться уравнением сохранения энергии для невязкой среды (1.3), из которого в предположении, что поток истекает из области с однородной температурой, следует, что энтропия должна оставаться относительно неизменной. Но в разд. 1.2 показано, что

Р~ A = Co(Q-Qo) (2-6)

в любом изэнтропийном потоке, в котором (р—ро)/ро и (д—qo)/qo достаточно малы, что обычно имеет место в случае дозвуковых потоков .

Таким образом, мы показали, что Т^ приближенно равно дУгУ) в области потока и приближенно равно нулю вне ее. Следовательно, в предположении, что пульсациями плотности в движущейся среде можно пренебречь, получим следующее приближенное выражение для тензора напряжений Лайтхилла:

ео^-оу (2-7)

Поскольку только очень малая доля энергии излучается в виде звука, можно предположить, что тензор напряжений Рейнольдса gv-iyj можно определить (например, путем измерений или аналитических оценок параметров турбулентности) без всяких предварительных сведений об акустическом поле. Тогда правую часть уравнения Лайтхилла (2.5) действительно можно рассматривать как известную величину, относящуюся к источнику.

Важно отметить, что эти приближения не вводились до того, как было получено уравнение (2.5) и установлена квадрупольная природа источника звука. Приближения, сделанные на более раннем этапе, могли привести к появлению дипольных и монопольных источников, которые ввиду более высокой акустической эффективности могли бы привести к существенным ошибкам в оценке акустического поля.

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ЛАЙТХИЛЛА ПРИ ОТСУТСТВИИ ТВЕРДЫХ ГРАНИЦ

В разд. 2.2 было показано, что задача расчета шума, излучаемого нестационарным потоком, расположенным в однородной среде, может быть сведена к классической задаче расчета звукового поля, создаваемого известным квадрупольным источником, имеющим конечную протяженность. Если никакие твердые границы не оказывают сколь-либо существенного влияния на звуковое - поле, решение этой задачи можно выразить через функцию Грина для свободного пространства. Действительно, сравнивая уравнения (2.5) и (1.69), легко увидеть, что из уравнения (1.74) следует

р(х, ^-90 = -—^. ( —4ncg J Rр(х, ^-90 = -—^. ( —4ncg J R92? иdyidyj92? иdyidyj(У, t)(У, t)т=:/ -(/?'с0)т=:/ -(/?'с0)d^,d^,(2. 8)(2. 8)

р(х, ^-90 = -—^. ( —

4ncg J R

р(х, ^-90 = -—^. ( —

4ncg J R

92? иdyidyj

92? иdyidyj

(У, t)

(У, t)

т=:/ -(/?'с0)

т=:/ -(/?'с0)

d^,

d^,

(2. 8)

(2. 8)

где, как обычно,

7Мх-у|

и, как сказано в гл. 1, отсутствие пределов интегрирования в объемном интеграле означает интегрирование по всему пространству. Чтобы привести этот результат к более приемлемой форме (см. замечание в конце подразд. 1.5.2), удобно ввести дифференциальный

оператор б/буг, который означает частное дифференцирование по yt при постоянных t и R, в результате будем иметь

е(х, /)—Qoе(х, /)—Qo(2. 9)(2. 9)1 Г 62 Тц(у, t—R c^

е(х, /)—Qo

е(х, /)—Qo

(2. 9)

(2. 9)

4лС2 ) ty^yj R

Теперь примем, что оператор д[дуг означает частное дифференцирование по Уг при постоянных х и t. Тогда, так как д(дхг означает частное дифференцирование по Хг при постоянных у и /, цепное правило для частного дифференцирования дает

ЪР _ dF , дР

Mi ду; 1 dxt

для любой функции F^y, R, t), и, следовательно,

^F _ diP j dip , dip dip

M'fiyjdytdyj dytdxj dyjdx;dx[dxj

Этот результат позволяет привести уравнение (2.9) к виду

,1 di U^A1 дед V^ijA ,.

Q (х, t \ — q0= -—у- id у у\d у 4-

4лсц J dytdyj R4лс( dxj dy, R

।16 r d VTuA ,।162 c [^iy]

H5\ d у Hу\ d у (2. 10

4лСц ox; j ду; R4лс( dx;dxj j R

при условии, что эти интегралы существуют. Здесь обозначение [Г;;] принято вместо Тц(у, t—Rjc^. Отметим, что каждый из первых трех интегралов представляет дивергенцию вектора, а из теоремы о дивергенции [соотношение (1.54)] следует, что

Гу ■ ^d у= lim Г X-dS,

7?^-СО •’

где SR — сфера радиусом R; А — произвольный вектор, для которого существуют рассматриваемые интегралы. Следовательно, предполагая , что Тц гладкая функция, затухающая быстрее, чем у-1 при больших у, можно показать, что первые три интеграла равны нулю и вследствие этого

б(х, —~ (2-И) 4лс0 dxtdxj 1 R \ с0 /

Обычно рассматривается акустическое поле на больших расстояниях от источника, где, как было показано ранее, выражение для пульсаций плотности становится особенно простым. Таким образом, предположим, что точка наблюдения х находится на расстоянии многих длин волн от любой точки области источника, что не обязательно соответствует большому расстоянию по сравнению с размерами этой области. Тогда (см. подразд. 1.5.2)

52 Tijti, t — R'co) RtRj 5271V(y, <-/?/Со) —5L- О I /< 2 , dx.dxjRcy<>dft

где R = x — у,

и формула (2.11) примет вид

.RiRj дЛij. /r \

o(x, /) —On —R-x5ly, t —kZy при R —»oo.

С другой стороны, если расстояние между точкой наблюдения и любой точкой источника будет также велико по сравнению с размерами области источника (т. е. если точка наблюдения находится в области излучения), можно (в предположении, что начало координат находится в области источника) заменить RiRj/R3 на XiXj№, в результате чего получим

о(х, ^-ео-2-—\-2(2.12)

4jICqJ Cqи l 2 \о /

при условии, что интеграл сходится . Это уравнение позволяет вычислить пульсации плотности в поле излучения, если источник известен. Оно приведено к виду, правильно отражающему действительную квадрупольную природу источника звука [см. подразд. 1.5.2, в частности формулу (1.79) и последующие].

ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ЛАЙТХИЛЛА К ТУРБУЛЕНТНЫМ ПОТОКАМ

Вывод основных уравнений

Соотношение (2.12) имеет особенно большое значение при расчете акустического излучения струй . В случае таких потоков целесообразно предположить, что Т^ — стационарная случайная функция времени. Тогда из выражения (2 12) следует, что пульсации плотности в поле излучения также должны описываться функцией такого типа. Следовательно (как показано в подразд. 1.7.3),

как средняя интенсивность, так и ее спектр могут быть легко получены из нормированной функции автокорреляции давления

г(Х,

60С0

Так как соотношение (2.6), несомненно, должно выполняться в поле излучения, из (2.12) следует, что эта функция связана с членом источника соотношением

Г(х,

*16л2с^о ^S JJ 6^2№ V3 ' 33

(2. 13)

(2. 14)

Более того, в приложении показано, что подынтегральное выражение в соотношении (2.13) может быть представлено в виде ^(у', И^(У". ^-^-^(У'’ t'^^yY П- (2.15)

Поскольку (как показано в приложении 1.А.З) взаимная корреляция стационарных функций не зависит от преобразования времени, из соотношения (2.14) следует, что

ТикУ\ ^ТиАУ\ П=Ти<у\ АТкДу", t^xV—^•

(2. 16)

И, так как |х—уЛ [ при больших х ведет себя как

|х — у'|=х —^-.у' + О^-1),

|х —у'| —|х—у"| хс0X|х —у'| —|х—у"| хс0X(У" —У')со(У" —У')со(2. 17)(2. 17)

|х —у'| —|х—у"| х

с0X

|х —у'| —|х—у"| х

с0X

(У" —У')со

(У" —У')со

(2. 17)

(2. 17)

Подставляя (2.17) и (2.16) в (2.15), а получившийся результат в соотношение (2.13), находим, что

Г (х, т) =1 5 11х№ _^i_ ( ( 7 (у', ^Тк1(у", x0)d у'd у",

V ’16л2с^о-г6^ ИJJ

(2. 18)

где То = /4-т-]—-—(у"-у')-

Теперь удобно ввести вектор разделения t]=y"—у' как новую переменную интегрирования в формуле (2.18) и определить тензор

четвертого ранга двухточечной пространственно-временной корреляции как

(2.19) бо

где cpijhz — произвольный независимый от времени тензор, который будет выбран позже для упрощения этого выражения. Далее, так как Якобиан преобразования у', у"-^у/, ц равен единице, подстановка этой величины в уравнение (2.18) дает

Г (х, т) =—° ' 1 ? —■ -^- И .5? UJу', т], ?+———d у' a! q. (2. 20)

Это выражение связывает автокорреляцию давления в звуковом поле с тензором корреляции источника 5? o-w. Проводя преобразование Фурье и пользуясь соотношением (1.94) и табл. 1.1 приложения 1.А, находим, что спектр интенсивности акустического давления определяется выражением

\п, т) х

uZ-iI''CqЛ^<} v «J

X d у' d-qdx.(2.21)

В принципе этот результат можно использовать для расчета спектра давления в звуковом поле, генерируемом турбулентным потоком, в том случае, когда твердые границы не оказывают непосредственного влияния на процесс образования акустического поля. Однако в большинстве случаев турбулентные течения, в непосредственной близости от которых нет твердых границ (например, струи, следы и т. д.), представляют собой почти параллельные средние потоки. В следующем разделе будут определены некоторые свойства тензора корреляций, которые окажутся полезными для представления звукового поля, генерируемого такими потоками.

Параллельные или почти параллельные потоки

Если средний поток близок к параллельному, интересно рассмотреть случай, когда скорость v(y, /) выражается в виде суммы параллельного среднего потока it/(y2), как показано на рис. 2.1, и пульсационной составляющей и (у, /), имеющей нулевое среднее значение, так что

•o^^U Ц^и.;.(2.22)

Особая форма приближения рейнольдсовых напряжений к тензору корреляций. Прежде чем перейти к более общему рассмотрению, попытаемся определить связь между корреляцией турбулент-

ных пульсаций скорости и тензором корреляций 91 ;jM, принимая, что Г^ равен тензору рейнольдсовых напряжений. Подставляя соотношение (2.22) в тензор рейнольдсовых напряжений (2.7) и принимая, что фгда в соотношении (2.19) равен .

U ^Xi^Xj^-k^-t ~\"^9 З^З^ЦЩу —|—7/ U ^^^^j^^^^i^-ltiU'jU'kU-li

проведя громоздкие преобразования, находим, что Й^Ду', Ч, *) ) ^k.tt'ittjUktti — ii'iUjUkU^^-^ ^'^iUflWii

+ U'XuWj^) + WU'XW'jtti, (2- 23) где два штриха означают, что величина берется в точке у" в момент ^+т, а один штрих — в точке у' в момент t. Обозначение J= показывает, что величины по обе стороны от знака равенства не обязательно равны, а только вносят одинаковый вклад в соотношения (2.20) и (2.21). При выводе этого соотношения проведена замена обозначения немых индексов при суммировании. Подробный вывод можно найти в работе [12].

Введение движущейся системы координат. Пусть / — характерный корреляционный масштаб турбулентности. Эта величина по определению равна наименьшему расстоянию, при котором

91 цм^\ г, т)9 цы (у', 0, т)91 цм^\ г, т)9 цы (у', 0, т)0 при |q| > /.0 при |q| > /.

91 цм^\ г, т)

9 цы (у', 0, т)

91 цм^\ г, т)

9 цы (у', 0, т)

0 при |q| > /.

0 при |q| > /.

Если 91^ достаточно медленно изменяется со временем, так что ее можно считать практически постоянной для интервала времени порядка Цс0 (изменение времени задержки в пределах турбулентного вихря) или, что то же самое, если тч (характерное время распада турбулентного вихря) удовлетворяет неравенству

^»7".(2.24)

то величину Й^Ду', ч', t-|-x-T|/xc0) можно заменить на ^ijMX Х(у', 41 ^)(так как (q/c0)-x/x имеет порядок ОЩс^ в области, где подынтегральное выражение в (2.20) имеет су- ,угшественную величину). Действительно, если это

"не выполняется для среднего потока, линии посто-

явных значений корреляции должны иметь вид, Xпоказанный на рис. 2.2, и тогда должно- удовле

твориться неравенство (2.24). Однако вследствие

Д у переноса случайных пространственных элементов -4—^- турбулентности средним потоком движущиеся

- ^увихри будут создавать очень быстрые пульсации,

Чвоспринимаемые неподвижным наблюдателем

~(т. е. тч будет очень малым). С другой стороны,

Рис 2 1 Па пульсации, воспринимаемые наблюдателем, дви- лельный сдвиговый «ущимся со скоростью потока, будут существен- потокно более медленными. Следовательно, вих-

Рис. 2.2. Линии равных значений корреляции в подвижной системе координат (измерения в зоне смешения на расстоянии 1,5 калибров от среза сопла) .[13]

ри будут казаться почти замороженными * и линии постоянной корреляции в любом реальном потоке будут иметь вид, показанный на рис. 2.3. Действительно, на этом рисунке приведены результаты измерений пространственно-временной корреляции второго порядка пДу', ^^(y'+i^i, /+т), проведенных в зоне смешения струи Дэвисом, Фишером и Барратом [13].

Следовательно, неравенство (2.24) для большинства реальных потоков не будет удовлетворяться. Однако, если измерения будут проводиться в системе координат, которая, грубо говоря, «перемещается вместе с вихрем», линии равной корреляции вновь будут иметь вид, показанный на рис. 2.2. (В действительности этот рисунок получен путем приведения данных рис. 2.3 именно к такой системе координат). Таким образом, примем, что корреляция &цм(у', Ф f) выражается через переменные у', т и

= цю с0Мст, (2. 25)

где 1 — единичный вектор в направлении среднего потока (т. е. в направлении z/i), а с0М.с— наклон пунктирной линии на рис. 2.3. Тогда ^ будет оставаться постоянной вдоль любой линии, имеющей тот же наклон, а изменение gi при постоянном т будет соответствовать перемещению в направлении, перпендикулярном этой линии. Поэтому линии равной корреляции в плоскости gi—г должны быть подобными приведенным на рис. 2.2. Следовательно, время затухания те «тензора корреляций в повдижной системе координат» Rijkh определяемого соотношением

ЦцУУ- ^ = &иыУ, Ч. т), (2.26)

* Этот результат часто называют гипотезой Гейлора.

Рис. 2.3. Линии равных значений корреляции в случае неподвижного наблюдателя (измерения в середине эоны смешения на расстоянии 1,5 калибров от среза сопла) [13]

будет с большей вероятностью удовлетворять неравенству

г»>—,(2.27)

чем время затухания тч в неподвижной системе координат. Предположим, что наблюдатель, движущийся вниз по потоку со скоростью конвекции с0Мс, попытается измерить тензор двухточечной корреляции 91 цы и что в системе координат, связанной с наблюдателем, точки измерения разделены расстоянием £. Тогда, так как наблюдатель за интервал времени т между первым и вторым измерением продвинется вниз по потоку на расстояние с0Мст, то расстояние между двумя точками измерений в неподвижной системе координат будет T]=^ + ic0Mct. Следовательно, величину Нцм(У, £,т) можно интерпретировать как тензор корреляций, определяемый наблюдателем, который движется вниз по потоку со скоростью конвекции с0Мс, но измеряет все скорости относительно неподвижной системы координат.

Подстановка соотношения (2.26) в формулу (2.21) с учетом замены переменных (2.25) дает

Т / \ to,*9n xixjxkxl CCV i (. Г,, и m X c 1)\ , /„1x1=\ \ \ exP U01 (1 ™MC cos 6) т■• — x

' 32лзс» д-6l ГX

xR^^At ^dldy'dx,(2.28)

где, как показано на рис. 2.4,

cos 0=хг/х,

6 — угол между направлением среднего потока и линией, соединяющей источник с точкой наблюдения. Вместо того, чтобы проводить- подобное преобразование соотношения (2.20) для функции автокорреляции давления, проще взять преобразование, обратное- (2.28), и получить

Г(х,\ (!) R^x

16я2с5х6 2(1 —Мс cos 8/ dt* 2 w

X у', g,XiXw_ f!x

V 1 —Mccos8/ s J 16n2c5 X6 2(1 — Mc cos 6)5

( Л4 (■Гу9"h

X Rum У'Л> * + —■ clad’S'.

I дт4 21 X c0((l —Mc_Cos6)^J/t-//(1-Mccos6) J

(2. 29>

Даже если невозможно пренебречь временем задержки, это выражение является более совершенным по сравнению с (2.20) в том отношении, что оно менее чувствительно к малым ошибкам, которые могут быть допущены при определении функции корреляции. Чтобы показать это, отметим, что наибольшее изменение времени в функции корреляции получается в результате конвекции вихрей средним потоком. В результате наибольшая часть временных производных Яцы, а следовательно, и подынтегрального выражения в (2.20) будет обусловлена конвекцией. Но стационарное движение- замороженных вихрей с дозвуковой скоростью не может привести к генерации акустического поля. Следовательно, только малая часть этого подынтегрального выражения приведет при интегрировании к ненулевому значению. Этих трудностей не будет в выражении- (2.29), так как изменения во времени будут теперь происходить с временным масштабом генерирующих звук турбулентных пульсаций. Поэтому подынтегральное выражение в этом уравнении будет существенно менее чувствительным к малым ошибкам, которые могут быть допущены при экспериментальных измерениях или аналитических оценках функции корреляции турбулентности, что имеет большое значение ввиду несовершенства наших представлений о5- этой величине.

Простота выражения (2.28) проявляется с особой очевидностью,, если ввести четырехмерный тензор спектральной плотности мощности

к, “)=-^-^ \ y^^^Rt^Ay, VAdW,

при этом получим

У / ч Яо>4п0 Х;Х]ХкХ1 с/ Ш Xm / Л

5\Hw У' 4\-^c«^dyy.

(2. 30)1

Рис. 2.4. Расположение точки наблюдения относительно направления потокаРис. 2.4. Расположение точки наблюдения относительно направления потокаточечного источникаточечного источникаРис. 2.5. Область пространства волновых чисел, содержащая основную часть энергии турбулентности (измерения в подвижной системе координат):Рис. 2.5. Область пространства волновых чисел, содержащая основную часть энергии турбулентности (измерения в подвижной системе координат):

Рис. 2.4. Расположение точки наблюдения относительно направления потока

Рис. 2.4. Расположение точки наблюдения относительно направления потока

точечного источника

точечного источника

Рис. 2.5. Область пространства волновых чисел, содержащая основную часть энергии турбулентности (измерения в подвижной системе координат):

Рис. 2.5. Область пространства волновых чисел, содержащая основную часть энергии турбулентности (измерения в подвижной системе координат):

Этот результат ясно показывает, какие составляющие турбулентности действительно имеют значение в процессах генерации звука. Таким образом, показано, что вектор волнового числа в звуковом поле (х/х) (го/со) будет таким же, как и для генерирующей звук турбулентности, даже если проводить его измерение в подвижной системе координат. Однако частота турбулентных пульсаций равна частоте генерируемого ей звука, умноженной на фактор Доплера (1—Mccos0). Отметим, что это такое же доплеровское смещение частоты, какое наблюдается в случае движения идеального со скоростью конвекции с0Ме (см. под

разд. 1.8.4).

На рис. 2.5 схематически показана область пространства частотно-волновых чисел, в которой содержится существенная доля турбулентной энергии. На рисунке отражен тот факт, что вертикальный размер этой области меньше, чем ее горизонтальный размер на коэффициент, равный числу Маха, относящемуся к турбулентным пульсациям u'lcQ, который при дозвуковых скоростях принимает очень малое значение. Из выражения (2.30) следует, что излучающие звук элементы турбулентности располагаются вдоль показанной на рисунке линии. Только относительно небольшая часть этой линии, соответствующая малым величинам Мс или значениям 10], близким к л/2, проходит через область существенных значений энергии турбулентности. Следовательно, при таких условиях только небольшая часть энергии турбулентности излучается в виде звука. С другой стороны, наклон линии, вдоль которой располагаются генерирующие звук элементы, уменьшается при увеличении числа Маха конвекции при дозвуковых скоростях при |9|<л/2 зи увеличивается с ростом числа Маха при |9|>л/2. Поэтому в пе-

./—частоты, вносящие вклад в звуковое поле; 2—область, содержащая -значительную энергию турбулентности; 3—линия, на которой располо- .жены элементы, излучающие звук: наклон=(1—Mccos6); 4—волновые ■'Числа, вносящие вклад в звуковое поле

«в

редкий квадрант излучается больше акустической энергии, чем в-, задний, и чем больше число Маха, тем больше излучение в переднем направлении. '

Когда линия расположения генерирующих звук элементов близка к вертикальной оси, почти все имеющиеся частоты турбулентных пульсаций могут играть роль в процессе генерации звука, однако- при этом будет охватываться только небольшая доля волновых чисел турбулентности. Напротив, когда наклон этой линии близок к нулю, только небольшая часть частот турбулентности эффективна участвует в генерации звука, однако почти все волновые числа могут вносить вклад в этот процесс.

Пренебрежение временем задержки в дозвуковых потоках. Соотношения (2.29) и (2.30) представлены в таком виде, что пренебрежение изменением во времени задержки приводит к наименьшей ошибке. Из выражения (2.29) следует, что этим изменением можно* пренебречь, когда время затухания те корреляции в подвижной системе координат достаточно велико, так что

Со (1 — Мс cos 8)Со (1 — Мс cos 8)(2.31)(2.31)

Со (1 — Мс cos 8)

Со (1 — Мс cos 8)

(2.31)

(2.31)

Таким образом, когда удовлетворяется это неравенство, выражение (2.29) и его преобразование Фурье (2.30) соответственно можно- представить в виде

Г(х,t16л2бд л:6,\Г(х,t16л2бд л:6,\Мс cos 0)5Мс cos 0)5(2.32>(2.32>и /ю(х)и /ю(х)Л<о4до i^j-^h^l 2с^л:6Л<о4до i^j-^h^l 2с^л:6^ НиМ (У'»^ НиМ (У'»О, со (1 — Мс cos 9)) d у'.О, со (1 — Мс cos 9)) d у'.(2. 33)(2. 33)

Г(х,t

16л2бд л:6,\

Г(х,t

16л2бд л:6,\

Мс cos 0)5

Мс cos 0)5

(2.32>

(2.32>

и /ю(х)

и /ю(х)

Л<о4до i^j-^h^l 2с^л:6

Л<о4до i^j-^h^l 2с^л:6

^ НиМ (У'»

^ НиМ (У'»

О, со (1 — Мс cos 9)) d у'.

О, со (1 — Мс cos 9)) d у'.

(2. 33)

(2. 33)

В выражении (2.33) предполагается, что звук не излучается составляющими турбулентности с нулевым волновым числом. В действительности такие составляющие вообще не приводят к излучению- звука. В этом выражении только принимается, что энергия турбулентности при малых волновых числах к = (со/с0) (х/х), при которых, происходит излучение звука, приблизительно равна энергии турбулентности при к = 0.

Величину Цс0(1—Mccos6), входящую в неравенство (2.31), можно интерпретировать как время, требуемое звуковой волне для прохождения через движущийся вихрь в направлении, составляющем угол 6 с направлением движения вихря. Таким образом, если величина / достаточно мала, так что это время будет существенно* меньше, чем время распада турбулентности, изменением во времени задержки можно пренебречь, и вихрь можно рассматривать как компактный источник. Отметим, что увеличение числа Маха конвекции вихря приводит к увеличению ошибки, обусловленной прене-

брежением времени задержки. Следовательно, такое приближение ■ограничено случаем дозвуковых (или, быть может, сверхзвуковых с очень большим числом Маха) потоков.

ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ШУМА СТРУИ

В этом разделе соотношения, полученные в разд. 2.4, будут применяться для сопоставления результатов вычислений с результатами экспериментальных измерений в полях струйных течений с тем, чтобы объяснить, а в ряде случаев и предсказать некоторые характеристики шума струи.

L Дозвуковые холодные воздушные струи при высоких числах Рейнольдса

Шум, излучаемый дозвуковыми холодными (т. е. не подогретыми) воздушными струями, изучался более интенсивно, чем шум струй любого другого типа. Далее (на с. 95) будет показано, что неравенство (2.31) достаточно хорошо удовлетворяется в области генерации шума в таких потоках, так что для расчета шума можно применять соотношение (2.32). Однако этого нельзя сделать, если не известен тензор корреляции турбулентности Нцм- Так как сведения об этой величине весьма ограничены, попытаемся смоделировать ее некоторым приближенным образом. Это будет проделано путем введения ряда последовательно более жестких предположений, каждое из которых ведет к формуле для расчета звукового поля, которая требует меньше информации о турбулентности, чем предшествующая.

Приближенные оценки источника в случае дозвуковых струйных течений. Может оказаться, что для описания течения в струе достаточно предположений о параллельности среднего потока (2.22) и о возможности представления напряжений Рейнольдса в виде (2.7), поэтому в настоящем разделе используются эти приближения. Тогда из соотношений (2.23) и (2.26) следует, что тензор корреляции турбулентности в подвижной системе координат представляется в виде суммы трех членов. Однако в работе [12] показано, что если турбулентность является локально однородной , а среда несжимаемой, средний член при интегрировании приведет к нулевому результату, и только первый и третий члены внесут вклад в соотношение (2.32). Теперь в качестве переменной интегрирования в выражении (2.32) вместо у' удобно взять величину

/ / У2 + Уа Уз + У а 1I 1- , 1)

У=|У12’ 2/ = Г Ь

Тогда из соотношений (2.23) и (2.26) следует, что уравнение (2.32) примет вид

г (X60х^№с 1 х.

’16я2с® - x'i) (1 —Мс COS 6)5

х/?°.(у, |, T)rf?]h=//(1-Mccose)^y,(2.34).

где R”jMty, £, x^u'tu'iUku'i — u.'iu.'jii'kii'i,

R°M £, x^u'jUt

— тензоры пространственно-временной корреляции турбулентных пульсаций скорости четвертого и второго ранга соответственно.

Теперь пусть /(х|у) означает акустическую интенсивность в точке х, обусловленную единичным объемом турбулентности в точке у, и пусть /т(х|у) и Г(х|у, /)—соответствующие спектр и функция автокорреляции. Тогда

/ (х) = J Z (X | у) дГ у, /M(x) = j'/m(x|y)dy, Г(Х, /)= J Г (XI у, /)б/у

и из выражения (2.34) следует, что

90XiXW X

I А I у ) V }г-/ \

1бл2С^(1 — Мс COS 6)5л:6

х^д(У’ I’ x^d^}^ (,1-мссо86)-(2.35)

Соответствующее выражение для акустической интенсивности получается путем подстановки / = 0 в эту формулу. Этот результат подобен соответствующему результату для движущегося квадрупольного источника (подразд. 1.5.2 и 1.8.5). Отметим, что показатель степени при конвективном факторе (1—Мсcos 6) возрастает. Этот фактор появляется вследствие введения корреляционного тензора в подвижной системе координат (2.26) и поэтому снова связан с движением источника. Однако теперь этот фактор входит в степени —5, а не —6, как это имело место при определении среднего квадрата давления, генерируемого конвектируемым квадрупольным точечным источником (см. последний абзац в подразд. 1.8.5). Это различие можно объяснить тем, что теперь рассматривается совокупность акустических источников [14], которые занимают конечный объем.

Два члена в фигурных скобках более или менее непосредственно связаны с турбулентной структурой струи . Шум, связанный с пер-

коорданаткоорданатРис. 2.6. СистемаРис. 2.6. Системадля описания потокадля описания потокавым из этих членов, часто трактуют как собственный шум, а со вторым — как сдвиговый шум. Такая терминология впервые была введена Лилли [15], для того чтобы показать, что первый член относится к шуму, обусловленному взаимодействием турбулентности с турбулентностью, тогда как второй относится к шуму, обусловленному взаимодействием турбулентности со средним сдвигом. Однако данное ранее определение несколько отличается от определения Лилли. В течение многих лет большие усилия (как в экспери-

коорданат

коорданат

Рис. 2.6. Система

Рис. 2.6. Система

для описания потока

для описания потока

ментальном, так и аналитическом плане) были направлены на оценку этих членов. Простейшие подходы недалеко

ушли от анализа размерности, более сложные были связаны с попытками подробного измерения тензора корреляции турбулентности. Однако последние настолько сложны и трудоемки, что стано

вятся почти невыполнимыми. Таким образом, чтобы получить неко

торые оценки, показывающие, какое влияние оказывают эти члены на изменение акустического поля, необходимо сделать некоторые допущения, касающиеся относительной величины различных составляющих тензора корреляций турбулентности. Вероятно, простейшие из таких допущений были сделаны Рибнером [10, 11]. Первое

из них — предположение о том, что совместное распределение вероятности скорости в двух точках близко к нормальному; второе — что среда несжимаемая, и третье — что турбулентность изотропна. Проведя громоздкие преобразования выражения (2.35) с учетом этих предположений, можно показать [11, 12], что

Г (х | у, /) =;[ — R R°md I + 4 (cos4 9 +

16л2С5(1 — Mccos8)5.r2 I

+ cos 6 sin2 9 sin2 ?) J U'U"Rnd l]}_//(1_Mc cos e),(2- 36)

где cos <p =*2-— ,(2.37)

go16л2с5(1 —мс cos 6)5 х2go16л2с5(1 —мс cos 6)5 х2//(1—Мс cos 6)//(1—Мс cos 6)<p — азимутальный угол, показанный на рис. 2.6. Для осесимметричных струй осреднение по этому углу учитывает различную ориентацию источников звука в любом кольцевом сечении струи. Тогда выражение (2.36) примет вид

go

16л2с5(1 —мс cos 6)5 х2

go

16л2с5(1 —мс cos 6)5 х2

//(1—Мс cos 6)

//(1—Мс cos 6)

cos4 8 + cos2 Оcos4 8 + cos2 ОГ(х|у, /)ау

cos4 8 + cos2 О

cos4 8 + cos2 О

Применяя к этому результату преобразование Фурье и используя соотношения (между интенсивностью, спектром и функцией автокорреляции), приведенные в подразд. 1.7.3, получим

U (Х 1 У)аУ= 32^(1 ЙМ cos 0)^ ( \ ^ S R"m<l^dX +

J cos4 9 + cos2 9 4 e/ST U'U-^d^^ ,(2.38)

где S = w(l — Mf cos 9)

-—частота источника (см. подразд. 1.8.4) и

/ (х I у)аV =5—— (\ Rimd X

16л2с®(1 — Мс COS 9)5x2 \ ()т4 J/т-0

— отношение максимального сдвигового шума к собственному шуму. Несмотря на простоту последней формулы, существует ряд причин, дающих основание полагать, что она не будет существенно- лучше, чем результат, который можно получить, если с самого начала пренебречь эффектами направленности, обусловленными структурой турбулентности. Первая из таких причин связана с тем, что до сих пор не получены хорошие оценки отношения А (хотя Рибнер [10, 11] пришел к заключению, что оно близко к единице). Более существенное значение имеет тот факт, что предположение об анизотропии турбулентности в реальной струе, которое позволяет получить направленность вида [1 + A (cos4 0-;-cos2 0)/2], является в большинстве случаев непригодным. Действительно, Голдстейн и Розенбаум [12], рассматривая совместно модель осесимметричной турбулентности и измерения анизотропии турбулентности, показали, что собственный шум может иметь такую же характеристику направленности, как и сдвиговый шум. Как будет показано в гл. 6, некоторые эффекты, которыми уже пренебрегли при анализе, проводимом в настоящей главе, должны, вероятно, оказывать существенно большее влияние на шум, чем любые изменения, которые могут быть обусловлены величиной [1-]- A (cos4 9 +cos2 6)/2]. К счастью, изменение этой величины при изменении угла в любом случае будет мало по сравнению с изменением (1—Mccos0)~5. Поэтому любыми изменениями характеристики направленности, обусловленными этой величиной, будем пренебрегать далее, хотя при этом будет учитываться ее влияние на акустический спектр.

Из соображений подобия следует, что величина

(сМ J/т-0

90 (Ч) 4 и'*/390 (Ч) 4 и'*/3/ (х/у)ау^ЛГ/ (х/у)ау^ЛГ(2.40)(2.40)(2.41)(2.41)

90 (Ч) 4 и'*/3

90 (Ч) 4 и'*/3

/ (х/у)ау^ЛГ

/ (х/у)ау^ЛГ

(2.40)

(2.40)

(2.41)

(2.41)

Рис. 2.7. Структура струи:

/—сопло; 2—потенциальное ядро; 3—слой смешения; 4—зона смешения, 4D; 5—переходная область 4D; 6—область развитой струи

сбудет иметь порядок (и'*?3^^ К, где и'—характерная величина ■среднеквадратичных пульсаций турбулентной скорости; К — некоторая безразмерная константа. Тогда из выражения (2.39) следует, что

16л2с3 (1 — Мс cos 8)5 х2

Суммарная энергия ЗДу), излучаемая единичным объемом турбулентности, получается путем интегрирования выражения (2.40) по поверхности сферы большого радиуса х. Таким образом,

4^(1-му •

Коэффициент (1+Мс2)/(1—Мс2)4, который появляется в результате интегрирования конвективного фактора по всем углам, всегда больше единицы. Таким образом, конвекция источника приводит не только к тому, что больше энергии излучается вниз, чем вверх по потоку, но и к общему увеличению энергии, которую действительно излучает источник.

Аэродинамика дозвуковых струй. Принятые в предыдущем разделе приближения были введены для упрощения уравнений и в большинстве своем не основывались на какой-либо определенной информации о характеристиках потока в струе. В этом разделе будут рассмотрены те вопросы аэродинамики струи, которые имеют отношение к процессу генерации звука. Приведенные характеристики основываются на результатах измерений Лауренса [17], Дэвиса, . Фишера и Баррата [13] и Бредшоу, Ферриса и Джонсона [18].

Рассмотрим воздушную струю с большим числом Рейнольдса, истекающую из сужающегося сопла (с совершенно равномерным профилем скорости) в покоющуюся среду, как показано на рис. 2.7. После выхода струи из сопла между движущимся потоком и окружающей средой образуется кольцевая зона смешения. Начиная приблизительно с расстояния в 0,5 калибра от среза сопла, поток в этой зоне становится турбулентным. Затем эта зона линейно расширяется в обе стороны на расстоянии четырех-пяти калибров вниз по потоку от среза сопла, пока не заполнит всю струю. Следовательно, толщина зоны смешения имеет величину приблизительно от 0,2r/j до

Рис. 2.8. Граница эоиы смешения:

Z—стенка сопла; 2—струя; 3—псевдоламинарная струя; 4—среднее положение границы

«0,25уь Так как течение в конической области, ограниченной турбулентным потоком, остается ламинарным, эту область обычно называют потенциальным ядром. Безусловно, граница зоны смешения в действительности не проходит по прямой линии, как показано на рис. 2.7, а скорее имеет вид, показанный на рис. 2.8.

Когда зона смешения заполняет всю струю, ее однородное расширение прекращается, и она развивается по различным законам, пока проходит через переходную область, и, наконец, приблизительно с восьми калибров вниз по потоку от среза сопла начинается автомодельная область, называемая областью полностью развитого потока. Эта область вновь линейно расширяется с ростом yi, но скорость ее расширения отличается от скорости роста зоны смешения. Теневая фотография характерной высокоскоростной дозвуковой струи приведена на рис. 2.9. Профили средней скорости и среднего квадрата турбулентных пульсаций скорости приведены (приблизительно в масштабе) на рис. 2.10. Максимальная интенсивность турбулентности мтах наблюдается в центре зоны смешения. Более того, она достаточно близка к постоянной и приблизительно равна «тах~ 0-16 77, (2.42)

до самой переходной области. Затем в области развитого потока она уменьшается как ус2. Как следует из рисунка, большая часть энергии турбулентности сосредоточена в узкой области вблизи середины зоны смешения.

Обычно полагается, что турбулентные «вихри» в зоне смешения вытянуты в направлении потока. Таким образом, продольный масштаб корреляции /1 в направлении потока приблизительно вдвое больше поперечного масштаба корреляции /2 в радиальном направлении. Оба эти масштаба линейно изменяются с расстоянием от среза сопла в соответствии с соотношениями

Z1c^O,ly1 и /2 —0,05ур (2.43)

Рис. 2.9. Шлиреи-фэтографзи те'Ж’лп в высокоскоростной дозвуковой струе, истекающей из сопла диаметром 7,6 см. (Получены Хоувсом в Научно-исследовательском центре им. Льюиса, NASA), (а) Число Маха истечения струи Uj^co = 0,9. (б) Число Маха истечения струи Ujjco = O,74

Рис. 2.10, Профили скорости в слое смешения:

/—струя; 2—профиль средней скорости; 3—середина слоя смешения; 4—профиль среднего квадрата турбулентных пульсаций скорости

В области развитого потока приблизительно до 20 калибров от среза сопла масштаб корреляции почти не зависит.от у\.

Соответствующей мерой времени затухания те является время задержки т, требуемое для того, чтобы функция корреляции турбулентности второго'порядка в подвижной системе координат уменьшилась в е раз по сравнению с величиной при т=0. Дэвис, Фишер и Баррат [13] получили, что эта величина в области середины зоны смешения определяется соотношением

1Х ~ 0,2177т;. (2.44) Следовательно, при Uj<_c0 неравенство (2.31) будет выполняться достаточно хорошо. И в результате этого подтверждается справедливость предположения (см. с. 82), что изменение времени задержки мало.

В ряде работ [13, 19 ...21] было проведено измерение скорости конвекции вихря L/c = coMc в зоне смешения. Результаты измерений Дэвиса, Фишера и Баррата [13] приведены на рис. 2.11. Видно, что скорость конвекции изменяется в поперечном сечении зоны смешения, но это изменение не так велико, как для средней скорости. В работе [13] также показано, что в середине зоны смешения, где сосредоточена большая часть энергии турбулентности, скорость конвекции равна средней скорости потока и составляет приблизительно 0,62(7/. Это соотношение почти не изменяется с осевым расстоянием.

Энергия, излучаемая участком струи единичной длины. Теперь воспользуемся результатами, приведенными в предыдущем разделе, для оценки энергии £7'(уО, излучаемой участком струи единичной длины. Эту величину можно получить, умножая энергию, излучаемую единичным объемом (определяемую выражением (2.41)), на площадь поперечного сечения струи А(^ух\, таким образом,

<2'45)

Сначала рассмотрим зону смешения, площадь поперечного сечения которой

Л (i/i) = л£) х (толщина зоны смешения)—^^ .

Рис. 2.11. Радиальное распределение скорости конвекции [13]

Затем, заменяя величины / и и' в выражении (2.45) на / и итах соответственно и подставляя в результат эмпирические соотношения (2.42) и (2.44), получим

у- (Я) = 6,5 х ю-У . (2.46)

Это соотношение показывает (так как Мс не зависит отуО.что энергия, излучаемая участком единичной длины зоны смешения струи, не зависит от осевого положения у\.

Так как локальная средняя скорость U в зоне смешения (например, вдоль средней линии) не зависит от у\, из соотношений (2.42) и (2.44) следует, что в этой областиte~Z/t7 и и' ~U. Хотя для области z/i>4£) получены менее подробные экспериментальные данные, можно предположить, что и там эти соотношения остаются справедливыми (даже если U уже зависит от z/i). Тогда из соотношения (2.45) следует, что

^,(У1)~^-А(у1). (2.47)

Теперь рассмотрим область развитого потока yi>8D Так как в этой области осевая скорость уменьшается как уг1, а площадь поперечного сечения возрастает приблизительно как у^2, из соотношения (2.47) следует

(2-48)

Зона, смешенияЗона, смешенияI Переходная^Пропорционально

Зона, смешения

Зона, смешения

I область| ХА*ала у;1

I Область разбц-

■^той струй.

Рис. 2.12. Распределение акустической энергии, излучаемой струей

что показывает на очень быстрое стремление к нулю при увеличении осевого расстояния энергии, излучаемой участком струи единичной длины в этой области. Хотя корреляционный масштаб I при больших у\ принимается пропорциональным ух, он остается почти постоянным вплоть до расстояния порядка двадцати калибров от среза сопла.

Из выражений (2.46) и (2.48) следует, что изменение энергии, излучаемой участком струи единичной длины, будет иметь вид, показанный на рис. 2.12, хотя следует отметить, что нет оснований для предположения, что У является монотонно убывающей функцией ух в переходной области. Однако в любом случае из приведенной зависимости следует, что практически вся акустическая энергия излучается первыми 8—10-ю калибрами струи, причем наибольшая часть ее излучается из зоны смешения. Однако если, как полагают некоторые исследователи (Фокс Вильямс), 9?' действительно возрастает в переходной области, то в ней в действительности может генерироваться большая часть шума.

Сравнение результатов расчета и измерения характеристик акустических полей. Общая энергия ^м, излучаемая зоной смешения, может быть приближенно получена путем умножения выражения (2.46) на длину этой области, принимаемую равной 4Р:

Так как величина

(1 + М2)4

медленно меняется с изменением Uj по сравнению с Uj8, ее можно заменить значением, при Мс = 1/2, тогда

Таким образом, если приблизительно половина энергии излуча-. ется из зоны смешения, то общая звуковая энергия ^г, излучаемая

Рис. 2.13. Зависимость уровня звуковой мощности от скорости струн для случая дозвуковых струй, истекающих из круглых сопл. Все данные приведены к соплу с выходной площадью 0,С9 м2 н температуре окружающего воздуха 298 К. Затухание при распространении не учитывается [22]

струей, приближенно будет определяться соотношением

^г 2 х 10-5/С . (2.49) со

Это и есть хорошо известный закон U8, полученный Лайтхиллом для шума струи. Малая величина числового коэффициента обусловлена незначительной эффективностью квадрупольных источников. Измерения шума, излучаемого дозвуковой струей с малым уровнем начальной турбулентности, показали, что «параметр Лайтхилла» ^/(QotJ ®D2/co) равен 3-10-5. Следовательно, учитывая весьма приближенный характер используемых предпосылок, можно отметить, что соотношение (2.49) приводит к очень хорошему соответствию с результатами измерений. Для струй с высоким уровнем начальной турбулентности * параметр Лайтхилла может возрасти более чем в

* В большинстве случаев шуму струй с высоким уровнем начальной турбулентности сопутствует интенсивный внутренний шум, который трудно отделить от шума струи.

5 1205 1201 HOi;1 HOi;5 100 v ез5 100 v ез9090'У'Уво.во.КIXКIX□ a□ aооооaaООЧислоМаха истечения струи Uj/CgЧислоМаха истечения струи Uj/CgXXоо0,409 0,5680,409 0,568□ 0,710Ь 0,850—Теория /1аитхилла□ 0,710Ь 0,850—Теория /1аитхилла□□оооо«з Д 5:«з Д 5:

5 120

5 120

1 HOi;

1 HOi;

5 100 v ез

5 100 v ез

90

90

'У

'У

во.

во.

К

IX

К

IX

□ a

□ a

о

о

о

о

a

a

О

О

ЧислоМаха истечения струи Uj/Cg

ЧислоМаха истечения струи Uj/Cg

X

X

о

о

0,409 0,568

0,409 0,568

□ 0,710

Ь 0,850

—Теория /1аитхилла

□ 0,710

Ь 0,850

—Теория /1аитхилла

□

□

о

о

о

о

«з Д 5:

«з Д 5:

70 1I। i ■1।

15 3045607590105'' 120 135 150

Угол от оси струи 0, градус

Рис, 2.14. Экспериментальная характеристика направленности шума струи диаметром 5,08 см [22]

30 раз. Хорошее соответствие закона восьмой степени с экспериментальными данными подтверждается результатами, приведенными на рис. 2.13. На этом рисунке, взятом из работы [22], приведены результаты, полученные в Научно-исследовательском центре им. Льюиса, и результаты измерений Лаша [23].

Из выражения (2.40) следует, что характеристика направленности шума струи в основном определяется конвективным фактором (1—Me cos 0)~5, который обусловлен движением турбулентных вихрей относительно наблюдателя. (Напомним, что здесь не учитывается малое влияние, которое может оказывать сама структура турбулентности на характеристику направленности.) Так как, вероятно, большая часть шума излучается из зоны смешения струи, целесообразно принять, что Мс приблизительно равно 0,62 Uj/c0. На рис. 2.14 дается сравнение характеристики направленности, определяемой фактором (1—McCosQ)-5 при принятом выше значении Мс, с результатами измерения акустического поля воздушной струи, полученными Олсеном, Гутиеррецом и Доршем [22], а на рис. 2.15 — с результатами, полученными Лашем [23]. (На этих рисунках вычисленные уровни совмещены с измеренными экспериментально в точках под углом 90° с осью струи, где конвекция не оказывает влияния на результат.) В разд. 6.7 показано, что если при теоретическом рассмотрении учесть влияние экранирования шума полем средних скоростей, то получится существенно лучшее соответствие теоретических и экспериментальных результатов.

4*4*9Q

4*

4*

Рис. 2.15. Экспериментальная характеристика направленности шума струи диаметром 2,54 см [23]

Из приведенных результатов видно, что измеренная интенсивность шума уменьшается при малых углах (20°) с осью струи. Пауэлл [24] и Рибнер [25] независимо друг от друга предположили, что такое уменьшение обусловлено рефракцией; этот эффект уже неявно учитывался в результатах, обсуждаемых на с. 25—27, где показано, что звуковые волны, распространяющиеся из области с ненулевой средней скоростью, будут загибаться от направления средней скорости потока. Такое влияние рефракции будет более подробно обсуждаться в гл. 6, где также будет показано, что существуют и другие пути влияния поля средних скоростей на акустическое поле.

Спектры. Из выражения (2.38) следует, что спектр интенсивности звука под углом ЭУ с осью струи определяется следующим образом (см. рис. 2.6):

7Ш(^ т, 90°)\ е‘шт \ RQmidW,

а из результатов, приведенных на с. 93, следует, что время, масштаб и скорость, относящиеся к турбулентности, изменяются как DjUj, D и U3 соответстенно. Следовательно, уровни звукового давления в третьоктавных полосах частот, которые пропорциональны /„шх X (объем струи), нормированные по величине U^Q^Djxyic^, должны быть функцией только числа Струхаля fD/Uj. Данные, приведенные на рис. 2.16, показывают, что такое положение действитель-

Рис. 2.16. Спектр звукового давления в 1/3-октавных полосах частот, генерируемого дозвуковой струей под углом 90° с осью струи [26]

но имеет место. Эти собранные Олсеном и Фридманом [26] результаты охватывают широкий диапазон изменения диаметра сопла и скорости истечения струи.

Если пренебречь сдвиговым шумом, то из выражения (2.38) следует, что ,77 -безразмерный спектр звукового давления в треть- октавных полосах частот X (1—Мс cos 6) является функцией только числа Струхаля источника (fD/Uj)(l—Mccos6). Тогда частота максимума спектра, воспринимаемого наблюдателем, расположенным сбоку от струи, будет постоянно увеличиваться по мере смещения наблюдателя вниз по потоку. Действительно, результаты, полученные в подразд. 1.8.4, показывают, что доплеровское смещение частоты, обусловленное конвекцией вихрей средним потоком, будет точно таким, каким его и следовало ожидать. Тем не менее график зависимости частоты максимума спектра от угла (рис. 2.17) [26] показывает, что такое поведение совершенно не согласуется с экспериментальными результатами, особенно в области углов, близких с осью струи. С другой стороны, если не пренебрегать сдвиговым шумом, ^7 должно зависеть не только от числа Струхаля источника. В самом деле, из выражения (2.38) следует, что сдвиговый шум имеет преимущественную направленность вниз по потоку, тогда как собственный шум имеет круговую характеристику направленности. Следовательно, если, как показали Рибнер и Мак Грегор [27], собственный шум имеет более высокую частоту, чем сдвиго-

Угол от оси струи. 8, градус

Рис. 2.17. Зависимость частоты максимума спектра от угла. Холодная дозвуковая струя, истекающая из круглого сопла. Свободное поле; затухание при распространении не учитывается [26]:

светлые значки относятся к скоростям струи от 274 до 288 м/с; темные значки относятся к скоростям струи от 183 до 186 м/с

вый , то получающаяся в результате преимущественная направленность вниз по потоку низкочастотного шума будет противодействовать эффекту Доплера. Далее Рибнер и Мак Грегор приняли, что рефракция звука средним потоком может также привести к относительному снижению низкочастотного шума при малых углах с осью струи. Действительно, если даже не пренебрегать сдвиговым шумом, то и в этом случае из выражения (2.38) следует, что при любом фиксированном угле 6 ^^ должна быть функцией только

числа Струхаля, в то время как из экспериментальных данных ясно видно, что при углах, близких к оси струи, такая закономерность не выполняется. Более того, из выражения (2.33) следует, что такое различие никаким образом не может быть обусловлено предположениями, касающимися структуры турбулентности, которые были приняты при выводе соотношения (2.38). Однако несомненно,, что такое расхождение может быть объяснено рефракцией. Действительно, далее (в гл. 6) будет показано, что многие из различий

между теорией и экспериментом могут быть связаны с такого рода эффектами взаимодействия акустического поля со средним потоком.

Сверхзвуковые струи

При сверхзвуковых скоростях потока уже нельзя воспользоваться соображениями, приведенными в подразд. 2.2.3, чтобы показать, что правую часть уравнения Лайтхилла можно рассматривать как величину, относящуюся к источнику. Следовательно, подход, основанный на акустической аналогии, может оказаться неприменимым в случае таких потоков. Тем не менее можно предположить, что с помощью такого подхода можно объяснить некоторые из наблюдаемых особенностей шума сверхзвуковой струи.

Излучение волн Маха. Проведенный в подразд. 2.5.1 анализ в большей части ограничен дозвуковыми скоростями. В самом деле, этот анализ основывается на соотношении (2.32), знаменатель которого при сверхзвуковых скоростях конвекции может обращаться в нуль. Следовательно, /(х)=Г(х, 0) может принять бесконечно большое значение в тех точках, где (1—Mccos6) стремится к нулю (т. е. в точках, расположенных на конусе Маха движущегося вихря). Однако в этих точках не будет выполняться неравенство (2.31), и в результате не будет справедливо соотношение (2.32). С другой стороны,величина

Яда (у'ЛЛ^ — —)

X Сд(1 — McCOs8) J

в числителе в выражении (2.29) в этих точках тоже может стремиться к нулю (так как любая реальная функция корреляции должна стать равной нулю при большом времени задержки). Следовательно, подынтегральное выражение в уравнении (2.29) может остаться конечным в этих точках, даже если 1 = 0. Отсюда следует, что конечное время жизни и конечный размер турбулентных вихрей в совокупности препятствуют бесконечному росту излучения в направлении волн Маха.

Как уже отмечалось, фактор (1—Mccos0)-5 обусловлен конвекцией источника и связан с соответствующим фактором, появляющимся в приведенных в подразд. 1.8.5 формулах, относящихся к точечному квадрупольному источнику. Он описывает увеличение интенсивности звука при движении источника по направлению к наблюдателю и имеет больший показатель степени в случае квадрупольного, чем монопольного источника, что учитывает фазовое сокращение между монопольными источниками, составляющими квадруполь. Ранее уже было показано, что такое сокращение приводит к очень малой эффективности квадрупольного источника при нулевой скорости. Однако этот эффект проявляется меньше, если источник имеет составляющую скорости в направлении наблюдателя. Действительно, когда Мс cos 6=1, источник приближается к наблюдателю точно со скоростью звука, и звук, излучаемый элементами квадруполя, расположенными дальше от наблюдателя, не может

накладываться на звук, излучаемый ближними к наблюдателю элементами. При таких условиях сокращение пропадает, и акустические волны будут такими же, как и генерируемые некомпактным монопольным источником. Поэтому полагается, что звуковое поле будет иметь относительно большую интенсивность в направлении

= arccos—— , Мс

где проявляется рассматриваемый эффект. С другой стороны, из выражения (2.30) следует, что в этом направлении

, , ЛоДоп Х:Х]ХкХ[ р / ш х \

А ^//-м У ,, OUy'.2.50)

Поэтому волновое число звукового поля будет таким же, как и для турбулентности, генерирующей это поле, как это имеет место в случае дозвукового потока, однако теперь к образованию звука приводит и составляющая турбулентности с нулевой частотой (стационарная) (см. рис. 2.5). Следовательно, излучение звука происходит в результате конвекции средним потоком существенно замороженного элемента турбулентности. Такая картина совершенно отличается от имеющей место при малых числах Маха, когда турбулентные вихри ведут себя подобно компактным источникам, которые излучают звук только вследствие присущей им самим нестацио- нарности. Следовательно, вихри, движущиеся со сверхзвуковой скоростью, акустически подобны движущимся твердым телам, и получающееся в результате такого движения излучение звука часто называется излучением, волн Маха.

Чтобы получить выражение для звукового поля, которое остается конечным в направлении излучения волн Маха, следует провести обратное преобразование Фурье выражения (2.50), в результате чего получим.

Г(х,г)^

On XiXjXkXl С / . х-^ \ { Xm d V n , , . \J

4— \ \\8НL Rwtf,W№-

16л2с0 хв J J \ ХСд ) \ X /

Тогда, раскладывая вектор ^ на составляющую с„ в направлении излучения волн Маха х/х и составляющую gs, перпендикулярную этому направлению (как показано на рис. 2.18), получим

16л2 X» J J J L »$„кп—с<о

и соответственно

7(х)=

11(2.-51)

Рис. 2.18. Система координат, приняв тая в уравнении волн МахаРис. 2.18. Система координат, приняв тая в уравнении волн МахаЭтот результат впервые был получен Фоксом Вильямсом [14]. Можно попытаться, как и в случае дозвукового потока, для оценки интенсивности источника воспользоваться экспериментальными измерениями. Но, так как измерения с помощью термоанемометра при сверхзвуковых скоростях невозможны, в настоящее время имеется мало сведений о турбулентности в таких потоках. Однако есть надежда, что применение лазерных доплеровских измерителей скорости может внести ясность в этот вопрос. Можно попытаться определить основные

Рис. 2.18. Система координат, приняв тая в уравнении волн Маха

Рис. 2.18. Система координат, приняв тая в уравнении волн Маха

характеристики звукового поля на

основе анализа подобия. В соот

ветствии с этим анализом заменим дифференцирование по gn на диаметр струи D, интегрирование по времени т на DfUj на Нцм на Uj4. Тогда соотношение (2.51) примет вид

Отметим, что интенсивность излучаемого звука в этом случае меняется как скорость струи в третьей, а не в восьмой степени. Обычно полагается, что такая зависимость имеет место при достаточно высоких сверхзвуковых скоростях. На рис. 2.19 приведена характерная зависимость мощности акустического излучения от скорости струи (взята из работы [14]).

Газодинамика сверхзвуковых струй. Газодинамические характеристики сверхзвуковых струй различаются в зависимости от того, будет ли давление в плоскости среза сопла больше (недорасширен- ная струя), меньше (перерасширенная струя) или равно давлению в окружающей среде (полностью расширенная струя). Как показано на рис. 2.20, первые два случая характеризуются хорошо выраженной системой скачков уплотнения. При некоторых условиях истечения появляющаяся структура скачков может стать относительно неустойчивой и может измениться даже при незначительном изменении давления и скорости на срезе сопла. Общая структура полностью расширенной струи показана на рис. 2.21. В отличие от дозвуковой струи в этом случае длина потенциального ядра может изменяться в зависимости от числа Маха. Измерения длины ядра, а также сверхзвуковой зоны смешения проводились многими исследователями. Данные Нагамацу и Шира [28] и других авторов представлены на рис. 2.22.

Расположение акустических источников. Одной из основных акустических характеристик струи является распределение в струе •105

Рнс. 2.19. Зависимость суммарного уровня звуковой мощности от скорости струи, истекающей из сверхзвукового сопла [14]

источников звука. Существует множество методик, с помощью которых можно определить распределение источников. Эти методики связаны с применением акустических зеркал, отсечением участков струи большим звукопоглощающим экраном, через отверстие в котором протекает струя [29, 30], экстраполяции по максимумам характеристики направленности в звуковом поле [31, 32] и измерением пульсаций давления в ближнем поле вдоль границы струи [33]. Существует целый ряд трудностей, связанных с применением каждого из этих методов [14, 29], и при интерпретации результатов следует проявлять чрезвычайную осторожность. Действительно, как показано в подразд. 1.5.1, на основании измерений звукового поля невозможно полностью определить даже природу акустического источника. Тем не менее такие измерения в основном указывают, что область максимальной генерации шума располагается непосредственно ниже по потоку за линией, на которой скорость потока равна скорости звука. Измерения Бишона, Фокса Вильямса и Смита [29], показывающие, что основные источники шума располагаются существенно выше по потоку от этой линии, являются важным исключением.

Экспериментальное доказательство существования волн Маха. Для исследования излучения струями вихревых волн Маха проведены многочисленные оптические измерения. Например, Олсен и Ол- лерхид [34] Досанж и Ю [35] получили теневые фотографии, а Эггерс [36]) и Джонс [37]—шлирен-фотографии. Можно различить два типа волн, имеющих характеристики волн Маха. Волны одного типа проявляются на нескольких первых калибрах от среза сопла и видны на теневых фотографиях, волны второго типа не проявляют-

Рис. 2.20. Струи, истекающие из сопла Лаваля при различной степени не- расчетности [47]. (а) Отношение давления в непосредственной близости от среза сопла к атмосферному давлению равно 1,5. (б) Отношение давления в непосредственной близости от среза сопла к атмосферному давлению равно 0,8

ся на теневых фотографиях, однако их можно увидеть на шлирен- фотографиях, они наблюдаются ниже по потоку от среза сопла на расстоянии приблизительно 8 ... 10 калибров от среза в зависимости от числа Маха. .

Так как волны Маха могут генерироваться только в области сверхзвукового течения, а экспериментальные данные показывают, что основное излучение звука происходит из зоны, расположенной ниже по течению от этой области, то волны Маха нельзя отнести к основным источникам шума сверхзвуковой струи. Более того, как показал Там [38], частоты излучения волн Маха могут быть слишком велики, чтобы вносить существенный вклад в основную часть наблюдаемого спектра акустического излучения.

Модели шума струи, основанные на крупномасштабных структурах. Модель волн Маха была предложено Бишопом, Фоксом Вильямсом и Смитом [29] для объяснения некоторых типов акусти-

р;ы. 2.21. Схема течения в расчетной сверхзвуковой струе:

/—сверхзвуковое ядро; 2—сверхзвуковой слой смешения, М>1; 3—дозвуковая турбулентная область, М<1; 4—длина потенциального ядра, Lc; 5—длина сверхзвуковой области, Ls; 6—переходная область; 7—область развитого потока

ческого излучения сверхзвуковых струй. Эксперименты этих авторов показывают, что основными источниками шума являются крупномасштабные вихри, когерентность которых сохраняется на расстояниях, существенно больших, чем ширина слоя смешения, и которые концентрируются вокруг потенциального ядра струи. Было сделано предположение, что эти вихри имеют относительно упорядоченную структуру и обусловлены неустойчивостью основного потока. Эти авторы предложили модель для расчета подобных структур в потоке (которая подобна модели, используемой для расчета неустойчивости ламинарных течений).

Там [38] также предложил модель (для случая почти полностью расширенной сверхзвуковой струи), в которой генерация шума связывается с крупномасштабными структурами в потоке. Однако в предложенной Тамом модели генерация шума определяется неустойчивыми крупномасштабными спиральными модами, которые захватывают всю струю. Предполагается, что такая неустойчивость появляется в результате периодического резонансного возбуждения возмущений, возникающих в сопле, ударными волнами. Такая неустойчивость приводит к генерации звука вследствие развития как нестационарного движения, так и физических колебаний струи.

Генерация шума ударными волнами. Помимо рассмотренных в последнем разделе механизмов генерации шума важную роль в генерации шума сверхзвуковой струи играют механизмы, относящиеся к взаимодействию турбулентности со скачками уплотнения, и механизмы, относящиеся к обратной связи, в которых активную роль играет структура скачков уплотнения. Так, когда турбулентность проходит через скачок уплотнения, она вызывает местную деформацию скачка, что приводит к генерации широкополосного (но с хорошо выраженным максимумом) звука, который обычно называют шумом, связанным со скачками уплотнения. АФализ звука, генерируемого турбулентностью, проходящей через отдельный ска-

Рис. 2.22. Зависимость длины потенциального ядра и сверхзвуковой обиаоти от числа Маха истечения струи [28]: светлые значки относятся к длине сверхзвуковой области, полученной в различных работах; темные значки относятся к длине потенциального ядра, полученной в различных работах

чок уплотнения, проведен Лайтхиллом [39], Рибнером [40] и Керре- броком [41]. Обычно полагается, что процесс приводит к образованию основных источников шума в сверхзвуковых аэродинамических трубах. Однако турбулентные вихри в струе вследствие конечного времени жизни могут пересечь несколько скачков уплотнения, прежде чем потеряют свою индивидуальность. Следовательно, генерируемое при этом акустическое излучение можно определить по интерференции между звуковыми полями, создаваемыми отдельными скачками, входящими в систему [49].

Пауэлл [42] для объяснения появления дискретных тонов в спектре шума холодных модельных струй со скачками уплотнения предложил механизм обратной связи. В рассматриваемом Пауэллом механизме принимается (как и в обсуждаемой ранее модели крупномасштабных структур), что происходит усиление переносимых вниз по потоку возмущений. Однако в модели Пауэлла принимается, что колебания скачка уплотнения приводят к излучению звуковой волны, которая распространяется через движущуюся с дозвуковой скоростью окружающую серду к кромке сопла. Полу-

Рис. 2.23. Спектры шума струи, истекающей из сужающегося сопла с дозвуковыми и сверхзвуковыми скоростями; угол с осью струи 82°. Результаты основываются на данных, предоставленных Олсеном и приведенных в работе [43]:

1—дополнительный шум, обусловленный источниками со сверхзвуковыми скоростями; 2—дискретные тона, обусловленные механизмом обратной связи

чающееся при этом изменение давления в плоскости среза сопла при некоторых условиях может породить новое возмущение, которое замыкает.цикл.

Такой процесс в основном поддерживается вследствие того, что все потери энергии, связанные с излучением и вязкостью среды, возмещаются вследствие неустойчивости потока.

На рис. 2.23 (основанной на измерениях Стоуна и Гутиерреца [43] приведены спектры акустического излучения под углом 80° с осью струи, истекающей из сходящегося сопла при различных числах Маха. Так как угол излучения близок к 90°, влияние взаимодействия акустической волны со средним потоком не оказывает существенного влияния на результат. Сплошные кривые имеют одинаковую форму и только смещены друг относительно друга. Пунктирная линия, проведенная через максимумы этих кривых, соответствует постоянному числу Струхаля. Из приведенных на рисунке данных видно, что низкочастотная часть спектра сохраняется постоянной как в случае дозвуковых, так и сверхзвуковых скоростей, тоянной как в случае дозвуковых, так и сверхзвуковых скоростей.

Рис. 2.24. Спектры шума расчетной (без скачков уплотнения) струи, и<этека1юш.ей из сопла Лаваля; угол с осью струи 90° £44]

Однако на спектрах, соответствующих сверхзвуковым скоростям, видны всплески, которые, вероятно, можно отнести к дискретным тонам, обусловленным обратной связью, и дополнительные подъемы в области высоких частот (заштрихованная область), которые, вероятно, относятся к шуму, связанному со скачками уплотнения.

В самом деле, из результатов, представленных на рис. 2.24 (основанных на измерениях Танна и Дина [44]), следует, что спектры под углом 90° с осью расчетной (без скачков уплотнения) струи имеют одинаковую форму как при сверхзвуковых, так и при дозвуковых скоростях струи.

Более того, при этом нет указаний на существование дополнительных источников шума, которые явно проявляются на рис. 2.23. Частоты максимумов спектров вновь моделируются по числу Струхаля.

Из результатов измерений Танна и Дина также следует, что суммарные уровни звукового давления под углом 90° с осью струи изменяются как скорость струи в восьмой степени при всех числах Маха, тогда как результатам, приведенным на рис. 2.23, при самых высоких скоростях соответствует закон десятой степени скорости.

Низкоскоростные струи.

Регулярные структуры

При очень низких числах Рейнольдса течение в струе ламинарное, и струя не генерирует звук. Однако при увеличении числа Рейнольдса струя становится неустойчивой по отношению к малым возмущениям, и возникает нестационарный периодический поток.

Плоские струи; краевые тона. Сначала рассмотрим струю, истекающую со скоростью Uj из длинной щели высотой h в неограниченную покоящуюся среду. Когда число Рейнольдса QoUjhjyi становится большим 100, поток становится неустойчивым по отношению к возмущениям в определенном диапазоне частот и начинает колебаться, принимая синусоидальную форму. Такого рода нестацио- нарность приводит к генерации шума типа шипенья, максимум спектра которого наблюдается вблизи частоты f = 0№5Ujlh.

Такой звук можно преобразовать в звук чистого тона существенно большей интенсивности, который называется «краевым тоном», если поместить на некотором расстоянии от щели клин, как показано на рис. 2.25. Эти тона, имеющие место при генерации звука во флейте или органных трубах, достаточно полно исследованы как теоретически, так и экспериментально. Экспериментальные исследования показывают, что колебания струи связаны с дискретными вихревыми образованиями, которые попеременно срываются с верхней и нижней части вершины клина, как показано на рис. 2.26.

Обычно полагают, что генерация этих тонов относится к механизму обратной связи, который очень похож на механизм, имеющий место в случае генерации свиста в струе (см. с. 108). Однако в этом случае излучение акустических волн появляется в результате распространения вниз по потоку возмущений, набегающих на клин. Как и в случае генерации свиста в струе, падение акустической волны на кромку сопла порождает новое возмущение, которое продолжает цикл. Более того, процесс и в этом случае остается незатухающим вследствие того, что неустойчивость потока обеспечивает подвод энергии к распространяющимся возмущениям.

Рис. 2.25. Экспериментальная установка для генерации краевого тона.:

/—щель; 2—кромка; 3—клин

Рис 2 26 Структура вихрей при генерации краевого тона [48]

При любых заданных скоростях потока существует минимальное расстояние между клином и щелью, при котором может возникнуть дискретный тон. При расстояниях, больших минимального, частота тона возрастает с ростом скорости и уменьшается при увеличении расстояния между клином и соплом до тех пор, пока не достигаются условия, при которых появляется заметная нерегулярность потока. При этом наблюдается резкий скачок частоты дискретного тона. Дальнейшее увеличение расстояния или скорости приводит к постепенному изменению частоты тона до появления второго скачка и так далее. Когда процесс проходит в обратном направлении, вновь имеют место скачки частоты, но уже при несколько других значениях скорости и расстояния.

Рис. 2.27. Образование вихревых колец в струе при малых числах Рейнольдса [46]

Осесимметричные струи; дискретные тона. Когда струя, истекающая из круглого отверстия диаметром D, становится неустойчивой, вихри на краю отверстия сворачиваются в вихревые кольца (которые переносятся вниз по потоку), и струя принимает вид, показанный на рис. 2.27. Такая картина наблюдается при значениях числа Рейнольдса 160<р0(77П/ц< 1200. Более явная периодическая картина получается при истечении струи из отверстия в трубку. Такая периодичность может привести к генерации звука чистого тона. Однако, чтобы получить резкий топ, который не чувствителен к малым изменениям формы отверстия, следует продувать струю через две пластинки с отверстиями (соответствующей формы и расположенных на соответствующем расстоянии). Такой механизм приводит к генерации звука в некоторых духовых инструментах и при свисте человека.

Картина течения, имеющая место при истечении струи из круглого сопла, подобна картине, наблюдаемой при истечении струи из отверстия, при этом неустойчивость струи приводит к развитию колебаний от синусоидальных к спиральным и даже к образованию цепочки вихрей. При увеличении числа Рейнольдса выше 1200 течение в струе становится турбулентным, и периодическая структура постепенно исчезает. В этом случае развитие струи происходит таким образом, как показано на с. 93. Однако имеются предположения [45, 46], что характерные для малых скоростей периодические структуры сохраняются (даже при больших числах Рейнольдса) в форме крупномасштабных регулярных турбулентных структур, и

они могут играть непосредственную роль в генерации шума высокоскоростными струями. Так, проведенные Молле Кристенсеном [46] измерения показали, что вне турбулентной струи пульсации давления состоят из хорошо различимых более или менее идентичных волновых пакетов, при этом единственной случайной величиной является относительное положение пакетов.

Струи, чувствительные к внешнему воздействию. Когда струя близка к турбулентному режиму, она весьма чувствительна к гармоническим тонам. Рэлей [8] связывал такое поведение струи с возбуждением звуковыми волнами в плоскости среза сопла неустойчивых волн в окружающем струю вихревом слое. Со времени первого наблюдения в 1850 г. колебаний пламени газовой горелки под влиянием звука виолончели явлению «чувствительных струй» посвящены многочисленные исследования. Недавно было показано, что даже турбулентные струи могут быть неустойчивыми к некоторым типам возмущений. Так, Кроу и Шампань [45] показали, что плоские волны, падающие на срез сопла — начальное сечение струи (изнутри сопла), могут привести к генерации рассеивающихся волн, которые усиливаются средним потоком при распространении вниз по потоку.

2.6. ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ

Хотя теория Лайтхилла позволяет описать ряд наиболее существенных характеристик акустического излучения струй, остается ряд менее существенных величин, которые невозможно описать с помощью этой теории (с. 102). В гл. 6 будет показано, что такое расхождение результатов связано с предположением в теории Лайтхилла, что источники движутся в стационарной среде, тогда как в действительности они находятся в потоке, относительно которого сохраняют почти стационарное положение.

Помимо источников, которые рассматривались в этой главе, существует еще целый ряд источников шума, вносящих вклад в акустическое поле, генерируемое реальными реактивными двигателями. Кроме шума вентилятора, который будет рассматриваться в гл. 4, следует отметить шум горения, который обычно является низкочастотным, и шум, генерируемый внутри двигателя, характеристика направленности которого имеет максимум под углом около 60” с осью струи. Последний обычно связан с шумом турбины и обтеканием стоек и рассекателей в выхлопном тракте двигателя. Существует вероятность, что неустойчивость течения в струе может привести к усилению звука, генерируемого такими внутренним источниками. В заключение следует отметить, что поступательное движение самолета может привести к существенному изменению характеристик акустического излучения двигателя, которое нельзя должным образом объяснить на основе существующей теории.

В двух последних главах этой книги будет показано, каким образом можно использовать акустическую аналогию Лайтхилла при изучении многих аэродинамических и акустических процессов других типов.

Приложение

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУНКЦИИ КОРРЕЛЯЦИИ ИСТОЧНИКА

Так как принимается, что поток стационарен во времени, выражение, стоящее под знаком интеграла в (2.13), можно записать в виде

dt.dt.!д2т*ы

dt.

dt.

А = lim -— \—

т^»2Т J ОН дР

—Т

А = limА = lim1 . дИ^ д2Тм2Г \д(2 дх?1 . дИ^ д2Тм2Г \д(2 дх?где Тц^’, t') обозначено через Т'7> а 7и(у", г") через Т^. Тогда из соотношения (2.14) следует, что

А = lim

А = lim

1 . дИ^ д2Тм

2Г \д(2 дх?

1 . дИ^ д2Тм

2Г \д(2 дх?

152с„

dt = lim -— \ Т biclt.

т^ТГ dx^ 2дР ы

—Т

Но, так как все стационарные функции ос1аются ограниченными при больших

значениях времени, интегрирование по частям дает

.1 № / дТ'иА = lim 1 Тмг^~2Т дт'Д dt ы.1 № / дТ'иА = lim 1 Тмг^~2Т дт'Д dt ыдТ’ц дТ"н dt dt dtдТ’ц дТ"н dt dt dt1 d2 ,— lim \т^«ЛТ dx2 31 d2 ,— lim \т^«ЛТ dx2 3^'^Т"ы" ■at.dt dt^'^Т"ы" ■at.dt dt

.1 № / дТ'и

А = lim 1 Тм

г^~2Т дт'Д dt ы

.1 № / дТ'и

А = lim 1 Тм

г^~2Т дт'Д dt ы

дТ’ц дТ"н

dt dt dt

дТ’ц дТ"н

dt dt dt

1 d2 ,— lim \т^«ЛТ dx2 3

1 d2 ,— lim \т^«ЛТ dx2 3

^'^Т"ы

" ■at.

dt dt

^'^Т"ы

" ■at.

dt dt

Гогда, снова используя второе соотношение (2.14), получим

А= —lim\Th]dt.

2Г дх1- 2 dt 1

—Т

И окончательно, проводя второй раз интегрирования по частям, получаем

т

15454

-Т

Список литературы

Гутин Л. Я. О звуковом поле вращающегося воздушного винта.—ЖТФ, т. 6, вып. 5, 1936.

Lighthill М. J. On Sound Generated Aerodynamically. i. General Theory, Proc. Roy. Soc. (London), 211 A, 1107, 564—587, 1952.

Lighthill M. J. On Sound Generated Aerodynamicaiiy. II. Turbulence as a Source of Sound. Proc. Roy. Soc. (London), 222A, 1148, 1—32, 1954.

Curie N. The Influence of Solid Boundaries on Aerodynamic Sound. Proc. Roy. Soc. (London) 231A, 1187, 505—514, 1955.

Powell Alan. Aerodynamic Noise and the Plane Boundary. J. Acoust. Soc. Am., 32, 8, 982—990, 1960.

Fiowcs Williams J. E. and L. H. Hall. Aerodynamic Sound Generation by Turbulent Flow in the Vicinity of a Scattering Half Plane. J. Fluid Meeh., 40, pf. 4, 657—670, 1970.'

Phillips О. M. On the Sound Generated bv Turbulent Shear Layers. J. Fluid Meeh. 9, pt. 1, 1—28, i960.'

Rayleigh John W. The Theory of Sound, Dover Publications. 1945.

Crow S. C. Aerodynamic Sound Emission as a Singular Peturbation Problem. Stud. Appl. Math. 49, 1, 21—44, 1970..

Ribner H. S. The Generation of Sound by Turbulent Jets, in Advances in Applied Mechanics, 8, 104—182, Academic Press, 1964,

Ribner H. S. Quadrupole Correlations Governing the Pattern of Jet Noise. J. Fluid Meeh., 38, pt. 1, 1—24, 1969.

Goldstein M. and B. Rosenbaum. Effect of Anisotropic Turbulence on Aerodynamic Noise. J. Acoust. Soc. Am. 54, 3, 630—645, 1973.

Davies, P. O. A. L., M. J. Fisher and M J. Barratt. The Characteristics of the Turbulence in the Mixing Region on a Round Jet. J. Fluid Meeh., 15. pt. 3, 337—367, 1963.

Ffowcs Williams J. E. The Noise from Turbulence Convected at High Speed. Phil. Trans. Roy. Soc. A225, 469—503, 1963.

Lilley G. M. On the Noise from Air Jets. ARC—20, 376; N. 40; FM—2724, British Aeronautical Research Council, September 1958.

Karchmer A., R. Dorsch and R. Friedman. Acoustic Tests of 15. 2 Centimeters Diameter Potential Flow Nozzle. TM X—2980, NASA, 1974.

Laurence James C. Intensity, Scale, and Spectra of Turbulence in Mixing Region of Free Subsonic Jet, NACA TR 1292, 1956.

Bradshaw P., D. H. Ferriss and R. F. Johnson. Turbulence in the Noise— Producing Region of a Circular Jet, J. Fluid Meeh., 19, pt. 4, 59!—624, 1964.

Wills, J. A. B. On Convection Velocities in Turbulent Shear Flows. J. Fluid Meeh. 20, pt. 3, 417—432, 1964.

Fisher M. J., and P. O. A. L. Davies. Correlation Measurements in a Nonfrozen Pattern of Turbulence. J. Fluid Meeh., 18, pt. 1, 97—116, 1964.

Chu, Wing T., Turbulence Measurements Relevant to Jet Noise. UTIAS— 119, University of Toronto (AD—645322), 1966..

Olsen W. A., O. A. Gutierrez and R. G. Dorsch. The Effect of Nozzle Inlet 'Shape, Lip Thickness, and Exit Shape and Size on Subsonic Jet Noise. TM X— 68182, NASA, 1973.

Lush P. A. Measurements of Subsonic Jet Noise and Comparison with Theory. J. Filuid Meeh., 46, pt. 3, 477—500, 1971.

Powell Alan. A Survey of Experiments on Jet Noise. Aircraft Engineering, 26, 2—9, 1954.

Ribner H. S. New Theory of Jet Noise Generation Directionality, and' Spectra. J. Acoust. Soc. Am., 31, 245—246, 1959.

Olsen W. and R. Friedman. Jet Noise from Coaxial Nozzles Over a Wide Range of Geometric and Flow Parameters, AIAA paper N. 74—43, January 1974.

Ribner H. S. and G. R. MacGregor. The Ellusive Doppler Shift in Jet Noise. Presented at the 6th International Congress on Acoustics, Tokyo, Japan, August,. 21—28, 1968.

Nagamatsu H. T. and R. E. Sheer Jr. Supersonic Jet Noise Theory and Experiments in Basic Aerodynamic Noise Research. Basic Aerodynamic Noise Research. NASA SP—207, 17—51, 1969..

Bishop K. A., J. E. Ffowcs Williams and W. Smith. On the Noise Sources of the Unsuppressed High—Speed Jet. J. Fluid Meeh., 50, pt. 1, 21—32, 1971.

Potter R. C. An Investigation to Locate the Acoustics Sources in a High Speed Jet Exhaust Stream. WR—68—4, Wyle Labs., (NASA CR—101105), 1968.

Yu James C. and Darshan S. Dosanjh. Noise Field of a Supersonic Mach 1. 5 Cold Model Jet. J. Acoust. Soc., Am, 51, 5 (pt. 1), 1400—1410, 1972.

Mull Harold R. and John C. Erickson Jr. Survey of the Acoustic Near Field pf Three Nozzles at a Presure Ratio of 30. NACA TN 3978, 1957.

Nagamatsu H. T., R. E. Sheer, Jr. and M. S. Gill. Flow and Acoustic Characteristics of Subsonic and Supersonic Jets from Convergent Nozzle, Research and Development Center, General Electric Co. (NASA CR—108805), 1969.

Lowson M. V. and J. B. Oilerhead. Visualization of Noise from Cold Superconic Jets, J. Acoust. Soc. Am., 44, 2, 624—630, 1968.

Dosanjh Darshan S. and James C. Yu. Noise from Underexpanded Axisymmetric Jet Flow Using Radial Jet Flow Impingement. Aerodynamic Noise: Proceedings of the Symposium, University of Toronto, Toronto, Canada. May 20 and 21, 1968. ,

Eggers J. M. Velocity Profile and Eddy Viscosity Distributions Downstream of a Mach 2.2 Nozzle Exhausting to Quiescent Air, TN D—3601, NASA, 1966.

Jones Ian S. F. Finite Amplitude Waves from a Supersonic Jet. Paper 71 — 151, AIAA, January 1971.

Tam Christopher K. W. On the Noise oi ? Nearly Ideally Expanded Supersonic Jet, J. Fluid Meeh., 51, pt. 1, 69—96, 1972.

Lighthill M. J. On the Energy Scattered from the Interaction of Turbulence with Sound or Shock Waves. Proc. Cambridge Phil’., Soc., 49, 531—551, 1953.

Ribner H. S. Acoustic Energy Flux from Shock—Turbulence Interaction. J. Fluid Meeh., 35, pt. 2. 299—310, 1969.

Kerrebrock Jack Leo. The Interaction of Flow Discontinuities with Small' Disturbances in a Compressible Fluid. Ph. D. thesis, Calif. Inst. Tech. 1956.

Powell Alan. The Noise of Choked Jets. J. Acoust. Soc. Am., 25, 3, 385— 389, 1953.

Stone J. and O. Gutierrez. Noise Tests of a High—Aspect—Ratio Slot Nozzle with Various V—Gutter Target Thrust Reversers. TM X—71470, NASA, 1973.

Tanna and Dean. An Experimental Study of Shock—Free Supersonic Jet Noise. AIAA paper N. 75—480, 1975.

Crow S. C. and F. H. Champagne. Orderly Structure in Jet Turbulence. J. Fluid Meeh., 48, pt. 3, 547—592, 1971.

Moilo—Christensen Erik. Jet Noise and Shear Flow Instability Seen from an Experimenter’s Viewpoint. J.. Appl. Meeh., 34, 1—7, 1967.

Howarth Leslie, ed. Modern Developments, Fluid Dynamics’ High Speed Flow. Vol. 1, Clarendon Press, Oxford, 1953.

McCartney M. S. and Isaac Greber. An Experimental and Theoretical Investigation of the Edgetone Phenomenon, FTAS TR 73—87, Department of Fluid, Thermal and Aerospace Sciences. Case Western Reserve University, June 1973.

Harper—Bourne M. and M. J. Fisher. The Noise from Shock Waves in .'Supersonic Jets. Proc. AGARD Conf, on Noise Mechanisms (Brussels, Belgium), -September 1973.

ГЛАВА 3

ВЛИЯНИЕ ТВЕРДЫХ ГРАНИЦ

.1. ВВЕДЕНИЕ

Во второй главе было показано, как можно использовать уравнение Лайтхилла для расчета шума, генерируемого нестационарными потоками при отсутствии твердых границ (или точнее потоками, влиянием твердых границ в которых можно пренебречь). Однако- во многих представляющих практический интерес случаях твердые границы играют непосредственную роль в процессах генерации звука. Действительно, они часто вызывают существенное увеличение шума. Твердые поверхности непосредственно участвуют в процессах генерации шума винтами вертолета и самолета, а также вентиляторами, турбинами и компрессорами авиационных двигателей. Они также оказывают существенное влияние на генерацию шума закрылками самолетов короткого взлета и посадки при обдуве их струей двигателя и самолетами, расположенными на авианосце.

Известно, что шум, генерируемый квадрупольными источниками, рассматриваемыми в теории Лайтхилла, всегда отражается твердыми границами и дифрагирует на них. Однако более важно, что при некоторых условиях твердые границы могут привести к образованию поверхностно распределенных дипольных или даже монопольных источников, которые определяются силами, возбуждаемыми на поверхности нестационарным потоком.

В настоящей главе акустическая аналогия Лайтхилла будет расширена с тем, чтобы она позволяла учесть влияние твердых' границ.

2. ВЫВОД ОСНОВНОГО УРАВНЕНИЯ

Будем предполагать, что влиянием начальных условий можно пренебречь, так что интегральную формулу (1.65) можно использовать для отыскания решения уравнения Лайтхилла (2.5) в произвольной области v(t), полностью или частично ограниченной поверхностью S (т). Поскольку этот результат по существу представляется волновым уравнением для стационарной среды, можно принять, что U = 0 и, как следствие, потребовать, чтобы функции р и G удовлетворяли волновым уравнениям для стационарной среды (1.69) и (1.70) соответственно.

на»

Действительно, сравнивая уравнения (1.69) и (2.5) и принимая р = с02д, находим, что

ттду;ду.ду;ду.d^dx-Vd^dx-Vтi Г Г , Vn д \ ,, ( дJ [ \дпот /V дг-Т S(T) "итi Г Г , Vn д \ ,, ( дJ [ \дпот /V дг-Т S(T) "и—) Glt/S(y)tfT, с^ дт) J—) Glt/S(y)tfT, с^ дт) J(3.1)(3.1)где q' = q —е0означает пульсации плотности, Уп— (так как U=0) нормальная составляющая скорости поверхности Vs и0 = 0 (у, т|хД)(3.2)где q' = q —е0означает пульсации плотности, Уп— (так как U=0) нормальная составляющая скорости поверхности Vs и0 = 0 (у, т|хД)(3.2)— любое решение неоднородного волнового уравнения (1.70), удовлетворяющее причинному условию (1.63) и стремящееся к нулю на бесконечности (если v — внешняя область).Используя тождествод _дТц дdG»2Tij№G''dytdytду,ду;ду;ду;дуЩу,для исключения величины Од^Т^^дугду^ и применяя теорему о дивергенции (1.В.1), чтобы исключить объемные интегралы (с учетом определения величины У™ (1.67)), и определяя д[дп как иДд/ду,), получим из (3.1) гтУ —— \ \ -——Tijdydxp 5Д \ Qnt — ^Tjj^CobijQ )+V/ —- X Cq J ду,ду) 1cj J J Vdy,ox J-rv(T)-ts^X dSdx - -2- \ \ «-j [(Tu + c^ijQ')+ VsjQ' ~ I dSdx.J J 7 Ldy;dx j— любое решение неоднородного волнового уравнения (1.70), удовлетворяющее причинному условию (1.63) и стремящееся к нулю на бесконечности (если v — внешняя область).Используя тождествод _дТц дdG»2Tij№G''dytdytду,ду;ду;ду;дуЩу,для исключения величины Од^Т^^дугду^ и применяя теорему о дивергенции (1.В.1), чтобы исключить объемные интегралы (с учетом определения величины У™ (1.67)), и определяя д[дп как иДд/ду,), получим из (3.1) гтУ —— \ \ -——Tijdydxp 5Д \ Qnt — ^Tjj^CobijQ )+V/ —- X Cq J ду,ду) 1cj J J Vdy,ox J-rv(T)-ts^X dSdx - -2- \ \ «-j [(Tu + c^ijQ')+ VsjQ' ~ I dSdx.J J 7 Ldy;dx jЭто выражение после замены немых индексов и с учетом соотношений (2.3) и (2.4) примет видЭто выражение после замены немых индексов и с учетом соотношений (2.3) и (2.4) примет видтV = -T\ \ т-г- Ttjdydx + Cq J ? dyidyjтV = -T\ \ т-г- Ttjdydx + Cq J ? dyidyj\ \ — f.dS у)«'т- J ду;-TSc.)\ \ — f.dS у)«'т- J ду;-TSc.)n,ih:dS ^dx,n,ih:dS ^dx,тде /,■ = —ri; {p - /70) + /t,e,vтде /,■ = —ri; {p - /70) + /t,e,v(3. 3)(3.4)(3. 3)(3.4)—t-я составляющая силы на единицу площади, действующей со стороны границы на жидкость, q'^q—qo и—t-я составляющая силы на единицу площади, действующей со стороны границы на жидкость, q'^q—qo и, (дои: ,7s до'\ ,dQh: = G -——Vi —— +е^/®/ — 'дт )! ду., (дои: ,7s до'\ ,dQh: = G -——Vi —— +е^/®/ — 'дт )! ду.дтдт

т

т

ду;ду.

ду;ду.

d^dx-V

d^dx-V

т

i Г Г , Vn д \ ,, ( д

J [ \дпот /V дг

-Т S(T) "и

т

i Г Г , Vn д \ ,, ( д

J [ \дпот /V дг

-Т S(T) "и

—) Glt/S(y)tfT, с^ дт) J

—) Glt/S(y)tfT, с^ дт) J

(3.1)

(3.1)

где q' = q —е0

означает пульсации плотности, Уп— (так как U=0) нормальная составляющая скорости поверхности Vs и

0 = 0 (у, т|хД)(3.2)

где q' = q —е0

означает пульсации плотности, Уп— (так как U=0) нормальная составляющая скорости поверхности Vs и

0 = 0 (у, т|хД)(3.2)

— любое решение неоднородного волнового уравнения (1.70), удовлетворяющее причинному условию (1.63) и стремящееся к нулю на бесконечности (если v — внешняя область).

Используя тождество

д _дТц дdG»2Tij№G''

dytdytду,ду;ду;ду;дуЩу,

для исключения величины Од^Т^^дугду^ и применяя теорему о дивергенции (1.В.1), чтобы исключить объемные интегралы (с учетом определения величины У™ (1.67)), и определяя д[дп как иДд/ду,), получим из (3.1) гт

У —— \ \ -——Tijdydxp 5Д \ Qnt — ^Tjj^CobijQ )+V/ —- X Cq J ду,ду) 1cj J J Vdy,ox J

-rv(T)-ts^

X dSdx - -2- \ \ «-j [(Tu + c^ijQ')+ VsjQ' ~ I dSdx.

J J 7 Ldy;dx j

— любое решение неоднородного волнового уравнения (1.70), удовлетворяющее причинному условию (1.63) и стремящееся к нулю на бесконечности (если v — внешняя область).

Используя тождество

д _дТц дdG»2Tij№G''

dytdytду,ду;ду;ду;дуЩу,

для исключения величины Од^Т^^дугду^ и применяя теорему о дивергенции (1.В.1), чтобы исключить объемные интегралы (с учетом определения величины У™ (1.67)), и определяя д[дп как иДд/ду,), получим из (3.1) гт

У —— \ \ -——Tijdydxp 5Д \ Qnt — ^Tjj^CobijQ )+V/ —- X Cq J ду,ду) 1cj J J Vdy,ox J

-rv(T)-ts^

X dSdx - -2- \ \ «-j [(Tu + c^ijQ')+ VsjQ' ~ I dSdx.

J J 7 Ldy;dx j

Это выражение после замены немых индексов и с учетом соотношений (2.3) и (2.4) примет вид

Это выражение после замены немых индексов и с учетом соотношений (2.3) и (2.4) примет вид

т

V = -T\ \ т-г- Ttjdydx + Cq J ? dyidyj

т

V = -T\ \ т-г- Ttjdydx + Cq J ? dyidyj

\ \ — f.dS у)«'т- J ду;

-TSc.)

\ \ — f.dS у)«'т- J ду;

-TSc.)

n,ih:dS ^dx,

n,ih:dS ^dx,

тде /,■ = —ri; {p - /70) + /t,e,v

тде /,■ = —ri; {p - /70) + /t,e,v

(3. 3)

(3.4)

(3. 3)

(3.4)

—t-я составляющая силы на единицу площади, действующей со стороны границы на жидкость, q'^q—qo и

—t-я составляющая силы на единицу площади, действующей со стороны границы на жидкость, q'^q—qo и

, (дои: ,7s до'\ ,dQ

h: = G -——Vi —— +е^/®/ — 'дт )! ду.

, (дои: ,7s до'\ ,dQ

h: = G -——Vi —— +е^/®/ — 'дт )! ду.

дт

дт

Ограничимся рассмотрением только случая непроницаемой для потока поверхности , так что

11^1 = пу81 для у на S.

Тогда

,/dv, , dG । dG \dG

njii —^i —he®/®/ — — n-So-Oi —

\du drdyj /du

и в результате из уравнения неразрывности (2.1) следует, что

d ~\dG'/ —6^,0 -«/бо^ -Г- •dyj 1дхd ~\dG'/ —6^,0 -«/бо^ -Г- •dyj 1дх(3.5)(3.5), /doviG п,:И.; = гц ——

d ~\dG

'/ —6^,0 -«/бо^ -Г- •dyj 1дх

d ~\dG

'/ —6^,0 -«/бо^ -Г- •dyj 1дх

(3.5)

(3.5)

о дивергенциио дивергенцииV du

о дивергенции

о дивергенции

d^VjGdyjd^VjGdyjdS =dS =Применение правила Лейбница (1.В.2) и теоремы (1.В.1) к dQViG/dyi дает

d^VjGdyj

d^VjGdyj

dS =

dS =

d с dQviG , г d^oviG ,, Г

— \ dy=\ ^у + \ n-i'Ui

du J dytj dy^dx J

v(t)v(t)S(t)

Ч л' (^Т^+^НЬ0^)^’

S(T) '■

Следовательно, если воспользоваться теми же соображениями, которые изложены после уравнения (1.В.6), то пренебрегая интегральным членом

г doviG , It-t

\—dyV—т,

J dy;

получим, что только последний член dG . 7 dG

— fllQ^V; — Q0T „ —

в уравнении (3.5) вносит вклад в интеграл уравнения (3.3), и, следовательно,■

тт

бg-\ \ —— TijdytiT-\ 2" \ \ -—fidS^dx-\- cz0 J J dyLdyjJ J dy,-

T

+ 4r\ \ Q0Vn^dS^dT-(3.6)

U -rS(T)

Это фундаментальное соотношение, описывающее генерацию звука при наличии твердых границ. Полученный результат является точным, за тем лишь исключением, что здесь не учитываются возможные начальные переходные процессы. Он применим к любой области v(t), ограниченной непроницаемой поверхностью 5(т), при произвольном движении и при условии, что распределения источ-

пиков Т v, и ft достаточно локализированы, так чтобы рассматриваемые интегралы сходились (см. разд. 2.3).

В подходе, основанном на акустической аналогии, полагается, что тензор напряжений Ttj и поверхностные силы ft могут быть либо смоделированы математически, либо определены экспериментально. Тогда можно рассматривать правую часть уравнения как известную и вычислить пульсации плотности в звуковом поле. Первый член представляет генерацию звука объемными источниками, второй описывает генерацию звука нестационарными силами, действующими на жидкость со стороны поверхности, третий член представляет звук, генерируемый в результате эффектов объемного смещения (толщины) поверхности. На первый взгляд может показаться, что при применении этой формулы к решению данной аэроаку- стической задачи можно использовать почти любое фундаментальное решение G, это действительно справедливо, если имеются точные сведения об источниках ft, Т.ц и Q0Kn. Поскольку на практике таких сведений Почти никогда не имеется, а даже незначительная ошибка при оценке источника может привести к чрезмерной ошибке при определении характеристик звукового поля, если не используется подходящее фундаментальное решение, то мы фактически крайне ограничены в выборе G.

УРАВНЕНИЕ ФОКС ВИЛЬЯМСА—ХОУКИНГСА

Когда область v занимает все пространство, поверхностные интегралы в формуле (3.6) пропадают, и единственной возможной функцией G будет функция Грина для свободного пространства G0, определяемая выражением (1.56); в этом случае вновь приходим к соотношению (2.11) (которое являлось отправной точкой при анализе шума струи в гл. 2). Теперь, даже если имеются твердые границы, нет причин, препятствующих при теоретическом анализе в качестве функции G выбрать функцию Грина для свободного пространства. В этом разделе будут рассматриваться следствия, вытекающие из такого выбора. ■

Общее уравнение

ОТ X и у толькоОТ X и у только(3.7)(3.7)Из выражения (1.56) следует, что 0° зависит через /?=|х—у], поэтому

ОТ X и у только

ОТ X и у только

(3.7)

(3.7)

Q' = 4rсоQ' = 4rсодао _ дао

Q' = 4rсо

Q' = 4rсо

тI д с г I .—1 Т 7— \ \ 1Cq dxt J J 4Д7?-ts^T_l _L f fQo^» dCq J J4Л/? dllMS(l)тI д с г I .—1 Т 7— \ \ 1Cq dxt J J 4Д7?-ts^T_l _L f fQo^» dCq J J4Л/? dllMS(l)) /^(y^t-hCo /T- — U5(y)rfr.co )) /^(y^t-hCo /T- — U5(y)rfr.co )(3.8)(3.8)

т

I д с г I .

—1 Т 7— \ \ 1

Cq dxt J J 4Д7?

-ts^

T

_l _L f fQo^» d

Cq J J4Л/? dll

MS(l)

т

I д с г I .

—1 Т 7— \ \ 1

Cq dxt J J 4Д7?

-ts^

T

_l _L f fQo^» d

Cq J J4Л/? dll

MS(l)

) /^(y^t-h

Co /

T- — U5(y)rfr.

co )

) /^(y^t-h

Co /

T- — U5(y)rfr.

co )

(3.8)

(3.8)

Для проведения интегрирования по т удобно ввести подвижную' систему координат £(у, т), в которой поверхность S(t) остается фиксированной. Тогда скорость V и ускорение а в произвольной фиксированной точке £ в этой системе определяются следующим образом:

(3.9)(3.9)aaдУ(;,т)дУ(;,т)V = ^IlALI , du k=const

(3.9)

(3.9)

a

a

дУ(;,т)

дУ(;,т)

Рис. 3.1. Движущаяся поверхностьРис. 3.1. Движущаяся поверхностьРис. 3.2. Система координат, связанная с поверхностью

Рис. 3.1. Движущаяся поверхность

Рис. 3.1. Движущаяся поверхность

— (А7с0) )/4л/?с02 можно использовать для записи последнего интеграла в формуле (3.8) в виде

\т

——— 8 / — т —— еоа,-^уг/т4-

Cg dxj J J 4л/? \с0 /7■

—т

W^V jdydx.W^V jdydx.(3. 12)(3. 12)I ।д2 с j I/т R

W^V jdydx.

W^V jdydx.

(3. 12)

(3. 12)

~|Я" \\ О Г Т

с л dx;dxj .1 J4л/? \со

—т -»CW

Таким образом, в этом случае эффекты, связанные с движением поверхности, могут быть представлены суммой дипольного источника, интенсивность которого пропорциональна ускорению, и квадрупольного источника интенсивности qoV/K>-

Оценка интегралов в формулах (3.8) и (3.12) не будет производиться для случая произвольного движения поверхности и рассмотрение будет ограничено только случаем жесткой поверхности. Тогда без потери общности можно предположить, что g относится к декартовой системе координат (как показано на рис. 3.2), которая переносится со скоростью V0(t) и вращается с угловой скоростью Й (т), оставаясь неизменной в других отношениях. Действительно, в любой книге по классической механике (например, [2]) показано, что скорость V(g, т) произвольной фиксированной точки g в такой системе записывается в виде

V(C,r) = V0(T)+Q(r)xg. (3.13)

Прежде чем перейти к рассмотрению соотношений (3.8) и (3.12) в этой системе координат, вспомним, что якобиан преобразования У~Ч между двумя декартовыми системами координат, при котором сохраняются линейные размеры, равен единице, и элемент площади поверхности dS(g) в системе координат g равен элементу площади поверхности dS (у) в системе у.

Пределы интегрирования в системе координат g в объемных и поверхностных интегралах не зависят от т, поэтому порядок интег-

рирования можно изменить, и из уравнений (3.9) и (3.12) получить

Q 2с0Q 2с0—^—г

Q 2

с0

Q 2

с0

~—\QoViVjdT со /~—\QoViVjdT со /d^,d^,dxidxt J V(<«)

~—\QoViVjdT со /

~—\QoViVjdT со /

d^,

d^,

где следует устремить Т к оо.

Теперь можно воспользоваться тождеством (1.97) при g, равном т—<Т(/?/с0), чтобы провести интегрирование по т. Действительно, так как из условий (3.9) следует, что

5т /с cqR \ дт /с R5т /с cqR \ дт /с R(3. 14)(3. 14)

5т /с cqR \ дт /с R

5т /с cqR \ дт /с R

(3. 14)

(3. 14)

(где.

М = —(3. 15)

со

и R = x-y), это соотношение позволяет получить формулу Фокс Вильямса—Хоукингса [3]

,162 с гТцI

4«cg dxidxj [ /?|1 -(R//?)-M|—

dxj I /?|1 — (R/R)-M| k=TS(<o)'д ГГ №i1dxj JI-di . Г QoViVj 1dxj I /?|1 — (R/R)-M| k=TS(<o)'д ГГ №i1dxj JI-di . Г QoViVj 114ЛСд14ЛСд

dxj I /?|1 — (R/R)-M| k=T

S(<o)'

д ГГ №i1

dxj JI-

di . Г QoViVj 1

dxj I /?|1 — (R/R)-M| k=T

S(<o)'

д ГГ №i1

dxj JI-

di . Г QoViVj 1

Н\ I1 ас,1О.Ю)

1 4лс2 dxidxj J L Л|1 — (R/R)-M|'

где [ ]т=^ означает, что величина, стоящая в квадратных скобках, оценивается в системе g с учетом времени задержки те=те(х, t, g), которое получается из уравнения

g(re, t, х, g) = T,-^+-Ljx-y(C, rJ| = O.(3. 17)

c0

объемный элемент в момент t

Если это уравнение имеет более одного решения (как это имеет место в случае сверхзвуковой скорости), каждый член в формуле (3.16) следует рассматривать как сумму всех таких решений.

Решение (1.113) для случая точечного мультипольного источника, движущегося с постоянной скоростью, показывает, что звуковое поле можно рассматривать как суперпозицию элементарных волн. При этом каждый движущийся элемент объема dg вне S(r) создает волну, эквивалентную излучаемой движущимся квадрупольным источником с интенсивностью T^d^, (рис. 3.3), каждый элемент площади поверхности dS(^) создает волну, эквивалентную волне движущегося дипольного источника интенсивностью -MS (^), и каждый движущийся элемент объема с/^ внутри S создает волну, эквивалентную излучаемой дипольным источником интенсивностью —рой, и квадрупольным источником интенсивностью eoW-

Первый член в формуле (3.16) соответствует решению, полученному в теории Лайтхилла, тогда как остальные три источника описывают непосредственные эффекты, обусловленные присутствием твердой границы. Первый из этих членов описывает звук, генерируемый пульсирующей силой /у, действующей на среду со стороны жесткой границы. Оставшиеся два члена относятся к звуку, связанному с эффектами объемного смещения, дипольный член обусловлен ускорением поверхности.

Если скорость V любой точки области источника сверхзвуковая, то фактор Доплера

С*= 1—~М= 1 — М cos 9, (3.18)

(3. 19)(3. 19)который входит в знаменатель каждого из членов в формуле (3.16), становится равным нулю при углах

(3. 19)

(3. 19)

6 = arccos •— . м

Получающаяся особенность по существу не отличается от рассмотренной в подразд. 2.5.2, которая относилась к излучению волн Маха. Однако волны Маха, образуемые твердой поверхностью, часто могут объединяться в интенсивные ударные волны, которые обычно связаны с телами, движущимися со сверхзвуковой скоростью. Распространение таких волн носит устойчивый характер, поэтому их можно описать с помощью прямого метода, рассмотренного в гл. 5.

Если поверхность S стационарна, то a = M = V=0, £ = у и формула (3.16) переходит в формулу Керла [4]

,1 д2 г тц / R \ .

Q =9 \ у, /<7у —

4лсд dxtdxj J R \ с0 /

Ц- —^S(y).(3.20)

4лс« дх, J R \ eg /

5

Соотношения для дальнего поля

Теперь предположим, что S(r) ограничена и область объемных источников сосредоточена вблизи этой поверхности. Потребуем, чтобы скорость V во всех точках этой области оставалась дозвуковой, так чтобы фактор Доплера С* нигде не равнялся нулю. Тогда выражение (3.16) можно представить в форме, которая более наглядно отражает истинный характер поля излучения (см. замечания в конце подразд. 1.5.2). Теперь отметим, что применение цепного правила к уравнению (3.17) дает

(ЛЦ i (^ \ dT= -о.

WX/ /г^Удт,, )х дХ)

Затем, воспользовавшись соотношениями (3.14), (3.17) и (3.18) для исключения g из этого соотношения, получим, что дхе]дх^ = ——\RjlctP*RV=^e. Следовательно, цепное правило можно применить к произвольной функции/(х, те) и показать, что

-^- = №'1Г Ri ](3.21)

дх£ \dxihe \ дхе )х L c0G*R ]т=те ’'

и поэтому, в частности, dR Ri Ri dR дУ1 Rj_

dxi R C(jC*R daj dxe RC* P'

Теперь каждый интеграл в формуле (3.16) содержит первую или вторую производную по Xi величины видай^[Д(т)/^(С*|]1_т , где для простоты обозначения опущена зависимость от £. Но, так

как А не зависит явно от х, из соотношений (3.22) и (3.18) следует, что ^dh!dx^te = 0(R-2) при R^-oo. Тогда из (3.21) следует, что

— = -Г —^- —14- О (R2)

дх, [ С0/?2С* дт |С*| ]т=т'

и, следовательно,

_—Г——L —д л

dx-^xj с^С* дт С* дт |С*|

(3.16) может(3.16) может(3. 23)(3. 23)Таким образом, для больших значений R формула быть приближенно представлена в виде

(3.16) может

(3.16) может

(3. 23)

(3. 23)

q' 1 ( ГJ1

4rtCg J^ [ R3C* дт С* дт |С*|1

4—Ч f [ — — —1dS^ и—Ч \—

4лс® J L^C* дт |С*|]г=т' 4лс? ) /?2С* дт

S(/o)6

, 1 ГГ RiRj <? 1 _д_ QoVjVj "I

1 4«4 Jl№ дт G* дт jC»| J- - ‘6'

-cOo)6

Если поверхность S неподвижна, это соотношение примет вид

-) dy +(У’t" dS (у),

с0 ) 4ncgx2 J at \ с0 /

отсюда следует, что неподвижная поверхность не будет излучать звук, если функции источника Т^ и fi .стационарны (т. е. не зависят от времени). С другой стороны, из формулы (3.23) следует, что движение поверхности с ускорением (при котором V, а следовательно, и С* зависят от времени) приводит к излучению звука, даже если источники стационарны, тогда как -только равномерное движение не приводит к излучению. Безусловно, этот вывод справедлив только в случае дозвуковых скоростей, при которых конвективный фактор С* никогда не становится равным -нулю. Поверхности, движущиеся со сверхзвуковой скоростью, генерируют ударные волны, которые распространяются в дальнее поле и воспринимаются как звук, часто называемый звуковым ударом.

В подразд. 1.5.2 было показано, что в случае стационарного компактного источника акустические уравнения можно упростить, пренебрегая разницей во времени задержки. Подобное упрощение можно провести и в случае подвижной области источника. Линейный размер этой области обозначим через бу. Тогда из теоремы о среднем значении следует, что соответствующее изменение времени задержки Дте приближенно равно

А'Ге = те(у + 8у)-те(у)~^-8у;. (3.24)

Применяя цепное правило

^g_ । dg дте =0 dyi ' дхе ду;

к уравнению (3.17) и используя результат для исключения дте1ду1, получим

Дтг ! — 8у.

<?о (1 — М cos 6) R

Следовательно, разница во времени задержки для точек, принадлежащих области источника, будет

Дте~Дте~11 — М cos 611 — М cos 6Lсо ’Lсо ’

Дте~

Дте~

1

1 — М cos 6

1

1 — М cos 6

L

со ’

L

со ’

где 7=|бу| —характерный размер источника. Как отмечалось на с. 87 (для случая движущихся вихрей), Лте представляет время, необходимое звуковой волне для прохождения через движущийся объемный источник. Таким образом, изменением времени задержки в интегралах формулы (3.23) можно пренебречь, если характерное время пульсаций источника 7 с в подвижной системе координат велико по сравнению с изменением времени задержки в области источника, т. е. когда

■-<Т-(3.25)

с0(1 — М cos fl)v

при условии, конечно, что правильно определена мультипольная структура источника. (Эта структура для движущегося источника может не остаться той же самой, как и у неподвижного источника. См. замечание в конце подразд. 1.5.2.) Теперь предположим еще, что число Маха во всей области источника остается почти постоянным. Тогда формула (3.23) принимает вид

АААА А 1 А Г AAAAALAAzAI

' WqC'qR^ дхе Cg дте _jCg]

(3. 26)(3. 26)_ (Re)i д

(3. 26)

(3. 26)

W0C*0R2e дхе _ |Cg| _ ’

где те теперь означает время задержки, определяемое для центра области источника; V? и а^ — скорость и ускорение в этой точке; Re — вектор, соединяющий центр источника с точкой наблюдения в момент Те,

cAi-Y^A-,(3.27)

СО Re

vc= J of? — объем, ограниченный поверхностью 5, a Qtj =

= ^Tijd^ и AAA-J A IS, t^dS^) представляют соответственно

суммарную интенсивность внешних квадруполей и полную силу, действующую на поверхность со стороны жидкости.

Первый член в формуле (3.26), очевидно, представляет квадрупольный источник, тогда как второй — дипольный источник. Если эти два источника равны по интенсивности и их пространственные' и временные масштабы приблизительно равны, отношение этих членов будет порядка £/[(1 — М cos 9)Лс0]. Тогда из соотношения (3.25) следует, что квадрупольным источником в формуле (3.26) можно пренебречь и, следовательно ,

У 4Л^С^2 дте L |С*] ГJ

Этот результат несомненно справедлив и в случае, когда интенсивность квадруполя меньше, чем диполя, что, как будет показано в гл. 5, часто имеет место при наличии аэродинамических поверхностей. Следовательно, квадрупольным членом в соотношении (3.23) часто можно пренебречь, если даже поверхность не является компактной. Однако в этом случае необходимо учитывать разницу во времени задержки для различных точек области источника.

Если поверхность S неподвижна, формула (3.28) сводится к

(3. 29)(3. 29)(3. 30)(3. 30)— Xi др: Л X - — I / 4«Cq№ dt \Cq

(3. 29)

(3. 29)

(3. 30)

(3. 30)

где

Ft^=- [ Л (у, /)^5(у)

5

(3.31)(3.31)— суммарная сила, действующая на S (сравни с соотношением (1.79)). Из неравенства (3.25) следует, что этот результат применим, когда

(3.31)

(3.31)

— «Л.

Со

В случае стационарного потока из соотношения (3.29) (с учетом (1.16) и (1.92) и того факта, что осреднение по времени инвариантно к преобразованию) получаем

(3.32)(3.32)1 Х—- dFi^ 16n2CoQo х4 dt dt

(3.32)

(3.32)

Теперь предположим, что генерирующие звук нестационарные силы обусловлены турбулентным потоком со средней скоростью U и пространственным масштабом корреляции I. Тогда, как показано на с. 82, турбулентные вихри будут только очень незначительно изменяться за время Tf = ljU, необходимое для прохождения неподвижной точки наблюдений (гипотеза Тейлора). Пульсации силы, дей-

ствующие на произвольный фиксированный объект, будут иметь временной масштаб пульсаций, равный Tj, и поэтому неравенство (3.31) примет вид

(3.33)

где NV=Ujc0 — число Маха, соответствующее средней скорости потока. Таким образом, это соотношение показывает, что за исключением случаев очень малых чисел Маха (что часто имеет место в воде) характерные размеры источника должны быть существенно меньше, чем пространственный корреляционный масштаб турбулентности. Хотя такие условия на практике почти никогда не реализуются, оказывается, что соотношение (3.32) очень часто может давать достаточно точную оценку звукового поля даже в том случае, когда длина акустической волны сравнима с размерами поверхности. Некоторые оценки получаемых при этом ошибок проведены в гл. 5.

^qOC^qOCQoC8D2QoC8D2Выражение (3.32) можно использовать для получения подобного соотношения (аналогичного соотношению, полученному для шума струи) для акустического поля, генерируемого пульсирующим потоком в окрестности малого неподвижного объекта. Следует ожидать, что

^qOC

^qOC

QoC8D2

QoC8D2

Следовательно,

S3/;\С0 ' ’

чт0 дает по крайней мере некото- —Хдщщ _ рые указания на возрастание от- FjapF^t,') ;носительного значения квадру- 3. i польных источников в окрестно-

■g^ f^jf^is+t'i сти (даже некоторой некомпакт- 4- Шг,ц *та) I ной) поверхности по сравнению с от”дипольными источниками при воз-

крастании числа Маха.

Из соотношения (3.29) следу- ет, что взаимная корреляция 7^7)777—rj

оч 0^д8^.между пульсациями подъемной

Время т, мс’’ !силы, действующей на тело, и зву

должна быть пропорциональна временной производнойдолжна быть пропорциональна временной производнойковым давлением в дальнем поле

должна быть пропорциональна временной производной

должна быть пропорциональна временной производной

Рис. 3.4. Сравнение нормированной взаимной корреляции между пульсациями подъемной силы и звуковым давлением и нормированной первой производной от автокорреляции подъемной силы [7]

функции автокорреляции подъемной силы. Кларк и Рибнер [7] измерили эти корреляции в случае малого профиля в турбулентной струе. Полученные ими результаты приведены на рис. 3.4. Авторы

считают, что некоторое расхождение результатов (не превышающее 17%) связано с кажущимся увеличением подъемной силы, обусловленным вибрациями модели.

РАСЧЕТ АЭРОДИНАМИЧЕСКИХ СИЛ

Ранее было показано, что в некоторых случаях можно рассчитать звуковое поле, учитывая только дипольный член в формуле (3.23). Следовательно, важно иметь какую-либо возможность оценки поверхностной силы f, входящей в этот член. В этом разделе будет дано описание ряда аналитических методов, разработанных для проведения такой оценки. Некоторые дополнительные результаты будут приведены в гл. 5.

В общем случае расчет генерируемых потоком поверхностных сил представляет весьма сложную задачу. Все имеющиеся в настоящее время чисто аналитические результаты получены в предположении, что пульсационная скорость мала по сравнению со средней. Основная цель введения такого предположения — возможность линеаризации задачи.

В настоящем разделе предполагается, что нестационарный поток за неподвижным телом создается конвектируемыми замороженными возмущениями малой амплитуды (часто называемыми порывами), переносимыми однородным потоком, имеющим среднюю скорость iZ7r.

Следовательно, величина возмущений скорости Uoo= {u», v*, w») будет мала по сравнению с UT и далеко вверх по потоку от те- 132

Рис. 3.5. Координаты при ориентации тела относительно набегающего потока

ла скорость потока il/r+Uoo будет стационарной (но пространственно неоднородной) в системе координат, движущейся со средней скоростью Шт. Такая модель может, например, являться хорошим приближением турбулентного потока, который, как было показано, только незначительно изменяется со временем в неподвижной системе координат.

Квазистационарное приближение

Сначала рассмотрим случай, когда пространственный масштаб возмущений велик по сравнению с характерными размерами тела, и предположим, что скорость достаточно мала, так чтобы среду можно было считать несжимаемой. Тогда можно предположить, что действующие на тело силы описываются теми же соотношениями, что и в случае стационарного потока. Такое приближение называется «кеазистационарным». Таким образом, предполагается, что подъемная сила и сила сопротивления, действующие на тело (L и D соответственно), связаны со скоростью набегающего потока соотношениями

(3. 34)(3. 34)L= у- ^CLA, D=^ Q0V?CdA,

(3. 34)

(3. 34)

где А — некоторая площадь поперечного сечения тела, а коэффициенты подъемной силы и сопротивления CL и CD соответственно зависят только от ориентации тела относительно набегающего потока. Ориентация тела обычно характеризуется двумя углами, например, о и у, которые определяют направление набегающего потока относительно трех взаимно перпендикулярных осей, жестко связанных с телом, которые обозначим (у\, у2, уз). Эти углы хорошо видно на рис. 3.5. В случае тонких (близких к двухмерным) тел, которые наиболее часто рассматриваются в приложениях (например, обдуваемые закрылки, лопатки вентилятора и компрессора),

Рис. 3.6. Координаты при ориентации профиля относительно набегающего патокаРис. 3.6. Координаты при ориентации профиля относительно набегающего патокаа будет соответствовать углу атаки, а у — углу между проекцией набегающего потока на плоскость тела и направлением среднего потока (рис. 3.6).

Рис. 3.6. Координаты при ориентации профиля относительно набегающего патока

Рис. 3.6. Координаты при ориентации профиля относительно набегающего патока

В любом случае полная скорость набегающего потока определяется соотношением

V^fi^ + u^-^+u»).

(3.35)

Но так как обычно принимается, что Поо мала по сравнению с Ur, то пренебрегая квадратами малых величин, получим

। дС £I дС l у ~

дададх Ur ’дх Ur ’1 ду V — L' да Ur

да

да

дх Ur ’

дх Ur ’

.I дСв у =° , дС п ^ оо

где CL и Cd — осредненные по времени коэффициенты подъемной силы и сопротивления и производные подъемной силы и сопротивления принимаются постоянными. Следовательно, из соотношения (3.34) следует, что пульсации подъемной силы и силы сопротивления L'=L—L и D'=D—D определяются соотношениями

Z/ =^—-ts^-Y^CluA,

\ да оу/

(3. 36)

D' =+ 2CoM=o

\ даду

Первые два члена в этих выражениях определяются поперечными составляющими скорости порыва, а последний член — продольной составляющей. Обычно в авиации тонкие тела обтекаются потоком при высоких числах Рейнольдса, так что CD^;CL. При таких условиях величиной D\ безусловно, можно пренебречь.

Теоретически производная dCL/da для случая плоской пластины, расположенной под малым углом а0 к набегающему потоку, равна 2л. Поэтому пульсирующая подъемная сила, обусловленная двухмерным порывом u00={w00, Ооо, 0}, определяется соотношением

— = р(/7гЛ'иоо +2лр0^гас«„о.

Но так как предполагается, что угол а0 мал, вторым членом в этом выражении можно пренебречь по сравнению с первым, тогда

—=— QjU (3.37) Л 2 da

Этот результат применим также в случае обтекания профилей с малой толщиной и кривизной. Отсюда следует, что в случае двухмерных потоков пульсации подъемной силы, воздействующие на такие тела, вызываются только изменениями угла атаки, определяемыми изменениями скорости щ». Далее будет показано, что этот вывод остается справедливым, даже если становится несправедливым квазистационарное приближение.

Расчеты, основанные на теории тонкого профиля в нестационарном потоке .

На практике оказывается, что квазистационарное приближение ограничивается только случаями возмущений очень большого масштаба. Однако обычно представляет интерес рассмотрение тел, относительно тонких в направлении, перпендикулярном потоку, и в этом случае можно получить результаты, применимые для случая возмущений существенно меньшего масштаба. Развитие соответствующей теории началось в середине 20-х годов с работы Вагнера [8], в которой определено увеличение подъемной силы профиля, начинающего резкое движение от состояния покоя. Десятью годами позже Теодорсен [9] рассчитал подъемную силу профиля, совершающего синусоидальные колебания, а Кюсснер [10] ввел в рассмотрение функцию единичного отклика (называемую функцией Кюс- снера), которая связывает пульсации подъемной силы на двухмерном профиле со ступенчатым изменением скорости скоса в вертикальном направлении. В 1938 г. фон Карман и Сирс [11] разработали общий подход, который можно использовать для расчета подъемной силы в случае произвольного движения двухмерного профиля с малой амплитудой. В 1941 г. Сирс [12], используя этот результат, получил простое выражение, называемое функцией Сирса, для определения пульсаций подъемной силы, обусловленных замороженным синусоидальным порывом, набегающим на фиксированный профиль, в случае потока несжимаемой жидкости. Далее в этом разделе будет рассматриваться задача Сирса и ее последующие обобщения.

Поток несжимаемой жидкости. Рассмотрим стационарное (неподвижное) тонкое тело, на которое набегает порыв малой амплитуды со скоростью Uoo. В рассматриваемом случае амплитуда набегающего возмущения и толщина тела будут малыми, поэтому можно предположить, что отклонение и скорости v от среднего значения 1UT также будет мало. Следовательно, и будет определяться (с точностью до первого порядка) линейными уравнениями.

Предположим также, что среда невязкая и несжимаемая. Тогда, подставляя

(3. 38)(3. 38)u = i£7r +u

(3. 38)

(3. 38)

в уравнения неразрывности и сохранения количества движения для случая невязкой среды (уравнения (1.1) и (1.2) при q = q0 и отсутствии источников) и пренебрегая членами, в которые входят квадраты и, получим

^[7,-— =-ур(3.39)

dr ' духQ0

и уи=0.(3.40)

Теперь удобно принять, что

u lujw,(3.41)

где Uoo можно рассматривать как пульсации скорости, которые имели бы место при отсутствии тела. Тогда и будет соответствовать неоднородной скорости набегающего потока при |у|->оо, только если принять, что

(3. 42)(3. 42)W —> 0 при |у| —» со.

(3. 42)

(3. 42)

Следовательно, естественно потребовать, чтобы скорость и„ сама удовлетворяла уравнению неразрывности

yiu 0.(3.43)

И так как предполагается, что пх — стационарна в системе координат, движущейся со скоростью среднего потока, то она должна удовлетворять соотношению

du=odu=oдухдух(3.44)(3.44)

du=o

du=o

дух

дух

(3.44)

(3.44)

Таким образом, из уравнений (3.39) — (3.44) следует, что w удовлетворяет тем же уравнениям, что и и, а именно

dw , ,, dw1,о Д

Т—Ь^г~— =W(3.45^

от духе0

y-W —0.(3.46)

Из граничных условий (3.42) следует, что VXw->0 при ]у|->

->оо, а применение операции rot к уравнению (3.45) дает

д , ,, д \п

V х w = 0. От 1 dyj

(3.47)(3.47)Следовательно, у X w = 0

(3.47)

(3.47)

везде за исключением, быть может, области вихревой пелены за задней кромкой.

В случае невязкой жидкости можно потребовать, чтобы на поверхности тела равнялась нулю только нормальная составляющая

скорости. Таким образом, из выражений (3.38) и (3.41). вытекает, что следует принять

^(/r+n-Uoo^ —n w для у на 5,(3.48)

где S— поверхность тела, п = {пь п2, «з}— единичная нормаль к этой поверхности. Из соотношений (3.42), (3.45), (3.46) и (3.48) следует, что il/r+w идентично полю скоростей, генерируемому тонким телом, колеблющимся в направлении нормали к поверхности СО скоростью —П Ноо.

Так как тело тонкое и имеет малую кривизну и малый угол атаки, то можно предположить, что оно занимает положение, весьма близкое к плоскости ух—у3, и граничные условия (3.48) на поверхности тела S могут быть отнесены к этой плоскости. Действительно, уравнение для S может быть записано в виде [у2—е^Уь y3)p = e2g(yi, Уз), где g(yi, Уз)>0 на проекции тела на плоскость У,—Уз, g = 0 соответствует краю тела, а е— малый параметр порядка |Uoo|. Соотношение Уг^Кух, Уз) определяет среднее положение поверхности тела, а е Vg определяет распределение толщины тела. Тогда для № = е [/ +£1/2] правую часть выражения (3.48) можно записать в виде —n-w(y1; e[/ + g1/2L Уз)- Следовательно, малый параметр е будет в явном виде входить в аргумент величины, которая, как полагается, сама должна быть порядка е. Граничное условие (3.48) включает члены более высокого порядка, что не обязательно приведет к усложнению результата. Если w и Uoo можно разложить в ряд Тейлора при у2 = 0, правую часть соотношения (3.48) можно записать как — n-w^, 0, у3) — е (/ + g1/2) n X

X д^ду^-pО (s3); подобным же образом можно выразить и левую часть. Поэтому отнесение граничных условий (3.48) к плоскости Ух—у3 приводит к ошибке, не превышающей ошибки, связанной с линеаризацией дифференциальных уравнений. С другой стороны, вектор нормали п с точностью до величин порядка е равен

Le(jV + ^ 1/ _J^±^)!(3.49)

I \ дух " дух /\ дуз дуз /)

где верхний знак относится к верхней поверхности тела, а нижний к нижней поверхности. Так как предполагается, что ию имеет тот же порядок, что и параметр толщины е, граничное условие (3.48) с точностью до членов порядка е будет

~±Для у2= + 0 и g>0,(3.50)

’ dyYдух/

что показывает, что w, а следовательно, и пульсации подъемной силы определяются только вертикальной составляющей порыва Уоо. Отметим, что первый член в левой части этого уравнения, на который оказывают влияние толщина тела, его кривизна и угол атаки, не зависит от времени, тогда как на второй член, который зависит от времени, эти геометрические параметры не оказывают влияния.

Рис. 3.7. Развитие потока, обтекающего профиль:Рис. 3.7. Развитие потока, обтекающего профиль:Следовательно, из линейности задачи следует, что решение (а в результате и силы, действующие на тело) также будет содержать независимый от времени член, в который включены эффекты, определяемые толщиной, кривизной и углом атаки, и зависимый от времени член, на который эти параметры не оказывают влияния. Таким- образом, в линейном приближении толщина, кривизна и

Рис. 3.7. Развитие потока, обтекающего профиль:

Рис. 3.7. Развитие потока, обтекающего профиль:

а—начало переходного процесса; б—образова- У^ОЛ атаки ОКаЗЫВаЮТ ВЛИЯНИе ние вихря; в—срыв вихря ТОЛЬКО на СТЭЦИОНарнуЮ СИЛУ, - . действующую на тело, и не влияют на нестационарную составляющую. Это означает, что в случае, когда интерес представляют только нестационарные силы, замена тела эквивалентной плоской пластиной, имеющей такую же

(3.51)(3.51)проекцию на плоскость z/i — z/3, не приведет ни к какому изменению решения. Соответственно граничное условие (3.50) примет вид

(3.51)

(3.51)

1«2=—'Уоо ДЛЯ у2 = 0 и g>0.

В этом разделе рассматриваются потоки, описываемые уравнениями движения для случая невязкой среды. Однако влиянием вязкости нельзя пренебречь полностью. Чтобы понять причину этого, рассмотрим (для определенности) двухмерный профиль с тонкими кромками, который внезапно ускоряется от состояния покоя до некоторой стационарной скорости. Вначале влияние вязкости приведет к формированию тонкого пограничного слоя на поверхности тела, тогда как поток в остальной части можно рассматривать невязким и безвихревым .Высокая скорость на острой задней кромке приведет к понижению давления в этой точке, тогда как давление в задней критической точке остается высоким. В результате возникает отрицательный градиент давления, который приводит к отрыву пограничного слоя и образованию сосредоточенного вихря, как показано на рис. 3.7, б. Но индуцированная этим вихрем скорость образует циркуляционный поток вокруг профиля, приводящий к устранению градиента давления вследствие смещения задней критической точки на заднюю кромку профиля. Тогда, как показано на рис. 3.7, в, вихрь срывается с задней кромки и сносится вниз по потоку. Задняя критическая точка остается на задней кромке, и больше в этой области не происходит больших изменений давления. Такая картина известна как условие Кутта—Жуковского.

Подобный процесс имеет место и в случае периодического потока. Каждый раз, когда изменяется подъемная сила, а следовательно, циркуляция вокруг профиля, с задней кромки сходит вихрь. Таким образом возникает постоянная дорожка вихрей, образующая вихревой след, который следует учесть при анализе. Его интенсив-

ность определяется из требования выполнения мгновенного условия Кутта—Жуковского на задней кромке. Более того, можно показать, что распределения нормальной скорости и давления должны сохраняться непрерывными в поперечном сечении следа, который в пределах линейной теории должен оставаться в плоскости профиля. Обычно на практике условие Кутта—Жуковского выражается в требовании непрерывности давления на задней кромке. Однако вследствие непрерывности давления в поперечном сечении следа можно также потребовать, чтобы не было скачка давления на профиле у задней кромки.

При измерении в системе координат, движущейся со скоростью потока

у' = у — \Urx, (3.52)

скорость порыва Uoo не зависит от времени, поэтому

iu = j a (k) ezk-y'dk = J а (к) е'(к"у-6,<7гт) dk, (3. 53) что показывает на возможность представления ию в виде суперпозиции плоских волн. Этот результат не удовлетворяет уравнению (3.43), если не будет выполнено соотношение

а к —0 (3.54)

для всех к; это соотношение показывает, что колебания в волне перпендикулярны направлению распространения волны (т. е. волны поперечные).

Так как уравнения и граничные условия, определяющие w, линейны, то решение при любом распределении скоростей им может быть найдено путем суперпозиции решений задачи для случая гармонического порыва

u,.=ae;(k-y-/i|f/^\ (3.55)

Следовательно, достаточно рассмотреть набегающие возмущения только такого типа. Тогда граничные условия (3.51) примут вид -^2 = а2е'(й,у'+йзУз~й^^ при y2=0; g>0. (3.56)

Теперь, решив уравнения (3.46) и (3.47) при граничных условиях (3.42) и (3.56), можно найти скорость w. Но для того чтобы удовлетворить условию Кутта—Жуковского, тангенциальная составляющая w должна иметь разрыв в области вихревого слоя за задней кромкой. Кроме того, необходимо допустить, чтобы скорость могла иметь особенность на передней кромке. Однако в общем случае отыскание такого решения представляет сложную задачу и обычно в лучшем случае ее можно свести к решению интегрального уравнения . Тем не менее, когда профиль и порыв являются плос-

кими (т. е. когда в выражении (3.56) 63 = 0 и g не зависит от уз), можно получить простое решение в замкнутой форме.

Впервые такое решение было получено Сирсом [12]. Это решение показывает, что скачок давления на пластине (которая располагается на оси у) между — с/2 и с/2) определяется соотношением

5 (31)=5 (31)=s (3j(с/2) + у2s (3j(с/2) + у21— г’1 Ко ( — i=d + К\ ( — гаЭ)1— г’1 Ко ( — i=d + К\ ( — гаЭ)(3.57)(3.58)(3.57)(3.58)

5 (31)=

5 (31)=

s (3j

(с/2) + у2

s (3j

(с/2) + у2

1

— г’1 Ко ( — i=d + К\ ( — гаЭ)

1

— г’1 Ко ( — i=d + К\ ( — гаЭ)

(3.57)

(3.58)

(3.57)

(3.58)

— функция Сирса; Ко и Кх — модифицированные функции Бесселя, а

(3.59)(3.59)&1С

(3.59)

(3.59)

3; = ——

2

— приведенная частота. Последняя, величина связана с частотой пульсации силы ю=кхит соотношением

°i°iо)С2^7 *о)С2^7 *(3.60)(3.60)

°i

°i

о)С2^7 *

о)С2^7 *

(3.60)

(3.60)

Изменение давления вдоль профиля определяется величиной

-./(£/2)—Л(3 61)

К (с/2) + У1

Эта величина также описывает распределение давления на плоской пластине, установленной в стационарный поток под малым углом атаки. Вычисляя моменты силы, определяемой выражением (3.57), находим, что точка приложения пульсационной подъемной силы располагается на четверти хорды; интегрирование этого уравнения по поверхности пластины приводит к выражению для суммарной пульсационной силы, действующей на профиль единичного размаха. Эта сила Р2 перпендикулярна направлению потока и определяется соотношением

F2=na2Q0Urce~ife,t;C S^^.(3.62)

Используя асимптотические выражения для модифицированных функций Бесселя [13], легко можно показать, что

5 (31) ~при оо,(3. 63)

откуда следует, что порывы с достаточно высокой приведенной частотой не оказывают воздействия на профиль.

С другой стороны, S(<Ji)->l при О!->0, так что соотношение (3.62) при низких приведенных частотах сводится к квазистацио- нарному приближению (3.37). Действительно, Карман и Сирс [11] показали, что разница Между выражением (3.62) и квазистацио- нарным приближением (3.37) равна подъемной силе, обусловленной влиянием «присоединенной массы» , и силы, генерируемой за

вихренностью в следе и воздействующей на тело. Первый эффект имеет место, даже если тело совершает нестационарное движение в невязкой среде, когда отсутствует след.

Функцию Сирса в диапазоне ее наиболее эффективных значений с точностью до нескольких процентов можно приближенно описать соотношением

ехр < — гц | 1 —S OJ ~,.—__ехр < — гц | 1 —S OJ ~,.—__Л2

ехр < — гц | 1 —

S OJ ~,.—__

ехр < — гц | 1 —

S OJ ~,.—__

при +0.(3. 64)при +0.(3. 64)2(1+ 2ла1)

при +0.(3. 64)

при +0.(3. 64)

Отметим, что при высоких частотах это выражение стремится к тому же пределу, что и точная формула (3.58). Такое приближение для амплитуды впервые было предложено Липменном [14], а приближение для фазы предложили Гейсинг, Стал и Родден [15].

При высоких частотах ((ос/2с0 = (7,.cti/c0> 1) время с/с0, за которое акустическое возмущение пройдет расстояние, равное хорде, уже не будет малым по сравнению с периодом пульсаций 2л/о). Следовательно, в этом случае уже нельзя принимать, что Со бесконечно велика, и среду нельзя рассматривать как несжимаемую, даже когда UT-*-0. Поэтому для таких частот при вычислении подъемной силы уже нельзя пользоваться функцией Сирса. Но даже для случая низких частот имеется чрезвычайно мало экспериментальных подтверждений справедливости соотношения (3.62). Однако собранные Акюмом [16] данные по колебаниям профиля на низких частотах (<Тц<1) дают расхождение порядка 10 ...20% при сравнении с функцией Теодорсена, являющейся точным подобием функции Сирса для случая пульсаций профиля.

Ранее было показано, что при линеаризированном подходе такие параметры, как угол атаки, толщина и кривизна профиля, не оказывают никакого влияния на нестационарную подъемную силу, которая в этом случае зависит только от вертикальной составляющей скорости порыва а2 (но не от составляющей ai, направленной вдоль хорды). Чтобы учесть эти параметры, необходимо провести анализ с точностью до членов второго порядка. Хорлок [17] разработал теорию, в которой учитывается некоторое влияние угла атаки, а Ньюманн и Ие (18] применили подобный подход для объяснения влияния кривизны. Однако эти теории не являются завершенными, так как они не учитывают эффектов совместного влияния различных параметров. Завершенная теория, учитывающая все члены второго порядка, была недавно разработана Голдстейном и Атасси [19]. Одним из новых эффектов, включенных в рассмотрение при таком подходе, является искривление набегающего порыва полем стационарного потенциального потока вблизи профиля. Такое искривление вызывает значительное изменение длины волны набегающей завихренности и в то же время изменяет амплитуду и фазу соответствующего ей поля скоростей.

Выражение (3.62) справедливо только в случае двухмерного порыва. Однако пристального внимания заслуживает также задача, относящаяся к двухмерной плоской пластине, на которую воздейст-

вует пространственное поле возмущений (3.55), называемое косым порывом.

Можно получить простое приближение решения такой задачи, -если пластину разделить на ряд полос (параллельных потоку) и принять, что каждая из таких полос представляет двухмерную пластину, на которую воздействует фиктивный порыв, амплитуда которого равна амплитуде действительного порыва в данной точке. При таком приближении, называемом теорией полос, пульсационная подъемная сила, действующая на единицу размаха профиля, определяется выражением (3.62), в котором а2 заменяется на локальную вертикальную составляющую скорости а2е£ЙзУ», в результате чего получаем

F2~ na^QUгСе^-^г^ s (3J. (3. 65) Обычно принято более общее решение этой задачи выражать через "функцию отклика Т(щ, Оз) .

F2= tvqJJ ra2cel^3)<a-iilUr^ Т (31, Зз), (3. 66) где оу = &щ/2 для 1= 1,3. .

■ Грэм [20] с помощью получисленного метода получил точное решение для этой величины в форме ряда, коэффициенты которого можно последовательно вычислить. Эти результаты представляют шаг вперед по сравнению с методикой совмещений, которую следует применять в случае тонких тел произвольной формы. С другой стороны, Филотас [21] получил приближенное выражение для Т, которое сводит приближенное выражение (3.64) к результату Сирса в случае двухмерного порыва и дает правильный высокочастотный предел в случае произвольного порыва. Это выражение можно записать в виде

ехр

Т (=1, =з) ^Т (=1, =з) ^[1 + Лад (1 + Siil2 v + лао COS v)]1/2[1 + Лад (1 + Siil2 v + лао COS v)]1/2(3.67)(3.67)

Т (=1, =з) ^

Т (=1, =з) ^

[1 + Лад (1 + Siil2 v + лао COS v)]1/2

[1 + Лад (1 + Siil2 v + лао COS v)]1/2

(3.67)

(3.67)

где v—arctg(31/33) и 3o=k 3i + a3- Магридж [22] предложил приб лиженный поправочный коэффициент, который следует использовать в (3.65) при применении теории полос. Величина этого коэффициента для Оо>2 определяется выражением

!М(31, Зз)[ =!М(31, Зз)[ =М-|-И/2(^+2/n2)V2 •М-|-И/2(^+2/n2)V2 •(3. 68)(3. 68)

!М(31, Зз)[ =

!М(31, Зз)[ =

М-|-И/2

(^+2/n2)V2 •

М-|-И/2

(^+2/n2)V2 •

(3. 68)

(3. 68)

Центр приложения подъемной силы, обусловленной косым порывом, не сохраняется постоянно в точке, отстоящей на четверть

хорды от передней кромки, как это имеет место в двухмерном случае. В действительности он смещается к передней кромке при стремлении о0 к бесконечности, если oi/оз остается постоянным. Отсюда следует, что область, расположенная вблизи передней кромки, при увеличении частоты 'становится все более важной с точки зрения генерации звука.

Двухмерные потоки сжимаемой жидкости. Ранее уже было показано, что эффекты сжимаемости приводят к тому, что решение- Сирса становится несправедливым, когда произведение ([/r/co)oi становится существенно больше единицы , даже если число Маха свободного потока UTfcQ мало. Однако хорошо известно, что (как в случае косого порыва) результирующая пульсаций силы в реальных потоках не будет приложена к точке, отстоящей на четверть хорды от передней кромки, как это имеет место в случае потока несжимаемой жидкости, а смещается в сторону передней кромки при увеличении частоты. Следовательно, область задней кромки не должна оказывать существенного влияния на генерацию шума при больших приведенных частотах, и в результате пульсации подъемной силы на профиле должны быть такими же, как на длинной пластине, простирающейся до бесконечности вниз по потоку (т. е. на полубесконечной пластине).

Подробное обсуждение влияния сжимаемости будет проведено в гл. 5, где будет показано, что и в этом случае можно воспользоваться разложениями (3.38) и (3.41) для описания поля скоростей при скорости порыва, определяемой выражением (3.55). Тогда, воспользовавшись методами, подобными приведенным в гл. 5, легко показать, что разность пульсаций давления, обусловленных таким порывом, на двух сторонах полубесконечной плоской пластины определяется соотношением

Д \— ilQoUraie-laic[iM,.,/(H-Mj] [(2У1/с) + 1]

[jtzaHl +Мг)(1 + 2у1/С)],/2’

где

MrMrUrCoUrCo(3. 69)(3. 69)

Mr

Mr

Ur

Co

Ur

Co

(3. 69)

(3. 69)

— число Маха свободного потока; при этом принимается, что передняя кромка занимает положение у\ = —с/2. Этот результат можно проинтегрировать по поверхности профиля и показать, что суммарную пульсационную силу можно представить в виде

F^^a^/J rcerlltlU U Sc (at, МД где

S^, МГНS^, МГН4a; Мгл(1 +мг)4a; Мгл(1 +мг)(3. 70)(3. 70)

S^, МГН

S^, МГН

4a; Мг

л(1 +мг)

4a; Мг

л(1 +мг)

(3. 70)

(3. 70)

— высокочастотное приближение функции Сирса для случая сжимаемой среды и-

X(,r) = ]e™2^

— комплексный интеграл Френеля. Эта формула дает точность не менее 10% при (Мгщ)/(1—М,?) больше единицы. С помощью асимптотического выражения для интеграла Френеля легко показать, что

——(гс/2)]

е ге

~ -= при з, —> оо.

Следовательно, проведя сравнение с соответствующим результатом для несжимаемой среды (3.63), можно сделать вывод, что сжимаемость приводит к увеличению скорости затухания функции отклика на высоких частотах. Однако Голдстейн и Атасси [19] показали, что влияние толщины, угла атаки и кривизны профиля на высоких частотах становится столь велико, что приводит к невозможности применения линеаризированной теории.

Амит [25], развивая начатый Осборном [26] анализ, получил следующее низкочастотное приближение функции Сирса для сжимаемой среды

5Д31, N^ = S-^^VM^MiA^(3.71)

где S — обычная функция Сирса,

Зг =]А-М*,

/ (Мг) = (1 - pr) In Mr + [% In (1 + ?r) - In 2,

70 и Zi — функции Бесселя. Это выражение дает достаточную точность при О1Мг/|%2<1, где неприменимо соотношение (3.70).

Общий случай. Для сжимаемой среды обозначим через 8 функцию отклика для косого порыва, набегающего на профиль бес

конечного размаха,тогда

Д2 =МД(3. 72)

где

3? Др О, 0)=S Д),(3.73а)

$^г, 0, МГ)=5СД, МД(3.736)

8 ^kv k3, 0) = 7'(з1, з3).(3. 73в)

Функции отклика, приведенные в предыдущем разделе, можно всегда получить как частные случаи 8 . Удивительно, что обратное утверждение также справедливо. Таким образом, Грэм [26] показал, что существует простое соотношение между 8 Дь к3, М,) и функцией отклика Т(оь ц2) в случае трехмерного потока несжимаемой жидкости, когда точка пересечения порыва и профиля движется с

дозвуковой скоростью относительно среды. Подобное простое соотношение существует между 8 (&ь к^ М,.) и функцией отклика 5с(аь Л1Г) в случае двухмерного потока сжимаемой жидкости, когда эта точка движется со сверхзвуковой скоростью.

ПРИЛОЖЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ФОКС ВИЛЬЯМСА—ХОУКИНГСА

В оставшейся части этой главы будут рассмотрены приложения общих результатов, полученных в предыдущих разделах, для случаев некоторых характерных течений. Эти приложения либо служат иллюстрацией определенных фундаментальных аэроакустиче- ских явлений, либо сами по себе представляют большой практический интерес. В этом разделе рассматриваются потоки, акустические характеристики которых можно проанализировать с помощью выражения (3.23), а в следующем разделе — потоки, анализ которых требует применения общей формулы (3.6).

Излучение звука от тонкого стержня в турбулентном потоке

Сначала рассмотрим длинный стержень или профиль, установленный неподвижно в турбулентный (стационарный во времени) поток, имеющий конечный поперечный размер (как это имеет место в струе или в аэродинамической трубе с открытой рабочей частью). Такая задача представляет практический интерес, так как она связана с излучением широкополосного шума элементами закрылка у самолетов с внешним обдувом закрылков, внутренними стойками и рассекателями в двигателях самолета, а также винтом и вентилятором авиационного двигателя. Рассматриваемая конфигурация схематически показана на рис. 3.8.

Так как пульсации подъемной силы обычно существенно больше, чем пульсации сопротивления, достаточно рассмотреть только составляющие нестационарной силы в направлении у^. Для расчета акустического поля, генерируемого такой силой, удобно воспользоваться соотношением (3.29), но, как следует из (3.33), этот результат неприменим при умеренных числах Маха, если характерный размер тела L не будет меньше размера вихря. Однако размах b профиля обычно слишком велик для того, чтобы выполнялось такое условие. С другой стороны, выражение (3.29) можно использовать для расчета звука, излучаемого единичной длиной размаха любого профиля, хорда с которого достаточно мала, а, так как задача линейная, полученные таким образом результаты можно сложить и получить общее звуковое излучение .профиля. С этой целью запишем выражение (3.29) в виде

Q^xiy^Q^xiy^— ^24лсД2— ^24лсД2dF2(t — R'caly,^dtdF2(t — R'caly,^dt

Q^xiy^

Q^xiy^

— ^2

4лсД2

— ^2

4лсД2

dF2(t — R'caly,^dt

dF2(t — R'caly,^dt

Г(х, т) =гдеГ(х, т) =где(3. 74)(3. 74)t' — t -|—- z/', С3Хt' — t -|—- z/', С3Х

Г(х, т) =

где

Г(х, т) =

где

(3. 74)

(3. 74)

t' — t -|—- z/', С3Х

t' — t -|—- z/', С3Х

где

R = \x-ky3\=x - ^ + 0 (л”1) х

— расстояние между точкой наблюдения и точкой на стержне, от которой излучается звук, a Q/(x|y3) — пульсации плотности в точке х, обусловленные единичной длиной стержня в точке уз- Следовательно,

6/2

q'(x)= у е'(х|у3)^з-

-6/2

Нормированная функция автокорреляции давления Г, определяемая соотношением (1.94), примет вид

Этот результат можно также получить из дипольного члена в выражении (3.20), пренебрегая изменением времени задержки между точками, расположенными вдоль хорды, и в то же время учитывая изменение во времени задержки между точками, расположенными, вдоль размаха. Такая модель описывает звуковое поле, излучаемое 146

точечными диполями, расположенными вдоль линии размаха, интенсивность которых выбирается так, чтобы она соответствовала общему излучению источников, расположенных вдоль хорды.

Если воспользоваться выкладками, приведенными в приложении к гл. 2, с учетом того, что корреляция не зависит от начального момента отсчета времени (так как поток стационарен во времени), то соотношение (3.74) можно представить в виде

26/2 6/2

Г(х-”"-ж^г-^ 5 V8 ^ f* '^“^е-78»

—6/2 -6/2

где

т0=/+т-с^- (у;—^).

Л-Со

В качестве новой переменной интегрирования удобно выбрать вектор разделения т)з = уз"—Уз и записать двойной интеграл в виде 6/2 (6/2)-у,

j* J Л (^Ы^гЫУз+Пз^Лз^Уз-(3.76)

_6/2-(6/2)-у,

Но, так как пространственный масштаб корреляции Р^Уз) F2 (т0|у3 + + Лз) имеет тот же порядок, что и поперечный масштаб турбулентности, который, как уже предполагалось ранее, существенно меньше размаха Ь, то расстояние Цз, на котором подынтегральное выражение в (3.76) будет отличаться от нуля, также должно быть мало по сравнению с Ь. Поэтому внутренний интеграл можно брать в пределах от —<х> до оо, так что выражение (3.75) примет вид

26/2 со

г (’ т) =\ р2^\Уз)р2^о\Уз-\- ^й'ц^Уз. (3.77)

—6/2 —оо

Здесь может появиться желание пренебречь изменением во времени задержки, появляющимся в то, как это было сделано в гл. 2, на том основании, что время распада турбулентности велико по сравнению с ее корреляционным масштабом. Но так как теперь время измеряется относительно неподвижной системы координат, его характерное значение может быть существенно меньше, чем время, связанное с пульсациями вихрей.

Спектр интенсивности /„ является преобразованием Фурье от Г, поэтому из (3.77) следует, что

2й/2

Ло(х)=-4~" \<Л<Иь(ЗЛ8>

8hcaQo J ■- сох /

—6/2 где

*'22\Уз> ^3, 0)) = .„\ \ 6*

— спектральная плотность мощности пульсаций подъемной силы, действующей на тело.

Снова будем предполагать, что турбулентность можно считать замороженной в течение времени, за которое вихрь пересекает стержень. Тогда, если Ur сохраняет приблизительно постоянное значение, пульсации подъемной силы, определяемые компонентой разложения Фурье

а2 (k) ezk-y'

вертикальной составляющей турбулентной скорости, будут определяться выражением (3.72). Если при этом турбулентность относительно однородна, корреляция турбулентности в подвижной системе координат

^(По — ^Д) = ц2(у -AU^u^ (у-Ио —

будет зависеть только от указанного аргумента и, как показано в приложении 1.А, будет связана со спектральной плотностью Ф22 (к) вертикальной составляющей скорости в подвижной системе координат соотношением

^22(По-~'1СДтг ^Ие^'^-'^'ф^^ (3.79)

Эти результаты используются в приложении З.В, чтобы покаэ-ать, что спектральная плотность пульсаций подъемной силы связана с Ф22 соотношением

H22W, k„^ = ^^uJk,„ MrV \ Ф22(",k^d^-

\ Wr/W Г/

Следовательно, выражение (3.78) примет вид

U v^ = LAx, 9, аU v^ = LAx, 9, а(7r6w2nQ0c2 sin2 6 cos2 tp8сдл;2(7r6w2nQ0c2 sin2 6 cos2 tp8сдл;2

U v^ = LAx, 9, а

U v^ = LAx, 9, а

(7r6w2nQ0c2 sin2 6 cos2 tp8сдл;2

(7r6w2nQ0c2 sin2 6 cos2 tp8сдл;2

i , o> <0 . - .. . \ I2(to . to . A,

X » I — , — sin 6 sin ®, Mr I \ Ф22 — , ^2- —’ Sin ° Sin ? dh2, \ \Ur cQJ \Ur c0/

(3.83)

где используются сферические координаты 6 и ф, показанные на рис. 3.8.

Теперь остается определить функцию спектральной плотности Ф£2. Для ее определения воспользуемся идеализированной моделью турбулентности. Тензор спектральной плотности изотропной турбулентности Ф#,- можно записать как [27]

,5(6)4л62,5(6)4л62

,5(6)

4л62

,5(6)

4л62

где

Следовательно, спектральная плотность вертикальной составляющей будет

Ф22~ ^Г^+^'

Если, кроме того, предположить, что функция продольной корреляции в подвижной системе координат ^22(1^2) имеет вид

^22(Ь) = И2е“е2//,.

то можно показать [27], что

Е^ = - -2;

Л/ (Z-2 + £2)3

в результате получаем

2^2"4~ ^з

Ф22= ——

Л2Z (Z~2 + №)3

Подставляя это выражение в (3.80) и проводя интегрирование, получим

ЛЛ-М 9, ?)ЛЛ-М 9, ?)36qqzz23236qqzz232М^ sin2 6 cos2 срй2а]«о («о 2 + №у^М^ sin2 6 cos2 срй2а]«о («о 2 + №у^

ЛЛ-М 9, ?)

ЛЛ-М 9, ?)

36qqzz2

32

36qqzz2

32

М^ sin2 6 cos2 срй2а]«о («о 2 + №у^

М^ sin2 6 cos2 срй2а]«о («о 2 + №у^

2а!2а!.,, М2

—-, —- Mr sin 6 sin ср, Mr j

где приведенная частота щ и число Маха свободного потока М, определяются соотношениями (3.60) и (3.69) соответственно, /;2 = = а2 (1 4-М2 sin2 9 sin2®) и а0 = 2//с.

Из соотношнеия (3.736) следует, что

L(x, 9, о)=L(x, 9, о)=36q0U23236q0U232/ С >2 М? Sin2 6а]I / — 2 12\5/2l^cv3l\ х ) а0(а0 + aj '/ С >2 М? Sin2 6а]I / — 2 12\5/2l^cv3l\ х ) а0(а0 + aj 'мг)р,мг)р,

L(x, 9, о)=

L(x, 9, о)=

36q0U2

32

36q0U2

32

/ С >2 М? Sin2 6а]

I / — 2 12\5/2l^cv3l

\ х ) а0(а0 + aj '

/ С >2 М? Sin2 6а]

I / — 2 12\5/2l^cv3l

\ х ) а0(а0 + aj '

мг)р,

мг)р,

откуда видно, что звуковое поле в плоскости, перпендикулярной стержню, полностью определяется двухмерной функцией отклика. Это выражение справедливо при 0 = л/2, даже если частота настолько высока, что становится несправедливым выражение (3.29) (так как на звуковое поле под этим углом изменение времени задержки на стержне не оказывает влияния). Если как приведенная частота, так и число Маха достаточно малы, можно заменить Sc приближенным выражением для функции Сирса для несжимаемой среды (3.64) и получить .

/ш кх, 6, 0)=/ш кх, 6, 0)=36q0u|3236q0u|32М® sin2 6а]М® sin2 6а]“0 («о 2 + о?)5/2(1+2ла1) ■“0 («о 2 + о?)5/2(1+2ла1) ■(3.81)(3.81)

/ш кх, 6, 0)=

/ш кх, 6, 0)=

36q0u|

32

36q0u|

32

М® sin2 6а]

М® sin2 6а]

“0 («о 2 + о?)5/2(1+2ла1) ■

“0 («о 2 + о?)5/2(1+2ла1) ■

(3.81)

(3.81)

Рис. 3.9. Схема эксперимента по определению излучения от профиРис. 3.9. Схема эксперимента по определению излучения от профи

Рис. 3.9. Схема эксперимента по определению излучения от профи

Рис. 3.9. Схема эксперимента по определению излучения от профи

лированного стержня. Диаметр сопла О=1й см; хорда стержня а= ^ О; размах стержня b—V3D; расстояние до точки наблюдения х= 4,56 м:

1—точка наблюдения; 2—стержень; 3— зона смешения; 4—сопло

Можно воспользоваться более общим приближением Магриджа (3.68) и получить

36д0«2 ( с у Mr s*n2 ® cos2 02’i/ °i + 2/л2^

32(Т/ а0 (а^2 + й2)5/2(1 4-2ла!) Ш+:2/л2/

Выражение (3.81) можно легко проинтегрировать по всем частотам и убедиться, что средняя интенсивность звука в плоскости, перпендикулярной стержню, определяется соотношением

(3.82)(3.82)—ЗбсОпйо М%п„

(3.82)

(3.82)

/ (х, 6, 0) =--- -- A (a) sin2 6,

V16ЛХ2V •

где

а (1। а (а 4- -j/а2 + 11

(а2 + 1)2 I]/-а2 + 1/а2 + 1 — 1

+«--т— (а2+1)(

X ^ /)

-Отметим, что при больших значениях а величина А (а) принимает значение 2/3. Действительно, А (а) при а больше 2 с точностью до 10% равна этой величине.

Для проверки этих результатов Олсеном в Научно-исследовательском центре им. Льюиса были проведены измерения звука, излучаемого длинным тонким симметричным стержнем, помещенным в турбулентную струю. Стержень устанавливался в зону смешения на расстоянии четырех калибров вниз по потоку от среза сопла, как доказано на рис. 3.9. Необходимые для анализа геометрические параметры приведены на рисунке. Аэродинамические параметры 150

Рис. 3.10. Сравнение экспериментальных и теоретических результатов исследования излучения от стержня. Диаметр сопла 0=10 см; отношение расстояния до точки наблюдения к диаметру сопла xjD — 4; ф=0’

можно оценить на основе измерений, результаты которых приведены в подразд. 2.5.1 (с. 93). Эти результаты показывают, что Ur должна быть связана со скоростью истечения струи U,. соотношением Ur =0,621// и что можно принять Z=(/i + /2)/2h (и2) = 1,2«тах- Тогда из соотношений (2.42) и (2.43) следует, что l~0,3D и («2) = ^0,129//г, где D — диаметр струи. На рис. 3.10 дается сравнение теоретической характеристики направленности, получаемой при подстановке этих параметров в выражение (3.82), и экспериментальных результатов Олсена . Соответствие теоретических и экспериментальных результатов достаточно хорошее. (Следует отметить, что на рисунке приведены действительные теоретически вычисленные уровни, а не проведено совмещение уровней, полученных при расчете и измерениях.) Однако ограничение с<§ЗМг, которое принималось при анализе, удовлетворительно соблюдалось при эксперименте, а требование, чтобы Ur оставалась постоянной на стержне, не сохранялось даже приближенно. Отметим, что первое ограничение наиболее хорошо удовлетворяется при малых скоростях потока, где наблюдается наиболее хорошее соответствие теоретических и экспериментальных результатов.

Эоловы тона

Гудение ветра в телефонных проводах и ветвях деревьев без листьев, свист растяжек на самолетах и оснастки на кораблях за малым исключением являются примерами эоловых тонов. Первое

исследование этих тонов было проведено Струхалем в 1878 г., при этом основное внимание уделялось частоте излучения.

Картина обтекания цилиндра, движущегося с дозвуковой скоростью V0 относительно среды, существенно зависит от числа Рейнольдса QoK°0/p, определяемого по диаметру цилиндра D. Когда число Рейнольдса достаточно мало, поток остается стационарным и в основном его влияние сводится к появлению на цилиндре силы сопротивления. Однако при числе Рейнольдса порядка 50 поток становится неустойчивым по отношению к малым возмущениям, и, начиная с точки, расположенной на некотором расстоянии за цилиндром, в следе возникают колебания. При дальнейшем увеличении числа Рейнольдса колебания начинают возникать в области, менее удаленной от цилиндра, и, когда число Рейнольдса достигает порядка 60, колебания проявляются в виде чередующегося срыва потока с верхней и нижней части цилиндра. Теперь основная -часть вихрей в следе сосредоточена в таких оторвавшихся от цилиндра объемах жидкости, которые конвектируются вниз по потоку в виде регулярной структуры, называемой вихревой дорожкой Кармана.

Такая картина течения продолжает сохраняться при увеличении числа Рейнольдса приблизительно до 104. Периодический срыв вихрей с цилиндра приводит к появлению периодической подъемной силы, и, как впервые показали Карман и Рабек, именно эта пульсирующая сила приводит к появлению эоловых тонов. Круговая частота пульсаций силы равна частоте срыва Вихрей

(3.83(3.83-2= Sh^-

(3.83

(3.83

D

где число Струхаля Sh зависит до некоторой степени от числа Рейнольдса, но сохраняет значение, близкое к 0,2. Срыв вихрей приводит также и к появлению периодической силы-сопротивления, воздействующей на цилиндр, которая, однако, достаточно мала по сравнению с пульсирующей подъемной силой, и поэтому при дальнейшем рассмотрении этой силой будем пренебрегать.

Если цилиндр не закреплен жестко, то пульсации подъемной силы могут вызвать колебания цилиндра и, следовательно (см. формулу (3.28)), привести к появлению дополнительного источника звука. Однако термин «эоловы тона» обычно относится к звуку, генерируемому пульсациями самой силы, и поэтому дальнейшее рас- емотрение будет ограничено случаем жестко закрепленного цилиндра.

Таким образом, будем рассматривать круговой цилиндр длиной b и диаметром D, движущийся с постоянной скоростью V0 в направлении Xi в среде, которая покоится во всей невозмущенной цилиндром области. Цилиндр, продольная ось которого остается параллельной направлению х3, жестко связан с системой координат £, показанной на рис. 3.11.

Как и в предыдущем разделе, примем, что Е2(/|£3) — пульсирующая подъемная сила, действующая на единицу длины цилиндра, л та

Рис. 3.11. Система координат, применяемая для описания излучения эоловых тонов. Показано положение цилиндра в момент излучения Те

так что общая подъемная сила ^(О определяется- соотношением 6/2

F2(^) = f ^2(Н^з)^Сз-(3.84)

-6/2

Филлипс [29] показал, что ^(Л^з) приближенно можно представить в виде

=(3.85)

где к — численная константа, принимающая значения от 1/2 до 2. Такое изменение, вероятно, связано с зависимостью подъемной силы от степени турбулентности набегающего потока и зависимостью фазы Ф от длины цилиндра и геометрии потока. Изменение Ф по длине цилиндра определяется тем, что синфазный срыв вихрей имеет место только на относительно коротком участке, протяженность которого, возможно, составляет 3... 4 диаметра цилиндра. Частота Q определяется соотношением (3.83). Следовательно, характерное- время пульсаций 7 с равно

у, 2л , . D

с(Г 0.2V0 '

Поэтому из неравенства (3.25) следует, что для расчета шума, излучаемого в случае такого потока, можно воспользоваться выражением (3.28) только тогда, когда

М5Р

1 — М cos 6L ’

где L — характерный размер цилиндра,

M=3L°

Со

„ Л Re М

и cos 6= —.

Re М

Несмотря на то, что эоловы тона обычно наблюдаются только при очень малых числах Маха, длина цилиндра во многих случаях достаточно велика, так что это неравенство не выполняется. Поэтому воспользуемся таким же подходом, как и в предыдущем разделе, и будем применять выражение (3.28) только при оценке излучения от единицы длины цилиндра.

^2 № I Сз)дте^2 № I Сз)дте(3. 86)(3. 86)(3. 87)(3. 87)Так как скорость цилиндра V0 постоянна, можно принять а0 равной нулю и пренебречь производной от Со* по те (так как она приводит к членам более высокого порядка для RJ1, когда х находится в дальнем поле). Тогда подстановка соотношения (3.27) в (3.28) дает

^2 № I Сз)дте

^2 № I Сз)дте

(3. 86)

(3. 86)

(3. 87)

(3. 87)

б' (х | С — ———

4n^/?2[1_(Rg//?aM]2

где

Re = x —к(3 —Гс0Мт,

со

и е'(х|£з) — пульсации плотности в точке х, обусловленные единицей длины цилиндра,так что

6/2

Q'(X)= f е'(хКз)^з-.(3.88)

-’б/2

Так как из (3.87) следует, что (Я?) 2 = ^2, то подстановка соотношения (3.85) в (3.86) с учетом выражений (3.83) и (3.87) дает

iKShQ0(H0)3x2 e-zs[ t-(Re/c„H е—/Ф(с,) 4с^ [1 — (Re/Z?e)-M]2

Для больших X

Re = |х - к С3 - cof М те|=Ro -+ О ^\

КО

где R x- ic0Mte

— значение Re в центре цилиндра. Следовательно, заменяя Re на Ro—(*з£з/^о) в показателе степени в выражении (3.89) (и на Ro во всех других местах) и подставляя результат в выражение (3.88), получим

V 4Cg/?0 (1 — M cos 6)2

(3- 90)(3- 90)—) c3 sin 6 sin <? + ф(Сз)1} ^з-co /JJ

(3- 90)

(3- 90)

где, как показано на рис. 3.11 (на котором изображен цилиндр в положении, соответствующем времени излучения те),

cos 9 = — i,

Ro

sin 6 cos <p =,

RoRo

sin 6 sin ® = к —.

‘ RoRo

Так как i?o и 6 зависят от t, то пульсации плотности не являются периодическими. Однако, как показано в Подразд. 1.8.4, точка наблюдения может располагаться достаточно далеко от источника, так что в течение одного периода пульсаций 0 и Rok^ будут оставаться почти постоянными и, следовательно, их можно принять равными значениям Rok^ и 0о = 6(^о), соответствующим некоторому моменту t0 в течение этого периода. Действительно, из результатов, полученных в подразд. 1.8.4, следует, что для интервалов времени порядка одного периода имеем

, zKShQ0(H°)3 sin 60 cosyГ .Q Г t —t0#o(/o) ( Д

4c® Ro (to) 0 — M cos 60)2I [1—Mcose0 Co J J

X ) exp[ —df—W3sin 60sin ср + Ф^з) !U;:3.(3.91)

J I L\ Co /J)

—6/2

Следовательно, движение может рассматриваться как периодическое, и для определения средней интенсивности за эффективный период

Т= — (1 -Mcos60)

р а

можно воспользоваться выражениями (1.16) и (1.92). Следовательно,

j К^ SH2 Qo (/0)6 sin2 6 COS2 у

32Cq7?q (1 — М cos 9)4"

6/26/2

X \ \ exp(i[(—Ш1п95т<р+Ф(Сз+10-Ф(^(3-92)

J J 1 со /

-6/2 -ьд

iде следует принять ^ = V—^з и опустить индекс ноль в 0, так как при расчете интенсивности нет необходимости делать различие между tQ и t.

Остановимся на рассмотрении двух предельных случаев. В первом предположим, что длина цилиндра b достаточно мала, так что на всей длине цилиндра вихри сходят приблизительно в фазе *. Тогда

е;(ф(:з+О-*(!:з)1 ~ 1.

* В этом случае длина цилиндра, должна быть меньше четырех диаметров струи и тогда большое влияние могут оказывать концевые эффекты.

Из соотношения (3.83) следует, что <о^/со заменяется на

— 6 (2л) (0,2) М — ,

<0D

и так как число Маха достаточно мало, то в пределах диапазона интегрирования

g/S/coiEsinOsinip ^ |

Следовательно, выражение (3 92) примет вид

f /<2 Sh2J2 g0 (/0)6 sin2 6 cos2 <f

32c^‘(l— M cos 8)4

Для второго случая предположим, что длина цилиндра велика по сравнению с расстоянием I, на котором сходящие с цилиндра вихри коррелированы. В этом случае удобно заменить переменные интегрирования в выражении (3.92) на оз и £, тогда

6/2

K2Sh2Q0(/0)6 sin2 6 cos2 у r e;(S/co) Е sin8 slny х

32с3/?2 (1 — М cos 6)4)

—0_

(»/2)-С3

X J ezi*^=+“-®(^)]^3.(3-94)

-W2)-C.

Ввиду малости масштаба корреляции по сравнению с длиной цилиндра можно (как это делалось в последнем разделе) выбрать пределы интегрирования внутреннего интеграла от —сю до сю. Более того, целесообразно предположить, что коэффициент корреляции

6/2

J- j e^^^s+^^f^)! //Сз -6/2

пульсаций силы, воздействующих на цилиндр, соответствует гаус- совому распределению и равен е~(£2/2Р). Тогда, так как

то выражение (3.94) принимает вид

К2л «2 S№lbQo (/0)6 sin2 6 cos2 <р

32с3/?^(1 — М cos 6)4

( Г1 /2лМ5Ь/\2 ■ 9 л ■ о 11/Q QCO

X <ехр — I———1 sin2 6 sm2y В .(о. 9о)

Если число Маха настолько мало, что можно экспоненту принять . равной единице, то эта формула отличается от соответствующего

выражения для короткого цилиндра (3.93) только тем, что вместо № в нее входит К2л/6.

Эти результаты (без учета влияния конвекции) были получены Филлипсом [29] в 1956 г. Воспользовавшись конкретной моделью течения в следе, Филлипс получил, что к должно приблизительно равняться единице. На рис. 3.12 дано сравнение результатов измерений Филлипса с вычислениями по формуле (3.95) (без учета конвекции и экспоненциального множителя).

При возрастании числа Рейнольдса след за цилиндром становится турбулентным, механизм срыва вихрей становится менее организованным, происходит случайный срыв крупномасштабных вихрей, вызывающий широкополосные пульсации подъемной силы, а следовательно, и широкополосный шум. Действительно, найдено, что в следе за цилиндром даже при очень больших числах Рейнольдса существуют отчетливо различимые крупномасштабные вихревые структуры, и приблизительно половина энергии турбулентности содержится в этих вихрях [29]. Экспериментальные измерения при таких больших числах Рейнольдса показывают, что интенсивность звука все еще описывается соотношением (3.95) при условии, что / не зависит от D.

Полученные в этом разделе формулы не ограничиваются случаем кругового цилиндра, с таким же успехом их можно применять для расчета шума, излучаемого при обтекании затупленных тел с другим поперечным сечением. В случае тел, вытянутых в направ

Рис. 3.12. Сравнение результатов экспериментального и теоретического исследования излучения эоловых тонов [29]. Скорость цилиндра 13<1/0<20 м/с;. число Рейнольдса 110<Re<160; диаметр цилиндра 0=3,0123 смРис. 3.12. Сравнение результатов экспериментального и теоретического исследования излучения эоловых тонов [29]. Скорость цилиндра 13<1/0<20 м/с;. число Рейнольдса 110<Re<160; диаметр цилиндра 0=3,0123 смлении потока, таких как профили, наблюдаются случайно срывающиеся вихри, которые образуют интенсивный источник широкополосного шума. Однако недавно Паттерсон, Вогт и Финк [30] обнаружили, что некоторые двухмерные профили винта вертолета излучают звук только чистого тона, когда пограничный слой на напорной стороне профиля остается ламинарным, и не должно быть шума более высокого по уровню, чем некоторый очень низкий фоновый шум, излучаемый в случае турбулентного пограничного слоя. Хотя полученные этими исследователями частоты излучения хорошо соответствуют числу Струхаля, определяемому по общей толщине ламинарного пограничного слоя, равному 0,2, Там [31] показал, что существует це-

Рис. 3.12. Сравнение результатов экспериментального и теоретического исследования излучения эоловых тонов [29]. Скорость цилиндра 13<1/0<20 м/с;. число Рейнольдса 110<Re<160; диаметр цилиндра 0=3,0123 см

Рис. 3.12. Сравнение результатов экспериментального и теоретического исследования излучения эоловых тонов [29]. Скорость цилиндра 13<1/0<20 м/с;. число Рейнольдса 110<Re<160; диаметр цилиндра 0=3,0123 см

лый ряд факторов, показывающих, что эти тона не могут определяться срывом вихрей. Действительно, визуализация потока в следе за профилями показывает, что образование дискретных вихрей начинается только при больших расстояниях от профиля. Более того, в рамках теории эоловых тонов невозможно объяснить некоторые осбоенности в получаемых результатах, такие как появление тонов более чем на одной частоте и скачок частоты, когда скорость выходит за рамки некоторого диапазона. Основываясь на этих результатах, Там выдвинул постулат, что причина появления этих тонов связана с механизмом обратной связи, который весьма похож на механизм генерации краевых тонов (см. с. 105) и дискретных составляющих шума струй (с. 109). Таким образом, принимается, что возмущения, распространяющиеся вниз по потоку от задней кромки, усиливаются вследствие неустойчивости потока. Однако в этом случае звуковое излучение связано с поперечным движением, возникающим в следе вследствие возмущений. Затем звуковая волна падает на пограничный слой на напорной стороне и вызывает новые возмущения, приводящие к повторению цикла. Такая модель позволяет объяснить многие из экспериментально наблюдаемых результатов. Паттерсон с сотрудниками даже выдвинул предположение, что большая часть широкополосного шума, генерируемого винтом вертолета, обусловлена этим же механизмом, при этом излучение в широком диапазоне частот связано с изменением частоты тона вследствие изменения скорости потока по размаху лопасти.

Другим источником шума винта вертолета является турбулентность в пограничном слое на лопасти. Простая теоретическая модель для расчета шума, генерируемого таким механизмом, предложена Магриджом [32]; результаты расчета, проведенные на основании этой модели, хорошо согласуются с экспериментальными данными на низких частотах. Более того, анализ, проведенный в подразд. 3.5.1, показывает, что атмосферная турбулентность также приводит к генерации широкополосного шума винтом вертолета (или самолета).

Шум винта самолета. Теория Гутина

До сих пор рассматривались примеры генерации звука пульсирующими силами, воздействующими на тело. С другой стороны, в подразд. 3.3.2 показано, что в случае движения тела с ускорением звук может генерироваться, даже если такие силы будут стационарными. Обычно принимается, что такой механизм приводит к генерации звука чистого тона винтом самолета при умеренных концевых скоростях лопастей. В 1933 г. Гутин [33] определил, что источником такого шума являются диполи, и впервые разработал теорию, позволяющую успешно оценить шум винта самолета .■

Основное уравнение. На рис. 3.13 показан винт самолета, вращающийся в плоскости у]—у2 с угловой скоростью Q. Система ко

ординат£ жестко связана с лопастями, начало координат расположено на втулке и ось:3 перпендикулярна плоскости У1 — у2.

Генерируемый таким винтом шум можно рассчитать с помощью формулы (3.23). По причинам, которые будут рассмотрены в гл. 5, снова будет приниматься, что квадрупольным шумом можно пренебречь. Кроме того, здесь не будет учитываться шум, связанный с эффектами объемного вытеснения жидкости.

Рис. 3.13. Система координат для винтаРис. 3.13. Система координат для винтае'-е'-RiRi4лс® - о 5(<о)4лс® - о 5(<о)ддтддтdS (С),dS (С),(3. 96)(3. 96)Тогда при принятых допущениях выражение (3.23) примет вид

Рис. 3.13. Система координат для винта

Рис. 3.13. Система координат для винта

е'-

е'-

Ri

Ri

4лс® - о 5(<о)

4лс® - о 5(<о)

д

дт

д

дт

dS (С),

dS (С),

(3. 96)

(3. 96)

где принимается, что S (/0) — поверхность лопастей, а время задержки те и конвективный фактор С* определяются соотношениями (3.17) и (3.18) соответственно. Число Маха, входящее в соотношение (3.18), определяется через скорость V некоторой фиксированной точки в системе координат £ с помощью выражения (3.15), а из уравнения (3.13) и рис. 3.13 следует, что при отсутствии поступательного движения винта

V = 2kxg.(3.97)

Ограничимся (для простоты) рассмотрением случая дозвуковых скоростей V во всех точках. Тогда при каждом значении t уравнение (3.17) имеет только один корень для те, и нет необходимости представлять подынтегральное выражение в соотношении (3.96) в виде суммы членов (см. замечание, следующее после уравнения (3.17)).

- Проводимый здесь анализ ограничен также случаем, когда источники, а следовательно, и звуковые поля — периодические и меняются с круговой частотой Q. Такая картина имеет место при набегании на винт стационарного потока, даже если поток неоднороден по пространству. Поэтому из выражений (3.96) и (1.А.2) приложения 1.А следует, что амплитуда Qn п-й гармоники пульсаций плотности определяется соотношением

Q Л 2f/S Г Rf д fl

Qn\ \—— ■—eMtdtdS^.(3.98)

0 $(<о)-

Так как интегрируемая функция оценивается в £ и при времени задержки те(£, /), удобно взять эти величины в качестве переменных интегрирования. Дифференцируя соотношение (3.17) и используя выражения (3.9), (.3.15), (3.17) и (3.18), получим

=(3.99)

Поскольку Те — однозначная функция 1, можно заменить переменную интегрирования / в выражении (3.98) на те и получить

о ^(^27s)Rdf■

0„\\ e^iv+W^i —— dxedS^, (3.100)

° 5(<о)

где опущено обозначение [ ]т=т ; при этом имеется в виду, что все величины в подынтегральном выражении берутся в £ и при времени задержки те.

Так как/? — периодическая функция т с периодом 2n/Q, то [/?]т=т^ — также периодическая функция те с тем же самым периодом. Тогда из уравнения (3.17) следует, что увеличение те на 2n/Q приводит к увеличению t на ту же величину. Но, так как скорость дозвуковая, из (3.17) и (3.99) следует, что t — монотонно возрастающая функция те. Следовательно, увеличение t на 2n/Q должно также приводить к увеличению те на эту же величину. Поэтому пределы интегрирования по те в выражении (3.100) можно заменить на [те(£, 0), тд£, 0)4-2л/2]. Поскольку подынтегральное выражение является периодической функцией те, то величина интеграла не может имениться, если оба предела интегрирования изменить на одинаковую величину, и соотношение (3.100) можно записать в виде

Qn\ \ e^i^+f^i —^-dxedS^), (3.101) ”8Л2С3|С*| е W/

0 S(ZO) о'

где, ввиду того что у(^, те) ограничено диском вращения винта, а х находится в поле излучения, RJR заменено асимптотическим выражением Xjjx.

Так как С*>0, то интегрируя уравнение (3.101) по частям и учитывая соотношения (3.17) и (3.99), получим

Л \ e^e+Wc^№ T^dS^dT^ ‘00 S(/o)

поскольку R=x—— у -|- О (л:™1), то при условии, что х находится в дальнем поле, а у ограничено диском вращения винта, предыдущее выражение примет вид

2л/а

jTe-)dS^dxe.

°°SM(3. 102)

Рис. 3.14. Поверхности лопатки винта:/—передняя поверхность 5ь 2—плоскость £1—^2 (плоскость вращения); 3—задняя поверхность 5г; 4—сечение лопасти винта; 5—хорда лопасти винтаРис. 3.14. Поверхности лопатки винта:/—передняя поверхность 5ь 2—плоскость £1—^2 (плоскость вращения); 3—задняя поверхность 5г; 4—сечение лопасти винта; 5—хорда лопасти винта

Рис. 3.14. Поверхности лопатки винта:

/—передняя поверхность 5ь 2—плоскость £1—^2 (плоскость вращения); 3—задняя поверхность 5г; 4—сечение лопасти винта; 5—хорда лопасти винта

Рис. 3.14. Поверхности лопатки винта:

/—передняя поверхность 5ь 2—плоскость £1—^2 (плоскость вращения); 3—задняя поверхность 5г; 4—сечение лопасти винта; 5—хорда лопасти винта

Целесообразно сделать различие между передними поверхностями лопастей винта, которые обозначим + (О, с единичной нормалью nt1), и задними поверхностями S2(O с единичной нормалью пР). Как показано на рис. 3.14, линия соединения поверхностей этих двух типов проходит по задней кромке лопасти и вдоль линии на передней кромке, в каждой точке которой касательная к сечению профиля параллельна оси g3. Тогда поверхностный интеграл в формуле (3.102) можно записать в виде суммы двух интегралов, каждый из которых соответствует поверхности одного типа. Последние интегралы можно оценить обычным путем, проводя интегрирование по проекции А поверхности лопасти на плоскость &—$2. Тогда внутренний интеграл в формуле (3.102) примет вид

S(/o)

/2)1Ф|/2)1Ф|е-(/«9/Со)(х/.г)у(2) й^2, (3. 103)е-(/«9/Со)(х/.г)у(2) й^2, (3. 103)- Н1)

/2)

1Ф|

/2)

1Ф|

е-(/«9/Со)(х/.г)у(2) й^2, (3. 103)

е-(/«9/Со)(х/.г)у(2) й^2, (3. 103)

1е—(Ы2/с0) (х/^)у(1) I

где О1— значение u3 на передней поверхности лопасти, и всегда индекс «1» показывает, что величина, к которой он относится, оценивается, в точке /, Li, Сз1)- Чтобы привести формулу (3.102) к более явному виду, прежде всего, как показано на рис. 3.15, введем сферические координаты х, 0, ср для точки наблюдения х и цилин-. дрические координаты г', ср', / для источника. Вектор у означает расположение точки источника £ в неподвижной системе координат У, поэтому из приведенного рисунка следует, что

y = {r' cos (/ + 20, г'sin (/ + 2тг), (3), 1 ^ х = {х sin 6 cos <?, х sin 6 sin <р, xcos9). J

Более того, когда рассматривается винт, обычно принято разделять силу, действующую на лопасти, на такие составляющие, как тяга /г в направлении и3 и сопротивление (равное моменту вращения с обратным знаком) fD в направлении ср'. Эти составляющие связаны

Рис. 3.15. Полярная система для винта

с компонентами Д силы f в неподвижной системе координат у соотношением

f = { —/р5т(ф'4-2те), /дС08(<р' + 2тД —/г).

Вводя это соотношение в (3.103), подставляя результат в (3.102) и используя полярные углы, определяемые соотношениями (3.104), получим

2л/2

\ ехрИпй|1 sin 6 cos (»' + 2г„ — х

8л2е*х j J ( L \ Со)\ со /Л

0 о Л

X [gr cos 9 + gD sin 9 sin (?' + ^Te — ?)] dxer'dr'd^',(3. 105)

где

ga ~ fexP [ - z — ^° cos 91) +

14 ’1 L co J J

+ ——(exp [ — /-^-ti2> cos911 при a = 7, D.(3.106)

Множитель

ехрГ —Z-^-d‘) cos э! / = 1, 2

L co J

учитывает разницу во времени задержки между точками, лежащими на поверхности лопасти и в плоскости вращения винта. Однако, по всей вероятности, нет винтов с такими толстыми лопастями, чтобы разница во времени задержки сигналов с передней и задней по-

прене-прене-верхностей имела бы какое-либо значение. Поэтому будем брегать этой разницей и получим

прене-

прене-

ga ~ [expf — I — Сз cos Й! /„ при а = Т, D,

L \ с0 /J

где * £3С (г7, ср') ■— координата 13 хорды лопасти и

/

•'ЯI * Я^1 ГЛ

-=•+——- Для a — T,D

R1’! Н2)|

— тяга или сила сопротивления, действующая на участок лопасти с единичной площадью проекции в точке (?ь £2). Следовательно, используя хорошо известную функцию [13]

e-zzcos?^ 2 —

для функции Бесселя 7m(Z) первого рода и производную этой функции ПО Р

— sin4e"''Zc0S^-R ^ ( — i)mrnJm{Z)^im^,

можно записать формулу (3.105) в виде

QnQn—— е—— егггг4лсц.4лсц.е<т[у—(я;е<т[у—(я;V' sin 6)е-'(^,+^зсо59)V' sin 6)е-'(^,+^зсо59)X I cos BFя—mX I cos BFя—mОТ = — °°« PD ’* n—mknr .ОТ = — °°« PD ’* n—mknr .(3. 107)(3. 107)гдеha=со— волновое число n-й гармоники частоты вращения Q и 2к/2F1 —( е‘^йт7а(С', т)<7т для а = Т, Dр2 л jгдеha=со— волновое число n-й гармоники частоты вращения Q и 2к/2F1 —( е‘^йт7а(С', т)<7т для а = Т, Dр2 л j(3. 108)(3. 108)(3. 109)(3. 109)о~-р-й коэффициент разложения Фурье силы/,. Окончательно, заменяя индекс суммирования на р — п—т, можно привести выражение (3.107) к более известному видуо~-р-й коэффициент разложения Фурье силы/,. Окончательно, заменяя индекс суммирования на р — п—т, можно привести выражение (3.107) к более известному видуИгп иг .Qn~ .2 е "4л.СдХИгп иг .Qn~ .2 е "4л.СдХе'^-лН-р-мг)] ^ Jn_p{kar' sin 9)хе'^-лН-р-мг)] ^ Jn_p{kar' sin 9)хm ’ F й^з coseb« ?' я\Соm ’ F й^з coseb« ?' я\СогР п—Р Р° cos 6г „ Г _р ЬпГ’ р.гР п—Р Р° cos 6г „ Г _р ЬпГ’ р. (3.110)* Определение £3С в области между лопастями не имеет смысла, так как здесь исчезает f .■ (3.110)* Определение £3С в области между лопастями не имеет смысла, так как здесь исчезает f .■

Qn

Qn

—— е

—— е

гг

гг

4лсц.

4лсц.

е<т[у—(я;

е<т[у—(я;

V' sin 6)е-'(^,+^зсо59)

V' sin 6)е-'(^,+^зсо59)

X I cos BFя—m

X I cos BFя—m

ОТ = — °°

« PD ’

* n—m

knr .

ОТ = — °°

« PD ’

* n—m

knr .

(3. 107)

(3. 107)

где

ha=

со

— волновое число n-й гармоники частоты вращения Q и 2к/2

F1 —( е‘^йт7а(С', т)<7т для а = Т, D

р2 л j

где

ha=

со

— волновое число n-й гармоники частоты вращения Q и 2к/2

F1 —( е‘^йт7а(С', т)<7т для а = Т, D

р2 л j

(3. 108)

(3. 108)

(3. 109)

(3. 109)

о

~-р-й коэффициент разложения Фурье силы/,. Окончательно, заменяя индекс суммирования на р — п—т, можно привести выражение (3.107) к более известному виду

о

~-р-й коэффициент разложения Фурье силы/,. Окончательно, заменяя индекс суммирования на р — п—т, можно привести выражение (3.107) к более известному виду

Игп иг .

Qn~ .2 е "

4л.СдХ

Игп иг .

Qn~ .2 е "

4л.СдХ

е'^-лН-р-мг)] ^ Jn_p{kar' sin 9)х

е'^-лН-р-мг)] ^ Jn_p{kar' sin 9)х

m ’ F й^з coseb

« ?' я

\Со

m ’ F й^з coseb

« ?' я

\Со

гР п—Р Р° cos 6г „ Г _

р ЬпГ’ р.

гР п—Р Р° cos 6г „ Г _

р ЬпГ’ р.

(3.110)

* Определение £3С в области между лопастями не имеет смысла, так как здесь исчезает f .■

(3.110)

* Определение £3С в области между лопастями не имеет смысла, так как здесь исчезает f .■

Этот результат является общим и применим даже в том случае, когда набегающий поток неоднороден по пространству и все лопасти отличаются друг от друга. Однако практический интерес обычно представляют винты, имеющие В идентичных лопастей с постоянным расстоянием между ними. Обозначим через /°(г', <р, т) силу, действующую на участок лопасти, которому соответствует проекция единичной площади *, для этой лопасти примем индекс s равным единице. Тогда, так как распределение сил, действующих на лопасть s=l в момент времени т, будет таким же, как распределение, действующее в момент г—(2n/QB) (s—1) на лопасть, смещенную относительно первой на угол (2л/В) (s—1), распределение силы на последней лопасти должно иметь вид

/

о / г / 2л /, х । 2л ., А

\ОМО/

Следовательно, в'

Л=V'—т +(s— 1)) для а = Г, D.

(3.111)

Теперь можно подставить это выражение в (3.109) и получить в■

Fp= Ve-^-Dp/^Op^r', t'--^-(s-I)) Для a — T,D, (3.112)

2$/е•'

где FaiP(r', <p')s-5- \x^dx для a = T, D (3.113)

о

— р-й коэффициент разложения Фурье силы, соответствующей проекции единичной площади, для лопасти 8=1. Тогда подставляя выражение (3.112) в (3.110), смещая предел интегрирования от ф' до ф'—2л (s—1) /В, используя тождество

вf В при п=тВ

ye-i,hH)/s= кт=0, ± 1, ±2,...

^х(0 при пфтВ

и учитывая, что /

W, ?')=« Г\

е<(„В-р)[у-(к/2)] V JnB_pе<(„В-р)[у-(к/2)] V JnB_p\О

е<(„В-р)[у-(к/2)] V JnB_p

е<(„В-р)[у-(к/2)] V JnB_p

IBknR „ih„nX получим QnB^-e nB 4 лс^д^

X(W sin(cos^Fr.p-^/F^p^ r'dr'd^,

\oB/

(3.114)

* Можно принять, что fa равна нулю, когда (г', <р') не лежит на проекции лопасти. ■

где До — площадь поперечного сечения лопасти s=l. Во многих случаях ?зс может быть с достаточной точностью описано приближенным соотношением

^ = r'cp'ctgx,

где угол установки х показан на рис. 3.18.

Стационарные силы, воздействующие на лопасть. Теория Рутина. Теперь рассмотрим случай, когда набегающий поток совершенно однороден в пространстве, и, следовательно, силы, воздействующие на лопасть, во вращающейся системе координат будут стационарными. Тогда соотношение (3.113) примет вид

2л/2

^«,Р=/«°(С)4-е!>2^г = /°^)8р,о дляс^ла..

о

Таким образом, вклад в общую сумму в выражении (3.114) вносится только членом р = 0, и получается следующая обобщенная формула Рутина для шума «вращения» винта самолета [33]

e"S WxUexpp«£<p'(l + —cosfictgx) lx

X 7nS (W'sin 9) (/^ cos 9^— f^r'dr'dy' для n=l,2,...

Г(3.115)

Для суждения о свойствах звукового поля, получаемого на основании этого результата, отметим, что функция Бесселя Im^ может быть приближенно представлена в виде первого члена разложения в ряд

(3.116) 2mm\

в большей части диапазона O-cZ-Cm, где аргумент функции меньше, чем ее порядок. Но для г' меньших, чем радиус конца винта rt

Cq Со

где М< — число Маха, соответствующее скорости конца лопасти, которое, как было принято выше, меньше единицы. Поэтому из выражения (3.108) следует, что аргументы функций Бесселя, входящих в соотношение (3.115), будут меньше порядка функций и, следовательно, можно воспользоваться приближением (3.116). Более того, изменение на площади До показателя

— inB^' 11 + Qr cos 6ctgx)

\Co/

будет меньше, чем 2nB[AR, где AR — коэффициент удлинения ло

пасти. Будем предполагать, что AR, достаточно велик и что число лопастей достаточно мало, так что показатель почти равен нулю. При таких предположениях формула (3.115) примет вид

1кпВВ ( knBrt&inb\nB 1[кпВх + 11В[<(-(г.!2Щ

ЧпВ~ :(о

4лс2х (пВу. \2/

X fcosQ-^Ш—(3. 117)

ДоДогде апгде ап

До

До

где ап

где ап

— отношение пВ-го момента сопротивления к пВ-му моменту тяги, или приближенно отношение сопротивления к тяге.

Из формулы (3.118) следует, что фаза /гБ-й гармоники QnBe~" nBSt пульсаций плотности равна (см. с. 22)

мВ (<р — Q/) 4- knBx+const.

Следовательно, поверхности равной фазы вращаются со скоростью вращения винта Q и переносятся в радиальном направлении со скоростью звука. Поэтому говорят, что фаза звуковых волн «закреплена» на винте.

Интенсивность пВ-й гармоники записывается в .виде

А^С2А^С2-В1^ ( fcnBr( sin 6)2nB (cos 6 — anBAty

А^С2

А^С2

ПВл2^^^=^У^ВУЦ2

(3. 118)

Как уже упоминалось, эта формула не учитывает «шум толщины», генерируемый при объемном вытеснении жидкости лопастью. Развитие теории Гутина, направленное на учет этих эффектов, было предпринято Демингом [36, 37] и завершено самим Гутиным [38] в 1942 г. Однако было получено, что этот источник не оказывает существенного влияния на общее излучение пока концевая скорость лопастей не становится близкой к скорости звука [64].

Из формулы (3.118) следует, что интенсивность звука вдоль оси винта (0 = 0 и 6=л) всегда равна нулю, и так как anl^t обычно немного меньше единицы, она имеет выраженный максимум немного сзади плоскости вращения винта. При увеличении числа лопастей этот максимум быстро сужается. При углах 9 = arc cos (ап/М;) интенсивность также равна нулю. Таким образом, характеристика направленности обычно имеет форму, показанную на рис. 3.16.

При постоянной концевой скорости основная частота сакв = ^В возрастает при увеличении числа лопастей ввиду фазового сокращения более низких гармоник частоты вращения Q. Увеличение

числа лопастей также приводит к быстрому уменьшению до нуля интенсивности звука. Это связано с тем, что функции Бесселя высокого порядка становятся очень близкими к нулю, если их аргумент меньше порядка функции, что, как уже было показано ранее, всегда имеет место в случае дозвуковых концевых скоростей. Таким образом, вероятно, шум такого типа не будет иметь большого значения для вентиляторов турбореактивных двигателей, так как они обычно имеют большое число лопаток.

При малых скоростях преобладающее

Рис. 3.16. Характеристика направленности излучения в полярной системе, координат:/—направление потока; 2— винт; 3—ось вращенияРис. 3.16. Характеристика направленности излучения в полярной системе, координат:/—направление потока; 2— винт; 3—ось вращенияизлучение обычно наблюдается на основной частоте, тогда как при увеличении концевой скорости все большее значение приобретают более высокие гармоники.

Рис. 3.16. Характеристика направленности излучения в полярной системе, координат:

/—направление потока; 2— винт; 3—ось вращения

Рис. 3.16. Характеристика направленности излучения в полярной системе, координат:

/—направление потока; 2— винт; 3—ось вращения

Хаббард и Ласситер [39] провели сравнение результатов расчета по формуле (3.115) и измерений шума в плоско-

сти вращения двухлопастного винта (рис. 3.17). Это и другие сравнения показали, что развитая в этом разделе теория (с учетом,

если это необходимо, влияния толщины лопасти на шум) позволяет с приемлемой точностью определить излучение гармоник низкого порядка (примерно до 10) при изменении числа Маха, соответствующего концевой скорости лопастей, от 1/2 до 1. С другой

стороны, получено, что излучение шума реальных винтов происходит на частотах, существенно превышающих рассчитанные на основании этой теории. В настоящее время полагается, что дополнительный шум обусловлен неоднородностью набегающего потока; эта же неоднородность, вероятно, приводит к расхождению теоретических и экспериментальных результатов при числах Маха, меньших 1/2.

Шум, обусловленный неоднородностью потока. Во многих случаях винты и вентиляторы работают в существенно более неоднородных потоках, чем это имеет место в случае винта самолета. Так, например, винт корабля находится в неоднородном следе корабля, вентилятор реактивного двигателя часто находится в следе за входным направляющим аппаратом, а лопасти вертолета часто попадают в свой же след или работают при таких условиях, когда сказывается влияние земли. Следует отметить, что шум, обусловленный неоднородностью потока, может преобладать над шумом вращения даже при очень малых неоднородностях.

Если набегающий поток неоднороден, то нельзя больше принимать, что силы, действующие на лопасти, остаются стационарными в системе координат, вращающейся вместе с винтом, и для расчета акустического излучения следует использовать полную формулу (3.114). Для оценки интегралов в этой формуле обычно необходи-

Рис. 3.17. Результаты измерения шума винта 139]. Азимутальный угол в=9Ср; расстояние до точки наблюдения х=10 м:Рис. 3.17. Результаты измерения шума винта 139]. Азимутальный угол в=9Ср; расстояние до точки наблюдения х=10 м:а—зависимость звукового давления от порядка гармоники. Число лопаток В®2; б—зависимость звукового давления от концевого числа Маха для трех гармоник двухлопастного винтаа—зависимость звукового давления от порядка гармоники. Число лопаток В®2; б—зависимость звукового давления от концевого числа Маха для трех гармоник двухлопастного винта

Рис. 3.17. Результаты измерения шума винта 139]. Азимутальный угол в=9Ср; расстояние до точки наблюдения х=10 м:

Рис. 3.17. Результаты измерения шума винта 139]. Азимутальный угол в=9Ср; расстояние до точки наблюдения х=10 м:

а—зависимость звукового давления от порядка гармоники. Число лопаток В®2; б—зависимость звукового давления от концевого числа Маха для трех гармоник двухлопастного винта

а—зависимость звукового давления от порядка гармоники. Число лопаток В®2; б—зависимость звукового давления от концевого числа Маха для трех гармоник двухлопастного винта

мо знать распределение силы на лопастях. Однако качественное представление о звуковом поле можно получить, принимая, что сила на каждой лопасти приложена к одной точке, расположенной на радиусе гм. Тогда можно направить ось ^ так, чтобы распределение силы /", действующей на первую лопасть, записывалось в виде

/«(С, t) = 4-8('''-rA1W)7°H а = Т, D, Г

где fa означает суммарную силу (тягу или сопротивление), воздействующую на лопасть. Подставляя это соотношение в выражение (3.113) и используя результат в выражении (3.114), получим

^пВ 4лс^^пВ 4лс^е№пВХ ^^ е V1B~P) 1,?-(,t/2)] Лв-р(^«вгм sin 9)х

^пВ 4лс^

^пВ 4лс^

Xlcos ВТр —Xlcos ВТр —нВ — ркпВГ^нВ — ркпВГ^(3. 119)(3. 119)

Xlcos ВТр —

Xlcos ВТр —

нВ — ркпВГ^

нВ — ркпВГ^

(3. 119)

(3. 119)

2л/2

где а„ = — e^/a^dn для а = Т, D

о

— коэффициент разложения Фурье суммарной силы (тяги или сопротивления), действующей на лопасть. Эта формула была получена Лоусоном [40] при рассмотрении кругового распределения то-

чечных источников, вращающихся с одинаковой угловой скоростью относительно общего центра *.

Член с индексом р = 0 относится к механизму, обсуждаемому в предыдущем разделе, и его коэффициенты Фурье То и Do равны ос- редненным по времени силам. Следовательно, их можно рассматривать как стационарную составляющую сил, действующих на лопасть, а коэффициенты Фурье Тр и Dp при р^О соответствуют пульсационным, или нестационарным силам. Каждый из них составляет величину или «моду», соответствующую пВ-й гармонике звукового поля, фаза которой равна (см. с. 22) k„Bx А"кпВ — Р^ — tiBQt -}- const.

Поэтому соответствующая фазовая поверхность вращается с угловой скоростью

—^—2.

пВ — р

Таким образом, моды, для которых индексы р и пВ имеют одинаковый знак, будут вращаться с большей угловой скоростью, чем скорость вращения винта й, откуда следует, что винт, вращающийся с дозвуковой скоростью, может привести к образованию мод, вращающихся со сверхзвуковой скоростью. Напротив, моды, которым соответствуют индексы противоположных знаков, имеют скорости вращения меньше, чем й. Взаимодействие такого типа можно легко представить, рассматривая оптическую аналогию, называемую эффект Мори **. Если периодическое поле представляется в виде решетки (например, из 48) радиальных спиц, изображенных на неподвижном основании, и, если винт представляется подобным же образом (например, в виде 46 спиц), то на листе прозрачного пластика чередование темных и светлых полос, получающееся при наложении изображений, будет представлять интерференционную картину. Если теперь поворачивать пластиковый лист относительно общего центра решеток, то интерференционная картина будет поворачиваться со скоростью в 46/(48—46), т. е. в 23 раза быстрее, чем пластиковый лист, но в противоположном направлении.

Когда р и п имеют противоположные знаки, функция Бесселя порядка пВ—р, которая входит в п, р-й член, будет меньше, чем функция Бесселя порядка пВ, которая входит в член, относящейся к стационарной силе. А, так как нестационарная сила обычно существенно меньше чем стационарные нагрузки, то можно пренебречь всеми модами, индексы которых имеют противоположные знаки.

С другой стороны, функции Бесселя, входящие в члены, имеющие индексы одного знака, будут больше, чем соответствующие функции в члене, относящемся к стационарной силе. Действитель-

Приближение, в котором используются точечные силы, может в какой-то мере отражать реальность в том случае, когда длина волны велика по сравнению как с хордой, так и с размахом лопасти. Так как более вероятно, что длина волны будет велика только по сравнению с хордой, лучшее приближение будет получено при распределении сил вдоль некоторой радиальной линии.

* Этот пример'рассмотрен в работе (41].

но, при любом заданном п абсолютная величина члена с индексом р = пВ равна

в I-7о UWiA sin 9) cos 9ТпВ\,

-V4ЯСдХ-V4ЯСдХтогда как абсолютная величина члена, относящегося к стационарной силе (р = 0), равна

-V

4ЯСдХ

-V

4ЯСдХ

VnB khnBrJA^^TG \ cos 9 —

где а — отношение сопротивления к тяге. Следовательно, относительная величина этих двух членов в первую очередь определяется относительной величиной функций Бесселя и отношения ТпВ!Тй нестационарной силы к стационарной. Последняя величина приближенно равна отношению амплитуды пБ-й гармоники поля возмущений к средней скорости потока. Следовательно, чем больше В, тем большее значение приобретают нестационарные члены, которые не обязательно являются малыми, даже когда В принимает наименьшее возможное значение, равное 2. Так, например, когда п=1, аргумент функции Бесселя равен 2М0 sin 0, где Мо —Йгм/со — число Маха на радиусе гм. Следовательно, /о=1, /г = 0 при 0 = 0 и (принимая Мо = О,7) /о—0,57 и /2 ~ 0,207 при 9 = л/2. Следовательно, член, относящийся к нестационарной силе, может при 0 = 0° достигать половины величины члена, относящегося к стационарной силе при 0 = 90°, даже когда амплитуда первой гармоники возмущений составляет только 10% от средней скорости.

Определение сил на лопастях. Результаты, полученные в последнем разделе, будут иметь завершенный вид только в том случае, когда известны действующие на лопасть винта нестационарные силы. Сейчас будет показано, как, сделав некоторые допущения, можно использовать результаты, полученные в подразд. 3.4.2, для определения этих сил. Так как при этом принималось, что применима линеаризированная теория тонкого профиля, потребуем, чтобы лопасти винта имели малую кривизну и располагались под малым углом атаки относительно набегающего потока. Конечно, при этом и пульсации скорости должны быть малыми. Необходимо также принять, что лопасти находятся на достаточном расстоянии друг от друга, так чтобы можно было пренебречь эффектами, связанными с их взаимодействием. Тогда каждую лопасть можно рассматривать как изолированный тонкий профиль. Кроме того, для наглядности будем рассматривать двухмерный параллельный поток. При таких предположениях силы, действующие на лопасть, можно определить на основании двухмерной модели, показанной на рис. 3.18.

Набегающий стационарный поток, параллельный оси Уь изменяется только в направлении У2 и состоит из однородной части

Риг. 3.18. Система координат, используемая при расчете пульсационных -сил, действующих на лопаткуРиг. 3.18. Система координат, используемая при расчете пульсационных -сил, действующих на лопатку

Риг. 3.18. Система координат, используемая при расчете пульсационных -сил, действующих на лопатку

Риг. 3.18. Система координат, используемая при расчете пульсационных -сил, действующих на лопатку

Uоо и малой изменяющейся по пространству переменной части. Так как (что будет показано далее) задача линейная, необходимо (как было показано в подразд. 3.4.2) рассмотреть только одну гармоническую составляющую неоднородного потока, амплитуду и длину волны которой обозначим через wp и Хоcosv соответственно. .Тогда скорость набегающего потока равна

(3. 120)

Чтобы свести эту задачу к рассмотренной в подразд. 3.4.2, необходимо ввести систему координат, например, ух, Уа, которая остается неподвижной относительно лопастей. Примем, что ось ух совпадает с направлением среднего потока, обтекающего лопасть, скорость которого обозначим через UT (см. рис. 3.18). Тогда система координат ух, уа повернется относительно системы Кь Т2 на угол ц, образуемый UT и скоростью набегающего потока U.», и за время т составляющая движения лопасти в направлении У2 сместится на расстояние (770cosv)t. Следовательно,

^2=У1 sin р + Уг cos р —^ог cos v- (3- 121)

Тогда, так как (LVsin р) = (t7r/cos г), что можно получить из треугольника скоростей на рис. 3.18, поле скоростей набегающего потока (3.120) можно представить в виде

U„Л-ту.ехр 2л; —-у— г .

L ло \и г/J

Пусть гм— радиус, соответствующий плоскости рис. 3.18. Тогда, так как длина окружности 2лгм должна равняться целому числу

длин волн Х0 = 2лгм/у>, U0 = Qr№, то скорость набегающего потока принимает вид

+ -wp exp Г ipSt

Эта скорость направлена по Ki и относительно лопастей имеет составляющие

, г ,Г •CtgLL

и г wp cos (х exp WpQ I ————— r

L \ ur

I

-"V иг ctg ll

I— T

в направлении z/i и z/2 соответственно. Но эти формулы точно описывают набегающий порыв типа, определяемого соотношениями (3.54) и (3.55). Поэтому .из результатов, полученных в подразд.

следует, что пульсации подъемной силы на единицу размаха связаны с функциями Сирса для потока сжимаемой жидкости соотношениями (3.72) и (3.73в), которые в принятых здесь обозначениях показывают, что амплитуда Fp?b пульсаций подъемной силы (Рр1Ь)е~‘Р^ на единицу размаха определяется соотношением

-у-= — ^CQ(P,wp sin jxSe ^р, Mr\(3. 122)

где приведенная частота ор имеет вид

рО.с

Из этого следует, что действующая на лопасть подъемная сила периодическая по времени и ее основная частота равна скорости вращения лопастей, а p-я гармоника зависит только от р-й пространственной гармоники поля возмущений набегающего потока. Составляющие Фурье сил тяги Тр и сопротивления Dp, которые входят в формулу (3.119), теперь будут определяться выражениями- 7^ —Z^ sin %, Dp=Fp cos/, где % — угол установки (см. рис. 3.18).

Шум винта вертолета. Шум вертолета часто создает серьезные ограничения возможности применения этих аппаратов. Действительно, шум ограничивает возможность применения вертолетов даже в гражданской авиации, где, в частности, они могли бы являться наилучшим видом внутригородского транспорта. В военном применении шум вертолета приводит к его раннему обнаружению при подходе к цели.

Характерный спектр шума вертолета показан на рис. 3.19. Сложная природа этого шума обусловлена большим числом источников как механических, так и аэродинамических, которые вносят вклад в генерацию звукового поля. Основные аэродинамические источники указаны на рис. 3.19.

wo

/

Частота, Ги,

Рис. 3.19. Спектр внешнего шума вертолета HU=1A. Тяга 27100 Н; концевая скорость 220 м/с; расстояние от источника до микрофона 61 м (из работы [45], оригинал приведен в [62]):

/—нет сигнала с микрофона; 2—шум вращения основного винта; 3—шум вращения рулевого

винта; 4—вихревой шум основного винта (приблизительно максимальные уровни)

Т-Ркспериментальные измерения[10] о -Расчет УЧ]Расчет [05]□ -Теория ГитинаТ-Ркспериментальные измерения[10] о -Расчет УЧ]Расчет [05]□ -Теория Гитина100100Гармоники частоты пог,хождения лопатахГармоники частоты пог,хождения лопатахРис. 3.20. Сравнение результатов расчета и эксперимента для шума ротора [45]Рис. 3.20. Сравнение результатов расчета и эксперимента для шума ротора [45]

Т-Ркспериментальные измерения[10] о -Расчет УЧ]

Расчет [05]

□ -Теория Гитина

Т-Ркспериментальные измерения[10] о -Расчет УЧ]

Расчет [05]

□ -Теория Гитина

100

100

Гармоники частоты пог,хождения лопатах

Гармоники частоты пог,хождения лопатах

Рис. 3.20. Сравнение результатов расчета и эксперимента для шума ротора [45]

Рис. 3.20. Сравнение результатов расчета и эксперимента для шума ротора [45]

Так ^ак винт вертолета подобен вин^у самолета, его звуковое поле /должно достаточно хорошо описываться соотношением (3.113), в которое в случае необ- ходи/мости должны быть включены радиальные силы. Действительно, теория Гутина [42] позволяет достаточно хорошо оценить наблюдаемую экспериментально основную гармонику. Однако гармоники более высокого порядка существенно медленнее затухают с ростом частоты, чем это следу-

ет из теории. Отсюда следует, что пульсационные силы, действующие на винт вертолета, должны быть существенно больше, чем силы, действующие на винт

самолета. Поэтому для расчета акустического поля следу

ет воспользоваться полной формулой (3.114) или, возможно, приближением, в котором принимается, что сила точечная (3.119). На практике такая задача часто может оказаться слишком сложной

ввиду почти полного отсутствия сведений о гармониках нестационарных нагрузок Тр и Dp, которые могут существенно меняться при изменении условий работы. Так, нагрузка на лопасть может меняться от импульсной, связанной с «хлопками лопастей», до почти периодической силы, связанной с циклическим изменением угла установки лопастей в горизонтальном полете (которое необходимо использовать для компенсации разности относительной скорости

лопасти при ее движении в направлении полета и в противоположном направлении). Хлопок лопасти — название, данное шуму, воспринимаемому наблюдателем как резкий удар или хлопок, который имеет место при некоторых режимах работы (таких, как снижение на малых оборотах). Такие хлопки следуют с частотой прохождения лопастей и вследствие импульсного характера имеют множество гармоник более высокого порядка. Полагается, что такой шум обусловлен особенно сильным взаимодействием лопастей с концевыми вихрями. На основании измеренных Шиеманом [43] гармоник нагрузки на лопасть Шлегел, Кинг и Мулл [44] вычислили тона, генерируемые винтом вертолета в режиме висения, и сравнили их с результатами измерений. Эти результаты приведены на рис. 3.20, который взят из работы [45]. На этом же рисунке приведены результаты расчета, выполненного на основании теории Гутина, и результаты проведенного Лоусоном и Оллерхидом [45] расчета, в котором использовалось большее число гармоник нестационарной

нагрузки.

Шум вентилятора. Можно показать, что теория, изложенная в

начале этого раздела, должна дать возможность определить основ-

ные характеристики высокочастотного шума, излучаемого осевыми, вентиляторами и компрессорами, которые по существу мало чем отличаются от винта, установленного в канал. На этом основании для анализа характеристик шума вентилятора Морфи [46], Берри и Мо- ур [47], Лоусон [40] и многие другие использовали модели винта. Основное различие между Критом и вентилятором связано с появлением критической частоты), которая будет рассматриваться в гл. 4. Далее будет показано, чтб моды, генерируемые вентилятором, расположенным в очень длинном (т. е. бесконечном) канале, просто не будут распространяться до тех пор, пока частота не станет выше некоторой «критической» частоты, характерной для рассматриваемой моды. Однако вследствие неполного уничтожения звуковых волн, что обусловлено малым изменением времени задержки для точек, расположенных в диске винта, соответствующие моды, излучаемые винтом, имеют только малую (но не нулевую) амплитуду в дальнем поле. Это приводит в результате к постепенному (по частоте) появлению нераспространяющихся мод в отличие от резкой критической частоты, имеющей место в случае распространения звука в канале. Такого рода влияние канала на акустическое поле будет определено в подразд. 4.3.5, где также будет показано, что рассмотренная в этом подразделе теория для свободного пространства приводит к более точным результатам при увеличении частоты.

НЕКОТОРЫЕ ПРИМЕНЕНИЯ ФУНКЦИИ ГРИНА ДЛЯ РАСЧЕТА ЗВУКОВОГО ПОЛЯ

До сих пор роль твердых границ определялась на основании формулы (3.23), которая была получена при использовании функции Грина для свободного пространствам общей формуле (3.6). Если поверхностные силы, входящие во второй член, не определены с высокой степенью точности, такой подход может привести к ошибочному результату. Действительно, дипольные источники, относящиеся к различным участкам любой некомпактной граничной поверхности, стремятся объединиться, в результате чего наблюдается частичное сокращение излучения и генерируется поле квадрупольного порядка. В принципе могут встретиться ситуации, в которых наблюдается обратная картина. Во всяком случае можно допустить существенную ошибку при оценке звукового поля, если не иметь достаточной информации о поверхностных силах, позволяющей правильно смоделировать эффекты взаимодействия. В случае, когда звук порождается турбулентным потоком, получение такой информации представляет весьма сложную задачу. Однако такие трудности можно преодолеть, если использовать функцию Грина, которая составлена таким образом, что делает вклад от поверхностных диполей по возможности минимальным.

Для этого необходимо возвратиться к формуле (3.6), которая ввиду того, что в этом разделе рассматриваются только стационар-

Нестационарный потокНестационарный потокРис. 3.21. Бесконечная плоская граница

Нестационарный поток

Нестационарный поток

ные границы , может быть записана в виде гт

б' =Ц- \ \ Л^У^Н— \ fidS{y)dx. (3.123)

с0 .) J dyLdyjс0 J J dyt

Генерация звука вблизи бесконечной плоской поверхности

Эффекты, которые обсуждались в начале этого раздела, особенно явно, проявляются в случае генерации звука нестационарным потоком вблизи бесконечной абсолютно твердой плоской поверхности (которая схематически показана на рис. 3.21). В этом случае следует воспользоваться функцией Грина (1.С.1), нормальная производная от которой обращается в нуль на рассматриваемой поверхности. Тогда, подставляя соотношение (1.С.1) в (3.123) и отмечая, что R' = R при 1/2 = 0, получим

ТоТоd2GQ(/?)dyidyjd2GQ(/?)dyidyjd2G0(/?')

То

То

d2GQ(/?)dyidyj

d2GQ(/?)dyidyj

■, ’Tijdydx^

dyidyj

о ■

(3. 124)(3. 124)dGO(R) - . ..

(3. 124)

(3. 124)

- J,dyxdysdx, дУ„

где используются обозначения (1.56), в которых опущена зависимость от времени, и полагается, что повторяющийся индекс о может принимать только нечетные значения 1 и 3, относящиеся к координатам, соответствующим рассматриваемой поверхности. Второй член в этой формуле можно преобразовать в интеграл по области под поверхностью z/2<0, заменяя переменную интегрирования у^ на —1/2, при этом получим

с с d^Go^R) ,,

\ \ A a Ttjdydx, J J dyidyj

— Т Уа<0

где 7'*;—( —1)!+-'Г,/(z/p —у^ Уз. х-) (без суммирования по i,/)— «зеркальное отражение» Тц в плоскости #2 = 0.

Удобно ввести распределение квадруполей Тц, которое определяется во всем пространстве так, что оно совпадает с распределением Тц при i/2>0 и равно зеркальному отражению Тц* при i/2<0.

Тогда два первых интеграла в формуле (3.124) можно объединить в один интеграл по всему пространству (где, как обычно, отсутствие пределов интегрирования означает, что интегрирование проводится по всему пространству) и получить

тт

6 =—~ \ \ Л Л Tijdydx^— \ )/ dyvdy3dx.

с0 духду;сйдуа

Так как G0 зависит от х и у только через R, дифференцирование по У г можно заменить на дифференцирование по Хг, затем можно провести интегрирование по дельта-функции и получить

1 д211 д г 1 f

4rtcg dxidxj p k ’ eg ) R2ncg dx J R ° '

X(y, t-Adyxdya.

kCo )

Эта формула впервые была получена Пауэллом [48].

Так как теперь нормаль п к поверхности совпадает по направлению с z/2, из выражений (2.2) и (3.4) следует, что

L = e^ = v.L = e^ = v.<?«2 дУ„<?«2 дУ„ди \ ди— ] = р2дуг / дугди \ ди— ] = р2дуг / дуг

L = e^ = v.

L = e^ = v.

<?«2 дУ„

<?«2 дУ„

ди \ ди

— ] = р2дуг / дуг

ди \ ди

— ] = р2дуг / дуг

Поэтому интенсивность поверхностных диполей равна пульсационному вязкому напряжению, следовательно, для потока невязкой жидкости

1524ЛСц dxidxj1524ЛСц dxidxjТи У, tR ’VТи У, tR ’V—русо /—русо /

152

4ЛСц dxidxj

152

4ЛСц dxidxj

Ти У, t

R ’V

Ти У, t

R ’V

—ру

со /

—ру

со /

Отсюда следует, что влияние бесконечной плоской твердой границы можно учесть, если ввести мнимое распределение объемных квадрупольных источников, получаемое при отражении распределения объемных квадрупольных источников Тц относительно рассматриваемой плоской поверхности. Таким образом, роль твердой границы сводится к отражению звука, генерируемого потоком. Тем не менее, следует помнить, что жесткая граница всегда оказывает сильное влияние на нестационарный поток, который генерирует звук.

Конечно, в любом реальном потоке пульсации вязких сдвиговых напряжений приводят к появлению поверхностных дипольных источников, которые потенциально являются более эффективными генераторами звука, чем объемные квадруполи. Однако при высоких числах Рейнольдса, когда обычно становится существенным аэродинамическое излучение звука, дипольный член, который существенно зависит от вязкости, должен стать достаточно малым по сравнению с пульсациями рейнольдсовых напряжений, определяю

щими квадрупольный источник (особенно при достаточно больших числах Маха).

Интересные эксперименты, направленные на подтверждение такого вывода, были проведены Олсеном, Милесом и Доршем [49]. Они состояли в измерении звукового поля, образующегося при натекании турбулентной струи на очень большую пластину. При этом получалось существенное увеличение мощности излучения по сравнению с акустической мощностью свободной струи, откуда следует, что большая часть шума, вероятно, связана с наличием пластины. Однако интенсивность излучаемого шума всегда менялась как восьмая степень скорости (что характерно для объемных квадруполей), а не как шестая степень (что характерно для диполей), откуда следует, что интенсивность поверхностных диполей действительно мала. Обычно получают, что шум, излучаемый от пограничного слоя на больших поверхностях, очень мал, за исключением случая чрезвычайно больших скоростей (что согласуется с относительно малой эффективностью квадрупольного источника). Однако если поместить пластину в струю, то можно получить отношение турбулентных пульсаций давления к динамическому давлению на порядок больше, чем имеет место в турбулентном пограничном слое.

Основные выводы, полученные в этом разделе, применимы для случая любых поверхностей, для которых характерные размеры и радиусы кривизны велики по сравнению с длиной звуковой волны (см. работы [50] и [63]). Следовательно, при таких условиях каждый элемент поверхности только отражает падающую звуковую волну, генерируемую расположенными вблизи поверхности объемными квадрупольными источниками. Конечно, такое отражение может существенно изменить характеристику направленности излучаемого звука, например, привести к образованию зоны тени со стороны поверхности, которая экранируется от акустических источников.■'

Генерация звука вблизи ограниченной поверхности

До сих пор рассматривалось излучение звука нестационарным потоком вблизи поверхностей, размеры которых либо велики, либо малы по сравнению с характерной длиной волны. Однако на практике поверхности при реальных скоростях потока часто приводят к генерации звуковых волн, длина которых имеет тот же порядок, что и размеры поверхности.

' Общие уравнения. Преимуществом рассмотренного в последнем разделе подхода является (как указал Док [51]) возможность его распространения на случаи неподвижных границ с произвольными размерами и формой; при этом следует только воспользоваться функцией Грина (в формуле (3.123), нормальная производная от которой обращается в нуль на границе. Тогда, так как dG dG по

— = П;=0 на поверхности 5, дп 1 ду.

то, подставляя соотношение (3.4) в (3.123), получаем тт

£ =— \ \ — TijdydxA—г \ \ —-e,vM-S(y;.

ч dyidyjс° dtii

Если, как уже принималось ранее, интенсивностью звука, генерируемого пульсациями вязкого напряжения, можно пренебречь в представляющем интерес диапазоне изменения числа Рейнольдса, то эта формула примет вид

т

q' = -L \ ( —Тtjd у dx.(3. 125)

' с0 j J ду^у,

" Применение этого результата в случае компактной, по крайней мере в одном направлении, граничной поверхности, просто подтверждает вывод о том, что акустическое излучение правильно описывается дипольным членом в формуле (3.20), при условии, конечно, что источник звука удален от поверхности на расстояние, не превышающее длины волны. Действительно, поверхности, удаленные на большое расстояние от области расположения источников, вообще не играют роли в процессах генерации звука.

Часто проще иметь дело не с формулой (3.125), а с ее преобразованием Фурье. Обозначим через А преобразование Фурье р', а через Т}}— преобразование Фурье Т^. Из соотношения (1.С.5) видно, что G зависит от / и т только через комбинацию t—т, поэтому из последней величины в табл. 1.1 (см. приложение 1.А) следует, что преобразование Фурье формулы (3.125) имеет вид

T\jdy,(3.126)

с0 J ду^у,

где, как показано в приложении (1.С.2), Gm относится к решению уравнения Гельмгольца

(v2 + ^o)Gm(y |х) — — 8(х —у); ^0 = “/^

в виде уходящих волн.

Краевой шум. Решение задачи для случая полуплоскости. Вероятно, поверхностью с простейшей геометрией (после бесконечной плоскости), для которой можно применить формулу (3.126), является полубесконечная пластина, показанная на рис. 3.22 (Фокс Вильямс и Холл [52]).

Функция Грина, для которой нормальная производная на полуплоскости yi>0, уа — О обращается в нуль, для расходящихся волн может быть определена для дальнего поля в виде (Мак Дональд [53])

G.G.4 л4 л-ДН+-R v R'-ДН+-R v R'(3. 127)(3. 127)

G.

G.

4 л

4 л

-ДН+-

R v R'

-ДН+-

R v R'

(3. 127)

(3. 127)

где, как обычно, Д=|х—у| — расстояние между источником и точкой наблюдения, а /?'=|х—у'| при у'= {z/i—Уъ Уз} — расстояние

Рис. 3.22. Полубескоиечная плоская граница:Рис. 3.22. Полубескоиечная плоская граница:1—точка расположения источника, у; 2—точка наблюдения, х1—точка расположения источника, у; 2—точка наблюдения, хРис. 3.23. Цилиндрические коорди наты при описании источникаРис. 3.23. Цилиндрические коорди наты при описании источника

Рис. 3.22. Полубескоиечная плоская граница:

Рис. 3.22. Полубескоиечная плоская граница:

1—точка расположения источника, у; 2—точка наблюдения, х

1—точка расположения источника, у; 2—точка наблюдения, х

Рис. 3.23. Цилиндрические коорди наты при описании источника

Рис. 3.23. Цилиндрические коорди наты при описании источника

между мнимым источником (отражением источника относительно плоскости ух—у^ и точкой наблюдения. F (а^ —комплексный интеграл Френеля

\^du (3.128) О

И

(3. 129)(3. 129)a = (2£0r0sin 0)V2cos -у (? — %), а' = (2^0 sin e)V2Cos-^(<p + <p0),

(3. 129)

(3. 129)

где г0=1/уН1/2 и ?0=arctg-^-

У\

— цилиндрические координаты источника, изображенные на рис.

3.23. Важно отметить, что такая

функция Грина имеет «особенность потенциального поля», на краю, что означает, что акустическое поле в этой области ведет себя подобно потенциальному течению.

Выражение (3.127) весьма близко по виду к приведенной функции Грина для бесконечной плоскости [см. выражения (1.С.1) и (1.С.5)]; принципиальное различие обусловлено тем, что в этом выражении

каждый член пронормирован интегралом Френеля, величина которого меняется приближенно от 0 до 1. Следовательно, любое увеличение акустического излучения относительно имеющего место в случае бесконечной плоской пластины должно определяться через производные интеграла Френеля (или, более точно, производные а -и а').

Когда источник располагается далеко от края пластины и находится на противоположной относительно наблюдателя стороне, до наблюдателя будет доходить звук только весьма малой интенсивности. Если источник и наблюдатель располагаются по одну сторону от пластины и источник достаточно удален от края пластины, то пластина будет оказывать такое же влияние на звук, как бесконечная плоскость. Поэтому полагается, что существенное усиление звукового поля, обусловленное присутствием пластины, может иметь место только в случае расположения источника вблизи края пластины. Таким образом, будем рассматривать только случай, когда 2^oro<^ 1’

т. е. когда расстояние между источником и передней кромкой пластины очень мало по сравнению с длиной волны. Поскольку

j е_'“2 du = aA-0 (as) о

при малых а, то выражение (3.127) примет вид

Gto =■Hr Н(2^оsin 6) /2 cos 1—— 4-

е1$оД' г [ е— <”/44л/?' I 2 Vле1$оД' г [ е— <”/44л/?' I 2 Vл“4л/? [ 2 1 /л v °*\ 2 Л|

е1$оД' г [ е— <”/4

4л/?' I 2 Vл

е1$оД' г [ е— <”/4

4л/?' I 2 Vл

(2Vo sin 8)V2 cos (Ш-0)] + О ((Vo)3/2)

и, так как

k0R'— ^o/?-(-2^orosin Vo sin cpsin 8 при R—>co,

G.G.то можно пренебречь разницей между k0R и k^R'; при этом получим

G.

G.

=I ^/л- (2^о^о sin 6)1/2 cos-^-ср0 COS +

Д-О^г 0).

Подставляя это соотношение в (3.126), получаем, что вклад источника звука, расположенного вблизи края пластины, в акустическое

поле определяется соотношением

А-J-=- sin V2 6 cos — ср \ Т^ X

4лс4 /л2 т )/?

(3. 130)(3. 130), Г/ 2г0 W2 11

(3. 130)

(3. 130)

X5dy, дУ^Уа

.где интегрирование проводится по цилиндрической области v0, Для которой 2^0^ 1, а обозначенные греческими буквами повторяющиеся индексы показывают, что суммирование проводится только при значениях индексов 1 и 2 (так как выражение в квадратных скобках не зависит от уз).

Теперь примем, что Тц приближенно определяется соотношени- -ем (2.7). Тогда, вводя радиальные и тангенциальные скорости, показанные на рис. 3.23, и выполняя дифференцирование, получим

2ш2од 4ЛСд2ш2од 4ЛСде sinГ2 6 COS — фГ(д — ^гУ COS — фо +

2ш2од 4ЛСд

2ш2од 4ЛСд

4- 2 (;и/и<рУ sin4- 2 (;и/и<рУ sineihoRReihoRRdy,dy,(3.131)(3.131)/л2 4 (2 Vo) 7 L2 ти

4- 2 (;и/и<рУ sin

4- 2 (;и/и<рУ sin

eihoR

R

eihoR

R

dy,

dy,

(3.131)

(3.131)

где верхний индекс t означает преобразование Фурье. Большой параметр (2^0г0)-3/2, на который умножается выражение, стоящее под знаком интеграла, отсутствовал бы, если бы вместо выражения (3.127) бралась функция Грина для свободного пространства. Таким образом, край пластины приводит к увеличению акустической эффективности компактного квадрупольного источника вследствие уменьшения фазового сокращения, которое имеет место при взаимодействии акустических полей, генерируемых отдельными монопольными составляющими квадрупольного источника. Такое уменьшение обусловлено тем, что пульсации давления в ближнем поле, которые только незначительно связаны с полем излучения, рассеиваются на краю пластины, что приводит к образованию распространяющихся звуковых волн.

К усилению звукового поля в (260г0)"3/2 раз относительно поля в свободном пространстве приводят только составляющие рейнольд- совых напряжений рущ, р0^ и QrW Составляющие Q^r4^ и бо^з которые не рассматриваются в (3. 131), увеличиваются только в (2^0г0)~Г2 ра31 а звуковое поле, генерируемое составляющей р^з, вообще не усиливается.

Теперь примем, что акустическое излучение генерируется турбулентным потоком. Для оценки звукового поля примем (как это делал Лайтхилл в первоначальных работах по аэродинамическому шуму), что поток состоит из ряда акустически компактных областей.

Турбулентность внутри каждой из таких областей принимается полностью коррелированной, а турбулентность в любых двух различных областях полностью некоррелированной. Тогда общая акустическая интенсивность может быть найдена путем вычисления интенсивности, соответствующей каждой области, и сложения полученных результатов. Применяя соотношение (3.131) к отдельному корреляционному объему No и предполагая, что в этой области --uv и ту не изменяются, получим

WoWoCOS — ?0 ^fcp'o)32COS — ?0 ^fcp'o)32

Wo

Wo

COS — ?0 ^fcp'o)32

COS — ?0 ^fcp'o)32

1■

. sin — ¥o

2 Vu/DoY \^ У

v r (2^oro)3/2

No

Заменяя интегралы в этом уравнении приближенными соотношениями

44W2W2W2W2(2Мг0))~^(2Мг0))~^

4

4

W

2

W

2

W

2

W

2

(2Мг0))~^

(2Мг0))~^

где через (ф0) и (г0) обозначены полярные координаты центра вихря, будем иметь

2 2«2д0Л 4ЛСд2 2«2д0Л 4ЛСдi ^oR-T№1i ^oR-T№1(3.132>(3.132>

2 2«2д0

Л 4ЛСд

2 2«2д0

Л 4ЛСд

i ^oR-T№1

i ^oR-T№1

(3.132>

(3.132>

где А = ^-^‘ cos-|- (Vo)+2(y/Upysin -у (%)

приближенно равно (у2)(. Следовательно, средняя интенсивность- звука в дальнем поле, создаваемая каждым коррелированным объемом, равна.-

Iv» —щ sm 9 cos — ?>3. 133)

° 2лзс2(Го)з №2 Т2

где со означает характерную частоту максимума спектра .

Так как общий объем, занятый турбулентностью, равен No> умноженному на число коррелированных объемов, интенсивность звука, генерируемого единичным объемом турбулентности, определяется соотношением

7^9о(у4)^о. л 9 1/9 19ИХ

I ~ ш— sm 9 cos2 —■ ?•(3. 134).

2лЗС2 ^0)3^22 Yv 2

Из этого результата следует, что звуковое поле, генерируемое источником, расположенным вблизи края пластины, имеет определенную характеристику направленности, которая более или менее не зависит от типа источника и в плоскости 6 = л/2 характеризуется

-Центральная частота. полосы=1000 Гн,-Центральная частота. полосы=1000 Гн,luLg sin Цф/2)luLg sin Цф/2)Рис. 3.24. Характеристики направленности излучения шума в 1/3-октавных полосах частот в плоскости, перпендикулярной кромке [54]. (В.ое приведенные точки -в диапазоне изменения ф от 2 до 18QP являются отражением точек на противоположной стороне пластины)Рис. 3.24. Характеристики направленности излучения шума в 1/3-октавных полосах частот в плоскости, перпендикулярной кромке [54]. (В.ое приведенные точки -в диапазоне изменения ф от 2 до 18QP являются отражением точек на противоположной стороне пластины)

-Центральная частота. полосы=1000 Гн,

-Центральная частота. полосы=1000 Гн,

luLg sin Цф/2)

luLg sin Цф/2)

Рис. 3.24. Характеристики направленности излучения шума в 1/3-октавных полосах частот в плоскости, перпендикулярной кромке [54]. (В.ое приведенные точки -в диапазоне изменения ф от 2 до 18QP являются отражением точек на противоположной стороне пластины)

Рис. 3.24. Характеристики направленности излучения шума в 1/3-октавных полосах частот в плоскости, перпендикулярной кромке [54]. (В.ое приведенные точки -в диапазоне изменения ф от 2 до 18QP являются отражением точек на противоположной стороне пластины)

зависимостью соз2(1/2)ф. На рис. 3.24 дается сравнение результатов расчета с результатами измерения шума, генерируемого струей, истекающей из щелевого сопла, к одной стороне которого . присоединена большая плоская пластина (Хайден [54]). -

Формулу (3.134) можно использовать для оценки звукового поля на основании методики подобия. Для этого обозначим пространственный масштаб корреляции через / и примем, что скорость турбулентных пульсаций и' связана со средней скоростью соотношением u'r^aU. Тогда, так как корреляционный объем пропорционален /3 и ЮрГ^и']!, из формулы (3.134) следует, что максимум интенсивности определяется соотношением

(3.135)(3.135)Qot75a5 / Z \3

(3.135)

(3.135)

2лзс2//^2(г0) )

откуда видно, что интенсивность шума изменяется как №. Следовательно, акустическое поле, генерация которого происходит вблизи края пластины, при малых скоростях будет более интенсивным, чем 184

дипольное поле, генерируемое источником, расположенным вблизи компактной поверхности, и существенно интенсивней, чем квадрупольное поле, источник которого находится в окрестности очень большой поверхности.

Интересно сравнить акустическую энергию, получаемую при расчете с помощью этой формулы, и акустическую энергию, излучаемую при отсутствии края у пластины. В подразд. 3.6.1 показано, что звук, генерируемый вблизи бесконечной пластины, приблизительно такой же, как и генерируемый свободной турбулентностью (конечно, при условии, что сама турбулентность в обоих случаях остается одинаковой). Поэтому при оценке акустической энергии, излучаемой турбулентностью, расположенной далеко от края пластины, можно воспользоваться результатами, полученными в подразд. 2.5.1. Теперь отметим, что из выражений (2.44) и (2.42) следует "

“' ~ а2№

ТЕ 1

где a~u'IU — коэффициент пропорциональности между средней скоростью U и пульсационной скоростью и'. Следовательно, если пренебречь эффектами направленности, то из соотношения (2.40) следует, что интенсивность звука, генерируемого свободной турбулентностью, равна

СВ°6 16л2С®/?2/ ‘

Чтобы получить некоторое представление об относительном влиянии края пластины на генерацию звука, воспользуемся этим выражением совместно с уравнением (3.135) для оценки размера пластины, при котором кромка начинает играть преобладающую роль. Из этих двух соотношений следует, что область края пластины будет эквивалентна остальной части пластины с точки зрения генерация звука, когда

0(1),0(1),max С-^кРай) 16 /С^1\3 V О/

0(1),

0(1),

^своб^пласт<Гд^ / /-пласт

где Акрай ^ (г0) — протяженность области, для которой край пластины приводит к усилению звука, а Даласт — длина всей пластины. Но, так как протяженность краевой области определяется неравенством

краевой шум будет преобладающим, если длина пластины меньше чем 64/(лаМ) пространственных корреляционных масштаба (где М — число Маха среднего потока). Конечно, такая оценка является довольно приближенной и может привести к ошибке приблизительно на порядок. Следует также отметить, что эта оценка основывается на предположении, что турбулентность вблизи края пластины

Рис. 3.25. Полубесконечный цилиндрРис. 3.25. Полубесконечный цилиндр

Рис. 3.25. Полубесконечный цилиндр

Рис. 3.25. Полубесконечный цилиндр

Рис. 3.25. Схема соосных струй в случае выд- вынутого влутреннего сопла: /—внешний поток; 2—внутренний поток; 3—внутреннее сопло; 4—сопло

остается такой же, как и вцентре пластины, тогда как измерения давления вблизи задней кромки показывают, что поток в этой области претерпевает существенные изменения. Крайтон и Липпинг- гон £55] показали, что общие выводы, полученные в этом разделе, применимы в'слуаче произвольных пластин, толщина которых мала по сравнению с длиной волны, при условии, что закругление края пластины происходит на масштабе, не превышающем длину волны.

Для того чтобы создать турбулентность, обычно необходимо поместить пластину в некоторый осредненный поток. В этом случае возникает вопрос — не лучше ли воспользоваться условием Кутта на краю, чем допустить, чтобы функция Грина имела регулярность потенциального потока в этой области. Джонс [56] проанализировал звук, генерируемый в однородном потоке акустическим источником, расположенным вблизи задней кромки полубесконечной пластины как при наложении условия Кутта, так и без него (см. подразд. 3.4.2). Он получил, что наложение этого условия может привести к изменению излучения звука только в области вблизи плоскости расположения пластины.

Шум кромок; случай полубесконечного цилиндра. Анализ, подобный описанному в предыдущем разделе, был проведен Липпин- гтоном [57] для оценки шума, генерируемого турбулентностью в окрестности плоскости среза открытой трубы (такой, как показана на рис. 3.25). Для этого случая функция Грина была построена путем применения принципа взаимности к решению подобной задачи для рассеяния, которая уже была решена методом Винера—Хопфа [58]. Такой анализ применим только в том случае, когда длина звуковой волны велика по сравнению с радиусом трубы. Такого рода анализ приводит к выводу, что излучаемая турбулентностью звуковая энергия изменяется пропорционально скорости потока в шестой степени, как было получено Керлом, а не в пятой степени, как получено Фокс Вильямсом и Холлом.

Интересно также отметить, что вихревая пелена, возникающая на кромке сопла, неустойчива к малым возмущениям (неустойчивость Кельвина—Гельмгольца) и что не вызывающие излучения волны неустойчивости могут рассеиватся на кромке в виде рас» 186

пространяющихся звуковых волн Брайтон [oyj;. ноле излучения, генерируемое при таком процессе, идентично полю, полученному Липпингтоном, как по характеристике направленности, так и по параметрическим зависимостям.

Проведенный в двух последних разделах анализ показывает, что должен существовать связанный с кромкой сопла источник шума, который вносит вклад в общее звуковое поле струи. Интенсивность этого источника пропорциональна скорости потока в пятой или шестой степени, так что он становится более важным относительно* шума смешения струи, когда скорость струи мала, и он должен наиболее хорошо проявляться в направлении вверх по потоку от среза сопла, где шум струи наименьший. Однако в проведенных в последнее время тщательных измерениях шума струи (например, Олсен и Фридман [60]) подобный источник шума не был обнаружен даже1 при самых малых скоростях. Действительно, интенсивность шума, излучаемого в направлениях, близких к направлению истечения струи, всегда была пропорциональна восьмой, а не пятой или шестой степени скорости. С другой стороны, данные, полученные Олсеном при исследовании струй, истекающих из двухконтурного сопла, у которого срез внутреннего контура расположен ниже по потоку (схематически такое сопло показано на рис. 3.26), позволяют обнаружить существование тонов, характеристика направленности которых имеет вид cos2 (ф/2), который следует из анализа Фокс Вильямса и Холла, но не вид, полученный Липпингтоном для излучения от края круглой трубы. Эти тона, которые можно обнаружить при отношении скорости внутреннего потока к наружному меньше 0,5, имеют частоту максимума, соответствующую числу Струхаля, определяемому по толщине кромок сопла, равному 0,2. С другой стороны, визуализация потоков подобной конфигурации показала, что крупные хорошо различимые вихри образуются вблизи кромки сопла при отношении скоростей внутреннего й внешнего потоков, меньшем 0,5; при больших отношениях скоростей подобные вихри пропадают. Более того, интенсивность этих вихрей связана с интенсивностью излучаемого тона [61].

3.7. ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ

В настоящей главе показано, что теорию Лайтхилла можно расширить, с тем чтобы в ней учитывалось влияние движущихся поверхностей на излучение звука. Такой подход основывается на общей интегральной формуле (3.6), в которой звуковое поле связано с параметрами источника через функцию Грина для уходящей волны. Однако было показано, что при этом в случае некомпактной поверхности могут получиться ошибочные результаты, так что часто возникает необходимость подбора специальной функции Грина, которая выбирается с таким расчетом, чтобы устранить дополнительные источники шума на поверхности.

Тем не менее, в ряде случаев было получено решение, в котором использовалась функция Грина для свободного пространства и

пренебрегалось объемными квадрупольными источниками, что справедливо только в случае компактной поверхности. Однако в гл. 5 будет показано, что такое приближение будет также справедливо в случае некомпактных ограниченных достаточно обтекаемых поверхностей (которые- и имели место в рассматриваемых примерах.)

Приложение З.А

ЗАМЕНА ЧЛЕНА, ОПИСЫВАЮЩЕГО ВЫТЕСНЕНИЕ ОБЪЕМА, ДИПОЛЬНЫМИ И КВАДРУПОЛЬНЫМИ ЧЛЕНАМИ

Здесь будет показано, что кажущийся порядок мультиполя в последнем интеграле формулы (3.8) можно увеличить, если

dV;

-^ = 0.(З.А.1)

Для этого введем функцию f(R, т), которая принимает нулевое значение в интервале— Т<т<Т, а в остальном остается произвольной функцией R и т. Тогда из соотношений (З.А.1) и (3.7) следует, что

д г/ Г^ ^ Т) Ы ^£С^_У1 , 5 г/ ^/№Л)^,,п —х

улt4- д i(R, т) —

oyj L от• дх^ J дт! дх^ oxj

— дvуjf {R, т),(3. А. 2)

dx,dxj

где вследствие цепного правила и выражений (3.9)

- (dyAdVj(дУДдУАддД(dyA

\ дт /удд/\ дт /у ддг \ du /§\ дт Jt,

— ускорение фиксированной точки в системе координат £. Но, применяя правило Лейбница (уравнение (1.В.2)к области vc, расположенной внутри S, и используя выражение (3.10), получим (с учетом, что вектор направления внешней нормали меняет знак)

ттт

г d р дг г д дГ Г„

0= \ —\ VL— /dydr= \ \ —У,— fdydz—\ \ УяпУ^ dSdT. J dr J 1 dx; J J J du dxi J 3.1 J 1 1 ‘ dxt

-T »c(t)-Г’с<’)-TS(t)

Тогда из теоремы о дивергенции следует, что

гт.

VСdf(■ гГ д(df д\дdf ]

\ \ пУг-А dSdt= - \ \\^-Vj[i-+yi.— f] + — yi^-\dydt.

JJдтJ J\duj\dTdxt/дтздхА

-TS^I-Г1с(т) J

И в результате из выражений (З.А.2) и (3.10) следует

тт

г г s dfд г Г

\ \— dSdt= — \ I ajf (R, T)dydti4-

•) J отdx j J J

r

(3.A.3)(3.A.3)+yyjf(R,^dydt.

(3.A.3)

(3.A.3)

-T ^(T)

Приложение З.ВПриложение З.В

Приложение З.В

Приложение З.В

СПЕКТР ПОДЪЕМНОЙ СИЛЫ

Предположим, что замороженная вертикальная скорость ыг (у —ИМ) прерывается иа некоторой поверхности большого объемного элемента AV, как описано в приложении 1.А (разд. 1.А.З). Тогда существует преобразование Фурье

Л2(к) = 7^р^?2(у-™е zk(y lU'°dy

и подъемная сила Fz(y?„ О, создаваемая скоростью и2, может быть найдена путем суперпозиции элементарных подъемных снл, определяемых выражением (3.72); в результате получим

^2(№, /)= лро^гС ^^(к)^ (^1, 63, Мг) е‘^аУз—Й1?7г ^rfk —

= Ш ^(У')“2(у'+kt/3—~i£/rir)rfy'.

Следовательно, взаимная корреляция между пульсациями подъемной силы определяется соотношением

F<z(ya, t)F2(y3+^, < + т),= Д^]>*(у')/<(у'9<%22(у"^

(3.B.1)(3.B.1)— R7rr) dy'dy".

(3.B.1)

(3.B.1)

При выводе этого соотношения принималось, что турбулентность однородна, так что

^?225 «2 (у' -УМз-Ш^и-АТ + к (уз -Из) — i^r V + т))

зависит только от указанного аргумента. Поэтому, вводя из уравнения (3.79) спектральную плотность турбулентности Ф22 получим

^(Уз, t)F2(ya+^,/ + т)= л^зДе^^ 63, м,)|2Х

X ( $22 (k) dk2dkyik3.

При этом полагается, что это выражение справедливо при неограниченном возрастании АУ. Проводя обратное преобразование по ка и принимая to = kiUr, получим, что функция Нм (определяемая непосредственно из выражения (3.78)) связана с Ф22 соотношением ’

Н22 (уз; йз, “) = л2р317гс2 ^ —, кз, мг X \ $22 — ,62, 63 I dk2.

Список литературы

Prandtl Ludwig and Oskar G. Tietjens. Fundamentails of Hydro- and Aeromechanics. Translated by L. Rosenhead, 1st ed., McGraw-Hill, Inc., 1934.

Shames Irving. Engineering Mechanics, Dynamics. Prentice Hall, Inc., 1958.

Frowcs Williams J. E. and D. L. Hawkings. Sound Generation by Turbulence and Surfaces in Arbitrary Motion. Phil. Trans. Roy, Soc. (London) Ser. A, 264, 321—342, 1969.

Curie N. The Influence of Solid Boundaries on Aerodynamic Sound. Proc. Roy. Soc. (London) Ser. A. 231, 1187, 505—514, 1955.

Uberoi Mahinder S. Correlations Involving Pressure Fluctuations in Homogeneous Turbulence. NACA TN 3116, 1954.

Lowson M. V. The Sound Field for Singularities in Motion. Proc. Roy. Soc. (London), Ser. A, 286, 559—572, 1965.'

Clark P. J. F. and H. S. Rinber. Direct Correlation of Fluctuating Lift and Radiated Sound for an Airfoil in Turbullent Flow. J. Acoust. Soc. Am., 46, pt. 2, no. 3, 802—805, 1969.

Wagner H. Uber die Entstehung des Dynamischen Auftriebes von Tragfliigeln. ZAMM. 5, 1, 17—35, 1925.

Theodorsen Theodore. General Theory of Aerodynamic Instability and the Mechanism of Flutter. NACA TR 496, 1935.

Kiissner H. G. Summarized Report on the Unstable Lift of Wings, Luftfahr- forschung, 13, 410—424, 1936.

Von KArman, Th and W. R. Sears. Airfoil Theory for Non-Uniform Motion. J. Aeron. Sci, 5, 10, 379—390, 1938.

Sears, William R. Some Aspects of Non-Stationary Airfoil Theory and its Practical Applications, J. Aeron. Sci., 8, 3, 104—188, 1941.'

Abramowitz Milton and Irene A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions With Formulas, Graphs and Mathematical' Tables. National Bureau of Standards Applied Mathematics Series 55, 1964.

Liepmann H. W. On the Application of Statistical Concepts to the Buffeting Problem. J. Aeron, Sci., 19, 12, 793—800, 1952.'

Giesing Joseph P., William P. Rodden and Bernhard Stahl. Sears Function and Lifting Surface Theory for Harmonic Gusts. J. Aircraft, 7, 252—255, 1970.

16. Acum W. E. A. The Comparison of Theory with Experiment for Oscillating

Wings. ARC—CP—681, British Aeronautical Research Council, 1962.

Horlock J. H. Fluctuating Lift Forces on Airfoil's Moving Through Transverse and Chordwise Gusts. J. Basic Eng., Ser. D. 90, 4, 494—500, 1968.

Neumann H. and H. Yeh. Lift and Pressure Fluctuations of a Cambered Airfoil Under Periodic Gusts and Apnlications in Turbomachinery. Paper 72—GT— 30, ASME, Mar. 1972.'

Goldstein M. E. and H. Atassi. A Complete Second-Order Theory for the Unsteady Flow About an Airfoil Due to a Periodic Gust. J. Fluid Meeh., 74, 741 — 765, 1976.

Graham J. M. R. Lifting Surface Theory for the Problem of an Arbitrarily Yawed Sinusoidal Gust Incident on a Thin Aerofoil in Incompressible Flow. Aeron. Quart., 21, 182—198, 1970.

Filotas L. T. Theory of Airfoil Response in a Gusty Atmosphere. Part I— Aerodynamic Transfer Function. UTIAS—139, Toronto University, 1969.

Mugridge B. D. Gust Loading on a Thih Airfoil. Aeron. Quart., 22, pt. 3, 301—310, 1971.'

Landahi M. Unsteady Transonic Flow. Pergamon Press 1961.

Osborne C. Unsteady Thin-Airfoil Theory for Subsonic Flow. AIAA J., II, 2, 205—209, 1973.

Amiet R. Compressibility Effects in Unsteady Thin-Airfoil Theory. AIAA J., 12, 2, 252—255, 1974.

Graham J. M. R. Similarity Rules for Thin Airfoils in Non-Stationary Fiows. J. Fluid Meeh., 43, 753—766, 1970.

Batchelor George Keith. The Theory of Homogeneous Turbulence. Cambridge University Press, 1953.

Sharland I. J. Sources of Noise in Axial Flow Fans. J. Sound Vibr., 1, 3, 302—322, 1964.

Phillips О. M. The Intensity of Aeolian Tones, J. Fluid Meeh., 1, pt. 6, 607—624. 1956.

Paterson R. W., P. G. Vogt and M. R. Fink. Vortex Noise of Isolated Airfoils, Paper 72—656, AIAA, June 1972.

Tam С. K. W. Discrete Tones of Isolated Airfoils. J. Acoust. Soc., Am., 55,

6, 1173—1177, 1974.

Mugridge B. D. Acoustic Radiation from Airfoils with Turbulent Boundary Layers. J. Sound Vibr., 16, 4, 593—614, 1971.

Гутин Л. Я. О звуковом поле вращающегося воздушного винта.—ЖТФ, т. 6. вып. 5, 1936.

Lynam Е. J. Н. and Н. A. Webb. The Emission of Sound by Airscrews. ARC R&Al 624, British Advisory Committee for Aeronautics, 1919.

Bryan G. H. The Acoustics of Moving Sources with Application to Airscrews. ARC R&M 684, British Aeronautical1 Research Committee, 1920.

Deming A. F. Noise from Propellers with Symmetrical Sections at Zero Biade Angle. NACA TN 605, 1937.

Deming A. F. Noise from Propellers with Symmetrical Sections at Zero Bl'ade Angle. 11, NACA TN 679, 1938.

Гутин Л, Я. О «звуке вращения» воздушного винта.—ЖТФ, т. 12, вып. 2—3, 1942.

Hubbard Harvey Н. and Leslie W. Lassiter. Sound from a Two-Blade Propeller at Supersonic Tip Speeds. NACA TR 1079, 1952.

Lowson M. V. Theoretical Analysis of Compressor Noise. J. Acoust Soc. Am. 47, 1 (part 2), 371—385. 1970.

Kramer J. J., M. J. Hartman, B. R. Leonard, J. F. Klapproth and T. G, Sof- rin. Fan Noise and Performance, Aircraft Engine Noise Reduction, pp. 7—61, NASA SP—311, 1972.

Stuckey, T. J. and J. O. Goddard. Investigation and Prodiction of Helicopter Rotor Noise. Part 1, Wessex Whirl Tower Results, J. Sound Vibr., 5, 1, SOSO, 1967.

Scheiman James. A Tabulation of Helicopter Rotor-Blade Differential Pressures, Stresses and Motions, as Measured in Flight. NASA TM X—952, 1964.

Schlegel Ronald G., Robert J. King and Harold R. Mull. Helicopter Rotor Noise Generation and Propagation. United Aircraft Corp. (USAAVLABS—TR— 66—4; AD—645884), 1966.

Lowson M. V. and J. B. Oilerhead. A Theoretical Study of Helicopter Rotor Noise, Aerodynamic Noise, 351—369, H. S. Ribner, ed, University of Toronto Press, 1969. (See also J. Sound Vibr., 9, 2, 197—222, 1969).

Morfey C. L. Sound Generated in Subsonic Turbomachinery. J. Basic Eng, Ser. D, 92, 450—458, 1970.

Barry B. and C. J. Moore. Subsonic Fan Noise. J. Sound Vibr, 17, 2, 207— 220, 1971.

Poweill Alan. Aerodynamic Noise and the PDane Boundary. J. Acoust. Soc. Am., 32, 8, 982—990, 1960.

Olsen "William A., Jeffrey H. Miles and Robert G. Dorsch. Noise Generated by Impingement of a Jet Upon a Large Flat Plate. NASA TN D—7075, 1972.

Davies H. G. The Radiated Fields of Multipole Point Sources Near a Solid Spherical Surface. J. Fluid Meeh., 43, 597—606, 1970.

Doak P. E. Acoustic Radiation from a Turbulent Fluid Containing Foreign Bodies. Proc. Roy. Soc. (London), Ser. A, 254, 129—145, 1960.

Ffowcs Williams J. E. and L. H. Hall. Aerodynamic Sound Generation by ’Turbulent Flow in the Vicinity of a Scattering Half Plane. J. Fluid Meeh., 40, pait 4, 657—670. 1970.

McDonald H. M. A Class of Diffraction Probllems Proc. London Math. Soc., 2, 14, 410—427, 1915.

Hayden R. E. Sound Generation by Turbulent Wall Jet Flow Over a Trailing Edge. M. S. Thesis, Meeh. Eng., Dept., Purdue Univ., 1969.

Crighton D. G. and F. G. Leppington. On the Scattering of Aerodynamic Noise. J. Fluid. Meeh., 46, 577—597, 1971.

Jones D. S. Aerodynamic Sound Due to a Source Near a Half-Plane. J. Inst. Math. Applies, 9, 144—122, 1972.

Leppington F. G. Scattering of Quadrupole Sources Near the End of a Rigid Semi—Infinite Circular Pipe. Aeronautical Research Council Papers on Novel Aerodynamic Noise Source Mechanisms at Low Jet Speeds. ARC—CP—1195, British Aeronautical Research Council, 1972.

Noble Benjamin. Methods Based on the Wiener—Hopf Technique. Pergamon Press, 1958.

Crighton D. G. The Excess Noise Field of Subsonic Jets. J. Fluid. Meeh., 56, 683—694, 1972.

Olsen W. and R, Friedman. Jet Noise from Coaxial Nozzles over a Wide Range of Geometric and Flow Parameters, Paper 74—43, A1AA, Jan, 1974.

Boldman D., P. Brinich and M. Goldstein. Vortex Shedding as Related to Lip Noise. Presented at 27th Annual Meeting of the American Physical Society Division of Fluid Dynamics, Pasadena, Calif., Nov. 1974.

Cox C. R. and R. A. Lynn. A study of the Origin and Means of Reducing Helicopter Noise. Bell Helicopter Company TCREC Tech. Rep. 62—73. U. S. Army Transportation Research Command, Fort Eustis, Virginia, November 1962.

Meecham W. C. Surface and Volume Sound from Boundary Layers. J. Acoust. Soc. Am., 37, 3, 516—522, 1965.

Metzger F. В., B. Magliozzi, G. Towle and L. Gray. A Study of Propeller Noise Research. Aerodynamic Noise, 371—386, H. S. Ribner, _ed., University of Toronto Press, 1969.

ГЛАВА 4

ВЛИЯНИЕ ОДНОРОДНОГО ПОТОКА

ВВЕДЕНИЕ

Сформулированная в предшествующих двух главах постановка задачи об аэродинамическом звуке применима только в тех случаях, когда акустические волны распространяются в среде, которая неподвижна относительно наблюдателя. Рассмотрим теперь ситуации, когда окружающая среда довольно близка к состоянию однородного движения. Например, вентиляторы и компрессоры авиационных двигателей могут рассматриваться с точки зрения акустики как находящиеся в бесконечной прямой трубе с почти однородным потоком (как показано на рис. 4.1)..

ВЫВОД ОСНОВНОГО УРАВНЕНИЯ

На с. 24 было показано, что во многих случаях можно перейти от задач, связанных с распространением звука в однородной движущейся среде, к эквивалентным задачам для стационарной среды. Таким образом, если средняя скорость потока Ux постоянна и параллельна направлению yi, целесообразно ввести замену y’i=yi-^iUx.(4.1)

Тогда, поскольку распространение звука определяется волновым уравнением для неподвижной среды в системе координат у', излучение от локализированной области источника, находящейся в однородном потоке, может описываться с использованием уравнения Лайтхилла в этих координатах. Уравнение Лайтхилла является прямым следствием уравнений неразрывности и сохранения количества движения, и поскольку эти уравнения инвариантны относительно преобразования Галилея (4.1), то из уравнений (2.4) и (2.5)

следует

5»L_C«^«L- = ^J1,(4.2)

дт2 dyidyi dy^yj

где

Тц = QViVj + 8zy [(^ — р^ — со (Q — Qo)l — <?ii(4. 3)

есть тензор напряжения Лайтхилла, выраженный через скорость ■vz=-y, —8]Д,■ (4.4)

Рис. 4.1. Вентилятор в бесконечной трубе: /—вентилятор; 2—трубаРис. 4.1. Вентилятор в бесконечной трубе: /—вентилятор; 2—труба

Рис. 4.1. Вентилятор в бесконечной трубе: /—вентилятор; 2—труба

Рис. 4.1. Вентилятор в бесконечной трубе: /—вентилятор; 2—труба

измеряемую в движущейся системе координат, и, как и прежде, g'=g—go- Но поскольку обычно удобнее пользоваться неподвижной системой координат, то, вновь введя в уравнение (4.2) координаты //; неподвижной системы (но оставив скорости в движущейся системе координат), получим

(4.5)(4.5)(4.6)(4.6)О о,2 62g^2^1;

(4.5)

(4.5)

(4.6)

(4.6)

Q —Со—-—=——- , £№dyidyt dy;dyj

где

Dp _ д \ Ц д

Du дт ду^

Следовательно, флуктуации плотности будут удовлетворять неоднородному конвективному волновому уравнению, которое, как и уравнение Лайтхилла, является прямым следствием уравнений неразрывности и сохранения количества движения. Таким образом, нестационарный поток вне области источника должен обладать характеристиками акустических волн в однородной движущейся среде.

Используя описанный ранее метод, можно показать, что уравнение сохранения количества движения (2.3) может быть представлено в виде

Du dyi ду.

Уравнение (4.5) имеет вид, аналогичный уравнению (1.61), поэтому для его решения, как и для уравнения Лайтхилла в разд. 3.2, может быть использована интегральная формула (1.65) и, приме-

няя по сути те же самые преобразования (ио используя уравнение (4.7) вместо уравнения (2.3)), можно получить

\, - Tiidydt^Со J J dyidyj\, - Tiidydt^Со J J dyidyjСоСо\ \ -^-/idS^dx--rs^ yi\ \ -^-/idS^dx--rs^ yi

\, - Tiidydt^

Со J J dyidyj

\, - Tiidydt^

Со J J dyidyj

Со

Со

\ \ -^-/idS^dx-

-rs^ yi

\ \ -^-/idS^dx-

-rs^ yi

(4-8)(4-8)\ nih'idS^dx, со <

(4-8)

(4-8)

где G теперь означает фундаментальное решение волнового уравнения в однородной движущейся среде (т. е. оно удовлетворяет уравнению (162)) и/г/выражается соотношением

п^^ = П; ^-~q^O -)- ту -5— Q'VjG'j — яд>огу ^-,(4. 9)

а не выражением (3.5).

Чтобы преобразовать последний интеграл в формуле (4.8) (как это сделано в разд. 3.2), вместо использования правила Лейбница [формула (1.В.2)] удобнее сначала использовать теорему о дивергенции

0У= \\ V'^dSM,

v (т)v (т)S(т)

где W определяется формулой (1.64). Тогда, используя эту формулу для dQVi'G/dyi так же, как в разд. 3.2 применялось правило Лейбница для д^ихС!дух, получим, что первый член в выражении (4.9) не будет вносить вклад в последний интеграл в формуле (4.8), и, следовательно,

тг

е'(х, /)=Ц- \ t -^—T'ijd^dxA\ j.dS^dx-Y Cq J ду,дузc0 .1 J oy;

T

+ Ц- \ \ Q^'n^-dS^dx,(4.10)

C Q J J

-TS(t)

(4. 11)(4. 11)где V'n = Vn — nxU.

(4. 11)

(4. 11)

Эта формула в некоторых отношениях отличается от формулы (3.6). Во-первых, в нее вместо фундаментального решения волнового уравнения для стационарной среды входит фундаментальное решение волнового уравнения для движущейся среды [выражаемое уравнением (1.62)]. Во-вторых, тензор напряжения Лайтхилла выражен через относительную скорость u/=v,—duG вместо абсолютной скорости Uj. И, наконец, член, описывающий изменение объема, выражен через V™,= V’n—fixU и D^Dt вместо Vn и djdx.

ПРИЛОЖЕНИЕ К ШУМУ ВЕНТИЛЯТОРА И КОМПРЕССОРА

Вывод основного уравнения

Формула (4.10) пригодна, в частности, для расчета шума осевых вентиляторов и компрессоров. Воспользуемся ею для расчета звука, излучаемого одноступенчатым вентилятором (или компрессором) в бесконечной круглой трубе (см. рис. 4.1) с однородным потоком со скоростью U. В этом случае естественно использовать функцию Грина (1.С.14), производная которой по нормали к поверхности SD трубы равна нулю. Тогда, поскольку составляющая давления поверхностной нагрузки / (определяемой формулой (3.4)) перпендикулярна поверхности, вклад Sy в первый интеграл по поверхности в формуле (4.10) равен

^-еип^8^^х.^-еип^8^^х.

^-еип^8^^х.

^-еип^8^^х.

Поскольку этот член выражает генерацию звука флуктуирующими вязкими напряжениями, действующими на границы трубы, его вклад в звуковое поле является пренебрежимо малым при больших числах Рейнольдса, представляющих интерес в технической практике. Более того, поскольку //! = V„ = 0 на SD, то эта граница также не будет вносить вклад в третий интеграл в формуле (4.10). Поэтому поверхностные интегралы в этой формуле нужно вычислять только по внешней границе £р(т) лопаток ротора, так что

тт

q'(x, /) = —L_ \ \ jdydx^-V t t ^L/^S^dx-^ с0 J J ду^у;с0 J J ду,

-7"» СО-TS,,^

т

+ 4- \ ^Vn-^g-dS^dx,(4.12)

-tsf^

где v(t) теперь означает область внутри канала кроме пространства, занимаемого лопатками ротора. Первый член в этой формуле можно интерпретировать как объемный квадрупольный источник звука, а второй член—как дипольный источник, возникающий от флуктуирующих сил, воздействующих на поток со стороны ротора. Последний член соответствует звуку, генерируемому эффектами вытеснения объема лопатками.

Последуем методу, используемому в подразд. 3.5.3 для расчета шума винта. Таким образом, пренебрегая вкладами объемного квадрупольного члена и эффектами вытеснения объема , получим

fi'(X, /) = —^^оfi'(X, /) = —^^о\ \ fidS^dx.-т SF^\ \ fidS^dx.-т SF^(4. 13)(4. 13)

fi'(X, /) = —^

^о

fi'(X, /) = —^

^о

\ \ fidS^dx.

-т SF^

\ \ fidS^dx.

-т SF^

(4. 13)

(4. 13)

Как и для винта, естественно выразить силу f, действующую со стороны лопаток на поток, через осевую составляющую тяги fT и окружную составляющую силы сопротивления fD, так что f = = Vr—fn sin ф, fD cos ф} и

ду, г дч> дух

где r^Vy^^ya, <p = arctg(y3/y2) и ух — цилиндрические координаты источника (см. рис. 4. 1). Удобно также ввести цилиндрические координаты точки наблюдения: r = Vxl^xX, <p = arctg (Лз/Д и xv Тогда, подставляя формулу (4.14) и функцию Грина (1.С.14) вместе с собственными функциями для круглого канала (1.С.15) в формулу (4.13) и выполняя дифференцирование, получим

X Jm №m,nr’) е1п’тУ'^е'шт dxdS (у) d®, (4. 15)

уД ДН^ ±-ДцДМ ,(4. 17)

kQ=tolc0 и знак плюс (верхний) берется, когда наблюдатель находится выше ротора по потоку (хх<.ух), а знак минус, когда наблюдатель находится ниже ротора по потоку (х^у^. Остальные величины определены в приложении 1.С, в котором радиус трубы обозначен через г».

Интегралы источника представим в системе координат £, которая вращается вместе с лопатками. Соответствующими цилиндрическими координатами в этой системе являются г', ух и

(4. 18)(4. 18)<р '= <р — Йт,

(4. 18)

(4. 18)

где О — угловая скорость вентилятора. Тогда пределы интегрирования в поверхностном интеграле вокруг лопастей ротора становятся не зависящими от t и можно поменять порядок интегрирования по времени; в результате получим

оооооо—/ /Xt4-o)/|

^г 1 Ж' Ж Ч J /и \Кт,п") с - \6 X

4ЛСуга J&га,т

тп =— —1—оо

Т

x\jm^m,Rr')e ‘ ^ V'H (2!LyD — y^mfA^^^dxdS^dw.

sF-T

Метод, развитый для винтов в подразд. 3.5.3, может быть использован для перехода от интеграла по передним поверхностям лопаток ротора (см. рис. 3.14), обозначаемым верхним индексом (1), и задним поверхностям, обозначаемым верхним индексом (2), к интегралу по площади Л проекции лопаток на плоскость вращения вентилятора (или компрессора). При этом предыдущая формула принимает вид■

m=—oo ra = l—oo

X ^ Jm(kmVtn^i,n'''\ ^^7 g'D — ^rngf^e4'"-"1^ dxr'dr'd^'dto, (4.19)

A—T

где

g?+14^e!W , где a=T,D.

hi Ihi I

Здесь, как и в гл. 3, п^ означает составляющую yi в направлении единичной нормали nW к передним поверхностям лопаток вентилятора. Снова примем, что разницей времен задержки для передней и задней поверхностей лопаток ротора можно пренебречь, так что g» ^ /аехр (iyn,myi), где t/ic(г'-, фО — осевая (у^ координата хорды лопатки (измеряемая во вращающейся системе координат) и

ft1) f(2)

TW+rW^6 a = T,D)(4.20)

hi 1 hi I

есть общая тяга или сила сопротивления на единицу площади проекции, действующая на лопатки в точке г', ф7. В этом приближении формула (4.19) принимает вид

4лс0^ТП'П J^ппп

т« — оо га = 1— оо.

Т

X ^ Jm(fem,nr')ei Ы,тУС1-^') Г /21 /D-^ /ЛеИ-т^^^г-,; ^^

А

(4.21)

5)

Рис. 4.2. Типичный спектр уровней звукового давления. Азимутальный угол с осмо вентилятора .равен 40°. (Намерения выполм-ены в Научню-исследовательс^ центре NASA .им. Льюиса):

«а—ширина полосы 32 Гц; частота >1 кГц; б—ширина полосы 3,2 Гц; частота от 100 Гц до 1 кГц; /—тон иа частоте следования лопаток (ЧСЛ); 2—2-я гармоника ЧСЛ; 5—непрерывный (широкополосный) спектр; 4—комбинационные тона; 5—широкополосный уровень

Приложения к чистым тонам

На рис. 4.2 показан типичный спектр шума вентилятора двигателя дозвукового самолета. Рис. 4.2, а соответствует частотному диапазону выше 1 кГц, а рис. 4.2,6 — диапазону от 0,1 до 1 кГц при измерении узкополосным фильтром. Как и для шума винта, спектр состоит из широкополосной составляющей, на которую наложены чистые тона, кратные скорости вращения вала $2.

Формула (4.21) является весьма общей и может быть использована как для расчета чистых тонов, так и широкополосного шума. Широкополосный шум является результатом действия на лопатку случайных сил, а чистые тона — периодических сил. В этом разделе формула (4.21) будет использована для расчета звука, генерируемого периодическими нагрузками на лопатки с частотой вращения вала О. Такие нагрузки обычно вызываются установившимися, но неоднородными потоками, натекающими на вентилятор или ком-

прессор и возникающими вследствие наличия препятствии выше по потоку, таких как входные направляющие лопатки (статор), или искажений потока, которые возникают от поперечных потоков, завихренности потока, проникающей в трубу от близлежащих препятствий, и очень крупномасштабной турбулентности набегающего потока *.

Вывод формул. Поскольку нагрузки на лопатки считаются здесь периодическими, они могут быть представлены рядами Фурье

/Дт) = У F>-ipaT’ гДе « = Т,О,(4.22)

в которых коэффициенты Фурье определяются выражением (приложение 1.А.1)

2т-/е

(4-23)

О

Тогда, подставляя формулу (4.22) в формулу (4.21), используя тот факт, что

г

lim f e‘<“--sS)T^t = 2n3(o> — sQ),

и положив

s = m-\-p,(4.24)

после суммирования по $ и р вместо суммирования по т и р получим, что и звуковое поле может быть выражено в виде ряда Фурье

6'^2 esWe~;s2/- 5 = —оо6'^2 esWe~;s2/- 5 = —оо(4.25)(4.25)

6'^2 esWe~;s2/- 5 = —оо

6'^2 esWe~;s2/- 5 = —оо

(4.25)

(4.25)

Здесь s-я гармоника qs выражается формулой

еЛх)=-у ^ 2с0

Jy .“\ПЫ-/П1тур Хгцпцз* п,т,рН

^^ ^-m>n^n«m)s

Р=ОО ^=1

(4. 26) где

/ Qs

Ъ / ^niTUtS ^П^ГИ.

\ Со )

| = |/ ^-^,™,(4.27)

++ / Qs

"Mn,m,s = Y^.m I

V Со

(4.28)

/ Re,З2

* Впервые оценки чистых тонов шума вентилятора, обусловленного входными направляющими лопатками, были сделаны в 1963 г. Хетерингтоном [1], который использовал теории Сирса и Кемпа о нестационарной подъемной силе в сочетании с моделью излучения в свободное пространство, в которой каждая лопатка рассматривалась как линейная сила. Влияние трубы на излучаемое звуковое поле было впервые рассмотрено в работе Тайлера и Софрина [2].

и взаимные коэффициенты тяги и сопротивления Th,m,P и Вп,т,Р определяются выражениями

7^±— Г /m,sV\ F рг dr d^ ,

J n,m,P=

(4. 29)(4. 29)"A

(4. 29)

(4. 29)

DiUP^ jm W ez (^-^') FDpdr'd^'.

Формула (4.25) показывает, что флуктуации плотности равны сумме бесконечного числа тонов, кратных частоте вращения вала Q. Амплитуды этих тонов выражаются формулой (4.26) в виде суммы членов, называемых модами. Если источником этих тонов является неоднородный поток, набегающий на вентилятор с В идентичными лопатками, то распределение нагрузки на лопатки должно удовлетворять выражению (3.111). Следовательно, коэффициенты Фурье (4.23) связаны с коэффициентами Фурье (3.113) нагрузок отдельных лопаток соотношением (3.112). Подставляя это соотношение в формулу (4.26) и преобразуя результат аналогично тому, как описано в подразд. 3.5.3, получим, что в действительности в сумму (4.25) вносят вклад только гармоники частоты следования лопаток О В. Следовательно,

X ^tnDn,m,p Fi.mAB^n.m.p},(4.30)

где m — sB— р,(4.31)

а взаимные коэффициенты нагрузки одиночной лопатки Dn,m1P и Тп,т,Р выражаются в виде

Тр>т,р = /m(Am,„r')e' Vn,m,sB4lр», рГ>dp

‘А°/ ± С- А(4..32)

Dn,m,P=\ Jm{km<nr’)^ Vn,Tn,sBui m'f ) F^pdr'd«?',

Ao

где Ao — площадь проекции лопатки одноступенчатого вентилятора (или компрессора), на плоскость вращения. Во многих случаях величина t/ic может быть достаточно точно аппроксимирована выражением yic — r'tp'ctg х, где х — угол установки лопатки (определенный в гл. 3).

Формула (4.30) основана на предположении, что все лопатки являются одинаковыми, и поэтому она позволяет рассчитывать топа только на гармониках частоты следования лопаток. Однако различия как в геометрии каждой лопатки, так и в их расположении могут вызвать образование тонов, кратных частоте вращения сту-

пени или вала. Из рассмотрения спектра шума вентилятора на рис. 4.2 можно видеть, что эти тона, которые в основном являются результатом небольших неоднородностей в геометрии вентилятора, на самом деле значительно слабее тонов частоты следования лопаток.

Влияние канала на распространение звука. Формулы (4.27) и (4.28) и замечания к формуле (1.С.11) показывают, что 1ту^т,$-В>0 и Imy^m,sS<0, если

^_>S^.(4.33)

со

Следовательно, любая мода в формуле (4.30), которая удовлетворяет условию (4.33), будет быстро экспоненциально затухать при больших значениях |xi|. Говорят, что такие моды являются нерас- пространяющимися, поскольку они не распространяются вдоль трубы и, следовательно, не вносят вклада в звуковое поле на больших расстояниях. Более того, поскольку к2т, п-00, когда т или и обращаются в бесконечность [3], только конечное число мод вносят вклад в звук, излучаемый на любом заданном тоне.

Индекс р в формуле (4.30) указывает гармонику нестационарной нагрузки, которая генерирует эту моду. Моды р = 0 генерируются стационарной, средней по времени, нагрузкой. Они соответствуют описанному Гутиным механизму образования шума винтами, и, если нестационарные нагрузки на лопатку обусловлены нестационарным набегающим потоком (с. 169), они будут единственными модами, когда набегающий поток является пространственно однородным. Из формулы (4.31) следует, что при р = 0 m=sB, поэтому из соотношения (1.С.16) получаем, что соответствующие собственные значения к8В, п определяются уравнением -^ss(^s,nrlj) = 0. Тогда, поскольку [3] наименьший корень к8в, i этого уравнения всегда больше, чем зВ/г^ *, то из условия нераспространения (4.33) следует, что эта мода не будет распространяться, еслир2 —— >

rd

Q2$2 52•

>—5—, или, что эквивалентно, если Mr2 = Mt2 + M2< 1, где «о

М< = ГйЙ/со — число Маха концевой скорости лопатки, и, следовательно, Мг = ]/ М2 + М2 есть число Маха потока относительно конца лопатки. Моды р = 0 не будут распространяться, если поток не является сверхзвуковым относительно конца лопатки. Если число лопаток В велико, скорости затухания этих мод (которые определяются значениями кп,т, sB) являются весьма большими. Это хорошо видно на рис. 4.3 (заимствованном из работы [2]), который соответствует случаю п=1 и М=0. (Этот рисунок также показывает точные значения концевого числа Маха, при котором про-

Рис. 4.3. Скорости затухания в цилиндрической трубе. М=0; радиальная мода п, 1. (Из работы [2])Рис. 4.3. Скорости затухания в цилиндрической трубе. М=0; радиальная мода п, 1. (Из работы [2])

Рис. 4.3. Скорости затухания в цилиндрической трубе. М=0; радиальная мода п, 1. (Из работы [2])

Рис. 4.3. Скорости затухания в цилиндрической трубе. М=0; радиальная мода п, 1. (Из работы [2])

исходит отсечка излучения.) Таким образом, вентилятор (или компрессор), работающий при дозвуковых относительных концевых скоростях (что характерно для многих конструкций вентиляторов), не может генерировать какой-либо звук, если набегающий поток является совершенно однородным. Однако любой высокоскоростной вентилятор, работающий при дозвуковых скоростях в трубе, на самом деле создает большие уровни шума. Обычно считается, что этот звук является следствием неоднородности потока, набегающего на ротор. Таким образом, в более общем случае, когда р не обязательно равно нулю, наименьшим корнем уравнения (1.С.16) является ks0_Pii~ (sB—p^jrd- Следовательно, условие нераспространения (4.33) выражается приближенно как

I^L^I > м< .(4. 34)

| sB I /1 — М2v /

Предположим, что число Маха среднего потока пренебрежимо мало (т. е. М^О). Тогда соотношение (4.34) показывает, что существуют моды (которые могут генерироваться неоднородным набегающим потоком), распространяющиеся даже при дозвуковых концевых скоростях. Индекс р этих мод должен, конечно, иметь тот же знак, что и s.

Из формул (4.25), (4.30) и (4.31) можно видеть, что фазовые поверхности распространяющихся мод вращаются с угловой скоростью (см. подразд. 1.3.2)

sB — р

Следовательно, окружная скорость у стенки трубы равна

sBsB — рsBsB — рMtc0.Mtc0.

sB

sB — р

sB

sB — р

Mtc0.

Mtc0.

Таким образом, условие нераспространения (4.34) показывает, что при NV^O вдоль трубы будут распространяться только моды, скорости вращения которых являются сверхзвуковыми.

Излучаемая мощность. Величиной, которая, по-видимому, представляет наибольший интерес, является суммарная акустическая мощность ^д, излучаемая на данной гармонике частоты следования лопаток. Она может быть рассчитана путем интегрирования -осевой составляющей sB-й гармоники интенсивности IsB по поперечной площади трубы. Таким образом,

(4.35)(4.35)2V

(4.35)

(4.35)

^%в= + Иш 2। IsBrdrd'^

б’б'

а из формул (1.89) и соотношения (1.А.5) приложения 1.А следует, что

Lb=AHMAPsJJ*sbALb=AHMAPsJJ*sbAмSccoмSccoIW^MbI2-IW^MbI2-(4. 36)(4. 36)

Lb=AHMAPsJJ*sbA

Lb=AHMAPsJJ*sbA

м

Scco

м

Scco

IW^MbI2-

IW^MbI2-

(4. 36)

(4. 36)

(4.37)(4.37)где

(4.37)

(4.37)

PsB ~ cKQsB

есть амплитуда sB-й гармоники флуктуаций давления и UsB амплитуда sB-й гармоники акустической (флуктуирующей) скорости. Поскольку осевая составляющая первого уравнения (1.15) показывает, что UsB и PsB связаны уравнением

dPsBdPsBQocoQocoisBSCoisBSCo„ d \M — ) dxYj„ d \M — ) dxYjUsB,UsB,

dPsB

dPsB

Qoco

Qoco

isBS

Co

isBS

Co

„ d \

M — ) dxYj

„ d \

M — ) dxYj

UsB,

UsB,

то можно использовать формулы (4.30) и (4.37), чтобы исключить PsB и получить

Ч 1 В V^ Х^ }т<Лт,пГ) ‘(m<? Tn,m,sBX1) д± -v

QO^O ^Анек ^пг.п^п.>гпл5В

P« — CO rt=l

X ЬпО?,т.р — ^,m,sBTAm,pY(4.38)

где

^n,m,SB —^n,m,SB —^n,m,sB^2

^n,m,SB —

^n,m,SB —

(QsS/Cg) ± №kn.,m,sB

Тогда, подставляя выражения (4.30) и (4.38) в формулу (4.36) и получившийся результат — в формулу (4.35) и помня о том, что

моды канала (1.С.15) удовлетворяют условию ортогональности

(1.С.9), получим

SYbSYbВрА 2q0c0ВрА 2q0c0(4.39)(4.39)mD± —v212 т- I" n,m,p 'n,m,pl n,m,p\

SYb

SYb

ВрА 2q0c0

ВрА 2q0c0

(4.39)

(4.39)

/ QsBу

Гm.n^n.m,sB I ± ^^n,m,sB I \ co/

где

m — sB — р.

Поскольку нераспространяющиеся моды не вносят вклад в выражение (4.35), суммирование в формуле (4.39) выполнено только для распространяющихся мод. Этот результат показывает, что излучаемая мощность в точности равна сумме мощностей, излучаемых на каждой моде. Ее свойства рассматриваются подробно в подразд. 4.3.5.

Расчет нагрузок на лопатки по возмущениям потока. Чтобы воспользоваться формулой (4.30) для расчета звука, излучаемого от вентилятора, необходимо определить гармоники нестационарной нагрузки F® (при а=Т, D), которые входят во взаимные коэффициенты одиночной лопатки (4.32). Они могут быть связаны с набегающими на вентилятор возмущениями скорости путем использования результатов, полученных в теории винта. Действительно, если принять, что силы концентрируются вдоль радиальных линий, проходящих через центры лопаток (которой для лопатки s=l без ущерба общности будет линия ф' = 0), то можно непосредственно использовать результаты двухмерного анализа, полученные на с. 170—172. Таким образом, примем, что этот анализ может быть использован, чтобы рассчитать нагрузку на единицу длины в каждой радиальной точке через амплитуды Фурье

2л

ту л (г')\ е'-^ту (л', ф)й?ф

о

окружных гармоник возмущенной скорости ту (г', ф), которые, как и в вышеуказанном анализе, предполагаются имеющими направление набегающего потока. Таким образом, предполагаем, что выполняются все допущения, сделанные на с. 170. (Последствия использования столь грубых приближений будут рассмотрены в гл. 5.) Тогда из выражения (3.122) следует, что коэффициенты Фурье Ft,p и Во,р сил тяги и сопротивления выражаются в виде

Fr,p=—^p-ncQ0Ur-w (r^Sc^ NVr) sin x sin ji,

Fo,p= —TtcQoU/Wp (rr^Sc (Зр, Mr) cos X Sin p.,

где параметры, входящие в эти выражения, определены на с. 172 (см. рис. 3.18). Эти результаты можно теперь подставить в формулу (4.32), чтобы рассчитать взаимные коэффициенты. Если радиальными изменениями угла установки %, угла атаки ц, относительной скорости UT и длины хорды с можно пренебречь, то результирующие формулы принимают вид

Tn,m,p = Т П1(П1р=— QrUr sin х sin p.Sc (зр, N\r^ Wn,m,p,

.(4.40)

D?,m,p = F)n,m^p=1 00^r COS X Sin y-Sc (sp, Mr) Wn,m,p.

где

Wk,m,p^ j eW^^r^K^r^Kr^-W'a^(4.41)

6 о

есть гармоники возмущения, а с, UT, %, ц и оР следует интерпретировать как соответствующие средние значения по радиусу трубы. Взаимные коэффициенты и, следовательно, звуковое поле могут быть рассчитаны по этим формулам, если известно распределение возмущенной скорости w (г', <р) перед вентилятором.

Учитывая ортогональность собственных функций в трубе [см. (1.С.9)], легко показать, что гармоники возмущения W', (где р определяется из формулы (4.31) являются коэффициентами разложения в ряд Фурье—Бесселя возмущенной скорости по собственным функциям круглой трубы:

®(r',o)==(r,)1+V V V У’р J^km,nr'^<m-sBK (4.42) . т=—о» п = 1

Эта формула вместе с формулами (4.30), (4.40) и (4.41) показывает, что каждая из различных радиальных мод в акустическом поле определяется соответствующими «модами» в поле возмущений. Лучшее представление изменения радиальной скорости (по сравнению с данной упрощенной теорией) может быть получено, если для расчета сил на лопатках использовать формулу (3.72). Однако для использования этой формулы требуется, чтобы скорость могла быть разложена в экспоненциальный ряд Фурье по г', что не совсем совместимо с естественным разложением в ряд Фурье—Бесселя (4.42).

Звук, генерируемый взаимодействием ротора со статором. Ранее было показано, как можно рассчитать звуковое поле, если известно распределение возмущенной скорости, набегающей на вентилятор. Но это распределение зачастую трудно определить, поскольку оно может непредсказуемым образом изменяться от вентилятора к вентилятору. Однако оно является сравнительно предсказуемым, если ротор стоит за входными направляющими лопатками (ВНЛ) или за статорами (как показано на рис. 4.4). Впервые взаимодействие между статором и ротором было исследовано Кемпом и Сирсом [4, 5]. Они указали, что ВНЛ могут влиять на роторы как посредством действия их полей потенциального потока, так и своими спутными следами. (Разумеется, что действительно и для ротора, стоящего перед статором.) Поскольку несжимаемое потенциальное поле потока, создаваемое двухмерным телом, затухает обратно пропорционально расстоянию, а декремент скорости в следе за ним уменьшается приблизительно как квадратный корень из расстояния, то Кемп и Сирс заключили, что при больших расстояниях между ротором и статором существенными будут, по-видимому, эффекты взаимодействия с вязким следом, а при малых зазорах между ними будет проявляться тенденция преобладания влияния взаимо-

действия с потенциальным потоком. В особенности это относится к весьма жестким статорам, используемым в современных авиационных двигателях, поскольку их поля потенциального потока действительно быстро экспоненциально затухают на больших расстояниях. С другой стороны, следует иметь в виду, что скорость затухания реального потока сжимаемого газа может быть весьма малой, если число Маха является большим дозвуковым или околозвуковым, как это часто имеет место в вентиляторах и компрессорах. Во всяком случае представляется, что в большинстве случаев влияние следа может быть того же самого порядка, что и влияние потенциального потока, только тогда, когда расстояние между ротором и статором составляет лишь небольшую долю длины хорды статора. Таким образом, поскольку в современных авиационных двигателях расстояния между ротором и статором обычно больше длины хорды, маловероятно, чтобы поле потенциального потока статора могло вносить существенный вклад в поле возмущений, действующее на ротор такого аппарата.

Предположим, что эффектами вязкости в следе можно пренебречь и что применима двухмерная модель, описанная в подразд. 3.5.3 (см. рис. 3.17). Тогда взаимные коэффициенты связаны с профилями скорости в следе (приблизительно) соотношениями (4.40) и (4.41). Однако ротор, работающий за статором с V лопатками, будет воспринимать структуру возмущения, которая является периодической с периодом 2л/У. Следовательно, гармоники возмущения (4.41) будет ненулевыми только в том случае, когда азимутальный индекс р кратен числу лопаток V. Тогда из формул (4.40) следует, что формулы (4.30) и (4.31) принимают вид

в=-4 V V е ' X1) х

2^0il«i*( ^m^^m.SB

p-—oc zz = l

X (тИп^т,,рУ Уп,т}звТп,т.ру)(4.43)

И

m=sB — pV.(4.44)

Весьма сходный анализ может быть использован для расчета звукового поля, образующегося при прохождении следов ротора через выходные направляющие лопатки. Однако в этом случае нет необходимости преобразовывать переменные интегрирования в движущуюся систему координат, и силы на выходных направляющих лопатках будут периодическими во времени с периодом 2л/ПВ. В результате получается

QsB Ч Ъ Тт.пкп,т>8В ех

р = _ос П=1

X ^^ПОп^зВ ^п,т,звТп^т^зВ^ ■>(4.45)

где т по-прежнему задается формулой (4.44). Формула (4.45) по-

Рис. 4.4. Взаимодействие ротора -со статором:

1—статор; 2—следы за статором; 3—ротор

хожа на формулу (4.43), что указывает на существенное сходство этих двух процессов образования звука. В действительности основное различие между этими формулами состоит в том, что последний аргумент взаимных коэффициентов меняется с pV на гармоническое число sB излучаемой звуковой частоты. Из формул (4.40) можно видеть, что звук, излучаемый статором на любой заданной частоте, подвержен влиянию только угловой гармоники поля скоростей следа той же самой частоты. С другой стороны, звук, излучаемый ротором на данной частоте, зависит от всех угловых гармоник поля скоростей в следе, и любая данная гармоника следа вносит вклад во все гармоники звукового поля.

Увеличение расстояния между ротором и статором уменьшает декремент скорости следа на решетке лопаток, находящейся ниже по потоку. Таким образом, формулы (4.40) и (4.41) показывают, что шум взаимодействия со следом как от роторов, так и от статоров уменьшается при увеличении расстояния до решетки лопаток, находящейся выше по потоку. Этот эффект действительно наблюдается на практике.

Поскольку (как показано в подразд. 3.4.2) функция Сирса или любая другая функция реакции обращается в нуль на высоких приведенных частотах, то из формулы (4.40) следует, что шум, генерируемый ступенью вентилятора, может быть уменьшен путем увеличения приведенной частоты (Тр = рПс/26д, если с сохраняется постоянной. Это всегда может быть осуществлено при постоянстве относительной скорости путем увеличения частоты pQ. Тогда, поскольку формулы (4.40) и (4.45) означают, что росВ при взаимодействии ротора со статором, иногда может оказаться возможным уменьшение шума статора путем увеличения числа лопаток вентилятора.

Профиль скорости следа имеет тенденцию к заострению в области, лежащей непосредственно за находящейся выше по потоку ре-

теткой лопаток, с образованием большого числа окружных гармоник, вносящих вклад в возмущенную скорость следа. Однако дальше по потоку проявляется тенденция к сглаживанию, и в скорость в этой области, по-видимому, основной вклад вносят несколько первых гармоник. Поэтому можно ожидать, что звуковое поле, излучаемое статором, будет содержать множество гармоник частоты прохождения лопаток при малых расстояниях между ротором и статором и что увеличение этого расстояния будет вести к ослаблению высших гармоник звукового поля. С другой стороны, увеличение расстояния между ротором и находящейся выше по потоку решеткой лопаток должно вести к ослаблению звука на всех гармониках .

След, который имеет большую неоднородность в радиальном направлении, должен содержать большее число радиальных гармоник, чем однородный след. Следовательно, формула (4.40) показывает, что по мере увеличения неоднородности следа в звуковом поле будут усиливаться радиальные моды более высокого порядка. С другой стороны, более вероятно, что эти моды окажутся нерас- пространяющимися в данной трубе.

Чтобы рассчитать акустическое излучение, необходимо определить профили скорости в следе, которые через формулу (4.41) входят в формулу (4.40) для взаимных коэффициентов. Чтобы рассчитать флуктуирующие нагрузки на лопатки в решетке, Кемп и Сирс )5] в своем анализе, аналогичном описанному в подразд. 3.5.3, использовали предложенную Силверстейном, Кэтзофом и Балливэн- том [7] модель следа за одиночным профилем. После этого модель была использована рядом исследователей для изучения шума вентилятора. Однако в настоящее время считается, что вследствие таких эффектов, как утолщение,, обусловленное сильными осевыми градиентами давления, модель следа за изолированным профилем в целом не пригодна для описания следов, которые существуют в современных турбомашинах. В действительности оказывается, что следы в реальных вентиляторах и компрессорах являются сильно скошенными [8]. Это создает большие продольные составляющие завихренности, которые не учитывались двухмерной моделью Сил- верстейна, и вызывает большие радиальные изменения фаз флуктуаций подъемной силы, действующей на статор. Рэем и Лакшмина- райяиом [9] была разработана усовершенствованная модель следа, основанная на использовании данных, полученных за низкоскоростным ротором вентилятора.

Для решеток с большой густотой (т. е. с большим значением отношения хорды лопатки к расстоянию между лопатками) эффекты взаимодействия между лопатками могут оказывать большое влияние на флуктуирующие нагрузки. Это влияние анализировалось Хендерсоном и Дэнишаром [11] для двухмерной решетки в несжимаемом потоке (с использованием линеаризированной теории). Исследованию флуктуирующих нагрузок на лопатки в решетках пос

вящено большое количество работ (которые здесь не называются). Фактически все они (за исключением некоторых чисто численных исследований) используют линеаризированную теорию тонкого профиля. Это приближение означает (поскольку угол атаки и изгиб должны быть малыми), что лопатки являются мало нагруженными. Влияние изменений времени запаздывания по длине хорды, существенное при высоких числах Маха, при которых работают вентиляторы и компрессоры реактивных двигателей, рассмотрено в гл. 5.

Основным источником шума в современных турбовентиляторных двигателях с высокой степенью двухконтурности является сама вентиляторная ступень. Однако в большинстве конструкций двигателя для вентилятора не используются входные направляющие лопатки. Поэтому основным механизмом взаимодействия следа, представляющим практический интерес, является взаимодействие следа ротора со статором, описываемое формулой (4.45). С другой стороны, поскольку в эту формулу входят те же самые моды, что и в формулу (4.43), то условие отсечки (4.34) также применимо к взаимодействию следа ротора со статором. Так как р теперь есть целый множитель при V, это условие принимает вид

\sB— pV I М,-

I sB Г /1 — М2 "

Следовательно, звук, генерируемый на основной гармонике (s=l) частоты следования лопаток, не будет распространяться, если

1 — р — >.

I В /1 — М2

для каждого целого значения р. Это означает, что ступень дозвукового вентилятора (т. е. М/^АК + МЧ!) не должна создавать никаких тонов основной частоты следования лопаток, если его отношение V]B больше, чем 2. Однако многие вентиляторные ступени, сконструированные с использованием этого явления отсечки, при испытаниях на земле имеют спектры, содержащие сильные тона основной частоты следования лопаток. Обычно считается, что эти тона обусловлены возмущениями стационарного набегающего потока и крупномасштабной турбулентностью на входе вентилятора.

Звук, генерируемый возмущениями набегающего потока. Когда вентиляторы авиационного двигателя испытываются отдельно от самолета, основным источником тонов обычно является возмущение потока, вызываемое испытательным стендом [12]. С другой стороны, Филлуэл [13], Софрин и Кэйн [14] наблюдали тона, которые при определенных условиях, по-видимому. были обусловлены турбулентностью на входе. Таким образом, турбулентность на входе всегда может создавать широкополосной звук, механизм которого описан в подразд. 3.5.1. Вращающийся вентилятор может несколько раз рассекать стационарную турбулентную структуру, прежде чем турбулентные вихри затухнут, при условии, конечно, что частота следования лопаток велика по сравнению с частотой, связанной с конвекцией вихрей за вентилятором. Излучаемая энер-

гия в этом случае будет концентрироваться вокруг частоты следования лопаток и ее гармоник, и акустический спектр будет содержать широполосные составляющие (такие, как в экспериментальном спектре, показанном на рис. 4.2).

Таким образом, набегающая турбулентность может быть источником как тонального, так и широкополосного шума. Поскольку частота, с которой вихри проходят плоскость вентилятора, равна Udi, где Uc — конвективная скорость и / — типичный масштаб корреляции турбулентности, можно ожидать, что эти тона станут уже и более заметными при увеличении /. Взаимодействие с набегающей турбулентностью анализировалось Мани [15], который использовал модель, подобную описанной в подразд. 3.5.1, но применил ее к движущейся решетке, а не к отдельной неподвижной лопатке. Его результаты показывают, что эти тона могут быть значительно шире, чем наблюдаемые экспериментально, если турбулентные вихри являются очень длинными (с типичной длиной порядка 0,6 м). Однако в настоящее время имеется достаточное число данных, свидетельствующих о том, что крупномасштабные вихри в атмосфере сильно удлиняются при входе в неподвижный вентилятор и в результате становятся основным источником чистых тонов для двигателей, работающих на земле. (Действительно, недавние измерения, выполненные Хансеном на фирме «Гамильтон стандарт» [10], показывают, что длина этих вихрей может достигать сотен диаметров двигателя.) Однако, когда самолет находится в полете, эти вихри не удлиняются, и в результате они настолько велики в поперечном направлении относительно потока, что просто проходят через двигатель, не генерируя никакого шума. Это подтверждается измерениями Кампсти и Лоури [30], которые показали, что в полете тона, создаваемые двигателем RB.211, значительно меньше по амплитуде и обычно меньше флуктуируют.

Конечно, наиболее интенсивные вихри, набегающие на вентилятор, создаются в пограничном слое. Однако, поскольку характерный масштаб турбулентности в этой области обычно довольно мал, пограничный слой, по-видимому, не является причиной образования тонов частоты следования лопаток.

Набегающая турбулентность может вести к образованию звука и в случае изолированного ротора, на что впервые указали Фокс Вильямс и Хоукинге [16]. Таким образом, нагруженный ротор создает «привязанное к ротору» вращающееся асимметричное поле давления в канале вентилятора, которое, как уже отмечалось, не может распространяться при дозвуковых концевых скоростях. Однако, когда эта структура взаимодействует с набегающей турбулентностью. она создает флуктуирующие напряжения Рейнольдса, котопые могут являться квадрупольными источниками звука.

Чандрашекхара [17] довольно детально исследовал этот процесс для случая малоскоростных вентиляторов (концевое число Маха меньше 0,3). Использовалась модель ротора в свободном пространстве типа описанной в подразд. 3.5.3. Он обнаружил, что дипольный шум всегда превышает квадрупольный и что дипольная теория Ма-

Ни [15] достаточно хорошо согласуется с результатами его измерений звукового поля. Однако отношение интенсивности квадрупольного источника к интенсивности дипольного источника пропорционально квадрату типичного числа Маха, а интенсивность квадрупольного источника прямо пропорциональна нагрузке на лопатки. Поэтому вполне возможно, что квадрупольный источник может преобладать при более высоких числах Маха и больших нагрузках на лопатку, при которых работают вентиляторы реальных самолетных двигателей. Действительно, амплитуды тонов частоты следования лопаток не всегда растут при увеличении концевого числа Маха так, как это предсказывается дипольной моделью. Как указывает Мани [19], эксперименты Гелдера и Солтиса [18], проведенные на вентиляторах с весьма гладкими воздухозаборниками, показали, что уровни звуковой мощности на частоте следования лопаток обычно увеличиваются при увеличении нагрузки на лопатку даже тогда, когда относительное концевое число Маха уменьшается, что не противоречит свойствам квадрупольного источника.

С другой стороны, в следующей главе показано, что квадрупольный источник не может быть значительным даже при очень высоких числах Маха до тех пор, пока производимый вентилятором поворот потока не составит значительную долю скорости потока относительно лопаток, что обычно не бывает на концах лопаток, где генерируется большая часть звука.

Возможность того, что квадрупольный член в формуле (4.40) преобладает над дипольным членом при более высоких числах Маха, существует также и для других источников шума ротора. Голд- стейн, Диттмар и Гелдер [20] .разработали комбинированную дипольно-квадрупольную модель для расчета шума, вызываемого искажениями стационарного набегающего потока, взаимодействующими с ротором вентилятора. Их анализ показывает, что квадрупольный член может начать доминировать над дипольным при концевых числах Маха около 0,9.

Источники широкополосного шума

Помимо набегающей турбулентности существует большое число других возможных источников широкополосного шума вентилятора. Например, шум производимый турбулентностью, генерируемой в пограничных слоях лопаток (рассмотренный в конце подразд. 3.5.2), может вносить существенный вклад в широполосный спектр. Другой источник может возникнуть от неоднородных профилей следов. Измерения «средних» профилей скорости в следах показывают, что они у разных лопаток не одинаковы, а меняются случайным образом относительно некоторого среднего профиля. Эта случайная составляющая неоднородного потока, набегающая на расположенную ниже по потоку решетку лопаток, действительно может генерировать широкополосный звук.

Кроме ступеней вентилятора и компрессора внутри самолетного двигателя имеется ряд других источников широкополосного шума. 212

К ним относятся турбулентные следы за распорками и разделителями, а также турбулентность в пограничных слоях на стенках корпуса. Однако эти источники обычно являются более слабыми по сравнению с источниками, связанными с вентилятором. Дэвис и Фокс Вильямс [21] провели анализ излучения звука от турбулентности конечного объема, который движется с однородным потоком в бесконечной прямой трубе. Их результаты показывают, что излучаемый звук на низких частотах пропорционален шестой степени скорости потока, а на высоких частотах (выше частоты отсечки второй моды) он пропорционален почти восьмой степени скорости, потока (когда масштаб турбулентности достаточно мал).

Комбинационные тона

Большинство описанных ранее механизмов может действовать как при дозвуковых, так и при сверхзвуковых скоростях. При сверхзвуковых относительных концевых числах Маха замороженное по фазе вращающееся стационарное поле давления (связанное с модами р = 0 в формуле (4.30)) может распространяться по каналу. Поскольку интенсивность этого поля пропорциональна стационарным нагрузкам на лопатку, которые значительно больше, чем нестационарные нагрузки, можно ожидать, что оно будет определя- юшим пои сверхзвуковых скоростях. Однако, ввиду нелинейных эффектов, связанных с образованием ударных волн, формула (4.30) уже непригодна для сверхзвуковых скоростей, хотя есть некоторые основания полагать, что она еще будет справедлива при небольших сверхзвуковых относительных концевых числах Маха. Структура ударных волн, исходящих от передних кромок лопаток идеального периодического ротора, будет иметь вид, показанный на рис. 4.5, а. Справа на этом рисунке схематично показан график изменения давления во времени, которое могло бы фиксироваться микрофоном. Однако небольшие отклонения геометрии лопаток и расстояния между ними, которые имеются в реальном роторе, вызывают возмущения в структуре скачков уплотнения. Как показано на рис. 4.5, б, динамика распространения скачков уплотнения приводит к усилению этих возмущений вследствие действия механизмов и слияния волн . Изменение давления во времени, регистрируемое микрофоном, будет иметь вид, показанный справа на рис. 4.5, б. В этом случае уже не наблюдается периодичность с частотой следования лопаток, а структура давления повторяется при каждом обороте ротора. Типичный спектр шума сверхзвукового вентилятора показан на рис. 4.6. Видно, что этот спектр (не похожий на спектр дозвукового вентилятора, показанный на рис. 4.2) характеризуется тонами частоты вращения ротора. Эти многочисленные чистые тона, называемые комбинационными тонами, создают «пилообразный» спектр шума.

Надегаюшдй воздушный.

поток

Время

Концевая скорость (сверхзвуковая)

I К Ф°Рма- Волны U Vм u Ч дискретного

шума

а)

Набегающий. Воздушныйпоток

Концевая скорост- (сверхзвуковая)

|М_ЛлАллЛ Форма волны

1—-шума комбинацион-Время ных тонов

6)

Рис. 4.5. Шум комбинационных тонов при сверхзвуковых концевых скоростях:

а—идеализированная структура волн; б—действительная структура волн; /—микрофон; 2—волна Маха; 3—концы лопаток вентилятора в развернутом виде

Рис. 4.6. Типичный узкополосный спектр шума сверхзвукового вентилятора

Морфи и Фишер [22], а также Хоукинге [23] анализировали механизм слияния ударных волн, используя одномерные модели пилообразных скачков уплотнения. Их анализ описывает процесс усиления нерегулярностей первоначально неоднородной системы волн с расстоянием. Они показали, что интенсивность скачка становится независимой от начальных условий и затухает пропорционально расстоянию. Они также показали, что степень затухания сильно зависит от числа Маха осевого потока. Следовательно, изменение площади поперечного сечения канала (которое ведет к изменению осевого числа Маха) может быть очень существенным. Однако такого рода анализы не могут быть непосредственно связаны с нерегулярностями геометрии вентилятора. Эту трудность разрешил Ку- росака [24]. который использовал метод характеристик и соотношения на косом скачке для проведения двухмерного анализа. Он показал, что ошибки в угле установки лопаток оказывают значительно более существенное влияние на генерацию комбинационных тонов, чем ошибки в равномерности установки лопаток. Действительно, различия в расстояниях между лопатками могут вызвать лишь изменения расстояний между скачками уплотнения, тогда как ошибки в угле установки лопаток могут вызвать изменения как их положения, так и интенсивности.

При сверхзвуковых скоростях существует возможность появления дополнительного источника широкополосного шума, связанного с прохождением турбулентности через скачки уплотнения.

Эффекты, вызываемые конечной длиной трубы

Проведенный в предыдущих разделах анализ не позволяет рассчитать звук в дальнем поле, представляющем основной интерес. Однако это ограничение может быть снято путем использования функции Грина для цолубесконечной трубы (см. рис. 3.25) в формуле (4.13) вместо функции Грина для бесконечной трубы. Помимо возможности расчета звука в дальнем поле этот метод обладает тем преимуществом, что он учитывает эффекты отражения и дифракции на конце трубы. Такого рода анализ был выполнен Лэнзин- гом [26—28].

Более приближенный анализ, в котором используются решения для бесконечной трубы, был сделан Тайлером и Софриным [2] для случая нулевого среднего потока. Таким образом, если пренебречь отражениями на конце трубы, то звуковое поле может быть рассчитано, исходя из модели бесконечной трубы. Тайлер и Софрин заменили отверстие трубы гибкой диафрагмой в бесконечном жестком экране (как показано на рис. 4.7). При этом они предположили, что эта диафрагма колеблется с акустической скоростью, определяемой решением (4.30) для бесконечной трубы. Подставляя функцию Грина для полупространства (1.С.1) в формулу Грина (1.68) и учитывая, что др/дп равно нулю на жесткой границе, получаем, что

Рис. 4.7. Труба с фланцемРис. 4.7. Труба с фланцем/—вентилятор; 2—точка наблюдения/—вентилятор; 2—точка наблюдения(4.46)(4.46)^sB^sBsBQcosBQco

Рис. 4.7. Труба с фланцем

Рис. 4.7. Труба с фланцем

/—вентилятор; 2—точка наблюдения

/—вентилятор; 2—точка наблюдения

(4.46)

(4.46)

^sB

^sB

sBQ

co

sBQ

co

Рис. 4.8. Вентилятор в полубесконечной трубе:

■флуктуации давления в дальнем поле в полярных координатах, показанных на рис. 4.8, равны

1 с, др /, R । sin 6 cos\ , ,

р \ \ —=— у, /кг—— \rdrd^x,

2л R J j дух V coco /

о 0

где

y={— I, rcos®!, ГЕЙИрф

Для одной гармонической составляющей pP^e-^1^1 на частоте следования лопаток имеем (используя формулу (4.37))

th,RR rd2,t

2 [ \e-irfcsR sin 0 cos (=-¥l) rdrd

2л R j j дух

о 0

где

Положив теперь в формуле (4.30) М=0 (при этом Nn,m,sB = = + kn,mtSB) и подставляя полученный результат в формулу (4.46), получаем

4Cq К<гея1 A-m-n.Rп, m.sВ

^n,m{^sB' 6)(/717?га1П7>р кп>1П>5ВГп>пЦр^,(4.47)

где фактор направленности Нп,т (ksB, 6) определяется выражением

к к sin 6 е~ ('т'/2)

Hn,,AksB^ ^=-1 п,тАв sB ,2 -у™ VWd sin 9)(4.48)

km.n~ ksB s:r>26

и штрих у функции Бесселя Jm означает дифференцирование по ее аргументу.

Суммирование в формуле (4.47) должно проводиться по всем модам, независимо от того, соответствуют они распространяющимся в бесконечной трубе волнам или нет. Однако, поскольку имеется экспоненциальный множитель exp (Ukn,m,sB), нераспространя- ющиеся моды вносят весьма малый вклад в звуковое поле, если длина трубы I больше ее радиуса.

Если использовать более точное решение Лэнзинга, то формула (4.47) остается той же самой, а фактор направленности (4.48) принимает вид [27]

Нп„>ААв, 6)=9)Х

k^sB + ^n.m.sB) k^sB cos 9 + ^n.m,sBk К^^ k^n.ms в)

Х 2 (Ат п — Ав sin2 6) Uxb cos 6)’

где член К^ (з) определяется как предельное значение Иш К^Х £ ->0

х(з-)-ге), s ^ 0 интеграла Коши

1пК<->(Х) = — '2л/а — X

у = rd Уз2 - Ав

и штрихи у функций Бесселя Jт, Кт и 1т означают дифференцирование по их аргументам.

Лэнзинг [26] сравнил результат Тайлера и Софрина со своим точным решением для полубесконечной трубы. Он также сравнил эти формулы с решениями, полученными Лоусоном [6] при использовании модели ротора в свободном пространстве. На рис. 4.9 представлена суммарная излучаемая мощность в функции частоты, рассчитанная этими тремя методами. Видно, что для всех частот решение Тайлера и Софрина хорошо согласуется с результатом Лэнзинга.

Ввиду наличия в знаменателе формулы (4.39) множителя кп,т,вв (который при резонансе обращается в нуль), модель бесконечной трубы дает бесконечную акустическую мощность при приближении сверху к частотам отсечки различных мод . Острые мак

ооРис. 4.9. Излучаемая звуковая мощность, создаваемая вращающим моментом и тягой. Отношение' вращающего момента к тяге С,75; sB—pV=5; lfR=1Рис. 4.9. Излучаемая звуковая мощность, создаваемая вращающим моментом и тягой. Отношение' вращающего момента к тяге С,75; sB—pV=5; lfR=1Рис. 4.10. Излучаемая акустическая мощность для окружной моды т = 5; третья радиальная мода, п = 3. (Из работы [28]):Рис. 4.10. Излучаемая акустическая мощность для окружной моды т = 5; третья радиальная мода, п = 3. (Из работы [28]):

о

о

Рис. 4.9. Излучаемая звуковая мощность, создаваемая вращающим моментом и тягой. Отношение' вращающего момента к тяге С,75; sB—pV=5; lfR=1

Рис. 4.9. Излучаемая звуковая мощность, создаваемая вращающим моментом и тягой. Отношение' вращающего момента к тяге С,75; sB—pV=5; lfR=1

Рис. 4.10. Излучаемая акустическая мощность для окружной моды т = 5; третья радиальная мода, п = 3. (Из работы [28]):

Рис. 4.10. Излучаемая акустическая мощность для окружной моды т = 5; третья радиальная мода, п = 3. (Из работы [28]):

ф—бесконечная труба [формула (4.39)];

—труба без фланца (Лэнзинг

[28])

Рис. 4.11. Характеристика направленности, создаваемая тягой и вращающим моментом. Отношение вращающего момента к тяге 0,75; sB—pV =а; sQBR/c0=K. (Из работы [216]):

теория Лзнзиига [26];Лоусон [6];расчет по - Тайлеру—Софрину [2]

симумы в решении Лэнзинга (см. рис. 4.9) также получаются на этих частотах отсечки, но эти максимумы остаются конечными. Решение Тайлера—Софрина также обладает свойством резкого увеличения при приближении к этим частотам, но не имеет острых максимумов, полученных Лэнзингом.

Сравнение между решением для бесконечной трубы [формула (4.39)] и результатом Лэнзинга показано на рис. 4.10. На этом рисунке (взятом из работы [28]) представлена нормированная акустическая мощность, излучаемая модой и = 5, т = 3, в функции безразмерной частоты бВгайко. Он показывает, что модель бесконечной трубы дает отличный метод расчета суммарной излучаемой мощности вплоть до частоты, чуть большей частоты отсечки.

Лэнзинг также сравнил характеристики направленности, предсказываемые этими тремя решениями для безразмерной частоты sBroQ/c0 = 12. Это сравнение показано на рис. 4.11, В работе[27] характеристики направленности, рассчитанные по решениям Лоусона и Лэнзинга, сравниваются с данными, полученными в эксперименте на компрессоре. Эти результаты показаны на рис. 4.12.

ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ

Материал этой главы в основном базируется на общем интеграле акустической аналогии [формула (4.10)]. Более того, формулы (3.6) и (2.9), которые являются основой гл. 2 и 3, сами являются

Рис. 4.12. Характеристики направленности для опытного компрессора (из работы [27]):

/--теория для свободного поля; 2—теория для круглой трубы; 3—эксперимент

частными случаями этой формулы. Следовательно, формула (4.10) служит единой основой всего ранее изложенного материала.

В последующих главах рассмотрены другие методы, не использующие аналогию Лайтхилла.

Список литературы

Hetherington R. Compressor Noise Generated by Fluctuating Lift Resulting from Rotor-Stator Interaction. AIAA J., 1, 2, 473—474, 1963.

Tyler J. M. and T. G. Sofrin. Axial Flow Compressor Noise Studies. Trans. SAE, 70, 309—332, 1962.

Abramowitz Milton and Irene A. Stegun. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. National Bureau of Standards Applied Mathematics, Series 55, 1964.

Kemp N. H. and W. R. Sears. Aerodynamic Interference Between Moving Blade Rows. J. Aeron. Sci„ 20, 9, 585—597, 1953.

Kemp Nelson ,H. and W. R. Sears, The Unsteady Forces Due to Viscous Wakes in Turbomachines, J, Aeron. Sci. 22, 7, 478—483, 1955.

Lowson M. V. Tteoretical Analysis of Compressor Noise. J. Acoust., Soc. Am., 47, 1 (pt 2), 371—385, 1970.

Silverstein Abe, S. Katzoff and Kenneth W. Billivant. Downwash and Wake Behind Plain and Flapped Aerofoils, NACA TR 651, 1939.

Johnsen Irving A. and Robert O. Bullock, eds. Aerodynamic Design of Axial Flow Compressors. NASA SP—36, 1965.

Raj R. and B. Lakshminarayana. Three-Dimensional Characteristics of Turbulent Wakes Behind Rotors of Axial Flow Turbomachinery. ASME Paper No. 75—GT—1 presented at the Gas Turbine Conference, Houston, Texas, March 1975.

Hanson D. B. The Spectrum of Turbomachine Rotor Noise Caused by Inlet Guide Vane Wakes and Atmospheric Turbulence, Ph. D. Thesis, Connecticut Univ., 1973.

Henderson R. E. and H. Daneshyar Theoretical Analysis of Fluctuating Lift on the Rotor of an Axial Turbomachine. R&M 3684, British Aeronautical Research Council, 1972.

Povinelli Frederick P„ James H. Dittmar and Richard P. Woodward. Effects of Installation Caused Flow Distribution on Noise from a Fan Designed for Turbofan Engines. NASA TN D—7076, 1972.

Filleul N. Les. An Investigation of Axial Flow Fan Noise, J. Sound Vibr., 3, 2, 147—165, 1966.

Sofrin Thomas G. and Jbhn C. McCann. Pratt & Whitney Experience in Compressor—Noise Reduction. J. Acoust. Soc. Am., 40, 5, 1248—1249, 1966.

Mani R. Noise Due to the Interaction of Inlet Turbulence with Isolated Stators and Rotos. J. Sound Vibr., 17, 2, 251—260, 1971.

Ffowcs Williams J. E. and D. L. Hawkings. Theory Relating to the Noise of Rotating Machinery. J. Sound Vibr., 10, 1, 10—21, 1969.

Chandrashekhara N. Sound Radiation from Inflow Turbulence in Axial Flow Fans. J. Sound Vibr., 19, 2, 133—146. 1971.

Gelder Thomas F. and Richard F. Soltis. Inlet Plenum Chamber Noise Measurement Comparison of 20-Inch Diameter Fan Rotors with Aspect Ratios, 3.6 and 6.6. NASA TM X—2191, 1971.'

Mani R. Inlet Turbulence Rotor Noise. Presented at 87th Meeting of Acoustical Soc. of America, New York, April 1974.

Goldstein M. E., J. Dittmar and T. Gelder. Combined Quadrupole-Dipole Model for Iniet Flow Distortion Noise from a Subsonic Fan. NASA TN D—7676, May 1974.

Davies H. G. and J. E. Ffowcs Williams, Aerodynamic Sound Generation in Pipes, J. Fluid Meeh., 32, 4, 765—778, 1968.

. Morfey C. L. and M. J. Fisher. Shock-Wave Radiation from a Supersonic Ducted Rotor. J. Roy. Aeron, Soc., 74, 579—585, 1971.

Hawkings 6. L. Multiple Tone Generation by Transonic Compressors. J. Sound Vibr., 17, 2, 241—250, 1971.

Kurosaka M. A Note on Multiple Pure Tone Noise. J. Sound Vibr., 19, 4, 453—462, 1971.

Noble Benjamin. Methods Based on the Wiener-Hopf Technique for the Solution of Partial Differential Equations. Pergamon Press, 1958.

Lansing Donald L. Exact Solution for Radiation of Sound from a SemiInfinite Circular Duct with Application to Fan and Compressor Noise. Analytic Methods in Aircraft Aerodynamics, pp. 323—332, NASA SP—228, 1970.

Hubbard H. H., D. L. Lansing and H. L. Runyan. A Review of Rotating Blade Noise Technology. J. Sound Vibr., 19, 3, 227—249, 1971.

Lansing D. L., J. A. Drischler and C. G. Pusey. Radiation of Sound from an Unflanged Circular Duct with Flow. J. Acoust. Soc. Am.. 48. 1, pt. 1, 75, 1970.

Muskhelishvili M. I. Singular Integral Equations. P. Noordhoff, Holland, 1958.

Cumpsty N. A. and D. W. Lowrie. The Cause of Tone Generation by Aeroengine Fans at High Subsonic Tip Speeds and the Effect of Forward Speed. Paper No. 73—WA/GT—4, ASME, 1973.

ГЛАВА 5

ТЕОРИИ, ОСНОВАННЫЕ НА РЕШЕНИИ ЛИНЕАРИЗИРОВАННЫХ УРАВНЕНИЙ ЗАВИХРЕННОСТИ И АКУСТИЧЕСКОГО ПОЛЯ

ВВЕДЕНИЕ

Последние три гагавы в основном базировались на методе акустической аналогии, в котором звуковое поле рассчитывалось с использованием модели для члена эквивалентного акустического источника. Ввиду присущих этому методу ограничений (которые подробно рассмотрены в гл. 2), было бы желательным рассчитать акустическое излучение путем решения дифференциальных уравнений гидродинамики. К сожалению, для большинства реальных потоков это невозможно. Однако напомним, что звуковое поле, создаваемое дипольным членом, линейно связано с поверхностными силами, которые в большинстве случаев рассчитываются с использованием линеаризированных уравнений потока. Следовательно, возможно получение решений некоторых аэроакустических задач путем непосредственного решения линеаризированных уравнений количества движения и неразрывности. В этой главе на конкретном примере будет показано, как можно реализовать этот подход. Однако сначала рассмотрим некоторые общие свойства этих линеаризированных решений.

РАЗЛОЖЕНИЕ ЛИНЕАРИЗИРОВАННЫХ РЕШЕНИЙ ПО АКУСТИЧЕСКИМ

И ВИХРЕВЫМ МОДАМ. ТЕОРЕМА РАЗЛОЖЕНИЯ

Если средняя скорость U постоянна, то линеаризированные уравнения неразрывности и количества движения (1.15) принимают вид (в отсутствии объемных источников)

(5-1)

(5-2)(5-2)(5-3)(5-3)* Оор

(5-2)

(5-2)

(5-3)

(5-3)

5= — V • U, Со^о DT

где, как обычно.

Ор = д у ц д

Dr дт дуу

Покажем теперь, что скорость и может быть разложена на соленоидальную (с нулевой дивергенцией) и безвихревую (с нулевым вихрем) составляющие; при этом флуктуации давления определя-

ются одной безвихревой составляющей. Итак, покажем, что существуют такие вектора щ и и2, что ■

U = U! + U2,(5.4}

VXu1=v-u2=O,(5.5)

Bn Ui

00-^-= -VA

(5.6)(5.6)(5.7)(5.7)Вт

(5.6)

(5.6)

(5.7)

(5.7)

Др U2 q

Dr '

Отметим, что, поскольку каждое векторное поле может быть разложено на соленоидальную и безвихревую составляющие, действительно должны существовать такие вектора и/ и и2', что

и = щ-{-и2,(5-8}

VXu'i=y-U2 = 0.(5.9}

Следовательно, уравнение (5.1) может быть записано в виде

A=Qo——-+VP= — 0о ——•(5.10)

Тогда, поскольку второй член этого уравнения имеет нулевой вихрь, а последний — нулевую дивергенцию, то вектор должен быть как соленоидальным, так и безвихревым. Это означает, что вектор А, определяемый формулой

и0(У>(A[y+i(/ — x)U, t\dt,(5.11)i

So J

обладает следующим свойством:

VXuo = vuo=O(5. 12)

и удовлетворяет соотношению

0о^=А.(5.13),

Следовательно, подстановка формулы (5.13) в уравнение (5.10) показывает, что вектора

(5- 14)(5- 14)Ui = u( —и0, u2 = u2 + u0

(5- 14)

(5- 14)

удовлетворяют соответственно первому из уравнений системы (5.6) и уравнению (5.7). Более того, из уравнений (5.9) и (5.12) следует, что уравнение (5.5) выполняется, поскольку второе уравнение системы (5.6) является прямым следствием уравнений (5.5) и (5.2).

Поскольку (как можно видеть из уравнений (5.6)) безвихревой вектор U] является составляющей скорости, связанной с флуктуациями давления, он называется акустической колебательной скоростью. А поскольку завихренность

« = у х и = у х и2

определяется только вектором Нг, то он называется вихревой скоростью. Таким образом, в потоке взаимодействие между акустическими и вихревыми составляющими должно выражаться нелинейными членами второго, (или более высокого) порядка.

Как было показано ранее, в теории Лайтхилла источник звука может быть описан флуктуирующим напряжением Рейнольдса QoUiUj, где ы; и Uj представляют собой вихревые составляющие поля скоростей. Таким образом (по крайней мере для достаточно малых возмущений), квадрупольный механизм образования звука у Лайтхилла является именно таким процессом взаимодействия второго порядка . Уравнение (5.7) показывает, что вихревые моды, не считая их конвекции средним потоком, остаются неизменными. Это согласуется с результатами, описанными на с. 92—96 (гипотеза Тейлора), которые показывают, что турбулентность в струе медленно затухает в движущейся системе координат.

Хотя (я линейном приближении) каждая из акустических и вихревых мод ведет себя так, как будто другой нет, они могут быть легко соединены при наличии жесткой поверхности, которая ограничивает поток. Поскольку нормальная составляющая полной скорости и должна обращаться в нуль на любой такой поверхности, то щ и и2 должны быть связаны соотношением

и, п = — u2 n,

где п — нормаль к поверхности. Фактически именно эта связь между акустической и вихревой модами приводит к появлению источников шума дипольного типа, которые обычно возникают на твердых границах. А поскольку эти источники линейно связаны с возмущенными параметрами, то не удивительно, что они доминируют над нелинейными квадрупольными объемными источниками, если флуктуирующие скорости малы.

ЗВУК, ГЕНЕРИРУЕМЫЙ РЕШЕТКОЙ ЛОПАТОК

5.3.1. Постановка задачи

ком велико.ком велико.Теперь покажем, как путем решения линеаризированных акустико-вихревых уравнений (5.4) ... (5.7) может быть рассчитан звук, генерируемый ранее описанным механизмом. Для этого рассмотрим

ком велико.

ком велико.

Рис. 5.1. Бесконечная решетка, /—решетка лопаток; 2—корпус

задачу о вентиляторе, вращающемся с угловой скоростью Q в потоке со стационарно конвектируемыми возмущениями.

В этом разделе дана формулировка задачи, которая сводится к решению интегрального уравнения, рассмотренного в следующем разделе. После рассмотрения различных методов, которые используются для решения этого уравнения, покажем, как можно использовать эти результаты для расчета звукового поля, а в последнем подразделе этого раздела рассмотрим связь с методом акустической аналогии. Это позволит оценить влияние решетки, а также изменений времени запаздывания вдоль хорды для модели источника.

Для упрощения примем, что отношение диаметра втулки к диаметру вентилятора достаточно близко к единице, чтобы можно было пренебречь эффектами кривизны и считать, что лопатки образуют линейную решетку. Таким образом, рассмотрим бесконечную решетку лопаток, движущуюся между двумя бесконечными параллельными пластинами, как показано на рис. 5.1. Линейная скорость решетки равна

^0 = QrM, (5. 15) где гм — некоторый средний радиус вентилятора и Ь — зазор между пластинами, равный длине лопатки.

Будем считать, что поле вихревой скорости и^ перед решеткой лопаток задано. Кроме того, предположим, что лопатки являются тонкими и составляют малый угол со средней относительной набегающей скоростью UT, которую, в свою очередь, будем считать большой по сравнению с ию. В этом случае поток будет описываться линеаризированными уравнениями (5.1) и (5.2). С другой стороны, как было показано в подразд. 3.4.2, нестационарная составляющая линеаризированного несжимаемого потока за профилем не зависит от кривизны и угла атаки. Можно показать, что это разделение на стационарную и нестационарную составляющие потока может быть проведено и в задаче для сжимаемого потока, которая будет рассмотрена в этом разделе. Следовательно, можно заменить

Рис. 5.2. Поток в решетке лопаток

лопатки в решетке плоскими пластинами, установленными под нулевым углом атаки относительно скорости потока UT.

Примем теперь систему координат Y, связанную с движущимся со скоростью Uoo средним набегающим потоком, как показано на рис. 5.2. Неоднородная скорость перед решеткой лопаток состоит из вихревой части и^ и акустической составляющей, которая соответствует распространяющейся вдали от лопаток волне. С другой стороны, вихревой поток является стационарным (относительно неподвижного наблюдателя) и поэтому может зависеть только от ¥2 и Уз . Кроме того, поскольку в действительности рассматривается невращающаяся решетка, то Uoo должна быть периодичной в направлении движения решетки лопаток, а длина окружности 2лгм должна быть равна целому числу ее длин волн. Так как размер в

направлении У3 конечен, то Uoo может быть представлена двойным рядом Фурье

u. = V [ (I Ap,q + f Bj cos (+ К Ср sin 1 х L\ и !\ о / J

Р. Я

X e(2itipy2)/(£ocosv)j(5.16)

(5- 17)(5- 17)где £0 = 2лгм

(5- 17)

(5- 17)

есть длина окружности со средним радиусом rM; Ap.q, Bp,q) Ср, q — комплексные постоянные, 1, J и К—единичные вектора в направлениях ¥ь У2 и У3 соответственно; v — угол между направлением набегающего потока и перпендикуляром к решетке лопаток. Заметим, что составляющая по Уз (нормальная составляющая) каждого члена этого ряда обращается в нуль на ограничивающих стенках Уз-0, 6.

Поскольку Uoo представляет собой чисто вихревую скорость, она должна удовлетворять условию соленоидальности Vy-Uoo = 0 (где Vy — оператор дивергенции в координатной системе V). Оно будет выполняться только тогда, если коэффициенты Bp, q и Ср, q в формуле (5.16) удовлетворяют условию

2<Р о А Г2<Р о А Г= 0.= 0.

2<Р о А Г

2<Р о А Г

= 0.

= 0.

Более того, вследствие нелинейности задачи необходимо, как объяснено в подразд. 3.4.2, рассчитать поле потока, генерируемое одиночной гармонической составляющей этой суммы

uro = |\мм + J Вр^ cos (уу)uro = |\мм + J Вр^ cos (уу)— К— К2i pbL.q cos v2i pbL.q cos v^,»51П |—T" г^,»51П |—T" г

uro = |\мм + J Вр^ cos (уу)

uro = |\мм + J Вр^ cos (уу)

— К

— К

2i pb

L.q cos v

2i pb

L.q cos v

^,»51П |—T" г

^,»51П |—T" г

(5. 18)(5. 18)X e(2i:/pK2)/(Z.0cosv).

(5. 18)

(5. 18)

Эта форма возмущения является обобщением рассмотренной в подразд. 3.5.3; как и в этом подразделе, снова удобно выразить возмущенную скорость в системе координат у, связанной с лопатками. Выберем типичную лопатку, обозначив ее нижним индексом 0, и предположим, что начало системы координат находится в ее центре (как показано на рис. 5.2). Тогда преобразование системы координат Y->y — то же самое, что и в подразд. 3.5.3, и, следовательно, Уг связано с координатами у соотношением (3.121). Подставляя это соотношение в формулу (5.18) и используя формулы (5.15) и (5.17), получаем

= 1 Apq + J В ) cos - К —в sinх

L4\ b J Z^cosv\ b

х gip2 l(y.+y2CtgtL)/Ur—tl(5.19)

(где единичные вектора 1, f и К все еще ориентированы в направлениях координат Y). Ориентация решетки лопаток в системе координат у показана на рис. 5.3. В этих координатах лопатки неподвижны и параллельны средней относительной скорости UT. Следо-

Рис. 5.3. Решетка в системе координат уРис. 5.3. Решетка в системе координат у

Рис. 5.3. Решетка в системе координат у

Рис. 5.3. Решетка в системе координат у

вательно, нестационарный поток, который вызывается возмущением (5.19) малой амплитуды, должен удовлетворять линеаризированным уравнениям (5.1) и (5.2) (где в D0/Dr вместо U стоит Ur).

Снова, как и в подразд. 3.4.2, удобно представить возмущенную скорость в виде

u = iu-Lw(5.20)

Тогда, поскольку Uoo соленоидальна и удовлетворяет уравнению (5.7), то скорость w должна удовлетворять уравнениям (5.1) и (5.2). Таким образом ,

(5.21)

1°0Р60Cq От1°0Р60Cq От— yw.— yw.(5. 22)(5. 22)

1°0Р

60Cq От

1°0Р

60Cq От

— yw.

— yw.

(5. 22)

(5. 22)

Поскольку среда считается невязкой, то в качестве граничного условия примем, что нормальная скорость u-j= (Uoo + w) • j (где j— единичный вектор в направлении г/2) обращается в нуль на поверхности лопаток. Выражение (5.19) удовлетворяет этому граничному условию, в чем убеждаемся непосредственной подстановкой (рис. 5.2 и 5.3)

—д, (COS Л'^^3. ^ipS Kyi+msctg^/Ur—tA

\ b )

приприy2 — ms<f у, — ms* у —22y2 — ms<f у, — ms* у —22т = 0, ± 1, ± 2...,т = 0, ± 1, ± 2...,(5. 23)(5. 23)

при

при

y2 — ms

<f у, — ms* у —

22

y2 — ms

<f у, — ms* у —

22

т = 0, ± 1, ± 2...,

т = 0, ± 1, ± 2...,

(5. 23)

(5. 23)

о < Уа < Ь

где а=—Др, Q sin y,+Sp, Qcos р, и, как показано на рис. 5.3, s— зазор, измеряемый по нормали к хорде, s — установочный зазор, измеряемый вдоль хорды, ас — длина хорды.

Необходимо также потребовать, чтобы нормальная скорость обращалась в нуль на стенках при Уз = 0, Ь. Но, поскольку Uoo уже удовлетворяет этому условию (по построению), то w должна удовлетворять граничному условию

-®3 = 0 при у3=0, Ь. (5.24)

Таким образом, задача сводится к нахождению решений уравнений (5.21) и (5.22) в виде распространяющихся волн, которые удовлетворяют граничным условиям (5.23) и (5.24) *. Однако, как объяснено в подразд. 3.4.2, необходимо также потребовать, чтобы это решение удовлетворяло условию Кутта—Жуковского на задних кромках лопаток, и, как следствие, следует учитывать спутный вихревой след. Непрерывность давления поперек этих следов делает целесообразным принятие этой величины в качестве зависимой переменной. Уравнения (5.21) и (5.22) являются частными случаями первых двух уравнений системы (1.15), поэтому, чтобы исключить скорость, можно использовать ту же процедуру, что и в гл. 1, и получить волновое уравнение

(5'25) Cq Di?

Из составляющей в направлении уа уравнения (5.21) следует, что граничное условие (5.24) можно заменить условием

др —О при у3 = 0, Ь. (5. 26) дуз'

Поскольку давление всецело связано с акустическими колебаниями, то потребуем, чтобы р соответствовало решению в виде уходящей волны при ух-^-со. Составляющая скорости w2, которая входит в граничное условие (5.23), связана с давлением через составляющую в направлении у2 уравнения (5.21).

Вывод интегральных уравнений

Заметим, что решения уравнений (5.25) и составляющей в направлении у2 уравнения (5.21), которые удовлетворяют граничным условиям (5.23) и (5.26), должны иметь вид

(5- 27)(5- 27)P=—^UraP^yx, у^е-м cos№ \ ь

(5- 27)

(5- 27)

w2 = — aV (z/,, y2) e-im'e cos (-5^. \ bw2 = — aV (z/,, y2) e-im'e cos (-5^. \ b(5. 28)(5. 28)где ю = pQ = p —и P и V определяются уравнениямиЩ лл2\ ^^ I д2Р I ш \с(1 — MJ —я- -)5- 4- 2/ Мг —ду\ду2 1Uo /агде ю = pQ = p —и P и V определяются уравнениямиЩ лл2\ ^^ I д2Р I ш \с(1 — MJ —я- -)5- 4- 2/ Мг —ду\ду2 1Uo /а(5. 29)(5. 29)Р=0,Р=0,Mr =V,dyz \ Содух /Mr =V,dyz \ Содух /(5. 30)(5.31)(5. 30)(5.31)а относительное число Маха Мг определяется какСоа относительное число Маха Мг определяется какСо(5. 32}(5. 32}Граничное условие (5.26) удовлетворяется автоматически, а граничное условие (5.23) принимает вид1/ = е‘™ (у, Tmsctg р.)/ЦгГраничное условие (5.26) удовлетворяется автоматически, а граничное условие (5.23) принимает вид1/ = е‘™ (у, Tmsctg р.)/Цг= ms= msприприс , » / с— < ц, — ms* < —2 2с , » / с— < ц, — ms* < —2 2т=0, ± 1, ± 2,...т=0, ± 1, ± 2,...(5. 33)(5. 33)

w2 = — aV (z/,, y2) e-im'e cos (-5^. \ b

w2 = — aV (z/,, y2) e-im'e cos (-5^. \ b

(5. 28)

(5. 28)

где ю = pQ = p —

и P и V определяются уравнениями

Щ лл2\ ^^ I д2Р I ш \с

(1 — MJ —я- -)5- 4- 2/ Мг —

ду\ду2 1Uo /а

где ю = pQ = p —

и P и V определяются уравнениями

Щ лл2\ ^^ I д2Р I ш \с

(1 — MJ —я- -)5- 4- 2/ Мг —

ду\ду2 1Uo /а

(5. 29)

(5. 29)

Р=0,

Р=0,

Mr =V,

dyz \ Содух /

Mr =V,

dyz \ Содух /

(5. 30)

(5.31)

(5. 30)

(5.31)

а относительное число Маха Мг определяется как

Со

а относительное число Маха Мг определяется как

Со

(5. 32}

(5. 32}

Граничное условие (5.26) удовлетворяется автоматически, а граничное условие (5.23) принимает вид

1/ = е‘™ (у, Tmsctg р.)/Цг

Граничное условие (5.26) удовлетворяется автоматически, а граничное условие (5.23) принимает вид

1/ = е‘™ (у, Tmsctg р.)/Цг

= ms

= ms

при

при

с , » / с— < ц, — ms* < —2 2

с , » / с— < ц, — ms* < —2 2

т=0, ± 1, ± 2,...

т=0, ± 1, ± 2,...

(5. 33)

(5. 33)

Здесь удобно принять, что о имеет малую положительную мнимую часть, которая в конце анализа может быть положена равной нулю. Смысл этого в том, чтобы заменить обычное граничное условие уходящей в бесконечность волны требованием ограниченности. Физически это означает введение в систему небольшого демпфирования [13]. '

В приложении 5.А показано, что решение в виде уходящей волны (5.30) и (5.31), которое удовлетворяет граничному условию (5.33), выражается через безразмерные координаты Прандтля— Глауэрта g = yi/c, ц = Рг(У2/с) следующим образом:

. . .— I (а+М К) £Мг/о («) V е'. . .— I (а+М К) £Мг/о («) V е'(1/2) Д е(1/2) Д еsh — Дsh — Дit' еit' е(1/2) ХЛоda для 0 41 г, < —1с(1/2) ХЛоda для 0 41 г, < —1с(5. 34)(5. 34)shД_ 2_где функция }о(а) — решение системы интегральных уравненийshД_ 2_где функция }о(а) — решение системы интегральных уравнений^e-'t^r)^ пт I/(t -п)7]^-0^e-'t^r)^ пт I/(t -п)7]^-02 j М2 j М/о(“) е-' (^(^г)! £ х/о(“) е-' (^(^г)! £ х

. . .— I (а+М К) £

Мг/о («) V е'

. . .— I (а+М К) £

Мг/о («) V е'

(1/2) Д е

(1/2) Д е

sh — Д

sh — Д

it' е

it' е

(1/2) ХЛо

da для 0 41 г, < —

1с

(1/2) ХЛо

da для 0 41 г, < —

1с

(5. 34)

(5. 34)

shД_ 2_

где функция }о(а) — решение системы интегральных уравнений

shД_ 2_

где функция }о(а) — решение системы интегральных уравнений

^e-'t^r)^ пт I/(t -п)7]^-0

^e-'t^r)^ пт I/(t -п)7]^-0

2 j М

2 j М

/о(“) е-' (^(^г)! £ х

/о(“) е-' (^(^г)! £ х

Ysh-^cYsh-^c. s?rY, as* Achcos Г 4-c\ c )1/2-\ [PJe-i’+^^E,-1/2. s?rY, as* Achcos Г 4-c\ c )1/2-\ [PJe-i’+^^E,-1/2222222(5.35)(5.36)(5.35)(5.36)

Ysh-^c

Ysh-^c

. s?rY, as* A

chcos Г 4-

c\ c )

1/2-

\ [PJe-i’+^^E,

-1/2

. s?rY, as* A

chcos Г 4-

c\ c )

1/2-

\ [PJe-i’+^^E,

-1/2

2

2

2

2

2

2

(5.35)

(5.36)

(5.35)

(5.36)

[Р] = Ит[Р(В, г) —е^-0т = 0*. Функции[Р] = Ит[Р(В, г) —е^-0т = 0*. Функции(5.37)(5.37)(5.38)(5.38)которая сводит к нулю скачок давления

[Р] = Ит[Р(В, г) —е^-0

т = 0*. Функции

[Р] = Ит[Р(В, г) —е^-0

т = 0*. Функции

(5.37)

(5.37)

(5.38)

(5.38)

—Р($, —г)] на задней кромке ^=~^ лопатки Д± (а) и у (а) определяются формулами

Д± (а)=г7г + -^4 ±

\ ' с ) с

Y(«)=/" а2-7СЧ^

где знак перед квадратным корнем выбирается таким образом, чтобы их действительная часть была всегда положительной. Параметры рг> К, Кд и Г, которые входят в эти формулы, определяются следующим образом:

(5. 39)(5.40)(5.41)(5.42)(5.43)(5. 39)(5.40)(5.41)(5.42)(5.43)рг^]/1-Мг2,

(5. 39)

(5.40)

(5.41)

(5.42)

(5.43)

(5. 39)

(5.40)

(5.41)

(5.42)

(5.43)

р-с pUqc Co^r c0?2. ^rMso’

„ itqc q = M.

и r^=+Mr/c—+^-ctg!. , c Mr \ c c J

К 02 / S + S ctg a A M z * i\

где °=—M— =-7T-(s +5С^^ Mr \ c } Ur

называется фазовым углом между лопатками. Наконец, за пределами того диапазона я, для которого определена формула (5.34), решение может быть определено из условия периодичности

[Z^+^, n + ^^] = e/^i/(S, П). (5.44)

Решение интегральных уравнений

Для получения решения необходимо решить систему интегральных уравнений (5.35) и (5.36) для /о и [Р], удовлетворяющих условию Кутта

[Р]=0 при ^ = —^—•(5.45)

Это было сделано Лэйном и Фридманом [3] и позже Уайтхидом [4] для двухмерного случая (соответствующего Кд = 0У Используемый этими авторами метод состоит в разложении скачка давления через лопатки [Р] в тригонометрические ряды (что обычно используется в теории тонкого крыла в стационарном и нестационарном потоках) :

Р]=-у~^оС1?(у)+2 Лт51п тб, т = 1

где созв = —2L Это разложение обеспечивает выполнение условия Кутта (5.45) на задней кромке. Если его подставить в уравнение (5.36), то можно выполнить интегрирование и получить разложение /о(а) по функциям Бесселя. Затем эти ряды можно обратно подставить в уравнение (5.35), чтобы получить уравнение для коэффициентов разложения А„ (которое может быть решено методами коллокации, т. е. потребовав, чтобы это уравнение удовлетворялось в конечном числе точек вдоль хорды профиля). Такой подход связан с относительно большими затратами времени расчета. Однако задача может быть решена также и путем сведения уравнений (5.35) и (5.36) в одно интегральное уравнение для следующей функции скачка давления

gft) = [P]e мг- , (5 4б)

Таким образом, подставляя выражение (5.36) в уравнение (5.35), получаем (предполагая, что порядок интегрирования может быть изменен)

l='f ^МШЖ(5.47)

где керн-функция^ (|—|') определяется формулой

.~ — I Га+(К/М,)] (£—£'), „

Ж- У) =\ v sh da.

4л j (K/Mr) + аs?ry ( as \

— О»ch— cos I 1 + I

(5. 48)

Поскольку подынтегральное выражение в формуле (5.48) при больших значениях а обращается в ±1, то этот интеграл в обычном смысле не существует и должен рассматриваться как Фурье-преобразование некоторого распределения *.

Влияние различных лопаток решетки на лопатку т = 0 (которая проходит через линию т] = 0) учитывается членом

sh sgry/c

ch s?rY. с —cos (Г + as*/c)

Следовательно, если этот член в формуле (5.48) положить равным единице, то уравнение (5.47) будет представлять собой интегральное уравнение для силы на изолированной лопатке. С другой стороны, формулу (5.48) можно представить через сходящиеся интегралы, выделив вклад одной лопатки:

-I [«+(К/М )] (Е—Е')

1 L/a.1 L/a.егГsns3rY/c

1 L/a.

1 L/a.

е-ЧТе(1/2) А.shTA+е-ЧТе(1/2) А.shTA+еЧТе(1/2)А- "еЧТе(1/2)А- "da.da.sh Д_2sh Д_2

е-ЧТе(1/2) А.

shTA+

е-ЧТе(1/2) А.

shTA+

еЧТе(1/2)А- "

еЧТе(1/2)А- "

da.

da.

sh Д_

2

sh Д_

2

Тогда, поскольку, как можно видеть из замены у на —у> подынтегральное выражение все еще остается четной функцией от у, она опять же не имеет точек ветвления даже в том случае, когда г) конечно. Однако в этом случае она ведет себя либо как

—L е-<« (Е-Е')

а2’

либо как

при |а|->оо. Следовательно, согласно лемме Жордана [14], за контур интегрирования может быть выбрана большая полуокружность и можно воспользоваться теоремой вычетов. (Положение соответствующих полюсов рассмотрено в следующем разделе). Этот контур может быть замкнут в верхней полуплоскости, если

£<Х(5.50)

и в нижней полуплоскости, если

(5.51)

Получаются два различных выражения в зависимости от того, какое из условий (5.50) или (5.51) выполняется. А поскольку как в верхней, так и в нижней полуплоскостях имеется бесконечно много полюсов, то эти выражения представляют собой бесконечные ряды. Получающееся разложение керн-функции оказывается таким же, как у Кэйи и Оказаки [7, 8], которые использовали совсем иной подход, основанный на остроумном применении формулы суммирования Пуассона. Ряды Кэйи—Оказаки являются быстро сходящимися, если £—£' ограничены вдали от нуля, и дают удобный метод расчета керн-функции.

Акустическое излучение

Основной интерес с акустической точки зрения представляет поле давления на большом расстоянии от решетки лопаток. Покажем, что решение в этой области определяется полюсами подынтегральной функции в формуле (5.34). Один из них имеет место в точке

а другие — в точках, где △+=i2/zn при /г=0, ± 1, ± 2,....

Из формул (5.37) и (5.38) следует, что этими последними точками являются

а* = -Г„-^ ± / (d*)2 d* v \ d* )4

при n = 0, ± 1, ±2,...,(5.52)

где

d* = V"^*Y^s2(5-53)

и- Гл —Г —2ил. ■(5.54)

Знак плюс в формуле (5.52) относится к полюсам, лежащим в верхней полуплоскости, а знак минус — к полюсам, лежащим в нижней полуплоскости (согласно принятым обозначениям ветвей квадратного корня).

Эти полюсы будут приближаться к действительной оси при Im К->0, только если

(5-55) \ d* )

В этом случае формула (5.52) может быть записана в виде

а±=-Гп^^±Asin 0±,(5.56)

причем выражение У означает положительный квадратный корень,

А ^ /^Pj(5.57)

и 0„ всегда действительно. Тогда из формулы (5.37) следует, что

Y Р ) = + iAY Р ) = + iA(5.58)(5.58)cos В„ + sin 7* sin в* \.

Y Р ) = + iA

Y Р ) = + iA

(5.58)

(5.58)

----— = + /А cos 0*.

cos х*/

(5. 59)(5. 59)Результаты можно несколько упростить путем введения угла

(5. 59)

(5. 59)

8„ = arccos —-

"ы*

и угла установки

X=arctg^-

в плоскости Прандтля—Глауэрта. Тогда формула (5.56) примет вид.

sin 0„ = — cos 8„ sin х* ± cos х* sin 8„ = sin (— х* ± 8„),

(5.60)(5.60)так что без ущерба для общности можно положить

(5.60)

(5.60)

0±=~Х*± Фг

Если выделить сингулярности, которые имеются в этом подын-

т2т2тегральном выражении, когда Im К-^-0, то формула (5.34) примет вид

т2

т2

А (6, д) , УЛ К/Мг+ап— ШхА (6, д) , УЛ К/Мг+ап— Шхs« К- ч) В-^, ц) 1« —«+а — а” ] *"

А (6, д) , УЛ К/Мг+а

п— Шх

А (6, д) , УЛ К/Мг+а

п— Шх

+ D($, т), а)} da,

где D(^, к], а) не имеет действительных полюсов при ImK-^-О; А и 5П* — вычеты в полюсах при —K/NY, и ап* соответственно; т, и т2 — минимальное и максимальное значения п, при которых выполняется неравенство (5.55). Тогда, вычисляя вычеты и используя формулы (5.56) ... (5.60) для упрощения результатов, получаем

■ о—< l(«siae±+M К) Е—« (cos9±) ц] , .

^z3,M^7cj^п Vo (к sin 0±)

” ’Т 2d* (К + Мг к sin 0^) sin Вп

(5.61)

и At, 4W^e№^.(5.62)

Из теории Фурье-преобразований следует, что в пределе при |||-> -►оо D^, ц, а) не вносит вклад в интеграл. Остальные члены могут быть вычислены путем замыкания контура в соответствующей полуплоскости и использования теоремы Коши, положив эти интегралы равными 2л/, умноженному на сумму их вычетов. Следовательно, если £<§(0 (что соответствует положению на большом расстоянии вверх по потоку), то

(5.63)

п=тх

и, если ^3>0 (что соответствует положению на большом расстоянии вниз по потоку), то

V^uiAt, п) — 2л/ ^ Bn t' т1).(5.64)

Член A(g, т]) представляет собой конвективное (но не вихревое) возмущение, которое не вносит вклада в давление. В самом деле, из формул (5.62) и (5.А.6) видно, что этот член не дает вклада в Т и, следовательно (учитывая формулу (5.А.2)), — в давление Р. Формула (5.61) показывает, что остальные члены в формулах (5.63) и (5.64) удовлетворяют условию периодичности (5.44). Следовательно, эти решения годны для всех значений тр а не только для диапазона 0<т]<&рг/с для которого выполняется соотношение (5.34). Наконец, эти результаты можно подставить в формулы (5.А.6), (5.А.2) и (5.27) и показать, что асимптотическое поле давления получается в виде

п=т1т^Р— ^ Рпп = тхп=т1т^Р— ^ Рпп = тхпри ; —♦ — ОО,при £—>4-со,при ; —♦ — ОО,при £—>4-со,(5. 65)(5. 65)

п=т1

т^

Р— ^ Рп

п = тх

п=т1

т^

Р— ^ Рп

п = тх

при ; —♦ — ОО,

при £—>4-со,

при ; —♦ — ОО,

при £—>4-со,

(5. 65)

(5. 65)

где

р^лс cos 6^р^лс cos 6^QoaU,QoaU,d* sin Впd* sin Вп/о (к sin 0?)/о (к sin 0?)—i [от+ (Ksln0^+Mr/C) E—к (cose^") ц]—i [от+ (Ksln0^+Mr/C) E—к (cose^") ц]X cosX cos(5. 66)(5. 66)

р^лс cos 6^

р^лс cos 6^

QoaU,

QoaU,

d* sin Вп

d* sin Вп

/о (к sin 0?)

/о (к sin 0?)

—i [от+ (Ksln0^+Mr/C) E—к (cose^") ц]

—i [от+ (Ksln0^+Mr/C) E—к (cose^") ц]

X cos

X cos

(5. 66)

(5. 66)

Таким образом, на больших расстояниях от решетки лопаток давление может быть выражено в виде конечной суммы, которая содержит только те рп-, которые удовлетворяют условию отсечки (5.55). В самом деле, если принять, что

X = arctg— (5.67) S

означает угол установки лопаток и в формуле (5.66) перейти к неподвижной системе координат (рис. 5.4)

(5. 68)(5. 68)А = У\ cosx — г/2 sin %,

(5. 68)

(5. 68)

-Y2 = z/iSin x + i/2 cosx — Щх, х&=У^

то, используя результаты приложения 5.С, можно показать, что

рп _ 1 ^-IXaBSTAAnB-p^xpr^+xi"^^.^ х

Рйаит 2’ '

/ мх» \ с I пВ — р+.. п , /.+ \

X cos — — cos / — у^Р1Дв sin %) 2л/0(к8ш 0^) ,

\*) kq.p.nBd. \ Г^

'. ■(5.69)

где

± М ^о , kq,p,nB

^q.P.nB-—- - —~,

kq,p,nB=y

hQ = ^nB&]c^^№(j)™ nB^t^ lr№\ P = K1 — M2, M = (7/те/с0) cos v — число Маха набегающего потока в осевом направлении (перпендикулярном решетке лопаток) и d = V (s*)2-Ls2— расстояние между лопатками. Таким образом, р„ — волна, которая распространяется в трубе по потоку в направлении хг (с постоянной распространения N^p.hb) и которая движется в поперечном направлении (направлении х2) с фазовой скоростью r№(nBQ^(n.B — рУ Более того, из результатов приложения 5.С легко видеть, что условие (5.55) для этой волны в самом деле соответствует условию отсечки

гм )\ 6

Рис. 5.4. Координаты, связанные с трубойРис. 5.4. Координаты, связанные с трубойТаким образом, для любой заданной пространственной гармоники поля возмущений (характеризующейся индексами р и ^) звуковое поле состоит из всех этих гармоник частоты следования лопаток, частота которых превышает частоту отсечки для моды с индексами р, q. Качественно эти результаты аналогичны полученным в подразд. 4.3.2 для круглой трубы. Основное отличие состоит в том, что теперь в дополнение к осевой скорости соМ имеется средний поток c0Mtgv в поперечном направлении. В самом деле,, поскольку уравнение (5.36) показывает, что

Рис. 5.4. Координаты, связанные с трубой

Рис. 5.4. Координаты, связанные с трубой

1/2,

(5. 70)(5. 70)n z / .р г (К81п0±+М /<Нг

(5. 70)

(5. 70)

2л/0 (тсзш 0„ ) = j е п т [Р]^,

и поскольку а[Р] Qo^r sin % — амплитуда тяги, действующей на единицу площади лопатки, a a [PJpo^r cos % — амплитуда силы сопротивления на единицу площади, то видно, что формулы (5.65) и (5.69) действительно аналогичны формуле (4.30).

Применения решения

Сходство формул (5.69) и (5.70) с членами формулы (4.30) не случайно, поскольку первые являются именно теми результатами, которые могли бы быть получены, если бы метод акустической аналогии гл. 4 был применен к бесконечной решетке, рассмотренной в данной главе. Отличительной особенностью настоящего подхода является интегральное уравнение (5.47) для расчета нагрузок на лопатку, которые были определены из описанной в предыдущей главе модели двухмерного потока для одиночного профиля. Следовательно, теперь можно учесть взаимное влияние лопаток решетки. Это влияние особенно существенно вблизи условия отсечки, где оно сводит к нулю нагрузки на лопатки и тем самым предотвращает обращение в бесконечность излучаемой мощности, что предсказывалось использованной в гл. 4 моделью изолированного профиля (см. анализ в конце подразд. 4.3.5).

Рис. 5.5. Влияние сжимаемости на функцию реакции. Угол установки Х=0°; приведенная частота coc/2Ur=O,2|5; поперечное число Маха «9/6=0:

42—влияние густоты на функцию реакции при использовании в качестве параметра среднего числа Маха на входе решетки Мг. Фазовый угол между лопатками о,= 180°; б—влияние фазового угла между лопатками на функцию реакции при использовании в качестве параметра среднего числа Маха на входе решетки. Густота cld—\

Экспонента в подынтегральном выражении в формуле (5.70) связана с изменениями времени запаздывания. Если пренебречь его изменениями вдоль лопатки (как это сделано в гл. 4), то этот интеграл переходит в функцию реакции (см. подразд. 3.4.2)

1/2

-— = — f И^.(5.71) c^iUгаил J

-1/2

Из формул (5.С.З), (5.С.4), (5.40) и (5.41) можно видеть, что как эту величину, так и излучаемое звуковое поле можно полностью охарактеризовать следующими параметрами: поперечным волновым числом nq/b, относительным числом Маха Мг, фазовым углом между лопатками о = 2лр/В, углом установки х, густотой c/d и приведенной частотой рг2/С/2Мг = сос/2(/г. Поскольку длина волны Ао набегающего возмущения (см. рис. 5.2) равна 2лгм/р и 2лгм = й^, то отношение длины волны возмущения Хо к расстоянию между лопатками d будет равно W^=2n/a. Формула (5.29) показывает, что приведенная частота связана с отношением поперечной и относительной скоростей U0[UT соотношением ^ci‘2Ur= (c/d) (q(2) (U0/Ur) (см. рис. 5.2). Следовательно, вместо приведенной частоты и фазового угла между лопатками можно использовать параметры Xo/d и

Рис. 5.6. Зависимость акустической интенсивности от длины волны набегающего возмущения (из работы [12]):

—вниз по потоку (точное решение);вниз по потоку (время запаздывания не учитывается); —вверх по потоку (точное решение); вверх по потоку (время запаздывания не учиты

вается)

Функция реакции (5.71) была рассчитана Флитером [6] для различных значений этих параметров в диапазоне, характерном для компрессоров. Взятые из этой работы типичные результаты показаны на рис. 5.5. Сюда также включено соответствующее решение для несжимаемого потока. Этот рисунок показывает, что эффекты сжимаемости могут изменить функцию реакции более чем в два раза. Можно ожидать, что они могут вызывать подобные изменения величины акустических флуктуаций давления.

■ Заметим, что при увеличении числа Маха Мг величина флуктуирующей подъемной силы возрастает до максимума, а затем быстро уменьшается до нуля. Она становится равной нулю при числе Маха, при котором частота следования лопаток становится равной частоте отсечки для моды наинизшего порядка. Однако, как указывалось в подразд. 4.3.5, в выражении для излучаемой мощности знаменатель обращается в нуль именно на этой частоте. Поэтому обращение числителя в нуль вследствие нулевой нагрузки на лопатку приводит к тому, что излучаемая акустическая мощность остается конечной. Этого бы не произошло, если бы для расчета нагрузок на лопатки использовалась теория изолированного профиля. Это свойство является примером того, как звуковое поле может создавать сильную обратную реакцию на свой источник (флуктуирующие нагрузки на лопатки).

Кэйи [12] использовал такой же, как в этой главе, анализ для расчета интенсивности основных тонов частоты следования лопаток, излучаемых ротором как вверх, так и вниз по потоку. Его результаты представлены на рис. 5.6 в виде функции от Xofd. Однако в этом случае постоянной остается не приведенная частота, а отношение скоростей U0]UT. Пунктирные кривые получены без учета изменений времен запаздывания в формулах (5.69) и (5.70). Они показывают, что такое приближение может давать завышенные оценки излучения вверх по потоку на величину 5 ... Ю дБ. Выполнив ряд аналогичных расчетов, Кэйи установил, что если пренебречь временем запаздывания, то можно получить разумные оценки излучения вниз по потоку, но расчет звука, излучаемого вверх по потоку, будет обычно давать завышенные оценки на величину от 3 до 10 дБ. С другой стороны, рис. 5.5, а показывает, что функция реакции для решетки с единичной густотой может быть значительно большей, чем функция реакции изолированной лопатки (которая может быть достаточно хорошо аппроксимирована кривой для решетки с наименьшей густотой), так что благодаря этим двум взаимно компенсирующим ошибкам представленные в гл. 4 результаты могут оказаться довольно точными даже при высоких числах Маха.

Кривые на рис. 5.6 прерваны при значениях Ao/d=2, 1,4, 1,0 и 0,8, при которых в звуковое поле начинают вносить вклад моды более высокого порядка.

5.4. ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ

Было показано, что для течений, которые могут рассматриваться как малые возмущения относительно равномерного движения, могут быть проведены точные аэроакустические расчеты. Результаты показывают, что для таких течений объемными квадрупольными источниками всегда можно пренебречь, даже если область источников не является компактной. Этим можно объяснить, почему дипольная модель может обычно использоваться для получения хороших оценок излучения звука от вентиляторов и компрессоров даже при высоких дозвуковых числах Маха.

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ О РЕШЕТКЕ ЛОПАТОКРЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ О РЕШЕТКЕ ЛОПАТОКВ этом приложении будет получено решение уравнений (б.30) и (5.31) в виде уходящих волн, которое удовлетворяет граничному условию (5.33).Преобразуем эту задачу в эквивалентную (и несколько более знакомую) задачу для неподвижной среды, введя безразмерные координаты Прандтля— Глауэрта •В этом приложении будет получено решение уравнений (б.30) и (5.31) в виде уходящих волн, которое удовлетворяет граничному условию (5.33).Преобразуем эту задачу в эквивалентную (и несколько более знакомую) задачу для неподвижной среды, введя безразмерные координаты Прандтля— Глауэрта •ССсси новую независимую переменнуюгде— ^ Р^с pUpcК ~ со?, ~ е0^ ~ ^г№сои рг= ]/1-М2.и новую независимую переменнуюгде— ^ Р^с pUpcК ~ со?, ~ е0^ ~ ^г№сои рг= ]/1-М2.Тогда уравнения (5.30), (5.31) и граничные условия (5.33) примут вид52ф д2ф .9.+ + (А2—Ф= О, др ^2 т VхТогда уравнения (5.30), (5.31) и граничные условия (5.33) примут вид52ф д2ф .9.+ + (А2—Ф= О, др ^2 т Vх(<^/м)Е д -№^ГУ-ех г г' — еУ = — Вгеде(<^/м)Е д -№^ГУ-ех г г' — еУ = — Вгеде— iM Kt, дФ— iM Kt, дФ(5.А.1)(5.А.1)(5.А.2)(5.А.З)(5.А.4)(5.А.2)(5.А.З)(5.А.4)(5.А.5)(5.А.5)(5.А.6)(5.А.6)(/K/Mr) e2[E + (ms/c)Ctgp.l при(/K/Mr) e2[E + (ms/c)Ctgp.l приmsЧ = — Ргс1~ 2 < 5msЧ = — Ргс1~ 2 < 5ms*ms*сс_1_2_1_2ш= О, ± I,.ш= О, ± I,.

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ О РЕШЕТКЕ ЛОПАТОК

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ О РЕШЕТКЕ ЛОПАТОК

В этом приложении будет получено решение уравнений (б.30) и (5.31) в виде уходящих волн, которое удовлетворяет граничному условию (5.33).

Преобразуем эту задачу в эквивалентную (и несколько более знакомую) задачу для неподвижной среды, введя безразмерные координаты Прандтля— Глауэрта •

В этом приложении будет получено решение уравнений (б.30) и (5.31) в виде уходящих волн, которое удовлетворяет граничному условию (5.33).

Преобразуем эту задачу в эквивалентную (и несколько более знакомую) задачу для неподвижной среды, введя безразмерные координаты Прандтля— Глауэрта •

С

С

с

с

и новую независимую переменную

где

— ^ Р^с pUpc

К ~ со?, ~ е0^ ~ ^г№со

и рг= ]/1-М2.

и новую независимую переменную

где

— ^ Р^с pUpc

К ~ со?, ~ е0^ ~ ^г№со

и рг= ]/1-М2.

Тогда уравнения (5.30), (5.31) и граничные условия (5.33) примут вид

52ф д2ф .9.

+ + (А2—Ф= О, др ^2 т Vх

Тогда уравнения (5.30), (5.31) и граничные условия (5.33) примут вид

52ф д2ф .9.

+ + (А2—Ф= О, др ^2 т Vх

(<^/м)Е д -№^ГУ-

ех г г' — еУ = — Вге

де

(<^/м)Е д -№^ГУ-

ех г г' — еУ = — Вге

де

— iM Kt, дФ

— iM Kt, дФ

(5.А.1)

(5.А.1)

(5.А.2)

(5.А.З)

(5.А.4)

(5.А.2)

(5.А.З)

(5.А.4)

(5.А.5)

(5.А.5)

(5.А.6)

(5.А.6)

(/K/Mr) e2[E + (ms/c)Ctgp.l при

(/K/Mr) e2[E + (ms/c)Ctgp.l при

ms

Ч = — Ргс

1

~ 2 < 5

ms

Ч = — Ргс

1

~ 2 < 5

ms*

ms*

с

с

_1_

2

_1_

2

ш= О, ± I,.

ш= О, ± I,.

(5.А.7)

где

(5.А.8)

разделяющимися перемен-разделяющимися перемен-(5. А. 9)(5. А. 9)Заметим, что уравнение (5.А.5) обладает решением с ными вида

разделяющимися перемен-

разделяющимися перемен-

(5. А. 9)

(5. А. 9)

е~ 'аЕ—ТЛ

в котовом ветвь квадратного корня

y=]A2-№ + К^

выбрана таким образом, что его действительная часть всегда положителппя (в комплексной а-плоскости) [13]. Чтобы это решение удовлетворяло данной задаче, удобно для каждого целого числа т = 0, ±1, ±2,... ввести систему координат

msCms* u = a- — cmsCms* u = a- — c(S.A. 10)(S.A. 10)с началам на m-й лопатке. Тогда, беря комбинацию решений типа (5.А.9) с ряз- личными параметрами «, получаем следующее решение уравнения (5.А.5) в виде уходящей волны:с началам на m-й лопатке. Тогда, беря комбинацию решений типа (5.А.9) с ряз- личными параметрами «, получаем следующее решение уравнения (5.А.5) в виде уходящей волны:Vm($, т]) = /т(а)е m । da.Vm($, т]) = /т(а)е m । da.(S.A.11)(S.A.11)где fm(a) —некоторая пока не определенная функция игде fm(a) —некоторая пока не определенная функция иsgn хsgn х' 1 при х > 0, — 1 при х < 0.' 1 при х > 0, — 1 при х < 0.Это решение обладает скачком непрерывности(М)1 = J fm^C^daЭто решение обладает скачком непрерывности(М)1 = J fm^C^da(5. А. 12)(5. А. 12)при переходе через линию т) = (ms/с) рг, проходящую через m-ю лопатку. Поскольку граничные условия могут быть удовлетворены только в том случае, если функция давления Р разрывна на лопатках, то решение будем искать в виде суперпозиции решений (5.А.11):Ф = 2 Тт.(5.А. 13)ГП=— еепри переходе через линию т) = (ms/с) рг, проходящую через m-ю лопатку. Поскольку граничные условия могут быть удовлетворены только в том случае, если функция давления Р разрывна на лопатках, то решение будем искать в виде суперпозиции решений (5.А.11):Ф = 2 Тт.(5.А. 13)ГП=— ееТогда скачок [Т] функции V на m-й лопатке задается одним [Чу. Из формулы (5.А.2) следует, что скачок функции давления [Р] вдоль линии p=(ms/c)pr раТогда скачок [Т] функции V на m-й лопатке задается одним [Чу. Из формулы (5.А.2) следует, что скачок функции давления [Р] вдоль линии p=(ms/c)pr равенвенР] = е i№,K,; J /m(a)e l^mda.Р] = е i№,K,; J /m(a)e l^mda.(S.A. 14)(S.A. 14)Будем последовательно исключать те разрывы, которые лежат вне интервала 1$—(ms*/r)|<*—-Поскольку скорость Шг обращается в нуль при § -> —оо то, интегрируя уравнение (5.А.6), можно получитьБудем последовательно исключать те разрывы, которые лежат вне интервала 1$—(ms*/r)|<*—-Поскольку скорость Шг обращается в нуль при § -> —оо то, интегрируя уравнение (5.А.6), можно получитьV= -₽,e' r T) e V —($', t\W.J01V= -₽,e' r T) e V —($', t\W.J01(5.A.15)(5.A.15)Подставляя выражение (S.A.11) в (5.A.13) и последнее в формулу (5.А.15), меняя порядок интегрирования и проведя интегрирование по g, получаем *Подставляя выражение (S.A.11) в (5.A.13) и последнее в формулу (5.А.15), меняя порядок интегрирования и проведя интегрирование по g, получаем *-/мкс V = Te --/мкс V = Te -3 К +Mra — оот=—оо3 К +Mra — оот=—оо/т(а) е/т(а) е-(''^+1^) da-(''^+1^) da(5. А. 16)(5. А. 16)

ms

C

ms* u = a- — c

ms

C

ms* u = a- — c

(S.A. 10)

(S.A. 10)

с началам на m-й лопатке. Тогда, беря комбинацию решений типа (5.А.9) с ряз- личными параметрами «, получаем следующее решение уравнения (5.А.5) в виде уходящей волны:

с началам на m-й лопатке. Тогда, беря комбинацию решений типа (5.А.9) с ряз- личными параметрами «, получаем следующее решение уравнения (5.А.5) в виде уходящей волны:

Vm($, т]) = /т(а)е m । da.

Vm($, т]) = /т(а)е m । da.

(S.A.11)

(S.A.11)

где fm(a) —некоторая пока не определенная функция и

где fm(a) —некоторая пока не определенная функция и

sgn х

sgn х

' 1 при х > 0, — 1 при х < 0.

' 1 при х > 0, — 1 при х < 0.

Это решение обладает скачком непрерывности

(М)1 = J fm^C^da

Это решение обладает скачком непрерывности

(М)1 = J fm^C^da

(5. А. 12)

(5. А. 12)

при переходе через линию т) = (ms/с) рг, проходящую через m-ю лопатку. Поскольку граничные условия могут быть удовлетворены только в том случае, если функция давления Р разрывна на лопатках, то решение будем искать в виде суперпозиции решений (5.А.11):

Ф = 2 Тт.(5.А. 13)

ГП=— ее

при переходе через линию т) = (ms/с) рг, проходящую через m-ю лопатку. Поскольку граничные условия могут быть удовлетворены только в том случае, если функция давления Р разрывна на лопатках, то решение будем искать в виде суперпозиции решений (5.А.11):

Ф = 2 Тт.(5.А. 13)

ГП=— ее

Тогда скачок [Т] функции V на m-й лопатке задается одним [Чу. Из формулы (5.А.2) следует, что скачок функции давления [Р] вдоль линии p=(ms/c)pr ра

Тогда скачок [Т] функции V на m-й лопатке задается одним [Чу. Из формулы (5.А.2) следует, что скачок функции давления [Р] вдоль линии p=(ms/c)pr ра

вен

вен

Р] = е i№,K,; J /m(a)e l^mda.

Р] = е i№,K,; J /m(a)e l^mda.

(S.A. 14)

(S.A. 14)

Будем последовательно исключать те разрывы, которые лежат вне интервала 1$—(ms*/r)|<*—-

Поскольку скорость Шг обращается в нуль при § -> —оо то, интегрируя уравнение (5.А.6), можно получить

Будем последовательно исключать те разрывы, которые лежат вне интервала 1$—(ms*/r)|<*—-

Поскольку скорость Шг обращается в нуль при § -> —оо то, интегрируя уравнение (5.А.6), можно получить

V= -₽,e' r T) e V —($', t\W.J01

V= -₽,e' r T) e V —($', t\W.J01

(5.A.15)

(5.A.15)

Подставляя выражение (S.A.11) в (5.A.13) и последнее в формулу (5.А.15), меняя порядок интегрирования и проведя интегрирование по g, получаем *

Подставляя выражение (S.A.11) в (5.A.13) и последнее в формулу (5.А.15), меняя порядок интегрирования и проведя интегрирование по g, получаем *

-/мкс V = Te -

-/мкс V = Te -

3 К +Mra — оот=—оо

3 К +Mra — оот=—оо

/т(а) е

/т(а) е

-(''^+1^) da

-(''^+1^) da

(5. А. 16)

(5. А. 16)

Поскольку граничное условие (5.А.7) может быть записано в виде

И Um + -mS - , — ^Д^е^^^г^г^те™3 при т = 0, ±1, ±2,. \ с с )

11гдегде12 ’12 ’(5. А. 17)(5. А. 17)S* + S Ctgp. " с ,S* + S Ctgp. " с ,=(S* + s ctg у)Ur=(S* + s ctg у)Ur(5. А. 18)(5. А. 18)

1

1

где

где

1

2 ’

1

2 ’

(5. А. 17)

(5. А. 17)

S* + S Ctgp. " с ,

S* + S Ctgp. " с ,

=(S* + s ctg у)

Ur

=(S* + s ctg у)

Ur

(5. А. 18)

(5. А. 18)

(5. А. 19)(5. А. 20)(5. А. 19)(5. А. 20)^r 1 MrY/0(a)2 J К + Mrtf^r 1 MrY/0(a)2 J К + Mrtfinto— iy + M Л")Е — |д n e ' r m m ^a.into— iy + M Л")Е — |д n e ' r m m ^a.Тогда из того, чтоТогда из того, что

(5. А. 19)

(5. А. 20)

(5. А. 19)

(5. А. 20)

^r 1 MrY/0(a)

2 J К + Mrtf

^r 1 MrY/0(a)

2 J К + Mrtf

into— iy + M Л")Е — |д n e ' r m m ^a.

into— iy + M Л")Е — |д n e ' r m m ^a.

Тогда из того, что

Тогда из того, что

называется фазовым углом межбу лопатками, то можно убедиться в том, что выполнение этого условия на лопатке т=0 обеспечит удовлетворение его и на остальных лопатках, если функции fm могут быть связаны с fo таким образом, что

(ms*ms\.

И 5 +, ^+—?r = elmaV^,^.

\ сс/

Покажем теперь, что это достигается тогда, когда fmW = е‘тГ/о(с<),

где 5/с ( s*ks

Г s a + №rk =I — +ctgl^ I •(5. A. 21)

сMr \ с c /

Для этого подставим выражение (5.А.20) в формулу (5.А.16), получая

Vrr^fa^)_ ца+пгк^ VI е''т1г+<^)]-1ч,л|т^а =

v2 J /< + Mra

(5. А. 22)

it I MrY/o(a) 2 J К + Мгйit I MrY/o(a) 2 J К + Мгйi^r С Мгу/о(а)2 J к + №гаi^r С Мгу/о(а)2 J к + №га

it I MrY/o(a) 2 J К + Мгй

it I MrY/o(a) 2 J К + Мгй

i^r С Мгу/о(а)

2 J к + №га

i^r С Мгу/о(а)

2 J к + №га

^itto— Да + М^ЮЦ— (п—т) (s*/c)] —Ц— (п—m)(s/c)Pr|T ^^

eima ^ fcipn-tt.a+№TK^p |дрп rfa = eimay^^^

следует справедливость сделанного утверждения.

Другое условие, которое должно быть наложено на это решение, состоит в том, чтобы скачок давления (5.А..14) обращался в нуль вне интервала

|£ — (ms*/c)| < — . Но из соотношений (5.А.20) и (5.А.14) следует, что это ус

ловие будет выполняться для каждого т, если оно выполняется для т = 0. Следовательно, задача будет решена, если функция fo(cc) в формуле (5.А.22)

может быть выбрана таким образом, чтобы на лопатке т=й удовлетворялось условие (5.А.17), а на остальной части линии т] = 0 условие [Р]=0. Прежде чем показать, что это может быть сделано, целесообразно упростить формулу (5.А.22). Из формулы для суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии

при |г| < 1при |г| < 1

при |г| < 1

при |г| < 1

следует, что при 0^н<$рг/с

im(T+as*/c)-hmnе 1,7

— ,-<(r + (M*/c)]-s|LT/c

1 — е

ЧТ /[Г + (а5*Д)1—иМ= ее'17 ПГ + (м*/с)]-5(3 т/с = "7ГI — ег ^4ЧТ /[Г + (а5*Д)1—иМ= ее'17 ПГ + (м*/с)]-5(3 т/с = "7ГI — ег ^4_1)Т+(1/2)А еsh — Д+2+_1)Т+(1/2)А еsh — Д+2+т)Т+(1/2)Д_ I еsh -^- Д_т)Т+(1/2)Д_ I еsh -^- Д_

ЧТ /[Г + (а5*Д)1—иМ= ее'1

7 ПГ + (м*/с)]-5(3 т/с = "7Г

I — ег ^4

ЧТ /[Г + (а5*Д)1—иМ= ее'1

7 ПГ + (м*/с)]-5(3 т/с = "7Г

I — ег ^4

_1)Т+(1/2)А е

sh — Д+

2+

_1)Т+(1/2)А е

sh — Д+

2+

т)Т+(1/2)Д_ I е

sh -^- Д_

т)Т+(1/2)Д_ I е

sh -^- Д_

где

(5. А. 23)(5. А. 23), aS* \S?rY

(5. А. 23)

(5. А. 23)

Д + = / I Г -|-1 ±•

\ С ) с

Подставляя этот результат в формулу (5.А.22), получаем следующее выражение для скорости:

при Опри О,п ”.. , , ,-<(«+М,К)еМг/о(а)уе4 J Х + Мга,п ”.. , , ,-<(«+М,К)еМг/о(а)уе4 J Х + Мгае-ЧТ + (1/2) А shA д +е-ЧТ + (1/2) А shA д +ечт+(1/2)д_ечт+(1/2)д_sh —— Д_2sh —— Д_2dada$3гС$3гС(5. А. 24)(5. А. 24)

при О

при О

,п ”.. , , ,-<(«+М,К)е

Мг/о(а)уе

4 J Х + Мга

,п ”.. , , ,-<(«+М,К)е

Мг/о(а)уе

4 J Х + Мга

е-ЧТ + (1/2) А shA д +

е-ЧТ + (1/2) А shA д +

ечт+(1/2)д_

ечт+(1/2)д_

sh —— Д_

2

sh —— Д_

2

da

da

$3гС

$3гС

(5. А. 24)

(5. А. 24)

Для остальных значений г] скорость Р^, t]) может быть определена из условия периодичности (5А19).

Подставляя формулу (5.А.24) в граничное условие (5.А.17) при т=0 (и дополнительно воспользовавшись формулами для гиперболических функций для упрощения результата), получаем

I = е r hm И(£, -г;) =

= 1Ё£_ V /о(а)е-'Т«+№МГ)]ЕV sh (s^rY/g)da

2 J KfNVrA-ttch(s3rY/c)—cos (Г + as*/c) ^

11

nPH— — <5<-^-.(5. A. 25)

С другой стороны, соотношение (5.A.14) (при m=0) показывает, что

[^] = ] /о(«)е r da.

Но поскольку [Р]=0 при III >Чг, путем обратного преобразования Фурье можно получить

/о (a)=/о (a)=Ч«+Мг^)= 1^5-Ч«+Мг^)= 1^5-(5. А. 26)(5. А. 26)

/о (a)=

/о (a)=

Ч«+Мг^)= 1^5-

Ч«+Мг^)= 1^5-

(5. А. 26)

(5. А. 26)

-1/2

Таким образом, граничные условия на лопатках могут быть удовлетворены, если потребовать, чтобы fo(a.) было решением системы интегральных уравнений (5.А.25) и (5.А.26), в которых для обеспечения выполнения условия Кутта на задней кромке (см. подразд. 3.4.2) нужно наложить требование, чтобы [Р] = 0 при | = 72.

Приложение 5.В

РАСЧЕТ ИНТЕГРАЛА ДЛЯ ОДИНОЧНОГО ПРОФИЛЯ

В таблицах преобразования Фурье [9] показано, что

1 °? ^—ита—и ГА2 »2

Н^Чк/Xi А- у^ = — \ 7=da,

где HoW — функция Ханкеля первого рода. Следовательно,

~-Z[a+(K/Mr)](E-V)

<Pr С ег

\ yda =

4л J К/^г + а

”(Е-Е')

4^2 0'

Используя тождество [1С]

“ Н^ (к /л2 + у2) = —у— Н^ (к /л2 + ^) — (к у^2 + ^) и дважды интегрируя по частям, можно представить этот результат в виде

—/[а-к^/м )ке—ео е

4 л4 л44у da =

4 л

4 л

4

4

K/NVr + а 1

X е КК!№^ (Е И [-к sgn(; - £') Н^ («15 - 5'1) + i Н^ 15 - 5'1)] +IL^rJ

+е 1(,К^г^ХНЧЧк Vх1 + У1) dx\.(5. В. 1)

Поскольку интеграл, стоящий в правой части этого выражения, остается ограниченным при |—1'->0, путем асимптотического разложения функций Ханкеля по малому аргументу [11] легко показать, что

+ 4г" In |5 — 5'1 ] + 0(1)Mr/+ 4г" In |5 — 5'1 ] + 0(1)Mr/(5. B. 2)(5. B. 2)zPr ”pr z ,

+ 4г" In |5 — 5'1 ] + 0(1)Mr/

+ 4г" In |5 — 5'1 ] + 0(1)Mr/

(5. B. 2)

(5. B. 2)

\ у da =

4л J K4Ar +a2л \£ —£'

при E — £'->-0.

РАСЧЕТ ЧЛЕНОВ В КООРДИНАТАХ, СВЯЗАННЫХ С ТРУБОЙ

Поскольку (см. рис. 5.2 и 5.3)

= (5. С.

sin р cos v cos (к — р)

и число лопаток связано с расстоянием между лопатками d соотношением (см. рис. 5.4)

2лг

В =^,(5. С. 2)

то, используя в определении (5.43) фазового угла между лопатками соотношения (5.29) и (5.67), имеем

pd2itp

“ В

(5. С. 3)

Подставляя это соотношение в формулу (5.42), получаем

2л рd

Г = -^ + М,/< — sinx-

DС

(5. С. 4)

При этом формула (554) принимает вид

Г„ = — (р — пВ) + МГК ~ sin х • гмс

(5. С.5)

Из формулы (5.59) следует, что

d Г С„1

к cos 6„ = — (р — пВ) + №rK sin х , d L гмJ

(5. С. 6)

поэтому

d , / / d* \2Г c12

к sin S„~ —— 1/—— «2— (p — nB) + №rK sin X •

d V \ d /J

(5. С. 7)

Из формулы (5.53) имеем

/ ^* \2

11 =1 — MrC0s2y,

X d Jr

(5. С. 8)

а из рис. 5.2 можно видеть, что CoMr cos х = Ucos v,

(5. С. 9)

c0Mr sin х + Ux sin v = Uo.

Таким образом, из формул (5.40), (5.41) и (5.57) следует, что

(5.С. 10)

d п .с

рг к sin ^п = ~^-кд1Р,пв,

(5.С.11)

где

kq, р> пВ

пВ — р \2

Л^ \2

(5.С. 12)

м

. nBQ , M(p-nB) «о =+tg v,

с° г м

(5.С. 13)

(5.С. 14)(5.С. 15)(5.С. 14)(5.С. 15)Р = У1 — М2

(5.С. 14)

(5.С. 15)

(5.С. 14)

(5.С. 15)

и

и М = Mr cos у = —— cos v

' Со

есть число Маха осевого потока.

Используя формулу (5.60) и формулы для синусов и косинусов, показатель

Е = шт + (гс sin 9^ + Мг /0 £ — к (cos 0±) -q,

который входит в формулу (5.56), можно записать в виде

Е = — к (; sin х* + 1 cos х*) cos Ъп ± к (; cos х* — 1 sin у*) sin 8„ 4- К Мг£+ шт.

Но, поскольку расстояние между лопатками d и угол установки х связаны с расстоянием между лопатками d* и углом установки х* в координатах Прандтля— Глауэрта соотношениями■

^mx=^siny0 )(5С|6)

$rd cos х = d* cos x*, J

то, используя соотношения (5.68) с целью исключения переменных 6, г), полу- ■ чаем

хч ГKd «1 ГKd

Е = Мг К sin х —(1 — М, cos2 X) cos 8 „ + —— Мг К cos у — —” X

с Ld*J с L“

Kd Un1

"— (1 — m2cos2x)cos8„ .

d*С0J

Наконец, из формул (5.40), (5.С.6) и (5.С.8) ... (5.С.12) следует, что

шт + (к sin 0± + Мг к) е — К (cos 0±) 1) = пВйт + -~ (нВ — р) -Vxx^iPinB,

(5.С. 17)(5.С. 17)где

(5.С. 17)

(5.С. 17)

4q,p,nB р2 (М fe0 ± £/М>пЯ)-

С использованием тригонометрических преобразований из формул (5.60) и (5.16) получаем

с cos 0±Crf.

=(В, COS у COS ^п ± Sin X Sin ^м) d* sin8n (rf*)2 sin 8Л W L

или с использованием формул (5.С.6), (5.С.8), (5.С.11), (5.С.14) и (5.С.15)

с cos1i «Г с1

= — ОП(р-пВН №rK sin х cos х ±

rf»sin6„^kq.P^B4 I I ГМJ

±с%,р,пв sin X).

Тогда, подставляя формулы (5.40), (5.С.1), (5.С.9), (5.С.10), (5.С.14), (5.С.15) и (5.С.17), получаем

с cos 9 Jсd* sin 8„ “ kqipinB«с cos 9 Jсd* sin 8„ “ kqipinB«(5.С.18)(5.С.18)Г ,•( пВ— р \1

с cos 9 Jс

d* sin 8„ “ kqipinB«

с cos 9 Jс

d* sin 8„ “ kqipinB«

(5.С.18)

(5.С.18)

Y± р,пв х ~ —) X ;

Список литературы

Chu Boa-Teh and Leslie S. G. Kovasznay. Non-Linear Interactions in a Viscous Heat—Conducting Gas. J. Fluid Meeh., 3, 494—515, Oct. 1957—Mar. 1958.

McCune James E. The Three-Dimensional Flow Field of an Axial Compressor Blade Row-Subsonic, Transonic and Supersonic. AFOSR TN 58—72, Cornell University, Feb. 1958.

Lane Frank and Manfred Friedman. Theoretical Investigation of Subsonic Oscillatory Blade-Row Aerodynamics. NACA TN 4136, 1958.

Whitehead D. S. Vibration and Sound Generation in a Cascade of Flat Plates in Subsonic Flow. R & M 3685, British Aeronautical Research Council, 1972.

Lighthill M. J. Introduction to Fourier Analysis and Generalized Functions. Cambridge University Press, 1964.

Airfoils in a Nonuniform Compressible Flow. J. Aircraft, 10, 2, 93—98, 1973.,

Kaji S. an dT. Okazaki. Propagation of Sound Waves Through a Blade Row. II. Analysis Based on the Acceleration Potential Method. J. Sound Vibr., 11, 3,

Fleeter Sanford. Fluctuating Lift and Moment Coefficients for Cascaded 355—375, 1970.

Kaji S. and T. Okazaki. Generation of Sound by Rotor-Stator Interaction. J. Sound Vibr., 13, 3, 281—307, 1970.

Campbell George A. and Ronald M. Foster. Fourier Integrals for Practical Applications, Bell Telephone Laboratories, 1942.

Runyan Harry L. and Charles E. Watkins. Considerations on the Effect of Wind-Tunnel Walls on Oscillating Air Forces for Two-Dimensional Subsonic Compressible Flow. NACA TN 2552, 1951..

Abramowitz Milton and Irene A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions, Nationa Bureau of Standards Applied Mathematics Series 55, 1954.

Kaji S. Noncompact Sourse Effect on the Prediction of Tone Noise from a Fan Rotor. AIAA Paper 75—446, 1975.

Noble, Benjamin. Methods Based on the Wiener-Hopf Technique for the Solution of Partial Differential Equations. Pergamon Press, "27—31, 1958.

Carrier G., M. Krook and C. Pearson. Functions of a Complex Variable. McGraw-Hill, 80—81, 1966.

ГЛАВА 6

ВЛИЯНИЕ НЕОДНОРОДНОГО СРЕДНЕГО

ПОТОКА НА ГЕНЕРАЦИЮ ЗВУКА

ВВЕДЕНИЕ

В двух предыдущих главах рассматривались вопросы генерации звука при наличии однородного среднего потока. Однако в реальных потоках в области расположения источника обычно имеется градиент скорости, который может привести к изменению акустического импеданса и оказать такое воздействие на источник, которое может существенно повлиять на излучаемый звук. Например, в теории Лайтхилла полагается, что источники шума движутся в стационарной среде. Действительно, в целом характеристика направленности излучаемого шума объясняется конвективным усилением, которое можно определить на основании такой теории. Однако основное влияние на процесс излучения шума должно оказывать движение источника не относительно среды, находящейся на бесконечности, а относительно потока, расположенного в непосредственной близости к источнику (например, в пределах расстояния порядка длины волны). В самом деле, не должно наблюдаться обусловленного конвекцией увеличения общей акустической энергии, когда длина звуковой волны мала по сравнению с размерами струи, так как в этом случае источник шума по существу будет неподвижен относительно окружающей источник среды. Для того чтобы в рамках теории Лайтхилла учесть эти эффекты, необходимо некоторым образом изменить описание источника. Но так как этого невозможно сделать, не зная заранее акустического поля, лучше для описания процессов излучения звука записать соответствующее волновое уравнение для случая движущейся среды.

Одним из возможных путей достижения такого результата является развитие рассмотренного в разд. 1.2 анализа, основанного на линеаризованных уравнениях. В разд. 5.2 было показано, что хотя генерация шума, обусловленного взаимодействием с поверхностью, описывается линейными величинами, генерация звука объемными квадруполями зависит от нелинейного взаимодействия второго порядка акустической и вихревой моды. Следовательно, если в уравнения первого порядка относительно возмущений, полученные в разд. 1.2, включить члены следующего более высокого порядка, то можно учесть все взаимодействия, оказывающие влияние на процесс генерации звука. Такой подход был развит в работе Чу и Ко- важного [1]. Однако вместо того чтобы следовать таким путем, здесь будет предпринята попытка развить подход Лайтхилла, опи-

раясь при этом на полные нелинейные уравнения и приводя их к волновому уравнению для движущейся среды. Уравнения такого типа были получены Филлипсом [2] и Лилли, и представленные в настоящей главе материалы во многом основываются на полученных ими результатах. Рассматривая такие уравнения, в которых большая часть эффектов, связанных со свойствами реальной жидкости, описывается волновым оператором, а меньшая часть — членами, относящимися к источнику, мы до некоторой степени отклоняемся от подхода, относящегося к акустической аналогии, и приближаемся к подходу, связанному с непосредственным расчетом, подобному рассматриваемому в гл. 5.

ВЫВОД УРАВНЕНИЯ ФИЛЛИПСА

Уравнения неразрывности и сохранения количества движения, приведенные в подразд. 2.2.1, можно представить в следующем виде:

(6. 1)(6.2)(6. 1)(6.2)1Dq , dui

(6. 1)

(6.2)

(6. 1)

(6.2)

6 Dx' dyj ’

D«i 1 др , 1 де,,

Dtq dy, о dy, ’

где

=L^ (6.3)

От dr 1 dyj

означает материальную производную. Для простоты можно ограничиваться рассмотрением случая идеального газа. Тогда

р=р5?0,(6.4)

de = cvd^(6.5)

и Cp = C„ + 5?, где, как и ранее, 91— газовая постоянная; е — полная энергия; 0 -- абсолютная температура; ср и cv— удельная теплоемкость при постоянном давлении и объеме соответственно. Следовательно, второй закон термодинамики @dS = de + pd ^\ Iq') можно записать в виде

do1dрdS,р р,

— =(6.6)

екрср

где

— отношение удельных теплоемкостей.

Чтобы получить выражение, подобное волновому уравнению для движущейся среды, обобщим подход, который применялся в разд. 1.2 для вывода волнового уравнения (1.17) из линеаризиро-

ванных уравнений неразрывности и сохранения количества движения. Подстановка выражения (6.6) в уравнение (6.1) дает

/Ж , ди,1 DS

Dx ду;Ср Dx

где

(6.9)(6.9)П = — 1п-£- к Ро

(6.9)

(6.9)

и ро — некоторое постоянное исходное давление. Тогда из уравнения (1.25) следует, что уравнение сохранения количества движения (6.2) можно записать в виде

2el=_c2 ^L p(6. ю)

Dxdyt q dyj

Большое сходство между уравнениями (6.8) и (6.10), с одной стороны, и первыми двумя уравнениями (1.15), с другой, дает основание полагать, что волновое уравнение для движущейся среды можно получить (как было сделано в разд. 1.2) путем дифференцирования этих уравнений и вычитания получившихся результатов. С этой целью применим операцию дивергенции к уравнению (6.10) и, используя тождество

— ^- = — —+ — —,(6.11)

dyt Dx Dx dyt ду[ dyj получим

Г> dv, ।<j g2 ^П ^> ^г i^ 1 ^‘7(6 12)

Dx dyt ' dyi Oyt dyt dy, dyt q dyj ’*

Применение оператора D]Dx к уравнению (6.8) приводит к выражению

ПШ , D ^Vi___D_ 1 DS

Dx? Dx dyt Dx cp Dx

Вычитая из этого выражения уравнение (6.12), получим в результате уравнение Филлипса [2]

£)2Пd9 Жdyjdv;d1деИ । D 1 DS/с

Dvdyi dytdytdyjdytqdyj Dx cp Dx

Левая часть этого уравнения весьма сходна с левой частью линеаризированного волнового уравнения в движущейся среде [уравнение (1.17)]; принципиальная разница заключается в том, что уравнение (1.17) содержит дополнительный член, который учитывает некоторые эффекты взаимодействия звука со средним потоком. С другой стороны, основное отличие левых частей этого уравнения и уравнения Лайтхилла (2.5) заключается в замене временной производной д[дх, входящей в уравнение Лайтхилла, на материальную производную D/Dx. Таким образом, уравнение Филлипса должно хотя бы частично учитывать взаимодействие среднего пото-

ка со звуком. Как и в теории Лайтхилла, члены, стоящие в правой части, следует интерпретировать как величины, относящиеся к источнику.

Действительно, Филлипс пришел к заключению, что поскольку «члены в левой части [его] уравнения такие же, как в волновом уравнении для движущейся среды с переменной скоростью звука», первый член в правой части описывает генерацию пульсаций давления пульсациями скорости, тогда как остальные члены описывают эффекты, обусловленные пульсациями энтропии и вязкостью- жидкости. Однако, как указывали Лилли и Док [3], такая интерпретация не является строго корректной, так как в левой части этого уравнения не содержатся все члены, представляющие волновое уравнение в движущейся среде даже для случая параллельного’ среднего потока с поперечным сдвигом. Вследствие этого недостающие величины должны содержаться в первом члене в правой части, и этот член нельзя рассматривать как величину, относящуюся только к источнику. Предположим, что поток может быть описан уравнением (1.12). Тогда пренебрегая членами второго порядка малости, левую часть уравнения (6.13) можно записать в виде

( ^Р 2 9 \

— со V Р ь

«обо \ ^2/

а правую часть

О duT dU

Р.

дуг dr

Сравнение этих выражений с уравнением (1.17) показывает, что (в- пределе) в уравнении Филлипса члены, относящиеся к источнику^ действительно содержат величины, связанные с распространением звуковых волн.

ВЫВОД УРАВНЕНИЯ ЛИЛЛИ

Для получения соотношения, в котором все связанные с распространением эффекты, имеющие место в случае среднего потока с поперечным сдвигом, учитываются в части, содержащей волновой оператор, Лилли вывел уравнение третьего порядка, аналогичное уравнению (1.22). Применение оператора D/Dx к обеим частям уравнения (6.13) приводит к выражению

D (D1Kд9 дП\о *7 D dvxD д1деИ , Di 1 DS

Dx \Dx2дух ду( / dyt Dx Oy;Dx духqdy; Dx2 cp Dx

D /ЕРИDx (От2D /ЕРИDx (От2которое с учетом соотношений (6.10) и (6.11) может быть преобразовано в уравнение Лилли

D /ЕРИ

Dx (От2

D /ЕРИ

Dx (От2

— с2— с2 — = —2 —(6.14)

дух dyj дух dyj духдух dyj dyk

где величина

Ф=2 — — 1—— Д 1 de^' i Д2 1 DS

dyt dyj q дук От ду; q ду, Ох2 ср От описывает эффекты, обусловленные пульсациями энтропии и вязкостью жидкости.’

Отметим, что если это уравнение линеаризировать для случая параллельного среднего потока с поперечным сдвигом [уравнение (1.12)], то его левая часть сведется к левой части волнового уравнения для движущейся среды (1.22). Таким образом, по крайней мере в случае параллельных или почти параллельных течений (которые характерны для струй или потоков, создаваемых осевыми вентиляторами) представление правой части уравнения как величины, относящейся к источнику, не приводит ни к какому противоречию.

ИНТЕРПРЕТАЦИЯ УРАВНЕНИЙ

Уравнения Лилли, Филлипса и Лайтхилла получены из уравнений неразрывности и сохранения количества движения и эквивалентны друг другу. Основные отличия в теориях шума струи, связанных с этими уравнениями, в конечном итоге определяются интерпретацией различных членов, входящих в эти уравнения. Так, в теории Лайтхилла взаимодействие между акустическим полем и средним потоком (которое включает такие эффекты, как конвекция и рефракция звука средним потоком) должно учитываться путем видоизменения члена, относящегося к источнику, чего, как уже отмечалось, невозможно сделать до тех пор, пока уравнение не решено. В теориях Филлипса и Лилли эти эффекты до некоторой степени отделены от величин, относящихся к источнику, и включены в часть уравнения, содержащую- волновой оператор, поэтому они могут быть определены как часть решения. С другой стороны, вблизи области расположения источника обычно имеет место изменение средней скорости, и нестационарный поток обычно описывается нелинейными уравнениями. Следовательно, нельзя быть уверенным, что физически правомерно отделять эффекты взаимодействия акустического поля со средним потоком от самого процесса генерации звука. В самом деле, невозможно даже однозначно определить, какая часть нестационарного потока в этой области действительно связана с акустическим полем. Тем не менее, уравнения Филлипса и Лилли, по всей вероятности, позволяют определить некоторые характеристики акустического поля, создаваемого струей, которые невозможно оценить в рамках теории Лайтхилла.

Учет влияния конвекции и рефракции в части уравнения, содержащей волновой оператор, приводит к существенному усложнению решения уравнения. На практике это обстоятельство создает серьезные препятствия для применения этих теорий, и в настоящее время решение уравнений Лилли и Филлипса может быть получено только в ограниченном числе случаев.

УПРОЩЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ФИЛЛИПСА И ЛИЛЛИ

Еще один недостаток уравнений (6.13) и (6.14) связан с тем, что в левые части этих уравнений входит полная скорость V, а не просто средняя скорость (как в случае линеаризированных уравнений в разд. 1.2). Таким образом, в общем случае эти уравнения являются нелинейными, даже если члены, относящиеся к источнику, и средняя скорость принимаются известными. Однако во многих случаях, представляющих практический интерес (например, генерация шума струей или вентилятором и компрессором авиационного двигателя), целесообразно заменить скорость и квадрат скорости звука их средними значениями Vi^et и с2 соответственно. Для уравнения Филлипса первое приближение означает замену оператора D[Dt на

-2-^±+^-^-.(6.15)

Du dr ду;

Звук, генерируемый нестационарным потоком вблизи вентилятора1 или компрессора, часто распространяется по достаточно длинному каналу со стационарным сдвиговым потоком. В этом случае можно ожидать, что входящие в левые части уравнений (6.13) и (6.14) члены, описывающие распространение звука, будут определяться в основном протяженной областью стационарного потока, а не обычно достаточно малой областью нестационарного потока вблизи вентилятора.

С другой стороны, скорости турбулентных пульсаций в струе достаточно малы (обычно менее 20%) по сравнению со средней скоростью, а скорости движения частиц, определяемые акустической волной, в абсолютном большинстве случаев еще меньше. Следовательно, в левых частях уравнений (6.13) и (6.14) целесообразно- пренебречь всеми членами, в которые входят произведения только пульсационных величин, по сравнению с членами, включающими произведения средних и пульсационных величин. Но это снова означает замену ut на Е{ и с2 на с2, так как осредненное по времени давление в турбулентной струе настолько близко к постоянной величине, что П можно рассматривать как пульсационную величину,, при условии, конечно, что р0 выбрано соответствующим образом-, Физически это означает пренебрежение таким явлением, как рассеяние звука турбулентностью. Однако вследствие несовпадения масштаба турбулентности и длины акустической волны (длина акустической волны в большинстве случаев существенно больше [6, 7]) обычно полагается, что в струях рассеяние турбулентностью не имеет существенного значения [5]. Действительно, было найдено- [8], что введение ряда генераторов вихрей в сопло, из которого истекает струя, не приводит к изменению характеристики направленности шума, хотя эти генераторы приводят к существенному увеличению объема, занятого интенсивной турбулентностью. Но так как.

основной эффект, вызываемый рассеянием звука, должен выражаться в изменении характеристики направленности, можно сделать вывод, что в большей части спектра рассеяние не оказывает существенного влияния на акустическое поле струи.

Теперь рассмотрим члены, стоящие в правых частях уравнений (6.13) и (6.14). В отсутствии химических реакций или других источников тепла уравнение энергии можно представить в виде

n BS д „ де , ()9 = /^-у,

Dx ду; ди;

где/С— теплопроводность; у—скорость объемной диссипации энергии, обусловленной эффектами вязкости. Таким образом, два последних члена в правой части уравнения (6.13) и последний член в правой части уравнения (6.14) описывают эффекты теплопроводности и вязкой диссипации. Следовательно (в предположении, что число Маха не слишком велико), те же аргументы, которые приводились в подразд. 2.2.3 в связи с уравнением Лайтхилла, позволяют сделать вывод, что при числах Рейнольдса, представляющих интерес при решении задач аэроакустики, этими членами можно пренебречь.

Приняв такое приближение в уравнениях (6.13) и (6.14), т. е. заменив Ui на Vt и с2 на с2 в левых частях и пренебрегая членами, обусловленными вязкостью и теплопроводностью, в правых частях, получим '

(6. 16)(6.17)(6. 16)(6.17)/Ж РРПди, Qy

(6. 16)

(6.17)

(6. 16)

(6.17)

■с2=,

£>т2dtiiдухdyi бу,

В /о2П д <Д1 \ , л^у д <Л1 о ^uj ди^ ди:

DtxDv ду,. dyi) ду, ду, ду^ду, ду, dyk

УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ПОТОКОВ С ПОПЕРЕЧНЫМ СДВИГОМ

В большинстве случаев интерес представляет звук, генерируемый потоками, поле средних скоростей в которых достаточно хорошо может быть описано соотношением (1.12) или его обобщением (1.23), поэтому целесообразно предположить, что

•‘y,- = 8lz7/(r) + zzz,(6.18)

где функция поперечных координат г (уг, Уз) определена в разд. 1.2, a Ui представляет пульсационную составляющую скорости Vt, средняя по времени для которой равна нулю. Поскольку

(6.19)

Вт Вт дт дух

то подстановка выражения (6.18) в (6.19) дает

7>т2s dr dyx dy, ду;7>т2s dr dyx dy, ду;(6. 20)(6. 20)

7>т2s dr dyx dy, ду;

7>т2s dr dyx dy, ду;

(6. 20)

(6. 20)

где с2 заменено на постоянную величину с02 и, как в разд. 1.2, g = |yr|, a Ur = (vr/|v 'I) ■ и—поперечная скорость в направлении г. Отметим, что величина ‘2g(dU!dr^ {durfdyx) взята из относящейся к источнику части уравнения Филлипса, и вследствие этого левая часть в полученном уравнении соответствует линеаризированному уравнению (1.17). Скалярное умножение (6.10) на v^/lv^l дает

Do2 dll-drDo2 dll-drDrDr’ dmz u |Vd \ dyi .’ dmz u |Vd \ dyi .(6.21)(6.21)

Do2 dll

-dr

Do2 dll

-dr

Dr

Dr

’ d

mz u |Vd \ dyi .

’ d

mz u |Vd \ dyi .

(6.21)

(6.21)

поэтому можно, поступая так же, как в разд. 1.2, исключить иг из уравнений (6.20) и (6.21) и получить волновое-уравнение третьего порядка ■

ДоDrДоDrСоУ2ПСоУ2Пn2_2.Dx2n2_2.Dx2n)-2c2og2^L/drn)-2c2og2^L/dr<?2Пdyv><?2Пdyv>До( dui j , Dx \ dyi dy, / 'До( dui j , Dx \ dyi dy, / 'dU d Г vr (d . a, u dr dyx [ Ivd \dy;dU d Г vr (d . a, u dr dyx [ Ivd \dy;(6. 22)(6. 22)Хотя левая часть этого уравнения такая же, как в уравнении Лилли (6.17), правые части этих уравнений несколько отличаются. Скорость и входит только в члены, расположенные в правой части уравнения (6.22), и так как эти члены рассматриваются как источники, следует принять, что эта величина удовлетворяет условию соленоидальностиХотя левая часть этого уравнения такая же, как в уравнении Лилли (6.17), правые части этих уравнений несколько отличаются. Скорость и входит только в члены, расположенные в правой части уравнения (6.22), и так как эти члены рассматриваются как источники, следует принять, что эта величина удовлетворяет условию соленоидальностиVU = 0.VU = 0.(6.23)(6.23)Таким образом, если рассматривать уравнение (6.22) в применении к турбулентной струе, величину и следует отнести к турбулентным пульсациям скорости, которые составляют не более 20% от средней скорости потока. В этом случае несомненно следует принять условие соленоидальности (6.23). Из этого условия следует, что ut (д[ду^ и — ^д]ду^ и^ и (ди Joyj) (dujidyj^ д^ид^ду^ур поэтому уравнение (6.22) можно записать в видеТаким образом, если рассматривать уравнение (6.22) в применении к турбулентной струе, величину и следует отнести к турбулентным пульсациям скорости, которые составляют не более 20% от средней скорости потока. В этом случае несомненно следует принять условие соленоидальности (6.23). Из этого условия следует, что ut (д[ду^ и — ^д]ду^ и^ и (ди Joyj) (dujidyj^ д^ид^ду^ур поэтому уравнение (6.22) можно записать в видеZ)n / 2 9ттcoV2HDx \Z)n / 2 9ттcoV2HDx \Доо idU „ д2ПII I ■— 2с о —=Dr2 / dr духдгДоо idU „ д2ПII I ■— 2с о —=Dr2 / dr духдгd Uд № \™2— g — /А dr dyx /(6.24)d Uд № \™2— g — /А dr dyx /(6.24)где принятолduiUjJi=— Д со dyjгде принятолduiUjJi=— Д со dyj(6. 25)(6. 25)Это соотношение идентично уравнению (1.22) при условии, что массовый источник q отсутствует, а внешняя сила f определяется соотношением (6.25). Ранее (в подразд. 1.5.2) было показано, что приЭто соотношение идентично уравнению (1.22) при условии, что массовый источник q отсутствует, а внешняя сила f определяется соотношением (6.25). Ранее (в подразд. 1.5.2) было показано, что при

До

Dr

До

Dr

СоУ2П

СоУ2П

n2

_2.

Dx2

n2

_2.

Dx2

n)-2c2og2^L/dr

n)-2c2og2^L/dr

<?2Пdyv>

<?2Пdyv>

До( dui j , Dx \ dyi dy, / '

До( dui j , Dx \ dyi dy, / '

dU d Г vr (d

. a, u dr dyx [ Ivd \dy;

dU d Г vr (d

. a, u dr dyx [ Ivd \dy;

(6. 22)

(6. 22)

Хотя левая часть этого уравнения такая же, как в уравнении Лилли (6.17), правые части этих уравнений несколько отличаются. Скорость и входит только в члены, расположенные в правой части уравнения (6.22), и так как эти члены рассматриваются как источники, следует принять, что эта величина удовлетворяет условию соленоидальности

Хотя левая часть этого уравнения такая же, как в уравнении Лилли (6.17), правые части этих уравнений несколько отличаются. Скорость и входит только в члены, расположенные в правой части уравнения (6.22), и так как эти члены рассматриваются как источники, следует принять, что эта величина удовлетворяет условию соленоидальности

VU = 0.

VU = 0.

(6.23)

(6.23)

Таким образом, если рассматривать уравнение (6.22) в применении к турбулентной струе, величину и следует отнести к турбулентным пульсациям скорости, которые составляют не более 20% от средней скорости потока. В этом случае несомненно следует принять условие соленоидальности (6.23). Из этого условия следует, что ut (д[ду^ и — ^д]ду^ и^ и (ди Joyj) (dujidyj^ д^ид^ду^ур поэтому уравнение (6.22) можно записать в виде

Таким образом, если рассматривать уравнение (6.22) в применении к турбулентной струе, величину и следует отнести к турбулентным пульсациям скорости, которые составляют не более 20% от средней скорости потока. В этом случае несомненно следует принять условие соленоидальности (6.23). Из этого условия следует, что ut (д[ду^ и — ^д]ду^ и^ и (ди Joyj) (dujidyj^ д^ид^ду^ур поэтому уравнение (6.22) можно записать в виде

Z)n / 2 9тт

coV2H

Dx \

Z)n / 2 9тт

coV2H

Dx \

Доо idU „ д2П

II I ■— 2с о —=

Dr2 / dr духдг

Доо idU „ д2П

II I ■— 2с о —=

Dr2 / dr духдг

d Uд № \

™2— g — /А dr dyx /

(6.24)

d Uд № \

™2— g — /А dr dyx /

(6.24)

где принято

лduiUj

Ji=— Д со dyj

где принято

лduiUj

Ji=— Д со dyj

(6. 25)

(6. 25)

Это соотношение идентично уравнению (1.22) при условии, что массовый источник q отсутствует, а внешняя сила f определяется соотношением (6.25). Ранее (в подразд. 1.5.2) было показано, что при

Это соотношение идентично уравнению (1.22) при условии, что массовый источник q отсутствует, а внешняя сила f определяется соотношением (6.25). Ранее (в подразд. 1.5.2) было показано, что при

отсутствии средней скорости внешняя объемная сила /действует как объемный дипольный источник (интенсивности /). Но в таких случаях дипольный источник интенсивности /, ведет себя как квадрупольный источник (интенсивности ф,,-), если существуют девять функций l|)ij, таких что

Эти соотношения можно использовать для определения квадрупольного источника, которое было сделано только для стационарной среды, для случая среднего потока с поперечным сдвигом. Тогда правую часть уравнения (6.24) можно рассматривать как акустический квадрупольный источник интенсивности —UiUjc02. Но так как эта величина зависит только от пульсационных скоростей и не зависит от средней скорости потока U, то теперь не будет члена, относящегося к шуму сдвига, по крайнем мере в том же смысле, что и в теории Лайтхилла.

С другой стороны, хорошо известно, что напряжение, действующее на жидкость, может быть описано тензором, который обозначим фгд и что действующая на единицу объема сила /,, обусловленная этим тензором, определяется выражением f i=d^iydyj. Следовательно, уравнения (6.24) и (6.25) показывают, что существует приближенная аналогия между изменением П, имеющим место в некотором реальном потоке, и пульсациями акустического давления, создаваемыми в потоке с поперечным сдвигом нестационарным приложенным снаружи напряжением, равным —tiiUjfco2. Заменяя первый член в скобках в левой части на V-(c02Vn), можно представить уравнение (6.24) в более общем виде, позволяющем учесть зависимость с02 от г.

В приложении 6.А показано, что для случая параллельного потока со сдвигом (1.14) уравнение (6.24) можно привести к виду

D2

—— Г —Со?2Г=у, (6.26)

где

(6.27)(6.27)Г^-^П

(6.27)

(6.27)

ииDu

и

и

dU д ., 2

—— —— (Й2М/ Н- со8г<П dy2 dyt

ддухддухd^Udy^d^Udy^2оП) •2оП) •(6. 28)(6. 28)

ддух

ддух

d^U

dy^

d^U

dy^

2оП) •

2оП) •

(6. 28)

(6. 28)

Хотя левая часть этого уравнения и уравнения Филлипса формально подобны, но зависимые переменные и член, относящийся к источнику, в этих случаях совершенно различны. Последний преобразован так, что теперь в него включены эффекты взаимодействия звука со средним потоком, которые первоначально описывались ле-

вой частью уравнения (6.24). В результате в правую часть вошло давление П. Но для потоков, подобных струям, где только в области расположения источника имеют место градиенты средней скорости,, наиболее важную часть этой зависимости можно исключить. Таким образом, так как уже предполагалось, что и в этой области удовлетворяет условию (6.23), уравнение (6.21) можно записать в виде _^(М2М. + 82.С2П) = ГА + ^(6.29)

дух\ от дух j

Второй член в правой части уравнения (6.28) содержит величину dUjdy^, которая становится равной нулю вне зоны смешения, поэтому можно принять для этого члена приближение (6.29), в результате чего получим

Г р2 Г). .,1 , . д / dU Dq \ д Vd^U . , , 9тт\

Т=1 («/“/) + 4 ~ «2 —д2 (м2 + спп) • (6.30)

Удухду, DxVдуДдуг Dx j dyx^dy^ 2'

Условие соленоидальности (6.23) означает,. что (см., например, разд. 5.3 работы [10]) векторный потенциал

А (х, 1} = — vX \ и<у’ ^ «/у

V 14л. v ) |х— у|

удовлетворяет соотношениям

u = y X А(6131)

и

у-А = 0.

Следовательно, вводя тензор перестановки ег^ и используя уравнение (6.31), чтобы исключить ц2 из второго члена в правой части (6.30), находим, что уравнение (6.26) можно представить в виде (^02 о\02 / Dr, \ д d^U9 ГТ \О

CoV Г = —7^</—д («9 1 спП) ,(6.32) №/ ду;дуДОт / дух _dy2 ' 20 >v ’

где 7?;- = и;и;--|-481;е2й-^(6.33)

ПРИМЕНЕНИЕ АКУСТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ РАСЧЕТА ШУМА КРУГЛЫХ СТРУЙ

Уравнения (6.16), (6.17), (6.24) и (6.32) позволяют до некоторой степени описать влияние средней скорости потока на процессы генерации звука. В случае осесимметричной струи поле скоростей может быть достаточно хорошо аппроксимировано полем потока с поперечным сдвигом в переменных координатах (1,13). В этом случае уравнения (6.16), (6.17), (6.24) и (6.32) можно записать в виде

^W П = — 2 —2 -^. 2^-Уdyi dy, dyk^W П = — 2 —2 -^. 2^-Уdyi dy, dyk4Z)n = ^ ^—2^Vr0-^-,Dx dyidyj dr0 dyxdyt(6.34a, 6)

^W П = — 2 —2 -^. 2^-

Уdyi dy, dyk

^W П = — 2 —2 -^. 2^-

Уdyi dy, dyk

^11=^dyt dUj^11=^dyt dUjd2 Do to 6:■ * и —d2 Do to 6:■ * и —dyidyj Dxdyidyj Dx^1L dyV 22 ,J^1L dyV 22 ,J(6.35a, 6)*(6.35a, 6)*

^11=^

dyt dUj

^11=^

dyt dUj

d2 Do to 6

:■ * и —

d2 Do to 6

:■ * и —

dyidyj Dx

dyidyj Dx

^1L dyV 22 ,J

^1L dyV 22 ,J

(6.35a, 6)*

(6.35a, 6)*

где r0 определяется соотношением (1.13),

Hl>_ DoDxHl>_ DoDx»L»'-»L»'-.Dx2Dx2.Dx2Dx2_2 \ o 2 dU d2V ’CoV I + 2cq——/dr0 dyxdr0_2 \ o 2 dU d2V ’CoV I + 2cq——/dr0 dyxdr02— V-cov.2— V-cov.

Hl>_ Do

Dx

Hl>_ Do

Dx

»L»'-

»L»'-

.Dx2

Dx2

.Dx2

Dx2

_2 \ o 2 dU d2

V ’CoV I + 2cq——

/dr0 dyxdr0

_2 \ o 2 dU d2

V ’CoV I + 2cq——

/dr0 dyxdr0

2

— V-cov.

2

— V-cov.

Таким образом, здесь получено несколько волновых уравнений, которые, по-видимому, описывают одни и те же процессы генерации звука. Хотя все эти уравнения содержат волновой оператор, который правильно описывает поле вне области источника, члены, относящиеся к источнику, в этих уравнениях существенно отличаются. Если это покажется удивительным, следует вспомнить теорему Кирхгоффа (вывод который приведен в подразд. 1.5.1), показывающую, что любое заданное звуковое поле всегда может быть создано более чем одним распределением источников.

Но, даже если все эти уравнения корректны, остается еще проблема, связанная с отсутствием достаточно полной информации о членах, относящихся к источнику. Действительно, поскольку только незначительная часть энергии потока излучается в виде звука, то даже достаточно малая ошибка при вычислении членов, относящихся к источнику, может привести к тому, что часть нераспрост- раняющейся энергии будет отнесена теорией к звуку, в результате может получиться большая ошибка при расчете акустического поля. В конечном итоге правильность теории безусловно должна быть подтверждена экспериментом.

Последняя трудность связана с отысканием решения этих уравнений.

Формальные решения акустических уравнений

В разд. 2.3 с помощью функции Грина для стационарной среды в свободном пространстве, входящей в интегральное соотношение (1.66), было получено решение уравнения Лайтхилла. Подобный подход можно применить для решения уравнений (6.34) и (6.35). Пусть gi(x, /1у, т) и gp(x, /|у, т) означают решение неоднородных уравнений (в переменных х, t) для уходящих волн

L^g^d 8 (X — y)3(/-r),

LV4p = c^^x—y)8(/-r),

где Coo — скорость звука в окружающей среде,dJ Dod 2 д \ , о 2du d2

" Dt \ £№j)Xl 0 дх-г / dr dxxdr

°0 d J d

•-•x ——Cq

Dt2dx-t dxi

^ = 4;-Vu<r^-T- и г=]Лл1+х1

Dt dtdxx

(6. 36)(6.37)(6.38)(6.39)(6. 36)(6.37)(6.38)(6.39)Тогда, учитывая соотношение (6.27), легко получить, что решения уравнений (6.34) и (6.35) в виде уходящих волн можно представить в виде

(6. 36)

(6.37)

(6.38)

(6.39)

(6. 36)

(6.37)

(6.38)

(6.39)

П (х, /)=dydx;

< J. Jdyt dy, dy^

—T

TTП(х, /) =П(х, /) =d^UiUjлПd2nn ■ \

T

T

П(х, /) =

П(х, /) =

2yr0 I dydx; (6.40a, 6)

П(х, t^^- \\ёР —П(х, t^^- \\ёР —— dydt;dyj— dydt;dyjddtddtd ' dxxd ' dxxd^ Dq y-.o dytdyjDz 4d^ Dq y-.o dytdyjDz 4ddgiddgid^U dy^d^U dy^(6.41a, 6)(6.41a, 6)dUldyjdr0dyxdyj

П(х, t^^- \\ёР —

П(х, t^^- \\ёР —

— dydt;

dyj

— dydt;

dyj

ddt

ddt

d ' dxx

d ' dxx

d^ Dq y-.o dytdyjDz 4

d^ Dq y-.o dytdyjDz 4

ddgi

ddgi

d^U dy^

d^U dy^

(6.41a, 6)

(6.41a, 6)

Когда точка наблюдения x расположена вне струи, средняя скорость U равна нулю, и оператор в левой части уравнения (6.41, б) можно заменить на d]dt.

Часто предполагается (например, в работе [24]), что один первый член в правой части уравнения (6.34 б) может дать достаточно хорошее описание источника. При таком предположении уравнение (6.40,6) можно проинтегрировать по частям и получить

П<х’<>-^ ^^“^УА (6.42)

00 —Т

где, как следует из (6.32), Do

должно удовлетворять уравнению

tiZ)^= —с~^8(х—у) 8 (/ — т) = Л ^8(х-у)3(/-т).(6.43)

Вместо того, чтобы накладывать строгие условия причинности ^-& = & = 0 при /<т, а = р, L, потребуем только, чтобы дд вела подобно уходящей волне на бесконечности и оставалась ограниченной. Для gp эти два набора условий являются эквивалентными. Однако выражение для gL, полученное при первых условиях, может отличаться от выражения, соответствующего последним условиям, на линейную комбинацию неустойчивых «собственных решений» оператора (6.38). Эти решения, приводящие к возрастающим со временем функциям, связаны с гидродинамической неустойчивостью, имеющей место в случае, когда профили средней скорости в струе имеют точку перегиба. Однако в реальной среде наблюдается целый ряд явлений, которые вообще не учитываются в уравнении (6.34) (либо входят только в член, относящийся к источнику) и которые должны приводить к демпфированию этой неустойчивости. К числу таких явлений следует отнести эффекты, связанные с нелинейной дисперсией, расширение струи, эффекты, обусловленные вязкостью, и взаимодействие неустойчивых волн с турбулентным потоком. В действительности часто полагается, что основное влияние мелкомасштабной турбулентности заключается в большом увеличении вязкости, что вызывает крупномасштабные движения потока. Если описание таких эффектов сохранить в части уравнения, содержащей волновой оператор, то это, по-видимому, должно либо ограничить рост неустойчивых решений, либо устранить их вообще. Если будет иметь место только ограничение роста, то неустойчивые решения могут (как было показано в подразд. 2.5.2 и 2.5.3) играть роль в процессах генерации звука. Однако здесь нас интересует шум струи только от зоны смешения, поэтому не будут рассматриваться неустойчивые решения, которые могут иметь место в случае ограниченности gL.

Ввиду относительной несовершенности теории, рассмотренной в гл. 2, в большинстве случаев предпринимались попытки количественного сравнения с результатом экспериментальных измерений только для суммарных уровней звукового давления. Более детальные теории, рассматриваемые в этом разделе, по-видимому, дадут возможность определить и спектральные характеристики звукового поля. Такие характеристики проще рассчитывать не по П и Г, а применить преобразование Фурье к уравнениям (6.36) и (6.43) и таким образом с самого начала иметь дело со спектральными составляющими. Отметим, что для входящих в уравнения (6.36), (3.37) и (6.43) переменных по времени величин не определены характерные масштабы, поэтому решения gi, gp и gL могут зависеть только от комбинации t—т. Следовательно, если точка наблюдения х находится вне струи, последняя и первая строки в табл. 1.1 приложения

1.А показывают, что преобразование Фурье уравнений (6.416) и (6.42) записываются в виде

1 r (xly) ,^ 3 dytdyj V 1 ” 11 r (xly) ,^ 3 dytdyj V 1 ” 1(^oll)]/^, (6. 44)

1 r (xly) ,

^ 3 dytdyj V 1 ” 1

1 r (xly) ,

^ 3 dytdyj V 1 ” 1

От дух \dy 2Jj

(6. 45)

где индекс t вверху употребляется для обозначения преобразования Фурье величины, относящейся к источнику. Выражение

Р = — \ е'ш<П(х, Odt

2л 3

(6. 46)(6.47)(6. 46)(6.47)— преобразование Фурье для давления, а

(6. 46)

(6.47)

(6. 46)

(6.47)

G£(xly) = ^ e^-^gpdt, О£(х|у)= ^e'^^gLdt

являются преобразованиями Фурье функций Грина, которые иногда называются «приведенными» функциями Грина.

Характерная частота ®с турбулентных пульсаций в струе обратно пропорциональна времени затухания турбулентности те, определение которого было дано в подразд. 2.4.2. Таким образом, уравнения (2.43) и (2.44) показывают, что ыс по крайней мере для первых четырех калибров меняется обратно пропорционально расстоянию от среза сопла. Поскольку ыс является мерой частоты акустического поля, создаваемого турбулентностью, то высокочастотный шум должен в основном генерироваться в зоне смешения струи. Как было показано в подразд. 2.5.1, градиент средней скорости dU[dy2 сохраняется почти постоянным на относительно узком участке вблизи центра этой зоны, где генерируется основная часть шума. Следовательно, когда со достаточно велика, можно пренебречь вторым членом в подынтегральном выражении формулы (6.44). Получившееся при этом выражение можно проинтегрировать по частям, в результате чего получим

(6.48)(6.48)i Г ^(xly) (О^ о V ,ct® Jdytdyj \Р-а liJ ‘

(6.48)

(6.48)

Теперь задача расчета акустического поля сводится к определению преобразования Фурье G„ и G„ решений уравнений (6.37) и (6.43). Но так как коэффициенты в этих уравнениях зависят только от оадиальной координаты r= j/'zz+^’s, то Gt и Ош должны

выражаться в виде

Gl(x/y)Gl(x/y)^J e-'^’^^^11^! при^J e-'^’^^^11^! приa=L, p,(6.49)a=L, p,(6.49)

Gl(x/y)

Gl(x/y)

^J e-'^’^^^11^! при

^J e-'^’^^^11^! при

a=L, p,

(6.49)

a=L, p,

(6.49)

где A<p=arctg-(x3/x2)—arctg (уз/у2) —разность азимутальных углов точки наблюдения и источника, а г0 — величина, определяемая соотношением (1.13). Подставляя полученное выражение в уравнения (6.37) и (6.38) и принимая во внимание, что дельта-функция в цилиндрической системе координат выражается в виде

8 (X - у) = -^ 8 (г - г0) 8 (Аф) 8 1% - yj,

находим, что коэффициенты Фурье G^ определяются с помощью обыкновенных дифференциальных уравненийнаходим, что коэффициенты Фурье G^ определяются с помощью обыкновенных дифференциальных уравнений

находим, что коэффициенты Фурье G^ определяются с помощью обыкновенных дифференциальных уравнений

находим, что коэффициенты Фурье G^ определяются с помощью обыкновенных дифференциальных уравнений

где

(6. 52)(6. 52)ф 1 +«М(г)

(6. 52)

(6. 52)

а И

^stolc.x^K^kYlko — отношение волновых чисел; а(г) = с0(г)1соо— отношение скорости звука к скорости звука в окружающей среде с к, и М(г) = (/(г)/^ — локальное число Маха, определяемое по скорости звука в окружающей среде.

Будем рассматривать только случай, когда r>rj>r0, т. е. когда точка наблюдения располагается вне струи, а источник в струе. В этом случае на основании результата, приведенного в приложении 6.В, имеем, что решения этих уравнений могут быть выражены в виде комбинации двух линейно независимых однородных решений И-'l (г) и ®2 (г)

^(^ко)= при a=L’ р’ (6-53)

«2(r0)r0l^ (го)

(6. 54)(6. 54)где I17(r) = w1 (r)w2 (г) — жг, (г) roi (г)

(6. 54)

(6. 54)

— вронскиан; штрихами обозначено дифференцирование по г. Функция Грина будет удовлетворять тем же граничным условиям на бесконечности, что и Wj, и тем же граничным условиям при г = 0, что и ж2. Следовательно, необходимо потребовать, чтобы да2 была неограниченной при г=0, и в этом случае нетрудно показать, что & будет вести себя подобно уходящей волне только при условии, что

(6. 55)(6. 55)чмх—г 1/2ехр U^ 1^1 — к^г) при г—>оо.

(6. 55)

(6. 55)

Существует три метода решения уравнений (6.50) и (6.51). Первый — решить эти уравнения численным методом, как, например, это было сделано Тестером и Бэррином [24]. Второй — связан с заменой действительных профилей скорости струи и скорости звука идеализированными профилями, когда полагается, что скорость однородна в струе и равна нулю вне струи. После этого следует получить отдельные решения для внутренней и внешней областей и срастить результаты, используя соответствующие условия скачка в области разрыва скоростей на краю струи. Условия, соответствующие «акустическому приближению», были получены в подразд. 1.3.2 (выражения (1.45) и (1.46)). Обычно полагается, что эти же требования должны накладываться на gL. Соответствующие условия скачка для GUL могут быть найдены с помощью преобразования Фурье. Вероятно, первая работа в этом направлении принадлежит Готтлибу [16]. Однако он использовал полученные результаты только для расчета излучения звука монополем, помещенным в поток. Существенное развитие анализа Готтлиба было получено в работах Слуцкого, Тамагно и Моретти [17 ... 19], которые включают в рассмотрение квадрупольные источники и распределения источников. В дальнейшем Мани [20] рассмотрел эффекты, связанные с конвекцией источников, и показал, что такая модель позволяет качественно объяснить ряд расхождений, на которые указывалось в подразд. 2.5.1. Соответствующая двухмерная задача была рассмотрена в работах Филлипса [2], Пао [23], Е. В. Грэма и Б. Б. Грэма [21, 22].

Третий подход связан с рассмотрением предельных случаев высоких и низких частот. В этих предельных случаях уравнения становятся достаточно простыми, так что их можно решить аналитически. Здесь подробно будет рассмотрен только этот подход, так как при этом наиболее просто и непосредственно выясняются представляющие интерес физические закономерности. Примем, что переменная радиальная координата г в уравнениях (6.50) и (6.51) представляется в безразмерном виде путем деления на радиус струи fj. Тогда волновое число будет входить в виде безразмерной комбинации rjk0 = rjti)lcaa, представляющей собой отношение радиуса струи к длине звуковой волны, деленной на 2л. Рассмотрим два предельных случая, в которых этот параметр принимает очень большое или очень малое значение, тогда как остальные безразмерные величины М, а, к и nirjlg остаются конечными. Сначала рассмотрим высокочастотное приближение.

Высокочастотное приближение. Для краткости подробно рассмотрим только уравнение (6.50). Прежде всего удобно выразить однородные решения ®f] и гау через новые переменные V] и и2, такие что

®у(г) = -^2--у;-(г) для 7=1,2. (6.56) Подстановка в уравнение (6.50) показывает, что О; и и2 должны удовлетворять уравнению

-y" + [Ao^rt(r) + s(r)]-y=O, (6.57)

где

(6.58)(6.58)qn = Ф2 —«2 — [1

(6.58)

(6.58)

W /

и s(r) =v 7 фи s(r) =v 7 ф

и s(r) =

v 7 ф

и s(r) =

v 7 ф

Остановимся на решении этого уравнения, которое справедливо в предельном случае г3ка-*оо, тогда как к и nlkor} остаются конечными. Такое решение можно получить с помощью метода, приведенного в приложении 6.С. Однако вначале необходимо определить положение точек поворота. Для простоты ограничимся рассмотрением случая простой изотермической дозвуковой струи, так что а = = 1,М(г)<1 и dN\.(r) jdr<_0. Однако полученные при этом основные выводы будут применимы и в случаях простых дозвуковых нагретых струй. Кроме того, потребуем, чтобы го^О.

Из выражений (6.52) и (6.58) следует, что точки поворота уравнения (6.57) являются решениями уравнений

(6. 59)

Сначала рассмотрим случай когда к<0. Поскольку 1 + + (га/к&ог)2^1 и М(г)<1, то уравнение (6.59) может иметь решение только при отрицательном знаке перед первым членом. Но в этом случае правая часть будет монотонно возрастающей функцией г, тогда как левая часть будет монотонно убывающей функцией. Следовательно, может существовать только одна точка поворота г8, которая может удовлетворять этому уравнению. В этой точке qu' равна

тогда условие М'сО означает, что qu'^O и в результате qn имеет простой нуль в г$. Ситуация существенно усложняется при к>0. В этом случае число точек поворота н порядок нулей qn будет зависеть от конкретной формы профилей скорости. Однако, вероятно, основные параметры звукового поля в большей или в меньшей степени не зависят от этих характеристик, и для простоты примем, что выводы, полученные ирн к<0, будут применимы при всех значениях к, которые оказывают влияние на звуковое поле. Тогда описываемая ситуация целиком охватывается случаем (2) приложения 6.С, и из уравнения (6.С.6) следует, что уравнение (6.57) имеет два линейно независимых асимптотических решения

где

гX 2/3

Y\VqnWr\ ДЛЯ г>г5,

I / Г5 \2/3

— Гу J V-qn(r)dr I для г<г5

и Н — функция Ханкеля. Когда г не находится в непосредственной близости к точке поворота, величина АК32 будет большой и эту функцию можно заменить асимптотическим выражением при больших значениях аргумента (работа [25], с. 346) и показать, что

exp У V"qn^r)dr^

=ууу г^ У —со(6.60)

при условии, что выбрано такое значение квадратного корня, при котором Удп=1У"д^, _когда ^„<0. Тогда из уравнений (6,52)- и (6.58) следует, что У qn~l\nlkor\ при г—»0 и "Vqn ~ У1 — к? при г—»оо, так что v± ~ const XrlC-Wll при г—>0 и г>±~ const X X exp (±t&o У1 — к2г) при г —> оо. Таким образом, из уравнений (6.55) и (6.56) следует, что надо принять

^i^+TW’ ^^--уг-(6.61)

Подставляя в эти соотношения выражение (6.60), получим, что

exp ^— (— iyt>0 J Vq^dA

при г—»оо; /—1,2.(6.62)

1Уг(\ — к^7k 7

Подставляя этот результат в уравнение (6.54) и используя соотношения (6.52) и (6.58), получим

—у!У(г) — 2z^0 при г—>оо.

9*9*Сравнивая уравнение (6.50) с уравнением (6.В.1) и используя формулу Абеля (приложение 6.В), находим, что левая часть этого соотношения не зависит от г и, следовательно,

9*

9*

при всех значениях г. Теперь подстановка этого выражения в {6.53) с учетом соотношений (6.60—6.62) дает

z exp fz£0J VquUW^

GnUV^~-——ПТ При Г~»ОО.

2^о^гго<г2(го)Ф(го) [(1 — №)?га(г0)]'/4

Окончательно, подстановка этого выражения в уравнение (6.49) приводит к результату

гдеЛ„(г|г0, ^) =гдеЛ„(г|г0, ^) =I2-/" гг0I2-/" гг0ехрехр^ojVqnk^dr—Ux <хг — у^Го^ojVqnk^dr—Ux <хг — у^Го^ (го) ф (го) [(1 - к^ qn (ro)f4^ (го) ф (го) [(1 - к^ qn (ro)f4dkx.dkx.(6.63)(6.63)Л„ (г|г0, Ло) при г — со,

где

Л„(г|г0, ^) =

где

Л„(г|г0, ^) =

I

2-/" гг0

I

2-/" гг0

ехр

ехр

^ojVqnk^dr—Ux <хг — у^

Го

^ojVqnk^dr—Ux <хг — у^

Го

^ (го) ф (го) [(1 - к^ qn (ro)f4

^ (го) ф (го) [(1 - к^ qn (ro)f4

dkx.

dkx.

(6.63)

(6.63)

Хотя этот результат уже распространялся на большие значения г, выражения для фаз различных членов до сих пор не были изменены и поэтому применимы для всех значений г. Но так как qu принимает положительные значения при г>г6, то G® будет линейной комбинацией мод, фазы которых принимают значения в пределах постоянной

krS = к0krS = к0Д? + | Vqn^dr- к^ — ух)Д? + | Vqn^dr- к^ — ух)

krS = к0

krS = к0

Д? + | Vqn^dr- к^ — ух)

Д? + | Vqn^dr- к^ — ух)

где S(xx, г, ф) —эйконал, определение которого дано в подразд. 1.3.2. Таким образом, из уравнений (6.52) и (6.58) следует, что |VS| = |Ф| =[1 + кМ(г)]/а(г). Поскольку VS нормальна к фазовым поверхностям мод, угол 0, образуемый такой нормалью с осью xY, определяется из соотношения

cos 0.

|vS| 1+кМ(г)

Следовательно, к= —cos 0/[а (г)+M(r) cos 0] и фазовая скорость Vp мод равна

1/ —-^-=с0(г)4-1/ (r)cos0.

Этот результат идентичен выражению, приведенному в подразд. 1.3.2, для фазовой скорости волны, пересекающей однородно движущуюся среду, интерпретация результата в обоих случаях одинакова. Однако здесь неоднородность профиля средней скорости приводит к изменению направления распространения волны. Таким образом, когда движение волнового фронта имеет составляющую, направленную вниз по потоку, более высокая скорость части волны, находящейся вблизи центра струи, вызывает изменение направле-

ния движения волны, приводящее к отклонению от оси струи. Эти эффекты рефракции совершенно аналогичны явлениям, которые, как было показано ранее (в подразд. 1.3.2), имеют место при падении волны на область с изменением скорости.

С другой стороны, волны, возникающие при г0<г, в действительности не распространяются, когда r<r5, а затухают с расстоянием вследствие наличия коэффициента ехр (—^о J 1^У2(г)|^г \ Го

Однако, как только сигнал достигнет точки поворота, это затухание прекращается, и волна будет распространяться так, как было описано ранее.

Радиус г0 для точки расположения источника будет больше г$, только при <7п(г0)>0, т. е. при

1Ш + kxU (г0)]2 > Со (г0) \к\ + й2/го).(6. 64)

Однако (га, kx^ — составляющая функции Грина в формуле для шума струи определяются га, .^-й спектральной составляющей турбулентности. Следовательно, только спектральные составляющие турбулентности, удовлетворяющие неравенству (6.64), могут привести к генерации звукового поля, которое в начальной стадии не будет подвержено сильному экспоненциальному затуханию. Более того, воспользовавшись методикой, применяемой в подразд. 1.3.2, легко показать, что левая часть этого неравенства представляет частоту о)' (кх, га)-й спектральной составляющей турбулентности, воспринимаемую наблюдателем, движущимся со скоростью среднего потока. В подразд. 2.5.1 показано, что величина w'/CoKi обычно на порядок меньше, чем число Маха потока, это означает, что только малая часть энергии турбулентности будет излучаться в виде звука.

Анализ удобно проводить в обычных полярных координатах

(6.65)(6.65)^ = V (г —г0)2 + (М — УхУ, 9 = arccos (-ALZLAl']

(6.65)

(6.65)

\ R

совместив начало координат с точкой расположения источника. Тогда интеграл в соотношении (6.63) может быть вычислен при больших значениях R стандартными методами (см. работу [26], с. 51); в результате чего получим

ехр ик0ехр ик0гдегдеJ Qn (г) dr + (Xi — ух) cos 0

ехр ик0

ехр ик0

где

где

при R —> оо,при R —> оо,Го

при R —> оо,

при R —> оо,

а (г0) Я [ 1 — М (г0) cos 6] VQn (r0)

z-x , а. / Г 1 — М (г) COS 0 )2/ п \2

Q»(r) = Q„(r, cos9)= / _COS26_ — ,6.66

Г L а (г)\ког)

Квадратный корень имеет положительную мнимую часть при отрицательных значениях аргумента, и, так как 7? велико, то 6 не зависит от г. Следовательно, при больших расстояниях от струи, т. е. в поле излучения, приведенная функция Грина для волнового оператора Лилли имеет вид

(х у)« (г0) [1 — М (г0) cos 6](х у)« (г0) [1 — М (г0) cos 6]припри^о^ —> ОО R —> со.^о^ —> ОО R —> со.(6.67)(6.67)

(х у)

« (г0) [1 — М (г0) cos 6]

(х у)

« (г0) [1 — М (г0) cos 6]

при

при

^о^ —> ОО R —> со.

^о^ —> ОО R —> со.

(6.67)

(6.67)

Здесь G° — приведенная функция Грина для свободного пространства, определяемая формулой (1.57), и

7пД=р + /й0Г (Q„(r) — Q„(oo)]rfr

r" L .

Г 'Zr^^^VQnGo)

П "'(6.68)

Почти аналогичные выкладки, начинающиеся с приведенного уравнения Филлипса (6.51), дают

(6.69)(6.69)„0“ (x|y)S?„(x|y)[ кг, —»оо

(6.69)

(6.69)

» ХУ ~-: ПрИ „ а(г0)1оо.

Приведенная функция Грнна <Х(х|у), относящаяся к gi, определяется выражением Цкас„ [1--М (r0) cos б]}"1^ (х]у).

Напомним, что приведенная функция Грина для свободного пространства позволяет получить правильное решение рассматриваемой задачи в отсутствии среднего потока и постоянстве скорости звука. Поэтому коэффициенты, на которые умножается эта величина в соотношениях (6.67) и (6.69), могут рассматриваться как корректирующие факторы, которые в случае высокочастотного приближения учитывают, что источник располагается в среднем потоке при наличии градиентов плотности. Рассмотренная в гл. 2 теория Лайтхилла основывается на функции Грина для свободного пространства и так как члены, относящиеся к источнику, в уравнении Филлипса и в уравнении (6.24) не отличаются существенно от соответствующих членов в уравнении Лайтхилла, можно надеяться, что эти коэффициенты в некотором смысле можно рассматривать как поправки к акустическим спектрам, получаемым на основании теории Лайтхилла.

Для интерпретации влияния коэффициента ^ш отметим, что, так как мнимая часть квадратного корня в формуле (6.66) положительна в случае отрицательного аргумента, то п-й член в формуле (6.68) будет содержать величину ехр[— к0 ^ lQ„(r)|cZr + ^o f |Q«(r)|^r

L гог5.

в случае, когда г$ (точка, в которой аргумент Q проходит через ноль и изменяет знак) больше, чем радиус источника г0.

Более того, из формулы (6.66) следует, что это имеет место при [ 1 — М (r0) cos 9]2 < а2 (г0) Г cos2 9 -|-1 —— 1 .

Это условие выполняется когда 6 находится вне диапазона

<.9<_9-\ где

9(+ ) = arccos9(+ ) = arccos±Л До)±Л До)[а2 (г0) — М2 (Го)] — М(Г0)[а2 (г0) — М2 (Го)] — М(Г0)а2(г0)-М2(^0)а2(г0)-М2(^0)

9(+ ) = arccos

9(+ ) = arccos

±Л До)

±Л До)

[а2 (г0) — М2 (Го)] — М(Г0)

[а2 (г0) — М2 (Го)] — М(Г0)

а2(г0)-М2(^0)

а2(г0)-М2(^0)

когда аргумент arccos больше, чем —1, и б^ = л, когда аргумент < —1. (Когда величина М(г0) достаточно велика, значение 9-1 всегда будет близким к л; в этой области интенсивность шума мала и его трудно измерить). Таким образом, для углов, расположенных вне диапазона 9+° < 9 < 9^, n-й член в йш будет содержать экспоненциальный коэффициент затухания

(6.70)(6.70)/'8

(6.70)

(6.70)

ехр —£0 j |Q„(r)|dr

\Го

который ввиду того, что величина й0 полагается большой, приводит к значительному уменьшению вклада, вносимого этим членом. Поскольку 6^ возрастает с увеличением п, то все члены в соотношении (6.68) будут подвергаться сильному демпфированию при 9<0С^0<+О), где

о Г 11

9 - = a rccos .

L ж (г0) + а (го) J

Отметим, что при а = 1 (т. е. в случае изотермической струи) этот угол становится равным критическому, определяемому выражением (1.41), который, как было показано в подразд. 1.3.2, определяет границу «зоны молчания», наблюдаемую в случае распространения плоской волны из движущейся среды в стационарную через двухмерную границу раздела. Таким образом, существует конус, ось которого совпадет с положительным направлением оси струи, внутри конуса интенсивность звука в дальнем поле существенно ослаблена, но в отличие от случая, рассмотренного в подразд. 1.3.2, не равна пулю.

Для е^1 <e<6S^) показатель экспоненты в я-м члене 91^ чисто мнимый, и поэтому экспонента оказывает влияние только на относительную фазу различных мод, входящих в сумму (6.68). Более того, величины ]АЗл(г), которые входят в знаменатели этих членов, не оказывают существенного влияния на характер направленности 91м, за исключением области вблизи точки, в которой Qn(o)=0, где величина 91 s становится бесконечной. Однако такую зависимость не следует считать достоверной, так как она имеет место в точке поворота, где приближение (6.60) неверно, в результате чего не будет также справедливым и выражение (6.68).

Для того чтобы получить решение, справедливое для всей области, которое отстается конечным в рассматриваемых точках, необходимо заменить величину е~гх /

I где х = —&0 j Qn^dr

на ее первоначальное значение (лх/2 W2^ (х) exp (-^ J •

Таким образом, основное влияние йш заключается в сильном уменьшении высокочастотного шума в зоне молчания.

Экспоненциальный коэффициент затухания (6.70) возрастает с увеличением п, поэтому в акустическом поле в зоне молчания будут преобладать моды, соответствующие меньшим значениям п. В точных формулах для определения шума струи каждая из этих мод будет учитываться с весовым коэффициентом, определяемым амплитудой соответствующей азимутальной составляющей волнового числа спектра турбулентности, так что при углах, близких к 90° с осью, модальный состав звукового поля должен лучше соответствовать модальному составу турбулентности. С другой стороны, корень в ^ становится мнимой величиной, когда п по абсолютной величине становится больше некоторого критического значения, например, п0. Но, прежде чем это произойдет, диапазон б+’^Э^ <С ^^ стянется до нуля, и все величины 52ш с индексом больше «о будут экспоненциально затухать. Таким образом, 91ю (а как следствие и само акустическое поле) будет содержать конечное число незатухаюи^их мод..

В знаменатель функции Грина уравнения Филлипса G„ входит еще одна величина — отношение скоростей звука а(г0) =с0(Го)/Соо. Поскольку с0 увеличивается как корень квадратный из абсолютной температуры, эта величина приведет к уменьшению интенсивности высокочастотного шума, излучаемого горячими струями, однако это уменьшение весьма незначительно.

Функция Грина уравнения Лилли О„ содержит дополнительный доплеровский фактор [1—M(r0) cos 6], который вводится в дополнение к доплеровскому фактору (1—Mccos0), обусловленному, как было показано в гл. 2, конвекцией источника. В подразд. 2.5.1 показано, что число Маха конвекции источника Мс в центре зоны смешивания равно локальному числу Маха струи М(г0). Таким образом, в диапазоне углов, охватывающих область, достаточно удаленную от зоны молчания, интенсивность шума в третьоктавных полосах частот будет изменяться как (1—Mccos0)~5(l—Mcos0)-2, а не как (1—Mccos0)~5, что следует из теории, рассмотренной в гл. 2.

Следует отметить, что полученные результаты справедливы только для дозвуковых струй с монотонным профилем скорости. Если эти условия не выполнены, уравнение (6.57) может иметь несколько точек поворота, относительное положение которых может

оказать существенное влияние на вид решения. Так, в случае сверхзвуковой струи с монотонным профилем скорости при достаточно больших числах Маха будут иметься две точки поворота. Когда расстояние между этими точками велико по сравнению с длиной волны, их можно рассматривать как более или менее независимые (такой метод был описан ранее). В противном случае их следует рассматривать совместно. В этом случае решение может быть получено в виде функций параболического цилиндра (или функций Вебера) методом, подобным рассматриваемому в приложении 6.С. Однако в случае, когда расстояние между этими точками существенно меньше длины волны, результаты могут быть представлены в более простом виде, и решение может быть выражено через функции Бесселя порядка 1/4. Эта задача первоначально была рассмотрена Филлипсом [2]. Расстояние между точками перехода является функцией угла 9 и максимального числа Маха, убывающей с увеличением Мо.

Во второй главе было показано, что звуковое поле, генерируемое движущимся точечным источником, имеет много общего с акустическим полем струи. Акустическое давление, генерируемое движущимся точечным источником, может быть определено из соотношения Llsp=c\e~imtb('X.~y— \U et}, где Uс — скорость конвекции источника. Решение этого уравнения для дальнего поля может быть записано в виде (с. 270) e^ZmZC?^ (х|у) при условии, что: 1) расстояние R= |х—у |, входящее в выражение для 0°, будет интерпретироваться как |Re| (где, как обычно, |Re| —вектор, соединяющий точку наблюдения и источник во время излучения звуковой волны; см. разд. 1.8); 2) функцию Q„(r, cos 0) заменим на QnV^ cos0e)/(l—MccosOe), где 0е — угол, который образует Re с осью струи.

В реальной струе высокочастотный звук сильно рассеивается турбулентностью и существенное влияние на него может оказывать радиальное расширение струи. Поэтому существует верхний предел частоты, до которого будут применимы полученные результаты. В действительности может вообще не существовать частот, для которых будут справедливы эти результаты. Тем не менее в подразд. 6.7.3 будет показано, что полученные результаты дают возможность предсказать некоторые экспериментально обнаруженные зависимости. Но, прежде чем проводить такое сравнение, рассмотрим решение для случая низких частот. .

Низкочастотное приближение. Уравнения (6.50) и (6.51) при /гог7—>-0 и конечных кип имеют аналитическое решение. Ограничимся рассмотрением моды п = 0. В самом деле, можно показать [38, 39], что если эта мода имеется, то она преобладает в поле излучения.

Подробное решение будет получено только для уравнения (6.50). Когда п = 0, в левой части этого уравнения содержатся два члена и может оказаться, что членом, содержащим к02, можно просто пренебречь. Но, когда г становится сравнимым с Ло-1, первый

член становится столь же малым, как и член, включающий ко2, так что ни одним из членов нельзя пренебречь. Однако при таких значениях г средняя скорость U фактически равна нулю (и а~ 1). Таким образом, Ф=1, и уравнение (6 50) (при п = 0) имеет однородное решение

ТВХ — /7^’ (k0 V 1 — К1^ при г —* ОО,(6.71)

которое также удовлетворяет условию уходящей волны (6.55).

С другой стороны, когда г имеет порядок rj, вторым членом, безусловно, можно пренебречь, и уравнение (6.50) будет иметь два однородных решения

w^^ j Ф2(г)-^; 1У2=1>(6. 72а, б)

где с-1 — произвольная константа. Решение w2, очевидно, удовлетворяет требованию ограниченности при г=0. Но, по всей видимости, zoi не может удовлетворять условиям излучения (6.55), так как оно описывается зависимостью

wr—cjnr при r^rj.(6.73)

Правильное решение в этой области дается соотношением (6.71). Предположим, что существует некоторая «область перекрытия», в которой справедливо «внешнее решение» (6.71) и «внутреннее решение» (6.72а). В этой области г будет существенно больше радиуса струи rj, являющегося масштабом, на котором изменяется внутреннее решение, и существенно меньше ко-1 — масштаба, на котором изменяется внешнее решение. Это может иметь место ввиду того, что &оСг<Э- Таким образом, в области перекрытия rj-Cr-C С(1/&о). Но при r^rj внутреннее решение описывается соотношением (6.73), тогда как при малых значениях ког функция Ханкеля в решении (6.71) будет описываться зависимостью (2i/n)lnr. Следовательно, эти два решения в области перекрытия будут идентичными, если произвольную константу Ci в решении (6.72а) принять равной (21/л). Тогда подстановка соотношения (6.72) в (6.54) приводит к результату

г 117(f) ——— Ф2(г).

Подстановка этого соотношения в уравнение (6.53) с учетом выражений (6.71) и (6.726) дает

Сто v г о)

1 ’2a2 (r0) Ф2 (r0)

, / л/ exp (i ко,

~ 1 / ———777- при kor —> ОО,

V -Ihor Ф2(г0)а2(г0)(1--л:2)1/4 и о

где для получения последнего члена использовалось асимптотическое выражение функции Ханкеля при больших значениях аргумента (с. 364 работы [25]). Теперь можно подставить этот результат в (6.49), ввести полярные координаты (6.65) и (как делалось

в случае высоких частот) асимптотически выразить Интеграл по hi для больших значений ког и показать, что

(6'74)

[ 1 — М (го) cos 6]2

Применение почти аналогичных преобразований к уравнению (6.51) приводит к результату

О£(х|у)=О°(х|у).

Таким образом, для достаточно низких частот функция Грина уравнения Филлипса становится равной функции Грина для свободного пространства, тогда как функция Грина уравнения Лилли отличается от нее на величину, определяемую доплеровским фактором [1—М(го) cos 6]-2. Это вызывает существенно большую концентрацию низкочастотного шума в области малых углов с положительным направлением оси струи, чем следует из теории Лайтхилла.

Приближенная теория для промежуточных частот

Ранее было показано, что функция Грина уравнения Филлипса G™ в случае низких частот совпадает с функцией Грина для свободного пространства Ош, тогда как в случае высоких частот эти функции отличаются на коэффициент рефракции 5?ш, влияние которого в основном сказывается в зоне молчания. Следовательно, можно надеяться, что эти две функции не будут сильно различаться в случае промежуточных частот по крайней мере для области, расположенной вне зоны молчания. Поэтому можно попытаться рассчитать звуковое поле путем подстановки функции Грина для свободного пространства в выражение (6.48). Поскольку это уравнение справедливо только при достаточно высоких частотах, так чтобы генерацию звука можно было отнести к турбулентности в зоне смешения, и в то же время частота должна быть достаточно малой, так чтобы эффекты, обусловленные рефракцией, рассеянием звука на турбулентности и даже расширением струи не оказывали существенного влияния, может вообще не существовать частотного диапазона, в котором будет применим данный результат. Поэтому окончательный вывод о справедливости этих предположений можно сделать, только сравнивая результаты расчета с экспериментальными данными.

Если G„ заменить на 0°, выражение (6.48) будет отличаться от преобразования Фурье уравнения (2.8) только в некоторых деталях члена, относящегося к источнику, поэтому методы, рассмотренные в гл. 2 и относящиеся к уравнению Лайтхилла, можно будет применить и к этому результату. Таким образом, после введения тензора корреляций в подвижной системе координат (2.26) и пренебрежения изменением времени задержки и средней скорости в пре-

делах «вихря», можно показать [13], что спектр интенсивности ■^Ш(х/У) звука, излучаемого единичным объемом турбулентности, расположенным в точке у, определяется выражением

7т(х|у) = —5-^ Х-*— Re Ме№^+

32лЗсд(1 — Мс cos б)2 хв JJ

2 = w(l —Мс cos 6)

— частота источника,

RtiM (у, |, ^ = RW (У, I, т)+ 1б8и8иеутешQ,nn (у, ?, т) +

+ 88i1-B27.m^Qm>M(y,^,t),

RliMk^' I-1^ UtUjUnUl — UiUjUh'i'i,

Qm.M^'VXW AmUkUl

Qm,n(y> ^) = AmAn

член Am определяется выражением (6.31), остальные величины определены в гл. 2. Можно также показать [13], что корреляции Qm, „ и Qm, м выражаются через корреляции скорости второго и третьего порядка, в результате чего получается

f RtjHd^ = f RUMdX ~—82 8/p) X

X (82r8ti - 82s8Zr) (f (2^r + ВрД2) Rqsd^ +

\dy2J J p p 4

A—^^'i^RjM^jR^dl

<> dy^ J•

при условии, что (как и в подразд. 2.5.1), турбулентность локально однородная и жидкость несжимаемая. Окончательно, вводя гипотезу о нормальности распределения и предполагая, что турбулентность изотропна (подразд. 2.5.1), можно показать, что средний по азимуту спектр интенсивности 7m(x|y)OT (см. рис 2 6), определенный в подразд. 2.5.1, примет вид

7ш(х1у)аг,=?\ e/2t Rimd^dr х

ат 32лЗс5(1 —М(. cos 6)2x2 J J

х ^1 +■cosM + cos2e л*(й)],(6.75)

где

16 / dU \2 р -о Г О Аj е j ^^П^^

А* (2)=—

J e'^J^n^dT

— отношение максимального сдвигового шума к собственному. Таким образом, если частота источника Q сохраняется постоянной и сдвиговый шум пренебрежительно мал (т. е. когда А* принимается равной нулю) энергия в третьоктавной полосе, которая пропорциональна Ллх|у)дг,и>, будет зависеть от угла как (1 — —Мс cos 6)-3. Действительно, принципиальное различие между этим результатом и соответствующим выражением (2.38), полученным на основании теории Лайтхилла, заключается в том, что конвективный фактор (для энергии в-третьоктавной полосе частот) (1—Mccos6)^5 заменяется на (1—Mccos0)-3. Отметим, что выражение (6.75) справедливо только в некоторой (вероятно, узкой) полосе частот. Используя совершенно другой подход, Джонс [15] получил для сдвигового шума конвективный фактор (1—Mccos0)~3, а для собственного шума (1—Mccos9)~5. Поскольку сдвиговый шум всегда равен нулю под углом 90s с осью струи, результаты Джонса не приводят к достаточно хорошему соответствию с экспериментом.

Сравнение с экспериментальными данными

Справедливость полученных в предыдущем разделе соотношений зависит от существования диапазона частот, в котором могут быть удовлетворены условия, которые ограничивают применимость этих соотношений на высоких и низких частотах. Существование такого диапазона частот может быть установлено только путем сравнения полученных результатов с экспериментальными данными. Из выражения (6.75) следует, что акустическая мощность в. третьоктавной полосе частот, которая пропорциональна 7,„со, при изменении угла должна меняться как (1—Mccos0)-3, когда частота источника Q=<o(l—Mccos0) сохраняется постоянной, при условии, что можно пренебречь любыми небольшими изменениями по1 углу, определяемыми самой структурой источника. На рис. 6.1 дается сравнение этого результата с экспериментальными данными Олсена, полученными в Научно-исследовательском центре им. Льюиса при измерении шума струи диаметром 101,6 мм. Сравнение проведено для трех дозвуковых чисел Маха истечения струи. В каждом случае Q принималась равной частоте максимума спектра под углом 90° с осью струи (где й = ю). Расчетные уровни под углом 90° совмещались с уровнями, полученными экспериментально, и, как и в гл. 2, число Мс принималось равным 0,62 UjIcq. При всех углах, больших ~30°, с осью струи наблюдается отличное соответствие теоретических и экспериментальных результатов; при углах, меньших 30°, при эксперименте наблюдается резкое уменьшение интенсивности звука, что соответствует результатам решения для случая высоких частот, полученным в подразд. 6.7.1. В соответствии с этим решением увеличение числа Маха приводит к большему увеличению интенсивности, начинающемуся с больших углов с осью струи.

Рис. 6.1. Экспериментально полученные Олсеном [27] характеристики направленности для 1/3-октавных полос, содержащих частоту источника й/2л, равную частоте максимума спектра шуму под углом ЭФ к оси струи.

R = co(l—McCOsQ). Диаметр струи 0=10,16 см:

показатель степени в факторе Доплера = 3;теория Лайтхилла

На рис. 6.2 приведена интенсивность в третьоктавных полосах частот (при максимальной скорости струи), соответствующая нескольким частотам источника. Из приведенных результатов следует, что глубина зоны молчания увеличивается с ростом частоты источника. Таким образом, на высоких частотах в этой области акустические характеристики, по крайней мере качественно, определяются коэффициентом рефракции 91^ на которой умножается функция Грина в соотношениях (6.67) и (6.69).

На этом же рисунке приведены данные, относящиеся к низкой частоте источника. В этом случае при малых углах с осью струи наблюдается не уменьшение, а увеличение интенсивности шума. Такую зависимость, вероятно, можно объяснить появлением дополнительного доплеровского фактора в знаменателе функции Грина уравнения Лилли (6.74) в случае низких частот.

Если выражение (6.75) проинтегрировать по всем частотам, то получившаяся в результате осреднения интенсивность вновь будет зависеть от угла как (1—Мс cos 0)-3. На рис. 6.3 и 6.4 дается сравнение этого результата с экспериментальными данными. Здесь представлены те же данные, что и на рис. 2.14 и 2.15; дополнительно приведена только зависимость, соответствующая конвективному фактору (1—Mccos0)-3. Величина Мс оставлена без изменения. Из приведенных на рисунке данных следует, что полученные в этом разделе результаты несколько лучше согласуются с экспериментальными данными.

Рис. 6.2. Экспериментально полученные Олсеном [27] характеристики направленности для 1/3-октавных полос при постоянной частоте источника Й = ю(1—Mccos6). /р —частота максимума спектра шума под углом 90° к оси струи. Диаметр струи 0=10,16 см, скорость истечения Uj = 3'04 м/с

Рис. 6.3. Экспериментальные характеристики направленности шума струи (из гл. 2 работы [22]). Диаметр струи 5,OS см:

показатель степени в факторе Доплера ^З;теория Лайтхилла

Рис. 6.4. Экспериментальные характеристики направленности шума струи (из гл. 2 работы [23]). Диаметр струи 2,54 см:

показатель степени в факторе Доплера = 3; теория Лайтхилла

Дальнейшее сравнение, которое показывает на хорошее совпадение результатов для холодных струй, истекающих из соосных сопел, сопел с центральным телом и щелевых сопел, проведено в работе [I4j.

Совпадение результатов в диапазоне углов, соответствующих области вне зоны молчания, вероятно, обусловлено тем фактом, что частоты, соответствующие графикам на рис. 6.1, не отличаются существенно от частот максимумов спектров пульсаций давления в этой области струи (см. подразд. 2.5.1). Основная часть акустической энергии сосредоточена в нескольких октавных полосах частот вблизи частоты максимума спектра, поэтому соответствие теоретических и экспериментальных результатов, показанное на рис. 6.1, дает основание полагать, что подобное соответствие сохраняется и для суммарных уровней звукового давления. Соответствие данных в диапазоне углов, относящихся к зоне молчания, вероятно, связано со случайным равновесием, определяемым увеличением уровней звукового давления на низких частотах и уменьшением уровней на высоких частотах, наблюдаемым в этой области.

В теории полагается, что большая часть звука, наблюдаемого вне зоны молчания, излучается из зоны смешения струи, тогда как низкочастотный звук в зоне молчания, который вносит существенный вклад в общую акустическую энергию, излучаемую струей, вероятно, генерируется ниже по потоку от этой области.

ПОТОКИ КОНЕЧНОЙ ПРОТЯЖЕННОСТИ

Все рассматриваемые до сих пор решения конвектируемого волнового уравнения относились к параллельному среднему потоку с поперечным сдвигом, который должен простираться от —оо до + оо. Однако относительно медленное расширение струи и соответствующее уменьшение средней скорости потока при увеличении осевого расстояния, которые наблюдаются в реальных струях, несомненно, могут оказывать влияние на излучаемый звук. Для оценки влияния среднего потока на акустическое поле Рибнером и его сотрудниками в университете Торонто был проведен ряд экспериментальных [8, 30 ... 32] и теоретических [28, 29, 33] исследований.

При экспериментальных исследованиях проводились измерения в дальнем поле характеристик направленности излучения гармонического точечного источника, помещенного в потенциальное ядро воздушной струи. Источник представлял собой отверстие трубки (с внутренним диаметром ~1,5 мм), соединенной коническим переходником с головкой рупорного громкоговорителя. В отсутствии струи характеристика направленности такого источника была кру-

Уровень звукового давления, ВБ (относительно уровня при 9=90 ° ’

Рис. 6.5. Влияние скорости истечения на характеристику направленности шума струи. Температура струи равна температуре окружающей среды; средняя эффективная частота источника 3002 Гц (fD/Co = O,168); источник расположен на осн струи на расстоянии двух калибров вниз по потоку от среза сопла [32]

Рис. 6.6. Зависимость уровня звукового давления от угла излучения. Безразмерная частота сог;7со = О,53. Число Маха истечения струи ?7j/co=C,9. Источник расположен на оси струи на расстоянии двух калибров вниз по потоку от среза сопла: измерения [32];—расчет по полным акустическим уравнениям [36];расчет по уравнению Лилли [24]

говой, так что любая неоднородность характеристики направленности, появляющаяся при наличии струи, должна быть, по-видимо- му, обусловлена средним потоком. Типичные результаты, полученные при частоте источника, равной частоте максимума излучения шума струи, приведены на рис. 6.5. Цель этих исследований заключалась в подтверждении того, что наблюдаемый провал в характеристике направленности действительно обусловлен средним потоком.

Аналитические исследования [28] проводились с целью «проверки правильности рефракционных представлений и в то же время расширения диапазона имеющихся данных». При исследованиях использовались численные методы, поэтому профили средней скорости можно было задать таким образом, чтобы они хорошо соответствовали профилям реальных струй. Однако при этом возникали некоторые трудности [3], связаные с использованием Шубертом волнового уравнения, основанного на квазипотенциале Обухова [34], который применим только при очень малых числах Маха среднего потока.

Эти трудности были преодолены Мангером, ■ Пламбли и Доком [36], которые получили подробное численное решение полных линеаризированных уравнений газовой динамики. На рис. 6.6 полученные результаты сравниваются с экспериментальными данными Гранда [32]. Из приведенных данных следует, что результаты расчета отлично согласуются с экспериментом.

На этом же рисунке представлены результаты расчета, проведенного Тестером и Бэррином [24] на основании функции Грина уравнения Лилли, рассматриваемой в подразд. 6.7.1. Можно видеть, что решение приводит к существенному занижению интенсивности звука в зоне молчания.

ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ

Здесь рассмотрен ряд основанных на акустической аналогии теорий, которые призваны объяснить влияние градиентов средней скорости на генерацию звука аэродинамическим потоком. Однако в отличие от теории Лайтхилла эти теории приводят к уравнениям, которые весьма сложно решить аналитически. Тем не менее, были получены асимптотические решения для случаев высоких и низких частот и показано, как полученные результаты объясняют, по крайней мере качественно, многие из наблюдаемых характеристик шума струи, которые невозможно объяснить на основании теории Лайтхилла. Представлена также приближенная теория, приводящая к хорошему количественному соответствию с экспериментальными результатами в диапазоне углов, не слишком близких к оси струи. Кроме того, показано, что существуют связанные с реальным потоком эффекты, которые ограничивают применимость даже этих более общих теорий.

Приложение 6.А

г определяется соотно-г определяется соотно-ВЫВОД УРАВНЕНИЯ (6.26)

г определяется соотно-

г определяется соотно-

Для параллельного потока со сдвигом, в котором шением (1 14), имеем

а&2(и;и})

и—дугdyidyj

d^UiUj)

U ду;

dU

dy2

д

д

62

дух Idyidyj

dU 5

(иидЛ — 2

dy2 дуг

2 ^U

(дци^-и^ —^ dy^

дПd2U \-— —Гду2dy^ /дПd2U \-— —Гду2dy^ /

дПd2U \

-— —Г

ду2dy^ /

дПd2U \

-— —Г

ду2dy^ /

дд /dU

иСМИ- v2(/n-2 духдух \dy2

откуда следует, что уравнения (6.24) и (6.25) могут быть представлены в виде

7)2

— Г-С^2Г

От 0

Г 52 / д д \1,5

~I —"— + U-— (ид;) — 4 ——

Vdyidyj \ 5т дух /7 J дух

dU

дУ2

ддуг

X («2“/ + сВв2»Ы)] —X («2“/ + сВв2»Ы)] —д Г d^U z о 2

X («2“/ + сВв2»Ы)] —

X («2“/ + сВв2»Ы)] —

Приложение 6.В

ПОСТРОЕНИЕ ОДНОМЕРНОЙ

ФУНКЦИИ ГРИНА

Произвольная функция G(r/r0), удовлетворяющая неоднородному уравнению

(6.В.1)(6.В.1)—+ ?(г)]о = 8(г —г0) drdrI

(6.В.1)

(6.В.1)

на интервале а^г^б, может быть выражена через два линейно независимых однородных решения, например wt н шг, следующим образом:

О (г/г0)О (г/г0)^1 У) W2 (г0)А^1 У) W2 (г0)А, если г > го, если г > гоm2(r)®i (г0)Аm2(r)®i (г0)А, если г < гр,, если г < гр,(6.В.2)(6.В.2)

О (г/г0)

О (г/г0)

^1 У) W2 (г0)А

^1 У) W2 (г0)А

, если г > го

, если г > го

m2(r)®i (г0)А

m2(r)®i (г0)А

, если г < гр,

, если г < гр,

(6.В.2)

(6.В.2)

где

А = — р (г) W (г)

И W (г) = ®у (г) w'2 (г)—W2(r)®j(r)

— вронскиан для wt н Wi. Функция G будет удовлетворять тем же самым однородным граничным условиям, что и »1 и й при г=Ь и г=а соответственно. Более того, из теоремы Абеля следует, что А — постоянная величина.

Эти результаты легко можно проверить, проинтегрировав обе части уравнения (6.ВЛ) на малом интервале в окрестности г0 с учетом того, что основной вклад в левую часть вносится первым членом, и подставляя в результат соотношение (6.В.2).

Приложение 6.С

АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ

ШТУРМА—ЛИУВИЛЛЯ

В этом приложении рассматриваются асимптотические выражения при к ^ оо решений общего' уравнения Штурма—Лиувилля

■и" + \№q (г) + s (г)] v = 0,.(6.С.1)

где q и s — произвольные функции г.

Случай 1: <?(г)>0.

Сначала рассмотрим случай, когда q^—строго положительная величина. Для этого случая Лиувилль получил асимптотическое решение, введя новые переменные

5 = j У qUA dr,

x = VqU)Y/4^,

с помощью которых (6.С.1) сводится к уравнению

+ кЧ-В^х,(6.С.2)

где

la"5a'as.

B =— —— —

4 ^216qiq

и штрих означает дифференцирование по г.

Предполагая, что члены в правой части известны, можно решить получившееся линейное неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами обычным путем и получить интегральное уравнение Вольтера

X = <Т cos к^ + С2 sin к^ + — \ [sin к(^ — /)] B(Z) х V^dt, к J

а

где Ci, сг и а — произвольные постоянные. С помощью метода последовательных приближений можно получить решение этого уравнения в виде [37]

Х = 2 Хл. ‘

ч = 0

где

Xq = Cj cos к^ + С2 sin к^

Е

И Хп+1 =-Г [sin k^—t^B^XnW at.

Этот ряд сходится и представляет асимптотическое выражение решения для случая к->со. Однако попытки проведения более чем одной итерации приводят к чрезвычайно сложному итерационному решению. Первым приближением решения уравнения (6.С.1) является выражение

у =Ci [?(r)]“I/4cos [fejy"q(r)dr^ + с2 [q (г)П1/4 sin | Л f VqXndr\ .(6.C.3>

' Случай 2: qlf^ =0 в некоторой точке г& .

Асимптотическое решение (6.С.З) будет иметь особенность в каждой точке г=г6, в которой q(r^=0. Но, так как гд ие является особой точкой уравнения (6.С.1), решение в этой точке тоже не должно иметь особенностей. Следовательно, выражение (6.С.З) не может являться асимптотическим представлением решения уравнения (S.C.1) в окрестности точки, для которой у(г) =0. у называется1 точкой поворота.

Рассмотрим только случай, когда ^(г) имеет простой ноль в точке ту Таким- образом,

q(r)~ а(г — г^ при г г$.

Тогда для г, близких к г уравнение (6.С.1) может быть приближенно представлено уравнением

y"4-^2a(r—r8)v=0,(6. С. 4)

решение которого может быть выражено либо через функции Бесселя порядка 1/3, либо через функции Эйри.

Поскольку в случае 1 решение было получено путем преобразования уравнения (6.С.1) в уравнение с почти постоянными коэффициентами, естественно, в. рассматриваемом случае попытаться найти решение в окрестности г. путем пре-

образования уравнения (6.С.1) приближенно к виду (6.С.4). Примем для определенности, что

dqdrdqdr(4} > о.(4} > о.

dqdr

dqdr

(4} > о.

(4} > о.

Тогда после перехода к новым переменным

уравнение (6.С.1) можно привести к виду

(6.С.5)(6.С.5)-—^ + ^$х = в(£) X,

(6.С.5)

(6.С.5)

d^df^ 3 ^Ч№ s

где В^ — 2 ^^у — 4 ^dr^ — (d^drp ‘

Метод, который использовался для получения асимптотического решения уравне- иия (6.С.2), можно также применить к уравнению (6.С.5) и, если q^ не имеет других нулей, получившееся в результате выражение будет представлять решение во всем пространстве. Такой подход относится к ВКБ приближению. Решение уравнения (S.C.5) в виде итерации самого низкого порядка имеет вид хо = cfW^ (-|- ^) + с^Н^Х ^ ^) ,

■где Н^а — функция Ханкеля порядка 1/3. Следовательно, первым приближением решения уравнения (’6.С.1) будет

-3/4/ 9,,3/4, 9,

. = C1-L<(f^2) + C2 ^нЦ2_к^_(6.с.б)

Список литературы

Chu Boa-Teh and Leslie S. G. Kovasznay. Non-Linear Interactions in a Viscous Heat-Conducting Compressible Gas. J. Fluid Meeh., 3, pt. 5, 494—514, 1958.

Phillips О. M. On the Generation of Sound by Supersonic Turbulent Shear Layers. J. Fluid Meeh. 9, pt. 1, 1—28, 1960.

Doak P. E. Analysis of Internally Generated Sound in Continuous Materials: .2. A Critical Review of the Conceptual Adequacy and Physical Scope of Existing Theories of Aerodynamic Noise, With Special Reference to Supersonic Jet Noise. J. Sound Vibr., 25, 2, 263—335, 1972.

Lighthill M. J. On Sound Generated Aerodynamically. I. General Theory. Proc. Roy. Soc. (London) ser. A. 211, 564—587, 1952.

Rraichnan Robert H, The Scattering of Sound in a Turbulent Medium. J. Acoust. Soc. Am. 25, 6, 1096—1104, 1953.

Muller Ernst-August and Klaus R. Matschat. The Scattering of Sound by a Single Vortex and by Turbulence. AFOSR—TN—59—337, U. S. Air Force Office of Scientific Research, 1959.

Schmidt D. W. Experiments Relating to the Interaction of Sound and Turbulence. AFOSR—TN—60—347 U. S. Air Force Office of Scientific Research, 1959..

Atvars J., L. K. Schubert and H. S. Ribner. Refraction of Sound From a Point Source Placed in an Air Jet. J. Acoust. Soc. Am., 37, 1, 168—170, 1965.

Lush P. A. Measurements of Subsonic Jet Noise and Comparison with Theory, J. Fluid Meeh., 46, pt. 3, 477—500, 1971.

Jackson John D. Classical Electrodynamics, John Wiley & Sons, Inc., 1962.

Bradshaw P. D., H. Ferriss and R. F. Johnson. Turbulence in the NoiseProducing Region of a Circular Jet. J. Fluid Meeh., 19 pt. 4, 591—624, 1964.

Davies P. O. A. L., M. J. Fisher and M. J. Barratt. The Characteristics of the Turbulence in the Mixing Region of a Round Jet. J. Fluid Meeh., 15, pt. 3,. 337—367, 1963.

Goldstein Marvin E. and Walton L. Howes. New Aspects of Subsonic Aerodynamic Noise. Theory. NASA TN D—7158, 1973.

Olsen W. A., O. A. Gutierrez and R. G. Dorsch. The Effect of Nozzle Inlet Shape, Lip Thickness and Exit Shape and Size on Subsonic Jet Noise. Paper 73— 187, AIAA, Jan 1973..

Jones Ian S. F. Aerodynamic Noise Dependent on Mean Shear. J. Fluid Meeh., 33, pt. 1, 65—72, 1968...

Gottlieb Peter. Acoustics in Moving Media. Ph. D. Thesis, Mass. Inst, of Tech., June 1959.

Slutsky Simon and J. Tamagno. Sound Field Distribution About a Jet. Tech. Rept. 259, General Applied Science Lab. (AFOSR TN—1935), 1961.

Moretti Gino and Simon Slutsky. The Noise Field of a Subsonic Jet. Tech. Rept. 150, General Applied Science Lab. (AFOSR TN—59—1310), 1959.

Slutsky S. Acoustic Field of a Cylindrical Jet due to a Distribution of Random Sources of Quadrupoles, Tech. Rept 281, General Applied Science Lab. (AFOSR TN—2455), 1962.

Mani R. A Moving Source Problem Relevant to Jet Noise, J. Sound Vibr., 25, 2, 337—347, 1972.'

Graham E. W. and В. B. Graham. The Acoustical Source in a Two-Dimensional Jet DI-82-0909, Boeing Scientific Research Laboratories, 1969.

Graham E. W. A Sequence of Transient Acoustical Sources in an Idealized Jet, DI-82-1002, Boeing Scientific Research Laboratories, 1970.

Pao S. P. A. Generalized Theory on the Noise Generation From Supersonic' Shear Layers. J. Sound Vibr., 19, 4, 401—410, 1971.

Tester Brian J. and Robert H. Burrin. On Sound Radiation from Sources- in Parallel Sheared Jet Flows. AIAA Paper 74—57 presented at 12th AerospaceSciences Meeting, Washington, D. C.

Abramowitz Milton and Irene A. Stegun. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. National Bureau of Standards Applied Mathematics Series 55, 1964.

Erdelyi Arthur. Asymptotic Expansions, Dover Publications, 1956.

Olsen W. and R. Friedman. Jet Noise from Co-axial Nozzles Over a Wide Range of Geometric and Flow Parameters. AIAA Paper 74—43 presented at 12th Aerospace Sciences Meeting, Washington, D. S.

Schubert L. K. «Numerical Study of Sound Refraction by a Jet Flow. I. Ray Acoustics», J. Acoust. Soc. Am., 51, 2, pt. 1, 439—446, 1972.

Schubert L. K. Numerical Study of Sound Refraction by a Jet Flow II. Wave Acoustics, J. Acoust. Soc. Am, 51, 2, pt. 1, 447—463, 1972.

Atvars J., L. K. Schubert and H. S. Rubner. Refraction of Sound by Jet Flow or Jet Temperature. NASA CR—494, May 1966.

Atvars J., L. K. Schubert and H. S. Ribner. Refraction of Sound From a- Point Source Placed in an Air Jet, pp. 25—27, Paper 65—82, AIAA, Jan. 1965.

32. Grande E. Refraction of Sound by Jet Flow and Jet Temperature. NASA

CR—840, 1967.-

Schubert L. Refraction of Sound by a Jet: A Numerical Study. UTIAS— 144—Rev., University of Toronto(AFOSR—69—3039TR; AD—701370),1969.

Блохинцев Д. И. Акустика неоднородной движущейся среды. Гостехиздат, М,—Л„ 1946.'

Tester Brian J. and Christopher L. Morfey. Developments in Jet Noise Modeling-Theoretical Predictions and Comparisons with Measured Motor. AIAA Paper 75—477 presented at 2nd Aero-Acoustics Conference, Hampton, Va.

Mungar P., H. E. Plumhlee and P. E. Doak. Analysis of Acoustic Radiation in a Jet Flow Environment. J. Sound Vibr., 36, 1, 21—52, 1974.

Morse Phillip and Herman Feshbach. Methods of Theoretical Physics, Part II. McGraw-Hill, Inc., 1953.

(см. перевод: Мороз Ф. M., Г. Фешбах. Методы теоретической физики, т. I, ИЛ, 1958)..

Goldstein М. Е. The Low Frequency Sound from Multipole Sources in Axisymmetric Shear Flows, With Applications to Jet Noice. J. Fluid Meeh., 70, pt. 3, 595—604, 1975.

Goldstein M. E. The Low Frequency Sound from Multipole Sources in Axisymmetric Shear Flows-Part II, J. Fluid Meeh., 75, pt. 1, 17—29, 1976.

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ

А

Акустическая аналогия Лайтхилла 73—74, 119 — интенсивность 46, 48—49 — колебательная скорость 13, 224 — энергия 48

Акустическое поле 72

Амплитуда 61

— акустического давления 25

— волны 20

— Фурье 205

Б

Безвихревой поток 48

Ближнее поле 43

В

Взаимная корреляция 132 .

Взаимные коэффициенты сопротивления 201

тяги 201

Вихревая дорожка кармана 152

Волна Маха ЮЗ—108

— плоская 20

Волновая поверхность 23

Волновое уравнение 18, 19

неоднородное 17, 18

решение 19—20, 24

Волновой вектор 21

— фронт 23

Время задержки 82, 85

•— запаздывания 33, 44, 54

-Г

Гармоники 61

Гармонический источник 58—60

Гипотеза Тейлора 83

Густота 209, 239

д

Дальнее поле 46, 127

Движение источника дозвуковое 56

сверхзвуковое 57

Диполь 43

Длина волны 21, 25

Доплеровский сдвиг 59

3

Звуковой удар 128

Зонд молчания 27, 272, 280

— смешения 92, 93, 95, 97

— тишины 26, 27

и

Импеданс акустический характеристический 46

Интеграл Френеля 144, 180, 181

Интенсивность источника 43

Источник дипольный 44

— гармонический 58—60

— дипольный 44

— квадрупольный 44, 258

— мультипольный 43, 60

— простой 43

■— точечный 32

К

Квадруполь 43'

Квадрупольный источник 44, 131, 258

Керп-функция 232

Комбинационные тона 213—215, 199

Компактное распределение источника 43

Компоненты Фурье 20

Конвективный коэффициент 60

Конвективный фактор 99, 277

Конденсация 17

, Конус Маха 55, 103

Коэффициент сопротивления взаимный 201

— тяги взаимный 201

— Фурье 61, 62, 264

Краевой шум 113, 179—186

Критический угол 26

Круговая частота 61

Крупномасштабные структуры 107

Л

Линеаризированные газодинамические уравнения 14—15

М

Масштаб корреляции 147, 156

подольный 93

пространственный 130

— турбулентности 82

Метод отражений 39

— собственных функций 39, 68—71

Мода 22, 201, 202, 204, 217, 222, 268, 272

— нераспространяющаяся 202, 2'05

Монополь 43

Мощность акустического излучения 131

Мультиполь 41

Мультипольное разложение 41—44

Мультипольный источник 43, 60

— момент мгновенный 41

П

Параметр Лайтхилла 98

Переходная область 92, 93

Плоская волна 20

Поле ближнее 43

— дальнее 46, 127

— излучения 44—46, 50—51

Полностью развитый поток 92, 93, 96

Потенциальное ядро 92

Потенциал скорости 52

Поток акустической энергии 47

— безвихревой 48

— с поперечным сдвигом 15

Правило Лейбница 65, 66, 121, 188

Преобразование Галилея 193

Приведенная частота 140

Простой источник 43

Пространственно-временная корреляция 83

Псевдозвук 72

Пульсирующая сфера 30, 32

Р

Регулярные структуры 112—115

Рефракция 26, 100, 102, 269, 282

Ряд Фурье—Бесселя 206

С

Сверхзвуковое движение источника 57

Сдвиговый шум 90, 91, 277

Скорость вихревая 227

— звука 22

— конвекции 96

— объемной диссипации энергии 256

— распространения возмущения 13

Собственное значение 69

Собственные функции 69

Собственный шум 90, 91, 277

Соотношение взаимности 37

Спектр 100—101 — интенсивности 51 — мощности 63

Спектральная плотность 62

мощности 147, 148

Стационарные функции 63

Струя дозвуковая 88—103 — сверхзвуковая 103—111

Т

Тензор корреляции 83, 84

— пространственно-временной корреляции 89.

— рейнольдсовых напряжений 82

— спектральной плотности мощности 85

— турбулентных напряжений Лайтхилла 74, 76, 77, 193, 195

Теорема Кирхгофа 4!

-- о дивергенции 195 — разложения 222, 223

Теория Гутина 73, 158—175

— Лайтхилла 79—88

У

Угол критический 26

— Маха 55

— установки 165, 201, 235

Уравнение волновое 18, 19

неоднородное 17, 18

, решение 19—20, 24

— Гельмгольца 20, 69, 179

— конвективное волновое 194

-• Лайтхилла 74, 194

— Лилли 253—256

— неразрывности 12, 222, 251

— Пуассона 72

— Филлипса 251—256, 270

— Фокс Вильямса—Хоукингса 122—132

— Эйлера 12, 222, 251

— энергии 47

— энтропии 12

Уравнения газодинамические линеаризированные 14—15

Условие излучения 31

— Кутта—Жуковского 138—139, 246, 229—233

Установочный зазор 229

Ф

Фаза 20, 61

Фазовая скорость 23, 24

— поверхность 21

Фазовый угол между лопатками 231, 239, 244

Фактор Доплера 86, 126, 127, 279

Формула Грина 34, 272, 278

1■— обобщенная 34—36, 65—67

Формула Гутина обобщенная 165

— Керла 127

Функция автокорреляции 63, 64, 146

— взаимной корреляции 61, 62, 132

— — спектральной плотности 64

— Грина 33, 37, 175—187, 215, 275

— — приведенная 33, 263

для свободного пространства 37, 67, 122, 270

— отклика 149

— реакции 239, 240

— Сирса 135, 140, 141, 144, 149

Фурье-компоненты 20

Фурье-коэффициенты 61, 62, 264

Фурье-преобразование 63—65, 147, 182, 183, 262, 263

— — автокорреляционной функции 51

X

Характеристический акустический импеданс 46

'Ц

Цепное правило 28, 129

Ч

Частота 21

—■ источника 59

— круговая 21, 61, 152

— приведенная 140

Число Маха 53, 131, 154

— Рейнольдса 76, 114, 152, 157

— Струхаля 101, 152, 157

Ш

Шум вентилятора 174—175, 196—219

— винта 158—175

Шум вращения 165

— компрессора 196

■— кромок 186, 187

— струи 88—115 .

Э

Эйконал 23, 268

Эоловы тона 151 —158

Эффект Доплера 102

ОГЛАВЛЕНИЕ

Стр.

Предисловие .., 5

Наиболее часто встречающиеся обозначения и специальная терминология 8

Глава 1. Обзор акустики движущейся среды 11

Введение 11

Вывод основных уравнений И

Решения волновых уравнений 19

Решения волновых уравнений в виде суперпозиции элементарных источников ....29

Распределения источников в неограниченных областях ..39

Поле излучения44

Энергетические соотношения46

Движущиеся источники звука52

Заключительные замечания 60

Приложение 1.А. Фурье-разложение функций/ .61

Приложение 1.В. Вывод обобщенной формулы Грина . ..65

Приложение 1.С. Расчет функцийГрина67

Список литературы 71

Глава2. Аэродинамический звук72

Введение ..72

Акустическая аналогия Лайтхилла..•73

Решение уравнения Лайтхилла при отсутствии твердых границ 77

Применение теории Лайтхилла к турбулентным потокам79

Физические основы шума струи88

Заключительные замечания115

Приложение. Преобразование функциикорреляции источника .116

Список литературы116

Глава 3. Влияние твердых границ119

Введение 119

Вывод основного уравненияИ9

Уравнение Фокс Вильямса—Хоукингса122

Расчет аэродинамических сил .132

Приложения уравнения Фокс Вильямса—Хоукингса ...145

Некоторые применения функции Грина для расчета звукового поля175

Заключительные замечания187

Приложение З.А. Замена члена, описывающего вытеснение объема, дипольными и квадрупольными членами .188

Приложение З.В. Спектр подъемной силы189

ок литературы:.189

.Слр.

Глава4. Влияние однородного потока193

Введение 193

Вывод основного уравнения193

Приложение к шуму вентилятора икомпрессора...196

Заключительные замечания219

Список литературы220

Глава5. Теории, основанные на решении линеаризованныхуравнений

завихренности и акустического поля222

Введение .-.222

Разложение линеаризированных решений по акустическим и вихревым модам. Теорема разложения222

Звук, генерируемый решеткой лопаток224

Заключительные замечания241

Приложение 5.А. Решение задачи о решетке лопаток ... 242

Приложение 5.В. Расчет интеграла для одиночного профиля . 246

Приложение 5.С. Расчет членов в координатах, связанных с трубой 247

Список литературы::249

Глава 6. Влияние неоднородного среднего потока на генерацию звука 250

Введение 250

Вывод уравнения Филлипса 251

Вывод уравнения Лилли 253

Интерпретация уравнений254

Упрощение уравнений Филлипса иЛилли255

Уравнения для потоков с поперечнымсдвигом ....256

Применение акустических уравнений для расчета шума круглых струй .'259

Потоки конечной протяженности281

Заключительные замечания 283

Приложение 6.А. Вывод уравнения (6.26) 283

Приложение 6.В. Построениеодномерной функции Грина ..284

Приложение 6.С. Асимптотические решения уравнения Штурма—Лиувилля. 284

Список литературы 286

Предметный указатель289

И Б № 2896

Мэрвин Е. Голдстейн

АЭРОАКУСТИКА

Редактор В. Г. Гатагогу

Технический редактор Н. В. Тимофеенко

Переплет художника Е. В. Бекетова

Корректоры Л. Е. Хохлова, И. М. Борейша, А. А. Снастина

Сдано в набор 17.02.81 г. Подписано в печать 17.04.81 г.

Формат 60x90*/ie. Бумага типографская № 2. . Гарнитура литературная.

Печать высокая. Усл. печ. л. 18,5.Уч.-изд. л. 21,5.

Тираж 2600 экз. Зак. 1525. Цепа 1 р. 80 к.

Издательство «Машиностроение», 107076, Москва, Б-76, Стромынский пер., д. 4

Московская типография № 8 Союзполиграфпрома при Государственном комитете СССР по делам издательств полиграфии и книжной торговли.

Хохловский пер., 7.

* Чтобы как-то различить их, последнюю иногда называют приведенной функцией Грина для свободного пространства.

21^^Мп,^,.., ^^Hy-Vot)

VP— = — ■

с2 д-tду, ду, ду,

для звукового давления от движущегося точечного мультипольно-

•*2®/2 6/2(<"1Уз) , ' , «

16л2С30о0х4 J dt dtУз-Уз,

-6/2 -6/2

* При этом используется то, что мнимая часть со и, следовательно, К является небольшой положительной величиной, чтобы показать, что комплексный член обращается в нуль на минус бесконечности.

* В волновой оператор в уравнении (6.35 б) введены геометрические факторы, относящиеся к цилиндрической системе координат, хотя первоначально уравнение было получено для параллельного среднего потока, в котором эти факторы равны единице.

* По причине, указанной в разд. 6.5, вероятно, можно пренебречь влиянием турбулентности на излучаемый звук.

ЭРОАКУСТИКА

Мэрвин Е. Голдстейн

Перевод с английского

Р. К.Каравосова и Г П Кораушева

Под редакцией д-ра техн, наук А. Г. МУНИНА

Москва • МАШИНОСТРОЕНИЕ * 1981

ББК 22 32

Г60

УДК 629 7 01 533 6

Голдстейн Мэрвин Е.

Г60 Аэроакустика: Пер с англ./Пер. Р. К. Каравосова и Г. П. Караушева; Под ред А. Г. Мунина — М/ Машиностроение, 1981.— 294 с., ил.

В пер 1 р 80 к

В книге наряду с изложением теории образования аэродинамического шума рассмотрены фундаментальные вопросы теории аэроакустики, получившие развитие в последнее время Дано определение акустического излучения свободной, турбулентной дозвуковой и сверхзвуковой струи, показано образо вание звука, генерируемого препятствиями в потоке, винтами самолетов, рото рами вертолетов, а также влияние однородного потока на генерацию шума Проанализирован мехаинзм шумообразоваиия в вентиляторах и компрессорах авиадвигателей Приведен метод расчета шумообразоваиия с использованием нелинейных уравнений

ББК 22.32533ББК 22.32533Книга предназначена для инженеров-проектировщиков и конструкторов авиационной и другой техники Она может быть полезна преподавателям, аспирантам и студентам вузов

ББК 22.32

533

ББК 22.32

533

_ 31808-194 Г 194-81.3606030000

038(01)-81

© McGraw—Hill International Book Company, 1976.

© Перевод на русский язык «Машиностроение», 1981 г.