НЕЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ В ОДНОМЕРНЫХ ДИСПЕРГИРУЮЩИХСИСТЕМАХ

Книга известного индийского математика, содержащая в сжатой форме обширный материал по теории нелинейных волн. Написанная просто и доступно, она отличается методической продуманностью и может служить введением в этот предмет.

Для математиков-прикладников, механиков, физиков, аспирантов и студентов университетов.

Содержание

К русскому переводу5

Предисловие к английскому изданию6

Предисловие7

Линейные волны9

Введение9

Линейное волновое уравнение: волновая терминология9

Общее линейное уравнение; дисперсионное соотношение12

Диспергирующие волны; групповая скорость15

Общее решение линейного волнового уравнения16

Распространение энергии в диспергирующей волне20

Важное кинематическое соотношение22

Приложение I. Метод перевала23

Некоторые нелинейные уравнения эволюции (стационарное29

решение)

Введение29

Эффект нелинейности30

Диссипирующие волны37

Диспергирующие волны40

Уединенные волны: солитоны46

Некоторые уравнения эволюции, порождающие солитоны46

Приложение II А. Уравнения, описывающие течение газа в трубах и волны 55 на мелкой воде переменной глубины

Приложение II Б. Метод сведения к эталонному уравнению59

Взаимодействие солитонов68

Введение68

Свойства уравнения Шредингера.68

Интегралы уравнения и связь между уравнениями КдФи Шредингера 72

Независимость от времени спектра уравнения Шредингера,73

определение параметров рассеяния

Обратная задача рассеяния.76

Солитонные решения уравнения КдФ78

Взаимодействие солитонов89

Непрерывный спектр оператора Шредингера93

Общее уравнение эволюции95

Введение95

Определения98

Решения типа уединенной волны общего уравнения эволюции103

Применение общей теории к уравнению Кд①107

Собственные скорости общего решения уравнения КдФ111

Групповая скорость; нелинейные волны.114

Введение114

Процедура усреднения.115

Примеры118

Уравнение Кортевега — де Фриза124

Групповая скорость: динамическая трактовка130

К РУССКОМУ ПЕРЕВОДУ

Имя проф. П. Бхатнагара хорошо известно в научном мире. Достаточно упомянуть, что в числе трех имен оно входит в название наиболее распространенного модельного уравнения кинетической теории газов ——уравнения БГК. Многие в Советском Союзе знали проф. Бхатнагара лично. Автор этих строк познакомился с ним в Москве летом 1967 года, когда Бхатнагар вместе со своим ассистентом был гостем Академии наук СССР. Нас познакомил проф. Л. Д. Кудрявцев, и несколько дней, которые мы вчетвером провели вместе, совершая короткие путешествия по Москве и ее окрестностям, оставили у нас неизгладимое впечатление. Проф. Бхатнагар соединял в себе две культуры, индийскую и европейскую, опровергая тем самым известную сентенцию Р. Киплинга: «Запад есть Запад, Восток есть Восток, не встретиться им никогда^. Мы стали друзьями и продолжили научное сотрудничество после его отъезда.

Перевод двух первых глав этой книги ——скромная дань нашей дружбе. Остальные главы любезно согласился перевести Н. Р. Сибгатуллин, чьи научные интересы охватывают рассматриваемые в книге вопросы. Место этой книги в теории нелинейных волн хорошо обрисовано в предисловии Дж. Лайтхилла. Можно добавить лишь, что книга отражает глубокое понимание Бхатнагаром как физической, так и математической сторон теории нелинейных волн. Несколько наших подстрочных примечаний касаются лишь дискуссионных вопросов терминологии или дают необходимые разъяснения.

П. Е. Краснушкин

ПРЕДИСЛОВИЕ К АНГЛИЙСКОМУ ИЗДАНИЮ

Характерная черта волнового движения состоит в том, что после того, как некоторый сигнал обнаружен в одной точке пространства, через некоторое время в другой точке можно обнаружить сигнал, похожий на первый. В некоторых случаях основное различие между ними заключается в амплитудах, что вызывается, например, распределением волновой энергии на большую площадь или ее фокусировкой на меньшую. Однако кроме амплитудных изменений возможны различные изменения формы волны, и представляет большой интерес изучение механизмов, вызывающих эти изменения. Большинство таких механизмов с большим успехом можно проанализировать на одномерных системах, поскольку аналитические трудности при переходе от многомерных систем к одномерным значительно уменьшаются, в то время как основные черты явлений удается сохранить.

Такая идеализация используется в данной монографии и позволяет ознакомиться с главными механизмами, вызывающими изменение формы волны: дисперсией, диссипацией и нелинейностью, действующими по отдельности или же в различных комбинациях. Кроме того, этот анализ включает изучение таких примечательных классов волновых форм, для которых искажающие форму эффекты, порожденные разлив ными механизмами, в точности компенсируют друг друга.

По своей научной квалификации проф. Бхатнагар исклю^ чительно подходит для написания такой монографии. Начав с первых ступеней знания о волновых процессах, он постепенно, через ряд более сложных волновых явлений приводит читателя в увлекательную область современной теории не〃н・ нейных волн. Эта книга является прекрасным введением в эту теорию.

Я написал эти строки незадолго до безвременной кончины проф. Бхатнагара 5 октября 1976 г., когда прикладная математика неожиданно потеряла одного из своих выдающихся представителей. После того как боль утраты немного стихла, я стал заботиться об издании последней книги Бхатнагара достаточно большим, соответствующим ее достоинствам тиражом. Я глубоко благодарен д-ру Прасаду за первоклассное редактирование книги. Математики-прикладники должны быть признательны ему за усилия, благодаря которым книга увидела свет.

Джеймс Лайтхилл

Исследовательский институт им. Мехты совместно с Индийским математическим обществом с 17 мая по 15 июня 1976 г. организовал четырехнедельный курс лекций на тему «Гиперболические системы уравнений в частных производных и нелинейные волны》. Они были ориентированы на научных работников, желающих познакомиться с этой увлекательной и вместе с тем полезной областью современной науки, в которую за последние годы было вложено много творческих сил. Автор прочитал ряд лекций по некоторым аспектам нелинейных волн. В основном он сосредоточил внимание на стационарных решениях знаменитых уравнений Бюргерса и Кортевега — де Фриза (Кд①)，на взаимодействии солитонов, на понятии групповой скорости для нелинейных диспергирующих волн и более кратко коснулся общего уравнения эволюции, частным случаем которого является уравнение КдФ. Из многих эволюционных уравнений, привлекавших внимание выдающихся ученых последние два десятилетия, мы выделили два указанных выше модельных уравнения, поскольку уравнение Бюргерса является простейшим при изучении диссипирующих волн, а уравнение КдФ ——простейшая модель для диспергирующих волн. Причем последнее уравнение особенно важно благодаря существованию решений типа уединенной волны.

В этой монографии автор более или менее точно придерживается содержания указанных выше лекций. Исключение составляют приложение к гл. 1 и два приложения к гл. 2, которые были включены, чтобы по возможности освободить читателя от обращения к другим источникам.

Нелинейные волны ——это быстро прогрессирующая область знания, и естественно, что прочитанные лекции остаются открытыми для развития рассмотренных в них проблем. Можно, однако, надеяться, что они помогут понять сущность основных проблем нелинейных волн и ознакомят читателя с основ* ными методами их решения.

П. Л. БхатнагарП. Л. БхатнагарАвтор выражает глубокую благодарность многим математикам, чьи работы обеспечили возможность создания этого курса лекций. Среди них он особенно признателен Дж. Лайт- хиллу, Дж. Б. Уизему, П. Д. Лаксу, Р. М. Миуре, Дж. Грину, С. Гарднеру, М. Д. Крускалу, Т. Таниути и С. С. Вэю, выдающийся научный вклад которых лег в основу данного лек* ционного курса-

П. Л. Бхатнагар

П. Л. Бхатнагар

Аллахабад

Сентябрь 1976

88Предисловие

8

8

Смерть настигла проф. Бхатнагара, когда он редактировал рукопись этой книги, внося в нее небольшие изменения и исправляя неточности. Это произошло 5 октября 1976 г., и дальнейшая работа над рукописью производилась мной, что, конечно, не могло быть выполнено столь совершенно, как это сделал бы автор.

Пхулан ПрасадПхулан ПрасадПубликация книги стала возможной благодаря исключительному интересу к ней профессора математики Кембриджского университета Дж. Лайтхилла. Издательство Оксфордского университета (Лондон) быстро приняло решение о публикации книги, что ускорило ее выпуск. Быстрому завершению работы над рукописью способствовала энергичная помощь д-ров В. Дж. Тикекара, Ренуки Равиндрана и Сварна- латы Прабху, которые, как и я, являются учениками проф. Бхатнагара.

Пхулан Прасад

Пхулан Прасад

Индийский институт науки

Бангалор

Август 1977

Линейные волны

Введение

В этой главе мы обсудим некоторые важные свойства линейных волн, описываемых линейными уравнениями и обычно называемых волнами с малой амплитудой, что в действительности означает волны с бесконечно малой амплитудой. При включении данной главы в монографию по нелинейным волнам мы преследовали три цели: (1) ввести необходимую терминологию, (2) обратить внимание на некоторые важные свойства, необходимые для понимания явлений, связанных с нелинейными волнами, которые описываются нелинейной системой гиперболических уравнений, и (3) подготовить фон, иа котором можно выделить и сравнить свойства линейных и нелинейных волн.

Заметим, что в данной монографии, как правило, исследуются одномерные волны, когда в рассмотрение входят только две независимые переменные, х и Л При этом х обозначает пространственную координату, a t ——время. В рамках этой простой модели удается ввести всю 《волновую» терминологию: длину волны, волновое число, период, частоту, амплитуду, фазовую и групповую скорости и т. д.

Линейное волновое уравнение: волновая терминология

Начнем со знаменитого волнового уравнения

<Р" = с2ФXXI(1.1)

где <р описывает некоторое свойство, связанное с волной, а с?——положительная константа. Это уравнение определяет пространственно-временную эволюцию величины <р в однородной изотропной консервативной системе. Заметим, что и в самом общем случае мы определим волну как пространственно-временную эволюцию некоторого состояния.

Мы можем записать общее решение (1.1) в виде

Фt) = f{x — ct) + g(x + ct),(1.2)

где f и g ——произвольные функции. Первый член в (1.2), как известно, представляет распространяющуюся волну, бегущую в положительном направлении оси % с постоянной скоростью с, а второй член — распространяющуюся волну, бегущую с той же скоростью в отрицательном направлении оси 爲

Аргумент к — ct м р$ волны / называется ее фазой* Аналогично к、■ ct = р* называется фазой волны g. Очевидно, что pf является константой в пространстве-времени, если dpf/dt = 0, т. е. если dx/dt = с. Таким образом, наблюдатель, движущийся вместе с волной / со скоростью с, будет всегда отмечать одну и ту же фазу волны 厶 т. е. одно и то же состояние волнового движения, соответствующее начальному значению величины 厶 Аналогично наблюдатель, движущийся со скоростью dx/dt =——с вместе с волной g, будет всегда регистрировать одну и ту же фазу pg} т. е. одно и то же значение g, с которого он начал движение. Изложенное выше придает физический смысл терминам фаза и скорость волны, называемой также фазовой скоростью.

В периодической распространяющейся волне (скажем, когда /——периодическая функция р% a g = 0) точка, в которой ср имеет максимум, называется гребнем, а точка, в которой ср минимальна,——впадиной волны.

Пользуясь терминологией гиперболических уравнений в частных производных, к которым принадлежит (1.1), мы скажем, что это уравнение обладает двумя вещественными характеристиками в плоскости (尤,t):

С+: dx[dt = с, С~: dx/dt = — с. (1.3)

Здесь f = const вдоль первой характеристики С+, a g = =const вдоль С~. Таким образом, уравнения f = const и g = =const являются условиями совместности.

Заметим, что описываемый уравнением (1.1) факт распространения волн в двух противоположных направлениях не является неожиданным. Это уравнение инвариантно относительно преобразования

х—> — х, /一> — /, (1.4) время в нем обратимо, и мы можем изучать будущее волны с таким же успехом, как и ее прошлое. В противоположность этому в гл. 2 мы рассмотрим однонаправленные эволюционные уравнения.

Конкретизируем теперь функции fug, положив, например,

f (х ~ ct) = a sin {kx ~ со/), с = ^jk, g{x + ct) = 0, (1.5) где со и k — постоянные. Тогда

(р = о sin (々х — со/) (1.6) представляет периодическую бегущую волну с амплитудой а и волновой скоростью с, определяемой равенством

(о =々с, или с = ^jk, (1.7)

Выражение (1.6) является решением уравнения в частных

производных (1.1) при начальных условиях:

Ф(х, 0) = asin(^x), фе (х, 0) = — сой cos (kx).(1.8)

Для фиксированного / величина ф изменяется синусоидально по х, как показано на рис. 1.1.

Для любого момента времени / точки х = (4几 + \ )n/2k + + ct, где 几=0, ±1, ±2, ...} соответствуют максимальным значениям ср, т. е. гребням волны, а точки х = 4(几 + 3)冗/2々 +

十 ct——минимальным значениям ф, т. е. впадинам. Термины

функции ①(рис. 1.1). Расстояние между двумя последовательными гребнями (или впадинами) называется длиной волны и обозначается через 九：

a={(4n + 5)(冗/2々)+ ct} - {(4〃 + 1)(冗/2々)+ ct} — 2冗/々.(1.9)

Из (1.6) ясно, что 々 определяет число волн, укладывающихся на отрезке единичной длины (в данном случае за единицу длины принято 2л), и называется волновым числом. Все точки на графике функции 屮 в данный момент времени с разностью абсцисс, кратной 儿 находятся в одинаковой фазе.

В фиксированной точке с абсциссой, равной, например, хь функция ср колеблется со временем /, имея период

Р = 2л/со.(1.10)

Величина со = 2п/Р называется (угловой) частотой волны; она определяет число волн, прошедших через данную точку в единицу времени (здесь за единицу принято 2冗).Если вместо (1.5) возьмем

f (х — с/) = a sin (々％ —硝，

g(x-\- ct) = a sin (kx + co/),(〔」°

TO

Ф == 2а cos co/ * sin kx.(1.12)

В этом случае мы можем изучать изменения величины 屮 по времени / и по пространственной координате х независимо

друг от друга. Такой выбор соответствует, очевидно, следующим начальным условиям для 屮：

qp(x,0) = 2a sin йх, ф^ (х, 0) = 0. (1.13)

Точки х = nn/k, в которых все время ф = 0, называются узлами волны. Точки х = (2〃 十 1)冗/2比 в которых ф достигает максимальных значений, называются пучностями. Решение (1.12) получается в результате суперпозиции двух синусоидальных бегущих волн, имеющих равные амплитуды, длины волн и частоты и распространяющихся в противоположных направлениях. Во всех точках, за исключением узлов, функция 屮 колеблется с периодом Р, ее амплитуда в пучностях максимальна и равна 2а, т. е. сумме амплитуд составляющих компонент ——волн / ng. Поскольку при этом нег переноса энергии или количества движения между участками волны, разделенными узлами, волна, представленная выражением (1.12), называется стоячей. Узлы и пучности характерны для стоячей волны.

Из сказанного выше ясно, что решение уравнения (1.1) при одних условиях описывает бегущую волну, а при других——стоячую. Мы также знаем, что поперечные волны в туго натянутой струне, точки которой движутся перпендикулярно направлению распространения волны, математически описываются уравнением (1,1). Это уравнение описывает также продольные звуковые волны в воздухе, когда частицы воздуха колеблются относительно своего среднего положения в направлении распространения волны.

Общее линейное уравнение;дисперсионное соотношение

Указанные выше термины мы ввели с помощью уравнения частного вида, называемого стандартным линейным волновым уравнением. Рассмотрим теперь общее линейное уравнение в частных производных от двух независимых переменных хи/:

Мф] = 0, (1.14) где L ——линейный дифференциальный оператор !\ Если заданы начальные условия

<Р(Х, 0) = % (х), <р/х, 0)=伙(％),…， (1.15) то с помощью преобразования Лапласа это уравнение можно свести к обыкновенному дифференциальному уравнению от переменной х в предположении, что функции ф((х) достаточно гладкие. Обыкновенное линейное дифференциальное уравне-

" С постоянными коэффициентами. — Прим, перев.

ние при выполнении определенных условий можно решить по крайней мере в принципе, если заданы необходимые краевые условия. Однако в данный момент нас не интересует такой подход, поскольку мы заняты общим изучением уравнения (1.14). В силу линейности этого уравнения можно построить общее решение в виде суперпозиции различных фурье-компонент. Для этого подставим в уравнение (1.14)

Ф = a exp {/ (^х — W)},(1.16)

предположив теперь, что независимые переменные х и / не входят явно в это уравнение и что оно однородное. Такая подстановка исключает все производные по ^ и х (d/dt-f- -^—® д/дх^-ik) и приводит (1.14) к следующему соотношению:

力 ®,后 А) = о,(1.17)

где Ai — параметры, фигурирующие в уравнении (1.14). Урап- нение (1.17) является дисперсионным соотношением, определяющим частоту волны со в зависимости от волнового числа и параметров 4・.Запишем его формально в виде

s = co 伍；4).(1.18)

Число корней уравнения (1.17) зависит от степени п этого алгебраического уравнения относительно со. Очевидно, п равно порядку высшей производной по / в уравнении (1.14). Будем рассматривать каждый корень уравнения (1,17) в отдельности, поскольку каждый из них порождает отдельную волну, называемую модой D.

Рассмотрим произвольный корень

(о =(о (同.(1.19)

Здесь мы опустили зависимость s от Л(, так как в предстоящем рассмотрении эти параметры не играют существенной роли. Соответствующая фурье-компонента выражается в вице

Ф (х, /)〜exp [z {kx — co (々)/}].

Временная эволюция величины ср зависит от свойств величины 6(々).Рассмотрим следующие случаи:

Если s(盼 вещественна, то приведенная выше фурье- компонента представляет гармоническую бегущую волну.

Если со(k) = i(02 (^) — чисто мнимая величина, то 屮(х, /) ~ exp (ikx) exp {铀优)。，

П Английский термин mode или normal-mode, который переведен здесь как «мода», имеет два смысла, уточняемых терминами «нормальная волна» н «нормальное колебание». В первом случае частота(о задается вместе с внешним воздействием (фактически это — особое вынужденное колебание). Во втором случае частота определяется самой системой, так как речь идет о собственных колебаниях. Автор использует термин мода в обоих смыслах. — Прим, перев.

и мы получим нераспространяющуюся стоячую волну. Если Im со(&) > 0, то ф с ростом / экспоненциально возрастает, а если Im со(й) С 0, то 屮 экспоненциально затухает с ростом £. Таким образом, в первом случае мы имеем дело с нарастающей (усиливающейся) волной, а во втором случае ——со спадающей (затухающей) волной. В первом случае начальное возмущение системы неограниченно растет, и говорят, что система нестабильна относительно данной моды. Во втором случае говорят, что система относительно данной моды стабильна.

Пусть ①仅)=s (巾)+ 心2(左)，где coi и co2 вещественны. Тогда

Ф 〜exp [z {kx —① 1 优)/}] exp (①2 (々)/),

и при со? = Im ① V 0 получаем гармоническую волну с экспоненциально убывающей амплитудой. Система в этом случае будет стабильной относительно рассматриваемой моды. Если Im со〉0, то получим гармоническую волну с экспоненциально нарастающей амплитудой. Система оказывается нестабильной относительно рассматриваемой моды; Эддингтон [1926] называет такой тип нестабильности перестабилизовакностью, так как она порождена восстанавливающей силой столь интенсивной, что эта сила заставляет проскакивать положение равновесия системы. Такая сила порождает колебания с возрастающей амплитудой.

Проведенное выше обсуждение дисперсионного соотношения ясно показывает важность этого соотношения при рассмотрении отклика системы на начальное возмущение, которое в первый момент предполагается бесконечно малым. Дисперсионное соотношение дает, кроме того, основу для другой классификации волн. Пусть уравнение (1,19) определяет вещественные со для каждого 々：Если 52co/5F = =coz/(fe) ^ 0, то говорят, что волна диспергирующая. Если 0)/7(^) = 0, то говорят, что волна недиспергирующая. Такая классификация позволяет ввести новую характеристическую скорость, называемую групповой скоростью и обозначаемую через Vg = о/(».

Наконец, на основе дисперсионного соотношения возможна еще одна классификация волн. Если выражение (1.19) определяет комплексное значение со, то говорят, что волна диссипирующая ^; если со действительное, то волна недиссипирующая. Диссипирующие волны связаны с затуханием амплитуды со временем, которое возникает благодаря некоторому диссипативному механизму, имеющему место в системе.

В английском тексте она называется diffusive. Мы изменили название, чтобы не смешивать с волнами диффузии, н подчеркиваем в нем диссипативный механизм системы.——Прим, перев.

Диспергирующие волны; групповая скорость

Введя понятие групповой скорости и определив формально понятия диспергирующих и недиспергирующиих волн, мы придадим им теперь определенный физический смысл.

Групповая скорость

Рассмотрим суперпозицию двух гармонических бегущих волн, немного различающихся по частоте и волновым числам, но имеющих одинаковые амплитуды:

屮1 (%, /)=acos(fcr — со/),(1.20)

q)2 (x, f) = a cos {仅 + 6々)尤一(s + 6s)/}.(1.21)

В результате сложения получим известное выражение для биений'.

0=6 +仅=

=[2a cos {% (尤决—/6(0)}] cos {伍 + 6^/2) x — (co + dco/2) /}. (1.22) Величина колеблется с частотой ① + 1/260), немного отличающейся от со, и имеет длину волны, немного отличную от 入= =2冗/々.Суммарная амплитуда

Л —2а cos {*/2 (x6k — /6s)}(1.23)

медленно меняется с периодом 4л/6(о и характеризуется длиной волны 4л/6^, определяемой как интервал между смеж*

Рис. 1.2. Возникновение «биений» (групп) в результате суперпозиции двух гаромонических волн.

ными пучностями. Поскольку 6со и 6^ малы, период и длина волны А велики.

В результате усиливающей и ослабляющей интерференции графики функции 屮 как по временной, так и по пространственной осям представляются в виде ряда периодически повторяющихся групп, показанных на рис. 1.2. Каждая группа состоит из нескольких волн. Поверхность, на которой амплитуда группы остается неизменной, определяется уравнением 尤此一/бсо = const.(1.24)

Из (1.24) следует, что сами группы распространяются со скоростью

dxjdt = 6s/6 力=s'依)при 此 f 0,(1.25)

где штрих означает дифференцирование по 々.Таким образом, групповая скорость Vg дается выражением

[/ — ，⑹— Приращение частоты волны в группе & 一 I 丿—прИраЩение волнового числа в группе *

Проведенная выше дискуссия раскрывает физический смысл групповой скорости. Напомним, что мы определили фазовую скорость как отношение Vp =①/々.

Диспергирующие и недиспергирующие волны

Как фазовая, так и групповая скорости, вообще говоря, являются функциями волнового числа. Легко показать, что если ①"⑷苴 0, то Vg отличается от Vp и зависит от k таким образом, что волны различной длины распространяются с различными групповыми скоростями. Рассмотрим возмуще~ ние, возникающее вблизи 尤=0 в момент времени / = О и представляющее суперпозицию ряда гармонических волн различной длины. Так как компоненты возмущения с различными волновыми числами распространяются с различными скоростями, через некоторое время начальное возмущение растянется на некоторый интервал, который будет расти со временем. В этом случае мы говорим, что волна диспергирует. Очевидно, что волновое число меняется вдоль цуга волн медленно.

При со"(^) = 0 фазовая и групповая скорости совпадают и разделения волн с различными волновыми числами не происходит. В этом случае мы имеем недиспергирующую волну.

Пример

Подставив (1.16) в (1.1), получим дисперсионное соотношение со = ±ck, так что Vg — Vp = 士с и волна, описываемая уравнением (1.1), является недиспергирующей и недиссипирующей.

Общее решение линейного волнового уравнения

До сих пор мы рассматривали фурье-компоненты линейной волны. Мы можем получить общее решение уравнения путем сложения этих отдельных фурье-компонент:

(р(х, /)= А (й) exp [z {kx — ш (й) /}] dk, (1.26) о

где со =(й(А) — функция волнового числа и параметры задачи определяются дисперсионным уравнением, а спектраль^ ная функция А (й) учитывает начальные условия. В принципе мы всегда можем построить спектральную функцию данной задачи, хотя иногда это может оказаться довольно

трудоемким. Решение (1.26) соответствует начальному уело- вию

(р(х, 0)= \ Л (&) exp (ikx) dk,(1. 27)

представляющему интеграл Фурье функции q)(x, 0), и поэтому функцию А (々)можно определить по заданной функции 屮(尤,0).

Теперь рассмотрим асимптотическое поведение выражения (1.26) при /f 8. Интересно выяснить, как ведет себя (1.26) по истечении большого отрезка времени £》3 где tc — некоторое характерное время, например период Р. Простейшим методом нахождения асимптотического значения (1.26) является метод наискорейшего спуска, называемый также методом седловых точек, или методом перевала. Он требует наименьшего объема сведений о подынтегральных функциях. (В приложении I в конце этой главы мы коротко опишегл этот метод; см. также Джеффрис и Джеффрис [1966], Ден- нери и Крживицкий [1967]“)Запишем (1.2б) в форме

Ф (х, /)= \ 4 伍)ехр {〃％(期} dA,(1.28)

где фазовая функция %(左)задана в виде

% 他) = (%")左一①他).(1.29)

Предположим, что %(左)——аналитическая функция на комплексной плоскости k для фиксированного значения х//. В большинстве физически интересных задач это предположение справедливо. Седловая точка определяется как точка, в которой фазовая функция %他)принимает стационарное значение. Таким образом, в данном случае седловые точки задаются уравнением

瞅他健 3=8询=0，(1-30а)

т. е. со7 (й) — х//, если со"(粉耍 0.(1.306)

Разрешая это уравнение относительно 々,получим выражение для седловых точек:

也=自(%//).(1.30в)

Так как путь интегрирования проходит по вещественной оси, достаточно рассмотреть вещественные седловые точки 財.

п См., кроме того, Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного.—М.: Наука, 1973.—Прим, перев^

Для седловой точки kt метод перевала дает следующее асимптотическое выражение функции q)(x, /) при £+8：

(1.31а)(1.316)(1.31а)(1.316)//)〜"2冗/ (細)exp "效(細)+ fa}=

(1.31а)

(1.316)

(1.31а)

(1.316)

_"2冗 4 (在D exp 上依t% - co (左i)/} + ia]

={"3"电)|产

где

a = л/4, если ①"(々J < 0,

(1.32)(1.32)т. е. % имеет минимум при 自, a = — л/4, если ①〃(瓦)> О,

(1.32)

(1.32)

т. е. % имеет максимум при 瓦.

Вклад других седловых точек аналогичен, поэтому, принимая во внимание все седловые точки (пусть их будет т), получаем

屮 а, /)®2i = 1屮 а, /)®2i = 1/1 (細)д/^j? exp u{力% - 3 仅D /}-(泞/4) sign 3"(在d]

屮 а, /)®2

i = 1

屮 а, /)®2

i = 1

(1.33)

гдегдеsign吟拓)sign吟拓)если со"(瓦)< О, если ①"(財)> 0.если со"(瓦)< О, если ①"(財)> 0.(1.34)(1.34)

где

где

sign吟拓)

sign吟拓)

если со"(瓦)< О, если ①"(財)> 0.

если со"(瓦)< О, если ①"(財)> 0.

(1.34)

(1.34)

Асимптотическое выражение (1.316) для функции ф(х, /) является несколько неожиданным по ряду причин:

Оно описывает локально гармоническую волну, хотя начальная волна не была гармонической; заметим, что, в силу (1.30в), ki и со(厉)меняются в зависимости от x/t

Асимптотически при t》Р остается дополнительная фаза, равная л/4, если групповая скорость о/(左)уменьшается с ростом 左，и равная ——л/4, если групповая скорость s'(左) увеличивается с ростом 々.

Если ^ff (kt) =Н= 0, то на расстояниях порядка % и для времен порядка t амплитуда Л (/) волны

(1.35)(1.35)

(1.35)

(1.35)

уменьшается обратно пропорционально квадратному корню из /. Это видно из следующего анализа изменения k с изменением хи/. Предположив, что s"(Aj)=#O, и переписав (1.306) в явной форме относительно 尤，для седловой точки k получим

Вычислив частные производные по х и /, получим

崇=(1-37)

¥ = 圖丿储} =。(；) •(L38)

Так как мы рассматриваем большие значения времени «》Р) и большие расстояния (尤》九)，приведенные выше выражения предсказывают относительные изменения порядка 0(1) лишь для времен и расстояний порядка T(~f) и L(〜％) соответственно. Поэтому на расстояниях порядка d (入《d《L) и для времен порядка т (Р《т《Т) изменениями 左,а значит, и ①(々)можно пренебречь. Действительно, именно в силу приведенных рассуждений мы пренебрегли изменениями 4(財) и ^(ki) при описании асимптотического поведения величины Л в зависимости от t на основе выражения (1.35). Весьма эффективная нелинейная теория диспергирующих волн, изложенная в гл. 5, опирается на этот факт.

С первого взгляда спад амплитуды волны в недиссипативной системе кажется удивительным. Однако нетрудно понять, что причиной этому является перераспределение энергии начальной волны на все более растягивающийся цуг волн, удлиняющийся со временем из-за дисперсии. То, что наши доводы правильны, следует из элементарного рассуждения. Энергия между волновыми числами kt и kt + dk сначала пропорциональна A2(ki)dk. По истечении времени / интервал между этими волновыми числами становится равным

I ?g/ (瓦)-/* 伍，+ dk)\^t\ ①"(瓦)I dk.

Таким образом, теперь плотность энергии пропорциональна A2(ki)dk/{t\^ff (ki) \dk]. Так как плотность энергии волны пропорциональна квадрату амплитуды, амплитуда волны в момент времени t оказывается пропорциональной 4 同/"|з〃 (財)|}"2.

Примечание. Если ①"(財) = 0, то приведенные выше рассуждения следует существенно изменить. Лайтхилл [1965], используя теорию асимптотического поведения интеграла Фурье, показал, что вклад седловой точки kt в q)(x, t) в асимптотическом приближении при о/〃(历)苦 0 равен

<Р (х, t)^A (瓦)exp [i{kiX - з (^)/}] С/з) I “亍/[(〃6) I з'〃 (執)I『3

(здесь (7з)!=Г(4/з))-d-39)

Таким образом, амплитуда теперь убывает обратно пропорционально кубическому корню из £.

Распространение энергии в диспергирующей волне

Теперь мы определим скорость, с которой энергия распространяется в диспергирующей волне. Рассмотрим две вслны с волновыми числами k\ и 々2, возникшие в момент / = 0 в точке 尤=0 и распространяющиеся со скоростями У1 (&!) и 1/2(^2) соответственно. По истечении достаточно большого времени t эти волны окажутся в точках xi и х2, где

%1=匕仅1)/ И 尤2=y2仅2)九(1.40)

Здесь V[ и 丫2 — групповые скорости, соответствующие волновым числам k\ и k2. В момент времени t значение 屮 определяется выражением (1.316), представляющим приближенно гармоническую волну, если пренебречь медленными изменениями ki и со(瓦)в зависимости от % и £ Поэтому энергия Е волны, заключенная между Xi и 尤2, может считаться пропорциональной выражению

Vai

С 2лЛ2 (^f) sin2 {kiX —(о (ki) / ± л/4} dx,〔人八

)t 1(細)I•( L 4"

При / в интервале Р《 t《 Т между хх и х2 укладывается несколько длин волн, и мы можем считать ki и s(^t) приближенно постоянными. Осредняя гармонический член, стоящий под знаком интеграла (1.41), получаем выражение

Е 〜、лЛ2 (拓)dx/[t I со"(拓)]],(1.42)

которое после подстановки х — Vi принимает вид 匕f

Е^ nA2 (財)dV/[[ з〃 (自)|].(1.43)

Но из (1.306) и (1.30в) имеем

^ = ^(У), У = «/(自)，(1.44)

тогда A (kt) и s"(自)можем рассматривать как функции 匕 так что интегрирование в принципе может быть проведено и его результат будет зависеть только от V\ и % безотносительно к х и /. Отсюда мы заключаем, что энергия между двумя точками в волне, возникшей в начале координат и распространяющейся с постоянными скоростями, не зависит от 力 если эти скорости являются локальными групповыми скоростями. Из выражений (1.40) следует

%2 一修=也(局)一匕(財)]厶(1.45)

Рис. 1.3. Дисперсия волн, возникающих при х = 0, / = 0.

Р н с. 1.4. Переход волны, двигающейся с фазовой скоростью, к движению с групповой скоростью.

т. е. %2 ——％i растет линейно с Л Вывод асимптотического выражения (1.316) показывает, что данное волновое число определяет пространственную осцилляцию в точках, определяемых выражением (1.306). Это означает, что если наблюдатель движется вдоль волны с групповой скоростью о/(А), то он будет всегда фиксировать волну с волновым числом k, В следующем разделе мы дадим другое доказательство этого утверждения.

Отметим следующий важный факт. Если мы хотим следовать за волной с заданным волновым числом, то должны двигаться со скоростью Vg(A). Таким образом, через время 力 (》Р) эта волна будет находиться в точке

а не в точке

尤2 =乙伍)厶 (1.47)

В точке %2 будет находиться другая волна с некоторым другим волновым числом 肥，таким, что Vg(kf) = Vp(k). Более того, волна первоначально распространяется со скоростью Ур =(о/左 и по истечении достаточно длительного времени t (》Р) начинает распространяться с групповой скоростью Vg = со^й). Изложенные выше факты иллюстрируются на рис. 1.3 и 1.4.

Важное кинематическое соотношение

Рассмотрим отрезок единичной длины в бегущей периодической волне, в которой полностью развились явления дисперсии, а волновое число и частота изменяются во времени и пространстве. Из определения волнового числа ясно, что в момент t на этом отрезке уложится k волн, т. е.巾 волновых гребней, так что kt определяет скорость изменения числа гребней в единицу времени на единице длины. Согласно определению частоты волны, число волн, т. е. число гребней, проходящих через фиксированную точку за единицу времени, равно со, так что сох определяет в чистом виде поток числа волн, проходящих через оба конца отрезка единичной длины. Если мы предположим, что волновые гребни не создаются и не уничтожаются, то придем к следующему кинематическому соотношению:

kt +(ох (fe) = 0, или dk/dt +(oz (k) dkjdx = 0, (1.48) весьма важному в свете дисперсионного соотношения. Таким образом, вдоль характеристики dx/dt = ^f (k) величина k = =const. Поэтому наблюдатель, движущийся со скоростью

dx/dt = о/ (左)三 Vg (k), (1.49)

будет всегда сопровождать волну с волновым числом k.

Поскольку в нашем рассмотрении скорости распространения энергии в разд. 1.6 предполагалось, что волны распространяются с локальной групповой скоростью, волновое число (длина волны) вдоль каждой волны сохраняется. Следовательно, число волн между х\ и хг также возрастает пропорционально £.

Заметим, что закон сохранения (1.48) для k тождественно выполняется для однородных волн, поскольку & и (о не зависят от х и /. Поэтому данное соотношение становится важным в случае, когда волны испытывают заметную дисперсию. Мы будем часто ссылаться на (1.48) при рассмотрении груп- ловой скорости нелинейной волны.

ЛИТЕРАТУРА

Деннери, Крживицкий (Dennery Р.( Krzywicki А.)

Methods of mathematical physics. — New York: Harper and Row. Джеффрис Г., Джеффрис Б. (Jeffreys H,, Jeffreys B, S.)

Methods of mathematical physics, 3rd ed. — Cambridge Univ. Press, 1966, § 17.04, 17.05. [Перевод: Джеффрис Г., Свирлс Б. Методы математической физики.——М.: Мир, вып. 1, 1969; вып. 2—3. 1970.]

Лайтхилл (Lighthill М. J.)

Group velocity. — J. Ins. Math, and its AppL, v. 1, p. 1—2& Эддингтон (Eddington A. S.)

The internal constitution of stars. — Camridge Univ. Press.

ЛИТЕРАТУРА, ДОБАВЛЕННАЯ ПЕРЕВОДЧИКОМ

Краснушкин П. Е.

Нормальные волны.——В кн.: Физический энциклопедический словарь. — М.: Советская энциклопедия, т. 3, с. 435—439.

Приложение I

МЕТОД ПЕРЕВАЛА

Метод наискорейшего спуска, называемый также дебаевским методом перевала, излагается в большинстве курсов математической физики. Изложим основные положения этого метода, с тем чтобы они находились под рукой.

Рассмотрим интеграл типа

/ (/) = \ ехр ①⑶} g ⑵ dz,(I. 1)

где без потери общности будем считать / вещественной и положительной величиной, а функции /(г) и g(z) аналитическими в некоторой области изменения комплексного переменного г, содержащей контур интегрирования с. Будем интересоваться асимптотическим значением /(f) при оо.

Положим f (к) = ср (х, у) + 力屮(％, У), где 中 н 巾 ——вещественные функции % = Rez и у =【гик. Теперь запишем экспоненциальную часть подынтегрального выражения в виде

exp (Zf (к)} = exp (仰)exp (〃屮).(I. 2}

Вклад экспоненциального множителя подынтегрального выражения в /(f) порождается частью контура с, в которой ф достигает относительного максимума (очевидно, что если f(2)— аналитическая функция, то 屮 н р не могут достигать абсолютного максимума или абсолютного минимума), если только осцилляции, вызванные в нем членом exp(iAf)), не уничтожают вклад ехр(/ф). Поэтому ясно, что мы должны

сперва найти на контуре точки, в которых ф(%, у) достигает относительного максимума, и деформировать контур с в окрестности каждой из этих точек таким образом, чтобы вдоль этого деформированного пути функция 巾 была постоянной; это исключит частую смену знака экспоненциального множителя.

Стационарные точки функции f(z) задаются уравнением

厂⑶=0・(L3)

Пусть Zo — один из корней (I. 3), и пусть q — путь, проходящий через точку z0 и деформированный так, что ф = = Ref(z) достигает относительного максимума при г = zo, а 巾= imf(z) остается постоянной вдоль контура с» Таким образом, если г — точка в окрестности No, то выберем с0 так, чтобы на нем

Imf (z) = Im/(z0).(1.4)

По теореме Тейлора мы можем разложить f(z) в окрестности z0 в ряд

f (z) = f ⑵)+ g (z — Zo)2 f" (&) +…，

так как f (г0) = 0 в силу (I. 3).

Выбрав z достаточно близким к г0, мы можем, не совер* шая существенной ошибки, приближенно положить

/(г) = /(го) + 4-(2-2о)2Г(2о),(1.5)

что с учетом (I. 4) приводит к выражению

Re [/ (а) — f (г0)] = % (г 一 马产 f" (г0).(I. 6)

Таким образом, правая часть (1.6) также вещественна. Теперь положим в выражении (I. 5)

г — г0 = г exp (i'0),(1.7)

%f"(Zo) = Rexpaa),(1.8)

где 2。一фиксированная точка, a R и a — постоянные. Отсюда

Re 什(z) — f (z0)]=产 R cos (20 + a),(1.9)

Im [f (z) — f (&)]=产R sin (29 + a).(I. 10)

Принимая во внимание (1.4), получим вдоль cQ

sin (28 +。) = 0, т. e. 0 = — a/2 + пл/2, n = 0, 1, 2, 3. (1.11)

既36Z 一。^1考^leH既36Z 一。^1考^leHп.п.工工■IV■IVIIRe%=Re，自)2®+a =芟Re%=Re，自)2®+a =芟Рис. I. 1. Разделение плоскости % в окрестности 々о на четыре области, в которых Re f(z) > Ref(z^ и Ref(z) < Ref(z0). На рисунке показаны также прямые, на которых Im f (z) постоянна.Рис. I. 1. Разделение плоскости % в окрестности 々о на четыре области, в которых Re f(z) > Ref(z^ и Ref(z) < Ref(z0). На рисунке показаны также прямые, на которых Im f (z) постоянна.

既36Z 一。^1考^leH

既36Z 一。^1考^leH

п.

п.

工

工

■IV

■IV

I

I

Re%=Re，自)

2®+a =芟

Re%=Re，自)

2®+a =芟

Рис. I. 1. Разделение плоскости % в окрестности 々о на четыре области, в которых Re f(z) > Ref(z^ и Ref(z) < Ref(z0). На рисунке показаны также прямые, на которых Im f (z) постоянна.

Рис. I. 1. Разделение плоскости % в окрестности 々о на четыре области, в которых Re f(z) > Ref(z^ и Ref(z) < Ref(z0). На рисунке показаны также прямые, на которых Im f (z) постоянна.

Подставляя это значение 0 в (1.7), получаем

, ,( + при п = 0,

« = 2г0 dz г ехр (— ш/2) <(I. 12)

I — при 孔=2;

宅匸勿 士尸 ехр{“一 а/2 + л:/2)} (+ 叩"'一 1'(1.13)

I — при п — 3.

Уравнения (1.12) и (1.13) описывают на плоскости г две прямые линии, проходящие через z0 и образующие с вещественной осью z углы ——а/2 и л/2 — а/2. Аналогично Re[f(之)—— —/(г0)] = 0, причем cos (20 + а) = 0, т. е. 6 = (2九 + 4- 1) (л/4)——а/2, п =0, 1, 2, 3. Подставляя эти значения в (I. 7), получаем две прямые, проходящие через точку zo и образующие с вещественной осью углы л/4 ——а/2 и Зл/4 — а/2:

2 = 2о 士 г ехр {/ (л/4 — а/2)}宅=% 士 г ехр {/ (Зл/4 一 а/2)} / +2 = 2о 士 г ехр {/ (л/4 — а/2)}宅=% 士 г ехр {/ (Зл/4 一 а/2)} / +при п = 0, при 孔=2; при п = 1, при 孔=3.при п = 0, при 孔=2; при п = 1, при 孔=3.(1・ 14)(I. 15)(1・ 14)(I. 15)

2 = 2о 士 г ехр {/ (л/4 — а/2)}

宅=% 士 г ехр {/ (Зл/4 一 а/2)} / +

2 = 2о 士 г ехр {/ (л/4 — а/2)}

宅=% 士 г ехр {/ (Зл/4 一 а/2)} / +

при п = 0, при 孔=2; при п = 1, при 孔=3.

при п = 0, при 孔=2; при п = 1, при 孔=3.

(1・ 14)

(I. 15)

(1・ 14)

(I. 15)

Прямые (I. 14) и (1.15) делят плоскость г в окрестности точки а。на четыре сектора, в которых попеременно Ref(z) > >Ref (之 о) и Ref (г) < Ref(z0), как показано на рис. 1.1.

Так как между двумя смежными нулями косинуса лежит

один и только один нуль синуса, в каждом секторе имеется одна и только одна прямая, на которой Im/(z) постоянна. Эти прямые проведены также на рис. I. 1, а на рис. I. 2 изображена поверхность S, уравнение которой определяется зависимостью Ref(z) от Rez и Im г; точка Ро на S соответствует точке к» Точки поверхности S, соответствующие точкам z в секторах II и IV, например, лежат ниже Ро, в то время как точки S, соответствующие секторам II и III, расположены выше /%. Таким образом, мы можем мысленно

сравнить S с конским седлом (отсюда происходит название метода: метод седловых точек).

Теперь очевидно, как выбрать путь % проходящий через No, вдоль которого должно быть выполнено интегрирование таким образом, чтобы получить наибольший вклад в /(f) на участке пути с。 наименьшей длины: Re/(z) будет иметь отно

сительный максимум в точке го, если с0 лежит в секторах II и IV. Так как мы требуем, чтобы вдоль с0 функция Imf(z) была постоянной, то путь Со должен проходить вдоль линий, на которых sin(20 4- а) = 0. Очевидно поэтому, что со проходит вдоль прямой Д2Д4. Теперь мы покажем, что производная функции Re/(г) в точке г0 вдоль прямой Д2Д4 будет максимальна. Выпишем производные от ср и яр в точке 之。вдоль направления, образующего угол 0 с вещественной осью к:

恥=фх cos 8 + фу sin 0, 屮§ = “％ cos 8 + 2y sin 6.

Экстремальные значения 屮§ определяются условием 0屮$/@6 = =0, т. е. направлением 0, задаваемым уравнением

sin 0/фу = cos 6/фх = l/V<Px + <₽L (I .16)

и, следовательно,

讲%/^6? = - 2屮押J"嘰十%.(I- 17)

В этом направлении в силу условий Коши ——Римана

恥=［屮严X +中居］A/吸+嘴=°-(I，18)

Итак, желаемый результат доказан;(р§ достигает максимального значения на направлении 0, вдоль которого Im f (z) постоянна. Таким образом, вдоль линии 儿力4 величина Re/(z) имеет наибольший из всех возможных наклонов. Благодаря этому свойству метод получил название «метод наискорейшего спуска》.

Мы можем легко обобщить этот метод на случай учета членов более высокого порядка в разложении (I. 5). Однако теперь пути, вдоль которых Im/(z) постоянна, будут кривыми, касательными к которым в седловой точке 2q являются прямые ДМз и А2А^ Переписав (I. 5) в виде

/(%) = /(£°)Т(I. 19)

где

的= -%(£—%户产(&),(1.20)

мы обнаружим, что 廿一вещественная положительная величина, поскольку (I. 19) фактически означает, что Re/(z0)— —Ref(z) = F, так как мнимая часть постоянна вдоль пути с0, а в точке z0 функция Ref(z) имеет относительный максимум. Вещественная переменная 自 при переходе 之 через 备 вдоль пути со меняет знак. Подставляя г — г0 из (1.7) и |%"(£о) из (I. 8) в (1.20), получаем

廿=—Ri exp (i (26 + а)} > 0, так что

「 (L2D(I. 22}(1.23)「 (L2D(I. 22}(1.23)W = R% п0 ОдНу сторону г0 и

「 (L2D

(I. 22}

(1.23)

「 (L2D

(I. 22}

(1.23)

Е = —R% по друГуЮ сторону г0 на пути

Поэтому из формул (1.7) и (1.21) имеем

z —马=士 Е ехр @8)/RRили—

dz/dl = ± д/2 exp (i0)/| 1r (&) I吟

где нам надлежит брать только один из двух знаков для всех точек контура & (см. замечания после формулы (1.26)).Под* ставляя f(z) из (1.19) в (1.1), получаем

/о СК ехр {行 Зо)} \ ехр{—岩⑶} g ⑶ dz,(1.24)

to

где с。一путь наискорейшего спуска. Если t положительно и велико, то основной вклад в /()(/) дает интервал с。，где 壊 мало, поскольку при больших 占 подынтегральное выражение экспоненциально убывает. Поэтому мы совершим пренебрежимо малую ошибку, если заменим интеграл по контуру

в окрестности точки g = 0, |g|《 1, интегралом от 三=—оо до & = оо. В результате получим

/о =« exp 力(*} j ехр(—年2)g (z)塞 dj в

-士住能器歌'"*} j exp (—喲{g (z°) + (z-z0) g，⑵)+

+ (1/21) (2 一 z。)2 g" ⑵)+…} dz土他■%*；彈固⑸)}- x

><曾(2。)“手+器霁产薪十(I?) так что при больших f

士咨exp(g^SzR()(I. 26)

В интервале (—л, л) можно выбрать два возможных значения 0, различающихся на л. В любом конкретном случае мы должны решить, исходя из поведения вещественной и мнимой частей f(z), в каком направлении проходит путь интегрирования через седловую точку. Если мы выберем значение 0, при котором г положительно в точках после прохождения через zo, то следует взять в (1.22) знак плюс при условии, что 三 меняется от ——оо до оо вдоль пути интегрирования.

Заметим, что асимптотическое разложение (1.25) надо понимать в смысле Пуанкаре; мы говорим, что 2 c^/z* яв- А=0

ляется асимптотическим представлением функции /(г), если для любого целого положительного п

lim 卜⑵一玄О

12 I -><х> L <fe=0 丿」

независимо от того, сходится или нет ряд 2 c^/z匕 Частичные fe=0

суммы этого ряда представляют f(z) достаточно точно, если \z\ велико, поскольку

f^-tcklzk\ = O{ll\zn приf^-tcklzk\ = O{ll\zn при2 |f 8.2 |f 8.

f^-tcklzk\ = O{ll\zn при

f^-tcklzk\ = O{ll\zn при

2 |f 8.

2 |f 8.

2

Некоторые нелинейные уравнения эволюции(стационарное решение)

2«1. Введение

Хорошо известно, что задачи с начальными и граничными условиями для нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных очень трудны для решения общим методом. Некоторые частные задачи анализировались от случая к случаю методами, пригодными лишь для этих задач. Нелинейные волны, о которых сейчас пойдет речь, описываются нелинейными уравнениями в частных производных. В данной главе мы ограничимся изучением некоторых простых модельных уравнений нелинейных волн, которые привлекали значительное внимание в течение последних лет десяти. Это поможет нам сравнительно легко понять роль таких факторов, как нелинейность, диссипация и дисперсия, в пространственно-временной эволюции некоторого процесса. В этом фактически и заключается главная цель настоящей монографии. В соответствии с этим намерением мы предпримем сравнительное изучение двух классов уравнений: линейных (класс I) и нелинейных (класс II) уравнений.

Класс / линейных уравнений

+ + + % % %+ + + % % %с〃％ = 0, с = const;

+ + + % % %

+ + + % % %

сих — guxx == 0, с, ц — const, ц > 0;

сих + Kuxxx==0f с, К —const, К〉0.

Класс // нелинейных уравнений

ut + иих = 0;

ut + иих — цихх==0 (уравнение Бюргерса);

U/ + иих + Киххх — 0 (уравнение Кортевега ——де Фриза (КдФ)).

Уравнение Бюргерса является простейшей моделью диссипирующих волн и при некоторых упрощающих предположениях помимо всего прочего охватывает следующие случаи: турбулентность (где это уравнение впервые появилось), звуковые волны в вязкой среде, волны в вязкоупругих трубках, наполненных жидкостью, магнитогидродинамические волны в среде с конечной электропроводимостью. Уравнение КдФ представляет собой простейшую модель диспергирующих волн и при определенных упрощающих условиях охватывает волны следующих типов; длинные волны на поверхности

жидкости, плазменные волны, волны в решетках, слабо нелинейные магнитогидродинамические волны. Широкая область применения этих уравнений является главной причиной того, что в течение последнего десятилетия они привлекали внимание математиков.

В гл. 1 мы определили диспергирующие и диссипирующие волны при помощи дисперсионного соотношения, полученного методом Фурье. Мы не можем применить метод Фурье к нелинейным уравнениям и поэтому должны найти другой способ классификации этих волн. Обычно говорят, что волна, описываемая нелинейным уравнением, является диссипирующей или диспергирующей в зависимости от того, является ли диссипирующей или диспергирующей волна, описываемая соответствующим линеаризованным уравнением. В настоящей главе наши усилия будут направлены на определение в этих уравнениях сравнительной роли нелинейных членов и членов, содержащих производные второго порядка и выше по пространственной координате.

2.2. Эффект нелинейности

Для изучения эффекта нелинейности решим уравнения I (а) и 11(a) из разд. 2.1 при одинаковых начальных условиях. Начальные данные намеренно выбраны настолько простыми, чтобы физические факты не утонули в сложных математических выражениях.

Решение уравнения / (а)

Это уравнение линейно, и, используя метод Лагранжа, можно сразу написать его общее решение:

〃(/ /) = / (х — с/),(2.1)

где f ——произвольная функция. Соотношение (2.1) описывает волну, движущуюся со скоростью с в положительном направлении оси х.

Конкретизируем теперь 厶 принимая следующее начальное

условие:

(2.2)(2.2)f出一при丨尤|аa,

(2.2)

(2.2)

I 0 при I х I > а,

где а > 0. Соотношение (2.2) описывает параболический импульс, распределенный на отрезке —a W % 0 а. С учетом условий (2.2) решение (2.1) принимает вид

и (х, /)=и (х, /)=出一(％ — "У при [ % — cf I & а,

и (х, /)=

и (х, /)=

0 при I х — с/1 > а. (23)

Рис. 2.1. Эволюция параболического импульса согласно выражению (2.3), где а = 1, с = %, масштаб по оси 〃： 1 ед. = 3 см; по оси х; 1 ед. = 1 см.

Переходя к движущейся системе координат, определяемой

(2.4)(2.4)(2.5)(2.5)соотношением

(2.4)

(2.4)

(2.5)

(2.5)

перепишем это решение в следующей удобной форме: .八/乐一廿при化|аa,

"(X，)一 t о при II > a.

Решение (2.5) не зависит явно от времени t и поэтому называется стационарным. В настоящей главе мы будем рассматривать большей частью только такие стационарные решения. На рис. 2.1 показано распространение (эволюция) начального параболического импульса по х и Л Решение (2.5) описывает такой же импульс, что и начальный, центр которого за время / сдвигается на ct в положительном направлении оси х. Мы отразим этот факт, говоря, что решения уравнения I (а) представляют собой волны, движущиеся без изменения формы со скоростью с в положительном направлении оси X.

2.22 Решение // (а)

Для изучения эффекта нелинейности решим уравнения II (а) при начальном условии (2.2). Характеристическое уравнение для уравнения 11(a) имеет вид

dt/1 = d%/〃 — du/0, (2.6)

так что вдоль характеристики

dxjdt = и(2.7)

и сохраняется и общее решение уравнения II (а) таково:

〃 (х, /) = f(% — W),(2.8)

где f ——произвольная функция.

На рис. 2.2а и 2.26 сравниваются характеристики для уравнения I(а) и 11(a) в плоскости (%,/). Заметим, что характеристики уравнения I (а) образуют семейство параллельных прямых с наклоном arctgc к оси f, в то время как характеристики уравнения II (а) в общем случае образуют семейство пересекающихся прямых. Вдоль каждой характеристики последнего семейства 〃 остается определенной постоянной величиной, и наклон характеристики определяется соответствующим постоянным значением и.

Нашу основную идею можно кратко сформулировать так: волна, описываемая гиперболическим уравнением, распространяется с конечной скоростью. В этом смысле мы можем рассматривать каждую характеристику в плоскости (х, t) как движущуюся элементарную волну, и свойство волны.

остающееся постоянным вдоль индивидуальной характеристики, как некоторое количество информации, которую волна несет с собой. В этом смысле уравнение I (а) описывает систему элементарных волн, движущихся с одинаковой постоянной скоростью & а постоянное значение и, связанное с характеристикой, представляет определенную информацию, которую волна несет с собой. Аналогично уравнение II (а) описы-

Р и с. 2.2а. Характеристики уравнения Ка).Р и с. 2.2а. Характеристики уравнения Ка).Рис. 2.2.6. Характеристики уравнения II(а).Рис. 2.2.6. Характеристики уравнения II(а).

Р и с. 2.2а. Характеристики уравнения Ка).

Р и с. 2.2а. Характеристики уравнения Ка).

Рис. 2.2.6. Характеристики уравнения II(а).

Рис. 2.2.6. Характеристики уравнения II(а).

вает систему элементарных волн, движущихся с различными скоростями. Элементарная волна, которая переносит большее значение и, движется быстрее.

Чтобы изучить влияние нелинейности на распространение волнового профиля, найдем решение уравнения 11(a), удовлетворяющее начальному условию (2.2). При начальном условии (2.2) решение (2.8) имеет вид

(2.9)(2.10)(2.9)(2.10),(a2 —g2 при |g |<а,

(2.9)

(2.10)

(2.9)

(2.10)

а I о при R

где~ Ш.

Разрешая (2.9) явно относительно 况,имеем

/ (1/2/2) [(2х/ - 1)±(1 — 4х/ + 4出户尸]

и (尤，/) = <при 1(% — ut) I ^а,(2.11)

、0 при \ к — ut \ ^> а.

Когда / мало (/->0), для удовлетворения начальному условию нужно брать только верхний знак перед радикалом в (2.11). Когда / > Т (Т еще нужно определить), при %>а в (2.11) допустимы оба знака.

Рис. 2.3. Характеристики уравнения 11(a) с начальными условиями (2.2)，

На рис. 2.3 изображены характеристики 11(a) с начальным условием (2.2) в плоскости (х, /) при а == L Этот рисунок весьма поучителен как графическое изображение распространения элементарных волн, исходящих из разных точек оси х в момент времени / — 0. Все элементарные волны, исходящие из точек (尤，0), где %>——1, рано или поздно пересекают характеристики, исходящие из точек х, где 尤 2 1. В точке пересечения двух характеристик получаются два значения и. Ясно, что такая ситуация физически неприемлема. Следовательно, если в этом случае нас интересует единственное ограниченное решение, то мы должны ввести понятие слабого решения, допускающего движущиеся разрывы. В гидродинамике такие разрывы называются ударными волнами. Из рис. 2.3 также очевидно, что точки % = ±а все время остаются неподвижными.

На рис. 2.4 показано распространение импульса (2.2) при а = 1. Когда / растет, профиль и все более и более деформируется. Отсюда мы заключаем, что нелинейность приводит к прогрессирующей деформации начального профиля волны.

Определим теперь Т в этом частном случае. Начальный профиль имеет как положительный, так и отрицательный наклоны. В частности, при х = а наклон отрицателен:

их (а, 0) = — 2а V 0. (2.12)

Ясно, что функция и(х, t) при 尤 2 a может быть неоднозначной только тогда, когда 况尤(а, /) > 0. Минимальное значение t> для которого выполняется это неравенство, и есть наше Т. Кроме того, Ux(a、t) может переходить от отрицательных

Рис. 2.4. Распространение параболического импульса, описываемого уравнением 11(a) для а = 1.Рис. 2.4. Распространение параболического импульса, описываемого уравнением 11(a) для а = 1.

Рис. 2.4. Распространение параболического импульса, описываемого уравнением 11(a) для а = 1.

Рис. 2.4. Распространение параболического импульса, описываемого уравнением 11(a) для а = 1.

значений к положительным только через бесконечность. Далее из (2.11) имеем

(2.13)(2.14)(2.13)(2.14)их (а, /) = (1/2/2)[2/ 干 2〃(1 — 2a/)],поэтому Т — 1/2а.

(2.13)

(2.14)

(2.13)

(2.14)

Предыдущие рассуждения легко распространить на профили импульсов более общего вида, чем было принято в (2.2) о Пусть начальный профиль задан следующим образом:

(2.15)(2.15),( Ю прн |%|&а,0) = s ЛI .

(2.15)

(2.15)

I 0 при I % I > а,

где f(x)—непрерывно дифференцируемая функция с пологде f(x)—непрерывно дифференцируемая функция с положительным и отрицательным наклонами.Решение уравнения 11(a) при условии (2.15) дается форжительным и отрицательным наклонами.Решение уравнения 11(a) при условии (2.15) дается формуламимулами…=｛噜…=｛噜^- х - ut^- х - utпри IWI&a, при III > а,при IWI&a, при III > а,(2.16)(2.16)

где f(x)—непрерывно дифференцируемая функция с поло

где f(x)—непрерывно дифференцируемая функция с поло

жительным и отрицательным наклонами.

Решение уравнения 11(a) при условии (2.15) дается фор

жительным и отрицательным наклонами.

Решение уравнения 11(a) при условии (2.15) дается фор

мулами

мулами

…=｛噜

…=｛噜

^- х - ut

^- х - ut

при IWI&a, при III > а,

при IWI&a, при III > а,

(2.16)

(2.16)

где Е — пространственная координата, движущаяся со скоростью 〃 (которая сама является функцией от % н /). Роль 三 подобна роли лагранжевой координаты в лагранжевом описании движения сплошной среды. При £=0 имеем х = ^. Беря частную производную (2.16) по %, получаем 况*(%,/) = =雇(1 — uxt), так что

0 =雇/(1+/#)•(2.17)

Это соотношение выражает наклон профиля 〃 в точке (%, t) через наклон начального профиля при % = здесь х——координата в момент времени / точки, которая в начальный момент имела координату 鼻 Если 友 V 0, то 〃*(%, /) бесконечна при / =——1/底・ Поэтому если начальный профиль имеет отрицательный наклон в некоторой точке 邑 то при t > Т ~ =(—1/底)min решение перестает быть однозначным в окрестности точки хо = ^о + Tfdo), где 己°—точка, в которой (——1/『匕)достигает минимального значения. Попытаемся найти изменения наклона профиля импульса на характеристике 自=Jo, когда / проходит значение Т. Пусть Хо(/)——положение характеристики элементарной волны в произвольный момент t. Мы хотим найти 况尤(Х(/), /) для значений

t = Т + е = (— I/h)min + 7

где Iе| мало; тогда

〃貝Х。(小 7 + £)=(届/(1+届灰*t = T + 8

-1 +后(瓦)［一1小圈)+可一 Итак, имеем

以(Х。(T-0), 7 —0)= 一8 и 以(Х0(T + 0), 7+0)=+8, как указано выше.

Роль нелинейности

Таким образом, мы заключаем, что в случае уравнений типа I (а) и 11(a) из разд. 2.1:

Линейные волны распространяются без изменения профиля. Роль нелинейности заключается в том, что она приводит к деформации волнового профиля, возрастающей с ростом t. По истечении некоторого времени (/ > Т) физический смысл имеет решение, содержащее движущиеся разрывы. Мы назвали такое решение слабым решением.

Заметим, что, применяя метод Фурье к линейному уравнению I (а), мы получим дисперсионное соотношение(о — ck, так что и фазовая, и групповая скорости равны с В случае

нелинейного уравнения II (а) мы не можем применять метод Фурье и поэтому не можем говорить о волновом числе, частоте, скорости волны, групповой скорости до тех пор, пока не укажем метод их определения. К этому вопросу мы вернемся в гл. 5.

23 Диссипирующие волны

Теперь мы исследуем уравнения I (Ь) и II (Ь) с точки зрения влияния второй производной ихх- Это сравнительное изучение укажет также на влияние диссипации, производимое этим членом на деформацию волнового профиля, вызванную нелинейностью. В гидродинамике нелинейный член иих представляет собой конвективный член, член со второй производной—силу вязкости. Таким образом, наше исследование вскроет конкуренцию между нелинейной конвекцией, увеличивающей крутизну профиля (в области «поджатия» импульса), и вязкой диссипацией, за счет которой профиль расплывается.

.1. Решение уравнения /(分)

Полагая в уравнении I (Ь)

况(尤，t) — a exp {/ (kx — co/)},(2.18)

получаем дисперсионное соотношение

з = “一取兴.(2.19)

Следовательно, согласно нашему определению, введенному в гл. 1, это уравнение описывает диссипирующую волну. Таким образом, волна, описываемая уравнением II (Ь), является также диссипирующей в соответствии с соглашением, принятым ранее в этой главе. Из (2.19) мы имеем

Reco = cm Im со = ~ цй2 < 0,(2.20)

так как мы выбрали ц > 0.

Учитывая (2.19), волновой профиль (2.18) можно представить выражением

и (尤，/) = {а ехр(— 〃幻} exp {ik (尤—ct)},(2.21)

которое описывает гармоническую волну с волновым числом k, скоростью с и амплитудой, экспоненциально затухающей со временем. Характерное время затухания равно

友=1/(喊 2).(2.22)

При фиксированном ц величина /0 убывает с ростом k. Поэтому короткие волны затухают быстрее, чем длинные. Таким образом, по истечении достаточно большого времени (f》力) «выживут» только длинноволновые возмущения. Аналогично

при фиксированном 々 величина /0 убывает с ростом ц; следовательно, волны заданной длины затухают быстрее в среде с большим значением ц. В этом смысле ц можно рассматривать как меру диссипации. Из уравнения (2.21) можно определить фазовую скорость

V р = с = Re (co/fe).(2.23)

Решение урабнения II(Ь)

В настоящей главе мы интересуемся стационарными решениями и поэтому будем искать стационарное решение уравнения Бюргерса в виде

u (%，/) = u 低)， 三=x — ct.(2.24)

Подставляя (2.24) в II (b), получаем обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка

—си^ +况况三—卩况三三二=3 0,(2.25)

интегрирование которого дает

—си + % 况 2 —卩气==/,(2.26)

где Л ——постоянная интегрирования. Запишем теперь (2.26) в виде

% = (1/2n)仅一仁)仅-咤)，(2.27)

где ut = c — ^/c2 + 2Л,况二=с + д/с' + 2/ (2.28)

——корни уравнения

箇 _2改一2/=0.(2.29)

Смысл нижнего индекса оо и верхних индексов 十 н ■— у 〃 будет ясен, когда мы рассмотрим поведение решения при 三-> ±8. Чтобы обеспечить вещественность корней 况^, предположим, что

с2 + 2Л > 0, и тогда 况二 > и^(2.30)

Интегрируя (2.27), получаем

〃 (%, ,) = С _ д/” 十 2/ th (Vc2 + 2АЦ2^ =(2.31)

=% ((J + 咽-(J -啕 X

X th [{(«- - и+)/4ц} {% - % (①；+ 啕 /}] ),(2.32)

где постоянная интегрирования выбрана из условия 自->十8, 〃一> 〃& из которого следует

自 f—оо, 〃一>〃；・(2.33)

Таким образом, решение (2.31) соединяет два асимптотических СОСТОЯНИЯ и~ при 自=——ОО И и+ при Е = + ОО с помощью непрерывно изменяющихся состояний. Из (2.28) имеем выражение

咤)， (2.34)

которое для данной задачи, очевидно, является соотношением Рэнкина ——Гюгонио. Следовательно, на языке гидродинамики решение (2.31) описывает структуру ударной волны. Для сравнения мы приводим ниже стационарное решение линеаризованного уравнения Бюргерса:

况力一卩况хх = 0, (2.35)

и (х, t) — u(Z,) — A + B exp (— (c/p.) g),自=x — % с > 0. (2.36)

При 自-> 8 况一>4 но при g— оо u->oo. (2.37)

Следовательно, единственным ограниченным стационарным решением уравнения (2.35) является постоянное состояние. Таким образом, линеаризованное уравнение Бюргерса не допускает решения, соединяющего два однородных состояния множеством непрерывно изменяющихся состояний. Отсюда мы делаем вывод, что

Нелинейность уравнения Бюргерса позволяет гладко соединить два асимптотически однородных состояния с помощью непрерывно изменяющихся состояний.

Ранее отмечалось, что при наличии области отрицательного наклона у профиля импульса решение уравнения 11(a) (в котором отсутствует член ихх) имеет участки с весьма крутым наклоном, даже если начальный профиль не имел таких участков. Напротив, нетрудно показать, что наличие члена со второй производной не только предотвращает образование очень больших градиентов, но на самом деле сглаживает любой начальный разрыв (Лайтхилл [1956, разд. 7.3]).

Отсюда мы делаем вывод, что член второго порядка в уравнении Бюргерса не допускает появления крутых1 наклонов профиля волны. Итак, член второго порядка стремится нейтрализовать влияние нелинейности в области сжатия и сгладить разрывы.

Обозначим через 自- значение 三，при котором и (g -) = и^— —а (〃二一£), н через 自十 значение 自，при котором 〃(自+)= ==+ a (ui — ui), где а ——малая положительная величина. Тогда, из (2.31) имеем

自+ — 丁 = [4p./(ui — wi)] {In (1 — a) — Ina}. (2.38)

Из уравнения (2.38) роль параметра 卩 очевидна. Когда ц-> 0, то 三+f 自一，так что при переходе от 〃二 к uj функция 〃⑸ терпит разрыв. Таким образом, параметр 卩 стремится размыть разрыв в профиле 〃，который стремится образовать нелинейность. Имея в виду это свойство, мы говорим, что волна является диссипирующей и ц есть мера диссипации. Действительно, на гидродинамическом языке соотношение (2.38) есть мера толщины ударной волны.

Диспергирующие волны

Чтобы выяснить роль члена, содержащего третью производную по % в уравнении 11(c), по отношению к нелинейному члену, сопоставим уравнения II (с) и I (с). Ради простоты ограничимся случаем К > 0. Однако заметим, что в то время как нелинейное уравнение

Щ + иих + К〃ххх = 0, К V о, с помощью преобразования 〃->——и,尤^尤,/-> / всегда может быть преобразовано к уравнению

Щ + 况况尤 + (— К) ^ххх = °,— К > 0,

мы не можем одновременно преобразовывать линейное уравнение к уравнению с К > 0.

Решение / (с)

Применяя метод Фурье к линейному уравнению 1(c), получаем следующее дисперсионное соотношение: ^ = ck ——K^K Таким образом, з является действительной функцией 々，и мы можем обычным способом определить фазовую и групповую скорости:

V р =(а/k = С —《々2 (V р — функция 左)，

Vg = s'(扮=с — ЗК廖 (Vg ~ функция 左).

Поскольку VP，Vg, волна будет диспергирующей.

242 Решение уравнения КдФ

Рассмотрим сначала линеаризованное уравнение КдФ ш + Киххх — 0, для которого дисперсионное соотношение имеет вид(о = ——К^. Поскольку d (R 娱 0, волна будет диспергирующей. Отыщем теперь стационарное решение уравнения КдФ, задав его в виде

况（%，/）=江（自），自===% 或.况（%，/）=江（自），自===% 或.(2.39)(2.39)

况（%，/）=江（自），自===% 或.

况（%，/）=江（自），自===% 或.

(2.39)

(2.39)

Подставляя (2.39) в 11(c), получим

—0*(2.40)

Интегрируя его, придем к уравнению

—си -j- 1/2〃？ + К%а = 4(2.41)

Умножая последнее уравнение па 〃± и интегрируя, получаем —%ci? + % 序 + %К% =』〃 + 5

илиЗК嘴== — £? + з“2 + 6Ли + 6В м f (况)•(2.42)

Перепишем его в виде

%况! + (1/6k) {—门〃)} = 0,(2.43)

тогда, интерпретируя 〃 н 占 как пространственную и временную координаты, мы сможем рассматривать уравнение (2.43) как уравнение сохранения энергии движения частицы единичной массы в поле потенциала (l/6K)f(〃) или же как уравнение ангармонического осциллятора. При определенных условиях уравнение (2.43) может описывать периодическое движение, совершающееся между двумя смежными вещественными нулями функции f(况),где f (况)20. Такая интерпретация дает нам эффективный подход в изучении уравнения (2.42). Функция f(u) — кубический полином и имеет три корня. Сначала Заметим, что если 况=с является его корнем, то 〃 = с будет решением уравнения (2.43), описывающим состояние покоя. В дальнейшем мы будем изучать решения, описывающие непостоянные ограниченные движения. Очевидно, мы должны рассмотреть два случая: (1) когда только один корень вещественный и (2) когда все три корня вещественны.

Случай (1). Рисунок 2.5 дает ориентировочную картину изменения f(况)в зависимости от 况,когда имеется только один вещественный корень при 〃 = с{. Из рис. 2.5 ясно, что f (〃) V 0, когда 〃 > с】，н f(况)N 0, когда и V Ci, поэтому для вещественных решений мы должны рассматривать интервал 况 V с，В этой области имеем

duld^±：^\l3K)f^\

Заметим в первую очередь, что если ^(Ci) = 0, то состояние 况=с】 не может быть достигнуто на конечном расстоянии. Поэтому мы положим f'(Ci)=#O・ Теперь решение рассматриваемого уравнения существует и достигает значения и = с^ при Е = go* Так как f (况)остается положительным при 〃 V с【 и стремится к оо при 〃тоо, то решение оказывается неограниченным.

Случай (2). Теперь рассмотрим случай, когда все три корня а, р, у функции f (况)вещественны. Не теряя общности, мы можем задать такой порядок величин: а 2 В 2 у. Рисунок 2.6 дает приблизительную картину изменения функции /(辽)，когда все корни различны (кривая Д), когда 0 = 丫 (кривая В) и когда 0 = а (кривая С). Кривая В касается оси и

Рис. 2.5. Приблизительный график функции /(〃)，когда она имеет только один вещественный корень.

в точке 7，а кривая С касается оси и в точке а. Далее для определения значений параметров с, А и В в выражении для f(〃) используются следующие выражения:

С = 1/з (а 十 в + Y), л = — 7б (а₽ + BY + Y。)，В = %冲丫. (2.44)

Выражая /(况)через корни а, 0 и у, получаем

/ (卫)=(况—Y)(况 一 B) (a -况).(2.45)

Поскольку решение должно быть вещественным и ограниченным, мы должны ограничить и между р и а для кривой А и

Рис. 2.6. Приблизительный график функции f(〃)， когда все три корня вещественны: Л) корни различны (кноидальная волна); В) 0 = 丫 (уединенная волна); С) р — ос (постоянное решение иа).

между В = у н а для кривой В. Для кривой С допустимы значения 况 V у, но в этом случае, как и в случае (1), ограниченное решение невозможно. Однако обсуждение случая, когда 0та, оказывается особенно интересным.

Начнем с вывода достаточных условий, при которых f(u) имеет три вещественных корня. Легко проверить, что

поэтому если а, р и упоэтому если а, р и ус2 + 2А = {(а — В)? + (₽- ?)2 + (Y-崂}/18,

поэтому если а, р и у

поэтому если а, р и у

(2.46)(2.46)вещественны, тос2 + 2А^0.

(2.46)

(2.46)

Теперь заметим, что /(а) достигает положительного максимума между р и а и отрицательного минимума между у и р. Предельные значения f(〃) достигаются прн〃 = с 土 V^2 + 2Л . Поэтому

/ {с + VcHM} > о, “с 一、/。2 + 24} & 0.(2.47, 2.48)

Соотношения (2.46)——(2.48) дают требуемый ряд условий, которые обеспечивают вещественность нулей функции /(а).

Рассмотрим теперь последовательно все три указанных выше случая более подробно.

Случай』：а, 0, 丫 различны. Из уравнений (2.42) и (2.45) имеем

[(〃一Y)(〃一0)(a一〃)»2(3К户2 •(44可

Полагая видуПолагая видуdg2 dpdg2 dp(2.50)(2.50)а — и = р?, приведем написанное выше уравнение к

Полагая виду

Полагая виду

dg2 dp

dg2 dp

(2.50)

(2.50)

Если теперь в последнем уравнении сделать замену р = =д/а — pg, то оно примет следующую форму:

"a 一 Y强=码二爲將:禍产''(2.51)

… = П优一"音.(252)

(2.53a)(2.536)(2・54)(2.53a)(2.536)(2・54)Из введенного выше порядка нулей ясно, что 0 V s2 Vl. Как упоминалось выше,卩 W 辽 W а. Из (2.52) следует, что и — а соответствует g = 6, в то время как и = р соответствует д=1. Поэтому, выбирая 自=0 при g = 0, получаем

(2.53a)

(2.536)

(2・54)

(2.53a)

(2.536)

(2・54)

自=自=dq— s2q2)(1 — q2)}%dq— s2q2)(1 — q2)}%

自=

自=

dq

— s2q2)(1 — q2)}%

dq

— s2q2)(1 — q2)}%

/ W „1 /、

= Л/ЕГ$П 】(g,S),

ИЛИИЛИ^) = B + (a —В)сп2&"书萨，з],

ИЛИ

ИЛИ

где sn и сп ——эллиптические функции Якоби (sn-1 ——функция, обратная к sn). Из (2.536) получим период 尸 функции 现(三) по координате 自：

р=2j= 4 \ К(S), (2.55)

V а — у J {(1 — s/2) (1 —絞)} ' V а —丫

где ^(s)— полный эллиптический интеграл первого рода. Заметим, что в этом случае ограниченное решение уравнения КдФ описывает периодическую волну, период которой может быть определен. Из-за наличия функции сп в выражении 卫(Е) соответствующая волна называется кноидальной.

Случай В: у = р у= а. Здесь и должно быть заключено между 丫 и а, поскольку решение должно быть ограниченным и вещественным. Из уравнений (2.42) и (2.45) при у = 0 получим

(〃_；；』，⑵ 56)

что после интегрирования дает

〃(自)=Y + (а — Y)sech? {"(а — 丫)/12К &}.(2.57)

Максимум и перемещается и определяется из условия равенства нулю переменной

自=% _ (2у 十 а) 〃3.(2.58)

Период волны 尸 задается выражением (2.55):

Р = 4д/謹川告…(2.59)

О

При gf 土 оо из (2.57) получаем ат?. Таким образом, у — =Ug означает однородное состояние при 土 8. Мы можем обозначить а — у через а и интерпретировать а как амплитуду волны. Поэтому предпочтительней записать (2.57) в виде

a sech[^/a'\2K {х — + а/3) /}]• (2.60) Сделаем следующие важные замечания о полученном решении:

Ширина волны пропорциональна квадратному корню из К; роль К заключается в расплывании волны. Дисперсия нелинейной волны проявляется в расплывании волны.

Амплитуда не зависит от однородного состояния Uoo при 自=± 8.

В бегущей волне, представляемой уравнением (2.60), переход от состояния покоя при 自 + ——оо к состоянию покоя при gf + оо локализуется в окрестности ^ = 0, как показано

Рис. 2.7. Профиль уединенной волны, приближающийся к постоянным состояниям при Е = ±оо и локализованной вблизи Е = 0.

на рис. 2.7. Мы будем называть такой процесс уединенной волной.

Случай С: 丫 =# В = а. Здесь f(u) ^ 0, если и ^ у, и нетрудно показать, что в этом случае ограниченное решение невозможно. Мы рассмотрим случай, когда р а, но не равно строго а. Так как теперь s?f 0, то из случая А мы сразу получим соотношение

"⑹ а - (а 一 р) siM ["0^二而五六(自-自。)]，(2.61)

которое в пределе стремится к постоянному значению а, a период

Р f 2n «丽& 二 у) •(2.62)

Таким образом, мы рассматриваем случай 0т а как предельный случай синусоидальной волны с конечным периодом, заданным выражением (2.62).

Уединенные волны： солитоны

В следующей главе мы изучим одно из наиболее удиви- 'тельных свойств уединенной волны, состоящее в том, что две различные уединенные волны (т. е. волны с определенными амплитудами и поэтому с определенными скоростями) после взаимодействия, согласно нелинейному уравнению КдФ, выходят из области взаимодействия без изменения формы. Это свойство характерно для линейных волн. Такое поведение уединенных волн напоминает поведение гладких твердых частиц при столкновении. В связи с этим уединенным (solitary) волнам было дано название солитонов (solitons).

Солитоны могут иметь большое практическое применение. Рассмотрим импульс, несущий некоторую информацию. Если он подвергается при этом действию больших диссипативных сил, то придет к месту назначения сильно ослабленным. Аналогично импульс, испытывающий при распространении значи- ■тельную дисперсию, придет к месту назначения столь размытым и искаженным, что информация будет полностью потеряна. Однако если импульс распространяется в виде солитона, то он может переносить информацию на большие расстояния без искажений и без заметной потери интенсивности.

Первое появившееся в печати свидетельство о существовании уединенных волн имеется в статье Скотт-Рассела [1844]. Ниже мы воспроизводим из этой статьи интересное и захватывающее описание уединенной волны, которую он случайно увидел.

Однажды я наблюдал движение лодки, которую быстро тянула вдоль узкого канала пара лошадей. Внезапно лодка остановилась, однако этого не случилось с массой воды, приведенной лодкой в движение. Вода сначала собралась около носа судна, где она забурлила, и затем неожиданно с большой скоростью выкатилась вперед, приняв форму уединенного крупного возвышения ——округлого, гладкого и резко очерченного, которое продолжало свой путь вдоль канала без заметного изменения формы и скорости. Я последовал за ним верхом и, нагнав его, обнаружил, что оно все еще катится со скоростью 8——9 миль в час, сохраняя первоначальную форму: оно было длиной порядка 30 футов и высотой 1 ——1,5 фута; его высота постепенно уменьшалась. Я гнался за ним пару миль, пока не потерял из виду в извилинах канала. Такова была моя первая случайная встреча в августе 1834 г. с этим редким и красивым явлением D.

Некоторые другие уравнения эволюции,порождающие солитоны

Имеются также другие уравнения эволюции, допускающие солитонные решения. Выпишем несколько таких уравнений.

D Это описание, сделанное известным английским кораблестроителем, относится к одной из лодок, с помощью которых на конной тяге со скоростью 11—14 км/ч осуществлялось пассажирское сообщение по сети неглубоких каналов (1—1,5 м), покрывавших Англию в прошлом веке.— Прим, иерее.

Обобщенное уравнение КО①

Обобщенное уравнение КдФ

“ + аф₽фх + 屮二=о,2г+1 раз

где а = const, а р, г ——неотрицательные целые числа, имеет следующие важные частные случаи, допускающие решение в виде уединенной волнн:

(1)厂=0, р = 0： без дисперсное линейное уравнение, дающее солитонное решение;

r= 1, р ——нечетное число： уравнение допускает солитонное решение с sign (амплитуда волны) = sign (а);

г=1, р — четное число: уравнение допускает либо солитонную волну сжатия с sign (амплитуда волны)= = sign (а), либо солитонную волну разрежения с sign (амплитуда волны)———sign (а);

厂=1, р = 2: уравнение описывает акустическую волну в некоторых ангармонических решетках (Забуски [1967]) и альфвеновскую волну в бесстолкновительной плазме (Какутани и Оно [1973]);

регуляризованное уравнение КдФ (Бенджамин, Бона и Магони [1972])

q>z + Фх + 屮％ —屮 хх/ = о.

У равнение Буссинеска

Уравнение Буссинеска

Фхх —屮毎十 6 (屮2)хх + фхххх =。

описывает волны в мелкой воде, распространяющиеся в обоих направлениях (Тода и Вадати [1973], Прасад и Равиндран [1977]), одномерную нелинейную волну в решетке (Забуски [1967]). Недавно Хирота [1973] с помощью численных расчетов показал, что это уравнение обладает солитонными решениями.、

Уравнение sin-Гордона

Уравнение sin-Гордона 屮％工——ср^ = sin ф описывает распространение дислокаций в кристалле (Френкель и Конто- рова [1939], Кохендёрфер и Сигер [1950] и Сигер, Донт и Кохендёрфер [1953]), движение стенок Блоха в магнитных кристаллах (Бин и де Блуа [1959], Дёринг [1948], Меников [1972]), распространение «скошенной волны^ вдоль липидной мембраны (Фергасон и Браун [1968]), унитарную теорию элементарных частиц (Энц [1963], Розен и Розеншток

и Скирме [1958, 1961]) и распространение магнитных потоков в линии Джозефсона (Кулик [1966], Лебволь и Штефен [1967], Скотт [1967], Скотт и Джонсон [1969], Скотт [1970]).

.4 Нелинейное уравнение цепочки

Нелинейное уравнение цепочки

md^-yjdt2 = а{^х^ (Ьг^ ~ ехр6rn+i)l， /г=1, 2, 3, 4, 5,;

а, 6 — const, гп = уп —呢一1, называемое уравнением Тоды (Тода [1967а, 19676, 1968, 1969, 1970], Тода и Вадати [1973]). Оно описывает движение в одномерной цепочке масс, взаимодействующих через нелинейный потенциал

и(Г") = (а/6) ехр (— %") + агп — а/6.

Изменяя величины а н 6, можно перейти от линейного случая (а—> оо, 6 -> 0, ab конечно) к случаю твердых сфер (Ь0, ab конечно).

Нелинейное уравнение Шредингера

Нелинейное уравнение Шредингера срХх + /ср^ + ^СI <Р 12Ф = =0 описывает стационарное двумерное самофокусирование плоской волны (Келли [1965], Таланов [1965], Беспалов и Таланов [1966]), одномерную самомодуляцию монохроматической волны (Таниути и Васими [1968], Асано, Таниути и Ядзима [1969], Карпман и Крускал [1968], Хасегава и Тап- перт [1973]), явление самозахвата (самоканализации) в нелинейной оптике (Карпман и Крускал [1968]), распространение теплового импульса в твердом теле (Тапперт и Варма [1970]), ленгмюровские волны в плазме (Фултон [1972], Итикава, Имамура и Таниути [1972], Симицу и Итикава [1972]), а также относится к уравнению Гинзбурга — Ландау в теории сверхпроводимости (де Жен [1966]).

Уравнение Хироты

Уравнение Хироты

阿г + /За I tp |2 tpx + РФхх + io^xxx + d I tp I2 <p = 0, где ар =(т6. Это уравнение сводится к нелинейному уравнению Шредингера при а = о = 0 и модифицированному уравнению КдФ Ф^ + осф2фх + фххх = 0 при р = 6 = 0, а при а = 6 = 0 оно сводится к линейному уравнению m + 卩中芯尤 + + taqpxxx — 0. Хирота [1973] получил ^-coлитoннoe решение этого уравнения.

Уравнение Борна ——Инфельда

Это уравнение записывается в виде

Ч\х (1 -唠)+ 2%屮押"-(1 +Фх)中"=О-

Борн и Инфельд получили это уравнение в трехмерных пространственных координатах в качестве нелинейной модификации уравнений Максвелла, что позволяет представить электрон естественным образом в виде сингулярности (Борн и Инфельд [1934, 1935], Фенберг [1935], Ольсен [1972], Портер [1972]).

Уравнение самоиндуцированной прозрачности

Макколл и Хан [1965] обнаружили путем вычислений, что ультракороткие импульсы света могут проходить сквозь резонансную двухуровневую оптическую среду, как сквозь прозрачную среду. Этот эффект был широко изучен (Макколл и Хан [1967, 1969]) и имеет следующее физическое объяснение. Временной интервал ультракороткого импульса (10~9—10-19 с) оказывается меньше продолжительности фазовой памяти атомных уровней оптической среды. Поэтому наведенная поляризация может удерживать определенное соотношение фаз с падающим импульсом. В результате на фронте импульса возникает обращение атомной населенности, а на спаде импульса за счет индуцированной эмиссии происходит переход в основное состояние. Таким образом, энергия, передаваемая квантовой системе передним фронтом импульса, отбирается от нее в конце импульса обратно. В результате при выполнении соответствующих условий, относящихся к степени когерентности и интенсивности, возникает импульс неизменного профиля, распространяющийся без затухания со скоростью, которая может быть на два — три порядка меньше фазовой скорости света в данной среде.

Рассмотрим квантовый двухуровневый ансамбль атомов. Световая волна поляризует атомы, которые, действуя совместно, превращаются в источник электромагнитного поля. Пусть атомы распределены однородно с плотностью п0, а напряженность электрического поля ^ (x, t) = Е (х, t) cos (kQx —— ——coof), где предполагается, что огибающая Е(х, t) является медленно меняющейся функцией по сравнению с несущей cos (^о^ ——sof)・ Тогда уравнения Максвелла сведутся к виду Et ^Ех =〈尸〉• Здесь ради удобства скорость света и другие физические параметры положены равными единице. С общим случаем читатель может познакомиться в прекрасной обзорной статье Ламба [1971].

Рассмотрим двухуровневый атом с разностью уровней энергии со — со0 ——Асо и обозначим поляризацию в (х, /), обусловленную атомом, через р(Асо, х, /). Ее можно приближенно разложить на компоненты, находящиеся в фазе и со сдвигом на 90° по отношению к несущей электромагнитной волне:

р (Аз, х, f) = Р (Асо, %, /) sin (偽х —①“)+

+ Q (Аз, /) cos (岛％ — %/)•

Теперь уравнение Шредингера для рассматриваемого атома сводится к уравнениям Блоха для огибающих функций Р и Q:

Pt = ЕМ — A(oQ, Qt = АсоР, 此——ЕР, где М (A(d, х, /)—инверсия населенности в одиночном атоме. Мы можем теперь определить величину

〈户‘二询 \ g (Део) р (Д(о, х, Z) d А(о,

где «о — концентрация атомов, а функция g(As) описывает неопределенность энергетических уровней.

Как показали эксперименты и численные расчеты, решение приведенной выше системы уравнений распадается на последовательность отдельных когерентных оптических импульсов.

ЛИТЕРАТУРА

У равнение Бюргерса

Бейтмен (Bateman Н.)

Some recent researches on the motion of fluids. — Mon. Weath. Rev., v. 43, p. 163—170.

Бентон, Шацман (Benton E. R., Platzman G. W.)

A table of solutions of the one*dimensional Burgers equation.— Quart. Appl. Math., v. 30, p. 195—212.

Бюргерс (Burgers J. M.)

Mathematical examples illustrating relations occuring in the theory of turbulent fluid motion. — Trans. Roy. Neth. Acad. Sci., v. 17, p. 1 —53.

Application of a model system to illustrate some points of the statistical theory of free turbulence. — Proc, Roy. Neth. Acad. Sci., v. 43, p. 2—12.

Коул (Cole J. D.)

On a quasi-linear parabolic equation occuring in aerodynamics. —Quart. Appl. Math., v. 9, p. 225—236.

Лайтхилл (Lighthill M. J.)

Viscosity effects in sound waves on finite amplitude.——In: Surveys in mechanics (eds. G. K. Batchelor and R. M. Davies).— Cambridge University Press, p. 250—351.

Лейбович, Сибасе (Leibovich S., Seebass R.)

Nonlinear waves, Chapter 4. — New York: Cornell University

Press. [Имеется перевод： Лейбович С., Сибасе А. Нелинейные волны. — М.: Мир, 1977.]

Хопф (Hopf Е.)

The partial differential equation ut + uux = \iuxx.——Communs Pure and Appl. Math., v. 3, p. 201—230.

Чу (Chu C. W.)

A class of reducible systems of quasi-linear partial differential equations. — Quart. Appl. Math., v. 23, p. 275—278.

Швец M. E., Мелешко В. П.

Численный алгоритм решения системы уравнений гидродинамики атмосферы. — Изв. АН СССР, Физика атмосферы и океана, т. 1, № 9, с. 893—896.

Эймс (Ames W. F.)

Nonlinear partial differential equations in engineering. — New York: Academic Press.

Уравнение КдФ

Бенджамин (Benjamin T. В.)

[1972] The stability of solitary waves. — Proc. Roy. Soc., v. A328, p. 153—183.

Березин Ю. А., Карпман В. И.

О нелинейной эволюции возмущений в плазме и других диспергирующих средах. — ЖЭТФ, т. 51, с. 1557—1564.

Джеффри, Какутани (Jeffrey A., Kakutani Т.)

Weak nonlinear dispersive waves: a discussion centered around the Korteweg — de Vries equation. — SIAM Rev., v. 14, p. 582—— 643.'

Забуски, Крускал (Zabusky N. J., Kruskal M. D.)

Interaction of solitons in a collisionless plasma and the recurrence of initial states. — Phys. Rev. Lett., v. 15, p. 240—243.

Кадомцев Б. Б., Карпман В. И.

Нелинейные волны. — УФН, т. 103, с. 193—213.

Меников (Menikoff А.)

The existence of unbounded solutions of the Kortcweg — de Vries equation. — Communs Pure and Appl. Math., v. 25, p. 407—432.

Миура, Гарднер, Крускал (Miura R. M., Gardner C. S., Kruscal M. D.) [1968] Korteweg — de Vries equation and generalization. IL Existence of conservation laws and constants of the motion.——J. Math. Phys., v. 9, p. 1204—1209.

Сьёберг (Sjoberg A.)■

On the Korteweg — de Vries equation, existence and uniqueness.—J. Math. Analysis and Appl., v. 29, p. 569—579.

Скотт-Рассел (Scott-Russell J.)

Report on waves. — Proc. Roy. Soc. Edinb., p. 319—320.

Скотт, Чу, Маклафлин (Scott А. С., Chu F. Y. E., McLaughlin D. W.) [1973] The soliton: a new concept in applied science. — Prec. Instn. Elec. Engrs., v. 61, p. 1443—1483.

Таниути, Вэй (Taniuti T., Wei С. C.)

Reductive perturbation method in nonlinear wave propagation. I. — J. Phys. Soc. Japan, v. 24, p. 941—966.

Обобщенное уравнение Кдф

Бенджамин, Бона, Магони (Benjamin Т. В., Bona J. L., Mahony J. J.) [1972] Model equations for long waves in nonlinear dispersive systems. —Philos. Trans. Roy. Soc., v. A272, p. 47—78.

Забуски (Zabusky N. J,)

In: Nonlinear partial differential equations (ed. W. Ames). 一 New York: Academic Press, p. 223—258.

ЛИТЕРАТУРА, ДОБАВЛЕННАЯ ПЕРЕВОДЧИКОМ

Захаров В. Е., Фаддеев Л. Д.

Уравнение Кортевега—де Вриза — вполне интегрируемая гамильтонова система.——Функц. анализ, т. 5, № 4, с. 18——27.

Новиков С. П.

Периодическая задача для уравнения Кортевега — де Вриза.— Функц. анализ, 1974, т. 8, № 3, с. 54—66.

Уравнение Буссинеска

Забуски (Zabusky N. J.)

In: Nonlinear waves (ed. W. Ames). — New York: Academic Press, p. 223—258.

Прасад, Равиндран (Prasad P. Ravindran R.)

A theory of nonlinear waves in multi-dimensions: with special reference to surface water waves. — J. Inst. Math, and its Appl., v. 20, p. 9—20.

Тода, Вадати (Toda M., Wadafi M.)

A solution and two solitons in an exponential lattice and related equations, — J. Phys. Soc. Japan., v. 34, p. 18—25.

Хирота (Hirota R.)

Exact N-soliton solutions of the wave equation of long waves in shallow-water and in nonlinear lattices. — J. Math. Phys., v. 14, p. 810—814.

Уравнение sin-Гордона

Бин, де Блуа (Bean С. Р., de Blois R. W.)

Ferromagnetic domain wall as a pseudorelativistic entity. — Bull. Amer. Phys. Soc., v. 4, p. 53.

Дёринг (Doring W.)

Uber die Tragheit der Wande Zwischen weisschen Berzirken.— Z. Naturfoisch., v. 31, p. 373—379.

Кохендёрфер, Сигер (Kochendorfer A., Seeger A.)

Theorie der Versefzun^en in eindimensionalen Atomreihen. I. Periodisch angeordnete Versetzungen.——Z. Phys., v. 127, p. 533—— 550.

Кулик И. О.

О распространении волн в туннельном переходе Джозефсона при наличи вихрей и электродинамика слабой проводимости.—— ЖЭТФ, т. 51, № 6, 1952-1969.

Лебволь, Штефен (Lebwohl Р., Stephen М. J.)

Properties of vortex lines in superconducting barriers. — Phys. Rev., v. 163, p. 376—379.

Меников (Menikoff A.)

The existence of unbounded solutions of the Korfeweg—de Vries equation. — Communs Pure and Appl. Math., v. 25, p. 407—432. Розен, Розеншток (Rosen N., Rosenstock H. B.)

The force between particles in a nonlinear field theory. — Phys. Rev., v. 85, p. 257—259.

Сигер, Донт, Кохендёрфер (Seeger A., Donth Н., Kochendorfer А.)

Theorie der Versetzungen in eindimensionalen Atomreihen. IL Be- Hebig angeordnete und beschleunlgte Versetzungen. — Z. Phys., v. 134, p. 173—193.

Скирме (Skyrme T. H. R.)

A nonlinear theory of strong interactions. — Proc. Roy Soc., v. A247, p. 260—278.

Particle states of a quantized field. — Proc. Roy. Soc., v. A262, p. 237—245.

Скотт (Scott A. C.)

Steady propagation on long Josephson junctions. — Bull. Amer. Phys. Soc., v. 12, 308—309,

Propagation of flux on a long Josephson tunnel junction. — Nuo- vo Cim., V. 69B, p. 241—261.

Скотт, Джонсон (Scott A. C., Johnson W. J.)

Internal flux motion in large Josephson junctions. — Appl. Phys. Lett., v. 14, 316—318. 一

Фергасон, Браун (Fergason J. L., Brown G. H.)

Liquid crystals and living systems. — J. Amer. Oil Chern. Soc.(. V. 45, p. 120—127.

Френкель, Конторова (Frenkel J., Kontorova T.)

On the theory of plastic deformation and twinning. — Phys. Z. USSR, v. 1, p. 137—149.

Энц (Enz U.)

Discrete mass, elementary length, and topological invariant as a consequence of a relativistic invariant variational principle.—— Phys. Rev., v. 131, p. 1392—1394.

ЛИТЕРАТУРА. ДОБАВЛЕННАЯ ПЕРЕВОДЧИКОМ

Захаров В. Е_, Шабат А. Б.

Точная теория двумерной самофокусировки и одномерной автомодуляции волн в нелинейных средах.——ЖЭТФ, т, 61, с. 118—— 134.

Нелинейное уравнение цепочки

Тода (Toda М.)

[1967а] Vibration of a chain with nonlinear interaction. — J. Phys. Soc. Japan, v. 22, p. 431—436.

[1967b] Wave propagation in anharmonic lattices. — J. Phys. Soc. Japan, V. 23, p. 501—506.

[1968, 1969] Mechanics and statistics of nonlinear chains. — Proc. Inter- nat. Conference on Statistical Mechanics, Kyoto, Japan; cm. также: J. Phys. Soc. Japan, v. 26, Suppl.', p. 235—237.

Waves in nonlinear lattices. — Prog. Theor. Phys., v. 45, Suppl., p. 174—200.

Тода, Вадати (Toda M,, Wadati M.)

A soliton and two solitons in an exponential lattice and related equations. — J. Phys. Soc. Japan, v. 34, p. 18—25.

Нелинейное уравнение UJредингера

Асано, Таниути, Ядзима (Asano N., Taniuti Т., Yajima N.)

Perturbation method for nonlinear wave modulation, II, — J. Math. Phys., v. 10, p. 2020—2024.

Беспалов В. И., Таланов В. И.

О нитевидной структуре пучков света в нелинейных жидкостях.—Письма ЖЭТФ, т. 3, № 12, с. 471—476,

де Жен (de Gennes Р, G.)

Superconductivity of metals and alloys, Chapter 6. — New York- Benjamin.

Итикава, Имамура, Таниути (Ichikawa V. H., Imamura T., Taniuti T.)

Nonlinear wave modulation in collisionless plasma.——J. Phys. Soc. Japan, v. 33, p. 189—197.

Карпман В. И., Крускал Е. М.

О модуляции волн в нелинейных диспергирующих средах.— ЖЭТФ, т. 55, № 2(8), с. 530—538.

Келли (Kelley Р. L.)

Self-focusing of optic beams. — Phys. Rev. Lett., v. 15, p. 1005— 1008.

Равиндран, Прасад (Ravindran R., Prasad P.)

A mathematical analysis of nonlinear waves in a fluid Silled viscoelastic tube. — Acta. AAech., v. 31, p. 253—280.

Симицу, Итикава (Shimizu К., Ichikawa V. H.)

Automodulation of ion oscillation modes in plasma.——J. Phys. Soc. Japan, v. 33, p. 789—792.

Таланов В. И.

О самофокусирующихся новых пучках в нелинейной среде.—— ЖЭТФ, т. 2, № 5, с. 218—222.

Таниути, Васими (Taniuti Т., Washimi Н.)

Self-trapping and instability of hydromagnetic waves along the magnetic field in a cold plasma.— Phys.. Rev. Lett., v. 21, p. 209—212.

Тапперт, Варма (Tappert F., Varma С. M.)

Asymptotic theory of self-trapping of heat pulses in solids.— Phys. Rev. Lett., v. 25, p. 1108—1 111.

Фултои (Fulton T. A.)

Aspects of vortices in long Josephson junctions. — Bull. Amer. Phys. Soc., v. 17, p. 46.

Хасегава, Тапперт (Hasegawa A., Tappert F.)

Transmission of stationary nonlinear optical pulses in dispersive dielectric fibers. I. Anomalous dispersion. — Appl. Phys. Lett, v. 23, p. 142—144.

Уравнение Хираты

Хирота (Hirota R.)

Exact envelope — soliton solutions of a nonlinear wave equation.—J. Math. Phys., v. 14, p. 805—809.

Уравнение Борна ——Инфельда

Борн, Инфельд (Born М., Infeld L.)

Foundation of a new Sield theory. — Proc. Roy Soc., v. A144, p. 425—451.

On the quantization of the new field equations. Part. 1. — Proc. Roy Soc., v. A147, p. 522—546; Part 2. — Proc. Roy Soc., v. A150, p. 141 — 166.

Ольсен (Olsen S. L.)

On the quantization of the Born—Infeld theory. — Lett. Nuovo Cim., v. 5, p. 745—747,

Портер (Porter J. R.)

Peeling and conservation laws in the Born — Infeld theory of electromagnetism. — Proc. Cambridge Philos. Soc., v. 72, p. 319— 324.

Фенберг (Feenberg F.)

On the Born — Infeld field theory of the electron. — Phys. Rev., v. 47, p. 148—157.

ЛИТЕРАТУРА, ДОБАВЛЕННАЯ ПЕРЕВОДЧИКОМ

Барбашов Б. М., Черников Н. А.

Решение и квантование нелинейной модели типа поля Борна — Инфельда. — ЖЭТФ, т. 50, с. 1296—1308.'

Уравнение самоиндуцированной прозрачности

Ламб (Lamb G. L.)

Analitical descriptions of ultrashort optical pulse propagation in a resonant medium, — Rev. Mod. Phys., v. 43, p. 99—124.

Макколл, Хан (McCall S. L., Hahn E. L.)

Coherent light propagation through an inhomogeneously broadened 2-level system. — Bull. Amer. Phys. Soc., v. 10, p. 1189.

Self-induced transparency by pulsed coherent light. — Phys. Rev. Lett., v. 18, p. 908—911.

Self-induced transparency. — Phys. Rev., v. 183, p. 457一485.

Приложение ПА

УРАВНЕНИЯ, ОПИСЫВАЮЩИЕ ТЕЧЕНИЕ ГАЗА В ТРУБАХИ ВОЛНЫ НА МЕЛКОЙ ВОДЕ ПЕРЕМЕННОЙ ГЛУБИНЫ

В этом приближении мы рассмотрим две физические задачи и приведем их волновые уравнения к общему виду. В следующем приложении (ПБ) мы опишем метод, с помощью которого это общее уравнение сводится к эталонному. Забегая вперед, заметим, что первая задача приводит к обобщенному уравнению Бюргерса, а вторая — к обобщенному уравнению КдФ. В гл. 1 и 2 было рассмотрено распространение волн в однородных средах. Мы умышленно выбрали две указанные выше задачи, в которых рассматриваются волны в неоднородных средах, чтобы подчеркнуть тот факт, что даже в случае распространения волн в неоднородной среде эталонные уравнения с переменными коэффициентами могут адекватно отобразить реальную физическую ситуацию.

Течение газа £ трубах

Рассмотрим распространение волн в жидкости (газе), текущей по каналу (трубе) переменного сечения. Предположим, что все переменные, характеризующие поток, постоянны по сечению трубы, т. е. движение можем считать одномерным. Для них имеются следующие уравнения (Джеффри, Таниути [1964]).

Уравнение непрерывности

(р 办 + (apo)% = 0,(ПА. 1)

где о ——площадь поперечного сечения канала с координатой X, р — плотность и и — скорость жидкости.

Уравнение движения

% + а% + (1/р) рх — (1/р) цихя = 0, (ПА. 2) где р — давление и 卩一коэффициент вязкости.

Уравнение энергии

(3办 + (g叽=0,(Нa. 3)

где со = V2p«2 + p/(V — О(Н〃・4)

—плотность энергии, и

« = (з + Р)辽一卩"以—%Т%(НА. 5)

■—поток плотности энергии, у ——отношение теплоемкостей (считается постоянным), % — теплопроводность.

Уравнение состояния. Будем предполагать, что между давлением, плотностью и температурой существует следующее соотношение:

р = р(р, Т),(IIA. 6)

где Т может быть выражено через р и р. Удобно считать ро = /, и и ро =户 зависимыми переменными и рассматривать их как элементы вектора-столбца U:

「О ]

U= и .(ПА. 7)

L 」

При этом введем

В = М。，(ПА. 8)

Средние значения этих величин будем считать постоянными. Рассматриваемые уравнения можно записать через переменные и параметры с чертой в следующем виде:

М + "0% + 0"% = О,(ПА. 9)

% + ""力 + (1/р) Рх — (р/р) Sx — (口/0) ихх = О, (ПА. 10)

Pt + а比 + 丫户乙 +(Y — 1) а/Sx — ц(у - 1)«2 — (у — 1)瓦аа% —

-(Y-l)x[p^pp + 2%比分0 + 无T而十 Т^хх + Т.рхх]-

一(Y一1)3[々葭+ ? 疾 J = 0-(НA.11)

Внимательное исследование этих уравнений показывает, что их можно записать в следующем общем виде:

ut + AUX + ^ П (^4 + ^i) U + BS- = 0- (HA. 12) B = 1 a=l

где 〃£ = 0, так как в уравнениях (IIA.9) — (IIA.l 1) после выделения первого члена Ut производные по / отсутствуют, а принимает значения 1 и 2, поскольку в них имеются только

(р = 2, s = 3),(р = 2, s = 3),первая и вторая производные по х

(р = 2, s = 3),

(р = 2, s = 3),

-и р 0 ■ Л =0 и 1/р ,_ О YP и _-О О к：= о о 一ee2-о о к』о о _с4 о「 О心= 0一e5 -e10 -C4/-и р 0 ■ Л =0 и 1/р ,_ О YP и _-О О к：= о о 一ee2-о о к』о о _с4 о「 О心= 0一e5 -e10 -C4/S = In о, В —S = In о, В —Г 0-~ р/р _(v — l)up. О О- и О , ОО 0-1 о о , О 0-Г 0-~ р/р _(v — l)up. О О- и О , ОО 0-1 о о , О 0-00-оО , Kl = h00-оО , Kl = h-C2w е6 - с3/ -e40--C2w е6 - с3/ -e40-

-и р 0 ■ Л =0 и 1/р ,

_ О YP и _

-О О к：= о о 一ee2

-о о к』о о _с4 о

「 О

心= 0

一e5 -e10 -C4/

-и р 0 ■ Л =0 и 1/р ,

_ О YP и _

-О О к：= о о 一ee2

-о о к』о о _с4 о

「 О

心= 0

一e5 -e10 -C4/

S = In о, В —

S = In о, В —

Г 0-

~ р/р _(v — l)up. О О- и О , О

О 0-1 о о , О 0-

Г 0-

~ р/р _(v — l)up. О О- и О , О

О 0-1 о о , О 0-

00-

оО , Kl = h

00-

оО , Kl = h

-C2w е6 - с3/ -e40-

-C2w е6 - с3/ -e40-

где / — единичная матрица третьего порядка, а

& = —(Y — 1)"00, Сз= —(Y — 1)"屍, с5 = —(V — о/Гр,& = —(Y — 1)"00, Сз= —(Y — 1)"屍, с5 = —(V — о/Гр,с2 = —(V — 1) ц,& = —(Y — 1)"诵, &= —(Y — 1)"戸с2 = —(V — 1) ц,& = —(Y — 1)"诵, &= —(Y — 1)"戸

& = —(Y — 1)"00, Сз= —(Y — 1)"屍, с5 = —(V — о/Гр,

& = —(Y — 1)"00, Сз= —(Y — 1)"屍, с5 = —(V — о/Гр,

с2 = —(V — 1) ц,

& = —(Y — 1)"诵, &= —(Y — 1)"戸

с2 = —(V — 1) ц,

& = —(Y — 1)"诵, &= —(Y — 1)"戸

Заметим, что мы пренебрегли зависимостями 口，九 Т°, Тр, Т00A Tqd , Трр от 匕

Распространение волн на мелкой воде с неровным дном

Для длинных береговых волн Перегрин [1967] получил следующую систему уравнений:

幣 + (и • V)u + Vft + 】/б〃2 备 V (V • u) — %" M V [V ・(〃u)] = О,

(ПА. 13а)

祭+ ▽•[(，+/г)и] = О,(ПА. 136)

где и ——горизонтальная скорость, осредненная по вертикальному направлению, Н——глубина при спокойной воде, зависящая от горизонтальной координаты, а А ——амплитуда волны. Если ограничиться движением только по оси 尤，то эти уравнения примут вид

ht + uhx + (Н + h)ux + иНх = О, (ПА. 14а)

% + "% + hx~ %"(〃％工 + Ч^щхх = 0. (ПА. 146)- Заметим, что уравнение (ПА.14а) содержит только первые производные по х и /, однако уравнение (ПА.146) содержит

производные третьего порядка, из которых производная по х повторяется дважды, а по f — только один раз. Эти замечания полезны для правильного выбора матриц Н^ и Kg. Очевидно, здесь р = 3, когда мы превратим уравнения (ПА.14) в (ПА.12). При этом мы положим U = 瓦 ;и далее s — 1,

гu H + hl「卫]

，:=，； = о,，； = [о ]],

чтобы свести систему уравнений (ПА.14) к виду (ПА.12).

Оба приведенных выше примера распространения волн в неоднородной среде были рассмотрены Асано и Оно [1971]. В дополнение к двум этим примерам они рассмотрели также наклонное распространение магнитоакустической волны. Та- ниути и Вэй [1968] описали два примера распространения волн в однородной среде, а именно волн в движущемся газе и ионно-акустических волн. Используя метод сингулярных возмущений, они развили стройную теорию сведения данной системы уравнений в стандартной форме (ПА.12) без последнего члена, т. е. пренебрегая неоднородностью среды, к одному нелинейному уравнению в частных производных, причем это было сделано при предположениях слабой нелинейности, умеренности эффектов дисперсии и диссипации, а также большой длины волны. Ниже (приложение ПБ) для учета умеренной неоднородности мы обсудим теорию сведения в форме, предложенной Асано и Оно.

Другие исследователи для получения уравнений Бюргерса и КдФ (см., например, Лейбович и Сибасе [1972]) использовали «метод нескольких масштабов». Их метод является по существу модификацией процедуры, предложенной Таниути и Вэем [1968]. Прасад и Равиндран [1977] разработали более общий метод получения аналогичного эталонного уравнения для распространения изогнутых волн в многомерных средах.

ЛИТЕРАТУРА

Асано, Оно (Asano N., Ono Н.)

Nonlinear dispersive or dissipative waves. — J. Phys Soc. Japan, v. 31, p. 1830—1836.

Джеффри, Таниути (Jeffrey A., Taniuti T.)

[1964] Nonlinear wave propagation. — New York: Academic Press.

Лейбович С., Сибасе A. (Leibovich S., Seebass A. R.)

Nonlinear waves. Chapter IV.— Ithaca: Cornell University Press., [Имеется перевод: Лейбович С., Сибасе А. Нелинейные волны.— М.: Мир, 1977.]

Перегрин (Peregrine D. Н.)

Long waves on a beach. — J. Fluid Meeh., v. 27, p. 815—827.

Прасад, Равиндран (Prasad P., Ravindran R.)

A theory of nonlinear waves in multi-dimensions: with special reference to surface water waves. — J. Inst. Math, and its Appl.t v. 20, p. 9—20.

Таниути, Вэй (Taniuti T., Wei С. C.)

Reductive perturbation method in nonlinear wave propagation.―- I. — J. Phys. Soc. Japan, v. 241, p. 941—946.

Приложение ПБ

Метод сведения к эталонному уравнению

Чтобы получить масштабы растяжения координат, рассмотрим сравнительно простой случай системы уравнений, описывающей распространение умеренно нелинейных волн в, однородной среде:

Ut + Аих + ^ П("2^ + к2^" = О. (ПБ.1а). 0 = 1 а==1

Ниже мы рассмотрим более общую систему уравнений, описывающую распространение умеренно нелинейных волн в умеренно неоднородной среде:

Ut + AUX+^ n('g^ + Kg^)U + 8Sx = 0, (ПБ. 16) B = i а=1

где последний член учитывает неоднородность среды согласно приложению ПА.

В уравнениях (ПБ.16) U есть вектор-столбец с п компонентами иь а2,…，卫门(〃^ 2), Л, н^ ^a и в суть (孔义孔). матрицы, элементы которых зависят от (7 и х в случае- (ПБ. 16) и только от U —в случае (ПБ.1а), S — известная вектор-функция от х, р 2; индексами хи/, как обычно, обозначены производные по пространственной координате и времени. Мы можем получить дисперсионное соотношение, рассматривая малые колебания U вблизи состояния равновесия Uo

(116 2}，(116 2}，U = % + S ехр {/ (kx — со/)}.

(116 2}，

(116 2}，

Подставляя (11Б. 2) в (ПБ. 1а) и оставляя только первую степень функции а, получаем

(-^/k)I + A0 + ip-kp-1 t 立(砾 一(3/炒碗)]01 = 0,

I6 = 1 a=l丿

(ПБ.З)

где индекс 0 относится к значению U =仇.Уравнение (ПБ.З) дает дисперсионное соотношение в виде

一(哂)/° + & + L好七 П (K^-^/k) Н^ =0. (ПБ.4)

0 = 1 a=l

Поскольку мы интересуемся длинными волнами, уравнение (ПБ.З) решается методом последовательных приближений в предположении, что й мало. Приближение нулевого порядка имеет вид

[一(3优)/ + 4]g0 = 0.[一(3优)/ + 4]g0 = 0.(ПБ.5)(ПБ.5)

[一(3优)/ + 4]g0 = 0.

[一(3优)/ + 4]g0 = 0.

(ПБ.5)

(ПБ.5)

Дисперсионное соотношение нулевого порядка является 孔-而 степенью относительно s/1fc. Пусть А。一 невырожденное собственное значение матрицы 4°, /0 — левый собственный вектор, а г。——правый собственный вектор матрицы Ло для X — = А» Тогда в этом приближении имеем

со/^ = %о, U^ = r^ (точнее, скалярная величина, кратная г0).

(ПБ.6)

Следующее приближение получим подстановкой 九° = 3/々 и 「о = Ui в члены возмущений. В результате имеем

-(哂)/ + 4 + 产S П (您-^福)1 力=0. (ПБ. 7)

8 = 1 a=l丿

Умножая (ПБ.7) на левый собственный вектор /0, приходим

к выражению

(ПБ. 10)(ПБ. 10)третьим членом, можно записать в форме dx/dt =儿 + е九1 + О (е2),

(ПБ. 10)

(ПБ. 10)

где £ ——малый (но не равный нулю) параметр, определяющий степень нелинейности. Сравнивая уравнения (ПБ.8) и (ПБ.10), мы видим, что между нелинейными эффектами и эффектами дисперсии (или диссипации) может возникнуть взаимодействие порядка 8, если

々〜£&, а= 1/(р— 1). (ПБ. 11)

Из (ПБ.П) следует, что произведение е" на длину волны будет порядка единицы. Этот факт следует принимать во внимание при определении движущейся системы координат

(ПБ. 12)(ПБ. 12)

(ПБ. 12)

(ПБ. 12)

применимой для слабо нелинейных длинных волн. Дифференцируя (ПБ.12) по х, получаем

%(1 -左/洋)=eо (1 -z=

dx у / dt 丿 \ 入° + g入］+ О (б?)丿

=濟+］出小。+0(明，

или d&/dr)=入1/厶0 +。(e),

где 1］=濟+忆(nБ. 13)

Это выражение определяет вторую «растягиваемую» переменную ”，связанную с первой переменной 三 соотношением d^/dx\ = 0(1). Дифференцируя (ПБ.12) по /, получаем

dHdt = ^\lx + O^ldHdt = ^\lx + O^l(ПБ. 14)(ПБ. 14)

dHdt = ^\lx + O^l

dHdt = ^\lx + O^l

(ПБ. 14)

(ПБ. 14)

что приводит нас к определению переменной т：

(ПБ. 15)(ПБ. 15)Т = £° + /

(ПБ. 15)

(ПБ. 15)

характеризуемой условием d^/dx = 0(1), Таким образом, мы имеем две группы растягиваемых переменных: 1)三，刀 и 2) Е, т. Очевидно, что в задаче на начальные условия следует использовать первую группу переменных, а для краевой задачи — вторую группу. Характеристики в «растягиваемых» переменных принимают вид

dx/dt = Ао + 叫 dydx\dx/dt = Ао + 叫 dydx\(ПБ. 16)(ПБ. 16)

dx/dt = Ао + 叫 dydx\

dx/dt = Ао + 叫 dydx\

(ПБ. 16)

(ПБ. 16)

(ПБ. 17)(ПБ. 17)при использовании (ПБ.12), (ПБ.13) и dx/dt = А。+ d^/dx

(ПБ. 17)

(ПБ. 17)

при использовании (ПБ.12), (ПБ.15). Из проведенного обсуждения ясно, что масштабы растягивания координат однозначно определены заданной системой уравнений (ПБ.1а). Если среда неоднородная, как это имеет место в большинстве

физических систем, становится существенным взаимодействие волн на неоднородностях.

Теперь мы применим нашу теорию к уравнению (ПБ.16), опираясь на метод растягивания координат, что было сделано Таниути и Вэем [1968] для однородной среды и модифицировано Асано и Оно для учета умеренной неоднородности [1971]. Стационарное состояние системы, отмеченное индексом 0, дается уравнением

а000х + £ Eg詛 4 + 8心*=0.(nБ. 18)

8=1 а=1

Предположим, что Uo и S ——медленно меняющиеся функции х и их изменения могут быть адекватно учтены введением переменной т], определяемой формулой (ПБ.13) с а = =1/(р—1). При изучении изменений Uq и S с изменением х нам следует оценить порядок е. Будем использовать <^.рас- тягиваемые» переменные Ей”，определенные заново следующими выражениями, учитывающими неоднородность среды:

g = e°Q dx/k0-ty n = ea+1x, (ПБ. 19)

где 九о — невырожденное собственное значение матрицы Ло, т. е.九° является скоростью линейной волны. В растягиваемых координатах уравнение (ПБ.18) сводится к уравнению

-^о^от] BqS^ = 0,(ПБ. 20)

если пренебречь членом порядка ер. Разложим U в окрестности UQ по степеням е：

[/ =% + 叫1 + 82/+ …，(nБ.21a)

а коэффициенты матриц также разложим в ряды по степеням 8：

/ = 4 + &4+(ПБ.216)

В = Во + 6^1 +(ПБ. 21в)

Hi = Н^ + еЯ^1 +(ПБ.21Г)

抬=К2о + 吹备 + . . . •(ПБ.21д)

Из (ПБ.19) имеем

鳥= — 詣負=£“(*++ е肃)⑴及22) и, заменяя производные по / производными по 自,получаем OU"熒=0, is/奘=0. Переходя в (ПБ.16) к координатам g, r, подставляя выражения (ПБ.21) в полученное уравне-

ние и приравнивая по отдельности члены при одинаковых степенях е, е2,…нулю, получаем

(4 一九/)U也=0,(ПБ. 23)

一4自 + (1/九0) 4卩2自 + (I/九0) A[U也 + AqU 171 + 4Ug +

+ X П (- H^ + (I/Z) ^o) U^ л + B^ = 0(ПБ.24)

В = 1 ct= 1/

P раз

и т. д. Пусть Го — правый собственный вектор матрицы Л для 九=九о, тогда

(4)—/ 九 о"о = О・(ПБ.25)

Из (ПБ.23) и (ПБ.25) получаем

u1自=尸喚，(nб. 26)

где ср ——скалярная функция переменных 己 и 斗 Отсюда

Qn/wam+PS),(ПБ.27)

где V — произвольная функция только Поскольку произвольность нормы вектора г0 не влияет на конечный результат, V однозначно определяется при условии, что U] и ср заданы при некотором значении & скажем 己=无.Тогда величина ср определяется из уравнения (ПБ.24). Умножая (ПБ.24) на левый собственный вектор /0 матрицы Ло для собственного значения 九°, после некоторых упрощений и использования (ПБ.25) — (ПБ.27) получаем

(1/%) /紹八恥 + ^о^оФп + 九(/% + 4441] + ”0厂0『屮 +

+ %{х П(-喝 + (1%)心)卜噴з + ^А = °-

^^(ПВ. 28)

Это уравнение можно далее упростить, если заметить, что

Л(W[, 〃2，•…，〃九)=才(〃I0 + E〃I1 + • • • + 〃2U + E〃21 + • • • +

+ 〃九0 ++ • • •) = % (4)十 X (°4°〃f)№〃订三 4 + 必卜

Отсюда следует

4 =(Vu#)o UI ~ (VM)u (го屮 + P)=

={(v^)o г。} ф +(V川)o У(ПБ. 29)

и аналогичное выражение для 5> Подставляя (ПБ.29) в (ПБ.28) и перегруппировывая члены, получаем уравнение для ф：

Фп + (аФ + 优)包 + В屮父…自 + Y屮 + Y‘ = 0,(ПБ. 30)

"раз

(ПБ. 31а, 6)(ПБ. 31b)(ПБ. 31г)(ПБ.31Д)(ПБ. 31а, 6)(ПБ. 31b)(ПБ. 31г)(ПБ.31Д)2 = ехр2 = ехр^ у^Л)ф+ ^ Y’exp (卜 d”) d%^ у^Л)ф+ ^ Y’exp (卜 d”) d%(ПБ.32а)(ПБ.32а)

(ПБ. 31а, 6)

(ПБ. 31b)

(ПБ. 31г)

(ПБ.31Д)

(ПБ. 31а, 6)

(ПБ. 31b)

(ПБ. 31г)

(ПБ.31Д)

2 = ехр

2 = ехр

^ у^Л)ф+ ^ Y’exp (卜 d”) d%

^ у^Л)ф+ ^ Y’exp (卜 d”) d%

(ПБ.32а)

(ПБ.32а)

где

% {&')о %} %，=，о {("и，)。丿}七

*/(/()九*(/о

П(-С + (1/м ор0九 о/"。*

— WoS" + /о [{(%4)о е}。0" + {(%8)0 г。} SJy =,

,「也入 + '。[{(%% 了} /" + {a网)。了} S"]

Таким образом, мы свели систему уравнений (ПБ.16) к одному уравнению относительно неизвестной ср. Между прочим заметим, что 0 喚 0, если Сь определяемое (ПБ.9), не равно нулю. В своих работах Таниути и Вэй [1968] и Асано и Оно [1971] рассмотрели случай & — 0.

Из уравнения (ПБ.ЗО) можно удалить ряд членов при помощи преобразования

《=自—\ a，dp +《=自—\ a，dp +гдегде\ I аехр (— \ 丫 d^ \ Vexp (\ Y d?) d? } 2斗

《=自—\ a，dp +

《=自—\ a，dp +

где

где

(ПБ. 326)

0— Л-0— Л-(ПБ. 32в)

0— Л-

0— Л-

При этом производится следующая замена переменных:

(g, л)->а,①，(ПБ.ЗЗа)

Ф-ехр (— \ yd。) {屮隽，0) - \ у'ехр(\ у rf0)rfo}, (ПБ. 336)

а также замена производных по следующей схеме:

0/奕=0/灾，(ПБ.ззr)

告= ^ + [i' + aexp(- \ М8)\у&хр(\ Yd8)d8]£

(ПБ.ЗЗг)

В результате преобразованное уравнение принимает удобный вид:

% + а ехр (- \ 7 面)屮% + 52r…С = 0, (nБ. 34)

р раз

где коэффициенты зависят только от 0. Очевидно, что при р = 2 оно сводится к уравнению Бюргерса, а при р = 3 —

к уравнению КдФ (с переменными коэффициентами). Теперь мы применим изложенный выше метод к двум случаям, рассмотренным в приложении ПА.

Потоки 8 каналах

Стационарные решения задаются уравнениями ыоРоц + РоИоц = О>(ПБ. 35а)

〃о〃оп + (1/Ро)仇ц — роОт/^ост) = О, (ПБ. 356)

Y仇〃оц + «оРо,, +(Y — 1) «оРо 9J。) = 0. (ПБ. 35в) Собственные значения матрицы ~ 〃0 —九и р0о ”

Ло= 0 义一加 1/ро(ПБ. 36)

-0уро 〃о — 九о ・

задаются выражениями

% = 〃о，九0 = %±。0，где ао — YPo/Po- (IIB. 37) Выберем собственное значение

九и = 〃о + 网・(ПБ. 38)

Соответствующие ему правый г0 и левый /0 собственные векторы выражаются в виде

Л)= а。 • /о = [0, YPo> а。]* (ПБ. 39) Ьро-

Тогда "а0ро0 '

”4)5 ro = о ао — 1/ро ， (ПБ. 40a)

-0 y2Poа。-

"о = 2ypQa^(ПБ. 406)

Следовательно, из (II Б.31а) получим а = [(У+1)/2](&/喲.(ПБ.41)

Аналогично из (ПБ.31в) имеем

Р ==号滙 2 — 1)Н&)。0。+ (Г；嵐 + 崛(ПБ. 42)

*2ТРоЛо

и из (ПБ.31г)

Y* = %叫的 + %宓丿歹。+ 崎 J(M° + 1), (ПБ. 43)

где вместо у введено у\ чтобы избежать путаницы, а Мо = = uq/uq — число Маха для невозмущенного потока, опреде-

ляемое из (ПБ.35а, б, в). Окончательно получим для переменной 2一

屮=Q氏)<г严(М°+1)(р(ПБ. 44)

уравнение Бюргерса в форме

% + а弋恥 + р恥自==О,(ИВ. 45)

где

а* = [(у + 1)/2] (&/峭 &/映)吗(НВ. 46)

a р зависит только от 巾

Волны на мелкой воде при неровном дне

В случае % = 〃 = 0 матрица

ГО Н1

А)= [1 0(116.47)

поэтому

Ло = ±，吗(ПБ. 48)

Правый г。и левый /0 собственные векторы имеют вид

../о = [1,九。],(ПБ. 49)

人0 J

а коэффициенты (ПБ.31) для 九о =/7"2 задаются выражениями

a = 3]Qg, р = Мб#/2, Y = 74(l/^)(^n). (ПБ.50а,б,в)

Уравнение КдФ для

2 = 7/5*(ПБ. 51)

примет вид

% + (з/2，т“)屮恥 + (%，勺 & = О (ПБ. 52) с коэффициентами, зависящими только от т].

Между прочим заметим, что аналогичный метод сведения к эталонному уравнению применялся в других ситуациях, например для изучения поведения решений дифференциальных уравнений в окрестности критической точки (Куликовский, Слободкина [1967], Бхатнагар, Прасад [1971], Прасад [1973]) и для расчета эволюции импульса с искривленным волновым фронтом (Прасад [1975]).

ЛИТЕРАТУРА

Бхатнагар, Прасад (Bhatnagar Р. L., Prasad Р.)

[1970, 1971) Study of the self-similar and steady flows near singularities. Part I. — Proc. Roy. Soc., v. A315, p. 569—584; Part II. —ibid., v. A322, p. 45—62.

Куликовский А. Г., Слободкина Ф. А.

Об устойчивости произвольных стационарных течений в окрестности точек перехода через скорость звука. — ПММ, в. 31, № 4, с. 593—602.

Прасад (Prasad Р.)

Nonlinear wave propagation on an arbitrary steady transonic flow. — J. Fluid Meeh., v. 57, p. 721—737.

Approximation of perturbation equations of a quasi-linear hyperbolic system in a neighbourhood of a bicharacteristic. — J. Math. Analysis and its Appl., v. 50, p. 470—482.

3

Взаимодействие солитонов

Введение

В гл. 2 было получено решение типа уединенной волны и(х, /) =+ sech2 [ д/а/12/C {% —(忆十 а/3)/}](3.1)

для уравнения КдФ

〃力 + иих + К^ххх = 0，(3.2)

когда два меньших корня р и у кубического уравнения du/d^ = f(u) = Q равны. В данной главе ради простоты мы рассмотрим уравнение КдФ в виде

〃力一Биих + иххх = 0,(3.3)

полученного из уравнения (3.2) путем следующего преобразования:

х -> К"%〃— 6К"%, / -> t.(3.4)

Предположим, что начальное условие и(х, 0) == uq(x) ограничено и трижды непрерывно дифференцируемо, и так же, как в гл. 2, поставим следующее граничное условие:

〃(％,/) вместе со своими производными —>0 при | х |-> оо, (3.5)

При этих условиях решение уравнения (3.3) типа уединенной волны имеет вид

а (х, /) = — (а2/2) sech2 {(а/2) (х — а2/)},(3.6)

где а в (3.6) можно легко выразить через а н К в (3.1), Цель этой главы состоит в изучении взаимодействия двух и более уединенных волн, что приведет нас к понятию солитона. Как уже упоминалось ранее, солитоны могут приобрести в будущем большое практическое применение.

Свойства уравнения Шредингера

Метод, который мы применим для изучения взаимодействия солитонов, основан на установлении связи между уравнением КдФ и одномерным стационарным уравнением Шредингера D. Основное достоинство такого подхода состоит в том, что мы сможем использовать свойства этого знаменитого

п Называемым также уравнением Штурма — Лиувилля. ^Прим, перев^

уравнения, детально изученного за последние тридцать — сорок лет.

Ниже мы напомним читателю только те свойства уравнения Шредингера, которые понадобятся для наших рассмотрений. Для дальнейших ссылок мы отсылаем читателя к книге Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшица [1974].

Итак, рассмотрим стационарное одномерное уравнение Шредингера

也^ + (九一〃 (х))屮=0,(3.7)

где 〃(％)——потенциал,九 ——значение энергии,屮(％)——волновая функция. В квантовой механике функция 屮 в (3.7) является волновой функцией частицы, движущейся во внешнем поле с потенциальной энергией и(х). Далее нам понадобятся следующие свойства решений уравнения (3.7):

Спектр 九 может быть либо дискретным, либо непрерывным, либо смешанным.

Дискретные точки спектра 九，называемые собственными значениями, отрицательны и соответствуют устойчивым состояниям частиц, движущихся в ограниченных областях пространства. Будем обозначать собственные значения через

九=—%；,—喝，...,—唸，где 乂£>0;(3.8)

величины м также будем называть собственными значениями.

Непрерывные точки спектра отвечают неограниченному движению частицы, когда она достигает бесконечности. На достаточно больших расстояниях потенциальным полем и(х) можно пренебречь и считать частицу свободной. Энергия свободной частицы положительна, следовательно, значения 九 непрерывного спектра положительны. Обозначим их через

九=炉，& > 0.(3.9)

В классической механике частица с энергией Е не может проникнуть в область Е V 〃(％)• Однако в квантовой механике частица при движении в конечной области может находиться в областях пространства, где Ev〃(％), хотя вероятность этого мала, но не равна нулю и быстро стремится к нулю при увеличении расстояния проникания в эту область.

Ни одно значение дискретного спектра не является вырожденным, т. е. каждому собственному значению соответствует одна и только одна собственная функция, как видно из следующего. Пусть две собственные функции соответствуют собственному значению 九.Тогда имеем

WixJWl ="-九=屮2上/"2，ИЛИ "5押2 -"2玄排1 = 0，

т. е., интегрируя один раз, получаем 屮1尤屮2 ——“2/Ф1 = const = =0 в силу граничного условия “i,2->0 при |х|-^оо； Следо-

вательно, имеем “ix/2i = 屮2*/屮2, откуда после интегрирования находим 切=const 心，т. е. две собственные функции различаются лишь постоянным множителем. Непрерывный же спектр вырожден.

Расположим собственные значения по возрастающим велииинам:九 1 V 九2 V 九3 V .. • V 九加 и пусть 屮九 соответствует 九小 Тогда (n + 1)'я собственная функция имеет п нулей в ограниченном интервале на оси %, в котором происходит движение частицы.

Рассмотрим потенциал и(х)->0 при |х|->оо. Тогда при |х|-> оо уравнение Шредингера имеет следующую асимптотическую форму:屮尤尤一Р 九屮=0. Для дискретного спектра оно записывается в виде 屮力尤——层屮=0 и имеет два независимых решения

^ = с± ехр (士 хх).(3.10)

Ясно, что при х-> оо допустимым решением является ехр (——их) и при оо решение есть ехр (хх). Для непрерывного спектра уравнение Шредингера принимает вид ^хх + + k2^ = 0, и его два независимых решения даются формулами

р = а± 优)ехр (± /Ах).(3.11)

Здесь решение ехр (ikx) отвечает частице, движущейся в положительном направлении оси х, в то время как решение ехр (——ikx) отвечает частице, движущейся в отрицательном направлении оси х.

В нашем рассмотрении, используя 〃(％, /), определяемое уравнением КдФ (3.3) как потенциал в уравнении Шредингера, будем считать / параметром, так что собственные значения и собственные функции (а также элементы непрерывного спектра) уравнения Шредингера будут зависеть от t параметрически. Итак, мы можем записать

% = X (/),i|)= *ф (х; /).(3.12)

При х-> оо и 4fo волновую функцию непрерывного спектра можно представить асимптотически в виде линейной комбинации двух гармонических волн ехр (土j&x) и аналогично при х-^—оо. Рассмотрим волну, приходящую из 力=оо. Можно записать

2 ~ ехр (——£&尤)+ b (左)exp (ikx) при x-> + оо,

2 〜a(右)exp(― ikx)при х->— оо, (3・13)

где комплексные числа 6 (左)и а (Л), зависящие от волнового числа, есть коэффициенты отражения и прохождения соответственно. Здесь взята падающая волна единичной ампли- тудн, В случае дискретного спектра 乂团 собственные функции

2加->0 при Iх|-> оо и квадраты их интегрируемы, значит, мы можем нормировать ее по следующему правилу:

,嶋 dxi(3.14)

Из закона сохранения энергии имеем: энергия падающей волны равна сумме энергии отраженной волны и энергии прошедшей волны, т. е.

1=|出|十1加|,(3.15)

а 乂加,Ст, Ь(&) и а (А) образуют параметры рассеяния для волны.

Уравнение Шредингера является уравнением второго порядка, и поэтому необходимо рассматривать два его независимых решения. Предположим, что 屮——одно из решений, а Ф ——другое линейно независимое решение уравнения, тогда ^хх + (^ ——и)ф = 0. Делая подстановку 屮=“X и используя со0тношение2尤尤+ (九一〃)2 =0, имеем x尤尤/夫尤+ 22х/屮 =0, проинтегрировав которое получим Хх = А/^2. Отсюда X = =Д d%/炉 + 8, и другое решение имеет вид

(р= Л-ф dxM + 砚.

Мы можем опустить второй член справа, так как он будет включен в член, содержащий “. Поэтому мы можем принять (р = 2 \ dx/i|A о

И. Пусть потенциал 〃(％)——четная функция. Тогда уравнение Шредингера инвариантно относительно преобразования х f —х. Следовательно, если “ (х)——собственная функция, то р(——х)——тоже собственная функция и они равны с точностью до постоянного множителя: р(—尤)=(?屮(尤).Еще раз применяя преобразование х->—х, получаем 《(％) = =с“ (—х) = с2^ (%), так что с = ± 1 н р (—х) = 土屮(х). Поэтому если потенциал симметричен относительно х = 0, то волновая функция стационарных состояний либо четная, либо нечетная. Этот результат следует из предположения, что дискретный спектр оператора Шредингера невырожден. Если мы не будем делать этого предположения, то при преобразовании 尤^—х две собственные функции с одним и тем же собственным значением могут просто переходить друг в друга.

3.3 Интервалы уравнения и связьмежду уравнениями КдФ и Шредингера

Запишем уравнение КдФ

4 f — 6〃〃x + иххх = О(3.16)

в форме закона сохранения

& + Хх = 0,(3.17)

;де Т = и, X = —3〃2 + их%. Если мы предположим, что функция и периодична по х либо что w и ее производные исчезают достаточно быстро при %-> ±8, то, интегрируя закон сохранения (3.17), получим

*、Т dx = 0 или、Т dx = I, где / не зависит от времени.

(3,18)

Таким образом, I =^и dx с пределами интегрирования 士 8 или двумя концами периода по % есть не зависящий от времени функционал на решениях уравнения КдФ. Мы назовем не зависящий от времени функционал интегралом уравнения. Миура, Гарднер и Крускал [1968] показали, что уравнение КдФ имеет бесконечное число полиномиальных законов сохранения. Первый из них выписан выше. Следующий может быть выведен при помощи умножения (3.16) на 〃，так что

Т = х = %〃з + 〃％ — %咚 (3.19)

Третий был выведен Уиземом в 1967 году:

Т = %〃з _ 成，X = |/〃 + 歩乙х - 2〃呢-2ихиххх + 〃厶.(3.20)

Так как каждый закон сохранения дает интеграл уравнения КдФ, ясно, что уравнение КдФ имеет бесконечное число интегралов вида (3.18). Однако это не единственные интегралы, как мы вскоре увидим. Объясним теперь, каким образом впервые возникло уравнение Шредингера при изучении уравнения КдФ- Подставим

〃=标 +(3.21)

в уравнение КдФ (3.16). Тогда получим уравнение

2。(力—6标厶 + vxxx) + ®f - 6絞。工 + vxxx)x = 0, которое удовлетворяется, когда 。удовлетворяет модифицированному уравнению К。①

vt — Qv2vx + vxxx = 0.(3.22)

Таким образом, если у эволюционирует согласно (3.22), то w, определяемое уравнением (3.16), удовлетворяет уравне-

нию КдФ. Модифицированное уравнение КдФ имеет также бесконечное число полиномиальных законов сохранения вида (3.17), причем первые три из них имеют вид

7 = и, X = 1/з^3 + ^хх>(3.23)

т = %* X =九仅 + и% — ％ 或， (3.24)

/ = %m一 3/2吸 х = %* + 注% — 3注或—3%为х +

(3.25)

Законы сохранения определяют интегралы модифицированного уравнения КдФ. Уравнение (3.21) устанавливает связь между упоминавшимися выше интегралами уравнения КдФ (3.16) и модифицированного уравнения КдФ (3.22). Эта связь справедлива для всех интегралов, за исключением интеграла модифицированного уравнения КдФ [ vdx, который не может быть получен из интеграла уравнения КдФ при помощи преобразования (3.21). Для данной функции и соотношение (3.21) есть не что иное, как уравнение Риккати, которое может быть превращено в линейное уравнение при помощи хорошо известной подстановки

и = ^х/1^*(3.26)

Уравнение для -ф есть одномерное уравнение Шредингера

^хх — а" = 0(3.27)

без членов, отвечающих ненулевым уровням энергии. Замечая, что уравнение КдФ инвариантно относительно преобразований

/ ―> У, х —> %’ — 6и —> а' + с,(3.28)

в (3.27) могут быть введены и ненулевые уровни энергии. Это также ведет к доказательству того, что собственные значения уравнения Шредингера

5# + (% — а)屮=0,(3.29)

где и эволюционирует согласно уравнению КдФ, суть не зависящие от времени функционалы от w, т. е. они являются интегралами уравнения КдФ (3.16). В следующем разделе мы докажем это.

Независимость от времени спектра уравненияШредингера, определение параметров рассеяния

Докажем, что собственные значения уравнения Шредингера (3.29) не зависят от t, которое входит пераметрически в потенциал а(%, f), удовлетворяющий зависимому от вре-

мени уравнению КдФ. Из (3.29) имеем

и = ^хх1^ + Л.(3.30)

Подставляя (3.30) в (3.17), получаем °

儿屮2 + 仰凡—5R)% = 0,(3.31)

гдеR =屯十心戸一6%也一3也必J少=(3.32а)

=也 + ^ххх — з (u + Л) 5・(3.326)

Интегрируя (3.31) по х от х == — оо до + 8 и рассматривая нормированные волновые функции, получаем

儿=0(3.33)

в силу граничных условий на -ф, а именно в силу того, что 2 и ее производные стремятся к нулю при |х|->оо. Утверждение доказано.

Наиболее важное следствие этого результата заключается в том, что мы можем сразу же для всех моментов времени определить спектр уравнения Шредингера, используя начальное условие и(х, 0) = и0(х), заданное заранее для решения уравнения Кд①.

Для непрерывного спектра собственное значение 九 может быть принято не зависящим от £, следовательно, (3.33) должно выполняться. Подставляя (3.33) в (3.31), как для дискретного, так и для непрерывного спектров получаем

"Rxx — RSx = о,(3.34)

что в силу (3.29) сводится к

R%% + (%—a)R = 0・(3.35)

Таким образом, R также удовлетворяет уравнению Шредингера, и мы можем взять■

R = С (Г) 3 十 О (f)屮、d%/^.(3.36)

о

Рассмотрим теперь собственное значение 九.Так как -ф->0 при |%|->8, то для ограниченности R мы должны принять

Q = 0,(3.37)

и значитR = C(/)也(3.38)

или из (3.32а) имеем

С (0 少2 = 2屯 + ^ххх - 6%2也一3s也为.(3.39)

п Получение выражения (3.31) требует от читателя некоторой иску щенности в элементарных преобразованиях.——Прим, перев.

Интегрируя это соотношение по х от ——8 до + 8 и используя граничные условия на ip и ее производные, а также условие нормировки (d/贝)\ ^dx — O, получаем

C(f) = O,(3.40)

так что 也 十 心"为一6九必一3也 Л“Но.(3.41)

При х-> + оо мы можем написать

屮〜％(QexpL%/,號=-唸，％>0.(3.42)

Подставляя (3.42) в (341), имеем (d/dt) с^ = 4x^cm, интегрирование которого дает

Ст 源，/) = % (%，°) exp (4%).(3.43)

Рассмотрим точки из непрерывного спектра й. Для стационарной плоской волны, идущей из х = оо, можно написать

屮〜。侬，/) exp (— ikx), x-> — оо,(3.44)

где a — коэффициент прохождения. Подставляя (3.44) в (3.36), где R дается формулой (3.32), имеем

at + 4/3。一 Ca = (。/〃)\ exp (2ikx) dxt (3.45) о

где левая часть ——функция только от 力 а правая часть содержит функцию от % в качестве множителя. Значит, (3.45) выполняется лишь при

■0 = 0,(3.46)

%-(С — 4^з)а = 0.(3.47)

Последнее равенство содержит неизвестную функцию 0(f). Асимптотическое поведение этой плоской волны при х+оо дается формулой

ip ехр (— ikx) + b (/?, /) exp (ikx),(3.48)

где падающая волна имеет единичную амплитуду и b — коэффициент отражения. Подставляя (3.48) в (3.36), получаем exp (ikx) [bt — 4ik3b — Cb] + exp (— ikx) [M^ — C] = 0, откуда следует, что

С = 4 医 з,(3.49)

bt - 4/3匕 一 cb = 0.(3.50)

Подставляя значение О из (3.49) в (3.47) и (3.50) и интегрируя, получаем

а (瓦 f) — a(k, 0),(3.51)

b (瓦 f) = b 优，0) exp (&/Л).(3.52)

Уравнения (3.43), (3.51) и (3.52) определяют поведение параметров рассеяния cm, а, b в зависимости от t через их значения при f = 0, которые можно получить путем решения уравнения Шредингера с потенциалом 江。(尤),заданным начальным условием для уравнения КдФ. Таким образом, решение прямой задачи рассеяния завершено.

Обратная задача рассеяния

Чтобы определить потенциал а(无,Е) из данных рассеяния, следует решить обратную задачу рассеяния. В настоящей задаче этот потенциал является решением уравнения КдФ. Мы будем следовать методу, предложенному И. М. Гельфандом и Б. М. Левитаном [1951] ° и Кэем и Мозесом [1956], а далее развитому Гарднером, Грином, Крускалом и Миурой [1974]. Эти авторы показали, что требуемое решение уравнения КдФ задается в виде

и (х, /) = — 2 (d/dx) К (а:, х),(3.53)

где К(无,у) удовлетворяет интегральному уравнению Гельфанда —Левитана

К(X, У)+ В (х +у) +，8 (у + z) к (%, z) dz = 0, (3.54)

и ядро В дается выражением 2)

N+8

8(自)= 2 喙(x曲‘)exp (- 乂周 + (1/2冗)\ b 他，/)eхр (力优)dk

*一8(3.55)

в предположении, что существует ^V невырожденных собственных значений уравнения Шредингера. В уравнении (3.55) первый член в правой части дает вклад дискретной части спектра, а второй ——вклад непрерывной части спектра. С помощью уравнений (3.43), (3.51) и (3.52) можно записать в

D А также В. А. Марченко [1955].—Прим, перев.

2> Напомним, что ст (хт, /) есть коэффициент при ехр (——乂的 /) в асимптотике нормированной собственной функции ^т при х-> + °°* — Прим, перев.

явном виде зависимость от времени уравнения (3.55) :

в ® = 2 臨(％,0) ехр (8%? — %mg) +

+ (1/2л) J b 伍，0) exp [z (8/г3/ + ^)] dk. (3.56)

Следовательно, перед тем как решать интегральное уравнение Гельфанда ——Левитана для определения К(х, у), надо определить с^(%% 0), а (財 0) и Ь (А?, 0) из решения прямой задачи рассеяния для уравнения Шредингера, взяв начальное значение и()(х) в качестве потенциала. Таким образом, мы пришли к следующей схеме решения уравнения КдФ：

Задача： определить 〃传7〃Задача： определить 〃传7〃Обратная задала рассеянияОбратная задала рассеянияОпределить потенциал〃(叱 t), зная параметрыОпределить потенциал〃(叱 t), зная параметрырассеяния, т. уравнение Гвльрассеяния, т. уравнение Гвль'ить'ить-Леёитана-ЛеёитанаОпределить зависимость от бремени параметров рассеяния ст(эет, t), 2化力"分色广丿Определить зависимость от бремени параметров рассеяния ст(эет, t), 2化力"分色广丿。工芸oweoqaH 0雲 нпн8HgD- зпнзт3QW8S。工芸oweoqaH 0雲 нпн8HgD- зпнзт3QW8S

Задача： определить 〃传7〃

Задача： определить 〃传7〃

Обратная задала рассеяния

Обратная задала рассеяния

Определить потенциал

〃(叱 t), зная параметры

Определить потенциал

〃(叱 t), зная параметры

рассеяния, т. уравнение Гвль

рассеяния, т. уравнение Гвль

'ить

'ить

-Леёитана

-Леёитана

Определить зависимость от бремени параметров рассеяния ст(эет, t), 2化力"分色广丿

Определить зависимость от бремени параметров рассеяния ст(эет, t), 2化力"分色广丿

。工芸oweoqaH 0雲 нпн8HgD- зпнзт3QW8S

。工芸oweoqaH 0雲 нпн8HgD- зпнзт3QW8S

Определить параметры рассеяния ст(эет, О；, 。色 0, 〃 b(k】 о;Определить параметры рассеяния ст(эет, О；, 。色 0, 〃 b(k】 о;

Определить параметры рассеяния ст(эет, О；, 。色 0, 〃 b(k】 о;

Определить параметры рассеяния ст(эет, О；, 。色 0, 〃 b(k】 о;

^ано:^ано:Прямая задала рассеяния

^ано:

^ано:

Решить ураёнение Шредингера с & (2丿方 канестЗе потенциала

Главное преимущество этого метода заключается в том, что решение нелинейного уравнения Кд① сводится к решению линейного дифференциального уравнения второго порядка (уравнения Шредингера) и линейного интегрального уравнения (т. е. уравнения Гельфанда ——Левитана). Более того, переменные / и х в уравнении (3.54) являются только параметрами, так что оно является интегральным уравнением только относительно единственной переменной у. Если потенциал ао(х) безотражательный, то уравнение существенно упрощается, так как второй член в (3.56) пропадает. В следую-

щем разделе будет показано, что используемые в нем начальные условия а。(％) являются безотражательными потенциалами.

3・6・ Солитонные решения уравнения КдФ

Чтобы проиллюстрировать метод обратной задачи теории рассеяния, в этом разделе мы рассмотрим простые случаи одно- и двухсолитонных решений уравнения КдФ. Это рассмотрение покажет, что одному собственному значению уравнения Шредингера соответствует только одно солитонное решение и наоборот. Мы установим аналогичный факт для общего случая ^ солитонов в следующем разделе.

Односолитонное решение

Мы рассматриваем этот случай лишь для того, чтобы проверить наш метод. Решение (3.6) уравнения (3.3) соответствует начальному условию а°(%) = —{/^ sech2(1/2^x). Для определенности возьмем а = 2, так что стационарное решение уравнения КдФ (3.3), отвечающее начальному условию

〃о (盼=—2 sech2 х,(3.57)

имеет вид

〃(%, ^) = — 2 sech2 (х — 4/).(3.58)

Теперь постараемся получить решение (3.58) при помощи обратной задачи теории рассеяния при начальном условии (3.57). Таким образом, в прямой задаче рассеяния мы должны решить задачу на собственные значения для уравнения Шредингера:

+ (2sech2x + Л) -ф = 0.(3.59)

Потенциал (3.57), который появляется в (3.59), является безотражательным, т. е. b (k, 0) = 0 для непрерывного спектра. Кэй и Мозес [1956] детально рассмотрели весь класс безотражательных потенциалов, частным случаем которых является (3.57) (и (3.84) в следующем разделе). Итак, сделав эти предположения, определим теперь дискретный спектр. Следуя Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшицу [1974], представим решение уравнения (3.59) через гипергеометрические функции. Сначала подставим

•ф = <osechsx(3.60)

в (3,59), тогда получим

s#x — 2s (th х) co# + s[(2 — s — s2) sech2x + Л + s2] = 0.(3.61)

Если мы хотим, чтобы коэффициент при о не зависел от х,

то должны выбрать s? + s — 2 = 0, т. е. s = 1, —2.

Выберем s==l・(3.62)

При этом выборе уравнение (3.61) принимает вид

а)хх一2 (th 盼①％ + (九 + 1) о = 0,(3.63)

где i|)= cosechx.(3.64)

Чтобы привести (3.63) к стандартной форме гипергеометрического уравнения

% (1 — %)勿* + [у — (а + В + 1) х] Ух — абу = 0,(3.65)

сделаем подстановку

= sh2x.(3.66)

Тогда получим следующее уравнение, определяющее о:

自(1 + 自)①匕 + %用 + % (1 一 喲 s = 0,(3.67)

где

3 = (1+“/2 2,(3.68)

причем здесь формально принято

Л = — х2.(3.69)

Так как 〃()(％)=——2/ch2x ——четная функция от 招 решение 屮 уравнения Шредингера (3.59) может быть либо четным по х, либо нечетным. Более того, 自，определенная уравнением (3.66), есть четная функция х, а “自—нечетная функция х. Заметим, что, согласно (3.66),自->8 при х-> ± оо. Следовательно, так как -ф^-0 при |%|т 8 (т. е. при g-> оо), то s/(l+&)“2fo при g-> оо. Четные и нечетные (по х) интегралы уравнения (3.67) имеют вид

3尸尸(一 ％ + %/2, - % - g/2, %, - &), (3.70)

®z =代F ®2, 一％/2, в%, -g). (3-71)

Так как о должно быть ограничено в особой точке ± = —1 уравнения (3.67), выражения (3.70) и (3.71) должны быть полиномами. Далее имеем

(3.72)(3.73)(3.72)(3.73)I ^ (— V2 + х/2, — '/з — х/2, '/2, —6)

(3.72)

(3.73)

(3.72)

(3.73)

22 == 7、 ]，尸(况/，一况/2，%，一 g)，

Значения х, при которых o)i и о)2 являются полиномами, а -ф1 и ”2 стремятся к нулю при g-> оо, соответствуют дискретному Спектр*, Так как (|/(1 -|- |))I/2-> 1 при ±->8, уравнен^

теряет смысл, если мы положим х = 0. Уравнение (3.72) дает приемлемое решение только тогда, когда

——% + х/2 = 0, или х= 1, или Л =——1.(3.74)

Следовательно, уравнение Шредингера имеет единственное собственное значение х = 1. Собственная функция, соответствующая безотражательному потенциалу (3.57), имеет вид

*ф = а/(1 +^)l/2 = a/ch х,

где а определяется из условия нормировки для 屮： + 8

а2 \ sech2х dx — 1 или а= l/V^"»

и нормированная собственная функция имеет вид

屮=(l/V2 ) sech%.(3.75)

Используя уравнение (3.10) при х = 1 и уравнения (3.74), (3.75), имеем

с (0) == lim *ф(х)ехр% = д/2 .(3.76)

Так как потенциал (3.57) является безотражательным, то b (^, 0) = 0, @(々，0)=1. Следовательно, из уравнений (3.43) и (3.56) получаем

с (/) = с ⑼ exp (4/) = «2 exp (4/),(3.77)

8(自,f) = 2exp(& — a.(3.78)

При этом интегральное уравнение Гельфанда — Левитана принимает вид

К(%, y) + 2exp(8f —х—у)+2ехр(& —у) \ ехр(—z)K(居 z)dz=0.

'(3.79)

Рассматривая зависимость (3.79) от у, разумно положить

К(х, y) = L(x) exp (—у).(3.80)

Это предположение устраняет полностью зависимость (3.79) от у, и результирующее уравнение определяет следующее выражение для L(x):

L ⑶匸 一 2 expx/[l + exp (2x — 8/)],(3.81)

так что решение уравнения Гельфанда — Левитана имеет вид

К (%也)=一 2 exp (% — y)/[l + exp (2x — 8f)J,(3.82)

а решение уравнения Кд①,удовлетворяющее начальным условиям (3.57), есть

〃(％，Q = 一 2 {|^^試二丽} = - 2 seel?(X-4Z), (3.83) что совпадает с решением типа уединенной волны (3.58). Этот простой пример объясняет, как работает метод обратной задачи рассеяния. Между прочим заметим, что только одна уединенная волна соответствует собственному значению х = 1.

Двухсолитонное решение

Рассмотрим следующие начальные данные:

% (%) = — 6 sech2 х,(3.84)

в которых амплитуда и ширина волны не соответствуют решению типа уединенной волны (3.6) при / = 0. При этом мы должны решить следующую задачу на собственные значения для уравнения Шредингера:

叭尤 + (А- + 6 sech2 х) -ф = 0.(3.85)

Потенциал 卫0(尤)опять является безотражательным. Попытаемся найти дискретный спектр. Подставляя (3.60) в (3.59) и выбирая s таким, чтобы коэффициент при s не зависел от х, имеем

s = 2, —3.(3.86)

Выбирая s = 2, получаем следующее уравнение для <о:

叫左一4 (th 尤)s% + (4 + %) s = 0.

Теперь при замене независимой переменной на 三 согласно (3.66) это уравнение переходит в уравнение

2(1 + Е)①法 + (% —自)°Ч + % (4 — 乂2)3 = 0,(3.87)

где формально вместо % записано ——х2. Здесь (3.84) также четная функция от %, так что мы выпишем четные и нечетные решения уравнения (3.87):

6 =尸(一1+乂/2, 一1一乂/2, %,-自)，(3.88)

吗="『尸(-% 4- %/2, - % - %/2, 3/2,-自)，(3.89)

Следовательно, четные и нечетные решения уравнения (3.85) имеют вид

ip! = (l/ch2x)F(— 1 + х/2, — 1—х/2, %, — sh2 х),(3.90)

收= (shx/ch2%)尸(一％+ 乂/2, — % — 况/2,3/2, — sh2x). (3.91)

Здесь 21Hlф2 —0 при |х|->оо. Эти граничные условия могут быть удовлетворены лишь в том случае, когда гипергеометрические функции (3.90), (3.91) сводятся к полиномам. Уравнение (3.90) допускает приемлемое решение только тогда, когда

х = 2 (1 一 п) > 0, /г = 0, 1, 2,....

Это дает только одно значение 乂 = 2, соответствующее п = 0, для которого

5 — 1/ch2 х, х = 2.(3.92)

Функция в (3.91) становится полиномом, когда х = 1 ——2孔 > > 0,九=0, 1, 2,...・ Здесь также получим лишь одно значение х, а именно х = 1, соответствующее 〃 = 0, которое

дает допустимое решение

“2 = sh x/ch?х, х= 1.(3.93)

Нормированные функции, соответствующие собственным значениям х = 2 и х = 1, имеют соответственно вид

“1 = («3 /2)sech2x, xt = 2,(3.92‘)

G = «3/2 sech2x • shx, х2 = 1.(3.93‘)

Мы можем сразу определить значения с\(0) и с2(0), как и в (3.76):

q(0)= Нт ехр (2%) (д/3 /2ch2%) = 2 д/3 ,(3.94)

Х->оо

С2(°)= Нт ехр (尤)д/3/2 shx/ch2x —•(3.95)

力-> 00

Следовательно, из уравнения (3.43) имеем

сх (0 = 2 V3 exp (32f),(3.96)

的(/) = «6 exp (4/).(3.97)

Ядро B(g) дается формулой

В (日 н 12 ехр (64/ -2^) + 6 ехр (& 一 自)，(3.98)

так что уравнение Гельфанда — Левитана принимает вид

К (尤，？)+ 12 ехр (64/ — 2х — 2g) + 6 ехр (8/ —尤一乡)+

+ \ {[12 ехр (64/ — 2g — 2г) + бехр (8/ — у — ?)] К (%, г)} dz = 0.

(3.99)

Чтобы сделать это уравнение не зависящим от у, предположим

К (修 у) == СуЦ (х) exp (— 2у) + С2Л2 (х) ехр (— у),(3.100)

где Су = 12ехр(64/), С2 = 6ехр(8/).(3.101)

Подставляя (3.100) в (3.99), приравнивая коэффициенты при ехр(——2у) и ехр (——у) нулю и выполняя необходимые интегрирования, получаем два уравнения для определения L\ (х) иl2 (尤)：

{1 + (&/4) ехр (— 4х)} Ц + (С2/3) ехр (— Зх)厶 + ехр (― 2尤)=0, (&/3) ехр (™ Зх)Л] + {1 + (CJ2) ехр (— 2х)}厶2 + ехр (— х) = 0.

Решая эти уравнения, получаем

厶=-(1/0) {ехр(- 2%) + %& ехр (- 4х)},

厶=(1/。) {~ ехр (— %) + %2& ехр(— 5%)}, где

0=1 +(&/4)ехр(—4 尤) + (С2/2)ехр(-2 尤) + (&С2/72)ехр(-6х)・

Подставляя эти значения £】н £2 в уравнение (3.100) и приравнивая у и х, имеем

К (招 х) = — 6К (招 х) = — 6ехр (8/ — 2%) + 2 ехр (64f — 4力)+ ехр (72f — 6%)

К (招 х) = — 6

К (招 х) = — 6

1 + 3 exp (8/ — 2%) + 3 exp (64/ — 4%) + exp (72f — 6%)

откуда получается следующее решение уравнения КдФ, удовлетворяющее начальному условию (3.84):

о八 一 —[9 3 + 4 ch ⑻一2%) + ch (64, — 4%)/〔仆处

弘 у, £丿一一"[ch(36f —“)+ 3ch(28f-%)]2 • 2」U,丿

Чтобы понять природу этого решения, рассмотрим его асимптотическое поведение при х-> ± оо. При изучении асимптотического поведения мы преследуем цель определить, содержит ли оно скрытые в нем решения для солитонов, соответствующих собственным значениям 乂】=2 и xi = 1. Сначала рассмотрим собственное значение xi = 2. Для этого положим в (3.102)

ехр (4Е)ехр (4Е)И+Зехр (4±)}2И+Зехр (4±)}22 =尤——4х?/ = х ——16/ (3.103) и перейдем к пределу при /->± оо, сохраняя & фиксированным. Можно легко показать, что

ехр (4Е)

ехр (4Е)

И+Зехр (4±)}2

И+Зехр (4±)}2

lim 〃 (х, /) = — 96

/ — 00 g фикс.

=—8 sech2 2 (自一占 1) = — 8 sech2 {2 (% — 16/ —氧)},(3.104)

где ехр(—%) = 3 и(3.105)

lim и (х, /) = — 96 川 丄里(二 4九历=

i^+oo{1 +3exp(—4E)}2

£ фикс.

=—8 sech2 2 (g — ^) = — 8 sech2 {2 (x — 16Z —&：)},(3.106)

где exp (幅)= 3.(3.107)

Аналогично, если мы положим

^ = х '—4渴/ =尤一4/(3.108)

и перейдем к пределу в (3.102) при /-> ± оо, сохраняя 自 постоянным, получим

lim и (х, /) = — 24 “ j* (一产*12"=

{1 +3exp(—2&)}2

W фикс.

(3.109)(3.110)(3.109)(3.110)=—2 sech2 (自一自2)= — 2 sech2 (x — 4/ — &),где exp (2自2)= 3 и

(3.109)

(3.110)

(3.109)

(3.110)

lim/->00^фикс.lim/->00^фикс.“（%，/）= -24'Н貶％户“（%，/）= -24'Н貶％户

lim/->00^фикс.

lim/->00^фикс.

“（%，/）= -24'Н貶％户

“（%，/）= -24'Н貶％户

(3.111)(3.112)(3.111)(3.112)=—2 sech2 (g — ^2) = — 2 sech2 (x — 4/ —紛,где exp (― 2^) = 3.

(3.111)

(3.112)

(3.111)

(3.112)

Теперь понятно, что уравнения (3.104) и (3.106) с точностью до разницы в фазе представляют собой тот же самый солитон, перемещающийся от х = ——оо до х = + оо. Аналогично уравнения (3.109) и (3.111) также с точностью до разницы в фазе представляют собой тот же самый солитон, перемещающийся от % = — оо до х = + оо. Таким образом, можно заключить, что каждому собственному значению уравнения Шредингера (3.85) соответствует односолитонное решение. Между тем уравнение (3.102) описывает двухсолитонную волну, которая распадается на два солитона при tfg и /-> — оо, и эффект нелинейного взаимодействия между ними, описываемого уравнением КдФ, сводится просто к тому, что их взаимное положение смещается по отношению к положению, которое они заняли бы, если бы взаимодействия не было.

На рис. 3.1 изображено взаимодействие двух отдельных солитонов, движущихся с разными скоростями, равными 16 и 4, и амплитудами, равными 8 и 2, начинающими движение с момента / = — оо; при этом больший солитон следует за меньшим. Сначала больший солитон начинает «проглатывать» меньший, затем при / = 0 они сливаются, образуя единую сдвоенную волну. При дальнейшем росте / появляется

больший солитон, оставляя позади меньший; при / = 0,5 они снова разделяются. Как упоминалось ранее, такое поведение солитонов удивительно, так как, если не принимать во внимание разность фаз, оно подобно линейному взаимодействию (т. е. случаю, описываемому линейным волновым уравнением.—Прим, перев.).

'3.6.3. N-солитонное решение

При изучении ^-coлитoнныx решений уравнения КдФ мы будем в основном следовать методу, описанному в п. 3.6.2, делая необходимые изменения.

Предположим, что потенциал 〃。(尤)является безотража- тельным и уравнение Шредингера имеет N собственных значений хт, т = 1, 2, ..., N. Ядро 8(E) из уравнения (3.55) имеет вид

8 ⑧=X c^expi/),(З.ИЗ)

где Cm = Ст (0) ехр(8乂紹，(3.114)

и уравнение Гельфанда — Левитана принимает вид

КЗ У)+ 2 с^ехр[-хш(х + у)] + m = 1 ^ОО

十 2 湍 ехр(—хтг/) j exp (―儿涡)К (x, z) dz = 0.(3.115)

Чтобы устранить из (3.115) зависимость от у, мы должны выбрать К (招 у) в следующем виде:

К (%, у) = — Z Cm^m (х) exp (— иту), (3.116) т=1

где 2(尤)—неизвестные функции, а множители ст введены так, чтобы функции ^т оказались нормированными собственными функциями уравнения Шредингера

屯х —(限+ 〃)2 = 0・(3.117)

Подставим (3.116) в (3.115) и приравняем коэффициенты при ехр (——кту) для того, чтобы получить следующую систему N линейных уравнений для определения неизвестных функций 2：

£ стсп^п (х) 5」就味巫L = /1= 1

=стехр(—ктх), т= 1, 2, ..., М (3.118)

Можно записать эти уравнения в следующем матричном виде: (I + С) ^ = Et(3.119)

где / ——единичная матрица порядка

с = [Cw] = [cmcn 屮三,* t?)“] ](3.120)

есть (Л^ X Л^) -матрица и

2 =

屮2

,E =

-gexp -修%厂 e2 exp (--x2%)

(3.121)

_cn^{~knx} _

—матрицы-столбцы. Достаточное условие единственности решения уравнения (3.119) заключается в положительной определенности С, что действительно имеет место, как видно из нижеследующего. Квадратичная форма, отвечающая квадратной матрице С, имеет вид

^ Nm = 1 n = 1^ Nm = 1 n = 1ехр[一(Ym + 乂?1)用Xm + ^nехр[一(Ym + 乂?1)用Xm + ^nXmxn=Xmxn=сотехр(—хтг) Xmсотехр(—хтг) Xm

^ N

m = 1 n = 1

^ N

m = 1 n = 1

ехр[一(Ym + 乂?1)用Xm + ^n

ехр[一(Ym + 乂?1)用Xm + ^n

Xmxn=

Xmxn=

сотехр(—хтг) Xm

сотехр(—хтг) Xm

откуда следует, что она положительно определённа. Таким образом, доказан факт единственности решения.

Далее легко показать, что

(3.122)(3.123)(3.124)(3.122)(3.123)(3.124)0 < det*(g с》хр[_ 2(£ 乂)屮且(寻编.

(3.122)

(3.123)

(3.124)

(3.122)

(3.123)

(3.124)

так что det (；) > 0.

Из (3.122) следует detC = aexp(—₽х),

где аир положительны. Пусть Qmn — алгебраические дополнения к элементам п-го столбца матрицы / + С в (3.119); тогда, раскладывая по n-му столбцу, имеем

A = det (/ + С)= £(6；„” + Cm% "力;工^j ')~^ Qmn»

где бтп — символ Кронекера. Тогда правило Крамера дает

2nl = (1/А) Z % exp (- х„х) Qmn. (3.126) п == I

Следовательно, приравнивая у и х, получим

К(Х, х) = - X cm^>m (х)ехр(- Хотх) = /п=1

N ^

=—(1/А) Z X Стсп ехр [—(ит + Y") %1 Qmn = /п=1 п= 1

=(1/А) (dA/dx) = d In A/d&(3.127)

и решение уравнения КдФ выражается в виде

и (х, /) = — 2 (d/dx) К(х, х) = — 2 (d2/dx2) In А, (3.128)

=-2 (出/d尤2)in {det (/ + C)}.(3.129)

Покажем, что 屮雄(尤)в (3.116)—нормированные функции, соответствующие собственным значениям уравнения Шредингера

Lm [^т] = 0, Lm 三 d2/dx2 — [乂爲 + 〃(X)],(3.130)

где Lm ——линейный дифференциальный оператор. Применяя оператор Lm к (3.118), после значительного упрощения получим

Lm 伸他]+ У 泸囁-exp {- (хоm + Y“)*}厶"[%] = 0, П —1

или (/ + С) L (г|))= 0,(3.131)

где 厶[屮]=[&[2i],厶[巾2],^^[,ф^]]т — вектор-столбец. Так как матрица / + С невырожденна, то (3.131) допускает только тривиальное решение “屮]=0. Следовательно, 迎一 собственные функции уравнения Шредингера, отвечающие собственным значениям 乂切・ Если запишем (3.118) в форме

Фот ехр (итх) + £ 7：喂;仲"exp (xnx)] exp(- 2x”x) = cm 71= 1

и перейдем к пределу при х-> оо, получим Нт х|)техр (хшх)= Х-> ОО

=сш. Таким образом,屮切一нормированные собственные функции.

3.7. Взаимодействие солитонов

Теперь мы изучим поведение решения (3.129) при

土 8, чтобы доказать, что оно содержит ^ солитонов. Введем следующие обозначения:

N

〃(х, /) = —2%К(Х, Х)= 2^ 2 Cm^m W ехр (— хтх)=

(3.132)(3.133)(3.132)(3.133)=2会2%(х)=2 £紘⑴，где km (х)=明少е ⑶ екр(- %^%),или ^m (х) = (kjc^ exp (>4nl x).

(3.132)

(3.133)

(3.132)

(3.133)

Чтобы получить km, запишем (3.118) через 月辘：

с片 exp (2%x) km + g 卜收m + X”)= 1，俏==1，2N.

"-(3.134)

Дифференцируя (3.134) по х, получим

N

啧 eхр (2%з)% + n 或/(х„, + %)=

=—гх^с^ехр(2хотх)km, /п=1, 2,…，М (3.135)

Заметим, что мы можем решить (3.134) и получить km и затем найти 々^, необходимое для решения (3.132). Однако мы найдем 々3 более удобным и изящным способом с помощью (3.135). Перейдем в уравнениях (3.134) и (3.135) к координатной системе, движущейся со скоростью одного из солитонов, определяемой выражением

= х — 4噜，р = 1, 2,・…М (3.136)

Уравнения (3.134) и (3.135) примут вид

N

爆倡)ехр{- 8% (噸-喲 t} km + £ J J(%m + %„) = !, (3.137)

Cm ⑹ exp {—8% (噸-绰)/} /2； + g 弘/(% + %)=

=-2%&爆⑸ exp {-觊m觴-嗡 %(3.138)

где С„，阳= %2(°)ехр(2%&)・(3.139)

При m — p эти уравнения имеют вид

N

ср 低)kp+ Е kn^m + &) = 1,(3.140)

1

ср ® 齡 + £声1原 1n + 脸=-2吋 рСр®(3.141)

В дальнейшем расположим собственные значения в порядке убывания:

吃 > Х2 >> 乂w(3.142)

Асимптотическое поведение np〃 ff 8

При ff оо уравнение (3.137) принимает вид

X knl^m + х„) = 1, m = 1, 2, .... р — 1,(3.143)

п=1

Ср (g) Йр + S kn/(%m + х„) = 1, т = р, (3.144)

П=1

km = 0, m = р + 1, ..., N.(3.145)

В силу (3.145) мы можем объединить (3.143) и (3.144); тогда имеем

^nl^m + ^n)1 — 6mрСр (自)1 j 2, . . . , p, (3 146)

km = 0,团=p + 1, 〃 + 2,ЛЛ

Аналогично (3.138) и (3.141) дают

2 弘 /(% + 4)= - е。 倡)6执” (2%此 + 外)，rn = 1, 2, ..., p, n=1,(3.147)

^=-2x^ = 0, m = p + \, p + 2N,

Для решения уравнений (3.146) и (3.147) определим матрицы кР三口/% + Y")],m，m=1, 2, ..〃(3.148)

которые имеют положительные определители для всех р = =1, 2,Л^. Пусть Lp ——матрица, полученная из Кр заме

ной последнего столбца на столбец, все элементы которого 1. Из (3.146) и (3.147) по правилу Крамера получим р

km det КР=Х ^тп — Ср (g) Kpmkp, m=l, 2р, (3.149) 唠(1m0=一g值)勺„1(2%同 + %), /nн1, 2，…，p, (3.150)

где Ктп — алгебраическое дополнение к 1/(乂小 + 乂门)в Кр・ Принимая т = р, для kp и /г； имеем

kp = det 厶丿[det К. + Cp ⑨ det 勺一 J,(3.151)

% = — 2Cp ® #p det K—/[det K. + Cp ⑸ det K”J (3.152)

Суммируя (3.150) и используя (3.151) и (3.152), получим

「 А %,— 2xpCp(g)

J釁 乙= [det К Jdet % + % ⑸ det К—/det 厶 j •(3.153)

E фикс. ^ — 1

Мы можем легко вычислить определитель Кр, вычитая последний столбец (〃 = р) из каждого предыдущего и вынося общие множители из строк и столбцов:

(3.154)

Аналогично, вычитая последнюю строку (п = р) определителя Lp из каждой другой, вынося общие множители и разлагая по последнему столбцу (состоящему из нулей и единицы на последнем месте), получим

det Lpdet LpГР-!/ Р-1т=[Д (^р — ^т) JI (Хр — Xm) JГР-!/ Р-1т=[Д (^р — ^т) JI (Хр — Xm) JdetKp-卜detKp-卜(3.155)(3.155)

det Lp

det Lp

ГР-!/ Р-1т

=[Д (^р — ^т) JI (Хр — Xm) J

ГР-!/ Р-1т

=[Д (^р — ^т) JI (Хр — Xm) J

detKp-卜

detKp-卜

(3.155)

(3.155)

Подставляя (3.139), (3.154) и (3.155) в (3.153), получим

,.「 с L /— ^р ехр {2х (g — gp)}

hm и (х, /) = hm 2 〉 km = 7^~八=

5 фикс.5 фикс. «=1「 С 仆

=-2号 seel?图(自一％)]=

=—2x2 sech2 [xp (x — 4кЧ— gp)],(3.156)

где 勖 дается выражением

exP {2嗝} = (с； (0)/2%) g [(% - ％)/(% + xm)]2. (3.157)

Формула (3.156) представляет уединенную волну с амплитудой 2%2, движущуюся в положительном направлении оси х с постоянной скоростью 4х^.

Асимптотическое поведение при /-> ——оо

В этом случае мы имеем следующие уравнения, соответствующие (ЗЛ46) и (3,147):

X ^nl^tn + X") === 1 — Ср (自)6/п/р，团 Р，Р + 1 , N,

Е(3.158)

km = 0, ш = 1, 2, ..., р—1;

卫成/(% + %) = — G ⑸". (2хД + %),

從=〃 Р + 1,・• •，М(3.159)

为J = 一 2m撲为小=0,m= 1, 2, ..., p - 1.

Уравнения (3.158) и (3.159) имеют ту же структуру, что и (3.146) и (3.147) при условии замены изменения m от 1 до р на изменение от р до М Следовательно,

/叱 и (х, /) = — 2” sech2 {% (& —耳)}= £ фикс.

=-2% sech? {% (x - 4噜-聯},(3.160)

где еXр(2喝)=(g(0)/2啕m乩[国一%/(% + %)『•⑶⑹)

Предыдущие рассмотрения ведут к следующему заключению. Если 〃(%,/), решение уравнения КдФ, есть безотражатель- ный потенциал Шредингера, то при /->士8 каждое собственное значение ^р — ~ ^ связано с солитоном, форма которого стремится к форме уединенной волны (3.156) при /->+00 и форме (3.160) при /->—оо. Уединенная волна имеет постоянную скорость 4乂； и амплитуду 2х^. Во время ее прохождения от / = —оо до f = +°° фаза на ее траектории изменяется на величину

^-^^ZK^-J^n^)}. (3.162)

Эта теорема была независимо доказана В. Е. Захаровым [1971], Вадати и Тодой [1972] и Танакой [1972—1973]. Из (3.162) видно, что полный сдвиг фазы есть сумма сдвигов фаз, претерпеваемых при изолированном парном взаимодействии любых двух солитонов. Этот факт был отмечен также В. Е. Захаровым [1971].

Непрерывный спектр оператора Шредингера

Мы рассмотрели волны, соответствующие только дискретному спектру уравнения Шредингера. Абловиц и Ньюэлл [1973] рассматривали проблему, соответствующую непрерывному спектру. Взяв уравнение КдФ в виде щ + иих + иххх = =0, они установили, что если начальные данные не приводят к дискретному спектру, то при 尤》"з решение 〃(％,/) затухает экспоненциально. Однако их результаты для |х| = =О (/1/3) и х《——/"з оказались неверны. Для дальнейшего знакомства с проблемой решения в случае непрерывного спектра рекомендуем обзорную статью Миуры [1976]. Насколько нам известно, случай смешанного спектра еще не исследовался 1*

ЛИТЕРАТУРА

Абловиц, Ньюэлл (Ablowitz М. J., Newell А. С.)

The decay of the continuous spectrum for solutions of the Kor- teweg — de Vries equation. — J. Math. Phys., v. 14, p. 1277— 1284.

Вадати, Тода (Wadati M., Toda M.)

The exact ^-soliton solution of the Korteweg — de Vries equation.—J. Phys. Soc. Japan, v. 32, p. 1403—1411.

Гарднер, Грин, Круокал, Миура (Gardner С. S.( Greene J. M., Kruskal M. D,. Miura R. M.)

Korteweg — de Vries equation and generalizations. VI. Methods for exact solution. — Communs. Pure and Appl. Math., v. 27, p. 97—133.

Гельфанд И. M., Левитан Б. М.

Об определении дифференциального уравнения по его спектральной функции. — Изв. АН СССР, сер. мат., т. 15, с. 309—360.

Захаров В. Е.

Кинетическое уравнение для солитонов. — ЖЭТФ, т. 60, с. 993. Кэй, Мозес (Kay I., Moses Н. Е.)

Reflectionless transmission through dielectrics and scattering potentials.—J. Appl. Phys., v. 27, p. 1503—1508.

Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М.

Квантовая механика (нерелятивистская теория). — М.: Физматгиз, 1974.

Миура (Miura R. М.)

The Korteweg — de Vries equation: a survey of results. — SIAM Rev., v. 18, p. 412—459.

Миура, Гарднер, Крускал (Miura R. M.,Gardner C. S, Kruskal M. D.) [1968] Korteweg — de Vries equation and generalizations. II. Existence of conservation laws and constants of motion. — J. Math. Phys., v. 9, p. 1204—1209.

i) Временная асимптотика решения уравнения КдФ (и подобных ему уравнений) может быть получена в терминах начальных данных в явном виде и в случае смешанного спектра. Для начальных данных частного вида смешанная спектральная задача может быть также разрешена явно. 一 Прим, перев. —

Танака (Tanaka S.)

[1972一1973] On the ^-tuple wave solutions of the Korteweg — de Vries equation. — Publ. Res. Inst. Math. Sci. Kyoto Univ., v. 8, p. 419—427.

ЛИТЕРАТУРА, ДОБАВЛЕННАЯ ПЕРЕВОДЧИКОМ

Динариев О. Ю., Сибгатуллин Н. Р.

О некоторых эффектах диффузии солитонов над неровным дном. — МЖГ, № 5, с. 94—102.

Захаров В. Е.( Манаков С. В., Новиков С. П., Питаевский Л. П,

Теория солитонов: метод обратной задачи. — М.: Наука. Марченко В. А.

Восстановление потенциальной энергии по фазам рассеянных волн. 一 ДАН СССР, т. 104, с. 695—699,

4

Общее уравнение эволюции

Введение

Рассмотрение взаимодействия солитонов в гл. 3 основывалось на возможности связать нелинейное уравнение КдФ с линейным одномерным уравнением Шредингера для стационарных состояний; решение 〃(％,/) уравнения КдФ играло роль потенциала в уравнении Шредингера, а время / рассматривалось как параметр. Эта техника позволила использовать известные свойства собственных значений и функций уравнения Шредингера. Успех метода был обеспечен открытием замечательного свойства этого уравнения, которое состоит в том, что спектр оператора Шредингера с потенциальной энергией, определяемой из уравнения КдФ, не зависит от времени. В результате этот спектр мог быть определен для всех моментов времени лишь при помощи начального условия w(x, 0), взятого в качестве потенциальной функции уравнения Шредингера.

Лакс [1968] в работе, открывшей новое направление в математической теории нелинейных волн, поставил вопрос о возможности изучения таким же образом общего уравнения эволюции

%=К ⑷， (4.1)

где К ——нелинейный оператор, действующий на функцию 〃 и не содержащий явно независимых переменных х и /, и получил положительный ответ.

Сейчас мы рассмотрим метод Лакса, а затем применим его в качестве иллюстрации к рассмотренному ранее уравнению КдФ. Математические средства исследования общего уравнения (4.1) по необходимости должны быть более общими, чем те, которые использовались нами ранее.

Интересно отметить, что исследования Лакса шли параллельно с изучением уравнения КдФ. Это не удивительно, поскольку главная его цель заключалась в объяснении существования солитонов, скрытых в произвольном решении.

Рассмотрим решения уравнения КдФ, принадлежащие классу функций С°°, определенных на вещественной оси ——оо < х < + оо и стремящихся к нулю со своими производными любого порядка при |х|-> оо. Заметим, что решения уравнения КдФ типа уединенной волны принадлежат указанному классу функций. Заметим также, что мы изучали существование солитонов с помощью исследования асимптотического поведения безотражательных решений. В частности, мы

показали, что существует последовательность положительных скоростей Ср = 4乂卞 р = 1, 2, , 8., ^> и соответствующий набор фаз lpt таких, что

同 〃(х, (■賊 С)прн с = Ср， (4⑵ I 0 при с 片

& фикс. \

где 1 = х — ct — координата, движущаяся со скоростью с, и хр — дискретные собственные значения оператора Шредингера с безотражательным потенциалом 〃(％,/). Наша цель в настоящей главе состоит в том, чтобы показать, что результат (4.2) верен для произвольного решения и (х, /) уравнения КдФ.

Итак, ср зависит от выбора решения 〃(％,/) уравнения КдФ. Мы выразим этот факт, назвав ср функционалом от w и написав символически

С" = Ср(〃). (4・3)

Обозначим решение (4.1) типа уединенной волны в виде

5 = s (g),自=%一或. (4.4)

В гл 3 мы ввели понятие интеграла уравнения КдФ, согласно которому собственные скорости ср являются инвариантными функционалами, или интегралами. Математически факт инвариантности можно выразить следующим образом. Если и! и 〃” являются значениями w для двух различных моментов времени，и t", то

с^^с^и'У (4.5)

Аналогично из рассмотрения солитонных решений мы заключаем, что разности фаз 自^—自^ также являются «интегралами» уравнения КдФ. В гл, 3 мы также упомянули, что Миуре, Гарднеру и Крускалу удалось доказать существование бесконечной последовательности интегралов уравнения КдФ. Они предложили метод построения этих интегралов. Интегралы, или не зависящие от времени функционалы, могут существовать также на решениях общего уравнения (4.1). В этой главе мы изучим их свойства.

Первой нашей задачей является введение линейного уравнения, аналогичного уравнению Шредингера, для уравнения (4.1). Затем мы докажем независимость от времени собственных значений этого уравнения. Эти собственные значения будут интегралами уравнения (4.1). Предположения, которые будут сделаны при изучении уравнения (4.1), подсказываются следующими важными свойствами уравнения КдФ:

Уравнение КдФ всегда имеет решение, соответствующее заданным начальным условиям, обладающим достаточной гладкостью и быстро убывающим при |x|f оо.

Решения уравнения КдФ, принадлежащие классу С°°(——оо, оо) и стремящиеся к нулю со своими производными лгобого порядка при | 尤|f оо, определяются единственным образом через свои начальные значения.

Доказательство этой теоремы единственности легко получить следующим образом. Пусть uQ(x)—заданное начальное условие, а 〃 и и ——два возможных решения, имеющих 〃о(%) в качестве начального условия. Тогда

Р ииVр wх и尤尤尤=0.

Вычитая второе уравнение из первого и обозначая и—v через w, получим Wt + uwx + vxw + wxxx = 0. Очевидно, w принадлежит классу C°°(——8,8) и стремится к нулю с производными любого порядка при |х|-^ оо. Умножая последнее уравнение на да и интегрируя по всей оси, получим

方 \ Ч^йх + \ (。工一％儿х) @2 dx = 0.

Вводя обозначения

十8

\ 力苏壮尤二七匕)и max I vx — ll2^x\~m^ J—8<Х + 8

имеем dE/dt W mE, откуда интегрированием получим E(f) w W E(0)exp(m/). А так как

+ 8

E ⑼=，％ [“ (x, 0)-v (%, О)]2 dx = 0,

'-ОО

то Е(/)=0 для всех f》0. Значит,侬=0. Это доказывает единственность решения. Из (а) и (б) следует, что собственные скорости являются функционалами от начальных условий.

В гл. 3 мы рассматривали уравнение КдФ в форме

"t一Quux + 〃尤x* = 0,

а соответствующее ему уравнение Шредингера в форме

d2^/dx2 + (九一〃)屮=0,九=—乂2.

При этом решение типа уединенной волны имело вид

s(x, /)= — 2x2sech2 {х(х — 4х2/)}.

В настоящем рассмотрении запишем уравнение КдФ в виде

〃力 + 〃厶 + ^ХХХ = 0(4.6%

и заменим 九 на ——九，так что соответствующее уравнение Шредингера и решение типа уединенной волны примут форму

d*/dd + [— Л + 厶〃]屮=О,

или L^ = ^, L 三d2/厶2 + 厶a，九=乂2,(4.7)

s(x, /) = 3c sech2 {(д/с /2)(X — с/)},(4 8)

где собственная скорость с = 4х2.

Заметим, что вышеуказанный выбор обусловлен только соображениями удобства анализа и не влияет на общность рассуждений.

Определения

В настоящем разделе мы введем некоторые определения, необходимые для наших рассмотрений. Пусть В ——некоторое пространство функций, таких, что для каждого t решение u(t) уравнения эволюции

% = К(〃)(4.9)

принадлежит В. Предположим, что мы можем сопоставить каждой функции 〃三 В самосопряженный оператор L — L действующий на некотором гильбертовом пространстве ", где символ и под Л указывает на то, что L зависит от решения： и: 〃一＞〃 и обладает следующими свойствами: если временное изменение подчиняется уравнению (4.9), то оператор L(f), который также зависит от времени /, остается унитарно эквивалентным.

Для определения термина 《уннтарная эквивалентность» необходимо ввести ряд определений, которые хорошо известны и будут упомянуты из соображений полноты.

Сопряженный оператор

Пусть ф и 屮三 " н 厶一оператор на ", тогда Л* назовем оператором, сопряженным к L, если

(^ф,屮) = ((р, /Лф)(4.10)

для любых ср и 屮 из области определения оператора, где (,) обозначает скалярное произведение в ".

4.22 Самосопряженный оператор

Оператор L назовем самосопряженным, если он определен для каждого элемента 三" и равен своему сопряженному оператору, т. е.так что

(^Ф,屮)=(中，l屮)(4.11)

для всех 屮 н 屮三"，если L — самосопряженный оператор.

4.2.3 Симметричные w антисимметричные операторы

Пусть L — оператор, определенный в Н. Если (£(р,少)= =(屮，Z/ф) для всех 屮，屮 м 力，где D — область определения L, то L назовем симметричным оператором. Если же

(Aф,")=(ф,(一厶)")，(4.12)

то назовем L антисимметричным оператором. Таким образом, L* — L для симметричного оператора Л и Л =——L* для антисимметричного L. Из определения ясно, что самосопряженный оператор необходимо симметричный.

Унитарный оператор

Оператор U, определенный для каждого элемента из Н, называется унитарным, если

ии* = и*О=/,(4.13)

где / ——тождественный оператор. Следовательно, для унитарного оператора U

и* = £/Т, и =(и*)7, и = и** =(1Г『(4.14)

где мы использовали общее свойство операторов:

Т** = Т.(4.15)

Мы будем также пользоваться следующим свойством операторов. Пусть Г и S — два оператора на ", тогда

(7S)* = ST.(4.16)

Унитарная эквивалентность

Оператор L (/) называется 《унитарно эквивалентным», если существует однопараметрическое семейство унитарных операторов U⑴,таких, что

U~' Q) L@、U (t) не зависит от /.(4.17)

Математически мы выразим этот факт следующим образом:⑷成)[〃-(/)厶(/)〃(/)] = О,

или [U^l LU + U^LtU + U^LUt = 0,(4.18)

где индексом f обозначена производная по времени f.

Пример. Пусть D = d/dt и (中屮)= \ 屮屮 力一 скалярное

произведение в Л2, определенное в гильбертовом пространстве

",н ср,屮三 Н. Тогда

(Q(p,少)=，｛d^/dt) y^dt — — \ 中(出ф/成)d/ = ((p, —/>ф).

Поэтому D — антисимметричный оператор. Рассмотрим теперь выражение

(/Ар,屮)=\ (d2(p/d/2)屮由=\ Ф (d2^/dt2) dt = (qp, ZA|))・

Поэтому Q2 __ симметричный оператор.

В общем случае можно легко показать, что для данного скалярного произведения следующие операторы являются соответственно антисимметричными и симметричными операторами порядка 2^ + 1 и 2g:

<7

恤+1 = D^ + £ (切/Я- + D^-^b^,(4.19a)

<7

в2g = DM + £ (勿£>2j 十 £>2/%).(4.196)

/=1

Заметим, что каждый из этих операторов содержит q неизвестных функций bj, j= 1, 2,q. Заметим также, что мы могли бы доказать симметричность Q? непосредственно, без применения интегрирования:

(Q2(p, 3) = (Q(Q(p),屮) = (Q(p,(―。)屮)=

=仰，(一0)(一。)з)=(中，02з)，(4.20)

откуда (Q2)* = Q2.

В общем случае, когда мы не вводим конкретной нормы, мы можем доказать те же свойства при условии, что скалярное произведение, т. е. билинейный функционал (,), инвариантно по отношению к сдвигу: (/ (.г), g(x)) — (f(x + г), g(尤+ %)). Дифференцируя это выражение по г и полагая г = 0, получаем

(Df, g) + (f, 〃g) = 0, или (Of (%), g (x)) = (f (x), (— D) g (x)),

t. e. C* = -D(4.21)

Результаты для производных высшего порядка можно получить при помощи вышеуказанного приема.

Чтобы объяснить смысл определения (4.2.5), докажем следующую теорему.

Георема 1. Если U(f) — унитарный оператор, определенный на гильбертовом пространстве, то Ut = AU D, где Л — антисимметричный оператор, зависящий от /.

Доказательство. Так как UU* = U*U = /, после дифференцирования по / получаем

и и + и St = 0 и (U) и + и*а = о,

так что U, = — U (U*，(U*『=一 U (U*，U = AU, (4.22) (〃*), = 一 U*U〃*,(4.23)

где А = — UU* так что 4* = 一 [(U*) J U* = — UQ*, при условии, что [(U*)$|* = U/, т. е. при условии, что операции сопряжения и дифференцирования по / перестановочны. Докажем, что это так.

(^Ф, 3) = ($,屮)，

поэтому, дифференцируя по £, получим (U 仰，屮)= (qp, (U*)W). Кроме того, по определению оператора, сопряженного G, имеем ((Uj(p,峭=(屮，(伪)*屮).Следовательно, (U*)t = (“)*, т. e. [(»*)〃*= Ut・ Из (4.23), используя свойства U(/), выведенные в п. 4.2.4, имеем

Д* = - и“ = (U*尸(U) = и (U) = -л.

Таким образом, А* = —А. Это завершает доказательство теоремы. Обратная теорема также верна.

Важным следствием этого результата является тот факт, что унитарные операторы образуют однопараметрическое семейство. Докажем теперь теорему, которая составит основу для наших рассмотрений.

Георема 2. Если L(t)——унитарно эквивалентный оператор, то существует антисимметричный оператор Л, зависящий от 九 такой, что

& = [4 4(4.24)

где [Af L] = AL — LA — коммутатор А и L.

Доказательство. £(/) — унитарно эквивалентный оператор, значит, существует однопараметрическое семейство операторов, удовлетворяющих (4.18). Вычислим сначала (Z/-1)/. Пусть F = Uf, так что f = U-'F. Тогда

f, = [и-土 尸 + 厂Ft =[。一]尸 + t/T [Utf + UfA，или [t/-^ F = - U~lUtf = - U~lUtU~lF.

d В оригинале вместо буквы Л употреблена буква В. Переобозначение связано с почти стандартным термином (£ — Л)-пары, принятым в литературе.— Прим, перев.

Таким образом, получаем

(4.25)(4.25)[U~x}t = ~U~xUtU~\

(4.25)

(4.25)

Подставляя уравнения (4.22) и (4.25) в уравнение (4.18), имеем

-U~'ALU + U~lLtU + U~XLAU = 0,или L，t = ДА —■ LA = [Д,厶].

Теорема доказана.

Понятие унитарной эквивалентности очень важно для дальнейшего рассмотрения. Пусть L—-унитарно эквивалентный оператор при изменении t и 乙屮=九屮，так что 九——собственное значение оператора L. Тогда существует унитарный оператор U, такой, что U—LU не зависит от /. Отсюда следует, что собственные значения оператора U-'LU также не зависят от t. Заменяя 屮=U^ и умножая уравнение L屮=九屮 слева на U", получаем (U—LU)①=入①.Таким образом, собственные значения унитарно эквивалентного оператора 厶 не зависят от времени. Итак, мы доказали следующую основную теорему.

Теорема 3. Собственные значения симметричного оператора L, где w эволюционирует согласно уравнению ut = К(и), не зависят от времени f, если L ——унитарно эквивалентный

оператор. Следовательно, собственные значения 九 оператора £ являются ^интегралами» уравнения эволюции.

Камнем преткновения является вопрос о существовании антисимметричного оператора 4, удовлетворяющего уравнению (4.24). В случае уравнения Шредингера мы можем построить такой антисимметричный оператор, тогда как в общем случае мы будем лишь предполагать о его существовании.

Если оператор L может быть выражен в форме L = Lq +

+ Л4, где Ло не зависит от и и М линейно зависит от 〃，то

теорема 3 может быть сформулирована в измененной форме. Подобного рода ситуация возникает в случае оператора Шредингера: 厶 = d2/d%2 + 1/б〃， который симметричен и может быть выражен в вышеуказанной форме, если взять

(4.26)(4.26)£()=妁％2 (не зависит от 〃)，М = %〃 (зависит линейно от и).

(4.26)

(4.26)

Теорема 4. Пусть L ——симметричный оператор, зависящий

(4.27)(4.27)от функции и, являющийся решением уравнения

(4.27)

(4.27)

=К (〃)，

и пусть он может быть выражен s следующем виде:

厶=厶 + М， (4.28) где Lg не зависит от иу а М зависит линейно от и. Предположим, что существует антисимметричный оператор А, зависящий от а, такой, что

[Л, L] = М , (4.29) тогда собственные значения L являются ^интегралами» уравнения (4.27).

Доказательство. Опуская индекс и при Л, имеем 乙屮 = =L()i|)+ Л4г|). Дифференцируя по /, получаем

Lf^ + L^t = L^t 4~ М^ф + M^t, или Lf = Mf. (4.30) Так как М зависит линейно от и, то Mt зависит линейно от ut, т. е. от К(〃)・ Следовательно, Lt = М, и из уравнения (4.29) получаем Lt — [Л, L]. Таким образом, L является унитарно эквивалентным при и, удовлетворяющем (4.27). Теорема доказана.

4.3. Решения типа уединенной волныобщего уравнения эволюции

Будем предполагать выполненными следующие теоремы существования и единственности для уравнения эволюции:

〃/ = К (〃)• (4.31)

Теорема существования. Существует решение уравнения (4.31), соответствующее начальному условию и(х, 0) при условии его достаточной гладкости и стремления к нулю со своими производными любого порядка при оо.

Теорема единственности. Данное начальное условие, удовлетворяющее условиям теоремы существования, определяет единственное решение уравнения (4.31).

В рамках сделанных предположений мы сначала свяжем линейное вариационное уравнение с однопараметрическим семейством решений уравнения (4.31). Можно построить однопараметрическое семейство решений уравнения (4.31), сделав начальные условия функциями параметра е:

% (%, 0)= «0 (х) + sf (х). (4.32) В соответствии с начальными данными (4.32) мы имеем однопараметрическое семейство решений уравнения (4.31) 〃&(%, /), которое для малых значений 8 можно записать в виде

% (х, 0 = и (х, /) + еи(X, /) +。(е2), (4.33)

где и(х, /)——решение уравнения (4.31), соответствующее начальному значению 辽(尤о), но у (х, /) не есть решение уравнения (4.31). Далее установим уравнение эволюции для и. Для этого потребуем следующее: оператор К(и) зависит от и гладко, т. е. функция

®/2е) к (以 + ЕО)|е=о = V (и) V(4.34)

определяется единственным образом и является линейной функцией от и, тогда V(и) называется вариацией ^. Заметим, что левая часть (4.34) есть производная функция К(а) в смысле Фреше. В дальнейшем мы будем обозначать производную Фреше от функции точкой над функцией. Дифференцируя (u-\-sv)t = A"(u + 8У) по 8 и полагая е = 0, с помощью (4.34) получаем

vt = V (u) v.(4.35)

Уравнение (4.35) называется вариационным уравнением для

о =(成 JdE)|i.(4.36)

Пусть 1(и) — интеграл уравнения (4.31). Предположим, что 1(и) дифференцируем по Фреше, т. е. существует

(d/d&) / (〃 + 8^) |е=0,(4.37)

и является линейным функционалом от у, который можно представить в виде (G(〃)，u), так что можно написать

/ = (G®,吟(4.38)

здесь G(〃) называется градиентом функции 1(и). Так как /(〃) есть интеграл уравнения (4.31), то /(ие (/)) не зависит от / для любого значения е и значит (G(a), v) также не зависит от 力 Таким образом, доказана следующая теорема.

Теорема 5. Пусть u(t) — произвольное решение уравнения (4.31) и u(t) — произвольное решение соответствующего вариационного уравнения. Пусть /(〃)—— интеграл (4.31) и G(u)——его градиент, тогда билинейный функционал (©(а), и) не зависит от t.

Примечание. Этот результат соответствует следующему результату для линейных уравнений. Рассмотрим линеаризованный вариант уравнения КдФ： ш + сих + иххх = 0. Умножая его на и и интегрируя по х от х = —оо до х = +°°, получаем (d/力)，^г^2 dx = Q9 предполагая, что и, «хх->0^при |х|->со. Таким образом, квадратичный функционалQ(и, и)= 十8

= \ Xl^ dx не зависит от t Назовем его энергией. Пусть

теперь 〃 и и — любые два решения данного уравнения. Тогда по принципу суперпозиции 〃土 и — также решения этого уравнения. Таким образом, квадратичные функционалы Q(u + + и, а + и) и Q(u — и, и — и) не зависят от времени t. Складывая их, получаем, что выражение

\ {% (比 + и)?——％ (и ——v)2} d% = 2 \ uv dx = 2 (u, и),

которое является билинейным функционалом по и и у, также не зависит от /. Теперь докажем основную теорему Лакса.

Теорема 6. Предположим, что уравнение эволюции, ш = = К(〃) удовлетворяет следующим условиям-.

К(〃) гладко зависит от 辽，ее вариация есть U(〃)；

уравнение инвариантно по отношению к трансляции по х и сохраняет положительно определенный трансляционно-инвариантный квадратичный функционал, называемый энергией',

уравнение имеет решение типа уединенной волны\

функции, обращаемые оператором CD——V* (s) (D = s д/дх) s нуль и исчезающие при 士 оо, могут быть лишь кратными s.

Пусть /(а)—интеграл уравнения, такой, что

д)。儿 дифференцируем s смысле Фреше 〃

е) ezo градиент G (и) исчезает на ± со при и = s.

Тогда G(s) ~ 限 где р зависит от 1 и с, т. е. любое решение типа уединенной волны есть собственная функция гра^ диента интеграла уравнения эволюции.

Доказательство. Пусть и — любое решение вариационного уравнения (предположение а) и s(E),己=尤——ct, есть решение типа уединенной волны уравнения (4.31) (предположение (в)). Тогда по теореме 5

(G (s (尤一"))，и (х, /))；(4.39)

не зависит от t、В силу трансляционной инвариантности ска^ лярного произведения (предположение (6)),

(G (s (%)), v(x + 4, /))(4.40)，

не зависит от /. Для краткости запишем

V(x + ct, /)=如(х, /),(4.41)

тогда (4.40) можно записать в виде

(G (s (х)),侬(％, /)),(4.42)

и это выражение не зависит от 厶 Дифференцируя (4.42) по t и замечая, что х и t— независимые переменные, получаем

(G (s (х)),叫=0,(4・43>

где, согласно (4.41), wt = vt + cvx и Wx = ох, где X =尤 + + ct, так что

叫=力 + cwx = У (s (x)) w + cwx =

={cD + V (s (x))}叫 D = d/d%・ (4.44)

Подставляя (4.44) в (4.43), имеем

(G (s (x)), {cD +，(s ⑶)}効=0.(4.45)

Запишем последнее в сопряженной форме

({一 cD + У* (s (х))} G(s), w) = 0,(4.46)

где У* ——оператор, сопряженный к V. Значение w в любой момент времени, скажем при / = 0, может быть произвольным, следовательно, из (4.46) получим

{- cD + У* (s (х))} G (s) = 0.(4.47)

Из предположения (б) следует, что (4.31) выражает сохранение энергии, т. е. (u(/), u(t)) не зависит от так что, дифференцируя по /, имеем 2(〃(f),图(方))=0, или 2(弘 К(а)) = =0. Начальные значения и произвольны. Введем ие вместо и. Дифференцируя по 8 и полагая е = 0, получаем

(и, К («)) + (а, V (и) и) = 0, или (и, К («)) + (V* (а) и, и) = 0, или

(и, К (и)) + (и, У* (и) 〃) = 0, или (и, К (и) + V* (и) и) = 0.

Так как и — произвольное решение вариационного уравнения, мы считаем его произвольным в момент 力 следовательно, последнее уравнение означает, что

К (и) + Р* (〃) 〃 = 0・(4.48)

(4.49)(4.48), по-(4.50)(4.49)(4.48), по-(4.50)Так как мы рассматриваем решения типа уединенной волны, вместо и(х, 0 будем писать s(E),三=x — ct, и тогда из (4.31) получим

(4.49)

(4.48), по-

(4.50)

(4.49)

(4.48), по-

(4.50)

cs& + К (s (Е)) = 0.

Подставляя s(W) вместо и и ^(s(g)) из (4.49) в лучаем

~cs^ + V^(s (自))s (自)= 0,или [—G(d/d&) + K(g(&))]s(*) = 0*

Значит решения типа уединенной волны, принадлежат ядру линейного оператора

c(d/dS — K(s(S)・(4.51)

Сравнивая (4.47) и (4.50) и применяя предположения (г) и (е), имеем

G(s (Ю)^₽5 (Ю>(4.52)

где § зависит от с и /, так как G — градиент интеграла /(S 传)).

Примечание. Граничные условия для O(s) и s не вызывают затруднений, так как по предположениям (г) и (е) обе функции стремятся к нулю при |己|一 оо.

Доказательство теоремы 6 завершено.

Применение общей теории к уравнению КдФ

Применим общую теорию к уравнению КдФ и посмотрим, придем ли мы к результатам, полученным ранее. Для уравнения ut + иих + иххх = 0

К (а) = (и^х 十 ^ххх)'(4.53}

Обозначим однопараметрическое семейство решений этого уравнения через ие (尤，t) — и(尤，力 и), которое единственным образом определяется однопараметрическим семейством начальных данных Eg (х, 0) = а。+ &f. Вариация ^(u) дается выражением

(d/ds) К (и + sv) |е=0 =

=—(d/d&) {(w + EU)(% + Е%) + %х + 8%х} 1е=0 =

=——(uvx + uxv + vxxx) = V (и) v (в наших обозначениях)^ гак что

у (и) ~ —(〃力 + uD + D3) = — (Q〃 + Z)3), d = d/dx. (4.54)

Отсюда мы заключаем, что ^(u) зависит от и. Следовательно, ^(u) удовлетворяет условию (а) теоремы 6.

Исследуем далее сопряженный оператор V*, определив предварительно скалярное произведение. Так как мы имеем дело с функциями из класса С°° на вещественной прямой (——оо V % V + оо), достаточно взять скалярное произведение в Таким образом,

+00

(и, и)三 \ uv dxt(4.55)

Из этого определения скалярного произведения имеем

(h)/,g) = _ \ (_^(峭 + 思_)gd* =

=V("寵+諾"%

так как f, g, fXi g尤,fXXi gxx->0 при |%|->8. Отсюда

K(〃) = 〃Q + Q3.(4.56)

Согласно (4.54), вариационное уравнение, определяющее у, в этом случае имеет вид 力=—(Du + D3)v. Пусть теперь L — оператор Шредингера:

L 曰 d2/dx2 + %〃；(4.57)

ясно, что Л симметричен. Следовательно, по теореме 3 собственные значения оператора Л, в котором функция и(х, Q удовлетворяет уравнению КдФ, не зависят от t при условии, что существует антисимметричный оператор А, такой, что

〃 = [4〃・(4.58)

Дифференцируя £ по 力，получаем

厶=(d/dt) (D2 + 76u) = %〃f = %K (u) = —7е (иих + uxx^t (4.59) Из уравнений (4.58) и (4.59) ясно, что теорема 3 в настоящем случае удовлетворяется, если

[4, 02 + %а] = — % Wx + иххх).(4.60)

Так как правая часть уравнения (4.60) содержит производные третьего порядка, предположим, что А является следующим антисимметричным оператором третьего порядка: А = D3 + bD + Db. Выполняя дифференцирование, можно показать, что

[Q3 ^bD + Db, Q2 + %〃]屮=

=(Q3 + bD + Db)(^xx + %叫)一(02 + % 编件皿+6也+(匕%)= = (%〃％ —- 4九)屮%% + (%〃%% — 4九%) ^х+С/^ххх~^1/зЬих~Ьххх) г|).

(4.61)

Чтобы это выражение было просто произведением -ф на функцию в правой части (4.60), мы должны выбрать

Ь = 〃/8,4.62)

и тогда

[4 02 + %а] = %4 (иих + 県以(4.63)

так что (4.60) будет удовлетворяться, если мы возьмем А = 4(D3 + &Z) + Db). Это доказывает существование антисимметричного оператора А, удовлетворяющего (4.58). Следовательно, для этого случая имеет место теорема 3 и собственные значения 九 оператора Шредингера (4.57) не зависят от 力 Здесь следует отметить удивительную элегантность изложенного выше доказательства. Первые доказательства этого результата были громоздки и основывались в значительной мере на физических соображениях.

Найдем градиент G(u(t)) интеграла 九(а(£)). В соответствии с определением (4.38) имеем

(d/de) k(u + еи) |е=0 = (G (а), и),(4.64)

где 九 определяется из /д|)=九屮.Беря производную Фреше от последнего уравнения, имеем

£г|)+ 厶@ = ^屮 + 九0，(4.65)

где L = (d/血){(叫d%*) 4- % (u + £叫 |e=o = %“ (4.66)

Следовательно, (4.65) сводится к уравнению 】/б°2 十厶《= =入屮 + Умножая его на г|)и интегрируя по % от % = —оо до + оо, имеем

\、 %0炉d%』%* 。).(4.67)

Здесь использованы следующие условия:

+ оо

\ ^ dx=\ (условие нормировки 2),

\ 厶応屮 d%= \ j厶忤］dx (厶 симметричен).

Следовательно, из (4.64) и (4.67) имеем

G (〃) = %屮2.(4.68)

Таким образом, Х(и) удовлетворяет условиям (д) и (е) теоремы 6, а именно Х(и) дифференцируема в смысле Фреше и G(s)f 0 при |%|—оо, так как г|)->0 при |х|-> оо. Условие (в) теоремы 6 также выполняется, потому что мы показали в гл. 3 существование решений типа уединенной волны для уравнения КдФ. Условие (б) теоремы 6 также выполняется, поскольку для уравнения КдФ квадратичный функционал (а, и) не зависит от времени.

Докажем, что условие (г) теоремы 6 для настоящего случая также выполняется. Пусть X — функция, обращаемая в нуль оператором cD — У*(s), так что Х->0 при g = х ——以一> -> 土 8. Тогда имеем

с (dX/dl) 一 s g) (dX/d^) — ^х/恋з ^ о.(4.69)

Если теперь перейдем в уравнении КдФ к координате |, то для решения типа уединенной волны и(х, /) = s(&) получим

с (ds/dl) 一 s (& (ds/感)一 cPsjd^ н 0,(4.70)

где s->О при 己-> 土оо. Итак, из уравнений (4.69) и (4.70) получаем

X = as, где a ——константа.(4.71)

Предыдущее рассмотрение показывает, что уравнение КдФ, так же как и интеграл Х(и), удовлетворяет всем условиям теоремы 6. Поэтому имеем

G(s)^W = ^st(4.72)

где В зависит от 入(s) и с. Из (4.72) получаем

『д/丽.(4.73)

Чтобы установить соотношение между интегралом 九(s), который является собственным значением оператора Шредингера 厶2十1/6$, где s ——решение типа уединенной волны уравнения КдФ, и собственной скоростью c(s), поступим следующим образом. Дифференцируя дважды собственную функцию г|)оператора Шредингера, заданную выражением (4.73), получим

屯=% д/ё^Г S&,必х = % 抬心 回££ — %S；］,

так что 也м + %S屮=“6§S %c (s).(4.74)

Здесь учтены формулы s^ =呢一%$2, s| =呢？ 一 %$з, полученные путем двукратного интегрирования (4.70) и использования граничных условий на s и производных от s при ±оо. Левая часть (4.74) равна также Х(«)г|):

尢(S)屮=д/б₽5 尢(s).(4.75)

Поэтому из (4.74) и (4.75) получаем следующий важный результат:

c(s) = 4X (s) = 4x2 (s),(4.76)

который доказан в гл. 3 методом обратной задачи рассеяния. На самом деле в гл. 3 мы доказали более общий результат: если решение и(х, /) уравнения КдФ есть безотражательный потенциал уравнения Шредингера, то собственному значению Хр оператора Шредингера 心［dW * *［?и соответствует солитон, движущийся со скоростью 4乂^ на бесконечности. Мы должны, однако, связать эти собственные скорости с произвольным решением u(x, t) уравнения КдФ, которое не обязательно является безотражательным потенциалом, но заключает в себе эти индивидуальные солитоны, проявляющиеся только в асимптотическом поведении н(%,力).Этот вопрос мы обсудим в следующем разделе.

Собственные скорости общего решенияуравнения КдФ

Докажем, что если с ——собственная скорость решения уравнения КдФ (не обязательно безотражательного), то 1/4С является собственным значением оператора Шредингера &2/2%2 + i/бЕ.

Пусть и(х, /)——произвольное решение уравнения КдФ, асимптотически распадающееся на некоторое число уединен' ных волн. Рассмотрим одну из них: и = s(^),昌=% — с/, движущуюся со скоростью с, т. е.

lim а(х,/) = s(g-8士)，(4.77)

£-> ±8

I фикс.

где 8土——константы. Следовательно, для любых положительных чисел & и X существует положительное число T(Xt е), такое, что

旧(E + *%)-s 低 一8)丨(4.78) для всех /: I /1 > Г и для всех 自：(4.79) Заметим, что X может быть сколь угодно большим. Однако НтТ(Х, &)==8 для фиксированного 8. При f=7 нера- Х4 8

венство (4.78) принимает вид

|а(Е + сТ,Т) —s(E—8)| <&(4.80)

для всех 以丨 W I < X или сТ — X < % V сТ + X.

Пусть Lt — оператор Шредингера d2/^2 + Ve^ (^ 0 > записанный для /= Г. Сначала докажем, что "$с является приближенным собственным значением, а 屮『=$1/2(% — cf — ej — приближенной собственной функцией оператора 厶丁 в том смысле, что

II 厶?4г — 1/4c2т II < е II1Ы，(4.81)

где II II——норма в Л2 и 5-^0 при е->0 и Х->оо. Заметим, что ㈠丁 является собственной функцией, соответствующей собственному значению〔/《с оператора d^/dx^ + l/Gs(x — сТ ——0), а не 厶丁. В общем случае 屮丁 не является собственной функцией оператора Lt- Итак,

I 厶т“т — 1/^т I н I {Q2/d%2 + %〃 (％, Г) — %б} Зт I =

=I ^d^ + %s (% — с7 — 8) — ％。}料 +

+ % {"(招 7) - $ (% -打一0)}屮T I =

=% U (招 Т) — s (% — сТ — 8) I 屮т < l/Qs^Ti (4.82)

что следует из (4.80) при сТ — X ^ х ^. сТ -{- X. В этом интервале неравенство (4.82) дает оценку для Lt^t——i/《c屮门

Получим теперь оценку для этого выражения вне указанного интервала.

В области вне интервала (сТ — X, сТ + X) поступим следующим образом. Предполагая, что решения уравнения КдФ равномерно ограничены по времени, обозначим через М верхнюю грань 〃(居 /). Затем из соотношения

I 厶т4т — %。屮丁 1= %l 〃 (招 Т) — S (尤一〃 一8) I “т

и выражения (4.8) для s получим

I LT^T — i/wWt I < % (М + Зс)切.(4・83)

На интервале % V сТ ——X, используя 屮丁 =厘從，имеем

屮丁= «Зс sech {(Vе /2)(% — 〃 一 0)}=

—2

ехр {(Vс /2)(х — сТ — В)}十 ехр {(— «с /2)(% — сТ — 0)}

< 2 «归 ехр {("看/2)(х-сТ — 0)}.(4.84)

Аналогично для % > сТ + X получим

屮т V 2 «Зс ехр {— «с (% — 〃 一 0)/2).(4.85)

Поэтому, согласно выбранной норме,

《сТ — XсТ+Х оо _

||Лт-фт — 74сфг||2=\ + \ + \{^т^т — 4iC^T}2dx.

L -8сТ-XсТ+Х」

Из неравенств (4.82) — (4.85) получим

II 厶?4т — 'Дефу ||2 <

с7+Х「сТ-Х

忘 1/зб&2 \ ^dx + %с (М + Зс)2 \ ехр{д/с (х—сТ—в)} dx+

— оо

+ \ ехр с (х ~ сТ — 0)} dx ,

или II LT^T — %哪т II2 <

< (%6絞 + % "с (М + Зе)? [ехр {— д/с (X + 8)} +

+ ехр {— "2 (х — 9)}]/|| 屮丁 俨)-II ^т IP- Так как норма ||屮丁|| не равна нулю и конечна, то из полученного неравенства вытекает (4.81), где б->0 при gf 0 и Л-> оо. Таким образом, с/4 лежит в 6-окрестности точки спектра оператора LT s d2/dx2 + 1/^(х, Т). Так как б->0 при 8->0 и Х->оо, а спектр оператора LT не зависит от 7, то мы заключаем, что с/4 — собственное значение оператора £ 三 cP/dx2 + %а (х,力).

ЛИТЕРАТУРА

Лакс (Lax Р. D.)

Integrals of nonlinear equations of evolution and solitary waves. —Communs. Pure and Appl. Math., v. 21, p 467一490. [Имеется перевод: Лэке 【1. Д., Интегралы нелинейных эволюционных уравнений и уединенные волны. — В сб.: Математика, 13 : 5, (1969), с. 128-150.]

Люстерник Л. А., Соболев Л. И.

Элементы функционального анализа. — М.: ГИТТЛ.

Миура, Гарднер, Крускал (Miura R. М., Gardner С. S., Kruskal М. D.)

Korteweg — de Vries equation and generalizations. IL Existence of conservation laws and constants of motion. — J. Math. Phys., v. 9, p. 1204—1209.

Прайс (Price J. D.)

Basic methods of linear functional analysis.——London: Hiltchm- son University Library.

Сьёберг (Sjoberg A.)

On the Korteweg — de Vries equation. — Upsala University Department of Computer Science Report.

5

Групповая скорость; нелинейные волны

Введение

При изучении линейных волн в гл. 1 были выявлены следующие факты:

Линейная волна в однородной консервативной диспергирующей среде, первоначально гармоническая (т. е. с параметрами 力，со, a, VP и Vg, не зависящими от % и /), по истечении достаточно большого времени (/》Р) превращается в неоднородный цуг волн увеличивающейся длины, вдоль которого параметры 玄 со, a, Vp и Vg медленно меняются с изменением х и t (точнее говоря, их комбинации x/t).

Значительные изменения (т. е. порядка 0(1)) этих параметров имеют место на отрезках длины порядка L = 0(х) и времени порядка Т — 0(/).

Следовательно, мы могли рассматривать эту волну как гармоническую, с медленно меняющимися параметрами на отрезках длины 卜《X « L и времени Р《工《Т, где 九—— длина волны, Р — начальный период.

Используя дисперсионное соотношение и применяя фурье-анализ к волновому уравнению, мы получили математическое выражение для групповой скорости волны Vg = =со'依).

Используя асимптотическое поведение при оо точного решения задачи с начальными условиями, мы смогли дать физическое истолкование распространения волнового числа, частоты и энергии волны, распространяющейся с групповой скоростью.

Нелинейное волновое уравнение не может быть решено методом разложения решения на фурье-компоненты, и для определения таких характеристик нелинейной волны, как волновое число, период и т. д., нам придется развить специальный метод. Иначе говоря, нелинейные уравнения не допускают решения вида

〃(％,£)=、Л 优)exp [/ {々％ — со (力)/}] dk.

о

Однако в гл. 2 мы видели, что они имеют простейшие решения, описывающие однородные волновые цуги в движущейся системе координат ^ = х — cf, где с ——скорость системы координат. Изучение именно этих стационарных решений позво-

лит нам придать физический смысл указанным выше характеристикам волны: волновому числу, частоте, групповой скорости и т. д.

Процедура усреднения

Изучение уравнения КдФ показало, что оно допускает стационарное решение вида

戰=尸(①；。, 4),(5.1)

что дает ①=① & с, 4)，占=% — с九

где Ai——константы интегрирования, число которых зависит от порядка уравнения относительно пространственных производных. В данной главе мы будем рассматривать только такие нелинейные уравнения, которые имеют решения вида (5.1).

Очевидно, что решение такого вида осциллирует между двумя последовательными нулями функции 户，скажем Ф1 (с, Ai) и ①2 (с, 4/); причем Ф2 > Ф1； при этом функция F в этом интервале положительно определенна. Условие положительной определенности 尸 между Ф1 и Ф2 необходимо для обеспечения вещественности ①片 Пусть ㊀ и 己2 ——значения 己, при которых

ф ⑸；с, 4) = Ф] (с, 4), Ф &； с，4)=①2(R 4).(5⑵

Тогда по аналогии с линейной волной мы можем определить длину волны 入 для нелинейной волны:

九=九(с, 4) = 2 \ d^ —(5.3а)

=2 \ d①/①自=(5.36)

=2 \ d①/“尸(①，с, 4,),(5.3в)

Ф1

и затем волновое число 山 определяется обычным образом:

k = k(c} 4) — 2л/Л (с, 4),(5.4)

а частота со — в виде

со = со (с, 4) = с山(с, 4)・(5.5)

Для периода волны мы имеем следующее выражение:

Р = Р (с, 4) = 2н/(о (с, 4)・(5.6)

Для краткости записи мы не будем всякий раз показывать явно зависимость 比 со,九，Р от с и Л/. Решение (5.1), где с и

Ai — константы, описывает волну локально. По прямой аналогии с линейными волнами мы можем получить более общее решение, полагая с и 4» медленно меняющимися функциями х и t. Далее будет разработан метод определения зависимости этих параметров от %, /.

Сначала мы должны ввести некоторую процедуру усреднения, чтобы исключить быстрые осцилляции полевых переменных, имеющие место на малых отрезках изменения (х 〜 〜儿 /〜尸).Только тогда можно рассматривать медленные изменения параметров с и 24fH через них изменения параметров 居 s и т. д. Чтобы избежать в процедуре усреднения потерю существенных изменений величин й, со и т. д., ограничимся рассмотрением временных и пространственных интервалов, много меньших чем Т и L. Предыдущее обсуждение предполагает введение функций от X и т, принимающих промежуточные значения

九《X《厶 P《t《T,(5.7)

и поэтому мы определим среднее 戶(％,力 в произвольной точке х для фиксированного значения времени / соотношением

F(x, /)=2^ \ 尸(/,/)&/.(5.8)

Для проведения усреднения Уизем записал основные уравнения в форме законов сохранения. Мы воспользуемся законом сохранения

匕+ Q* = 0・(5.9)

Подвергнем его процедуре усреднения с целью получить дифференциальные уравнения для определения с и А/, которые не содержат х, / явно. Тогда

瓦=击，备 Р(/,/)改=®,(5.10а)

х-Х

^Х==~^Х I "^"Q(" ")°" = /【Q (力 + X, f) — Q (x — X, /)]= x-X

=枭击、Q £/)" = (◎*•(5.106)

Таким образом, усредняя (5.9), получаем

鳥 А а, С, 4) + 条 @ 的 /, С, 4) = о. (5.11)

Уизем указывает, что преимущество выбора закона сохранения в качестве исходного уравнения состоит в том, что оба члена в уравнении (5.11) одного и того же порядка K/L. Если бы в нем фигурировал недифференцируемый член, скажем R, то для того, чтобы подсчитать его с точностью до порядка Л/L, потребовалось бы более детальное решение, чем (5.1). _

Заметим, что в уравнении (5.11) величины 户 и Q по-прежнему зависят явно от х и Л Для устранения этой явной зависимости рассуждаем следующим образом. Интервал (% — ——X,尤 + Xj, где X много больше 九，содержит большое количество волн, для которых в силу (5.7) мы можем считать 山, со и т. д. более или менее постоянными величинами. В этом случае мы можем заменить 户 и Q соответственно величинами P{cf Ai) и Q(c, Ai), которые усреднены при сохранении k, со и т. д. постоянными на интервале (% ——X, х Ц- X). Ясно, что в этом приближении возникающие ошибки имеют порядок Л/Л, X/L, которые являются малыми величинами в силу (5.7).

Теперь заметим, что среднее 戶 есть приблизительно то же, что и среднее от 尸 по периоду. Это опять следует из большого числа волн постоянной амплитуды на интервале (х —— —X, % + X). Таким образом,

А(С, 4)= ； \ 0 dx^^p^x, 0 =X о

=；、Р (①,с, 4)dX, / = х + Х, (5.⑵ О

где Р(①)отражает функциональную зависимость от ф. В терминах средних, определенных в (5.12), усредненный закон сохранения выглядит так:

0/质)Р (с, 4) + (д/дх) Q (с, 4) = 0, (5.13)

где с и Ai ——медленно меняющиеся функции х и Л

Теперь мы знаем, что для определенных задач имеется бесконечное число законов сохранения и, следовательно, бесконечное число усредненных уравнений типа (5,13). Поэтому для успеха применения этого метода важно знать, что из этого бесконечного числа уравнений сохранения независимых уравнений ровно столько, сколько параметров с и 若厶 которые мы должны определить. Во всех задачах, рассмотренных до сих пор, число независимых осредненных уравнений сохранения в точности равно числу неизвестных параметров. Однако до сих пор нет общего доказательства этого факта, и

секрет доказательства предположительно заключается в трансформационных свойствах основной системы уравнений.

Различные исследования показали, что если по аналогии с адиабатическим инвариантом 1 = § р dq в гамильтоновой механике ввести функцию IF (с,若^三勺①占壮①，то во многих случаях удается выразить волновое число, частоту и другие параметры, связанные с волной, через первые частные производные от 呼 по с и Ai. Более того, во многих случаях система уравнений в частных производных, определяющая эти производные от Wy оказывается гиперболической. Следовательно, находя характеристики гиперболической системы, мы определим характеристические скорости для данной волны. Соответствующие условия совместности дают величины, постоянные вдоль этих характеристик. В общем случае мы имеем более чем одну характеристическую скорость; мы должны уточнить, которая из них будет определяться как групповая скорость. Прямая аналогия с линейным случаем не поможет, если все характеристические скорости окажутся равными групповой скорости. Этот вопрос мы рассмотрим еще раз в связи с примерами, которые обсудим в следующем разделе.

Примеры

В этом разделе рассмотрим приложения вышеописанного метода Уизема на примерах, которые также были рассмотрены Уиземом. Для проверки надежности метода Уизема сначала решим линейное уравнение, а затем ——два нелинейных уравнения, одно из которых будет уравнением КдФ-

/. Линейная волна

Применим сначала метод разд. 5.2 к следующему линейному уравнению:

Ф« — Фхх + ф = °>(5.14)

которое остается инвариантным под действием преобразований кт—% и t-^ 厶 Чтобы получить стационарное решение, положим

5 = х — с/.(5.15)

Тогда (5.14) принимает вид

(5.16)(5.16)(合一d①瑟+①=0.

(5.16)

(5.16)

Интегрируя его, получим

6 = (1/介_ 1 ) "24 — ①2

для положительной ветви, причем

己=“Е?二г \ d①/“24 — ①2 .(5.17)

Таким образом,

①因 с, Л) - V2X cos [(g - g0)/V^T].(5.18)

Функция ①传)осциллирует между ——“2幺 и “2幺，поэтому определим

Л (с, Л) = 2 д/с2—1\ d①/д/24 —①2 =2冗«絞一1(6.19)

и затем

k (с, A) = l/д/^2 — 1 ,(5.20)

3 (с, Л) = с/介 一 1 = “i + 炉二(5.21)

Подставляя tp ~ exp{j(^x ——со/)} в (5.14), получаем дисперсионные соотношения со = ± д/1 + 々2, одно из которых совпадает с (5.21). Умножая (5.14) на 中才 н ср* и перегруппировывая члены, получаем следующие уравнения сохранения, которых достаточно для определения изменения с и Л с изменением х и t:

[%d+% 噥 + 1/2(₽2L + [-R(p/x = °，(5.22a)

[―中/Pj +【％吟 + %噸一％屮2]工=0,(5.226)

из которых в силу (5.15) следует

[*/2 (1 + 1)嘆 + %叫 + [矶=0,(5.22в)

[с①北+ [%(d+1)盤一％①丄=0.(5.22г)

Подставляя значения G)н ①& нз (5.18) в (5.22в) и (5.22г), получаем

С2 + 1с2 — 1С2 + 1с2 — 1л 2А 2Лcos2с2 — 1л 2А 2Лcos2с2 — 1++24cС2 一24cС2 一名师2 ^^ }, + { ^- 4名师2 ^^ }, + { ^- 424c224c2-SiM 告二皇4 =0, (5.22Q-cos2 Ч 1 =0.Vc2- 1 J X(5.22е)-SiM 告二皇4 =0, (5.22Q-cos2 Ч 1 =0.Vc2- 1 J X(5.22е)

С2 + 1

с2 — 1

С2 + 1

с2 — 1

л 2А 2

Лcos2

с2 — 1

л 2А 2

Лcos2

с2 — 1

+

+

24c

С2 一

24c

С2 一

名师2 ^^ }, + { ^- 4

名师2 ^^ }, + { ^- 4

24c2

24c2

-SiM 告二皇4 =0, (5.22Q

-cos2 Ч 1 =0.

Vc2- 1 J X

(5.22е)

-SiM 告二皇4 =0, (5.22Q

-cos2 Ч 1 =0.

Vc2- 1 J X

(5.22е)

При осреднении по длине волны эти уравнения принимают вид

(d/dt)(儿2/“& — 1 ) _|_ g/е*) (4c/d _ 1)) = 0, (5.23а)

(0/步)(4。/(絞-1)) + (д/дх) (Л/(с2 - 1)) = 0. (5.236)

Так как нас интересует изменение волнового числа 々，выраженного только через с в уравнении (5.20), и амплитуды а = 24, перепишем наши уравнения в виде

磊土也+帚trL磊土也+帚trL饋卜瓦 + % ^fr } + а啰 + I) {а, + а/ =。，

磊土也+帚trL

磊土也+帚trL

Комбинируя их соответствующим образом, в силу сионного уравнения (5.21) получаем

диспер-

財 + & 住)kx = 0,

(5.24а)

at + ①‘他)aх + (a/2)①"(期 kx = 0.

(5.246)

Эти уравнения имеют «двойную» характеристику

dx!dt =①‘(粉，

(5.25)

вдоль которой

位=const,

(5.26а)

da/dt = —"优)kxa.

(5.266)

а* "出

Итак, в случае линейного уравнения (5.14) система, опреде< ляющая изменения 々 и а, является параболической и существует только одна характеристическая скорость, которая равна групповой.

Общее решение уравнения (5.24а) имеет форму х — 一(nf {k)t = f(k), где / — произвольная функция. Записывая это решение в форме x/t ——о/(^) = (1/力/(山)，для больших значений х и i находим

х(5.27)

Из уравнения (5.266) видно, что, когда мы движемся с групповой скоростью, амплитуда изменяется как

a —.(5.28)

Таким образом, амплитуда убывает обратно пропорционально квадратному корню из 厶 что подтверждает общий результат, полученный в гл. 1.

Определим скорость распространения энергии. Пусть Ах — расстояние между двумя соседними характеристиками, отвечающими 山 и k + dk. Так как энергия пропорциональна квадрату амплитуды, то в силу уравнений (5.25) и (5.266) производная по времени от изменения энергии между двумя характеристиками пропорциональна

(d/成)(歩 А%) = 2a Ах (da/dt) + а2 (d/成)Дх = О (Дх)2. (5.29) Значит, энергия также распространяется с групповой скоростью. Так же как в линейной задаче, мы имеем одну характеристическую скорость, а именно групповую скорость.

5.32 Нелинейное волновое уравнение

Изучим далее нелинейное волновое уравнение

中毋—Фхх + 片(<р) = 0,(5.30)

где V (ф)——нелинейная функция, как предполагалось в разд. 5.3.1. Как и в предыдущем разделе, мы можем легко вывести уравнения сохранения

['/2Ф?+ %嘰 +/, + [_ &%L = 0，(5.31а)

[—ФхФ<]< + [V2(P?+ %嘰一U]x==°・(5.316)

Здесь стационарное решение дается формулой

(р = 4)阳 e,力)，自=%-%(5.32a)

где Ф£ =[⑵ d — 1)) {А-V (①)汙J(5.326)

Предполагая с2 > 1, Л > 了(①)，получаем

6 = V(c2 - 1)/2 ) d①/也4-『(0>),(5.33a)

九=九(& 4) = “2 (您 ~HJ \(1Ф1^А-УШ , (5.336)

Ф1

где Ф] и Ф2 ——нули уравнения

Л - У (Ф) = 0,(5.34)

между которыми левая часть последнего уравнения положительна. Следуя общей теории, рассмотренной в разд. 5.2, введем

W (с, Л) = (с2 — 1) § ①& d①=(5.35a)

=“2d- i)「§ ^ A-V (Ф) d ①=(5.356)

=Vc2- 1 G (Л),(5.35в)

где G (Л) = “^ § УЛ - 7 (Ф) d①(5.36)

зависит только от Л и не зависит от с Дифференцируя по А, получаем

="①==(5.37)

' V2 J Vx — V (Ф) 〃川—1 3 Vc2 — 1

G^(A)=®孤—\3/2 R <0.(5.38)

1 丿 2 V2 J m - V (①)严(С2 - 1)3/2 J Ф| 、，

Мы можем также записать G (Л) в виде

G(X) = j (?- 1)ф|^>0.(5.39)

О

Беря частную производную (5.35в) по Л, из (5.37) находим

Гд =介 一 1 G' (Л)=九(с, Л).(5.40)

Определим волновое число k соотношением

k= 1Д= 1/Гл, или 力取4=1,(5.41)

где мы для удобства опустили множитель 2冗.Как только определена длина волны 九，сразу можно вычислить средние значения р(①)интегрированием в пределах длины волны:

р (①)= (1小)^p^)dl = k ^ (р (①)/① 0 d①.(5.42)

о

имеем(5.43а)(5.436)(5.43в)имеем(5.43а)(5.436)(5.43в)В силу предыдущего определения среднего значения %吟+%嘰=%d+ iy=%左收 + i)/d -i)]r,

имеем(5.43а)(5.436)(5.43в)

имеем(5.43а)(5.436)(5.43в)

—ф^фх — сф2 = [kc/(c2 — 1)] IF,7(Ф) = Л - i/2(c2- 1)Ф( = 4 - %左旷.

Беря частную производную от (5.356) по с, получаем

取。=[〃匕2一 i)]r.(5.44)

Подставляя эти усредненные выражения в уравнение сохранения, имеем следующее осредненное уравнение сохранения:

(0/W) {山(cWc + AWa-W)} +

+ (д/дх) {kc (сГс + AWa -W)~ сА} = 0, (5.45)

9/川)优KJ + (д/дх) {ckWc -Л) = 0,(5.46)

где при записи второго члена в уравнении (5.45) мы добавили kcAWA и вычли эквивалентное ему выражение с А. Выполняя дифференцирование и собирая коэффициенты при с, А и имеем

С 债(從)+ 負锌叭一4)} + A\^{kW^ + ~^(ckWA - с)} -

—旷{学+伊c)} = °，

или 拓 + (甸 jc = 0,(5.47)

так как коэффициент при с равен нулю в силу (5.46) и коэффициент при Л тоже равен нулю в силу 々以=1.

Определяя частоту через волновое число 々 и волновую скорость с, имеем s = kc, так что уравнение (5.47) можно записать в виде

4 + °\ =。 н”и 尼力 + ①'(盼 & = 0.(5.48)

Уравнение (5.48) чрезвычайно важно, так как мы установили кинематическое соотношение А^ +(ох = 0, основываясь целиком на процедуре усреднения. Более того, вдоль характеристики dx/dt =(oz(A) волновое число 々(и, следовательно, (о) сохраняется.

Мы можем записать два независимых усредненных уравнения сохранения в удобной форме:

(5.49)(5.50)(5.51)с с пона G),(5.52)(5.53)(5.54)(5.49)(5.50)(5.51)с с пона G),(5.52)(5.53)(5.54)DWA/Dt — WAdc/dx = QfDWc/Dt-WAdA/dx = Ofгде D/Dt 三 d/dt + сд/дх.

(5.49)

(5.50)

(5.51)

с с пона G),

(5.52)

(5.53)

(5.54)

(5.49)

(5.50)

(5.51)

с с пона G),

(5.52)

(5.53)

(5.54)

Выражая неизвестные в этих уравнениях через Л и мощью соотношений (5.40) и (5.44) (после замены W получим уравнения

G〃4 + cG〃4 + [cG7d - 1)] ct + [G7d 一 1)1 点=о, cG'4 + G'4 - {Gl^ 一 1)] ct - [Gc^ 一 1)]点=0, которые имеют следующие две характеристики:

(5.55)(5.55)С土： dx/必=〕土 са)/(с 土 а), а = (—GG"/G'2)i/2 с соотношениями совместности на характеристиках dc^c1 - 1) - V- G7G dA = 0 вдоль С+, dc/(c? — 1) + V— G"/G dA = 0 вдоль C_. Эти уравнения определяют два инварианта Римана сА

(5.55)

(5.55)

(5.56)(5.56)Г = \ 成/(。2 — 1) 一 \ (- G"/G)i/2d4

(5.56)

(5.56)

s=卜〃(。2 - 1)+ J (- G"IGNdA.

Уравнение (5.54) определяет две характеристические скорости (1 ± ссс)，(с 丄 а). Этот факт отражает природу решения. Рассмотрим, например, цуг волн, имевший вначале постоянную форму с Л = Ао и с = Cq вне некоторого ограниченного отрезка. После некоторого периода взаимодействия

возмущение разделяется на две простые волны, разделенные областью постоянных значений Л и с. В одной простой волне характеристики С+ суть прямые линии, на которых г — константы, и другой инвариант Римана ——константа во всей области. Во второй простой волне г постоянно везде, a s —— константа вдоль характеристик С_, которые являются прямыми линиями. Между этими двумя простыми волнами величины с и Л постоянны. Так как волновое число и амплитуда выражаются через с и Л, к ним применимы те же качественные утверждения.

Рассмотрим теперь распространение энергии. Полная энергия системы на единицу длины равна

Ч^+'h^+V^(5.57)

и имеет среднее значение

k(cWc + AWA-W).(5.58)

Средний поток энергии определяется из усредненного уравнения сохранения (5.45) в следующем виде:

kc (cWc + AWa -Г)- ”.(5.59)

Следовательно, скорость распространения энергии равна

kc (cWc + AWa ~W) — cAcG

月(cW^+ 4呼人一呼)厂 + G . (氏60)

Это другая важная скорость. Таким образом, в данном нелинейном случае существуют 及ве характеристические скорости и скорость распространения энергии, причем одну из них мы должны приписать групповой скорости. Иначе говоря, понятие «группа волн», которое обсуждалось в гл. 1, должно быть уточнено, поскольку все три скорости одинаково важны. Возможно, что мы все же можем называть групповой скоростью скорость распространения энергии.

Уравнение Кортевега — де Фриза

Цель настоящего раздела ——определить характеристические скорости уравнений модуляции, которые получаются из уравнения КдФ, записанного в форме

% + 6〃〃％ += 0.(5.61)

Чтобы получить стационарные решения, сделаем подстановку

Е = % — ct,(5.62)

после чего оно приведется к форме

и-щ = с 辽三 ——6uu^.(5.63)

Проинтегрировав его, получим

瓏自=S + cw — 3w2.(5*64)

Умножая это уравнение на 〃三 и интегрируя, имеем

%片=—4 + 8〃 + /сг? — г? = f ®,(5.65)

где Л и 5 ——константы интегрирования.

В гл. 2 мы видели, что в общем случае, когда (5.65) допускает ограниченное решение, полином f(u) имеет три вещественных нуля а, В，Y (а > В > Y)и § V а V а. Заметим, что уравнение (5.65) содержит три параметра с, Л и В, и, следовательно, необходимо еще три закона сохранения для определения их медленного изменения в зависимости от 尤 и /. Сначала установим три независимых уравнения сохранения.

Первое уравнение получается простой перегруппировкой (5.61):

% + (3〃2 + ихх)х = 0.(5.66)

Второе уравнение получается умножением (5.61) на и и перегруппировкой членов:

+ (2 炉 + 〃％* —= 0.(5.67)

Третье уравнение сохранения получается умножением (5.61) на Зи2 и перегруппировкой членов:

(〃з 一 ％喲,+ (9/“ + 3闯хх + %隐 + “2 = 0.(5.68)

Процесс усреднения упрощается введением функции 步(％45)：

取(с, Л, В) = —§ 瓏 d〃 = — «2 § (—Л + 5〃 + %с〃2—炉户2 阪，

(5.69)

где интегрирование должно проводиться по полному циклу, например от р до а и затем от а до 0. Как и в п. 5.3.2, длина волны и волновое число определяются путем дифференцирования (5.69) по Л следующим образом:

九

九=九(с, /, В) = \ dg = § d〃/碗=(1/“2 ) § d〃/“f (辽)=取厶，

0(5.70>

k ~ k (ct Л, В) = 1/[Л (с, Л, В)] = 1/й^д, или kW= 1. (5.71}

Найдем далее средние полевых величин на длине волны, как это было сделано в общей теории в разд. 5.2. Тогда

й — k \〃dg = ^§〃 da/唯=(й/д/2 ) § 〃 d"“ f (〃)=—々刃中

0(5.72)

3w2 + uxx = 3〃2 -\- u^ = В -^ cu — В — ckWQt (5.73) i/2庐=女 § (力彦 d〃)/% = — kWc,(5.74)

2〃з 十 uuxx — % 吟=2〃з + 〃气一％ %?=

=Л + V2CW2 = Л — kcWс (& и 鳍 из (5.64) и (5.65)), (5.75) и3 ——1/2〃^ = 〃з — i/2«2 =—鳍一 ％ + 5〃 + i/2си2 = (из (5.65)) ^kW-A + B(- kWB) + с依步J =

=-々(AWa + BWB + cWc 一 步)，(5.76)

так как

и^~ k ^ и^ d〃/% = k ^ и^ du — — kW и 々步 а = 1,(5.77)

и, наконец,

恥小 卫3卫包以 + %〃農 + 〃м = %公 + 3必&-:!- i/2唯 —ct^ =

=% 中 + Beu — c鳍 + % А?= (忆 из (5.64))

=%炉 + Вс (一 kW^ 一 с (一 kW) + с2 (- kWc)=

=%勿 + Ac-kc (ЛГл + ВГв + с吃一步)•(5.78)

Подставляя эти средние в уравнения сохранения, получаем следующие усредненные уравнения сохранения:

(ЙГвЬ + (сЖв-~В)х-0,(5.79)

{kW^t + (ckWc 一 А)х = 0,(5.80)

伊(AWA-}-BWB + cBc~W)]t +

+ [ck (4取$ + BWB + cWc 一步)一 ％中 一 Ac]x = 0.(5.81)

Как и в разд. 5.32, распишем (5.81), сохраняя 女步人,kWs и kWc вместе и собирая отдельно члены с производными по А, 8, с, В результате получим уравнение

瓦 + (说)% = 0,(5.82)

которое является законом сохранения для волнового числа, определенного здесь полностью согласно процедуре усреднения. Уравнение (5.82), выраженное через 呪伐呪= 1),

имеет видимеет види уравненияи уравнениягдегдеDWjJDt — WA дс/дх = О,(5.79) и (5.80) могут быть записаны как DWB/Dt - WA дВ/дх = О, DWJDt — WA дЛ/дх = О,D/Dt = d/dt + сд/дх.DWjJDt — WA дс/дх = О,(5.79) и (5.80) могут быть записаны как DWB/Dt - WA дВ/дх = О, DWJDt — WA дЛ/дх = О,D/Dt = d/dt + сд/дх.(5.83)(5.83)(5.84)(5.85)(5.86)(5.84)(5.85)(5.86)Уравнения (5.83)——(5.85) суть основные уравнения для изучения медленного изменения А, В, с Эта информация позволит окончательно определить поведение 无=〃(己)，где из (5.65) имеем

имеет вид

имеет вид

и уравнения

и уравнения

где

где

DWjJDt — WA дс/дх = О,

(5.79) и (5.80) могут быть записаны как DWB/Dt - WA дВ/дх = О, DWJDt — WA дЛ/дх = О,

D/Dt = d/dt + сд/дх.

DWjJDt — WA дс/дх = О,

(5.79) и (5.80) могут быть записаны как DWB/Dt - WA дВ/дх = О, DWJDt — WA дЛ/дх = О,

D/Dt = d/dt + сд/дх.

(5.83)

(5.83)

(5.84)

(5.85)

(5.86)

(5.84)

(5.85)

(5.86)

己=(1/«芽)\ duj[^ д + Ви + Ч^си2-^- (5.87)

Хотя уравнения (5.83)——(5.85) кажутся простыми, определять характеристическую скорость из них очень утомительно. Оказывается, легче работать с нулями а, р, у функции /(〃)，чем с Л, В, с. Из соотношений между корнями и коэффициентами кубических уравнений，(〃)=0 имеем

a + 6 + Y=i/2& ap + By + ya = — В,磔丫 = — А.

В терминах а, р, у можно записать 呼 как

a

步=一 2 «Т , [(a — и) (и - 6)(〃 一 у)]Р2 du,

так что

忆=7з V2 (a — Y) {(В + Y — 2a) £ + (0 — 丫) Q,

(5.88)(5.88)(5.89}(5.89}(5.90а)(5.906)(5.90в)(5.90а)(5.906)(5.90в)л/2л/2Е (s) = \ Л d&оЕ (s) = \ Л d&ол/2K(s)= \ dB/А, Л = (1 — s2 sin20)I/2,л/2K(s)= \ dB/А, Л = (1 — s2 sin20)I/2,(5.91)(5.91)и аргумент « = (а — 0)/(а — у) < 1.и аргумент « = (а — 0)/(а — у) < 1.(5.92>(5.92>Гэ = 2/з “2 (a — 丫) {(a + 丫 一 2p) £ + (6 — 丫) К}, 旷Y = 2/3 "2(a - Y){(a +6_2Y) ? 一 2 (0一Y) Q где Е и К — полные эллиптические интегралы:

(5.88)

(5.88)

(5.89}

(5.89}

(5.90а)

(5.906)

(5.90в)

(5.90а)

(5.906)

(5.90в)

л/2

л/2

Е (s) = \ Л d&о

Е (s) = \ Л d&о

л/2

K(s)= \ dB/А, Л = (1 — s2 sin20)I/2,

л/2

K(s)= \ dB/А, Л = (1 — s2 sin20)I/2,

(5.91)

(5.91)

и аргумент « = (а — 0)/(а — у) < 1.

и аргумент « = (а — 0)/(а — у) < 1.

(5.92>

(5.92>

оИз (5.90) получаем важное соотношение ^а+Г3+Г7 = 0.оИз (5.90) получаем важное соотношение ^а+Г3+Г7 = 0.(5.94)(5.94)

о

Из (5.90) получаем важное соотношение ^а+Г3+Г7 = 0.

о

Из (5.90) получаем важное соотношение ^а+Г3+Г7 = 0.

(5.94)

(5.94)

При установлении этих соотношений мы использовали следующее:

л/2

〃 (s) = £ 八3成=•咨^£2业 Е ⑸ к (s).(5.93>

Тогда из (5.88) имеем

da = (1/Д) (Р — у) (— dA -\- a dB -\- !/2«2 厶)，

dp = (1/А) (у ~a)(~dA + ^dB + % 俨 de),(5.95)

dy = (1/A)(a-p)(- dA + ydB + %卡de),

где A = (a — P) ф — у) (a — y).(5.96)

Эти соотношения определяют частные производные a, §, у по с, 4 В. Далее мы можем выразить частные производные от W по с, А, В через частные производные от W по a, р, у:

解4 = 2 V2/(a - у) к,

Кв = — 2 “2/(а — 丫) {y《+ (а — 丫) Е},(5.97)

吃=->/3 "2/(a 一 y) I{Y (a + 6 + 2Y) 一 耶} ^ +

+ 2(a — Y)(a + B 十 у)Е],

где для удобства записи мы опустили аргумент s? в функциях Е и К. Обозначая теперь точкой производную D/Dt^ применяя этот оператор к (5.97) и используя

(5.98а)(5.986)(5.99)(5.98а)(5.986)(5.99)户=%[(S2)・/S2](E-K),

(5.98а)

(5.986)

(5.99)

(5.98а)

(5.986)

(5.99)

斤=%【(S2)7S2][E/(1 -S2)-K],

(s2)，= (B — y) & — (a — у) В + (a — В) t s22 (a — В) (a — у)

имеем

近=_"孤r [哮沪& +a偉飞丝品吃了: Y)E 8 +

+ w_獣>±注勺，(5.1006)

呼с = — “2/(a —Y){ 2(a1~p)[~ (耶 + 即一Ya) К +

+ фу — a (₽ + V — 2a)) E] + 乖"盯[(aP+ay —卩丫) К—

-|E|(aY-B(a + Y-2B))E] +

十 2(p — у) l2Y (P ~ V)^ + («Р — Y (« + P — 2丫)) E] } •(5.100b)

Запишем усредненные уравнения сохранения через производные от а, р, ?:

(%一步6)a + (叭-rY)p +(% -га)V =

=4旷心(% + h + Yх)，(5.101)

{(Y - 2₽)rY -(₽- 2Y) Гэ} а + {(а - 2丫)И7а - (у-2а)Г7}р + + {(₽ - 2а) % — (а — 2р) Га}у=-2 呼心{(р + 丫)％ +

+ (a + Y)% + (a + B)Yj, (5.102)

{(Зар - Зау + 卩丫)Wy - (Зау - Зсф + 0丫)％} а +

+ {(3pY - 3₽а + уа)旷。-(3敗-3即 + ya) IT J В +

+ {(Зуа — 3丫6 + 邮)Гр - (3Y₽ - Зуа + а₽)旷』у =

=41ГЛА {₽уах + ау₽х + а^х)-(5.103)

Заметим, что эта система уравнений инвариантна относительно циклической перестановки а,仇『 Чтобы привести эти уравнения к характеристической форме, умножим (5.101) на 九，(5.102) на ц и прибавим их к (5.103). Если выбрать 九 и 卩 такими, что коэффициенты при & и а% равны нулю, то

Л = «Р + ya — ЗРу и w = 2a.(5.104)

При этих значениях Л и ц мы находим, что оба коэффициента при рх и ?% равны —4и7лД(а2 —仪6 —仪丫 + 卩丫)， в то время как коэффициенты при р и у оба равны выражению 2 (а2 —— ——ар ——ay + ₽7)(^y—*6)， me для упрощения использованы соотношения (5.104). Таким образом, наши уравнения сводятся к уравнению

В + 巾=[2ГлЛ/(Г6 -叭)](h + Yx). (5.105)

Учитывая инвариантность относительно циклической перестановки а, р, ?, получаем два других уравнения при помощи этой перестановки. Из (5.105) и двух аналогичных выражений находим следующие характеристические скорости:

с】+ [2ГдД /(% — 叭)]=Q + 4aK/(R — E) = 0,(5.106а)

с? + [2ГлА/(Г7 一 ％)] = & + 4aK (1 一 s2)/[E - (1 - s2)/<] = 0,

(5.1066)

сз + [2ГлД/(Га 一 Гр)]=内 一 [4а (1 — s2)/s2] К/Е = 0, (5.106в)

где а = (а ——В)/2. Соответствующими соотношениями совместности вдоль характеристик являются 0 + ? = const, у + a = const, a + В = const. Волновое число k выражается в виде k = \/WА = “q/2sK, так что можно написать

s = s (а/^2),(5.107)：

тогда три скорости распространения записываются как

Ci = aFI (а/й2), i=l, 2, 3,(5.108)

где функция Fi зависит от а и 女 через комбинацию a/k2. Следовательно, предел при a/k^-^Q отвечает линейному случаю и должен воспроизводить результаты для линеаризованного уравнения КдФ

% + ^ххх 6(5.109)

Фурье-компонента, соответствующая

w 〜exp {2ni{kx 一①/)},(5.110)

определяет следующее соотношение для (5.109):

①=-4冗2出.(5.111)

В пределе а/й2-> 0 скорости распространения (5.106) сводятся к следующим:

-3(2 几盼 2, -3(2 冗电 Г 0.(5.112)

Ясно, что первые две скорости в (5.112) равны групповой скорости, которая дается уравнением (5.111). Появление в (5.112) третьей скорости, а именно 0, может быть объяснено следующим образом. Решение уравнения (5.109) типа стационарной волны имеет вид

и (х, t) = b -\-a sin {2лйх — (2лй)3 /},(5.113)

и осредненные уравнения в линейной задаче дают db/di = 0, что соответствует нулевой скорости в (5.112). Однако мы должны помнить, что в линейной теории решение обычно определяется с точностью до несущественной аддитивной постоянной.

Групповая скорость: динамическая трактовка

Рассмотрим общую континуальную систему. Пусть тр, f = 1, 2, ..., п,——локальные переменные, или характерные параметры, определяющие состояние системы, и L ——лагранжева плотность, т. е. лагранжиан, отнесенный к единице объема. Рассмотрим систему, где L ——функция от тр и их первых производных:

九三(d/次)％，頂』(&/&■%)%，(5-114)

не содержащая независимых переменных, т. е. пространственных координат (*1,*2, %з) и временной координаты t. Таким образом, имеем

£ = £(%, пр 哨). (6.115)

Принцип Гамильтона определяет временную эволюцию системы и заключается в том, что «интеграл по времени от лагранжиана стационарен», что в обычной математической записи выглядит так:

f>^ dt ^LdV = 0 (5.116)

для любых вариаций 6Tli функций т]/(ха, /), которые обращаются в нуль в начале f = % н в конце / = /2 произвольного интервала времени, а также на границе произвольного объема V трехмерного пространства (修，％2, %з), по которому ведется интегрирование в (5.116). Из (5.116) следуют уравнения Лагранжа

з

(d/dt) (dLldi\^ + Е] (d/d%) (〃/d噴)一dL/д^ = О,

i = 1, 2,…，〃•(5.117)

Полная плотность энергии системы в точке (%а,/) дается формулой (Гольдстейн [1950])

Е= Е %©〃&%) — 厶(5.118)

t = l

откуда в силу (5.117) имеем

з

dE/dt = - S д1а/дха,(5.119)

а=1

где/а = £%(& 厶例哨).(5.120)

Из (5.119) ясно, что вектор I (7Ь /2> /з) представляет собой поток энергии. Ясно также, что энергия прямоугольного элемента с гранями, параллельными координатным плоскостям, изменяется со скоростью, равной разности потоков энергии через противоположные грани элемента.

Для периодических плоских волн мы можем определить, скорость распространения в виде

〃а〃а(5.121)(5.121)

〃а

〃а

(5.121)

(5.121)

(5.122)(5.122)

(5.122)

(5.122)

где 〈£〉 обозначает среднее от энергии, полученное осреднением по целому числу длин волн или периодов. В терминах 〃а усредненное уравнение (5.119) принимает вид

4^ + 2费(⑵％) = 0.а=14^ + 2费(⑵％) = 0.а=1з

4^ + 2费(⑵％) = 0.а=1

4^ + 2费(⑵％) = 0.а=1

Если нас интересуют только плоские периодические волны, мы можем использовать принцип Гамильтона в слегка измененной форме.

Плоская периодическая волна удовлетворяет условию

б d/^ Z, dlZ = 0(5.123)

для всех вариаций 6刀力 которые периодичны с теми же самыми частотой и волновым числом, как и сама п〃 при условии, что /2 一 介 равно периоду, умноженному на целое число, и Р——прямоугольный объем, четыре грани которого перпендикулярны фронту волны, а длина ребра составляет целое число длин волн.

Доказательство этого принципа, как показано ниже, более или менее очевидно. Имеем

в\d（\Ldv-\dt\dvi （許 m+器 m+

+ 上券呵等y £情一备（崇）一

3、％/ 九、3、％/ 九、-£訂（景）卜"+y"!出基他崇g）+-£訂（景）卜"+y"!出基他崇g）+

3、％/ 九、

3、％/ 九、

-£訂（景）卜"+y"!出基他崇g）+

-£訂（景）卜"+y"!出基他崇g）+

Первый член равен нулю в силу уравнений Лагранжа (5.117), второй член обращается в нуль при интегрировании по f и использовании того, что 方2—' 6 равно целому числу периодов, и третий член равен нулю в силу использования теоремы Гаусса и того факта, что интегралы по противоположным граням объема V, разделенным целым числом длин волны, обращаются в нуль и что нормали к поверхностям интегрирования внешние.

В линейном случае, т. е. в случае инфинитезимальных амплитуд, можно показать, что 〈厶〉=0. Для начала рассмотрим классический динамический случай. Здесь L ——разность кинетической и потенциальной энергий, так что 〈厶〉—— разность средней кинетической и средней потенциальной энергий——равна нулю.

В общей системе, подчиняющейся принципу Гамильтона, для волн инфинитезимальной амплитуды 厶一однородная функция второй степени по всем переменным, являющимся ее аргументами. Следовательно, если заменить каждое т)( на

(1 + £)W, то лагранжиан 厶 превратится в (1 + e)2L и указанный выше вариационный принцип примет вид

f2才2

0 = 3、dt J L dV = (l +е)2 J dt ^LdV,厶 V力 y

t2

и, следовательно, \ d/ ^ L dV = 0,

(5.124)(5.124)что означает 〈£〉= 0. В случае нелинейной волны £ ——не обязательно однородная функция своих аргументов, и, следовательно, для такой волны в общем случае <L>#= 0. Далее посмотрим, МОЖНО ЛИ выразить групповую скорость Wa в виде

(5.124)

(5.124)

Ua = ds/d/?a

в случае плоских волн конечной амплитуды, как это было для волн бесконечно малой амплитуды. В гл. 2 мы видели, что в случае нелинейных волн (о есть функция не только волнового числа к, но также амплитуды и других параметров, которые были названы Уиземом [1965] псевдочастотами. Однако здесь мы не будем их рассматривать. Таким образом, выражение (5.124) может иметь смысл производной при постоянных компонентах к, отличных от /?&, а также некоторой меры амплитуды,

Уизем [1965] показал, что (5.124) выполняется, если две компоненты вектора к, отличные от 闕，и <А>/(о остаются фиксированными, т. е.

а(х (Os/O^a)忆》(5.125)

Заметим, что классический результат для линейных волн ——частный случай соотношения (5.125), так как для таких волн 〈£〉/s = 0. Докажем (5.125) для общего случая. Рассмотрим плоские периодические волны в форме

口 = - £ 左吟)， (5.126) з

где все функции 力居)периодические по 自=碇——£ kaxa а=1

с периодом Р. Без ограничения общности положим Р = 1, так как это просто означает нормировку переменной &. Из (5.126) имеем

Q =力⑸，% = %(日)叫 ^ = -f^ka. (5.127)

П + 3% =巳(QZ — £ кахаП + 3% =巳(QZ — £ каха(5.128)(5.128)

П + 3% =巳(QZ — £ каха

П + 3% =巳(QZ — £ каха

(5.128)

(5.128)

Рассмотрим произвольное возмущение, при котором, вообще говоря, частота и волновое число изменяются:

б со —б со —

б со —

б со —

Q = co + dco, Ka = ka + dka, F^^f, © + 6Л (g), (5.129) где 6力(自)имеет период 1 точно так же, как и функция 力(占), Итак, имеем

6（^ = 6 J A 也位），明因，一 V:©｝證=

〔證 3&. (5.130)

Заметим, что первый член в правой части (5.130) дает вклад в общую вариацию, происходящий от варьирования fi при фиксированных(о и /?а, и должен обращаться в нуль в силу принципа Гамильтона для плоских периодических волн для вариаций тр при постоянных частоте и волновом числе, в то время как второй и третий члены, будучи помноженными на о, могут быть выражены через средние значения, которые появляются в (5.121). Таким образом,

dL

Если〈D/s = const, TO

6〈£〉/s —〈£〉6s/s2 = o, или s6〈D =〈Q =〈£〉6co・ (5.132) Подставляя (5.132) в (5.131), имеем

(A) 6s =

или б(о

откуда с помощью (5.121) следует (5.125).

Величина 〈£〉/s, которая сохраняется фиксированной в (5.125), является интегралом лагранжевой плотности по времени в пределах одного периода. Это величина, которая остается стационарной, когда мы переходим от периодического решения “》к близкому 刀^ + ^“〃 периодическому с теми же самыми частотой и волновым числом, что и тр, но в общем не являющемуся решением. Это объясняет неожиданное обстоятельство в последнем доказательстве, а именно то, что функции (5.128) с возмущенными частотами и волновыми числами, являющиеся решениями уравнений движения, не использовались в доказательстве. Это не было необходимо, потому что 〈£〉/s было бы таким же, как и для близких функций, которые не являются решениями, т. е. мы могли бы доказать теорему для более общих возмущений 口・ + 8Tр, s + bs, ka + ^ka, не являющихся решениями уравнений движения.

Формула (5.125) была получена Уиземом [1965]. Этот результат следует считать выдающимся, поскольку он переносит обычную формулу для групповой скорости линейных волн на случай нелинейных волн, при условии что псевдочастота фиксирована. Заметим также, что лагранжева формулировка позволяет нам естественным и изящным способом перейти к трехмерному случаю.

ЛИТЕРАТУРА

Гольдстейн (Goldstein Н.)

Classical mechanics. — Reading, Mass.: Addison-Wesley. [Имеется перевод: Гольдстейн Г. Классическая механика. — М.： Наука, 1975.]

Лайтхилл (Lighthill М. J.)

Group velocity. — J. Inst. Math, and its Appl., v. 1, p. 1—28. Уизем (Whitham G. B.)

[1965a] Nonlinear dispersive waves. — Proc. Roy. Soc., v. A283, p. 238— 261.

[1965b] A general approach to linear and nonlinear dispersive waves using Lagrangian. — J. Fluid Meeh., v. 22, p. 273—283.

Linear and nonlinear waves. — New York: Wiley. [Имеется перевод： Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны.——М.: Мир 1977.]

Хейз (Hayes W. D.)

Group velocity and nonlinear dispersive wave propagation. — Proc. Roy. Soc., v. A332, p. 199—221.

ОГЛАВЛЕНИЕ

К русскому переводу*

Предисловие к английскому изданию

Предисловие

Линейные волны . ... . . ..■ ■ ■

Введение

Линейное волновое уравнение: волновая терминология...•

Общее линейноеуравнение； дисперсионное соотношение...1^

Диспергирующиеволны; групповая скорость . . , ...,1厂

Общее решение линейного волнового уравнения1Ь

Распространениеэнергии в диспергирующей волне . ....20

Важное кинематическое соотношение . 22

Приложение 1. Метод перевала 23

Некоторые нелинейные уравнения эволюции (стационарное решение) 29

Введение 29

Эффект нелинейности30

Диссипирующие волны37

Диспер! ирующие волны40

Уединенные волны: солитоны *46

Некоторые уравнения эволюции, порождающие солитоны . . 46

Приложение ПА. Уравнения, описывающие течение газа в трубах и волны на мелкой воде переменной глубины , . , 55

Приложение ПБ Метод сведения кэталонному уравнению59

Взаимодействие солитонов68

Введение 68

Свойства уравнения Шредингера • 68

Интегралы уравнения и связь между уравнениями КдФ и Шредингера 72

Независимость от времени спектра уравнения Шредингера» определение параметров рассеяния73

Обратная задача рассеяния . .. 76

Солитонные решения уравненияКдФ78

Взаимодействие солитонов 89

Непрерывный спектр оператораШредингера93

Общее уравнение эволюции •・. 95

Введение 95

Определения98

43 Решения типа уединенной волны общего уравнения эволюции 103

Применение общей теории к уравнению КдФ . 107

Собственные скорости общего решения уравнения КдФ . . - 111

Групповая скорость； нелинейныеволны114

Введение114

Процедура усреднения115

Примеры ,118

Уравнение Кортевега — де Фриза . . 124

Групповая скорость: динамическая трактовка130

1. Скорость волны относительно однородного состояния в бесконечности пропорциональна амплитуде а. Это обусловлено эффектом нелинейности волны.

П. Бхатнагар