Книга
← К списку книгЗагрузка разделов…
активнаАктивные записи участвуют в каталоге и синках. Неактивная книга скрыта, но не удалена из базы.
Книга
ВВЕДЕНИЕ
В 1965 г. Забуски и Крускал [457 ], экспериментируя с численным решением уравнения Кортевега - де Вриза (КдВ), открыли солитон (и дали ему название). Уравнение КдВ, нелинейное уравнение в частных производных, было введено в конпе прошлого века для описания волнового движения в мелких каналах [259]. Забуски и Крускал изучали его в связи с физикой плазмы, а также задачей Ферми - Пасты - Улама [ 196] (увлекательное описание мотивов, приведших к "рождению солитона", см. в работе [ 247 ]). Однако первое научное описание солитона как явления природы восходит к первой половине XIX в. и принадлежит Дж. Скотт-Расселу [ 423 ]:
"Я наблюдал за движением баржи, которую быстро тащила по узкому каналу пара лошадей, как вдруг баржа резко остановилась; приведенная ею в движение масса воды в канале скопилась у носа судна в бурном волнении, затем, внезапно оставив его позади, покатилась вперед с большой скоростью в форме большого уединенного возвышения; округлый, гладкий, четко видимый водяной горб продолжал двигаться по каналу без заметного изменения формы или уменьшения скорости. Я последовал за ним на лошади и догнал его, когда он все еще катился со скоростью около восьми или девяти миль в час, сохраняя первоначальную форму около тридцати футов в длину и от фута до полутора в высоту. Его высота постепенно уменьшалась, и, проскакав за ним одну или две мили, я потерял его в извилинах канала. Так в августе 1834 г. произошла моя первая случайная встреча с этим необычным и прекрасным явлением..."
Но действительный "прорыв" произошел в 1967 г., когда Гарднер, Грин, Крускал и Миура [212] предложили метод спектрального преобразования как метод решения задачи Коши для уравнения КдВ. Вскоре после этого Лакс [284] показал общий характер этого метода, что очень повлияло на будущие исследования. Несколько лет спустя Захаров и Шабат [ 465 ] путем нетривиального распространения методов ГГКМ и Лакса смогли решить задачу Коши для другого важного нелинейного эволюционного уравнения, так называемого нелинейного уравнения Шредингера. Тем самым был открыт путь для поиска и открытия некоторых других нелинейных эволюционных уравнений или, скорее, классов уравнений, разрешимых этими методами, - процесс, не ослабевающий и по настоящее время. Кроме того, эта область разветвилась, про-
никла в другие области математики (алгебру и дифференциальную геометрию, функциональный и численный анализ), и ее приложения пронизывают всю физику (от нелинейной оптики до гидродинамики, от плазмы до физики элементарных частиц, от динамики решетки до электрических цепей, сверхпроводимости и космологии) и появляются фактически в других научных дисциплинах (эпидемиологии, нейродинамике и т.д.). Конечно, это связано с центральной ролью, которую играют в математической физике и вообще в прикладной математике-нелинейные эволюционные уравнения, и с тем, что метод спектрального преобразования является в некотором смысле (это будет уточнено ниже) распространением на нелинейные случаи метода преобразования Фурье, всеобъемлющая роль которого в решении и исследовании линейных уравнений, конечно, хорошо известна.
Очерченная здесь широкая область приложений как к чистой, так и прикладной математике, равно как и динамика развития этой области знаний, исключают возможность систематического и полного охвата теории или приложений. В данной книге внимание сосредоточено на одном методе, а все конкретные приложения здесь не рассматриваются. Путеводной нитью служит аналогия между методом спектрального преобразования для решения некоторых классов нелинейных эволюционных уравнений и методом преобразования Фурье для решения линейных дифференциальных уравнений в частных производных.
Охватываемый в книге материал достаточно подробно представлен в оглавлении, и дополнительный обзор здесь не нужен. Лучше отметим важнейшие опущенные вопросы. К ним относятся: связь с гамильтоновой динамикой (за исключением краткого изложения в дополнении Д.23), дискретные задачи (конечно-разностные уравнения, отображения, динамические системы с конечным числом степеней свободы), задачи на конечном интервале и в частности задачи с периодическими граничными условиями, ’’обратная1’ задача определения принадлежности заданного эволюционного уравнения к какому- либо классу уравнений, решаемых методом спектрального преобразования, и определения соответствующей спектральной задачи, на основе которой вводится спектральное преобразование (в значительной степени это еще нерешенная проблема, исследованием которой сейчас активно занимаются преимущественно в рамках дифференциальной геометрии). Не включены сюда и вопросы изучения уравнений, ’’близких” к тем, которые могут быть решены такими методами, или, что эквивалентно, вопросы использования некоторых нелинейных эволюционных уравнений, разрешимых методом спектрального преобразования, в качестве отправного пункта метода возмущений; не включены и другие методы, дополняющие рассматриваемый в этой книге метод или перекрывающиеся с ним.
Наконец, о наших не очень высоких стандартах математической строгости. То, что мы не гонимся за строгостью, оправдывается, во-первых, педа-
гогическими соображениями: мы стремимся к максимальной простоте изложения. Во-вторых, нужно учесть относительную новизну рассматриваемого здесь вопроса. Действительно, хотя проведенные исследования позволяют изложить материал более строго, нежели в данной книге, многое еще остается сделать в этом направлении. (Показательна аналогия с преобразованием Фурье: многие связанные с ним интересные результаты были установлены вскоре после того, как оно было опубликовано [195], и даже ранее, как, например, теорема Парсеваля [ 394], и все же только теперь, спустя более чем столетие, теория преобразования Фурье приобрела достаточно строгий вид- чтобы достичь такой стадии, нужно было дождаться введения распределений, или обобщенных функций [ 414, 220].)
Очевидно, что такой отказ от математической строгости не должен быть истолкован как оправдание ошибок и неряшливости, мы старались быть чистыми от этих обоих грехов (или по крайней мере избежать ошибок и свести к минимуму неряшливость). Но у нас в общем случае не будет определен класс функций, с которыми мы будем иметь дело, если не считать самых общих характеристик; вообще говоря, мы будем полагать, что, когда нужно, у нас имеются все "хорошие" свойства (ограниченность, гладкость, аналитичность, асимптотическая сходимость, интегрируемость и т.д.). Скрупулезный анализ менее жестких условий, при которых может быть доказан каждый из результатов, о которых пойдет речь ниже, не говоря уже о каких-либо попытках расширить эти ограничения, лежит, очевидно, за рамками данной книги.
Примечания к главе О
Перечислим основные работы, относящиеся к ранним этапам развития теории "солитонов" (за исключением тех, которые приводятся далее в тексте): [343, 342, 419, 199, 264, 213, 230, 455, 454, 429].
Наверное, интересно отметить, что ключевое слово "солитон" появилось в предметном указателе реферативного журнала Physics Abstracts в 1973 г. (выпуск январь - июнь).
В гл. 1, § 8 приводится перечень "разрешимых" уравнений. Работы [466, 16] - наиболее важные среди тех, в которых был расширен класс разрешимых уравнений; работы [ 82, 111, 117, 119, 121, 126, 130]- главные среди тех, где был расширен класс уравнений, разрешимых описываемым здесь методом.
О роли солитонов в развитии других ветвей математики см., например, работы [ 163, 224, 225, 331 J.
Обширна литература, посвященная приложениям. В качестве полезных "путеводителей" можно назвать следующие обзоры и книги: [415, 75, 76, 131, 7 3, 77, 190, 311, 209, 436, 447, 42].
Приведем перечень книг и обзорных статей, полностью или частично по-
священных этим вопросам; это может быть полезно особенно для читателей интересующихся другими методами: [415, 22, 369, 444, 2 82, 355, 163, 2 24, 334, 345, 75, 131, 147, 225, 333, 8, 39, 88, ПО, 146, 158, 190, 311, 330, 404, 135, 365, 398, 447, 461, 40, 42, 65, 292, 464, 29, 173, 179, 159].
Далее дается список статей, тесно связанных с методом, которому мы следуем в этой книге; они могут оказаться полезными читателю, желающему детально исследовать вопросы, недостаточно освещенные в книге, или проверить, разработаны ли уже вопросы, следующие из приведенных здесь результатов: [84, 82, 85, 8 3, 113, 111, 112, 117, 114, 115, 171, 172, 103, 118, 119, 120, 121, 122, 123, 124, 125, 126, 127, 90, 143, 53, 54, 128, 89, 138, 294, 304, 305, 306, 263, 410, 411, 395, 216, 217, 92, 93, 97, 129, 130, 55, 56, 151, 152, 57, 62, 66, 67, 68, 153, 165, 293, 301, 308, 363, 364, 412, 69, 70 , 72, 295, 302, 312, 3 99, 413, 5 2, 58, 59, 6 0, 71, 154, 3 07, 309]. Это перечень статей, посвященных рассматриваемым в данной книге вопросам (включая и второй том), которые были написаны нами и нашими коллегами в Риме в последние несколько лет; они расположены в порядке, компромиссном между логическим и хронологическим, сюда же включены статьи, относящиеся к дискретным системам, а также несколько близких по содержанию работ других авторов.
Основные работы, посвященные связи с гамильтоновой механикой, -статьи [ 199, 455]. Последующая литература общирна, см., например, [ 191, 2 02, 2 03, 204, 286, 38, 205, 206, 331, 207, 208, 4, 5, 47, 327] и дополнение Д.23 (включая примечания).
По дискретным уравнениям см. обзорные статьи [6 - 8, 294].
Обширна литература последних лет, посвященная динамическим системам; вот основные статьи, вызвавшие это оживление: [4 28, 81, 22 3, 185, 186, 324, 3 56]. Обзорные статьи: [431, 87, 9 3, 95, 433, 388], а также работы [ПО, 135 и 434]. Замечательная связь между некоторыми нелинейными эволюционными уравнениями, разрешимыми методом спектрального преобразования, и некоторыми интегрируемыми динамическими системами (с конечным числом степеней свободы) кратко рассматривается в гл. 3, § 2, п. Г, 1 (включая примечания).
В данной книге мы ограничиваемся рассмотрением задач на всей прямой, в общем случае с нулевыми граничными условиями на бесконечности. Математические методы, связанные с аналогичными задачами, но на конечном интервале, так же относятся в случае периодических граничных условий к рассматриваемым здесь задачам, как ряд Фурье к интегралу Фурье. Фактически, однако, такие задачи требуют, вообще говоря, большей дозы математики, например знакомства с эллиптическими функциями и алгебраической геометрией. Соответствующая литература достаточно обширна, см., например, работы [ 285, 352, 163, 353, 275].
Обзор исследований по структурам продолжения (использование методов дифференциальной геометрии для решения вопроса об интегрируемости задан-
ного нелинейного эволюционного уравнения) приводится в работе [ 180]; см. также работы [224, 225, 396]. Недавно было опубликовано элементарное введение [ 254] в этот вопрос, почти не требующее знакомства с методами дифференциальной геометрии.
Важной задачей, далекой от завершения, является построение "теории возмущений" на основе интегрируемых нелинейных эволюционных уравнений. Шаги в этом направлении сделаны в работах [ 371, 267, 354, 262, 270, 179, 253].
Невозможно изложить здесь многие другие существующие в настоящее время методы решения и исследования нелинейных эволюционных уравнений, но приведенного выше перечня книг и обзорных статей, вероятно, достаточно для ориентировки. То же самое относится и к приложениям.
Некоторых читателей может смутить неявное признание существования различных степеней математической строгости; когда один наш друг, физик- теоретик, сказал, что он нечто доказал "строго", один математик тотчас же спросил, не достаточно ли было просто доказать это. Он имел в виду, конечно, что доказательство есть доказательство и не нуждается в прилагательном чтобы его квалифицировать. Это не так: даже в "чистой" математике стандарты строгости меняются в очень широких пределах. Убедительный пример - популярный анализ [380, с. 37, 104] скрытых допущений (которые нужно сформулировать явно, чтобы сделать доказательство "строгим"), содержащихся (с точки зрения формализованной математической логики) в доказательстве даже самой элементарной теоремы арифметики о том, что не существует наибольшего простого числа.
Глава 1
ОСНОВНАЯ ИДЕЯ И ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ(ОБЩИЙ ОБЗОР)
В данной главе мы хотим дать читателю представление о решении некоторых классов нелинейных эволюционных уравнений методом спектрального преобразования и изложить основные результаты. Эти результаты будут подробнее рассмотрены в следующих главах.
Решение линейных эволюционных уравнений методом преобразования Фурье
Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение в частных производных
м,(х,/)=-1Ц-1-^)“Ь><),<])
где функция co(z) есть, скажем, полином. Изучение многих явлений природы может быть сведено к исследованию решения и(х, t) уравнения (1) с начальным условием
u^O^Uq^x), — оо<х<оо,(2)
где функция ио(%) регулярна (при всех действительных значениях %) и асимптотически стремится к нулю, например:
^UmJlxl'+'t/oMpO, f>0.(3)
Заметим, что если четная часть функции co(z) действительна, а нечетная мнима (т.е. если [cd(z*) ]* = -co(-z)), то уравнение (1) действительно. Тогда функция Цх, t) также действительна при t> 0, если действительна функция u^xV Кроме того, если действительна функция cd(z) ([«(г*)]* = go(z)), то уравнение (1) - чисто дисперсионное (т.е. недиссипативное); тогда, например, легко видеть [см. ниже формулы (4) и (7)], что интеграл от функции | Цх, 0|2 по всем действительным значениям х не зависит от времени.
Начальная задача, или задача Коши, с граничным условием вида (2) или (3) типична для исследуемых в данной книге задач, хотя ниже наше внимание будет сконцентрировано на решении нелинейных эволюционных уравнений, а не на подобных уравнению (1) линейных уравнениях.
Центральную роль в решении уравнения (1) играют формулы прямого и обратного преобразования Фурье для функции и^х, t) (для ее зависимости
от переменной х^
и(х,0 = (257)1 Г йкехр^кх^й^к^У(4)
* — ОО
u^kj)—[ dxexp^ — ikx^u^xj),(5)
*—00
вследствие гхого, что при изменении функции u(x, t) согласно уравнению в
частных производных (1) изменение ее фурье-образа и(к, t) описывается обыкновенным дифференциальным уравнением
tt,(/c,O=-i"(^)“(^>z)>^
которое может быть сразу же проинтегрировано:
u^kj^ — u^k^exp^ — ii^kyy
Таким образом, уравнение (1) при условиях (2) и (3) решается в три ша
га. Сначала в момент времени t = 0 находится фурье-образ
r-hOO(8)
w(/c,O) = wo(£) = /dxexp( —ikx) u^x)
-00
[ формулы (5) и (2)], затем по формуле (7) находится фурье-образ иЦц t} и, наконец, в момент времени t функция u( х, t) восстанавливается на основании фурье-образа и (к, t) по формуле преобразования Фурье (4).
Проиллюстрированный здесь метод решения можно наглядно представить схематической диаграммой, где штриховой линией показана трудная задача, в общем случае непосредственно связанная с приложениями, а тремя сплошными линиями — три более легких шага, последовательное выполнение которых приводит к решению.
Мы полагаем, что преобразование Фурье играет столь важную роль в математической физике и прикладной математике в основном по той причине,
что оно дает, как указывалось выше, адекватный метод решения уравнения (1) при условии (2); эта математическая задача, так же как и ее обобщения, тоже разрешимые методами Фурье, может служить схемой (часто, конечно, приближенной) многих явлений природы.
На самом деле важно не то, что рассматриваемый метод решения позволяет получить явное решение уравнения (1) при условии (2) [ действительно, аналитически вычислить интегралы (4) и (5) можно только в редких случаях], а то, что он позволяет понять поведение функции uU, <)• Эволюция во времени, очевидно, полностью определяется "дисперсионной функцией" оДкУ, обычный анализ поведения решения Цх, г) по прошествии длительного времени [решения, даваемого формулами (7) и (4)] показывает, что решение и^х, ty определяемое начальными данными и^хУ локализованными вблизи точки х0 и обладающими, кроме того, фурье-образом и^к), локализованным вблизи значения kQ> ведет себя в общем случае как "волновой пакет", движущийся с групповой скоростью
_ da^k) I(9)
“dF" |Л=,0
и асимптотически диспергирующий (максимум его огибающей локализован около х = xQv v^t и при t -> оо уменьшается пропорционально f-1/2)e Заметим, что это поведение, хотя и очень понятное, никоим образом не очевидно из структуры дифференциального уравнения в частных производных (1) в противоположность чрезвычайно простой временной эволюции фурье-образа и^ t), даваемой формулой (7). Таким образом, мы видим, что динамика в к-простг ранстве намного проще, чем в х-пространстве, Следствия такого вывода, вытекающего из разрешимости уравнения (1) методом преобразования Фурье, всеобъемлющи; они не только указывают наиболее подходящий язык для построения теорий многих явлений природы Г всех тех, математическое описание которых может быть тем или иным путем моделировано уравнением (1)], но и фактически предписывают наилучший путь экспериментального исследования этих явлений (например, мотивировка экспериментов с монохроматическими пучками в оптике может быть точно прослежена вплоть до этого исходного пункта, и то же самое можно сказать даже о тенденции строить ускорители частиц на все большие и большие энергии1). Логично предположить, что аналогичная ситуация будет иметь место и для тех нелинейных эволюционных уравнений, которые разрешимы методом, основанным на спектральном преобразовании, методом, сходным с методом преобразования Фурье, но имеющим также и некоторые существенно новые особенности.
Отметим здесь и некоторые другие свойства решений уравнения (1), у которых, как будет показано, имеются аналоги в рассматриваемых далее нелинейных случаях.
Во-первых, заметим, что если функция и(1)(%, t) удовлетворяет уравнению (1), а функция и^Чх, г) связана с функцией и^ (х, t) соотношением
то функция и0) (х, t) тоже удовлетворяет уравнению (1). Действительно, соотношение в фурье-пространстве, соответствующее уравнению (1), имеет следующий вид:
#(£)м(2)(£, г)+А(£)м(1)(£, г)=0,(^а)
или, что эквивалентно,
й(2\к, t) = - [A(A)/g(*)J uw(k, t);(11б)
это, очевидно, означает, что если функция и(1) (к, t) удовлетворяет уравнению (6), то ему удовлетворяет и функция и^Чк, tV Хотя уравнение (10) при заданной функции и^Чх» О имеет вид обыкновенного дифференциального уравнения для функции и® (*, г) только в том случае, когда функции ^ и Ц^ являются полиномами или рациональными функциями, в остальном функции g(z) и Цг^ здесь достаточно произвольны, если не считать того, что они должны удовлетворять условиям, гарантирующим регулярность функции и^Чх, t) и ее асимптотическое стремление к нулю согласно условию (3), если тем же условиям удовлетворяет и функция и^ (*, И [ например, функция ^(z) не должна иметь нулей на действительной оси].
Во-вторых, мы заметим, что если функции ихЧх9 t) и и^Чх, t^ являются решениями уравнения (1), то этому уравнению удовлетворяет и любая их линейная комбинация с постоянными коэффициентами
и^х, t) = c{u^4x, t)4-c2u(2\x,t).(12)
Это, конечно, принцип суперпозиции, соответствующий линейной структуре Уравнения (1).
В-третьих, отметим, что решение уравнения (1) с условием (2) может быть формально записано с помощью резольвентной формулы, и^х, r) = exp|^ — itw^ — i-~) j и0(хЧ(13)
соответствующей непосредственному интегрированию уравнения (1) [от 0 до t с использованием условия (2)]. В частном случае co(z) = -z, когда уравнение (1) имеет вид ut(xj) — u4xs 0^^
и имеет общее решение м(х, t)=/(x+z),<15*
формула (13) соответствует хорошо известному операторному тождеству /(х+а)=ехр^-^)/(х),(16)
где вместо t мы написали а, чтобы подчеркнуть, что эта формула не специфична для задачи об эволюции во времени; действительно, в соотношении (16) выражается свойство "оператора трансляции" exp(ad/d%), и оно справедливо для любой функпии fM [строго говоря, для любой функции f(z)„голоморфной в круге I z - %] 4 I а I ].
Хотя мы для простоты не ввели в уравнение (1) явной зависимости от времени, подчеркнем, что рассмотренный в данном параграфе метод решения может быть использован (с тривиальными изменениями) и в случае, когда это уравнение в частных производных явно зависит от времени, т.е.
K,(x,r)=-i«^-i-^,t)M(x,z).(17)
Тогда, конечно, вместо соотношения (6) имеем
й((к, t^-w^k, t^u^k, г)(18)
и соотношение (7) заменяется соотношением
й^к, t) = u(k,0)expй^к, t) = u(k,0)exp— i f dt'vfk, f— i f dt'vfk, f(19)(19)
й^к, t) = u(k,0)exp
й^к, t) = u(k,0)exp
— i f dt'vfk, f
— i f dt'vfk, f
(19)
(19)
Если дифференциальное уравнение в частных производных (1) содержит явную зависимость от %, то применение метода преобразования Фурье становится менее простым. Он остается эффективным (в смысле сведения решения к квадратурам и к решению обыкновенного дифференциального уравнения, в общем случае нелинейного, см. ниже) в случае, когда зависимость от х - линейная, так что уравнение (1) имеет вид
Теперь это уравнение характеризуется двумя функциями co(z, t) и a/(z, t) (ради общности мы ввели также зависимость от <). Соответствующее ему в Фурье-пространстве уравнение имеет вид ^U^^^w^tV^kitV^k^^iAk^u^kj^,(21)
и может быть решено методом характеристик. Решение его записывается в виде
^к, O = uo\k^t, Л)] ехр{ jf'dz' [-i«(x, O + 4(x, '')]},(22)
где
X=x[<',k0(t,k)],(23)
причем функция х(<, к^ определяется обыкновенным дифференциальным
уравнением
XiU'ko^-to'YxkhkoYt^(24)
и граничным условием
Х^Ло^к^(25)
а функция k^t, к^ определяется функциейх посредством неявной формулы хОЛ^к.(26)
Таким образом, решение задачи Коши для уравнения (20) при условии (2) дается формулами (4) и (22); при этом функция и,^ Дается формулой (8). Мы здесь предполагаем, конечно, что все интегралы сходятся и возможно ин- террирование по частям, необходимое для получения формулы (21) из уравнения (20). То, что это не всегда так, ясно из рассмотрения формулы (22), так как эта формула вместе с соотношениями (23) - (26) не означает, что функция и {к, t^ при t > 0 асимптотически по к стремится к нулю, даже если это имеет место для функции и (к, 0) = и о(к). Подробнее мы рассмотрим этот вопрос в гл. 6, § 2, и дополнении Д.16 , поскольку аналогичная трудность возникает и в случае нелинейных эволюционных уравнений.
Мы даем здесь общий обзор хорошо известных фактов, касающихся решения линейних эволюционных уравнений методом преобразования Фурье, учитывая наличие тесной аналогии между этим методом и методом спектрального преобразования, как методом решения некоторых классов нелинейних эволюционных уравнений, который является предметом нашего главного интереса. Аналогия имеется также для только что упомянутого распространения на уравнения, коэффициенты которых зависят от t и линейно зависят от х. В заключение данного параграфа укажем два направления, где, напротив, такой тесной аналогии, по-видимому, еще нет.
Первое и самое важное - распространение метода на большее число прос- странственных переменных. В линейном случае это может быть сделано достаточно тривиально введением многомерного преобразования Фурье, а в нелинейном случае непосредственно распространить метод на задачи с большим числом пространственных переменных нельзя (хотя, как мы увидим позже в гл.6, § 1, есть некоторые пути введения дополнительных переменных).
Возвращаясь к простейшему случаю одной пространственной и одной временной переменной, заметим, что есть другой путь распространения метода на большее число переменных, который прост в линейном случае, но которому еще нет простого соответствия в нелинейном: включение некоторых классов интегро-дифференциальных уравнений. Рассмотрим, например, вместо уравнения (1) эволюционное уравнение
^/(^, 0 = ^dyK^x— }M)u(y,t).(27)
Тогда снова применимо описанное выше рассмотрение с заменой соотношения (6) { или лучше (18) ] соотношением
uz(^, г)=]С(^, г)й(Л, г),(28)
где, конечно, функция К^к, t) есть фурье-образ функции К(х, t):
К Lx, t) = (2ir) 11dkК(к, t)exp(ikx),(29а)
K(kj) = dxK(x, t)exp(-ikx).(296)
* ~ ОО
Пока еще нет метода спектральных преобразований для решения простых нелинейных эволюционных уравнений интегрального типа, хотя в побледнев время, по-видимому, наблюдается прогресс и в этом направлении (см. § 8).
Класс разрешимых нелинейных эволюционных уравнений
Класс нелинейных эволюционных уравнений, разрешимых методом спектрального преобразования, можно записать в компактном виде следующим образом: uf(x, t) = a(L)ux(x, t),(1)
где а (г), - например, полином, a L - интегро-дифференциальный оператор, определенный следующей формулой, задающей его действие на порождающую функцию f(%):
L/(x)=/xx(x)-4«(x,z)/(x) + 2«x(x,z) jT йуКуУ(2)
Здесь и всюду далее мы рассматриваем только такие функции, интегралы от которых (интересующие нас) сходятся. Конечно, функция f может зависеть и от других переменных, например от t.
Заметим, что оператор L зависит от функции и; это приводит к тому, что правая часть уравнения (1) нелинейна по и. Так как L - интегро-дифференциальный оператор, то в общем случае уравнение (1) может оказаться интегро- дифференциальным. Но в данном случае это не так: пока а (г) - полиномиальная функция переменной z, уравнение (1) является нелинейным эволюционным уравнением в частных производных. Это - следствие важного и нетривиального свойства оператора L, которое будет доказано ниже (дополнение Д.9) и которое в общем виде можно сформулировать следующим образом:
Lnux(x, t) =g<"\ « = 0,1,2,...,(3)
где ^п^ - полином степени n + 1 от функции и и ее Производных по х вплоть до порядка 2п. Например,
Lux — uxxx—6uux=^uxx — 3u2^x,(За)
Ь2их=иххххх-Х0ииххх-2йихихх + 30и2их = («хххх-10ийхх-5^+10и3)х- Z36)
Таким образом, простейшим Нелинейным эволюционным уравнением, содержащимся в классе (1), является уравнение Кортевега - де Вриза (КдВ) и,+иххх-6иих=0.(4)
соответствующее функции a(z) в виде a(z) = -z.
Как и в случае, о котором шла речь в предыдущем параграфе, нас будет интересовать главным образом задача Коши для уравнения (1) с заданным начальным условием
н(х,О) = но(х), — оо<х< + оо,(5)
где uQ^ - функция, регулярная при всех действительных значениях %, асимптотически стремящаяся к нулю [ формулы (1.1.-2,3)].
Класс эволюционных уравнений (1) мы выписали здесь в самом начале, чтобы был понятен общий ход последующего изложения. К этому классу мы далее будем не раз возвращаться. Метод решения уравнения (1) основан на спектральном преобразовании (по %) функции Цх, t), играющем роль, аналогичную роли преобразования Фурье при решении уравнения (1.1.-1). Поэтому в следующем параграфе мы кратко изложим теорию спектральных преобразований.
Но прежде чем закончить данный параграф, укажем, что в пределе, когда функция и^х, t) и все ее производные малы и мы вправе пренебречь всеми их степенями, нелинейное эволюционное уравнение (1) переходит в линейное уравнение
\
дх2 /
или эквивалентное ему [формула (1.1.-1) ] уравнение
и^х, t) = — i*>( — i-^) и^х, t),(6а)
где
*>(z) = — za(~ z2).(66)
Заметим, что в случае действительной функции a(z) функция co(z) автоматически оказывается действительной и нечетной, а поэтому мы вследствие соотношения (6а) получаем не только действительное (как, конечно, и должно быть), но и чисто дисперсионное (т.е. недиссипативное) уравнение.
Спектральное преобразование
Данный параграф разбит на три пункта. В первом кратко излагается спектральная задача Шредингера и вводится понятие спектрального преобразования. Во втором дается схема решения соответствующей обратной спектральной задачи,и в третьем подробнее рассматривается спектральное преобразование.
Спектральная задача, о которой идет речь в данном параграфе, - это задача решения (методом спектрального преобразования) класса нелинейных эволюционных уравнений, введенных в предыдущем параграфе. Более детально эта спектральная задача рассматривается в следующей главе (гл. 2). Другие спектральные задачи имеют отношение к решению других классов нелинейных эволюционных уравнений, некоторые из них рассматриваются во втором томе.
Подчеркнем, что рассматриваемый в данном параграфе (и в гл. 2) вопрос не связан с задачей об эволюции во времени, точно так же как исследование свойств преобразования Фурье не имеет отношения к возможному применению такого преобразования для решения линейных эволюционных уравнений.
Прямая спектральная задача
Рассматриваемая здесь спектральная задача знакома тем, кто имел дело с квантовой механикой; в основе ее лежит стационарное уравнение Шредингера
— фхх^х, k^-Vu^^x, к) = к2^(х, к), — оо<%< + оо.(1)
Это обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка. Здесь и(х^- заданная действительная функция, которая, как мы принимаем, регулярна при всех (действительных) значениях % и асимптотически стремится (достаточно быстро) к нулю, например:
lim [И1+^(х)]=0, f>0.(2)
В квантовой механике стационарное уравнение Шредингера (1) получается из нестационарного. Это не имеет отношения к эволюции во времени, о которой пойдет речь в других разделах книги. Здесь лучше вообще забыть о физической интерпретации уравнения (1), основанной на представлении об одномерном квантовом рассеянии или о связанных состояниях, и рассматривать спектральную задачу, определяемую уравнением (1), как типичную задачу Штурма- Лиувилля на собственные значения, даже сингулярную задачу Штурма - Лиувилля, так как дифференциальное) уравнение (1) рассматривается на всей действительной прямой, т.е. на бесконечном интервале. В дальнейшем мы примем эту точку зрения, хотя и сохраним некоторые термины (например, коэффициенты ’’отражения” и ” прохождения”, см. ниже), происхождение которых, очевидно, связано с квантовой задачей рассеяния.
Спектр задачи Штурма - Лиувилля, определяемой уравнением (1), состоит из двух компонент: непрерывной, включающей все положительные собственные значения к2, и ряда дискретных собственных значений к2 = -р2 , Рп > 0, п = 1, 2, N
Для характеристики непрерывной части спектра (соответствующей дейст-
вительным собственным значениям к, так что к2 > 0) удобно ввести решение уравнения, определяемое асимптотическими граничными условиями
(За)(36)(За)(36)^(х, к^Т^кУх^-'1кх\ х^ -оо,
(За)
(36)
(За)
(36)
^(х, k)-»exp(-i/cx)+A(/c)exp(i£x), х-> + оо.
Очевидно, что такое асимптотическое поведение согласуется с условием (2) и единственным образом определяет собственную функцию у(х, к), а также коэффициенты прохождения Т(к) и отражения R(k).
Пусть /V - число дискретных отрицательных собственных значений: к2=-р^Pn>0* n^V^-.-.N.(4)
Каждому из этих собственных значений соответствует решение f^x^ уравне- «мя (1), единственным образом определяемое асимптотическим граничным условием
^Пт^ [exp(p„x)/„(x)] = l, n = l,2,..., jV.(5)
(6)(6)При х -> - о» это решение также стремится к нулю как exp(p^) и потому может быть нормировано; действительно, именно этим условием определяется дискретное собственное значение - р^ . Для удобства введем нормировочный множитель р :
(6)
(6)
«=1,2,...,7V.
Далее предположим, что число N дискретных собственных значений конечно; достаточным условием этого является справедливость условия (2) при некотором е > 1 (дополнение Д.1). Конечно, N может быть равным нулю, т.е. дискретных собственных значений может не быть; достаточным условием этого является неотрицательность функции и(х) > 0 при -ос<х<4-~; чтобы исключить этот случай, достаточно, чтобы функция и^ нигде не была положительной, и(%) < 0 при -оо < х< -юс. Действительно, N можно рассматривать как глобальную меру отрицательности функции и^, как следует из приведенных в дополнении Д.1 верхней и нижней границ ее значений.
Назовем спектральным преобразованием S функции и^ набор данных1*
(7)(7)S^u^ ^R\k), — со<к<-V со; рп, р„, и=1,2,...,7V).
(7)
(7)
Такое определение имеет смысл благодаря наличию взаимно однозначного соответствия между функцией uto (в подходящем функциональном классе, как указано выше) и спектральными данными (7). В данном пункте парагра-
1} В дальнейшем спектральное преобразование S мы будем называть спектральными данными или данными рассеяния. — Прим, перев.
фа мы показали, как спектральные данные S (очевидно, единственным образом) определяются функцией и; это прямая спектральная задача. В следующем пункте речь пойдет об обратной спектральной задаче, а именно об определении функции и по имеющимся спектральным данным S.
Б. Обратная спектральная задача
Если известны спектральные данные
5= {£(&), — оо<&< + оо; pn,pns п = 1,2,..., ^},(1)
то соответствующая им функция и(х) находится следующим образом. Рассмотрим функцию
M(x) = (2»?yxj_ dkexp(ikx)R(k) + 2 рпехр(-рпх).(2)
00п= 1
Если не считать вклада дискретного спектра, то функция М(я) есть в точности обратное преобразование Фурье функции R^kV
Рассмотрим далее интегральное уравнение Гельфанда - Левитана - Марченко (ГЛМ)
К(х, у) + Л/(х+у) + у*dzK^x, z)Af(z+y) = O, у>х.(3)
Это - интегральное уравнение Фредгольма, и им единственным образом определяется функция К(х, у). Интегральное уравнение (3) относится к зависимости функции К^х, у) от аргумента у. Что касается зависимости К^х, у) от аргумента х, то эта зависимость (если она есть) параметрическая и связана с появлением х как в аргументе неоднородного члена М (х 4- у ), так и в нижнем пределе интегрирования.
После того как найдена функция К(х, у), функция и^ находится из простых формул
w(x)=2K(x, х+0),(4)
W^x^j dyu(y),
«(х^-и-Дх).(5б)
Конечно, функция Цх), полученная таким путем, действительна и регулярна при всех х и асимптотически стремится к нулю только при условии, что спектральные данные 5 обладают определенными свойствами; например, коэффициент отражения R^ Должен, очевидно, иметь фурье-образ. Подробнее об этом говорится в гл. 2 и в дополнении Д.16.
Мы заканчиваем этот пункт некоторыми примерами.
Рассмотрим весьма специальный случай спектральных данных с равным нулю вкладом непрерывного спектра и единственным дискретным собственным
значением:
S= {Я(&)=0, — со<к< + оо; N— 1, рх =р, рх =р).^^
Как мы увидим, этот случай будет играть очень важную роль. Здесь же он служит простой иллюстрацией метода обратной спектральной задачи. Поскольку в данном случае функция М^ есть просто экспонента:
М (х) = рехр( -рх),(7)
переменные в уравнении ГЛМ (3) могут быть разделены и оно легко решается , давая
^(^^)=-рехр[р(/-^)]/сЬ[р(х-/)],(8)
Ч^)=-4р/{1+ехр[2р(х-^)]},(9)
“(^) = -2p7ch2[p(x-/)].(ю)
В этих формулах
/=(2р)-,1п(р/2р).(11)
Фактически эта процедура может быть выполнена и в более общем случае спектральных данных, когда нет вклада непрерывного спектра, а есть N дискретных собственных значений:
s= ^R(k) =0, -со<к< + 00;рп,рп, п=1Л...Л}.(12)
Действительно, в таком случае в уравнении ГЛМ - Фредгольма (3) переменные все еще разделены, хотя ранг равен /V. Соответствующая спектральным данным (12) функция и(х) может быть записана в компактном виде M(x)=-2^{lndet[/+C(x)]},(13)
где I -единичная матрица порядка N, С(х) - симметричная матрица порядка N с элементами
Ст„(х) = (дпА)1/2(рт+р„)-1ехр[-(рт+р„)х].(14)
Наконец, рассмотрим случай, когда нет дискретных собственных значений и, кроме того, функция R^ очень мала (по модулю), так что очень мала и функция и(х). Отметим, что это последнее предположение согласуется с отсутствием дискретных собственных значений; действительно, если функция и^ очень мала, то может быть самое большее одно собственное значение, как показывает приведенное в дополнении Д. 1 значение верхней границы.
Предположим далее, что вследствие малости функции R» а стало быть, и М [ формула (2)] пренебрежение последним членом в левой части уравнения (3) оправдано; это дает
К^х1у)«-М(х*у)(15)
и, следовательно, и^х^^тг^ 1/* dkexp(jkx)ikR^kY(16)
*—00
Поэтому видно, что в данном приближении существует простое соотношение между коэффициентом отражения R^k) и функцией и^, фурье-образом функции и(х) [ формула (1.1 ^4) ], а именно
^k^ikR^k).(17а)
Действительно, эта формула, а точнее совершенно эквивалентная ей формула
R^^^iky'uW(176)
соответствует хорошо знакомой формуле ’’приближения Борна” в квантовомеханической задаче рассеяния. Как явствует из формулы (176), это приближение теряет силу в окрестности значения к =^0; подробнее см. в гл. 3.
Спектральное преобразование
В гл. 1, § 3, п. А, было введено спектральное преобразование, и из результатов этого и следующего (гл. 1,§ 3, п. Б) пунктов следует, что между функцией и(х) и ее спектральными данными S[u] существует взаимно однозначное соответствие
w(x)«=>5[w].(О
Кроме того, есть конструктивная процедура перехода от функции и к ее спектральным данным S и от спектральных данных S к соответствующей функции и. Обе эти процедуры включают в себя решение линейних задач - дифференциального уравнения Шредингера (1.3 Л-1) для прямой спектральной задачи и интегрального уравнения ГЛМ - Фредгольма (1.3.Б.-3) для обратной спектральной задачи (S ^ и). С другой стороны, соотношение (1) между функцией и ее спектральными данными 5 несомненно нелинейно во всех случаях, кроме приближенного случая малых значений функции и^, когда, как показано в конце предыдущего пункта (см. также ниже),спектральное преобразование совпадает, по существу, с преобразованием Фурье.
Кроме того, аналогия с преобразованием Фурье [формула (1.1 .-4)] очевидна из точной формулы
и(х) = т'х (dA:[/<+>(jc,Ac)]22i^/t(/c)—4 5 РпАгЕЛХ^)]2» №
п=1
w(x) = — f dk fu^x, k)exp(ikx)R(k) - — 00
N
-2 2 p„/„(x)exp(-p„x),(3)
n - 1
где функция / (+Цх, А) является решением уравнения Шредингера (1.3Л.-1), определяемым асимптотическим граничным условием
lim [ехр(-1Ъс)/(+)(х,&)] = !,(4)
а функция fn(x) определяется аналогично, но при k = ipn, рп > 0 [формула (1.3 А.-5)]. Заметим, что формула (3) дает выражение для интеграла от функцйи и^
w(x) = J djM(y),(5)
а не саму функцию и(х). Эквивалентность формул (3) и (2), а также справедливость этих представлений функций и(х) и ыМ является нетривиальным результатом; соответствующий вывод и обсуждение см. в Следующей главе (гл. 2).
Приведем здесь также три формулы, которые можно рассматривать как аналоги обратного преобразования Фурье (1.1-5):
Я(^) = (2^)~2/dx[^(x,^)]2ux(x),(6)
* — оо
R(k) = (2ik)dx ф(х, k)exp(-ikx) и(х),(7)
R(k) = (2ik) 2уdx ф^х, к)ехр( —ikx) [^(х)+ w(x)w(:x)].(8)
Здесь функция ^U,k) является решением уравнения Шредингера (1.3Л-1),
определяемым граничным условием (1.3 Л-3), и снова эквивалентность этих трех выражений для R^k) нетривиальна,. Эти результаты доказываются и обсуждаются в гл„ 2„ Заметим, что при написании формулы (8) мы использовали определение (5)а
Приведенные формулы ясно демонстрируют нелинейный характер соотношения между функцией и^ и ее спектральными данными; это следует из зависимости функций f (+Цх, А) и /п(х) в формулах (2) и (3) и функции ф(х, А) в формулах (6) - (8) от функции Цх). В приближении, в котором этой зависимостью можно пренебречь вследствие малости функции и(х), так что [в силу формул (1.3.А.-1), (4) и (1.3.А.-3)]
ГЛЧ*. к^йхр^кх^(9)
^(x,£)^exp(-i£x),(Ю)
и [формула (1.3.Б-17)!
К^^куЧ^,(И)
выражения (2) и (3) переходят в формулу преобразования Фурье (1.1 .-4) (при условии, что можно пренебречь вкладом дискретной части спектра; см. в предыдущем пункте о непротиворечивости такого предположения),а выражения (6) - (8) переходят в формулу обратного преобразования Фурье (1.1 .-5).
Решение нелинейных эволюционных уравнений методом спектрального преобразования
В предыдущем параграфе было введено спектральное преобразование S функции и(х) (регулярной при всех действительных значениях х и стремящейся к нулю на бесконечности). Представим теперь, что функция и зависит еще от одной переменной t {’’время”): и = Цх, £). Тогда, конечно, во взаимно однозначном соответствии с функцией Цх, t) существует спектральное преобоазование, которое также зависит от времени: u(x,/)~S(O.(1)
Таким образом, если функция Цх, t) меняется во времени, то меняются во времени и ее спектральные данные S (И.
Начало этой области научных исследований было положено очень важным и весьма нетривиальным открытием: оказалось, что существует класс представляющих интерес эволюций во времени функции г«(х, t), которым соответствуют простые временные эволюции спектральных данных S(f). Поэтому можно исследовать эти временные эволюции функции Цх, t), следя за эволюциями в спектральном пространстве, т.е. за эволюцией спектральных данных S(t), а не непосредственно за эволюцией самой функции Цх, t). и затем, пользуясь возможностью переходить от функции и к спектральным данным S (например, в начальный момент) и от спектральных данных S к функции и (например, в любой последующий момент времени), с помощью описанных в предыдущем параграфе прямой и обратной спектральных задач получить информацию об интересующей нас эволюции функции Цх, <)•
Конечно, эта процедура аналогична изложенному в § 1 методу решения класса линейных дифференциальных уравнений путем преобразования Фурье. Ниже, здесь и в последующем параграфе, а также и в других местах речь снова пойдет о данной аналогии, поскольку это фундамент нашей книги.
Как читатель должен был уже догадаться, простейшим классом разрешимых таким способом нелинейных эволюционных уравнений является класс уравнений, введенный в § 2, а именно класс нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных
ut(x,t) = a{L)ux(x,t),(2)
где a(z) - полином, a L - интегро-дифференциальный оператор, определенный формулой
L/(x)=/„(x)-4u(x,f)/(^) + 2u,(x.r)^ Ду^уУ(3)
задающей его действие на порождающую функцию /(х) (стремящуюся к нулю на бесконечности). На этой стадии мы советуем читателю освежить в памяти основные свойства этого класса эволюционных уравнений (§ 2).
Основное свойство класса Эволюционных уравнений (2) состоит в том, что, как будет доказано в гл„3, соответствующая временная эволюция спектральных данных функции Цх, г) описывается линейными обыкновенными дифференциальными уравнениями
Rl(k,t) = 2ika(-4k2)R(k,t),(4)
Д(')=0, n=l,2,...,N,(5)
рЛ1)=-2р„«(4р2 )/>„(<), n—l,2,...,N(6)
(нижний индекс t и точка над буквой эквивалентны, то и другое означает дифференцирование по t)• Решения этих уравнений таковы:
R^k, t) = R^k,0),exp[2iZra(—4&2)/],(7)
Р„<У)=Р,№}=Р„, n=Y,2,...,N,(8)
A(0=A(°)exp[-2/’»«(4p2)l], n=\,2,...,N.(9)
Остановимся и заметим, что уравнение (5) и эквивалентное ему соотношение (8) означают, что дискретные собственные значения дифференциального оператора Шредингера
-^“М(10)
не меняются, если изменение во времени функции и(х, 0 описывается уравнением (2)» Этой свойство оператора Шредингера (10), изоспектралъная эволюция при изменении функции и^х, t) в соответствии с любым из эволюционных уравнений класса (2), играет решающую роль при других подходах, в большей степени ориентированных на теорию операторов, нежели принятый в основном в данной книге достаточно элементарный подход»
Рассмотрим теперь решение задачи Коши для класса нелинейных эволюционных уравнений (2)о Оно находится в три этапа» Сначала в начальный момент времени t = 0 по заданной начальной функции
м(х,О) = ио(х)(И)
находятся спектральные данные (решается прямая спектральная задача, см» § 3, п» А)
5(0)={Л(Л,0),-оо<Л< + оо;^,д,(0),л=1,2,...,^}.(12)
Затем из явных выражений (7) - (9) находятся спектральные данные в момент времени t
SU)=lRUcA-oo<k< + »;pn,p^t),n=\^_(13)
[ заметим, что свойство изоспектральности, выражаемое соотношениями (5) и (8), означает также, что и число собственных значений с течением времени
не меняется]. Наконец, в момент t функция Цх, t) восстанавливается по ее спектральным данным S (t) (решается обратная спектральная задача, см. § 3, п. Б). Этот метод решения можно наглядно представить схематической диаграммой, аналогичной приведенной в § 1. Штриховой .линией показана трудная
и интересная задача определения временной эволюции явления, описываемого уравнением (2), а тремя сплошными линиями показаны шаги, noqледователь- ное выполнение которых приводит к решению. Заметим, что выполнить эти три шага легче, чем прямо решить уравнение (2); в частности, выполнение их требует решения только линейных задач.
Конечно, .лишь в специальных случаях (некоторые из них будут рассмотрены ниже) описанные выше операции можно проделать фактически, получив в явном виде аналитическое решение Цх, t) уравнения (2). На основании изложенного метода решения можно сделать следующий общий вывод: эволюция во времени, рассматриваемая в спектральном пространстве, намного пройде, чем в конфигурационном» Как мы увидим, данное положение имеет много теоретических следствий; в конце концов оно затрагивает и экспериментальные методы исследования явлений, схематически (в той или иной степени приближенно) представляемых уравнением (2) (или других классов, разрешимых аналогичными методами, см. ниже). Конечно, нужно подчеркнуть сходство этой ситуации с той, о которой шла речь в § 1 в связи с линейными эволюционными уравнениями, разрешимыми посредством преобразований Фурье.
Кроме того, опираясь на изложенный метод решения, можно качественно исследовать поведение решения уравнения (2), особенно по прошествии длительного времени, и снова пользуясь аналогией с ситуацией, описанной в § 1 в связи с линейными эволюционными уравнениями, разрешимыми методом преобразования Фурье. Это будет сделано в § 6 после того, как мы рассмотрим в следующем параграфе связь между решением нелинейных эволюционных уравнений метопом спектрального преобразования и решением
методом преобразования Фурье линейных эврлюционных уравнений, которые получаются из уравнений (2), ерли пренебречь в них нелинейными членами,
Данный параграф мы закончим замечанием о том, что класс нелинейных эволюционных уравнений (2), - это не самый общий класс уравнений, разрешимых методом спектрального преобразования, введенным в § 3, Несколько более общие варианты обсуждаются в гл, 3 и 6, а другие более общие классы нелинейных эволюционных уравнений, разрешимые посредством более общих спектральных задач/ будут рассмотрены в т, 2,
Связь с методом решения линейных эволюционных уравнений, основанном на преобразовании Фурье
В этом параграфе мы поясним, в каком смысле метод решения некоторых классов нелинейных Эволюционных уравнений посредством спектрального преобразования является естественным продолжением метода решения линейных эволюционных уравнений посредством преобразования Фурье, Аналогию между этими методами мы уже отмечали. Здесь мы покажем, что в пределе при ’’грубой” линеаризации, соответствующей пренебрежению всеми нелинейными членами, так что нелинейное эволюционное уравнение становится линейным, метод спектрального преобразования переходит в метод преобразования Фурье, Действительно, все элементы, приводящие к этому выводу, уже были даны в предыдущих параграфах, и все, что нам сейчас нужно, — это собрать соответствующие формулы (приводимые ниже), хотя при этом неизбежно некоторое повторение,
Класс нелинейных эволюционных уравнений, разрешимых, как было описано выше, методом спектрального преобразования, имеет вид uz(x,/) = a(£)uY(x,/),(1)
причем интегро-дифференциальный оператор L определяется формулой (L2,-2) В приближении, в котором мы пренебрегаем всеми нелинейными эффектами, это уравнение переходит в линейное дифференциальное уравнение в частных производных uAxj^-iy^-i^^xj),(2)
где "U) = ~z<r(-z2)(3)
(см, конец § 2)»
Как говорилось в § 1, решение уравнения (2) оснрвано на том, что изменение во времени фурье-образа Цк, t) функции Цх, t) описывается простой формулой й^к./) = u(A:,0)exp[ — i^(A:)/].(4)
Но когда эволюция функции и^х, t) описывается уравнением (1), соответствующий коэффициент отражения Я (А, t) меняется согласно формуле (§ 4) R(k, r) = A(A:,0)exp[2iA:a( —4А:2)/].(5)
С учетом выражения (3) можно эту формулу переписать в виде
R^k, /)-Я(|&,0)ехр[-ш(А:)/],^6)
откуда видно, что если функция Цх, t) удовлетворяет уравнению (1), то коэффициент отражения R^Ak, t) изменяется точно так, как меняется фурье-образ и^к, t), когда функция Цх, t) удовлетворяет .линеаризованному варианту (2) уравнения (1), И это согласуется с замечанием, сделанным в конце § 3, п. Б и В; в приближении, в котором мы пренебрегаем всеми нелинейными эффектами, коэффициент отражения Д (% А) просто пропорционален фурье-образу и^кУ
(7) что и требовалось доказать. Правда, нужно сделать две оговорки. Во-первых, мы здесь игнорировали вклад дискретных собственных значений; о допустимости этого в пределе малых значений функции и уже говорилось в § 3, п. Б. Во-вторых, из соотношения (3) ясно, что приведенное выше доказательство теряет силу в окрестности малых значений к = 0, т.е. в случае медленно меняющихся компонент функции и^х, tY Об этом пойдет речь в гл. 3, § 2, п. Б.
Качественное поведение решений: солитоны и фон
В § 4 был определен класс нелинейных дифференциальных уравнений (в частных производных) эволюционного типа, разрешимых методом спектрального преобразования, по аналогии с линейными дифференциальными уравнениями (в частных производных) эволюционного типа, о решении которых методом преобразования Фурье щла речь в § 1. Как отмечалось там, наличие конструктивного метода решения важно не столько для получения решения в явном виде (такая задача осуществима только в редких случаях), сколько для качественного понимания поведения решения. Действительно, как мы уже подчеркивали, главный вывод, который вытекает из рассмотрения линейного случая, разрешимого методом преобразования Фурье, состоит в том, что временная эволюция в "^-пространстве" намного проще, чем в "х-пространстве"; данный вывод служит руководящим принципом при исследовании таких уравнений, а тем самым и явлений природы, временная эволюция которых в математической физике и в прикладной математике описывается ими. Этим руководящим принципом в значительной мере определяется подход и к экспериментальному изучению природных явлений.
Ситуация полностью аналогична в случае класса нелинейных эволюционных уравнений, определенных в предыдущем параграфе. Здесь снова временная эволюция в "Л-пространстве" проще, чем в "х-пространстве"; однако те-
перь структура ^-пространства” богаче благодаря наличию в общем случае двух компонент, а именно непрерывной (А2 > 0, к действительно) и дискретной (А2 = -р2, рп действительно, п = 1,2, . . . , N) частей спектра (см» § 3)» Заметим, что, как следует из результатов § 4, каждая из этих компонент меняется во времени независимо.
Таким образом, при качественном исследовании поведения решений класса нелинейных эволюционных уравнений (L2-1) можно для удобства отдельно проанализировать решения, соответствующие двум компонентам (непрерывной и дискретной) спектра. Поэтому рассмотрим сначала достаточно специальный случай, когда нет вклада континуума, затем случай отсутствия дискретных собственных значений и, наконец, кратко опишем поведение общего решения, спектральные данные которого содержат оба вклада, дискретной части спектра и континуума. Как и в случае линейных эволюционных уравнений, кратко описанных в § 1, качественное исследование будет сосредоточено на асимптотическом поведении решений по прошествии длительного времени.
А.Солитоны
Простейпее решение, не имеющее вклада континуума, соответствует начальной функции и0(х), спектральные данные So которой таковы, что коэффициент отражения равен нулю и есть только одно дискретное собст
венное значение:
S0=VRW=0.-ao<k<oo;p,p^.(1)
u0(x)=-2/>2/ch2[/>(x-£0)L(2)
где
^=(2р)-11п(Ро/2р).(3)
Отметим, что эти и следующие формулы согласуются с формулами (1.3.Б.-6, 10, 11). Временная эволюция такой функции дается непосредственно результатами § 4:
«$(0 = ^К(к,^=0, -оо<^<оо; р,р(/)=роехр[-2ра(4р2)/]},(4)
и^хл^-гр^сЪ^р^х-^)^,(5)
£УУ^УрУхЦ.рУШрУ№
+(66)
v=-a(4p2).(7)
Решение (5) вместе с формулами (66) и (7) описывает волну постоянной формы, движущуюся с постоянной скоростью (действительно, на графике, на котором функция и^х, г) как функция расстояния % задает профиль поверхности
воды в канале, эта волна имеет вид "большого уединенного возвышения, округлого, гладкого, четко видимого водяного горба", движущегося "без изменения формы или уменьшения скорости"). Это конечно, известный нам со» литон (слова в кавычках взяты из цитаты Скотт-Рассел а, данной во введении; они здесь оказались весьма уместными по той причине, что уравнение КдВ было фактически предложено для приближенного математического описания "длинных волн, движущихся в прямоугольном канале" [259]).
Частное о дно солитонное решение (5) [вместе с формулами (66) и (7)] нелинейного эволюционного уравнения (1.2.-1) содержит два действительных параметра §0 и р. Первый характеризует начальную локализацию солитона, его произвольность соответствует, конечно, трансляционно-инвариантному характеру уравнения (1.2.-1), а его связь со спектральными данными дается формулой (3). Второй параметр р, спектральный смысл которого непосредственно связан с дискретным собственным значением (см. § 3), определяет форму солитона (как его высоту, так и ширину) и, кроме того, его скорость. Отметим, что для всех уравнений класса (1.2.-1) форма одна и та же, тогда как скорость зависит от функции а (г) [формула (7)], т.е. она зависит от того, какое конкретное уравнение класса (1.2.-1) мы рассматриваем. Например, в случае уравнения КдВ (1.2.-4), соответствующего функции a(z) = -2» скорость солитона равна v=4p2;W
таким образом, все солитоны уравнения КдВ движутся направо (читателя не должно беспокоить, что это не соответствует поведению волн в канале, которое, очевидно, должно быть равноинвариантным; в простейшей форме (1.2.-4) уравнение КдВ описывает только волны, распространяющиеся в одном направлении; кроме того, оно описывает поведение длинных волн в мелком канале, рассматриваемых в системе отсчета, движущейся с соответствующим обрат зом выбранной постоянной скоростью).
Пойдем далее и рассмотрим N-солитонное решение, а именно функцию {Дх, г), которая снова характеризуется отсутствием вклада континуума в соответствующих спектральных данных (JR(Jc, t) = 0, -«>< &< оо), но которая теперь имеет N дискретных собственных значений к2 = -р2, п = 1, 2,...,/V. Это решение, выраженное в замкнутом виде, можно записать как и(х, t) — -2d2(lndet[/+C(x, г)]}/дх\(9)
где I - единичная матрица (порядка /V), а С^х, t) - симметричная матрица порядка N, определяемая формулой
Q„(t) = [/>„(/)д,(t)] 1/2(рт+р„)-1 ехр[- (рт +р„)х],<10>
где зависимость нормировочных множителей от времени р (г) дается формулой (1.4.-9).
При дальнейшем рассмотрении этого решения мы ограничимся случаем уравнения КдВ, так что скорость солитона дается простой формулой
(8), но приводимое ниже качеотвенное рассмотрение применимо в равной степени ко всем уравнениям класса (1.2.-1).
Для определенности расположим N положительных чисел рп в порядке возрастания
Р1<рг< •••<?„(11)
и введем соответствующие скорости солитонов
ол=4^> л = 1,2,...,^(12)
которые, очевидно, также расположены в порядке возрастания:
vl<v2< ‘ * * <уу(1^)
Решение (9) - непростое, особенно если число N велико, но нетрудно показать, что его асимптотическое по t поведение оказывается очень простым:
uU.t^-^^ p^/c^p^x-^-On^Y <^±00,(14)
n = 1
где параметрами ^ являются 2/V действительных постоянных (связанных друг с другом, см. ниже). Таким образом, как в отдаленном прошлом, так и в будущем AZ-солитонное решение (9) разделяется на N солитонов: в отдаленном прошлом солитоны следуют слева направо в порэдке уменьшения амплитуды и движутся вправо со скоростями, уменьшающимися вправо от солитона к солитону. Затем более высокие и быстрые солитоны, находящиеся левее, постепенно ускоряются и "обгоняют" более толстые и медленные солитоны (кавычками мы хотим подчеркнуть, что когда два или более солитона сходятся, их индивидуальность фактически теряется; более того, "обгон", как, например, показывает киносъемка, можно рассматривать как обмен индивидуальностями при их сближении - более высокий солитон становится толще, и наоборот; снова же разделяются они вследствие того, что тот, который стал выше, ускоряется, а тот, который стал толще, замедляется, см. гл. 3, § 2, п. А), и, наконец, по прошествии длительного времени устанавливается обратный порядок солитонов: движение вправо возглавляет более высокий и быстрый солитон. Самый важный вывод из формулы (14) состоит в том, что теперь те солитоны, которые были в начале, находятся в конце и единственным результатом их "взаимодействия" оказывается смещение n-го солитона из того положения, которое он занимал бы, если бы двигался изолированно, на величину
п•(15)
Кроме того, эти смещения строго определяются формулой л-1N
Дп = 2 ЦР„,Рт)- 2 ^P„>PmV(16)
m=Iт = л+1
где
Л^.Ю^р-'ЧСр+/)/| р-/|],(17)
хотя либо N величин £*~* , либо N постоянных £1+1 могут быть выбраны произвольно*, *гго соответствует возможности произвольного выбора N величин рп(0) в формуле (1.4.-9)]. Конечно, в формуле (16) принято обычное правило записи: сумма равна нулю, если нижний предел превышает верхний.
Формула (16) имеет простой "физический” смысл. Рассмотрим случай только двух солитонов, N = 2; тогда видно, что второй солитон (более быстрый и высокий) перемещается в точности на величину А(ро, р2), а первый (более медленный и толстый) отстает на величину Д(рр р2). Таким образом, выраженное формулой (16) смещение n-го солитона есть сумма п — 1 положительных смещений, полученных при "обгоне" им п - 1 более медленных солитонов, nN-п отрицательных смещений, полученных при обгоне его N-nболее быстрыми солитонами. Отметим, что, строго говоря, формула (16) имеет такой смысл лишь в случае, когда каждое столкновение происходит отдельно. В данном же контексте это весьма нетривиально, так как при некоторых начальных условиях может случиться, что в какой-то промежуточный момент времени несколько солитонов сольются вместе.
Такая картина говорит о том, что каждый солитон можно рассматривать как некую индивидуальность, хотя, строго говоря, он выступает в виде независимого объекта только в отдаленном прошлом и отдаленном будущем. В сущности именно такое сохранение индивидуальности при столкновениях, наблюдавшееся в численных экспериментах с уравнением КдВ, побудило Забус- ки и Крускала [ 457] ввести понятие солитона., Метод спектрального преобразования делает ясным смысл сохранения индивидуальности солитоном: его неизменность связана с тем, что дискретные собственные значения не меняются при изменении функции u(x, t), описываемом уравнением (1.2.-1) [следовательно, это объясняется свойствами решения уравнения (1.2.-1), см. ниже]. В гл. 3, § 2, п. А, рассматривается вопрос о возможности "идентификации" индивидуальных солитонов во все моменты времени и в конфигурационном пространстве.
Б. Фон
В противоположность решениям, спектральные данные которых содержат вклады только дискретного спектра (см. п. А), решения, соответствующие непрерывной части спектрального преобразования, не могут быть в общем случае представлены в явном виде (примеры см. в гл. 3, §2, п. Г). Таким образом, изучение этих решений оказывается более трудной задачей.
С другой стороны, в то время как рассмотренные в предыдущем пункте солитонные решения существенным образом отражают нелинейный характер класса эволюционных уравнений (1.2.-1), решения, о которых здесь пойдет речь, охватывают те ситуации "слабого поля”, в которых грубая линеариза-
ция уравнения (1.2.-1), состоящая в пренебрежении всеми нелинейными членами, дает приемлемую аппроксимацию. Действительно, если функция u(x, г) очень мала, ее спектральные данные в общем случае не содержат дискретных собственных значений (или, самое большее, только одно, см. дополнение Де 1), так что такие решения принадлежат, вообще говоря, к рассматриваемому здесь классу.
Такие решения можно анализировать обычным методом, основанным на преобразовании Фурье. Следовательно, их поведение - в частности, их поведение по прошествии длительного времени - в существенной степени характеризуется явлением дисперсии и групповой скоростью, связанной соотношением (1.1.-9) с дисперсионной функцией со(А), которая сама связана соотношением (1.5.-3) с функцией a(z), определяющей правую часть уравнения (1.2.-1), т.е. вид рассматриваемого конкретного нелинейного уравнения.
Могло бы показаться, что этот анализ относится лишь к тем решениям икх, tS которые всюду достаточно малы, чтобы была оправданной аппроксимация, состоящая в решительном отбрасывании всех нелинейных вкладов в правой части уравнения (1.2.-1). Но если спектральные данные функции и^х, t) не имеют дискретных собственных значений, т.е. у функции и(%, г) нет оолитонов, то нет механизма, способйого в пределе по прошествии длительного времени поддерживать локализованным решение и^х, г) (или его любую часть). Таким образом, в асимптотическим пределе большого времени решение становится локально малым всюду. Это указывает на то, что приведенный выше анализ применим фактически к любому решению рассматриваемого здесь типа.
Поэтому мы делаем вывод, что по прошествии длительного времени поведение решений нелинейных эволюционных уравнений (1.2.-1), спектральные данные которых не содержат вклада дискретного спектра, можно качественно исследовать, рассматривая соответствующее линеаризованное уравнение, а именно уравнение (1.1.-1) при условии (1.5.-3). Поэтому они характеризуются дисперсией [ с дисперсионной функцией, определяемой формулой (1.5.-3); в противоположность солитонам эти решения не остаются локализованными. Их часто называют фоном, иногда — излечением, чтобы подчеркнуть* их отличие от частицеподобного характера солитонов, а иногда, пожалуй несколько пренебрежительно (из-за их непостоянства?), — мешаниной [ 241].
В. Общее решение
Ясно, что V-солитонное решение нелинейного эг »^юционного уравнения (1.2.-1) не является обшим решением, поскольку оно имеет специфический вид (1.6.А.-9); но оно довольно общее, так как содержит 2/V произвольных постоянных рп и рп(0), п = 1,2, ..., /V, и само число N произвольно. То, что это решение действительно далеко не общее, особенно хорошо видно из его спектральных данных, в которых нет вклада непрерывного спектра! R, (к, t)= 0].
Чисто фоновое решение, характеризуемое полным отсутствием солитонов, тоже не является совсем общим, хотя и представляет более широкий класс решений, чем чисто многосолитонные решения; условие, налагаемое в спектральной задаче Шредингера на потенциал, — условие отсутствия соответствующих дискретных собственных значений (на языке физики — отсутствие связанных состояний) оказывается фактически менее ограничительным , чем требование полной безотражательности.
Общее решение нелинейного эволюционного уравнения (1.2.-1) содержит солитонную часть и фэн; разделение на такие две компоненты, вообще говоря, не обнаруживается в физическом пространстве (хотя оно может обнаруживаться в пределе длительного времени, см. ниже). С точки зрения же спектрального преобразования оно совершенно очевидно на протяжении всей эволюции во времени.
Эволюция во времени качественного поведения общего решения в ^пространстве оказывается комбинацией тех случаев, которые были рассмотрены в двух предыдущих пунктах. Конечно, простая качественная картина возможна только тогда, когда оба случая не переплетаются и в физическом пространстве. Такое переплетение обычно отсутствует в асимптотическом пределе больших времен. Таким образом, в отдаленном будущем решение, как правило, принимает вид конечного числа отдельных хорошо локализованных солитонов, налагающихся на фон, который локально всюду стремится к нулю, согласно стандартному поведению решений недиссипативных дисперсивных линейных эволюционных уравнений.
Например, в случае уравнения КдВ (1.2.-4) [ уравнения (1.2.-1) при a(z) = -z] групповая скорость v^ оказывается отрицательной [со(&)= -А;3, v^= -ЗА;2, формулы (1.5.-3) и (1.1.-9)] в отличие от всех положительных скоростей солитонов ип ~ 4р2 [ формула (1.6.А.-12)]. В этом случае асимптотически решение полностью разделяется на диспергирующий влево фон и распространяющиеся вправо солитоны (гл. 1, § 6, п.А).
Очевидно, что такое поведение является отличительной и замечательной чертой этого класса нелинейных эволюционных уравнений (и других классов, разрешимых аналогичным методом, с другими спектральными заг дачами, см. ниже). Физическая или в более общем случае естественно-научная интерпретация этих результатов - например, появление солитонов как локализованных индивидуальных объектов - зависит, конечно, от конкретного физического или, говоря шире, природного явления, которое предполагается описывать (возможно, приближенно) рассматриваемым нелинейным эволюционным уравнением, будь то в гидродинамике или демографии, в физике твердого тела или в эпидемиологии, в исследовании распространения сигнала по нервным волокнам или при исследовании моделей элементарных частиц или возмущений в плазме.
Дополнительные свойства решений
У класса нелинейных эволюционных уравнений (1.2.-1) есть ряд дополнительных замечательных свойств, происхождение которых связано с основным свойством этого класса нелинейных эволюционных уравнений, т.е. с тем, что хотя временная эволюция и нелинейна в конфигурационном пространстве (^пространстве), она связана (спектральным преобразованием) с простой линейной эволюцией в спектральном пространстве (гл. 1, § 4). Здесь мы дадим краткий обзор некоторых из этих свойств, которые затем будут более детально рассматриваться и доказываться в гл. 4 и 5.
Преобразования Баклунда
Рассмотрим какое-нибудь эволюционное уравнение, например ut(x, t)=F[u, их,ихх,...].^
Пусть функция uw (х, t) является общим решением уравнения (1), и пусть функция i/1) (х, t) связана с функцией и^ U> г) явным соотношением (содержащим дифференциальный оператор д/дх, а также интегральный оператор f^1 dy), которое мы пока запишем в виде
G[u<°\u(l)]=0.(2)
Тогда, если функция и^Н»» t) тоже удовлетворяет уравнению (1), соотношение (2) называется преобразованием Бэклунда.
Следовательно, мы определяем здесь преобразование Бэклунда как любую формулу, связывающую две функции, скажем u^kx» t) и uSY\x^ г), т#- ким образом, что когда одна из них удовлетворяет эволюционному уравнению' (в общем случае нелинейному), то этому же уравнению удовлетворяет и другая функция. В дифференциальной геометрии такие преобразования были введены давно, и в ней они получили свое название. Здесь мы схематически покажем, как в связи с методом спектрального преобразования для решения нелинейных эволюционных уравнений (1.2.-1) естественным образом появляется класс преобразований Бэклунда для решения этих уравнений. Наша цель в том, чтобы изложить основную идею, а более детально данный вопрос будет рассмотрен в гл. 4.
Начнем с повторения и запишем здесь еще раз класс нелинейных эволюционных уравнений (1.2.-1) в виде u=a^L^ux; u^u(x,t),^
(4)(4)где a(z) — полиномиальная функция, a L — интегро-дифференциальный оператор, определяемый соотношением ^/(х)=/ЛХ-4и/+2мх/ dy/(^). * х
(4)
(4)
Напомним, что когда изменение функции uU> г) описывается уравнением (1), то соответствующий ей в спектральной задаче (задаче рассеяния) § 3 коэффициент отражения R^k, г) изменяется во времени согласно формуле
RXk.t^'lVka^-^RVk.tY(5а)
откуда следует, что
R^k, Z) = ^(^,0)exp[2i^^r( —4/c2)z].(56)
Для простоты мы ограничимся в дальнейшем рассмотрением коэффициента отражения в предположении, что между функциями и и R существует взаимно однозначное соответствие (в действительности это бывает только тогда, когда у спектральных данных функции и нет дискретных собственных значений, см. § 3).
Затем приведем одно свойство спектральной задачи Шредингера из § 3, которое доказывается в следующей главе (гл. 2). Пусть и^Цх^ и и^Чх) — две функции (обе регулярные при действительных значениях х и "достаточно быстро” стремящиеся к нулю при %->+<» ), связанные друг с другом нелинейным интегро-дифференциальным соотношением £(Л)[к(0\х)“И(1Чх)]+Л(Л)-Г-1=^^(6)
Здесь д(г) и h(z) - произвольные целые функции (скажем, полиномиальные), а Л и Г - интегро-дифференциальные операторы, определяемые следующими соотношениями, которые задают их действие на порождающую функцию М (стремящуюся к нулю при х -♦ оо):
^(х^^ЧхЭ+^'ЧхЯ/Хх) +(?)
4-[и^0)(х) — u^(x)] J d.ylu^.y)-"0^.)')] fUY
^/(х)=/хх(х)-2[м<0>(х) + «<|)(х)]/(х) + Г-Г dyf^Y(8)
Заметим, что операторы Г и Л зависят (симметричным образом) от функций uw (х) и и^^хУ это приводит к нелинейности уравнения (6) относительно функций и<°> и и(1\ Между прочим, при и^ U^ = uWU^ = и(х^ операг тор Л переходит в оператор Г [ формула (4)].
Тогда коэффициенты отражения R<04k) и R^W» соответствующие функциям и(0Нх^ и и^иУ связаны друг с другом простым линейным соотношением
^( —4к2)[^(О)(^) —^<1)(^)]-Ь21^Л( —4/с2)[^(0>(Хс)Н-Л(1>(^)] =0,(9)
из которого следует,-.что
^g^ — Ak^ — Iikh^ — Ak2)
Подчеркнем, что этот результат является свойством спектральной за? дачи, он не имеет ничего общего с эволюцией во времени. Но если функции и(0)и г/1) меняются во времени ( т.е. если они зависят, кроме х, еще от одной переменной г), то все вышеприведенные формулы остаются справедливыми и при этом, конечно, функции /?(0) и Т?^ также зависят от t. Две произвольные функции я и А в формулах (6), (9) и (10) тоже могли бы зависеть от времени, но последующее рассмотрение основано на предположении, что они от времени не зависят.
Предположим далее, что изменение во времени функции uw (х, t) описывается уравнением (3). Тогда соответствующий коэффициент отражения R(04k, t) меняется во времени в соответствии с формулами (5). Но тогда функция R^4k, t)» будучи связана с функцией R<°Hk, t) формулой (10) (с не зависящими от времени функциями я и А )> также меняется по фор* мулам (5); следовательно, изменение функции и^Чх, t) также описывается уравнением (3). Вывод: если функция и^ ^х, t) удовлетворяет уравнению (3), а функция и^Цх, t) Связана с функцией и^кхэ t) соотношением (6), то функция и^Чх, t) тоже удовлетворяет уравнению (3).
Таким образом, мы показали, что соотношение (6) является преобразованием Бэклунда для класса эволюционных уравнений (3). Благодаря произвольности полиномов g и А формула (6) дает широкий класс преобразований Бэклунда. Простейшее из них соответствует случаю постоянных § и А; если для удобства обозначений положить (см. гл. 4) g/h =— 2р, то оно примет вид
«^(jc^ + i/^jM)^^^ г) — и^^х, /)] х
d ^[м^Су, ^-«^(у,/)]j.(И)
Эквивалентная, но более удобная формула получается для интегралов и^Чх, t) от функции и^Кх, tY
ww(x,t) = [ dyu(m\y,t), т=0Д,(12а)
w^^xj^ —uw(x,tY m—Q, 1,(126)
так что‘
и^0)(%, ^Ч-м^х, z) = i[w(0)(%, t^ — w^^x, /)] х
х{4р— [w(0)(x, z)~w(1)(x, /)]].(13)
При выводе формулы (13) из формулы (11) было выполнено интегрирование; ПОСКОЛЬКУ ФУНКЦИЯ W(m>(%, «) СТреМИТСЯ К НУЛЮ ПРИ X ->оо w(m)(oo, г)=0, ли^ОД,<14>
что, очевидно, следует из определения (12а), и функция w^4x, t) тоже асим-
птотически стремится к нулю, что следует из формулы (126), постоянная интегрирования равна нулю. Заметим, что если считать функцию w(0> известной, то соотношение (13) будет уравнением Риккати для функции ыО\ и наоборот.
Соотношение (10), соответствующее простейшему преобразованию Баклунда (П) или (13), имеет простой вид
R<4k, t}=-R^(k, O[(*+W(*-ip)].(15)
Элементарным приложением преобразования Баклунда (11) или (13) является применение его для нахождения некоторых частных решений уравнения (3). Простейший пример мы получим, положив в уравнении (13) w(°)(x,/)=0,(16а)
так как эта формула и эквивалентная ей и из нее вытекающая формулу и<0>См)=0,(166)
очевидно, дают решение уравнения (3) - правда, весьма тривиальное решение. Решение уравнения (13) при условии (16а) [и (14)] оказывается элементарной задачей и дает wU.'^-^fl-thfpp-^t)]}],(17а)
т.е. u(x,/)=-2p7ctf{p[x-/(z)]}.(176)
В двух последних формулах мы для удобства обозначений опустили верхний индекс 1; это просто решение уравнения (3). Отметим, что такой результат получается при положительных значениях р [хотя формула (176) в конечном счете не зависит от знака р]; при отрицательных же значениях р нет решения уравнения (13) [ с условием (16а)], согласующегося с условием (14). Величина ^М в выражениях (17а) и (176) есть постоянная интегрирования. В данном случае это означает, что она не зависит от %[ уравнение (13) является дифференциальным уравнением относительно этой переменной], но это не мешает ей зависеть (как явно указано) от переменной t.
Очевидно, что выражение (176) есть одно солитонное решение [формула (1.6.А.-5)]. Действительно, можно найти зависимость функции ^(г) от времени, подставив выражение (176) в уравнение (3) с учетом формулы Lux(x, t)=4p2ux(x, t),(18)
в справедливости которой нетрудно убедиться, исходя из формул (4) и (176). Получаем /(t) = -a(4p2),(19)
что согласуется с формулами (1.6.А.-6,7).
Однако вывод односолитоннОго решения из преобразования Бэклунда можно считать довольно спорным, так как очевидно, что принятое здесь упрощение, а именно пренебрежение дискретной частью спектральных данных, недопустимо в применении к солитонному решению. Действительно, в то время как при выводе формул (6), (11) и (13) для преобразования Бэклунда решающую роль играли формулы (9), (10) и (15) для коэффициента отражения, в рассмотренном здесь частном случае [ который привел к односолитонному решению (176)] последние формулы представляют собой просто варианты тождества "нуль равен нулю”. На этом вопросе мы подробнее остановимся в гл. 4.
Другим важным свойством введенных выше преобразований Бэклунда является их коммутативности. В простейшем варианте, рассматриваемом в данном пункте параграфа, это свойство достаточно очевидно. Действительно, рассмотрим два множества двух полиномов ^^ и А^ U$\> т = 1,2, и два порожденных ими преобразования Бэклунда, скажем ПБ1 и ПБ2. В кат честве исходного пункта возьмем некоторую заданную функцию и^ ^ и связанные с ней две функции, скажем и^Цх) и uV\x), полученные из нее посредством этих двух преобразований Бэклунда. Затем соотнесем с функцией и^Чх^ новую функцию, например и^12Чх^, полученную применением преобразования Бэклунда ПБ2, а с функцией ut2)(x) - функцию и (21,(х), полученную преобразованием Бэклунда ПБ1. Свойство коммутативности выражается равенством «(*2>(х)=«<2,>(%).(2°)
Это очень нетривиальное свойство, если рассматривать его, как мы только что сделали, в конфигурационном пространстве. Справедливость же его следует из соответствующей формулы в спектральном пространстве R(n4k)-R^4k),(21)
справедливость которой, наоборот, тривиальна, так как из формулы (10) следует, что
В^Чк^В^кШ^Ш^ Rm(k) = R^(k)B2(k)Bx(k), гдеВ^Чк^В^кШ^Ш^ Rm(k) = R^(k)B2(k)Bx(k), гдевт(к)=вт(к)=^-bk^-bkh^-bk1)^-bk^-bkh^-bk1)т —1,2.т —1,2.(22а)(226)(23)(22а)(226)(23)
В^Чк^В^кШ^Ш^ Rm(k) = R^(k)B2(k)Bx(k), где
В^Чк^В^кШ^Ш^ Rm(k) = R^(k)B2(k)Bx(k), где
вт(к)=
вт(к)=
^-bk^-bkh^-bk1)
^-bk^-bkh^-bk1)
т —1,2.
т —1,2.
(22а)
(226)
(23)
(22а)
(226)
(23)
Таким образом, коммутативность преобразований Бэклунда в спектральном пространстве - это просто коммутативность обычного умножения. Здесь мы видим еще одно преимущество (с точки зрения простоты) выюлнения операций в спектральном пространстве, а не в конфигурационном.
Отмеченное свойство коммутативности удобно подытожить следующей диаграммой:
Мы закончим этот пункт замечанием, что в пределе, когда обе функции и^^ и и^Чх) столь малы, что можно пренебречь всеми нелине^ыми членами в уравнении (6), это преобразование Бэклунда принимает вид g(02/ax2)[«<°>(x)-«<O(x)]+/^^(24)
т.е. с точностью до обозначений оно становится тождественным уравнению (1.1.-10). Это еще раз показывает, что все формулы теории спектрального преобразования имеют своих аналогов в теории преобразования Фурье и переходят в них во всех случаях, когда допустимо пренебрежение всеми нелинейными эффектами.
Б. Нелинейный принцип суперпозиции
Еще одно замечательное свойство класса эволюционных уравнений (L2.-1) является прямым следствием указанного в предыдущем пункте свойства коммутативности, примененного к простейшему преобразованию Бэклунда (1.7.А.-11) или, скорее,(1.7. А.-13). [В дальнейшем мы здесь будем иметь дело с интегралами w^x, t) от решений уравнения (L2.-1), а не с самими функциями Цх, t), см. формулу (1.7.А.-12), и для простоты будем называть решениями уравнения (1.2.-1) непосредственно эти функции it, которые находятся во взаимно однозначном соответствии с их производными и, см. формулу (1.7.А.-12); надеемся, что это не вызовет недоразумений,]
Пусть функция w^\x, t) является некоторым решением уравнения (1.2.-1), Функции м^1^, г) и из^Чх, г) - решения уравнения (L2.-1), связанные с функцией w(0)(x,«) преобразованием Бэклунда (1.7.А.-13) с параметром р, замененным на рх и р2, и пусть iJ12)(x, г) = и/21) (х, «) [формула (1.7.А.-20)] - решения уравнения (L2.-1), полученные из функции uw^x, t} двумя преобразованиями Бэклунда (1.7.А.-13) с параметром р, замененным один раз на Рр а Другой раз на р2:
(1)
wf) + ^2) = - 1 ( ^(0) _ w(2)) ( - 4/>2 + И’(О) - w(2)),(2)
1(НИ1)-^(,2))(^^(3)
и^ + и^21^ ~ ^w^ — w^^—^p х + w(2) —w(21)).(4)
Теперь вычтем выражение (2) из выражения (1) и выражение (4) из выражения (3) [ пользуясь формулой (1.7.А.-20)), а затем вычтем одно из другого полученные уравнения. Тогда все дифференциальные члены в левых частях уравнений взаимно уничтожатся и в результате мы получим алгебраичео кое уравнение, которое можно решить относительно функции иА^ - г/21^:
И^2) — ^,(21) —
" е0^ *~ ( ^>|+^2 )( И-’^1 Н’^2Ч/[| —/?2 2 (" и42) ) j .(5)
Подчеркнем, что эта формула дает в явной форме новое решение уравнения (1.2.-1), выраженное через три других решения того же уравнения: через произвольное решение м,1(0) и два решения пР^ и «Р\ связанные с решением гь^ преобразованиями Бэклунда (1) и (2).
В качестве примера применения нелинейного принципа суперпозиции (5)
рассмотрим снова случай, когда u^xj) = w^(xa)=0,(6)
который,оочевидно, дает тривиальное решение уравнения (1.2.-1). Тогда [ формулы (1.7.А.-17)]
«('",(^,/) = -2^/сЬ2{р„,[х-Д'"> + а(4р2)/]у w-l,2,(7а)
H'<'">(x,Z)=-2^[l-th{^[A-/<'">+a(4^2)/]}. z«—1.2,(76)
где функция 5^ должна б )1тъ либо действительной,
Im^=0,(8а)
либо представимой в виде ^^ = ^^ ' + 1'тг/(2рт) с действительной функцией Е^* , о 8
im^=^/Pm,(86)
чтобы были действительными функции и^ и uim', т- 1, 2. Подстановка выражений (6) и (76) в соотношение (5) дает двухсолитонное р( шение при условие что 0 < Pj < р2 и функция ^Б удовлетворяет условию (8а), а Функция Е^ - условию (86) [иначе решение, полученное из формулы (5), будет комплексным или сингулярным].
Найдя таким образом двухсолитонное решение, можно применить нелинейный принцип суперпозиции для получения трехсолитонного решения, подставляя вместо функции ы(0) односолитонное выражение (с параметром, скажем, pj, а вместо функции и^ или w^ - двухсолитонное выражение (с параметрами р} и р2 или pj и р3 ). Затем такой процесс может быть продолжен (солитонная лестница)» Таким образом, чисто алгебраичео
кой процедурой можно в принципе построить все многосолитонные решения и дать очень простые правила (гл. 4, § 2), детализирующие ограничения, налагаемые на параметры солитонов рт и свойства действительности функций ^^ [ условия (8а) или (86)], которые гарантировали бы, что полученное таким образом решение является действительным и несингулярным и, следовательно, совпадает с решением (1.6.А.-9).
Законы сохранения
Еще одним важным свойством класса нелинейных эволюционных уравнений (1.2.-1) является существование бесконечной последовательности локальных законов сохранения. Каждый из этих законов дает для класса решений, асимпототически стремящихся к нулю при х-> ±®о (рассмотрением которых мы и ограничиваемся), сохраняющуюся величину, выраженную как интеграл по всему пространству от соответствующей нелинейной (полиномиальной) комбинации функции и(х, t) и ее производных.
Здесь мы дадим краткий обзор сохраняющихся величин, а обсуждаться и доказываться эти результаты будут в гл. 5. Упомянем, что в рамках развиваемого в этой книге подхода замечательное само по себе существование бесконечной последовательности законов сохранения оказывается вторичной характеристикой класса эволюционных уравнений (1.2.-1). При других подходах к этому вопросу существование бесконечного числа законов сохранения играет более фундаментальную роль. Открытие нескольких независимых законов сохранения для уравнения КдВ было первым намеком на его специфический характер, и именно в процессе исследования этого свойства был найден метод спектрального преобразования.
Все приведенные ранее результаты непосредственно (или с тривиальной модификацией) справедливы для класса эволюционных уравнений вида u(^x,t) = a(Ls t^u^x, t),(1)
где a (z, t) — произвольная полиномиальная функция (с зависящими от времени t коэффициентами) переменной z, a L - интегро-дифференциальный оператор, определенный формулой (1.2.-2). Это более общий класс, чем уравнения вида (1.2.-1), поскольку здесь введена явная (и в значительной степени произвольная) зависимость от времени t. В предыдущих параграфах мы опускали такое обобщение (хотя в этом не было принципиальной необходимости), так как в данной главе ставили целью изложение основных идей, а не представление результатов в их общности и полноте. Здесь, однако, мы обращаемся к более общему классу (1), так как существование бесконечной последовательности сохраняющихся величин, несмотря на (в значительной степени) произвольную явную зависимость от времени, имеющуюся в правой части уравнения (1), является в достаточной степени замечательным явлением, заслуживающим упоминания уже на этой стадии.
Мы уже отмечали (см. §2), что класс нелинейных эволюционных уравне-
ний (1) сам по себе имеет структуру локального закона сохранения ut(x, t) = y^\x, t\®
где у(0)(я, t^ - полиномиальная функция (теперь уже с коэффициентами, зависящими от времени г) функции и(х, г) и ее производных по х(обозначение, принятое в правой части этого равенства, будет ясно из дальнейшего). Отсю да следует асимптотическое равенство нулю функции у(0) ^х, г) у<°)(±оо,г)=0.(3)
Поэтому интегрирование уравнения (2) по х от — «> до + «> показывает, что величина
Cq=cq~ f dxu(xj)(4)
является интегралом движения потока, определяемого уравнением (1).
Замечательно, что это лишь первая в бесконечной последовательности сохраняющихся величин. Фактически есть две эквивалентные последовательности интегралов движения, которые могут быть представлены в явном и компактном виде. Первая из них может быть записана как Ст= (-1Г(2rn +1)"1 Г + ” dx Г”[хих(х, t) + 2и(х, t)], J-QO
m=0J,2,...,(5)
где следует отметить появление интегро-дифференциального оператора L, определенного формулой (1.2.-1). Другое выражение для величины (5) имеет вид
Q=(-i)m(2m+iy' [ + Х dxLmu(x,l), т=0,1,2,...,(6)
-ОО
где L - интегро-дифференциальный оператор, определяемый формулой
Lf<x^-fxxVxV^x,tMkx^^ / dyu^y.t^f^y.t^W
показывающей его действие на порождающую функцию f(x). Как мы увидим в дальнейшем, этот оператор тоже играет важную роль, сравнимую с той ролью, которую играет оператор L; действительно, в некотором смысле (дополнение Д. 9) оператор L сопряжен оператору L.
Альтернативные выражения для интегралов движения Ст приводятся в гл. 5 [ см. также дополнение Д. 9, в частности формулу (Д. 9.-57)].
Вторая последовательность сохраняющихся величин имеет вид
ст = ( — 1)т fdxu(x,t)M2ml, т — ^ЛЗ^..,(8)
где М — интегро-дифференциальный оператор, определяемый формулой
Mf(x)=fx(x)- ( dyu(y,t)f(y),(9)
J — oo
которая задает его действие на порождающую функцию (^ (здесь, конечно, как и в выражении (7), функция f может зависеть от других переменных, кроме %, например от г)* Для величин (8) имеется другое выражение:
cm = (—l)mJ dxA(Oru(x, г), т=0,1,2,...,(Ю)
где Л<°> - интегро-дифференциальный оператор, определяемый формулой Л<0>/(х) =ДЛ(х) —2и(х, г)/(х) + иЛ.(х, г) j dyf(yV
+ u(x,t)(dyu(y,t) (dz/(z).(11)
Первые три интеграла движения, даваемые формулой (5), имеют вид
C0=Jdxu(x,t),(12а)
C^pdx^x,/).<12б>
C2 = Jdx[2u3(x, О + м^х, r)].^b)
Отметим, что в этих формулах исчезла явная зависимость от х> имеющаяся в выражении (5). Это относится ко всем таким формулам, как следует из формулы (6) [ вместе с формулой (7)] или из соотношения между величинами Ст и с , см. ниже. Очевидно, что все величины Ст независимы (ни одна из них не может быть выражена через другие), и их общая структура видна из явных выражений (12) (из элементарных соображений размерности можно сказать, что каждый из одночленов, входящих в подынтегральное выражение в определении величины Ст , должен содержать степени q функции и и производные порядка г по х при ограничении 2 q i- г - 2 т + 2).
(13)(13)Постоянные с т тоже независимы. Существует соотношение между постоянными двух последовательностей, выражающееся компактной формулой
(13)
(13)
5 Cmz2m+'=sin 2 Cmzlm"
в которой нужно разложить правую часть по степеням г и приравнять коэффициенты при одинаковых степенях z:
со = Со,(14а)
f^C.-lQ3,(146)
/(т\х, t)=Lm[xux(x, г) + 2м(х, г)], w=0,1,2,...,(15)и [ формула (6)1g^xJ^L/^xA^=0,1,2,...,(16)связаны "потоки" ф^Нх, t) и у^ (ж, t)> удовлетворяющие уравнениям ^m\x,t^q>xm4x,tYm=0,l,2,...,(17)g^XxJ^y^VxjY^=0,1,2,...,(18)и условиям <р<'"»(±оо,/)=0, у('")(±оо,<)=0,т=0,1,2,..„(19)которые гарантируют независимость от времени величин (5) и (6). Заметим,/(т\х, t)=Lm[xux(x, г) + 2м(х, г)], w=0,1,2,...,(15)и [ формула (6)1g^xJ^L/^xA^=0,1,2,...,(16)связаны "потоки" ф^Нх, t) и у^ (ж, t)> удовлетворяющие уравнениям ^m\x,t^q>xm4x,tYm=0,l,2,...,(17)g^XxJ^y^VxjY^=0,1,2,...,(18)и условиям <р<'"»(±оо,/)=0, у('")(±оо,<)=0,т=0,1,2,..„(19)которые гарантируют независимость от времени величин (5) и (6). Заметим,
/(т\х, t)=Lm[xux(x, г) + 2м(х, г)], w=0,1,2,...,(15)
и [ формула (6)1
g^xJ^L/^xA^=0,1,2,...,(16)
связаны "потоки" ф^Нх, t) и у^ (ж, t)> удовлетворяющие уравнениям ^m\x,t^q>xm4x,tYm=0,l,2,...,(17)
g^XxJ^y^VxjY^=0,1,2,...,(18)
и условиям <р<'"»(±оо,/)=0, у('")(±оо,<)=0,т=0,1,2,..„(19)
которые гарантируют независимость от времени величин (5) и (6). Заметим,
/(т\х, t)=Lm[xux(x, г) + 2м(х, г)], w=0,1,2,...,(15)
и [ формула (6)1
g^xJ^L/^xA^=0,1,2,...,(16)
связаны "потоки" ф^Нх, t) и у^ (ж, t)> удовлетворяющие уравнениям ^m\x,t^q>xm4x,tYm=0,l,2,...,(17)
g^XxJ^y^VxjY^=0,1,2,...,(18)
и условиям <р<'"»(±оо,/)=0, у('")(±оо,<)=0,т=0,1,2,..„(19)
которые гарантируют независимость от времени величин (5) и (6). Заметим,
Сг-Сг-^Сх + ^С^ " и т.д.(Ив)
Подчеркнем, что все эти законы сохранения справедливы для класса эволюционных уравнений (1) в целом, и отметим, что определение сохрани- ющихся величин не зависит от функции a(z, t^ т.е. от того, какое конкретно уравнение класса (1) мы рассматриваем.
Законы сохранения, выраженные не зависящими от времени интегралами (5) и (6), можно переписать и в дифференциальной форме "уравнений неразрывности". Действительно, с "плотностями" [ формула (5)]
что в то время как плотности (15) и (16) не зависят от функции a(z, t) [для всех эволюционных уравнений класса (1) плотности общие], для потоков ф^ и у^ это не имеет места. Упомянем также, что в законе сохранения (18) как плотность g^m\ так и поток у^ обладают замечательным свойством - они лвляются полиномиальными функциями функции и и ее производных по х [ это означает, в частности, что все интегралы, входящие в выражение (16), в силу определения оператора L, см. формулу (7), берутся ]. Например, в тривиальном случае a (z t) = 1 поток у^ совпадает с соответствующей ему плотностью, у^ - / , а для уравнения КдВ
иЛиххх — ^UXU — Q, U = u(xJ^(20)
[конкретного уравнения класса (1), соответствующего функции a(z, t)= -z] первые два потока таковы:
у^=-иХ)ДЗи\(21а)
у(1>— _и + 3мх + 12ммхх— 12м3.(216)
Явное и компактное выражение для потоков у^ и <^ при всех т > 0 и для всех полиномов a (z, t)> характеризующих эволюционное уравнение (1), приводится в гл. 5.
Наконец, отметим, что для эволюционного уравнения (1) существует дополнительная сохраняющаяся величина. Например, для уравнения КдВ (20) еще одним интегралом движения, независимым от всех приведенных выше, является величина
С— [ dx[xu(x, t) + 3tu2(х, г)].(22)
Ее независимость от времени легко проверяется дифференцированием выражения (22) по t с использованием уравнения (20). Заметим, что в определение (22) переменная времени t» так же как и пространственная координат та х, входит в явном виде.
Исходя из постоянства величины С, а также величин Qo и Сг [ формула (12)], можно сразу же показать, что в случае уравнения КдВ (20) центр масс
X(t)= [ dxxu(xa)/( dxu^xa)(23)
*—оо*'—оо
движется равномерно:
XCO^o+W.(24)
причем постоянные Хо л V даются отношениями
Х0=С/С0,К=-ЗС,/С0.<25>
Подчеркнем, что этим свойством центра масс Х^ двигаться с постоянной скоростью (как свободная частица) обладает и общее решение уравнения КдВ (20).
Этот результат обобщается фактически на весь класс уравнений (1), при этом дополнительной сохраняющейся величиной является величина
/+ ООdx/+ ООdxxu^xaV Сdtra^La'^u^xa^xu^xaV Сdtra^La'^u^xa^(26)(26)
/+ ОО
dx
/+ ОО
dx
xu^xaV Сdtra^La'^u^xa^
xu^xaV Сdtra^La'^u^xa^
(26)
(26)
где L - оператор, определяемый формулой (7). Это означает, что в случае общего решения Цха) уравнения (1) центр масс Х^ [ формула (23)] движется по закону
^(?) = ^0+ 2 (-l)m+l(2W +т = 0^(?) = ^0+ 2 (-l)m+l(2W +т = 0^(C^CoV'dt'aJt’),^(C^CoV'dt'aJt’),(27)(27)
^(?) = ^0+ 2 (-l)m+l(2W +
т = 0
^(?) = ^0+ 2 (-l)m+l(2W +
т = 0
^(C^CoV'dt'aJt’),
^(C^CoV'dt'aJt’),
(27)
(27)
где
(28)(28)х0=с/с0
(28)
(28)
и функции а^О являются коэффициентами полинома a(z, г) в уравнении (I)*:
м
«<^0 = 2 «,Ж-(29)
т = 0
Таким образом, центр масс общего решения всех "автономных" эволюцион-
ных уравнений класса (1) [характеризуемых отсутствием явной зависимости от времени: a(z, г) = a(z)] движется равномерно [ формула (24)] с постоянной скоростью
м
v= 2 (-l)",+ l(2^+l)amCm/C0.(301
m = 0
§ 8. Перечень разрешимых уравнений
В заключение этой вводной главы перечислим некоторые нелинейные эволюционные уравнения, существенные в теоретическом или прикладном плане. Перечень этот не претендует на полноту: в него включены уравнения, рассматриваемые в данной книге (в том числе и во втором томе), и уравнения, не попадающие в рассматриваемые здесь классы, но тем не менее разрешимые методами, которые являются нетривиальным распространением рассматриваемых здесь методов. Упоминаются и некоторые уравнения, не разрешимые методом спектрального преобразования.
Наша цель здесь - дать общее представление о сфере приложения метода спектрального преобразования при решении нелинейных эволюционных уравнений без детального обсуждения перечисляемых уравнений или их практической применимости.
Уравнение Кортевега — де Вриза (КдВ)
ыД Uxxx — ^UxU = ^-(1)
Введенное в гидродинамике в 1895 г. [259], оно играет очень важную роль и в теории, и в приложениях. Основные области его приложения - физика плазмы и гидродинамика. Его важное теоретическое значение обусловлено тем, что это в некотором смысле самое простое из истинно нелинейных но- ных уравнений, не относящихся к классу уравнений в частных производных второго порядка, для которых существует достаточно общая теория (различающая, по крайней мере локально, три возможные формы поведения решений — эллиптическое, гиперболическое и параболическое). О методе решения этого уравнения говорилось в предыдущих параграфах, и он более детально рассматривается в следующих главах.
При написании уравнения КдВ (1) и последующих уравнений мы, как правило, выбирали переменные, в которых запись была бы более четкой [ или более близкой к принятой, см., например, множитель 6 в уравнении (1) ]. Но нужно иметь в виду, что возможность изменять масштаб переменных (зависимых или независимых) дает нам некоторую гибкость, например позволяет вводить произвольные постоянные, умножая на них все три члена в уравнении (1).
Регуляризованное уравнение длинных волн (РДВ) или уравнение ПББМ (Перегрина, Бенжамена, Бона и Махони)
ut-Vux — utxx — ^ихи—^.(2)
Это уравнение иконкурирует,т с уравнением КдВ при описании волн в прямоугольном канале в пределе длины волны, большой по сравнению с глубиной канала. РДВ-уравнение отличается от уравнения КдВ в двух отношениях. Во-первых, в нем имеется член их , отсутствующий в уравнении КдВ, но это различие второстепенное, ибо введение такого члена в уравнение (1) соответствовало бы тривиальной замене переменных, эквивалентной измерению пространственных координат в системе отсчета, движущейся с единичной скоростью. Второе отличие, а именно появление члена -utxx вместо члена иххх в уравнении (1) более существенно с аналитической точки зрения. Оно означает, что уравнение (2) вообще не является эволюционным уравнением, по крайней мере в самом прямом и строгом смысле этого слова. В то же время в той степени, в которой можно пренебречь дисперсивными и нелинейными эффектами в уравнении (2), справедливо приближенное равенство — и^ их , а это означает, что выполняется соотношение -и1хх^ иххх , устраняющее различие между уравнениями (1) и (2) [ с производной их , соответствующим образом добавленной в уравнение (1)]. В этом причина физической "эквивалентности" уравнений КдВ и РДВ в том смысле, что они оба применимы для описания одних и тех же физических явлений.
Неизвестно, разрешимо ли уравнение РДВ методом спектрального преобразования, и есть основания думать, что оно неразрешимо, т.е. что любые поиски спектрального преобразования, годного для решения уравнения (2), обречены на неудачу. [ Отметим, однако, что уравнение
/* + оо
иДих — utxx-VAu(u—2uxJ^yut(yj)—O,(#2а)
линейная часть которого Совпадает с линейной частью уравнения (2а), принадлежит разрешимому классу (1.2.-1) с неполиномиальной функцией a(z)= (z-1)"4.] Более детальное сравнение уравнений КдВ и РДВ, обосновывающее последнее утверждение, проводится в гл. 3, § 2, п. А.
"Переходное” уравнение Кортевега — де Вриза «ЛиХХх~<Михи=0.(3)
Происхождение названия связано с тем, -что функция f(t) является монотонно возрастающей функцией, причем f(±~) = ±1; таким образом, уравнение (3) описывает переход от моделируемого уравнением КдВ (1) режима распространения волны с положительным коэффициентом при нелинейном члене к режиму, для которого эволюционное уравнение все еще остается уравнением КдВ, но нелинейный член имеет противоположный знак. У этого уравнения есть три интеграла движения, выражения которых можно найти в дополнении Д. 14. Переходное уравнение КдВ для произвольной функции ((f) не разрешимо методом спектрального преобразования; действительно, исключительный случай f^ = t ^, когда уравнение (3) может быгь преобразовано в цилиндрическое уравнение КдВ (см. ниже), не относится к описанному выше типу пе-
реходного уравнения КдВ. Когда f(t) — достаточно гладкая функция в пределах одной длины волны, уравнение (3) описывает распространение волн на поверхности, разделяющей два слоя жидкости малой глубины, при этом функция f(<) описывает гладкое изменение глубины данного слоя. Р частности, нуль функции f(«) соответствует точке, в которой глубина обоих слоев одинакова, и распространение волны через эту точку ветвления может быть приближенно описано уравнением
mz+wxxx—6(1 —5Г)мхм=0;(За)
которое исследовалось методом возмущений и численными методами в окрестности точки z - е
Цилиндрическое уравнение Кортевега - де Вриза (цКдВ) uz + mxxx—6mxm+(2z)-1u=0.^
Отметим явную зависимость от времени и сингулярность при t = 0. Задача Коши для этого уравнения ( с начальным условием, заданным при t = »«0^ 0) в классе интересных для физики функций Цх, t)9 асимптотически стремящихся к нулю, uU°°, t) = 0, может быть решена методом спектрального преобразования для новой спектральной задачи, хотя все еще связанной с линейным одномерным уравнением Шредингера (L3.A.-1). Этот случай рассматривается в гл. 6, § 3. Уравнение цКдВ было введено в физике плазмы и, прежде чем была показана его разрешимость, исследовалось численно. Получается оно при схематизации, аналогичной той, которая приводит к стандартному уравнению КдВ (1), но в цилиндрической, а не прямоугольной геометрии. [Однако переменная х в уравнении (4) не имеет смысла реи диальной координаты; действительно, уравнение (4), как и все Другие уравнения, о которых идет речь в данной книге, рассматривается на всей прямой — оо< X < + оо .]
Уравнение цКдВ (4), как следует из его разрешимости методом спектрального преобразования, обладает бесконечной последовательностью сохраняющихся величин, имеющих вид интегралов по всему пространству от полиномов от функции и и ее производных по х (но с коэффициентами, явно зависящими от времени, см. гл. 6, § 3, п. Г).
Сферическое уравнение Кортевега — де Вриза (сКдВ) иЛиХхХ-6ихиЛ t~xu=O.(5)
Это уравнение не разрешимо (по крайней мере в настоящее время) никаким методом спектрального преобразования. Оно возникает в:тех же ситуациях, что и стандартное и цилиндрическое уравнения КдВ (1) и (4), и поэтому было исследовано численно подобно им, но с модификациями, которые соответствуют его названию. Для этого уравнения известны только три сохраняющиеся величины (это стандартное свойство эволюционного уравнения такого общего вида, см. дополнение Д. 14).
Отметим, что изменением масштаба переменных нельзя изменить численный множитель при последнем члене в уравнениях (4) и (5), не меняя при этом первого члена.
Модифицированное уравнение Кортевега — де Вриза (мКдВ) 1/г+и^х±6их1/2~0.(6)
Это уравнение отличается от уравнения КдВ (1) только тем, что его нелинейность кубическая, а не квадратичная. Оно носит прикладной характер, например оно использовалось для описания акустических волн в ангармонических решетках и альфвеновских волн в бесстолкновительной плазме. Задача Коши для этого уравнения разрешима посредством соответствующего спектрального преобразования для спектральной задачи, аналогичной той, которая обсуждалась ранее, только линейное уравнение Шредингера заменяется спинорным уравнением Паули. Общий вариант этой спектральной задачи рассматривается в т« 2 наряду с классом разрешимых с ее помощью нелинейных эволюционных уравнений, включающим кроме уравнения мКдВ (6) некоторые другие уравнения, имеющие теоретическое и прикладное значение. Эту спектральную задачу мы называем обобщенной спектральной задачей Захарова - Шабата.
Поскольку уравнение мКдВ (6) типично для всех уравнений, разрешимых методом спектрального преобразования, оно обладает бесконечным числом законов сохранения, его решения могут быть связаны явными преобразованиями Бэклунда и в уравнениях появляются солитоны (заметим, однако, что солитоны могут появляться в случае действительных функций и только тогда, когда последний член положителен; в отличие от уравнения КдВ (1) знак этого члена нельзя изменить никакой действительной заменой переменных, не изменив знака второго члена). Уравнение мКдВ связано с уравнением КдВ так называемым преобразованием Миуры; это преобразование, сыгравшее важную роль на ранних этапах истории метода спектрального преобразования, рассматривается в дополнении ,Д« И.
Обычно полагают, что обобщенное уравнение КдВ ut + иххх + йихит= О разрешимо методом спектрального преобразования только при т - 1 [обычное уравнение КдВ (1)] и т- 2 [уравнение мКдВ (6)]; и, конечно, оно разрешимо методом преобразования Фурье при m = 0 (линейный случай). Действительно, только в этих случаях существует бесконечное число законов сохранения полиномиального типа.
В качестве примера сильно нелинейного уравнения, отличающегося от уравнения КдВ (1) только нелинейными членами [включающего как частный случай уравнение мКдВ :6)], мы приведем уравнение
иЛИххх-^Их^п1- {и±ихх~~2w3)2/[a2—4(w2 + t^ — u4)]} — О,(7)
разрешимость которого будет показана в г. 2- Очевидно, что если постоянная а 2 достаточно велика, уравнение (7) сводится к уравнению (6).
Другое сильно нелинейное уравнение, разрешимость которого показывай ется в т. 2, имеет вид
w, + wxxx-|w3 + ux[aexp(u)+Z>exp(-u) + c] =0.W
Как предельный случай оно включает в себя уравнение
“/ + “ххх+“х(^2+А+у) = 0,(9)
которое получается из уравнения (8), если и заменить величиной ец, положить а = аЕ~2 * 1/2 (Зе”1 + у, Ъ = as”2 — 1/2 (Зе”1, с = —2ае"*2 и затем перейти к пределу при е -► 0. Постоянные а, [3 и у в уравнении (9) произвольны. При а = у = 0, (3 =—6 уравнение (9) переходит в уравнение КдВ (1), а при [3 = у = 0, а = ±6 — в уравнение мКдВ (6).
Укажем еще два сильно нелинейных уравнения, которые тоже могут быть решены методом спектрального преобразования: уравнение Гарри Дима (ГД) У,=е,««3,(Юа)
и,+2(и-,/2)ххх=0,и=е"\(Юб)
и уравнение Вадами - Конно - Ишикавы - Шимицу (ВКИШ) ( для комплексного поля и)
1и,+ [(1 + |м|2)-'/2и]^=0.(Н)
Однако соответствующие спектральные задачи несколько необычны. Исследуются эти уравнения приведением их к другим уравнениям путем замены переменной (которая сама, однако, зависит от решения). Например, в гл. 6, § 5, мы покажем, как уравнение ГД (10) может быть преобразовано в уравнение КдВ (1).
Последние несколько примеров имеют лишь теоретическое, а не практическое значение (по крайней мере в настоящее время). Укажем теперь некоторые другие нелинейные эволюционные уравнения, разрешимые методом спектрального преобразования, прямо связанные с приложениями.
Уравнение Бенжамена - Оно (ВО)
идНихх-Ьихи=й(12)
напоминает уравнение КдВ (1), но в его втором члене пространственная производная заменена оператором Гильберта, определяемым формулой Hflx)^-'?!dyf(y)/(y-x).(12а)
Между прочим, это означает, что дисперсионная функция линейной части уравнения (12) имеет вид ^к^ = —к2 si^n к* тогда как дисперсионная функция ли- шейной части уравнения КдВ (И имеет вид со(А:) = -&3, а РДВ-уравнения (2) - вид <0^ = к/(Д + А:2).] Уравнение ВО (12) — это.конечно, не уравнение в частных производных, а интегро-дифференциальное уравнение, но оно может быть
решено методом, аналогичным методу спектрального преобразования, рассматриваемому в данной книге. Вследствие этого оно обладает всеми атрибутами рассмотренных выше разрешимых уравнений: бесконечным числом законов сохранения, преобразованиями Бэклунда, солитонами.
Уравнение ВО (12) было введено для описания внутренних волн в страт тифицированных жидкостях (линейная геометрия, масштаб возмущения мал по сравнению с глубиной жидкости). На самом деле есть более общее нелинейное эволюционное уравнение, пригодное для описания стратифицированной жидкости конечной глубины. Оно имеет вид
иДТихх — 6ихи=0,(13)
где Т — интегро-дифференциальный оператор, определенный формулой
Tf(x) = p( d>VM(cth [^-.>с)/(2<О]--$1^(у-А:)}/(2<7).(13а)
Постоянный параметр d есть расстояние от дна до слоя внутренних волн. Легко Убедиться путем соответствующего пересчета, что в пределе при V -* О (мелкая вода) уравнение (13) переходит в уравнение КдВ (1), а в пределе при d -> оо (глубокая вода) - в уравнение ВО (12). Самое замечательное, что само уравнение (13) разрешимо и обладает всеми атрибутами разрешимого уравнения.
Уравнение Буссинеска (БСК) и и” ихх - ихххх+3 (и 2) хх=0.<14)
Введенное Буссинеском в 1871 г. для описания распространения длинных волн на мелкой воде в случае прямоугольной геометрии, оно является более общим, чем уравнение КдВ (1), так как в нем учитывается движение в обоих направлениях. Действительно, уравнение КдВ (1) (с соответствующим образом добавленным членом нх) получается из уравнения (14) в приближении ut ^ "“х* соответствующем тому, что мы рассматриваем движение в окрест пости волны, перемещающейся только в одном направлении. Уравнение БСК (14) имеет много других приложений: длинные волны в одномерной нелинейной решетке, колебания нелинейной пружины, ионно-звуковые волны в плазме. Замечательно, что само уравнение БСК (14) разрешимо методом спектрального преобразования (см. т. 2); поэтому оно наделено всеми атрибутами такой разрешимости: бесконечное число законов сохранения, преобразования Бэклунла, многосолитонные решения.
Уравнение Кадомцева - И етвиашвили (КП)
^иДиххх-6ихи) х^иуу~0.(15)
Это уравнение называется также двумерным уравнением КдВ; оно описывает медленные изменения в направлении у волны, распространяющейся в направлении % с дисперсивными и диссипативными эффектами. Таким образом, оно
моделирует "поперечное" возмущение решений уравнения КдВ (1), и, в частности, односолитонное решение уравнения (1) устойчиво по отношению к этому возмущению, если уравнение (15) записано со знаком "плюс" в последнем члене, и неустойчиво в противном случае. Это уравнение может быть решено методами, подобными тем, о которых идет речь в данной книге, хотя модификация, необходимая для введения дополнительной пространственной переменной, далеко не тривиальна. Уравнение КП (15) обладает многосолитонными решениями, которые локализованы, однако, только в одном направлении (но не в другом). Известны также явные решения, локализованные в обоих направлениях (они представляют собой рациональные функции пространственных координат и несингулярны в том случае, когда в уравнении (15) стоит знак "плюс"). Другие частные решения уравнения (15) могут быть получены из решений уравнения цКдВ (4) с учетом того обстоятельства, что если функция й(х, t^ является решением уравнения (4), то функция
и^х, у, t^U^x-Vy1/^, t)(15а)
удовлетворяет уравнению (15) [236].
Уравнение Бюргерса
ut=uxx^^uux*(16)
Это самое простое из интересных для физики нелинейных эволюционных уравнений (его можно считать одномерной редукцией уравнений Навье - Стокса). Разрешимость его, обнаруженная в 1950 г., до того как было введено спектральное преобразование, легко показать: преобразование Хопфа - Коула
u=(lnv)x,(16а)
превращает уравнение Бюргерса в линейное уравнение диффузии
vz = vxx.(166)
Нелинейное уравнение Шредингера (НЛШ)
1иДихх±12\и\2и — 0.(17)
Это уравнение фигурирует во многих прикладных задачах. Действительно, оно пригодно вообще для описания эволюции во времени огибающей почти монохроматической волны умеренной амплитуды в слабо нелинейной диспергирующей системе (отметим, что теперь функция и комплексна). Пример его появления в методе возмущения рассматривается в т. 2. Уравнение разрешимо методом спектрального преобразования, принадлежит к тому же классу, что и уравнение мКдВ (6) (соответствующей спектральной задачей является обобщенная спектральная задача Захарова - Шабата, см. т. 2). Оно обладает всеми характеристиками разрешимых уравнений: бесконечное число законов сохранения, преобразования Бэклунда, солитоны [заметим, что солитоны могут появиться только в случае знака "плюс" перед последним членом
уравнения (17)]. Замечательным свойством уравнения НЛШ (17) является то, что его решения могут быть преобразованы в решения одномерного уравнения Гейзенберга для ферромагнетиков
^=SAS„,SS=1,08)
решение которого [трехмерный единичный вектор S=S(x, г)] описывает линейную непрерывную плотность спина. Конечно, это влечет за собой и разрешимость уравнения (18).
Уравнение Шредингера с нелинейностью производной 1и, + ихх±1(|и|2и)х = 0.(19)
Это уравнение нашло ряд приложений, например, в физике плазмы (распространение нелинейных альфвеновских волн и радиоволн). Это уравнение также разрешимо путем соответствующего спектрального преобразования, спектральной задачей является некий вариант задачи Захарова — Шабата (зависимость от собственного значения квадратична, а не линейна). Оно обладает всеми свойствами, характерными для уравнений, разрешимых методом спектрального преобразования.
Уравнение Хироты ut4-iau4-ib(uxx — 2у(и(2и) 4-cux4-d(uxxx — 6yluj2ux)—0.(20)
Мы записали уравнение в таком виде, желая подчеркнуть его общность; действительно, это уравнение разрешимо мэтодом спектрального преобразования, соответствующей спектральной задачей является обобщенная задача Захарова — Шабата (см. т. 2), даже если величины а, Ь, с и d произвольно зависят от времени, а величина п - произвольная постоянная. При а = с = d = 0, Ь = -1 и п = ±1 уравнение (20) переходит в НЛШ-уравнение (17), а при а = 6 = с - 0, d- 1, л = ± 1 и действительной функции и - в уравнение мКдВ (6)
Интересной модификацией НЛШ-уравнения (17) является система двух зацепленных уравнений
iuz4-uxx — 2yM2u4-iuvx4-uv2 = 0,С^а)
v/~27(|u|2)^=0,(21б)
которая также разрешима методом спектрального преобразования. Она исследовалась в качестве модели взаимодействия между длинными волнами (поле v) и коротковолновой огибающей (поле и).
Другая модель взаимодействия волн — уравнение 3-мерного 3-волнового резонансного взаимодействия (ЗМЗВРВ) ^ЭД^-^иДу^и* — ^ jkn = 1, 2> 3 (циклич. перест.).(22)
Здесь три комплексных поля и. являются функциями 3-мерного вектора положения г и времени t, три 3-вектора «у — заданные постоянные, точкой
обозначается обычное скалярное произведение, V - оператор градиента и т]. = +1. Заметим, что этот пример в противоположность всем тем, о которых идет речь выше и ниже, вложен в трехмерное пространство [ хотя первый член в каждом из трех зацепленных уравнений (22) в действительности описывает распространение волны только в одном направлении, в направлении скорости »Д« Система нелинейных эволюционных уравнений (22) важна во многих приложениях, описывающих резонансную связь между различными плоскими волнами, которая дает во многих ситуациях первую нелинейную поправку к линейному явлению распространения волн без дисперсии. Решение уравнения (22) основано на тонком переплетении трех спектральных задач типа задачи Захарова — Шабата, относящихся к трем разным пространственным координатам, каждая из которых коллинеарна одному из векторов v.. Уравнения трехволнового взаимодействия, записанные в виде (22), но только с одной или двумя пространственными координатами, также разрешимы методом спектрального преобразования.
Уравнения Дэви - Стюартсона
\и— ихх-¥иууДги\и\1 — 2wv = 0,(23а)
Vxx+®w-(l«|z)w=0.(236)
Такая система двух зацепленных дифференциальных уравнений пригодна для описания двумерных волн на поверхности воды конечной глубины. Она разрешима методами, аналогичными тем, которые были развиты для уравнения КП (15).
Уравнение бумерона
ut—b-\5x.(24а)
ех(=«хх6+аЛсх-2едл[»Аб].(246)
Здесь зависимыми переменными являются функция _и и три компоненты 3-вектора v; х и t — независимые переменные, a o’ и Ь — два заданных 3-вектора, причем скалярное и векторное произведения определяются стандартным образом [уравнение (24) разрешимо и в том случае, когда векторы 5* и 6 зависят от времени, но здесь для простоты мы предполагаем их постоянными]. Эта система четырех зацепленных уравнений эквивалентна одному матричному уравнению второго порядка
2^х=Ц^,Л] + {^ЛЛ,В}+[^,[^,в]].(24в)
Здесь матрицы У, А и В связаны со скаляром и и 3-векторами v, а и Ь формулами W = и + »•?, А = аа, В = ^-0, при этом о - 3-вектор, компонентами которого является матрицы Паули, а квадратные и фигурные скобки обозначают коммутацию и анти коммутацию ([ А, В] = АВ - ВА, ! А, В} = АВ + В А). Эволюционное уравнение (24) разрешимо методом спектрального преобразования для спектральной задачи матричного уравнения Шредингера. Класс разре-
шимых таким образом эволюционных уравнений обладает всеми свойствами, хаг рактерными для разрешимых уравнений, включая бесконечное число законов сохранения, явные преобразования Бэклунда и многосолитонные решения. Сохраняется и основное свойство солитонов — как бы "упругое” взаимодействие друг с другом, но появляется и нечто новое — каждый солитон движется, вообще говоря, с переменной скоростью, т.е. не как свободная частица, а как частица, на которую действует внешняя сила. Интерес к эволюционному уравнению (24) вызван тем, что оно есгь простейший пример этого нового явления; его солитоны в "далеком будущем", как правило, бумерангом возвращаются туда, откуда они пришли в "отдаленном прошлом", чем и объясняется его название (в случае когда векторы о и ^ взаимно ортогональны, возможен другой общий тип поведения солитона: они могут осциллировать, даже не убегая на бесконечность; такие солитоны называются транионами, а не бумеронами; в многосолитонном решении могут сочетаться оба типа поведения).
Другим уравнением', которое по существу представляет собой частный случай уравнения бумеронов (24) (в особенно интересном упомянутом случае а • К= 0), но преимущество которого в том, что оно описывает одно скалярное поле (а не четыре зацепленных поля), является уравнение зумеронов
(i92/dt2-d2/dx1XZxl/Z^ + 2(Z2)x=0.(25)
Это сильно нелинейное уравнение удобно для демонстрации нового явления, связанного с бумеронами и траппонами. Кроме того, у его оолитонов (зуме- ронов^ наряду с изменением скорости меняется со временем и амплитуда. Это уравнение рассматривается в т. 2.
Приведенные уравнения Максвелла — Блоха
E-v=0,(26а)
t\ — ыг—Ед—О,(266)
qx+E«=O,(26в)
гх+ь>« — 0.(26г)
Здесь Е - электрическое поле, г и v — действительные комбинации матрицы плотности, связанной с, атомной поляризацией, и q - мера атомной поляризации; эти четыре функции зависят от переменных х и t, которые являются соответствующими линейными комбинациями координат физического пространства и времени, а со - постоянная, пропорциональная атомной плотности. Соответствующей заменой переменных все эти величины приведены к безразмерному виду. Физическое явление, приближенно описываемое этой системой нелинейных эволюционных уравнений, - взаимодействие распространяющегося вправо короткого интенсивного светового импульса со средой, состоящей из двухуровневых атомов.
Уравнение синус-Гордона^СГ^ в двух формах
wx,±sin«=O,u=u(x,tY(27 а)
^ff-y^sin^^O,p=p(£r).(276)
Переход от одной формы к другой соответствует переходу от "светового конуса” (%, t) к "лабораторной” системе координат (^, т), т.е.
^^“(Я’')- х = |(/+г),1=^£-т).(27в)
Начальной задачей для уравнения (27а) является задача Гурса (начальное значение задается на характеристике t = 0), а для уравнения (276) - это задача Коши (начальное значение задается при т = 0). Обе эти задачи разрешимы методом спектрального преобразования. Действительно» уравнение (27а) принадлежит к тому же классу (связанному со спектральной задачей Захарова — Шабата, рассматриваемой в т. 2), что и уравнение мКдВ (6), НЛШ-уравнение (17) или уравнение Хироты (20).
Уравнение СГ (27) в том или ином варианте появляется во многих приложениях, от дифференциальной геометрии (его связь с псевдосферами была известна сто лет назад) до нелинейной оптики, где солитонами уравнения (27а) объясняется явление само индуцированной прозрачности [при со = 0, г = 0, Е = их» v = + sin и, q = +cos и приведенные уравнения Максвелла — Блоха переходят в уравнение СГ (27)]. Кроме того, оно интенсивно исследовалось как модель релятивистской теории поля (как классической, так и квантовой, что является следствием его релятивистски-инвариантного характера). Уравнение СГ (27) обладает, конечно, всеми атрибутами разрешимого уравнения (бесконечное число законов сохранения, преобразования Бэклунда, солитоны, которые, однако, появляются как "кинки", т.е. локализована не функция и, а ее производная и^.
Двойное уравнение синус-Гордона wx/±[sinu+7sin|u] =0,(28)
где п - постоянная. Данное уравнение находит применение в физике, в нелинейной оптике (распространение ультракоротких импульсов в резонансной пятикратно вырожденной среде) и в физике низких температур (распространение спиновых волн в анизотропных магнитных жидкостях). Есть веские основания считать, что это уравнение не разрешимо методом спектрального преобразования.
Уравнение ^-четыре
Фи ~ Фхх “ ф+ =0,(29)
которое обязано своим названием выражению К = % (ф* + ф* )- % ф2 4- %ф4 для соответствующей плотности гамильтониана. Это уравнение было предметом интенсивных исследований в классической и квантовой теории поля. У него есть кинкоподобные решения (аналогичные кинкам уравнения СГ), но это не солитоны (солитроны, см. гл. 3, §2, п. А). Уравнение ф-четыре неразрешимо методом спектрального преобразования.
У-равнение Линвилля “х,=ехр(ум),(30)
где п - произвольная постоянная. Общее решение этого уравнения было дано Лиувиллем в 1853 г.; оно имеет вид
«(x,z)=/(x)-g(z)-(2/v)ln| р ( dyexp[i7/( y)] +
+ (v/^/O^'dsexpf-^gfs)] ] ,(30а)
где р — произвольный параметр, a f(x) и #(г) — произвольные функции. Действительно, уравнение Лиувилля может быть преобразовано в волновое уравнение фхг = 0, общее решение которого имеет вид ^хэ t)- f(x) + gM« Уравнение Лиувилля можно отнести к тому же классу разрешимых уравнений, что и уравнения НЛШ, мКдВ и СГ, и оно может быть использовано в качестве модели теории поля.
Другое скалярное уравнение, которое, как и уравнение Лиувилля и СГ, обладает свойством релятивистской инвариантности и разрешимо методом спектрального преобразования, имеет вид их,+ехр( — м) — ехр(2м) = 0.(31)
Спектральная задача, являющаяся основой для спектрального преобразования, используемого для решения уравнения.(31), включает в себя матрицы третьего порядка и рассматривается в т. 2.
Есть несколько других релятивистски-инвариантных уравнений, которые, как мы теперь знаем, разрешимы методом спектрального преобразования (хотя в нескольких случаях этот метод требует существенной модификации техники, излагаемой в данной книге), чо они обычно включают не менее двух зацепленных полей. Например, при и = 0 и ф = 2М уравнение СГ (276) соответствует частному случаю модели Полмейера — Лунда — Редже
u^~urT±sin mcosmH- (cosu/sin3u)( i^ — d2) — 0,(32a)
(^ctg2w)^=(vrctg2M)r,(326)
которая также разрешима, а уравнение (31) является при v - 0 частным случаем разрешимой системы (см. т. 2)
wr, + ch(3v) ехр( -- и) —ехр(2м) -О,^33а^
vx{—sin3vexp( — м) = 0.(ЗЗб)
Ив других интересных уравнений теории поля мы упомянем ниже (без дальнейших комментариев) еще несколько, которые выделяются как наиболее типичные в имёющемся на данный момент круге нелинейных уравнений в частных производных, разрешимых методом спектрального преобразования.
0(п) сигма-модель
ул/+(vx-vJv = O;(34)
здесь гГ- д-мерный действительный единичный вектор, (v . v) = 1. Уравнение главного кирального поля на группе SU(n)
^UX\*^U,\=O,(35)
где У (я, t) - унитарная матрица (tH У = I) группы S У(п).
Приведенное уравнение Эйнштейна
(gx/‘Gr^‘'),+ (gx/~G,G~' )л=0,(Зб)
где‘£(%, г) - симметричная 2х 2-матрица, а ^х» г) - ее детерминант, g — det С»
Уравнение Эрнста
(Re £) (Е„Др" ^ЕД Е22) = Е^Е^,(37>
где Е - комплексная функция радиальной и осевой координат риг. Данное уравнение представляет собой еще один частный случай уравнения Эйнштейна, соответствующий статическому осесимметричному полю вакуума.
Приведенные уравнения Янга - Миллса
^и^-^и^о,<38>
где Щхэ у» t) - матрица группы SU(n)» det U = 1 и д? = д % -1 d^9dz = dx*idy> Отметим, что в этом уравнении две пространственные координаты.
Массивная модель Тирринга
=(39а)
(396) iv^m+vIu^O.
Модель Намбу — Иона Лазинио — Вакса - Паркина
N
iu(xn)—v(n) 2 'ow*u^m\(40а)
т- 1
N
1^п-=и<п' 2 uw*Dw.(40б)
Модель Гросса - Неве
1^in',^UW 5 (z/('n)»t)W + vW«M(m)).(41б)
Замечательно, что данные релятивистски-инвариантные уравнения недавно нашли применение в физике твердого тела.
На этом мы заканчиваем свой перечень уравнений, содержащий 37 "разрешимых” уравнений и 5 уравнений, которые не разрешимы методом спектрального преобразования, по крайней мере в настоящее время. Повторяем, что данный перечень отнюдь не полон. Во-первых, число новых найденных разрешимых уравнений быстро растет. Во-вторых, мы ограничили свой перечень дифференциальными уравнениями в частных производных или интегро-дифференциальными уравнениями, не упоминая даже об уравнениях в конечных разностях, а метод спектрального преобразования может быть распространен и на дискретный случай (Дискретными могут быть либо пространственная координата, либо временная, либо обе). Тем же самым мы будем ограничиваться и в остальной части книги.
В-третьих, что касается разрешимых уравнений с более чем одной пространственной переменной, то мы ограничились простым упоминанием уравнения КП (15), уравнения ЗВЗВРВ (22), уравнения ДС (23) и приведенного уравнения ЯМ (28). Это ограничение тоже проводится по всей книге (единственное исключение можно найти в гл. 6, § 1).
Примечания к главе 1
В некоторых частях данной главы просто кратко отмечаются те вопросы, которые затем более полно рассматриваются в последующих главах. В таких случаях библиографические ссылки откладываются до соответствующих глав.
§ L Решение линейных уравнений в частных производных методом преобразования Фурье — это материал стандартных учебников; см., например, [ 444]. Прогресс в этой области, о котором мы упоминаем в конце § 1, относится к недавно продемонстрированной разрешимости некоторых нелинейных интегро-диффе- ренциалъных эволюционных уравнений (§ 8).
Б. В начале т. 2 дается элементарное введение в алгебру матриц, главным образом для ознакомления читателя с обозначениями; но здесь предполагается, что читатель знаком с основами теории, например с определением детерминанта квадратной матрицы.
Среди первых исследователей, подчеркивавших аналогию между методом спектрального преобразования как методом решения нелинейных эволюционных уравнений и методом преобразования Фурье как методом решения линейных уравнений в частных производных, были авторы работ [430, 16]. Аналогия же между прямой и обратной спектральной задачей (или задачей рассеяния) и методом преобразования Фурье всегда была понятна исследователям в данной области, начиная с пионеров (см. стандартные учебники по обратной задаче, например [ 181 - 184; 363 гл. 20; 147, 333 ]; в них цитируются и более ранние работы).
А» Чисто многосолитонное решение (1.6.А-9) легче всего получать (если существует формализм спектрального преобразования), решая обратную спектральную задачу (§3, п.Б). Есть и другие методы, среди которых особенно эффективен так называемый "прямой " метод (в применении к уравнению КдВ см. [230]). Обзор этого метода приводится в работе [ 233]; этот метод, разработанный в основном Хиротой, в значительной мере искусственный, но доказал свою ценность во многих примерах. Таким методом были получены многосолитонные решения для многих уравнений, когда еще не было других методов анализа этих уравнений.
Уравнение КдВ, являющееся прототипом нелинейных эволюционных уравнений, интегрируемость которых была недавно открыта, в последнее десятилетие исследовалось в бесчисленных статьях. В работе [242] показывается, что это уравнение имеет смысл исследовать с априорной математической точки зрения. Краткое, легко читаемое введение в теорию уравнения КдВ и его свойств см., например, в работе [347]. В работе [284] было указано, что уравнение КдВ - лишь первое в последовательности нелинейных эволюционных уравнений, так называемых ” высших” уравнений КдВ [формула (1.4.-2) при a(z) = zn]
u=Lnux, «=2,3,4,....(1)
Статический вариант уравнения (L4.-2), так называемое уравнение Новикова а^их = 0, тщательно исследовался в работе [381] (см. также [207, 202]). Широкий прикладной характер уравнения КдВ является следствием того, что оно является естественным уравнением для описания асимптотического по времени поведения любого недиссипативного, слабо нелинейного и слабо дио персивного волнообразного явления (см., например, [344, 419, 417, 384, 350]).
Уравнение РДВ тщательно исследовалось в работе Бенжамена, Бона и Мгхони [41], а поэтому оно известно и под названием уравнения ББМ; численные решения этого уравнения были впервые приведены в работе [ 391] (вследствие этого оно часто называется уравнением ПББМ). Спорным является и вопрос, это ли уравнение или уравнение КдВ более пригодно для приложений и, в частности, для описания длинных волн (см. работу [ 37] и примечания к гл. 3, § 2, п. А).
Об описании гидродинамических явлений, моделируемых переходным уравнением КдВ, см. работу [272] и цитируемую в ней литературу.
Приложения цилиндрических и сферических уравнений КдВ (и некоторые численные результаты) обсуждаются в работе [ 338] и цитируемой там литературе. Впервые разрешимость уравнения цКдВ методом спектрального преобразования была доказана в работе [126]. Дополнительные ссылки на литературу см. в примечаниях к гл. 6 (6.П).
Уравнение мКдВ интенсивно исследовалось ввиду его прикладного характера и особенно ввиду его тесной связи с уравнением КдВ. Действительно, преобразование Миуры, связывающее решения этих двух уравнений (до-
полнение Д. И), играло важную роль в открытии метода спектрального преобразования; см., например, [347, 17]. Разрешимость его (спектральным преобразованием Захарова - Шабата, см. т. 2) впервые была доказана в ра» боте [443].
Обобщенное уравнение КдВ ut + и ± 6ихит- 0 кратко обсуждается в работе [ 415], см. также [ 344, 346] и дополнение Д. 14.
Эволюционные уравнения (1.8.-7) и (1.8.-8) были введены в работе [ 130] (там же была показана их разрешимость).
Уравнение Гарри Дима (1.8.-10) см. в гл. 6, § 5 и примечания.
Уравнение ВКИШ (1.8.-11) рассматривается в работах [450, 425].
Литература по уравнению БО (1.8.-12)': [46, 386, 2 39, 2 37, 140, 104 — 107, 51, 317, 374, 420, 137, 322]. О родственном модифицированном уравнении БО см. работу [ 376], а о ’’высших” уравнениях БО - [318, 320].
Литература по уравнению (L8.-13), описывающему движение жидкости конечной глубины: [ 139, 319, 409, 226, 218]. О ’’высших” уравнениях, описывающих движение жидкости конечной глубины, см. работу [321], а о модифицированных уравнениях такого рода - работы [375, 218].
Решение уравнения БОК (введенного в работах [31, 32]) методом спектрального преобразования сводится к рассмотрению спектральной задачи для линейного уравнения третьего порядка wxxx + v(^wx + и(х^ = — И^цц эта задача была решена с различной степенью общности в работах [ 251, 102]. Литература по разрешимости уравнения Б СК: [452, 232, 134, 351, 64, 101].
Литература по уравнению КП (1.8.-15)*: [274, 166, 367, 211, 461, 453, 364, 323].
Об уравнении Бюргерса (1.8.-16) см. работу [74], линеаризованное преобразование (1Л.-16а) было дано независимо в работах [234, 141]. О методе симметрии для класса эволюционных уравнений, содержашего уравнение Бюргерса, см. работу [ 198], а формулировку этого метода в рамках гамильтонова формализма — в работе [ 435].
О прикладном характере НЛШ-уравнения (1.8.-17) см., например, работы [ 441. 417, 300, 373] и цитируемую там литературу. В работе [ 465] было об» наружено, что НЛШ-уравнение разрешимо соответствующим спектральным преобразованием. О связи этого уравнения с одномерным уравнением Гей^ зенберга для ферромагнетиков (1.8.-18) см. работы [432, 288].
Уравнение Шредингера с нелинейностъю производной (1.8-19) было решено в работе [ 268]. Со всей полнотой метод спектрального преобразования для решения этого уравнения рассмотрен в работе [214]. Было также показано, что ра^пешимо и имеющее прикладной характер уравнение, являющееся его модификацией [340].
Уравнение Хироты (1.8.-20) исследовалось "прямым методом" в работе [ 415L Решение его методом спектрального преобразования см. в т. 2.
Взаимодействие волн, моделируемое уравнениями (1.8.-21), исследовалось методом спектрального преобразования в работе [ 372].
Уравнения ЗМЗВРВ (1.8.-*22) в одномерном случае были решены в работах [ 458, 466, 459], Полнее всего эта задача была исследована Каупом; см., например, (245, 246, 248 - 251]. Последние четыре статьи базируются на ре- зультн^ах Корниля [144].
Уравнения Дэви — Стюартсона (1.8.-23) были введены в работе [ 168]/а их разрешимость показана в работе [ 14].
Уравнения бумеронов и зумеронов впервые исследовались в работах [ 114, 115]; обзор соответствующих солитонных решений этих уравнений см. в работе [ 149]. Решение их методом спектрального преобразования обсуждается в т. 2, Есть два фильма, демонстрирующих поведение односолитонных и двухсолитонных решений этих уравнений: [171, 172].
Приведенные уравнения Максвелла - Блоха (пМБ) (1,8.-26) являются модельными уравнениями, описывающими явление самоиндуцированной прозрачности (СМП); см., например, работу [174]. Эти уравнения рассматриваются, например, в работе [201]; см. также [75, 76, 50]. Уравнения пМБ являются приближением Максвелла - Блоха (МБ) в случае, когда мы ограничиваемся рассмотрением волн, распространяющихся только в одном направлении, Сами уравнения МБ, по-видимому, не интегрируемы, они, кажется, обладают солитронами, а не солитонами (согласно терминологии, введенной в гл. 3, § 2, п. А) [ 132],
Литература по уравнению С Г чрезвычайно обширна вследствие их частого появления в математических и физических задачах, а также потому, что это первый пример релятивистски-инвариантного разрешимого уравнения, обладающего многосолитонными решениями (в отличие от уравнения Лиувилля, у которого нет солитонных решений). Более раннюю литературу о приложениях этого уравнения в физике см. в работах [421, 422, 45]. Недавно его приложения обсуждались, например, в работах [75, 76, 131, 4% 436]. Более ранняя литература о математической стороне этих уравнений гораздо старше; см., например, работы [222, 33, 175]. Разрешимость уравнения СГ была продемонстрирована в работе [15] для уравнения в форме (1.8.-27а) и в работе [ 467]; см. также [ 437, 438] (о разрешимости уравнения СГ в форме (1.8.-276) в "лабораторных координатах" см. работы [243, 269]).
О двойном уравнении СГ см. работу [ 44] и цитируемую в ней литературу.
Уравнение (^-четыре исследовалось главным образом как простейшая теоретическая модель релятивистски-инвариантного поля (см., например, работы [ 160, 215]). О численных исследованиях сообщается в работах [30, 200].
Общее решение уравнения Лиувилля было впервые найдено в работе[283], его рассмотрение в связи с методом спектрального преобразования см., например, в работах [ 1 ^ 136, 440К
Р ел яти вист ски-инвариантное уравнение (L 8.-31) является частным случаем системы (L8.-33), введенной в работах [349, 188] (см. также[456, 281, 358]).
О модели Иолмейера - Лунда - Редже (1.8.-32) см. работы [393, 303, 313] Сигмагмодел-ь (1.8.-34) рассматривалась в работе [442], затем в работе
была показана ее разрешимость; о других сигма-моделях см. [ 382].
О разрешимости уравнения главного киралъного поля см. работу [ 462] и цитируемую в ней литературу.
Интегрируемость уравнения Эйнштейна (1.8.-36) была указана в работе [ 326], а общая схема его решения дана в работе [ 78].
Уравнение Эрнста (1.8.-37) было введено в работе [ 170], а более поздние результаты, касающиеся его разрешимости, можно найти в работах [ 325, 79, 145, 227 - 229, 341, 389, 390].
Литературу по разрешимости уравнений Янга - Миллса (1.8.-38) можно найти в работах [ 48, 366] (см. также [ 13]).
Массивная моделъ Тирринга была введена в работе [ 427], разрешимость ее показана в работе [366] (см. также [266, 214]).
Рассмотрение модели Намбу — Иона Лазинио - Вакса - Ларкина (1.8.-40) и модели Гросса - Неве (1.8.-41) можно найти в работе [ 463], относительно их приложений в физике твердого тела см. работу [ 108] и Цитируемую в ней литературу.
Глава 2
СПЕКТРАЛЬНАЯ ЗАДАЧА ШРЕДИНГЕРА НА ПРЯМОЙ
В этой главе более подробно излагается материал гл. 1, § 3, и, кроме того, она подводит основание под результаты, вкратце изложенные в гл. 1, § 4 и 7 (и более детально рассматриваемых в гл. 3, 4 и 5), а также под результаты гл. 6. О построении этой главы можно судить по названиям ее параграфов и пунктов. Некоторые вопросы более технического характера вынесены в дополнения, в соответствующих местах на них даются ссылки.
§1,. Прямая спектральная задача
Рассмотрим сингулярную задачу Штурма - Лиувилля для уравнения Шредингера
-ДДД) + и(х)Дх^)=^2^(х^)цу
на всей прямой - оо < х < оо. В последующем мы, как правило, будем считать, что функция и (х) действительна, регулярна при всех значениях х (фактически бесконечно дифференцируема) и асимптотически стремится к нулю, скажем, быстрее, чем функция х -2, так что конечным является не только интеграл от функции и, но и ее первый момент:
( dx(l+ |х|)|и(х)|<оо.^)
* —00
Эти требования - более жесткие, чем те, что в действительности нужны для справедливости большей части результатов, о которых пойдет речь ниже. В то же время в некоторых ниже оговариваемых случаях мы налагаем более строгие ограничения на асимптотическое поведение функции и (х), а именно требуем, чтобы она экспоненциально или даже быстрее стремилась к нулю Такая задача на собственные значения, или задача "рассеяния”, конечно, хорошо знакома каждому физику (в особенности тем, кто изучал элементарную квантовую механику), но в дальнейшем мы будем подходить к ней просто как к математическому инструменту, игнорируя ее физический смысл; к тому же эволюционные уравнения, которые в конечном счете мы будем рассматривать, ничего общего не имеют с зависящим от времени уравнением Шредингера. которое в квантовой мех анике стоит за "стационарным” уравнением Шредингера (1) и дает соответствующий фон для любой интерпретации решений Уравнения (1), основанной на представлении об экспериментах с одномерным рассеянием.
Непрерывная часть спектра оператора Шредингера-<9 2 /дх 2 + и(х) соответствует действительным значениям к, так что к 2 > 0. Ее можно охарактеризовать коэффициентами отражения и прохождения R(k) и Т^к^, определенными асимптотическими условиями
ф(х, к)-*Т(к)ехр( — 1кх), х-* —оо,(За)
^(хД)->ехр( — ikx)4-R(k)exp(ikx), х-^+оо(36)
[условие (За) дает решение цЛх,к) уравнения (1) с точностью до постоянного множителя, который фиксируется требованием, чтобы коэффициент при первой экспоненте в форме (36) был равен единице].
Другое, эквивалентное определение коэффициентов отражения и прохождения, более удобное для анализа их аналитических свойств (см. ниже), может быть дано с помощью решений Поста для уравнения (1), обладающих простыми асимптотическими свойствами
/^^х,/с)-^exp(±i^x), х-^оо.(4)
Из существования двух таких независимых решений явствует, что положительное собственное значение к 2 является, вообще говоря, двукратно вырожденным соответственно второму порядку уравнения (1).
Очевидно, что функция ^(х, к^ с граничными условиями (3) связана с решениями Поста (4) соотношением
^(x,k^T(k)^-\x,k)=f(+\x,~k)+R(k)f<+\x,k).(5)
Отсюда сразу же следует, что коэффициенты прохождения и отражения вы
ражаются через функции Йоста компактными формулами
Т(Л) = 21А:/1Г[/<-»(хД),/(+)(хЛ)],(6а)
(ю)
wvrAx'kVPWx,^
R(k) = -Саку'т^к^/^ЧхЛУ/^Чх,-^.(6в)
Здесь и всюду ниже вронскиан двух функций f d)(x) и f<2)(x) определяет- ся формулой
и{/(пх)-/<2чоН'Их)/л*)-/л(7)
очначакя .ей, что если две функции пропорциональны друг другу, то их вронскиан равен нулю, а если обе эти функции удовлетворяют одному и тому же дифференциальному уравнению второго порядка типа (1), то их вронскиан постоянен, т.е. не зависит от х 6 Например, w\f*4x,-k\Jwy,kS\=^k,<8>
что используется при выводе выражений (6) из соотношения (5).
Решения Йоста / ( ^ (х, у) определяются также интегральными уравнениями Вольтерры
/^(х, k)=exp(^ikx)~
~k'/x Xdysin^x~y^u(y^f(~)(y>k>)’(9)
которые, очевидно, соответствуют уравнению (1) с условием (4).
Аналогичные формулы для функции у(х, А) имеют вид
^(х, k^-T^exp^-ikx^-Vk 1J dysin[A(x-y)] u(y)i//(y, к), ^(х, k) = exp(-ikx)-V К(к)ехр(укх) -
(10a)
(Юб)
-к xj dysin[A(x—у)] и(у)ф(х, к\
Сравнение асимптотического предела формулы (10а) при х -* оо [или форму-
лы (Юб) при х оо] с условием (За) [или (36)] дает формулы
T(A) = H-(2iA)-1 Гdxexp(ikx) ф^хД^и^х\
"ОО
R(k) = (2ik)-X ( dxexp(-ikx) ^(х, к)и(х).
*'-00
(На)
(Нб)
“Физический" смысл величин Т(к} и R(k) таков: при падении справа на “потенциал” и^ волны с единичной амплитудой и волновым числом к при положительных к первый из этих коэффициентов дает амплитуду волны, проходящей влево, а второй - ам1литуду волны, отражающейся обратно вправо (но мы повторяем, что такая интепретация не имеет никакого отношения к тому, о чем будет идти речь далее).
В общем случае коэффициенты прохождения и отражения комплексны. Если функция и (х) действительна, что мы всегда предполагаем для простоты, и если величина к тоже действительна, то они удовлетворяют условиям
отражения
T(-k) = T*(k), Im/c=0, M-k^R*^), Im^=0, а также условию "унитарности" |7(*)|24^)|2=1-
(12а)
(126)
(13)
Формулы (12) означают, что модули функций 7 и R являются четными функ-
|1(-Ч1=|Дл)|, \P(-k)\ = \R^\;
(14а)
(146)
их фазы же 6(A) и х( А), определяемые формулами
Г(А) = |Т(А)|ехр[1^(А)], ImA=0, (15а) /?(A) = |J?(A)|exp[ix(A)], 1шА=0, (156) являются нечетными функциями:
^(-А) = -^(А), (16а) х(-А)=~х(А). (16б>
Конечно, формулами (15) фазы 0(A) и х(А) определяются только по то<1(2тг), и их свойства симметрии (16) справедливы только при соответствующем определении [см., например, формулу (436) ниже]. Уравнения (12) прямо следуют из формулы
^(х, -£) = ^*(х, к\^^
которая в случае действительных функций и (х) и параметра к следует из уравнения (1) и условия (3). Условие унитарности (13) следует в силу свойств (12) из более общей формулы
/?(А)/?(-А) + Т(А)Т(-А) = 1,(18)
которая справедлива даже в том случае, когда функция и( х) не является действительной (§ 4).
Все эти формулы были записаны здесь для действительных к"$ в общем случае возможно аналитическое продолжение на комплексные А (см. ниже).
В спектральной задаче для уравнения Шредингера (1) может оказаться также конечное число отрицательных собственных значений
kl=E„= -рЦ, »=\,2,...,N;
здесь мы ввели удобные обозначения
k„-ip„, Р„>0,n=l,2,...,N,(20)
которыми будем часто пользоваться. Собственным значениям соответствуют решения уравнения (1), интегрируемые с квадратом. Обозначим через ф„ (х) нормированные решения
f“dx^(x) = l,(21)
* ~ ОО
а через /п (х) — решения с единичным коэффициентом при экспоненте, характеризующей поведение при х
f„(x)^exp(-p„x), х-»+оо.
Мы пользуемся обозначением фп(х), а не уп(х), чтобы подчеркнуть, что функция <рп (х) не совпадает с функцией у (х, i рп ) вследствие другой нормировки; на самом деле величина у(х, ipn) даже не существует, посколь-
ку величины R^M и Цк), связанные с асимптотической нормировкой (3) функции vp (х, к), не существуют при к = i рп , см. ниже. В то же время, оче
(23)(23)видно,
(23)
(23)
JAxW^xAp,,),
как следует из формул (4) и (20), при условии, что правая часть последнего равенства соответствующим образом определяется аналитическим продолжением, см. ниже.]
Если функция и(х) действительна, то функция /п(х) тоже действительна и функцию фп (х) тоже можно выбрать действительной (что и будет сделано). Очевидно, что эти две функции пропорциональны друг другу:
Vn(x)=cJn(x).
Квадрат действительной величины сп , положительная и действительная величина
Рп=с2п>
называется нормировочным множителем и играет важную роль (как мы уже видели в гл. 1). Очевидно, что справедливы формулы
(26)(26)(27)(27)с„= lim [ехр(/>„х) p„(x)], х-> + оо
(26)
(26)
(27)
(27)
А-=[/d^/?(%)
_—ОО,
То, что собственные значения к 2 действительны, следует из эрмито- вости оператора Шредингера — d2,/dx2 + iz(x) [ здесь существенную рель играет предположение о том, что действительна функция и (х)}; то, что дискретные собственные значения кдолжны быть отрицательны, следует из требований интегрируемости с квадратом функции <рп ( х) [при действительных значениях к функция vp(x, к) асимптотически осциллирует соответственно условию (3) и поэтому не может быть интегрируемой с квадратом]; величины рп положительны по условию; асимптотическое поведение, описываемое формулой (22), следует из уравнения (1) и соотношения (20) наряду, конечно, с нормируемостью функции /п (%) и асимптотическим равенством нулю функции Цх), а конечность числа дискретных собственных значений N следует из предположения о том, что асимптотически функция и (х) убывает быстрее, чем х -2 [ отрицательный асимптотический хвост функции и(х), простирающийся до + <* или — <* пропорционально | х | ”1, давал бы бесконечное число дискретных собственных значений - Р^, накапливающихся у точки р^ = о]. Разумеется, число дискретных Собственных значений N может быть равно нулю; так, N = 0, если функция и(х) > 0 при -^ < х < «#; в то же время N > 0, если функция и (х) < 0 при -<* < х < *. Очевидно, что N можно считать глобальной мерой отрицательности функции и( х);
если функция v(x) не является всюду положительной, то число N(g) дискретных собственных значений, связанных с функцией u(x) = g2 v(x), растет пропорционально функции g при g -> оо. Все сказанное о числе дискретных собственных значений доказывается в дополнении Д.1 или прямо следует из приведенных там результатов. Физический смысл дискретных собственных значений ассоциируется со "связанными состояниями", создаваемыми потенциалом и^х^ но такая интерпретация по-прежнему не имеет отношения к излагаемому ниже.
В последующем мы будем иногда для кратности называть положительные величины рп "декретными собственными значениями" (хотя, конечно, на самом деле дискретными собственными значениями являются величины - р 2
Собственные функции задачи Штурма - Лиувилля (1), несомненно, удовлетворяют соотношениям ортогональности и полноты, которые легко получить обычными методами (хотя нужна некоторая осторожность, когда имеешь дело с непрерывным спектром). Основные формулы вместе со схемой их вывода приводятся в дополнении Д.2.
Прямая спеитралъная задача состоит в нахождении по заданной функции ("потенциалу") и(х) различных определенных выше величин, а именно коэффициентов прохождения и отражения Т(&) и R(k), дискретных собственных значений рп (если они есть) и соответствующих нормировочных множителей рп , Главным шагом в выполнении этой программы является решение уравнения Шредингера (1) (обыкновенного линейного дифференциального уравнения вюрого попядка) и нахождение частных решений, удовлетворяющих условиям (3) или (4) и (21) (если они есть). Очевидно, что такая процедура единственным образом определяет величины T(k)t 7? (А), рп и рп [по заданной функции и (х)].
Из структуры уравнений Вольтерры (9) явствует, что обе функции /< +) (х,А) и / ^ (хД) могут быть аналитически продолжены по к вне дейст вительной оси и голоморфны по к в полуплоскости I m к > 0. (Аналитическому продолжению может препятствовать только исчезновение сходимости интеграла; путем простых итерационных рассуждений можно показать, что при Im к > 0 это не может иметь места, и установить, до какой степени аналитичность может быть распространена на нижнюю полуплоскость, см, ниже.) Отсюда сразу же следует [формула (6а)], что функция ТД) тоже допускает аналитическое продолжение, не имеет нулей и мероморфна в полуплоскости Im к > 0. Кроме того, все ее полюсы расположены на мнимой оси и совпадают с дискретными собственными значениями, т.е. полюсами функции 7(A) являются точки кп = ;рп . Действительно, при дискретных собственных значениях кп = jpп функция/+(х, ip„ ) и функция / ”(х, ipм ) пропорциональны функции ф„ (х>:
фЛх ) = CV4^4ХЛР„) = с^^-ЧхлРп),(28)
что следует из асимптотического равенства нулю функции q^ (х) при х -> ±оо [формула (21)] и из асимптотического равенства нулю их самих [ формулы (4) и (20)]. Поэтому их вронскиан равен нулю и функция Т имеет полюс [ формула (ба)]. Заметим, что введенная здесь для обозначения симметрии величина cW совпадает с введенной выше величиной сп [формулы
и (24)]:
cV^cn.(29)
Брлее того, можно показать, что справедливы формулы
lim [(fc-ipjTXfc)]^"^'1,(30)
k^Pn
lim ^к-хр^^хЛ^Х-хс^фАхУ(31)
k^vp„
Если потенциал u (х) асимптотически убывает хотя бы экспоненциально:
lim [м(х)ехр(±2/а(~)х)] =0, //*)>0,(32)
то, как явствует из формулы (9), функция / (+) (х , А) [и функция /<-)(х, А)] голоморфна и в области 1mA < 0 при условии, что Im А > - ц( +) (и 1mA > -ц( ~ *) [отметим множитель 2 в экспоненте в формуле (32)]. Таким образом, можно сделать вывод [формула (ба)], что функция Т(А) мероморфна в полуплоскости ImA>—/^,$^
а функция /?(А) [формула (66)] мероморфна в полосе Баргмана
где д^тт^),//-))(35)
[конечно, в двух последних формулах наибольшие значения ц (+) и ц(~> совместимы с формулой (32)].
Внутри полосы Баргмана имеет место взаимно однозначное соответствие между полюсами функции R (к) в верхней полуплоскости плоскости к и дискретными собственными значениями: если у функции Д( к) есть полюс в верхней полуплоскости комплексной плоскости к внутри полосы Баргмана, то он расположен на мнимой оси и соответствует одному из дискретных собственных значений кп = ; рп 9 и если есть дискретное собственное значение кп = \рпе такое, .что 0 < Рп < ц(+), то оно также оказывается полюсом функции R(А) [действительно, в этой области аналитичность функций / (^(х, А) и / (+)(х, -А) означает, что единственными возможными сингулярностями функции R(k) являются полюсы вследствие обращения в нуль знаменателя в выражении (66); таким образом, к функции R в полосе Баргмана относится все сказанное выше о функции Т во всей верхней полуплоскости плоскости А ]. Над границей же полосы Баргмана (или на ней^ такое соответствие
не обязательно: может быть собственное значение &n = ipn , рп > ц( + ) без соответствующего полюса функции R^k^ [либо вследствие того, что числитель не может быть аналитически продолжен до этой точки, либо вследствие того, что числитель там обращается в нуль; то, что этого не может быть внутри полосы Баргмана, следует из формулы (36), см. ниже ] или может быть полюс функции R^M при к = iv, v ц <+>> которому не соответствует дискретное собственное значение [ в этом случае полюс был бы сингулярностью числителя, а не нулем знаменателя в выражении (бб)]. Напомним, что в противоположность этому в верхней полуплоскости плоскости к всегда есть взаимно однозначное соответствие между нулями вронскиана WVf ^^х, к), f ( А"Цх # к^, или, что то же, полюсами функции Т(к) в верхней полуплоскости плоскости к и дискретными собственными значениями.
Там, где имеется взаимно однозначное соответствие между полюсами функции R(k) и дискретными собственными значениями, а именно внутри полосы Баргмана (34) существует также важное соотношение между вычетом функции R(k) в полюсе кп = ;рп и нормировочным множителем рп, определенным формулой (27):
lim [(^-ip„)^(^)] =!/>„•(36)
Это соотношение легко вывести, например, из формул (3), (22), (24) и (31).
При написании последней формулы и некоторых предшествующих мы считали полюс при кп = ipn простым. То, что это действительно всегда имеет место [в случае действительной функции и(х)], доказывается в дополнении Д.5. Мы также всегда считали, что дискретные собственные значения - простые. Это фактически общее свойство спектральной задачи Шредингера, так как линейное обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка типа уравнения (1) не может иметь при к 2 = - р 2 двух линейно-независимых решений, асимптотически стремящихся к нулю, поскольку их линейная комбинация тогда не могла бы представлять (как это должно быть) самое общее решение, которое может асимптотически расходиться (на одном или на обоих концах), а не обращаться в нуль [поведение каждого должно быть, конечно, экспоненциальным, как следует из формулы (1) и из асимптотического равенства нулю функции и (х)].
Если асимптотическое стремление к нулю потенциала и(х) при х -> + оо быстрее экспоненциального, а именно если при любом конечном ц
Jim [u(x)exp(/zx)]=0,(37)
то полоса Баргмана охватывает всю верхнюю полуплоскость комплексной плоскости к'*, в случае таких потенциалов функция R^ наРяДУ с функцией Т^к^ обладает свойством мероморфности во всей верхней полуплоскости комплексной плоскости к и, если имеет там полюсы, то только на мнимой оси, во взаимно однозначном соответствии с дискретными сооственными зна-
чениями, и для всех этих полюсов и для всех дискретных собственных значений справедливо соотношение (36).
.Соответственно тому, что в данном параграфе рассматривается прямая спектральная задача, мы всюду считали потенциал и (х) заданным, поскольку именно асимптотическими свойствами потенциала определяется размер полосы Баргмана. В следующем параграфе мы рассмотрим обратную спектральную задачу, когда по заданным спектральным данным требуется восстановить соответствующий потенциал (или потенциалы). Тогда структура полосы Баргмана является, вообще говоря, не данными задачи, а частью ответа. Мы вернемся к этому в конце еледующего параграфа.
Как мы только что видели, основным фактором, определяющим свойства аналитичности функции R(k) по к, является асимптотическое поведение функции tz(x), в частности то, как быстро функция и(х) стремится к нулю при х -> оо # Другой важной характеристикой функций Т( к) и R (к), снова рассматриваемых теперь как функции действительного переменного к, является их поведение при к -> ±оо*; оно определяется главным образом гладкостью (дифференцируемостью) функции tz(x).
Как явствует из определения функцийT(k) и R(k) [см., например, формулы (11)], при условии, что функция и( х) регулярна при - «> < х < оо, справедливы равенства
(38а)
Л^^^0'(386)
Если, кроме того, как мы, вообще говоря, полагаем, функция и(х) бесконечно дифференцируема при всех действительных значениях х, то функция к (А) и модуль функции Т^к) стремятся к своим асимптотическим значениям при к-* ± оо быстрее, чем любая отрицательная степень к>:
Jim [|Л|М(1-|Т(Л)|)]=О,М<оо, Im*=0,(39а)
Jim [^/{(fc)]^,М<<», Im*=0.(396)
Фаза же функции Т^к) [формула (15а)] асимптотически разлагается по обратным (нечетным) степеням к»:
м
»W= s №Г2т"'-ю(к-2М"3)(40)
т = О
[множитель 2 введен для удобства обозначений на том основании, что эта формула справедлива, конечно, по модулю 2ir(mod (2тт)) и при действительных кА» Коэффициенты 0^ выражаются через потенциал и(х) компактной формулой
^Ч-П^^т+О'Л^*^2"^)^1^*)]’ m=0,1,2,... . (41)
* — ОО
Здесь интегро-дифференциальный оператор L определяется формулой
L-f(x’)=fxx(x>)-4u(xVUH^ux(x')j dyf(y),(42)
которая задает его действие на порождающую функцию /(х) (стремящуюся к нулю при х -* +^). Это тот же оператор L, что и введенный в гл. 1 [см., например, формулу (1.2.-2)}; он играет важную роль на протяжении всей книги. Формула (41) будет использоваться и далее обсуждаться в гл. 5. Только что приведенные результаты, и в частности формула (41), доказываются в дополнении Д.З.
Из изложенных выше асимптотических свойств и из аналитичности функции Т( А) следуют соотношение дисперсии для модуля и фазы функции Т^к) [формула (15а)] и то, что полюсы ее расположены на верхней мнимой оси ком- цлексной плоскости к и, как мы видели, находятся во взаимно однозначном соответствии с дискретными собственными значениями кп = ign»:
Im к—О,Im к—О,(43Ь)(43Ь)(436)(436)1П*)1= П [1 + (ЛА)У и— 1
Im к—О,
Im к—О,
(43Ь)
(43Ь)
(436)
(436)
■ехр я- 'Pj dq(q2-k2) 'q#(q) ,
l(£)-2 5 Arctg(p„/^)
н — 1
— {к/тг)р( &q(q2 -к2} ^ТХ#)!, ImA—0.
-"ОС
(44)(44)Выбор главного значения в правой части формулы (436), указанный символом Arctg, снимает неопределенность mod(2ir), содержащуюся в определении (15а) в согласии со свойством симметрии (16а). Если есть дискретные собственные значения (А > 0), то функция 0(A), определенная формулой (436), разрывна при к = 0 и разрыв характеризуется соотношением ("теорема Левинсона")
(44)
(44)
Между прочим, из этих формул следует, что знания модуля коэффициента отражения R (к) при всех действительных значениях к и всех дискретных собственных значениях рп (если они есть) достаточно для однозначного определения коэффициента прохождения 7( к). Действительно, модуль функции | Т( А )| определяется условием унитарности (13), а фаза 6(A) функции Т(А) определяется тогда формулой (436). Для определения функции Т(А) не нужны ни фаза функции Д(А), ни нормировочные множители рп, но они нужны для определения потенциала и(х), как будет показано в следующем параграфе (§2).
Из формул (436) и (40) следует формула
(45)(45)^=4^2(-1)'"(2т+1)-' Ь,2"+' + ;/fjd^^lnin^l
(45)
(45)
w = 0,l,2,...,
которую можно считать аналогом формулы (41) в спектральном пространстве.
Интеграл в правой части сходится, поскольку мы всегда рассматриваем класс гладких функций и(х), таких, что функция | Т(А)| стремится к единице при А ± * быстрее, чем любая обратная степень А, и это означает, что
In | Т( А) | стремится к нулю быстрее, чем любая обратная степень к при к-* ±«.е Формулы (43) справедливы, конечно, при действительных значениях к .
NNПри Im к > 0 справедливо соответствующее представление:
N
N
(46)(46)Т(/с)=П [1 + (aA)2] 'ехр Цс/^И Aq^q^ — k1^ ^(»)j. „=|LJ
(46)
(46)
Формулы эти выводятся обычным способом, для полноты мы даем их вывод в дополнении Д.4.
Закончим этот параграф двумя замечаниями. 1. Для простоты мы игнорировали крайний случай, когда функция /(+ > (х, 0) оказывается пропорциональной функции /<~>(х,0), а именно когда при к2 = 0 существует решение уравнения (1), которое не растет линейно на одном из концов (х -> + <»), и в последующем упорно продолжали игнорировать этот крайний случай, который можно интерпретировать как появление дискретного собственного значения при к = 0 (дополнение Д.15). 2. Можно было бы поставить спектральную задачу, имея в виду п эксперимент по рассеянию" пучка, падающего слева, а не справа. Это привело бы к некоторым тривиальным изменениям [в условиях (3) и некоторых других формулах] и к некоторым простым соотношениям между "новыми" и "старыми" коэффициентами отражения и прохождения. Предоставляем читателю вывести эти соотношения в виде упражнения.
А. Свойства преобразований
Уравнение Шредингера (2.1.-1) инвариантно относительно пространственных трансляций и масштабных преобразований. Мы приведем необходимые для дальнейшего соответствующие свойства преобразования различных величин, связанных с этим уравнением, прямо следующие из их определения.
Пусть и(х) - "потенциал" в уравнении Шредингера (2.1.-1), ы(х)-его интеграл, w(x) = f^dy и(у), а функции / (±)(х, к'), ip(х,к), R(k)t Т^к), Фя (х), Рп > Рп - различные величины, связь которых с функцией и (х) указана § 1.
Трансляции. Пусть
и'^х^^и^х^а),w'^x) = w(x + a).0)
Обозначим через/(±)'(х,А), w^x,M, R^k), 7'(А), Ф* (ж), р* р„ Соот-
ветствующие величины связанные с потенциалом и *(х). Тогда f^\x9 k)=exp(*ika) f(~\x + a9k)9(1а)
Ф\х9 к) = ехр(хка) vp^x-Va, к),
R'(k) = exp(2ika)R(k)9^
ТЧк^Т(к\(1в)
<PnU) = <pn(x-ba)9 /‘'-''(х^р^ехр^(,г>
Р«=Р«.(1д)
Р'п=expt.-lp^ рп.(1е)
Мы приведем также ввиду их важности (см. ниже) вариации всех этих величин, соответствующие инфинитезимальным трансляциям {а = е, е *♦ 0): ди^х) = еих(х)9 dw(x)=zwx(x)~ — еи(х),(2)
8f-\x^=e\^"xkf^4x^A-fl*4x^\,^
84-^х1к>=^к^х,к>*^х,к>)\,(2б)
6RW=e2ikRW,(2в)
8Т(к)=0, N„(x) = e<pnx(xV(2г)
Sf^XxpPn^e^Pnf^XxAPnVfx^'^APn^»(2д)
8р""°'(2в)
SPn^ek-'i-Pn^Pn-
Масштабные преобразования. Пусть и\х^=рги<рх\w\x^=pw^px\(3)
Тогда при очевидных обозначениях f^’<x,k^=f^^px,k/p\^'(x^^V-Ux^/p),(За)
R\k^R^.k/p\Об)
T\k^T(,k/pY(Зв)
<P’nkx^pv/1<p„<px^(Зг)
Р'п-РРп-(Зд)
Рп-РРп-(Зе)
Снова мы приведем вариации, соответствующие инфинитезимальным мао-
штабным преобразованиям (ц = 1 + е, g -> 0):
Su^x^e^u^A-xu^x^Y ^(х)=£[н^(х)+хн^(х)],(4)
8/^*\х, k^^xf^Xx, k^—kf^^x, к'Д(4а)
бНхЛ^Ахф^хД^кМхЛ^У(46)
8R(k)=-8kRk(k),(4в)
6Т^-ЕкТк<к\(4г)
NnU^A^lx^x-pJ^Y(эд
sPn^ep„,
5рп=ерп.(4е)
§2. Обратная спектральная задача
Более полное обсуждение обратной спектральной задачи приводится в дополнении Д«5, где доказываются приводимые ниже результаты (некоторые из них уже приводились в гл. 1, § 3, п. 2).
Фундаментальный результат можно сформулировать (в терминологии и обозначениях предыдущего параграфа) следующим образом. Для любой функции К (Л), заданной на прямой - оо < А < + оо, произвольной во всем, кроме того, что она должна обладать свойствами коэффициента отражения [см., в частности, формулы (2.1.-126, 13, 386)], при произвольно заданных 2N положительных числах t>n и pn , п = 1,2, • • •, ^, существует единственный соответствующий ей (в смысле спектральной задачи предыдущего параграфа) “потенциал” и(х). Конструктивная процедура нахождения этой функции состоит в решении уравнения Гельфанда - Левитана - Марченко
K^xs y^-VM^x-Vy^-V ( dzK(x, z)M(z-Vy)=0, y>x.(1)
*x
В этом интегральном уравнении Фредгольма функция М(х) додана считаться заданной, определяемой через спектральные данные формулой
М^ = 2 А,ехр(-А*) + (2я-)-1 fйк R(k)exp(ikx)<2)
„=|•'-оо
(таким образом, если исключить вклад параметров дискретного спектра, то функция М является в точности обратным преобразованием Фурье для коэффициента отражения Д), а К(х,у) - априори неизвестная функция, единственным образом определяемая самим интегральным уравнением. (Отметим, что рассматриваемое интегральное уравнение относится к зависимости функции К(х,у) от переменной у, а зависимость от переменной х - параметрическая, она обусловлена наличием этой переменной в аргументе неоднородного члена и в нижнем пределе интегрирования.) Функцией К(х,у) определяется
функция u(x>:
w(x)=2K(x, x+0)=21im [^(^.x+ltl)],(3)
w(x)= f dyu(y),(4a)
*x
u^x^ —dw^x^/dx.(46)
Функция K(x, у) прямо связана и с решением Йоста /<+)(х, А) соотношениями
fwU, k) = exp(ikx)-V fdyK(x, у)ехр(уку^(5a)
K^x,y^^LirYX f dk[/w(x^)-exp(ikx)]exp(-iky),(56)
J - 00
y>x^
взаимная непротиворечивость которых гарантируется голоморфностью функции / <+>(х, k) в верхней полуплоскости комплексной плоскости к и ее асимптотическим поведением там
lim VfWlx»k) — exp(i£x)l=O.(6)
|ЛНоо,1тЛ>017
[Действительно, разность fW(x, k)- exp(iAx) экспоненциально стремится к нулю при Im к -> + оо и по крайней мере пропорционально | к | -1 при Re к -> ± ео# Ьп к = const > 0. Это означает, что определенная формулой (56) функция Цх,у) обращается в нуль при у < х, а уравнением ГЛМ (1) функция К(х, у) определяется, конечно, только при у > х. Связанное с определением функции и(х) значение функции К(х, у) при х = у получается по непрерывности из значений функции К (х, у) при у > х, см. формулу (3).]
Еще одно полезное соотношение между функцией К(х ,у) и решениями Йоста имеет вид
N
К(х,у) = — 2 Р,/,(.х)ехр(-ряу')-
п — I
— (2^)-lJ dkR(k)fw(x, k)exp(iky).(5в)
Таким образом, набором спектральных данных (R (А), -«> < А < + ос; Рп, pn , п = 1,2,..., N I определяется единственная функция w( х )е [ А поэтому этими данными определяется и функция Т(А). Действительно, функция | Т(А)| прямо находится по функции R(k) из условия унитарности (2.1.-13), а фазу функции Т( k) можно восстановить по ее модулю обычным способом, исходя из свойств аналитичности, указанных в предыдущем параграфе, формула (2.1.-436).]
| Как мы уже говорили (и это, впрочем, довольно очевидно), для того чтобы функция и( х) обладала всеми хорошими свойствами, требующимися от
нее в предыдущем параграфе, соответствующий коэффициент отражения R^, заданный как часть входных данных обратной спектральной задачи, сам должен обладать всеми хорошими свойствами, которые требовались от него в предыдущем параграфе. В частности, чтобы функция и^х) была действительной и регулярной,модуль функции /?(А) не должен превышать единицы [как требует соотношение (2.1.-13)], должно выполняться свойство отражения (2.1.-126) [это означает, что должна быть действительной функцияМ(х), см. формулу (2)], и, конечно, функция RW Должна асимптотически обращаться в нуль [по крайней мере достаточно быстро, чтобы гарантировать существование ее преобразования Фурье, см. формулу (2); если соответствующая функция и (х) должна быть бесконечно дифференцируемой, то функция R (А) должна убывать быстрее любой отрицательной степени к, см. формулу (2.1.-396)]. Эти требования относятся только к свойствам функции R (k) при действительных к*; только эти значения функции R^k^ являются входными данными обратной спектральной задачи [см. формулу (2)]. Но функция R (к) должна допускать аналитическое продолжение по к вне действительной оси и иметь такую аналитическую структуру, чтобы соответствующая функция w( х) обладала теми свойствами, которые в контексте прямой задачи предыдущего параграфа были бы достаточны, чтобы гарантировать аналитичность функции R^kV Например, только если коэффициент отражения R^ является мероморфной функцией к во всей комплексной плоскости (без точки на бесконечности), соответствующая функция м(х) может убывать при х -> ±«> быстрее экспоненты. Кроме того, такое асимптотическое поведение можно получить, когда входные данные содержат и несколько дискретных собственных значенийр^ # только в том случае, если полюсы функции R^k) лежат в точках к = кп = ip^ и соответствующие нормировочные множители рп связаны с вычетами в этих полюсах соотношением (2.1.-36). Очевидно, что этот анализ можно распространить на более общий случай, когда есть конечная полоса Баргмана; ниже приводится очень простой пример, относящийся к такому случаю.
Белее детальный анализ классов функций и(х) и R(k), для которых установленные в начале этого параграфа результаты имеют вид строгих теорем существования и единственности, выходит за пределы нашего рассмотрения (см., однако, дополнение Д.16)# Белее того, как мы увидим ниже, в рамках основных интересующих нас вопросов эта проблема вообще не возникает, точнее, она улаживается сама собой; нас интересует решение обратной спектральной задачи не при произвольно выбранных входных данных, а при спектральных данных, которые, будучи решением прямой задачи, как бы автоматически гарантируют разумные выходные данные (см. ниже). Но в конце концов необходимо будет овладеть ^помянутыми выше строгими результатами, поскольку они служат важным инструментом исследования. Есть случаи (см., например, гл. 6, § 2), в которых совершенно явно требуется их понимание.
В заключение приведем несколько примеров, которые будут играть важную роль в дальнейшем.
Простейший и самый важный пример соответствует случаю, когда коэффициент отражения R(k) тождественно равен нулю и имеется только одно дискретное собственное значение:
R(fc)=0, -оо«с< + оо; Pi=p, рх=р. (7)
Тогда переменные в уравнении ГЛМ (1) разделяются и решение его тривиально. Таким образом, находим
K(x,y)=-pexp[-p(j>-f)J/ch[p(x-^)], где
^IpYVp/lpY(9>
Соответствующая функция w (х) имеет вид u(x)=-2p2/cti2[p(x-f)].(10)
Легко вычислить также функции Йоста и коэффициент прохождения: /('’(х, k^-(k+ipy' {fc±i^th[^(x-^)]}exp(±iA:x),(11)
nM = (k+ipV^k-ip).(12)
Формула (11) следует из формул (5а) и (8), если учесть, что функция / (-) (х , к) должна быть пропорциональна функции / < + > (х , - к), чтобы были совместны формулы (2.1-66) и (7); формула (12) следует из двух предшествующих ей формул, дополненных формулой (2.L-6a). Отметим совместность формул (7) и (12) со всеми относящимися к ним формулами § 1 данной главы; в частности, в этом случае имеем
|Т(А:)| = 1,(13)
^(^)=2arctg( р/к),(14)
^=2(-l)M(2p)2m+7(2m+l)(15)
[см. формулы (2.1.-13, 15а, 40); формулы (13) и (14) записаны, конечно, при действительных к ]. Отметим также, что функция Т( к) голоморфна при 1mA > - р [формула (2.1.-33); ср. формулу (2.1.-32) с формулой (10)], функция R(k) может считаться голоморфной внутри полосы Баргмана |Im А | < р [формула (2.L-34)], но она не удовлетворяет условию (2.1.-36) [при А = ip аналитическое продолжение функции R^k), будучи тождественно равным нулю, конечно, не имеет полюса, хотя и имеет дискретное собственное значение; и действительно, точка А = ip лежит не внутри полосы Баргмана, а точно на границе].
Приведем также явное выражение для нормированной волновой функции Ф(х) потенциала (10), соответствующей собственному значейию Е = -р2>: ^x) = UpY/2/ch^p(x-^y(16)
В этой формуле, непосредственно следующей из формул (11) и (2.1.-28), величина £ всегда связана с величиной р соотношением (9).
Тривиально (но интересно, см. ниже) показать, что потенциал (10) связан с нормированной врлновой функцией (16) двумя формулами и(х) = "4рф2^х\ u(x) — — dw^/dx,(^)
где
(19а)(19а)(196)(196)w(x)= -2р1/2ехр(-рх) р(х),
(19а)
(19а)
(196)
(196)
w(x)=-2(2p)1/2exp[-p(x-/)] Н*)
[из формулы (9) вытекает, конечно, эквивалентность двух последних выражений].
Более общий случай - когда коэффициент отражения по-прежнему равен нулю [R(k) = 0, -<* < А < + оо]7но имеется N дискретных собственных значений с параметрами рп и pn , п = 1,2,..., N* Снова можно найти соответствующие функции решая уравнение ГЛМ (1) (у которого в этом случае сепарабельное ядро ранга N )• Получим и(х) = — 2d2(lndet[J+C(x)])/dx2,(20)
где / - единичная матрица (порядка N), а4С(х) - симметричная матрица порядка N с элементами
Cmn(x)=cmcn(pm+pn') 'ехр[-(рт+л)х],(21)
где [формула (2.1.-25)]
с^Рп".(22)
Можно найти также решение Поста / (+>(х, &), решение уравнения ГЛМ К(х,у) и коэффициент прохождения Т(^), соответствующие потенциалу (19). Мы приведем здесь простое явное выражение коэффициента прохождения N
TW= П [U+ipn)/(A:-iA,)L(23)
и удобные формулы для функций / <+>(х, А) и К(х, у), выраженных через нормированные собственные функции <рп (х), соответствующие собственным значениям Еп = - р£ [и# конечно, потенциалу (20)1:
/< + Чх, k)=exp(ikx)/< + Чх, k)=exp(ikx)N
/< + Чх, k)=exp(ikx)
/< + Чх, k)=exp(ikx)
кк(24)(24)(25)(25)S c„(pn-iky' expt.-p^') у^х) п = 1
к
к
(24)
(24)
(25)
(25)
Цх.у^- 2 сп(р„(х)ехр(-р„у).
п= 1
Что касается самих собственных функций, то, вместо того чтобы дать явные выражения для них (которые легко получить из последующего), мы приведем систему определяющих их линейных уравнений:
N
Я.О0 + 2 Vm(Pn+Pm)-,eXp[-(pn+PmM^(^) т= 1
= с„ехр(— рпх\ и —1,2,..., N.(26)
Наконец, мы приведем две замечательные формулы [ аналогичные формулам (17) и (18)1 для потенциала (20), выраженного через собственные функции:
N
«М = -4 2 Р„Ф»(х),^
N
“(*)=- 2 d%(x)/dx,(28)
где
%(^) = -2c„exp(-^„x)y„(x).(29)
Конечно, в последней формуле, так же как и в формулах (24) - (26), величины сп связаны с величинами рп соотношением (22). Чтобы устранить всякую неясность со знаком, можно переписать эти формулы, заменив всюду произведение сп^п^х^ произведением pnfn (х) [формула (2.1.-24)]. Заметим, что формулы (27) - (29) - это формулы (1.3.В.-2) и (1.3.В.-3)* для рассмотренного здесь конкретного случая, когда коэффициент отражения равен нулю.
Спектральное преобразование "хороших” (bona fide) потенциалов
Если задана функция и(х), определенная при всех действительных значениях х, достаточно быстро стремящаяся к нулю при х -> ± * и обладающая рассмотренными в предыдущих двух параграфах другими свойствами регулярности (см. также ниже), то мы определяем ее спектральное преобразование 5 как следующую совокупность спектральных данных:
S=VRkk\-<x><k<co;pn,pn,n=\,l^},(1)
где используются, конечно, обозначения, введенные выше. -Суть всего сказанного в двух предыдущих параграфах в том, что имеется взаимно однозначное соответствие между функцией и и ее спектральными данными S. Более того, соответствие задано явным и конструктивным рецептом, включающим в себя решение линейных уравнений: уравнения Шредингера (2.1.-1) (обыкновенного линейного дифференциального уравнения второго порядка) и уравнения ГЛМ (2.2.-1) (линейного интегрального уравнения Фредгольма). Это не означает, что преобразование и <=> S линейно; наоборот, оно, конечно,
нелинейно (даже сильно нелинейно в том нестрогом смысле, какой может иметь любая такая качественная оценка).
Ерли функция и зависит от некоторой другой переменной, кроме х, например и = и( х, у), то, разумеется, ее спектральные данные тоже зависят от этой переменной:
S=S(y) = (R(k, у),-оо<к<оо; р^у),рп(у); п=1,2,..., N(y)j.(2)
В центре нашего внимания будет случай, когда новая переменная интерпретируется как "время” (поэтому мы обозначим ее буквой t); тогда и функцию и, и ее спектральные данные S можно считать изменяющимися во времени. Эволюция функции и - главный вопрос нашего исследования, а основной инструмент анализа - спектральное преобразование, поскольку мы ищем и изучаем такие эволюции во времени функции и, при которых соответствующая эволюция спектральных данных S оказывается очень простой. Стало быть, самый подходящий способ исследования - изучать эволюцию соответствующих спектральных данных аналогично тому, как линейные дифференциальные уравнения в частных производных решаются методом преобразования Фурье.
Основное различие между преобразованием Фурье и спектральным преобразованием состоит в том, что первое приводит к линейному отображению, а второе - к нелинейному. Кроме того, фурье-образ фурье-образа тривиально связан с исходной функцией, а в случае спектрального преобразования аналогичного соотношения нет.
Поскольку порождаемое спектральным преобразованием отображение нелинейно, простой и, в частности, линейной эволюции во времени спектральных данных соответствует нелинейная временная эволюция функции и. Этим объясняется, почему метод спектрального преобразования дает возможность решать и исслёдовать некоторые классы нелинейных эволюционных уровне» ний. В них входят многие уравнения, которые, хотя и нелинейны, сами по себе достаточно просты, а потому представляют интерес в математическом отношении и находят много приложений; это весьма нетривиальное обстоятельство является главной мотивировкой нашего исследования.
Из изложенного ясно, что для дальнейшего продвижения нужен некий метод, который позволил бы связать изменения спектральных данных с изменением соответствующей функции. Такой удобный метод дается в следую щем параграфе. Суть его - в нахождении тех изменений функции и (х), которым соответствуют простые изменения спектральных данных. Результаты затем используются в гл. 3 (инфинитезимальные изменения) и 4 (конечные изменения).
Введем понятие "хорошего”1) (bonafide) потенциала для спектральной задачи Шредингера, о которой шла речь в двух предшествующих параграфах.
^ В дальнейшем эти "хорошие" потенциалы мы будем называть BF-потенциалами. — Прим, перев.
Это функция м(х), действительная и бесконечно дифференцируемая при всех действительных значениях х и при х -> ± оо стремящаяся к нулю со всеми своими производными [быстрее, чем | х | -2, так что имеет место условие (2.1.-2)]. Соответствующие спектральные данные (1) таковы, что существует обратное преобразование Фурье функции R (к)
M(x) = (2ir)~' fdkR(k)exp(ikx)(3)
(как функция, а не просто как распределение), причем оно действительно и бесконечно дифференцируемо при всех действительных значениях х [ формулы (2.1-126) и (2.1.-396)); кроме того, модуль функции К (А) не превышает единицы:
\R(k)\<L ImA=0, [ReA^O](4)
[формула (2.1-13)], N - конечное неотрицательное целое число, а все величины t>n и Рп действительны и положительны. Мы будем рассматривать только такие функции (за некоторыми отдельными исключениям^, см., в частности, гл. 3, § 2, п. Г, и гл. 6, § 2- 4). Важная проблема, которую нужно упомянуть, - проблема выхода за пределы указанного функционального класса; качественно этот вопрос рассматривается в дополнении Д.16.
§4. Формулы, связывающие две функции с соответствующими спектральными данными
Приводимые ниже формулы связывают по существу разность и сумму двух наборов спектральных данных, отвечающих двум функциям, с соответствующими нелинейными комбинациями этих двух функций. Поэтому они позволяют находить те нелинейные, вообще говоря, интегро-дифференциальные соотношения между двумя функциями, например иС1^ х) и и(2>, при которых соотношения между соответствующими спектральными данными линейны. Как мы увидим в последующих параграфах и главах, в рамках нашего подхода эти формулы будут основным инструментом анализа.
Ниже (гл. 2, § 4, п.А и Б) приводятся результаты двух типов. В формулах первого типа спектральные величины представляются в виде интегралов по пространственной координате, причем подынтегральное выражение содержит собственные функции у <7 > (х, к) и соответствующие нелинейные интегро-дифференциальные комбинации функций и<1 >( х), а в формулах второго типа, наоборот, соответствующие интегро-дифференциальные комбинации функций и (л (х) представляются в виде интегралов до спектру. Снова подынтегральные выражения содержат собственные функции (хотя теперь удобнее их выбрать по-другому, см. ниже) и соответствующие существенно нелинейные комбинации спектральных величин. Первый тип формул мы называем интегральными соотношениями вронскиана, так как их прототип является прямым следствием стандартной теоремы вронскиана; формулы второго типа будем называть спектральными интегральными соотношениями.
А. Интегральные соотношения вронскиана
Мы исходим здесь из спектральной задачи Шредингера с двумя разными "потенциалами"
-^(х, к^и^^х^^^х, к^-к^ф^х, к), у=1,2.(1)
Связанные с потенциалом и < / > спектральные величины снабжены соответствующими верхними индексами У = 1,2, в остальном обозначения совпадают с использованными выше, в частности решения у (/)(х, k) определяются граничными условиями (2.L-3), которые снабжены теперь верхним индексом Г* ф^^хЛ^Т^^к^ехр^ — ХкхУ х-* —оо, 7=1,2,(1а)
фи\хД)-*ехр( — ikx^R^^k^exp^ikx), х-*+оо, j—\,l.(16)
Элементарным следствием двух уравнений (1) является формула ^[^'’(лг. A:), ^(2)(jc, А:)]|^ = У ’dx^'^x, А)^(2)(х,А)х
х [м(2)(х) —м(1)(х)],(2)
где используется обозначение вронскиана (2. L-7). В пределе при х * -♦ - <*, х2 -> + оо это дает [с учетом формул (1а) и (16)]
2iA:[/?<1)(^) — ^(2)(^)]= J dx ^(1)(х. к)^(2)(х, к) х
х [м(1)(х) —м(2)(х)].(3)
Это первая формула, связывающая изменение в “потенциале" м(х) с изменением в "коэффициенте отражения" R (к).
Вторую формулу можно получить путем некоторых манипуляций, например путем аналогичного рассмотрения уравнения (1) при у = 1 и уравнения, полученного дифференцированием уравнения (1) при У = 2. Она имеет вид (2i/c)2[K(l>(A) + A<2>(A)]= С” ахф^хД^^хД^ГХ,(4а)
J-ОО
причем оператор Г определяется формулой ^•/(•х) = [и^(х) + и^2)(х)]/(х) +
+ [и0)(х)-«<2)(х)]у Ay^'^yV^ky^IkyY(5)
задающей ei действие на порождающую функцию /(х) [которая, конечно, предполагается регулярной и обладающей асимптотическими свойствами, необходимыми и достаточными для того, чтобы соотношение (5) имело смысл]. Заметим, что оператор Г зависит от функций г/(1) и и <2\ хотя для
простоты обозначений мы это явно не указываем. Этот оператор играет важную роль, а потому и введен здесь, хотя мы могли бы написать вместо формулы (4а) эквивалентную ей более явную формулу
(2^)2[К<,’(Л) + А<2>(Л)] =
= J"dx ^''(х, k)tpa4x, к) ^'’(xj + w^^x) +
+ [м(|>(^) —“<2)(^)1 /+”dj'[«<n(j,)-«<2>(>’)]j-(46)
Формулы (3) и (4) являются прототипами основных формул, используемых при нашем подходе. Чтобы обобщить их, введем другой интегро-дифференциальный оператор, определяемый формулой
Л/(х)=/хх(х)-2[и('Чх) W2)(x)]/(x) + r^ ”йу^у\(6)
задающей его действие на порождающую функцию /(х) [которая, конечно, должна стремиться к нулю при х -> + ос и достаточно быстро, чтобы гарантировать существование интеграла в последнем члене правой части, и должна иметь другие свойства, требуемые для того, чтобы формула (6) имела смысл]. Заметим, что в это определение входит введенный выше оператор Г; очевидно, что оператор А (как и оператор Г) зависит от функций и (D и и <2>, хотя снова мы предпочли для простоты обозначений не указывать это явно. Оператор А играет центральную роль в теории, поскольку он удовлетворяет соотношению
— ОО
= -4кг Г”ахф^ЧхЛ^^Чх^к^^хУМ
* — ОО
Здесь функция f (х) произвольна во всем, кроме того, что она должна асимптотически стремиться к нулю вместе со своей первой производной: /(±оо)=/х(±оо)=0.(8а)
Кроме того, функция /(х) должна обладать свойствами регулярности, необходимыми и достаточными для того, чтобы соотношение (7) имело смысл и были законны преобразования, нужные для вывода соотношения (7) из уравнения Шредингера (1) (дополнение Д.6). Заметим, что соотношение (7) можно, очевидно, понимать как сопряженность оператора А оператору Ат, собственной функцией которого является произведение функций у (о (х, к)у <2>(х, k), а собственным значением — величина — 4А 2 (мы не приводим явного выражения для этого оператора, поскольку не будем им пользоваться; о тесно связанном с ним операторе А см. п.Б и дополнение Д.9).
Очевидно, что формулу (7)-можно легко итерировать, если Ат • / (х), m= 1,2,..., удовлетворяет условию (8а); для этого достаточно, чтобы функция / (х) была регулярна при всех действительных значениях х и асимптотически стремилась к нулю со всеми своими производными: 0=/(±оо)=/х(±оо)=/„(±оо) =.(86)
В дальнейшем будем предполагать, что данное требование выполняется; это очевидно, согласуется с понятием BF-потенциала, введенного в предыдущем параграфе. Таким образом, соотношение (7) означает справедливость более общей формулы
f+°°dx ^(х, к)^{ху k')g(A) •/(*)=
=g(—4А:2) Гйх ^\ху к^Чх, k)f(x),(9)
00
где функция g (z) - полином (или даже, в более общем случае, целая функ- ция).
Эта формула позволяет нам, обобщив формулы (3) и (4), получить две ос- новные формулы нашего метода:
2i^(-4fc2)[/{<'>(^)-/?<2)(^)] =
= j dx ^(х, к^^х, fcjg^^i/'^x) — t/2)(x)],(Юз)
(2i*)2g(-4fc2)[/?(,)(*)+/?(2>(A:)] =
= j йх^'^х.к'^'^хД'^ЛуГ-Х.(Юб)
Таким образом, в этих уравнениях функция g(z) является произвольным полиномом или даже целой функцией, две функции г№ (х),; = 1,2,- это "потенциалы" уравнения Шредингера (1), а функции R^ (k) и ц/Р (х, А) - соответствующие коэффициенты отражения и волновые функции [ т.е. решения уравнения Шредингера (1) определяются асимптотическими граничными условиями (1а) и (1б)].Интегро-дифференциальные операторы А и F определяются формулами (5) и (6).
Важной особенностью этих формул является то, что от спектральной переменной к в правой части зависят только волновые функции ^О» Поэтому такие формулы удобны для увязывания некоторых изменений в потенциале (или, что то же, в определенных соотношениях между двумя различными потенциалами) с соответствующими изменениями в коэффициентах отражения. Например, из них следует, что если две функции и(1>(х) и и(2)(х) связаны между собой интегро-дифференциальным соотношением
где g и h — произвольные целые функции, то соответствующие коэффициенты отражения R < D (к) и R^(k) связаны между собой формулой
g(—4А:2)[л(1)(А:) — Я(2)(А:)] +
+ 2(ЛЛ(-4Л2)[я<’>(/1)+й(2>(Л)]=0,(Юг)
или, что эквивалентно,
[g( — 4к2) — 2хкк( — 4&2)1
К"4к)=R^(k) И1—-2—-2—-21.(ЮД)
[g(—4kz)-V2ikh\ — 4kz)]
Отметим, что этими формулами мы определили класс нелинейных интегро- дифференциальных соотношений для функций u( о (х) и и <2) (х) [т.е. соотношений типа (10в), содержащих достаточно произвольные функции g и Л], таких , что соотношения между соответствующими коэффициентами отражения имеют очень простой вид (10д)< Некоторые следствия этих результатов будут рассмотрены в гл. 4 и дополнении Д.17.
Формулы (10) связывают конечное изменение функции и [от и = uw (х) до и = и (^(х)! с соответствующим изменением коэффициента отражения R [ от R = R 2 (к) до R = R < !> (к)]. В последующем будет играть важную роль предельный случай инфинитезимал-ьного изменения, который получается, если положить
и^х^Цх), uw(x)=u(x)t8u(x),(Па)
R^XkWW, Rw(k)=R(k)+8R(k),(цб)
4^\хЛ>=^хД\${'\х,к) = ф(х,к) + 8$(хД).(Цв)
Это дает
2\к81-4к-)8КЩ = ^йД^х- к^(12а)
Wikyg(-4k2)RW=-- jdx[^(x,k)]2g(L)U;<(x).(126)
Очевидно, что в этих формулах функция ip (х, к) является решением уравнения Шредингера (2.L-1) с асимптотическими граничными условиями (2.1.-3), а интегро-дифференциальный оператор L - это оператор Л при и < ^ (х) = = и<2>(х) = ы(х). Данный оператор играет фундаментально важную роль. В явной форме он определяется соотношением [формула (1.2-2)]
Lf<x) = f>x(x')-4«(x'H(.x') + 2u,Xx)jdyf(y),03)
указывающим его действие на порождающую функцию /(х) (стремящуюся к нулю при х -> оо, так что интеграл сходится). Разумеется, он удовлетворяет
соотношению
(14)(14)/■ + °°dx[!4(x,A:)]2£/(x) = -4A:2 fdx[^(x.^)]2/(x),
(14)
(14)
которое представляет собой просто соответствующий частный случай формулы (7). Здесь, как и в формуле (7), функция / ^^ должна удовлетворять условию (8а), но в остальном она произвольна. Таким образом, оператор L можно считать сопряженным оператору L т, собственной функцией которого является квадрат волновой функции [^(хД)] 2 с собственным значением -4А2':
(15)(15)£т[^(хД)]2=-4А-2[^(хЛ)]2
(15)
(15)
(мы не приводим явное выражение для этого оператора, так как не будем им пользоваться; о тесно связанном с ним операторе L см. гл. 2, § 4, п.Б).
Заметим, что соотношения (12) — это просто первые нетривиальные соотношения, получающиеся из соотношений (10) в пределе стремящихся к нулю приращений 5и (х), 5R (к) и бу (х, ку, дополнительные же соотношения, которые можно получить из соотношений (10), менее ценны, поскольку кроме при- рашений би (х) и 5Я (к) содержат еще и приращение бу (х, А).
Другой частный случай соотношений (10) получается при и <2>(х) = О, что, конечно, влечет за собой условия R <2>(k) - 0 и у (2>(х, к) = exp(-ibc) [условия (2.1.-3)]. В этом случае соотношения (10) имеют вид
2iA:g(-4£2)/?(&) = Г dx ^(х, k)exp(-ikx) g(A^)u(xy (16а) — ос
(2i&)2g(-4fc2)^(fc) = j dx ^(х, fc)exp(-i^x) g(A№) x
XXmx(x) + m(x)Jd yu(y)mx(x) + m(x)Jd yu(y)(166)(166)
X
X
mx(x) + m(x)Jd yu(y)
mx(x) + m(x)Jd yu(y)
(166)
(166)
причем теперь интегро-дифференциальный оператор Л<°> определяется формулой
Л(0|/(х)=/ЛГ(х)-2и(х)/(х) + и,(х) j dyAv) +
+ u(*)J dyu(y)J dz/(z).+ u(*)J dyu(y)J dz/(z).(17)(17)
+ u(*)J dyu(y)J dz/(z).
+ u(*)J dyu(y)J dz/(z).
(17)
(17)
соответствующей, конечно, формуле (6) при н(2)(х) = 0 игПДхД «(х), Эти формулы связывают единственный потенциал гг(х) с его коэффициентом отражения Я( ку Функция у ( х , А) в правой части равенства (16) снова является решением уравнения Шредингера (2.1.-1) с асимптотическими граничными условиями (2.1.-3).
Конечно, более обшие выражения такого рода получаются, если в формулы (Юа) и (Юб) подставить потенциал и^Цх^ с равным нулю коэффици-
ентом отражения R <2) (k) = 0 и N дискретными собственными значениями, характеризуемыми 2N параметрами рп и pn , п = 1,2,..., N. Эти формулы здесь не приводятся; достаточно отметить, что в этом случае имеет место равенство хД^дд) - f ^^Д, -к), где функция / W(x Д) дается формулой (2.2.-4), а функция w(2)(x) в явном виде выражается формулой (2.2-20). Замечательно, что 2W параметров рп и рп появляются только в правой части полученных таким образом формул.
В выписанные выше формулы входит только коэффициент отражения КД). Подобным же образом можно получить аналогичные формулы, содержащие и коэффициент прохождения IД) (как модифицировать представленный выше вывод, должно быть ясно из самой структуры этих формул; подробнее см. в дополнении Д. 6). Эти формулы таковы:
+ 4£27'<|)(А.")Г2)(—^) (dxg#(—4А2, Л)[и(|)(х) — и(2)(х)] +
4 21кТ(Х)Д)Т^\ — к) f dy [м^Д^) — w(2)(^)] х — 00
х Jdxg*^—4k2, Л^и^х\х) — и^2\х)\=
— f dx ^x\x, к)^(х, — k)g( Л^г/^х) — ы(2)(х)],(18)
J 00
^kfg<-4k2)\R(X\k)R(2K~k)-T^
+ (2i/c)g( — 4k2)TkX\k)T^\ — k) [dx[u(,)(x) — w(2)(x)] ч-
^4к2Ти\к)Г2\-к) Г0" dxg*(-4k2sA)r \ ч *^—00
ч 1\кТтД)Т(2\-к) j d^fw0^^) —w(2)( v)] x
xj4Q°dxg*(-4k2,A)r\ =
-J dx ^(1)(x, к)^2Чх,-к^(Л)Г' 1.(19)
Большая часть символов в этих уравнениях была определена выше (включая
интегро-дифференциальные операторы Ди Г); кроме того, мы ввели обозна. чение
g#(zl,z2)=[g(zl)-g(z2)]/(zl-z2),(20)
которым часто будем пользоваться в дальнейшем.
Отметим, что все приведенные выше формулы остаются справедливыми, даже ееди функция ин >(х) не является действительной. Конечно, ееди функ- цияи<2) действительна, то функции TW^ -k), R w^-k) и y(2)(x, „^ можно заменить функциями [Т(2)(к^*, lR^(k)y и [у (2)(х, к^*> как следует из формул (2.1.-12) и (2.1.-17). Кроме того, даже если функция и<2>(х) не действительна, после такой замены формулы остаются верны при условии, что функция и (2) (х) также заменяется функцией [и (2)( х)]*. То же самое относится и к другим приводимым ниже формулам; мы не будем повторяться.
В этих формулах, как и в формулах (10), g( z) - произвольная целая функция. В частном случае, когда g( z) = 1, эти формулы упрощаются, поскольку выражение (20) обращается в нуль:
Ixk\R^^Ry4-kVTwW»\-kVA =
= j dx ^0)(х, к)^г\х, — &)[u(1)(x) — u(2)(x)],(21)
+ 2i*T<I’(fc)r(2>(-*)C“dx[u<l>(x)-U<2’(x)]=(22).
= У dx ^(I)(x, k^^x, — к^Г-1.
Очевидно, что эти уравнения аналогичны уравнениям (3) и (4).
Снова, как и выше, полезно рассмотреть и случай, когда две функции и </ > (х) и соответствующие им спектральные данные различаются на бесконечно малые величины. Тогда в дополнение к приведенным выше формулам (11) напишем
Т^-Лк^ T^\k^TW-Y8TW.(23)
Формула (21) даст
RWR^-kVTWV-k^X,(24)
а это есть соотношение унитарности (2.1.-18). Затем из формул (18) и (19) получаем формулы
Iik^-4k^3R<k^Rk-kV 8TW<-k>A* + 4к2Т(к^Ц-к) ^ йхх*<-4кг,Ц8и^ =
"L^ dx^x,^^^x,—k^g(L)6u(x),(25)
(2i£)2g(-4/c2)^(/cW^) =
= j_ dx^(x,k)t(x,-k)g(L)ux(x),(26)
которые, очевидно, аналогичны формулам (12) [замечания, сделанные после формул (12), относятся и к этим уравнениям]. Символ g#(zi# z2) определяется выражением (20).
Чтобы из формулы (19) получить формулу (26), мы используем кроме соотношения (24) важное свойство, описываемое формулой
^u^x^g^UY w=0,1,2,...,(27)
где g^ ~ полином степени w+ 1 от функции ы(х) и ее производных. Например [формула (L2-3)];
g(0)(^) = M(x),(28а)
g(,)(^) = u,x(x)-3[M(^)]2,(286)
g^x^^xMO.JxHxMl^p^(28в)
Действительно, это свойство означает, что для любой целой функции g( z) выполняется равенство
( dxg(L)ux(x)=0,(29)
*'-00
так как мы предполагаем, что функция Цх) асимптотически стремится к нулю вместе со всеми своими производными, а потому все “потоки” g^^x') тоже асимптотически стремятся к нулю: g (т) (+«>)=: 0.
Подчеркнем, что формула (27) очень нетривиальна, поскольку L - интегро-дифференциальный оператор [формула (13)]. Эта формула (ее доказательство см. в дополнениях Д.8 и Д.9) играет далее важную роль.
Мы приведем также аналоги соотношений (16), тривиальным образом следующие из формул (18) и (19) [конечно, при iz<2)(x) = О, Г(2)(^) = 1):
likg<-4k^\l\M-V\+4k27W/dx g#( — 4/с2, Л,0))м(х)+
+ 2ikTW J^dyu(r)^ X dxgtt(-4k2.A0l)u(x) =
= ( Xdx^(x.k)exp(ikx)g(A(0))u(x)1(30)
X
-(2i*)2g(-4^2)[T(A)-l]+2i/cg(-4/c2)T(<:) J dxu(x) +
^4k2W j'"dxgtt(-4k2,A№)^4k2W j'"dxgtt(-4k2,A№)их(х) + u(x)J dyu(y) +их(х) + u(x)J dyu(y) +
^4k2W j'"dxgtt(-4k2,A№)
^4k2W j'"dxgtt(-4k2,A№)
их(х) + u(x)J dyu(y) +
их(х) + u(x)J dyu(y) +
*2ikT(k) j' dyu(y}j^X dxg“(-4/c2. Л<0))x
x ux(x) + u(x)f dzu(z)
dx ф^х, k )exp(iLv) g( Л^) x
(31)(31)x ux(x) + u(x) d^w(j)
(31)
(31)
где, конечно, оператор Д(°) определяется формулой (17). Положив g( z) = 1, получим более простой вид этих формул:
2i/c[T(£)- 1] = ^ dx ^(х, k^exp^kx) и(х^(32)
-(2И)2[Т(А:)-1]+2^Г(А)/+^хи(х) =
у + ооГ/• + ОС1
= Jdx ^x^exp^kx^uXx'i + ulx'^jdyu^y) .(33)
Если подставить в формулы (18) и (19) выражение /?(2>(А) = 0 и функции ы 2( х), 7(2)(£) и у (2) (х, -Л) = / <^(х, к'), даваемые формулами (2.2.-20), (2.2.-23) и (2.2.-4), то снова мы получим аналогичные более общие формулы.
Все выписанные выше формулы относились к непрерывной части спектра. Приведем теперь аналогичные формулы для дискретного спектра.
Есть несколько типов таких формул. Простейшие из них имеют вид
^H4/^ И'1 = /_ ^ dx^^(х)^<2)(х,ip„)g(А) X
х[мС>(х)-М(2>(х)],(34)
4рМ4Рп)сп1= j_ dx<^’\xV24xApn)g(A)r-\(35)
и справедливы при условии, что Еп = ~ р^ есть дискретное собственное значение для потенциала ы( х)(х), но не потенциала и^2Ц х). Принятые здесь обозначения совпадают с обозначениями, введенными в § 1 данной главы [ за исключением верхних индексов, которыми отмечены величины, связанные с двумя потенциалами и(х)( х) и и(2) (х); см., в частности, формулы (2.1.-24), (2.1.-25) и (2.1.-3)]. Последняя из этих двух формул означает, что при х -^ -оо функция ip(2> (х, ipn) стремится к нулю пропорционально
ехр(рп х) и расходится в точности как ехр ^п х} при х -^ + ос (следует подчеркнуть, что здесь и всюду далее рп > 0).
Для дальнейшего мы перепишем здесь два последних уравнения в более симметричной форме с учетом инвариантности интегро-дифференциальных операторов Г и А по отношению к замене функции и<1) функцией и<2 > и наоборот:
- 2 { ^'>g[4( р^>)2] c<'>-p®g[4( р®)2] с®) =
= ^^[^'Чх^^хир'^ + ^Л*)^'^^
xg(A)[ u^(x)— u^(x) j,(34a)
4{ ( rf’^g^ p'1’)2] c^d- (Pm2))2g[4( p®)2] c^2)] =
+ ФтЧ^^'ЧхАРт^^Л^ГЛ.(35a)
Мы полагаем, что смысл всех символов, фигурирующих в этих формулах, очевиден. Подчеркнем, что они справедливы, если Е ^ = - (р (О)2 является дискретным собственным значением потенциала и < ^ (х), но не и (2> (х), а Е<^ = - (р <2>) 2 является собственным значением потенциала и (2> (х), но не и (D(x).
Приведем также частный случай формул (34) и (35) > соответствующий функциям и (2> (х) = 0, и (1) (х) = и (х). Тогда снова при очевидном смысле всех символов
-2png(4p^)c„=j ^ dxg>„(x)exp(p„x)g(A<0))M(x),(36)
4p2g(4p2)с^= уdx %(х) ехр( pnx) g( А(0)) х
•'-00
х^их(х) + м(х)У d^u(y) .(37)
Вторая группа формул имеет вид
Г dx р(1)(х)ф(2)(.х)•'-00Г dx р(1)(х)ф(2)(.х)•'-00J dx ^(1)(х)^(2)(х)[и(1)(х)-и(2)(х)~-(Е(1)-Е(2))] =0,(38)
Г dx р(1)(х)ф(2)(.х)
•'-00
Г dx р(1)(х)ф(2)(.х)
•'-00
^1)(^) + ^2)(x) + [z/(1)(x)-^<2)(x)-(^(1)-£(2))]>
x^E^-E^Xx-xJ + y* "dj^’X)')-^^=0,(39)
/_+Jdxp(,)(x)p<2>(x){/xx(x)+2[£<'^^^х
х/(х) + [«^(х)+«<2)(х)]У ^.у/ОЬ
+ [и(1)(х) — и^(х) — (£(1) — £(2))] х
х/ 4dy [«(|)(у) — и(2)(у) — (£(1) —£<2))j Pdz/(z)| =0.(40)
В этих уравнениях величины Е^ и Е^ - дискретные собственные значения отвечающие потенциалам u (D (х) и и <2) ( х ); <р (о (х) и <р <2> (х) - соответствующие собственные функции, а величины х u %2, х3, х4 - произвольные действительные постоянные; в последнем уравнении функция / (х) произвольна (от нее даже не требуется асимптотического стремления к нулю). Фактически эти уравнения остаются справедливыми, даже если только одна из двух величин Е ^ > является дискретным собственным значением, например если величина
Е^=-р\ р>0,(41)
является дискретным собственным значением, соответствующим потенциалу и < о (х), при условии, что
Е^ = к2(42)
удовлетворяет неравенству
|Im£]</?(43)
(которое, конечно, всегда выполняется при действительном значении к ); тогда нужно собственную функцию <р <2) (х) заменить функцией у <2> (х, А) Г заметим, что в уравнениях (38) - (40) нормировка волновой функции несущественна].
Эти уравнения аналогичны уравнениям (3), (4) и (7); очевидно, что, пользуясь произвольностью функции / (х) в уравнении (40), можно из уравнений (38) и (39) получить много других соотношений, в том числе некоторые аналоги уравнений (10) и (16). Ниже мы приведем некоторые такие уравнения, но только в менее общих случаях. Заметим, что уравнения (38) - (40) остаются справедливыми даже в случае потенциалов, асимптотически расходящихся в положительной бесконечности, а потому имеют чисто дискретный спектр. По этой причине мы их здесь и приводим.
Важным частным случаем уравнений (38) - (40) является случай, когда
Е<1)=Е<2>=Е=-р2,(44)
т.е. когда два потенциала и < х> (х) и и <2> (х) имеют одно и то же дискретное
собственное значение. Соответствуюшие уравнения таковы:
[dxp(1)(x)p(2)(x)[z/(1)(x) —м^=0,(45)
Jdx^(,)(x)^2)(x)r* 1=0,(46)
Гdx ф^Чх^ф^х^Л^х^Ар1 Г^хф^Чх^ф^Чх^х^(47а)
—оо
где Г и Л - операторы, которые определяются формулами (5) и (6) [ чтобы получить два последних уравнения, мы положили в формулах (39) и (40) х2 = х3 = х4= + оо]е Как и выше, можно записать эти уравнения, считая, что оператор Л сопряжен оператору Л [(формула (9)], имеющему в качестве собственной функции произведение <р (1) (х) <р <2> (х) и в качестве собственного значения величину 4р2 = - 4Е [вспомним, что здесь функции Ф и) (х) и ф (2) (х) по предположению являются собственными функциями уравнения Шредингера (1), соответствующими одному и тому же дискретному собственному значению Еп=_ 4р^]е Отсюда следует более обшая формула
( ахф^Чх^Чх^л^Дх^ — оо
= g(4p2) ( Xdx<p^(x)9>(2\x)f(x).(476)
J -ОО
где g(z) - произвольная целая функция [в рассматриваемом здесь частном случае это уравнение является аналогом уравнения (9)]. Эта формула позволяет, обобщив уравнения (45) и (46), получить уравнения
У dxp0^)^2^)#^)^0^) — м(2)(х)] =0,(48)
Г dxp(,)(x)p(2)(.x)g^)r-1 = 0,(49)
^-00
аналогичные уравнениям (10). Еще раз подчеркнем, что в этих уравнениях g(z) - произвольная целая функция.
Другая группа формул получается из уравнений (38) - (40) в случае инфинитезимального изменения функций. Положив
и^\х) = и(х). и(Х\х) = и(х)Л-ди(х)(50а)
и соответственно
Е®=Е„=-р2.Е^ = Еп^8Е=-р2-гРп8рп,(506)
<PmU>=<p„(x\<р('\х) = <рп(х) + 8<рп(х),(50в)
где, конечно, Е п _ одно из дискретных собственных значений потенциала
и^ и фп(х) - соответствующая'собственная функция, получим
5E„=-2pn5pn= j dx[<pn(x)]2 #и(х),^50
J — ОО
0=Уdx[p„(x)]2ux(x),(52)
/dx[(p„(x)]2L/(x)=4^2ydx^x)]2/^).(53)
При выводе первой из этих формул использовалось условие нормировки (2.1.-21), а при выводе последней мы взяли величины х3 и х4 в уравнении (40) в виде хд = х4 = ± оо. Как и выше, можно переписать последнее из этих уравнений, имея в виду, что L - оператор, сопряженный оператору L
с собственной функцией [<рп(х)]2 и собственным значением 4р2 = - 4ЕП . Отсюда следует более обшая формула
У dx[p„(x)]2g(£)/(x)=g(4;,2)ydx[p„(x)]2/(x),(54)
где g(^ - произвольная целая функция [и L - оператор, определяемый формулой (14)}; эта формула позволяет, обобщив формулы (51) и (52), получить
-2рп8Цр^дрп= J dx[Vn(x)]2g(L)6u(x),(55)
0 = У_ dx[9?„(x)]2g(£)wA(x).(56)
Эти формулы аналогичны формулам (12), они будут играть важную роль в дальнейшем.
Третья группа формул для величин дискретного спектра имеет следующий вид:
^pM^WM’^ J+Xdx[^>]^ x[uw(x)-u®(x)],(57)
*P^+P^/W2T = fWWd,(58)
У dxlyV^A/t^y dx[4^W2)] pf(x).(59)
Они тоже относятся к частному случаю, когда два потенциала и( ^ (х) и м(2>(х) имеют одно и то же дискретное собственное значение Еп= -^ ; Р^) - нормировочная постоянная этого дискретного собственного значения для потенциалам^ >(х) [формула (2.1.-27)], Г и Л - уже известные нам интегро-дифференциальные операторы [определенные формулами (5) и (6)]
(60)(61)(62)(60)(61)(62)и символ [ф(Оф(2)] означает [p<v2)L=(d/Mp<l)<x>i,)p<2)(x>^^ где
(60)
(61)
(62)
(60)
(61)
(62)
Н^>р)=с*-У<->(хДр), так что фкх^п^фМ
[формула (2.1.-28)]. Отметим, что в последних двух уравнениях мы опустили для простоты обозначений верхний индекс, которым различаются потенциалы. В уравнении (59) функция Цх^ произвольна во всем, кроме того, что она вместе с первой производной асимптотически стремится к нулю [ формула (8а)1 и обладает обычными свойствами регулярности. Симврл.Нр ^(^фС2)]^, согласно формуле (60), определяется соотношением
[4pW2,]?s V9/9AV^XXx, р^^х, р^\р=рг<63*
где функция фО )(х,р) определяется формулой (61).
Очевидно, что в рассматриваемом случае уравнения (57) - (59) аналогичны уравнениям (3), (4) и (7). Кроме того, формулы (48) и (49) означают, что уравнение (59) можно заменить уравнением
С” ЛхХ^ЧрМкх^Рп f^xYW^pfW(64)
00 при условии, что /(х)=Я(Л)[М'|>(х)-^(х)]+/!(Л)Г1,<65)
где g( z) и h{ z) - произвольные целые функции. Поэтому для всех функций /, имеющих вид (65), можно обобщить и уравнение (64) и получить (+”dx[p(V2,Lg(^)A*)=H4p2)/ ”^xV<Pw<P№APf<xY(66)
где снова g (z) - произвольная целая функция, а это означает возможность обобщения функций (57) и (58)*: -Зр^Рп^р^-р^ДД1^^
-J dx[y(’V2)]pg(A)[uw(x)-u(2)(x)],(67)
*Png^) [ р^+^2)] Др^21]1/2 =
=/_00 йх\.ФиУЧРг(л)гл.(68)
Эти уравнения аналогичны уравнениям (10). Повторяем, что они справедливы для любой произвольной целой функции g( z) при условии, что два потенциала
и (D(x) и и<2Ц х) имеют одно и то же собственное значение Еп = - р 2 [с различными, вообще говоря, нормировочными постоянными р^Ир^ и символом [<р(1) ф(2)]р , определяемым формулой (60)1.
Снова заслуживает упоминания случай, когда два потенциала и(х> и и W различаются на бесконечно малую величину. Тогда соответствующие формулы имеют вид
-P„g(4P^6pn/p„=j dxpn(x)<pp(x, p„)g(L) Su(x),(69)
2pM4Pn)=J dx<pn(x)<pp(x, p„)g(L)ux(x),(70)
где, конечно,
<^(^» Рп) = | {^/^[^(л:, p)])]^=^n(71)
и функция <р(х, р) определяется соотношением (61), а смысл других символов очевиден. Эти формулы аналогичны формулам (12а) и (126).
На этом мы заканчиваем наш анализ обобщенных соотношений вронскиана. Наиболее важное значение имеют формулы (10), (12), (25) и (26), (29), (48) и (49), (55) и (56), (57) и (58), (6 9) и (7 0) [в дополнение к формулам (5), (6) и (13), определяющим интегро-дифференциальные операторы Г, Л и £]. Нужно отметить, что все эти формулы представляют собой (довольно элементарные) следствия спектральной задачи Шредингера. Как мы увидим далее, благодаря наличию в них произвольной функции g (z) они являются мощным средством исследования этой спектральной задачи и демонстрации ее следствий.
Дополнительные интегральные соотношения вронскиана
В предыдущем пункте были приведены некоторые соотношения, содержащие две функции ("потенциалы") uu )(х) и соответствующие спектральные величины; см., например, формулы (2.4.А.-10, 18, 19, 38 - 40, 48, 49, 67, 6 8). Было приведено также несколько соотношений для величин, связанных с единственным потенциалом, включая его бесконечно малую вариацию, например соотношения (2.4.А.-12, 16, 25, 26, 30, 31, 55, 56, 69, 70). Здесь мы приведем некоторые другие аналогичные формулы, содержащие единственный потенциал, которые прямо следуют из соотношений предыдущего раздела для двух потенциалов и из формул § 1, п.А, которые связывают изменения потенциала при пространственных трансляциях и масштабных преобразованиях с соответствующими изменениями спектральных данных.
Так, из формул (2.4.А.-10) и (2.1.А.-1) следуют формулы
-4Esin(Ea)g(-4E2)A(E) =
= Loa dx ^х’ k)^(x+a, fc)g(4)[u(x+a)-«(x)],(1)
— 8^2cos(^a) g(—4k2)R(k) = (dx ^(x, к)ф(х + а, £^(Л)Г*1,(2)
где, очевидно, операторы А и Г определяются формулами (2.4.А.-6) и (2.4.А.-5) при
u^x^u^xY uw^x^ = u^xA-aY(3)
Аналогично из формул (2.4.А.-10) и (2.1.А.-3) следует, что likgl-Ak^YR^k/^RWV
= (ах^(х,к)^(/<х,к//<)к(Л)[д2«(/<х)-и(х)],(4)
* “ ОО
(Я*)2^(-4^2)[А(^/А) + .К(^)]=
= f dx^(x,k)^(/zx,k/^)g(A)r-l,(5)
* — 00.
где теперь операторы Л и Г определяются формулами (2.4.А.-6) и (2.4.А.-5) при
utZ)(x)=u(x),M(1)(x)=x<2«(xzx).(6)
Рассматривая совместное влияние трансляции и масштабного преобразования, легко, конечно, было бы написать одну формулу, являющуюся комбинацией формул (1) и (4) или (2) и (5). Мы же предпочитаем здесь (и ниже) написать отдельные формулы, т.е. поступиться общностью ради простоты.
Интересно посмотреть, какой вид принимают эти результаты в случае инфинитезимальных преобразований, т.е. при а = е , ц = 1 + е и е -> О [формулы (2.1.А.-2) и (2.1.А.-4)]. Тогда формулы (1), (2) и (5) просто воспроизведут формулу (2.4.А.-126), а формула (4) даст новую важную формулу — 2ikg^ — 4k2')kRk(k') = /" + ”<1х[^(хД)]28(^)[хиЛ(х) + 2и(х)],(7)
* — 00
где оператор L определяется соотношением (2.4.А.-13). Очевидно, что эта формула может быть получена как частный случай формулы (2.4.А.-12а). Обратим внимание на дифференцирование по к в левой части этого уравнения.
Аналогичные уравнения получатся, если подставить в формулы (2.4.А.-18) и (2.4.А.-19) выражения (3) или (6) и соответствующие выражения для спектральных данных и волновых функций [формулы (2.1.А.-1) и (2.1.А.-3)]. Мы не приводим здесь четыре получающиеся таким образом формулы. Как и выше, в пределе инфинитезимальных преобразований первые три из этих уравнений вопроизводят уже известную формулу (2.4.А.-26), а последнее [или эквивалентное ему уравнение (2.4.А.-25)] дает новую важную формулу -2ikg(-4k^V<Rk(kW-^^
+ 4к2Т(к)Т( — к) Jdx g#( — 4k\ L )[хмх(х) + 2w(x)] =
= j dx ^(x, k)^(x,—k)g(L)^XMx(x) 4-2u(x)Y^
Эта формула, содержащая кроме коэффициента отражения и коэффициент прохождения, аналогична предыдущей в том же самом смысле, в каком формула (2.4.А.-25) аналогична формуле (2.4.А.-12а).
Подобным же образом легко получить соотношения для параметров дискретного спектра, подставляя, например, выражения (3) или (6) в формулы (2.4.А.-38, 39, 40) и используя соотношения (2.1.А.-1) или (2.1.А.-3). Снова мы приводам не все формулы, которые могут быть получены таким образом, а только те, которые представляются наиболее интересными. В частности, формулы f+”d^pJx)p„(x+a)g(A)[u(x+a)-i<(x)]=O,(9)
( °°<1х^л(х)99„(х+й)5(Л)Г1=0,(ю)
— ОО
следуют из формул (2.4.А.-48 , 49), (3) и (2.1.А.-1), а формулы
4рп&Црпа^Цр^ =
= (d^iyWH^ + ^Lg^t^x+a)-"^)],(ц)
J — ОО
8p^ch(p„a) g(4p^)=
= f dx[9>(x)9>(x+a)]/,g(4)r-l(12)
* — ОО
вытекают из формул (2.4.А.-67, 68), (3) и (2.1.А.-1). Здесь, ка)< и в приведенных выше формулах (1) и (2), операторы Г и Л определяются формулами (2.4.А.-5, 6) с условием (3), а символ [<р(х)ср(х + а)]^ в согласии с формулой (2.4.А.-60) означает
[у>(х)^(А: + а)]р = {5/^[9?(А:, p^фkx^а, р^\р=Рп,(13)
где функция ф(х, р) определена формулой (2.4.А.-61).
Отметим совместность формулы (2.1.А.-1Д) с предположением (2.4.А.-44), выполнение которого необходимо для справедливости формул (2.4.А.-48, 49) и (2.4.А.-67, 68); такая совместность не имеет места для формулы (2.1.А.-ЗД), и поэтому масштабные преобразования могут быть скомбинированы только с формулами типа (2.4.А.-38, 39, 40), относящимися к двум потенциалам с разными дискретными собственными значениями. Мы приведем здесь только новую формулу, которая получается таким же образом для инфинитези- малън'ых преобразований:
2pM4Pn)=f ”dx[p„(x)]2g(L)[xMx(x)+2u(x)](14)
* - ос
[вывод этого уравнения еще проще, если исходить из формулы (2.4.А.-55)]. В то же время отметим, что в пределе инфинитезимальных преобразований ни формулы (9), (10), ни формулы (11), (12) не дают новых формул, а вос-
I производят формулы (2.4.А.-56), или (2.4.А.-70).
На этом мы заканчиваем здесь свой анализ. Из приведенных выше формул впоследствии наиболее важную роль будут играть формулы (7), (8) и (14).
Б. Спектральные интегральные соотношения
Как и в предыдущем пункте, мы будем рассматривать спектральную задачу Шредингера с двумя различными "потенциалами" -^Чх^Уи^х^^хДУкЧ^хДУ 7=1,2.(1)
Однако, как уже предполагается нашими обозначениями, здесь удобнее рассматривать решения Поста уравнения Шредингера (1) с граничными условиями /(-^(х,A:)^exp(±i^x),х^±оо, 7=1,2,Па)
/t-^Xx.^fTtyWj-'exptrtifo)*^^^)^^^^ xexp( + i£x),х^^оо, 7=1,2.(16)
Заметим, что условие (1а) совпадает с условием (2.1.-4) (если не считать добавления верхнего индекса/); что же касается условия (16), то его .легко вывести из условия (1а) и соотношения (2.1.-5). Этот элементарный резуль- . тат, так же как и другие, приведенные здесь, доказывается в дополнении Д.7.
Кроме того, здесь удобно использовать интегралы от функций и и) (х), . которые обозначаются следующим образом [согласно с обозначениями, используемыми во всей данной книге, см., например, формулы (1.7.А.-12)}: w(n(x) = J dyuU)(?Y 7=1,2,^а)
ии\х) = -w^xY 7=1,2.^)
Это определение наряду со свойством функций и < Л (х) асимптотически стремиться к нулю со своими производными означает, очевидно, что 0 = w(y)( +оо) = w^^co^w^^—oo)^ • • •, 7=1,2.(За)
В то же время величины wd >(~оо) не должны обращаться в нуль: wG)(-oo)= Г dxu^xY j-^Д.(Зб)
Два основные формулы имеют вид
N0) w№(^-w^4xy-2 2 п= 1 yv<2)
*2 2 ГПхЛр^ГтакхЛр?У?-
-^-' f+"dV(+XI4^^(*)(24*^)[*(1^)--R(2)(A:)L(4)
*—00
^Ч^+^рЧ^Н-2[w0)(*)-W^^^ 2Vd)
— 4 2 /^(^/W^ п= 1
+4 s pnx;vpW+nxAp®W^-
-Т~Ч+” dk/^lx^f^Utk) 21Л[я(1)(А:)+Л<2)(Л)].(5)
* —ОО
Здесь снова мы использовали обозначения § 1 данной главы с добавлением, конечно, верхнего индекса для обозначения величин, соответствующих двум спектральным задачам. Заметим, что функция / <+>< / >(х, ip (;)} является собственной функцией, соответствующей дискретному собственному значению - [ Р ^J2, так что уС+Ху^^О)} ^еХр(_^0)х^х-> + оо,(6Ц)
/(+)(^Ч.хДРпУ))^(ср")(у)/с^^ РпПх)^' х"* ~^(66)
[см. формулы (2.1.-22), (2.1.-23) и (2.1.-28)] и ^^i/- ”а4^(+)<7>(х’^"7’)]2}
[формулы (2.1-23) и (2.1.-27) ]. В то же время ни функция /( + )(D(x, ip(2)), ни функция / ( + )(2)(х, ip ^>), вообще говоря; не являются собственными функциями, соответствующими дискретным собственным значениям [пока не окажется, что некоторое собственное значение соответствует как потенциалу и(!) (х), так и потенциалу и <2)(х), т.е. что некоторые собственные значения с различными индексами совпадают]. Однако из анализа, проведенного в § 1 данной главы, следует, что эти функции определяются аналитическим продолжением функций /(+)(/) (х, Л) при действительных к (подчеркнем, что всегда предполагается неравенство р^> > 0). Их асимптотическое поведение прямо следует из условий (1а) и (16):
/(+)(1)(х Д/><2)) ^ехр(-/?^^х-> +оо,(8а)
/«^Xxjp*2))^^;,®)]^^^ х--оо(86)
(справедлива, конечно, и аналогичная формула, в которой индексы 1 и 2 поменялись местами). Отметим, что правая часть условия (86) расходится. Приведенная выше формула относится к случаю, когда величина ~[р(2)] 2 не является дискретным собственным значением спектральной задачи (р при
j = 1. Это условие, необходимое и достаточное для того, чтобы исключить обращение в нуль коэффициента [ 7 <^( ip (2)] -i в соотношении (86); в противном случае соответствующими формулами снова будут формулы (6).'
Можно легко обобщить формулы (4) и (5), если ввести интегро-дифференциальный оператор Л, такой, что его собственной функцией является произведение двух собственных функций двух уравнений Шредингера (1): Л[Г+№(х, k^f^lx А)] = -4кг\^А *х\хАМ^гЧх, Л)].(9)
Эта формула доказывается в дополнении Д.9, где приводится более общая формула, в которой решения Йоста заменяются более общими решениями уравнения (1). Действительно, соотношение (9) имеет место только для решений Йоста "с плюсом ”[/(+)(/)(х, А)], а другие решения уравнения (1) в правой части имеют дополнительные вклады [ формула (Д.9.-40)].
Явное определение оператора Л дается двумя эквивалентными формулами
+ j d^ [«•'Ч^)— “^Ч^)] х
dz[«<l4z)—ы^Ч^)]^^),(Юа)
А/Чх)=/ух) + [^Чх)+^^
d>-[и;уч >0+^ч >-)]/\( >> )+
+ j* d>’[^'^ ^)— ^^Ч >*)]х
х^ dz[w,(l4z)-w44^)]^(z),(Юб)
которые задают его действие на порождающую функцию F(x). Этот интегро- дифференциальный оператор зависит от функций ^(^(х) ии(2)(х) [или, что эквивалентно, от функций uX D(x) ии>(2)(х)], хотя для простоты обозначений мы это явно не указываем. Заметим, что левая часть формулы (5) просто равна А • 1.
Из формул (4), (5) и (9) следуют более общие формулы
;V(I)
g(A)[w(1,(x)-w(2,(x)] = -2 2 /т°Чх'хРпП>)К
х/^Чха^’^дП^^ ^ГПхлр«"А
х Г * |<2Ч X. i p^) gp( p^)2] ^2| - if 1 j * d к J* ’ K1 ч x. к ) X
х/^х^д)^-^2)^^)-.^)],(И)
gUU-\=4 2 /^'’(x^V^^rf^^ п = 1
^^«^-.(^^^Х^Д,^ п = 1
-jt"1 (dk/(+х1)Сх, k)x
-00
X fW^X) k^likg^Ak^R^k^R^k^.(12)
(13)(13)В каждой из этих двух формул g( х) - произвольный полином или любая целая функция, такая, что интегралы в правой части сходятся. Отметим, между прочим, что, по крайней мере пока функция g(x) является полиномом, сходимость действительно гарантируется формулой (2.1.-396) и асимптотическим соотношением
(13)
(13)
Нт Г/(+)0)(х, ^)exp(-i^x)] = 1, k—±оо L
которое является прямым следствием самого определения решения Йоста [формулы (1) и (1а) или (16) наряду с формулой (2.1.-38) либо формула (2.2.-6)].
Очевидно, что эти формулы, как и формулы (2.4.А.-10), дают способ нахождения тех нелинейных интегро-дифференциальных соотношений между двумя функциями и(Н (х), для которых соотношения между соответствующими спектральными данными очень просты. Детальнее этот вопрос рассматривается в гл. 4.
Есть два частных случая формул (11) и (12), заслуживающих особого упоминания.
В первом из них функции и</)( х) различаются только на бесконечно малую величину, например:
и(|)(х) = и(х) + <fu(x).u<2,(x)=u(x),
w^^a) =w(x) + ^w(a:),w(2)(x) = w(x),
RW^k^RW + SR^,R°4k^R(ky
NW=Na>=N,
РпЦ=Р„+5р„ P^=Pn,n=l,l,...,N,
Р^=р„+3р„, р^р»,n=\,2,...,N,
f^xA'W^WxtkVSf^XtkY /"«Чх, k)=f(x,k)-
(14a) (146) (14b) (14r) (14Д) (14e)
(14ж) (14з)
Тогда из формул (11) и (12) получаем
g(£)M-*)=-2 2 ^jy4xApnV+4xApM4PnWP« + + [/<+4x3Rj]2[gp(4f2)A£A,+g(4/>2) <Ч] }-
-57“' f + ”dkVf+4x,k)Yg(-4k2)5R(k),(15)
g(£)wx(x)=4 2 [/<+)(Aip„)]2^(4A2)^A-
-=7"' f + OCd^[/l+>(^^)]22i/cg(-4A:2)^(/c).(16)
Здесь, конечно,
/р^ЧхЛРп^дДхЛр^/др^р,,(17а)
gP(4p^ ) = dg(4p2)/др\р=р- .(176)
Отметим, что функции f (+)(х, ipn ) теперь действительно являются собственными функциями спектральной задачи Шредингера с потенциалом и(х), соответствующими дискретным собственным значениям -р^ (если они есть).
Интегро-дифференциальный оператор L в левой части формул (15) и (16) - это оператор К, определенный формулой (10) при гЛ^х) = u(2)(x) = и(х)* Ввиду его важного значения мы приведем здесь три очевидным образом эквивалентных определения этого оператора:
^(•x)-^(-x)~4u(x)F(x)-2 J dyuy(y)F(y),(18а)
LF(x)=fJxV-Mx')F(x^^^^^(186)
^^^(хИгИх^хЩ + гД^^ЖЛЯ(18в)
Для него характерно то [формула (9)], что его собственными функциями являются квадраты решений Йоста /(+)(х, к^ уравнения Шредингера (2.1.-1):
£[ f + 4x,k')Y= -4k2Vf(+\x,k)]2.(19)
Другие свойства этого оператора приводятся в дополнении Д.9.
Частный случай формулы (16) при g( z) = ] совпадает с формулой (1.3.В.-2).
Второй интересный частный случай формул (И) и (12) соответствует соотношениям u(,)(x) = w(x),и(2)(х)=0,(20а)
w(,)(x) = h(.y),и^(2Дх)=0,(206)
из которых следует, что
/?<'>(*)=/?(*),^<2>(fc)=0,
(20в)
NW=N, N^O,
(20г)
pP=P„> n=l,2,...,N,
(20д)
P^An „=1,2,...,N,
(20е)
f+*'4x,k)=f+4xMf+*2\x,k) = exp(ikx).
Тогда формулы (11) и (12) дают
(20ж)
g(A(0,Mx)=-2 2 f^xAp^exp^-p^^PlVn- n — 1
—* ;г"1 ( dk fw(x, k)exp(ikx) g^ — Ak^R^kY — OO
g(A0))A<0)-1^4 2 /^ЧхДр^ехр^-р^зЦр^р^^
n= 1
(21)
—dkf^\x,k^x
x exp^kx^Hkg^—Ak^^R^kY
(22)
Здесь интегро-дифференциальный оператор А<°) - это оператор А, формулой (10), но с учетом соотношений (20а) и (206):
A(0)F(x) = FXJt(x)—2«(x)F(x) —Уdyu^F^y
даваемый
+ j dyu(y)j dzu(z)F(z),
(23а)
A{0)F(x) = Fxx(x) + wx(x)F(x)~dywv(y)F}(y) +
p + 00f + 00
+ J dywv(y)J dzw.(z)F(zY
(236)
В частном случае, когда gk^ = 1, формула (21) дает формулу а формула (22) принимает вид
(1.3.В.-3),
'*'х(^) + Н»'(х)]2=4 2 fw<xApn>expV-pnx^рпрп-
п= 1
dkf^\x, k^expYxkxYl\kR(kY
J -00
(24)
Ряд важных формул можно получить из приведенных здесь соотношений, рассматривая предел при х -> - оо. Вывод этих формул приводится в дополне-
нии Д.9. Подчеркнем также, что все записанные выше формулы, содержащие операторы Л и L, можно переписать, пользуясь операторами Л и L, на основании операторных тождеств [ формулы (Д.9-25, 30)]
g(A)S=Sg(A),g(£)D=Pg(£),(25)
где D - дифференциальный оператор
D = d/dx.(26)
Дополнительные спектральные интегральные соотношения
Выше были приведены две важные формулы (2.4.Б.-11) и (2.4.Б.-12), связывающие две функции (’’потенциалы”) uU)(x) с соответствующими спектральными данными. Были приведены также некоторые вытекающие из них формулы, устанавливающие соотношения между одной функцией и(х )(или ее приращением) и соответствующими спектральными данными (и их прираще- ниями): формулы (2.4.Б.-15, 16, 21, 22). Здесь мы просто заметим, что дополнительные соотношения, содержащие одну функцию и связанные с ней спектральные данные, прямо следуют и из формул (2.4.Б.-11), (2.4.Б.-12) и из результатов п.А, 1 данного параграфа, которые явно показывают, как изменяются потенциалы и спектральные данные при трансляциях и масштабных преобразованиях. Например, подставив и^х\х^—р?-и^рх\и^х^и^х),(1)
вместе с соответствующими выражениями (2.LA.-3) в формулу (2.4.Б.-Ц), получим g(3)[/w(/<x)-w(x)] =
= -2 2 \ fW<MxApnMWkxA#ipn^^4f?Pn^P„- и= 1
~ГтЧрхЛр^рЧхлрпЫ^
— i7-x [ dk fwUx, k/^ х
p>-R^\.(2)
Здесь оператор Л определяется формулой (2.4.Б.-10), но с учетом формулы (1) [и соответствующего соотношения для интегралов
>^х\х^-pw^pxY ^{х^-^х,},(1а)
формулы (2.1.А.-3)], а все другие величины связаны со спектральной задачей с потенциалом и(х-) [заметим, между прочим, что, хотя дискретные собственные значения не инвариантны относительно масштабного преобразования, полное их число N, очевидно, инвариантно, формула (2.1.А.-Зд)].
Вывод других формул аналогичным методом предоставляем читателю проделать в качестве простого упражнения. Мы же вместо ^ ого приведем частный случай (2), соответствующий инфинитезимальным мяг табным преобразованиям (ц = 1 + t, е 0)?:
g(L)[w(x)+xw,(w)]=
= ~2 2 ^^ЧхЛРп^^ЧхДр^^Рп^РпРп*
+ [/<+Ч*Ла)]2[М4А2)а+?(4А2)]а} +
+dk^f^\x,k^ g^—^k^kR^k?).(3)
Здесь мы используем обозначения (2.4.Б.-17), а оператор L определяется формулой (2.4.Б.-18). Конечно, это последнее уравнение можно получить прямо из формул (2.4.Б.-15) и (2.1.А.-4). Для удобства в дальнейшем перепишем эту формулу в виде
g(£)[xux(x) + 2K(x)]=
Г N <
= (d/dx)p 2 (2//+Чх,1а)/<+,(*.*а)8(4Л2)м,-
I n~ 1
-57 '[d^t/^'Cx.^^gC-A/r2)^^/:)^(4)
J - 00J
что следует из формулы (3) и операторного тождества [формула (Д.9.-30)] g(L)D=Dg(£Y(5)
где D — дифференциальный оператор
D=d/dx,(6)
так что, в частности, и(х) = — Dw^x^,(7)
xu^x^-VIu^x^ — Z>[xwx(x) + w(x)] = — Z)2[xw(x)].
В. Связь между соотношениями вронскиана и интегральными спектральными соотношениями
Результаты двух предыдущих пунктов (пп. А и Б), конечно, взаимосвязаны; они во всем аналогичны формулам обратного и прямого преобразования Фурье, кроме того, что роль фурье-базиса (экспоненциальных, или круговых,
функций) теперь играют произведения двух собственных функций (или квадраты одной собственной функции) спектральной задачи Шредингера. В силу зависимости таких собственных функций от ’’потенциалов” и ^ >( х) (в рамках прямой спектральной задачи) или от спектральных данных S ^) = (R ^ )(А), - оо < к < + ос-; р ^) , р^), п = ]# 2, ..., А (^}! (в рамках обратной спектральной задачи) эти формулы, конечно, нелинейны, и потому-то они и оказываются пригодными для решения некоторых классов нелинейных эволюционных уравнений (гл. 3).
Таким образом, естественной связью между результатами пп. А и Б являются соотношения замкнутости (ортогональности и полноты) для произведения двух собственных функций спектральной задачи Шредингера, соответствующих одному и тому же собственному значению к 2 (но, возможно, двум различным потенциалам ud ^х), ; = 1, 2). Сами эти произведения являются собственными функциями оператора А, соответствующими собственному значению - 4& 2 [формула (2.4.Б.-9)}; между прочим, это интегро-диф- ференциальное уравнение можно легко преобразовать в обыкновенное дифференциальное уравнение четвертого порядка, если u(D (х) / и<2)(х), и в уравнение третьего порядка, если и^^^х^ = и^х^
В дополнении Д.9 демонстрируются некоторые замечательные и полезные свойства оператора А, но мы не рассматриваем спектральных свойств этого оператора и его собственных функций, поскольку для нас они не очень существенны; интересующегося же читателя мы отсылаем к литературе (см. примечания). Что касается полноты собственных функций оператора А, то укажем просто, что в силу интегральных соотношений вронскиана ^{^’(-^/[t’1^)/’^-*)] -Я(|)(-&)/[7’<|)(-А:)7’,2)(А:)]} =
= £+J cU/<+'<"(x, k)/W»4x, Л)[«“>(jr)-»<2>(х)](1)
и формулы (2.4.А.-38) функция и с1)(х) - uW^ ортогональна каждой собственной функции / (♦HD^A) f(+)(2)(x, к'), -оо < к < + оо и функции ^n^*)?'^*)» и = L 2, ..., А, оператора Л [ п.Б, в частности формула (2.4.Б.-9)] при условии, что спектральные данные функций и (^(х) и и№^ различаются только значениями нормировочных множителей р ^ и р (2) [^(D( k) = R ^{k), p( n = p (2) , n = i# 2, ..., А, и поэтому (дополнение Д. 4) Т а 1) (к) = Т(2) (к)]. Это указывает на неполноту множества
И (+) U)(x, k) / (+М2)(х , k), - оо < к < + оо •; ф(1)(х)ф(2)(х), п = 1, 2, ... , А|,
Примечания к главе 2
Многие приведенные в этой главе сведения уже излагались ранее в книгах и обзорных статьях. Правда, спектральная задача Шредингера (или задача ’’рассеяния”) более интенсивно исследовалась на полупрямой (0 < х < + оо,
в этом случае х интерпретируется как радиальная координата), а не на всей прямой (- оо < х < + оо )е Но обе задачи довольно сходны, и поэтому можно сравнительно легко перенести результаты и методы одной из них на другую. В качестве обших работ по радиальной задаче рассеяния Шредингера можно указать, например, работы [ 155, 368, 80, 221, 240, 18, 333, 1471 (в последних трех работах рассматривалась обратная задача). О детальном исследовании задачи Шредингера на всей прямой см., например (кроме последних двух работ, цитируемых выше), работы [ 183, 169, 3781; во всех этих работах рассматривается обратная задача, но затрагивается и прямая.
. Все приведенные в этом параграфе результаты в настоящее время являются стандартными (см. цитируемую выше литературу), за исключением формулы (2.1.-41), которая была получена только недавно [124].
. Общую литературу по обратной спектральной задаче см. выше, некоторые дополнительные ссылки даются в примечании к дополнению Д.5. Отметим, что нигде обратные спектральные задачи не рассматриваются строго, в частности мы никогда не пытаемся охарактеризовать самый широкий класс функций, для которых спектральное преобразование биективно (и в самом деле, это в значительной степени открытый вопрос). О полученных недавно строгих результатах см., например, работу [ 169] [заметим, что в этой статье налагается ограничение
( ” dx(l +х2)|и(х)|<оо,
* — ОО
более строгое, чем условие (2.1.-2)].
§4, п.А. Мы уже подчеркивали в нескольких статьях [82, 85, 111, 117, 150], что интегральные соотношения вронскиана (или "обобщенные-соотношения вронскиана", как мы их называли в предыдущих публикациях) пригодны для исследования нелинейных эволюционных уравнений, разрешимых методом спектральных преобразований (правда, в «последних трех статьях мы сосредоточили свое внимание на более общих спектральных задачах, чем те, ю которых щла здесь речь; см. т.2). См. также работы [ 103, 216, 217].
. п.Б. Пригодность спектральных интегральных соотношений, подобных тем, которые были приведены в этом пункте, для изучения нелинейных эволюционных уравнений, разрешимых методами спектральных преобразований, указывалась многими авторами, например школой Кларксона [ 16], но они занимались обобщенной задачей Захарова - Шабата, а не задачей Шредингера. Все же приведенный в этом пункте набор формул, вероятно, самый полный из до сих пор опубликованных (в частности, в работе [ 16] нет уравнений для двух разных потенциалов, а в работе [156] они приведены с опечатками; но этот случай рассматривался в работе [260]).
§4, п.В. Важное значение соотношений замкнутости для квадратов собственных функций подчеркивалось различными авторами (например, авторами
работы [271]); в связи со спектральной задачей Захарова - Шабата эти соотношения были приведены в работе [ 244] (см. т. 2). Строгое рассмотрение интересующей здесь нас спектральной задачи Шредингера дано в работе [260}; фактически это рассмотрение более общее, чем упомянутые выше, поскольку речь идет о спектральных свойствах оператора Л, собственными функциями которого являются произведения двух спектральных функций Шредингера (дополнение Д.9), соответствующих двум разным потенциалам iH^x ) и и<2)(х) [квадраты собственных функций являются собственными функциями оператора L , к которому сводится оператор Л, когда и^!) (х) = и <2> (х) = = и (х)]. Аналогичные результаты, но в связи со спектральной задачей Захарова - Шабата (или Дирака) можно найти в работах [216, 217], где рассматриваются также эволюционные уравнения, разрешимые посредством этой спектральной задачи.
Глава 3
НЕЛИНЕЙНЫЕ ЭВОЛЮЦИОННЫЕ УРАВНЕНИЯ,РАЗРЕШИМЫЕ МЕТОДОМСПЕКТРАЛЬНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ШРЕДИНГЕРА
Мы уже изложили (гл. 1, § 4-6) основные идеи метода решения некоторых классов нелинейных эволюционных уравнений с помощью спектрального преобразования. В данной главе снова пойдет речь об этих же вопросах, но теперь мы уже сможем доказать основные результаты, приведенные без доказательства в гл. 1. Вспомним, что самое главное - найти те временные эво- люиии функции и^х, t), которым отвечает простая эволюция соответствующих спектральных данных S UV Это мы сделаем в § 1, пользуясь некоторыми формулами, приведенными в гл. 2, § 4, в частности теми, которые соотносят бесконечно малые изменения функции и^ с соответствующими изменениями связанных с ней спектральных данных. Тем самым мы определим класс нелинейных эволюционных уравнений, разрешимых с помощью спектрального преобразования для спектральной задачи Шредингера, и далее рассмотрим решение задачи Коши для данного класса эволюционных уравнений. При этом мы будем рассматривать здесь только уравнения, инвариантные относительно пространственных трансляций. Более широкий класс уравнений, не являющихся трансляционно-инвариантными, с коэффициентом, линейно зависящим от пространственной переменной х, тоже разрешим методом спектрального преобразования для спектральной задачи Шредингера, но рассмотрение его откладывается до гл. 6, § 2. Другие классы нелинейных эволюционных уравнений, разрешимые другими спектральными преобразованиями, будут рассмотрены в т. 2.
В § 2 анализируется (качественно и, где можно, количественно) поведение решений класса нелинейных эволюционных уравнений, введенного в § 1.
Уравнение КдВ и высшие уравнения КдВ
Пусть и - функция двух действительных переменных х и t:
u = u(x,t),— оо<х< + оо, t^O.(1)
Мы рассматриваем задачу Коши: функция и задается в некоторый начальный момент времени, например при t = 0:
«(x,O) = uo(x),(2)
а поведение ее в последующие моменты времени определяется неким эволюционным уравнением. Зависимость функции uU, г) от координаты х такова, что для заданного момента времени t функция и попадает в класс потенциалов,
рассматривавшихся ранее, а именно и^х, г) - регулярная функция, определенная при всех действительных значениях переменной % и достаточно быстро асимптотически обращающаяся в нуль со всеми своими производными:
O = u(±oo,r) = ux(±oo,/) = ихх(±оо,/) = •••(3)
Кроме того, класс рассматриваемых эволюционных уравнений таков, что если функция и обладает этими свойствами при t = 0, то она будет обладать ими во все последующие моменты времени t, т.е. достаточно ограничиться рассмотрением начальной функции (задачи Коши) uQ^, являющейся FF-потен- ииалом, чтобы гарантировать, что функция и^х, t) при t > 0 ( или при t < 0) как функция аргумента х тоже будет FF-потеншалом. Таким образом, существуют спектральные данные
sn^^M^-o^^ + ooJAX'hzbO), "=1,2,•■•,#(/)},(4)
взаимно однозначно соответствующие функции и^х, t^, которые также изменяются во времени, начиная с исходных значений
5(0) = {/$0(fc)=/?(/с,0). - «о <к< + оо; р„(0), Р„(0),
и=1,2,...,^0)},(5)
соответствующих начальной функции в задаче Коши и0М
Рассмотрим теперь бесконечно малое изменение функции и^х, г), отвечающее бесконечно малому приращению времени,
£и(х, t) = ut(x, z)dz,(6а)
и соответствующее изменение спектральных данных
£$(О = ^Rt(k» t)dt»-oo<k< + co;pn(t)dt,pn(t)dt,
В последней формуле точкой сверху обозначается дифференцирование по времени; таким обозначением мы часто будем пользоваться впоследствии (но только для функций одной переменной г). Кроме того, здесь по нашему неявному предположению число N дискретных собственных значений не изменяется за бесконечно малый интервал времени dt (ниже мы увидим, что для класса рассматриваемых временных эволюций N вообще не меняется со временем).
Чтобы связать бесконечно малое изменение потенциала (6 а) с соответствующим изменением спектральных данных (6 б), мы можем теперь воспользоваться формулами гл. 2, § 4. Действительно, мы имеем право привлечь интегральные соотношения вронскиана (гл. 2, § 4) или спектральные интегральные соотношения (гл. 2, § 4, п. 2); первые больше подходят для определения эволюции во времени спектральных данных, соответствующих заданной временной эволюции функции и^х, t), а вторые - для определения временной эволюции
функиии и^х, t Y соответствующей заданной эволюции во времени спектральных данных. Хотя последний подход более компактен, мы начнем с первого, так как наш основной интерес на самом деле состоит в определении временной эволюции спектрального преобразования, соответствующего заданной эволюции во времени функции и^х, tY Затем мы проверим непротиворечивость всех результатов, используя и второй подход.
Начнем с коэффициента отражения. Формулы (2.4.А.-12) дают
2i&g(-4&2, t)Rt(k, t^- Г dx[^(x,&,z)]2g(£,z)ur(x,z).(7)
J-oo
^Xk^h^ — 4k2, t)R(k, z) = f dx [^(x, k, z)]2A(£, z)ux(x, z).(8)
Здесь ^z, t) и Цг, z) - произвольные функции, от которых требуется только, чтобы они были целыми функциями первой переменной z; как показывают наши обозначения, они могут зависеть от t. Остальные обозначения совпадают с обозначениями предшествующих параграфов, за исключением того, что есть дополнительная переменная t. Для удобства читателей мы теперь перепишем, однако, определение интегро-дифференциального оператора L, детально указав его воздействие на порождающую функцию /(х):
L/(x)=/xx(x)-4u(x,z)/(x) + 2ux(x,z)yd у Ку)(9)
(конечно, функция f может зависеть и от времени t Y
Из формул (7) и (8), очевидно, следует, что если функция Цх, z) удовлетворяет нелинейному эволюционному уравнению
g(L,t)u,(x.t)=h(L,t)uKx,t),(Ю)
то эволюция соответствующего коэффициента отражения R^k, z) описывается обыкновенным линейным дифференциальным уравнением первого порядка g(-4Zr2, t)Rt(k, t) = 2ikh(-4k2, t)R(kj),(ц)
которое может быть сразу же проинтегрировано:
R(k, z) = /?(£,O)exp ^2i£fdt' [Л( — 4к2, f)/g( — 4k2, z')] j ♦(12)
Из этой формулы следует, что со временем меняется только фаза функции R№, t Y а модуль ее не зависит от времени при всех действительных значениях к, т.е. при условии, что функции g и h действительны, т.е. действительно само нелинейное эволюционное уравнение (10) [это не обязательно означает, что действительна сама функция иДх, t Y хотя в общем случае мы ограничиваемся рассмотрением только такого случая].
Таким образом, мы определили класс нелинейных эволюционных уравнений (10), такой, что соответствующее изменение во времени коэффициента отражения R(,k, z) дается явной формулой (12). Следовательно, можно решить
задачу Коши для уравнения (10), найдя сначала коэффициенты отражения /?№, 0) = R0W, соответствующие начальному данному Коши (2), затем вычислив по формуле (12) функцию R^k, г) при t > 0 и после этого восстановив функцию Цх, t) по функции R^k, t \ Однако последний шаг при наличии дискретных собственных значений требует знания соответствующих параметров р^ и р (г), а поэтому мы переходим к исследованию их эволюции во времени, когда эволюция функции Цх, t) описывается уравнением (10).
Рассмотрим сначала эволюцию параметров pnUV Тогда формула (6) вместе с (2.4.А.-55) и (2.4.А,-56) означает, что
-2p„(t)g(4p?(t), ^„(t^jdx[^„(x,t)]2g(L,t)u,(xyt)y(13)
0= /’ + °°d.x|>„(x)z)]2A(£,z)izx(x)z).О4)
* — oo
Отсюда сразу же следует, что при эволюции функции и^х, г), протекающей в соответствии с уравнением (10), дискретные собственные значения р (t) остаются постоянными:
Л(0 = 0,(15)
или, что эквивалентно,
Рпк^=Рп^=Рп-(16)
Это весьма замечательное явление [заметим, что от описываемой уравнением (10) эволюции не требуется даже автономности, т.е. уравнение (10) может содержать явно зависящие от времени коэффициенты]; оно означает, что если эволюция функции и^х, г) описывается уравнением(10),то оператор Шредингера — д2/дх2 + и(х, t)(17)
претерпевает изоспектралъную деформацию. Из инвариантности во времени собственных значений следует, в частности, что число их с течением времени не меняется.
Перейдем теперь к временной эволюции нормировочного множителя р (;), связанного с собственным значением р^ потенциала Цх, t), когда изменение потенциала во времени описывается уравнением (10). Тогда формулы (6) вместе с (2.4.А.-69) и (2.4.А.-70) (теперь использование их оправданно, так как мы рассматриваем инфинитезимальные изменения функции и, которые меняют только нормировочные множители, но не дискретные собственные значения) дают
-Р„бЦр2>^Рп^/Рп<^=(18)
= / dx<p^xyt')<pp(.xypnyt')g(yLyt')u,(.xyt')y
2Pnh^p^,t^ = /dx^,(x,z)^(x,p„,z)A(£,z)zzx(x,z), (19)
где, конечно,
р/х,(20)
и функция <р(х, р, г) определяется формулой (2.4.А.-61) (с соответствующим образом добавленной переменной г), Из формул (18) и (19) немедленно следует, что при эволюции функции и^х, t\ описываемой уравнением (10), соответствующая эволюция каждого из нормировочных множителей р (^) описывается обыкновенным линейным дифференциальным уравнением первого порядка g(4^„2, t)а(t) = -2pnh(4pf, t)pn(t),(21)
которое можно сразу же проинтегрировать: ^(O=A(O)exp(-2pnjf'dt'[*(4p^(22)
Прежде чем идти дальше, заметим, что эволюционные уравнения (15) и (21) для параметров дискретного спектра можно вывести непосредственно из эволюционного уравнения (11), которому удовлетворяет коэффициент отражения R(k, г), если учесть соотношение
[формула (2.1.-36)]. Соотношение (23) справедливо при к ~\pnUV Действитель* но, продифференцировав это соотношение по t, получим
Яг(М)^АХ0/[£-1Л(0]-А(0а(0/[^-^(')Г^(24)
а подставив это выражение в уравнение (11) и затем приравняв коэффициенты при полюсах второго и первого порядка в точках к = ip (г), мы действительно получим формулы (15) и (21). Такой вывод уравнений для параметров дискретного спектра из уравнения эволюции коэффициента отражения - удобный способ обойтись без соотношений типа вронскиана для этих величин. Поэтому в последующем мы будем иногда прибегать к такому маневру. Правда, это несколько сомнительная процедура, ибо, как мы знаем, соотношение (23) не является универсально справедливым и потому вывод эволюционных уравнений для параметров дискретного спектра был сначала здесь дан без использования соотношения (23). Однако эволюционные уравнения для параметров дискретного спектра, получающиеся из эволюционного уравнения для коэффициента отражения путем сокращенной процедуры на основе уравнений (23), вообще говоря, корректны не только в рассмотренном здесь относительно простом случае, но и в более сложных, о которых пойдет речь в дальнейшем.
В заключение отметим, что задача Коши для нелинейного эволюционного Уравнения (10) [или, скорее, для класса нелинейных эволюционных уравнений (10), так как для каждого конкретного выбора функций g и h получаются различные эволюционные уравнения ] решается теперь в три этапа: сначала находятся спектральные данные S (0) для начального данного Коши и^х, 0) = и^х),
затем по явным формулам (12), (16) и (22) определяется эволюция спектральных данных от их начальных значений S (0) до значений S (г) в момент времени t и, наконец, по данным S(t) восстанавливается функция Цх, г). Об аналогии между такой процедурой и решением линейных эволюционных уравнений методом преобразования Фурье говорилось в гл. 1, § 4, и повторяться нет необ- х одимости.
Рассмотрим теперь класс нелинейных эволюционных уравнений (10). Прежде всего отметим, что до сих пор наше рассмотрение было довольно формальным. В самом деле, каков смысл уравнения (10), если функции ^х, t) и Цх, г) не являются полиномами по х? Кроме того, даже если эти функции полиномиаль ны, каков смысл формулы (12), если входящая в знаменатель функция g(z, t) обращается в нуль при некотором отрицательном значении х и положительном значении t? Или каков смысл формулы (22), если обращается в нуль функция 5^Рп ’ 1 ^ ® этом случае становится сомнительным даже вывод формулы (15) из формул (13) и (14).
Здесь мы не будем рассматривать эти вопросы за недостатком места; подчеркнем лишь основной вывод, к которому приводит только что изложенный метод решения, а именно что временная эволюция в спектральном пространстве намного прогце, чем в конфигурационном. Это замечание в полной мере относит ся к упомянутым выше возможным особым случаям, которые могут показаться интересными читателю; оно относится также и к обычным случаям для более ограниченного класса уравнений, получающихся из уравнения (10) в предположении, что функция ^х, t) равна единице, а функция Цх, г) - полином по х. Такие случаи мы и будем преимущественно рассматривать далее. Но, прежде чем ограничить себя таким образом, приведем по крайней мере один пример более общего класса (10) при g(z, t) £ 1, а именно рассмотрим случай, когда g(z, O=go+g1z, Цг,О = ИоА-)цг(25)
(g ^i’ ^о и ^i м0гУт бЬ1ТЬ функциями времени t, хотя для простоты мы эту зависимость не указываем). Имеем
goU.^.^+gj ^ххг(^’^) ~4^г(^’ ^)^(^’ ^) + 3(х, /) х
XДуй,(>>,/)] = {йом(х)О+й|[«хх(*>')-3“2(х>')]}х-(26а)
Это довольно сложное интегро-дифференциальное уравнение можно свести к чисто дифференциальному уравнению
^х,+ g| ( WxxxA 4wx.wx + ^хх*г) = [ h owx+h! ( wxxx+3wx2 ) ] x(26 6)
простой заменой зависимой переменной
w~w(x,t)=f dyu(y,t), wx(xj) = —u(x,t), (27)
но даже после этого упрощений оно выглядит слишком сложным. К тому же это, строго говоря, не эволюционное уравнение, а потому едва ли есть какие-либо основания ожидать, что задача Коши для него имеет большой смысл (хотя если смотреть на эволюцию, рассматривая спектральные данные, то все выглядит чрезвычайно просто).
Читатель, которого заинтересует класс нелинейных дифференциальных уравнений (10), найдет некоторую дополнительную информацию в дополнении Д.18. Здесь же мы рассмотрим более важный класс эволюционных уравнений, получающихся, если в уравнении (10) положить g(z, t) = 1. Запишем уравнение в виде и^х, t^a^Lj^u^x, t);(28)
этот класс получается из уравнения (10), если, согласно обозначениям гл. 1 [формулы (1.2.-1) и (1.4.-2)], мы положим Цх, t^ = а^ г). Отметим, однако, что мы не исключаем здесь возможности явной зависимости функции a(z, г) от времени. Кроме того, в последующем мы, вообще говоря, предполагаем, что функция a(z, t) является полиномом по z: М,.
ак2»^~ 2 ^(О2™’ М<СО,* '
т = О
хотя многое из того, что следует далее, будет применимо без изменения и в случае целой функции а (г, г) или отношения двух целых функций аргумента z; этим вновь вводится общий случай уравнения (10).
Как отмечалось в гл. 1, § 2, со структурой класса нелинейных эволюционных уравнений (28) [с учетом выражения (29)] связана формула
(30)(30)Lmux^x, t)=g(xm\x,t^ w = 0,1,2,...,
(30)
(30)
где gm - полином степени m+ 1 от функции и^х, t) vi ее производных по х вплоть до порядка 2т[формула (1.2.-3) или (2.4.А.-27), доказательство см. в дополнении Д.9]. Из этой формулы следует, что уравнение (28) [вместе с выражением (29)] является чисто нелинейным дифференциальным 'уравнением в частных производных (не интегро-дифференциальное уравнение), имеющим вид
«Л*. 0=«Л*. 0=м2 «m(<)g<m)(x,t) т=Ом2 «m(<)g<m)(x,t) т=О(31)(31)
«Л*. 0=
«Л*. 0=
м
2 «m(<)g<m)(x,t) т=О
м
2 «m(<)g<m)(x,t) т=О
(31)
(31)
Приведем также выражения для нескольких первых полиномов g(m) [формулы (1.2.-3) и (2.4.А.-28)]:
g<°> = u,<32а>
^«„-Зи2,(32 6)
8(г)=иХхХХ~ 10uxxu-5u2 + 10u3. (32 в)
Таким образом, простейшее нетривиальное эволюционное уравнение, содержащееся в классе (28), соответствует случаю a (z) = - z и имеет вид u,(x, z) + [uxx(x, z) — Зи2(х, z)] x = 0,(33a)
или, что эквивалентно, u,(x,r) + i/XXxU,t)-6ux(x,')“(x.0=0.(336)
Как мы уже отмечали (гл. 1, § 2 и 8), это известное уравнение Кортевега - де Вриза (КдВ). Впервые введенное в 1895 г. для исследования "изменения формы длинных волн, распространяющихся в прямоугольном канале" [259], оно впоследствии появилось во многих приложениях, и даже имеются все основания изучать его с априорной математической точки зрения (см., например, работу [ 242]). Как отмечалось в гл. 1, § 8, перед каждым членом уравнения (33б) можно ввести произвольные постоянные путем тривиальной замены зависимых и независимых переменных. Из приведенного выше видно, что можно без труда рассмотреть случай, когда коэффициент перед первым членом в уравнении (33 б), или, что эквивалентно, коэффициенты при двух последних членах, зависят от времени (это просто соответствует переопределению переменной времени), но такие зависящие от времени множители перед вторым и третьим членами уравнения (336) должны быть одинаковы [иначе уравнение нельзя будет обратно преобразовать к классу (10)]. Кроме того, отметим, что путем преобразования к движущейся системе отсчета, а именно путем замены переменной х' = х v vt можно устранить дополнительный член в уравнении (336), пропорциональный функции и^х, Ц, соответствующий члену т = 0 в правой части уравнения (31).
В случае М > 1 нелинейные эволюционные уравнения (31) называются "высшими уравнениями КдВ"; иногда более специфически это название используется только для нелинейных эволюционных уравнений, полученных из класса (31), когда все коэффициенты с^, кроме одного, обращаются в нуль (без потери общности остающийся коэффициент можно положить равным единице), т.е. для уравнений ur(x)z)=g^m)(x,z)) >и = 2,3,4,... .(34)
В других случаях, менее конкретно, так называются все уравнения класса (10).
Самое простое уравнение класса (28) или (31) получается при a(z) = 1. Это волновое уравнение первого порядка ut(x, z) = их(х, t),(^5)
общее решение которого имеет вид u^x.t^fU^tY^
Следовательно, для решения этого уравнения не нужно спектральное преобразование [но принадлежность простого волнового уравнения (35) к классу (28) будет использоваться впоследствии ].
Класс (31) [или вообще (28)] нелинейных эволюционных уравнений может быть записан в компактном виде для зависимой переменной w(x, t) [формула (27)] при использовании операторного тождества [формулы (Д.9.-30,5,4,3 )]
/ &yg<LMyUV~gU^flxY<37)
Здесь функция g(z) - произвольный полином (или вообще любая целая функция), Z - оператор, определенный формулой (9) (конечно, с заменой % на у), f^ — произвольная функция (стремящаяся к нулю при х -♦ + оо), a L - оператор, определенный формулой [формулы (2.4.Б.-28) и (27)]
LF(x)=Fxx(x)+4wx(x,t')F(x') + 2j dywyy(y, t)F(y),(38)
которая задает его действие на порождающую функцию F^.
Частный случай тождества (37) имеет вид [формула 27))]
( dya(Lj)uy(y,t)=a(L,t)wx(x,tY(39)
*Х
и эта формула вместе с формулой (27) (из которой следует, конечно, что w(+°°, t) = 0) позволяет записать уравнение (28) в виде
wr(x,/) = а(£,/)н\(х,/).(40)
Отметим, что при любом выборе полинома a(z) это есть нелинейное дифференциальное уравнение в частных производных [ не интегро-ди фференциальное уравнение, см. формулу (31)]. Основное различие между уравнениями (28) и (40) состоит в том, что оператор L заменяется оператором L; кроме того, в то время как мы всегда предполагали, что функция u(x, t) асимптотически равна нулю со всеми своими производными [условия (3)], все производные функции w (х, t) стремятся.к нулю на обоих концах, а сама функция должна обращаться в нуль только при х -> 4- оо [ формула (27)]:
0“w( + x,r) = H't(±oo,r) = H'xx(±oo,r) = ••• .(41)
До сих пор мы предполагали, что функция и^х, г) или, что то же, функция w(x, t), удовлетворяет нелинейному эволюционному уравнению, например уравнению (28) или (40), и находили, как изменяются во времени соответствующие спектральные данные:
Rt(k, t) = 2ika( — 4k2, t)R(k,t),(42 а)
Л(П=0,(426)
P„U) = -2pna(4p^t)pn(t).(42в)
Теперь убедимся, что, когда изменение спектральных данных со временем описывается уравнениями (42), изменение функции и^х, г) действительно описывается уравнением (40) и соответственно уравнение (28) описывает изме-
некие во времени функции Цх, t) (это просто проверка совместности, поскольку данный результат вытекает из взаимно однозначного соответствия между функцией, принадлежащей к классу BF-потенпиалов, и ее спектральными данными). Легче всего это проделать, пользуясь приведенными в гл. 2, § 4, п. Б, спектральными интегральными соотношениями, в частности теми, которые отвечают случаю инфинитезимальных изменений [ формулы (2.4.Б.-15) и (2.4.Б.-16)] и которые в данном случае можно переписать в виде
w,(x,t)=-2 2 ^^X’iPn’^f^X’iPn’tWOPnM
п — 1
АГ^хДр,^^-»-'^^(43)
x<i-,t>w^x,t^=4 2 \fwkxAp„^V ^р^ЛрМр^У и — 1
(44)(44)— it xf dfc[/(+)(.x, k,/)]22iA:a( — 4k2, t)R(k, t).
(44)
(44)
* ~ 00
Отсюда явствует, что формулы (42) дают уравнение (40).
(45 a)(45 a)Наконец, подчеркнем еще раз, что по крайней мере в случае действительных уравнений, т.е. в случае действительной функции a(z, г) в уравнениях (28) и (40), из уравнения (42 а) следует, что во времени меняется только фаза функции R (к, О> н0 не ее модуль:
(45 a)
(45 a)
R(k, t)=R(k,O)exp 2ik [ dr'^ — 4k2, t') ,
^(kj^RU^V lmk=0.(456)
Отсюда вытекает ряд (желаемых) следствий. Прежде всего данный факт гарантирует, что сохраняются во времени два важных свойства функции R^k, t), отражающих пригодность ее в качестве коэффициента отражения: стремление к нулю при к -> ± оо и модуль, не превышающий единицу, сохраняются во времени. Сохраняется также свойство симметрии (2.1.-12 б). Сохраняются все свойства, имевшиеся в начальный момент. Так, если функция и^х, 0) является BF-потен- пиалом, то им остается и функция и^х, t) при t ^ 0; в этом - точное доказательство существования и единственности решений класса нелинейных эволюционных уравнений (28) или (40) (в функциональном классе SF-потенциалов).
Кроме того, поскольку заданием модуля коэффициента отражения и дискретных собственных значений задается коэффициент прохождения (гл. 2, конец § 1), а все эти величины не зависят от времени [формулы (42 6) и (456)] , коэффициент прохождения Т^> соответствующий функции Цх, г), тоже не зависит от времени, если изменение функции uU, t) описывается уравнением (28). Это важное положение можно доказать, пользуясь формулами (2.4.А.-25) и
(2.4.А.-26), но мы отложим доказательство до гл. 5, где этот результат будет использован для получения бесконечной совокупности законов сохранения для класса эволюционных уравнений (28).
Анализ решений
В данном параграфе мы рассмотрим, качественно и количественно, поведение решений класса эволюционных уравнений, о котором шла речь в предыдущем переграфе (§ 1). Однако мы предположим, что уравнение явно от времени не зависит, так как мы хотим установить, какой тип временной эволюции вызван структурой эволюционного уравнения, а не явной зависимостью от времени его коэффициентов. Таким образом, в данном параграфе мы ограничимся классом эволюционных уравнений ut(x, /) = а(£)иЛ(х, t)(la)
или, что эквивалентно, wt^x, t) = a(L)wx(x, t)(16)
[где операторы L и L определены формулами (3.1.-9) и (3.1.-38), а функции Цх, t) и w^x, t) связаны соотношением (3.1.-27) и определяются граничными условиями (3.1 .-3) и (3.1.-41)]. Вспомним, что, каков бы ни был полином а (г), уравнения (1а) и (1 б) являются нелинейными дифференциальными уравнениями в частных производных (не интегро-дифференциальными уравнениями). Соответствующая эволюция спектральных данных имеет вид [формула (3.1.-42)]
Я(£, ?)=«(£,0)exp[2iM~4£2)f|,(2 а)
(2б)
^(0=А,(0)ехр[-2рпа(4р2);].(2в)
Мы не повторяем здесь уже сказанного в гл. 1, § 6; читатель, если ему хочется, может вернуться к этому, прежде чем идти далее. В п. А данного параграфа мы подробнее, чем это делалось в гл. 1, § 6, п. А, рассмотрим солитоны, приведем также ряд графиков и остановимся на различии между солитонами и -уединенными волнами (или солитронами, как мы предлагаем их называть). В п. Б мы снова вернемся к предельному случаю "слабого поля" для этих нелинейных эволюционных уравнений, главным образом чтобы дополнить сказанное в гл. 1, § 5. В п. В мы кратко рассмотрим качественное поведение во времени общего решения уравнения (1), в частности его поведение в пределе при t -► <*. Наконец, в п. Г мы рассмотрим некоторые конкретные решения класса эволюиионных.уравнений (1 а) или, скорее, простейшего нетривиального уравнения этого класса, уравнения КдВ (3.1.-33).
А. Солитоны и солитроны
В гл. 1, § 6, уже говорилось о возможности определения в любой момент времени одной части решения уравнений (3.2.-1), связанной с одним конкретным солитоном. Это нетрудно сделать в спектральном пространстве; действительно, там каждый солитон, очевидно, связан с одним дискретным собственным значением р^ (отметим, однако, что действительное положение п-го солитона в х-пространстве, например в пределе при t-* ±оо, когда он, вообще говоря, выделяется, зависит не только от n-го нормировочного множителя Рп(г), как видно, например, по смещению в асимптотическом положении каждого солитона, вызванному его взаимодействием с другими солитонами (гл. 1, § 6, п. А, или см. явный анализ двухсолитонного решения в дополнении Д.10). Но нелинейный характер соотношения между функцией иМ и ее спектральными данными означает, что нет ясного определения какой-нибудь части решения, соответствующей одной компоненте спектральных данных.
Однако можно написать лсевдолинейное сооотношение между функцией и ее спектральными данными, введя собственные функции спектральной задачи. Особенно привлекательны с этой точки зрения формулы (1.3.В.-2) и (1.3.В.-3), которые мы теперь запишем в виде
u(x,t)=-4 2 Л,[р„(-*.')]2 + п= 1
+ ^-7+“d4/(+)(*>M)]22iA:/?(M),(1)
* — ОО
N
w(x,0 = -2 2 Мх' <)ехр(-р„х)р„(?)-
п = 1
&kfw^x, к, t)exp(jkx>)R(k, t).(2)
Эти формулы представляют собой частный случай формул (2.4.Б.-16) и (2.4.Б.-21) соответствующий значению g(z) = 1; символом \R(k, t), -«»<£<+«>; р^, рп(0> п = 1,2,..., М обозначены спектральные данные функции Цх, t), функция fw(x, A, t) является решением Йоста, соответствующим "потенциалу” u(x, t) [например, уравнение (2.1.-1) с условием (2.1.-4)], а функции f^x, t) и q>n(x, t) являются собственными функциями, соответствующими дискретному собственному значению d [см., например формулы (2.1.-21 - 24)].
Привлекательность выражений (1) и (2) - в их аддитивности, в частности в том, что суммируются вклады различных дискретных собственных значений. Данное обстоятельство, казалось бы, позволяет интерпретировать каждый член суммы в правой части как солитон (в ^-пространстве для всех моментов времени). Первая трудность - два разных варианта, основанных на формулах (1) и (2). Они не эквивалентны, по крайней мере с интересующей нас здесь точ-
ки зрения, так как, хотя, согласно тождеству
Z
+ oo dyu^y, 0» и(х, t)=~wx(x, t\
производная выражения (2) безусловно равна (с точностью до знака) выражению (1), это равенство выполняется только глобально, но не почленно [если не считать очень специального случая одно солитонного решения, когда интегралы в выражениях (1) и (2) пропадают и сумма содержит только один член; см. формулы (2.2.-17 - 19)].
Вторая трудность связана с тем, что аддитивный характер выражений (1) и (2) несколько обманчив, так как нелинейность соотношения между функцией и ее спектральными данными проявляется в наличии зависимости собственных функций от глобального потенциала [например, функция q^(%, г) является нормированной собственной функцией, соответствующей собственному значению -р^ уравнения Шредингера с полным потенциалом и^х, t)].
Конечно, определять ли каждый член в выражении (1) или в выражении (2) так, чтобы он представлял солитон в х-пространстве в течение всего времени, - это вопрос выбора. Чтобы установить, какое из двух возможных определений (1) и (2) будет более подходящим (если они вообще будут пригодны), мы приводим на рис. 1-4 двухсолитонное решение уравнения КдВ
Ut^Uxxx~ ^UUX = O, U = U^X,t\(3)
в двух видах
2
м(х,т) = -4 2 ^„(^[/„(х,?)]2,(4)
и= 1
2
«С*.')=2 2 z>„(z)[/„(x,z)exp(-p„x)]x,(5)
И=1
отвечающих выражениям (1) [вспомним формулы (2.1.-24) и (2.1.-25)] и (2). Здесь, конечно [см. гл. 1, § 6, п. А, или формулы (2.2.-26 - 29) и (2.1.-24, 25)],
А,(О = 2рлехр[2рл/л(;)], «=1,2,(6)
«=1,2,(7)
2
2 Pmk^kP„*PmYXCXpY-<Pn*pmV\fmkx,tV= т= 1
= ехр(-^лх), «=1,2.(8)
Легко видеть, что ни одно из двух определений не является полностью удовлетворительным; второе кажется особенно неподходящим, так как действительный солитон появляется после взаимного уничтожения двух членов в выражении (5), но первое тоже неудовлетворительно, так как отчетливо видны два пика уа шестом снимке серии рис. 1 или 3, где должен быть один солитон. Ко-
нечно, когда солитоны достаточно удалены друг от друга (и поэтому, в частности, в отдаленном будущем и прошлом), каждый член в двух суммах совпадает с одно солитонным выражением (соответствующим образом локализованным);
когда же солитоны находятся близко друг от друга, соответствующие члены оказываются деформированными, поскольку на волновую функцию каждого "связанного состояния" спектральной задачи Шредингера влияет нелинейным
Рис. 1. Одиннадцать последовательных графиков (рассчитанных на ЭВМ) двухсолитонного решения уравнения КдВ (3), разделенных равными временными жтер- вапами. Г рафики построены в системе центра масс, движущейся со скоростью v = 4(p5 -ь p^VkPi 4- р2) = 4 (Р? -Р1₽2 -ь р2)« Параметры солитонов таковы: рх = 3/5, Р2 = 4/5, £01 = — 9,6, £02 = 7,2. Крестиками показано полное решение, а частым и редким пунктиром - два члена выражения (4).
2^।।—ilI11111
'-20 -16 -12-8-4 о 48121620
Ось jc
0,500,50
0,50
0,50
t-21,00
-2Д0'1111111111
-ZO -16-12 -8-4 о 48121620
Ось x
х язо
образом вся структура "потенциала" и^х, tV [Это не происходит, когда потенциал и^х, t) разлагается на сумму N отдельных потенциальных ям с одним "связанным состоянием", локализованным в каждой яме; для этого нужно, чтобы расстояние между такими ямами было велико не только по сравнению с их размерами, которое, очевидно, имеет порядок р”1 , но и по сравнению с разностью jp^-pm| -1, см. дополнение Д. 10.]
Последовательность графиков рис. 1 и 3 (или, что эквивалентно, рис. 2 и 4) также заслуживает внимательного рассмотрения постольку, поскольку они демонстрируют явление упругого столкновения солитонов (чтобы увидеть это, нужно не обращать внимания на прерывистые линии и смотреть только на крестики). Выбраны два типичных примера, чтобы показать два типичных режима столкновения двух солитонов: либо как "обмен индивидуальностями" (когда солитоны сближаются, более высокий и тонкий становится ниже и шире, а более низкий и широкий растет и становится уже, затем они разделяются, не слившись, рис. 1 или 2), либо с "потерей индивидуальности" (два солитона временно сливаются в один горб, затем снова появляются из него, очевидно пройдя друг через друга, рис. 3 или 4).
Рис 2. То же решение, что и на рис. 1, но разложенное по формуле (5), а не (4). Изменен масштаб по вертикальной оси.
ТО
t« 6,00
Н111НЖ1НН1НН11111НН111НЖ1НН1НН11111Н
Н111НЖ1НН1НН11111Н
Н111НЖ1НН1НН11111Н
1111111111
-го -16 -12-8-4 О 48121620
Ось гс
Очевидно, что появление в нелинейной теории поля солитонов, подобных тем, о которых здесь шла речь, которые асимптотически ведут себя как набор отдельных локализованных сохраняющихся объектов, движущихся как свободные частицы, может оказаться весьма привлекательным для физики элементарных частиц; подчеркнем, что здесь мы являемся свидетелями механизма, дающего частипеподобное поведение за пределами классической (т.е. не квантовой) теории поля. Эйнштейну, до конца дней своих остававшемуся скептиком
относительно необходимости квантования, вероятнее всего, очень понравилось бы такое развитие теории. Более того, если даже стоять на том, что основой теории элементарных частиц должна быть некоторого рода вторично-квантовая нелинейная теория поля, то возникает вопрос: если в ее классическом аналоге имеются решения, обнаруживающие такие свойства локализованности и сохранения, как те, о которых говорилось выше, не предназначены ли подобные решения играть некую особую роль и в квантовой теории? То, что это действительно может быть так, подтверждается исследованием некоторых примеров, особенно так называемого уравнения синус-Гордона.
В последующем мы мало будем говорить об элементарных частииах, поскольку этот вопрос, равно как и другие приложения, лежит за пределами данного рассмотрения. Все же,пожалуй, здесь нужно сказать несколько слов по поводу широко распространенного заблуждения.
Как должно быть ясно из сказанного выше, для '(будущих) приложений к элементарным частицам важно существование решений, остающихся локализованными с течением времени (кроме того, необходимо рассматривать трехмерное, а не одномерное, пространство, но эта деталь здесь не существенна). Вспоминая сказанное в § 1 о линейных эволюционных уравнениях, мы видим, что в случае класса эволюционных уравнений типа
u,=F[u, их, ихх,...; г], u=u(x,r),(9)
такие решения возможны только при условии, что F - нелинейная функция переменной и или ее производных (если не считать единственного тривиального случая первого порядка). Действительно, можно считать, что решения уравнения (9) остаются локализованными при их эволюции во времени вследствие баланса между дисперсивными и нелинейными эффектами, из которых первые стремятся, вообще говоря, делокализовать решение, а вторые (в подходящих случаях) оказывают прямо противоположное действие. Например, в случае уравнения КдВ (3) устранением нелинейной части мы получаем уравнение
“^-«ххх* U-U^X.tY(10)
Рис. 3. То же, что и на рис. 1, но при других Р2 = 2, §а = — 4,8, §ю = 2.4.
параметрах солитонов: р^ = 1,
Ось х
которое имеет вид уравнения (1.1.-1) с co(z) » - z3; таким образом, все решения этого уравнения ведут себя дисперсивно, а именно расплываются при t -* оо (так что их амплитуда убывает пропорционально t ~^). Если же устранить линейные (дисперсивные) члены в правой части уравнения (3), то мы получим "уравнение скачка" ut=6uxu, u=u(x,t),^П)
решение которого выражается через начальные данные Коши и^х, 0) = uQ^ "явно-неявной” формулой
«(х,/) = м0[х4-6г«(х,/)],(12)
и если оно было первоначально локализовано, то далее становится круче и круче, так что в конце концов его производная по х через некоторое (конечное) время обращается в бесконечность.
Очевидно, что возможность указанной компенсации - не очень специфичная особенность. Поэтому класс нелинейных эволюционных уравнений типа (9), имеющих решения, которые изменяются во времени как уединенные волны, распространяющиеся без изменения формы или скорости, довольно широк. Кроме того, задача нахождения таких решений сводится в общем случае к задаче решения обыкновенного нелинейного дифференциального уравнения. Мы продемонстрируем это ниже на двух конкретных примерах, которых будет достаточно, чтобы показать общую применимость метода.
Рис. 4. То же, что на рис. 3, но для разложения (5), а не (4). Изменен масштаб по вертикальной оси.
Ось ас
Ось х
Сначала рассмотрим снова уравнение КдВ, записав его теперь, однако, в виде ut=-ux — uxxx-V6uxu, u=u(x,t).(13)
Член -их добавлен, чтобы облегчить сравнение с рассматриваемым ниже случаем; мы уже говорили, что такая модификация уравнения КдВ тривиальна, поскольку добавочный член устраняется преобразованием к новой пространственной переменной х * = х -t.
Будем искать решение в виде
u^xJ^Rx-dI^(14)
где f^ - функция, которую нужно найти. Подставив это выражение (этот "анзац") в уравнение (13), получаем для функции Ди) обыкновенное дифференциальное уравнение (ОДУ)
/"'+(1—г)/'-6/'/=0, МД<15>
где штрихами обозначено дифференцирование. Это ОДУ легко интегрируется; один раз непосредственно, затем после умножения на функцию f* и, наконец, разделением переменных (проделайте как упражнение!). При этом видно, что единственное решение, регулярное при всех действительных значениях г и обращающееся в нуль при z -» ±*, имеет вид
/(z)=^/ch2[p(z-z0)],(16)
где zQ - произвольная действительная постоянная, а две постоянные А и р связаны друг с другом и с величиной и соотношениями
А = -lp\(17 а)
v=4p2+l.<17б>
Таким образом, мы снова получили односолитонное решение (1.6.А.-5) уравнения КдВ [вместе с соотношениями (1.6.А-6, 8) ]; дополнительный по сравнению с соотношением (1.6.А.-8) член, равный +- 1, в правой части соотношения (17 6) учитывает наличие дополнительного по сравнению с уравнением (3) члена в правой части уравнения (13).
Заметим, что у уравнения (15) имеется фактически более общий класс решений, действительных и регулярных при всех действительных значениях z, а именно
/(г)=Лсп2[р(г-г0)Д],А=-'1ргк\
v=4p2(2fc2—1)+1,0$)
которые содержат произвольную положительную постоянную к2 С 1 [и приводятся к решению (16), (17) при к2 = 1]. Здесь сп (у, к) - вторая эллиптическая Функция Якоби. Таким образом, эти решения с учетом преобразования (14) дают другие решения уравнения КдВ, а именно "кноидальные волны". Правда,
эти решения не стремятся к нулю при х -> ± <*, а являются периодическими; поэтому мы здесь ограничиваемся лишь кратким упоминанием их [ изучение решений класса нелинейных эволюционных уравнений (3.2.-1) с периодическими, а не асимптотически убывающими граничными условиями сложилось в самостоятельную область исследований, где много сделано, с важными ответвлениями в алгебраическую геометрию, топологию, дифференциальную геомет- трию].
Пойдем теперь далее и рассмотрим другое нелинейное уравнение эволюционного типа, а именно так называемое уравнение "регуляризованных длинных волн" (гл. 1, § 8)
и(= -ux-Vuxxt-V6uxu, и=и(х,<У(19)
(20 а)(20 а)(20 б)(20 б)Решение типа уединенной волны (14) РДВ-уравнения (19) можно найти так же, как и выше, и сразу же видно, что это снова приводит к формуле (16), но теперь уже с соотношениями
(20 а)
(20 а)
(20 б)
(20 б)
Л=-2р2/(1-4/>2), v=l/(l-4p2).
Заметим, что, если параметр р мал, эти формулы (с точностью до поправок порядка^р4) переходят в формулы (17); действительно, при малых р решение (16) является медленно меняющейся функцией переменных % и г и поэтому разность между уравнениями (19) и (13), которая определяется членами с третьей производной, становится несущественной.
Итак, мы видели, что РДВ-уравнение (19) также обладает решениями в виде уединенной волны, очень похожим на односолитонное решение уравнения КдВ (13). Однако в противоположность случаю уравнения КдВ не известно аналитическое решение РДВ-уравнения, которое могло бы считаться аналогом двухсолитонного решения уравнения КдВ, и нет никакой схемы решения задачи Коши для РДВ-уравнения, которая могла бы сравниться с имеющимся теперь у нас методом спектрального преобразования для уравнения КдВ. Конечно, сумма двух локализованных решений типа (14) [с соотношениями (16) и (20); параметр р может принимать два различных значения для этих двух решений] дает приближенное решение уравнения (19), пока они локализованы далеко друг от друга, так что их перекрыванием можно пренебречь. Но теперь уже нельзя сказать, что решение, первоначально заданное в виде суммы двух удаленных друг от друга уединенных волн, движущихся с разными скоростями, после их сближения даст в отдаленном будущем сумму тех же уединенных волн; теперь происходит как бы неупругое столкновение уединенных волн, при котором могут измениться их свойства и возникнуть другие уединенные волны с выделением излишка в виде диспергирующей части. Это показано на рис. 5, где приведена эволюция во времени решения РДВ-уравнения (19) с начальным
-1о1-1о1о 16 3Z 486480о 16 3Z 486480
-1
о
1
-1
о
1
о 16 3Z 486480
о 16 3Z 486480
Рис. 5. Последовательные графики решения РДВ-уравнения (19) при начальном условии (21), где %1 = 23, х2 = 35, рт = 2/5, р2 = 3/5 [откуда следует, что vT = 25/9, v2 - -25/11, см. формулу (206)]. Графики, рассчитанные на ЭВМ, разделены равными промежутками времени (от : = 0 до : = 16). Ось ординат направлена вниз.
2L I I IL_L_JIILJ
01632 486480
t*16
I. I .LJIIIl__L_LJ 0163248 64 80
условием
(21)(21)м(х,о)= 2 ^/c^^/x-xj],
(21)
(21)
7=1
в котором величины Л . и р. связаны между собой соотношением (20 а) (очевидно, что это начальное условие представляет собой сумму уединенных волн в точках х., характеризуемых параметрами р. ). Отметим, что в окончательной картине предполагается рождение третьего солитона, а возможно, и четвертого.
Пуристы настаивают на употреблении термина солитон только в тех случаях, когда происходят упругие столкновения, рассмотренные выше. Считается, что все нелинейные эволюционные уравнения, у которых имеются солитонные решения (в этом строгом смысле слова), тоже могут быть решены на основе соответствующего варианта метода спектрального преобразования. Решения же типа (14) с асимптотически убывающей функцией f(z)[f(± <*) = 0] пуристы называют уединенными волнами; класс нелинейных эволюционнных уравнений, допускающих такие решения, содержит в себе класс уравнений, обладающих солитонами (и он даже намного шире его, что бы это ни означало). Однако пуристы в меньшинстве, и термином солитон пользуются теперь весьма широко в применении к уединенным волнам (особенно специалисты по физике элементарных частиц). Может быть, это достойно сожаления, но тем не менее это факт, о котором мы считаем своим долгом предупредить читателя, чтобы его не вводили в заблуждение названия, если не содержание, большого количества публикуемых теперь статей.
На самом деле термин уединенные волны сам по себе довольно неуклюж. Дело не только в том, что он состоит из двух слов, а не из одного, у него есть и более серьезный недостаток: характерное различие между солитонами и уединенными волнами заключается в их различном поведении при столкновениях, но, говоря о столкновении уединенных волн, мы впадаем в семантическое противоречие (если они встречаются друг с другом, то какие же они уединенные?). Полностью сознавая трудности предписания семантического употребления на основе разумных соглашений, а не исторических привычек,
мы все-таки предлагаем заменить термин "уединенная волна" термином "солитрон". Это название должно относиться к любому решению нелинейного эволюционного уравнения или теории поля, остающемуся локализованным с течением времени и, следовательно, обнаруживающему характерное поведение частицеподобного объекта (термин солитрон указывает на это своим сходством с названиями элементарных частиц: электрон, позитрон, нейтрон и т.д.) Термин же солитон должен сохраняться для тех специальных случаев; когда локализованные решения обладают замечательной способностью к идеально упругим столкновениям; он будет связан почти единственно с решениями класса уравнений, разрешимых методами спектральных преобразований (отметим, что,согласно результатам, которые будут изложены в т. 2, солитоны не обязаны двигаться с постоянной скоростью).
Б. Предел слабого поля
В гл. 1, § 5, шла речь о пределе слабого поля для класса нелинейных эволюционных уравнений (3.2-1а) и было показано, что точно так же, как в этом пределе можно аппроксимировать данные уравнения, оставив в них только линейную часть, метод решения посредством спектрального преобразования переходит в метод преобразования Фурье, соответствующий линейным эволюционным уравнениям. Однако там в конце параграфа были сделаны две оговорки; чтобы прояснить ситуацию, мы вернемся здесь к этим моментам. Дия простоты рассмотрим простейшее нетривиальное уравнение класса (3.2.-1а), а именно уравнение КдВ мг+мххх—6uxu=0.(1)
Обе оговорки, сделанные в конце гл. 1, § 5, относятся к медленно меняющимся по х компонентам решения u(x, t). Это, очевидно, случай фурье-компо- нент в точке к = 0 или в ее окрестности; очевидно также, что это случай компонентьгфункции u(x, t), соответствующей единственному собственному значению, наличие которого может быть совместимо с предположением о малости функции u(x, t), ибо такое дискретное собственное значение должно быть, очевидно, очень малым и потому связанным с медленно меняющимся собственным решением уравнения Шредингера.
Таким образом, смысл оговорок в том, что пренебрежение третьим членом в уравнении (1) по сравнению со вторым допустимо, когда функция и мала, но при условии, что она меняется не слишком медленно. Действительно, происхождение оговорки ясно: если и — медленно меняющаяся функция переменной х, то третья производная во втором члене вводит некую степень малости, которая может быть сравнимой (и даже более значительной) со степенью малости третьего (нелинейного) члена, обусловленной малостью самой функции и. Третий член в уравнении (1) тоже содержит производную по х, но
только первую, тогда как в первом члене мы имеем третью производную. Следовательно, мы можем грубо приближенно оценить, какой из двух членов может оказаться доминирующим), сравнив амплитуду фурье-компоненты й^к, t) с величиной к2. Очевидно, что первая, вообще говоря, будет меньше, если сама функция u(x, t) очень мала, за исключением фурье-компонент в точке к = 0 или вблизи нее.
Итак, теперь ясно, почему замена нелинейного эволюционного уравнения класса u=a(L)ux, u=u(x,t),(2)
где a (z) — полиномиальная функция, a L — дифференциальный оператор (3.1.-9), его линеаризованным вариантом ut = a^d2/dx2^ux, u=u^x,t),(За)
или, что эквивалентно, ut= — ic^B/dx^u, u = u(x,t\(36)
где функция co(z) связана с функцией a(z) соотношением (1.5.-3), есть приближение слабого поля, которое нарушается в случае более медленно меняющихся компонент функции Цх, f) (как функции переменной х). Выше указан некоторый количественный критерий его применимости.
Во Общее решение
К тому, что было сказано в гл. 1, § 6, п. В, добавим, что проведенный там качественный анализ поведения решений класса нелинейных эволюционных уравнений (3.2.-1) для больших времен может быть подкреплен количественным рассмотрением. Однако это требует отдельного изучения каждого уравнения названного класса (3.2.-1), и даже в случае простейшего нетривиального члена этого класса, уравнения КдВ (3.1.-33), такой полный количественный анализ — задача, требующая большого упорства.
Удобным отправным пунктом является представление общего решения в виде (3.2.А.-1). Тогда остается исследовать вид собственных функций cpn(x, t) и /^ (х, к, t) задачи Шредингера при t-* «>. Это можно сделать, пользуясь простой явной зависимостью спектральных данных от времени [ формула (3.2.-2)], методом обратной задачи рассеяния (гл. 2, § 2 и дополнение Д. 5). Конечно, руководящей идеей является то, что потенциал u(x, t) асимптотически (^ -* оо) в области справа (большие положительные значения х) становится (с точностью до локально малых поправок) многосолитонным решением, т.е. он сводится к сумме^ входящей в выражение (3.2.А.-1), в которой к тому же каждая собственная функция фп(х, () самосогласованно соответствует
(снова с точностью до малых поправок) только потенциалу -4рл[^(х’ О]2” -2рл/с^{рл[*-^-(')]} ■(^
Важную роль при анализе играет то обстоятельство, что функции (1) экспоненциально стремятся к нулю при | х — ^ (t) | •* « и что расстояние между солитонами | ^n(t) - £ (t) | расходится (линейно по t) при t -► оо . Многое зависит и от начального условия и(х,О)=ио(х).(2)
Например, при исследовании вопроса о возможности появления солитонов очень важно асимптотическое поведение функции ио(х^ при х -> +«. Действительно, если в этом пределе функция uQ(x) стремится к нулю быстрее экспоненты, то тогда в конце концов при t -* оо появляются солитоны с точностью до экспоненциально малых поправок (т.е. на любом фиксированном расстоянии от положения каждого солитона, движущегося вправо с постоянной скоростью, решение представляется в виде одного солитона с точностью до поправок, экспоненциально стремящихся к нулю); если же функция uQ(x) при х -♦ +~ стремится к нулю медленнее экспоненты, то имеются поправки, которые необходимо учитывать даже в области солитона (исчезающий фон, связанный с хвостом начальной функции).
Изложенное выше относится к поведению общего решения u(x, t) уравнения КдВ при t -♦ +оо, когда х -♦ +оо пропорционально t: x=v/+a, v>0(3)
(из анализа следует, что очень важно, совпадает ли величина v со скоростью vn * ^п солитона» содержащегося в рассматриваемом решении). Что же касается поведения при t -> -ю», но при фиксированном х или при х -> -<*, то оно сложнее, поскольку доминирует фоновая часть решения; она в значительной степени определяется линеаризованным вариантом уравнения, как уже упоминалось в гл. 1, § 6, п. Б и В, но с некоторыми оговорками (например, она очевидно, не может им определяться, если вообще нет фона, т.е. в случае чисто многосолитонных решений). В данной связи важную роль играют так называемые "автомодельные решения” (п. Г, 3). ’
Го Частные решения уравнения КдВ
В данном пункте, который удобно подразделить на три части, мы рассмотрим некоторые частные решения уравнения КдВ
иЛиххх-<>ихи = 0, U = u(x,tY(1)
не принадлежащие к рассматриваемому до сих пор классу функций ("ВГ-потен- циалов”).
Часть из того, что излагается ниже (особенно в п.1), можно было бы естественным образом обобщить на весь класс высших уравнений КдВ, например вида (3.2.-1), но для простоты мы ограничимся уравнением КдВ (1).
В п. 1 мы рассмотрим рациональные решения уравнения (1), в п. 2 - решения, линейно растущие по х при х -»too, и в п. 3 - так называемые автомодельные решения уравнения (1) и устанавливаемую такими решениями связь между дифференциальным уравнением в частных производных КдВ (1) и обыкновенным (нелинейным) дифференциальным уравнением типа Пенлеве.
, Рациональные решения
Рассматриваемые здесь рациональные решения уравнения КдВ u=u(x,t),(1)
в общем случае комплексны или сингулярны (или и то, и другое). Простейшее из этих решений имеет вид и(х,/) = 2(х-/)~2,w(2)
где § — произвольная постоянная, которая может быть комплексной [ если величина § не комплексна, то решение (2) сингулярно при действительных значениях х]. Легко убедиться путем прямых вычислений, что выражение (2) удовлетворяет уравнению КдВ (1).
Будем искать решение уравнения КдВ в виде
«Фм)=2 2 [W,(0]"2.(3)
[Действительно, анализируя поведение функции u(x, t) в окрестности ее полюсов, легко видеть, что любое более общее выражение» представляющее функцию и^х» t) в виде рациональной функции переменной х и удовлетворяющее уравнению (1), должно сводиться к выражению (3).] Сравнивая коэффициенты при полюсах различных порядков, легко также видеть, что для того, чтобы выражение (3) удовлетворяло уравнению (1), необходимо и достаточно выполнения двух следующих условий:
^[5(')-&(<)]~3=0, ;=1,2,...,^(4)
Ш=-^Ш(0-ШГ2,(5)
(здесь и далее везде штрих у знака суммы означает, что сингулярный член отброшен). Кроме того, продифференцировав условие (4) и подставив в него выражение (5), путем алгебраических преобразований нетрудно показать, что
два условия (4) и (5) совместимы; таким образом» если условие (4) выполняется в некоторый момент времени (например, в начальный момент при t = 0), то оно выполняется всегда, т.е. до тех пор, пока изменение во времени величины £у(£) описывается уравнением (5).
Отметим, что тем самым установлена связь между дифференциальным уравнением в частных производных (1) и динамической системой с N степенями свободы §у, эволюция которой во времени описывается уравнением (5) [при наличии связей (4)]. Это, конечно, интересно только в том случае, когда условие (4) допускает некоторое решение, т.е« если не пусто алгебраичео кое многообразие, определяемое условием
5'«-^)-3=о, 7=1,2,...Л.<4а)
Легко убедиться, что при всех действительных величинах §. условие (4а) не допускает решения (при конечных ^). В самом деле, рассмотрим одномерную задачу N тел, определенную гамильтонианом
(6)
7=1J>k=\
который дает уравнения движения
^ P^^7=1,2...-Л,(7)
*=1
или, что эквивалентно,
5=2 Ж"^"3. 7=1,2,.-Л-<8>
*=1
Таким образом, эта задача N тел описывает временную эволюцию на прямой N классических частиц единичной массы, попарно взаимно отталкивающихся с силами, обратно пропорциональными кубу расстояний между частицами.
Очевидно, что у такой системы (при конечном /V > 1) не может быть никакой равновесной конфигурации. Но ее равновесная конфигурация описывается уравнениями (4а).
Такое "физическое" доказательство, однако, относится только к действительным значениям координат частиц; оно не исключает возможности существования комплексных решений системы (4а). И на самом деле было показано, что такие решения существуют, если
N—\m^mA-\Y m= 1,2,3,... .^
Например, решение вида (2). получается при т = 1 (N = 1); следующее при
т = 2 имеет три полюса (N = 3) и записывается в виде
и^х, г) = бх(х3 — 24г)/(х3 + 12г)2,^^
где полюса определяются выражением
^(/)= —ехр(2ячу/3)(12/)|/3, >=1,2,3.(Ц)
Кроме того, определяемое уравнением (5) движение полюсов оказывается тесно связанным с только что введенной системой N тел (теперь она формально распространена на случай комплексных значений переменных), что само по себе составляет замечательную с математической точки зрения задачу. Заинтересованного читателя отсылаем к литературе (см. примечания).
Структура выражения (3) такова, что функцию Цх, t) можно также записать в виде u(x,0=-2d2[ln/\(x,r)j/ax2,(12)
где PN (х, t) — полином степени N от х, нулями которого являются функции
Мм)= П [x-f/z)].(13)
Эти полиномы [определенные только для значений /V, даваемых соотношением (9)] изучались очень детально; важным результатом их изучения явилось открытие того, что решение Цх, t), даваемое выражением (3) [или, что то же, выражениями (12) и (13)] с условиями (4) и (5), является рациональной функцией не только координаты х, но и времени t.
Очевидно, что формула (12) аналогична многосолитонной формуле (1.6.А.-9); она действительно может быть получена из нее путем нетривиального предельного перехода, при котором все параметры Рп и р^ устремляются к нулю определенным образом [ например, решение с одним полюсом (2) получается в пределе р = 0 из решения Цх, г) = 2p2/sh [р(х - §)], которое является как раз односолитонным решением (1.6.А.-5) с положением солитона §, смещенным от действительной оси на расстояние пг/2р].
В то же время уравнение (4) действительно имеет простое решение, когда число полюсов N бесконечно велико; например , величина
£, = $о+"Ь 7=0, ±1, ±2,...,(14)
удовлетворяет уравнению (4а) в силу симметрии (при этом §(t) и а произвольные, возможно, даже комплексные числа). В самом деле, вследствие соотношений (5) и (3) это выражение просто воспроизводит односолитонное решение (1.6.А.-5) [вместе с выражениями (1.6.А.-66) и (1.6.А.-8)] при р = нг/а ;
конечно, чтобы получить действительное решение, нужно выбрать мнимую величину а, так как
p-i^G+l)] 2=-(chz)”2.
У=-00
То, что у уравнения КдВ (1) имеются рациональные решения, лишь одно из многих очень нетривиальных свойств этого уравнения. Рассмотрим, например, нелинейное эволюционное уравнение
ut+иххх ~^ихи "" 24см=0,(15)
где с — постоянная, не равная нулю. Легко доказать, что это уравнение не имеет рациональных по х решений (при всех значениях t; конечно, всегда можно сделать, чтобы для одного конкретного момента времени решение было рациональным, например в начальный момент). В самом деле, из проведенного выше анализа следует, что такое решение снова должно иметь вид (3) с условием (5), но теперь уже условие (4) заменяется условием
'(^Г^с, j=l,2,...,N.<16>
Однако такая система уравнений не имеет решения, что сразу же можно показать, просуммировав все уравнения (т.е. просуммировав по / от 1 до ^); тогда двойная сумма в левой части обратится в нуль (вследствие антисимметричности слагаемых), а правая часть будет равна chk
Таким образом, наличие рациональных решений - необычное свойство нелинейного уравнения в частных производных. В то же время в каждом примере, в котором такие решения существуют, они дают, как указано выше, преобразование (в общем случае интересное ) временной эволюции, описываемой нелинейными дифференциальными уравнениями в частных производных, в эволюцию динамической системы с конечным числом степеней свободы.
Укажем, наконец, что вместо даваемого соотношениями (14) бесконечного числа полюсов, равноотстоящих друг от друга на прямой, можно было бы рассмотреть удвоенное бесконечное число полюсов, расположенных на бесконечной прямоугольной решетке; тогда решение (3) было бы двоякопериодической функцией Вейерштрасса.4 Таким образом, мы восстановили частное периодическое решение уравнения КдВ.
20 Асимптотически расходящиеся решения
Выше мы рассматривали лишь функции и, стремящиеся к нулю при х-* ±» [за исключением краткого упоминания периодических решений вп. А этого параграфа, формула (3.2.А.-18)]. На самом деле изучаемые нелинейные эво-
люционные уравнения имеют и асимптотически расходящиеся решения; например, как нетрудно убедиться, уравнению КдВ (3.2.Г.-1) удовлетворяет простая функция
Однако это решение действительно (при действительных х и t) только в том случае, если действительны обе (априори произвольные) постоянные xQ и ^; но тогда решение сингулярно при некотором действительном значении переменной времени, а именно при t = t w
Фактически существует целый класс решений уравнения КдВ, имеющих вид
u(x, t)=u(x, Z)+t?(x, z),(2)
где функция и(х, t) дается выражением (1), а функция v(x, t) стремится к нулю при х-> ±оое В этом классе функций можно решать задачу Коши на основе нетривиального варианта введенного выше метода, и, как оказывается, то же самое относится к решению так называемого цилиндрического уравнения КдВ [уже упомянутого в гл. 1, § 8, уравнение (1.8.-4)]. Мы рассмотрим данный вопрос отдельно в гл. 6, § 3.
. Автомодельные решения и ОДУ типа Пенпеве
Термин "автомодельное решение" относится, вообще говоря, к решению, зависящему (нетривиальным образом) от меньшего числа независимых переменных, чем полное решение. Поэтому автомодельное решение рассматриваемых здесь уравнений в частных производных с двумя независимыми переменными х и I, по существу, зависит только от одной переменной скажем у, которая представляет собой некую комбинацию переменных х и t (см. ниже). Название "автомодельное" было дано, по-видимому, из-за того, что при изменении х и t, таком, что их комбинация у остается постоянной, автомодельное решение вообще не меняется или изменяется только тривиально^.
Рассмотрим, например, уравнение КдВ иЛиххх- 6uxu = 0, u^u^xj),W
и положим формально
«(•*:■') = [3(z-.0)]"2/3/(>-),.y=[3(z-Z0)]-,/3(x-x0),(2)
где z о и хо - произвольные постоянные. Тогда, как нетрудно видеть, выра-
По-английски такие решения называются еще ’’самоподобными” (self-similar), в чем более четко отражается эта их отличительная особенность.
жение (2) удовлетворяет уравнению (1) при условии, что функция f (у) удовлетворяет нелинейному ОДУ /w-^-2/-6/,/=o, f=KyY<3>
Это уравнение можно сразу же проинтегрировать, если учесть, что умноженная на (у + 2f) левая часть уравнения (3) является полным дифференциалом. Получим • (^+2/)[/w-(j-+2/)/]-(l+/J/,=c,(4)
где с - постоянная интегрирования. Уравнение (4) можно записать в несколько более изящном виде, положив й(у)=/+2/(>-),(5)
что дает 2A[Aw+(/-A)A] + (l-Aj)=4c.(6)
Путем преобразования Миуры (дополнение Д.П) можно получить более прозрачную форму этого уравнения. Действительно, как нетрудно видеть, модифицированному уравнению КдВ «г+^-б^^О, v=v(x,z),(7)
удовлетворяет автомодельное решение
v(x,/) = [3(/-/0)]"l/3g(j'),3'=[3(<-Zo)]"l/3(x-xo),(8)
при условии, что функция g(y) является решением нелинейного ОДУ gyyy-^gyg^-ygy-g^.<9>
Его легко проинтегрировать, и мы получим
gyy~2g3-yg=a,(10)
где а — постоянная. Таким образом, из любого решения этого уравнения g мы получаем некое решение уравнения (4) путем преобразования
/U)=gy(y')*g2(.y\(И)
а это как раз и есть преобразование Миуры (Д. 11.-3) для автомодельных решений (2) и (8). Это замечательное свойство преобразования Миуры (11) в явной форме выражается соотношением
{(з'+2/)[/^-(у+2/)/]-(1+/,)Л}у =
^y + 2g.^2g2^gVy-2g3-yg^ vi^.gU>1~2g3-yg') 3'(12)
которое следует из формулы (11).
Вообще говоря, эти автомодельные решения не принадлежат к классу BF-потенциалов, которые мы главным образом рассматривали до сих пор. Например, решения (2) и (8), действительные, как правило, только при действительных значениях xQ и 1^ при t = t чаще всего сингулярны; кроме того, нет гарантии, что решения уравнений (4) и (10) стремятся к нулю при у -* ±оо [заметим, что выражение (3.2.Г.2.-1) действительно является автомодельным решением типа (2), оно соответствует функции f(y) = -У^, т.е., очевидно, является решением уравнения (4) при С = ^. Однако эти автомодельные решения играют важную роль по нескольким причинам.
Во-первых, они могут давать явные решения (иметь их всегда приятно). Например, уравнение (10) при а = 2“2/3 имеет решение g(y) = d[lnF(~2“1/'3y)]/dy,(13)
где F^ - любое решение уравнения Эйри
F2M=zF^(14)
(в чем нетрудно убедиться). С помощью выражения (8) можно получить нетривиальное , но в общем случае сингулярное решение уравнения мКдВ (7) [оно дает также в силу формул (11) и (12) решение уравнения КдВ (1), которое, однако, совпадает с решением (3.2.Г.2-1)].
Во-вторых, эти автомодельные решения играют важную роль при изучении поведения решений рассматриваемых нелинейных эволюционных уравнений по истечении длительного времени (в области, где нельзя пренебречь вкладом фона).
В-третьих, они дают связь между дифференциальными уравнениями в частных производных и ОДУ, которая обнаруживает некоторые замечательные черты. Оказывается, хотя это и не очень удивительно, что специальным уравнениям в частных производных, разрешимым спектральным методом, например уравнению КдВ (1) [или уравнению мКдВ (7), дополнение Д.11 и гл. 1, § 8], соответствуют ОДУ, тоже в некотором смысле специальные. И оказывается, что наиболее существенным, заслуживающим выделения классом является класс уравнений, введенных в начале века Пенлеве, Гамбье и другими исследователями, т.е. класс нелинейных ОДУ, решения которых, кроме полюсов, не имеют других подвижных особенностей. В частности, был проанализирован класс ОДУ вида wM—A^zsw^w'^A-B^z,w^w'A C^w^ w=w(z)(15)
(здесь штрихами обозначены производные, а функции А, В и С - рациональные функции двух своих аргументов) и были найдены и классифицированы (перечень из 50 названий) все уравнения этого вида, не имеющие подвижных критических точек (т.е. такие, решения которых не имеют точек ветвления или существенно особых точек по х, положение которых зависит от постоян-
ных интегрирования). Только шесть ий этих уравнений порождают своими решениями новые специальные функции, так называемые трансцендентные функции Пенлеве. Первые два из этих уравнений имеют вид w" = 6w2+z,0^)
w" = 2w3+zw4-a,(17)
и в общем случае их решения называются первой и второй трансцендентными функциями Пенлеве; каждое решение содержит двухпараметрическое семейство функций, так как общее решение этих ОДУ второго порядка содержит, вообще говоря, две постоянные интегрирования [ вторая трансцендентная функция Пенлеве зависит, кроме того, от постоянной а, входящей в равнение (17)L
Очевидно, что с точностью до обозначений уравнение (17) для второй трансцендентной функции Пенлеве совпадает с уравнением (10), Открытие такого замечательного совпадения (которое, как было показано, не простая случайность) положило начало исследованиям, давшим ряд интересных результатов, включая и новые свойства трансцендентных функций Пенлеве. Действительно, из того, что нам теперь известно в этой конкретной области о дифференциальных уравнениях в частных производных, мы узнали об ОДУ, может быть, больше, чем мы узнали другим путем (особенно при использовании результатов того типа, о котором пойдет речь в гл. 4).
В заключение приведем еще одно свойство такого рода, которым обладает уравнение КцВ: это связь, существующая между автомодельным решением другого типа и первой трансцендентной функцией Пенлеве. Она выражается формулой
и^х, г) = 2[А(^) — /],z = x — б/2,0$)
так как сразу же можно убедиться, что если функция и удовлетворяет уравнению КдВ (1), то функция h(z) удовлетворяет уравнению (16). Отметим, однако, что снова это автомодельное решение,нельзя считать BF-потенциалом, ибо выражение (18), очевидно, не обладает асимптотическим свойством й(±оо, t)=0.
Примечания к главе 3
Первоначально идея использования метода спектрального i к ^сбракования для решения нелинейных эволюционных уравнений была введен i ° работе [ 212], см. также работы [343, 342, 419, 199, 264, 213]. Идея использования соотношений типа вронскиана для получения разрешимых нелинейных ура. -^чий впервые была высказана в работе [ 82].
Впервые на свойство изоспектральности временной эволюции оператора Шредингера (3.1.-17) было указано в работе [284]. Это свойство играет цент-
ральную роль при других подходах к общему классу рассматриваемых в этой книге задач (см., например, работы [466, 16]).
Некоторые из задач для более общего класса эволюционных уравнений (3.1.-10) (в частности, задачи, связанные с действительными нулями функции g) рассматриваются в работе [271] (в связи с классом нелинейных эволюционных уравнений, разрешимых методом спектральной задачи Захарова - Шабата, т. 2).
Нелинейные уравнения класса (3.1.-40) иногда отличают от их аналогов в классе (3.1.-28) названием "потенциальные”. Такой двусмысленный термин происходит, по-видимому, оттого, что соотношение между функциями и и го [ формула (3.1.-27)] аналогично соотношению между силой и ее потенциалом (в одномерной динамике Ньютона).
§ 2, п. А. Впервые идея получения из выражения (3.2.А.-1) определения солитона в х-пространстве для всех моментов времени была предложена в работах [241, 242]. Графики, детально демонстрирующие столкновение солитонов (рис. 1 - 4), бым рассчитаны на ЭВМ Дж. Дромом и Л. Коком в Институте теоретической физики в Гронингене. Аналитическое исследование поведения солитонов уравнения КдВ при столкновениях было дано в работе [ 284]. О фильмах, полученных при численном интегрировании, см. работы [ 454, 429].
В последние несколько лет необычайно резко возросло число работ по элементарным частицам и "солитонам”, в чем нашла отражение современная тенденция теоретических исследований в физике элементарных частиц - прогрессировать путем массовых "штурмов” в модных направлениях; заинтересованного читателя отсылаем, например, к обзорной статье [ 397] и к популярному обзору [ 400]. Небезынтересно, что идея о возможной связи между "солитонами" и элементарными частицами была выдвинута фактически за несколько лет до действительного открытия солитона [421, 422]; но эти работы остались практически незамеченными.
Литература по уравнению КдВ и другим "солитонным" уравнениям с периодическими граничными условиями обширна; см., например, работы [ 160, 332, 369, 148, 163, 331, 334].
Уравнение РДВ (3.2.А.-19) иногда называют уравнением ББМ (Бенжамена, Бона, Махони) или уравнением ПББМ (Перегрина, Бенжамена, Бона, Махони) [391, 41]. Вопрос о том, какое из уравнений, это или уравнение КдВ, более подходит для приложений (в частности, для описания, длинных волн на воде), остается спорным (см., например, работу [ 241 ]). Предположение, что солит- роны РДВ-уравнения являются на самом деле солитонами, т.е. взаимодействуют упруго, было выдвинуто в работах [ 176, 177], но было показано [ 11], что это не имеет места (при взаимодействии обнаруживается малый, но существенно неупругий эффект). Показанный на графиках рис. 5 макроскопичес-
кий эффект является следствием более подходящего выбора параметров со- литрона. Эти графики взяты из работы [ 402]; они, между прочим, являются первыми явно вычисленными примерами образования солитронов (см. также работы [383, 210]).
Предложение использовать термин "солитрон" вместо "уединенная волна" было выдвинуто одним из нас (ФК) на банкете в Ядвизине (под Варшавой), устроенном 31 августа 1979 г. по поводу закрытия международной конференции, посвященной солитонам и связанным с ними вопросам. Присутствовали как Крускал, так и Забуски (которые ввели в употребление термин "солитон" [ 457]; правда, сначала Забуски пользовался термином "солитрон" и только в последний момент заменил его "солитоном" во избежание трудностей, связанных с вопросами авторского права, которые могли возникнуть из-за того, что слово "солитрон" служило торговой маркой одной электронной фирмы).
§ 2, nj Б. О противоположном предельном случае [для уравнения КдВ (3.2.Б.-1)], в котором дисперсионный член иххх мал по сравнению с нелинейным членом ихи (см. работу [ 297]).
§ 2, п. В. Поведение решений различных уравнений, разрешимых методами спектрального преобразования, по истенении длительного времени исследовалось несколькими авторами, см., например, работы [21, 418, 460, 27, 410, 411, 364]. Недавно в работе [178] (см. также [464, 179]) было дано строгое рассмотрение появления солитонов при t -> -юо для уравнения КдВ с произвольными начальными условиями (стремящимися к нулю при х -> +оо).
§2, nj Г, 1. Первая идея исследования временной эволюции положения полюсов (в комплексной плоскости х) для решения уравнения КдВ восходит к работе [242]. Это исследование было продолжено в работе [439] и существенно продвинуто в работах [20, 109] (см. также работу [163]). Многообразие решений уравнения (3.2.Г.1.-4а) наиболее полно рассмотрено в работе [20], полино- мьЦ3.2.Г. 1.-13) исследовались в работе [19]. Гамильтонова система (3.2.Г.1.-6) впервые решалась в квантовом случае в работе [81] и в классическом - в работах [356, 387] (см. также работы [2, 3, 261]). Недавно был достигнут значительный прогресс в изучении этих типов интегрируемых динамических систем, см., например, обзорные статьи [87, 93, 95, 388] и работы [276, 277]. В работе [89] было предложено связать интегрируемые динами* ческие системы с уравнениями в частных производных; выходом этих исследований явились результаты по специальным функциям [ 10] и линейной алгебре [94- 96, 43, 98 - 100].
Выражение (3.2.Г.1.-12) можно получить из формулы для многосолитонного решения (1.6.А.-9) методами, аналогичными методам работы [426] (см. также [ 19]).
Методы, подобные тем, о которых шла речь в данном подпункте, недавно использовались для нахождения многосолитонного решения уравнения Бенжамена - Оно (гл. 1, § 8) [ 140], а также для нахождения частных решений уравнения КдВ с затуханием [143].
§ 2, ru Г, 2. В работе [ 296] было замечено, что решения обыкновенных и цилиндрических уравнений КдВ могут быть связаны соотношением (3.2.Г.2.-2) при соответствующей замене переменных. Дополнительные литературные ссылки на работы по цилиндрическому уравнению КдВ см. в примечании к гл. 6, § 3.
J 2, п« Г, 3. Впервые связь между нелинейными дифференциальными уравнениями в частных производных, разрешимыми методами спектрального преобразования,и обыкновенными нелинейными дифференциальными уравнениями типа Пенлеве была замечена в работе [370] (см. также [7]). Был еще ряд исследований по данному вопросу: см., например, работы [28, 23-25, 403, 63, 9, 192, 64].
О связи между асимптотическим поведением решений нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных и трансцендентными функциями Пенлеве см., например, в работе [403].
Автомодельные решения (3.2.Г.З.-18) были найдены А. Фокасом (частное сообщение, лето 1980 г., см. работу [187]).
Глава 4
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ БЭКЛУНДАИ СВЯЗАННЫЕ С НИМИ РЕЗУЛЬТАТЫ
В предыдущей главе мы обсудили класс нелинейных эволюционных уравнений, решаемых методом спектрального преобразования, связанного со спектральной задачей Шредингера. Главный инструмент, используемый для выделения этого класса нелинейных эволюционных уравнений — интегральные соотношения вронскиана из гл. 2, § 4, п. А, и спектральные интегральные соотношения из гл. 2, § 4, п. Б; в частности, в обоих случаях это формулы, связывающие ’ инфинитезимальные изменения функции и(х) с соответствующими инфинитезимальными изменениями спектральных данных S. В данной главе мы опираемся на аналогичные формулы, которые связывают конечные изменения функции и(х) с соответствующими конечными изменениями ее спектральные данных, иж, точнее, мы используем подходящие формулы из гл. 2, § 4, пп. А и Б, для того, чтобы установить определенные соотношения между двумя разными функциями u(11 (х) и и(2) (х). При этом соотношения между их спектральными данными становятся очень простыми (почти жнейными). На основе такого подхода определяется широкий класс "преобразований Бэклунда". Это формулы, которые связывают две функции и^^х, t ) и u(2) (х, t ) таким образом, что есж одна из них удовлетворяет нелинейному эволюционному уравнению [скажем, уравнению из класса (3.1.-10)], то и другая тоже удовлетворяет этому уравнению.
Такие преобразования были введены в дифференциальной геометрии, где они и получиж свое название. В то же время тесно связанные с ними формулы преобразования Дарбу (см. ниже) появижсь в контексте обыкновенных дифференциальных уравнений. В линейном случае довольно тривиальные аналоги этих преобразований рассматриважсь в гл. 1, § 1 [см., в частности, формулу (1.1. - 10) ].
Структура и свойства преобразований Бэклунда рассматриваются в § 1. В § 2 говорится о важном свойстве коммутативности и замечательном следствии из него, которое часто называют нелинейным принципом суперпозиции. Таким образом, в этих двух параграфах до некоторой степени углубляется материал, составляющий содержание гл. 1, § 7, пп. А и Б. В § 3 дается нормальное обобщение резольвентной формулы (1.1.-13), применимое к классу нелинейных эволюционных уравнений (3.1.-10). Оно используется в § 4 для полу» чения очень интересных нежнейных операторных тождеств. Наконец, в § 5
представлены соотношения, которые связывают решения различных нелинейных эволюционных уравнений, принадлежащих к одному и тому же классу (3.1.-10). Материал § 5 содержит и результаты двух предыдущих. Такой порядок изложения, как мы надеемся, будет способствовать лучшему усвоению и в то же время отразит историю развития вопроса.
Как уже упоминалось, все результаты этой главы могут быть легко установлены для всего класса нелинейных эволюционных уравнений (3.1.-10). Однако в дальнейшем в целях упрощения обозначений мы ограничимся классом нелинейных эволюционных уравнений типа (3.2.-1а), а именно уравнениями вида И,(х,/) = а(Г)их(х,/),(1)
где
L/U)=fxx(.x')-4u(x,t')f(lx) + 2ux(x,t')jxdyf(y).(2)
Напомним, что соответствующая временная эволюция спектрального преобразования функции u(x, t ) дается формулами (3.2.-2):
R^k9 /)=Я(£,0)ехр|21£а( —4£2)/],^а)
л(')=Ря(0)=р„,(36)
Я,(0=а(0) ехр[-2pna(4p^t\.(Зв)
На самом деле в этой главе будет гораздо удобнее работать с функцией w(x9t) = J dyu(y9t)9(4)
чем с и(х, t). При этом эволюционное уравнение (1) переходит в уравнение w^x9 t) = a(L)wx(x9t)9(5)
где
LfU')=fxxUV4wx(<x1t')f<x')+2j*OOdywy^y,t)fb>)(6)
[формула (3.1.-38)].
1. Преобразование Баклунда
Как и в гл. 3, § 1, мы можем выбрать здесь в качестве основного средства анализа либо подходящие интегральные соотношения вронскиниана из гл. 2, § 4, п. А, либо интегральные спектральные соотношения из гл. 2, § 4, п. Б. В действительности эти два типа формул будут дополнять друг друга. Так, сначала при получении основных результатов мы используем интегральные уравнения вронскиниана из гл. 2, § 4, п. А, а затем для проверки совместности результатов - интегральные спектральные соотношения из гл. 2, § 4, п. Б.
В качестве отправной точки возьмем формулы (2.4.А.-10в) и (2.4.А.-10д): 5(Л)[м0)(л, t)-и^х, /)] +А( Л )Г-1 =0,(О
Rw(k, t^R^k^V2^2^^^(2)
[g(-4Zc2) + 2i^(-4A:2)]
Интегро-дифференциальные операторы Г и А определяются формулами (2.4.А.-5) и (2.4.А.-6):
rf(x) = [«^(л, t)-t-u(2\x, г)] /(л) + [м(1)(л, г)-^2^^, г)]х
xjf аДи0’^,/)-^^, 0]/(А(3)
Л/М^А^^-г^'Ч^О + ^’^.О]/^)^/«VAy)- (4)
Во всех четырех уравнениях и^^х, t ) и и{2} (х, t ) - это функции, принадлежащие к классу BF-потенциалов как функции переменной х, но в остальном произвольные; R(1)(^> Ои R^\k> t ) - соответствующие коэффициенты отражения; g и h в (1) и (2) - произвольные целые функции (однако здесь мы предполагаем, что они не зависят от времени), а/(х) в (3) и (4) - произвольная функция, которая может зависеть от времени. Заметим, что единственное отличие от того, что было у нас в гл. 2, § 4, п. А, - это явное указание на зависимость от времени функций ип ^и соответственно коэффициентов R(i)).
Пусть теперь одна из двух функций и(И скажем и^2Цх, t), изменяется во времени в соответствии с нелинейным эволюционным уравнением (4.-1). Следовательно. R(2> (k, t ), меняется во времени согласно (4.-За). Но тогда коэффициент R^} (k, t )^ связанный с коэффициентом R(2) (A, t ) формулой (2), изменяется по тому же закону. (Здесь обусловленная выше независимость функций g и h от времени существенна.) Если же мы примем на мгновение, что у потенциала uV ^х, t ) нет дискретного спектра, то тогда, как мы знаем, между потенциалом иУ'^Цк коэффициентом R^^k, t) существует взаимно однозначное соответствие. Таким образом, если коэффициент R^Q^t^ определяется формулой (4.-За), то u(11 (х, t ) подчиняется уравнению (4.-1). Мы приходим к следующему заключению: если две функции u(1 * (x,t) и w2(x, t ) связаны интегро-дифференциальным соотношением (1) и одна из них удовлетворяет уравнению (4.-1), то и другая тоже удовлетворяет этому уравнению.
Чтобы сделать доказательство полным, мы рассмотрим также эволюцию во времени параметров, определяемых дискретной частью спектральных данных. Сначала докажем, что дискретные собственные значения, отвечающие потенциалу zz(1 ^х, t ), не зависят от времени, если функции м(1) и и{2) связаны друг с другом равенством (1), а дискретные собственные значения pj2),
(5)(5)отвечающие потенциалу и(2), сами не зависят от времени. На самом деле мы докажем более сильное утверждение: собственные значения потенциала и^Цх, t) совпадают либо с собственными значениями потенциала u(2> (х, t ^ либо с положительными корнями уравнения с не зависящими от времени коэффициентами
(5)
(5)
g^p^-Iph^Ap2)^.
Пусть р > О будет собственным значением потенциала u(1 ^ но не и(2\ и пусть, в согласии с обозначениями гл. 2, § 1, с = р1 /2 - соответствующий нормировочный множитель (заметим, что обе величины рис считаются положительными). Перепишем уравнения (2.4.А.-34) и (2.4.А.-35), заменив во втором из них произвольную функцию g(z) произвольной функцией h^« Сложив левые и правые части этих уравнений, с учетом положительности величины с получим в точности соотношение (5). Отметим, что здесь и в дальнейшем мы под собственным значением функции и(х) подразумеваем дискретное собственное значение оператора Шредингера -d2/dx2 + u(x). Кроме того, на самом деле собственное значение равно -р2, но для краткости мы говорим, что р — собственное значение.
Остается сравнить эволюцию во времени нормировочных множителей. Так как в гл. 2, § 4, мы не установили соотношения вронскиана при разных собственных значениях, то ограничимся общими собственными значениями pH > = р^2) = Рп потенциалов и11) и и(2). Затем, пользуясь, как и выше, формулами (2.4.А.-67) и (2.4.А-68), получим соотношение
з^рГ^РпЦУк)^PnV^Pnh^PnYз^рГ^РпЦУк)^PnV^Pnh^PnY(6)(6)
з^рГ^РпЦУк)^PnV^Pnh^PnY
з^рГ^РпЦУк)^PnV^Pnh^PnY
(6)
(6)
Дальнейшее доказательство вполне аналогично приведенным выше для коэффициентов отражения.
Заметим, что эту формулу можно было бы вывести непосредственно из формул (2) и (3.1.-23). То же самое можно сказать об идентификации дискретных собственных значений потенциала и^Цх, t ) с собственными значениями и^Чх» t ) или с положительными корнями уравнения (5) [которые совпадают с положительными мнимыми нулями числителя кп = ip^, рп > 0, в правой части соотношения (2)]. Путем более строгих рассуждений, приведенных выше, или более коротких, основанных на формуле (3.1.-23), нетрудно показать, что единственно возможные собственные значения потенциала ut2) (х, t ), которые не являются собственными значениями потенциала u(1 > (х, t ), это положительные корни уравнения
(7)(7)g(4p2) + 2pA(4p2)=0
(7)
(7)
[ отметим изменение знака по сравнению с уравнением (5) ]. Как легко увидеть, эти рассуждения доказывают даже несколько большее. А именно, если положительное число р^2 > является дискретным собственным значением потенциала uk2^x, t ) и не является корнем уравнения (7), то оно будет также собственным значением потенциала и(1} (х, t ). Аналогично если р^1} будет дискретным собственным значением потенциала и^ \х, t \ но не корнем уравнения (5), то оно обязательно будет также собственным значением потенциала и^Цх, t у Соответствующие нормировочные множители связаны между собой соотношением (6). Если же положительное число р не является собственным значением потенциала и(2)но является корнем уравнения (5), то оно может быть (хотя и не обязательно будет) собственным значением потенциала u(1 И наоборот, если положительное число р не принадлежит дискретному спектру потенциала иО), н0 удовлетворяет уравнению (7), то оно может быть (хотя и не обязательно) собственным значением потенциала u (2L
Кстати, сказанное означает, что в данном случае суммирование левых и правых частей уравнений (2.4.А.-34а) и (2.4.А.-35а) (при замене g на h во втором из них) приводит просто к тождеству 0=0.
Разумеется, все эти заключения справедливы при условии, что функции и<1 > и и(2> принадлежат к классу BF-потенциалов. Несовместимость произвольного выбора функций g, h и, скажем, потенциала и(2) с данной конструкцией становится очевидной, например, если потребовать, чтобы положительные числа р(1) и р(2) удовлетворяли уравнению (6) (см. приводимые ниже примеры).
В то же время, несомненно, существует более широкий класс функций, связанных попарно соотношением (1) и удовлетворяющих уравнению типа (4.-1), Действительно, уравнение (4.-1) является локальным условием [поскольку это, вообще говоря, чисто дифференциальное уравнение в частных производных], а потому оно не ограничивает в значительной степени асимптотические или регулярные свойства функций и(1 Чх, t ) и uw (х, t ), которые требуются от функций, принадлежащих классу BF-потенциалов (см, примеры ниже).
Итак, соотношение (1) является преобразованием Бэклунда (или, .скорее, ввиду произвольности функций g и h оно'Дает некий класс преобразований Бзклунда) для нелинейных эволюционных уравнений типа (4* 1). В самом деле,это такое соотношение между двумя функциями u(1 Чх» t) и и^Цх, t), что, если одна из этих функций удовлетворяет уравнению (4.-1), другая ему тоже удовлетворяет. Если, кроме того, u|1|(x,t) ии|2,(х, t ) принадлежат классу BF-потенциалов, т.е. они обе допускают спектральное преобразование, то равенство (2) есть соотношение между их коэффициентами, а равенство (0) * соотношение между нормировочными множителями общих дискретных собственных значений (если они существуют). Далее, если положительные
числа ^(2) являются собственными значениями потенциала и(2), то только те из них, которые удовлетворяют уравнению (7), могут не быть собственными значениями потенциала u(1 >, и только положительные числа р, удовлетворяющие уравнению (5), могут оказаться дополнителън'ыми собственными значениями потенциала и(1>, т.е. собственными значениями, отличающимися от t>^ • Очевидно, что в данном утверждении можно поменять ролями потенциалы u(1 f и ut2) и уравнения (5) и (7).
Прежде чем переходить к простым примерам, рассмотрим с другой точки зрения эти результаты в рамках интегральных спектральных соотношений из гл. 2, § 4, п. Б. Таким образом, мы допустим существование подходящих соотношений между двумя наборами спектральных данных и в результате получим соотношения между соответствующими функциями. Пусть два коэффициента отражения Rkn и R{2} связаны между собой соотношением (2) и, сверх того, два множества дискретных собственных значений (если они существуют) совпадают, т.е. р^11 = р^, а соответствующие нормировочные множители связаны между собой соотношением (6). Тогда достаточно просуммировать соотношения (2.4.Б.-11) и (2.4.Б.-12) [заменив в последнем g(z) на/г(г)], чтобы получить соотношение
g( A)[w(1)(x, г) — w^^x, /)] +А( А) А-1 =0.(8)
Мы затем используем формулы
g(A)=-Ig(A)D, h(A) = -Ih(A)D,(9)
вытекающие из (Д.9.-25), для того, чтобы переписать (8) в форме /^(Л^и^л^-и^х^+ЛСЛЭРЛи^О.(10)
[ Здесь / и D - операторы интегрирования и дифференцирования; см. (Д.9.-4) и (Д.9.-3)]. Тогда, чтобы получить соотношение (1), нужно применить к равен* ству (10) оператор D, воспользоваться формулами (Д.9.-5) и (Д.9.-25) и соотношением
u^lxj^-Dw^txj), J=l,2,("^
вытекающим из (4.-4) и (Д.9.-3). Кроме того, как легко видеть, соотношение (1) получается также, если два множества дискретных собственных значений не согласованы, т.е. существуют числа р^1 \ которые не являются дискретными собственными значениями потенциала и^2\ но являются корнями уравнения (5), и числа Р^2\ которые не являются дискретными собственными значениями потенциала и(1-\но являются корнями уравнения (7). Тдким образом, предыдущие результаты полностью подтверждаются.
Приступим теперь к рассмотрению некоторых примеров.
Простейший пример преобразования Бэклунда соответствует постоянным
функциям g и К» Для удобства положим
g—2ph,(12)
так что соотношения (2) и (1) примут вид
Rw(k,t^-R(2\k, t)(k-vip)/(k-ip\(13)
2p[u(1)(x, t^-u^x, r)] + и^хд^и^х, /) +
+ [u^6(x, /)— u(2^(x, Z)] Уdj'[w(1>(>’, f) —Mf2)(>-, r)] =0.(14)
Перепишем последнее уравнение в виде соотношения ^+ж®=4(^-,^)(4,+и,^(15)
которое получается, если ввести обычные обозначения
wW = w^\x,t^йуии\улУ 7=1,2,(16а)
wp^jc, Z) = —«/^’(х, z), j=l,2.(166)
Чтобы получить из (14) соотношение (15), необходимо выполнить одно интегрирование. Обращение в нуль w^ > на + «?, связанное с обращением в нуль константы интегрирования
w(y)( +оо, г) = 0, 7=1,2,^^
следует из определения (16а), тогда как асимптотическое равенство нулю производных w^;) следует из (166).
Простейшее преобразование Бэклунда (15) характеризуется единственным параметром р, который простейшим образом входит в формулу (13), связывающую /?(1 > и R^, равно как и в формулу рДМ=р£ЧО(р+рД/(р-р,Л(18^
[см. (6) и (12)], которая связывает нормировочные множители общих дискретных собственных значений р^ потенциалов иУ * и гУ\ Эта формула (так же, как и установленное выше соотношение между дискретными собственными значениями) позволяет сделать следующий вывод относительно простейшего преобразования Бэклунда (15). Пусть ик2^ есть ВВчютенциал. Обозначим через р его N положительных дискретных собственных значений, расположенных в возрастающем порядке: 0<Р1<Р2< ••• <Pn-09)
Тогда, для того чтобы потенциал гУ> также быfi BF—потенциалом, должно выполняться одно из двух условий P>PN,(20а)
P^^Pn-<206)
Более того, если выполняется условие (20а), то zz(1)имеет все собственные значения потенциала и^2^ и, вообще говоря, еще дополнительное собственное значение р. Если выполняется условие (206) в усиленной форме (т.е. знак равенства исключается), то собственные значения потенциалов u(1) и u(2) в точности совпадают. Наконец, если р = ~PN, то потенциал и^* имеет только ^ — 1 собственных значений pt, р2, ,. a > pN ^ (Читатель может проверить эти результаты, обратившись к дополнению Д.12.)
Подчеркнем, однако, что эти условия, будучи необходимыми, не являются достаточными для того, чтобы потенциал гД1) принадлежал к классу ВГ-потен- циалов, тогда как утверждение о дискретных собственных значениях справедливо, если и^ действительно BF-потенциал. И наконец, отметим, что при ^ « 0 (т.е. когда и(2) не имеет дискретного спектра) многое из сказанного остается справедливым, если положить pN = 0.
В этом анализе выражение "дискретное собственное значение рп " все время употреблялось в условленном ранее смысле (настоящие собственные значения - это, разумеется, Еп = -р2, и, как было принято, всегда рп > 0). В действительности здесь вместо дискретного собственного значения рп мы могли бы говорить о параметре рп , характеризующем солитон [напомним, что для любого решения и^х, £ ) нелинейного эволюционного уравнения из класса (4.-1), являющегося BF-потенциалом, существует взаимно однозначное соответствие между солитонами и дискретными собственными значениями (см. гл. 3, § 2, и. А). Таким образом, можно заключить, что преобразование Бэк- лунда (14) или (15) потенциала и^Чх, t ) в потенциал uV ^х, t) с положительным параметром р, удовлетворяющим условию (20а), добавляет солитон, характеризуемый этим параметром. Заметим, что в этом случае интегрирование преобразования Бэклунда (15) вводит, вообще говоря, одну не зависимую от х величину ("константу интегрирования", см. дополнение Д.12). Значение этой константы прямо связано со значением нормировочного множителя р, относящегося к дополнительному дискретному собственному значению р; таким образом, эта константа указывает на локализацию нового решения в том смысле, как это было разъяснено в гл. 3, § 2, п. А, и дополнении Д. 10. Разумеется, чтобы функция иУ > (х, t ) удовлетворяла тому же уравнению (4.-5), что и ^(х, / ), "константа интегрирования" должна подходящим образом зависеть от времени соответственно ее связи с р(0 (см. дополнение ДД2).
Почти таким же методом, каким находится [с помощью формулы (2)] связь между коэффициентами отражения двух потенциалов и^ и и*2*, свя- ншных между собой отношением (1), можно найти связь между соответствующими коэффициентами прохождения» Однако основные формулы (2.4.А.-18) и (2.4Л.-19) в этом случае более сложные, чем соответствующие формулы для коэффициентов отражения (2.4.А.-Ю). Мы дадим здесь только одну краткую
фэрмулу, соответствующую простейшему преобразованию Бэклунда (15), которая может быть получена из более простых формул (2.4. А.-? ) и (2.4.1.-22). Она имеет вид
Т"Чк) = ТПк)(к^рШ(2D
Выбор знака определяется соответствующим выбором знака в формуле
f dx[w(1)(x,z)] = 2/?(± 1 - 1)(22)
*^—00
Что касается этого уравнения, которым определяется соотношение между i?11 и и^ 9 то легко видеть, что оно является следствием равенства (15) [левая часть равенства (15) обращается в нуль при х ->- оо, а потому обращается в нуль и правая часть, давая (22)]. Таким образом, оно автоматически выполняется, еслим(1) им<2) суть BF-потенциалы, удовлетворяющие уравнению (15).
Заметим, что если в соотношении (21) взять верхний знак, то мы получим тождество Т^ = Т(2}' В случае же, когда берется нижний знак, Т(1} и Т^ связаны с точностью до общего знака тем же соотношением (13), что и R^ > и R^2^. Выбор знака в соотношениях (21) и (22) зависит от параметра р и от константы интегрирования в формуле (15). Действительно легко установить (дополнение Д.12), что если выполняется условие (20а) и константа интегрирования дает ненулевой нормировочный коэффициент p(Z), то в (21) и (22) нужно взять нижний знак; гот же знак берется, когдар = -PN, г.е. когда (206) выполняется со знаком равенства. Верхний знак берется, когда выполняется строгое неравенство (206) (т.е. когдар < -PN, а гакже когда р > PN, но соответствующий нормировочный множитель равен нулю).
Мы рассмотрели формулу (15) как преобразование (Бэклунда) функции w(2> в функцию w(U. Конечно, аналогичные рассуждения могут быть проведены, если рассматривать формулу (15) как преобразование Бэклунда функции w(U в функцию w(2) при соответствующих изменениях, требуемых инвариантностью соотношений (13) - (15) и (18) относительно перестановки верхних индексов 1 и 2 с одновременной заменой р на -р. (Между прочим, сравнивая с анализом, проведенным в гл. 1, § 7, п. А, следует иметь в виду, что гам рассматривается преобразование от к и/1 \)
Самое простое применение простейшего преобразования Бэклунда (15) состоит в вычислении потенциала u(1 * = и, соответствующего в силу формул (15) и (16) потенциалу и(2) = 0 (и, следовательно, величине w(2) = 0), который является тривиальным решением уравнения (4.-1). Элементарные вычисления дают
w(x, z) = -2р(1 -th{p[x-^(z)J}).(23а)
u(x;t) = -2p1/ch^pVx-S(t^(236)
Отметим, что этот результат получен при положительных р [хотя выражение (236) не зависит от знака р ]; при отрицательных р только нулевое решение совместимо с условием (17). Величина ^^ появляется как константа интегрирования, что означает здесь ее независимость от переменной х [ соотношение (15) является дифференциальным уравнением по х]; это, однако, не запрещает ей зависеть от t, что явно указано.
Ясно, что (23) - просто односолитонное решение. Зависимость от времени величины 5(0 можно найти, подставив его в уравнение (4.-1). Тогда, используя легко проверяемую с помощью (236) и (4.-2) формулу Lux^x, t^-Ap^u^x, t\(24а)
которая приводит к соотношению a(L)ux(x, t) = a(4p2)ux(x, t),(246)
получим равенство /(г)=-а(4/>2),(25)
согласованное с (1.6.А.-6Б, 7). То обстоятельство, чтг выражение (23) при соответствующей функции 5(0 является решением нелинейного эволюционного уравнения (4.-1), нетривиально; в этом находит отражение способ получения данного выражения - посредством преобразования Бэклунда (15).
Повторим еще раз, что с помощью преобразования Бэклунда можно получать как регулярные, так и сингулярные решения. Это зависит от выбора константы интегрирования. В самом деле, уравнение (25) дает соотношение SVWo-etAp2)!.(26)
где §0 ~ произвольная величина. При действительных значениях 50 функции, определяемые формулами (23), действительны и регулярны (при всех действительных х). Но если ^^Viir/lp,(27)
где 5* - действительная величина, то выражения (23), будучи по-прежнему действительными, становятся сингулярными при действительных значениях х = 5* — a (4p2)t. Тем не менее они по-прежнему будут решениями уравнения (4.-1), хотя и перестают быть BF-потенциалами (см. также дополнение Д.12).
Оставим читателю в качестве полезного упражнения вычисление решения ullO оа основе преобразования Бэклунда (15) (где для большей четкости обозначений символ р заменен символом р^ см. ниже) с использованием в качестве исходного не нулевого решения гД2\ а односолитонного «<2Чх,?) =(28)
где
(29)
Снова вычисления легко выпоЛОимы и зависимость константы интегрирования от времени устанавливается после подстановки решении в равенство (4.-1). Разумеется, таким способом получается двухсолитонное решение с параметрами р и Р2 при условии, что р, > р2 [формула (20а) ]. Если произвольные константы, которые содержатся в решении и уравнения (4.-1), выбраны подходящим образом, то оно будет действительным и регулярным при всех действительных значениях х.
В следующем параграфе дается сокращенный способ выполнения описанных вычислений на основе принципа суперпозиции, который был введен в гл. 1, § 7, п. Б.
С преобразованием Бэклунда (14) и (15) связано так называемое преобразование Дарбу" (см. дополнение Д.12)
/( w(x,k) = ^-Л) V**’*2^ C(d/dx)ln{[,o/< + ,<2)(v цД +
Эта формула в явном виде связывает решения Поста f (+) <1 ^х, к ), соответствующие потенциалу гД1} (х), с решениями Поста f ^ (2) (х, к ) и коэффициенте! i прохождения Т^2' (^), соответствующими потенциалу и^2Цх^. (Здесь, ра имеется, используются обозначения гл. 2, § 1.) Соответствующие спектра чьные данные связаны между собой соотношениями (13) и (18). В правую часть формулы (30) входят добавочное дискретное собственное значение р, относящееся к решению и^ *, и соответствующий нормировочный множитель р. Усчовие (20а) гарантирует принадлежность к классу ВЕ-потенциалов.
Подчеркнем, что соотношение (30) между решениями и(1> и ик2' есть в точности преобразование Бэклунда (14) [или, что эквивалентно, (15)]. Однако формулы (14) и (15) не содержат никакой информации о нормировочном множителе р, отвечающем дополнительному дискретному собственному значению р. Как упоминалось выше, он связан с константой интегрирования, которая появляется при вычислении величины zc(1) из соотношения (15). В эюм сосгои! отличие от преобразования Дарбу (30), которое дает в явной форме без всякого дополнительного интегрирования решения Поста fv^ (1} (если известны решения / <+H2)j и, следовательно, потенциал u(1 \ который легко получается из решений f (+> (1 > с помощью уравнения Шредингера при любом значении к, например при к = 0. Нетрудно убедиться, что при выполнении данных выше условий получаются регулярные и действительные функции zv(1 >.
В специальном случае, когда и(2,(х) = 0, т.е. когда Т(2) - 1 и f ^И2) (х, к^ = exp (4-1 кх^ преобразование Дарбу (30) дает
/( ^кХ\х к^— ^р-~\Ц 1 (pth[p(x —^)}^1Е) ехр(+ 1Ел),(31)
/?=2рехр(2р/),(32)
[формула (2.2.-11)], а соответствующее решение и1’1 (х) есть, конечно, односолитонный потенциал (2.2.-10):
«^(х) = —Z/^/ctffXx—£)](33)
Некоторые дополнительные рассмотрения простейшего преобразования
Бэклунда (15) приведены в дополнении Д.12. В дополнении изучается вопрос о единственности определяемой формулой (15) функции u(1 * (х) в классе BF- потенциалов (или, возможно, вне его) при заданном параметре р и функции и^2\х\ а также связанные с этим вопросы асимптотического поведения этих функций при х -* оо и аналитические свойства соответствующих коэффициентов отражения.
Более сложное, чем (15), преобразование Бэклунда получается, если функции g и h не есть константы. Например, выбор функций в виде g(z)=4ptp2+z, К^ДРх+Рг)(34)
после подстановки в соотношение (2) дает R^kj^R^k^k-Hp^k + ip^VVc-ViHk-iPiXV(35)
тогда как их подстановка в соотношение (1) приводит к довольно сложному уравнению, которое мы не выписываем; но при условии м(2) = 0 его решение легко получается, давая дляи(1)(х) снова двухсолитонное решение с параметрами р1 и р2. Заметим, что выражение для функции u(1 \ которая получается после интегрирования соотношения (1) с учетом условий (34), будет содержать Две зависящие от времени константы интегрирования. Их эволюция во времени определяется с точностью до двух не зависящих от х и t констант после подстановки функции и^ в уравнение (4.-1). Как явствует из сравнения формул (35) и (13) (подробнее см. в следующем параграфе), преобразование Бэклунда (1) вместе с равенством (34) можно интерпретировать как результат двух последовательных простейших преобразований Бэклунда (15) и (16). Тем не менее существуют преобразования типа (34), переводящие-одни действительные SF-потенциалы в другие действительные BF-потенциалы, которые, однако, не могут быть представлены в виде произведения двух преобразований, каждое из которых обладало бы таким свойством. Типичный случай такого рода мы имеем, когда параметры ^ и Р2 в выражениях (34) не являются действительными, но комплексно сопряжены (р* = р2), так что функции (34) остаются действительными, а коэффициент F^2) в правой части соотношения (35) умножается на число, по модулю равное единице. Такое преобразование не добавляет дискретных собственных значений (солитонов), но добавляет, если воспользоваться терминологией теории рассеяния, ’’резонансы". Таким образом, в классе BF-потенциалов не появляются произвольные константы интегрирова-
ния. По заданному потенциалу и(2> и соответственно его спектральным данным 5 (2> спектральные данные S 111 полностью определяются формулами (2) и (6) вместе с формулой (34). Поэтому потенциал и(П также однозначно определен.
Как указывалось выше, преобразования Бэклунда (1) для класса нелинейных эволюционных уравнений (4.-1) могут рассматриваться как аналог преобразований (1.1-10), связывающих между собой решения линейных эволюционных уравнений (1.1.-1). Эта аналогия сразу видна в пределе малых полей, когда можно пренебречь нелинейными членами. Так же как уравнение (4.-1) переходит в уравнение (М.-1), преобразование (1) переходит с точностью до обозначений в преобразование (1.1.-10).
. Коммутативность преобразований Бэклунда и принцип нелинейной суперпозиции
В данном параграфе мы рассматриваем те же вопросы, что и в гл. 1, § 7, п. А (конец) и п. Б. Главное и важнейшее дополнение к изложенному там материалу заключается в рассмотрении роли той же части спектральных данных, которая связана с дискретными собственными значениями. Для простоты мы даем здесь полностью самостоятельное (хотя и краткое) изложение без ссылок на предыдущие разделы. Тем не менее читатель может вторично взглянуть на них, для того чтобы быстро восстановить в памяти главную идею.
Хотя все последующее справедливо и для общего преобразования Бэклунда (4.1.-1), мы ограничиваемся простейшим преобразованием (4.1.-15) при р > 0, чтобы изложить основные идеи.
Рассмотрим преобразование Бэклунда (4.1.-15) с параметром Р1 функции &/0* (х) в функцию w^^x^ и преобразование с параметром р2 функции ^х) в функцию w^ 2)(х):
м/Чм^-^^^(1)
и/12) + и/1) = — ^(w(12) —w(1))(4/?2 +w(,2) —w(1)).(2)
Изучим соответствующее преобразование с точки зрения спектральных данных. Нетрудно написать преобразования коэффициентов отражения
Rnk)=-R№WO<-Hpx)/(A-ip?h(3)
R^k^R^k^k^Pi^k + tPiWk-'P^^^(4)
Несколько более тонкая проблема связана со спектральными данными, относящимися к дискретному спектру. Примем для определенности, что сущест-
вует N дискретных собственных значений, отвечающих функции о/<0)(х):
^<^<---<Л%(5)
и пусть Р^<Рх<Р2-
Тогда функции w'''^ отвечают W + 1 собственных значений р^=р®\ n=\,l,...,N,<7а)
Р^Рх.(7б>
и соответствующие нормировочные множители р^1 ’ получаются согласно формулам P^P^Ub+Pn^/Uh-P^Y n=\,1,...,N,(8а)
Здесь р' - величина, связанная с константой интегрирования, определяющей решение w^^x) уравнения (1) (см. дополнение Д.12).
Что касается функции гу|12,М, то ей отвечают N + 2 дискретных собст
венных значений (обозначения очевидны):
р^=р^, n=\,I,...,N,(9а)
Р^х=Р\*Р^2=Рг»(9б)
P^=P^Px*P^WP^/\kpx-P^kpi-P^\(Юа)
PN+X^P’kPl^Px^/kPl-PxY(Юб)
р^р"-(Юв)
Здесь снова р" - величина, определяемая константой интегрирования, которая получается при решении уравнения (2) [при заданной функции w(1}(х) ].
Окончательно путем преобразований Бэклунда (1) и (2) по заданным значениям параметров Р1 и Р2 и функции wt0)(x) получаем функцию w<12)(x), которая содержит две константы интегрирования. Ее спектральные данные выражаются через спектральные данные функции w(0) (х) и параметры р^ р2 по формулам (4), (9) и (10). Последняя содержит две константы р* и, р~, связанные с константами интегрирования, определяющими функцию aJ12,(x).
Предположим теперь, что мы снова начинаем с функции w (0> (х), и выполняем последовательно два простейших преобразования Бэклунда (4.1.-15), но теперь первое с параметром Р2, а второе — с параметром р3:
w^ 4- и^(0) = — | (w(2) — w(0)) (4/?2 4- w(2) — w(0)),(11)
иА21)4-иА2) = — ^ (и^21) —w(2))(4/>! 4-w(21) —w(2)).(12)
Соответствующие преобразования спектральных данных таковы: рГО^к^-Р^к^к^хр^^к-АртУ(13)
R^'^k^R^t.kKk-'-vp^^k + ip^/Vt.k-iPiKk-iPv^A’(14)
Р^-Р^ п=\Л,...,К,(15а)
PnV^Pi'<15б>
Р^=рПРг*Р^ДР1-Р^<16а>
^,=А<16б>
р^=р№, п=\Д,...,К,(17а)
Рк+х^Рг- Pn+2=Ph(17б>
^21)=^0>(р2-ь^0))(р.+р<0))/[(р2-^0>)(р1-Х0))], (!8а)
Pn+x^Px^PtAAPx-PiY(Мб)
PnA^P-(18в)
Здесь р и р - две величины, связанные с константами интегрирования, которые получаются при вычислении функции w<21 * (х) из уравнений (11) и (12).
Из сравнения формул (4), (9) и (10) с формулами (14), (17) и (18) следует, что в силу соотношений
Р=Р\Р1*РЛ/кР1-Р\У(19а)
Т^-рЧРг-РхШРУгРх^<196)
спектральные данные функций ш*,2|(х) и и»*21 ’ (х) совпадают. Это означает, что сами функции ш,,2) (х) и ш*2 ’* (х) совпадают: lv(12)(x)=w(21)(x).(20)
Такое заключение нетривиально, если учесть нелинейный характер преобразования Бэклунда. Иначе говоря, преобразования Бэклунда коммутируют (см. графическое представление этого утверждения в гл. 1, § 7, п. А). Более точная формулировка, основанная на только что проведенном анализе, может быть изложена следующим образом. Пусть дана функция ww (х) и два преобразования Бэклунда типа (4.1.-15), скажем ПБ1 и ПБ2 с параметрами р1 и р2* Выполнив сначала ПБ1, а затем ПБ2 функции w(0>(x), получим функцию ^12)(х). Те же преобразования, выполненные в обратном порядке, дадут функцию w(21 > (х)*. Поскольку каждая из функций w(12} (х) и z?21 > (х) есть результат интегрирования двух обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, они содержат две константы интегрирования и могут
различаться вследствие различного выбора этих констант. На самом деле при любом выборе констант для одной из функций можно подходящим образом подобрать константы для другой функции так, чтобы функции совпадали [формула (20)].
Этот вывод был сделан при исследовании (значительно более простых, чем в х-пространстве) результатов преобразований Бэклунда в пространстве спектральных данных. При этом подразумевалось, что рассматриваемые функции принадлежат классу ВF-потенциалов и, следовательно, их спектральные данные определены. Но преобразование Бэклунда (4.1-15) выполняется в более широком классе случаев, так как оно возможно и для функций ги^ (х), которые не обладают всеми требуемыми свойствами BF-потенциалов [или, скорее, интегралов от /^-потенциалов; см. формулу (4.-4)], а именно для функций, для которых могут не существовать спектральные данные. В то же время совершенно очевидно, что рассматриваемое свойство коммутативности выполняется и при таком расширении класса потенциалов.
То же самое относится и к характерному свойству преобразований Бэклунда - переводить решения эволюционного уравнения (4.-1) [или, что эквивалентно, (4.-5) ] в другие решения того же уравнения (см. предыдущий параграф). В связи с этим обратим внимание на то обстоятельство, что все изложенное выше в данном параграфе справедливо и в том случае, когда функции ы(;), кроме х, зависят и от других переменных (и, в частности, от "времени” t). Мы не указывали это, чтобы не усложнять обозначения.
Теперь легко получить важное следствие, вытекающее из соотношения коммутативности (20) преобразований Бэклунда. Рассмотрим функцию w\x, t^ — w^^x, t^ — w№^x, t),(21)
которая получается из решения wkU) (х, t ) уравнения (4.-5) с помощью описанной выше процедуры. При этом константы интегрирования выбраны таким образом, что выполняется равенство (20). Путем элементарных алгебраических выкладок из формул (1), (2), (11) и (12) получаем
Подчеркнем, что здесь функция w* в совершенно явной форме выражена через функцию w<°> и две функции ш(1> и w(2\ связанные с ^^ преобразованиями Бэклунда с параметрами ^ и р2. Обе функции содержат константы интегрирования [относящиеся соответственно кр' (86) и р (16)]. Поэтому функция w* тоже содержит эти две константы.
Отметим, между прочим, замечательное свойство выражения (22): из равенств w^^-oq, t) = ш<°> (-оо, t ) - 4р^ 0;, / ^=1,2, где 0; = 0 или 0; = 1
[ формула (4.1-22)], следует, что ^ (-<», t ) = ги^Ц-оо, t ) - 4^01 + Р202 ).
Из сказанного в предыдущем параграфе следует, что если ww (х, t ) - решение уравнения (4.-5) [и, следовательно, uV^x, t) = ^^ (х, t ) есть решение уравнения (4.-1)], то функции w(1)(x, t ), w^2\x, t) суть также решения уравнения (4.-5) при условии, что константы интегрирования, входящие в эти функции, имеют подходящую зависимость от времени. (Здесь ’’константа интегрирования” не зависит от переменной х, но зависит от времени.) Зависимость от времени,необходимая для того, чтобы функции w(1 > (х, t ) и w^^x, t) удовлетворяли уравнению (4.-5), легко представляется в явной форме выражениями для множителей р' и р:
АО =А») ехр[ - 2р,а(4р?) г],(23а)
^(?)=^(0)ехр[-2р2а(4р22)/]<23б>
[формулы (4.-Зв), а также (76), (86), (156) и (166)]. Более того, при таких условиях функция w'^x, t ) есть тоже решение уравнения (4.-5).
По этой причине формулу (22) часто (хотя, может быть, не совсем правильно) называют принципом нелинейной суперпозиции для нелинейного эволюционного уравнения (4.-5). Подчеркнем, что эта формула выражает вполне явно новое решение уравнения (4.-5) через три других решения w(0) (х, t ), w(1 Цх, t) и w^^x, t ), из которых последние два w(1 > и и^2) связаны с первым w{0) преобразованиями Бэклунда (4.1.-15) с параметрами и р2.
Повторим еще раз, что, хотя вывод этих результатов основывался на спектральных данных рассматриваемых функций, а это означает, что последние принадлежат к классу BF-потенциалов, результаты справедливы и в более общем случае. Например, принцип нелинейной суперпозиции (22) дает новое решение уравнения (4.-5), которое получается из трех заданных решений (связанных между собой преобразованиями Бэклунда), даже если некоторые из функций w^, w(1 \ w^2) или w* сингулярны при действительных х или если нарушены условия (5) и (6). В самом деле, как легко видеть, если w(0) есть BF*потенциал и выполняются неравенства (5) и (6), то по крайней мере одна из трех функций u31 >, w(2) и w* не может принадлежать к классу BF-потен- пиалов, поскольку требование положительности всех множителей р', р, р** и р* [формулы (86), (10в), (166) и (18в)] несовместимо с ограничениями (19). Из этого следует, что w* будет BF-потенциалом (т.е. будет регулярной функцией при всех действительных значениях х), если w(11 будет регулярной функцией (р* > 0), но w(2) будет сингулярной функцией (р < 0). Здесь мы подразумеваем соответствие между сингулярностями в конфигурационном пространстве при действительных значениях хи отрицательными нормирующими множителями, на которое указывают выводы предыдущего параграфа и дополнения Д.12 (см. также ниже). Но расширение понятия спектрального преобразования за
пределы класса BF-потенциалов требует более строгого обоснования. (Эта задача, затронутая в гл. 2, § 3, выходит за пределы тематики книги; см., однако, дополнение Д. 16.)
Ясно также, что если иг0> принадлежит классу BF-потенциалов и неравенства (5) и (6) выполняются, а решение ы', даваемое формулой (22), тоже есть BF-потенциал, то тогда w' содержит тот же набор солитонов, что и w(0), и еще два, связанные с дополнительными дискретными собственными значениями Р1 и р2 (см. также приводимые ниже примеры).
Рассмотрим в качестве простого примера применение принципа нелинейной суперпозиции при условии, что hA°)(jm)=0.(24)
На основании результата предыдущего параграфа [формула (4.1.-23а)] получим ^»(х,/)=-2Л(1-1Ь{Л[х-^>(г)]}), V=l,2,(25)
где
(26) Подставляя эти выражения в правую часть формулы (22), получаем, как легко видеть, регулярное двухсолитонное решение (дополнение Д. 10) при условии, что
(27а) ^ = ^> + iT/2p2,(27б)
где §^ 1 и ^) - действительные константы (не зависящие ни от х, ни от t ). Заметим, что формулы (27) согласуются с положительностью множителя р' и отрицательностью р (см. сказанное выше) в соответствии с выражениями [см. формулы (76), (86), (156), (166) и, например, (3.2.А.-6)]
р^г/^ехррр^'Хг)],(28а)
р=2р2ехр[2р2/<2)(/)].<286^
Можно продолжить эту процедуру, начав с односолитонного решения
И>(°’(х, ;)= -2pi(l-th{/>1[x-^<l)(r)]}).(29)
£m(< W^-a^Oz(30)
и двухсолитонных с параметрами р , р2 для функции w и р,, р3 для функции w’21. Подставив эти выражения в правую часть формулы (22) (и заменив значения Р1 и р2 на р2и рз), получим трехсолитонное решение. Пользуясь соотношениями для нормировочных множителей, соответствующими всяким преобразованиям Бэклунда, не-
трудно вычислить условия, прй которых получаемое решение будет регулярным (см. ниже).
Такая процедура может быть продолжена. Она дает чисто алгебраический способ построения многосолитонных решений (ее иногда называют солитонной лестницей^. Если параметры р^ выбирать с последовательным увеличением:
Л<Л+и 7=1,2,...,^1,(31)
то из предыдущего примера легко усмотреть, что условием регулярности ^-солитонного решения является простое правило чередования знаков "нормировочных множителей", фигурирующих в» промежуточных решениях:
signpy = (-)7+l, J= 1,2,..., N.(32(
Для величин £ , связанных с множителями р^ формулой
/>у=2/>уехр(2/?у/,),(33)
этому эквивалентно любое из соотношений
^~^Лхи* 1)Ы2Л-(34а)
Ь + (-У W4Pr(346)
где £; - действительная величина.
Формулой нелинейной суперпозиции (22) можно формально пользоваться в случае двух комплексно сопряженных параметров:
Pi=P*-(35)
Считая функцию ш<0> действительной, можно тогда получить, что
W(I) = W<2)*,(36)
и из формулы (22) следует, что решение w* тоже действительно. Но легко убедиться (и это совершенно очевидно с точки зрения спектральных данных), что если начальная функция ш(0> = 0 равна нулю, то соответствующее решение w' не может быть ВЕ-потенциалом.
Что касается случая ^ = р2 = р, то соответствующее ему выражение [формула (22) ]
и/( х. г) = и,(0)(х, г) — 4р,(37)
несовместно с условием убывания функций го' и ш(0) при х -> + оо, которое следует из определения w (4.-4). В то же время очевидно, что если функция w(0)(x, t ) локально удовлетворяет нелинейному уравнению в частных производных (4.-5), то ему будет удовлетворять любая другая функция, отличающая- < я от w^ (х, t ) аддитивной константой.
Формула резольвенты
Пусть u(x, t ^ - некое решение уравнения (4.-1), так что соответствующий коэффициент отражения эволюционирует в соответствии с формулой (4.-За). Введем функцию w*(x, t ^ связанную с функцией и^х, 0) преобразованием g(A j)^u'(xj)— и(х,0)^4-h(A, t)F-1—0,(О
где g(z, z) = cos[(~z)1/2a(z)z/2],(2а)
A(z, z) = -(-z)"l/2sin[(-z)l/2a(z)z/2], а операторы Г и Л определены формулами (2.4.А.-5) и (2.4.А.-6) с функциями v<|)(x)=«'(x,z),м(2)(х) = «(х,0).(За)
Заметим, что преобразование (1) теперь явно зависит от времени и функции g и h не полиномиальны (хотя являются функциями переменной z). Функция a(z) в формулах (2) та же, что и в уравнении (4.-1), которому удовлетворяет u(x, t ). Ввиду сходства уравнений (4.1.-1) и (1) можно последнее уравнение назвать преобразованием Бэклунда, хотя по только что установленным причинам оно не принадлежит к классу преобразований, рассмотренных в § 1.
Теперь, учитывая формулы (За) и соответствующие им формулы R^k^R^M),R™(k)=R(k,O),(36)
воспользуемся соотношениями (2.4.А.-10в) и (2.4.А.-10д) с функциями g и h, даваемыми формулой (2). [Заметим, что зависимость функций g и h от времени не противоречит формуле (2.4.А.-10д).] Они приводят к равенству R\k, z)=^(/c,0)exp[2i/c^(~4A:2)z].(4)
Сравнение этой формулы с формулой (4.-За) дает R\k,^=R^k.tY(О
откуда получаем lAx^-U^Xj^^
[Здесь мы для упрощения считаем, что для совпадения двух функций достаточно равенства соответствующих коэффициентов отражения. Эго, разумеется, неверно, ; ак как необходимо проверить еще и равенство дискретной части спектральных данных. В рассматриваемом случае легко доказать, что они совпадают. Преобразование (1), (2) не может изменить числа дискретных собственных значений, гак как из соотношений (4.L-5) и (4.1.-7) следует равенство ехр[±/ш(4/г)/] -0,(7)
которое не может выполняться. Затем нужно воспользоваться соотношением (4.1.-6). Полное проведение этого доказательства мы оставляем в виде упражнения читателю.]
В заключение отметим, что формула (1) вместе с формулами (2) и (6) устанавливает полное соответствие между функциями Цх, t ) и Цх, 0). Для нелинейного эволюционного уравнения (4.-1) оно является аналогом формулы резольвенты (1.1.-13), полученной для линейного эволюционного уравнения (1.1-1). Легко видеть, что в пределе слабого поля, когда нелинейными членами можно пренебречь и уравнение (4.-1) сводится к уравнению (1.1.-1) при соответствии (1.2.-66), формула (1) при условии выполнения равенства (2), (6) и (1.2.-66) сводится к (1.1-13),
Этот результат может быть представлен в несколько более общей и элегантной форме:
g(4, г — Zz) [zz(x, t) — и( х, С)] 4-А (Л, 1 — /')Г' 1 =0,(8)
где функции g, А определяются по-прежнему выражениями (2). а операторы Г и Л - выражениями (2.4.А.-5), (2.4.А.-6) и u^x^u^xjY и{2\х)~и(х, Г\(9)
Этот результат согласуется с утверждением о том, что функции Цх, t ) и uU, t *Y как видно из обозначений, являются одним и тем же решечу ем нелинейного эволюционного уравнения (4.-1), вычисленным в разльн моменты времени t и t '. Таким образом, эволюция во времени может рассматриваться как преобразование £>эклунпа. Действительно, она связывает решения одного нелинейного уравнения (4.-1), а функции u(x, t ) и u(x, t *Y очевидно, ему удовлетворяют.
Соотношение (8) может быть переписано в виде
u(xs t^-u^x, t'} + r(A, t-t^FA,(Ю)
где
r(z,r) = (-z) l/2tg[(-z)'2].01)
Заметим, что в пределе при / " ~> f уравнение (10) переходит в уравнении (4.-1), как и должно быть.
Нелинейные операторные тождества
Рассмотрим специальный случай уравнения (4-1), когда a (A - 1. Тог да зто эволюционное уравнение приобретает простой вид иДл, t) -их(х, t)(^
и имеет общее решение и^х. t)-/( x-V-t)<2)
с произвольной функцией f.
Подставим это выражение в формулы предыдущего параграфа, например в (4.3.-10). Положим t = а и получим f^a^f<xV<-AYV\%V-A^(3)
где операторы Г и Л определяются формулами (2.4.А-5) и (2.4.А.-6), и «(1)(х)=/(х + а), и^Чх^КхУ(4)
Отметим, что в этих уравнениях f (х) - произвольная функция [не нужно ее путать с произвольной функцией, появляющейся в определениях (2.4.А.-5) и (2.4.А.-6)]. Таким образом, формула (3) представляет собой интересное операторное равенство.
Чтобы установить связь с известными результатами, заменим для удобства функцию f в равенстве (3) функцией Л/, выполним разложение в ряд по степеням Л и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях. Линейные члены по Л дают хорошо известную операторную формулу (1.1.-16). Члены более высокого порядка по Л приводят к бесконечной последовательности существенно нелинейных операторных равенств. Найдут ли они какое-нибудь приложение, пока не ясно.
Заметим, что метод, которым они выводятся, подобен методу, которым в гл. 1, § 1, выводились равенства (1.1.-16).
Обобщенные преобразования Бэкпунда и обобщенная формула резольвенты
Рассмотрим две функции и ^х, t') и Цх, t), связанные друг с другом обобщенным преобразованием Бэклунда uf(x, t^-u^x, i^t^A, t'-t^t-t^rA,(О
где
r(z,z\z) = (-z)-l/2tg{(-z)1/2[z'a'(z)-Z<r(z)]/2 + p(z)},(2)
операторы Г и Л определяются, как обычно, формулами (2.4.А.-5) и (2.4.А-6), но при этом
w(1)(x) =«'(%,/'), u^^x^=u^xsty(3)
В выражении (2) a ', а и ф - произвольные функции.
Используя соотношения (2.4Л«10в) и (2.4 Л.-1 Од), легко установить, что из преобразования Бэклунда (1) вытекает следующее соотношение между коэффициентами отражения R' ^> t') и R\k, ty отвечающими функциям и Vx, t') и Цх, t):
R\k, t') —R^k, r)exp{2iA:[(f —r'0)a'( —4А:2) -
-(z-z0)a(-4fc2)]+2p(-4fc2)}.(4)
Так же как и в § 3, на основании этой формулы можно сделать вывод, что функции Цх, t) ни (х, 0 являются решениями уравнения (4^1) с операторами а и а': и^хЛ^-а^и^хлУ<5а)
и'ЛхЛ^а'^и'ЛхлУ(5б)
[ В последнем уравнении оператор L* задается, так же как и оператор L, формулой (4.-2), но при этом вместо функции Цх, t) используется функция иЧх> 0.]
Таким образом, формула (1) определяет преобразование решений нелинейного эволюционного уравнения (4.-1) в решения другого уравнения того же класса (4.-1), но с функцией a (z), замененной другой функцией а ' (z).
Отметим, что это обобщенное преобразование содержит еще одну произвольную функцию q>(z), которая дает возможность, как и в случае обычного преобразования Бэклунда из § 1, преобразовывать решения в пределах одного уравнения типа (4.-1). Действительно, при подстановке в формулу (1) значений а '(z) = a(z), t* -t^t -t0 иср(г) = arctg[(-z)^2p)l получим простейшее преобразование Бэклунда (4.1 .-14). В то же время, если функции a '(z) и a(z) неодинаковы, т.е. преобразование (1) связывает решения разных эволюционных уравнений, оно имеет бесконечный порядок. Иначе говоря, это преобразование не может быть представлено в форме (4.1.-1) с полиномиальными функциями g и И»
то из равенства (4) следует, что
Г)
Предположим, кроме того, что a' (z) — константа: a'(z) = v.(8)
Тогда уравнение (56) становится линейным: и'^х, t^vu'^x, t\(9)
Следовательно, u\xs t^ — u\xA-Axs(10)
где Ax-'o^i' — t^Y(И)
Сравнивая выражения (10) и (7), получаем u'( х, z') = u(x + 4x, z0)..(12)
Положив t Q _t = Lt, подставим функцию (12) в формулу (1). Принимая во внимание соотношения.(2), (6), (8) и (11), получим формулу, связывающую решение Цх, t) уравнения (4.-1) с тем же решением, но со сдвинутыми аргу-
менгами
u^x-VAx, z+Az) =
=u(x^)^-^r'/2tg{(^)'/2[4x+a(A)zk]/2}^ 1.(13)
где операторы Г и Л определяются формулами (2.4.А-5) и (2.4.А.-6), в которые подставлены функции
м0)(х) = и(х+Ах, r + Az),м<2)(х) = и(х,г)(I4)
Заметим, что сдвиги Ах и A Z произвольны. При Ах = 0 формула (13) сводится к формуле (4.3.40) из § 3. По этой причине она называется обобщенной формулой резольвенты. При Az = 0 она даег формулу (4.4.-3) из § 4. [В этом случае зависимость от времени в формуле (13) можно не принимать во внимание, гак как функция и вычисляется в один и тог же момент времени. Следовательно, функция и(х) может быть взята произвольной, как при выборе начальных данных задачи Коши.]
На основании операторного тождества (1.1 .-16) легко показать, что в пределе слабого поля формула (13) совпадает с формулой резольвенты (1.1 .-13). Что касается более общих формул (1) и (2), где для простоты мы возьмем q>(z) = 0, го в пределе слабого поля они даю г формулу
и\х, z')=exp{ — i[(z'-Zq)^'( — \д/дх) — (t~tQ)v( — 1д/дх)])и(х, t\ (15) связывающую между собой решения двух уравнений
ut^xs t) = —1^( — id/dx)u(x, z),(16)
u't (х, Z') = —1^'( — id/dx)u'(x, Z'),(17)
начальные данные которых совпадают
u(x,z0) = u'(x,z^).(18)
[Разумеется, выполняется соотношение (1.2.-66) для функций a(z) и co(z) и аналогичные соотношения для функций a '(z) и co'(z).]
Примечания к главе 4
Довольно полное изложение результатов, относящихся к преобразованиям Бэклунда и связанной с этим проблематике и полученных до 1974 г., содержатся в сборнике статей [ 344]. Он включает краткий исторический обзор с полной библиографией ранних исследований [ 290], в том числе первые работы Бэклунда и Дарбу.
Кроме подхода, принятого в этой книге, преобразования Бэклунда (ПБ) изучались с применением методов дифференциальной геометрии. На самом деле ПБ для уравнения КдВ были введены с помошью структур продолжения Валквисга - Эсгабрука [448]. О формулировке и приложении ПБ в дифференциальной геометрии см. работу [396].
. Под "преобразованиями Баклунда" часто понимают (особенно в дифференциальной геометрий только "половину" преобразования. Поясним на примере преобразования Баклунда (4.1.-15)
и^ + и^ — j(w(,) — w^^ApA-w^ — w(2)).(U
Предположим, что w(11 и i^2) - решения уравнения КдВ (3.1-40) с a(z) = - z:
Н-и, +3w2=0.OA
Дифференцируя левые и правые части равенства (1) по t, используя уравнения (2) и снова (1), можно заметить, что правая часть принимает форму полной производной по х. Проинтегрировав обе части равенства, получим "вторую половину" преобразования Баклунда и;(1) + wp^ — ( и^Р — wj2)) (2р + w(1) — и/2)) —
-2[(w^)2 + (Hf>)2+wWw®].(3)
Система двух связанных уравнений (1) и (3) обладает следующими свойствами: 1) если одна из функций удовлетворяет уравнению (2), то ему удовлетворяет и другая функция; 2) уравнение (1) первого порядка, уравнение (3) _ второго порядка, тогда как уравнение КдВ - третьего порядка. Обратим внимание на локальный характер этих результатов - никаких условий на асимптотику функций иАН или на их регулярность не налагается. Более того, для данной функции и,(2) решение о/п уравнений (1) и (3) теперь полностью определено с точностью до двух констант, не зависящих ни от х, ни от t .
Мы обращаем основное внимание на уравнение (1) только потому, что оно имеет очевидный спектральный смысл. Кроме того, уравнение (1) применимо к целому классу нелинейных эволюционных уравнений (3.1 .-40) [или, что эквивалентно, (3.1.-28), см. (3.1 .-27)]. В то же время форма второго преобразования Бэклунда зависит от выбора функции а (г) и различна для разных уравнений из класса (3.1^40) [или (3.1.-28)].
Применимость одного и того же преобразования Бэклунда к целому классу нелинейных эволюционных уравнений была впервые подчеркнута в работе [133]. Первое исследование преобразований Бэклунда с точки зрения спектральных данных было выполнено в работе [189]. Подход к преобразованию Бэклунда, основанный на соотношениях вронскиана, и связанная с этим роль оператора А рассматривались в работе [83]. Приведенное в этой монографии изложение несколько полнее предыдущих работ. Роль "второй половины" преобразований Бэклунда в контексте техники вронскиана обсуждалась в работе [ 103]. Обобщенное преобразование Бэклунда (4.1 .-1) может быть выведено также с помощью алгебры дифференциальных операторов (см. дополнение Д.20). В своем изложении, которое обобщает метод Лакса [2841 на ПБ для нелинейных эволюционных уравнений типа (3.1-28), указанная монография следует работе [ 68]. Важность преобразований Дарбу и их связь с
преобразованиями Бэклунда были подчеркнуты в нескольких недавних работах Матвеева (см., например, [ 335> 336, 362, 337]).
§ 2= На коммутативность преобразований Бэклунда было указано в работах [289, 291] (см. также [290]). Диаграмма, наглядно представляющая это свойство- (см. гл. 1, § 7, п. А), называется "диаграммой Лэмба". Первое изложение "нелинейного принципа суперпозиции" для решений уравнения КдВ и вытекающий из него алгебраический способ построения многосолитонных решений ("солитонная лестница") были даны в работе Г 448]. Обсуждение принципа нелинейной суперпозиции в рамках так называемого прямого метода см. в работе [ 235].
Эта идея впервые была высказана в работе [83].
Операторные тождества впервые появились в работе [ 83].
Материал этого параграфа взят из работы [111]. Существуют другие, более простые преобразования, связывающие решения различных нелинейных эволюционных уравнений, решаемых методом спектральных преобразований. Прототип подобных формул - преобразование Миуры (дополнение Д. 11). Происхождение этих формул проще понять в рамках матричных спектральных задач с использованием метода редукции. Дополнительные примеры таких преобразований приводятся в т. 2.
Глава 5
ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ
Важным свойством нелинейных эволюционных уравнений, решаемых методом спектрального преобразования, является существование бесконечного числа локальных законов сохранения. В классе стремящихся к нулю при х -> ±оо решений, которыми мы в основном интересовались до сих пор (и которыми ограничимся в этой главе), сохраняющиеся величины выражаются в виде пространственных интегралов от подходящих полиномиальных комбинаций полей и(х, z) и их производных.
Как мы покажем, в рамках нашего подхода легко получить бесконечную последовательность сохраняющихся величин. Существование этих величин получается как дополнительное следствие. При других же подходах существование бесконечного числа законов сохранения играет фундаментальную роль. В случае уравнения КдВ обнаружение нескольких независимых законов сохранения было первым указанием на его специфичность. Более того, метод спектрального преобразования был предложен как способ объяснить это свойство.
В этой главе мы сосредоточим внимание на классе эволюционных урав
нений (3.1.-28)
ut(x, t^ — a^L, t)ux(x, t),(1)
где a (z, z) - полином no z:
«М = 2 am^zm(2)
w = 0
(более общий класс уравнений рассматривается в дополнении Д.18). Напомним эволюцию во времени спектральных данных:
Rt(k,t)=2ika(-4k2j)R(k,t),(la)
А(0=0, л = 1,2,...,^(16)
рА^-^рДАр^ШО, п = 1,2,...Л.(1в)
(3a)(3a)Из этих уравнений следует, что
(3a)
(3a)
R(k, t) — R(к,0)exp 2i/c ^dz'^ — 4k2, t'^ L •'o
PnW=P„W=P„, n=l,2,...,N,
A,(<)=A,(0)exp -^pj'dt'a^p^t^ ,
м—1,2,... ,N.
(36)
В действительности эволюционное уравнение (1) само имеет вид локального закона сохранения (см. гл. 3, § 1) ut^x, O — Yx°4xt t).^
Более того, величина у10> (х, <), будучи полиномом от функции и и ее производных по х, асимптотически равна нулю: /<°>(±оо,/)=0.(5)
Таким образом, сама структура нелинейного эволюционного уравнения (1) означает, что величина
С0=с0= ( dxu(x,t)(6)
ОС
является постоянной для потока (1).
С учетом операторных тождеств из дополнений Д.8 и Д.9 легко показать, исходя непосредственно из уравнения (1), что величина CQ есть всего лишь первый член бесконечной последовательности сохраняющихся величин. Однако мы отложим такой прямой вывод на самый конец главы, так как подход, основанный на спектральном преобразовании, более ясен и лучше согласуется с принятым в книге изложением. Читатель, не согласный с такой точкой зрения, может сразу перейти в конец главы.
Переключим теперь наше внимание с конфигурационного пространства на пространство спектральных данных, т.е. вместо функции Цх, г) будем рассматривать ее спектральные данные 5(0. В действительности мы уже знаем [формула (16)], что если существуют дискретные собственные значения, отвечающие функции Цх, О. то они не зависят от времени, коль скоро сама функция Цх, t) эволюционирует в соответствии с уравнением (1). Таким образом, они являются сохраняющимися величинами, хотя и не могут быть выражены в явной форме через функцию и(х, О и ее производные.
Как легко усмотреть из уравнения (За), аналогичная ситуация имеет место для величины R^k, t)R(- к, О [которая совпадает с квадратом модуля R^k, t), если функция и(х, t) действительная, см, формулу (2.1-12)]. Но и здесь у нас нет способа выразить явно эту величину через функцию Цх, t) и ее производные по х. Формула (2.4. А-2 6), дающая явное представление для величины R(^k, t)R(- к, t), включает кроме функции Цх, £) собственные функции уравнения Шредингера у (х, tk, О- При этом, однако, независимость от времени выражения R(k, t)R(- к, t) имеет место при всех значениях к, что приводит к коптиниуму сохраняющихся величин.
Если pact мотреть эволюцию коэффициента прохождения Т^к? О> то ситуация окажется более благоприятной. Прежде всего, легко увидеть, что эта эволюция предельно проста: Т^к, t) не зависит от времени’ Доказательство
аналогично проведенному в гл. 3, § 1, при выводе эволюционного уравнения для коэффициента отражения R^k, t). Если в соотношении (2.4.А.-25) положить g(z) = 1, а в соотношении (2.4.А-26) g(z) = a(z, t), то вместо уравнений (3.1 .-7) и (3.1 .-8) получим уравнения
2ik\R,(k,0R(-k,tVTAk,t)T(-k,t^ =
= f dx^Xtkj^^—k^u^XttY(7)
— ОО
(2ik)2a(-4k2,f)R(Jc,f)R(-k,tV
= (dx/(x,k,t)^(x,—k,t)a(L,t)ux(x,t).(8)
Обозначения здесь не требуют пояснений (см. § 1, гл. 3). Вычтя из второго равенства первое, с учетом уравнений (1) и (1а) получим
ТЛМ=0.(9)
Независимость от времени коэффициента прохождения
Т(М = Т(к^ = Т(к)(10)
можно также показать [ по крайней мере если функция Цх, t) действительная], исходя непосредственно из факта независимости от времени модуля коэффициента R^k, г), так как Т(к, И выражается через |Я(к, 01 и через дискретные собственные значения рл> которые тоже не зависят от времени (см. дополнение Д.4). Мы опять получили континуум сохраняющихся величин, и снова коэффициент Т(0 не может быть явно выражен через функцию гг и ее производные. Но теперь существует удобный способ обойти эту трудность.
Прежде всего заметим, что независимость Т от времени означает независимость как его модуля, так и фазы:
Г(А:) = |Т(А:)|ехр[И(А:)], ImA:=0,(^а)
или в более общей форме
Т(к) = Т( — &)exp[2i #(£)], Im/c = 0.(Пб)
[Второе определение (116) фазы 6(A) совпадает с определением (Па), если иМ - действительная функция. Но оно годится и в случае, когда функция и(х, t) не является действительной, ] Тогда из гл. 2, § 1 гл. 2, и из дополнения Д.3 следует, что фаза 6(A) допускает асимптотическое разложение по обратным степеням к, а коэффициенты разложения могут быть записаны в виде интегралов от функции и и ее производных по х [ формула (2.1-41)]. Так как Т и, следовательно, 6 не зависят от времени, то и коэффициенты асимптотики не зависят от времени, что дает бесконечную последовательность сохраняющихся величин [формула (2.1 .-41)]:
Ст = (— 1),п(2аи+ 1)-1у* йхЦ’Дхи^х, t^lu^x, /)] (-“О ^=0,1,2,...."°°
Появляющийся в этой формуле оператор L в точности тот же, что и в уравнении (1). Он определялся неоднократно, но мы для удобства воспроизведем его еще раз:
&уКу\(13)
Первые три коэффициента С^ уже выписывались [формулы (1.7.В.-12а,б, в) и (Д.9.-58)]* Напомним также, что другое представление сохраняющихся величин Ст дается формулой (Д .9-.-576).
Эквивалентное, но более прямое доказательство независимости коэффициентов Ст следует из формулы (Д.9.-57в), в которой Ст выражается через спектральные данные:
С„=(2,и+1Н(-Г+,2 2 (2^)2W+I 4 Iи=1
+ (2fr)-l£+”dfc(2fc)2m+\d/dfc)ln[^(14а)
Cm=(-1)”+I2(2m+1)-' 5 ^рпУт+'- п= 1
-^"'/^dfc^^lntTWTX-fc)].П4б)
Эго альтернативное по отношению к формуле (12) определение сохраняющихся величин через спектральные данные эквивалентно ей. Эквивалентность гарантируется результатами, приведенными в дополнении Д.9.
Заметим, что для многосолитонного решения выполняется равенство Т^Т(-к> = 1 [формула (2.2.-23)], и поэтому
cm=(-i)”+l2(2W+i)-1 2 (гд)2^'.(15)
п= I
Таким образом, в данном случае С^ представляется в виде суммы вкладов от каждого отдельного солитона, что можно было бы предугадать, учитывая, что при t -* ±оо функция Цх, t) действительно является суммой солитонов, а Ст не зависит от времени [ см., например, формулу (1.6.А.-14)].
Эквивалентная последовательность сохраняющихся величин дается формулой
cm = (—l)w f dxu(x, t)M2w-l, m = 0,l,2,...,(16)
- 00
где интегро-дифференциальный оператор M определяется своим действием на функцию f (х):
Mf(x)=/X(x)- ( dyu(y,t)f(y).(17)
Вывод этих формул аналогичен приведенному выше, так как можно показать, что с т _ эТо коэффициенты при величинах (2^) -2т в асимптотическом разложении при Л -> <х> выражения 2i£ [ 1 - 1 /Т^Д.
Два множества сохраняющихся величин (12) и(Ш абсолютно эквивалентны. Действительно, используя свойство (2.1 .-39а), соотношение между ними можно представить в компактной форме (см. дополнения Д.9 и Д.13)
(18)(18)2 cmz2m+ ‘=sin 2 Cmz2m+1
(18)
(18)
m = Q[m=0
в чем, конечно, легко убедиться, разлагая правую часть равенства и приравнивая коэффициенты при равных степенях z.
Коль скоро мы показали, что независимость от времени констант движения (12) и (16) следует непосредственно из независимости от времени коэффициента прохождения Т^, интересно представить другие выражения для этих величин:
^-(-1)^ d^J d^[L(-yi/)]",«(^,r), т-^ЛЛ.-^(19)
^т=(~ l)w(2w+1) XJ dxLmu(x,t), m = 0,l,2,...,(20)
ст~(~1)т/ dxA(0)mu(xj)> w = 0,l,2,... .(21)
Здесь интегро-дифференциальный оператор L(ytz) определяется формулой (13), где функция Цх, t) заменена функцией уЦх, г), а операторы L и А° определяются формулами
Af(^)=/,x(x)-2“(^.O/(x) + 2J dуи(_у, t)fy(.y),(22)
Л(0У(^)=/л-Хл)-2г/(х,;)/(х) + и,(^ дуДу) +
+ u(xj)f dyu(y,t)[ dzf(z)(23)
Г см. формулы (Д. 9-12) и (Д.9-51) или (2.4 .Б .-18) и (2.4 .А .-17)1.
Следует подчеркнуть, что эти сохраняющиеся величины являются константами постольку, поскольку икх> О эволюционирует в соответствии с уравнением из класса (1). Для их определения полиномиальный характер по z функции a (z, О (2), входящей в формулу (1), не важен, и она может быть взята произвольной (допуская ее зависимость от времени). Но зависимость от а Г т.е. конкретный выбор уравнения из класса (1)] проявляется, если законы сохранения записать в локальной форме в виде "уравнения непрерывности". Проиллюстрируем это, ограничившись для простоты формулами (12) и (20). Запишем соответствующие локальные законы сохранения в следующей форме: fW^xj^v^^x.t^ т=0,1,2,...,(24)
g,m\x, t^y^^x, t), m=0,l,2,...,(25)
где плотности f(m} и g^ даются подынтегральными выражениями (12) и (20);
ftm4x, t')=L'"^xux(x, 1) + 1и^х, t^, m=0,l,2,...,(26)
g<m>(x,/)=£”м(х, (), m=0,l,2,...(27)
Постоянство интегралов (12) и (20) следует очевидным образом из асимптотического равенства нулю "токов" <р(т) и у^ при х -> ±оо. Это будет разъяснено ниже. Первые три плотности из последовательности (27) были уже приведены [формула (3.1 .-32), см. также (3.1.-30) и (Д.9 .-30)]. Приведем выражения для первых трех плотностей из множества (26):
/№=:(хи)л + и,(28а)
+-Зи2,(286)
/<2)= (/(1)—6и2)х+х(—^^и+и^ + Юи3) —
-5и2dyu(y,t)-2uj d^u2^, <)j +5(и2+3и3).(28в)
Здесь зависимость от х и t не указана явно, что не должно вызвать недоразумений. Заметим-, что эти выражения представлены в такой форме, что в них отделена часть членов, которая, будучи полной производной, после интегрирования обращается в нуль. Сюда входят члены, явно (и линейно) зависящие от х.
Как постоянно подчеркивалось, плотности g(m) являются полиномами от функции и и ее производных по х [ это видно из явных выражений (3.1. 32), и в общем случае это доказывается в дополнении Д.9]. Каждое выражение g^ есть линейная комбинация мономов "ранга" ("размерности") т + 1, где ранг (размерность),будучи аддитивным индексом, связан с каждым мономом и определяется степенью функции и (и ее производных). Каждая степень дает вклад в ранг, равный единице, а каждый оператор дифференцирования - половину. Например, моном и^м5 имеет ранг 11. Плотности f (m) содержат при т> 0 также интегральные члены.
Плотности f lm) и gtml, как следует из формул (26) и (27), очевидным образом не зависят от рассматриваемого частного вида эволюционных уравнений из класса (1). В то же время токи <p(ml и у(т>, как отмечалось выше, зависят от полинома a (z , г), которым и определяется вид конкретного уравнения. Эта зависимость видна в приводимых ниже явных формулах (соответствующие выводы см. в дополнении Д. 21).
Токи у ^ имеют вид
М к — 1
^=a<L, r)g‘m>+2 5 ак^ 2m=0,l,2,... .
у=о(29)
В этой формуле величины а^( ^ и g(m) определяются форм/лаш (2) и (27), a Grz ’ ^ связаны с ^ форт^лой
С^ЧхЛ^-^ЧхЛ^Чх,^, УД=О,1,2,..„(30а)
из которой следует, что
G^Xx.O^j^dyg^y.OgW^y.tV УД=0,1,2,....(306)
Несмотря на интегрирование в правой части этой формулы, С(ь ^> в действительности является полиномом от функции и и ее производных по х ранга / + к + 2. Доказательство этого дается в дополнении Д.9 [см. материал, следующий за формулой (Д.9.-98)]. Там же приводится явное выражение для первых нескольких величин G^ * ^[Так, например, в тривиальном случае a(z, 0 = 1, отвечающем волновому уравнению и{ = их> токи у(Г9) принимают простой вид
yW^gW, ^ = 0,1,2,...,[^=«J,(31)
тогда как в случае a (z, t) = -z, соответствующем уравнению КдВ и +- 6uYu = 0, имеем
I#ЛЛ-Л,Аг*
(32)(33а)(336)(ЗЗв)(32)(33а)(336)(ЗЗв)yW- —^<'"+|) + 2[с('",0) —G(0,'”)], m=0,1,2,...,
(32)
(33а)
(336)
(ЗЗв)
(32)
(33а)
(336)
(ЗЗв)
[«,+uxxx—6uxu=0], т— 1
схт№= 2 UU)UxTJ-x1-Wm~J~xxV^¥x^^^ ,=0
-1 ^ W”^, т=\Д,3,--м у=о
G(0.m)=m = 0, 1,2,...,
GW.0>=-1u2,
Первые два тока для уравнения КдВ из множества (32) в явном виде представлены формулой (1.75.-21).
В отличие от токов у1т) токи (^^ не сводятся просто к полиномам по и и по х-производным - остаются еще некоторые интегралы. Явное выражение для токов имеет вид
^-pjW-^^^Yxa^L, t^u\ ^P^xu^lu^, w = 0,1,2,...,(34)
c f (m>, L и a (z, 0, задаваемыми формулами (26) [см. также (28)], (22) и (1), а. дифференциальный оператор Ропределяется формулой [см. (Д.21.-39, 30)]
Мт-1
P=a(L,t)-2 2 ajp 2 Vg^-^HgV'-'-^IJ,(35)
т—1у=0
где «^(t) _ функция, даваемая формулой (2), a g^ и g^ — мультипликативные операторы [см. (27)]:
g^WWm4x,tW^ g^Ax^gW^xjVUV<36)
Таким образом, в тривиальном случае a(z, t) = 1 токи принимают вид ф(т) = / ^ -g^, а в случае уравнения КдВ [a (z, t) = - г ] ^^-/А^бг/У^ЧЗ^1), т=0,1,2,...
[w?+wxxx —6wxw=0].(37)
Первый ток <р<°) дается формулой
Р^Чм'Ь^-Зи^+бА^к+З»2,1и,+иххх-6ихи=0^(38)
Мы видели в предыдущей главе (главным образом в § 1), что нелинейные эволюционные уравнения типа (1) инвариантны относительно широкого класса преобразований (преобразований Бэклунда). Здесь же мы видим, что эти уравнения обладают бесконечной последовательностью законов сохраненияо Ясно, что эти два свойства связаны между собой, и существует большое число недавно опубликованных работ (см. примечания к главе), которые анализируют эту связь в рамках классической теоремы Нетер (которая связывает инвариантные свойства лагранжевой теории поля с законами сохранения). Введенные выше сохраняющиеся величины (20) являются, кроме того, "гамильтоновыми функционалами", если эволюционные уравнения рассматриваются в рамках гамильтоновой динамики. В действительности эти уравнения могут быть идентифицированы с гамильтоновыми потоками (см. дополнение Д.23).
Поскольку мы в этой книге не останавливаемся на таких -проблемах, приведем один пример вывода бесконечной последовательности законов сохранения, основанного на преобразованиях Бэклунда. Это мы сделаем в случае простейшего нетривиального уравнения из класса (1), а именно для уравнения КдВ ut-Vuxxx ~&ихи=Ъ, u = u(x,t),(39а)
соответствующего значению a(z, t} = -г в формуле (1).
Удобнее работать не с функцией и, а с интегралом w(x,t)= f dyu(y,t).(40)
Тогда уравнение КдВ (39а) примет вид
w,= — и'ххх—Зм^2, w=w(jc.z).(396)
Рассмотрим теперь два решения уравнения (396) ш(х, t) и ш'(х, t), связанные между собой простейшим преобразованием Бэклучда (4.1 .-15) wx*wx= -iVN'-w^-e-^V-w^(41)
[ здесь мы использовали обозначения го = w11 >, го = ю(2}, е = (2р)*1]. Вычитая уравнение (396) из такого же уравнения для функции ц/ и используя соотношение (41), легко увидеть, что
y=y(x,t),(42)
где у=^ — w)/2f,(43)
■H^-yxx^V-y^y3-(44)
Напишем теперь два асимптотических разложения м
У= 2 ^У^Чо^У(45)
т = 0
М
П= 2 ^>/'”)+о(^).(46)
т = 0
Тогда уравнение (41), переписанное в виде
у = и-вух-?у\Ч7)
дает соотношения у№ = и,(48а)
ут=-их,(486)
y(m+t)_ _VW_ 2 yOlytm-j-n, m=l,2,3,... .(49)
y=0
Эти уравнения легко рекуррентно разрешаются:
ут=ихх-и\<50а>
/3, = (-ихх+2«2)х,(506)
^^^(“хх'Зм^^ + Нх + гИ3(50в)
и т.д. Заметим, в частности, что из них следует асимптотика
lim [/т)]=0, т=0,1,2,3,... .(51)
В то же время из уравнения (44) и разложения (45) получаются выражения для коэффициентов
^=-ихх + Зи\(52а)
^'^(и^-Зи2)^,(^б)
^=_yWy3 2 y^Vn-J' +2 22yWyU^m-k-)-!^ m = 2,3,4
7=06=0 7=0(52в)
Это вместе с формулой (51) означает, что
lim [^m)]=0, m=0,l,2,... .(53)
Но из формул (42), (45) и (46) следует, что
yw = 7^ т=о,1Д...,(54)
и эта формула вместе с условием (53) означает, что величины
ат-( dxy^m\x,t^ m = 0,l,2,...,(55)
* - оо
не зависят от времени.
Таким образом, мы видим, что формулы (48),(49) и (55) определяют бесконечную последовательность сохраняющихся величин. На самом деле величины а с нечетными номерами обращаются в нуль, так как в этом случае y(zn) есть полные производные [см. формулы (486) и (506), полное доказательство приведено в дополнении Д.11]. Что касается величин а^ с четными номерами, то они воспроизводят введенные ранее сохраняющиеся величины. Действительно,
^2~' — ^1’^4—С2(56)
[см. формулы (48а), (50а), (506) и (55)].
Заметим, что такой подход дает конструктивную процедуру вычисления токов nw [формула (54)]. Действительно, если величины yV ) известны при 0< ; < т, то т^ определяются явными формулами (52).
Ясно, что отправной точкой для используемой здесь техники является ’’инфинитезимальное" преобразование Бэклунда (41) при е -> 0. Из формул (47) и (43) следует, что в этом пределе функции го* и w совпадают. Однако это имеет место только в случае, когда решение го* преобразования Бэклунда (41) не расходится при е 0. Действительно, для любого значения е > 0 решение го* имеет, вообще говоря, на один солитон больше, чем го. Этот солитон растет и сужается при е -> 0. Чтобы от него избавиться, необходимо при этом сдвигать его влево ( его положение зависит от константы интегрирования). Такая процедура дает гарантию того, что разность функций го\х, t ) и w(x, г) при фиксированном значении х стремится к нулю при е -> 0. Таким образом, необходимо проявить определенную аккуратность, чтобы избежать парадоксальных результатов. Например, из формул (45) и (51) не следует, что у стремится к нулю при х -* -оо. Мы знаем, что на самом деле соотношение
у( — оо, 0 = — Др1 — — е~1(57)
[ а также у(-®о, 0 = 0] не противоречит преобразованию Бэклунда (41). Эта величина не только отлична от нуля, но и расходится при е 0.
На этом мы заканчиваем обсуждение связи между преобразованием
Ьэклунда и законами сохранения. Почти идентичный подход, но с несколько другой точки зрения представлен в дополнении Д. 11.
Как замечено в конце гл. 1, § 7, п. В, уравнение КдВ (39а) имеет дополнительную сохраняющую величину
С— ( dx [xw(x, z)+ 3Zw2(x, z)](5^)
•' ос
Соответствующий локальный закон сохранения
(xw + 3Zw2)r= [wx—х(мхх—Зм2) + 3z(m2~2mmxx4-4m3 )](59)
связан с инвариантностью уравнения относительно преобразования u(x,z)^w'(x,z) = u(*~uZ,z)-iv(60)
с произвольным действительным параметром -и. Если и рассматривать как скорость в направлении х, то это преобразование может быть названо преобразованием Галилея. Заметим, однако, что эго преобразование выводи! и из класса функций, асимптотически убывающих до нуля.
Как уже отмечалось в гл. 1, § 7, п. В, независимость oi времени ве ш- чин С, CQ и С1 означает, что центр масс решения уравнения (39а) X(t)-f dxxu(xj)/f dxu(x,t)(61)
движется с постоянной скоростью Х(г)^Х04-П, Хо^С/Со, Г^-ЗС^Со(62)
Широкий класс КдВ-подобных уравнении, не обязательно решаемых методом спектральных преобразовании, для которых имеют место аналогичные резулы а ты, обсуждается в дополнении Д.14.
Полезно непосредственными вычислениями проверив независимо! ть величины С от времени и справедливость соотношения (62) дня о досоли тонного решения
Цх, t) = -2p2/ch2^p[x -^(z)]}<63)
(64)
v = 4p2(6 0
Легко установить, что
С=н [vt-Дг)] = - 4р§0,(66)
x(t>=^t)=50+4P2t(6'4
Первая из этих двух формул указывает на независимость от времени г ели- чины С. Формула (62) следует из соотношении (64) и (65) и pw нс гв С0=-4р,Су-^-р3(6S)
t см. формулу (15)]. Для многосолитонного решения (1.6.А.-9) имеем
N
-4 2 Рп^А(69)
п = 1
где величины^) определяются формулой (1.6.А.-14). Из формул (1.6.А.-15- 17) следует, что данный результат может быть получен независимо от того, какие из величин^ ^> или^4 подставляются в выражение (69). (Это, в частности, соответствует тому, что интеграл движения С может быть вычислен при t * оо или t -> -^.) Для многосолитонного решения (1.6.А. -9) скорость центра масс Х(0 дается формулой
NN
^=4 2 Р^/ 2 р„п—\п=\
(70)
[см. формулы (61), (62) и (15)]. Следуя аналогии между поведением солитонов и классических частиц, будем считать, что солитон с параметром t>n обладает массой ^п=№,
где ц ~ некая универсальная (масштабная) константа. Тогда, считая, что
-ип = 4р2 _ скорость n-го солитона, перепишем выражение (70) в виде
NN
2 тпе„/ 2 т„.
М=1И— 1
(72)
Эта формула совпадает с формулой для скорости центра масс системы N частиц. Более того, масса солитона (71) пропорциональна модулю интеграла, взятого по всему пространству [формулы (6) и (15)], что отвечает общему "размеру" солитона.
Так же может быть проанализировано движение центра масс (61) для общего решения уравнения (1) при произвольном полиноме a(z, t) [формула (2)]. Действительно, из соотношений (25), (29) и (27), (2) следует, что существуют локальные законы сохранения
м /\
^<0)+ 2 \f'dt'a„(t') g<m>
m = 0 ' 'о'
(73)
Это означает, что интеграл
xu(x,r) + j^t'c^L, t'^u^x, t)
(74)
не зависит от времени, если функция Цх, t) удовлетворяет уравнению (1) [формулы (27) и (2)]. Тогда положение центра масс X(t) (61) дается явной формулой
м
2 (-)w',(2m+i)(cm/co)fd/^w(r0, Х^с/с.- 0^
где Ст - интегралы движения, введенные ранее [формулы (12), (J4), (19) и (20)], а функция а (г) определяется формулой (2). Отметим, что для "автономного” эволюционного уравнения из класса (1) [т.е. уравнения, коэффициенты которого явно не зависят от времени a(z, О - oc(z) и, следовательно, a (<) = am] центр масс Х(О общего решения движется с постоянной скоростью
v= i (-in'^+iKcvCo.(76)
m-0
Центр масс будет также двигаться равномерно на подклассе решений неавтономного эволюционного уравнения (1), который выделяется условием обращения в нуль констант С^ для зависящих от времени коэффициентов а^Ц» Это условие может, однако, не выполняться на действительных решениях Цх, t) [см., например, явное выражение (1.7.В.-126) или (Д.9.-586) для Cje
В качестве несложного, но полезного упражнения читателю следует повторить конкретно для уравнения КдВ анализ многосолитонных решений уравнений начиная с формулы (68).
Как было обещано в начале главы, в заключение выведем бесконечную последовательность законов сохранения (12) непосредственно из эволюционного уравнения (1).
Вывод основывается на равенстве
dC„/dt= (- 1)”dxСти,(х, 1), m=0,l,2,.—(77)
* — ОО
которое получается с учетом определения (12) величины Ст из операторных тождеств (Д.8.-8) или (Д.9.-63а) при (инфинитезимальной) вариации по времени. Подчеркнем, что мы имеем дело просто с операторным тождеством. Оно выполняется всегда, лишь бы только функция Цх, t) и ее производные по х стремились к нулю при х -*±«>, а оператор L задавался формулой (13). Используя теперь эволюционное уравнение (1) и операторное тождество
J dxLmux(xj)=0, m=0,l,2,...(78)
[ см. формулу (Д.8.-6) или (Д.9.-54а)], придем к выводу, что все величины Ст не зависят от времени.
Примечания к главе 5
Бесконечная последовательность сохраняющихся величин для уравнения КдВ (5.-39а) была впервые получена в работе [342]; см. также [264] и обзор [345]. Этот ранний вывод основывался на рассматриваемом в дополнении Д.11 однопараметрическом преобразовании Гарднера. В более общем математическом контексте этот подход был недавно исследован в работе [279]. Метод, использующий инвариантность уравнений относительно преобразова-
ний Бэклунда и описанный в настоящей главе, указан в работах [401. 445, 446].
Для уравнения КдВ в работе [ 455] было предложено использовать независимость от времени коэффициента прохождения Т(&), связанного с реше* нием и(х, t). Преимущество такого метода заключается в возможности непосредственного доказательства независимости от времени одной и той же последовательности величин для целого класса (5.-1) эволюционных уравнений. Компактное выражение (5.-12) было впервые получено в работе [124], выражение (5.-16) - в работе [ 86], а формулы (5.-29) и (5.-34) - в работе [154].
Связь между законами сохранения и инвариантными свойствами урав- ' нения КдВ рассматривалась в рамках теоретико-полевого подхода к работе [ 445]. Напомним, что если существует преобразование, переводящее решения (эволюционного) уравнения в решения того же уравнения, то говорят, что это уравнение обладает симметрией. Если преобразование зависит от параметра, так что можно построить соответствующее инфинитезимальное преобразование, и если, кроме того, уравнение может быть получено из лагранжиана (им гамильтониана), то, согласно классической теореме Нетер, каждой симметрии будет отвечать некий закон сохранения (см., например, [ 193]). Это, разумеется, справедливо для уравнения КдВ, которое в фор- w,+w,.c, 4-Зи^О(1)
[см. формулу (5.-39, 40)] может быть получено из вариации действия ^^ dx£^w-’wx,wxx')=0,(2)
с плотностью лагранжиана £(h-,,wx,wxx)=w,wx-wx2x+^(3)
Таким образом, при подобном подходе бесконечная последовательность сохраняющихся величин уравнения КдВ ассоциируется с бесконечной последовательностью симметрий этого эволюционного уравнения (см., например, [385]), которые соответствуют преобразованиям Бэклунда, описанным в гл. 4. Такой вывод законов сохранения был дан в работах [ 424, 339]. Полное изложение этого подхода для уравнения КдВ можно найти в работе [ 446]. Более общая формулировка, применимая к целому классу эволюционных уравнений, включая и КдВ, дана в работе [194].
Другая процедура построения законов сохранения для потока (5.-1), основанная на асимптотическом разложении резольвенты оператора Шредингера —d2/dx2 + и^х, г) - &2 по обратным степеням спектрального параметра к, во многом сходная с изложенной нами, предложена в работе [ 202].
То обстоятельство, что уравнение КдВ и все другие потоки из класса (5.-1) могут рассматриваться как гамильтоновы, проливает новый свет на появление бесконечно большого числа интегралов движения, которые могут интерпретироваться как переменные действия. Данный вопрос кратко рассматривается в дополнении Д. 23.
Глава 6
ОБОБЩЕНИЯ
В данной главе мы рассмотрим некоторые обобщения развитого выше подхода. Наша главная цель - расширить класс эволюционных уравнений, решаемых методом спектрального преобразования, связанного с уравнением Шредингера. Классы нелинейных эволюционных уравнений, которые решаются в рамках других спектральных задач, будут рассматриваться в следующем томе.
В § 1 изучается возможность включения в схему уравнений с дополнительными, кроме х и t$ независимыми переменными. Выделяется класс таких уравнений, решаемых методом спектральной задачи для уравнения Шредингера.
В § 2 вводится класс уравнений с коэффициентами, линейно зависящими от переменной xw которые также могут быть решены методом спектрального преобразования. Его можно рассматривать как нелинейное обобщение класса нелинейных уравнений вида (1.1.-20). Общее решение некоторых из этих уравнений может, однако , иметь сингулярности, характер которых еще не вполне ясен.
В § 3 дается более общее определение спектрального преобразования функции и(х) на основе спектральной задачи для обыкновенного дифференциального уравнения
-^xM+^WU^ + u^X^X^k^lxY(1)
где г(х) - заданный опорный потенциал. В предьщущих главах мы рассматривали частный случай этой задачи, когда Лх) = 0. В последующих обсуждениях мы сосредоточимся на двух возможных вариантах потенциала Лх^ В первом случае г(х) линейно зависит от х» и соответствующая спектральная задача удобна для исследования класса асимптотически расходящихся решений уравнения КдВ. Важное значение таких решений объясняется их связью с асимптотически убывающими и, следовательно, ” физически интересными” решениями так называемого "цилиндрического уравнения КдВ”. Эта связь позволяет получить некоторые решения цилиндрического уравнения КдВ и, что еще важнее, решить задачу Коши для этого уравнения. Относящиеся к этому результаты представлены в четырех пунктах § 3, включающих также общее исследование цилиндрического уравнения КдВ и его законов сохранения.
Во втором случае рассматриваемый ниже опорный потенциал пропорционален (х -%)~20 Таким образом, он сингулярен (имеет двойной полюс) при х= х. Эта спектральная задача удобна для изучения решений уравнения КдВ с одним
двойным полюсом (с "естественным" предписанием продолжения таких решений через сингулярность). Этот вопрос кратко рассматривается в § 4.
Наконец, в § 5 обсуждается класс эволюционных уравнений, связанный со спектральной задачей для обобщенного уравнения Шредингера -ti^A-u^x^x^kVlx^xY(2)
Так как это уравнение сводится заменой переменных к обычному уравнению Шредингера [р(х) = 1], результаты этого параграфа могут быть получены из предыдущих результатов также заменой переменных. С нашей точки зрения, они тем не менее Достаточно интересны, чтобы их кратко изложить отдельно, тем более что замена переменных далеко не тривиальна.
Дополнительные переменные
Рассмотрим Функцию м, зависящую кроме х и t от одной дополнительной переменной у: u=u^x,y,t).(1)
Случай одной дополнительной переменной рассматривается лишь для простоты; все результаты данной главы легко обобщаются на случай, когда имеется п дополнительных переменных у т = 1, 2, ..., п, или, что эквивалентно, векторная переменная у =(ур у2, ,..,).
Теперь спектральные данные S, связанные с функцией и, зависят от у и t:
S= (R(k, ул'ЬрЛуЛ), Рп(у, О» ”=L2,(2)
Мы будем действовать в прямой аналогии с гл. 3. Поэтому наше изложение будет сжатым, по крайней мере в тех частях, которые близко примыкают к предыдущим результатам.
Можно исходить из следующих интегральных соотношений вронскиана: 2i/rg(—4^2, у, t^R^k, у, t) =
= Г ”&х\ф<х,к, у,/)]2g(L, >-,/)«,(х, y,tY(3)
2i/cg( —4k1, у, t^R^k, у, t) =
= /_ йх^<х,к,у,1?^8кЬ'У'^иукх'У^\(4)
(2ifc)2g( —4&2, y,t)R(k,y,t} =
= (dx[^(x,fc)j'(/)]2g(L,j,z)«x(x, >>,/).(5)
* ~ ОО
Здесь g(z, у, г) — целая функция переменной z (скажем, полином) и имеет произвольную зависимость от у и ь В определение оператора L (2.4.А.-13) входит функция и-и^у» г). В остальном формулы не нуждаются в пояснениях (см. гл. 2).
Если функция и удовлетворярт уравнению
g^L, yj)u,(x, y,O+g2(L, y.t^u^x, y,f) +
+ g3(L,y, Оих(х, у, 0=0,(6)
то, согласно предыдущим соотношениям, коэффициент отражения удовлетворяет линейному уравнению в частных производных
gx<-4kI,y,t')RXk,y,t)+g^-4k2,y,t)Ry(1k,y,tV
+ 2ikg3(—4k2,y,t)R(k,y,t)=0.^
Таким образом, имеется возможность решить уравнение (6) методом спектраль* ного преобразования.
Мы ограничимся здесь простейшим случаем, когда gx(z,y,^ = l, g2(z,y,t)=-y(z),g3(z,y,t)=-a(z).(8)
Тогда уравнения (7) и (8) принимают вид
u,<x. y^t) = y(L)uy(x, y,t)+a(L)ux(x, у, 0,(9)
Я,(&,у,0 = /(-4£2)Я1,(£,.у, 0 + 2ifca(-4k2)fl(fc, у, t).(ю)
Последнее уравнение легко интегрируется:
R(k, У» О~^о(^> y+/(-4A:2)z)exp[2i/ca(-4A:2)/]>(И)
Rolkty^Rlk.y.O).(12)
Прежде чем переходить к рассмотрению дискретной части спектральных да!Ь ных, эволюцию во времени которой тоже требуется установить, чтобы полностью решить уравнение (9), выпишем один пример нелинейного эволюционного уравнения из класса (9), соответствующий выбору функций a (?) иу(г)ввиде a(z) = a0+alz, y(z)-y0+ytz.(13)
[Заметим щ>и этом, что в случае произвольной функции a(z) выбор функции y(z) = у0 приводит к уравнению, которое заменой переменной у'= у + yot сводится к классу уравнений из гл. 3, § 1, формула (3.1.-28).] Подставив функпии (13) в уравнение (9), получим «,(х,У, t)=a0«x(x,y,t) +
+ *i[“xxx(*> У, t)~6ux(x, y,t)u(x, у, /)] 4
+ Го“/^ У.*У
+ /1 “хх/*> У» ^-4иу(х, у, t)u(x, y,tV
+2«x(x.y,<)^*dzM/z,y,z)j.04)
Это - нелинейное интегро-дифференциальное уравнение, которое, однако, заме-
ной переменных
w(x,y,t) = J dzu(z, y,t),^15а)
и(х,у,;) = -н'х(х,>-,г)<156)
можно свести к чисто дифференциальному уравнению
wx<=Wx + »i( wxxxx + 6wxxwx ) + yowxy +
+ /i (wxxx,+*wxywx+lwxxwy),(16a)
wx,= [»0Wx + »l(wxxx + Зи-,2) + Уо^ +
+ /|(*хху + 2h-xwJ] x + Y^W^y.(166)
Разумеется, в этом уравнении функция w swU, v, t^ удовлетворяет граничным условиям
w( + oo, у, /) = wx(±oo, у, f) = wxx(±oo, у, t)= • • • — 0.(17)
Нам не известны какие-нибудь процессы, которые описывались бы уравнением (16) при у* t 0. Было бы интересно их обнаружить.
Наиболее прямой способ установить эволюцию во времени дискретной части спектральных данных основан на соотношении
^(^. Л triply, t)/[k-ip(y, 0].(18)
справедливом при к*$\ рГу» <)• (Здесь р - положительная величина, —р2 — дискретное собственное значение, р — соответствующий нормировочный множитель. Все эти величины зависят от у и г. Кроме того, для упрощения обозначений мы опустили индекс п, нумерующий различные собственные значения.) Как было объяснено в гл. 3, § 1 [ см. формулу (3.1 -23) и следующий за ней текст], такая процедура едва ли корректна. Но она действительно дает правильный ответ, в чем можно убедиться, пользуясь соответствующими формулами из гл. 2, § 4.
Продифференцировав соотношение (18) по t и у, с учетом уравнения (10) получим р,(у^)=г[4р2(у^)]р/у»0,(19)
а(у. О = у[4р2(у, Olp/y. О~2рр(у, t) x(2°)
x (y{4p2(y, t)] +8?/y, t^p^y, t)yx[4p2(y, /)]} •
В последнем уравнении член, содержащий производную r^z^dy^zVdz, возникает вследствие необходимости (чтобы были равны коэффициенты при полюсе первого порядка) разложить величину y(~4fc2) в правой части уравнения (10), когда на нее умножается член г двойным полюсом, возникающий после дифференцирования выражения (18) по у.
Оба этих уравнения легко*интегрируются. Для этого проще всего подставить выражение (18) прямо в соотношение (Н)- Тогда
H^O^op+yp/G. ')],),(21)
p()M)=A)(y+A4P4y.0W(22)
хр-ЗгЯу.ОуДДЯ^^Ро.Ду+УрЯЬ,')]<)) ' *
хехр^-гр^уз^Др^у,!^, где
Ро(у)=Р(У1О').(23)
Ро(у')=Р^У.О')(24)
суть начальные данные и
т\*рЧу, ')] =dy(z)/dz|z=4pl(p>0,(25)
Ро,у(У + у[4Р2(у. O]0-dPo(z)/dzUy+ hVo,ox•(26)
В формуле (22) функция р (у, г) в явном виде выражается через р0(у), р0(у) и р(у, г), тогда как для неявного определения р(у, г) (21) нужно только начальное значение р0(у). Подчеркнем, что теперь дискретное собственное значение движется со временем.
Введенная дополнительная "пространственная" переменная у, так же как и "время" t, играет в спектральной задаче роль внешнего параметра. Но в задаче Коши их роли совершенно различны: по заданным начальным данным «оР.-О^Ях.У.О)(27)
требуется вычислить функцию 4%, у» t) при t > 0. Подчеркнем, что если функция и^х, у) при каждом значении у есть BF-потенциал по переменной х, то основанная на спектральном преобразовании только что описанная процедура действительно дает решение задачи Коши. Данными Коши (27) однозначно определяются спектральные данные при t =(k/?№, у, 0Н^(^, у), р^ (у, 0)= = рп о (у), рл(у, 0) =рл> 0(у). (Здесь переменная у - просто параметр, так как спектральная задача относится к переменной х. ) По этим ветчинам, согласно формулам (11), (21) и (22), вычисляются функции Я(& у, f), t>n(y> * )> Р„(У> 1 )• С этими входными условиями обратная спектральная задача дает в точности решение и^х, у, г) уравнения (9) в момент времени г, соответствующее данным Коши (27). Конечно, такой метод пригоден, если при всех фиксированных значениях -у и О 0 функция икх, у, г) есть BF-потенциал (по %). Достаточные условия на спектральные данные, гарантирующие это, явствуют из формул (11), (21) и (22), если вспомнить, каковы свойства спектральных данных BF-no- тенциалов.
Нетрудно также выяснить, как эволюционирует во времени коэффициент прохождения Цк, у» г). Тем же методом, что и в гл. 5 и в дополнении Д. 18, можно установить в соответствии с унитарностью и уравнением (11), что ^(Хс,/)| = |Т0(А:, у + г(—4*72)г)|,(28)
\R(k, у, t)\=\R0(k,y+r(-4k2)t)\,(29)
еЛк,У,^ = у^-Акг^ву<к,у,^*
+ 2к C”dx у*(—4к2, L^u^x, у, t),(30)
* —ОО
где 0 (к, у, t) - фаза коэффициента Т(к, у, t):
1\к, у, /) = |Т(А:, ys r)|exp[i^(^, у, /)], Imк=0,(31)
и
y*(zl,z2)=[y(zl)-y(z2)]/(zl-z2).(32)
Следуя изложенному в гл. 5, из этих уравнений можно получить эволюционные уравнения для величин
CjbO^-ir^m+lF'x
х(dxLm[xux(x, y,t) + 2u(x, y,t)], m=0,1,2,^..,(33a)
C.(b0 = (-l)'"(2«+l)“' (+KdxLmu(x,y,t), w=0,l,2 (336)
* —oo
(Относительно обозначений и эквивалентности этих выражений см. гл. 5 и дополнение Д.9.) Более прямым путем эти результаты получаются методом, изложенным в конце гл. 5. А именно из операторного тождества (Д«8.-8) или (Д.9.- 636) следует, что
dC^^/dt^-X^ dxLm^^т=0,1,2,...,(34)
dC^W^-W” Г' ^xLmuy^m=0,l,2,....(35)
Теперь мы будем считать, что y(z) и a(z) - полиномы:
/ \— V *™(36а)
Hz)- 2 YmZ - m = 0*
М
a(z)= 2 “т^'(366>
m = 0
Подставив в «правую часть выражения (34) эволюционное уравнение (9), с учетом соотношения (35) и тождества [ формула (Д.8.-6) или (Д.9.-54а)]
f dxLmux(x, у, r) = 0, т = 0,1,2,..., (37)
получим бесконечную последовательность линейных уравнений м
d€„(y,t)/dt=(d/dy) 2 (-ГГУтСт+Ау^ л=0,1,2,....(38)
т = 0
Заметим попутно, что вывод этих соотношений не требует, чтобы коэффициенты ат в разложении (366) и ущ в (36а) и (38) не зависели от времени.
Если функция и^х, у, t) и ее производные по х стремятся к нулю при У -» ± оо, то очевидным образом из уравнений (38) следует существование бесконечной последовательности сохраняющихся величин для класса эволюционных уравнений (9) [при условии (36)]
^f dyCm(y9t), т=0,1,2,...,(39а)
J — ОО
Гт=(-1П2т+1)-'х
х ГdxdyLmYxux^xs у, г) + 2и(х, у, г)], /и=0,1,2,...,(396)
* —оо
Гт = ( —l)m(2w+1) XJ dxdyLmu{x, у, t), /и = 0,1,2,....(39в)
§2. Коэффициенты, линейно зависящие от х
В данном параграфе мы рассмотрим класс нелинейных эволюционных уравнений с коэффициентами, линейно зависящими от %, которые решаются методом спектрального преобразования, основанного на спектральной задаче для уравнения Шредингера. Этот класс уравнений можно рассматривать как расширение класса линейных эволюционных уравнений типа (1.1.-20) в том самом смысле, что и нелинейное обобщение (3.1.-28) класса линейных уравнений в частных производных (1.1.-1). В первой части параграфа наш подход будет носить формальный характер, а именно мы будем предполагать, что решения рассматриваемых уравнений остаются все время в классе ВЕ-по- тенциалов. Во второй части мы рассмотрим вопрос о допустимости такого предположения, начав с некоторых примеров, а затем проанализируем те трудности, которые возникают в нелинейных эволюционных уравнениях этого класса [такие же, как и в линейных эволюционных уравнениях типа (1.1.-20)].
Р осмотрим, как обычно, функцию и(х, <) и будем считать, что по переменной х при фиксированных значениях t она ведет себя как ВЕ-потенциал, т.е. это регулярная (бесконечно дифференцируемая) функция переменной х, достаточно быстро убывающая при х -> ±оо. [Повторим, что вопрос о совместности такого предположения с динамикой потенциалаu(х, t^, которую мы сейчас собираемся исследовать, будет рассматриваться позже.] Пусть R (к, t), как и раньше, - коэффициент отражения, соответствующий потенциалу и( х, t). Начнем наш анализ с обычных соотношений вронскиана (3.1.-7) и (3.1.-8), а в дополнение к ним используем соотношение (2.4.А.1.-7). Таким
образом, напишем
2ifcg(-4fc2,t)fi,(M) =
= J+”dx[^(x.&,t)]2g(l,<)“,(-*:^),(1)
(2i*)2A(-4fc2,0/{(fc,r) -
= (dx[/(x,k,t)]2h(L,t)ux(x,t),(2)
* —00
-2ikf<-4k2,t)kRk(k,t') =
- Г” йх\ф<хЛ,1^ KL^Yxu^tV^x.tW(з)
* — 00
Здесь g, h и f - в значительной степени произвольные функции (целые относительно их первых аргументов). Отметим присутствие в левой части формулы (3) частной производной по переменной к, Разумеется, здесь, как и ниже, L - интегро-дифференциальный оператор (1.2.-2).
Из этих уравнений очевидным образом следует, что если функция и(х, t) удовлетворяет уравнению
glL^uXx.tVhkL.t^uAx,^ +
+/(!,, t)[xux(x, t) +2u(x,t)]=0,W
то соответствующий коэффициент отражения R(k, t) подчиняется уравнению
g^—4k2,0КЛк,1)-Шкк(-4к2, t)R(k,t)-
-f(-4k2,t)kRk(k,t)=0.(5)
Положим в дальнейшем для простоты a(z,t)=-h(iz>t)/g(z,t),0(z,t) = -f(z,t)/g(z,t).(6)
Тогда уравнения (4) и (5) примут вид
ut(x, t^a^L^u^x, t)+fi(L,t)[xux(x, t) + 2u(x, 0],(7)
R^kjVk^-tk^OR^k.O^ikal-^^(8)
Заметим, однако, что, представив уравнение в форме (7), мы неявно допустили, что выражения a(L,0ux(x, 0 и p(L, t^xu (х, 0 -ь 2Цх, 0] имеют смысл. Что касается первого из этих выражений, то данный вопрос исследуется в дополнении Д. 18. В частности, достаточным условием, гарантирующим его существование, является регулярность функции a( z, 0 при действителъных значениях z, т.е. g(z, 0 ,^ О при Im z = О [формула (6)]. Применяя такой же подход, как и в дополнении Д. 18 [ и используя вместо формулы (2,4,Б,-16) формулу (2»4.Б,Ъ-3)], легко убедиться, что это же условие будет достаточным также и для существования выражения 0( Б, 0(хи (х, 0+ + 2и(х, 0]. [ Конечно, такой подход указывает также подкласс начальных
данных, для которых задача Коши уравнения (7) определена, даже если отмеченные выше условия и нарушаются, например если функция g(z, t) обращается в нуль при некоторых положительных значениях z. Мы не будем останавливаться на этом вопросе, оставив исследование его в качестве несложного, но полезного упражнения читателю.]
Линейное уравнение первого порядка в частных производных (8) может быть проинтегрировано методом характеристик. Через начальные данные
(9)(Ю)(П)(9)(Ю)(П)Яо(Л)=Я(*,О)
(9)
(Ю)
(П)
(9)
(Ю)
(П)
решение выражается следующим образом:
Я(^, Г) =Я0[Л0(г, k)] exp 2i f'dt’xa^-Ax2, г')] •
В этой формуле функция
Х-Лг[<'До('»^)]
определяется нелинейным обыкновенным дифференциальным уравнением xXh k0)=xU, k0^-Ax2kt> к0), г](12)
с граничными условиями
ИОДо)=^о.(^)
Функция Ао (t, k) неявно задается формулой
хМЛо^к.(14)
Чтобы решить уравнение (7) методом спектрального преобразования, необходимо выяснить динамику параметров, отвечающих дискретному спектру. Простейший способ, основанный на формуле (3.1.-23), приводит к уравнениям /ЧО^оХ4^').*]’.(is)
Х>(')=А>х4,М)ехр{-2)^>(П41Р2(П^^(16)
В этих уравнениях для упрощения обозначений мы опустили индекс п, нумерующий различные дискретные собственные значения. Первое из них - нелинейное обыкновенное дифференциальное уравнение, которым определяется функция р(?) по ее начальному значению
Р0=р№У(17)
[Если функция х(< , к^ получена из задачи (12), (13), то решение уравнения (15) дается формулой р (t) = - i х (t»i Ро).1 В формуле (16) коэффициент p(t) выражается в явном виде через начальное значение
Ро=р№> (18)
функцию р( t) и функцию хО, ко), определенную из уравнений (12) и (13). [Ом-
вол X А (t, ip0) в формуле (16) есть частная производная функции х( t ,к0) по переменной к0> вычисленная в точке к0 = ip 0 •]
Эти уравнения дают полную информацию, необходимую для решения задачи Коши для уравнений типа (7) методом, изложенным в гл. 3, § 1. Заметим, что теперь дискретные собственные значения зависят от времени: поток (7) не изоспектральный для оператора Шредингера (3.1.-17), Чтобы найти эволюцию во времени, необходимо решить нелинейное обыкновенное дифференциальное уравнение. В общем случае это выполнимая в явной форме задача, по крайней мере в случае функции ₽, приводящей к простым уравнениям типа (7) (см. ниже).
Уравнения из класса (7) обладают, разумеется, односолитонными решениями «(х, z) = -2/>2(z)/ch2{/>(z)[x-f(z)]},(19)
с функцией р(0> определенной из задачи (15), (17), и функцией Е(О вида ^(') = [2/>(#)]~11п{/>(г)/[2^(#)]}(20)
[ формула (2.2,-9)L Сложная зависимость функций p(t) и p(t) от времени означает более сложное поведение этих солитонов (примеры приводятся ниже). Обычным способом можно построить многосолитонные решения. Действительно, они по-прежнему даются формулами (1.6.Л.-9,10), но только величины рт и рт теперь зависят от времени [в соответствии с формулами (15) и (17), в которых символ р нужно снабдить индексом тА» тогда как временная зависимость величин рт теперь дается формулой (16) тоже с индексом т у символов р и р.
В пределе слабого поля, когда можно пренебречь всеми степенями функции и, кроме первой, класс (7) сводится к классу (1.1.-20) при "(z,t)=-;»(-z2,z) + 2i[^-z2;z)+l'(-z2,z)],(21а>
<v'(z,z)=-zX-z2,z).(216)
В формуле (21а) штрих означает дифференцирование по первому аргументу.
Для полноты изложения приведем формулу, описывающую эволюцию во времени коэффициента прохождения:
(22)(23)(22)(23)IHMHT’olMz,*)]!,
(22)
(23)
(22)
(23)
в.Цм^к^-Ак^^к,^ =
= "2*J^dx^*(-4k\ L, t)[xux(x, t) + 2u(x,t)]. Здесь введено обозначение
^(■Z|, ^2, <)=[/?(;,, z)—^(22,z)]/(zl—z2),
а То(0 - коэффициент прохождения при t 0:
To(Jt) = T(fc,O).(25)
Модуль и фаза коэффициента прохождения определяются обычным образом:
Т(/с,г) = |Т(/с,г)|ехр[11(£,г)], Im/c=0.(26)
Напомним, что эти формулы относятся к случаю действительных функций и(х, 0. Они легко обобщаются на случай комплексных функций и(х, 0 путем замены величины | T(k , 0|2 величиной Т^к, 0 Т( -к, t) и формулы (26) формулой (Д.З.-4).
Доказательство соотношений (22) и (23) аналогично доказательству формулы (5.-9), и мы оставляем его в качестве упражнения интересующемуся читателю. Оно основывается на формуле
( dxа*(—4к\L, t)ux(x,t)=O,(27)
* — оо
тривиальной, если а( z , 0 - полином по z [см. формулу Д.9.-54а)], но справедливой и в общем случае (6) (см. дополнение Д.18).
Между прочим, справедливость формулы (22) прямо следует из равенства (10), которое означает, что
|AU,?)H*O[*o('^)]l>(28)
и из собтношения унитарности (2.1.-13).
Отправляясь от уравнения (23) и действуя в полной аналогии с гл. 5, легко исследовать эволюцию во времени величин
Cm(0 = ( —l)w(2m+1) х J dx£w[xMx(x, 0 + 2w(x, 0],
m=0,1,2,....(29)
Таким способом можно получить некоторые операторные уравнения из дополнения Д.9. Отметим также совпадение выражений (29) и (Д.9.-57а) и возможность получить другие выражения для величин 0^(0, Как это видно из различных формул (Д.9.-57). Это оставлено читателю в качестве самостоятельного упражнения, так как существует более прямой способ вывода нужных формул, основанный на подходе, изложенном в самом конце гл. 5, к которому мы сейчас и перейдем.
Начнем с формулы
Cn(O-(-l)nf dxLnur(x,r), и — 0,1,2,....(°)
* — ОО
Здесь и дальше точка означает дифференцирование по времени. Напомним, что вместе с определением (29) эта формула есть просто специальный случай тождества (Д.9.-63а).
Воспользуемся теперь эволюционным уравнением (7) и формулой (^°° dxL^L.t^u^xj^O, m=0,1,2,...,(31)
за доказательством которой в общем случае (6) мы отошлем к дополнению Д.18. Для удобства введем разложение функции р (z, *) по степеням zi:
АМ^ЕДХФ"(32)
Мы не требуем на данном этапе, чтобы сумма в правой части содержала только неотрицательные степени или только конечное число членов. Хотя, конечно, если функция p(z, t) содержит только неотрицательные степени z, то она будет голоморфной в точке z 0. Даже если функция р (z, t) сингулярна при некоторых действительных значениях z, то, как следует из предыдущих рассуждений и из дополнения Д.18, эволюционное уравнение (7) или, скорее,уравнение (4) может иметь решения, хотя в этом случае на начальные условия должны быть наложены некоторые ограничения, чтобы задача Коши имела смысл.
Таким путем, используя еще раз определение (29), получим
Ся(0=2(-1Г(2л+2т4Ч)Д(0^«=0,1,2,....(33)
В общем случае это бесконечная система линейных обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Но, как мы сейчас покажем, ее можно разрешить, по крайней мере формально. Прежде чем это исполнить, рассмотрим простейший случай, когда р (z, t) - не зависящий от времени полином степени, скажем, М:
Д^с)^, т<0,т>М,(34а)
0<т<М.(346)
Тогда система (33) становится треугольной: м
С.М = 2 (-1)'"(2л+2т+1)АСя+т('). «=0,1,2,....(35)
т=О
и из этого немедленно следует, что при условии р 0 ^ 0 ее решение имеет структуру
C„(t) = 2 сл„,ехр[(2т+1)Аф «=0,1,2,...,(36)
(37)(37)где не зависящие от времени коэффициенты спт определяются по коэффициентам рт и начальным данным Сп (0). В этом случае, который приводит к простому нелинейному эволюционному уравнению типа (7), все величины £п (t) периодичны по времени с одним и тем же периодом Т:
(37)
(37)
С„(/+Г) = С„(/), «=0,1,2,...,
в том и только в том случае, если коэффициент р 0 чисто мнимый: Д=2^/Т;(38)
Таким образом, если ограничиться действительными уравнениями, то явление периодичности величин Cm( t) никогда не возникает для этого класса нелинейных эволюционных уравнений. [ Но замечательным фактом остается возникновение периодичности при выполнении условия (38).] Приведенные ниже результаты [ определяемые по существу самой структурой системы (35)] означают, что периодичность интегралов Ст^ может возникнуть в автономных уравнениях с действительными коэффициентами [т.е. функция р в уравнении (7) действительная и не зависит от времени] только в том случае, если в разложении (32) есть отличные от нуля коэффициенты рт как при положительных, так и при отрицательных значениях т. Эти заключения не требуют, чтобы было конечным число М в формуле (34), а только предполагают аналитичность функции p(z, t) по z в точке z = 0.
Подчеркнем, что периодичность всех интегралов Ст( г) (29) не означает, что решение u (х, t) само будет периодической функцией аргумента t [так же как постоянство интегралов Ст при р = 0 в уравнении (7) не означает, что решение не зависит от времени].
Другой заслуживающий рассмотрения простой случай - когда р есть не зависящая от времени полиномиальная функция переменной z -1:
Д„(0 = 0, т>0,т<—М,(39а)
/U^Am -М^т^О.(396)
Тогда система (33) снова становится треугольной и ее решение при Ро * 0 имеет простой вид
С„(<)= 2 слтехр[(2/и+1)Лф л=0,1,2,...,^
т=0
где константы с^ снова определяются коэффициентами рт и начальными значениями Ст(0). Например,
Со(г) = Со(О)ехр(Аг),(41а)
С1(г) = С1(О)ехр(ЗАО-
Ч[Л>^(0)/А]ехр(Л0[ехр(2Аг)-1],(416)
и т.д» Итак, в этом случае зависимость от времени интегралов Сп^Ц действительно очень простая (и снова периодическая при условии, что коэффициент Ро чисто мнимый). Из этих формул легко получить явные законы сохранения, выразив Сп (0) через С^ t). Например, из формулы (41а) и определения (29) следует, что величина
Со(0) = ехр(-^о/) ( dxu(x.t) (41в)
•' — ос
есть интеграл движения нелинейного эволюционного уравнения (7) с функцией p(L , f), заданной формулами (32) и (39), Следующая сохраняющаяся величина может быть легко извлечена из соотношения (416) и т.д. Такой вывод снова не требует конечности числам в формуле (39), но предполагает аналитичность функции р( г, t) в точке z = <*. Более того, если в определении функции р (z, i) мы имеем конечное число М, то нарушаются оговоренные ранее условия [ см. замечания после формулы (8) ]
Вернемся к обсуждению системы (33) в общем случае. Формальное решение дается фбрмулой
^'^(-n^+ir'/^x^t.^io^
х2,;;[хих(х, Г0) + 2м(х,Г0)], л=0,1,2 (42)
Здесь функция 0(£, t0>; х0) определяется как решение обыкновенного дифференциального уравнения
»Лц t0; A0)=^(r, t0; X^X^t, г0; Ло), г](43)
с начальным условием
^г0,х0; Ао)=1.(44)
Поэтому [формулы (12), (13)] ^1,0;-4к^=х(1,ко)/ко.(45)
Что касается интегро-дифференциального оператора LQ в выражении (42), то он задается обычной формулой, скажем (2.4.А.-13), но при этом гг(х) » =Цх, ?0)е Для удобства в последующем начальные условия заданы в произвольной точке t0 , а не в нуле.
То, что формула (42) дает решение системы (33), доказывается просто, Условие (44) означает, что формула (42) согласована с определением (29), Подставив решение (42) в уравнение (33), можно установить с помощью уравнения (43) и разложения (32), что уравнение (33) выполняется тождественно. При этом принимается, что можно менять порядок дифференцирования по переменной t и интегрирования по переменной х • Более того, мы обращаемся с оператором Lq как с обычной переменной, что можно обосновать, выполняя разложения в ряд (см, ниже).
Подчеркнем, что функция ^t, 10; Ло) в случаях, представляющих интерес, может быть вычислена явно путем решения уравнения (43), (44) (примеры приводятся ниже). Можно также вычислить явно коэффициенты 0л m( t, t0) разложения
[#(М0;Л0)]2лН = 2° W-'o№ ”=0,1,2 (46)
С помощью этого разложения и определения (29) формулу (42) можно пере-
писать в виде
c.W=
и=0,1,2(47)
Возможна двоякая интерпретация этой формулы и формулы (42). Во-первых, они явно задают эволюцию во времени каждого из интегралов Сп (t), если только заданы величины Ст (t0). Заметим, что если функция 6(191 ol ^о) [и» следовательно, коэффициенты 0„# т (t, t0) (46)] окажется периодической по t, то независимо от начальных условий Cm(t0 ) величины Сп (t) будут периодическими по и В то же время свойства функции
*»* о » ^о) зависят только от структуры обыкновенного дифференциального уравнения (43), (44). Случаи, когда функция 0( t, 10-; х0) действительно периодическая, были рассмотрены выше.
Вторая интерпретация формул (42) и (47) связана с тем, что если поменять местами переменные t и t0> то формулы по-прежнему будут справедливы С„(г0) = (-1)"(2л+1)"'/+”*
* £"[хих(х,t)+2u(x,;)], n=Q, 1,2,...,(4*0
. , х S /(2п4-2т +1)... .
^>iGo)~ 2 С-0(2и + 1) ^.mOo* 0Cn + mU)»
«=0,1,2,....(49)
Заметим, что оператор L в представлении (48) определяется теперь формулой (2.4.А.-13) с функцией u(x) = и(х, г), а функция 0 и коэффициенты 0П т (49) определяются, как и раньше, из уравнения (43), (44) и разложения (46).
Теперь мы имеем не зависящие от времени величины, тогда как поле и^х, t) эволюционирует в соответствии с уравнениями типа (7). Мы получим бесконечную последовательность интегралов движения для этого класса эволюционных уравнений. Полученные формулы особенно информативны, если суммы в выражениях (47) и (49) содержат только конечное число членов. Как следует из предыдущих обсуждений, а также и непосредственно из рассмотрения структуры уравнения (43), это будет в случае, когда функция р( г, t) аналитична по z в бесконечности. Когда в формулы (49) и (47) входит бесконечное число членов [ как, например, в случае, когда р (z, О - полином по z ], теоретический смысл констант (48) и (49) менее ясен, а их практическое значение становится спорным.
В то же время подчеркнем, что формулы (42) и (47) весьма информативны в тех случаях, когда функция 0( t, ?0«; Хо) периодична по t независимо от характера ее зависимости от переменной XQ.
Особенно простой случай - когда функция р (z, t) не зависит от z*: А*,г)=Л(О-(50)
Тогда система (33) немедленно решается:
C„(r) = C„(0)exp (2»+l)fdz'A(f) .(51)
Однако это не отвечает истинному расширению класса решаемых нелинейных эволюционных уравнений, так как в этом случае уравнения типа (7) можно свести к известным уже уравнениям (3.1.-28) просто заменой переменных*
u,=a(L, z)wx4-/k(z)(*wx+2w), w = w(x, / ),
(52)
u^a^L, t)uy, й^й^улУ
(53)
(54)
y=xf(t),
(55)
(56)
«(z,0=/(0«[/20)m];
(57)
причем оператор L в формуле (53) - обычный оператор L, в котором функция и заменена функцией и, а переменная х - переменной у.
Рассмотрим теперь некоторые примеры. Сначала остановимся на классе (39):
a(z,z) = (a_1+aoz)/z,^(z.z^d-t+Az^z.(58)
Явная зависимость коэффициентов от времени для простоты опущена. Так как обе функции а (z, t) и 0 (z, t) сингулярны в точке z = О, формулы (58) нарушают условия, упомянутые после формулы (8). Неприятные последствия этого бесцеремонного выбора обсуждаются дальше.
Нелинейное эволюционное уравнение, следующее из формул (58), удобнее записать, перейдя к зависимой переменной w".
,*оо(59а)
w(x,l) = dyu(y,t),
х(596)
к(х,/) = -wx(x,t).
Оно имеет вид
(^xxx + wx ), + 2(WxW,)x= [«-№+«o(**’xxx+3wx ) +£-tlxwx+wVMxwxxx+3wxx+lwxw+3xw£ )] х+ЗДм,2.(60)
Определенные выше различные функции, характеризующие решения этого уравнения, вычисляются непосредственно:
^(z,fco)=A:oexp(/%z) {l-(^0)2[l-exp(-2Az)])l/2,(61)
ко^.к^кехр^-Д!) {1-(^Д)2[1-ехр(2Д/)]}1/2,(62)
<?(М0; Ао)=ехр[ДО-го)] х х (l + ^/Ao^l-exp^/^-Zo))]^(63)
^,тО.М = ^,т(Г-'о).(64)
^,m(<)=°> ^Х5»(65а)
^,-m(')=exp[(2« + 1)Ad [1-ехр(-2Дг)]т X
x(2^)2m(”^2m>0,(656)
р(0=Ро®ф(А0 {1 + (9/Ро)2[1-ехр(-2Д?)]}1/2,(6б)
/(О = [Ро/р(О][/о-(2Ро)-1 х
х 1п{И-(^/р0)2[1 — ехр(—2АГ)]}] +/(г),(67)
/(г)-[2Ар(г)]",[(2^)-,«_1 *
х (arcsin[3f ]-arcsin[3fexp( — АО]} +
+2^0{[м2ехр(2Дг)-1]1/2-[М2-1]1/2-
— arctg[A/2exp(2^r) — 1]1/2 + arctg[ М2 — 1 ]1 /2) j.(68)
В этих формулах
q2=P_x/^(69)
M2=q2/^q2 *р^-(70)
Формулы написаны для положительных значений д2. Но они остаются справедливыми, если q 2 - отрицательная величина. Легко видеть, что и в этом
случае, равно как и в пределе при р0 = О, они дают действительные величины.
Таким образом, мы имеем бесконечную порледовательность сохраняющихся величин, заданных явной формулой
где коэффициенты еп _т определяются формулой (656) (обратите внимание на знак минус перед аргументом О, а Gm (t) есть интегралы (29). Например, со(0) = С0(г)ехр(-^),(72а)
С1(О) = СХг)ехр(-3^) + 2?2Со(?)ехр(-АОГ1-ехр(-2Дг)](726)
и т.д.
Проанализируем поведение солитонов в этом случае, принимая во внимание, что односолитонное решение по-прежнему дается формулой (19), но параметры р и £ определяются выражениями (66) - (68). Так как вся необходимая информация содержится в этих явных формулах, мы ограничимся обсуждением только некоторых частных случаев, предоставив более полное изучение самому читателю. Мы положим а^ = а0 = 0, что приводит к обращению в нуль функции (68).
Прежде всего будем считать, что
А,>0,(73)
чем, как легко видеть, исключается появление сингулярностей при ? ^ 0.
Тогда при t -* оо
(74а)(746)(74в)(74а)(746)(74в)(75а)(756)(76)(75а)(756)(76)Р^ЦРо+ч^^ехр^М-**1». А>0, p(f)«(X?-1t/2)l/2- + oo, А=0, ^(O-^^HA./IAI)172. А<0. и соответственно
(74а)
(746)
(74в)
(74а)
(746)
(74в)
(75а)
(756)
(76)
(75а)
(756)
(76)
^(t)-0, Д>0,
&Н Ро/М) £о+М ~ 'Н р0/М) ~, А<0,
где
^-/Wte^VW-vY'1-
В то же время при отрицательном t и р0 ^ 0 (так что q^ - положительная величина) и также при р0 < 0, р0 < | q | появляется сингулярность в точке 1 = ~18> где
(77)(77)t=M) '^[^(РоА)2].
(77)
(77)
Если же р 0 < 0, но р 0 > | q | > то односолитонное решение хорошо определено при всех отрицательных временах и при t -* - оо •:
(78)(79)(78)(79)H^tPo+^l'^xptAO^00. (А<О,Ро>И)>
(78)
(79)
(78)
(79)
^(/)-о,(А<о,ро>М).
В частности, интерес представляет случай ро < 8. Тогда каждое односолитонное решение уравнения (60) при ?-» + «> принимает одну и ту же форму, причем совпадают и амцлитуды, и ширины [формулы (74в) и (19)]. Отметим, что данный вывод не зависит от предположения о равенстве нулю коэффициентов a _i и а0. Так как эволюция функции р (t) зависит только от вида функции р (z, t), то она вообще не зависит от выбора а( z, t) в уравнении (7). Замечательное поведение при t -> оо обнаруживает и функция £ (?) (756). Заметим, что скорость -и (76) не зависит от pQe Поэтому для всех односолитонных
решений в этом случае асимптотическое поведение одинаково: их скорость зависит только от параметров нелинейного эволюционного уравнения.
Из этих результатов следует также, что при выполнении условий (73) все многосолитонные решения хорошо себя ведут при t 0, хотя их асимпто- тика при t -> + * не столь проста, как у односолитонного решения, особенно в случае ₽ 0 < 0.
Если же, наоборот, коэффициент р ^ отрицателен, то односолитонное решение становится сингулярным в положительной точке t8 = (2р0 ) -1 х xln[l+(pOi/£) 2], если аргумент логарифма положителен, т.е. р0 ^ | # |. То же самое будет, если р о меньше нуля, а (69) больше нуля. Аналогичный вывод справедлив для многосолитонных решений.
Замечателен тот факт, что знак коэффициента р ^ при ничем не выделенном члене уравнения (60) играет важную роль в поведении солитонных решений уравнений. Но мы, конечно, понимаем, пто наличие этого члена должно привести к новым явлениям [ср. с уравнениями (52) - (57)].
Вернемся к обсуждению общего решения, характеризуемого ненулевым коэффициентом отражения. В этом случае, как только начинается эволюция во времени, что-то сразу же нарушается. Действительно, если р < 0, то при t > 0 величина ko(t, k) (62) перестает быть действительной при всех значениях к [формула (69)]. Если же р^ > 0, то k^t, k) остается действительной величиной при всех к» Но в то время как к меняется в интервалах от 0 до ±оо, kQ меняется в интервале от k^t, 0 ±) = ± % i В^Д 1 - exp (-2ро^)]/р Ql 6 до ±оо. Поэтому функция R(kt t ) (10) имеет конечный разрыв в точке к =- 0. Исключение составляет специальный случай, когда a(z) = 0, в котором RQW - действительная функция и RQ^k) = RQ(-k^ Но даже в этом случае при t > 0 нарушается общее равенство ft(0, t) = -1. Это означает, что если t больше нуля, то Цх, t ) принадлежит классу потенциалов, имеющих связанные состояния с нулевой энергией. Но это не влечет за собой никаких нежелательных явлений, ибо такой потенциал имеется в непосредственной близости от любого BF -потенциала (дополнение Д.-15).
Таким образом, оказывается, что хорошо определенными решениями уравнения (60) на конечном интервале времени являются только многосолитонные решения. Все другие решения, кроме, может быть, крайних случаев, сразу же становятся нерегулярными, как только начинается эволюция. Что касается природы этой нерегулярности, то можно думать, что, во всяком случае при р > 0, она должна сказываться на асимптотическом (по х) поведении решений, но не проявляться в виде локальной сингулярности. Как уже говорилось, причина этих нерегулярностей заключается не только в специфическом расширении класса нелинейных эволюционных уравнений за счет добавочного члена с 0 в формуле (7), но и в выборе функций вида (58), который нарушает условия, упомянутые после формулы (8). На этом мы закончим рассмотрение нерегуляр-
ности решений этого частного уравнения. Повторим еще раз, что, хотя его общее решение может обнаруживать нерегулярности, у этого уравнения существуют многосолитонные решения, а также законы сохранения (48).
Перейдем теперь к другому примеру, в котором не нарушаются ограничения, упомянутые после формулы (8) и который принадлежит классу (34): «(г,<) = а0+а,г,(80)
Здесь мы опять опустили явную зависимость коэффициентов от времени.
Соответствующие эволюционные уравнения здесь тоже удобнее записать,
перейдя от функции и к функции w (59):
Wxt= [»онх + "1 ( ^хх^ X2 ) +At^x + **')+
+^\lvxwxxx+3wxx+3xwx+2wxw^$+3^1wx.(81)
Выпишем теперь выражения для различных величин, нужных для решения задачи Коши методом спектрального преобразования:
хО. ^о) =^оехр( А/) {1 — (*0/^)2[ 1 - ехр(2А?)] } ~1/2,(82)
М'.*)=^ехр(-А/){1-(^)2[1-ехр(-2А/)]}-1/2,(83)
^(Мо! Ло) = ехр[А('-'о)] *
X (1+Л0(2»)-2[1-ехр(2А(/-/0))]}1/2,(84)
^n.mU» ^О^^п.тО- ?о)>(85)
^,т(()=0,т<0,(86а)
<Л0 = ехр[(2л+1)Д,][1-ехр(2Аг)] W"^Н),(86б)
т>0,
М')=Роехр(А*) {ЖРоА)2[1-ехр(2А')]^^(87)
^O^Po/XOjf/o-^Po) ’1п{1 + (РоА)2^-ехр(2А^)]}]
+&')>(88)
?(') = (»,/А){[ро/р(О]-1} -[«/р(?)][(«о/А) - (<VA)] *
X arctg(9[p(/)-p0]/[92+p0/>(z)]}.(89)
В этих выражениях
$2=А/4А-(90)
Формулы остаются справедливыми и дают действительные величины, если коэффициенты BQ и р 1 имеют противоположные знаки (т.е. q2 - отрицательная величина).
В этом случае сохраняющиеся величины (48), (49) имеют значительно более сложную структуру, так как сумма в правой части формулы (49) содержит бесконечное число членов. Поэтому мы не будем их изучать более подробно, а перейдем к анализу односолитонного решения (19), которое теперь допол
нительно определяется еще и формулами (87) - (89).
Предположим сначала, что величина р 1 отрицательна:
А<0.(91)
Этого достаточно, чтобы односолитонное решение при t > 0 было свободно от сингулярностей. Исследуем его асимптотику при t -♦ + <*: pU)-^=IA>/WV2» А>о,<92а)
Я')=ро[1-8Аро'Г1/2^о, А=о,(92б)
Р('>Ро[> + (РоА)Т'/2ехр(АА^0, Д<0,(92в>
^OWoo+^-^ign^oo, Д>0,(93а)
^--га^+^-^р^У^Ь-фр^^^
+^0—6-> —sign(a0) оо, Д=0,(936)
^(/)«»сехр(-/%/)->$1^(с)оо, А<0.(93в>
В последних трех формулах константы 5^, v, Ь и с определяются следующим образом:
6» = &Ро/И + М “ 'НМАо) - ("1/А) (1 -Ро/М) +
+ [(«о/А) - (<VA )] 1п[( Ро+|?1)/(2р0)],(94)
®= -2|ДА|'/2{ 1 +М[(«0/Л)-(VA)]},(95)
6=А+[»|-«о/(2ро)2]/А.(96)
НЖ РоА)2] ^ {А ~ (2р0 Г '1п[! + (ЛА)2] +
+ «i/А + [(«о/А) - (<VA)] (9/Ро) arclg( РоА)} •(97)
Сингулярность может возникнуть при г < 0. Действительно, если Ро ^ 0 или Р 0 > 0,но Ро ^ | q |, то сингулярность появляется в отрицательный момент времени ^:
^(ЗАГМЖ^Ао)2].(98)
Если же Ро > 0 и ро < | q | , то нет сингулярных солитонов.
Перейдем теперь к случаю Р1 > 0. Тогда если ро > 0 или если р 0 < 0, а Р0 ^ | ^| , то, как нетрудно видеть, односолитонное решение становится сии-
гулярным в положительный момент времени tg. Если же ро < 0 и pQ< | q |, то сингулярности в положительные моменты времени не появляются.
Ввиду достаточной простоты этих результатов мы их не будем ни комментировать, ни сравнивать с предыдущими примерами. Подчеркнем только, что если неравенство (91) выполняется, то нет односолитонных решений с сингулярностями при^ > 0. Это свойство распространяется на все чисто многосолитонные решения.
Общее же решение уравнения (81) сразу же становится нерегулярным, как только начинается эволюция. В самом деле, если при t > 0 величина р1 положительна, то функцияk^t, А) становится мнимой при некотором действительном значении А. Если же, наоборот, величина Р1 отрицательна [выполняется неравенство (91)], то функция k^t, А) остается действительной при t > 0 и А - действительная переменная, но при этом изменению А в интервалах (0, ±?о) соответствует изменение к от нуля до
коМ, ± оо) = ±|4ДГ V^/texp^i) -1] } V2(99)
Вследствие этого коэффициент отражения R(A, t) (10) при t, отличном от нуля, перестает стремиться к нулю при А -♦ оо. Это означает, что функция u(x, t) становится сингулярной.
Не следует удивляться этому явлению, так как производная высшего порядка в уравнении (81) содержит коэффициент а1 + р ^ который обращается в нуль при действительном значении хд = -а 1 /р 1. И даже в линеаризованном уравнении, получающемся из (81) после удаления нелинейных членов, возника
ет такая же проблема. В этом случае его проще записать, перейдя к переменной и [формулы (59)]:
и1=воих+«1иххх+Д)(хих+2и)+Д1(хиххх+4ихх').(100)
Тогда если положить [формула (21)]
"(г)=-г(а0-а|г2)+21(Д-2Дг2),(101а)
«'(z^-z^-Az^,(Ю1б)
то оно переходит в уравнение (1.1.-20). Тогда решение имеет вид (1.1.-22), где
xUA^kgexplAO ^XA-^k^ex^l^-A/AiV^1'<102)
k0(t, к^кех^-М {1 -/^[l -exp(-2/%t)]/A) ~*/2-(ЮЗ)
Мы видим, что возникают те же самые трудности. Хотя функция Aq(G А) хорошо определена и действительна при t > 0 и при всех действительных А, она не стремится к бесконечности при А -♦ +«>, как только t становится отличным от нуля (мы приняли, что р 1 < 0). Тогда фурье-образ м(А, t ) [формула (1.1.-22)],
модуль которого равен
|м(А, <)| = [ЛД0(^ *)]|“о[*о(', *)]Ь(104)
не стремится к нулю при А -> <*, а расходится. [ При выводе формулы (104) мы считали, что aQ и а 1 - действительные функции, так что только они дают вклад в фазу функции й^к» t ); см. формулы (1.1-22) и (101а).] Это означает, что переход от уравнения (1.1-20) к его фурье-образу (1.1.-21) не вполне обо* снован и, следовательно, справедливость выводов, основанных на формуле (1.1-22), остается под вопросом. Тем не менее такой подход, который может быть сделан вполне строгим, если перейти от обычных функций к обобщенным, указывает, что в динамике решений линеаризованного уравнения (100) сразу же возникает сингулярность.
Таким образом, нет ничего удивительного в появлении сингулярностей в решениях нелинейного эволюционного уравнения (81) и его линеаризованного варианта (100). Характер этих сингулярностей можно, по-видимому, исследовать методом спектрального преобразования. Но эта нетривиальная задача еще не вполне решена (см. дополнение Д.16). Замечательным фактом следует считать существование целого класса несингулярных решений - а именно чисто многосолитонных решений. Их существование не противоречит тому, что, по-видимому, все решения линеаризованного уравнения (100) сингулярны, так как они существенно нелинейны.
Ясно, что подобное поведение решений, полученное при анализе этих двух примеров, не является их специфическим свойством, а типично для всего класса нелинейных эволюционных уравнений (7) с функцией р (z, t ) из класса (39) (первый пример) или (34) (второй пример). (В обоих случаях М - конечное число.) Возникает вопрос: существуют ли эволюционные уравнения из класса (7), для которых решение задачи Коши принадлежит классу BF-потенциалов при условии, что начальные данные лежат в этом же классе? На основании сказанного ранее можно заключить, что ответ на этот вопрос должен быть положительным. В самом деле, нетрудно указать в явном виде те свойства, которыми должны обладать функции a(z, t ) и p(z, t ) в уравнении (7), чтобы оно имело правильные решения в отмеченном выше смысле.
Во-первых, функции a (z, t ) и р (z, t) должны быть при всех значениях t аналитическими функциями z в окрестности действительной оси [ см. обсуждение, следующее за формулой (8), и дополнение Д.18].
Во-вторых, функция В (z, г ) должна при всех t в силу формул (12) - (14) осуществлять биективное отображение между к и k^t, к) на всей оси. Чтобы обезопасить себя, добавим еще одно специфическое требование
^^[^(^ *)/*]=«=(/), 0<аДО<оо.) (105)
Как нетрудно видеть, этого достаточно, чтобы функция р (z/ ) была аналитической при всех двйсжвмтелъяы® значениях z, а также в точке z = *.
Мы закончим данный параграф краткой сводкой результатов для уравнения такого типа, которое хотя и не совсем простое, однако имеет то преимущество, что позволяет быстро выписать нужные формулы во вполне явном виде. Ему соответствует выбор g(z,f)=z2+16,Л(г,/)=0,/(m) = 2z(106)
[см. формулу (4)], что приводит к выражениям a(z,f)=0,Az,t)=-2z/(^+16)(107)
[см. формулу (6)]. Как обычно, мы опустили явную зависимость от времени и, кроме того, ввели численные константы, значения которых выбраны для упрощения последующих формул. (Произвольные константы можно снова ввести, изменив масштаб зависимых и независимых переменных.) Соответствующее (интегро*дифференциальное) уравнение типа (7) в переменных w [ формула (59)] и
v(x,r)=f dyu^yj)(108)
*х
записывается в виде следующей системы дифференциальных уравнений в частных производных:
(Ю9а) kWxxxxx*X6wx~Attxxx-lwxx*^W^/3YVM^
-2wxxv, +2\xwxxx+3wxx+2wxw-3(xt>x+t^(109б>
Решения определяются следующими формулами:
x(f,*o)=2-'/2*o’{[(^-^o-l)2^^]172-*-^-^-!} 1/2,(НО)
k^tA^x<-tAY(in)
p^ = -^xU»^PoY(112)
HO^tHOZ/vl^ + ^ot2^^^(113^
^(^^o^o)=x(^“^o»^o)Aoj ^о=“4^о-(И4)
Сразу можно увидеть, что p(t) и р(г) — несингулярные функции при всех действительных значениях t, а соответствие между к и kQ биективное, обладающее свойствами
Ит[*о(Л*)А] = ЬС-15)
^Мш [А0(г,А)Д] = 1.(Ц6)
Поэтому в силу уравнения (10) коэффициент отражения R^k, t) хорошо определен при всех значениях времени, если только хорошо определено его начальное значение Ro^ = R^k, 0). Следовательно, если начальные данные принадлежат классу SF-потенциалов, то нелинейное эволюционное уравнение (109) может быть решено методом спектрального преобразования, а его решение u(x, t ) [формулы (59), (108)1 всегда будет оставаться в классе BF-потенциа- лов.
Что касается поведения решений, то заметим, что из формулы (112) следует равенство
^[^(^/Izl*1/^!,(117)
тогда как формулы (112), (113) и (20) приводят к асимптотике для §(£):• /ОНИ^Ж'ЖМОЖЧС1^^ приГ-±х. (118) Более детальный анализ решений предлагается читателю в качестве самое стоятельного упражнения.
§ 3. Решения уравнения КдВ, асимптотически пикейные по ж
Мы отмечали уже в гл. 3, § 2, п. Г, 2, что уравнение КдВ иЛ“ххх”6иих = 0, U = u(x,t)(1)
имеет очень простое решение (3.2.Г.2.-1), которое мы, положив две константы xQ и t в (3.2.Г.2.-1) равными нулю, представим в виде м(х, t) = — x/6t.(2)
Поскольку эти константы могут быть легко восстановлены путем сдвига аргументов, впредь мы их будем опускать.
В гл. 3, § 2, п. Г, 2, отмечалось, что существует целый класс решений уравнения КдВ, имеющий представление и^х, t) = u(x, t)+v(x, г),(3)
где Цх, t) дается формулой (2), a v(x, t) характеризуется асимптотическим условием v(± оо,/) =0.(4)
Заметим, что асимптотическое условие (4) совместимо с эволюцией во времени - будучи заданным при t * tQ, оно автоматически удовлетворяется при t > *о* ^Десь мы считаем, что tQ > 0. Из того, что условие (4) выполняется при t = tQ, следует, что оно выполняется и при 0 < t < tQ. Сингулярность в точке t = 0 не позволяет делать заключения о поведении решений при t < 0, если
оно известно при tQ > 0. ] Можно непосредственно проверить это утверждение, подставив представление (3), (2) в уравнение (1). Такая подстановка приводит к уравнению
«Л^хх-З^+и/^о^^О, v=v(x,t).(5)
(Мы, конечно, по-прежнему предполагаем, что функция v вместе со своими производными убывает достаточно быстро, чтобы скомпенсировать рост переменной х.)
Нелинейное уравнение (5) интересно само по себе ввиду его связи с так называемым цилиндрическим уравнением КдВ
^+^-6^+(2г) '^=0, ?^(£г).(6)
Эта связь устанавливается формулами
v(x,t)--2rq{(, г),(7)
£=x/t,(8)
т=-<Игух.(9)
Таким образом, решение задачи Коши для цилиндрического уравнения КдВ (6) с точностью до замены зависимых и независимых переменных эквивалентно решению задачи Коши для уравнения КдВ (1) в классе функций (3) с условиями (2) и (4). Ясно, что этот класс находится вне пределов класса ВF-потенциалов, а следовательно, излагавшийся выше метод спектрального преобразования неприменим при изучении таких решений. Требуется некая модификация этого метода, равносильная введению другого спектрального преобразования. Это будет сделано в п.А.
Преобразования Бэклунда из гл. 4, § 1, могут быть переписаны в локальной форме и тем самым расширены за пределы класса BF-потенциалов. Действительно, преобразование Бэклунда, связывающее две функции и^) (х, t) и u(2>(x, t ) в окрестности произвольной точки, скажем xq, по-прежнему имеет вид (4.1.-1) при условии, что в определениях (4.1.-3) и (4.1.-4) интервал интегрирования от х до оо заменен интервалом от х до xq. Операторным методом из дополнения Д.20 легко доказывается справедливость этого правила.
Пользуясь таким приемом, можно применить преобразования Бэклунда из гл. 4 и в настоящей ситуации. Новым, однако, является то, что преобразование Бэклунда отображает решение i?2^x, t ) уравнения (1), принадлежащее классу, определяемому формулами (2) - (4), в решение и^ > ( х, t ), не принадлежащее этому классу. Чтобы продемонстрировать это, рассмотрим преобразование Бэклунда (4.1.-1) в частном случае (4.1.-12) (с указанным выше изменением интервала интегрирования). Оно имеет вид [формула (4.1.-14)!
2/?[u(1)(x, t^-u^x, z)] Ч-^^л:, 1)^и^(х, t) ±
4-[u(1)(x, t) — u^^x, f)\j °dj[u(1)(y, t) — u(2)(j, 0] =O’(Ю)
где xq - произвольная, не зависящая от х и t действительная константа, а р - величина, не зависящая от х, но зависящая от t [см. ниже равенство (13)}. Соотношению (10) можно придать другую форму:
u(1)(x, t) = u(2\x, t)-2(ln[ f(2\x, z, z)]}xx,(10
где f(2> (х, z, t ) - любое решение уравнения Шредингера
fSU» z, 0 = [м<2)(*> 0 +^] /(2)(^> z» 0>(I2)
причем параметр z - произвольная, действительная и не зависящая от t константа. Из эквивалентности формул (10) и (И) следует, что f(2> и р связаны между собой соотношением
^Hx^zj^pf^Kxo^jY(13)
Подставив теперь в равенства (11) и (12) вместо и^2^х, t ) расходящееся решение и(х, t) (2) уравнения КдВ (1), получим
^/Ai-C^+sin/BiX^)^ (u) [cos yAi(j) + sin/Bi(^)]
где у - произвольная константа, Ai (у) и Bi(y) - функции Эйри (см. п. А), а штрих означает дифференцирование по переменной
у = (—6г) ^(.х—6zt).О5)
Это новое решение уравнения КдВ (1) имеет бесконечно много двойных полюсов на действительной оси х и следующую асимптотику:
м(1)(х, t^u^x, /)[1-(-6^х“3)1/2], х—* -sign(O оо,(16)
и°\х, t^u^x, z)(l-2sin"2[|(-^)3/2-by-b^]}, x-^sign(r) оо. (17) Последняя формула показывает, что решение и^^х, t ) не принадлежит классу функций, характеризуемому свойствами (3) и (4). Аналогичные решения с таким же нерегулярным поведением могут быть получены путем повторного применения преобразования Бэклунда (11) и (12) с другими значениями параметра z. Общая формула для таких решений, которые имеют аналогию с многосолитонными решениями (1.6.А.-9.10), дана в работе [61]. Действительные решения, которые принадлежат классу, описываемому формулами (2) - (4) и не "испорчены" сингулярностями, могут быть получены с помощью спектрального преобразования, описываемого в п. А. Кроме того, это преобразование
дает возможность решить задачу Коши для нелинейных эволюционных уравнений, включающее как частный случай уравнение (5) и, следовательно, уравнение цКдВ (6). Этот материал излагается в п. Б, В п, В строится связанная с этой задачей бесконечная серия сохраняющихся величин, В п. Г кратко рассматриваются уравнение цКдВ, а также более общие уравнения, частным случаем которых является уравнение цКдВ (6),
Спектральная задача Шредингера с дополнительным линейным потенциалом
Рассмотрим уравнение Шредингера
-&х(*> *) + [х+и(х)] ^(х, z^=z^x, zY
Заметим, что член х не может быть включен в потенциал и^ ввиду асимптотического условия
<(±оо)=0.(2)
Ниже приводится более детальная информация о характере убывания и при Х-» i*. Если ц(я)=0,0)
то уравнение (1) превращается в уравнение Эйри относительно независимой переменной у = я - z . Оно имеет независимые действительные решения - функции Эйри Ai(x ~ z) и Bi (я -z). Эти функции определяются следующими формулами:
Ai"(y)=yAi(y),(4)
ВГ'(л)=лВ1(А(5)
Ai'(j')Bi(^)-Ai(>-)Bi'()') = -l/»7,(6)
(7a)
Мл)=hl/2[^-V3( v) -/1/3( v)],(76)
В1(л) = Ол)‘/2[7-1/3(7)+М’7)]-(8)
В первых трех формулах штрихом обозначено дифференцирование. В последних трех формулах введено обозначение
7=Ь3/2.(9)
которое будет использоваться и в дальнейшем. Кроме того, Kv^ и Zv(n) - модифицированные функции Бесселя. Асимптотическое поведение функций Эйри дается формулами
(10;(10;Мл)^ '/гу ,/4ехр( —7) 2 (-ху^-т^-о^-м-^ , |arg^|<«r.
(10;
(10;
т = 0
Ai( —у ) = $p~ l/2y—1/4 jsin(^+j^)Ai( —у ) = $p~ l/2y—1/4 jsin(^+j^)M
Ai( —у ) = $p~ l/2y—1/4 jsin(^+j^)
Ai( —у ) = $p~ l/2y—1/4 jsin(^+j^)
2 (-l)mC2m7-2m + O(17
Ж = 0
мг
m=0m=0Bi(y) = w l/2y l/4exp(v)Bi(y) = w l/2y l/4exp(v)м2 cmi)т=0м2 cmi)т=0\ai£y\<^,\ai£y\<^,(11)(11)+0(v M ') . |argy|<j»r,+0(v M ') . |argy|<j»r,(12)(12)-cos(^+i«r) 2 (-l)mc2m+i<2'"_| + O(zz_2M_3) h
m=0
m=0
Bi(y) = w l/2y l/4exp(v)
Bi(y) = w l/2y l/4exp(v)
м
2 cmi)
т=0
м
2 cmi)
т=0
\ai£y\<^,
\ai£y\<^,
(11)
(11)
+0(v M ') . |argy|<j»r,
+0(v M ') . |argy|<j»r,
(12)
(12)
~2т~'+О(^~2М~3) I~2т~'+О(^~2М~3) Im = 0m = 0\ar&y\<^,\ar&y\<^,(13)(13)
~2т~'+О(^~2М~3) I
~2т~'+О(^~2М~3) I
m = 0
m = 0
\ar&y\<^,
\ar&y\<^,
(13)
(13)
Bi(-y) = ,-V2),-i/4 х
X-cos(v+iir) s (-l)'"c2m7_2m+O(7”2Л,”2) + [т=0
M
Мы также для удобства введем функцию Ei (у) (не путать с интегралом оши-Мы также для удобства введем функцию Ei (у) (не путать с интегралом оши-(14) (15а) (156)(14) (15а) (156)(16)(16)(17)(18)(19)(20)(21)(22)(17)(18)(19)(20)(21)(22)
Мы также для удобства введем функцию Ei (у) (не путать с интегралом оши-
Мы также для удобства введем функцию Ei (у) (не путать с интегралом оши-
(14) (15а) (156)
(14) (15а) (156)
(16)
(16)
(17)
(18)
(19)
(20)
(21)
(22)
(17)
(18)
(19)
(20)
(21)
(22)
где коэффициенты с имеют вид
с0=1,
ст=Г(Зт+{)/[54ит!Г(т + |)], т= 1,2,3,...,
cm=(2m+1)(2т + 3) • • • (6m—l)/(216mm!), m=l,2,3,... .
бок!):
Ei(y) = Bi(y)-iAi(y).
Из предыдущих формул получим следующие свойства:
Ei'(y)Ai(y)-Ei(y)Ai'(y)=l/»r,
Aity^-^gr-’^y-'/^expt —|у3/2) при у-» +оо, Ai(y)-»»r-|/2(-y) 1/4sin[j(-y)3/2+^gr] приу^-оо, Ei(y)-»gr-,/2y-|/4exp(jy3/2) приу-» +оо, Е1(у)-»я-~|/2(-у) 1/4ехр(-1[|(-у)3/2+{я-]} приу^-оо, |Ai(y)Ei(y)|=O(|y|”l/2), |y|-»oo,-|gr<argy<s7.
Определим теперь два решения Ф(х, z) и F^x, z) уравнения (1) асимптотически-
ми условиями
Ит [Ф(х, z)/Ai(jc—z)] = 1,(23)
11т [F(x, z)/Ei(x-z)] = l,(24)
и введем функцию Йоста
/(z) = ^Fx(x,z)0(x,z)-.F(x,z)d>x(.r,z)].
Таким образом, если иМ = 0, то f(z) = 1 [формула (17)].
Для простоты будем считать в дальнейшем, что ц(х) - действительная функция. Тогда нетрудно получить из определения (25) соотношение Ф(х, z) = (2i)-l[/(z)27*(x, z*)—/♦(z*)^*, z)],(26)
которое вместе с асимптотикой (21) дает <P(^,z)^(2i)"V-l/2(_x)-1/4|y(z)exp|i|-^z_;c)3/2+^jj_
_/*(z*)exp{-i[j(z-x)3/2+i^]}] прих-*-оо.(27)
Отметим, что ради общности, имея в виду последующее применение, мы напасали эти уравнения для случая, когда z — комплексная переменная. При их выводе мы использовали тот факт, что функции F(*, z), F*^x, z*) и Ф(х, z), Ф*(х, z*) удовлетворяют одному и тому же уравнению (1) и сверх того в силу условия (23) выполняется равенство Ф(%, z) = Ф*(х, z*).
Прямой спектральной задачей является вычисление функции f (z) по заданной функции и^. Из приведенных выше формул (1) и (23) - (25) следует, что она имеет единственное решение. Обратная спектральная задача заключается в восстановлении функции Цх^ по заданной функции f(z). Как будет показано ниже, для определения функции и(х) достаточно знать модуль функции Йоста. Конечно, для того чтобы BF-потенниал и^ соответствовал модулю | f(z) |, он должен иметь свойства, которые характеризуют этот модуль функции Йоста, порождаемой решением описанной перед этим спектральной задачи. Поэтому прежде чем переходить к решению обратной спектральной задачи, сообщим * некоторые дополнительные свойства, полученные в рамках прямой спектральной задачи.
Интегральное уравнение
Ф(х, z)=Ai(x—z) + ^f dy [Ai(x—z)Bi(y—z) —
*x
-AHj’-zjBUx-z^CjOdV.z)(28)
получено из формулы (1), (4) - (6) и (23). С учетом равенства (25) оно приво- дит к интегральному представлению
f(z) — X^"^J йхЕ1(х—г)Ф(х, z)u(x).(29)
Из этого уравнения легко Получить характеристику асимптотического убывания функции и^, определяющую рассматриваемый класс потенциалов. Так как из формул (20), (21), (23) и (27) следуют соотношения
|Е1(х~2)Ф(х,z)| = O(x~1/2) прих^ + оо,(30а)
|Ei(x-z)»(x,z)|-(2i7)_||/(z)IN-l/2exP(2M'/2lmz)
прих-> — оо, (30 б) условие сходимости интеграла в правой части равенства (29) при действительных значениях г означает, что функция и^ убывает быстрее ) х|“* или, точнее, выполняется ограничение вида
(дх|м(х)|/(1 + |х|)1/2<оо.(31)
* —ОО
Потенциалы, лежащие на границе области сходимости, также будут рассматриваться в дальнейшем.
Свойства функции Поста f^. Если выполняется условие (31), то функция f^, определяемая выражением (25) или (29), существует при всех действительных значениях z. Она может быть аналитически продолжена в нижнюю полуплоскость Im z ^ 0, где она голоморфна и не имеет нулей. Первое свойство есть следствие соотношений (28), (29} и (30 б), а второе является очевидным при Imz = 0 [ см. формулы (23) - (25)]. Для области Im z < О оно может быть доказано методом от противного. Предположим, что f(z) = 0 при Im z < 0. Проинтегрируем от х до «> производную от вронскиана функций ф(х, z) и Ф*(х, z). Используя сначала уравнение (1), переходя к пределу х -* - оо, а затем опираясь на свойство (27), получаем
0 = Imz fdx|0(x,z)|2, (/(z)=0, Imz<0).(32)
—ОО
[ Отметим, что если f(z) = (him z < 0, то интеграл в правой части этого соотношения действительно сходится.]
(33)(34)(35)(33)(34)(35)Другой важной характеристикой функции f^ является ее асимптотическое поведение при z -> - оо. Можно показать, что оно дается следующим разложением:
(33)
(34)
(35)
(33)
(34)
(35)
/(z) = l + 5 Л(~4z) n/2+O(z-<A'+,>/2), п = 1
где коэффициенты ( выражаются через потенциал и^ху.
°°dxu(x) v2m+l(x) + 2 Mm~JNv2j_t(x) ,
^-oo7=1
m=0,1,2,...,
fim^ f dxu(x)Mm~l ( dyu(y), m= 1,2,3,... .
В этих равенствах М и N - два интегро-дифференциальных оператора, которые определяются своим действием на производную функцию ^(х) (убывающую до нуля при х -♦ + ос в случае оператора М):
Mg(x)=gxx(x)-4xg(x)-lJ dyg(y)+M-g(x),(36)
W*g(x) = -“(x)g(.K) + J dyu(y)gy(y) +
+ j dyu(y)J dzu(z)g(z).(37)
В формуле (34) u2 m л- i^ * полиномы степени тп, содержащие 1 + [[ — m]] членов ([[g]] - целая часть числа д):
11т/ЗЦ*
^2т+1(*) = 2 ^т/”^^
у = 0
От, = (-^12^^^^
1J
х 2 ( —1) ckcij-k-(39)
*=о
Численные коэффициенты с^ были определены раньше [ формулы (14) и (15) ]. Явные выражения для первых четырех полиномов v2m+ т таковы:
«1 = 1, v3=—2х,«5=6х2,v7= —20х3+10,(40)
а для первых четырех коэффициентов таковы:
Л=/ dxu(x),(41а)
A = V?,(«б)
A = lfx3~j_ dx«(x)[2x+u(x)],(41в)
А=Мз"^.(41г)
Отсюда видно, что каждый коэффициент четного порядка может быть выраже через коэффициенты f имеющие меньший нечетный порядок. [Таким образом большая простота формулы (35) по сравнению с выражением (34) оказывается чисто внешней.)
Формулы, определяющие асимптотическое поведение функции f(z^ при г -» - со, будут использованы в п. В при изучении законов сохранения нелине^ кого эволюционного уравнения (6.3.Б.-1).
Перейдем теперь к описанию обратной спектральной задачи. Мы снова при водим здесь только результаты, отсылая за их выводом к литературе (см. примечания к данной главе).
По заданной функции | f (z) | построим ’’спектральную функцию” p(z): p(zW№2-^-(42)
Введем затем ядро Mix, v), равное по определению
M(x,y)=f dzp(z)Ai(x — z)Ai(y—z),(43)
•'-оо
и, наконец, напишем "уравнение Гельфанда - Левитана"
К(х, у)+М(х,у) + f dzК^х, z^M(z, у^О, х<у.(44)
Это - интегральное уравнение Фредгольма относительно неизвестной функции К(х, у). Заметим, что данное интегральное уравнение указывает на зависимость этой функции от второго аргумента, тогда как зависимость Цх, г) от первого аргумента х, будучи параметрической, проистекает из зависимости ядра М(х, у) от х и из зависимости нижнего предела интегрирования от х. Уравнением Фредгольма однозначно определяется функция Цх, у), по которой уже определяется решение и1х\.
w(x) = 2 limA^x,x+|f|),(45)
w(x) = у dyu^yY(46a)
u(x)= — wx(xY^^
Эти формулы дают полное описание процедуры решения обратной спектральной задачи, т.е. восстановления потенциала ulx^ по функции | f^\ . Приведем также три другие важные формулы, содержащие спектральную функцию p(z), ядро Цх, у) и "регулярное решение" Ф(х, z) уравнения Шредингера (1) [формула (23)]:
(°°dz^X-V Р^^Ф^х, z'^y, = 8(x-yY(47)
J-00
Ф(х,г)~А1(х-г)+ f dyK(x, y)Ai(y-z),(48)
*X
K(x,y)=-( dzp^z^^x^AiVy-zY(49)
* —00
Подведем итоги. Теперь мы можем отождествить спектральные данные регулярной и убывающей до нуля на бесконечности функции [формула (31)] и (я) с функцией | f (z)| или, что эквивалентно, с функцией p(z) [формула (42)]. Прямая спектральная задача, т.е. вычисление по заданной функции и^ функции |/(z)| , решается на основании формул (1) и (23) - (25) [или (28) и (29)], Для решения обратной спектральной задачи используются формулы (42) - (46). Кроме того, коэффициенты асимптотического разложения функции (^ при z -> - оо [формула (33)] непосредственно связаны с интегралами, взятыми по
всему пространству от нелинейных комбинаций функции и^ и ее производных, которые по переменной х являются полиномами [формулы (34), (35) и (41) ].
Из физических соображений, а также из проведенного нами обсуждения ясно, что оператор Шредингера
— d?/dx2+x+i/(x)(50)
не имеет дискретных собственных значений. Поэтому использованное здесь для решения нелинейных эволюционных уравнений спектральное преобразование не приводит к появлению солитонов. Существует, однако, потенциал, который может в некотором смысле рассматриваться как аналог потенциала, имеющего в стандартной спектральной задаче для уравнения Шредингера (без дополнительного линейного члена) только одно дискретное собственное значение и равный нулю коэффициент отражения. Этот потенциал лежит на границе, определяемой условием (31), и отвечает совершенно специфической функции Йоста/(z). Начнем с формулы
p^=p8^z-zY(51)
где р и z ~ две действительные константы. Подстановка этой формулы в интеграл (43) приводит к выражению
М^х, ^)=pAi(x-f)Ai(y-z).(52)
Уравнение Фредгольма (44) с таким ядром становится сепарабельным и поэтому может быть легко решено. В результате получается потенциал вида и<х^=й<х-г,р\(53)
где
“(j,^)=2^[2Ai'(j)Ai(/)+^[Ai(>-)]4G(p, >-)]<7(р, у\(54)
<?(p.>') = {1+^[Ai'(>')]2-P>'[Ai(>')]2} *•(55)
В последних двух формулах штрихом обозначено дифференцирование.
Функция и(у) действительна и регулярна при - «> < % < «> и обладает следующими свойствами:
“(^^-(A^eMH/^Hl+O^-372)]. >--> + оо,(56а)
"(?.£) = -2(->-)_,/2cos[3(-y)3/2][l+O(|>-r3/^ у--со,(566)
/d>zi7(.y,^)=0.(57)
(Заметим, что интеграл в последней формуле не сходится абсолютно.)
График функции и^ при р = 1, построенный Пёппом, представлен на рисунке.
Соответствующие выражения для функций Цх, г) и Ф(%, v) имеют вид
К(х, y^-pG^.x-z^A^x-z^X^y-z^(5g)
Ф(х, z^G^p, x — z^Xi(x—z^-Vpj dyAi(y-z) x
x [Ai(y—z) Ai(x —z) — Ai(x—z) Ai(^ —z)] I.(59)
Последняя формула означает, что
(60)(60)/(z) = l при z^z, /(z) = 0
(60)
(60)
в согласии с равенствами (51) и (42).
Разумеется, нетрудно построить потенциалы, отвечающие функции p(z), которая представляется как сумма конечного числа членов вида (51). Эти потенциалы всегда удовлетворяют условию (57), а их асимптотическое поведение характеризуется суммой членов типа (56). Совершенно очевидно, что они являются аналогами многосолитонных решений в том же самом смысле, в каком функция (53) есть аналог односолитонного решения (см. следующий параграф).
В заключение обратимся к соотношениям вронскиана, которые могут быть получены в рамках рассматриваемой здесь спектральной задачи. Эти соотношения будут использованы в п. Б как отправная точка при установлении связи между спектральным преобразованием, введенным здесь, и некоторыми нели-
нейными эволюционными уравнениями. Мы приведем только необходимые для этого соотношения вронскиана.
Стандартное соотношение вронскиана записывается в виде
/°4Z)—/(24Z) = ^/dxF(1)(x, ^)Ф(2)(х, z) [u(1)(x)-u(2)(x)].(61)
Разумеется, в этом соотношении индексы 1 и 2 можно поменять местами.
Два других соотношения относятся к одному потенциалу:
fAz) = HdxF(x, г)Ф(х, z)ux(x).(62)
* — ОО
-4zfAz)-fr(dxF(x,z)^(x,z)£lux(x).(63)
—00
Здесь интегро-дифференциальный оператор Lx определяется своим действием на произвольную, убывающую до нуля при %->+<*> функцию ^х\.
£г«(*)=£хх(х)~4[*+“(л)Ых) + 2[1+мх(*)]/ dygUY(64)
Интересующийся читатель может найти доказательство этих формул в литературе (см. примечания к данной главе).
Б. Решение нелинейного эволюционного уравнения, частным случаем которого является цилиндрическое уравнение КдВ
Нелинейное эволюционное уравнение, решение которого рассматривается здесь, записывается в виде
»,=ао(<)“х+»1(<)[“ххх-6“х“-4хих-2и],
U = u(x, Z), — 00<Х< 00.0)
В частном случае, когда
ао(О=О, »,(z)=-(12r)-1,(2)
оно совпадает с цилиндрическим уравнением
4.+»w-6^4-(2r)"l9=0, q=q^y,tY-«Ky<«i,(3)
после замены переменных
qky,t^ = <\ltyI/3u<x,tYу=<тУ/3х(4)
(см. § 3 и 4). В этом и в следующих двух пунктах параграфа при рассмотрении уравнения цКдВ (3) мы ограничиваемся положительными значениями t. Переход к отрицательным временам тривиален ввиду инвариантности уравнения (3) относительно замены t -> -t, у -> - у.
Введем теперь функцию Йоста f (z, г), связанную с потенциалом и^х, г) спектральным преобразованием, которое изучалось в п. А. Написанные в конце па А соотношения вронскиана (6.3.А.-61, 62, 63) приводят к формулам
ft(z,i) = ir[ dxF(x, г,г)Ф(х, zj)i<t(xj), * ~ ОО/2е,0— vj dxFVx,z,t^Vx,z,t^ux^x,tY-4z/2(z,t) = «-fdxF(x, г,()Ф(х,г, г)[иххх(х, г)-—оо— 6ux(x, r)u(x, г) —4xux(x, г) —2и(х, г)].ft(z,i) = ir[ dxF(x, г,г)Ф(х, zj)i<t(xj), * ~ ОО/2е,0— vj dxFVx,z,t^Vx,z,t^ux^x,tY-4z/2(z,t) = «-fdxF(x, г,()Ф(х,г, г)[иххх(х, г)-—оо— 6ux(x, r)u(x, г) —4xux(x, г) —2и(х, г)].(5)(5)(6)(6)(7)(7)Эти формулы означают, что если функция и^х, t) эволюционирует в соответствии с уравнением (1), то функция Цг, г) подчиняется линейному уравнениюЭти формулы означают, что если функция и^х, t) эволюционирует в соответствии с уравнением (1), то функция Цг, г) подчиняется линейному уравнениюв частных производныхZ(z,t)=[»o(t)~4^i(t)]/z(z,t).в частных производныхZ(z,t)=[»o(t)~4^i(t)]/z(z,t).(8)(8)Решение задачи Коши для последнего уравнения дается явным выражениемРешение задачи Коши для последнего уравнения дается явным выражением/(z,O=/o zexp -4/(z,O=/o zexp -4+ f d/'a0(P)exp+ f d/'a0(P)expгде f0(z) - начальное значение:где f0(z) - начальное значение:(9)(9)(Ю)(Ю)Таким образом, задача Коши для уравнения (1) также решается: путем прямого спектрального преобразования по заданной функции uQ^ получаем функцию f (z^, функция fU, г) вычисляется по формуле (9) и, наконец, по функции f(z, г) или, точнее, по ее модулю восстанавливаем обратным спектральным преобразованием, как это объяснялось в п. А, функцию т^х, t).В случае уравнения цКдВ выражение (9) упрощается:Таким образом, задача Коши для уравнения (1) также решается: путем прямого спектрального преобразования по заданной функции uQ^ получаем функцию f (z^, функция fU, г) вычисляется по формуле (9) и, наконец, по функции f(z, г) или, точнее, по ее модулю восстанавливаем обратным спектральным преобразованием, как это объяснялось в п. А, функцию т^х, t).В случае уравнения цКдВ выражение (9) упрощается:/(^)=/o[W'o)'/3]./(^)=/o[W'o)'/3].(н)(н)Отметим также, что соотношения (6.3.А.-42) и (9) означают, что спектральная функция p(z, t), отвечающая потенциалу Цх, t), эволюционирует согласно раОтметим также, что соотношения (6.3.А.-42) и (9) означают, что спектральная функция p(z, t), отвечающая потенциалу Цх, t), эволюционирует согласно равенствуZ>(z,/)=x?0 zexpвенствуZ>(z,/)=x?0 zexp-4 Cdt'a^t')-4 Cdt'a^t')T / ck'a0(t')expT / ck'a0(t')exp(12)(12)
ft(z,i) = ir[ dxF(x, г,г)Ф(х, zj)i<t(xj), * ~ ОО
/2е,0— vj dxFVx,z,t^Vx,z,t^ux^x,tY
-4z/2(z,t) = «-fdxF(x, г,()Ф(х,г, г)[иххх(х, г)-
—оо
— 6ux(x, r)u(x, г) —4xux(x, г) —2и(х, г)].
ft(z,i) = ir[ dxF(x, г,г)Ф(х, zj)i<t(xj), * ~ ОО
/2е,0— vj dxFVx,z,t^Vx,z,t^ux^x,tY
-4z/2(z,t) = «-fdxF(x, г,()Ф(х,г, г)[иххх(х, г)-
—оо
— 6ux(x, r)u(x, г) —4xux(x, г) —2и(х, г)].
(5)
(5)
(6)
(6)
(7)
(7)
Эти формулы означают, что если функция и^х, t) эволюционирует в соответствии с уравнением (1), то функция Цг, г) подчиняется линейному уравнению
Эти формулы означают, что если функция и^х, t) эволюционирует в соответствии с уравнением (1), то функция Цг, г) подчиняется линейному уравнению
в частных производных
Z(z,t)=[»o(t)~4^i(t)]/z(z,t).
в частных производных
Z(z,t)=[»o(t)~4^i(t)]/z(z,t).
(8)
(8)
Решение задачи Коши для последнего уравнения дается явным выражением
Решение задачи Коши для последнего уравнения дается явным выражением
/(z,O=/o zexp -4
/(z,O=/o zexp -4
+ f d/'a0(P)exp
+ f d/'a0(P)exp
где f0(z) - начальное значение:
где f0(z) - начальное значение:
(9)
(9)
(Ю)
(Ю)
Таким образом, задача Коши для уравнения (1) также решается: путем прямого спектрального преобразования по заданной функции uQ^ получаем функцию f (z^, функция fU, г) вычисляется по формуле (9) и, наконец, по функции f(z, г) или, точнее, по ее модулю восстанавливаем обратным спектральным преобразованием, как это объяснялось в п. А, функцию т^х, t).
В случае уравнения цКдВ выражение (9) упрощается:
Таким образом, задача Коши для уравнения (1) также решается: путем прямого спектрального преобразования по заданной функции uQ^ получаем функцию f (z^, функция fU, г) вычисляется по формуле (9) и, наконец, по функции f(z, г) или, точнее, по ее модулю восстанавливаем обратным спектральным преобразованием, как это объяснялось в п. А, функцию т^х, t).
В случае уравнения цКдВ выражение (9) упрощается:
/(^)=/o[W'o)'/3].
/(^)=/o[W'o)'/3].
(н)
(н)
Отметим также, что соотношения (6.3.А.-42) и (9) означают, что спектральная функция p(z, t), отвечающая потенциалу Цх, t), эволюционирует согласно ра
Отметим также, что соотношения (6.3.А.-42) и (9) означают, что спектральная функция p(z, t), отвечающая потенциалу Цх, t), эволюционирует согласно ра
венству
Z>(z,/)=x?0 zexp
венству
Z>(z,/)=x?0 zexp
-4 Cdt'a^t')
-4 Cdt'a^t')
T / ck'a0(t')exp
T / ck'a0(t')exp
(12)
(12)
где
p^-p^aY(13)
в случае уравнения цКдВ функция р имеет простой вид
р(г,1)=Рб[г(1/1о)1/3]-О4)
(15)(15)Заканчивая данный пункт, отметим, что из результатов п. А [ см., в частности, формулу (6.3.А.-51)] следует, что существует специальное решение уравнения (1)
(15)
(15)
u(x,O=«Vx-z(tYp(.t')Y
в котором функция и^у, р) определяется формулами (6.3.А.-54) и (6.3.А.-55) с параметрами
(16)(16)'о'оz(/)=zoexp Aj^t'^f) - ^dfa^t^exp 4Гdt"a^t") , 'о**o*'
(16)
(16)
'о
'о
PU^PoCxp 4PU^PoCxp 4fdt'e,(t’)*''ofdt'e,(t’)*''o(17)(17)
PU^PoCxp 4
PU^PoCxp 4
fdt'e,(t’)
*''o
fdt'e,(t’)
*''o
(17)
(17)
(zQ и p0 - произвольные действительные константы). В случае уравнения цКдВ формулы, как и раньше, упрощаются:
(18)(19)(18)(19)z(z)=f0(z/z0) |/3,
(18)
(19)
(18)
(19)
р(')=А)(</'оГ1/3.
Очевидно, что решение (15) можно в какой-то мере рассматривать как аналог односолитонного решения нелинейного эволюционного уравнения (1) [а после замены переменных и уравнения цКдВ (3)], которым обладает любое уравнение из класса, скажем, (3.1.-28) и в частности уравнение КдВ (3.1.-33). Однако это не уединенная волна, так как форма решения меняется в процессе эволюции. Кроме того, решение не локализовано ввиду того, что у него есть распространяющийся в левую сторону колеблющийся хвост, огибающая которого убывает пропорционально | х| “ 1/1 при % -> - оо [см. формулу (6.3. А.-566) и рисунок в п. А].
Вполне очевидно построение аналога многосолитонных решений.
В заключение подчеркнем, что полученные результаты находятся в противоречии с наивным представлением о поведении решений уравнения цКдВ(З) при больших временах: они не воспроизводят поведение решений уравнения КдВ, которые, например, в широком диапазоне начальных данных характеризуются присутствием равномерно движущихся и сохраняющих форму обычных солитонов. Это дополнительно подтверждается результатами следующего пункта.
Законы сохранения
Рассмотрим теперь законы сохранения нелинейного эволюционного уравнения (6.3.Б.-1), а также уравнения цКдВ (б.З.Б.-З).
Их непосредственный вывод основан на асимптотическом разложении при z -♦ -оо функции Йоста f (z, t), связанной с потенциалом Цх, t). Это разложение имеет вид (6.3.А ^33)
N
/(г,/)=1+ 5/„(')(-4z)~"/2 + O(z-<"+l>/2).(О
п = 1
Подставив это выражение в представление (6.3.Б.-9), получим
[[(«-D/2))
XXЛ0) =2 fn-2mMexP 2(n-2m)J dt'a^t')
X
X
т=0zo
X [^0(/0, <)]m(n-2)!!/[2”m!(«-2m-2)!!].(2)
Здесь символ [[%(п-1)1] означает целую часть % (п - 1) и, кроме
того, (-1)!! = (0)1! = 1. Функция Аоцо> t) определяется равенством
АА(3)
А
А
(4)(4)Формула (2) принимает особенно простой вид, если в уравнении (6.3.Б.-1) положить aQ = о. Тогда
(4)
(4)
Л(')=/„(<о)ехр 2n[‘dt'at(t’) . 'о
В случае цКдВ выражение (4) упрощается:
fAO=f„MU/torn/6.(5)
Формула (2) [’а также (4) и (5)] наглядно указывает эволюцию во времени коэффициентов /л(0 асимптотического разложения (при z -> -оо) функции f (z, t). С другой стороны, эти коэффициенты явно выражаются через функцию Цх, t) в виде формул из п. А [ см^ в частности, формулы (6.3 А< 34, 35) и (6.3 Л.-41)]. Таким образом, формула (2) показывает в явном виде эволюцию бесконечной последовательности интегралов, взятых по всему пространству, от соответствующих полиномов по х, функции и и ее производным по х. Эта формула несет ценную информацию о динамике решения Цх, t). Чтобы ее извлечь, достаточно рассмотреть коэффициенты f п нечетного порядка, так как коэффициенты четного порядка выражаются через комбинации нечетных коэффициентов.
Но формулы (2), (4) и (5) остаются справедливыми и в том случае, если поменять ролями t и t0. Тогда мы получаем бесконечную последовательность интегралов движения потока (6.3.Evi) [или в случае формул (5) после соответствующей замены переменных - уравнения цКдВ (6.3.Б.-3)]. Снова достаточно рассмотреть только нечетные коэффициенты. Таким образом, интегралы движения уравнения (6.3.Б.-1) записываются в виде
И„=/2п+1(/о). «=0,1,2,....(6)
Здесь величина f + 1 (t 0) определяется формулой (2), в которой t и t0 поменялись местами. Величины /2w+l(O, появившиеся в правой части равенства (2), выражаются через решение и(х, () с помощью соотношения (6.3А.-34).
Выпишем, например, первые две сохраняющиеся величины:
(7a)(7a)dxu^x, t).
(7a)
(7a)
^i-б ^o3~2ro^dfao(f)exp A^df'a^/") -
(76)
(8a)(86)(8a)(86)В случае уравнения цКдВ они принимают вид
(8a)
(86)
(8a)
(86)
4i=,I/2/_ d^^(y,z)[^+6^(y,z)].
Как нетрудно убедиться, уравнение цКдВ (6.3.Б.-3) и уравнение КдВ обладают в дополнение к только что описанной последовательности сохраняющихся величин дополнительным интегралом движения
4='/ йудЧу,^(9)
[ср.с (5.-58)].
Используя эту формулу, а также (8), можно легко доказать, что центр масс
Y(t)=f ”dyyq(y,t)/ f Xdyq(y,t)0°)
*—OO* ~ ОО
произвольного решения $(у, t) уравнения цКдВ (6.3.Б.-3) движется по простому закону
ГС^^Г//2,(п)
где Уо и ^ - константы:
Уо=<?|Ао>(12а)
Yx = 6q/q0.(126)
Сравнение формулы (11) с соответствующей формулой (5.62) для обычного уравнения КдВ еще раз подчеркивает разницу между поведением решений обычного и цилиндрического уравнений КдВ. Эта разница особенно ощутима при t -♦ оо, т.е. именно тогда, когда при поверхностном сравнении ожидается их Идентичное поведение.
Прежде чем закончить данный пункт параграфа, мы дадим другой вывод сохраняющихся величин (6), (9), не опирающийся на спектральную задачу из п. А, а прямо связанный с линейно расходящимися решениями уравнения КдВ. В действительности отправной точкой этого вывода является следующее замечание. Если Цх, t) - решение уравнения (6.3.Б.-1), то функция w(x,z) = a(z)x+/>(z) + [a(z)]2/3^(13)
удовлетворяет эволюционному уравнению
й,=а0(Дйх+а!(/)[йххх-6йхй], й=й(х,Д.(14)
Коэффициенты в этих двух формулах имеют вид
a(z) = exp -6 rdfa^f) ,(15а)
Z>(/)= Гд/'а0(/')ехр -4 Г dz"aj(z")|,(156)
''оJ
^(^^(^(^J^ + ^Z^(16a)
a1(z) = a1(z)/a(z),(166)
где а0(г) и а 1 (z) - коэффициенты эволюционного уравнения (6.3.Б.-1). Отсюда видно, что эволюционное уравнение (б.З»Бо-1) может быть преобразовано в уравнение (14), которое является просто частным случаем уравнения (5.-1) при a (z, z) = а 0(z) + а i (z )Ze Как было показано в гл. 5, интегралы движения Ст последнего уравнения выписываются в виде интегралов от полиномиальных комбинаций решения и его производных по х. Первые три из них даются формулами (1.7 .Во-12)»
Проблема здесь заключается в том, что решение и(х, t) (13) уравнения (14) линейно расходится по х при х -» too, так как предполагалось, что решение и(х, t) уравнения (6.3.Б^1) асимптотически стремится к нулю: м(±оо,/)=0.(]7)
Следовательно, интегральные выражения для констант Ст уравнения (14) асимптотически расходятся в случае решения (13). Эту трудность легко прео-
долеть, заметив, что функция и^а\х, z)=a(z)x4-Z>(z),
(18)
где a(t) и Ъ(t) определяются формулами (15) и (16), сама является решением. Таким образом, простой способ регуляризации расходящихся интегралов, определяющих константы Ст> заключается в вычитании вклада решений (18). Для осуществления этого рассмотрим сначала локальный закон сохранения
^m4xj') = ^mXx,t), m=0,1,2
(19)
Он получается из локального закона сохранения (5.-25) путем подстановки в него решения Цх, z) (13) уравнения (14). Такую подстановку можно произвести, поскольку и gW, и y<m> - локальные величины, Tje. они выражаются через решение уравнения (5.1) и его производные, вычисленные только в точке х, t [см. формулы (5.-27), (3.1 *-32), дополнение Д.9 и формулу (5.-29)]. Рассмотрим теперь те же самые законы сохранения (5.-25), связанные с уравнением (14), но теперь для решения (18):
8^вХтЧх,0 = /хоХтЧхЗ\ т=0,1,2,... .
(20)
Вычитая из равенства (19) равенство (20), получаем законы сохранения
^m\x,t>=Jtm\x,tY m=0,1,2,..., где
ptmXx, t)=g<mXx, г)—^^"Х*. t), J<mXx,t>) = fm4x,t)-/aXm4x,t').
(21)
(22a)
(226)
’’Плотности” и ’’токи” в равенствах (21) удовлетворяют, очевидно, асимптотическим условиям
p<m\±oo,0=0,
(23)
что гарантирует независимость от времени величин rm=(-l)m(2m+l)-'/'+”dx<»('”>(^<). «=0.1.2
(24)
Это множество сохраняющихся величин эквивалентно полученной выше последовательности (6).Например, первые две константы (24) имеют вид
Г0 = ехр -irdt'^f) f . 'o
r,=exp -eCdt'a^f) [
dxu(x, r),
(25a)
4-2
7o
o-
(256)
Они следующим образом связаны с константами (7):
Г0=К0,(26а)
(266)(266)Г^-И. + ^о3.
(266)
(266)
Выражения (25) легко вычисляются с применением формул (24), (22а), (До9о-100), (13), (18) и (15)о
Таким же путем можно получить сохраняющуюся величину, связанную с движением центра масс решений уравнения (6.3.Б.-1). В этом случае необходимо начать с локального закона сохранения (5.-73), причем коэффициенты а 0( Z) и a t (Z) в нем заменить нааоЮио^Миа^^Оприп^ 1, Тогда, воспользовавшись тем же приемом вычитания, получим дополнительный интеграл движения
Г= f dxx«(x, z)-bF0 f,dz'ao(z') —3^ Г dz'a^z'),(27)
*~ ООJt0
где a0(z) и a^Z) по формулам (16) и (15) выражаются через коэффициенты ao(O и a1 (О* Из выражения (27) явствует, что центр масс, связанный с решением уравнения (6Л.Б.-1) соотношением
(28)(28)X(t) = f dxxu(xj)/ f dxu(x,t),
(28)
(28)
следующим образом эволюционирует во времени:
Д<)= х0гдеД<)= х0где- fdt'aoO^+Ff'dt'etO') ехР ^('dz'»^') ••%V'o'о- fdt'aoO^+Ff'dt'etO') ехР ^('dz'»^') ••%V'o'о^о=Г/Го,F=3r,/r0^о=Г/Го,F=3r,/r0(29)(30а)(306)(29)(30а)(306)
Д<)= х0
где
Д<)= х0
где
- fdt'aoO^+Ff'dt'etO') ехР ^('dz'»^') •
•%V'o'о
- fdt'aoO^+Ff'dt'etO') ехР ^('dz'»^') •
•%V'o'о
^о=Г/Го,
F=3r,/r0
^о=Г/Го,
F=3r,/r0
(29)
(30а)
(306)
(29)
(30а)
(306)
(31а)(316)(31а)(316)[ см. также формулы (16) и (15)]. Как уже подчеркивалось, эти соотношения выполняются для произвольного достаточно быстро стремящегося к нулю при х -» ± оо решения и(х, t) уравнения (6.3.Б.-1) [ см. формулу (17)]. В частности, для уравнения цКдВ (6.3.Б.-3) формулы (29) и (11) с учетом замены (6.3.Б-2, 4) и подстановки
(31а)
(316)
(31а)
(316)
Г0=(^)(12<0),/3, y|=(12)l/3zo-,/6(Xo_iF).
совпадают.
Г. Цилиндрическое уравнение КдВ
Большинство результатов, относящихся к уравнению цКдВ, было представлено в предыдущих пунктах параграфа. Здесь мы кратко их повторим.
Как уже отмечалось, цилиндрическое уравнение ^+»w-6^+(2z)-I9=0, q=q(y,t)0)
получается из уравнения (6.3.Б .-1) и,=»о(О“х+«1(О[“ххх-6«х“-4хм,-2м],и=и(х,0(2)
при подстановке «о(г)=О,«](/)= -(12Г)-*,(3)
?(лП = (12/)’2/3и(х,г),/=(12/),/3*-(4)
Разрешимость уравнения (2) с помощью спектрального преобразования уведенного в п.А, означает, что и уравнение цКдВ (1) тоже может быть решено. Подчеркнем, что мы рассматриваем задачу Коши, в которой по заданной в начальный момент времени tQ > о функции ?(У.'о)=9о(у)(5)
определяется решение при всех положительных значениях времени t. [ Отметим, что при t = 0 уравнение (1) сингулярно. Обратная задача - определение q^x, t) при отрицательных значениях времени t по заданной функции g(x, tQ) при tQ < 0 - тривиально связана с рассматриваемой здесь задачей.] Кроме того, мы сосредоточимся на решениях, обращающихся в нуль на бесконечности:
^(±oo,r)=0.(6)
Как подсказывают приведенные выше примеры (6.3.6^15, 18,19), степень убывания решений может быть совсем слабой, по крайней мере на одном из концов. За подробностями мы отсылаем читателя к соответствующей литературе (см. примечания к данной главе). Также из полученных ранее резуль, татов следует, что условие (6) достаточно задать в начальный (положительный) момент времени t и тогда оно будет автоматически выполняться при всех (положительных) временах.
Аналогичным образом может быть исследован более широкий класс нелинейных эволюционных уравнений, включающий уравнение (1) как частный случай. Этот класс имеет вид q=aq>.yy+AqyyBqyq-HC,/C^yqy+(lDy/D')q, q=q<y,tY(7)
Здесь величины
A=A^Y B=B<t\ C=C^tY D = D^(8)
представляют собой произвольные функции времени. Коэффициент а связан с ними соотношением
fl(r)=-B(r)P(r)£(z)/6C2(/),(9)
где
£(z)=fdz'5(z')C(z')P(z').<10)
'о
Легко видеть, что уравнение цКдВ соответствует следующему выбору коэффициентов:
Л=0, 5=6, С=12с2, D=ct"x/\О1)
где с - произвольная константа.
Уравнение (7) разрешимо с помощью спектрального преобразования из п. А, так как оно переходит в уравнение (2) после замены зависимых и неза
висимых переменных
v=y(z)x,(13)
АО=Р(г)[£(')Г'/3,(14)
r(z) = [£(z)]2/7c(z),(15)
«о(/)=Л(/)С(/)[£(7)]"2/3,(16)
al(z)=-5(z)C(z)D(z)/6£(z)=-i[ln£(z)],.(17)
Заметим, что задача Коши для уравнения (7) состоит в определении решения q^» t) по заданной функции q^> t^ (5) в классе функций, асимптотически стремящихся к нулю (6).
Ясно, что все результаты, полученные в п.Б и В, могут быть переписаны для эволюционного уравнения (7) с помощью формул преобразования (12) — (17). Например, односолитонное решение легко получается из выражения (6Л.Б.-15) [в случае уравнения цКдВ (1) оно уже было там приведено; см. формулы (6.3.Б.-18,19)]. Бесконечная последовательность законов сохранения, относящихся к потоку (7) [и, в частности, к уравнению цКдВ (1)], выводится из полученных в п.В законов сохранения для эволюционного уравнения (2) [см. (6.3.В.-6), или, что эквивалентно, (6.3.В.-25)]. Нетрудно заметить, что эти законы сохранения независимы и имеют форму интегралов, взятых по всему пространству, от нелинейных комбинаций решения q И его производных с коэффициентами, явно зависящими от у и от t. Первые два члена этой последовательности, полученные из формулы (6.3.В*-25), имеют вид
eo=[£('o)]-'/3[C(z)/D(z)] f^dyqba),(18а)
* — ОО
d yq(y, z) +
dj'4’(>'.'){2>'C(z) + [£(z)/D(z)]<r(>',z)
(186)
Эти выражения относятся к решениям эволюционного уравнения (7); для уравнений цКдВ явные выражения для соответствующих констант движения были приведены ранее [формула (6.3.6^8)]•
Другой результат, который прямо следует из результатов п.Б и В, - формула для движения центров масс
Y(t) = J °°dyyq(y,t)// dyq(y,t)О9)
•'-00*—00
произвольного решения уравнения (7). Она имеет вид
Y(t) = [E(r)/C(t)]Y-
-[C(t)]-lfdi'C(t')[X(t')-bGB(t')D(t')\.(20)
Входящие в формулу две не зависящие от времени константы У и G определяются следующим образом:
Y=[E(t0)pv3Q/Q0,(21а)
<7=е,/{2ео[£(<о)],/3}.(21б)
где Qo и Q1 даются выражениями (18), a Q - дополнительная сохраняющаяся величина,
е={СО)/[£(/о)2>(/)]){рГ\^J_+”dyq(y,t)+
+ c^fdyyq(y,t) +
+ |[^d/'Zl(z')C(z')^(/')]/[2P(/)]| /^dyf^,/)]2},(22)
соответствующая величине (6»3Sv27). В случае уравнения цКдВ равенство (20) сводится, разумеется, к формуле (6.3.В.-11), в которой константы Уо и ^ имеют вид
Y0=\2cGtV2,<23а)
Yt = Uc(Y-G),(236)
а с ~ произвольная величина [ формула (11)].
Что касается связи между уравнением цКдВ и уравнением КдВ (6.3.-1), то мы уже указали замену переменных (6.3.-7, 8, 9, 3, 2), которая переводит одно из них в другое» Однако с точки зрения метода спектрального преобразования такая замена вряд ли что дает, так как она отображает решение ^(у, О уравнения цКдВ, удовлетворяющее граничному условию (6), в решение уравнения КдВ, не принадлежащее классу BF-потенциалов. В дей-
ствительности мы видели, что^даже решение более общего уравнения (2) может быть преобразовано в решение (6.3.В.-13) эволюционного уравнения
(6 Л ^.*14), принадлежащего классу эволюционных уравнений, которые интенсивно изучались в предыдущих главах. Но снова это преобразование переводит решение u(x, t) уравнения (2), асимптотически обращающееся в нуль при х -> ±оо , в решение уравнения (6 Л «В ^14), линейно расходящееся на бесконечности . В то же время если численный коэффициент 2 в последнем члене в правой части уравнения (2) заменить множителем 8, не меняя при этом других коэффициентов, то уравнение (2) будет принадлежать классу уравнений (6.2.-52). С помощью преобразований
(24а)(246)(24в)(24а)(246)(24в)“Ua^lrl.t)^2^^^,^,
(24а)
(246)
(24в)
(24а)
(246)
(24в)
"о(') = «оО)//('). «М^^ИДМУ’ у(/)=ехр Aj'dt'a^t')
[см.также формулы, следующие за (6.2.-52)] оно сводится к обычному уравнению (6.3^^-14). Отличие от преобразования (6.3JBvl3) заключается в том, что теперь преобразование (24а) переводит BF-потецциалы в решения u(x, t).
Заканчивая данный пункт параграфа, подчеркнем еще раз, что возможность решения уравнения цКдВ (1) методом спектрального преобразования указывает на то, что сфера приложения метода шире, чем можно думать заранее. Например, уравнение цКдВ (1), а также уравнения (2) и (7) не имеют решений ни в виде уединенных волн, ни в виде солитонов [ если, конечно, не считать солитоном решение «Ky^lW^XW'/V^.p^(25)
с параметрами z и р, определяемыми формулами (6Л.Б.-18, 19), и с функцией й вида (6Л Л.- 54, 55)]. В связи с этим упомянем нерешенную проблему сферического уравнения КдВ Ч<+Чууу-6д^+Г^=0, q=q(y,t),(26)
для которого до сих пор не известна техника построения точных решений.
. Решения уравнения КдВ с одним действительным двойным полюсом
Как нетрудно убедиться, уравнение КдВ
«ЛиХХх-6ихи=0, u=u(x,t)(1)
имеет не зависящее от времени решение вида
й=2(х-х)”2,(2)
где х - произвольная константа. Чтобы оно было действительным при действительных значениях х, константа х также должна быть действительной. Но решение й имеет двойной полюс в точке х = х, и, следовательно, оно не может принадлежать классу BF-потенциалов. Это решение есть один из простейших примеров рациональных решений уравнения, которые кратко рассматривались в гл. 3, § 2, п. Г, I.
В общем случае можно показать, что функция и(л)=л(и+1)(х-х)-2, и=1,2,3,...(3)
является решением эволюционного уравнения
м
U = 2 “m^Lm«x>(4)
где апМ -произвольная функция времени, a L - обычный интегро-дифференциальный оператор (12^2). Таким образом, функция (2) на самом деле будет решением для целого класса эволюционных уравнений вида
и=а^Ь,^их) и=и(хл),(5)
с единственным ограничением, что a(z, t) — полином по переменной z, обращающийся в нуль в начале координат:
хм -
^(^^)= 2 ат(Ф"\ М>1,(6)
т- 1
поскольку выражение (2) отвечает выражению (3) при n = 1.
В данном параграфе мы ограничимся изучением класса решений с двойным полюсом уравнения КдВ (1), оставив в качестве упражнения для заинтересованного читателя обобщение этого исследования на уравнения более общего вида (5), (6). Конечно, решение с двойным полюсом удовлетворяет уравнению (1) всюду, кроме точки полюса, и дополняется неким "естественным” условием согласования двух кусков решения по обе стороны от полюса (см. ниже). Мы представим только наиболее интересные результаты без доказательств. Читатель в случае надобности может найти детальные подробности в литературе, указанной в примечаниях к главе.
Отметим, что если функция Цх, О удовлетворяет уравнению (1) и имеет как функция переменной х полюсную особенность, то, как нетрудно убедиться, в окрестности особенности она имеет следующее лорановское разложение:
m(x,Z)=2(x-/)”2 + c0+ 2 ®т(х-ГГ»D
/и = 2
где константы ( и и , т- 0, 2, 3, 4, . • . зависят в общем случае от времени. Отсутствие в выражении (7) простого полюса и члена с m= 1 отра-
жает совместимость этого выражения с его эволюцией во времени, предписываемой уравнением (1). Разумеется, требуется, чтобы это равенство выполнялось почти всюду - при отдельных значениях t оно может нарушаться. Это отражает существующую в принципе возможность выбора в отдельный момент времени произвольной формы решения (как начального условия задачи Коши). Явный пример такого нарушения будет приведен ниже.
Решение рассматриваемой проблемы подсказывают исследования § 3 [формула (6В^3)]е Аналогичная подстановка и(х,/)=й(х) + д(х,«),(8)
где функция й имеет вид (2), au(x, t) удовлетворяет уравнению (1), приво- дит к следующему уравнению для функции q^x, t): 9г+^-6М-12[(х-х)”2^]х=0, q=q(xjY(9)
Как следствие того, что функция и^ в равенстве (8) сама является решением уравнения (1), уравнение (9) обладает приятным свойством - оно допускает тривиальное решение q * 0. В то же время его решения не могут иметь только один двойной полюс в точке х - ^t^ [формула (7)]. Действительно, сравнив выражения (8) и (7), можно увидеть, что решение q уравнения (9) должно иметь два двойных полюса - один в точке х = х, чтобы скомпенсировать двойной полюс функции й [формулы (2) и (8)], а другой, согласно формуле (7), в точке х = £. Дело в том, что полюс функции Цх, t) не движется со временем [ за исключением, конечно, частного случая решения (2)]. Поэтому вместо того, чтобы искать решение и вида (8), удобнеё искать его в виде и(х, 0=2[х—Дг)]~72+о(х, /),(Ю)
где v(x, t) - регулярная функция, принадлежащая классу BF-потенциалов и, как следует из представления (7), удовлетворяющая условию оДА').']=0-(11)
Подстановка выражения (10) в уравнение (1) приводит к паре связанных эволюционных уравнений для функции v(x, О и полюса ^ty £(0=-НМЛО2)
-12{[х-Дг)]"2(с(х,г)-с[Д<),<]}];(=0.(13)
Как нетрудно убедиться, эти уравнения согласуются с условием (11) и функция v(x, t) регулярна. Точкой в уравнениях (12) и (13) обозначено дифференцирование по времени.
Нр разложение (8) функции Цх, t) удобно для развития подходящей техники спектрального преобразования с целью решения эволюционных уравне-
НИЙ (12) и (13) [либо, что эквивалентно, уравнения (9), а для класса решений типа (7) - уравнения (1)]. Она основана на прямой и обратной спектральной задаче для обыкновенного дифференциального уравнения
~^+ [2(х—х)~2+#(х, г)] ^=&2^, ^=^(х, к; t).(14)
Время t играет здесь роль внешнего параметра. Хотя это спектральное преобразование близко к преобразованию, изложенному во второй главе и дополнении Д.5, необходима некоторая осторожность из-за присутствия двойного полюса в точке х « £ [формулы (8), (2), (10) и (7)]. ’’Естественный" путь продолжения решения у уравнения (14) за двойной полюс заключается в требовании его монодромного преобразования в окрестности полюса. Замечательно, что это требование приводит в точности к тому же разложению (7), которое получается из условия согласования разложения с уравнением (1).
Итак, можно заключить, что существует основанный на технике спектрального преобразования метод решения эволюционных уравнений (12), (13) или, что эквивалентно, решения уравнения КдВ (1) в классе функций вида (10) с условием (11). Конечно, начальные данные задачи Коши, включающие расположение полюса £(0) = £ 0 и функцию v(x, 0) = v0(x), должны быть совместны с условием (11). [Тогда при эволюции во времени, предписываемой уравнениями (12) и (13), это условие будет выполняться автоматически.] Более того, решение уравнений с помощью спектрального преобразования дает все характерные для нелинейных эволюционных уравнений (и, в частности, для уравнения КдВ) дополнительные результаты, которые обсуждались в этой книге: преобразования Бэклунда, законы сохранения, явные решения и пр. Мы отсылаем читателя за всеми этими результатами, а также за описанием соответствующего спектрального преобразования к литературе, указанной в примечаниях к главе. Здесь же мы приведем только явное выражение для решения уравнения КдВ (1) типа ’W солитонов + 1 полюс":
U(x,z)=-2{ln(xdet[7+J(-M)])Lx.(15)
где I - единичная матрица порядка N, a J(x, t) - матрица порядка N с матричными элементами вида
JmnUj^^C^C^t^p^p^'+i.PmPnX)"^ Х
хехр[-(рт+р„)х].
Здесь pw - это N не зависящих от времени положительных чисел, а величины cm(t) изменяются во времени согласно формуле
c„(t)=^m(0)exp(4^r), m=l,2,...,^(17)
Заметим, что формула (15) дает 2М-параметрическое семейство решений, так как N величин PmwN величин с m (0) могут быть выбраны произвольно
(с единственным требованием, «тобы они были положительными). Заметим, что это решение соответствует выбору параметра х = 0 в уравнении (14). Такой выбор был сделан для простоты.
Конечно, с помощью представления (10) из решения (15) можно получить решения системы (12) и (13), но при этом функция [(О не представляется в явном виде.
В случае N « 1 ("1 полюс + 1 солитон”) решение (15) записывается в явном виде следующим образом: и(х,;)=-2р2[сЬ-2{р[х-^(0]}-
-(l+px)-2th?{#[x-f(t)]}]x
х [l-(l+px)-1th{p[x-^(/)]}],(18)
где
Р=Рх.(19)
ЛО = (2р)-11п[с?(/)/2р].(20)
Первая из этих величин р не зависит от времени, а вторая, как следует из формул (17), (19) и (20), изменяется во времени линейно:
f(t)=f(0)+4p2L(21)
Решение (18) описывает столкновение полюса с солитоном. Процесс столкновения может быть описан следующим образом. Солитон движется с асимп- тотически (при ^ -♦ ± оо) постоянной скоростью v = 4Р2 и имеет обычную форму sch2. Поэтому при t -♦ too решение разлагается в сумму обычного горба sch2 и двойного полюса, который деформирует солитон, добавляя свой хвост ~ х-3. Конечно, в точности солитон локализуется только в асимптотическом пределе при t -> ±х> (см. ниже). Двойной полюс локализован в окрестности точки J (О> которая при изменении времени t от t = -«» до t = <* движется в пределах ограниченного интеграла
Л-оо)>ЛО>Л+оо).(22а)
Д-оо)=О, Й + *) = -2/р,(226)
с зависящей от времени отрицательной скоростью ?(r)=-4p2Sh-2{p[A0-/(0]}-(23)
Эти результаты легко получаются из уравнения, определяющего нуль знаменателя в выражении (18): рЛ0=Л{р[Л0-Л0])-Ь(24)
Отметим, что солитон проходит через полюс. Столкновение оказывается наиболее "сильным” в момент времени '=-[f(0)+l/p]/4p2,(25)
когда полюс проходит через среднюю точку интервала (22)
^^t^-l/p(26
с бесконечно большой скоростью, как следует из разложения
Дг)*[12(г-г)]‘/3,(27
при t -> и Отметим также, что в этот частный момент времени t = Т решение Цх, t) имеет двойной полюс в точке х = - 1/р с "неправильным” коэффициентом
11m [(л + 1/р)2и(х, /)] =6.
^"l/P
Рис. 1. Г рафики зависимости от % решения типа 1 полюс 4- 1 солитон в шест разных моментов времени (от t = — 7,2 до t = 4-7,2) при значениях параметров Р = 0,6 и Г = 0. Полюс и солитон проходят друг через друга в средней точке показанного интервала, длина которого равна 2/р [формула (29-1
В этом случае при фиксированном значении времени обычный анализ решения уравнения (1) невозможен ввиду бесконечной скорости движения самого полюса, Более того, решение (18) в точке х = — 1/р при t = Т плохо определено, так как Цх, t) может принимать любое значение в зависимости от направления подхода в плоскости (х, 0 к точке х = -1/р, t = и
Явный пример этой временной эволюции представлен на рис. 1.
5. Эволюционные уравнения, связанные со спектральной задачей для уравнения -Ч^/^+и^Мх) = *2р2(х)ц>(х)
В данном разделе мы рассмотрим класс эволюционных уравнений, ассоциированных со спектральной задачей для обыкновенного линейного диффе- ренииального уравнения второго порядка ^х(х>*)={“(х)-*2[р(х)]2}^(х,Л).(1)
При р(х) = 1 оно, разумеется, сводится к обычному уравнению Шредингера. Если р(х) 4 L то его можно преобразовать в обычное уравнение Шредингера fxAx'’ к)~ [ w'O') ~*2] ^'(х', к),(2)
путем замены переменных x=x+fx d^l-^)].
^х^*)]’2^)^)]^^°(4)
^'(x',A:) = [z>(x)]l/2^(x,k).С5)
Таким образом, все результаты данного параграфа можно было бы получить из результатов, приведенных в других местах этой книги, путем замены переменных. Но мы полагаем, что приведенные ниже результаты и соответствующая техника достаточно интересны, чтобы оправдать их изложение, тем более, что оно будет совершенно кратким.
В данном параграфе мы полагаем, что функции u(x), 1 - р(х), 1 - р~1(х) принадлежат классу BF-потенциалов. Поэтому мы считаем, что функция р(х) не обращается в нуль при действительных х и достаточно быстро стремится к единице при х -> +«>:
lim [^(х)]^!,(ба)
X—♦ — ОО р(х)^0.(66)
Коэффициенты отражения и прохождения для спектральных задач (1) и (2) определяются обычными формулами
^х, к^Т^к^ехр^ —ikxY х-^—со(7а)
^x^k^exp^—ikx^R^k^exp^kxVх-* +оо;(76)
^хД^Т^ехр^—хкхУ х-> —оо(8а)
^(x.k^expt-ikx^R'WexpiikxVх-* + оо.(86)
В таком случае, как следует из соотношений (3), (5) и (6), они связаны между собой равенствами
Т'(к) = Т(к) exp [i* /^ dx [1 -^(х)] ),(9а)
Я'(Л)=Л(Л).(96)
Для простоты мы не будем здесь рассматривать дискретный спектр, оставив его анализ читателю в качестве несложного упражнения.
Основная формула типа соотношения вронскиана (только для бесконечномерных вариаций), с которой удобно начинать изучение спектральной задачи для уравнения (1), имеет вид
2i*g(-4fc2) £R(k)= Г* dx[^(x,*)]2g(e) {»«(*) + i^(x)]2}> <10) •' — 00
где £ - интегро-дифференциальный оператор, который дается выражением
6——LDrIr.(11)
Здесь мы ввели обозначение Г(х) = 1//>(х),О2)
и символ г означает оператор умножения на эту величину: i/(x)=r(x)/(x),(13)
а операторы L, D и J определяются так же, как и в дополнении Д.9: 2>/(*)=Л(*).(14)
Ч^^” 4yf<yV(15)
£/(-*)=Лх(х)-4и(х)/(х)+2«,(х)уйу/ЬУ(16а)
Ь=Вг—2м+2Пм1.(166)
Ясно, что интегро-дифференциальный оператор £ характеризуется равенством / dx^x,k')Y£Ax)=(2ik'f f”dx[^(x,k)]2/(x).(17)
Он сводится к оператору L, если р(х) - г (х) = 1.
Будем считать теперь, что функции и, р, а также R, Т и у не зависят от времени. Тогда соотношение (10) можно переписать в виде
2i^g(-4^2, t^R^k, О = /dx[^(x, к, t)]2g(£, г) {«,(*> О +
•'-00
+ ^p,(xj)pU.t)lV(18)
Более того, рассматривая специальные случаи соотношения (10), отвечающие инфинитезимальным преобразованиям сдвига и масштабного преобразования (гл.,2, § 1, п. А), мы также получим
(2ifc)2g(—4/с2, t^R^k, t) = fdx[^(х, к, z)]2g(£, z) *
x {«x(x. 0+1С[а(х» 0р(х> 0]}.(19)
-2ik2g(-4k2, t)Rk(k, t)= [ dxf^x, k, z)]2g(£, z) x
•'-00
x{x«x(x, z)+2k(x, z) + |£[xpx(x, t^x, z)]}.(2°)
Последние три формулы будут служить отправной точкой для выделения и последующего анализа класса эволюционных уравнений, связанных с линейной задачей (1). Действительно, они означают, что если функции Цх, t) и р(х, t) меняются в соответствии с уравнением
g(£,r)[uf44£(A/0)]+*(£,O[wx+2’£ta^ +/(£,z)[xu,+2m+|£(xa/>)]=0,(21)
то коэффициент R^k, t) подчиняется линейному уравнению
^-4к\ t)R^(2ik)h(-4k\ t)R-kf^4k\ t)Rk=Q.(22)
Однако в дальнейшем мы сосредоточимся главным образом на простейших примерах уравнений, содержащихся в классе (21) и отвечающих значениям g^> 6 = 1 и /(z, t) = 0. Для согласования с нашими предыдущими обозначениями мы также положим Цг, t) = - а(х, ?)• Тогда уравнения (21) и (22) примут вид
«,+ |е(/>2) =a(£,z)[«x+{£(/>2)J,(23)
*=«(x,z), />=p(x,z),
Rt=2ika(-4k2, t)R, R = R(k,t).(24a)
Из последнего уравнения получим
RUj^R^k^exp 21кУ^а{-4кг,е) .(246)
Обобщение материала данного параграфа на более широкий класс уравнений (21) [а не (23)] будет упражнением, которое полезно выполнить читателям, усвоившим содержание настоящего параграфа, а также § 2 и дополнения Д.18.
Подчеркнем, что в эволюционное уравнение (23) входят два неизвестных поля и(х, 0 и р(х, 0, тогда как уравнение (24) содержит только одну неизвестную функцию - коэффициент R^k, 0. Разумеется, функции и(х, 0 и р(х, 0 вместе определяют коэффициент R(k, 0, Сами же они коэффициентом R(k, 0 определяются не по отдельное™, а только в комбинации [формула (4)]
и\х\ 0 = [х>(х, г)]"2[м(х, /)- [^(x, /)] '/2{ [^(^, 0] "'/2}XJ,(25)
где, согласно формуле (3), переменные х* и х связаны между собой зависящим от времени соотношением
х'=х+f dj[l—/o(j,0].(^)
Из эволюционного уравнения (23) следует, что функция и ^х, t) подчиняется высшему уравнению КдВ u;(x,z)=a(L',t)«;(x,z).(27)
Здесь L* - оператор L (16), в котором функция и(х) заменена функцией и’(х, 0 [это следует из формул (24) и (96)].
Как обычно, с этими потоками связана бесконечная последовательность сохраняющихся величин (см. гл. 5). С помощью равенств (25) и (26), которые также означают, что dx7<^x=p^x,t).(28)
эти сохраняющиеся величины могут быть выражены через поля и(х, 0 и р(х, 0. Например, первые два интеграла движения Со и СА записываются в виде
с0=/Д“М[“(л’')/р(*’')Н([^^^(29а)
Ct=f dx[p(x,z)]-3x
^{«(x.zt-Mx.ztp^Mxj)]"'/2^^(296)
Отметим, что при выводе первой из этих формул было выполнено интегрирование по частям в соответствии с граничными условиями (6а).
Тот факт, что эволюционное уравнение (23) содержит два поля, оставляет определенную свободу выбора различных возможностей. Например, одно
из двух полей u(x, 0 или р(х, 0* можно считать заданным; тогда уравнением (23) определяется эволюция другого поля. Или, наложив некое соотношение на поля и и р, получим в результате уравнение, определяющее эволюцию одного поля. Можно также рассмотреть два отдельных уравнения, которыми определяется эволюция обоих полей и из которых следует уравнение (23). Вместо полного анализа этих возможностей мы проиллюстрируем их кратко на нескольких примерах.
Примем сначала, что функция р(х, t) нам известна, и рассмотрим класс эволюционных уравнений вида «(=1»хх,-2<гх1<-<7их+а(е^)[мх-|гххх+2гхи+(г-1^(30)
Чтобы записать это уравнение в более компактной форме, мы наряду с (12) ввели удобное обозначение
a(x,r) = [z>(x,r)]-1 f Дур^улУ(31)
Если функция р не зависит от времени, то разумеется, функция а тождественно равна нулю.
Таким образом, мы можем утверждать, что класс нелинейных эволюционных уравнений (30) для зависимой переменной u(x, 0 может быть проинтегрирован методом спектрального преобразования. Заметим, что если функция р(х, 0 задана, то решение u(x, 0 получается, согласно формулам (25) и (26), путем однократного интегрирования, так как нам известна функция и^х, tV Таким образом, задача Коши вычисления функции и(х, 0 по заданной функции Цх, 0) решается для эволюционных уравнений (30) методом спектрального преобразования. Явная форма простейшего нелинейного уравнения из этого класса, отвечающая выбору a (х, 0 = - z, немедленно получается из соотношения
£/М=£/М=r(x,t)/”dyr(y, z)^^)] + хJ XXX
£/М=
£/М=
+4|и(х,z)r(x,z)jT dj'r(j',z)/(j)j
(32)(32)—lu^x^rC.XtOj Луг^улМЬУ
(32)
(32)
Легко заметить, что при р(х, 0 = г (х, 0 = 1 это уравнение сводится к уравнению КдВ. Конечно, оно связано с уравнением КдВ заменой (25) и (26) зависимых и независимых переменных.
Другой клйсс нелинейных эволюционных уравнений получается из уравнения (21), если считать функцию и(х, 0 заданной и рассматривать функцию р(х, 0 [или, что эквивалентно г(х, 0, формула (12)] как зависимую переменную. Например, при простейшем выборе g(z, 0 = 1/z, A(z, 0 = - P(z, 0,
f (z, 0 = 0, u(x, 0 • 0 получаем класс эволюционных уравнений следующего
вида:
p=r^-D3rlr,t^pxp, r=r(x,t)=l/p(x,t),(33а)
(p^^-DMr.tXp2),.(336)
Мы его выписали здесь в смешанных обозначениях (12) - (15). Простейшее уравнение из этого класса, отвечающее случаю p(z, 0 = z, — это так называемое уравнение Гарри Дима
rr(x,r) = [r(x,r)]3rxxx(x,f), r(x,z) = l/p(x,z),(34а)
»,(*.<)=-2{[у(х,?)]"'/2}ххх,
9(х, <)=[/>(*> 0]2=И*. 0] ~2-(34б)
Другое простейшее уравнение, которое получается при выборе p(z, 0 =z2 имеет вид r,=r3[r(rrxx-irx2)]xxV r=r(x,O = l/z»(x,z).(35)
Заметим, однако, что для решения задачи Коши [т.е. для вычисления функции r(x, t) по заданной функции т (х, 0)1 еще недостаточно воспользоваться методом спектрального преобразования, так как он дает в силу соотношений (25) и (12) только поле и'^х, 0, связанное с г (х, 0 формулами и\х', 0=-[r(x, t)]3/2{[г(х, 0] 1/2}хх,(36)
х'=х+у а/{1-[г(/,/)]_'].(37)
Даже когда функция и* (х, 0 известна, задача получения из этих уравнений функции г(х, 0 далеко не тривиальна. В то же время ясно, как получить бесконечную последовательность сохраняющихся величин. Например, первые две константы (29) принимают форму c.=/;jd«[(H«.,>n.r.(38а>
С\ = /J dx [г(х, / )]2[ { [г(х, 0]1/2 } хх]2.(386)
Более общий метод построения эволюционного уравнения для одной функции из уравнения (23), содержащего две функции Цх, О и р(х, 0» - постулировать некое соотношение, связывающее эти функции. Здесь имеется большой выбор возможностей. Мы опять ограничимся одним примером.
Будем считать, что функции р и и связаны между собой формулой р(х, 0=F[u'(x', 0, ф(39)
где иЦх* > t) - функция, определяемая равенствами (25) и (26), a F(z, О - легко обратимая функция первого аргумента. Она удовлетворяет условию F(0, t) = 1 для согласования с асимптотическими свойствами функций и и р» Например, можно положить
(40)(40)F(z,t) = l+z.
(40)
(40)
Тогда уравнение (39) запишется в форме
+[р(х,г)]2Их,г)-1].(41)
Подстановка этого явного, но сложного выражения для функции Цх, t) в уравнение (23) приводит к классу нелинейных эволюционных уравнений для одного поля р(х, t)* Задача Коши для уравнений из этого класса может быть решена изложенным выше методом спектрального преобразования. [Отметим, однако, нетривиальный характер последнего шага, который заключается в вычислении функции р(х, t) по функции и'^х', t)c помощью соотношений (39) и (26).] Нетрудно написать бесконечную последовательность сохраняющихся величин, относящихся и к этому классу эволюционных уравнений. Например, Выбору (40) отвечают первые два закона (39) следующего вида:
Со=(dxx>(x,z)[/»(x,z) —1],(42а)
Cf-fdxx>(x,z)[/>(x,z)-l]2.(426)
К сожалению, все уравнения этого класса слишком сложны.
Перейдем к рассмотрению классов связанных пар эволюционных уравнений для обоих полей и(х, t) и р(х, t)• Простой выбор, который непосредственно подсказывается самим уравнением (23), приводит к системе вида u,(x,z)=»(e,z)u,(x,z),(43а)
[^(x.z)] =a(e,z)p(x,z)]x.(436)
Функции u(x, О и р(х, 0 определяются по заданным функциям и^х, 0) и р(х, 0). Но, исходя из спектральных данных (246), можно найти только их комбинацию (25). Главная причина, по которой рассматривается этот класс эволюционных уравнений, заключается в том, что уравнения не выглядят слишком сложно, когда a (z) - полином малой степени. Например, если a(z) = -z, то они могут быть представлены в чисто дифференциальном виде “>+«ххх-4м\-2оих=0,(44а)
^r3Vrxxx-*rxu-2<r-l)uJ=O,(446)
^^(юА)^-(44b)
Здесь, конечно, и = u(x, Z), v = v(x, t), r ■ r(x, Z) = l/p(x, z) и мы считаем,
что u(±°°, 0 = v(±«>t 0 = 0, r(± oot 0 = р(±<х>, t) = 1. Для этой системы эволюционных уравнений существует известная в явном виде бесконечная последовательность сохраняющихся величин, из которых первые две уже выписывались [формулы (29а) и (296)].
Рассмотрим в заключение другой простой случай, отвечающий нулевому коэффициенту в уравнении (23): a(z,0=O,,(45)
Рассматриваемое уравнение имеет вид u^LDU^xJ^^.(46а)
Здесь L и D - операторы, заданные формулами (14) и (16), a U(z) - произвольная функция, такая, что 1/(0) = 0. [В качестве упражнения можно рассмотреть более общий случай, когда U зависит явно от х или от I, а также когда a (z, 0 не обращается тождественно в нуль, а есть полином невысокой степени по z J
Согласно равенству (246), из условия (45) следует, что и\х, t) = u'(x,0^,(47)
где и - функция, связанная с функциями мир соотношениями (25) и (26). Тогда, если задаться начальными условиями р(х,0) = 1,<48а)
и(х,О) = мо(х)(486)
и воспользоваться формулами (25), (26) и (47), мы получим и(х,г)=[х>(х^)]|/2{[/>(х^)]~|/2}х;1 +
+ [^(x,z)]2»0^x+^ dy[l-/>(y,z)]j.(49)
При выводе этой формулы использовалось также равенство и ^х, 0) = и(х, 0), которое следует из формул (25), (26) и (48а).
Формулы же (45), (46а), (23), (11) и (12) приводят к уравнению
A(x,z)=2(z>(x,z)t/[u(x,z)])x.(50а)
Прежде чем суммировать наши результаты, перепишем уравнение (46а) в более явной форме
м,(х, z) + <7ххх[м(х,z)]—4u(x, z)t/x[u(x, z)j -2их(х, z)l/[u(x, z)] =0. (466) Формулы (49) и (50a) означают, что функция р удовлетворяет уравнению a(x,z) = 2^(x,z)(7 [/>(х^)]1/2([^(х^)]-1/2}хх +
+ [<o(x,z)]2»o(^ + / dy[l-p(y,z)]jj| .(506)
Отсюда следует, что решение Задачи Коши с начальным -условием (486) для эволюционного уравнения (466) [где U^ - -произвольная заданная функцияА эквивалентно [в силу формулы (49)1 решению задами Коши для эволюционного уравнения (506) с начальным условием (48а). Отметим, что в специальном случае, когда P(z) = z, уравнение (466) переходит в уравнение u,(x,z)+uxxx(x, z)-6ux(x,z)u(x,z)=0,(51)
а уравнение (506) принимает вид
/ ^>>[1-р(у,г)])| .X' ) X
На этот результат можно, разумеется, смотреть двояким образом: либо как на интригующую альтернативную формулировку задачи Коши'для эволюционного уравнения (466) [и, в частности, для уравнения КдВ (51)], либо, в тех случаях, когда уравнение (466) разрешимо, как на метод решения уравнения (506) с произвольной функцией и^ (скажем, из класса BF-no- тенциалов). [Так, например, уравнение (52) можно рассматривать как решаемое уравнение, поскольку оно сводится к уравнению КдВ.]
В заключение отметим, что эти результаты означают существование бесконечной последовательности сохраняющихся величин, отвечающих эволюционному уравнению (466). Формулы (29) дают пример первых двух из них. Но эти величины выражены через оба поля Цх, t) и р(х, 0, причем поле р(х, 0 связано с полем Цх, t) линейным дифференциальным уравнением в частных производных первого порядка (50а).
Примечания к главе 6
Идея обобщения спектрального преобразования функции и(х) путем введения в спектральную задачу для уравнения Шредингера опорного потенциала (6.-1) появилась в контексте исследования нелинейных эволюционных уравнений в работе [265]. Такой подход особенно плодотворен, если опорный потенциал сам есть решение рассматриваемого эволюционного уравнения.
В дополнение к рассмотренным в данной главе обобщениям были исследованы другие возможности решения нелинейных эволюционных уравнений методом спектрального преобразования. Многие из них исходят из естественной идеи рассмотрения спектрального преобразования, основанного на спектральных задачах, отличных от спектральной задачи Шредингера. Соответствующие спектральные данные, очевидно, отличаются от спектральных данных, о которых говорилось в гл. 2, и содержат, вообще говоря, более одной функции переменной х. Некоторые из обобщений, основанных главным образом на замене скалярных функций матрично-значными, будут детально рассматриваться в т. 2.
§ !• Впервые идея распространения такого подхода на задачи в многомерных пространствах была высказана в работе! 82]. Но эта идея столь проста, что она уже в то время и даже раньше наверняка возникла и у других исследователей. Однако глубокого анализа поведения решений (даже солитонов) уравнений этого класса не было проведено; это, возможно, объясняется тем, что до сих пор неизвестны какие-либо приложения уравнений.
§£. Новое соотношение вронскиана (62.-3) в случае, когда f (z, t) = 1, известно в квантовой теории рассеяния как "теорема вириала". Класс нелинейных эволюционных уравнений типа (62.-4) был независимо указан в работах [ 371,119]; см. также работы [ 373, 120 - 124]. Лаксов подход к этому классу уравнений был предложен в работе [ 67].
В этом параграфе главным образом воспроизводится материал, впервые изложенный в работах [ 125 - 127, 152]. Обратная задача из п. А была независимо решена в работе [314]. Сингулярное решение цилиндрического уравнения КдВ было впервые вычислено в работе [167]. Другие решения (типа многосолитонных, но сингулярные) были даны в работе [61]. Замена переменных (6.3.-7, 8, 9) и (6.3.-3, 2), устанавливающая связь между уравнением КдВ и цилиндрическим уравнением КдВ, была введена в работе [296]. Об исследовании цилиндрического уравнения КдВ с помощью дифференциально-геометрических структур продолжения см, работу [377].
Однополюсное решение на фоне ^солитонного для уравнения КдВ было дано в работе [12]. Метод спектрального преобразования для построения решений уравнения КдВ с одним двойным полюсом был развит в работе [ 152], а график рис. 1 был построен с помощью ЭВМ д-ром Абрахамом (Манчестер).
Уравнение (6.5.-34) было открыто Гарри Димом и М. Крускалом в совместном исследовании эволюционных уравнений, решаемых методом спектральной задачи, основанной на уравнении струны, а не на уравнении Шредингера [ т.е. на обыкновенном дифференциальном уравнении (6.5.-1), в котором и(х) = 0 и р(х) = 1]. Но этот результат не был опубликован, и уравнение Гарри Дима (6.5.-346) было только упомянуто в работе [241]. Это уравнение и его обобщения были затем независимо открыты П. Сабатье [405 - 407], Ли И-Шеном [315] и одним из авторов данной монографии (Ф.К.), который предложил двум молодым голландцам заняться изучением этой задачи [157]. Вопрос здесь изложен довольно полно и с обшей точки зрения; ряд дополнительных результатов (особенно касающихся специальных решений) может быть найден в работах [405 - 407] и особенно в работе [316]. Кроме того, в последней работе используется локальный подход в стиле АКНС (см. дополнение Д.20), что дает возможность сделать результаты более общими. Например, функция р может не удовлетворять граничным условиям (6.5.*6) и стремиться к разным пределам при х -► + <* и при х -► -<ь.
ДОПОЛНЕНИЯ
Д.1. Число дискретных собственных значений спектральной задачи Шредингера на всей прямой
В данном дополнении мы сформулируем и докажем некоторые леммы и теоремы о числе N дискретных собственных значений -р^ спектральной задачи Шредингера, описываемой уравнением
-&х(л)+м(х)^(х) = ~Р2^х^ -оо<х< + оо.(1)
По крайней мере некоторые из этих результатов, вероятно, новые. Об аналогичных результатах для спектральной задачи Шредингера на полупрямой см. работу [ 80].
Мы всюду предполагаем, что функция и(х) действительна и регулярна при всех действительных-значениях х и стремится к нулю при х -♦ ±оо; во многих случаях удобно предположить даже, что функция и(х^ имеет компактный носитель, т.е. тождественно равна нулю при достаточно больших действительных значениях | х |, скажем при | х| > х^, хотя окончательные результаты справедливы и в более общем случае. Хорошо известно, что все собственные значения не вырождены и что величина р должна быть действительной; мы будем считать, что р > 0.
Лемма 1Лисло дискретных собственных значений уравнения (1) равно числу действительных нулей ^. функции <р(я), определяемой уравнением
(2)(2)(3)(3)(4)(4)<Рхх(х) = и(х)<р(х)
(2)
(2)
(3)
(3)
(4)
(4)
с граничными условиями у(-оо) = 1,рх(-оо)=0,
а именно оно равно N:
F«)=O, 6,<5J+X>j=l,2,...,N.
(5)(5)Доказательство. Эту хорошо известную лемму можно доказать, заметив, что вычислить и тем самым подсчитать дискретные собственные значения можно, следя за нулями ^(р) решения ф(х, р) уравнения (1) с граничным условием
(5)
(5)
х Um^ [ехр(-рх)у(х, р)] = 1
при возрастающих значениях р, начиная с р-0, с учетом того, что каждое значение р, при котором число этих нулей уменьшается на единицу (вследст-
вие выхода на бесконечность самого правого нуля), соответствует одному дискретному собственному значению.
Замечание. Здесь и далее мы для простоты исключаем из рассмотрения крайний случай, когда функция ф(<») конечна, соответствующий в некотором смысле наличию дискретного собственного значения при р = 0. Этим, между прочим, объясняется то, что некоторые из приводимых ниже результатов оказываются в противоречии с тривиальным случаем и^ = 0, означающим, разумеется, что N= 0.
Лемма 2. Определим функцию 6 (я) нелинейным дифференциальным урав
нением первого порядка
0х(х^ =—уи(х^ cos10(х^ А-у-Чхг?#^(6)
с граничным условием
^(-оо)=0,С7)
причем -у - произвольная постоянная. Тогда число дискретных собственных значений N дается формулой
N^^/^^Uqo).(8)
Доказательство. Положим
Фх^/Ф^=-у"Ч%^.х\(9)
Тогда из уравнения (2) и условия (3) следует уравнение (6) с условием (7). Кро- ме того, из условия (4), очевидно, следует, что
»^=O-W,(ю)
заметим, что упорядочение значений ^., даваемое формулой (4), согласуется с равенством (10), как следует из соотношения
^«)=г‘>о.(н)
Наконец, из уравнения (6) ясно, что асимптотическое значение 6(+ <») должно совпадать с целым кратным числа тт, а это вместе с соотношениями (10) и (4) означает справедливость формулы (8), что и требовалось доказать.
ЛеммаЗ. Определим функцию ц(я) нелинейным, дифференциальным уравнением первого порядка ^x(x)=-yu(x){[(x-z)/y]sinfi(x)-cosn(x)}2(12)
и граничным условием д(-оо)=0,03)
где у и z - произвольные постоянные (но у> 0). Тогда число дискретных
собственных значений N дается формулой
N = Целая часть числа [1 +^(оо)/^](14)
^при условии, конечно, что правая часть положительна; в противном случае N = 0).
Доказательство. Положим ctg/<(x) = (x-z)/y+ctgl(x).(15)
Тогда уравнение (12) немедленно следует из уравнения (6), а условие (13) легко получить из условия (7). Чтобы доказать формулу (14), введем для удобства координаты т|у , в которых обращается в нуль производная <р%, а не сама функция ф. Тогда
*(1б)
и, очевидно, из соотношений (10) и (11) следует, что
^<^х(17)
[заметим, что если функция и^ меняет знак, при каждом значении / может быть более одного значения ^. ; в таком случае число последних должно быть нечетным и проводимые рассуждения относятся к крайним правым из них], В то же время из соотношения (15) следует, что
/=1,2^-l.О8)
Предположим теперь, что и(х) = 0 при х > х^ и что /п< М#^) = ц(~)< (У+Ух Поскольку знак функции 6x^j) тот же, что и у функции цх 1^. ), это означает, что Уп< 6^0 < (у + 1) тг, и поэтому [ формула (6)] выполняется соотношение О(оо) = (/ + 1)п, чем наряду с формулой (8) и завершаегся доказательство.
Лемма 4. Пусть N^ - число дискретных собственных значений, связанных в силу уравнения (1) с функцией и^^» т= 1,2, и предположим, что и^х^и^Чх), -оо<%<оо.(19)
Тогда
n^n^.(2°)
Данное утверждение слишком тривиально и хорошо известно, чтобы его доказывать.
Перейдем теперь к доказательству теоремы о нижней границе числа N дискретных собственных значений. Оценки других границ можно получить, используя приведенные выше результаты и следуя, например, работе [80].
Теорема! (о нижней границе). Число N дискретных собственных значений уравнения (1) ограничено снизу выражением
N^ Целая часть числа (14-^ xf dxminf^ \ ~^w(x)](21)
L— ОО
где у - положительная, но в остальном произвольная постоянная и по определению
min(o,Z>)=ti ifa<b,(22а)
min(fl,b)=b ifa>b.УЭД
Доказательство. Пусть и^х) = 0 при х> х^". Тоща из уравнения (6) следует, что если тпт< О^) < (n + 1)it, то 0(«) = (п + 1)тг. Отсюда и из формулы (8) следует формула N— Целая часть числа [l+^x^)/»](23)
[мы игнорируем крайний случай, когда функция ^х^ равна Целому кратному числу тт]. В то же время из уравнения (6) следует, что ^x^min^"1,-^*)],(24)
так как минимальное значение выражения a cos2x 4- bsin2x по всем действительным значениям х есть min [а, Ь ], и это вместе с формулой (7) дает ^(^оо)5*/ °° dxmm[y-1,-yu(x)],(25а)
или, что эквивалентно (так как при положительном значении a min [а, 0] = 0), ^(х^)> f dxminf.y-1, —yu(x)].(256)
* ~ОО
Эта формула вместе с формулой (23) дает неравенство (21), что и требовалось доказать.
Следствие 1*1* <Если и(х) = 0 при —*>< х< <*>, то N > 1.
Доказательство. Это тривиальным образом следует из формулы (21). [Напомним, что мы исключили из рассмотрения тривиальный случай, когда функция ц(х) тождественно равна нулю и, очевидно, N = 0.]
Следствие 1.8.
JV> Целая часть числа I l-(flg) Ч dxu(x)|, g>0,(26)
при условии, что
u(x)>—g2t ”OO<X<OO.(27)
Доказательство. «Этоследует из формулы (21), если у = я-1.
Теперь найдем верхние границы числа N дискретных собственных значений, связанных с функцией и (х). При этом удобнее будет устанавливать также границы для неположительного потенциала и_ (х), связанного с потенциалом и(х^ следующим образом: иДх^и^при и(х)<0,(28а)
иДх^Опри и(х)>0.^286)
Тогда в силу леммы 4 такие границы тем более будут справедливы для и^хУ Эти границы удобно выразить через интегралы
Iw=[dx|x—z|w|u_(x)|, w = 0,l,2.(29)
*-оо
В данной формуле и всюду ниже г - произвольная (действительная) постоянная.
Теорема 2 (о верхней границе). Верхняя граница числа N дискретных собственных значений уравнения (1) дается выражением N^X + kl/ir^I^2(30)
Доказательство. Формулу (12) можно переписать [ с заменой и^ на и (*)] в виде дх(х) = |и_(х)|[з'+(х-г)2д]$1п2[/«(х)+х(х)],(31)
где
ct&xU) = lz-xW(32)
Из формул (13), (29) и (31) немедленно следует ^со^у10^у"х12.(33)
При оптимальном выборе у = U2^0^ с Учетом Формулы (14) мы получаем соотношение (30), что и требовалось доказать.
ТеоремаЗ (о верхней границе по Баргману). Число N дискретных собственных значений уравнения (1) ограничено сверху выражением N^l+Ц.(34)
Доказательство» «Рассмотрим функцию ц (х), определенную формулами (31) и (13); очевидно, что это неубывающая функция переменной х. Определим положения т\» и Лу формулами ^VU"^ j=V2,..., N—1,'^35а)
mUj^J», j=Y,2,...,N-\.(356)
Эти формулы согласуются с формулой (14) [напомним, что мы пренебрегаем крайним случаем, когда ц(~) = /Vtt]. Справедливо правило упорядочения \<4J<\+\<4j+\*(36)
Определим теперь функцию v(x), положив tfc^x^^x-zVy^^xY(37)
Тогда уравнение (31) дает ^(x)=y~1sign(x-z)tg/z(x)cos2r(x) f
+ 2|x-z||u_(x)|sin2[r(x)-i®-sign(x-z)],(38)
а из формул (13) и (35) следуют равенства
'(Vy-i^O'-l)»', 7=1,2,...,N,(39а)
j=1,2,-.,N,(396)
причем мы принимаем
70= —оо, Л^ + оо.(40)
Для удобства определим 2W + 1 величин а. и Ь. следующим образом:
% = (Aj dx|x-z|^_(x)|, j=l,2,...,^(41a)
b;=dx|x-z||u_(x)|, j= 1,2,..., ^—1.(416)
Тогда, очевидно,
NN-]
It=WU(42)
7=17=1
причем эта формула соответствует разбиению интервала интегрирования ~оо < % < + оо в формуле (29) на 2/V 1 интервалов от -«> = п0 до Хр от Лг до пр от щ Д° ^2 и Т‘Д‘» и наконеД» от ^/v—i До Х^ = + «>.
Теперь докажем, что
Если z>Xj , то а^Х,(43а)
Если z^Xj , то Ь^Х.(436)
Из этих неравенств следует, что, каково бы ни было значение г, в сумме 2/V -1 положительных членов в формуле (42) по крайней мере /V -1 членов не меньше единицы, а отсюда следует неравенство (34), которое нам и требуется доказать.
Остается доказать неравенства (43). Сначала рассмотрим случай z > X.» Тогда при Пу „!< х< Xj из формул (38) и (35) [означающих, что tg ц(х)>0] следует, что
^(xt/sin^xj + ^j^pr-zlju^x)^^
Интегрирование от п;- _ х До X. дает [ в силу соотношений (39)] а. > 1, и тем самым неравенство (43а) доказано. Рассмотрим случай z< X. . Тогда при Ху < х < пу из формул (38) и (35) [означающих теперь, что tg ц(%) < 0]
следует ^(х)/8т2[^(х)-^]<2|х-г||ы_(х)|.(44б)
Интегрирование от к. до т\. дает теперь в силу соотношений (39) Ъ. > 1, а тем самым доказано и неравенство (436).
Заметим, что из формулы (34) и очевидного неравенства /,<(/о/2),/2,(45)
следует неравенство, аналогичное неравенству (30), но менее строгое (так как 2/л< 1).
Легко видеть, что верхняя и нижняя границы теорем 1-3 суть наил^чшие возможные; действительно, существуют специальные функции u^t их "насыщающие". Для границы теоремы 1 и произвольного числа /V "насыщающей" функцией является прямоугольная яма цМ = -я2 при | x-z|< а9 и(я)=0, при | х - z | > а9 где ga = % п (/V - 1) + е, е > 0; для границ теорем 1-3 при N- 1 насыщающей является функция и^= -g25(x-z).
Ясно также, что в гибкости, обеспечиваемой наличием произвольности постоянных у и z, просто отражается инвариантность величины N относительно масштабных преобразований и трансляций (см. гл. 2, § 1, п. А).
Д.2О Соотношения ортогональности и полноты для спектральной задачи Шредингера на прямой
Для решений Йоста (2.1.-1) при условиях (2.1.-4) соотношения ортогональности имеют вид
(iTrf1 Г” ДхГЧхЛ)Г^ЧхлИт<кШ-^^
* — ОО
^R^k^WT^k^-'d^k-q),'(1)
YirY'f” dxf^4x,kY^4x,q> = \TWYX8kk-qY(2)
Здесь к и q — действительные величины, т.е. эти формулы относятся к непрерывной части спектра. Напомним, что каждому собственному значению к1 соответствуют две независимые собственные функции, например ^(х, к) и f^x> к); другими собственными функциями, соответствующими тому же собственному значению, которые, конечно, могут быть представлены в виде линейной комбинации функций {^Цх, к) и f^ (я, к)9 являются функции fU4x, -к) и ф ^х9 ±&) [формула (2.1.-5)]. Если потенциал и^ равен нулю, то f^ (х9 к) = exp(±ikx)9 R^ = 0, Цк^ = 1 и соотношения (1) и (2) обычно записывают для собственных функций
^(х, к) = (2^) 1/2 exp(i/c;c),(3)
которые дают базис для разложения Фурье, т.е.
f^dx^x.kVXx^W^qy(4)
* — 00 Итак, в общем случае («(х) ^ 0) можно для каждого собственного значения к1 выбрать две собственные функции, скажем <р(х» А) и ф(х, -А), удовлетворяющие тому же соотношению (4), т.е.
f+°°dxf>(x, А)р(х, $)=<?( А+$).(5)
•'-оо Действительно, например, из соотношения
+ [2а(к)]~\т(к)Т(Ч^(6)
и из соотношения a(£)=2~I/2{l + [T(fc)T(—£)]1/2}'/2,(7)
очевидно, следует соотношение (5). Эти собственные функции непрерывного спектра, конечно, ортогональны собственным функциям, соответствующим дискретным собственным значениям - р^ (если они есть): Г” dxf^XxtkWx^O,^
•' —00
( °°dxy(x,fc)y„(x)=O,(8б)
•'-00
и собственные функции, соответствующие дискретным собственным значениям, ортогональны друг другу:
/ °°d*W.(*)«’m(x) = 4m.(9)
•'-00
Здесь для собственных функций, соответствующих дискретному спектру, мы используем те же обозначения, что и в гл. 2, § 1 [формула (2.1.-21)].
(10)(10)Вывод этих формул очевиден. Например, чтобы получить формулу (1), можно исходить из формулы Г^х/^хЛМ^Ом) =
(10)
(10)
= (k2-q2Y,wVf^4x,k)J<±4x>q)\
являющейся прямым следствием теоремы вронскиана, примененной к уравнению (2.1.-1), и затем оценить предел при хт-* — «> и х2 ->+*>, используя
формулы (2.1.-7), (2.1.-4) и хорошо известную формулу теории распределений p[fc-1exp(ifcx)J =чя^(&) прих->оо.(Ц)
Другие доказательства аналогичны и даже еще более просты.
Для справедливости формул (1), (2), (8) и (9) действительность функции иМ не требуется, но если функция ц(х) действительна, то эти уравнения могут быть переписаны в другом виде с использованием свойств отражения VP4x,k1\*=f^4x.-kV Im*=0,(12а)
[ptx.fc)]*^^-""*)- Imfc=0,(126)
а также соотношений (2.1.-12) и действительности функции фп(х). В этом случае соотношения ортонормированности принимают обычный вид (обозначения очевидны) (q>W,<p(q)>=6(k-q>),<tW,p„)=0, (фп.Фт^бпт.(13)
если ввести положительно определенное скалярное произведение (f^>=( <M/(-x)pg(x).О4)
Соответствующее соотношение полноты (или замыкания) имеет вид N+ оо
2 %(x)9>„(y)+f dkq>(x,k)[q>(y,k)]* = S(x-y).(15)
л—1•'-00
Эти формулы означают, что любая функция f(x), интегрируемая с квадратом модуля, может быть разложена в ряд
N+
/(*) = 2 /n»nU)+( dkf(k)q>(x,k),(16)
л=1* — 00
где
/,= <«,,/>,/(*) = <Р(*),/>.О?)
Д.З. Асимптотическое поведение (по к) коэффициентов прохождения и отражения
В данном дополнении мы кратко укажем, как доказываются формулы (2.1-39), т.е.
^Um [|Л|М(1-|Г(Л)|)]=О, M<oo,lmfc=0,(М
*lim [^^^(Xc^J =0, M<co, 1тЛ=0.(16)
Мы покажем также, как получаются формулы (2.1.-40) и (2.1.-41), т.е. м
ew= 2 етк1кугт-Чо^к-гм-3\(2)
т=0
^V^'tlm+iy1 Г” dxL^xuM+IuU^,
m=0,l,2„...(3)
Здесь 0(У — фаза функции TW; если потенциал действителен, в более общем случае она определяется соотношением
T(fc) = T(-fc)exp[2i^(fc)], Im/c=0(4)
[ формулы (2.1.-15) и (2.1.-16)] и L - обычный интегро-дифференциальный оператор, определенный, например, формулой (2.1.-42).
Есть много способов доказать эти формулы. Мы полагаем, что путь, которому мы следуем ниже, самый прямой; он позволяет непосредственно убедиться в их справедливости. Отметим, однако, что здесь мы не приводим подробных доказательств, а лишь намечаем их ход. Восполнение технических пробелов, необходимое для строгих доказательств, мы оставляем читателю в качестве легкою упражнения.
Для простоты ограничимся случаем действительной функции и(^ и действительных значений ^, хотя последующие рассуждения легко распростра? нить и на более общие случаи. Мы также будем иметь в виду формулу *lim [^(хД)ехр(1^х)] = 1,(5)
которая прямо следует из соотношений (2.1.-1) и (2.1.-2) [или, что эквивалентно, (2.1.-10) и (2.1.-11)]. Конечно, мы предполагаем также, что функция и^ бесконечно дифференцируема при всех действительных значениях х (для справедливости этих результатов такое предположение существенно).
Соотношение (16) сразу же следует из формулы
—dx[^(x, ^)]2£wmx(x), m = 0,l,2,...,(6)
* — ОО
которая просто является частным случаем формулы (2.4.А.-126), так как правая часть этой формулы, очевидно, конечна при к -* too для любого положительного целого значения т<
Аналогично формула (1а) следует из соотношения (-4*2)т+1[1-|Г(А:)р] = Г” Ах^хЛ^^-к^иЛх^, * — оо т=0,1,2,...,(7)
которое является частным случаем формулы (2.4.А.-26) [ в силу формул (2.1.-12) и (2.1,13)].
При доказательстве формулы *(3) исходят из формулы
5вт=^-\у*хГ” axLm8u^,(8)
* —ОО
которая связывает любое инфинитезимальное изменение 6ц ^ BF-потенциал а иМ уравнения Шредингера (2.1^1) с соответствующими изменениями 66т коэффициентов асимптотического разложения (2) фазы 6(A) коэффициента прохождения TW» Эта формула получается аналогично тому, как были получены описанные выше результаты, но она достаточно важна и заслуживает отдельного рассмотрения; поэтому она доказывается в дополнении Д. 8 (где приводятся также дополнительные следующие из нее результаты).
После того как доказана формула (8), вывод выражения (3) становится тривиальным, поскольку оно является просто частным случаем формулы (8), соответствующим инфинитезимальному масштабному преобразованию; действительно, формулы (2.1.А.-4) и (2.1.А.-4в) вместе с формулой (4) означат ют, что инфинитезимальному изменению
ди(х) = [xux(x) + 2u(x)p(9)
соответствует изменение
4>^( А) = — A[d^( A)/dA:](10)
а из формулы ДО) с учетом формулы (2) следует равенство
^(2m+lHw£.(11)
Подстановка выражений (9) и (11) > формулу (8) дает формулу (3).
Д.4. Дисперсионные формулы для коэффициента прохождения
В этом дополнении мы изложим стандартный вывод формул (2.1.-43) - (2.1.-45).
Определим функцию
N
G(&) = [7W]"' П [(Ar+^VC^-i^)].(U
п= I
Здесь Т^ - коэффициент прохождения, а положительные величины рп- дискретные собственные значения. Результаты гл. 2, § 1, означают, что эта функция голоморфна в верхней полуплоскости комплексной плоскости к, 1mA: >0, поскольку функция [ Цк^"1 там аналитична [как следует из формулы (2.1.-6а) и из аналитичности решений Йоста f^ (х, к)] и имеет простые нули в точках к = i рп [ которые являются простыми полюсами функции Т(А), соответствующими дискретным собственным значениям]. Кроме того, в полуплоскости Im к > 0 у функции G (к) нет нулей, так как функция ТЩ аналитична там всю-
ду, кроме полюсов при к = ipn, которые, очевидно, не дают нулей функции С(Л). Наконец,
lim [G(k)] = l, Imk>0.(2)
|*|-♦ео
Следовательно функция
F(k)=taG(k)Р)
сама голоморфна в полуплоскости Im к > 0 и асимптотически равна нулю:
lim [£(*)]=0, Imfc>0.(4)
|*|-*оо
Теорема Коши, примененная к замкнутому контуру, составленному из действительной оси к и полуокружности на бесконечности в верхней полуплос кости плоскости к* дает дисперсионные формулы
f^/c) = (2^i)-1 Гd^^(^)/(^~^), Im/c>0,(5а)
*—00
F(k) = (my1Pf*”dqF(<q)/(q-k>), 1тк=0,<5б>
оо
где Р означает главное значение (Коши).
Тогда при действительных к мнимая часть формулы (56) дает
N+оо
*(*)=2 2 arctg(/>„/*)-*“'Pfdg(9-*)_,ln|T(9)|,(6)
71=1*—00
где использовалось определение
T(k) = |T(fc)|expp(k)], Imfc=O(7)
[ формула (2Л.-15а)] вместе с определениями (3) и (1). Кроме того, свойства
симметрии (2Л.-14а) и (2Л.-16а) означают, что
^W=2 2 Arctgf/>„/£)-(*А)Р/d^(^2-/c2)~'ln|T(^)|,
л=]-00
Imfc=O,(8)
а это не что иное, как формула (2.1.-436).
Из этой формулы сразу же следует теорема Левинсона (2.1.-44).
Аналогично из действительной части формулы (56) следует
N
Ш*)1= п [1+(лА)Т'х п — 1
(9)(9)хехр я- *pf dq^q2—к2) 'q^q) , Im/c=0,
(9)
(9)
а это в точности формула (2Л.-43а). Формула (2.1.-46) следует из формулы (5а).
Если функция и^ бесконечно дифференцируема, то при к -* ± *> величина 1 - | TW\ убывает быстрее любой отрицательной степени к [ формула (2.1.-39а) и дополнение Д. 3]. Таким образом, в этом случае из формулы (9) следует бесконечная последовательность правил сумм, содержащих дискретные собственные значения — р^ и моменты фазы ^кУ.
рт=4^ Акк^^кУ т=1,2,....(Ю)
Здесь регуляризованный интеграл /^ определяется следующим образом:
d^^2,”_,^(^) = —[(2w—OlJ-^^^^dfcfc2”-1 х
х^г[*2""^)].(11)
Как нетрудно видеть, из асимптотического поведения функции 6W (формула (2.1.-40)] следует, что интеграл в правой части сходится [выражение (И) было бы тождеством, если бы интеграл в правой части сходился без регуляризации].
Эти правила сумм даются в явном виде формулой
N
1 Р»ж=(-1)”(1т/1г)/1т, m=l,2,3,...(jV>0),(12а)
которую легко получить, заметив, что формула (9) дает асимптотическое разложение величины 1 - | Г (А?) | по обратным степеням к2 при больших к и все коэффициенты этого разложения должны быть равны нулю. Затем мы рассматриваем асимптотическое разложение функции In | Т^ | по обратным степеням к , где модуль | Т^ | дается формулой (9); коэффициенты этого разложения также должны быть равны нулю. Заметим, что формула (12а) соответствует случаю дискретных собственных значений W> 0); если дискретных собственных значений нет, то формула (12а) заменяется условием равенства нулю всех моментов
Ат=0, т=1,2,3,...(^=0).(12$)
В случае безотражательных потенциалов (2.2.-20) функция, определенная фор* мулами (3) и (1), тождественно равна нулю [ формула (2.2.-23)] и правила сумм (12а) сводятся к элементарному тождеству
p2w = (- \Y\lm/irY^*&kklm-xXxc^^^р>0, m-L2 (13)
В заключение приведем выражения [ формула (2.1.-45)] для коэффициентов ^т асимптотического разложения фазы §Щ коэффициента прохождения Цк) при больших действительных к:
44Wf^dk(2kymk^T(k)\, m=0,1,2,...;(14)
Эту формулу легко получить, разложив выражение (8) в ряц при больших к [и используя определение (2.1.-40) или (Д.З.-2) для коэффициентов 6т ].
Д.5. Обратная спектральная
задача Шредингера на всей прямой
Было предложено несколько подходов к решению обратной спектральной задачи; различаясь по уровню математической строгости и общности, они весьма разнообразны: от методов спектральной теории дифференциальных операторов до методов контурных интегралов в комплексной плоскости спектрального параметра, заимствованных из теории рассеяния волн. При любом из них обратная задача в конце концов сводится к решению интегрального уравнения Фредгольма, теория которого хорошо разработана. В тех случаях, когда пригодно несколько разных методов, выбор наиболее подходящего для рассматриваемой задачи может быть делом личного вкуса, но иногда один конкретный подход может оказаться гораздо более трудоемким, чем другой (пример будет приведен ниже).
Здесь мы изложим элементарный и частично эвристический подход к обратной спектральной задаче, который должен быть понятен читателю с минимальными математическими знаниями и опытом в этой области. Мы сконцентрируем наше внимание на'основополагающих идеях и вычислительных методах, а не на строгом выводе важного уравнения Гельфанда - Левитана - Марченко. Конкретнее, мы рассмотрим задачу для скалярного уравнения Шредингера, о котором шла речь в гл. 2 (уравнение Шредингера на всей прямой с потенциалом, асимптотически стремящимся к нулю), хотя аналогичным образом можно проанализировать другие спектральные задачи, например задачу Шредингера с дополнительным линейным потенциалом (гл. 6, § 3, п. А) или обобщенную задачу рассеяния Захарова - Шабата (т. 2).
Предварительно мы рассмотрим дифференциальное уравнение fx^=VuUVk2V^\ f^=f^4x,kY(1)
и его решения Йоста, определяемые асимптотическим условием ^im^[exp( + i£x)/(:t)(;c,£)] = !.(2)
Чтобы упростить последующий анализ, предположим, что функция иК^ в праг вой части уравнения (1) действительна, ограничена и имеет компактный носитель, т.е. что u^ — u^xY^
“С*)=0,(х^х^, 0<хм<оо.<36'
Параметр к — комплексное число, и действительность функции и^ означает, что /<д,(х,&) = [/^>(х,-*•)]*•(4)
Кроме того, поскольку уравнение (1) инвариантно относительно преобразования к -* -к, две функции f^ Vx» к) и f^ (х, -к), равно как и функции f^ ^хэ к) и f^^x, -к^, являются (при к t 0) линейно-независимыми решениями уравнения (1), что следует из граничного условия (2). Поэтому мы вводим две комплексные функции Л (А) и BW комплексного переменного к» которые единственным образом определяются линейной комбинацией
(5)
1
Отметим, что функции Л (А) и 5(A) полностью характеризуют асимптотическое поведение функции f^+^ ^xw А) при больших отрицательных значениях х, поскольку соотношения (2) и (5) означают, что fWU»^ A^k^exp^-ikx^B^exp^kx).(6)
Это указывает на то, что функции Л (А) и В^ можно получить, если интегрировать уравнение (1) от точки х> х^ , где, как следует из соотношений (2) и (Зб), мы имеем f^+^ (х. А) = exp (iAx), и затем после интегрирования до точки х < -х^ вычесть коэффициенты экспоненциальных функций из выражения (6), описывающего асимптотическое поведение функции f^ta А) [действительно, если выполняется соотношение (Зб), то соотношение (6) при ж < ~хоо превращается в строгое равенство]. В результате интегрирования уравнения (1) по всей оси х асимптотические коэффициенты Л (АУ и. 5(A) при каждом А "запомнят" некоторую информацию о функции ukxV Таким образом, значений этих коэффициентов при всех действительных значениях А может оказаться достаточным для восстановления функции и^» При комплексных же значениях А может потребоваться некоторая дополнительная информация, и эта информация, необходимая для восстановления функции иМ» а также метод ее получения будут основным содержанием данного дополнения.
Рассмотрим теперь две разные функции и^ (^ и и^Ы, удовлетворяющие условиям (3). Все величины, ранее введенные посредством уравнения Шредингера (1) при u(x) = u^H^Y j = 1, 2, например решения Йоста или асимптотические коэффициенты, будем обозначать тем же символом с ин-
Дексом у = 1,2, указывающим, которой из двух функций и^ (я) они соответствуют. Для построения преобразования, связывающего друг с другом решения Йоста этих двух дифференциальных уравнений, мы рассмотрим прежде всего оператор й, удовлетворяющий уравнению Н^О=ОН<2\ H^=-a2WJXx\(7)
Очевидно, что оператор й преобразует решение ц/2) уравненияН(2)ц/2) =Л2^(2) в решение ^^ = й^2^ уравнения Н^ч^ = к2ц№. Кроме того, мы потребуем от оператора Й, чтобы он связывал между собой решения Йоста, удовлетворяющие одному и тому же граничному условию, а именно чтобы выполнялось соотношение
= /(+Х2)Дд) + J dyZ(x, y)f{**2\y, к),(8)
где ядро Z^ у) обращается в нуль при и^ = и^2^ и таково, что Z(x, ±oo) = Zy(x, — оо)=0.(9)
Отметим, что ядро Z (как и оператор й) должно нести вверху знак (+) и индексы 1 и 2, например Z = Z^^12^, таг как его фактическое выражение зависит от функций м^1^ и и^ и от выбора решения Йоста f^ ^^ ( для простоты мы опустили все индексы). В обозначениях, не нуждающихся в пояснении, можно написать 0=1+2,(Ю)
и тогда уравнение (7) принимает вид uW-u^=YD\ZA-uwZ^Z^ D=dx.(11)
Более явный вариант этого уравнения, записанного) через ядра интегральных операторов, имеет вид
— [и(|>(х)—«(^(.lOjztx, у),(12)
где 5(t) - функция Дирака; при интегрировании по частям было учтено условие (9).
(13)(13)Тогда легко видеть, что функция Z^x, у), согласующаяся с соотношениями (8) и (2) и дающая в левой части выражения (12) распределение Дирака, должна иметь треугольный вид Z(x,>>)=K(x,>>)^(j'-x),
(13)
(13)
где 0(t) - единичная ступенчатая функция Хэвисайца, т.е. ^Ю = I при t > О и 6(t) = О при t < 0. Действительно, легко видеть, что уравнение (12) удовлетворяется, если введенная посредством формулы (13) функция К(х, у) удовлетворяет гиперболическому дифференциальному уравнению в частных производных второго порядка
*хх(*> ^"^(^^Ч"*'’^)-"*2’^)]^*, .у)=0, у>х, (14)
с граничным условием
А'(х,х) = | j ^^[w0^^)-^2^^)]-(15)
Мы подытоживаем все полученные результаты следующим утверждением.
Утверждение. Если функция f^^^x,^ удовлетворяет дифференциальному уравнению второго порядка
f£^=[u<^/^=/^\хД\ у=1,2,(16)
и граничному условию
lim [ехр(-1^х)/(+Х7)(хД)] = 1, у=1,2,(17)
а функция и^Цх) удовлетворяет условиям (3) и если функция Цх, у) удовлетворяет уравнению (14) в полуплоскости у -х^ 0, условию (15) и условию
К^х, Н-оо^К^х, + оо)=0,(18)
то функция f^^(x9k) связана с функцией 6*^2Чх9$ преобразованием /<+х1)(хД)=/(+х2)(х,А0 + р~ауЦх,у)/^ЧуД).(19)
Отметим, что из условий (3), налагаемых на функцию и^Ьй» / = 1» 2, вытекают следующие свойства функции КДх9уУ
К(х,у)=К*(х,уУ К(х,у)=0 прих^СхСу.(20)
Эти свойства легко вывести из соотношения (4) и из того, что при х> х^ имеет место равенство fW^O (х, k) = exp (i кх^ так что из формулы (19) следует» чтг лои любом к
J djK(x, _y)exp(iAy)=0, х00<х.(21^
Подчеркнем, что самое важное в преобразовании (19) — независимость ядра К(х9 у) от параметра к»
Конечно, справедливость формулы (19) зависит от существования решения уравнения (14) при условиях (15) и (20). Теперь мы на основании теоремы Гур-
са, устанавливающей существование и единственность решения так называемой задачи Гурса, покажем, что функция ^(х, у) действительно существует и единственна* В нашем конкретном случае задача Гурса — это задача нахождения решения уравнения (14) по произвольно заданным его значениям на двух пересекающихся характеристиках, т.е.
К(х,±х+>-0+х0)=^(х);(22)
точка (х0> у0 ) — это точка плоскости (х, у), в которой пересекаются прямые у -у0 = ±(х —хр) ("характеристики”). Согласно теореме Гурса, решение Цх, у) уравнения (14) полностью определяется внутри параллелограмма со сторонами, идущими вдоль характеристик, если заданы его значения на двух пересекающихся сторонах параллелограмма. В частности, функция К(х, у) тождественно равна нулю внутри любого такого параллелограмма, если она равна нулю на двух пересекающихся границах. Заметим, что в нашем случае характеристики пересекаются под прямым углом, так что параллелограмм представляет собой прямоугольник. Применим теперь эту теорему к уравнению (14) с условием (22), сначала к квадрату с вершинами в точках (х^, х^), («оо» +<^» «оо + ^» («оо, «оо + М и (л^ ~</, «оо + J), и заметим, что, если выбрать в формуле (22) у0 = х0 = х^ + J(J> 0), то мы получим, что функция К(х,у) равна нулю на двух сторонах, лежащих в полуплоскостях х> х^ [условие (20)1. Устремляя J к бесконечности, видим, что
К(х,у)=0 приу+х>2х00.(23)
Рассмотрим далее две характеристики у = х иу=-х+2хоои заметим, что на них функция К(х, у) дается соотношениями (15) и (23), а поэтому в области у -х> 0 и у + х > 2хоо функция К(х, у) является единственным решением задачи Гурса для нашего уравнения (14), чем, наконец, и доказывается важная формула (19).
Очевидно, что эти результаты дают другой путь вычисления решений Йоста f(+)(1)(x, &) вместо прямого интегрирования уравнения Шредингера при каждом значении к» Действительно, если предположить, что функция f(+)(2)(x, &) уже известна, то для данной функции и^^ решение Х(х, у) уравнения (14) дает в силу интегрального соотношения (19) решение (^ (1)(х, к^ уравнения Шредингера, соответствующее функции и^ (х). Отметим, что, поскольку (х, к) является функцией двух переменных, ее определение требует либо интегрирования бесконечно большого числа обыкновенных дифференциальных уравнений, т.е. уравнения Шредингера при каждом значении к , либо решения дифференциального уравнения в частных производных (14) с двумя независимыми переменными.
Для полноты мы приведем здесь интегральное уравнение
Л') = ^[’*'<,)(^(^-Ь>')) —’*'<2>(i(je+>,))]“t" jT(^ X)/2d/ X
х/"dv[u(l)(7-f)-u(2)(7+f)]X(7-£ v+£),(24)
Чу+х)/2 где wu\x)=( dyuu\y\(25)
уравнению (24) удовлетворяет решение Цх» у) уравнения (14) при условиях (15) и (20). Э*го можно показать, проинтегрировав уравнение (14) с учетом граничных условий. Кроме того, продифференцировав уравнение (24) по у и по ложив х = у, получим выражение
X/x,x) = |{wx(,)(x)-w<2)(x) +{[^'Чх)-^2’^)]2}»(26)
которое вместе с условием (15) означает, что
^(х,*)^ {и^^х)—wj2\x) —ifM^Xx) —иА2>(х)]^^ .(27)
Здесь Ку(х,х) = Ку(х,уНу = х и Кх (х, х) =КХ (х, у)} у =х .]
До сих пор функция К(х, у) вводилась и исследовалась в рамках прямой задачи, т.е. задачи вычисления функций А^^ и B^W по асимптотическому поведению решения f^U) ^ ^t соответствующего функции и^(х) [прямая задача, соответствующая функции ^2^(х), считается решенной; простейший пример, рассмотрением которого мы ограничились в гл. 2, § 1, отвечает случаю u^to = 0, в котором, конечно, f^^ (х9 k) = exp(i&x)].
Однако, как мы увидим в конце концов, в обратной задаче функция К (я, у) играет более важную роль, чем в прямой. Перейдем теперь к установлению важного интегрального представления этого ядра. Заметим, что специальная структура дифференциального уравнения в частных производных (14) указывает на то, что любое билинейное выражение вида ^1} ^х, ^2)(у, к') удовлетворяет уравнению (14), если функция ^Цх, к} является решением уравнения Шредингера (16), соответствующим функции иМ ^М» а к- произвольное комплексное число. Вследствие линейности уравнения (14) естественно принять следующее выражение:
К<х1У) = ^дкр(к)/^*'Чх,к^^*2ЧуЛУ У>х.(28)
Здесь интеграл берется вдоль кривой С в комплексной плоскости к (эту кривую всегда следует понимать в обобщенном смысле, поскольку часть ее может сводиться к дискретному множеству точек). Конечно, интеграл (28), если он сходится, дает для любой кривой С и функции р (к) некое решение уравнения (14). Важным пунктом, на котором нужно остановиться, является предположение, что существуют кривая С и функция р(^), такие, что интеграл (28) представляет собой решение уравнения (14), удовлетворяющее условиям (20), (15) и (18).
Прежде всего в силу условия (18) переменная к в интеграле (28) не может принимать значений с отрицательной мнимой частью; действительно, если к лежит в нижней полуплоскости, то при у -> + «> решение f^+^2^(y, к) экспоненциально растет, а поэтому нужно, чтобы кривая С была в верхней полуплоскости 1mA: > 0. Затем мы заметим, что, поскольку решения fWU’)^ к) ограничены при действительных к , кривая С должна, вообще говоря, содержать действительную ось плоскости к при условии, что функция р(А) стремится к нулю с возрастанием | А |:
lim р(к)—О, Imk—Q.(29)
Функция р(А) должна стремиться к нулю достаточно быстро, чтобы обеспечивалась сходимость интеграла в формуле (28) - условие, которое легко выполняется, поскольку решения f^ (Л (х, к ) не только ограничены, но фактически осциллируют при к -> too, будучи асимптотически пропорциональны exp (iAx)#
Что касается вклада в функцию К(х, у) в интеграле (28), вносимого значениями к с 1mA > 0, то сначала следует отметить, что при порождающем к с 1mA > 0 решение Йоста f^ У ^ (я, А) должно было бы экспоненциально возрастать при х -* — «>• Но такая расходимость не совместима с соотношением (15), которое вследствие нашего предположения о функциях u^\^U i = 1>2, требует, чтобы функция К(^ х) оставалась конечной и постоянной при х -> — оо. Поэтому в верхней полуплоскости допустимы только те значения А, при которых произведение f^^^x» к) f^^(x, к) сходится к постоянной при х ->-оо. Последнее возможно только в том случае, когда (по крайней мере) одно из двух решений Йоста асимптотически стремится к нулю в пределе при х -* —оо. Тогда, рассматривая асимптотическое поведение, выражаемэе формулой (6), мы делаем вывод, что в верхней полуплоскости кривая С вырождается в множество точек, являющихся либо нулями функции В^{$ (если они имеются):
В^{ к™) =0, Im А<2>>0,п = 1,2,..., N^\(30)
либо нулями функции B^W (если они имеются):
^(^(А^^^О, ImA^X),л=1,2,...,^0(31)
Легко видеть [ формула (5)1, что эти значения соответствуют дискретным собственным значениям задач Шредингера с потенциалами ц^2^(х) и ^^(х)« Таким образом (гл. 2, § 1 и дополнение Д. 1), все эти значения к^ и А^ лежат на верхней мнимой полуоси и их число -конечно (оно может быть равно нулю):
кУ=\р^\ рУ>^> и= 1,2,..., 2V(y), у=1,2.(32)
В заключение отметим, что кривой С самого общего вида является объединение действительной оси 1mA = 0 с конечным числом отдельных точек на мни-
мой оси. На кривой С мера Лк р(А) характеризуется функцией действительно- го переменного к, удовлетворяющей условию (29) и условию действительности: р^к^р’^-к), hn*=0,(33)
а также N^ + N^ действительными числами, соответствующими дискретному множеству (32). Тогда интегральное представление (28) имеет вид
К(х, у)= Г^дкр^П^Чх, к^^Чу* к) -
* ~ ОО
- 2 ^'У^'Ч^/^/^Ч^/^ п= 1
+ 2 р^Р^ЧхЛр^^^ЧуЛр^.W
Л— 1
Налагаемое на функцию р(А;) условие (33) следует из действительности функции К^х» у) [ формула (20)] и из свойства (4) решений Йоста. Знак д^ред двумя суммами был выбран так, чтобы действительные числа р^ и ^^ были положительными:
/^Х),л = 1,2„..,ЛГ<'>, 7=1,2,(35) t
как доказывается ниже.
В рамках прямой спектральной задачи функции и^Ьй и и^М единственным образом определяют функцию Цх* у) (решение задачи Гурса, см. выше); следовательно, в этих рамках представление (34) должно быть дополнено заданием процедуры нахождения функции р (А:) и чисел р^ по функциям и^М и u^W« С этой целью мы перепишем соотношение (19) с функцией Щх, у), выраженной формулой (34), предполагая, что можно изменить порядок интегрирования [ конечно, в контексте теории распределений, см. формулу (37) ниже ):
f^^^x, Аг)=/(+х2Ч*, £) + Г^дк^И/^Чх, И х
* —ОО
х( д^/^^Ч^^О/^^Ч^» ^) ~
- 2 ^У^0^0)/ ”ayrtoWWx4y,k^ Л— Iх
nW
+ ^Р^ЧхЛр®^ ЖЛу^ЧУ^)^ЧУ,к).(3б)
Сначала мы исследуем эту формулу и ее следствия, считая к действитель-
ным и используя соотношения вронскиана# в частности
Imfc=0,Imfc'=0,(37)
где fl f, к! = fsx - gfx и использована (дополнение Д.2) формула
lim Pl — exp(iyc)) =М(д).(38)
х- + оо \ q/ хч'
После всех интегрирований по переменной ув соотношении (36) с помощью
соотношений вронскианов мы рассмотрим предел этого уравнения при и приравняем коэффициенты при функциях ехр(± i кх^* появляющихся из асимптотики (6). После длинных, но тривиальных вычислений получаем два уравнения
A^k^Iirpl-k^B^-k^+A^kWH, 1тк=0,(39)
Д<'>(к)=В(2)(к)У(-А:), Im/c=0,(40)
где введены обозначения
У^ = Х^Ь<к^\/^рС~&к'^^ -р
+i S WB^W-'P^ " п= 1
N^
-i ^P^Y^B^Pn^/lk-ip^Y lmk=0,(41)
b(k>i^k)By4k)AW(k)+p(-k)A<X-^^(42)
постоянные yn(;) определяются асимптотическим затуханием при отрицательных значениях х решений Йоста в точках к^ = ip^ » а именно
Г^хЛр^^Ч^ЧхЛр^У n=l,2,...,N^\ У=1,2,(43)
или, в обозначениях гл. 2, § 1 [ формула (2.1.-28)],
^l-^-Xv)/c(**J>.I44)
Заметим, что при выводе формул (39) и (40) использовалось так называемое соотношение унитарности
В^В^к^И-А^А^-к1),(45)
которое следует из соотношения (5) и тривиального соотношения wVfw(x, -к),р+\х,fc)]=/<+4x,-к)/У\х, к)-
-^Чх.-к^^Чх.к^Ик ,W
вытекающего из условия (2) и независимости вронскиана от % • Находя функцию УУ^ из соотношения (40) и подставляя ее в соотношение (39), мы получаем функцию р(&), выраженную через асимптотические коэффициенты:
^(^ — ^«-^{[л^Ч—fc)/.»0>(fc)l —[Л<2>(—fc)/-»^*)]}-<47>
Что касается выражения для положительных чисел р^ ^, то мы снова исходим из соотношения (36), но теперь берем к в верхней полуплоскости, т.е. ImJk> 0. Снова с помощью стандартного выражения для вронскиана мы избавляемся от интегрирования по переменной у и исследуем асимптотическое поведение левой и правой частей равенства (36) при х -» -ос» При произвольном к обе части равенства (36) экспоненциально растут, так как Im& > 0, и из их равен- •ства следует уравнение для коэффициентов при главных экспоненциальных членах exp(i kx^ [ формула (6) ]
[^<’>(ЛJ/^CA:)] = 1 + (2i^)-V+"dfc' х
х {[в^')/»®^')]-! }/(&'-*) +
n<x>
-i 2 P^B^W+W + n=l
nw*
+i 5 P^T^B^Pn^Ak-ip^Y lmk>0;
это уравнение получено из уравнения (40) с использованием предыдущего результата (47), на основании которого функция Ъ (к), определенная формулой (42), была переписана в виде
Ь(^ = И[В<1Ч-^/В<2Ч-^)НВ<2Ч^)/В(,Чк)]}, Im/c=0.(49)
Кроме того, заметим, что сходимость интегралов в соотношении (48) вытекает из предельного поведения
Нт [В°4к)-11=0, Imfc>0, у=1,2(50)
*-*оо
[ это свойство достаточно очевидно из самого определения (5); для доказательства см. формулу (57) ниже и дополнение Д. 3]. Так как если выполняют-
ся условия (3) и коэффициент В^ ^ (к) аналитичен в верхней полуплоскости комплексной плоскости к [ формула (57) ниже и гл. 2, § 1], то интегралы в правой части соотношения (48) можно легко вычислить обычным методом замыкания пути интегрирования в верхней полуплоскости вдоль полуокружности бесконечного радиуса и использования теоремы Коши. Поскольку нули Функции В^ \к) простые [ как доказывается ниже, формула (63) J, окончательный результат имеет вид
2B<2>(irf>){[s<o^^^ л= 1
- 2 b^^W^F-'WV^<51>
Л=1
где BkW=& B(k)/dk. Из этого уравнения, очевидно, следует, что
рУЦ^ХЧ'Р^Т'’ n=Vl,...,Nu\ У=1,2.(52)
Формулы (47) и (52) - главный результат этих вычислений; они показывают, что функция р(&) и величины р^ мэгут быть непосредственно вычислены по функциям и^М и и^ (л) с помощью решений Йоста fw ^Ч*> к), получающихся при интегрировании уравнения Шредингера (16) с условием (17).
Прежде чем идти далее, покажем связь с методом гл. 2, § 1 (но мы стараемся сделать самостоятельными все эти дополнения, хотя бы даже Ценой повторения некоторых формул гл. 2, § 1). Пусть ц^х, к) - решение уравнения Шредингера &х=[“(х)“^2М^=^х»к)’(53)
при действительных kt удовлетворяющее асимптотическим условиям
^хД) -* ехр(—ikx^-VR^k^exptjkx),(54а)
Ф^хД^ -* Т(/с)ехр( — \kxY(546)
Х-» —ОО
которыми определяются коэффициенты прохождения и отражения Т^ и КЩ* Эти Формулы относятся к непрерывной части спектра. Дискретный спектр (если он есть) определяется формулами
Фпхх^^+РпАфп. / ”dx[y„(x)]2=l,л=1,2,...Л.(55)
Асимптотические условия (54) вместе с условием (2) означают, что
ТЦс^ЛхД^1хД)=/^Чх,-к^(56)
С учетом соотношения (5) из последнего равенства получаем
А^=-Ц-Ц/Тк-к\ В(к) = \/Т(к).<57)
Для дискретного спектра мы имеем
Фпкх^спРЧхЛрп\ ^=(/’+”dx[/<+>(x,ip„)]2]
и=1,2,.-Л- *(58)
Простая связь между постоянными сп и параметром рл = Пул/^ (ip j]-1 [ формулы (52) и (34)]П
Р»=С^
дается следующей теоремой, в которой доказывается также, что нули функции В^ в верхней полуплоскости простые (и величины р^ положительны). Рас
смотрим соотношение вронскиана
ГЧ*. кМКЧх, kWxWU, k)f^4x, к) =
= 2к(dy [/(+)(у, fc)]2, Imfc>0,(60)
и пусть к - i рл — нуль функции BWt т«е*
В(^„)=0;(61)
тогда из формул (43), (6) и (61) следуют асимптотические формулы
РЧхЛрА ^^YnCxpUnxV(62а)
f^4xA Рп) ^^ В Ai Рп )«Р( -Рпх\<62б>
которые, будучи подставлены в соотношение (60), дают
i%,BAip„) = f dx[/<+)(x,i^„)]2.(63)
Вследствие действительности функции f^(x, ipn ), вытекающей из условия (4), эта формула показывает, что функция В^ (i рп ) не может обращаться в нуль и, кроме того, она дает другое выражение для параметров (52): ^>= {/JJdxf/^x.i^)]2) ’^[cW]2,(64)
где мы снова ввели индекс / •
Если с функцией и^» удовлетворяющей условиям (3), связать (посредством спектральной задачи Шредингера) величины
(65)(65)$[м]=(Я(/с), Д,,а),
(65)
(65)
называемые спехтралъными данными функции и(%), то на основании формул (34), (47) и (57) можно сделать вывод, что дцро Цх» у) выражается следующим
образом через решения Йоста и спектральные данные функции и^*) и >/^xh К(х, у) = -(2л-)-' f+”dk f^(x, ArVt+^t^, к)х
* — оо nw x[R('>(k)-R^(k)]~ 5 PX4<^f^4vApW + Л=1 nw
+ 2 f^xA^f^kyAp^^.^
n= 1
Сама по себе эта формула для прямой задачи бесполезна, ибо требует знания ранений спектральной задачи как для функции и^Ьй» так и для функции и^ (я). Но она полезна для формулировки обратной задачи и нахождения ее оо новного уравнения. Действительно, выражая решение Йоста f^^Hx, к) в формуле (66) через функцию {^^2Чхэ к} посредством преобразования (19), мы получаем для функции Цхэ у) уравнение Гельфанда - Левитана - Марченко-
К^хл^М^х, у) + [dzK(x,z)M(^y)=0, хСу,(67)
•'л
где ядро кЦх, у) определяется следующим образом:
М(хэу)=(2г) Х( dkft^^x^f^^y^k')*
nw
х^ЧА:)-/?^*)]^ 2 rx4xAp^f^x4yApW-
Л=1
nw
- 2 P^xAiW^kyAp^W(68)
Л=1
Отметим, что в уравнении (67) переменная х играет роль параметра и что при всяком фиксированном значении х уравнение (67) является интегральным уравнением Фредгольма, решение которого существует и единственно. В частности, отсюда следует, что для заданной функции R^ (в соответствующем классе) и для заданного множества положительных чисел рп и рп существует одна и только одна функция и^» такая, что для спектральной задачи Шредингера справедливо соотношение (65). Чтобы показать это, выберем
м(2)(х)=0,(/^(х^иС*),(69)
так что интегральное уравнение (67) принимает вид
К^хл^М^хА-у^А-j dz^(x,z)3/(z+y)=0) х^у,(70)
где
(71)(71)M(z) = {2ir) Jdkexp(ikz)R(k) + 2 exp(-pnz)pn.
(71)
(71)
00Л — 1
Заметим, что при заданных величинах RWt рп и рд ядро интегрального уравнения (70) известно и дается в явном виде выражением (71)* Тогда решение уравнения(70) единственным образом определяет функцию К^х, у)* Наконец, с помощью соотношений (15) и (69) функция и(х) легко восстанавливается: и(х) = — 2dK(x, x)/dx.(72)
Таким образом, обратная спектральная задача, т.е. задача определения функций и(х) по ее спектральным данным (65), сводится к решению интегрального уравнения (70). Действительно, решение К(х, у) уравнения (70^дает не только функцию и(х), но и соответствующее решение Йоста уравнения Шредингера; при этом используется соотношение (19), которое теперь имеет вид /(+)(x,*)=exp(iA:x) + Г”dyK(x, y)exp(iky).(73)
—х
Подытожим содержание данного дополнения, графически изобразив связи между различными величинами, относящимися как к прямой, так и к обратной спектральным задачам:
Решение прямой задачи, указанное пунктирной прямой> идущей от функции и(х) к множеству {R^, рп9 рд I, требует интегрирования уравнения Шредингера (1)# например, с граничными условиями (2). Это линейная задача, решение которой, скажем функция f^bc» k)9 является функцией двух переменных, так как, кроме х, она зависит еще от спектрального параметра к* Спектральные данные функции и^ $Ь^ получаются из этого решения Йоста, из асимптотических коэффициентов А^ и BW, определенных формулой (6), согласно соотношению (57), т.е.
Я(*)=-Л(-Л)/В(*:)> 1шА:=0,(74)
и из-формул (61) и (64). Можно также действовать иначе (гл. 2, § 1): исполь-
зовать формулы (53) - (55) вместе с условием
lim [ехр(2/>„х)у„2(х)]=х>„, л=1,2,...,^(75)
л-* +оо
как следует из соотношений (58) и (59).
Что касается обратной спектральной задачи, а именно восстановления функции и^ по спектральным данным \R^t рп, pn I, то первый шаг состоит в решении уравнения Гельфанда - Левитана - Марченко (70), ядро которого дается выражением (71); это опять линейная задача, ранением которой является функция К(х, у) двух действительных переменных. Тогда функция и^ легко восстанавливается по граничной функции К^х, я) [ формула (72) ].*
Наконец, подчеркнем, что эти результаты, а потому и спектральное преобразование, показанное на приведенной выше диаграмме, применимы к бо лее широкому классу функций и(я), чем рассматривавшийся здесь. Действительно, условия (3), предполагавшиеся для упрощения аргументации, могут быть ослаблены, если потребовать, чтобы функодя и(х) асимптотически стремилась к нулю быстрее, например, чем | х|"2, так что
f dx(14-|x|)|u(x)|<oo.(76^
Конечно, метод с двумя функциями и^ЬА и и^М носит более общий характер, и действительно, он дает некоторые из уравнений, приведенных в гл. 2, § 4, и широко используемых в гл. 3 и 4. Например, непосредственно из соотношений (15), (25) и (66) следует важная формула
w(1)(x) — w(2)(x) =
= -<7+”d*/<+XIVJ)/(+X^
-2 2 /(+xl)(x,ip(|>)/<+X2)(x,ip(0)x,(i) + л= 1
+2 2 Й+хЧхЛр^ХЧ<'Р^Ш№
И= 1
Изложенный здесь подход к обратной задаче приложим и ко многим другим спектральным задачам, например к обобщенной задаче Захарова — Шабата и к матричной задаче Шредингера, с небольшими изменениями, требующими,самое большее,некоторого технического уменья, но не новых идей. Однако для этих задач (так же как и для рассмотренной здесь более простой задачи) возможна другая, более удобная процедура вывода уравнения Гельфанда — Левитана — Марченко и всех связанных с ним результатов, основанная на прекрасных свойствах аналитичности решений Йоста в комплексной
плоскости к и использовании стандартной техники контурных интегралов. Правда, есть и такие случаи, когда свойства аналитичности решений Йоста не столь просты, и в таких случаях изложенный здесь подход оказывается более предпочтительным; к таким случаям относится задача Шредингера с дополнительным линейным потенциалом (гл. 6, § 3, п. А).
Примечания к дополнению Д. 5
В примечаниях к гл. 2 приводятся некоторые комментарии к обратной задаче и ссылки на литературу. В дополнение к ним мы приводим здесь оригинальные статьи [ 316, 219], которые, однако, отнрсятся к спектральной задаче на полупрямой или на конечном интервале. Об обратной задаче на всей прямой (одномерной задаче Шредингера) см. работу [255], а также [3 5, 257, 258, 181]; см. также [ 361]. Более общая обратная задача для уравнения Шредингера с потенциалом, линейно-зависящим от спектрального параметра к, рассматривалась в работе [ 238].
Что касается явных решений обратной задачи, то в дополнение к случаям чисто дискретного спектра (случай безотражательных потенциалов, гл. 2, § 2, и дополнение Д. 19) в работах [ 359, 256, 360, 392, 416] изучались случаи коэффициентов отражения, являющихся рациональными функциями спектральной переменной к* Построение этих решений детально рассматривается в дополнении Д. 19.
Д.6. Интегральные соотношения вронскиана (доказательства)
В данном дополнении мы покажем, как доказываются интегральные соотношения вронскиана, приведенные в гл. 2, § 4, п. А.
Основная формула, из которой легко выводятся все другие, такова: 4к2рах^'\х)^х)ЕЛх) = Г^х^'>(х)^2>(х) х
х{-^хх(*) + 2[и(,)(х)+и<2>(х)]^(х) + [м<"(х)+м<2)(х)] X
х^хИр'^-и^х^^Ди’'^)^^^
+ ^’(х^х^^хН^х)-^^^+
+ 2^х'Хх)^)(х)Г(х)-[^<0(х)^<2,(л)^(1)
4№)^(х)-^>(х)^2>(х)] /^^(^-^(nk^)}} х=х -
Здесь функции ф^1^ (х) и ц/2) (х) - решения уравнения Шредингера с потенциалами и^Чх) и и^2ЧхУ
№х)+к2,^^У=1,2,(2)
к1 — постоянная (не обязательно положительная и, вообще говоря, не обязательно действительная), х0, хх и х2 — произвольные фиксированные значения х и F(x) - произвольная функция х, ограниченная [ наряду с функциями и^Чх) и и<2)(х)] только требованием допустимости различных интегрирований по частям при выводе формулы (1) [ с использованием уравнения (2), см. ниже]. И конечно, требуется, чтобы все интегралы в формуле (1) были определены [ таким образом, достаточно, чтобы функция F^ была трижды дифференцируемой ].
Доказательство формулы (1) не очень занимательно; мы изложим здесь одну из схем, которой легко может следовать сам читатель, чтобы получить формулу (1).
Из уравнения (2), очевидно, вытекает, что
2к2( 2dx=
(з)
Здесь символ = обозначает равенство с точностью до членов вида J*? dx ч/1^)^*) G(x) [ где функция С(х) не зависит от к2 ] или вкладов, вычисленных на концах %г и х2 области интегрирования (такие вклады появляются за счет выполняемых ниже интегрирований по частям). Читателю нетрудно проследить за этими дополнительными вкладами, которые в конце концов дадут правую часть формулы (1).
Следующий шаг — интегрирование по частям, которое дает
- £dxV№!^=
i /Х2ах{2^,>(х)^2>(х)/'Л(х) + [^|>(х)^2>(х)]хГ_(х)}.(4)
Во втором члене нужно позаботиться еще об одном интегрировании по частям. Что касается первого члена, то интегрирование по частям в обратном пордц- ке и еще одно использование уравнения (2) дают
2У 1 dx ^^^Xx^F^x^-lk2^ 2ёх[^(1)(х)^(2)(.к)]^(.к) —
''Хх
-2 Г^х[«(,Чх)^'Чх)№)+«<2Ч*)^(5)
Теперь первый член в правой части можно проинтегрировать по частям еще раз, и он дает в точности тот же член, что и в левой части формулы (3), но с противоположным знаком. Таким образом, из соотношений (3) — (5) следу» ет, что
^к2 Г1 dx i^w(x) ^Чх^Е^х) *
= — if 2dx[«(l)(x)^(l>(x)^2>(x)+
+ M<2>(x)^»(x)^2)(x)]F(x).(6)
Теперь удобно использовать тождество
2[«<|>(х),4<,>(х)^2>(х) + И®(х)^,>(х)^2’(х)] =
= 0<*>(х ) ^<2>(х )] х[м<'>(х) +«(2>(х)] -
- [ №№ - №)№)] [ и^Чх)- и^Чх)].(7)
Это вместе с формулой (6) (и одним интегрированием по частям с целью избавления от первого члена в правой части) дает соотношение 4*2£^х^"(х)^2>(х)Гх(х) ~
2dx[^l)(x)^(2)(x)-^^(xj^^x)] X
(8)(8)J °dj[u<l>(^)-I<<2)(^)]F(/)
(8)
(8)
которое записано так в предположении, что должно последовать еще одно интегрирование по частям. И действительно, этим последним интегрированием по частям и использованием уравнения (2) завершается, наконец, вывод формулы (1).
Как только формула (1) доказана, легко вывести все формулы гл. 2,
§ 4, п.А.
Прежде всего заметим, что из произвольности величины х0 в формуле (1) следует хорошо известная формула
[^(x^xW^x^x)]=
^^х^'Чх^Чх^'Чх)-^*)],(9)
которую можно было бы просто вывести из теоремы вронскиана.
Предположим затем, что к2 — действительная и положительная величина и что
^u4x)-^J4x^k)^ j=L2,10
где функции цЛ 1 (л, к) являются решениями уравнения Шредингера (2) с гра
ничными условиями (2.4.А.-1а, 16)
^и\х, к)->Т^\к)ехр^—1кх), х-* -оо ,(На)
^^хД^ехр^-хкх^К^Чк^ехр^хкх), х-> + оо.<116)
Тогда при х1=—о» и %2 = + 00 Формула (9) дает
2xkYR^W(14k^”
= (*”dx^x4x,k)^^(12)
—00
т.е. формулу (2.4.А.-3).
Положим i^x4xW(X4xM ^Чх^^х^-кУ(13)
где снова функции цА^Чх, к) определяются граничными условиями (11). Тогда снова при хг = -оо и х2 = +°° Формула (9) дает
2xk\R(X4k)Rt24-kVT(X4^^^
= [ &х^хЧхЛ^гЧх>~к^и^хЧх^—и^(14)
—оо
т.е. формулу (2.4.А.-21).
Вернемся снова к формуле (1) и положим F^ = 1 и xQ = +оо; это дает
(^(x^U^CxW2^)^*2]^^^
+ [^)(x)^2>(xW<l4xM24x)] ^
ХУ °°dj’[«<l)(>’)-w(2)(j)]jХУ °°dj’[«<l)(>’)-w(2)(j)]jХ = Х|Х = Х|= j 1 Дх^Чх^^Чх^ГЛ ,= j 1 Дх^Чх^^Чх^ГЛ ,(15)(15)
ХУ °°dj’[«<l)(>’)-w(2)(j)]j
ХУ °°dj’[«<l)(>’)-w(2)(j)]j
Х = Х|
Х = Х|
= j 1 Дх^Чх^^Чх^ГЛ ,
= j 1 Дх^Чх^^Чх^ГЛ ,
(15)
(15)
где Г - интегро-дифференциальный оператор, определенный формулой
Г-/(х) = [mVX-x)^^2^^)]/(^) + [^Ч-х) — ^^)] х
х/ dy\uw(y')-uu4y')\Ay')(16)
[ формула (2.4.А.-5)].
Рассмотрим затем (по-прежнему при к1 > 0) предельный случай хх = -^, х2 = +оо для функций ку^Чх» к), выбранных двумя способами(10) и (13). Получим
-Ак^ЧМ + К'Чк^(^^йх^'ЧхЛ^^ЧхД^Г-к, (17)
-VlikT^k) Т^^ — к^ (dx [и(1)(х) —м(2)(х)] =
= ((1х^(х^к)1//(2){х,—к)Г'\,(18)
т.е. формулы (2.4.А.-4а) и (2.4.А.-22).
Снова вернемся к формуле (1) и положим
f^=L dy^'(19)
где
/(±оо)=/х(±оо)=0.(20)
Кроме того, пусть х0 = + оо, Х1 = —^ и х2 = + °°, причем по-прежнему предполагается, что к2 — Действительная и положительная величина, а значит, функции ^^х) асимптотически не расходятся. Тогда формула (1) име* ет вид
—4к2( dx ^Чх^^Чх^Дх^ J dx ^Чх^^Чх^ЛДх) —
— 2^ lim [&2^(1)(^0^(2)(л) + &(П^х
х[/ ”dx/(*)]'+( Um [^^^(xJ-^x^CxjHx
хI dx {[w(1)(x) — w(2)(x)] j dy/(y)j.(21)
В этом уравнении оператор Л определяется формулой•
AKx^UxVA^xW^Anx^r(22)
[ формула (2.4.А.-6)].
При выборе функций ^^ ^ в виде (10) и (13) формула (21) дает соответственно
-4k2f dxip(l)(x,k)ip(2)(x,k)f(x) =
•'-ОО
= 1 dx ^х\х, к)^2\х, k)A-f(x),(23)
Дх^Чх.к^^Чх^-к^/^х) =
= [ dx ^(1)(^> k)V(24x,-k)A-f(x) -
•'-ОО
-4к2Т0Чк)Т®(-к) f ”Axf(x)-likT^4k)T^(-k) х
хД dyfi/'V)-^.)’)]/ dxfbY(24)
Первая из этих формул воспроизводит формулу (2.4.А.*7). Как показано в гл. 2, § 4, п. А (см. также ниже), она дает тогда формулу (2.4.А.-9) и вместе с формулами (12), (17), (2.4.А.-10) уравнения
2iA:g(-4jl2)[A(,>(A:)-A®(*)] =
= /_00 dx^(l)(x>M^<2)(*>Mg(^)[u(l)(x)-w(2>(^^(25)
(2i/c)2g(—4/с2)[я(1)(Л)+Я(2)(А:)] =
^L^ ^^X'kVHx.k'igUVYrx.(26)
Что касается уравнения (24), то оно позволяет вывести формулы|(2.4.А.-18,19) из формул (14) и (18), но это требует некоторой дополнительной работы. Сей* час мы покажем, как это делается.
Введем обозначения
Г”дх ^Чх,к)^Чх,-k)A"f(x)=Am,^
— 00
4£2Т(,>(к)Г<2>(-£)^йхЛ^х^ИкТ^Чк^Т^-к^ х(28)
Тогда, очевидно, из формулы (24) следует, что
Am+1=-4k2Am+Bm.(29)
Это рекуррентное соотношение легко решается:
Am=(-4k2)mA0* "s' Ь4к2Г"'"'в, .^
Кроме того, можно формально просуммировать правую часть с учетом формулы (28) и формулы для суммы геометрической прогрессии. Таким образом, при использовании обозначения (27) поучаем уравнение
Г^ах^ЧхД^Чх^л^X
Х /^“dx^O)(x’fc)^2>(x,-fc)/(x)+4k2T^
Х Cdx {[(-^T-^t^^-A)-')/^) +
-VlxkT^^k^T^^—k^ ( dj[m(1)(j) —m(2)(j)] x
—oo
xj^dx^-A^-A^-Ak^-A)-'^^^(31)
а отсюда в более общем виде
J dx^(x,k)^2\x,-k)g{A)f(x) =
=g(-4fc2) Jdx ^^x, k^^^x^ —k)f(x) +
+ 4^2T(,)(^)T<2)(-^) /*+OOdxg#(-4^2^)/(x) +
^IxkT^WT^-^ fx
xfdxg#( — 4k2, A^f^xY^^
Здесь я(^) - произвольная целая функция и
g*(^1 > ^2 ) ^[^(^1) — ^(^2 )] (^1 — ^2 ) ~ *(33)
[ формула (2.4. А.-20)].
Очевидно, что соотношение (32) аналогично более простой формуле [ формула (2.4.А.-9))’'
( dx^Al\x,k)^\x, k^g^A^f^x) =
=g( — 4k2) fdxilAx^x,k^2\x,k^j\xY^^
— 00
которая следует из формулы (23). Конечно, для справедливости как формулы (32), так и формулы (34) требуется, чтобы не только функция f^ удовлетворяла условию (20), но и чтобы все операторы Am* f^ также удовлетворяли этой формуле при всех целых положительных числах т« Достаточным условием этого и, следовательно, справедливости формул (32) и (34) является бесконечная дифференцируемость функции Цх) при всех действительных значениях х» а также асимптотическое убывание (при х -* ±<») функции f^ и всех ее производных.
Таким образом, эти рассмотренные формулы применимы для класса BF-no- тенциалов, которыми в общем мы и ограничиваемся. Тогда точно так же, как Формула (34) вместе с формулами (12) и (17) дает формулы (25) и (26), формула (32) вместе с формулами (14) и (18) дает формулы (2.4.А.-18) и (2.4.А.-19), которые здесь не выписываются.
Остальные формулы гл. 2, § 4, п. А, для случая к2> 0 не требуют доказательства, поскольку, как там объяснялось, они следуют из приведенных выше.
Формулы для дискретного спектра мы подробно не рассматриваем» Некоторые из них доказываются методами, настолько похожими на используемые выше, что подробное изложение их вывода было бы простым повторением. В этой связи отметим, что, как мы уже упоминали, основная формула (1) остается справедливой и при отрицательных к2 = -р2» хотя, конечно, нужна особая осторожность во всех случаях перехода к пределу при хх = -<*, х2 = + <» ввиду возможной экспоненциальной расходимости решений уравнения Шредингера (2). Единственные формулы, в выводе которых есть нечто новое, это формулы (2.4.А.-57, 58, 59), поскольку в них входят производные по спектральному параметру р. Но мы полагаем, что сама их структура достаточно ясно указывает на метод их вывода, так что здесь нет необходимости явно приводить его, поскольку он слишком сложен, а сами формулы не представляют большой ценности.
Д.7. Спектральные интегральные соотношения (доказательства)
Покажем теперь, как доказываются результаты гл. 2, § 4, п.Б.
Начнем с довольно тривиального вывода условия (2.4.Б.-16). Вторая его половина, соответствующая отрицательному верхнему индексу: /(-)(х, £)->[Т(£)] 1ехр(—\кх)^г [2?(£)/Т(£)]ехр(1£х),
х-*+оо,(1)
прямо следует из соотношения (2.L-5):
T(k)/<-\x^W^4x,-k)^^(2а)
и из первой половины (с положительным индексом) условия (2.4.Б.-1а). Перепишем соотношение (2а) с заменой к -к:
T(-k)/<~4x,-k)=f^\x^^(26)
Из соотношений (2а) и (26) сразу же следует, что Т(куг(-к^\хЛ) = ^^^-.
~R^kW)/("4x,kY(3)
если учесть и соотношение унитарности (2.1.-18); отсюда с учетом второй половины условия (2.4.Б.-1а) сразу же следует первая половина условия (2.4.Б.-16): fw(x,&)-*[Т(£)] !exp(i^x) —[/?(”Z:)/r(—^)]ехр(—iZ:x),
Х~>-00.W
Теперь докажем первую основную формулу (2.4.Б.-4). Она прямо следует из формулы (Д. 5.-66) [ см« формулу (Д. 5.-77)):
K(jc, у)=- ^"'(^йк/^'ЧхЛМ^Чу, *) X
*—00
А^'Ч^-^к)]- 1 Гх^^^+
п = 1
+ 2 ГхЧхлр^*хЧуЛр^<5>
И=1
и соотношения (Д. 5.-15) [ с учетом формулы (Д.5.-25)}:
IK^x.x^w^^x^ — w^^xY(6)
Есть разные способы вывода второй основной формулы (2.4.Б.-5), и самый простой из них, по-видимому, таков. Заменим в формуле (2.4.Б.-2) функции wu)(x) на w/^fx + e), и?(х) на и№(х - е) и в пределе при е -> 0 получим [используя относящиеся к этому случаю формулы (2Л.А.-2)]
»№)+»№ 2 ГхЧхЛр^+ХЧхЛр^п^ * п = 1
+4 2 ГхЧхЛр^хЧхЛрт2^>- п- I
— я*-1Гdkf^^x, k^f^^^x, k)2\k x
* —00
x [#'>(*)+/{<2>(k)]+®(x),(7)
Nm
®W=-2 2 ^/^'I^A/*^ И=1
+2 2 ^Af^^A^Yf^kxAp^V И=1
-»~'(+”йкW^w^x, k),/<+X2)(x> fc)l x
X [/?(')(Jt)-^^)].(8)
В выражении (8) мы использовали обозначение вронскиана
И /0>( Jt). /^С^)] ^Z0’^) А<2)(х:) —до>(л:)/<2)(л:).(9)
Но из обычной теоремы вронскиана, примененной к уравнению Шредингера, следует, что
W\/<+х'>(х, fc), ft**^x,k^ = УйуРххЧу, k)f^(y, к) х
х[и',,(у)-и<2,(>')].(Ю)
Чтобы записать эту формулу, справедливую (по крайней мере) при Imfc>0,
нужно воспользоваться и граничным условием (2.4.Б.-1а) [ см. также условие (2.4.Б.-6а)1, означающим, что левая часть соотношения (10) стремится к нулю при х -► + <*•
Пользуясь соотношением (10), избавимся от всех вронскианов в формуле (8), изменим в ней порядок интегрирования по у и к (а также порядок интегрирования по у и суммирования) на обратный и снова воспользуемся пер
вой основной формулой (2.4.Б.-4). Получим- *х
а это сразу же даст [ формула (2.4.Б.»2б)1
®(x) = -i[w(I)(x)-w(2)(x)]2;(12)
эта формула вместе с формулой (7) дает нам соотношение (2.4.Б.-5).
Последние формулы, которые надо доказать, — это формулы (2.4.Б.-9, 10), они доказываются прямолинейно. Пусть
(13)
где функция f^i^, Л) - решение уравнения Шредингера (2.4.Б.-1) с граничным условием (2.4.Б.-1а). Тогда
Fx(xWyx4xW^W^W^^^(14)
и, используя уравнение Шредингера (2.4.Б.-1), получим
F^x^fi/^x^t/^x) —2/c2]f(x)4-2/x(4"x1)(x, k^f£*xl\x, к),(15)
^ххх(х)Ч“^Чх)+м?Х*)]Лх) +
4-2[и(1\х)4-и^2Дх) —2£2]Fx(x) +
4-[u(,)(x) — u(2)(x)]y dy[u(1)(y) — u(2)(y)]F(y).(16)
Чтобы из формулы (15) получить формулу (16), мы после дифференцирования использовали кроме уравнения (2.4.Б.-1) соотношения (14), (10) и (13). Интегрирование соотношения (16) от х до <* дает в точности формулу (2.4.Б..9) вместе с формулами (2.4.Б.-10), которые тем самым доказываются. Заметим, кроме того, что если и^^ + il24x) = 0, то уравнение (16) является обыкновенным дифференциальным уравнением третьего порядка для функции F^, а если и^^ - и^Ч^ * 0, то деление на эту величину и еще одно Дифференцирование дают для функции F^ обыкновенное дифференциальное уравнение четвертого порядка. Формула, обобщающая формулу (2.4.Б.-9) на произведение двух любых решений уравнения Шредингера (2.4.А.-1), приводится в дополнении Д. 9 [ формула (Д.9.-40)].
Д.8. Формула для вариации коэффициентов асимптотического разложения фазы коэффициента прохождения
Здесь мы докажем формулу
^ = (~l)w+V &хЬт8и^х\ m=0,l,2,...,(1)
связывающую инфинитезимальное изменение коэффициентов асимптотическое го разложения коэффициента прохождения Т^кУ
T(^) = |T(^)|exp[i^(^)], Im£=0,(2)
м
2 6mWlm”4o^k-1M”3Y Im-t=0,(3)
m = 0
с инфинитезимальным изменением соответствующей функции iM (в классе SF-потенЦиалов). Оператор L в выражении (1) определяется формулой Lf(x)=fxAx)-4u(xMx)+2ux(x)j^ dyf(yY(4)
задающей его действие на порождающую функцию f(x) (стремящуюся к нулю при я -> + <*).
Другое доказательство формулы (1) приводится в дополнении Д. 9.
При написании формулы (2) и некоторых других формул, о которых речь пойдет ниже, мы неявно предполагали, что функции uU) и 6и(я) действительны. Как нетрудно убедиться, результат (1) остается справедливым в более общем случае комплексных функций м(я) и ЬииУ если определение фазы 6(&) (2) заменить более общим определением
T(^) = T(-^)exp[2i^(^)], Im^ = 0.(2а)
В излагаемом здесь доказательстве формулы (1) мы исходим из формулы (2.4.А.-25) с g(z) = zm (т — произвольное целое положительное число), которую с учетом формул (2.1.-12, 13, 14, 15, 17) и (2.4.А.-20) можно переписать в виде
(2^)2"+1М(^)- 2 <-\УУ2.к^т*х^ Г”axLJ6u^ = J=\•' ос
+ j ёх|^(хД )|2£w^u(x).(5)
Перейдем в этом равенстве к пределу при к -> ±*>, Im к = 0. Его правая часть конечна [первый член обращается в нуль, а во втором функцию |ф (я, £)12 в рассматриваемом пределе можно заменить единицей, формула (2.1.-39) или (Де 3.-1) и формула (Д. 3.-5)], а левая часть, очевидно, растет как полином по к; следовательно, все коэффициенты этого полинома должны быть равны нулю, а из равенства их нулю в точности следует формула (1), что и требовалось доказать.
Для инфинитезимальных трансляций и масштабных преобразований [ формулы (2.1.А.-2, 2в) и (2.1.А.-4в)] формула (1) дает две формулы
J dxLwMx(x) = 0, m=0,l,2,...,(6)
^=(-l)m+'(2m+l)“lJ+O°dxL'"[xu;((x) + 2u(x)],
СО
и сравнение инфинитезимальной вариации выражения (7) с формулой (1) дает
Н dxLw[xMx(x)+2M(x)] = (2m+l) ( dxLw^(x),
J-ao*'-qo
m = 0,l,2,...(8)
Символ 6 в формуле (8) означает вариацию функции и^ где бы она не появилась, в том числе и под знаком оператора L [ формула (4)].
Выражение (7) для функции 6т было получено и в дополнении Д. 3 [по существу тем же самым способом - из формулы (1)]. Формулы (6) и (8) выражают, очевидно, свойства интегро-дифференциального оператора £, не зависимые от спектральной задачи (что, однако, было использовано в изложенном выше выводе); эти формулы получены несколько иным способом и в дополнении Д. 9 (тоже на основе спектральной задачи), где они и обсуждаются. [ Кстати, формула (6) есть частный случай формулы (8), соответствующий инфинитезимальным трансляциям я -> я + е: это следует из формулы (2.1.А.-2), если учесть, что вариация в ее левой части просто равна -ej^ Зя LmuxW* J
Упомянем, наконец, что тот же метод асимптотического разложения, примененный здесь к формуле (2.4.А.-25), может быть применен и к более общим формулам (2.4.А.-18, 19). Это проделано в дополнении Д. 9, где приведены некоторые другие выражения для асимптотического разложения коэффициента прохождения TW при больших к.
Д,9в Свойства операторов Л, Л, La L и другие формулы
В данном дополнении мы приведем (и докажем) ряд свойств операторов Л, Л, L, L. Некоторые из этих свойств представляют собой интересные операторные тождества, которые доказываются здесь окольными путями с исполь-
зованием спектральной задачи! хотя справедливость их совсем не зависит от этого (но прямое доказательство алгебраическими и аналитическими методами оказывается нетривиальным). Для полноты мы приводим также некоторые свойства оператора М и несколько формул асимптотического разложения коэффициента прохождения Цк) при больших к» которые используются при выводе упомянутых выше операторных тождеств, но интересны и сами по себе.
Удобно ввести мультипликативные операторы s и т, Дифференциальный оператор D и интегральный оператор I посредством следующих формул, задающих их действие на порождающую функцию f (х):
$/(дг) = [м(1)(х)+и(2)(*)]/(х),(1)
т/(*) = [и(1)(д:)-и(2)(х)]/(х),(2)
»/(x)=A(x),(3)
V(x)=f dyfUY(4)
Очевидно, оператор D применим только к дифференцируемым функциям, а оператор 7 — к интегрируемым (так что правая часть формулы (4) имеет смысл; таким образом, в частности, функция fix') должна достаточно быстро стремиться к нулю при х -♦ + «>). В последующем всегда считается, что такие условия выполнены; чтобы обезопасить себя, предположим, что функции fix), на которые действуют эти операторы, бесконечно дифференцируемы для всех действительных значений х и при я -* ±<» стремятся к нулю со всеми своими производными (быстрее, чем 1/я). Так как мы предполагаем, что две зат данные функции uV^ix) и и^2Чх) принадлежат классу FF-потенциалов (т.е. сами бесконечно дифференцируемы при всех действительных значениях х и при х -* too стремятся к нулю вместе со всеми своими производными быстрее, чем 1/я), то определенные выше четыре оператора, применяемые к функции fM, принадлежащей к указанному выше классу, очевидно, не только имеют смысл, но и дают функцию, принадлежащую тому же классу [ этого не было бы, если бы мы потребовали, чтобы сами функции fix) были SF-потенци- злами, что означало бы, что они должны стремиться к нулю и при х -*-«), так как из того, что функция fix) стремится к нулю при х -* ±<*, не следует, что функция Ifix) также стремится к нулю при х -* - »о, см. формулу (4)].
Очевидно, что из определений (3) и (4) следует формула
DI=ID=-1.(5)
Она находится в кажущемся противоречии с уравнением
Dc=0,00
следующим из формулы (3) (с —произвольная постоянная). Дело в том, что постоянная не принадлежит к определенному выше классу, так как не стремится к нулю при я -♦ + <*. Но в последующем мы иногда будем применять опера-
торы и к постоянным, ибо при таких обозначениях некоторые формулы оказываются более компактными. Мы надеемся, что читатель при таких упрощенных обозначениях не впадет в противоречия, связанные с написанными выше двумя формулами.
Рассматриваемые в данном дополнении операторы определяются следу
ющим образом:
r^Ds—sD^mlm,(7)
A=D2-2s+H,(8а)
A=D2-s+DsI+mImI,(86)
A=D2 + 2IsD+I Г,(9а)
A=D2—s+IsD+ImIm .(96)
Что касается операторов L и L, то они являются частными случаями опера- торов Ли Л, соответствующими равенству
„(')(,) = м<2>(х) = «(х).(10)
Таким образом,
L=D2-2m+2DuI,О1)
L=D1-2u*2IuD,(12)
где и — оператор, определяемый соотношением
и/(х) = и(х)/(х)(13)
[ так что, когда выполняется соотношение (10), мы имеем s = 2», т = 0],
^Как нетрудно видеть, данные здесь определения операторов Г, Л, L, Л и L совпадают с определениями, данными в других местах этой книги [ см. например, формулы (2.4.А.-5), (2.4.А.-6), (2.4.А.-13), (2.4.Б.-10) и (2.4.Б.-18)].
Заметим, что, действуя на /^-потенциалы, операторы Г, Л и L дают /^-потенциалы, тогда как операторы Л и L дают функции, которые не обязательно стремятся к нулю при х -> -оо»
Очевидно, что если s и т - самосопряженные, a D и 1 - кососопряженные операторы, т.е.
$т=у, mT=m,Рт= — D,(14а)
/т=-/,(14&)
то операторы Л п Л (так л® как n L и L) будут сопряжены друг другу: Л = ЛГ, А = ЛТ,L=L\ L—LT(15)
Здесь верхним индексом Т обозначены сопряженные ("транспонированные”, см. ниже) операторы. Однако в функциональном пространстве ВF-потенциалов,
для которых определено обычное скалярное произведение
UJ")=j °°dxg(x)/(x),(16)
J — ОО
где, очевидно, справедливы соотношения (14а):
(g,s/) = ($g,/),(g,m/) = (mg,/),(g,Z>/) = -(Z>g,/),(17а)
а соотношение (146), вообще говоря, не имеет места:
(176)
[ Заметим, что так как определение (16) имеет смысл, даже если только одна из двух функций g(%) и f(%) стремится к нулю при к -* + оо, скалярные произведения вида (g,//*) и (g, A f) определены всегда, когда функции ^(х) и f^ являются BF-потенциалами, несмотря на то, что сами функции I f(x) и А/Хх) в общем случае не являются ^^потенциалами, поскольку они не обязательно должны стремиться к нулю при х -> -оо.]
Далее мы, конечно, будем пользоваться обозначениями, принятыми во всей книге* Перепишем здесь для удобства некоторые из основных формул:
-f^\x,kVukx^fv*4x,kVkTf*4x,k>,
(18)
f^\x, к) ->exp(±iAx), х^±оо,
(19a)
/^(.^^-.[ТХ^рехр^Дус) йр
^[/{(^^/TX + fc)] ехр(*1&х), х-^оо,
(196)
^(х, А:) = Т(Л)/<->(х, k^f^x, -k)+R(k)fi+\x, к),
(20)
<Pn(x)=c(„+)f(+)(x,ip„)=c(~)f{~)(x,ip„), n=\,2,...,N;
(21)
Рп>^
/+”dx[F„(x)]2=l, n=l,2,...,N,
(22)
Дт [(Zc-ipJ^^)]-!^^-), «=1,2,...,^ pn>^
(23)
exp[2i^(A:)]=T(A:)/r(-k), ImJt=O,
(24a)
ekk^-e^-kY ^(±oo)=0.
(246)
Формула (24а) просто дает определение (по mod и) фазы 0(A), а формула (246) раскрывает неопределенность (modи) [ чтобы убедиться в совместимости формул (246) и (24а) нужно переписать формулу (24а), заменив к на -А, и снова применить формулу (24а)]. Очевидно, что аналогичные соотношения выполняются для всех величин с верхним индексом iU = 1, 2).
(25)(26)(27)(28)(29)(30)(31)(32)(33)(34)(25)(26)(27)(28)(29)(30)(31)(32)(33)(34)
(25)
(26)
(27)
(28)
(29)
(30)
(31)
(32)
(33)
(34)
(25)
(26)
(27)
(28)
(29)
(30)
(31)
(32)
(33)
(34)
Приведем теперь ряд свойств определенных выше операторов, включая и те, которые приводятся здесь только для полноты (прокомментируем их и докажем мы их после):
AmD=DAm, Am=-D^I, Am=-IAmD, m=0,l,2,...,
{(g(x)./(x))}=g(x)/xx(x)+/(x)gxx(x)-gx(x)/x(x)- -2j(x)g(x)/(x) + [7mg(x)][£m/(x)]-/(x^g(x),
g(x)^”/x(x)-/x(x^g(x) =
m— 1
m=l,2,3,...,m=l,2,3,...,2 (№(х),Л”-"-'/(х)}} /1=0
m=l,2,3,...,
m=l,2,3,...,
g(x^'”/x(x)+/(x)A'"gx(x) =
m— 1
2 { (Л^х), Л”-”-'/(х)} } +/(х)Л^(х) «=0
m=l,2,3,..., gx(x)Л'7(x)+/x(x)Лmg(x) =
= - 2 {{Л"8(х),Л"—У(х))]+8(х)Л”/(х) , м = Ох
т=1,2,3,...,
LmD=DLm, Lm= DLmI, Lm——ILmD, т=0,1,2,..., [[g(x),/(*)]] =g(x)/xx(x)+/(x)gxx(x)-gx(x)/x(x) - -4n(x)g(x)/(x)-/(x)£g(x),
g(x)£"/x(x)-/x(x)£"g(x) = /y [[£"g(x),^^
I /1 = 0Jx
w=l,2,3,...,
g(x)L'"/x(*)+/(x)£mgx(x)= 2 [[L"g(x),£'"-”-y(x)]] +
[ /1 = 0
gx(x)£”-/(x)+/x(x)£-”g(x)= - 2 [[£”g(x),£"-"-*/(x)l] +
+g(x)£"/(x)^ , m= 1,2,3+g(x)£"/(x)^ , m= 1,2,3/1 = 0
+g(x)£"/(x)^ , m= 1,2,3
+g(x)£"/(x)^ , m= 1,2,3
( dx 1^х\хД)1^2\х, k>)m*\ = 2ik^R<V)(к) —R^2\kY\,(35)
— 00
/■♦“ах^х.^Чх.^^ВД^^(36)
* — 00
( dx ф(Х\х, k)ft2\x, k)Af(x) = *' — ао
= (2ik)2Jdx ^(Х)(х, к)^(2)(х, к)/(х),(37)
J dx[s<{x,k)]2L/(x) = (2ik)2J dx[^(x, k)pf(x),(38)
{^ХхЛ^а^Ч^ЧхЛ^Ь^^ХкН^'ХхЛУ у=1,2,(39)
Л[ /<х\х, k^f^Xx, к)] = (2ik)2[/('\х, к)/№(х, к)] 4-
-(^/{a^+a^M'W^2^^(40)
А[/<+Х1ЧхД)/<+х2,(хД)] = (2^)2[/(+х,,(хЛ)/,+><2|(х,А)],(41)
Л[^(,)(х, к)^<2)(х, A^^^ifc^f^'yx, &)^<2>(х, Л)] +
Ч^^'Ч^-Я^ЧМрю^Нг^Ч^'ЧМ+Я^ЧМ],(42)
£[/(х, k)]2 = (2i(t)2[/(х, A)]2-26(2ifc)2[a+M(fc)J,(43)
£[/<+)(хД)]2=(21Л)2[/<+>(хД)]2,(44)
£[^(хД)]2 = (21к)2[^(х,А:)]2-2(2(А:)2/?(к),(45)
у + ”ах[С(Л)т1+Я(Л)Г1] =
^я-"1 f + CCdk(G(-4k2)[T(2)(k)/Tw(k)-Tw(k)/T(2)(k)l -
- 2ikH(-4к2) [Т^Ч к )/Г(|)( к) + Т°Ч к)/Т^Хк)]} +
+ 2^2 [с'+х2>сГх27Г,111^20][с(4^2,Ъ2^//(4^2)]-
-2 Д [сГ^^-х'У^О^1*)] [С^'»2) -2^>Я(4^(46а)
ММ’
G^= 2 Gmzm, н^г^г 2 Hmzm, 0<М,М'<оо,(466)
m-0m=0
( Xdx[g(A)m-\+h(A)r-1]{/[G(A)«-1 +Я(Л)Г 1]} =
•' — 00
= -<' Г”dklik^B^WGi-Ak^-IikBt-^k') X
хН(,-4кг^\\ту\к^/Т1х\к^Т^^-f-
4\BV4k)G^-4k1)-likBV'4k)H(v-4k1)\ х
^T^W/TW^kV^W/T^Vk^ +
+4 2 VM^-^wW^ п = 1
x[g(4/><2>2)+2P<2W^+
+4 2 [^r^r'V^W'Ol^W'Ox
x[<?(4rf)2) -г^’Я^')2)],(47a)
g(*) = 2 gm-”, h^= 2 hmzm, 0<M,M’<oo,(476)
Вх"Чк)=В^Чк)*В^Чк),(47b)
B^~4k)=g( — 4/с2)+й(— 4k1) f dxm-l+[ dxmlx
X [g#(-4k2, A)m-1 +Л*(-4к2, Л)Г-1],(47г)
57,(^) = 2i<r^A(—4k1) + Jdx^g*( — 4k1, A)m-A +
+й#(-4*2,Л)Г1]|,(47д)
g*(zi,z2)=[g(z1)-g(z2)]/(z1-z2),(47e)
h#(z1,z2)=[k(zt)-k(z2)]/(zl-z2),
Ат=Г” dxAmm\, m=0,l,2,...,(48a)
Am = j+O°dxmIAm~'r-l, m=l,2,3,...,(486)
4m = «7"iy + 0Cd^(2ifc)2”[T(2>(A:)/r<,)(A:)-r(l)(A:)/T(2)(A:)] +
+2 2 ^p?)2mV^4-xlVT(4xp^-2 2 x n=1n—1
xt^*"^**0/^2»^^1*)], m=0,l,2,...,(48b)
(48г)(48д)(49a)(496)(48г)(48д)(49a)(496)(49b)(49r)(49д)(50)(51a)(516)(52a)(526)(49b)(49r)(49д)(50)(51a)(516)(52a)(526)A^= f + Xdxu(x)I(A°>)m~' -00A^= f + Xdxu(x)I(A°>)m~' -00
(48г)
(48д)
(49a)
(496)
(48г)
(48д)
(49a)
(496)
(49b)
(49r)
(49д)
(50)
(51a)
(516)
(52a)
(526)
(49b)
(49r)
(49д)
(50)
(51a)
(516)
(52a)
(526)
A^= f + Xdxu(x)I(A°>)m~' -00
A^= f + Xdxu(x)I(A°>)m~' -00
T®(kVT°4k)-Tw(kVTwW = м
= -2 2 А^ТхУ 1т ЧоОГ^-^Дтк^О,
sin^XA:) —^*2)(Л>] =
= 2 (-l)m+l^m(2fc)-2m-I4-O(A:-2A/-3), Imk=O, т=0
BmsJ+°°dxAmr\, m=0,I,2
В=( dxmIAmml, m=0,l,2,...,
5m=-«7-1J+”dA:(2ik)2m+'[T<2,(A:)/T(1>(A:)+r(,)(^)/r<2)(A:)]'+
Nm
+ 2 2 ^/^^'[^X2^/^^ + n = 1
N^
+2 2 (2rf0[^^r^W0)], ^=0,1,2,...
Т^куТ^к^Т^кУТ^ОУ =
M
=2-2 2 (-l)m6m(2jt)'2m-2+O(^-2M-4), Im&>0,
cos^1*^) —l*2*^)] =
= 1- 2 к-^тВт^кугт'г*О<к"гм-*У \mk=0, m — Q
[ + ^х(Г-1)(Мтт1)=Вт(+^хт1-Лт+1, m=0,l,2,...,
•'-oo•'-00
Л(0)=D2—u4-Du!4- ulul,
A0)/(x)=/xx(x)-2m(x)/(x) + ux(x)£ Xdyf(y) +
+ u(x)J dyu(y)f dzf(z),
A(^=fdx(A(0))mu(x), w = 0,l,2,...,
— 00
ux(x) + «(x)j dyu(y) ,
m=l,2,3,...
А^Ч ”dk(2ik)2m[l/T(k)-T(k)\ -
-2 2 ФрпУ^Ч"^ m=QA,2,..„ n= 1
sinW= 2 Н)"+',1№Г2”"1 + О(Г2И-3)| Im>1=0, w=0
(52b)
(52r)
B^-f dx(Ab>y ux(x) + u(x)J "dyuky) , J —*x
(53a)
B^ — ( dxu(x)l(A(0))mu(x)t m = 0,1,2,..., * —00
(536)
^^-^'/^dH^^n/TUHTU)] +
+ 2 2 (2Л)2т+1с<+>с<->, m=0,l,2,..„ n= 1
(53b)
M
cos^(A) = l- 2 k-TB^k2ky2m"2*Okk"2M-*Y Imfc = 0,
(53г)
Г” dxLmuxkx)=0, m = 0,l,2,...,
•' — 00
(54a)
/"+0°dx [£”их(х)]/[Гтмл(х)1 =0, n,m=0,\,2,..., * —00
(546)
(dx[Z"u(x)]D[£"1u(x)] =0, n, m = 0,1,2,...,
•'-00
(54b)
j dxLw+1^u(x) = 2y dx 6и(х)1Ьтих(х), zn=O, 1,2,...,
(55a)
J dxLm6ux{x)=2 2 / dxL^^u-OC^K)/] x
•'-00„^l-'-oo
^Lm"nu^x^ w=l,2,3,...,
(556)
y + oo+oo_
I dxLm6uxkx^2^, I d^£^'[(<yu)D+P(<Ju)] x
•'-00
*Lm"nu<x), m=l,2,3,...,
(55в)
f+”dxLmSu(x) = (-iy+,»7'"' Г”dkk2kVm8 x
•'-00•'-op
х1п[Г(^)Г(-А:)]-4 2 kW"8p„, m=0,l,2,...,
(55r)
м
^к^ 2 »т(1кугт"' +О(к”2м"3'), 1тк=0,
(56a)
»т=-Ст, т=0,1,2,..„
(566)
Стг(-1)т(2т+1) 7dxLm[xMx(x)+2«(x)],
т=0,1,2,...,
(57a)
Ст = (-1)т(2т+1)"' (+W dxLmu(x'), т=0,1,2,..., * —оо
(576)
Ст=-г-7 + ^(2£)2т1п[Ш)Т(-£)] +
*' — 00
+2(-1)'"+1(2т+1)"' 2 М2т+\ т=0,1,2,..„
п — 1
(57b)
Cm = (-l)m^'dyJdx[L(yu)]mu(x), т=0,1,2,...,
(57r)
С0=Г dxu(x),
* ~ 00
(58a)
Ct-J ч-<[ы(х)]2,
•'-00
(586)
С2 = /dx{2[“(X)]3+[“x(^)]2},
(58b)
sm( 2 [с^-с®]^^ 2 (-гГл^1,
(59)
cos( 2 [С^-С®]^^!- 2 (-1)Хг2т+2,
(60)
sin[ 2 cmz2m+,l= 2 (-1)т^2'"+|, .т=0.т=0
(61)
cos 2 Cmz2m+l =1-2 (-l)mB^z2,"+?,
. т = 0.т — 0
(62)
SCm = (-l)m [+0°dxLmSu(x), т=0,1,2,...,
•' — оо
(63a)
dj dxt'"[xux(x) + 2«(x)] = (2m+l)y dxLmSu(x),
(636)
Mf(x)^fx(x)~ ( dyu(y)f(y),
•' — 00 •
(64a)
Л//(х) = (Р+/и)/(х)-/" dyu(y)f(.y),
(646)
(Мт)2=№,<64в>
Cm=(-l)m Г”dxt<(x)Af2'M, m=0,l,2,...,(65)
*-oo
sinf 2 Cmzlm+A= 2 CmZ2m+1,(66)
,m=0m=0
cm=(-l)mA^, m=0,l,2,....(67)
Формулы (25) прямо следуют из определений (8) и (9) и из свойства (5).
Определение (26) вводится только для того, чтобы компактно представить правые части соотношений (27) — (29), отражающих те свойства операторов Л и Л, которые используются при выводе других приводимых ниже результатов. Отметим, что правая часть этих уравнений была записана как производная явного выражения (которое, однако, не обязательно стремится к нулю при х -> -оо). В частности, соотношение (27) справедливо во всех случаях, когда две функции f(x) и ^(х) принадлежат классу функций, обладающих свойством (25) [так, например, формула (27) неприменима при f(x) = 1, так как DA • 1* 0 = Л D • 1]; фактически в формуле (27) выражается то обстоятельство, что в этом функциональном пространстве соотношение (15) не имеет места. Действительно, интегрируя обе части равенства (27) при т = 1, легко убедиться, что Лг Л:
где скалярное произведение определяется формулой (16). Доказательство формулы (27) (по индукции) оставляется читателю в качестве легкого упражнения.
Формулу (28) легко вывести из равенства (27), прибавив к обеим его чао тям выражение [ fkx^N71 g(x)]x и используя формулу (25). Точно так же формула'(29) получается из равенства (27) вычитанием из обеих его частей выражения [ ^(х) A^f (х)]*. Для дальнейшего мы здесь укажем, что получающееся уравнение (29) справедливо для более широкого класса функций, чем рассматриваемый в предыдущем случае. Соотношение (29) фактически представляет собой тождество, содержащее только оператор Л, и поэтому его справедливость гарантируется более слабым условием, состоящим в том, что операторы IsD и Imlm определены [формула (9б)]. Поэтому, если, например, два потенциала и(1)(х) И U(2)(x)’[формулы (1) и (2)1 экспоненциально стремятся к нулю при х -► + о» , то формула (29) справедлива, даже если f(x) и Их) — полиномиальные функции.
Формула (30) - это просто формула (25) в случае (10). Точно так же формулы (31) — (34) выводятся в частном случае (10) из формул (26) — (29). Конечно, сказанное выше об этих уравнениях относится и к этим случаям. В
частности, уравнение
(g,L/x)-(Lg,/J = 2/(-«)(«-l,Pg)(69)
показывает, что операторы L и L не сопряжены друг дру; у [ ср. с тем, что говорилось о соотношении (15)].
Формулы (35), (36), (38) и (39) взяты из гл. 2, § 4, п. А (см. также дополнение Д.6).
Определение (39) вводит общее решение уравнения Шредингера с потенциалом иМ) (%) как линейную комбинацию решений Йоста [ формулы (18) и (19)], причем aV) и Ь^^ - произвольные постоянные. В справедливости формулы (40) можно убедиться, проделав элементарные, но длинные выкладки с использованием формул (18) и (.19); это оставляется в качестве упражнения самому читателю. Формулы (41) и (42) - это частные случаи предыдущей формулы; действительно, формула (41) получается из нее при а^^=1, Ъ^ = 0, а формула (42) — при а^ = 0, Ъ^ - 1 [формула (20)]. Формулы (43) - (45) получаются из предыдущих в частном случае условия (10), т.е. просто в формулах (39) - (42) опускается индекс /.
Основными результатами этого дополнения являются формулы (46) и (47) вместе со своими частными случаями (48) и (49). Прежде чем доказать их, заметим следующее.
На основании соотношения унитарности j=l,2,(70)
с учетом четности подынтегрального выражения члены с [ 1^4$ / Т^Чк^Т^Чк^/Т^ЧЙ] в правой части формул (46а) и (47а) можно заменить выражением
[/^(^'’(-fc)-^2^)/^-*)]/^^(71)
Этим, кстати, подтверждается сходимость интегралов, так как (дополнение Д. 3)
Jim [T(fc)] = l, Im^=0,(72а)
Jim [^^(^)]=0, m=0J,2,...,Im^=0.(726)
[ Читатель, озадаченный кажущимся противоречием между формулой (72а) и сходимостью интеграла в правой части формул (46а) и (47а), должен учесть, что фактически только нечетная по к часть выражения [ I^2^kV^^(к) + * T^HkWT^ ЦсП вносит вклад в интеграл, а эта часть действительно стремится к нулю быстрее любой обратной степени к, см. формулы (71) и (726). ]
Заметим далее, что формулы (46а) и (47а) были написаны для общего случая двух потенциалов и^Чх\ и г/2^ (я), имеющих разные собственные значения, но они остаются справедливыми и тогда, когда некоторые из собственных значений совпадают; при этом они упрощаются, как следует из формулы
[ формула (23)]
lim [TW(Jt)l_,=o,С73)
посредством которой устраняются соответствующие члены в суммах.
Перейдем теперь к доказательству формул (46а) и (47а). Будем исходить из формул (2.4.Б.-11) и (2.4.Б.-12), которые для удобства перепишем в виде
dy\G(A)m-\-VH(A)r\^ =
= —ir~1f dk f<+^(xy k^f^^x, к) х
+ 21кЯ(-4Р)[я(1>(к) + Я®(£)]}+2 2 /(+x'>(x,ip<2>)х п = 1
-i 2 rnxApW^ApW^ n = 1
х[с(4р<->2)-2р<1)я(4р<'>2)].(74)
Эта формула получается, если в формуле (2.4.Б.-11) положить ^г) = C(z), а в формуле (2.4.Б.-12) положить g^z) = H(z)9 просуммировать получающиеся равенства и использовать формулу (25). Как явствует из формулы (466), функции G^ и Н(^ являются произвольными полиномами.
Тогда легко видеть, что формула (46а) есть просто предельный случай формулы (74) при х -* -оо. В самом деле, рассмотрим сначала это равенство в пределе при х -♦ + ~, Тогда, очевидно, левая часть, так же как и сумма в правой части, обращается в нуль [формулы (2.4.Б.-6а) и (2.4.Б.-8а) или (19а), когда параметр к лежит на положительной мнимой оси]. Отсюда заключаем, что
lim \ r^dkf^xA^^xAV х^+оо 1^-00
х([с(-4А:2)+21А:Я(-4А:2)]/?(1>(^) -
-[G(-4k2)-2i^(-4A:2)]«(2)(A:)}|=0.(75)
Но это просто следствие [формула (72б)] соотношения (19а) и формулы
/
г +оо1
dA:exp(±2iArx)f(A:) =0,(76)
~ —-00I
которая применима, если функция FW регулярна (дифференцируема) при действительных к и стремится к нулю при к -> ±<*.
То же самое свойство вместе с формулами (2.4.Б.-66), (2.4.Б.-86), (2.1.-29), (2.1.-25) и (2.4.Б.-16) [см. также формулы (196) и (21)] позволяет перейти в выражении (74) к пределу при х -♦ -<». С учетом также сделанного выше первого замечания [ формула (71)], равно как и формулы (72), мы получим в точности формулу (,46а), что и требовалось.
Для доказательства формулы (47а) нужно еще следующее соотношение, обобщенное выражение вронскиана:
( dx/(+Х1)(х, k^f^^^x, к)\^Л)т-\А-к(Л)Г-1]=
^'Ик^Чк^К^Ч-к^/^Чк^Ч-к^-
-В^Ч-к^'Ч-к)/[Г(1)(-^)Т(2>(^)]},(77^
которое справедливо (по крайней мере) при 1тй > 0. Здесь функция В^Чк) дается формулами (47г) и (47д) (очевидно, представляющими ее четную и нечетную части). Один из способов вывести формулу (77) - проинтегрировать обе части равенства (Д.20.-28) по всей оси х, когда Vi\x^ = f^+^7'^(x, к^» с учетом формул (Д.20.-2 4), (19а), (19б), (Д.20,-30) — (Д.20.-32). Две функг ции ^(г) и Л(я), входящие в формулу (77), являются полиномами [формула (476)]. Остается теперь умножить обе части равенства (74) на функцию [ HA) m*l + h (Л) Г • 1] и затем проинтегрировать по всей оси х [изменив порядок интегрирования по переменным х и к в правой части и использовав формулу (77) ]. Чтобы полученное соотношение совпадало с формулой (47а), нужно еще раз использовать соотношение унитарности и свойства четности подынтегрального выражения. Конечно, сказанное ранее по поводу формулы (46а) относится и к формуле (47а).
То обстоятельство, что в формулу (47а) входят четыре произвольных полинома [Hz)» A(z), G^ и Н^Д» дает возможность получить как частные
случаи рассматриваемые ниже операторные тождества.
Формулы (48а) и (49а) - это просто определения. Тогда формула (48в) [или (49в),] есть частный случай формулы (46а) при G(z) = zm и Я(г) = 0 [или при G^ = 0 и H(z) = zm ].
Цк) = n [l + (p„A)2] 'exp тЦк) = n [l + (p„A)2] 'exp тОтметим, что поскольку коэффициент прохождения может быть в явной форме выражен через спектральные данные посредством дисперсионной формулы (дополнение Д. 4)
Цк) = n [l + (p„A)2] 'exp т
Цк) = n [l + (p„A)2] 'exp т
Ч dq(q-k) 4(q) , Im k>0,(78a)
^(^) = -(2^) X?J dq(q-k) ’ln[l-R(q)R( ^)] +2 2 Arctg(p„/A:),
(786)(786)Im k = 0.
(786)
(786)
то формулы (48в) и (49в) [или, в более общем случае, формулы (46а) и (47а)] дают нелинейные функционалы от соответствующих потенциалов, в явном виде выраженные через спектральные данные.
Рассмотрим теперь формулы (486) и (496); это другие выражения для величин (48а) и (49а). Очевидно, что равенство этих выражёний ничего общего не имеет со спектральной задачей, а просто отражает определенные свойст» ва интегро-дифференциальных операторов, задаваемых формулами (1), (2), (4), (7).и (8) [с функциями uM\%U j = 1, 2, принадлежащими классу /^-потенциалов]. При доказательстве формулы (486) нужно исходить из того, что при <(z) = 1, A(z) = О, G^ = 0, //(z) = zm~ 1 правая часть равенства (47а) совпадает с правой частью равенства (48в); формула (486) следует из равенства соответствующих левых частей. Аналогично доказывается формула (496): нужно положить в формуле (47а) ^(z) = 1, A(z) = 0, G(z) = zm, ^(z) = 0, и тогда правая часть полученного равенства совпадет с правой частью равенства (49в).
Очевидно, что из формул (46а) [при использовании формул (48в) и (49в)] и (47а) можно получить дополнительные (более сложные) операторные тождества. Для примера мы привели уравнение,(50), которое получается, если в формуле (47а) положить g(z) = 0, h(z) = 1, C(z) = zm и H(z) = 0 и сравнить полученное выражение в правой части с формулами (48в) и (49в).
Докажем теперь формулу (48г), предполагая для простоты, что нет дискретных собственных значений, связанных как с потенциалом i/1^), так и с потенциалом и^ (я) (V^ = V^ = 0). Тогда в правой части формулы (48в) нет двух сумм. Кроме того, функция
Е^к^Т^Чк^/Т^Чк^-Т^Ч^(79)
входящая в левую часть^ формулы (48г) и в подынтегральное выражение в формуле (48в), обладает следующими свойствами:
Функция F^ голоморфна в полуплоскости Im& > 0. Действительно (гл. 2, § 1), функция TW в полуплоскости Im& > 0 не имеет нулей и голоморфна, если нет дискретных собственных значений, как мы теперь предположили.
При к -* t оо четная часть функции FW стремится к нулю быстрее любой степени к; это следует из свойства (дополнение Д. 3) tlimJ|^[l-r(A:)T(-fc)]}=0^ m=O,1,2,..., Imfc=0.(80)
Нечетная часть функции РЩ [ а потому и сама функция РЦс)> см. свойство 2] допускает асимптотическое разложение по обратным (нечетным) степеням к» как следует из формул (24а) и (56а):
м
№ = 2 гт№ку2т”Чо(к"гм-3У 1тк=0.(81)
т = 0
Функция FW стремится к нулю при 1mA: -♦ + ~.
Поэтому функцию F^ можно представить в виде интеграла Коши (см., например, дополнение Д.4)
Р(к^ = (л1ГхрГ00йЧР(л')Д<1-к'), Im^=0(82)
*“00
и разложить нечетную часть этой функции по обратным степеням параметра к» получив, таким образом, формулу для коэффициентов Fm асимптотичео кого разложения (81)
Fm=-2^~lf °°dq^liq^F^qy m=0,1,2,....(83)
Отметим, что интеграл в правой части сходится, так как вклад дает только четная часть функции F^ (в силу свойства 2).
Формула (81) [ вместе с формулами (79) и (83) ] воспроизводит формулу (48г) вместе с формулой (48в). В качестве упражнения читателю оставляется распространение доказательства на более общий случай с дискретными собственными значениями; тогда функция F(k^» определенная формулой (79), имеет простые полюсы в полуплоскости 1mA: > 0, которые дают вклад в формулу Коши (82) в виде дополнительных сумм, и этими дополнительными членами учитываются суммы в правой части формулы (48в), которые дают вклад дискретных собственных значений [ формула (23)].
Так как при больших к
Г( к)« exp [i^( к)],(84)
где знак приблизительного равенства означает асимптотическое равенство с точностью до поправок, стремящихся к нулю быстрее любой обратной степени А:, выражение в левой части формулы (48г) можно заменить величиной sin[6^2^(A:) - О^^А:) ] [получится формула (48д)] или, например, раз- ностью TtoWTwV-k\- TwWUH-kV
Доказательство формулы (49г) совершенно аналогично только что приведенному доказательству формулы (48д); заметим, однако, что мы теперь имеем дело с функцией, нечетная часть которой стремится к нулю быстрее любой обратной степени к при к -♦ ± «>. Это доказательство, равно как и аналогичное доказательство формулы (49д), оставляем читателю в качестве легкого упражнения.
Ясно, что, сравнивая формулы (48д) и (49д) и используя элементарные свойства круговых функций, можно легко выразить величины А^ через Вт или наоборот, например:
В^АоА^^-^А^Ао.<85>
Конечно, вследствие определений (48а) и (49а) эти равенства выражают нетривиальные свойства интегоо-диЛЛевенпиального опеватова А.
Формулы (52) и (53) - это частный случай формул (48) и (49), соответствующий функциям u^\x) = u^i и^2^х^ = 0. Таким образом, определенный явной формулой (51) оператор Л^ - это просто оператор Л [формула (8) ] в этом частном случае. Конечно, в этом случае Т^Щ = T^t Т^2\$ = 1 и потому 6^^)= 0(A), ^2Цк\ = 0 и т.д.
Формулы (54) — это простейшие нетривиальные следствия формул (46) и (47) в пределе, когда функции и^Чх) и и^2Чх) совпадают. В частности, формула (54а) (которая доказывается и в дополнении Д. 8) сразу получается, если в формулах (49а) и (496) положить и^Ы = и^М = М Формула (546) следует таким же образом из формулы (47а) при A(z) = zn и ^(z) = z1^ заметим, однако, что интеграл в правой части обращается в нуль вследствие свойства четности подынтегрального выражения, а суммы обращаются в нуль в силу формулы (73). Если переписать формулу (546), воспользовавшись соотношением (30) для L и L, то мы получим формулу (54в).
Следующая группа формул (55) получается из формул (48) и (49), если рассматривать разность и^Чх^ - и^ (х) = 5и(х) как инфинитезималън^ю вариацию; формула (55а) следует из равенств (48а) и (486) при и^1^ (х) = = u(x) + 5и(х) и и^2Чх^ = ukxV Формулы (556) и (55в) есть результат равенства нулю члена первого порядка в выражении (49а) для Вт , поскольку он, как легко показать, пользуясь формулой (496), представляет собой бесконечно малую второго порядка по Ъикх^ Очевидно, что два уравнения выражают свойства интегро-дифференциального оператора L, ничего общего не имеющие с обратной задачей. Мы вернемся к этому ниже. Наоборот, уравнение (55г) связывает инфинитезимальное изменение потенциала с соответствующим изменением спектральные данных; оно получается из формул (48а) и (48в), если положить T^W = Г(А) + ЬТ^, Т(2)(А) = TW и т.д. (при вычисление суммы в формуле (551) по формуле (23) нужно быть осторожным).
Формула (57а) — это определение [ согласующееся с обозначениями, ио пользуемыми в других местах, см. формулы (1.7.В.-5) и (5.-12)]. Уравнение (566), дающее простую связь между интегральными выражениями (57а) и асимптотическим разложением фазы 0(A) (56а), доказано в дополнении Д. 8. Формула (57в), в которой коэффициенты Ст выражаются через спектральные данные [ формула (70)], получается с помощью формул (566) и (56а) при разложении выражения (786) по обратным степеням А. Примеры (58) приведены для полноты.
Примеры (58) показывают, что всегда можно проинтегрировать явную зависимость от х в подынтегральном выражении (57а). То, что это замечательное свойство имеет место при всех т> 0, следует из альтернативного выражения (576). Справедливость последнего можно доказать, положив в формуле (34) f(x) = хи gM = 1, заметив, что
(86)(86)£•1 = — 2и(х),Lx=—2 хи(х) —f dyu^y) ,
(86)
(86)
и затем проинтегрировав по всей оси х обе части формулы (34); это дает
Ьпи<х\Ьт-п"г хЬпи<х\Ьт-п"г хC”dxLmu(x) = Cm-2 lim 2
Ьпи<х\Ьт-п"г х
Ьпи<х\Ьт-п"г х
-00X- -ОО п=0
(87)(87)х I xu(x) — f dy u(y)
(87)
(87)
где наряду с определением (31) мы воспользовались выражением для предела
lim Lwu(x)=-( dxDLmu(x) =.
Х—-0О* — 00
= -[ + XdxLmux(x)^0, /и=0,1,2,...,(88)
* — ОО
которое справедливо в силу формул (12), (30) и (54а). Снова используя свойство (88), можно легко показать, что предел выражения (87) равен нулю, чем и и доказывается формула (57б).
Для доказательства соотношения (57г) мы воспользуемся формулой (63а) [ которая сама доказывается ниже, конечно, без привлечения формулы (57г)]; в самом деле, формула (57г) получается, если в формуле (63а) функцию и(х) заменить функцией уи^, принять вариацию 6 равной инфинитезимальной вариации величины у, т.е. заменить вариацию 5и(х) величиной u(x)dy, и проинтегрировать по у от 0 до 1.
Формулу (59) [или (60)] легко получить из асимптотического разложения (48д) [или (49д)], скомбинировав его с асимптотическим разложением (56а) [ или (566)], где коэффициенты С^ соответствуют потенциалу иМ ^ ^ [ формула (57а) с функцией и"^^» i = L 2, вместо функции u(x)L Эти формулы следует понимать так, что нужно снова разложить левую часть и затем приравнять коэффициенты при одинаковых степенях z. Как указывалось, они удобны для представления величин Ат и Вт в виде нелинейных комбинаций величин С^ - С^ , 0 < п < т (и, наоборот, с использованием обратных круговых функций). Возможность такого выражения является свойством величин Ат и В^, которое далеко не очевидно из их определений (48а) и (49а). Первые два примера этих формул имеют вид
А0=С^-С^, Л = |[ср-С<р]3-[сР-СР],(89)
Sq^C^-CP]2,
Вх = £[СР-СР]4- [С^-Ср] [ср - ср].(90)
Формулы (61) и (62) - это просто частные случаи предыдущих разложений, соответствующие значениям и^Чх^ = 0 и ^^(х) = иМ» Они дают нетривиальные соотношения для операторов L [формула (57а)] и Л(о)[формула (52а)].
В дополнении Д.8 доказывается важная вариационная формула (636), которая представляет собой просто формулу (63а) с учетом формулы (57а). Ее легко вывести здесь еще раз, заменив в формуле (59) конечную разность двух потенциалов инфинитезимальной вариацией [т.е. и^\х) = и(х) + 5иМ> и^(х) = и^, С^ = 'Ст + 5С^ С^ = Ст и т.д. 1 и подставив вместо Ат вклад первого порядка по Ъи^, полученный из формулы (48а).
Формулы (64) и (65) — просто определения, приводимые здесь для полноты; см. Дополнение Д. 13, где с использованием спектральной задачи доказывается и формула (66), хотя очевидно, что она является операторным тож- деств-эм, к спектральной задаче отношения не имеющим. Равенство (64в) легко проверить, заметив, что
fT.f^r dyf(y), MT=-D-Hl(91)
* - оо
[ где транспонирование оператора определяется относительно симметричного скалярного произведения (16) ], и потом сравнив с формулой (51а). Наконец, формулу (67) легко получить из формул (61) и (67) или же непосредственно переписав формулу (65) в виде
(92)
и затем воспользовавшись формулой (64в).
Прокомментируем, наконец, некоторые из установленных операторных тождеств. Наиболее интересны для нас формулы (54); их можно представить в локальной форме с учетом определений
Vu^x^g^U),(93)
[L^x^/L^x)^"-'"’^), т,«=0,1,2,...,(94)
и свойств
gw(±oo)=0, т=0,1,2,..„(95)
G<”-m>(±oo)=0, т,«=0,1,2,... .(96)
Конечно, нетривиально именно одновременное выполнение двух последних равенств на обоих концах; это следствие того, что на обоих концах функция и(х^ вместе со всеми своими производными асимптотически равна нулю.
Фактически легко видеть, что из условия ^т)(+оо) = 0 и свойства (30) следует явное выражение для ”потоков”
m = 0,l,2,...,(97)
. равно как и соотношение
^’"Чх)- -g(m4x)^n4xL т, л=0, 1,2,...(98)
[ см. также формулу (5) ]; кроме того, из этого соотношения сразу же следу-
ет, что
G('”.'»(x) = -G(”.'")(x)-g(m)(x)g('»(x)) «,, «=0,1,2,...,
(99а)
<?('"•'")(,) =-itgC^A:)]2, m=0,1,2,... .
(996)
Явные выражения для нескольких первых "потоков" «^ (*) и
С^ ^^ та-
ковы:
g<0)=«,
(100а)
£(1) = Ихх~Зм2,
(1006)
g(2) = uxxxx-5u2- 10uxxu + 10 u3,
(Ю0в)
<7(0’°)=-^2>
(101а)
<7(1’0)=-^2 + tA
(1016)
^(2,0)_ _m^m^^^4-1u2^ + 5uu2_Iu4^
(Ю1в)
^(1,1)— _1и2^_^зм2м^х_ 1^4
(101г)
Представленные выражения указывают на то, что ^^ и G^m*
’ ”* являются не-
линейными (полиномиальными) комбинациями функции и и ее производных; такой вывод автоматически гарантирует справедливость свойств (95) и (96), но и сам по себе не тривиален, так как определения (93) и (94) [или выражения (97Vи (98)] содержат интегральный оператор I • Чтобы доказавать, что и g^ t и G^m> п ) обладают этим свойством при всех неотрицательных значениях тип, мы будем исходить из рекуррентного соотношения
g^+x\x)=LgimXx) = Yg<m4xV2^^^^ m= 1,2,3,...,(102а)
g^x^u^x^,(1026)
где Y - чисто дифференциальный (т.е. не интегральный) оператор, определенный формулой
¥=Пг-1«.I103)
Рекуррентное уравнение (102) следует из формул (97), (12), (98) и (Ю0а), и его формальное решение имеет вид
т — 1
gW(x) = rw(x)+2 2т=1,2,3„...(104)
п=0
Далее мы выразим величину G^» п ) через Функции ^ при 0< т< п, пользуясь формулой (33), где g = f = и* Простые выкладки дают
п— 1
^(О,л)= _^(n)_ 2 ^Wy^n-m-\>_ ^gWg<xn-m-X^-V т-0
+ 4 5 gwg<n"m\ «=1,2,3 (105)
m = 0
Из формул (105) и (104) следует, что если g^^ - полином от функции и и ее производных при 0< п^ т-1, то этим свойством обладает и ^т\ что в силу формул (100) и (101) имеет место тогда по индукции при всех т> 0.
Что касается величины С^т»п^ , то из тождества (34) при g = и и f = я^п^ следует, что т— 1
^(m,n)_ _^(0,m + n) + ^ ^gO)yg(m + w-j-1) 7=0
+ g( т + п -j - 1) Yg(j ) _ gp)g( w + л ~/ - 1)) —
- £ guYn+m~1\ m= 1,2,3,..., «=0,1,2,...,(106)
y=O
а это вместе с формулой (105) позволяет явно выразить С^т> п^ через полиномы /п^ и их производные [ формула (ЮЗ)], чем и завершается доказательство.
Можно также переписать в локальной форме и несколько других операторных тождеств. Например, можно принять следующие определения:
а<хпЧх^(Лпт-т1Лп-хГу\, п = 1,2,3,.(107а) b^Xx^^r-mlA^yi, и=0,1,2,...,(108а)
4”>(x)=£"+^u(x)-2[<?u(x)^л=0,1,2,...,(109а)
/^хЧ^ — ^^Ь^хи^х) + 2и(х)]} -(2л+ Х^^Зи^хУ(110а)
л=0,1,2,...,
q^x^VA^Vu^-u^M^-X, и=0,1,2,... .(111а)
Тогда сразу же видно, что из формул (48а) и (486) следует равенство д^)(±оо)=0, м = 1,2,3,...,(1076)
из формул (49а) и (496) - равенство &<”>(±оо)=0, л=0,1,2,...,<108б)
из формулы (55а) — равенство
^")(± оо) =0, «=0,1,2,...,(Ю9б)
из формулы (636) — равенство
//”,(±оо) = 0, « = 0,1,2,...,(110б>
а из формул (67), (52а) и (65) — равенство
»<л)(±оо)=0, «=0,1,2,....(1116)
Нетривиальность этих соотношений в том, что все "потоки” (определенные с
(107b)(108b)(108r)(109b)(110b)(110r)(111B)(Hlr)(107b)(108b)(108r)(109b)(110b)(110r)(111B)(Hlr)
(107b)
(108b)
(108r)
(109b)
(110b)
(110r)
(111B)
(Hlr)
(107b)
(108b)
(108r)
(109b)
(110b)
(110r)
(111B)
(Hlr)
точностью до аддитивных постоянных) стремятся к нулю на обоих концах; это автоматически следует из того, что все функции, входящие в эти формулы [т.е. функции s^ = и^Ы + ^2^(x),m(x) = u^M - t/2)(я),.функция uM и ее инфинитезимальная вариация би(х)1, принадлежат каассу /^-потенциалов, т.е. вместе со всеми своими производными обращаются в нуль на обоих концах. Чтобы показать, как это происходит, приведем несколько примеров:
e(l)(x) =тх(х) +s(x)j dym(y),
Ь(0>(х)=»(х), 6(l>(^)=^x(x)-i»2(^)-i"i2(x) +
+ mx(x)jT d>w(y)+s(x) рйут(у) , ^Чх^би^х^ + ^и^х1) j dy6u(y), д^(х)=х8и(х), д(1\х)=хдихх(х)—6хи(х)8и(х) +
+ 28u(x)f dyu(y)-4u(x)f dy8u(yY q^(x)=Q, XX
?(14x) = ux(.x) + u(x)y dyu^ +
/+ 001 Г /-0°1 Г'
d^u(^) / d^u(^) /d^u(^) .
L -00* X* —
Д.10. Двухсолитонное решение уравненияКдВ и высших уравнений КдВ
Здесь мы продемонстрируем двухсолитонное решение класса эволюционных уравнений
M,=a(L)ux, u=u^x,t),(О
где L - интегро-дифференциальный оператор, определенный формулой
Lf(x)=fxx(x)-4u(xj)f(x) + 2ux(x,t)j dyf(yV(2)
Напомним, что при a(z) = - z уравнение (1) есть уравнение КдВ иЛиххх""^хи=0, u = u(xjY(3)
Мы рассмотрим некоторые свойства указанного решения. Все приведенные ниже результаты - элементарные следствия соответствующих формул, имеющихся в основном тексте.
Напомним также, что для удобства можно связать с функцией и (х, I) ее интеграл w(x,t)= [ dyu(y,t), u(x,t) = -wx(x,t),(4)
и что уравнение (1) можно переписать, перейдя к функции.и(х, г^в виде w=a^L^wxS w=^{x,t\(5)
S’ 'где £F(x)=Fxx+4wx(x,/)F(x) + 2f dywyy^y, t)F(y).(6)
Двухсолитонное решение проще записать для функции w( х, t}, нежели для функции и{х , О» и тогда оно имеет вид w(x, t^F^Px, Px^x-^t^; рг, ^[^“^(О]}>(7)
где F^kPx^vPt^ =
= [^~ИР\+Р2)~2Р(,)(Р^ y,)Fm(p2, у2)]~' х
х F^\P1, Ух^\р2,У1Л,(8)
Fw(p, У> = —2р(1—th/) = -4р[1 +ехр(2 v)]”',(9)
(,(0Ч(»НЧ2)'. „=1,2.(10)
Соответствующие спектральные данные таковы;
S[«]= {/?(£,z)=0, - oo<fc<oo;рп, pn^tY и=1,2},(11)
где
Л.(0 = 2лехР[2рл/л(0]-(12)
Приведем также соответствующие формулы для односолитонного решения:
*v(x,/)=F<i>{p;4a-/(0]},(13)
^(')=/(0)-a(4/>2)z,(14)
S[u]= {R(k, <) = 0, —co<k<co;p,p(<)),(15)
Z>(z)=2pexp[2p/(/)].(16)
Теперь нетрудно убедиться в том, что
„^ [^<2>(/>м Ух; Pi, Уг^Р^Рх^Ух).
(17а)
VF<4Px> Ух‘> Рг» Уг^Р^Хр^, ух-Уч)-Др21
(176)
где
ехр^и^+рг)/^,-?^.
(18)
Конечно, в формулах (17) индексы 1 и 2 тривиальным образом могут меняться местами.
При написании формул (17) и (18) неявно принято, чгоР! £ р2. В то же
время легко видеть, что
F^Xp, Ух1, Р, Уг^^ЧР^Ух+Уг)-^»09)
где
ехр(2<У)=2сЬ(/!-№)-0°)
Формула (20) вместе с формулами (7), (10) и (13) показывает, что если параметры pt и р2 ДВУХ солитонов совпадают (^ = р2 = р), то двухсолитонное решение переходит в односолитонное. Отметим совместимость этого результата с тождеством
^R(k), -со<к<со;Р\-Рг-р\Р\, Pi\ N=2) =
= ^R(k), — оо<А:<оо; р, р—рх А-р^ ^=l},(2 О
которое следует из самого определения спектральных данных и из того, что все дискретные собственные значения спектральной задачи Шредингера простые [чтобы полностью показать эту совместимость, нужно воспользоваться формулами (12) и (19)1
Из формул (7), (13) и (17) легко получить формулу
2
5 ^/^{р,^-^')]},(22)
п = 1
которая применима, когда расстояние между точками х t (t) и х 2( t) расположения двух солитонов велико. Количественная форма этого условия получается при исследовании первых поправочных членов к формуле (17). Она имеет вид
|х1(г)-Х2(г)|»(2/р2)1п[(р1+р2)/(р|-/>2)], (Р1>Р2)(23)
(эта формула записана в предположении, что ^ > р2 ; в противном случае нужно поменять местами индексы 1 и 2).
Заметим, что формула (22) написана для функции и( х, t), а не для функции u^Xyt); преимущество такой записи в том, что можно пренебречь постоянными, подобными тем, которые фигурируют в правой части формулы
. [Наличие или отсутствие их зависит от знаков разностей х^ t) - х2(0, х - х1(^)их-х2(0*]Но такая зависимость неизбежна, если мы хотим связать положения солитонов хп t) с величинами §п (О [формулы (10) и (12)], так как из формулы (17) следует, что
^|(0 = Л(0< x^t^^t^-fl/Pi прих2(?)<х|(?),(24а)
х^О^АО-ч/Рх, x2(t) = £2(t) при x,(?)<x2(z).(246)
Эти формулы вместе с формулами (22) [при условии (23)], (18) и (10) дают достаточно Ясную картину двухсолитонного решения (включая и его эволюцию во времени; в частности, читатель может проверить результаты гл. 1, § 6, п. А, при # -> ± оо), когда два горба в правой части выражения (22) достаточно удалены друг от друга.
Отметим также, что эти формулы не противоречат сказанному выше относительно случая, когда pt и р 2 совпадают. Дело в том, что функция q [формула (186)] расходится при р1=р2 . Таким образом, переход двухсолитонного решения в односолитонное при сближении р 1 и р 2 можно связать с исчезновением одного из солитонов на бесконечности. Правда, при сближении р! и р2 расходится и правая часть неравенства (23). Таким образом, при переходе к этому пределу нужно быть осторожным. Осторожность нужна и при анализе временной эволюции, в частности пределов при £->+«>, чтобы не получить парадоксальных результатов, причина которых в отсутствии коммутативности разных предельных переходов.
Подчеркнем, что, в то время как в случае односолитонного решения u(x,z)=-2/>2/ctf{/>[x-f(z)]}(25)
существует взаимно однозначное соответствие между, с одной стороны, параметрами р и §( t), определяющими форму и локализацию солитона в х-про- странстве, и, с другой — параметрами р и р( t) = 2 р exp [ 2р § (t)], характеризующими его спектральные данные
S[«]= ^R(k, z)=0;p,,t>(z)=2pexp[2pf(z)]},(26)
в случае двухсолитонного (и тем более N-солитонного) решения ситуация становится менее простой. Действительно, из четырех параметров, характеризующих (при каждом значении t) двухсолитонное решение, только два постоянных параметра Р 2 и р2 можно определенно связать с двумя солитонами как в спектральном, так и в конфигурационном пространстве; в спектральном пространстве они связаны с двумя дискретными собственными значениями спектральных данных ХК^цЦ =0; ^, р2; p^f), Р2(О$> а в конфигурационном пространстве они характеризуют форму двух солитонов, если последние досгаточно удалены друг от друга, так что двухсолитонное решение распадается на сумму двух достаточно удаленных друг от друга горбов. Заметим, что это означает возможность определенным образом связать в обоих пространствах каждый параметр рп с соответствующим (скажем, с п-м) солитоном. Такая идентификация,
всегда возможная в спектральном пространстве (где каждый солитон определяется одним дискретным собственным значением), в конфигурационном пространстве осуществима, конечно, только в том случае, когда солитоны достаточно удалены друг от друга и потому могут считаться отдельными объектами.
Взаимно однозначного соответствия того же рода нет для других параметров Рп(0 и §п(0 [формула (12)1, характеризующих двухсолитонные решения. Смысл этих параметров в спектральном пространстве ясен [параметр рп (0 является нормировочным множителем дискретного собственного значения рп/ связанного с n-м солитоном, см. выше); в конфигурационном же пространстве они связаны с локализацией солитонов (в предположении, что солитоны достаточно удалены друг от друга, так что положение каждого солитона определяется недвусмысленно), но не взаимно однозначным соответствием, так как, например, положение солитона х t (t) с параметром р t зависит не только от рх (t) (и pt), но и от параметров другого солитона [формулы (22) и (24) вместе с формулами (12) и (18)].
Напомним, что в гл. 3, § 2, п. А, была явно продемонстрирована эволюция во времени двухсолитонного решения уравнения КдВ.
Д.11. Преобразования Гарднера и Миуры и связанные с этим результаты
В этом кратком, но совершенно самостоятельном дополнении мы изложим некоторые результаты, касающиеся уравнения КдВ
«Л«ххх-6ихи = 0,U=u(x,t).(1)
Они важны с исторической точки зрения, так как сыграли ключевую роль в обнаружении особого характера уравнения КдВ, метода его решения, основанного на спектральном преобразовании, и бесконечной серии локальных законов сохранения. Кроме того, они позволяют исследовать основные свойства уравнения КдВ, обходясь элементарными техническими средствами.
Преобразование Миуры имеет вид
м(х,0=гх(х, 0+г2(х,0.(2)
Время входит в него только параметрически.
Если функции и и *0 связаны таким соотношением, то путем очень несложных алгебраических выкладок можно показать, что выполняются также равенства
нг+иххх-6нхн=(гг+гххх-6гхг2)х+2г(гг+^(За)
иДи х— 6мхм=(5х+2г)(а+гххх-6гхг2).(36)
Поэтому ясно, что если функция v(x , 0 удовлетворяет модифицированному уравнению Кортевега-де Вриза (мКдВ)
цЧ~гххх—6vxv2=0, v=v(x,0,(4)
то функция и(х, t)9 полученная преобразованием Миуры (2), удовлетворяет уравнению КдВ (1). Обратное не всегда верно: если и(х, t) - решение уравнения КдВ (1), a v(x, t) - функция, связанная с ней преобразованием Миуры, то из соотношений (3) следует только, что она подчиняется нелинейному интегро-дифференциальному уравнению ю>+»^-6ех«2=с(0ехр|-2у dye(/,/)j.(5)
Нижний предел интеграла в правой части не указан, так как его всегда можно переопределить за счет произвольной функции c(t). Что касается этой функции, то она связана с не зависящей от х константой интегрирования, которая может быть выбрана в любой момент времени t, когда из соотношения (2) находится функция v(x, 0 по заданной функции и^х, t^
Главное свойство преобразования Миуры - то, что оно с любым решением v(x, 0 уравнения мКдВ связывает некое решение и(х, 0 уравнения КвД (1). Укажем некоторые следствия этого.
Прежде всего рассмотрим связь между преобразованием Миуры и линейным уравнением Шредингера. (Именно такой ход рассуждений привел к открытию метода спектрального преобразования для решения уравнения КдВ.) Целесообразно, однако, рассмотреть обобщенный вариант преобразования Миуры следующего вида:
и^х, t) = vx(x9 к, /) + о2(.х, к, t^-Vk1.(6)
В эту формулу входит дополнительный параметр к 2, который будет играть роль собственного значения спектральной задачи (см. ниже). Заметим, что, как нетрудно убедиться, из формулы (6) следуют соотношения
“(+“ххх-6“х“=|л+уххх--6ох(о2+Л:2)]х + +2»[v,+»xxx-6ex(e2+fc2)];(7а)
Mr+4.xx_6Mx«=(dx+2v)[»z+«xxx_6ex(»2+P)].<76)
Таким образом, можно снова прийти к заключению, что если функция v(x, 0 удовлетворяет нелинейному эволюционному уравнению vr+t)^-6t)^(t)2+^2)=0>(8)
то функция и(х, 0, даваемая формулой (6), удовлетворяет уравнению КдВ (1).
Если допустить (что мы и делаем), что функция и (х, 0 не зависит от параметра к, то функция v будет зависеть от него, как это указано в формуле (6). В действительности зависимость функции v от параметра к может выражаться не только в наличии величины к 2 в формуле (6) (что, между прочим, указывает на зависимость от к 2, а не от к), но также в наличии зависящей от к и t и не зависящей от х “константы интегрирования”, которая появляется при интегрировании уравнения /6к
Обобщенное преобразование Миуры (6) есть уравнение Риккати относительно переменной у» Поэтому его естественно можно .линеаризовать стандартной подстановкой
^хЛ^ — Фх^к^/^хД-ДУ(9)
Таким образом, для функции <р(х, к, <) получается обыкновенное линейное дифференциальное уравнение второго порядка
— ^ + м(х, ^ф—к1^, ф^ф^хД^У(Ю)
которое есть не что иное, как уравнение Шредингера.
Кроме того, из формул (8) и (9) легко получается соотношение (Й/<Ох=[Мх-2г(М+2*2)]х>О1)
которое с учетом формулы (9) после интегрирования приводит к уравнению ^,= (их+а)^-2(.и+2к2)^,.(12)
Эта формула содержит ’’константу интегрирования” а, которая может, конечно, зависеть от к и t. Если функция и (х, t) стремится к нулю при х -> ± оо, а функция у (х, к, t) выбрана так, что удовлетворяет обычным гра
ничным условиям ф^х, kj^exp^-xkx^R^kJ^exp^ikxy х^ + оо,(13а)
Ф^х,к, t^T^k.t^exp^—ikxyх->— оо,(136)
то, подставив последние в уравнение (12), получим соотношения a=-4i/c3,(14)
RXkj^-SikWtO,(15)
T,(k,t)=O.(16)
Последние два уравнения описывают эволюцию во времени коэффициента отражения R и коэффициента прохождения Т, которая соответствует эволюции функции и^х, t) согласно уравнению КдВ (1). В этих формулах наряду с возможностью восстановить (с точностью до вклада дискретного спектра) функцию и^х, t) по коэффициенту R(k,t) — суть метода спектрального преобразования как метода решения уравнения (1).
Отметим также связь уравнений (10) и (12) с методом АКНС (см* дополнение Д* 20)*
Покажем теперь, как из обобщенного преобразования Миуры (6) можно вывести другое важное свойство уравнения КдВ (1), а именно то, что Два его решения связаны друг с другом однопараметрическим преобразованием Бэклунда (4*1-15)
иА^+иА2^ — ^(w(1) — w^^w^ — w^-V4py(17)
Здесь р -положительный параметр, а две функции wti 4x,t), 3 = 1,2, связа-
ны с двумя решениями уравнения КдВ (1) обычными формулами w(j)(x9t)= f dyu^^yj^ j=\9l9^^а>
u^^x9t^ =—w^^x9t\ 7=1,2.^ ^
Заметим, что, хотя проводимые ниже рассуждения носят существенно локальный характер и могут быть сформулированы без привлечения асимптотических условий в формуле (18а), мы неявно предполагаем, что функции и 4 Цх, г) достаточно быстро стремятся к нулю при х -> + оо.
Отправной тачкой для последующего анализа будет тот факт, что (обобщенное) уравнение мКдВ инвариантно относительно преобразований v -> - у, т.е. если v - решение уравнения (8), то -v тоже будет его решением. Таким образом, если решение и<2> уравнения КдВ (1) связано преобразованием Ми- уры (6) с решением v уравнения мКдВ (8), то существует другое решение и <*> уравнения КдВ (1), связанное с решением - -о уравнения мКдВ (8). Чтобы найти соотношение между решениями и^ и и ^2), удобней переписать преобразование (6), заменив параметр к 2 на -р 2. Тогда в асимптотическом пределе х -> + оо функция v будет действительной. В результате мы можем написать
и^= —t)x-^D2—p29(19а)
u^=Dx-^D2-p2.(196)
Отметим, что асимптотические условия v(±oo,r)=±/>,(р>0),(20а)
«^оо.'^О(206)
совместны с обращением в нуль на бесконечности функций и ^ >( х, t) и с соотношениями (9) и (10), поскольку уравнение (10), в котором параметр к2 заменен на — р 2 и u( х, t) -» 0 при х -> ±оо, означает, что его общее решение у расходится как ехр( ± рх) при х -> ± *>.
Вычитая из равенства (196) равенство (19а) и используя обозначение (18), получаем
i^Kh^0—и>(2))+р.(21)
При выводе этого равенства мы также использовали формулу (20а). Эго равенство вместе с соотношением (21) приводит к дополнительному условию
(22)(22)w(1)( — оо, t) — w^2\ — оо, /)= — 4р.
(22)
(22)
В то же время сумма равенств (19а) и (196) вместе с формулой (21) дает в точности преобразование Бэклунда (17).
Можно сравнить эти результаты с аналогичными результатами из гл. 4, § 1, а также с материалом из дополнения Д.12. Тот факт, что равенство (22) отвечает только одной из двух возможностей, указанных в формуле (4.1.-22), следует из того, что условие (20а) соответствует только (общему) расхода-
щемуся решению уравнения Шредингера (10) (с заменой к 2 на - р 2), тогда как существуют еще частные решения, экспоненциально убывающие на левой или правой полуоси. Более подробное исследование этого вопроса, а также сравнение результатов такого исследования с материалом гл. 4, § 1, и допол- нения Д.12 оставляем читателю в качестве полезного упражнения.
С помощью преобразования Миуры можно также установить связь между уравнением Шредингера, составляющим основу спектрального преобразования, используемого для решения уравнения КдВ (1) (см. гл. 3, § 1), и системой двух связанных обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка
^=-хкф№*е^г\(23а)
i^'=-"xk4^'"Vc4^v',(236)
определяющих спектральную задачу Захарова - Шабата при решении уравнения мКдВ (4) (т. 2). Эта связь обусловлена тем, что преобразование Миуры (2) эквивалентно факторизации оператора Шредингера — o£ + u = (dx + v)(- 6x-Vd\(24)
Такая факторизация означает, что уравнение Шредингера можно переписать в виде системы двух уравнений первого порядка -^X-Vt)^=iky,(25а)
Px+vp= -i/c^(256)
которая переходит в систему Захарова - Шабата (23) после замены переменных
^х)-\-^) ^—(26)
Преобразование Гарднера имеет вид
и=у4-еух4-£2у2>(27а)
и= (l + fd^ + f2^)^.(276)
Отметим, что, как и в случае преобразования Миуры (2), время сюда входит только как параметр. Кроме того, сюда входит дополнительный (конечный) параметр е . Формальная подстановка у = v/e в формулах (27) и переход к пределу при е -><х> возвращают нас к преобразованию Миуры (2). В самом деле, преобразование Гарднера после замены переменных
v(x, к, t) = Ey(x, t, f) + (2f)~‘, к2 = -(2f)-2^^
совпадает с обобщенным преобразованием Миуры (6). Замена переменных (28) удобна для введения разложения функции у в ряд по степеням s (см. ниже).
Если функции и и у связаны между собой преобразованием (27), то, как показывают несложные алгебраические выкладки, выполняются следующие соотношения:
«Лиххх-бих^^УЛУххх-^УхУ-^^УхУ^,*^^^У^ЛУ^^^У-^У^,(29а)ut+Uxxx-6uxu=(l+edx+le2y^y,+yxxx-6yxy-6e2yxy2Y(296)Поэтому если функция у (х, t, е) удовлетворяет нелинейному уравнению УЛУххх-6уху-6е2уху2=0,(30а)У1=(-Ухх + 3Уг"'-^У3')х,<30б>то функция Цх, t) удовлетворяет уравнению КдВ (1).«Лиххх-бих^^УЛУххх-^УхУ-^^УхУ^,*^^^У^ЛУ^^^У-^У^,(29а)ut+Uxxx-6uxu=(l+edx+le2y^y,+yxxx-6yxy-6e2yxy2Y(296)Поэтому если функция у (х, t, е) удовлетворяет нелинейному уравнению УЛУххх-6уху-6е2уху2=0,(30а)У1=(-Ухх + 3Уг"'-^У3')х,<30б>то функция Цх, t) удовлетворяет уравнению КдВ (1).Покажем теперь, что из этих результатов сразу же следует существование бесконечной последовательности локальных законов сохранения для уравнения КдВ (1). Для этого нужно обратить преобразование Гарднера (27), т.е. выразить функцию у( х, t, е) через функцию и (х, t) и ее производные по х. Затем нужно воспользоваться равенством (306).
«Лиххх-бих^^УЛУххх-^УхУ-^^УхУ^,*
^^^У^ЛУ^^^У-^У^,(29а)
ut+Uxxx-6uxu=(l+edx+le2y^y,+yxxx-6yxy-6e2yxy2Y(296)
Поэтому если функция у (х, t, е) удовлетворяет нелинейному уравнению УЛУххх-6уху-6е2уху2=0,(30а)
У1=(-Ухх + 3Уг"'-^У3')х,<30б>
то функция Цх, t) удовлетворяет уравнению КдВ (1).
«Лиххх-бих^^УЛУххх-^УхУ-^^УхУ^,*
^^^У^ЛУ^^^У-^У^,(29а)
ut+Uxxx-6uxu=(l+edx+le2y^y,+yxxx-6yxy-6e2yxy2Y(296)
Поэтому если функция у (х, t, е) удовлетворяет нелинейному уравнению УЛУххх-6уху-6е2уху2=0,(30а)
У1=(-Ухх + 3Уг"'-^У3')х,<30б>
то функция Цх, t) удовлетворяет уравнению КдВ (1).
Итак, напишем
y(xj,e) = 2 ^У<пЧх»О-(3V
и=О
( Здесь и в дальнейшем не требуется, чтобы ряд был обязательно сходящимся; достаточно, чтобы он давал асимптотическое разложение.) Подставив это представление в формулу (27) и приравняв коэффициенты при равных степе
нях е , получим рекуррентное соотношение п— 1
^(л+1)= -^")- ^ yWy<n-m-x>^ 71=1,2,3,...,(32)
m=O
где
y^ — u^x,tY(33а)
У<х>— —u^x^tY(336)
Таким образом, величины у(п) - это полиномиальные функции переменной и и ее производных по х:
у(2) = ихх—и\(ЗЗв)
у'М-и.х+^Ъ(33г)
yW=Vuxx-^xWx*W<ЗЗД)
И т.д.
Подстановка же представления (31) в равенство (306) дает (после приравнивания коэффициентов при равных степенях е ) бесконечную последовательность локальных законов сохранения:
у^=^\ 71 = 0,1,2,..., (34)
где
7(0)=-“хх+Зм2,(35а)
*П^—иххх—6uxii,(356)
^п>-_у(п)_^зyWy<n-m>> 4-2 22 y^yWy<n-m-J-2\t356'
т=0т = 0 j=0
и = 2,3,4,... .
Заметим, что, так же как и “плотности” у <п>, ”токи” q<n> - это полиномиальные функции величины u(x,t)и ее производных по х.
Если функция и (х, t) и ее производные стремятся к нулю при х -> ± «>, то локальные законы сохранения приводят к сохраняющимся величинам ап = ( dx y^^xj), и = 0,1,2,... .(36)
* —ОО
Но, как явствует из выражений (336) и (ЗЗв), при нечетных п эти величины обращаются в нуль, поскольку плотности у <2/71+ и являются полными производными. Последнее легко доказать, представив у в виде суммы y=yw+y<"X(37)
где yw= 2 ^т^т^(38а)
т — 0
у(~)= 2 ^т*Ху(2т*1^(386)
т = 0
Подставив выражение (37) в формулу (27) и собрав члены, нечетные по е, придем к уравнению y^^ey^-Vl^y^yW^.(39а)
Отсюда сразу же получим выражение для у (-)•: /->--(2.)-{1п[1+2^<+)]}х,(39б)
чем и завершается доказательство. В самом деле, воспользовавшись равенством (38), разложим правую часть выражения (396) по степеням е . Отсюда получим явные выражения для плотностей у (2т + 1} в виде полных производных от комбинаций плотностей у ^^» [Например, из (33) следует, что У(П =.у(0), у(3)=_{ у(2) >[y(0)]2}j
Плотности же у (2т), очевидно, не могут быть полными, так как они имеют вид y^2m^=qmum+x-Vy(2m\ m = 0,1,2,...,(40)
где~(2т) содержит члены порядка не больше т относительно функции и и
ее производных по х. На это указывают выражения (33). Доказать же это можно, заметив, что главный член в у <2т>, не содержащий производных, может быть получен из равенства (27а), в котором опущены члены с производными:
/=[-1 + (1+4и?)‘/2]/(2?).(41)
Из этой формулы и формулы (38а) сразу же следует равенство (40). При этом из соотношения
(1+4z)1/2—1 =2 2 qmzm+x(42)
m=0
можно найти численные коэффициенты:
^m=( —l)'”2m(2m—1)!!/(т+1)!, /и=0,1,2,... .(43)
Поскольку плотности у <”> при четных п не есть полные производные, со- ответствующие сохраняющиеся величины а 2т не обращаются тождественно в нуль. Они составляют бесконечную последовательность сохраняющихся величин для уравнения КдВ (1). Эти результаты согласуются с результатами гл. 5. Изложенное почти совпадает с рассуждениями, следующими за формулой (5.-39а).
Д.12. Преобразования Бэкпунда, преобразования Дарбу и полоса Баргмана
В данном дополнении мы кратко остановимся на вопросе о связи между указанными в заголовке темами. Наша основная задача — побудить читателя к тому, чтобы он самостоятельно исследовал глубже эти проблемы, что будет наилучшим способом усвоения материала.
Рассмотрим простейшее преобразование Бэклунда w^+wj2^ — ^w^ — w^^w^ — w^WAp^,(1)
и^\х) = — и^у)(х),wu)(x)= f dyu°\y\ у=1,2.(la)
л
Оно характеризуется действительным параметром р. Будем считать, что функция w^ задана, а и^ есть BF-потенциал. Тогда (1) будет уравнением Риккати относительно неизвестной функции w^. Оно линеаризуется подстановкой иА^х^иА^х)^^^^)—р],(2)
ЦхНхМ/М-(3)
fxx*w?4=P1f-(4)
Задача нахождения функции и/11 (х) сводится к решению уравнения Шредин-
гера (4) с потенциалом и(2) (1а)*и асимптотическим условием о( + оо) = Нт [/Х(х)//(х)]=р.(5)
л— +оо
Учитывая асимптотические условия, характеризующие функции Поста f(±> (х, А) -* ехр(± 1Ах) при х -» ± о» [ см. формулу (2.1 .-4)], и равенства (3) и (5), получаем, что при положительном значении параметра р решение f (х) уравнения (4) есть линейная комбинация функций Йоста:
Дх)=у<+Х2)(.х, —ip^af^^^x/ipy р>0,(6)
где а - произвольная (конечная) константа. Если же р меньше нуля, то решение с точностью до нормирующего множителя [формулы (4) и (5)] представляется в виде
f№f^Xs-xPY р<0.(7)
Следовательно, решение и/1Цх) уравнения (1) зависит от произвольной константы а только в том случае, если параметр р положителен.
Однако на этом исследование решения а/1 > (х) не заканчивается. Мы пока выполнили лишь условие обращения иЯ1> (х) в нуль при х ^ + <», Другое важное требование, которое налагается на функцию иА'Цх^ - это требование ее регулярности при всех действительных значениях х. Рассуждая так же, как и в дополнении Д.1, легко показать, что при отрицательных значениях р неравенство р<-р^\(8)
где 0 < р(2) < р(2> < . .. < р(п2) ~ дискретные собственные значения потенциала и^ (х), является необходимым и достаточным условием отсутствия нулей у функции / (х) (7), гарантирующим ограниченность функции w<1) (х). Более того, если выполняется неравенство (8) (р < -Р^), то из формул (7) и (3) мы получим, что v(— оо) = р, а это, согласно формулам (1) и (2), приводит к соотношению
Г + O°dx[tt(1)(x)-M(2)(x)]=0.(9)
•'-00
Если же выполняется равенство (8), то f.(x) (7) есть связанное состояние, откуда следует, что v(~ ~) = - Р, а потому
(dx[M(1)(x)-i/2)(x)] =-4р.(Ю)
* — 00
Точно так же если р - положительная величина, то неравенства
Р-Р^,(И»)
а>0(Нб)
являются необходимыми и достаточными условиями регулярности функции w*’>(x). С точки зрения спектральных данных условие (116) означает поло-
жительность нормирующего множителя р, отвечающего дискретному собственному значению потенциала и(1,(х). В общем случае, если выполняются оба условия (11), функция f (х) (6) экспоненциально расходится при х -*-«>, что приводит к равенству (10) [см. формулы (3) и (2)1. Единственное исключение возникает при а = 0, так как в этом случае функция f (х) (6) обращается в нуль при х и выполняется равенство (9). В контексте спектральных данных этот крайний случай отвечает нулевому нормировочному множителю р, соответствующему параметру р. В этом и только в этом случае преобразование Бэклунда не добавляет дискретного собственного значения р. [ Напомним, что добавление дискретного собственного значения связано с добавлением солитона, положение которого, как отмечалось в гл. 4, § 1, зависит от значения нормировочного множителя. Можно утверждать, что в рассматриваемом случае солитон отсутствует, так как он помещен в - оо. Значению ^ = - ^ отвечает, согласно формуле р = 2рехр(2р£), связывающей нормировочный множитель р с положением солитона £, значение р = 0.]
Указанные свойства преобразования Бэклунда и соответствующие свойства в A-пространстве могут быть легко получены из преобразования Дарбу. Оно устанавливает связь между функциями Йоста f(^ (1>(х, А) уравнения Шредингера с потенциалом и^ (х), с одной стороны, и функциями Йоста f^Xx, k), отвечающими потенциалу ииЦх), - с другой, причем потенциалы г?1 Цх^ и г^2Цх^, разумеется, связаны преобразованием Бэклунда (1).
Преобразование Дарбу получается из соотношений факторизации
(D+v)(Z> — о)— D2-Vw^—р2, (12а) (D-d)(D-Vd)-D2-^w^-p2, (126) из которых следует, что две функции (^Цх, k) и f иЦх, А), удовлетворяющие системе уравнений
(Р-о^^ЧЧр)/^ (13а) ^^-хЦс-хр^ (136) удовлетворяют также уравнению Шредингера
f^=\uU1-k2M<J\ 7=1,2. О4)
Здесь D = d/dx и в определении функции v(x) [формула (3)] участвует функция f (х) = f 12 > (х, А). Первая из формул (13) отвечает преобразованию Дарбу, отображающему произвольное решение f к2Цх, k) уравнения Шредингера вида (14) в произвольное решение f 11 > (х, А).
Читателю предлагается в качестве несложного упражнения вывести явный вид преобразования Дарбу, связывающего между собой решения Йоста f (±>(^ (х, А). При р < -р}у1 окончательная формула имеет вид
^'ЧхД^р+и^ ■|{[/x(+xJ4*,-iP)//<+M24*,-iP)]x
В пределе при х -* ± ~ она дает законы преобразования в ^-пространстве
RWW= -R»4k)(k+ip)/(k-ip),(i6a)
T^k^T^W* Р<-Р^\(166)
которые показывают, как при преобразовании Бэклунда изменяются непрерывная компонента спектральных данных (т.е. коэффициент отражения) и коэффициент прохождения. Что касается дискретной компоненты, то из равенства коэффициентов прохождения (166) следует, что дискретные собственные значения потенциалов и(1Цх) и iz(2>(x) совпадают:
Р^=Р?Ч(17)
Кроме того, преобразование Дарбу соответствующих собственных’функций
ФххМЦРн>?Гх/Чи^^ х^Ч*)-^^*)}. /1=1,2,...,N, р<~Р$,О8)
для которых выполняются условия нормировки
Г 00[t№)]2=l.7=1,2, »=1,2,..., N,(19)
J — ОО
приводит к закону преобразования
Р^Р^Чр+РпМр-РпУ л=1,2,...,АГ,р<-р^.(20)
Формулы (18) и (20) прямо следуют из соотношений [9^уЧ^)]2=А,<у>[/<+Ху)(^,1/^у>)]2, 7=1,2, n=l,2,...,N,(21)
[9^П(^)]2= (/>+Р^2>) 2(A.O)/X>„(2)) х(22)
х { ( Р2 "Р^ ) [ ^Ч* )] 2+gx(.x ) } , где
$(*) = у®(х) ( ^(x<рО^х^+^х,-1р> /
//<+X24x,-i/>)]},(23)
а также из условия (19) и асимптотического равенства нулю функции g^ х x[g(±~)=01.
Точно так же при р > р^ справедливы аналогичные формулы
/^ЧхЛ) =
= ±(p-i^)~1{{[2pГ<2Чip)/x<~x2Чx,ip)+^x<+X2Ч•x,i/,)] х
х^рТ'^р^/'^ЧхДр^+р/^^ЧхЛр)^ * j/(*x2)(x, А)—
-f^x,^, Р>Р?.(24)
Они получаются из соотношений (13), (3) и (6), в которых для удобства введена константа р следующим образом:
a=42Pr2>(ip)]^.(25)
В пределе при х -> ± ~ преобразование Дарбу (24) приводит к соотношениям RW^=-R<z>(k')(k+ip')/(k-ip)t(26а)
^(А^^2)^)^^^)/^-^^^ ^g).(266)
Отсюда видно, что коэффициент прохождения ТИЦк) приобретает дополнительный полюс в точке к = i р. Следовательно, дискретная часть спектральных данных для потенциала u(1 > (х) имеет N + 1 дискретных собственных значений: N собственных значений, отвечающих потенциалу и(2>(х), плюс одно новое
^1)=Р®. n=l,2,...,N,Pn\\=P' Р>Р$-(27)
С помошью формул, аналогичных формулам (22) и (23), легко установить оставшиеся законы преобразования: ^°(^)=(?2-л2)”|/2х
х { { VpT^PW^xAp't +р/х+Х2’(*3/>)] х
X ^pT^pW'^xAp') +p/<+x2’(x,ip)] } X х^Ч^)-^^)},
п= 1,2,...,N, P>Pn^ ^О»(28)
y + ”dx[^)(x)]2=l, n=l,2,...,JV,(29а)
P^=P?4p*Pn^/<P-PnY n=l,2,...,N,(29б>
<ДЧМ = 2р^РТ^Р^Г^^^(30а)
/+Jdx[^>.(x)]2=l,(306)
Р^х=Р.<30в)
Так как при р > /^'(коэффициент Т^Ц'Р^ не имеет ни нулей, ни полюсов и Т(2) (i оо) = 1, то Ти' (ip) > 0. Поэтому коэффициенты аир имеют одинаковый знак [ формула (25)]. В предельном случае, когда в равенстве (6) константа а равна нулю (и соответственно этому равна нулю константа
р), преобразование Бэклунда не Добавляет собственных значений и формулы (28) - (30) совпадают с формулами (15) - (20).
Подчеркнем, что они согласуются с формулами из гл. 4 [ ср., в частности, формулы (4.1 .-13, 18, 21) с формулами (16), (20) и (26)].
Исследуем теперь асимптотическое поведение функций иЧ ^х) при ^ -> + оо и определяемый характером этого поведения размер полосы, в которой функция R^ мероморфна (полоса Баргмана) [см. гл. 2, § 1, и, в частности, материал, следующий за формулой (2.1 .-31)]. Будем считать, что асимптотика функции ut2,(x) задается соотношением
lim [w(2)(x)exp(2//x)] =Z>^0,(31)
так что функция RuHk^ мероморфна по крайней мере в полосе 0^ 1mA < ц. Напомним, что внутри полосы существует взаимно однозначное соответствие между полюсами коэффициента R^ (А), расположенными на мнимой оси к = ipn9n дискретными собственными значениями, которые отвечают нормировочным множителям, р^2), связанным с вычетами функции R^21 (к) формулой (2.1.-36).
В 'го же время легко установить асимптотическое поведение функции юИЦх^ при х -* + оо. Для этого нужно решить уравнение (1), которое в асимптотической области линеаризуется за счет отбрасывания членов w<0(x) и w<2>(x) в последней скобке в правой части уравнения. Рассуждая таким образом, можно прийти к заключению, что существует однопараметрическое семейство решений, имеющих асимптотику
lim ^Wx^exp^px^b^p-Vp^/^p-p'),(32)
х-* 4-00
где b определяется из соотношения (31) и р > ц. [Параметр, нумерующий члены семейства, появляется как постоянная интегрирования дифференциального уравнения первого порядка (1); он не входит явно в асимптотическую формулу (32).] Если же р < ц, то только одно решение имеет асимптотическое поведение, определяемое формулой (32). Оставшееся однопараметрическое семейство характеризуется равенством
Um [и-(|)(^)ехр(2/>х)]=/?,(33)
где р — произвольная константа интегрирования.
Остановимся подробнее на втором случае, когда р < ц. Решение иИ1>, удовлетворяющее условию (32), получается из формул (2), (3), (6) и (25) путем выбора специального значения нормирующего множителя р. Чтобы доказать это, применим формулу (2.1.-36) к выражению (26а). Получим ^= -’^ [(*—ip)/f<»(it)] = -ipR^XpY(34)
Это согласуется с тем, что в данном случае дискретное собственное значе-
ние попадает внутрь полосы Баргмана. Все другие решения w(n (х) преобразования Бэклунда характеризуются не асимптотической формулой (32), а формулой (33). Они имеют более широкую полосу Баргмана, и их дискретное собственное значение лежит на ее границе. В этом случае нормирующий множитель не должен удовлетворять формуле (2.1 .-36) и остается, следовательно, свободным параметром, значение которого, разумеется, связано с величиной р, стоящей в правой части равенства (33). [Другой возможный выбор параметра р и соответственно параметра р отвечает свободе выбора локализации добавляемого солитона (см. сказанное выше, а также в гл. 4, § 1).]
Интересующемуся читателю в качестве упражнения предлагается более детально разобраться в этих рассуждениях, а также расширить некоторые доказательства. Например, проанализировать случай, когда функция и(2) убывает быстрее, чем по экспоненте, при х -* + <», или случай, когда Р^-Рп(35)
[ формула (4.1 .-20)]. [ Заметим, что если р < 0, а решение по-прежнему характеризуется формулой (32), то не существует решений, удовлетворяющих асимптотическому условию (33). Более того, если р = - Рл, то, согласно формуле (20), мы имеем р(лп = 0. Это означает, что из спектра, определяемого потенциалом uw, исчезает n-е дискретное собственное значение.]
В заключение отметим, что, как явствует из проведенного выше анализа, использующего преобразование Дарбу, нарушение условий (11) приводит сразу к двум эффектам: некоторые нормирующие множители р^1) становятся отрицательными, а функции w^^ — сингулярными при действи- гельных значениях х, что соответствует двойным полюсам функции и^ (х). Рассмотрим это явление на простейшем примере односолитонного решения «(x)=-2p2/d?^p(x-()^,(36)
которое отвечает дискретному собственному значению р и нормирующий множитель р которого связан с параметром § следующим образом: Р=1рехр(1р^(37)
[формула (2.2.-9,10)]. Если § - действительная величина, то функция м(х) регулярна при всех действительных значениях х, а р > 0. Но при замене ^’Vw/lp,(38)
где §' - действительная величина, функция u(x) = 2p2/sh2[/>(x-f')], •(39>
оставаясь действительной, приобретает двойной полюс в точке х = £', а нормирующий множитель р— -2pexp(2pf')(40)
становится отрицательным. (Допблнительное исследование этого явления проводится в гл. 4, § 2, и более подробно в дополнении Д. 16).
Д,13. Асимптотическое разложение функции
С^ = 2iA[ 1 - h/TWA
Ниже мы кратко излагаем результаты работы [87]. Определим функцию
C(Jk)=2i*r[l-l/T(A:)].(1)
Тогда справедлива следующая формула [см. (2.4.А.-32)]:
С(к)= [dx^(x,/c)u(x),(21
ОО
где
^(х, A:)=exp(i^x) ф^х, к)/Т(к).(3)
Поэтому х(х, к) есть решение дифференциального уравнения
Х,х~^кХх~иХ=0'
отвечающее граничному условию
ДйпДл^х./с)]^.(5)
Напишем асимптотические разложения
ОД = 2 bm(2ikYm+O(k-M-'Y(6)
m = 0
М
х(х,к) = 2 Х^Чх^кУ"ЧО<к~м-'У(7)
m = 0
Тогда из формулы (2) сразу же получим
bm = f dx м(х)Ут)(х), w = 0,l,2....,(8)
J — оо
а формулы (4) и (5) приводят к соотношениям
;№)=1,(9)
У”+|>(х)=^)(х)-и(х)У"',(х), т-0,1,2,...,0О)
Х^Ч-^Х^Ч-^Х^Ч-оо^О, т=1,2,3,....(п)
Решение ^гчх рекуррентных соотношений дается формулой х(т\х)^Мт-\,(12)
где М - интегро-дифференциальный оператор:
M-f(x) = fx(x) — J ^y^(y)f(y)^^^)
Поэтому получим следующие выражения для коэффициентов:
Ьт= йхи<х^Мт-\ ,О4)
* —ОО
ст-к-ХТЬгт = (-)”[ dxu(x)M2m-\.(15)
Причина выделения четных коэффициентов заключается в том, что нечетные коэффициенты Ьт могут быть выражены через четные коэффициенты Ьт более низкого порядка, например, b, = - j- Ь2 . Последняя формула уже выписывалась в гл. 5 [ см. (5.-16)].
Чтобы доказать формулу (5.-18), заметим, что при действительных значениях к
7W~exp[i#(fc)].(i6)
Здесь знак приблизительного равенства означает эквивалентность с точностью до обратных степеней к при к -> ±<х>. Формула (16) следует из равенств (2.1.-15а) и (2.1.-39а). Вместе с определением (1) она приводит к соотношению i[C(£) + C(-£)]~-2fcsinl(fc).(17)
Приравнивая асимптотическое разложение левой части соотношений (17) м
l[C(t) + C(-t)] = 5 ст11кугт^к-гм-г>(18)
т=0
[формулы (6) и (15)] асимптотическому разложению его правой части
2 cjikY^Vo^k-2^(19)
т = 0
[формулы (2.1 .-40) и (5.-12)], получаем формулу (5.18).
Д.14. Сохраняющиеся величины для обобщенных уравнений КдВ
В этом дополнении будут представлены почти дословно (но с некоторыми изменениями в обозначениях) результаты работы [129]. Результаты, относящиеся к "обобщенным уравнениям КдВ ’’другого типа, будут упомянуты в конце дополнения.
Пусть функция ы(х, г) удовлетворяет эволюционному уравнению w,-I-^(/)wxxx-6X/)wmx = 0, и=и(х, t)(1)
Заметим, что одна из двух функций а (г) или p(i) может быть заменена константой путем соответствующего переопределения переменной и Мы этого не делаем, чтобы не усложнять обозначений [ из тех же соображений в уравнении (1) выделен множитель -6]. Численное моделирование уравнения (1) в контексте физических приложений было проведено в работе [273].
Мы будем предполагать, чуо функция Цх, t) регулярна на всей прямой и стремится к нулю при х -> ± <», так что те интегралы, которые будут выписаны ниже, сходятся.
Определим величины
С(т)— Г dx [u(x, z)]w, w=l,2,(2)
* ~ ОО
X(t)= f dxxu(x,t)/ f dxu(x,t).(3)
oo* — 00
Тогда C(1 > и C|2> не зависят от времени и выполняется соотношение dX(/)/d/ = 3(C(2)/C(,)^(4)
и величина
С(3)=А'(/)-3(С(2,/С(|)) f'dl'^t')(5)
тоже не зависит от времени. Кроме того, если
a(t) = l, /?(t)=a(t-t0)",/3,(6)
где а и tQ - произвольные величины, то четвертый интеграл движения дается формулой
с<4>=J+”dx{6a(r-t0)2/3[u(x,z)]3 + 3(t-Z0)[u,(x,/)]2^
+x[u(x, z)]2}.(7)
Если же
a(z)=ch2[a(z-zo)],^(z)=ch[a(z-zo)],(8)
ТО
С^ = j dx[2ch2[a(/-/0)][w(x,/)]3 -t
+ ch?[a(t-t0)][wx(x,t)]2 +
+ axsh[a(/-r0)][«(x, /)]2+^(ах)2м(х, r)}.(9)
Доказательство этих формул элементарно: нужно продифференцировать С^^ по времени и воспользоваться уравнением (1).
Интересны они тем, что при заменах
«(<) = !, М=аГр, v(.:,t)=0(t)u{x,t)(Ю)
с произвольными константами аир уравнение (1) переходит в уравнение
^Л^ххх-^х^^^Р/1^™^' v = v(x, г),(П)
которое при р = 0, р = -— и р = ] совпадает со стандартным, цилиндрическим и сферическим уравнениями КдВ (гл. 1, § 8). Стандартное (р = 0) и цилиндрическое (р = -L ) уравнения КдВ долучаются также при подстановке
выражений (8) в уравнение (1). В первом случае, очевидно, нужно положить а = 0, а во втором - выполнить подстановку
м(х, т) = (2а/)1/2с(х,/),/=8аехр(2аг),(12)
где т > 0, и перейти к пределу при а Но, разумеется, в этих случаях представленные здесь сохраняющиеся величины совпадают с первыми четырьмя из бесконечной последовательности, указанной в гл. 5 и гл. 6,§ 3. Для сферического уравнения КдВ неизвестны сохраняющиеся величины, кроме С(1), С^ иС(3).
Иначе обстоит дело в вопросе о числе N локальных законов сохранения для уравнения
«, + g(“)“x + »,x = °(13>
(где ирх = ^Ри/дхР, р = 2, 3, 4, . . .), которое тоже можно рассматривать как обобщенное уравнение КдВ. Здесь известны кроме "интегрируемого" случая, когда р = 3 и g^ = Аи2 + Ви + С (А, В, С - константы, что отвечает модифицированному уравнению КдВ, см. гл. 1, § 8, и т.2, в этом случае, разумеется, N = <х>), и другие случаи. Именно, если р четное, то N = 1; если же р нечетное, то, вообще говоря, N = 3. Но если при нечетном р выполняется условие g(u) = А (и + а)Р ~1 + В (где А, В, и а — константы) или
g(u) = Аи + В(р ^ 3), то ^ = 4. Явные выражения для этих сохраняющихся величин даны в работе [197].
Д.15. Коэффициенты отражения и прохождения в точке к = О
Главная цель данного дополнения - показать, что коэффициенты отражения и прохождения RQ^ и Т(А) удовлетворяют соотношениям
Л(0)=-1,(1а)
г(о)=о.(1б)
Эти равенства выполняются во всех случаях, кроме предельного, когда имеются ’’связанные состояния с нулевой энергией". Последний случай возникает только при условии, что (строго говоря, хотя бы где-нибудь) выполняются неравенства
и^^х^и^х^и^^х^ — оо<х< + оо,(2)
где и(х) — BF-потенциал, а потенциал и^-Цх^ имеет по крайней мере на одно дискретное собственное значение больше, чем потенциал и1+1 (х). [ Уело-
вие (2) мы примем как определение случая, когда возникают "связанные состояния с нулевой энергией" в спектральной задаче для уравнения Шредингера.] Разумеется, такой случай не является общим; он воз^ )жен только для некоторых потенциалов и(х) специального вида. [ Но к ним относятся все многосолитонные потенциалы. Более того, из результатов дополнения Д.1, а также из результатов, приводимых ниже, следует, что такие потенциалы существуют в окрестности любого BF-потенциала. Они получаются путем небольшой, отнесенной достаточно далеко, притягивающей добавки.] В этом случае вместо формул (1) выполняются равенства
A(0) = cosa,(За)
T(0) = sina.(36)
Заметим, что оба случая удовлетворяют условию унитарности
В(0)|2 + |Т(0)|2 = 1.(4)
В данном дополнении мы будем считать, что при х -> +»о потенциал и(х) стремится к нулю быстрее любой степени х. Этого достаточно для того, чтобы коэффициенты R^k) и Т^ были аналитическими функциями в окрестности точки к = 0. Для справедливости приводимых ниже результатов оно не является необходимым.
Более детальный вариант представленных результатов дает следующая теорема.
Теорема. Пусть действительная функция ф(х) удовлетворяет уравнению Шредингера с нулевой энергией
4>хх{х) = и{х)у>{х)
и граничными условиями
Ф^ — ос) = 1,%( —оо) = 0.(6)
Определим действительные величины а и (3 соотношением
Н*)^^ cotgCa)+lx, |у|<57.(7)
[В этой формуле следующие по порядку малости члены стремятся к нулю как и(х), т.е. по предположению быстрее любой степени х*] Тогда, если (3 4 0, выполняются соотношения (1). В противном случае выполняются соотношения (3) с величиной а определяемой соотношением (7).
Совпадение случая, когда р = 0, с появлением "связанных состояний с нулевой энергией" согласуется с результатами дополнения Д.1.
Чтобы доказать сформулированную теорему, введем для удобства интегральное выражение
A(q,k)=f dxexp(-iqx) f(~\x, k)u(x),(8)
где / <-> (х, А) - функция Йоста (2.1.-4) уравнения Шредингера (2.1 .-1). Из интегральных соотношений (2.1 *-11) и формулы (2.1.-5) прямо следует связь этого интеграла с коэффициентами отражения и прохождения:
К^к^А^к, k)[2ik-A(-k, Л)]-1, Im Л=0,(9а)
T(^) = 2i^[2i^-Л(-^,^)]■,.(96)
В окрестности точки q = к *= 0 допустимо следующее разложение:
A(q,k)= f dxf(""4x,0)u(x)-iqfdxx/(-)(x,0)M(x) +
*—oo*—oo
4-kJ dx/k(-)(x,0)u(x)4-O(k2,q2,qk),(10)
основанное на асимптотике функции u(x).
Примем во внимание, что функция Йоста f (~> (х, 0) совпадает с решением ф(х) задачи (5), (6):
ГЧх^=Ф1х\(11)
и, следовательно, ее асимптотическое поведение характеризуется формулой (7). Введем второе решение х(х) задачи (5), удовлетворяющее условию
х(^) - х-(12)
х—♦ -ОО
Легко установить, что оно связано с функцией Йоста соотношением A(-)(^,0)=-i^(x).(13)
Подставляя выражения (11) и (13) в формулу (10) и используя уравнения (5) [ и аналогичное уравнение для функции х(х)1 вместе с граничными условиями (7) и (12), получим первые три коэффициента функции A^q, k): ^(^)=/?-i^-cotgQa)]-i&(y-l) + O(P,?2,^),(14)
где величина у определяется равенством
Хл( + оо) = у.(15)
Если р 4 0, то из формул (9) и (14) сразу следует первое утверждение теоремы. Если же р = О, то мы получаем
Я(0) = [ctg(i а) - y]/[ctg(|a) + у],(16а)
T(0) = 2/[ctg(ia) + y],(166)
Простейший путь для вывода соотношения (3) и, стало быть, для завершения доказательства теоремы - использование условия унитарности (4), которое вместе с равенствами (16) приводит к равенству
y=tg({»).(*7)
Мы завершим это дополнение тем, что покажем, как величины аир связаны с преобразованием Бэклунда, добавляющим одно новое дискретное собственное значение к спектральным данным. Если р - параметр, характеризующий такое преобразование (см. гл. 4, § 1, и дополнение Д.12), то соответствующие формулы имеют вид и^ + и^2^ — |(w(1) — w(2))(w(1) — m/2) + 4/?),0 $)
wm=f d^w0^^), j = l,2,
У(1)(х)=р-|[^2)(х) — 9?(2)(x)(ln[p/( + )(2)(x,ip) +0^)
Соотношение (18) - это преобразование Бэклунда, связывающее решения и^ и и^, а соотношение (19) - соответствующее преобразование Дарбу, устанавливающее связь между решениями <р(1) и ф(2) задачи (5), (6), причем f (±) <2> (х, А) - обычные решения Йоста [формулы (4.1 .-30) и (И)]. Сравнивая формулы (7) и (19), получаем формулы преобразования:
1(,)=-1(2),(20а)
ctg(jan)) = -ctgCa<2))+^(2)/p.(206)
В частности, если и(0,(х) - потенциал, имеющий "связанное состояние с нулевой энергией", то из этих результатов следует, что соответствующий коэффициент р (0) обращается в нуль:
/?(0) = 0,(21)
а потенциалу ul'V)(x), который получается из и^ (х) в результате последовательного выполнения N преобразований Бэклунда (18) с параметрами
Pv р2, • • • , Pn > отвечают величины
^<*>=0,(22а)
«‘^(-l)^01.(226)
Эти результаты, разумеется, согласуются с видом преобразования Бэклун- да (18) в А-пространстве
RVx\kV-R^WVkV\p^/^k-*\pYt^
Т^^к^Т^^к^хр^/^к-'хр^(236)
и с соотношениями (3). В специальном случае, когда ut0> (х) = 0, а и^х (х) есть W-солитонный потенциал, формула (22а) по-прежнему выполняется, а формула (226) приобретает вид ^^>=: (— l)^^^.
Примечания к дополнению Д15
Первые указания на то, что для общей функции и(х) выполняются соотношения (Д.15.-1), можно найти в статьях, посвященных в основном исследованию временных асимптотик уравнения КдВ (см., например, [27]).
Соотношения (Д.15.-1) и (Д.15.-3) доказаны также в работах [169, 173] [во второй из них, правда, допущена опечатка: стоит R(0) = 1, вместо К(0) = - 1].
Д.16. Спектральное преобразование вне класса BF-гЮтенциапа
Вопрос о спектральном преобразовании функций, не принадлежащих классу BF-потенциалов, несколько раз затрагивался в этой книге: в гл. 2, § 31 гл. 4, § 21 гл. 6, § 21 в дополнении Д. 12. Здесь мы рассмотрим этот вопрос подробнее, но в основном на качественном уровне.
Напомним некоторые основные положения. Функция и(х) действительного переменного х, - * < х< оо, принадлежит к классу BF-потенциалов, если:
и(х) - бесконечно дифференцируемая функция переменной х;
функция и(х) и ее производные достаточно быстро стремятся к нулю при х -> ± оо, так что сходятся интегралы
/■ + °°dx(H-|x|)|d"'«(*)/d^"'b m=0,l,2,...;(1)
функция u(x) принимает действительные значения при действительных значениях х.
Таким функциям взаимно однозначно соответствуют (спектральная задача для уравнения Шредингера, см., например, гл. 2) спектральные данные
S[u]= {/{(А),-оо<*< + оо;р„,д,,п= 1,2,..., JV),(2)
которые обладают следующими свойствами:
Функция R^ убывает быстрее любой обратной степени А при А ±~: ^геДА^А)]^, m=0,l,2 ImA=0;(3)
при действительных не равных нулю к ^о^з\ъ R(k) меньше единицы: |Л(^)|<1,Im^ = 0,ReA:^0;(4)
R(к) удовлетворяет соотношению
R^-k^R^k), im£ = 0;(5)
число N дискретных собственных значений конечно:
0^W<oo;(6)
дискретные собственные значения - р^ - действительные и отрица-
тельные, т.е. величины р^ - действителнные, и мы будем считать их положительными (среди них нет одинаковых):
0<р„<ОО, Р„*РтW
(мы здесь не рассматриваем предельный случай "связанных состояний с нулевой энергией");
все нормирующие множители положительны:
А>0.(8)
Кроме того, существует связь между степенью асимптотического убывания функции и^ и структурой аналитического продолжения коэффициента R(k) в комплексной A-плоскости (см. гл. 2, § 1). Во всех случаях, кроме предельного случая потенциалов, имеющих "связанные состояния с нулевой энергией", фиксируется также значение коэффициента отражения в точке к = 0:
Я(0)=-1.(9)
(см. дополнение Д.15).
Рассмотрим теперь связь между свойствами функции и^ и свойствами ее спектральных данных с точки зрения исследования возможностей выхода за пределы класса BF-потенциалов.
В некоторых отношениях такое исследование не вызывает труда. В самом деле, определение BF-потенциалов является гораздо более жестким, чем это необходимо для построения четкой теории прямой и обратной спектральных задач. В частности, это относится к условию 1 - достаточно, чтобы функция была регулярной (хотя бы и разрывной) функцией х при действительных значениях х. Но тогда условие "а” не обязательно должно выполняться. Коэффициент отражения RQ^ будет по-прежнему убывать достаточно быстро при А ^ ± оо, так что будет существовать фурье-оригинал
M(x) = (2jt) х( dkexp(ikx) R^k)(Ю)
— ос
(определяемый как обычная, а не обобщенная функция). Но R^k) будет убывать не обязательно быстрее л^бой обратной степени к» Грубо говоря, связь между гладкостью (дифференцируемостью) функции и(х) и асимптотическим поведением коэффициента R^k) при к -> + <* аналогична хорошо известному взаимоотношению между гладкостью функции М(х) и асимптотическим поведением ее фурье-образа R^ [формула (10)L
Другая возможность выхода за пределы класса BF-потенциалов, последствия которого в отношении спектральных данных хорошо известны, заключается в нарушении условия 3. Если и(х) - комплексный потенциал, то могут нарушаться условия "б", "в", ”д" и "е". [Заметим одновременно, что если условие "в" выполняется', то М(х) - действительная функция.' Но общая схема спектральной задачи остается в основном верной. (Мы даже часто записывали формулы в таком виде, в котором они верны и в случае комплексных потенциалов; см., например, дополнение Д. 8).
Первое из двух рассмотренных нарушений, а именно нарушение условий 1 и "а" одинаково понятно в рамках как прямой, так и обратной задачи. Если нарушается условие 1, то не выполняется условие ”а”, а если нарушается условие "а", но интеграл (10) существует в обычном, а не в обобщенном смысле, то условие 1 не выполняется [ но функция и^ существует]. Второе же нарушение относится к прямой задаче, а его действие на спектральные данные понятно потому, что спектральная задача для уравнения Шредингера хорошо определена даже в сдучае комплексных потенциалов.
Нарушения, которые мы рассмотрим далее, относятся к обратной задаче, но за ними сложнее проследить. Этот анализ полезно предварить кратким рассмотрением аналогичной проблемы для преобразования Фурье, аналогия которого со спектральным преобразованием составляет краеугольный камень нашего подхода.
Пусть f (х) - квадратично интегрируемая функция действительной переменной х; тогда ее фурье-образ / (А) будет квадратично интегрируемой функцией действительной переменной к. Эти две функции связаны между собой интегральными соотношениями
/(х) = (2яг) V dA/(A)exp(iAx),(11а)
* — ОО
?W=f dxf(x)exp(-ikx).(Пб)
Предположим, что функция f^ не является квадратично интегрируемой, например f^=l. Спрашивается, как будет выглядеть ее фурье-оригинал f (х). В теории обычных функций на этот вопрос нет ответа. Но если расширить теорию до теории распределений, или обобщенных функций, то ответ существует: f^ есть дельта-функция Дирака, / (х) = 6(х).
Точно так же дело обстоит и в случае спектрального преобразования. Предположим, что в спектральных данных (2) коэффициент отражения R^ стремится при А -> + оо не к нулю, а к конечной величине. (Именно такой случай рассматривается в гл. 6, § 2). В классе функций, для которых прямая и обратная задачи хорошо определены, нет функции и(х), отвечающей этим спектральным данным. Вопрос заключается в том, существуют ли соответствующие им обобщенные функции и(х) или необходимо заново строить теорию, чтобы непротиворечиво определить и(х)? Нелинейный характер спектрального преобразования указывает на то, что более вероятна, по-видимо- му, вторая возможность.
(В работе [292] было высказано эвристическое предположение, что спектральным данным с коэффициентом отражения R^ =- 1 соответствует потенциал и(х), пропорциональный производной дельта-функции Дирака. Но при этом не было сделано никаких попыток строго обосновать такое предположение в рамках теории обобщенных функций. Мы сомневаемся, чтобы подобного рода попытки были успешными.)
Итак, по-видимому, необходимо построить теорию, которая в случае спектрального преобразования играла бы такую же роль, как теория обобщенных функций в случае преобразования Фурье. Эта проблема выходит за рамки нашей книги. Подчеркнем еше раз, что ее нетривиальность связана, как можно думать, с нелинейным характером биективного отображения функ ций в их спектральные данные.
К менее серьезным нарушениям, не ведущим к решительным изменениям теории, приводит невыполнение условия "е". Действительно, из результатов гл. 4, § 2, и дополнения Д.12 подует, что спектральные данные, у которых нормирующий множитель р^ отрицателен, отвечают потенциалу, имеющему сингулярность или, точнее, двойной полюс в некоторой точке х действительной оси.
Упомянем в заключение другое нарушение, которое также, по-видимому, не требует серьезного расширения теории и которое можно предложить лишь в качестве интересной загадки. Предположим, что нарушается только условие "б" (при некоторых действительных значениях А). Тогда можно ожидать, что потенциал и(х) будет комплексным, так как неравенство (4) есть следствие условия унитарности, которое в свою очередь тесно связано с действительностью потенциала и(х). Но если все условия "в", "г", "д” и "е" выполняются, то ядро М уравнения ГЛМ (2.2.-1) действительное. Поэтому не очевидно, как решение К(х, у) этого же уравнения может стать комплексным [формулы (2.2.-3, 4)]. Следовательно, так же как и в предыдущем случае, решение интегрального уравнения ГЛМ должно становиться сингулярным.
Д.17. Применение соотношений вронскиана и спектральных интегральных соотношений для решения спектральной задачи Шредингера на всей прямой *
В этом дополнении мы покажем, как из интегральных соотношений вронскиана (гл. 2, § 4, п. А) и из спектральных интегральных соотношений (гл. 2, § 4, п. Б) непосредственно получаются некоторые результаты, относящиеся к одномерной задаче рассеяния для уравнения Шредингера. Рассмотрим сначала безотражательные потенциалы. Мы при этом не получаем новых результатов, но достаточно нов метод, которым они выводятся. Затем мы выведем простые формулы, связывающие потенциалы с равными коэффициентами отражения или прохождения. Насколько нам известно, эти результаты новые. Аналогичные, но менее завершенные результаты, касающиеся радиального уравнения Шредингера (отвечающего многомерной задаче рассеяния на сферическом потенциале), представлены в работе [84].
Безотражательные потенциалы. Положим в равенстве (2.4.А.-16а) g(z) = 2р > 0, а в равенстве (2.4.А.-166) g(z) = 1 и сложим их. Если потенциал и(х) удовлетворяет нелинейному интегро-дифференциальному уравнению 2/ш(х) + 1/л(х) + 1/(х)Уdyu(y) = 0,И1
то полученная в результате суммирования формула означает, что соответствующий коэффициент отражения равен нулю при всех к» Уравнение (1) превращается в обыкновенное дифференциальное уравнение при замене функции и(х) функцией
w(x) = У dyu^y^(2а)
или, иными еловами,
м(х) = — wx(x);(2^)
Если выполняются граничные условия
w( + oo) = wx( +оо) = 0,(з)
то решение имеет вид
wtx^Ap/^exp^lplx-f^-X^,(4а)
или
и{х) = 2р2/sh2[p(x~r)]-^
В последних двух выражениях §' - произвольная константа, не обязательно действительная. Но если мы требуем, чтобы функция и(х) была действительной (т.е. принадлежала к тому классу функций, которым мы до сих пор интересовались), то либо 5* ~ действительная величина, либо
Г^б^Др,(5)
где ^ - действительная константа. Первая возможность приводит к потенциалу (46), имеющему особенность на действительной оси (при х = §') и потому не принадлежащему к нужному нам классу функций. Таким образом, единственно приемлемая для нас возможность (5) дает потенциал
и(х)=-2р2/сЬ2[р(х-/)].(6)
Мы доказали, что этот потенциал безотражательный, т.е.
RW = O.(7)
Потенциал и^ имеет по крайней мере одно дискретное собственное значение Е1 = _р2, где ^ > де Полагая в соотношении (2.4.А.-36) g(z) = 2р, а в соотношении (2.4. А.-37) g(z) = 1 и действуя, как и раньше,получим из уравнения (1), что рЛ = р. Такие рассуждения показывают также, что у потенциала (6) имеется только одно дискретное собственное значение. Заметим еще, что эти результаты могут быть получены также из спектральных интегральных соотношений. [Для этого надо в равенстве (2.4.Б.-21) положить g(z) = 2р , а в равенстве (2Л.2.-22) g(z) = 1 и их сложить. Полученное в результате сложения уравнение с учетом равенства (7) при /V = 1 и р = р совпадает с уравнением (1).]
Итак, мы можем заключить, что потенциалу (6) отвечают нулевой коэффициент отражения и в точности одно собственное значение — р2. Кроме того, рассматривая аналогичным методом равенства (2.4.А.-32) и (2.4А.-33). можно вычислить соответствующий коэффициент прохождения:
TW = VkVxp^/<k-YPY(8)
Здесь, конечно, мы воспроизводим результаты гл. 11, § 2 [см., в частности, формулы (2.2.-7), (2.2.-10) и (2.2.-12)]. Отметим, что теперь они были получены без привлечения метода обратной спектральной задачи. Такой подход эквивалентен подходу, основанному на преобразовании Бэклунда (4.1 .-14). Действительно, уравнение (1) гГолучается, если выполнить ПБ нулевого потенциала.
По-видимому, всю последовательность безотражательных потенциалов с N дискретными уровнями (/V = 2, 3, . . .) тоже можно было бы получить таким методом, но только в качестве g(z) нужно было бы взять полином, а не константу.
Потенциалы с одинаковыми коэффициентами отражения и прохождения. Начнем с того, что двум разным потенциалам иИ 4х) и и^ М> удовлетворяющим нелинейному интегро-дифференциальному уравнению g(A)[u(1)(x)-u(2)(x)] + А(Л)Г-1=0,(9)
соответствуют коэффициенты отражения Н^ЦК) и К^Цк^, связанные между собой формулой
g( —4к2)[я(1)(к) —Я(2)(к)] +
+ 2ikA(-4Jt2)[«(l)(k) + /?(2’(k)]=0,(Юа)
или, что эквивалентно,
RwW=R»\ky
g( —4k2) —2ikk( —4k2)
(106)
g( —4k2) + 2ikA(—4k2)
Будем считать, что g(z) и k(z) - действительные полиномы. Интегро-дифференциальные операторы А и Г определяются выражениями
AKxWJX)-2Vu^xW4x)VU) + Fj+”dyf(yY(И)
Г^Ч^Ч^+^Хх)]/^)*^^ ^У^Ь^-^Чу^КуУ(12)
Эти формулы непосредственно получаются из результатов гл. 11, § 4, п. А [см., в частности, формулу (2.4.А.-10)]. Соответствующие уравнения для коэффициентов прохождения следуют из соотношений (2.4.А.-18, 19, 24) и (Ю):
[g( —4А:2) —2iA:A(-4A:2)+6(^)]
&(к) = —2ik ( dxg*( — 4к2, A)[u(1)(x) — u(2)(x)] + * —00
+ j d^i/^jO-^XjO] X
x /dxg*(—4k2, A)[u(1)(x) — u(2)(x)] +
+h( — 4k2)(dx[w(1)(x) — u(2)(x)]~
—00
— 2ik f^dxh*(-4k1, Л)Г1 Hr * —00
+ j+°°dy\u<x\y) — u(14y)\J dxh*(—4k1, Л)Г1.(14)
Разумеется, эти соотношения выполняются, если и(1) (х) и u(2) (х) - BF-no- тенциалы. [Другой вывод формул (9), (10) и (13) см. в дополнении Д.20.] Теперь займемся их анализом в простейших случаях [когда g^ и A(z) - полиномы небольшой степени]. Для удобства введем обозначения
H^) = J d^[u(1)(.y)-u(2)(^)],О5)
5(x) = U(1)(x)4-U(2)(x),(16)
из которых следует, что wU)(x) = ^[s(x)-^(x)],(17а)
^(x^ifs^ + z'.X.x)].(176)
Рассмотрим сначала случай g(z)=z-4p2,h(z)=O.(18)
(Такой выбор станет ясен позднее.) Уравнение (9) примет вид ^■"25^-^^+2^^2-4F2^=0.(19)
Его порядок понижается с помощью интегрирующего множителя v(x): ^х'~И^)2~^2+8'4"-2/>2у2=0.(20)
Константа интегрирования равна нулю благодаря тому, что в соответствии с формулами (15) и (16) величины s^, v(x) и производные v(x) обращаются в нуль при Х->+ оо,
В принципе это уравнение можно использовать, чтобы,скажем, по потенциалу «(2) (х) определить потенциал иИ) (х) с тем же коэффициентом отраже-
ния. Но в общем случае такая задача в явном виде не решается. В то же время из уравнения (20) сразу получается функция
5(х) = -2/4-|^(х)+{^(^)^(х)-Ц^(х)]2}л2(х).(21)
Следовательно, выбрав любую функцию v(x) и подставив ее в формулы (21) и (17), мы получим два потенциала с одинаковыми коэффициентами отражения:
R^\k^R^\k^R<kY(22)
Конечно, функция v(x) должна быть такой, чтобы и^ (х) и и^ (х) были BF- п^тецциалами, т.е. несингулярными и достаточно быстро стремящимися к нулю функциями. Такого рода функции v(x) легко найти (см. ниже).
, Если у двух разных потенциалов ик^ (%) и ul2) (х) одинаковый коэффициент отражения, то должны, очевидно, различаться дискретные части их спектра. Мы кратко остановимся на этом вопросе, а ниже вернемся к нему еще раз. Рассмотрим прежде всего интегральное соотношение вронскиана (2.4.А.-34) с функцией g(z) вида (18), с /i(z) = 0 и с потенциалами и(1) и и(2), заданными формулами (17) и (21). Они, конечно, удовлетворяют уравнению (9). Тогда по крайней мере один из потенциалов, скажем и^Цх), имеет дискретный уровень Е = -р2. Равенства (17), (20) и (21) приводят к определенным соотношениям между спектральными данными потенциалов и(1)(х) и ul2) (х). Их можно получить из спектрального интегрального соотношения (2.4.Б.-11), в котором функция g(z) задана формулой (18). В силу уравнения (20), или, что эквивалентно, (9) и (18) [см. также (4.-4) и (4.1.-8)], а также вследствие отсутствия вклада непрерывного спектра (22) это соотношение приводит к равенству
n=l
n<2>
- 2 ((^2,)2-/>2)/£2y< + KI,(xj/><2))/^^^^(23)
Как нетрудно убедиться, уравнение (23) выполняется только при условии равенства нулю каждого члена в двух суммах левой части уравнения. (Например, можно рассмотреть уравнение при х -> <» и принять во внимание положительность параметров р^ для BF-потенциалов.) Поэтому существуют только два случая, отвечающих уравнению (20). «Либо только один из потен- цицлов (17), скажем иИЦх^ имеет один дискретный уровень Е^ = - р2, либо оба потенциала имеют совпадающий дискретный уровень Ej1) = Е^= -р2 и не имеют других дискретных уровней. Эти два случая характеризуются следующими спектральными данными:
S[M(n] = {^(*); Р.^°. 7V(,»=1}.S[«<2>]= {/?(*); N<2>=0}(24а)
(первый случай);
$[«<'>] = {/?(*);/>,А^М-(24б)
5[и®] = (Я(А:);р>А№,= 1}
(второй случай). Конечно, можно поменять роли потенциалов и(1> и и^, изменив знак функции v(x) в формулах (17) и (21).
Обсудим теперь свойства функции v(x), которые обеспечивают принадлежность u(1 }(х) и и(2,(х) к классу BF-потенциалов. Ясно, что функция v(x) должна быть регулярной и не обращаться в нуль при конечных действительных значениях х [ формула (21)]:
^(х)^0, — оо<х< + оо.(25)
Согласно представлению (15), она должна убывать при х-> + оо:
у(х)-*0 прих->+оо.^)
Ее производные также асимптотически стремятся к нулю: dw^(x)/dxw~>0 приоо, т= 1,2,3,....(27)
При х -> -оо функция v(x) должна либо (случай ”а”^ стремиться к значению — 4р [ предельное значение 4р тоже допускается, но, так как оно соответствует просто перемене ролей потенциалов и(1) (х) и и(2) (х), мы его не будем рассматривать], либо (случай "б") стремиться к нулю пропорционально ехр(2рх):
у( — оо)=— 4р,(случай ”а”)9(28а)
ехр( — 2рх) ^(х)-> конечная величина при х~>—оо (р>0). (случай "б")
(286)
Прежде чем переходить к примерам, заметим, что аналог соотношения (22) для коэффициентов прохождения имеет вид Т^к^ТОЧк^р^+к^Др^кН^М-^-^Ч-^А- (29) Таким образом, в случае "а" получаем
Тт(к) = Т<2ЧкКк4Лр)/(к-^(ЗОа)
а в случае "б"
Т^(к) = Т(2\к).(306)
Обе последние формулы эквивалентны равенству
|T(l>(fc)|=|r<2>(t)|,(31)
которое согласуется с равенством (22) и условием унитарносги (2.1.-13). Напомним читателю, что в гл. 2, у 1, была установлена аналитичность коэффициента прохождения 7(A) в верхней полуплоскости комплексного переменного к (всюду, кроме простых полюсов в точках к = ipn, Еп = -р^). Дейст-
витально, формулы (24а), (30а), так же как и (246) и (306), согласуются с аналитичностью коэффициента I(А).
Подчеркнем, что, хотя мы можем написать простые соотношения, связывающие между собой коэффициенты отражения и прохождения, отвечающие потенциалам (17), вычислить эти величины в явном виде, вообще говоря, невозможно.
Вернемся к анализу дискретной части спектральных данных потенциалов и<1>(%) и и^^. Спектральное интегральное соотношение (2.4.Б.-11) при g(z) = 1 указывает на то, что данные (24а) отвечают случаю "а”, а (246) - случаю "б". В силу условия (22) это соотношение не содержит интегралов и принимает вид
(32а) ^случай na”Y
v(x)=-2(p<"-p™)f<^(326)
^случай ”6”Y Эти равенства вместе с определением решений Йоста (2.1.-4) означают просто, что спектральные параметры р( Л связаны с асимптотикой функции v(x) при х + od:
р^= — \ Игл [ехр(2рх)^(х)](33а)
^случай ”a"Y
/,(|)-/>(2>= _ 1 ц^ (ехр(2рх) г(х)](336)
^случай "б").Дополнительные соотношения получаются, если рассмотреть выражения (32) при х ^ - оо. Читатель может их вывести сам, воспользовавшись равенством (28а) и обозначениями гл. 2, § 1. Окончательные формулы имеют вид
Т’^^-хоДг^т)'/2!(34а)
^случай na"Y
,1*^ [ехР( —^xj^x)] =2[(х><2)/7>(|))1/2—(^И1*/^2))1/2} х
Xc(-xi)c(-x2)(34б)
^случай n6"Y [Заметим, что последний результат согласуется с формулой (286).]~
Кроме того, в этих случаях решение Йоста / ^нп (х. А) связано с решением Йоста / (±>(2) (х. А) преобразованием Дарбу:
Р^'ЧхД^Ц^к-хр^/^хр^^^+(35а)
+ {^(х)// ‘ х2|(х, £)- [2ух(х) +t'2(x)]/(rX2|(x, £)}/[8(£ + ip)(£ + i/>)]
^случай "ап> и
f<^W^x,k^f^^Xx, Ц-V ^р^х^'^ХхД^ —
-\1i^M^ ^MAfv"^^^(356)
^случай "б"^ Преобразование Дарбу, отвечающее соотношению(9) для потенциалов иИ) (х) и и^ (х), выводится в дополнении Д.20, Специальный их вид (35) получается из формулы (Д,20,-40) путем подстановки выражения (18) в формулы (Д.20,-41), (Д,20,-31) и (Д,20,-32), Замечательно, что на основании этих формул можно выразить через функцию v(x) нормированные собственные функции, отвечающие дискретному спектру, В случае "а” (24а) собственная функция, отвечающая собственному значению Е^ ~ - р2, имеет вид ^1)( х ) = [ - у( х )/2] 1/2ехр£ jd у р( у ) /4 j.(36а)
В случае "б" оба потенциала u(11 (х) и и^2) (х) имеют уровень E^ = EW - р2 и собственные функции записываются в виде
^(х)^^)/^)-^)^^
1 хJ(366)
^H^W)/[2U2>-^
При выводе формулы (36а) на правую часть формулы (35а) с верхним знаком, налагается условие аналитичности в верхней половине комплексной A-плоскости, (Это хорошо известное свойство решений Йоста, см, гл, 2, § 1,) •Следовательно, соответствующий полюс решения /<+) И)(х, А) не появляется только при условии, что решение /<+Н2)(х> д) удовлетворяет дифференциальному уравнению первого порядка 4#'(х)>’,(х) = [2^(х) + ^(х)]у(х)(37а)
с граничным условием у(х)-»ехр(—рх) прих-* + оо, р>0.^®)
Из этого уравнения находится явный вид функции /<*> <2>(х, ip), который вместе с формулой
^'>(x) = [p<'>]|/2/<+xi>(X)i/,)(38)
и (32а) дает равенство (36а), Формулу (366) читатель может вывести сам в качестве упражнения путем аналогичных рассуждений [ и, в частности, еще раз решив уравнение (37)], Отметим, что в случае пб” нормировка (2,1,-21) собственных функций (366) дает дополнительное соотношение /♦“dx^x^ainly2»/,/1)].(39)
Простейший пример случая ^а” - выражение
*(x)=-2p(l-th[p(x-/)]}, которое приводит к потенциалам и°Чх)=-2рг/<а?^р(х-^,u<24x)=0.
(40)
(41)
Таким образам, в этом случае потенциал и<2)(х) равен нулю [и, следовательно,/?<2>(Д)= о, Т^2Цк) = l]f ам<1>(х) - просто безотражательный потенциал (6). Отметим, что выражение ТИЦк) = (Л + ip)/(A -ip), которое теперь следует из формулы (30а), согласуется с формулой (8),
Простой пример случая Ибн получим, положив y(x)=4c/ch[2p(x-/)], что дает потенциалы u(l)(x)={c2-3p2+4pcsh[2p(x-/)]}/ch?[2p(x-/)], K(2)(x)={c2-3p2-4pcsh[2p(x-/)])/df![2p(x-^)]
(42)
(43а)
(436)
В этом случае два (одинаковых) коэффициента отражения и коэффициенты прохождения не известны. Но мы можем утверждать, что при всех действительных значениях константы с оба потенциала (43) имеют только одно связанное состояние с энергией ЕО) = е<2> = -р2. Кроме того, соответствующие спектральные параметры р(1> и р<2> могут быть легко вычислены по формулам (336) и (39):
р^-Тсехр^Ар^-те^Фр^^^Д1?^^^ Z>(2)=2cexp[(4pV+m:)/(2p)]/di[»c/(2p)].
Нетрудно также получить нормированные собственные функции:
(44a)
(446)
р(1)(х) = £^Ч^[^2^^^,
{sh[!7c/(2p)]ch[2p(x-/)]}l/2
^x>j=<i^^lV^A2^^
{sh[ те/(2р)] ch[2p (х -/)]}1/2
(45a)
(456)
Заметим, что значение к = ip лежит на границе полосы Баргмана, совпадающей для обоих потенциалов (43). Из результатов гл. 2, § 1, следует, что это значение не может попасть внутрь полосы, где аналитические продолжения коэффициентов ЯП>(£) и ЮЩк) совпадают (см. также дополнение ДЛ2).
Рассмотрим теперь случай g(z)=O,A(z)=l.
(46)
Тогда уравнение (9) сводится к равенству
5(х)=^(х),(47)
а равенства (106) и (13) принимают вид
rw^V-R^W,(48)
T^kW^kY(49)
При выводе последней формулы мы также использовали свойство v(— оо) = 0, которое прямо следует из равенства (47).
Таким образом, мы можем заключить, что любым двум ВВ-потенциалам заданным простыми формулами
и<х\х) = ^[^2(х) — 2^(х)],(50а)
и(2)(х) = |[^2(х) + 2^(х)],(506)
отвечают коэффициенты отражения и прохождения, связанные между собой простыми формулами (48) и (49). Кроме того, из формул (9), (46) и (2.4.А.- 35а) [при g(z) = 1] следует, что потенциалы u(U(x) ии<2)(х) не могут иметь каких-либо связанных состояний (дискретных уровней), кроме уровней, принадлежащих им обоим. Но, поскольку нормировочные множители с ^ и р^} положительны, последняя возможность исключается в силу формул (9), (46) и (2.4.А.-58).
При выводе всех этих результатов считалось, что иИЦх) и и^ (х) принадлежат классу BF-потенциалов. Согласно формулам (50), для этого достаточно, чтобы функция v(x) была регулярной при всех действительных зна чениях х и вместе со своими производными достаточно быстро стремилась К НУЛЮ При X -» ± оое
Подведем итог. По произвольной регулярной функции v(x), стремящейся к нулю на бесконечности вместе со своими производными, строятся два потенциала (50), не имеющие связанных состояний. При этом коэффициенты отражения и прохождения связаны между собой простыми соотношениями (48) и (49). Это удивительно четкий, но далеко не тривиальный результат.
Совсем нетрудно привести примеры таких пар потенциалов. Мы дадим только один, исходя из функции
^(x) = 2c/ch[/z(x-/)],(51'
которой определяются потенциалы
^(x^cle+^sh^tx-^Jl/ctfl/ttx-/)],(52а)
^(x^c^-^shtXx-^J/ch^Xx-/)].(526)
Здесь с, ц и § -произвольные действительные константы. Следует, возмож но, подчеркнуть сам по себе совсем нетривиальный факт отсутствия у этих
потенциалов связанных состояний при любом выборе параметров с и ц.
В заключение посмотрим, что означают формулы (9), (10) и (13) в слу-
g(z)=2,>0,h^-\.(53)
Тогда мы имеем
Rw(k) = -R?\k)(k+ip)/(k-ip),(54)
Тв\к) = Т(2)(к)(к+1р)/[k+ip+ ii^-00)],(55)
(56)
Интегрируя поеледнее уравнение, получаем
.$(;<) ^(х^М+Д/,].(57)
Следовательно, можно сделать вывод, что любой паре BF-потенциалов, заданных посредством функции v(x) ( в значительной степени произвольной, см. ниже) формулами
м(1)(х) = ^2(х)-+-р^(х)-^х(х),(58а)
и(2)(х) = ^2(х)+^г(х) +^Х(х),<586)
отвечают коэффициенты отражения и прохождения, связанные между собой соотношениями (54) и (55).
Единственное ограничение на функцию v(x) связано с требованием, чтобы потенциалы и<1>(х) и и<2Цх) принадлежали классу BF-потенцидлов. Достаточные для этого условия заключаются в регулярности v(x) на всей действительной оси и в асимптотических условиях
y(x)->0 прих-» 4-00.
(59)
При этом производные стремятся к нулю на обоих концах оси^ dw^(x)/dxw-»0 прих->±оо, т=1,2,3,....
(60)
При х -> - оо возможны два случая:
?( - оо) = —Др(случай "а”),
(61а)
^(-оо)=0(случай "б").
Заметим, что в случае ”а” формула (55) принимает вид
(616)
T<v4k) = T<24k)(k^ip)/(k-ip), а в случае ”бИ
(62а)
Т^Чк^Т^Чк).
(626)
Кроме того, на основании равенств (9), (53), (2.4.А.-34, 35) можно сразу же сделать вывод, что если потенциал и^Цх^ имеет отрицательное дискретное собственное значение, скажем Ер) = -^, то либо потенциал и'2Цх) име-
ет то же собственное значение, либо p\'t = ре В первом случае формулы (9), (53), (2.4.А.-67, 68) приводят к соотношению (обозначения очевидны) р^=рШ^Ар-рП pW?*(63)
из которого также следует, что р|2> < р. Отметим, что к тем же заключениям можно прийти, исходя из спектральных интегральных соотношений (2.4.Б.-11, 12) и равенств (9), (53),
Итак, мы показали, что паре потенциалов (58) с р > 0, определяемых произвольной регулярной функцией v(x), удовлетворяющей лишь условиям (59), (60) и (61), соответствуют коэффициенты отражения и прохождения, связанные между собой равенствами (54) и (62). У потенциала u(11 (х) может быть только один дискретный уровень Е = -р2, который отсутствовал бы у потенциала и<2Цх). Любой другой дискретный уровень Ег - общий для обоих потенциалов. Он удовлетворяет неравенству Е < Е* < 0.
Нетрудно сконструировать явные примеры. Выбор y(x) = -2^{l-th[/>(x-f)]}(64)
(65)(66а)(666)(65)(66а)(666)отвечает случаю "ап Он приводит к потенциалам uW^ = 0 и и<П(х) (6). Мы имеем Т^ (k) = 1, а коэффициент ТИ)(А) дается формулой (8), что согласуется с равенством (62а). Оба коэффициента К^У^ и Z?<2> (А) равны нулю. К случаю пб” приводит выбор F(x)=2c/ch[^(x-f)J, Потенциалы имеют вид
(65)
(66а)
(666)
(65)
(66а)
(666)
(2), х £{£j2^1^Z^lzZ?!bL^^.
1 }dt^W)]
В заключение заметим, что во всех рассматриваемых в этом дополнении примерах соотношения между коэффициентами сохраняют модули: |Я(1)(£)| = |Я(2)(£)|, 1т^=0,(67а)
|Т(1)(А:)| = |Т(2)(^)|, 1т£=0.(676)
Эго справедливо вообще для коэффициентов отражения (Юб) при действительных g и h, а в силу унитарности — и для коэффициентов прохождения (13). Этим объясняется подзаголовок второй части данного дополнения (напомним, что в экспериментах по рассеянию, вообще говоря, измеряются только модули коэффициентов отражения и прохождения).
Д.18. О классе уравнений вида n(L)ut = a(L)ux
В этом дополнении мы рассмотрим класс эволюционных уравнений вида
^(L)u,(x,r)=a(L)ux(x,r),(О
где ц и а - полиномы:
м
7(z)= 5 7тг”, 0<М«»,(2а)
м*
a(z)= 'L«mtm. 0<М'<ео»(2б)
a L - ранее введенный интегро-дифференциальный оператор:
Lf{x,t)=fxx(x,t)-^u(x,t)f(x,t) + 2ux(x,t)^°°d^/(^,r).(3)
Для простоты будем считать, что q и а - действительные функции, не зависящие от времени. Обобщение на случай явно зависящих от времени функций q и а тривиально . Также не вызывает трудностей переход от полиномов n(z) и a (z) к целым функциям.
Эволюционное уравнение (1) можно, очевидно, переписать в более* простой форме
и,(х,/)=а(Г)«х(х,О,(4)
где мы формально положили
а^а^/М*(5)
Таким образом, главная проблема заключается в придании однозначного смысла оператору (5), действующему на функцию их (х, t). Поскольку все операторы Lm, m= 0, 1, 2, ..., имеют смысл, можно, конечно, разложить функцию a (L) по сзепеням L или вообще по степеням L- г, где z - произвольная константа. Но, хотя при таком подходе мы получим формальное определение оператора, не ясно будет, насколько действительно допустима такая процедура, что, конечно, зависит от сходимости получаемых рядов.
Более ясным представляется подход, аналогичный использованию преобразования Фурье для придания смысла оператору а (D), где D — дифференциальный оператор
DflxWAxY(6)
Напомним, в чем он состоит. Предположим, что для функции f^ возможно преобразование Фурье'
/(х) = (29г)”1/dkexptjkx^fCkY(7)
* —ОО
Тогда формально
^ (^)/( ^)= (2 ^) V d^exp(i^x) a(i^)/(^).(8)
Применение оператора a (D) к функции f (х) имеет смысл лишь в тех случаях, когда интеграл в правой части этой формулы сходится.» Например, если a(z) и q(z) - полиномы (2), (5), а фурье-образ Цк^ регулярен при действительных значениях к и стремится к нулю быстрее любой обратной степени к [ т.е. если f (х) - бесконечно дифференцируемая на всей оси функция, стремящаяся к нулю со всеми своими производными при х -♦ ± «> быстрее, чем х”1 ], то достаточ ным условием того, чтобы произведение a (D)f(x) было хорошо определенной обычной (а не обобщенной) функцией, будет отсутствие мнимых нулей у поли
нома q(z):
7(z)^=0 npnRez^O.(9)
Основные формулы, определяющие применение аналогичной процедуры к правой части равенства (4), имеют вид
«(x) = ^7+”d4/<+>(x,t)]22it^^(Ю)
-0°Л—1
LmD=DLm,(Ц)
i[/<+>(x,*)]2=(2iM2[/<+>(x,*)]2,(12а)
Ь[Л(х)]2=4^2[/я(х)]2(12б)
[см. также (1.3.В.-2) или (2.3.Б.-16), (Д.З.-ЗО) и (Д.9.-44); если читателю не знакомы фигурирующие здесь символы, то он может выяснить их смысл, обратившись к той части текста, где приводятся цитируемые формулы]. Отметим, что здесь и в дальнейшем мы исключили для простоты явную зависимость от переменной t.
Из этих формул очевидным образом следует, что
5(L)ux(x)=Z>L-|/‘+” d^Z^x,*)]^*^^*:2)/^*:)-
[—ОО
-4 2 [A(x)]2P„5(4/>„2)aL(13а)
1J
й(£)их(х) = (2/я-) Г^/ГЧх i)/<+>(x,*)2ifca(-4jfc2) х
•' — 00
N
хК(к)-8 2 fnx^fnVx^p^VAp^P,(136)
п — 1
[эта формула совпадает с формулой (2.4.Б.-16), что легко установить, восполь-
зовавшись операторным тождеством (11) a (L)D = Da(L)]. Таким образом, если и^ есть BF-потенциал, то достаточным условием того, чтобы произведение a (L)u (х) было хорошо определенной функцией (т.е. тоже принадлежало классу ВF-потенциалов), будет отсутствие действительных нулей у полинома q(z) [формулы (2) и (5)]:
7(z)#=0npnImz—0.(14)
Если эт^ условие выполняется, то вряд ли могут возникнуть трудности при изучении уравнения (1). Действительно, напомним, что эволюция спектральных данных потенциала Цх, г), удовлетворяющего уравнению (1), имеет вид R(A:,r) = R(A:,0)exp[2i/ca(-4^2Jr])05а)
лХО^Ло).(15б)
/>„(/) = а(0) ехр [- 2р„5 (4р^)/],0 5в>
В этих формулах использовано обозначение (5). Смысл этих формул в том, что в тех случаях, когда существует взаимно однозначное соответствие между функцией и(х, t) и ее спектральным образом
SVu^^kj), -оо<^< + оо;рй) а,(г), ^=1,2,...,^}(16)
[ как мы знаем, оно существует, если Цхэ t) есть ВF-потенциал], задача Коши хорошо определена. В то же время если и^х, 0) есть BF- потенциал и выполняется условие (14), то на основании формул (15) можно заключить, что решение и^х, t) само будет ВЕ-потенциалом. [Правда, это будет до некоторой степени специфическая функция, так как соответствующий коэффициент отражения R(к, t), рассматриваемый как функция комплексного переменного к, в общем случае при t ^ 0 имеет М существенных особенностей в верхней полуплоскости и столько же в нижней полуплоскости; см. формулы (2 а), (5) и (15 а). Какие- либо явные примеры таких BF-потенциалов пока что не известны.]
Даже если условие (14) нарушено, то тем не менее существует класс начальных данных Коши Цх, 0), для которых эволюция во времени (1) не вызывает трудностей. Предположим, например, что условие (14) выполняется всюду, кроме некоторого числа положителъных нулей:
г?(4^)=0,(17а)
7(z)#=0npnlmz^O , Rez#=4^2.(176)
Ясно, чт‘ условием, гарантирующим разрешимость задачи Коши, будет отличив величин q (17) от дискретных собственных значений рп в спектральных данных потенциала и(х, 0). И аналогично, если у полинома q(z) существуют отрицательные нули ц(— 4^2 ) = 0, то достаточно, чтобы коэффициент R(k, 0) обращался в нуль в окрестностях точек к = tq^.
Исключительный случай, который мы упоминаем ввиду его особого интереса, возникает, когда полиномы q(z) и а (г) имеют общий положительный нуль:
V(z)=(z-4p2)^(z),<18а)
<r(z) = (z-4p2)«'(z),086)
где n*(z) и а*(^ - полиномы степениМ -1 нМ* - 1 [формула(2)], Тогда, конечно, общий нуль исчезнет в выражении (5) и не будет играть никакой роли в формулах (15). Но в действительности последняя из этих формул (15 в) применима только при условии, что р^ * р. Если же рп ■ р, то эволюционное уравнение (1) не накладывает никаких ограничений на эволюцию коэффициента Р (0, которая может быть выбрана произвольной. [Недоверчивый читатель может, например, легко убедиться, что если выполняется равенство v(4p2)=a(4p2)=0,(19)
то солитон
w(x,/) = -2p2/ch?{p[x-/(r)]}(2°)
удовлетворяет уравнению (1) при произвольной функции §(<), так как в силу равенства (1.7.А.-18) мы имеем
7(£)и,(х, <)=-^(()),(4р2)ил(х, г)=0,(21а)
а(£)мх(х,0=<г(4р2)мх(х,?)=0.(216)
Обсудим в заключение эволюцию во времени коэффициента прохождения Цк), отвечающего SF-потен пиалу u(%, г), который удовлетворяет уравнению (1). Простейший аргумент, позволяющий прийти к заключению, что тогда Тус) не зависит от времени, основан на следующем. Согласно формуле (15 а), модуль коэффициента отражения не зависит от времени:
|Я(М)| = |Я(*,0)|,(22)
так же как и дискретные собственные значения (156). Но мы знаем, что этими величинами однозначно определяется коэффициент Ту^ [ см. замечание после формулы (2.1.-44) ].
Согласно результатам гл. 5, из независимости от времени коэффициента ТУс) следует независимость от времени величин
+dx£m[xux(x, г)+2и(х,/)],
^ = 0,1,2,...,<23)
которые образуют обычную бесконечную последовательность интегралов движения для класса эволюционных уравнений (1).
Подчеркнем, что данный результат основан на принадлежности решения и(х, t) классу SF-потенциалов при всех значениях времени. (Об условиях,
достаточных для этого, говорилось выше.) Если же мы захотели, так же как мы поступили в конце гл. 5, исходить только из эволюционного уравнения (1) и операторного тождества (Д.8.-8) или (Д. 9.-63 а), то мы должны были бы сначала написать
(24)(24)dCw/dr = (- if Г^Дх^и^х, г), т = 0,1,2,..
(24)
(24)
•'-оо
и затем [для того чтобы использовать уравнение (1)] взять подходящую линейную комбинацию этих формул [ см. формулу (2 а) ]
Тогда уравнение (1) и операторное тождество (Д.8.-0) или (Д.9.-54а)
(26)(26)^”ДхЬтих^х,^ = », т = 0,1,2,...
(26)
(26)
означают, что правая часть равенства (25) равна нулю, т.е. величины
м
6,= 2 <-ХУптСт^п, л=0,1,2,...(27)
/и=0
дают бесконечную последовательность сохраняющихся величин. Конечно, этот результат согласуется с независимостью от времени величин Ст1хотя и несколько слабее.
Точно так же попытки вывести независимость от времени коэффициента прохождения Т^ непосредственно тем же методом, что и в гл. 5, не дадут успеха. Вместо формул (5.-7) и (5.-8) теперь нужно написать
1хк<-4кг^КХк, «W-к, О+Т^к, t)T(-к, 0] +
А-4к^Т^к,1^Т^-к,^ f dx^^-A^.L^u^x,!^
* ~ ОО
= Г дхф(х,к,1)ф(х,-k,t)ii(L)ut(x,t),*(28)
(2iJt)2<r(-4Jt2)/l(jt,/)*(“*, О =
= (dx/(x,k,t)^(x,—k,t)a(L)ux(x,t).(29)
-ОО
Отметим, в частности, дополнительный член в левой части равенства (28), который соответствует второму члену в левой части равенства (2.4.А.-25). Здесь мы использовали обозначение [см. формулу (2.4.1.-20)]
g*<zt. 22)=[g^l)-g(^2)]/(zl-z2).(30)
Из этих уравнений вместе с равенствами (3.1.10.-10,11)[или (1) и (15 а) ] следует
формула
у(—4^2)7^(А,<)=21АГ(А,?) (+”dx if(-4k\ L)u,(x, t\(31)
* — 00
которая отличается от соответствующей формулы (5.-9).
На самом деле она означает, что выполняется равенство
[7и,?)Т(-£,,)], = 0,(32а)
или, что эквивалентно, равенство
|Г(А:,<)|( = 0,<32б>
которое согласуется с равенством (15а) и соотношением унитарности (2.1.-18)
или (2.1 .-13). Кроме того, формула (31) принимает вид
^-Ак^б^к^^^кГ® dx^^-Ak1,^.^,^,(33)
где 6 - фаза коэффициента Т^к, t Y
T(k,t) = T(-k,t)&v[2i0(k,t)](34а)
или,если потенциал и^х, t) действителен,
Цк, t) = \T(k, /)|exp[i^(^, г)], Im^=O.(346)
Так как равенство (33) не означает, что фаза 0 сама не зависит от времени, то на основании формул (Д.З.-2) и (Д.З.-З) нельзя сразу же сделать вывод, что величины Ст или, что эквивалентно, коэффициенты 0т асимптотического разложения при больших значениях к не зависят от времени. Но, исходя из формулы (33), можно снова показать независимость от времени величин (27), если кроме равенства (33) учесть формулы (Д.З.-2,3), (30) и (1) и выполнить асимптотическое разложение при больших значениях к.
Доказав же равенство (32), с учетом равенства (15 6) можно снова заключить, основываясь на формуле (2.1.-436), что фаза 6W коэффициента прохождения не должна зависеть от времени. [Отметим, что при выводе формулы (2.1.-436) играет роль только аналитичность коэффициента Цк) в верхней полуплоскости, а аналитичность коэффициента R^k) не используется, см. дополнение Д.4.]
Разумеется, все эти результаты означают, что правые части равенств (24), (31) и (33) равны нулю. К этому же заключению можно прийти, исходя непосредственно из уравнения (4) и формулы
j+” dxLma(L)ux(x,t)=O, m=0,l,2,....(35)
Хотя a (L) и не полином [формула (5)],выражение а^их хорошо определено. Поэтому формулу (35) можно вывести из равенств (26). О достаточных условиях для определения выражения a(L)ux говорилось раньше. Отметим также, что их выполнение обеспечивает принадлежность и^х, t) классу /^-потенциалов
при всех значениях времени. Это указывает на общую непротиворечивость нашего подхода (непротиворечивость, весьма подбадривающую ввиду эвристического характера нашего изложения).
Д,19о Примеры функций, спектральные данные которых известны в явном виде
Известно только несколько примеров функций Цх^, для спектральных данных которых имеется явное выражение. Это примеры двоякого рода: либо по заданной функции и^ удается найти явное решение уравнения Шредингера /хх+[*2_“(Х)]/=°,/=/(^),(1)
при всех значениях спектрального комплексного параметра к, либо по известным спектральным данным S[u]-(A(^), — co<k<Jr со\рп, pn,n=\,'l,...<>N'\(2)
удается найти явные решения уравнения Гельфанда - Левитана - Марченко /r(x,^) + M(x+j') + y+o°dzK(x,z)A/(z+^)=0, х<у,(3)
где
N+00
м(^)= 2 А,ехр(-дпх) + (2я-)"'Г ”dkR(k)exp(ikx>)(4)
и=17-00' 1
при всех действительных значениях х.
Мы приведем примеры обоих видов. При этом мы будем пользоваться обозначениями, введенными в гл. 2, где рассматривались прямая и обратная задачи для уравнения (1) (см. также дополнения Д.5, Д.12, Д.15 и Д.17), но приведем здесь некоторые формулы, необходимые для того, чтобы дополнение было вполне самостоятельным разделом.
Линейно-независимые решения Йоста f^Hx, к) уравнения (1) выделяются граничными условиями
lim [exp(+i*x)/<±)(x,fc)l = l, Im*»O.(5)
Эти решения получаются в рамках прямой задачи для уравнения (1). По ним находятся коэффициенты прохождения и отражения: T(fc)/<")(x,fc)=/<+)(x,-^^(6)
Если имеется N дискретных собственных значений - р^ , то им отвечают простые полюсы коэффициента Г(А:) в точках к = - i рп , и = 1, 2, ..., N, рп> 0. Соответствующие нормированные собственные функции фп(х):
/ dxMx)]2=1> ”=1,2,...,TV(7)
характеризуются соотношениями
ФпМ^-уЧхЛр^,(8а)
F„(x)=c<+)/<+»(x,ip„),(8б)
^^-^TU)]^^.(9)
Из них получается выражение для нормирующих множителей
аЧ^ИГ^/^Ла)]2}n=l,2,...,N.(10)
В рамках обратной задачи, основанной на формулах (3) и (4), решения уравнения (3) дают не только функцию
u(x)=-2dK(x, x+0)/dx,(11)
но и функцию Йоста /^хД^ехр^кх)^ ( dyK(x,y)exp(iky), 1тк>0.(12)
Тогда нормированная собственная функция <р (х) определяется формулами (8 б), (10) и (12) при к = ipn .”
Прежде чем переходить к рассмотрению случаев, основанных на явных решениях уравнений (1) и (3), изложим несколько технических приемов, которые могут быть использованы для расширения класса функций, спектральные данные которых известны в явном виде. В дельнейшем под ’’решаемым потенциалом” мы будем подразумевать функцию и^, для которой спектральная задача соответствующего уравнения Шредингера решается в явной форме.
Предположим, что и^ - решаемый потенциал. Тогда потенциал, получек ный в результате сдвига
и\х^ = иД -Va\(13а)
тоже решаемый. Действительно, воспользовавшись очевидными обозначениями, нетрудно найти (см. также гл. 2, § 1, п. А)
^^хД^ехр^хка^ f{~\x+a,k),(136)
Г(к) = Т\к\(13в)
КХк^ехр^ка^КД),(13г)
"=1,2N,№)
«х^Я^х*®^ n=l,2,...,N,(13е)
с^ехр^р^сЛ n=l,2,...,N,(13ж)
/С=ор(—2д,а)д„ и=1,2,...,М,(13з)
К'(х,у')=К(х*а,у+а'), х<у.(13и)
Аналогично потенциал, полученный из и(х^ масштабным преобразованием (14а)
тоже решаемый. Соответствующие формулы имеют вид ^хЛ^Г^хД/^,(146)
ТЧк^ТД/д).(14в>
R*(k)=R(k/P).(14г)
Р»=РРп» ”=1,2N,(14д)
^.(х^^^Фп^дх1), n=l,2,...,N,(14е)
с^'^Ч^ ”=1,2N,(Иж)
и=1,2N.(Из)
К'(х,у)=дК(дх.ду), х<у.(Ии)
Отражение относительно начала координат и^х^и^-х)^^
снова приводит к решаемому потенциалу. Как нетрудно убедиться, верны также формулы f^x.kW^-x.kY<15б)
T\k> = T<kV(Ив)
R'^kV-R^-k^TW/T^-k^.(Иг)
Р'„=Р„. ”=1*2N,(ИД)
^=^-*Y ^=1*”=1.2,--.N.Обе)
с^^е,^," ^=1,„=\,2,...,М,(Иж)
р?=^г, п=\,2.....N.(Из)
Элементарный метод построения нового решаемого потенциала и^ из М известных решаемых потенциалов и^ Ч х\ / = 1, ..., М, таков: нужно разбить действительную ось х на М интервалов, задав упорядоченную последовательность If -1 чисел х.
-oocjqcj^ <xM_x<^QO»(16)
и положить
и(х)=и<|>(*Мх|-х)+ 2 ии*'\х)^х-х,)-Р(х-х,+ 1^*
+и<мЧхХх-хм-Л,(17а)
где 6М = 0 при ж < О и 0(х) = 1 при х > 0. Или, что эквивалентно, Цх^и^Чх^ x<xv
гЧх^и^Чх^ xj_x<x<xr 7 = 2,3,..., ЛГ—1,(176)
и(х) = и(Л/)(х), х>хм.
Действительно, решения Йоста f^tx, к) уравнения (1) с потенциалом (17) на интервале, где и^ совпадает с потенциалом иМЧх^, очевидным образом даются линейной комбинацией двух известных решений Йоста, отвечающих потенциалу и^1 ЧхУ Коэффициенты этой линейной комбинации выбираются таким образом, чтобы решения f^Hx, к) удовлетворяли граничным условиям (5) и были непрерывны вместе с первыми производными в каждой точке х.. Как только решения Йоста (^"Чх,. к) получены, остальные спектральные величины вычисляются по обычным формулам (6), (8) - (10). Заметим, что в простейшем случае, когда М = 2 и, например, и(2 Цх) = 0 (а это действительно решаемый потенциал), новый потенциал получается в результате обрезания
u^Hx) на интервале от хг до + «>.
В качестве примера рассмотрим случай М = 2 и %1 = 0: u(x) = u<!)(x)^(-x) + u<2)(x)^(x),(18а)
Цх^и^ЧхУ х<0; и^х^и^Чх^ х>0,(186)
где ц(1)(%) и и^ (х) - два решаемых потенциала. Проверка формул Г'Чх^Ч^ЧхЛ^-х^ +
^{^Чх>~к^КЦ<М^ЧхЛ^\^^(18в)
где
TW = 2ikVf"*'40,k)frw40,kV
-/«-^(ОДХ^'ЧО,£)]"', ImAsO,(18г)
К^^Г^ЧО^-к^/^Жк^-^ЧОЛ^х^ЧО.-к^ х
X [/^»<'>(0Д)А( + х2)(0Л)-/<+х2)(0Л)/Г><1)(0Л)]_|,(18д)
Im/с=0
может служить простым упражнением. В этих формулах коэффициент прохождения (18 г), коэффициент отражения (18 д) и решение Йоста (18 в) отвечают потенциалу (18 а) или потенциалу (18 6), а решения Йоста f^i4x, к) отвечают потенциалам и^ (х), / = 1, 2.
Другой не менее тривиальный метод построения нового решаемого потенциала иЧх) по известному потенциалу и(х) основан на преобразовании Бэклун- да
м'(х)=и(х)-2[1п/(х)]ХЛ, (19)
Где у(%) _ любое решение уравнения Шредингера
Ах(^)=[/+“(Х)]ЛХ)’(20)
причем р - заданное действительное число. Так как это преобразование подробно рассматривалось в дополнении Д.12, мы отошлем читателя к нему. Читатель может найти там также преобразование Дарбу, соответствующее преобразованию (19), которое дает явные выражения для решений Йоста, отвечающих новому потенциалу и*^, а также другие спектральные величины, в том числе спектральные данные потенциала
Технические приемы, которые мы рассматривали до сих пор для построения нового решаемого потенциала по известному, основаны на возможности интегрирования уравнения Шредингера (1) с новым потенциалом/Мы сейчас рассмотрим другую возможность построения нового решаемого потенциала в контексте обратной задачи. Вывод основных уравнений дан в дополнении Д.5. Они кратко приведены ниже в объеме, необходимом для настоящего анализа.
Пусть и(%) - решаемый потенциал со спектральными данными (2), а спектральные данные второго потенциала и*(х) таковы:
S[w'] = {^(^), ~oo<Zc< + oo;p',p', л=1,2,...,^}.(21)
[ Заметим, что коэффициенты отражения потенциалов и^ и и*^ совпадают, а величины р ' и р * - заданные положительные числа.] Тогда потенциал и*^ может быть вычислен следующим образом. Сначала нужно решить интегральное уравнение ГЛМ (3) с ядром
N*
м(х,у)= 2 А/^ЧхАр^^ЧуАРп)-
п = 1
N
- 5 аЛ^ЧхАр^/^ЧуАРп),(22)
П=1
а затем воспользоваться формулой
u'^x^u^-ldK^x, x+0)/dx.(23)
Возможность построения потенциала и*^ основана на том, что ядро (22) интегрального уравнения Фредгольма (3) сепарабельно и имеет ранг N + N , а следовательно, данное уравнение сводится к алгебраической системе N + N* линейных уравнений. [ Пример явного решения (3) в аналогичном случае приводится ниже. ] Как только решение К (%, у) уравнения (3) найдено, по нему строится решение Йоста со знаком ’’плюс”, отвечающее новому потенциалу u'UY
f^\x,k)=f(+4x,k) +(24)
Im/c>0,
Далее из этого выражения строятся коэффициент прохождения 1*^ - с помощью асимптотической формулы
fw\x, к) ^^ [1/Т'(*)] exp(ifcx) -
-[/{(-AcJ/^-^^expC-ibc),(25)
а также нормированные собственные функции
Ф^иУ^^х/хр^, „=1,2,...,^.(26)
Оставляя общее исследование этого подхода, мы представим здесь явные выражения в простейшем случае
Р»=Рп.n=l,2,...,N'=N,(27)
рГ=рп,n=2,3,...,N,(28)
pt=p,p\=p*kp.(29)
(Величина Др не обязательно мала.) В этом случае ядро (22) принимает простой вид
М^х, У^М^ЧхАрМ^ЧуЛр^(30)
и решение уравнения (3) легко находится:
KU,yV-(M/P^x^y^*^P/p)j‘^М?’)]2) ,(31)
где
ф(х)=ф1(х)=^/2/(+Чх,1р')(32)
есть нормированная собственная функция с pt = р. Следовательно, новый потенциал.имеет вид
и'(х) = и(х)—2^1п^1 + (Др/р)jd_y[y(^)] jj ,(33а)
а соответствующее решение Йоста (24) записывается в форме
fwXx^WuW)-(bp/pMx)J*”dyVU)f(^
xp + (Ax>/x>)jf+"d^[F(jp)]2) ’, Im*>0.(336)
Эта формула показывает, что
Т^=Т<к\(ЗЗв)
Равенство (ЗЗв) прямо следует также из результатов дополнения Д.4. Кроме того, так как, согласно формуле (29), с<+>'=(х>+Дх>)1/2,(33г)
мы имеем
^'=с\-\\*^р/ру'/г
[ см. формулы (9) и (33 в) ]. И, наконец, формула (33 б) дает также выражение для нормированной собственной функции:
^1(х) = (1+Др/р)1/2у(х)|1 + (Др/р)^d^[y(y)]2)(ЗЗе)
Перейдем теперь к построению явных примеров решаемых потенциалов. Начнем с распределение Дирака u(x)=2g»(x-x0),<34а)
где g и я0 - произвольные действительные параметры. Заметим, что параметр xq может быть положен равный нулю, а параметр g - равным единице. В конце их можно восстановить путем подходящих преобразований сдвига (13 а) (а == _*о) и масштабного преобразования (14а). В любом случае уравнение (1) с потенциалом (34 а) может быть легко проинтегрировано, Приводя к решениям Йоста (5) следующего вида:
/<:t)(x,*)=(l + (ig/*){l-exp[±2iA:(x0-x)]} х
x^±(x0-x)])exp(±ifcx).(346)
Здесь 6 (%) - ступенчатая функция: е(х) = 1 при х > 0, е(х) = 0 при х < 0. Это выражение сразу позволяет написать коэффициенты отражения и прохождения:
RW = [^/(^ ~ $)] exp(-2ifcx0),(34в)
T^k^ikAik-gY(34г)
При построении спектральных данных, отвечающих потенциалу (34 а), следует отдельно рассмотреть два случая: g > 0 и g < 0. Если g > 0, то потенциал (34а) отталкивающий и не имеет дискретных собственных значений, так как коэффициент ТЩ (34 г) не имеет полюсов в верхней полуплоскости. В этом случае спектральные данные имеют вид
S[m] = ^R^k), — ao<k< +оо; N = 0y(34д)
где коэффициент R^ определяется формулой (34в).
В случае притягивающего потенциала g < 0 в спектральной задаче (1) появляется одно дискретное собственное значение к = х р г, где px-~g-(34е)
Этому значению отвечает нормированная собственная функция
Pi(*)=p/2Hx~*o)<M~Pi(*-*o)]+
+ ^х0-х)ехр[^|(х-х0)]},(34ж)
а асимптотические константы с!1* [формулы (8) и (5)1 имеют вид
с^'^рУ^хр^р^^(34з)
[последние две формулы выводятся на основании равенств (8), (9) и (34г)].
В этом случае спектральные данные потенциала (34а) также имеют дискрет
ную компоненту:
£[«] = {/?(&), — оо<к< -Vco;pv рх, ^=l}.(34и)
Они дополняются формулами (34 в), (34 ж) и соотношением
X>i=ci+,2=-8exp(-2gx0).(34к)
Наш второй пример - "прямоугольная" функция и^х^а^^х—х^ — ^х—х^,(35а)
и(х)=а, хх<х<х2; м(х) = 0,х<%! или х>х2,(35б)
где а, х^ и %2 - действительные параметры. В этом примере интегрирование Уравнения (1) также элементарно, и мы приведем только необходимые формулы. Решения Йоста записываются в виде
f^^x, к) = ^х—x2)exp(iA:x) + [^(х—хх) — ^(х—х2)] х
х exp(ifcx2) {cos[#(x—х2)] + (ik/q)sin[^(x—х2)]} + ^(хх—х) х
х exp(i^x2)sinx{[(2^2“a)/(2i^)4-ctgx]exp[iA:(x-x1)] + + [a/(2ikq)] ехр[-ik(x—xx)]},(55в)
/^(х, к) = ^хх —х^ехр^ — хкх^А-У^х—х^ — ^х—х^ х
xexp(-i^x1){cos[^(x-x1)]“(iV^)sin[^(x“X1)]} +
+ ^(x“x2)exp(“i/cx1)sinx{[V(2i^)]exp[i^(x-x2)] +
+ [(2fc2-a)/(2ify) + ctgx]exp[-ifc^^(35г)
где ^=^(^) = (^2~5)1/2,(36)
X=xW = q<k^x2-xx\(37)
Из этих выражений легко находятся коэффициенты отражения и прохождения: ROt) = Va/^^A^lkl~aM^M)+ct&^^*exp(-2ifcx2),(35д)
r(/c) = {[(2fc2-a)/(2ifc9)]sinx+cosx}-lexp[-i/c(x2-xl)].(35е)
Читатель может убедиться, что они удовлетворяют соотношению унитарности RU)R(-kVT(k)T(^(38)
При а > 0 (случай отталкивающего прямоугольного барьера) коэффициент Т(А) не имеет полюсов в верхней полуплоскости. Спектральные данные потен-
пиала (35а), (35 6) имеют только'непрерывную компоненту. Они имеют вид (34д) с определяющими формулами (35 д), (36), (37).
При а < 0 (прямоугольная яма) в задаче присутствует дискретный спектр. Дискретные собственные значения даются полюсами коэффициента прохождения (35 е), расположенными на мнимой оси: к = ip^, рп > 0, п = 1, 2, ..., N, где числа р^ неявно определяются уравнением ctgX„=(x*2-2p„2)/(2M„), n = l,2,...,N.(35ж)
Здесь в соответствии с формулами (36) и (37) мы имеем множество величин q^-p^2. Х„=^(х2-^).n=\,2,...,N,(39)
где
причем ц - действительный положительный параметр. В самом деле, легко видеть, что полюсы коэффициента Т^, лежащие в верхней полуплоскости, могут появиться только на интервале мнимой оси 0 < Im& < ц, Re к = 0, а их число определяется неравенствами
(N— 1)97<д(х2—xx)<N?r.(35з)
[ Мы пренебрегаем здесь предельным случаем, когда ц (%2 — х^/^ — целая величина, соответствующим, согласно терминологии дополнения Д. 15, ’’связанным состояниям с нулевой энергией”. ]
Нормированная собственная функция с параметром рп имеет вид sE,n(x)=(q„/p){2p„/[2+p„U2-xl)]}l/2x
х{Р(х1-х)ехр[р„(х-х1)] + [Р(х-х1)-Р(х-х2)]х x(cos[q„(x-x1)] + (p„/q„)sin[q„(x-x1)]) +
+ ^(х-х2)ехр[—р(х~х2)]),(35и)
откуда нетрудно найти асимптотические константы (8): с<+>= [рехр(-р„х2 )] " 'q„^2p„/\2+pn(x2-xx)] } 1/2((35к)
сп~’ = [/<ехр(рпхх)] “ ^Д2рпД2+рп^х2—хх)]}1/2.(35л)
И наконец, спектральные данные, отвечающие потенциалу (35 а), (356) при значении параметра а (40), определяются формулой (2) с коэффициентом отра жения (35д), N спектральных параметров рп определяются уравнением (35 ж), число N фиксируется условием (35 з), а нормировочные множители имеют вид Рп=ехр(.2рПх2Х2рп/р2Хр2-р^Д2+рП(х2-х1)], n=\,l,...,N. (35м) В качестве третьего потенциала рассмотрим экспоненциальную функцию u(x) = yexp(-2|x|) = y[l(-x)exp(2x) + l(x)exp(-2x)].(41а)
Можно добавить в этот потенциал два действительных параметра, сдвигая переменную х и меняя ее масштаб [см. формулы (13), (14)]. Уравнение (1) с потенциалом (41 а) решается путем замены переменных z=(~y)1/2exp(£x),f=±L(42)
А^ =f(x,k),ИЗ)
fcMj'.(44)
При этом обыкновенное дифференциальное уравнение Лх+[^2-/ехр(2ех)]/=0,(45)
совпадающее с уравнением (1) прие = 1 их< 0 и при е = - 1 их > 0, преобразуется в уравнение 22Л1+%+(г2-*2)у=0,(46)
решениями которого являются функции Бесселя J v(z) и J^zy (Они линейнонезависимы, если v * - п, п = 1, 2, ....) Полагая в равенстве (42) е = т 1, получим общее решение уравнения (1) при х > 0. Решения Йоста получаются из общих решений, если потребовать их непрерывности вместе с первыми производными в точке х = 0 и выполнения граничных условий (5). Последний шаг легко выполняется, так как преобразование (42) отображает бесконечность х = ± * в начало координат z = 0, где поведение функций Бесселя описывает ся асимптотической формулой [26]
J^^WY7Д1+^), у^—п,л=1,2,...(47)
[Г(2) - гамма-функция]. Окончательное выражение имеет вид
х[^(±х) J_lk[cexp(+x)] + (c57/[2sin(i57^)]} х
х ^x^\UucW'-iM[сехр(±х)]~
~2/.и(с)Л^(с)^[сехр(±х)]]}.(416)
Здесь и в дальнейшем штрихом обозначается дифференцирование функции по ее аргументу и принято обозначение C=(-X)V2(48)
Учитывая четность потенциала (41 а) и свойство (156) решений Йоста, получаем соотношение
f^x^k'W^X^x.kY(49)
которое непосредственно проверяется на формуле (416). Вид коэффициентов
прохождения и отражения следует из равенства (6): 7ХМ= — (ic)_21*s*nG^)[wt^-.*(c)^,-i*(c)]_| x[jH(l+i^)/r(l-ifc)],(41в)
RW=- WY^ {[ W-M + [^(cWc)]} х x[ixi+iJt)/ni-i*)].(41г)
Что касается дискретного спектра, то мы отдельно рассмотрим два случая: у > 0 и у < 0. В первом случае (у> 0) [ (41 а) - "отталкивающий потенциал*! коэффициент Т^ не имеет полюсов в верхней полуплоскости. В самом деле, полюсы гамма-функции Г(1 +iк), к = in, п = 1, 2, ..., сокращаются с нулями функции sin (i тгАс), а функции / (с ) и J *(с ) при р > 0 обращаются в нуль только при действительных значениях с. В рассматриваемом же случае [формула (48)] с - чисто мнимая величина. Следовательно, мы можем заключить, что при у > 0 спектральные данные функции (41 а) имеют вид (34а), причем коэффициент отражения дается формулой (41 г). В случае "притягивающего потенциала" (у < 0) параметр с [ формула (48) ] - действительная величина и коэффициент TW имеет простые полюсы к = i рп , рп > 0, п = 1, ..., N, которые даются нулями функций J р(с ), J*(c), т.е. решениями уравнения
л= 1,2,..., N, рп>0.(41д)
Выражения для спектральных параметров, отвечающих этим собственным значениям, выводятся обычным образом из^формул (8), (9) и (416). Они имеют вид
[с^ дается формулой (41 е)], ^(^«^(кГ^П^^^
-VcvJP„lcV-pn(cM^^
если Jp^- 0(41и)
[ с £ ^ дается формулой (41 ж) ]. Таким образом, в этом случае (у < 0) спектральные данные, отвечающие потенциалу (41 а), имеют вид (2), причем в формуле (2) коэффициент отражения определяется равенством (41 г), параметры рп являются решениями уравнения (41 д), а коэффициенты рп определяются формулами (10) и (41 е, 41 ж). Предельный случай, когда рп есть (положительное) целое число, требует отдельного изучения, которое мы оставляем читателю в качестве упражнения.
Следующий решаемый потенциал - функция вида ch~2:
u(x)=h/ctfx.(51а)
Снова преобразования сдвига и изменения масштаба переменной х (13) и (14) позволяют ввести в потенциал (51 а) два произвольных параметра. В дальнейшем для простоты будет использована форма (51 а). Отметим кстати, что при h = - 2 функция (51 а) с точностью до сдвига и изменения масштаба совпадает с хорошо известным односолитонным решением [см. формулу (2.2.-10), а также формулы, приводимые ниже].
Разрешимость уравнения (1) с потенциалом (51 а) следует из того, что его можно преобразовать в уравнение
z(l —^)>^2+ [с— (1 +fl + fc)z] >>2 —aby=^,(52)
(53)(54)(55)(56)(57)(53)(54)(55)(56)(57)решением которого является гипергеометрическая функция FU, b, с, z) (см., например, [26]). Преобразование имеет вид /(х, Ar) = (chx)'*y(z), z=2 0-thx)=[l+exp(2x)]-1, а=а(£) = | -i£+r, b=Hk) = i-ik-r, r^-hY/2, c=c(k) = \-ik.
(53)
(54)
(55)
(56)
(57)
(53)
(54)
(55)
(56)
(57)
При проверке этих и последующих формул можно воспользоваться равенством 1+а+Ь=2с.(59)
Решение Поста /*+* можно сразу же получить, если учесть что преобразо-
вание (54) отображает точку %* + ^в начало координат z ±= 0 и что F(a, Ъ, с ; 0) = 1. Поэтому, согласно формуле (5),
fw(.x, к) = [exp(x)4-exp(-x)]1/cF(a,Z>; с; z),(516)
где а, Ь, с и z определяются формулами (55), (56), (58) и (54). Второе решение Йоста можно получить, воспользовавшись свойством (49), которое выполняется для четного потенциала (51 а). Окончательное выражение имеет вид
/^(^^[expCxJ+expC-x)]1*^^ с; 1-z).(51в)
Чтобы, исходя из этих выражений, найти коэффициенты прохождения и отражения, мы используем следующее свойство гипергеометрической функции:
Е^а, Ь; д+2>+1 — с; 1— z) =
= {Ла+64Ч-с)Д1-с)/[Дб4Ч-с)Да4Ч-^
х F^a, h; с; z)+z'~c {Г(а+Ь+1 — с)Г(с— 1)/[Г(а)Дб)]}х
х F(b+l—c,a+\ — c;2—c; z), \ai&z\<zr,(60)
которое приводит к равенству
/'-Xx,fc)={r(iH*№)/[rG+r)/Xi^ ^Ц1-1к)Ц-1к)Д1^+г-хк^1^
*f<+)(x,-k).(61)
Сравнивая эти соотношения с равенством (6), получаем
T^r^+r-Vk^r^-r-ikVVni-i^lX-ik^,(51г)
R(k) = ?r-Xcos(irr) Г^ + r—ik)Г^ — r—ik)Ц1к)/Ц — ik).(51 д)
При выводе использовалось свойство гамма-функции
r(z)r(\ — z) = sr/sin( trzY(62)
Поскольку функция 1/Г (z) целая, полюсы коэффициента прохождения совпадают с полюсами гамма-функций, стоящих в числителе в выражении (51г). Как нетрудно убедиться, при h > 0 (’’отталкивающий потенциал”) все полюсы коэффициента Т^ лежат в нижней полуплоскости, что означает отсутствие дискретных собственных значений. Спектральные данные потенциала (51 а) имеют вид (34 д) и (51 д). Если же И меньше нуля [т.е. (51 а) - "притягивающий потенциал" 1, скажем
h=-y2,(63)
где ц - действительная величина, то полюсы коэффициента Tik^ расположены
Д.19 в точках к = i рп :
P» = ^U+MlY/2-n. n=\,2, — ,N.(51е)
Следовательно, полное число полюсов N, расположенных на верхней мнимой полуоси (соответствующих дискретным собственным значениям), определяется неравенством NlN-X^^N^NV^(51ж)
[ Отдельно будет рассмотрен случай ц2 = m(m + 1), m = 1, 2, ... .]
Обычным образом из формул (8), (9) и (51 б, 51 в) получаются нормировочные множители, отвечающие дискретным собственным значениям: с<+>Ч-)я+,сГНЛ2рл^[Л«)Ла)Л1+^
л=1,2,...,#,(51з)
где величины рп даются формулой (51 е). Таким же образом выводятся нормированные собственные функции
«’л(*)=<:^Ч5хР(х)+ехР(_х)ГР'£(2Р»+^^
n=l,2,...,N,(51и)
где с ^ определяется формулой (51 з). Так как гипергеометрическая функция F(a, 1 - т; с; z) превращается в полином по г при целых положительных значениях т, формулу (51 и) можно переписать в более явной форме
Р.(х)=^+>[«р(х)+еф(-х)]^ х
х 2 О-^/Зл+лЭ/^О+р^^+юр^х)]^(51к)
у=о
где использованы общепринятые обозначения
(z)0=l,(г)„=Дг+п)/Лг)= П (z+y-1), и = 1,2... .(64)
7=1
Функции <рл(х) обладают простым свойством четности
9’л(х) = (-1)я+Ч(-х)>(65)
что согласуется с инвариантностью потенциала относительно отражений [ формула (15е)]. Итак, спектральные данные потенциала (51 а) имеют вид (2) с коэффициентом отражения (51 д), собственными значениями (51 е) и нормирующими множителями
Д,=Л2р„+л)/[Л(")Ла)Л1+а)], *=X,lr.,N.(51л)
Мы закончим это обсуждение, заметив, что присутствие множителя cos тгг
в формуле (51 д) приводит к тому, что при специальных значениях /=^,=m(m+l), т = 1,2,...(66>
потенциал (51а)
м(х) = -m(m + l)/ctfx, m = l,2,...(67а)
становится безотражательным:
л(М = 0.(676)
В этом случае число дискретных собственных значений равно т:
N=m,(67в)
а их значения находятся по простому правилу
рп = н, и = 1,2,...,т.(67г)
Кроме того, существует "связанное состояние с нулевой энергией” [ в смысле определения из дополнения Д.15; действительно, условие Я(0) = - 1 нарушено, см. формулу (67 б) ]. Коэффициент прохождения записывается в форме
TW= fi [(*+i”)/(*-vi)L(67д)
Л = 1
а нормировочные множители, входящие в спектральные данные потенциала (67 а), имеют вид
рп = (т-1-п)!/[(п — 1)!п!(т — и)!], п= 1,2,..., т.(67е)
Мы предоставляем читателю в качестве упражнения самому вычислить функции Йоста и нормированные собственные функции.
Выше мы приводили примеры решаемых потенциалов в рамках прямой задачи, т.е. рассматривали случаи, когда решение уравнения Шредингера (1) выражается через известные элементарные или специальные функции. Теперь рассмотрим случаи, когда может быть в явной форме решено интегральное уравнение ГЛМ (3), если известны спектральные данные (2).
Сначала остановимся на безотражателъных потенциалах. Они тоже рассматривались в гл. 2, § 2. Мы приведем здесь необходимые формулы лишь для полноты изложения. Спектральные данные этих потенциалов
S[u] = (2?(^)=0, — оо<^<+ оо; pn,pn,n=\,2,...,N^(68а)
зависят от 2N положительных параметров Рп и сл, n= 1, 2, ..., N, Рп^с1^ и=1,2,...,^.(686)
Уравнение ГЛМ (3) сводится к линейной алгебраической системе N уравнений, решения которой имеют следующий вид. Пусть СМ - симметричная матрица
N х N с элементами
Стп(х) = стсп(рт + pnY ехр[-(рт + рл)х],(69)
а Г — единичная матрица N к N. Тогда функция, отвечающая спектральным данным (68 а), представляется в виде
u(x) = u„(x)= -2d2(lndet[/ + C(x)]}/dx2.(68в)
Действительно, уравнение Шредингера (1) имеет N дискретных собственных значений k = i рп . Им соответствуют нормированные собственные функции
Ф„(х)= 2 Ллт(х)стехр(-ртх), л=1,2,...,АГ,(68г)
т = I
где функции ^тп(х) - элементы симметричной матрицы NxN
Л(х) = [/+С(х)]-'.(70)
Ранив уравнение ГЛМ (3), получим функции Йоста (12):
/(+>(x,A:)=exp(ifcx){l- 2_ [Vm/(P»-i^)]x
хехр[-(р„+рт)х]Л„т(х)к(68д)
Коэффициент отражения Щк), отвечающий потенциалу (68 в), равен нулю, а коэффициент прохождения в соответствии с условием унитарности (38) принимает вид
TW = П [(^+i^)/(^-ip„)]-(68е)
п = 1
Последняя формула и формула (6) позволяют сразу же найти второе решение Йоста
/<-)(х,£) = /(+)(х,-£) П [(*-i/>„)/(*+i/>„)]-(68ж)
п = 1
Наконец, константы с ^ (8), (5), характеризующие асимптотическое поведение собственных функций (68 г), даются формулами ^+)=сл,(б8з)
N
cV^^Pn/Cn) П [(а+лЛДЛ-Д»)]-(68й>
т^л
Заметим, что класс безотражательных потенциалов (68 в) был открыт Барг- маном [34] еще до того, как была построена теория обратной задачи. Отправ-
ным моментом в подходе Баргмана было представление решения уравнения (1) в виде функции
(71)(71)/(х, к) — exp(ikx) PN(x, к),
(71)
(71)
где Р^х, к) - полином по к степени N с коэффициентами, зависящими от x.N Подстановка функции (71) в уравнение (1) дает /V + 2 дифференциальных уравнений относительно ^ + 1 коэффициентов полинома PN и неизвестной функции Цх^. Проинтегрировав эти уравнения (это не простая задача при N > 2), получим решения Йоста (5):
/('Чх, к) = exp(±ifcx)PN(x,±k)/PN{±^, ± к).
(73)(74)(73)(74)Ввиду специальной зависимости решений Йоста от к коэффициент R(k^ должен, очевидно, равняться нулю [формула (6)]. Например, при /V = 0 мы имеем Р^х, к) = 1, и соответствующий потенциал обращается в нуль: иМ = 0; при /V = 1-
(73)
(74)
(73)
(74)
Р^х, к)= — 2/?th[/?(x-f)] + 2ifc, M|(x) = -2p2/ctf[p(x-f)]
(75)(75)[параметры р и § возникают в формуле (73) как константы интегрирования]. Непосредственно видно, что потенциал (74) совпадает с потенциалом (68 в) при N - 1 и при соответствии параметров
(75)
(75)
/>1^.c?=2/>exp(2pf)
В общем случае функция (68 в) при произвольном значении N находится методом Баргмана с использованием формулы (71).
Теперь кратко рассмотрим потенциалы с рациональными коэффициентами отражения. Мы предположим, что коэффициент RW имеет рациональную зависимость от к, и вычислим соответствующий потенциал м(х). Кроме того, будем считать, что отсутствуют дискретные уровни. Это ограничение, не будучи существенным, упрощает изложение. (Исследование в случае отказа от него будет полезным упражнением для читателя.)
(76а) (766)(76в)(76г)(76а) (766)(76в)(76г)Начнем наш анализ, наложив на коэффициент отражения следующие ограничения:
(76а) (766)
(76в)
(76г)
(76а) (766)
(76в)
(76г)
Я(оо)=0, |jR(*:)|<1 при1ш£=0, Д(0)=-1, R(k)=R*(”k*).
Первые два условия необходимы для того, чтобы потенциал был регулярной функцией (см. дополнение Д.16). Третье условие позволяет рассмотреть более общие потенциалы (см. дополнение Д.15). Последнее условие гарантирует
действительность потенциала и^хУ Таким образом,, имеем следующее выражение для коэффициента отражения: ав
RW=r п (*-«,)/ П <k-bY(11)
где
Л <5-1,(78)
АВ
rlb^-l)^1 1Ц,(79)
Г* П (*+«,*) П (*-&,) = (-1/+'г п Vk-a^ П (k-t-bf).(80)
у=17=1у=17=1
Эти три соотношения соответствуют условиям (76 а), (76 в) и (76 г). Что касается условия (76 б), то оно приводит к ограничению вида | г | <Z, где Т - сложная функция параметров а . и Ъ ., которую нет необходимости выписывать. Кроме того, так как R^ - регулярная функция при .действительных значениях к, ее полюсы должны располагаться вне действительной оси-:
Im^^O, /=1,2,..., В.(81)
Для последующих ссылок мы построим теперь коэффициент прохождения ?(&), соответствующий коэффициенту (77). Он получается из соотношения унитарности (38) с учетом его аналитических свойств. В самом деле, так как по нашему предположению дискретные уровни отсутствуют, повторяя рассуждения дополнения Д.4, мы можем утверждать, что коэффициент Т1^ аналитичен в верхней полуплоскости, не имеет там нулей (это общее свойство BF-no- тенциалов) и для него выполняется предельное соотношение
НшГ(А:) = 1, Im£>0.(82)
Тогда справедливы следующие интегральные равенства Коши:
1пТ(£) = (25и)-1у d^ln[r(^)]/(^—к), Imfc>0,(83а)
* —ОО
0=(2от)~'/+”<191п[Т(9)]/(4+£), Im*>0.(836)
J-оо
Вычитая одно из другого, получаем
^ПЛ^) = (2»1) У ^ d^lnfl-/^);^-^)]/^-^), Im£>0,(84а)
или, что эквивалентно,
taT(*) = (28n)-iy ^ d^lnO-W^Pj/^-fc), ImJk>0.(846)
Заметим, что при выводе равенства (84 а) было использовано условие унитарности (38), а при выводе (846) - условие действительности (76 г). Между прочим, благодаря равенству (846) становится ясным смысл условия (766).
Рассмотрим теперь функцию 1 - R(k)R(— к). Согласно выражению (77), она рациональна, стремится к единице при к ->*> и, кроме того, четная. Ее можно представить в виде в
l-RW-k)= П {[(*-^)(* + ^)]/[(*-^)(* + *,)]},(85)
7 = 1
где
Imzy>0, Ims/>0, У = 1,2,В.(86)
Связь ее нулей и полюсов z., s^. с параметрами г, а ., Ь. коэффициента отражения (77) определяется равенствами
вв *
П [(*-^)(*+s,)]= П [(*-*,)(*+*,)],(87)
7=17=1
ВВ
П [(*-zy)(<r+zy)] = П [(k-by)(fc+Z>y)] +
/=1; = 1
+ (_1)Л + Я+1г2П ^^_й )(л + а ^(88)
7=1
При вычислении коэффициента Т(к), чтобы освободиться от логарифмической функции в интеграле (84), продифференцируем его:
[dT(*)/d*]f 41-Я(^(-9)] )
[1-Д(?)/?(-9УГ1
х —15=1?)- Im *>0(89>
и затем замкнем путь интегрирования через нижнюю полуплоскость. Окончательное выражение примет вид
TW = П [(/c+zy)/(/c+jy)J.(90)
7=1
Далее, ввиду условий унитарности (38) и (76 в) имеем
Г(0)=0.(91)
Поэтому один из параметров z. (скажем zj равен нулю и выражение (90) записывается в форме вв
Т(к)=к п (k+z,)/ п (к+а.(92)
7=27=1
Вернемся теперь к уравнению ГЛМ (3). Его ядро сразу вычисляется с помощью интеграла Фурье, входящего в выражение (4). После элементарных
выкладок получим
М^х^т^^х^в^х^А-т^^х^#^•(93)
в^ т^Чх^ 2 ^j”)exp(i^z(-)^),(94)
7=1
где Ь ^ , / = 1, ..., В^ (Ь^Г^ ,/ = !> ••• > В^) - полюсы коэффициента R^, которые лежат в верхней (нижней) полуплоскости:
^lmb^>0, j=\^...,B^\В^+В^=В,(95)
а константы ^ записываются в виде ав г
g^ = r IHbr^mV Mb^-bmV У=1,2,...,^>.(96)
Штрих у знака произведения означает, что исключаются нулевые сомножители. После подстановки представления (93) в уравнение (3) оно сводится при х > 0 к уравнению
К^у^т^Чх^У)"^ J+*dzK(x,z)mw(z+y)=0»
у>х>0,(97)
(98)(99)(ЮО)(98)(99)(ЮО)которое сепарабельно и имеет ранг В^ [формула (94)]. В то же время, как читатель может без труда убедиться, в области х < 0 интегральное уравнение ГЛМ не сепарабельно, и мы его там не решаем. Что касается решения (97), то оно формально похоже на решение, йоЛученное в случае безотражательных потенциалов. В конечном итоге оно приводит к потенциалу u(x) = —2d2{lndet[f+ r(+)(x)]}/dx2, х>0.
(98)
(99)
(ЮО)
(98)
(99)
(ЮО)
Здесь И*^*) - матрица В^ к В^ с матричными элементами
где мы положили
Регулярность потенциала при х > 0 зависит от выбора параметров у^ , ь^. Дальнейшее изучение этого вопроса мы предоставляем самостоятельно вы-° полнить читателю.
Рассмотрим теперь задачу построения потенциала, отвечающего коэффициенту (77) на другой полуоси х < 0. Разрешимость уравнения ГЛМ при х > О с ядром вида (93), (94) подсказывает следующую последовательность действий.
Произведем отражение относительно начала координат и введем потенциал й(х) = и( — х).(Ш)
Затем вычислим соответствующий коэффициент отражения R^ (который окажется рациональным, см. ниже). Наконец, решим соответствующее уравнение ГЛМ при х > 0. Последний шаг приведет нас к потенциалу Щх^ при х > 0 или, согласно (101), к потенциалу и^ при х < 0. Мы начнем с вывода нового коэффициента отражения, соответствующего потенциалу (101), используя закон преобразования (15 г). Он представляется в форме
(k+Zj) у Цс-ь^ (к-z^ Д1, ^к+Ь<^ -(k+Zj) у Цс-ь^ (к-z^ Д1, ^к+Ь<^ -П (* + «,) в
(k+Zj) у Цс-ь^ (к-z^ Д1, ^к+Ь<^ -
(k+Zj) у Цс-ь^ (к-z^ Д1, ^к+Ь<^ -
(Ю2)(Ю2)ШН~Г4^П
(Ю2)
(Ю2)
П (*+s7)J-2
Как нетрудно убедиться, он удовлетворяет условиям (76) и имеет только В — 1 простых полюсов в верхней полуплоскости в точках к = г., j = 2, 3, ..., В. Эти полюсы дают вклад в ядро уравнения ГЛМ, которое теперь разрешимо. Повторив предыдущие рассуждения, преобразуем его к виду
гдевт{х) = 2 gvexp(izyx),гдевт{х) = 2 gvexp(izyx),вв_7 чЛ + Я + 1 И = 1П£, = (-) г— ИП (z; + s„) п п = 1_7 чЛ + Я + 1 И = 1П£, = (-) г— ИП (z; + s„) п п = 1п = 2Вп = 2Вn^Jn^Jи получим решением(х)= -2d2{lndet[z + K(-x)])/dx2, х<0.и получим решением(х)= -2d2{lndet[z + K(-x)])/dx2, х<0.(ЮЗ)(Ю4)(Ю5)(Юб)(ЮЗ)(Ю4)(Ю5)(Юб)
где
в
т{х) = 2 gvexp(izyx),
где
в
т{х) = 2 gvexp(izyx),
в
в
_7 чЛ + Я + 1 И = 1П
£, = (-) г— И
П (z; + s„) п п = 1
_7 чЛ + Я + 1 И = 1П
£, = (-) г— И
П (z; + s„) п п = 1
п = 2
В
п = 2
В
n^J
n^J
и получим решение
м(х)= -2d2{lndet[z + K(-x)])/dx2, х<0.
и получим решение
м(х)= -2d2{lndet[z + K(-x)])/dx2, х<0.
(ЮЗ)
(Ю4)
(Ю5)
(Юб)
(ЮЗ)
(Ю4)
(Ю5)
(Юб)
Здесь У(х) - матрица (В -1) х (В - 1) с матричными элементами ^,n(^)=irmr»(^+2„)-,exp[i(zm+z„)x],(107)
причем
r„=(gn)1/2. «=2,3,...,£.(108)
Вывод выражений для решений Йоста, соответствующих этим потенциалам, и построение явных примеров оставляем читателю в качестве упражнения. Заметим, однако, что простейший случай [когда А = 0, В = 1 в формулах (77),
(78)] был в явном виде рассмотрен раньше. В самом деле, рациональный коэффициент отражения
R(k)=g/(i^'"8)<109>
отвечает потенциалу Дирака
u(x)=2g5(x)(110)
[ Мы положили %0 = 0 в формулах (34 а), (34 в).] Этот пример показывает, что нужно внимательно учитывать поведение потенциала в точке х=0. Это было ясно в предыдущих рассмотрениях, когда мы получили два отдельных выражения для потенциала и(х) в областях х > 0 (98) и х< 0(106). Отметим связанную с этим проблему. Напомним, что если некий BF-потенпиал бесконечно дифференцируем на всей оси х, то соответствующий коэффициент отражения F(^) убывает при к -* ± ~ быстрее любой степени к. Это, очевидно, не выполняется для рациональных функций R(k). Поэтому потенциал и^ не может быть бесконечно дифференцируемым. Ясно, что дифференцируемость нарушается в гочке х = 0. Если R0c) убывает пропорционально к~т [т.е. в формуле (77) мы имеем В = А + т], то соответствующий потенциал должен, по-видимому, быть регулярным вместе со своими производными до порядка т- 2. В самом деле, при т = 1 потенциал и(%) сам нерегулярен, имея особенность в виде дельта-функции в точке х = 0 (ПО). В то же время, как нетрудно убедиться, при т> 2 потенциал и^> хотя, возможно, и разрывен, но конечен в этой точке.
Д. <20. Общий подход, основанный на алгебре дифференциальных операторов; связь метода спектрального преобразования с подходом Лакса и методом АКНС
В гл. 3 был введен класс нелинейных эволюционных уравнений вида ut—a^L, t)ux, u=u(x,t).(1)
Здесь L - интегро-дифференциальный операгор, определяемый формулой ^/(*)=/«(^)-4m/(x)+2i#xJAyfhY(2)
где для упрощения записи зависимость о г переменной времени опущена.
Главное свойство такого класса эволюционных уравнений — эго простой вид эволюции спектральных данных функции и(х, t)
$[и(х,?)] = {£(£,z),-oo<A:<oo, pn,p„(t), и=1,2, ,N},(3)
их эволюция описываегся уравнениями
К,=11ка<-4кг,1^К, R=R(k,t),(4а)
аХО^йЖ(46)
Pn^^-lp^p^t^P^tY(4в)
Напомним кратко, что спектральные данные (3) относятся к спектральной задаче, основанной на уравнении Шредингера
^х=[“(х)”^2]^ ^=^(хД),(5)
а главным свойством интегро-дифференциального оператора L (2) является его действие в ^-пространстве, которое, как следует из сравнения формул (4а) и (4в) с уравнением (1), сводится просто к умножению на - 4А2*
Разнообразные свойства класса эволюционных уравнений типа (1) обсуждались в гл. 3 - 5. Эти результаты были получены в основном путем исследования связи между функцией и(х) из класса BF-потенциалов и ее спектральными данными, выражаемой интегральными уравнениями вронскиана и спектральными интегральными соотношениями из гл. 2, § 4. Но эти результаты можно получить и другими методами. Два довольно близких к нашему метода связаны с именем Лакса и именами Абловица, Каупа, Ньюэлла и Сигура. В данном дополнении мы хотим набросать схему таких подходов и кратко охарактеризовать их связь с методом спектрального преобразования. Вторая часть этой программы осуществляется с применением общего операторного метода, который дает не только уравнения (1) и (4), но и преобразования Бэклунда и Дарбу (см. гл. 4 и дополнение Д. 12); наше изложение основано на последних работах Бруски и Рагниско.
Ниже мы будем иметь дело с дифференциальными и интегральными операторами. Они обозначаются жирным шрифтом. Это позволяет легко отличить функцию и(х), принадлежащую функциональному пространству, на котором действуют операторы, от мультипликативного оператора и, действие которого на функцию /(х) состоит в умножении на функцию Цху. uf (х) - = u(x)f (х). Так, например, если D - оператор дифференцирования d/dx, то можно написать Du = и* + uD, a Du^ = и .Конечно, оператор может зависеть от переменных, скажем х и t, но мы будем указывать эту зависимость только в тех случаях, когда нужно обратить на нее особое внимание.
Подход Лакса основан на том, что уравнению (1) с a(z, t) = - z V формула (3.1 ^-33)] соответствует операторное уравнение
Н-МН-НМ,(6)
где
Н=-Пг+и,*7а)
М = - 4О3 + 6uD + Зи,,(76'
причем D - оператор дифференцирования (D = d/dx), а зависимость операторов Ни М от времени соответствует временной зависимости функции и - Цх, ty так что Ht = ut [формула (7а)]. Очевидна определенная связь
со спектральной задачей, основанной на уравнении Шредингера (5), так как оператор Н (7а) есть просто дифференциальный оператор Шредингера. При подходе Лакса, опирающемся на уравнение (6), внимание фокусируется на "изоспектральном" характере временной эволюции оператора Шредингера Я [формула (46)]. Подчеркнем и другой аспект эволюционного уравнения (6), а именно локальный характер получающегося эволюционного уравнения для функции м(х, f) [формула (3.1 .-33)], что объясняется чисто дифференциальной (неинтегральной) формой операторов М и Н [ формула (7)].
Все сказанное легко обобщить, показав, что всякое эволюционное уравнение класса (1) может быть представлено в виде (6) и (7а) при подходящем выборе оператора М (см. ниже).
Метод АКНС исходит из другой идеи, которая тем не менее близко связана с подходом Лакса. Он основан на том, что уравнение КдВ (1) с a(z, О = = -z [формула (3.1.-33)] есть просто условие интегрируемости xyxxt = vytxx следующей пары нелинейных уравнений, которым удовлетворяет функция у(х, к, t):
£,= [«(*.')-^2]^,(8а)
^,= [ — их(х, /)+4i£3] ^+2[и(х, z) + 2^2] фх.(86)
И этот подход тоже легко обобщить, показав (см. ниже), что всякое эволюционное уравнение из класса (1) совпадает с условием интегрируемости ^xxt = Wtxx уравнения (8а) и уравнения
^ — а^х, к, t^-Vb^x, kj^^, /=/(x,k,t)(9)
при подходящем выборе двух функций Цх,к, t) и Ь(х, к, t). (Разумеется, условие интегрируемости должно выполняться при всех значениях к») Ли- зац (9), где а и b — полиномы небольшой степени по к, дает, по-видимому, самый простой и прямой способ получения простейших уравнений из класса (1).
Перейдем теперь к изложению общего операторного метода, о котором говорилось выше. Начнем с операторного уравнения
Н^В — ВН^ — А,(Ю)
где, разумеется,
Н^= -DTWJ\ у = 1,2,(П)
есть обычный оператор Шредингера (7а) с потенциалом иМ > (х). Существенной чертой операторной формулы (10) является то, что В - дифференциальный оператор, а Л - оператор умножения на функцию [ т.е. Af (х) = А^ЦхУ). Следовательно, наша задача — построить операторы В и Л, обладающие этими свойствами и удовлетворяющие уравнению (10) (данное уравнение линейно по Л и В).
Чтобы решить эту задачу, рассмотрим сначала преобразование вида
В=ВТ^Р,(12а)
^'(x) = ZH(x)+G(x),(126)
которое из известной пары операторов А и В порождает новую пару операторов А* и В*. Отметим, что соотношение (12а) - операторное уравнение, а соотношение (126) нет. Однако из этого соотношения можно определить чисто мультипликативный оператор А*. [Мы по-прежнему считаем, что обе пары операторов удовлетворяют уравнению (10) и обладают указанными выше свойствами.]
Как нетрудно убедиться (хотя для этого необходимы длительные выкладки), преобразование (12) с необходимыми свойствами определяется следующими формулами:
Т=Н^\ (13а) Z= — ^A, (136) G(x) = yF- И-сди(х), (13в) P—ED-VF-Vy^v—2.D^-Vcs (13г) E(x) = ^(x)=ijf dyA^y), (13д) F^x^ — ^Y^x^—ImlA^x^ =
^^(х)-/ dj, [«^(.у) — м<2>(у)] f dz^(z)|, (13e) р(х)=/т(х) = J d^f^'X >») —w<2>( j,)], (13ж) Г-Ds—sD-VmIm, (14) Л=О2-25+Г/, (15a) Л=Вгs+DsI+mbnl, (156) s(x) = u(,)(x) + m(2>(x), (16a) ш(л; = и(|)(х) —w<2)(x), (166) D=d/dx, Df<x^=f^xY (17a) 1г^ ^ ^X^JX dyAyV (176)
Отметим, что мы последовательно пользуемся введенными выше обозначениями операторов. Так (функции обозначаем светлым, а операторы - жирным шрифтом), если у и с - произвольные числа, не зависящие от х, то у и с - соответствующие мультипликативные операторы, например cf (х) = cf (х).
Отметим также, что Р(13г) - дифференциальный оператор первого порядка, а две функции Е^ (13д) и Е^ (13е) линейны по А^е Кроме того, все определенные выше величины, кроме произвольных констант у и с и операторов D и! (17), зависят от двух потенциалов и^ (х) и u(2b (х). Наконец, подчеркнем, что данные здесь определения (14) - (17) операторов* Г, Л, s, т, Пи/ совпадают с определениями (Д.9* -1,2, 3, 4, 7, 8) из дополнения Д.9. Но оператор Ротличается от оператора (5.-35), введенного в гл. 5, и оператора (Д.21.-39) из дополнения Д.21, а операторы F и А отличаются от операторов из дополнения Д.21 [см. формулы (Д.21.-11, 27)].
Присутствие двух произвольных констант у и с (и соответствующих операторов у и с) в определениях функции G(x) (13в) и оператора Р (13г) делает преобразование (12) неоднородным. В частности, тривиальное решение уравнения (10) В = А = 0 при у = 1, с = 0 преобразуется в нетривиальное:
(18а)
+ [u(l>(x)-u(2)(x)]yd^fu'1^^)-^2^^)],(186)
а при у = 0, с = 1 — в решение вида
B^V)^,(19а)
^^(x^fntx^i/^x)-!/2^).(Юб)
Отметим, что В^ _ дифференциальный оператор первого порядка, а В^- мультипликативный оператор. Почему введен индекс нуль в формулах (18) и (19), сейчас станет ясно.
Можно получить две бесконечные последовательности решений уравнения (10), выполнив преобразование (12) [с определениями (13) - (17), где, не теряя общности, положим у = с = 0] базисных решений (18) и (19):
5<^=4<^[Я<2>]"+ "f [£r»+^)][^<2>]n_'"’,’
ш = 0
«=1,2,3,...,(20а)
4")(х) = (-М)"<,(х). «-0,1,2,...,(206)
E^fx)^-^)"^*), «=0,1,2,...,(21)
Е^Чх) = Ц1-/т1Ч-1»ЛУ <\х). «=0,1.2 (22)
Общее решение уравнения (10) получается как произвольная линейная комбинация этих решений:
Д=8(-4Я<2>) + 2 (-4)4 У [еГ)^+^’>][Я<2>]''_'"’' +
+ [г—2р]л(—дя<2))+
+ 5 (-4)Х 2[fr^ + ^K^2']"-"1-1,(23)
^(^)=8(^)[“(1)(*)-“(2)(^)]+А(Л)Г-1,(24)
где g(z) и Цг^ - два произвольных полинома:
g(z) = ^8„z\(25а)
Ц^ = 5 h„zn.(256)
п = 0
Конечно, коэффициенты этих полиномов не должны зависеть от х, но в остальном они произвольны. Казалось бы, что выражение (23) можно записать в более компактной форме, если ввести обозначение /#-(zl л z2) = [/(zj - “/Os)]/^ -z2) (см. ниже). Но это не легко сделать ввиду некоммутатив- ности операторов.
Заканчивая данный вывод, подчеркнем еще раз, что дифференциальный оператор В, определяемый формулой (23), а также соотношениями (11), (21), (22), (18), (19), (13ж) и (25), будучи подставлен в левую часть уравнения (10), дает чисто мультипликативный оператор (24), т.е. все операторы дифференцирования взаимно уничтожаются.
Формулы (10), (23) и (24) являются основными, из которых мы выведем соотношения, устанавливающие связь между методом спектрального преобразования и методами Лакса и АКНС. Будем предполагать, что функции и^М пи{2Цх) принадлежат классу BF-потенциалов. Это ограничение гаран- тирует асимптотическое убывание функции Л(х):
На [Л(х)]=0(26)
при любом выборе полиномов g(z) и A(z).
Прежде всего продемонстрируем связь этих формул с методом спектрального преобразования — основным методом анализа в данной книге. Для этого введем собственные функции цЛ*Цх^ операторов Шредингера (11), отвечающие собственному значению к2:
Н^Чх^-к1^^ у=Ь2.(27)
Подействуем операторами, стоящими в обеих частях равенства (10), на произведение цЛ1>у (2>. (2 учетом равенств (27) и (11) легко получить соотношение
{ ^11 [ 8 ^<2)] - ^<1 >[ 8 ^<2'] х} х = ^< V2)^ М(28)
Это локальное равенство выполняется для любых решений у</ > дифференциальных уравнений (27). Рассмотрим теперь те собственные функции
уО ^х, А), которые при действительных значениях к характеризуются гранич
ными условиями [формула (2.L-3)]
^J\xsk )-* T^^k^exp^ — ikxP х^ — оо, у=1,2,(29а)
ф{}\х, к^-^ехр^ — \кх^ A-R^J\k^exppkx\ х-^+оо,у=1,2.(296)
Проинтегрируем обе части равенства (28) от - <*> до + <*>. Заметив, что из выражения (23) следуют равенства
Вехрркх^ В^\к^ехрркхР х-> + оо, 1тА: = 0,(30а)
Вехр^ — хкх^ B(~\k)exp^ — ikxP х->—оо, Im^ = 0,(306)
где
BW^k^g^-Ak2)-^^-^2).(31)
В( 4k)-g(<~Ak2>)-^2ik (dxg#(-4^2, Л)[м0)(х)-м(2)(х)] +
-оо
jdy [ ы( 1)(у ) — ы(2)(у)] jdxg*(-4k\ Л)х
x [u(,)(x) —u(2)(x)] 4*
+ 2i^/i(—4^2) + /i(-4^2) fdx[i/(l)(x)-i/(2)(^)] +
* — 00
+21И+°° dxh*(-4k\A)r-\ +
+ p” dyYu(4yW4y^j^ йхк*(-4к2, Л)Г1(321
причем использованы обозначения
8#(-|.‘2)=[8(Zl)-8(Z2)]/(Z|-Z2),
/'#(zl,z2) = [/i(z1)-/i(z2)]/(zl-z2),
мы получим формулу
2YkVB(+Vk^4M-B^4k^4k^ =
= f + ':Cdx^,’(x,kUm(x.k)A(xy(34)
Произвол в выборе полиномов g^ и h^ и формулы (31) и <24) означают, что кга формула совпадает с интегральным соотношением вронскиана (2.4.А.-10).
Сходным образом получается форм> ъа
TikYB^Vk^WR^Vk^B^V^TWWT^V-kV
-В< + )(А:)] = J^dx^X'kW^Xx^-kVUk(35)
которая, как легко видеть, совпадает с формулами (2.4 Л.-18) и (2.4.А.-19) (см. также дополнение Д.6). Кроме того, в случае, когда одна или обе функции цЛ/ >(х) отвечают дискретному спектру, эти формулы рассматривались в гл. 2, § 4, п. А.
Поэтому ясно, что все результаты этой книги, полученные из интегральных соотношений вронскиана (34) и (35), могут быть также выведены из основного уравнения (10) и равенств (23) и (24). В частности, будем говорить, что две функции ип> (х) и и^ (х) связаны между собой преобразованием Бэк- лунда, если выражение (24) обращается в нуль:
gCA^'X*)-»*2’^)] +Л(А)Г-1 =0(36)
[ см. формулы (2.4.А.-10в) и (4.1.-1)]. Заметим, что эта формула означает, что уравнение (10) сводится к операторной формуле
Н^В^ВН^Х(37)
связывающей с помощью оператора В (23) два оператора Шредингера (11). Ясно, что оператор В, действуя в соответствии с преобразованием Бэклун- да (36), переводит собственные функции оператора Н^ в собственные функции оператора Н(1). В частности, легко найти преобразование, переводящее решения Йоста /(±| (2> (х, ^) в решения Поста/(±) <1>(х, ку.
/^'ЧхД^^Чк^У’в^ХхЛУ(38)
Эта формула, в которой величины В^-Цк) определяются формулами (31) и (32), следует из определения решений Йоста (2.1 .-4)
H^Xj4x^W2r')UXxM 7=1,2,(39а)
hm [ехр( + 1&х)/(±)(у)(д:,&)] = 1, у=1,2,(396)
и из асимптотического выражения (30). В простейшем случае, когда g и h не полиномы, а константы, положив g = ^h, где р - действительная величина, обнаружим, что соотношение (38) превращается в преобразование Дарбу [см. формулу (4.1 .-30) и дополнение ДЛ2]. В дальнейшем и в общем случае мы будем называть преобразование (38) также преобразованием Дарбу.
Обобщенное преобразование Дарбу (38) может быть записано в более явном виде. В самом деле, оператор Я(2) и все его степени входят в определение оператора (23) как правые множители. Поэтому, когда оператор В действует на решение Поста f{±*<2) (х, ку оператор Н2 можно заменить его собственным значением к2, и преобразование (38) перепишется в форме /(“Х1)(*, к) = а(*\х, k)f(±}(2)(x, k)+b(~}(x, k)f^}(2)(x, к) t(40)
^*Чх, ^) = [75( ")(^)] '{g(—4^2)+/2(—4^2)/m(x) -f-
+/m/[g#(-4A2, Л)т(х)+Л*(-4Л2, Л)Г 1]},(41а
/><:!:)(х, £)= —2[5(±)(&)]~'(й(—4fc2)+/[g*(—4&2, Л)т(х) +
+й#(-4к2,Л)Г1]}.(416)
Здесь мы использовали определения (31) - (33) и (14) - (17).
Относительно преобразований, соответствующих преобразованию Бэк- лунда (36).в ^-пространстве, здесь мало что можно добавить к результатам, полученным в гл. 4. Наметим в общих чертах схему их вывода в данном контексте. Ограничимся рассмотрением непрерывного спектра, т.е. действительными значениями к» (Дискретный спектр рассматривается в гл. 4, § 1, и в дополнении ДИ2). Как изменяются коэффициенты отражения и прохождения R^k) и Т(А) при преобразовании Бэклунда (36), легко установить,
подставив асимптотические формулы
f^4x, к)-- [^(-М/^Ч-^)] ехр( — iAx) +
+ [т<-,)(^)] 'exp(i^x), х-»—оо,(42а)
/("^)(-v,^)-[7’O)(^)] 'exp(-i/:x) -|-
+ [Л<7,(Л)^Г<7)(^)]exp(ikx),х-*+оо,(426)
в преобразование Дарбу (40). Получим
Я(1Ч*)=Я(2ЧМ[л(+)(М/.В<+)(-*)].<43)
Г(|>(к) = Г<2>(А:)[в<+>(А)/В(-,(-к)],<44>
где В**>(£) - величины, определенные формулами (31) и (32). Формула (43) совпадает с формулой (4.1 .-2). Заметим, что из условия унитарности
R^Xk^R^X-k^-VT^WT^-kV^» У=1,2,(45)
следует формула
В^ЧМВ^Ч-к^В^Чк^-Ч-к),<46>
которая после подстановки в нее выражений (31) и (32) дает ряд интересных интегральных равенств, связывающих между собой функции иИ> и ии' . [ Как нетрудно видеть, в специальном случае g = 2р, h = 1 получается равенство (4.1 .-22).]
Перейдем теперь к исследованию проблем, связанных с эволюцией во времени. Для этого рассмотрим однопараметрическое семейство дифференциальных операторов Шредингера
(47)(47)Я(г)=-/>2+«(х^),
(47)
(47)
где и есть BF-потенциал, зависящий кроме х от дополнительного параметра t (от "времени”)* Подставим в формулы (10), (23) и (24) выражения
и<2>(х) = «(х,е),<48а)
«('>(х) = и(х,е+Де) = и(х,е)+и,(х,е)Де+О(Де2),(486)
g(z)=-2V(M)/4r,(49а)
A(z)=a(z,r)(496)
и положим Де -> 0. При этом получаются формулы
Я,7(-4Я,г)-[М,Я]=/,(50а)
/(х(е) = 7(Г,е)и,-а(£,/)ил,(506)
Af ^D^—4Я, е) + 2 а„(е) 2 (le^D-o^ - л=1 ./п = О
-^"5 ki^D-^m = O-^"5 ki^D-^m = O(-4Я)” m ’(-4Я)” m ’(51)(51)
-^"5 ki^D-^m = O
-^"5 ki^D-^m = O
(-4Я)” m ’
(-4Я)” m ’
(51)
(51)
(52a)(526)(52a)(526)где
(52a)
(526)
(52a)
(526)
//m»(x,/(^/Д^и^х, г), a<'">(x,e)=/Lm«x(x,e).
В представленных равенствах L - интегро-дифференциальный оператор, определяемый формулой (2), а пп(О и an(f) - коэффициенты полиномов q(z, t) и a(z, t):
t(z,O= 2 чАФ",(53a)
л = О
«(М) = 2 «АФ"-(536)
л = 0
Эти формулы получаются из выражений для В и Л(х), преобразованных после подстановки равенств (48), (49) в (23) и (24):
(54)(54)В= -2[i/(-4H, t)/At+M]+O(At),
(54)
(54)
А(х) = — 2[^(L, t)uf(x,t)- а( L, t)ux^x, f)] +О(At).(55)
Для полноты изложения покажем также, как выглядят равенства (34) и (35) при использовании равенств (48) и (49) в предельном случае At -> 0:
21к[ф(-4к2 j)Rt(к, 1) — 2\ка^ — 4к2, t)R(k, г)] =
- J ^x\_'!/kxsk.t)YY1lkLj)ut(<xst)-aVLj)ux(<xj)Y(56)
2ik (я(~к, /)[^( — 4k1, t)Rt(ks t) — 2ika(— 4k2, t)R(k, /)]+
+ г(-м) ^-Д^зШк.^-^кТ^к^) (^dx X
x[^#( —4£2, L; t)u\x, t) — a*( — 4k2,L; t)ux(x, 0]j j "
= f dx ^(x, kj^^x.—kj) x — 00
х [v(L, t)«t(x, t)-a(L,t)ux(x, z)].
Здесь в соответствии с формулами (48) мы имеем К^к^ЦкА T™(k)-T(k,tY ф^^х, к) = ф(х, k,tY
R^k)=R<k^At)=R<k^Rt<kst)At^ T^\k) = T^kj^At) = TVkd)A-TXM^ ^(1)(х, &) = ^(л, к, t + At) = ip(x, к, z) + O( At) и, разумеется, 7*(z|,Z2;<) = [V(z1,Z)->z(z2,r)]/(z1-Z2), o*(zl,z2;r) = [a(zl,t)-«(z2,t)]/(zl-z2).
(57)
(58а) (586) (58в) (58г)
(59а) (596)
Заметим, что равенство (57) было получено с помощью условия унитарности (45). Равенство (56) совпадает с равенствами (3.1.-7) и (3.1 .-8), а равенство (57) можно найти в дополнении Д.18.
Одно из прямых следствий формул (56) и (57) - важное операторное
тождество
f dxLnux(x)-Q, л=0,1,2,..., ^—00
(60)
(см. дополнения Д.8 и Д. 9). Оно получается из равенства (57) при q(z, t) = 0:
(2ikfa(-4k1)R(k)R(-k) -
— (2i£)27'(A:)7’(—£) f^dx^l^kM-M^ = ^f-m dx^X'k^xi-k^\«lLV*xkx>i\.
(61)
Здесь для простоты опушена переменная t, которая не играет никакой ро-
ли. Действительно, асимптотические формулы (дополнение Д.З)
lim kMfl(fc)]=0,lim [Г(А:)Т(-А:)] = 1, ImA:=0,
Л —*00к—^оо
lim [^(х, к)ф(х, — к)^ = 1, 1тА:=0,
(62а)
(626)
вместе с формулой (61) приводят к равенству
[ dxа^ — Ак2, L^u^x^O.(63)
Так как в выражение (596) входит произвольный полином a(z), то из последнего равенства следует равенство (60).
Теперь мы подготовили основной материал для исследования эволюционных уравнений. Для большей полноты мы действительно рассмотрим эволюционные уравнения вида
^Lj^u^a^Lj^u,, u=u(xj),*(64)
которые сводятся к типу (1) при q(z, t) = 1. (Таким образом, приводимые ниже результаты охватывают материал не только гл. 3, но и дополнения Д.18. Мы здесь не будем затрагивать вопрос о непротиворечивости результатов, касающихся расширенного класса уравнений (64). По этому вопросу
читатель может обратиться к дополнению Д. 18.) Эволюционное уравнение из класса (64), отвечающее оператору Шредингера (47), записывается в виде
Ht т^ - 4Я, t) = МН—НМ,(6 5)
где М - оператор, определенный формулой (51). Соответствующие уравнения для спектральных данных (непрерывная часть спектра) получаются из формул (56), (57) с использованием равенства (60):
V(-4fc2, t)R,(k, t) = 2ika(—4k2, t)R(k, t),(66)
v(-4k2,t)T,(k,t) =
= 2iAr(A,z) С”ал[7*(-4*2,Д;/)и,(х,г)].(67)
* — 00
[Они, разумеется, согласуются с уравнениями (Д.18.-15а) и (Д.18.-31).] Кроме того, из формул (38), (49), (54) и равенств [формулы (48), (58^1 f^№\x,k^f^4x,k,t\(68а)
yt-X'^x, k^f^Xx, к, z+dz) =
к, O+f.^Xx, к, z)dz + O(dz2)(686)
получаем эволюционные уравнения для решений Йоста:
i)^-4k2,0f,w=Mfw-\ka<-4k2,0fw, fW=/W(x,k,0,(69)
i?(-4k2)tV,(")=Mf<"'1+ikU(-4k2,0-2[+O°dx x v— 00
x[v*(-4A2,L;z)u,(a,z)] j/<->, /(-)=/<-)(x, k,t).(70)
Представим для полноты также эволюционное уравнение, которому удовлетворяет собственная функция, определяемая условием (29) [ см. также формулу (2.1 .-5)]:
^x,k,t) = T(k,Oj<”4x,k,t>).(71)
Это уравнение, следующее из уравнений (70) и (67):
ф(—4fc2,0^=MtH-i/ca( —4/с2, 0^, ^=^(хД,0-(?2)
Отметим, что стоящий в правой части этого уравнения, так же как и в правых частях уравнений (69) и (70), оператор М, определяемый выражением (51), может быть записан в эквивалентной форме, в которой оператор Н заменен его собственным значением А2:
М= {а( —4/с2, 0 — ijd^[^#( —4k1, L; t)u((y, 0 —
-a^-Ak^L^u^yj^D —
— [?*( — 4k1, L\ t)ut(x,t} — a^(—4k1,L\ t^u^x, 0].(73)
Здесь мы использовали обозначения (59) и (2) с заменой х на у в тех случаях, когда оператор L стоит под знаком интеграла; кроме того, при подстановке выражения (73) в уравнение (72) оператор L не действует на функцию V [формула (51)].
Что касается эволюции во времени дискретной части спектра, то нетруд-
но воспроизвести стандартные результаты
А(0 = 0, и =
(74а)
^4р^0ёп(^ = -2р„«(4р^Г)рп((), п=1,2,..
., N,
(746)
в предположении (дополнение Д. 18), что
(75)
Остановимся теперь кратко на вопросе о связи между преобразованием Бэклунда (36) и эволюционным уравнением (64). Можно, рассуждая обычным образом и рассматривая ^-пространство, прийти к выводу, что если функции g(z) и h^ не зависят от времени [и, следовательно, не зависит от времени и функция Bk*'W (31)1*
а коэффициент jRt2)(A, t^ удовлетворяет эволюционному уравнению (66), то этому же уравнению удовлетворяет коэффициент Rt1)(A, 0*
Чтобы заключить, что преобразование Бэклунда (36) действительно переводит решение и^^х, t) уравнения (64) в новое решение и^ (х, 0 того
же уравнения, следуег, кроме того, убедиться, что дискретная часгь спектральных данных потенциала uw (х, 0 удовлетворяет соответствующему уравнению (74). Этот вопрос обсуждался в гл. 4 и дополнении Д. 12. Здесь мы приведем еще два уравнения, которые следуют из равенств (65) и (37). Первое уравнение имеет вид
В.^-АН^^М^В-ВМ^,(77)
где В -оператор, определенный формулой (23) [ с произвольными не зависящими от времени функциями g(z) и 7z(z)], а М(|> - операторы, определяемые формулами (51) и (52), в которых и = иЧ > и Н = Н1^ [формула (11)]. Формула (77) следует из того, что если Ни' - решение уравнения (65), а преобразование Бэклунда (36) отображает решение ик2Цх, 0 уравнения (64) в новое решение иИЦх, t) того же уравнения, го НИ' есть решение уравнения (65).
Второе уравнение записывается в форме V(-4A:2, t)S,< '(k,t) = 2ikBx >(k,t)f + °°dx*
х[7#(-4*2 L^tW^X'tW^-tk1 La\t)u^(x,t)](78)
Здесь в операторах Ui ’ (2) функция и(х) заменена функцией иМ )(х, t), ; = 1, 2. [По поводу других обозначений см. формулы (59а) и (33).]. Эго уравнение выводится из эволюционного уравнения (70) для решения Йос га / ^(х, к, t^ ураьнения (77) и преобразования Дарбу (38). Заметим, что в час гном, но важном с лучае q(z, 0-1, когда уравнение (64) переходит в уравнение (1), правая часгь уравнения (78) обращается в нучь [формула (59а)]. Поэтому функция В^ не зависит от времени. [См. (32); этот вывод справе11лив при условии, что полиномы g(z) и /z(z) не зависят от времени, хотя в остальном произвольны.] Из результатов дополнения Д. 18 следуег, чго эго заключение, гак же как и упрощения в написанных выше формулах, обусловленные равенством нулю интегралов, стоящих в правых частях уравнении (70) и (78), справедливо в более общей с игуации. Заметим, кроме того, чго В^ (32) - полином по к, коэффициенты которого могут быть выражены через С^ [формулы (Д.9.-48а, 486, 49а, 496, 59, 60)]. Таким обра* зом.мы получаем еще одно доказательство независимости от времени "интегралов движения' Ст. В заключение перейдем к вопросу о связи с подходом Лакса и подходом АКНС.
Прежде всего ясно, чго каждое эволюционное уравнение из класса (1) [с полиномиальной по z функцией a(z, 0] эквивалентно уравнению Лакса (6), в котором дифференциальный оператор М задан явно формулой (51) [ где ц(г, 0=1, формула (50)]. Мы уже подчеркивали, чго эволюция во времени оператора Шредингера Н(0 (47) носит изоспектрачьный характер, г.е. дискретные собственные значения оператора Щt^ (если они существуют)
не зависят от времени. Легко видеть, что это свойство выполняется для класса (65) операторных уравнений, который шире класса (первоначально введенного Лаксом), соответствующего эволюционным уравнениям вида (64) [формула (74а)]. [Такой результат можно было получить непосредственно из уравнения (65). Для этого нужно было ввести собственные функции оператора Я(0, отвечающие дискретным собственным значениям -р^ и учесть условие (75). Мы оставляем этот явный вывод в качестве легкого упражнения читателю.)
Кроме того, эволюционное уравнение для собственной функции у(х, к, 0, отвечающей положительному собственному значению к2 оператора Шредингера Н^» эволюция во времени которого описывается уравнением Лакса (6), получается сразу из уравнения (72), в котором q(z, 0=1. [Соответствующие уравнения для функций Йоста f (±) (х, к, t) получаются подобным образом из уравнений (69) и (70). Во всех этих уравнениях оператор М задается формулой (73).]
Рассмотрим теперь метод АКНС. Все, что нужно показать, - это то, что всякое эволюционное уравнение из класса (1) [или из более общего класса (64)] может быть представлено как условие интегрируемости (т.е. условие совместности) уравнений (8а) и (9). Но это немедленно следует из того, что уравнение (72) и формула (73) приводят к уравнению (9), в котором a^x,k,t^=^ke^—4k1',t^ — i/>V—4k1,L;t^uAx,t^ +
+ »#(-4А:2, L; t )их(х, t)]/V(-4k2, t),(79а)
b(x1k,A=\a<-4k2,t^-l^”'dy\if<-4k2,L;t'luAy3>-
-а*(-4к2, L; t)uy(y, г)])/v(—4*2. ?).(796)
Здесь, разумеется, использованы обозначения (2) и (59). Отметим, что определенные подобным образом коэффициенты а и b являются рациональными функциями к» В частном случае q(z, 0=1, ведущем к эволюционным уравнениям (1), они превращаются в полиномы.
В заключение отметим, что, в то время как в (обобщенном) подходе Лакса и методе АКНС основные уравнения, определяющие эволюцию во времени, - это уравнение (65) и уравнение (9) с коэффициентами (79), получающееся эволюционное уравнение для функции Цх, t) (64) то же, что и получаемое в методе спектрального преобразования. Также идентичны эволюционные уравнения для спектральных данных [формулы (66), (67), (74а) и (746)]. В подходах Лакса и АКНС последние уравнения получаются из эволюционных уравнений для собственных функций у(х, t, k) или / (±) (х, к, t) [формулы (69), (70) и (72), все с выражением (73)] и из соотношения между асимптотическим поведением этих собственных функций при х -> ±<» и спектральными данными [см,, например, формулы (29)].
Примечания к дополнению Д. 20
Подход Лакса к исследованию нелинейных эволюционных уравнений, основанный на иэоспектральном изменении во времени линейного дифференциального оператора [в нашем случае оператора Шредингера (Д.20.* 7а)] был разработан в статье [ 284]. Подход же, в котором за основу берется условие совместности уравнений (Д^0.-Яа) и (Д^0^9) для соответствующих собственных функций, был предложен в работе [ 16], В этих подходах рассматриваются только инфижгезимальные изменения (производные по времени) дифференциального оператора (метод Лакса) или его собственных функций (метод АКНС). Здесь такой метод обобщается на случай конечных приращений операторов и их собственных функций, Это обобщение, которое следует работе [ 68], воспроизводя оригинальные результаты Лакса и АКНС (в пределе бесконечно малых приращений), позволяет также дать унифицированную трактовку преобразований Баклунда (гл, 4) в виде равенства (Д.20.-36) или в виде соответствующего уравнения для дифференциальных операторов (Д^0.-37), а также преобразований Дарбу для собственных функций (Д20^38). Дополнительные ссылки на работы, посвященные этим преобразованиям, см. в гл. 4, раздел "Примечания”.
Д.21. Локальные законы сохранения , (доказательства)
(2)(2)В гл. 5 мы привели две последовательности локальных законов сохранения ^(«О-^»,), m = 0,l,2„..,(1)
(2)
(2)
yW-^m), ж = 0,1.2
соответствующих нелинейному эволюционному уравнению
мДх, /) = a(L j)Mx(*» О»^
где a (z, И - произвольный полином по z с зависящими от времени коэффициен
тами:
(4)(4)а(г,/)= 2 «ЛОг"-
(4)
(4)
Интегро-дифференциальный оператор L и его свойства были описаны в дополнении Д.9. Предполагается, что решение uU, t) уравнения (3) как функция % принадлежит классу SF-потенииалов,
(5)(6)(5)(6)’’Плотности” /т^ и ^W в левых частях равенств (1) и (2) следующим образом выражаются через решения ukxt t) :
(5)
(6)
(5)
(6)
g^Hxj) ”Lmu^x, t), т-ОДЛ,..^ f^^xj^-L^xu^xJ^lu^x. 0], m=0,1,2,..,,
[Определение оператора L и его свойства даны в дополнении Д. 9; см. формулы (Д.9.-12).] Выражения (5) и (6) для плотностей следуют из выражений для интегралов движения Ст [см. формулы (Д.9.-57 а, б) или (5.-12) и (5.-20)]
Ои“(“О^2"^О ’/* dxg^xj), m=0,1,2,...,(7а)
* —ОО'
Ст=(-1Г(2т+1)"’ f+”dx/(m)(x,t), m=0,l,2,....(76)
Заметим, что выражения (5), (6) не зависят от выбора полинома а (г, t), т.е. они одинаковы для всех эволюционных уравнений из класса (3). Более того, в общем случае различные плотности g^ и [^ приводят к одним и тем же сохраняющимся величинам Ст (7).
Главная задача этого дополнения - дать краткий вывод явных выражений для "токов” /т) И <р^т^ стоящих в правых частях равенств (1), (2) и выражающихся через решение и(х, <) уравнения (3). Ясно, что токи определяются с точностью до аддитивной (не зависящей от х^ константы, которую мы зафиксируем асимптотическими условиями
у(т)(±оо,/)=0, /и = 0,1,2,...,(8а)
9^w)(±oo,/) —О, w = 0,1,2,... .(86)
На самом деле такие условия можно налагать только на одном конце оси, например при я -> + оо. Тогда независимость от времени величин С^ (7) означает, что токи стремятся к нулю и при %* -> - оо [формулы (1), (2)].
Заметим, что в отличие от плотностей токи зависят от вида эволюционного уравнения (3), т.е. от вида полинома a(z, г) (см. ниже).
Принятый здесь подход, как и подход дополнения Д.20, основан на алгебре дифференциальных операторов. Кроме интегро-дифференциальных операторов из дополнения Д.9
L=D2-2u^2DuI,(9)
L=D2-2u^2IuD,(10)
введем для удобства чисто дифференциальный оператор
F=LD—DL,(Па)
Г=Р3-2(и0+Ри)(116)
[формулы (Д.9.-5)]. Заметим сначала, что если - р2 есть дискретное собственное значение оператора Шредингера
H=-D2A-u,(12)
т.е. Htp^xJ^-p^xJ^(13)
то 4р2 есть дискретное собственное значение оператора L:
^[^(^, г)]2=4р2[»>(а:, f)]^(14)
[Мы положили к = ip в формуле (Д.9.-44) и использовали равенство (Д.9.-21), опустив индекс п.) Но если функция и(х, г) изменяется во времени в соответствии с уравнением (3), то собственное значение р не зависит от времени. Это очевидным образом связано с возможностью представить уравнение (3) в эквивалентной (лаксовой) форме
h,=Vm,hV(15>
где операторы Н и М имеют вид (12) и (Д.20.-51) [ при q(z, «) = 11- Далее, если потенциал ul,x, t) удовлетворяет уравнению (3), или, что эквивалентно, оператор Н удовлетворяет уравнению (15), то оператор L претерпевает изоспект- ральную эволюцию, что можно записать в (’’лаксовой”) операторной форме:
L=VN,LV(16)
Здесь оператор N (так же как и М) зависит от вида полинома (4), характеризующего эволюционное уравнение (3). Теперь мы построим в явной форме оператор N. Но, прежде чем делать это, заметим, что если выполняется уравнение (16), то оператор L тоже удовлетворяет аналогичному уравнению Лакса
L,= [W>£],(17)
где N - оператор, связанный с оператором N соотношением
ND=DN.(18>
Этому равенству удовлетворяют операторы
N—PD,(19)
N=DP,(20)
выраженные формально через некоторый оператор Р. Как будет показано ниже, этот оператор чисто дифференциальный, т.е. в его выражение не входит интегральный оператор 1.
Рассмотрим теперь эволюционное уравнение
F=DPF-FPD,(21)
которое следует из равенств (Па) и (17) - (20). Продифференцируем выражение (1J б) по времени. Сравнив полученный результат с уравнением (21), получим
DPF—FPD=Da-\-aD.(22)
В этой формуле мы ввели мультипликативный оператор а, действующий следующим образом:
а/(х)=а(х,г)/(х),(23)
a(x,z) = -2a(L,r)ux(x,r).(24)
Отметим, что в уравнение (22) время входит как параметр. Перед нами теперь стоит задача определения пары операторов Ри а, удовлетворяющих равенству (22), при условии, что а - мультипликативный оператор (23), (24), а оператор F имеет вид (116).
Общее решение этой задачи можно найти путем следующих рассуждений. Если операторы Р и а удовлетворяют уравнению (22), то преобразованная пара операторов Р' и а*
P=PL^c-A^aIs(25)
а'(х, t)=La(x, t)-2cux(x, t)(26)
тоже удовлетворяют этому уравнению. Читатель легко может убедиться, что с - произвольная константа (т.е, с не зависит от х, но может зависеть от t, причем с - конечно, соответствующий мультипликативный оператор), а Л - мультипликативный оператор
Л/(х)=Л(х,,)/(х),(27)
A(x,t)=/a(x,t) = Jdya(y,t) =
= -1[ ”dya(L,t)uy(y,t).(28)
Так как преобразования (25) и (26) неоднородные, то можно построить последовательность решений уравнения (22) путем итеративного выполнения таких преобра
зований, исходя из первого нетривиального решения
Р(0) = 1,(29а)
a^xj^-lu^xj^(296)
причем без потери общности можно положить с = 0. Решение (29) получается преобразованием (25), (26) тривиального решения Р = а = 0 при с = 1. Решение, полученное на п-м шаге итерации, имеет вид
/>(")=£”-2 £ (g^'^'+g^1"*71/)^, n=l,2,3,...,(30)
у=о
а(п\х, t) — — 2Lnux(x, tY л = 1,2,3,...,(31а)
aw^x, t) = -2g(xn\x, t\ n = 1,2,3,...,(316)
где#^ - оператор умножения на функцию g^tx, t) (5) Равенство (31 б) следует из (31 а) в силу формул (И а) и (5)
Чтобы доказать, чтоР^ - чисто дифференциальный оператор, удобно рассмотреть рекуррентное соотношение
Р^+’^Р^У-г^ + е^), л=0,1,2,...,(32)
которое следует из равенства (25), где в соответствии с (30) мы положили
Р= Ркп\ Р^ Р^п + 1\ с = 0, а = а^ = - Зд^, А = 2g^^. Кроме того, интегро-дифференциальный оператор L в равенстве (25) был представлен в виде
L=J^2uxIt(33)
где
/=Р2-4и,(34)
а операторQ^n^ определяется операторным уравнением
pWUx=gW-vQWDi
Далее доказательство продолжается рекуррентно. Оператор Р(0) чисто дифференциальный [ даже чисто мультипликативный, формула (29 а)]. Предположим теперь, что Р^п) тоже чисто дифференциальный оператор. Тогда в соответствии с явными выражениями (30) и (31)
P^u^xj^g^^xj), л = 0,1,2,....(36)
Из этой и предыдущей формул следует, что оператор Qw тоже чисто дифференциальный. [В формулах (35) и (36) только первая из них есть операторное уравнение. Поэтому, согласно равенствам (32) и (34), операторР{п* 1> чисто дифференциальный. Таким образом, при всех целых неотрицательных п оператор Р^ чисто дифференциальный.]
В самом деле, из формального решения (32) и формулы (35) следует равенство
^^r-l^ (gtn-i-j^Qtn-x-j^jj, „=1,2,3 (37)
у=о
которое позволяет вместо использования явного выражения (30) вычислять итеративным образом операторы Р^п\ начиная с Р101 (29 а) и Q’°’ = 0. Например, первые два оператора из последовательности (37) имеют вид
р<')=р2-би,(38а)
/>(2)=р4_ ю«р2- Ю«ХР- 10«хх+30«2.(386)
Так как уравнение (22) линейное, его решение Р, соответствующее выбору (24) эволюционного уравнения (3), получается как линейная комбинация
м
Р= 2 «.W*\(39)
и = 0
где коэффициенты ап^ даются формулой (4), а операторы Ptn) - формулой (30) иди формулами (32) и (35). Это выражение вместе с равенствами (19), (20) определяет оператор N(N), входящий в эволюционное уравнение Лакса (16) [ или (17)] для оператора ЦЦ.
Перейдем теперь к выводу локальных законов сохранения типа (1). Диффе-
ренцируя равенство (5) по времени и используя уравнение (16) и уравнение m,(x,z)=№(x,z)<4°)
[которое следует из уравнения (3), а также из формул (39) и (36)], сразу же обнаруживаем, что плотности удовлетворяют тому же уравнению g<”)(x,z)=Ng<"')(x,z), m=0,l,2 (41)
Сравнив это уравнение с равенством (1), получим уравнение для токов /Vg(m)(x, Z^y^^x, z), т=0,1,2,... .(42)
Ему удовлетворяет выражение
м у<-">(х, <) = «(£, t)g<m)(x,t) + 2 2 a„(z)x п — 1 п— 1
х2 [^"-'“^^(x^-G*^’""7"^m=0,l,2,...,(43)
где величины G^m* пЧ»> ^ определяются следующим образом:
^.”)(x,z) = -g(m)(x, tV^xj), т.п=0,1,2,...,(44а)
G<m’n)( + оо, t) =0, т, м=0,1,2,....(446)
Эта формула легко выводится из равенств (19), (39), (30), (11 а) и (5).
Замечательным фактом является нелинейная полиномиальная зависимость токов у(т) от решения и и его производных. Она следует из равенства (43) и из того, что, как доказано в дополнении Д.9, величины gW и о^т* п) тоже обладают таким свойством. Более того, этим результатом автоматически гарантируется выполнение асимптотического условия (8 а).
Что касается второго множества законов сохранения (2), то выражения для токов ^т^ можно вывести непосредственно путем дифференцирования по времени выражения (6) для соответствующих плотностей fW. Действуя таким образом и используя по пути уравнение (17, получаем
Z(m)(x, z) =Nf<m\x, /)+£-"[//°>(х, z)-Nf^(x, z)],
m=0,1,2,....(45)
Но в соответствии с формулами (6), (3), (11 а) и (20) имеем
Mx, O-Nf^x, z) = {[xa(L, z)«(x, Z)]x-
—^>[x“x(x,z) + 2m(x,z)]]x.(46)
Тогда из равенств (45) и (2) немедленно следует, что
<ркт\х. t)=Pf^m\x, z)+Lm{[xa(Z, t^u^x, z)] x —
—P^xu^x, z) + 2u(x, z)]}, m=0,l,2,...,(47)
или, что эквивалентно,
<p^w\x, {^ — ^Р^—Р^Р^хи^х, r)4-2u(x, г)] +
-VLm^xa(L, t^u^x, г)] х, m=0,l,2,....(48)
В этих выражениях Ресть оператор (39), что указывает на их явную зависимость от полинома a(z, t). Отметим, что выражение (48) очевидным образом удовлетворяет асимптотическому условию (8 б).
В заключение укажем, что ни плотности fW, ни токи ф<т) не обладают свойством локальности, т.е. полиномиальной зависимостью от решения и и его производных, которым обладают соответствующие величины g^ и у<т) (см. ниже).
Мы закончим это дополнение, представив явные выражения для первых
трех плотностей обоих типов:
S^=u(49а)
^ — ихх—Зи2,(496)
8т = ихххх- 10uxxu—5их+ Юи3,(49в)
/<°>=(хи)х+и,(50а)
/0,=/0,=х(ихх-3и2) + 3их+2иуdyu^yj^х(ихх-3и2) + 3их+2иуdyu^yj^-Зи2,-Зи2,(506)(506)
/0,=
/0,=
х(ихх-3и2) + 3их+2иуdyu^yj^
х(ихх-3и2) + 3их+2иуdyu^yj^
-Зи2,
-Зи2,
(506)
(506)
/(2)= Um~6и2)х+.к( — 4uxxu-Vu2-V Юи3) —
6u2fdyu(y,t) — 6ufdyu2(y,t) + 5(и2 + 2и3).(50b;
J X
Мы также выпишем соответствующие токи для случая уравнения КдВ [a(z, t) = - z, и + и - би и = 0]* 'VA# Л# Л#
у™=-ихх + 3и\(51а)
^——uxxxx-V3u2-V\2иххи— 12и3,(516)
у(2) = — uxxxxxx-V \buuxxxx-V'14uxuxxx-V'13u2xx —
90u2uxx — 60uu2 + 45u4,(51b)
^>=-[x(uxx-3u2)]x,(52а)
^l)=-x(uxxxx-12uxxu-3u2+12u3)x-2(uxx-3u2)x x
ХУ dyu^yj) — 3uxxxx + 26uuxx+15u2— 18u3,(526)
^2) = ^lr~*"-x(4wuJc;tAJC —6uxurrx4-5u2r —54u2uvrH- 12uu2 + 30u4J -f
+ 6(иххх-6иих) 2uj
^yu(yj)~ f dyu2(y,t) +
+ \luuxxxx+luxuxxx-V5uxx- \2Qu2uxx-7%uul + MuA.(52в)
Д.22. Применение ° метода переменной фазц" к задаче рассеяния для уравнения Шредингера на всей прямой
Трехмерная нерелятивистская квантовая задача рассеяния пучка частиц на сферически-симметричном потенциале может быть сведена к вычислению фазовых сдвигов, каждый из которых представляется как результат действия потенциала на одну компоненту углового момента пучка (падающего и отраженного). Значения этих величин имеют отношение к асимптотическому поведению подходящего решения радиального стационарного уравнения Шредингера, когда радиальная координата стремится к бесконечности. Таким образом, вы* числение фазового сдвига требует знания решения радиального уравнения Шредингера, т,е. обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка На интервале (г = О, г = *). Например, для вычисления фазового сдвига рассеяния S -волны нужно решить соответствующее уравнение Шредингера — ^(r, k)-^v(r)^(r, к^=к2ф^г,к^(1)
с граничными условиями
^(0Д)=0,А(0Д) = 1(2)
и затем извлечь фазу Цк) из асимптотической формулы ^Л^с^ып^кг^^к)^ r^oo.(3)
Здесь с (k) - величина, значение которой не связано с процессом рассеяния, a v(r) - рассеивающий потенциал [предполагается, что в соответствии с условием (3) v(r) -> 0 при г -> *. ]
Другой подход к вычислению фазы б (А) основан на введении фазовой функции 5 (А, т ). Эта функция определяется из нелинейного обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка
S^k, г)= — к-1 v(г)sin2[ЛггЧ-б^к, г)](4)
с граничным условием
t?(/c,O) —0.(3)
Можно показать, что б (А, р) в точности совпадает с фазовым сдвигом при рассеянии 5 -волны на обрезанном потенциале Цт )0(р - г) [0 - обычная ступенчатая функция: 0(х) = О при х < 0 и е(х) = 1 при х >0]. Так как в слу-
чае нулевого потенциала нет рассеяния и фаза равна нулю, определение 5(А, р) согласуется с граничным условием (5). Это означает, очевидно^ что фаза рассеяния, отвечающая потенциалу v(r), равна предельному значению фазы 5 (А, р) при р -* *>:
»(*) = #(к,оо).(6)
Такой подход к потенциальной теории рассеяния имеет много преиму Ществ [80, 36]. В данном дополнении мы изложим аналогичный подход к задаче рассеяния для уравнения Шредингера, заданного’ на всей прямой, и, в частности, к вычислению коэффициента отражения R^k), играющего ключевую роль в спектральном преобразовании. В своем предельно кратком изложении мы ограничиваемся тем, что приведем несколько формул, в которых ясно обнаруживается связь между коэффициентом отражения и потенциалом w(x), в чем и состоит главное достоинство "метода переменной фазы". Читатель, желающий более полно ознакомиться с этим методом и его приложением к исследованию одномерной задачи рассеяния, может в самостоятельной работе руководствоваться изложением такого подхода применительно к радиальному уравнению Шредингера [80, 36].
Рассмотрим одномерную задачу рассеяния, изложенную в гЛ. 2. Приведем несколько необходимых формул
к, ()+и(х, ^^х, к, ^ = k2iKx, к, ^,(7)
^(х, к, /)-»ехр( —ikx) + R(k, £)exp(ikx), х-*оо,(8)
2ikR{(k,()= (dx[^(x, Л,/)]2иДх, ^).(9)
Здесь мы ввели явную зависимость от параметра £. В остальном формулы (7) и (8) воспроизводят формулы (2.L-1) и (2.L-36), тогда как формула (9) совпадает с формулой (2.4.А.-12а) в специальном случае g^) = 1 и при бесконеч- но малой вариации параметра § (5R = R^, Su = u^V
Положим теперь
ц(х, £) = и(х)^(£-х).(Ю)
Таким образом, функция и(х, §) совпадает с и^ при х < § и тождественно равна нулю при х > £. Тогда формула (8) означает, что
^(х, к, g)=exp(-ikx) + R(k, ^)exp(i^x) for х>£(11)
а формула (10) приводит к равенству
и^х, ^-и(х)6{х-^,(12)
и поэтому из соотношения (9) получаем
(13)(13)likR^k^^u^V^^k^W-
(13)
(13)
Последнее уравнение и равенство (11) приводят к основному уравнению в ’'методе переменной фазы”
Rx^k, х^ — ^1\к^ ^(^[expfHfcx)+/?(£,x)exp(ifc^(14)
Это обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка типа уравнения Риккати дополняется очевидным граничным условием
R(k,~ оо)=0.(15)
Функция R^k, х), однозначно определяемая из задачи (14) и (15), асимптотически сходится к коэффициенту отражения
R(k,oo)=R(.k\(16)
Действительно, R(k, х) есть не что иное, как коэффициент отражения потенциала и (Ю), обрезанного в точке х.
Уравнение (14) подсказывает естественный анзац для определения коэффициента:
R(k, х) = -exp[2i^(^, х)].(17)
В самом деле, такое преобразование переводит уравнение (14) в (действительное) уравнение
^х(к, x^-k^u^x^sin^kx-t-r^k, х)],(18)
совпадение которого с уравнением (4) совершенно замечательно.
Но анзац (17) становится неудобным, когда дело доходит до учета граничного условия (15). Таким образом, этот подход не дает удовлетворительной процедуры для вычисления коэффициента R(k, х), а следовательно, и R^ (16). Неожиданный способ, который позволяет преодолеть эти трудности и который, возможно, дает наиболее удобный метод для полного (численного) расчета коэффициента R^, основан на общем свойстве уравнения Риккати, которое состоит в том, что четыре любых разных решения R^1 Цк, х) уравнения (14) связаны между собой формулой
(r^-r^r^^^(19)
где С — константа. (Она не зависит от х, но может зависеть от А.) Тогда можно ввести три (действительных) решения q(/ Цк, х) уравнения (18), определяемых тремя (неидентичными) граничными условиями
^k'-^VilVXkY j=\,l,3.(20)
(Вот удобный и простой выбор: q1^1 = 0, q^* - к/4, q1^ = тг/2.) Эти три константы могут отличаться на mod (и) [форм, ла (17)]. Величины q^A, х) легко вычисляются путем численного интегрирования уравнения (18) с граничны-
ми условиями (20). [ Три интегрйрования удобно выполнить параллельно. Начинать нужно с больших отрицательных значений х, при которых потенциал п^ пренебрежимо мал. При этом имеет смысл ввести переменный шаг интегрирования, пропорциональный |u(x)p1J Тогда величина R(k, х) дается явной формулой
R(k,x) = - {exp[i(7(1)]sin[<^2)-^3)]+exp[ia(2)]sin[^+
H-expIi^lsinf^^-^D/fexpI-i^^lsinl^-cr^] + + exp[-i<^2)]sin[(7(3)-a(,)]+exp[i^3?]sin[(70^(21)
где
rf<^=^>(jt,x) = ^)(fc,x)-^)(A:), 7=1,2,3,(22a)
or<^>=ff<v)(^> x) = i/,)(A:, x) + i/2,(^), 7=1,2,3.(226)
Отметим, что эта формула очевидным образом удовлетворяет граничному условию (15) и поэтому дает коэффициент отражения RQ^ (16). [Так как при больших значениях х ^ х^ потенциал и(х) мал и R(k, <») » R^k, х^), см. формулу (14), достаточно рассмотреть большие, но конечные значения х.]
Другой анзац для решения уравнения (14), согласованный с граничным условием (15), таков:
«(A:,x) = th[y(/c,x)]exp[ix(/c,^)],(23)
где у и х - действительные функции и
у(к,— оо)=0.(24)
Он приводит к дифференциальному уравнению
ух(к, х) = — ^2к) ^(xJsin^Arx+xC^’х)]»(25)
которое вместе с условием (24) дает соотношение
у(к,х) = -(2к) ' f ^dyu(y)sin[2ky+x(k, у)].(26)
Уравнение для функции у^к, х) принимает форму
Хх^к. х)= -^-1м(х)(14-cth[2y(^, x)]cos[2^x+x(^,х)]}.(27)
Недостатком представления (23) является неопределенность фазы х в тех точках, где коэффициент R и, следовательно, функция у обращаются в нуль. Действительно, согласно уравнению (27), в тех точках х^, где функция у (А, х) обращается в нуль, функция х(А, х) равна -2Лхп + тг по mod (2тг). Но этого не достаточно для определения значения функции х(&> х)*при х -<*, которое необходимо для вычисления функции у (к, х) из уравнений (27) и (26). Кроме того,
нули хп функции у(к, х) сами становятся известны лишь после ее вычисления, а это в свою очередь требует знания функции х(&, У) при -* < у < х I формула (26)].
Более простой подход к численному решению задачи (14), (15) может быть основан на обычном разделении функции на действительную и мнимую части:
£(&,*) =/4(fc,x)+iB(£,x)<W
Тогда уравнение (14) переходит в пару связанных уравнений с действительными коэффициентами
A^^ky'u^lB+lABcos^kxV^-B2-^»™^^ (29а)
B^W'uW х
х[-2Л+2ЛЯ$ш(2Лх)-(Л2-Л2+1)со8(2Лх)]((296)
а условие (15) принимает форму
^(^,-оо)=0,(30а>
В^к, — оо)=0.(306)
Основываясь на работах [ 80, 36 ], посвященных решению этой задачи для радиального уравнения Шредингера, можно извлечь из этих уравнений качественные особенности и приближенные выражения для коэффициентов отражения. Здесь мы опишем в общих чертах только результаты, которые необходимы для вычисления предела при к -> 0 и которые можно сравнить с материалом дополнений Д.1 и Д.15.
Из уравнения (14) следует, что при малых значениях к величина R^k, х) меняется быстро (как функция переменной х), если только не выполняется приближенное соотношение R^k, х) « -1. Поэтому можно рассмотреть разложение
м
КЦс, %) = -!+ 2 (2i^)V"I)(x) + O(/cA/+1).(31)
т = 1
Подстановка его в уравнение (14) дает набор уравнений
г^^х^Цх) Л1 -( — l)w]xw+1/(m-H)! +
+ 2 г<л)(.*)г<'"+'_'”(.х) + 2 [xm+l-n/(w+l-«)!]x л=1л=1
х2 ги\х)г<п J\x) J^
m=l,2,3,... .
(32)
Заметим, что первое уравнение из этого множества нелинейное:
^'’(х^иМр'Ч*)-*]2.(33)
а остальные - линейные: г<2) = ц(х)[2г(2)+хг(1)][г(1)—х],(34а)
гх(3) = и(х) {2г(3)[г(1) —х] + г(2)[г(2) + 2хг(1)—х2] +
+ |х2г(1) [Зг(1) —2х] + -^х4},(346)
И Т.д.
Вместо функции г(11 (х) удобно рассмотреть функцию ц (х) r(1)(x) =^ctg[^t(x)] +z, *(35)
где у и z - произвольные действительные константы и у > 0. Перепишем уравнение (33) в виде ^(^-^(^{[(«-^/^in^xJ-cos/iCx^(36)
Оно теперь совпадает с уравнением (ДД.-12), для чего и нужна была подст аг новка (35), Совпадение функции ц (х), введенной здесь с помощью подстановки (35), с решением ц (х) задачи (Д. 1.-12), Щ. 1.-13) [см. также уравнение (36) и приведенное ниже условие (37) ] приводит нас (в тесной близости с изложением гл. 22 в монографии [ 80 ]) к аналогу "теоремы Левинсона" для уравнения Шредингера на всей прямой. [ Напомним, что существует другой аналог теоремы Левинсона, относящийся к поведению фазы 0(A) коэффициента прохождения Т(А) в точке к = 0; см. формулы (2.1-44) и дополнение Д.4.]
Легко установить граничное условие, дополняющее уравнение (36): ^( —оо)=0.(37)
При этом кажущееся противоречие между условием (15) и представлением (31) разрешается, так как функция т ^ * (х) в силу равенств (35)и (37) сингулярна в точке # = -*, Это указывает на то, что разложение (31) не справедливо в точке х — *-<*, что с очевидностью следует из условия (15). Оно не справедливо также во всех точках хп, где
/<(xJ=0 (mod wY(38)
Так как, согласно дополнению Д.1, потенциал и(х)0(х^ -х) обладает "связанным состоянием с нулевой энергией", определенным в дополнении ДЛ5, то его результаты согласуются с формулой (38), Поэтому R^» х ) *-L Заметим, что сказанное относится также к значению коэффициента R(k, х) в точке х = - *VR(k, -1, формула (15)]» Действительно, потенциал и(х)е(-»о~х) тождественно равен нулю и, конечно, принадлежит к классу по-
тенциалов, обладающих связанными состояниями с нулевой энергией. [ Потенциал и^, не равный тождественно нулю и всюду неположительный, и(х) ^ О, всегда имеет по крайней мере одно связанное состояние, тогда как потенциал, всюду положительный, не может иметь связанных состояний.]
Д. -23. Уравнения КдВ и высшие уравнения КдВ как гамильтоновы потоки (общая схема)
Важный вклад в "теорию солитонов" связан с тем замечательным фактом, что нелинейные эволюционные уравнения, решаемые методом спектрального преобразования, мэгут быть представлены в виде гамильтоновых потоков. В настоящем дополнении дается элементарное введение в эту тему, ограничивающееся кратким изложением основных идей и результатов.
Напомним основные определения, касающиеся гамильтоновых систем с N степенями свободы. Как обычно, обозначим /V-мерныэ векторы координаты и импульса, характеризующие состояние динамической системы, через q = ^qv ,. . , q^, р = (р^ . . . , р^). Эволюция во времени описывается уравнениями Гамильтона, в которые входит функция Гамильтона Н(р, q^> зависящая от 2/V переменных:
q- VpH,(I)
P.= -^qH.(2)
Здесь
9r=(d»l/dz,...,d9JV/dr).(3)
A=(d/’l/dz,...,dpjV/dz),(4)
VqH=<9H/9qt,...,9H/9qN),(5)
VpH=(9H/9P19H/9p„Y(6)
Производная по времени любой дифференцируемой функции фазовых координат q и р имеет вид
d^/dz= VqA ■ VpH- VpA • VqH= 2 (AqH„-ApHq).(7)
Поэтому для пары функций A(q, р) и 8(9, р) удобно ввести операцию
(A,B} = vqA.VpB-VpA.V^= £(AqBp-A,BqjY(8)
Функция I А, ВI называется скобкой Пуассона двух функций <А и В. Таким образом для множества (бесконечно дифференцируемых) функций на 2у-мер- ном фазовом пространстве определена билинейная операция умножения (8), которая антисимметрична:
{Л,В} = -{*М},(9а)
и удовлетворяет тождеству Якоби (Л, (В, С)} + (5, (С, Л)} + (С {л, 2?)} =0.(96)
Говорят, что такое множество функций имеет пуассонову структуру, если еще выполняется правило Лейбница {Л,ВС)=В{Л,С}+С{Л,В}.(9в)
Итак, равенство (7) можно переписать следующим образом: ал/аг={л,я}.(Ю)
Поэтому можно определить интеграл движения С системы (1) и (2) как такую функцию переменных q и р, скобка Пуассона которой с функцией Гамильтона равна нулю: (С,Я)=0.(И)
Скобка Пуассона двух интегралов движения есть тоже интеграл движения, что является очевидным следствием тождества Якоби (96). Нам понадобятся следующие определения. Говорят, что два интеграла движения С1 и С2 находятся в инволюции, если их скобка Пуассона равна нулю: {С„С2}=0.(12)
Два интеграла движения СА и С2 называются взаимно независимыми, если равенстве atVqC^a2vqC2 = 0,(13а)
«^рСхЛ-а2^рС2=0(136)
выполняются только при нулевых численных константах а^ = а 2 = th Кроме того, динамическая система с N степенями свободы называется вполне интегрируемой, если существует N независимых интегралов движения, находящихся в инволюции. Действительно, в этом случае, согласно классической теореме Лиувилля, гамильтоновы уравнения (1) и (2) сводятся к квадратурам.
Чтобы применить эти определения к широкому классу эволюционных уравнений, для удобства перепишем уравнения Гамильтона (1) и (2) в Другой форме u=OvH,(14)
где и - вектор в 2^- мерном фазовом пространстве:
(15) ut — (касательный) вектор:
»,= (dql/dt,...,dqN/di,dpl/dt,...,dpN/dt)(16)
и VH - градиент (или касательный вектор, или о дин-форма): V№( dH/dqdH/dqN, ЭН/3Р13H/3pNY(17)
Из сравнения уравнения (14) с уравнениями (1) и (2) следует, что й есть анти* симметричная матрица порядка 2V:
to(-l J)’w
где на побочной диагонали стоят единичные матрицы порядка N противополож
ного знака. В этих обозначениях скобка Пуассона (8) записывается в виде
(A.B^vAtlW,(19)
уравнения (9) - (12) не меняются, а система (13) принимает вид а^СА ^СгА
Эти обозначения подсказывают следующее обобщение конструкции. Динамическая система называется гамильтоновой, если ее эволюция во времени может быть записана в виде уравнения (14) с функцией Н = Я (и), заданной на фазовом пространстве, и с антисимметричным линейным оператором й, переводящим градиенты (один-формы) в касательные вектора. При этом выраже - ние (19) должно задавать пуассонову структуру на множестве гладких функций, определенных на фазовом пространстве, т.е. должны выполняться условия (9). Заметим, что в общем случае градиент V Л функции Л (и) определяется с помощью бесконечно малой вариации
Мж<6и,^АУ<20>
Таким образом, на заданном фазовом пространстве гамильтонова система определяется парой операторов (Й, //), состоящей из ("симплектического”) оператора й и гамильтониана Н^» В этом обобщении не требуется, чтобы число степеней свободы было конечным.
Определим теперь для уравнения КдВ и,--иххх+6ихм, u=u(x,t)(21)
в пределах класса спектрально преобразуемых функций фазовое пространство, оператор йи гамильтониан Н(и). Фазовое пространство есть множество BF-потенциалов (см. гл. 2, § 3); состояние системы описывается SF-потен- циалом иМ, а эволюция состояния - функцией u(x, t). Очевидно, что эта система имеет бесконечное число степеней свободы. Если Л (и) - функционал, определенный на множестве BF-потенциалов, то формула (20) принимает вид 5А- Г dx 6u(x)vA,(22)
* ~ оо
и поэтому градиент функционала Л(к) - обычная функциональная производная ^A = 6A/6uU\(23)
Прежде чем переходить к другим определениям, удобно переписать уравнение КдВ (21) в операторной форме [положив в формуле (5.1) a(z) = - z]: u=-Lux=-DLu,(24)
где второе равенство следует из операторного тождества (Д.9.-30). Здесь D- оператор дифференцирования:
D=d/dx,(25)
L и L - интегро-дифференциальные операторы [формула (А.9.-П, 12)]: L=D2-2*+2DmI,(26а)
L=D2-2*+2ImD,<266)
где
1=С*йу(27)
•'х
(их свойства см. в дополнении Д.9). Сравнивая равенства (14) и (24), получаем
Q=D,(28)
Н(и)= f dx(|u*+u3) = |C2,(29)
* — 00
По поводу последнего равенства см. гл. 1, § 7, п. В, или гл. 5, или дополнение Д.9. Действительно, в силу формул (19) и (25) скобки Пуассона (19) приобретают вид
U.S)=/_+Jd4&4/W^(зо)
а потому удовлетворяют условиям (9). Кроме того, в соответствии с определением (29) имеем
6H/8u(x^=-Lu<xY(31)
откуда следует, что уравнение (24) и соответственно уравнение КдВ (21) имеет гамильтонов вид (14) [формулы (23) и (28)]
и^х,С) — Й8Н/8и^хЗ\(32)
В рамках э того подхода независимость от времени величин
Cw = (—l)w(2m+1) XJ dxLmu(xjY m=0,1,2,...(33)
[формула (Д.9.-57) или (5.-20)] при условии, что функция Цх, t ) эволюционирует в соответствии с уравнением (21), следует из них инволютивности
{Ст>Сп}=0, w, и = 0,1,2,...,(34)
а также из того, что гамильтониан пропорционален интегралу С2 (29). Важная
формула (34) получается с учетом структуры скобок Пуассона (30) и тождества
SCJSu^xV^-X^IL^u^xY m=l,2,...,(35)
которое в свою очередь следует из формул (Д.9.-63а, 55а, 30), (22) и (23). В самом деле, выражение
^т^п^ =( — l)w+”4 Jdx[£m-1u(x)]D[£z,~1u(x)],
m, л=1,2,3,...(36)
вместе с операторным тождеством (Д.9.-54в) приводит в точности к равенству (34). Отметим, что, так как 5Cq/5u(x) = const [формула (33) при т = 0], равенство {Л, С01 = 0 тривиально выполняется для любого функционала Л(и)^
Из свойства инволютивности (34) бесконечного множества функционалов
по отношению к скобкам Пуассона (30) очевидным образом следует, что
Ст - интегралы движения не только для уравнения КдВ, но и для эволюционного уравнения типа (32), в котором в качестве гамильтониана взята произвольная линейная комбинация функционалов Ст. Поэтому величины Ст - ин
тегралы движения для любого высшего уравнения КдВ и^-ХУП^и, и=0,1,2,3,...,(37)
так как оно может быть записано в гамильтоновой форме (32) с гамильтонианом
Я(м) = |Сп+1(38)
[ формулы (28) и (35) ].
В действительности любое уравнение из класса и^хЛ^а^ЬЛ^и^хлУ(39)
где м aU,t) = 2 ^(r)zw,(40)
т=О есть гамильтонова система, гамильтониан которой имеет вид м
И-1! 2 (-ОХО)^..(41)
т = О
Заметим, что зависимость Н от времени определяется коэффициентами а^ (t). Однако величины Ст (33) по-прежнему остаются интегралами движения:
(Ст,Н^0, ^=0,1,2 (42)
В качестве простого приложения гамильтонова формализма мы докажем изоспектральный характер эволюции оператора Шредингера -d2/dx2 + Цх, t),
определяемой гамильтонианом (38) [ а следовательно, и гамильтонианом (41) ]. А именно докажем, что
d£/dr=O,(43)
если Цх, f ) эволюционирует так, как это предписывается гамильтонианом (38), а собственное значение определяется уравнениями
[-d2/dx2+u(x,/)]$?(*, t)=E<p(x, t^(44а)
( dx [р(х, r)]2= 1.(446)
Для этого достаточно показать, что
(Е,Ст}=0, т=0,1,2,....(45>
Но данное соотношение следует из формул (30), (35) и из формулы (2.4.А.-51), которая принимает вид
8Е/8и^х, г) = [^(х, г)]2,(46)
а также из интегрального соотношения вронскиана (2.4.1.-56) [где принято g(z) = zm~ 1 и использована формула (Д.9.-30)].
В качестве другого примера вычислим определяемую гамильтонианом (38) эволюцию во времени коэффициента отражения R^k, t ), связанного с потенциалом и (х, t ) формулами (2.L-1) и (2.1.-3):
V-^/^-Vu^xj^^k1*, 4>=^x,k,t),(47а)
^х,к,^-*Т^кУх^-'1кх\ х->-оо,(476)
^(х, к, r)-*exp(—ikx)-bR(k, t)exp(ikx), х-> + оо.(47в)
Производная коэффициента по времени дается формулой (10):
R,(k,t)={R(k,t), Я} = J+”dx^8R(kj)/8u(.xtt^x
х[8Н/8и(х,()]^(48)
которая с учетом вида гамильтониана [см. также (Д.9.-30)] записывается следующим образом:
КЛМ^^-ху^кУ"' J йх^^М^^х^ О-(49)
Здесь также были приняты во внимание формула (35) и равенство
8R(k, t)/8u(x, z) = (2i^)"'[^(x, к, г)]2,(50)
следующее из интегрального соотношения вронскиана (2.4.1.-12а) [при g(z) = 1]. Окончательно, используя интегральное соотношение вронскиана
(2.4.1.-126) при g(z) * z”, получаем
R.Vk.t^V-xy^Xk^'RVkdY(51)
Это в точности эволюционное уравнение, отвечающее высшему уравнению КдВ (37) [ср. с формулой (3.1.-42а) при a(z, t ) = (—l)”^ ]е
Уравнение (39) замечательно, в частности, тем, что оно может быть записано в гамильтоновой форме с помощью не только одной пары (Й, Н). Дело в том, что операторы
Лл=(-1)”Д(ет)”=(-1)^(52)
также могут задавать скобки Пуассона
(Л,5}„^У_ йх^бА/Мх^йДбВ/бЦху, п=0,1,2 (53)
удовлетворяющие условиям (9). В определении (52) участвует оператор
e^-ln-IDuS,(54)
который отличается от оператора L (26а) тем, что ц нем интегральный оператор I (27) заменен оператором
»=К/т-7) = 1(/_Х^-/^^).(55)
На классе функций f (х), удовлетворяющих условию f (+ оо) + f (-*)= 0,выпол- няются равенства
$T=-S,(56а)
$D=D^1.(56б)
Кроме того, второе равенство в формуле (52) следует из тождества
£D=DtT(57)
и из свойства оператора ет=Р2-2и-2}иО(58)
отображать функции f (х), удовлетворяющие условию /(+оо) + f (-оо) = 0, в функции g(x) = £т/ (х), удовлетворяющие этому же условию g(+oe) +g(-oo) [оно, как уже отмечалось, необходимо для выполнения равенства (56а) ]. Таким образом, оператор (52), как это требуется из условия (9а), Действительно антисимметричен. Но, в то время как скобки (53) тривиально удовлетворяют условию (96), выполнение для них тождества Якоби ввиду зависимости Qn от и при п > О доказывается не просто, а потому это доказательство здесь не приводится.
(59)(59)Переходя теперь к самому уравнению (39), заметим, что его можно переписать в форме м,(х,г)=а(е,<)м,(х,г).
(59)
(59)
Действительно, необходимое Д*ля этого равенство „
Уи^х» t^U'u^x,^, л=0,1,2,...<60)
легко выводится по рекуррентности из соотношения
L/(x)=ef(x)+ux(x,t)f °°dy/(y)(61)
*-оо
и из тождеству (Д.9-54а)
Г dxLnux($, 0=0, «=0,1,2,....(62)
*-00
Кроме того, нетрудно установить, .что функционалы Ст (33) находятся в инволюции по отнощению к скобке Пуассона (53):
(Ст,СД =0, т^\п=0ЛД,... .(63)
Действительно, учитывая равенство (eT)”u(x,/)=r«(x,t), л=0,1,2(65)
которое само следует из формулы
L/(x)=eT/(^)+ Г^^ЬмМЛ^<64)
* — оо
и из тождеству
У d*w(x,/jlJL"w(.x,/)=0, «=0,1,2,...,(66)
в формулах (33) и (35) можно заменить оператор L оператором £ т и получить другие выражения:
С„=ИГ(2м+1)"Ч+^1;с(етГ^^m=0,l,2,...,(67)
•'-00
<УСт/№(л) = (-1)'я+12(ет)и-,и(л), m=0,l,2 (68)
Тогда инволютцвность выводится из соотношения (С„,С^=(-1Г+'+"^(69)
равенства (64) у операторного тождества (Д.9.-54в). Заметим, что предыдущее определение гамильтоновой системы (28),(30) и (34) отвечает простейшему выбору « = 0 в формулах (52), (53) и (63). Конечно, выбором симплекти- ческого оператора для заданного потока однозначно фиксируется гамильтониан. Так, например, уравнение КдВ (21), или, что эквивалентно (24), в дополнение к известнц# гамильтоновой форме
и,= Ю0<УС2/^(70)
допускает вторую гамильтонову структуру
u,= ^Qx6Ct/6u.
Это легко обобщается на высшие уравнения КдВ (37), которые допускают n + 1 различных гамильтоновых структур. Уравнение (37) при этом переписывается следующим образом:
«г=1°т8С„-т*1/8и, « = 0, ],...,«.
Примечания к дополнению Д.23
Гамильтонова структура уравнения КдВ в классе периодических решений была впервые указана в работе [ 199]. Замечательная связь между гамильтоновым формализмом и методом спектрального преобразования была установ-- лена в работе [ 455 ]. В ней было показано, что переменные действие — угол просто выражаются через спектральные данные, а спектральное преобразование BF-потенциала и(х) в спектральные данные S[u] (см. гл. 2) есть каноническое преобразование к переменным действие - угол. Элементарное введение в гамильтонов формализм в приложении к уравнению КдВ представлено в работе [286]; см. также статью [ 191]. Хорошее изложение математических основ гамильтонова формализма дано в учебнике [22].
Общий алгебраический метод построения функционалов Ст (Д.23.-33) и доказательство их инволютивности [формула (Д.23.-34) см. в статьях [202] и [449]].
Существование второй гамильтоновой структуры (Д.23.-71) у уравнения КдВ (Д.23.-21) было впервые отмечено в работе [328]. Дальнейшее развитие этого подхода было дано в работе [329]; см., также работы [ 15 3] и [280].
Интересная связь гамильтонова формализма для уравнения КдВ и тоории групп исследовалась в работах [299, 5]. Групповой подход к этому уравнению также рассматривался в работе [ 47]. В недавней работе [ 357] уравнение КдВ было проинтегрировано как движение множества гармонических осцилляторов, подчиненных определенным связям; см. также [ 161, 162].
Современное математическое изложение теории бесконечномерных гамильтоновых систем можно найти в статье [278] и цитируемых в ней работах.
ЛИТЕРАТУРА
Андреев В.А. Применение метода обратной задачи рассеяния к уравнению °xt = ехР <а>- ” ™Ф’ 1976’ Т- 29’ С- 213е
Adler М. Some finite dimensional integrable systems. — Rocky Mountain Journ. Math., 8 , 237 (1978). -
Adler M. Some finite dimensional integrable systems and their scattering behaviour. — Commun. Math. Phys., 55, 195 (1977).
Adler M. Completely integrable systems and symplectic actions. — Journ. Math. Phys., 20, 60 (1979).
Adler M. On a trace functional for formal pseudodifferential operators and symplectic structure of the Korteweg — de Vries type equations, — Inventiones Math., 50, 219 (1979).
Ablowitz MJ. Nonlinear evolution equations — continuous and discrete. — SIAM Review, 19, 663 (1977).
Ablowitz MJ. The inverse scattering transform — continuous and discrete, and its relationship with Painleve transcendents. — In: [88], p. 9.
Ablowitz MJ. Lectures on the inverse scattering transform. — Stud. Appl. Math., 58, 17 (1978).
Ablowitz MJ. Remarks on nonlinear evolution equations and ordinary differential equations of Painleve type. — In: [365], p. 129.
Ahmed S., Bruschi M., Calogero F. Olshanetsky M.A. , Perelomov A.M. Properties of the zeros of the classical polynomials and of the Bessel functions. — Nuovo Cimento, 49B , 173 (1979).
Abdulloev Kh.O., Bogolubsky LL., Makhankov V.G. One more example of inelastic soliton interaction. — Phys. Lett., 56A, 42 7 (197 6).
Ablowitz MJ., Cornille H. On solutions of the Korteweg — de Vries equation. - Phys. Lett., 72A, 277 (1979).
Atiyah M.F., Drinfeld V.G., Hitchin NJ., Manin Yu.L Construction of instantons. — Phys. Lett., 65A, 185 (1978).
Anker D., Freeman N.C. On the soliton solutions of the Davey — Stewartson equation for long waves. — Proc. Roy. Soc., A360 , 52 9 (1978).
Ablowitz MJ., Каир DJ., Newell A.C., Segur H. Method for solving the Sine-Gordon equations. — Phys. Rev. Lett., 30, 1262 (1973).
Ablowitz MJ,, Каир DJ., Newell A.C., Segur H. The inverse scattering transform — Fourier analysis for nonlinear problems. — Stud. Appl. Math., 53, 249, (1974).
Ablowitz MJ., Kruskal M., Segur H. A note on Miura’s transformation. — Journ. Math. Phys., 20 , 999 (1979).
Агранович 3.C., Марченко В. А. Обратная задача теории рассеяния. - Харьков, 1960.
Adler М., Moser J. On a class of polynomials connected with the Korteweg — de Vries equation. — Commun. Math. Phys., 61, 1 (1978).
Airault H., McKean H.P., Moser J. Rational and elliptic solutions of the Korteweg—de Vries equation and a related many-body problem. — Comm. Pure Appl. Math., 30, 95 (1977).
Ablowitz MJ., Newell A.C. The decay of the continuous spectrum for solutions of the Korteweg — de Vries equation: — Journ. Math. Phys., 14, 1277 (1973).
Арнольд ВЛ. Математические методы классической механики. - М.. Наука, 1974.
Ablowitz MJ., Ramani A., Segur Н. Nonlinear evolution equations and ordinary differential equations of Painleve type: — Lett. Nuovo Cimento, 23, 333 (1978).
Ablowitz MJ., Ramani A., Segur H. A conection between nonlinear evolution equations and ordinary differential equations ofP-type. I. — Journ. Math. Phys., 21, 715 (1980).
Ablowitz MJ., Ramani A., Segur H. К connection between nonlinear evolution equations and ordinary differential equations ofP-type. II. — Journ. Math. Phys., 21,1006(1980).
Справочник по специальным функциям/Под ред. М.Абрамовитца и И.Сти- гана. - М.: Наука, 1979.
Ablowitz M.J., Segur Н. Asymptotic solutions of the Korteweg — de Vries equation. — Studies Appl. Math., 57, 13 (1977).
Ablowitz MJ., Segur H. Exact linearization of a Painleve transcendent. — Phys. Rev. Lett., 38, HOB (1977).
Ablowitz MJ., Segur H. Solitons and the Inverse Scattering Transform, SIAM, Philadelphia, 1981.e
Aubry S, A unified approach to the interpretation of displacive and order* disorder systems. II: Displacive systems. — Journ. Chem. Phys., 64, 3392 (1976).,
Boussinesq MJ. Theorie de Г intumescence liquide appelle onde solitaire ou de translation se propageant dans un canal rectangulaire. — Comptes Rend., 72, 755 (1871).
Boussinesq MJ. Theorie des ondes et des remous qui se propagent le long d’un canal horizontal, en communiquant au liquide contenu dans ce canal
des vitesses sensiblement pareiIles de la surface au fond. — Journ. Math. Pures Appl., 7, 55 (1872).
Bianchi L. Lezioni di Geometria Differenziale, Vol. 2, 2nd Ed. Spoerri, Pisa, 1903, sect. 352.
Bargmann V. On the connection between phase shifts and scattering potential— Rev. Modern. Phys., 21, 488 (1949).
Блох АЖ. Об определении дифференциального уравнения по его специальной матрице-функции. - ДАН СССР, 1953, т. 92, с. 209.
Бабиков В.В. Метод фазовых функций в квантовой механике. - М.: Наука, 1968.
BenjaminT.B. Lectures on nonlinear wave motion. — In: [369], p. 3.
Berezin F.A. Models of Gross — Neveu type are quantization of a classical mechanics with nonlinear phase space. — Commun. Math. Phys., 63, 131 (1978).
Nonlinear Equations in Physics and Mathematics, ed. A.O.Barut, Heidel, Dordrecht, 1978*
Bifurcation in Mathematical Physics and Related Topics, eds. C.Bardos, D.Bessis, Heidel, Dordrecht, 1980.
Benjamin T.B., Bona J.L., Mahony J.J. Model equations for long waves in nonlinear dispersive systems. — Phil. Trans. Roy. Soc., A272, 47 (1972).
Solitons, eds. B.K.Bullough, P.J. Caudrey, Topics in Current physics No. 17, Springer, Berlin, 1980. (Имеется перевод: Солитоны. - M.: Мир, 1983.]
Bruschi М., Calogero F. Finite-dimensional matrix representations of the operator of differentiation through the algebra of raising and lowering operators: general properties and explicit examples. — Nuovo Cimento, 62B, 337 (1981).
Bullough R.K., Caudrey P.J., Gibbs H.M. The double Sine-Gordon equations: a physically applicable system of equations. — In: [42], p. 107.
Barone A., Esposito F., Magee CJ., Scott A.C. Theory and applications of the Sine-Gordon equation. — Riv. Nuovo Cimento, 1, 227 (1971).
Benjamin T. Internal waves of permanent form in fluids of great depth. — Journ. Fluid. Meeh., 29 , 559 (1967).
Berezin F.A., Perelomov A.M. Group-theoretical interpretation of the Korte- weg — de Vries type equations. — Commun. Math. Phys., 74, 129 (1980).
Belavin A.A., Zakharov V .E. Yang — Mills equations as inverse scattering problem. - Phys. Lett., 73B, 53 (1978).
Bishop A.R. Solitons and physical perturbations. — In: [311], p. 61.
Bullough R.K., Jack P.M., Kitchenside P.W., Scunders R. Solitons in laser physics. — In: [447 ], p. 364.
Bock T.L., Kruskal M.D. A two-parameter Miura transformation of the Benjamin — Ono equation. — Phys. Lett., 74A, 173 (1979).
Bruschi M., Levi D., Olshanetsky M.A., Perelomov A.M., Ragnisco O. The quantum Toda lattice. — Phys. Lett., 88 A, 7 (1982).
Bruschi М., Levi D., Ragnisco 0. Evolution equations associated to the triangular-matrix Schroedinger problem solvable by the inverse spectral transform. — Nuovo Cimento, 45A, 225 (1978).
Bruschi Me, Levi D„ Ragnisco Oe Nonlinear evolution equations solvable by the inverse spectral transform associated to the matrix Schroedinger equation of rank 4. — Nuovo Cimento, 43B, 251 (1978).
Bruschi Me, Levi De, Ragnisco Oe Discrete version of the modified Korte weg — de Vries equation with x-dependent coefficients. — Nuovo Cimento, 48A, 213 (1978).
Bruschi Me, Levi D«, Ragnisco 0. Discrete version of the nonlinear Schroedinger equation with x-dependent coefficients. — Nuovo Cimento, 53A, 21 (1979).
Bruschi M*, Levi De, Ragnisco 0» Toda lattice and generalized Wronskian technique. — Journ. Phys., A13, 2531 (1980).
Bruschi Me, Levi De, Ragnisco Oe The chiral field hierarchy. — Phys. Lett. A. (В печати )
Bruschi Me, Levi De, Ragnisco Oe Nonlinear partial differential equations and Backlund transformations related to the 4-dimensional self-dual Yang — Mills equations. — Lett. Nuovo Cimento, 33, 263 (1982).
Bruschi Me, Levi De, Ragnisco Oe The discrete chiral field hierarchy. — Lett. Nuovo Cimento, 33, 284 (1982).
Bordag LeAe, Matveev VeB> Explicit analytic solutions of the KdV equation and their application to cylindrical KdV equation, Preprint, Section Matema- tik, Karl-Marx-Universitat, Leipzig, DDR, 1979.
Bruschi Me, Manahov SeVe, Ragnisco Oe, Levi De The non-abelian Toda lattice (discrete analogue of the matrix Schroedinger spectral problem. — Journ. Math. Phys., 21, 2749 (1980).
Boiti Me, Pempinelli Fe Similarity solutions of the Korteweg— de Vries equation. — Nuovo Cimepto, 51B, 70 (1979).
Boiti Me, P empinelli Fe Similarity solutions and Backlund transformations of the Boussinesq equation.- — Nuovo Cimento, 56B, 148 (1980).
Nonlinear Evolution Equations and Dynamical Systems (Proc, of the meeting in Lecce, June 1979), eds. M. Boiti, F. Pempinelli, G. Soliani, Lecture Notes in Physics No. 120, Springer, Berlin, 1980.
Bruschi Me, Ragnisco 0» Existence of a Lax pair for any member of the class of nonlinear evolution equations associated to the matrix Schroedinger spectral problem, — Lett. Nuovo Cimento, 29, 321 (1980).
Bruschi Me, Ragnisco Oe Extension of the Lax method to solve the class of nonlinear evolution equations with x-dependent coefficients associated to the matrix Schroedinger spectral problem. ~ Lett. Nuovo Cimento, 29, 327 (1980).
Bruschi Me, Ragnisco Oe Backlund transformations «and Lax technique. — Lett. Nuovo Cimento, 29, 331 (1980).
Bruschi Me, Ragnisco 0» Nonlinear differential-difference equations, Back-
lund transformations and La* technique. — Joum. Phys. A: Math. Gen., 14, 1075 (1981).
Bruschi Me, Ragnisco Oe Nonlinear differential-difference matrix equations with n-dep6ndent coefficients. — Lett. Nuovo Cimento, 31, 492 (1981).
Bruschi Me, Ragnisco Oe Nonlinear evolution equations associated to the 3rd order scalar differential operator, Rome preprint, No. 254 (1981).
Bruschi Me, Ragnisco Oe, Levi De Evolution equations associated id the discrete analogue of the matrix Schroedinger spectral problem solvable by the inverse spectral transform. — Journ. Math. Phys», 22, 2463 (1981).
Solitons and Condensed Matter Physics, eds, A.R.Bishop, T. Schneider, Springer Series in Solid-State Sciences No. 8, Springer, Berlin,*1978.
74» Burgers JeMe The nonlinear Diffusion Equation, Reidel, Dordrecht, 1974»
Bullough ReKe Solitons. — In: Interaction of Radiation with Condensed Matter, Vol. I. IAEA, Vienna, 1977, p. 381.
Bullough ReKe Solitons in physics. — In*: [39], p. 99.
Bullough BeKe Solitons, Physics Bulletin, p. 78 (February 1978).
Белинский BeAe, Захаров BeBe Интегрирование уравнений Эйнштейна методом обратной задачи рассеяния и вычисление точных солитонных решений» - ЖЭТФ, 1978, Те 75, с. 1955.
Белинский ВеАе,* Захаров ВеЕе Стационарные гравитационные солитоны с аксиальной симметрией» - ЖЭТФ, 1979, т. 77, с. 3.
Calogero Ее Variable Phase Approach to Potential Scattering, Academic Press, New York, 1967.
Calogero Fe Solution of the one-dimensional /V-body problem with quadratic and/or inversely quadratic pair potentials. — Journ. Math. Phys., 12, 419 (1971).
Calogero Fe A method to generate solvable nonlinear evolution equations. — Lett. Nuovo Cimento, 14, 443 (1975).
Calogero Fe Backlund transformations and functional relation for solutions of nonlinear partial differential equations solvable via the inverse-scattering method. — Lett. Nuovo Cimento, 14, 537 (1975).
Calogero Fe Generalized Wronskian relations: a novel approach to Bargmann- equivalent and phase-equavalent potentials. — In: Studies in Mathematical Physics (Essays in honor of Valentine Bargmann), eds. E.H. Lieb, B.Simon, A.S.Wightpian, Princeton University Press, Princeton, N.J., 1976.
Calogero Fe Generalized Wronskian relations, one-dimensional Schroedinger equation and nonlinear partial dufferential equations solvable by the inversescattering method. — Nuovo Cimento, 31B, 229 (1976).
86» Calogero Fe Nonlinear evolution equations solvable by the inverse spectral transform^ — In: [158], p. 235.
Calogero Fe Integrable many-body problems. — In: [39], p. 3.
Nonlinear Evolution Equations Solvable by the Spectral Transform, ed. F. Calogero, Research Notes in Mathematics No. 26, Pitman, London, 1978.
Calogero Fe Motion of poles and zeros of special solutions of nonlinear and linear partial differential equations, and related ” solvable” many-body problems. — Nuovo Cimento, 43B, 177 (1978).
Calogero F» Spectral transform and nonlinear evolution equations. — In:[398] p. 29.
Calogero Fe Spectral transform add solitons*: tools to solve and investigate nonlinear evolution equations, Mimeographed notes of lectures given at the Institute of Theoretical Physics in Groningen, April — June 1979.
Calogero F. Nonlinear evolution equations solvable by the spectral transform: some recent results. — In: [65], p. 1.
Calogero F. Solvable many-body problems and related mathematical findings (and conjectures), —fa: [40], p. 371.
Calogero Fe Isospectral matrices and polynomials. — Nuovo Cimento, 58B, 169 (1980).
Calogero Fe Jntegrable many-body problems and related mathematical results. — In: [142], p. 151.
Calogero F. Finite transformations of certain isospectral matrices. — Lett. Nuovo Cimento, 28, 502 (1980).
Calogero F. Spectral transform and solitons: an introduction to a novel technique to solve (certain classes of)nonlinear evolution equations. — In: [142], p. 143.
Calogero F. Matrices, differential operators and polynomials. — Journ.
Math. Phys., 22, 919 (1981).
Calogero Fe Additional identities for certain isospectral matrices. — Lett. Nuovo Cimento, 30, 342 (1981).
Calogero Fe Isospectral matrices and classical polynomials. — Linear Alg.
Appl. (В печати»)
Caudrey P.J» The inverse problem for the third order equation uxxx + А^х^х 4- r^x^u = i^Ue - Phys. Lett., 79A, 264 (1980).
Caudrey Ре]л The inverse problem for a general NxN spectral equation. — Physica D. (Готовится к печати»)
Case KeM.,. Chiu S.Ce Some remarks on the wronskian technique and the inverse scattering transform. — Journ. Math. Phys., 18, 2044 (1977).
Case K.tye The N-soliton solution of the Benjamin — Ono equation. — Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 75, 3562 (1978).
Case K.^e Properties of the Benjamin — Ono equation. — Journ. Math.
Phys., 20, 972 (1979).
Case K.tye Benjamin — Ono related equations and their solutions. — Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 76, 1 (1979).
Case KeMe Meromorphic solutions of the Benjamin Ono equation. — Physica, 96A, 173 (1979).
Campbell D.K., Bishop AoR. Soliton excitations in polyacetylene and relativistic field theory models. Preprint LA-UR-81-2114, Los Alamos Scientific Lab.
Choodnovsky Do Vo,t Choodnovsky G»Vo Pole expansion of nonlinear differential equations. — Nuovo Cimento, 408, 339 (1977).
Chudnovsky DoVo, Chudnovsky Go Vo Seminaire sur les equations nonlinaires, I, Mimeographed lecture notes, Centre de mathematiques, Ecole polytechnique, Paris 1977 - 1978.
Calogero Fo, Degasperis Ao Nonlinear evolution equations solvable by the inverse spectral transform. I. — Nuovo Cimento, 328, 201 (1976).
Calogero Fo, Degasperis Ao Nonlinear evolution equations solvable by the inverse spectral transform associated with the multichannel Schroedinger problem, and properties of their solutions. — Lett. Nuovo Cimento, 15, 65 (1976).
Calogero F^Degasperis A. Transformations between solutions of different nonlinear evolution equations solvable via the same inverse spectral transform, generalized resolvent formulas and nonlinear operator identities. — Lett. Nuovo Cimento, 16, 181 (1976).
Calogero Fo, Degasperis Ao Coupled nonlinear evolution equations solvable via the inverse spectral transform and solitons that come back: the boome- ron. — Lett. Nuovo Cimento, 16, 425 (1976).
Calogero Fo, Degasperis A, Backlund transformations, nonlinear superposition principle, multisoliton solutions and conserved quantities for the "boomeron" nonlinear evolution equation. — Lett. Nuovo Cimento, 16, 434 (1976).
116» Calogero Fo, Degasperis А» Spectral transform and nonlinear evolution equations, — In: [404], p. 274.
Calogero Fo, Degasperis Ao Nonlinear evolution equations solvable by the inverse spectral transform. II. — Nuovo Cimento, 398, 1 (1977).
Calogero Fo, Degasperis A. Special solutions of coupled nonlinear evolution equations with bumps that behave as interacting particles, — Lett. Nuovo Cimento, 19, 525 (1977).
Calogero Fo, Degasperis Ao Extension of the spectral transform method for solving nonlinear evolution equations, — Lett. Nuovo Cimento, 22, 131 (1978).
Calogero Fo, Degasperis Ao Exact solution via the spectral transform of a nonlinear evolution equation with linearly x-dependent coefficients. — Lett. Nuovo Cimento, 22, 138 (1978).
Calogero Fo, Degasperis A. Extension of the spectral transform method for
solving nonlinear evolution equations. II. — Lett. Nuovo Cimento, 22, 263 (1978).
Calogero F*, Degasperis Ae Exact solution via the spectral transform of a generalization with linearly я-dependent coefficients of the modified Korte- weg — de Vries equation. — Lett. Nuovo Cimento, 22, 270 (1978).
Calogero F», Degasperis А» Exact solution via the spectral transfoyn of a generalization with linearly я-dependent coefficients of the nonlinear Schroe- dinger equation. — Lett. Nuovo Cimento, 22, 420 (1978).
Calogero F», Degasperis Ae Conservation laws for classes of nonlinear evolution equations solvable by the spectral transform. — Commun. Math. Phys., 63, 155 (1978).
Calogero FM Degasperis A* Inverse spectral problem for the one-dimensional Schroedinger equation with an additional linear potential. — Lett. Nuovo Cimento, 23, 143 (1978).
Calogero F»9 Degasperis Ae Solution by the spectral transform method of a nonlinear evolution equation including as a special case the cylindrical KdV equation. — Lett. Nuovo Cimento, 23, 150 (1978).
Calogero F*, Degasperis A* Conservation laws for a nonlinear evolution equation that includes as a special case the cylindrical KdV equation. — Lett. Nuovo Cimento, 23, 155 (1978).
Calogero F», Degasperis Ae Nonlinear evolution equations solvable by the inverse spectral transform associated with the matrix Schroedinger equation. - hr: [42], p. 301.
Calogero FM Degasperis A* Conserved quantities for generalized KdV equations. Lett. Nuovo Cimento, 28, 12 (1980).
Calogero Fe) Degasperis Ae Reduction technique for matrix nonlinear evolution equations solvable by the spectral transform. — Journ. Math. Phys., 22 23 (1981).
Cercignani C. Solitons, theory and applications. — Riv. Nuovo Cimento, 7, 429 (1977),
Caudrey PJM Eilbeck LC» Numerical evidence for breakdown of soliton behaviour in solutions of the Maxwell — Bloch equations. — Phys. Lett., 62A, 65 (1977).
Chen H.-Не General derivation of Backlund transformations from inverse scattering problems. — Phys. Rev. Lett., 33, 925 (1974).
Chen //•*//. Relation between Backlund transformations and inverse scattering problems. — In: [345 ] , p. 241.
Chudnovsky DeV» One- and multidimensional completely integrable systems arising from the isospectral deformation. — In*: Complex analysis, microlocal calculus and relativistic quantum theory, ed. D.Iagolnitzer, Lecture Notes in Physics No. 126, Springer, Berlin, 1980, p. 352.
Chaichian M»9 Kulish P*P* On the method of inverse scattering problem and
Backlund transformations f6r supersymmetric equations. — Phys. Lett., 78B, 413 (1978).
Chen H,*H., Каир D.J« Conservation laws of the Benjam'n — Ono equation. — Journ. Math. Phys., 21, 19 (1980).
Chu S.C., Ladik J.F. Generating exactly soluble nonlinear discrete evolutions by a generalized Wronskian technique. — Journ. Math. Phys., 18, 690 (1977).
Chen H.-H., Lee Y.C. Internal wave solitons of fluids with finite depth. — Phys. Rev. Lett., 43, 264 (1979).
Chen H.-H., L ее YeCe, Pereira N*R* Algebraic internal wave solitons and the integrable Calogero — Moser — Sutherland n-body problem. — Phys. Fluids, 22, 187 (1979).
Cole J»De On a quasi linear parabolic equation occuring in aerodynamics. — Quat. AppL Math., 9, 225 (1950).
Fundamental Problems in Statistical Mechanics V. Proceedings of the 1980 Enschede Summer School, ed. E.G.D. Cohen, North-Holland, Amsterdam, 1980.
Calogero Fe, Olshanetsky M^A^9 Perelomov AeM* Rational solutions of the KdV equation with damping. — Lett. Nuovo Cimento, 24, 97 (1979).
Comille H. Solutions of the nonlinear three-wave equations in three spatial dimensions. — Journ. Math. Phys., 20, 1653 (1979).
Cosgrove CeM* Relationships between the group-theoretic and soliton-theoretic techniques for generating stationary axisymmetric gravitational solutions. — Journ. Math. Phys., 21, 2417 (1980).
Nonlinear Evolution Equations, Proceedings of a Symposium at the Mathematics Research Center (University of Wisconsin — Madison, October 17 — 19, 1977), ed. M.G. Crandall, Academic Press, New York, 1978.
Chadan K., Sabatier P.CU> Inverse Problems in Quantum Scattering Theory, Springer,Berlin, 1977. [Имеется перевод: Шадан К., Сабатье П. Обратные задачи в квантовой теории рассеяния. ~ М;: Мир, 1980.]
Дубровин Б.А. Периодическая задача для уравнения Кортевега - де Вриза в классе конечнозонных потенциалов. — Функц* анализ и его при лож., 1975, т. 9, с. 41.
Degasperis A. Solitons, boomerons, trappons. — In: [881, p. 97.
Degasperis A. Spectral transform and solvability of nonlinear evolution equations. — In: [398], p. 35.
Degasperis A. Reduction technique for matrix nonlinear evolution equations. — In: [651, p. 16.
Degasperis Av Solutions of the Korteweg - de Vries equation and their spectral transform. — In: [408], p. 189.
Degasperis A. The spectral transform method to integrate nonlinear dynamical systems. — In: [287], 3. 5.
154* Degasperis A. On the conservation laws associated with Lax equations* — Lett* Nuovo Cimento, 33, 425 (1982)*
De Alfaro P., Regge I. Potential Scattering,Wiley, New York, 1965* [Имеется перевод: де Алъфаро В., Редже Т, Потенциальное рассеяние* — Мг. Мир, 1968*]'
156* Dodd, R.K., Bullough R«K. The generalized Marchenko equation and the canonical structure of the A*K*N*S* — Z* S* inverse method* — Physica Scripta, 20, 514 (1979)*
157* Dijkhuis H„, Drohm],Ko^Qxne investigations on a new class of nonlinear partial differential equations solvable by the inverse spectral transform tech nique, Institute of Theoretical Physics, Groningen, Intern* Rapport 148, June 1979* (He опубликовано.)
158* Dell*Antonio G., Doplicher S., Jona-Lasinio G, Mathematical Problems in Theoretical Physics, Lecture Notes in Physics No* 80, Springer, Berlin, 1978*
159* Dodd R.K., Eilbeck J.C., Gibbon J-D,, Morris H.C. Solitons and Nonlinear Waves, Academic Press, New York, 1982*
160* Dashen R.F., Hasslacher B,» Neveu A. Nonperturbative methods and extended-hadron models in field theory* II: Two-dimensional models and extended hadrons* — Phys* Rev*, D10, 4130 (1974)*
161* Deift P., Lund, F., Trubowitz Ее Nonlinear wave equations and constrained harmonic motion* — Proc* Natl* Acad* Sci* USA, 77, 716 (1980)*
162* Deift P,, Lund F., Trubowitz E. Nonlinear wave equations and constrained harmonic motion, Commun* Math* Phys*, 74, 141 (1980)*
163* Дубровин БеА», Матвеев BJL, Новиков CJL Нелинейные уравнения типе Кортевега - де Вриза, конечнозонные линейные операторы и абелевы многообразия. УЙН, 1976, т. 31, с. 55.
164* Дубровин Б.А., Новиков СЛ. Периодическая задача Кортевега - де Вриза и уравнения Штурма - Лиувилля. Их связь с алгебраической геометрией . - ДАН СССР, 1974, т* 219, с. 19*
Degasperis A., Olshanetsky МвАв, Perelomov A,M. Group-theoretical appib- ach to a class of Lax equations, including those solvable by the spectral transform* — Nuovo CL.^hco, 59A, 245 (1980).
166* Дрюма B.C. Аналитическое решение двумерного уравнения Кортевега - де Вриза. — Письма ЖЭТФ, 1974, т. 19, с. 753v
167* Дрюма В.С» Аналитическое решение аксиально-симметричного уравнения Кд В. - Изв. АН Молдавской ССР, 1976, т* 3, с. 89.
Davey Ам Stewarts on К» On three-dimensional packets of surface waves. — Proc. Roy. Soc. London, A338, 101 (1974).
Deift Pe, Tmbowitz Ее Inverse scattering on the line. — Comm. Pure АцИ. Mat., 32, 121 (1979).
Ernst F.J. New formulation of the axially symmetric gravitational field problems- Phys. Rev., 167, 1175 (1968).
Eilbeck J»Ce Boomerons, A Computer-produced film, Mathematics Dept., Heriot — Watt University, Edinburgh, 1977.
Eilbeck JeCe Zoomerons. A computer-produced film, Mathematics Dept., Heriot — Watt University, Edinburgh, 1977.
Eilenberger Ge Solitons, Mathematical Method For Physicists, Springer Series in Solid State Science No. 19, Springer, Berlin, 1981.
174r Eilbeck JeCe9 Gibbon JeDe, Caudrey PJ*, Bulou$h ReKe Solitons in nonlinear optics. I: A more accurate description of the 2*тг pulse in self-induced transparency. — Journ. Phys. A: Math.Gen., 6, 1337 (1973).
Eisenhart L*Pe A treatise on the differential geometry of curves and surfaces, Dover, New York, I960, p. 280.
176? Eilbeck 1*0», McGuire GeRe Numerical study of the regularized, long-wave equation, Il Numerical methods. — Journ. Compt. Phys., 19, 43 (1975).
Eilbeck JeC», McGuire G»Re Numerical study of the regularized long-wave equation, II: Interaction of solitary waves. — Journ. Compt. Phys., 23, 63 (1977).
Eckhaus We, Schuur P* The emergence of solitons of the Korteweg — de Vries equation from arbitrary initial conditions. — Math. Methods Appl. Sci. (В печати.)
Eckhaus W., Van Harten A* The Inverse Scattering Transformatibn and the Theory of Solitons, An Introduction, North-Holland Mathematics Studies No. 50, North-Holland, Amsterdam, 1981.
Estabrook F»B»9 Dahlquist HeDe Prolongation structures connection theory and Backlund transformation. — Ini [88], p. 64.
Фаддеев Л.Д. О связи S-матрицы и потенциала для одномерного оператора Шредингера. — ДАН СССР, 1958, т. 121, с. 63.
Фаддеев Л.Д. Обратная задача в квантовой теории рассеяния. — УМН, 1959, т. 14, с. 57.
Фаддеев Л.Д. О связи S-матрицы и потенциала для одномерного операг тора Шредингера. — Труды Мат. ин-та им. Стеклова, 1964, т. 73, с. 314.
Фаддеев ЛД» Обратная задача в квантовой теории рассеяния. II. - Совр. .пробл. математики. ВИНИТИ. — М.: 1974, т. 3, с. 93.
Flaschka Не The Toda lattice. I: Existence of integrals. — Phys. Rev., В 9,1924 (1974).
Flaschka He On the Toda Lattice. II: Inverse scattering solution. — Prog. Theor. Phys., 51, 703 (1974).
Fokas AeSe, Ablowitz Meje On a unified approach to transformations and elementary solutions of Painleve equations. — Joum. Math. Phys., 23 (July 1982).
Fordy AePe, Gibbons Je A class of integrable nonlinear Klein — Gordon equations in many dependent variables. — Commun. Math. Phys., 77, 21 (1980).
Flaschka Н», McLaughlin D.W. Some comments on Backlund transformations, canonical transformations, and the inverse scattering method. — In*. [345], p. 253.
Proceedings of a conference on the theory and applications of solitons.— Roky Mountain Journ. Math., 8, No. 1,2 (1978).
Flaschka HM Newell A»C» Integrable systems of nonlinear evolution equations. — In': [355], p. 355.
Flaschka Н», Niewell A»C» Multiphase similarity solutions of integral evolution equations. — In:[365], p. 203.
Fokas AeSe Generalized symmetries and constants of motion of evolution equations. — Lett. Math. Phys., 3, 467 (1979).
Fokas AeSe A symmetry approach to exactly solvable evolution equations. Joum. Math. Phys., 21, 1318 (1980).
Fourier №» Theorie analytique de la chaleur, Firmin Didot, Paris, 1822.
Ферми, Э., Паста Дж», У лам С» Изучение нелинейных, задач. - В кн.: Ферми Э. Научные труды. Ч. II. - М.: Наука, 1972.
Fujimoto А», Watanabe У. Conserved densities of certain nonlinear evolution equations. — Math. Japunica, 26, 203, 1981.
Fokas A.S., Yortos Y^C^ On the exactly solvable equations
Sfc = [(pS F у )~2SX1X + a(|3S + y) ~2 S* occurring in two-phase flow in porous media. — SIAM Journ. Appl. Math., 42, 318 (1982).
Gardner C.S. Korteweg — de Vries equation and generalizations. IV: The Korteweg — de Vries equation as a Hamiltonian system. — Journ. Math. Phys.', 12, 1548 (1971).
Гетманов B.G» Связанные состояния солитонов в модели теории поля Ф^. - Письма ЖЭТФ, 1976, т. 24, с. 323.
Gibbon J*D; Caudrey Р*К, Bullough R» К», Eilbeck КС» An N-soliton solution of a nonlinear optics equation derived by a general inverse method. — Lett. Nuovo Cimento, 8, 775 (1973).
Гельфанд И»М», Дикий Л» А. Асимптотическое поведение резольвенты уравнений Штурма — Лиувилля и алгебра уравнений Корте вега — де Вриза. - УМН, 1975, т. 30, с. 67.
Гельфанд И.Мм Дикий Л»А. Дробные степени операторов и гамильтоновы системы. — Функц. анализ и его прилож., 1976, т. 10, с. 13.
Гельфанд И»М», Дикий Л»А» Резольвента и гамильтоновы системы. - Функц. анализ и его прилож,, 1977, т. 11, с. И.
Гельфанд ИЛК, Дикий Л»А» Семейство гамильтоновых структур, связанных с интегрируемыми нелинейными дифференциальными уравнениями. — Препринт ин-та прикладной математики № 136 (1978).
Гельфанд И.М»,'Дикий Л»А. Исчисление струй и нелинейные гамильтоновы системы. — Функц. анализ и его прилож., 1978, т. 12, с.8.
Гельфанд И»М» , Дикий Л.А. Интегрируемые нелинейные уравнения и теорема Лиувилля. - Функц. анализ и его прилож., 1979, т. 13, с. 8.
Гельфанд И.М., Дорфман ИЛ» Гамильтоновы операторы и связанные с ним алгебраические структуры. - Функц. анализ и его прилож., 1979, т. 13, с. 13.
Structural Stability in Physics, eds. W.Guttinger, H.Eikemeier, Springer Series in Synergetics No. 4, Springer, Berlin, 1979.
Goda К», Fukui У. Numerical studies of the regularized long wave equation. — Journ. Phys. Soc. Japan, 48, 623 (1980).
Gibbon J.D., Freeman N.C., Johnson ReS. Correspondence between the classical Ap4, double and single sine-Gordon equations for three-dimensional solitons. — Phys. Lett., 65A, 380 (1978).
Gardner СЛ.» Greene J.M», Kruskal MJX, Miura R.M. Method for solving the Korteweg — de Vries equation. — Phys. Rev. Lett., 19, 1095 (1967).
Gardner C.S., Greene J.M., Kruskal M.D., Miura R.M. Kortweg — de Vries and Generalizations. VI: Methods for exact solution. — Comm. Pure Appl. Math., 27, 97 (1974).
Герджиков B.C., Иванов МЛ., Крлиш П.П. Квадратичные пучки и нелинейные уравнения. — ТМФ, 1980, т. 44, с. 342.
215и Goldstone J., Jackiw R. Quantization of nonlinear waves. — Phys. Rev., Dll, 1486 (1975).
Gerdjikov V.S., Khristov E. Kh. On the evolution equations solvable through the inverse scattering method. I: Spectral Theory. — Bulg. Journ. Phys., 7, 28 (1980) (in Bulgarian).
Gerdijkov V.S., Khristov E.Kh. On the evolution solvable through the inverse scattering method. II: Hamiltonian structure and Backlund transformations. — Bulg. Journ. Phys. 7, 119 (1980) (in Bulgarian).
Gibbons J., Kupershmidt Bo A linear scattering problem for the finite depth equation. — Phys. Lett., 79A, 31 (1980).
Гельфанд И.М. Левитан B.M. Определение дифференциального уравнения по его спектральной функции. - Изв. АН СССР (сер. мат.), 1951, т. 15, с. 309.
Гельфанд И.М. и др. Обобщенные функции. В 5-ти томах. - М.*: Физматгиз, т. !•; 1959, т. 2 •: 1958, т. 3, 4 : 1961, т. 5 : 1962.
Goldberger M.L., Watson К.М. Collision Theory, New York, Wiley, 1964. [Имеется перевод: Гольдбергер M., Ватсон К. Теория столкновений.- Ю: Мир, 1967.]
Hilbert D. Grundlagen der Geometric, Teubner^ Leipzig, 1899. [Имеется перевод: Гильберт Давид. Основания геометрии. - М. - Д/. Гостехиздат, 1948.]
Непоп М. Integrals of the Toda Lattice. — Phys. Rev., В9, 1921 (1974).
Hermann R. The geometry of nonlinear differential equations, Backlund transformations, and solitons. Part A, Math. Sci. Press, Bookline, MA, 1976.
Hermann R. Geometric theory of nonlinear differential equations, Backlund
transformations and solitons. Part B, Math, Sci. Press, Brookline, MA, 1977.
Henyey F.S. Finite-depth and infinite-depth internal wave solitons. — Phys. Rev., A21, 1054 (1980).
Harrison B.K. Backlund transformation for the Ernst equation of general relativity, — Phys, Rev, Lett,, 41, 1197 (1978).
Harrison B.K. New large family of vacuum solutions of the equations of general relativity. — Phys, Rev., D21, 1695 (1980).
Hauser L, Ernst F.J. A homogeneous Hilbert problem for the Kinnersley — Chitre transformations. — Journ. Math. Phys,, 21, 11*26 (1980).
Hirota FL Exact solution of the Korteweg — de Vries equation for multiple collisions of solitons, — Phys, Rev, Lett,, 27, 1192 (1971).
Hirota R. Exact envelope-soliton solutions of nonlinear wave equation. — Journ. Math. Phys., 14, 805 (1973).
Hirota R. Exact A-soliton solutions of the wave equation of long waves in shallow-water and in nonlinear lattices. — Journ, Math, Phys,, 14, 810 (1973).
Hirota R. Direct methods in soliton theory. — In: [42], p. 157.
Hopf Eo The partial differential equation u( 4- uux = uux). — Comm. Pure Appl. Math., 3, 201 (1950).
Hirota R., Satsuma J. A simple structure of superposition formula of the Backlund transformation. — Journ. Phys. Soc, Japan, 45, 1741 (1978).
Johnson R.S. On the inverse scattering transform, the cylindrical Korteweg— de Vries equation and similarity solutions. — Phys. Lett., 72A, 197 (1979).
Joseph R.L, Egri Ro Multisoliton solutions in a finite depth fluid. — Journ. Phys. A: Math. Gen., 11, L97 (1978).
Jaulent M., Jean C. The inverse problem for the one-dimensional Schroe- dinger equation with an energy-dependent potential, I and IL — Ann, Inst. Henri Poincare, 25, 105 (1975).
Joseph R.L Solitary waves in a finite depth fluid. — Journ. Phys, A: Math, Gen., 10, L225 (1977).
Taylor J.R. Scattering theory: the quantum theory on nonrelativistic collisions, New York, Wiley, 1972. [Имеется перевод: Тейлор Дж. Теория рассеяния. Квантовая теория нерелятивистских стелкновений. - М;: Мир, 1975.]
Kruskal M.D. Nonlinear wave equations. — In: [3551, p. 310.
Kruskal M.D. The Korteweg — de Vries equation and related evolution equations, — In: [369], p. 61.
Каир DoJ. Method for solving the sine-Gordon equation in laboratory coordinates, — Studies in Appl Math., 54, 165 (1975).
Каир D.J. Closure of the squared Zakharov — Shabat eigenstates. — Journ. Math. Anal. Appl., 54, 849 (1976).
Каир D.J. The three-wave interaction: a nondispersive phenomenon. — Stud. Appl. Math., 55, 9 (1976).
Каир D.J, Applications of the inverse scattering transform. П: The three- wave resonant interaction. — In: [190], p. 283.
Kruskal M.D, The birth of the soliton. — In: [881, p. 1.
Каир D.J, A method for solving the separable initial-value problem of the full three-dimensional three-wave interaction. — Stud. Appl. Math., 62, 75 (1980).
Каир D.J. Determining the final profiles from the initial profiles for the full three-dimensional three-ware resonant interaction, Lecture Notes in Physics No. 130, 1980, p. 247.
Каир D,J, The inverse scattering solutions for the full three-dimensional three-wave resonant interaction. — Physica, ID, 45 (1980).
Каир D.J, On the inverse scattering problem for cubic eigenvalue problems of the class vpxxx + ^Чк + ^^ ~ ^* ~ Studies in Appl Math., 62, 189 (1980).
Каир D. J, The solution of the general initial value problem for the full three-dimensional three-wave resonant interaction. — Physica, 3D, 374 (1981).
Kodama Yu Albowitz M.J. Perturbations of solitons and solitary waves. — Studies App . Math., 64, 225 (1981).
Каир D.J. The Estabrook — Wahlquist method with examples of applications. — Physica, 1D, 391 (1980).
Kay I. The inverse scattering problem, Research Report No. EM. 74.NY., N.Y. University, Inst. Math. Sc. Electromagnetic Research.
Kay I. The inverse scattering problem when the reflection coefficient is a rational function. — Comm. Pure Appl. Math., 16, 371 (1960).
Kay I., Moses H.E. The determination of the scattering potential from the spectral measure function. Ill: Calculation of the scattering potential from the scattering operator for the one dimensional Schroedinger equation. — Nuovo Cimento, 3, 276 (1956).
Kay L, Moses H.E. The determination of the scattering potential from the spectral measure function. IV: ” Pathological” scattering problems in one- dimension. — Nuovo Cimento Suppl., 5, 230 (1957).
Korteweg D.J., de Vries G. On the change of form of long waves advancing in a rectangular canal, and on a new type of long stationary waves. — Phil. Mag., 39, 422 (1895).
Христов E. X. О спектральных свойствах операторов, порождающих уравнения типа КаВ. - Препринт ОНЯИ Р5-80-381.
Kazhdan D., Kostant В., Sternberg S. Hamiltonian group actions and dynamical systems of Calogero type. — Comm. Pure Xppl. Math., 31, 481 (1978).
Карпман ВЛ», Маслов Е»М» Структуры хвостов, образующихся при воздействии возмущений на солитоны. - ЖЭТФ, 1978, т. 7 5, с. 504.
Kako F.> Mugibayashi N» Complete integrability of general nonlinear dif ferential-difference equations solvable by the inverse method. II. — Prog. Theor. Phys., 61, 776 (1979).
Kruskal M.D., Miura R»M , Gardner C»SM Zabusky N*J* Korteweg — deVries equation and generalizations. V! Uniqueness and nonexistence of polynomial conservation laws. — Journ. Math. Phys., 11, 952 (1970).
Кузнецов E»A»> Михайлов А»В» Устойчивость стационарных волн в нелинейной слабодисперсивной среде. — ЖЭТФ, 1974, т. 67, с. 1717.
Кузнецов Е*А; Михайлов АЛ. Полная интегрируемость двумерной классической модели Тирринга. - ТМФ, 1977, т. 3 0, с. 193,303,
Keener J.P., McLaughlin D.W. Solitons under perturbations. — Phys. Rev., A16, 777 (1977).
Каир [).}•, Newell Л.С. An exact solution for a derivative nonlinear Schroedinger equation. — Journ. Math. Phys., 19, 798 (1978).
Каир D.J., Newell A.C. The Goursat and Cauchy problems for the sine- Gordon equation. — SIAM Journ. Appl. Math., 34, 37 (1977).
Каир D.J., Newell A.C. Solitons as particles, oscillators, and in slowly changing media: a singular perturbation theory. — Proc. Roy. Soc., A361, 413 (1978).
Каир D.J., Newell Л.С. Evolution equations, singular dispersion relations and moving eigenvalues. — Advances in Math., 31, 67 (1979).
Knickerbocker C.J., Newell A.C. Internal solitary waves near a turning poiqj. — Phys. Lett., 75A, 326 (1980).
Ко К», Kuehl H.H. Korteweg — de Vries soliton in a slowly varying medium. — Phys. Rev. Lett., 40, 233 (1978).
Кадомцев Б.Б., Петвиашвили ВЛ. 05 устойчивости уединенных волн в слабо диспергирующих средах. — ДАН СССР, 1970, т. 192, с. 753.
Кричевер И.М. Методы алгебраической геометрии в теории нелинейных уравнений. - УМН, 1977, т. 32, с. 183.
Кричевер И.М. Рациональные решения уравнения Кадомцева - Петвиашвили и задачи многих тел. - Функц. анализ и его прилож., 1980, т. 14, с. 45.
Кричевер И.М. Эллиптические решения уравнения Кадомцева - Петвиашвили и интегрируемые системы частиц. - Функц. анализ и его прилож., 1980, т. 14, с. 45.
Коsmann-Schwarzbach У. jHamiltonian systems on fibered manifolds. — Lett. Math. Phys., 5, 229 (1981).
Kupershmidt B.A. On the nature of the Gardner transformation. — Joum. Math. Phys., 22, 449 (1980).
KupeTshmidt В.A., Wilson G. Modifying Lax equations and the second Hamiltonian structure. — Invent. Math., 62, 403 (1981).
Kupershmidt B.A., Wilson G. Conservation laws and symmetries of generalized sine-Gordon equations. — Commun. Math. Phys., 81, 189 (1981).
Захаров B.E. Метод обратной задачи рассеяния. - В кн.: Кунин И.А. Теория упругих сред с микроструктурой: Нелокальная теория упругости. Гл. 5. - М.: Наука, 1975.
Liouville ]. {Sur Inequation aux differences partielles d2\nX/dudv ± V2a2 = 0.— Journ. Math. Pures Appl., 18, 71 (1853).
Lax P.D. Integrals of nonlinear equations of evolution and solitary waves. — Comm. Pure Appl. Math., 21, 467 (1968). [Имеется перевод: Лакс П.Д. Интегралы нелинейных уравнений эволюции и уединенные волны. - Математика, 1969, т. 13, с. 128.]
Lax P.D. Periodic solutions of the KdV equation. — Comm. Pure Appl. Math., 28, 141 (1975).
Lax P.D. A Hamiltonian approach to the KdV and other equations. — In: [146], p. 207.
Proceedings of the 3rd International School on Modern Trends in Solid State Theory (Reinhardsbrunn, November 1980, Karl-Marx-Universitat), ed. U. Lindner, Leipzig, 1980.
Lakshmanan M. Continuum spin system as an exactly solvable dynamical system. — Phys. Lett., 61A, 53 (1977).
Lamb G.L., it. Analytical descriptions of ultrashort optical pulse propagation in a resonant medium. — Rev. Modern. Phys., 43, 99 (1971).
Lamb G.L. jr. JBacklund transformations at the turn of the century. — In: [345], p. 69.
Lamb G.L., it. Backlund transformations for certain nonlinear evolution equations. — Journ. Math. Phys., 15, 2157 (1974).
Lamb G.I^ yr. Elements of Soliton Theo^, Wiley, New York, 1980.
Levi D., Benguna R. Backlund transformations and nonlinear differentialdifference equations. — Proc. Natl. Acad. Sci. USA, 77, 502 5 (1980).
Levi D. The spectral transform as a tool for solving nonlinear discrete evolution equations. — In: [398]» p. 91.
Levi D. Nonlinear differential-difference equations as Backlund transfor- mitions. — Journ. Phys. A: Math. Gen., 14, 1083 (1981).
Луговцев А.А., Луговцев Б.А. Исследование осесимметричных длинных волн в приближении Коргевега - де Вриза. - В кн.: Динамика непрерывной среды. Т. 1. - Новосибирск; Наука, 1964, с. 195.
Lax P.D., Levermore C.D. The zero dispersion limit for the KdV equation. — Proc. Natl. Acad. Sci. USA, 76, 3602 (1979).
Leo M»,Leo ReAe,Soliani G,,; Martina L. Prolongation algebra and Backlund transformations for the cylindrical Korteweg — de Vries equation. — Phys. Rev. D. (В печати.)
Лебедев Д,Р., Манин Ю.И. Гамильтонов оператор Гельфанда — Дикого и коприсоединенное представление группы Вольтерра. - Функц. анализ и его прилож., 1979, т. 13, с. 40.
Lamb G«L*>Jr»»Mac Laughlin DeW. Aspects of soliton physics. — In: [42], p. 65.
Levi D./Olshanetzky M»4e,.Perelomov А» Me,; Ragnisco Oe Group-theoretical approach to nonlinear evolution equations of Lax type. Ill: The Boussinesq equation. — Phys. Lett., 77A, 307 (1980).
Lein De, Pilloni Le,; Santini PeMe Integrable three-dimensional lattices. — Journ. Phys. A: Math. Gen., 14, 1567 (1981).
Lund Fe,; Regge Те Unified approach to strings and vortices with soliton solutions. — Phys. Rev., D14, 1524 (1976).
Levi De,; Ragnisco O. Extension of the spectral transform method for solving nonlinear differential-difference equations. — Lett. Nuovo Cimento, 22, 691 (1978).
Levi De,;Ragnisco Oe Nonlinear differential-difference equations with «-dependent coefficients. I, Journ. Phys. A: Math. Gen., 12, L157 (1979).
Levi De,Ragnisco Oe Nonlinear differential-difference equations with n* dependent coefficients. II. — Journ. Phys. A: Math. Gen., 12, L163 (1979).
Levi De,; Ragnisco O. Backlund transformations for chiral field equations. — Phys. Lett., 87A, 381 (1982).
Levi De, Ragnisco Oe, Bruschi M. Extension of the generalized Zakharov — Shabat inverse method for solving differential-difference and difference-difference equations. — Nuovo Cimento, 58A, 56 (1980).
Levi D,, Ragnisco O.,Sym A. Backlund transformation vs. the dressing method. — Lett. Nuovo Cimento, 33, 401 (1982).
Nonlinear Waves, eds. S.Leibovich, A.R. Seebass, Cornell University Press, Ithaca, 1974.
Solitons in Action, eds. K. Lonngren, A.Scott, Academ'c Press, New York, 1978. [ Имеется перевод: Солитоны в действии / Под ред. К. Лонгрена, Э. Скотта. - М.: Мир, 1981.] -
Levi D., Santini PeMe, Pilloni L» Backlund transformations for (2 4- 1)- dimensional integrable systems. — Physics Lett., A81, 419 (1981).
Lund Fe Solitons and geometry. — In: [39], p. 143.
Li Yisheru One special inverse problem of the second order differential equation on the whole real axis. — Chin. Ann. Math., 2, 147 (1981).
Li Yishen, - Evolution equations associated with the eigenvalue problem
based on the ODE %x(^ = [u(x) - fc2p^x)Mx)- ~ Nyovo Cimento Bn (В печати).
Юрченко B.A. Некоторые вопросы теории дифференциального оператора второго порядка. - ДАН СССР, 1950, т. 72, с. 457.
Matsuno У. Exact multisoliton solution of the Benjamin — Ono equation. — Journ. Phys. A: Math. Gen., 12, 619 (1979).
Matsuno Y. /V-soliton and Aperiodic wave solutions of the higher order Benjamin — Ono equation. — Journ. Phys. Soc., Japan, 47, 1745 (1979).
Matsuno Y. Exact multisoliton solution for nonlinear waves in a stratified fluid of finite depth. — Phys. Lett., 74A, 233 (1979).
Matsuno Y. Solutions of the higher order Benjamin — Ono equation. — Journ. Phys. Soc. Japan, 48, 1024 (1980).
Matsuno Y. /V-soliton solution of the higher order wave equation for a fluid of finite depth. — Journ. Phys. Soc. Japan, 48, 663 (1980).
Matsuno Y. Interaction of the Benjamin — Ono solitons. — Journ. Phys. A: Math. Gen., 13, 1519 (1980).
Manakov S.V. The inverse scattering transform for the time-dependent Schroedinger equation and Kadomtsev — Petviashvili equation. — In: [365], p. 420.
Манаков C.B. Полная интегрируемость и стохастизация дискретных динамических систем. - ЖЭТФ, 1974, т. 67, с. 543.
Maison D. Аге the stationary, axially symmetric Einstein equations completely integrable? — Phys. Rev. Lett., 41, 521 (1978).
Maison D, On the complete integrability of the stationary, axially symmetric Einstein equations. — Journ. Math. Phys., 20. 871 (1979).
Martinez, Alonso L. Gel’fand — Dikii method and nonlinear equations associated to Schroedinger operators with energy-dependent potentials. — Lett. Math. Phys., 4, 215 (1980).
Magri F. A simple model of the integrable hamiltonian equation. — Journ. Math. Phys., 19, 1156 (1978).
Magri F. A geometrical approach to the nonlinear solvable equations. — In: [65], p. 233.
Makhankov F.Q. Dynamics of classical solitons (In non-integrable systems).— Phys. Rep., 35C, 1 (1978).
Манин Ю.И. Алгебраические аспекты нелинейных дифференциальных уравнений. - Современные проблемы математики, 1978, т. 11, С4 5.
Марченко В»А. Периодическая задача Кортевега — де Вриза. - Матем. сборник, 1974, т. 95, с. 331.
Марченко В .А. Операторы Штурма — Лиувилля и их приложения. — Киев: Наукова Думка, 1977.
Matveev V.B. Abelian functions and solitons, Institute of Theoretical Physics, Wroclaw University preprint 373, 1976.
Matveev V.B. Darboux transformation and explicit solutions of the Kadomtzev — Petviashvili equation, depending on functional parameters. — Lett. Math. Phys., 3, 213 (1979).
Matveev V.B. Darboux transformation and explicit solutions of differentialdifference and difference-difference evolution equations. I. — Lett. Math. Phys., 3, 217 (1979).
Matveev V.B. Darboux transformations and nonlinear equations. —In: [408], p. 247.
38. Maxon S. Cylindrical and spherical solitons. — In: [190], p. 269.
McGuinness M.J. The conserved densities of the Korteweg — de Vries equation. — Journ. Math. Phys., 19, 2285 (1978).
Morris Н.С», Dodd R»K* The two-component derivative nonlinear Schroed- inger equation. — In: [447], p. 505.
Morris H.C., Dodd R.K. A two connection and operator bundles for the Ernst equation for axially symmetric gravitational fields. — Phys. Lett., 75A, 20 (1979).
Miura R.M., Gardner C.S., Kruskal M.D. Korteweg — de Vries equation and generalizations, IP Existence of conservation laws and constants of motion. — Journ. Math. Phys., 9, 1204 (1968).
Miura R.M. Korteweg — de Vries equation and generalizations. I: A remarkable explicit nonlinear transformation. — Journ. Math. Phys., 9, 1202 (1968)*
Miura R.M. The Korteweg — de Vries equation: a model equation for nonlinear dispersive waves. — In* [310], p. 212.
Backlund transformations, ed. R.M. Miura, Lecture Notes in Mathematics No. 515, Springer, Berlin, 1976.
Miura R.M. The Korteweg — de Vries equation: a survey of results. — SIAM Rev., 18, 412 (1976).
Miura R.M. An introduction to solitons and the inverse scattering method via the Korteweg — de Vries equation. — In: [311], p. 1.
Михайлов А,В. Интегрируемость двумерной модели Тирринга. - Письма ЖЭТФ, 1976, т. 23, с. 356.
Михайлов А.В. Об интегрируемости двумерного обобщения цепочки Тоды, - Письма ЖЭТФ, 1979, т. 30, вып. 7, с. 443.
Miles J. ИА Fhe Korteweg — de Vries equation: a historical essay. — Journ. Fluid Meeh., 106, 131 (1981).
McKean H.P. Boussinesq’s equation as a hamiltonian system, Topics in Functional Analysis, Advances in Mathematics Supplementary Studies, Vol. 3, Academic Press, New York, 1978, p. 217.
McKean НоР.» van Moerbeke P. The spectrum of Hill’s equation. — Invent. Math., 30, 217 (1975).
McKean H»P,, Trubowitz E. Hill’s operator and hyperelliptic function theory in the presence of infinitely many branch points. — Comm. Pure Appl. Math., 29, 143 (1976).
54. McLaughlin DAM>, Scott A.C. Soliton perturbation theory. — In: [88], p. 225.
Dynamical Systems, Theory and Applications, ed. J. Moser, Lecture Notes in Physics No. 38, Springer, Berlin, 1975.
Moser J» Three integrable hamiltonian systems connected with isospectral deformations. — Adv. Math., 16, 197 (1975).
Moser ]. Various aspects of integrable hamiltonian systems. — In: Dynamical Systems, Proceedings of the CIME Conference (Bressanone, Italy, June 1978), Liguori, Napoli, 1980, p. 13 7.[Имеется перевод: Мозер Ю. Некоторые аспекты интегрируемых гамильтоновых систем. - У МН, 1981, т. 5, с. 109.]
Michailov A.V., Olshanetsky М.А., Perelomov A.M. Two-dimensional generalized Toda lattice. — Commun. Math. Phys., 79, 473 (1981).
Moses H»E« Calculation of the scattering potential from reflection coefficients. — Phys. Rev., 102, 559 (1956).
Moses H.%. Generalizations of the Jost functions. — Journ. Math. Phys., 5, 833 (1964).
Moses H-E- GePfand — Levitan equations with comparison measures and comparison potentials. — Journ. Math. Phyd., 20, 2047 (1979).
Matveev P»?., Salle M.A. Differential-difference evolution equations. II: Darboux transformation for the Toda lattice. — Lett. Math. Phys., 3, 425 (1979).
Martina L., Santini P.M. Propagation of ion-acoustic waves in*cold inhomogeneous plasmas. — Lett. Nuovo Cimento, 29, 513 (1980).
Manahov S.P., Santini P.M., Takhtajan L.A. Asymptotic behaviour of the solutions of the Kadomtsev — Petviashvili equation (two-dimensional Korteweg — de Vries equation. — Phys. Lett., 75A, 451 (1980).
Manahov S»P., Zakharov P.E* Soliton Theory, Proceedings of the Soviet- American Symposium on Soliton Theory (Kiev, September 1979). — Physica, 30 (1, 2) (July 1981).
Manahov S.P., Zakharov P.E. Three-dimensional model of relativistic-invariant field theory, integrable by the inverse scattering transform. — Lett. Math. Phys., 5, 247 (1981).
Manakov S.P., Zakharov P.E., Bordag L»A., Its A.R., Matveev P.B. Two- dimensional solitons of the Kadomtsev — Petviashvili equation and their interaction. — Phys. Lett., 63A, 205 (1977).
Newton R*G« Scattering theory of waves and particles, McGraw Hill, New York, 1966. [Имеется перевод: Н-ьютон P. Теория рассеяния волн и частиц. - М.: Мир, 1969.]
Nonlinear Wave Motion, ed. A.C. Newell, Leet. Appl. Math. No. 15, American Mathematical Society, Providence, RI, 1974.
Newell A.C. The interrelation between Backlund transformations and the inverse scattering transform. — In:[345], p. 227.
Newell A.C. Near integrable systems, nonlinear tunnelling and solitons in slowly changing media. — In: [88], p. 127.
Newell A,Q, Long waves — short waves: a solvable model. — SIAM Journ. Appl. Math., 35, 650 (1978).
Newell A.C. The inverse scattering transform. — In: [42], p. 177.
Nakamura A, Backlund transform and conservation laws of the Benjamin — Ono equation. — Journ. Phys. Soc. Japan, 47, 1335 (1979).
Nakamura A. Exact /V-soliton solution of the modified finite depth fluid equation. — Journ. Phys. Soc. Japan, 47, 2043 (1979).
Nakamura A. jM-periodic wave and N-soliton solutions of the modified Benjamin — Ono equation. — Journ. Phys. Soc. Japan, 47, 2045 (1979).
Nakamura A. Backlund transformation of the cylindrical KdV equation. — Journ. Phys. Soc. Japan, 49, 2380 (1980).
Newton R.G. Inverse scattering. I: One dimension. — Journ. Math. Phys., 21, 493 (1980).
Neugebauer G. Backlund transformations of axially symmetric stationary gravitational fields. — Journ. Phys. A: Math. Gen. 12, L67 (1979).
Nagel E>, Newman ].R. Godel’s Proof, New York University Press, New York, 1958.
Новиков С.П. Периодическая задача Кортевега - де Вриза. I. - Функц. анализ и его прилож., 1974, т. 13, с. 13.
Orfamdis S^J. a models of nonlinear evolution equations. — Phys. Rev., D21, 1513 (1980).
Oftcjalski J., BtalymckfBirula I. Collision of gaussons. — Acta Phys. Polon., 89, 759 (1978).
Osborne A.R., Burch T.L. Internal solitons in the Andaman sea. — Science, 208, 451 (1980).
Olver P,J. Evolution equations possessing infinitely many symmetries. — Journ. Math. Phys., 18, 1212 (1977).
Ono H. Algebraic solitary waves in stratified fluids. — Journ. Phys. Soc. Japan, 39, 1082 (1975).
Olshanetsky M.A., Perelomov A.M. Explicit solution of the Calogero model
in the classical case and geodesic flows on symmetric spaces of zero curvature. — Lett. Nuovo Cimento, 16, 33 (1976).
Olshanetsky M.A., Perelomov A»NL Classical integrable finite-dimensional systems related to Lie algebras. — Phys. Rep., 71, 313 (1981).
Omote M., Wadati М» Backlund transformations for the Ernst equation. — Journ. Math. Phys., 22, 961 (1981).
Omote NL,. Wadati M. The Backlund transformations and the inverse scattering method of the Ernst equation. — Progr. Theor. Phys., 65, 1621 (1981).
Peregrine D.Re Calculations of the development of an undular bore. — Journ. Fluid Meeh., 25, 321 (1966).
Portman J.C. Finite-range solutions to the one-dimensional inverse scattering problem. — Ann. Phys., 45, 445 (1967).
Pohlmeyer K. Integrable hamiltonian systems and interaction through, quadratic constraints. — Commun. Math. Phys., 46, 207 (1976).
ParseoaUDeschenes M.A, - In: Memoires par Divers Savants. I, 1805, p. 639. (Согласно ссылке в работе [ 451].)
Pilloni L. Extension of the spectral transform method for solving nonlinear evolution equations, and related conservation laws. — Nuovo Cimento, 568, 87 (1980).
Pirani F.A.E., Robinson D.C., Shadwick W.F> Local jet bundle formulation of Backlund transformations. — Mathematical Physics Studies, 1, 1 (1979).
Rajamaram R» Some non-perturbative semi-classical methods in quantum field theory (a pedagogical review). — Phys. Rep., 21C, 227 (1975).
Nonlinear Problems in Theoretical Physics, ed. A.F. Ranada, Lecture Notes in Physics No. 98, Springer, Berlin, 1979.
Ragnisco O. Conservation laws for the whole class of nonlinear evolution equations associated to the matrix Schroedinger spectral problem. — Lett. Nuovo Cimento, 31, 651 (1981).
Rebbi C. Solitons. — Scientific American, 240(2), 76 (1979).
Satsuma J. Higher conservation laws for the Korteweg — de Kries equation through Backlund transformation. — Prog. Theor. Phys., 52, 1396 (1974).
Santarelli A.R. Numerical analysis of the regularized long-wave equation: anelastic collision of solitary waves, — Nuovo Cimento, 468, 179 (1978).
Segur H., Ablowitz M.J. Asymptotic solutions of nonlinear evolution equations and a Painleve transcendent. — In: [365], p. 165.
Applied inverse problems, ed. p.C. Sabatier, Lecture Notes in Physics No. 85, Springer, Berlin, 1978.
Sabatier P.C. Around the classical string problem. — In: [65], p. 85.
Sabatier P.C* On some spectral problems mid isospectral evolutions connected
with the classical string problem, I: Constants of motion. — Lett. Nuovo Cimento, 26, 477 (1979).
Sabatier P.C. On some spectral problems and isospectral evolutions con nected with the classical string problem. II: Evolution equations. — Lett. Nuovo Cimento, 26, 483 (1979).
Probfemes inverses, Evolution nonlineaire, ed. P.C. Sabatier, CNRS, Paris, 1980.
Satsuma J., Ablowitz M.J., Kodama Y. On an internal wave equation describing a stratified fluid with finite depth. — Phys. Lett., 73A, 283 (1979).
Santini P.M. Asymptotic behaviour (in t) of solutions of the boomeron equation. — Nuovo Cimento , 47B, 228 (1978).
Santini P.M. Asymptotic behaviour (in t) of solutions of the cylindrical KdV equation. I. - Nuovo Cimento, 54A, 241 (1979).
Santini P.M. Asymptotic behaviour (in t) of solutions of the cylindrical KdV equation. II. — Nuovo Cimento, 57A, 387 (1980).
Santini P.M. On the evolution of two-dimensional packets of water waves over an uneven bottom. — Lett. Nuovo Cimento, 30, 236 (1981).
Schwartz L. Theorie des distributions, Vol. I, II, Hermann, Paris, 1950, 1951.
Scott A.C., Chu F.Y.F., McLaughlin D. The soliton: a new concept in applied science. - Proc. IEEE, 61, 1443 (1973). [Имеется перевод: Скотт А., Чу Ф.И.Ф., Маклафлин Д. Солитон - новое понятие в прикладных науках. - ТИИЭР, 1973, т. 61, > 10.].
Szu Н.Н., Carroll С.Е., Yang C.Q., Ahn S. A new functional equation in the plasma inverse problem and its analytic properties. — Journ. Math. Phys., 17, 1236 (1976).
Segur H. Solitons as approximate descriptions of physical phenomena. — In: [190} p. 15.
Segur H. Asymptotic solutions and conservation laws for the nonlinear Schroedinger equation. II. — Journ. Math. Phys., 17, 714 (1976).
Su C.S., Gardner C.S. Korteweg — de Vries equation and generalizations.
Derivation of the Korteweg — de Vries equation and Burger's equation. — Journ. Math. Phys., 10, 536 (1969).
Satsuma J., Ishimori Y. Periodic wave and rational soliton solutions of the Benjamin — Ono equation. — Journ. Phys. Soc. Japan, 46, 681 (1979).
Skyrme T.H.R. A nonlinear theory of strong interactions. — Proc. Roy. Soc., A247, 260 (1958).
Skyrme T.H.R. Particle states of a quantized field. — Proc. Roy. Soc., A262, 237 (1961).
Scott-Russell J. Report on waves. — In: Report of the fourteenth meeting of the British association for the advancement of science, John Murray, London,1845, p. 311.
Steudel H. Noether’s theorem and the conservation laws of the Korteweg — de Vries equation. — Ann. Phys. (Leipzig), 32, 445 (1975).
Shimizu T., Wadati M. A new integrable nonlinear evolution equation. — Prog. Theor. Phys., 63, 808 (1980).
Sym Л. Formal series solutions and rational solutions to soliton equations. — Lett. Nuovo Cimento, 22, 142 (1978).
Thirring W.E. A soluble relativistic field theory. — Ann. Phys., 3, 91 (1958).
Toda M. Vibration of a chain with nonlinear interaction. — Journ. Phys. Soc. Japan, 22, 431 (1967).
Tappert F.D. Nonlinear wave propagation as described by the Korteweg — de Vries equation and its generalizations, Computer-produced film, Bell Laboratories, 1971.
Tanaka S, Analogue of Fourier’s method for Korteweg — de Vries equation. — Proc. Japan, Acad., 48, 647 (1972).
Toda M. Studies in a nonlinear lattice. — Phys. Rep., 18C, 1 (1975).
Takhtajan L.A. Integration of the continuous Heisenberg spin chain through the inverse scattering method. — Phys. Lett., 64A, 235 (1977).
Toda M. On a nonlinear lattice (the Toda lattice). — In: [42], p. 143.
Toda M. Theory of Nonlinear Lattices, Springer Series in Solid-State Sciences No. 20, Springer, Berlin, 1981.
Taflm E. Analytic linearization, hamiltonian formalism and infinite sequences of constants of motion for Burger’s equation. — Pnys. Rev. Lett., 47, 1425 (1981).
Timonen J., Bullough R.K. Solitons in physics* an application to spin waves in the one-dimensional ferromagnet CsNiF3. — In: [408], p. 133.
Тахтаджян JLAM Фаддеев Л.Д» Существенно нелинейная одномерная модель классической теории поля. - ТМФ, 1974, т. 21, с. 160.
Тахтаджян Л .А., Фаддеев Л.Д. Гамильтонова система, связанная с уравнением и- + sinu = 0. - Труды Мат. ин-та им. Стеклова, 1976, т. 142 Л
Thikstun IL R. A system of particles equivalent to solitons. — Journ. Math. Anal. Appl., 55, 335 (1976).
Tsutsumi V. On solutions of Liouville's equation. — Journ. Math. Anal. Appl., 76, 116 (1980).
Taniuti T., Yajima N. Perturbation method for a nonlinear wave modulation. L — Journ. Math. Phys., 10, 1369 (1969).
Weinberg $• Nonlinear realizations of chiral symmetry. — Phys* Rev., 166* 1568 (1968).
Hattori M* The exact solution of the modified Korteweg — de Vries equation. — J own* Phys. Soc. Japan, 32, 1681 (1972).
Whithan G.B. Linear and Nonlinear Waves, Wiley, New York, 1974.[ Имеется перевод: У из ем Г.Б» Линейные и нелинейные волны. - М.: Мир, 1977.]
Wadati ЬК Infinitesimal transformations and conservation laws;'field theoretic approach to the theory of soliton. — In: [88], p. 33.
WadMt M* jinvariances and conservation laws of the Korteweg — de Vries equation. Stud. Appl. Math., 63, 153 (1978).
Solitons ia Physics (Topical issue of Physica Scripta, Royal Swedish Academy of Sciences), ed. H. Wilhelmsson. — Phys. Ser., 20, (1979).
Wahlquist HKD»K Estabrook F.B. Backlund transformations for solutions of the Korteweg — de Vries equation. — Phys. Rev. Lett., 31, 1386 (1973).
Wilson G. Commuting flows and conservation laws for Lax equations. — Math. Proc. Camb. Phil. Soc., 86, 131 (1979).
Wadati M., Konno K., Ichikawa У.Ц. New integrable nonlinear evolution equations. — Journ. Phys. Soc. Japan, 47, 1698 (1979).
Whittaker Е.Т», Watson G.N. A Course of Modern Analysis, Cambridge University Press, Cambridge, 1902. [Имеется перевод: Уиттекер Э.ТМ Ватсон. ДЛ. Курс современного анализа. - 2-е изд., ч. 1, П. -М.: Физматгиз, 1962, 1963.]
Захаров В.Е. Стохастизация одномерной цепочки нелинейных осцилляторов. - ЖЭТФ, 1973, г. 65, с. 219.
Захаров В*Е. Метод обратной задачи рассеяния. - В кн.: Солитоны. - М.: Мир, 1983.
Zabusky N.J., Deem G.S., Kruskal M»D. Formation, propagation and interaction of solitons, Computer-produced film, Bell Laboratories, 1968.
Захаров B.EM Фаддеев Л.Д. Уравнение Кортевега - де Вриза - вполне интегрируемая гамильтонова система. - Функц. анализ и его прилож., 1971, т.5, с. 18.
Жибер А.В., Шабат А.Б. Уравнения Клейна - Гордона с нетривиальной группой. - ДАН СССР, 197 9, т. 247, с. 110 3.
Zabusky N.J., Kruskal M.D. Interactions of "solitons” in a collisionless plasma and the recurrence of initial states. — Phys. Rev. Lett., 15, 240 (1965).
Захаров B.E., Манаков C.B. Резонансное взаимодействие в нелинейной среде. - Письма ЖЭТФ, 1973, т. 18, с. 243.
Захаров В.Е., Манаков С.В. Теория резонансного взаимодействия волновых пакетов в нелинейной среде. - ЖЭТФ, 197 5, т. 69, с. 1654.
Захаров В Л., Манаков С .В. Асимптотическое поведение нелинейных волновых систем, интегрируемых методом обратной задачи рассеяния. - ЖЭТФ, 1976, т. 71, с. 203.
Zakharov ИЛ., Manakov S.V. Soliton theory. — Soviet Scien, Reviews, A1, 133 (1979).
Захаров ВЛ., Михайлов A.B. Релятивистски-инвариантные модели теории поля, интегрируемые методом обратной задачи рассеяния. - ЖЭТФ, 1978, т. 74, с. 1953.
Zakharov V.E., Mtchailov Л. К. On the integrability of classical spinor models in two-dimensional space-time. — Commun. Math. Phys., 74, 21 (1980).
Захаров ВЛ., Манаков C.B., Новиков С.П., Питаевский ЛЛ. Теория солитонов: метод обратной задачи. - М.* Наука, 1980.
Захаров ВЛ., Шабат АЛ. Точная геория двумерной самофокусировки и одномерной автомодуляции волн в нелинейных средах. - ЖЭТФ, 1971, т. 61, с. 118.
Захаров ВЛ., Шабат АЛ. Схема интегрирования нелинейных уравнений математической физики методом обратной задачи рассеяния. I. - Функц. анализ и его прилож., 1974, г. 8, с. 43.
Захаров ВЛ.» Тахтаджян Л.А., Фаддеев Л.Д. Полное описание решений уравнения sine-Gordon. - ДАН СССР, 1974, т. 219, с. 1334.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие редактора перевода 5
Предисловие9
Глава 0. Введение13
Примечания к главе 015
Глава 1. Основная идея и основные результаты (общий обзор)18
Решение линейных эволюционных уравнений методом преобразования Фурье18
Класс разрешимых нелинейных эволюционных уравнений 24
Спектральное преобразование25
Прямая спектральная задача 26
Б. Обратная спектральная задача28
Спектральное преобразование30
Решение нелинейных эволюционных уравнений методом спектрального преобразования32
Связь с методом решения линейных эволюционных уравнений, основанном на преобразовании Фурье . . . . 35
Качественное поведение решений: солитоны и фон. . . 36
А. Солитоны37
Б. Фон40
^. Общее решение41
Дополнительные свойства решений43
Преобразования Бэклунда43
Б. Нелинейный принцип суперпозиции48
Законы сохранения50
Перечень разрешимых уравнений55
Примечания к главе 168
Глава 2. Спектральная задача Шредингера на прямой73
Прямая спектральная задача73
А. Свойства преобразований83
Обратная спектральная задача85
Спектральное преобразование "хороших" (bona fide) потенциалов90
Формулы, связывающие две функции с соответствующими спектральными данными92
Интегральные соотношения вронскиана93
Дополнительные интегральные соотношения вронскиана107
*Б. Спектральные интегральные соотношенияПО
Дополнительные спектральные интегральные соотношения116
Связь между соотношениями вронскиана и интегральными спектральными соотношениями117
Примечания к главе 2118
Глава 3. Нелинейные эволюционные уравнения, разрешимые методом спектрального преобразования Шредингера121
Уравнение КдВ и высшие уравнения КдВ121
Анализ решений131
Солитоны и солитроны132
Б. Предел слабого поля159
Общее решение160
Г. Частные решения уравненияКдВ161
Рациональные решения162
Асимптотически расходящиеся решения165
Автомодельные решения и ОДУ типа Пенлеве . . 166
Примечания к главе 3169
Глава 4. Преобразования Бэклунда и связанные с ними результаты .173
Преобразование Бэклунда174
Коммутативность преобразований Бэклунда и принцип нелинейной суперпозиции185
Формула резольвенты192
Нелинейные операторные тождества193
Обобщенные преобразования Бэклунда и обобщенная формула резольвенты194
Примечания к главе 4196
Глава 5. Законы сохранения199
Примечания к главе 5211
Глава 6. Обобщения213
Дополнительные переменные214
Коэффициенты, линейно-зависящие от х219
Решения уравнения КдВ, асимптотически линейные по х237
Спектральная задача Шредингера с дополнительным линейным потенциалом240
Б. Решение нелинейного эволюционного уравнения, частным случаем которого является цилиндрическое уравнение КдВ .248
Законы сохранения251
Г. Цилиндрическое уравнение КдВ255
Решения уравнения КдВ с одним действительным двойным полюсом 259
Эволюционные уравнения, связанные со спектральной задачей для уравнения -у(х) + и (я) у(я) = к2 р2 (я) у ^я) ХЛ265
Примечания к главе 6273
Дополнения275
ДД, Число дискретных собственных значений спектральной задачи Шредингера навсей прямой275
Д.2. Соотношения ортогональности и полноты для спектральной задачи Шредингера на прямой281
Д.З. Асимптотическое поведение (по к) коэффициентов прохождения и отражения283
Д.4. Дисперсионные формулы для коэффициентов прохождения 285
Д.5. Обратная спектральная задача Шредингера на всей прямой288
Д.6. Интегральные соотношения вронскиана (доказательства) .. .303
Д.7. Спектральные интегральные соотношения (доказательства) ЗЮ
Д.8. Формула для вариации коэффициентов асимптотического разложения фазы коэффициента прохождения . . 813
Д.9. Свойства операторов Л, Л, X, Хи другие формулы.., 314
ДДО. Двухсолитонное решение уравнения КдВ и высших уравнений КдВ .......335
Д.11, Преобразования Гарднера и Миуры и связанные с этим результаты. ..339
Д.12, Преобразования Баклунда, преобразования Дарбу и полоса Баргмана346
Д.13, Асимптотическое разложение функции €^=2ikVl- 1/JW353
ДЛ4. Сохраняющиеся величины для обобщенных уравнений .354
Д.15, Коэффициенты отражения и прохождения в точке к = в . . , . .356
Д.16, Спектральное преобразование вне класса SF-потен- циалов360
Д.17. Применение соотношений вронскиана и спектральных интегральных соотношений для решения спект- ральной задачи Шредингера на всей прямой363
Д.Ж О классе уравнений вида q (X) ut = а Щ их ....... 375
Д.19, Примеры функций^ спектральные данные которых известны в явном виде 381
Д.20. Общий подход, основанный на алгебре дифференциальных операторов; связь метода спектрального преобразования с подходом Лакса и методом АКНС . . . 402
Д.21. Локальные законы сохранения (доказательства) . . . .417
Д.22. Применение "метода переменной фазы” к задаче рассеяния для уравнения Шредингера на всей прямой . . .424
Д.23. Уравнения КдВ и высшие уравнения КдВ как гамиль- тоновый поток (общая схема)430
Литература439
Уважаемый читатель
Ваши замечания о содержании книги, ее оформлении, качестве перевода и другие просим присылать по адресу: 129820, Москва, И-110, ГСП, 1-й Рижский пер., 2, изд-во ’’Мир”
Франческо Калоджеро, Антонио Дегасперис
СПЕКТРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯИ СОЛИТОНЫ
МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ И ИССЛЕДОВАНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХЭВОЛЮЦИОННЫХ УРАВНЕНИЙ
Научн. редактор Е. С. КуранскийМл. научн. редакторы Г. Г. Сорокина, Р. X. ЗацепинаХудожественный редактор В. Б. ПрищепаТехнический редактор Т. А. ЧистяковаКорректор Т. П. Литвинчук
ИБ№5173
Подписано к печати 27.08.85. Формат 60x90/16Бумага офсетная № 1 Гарнитура тайме. Печать офсетная.Объем 14,75 бум. л. Усл. печ. л. 29,5 0. Усл. кр. -отт. 29,5 0.
Уч. -изд. л. 29,16. Изд. № 2/3390 Тираж 5 000 экз. Зак. 58 4Цена 4 р. 70 к.
Набрано в издательстве ’’Мир” на участке оперативной полиграфии129820, ГСП Москва, 1-й Рижский пер., 2.
Тульская типография Союзполиграфпрома при Государственном комитс СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли.
300600, Тула, проспект им. В. И. Ленина, 109.
Издательство ’’Мир”выпустит в 1986 г. книгу:
де Бройль Л. Соотношения неопределенностей Гейзенберга и вероятностная интерпретация волновой механики. Пер. с франц., 22 л., Зр. 60к.
Книга одного из основателей квантовой механики является попыткой ответить на дилемму: следует ли при создании последующих физических теорий более глубокого уровня исходить из первичности вероятностных или детерминистских понятий. Размышления над этими вотами привели к тому, что монографию, возникшую на базе спецкурсов 1950-1952 гг., Л. де Бройль стал писать не для широкой публики, а для себя, включив в нее свои незавершенные идеи, надежды и сомнения. Настоящая книга является обработкой указанных материалов, проведенной ближайшим сотрудником автора Ж. Лошаком и дополненной замечаниями, учитывающими более поздние результаты. Основному тексту книги предшествует предисловие Лошака, дающее историческую оценку рассматриваемых в книге вопросов. Материал изложен в двух частях. В первую часть ”0 соотношении неопределенностей Гейзенберга” вошли разделы: ’’Основы волновой механики”, ’’Вероятностная интерпретация волновой механики”, ’’Волновая механика систем частиц”, ’’Общий формализм волновой механики”, ’’Общие принципы, связанные с вероятностной интерпретацией волновой механики”, ’’Вопросы, связанные с коммутированием операторов в волновой механике”, ’’Физическая невозможность одновременного измерения канонически сопряженных величин”, ’Точная форма соотношений неопределенности”, ’’Четвертое соотношение неопределенностей Гейзенберга”, ’’Анализ отдельных трудных вопросов волновой механики”. Вторая часть ”0 вероятностной инерпретации волновой механики и различных связанных с ней вопросов” состоит из разделов: ”06 основных понятиях теории вероятностей”, ”06 общих понятиях волновой механикк”, ’’Введение характеристических функций в вероятностный формализм волновой механики”, ’.’Теория смешанных состояний и теория измерений фон Неймана”, ’’Теория измерений в волновой механике”, ’’Роль времени в волновой механике”. Монография заканчивается полной библиографией работ Луи де Бройля.
Для физиков, а также философов, интересующихся вопросами квантовой механики.
Уважаемый читатель!
Заказы на книги издательства ’’Мир” принимаются в магазинах научно-технической литературы.
Помните!
Тираж книг определяется числом собранных заказов. Только своевременно оформленный заказ гарантирует Вам приобретение интересующих Вас книг.
СПЕКТРАЛЬНЫЕПРЕОБРАЗОВАНИЯИ СОЛИТОНЫ
SPECTRAL TRANSFORMAND SOLITONS:
TOOLS TO SOLVE AND INVESTIGATENONLINEAR EVOLUTION EQUATIONS
VOLUME ONE
Francesco Calogeroand
Antonio Degasperis
Dipartimento di Fisica, Universita di Roma,Istituto N azionale di Fisica Nucleare,Sezione di Roma
North-Holland Publishing CompanyAmsterdam New York-Oxford
Ф. Калоджеро, А. Дегасперис
СПЕКТРАЛЬНЫЕПРЕОБРАЗОВАНИЯ
И СОЛИТОНЫ
Методы решенияи исследованиянелинейных эволюционныхуравнений
Перевод с английскогокандидатов физ.-мат. наукМ.А. ОЛЬШАНЕЦКОГО И Н.Т. ПАЩЕНКО
под редакцией д-ра физ.-мат. наук В.Е. ЗАХАРОВА
Москва «Мир» 1985
ББК 53.22.31 К17
УДК 530.145
Калоджеро Ф., Дегасперис А.
К17 Спектральные преобразования и солитоны. Методы решения и исследования эволюционных уравнений: Пер. с англ. - М.: Мир, 1985. -472 с., илл.
Монография известных итальянских ученых содержит весьма подробное и вместе с тем доступное изложение метода точного интегрирования ряда классов нелинейных уравнений в частных производных (основанного на изучении спектральных свойств некоторых линейных дифференциальных операторов), который дал начало развитию новой области математической физики, называемой теорией солитонов. Дается полный обзор современного состояния теории солитонов, излагаются новые результаты, полученные авторами.
Для специалистов, аспирантов и студентов, интересующихся теорией солитонов и ее приложениями.
1704020000 - 433
ББК 53.22.31530ББК 53.22.31530К 55 —85,4.1
ББК 53.22.31530
ББК 53.22.31530
041 (01) - 85
Редакция литературы по физике
© North-Holland Publishing Company, 1982
© перевод на русский язык,« Мир» , 1985
Нелинейные дифференциальные уравнения в частных производных, не содержащие малого параметра, долгое время были для аналитиков ’’вещью в себе”, к коюрой не имелось никаких подходов. Самое большее, на что можно было рассчитывать - это на вычисление отдельных классов точных решений, обычно связанных с группами симметрий, допускаемыми уравнениями. В тех случаях, когда этого было недостаточно, оставалось полагаться на вычисления на ЭВМ, возможности которых, несмотря на колоссальный прогресс в этой области, возрастают, с точки зрения специалиста по математической физике, довольно медленно.
В такой ситуации действительчо важным событием было появление в октябре 1967 г. небольшой статьи Гарднера, Гфина, Крускала и Миуры, посвященной уравнению Кортевега - де Вриза. В этой статье было показано, что уравнение Кортевега - де Вриза можно представить как условие совместности двух линейных дифференциальных уравнений, одно Из которых оказалось одномерным стационарным уравнением Шредингера. Данное обстоятельство позволило авторам предложить процедуру построения бесконечных наборов точных решений уравнения Кортевега - де Вриза, в известном смысле полностью его проинтегрировать. Появлению упомянутой статьи предшествовала длительная история.
Уравнение Кортевега — де Вриза было выведено в конце прошлого века в связи с задачами о длинных волнах на поверхности жидкости конечной глубины. Интерес к нему возобновился в начале 60-х годов нашего века, когда выяснилось, что оно описывает некоторые типы волн в плазме. Вскоре стало ясно, что это уравнение имеет универсальный физический смысл, будучи приложимо ко всем ситуациям, в которых рассматриваются нелинейные во^пы в средах со слабой дисперсией. Это обстоятельство стимулировало работу по численному и аналитическому изучению уравнения Кортевега - де Вриза, определенный этап которой завершился статьей Гарднера, Грина, Крускала и Миуры.
Вместе с тем эта статья явилась началом нового этапа развития не толы ко теории уравнения Кортевега - де Вриза, но и теории нелинейных уравнений в частных производных вообще. Как показали последующие исследования, в статье названных авторов был найден совершенно новый подход к изучению нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных. Изло-
жению его и посвящена предлагаемая читателю монография двух известных итальянских ученых.
В новой области науки не сразу устанавливается терминология. Авторы называют предмет своей книги ’’методом спектральных преобразований”. Встречаются и другие названия этого метода. В советской литературе прочно утвердился термин ’’метод обратной задачи рассеяния”. Неполные два десятилетия развития этого метода совершенно изменили наше интуитивное отношение к нелинейным уравнениям в частных производных. Если речь идет об уравнениях весьма общего вида, то к ним по-прежнему не существует сколько-нибудь эффективных подходов. Но если интересующее исследователя уравнение встречается в приложениях, особенно в нескольких задачах разного физическогоо характера, то можно думать, что это уравнение обладает уникальными свойствами, благодаря которым к нему применимы в том или ином варианте развитые за последнее время мощные математические методы, и что борьба за его далеко продвинутое аналитическое исследование не безнадежна. Конечно, так случается не всегда. К ряду важных задач нелинейной математической физики, имеющих универсальное значение (например, к уравнениям Янга - Миллса в пространстве Минковского), математика еще не на- шла эффективных подходов. Тем не менее уравнения нелинейной математической физики, поддающиеся глубокому аналитическому исследованию, в настоящее время исчисляются многими десятками. Эти уравнения часто назы- „ вают интегрируемыми, хотя интегрируемость в другом смысле слова доказана лишь для немногих из них. Число интегрируемых уравнений продолжает возрастать.
Характерной чертой интегрируемых уравнений является существование у них специальных точных решений - солитонов. Солитоны наиболее интересны с точки зрения физических приложений теории. Они представляют собой локализованные в пространстве и во времени объекты, отличающиеся значительной устойчивостью и сохраняющиеся при столкновениях. Новейшее развитие теоретической физики показало, что солитоны играют важную роль во многих физических ситуациях - в гидродинамике, в физике плазмы, в физике конденсированных сред, в теории элементарных частиц и в космологии. Далеко не всегда реальные физические солитоны описываются исключительными с математической точки зрения интегрируемыми нелинейными уравнениями. Однако такие ситуации случаются довольно часто. Математическая теория солитонов, как иногда называют теорию нелинейных интегрируемых уравнений в частных производных, имеет очень большие перспективы в физических приложениях.
В сложившейся ситуации появление обобщающих монографий, посвященных методу обратной задачи, - давно назревшая необходимость. Выход каждой такой монографии в свет - событие, приветствуемое и узким кругом спе-
циалистов,и широким кругом просто интересующихся. Таких монографий существует пока немного. Одной из первых была книга известного специалиста по нелинейной оптике Дж. Лэма-младшего ’’Элементы теории солитонов” (изд-во Дж. Уайли, США, 1980; русский перевод: Москва, изд-во "Мир", 1983). Одновременно с ней в СССР появилась монография "Теория солитонов - метод обратной задачи рассеяния” (авторы В.Е.Захаров, С.В. Манаков, С.П. Новиков, Л.П. Питаевский; англ, перевод: изд-во "Плинум Пресс", США, 1984). В 1981 г. в США вышла в свет книга М.Абловипа и Х.Сегюра ’’Солитоны и преобразование обратной задачи". Любопытно, что, хотя основное содержание всех трех книг по преимуществу математическое, все их авторы, кроме академика С.П. Новикова, по образованию и своей первоначальной специализации не математики, а физики*теоретики, занявшиеся математическими проблемами сначала лишь в связи с их физическими приложениями, а впоследствии всерьез увлекшиеся ими. В этом смысле монография, русский перевод первого тома которой предлагается вниманию читателя, не составляет исключения. Она написана профессором Римского университета Ф. Калоджеро и его учеником, профессором того же университета А. Дегасперисом и была издана в Голландии в 1982т. Имя профессора Ф. Калоджеро хорошо известно в СССР Видный деятель Пагуошского движения, частый гость СССР, он заслужил известность еще раньше своими работами по квантовой теории рассеяния и ядер- ной физике. Его книга "Метод фазовых функций в теории рассеяния” была издана в СССР в 1964 г. В последние полтора десятилетия Ф. Калоджеро создал в Италии научную школу, специализирующуюся по теории солитонов и нелинейным дифференциальным уравнениям.
За сравнительно короткое время развития метода обратной задачи учеными разных стран - СССР, США, Италии, Англии, Японии и др. - был накоплен огромный фактический материал, изложить который в одной книге практически невозможно. Было разработано несколько различных подходов к этой проблеме, в конечном счете приводящих к одним и тем же результатам. Один из таких подходов был создан в итальянской школе. В основе его лежит исследование некоторых алгебраических свойств нелинейных интегрируемых уравнений.
Каждое из таких уравнений, как и уравнение Кортевега - де Вриза, является условием совместности по крайней мере двух линейных дифференциальных уравнений. Для широкого класса задач, рассматриваемых в данной книге, одно из этих уравнений является обыкновенным. Спектральная теория соответствующего дифференциального оператора и играет основную роль. Ф. Калоджеро и А. Дегасперис предлагают оригинальный путь построения этой теории, основанный на найденном ими "интегральном соотношении вронскиана”.
В первом томе этот подход развивается для одномерного оператора Шредингера. В соответствии с этим авторы занимаются в основном теорией уравнения Кортевега - де Вриза и его высших аналогов, хотя и предъявляют внушительный список других интегрируемых уравнений, теория которых должна составить содержание второго тома. При помощи развитой ими техники, позволяющей вычислять вронскианы между решениями двух разных уравнений Шредингера, авторы получают все известные результаты одномерной квантовомеханической теории рассеяния, а также легко воспроизводят теорию рекурсионного оператора, восходящего к известной работе Абловица, Каупа, Ньюелла и Сегюра 1974 г.
Техника вронскианов оказывается также достаточно гибкой, чтобы можно было развить для уравнения Кортевега - де Вриза и его аналогов теорию преобразований Бэклунда и Дарбу, дать компактные формулы для законов сохранения и построить для найденных уравнений гамильтоновский формализм. (Последнему пункту, на наш взгляд, в монографии уделяется недостаточное внимание.) Кроме того, техника вронскианов позволила авторам получить ряд достаточно важных новых результатов, также нашедших отражение в монографии. К их числу относится построение интегрируемых уравнений с коэффициентами, зависящими от пространственной координаты, а также первое построение многомерных интегрируемых уравнений, относящихся, согласно современной терминологии, ко ’’второму методу многомеризапии”. Книга Калоджеро и Дегаспериса богата материалом по квантовой теории рассеяния, в которой оба автора являются видными специалистами. Так, они подробно рассматривают тонкий вопрос о спектральной особенности при нулевой энергии приводят интересные теоремы о критериях существования собственных значений и их числе, подробно рассматривают потенциалы, для которых прямая задача рассеяния имеет точное решение. Все это делает книгу ценным пособием для справок по одномерной квантовой теории рассеяния.
Книга снабжена богатой библиографией, в которой достаточно полно отражены труды советских ученых. В ряде случаев можно не соглашаться с терминологическими новациями, вводимыми авторами (например, предложением называть ’’солитронами” солитоны в неинтегрируемых уравнениях), но в общем книга Калоджеро и Дегаспериса заслуживает высокой оценки. Она, несомненно, будет полезна специалистам и по нелинейным интегрируемым уравнениям и по квантовой теории рассеяния, а также всем желающим ознакомиться с обоими названными предметами.
Предисловие, гл. 1 - 3 (§ 1, § 2, п. А, Б) и дополнения 1-10 перевела Ы.Т. Пащенко; гл. 3 (§ 2, п. В) - 6 и дополнения 11-23 перевел М.А. Ольша- нецкий.
В .В, Захаров
Данная книга возникла из записей лекций, прочитанных одним из авторов [91] весной 1979 г. в Институте теоретической физики в Гронингене. Нам приятно поблагодарить проф. Д. Аткинсона, внимательно проверившего записи и исправившего ошибки в английском языке, а иногда и в содержании. Нужно поблагодарить и Марианну Морсинск, аккуратно отпечатавшую записи лекции.
В варианте, составившем данный том, записи лекций коренным образом переработаны и дополнены новым материалом. На самом деле мы планировали охватить намного больший круг вопросов, включая рассмотрение классов уравнений, разрешимых методами так называемой спектральной задачи Захарова - Шабата, спектральной задачи для матричного уравнения Шредингера (с которой в значительной степени связаны наши собственные исследования), и других спектральных задач, но объем накопившегося материала вынудил нас отложить эти вопросы до второго тома, который мы надеемся опубликовать без излишнего промедления.
Данный том был написан в течение 1979/80 академического года, когда оба автора были в Англии - ФК на факультете прикладной математики Колледжа королевы Марии в Лондоне, а АД на математическом факультете отделения естественных наук и техники Манчестерского университета. Мы рады поблагодарить факультет естественных наук Римского университета за предоставление нам обоим годичного отпуска, Научно-исследовательский совет Великобритании за финансовую поддержку, сделавшую возможным посещение Англии, и проф. Р. Буллоу (Манчестерский университет) и А. Персиваля (Колледж королевы Марии) и их коллег за организацию нашего посещения и за приятную и стимулирующую обстановку. Хотелось бы поблагодарить также сотрудников лаборатории математической физики Университета в Монпелье за дружеское гостеприимство, благоприятствовавшее нашей работе над книгой. Один из нас (АД) хотел бы поблагодарить за то же самое администрацию Международной школы перспективных исследований в Триесте, а также выразить благодарность за исследовательскую субсидию НАТО К° 057.81, без которой не был бы возможен его визит в Манчестер и Монпелье. Наконец, другой автор (ФК) хотел бы, конечно, поблагодарить Университет в Гронингене за предоставление ему (первому) весной 1979 г. должности приглашенного профессора для чтения лекпий имени Цернике (о которых говорилось выше).
Книга не была бы написана, если бы в течение нескольких последних лет у нас не было тесных контактов с нашими коллегами и друзьями из США, Со-
ветского Союза, Европы, Японии, Китая, Латинской Америки, Индии, которые составляют "солитонное” сообщество. Всем им мы посвящаем эту книгу в надежде на будущее процветание сотрудничества и дружбы.
Как явствует из оглавления, структура книги многослойна. Это- результат такого подразделения ее на главы, параграфы, пункты и дополнения, которое должно подходить как для студента, целиком прорабатывающего всю книгу, так и для научного работника, интересующегося одним конкретным вопросом. Кроме того, в первых пяти главах вертикальной чертой слева от текста отмечены те вопросы, которые можно опустить при первом чтении (или прочесть бегло). Предполагается, что студент, самостоятельно изучающий материал, следуя этим указаниям, будет читать и перечитывать основной материал книги и прорабатывать все дополнения, которые покажутся ему необходимыми. Конечно, мы не ждем от читателя абсолютной последовательности в этом, мы сами в изложении не придерживаемся строго таких указаний (иногда, хотя и редко, мы в той части, которая предназначена для первого чтения, ссылаемся на уравнения из части, предназначенной для второго чтения). Таким образом, главная польза от этого типографского изобретения в том, чтобы указать, какие части менее существенны для понимания основного материала.
Что касается дополнений, то они довольно разнородны. Одни дополняют основной текст (например, приводимыми в них явными доказательствами), в других более подробно рассматриваются вопросы, которые в основном тексте только упоминаются или намечаются в общих чертах, в третьих рассматриваются специальные вопросы, в значительной степени не зависимые от основного текста. Содержание каждого дополнения достаточно ясно отражается в его заглавии; мы стремились к тому, чтобы дополнения были вполне самостоятельными разделами.
Все главы (и некоторые дополнения) заканчиваются параграфами "Примечания”, в которых даются комментарии исторического и В особенности библиографического характера к основному тексту; этими примечаниями можно руководствоваться при выборе литературы для дополнительного чтения (в тексте мало ссылок).
Во всех главах, параграфах, пунктах и дополнениях все формулы пронумерованы последовательно. При ссылке на эти формулы внутри каждого из таких разделов указывается их номер; вне раздела дается их полный адрес: кроме номера указываются номера главы, параграфа и, если нужно, пункта или, если они находятся в дополнении, "шифр” дополнения (буква Д, за которой следует номер). Таким образом, формула (13) из гл. 1, § 3, п. Б в этом пункте называется формулой (13), а во всех остальных местах - формулой (1.3.Б.-13); формула (34) дополнения Д.1 называется формулой (34), а в остальных местах - формулой (Д.1-34). Чтобы легче было находить формулы,
вверху на каждой странице указаны номера главы, параграфа и, если нужно, пункта иж дополнения.
Ссылки йа литературу даются номерами в квадратных скобках; список цитируемой литературы (в алфавитном порядке) приведен в конце книги. Мы не пытались дать полную библиографию, да это было бы и бесполезно (и даже невозможно) из-за чрезвычайно быстрого роста числа публикаций в данной области за последние несколько лет. Мы постарались дать полный перечень работ, тесно связанных с тем подходом, которому мы следуем в данной книге, а также указать все обзорные статьи и книги, появившиеся в последние годы и полностью или частично посвященные рассматриваемому вопросу. Наконец, мы указываем очень выборочно ряд статей, имеющих важное историческое значение или позволяющих понять другие подходы или бжзкие исследования. Мы, конечно, понимаем, что могли кое-что упустить, проглядеть, и просим извинить нас за это читетелей, а также и авторов, которых мы могли неоправданно исключить (мы будем благодарны за указания на упущения, которые можно будет исправить во втором томе).
Книга адресуется главным образом студентам, впервые сталкивающимся с этим предметом, хотя мы надеемся, что она будет полезна для справок и исследователям-специалистам. Таким образом, акцепт делается на изложение основных идей в простейшем контексте, а о более общих подходах речь пойдет позже. Это влечет за собой некоторые повторы, невидимому, оправдываемые дидактическими преимуществами такого метода. Во всяком случае, слоистая структура книги должна дать возможность читать ее, не отвлекаясь от основных рассуждений на те детали (включая доказательства), которые могут быть усвоены на последующей стадии.
Книга должна быть доступна любому читателю, обладающему стандартными сведениями из математического анализа, включая элементарную теорию обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных. В теории обыкновенных дифференциальных уравнений читатель должен знать на элементарном уровне спектральную теорию сингулярных задач Штурма - Лиувилля на собственные значения, а в теории уравнений с частными производными нужно иметь элементарные сведения об анализе линейных эволюционных уравнений. Обзор этих сведений в данной книге приводится, но слишком сжато, чтобы их мог усвоить читатель, полностью незнакомый с такими вопросами.
Книгой можно пользоваться как пособием для самостоятельного обучения и как учебником (возможно, и для студентов). Материал ее соответствует односеместровому K.vpcy (25 — 30 часов); но лектор может опустить детальное рассмотрение некоторых вопросов и вместо этого охватить темы, которые не были включены, например связь с теорией возмущений или задачи с периодическими граничными условиями, или обширную область приложений. Часть материала была проверена на аудиторных занятиях, ФК - в те-
чение академических лет 1977 - 1980 в Риме и на нескольких кратких сериях лекций, прочитанных в Лозанне, Гейдельберге, Гронингене и в Колледже королевы Марии в Лондоне; АД прочел краткий курс лекций в летней школе в Стамбуле и в Манчестерском университете. Оба автора представляли обзоры частей этого материала на различных летних школах, собраниях и симпозиумах, и некоторые из них появились в печати [86 , 90 - 92 , 97, 116, 128, 149, 153]. Кроме того, большинство из приводимых в книге результатов ранее публиковалось в журнальных статьях, на которые в соответствующих местах даются ссылки. Правда, осведомленный читатель заметит и ряд новых результатов, но мы подчеркиваем, что наша главная цель - не представление этих результатов, а создание единой и ясной картины рассматриваемых вопросов.
Глава О